/
Author: Шозиётов Ш. Шохайдарова П. Зоиров Ж.
Tags: физика механика механикаи назариявй табиатшиноей
ISBN: 5-645-01222-4
Year: 1991
Text
/jj- Яс
П. Шохайддрова
Ш. Шозиётов
Ж. Зоиров
НАЗАРИИ
МЕХАНИКА
П. Шо^айдарова,
Ш. Шозиётов,
X- Зоиров
У 2/ >2
V- т 1
НАЗАРИЙ
МЕХАНИКА
УзССР Олий ва махсус урта таълим министрлиги
олий техника уцУв юргларининг [талабалари учун уцув цулланмаси
сифатида тавсия этган
Кайта ишлангаи ва т^лдирилган иккинчи нашрн
I УЧ1Г? Г: VI
1 6hS“ •а
ТТН.-ГУ
ТАШКЕНТ «^КИТУВЧИ» 1991
Ушбу уцув ^улланмасида назарий механиканинг статика, кинематика, ну^та
ва система динамикаси, цаттиц жчсм динамикаси, аналитик механика эломентлари
ва кичик тебранишлар назарияси булимлари баёи этилган.
Уцув цучланмаси олий техника у^ув юргларн учун назарий механика буйича
тули^ (170 — 201 созт ^ажмдаги) программа асосида ёзилган.
Кигобда механиканинг асосий тушунчалари ва цонунларини ёритиш билан
бирга инженерлик мутахасснслигининг турлл со.^алар ида учрайдиган цатор амалий
масалалар батафсич ечиб курсатилган.
Мазкур 5?чув ц5>ллавмаси олий техника у^ув юртларининг талабаларига мул-
жалланган.
1603020000 — 298
ш-----------—------ 113 — 01
353 04 — 91
«^^итувчй» найрвёти, тузатнлган
ва тулдирилган 2-натри, 1991.
IS BN 5 — 645 — 01222 — 4
БИРИНЧИ НАШРИГА СУЗ БОШИ
Хозирги замен фанн ва техникасининг тез суръатлар билан уси-
ши, ишлаб чицариш процессларипинг механизациялашгири.ииши ва ав-
томатлаштирилиши ^амда турли хил иншоотларни лойихалаш i шлари
умумтехника фанларининг асоси булган назарий механиками пухта
урганишии талаб килади.
Узбек тилида назарий механикадан ёзилган дарсликлар камлиги
^амда ишлаб чи^арншдан ажралмаган ^олда уциетган студеитлар бу
фанни пухта узлаштиришларини таъмннлаш масаласм мавжуд дарс-
ликларга нисбатан ихчам ва программага мое цулланма яратиш э\гиё-
жини тутдирди. Шуларни эътиборга олнб авторлар бир неча йиллар
давомцда турли Олий техника укув юртларида у^иган лекцияларини
умумлаштириб, назарнй механикадан ушбу цуллапмани тавсия этди-
лар.
Бу цулланма Тошкент ша\ар олий уцув юртлари уцитувчиларининг
назарий механикадан уыумша^ар млмий методик семинари х;амда
УзССР Олий ва махсус урта таълим министрлиги хузуридаги илмий
методик Советники механика секцияси томонидан олий техника у^ув
юртларининг сиртци ва кечкн булимлари студентлари учуй уг^ув цул-
ланмаси сифатида нашр ^илишга тавсия этилди.
Ь^улланма цулёзмасини укиб чициб, унииг енфатини оширнш бора»-
сида берган масла^атларн учун npoipeccop Т. Р. Рашидов, доцент
А. И. Зельтин, доцент С.К,. Азиз-К>ориевга авторлар ташаккур бил-
дирадилар.
^улёзмани тахрир цилиб босмага тайёрлаш жараёнида махсус ре-
дакторлар Ц. Б. Муминсв ва Э. В. Эргашев катта жонкуярлик кур-
сатдилар. Уларга ^ам авторлар самимий миннатдорчилик билднрада-
лар.
Иккинчи кашрига суз боши
Китобнинг иккинчи нашри биринчн нашрга сид фикр-муло^аза-
ларнн эътиборга олиб кайтадан иштанди ва олий техника уцув юрт-
ларининг кундузги булими учун ^ам мослаштирилди. Баъзи параграф*
3
лар >;айтадан ёзилди ва янги масалалар билак тулдирилди. 12, 22,
47, 84, 97, 98, 128, 148, 149, 155, 157, 160, 164, 168, 174-пара-
графлар шулар жумласидандир.
Китобиииг иккннчи нашрига оид фикр ва муло\азаларни цуйидаги
адресга юборишингизни илтимос циламиз: Тошкент — 129, Навоий
кучаси, 30. «Уцитувчи» нашриётининг илмий-техника адабиётн PC'
дакцияси.
Муаляифлар
I боб
КИРИШ
1-§. Умумий муло^азалар
Назарий механика фани олий техника уцув юртларада утнлади-
ган асосий фанлардан бири булиб, унннг 1\онунлари материаллар
^аршилиги, т^урилиш механиками, машина ва механизмлар назарияси.
каби цатор фанлар учун хи л ма-хил ва мураккаб техника магалалари-
ни ечищда назарий асос сифатида цулланилади.
Назарий механика фани моддий жисмларнинг бир-бирига курса-
тадиган таъсирц ва механик ^аракатпинг умумий цонуняари ^ацидаги
фанднр.
Моддий дунёда учрайдиган ^амма ^одисалар материянинг ^ар хил
куринишларидап ва унинг хусусиятларидан иборатднр.
В. И. Ленин бундай деган эди: «Оламда ^аракат цилувчи мате-
риядап бошца ^еч бир нарса йу^дир, х;аракат цчлувчи матери я эса
фа^ат макон ва вак-гда ^аракат цилади»*.
Бу таърифга кура, ^аракат материянинг ажралмас ва амосий хос-
саси булиб, оламда руй берадиган барча ^одчсаларнн уз ичига олади.
Шунинг учун ^аракат сузидан одцин кучишдан тортиб, молекул а лар,
атомлар, электроилар, электромагнит ^одисалари, физик-кимсвий,,
биологик узгаришда буладигак мураккаб жараёнлар тушунилади.
Табиий фанлар материя ^аракатини ва унинг хусусиятларини ур-
гатади.
Табиий фанлардан булган назарий механика фани материя ^ара-
катларвдан энг соддаси ^исоблаиган механик ^аракатни текширади.
Вакд утиши билан моддий жисмларнинг бир- бирларнга нисбатан
фазода кучишн механик харакат дейилади. Бу ^аракат жисмлар-
нинг узаро таъсирлашуви натижасида содир буладн.
Моддий жисмларнинг мувозанати механик ^аракатнинг хусусий
^оли булгаилиги сабабли, назарий мэханлкада мэдщй жлсмтарнинг
бу ^олати ^ам текширилади.
Назарий механика фани, механик масатанинг цандал ну^таи на-
зардан тфйилншига ^араб, уч г^исмга: статика, кинематика ва дина-
микага булинади.
*Ленин В. И. Материализм ва эмпириокритицизм. Тула асарлар т^плами,
18-том, 203-бет.
5
Моддий жисмларнинг мувозанати, уларга куйилгап кучларни цу-
аииш, айириш ва куч лари и таъсир жихатдан тенг булган эквивалент
кучлар системаси билан алмаштириш масалалари пазарий механика-
нинг статика булимида текширилади.
Жисмларнинг ^аракатини уларнинг массаси ва уларга таъсир этув-
чи кучларга богламай, факат геометрик нуктаи пазардан текшириш
масаласи кинематика цисмига киради.
Динамикада эса моддий жисмларнинг харакати шу ^аракатни
вужудга келтирувчи куч билаи биргаликда текширилади.
СТАТИКА
П боб
КАТГИК ЖИСМ СТАТИКАСИ ВА СТАТИКАНИНГ АСОСИЙ
АКСИОМАЛАРИ
2-§. Асосий тушувчалар ва таърифлар
Статикада жисмнииг мувозанати деганда, унинг маълум жисмга
•фзгалмас равищда ма^камланган координаталар системасига нисбатан
тинч вазияти тушуиилади.
Статиканинг асосий тушунчалари, таърифларини кслтирамиз.
1. Моддий нуцта деганда, ^аракати ёки мувозанатпни текши-
ришда улчамлари ва шаклининг а^амияти булмаган, массаси бир нуц-
тада жойлашган деб тасаввур цилииадигаи жисм тушуиилади.
2. Куч таъсиридаги жисмнииг ихгиерий иккита ну^таси орасидаги
масофа доимо узгармасдаи ^олса, бундан жисм абсолют цаттиц
зюисм дейилади.
Табиатда абсолют цатгиц жисм йуц, Зд) цандай жисм ^ам оз
булса- да деформацияланади — шакли узгаради. Агар бу узгариш
жисмнииг улчамларига нисбатан жуда кичмк булса, механик ^аракат-
ни текширишда мазкур узгаришни эътиборга олмаймиз. Катги^ жисм-
ни бундай абстрактлаштириб караш жиемнннг ^аракатинн урганишни
соддалаштиради.
3. Жисмларнинг бир-бирларнга курсатган узаро таъсирларииинг
ми^дор улчови куч дейилади. Бу таъсир натижасида жиемнинг ки-
нематик ^олати ёки шакли узгаради (деформацияланади).
Кучнинг жисмга таъсири: I) куч цуйилган ну^га, 2) кучнипг йу-
налиши, 3) кучнинг мицдорп билан ани^лаиади.
Жисминнг бевосита куч таъсир этадиган пуцтаси куч ^йилган
Hyt^na дейилади. Тинч ^олатда турган эркин моддий жиемнинг берил-
ган куч таъенрида олган ^аракат йуналишн кучнинг йуналиши дейи-
лади. Кучнииг миедорини улчаш учуй уни куч бирлиги деб кабул ци-
лииган бирор катталик билан солиштирилади. МГСС системада куч бир-
лиги учун килограмм-куч (1 кгк), халкаро (СИ) системада ньютон
(1 Н) цабул цилинган; бунда 1 кгк = 9,81 Н; 1 Н =0,102 кгк.
6
Куч мицдор ва йуналишга эга ___________
булгани учун вектор катталик би-
лая ифодаланади. Вектор кесмаси- /
нинг маълум масштабдаги узу ил и- / - -
ги кучнинг микдорини, стрелканинг /
йуналиши кучнинг йуналишини ифо- I ;
далайди (I-расм). Ь-у /
Куч вектори ётган (ЛХ) чизиц
кучнинг таъсир чизиги дейилади. -------
Куч цуйилган нуцтаии О билан бел-
гилаймиз. Одатда куч вектори F ₽асм‘
оррлн, ми^дорн эса F билан белги-
ланади.
4. Кучлар системаси. Жисмга цуйилган Flt F2, ... tFn кучлар
туплами кучлар системаси дейилади.
Жисмга цуйнлган (_Z> jF2, . .. , F/;) кучлар системаси курсатади-
гаи таъсирни бошца (Qlt Q2, ..., Qn) кучлар системаси бера олса»
бундай икки куч системаси эквивалент кучлар системаси дейилади.
Уларнинг эквивалентлиги цуйидагича ёзилади:
(А Л........Ъ) со (Qt, Q2, .. -, Q„).
5. Тенг таъсир этувчи куч. Кучлар системасининг жисмга таъ-
сирини ёлтиз бир куч бера олса, бундай куч мазкур кучлар систе-
масининг тенг таъсир этувчиси дейилади. j(Flt F2,. . . , Fn) куч-
лар системасининг тенг таъсир этувчисини R' билан белгиласак, у
^олда
(Ft, Г2,. . . , Fn) со R'.
6. Мувозанатлашган кучлар системаси. Тинч турган жисм унта
цуйилган (Fit F2,.. . , Fn) кучлар системаси таъсирида ^ам тинч
^олатда цолса, бундай кучлар системаси мувозанатлашган кучлар
системаси ёки нолга эквивалент система дейилади. Мувозанатлаш-
ган кучлар системаси нолга эквивалентдир:
(?ъ , fn) со 0.
7. Саио^ системаси. Механикада берилган жисмнииг ^аракати
ёки ^олати бирор жисм билаи богланган координаталар системасига
нисбатан текширилади. Бу координаталар системаси сано^ система-
си дейилади. Статика булимида Ер билан бевосита богланган саноц
системасидан фойдалаиилади.
8. Эркин жисм. Жисм фазода ихтиёрий том опта ^аракатлана
олса, бундай жнем эркин жисм дейилади.
3- §. Статиканинг асосий аксиомалари
Назарий мехаликаиинг статика ^исми тажриба ва кузатишлар
ёрдамида ани^ингаи цуйндаги аксиомаларгд асосланади:
7
I- аксиома. Эркин жисмнинг истаяган икки нуутасига мик-
дорлари тенг, йуналиши эса шу нуцталардан утувчи тугри чи-
зиц буйича уарама-уарши томонга йуналган иккита куч таъсир
ыпс а, бундай кучлар узаро мувозанатлашади (2- раем).
Кучларнииг микдори |ГХ| = |/21. Агар кучларнинг йуналишини
эътиборга олсак, Л = — F2 булиб, бунда маифий ншора кучлар-
нинг карама-карши томонга йуналганлигини билдиради. Бундай икки
кучдан ташкил топтан система ноллик системадан иборат булади:
(fj, Г2) со 0.
2- аксисма. Волга эквивалент системани жиемга таъсир этув~
•чи кучлар системасига уушиш ёки ундан айириш билан кучлар
.системасининг жиемга таъсири узгармайди.
Бу аксиомалардан ^уйидаги натижа кслиб чицадп: куч уз таъ-
сир 4U3UFU буйлаб бир нуутадан иккинчи ну^тага мицдор ва
йуналиши узгартирилмай кучирилса, унинг жиемга таъсири уз-
гармайди.
Исбот. Жисмнинг О нуцтасига ^уйилган F кучнииг таъсир чгь
зигида Ot нуктани олиб, шу нуцтага микдорлари F = = Га бул-
ган ^амда мазкур чизикда ётувчи (Flf F2) со 0 системани кушамиз
(3-расм). 1-аксиомага кура (F, f2)coO булганидан уни ташлаб
юборсак, у эрлда нуцтада Ft куч цолади. Шундай цилиб, Oj
яуцтага цуйилтан F куч урнига Oj пу^тага г^уйилган худди шундай
F = F1 кучии оламиз. Натижа исботланди.
3- аксисма. (параллелограмм аксиомаси). Жисмнинг бирор нуц-
тасигз ууйилган турли йуналишдаги икки кучнинг тенг таъсир
этувчиси микдор жи^атдан шу кучларга цурилган параллело-
граммнинг улар куйилган нуутадан утувчи диагоналига тенг
булиб, шу диагонал буйлаб йуналади.
8
5- раем.
Жисмнинг бирор А нуцтасига куйилгаи, бир-бири билан сс бур-
чак ташкил этувчи Ft ва F2 кучлариинг тенг таъсир этувчисини
R' билап белгилаймиз (4- раем). Аксиомага кура R' — f\ -J- Fz
4- аксиома. Жисмларнинг бир-бирига таъсири узаро тенг ва
бир тугри чизик буйлаб царама-царши томонга йуналади.
Масалам, А жисмнинг В жиемга курсатадиган FA таъсир кучи
В жисмнинг О ну^тасига цуйилади (5-раем). В жисмнинг А жием-
га F в таъсир кучи А жисмнинг (А ну^тасига куйилади. БД ва FB
кучлар ми^дор жи^атдан бир-бирига теиг ва таъенр чизи^лари уму-
мий булиб, царама-царши томоига йуналган:
Бу аксиома Ньюта шин г учинчи ^онунини ифодалайди.
5- аксисма. Берилган кучлар таъсирида деформацияланадиган
Жисм мувозанат цолатида абсолют цаттиц жиемга айланса,
унинг мувозанати узгармайди.
Бу аксиома цотиш принципа дейилади.
4-§. Боглаииш ва богланиш реакциялари
Жисмнинг ^аракати ёки зрлаги бирор сабаб билан чеклаиган
булса, у боьланишдаги жисм дейилади. Жисмнинг харакати ёки
-\олатини чекловчи сабаб эса босланиш дейилади. Масалан, рельс-
ларда турган вагоннинг вертикал йуналишдаги ^аракатн чекланган.
Бунда рельслар вагон учун богланиш вазифасини утайди; вагон эса
боглаиишдаги жиемдир.
Богланишнннг жиемга курсатадиган таъсирини белгиловчи куч бор-
ланиш реакция кучи дейилади.
Назарий механикада боглаиишдаги жисмнинг ^аракатиии era му-
возанатини эркин жисмнинг ^аракати еки мувозанатига келтириб
текширилади. Бу ^ол т^уйидаги аксиома билан ифодаланади.
6- аксиома. Борланишдаги жиемни эркин жисм шаклига келтиг
риш учун жисм таъсир этувчи кучлар цаторига борланиш реак-
ция кучини %ам цушиш керак.
9
1
6- раем.
Бу аксиома жисмни богланишдан бу-
шатиш аксиомаси дейилади.
Борланишдаги жисмларнинг ^аракати
цайси томондан чекланган булса, реак-
ция кучи шу йуналишга тескари йунал-
ган булади.
Жисмлар, асосан, таянчлар (цирралар,
шарнирлар), ип, занжир ва кайишлар во-
ситасида богланган булади.
Борланишдаги жисмларнинг богланиш
реакция кучларини аниклаш статиканинг
асосий масал аларидан хисоблаиади. Уму-
мий э^олда масаланн ечмасдан туриб, 6of-
ланиш реакция кучининг мицдори ва й$-
налишнни аницлаб булмайдн. Ленин ай-
рим ^олларда берилган масаланн ечмас-
дан туриб, реакция кучларининг йунали-
шини аницлаш мумкин. Бундам богланиш-
ларин цуйвдаги уч груплага ажратнш
мумкин:
1. Жисм ^узгалмас силлиц сиртга А
нуцтада таянади. Бу ^олда сиртнинг
реакция кучи N жиемнииг А нуцтасига
куйилган б^либ, шу ну^тада сиртга утка-
зилган нормаль буйлаб йуналган булади
(6-расм, а). Бу куч нормал реакция кучи дейилади. Агар жисм ва
сирт силлиц булмаса, А иуцтада нормал реакция кучидан ташцарн,
уринма реакция кучи F ^ам пайдо булади (6-расм, б). Бу F куч
иищаланиш кучи деб аталади.
7, 8, 9- расмларда таянч ну^аларида кайси сиртга (жисм ёки
таянч сиртга) нормаль утказиш мумкин булса, нормал реакция кучи
шу нормаль буйича йуналтирилади.
2. Жисмлар чузилмайдиган ип, занжир, кайиш ёки стерженлар
воситасцда оенлган булса, уларда зреил буладпган реакция кучлари
8- раем.
7- раем.
Ю
9- раем.
10- раем.
мос равищда иплар, запжирлар, кайиш-
лар, стержеклар буйлаб йуналган бу-
лади (10-раем). Ипларда ^осил була-
диган реакция куч лари одатда Т, Tlf
Т2 билан белгиланадн ва таранглик grp
кучи дейилади.
3. Жисм цузгалмас текнеликка гал-
таклар воситасида таянпб турса (11-
расм), А ну^тадаги реакция кучи Л"шу И-раем,
текнеликка перпендикуляр пуналади.
Реакция кучларининг йуналиши олдицдан номаълум булган 6of-
ланишларнинг асосий турлари билан танишамиз:
1. Жисм цилиндрси.мон шарнир воситасида нккинчи жиемга бог-
ланган булса, боглаииш реакция кучининг таъсир чизиги цилиндр-
нннг марказий уцидан утади ва цилиндр уцпга перпендикуляр текис-
ликда ётади. Масалаи, жисм А ну^тада цилиидрсимоп шарнир воси-
тасида кузгалмас текнелик билан богланган (12-расм,а). Бунда бог-
ланиш реакция кучининг таъсир чизиги А нуцтадан утади, лекин йу-
налиши номаълум. Буидай ^олда реакция кучини цилиндр у^ига
перпендикуляр йуналган х ва у укларнинг мусбат йуналишлари буйи-
ча ташкил этувчиларга ажратиэ, уларни жиемнингдмувозанат шарт-
12- раш.
11
I
2. Бир жисм иккинчи жисмга
тиралиб турган булса (12- раем, б),
бундай >;олда хам реакция кучининг
йуналиши номаълум булиб, у 1-^ол-
дагидек ташкил этувчиларга ажра-
тилади ва уларни жиемнинг муво-
занат шартларидан ани^ланади.
3. Жисм сферик шарнир воента-
сида богланган булса (13- раем), бу
шарнир уз маркази О дан утадиган
^ар кандай уц атрофида жиемнинг
айланншига тускинлик килмайди-
Сферик шарнирнинг реакция кучи О
томонга йуналганлигн олдивдан маъл
дай реакция кучини танлаб олинган
13-раем.
нуктадан утади, лекин ^айси
ум эмас. Масаланн ечишда бун-
координата укларига параллел
йуналган ташкил этувчиларга ажратиб, уларни жиемнинг мувозанат
шартларидан топилади.
III боб
БИР НУКТАДА КЕСИШУВЧИ КУЧЛАР СИСТЕМАСИ
Таъсир чизицлари бир нуктада кесишадиган кучлар системаси
бир нуктада кесишувчи кучлар системаси дейилади. Яъни жием-
нинг Л„ А2, .. . , А пуцталарига, таъсир чизиклари О нуцтада ке-
сишадиган тегишлича Г2, .. . , Fn кучлар таъсир этса, бу кучлар
бир нуктада кесишувчи кучлар системасиии ташкил килади (14- раем).
Кучларни уларнинг таъсир чизиклари буйлаб кучириш мумкин
булганлиги туфайли, бир нуктада кесишувчи кучлар системасини
доимо бир нуктага ^унилган кучлар системаси билан алмаштириш
мумкин (15-раем). Бир нуктада кесишувчи кучларни кискача кеси-
шувчи кучлар .\ам дейилади.
Бир нуктада кесишувчи кучларни геометрик ёки аналитик усул-
да 1<ушиш мумкин.
14- раем.
15- раем.
12
5- §- Бир нуктада кесишувчи кучларни геометрик усулда кушиш
Жисмиинг_бирор /1 нуцгасига цуйилган ва узаро а бурчак таш-
кил этувчи Ft ва F2 кучларнннг тенг таъсир этувчисн, параллело-
грамм аксиомасига кура, шу кучларга цурилган параллелограммнинг
А нуцтасидан утувчи диагонали билан ифодаланади (16- раем, а).
Яъни бир иуцтага цуйилган иккита кучнинг тенг таъсир этувчисн
R' шу кучларнннг геометрик йигнндисига тенг:
= (3.1)
Бир нуцтага куйилган иккнта кучнинг тенг таъсир этувчисини
кучлар учбурчаги усулида ^ам аницлаш мумкин (16-раем, б). Бунинг
учун ихтиерий А] нуктага Fj кучни цуниб, бу кучнинг учи D} нуц-
тага F2 кучни узига параллел равншда келтирамиз. Бнринчи кучнинг
боши А^ ни иккинчи кучнинг учи Сх билан туташтирувчи R' вектор
тенг таъсир этувчи кучни ифодалайдн. Кучларни бу усулда цушиш
кучлар учбурчаги у су ли дейилади.
Тенг таъсир этувчининг модулями Д AL Cj дан косинуслар тео-
ремасига асосан аницлаймиз:
R’ = у F* -г — 2 FyF2 cos (180° — а)
ёки (3.2)
R' = yPl+Fl + 2FlFIcos.a.
Тенг таъсир этувчи R' кучнинг Ft ва F2 кучлар билап ташкил
цилган срх ва <р2 бурчаклари синуслар теоремасига кура аницланади:
----------------------------.
sin q?2 sin sin (180= —a)
Бир иуцтада кесишувчи (Flt F2, ... , FJ кучлар системасининг
(17-раем, а) тенг таъсир этувчисини аннклаймиз. Кучлар учбурчаги
цоидасига асосан бу кучларни кетма-кет цушамиз. _
Аввало Fi ва F2 кучларнннг тенг таъсир этувчисн Rj ни аниц-
лаймиз, сунгра R't ва F3 кучларнннг тенг таъсир этувчисн R% ни
16- раем.
13
17- раем.
аниклаймиз ва показе (17-раем, б). Аницлик учун раемда п = 4
булган ^ол курсатилган. Fit F2i F3, F± кучларни цушнш натижасида
OrABCD кучлар купбурчаги э^осил килинади. Бу купбурчакда
Flt кучнинг боши билан кучнинг учини бирлаштирувчи R' век-
тор Flt F2, F3t Ft кучларнинг тенг таъсир этувяисини кфодплайди.
Шундай цилиб,
=я; -?F3 - л+е, +^3.
^3 = ^1 + F2 + Fa + Ft
ёки
Л=4
Худди шунингдек, п та кучнинг тенг таъсир этувчисини аииц~
лаймиз:
(М
Демак, бир нуцтада кесишувчи кучларнинг тенг таъсир этувчиси
R' шу кучларнинг геометрик йигивдисига тенг. Яъни Flt F2, .. . ,
Fn кучлар учун юцоридагидек кучлар купбурчаги тузилса, бу куп-
бурчакда Ft кучнннг боши билан Fn кучнинг учини бирлаштирувчи
R' вектор мазкур кучлар системасининг тенг таъсир этувчиси була-
ди.
14
6- §• Кучнинг укдаги проекцияси
Куч билан бир текисликда ётгап булса, F кучнинг Ох укдаги
проекциясини аниклаш учун кучиинг боши А ва учи В дан Ох у еда
перпендикуляр (Az), (Bb) пунктир чизицларни утказамиз (18-раем).
У ^олда мос шпора билан олинган ab кесма F кучнииг Ох укдаги
проекциясини ифодалайди, бунда а нуцтадан b нуктага кучиш Ох ук-
нинг мусбат й\ напиши билан устма-уст тушеа — мусбат ишора, унга
тескари йуналса — маифий ишора олинади. Бу таърифга кура,
18- раемда
X = Fcosa,
Xj = — Fr cos <p
(баъзан кучнннг уцдагн проекцияси Fx куринишда белгиланади)
ёки cosctj = cos (180° — (р) = — costp булгани учун
X = F cos ct,
Хх = Fx cos ctx. (3.5)
Демак, кучнинг бирор укдаги проекцияси скаляр мицдор булиб,
куч модули %амда кучнинг илу ук мусбат йуналиши билан таш-
кил цилган бурчаги косинусининг кС/пайтмасига тенг. Бу таъриф-
дан куринадики, кучиинг параллел ва бир хнл йуналган уклардаги
проекциялари узаро тенг булади. Агар а = 90° булса, cos 90° = О
булгани учун X = 0 булади. F кучнинг Охуг Декарт координата
у^ларидаги проекцияларини аннцлаш учун координаталар бошини
F кучнинг бошидд оламиз (19-раем). ~F кучнинг xty, z у^лар билан
ташкил едлган бурчакларини мос равишда а, р, у билан белгилай-
миз. Бу ^олда, диагонали F га тенг булган параллелепипед (мос
ишора билан олинган) томонларннинг узунлиги (3.5) га асосан
F кучнинг координата укларидаги проекцияларини ифодалайди:
X =Fcosa, Y =Fcosp, Z = Fcosy. (3.6)
Координата уцларидаги проекциялари оредли кучнннг узини топиш
усули уни аналитик усулда аницлаш дейилади. Бу ^олда кучнинг
18- раем.
15
модули (параллелепипеднинг диагоналига тенг булгани учун) цуйи-
дагича аникланади:
F = | X2 + V2 4- Z2, (3.7)
F" кучнинг йуналишини топиш учун йуналтирувчи косииусларни
(3.6) тенгликларга асосан ашпргаймиз:
cos а = , cos 0 — ~, cos Т = у- - (3.8)
Куч билан ун бир текисликда ётмай, улар орасидаги бур-
чак берилмаган булса, кучнинг у^даги проекциясини ^уйидагича
аншуиш мумкин. Масалан, 20- расмда курсатилган F куч Оху
текислигида ётмайди, куч билан _^цлар орасидаги бурчак ^ам
номаълум. Координаталар бошини F куч ^уйилган нутугада олиб,
кучнинг учи А дан Оху текисликка перпендикуляр (Аа) чизикни ут-
казамиз. У з;олда Fxy — Cto вектор F кучнинг Оху текисликдаги
проекциясини ифодалайди. FXy векторнинг Ох ва Оу уцлардаги про-
екцияларини анъцлаш учун а нутугадац Ох ва Оу у^ларга мос ра-
вишда перпендикуляр (а«|), (аа2) чизи^ларни утказамиз. Ofy ва 0а2
мос равишда F кучнинг Ох ва Оу у^лардаги проекцияларинп _ ифо-
далайди:
X = Оаг — Fxy cos ct — F cos <p cos a,
Y — 0a2 = Fxy cos (90° — a) = F cos <p sin a.
7- §. Тенг таъсир этувчиии аналитик усулда аниклаш
Юцорида курганимиздек, бир нуцтада кесишувчи Flt F.2 . . . ,
Fn кучларнинг тенг гаъсир этувчиси (3.4) га кура щу кучларнинг
п _____________________________________
геометрик йигиндисига тенг: R' = У, Fk.
А=1
16
Бу векторли тенгликни координата у^ларига проекция лаб, тенг
таъсир этувчининг координата у^ларидаги проекциялари /?', /?', R*
ларни аиицлаймиз:
*=i
Л=1 I
(3.9)
Тенг тдъсир этувчининг модули (3.7) га асосан ани1$ланади:
^=Ж)2-г(^)2 + (^)2 =
/(FRFHFT
йуналиши эса (3.8) га кура аницланади:
cos («', х) = ^ ,
cos («'?</) = %. ,
cos(rG) = ^.
(3.10)
(3-11)
8- §. Бир нуктада кесишувчи кучларнинг мувозанати
Агар бир нуцтада кесишувчи (Fv Fz, ... , F„) кучлар система-
сининг тенг таъсир этувчиси R' нолга тенг булса, у >;олда бундай
кучлар системасн мувозанатда булади, аксинча, кучлар снстемаси му-
возанатда б^лса, тенг таъсир этувчи нолга тенг булади:
Я'^0 (3.12)
ёки
п ___
2 Fk == °.
А- 1
(3.13)
(3.12) еки (3.13) тенгламалар кесишувчи кучлар системаси мувоза-
нати зарурий ва етарли шартининг векторли ифодасидир. Демак, ке-
сишувчи кучлар системаси таъсирндаги Эркин жисм мувозанатда
булиши учун мазкур системани ташкил этувчи кучларнинг геомет-
рик йигиндиси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
(3.12), (3.13) тенгламаларнипг геометрик маъноси цуйидагичадир:
фараз ь^илайлнк, жисмнинг Д, Х2> • • нукталарига таъсир чизи^тари
О нуктада кесишувчи Fx, F2, .. . , Fn мувозанаглашувчн кучлар систе-
2—2344
17
21- раем.
Тенг таъсир этувчи куч /?' =
маси таъсир этаётган булсин(21-
расм). Бу кучлар учун кучлар
купбурчаги ясалса (аншутик учун
п—5 булган ^олни куриб чица-
миз), у ёпик булади, яъни маз-
кур купбурчавда биринчи куч-
нинг боши билан охирги кучнинг
учи устма-уст тушади. Аксинча,
кучлар купбурчаги ёпик булса,
R' = 0 булади. Шунга кура, ке-
сишувчи кучлар системаси му-
возанатда булиши учун бу куч-
ларга курилган кучлар купбур-
чаги ёпик булиши зарур ва
етарлидир.
булса, (3.10) га кура
/?; = о, r;=o, я;=о
булади. (3.9) ни эътиборга оясак,
(ЗЛ4)
Демак, кесишувчи кучлар системаси мувозанатда булиши учун
•кучларнинг хар бир координата укларидаги проекциялари йигин-
диси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
Умуман, (3.14) ифодада номаълум кучлар хам булиши мумкин.
Шунинг учун уни кесишувчи кучлар системаси таъсиридаги эркин
Ъкисм мувозанати тенгламаларининг аналитик ифодаси хам дейи-
Р’
ia
ху
ам
б,
гт-
ги
лади.
Кесишувчи кучлар бир текисликда жойлашган булса, Ох ва Оу
ууларни шу текисликда олиб, (3.14) тенгламаларнинг учинчиси эъти-
борга олинмайди:
1л=о'
х^=°-
А=1
(3.15)
Бу тенгламалар текисликдаги кесишувчи кучлар системасининг
мувозанат тенгяамалари дейилади.
Ёзувни ^искдртириш ма^садида келгусида (3.14) даги тенглама-
ларни цуйцдагича ёзамиз:
18
SXft = o;
Syt = °.
yzt = 0.J
(3.16)
Мувозанатдаги жисм эркин булмаса, бсгланишлардан бушатиш
дацпдаги аксиомага кура, боглаиишларнинг жисмга курсатадиган таъ-
сирини уларнинг реакция кучи билан алмаштирамиз. Натижада бун-
дай жисмни берилган кучлар таъсиридаги ва богланиш реакция куч-
лари таъсиридаги эркин жисм деб цараш мумкин. Шу сабабли маз-
кур жисм учун тузилгап (3.14) ёки (3,15) теигламаларда берилган
кучлар ^атори богланиш реакция кучларининг ташкил этувчилари
дам катнашади.
Умуман, жиемнинг мувозанатига дойр масалалар куйпдаги тартиб-
да ечилади.
1. Берилган масалада мувозанати текширилаётган жисмга таъсир
этаётган кучлар раемда тагвирланади.
2. Жисмни богланишлардан бушатиб, уларнинг таъсири богланиш
реакция кучлари билан алмаштирилади.
3. Координата укларини мос равишда танлаб олиб, мувозанат
тенгламаларини тузамиз. Координата уцларини шундай танлаш ло-
зимки, иложи бормча кучларни проекциялаш осон бу'лсин. Масалан,
уцлардап бирини бирор номаълум реакция кучига тик равишда
йуналтирилса, мос мувозанат тенгламасида помаълумлар камро^ ^ат-
нашадн.
4. Тузилган мувозанат тенгламалари биргаликда ечилади.
1-масала. Q = 300 Н юк АВ, АС стерженлар ва AD занжир.
воситасида тутиб турялади. Агар а = СВ А = ВС А — 60°, р —
= 0AD = 30° булса, АВ, АС стерженлардаги зурициш ва AD зан-
жирпинг таранглик кучи ани^тансин. А, В, С ва D ну^талар шар-
нир оркали бириктирилган (22-раем).
Изо:у Стержень буйлаб йуналган чузувчи ёки сицувчи куч стер-
жендаги зурикиш деб аталади.
Сицувчи кучни чузувчи кучдан
фарц чилиец учун уни манфий
сон (жлан ифодалаймиз. Стер-
жендаги S зурикиш микдор жи-
хатдан шу стерженнинг реакция
кучи N га тенг булади: | S | — W].
Ечиш. Масалани юцоридаги
тартибда ечамиз. А нуктадаги
юкни Q куч билан алмаштира-
миз. Богланишдан бушатиш ха-
кидаги аксиомага кура АВ ва АС
стерженларни ва N2 реакция
кучлари хамда AD занжирни Т
таранглик кучи билан алмашти- 22- раем.
19
рамиз. Бу кучлар А пу^ада кесишадиган мувозанатлашувчи кучлар
системасинн ташкил этади. Координата укларини расмда курсатил-
ганидек утказиб, (3.16) га мувофик мувозанат тенгламаларини ту-
замиз:
V xk = 0: — A\cos 60° + Лг2 cos 60° = 0,
2 Yk = 0; Л'\ cos 30° + ЛГ2 cos 30° — Т cos 30° = 0,
^Zt = 0; —Q + 7'cos60° = 0.
Бу тенгламаларнн биргаликда ечиб занжирнинг таранглик кучи
Т=------2----= 600 н
cos 6U3
ва А\, N2 реакция кучлари
л; = ,v2 = зоо н
булишини аницлаймиз. АВ ва АС стерженлар сицилади. Шу сабаб-
ли улардагн зурикишлар манфий кшшатга эга булади:
- S2 - — 300 н.
9- §. Уч куч мувозаиатиа сид теорема
Бир текисликда ётувчи ва узаро параллел булмаган уч куч
мувозанатлашса, уларнинг таъсир чизи^лари бир нуцтада кеси-
тади.
Исбот. Жисмнииг Д, А2 ва А3 ну^таларига бир текисликда
ётувчи, параллел булмаган, мувозанатлашувчи F.2, F3 кучлар
цуйилгап булсин (23-раем). У ^олда (f\, Т2, Гя)а> 0.
Кучлар параллел булмагани учун улардан ихтиёрий иккитасининг
таъсир чизиги бирор нуктада кесишади. Масалан, Flf F2 кучларнинг
таъсир чизиклари О нуктада кесишсин. Бу кучларии таъсир чизи^ла-
ри буйлаб О нуктага кучирамиз ва параллелограмм ^оидасига асо-
сан кушамиз:
^1 = Л+Л.
кучнинг таъсир чизиги Fr ва F.2 кучларнинг таъсир чизицлари
кесишган нуцтадан утади. Шундай
цилиб,
(Fi, К Ъ) ™ ^з) 0.
Бу муносабатдан курамизки, 1-
аксиомага асосан, ва F3 кучлар
мувозанатлашиши учун уларнинг
м!1цдорлари тенг, йуналиши эса бир
тутри чизи^ буйлаб ^арама-^арши
томонга йуналган булиши керак.
20
24- раем.
Яъни F3 кучнинг таъсир чизиги хам О нуктадан утар экан. Шун-
дай килиб, теорема исботланди. Бу теорема уч куч теоремаси де-
йилади.
2-масала. АВ стержень А нуктада шарнир воситасида маркам-
ланган ва В нуктада вертикал деворга эркин таяпиб туради (24- раем,
а). Стерженнинг уртасига 0 — 60° бурчак остида F = 400 Н куч
куйилган. а = 30° булганда А ва В ну^талардаги ишцаланишларни
хисобга олмай, А’л, N в реакция кучлари аниклансин.
Ечиш. Аввал масалани геометрик усулда ечамиз. Бунинг учун А
ва В нуцталардаги богланишларни NA, NB реакция кучлари билан
алмаштирамиз. В нуцтада стержень деворга эркин таяниб турганли-
ги сабабли NB деворга тик равишда пуналади. Г ва NB кучларнинг
таъсир чизикларини давом эттириб, улар кесишган D ну^тани анигу-
лаймиз. А шарнирдаги реакция кучи Д'л нинг йуналишини аннклаш-
учун уч куч мувозанатига оид теорема дан фобдаланамиз. АВ стер-
жень вертикал текисликда жойлашган F, NB ва Лгл кучлар таъсн-
рида мувозанатда булганидан Ал пинг таъсир чизиги х;ам D иу^та-
дан утади ва а + 0 = 90°, АС = СВ булгани учун AD °у уцига
параллел булади. NA кучнинг йуналишини аниклаш учун F, Nв, N4
кучлардан ёпи ц кучлар ^бурчаг гни тузамиз. Бунинг учун маълум F
кучни бирор масштабда ихтиёрий /Ij нуктага узига параллел равиш-
да цуямиз (24- раем, б) :^амда бу кучнинг боши /\ ва учи нуцта-
лардан Na ва ларпинг таъсир чизикларига мос равишда парал-
лел булган тутри чизиклар утказамиз. Уларнинг кесишган нуцтасини
С, билан белгилаймиз. В^ учбурчак изланаётган кучлар учбур-
чагцдир. Л'в ва NA кучларнинг йуналишини аниклаш учун бу куч-
лар учбурчагини периметри буйича шундап айланиб утиш керакки,
кучлар учбурчаги нуктада ёпилсин; BtCv ва CjAj взкгорлар Nв
ва Na кучларни ифодалайди. Кучлар учбурчагининг В^С^ ва
томонларини берилган масштабда улчаб, Nв ва NA кучларнинг М1Ц-
дорлари аникланади.
2L
Na ва NB ларнинг микдоршш кучлар учбурчаги ZiBiCi га си-
нуслар теоремасини ^уллаб хам аницлаш мумкин:
Ад = Ав ?
sin 30s sin 693 sin SO* ’
бундай
Л’л = Fsin 30° = 400- у = 200 Н,
N„ = Feos 30° = 400-—= 346,4 Н.
в 2
Берилган мгсалани кучлар учбурчаги ва ВСЕ геометрик
учбурчакнинг ухшашлигидан фойдаланпб ^ам ечиш мумкин. Бу уч-
бурчакларпинг ухшашлигвдан
2к = ± =£в
DE CD СЕ '
Расмда CD = 2DF, СЕ = ] r (CD)2 — (DE)2 = ] ~3DE
булгани учун
V,, = 1_ = Уа
DE 2 DE V"3D£’
Cj-ндан
N. = - =200 Н,
д 2
= F= 346,4 Н.
в 2
Худ ди шу масалани аналитик усулда ечамиз. Ох ва Оу уцларни
раемдагидек утказпб, (3.15) га асосан нккита мувозанат тенгламаси-
ии тл'замиз:
V xk = 0; в ~ F cos 30° = °’
V Yk — 0; — F c°s 60° = 0,
^бундам
Nr = Feos ЗОР = 400-^2 = 346,4 Н,
в 2
Л' = Feos60° = :400- -- = 200 Н.
Л . 2
22
IV боб
КУЧ МОМЕНТИ
10-§. Кучнинг нуктага нисбатан момеити
Тажрибаларнинг курсатишича, куч таъсирида жисм илгариланма
харакатда, шунингдек, бирор нуцта ёки ук атрофида айланма ^аракат-
да булиши мумкин. Жисмнинг айланма ^аракати жиемга цуйилган
куч моментига боглиц булади.
Кдйси нуктага нисбатан момент олинадиган булса, шу нуцта мо-
мент маркази дейилади. Момент марказидан кучнинг таъсир чизп-
гига туширилган перпендикуляр кесма куч. елкаси дейилади (25-раем,
о,б). Одатда куч елкаси h билан белгиланади.
Аввал жиемга бир текисликда ётувчи кучлар системаси таъсир эта -
ётган холни курамиз. Бунда кучнинг нуктага нисбатан момента
деб, мос ишора билан олинган куч ми^дорининг куч елкасига купайт-
масига тенг катталикка айтилади.
F кучнинг О марказга нисбатан момента одатда, Мо (F) билан
белгиланади:
(4.1)
Агар куч жиемни момент маркази атрофида соат мили айланади-
ган томонга тескари йуналишда айлантаришга интилса, одатда, куч мо-
менты мусбат, акс холда—манфий деб ^исобланади.
Куч момента МКГСС системасида кгк-м билан, СИ системасида
И-м билан улчапади.
Кучнинг нуктага нисбатан момента ^уйидаги хоссаларга эга:
I. Кучнинг мицдори еа йуналишини узгартирмай таъсир чизи-
fu буйлаб исталган нуктага кучирилса, куч момента узгармайди
(чунки кучнинг елкаси узгармай цолади).
2. Агар кучнинг таъсир чизиги момент марказидан утса, унинг
шу нутпага нисбатан момента нолга тенг булади (чунки куч-
нинг елкаси нолга тенг булади; 25-раем, в).
3. F кучиипг боши ва учини мо-
мент маркази О билан туташтириб
Д.АОВ ни ^осил ктытамиз (26-раем).
Бу учбурчакнинг юзи
5 ллов = у Г1‘ булади. Буни (4.1)
билан солиштирсак,
|М„(Л| = 25йЛОВ (4-2)
эканлигини курамиз.
Демак, кучнинг нуктага нисба-
тан момента модули кучнинг боши-
ни ва учини момент маркази билан
туташтиришдан хосил булган уч-
'бурчак юзининг иккиланганига тенг. Бу натижа кучнинг нукта-
га нисбатан моментининг геометрик маъносини ифэдалайди.
11-§. Кучнинг нуктага нисбатан моменти вектори
Агар жисмга фазовнй кучлар таъсир этса. у ^одда жисмнииг маз-
кур кучлар таъсирида айланиш йуналишиии аницлаш учун одатда
кучнинг нуцтага нисбатан момента вектор тарзида царалади.
Кучнинг нуктага нисбатан моменти вектори момент маркази-
та ^у'йилгаи булиб, бу марказ ва кучнинг таъсир чизиги оркали ут-
ган текисликка перпендикуляр йуналади хамда унинг учидан карага-
нимизда куч жисмни соат милинннг аиланишига тескари йуналишда
айлантиришга интилади.
F кучнинг О нуцтага нисбатан моменти векторини аннклаш учун
куч 1\уйилган А нуцтанинг О марказга нисбатан радиус- вектори г
нинг ту куч векторига векторли купайтмасини ани^лаймиз (27-раем,
Векторлар алгебрасидан маълумки, г ;<F вектор г ва F ётган
текисликка перпендикуляр йуналгап булиб, унинг учидан Караганда
г ни F вектор устига тушириш учун соат милининг айланишига тес-
24
кари йуналишда эпг ^иска бурчакка буриш
керак (27-раем, б). Бу векторнинг модули
[7 хТ| = г F sin (г, F), Ону^тадан F куч-
иинг таъсир чизигига тик h кесмаии ут-
казамиз, у ^олда раемдан h = г sin (г, F)
булгани учун _ _
J |rxF| = F.ft = |Me(F)|. (4.3)
г F векторнинг йуналиши кучнинг нуктага
нисбатан моменти вектори .Мо (F) билан уст-
ма-\ст тушади; г X F ва Af0(F) векторлар-
нинг гшцдорлари тенг, йуналиши устма-уст
тушгани учун улар узаро тенг булади:
Af0(F) = rXF.
28- раем.
(4.4)
Шундай ^илиб, кучнинг нуктага нисбатан моменти сектор
катталик булиб, момент марказига нисбатан куч куйилган нук-
та радиус- еекторининг куч векторига еекторли купайтмасига
тенг.
3- масала. Томен лари ОА = a, AD — b, АВ = с булган параллеле-
пипеднинг А учига Ft ва F2 кучлар, В учига эса F3 куч цуйилган
(28-раем). Бу кучларнннг О нуцтага нисбатан моментлари аниклап-
син.
Ечиш. О ну^та Ft кучиинг таъсир чизигида ётади, шу сабабли
h = 0 ва Mo (FJ = 0 булади.
F2 кучнинг елкаси Л2 -= ОА = а булгани учун
14(0/ -0-0“О-с-
Afc(F2) вектор О АВС текисликка перпендикуляр равишда параллеле-
пипеднинг L0 томони буйлаб йуналгаи булади.
F3 кучнинг елкаси bs = fl2 + с2 булгани учун
&+<?.
Afn (F3) вектор штрихланган OBEL текисликка перпендикуляр ра-
вишда шундай йуиалгаики, унинг учидан Караганда F3 куч паралле-
лепипедни соат милининг айланишига тескари йуналишда айлантириш-
га ИНП1ЛИШИ керак.
12-§. Кучиинг укка нисбатан моменти
F кучнинг z лцца нисбатан моментини аниклаймиз. Бунииг учун
2 у^ца перпендикуляр П текисликни утказиб, бу текисликка F куч-
«и проекциялаймиз (29-раем). Бу проекцияни Fn билан белгилай-
^1ИЗ- Еп Дан z у^нииг П текислик билан кесишган О ну^тасига нис-
25
батан олинган момента F кучнннг z укка нисбатан моментпни ифо-
далайди. F кучнинг z ук^а нисбатан момента MZ(F) билан белгила-
нади. Кучнинг бирор укнр. нисбатан момента деб, унинг шу у^-
^а перпендикуляр текисликдаги проекциясининг уц билан текислик
кесишган нуцтасига нисбатан олинган моментига айтилади. Таъриф-
га кура
M2(F) = M„(Fn),
ёки _
Mz(F)=±;Fn-h. (4.5>
Кучнинг у\ка нисбатан момента скаляр микдор б^либ, у^нинг
мусбат йуналишидан Караганда кучнинг уц^а перпендикуляр текис-
ликдаги проекцияси жисмни соат милининг айланишига тескари йу-
налишда айлантаришга интилса, одатда момент мусбат ишора билан
(29-раем, а), акс ^олда манфий ишора билан (29-раем, б) олинади.
Агар кучнинг таъсир чнзиги уцни кесиб утеа ёки у^ца параллел
булса, h— 0 ёки Fn = 0 булади (30-раем). Бинобарин, (4.5) га асо-
сан, -VP искала ^олда ^ам кучнинг ук^а нисбатан момента нолга
тенг булади.
4-масала. Томонлари О А — a, AD — Ъ, АВ = с булган паралле-
лепипеднинг учларига Flf F2, Fs, F^, F5 кучлар куйилгап (31-раем).
Бу кучларнинг Oz уга^а нисбатан моментлари аниклансин.
Ечиш. Fx ва F5 кучларнинг таъсир чизицлари Oz WS3 параллел,
F2 кучнинг таъсир чизиги эса Oz укни кесиб утади. Шунинг учун
Flt Fz, F3 кучларнинг Оз укка нисбатан моментлари нолга тенг бу-
лади. F' кучнинг Oz укда нисбатан моментини .^исоблаш учун бу
кучни шу укка перпендикуляр булган СВЕК текисликка проекцияси
F\ нинг микдорини аницлаймиз: | F' | =F4cosa= — b- —.
У b2 — С2
26
F't кучнлнг Oz уц СВЕК текислик билан кесишган С нуцтасига нис-
батан моментини ани^лаймиз. F\ куч Oz уцнинг мусбат йуналишидан
Караганда параллелепипедни соат милшшнг айланиш йуналишида ай-
лантиришга интилгани туфайли кучнинг Oz ук^а нисбатан мо-
мента манфий кийматга зга булади:
Ч(^)= Ч. (Q = -
] Ьг-[-с-
Fa куч Oz укца перпендикуляр СВЕК текислнкда ётади ^амда
бу куч укнинг мусбат йуналишидан Караганда параллелепипеда соат
милпнинг айланишига тескари йуналишда айлантиришга интилади.
Шу сабабли F3 кучнинг момента мусбат булади:
4(0) = b-F.
13-§. Кучнинг у^ца иисбатан моменти билан шу укдаги
нуктага нисбатан моменти орасидаги муносабат
Берилган F кучнинг бирор Oz ?ц^а ва шу у^да ётувчи О нукта-
га нисбатан моментиии аниклаймиз (32-раем), (4.2) га асосан
14(F) 1=25^.
|Ч<О!=25лолв.
ОаЬ ва О АВ учбурчакларнинг текисликларн орасидаги бурчак бу те-
киелнкларга утказилган перпендикуляр чизиклар Oz ва ОК орасида-
ги у бурчакка тенг булади. ±ОАВ нинг П текислнкда ги проекцияси
£±ОаЬ дир. Шу сабабли
(О = 2 5д0Л в cos y = Mo (Fj cos y
ёки
M,(F) = [M0(f)L. <4-7)
Демак, кучнинг бирор ук-
ка нисбатан момента унинг
шу ууда олинган ихтиёрий
нуктага нисбатан момента
еекторининг мазкур укдаги
проекциясига тенг булади.
О нудтадан х, у, г Декарт
координата уцларини утказиб,
(4.6) га_кура бу укларга нис-
батан F кучнинг моментика
^исоблаймиз:
MI(/) = Afc(f)cosa;
/И, (F) = Л40 (F) cos Р;
M*(F) = М„(Г)<:о$у.
(4.8)
Бу формулаларда а, р, у лар M0(F) векторнинг ^координата уцлари
би лай ташкил т^илган бурчакларини ифодалайди.
(4.8) тенгликларини квадратга ошириб, цушсак:
л-10(Р) = V [ЛМ012 + М, W + [ЛМОГ- (4.9>
F кучнинг координата укларига нисбатан моментлари маълум
булса, бу формула ёрдамида координата у^лари боши О га нисбатан
куч моментининг сон цийматини аниклаш мумкин. (4.8) дан кучнинг
нудтага нисбатан моментининг йуналтирувчи косинуслари учун куйи-
даги ифодаларни оламиз:
cosp =
лмп’
cos у =
МАО
М0(Й
(4.10>
Булардан фойдаланиб а, р, у бурчакларни толиш мумкин.
14-§. Кучнинг координата укларига нисбатан моиентларинн
аналитик усулда аниклаш
Координата укларининг бирлик йуналтирувчи векторларини х, Д
k билан белгиласак, F (X, Y, Z) кучни ва бу куч цуйилгаи А (х, у,,
z) нуцтанинг раднус-векториии куйидагича ёзиш мумкин (33-раем):
28
33- раем.
F = X-i + Y-j + Z-k, ]
г = x-i+y-j +z-k. |
(4.4) формулага кура Л40(Г)ни куйвдагича ёзиш
(4.И)
мумкин:
(4.12)
M,(F) = rxF =
i j k
X у z
XYZ
Л10 (F) векторнинг координата у^ларидаги ташкил этуечилари ортали
ифодаси Мо (F) = Мх (F) Г+ Му, (F) J + (F) k ни _ назарда тутиб,
(4 Л 2) детерминантни бириичи йулига нисбатан ёйиб ёзамиз:
MX{F) 1 + Му (F)l + <(Fp = (y-Z - z-Yg~ (z-X -
~x^)j -j- (x-Y — y-X) k.
Бу ифодадаги i, j, k лар олдидаги мос коэффициентларни тенг-
лаштириб ^уйидаги муносабатларни оламиз:
Mx(F) = yZ — zY, 1
М, (F) = zX — xZ, (4.13)
,М2(7)=лУ-г/Х. J
Агар кучнинг координата у^ларидаги проекциялари ва куч куйил-
ган ну^танинг координаталари маълум булса, кучнинг координата уд-
ларига нисбатан моментларини анидлашда (4.13) дан фойдаланиш цу-
лай булади.
5- масала. Огирлиги Р, томонлари ОА = а, ОС = b булган гори-
зонта.! текисликда ётувчи бир жинсли ОАВС плитанинг В ну^тасига
xz текнеликка параллел ва ху текислик билан а бурчак ташкил ки-
лувчи F куч таъсир этади (34-раем). Р ва F кучларнинг координата
уктарига нисбатан моментлари аниклансин.
Ечиш. Р куч D (хъ zx) нуктага, F куч В (х2, у2, z^ нуд-
тага ^уйилган. Расмдан курнниб турибдики,
29
b a „
x. = — у - = — z, = 0,
1 2 » 1 2 * 1
X2 = k У2 = °! *3 = 0.
Кучларнннг координата уцдаридаги проекцияларини ани^лакмиз:
Ха = Р¥ = 0, У1 = Ру=0, г1 = рг = —р,
X2=Fx= — F cos а, У2 = Fy = 0, Z2 — Fz‘ = Fsin ex.
(4.13) формулалар ёрдамида P ва F кучларнннг координата у^-
ларига нисбатан момептларини ^иеоблапмпз;
,1Л(Р) = г/1А^г1у1 = —°-р,
.И, (Р) = гл — xtZt= ~ Р,
.Иг(О=*Л-</Л = 0.
Худди шувингдек,
Л/х (F) — y.2Z2 — г2У2 = aF sin ex,
Л4у (F) = z>X2 — x2Z2 = —bF sin ex,
A4Z(F) — х2У2 — y2X2 = aF cos a.
V боб
ЖУФТ КУЧЛАР НАЗАРИЯСИ
15-§. Жуфт куч ва жуфт кучнинг моменти
Мицдорлари тенг, таъсир чизиг^лари бир TjFpn чизикда етмаиди-
ган, параллел ва карама-царши йуналган икки куч жуфт куч дейи-
лади. _____
35-раемда курсатилган |Ft| — |F21, F1 ftF2 булган_иккита: Fx ва
F2 кучлар жуфт кучни ташкил этади. Жуфт куч (Р1Э F2) куриниши-
да белгиланади.
Жуфт кучни ташкил этувчи кучларнннг таъсир чизи^лари ораси-
даги эпг циска масофа жуфт куч-
нинг елкаси дейилади ва d билан
белгиланади. Жуфт куч ётган те-
кисляк жуфт куч текислиги дейи-
лади.
Жуфт кучни битта куч билан
алмаштириш мумкин эмас, яъни
жуфт куч тенг таъсир этуечи-
га зга булмайди. ^а^и^атан хам,
агар (F1} Fg) жуфт куч бирор Q тенг
таъсир этувчи га эга булгаида эди,
30
36- раем.
(Fb F2) ва Q' = — Q кучлар системаси мувозанатда булиши керак
эди, лекин бу мумкин эмас, чункн Fj + F2 — О, Q ¥= 0 булгани
учун /д + Б2 + Q ¥= О. Шувдай г^илиб, жуфт кучни битта куч билан
алмаштириш ёки мувозанатлаш мумкин эмас. Шу сабабли фацат
жуфт куч таъсирида булгаи жнем нлтариланма ^аракат цила олмай-
ди. Жуфт куч жисмни жуфт куч текислигида айланма ^аракатга
келтириши мумкин. Айлантириш эффекта: 1) жуфт кучни ташкил
этувчи кучларнннг модули |FX| = |F2] ва жуфт куч елкасининг узун-
лиги d га; 2) жуфт куч текислигининг эгаллаган ^олатига; 3) жуфт
куч таъсиридаги жиемнинг айланиш йуналишига богли^ булади.
Мазкур эффектни ающлаш учун жуфт куч моменти тушунчаси кири-
тилади.
Дастлаб бир текисликда ётувчи кучларнннг хусусиятлари билан
танишамиз. Жуфт кучнинг моменти деб, мос ишора билан олин-
ган жуфт куч ташкил этувчи кучлардан бирининг миедорини жуфт
куч елкаеннинг узунлигига купайтмасига тенг катталикка айтилади.
Жуфт куч моменти М билан белгиланади:
,M = ±F1rf = ±F2rf. (5.1)
Жуфт куч жисмии соат милининг айланишига тескари томон айлан-
тиришга интилса, унинг моменти мусбат (36- раем, а); соат милининг
айланиши буйича айлантиришга интилса, манфий ишора билан олинд-
ди (36-раем, б),
МКГСС системасида жуфт кучнинг моменти килограмм-куч-метр
(кгк-м), СИ системасида Ньютон • метр (Н м) билан улчаиади.
16- §. Эквивалент жуфт кучлар ^ацидагн теоремалар
Бир жуфт кучнинг жисмга курсатадиган таъсирини бошца жуфт
куч бера олса, бундай жуфт кучлар эквивалент жуфт кучлар де-
йилади.
31
37- раем.
Д__с
Л
о
1-теорема. Лаар жуфт кучни шу муфт куч текислигида ётув-
ни ва Моменти берилган жуфт кучнинг моментига тенг булган
Жуфт куч билан алмаштирилса, жуфт кучнинг жиемга таъсири
узгармайди.
Исбот. Жиемга елкаси dx ва моменти Afj га тенг(Гь Fz) жуфт
куч таъсир этаётган (37-раем) ва унинг ташкил этувчиларн Л ва В
нуцталарга куйилган булсин. А ва В нукталардан узаро параллел
(Л£>) ва (ВС) чизиклар утказиб, бу чизиклар орасидаги энг цисца
масофани dz билан белгилаймиз. Fj кучни В А ва AD буйлаб йунал-
ган F3, F4 ташкил этувчиларга, F2 кучни СВ ва АВ буйлаб йуналган
F5 ва Fe ташкил этувчиларга ажратамиз:
Натижада (Flt F3) co^F^ F4, _F5, F6) зосил булади. Ясалишига кура
F3 = —Fe, F4 = —F5. F3 ва Fe бир тугри чизик буйлаб дарама-кар-
ши томонга нуналгани учун (F3, Fe) со 0. F4_pa F5 кучлар елкасн d^
га тенг булган жуфт кучни ташкил этади. F4 ва F5 кучларни таъ-
сир чпзнцлари буйлаб D ва С нуцталарга келтирамиз. Натижада
(Fj, F2) жуфт куч урнига (F4, F5) жуфт кучга эга буламиз, яъни
(Fj, F2) со (F4, Fg). Бу жуфт кучлар жиемни бир томонга айланти-
ришга интилади. (Flt F5) жуфт кучнииг моментини билан,
(F4, F5) жуфт кучнинг моментини М2 билан белгиласак,
^ = ^ = 2X^,1
М2 = ГА = 2Х^вл.Л
АВМ ва ABN учбурчаклар узаро конгруэнтдир. Чуики (АВ) томон
умумий, (NM) |1 (АВ) булгани учун бу учбурчаклар бир хил баланд-
ликка эга. Бинобарин, Alj = М2. Шундай цилиб, 1- теорема исбот-
лавдн.
32
2-теорема. Жуфт кучни узининг таъсир текислигига параллел
булган текисликка кучирилса, унинг жиемга таъсири узгармайди.
Исбот. Елкаси АВ га тенг, П текислнкда ётувчи (Flt F2) жуфт
куч берилган (38-раем). П текисликка параллел Пу текислнкда
AiBj#AB кесмани оламиз. At ва ну^таларга (F3, F4) сю 0 ва
(F^, F^ сю 0 системаларни куямиз ва Fr = F3 = F4 = F5 = Fe деб
оламиз. Ноллик системани ташкил цилувчи кучларнинг таъсир чизиц_
лари Fj ва F2 кучларнинг таъсир чизикларига параллел булсин. У
^олда
(Fj, ЛХсю (Л, F2, F3, F4, F5, ~FJ (5.3)
бу’лада. AB ва ларга параллелограмм куриб, АВ} ва ВАг диа-
гоналларни утсазамиз. Fj ва Ffl параллел кучларни цушиб О нуцта-
га цуйилган /?х кучна эга буламиз:
7?1 = F1-|-F5 = 2F1.
Худди шунингдек, F2 ва F4 параллел кучларни гушиб
F2 = F2 4- F4 = 2F±
кучни оламиз. ва R2 кучла рнинг_ми^дорлари тенг, йуналиши ца-
рама-^арши булгани учун (Flt F2, F5, F4) co (7?r, co 0. Биноба-
рин,
(Fi, F2, F8, F4i F6, F6) so (Fg, F6). (5.4)
(5.3) ва (5.4) мунссабатларни солиштирсак, (Fu F2) сю (F3, F€)
.\осил булади. Шундай кнлиб 2- тео-
рема исботланди.
Ю^орида исботланган теорема-
лардан цуйидаги натижалар келиб
Чицади:
1) жуфт куч моментини $згар-
тирмай, жуфт кучни уз таъсир
текислигида ихтиёрий цолатга
келтириш мумкин;
2) жуфт куч моментини $з-
гартирмай, унинг ташкил эту'в-
чилари ва елкаси узгартирилса,
жуфт кучнинг жиемга таъсири
узгармайди;
3) бир текислнкда ёки парал-
л^л текисликларда ётувчи, мо-
ментлари тенг ва айланши йуна-
^’лшлари бир хил булган икки
жУфт куч узаро эквивалент бу-
'1ади.
38- раем.
3—2344
33
Ci 17-§. Жуфт куч моментига оид
------------теорема
а I 1 Теорема. Жуфт куч момента
7 \ Уни ташкил этувчи кучларнинг шу
\ жуфт куч ётган текисликдаги их-
Л ] тиёрий нуктага нисбатан момент-
у ларининг алгебраик йигиндисига
тенг.
Исбот. (Fb F2) жуфт куч бе-
рилган (39-раем). Мазкур жуфт куч
39- раем. текислигидаги бирор О нуцтанн
олиб» ундан жуфт куч тузувчи куч-
ларнинг таъсир чизицларига тик |О&| чизие^ни утказамиз. ab = d ва
Fx = F2 эканлигини эътиборга олиб, Fx ва F2 кучларнинг О курта-
га нисбатан моментлари йигиндисини ани^лаймиз:
Oa-Fi + Ofr.Fs=— Oa-Fx +(d + Cta)F2=
=— Oa-Fx + d-F2 + 0aF2 = F2-d = M.
шундай г^илиб,
^ад+W (5.5)
(5.5) тенгликдан курамизки, агар О нудта урнида А ёки В нуцтани
олсак,
M=MA(F2)=MB(Fd 5.6)
булади, яъни жуфт кучнинг момента уни ташкил этувчи кучлардан
бирининг иккинчиси цуйилган нуктага нисбатан моментига тенг
булади:
18-§. Жуфт куч моментининг векторлиги
Жуфт кучнинг жиемга таъсири; 1) жуфт куч моментининг мо-
дули; 2) жуфт кучнинг таъсир текислигн; 3) шу текисликдаги айла-
ниш йуналиши билан ифодаланади.
Фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган жуфт к^ларнинг жиемга
таъсирини анпцлаш учун мазкур учта омилнииг ^ар бирини билиш
зарур. Бунинг учуй жуфт куч момента вектор тарзида ифодаланади.
Жуфт куч моментининг еектори М билан белгиланади. Жуфт куч
момента шундай векторки, унинг модули жуфт кучни ташкил этув-
чи кучлардан бирининг жуфт куч елкаси узунлигнга купайтмасига
тенг ,\амда жуфт кучнинг таъсир текислигига перпендикуляр йунал-
ган булиб, унинг учндан ^аралганда, жуфт куч жиемни соат мили-
нинг айланишига тескари йуналишда айлантиришга интилади (40- раем).
Жуфт кучни узининг таъсир текислигида ёки унга параллел те-
кисликда ихтиёрий ^олатга кучириш мумкин булганидан, жуфт куч
момента векторини жиемнинг ихтиёрий ну^тасига ^йиш мумкин.
34
Демак, 'жуфт куч момента векто-
ра эркин вектор булади.
Жуфт куч момента вектори маъ-
л\гМ булса, жуфт кучнинг жиемга
таъсирини аниклаш мумкин. З^аци-
катан зам М берилган булса, унга
перпендикуляр текисликни утказиб,
жуфт кучнинг таъсир текислигианик-
ланади ва М нинг йуналишига 3а-
раб жуфт кучнинг айланиш йуна-
лиши белгиланади.
40- ва 27- расмларни солнштириб М, МБ (Fx) векторларнинг бир
хил йуналишга зга зканлигинн курамиз. Демак,
Я=ЖВ(Т]) = ЖА(72). (5.7)
19-§. Бир текисликда ва параллел теквеликларда
ётувчи жуфт кучларни зушиш
Теорема. Бир текисликда ётувчи 'Жуфт кучлар системаси
биргина жуфт кучга эквивалент булиб, унинг момента берилган
жуфт кучлар моментларининг алгебраик йигиндисига тенг.
Исбот. Бирор П текисликда моментлари Mz, Ms га тенг бул-
ган (Fn F2), (F3, F4), (Fb, F6) жуфт кучлар системасини оламиз (41-
расм, а). Эквивалент жуфт кучлар за^идаги 1-теоремага асосан
жуфт кучларни бирор |ЛВ|=й елкага келтириб, мазкур жуфт куч-
лар системасига эквивалент булган, ташкил этувчилари Л ва В
ну^таларга зуйилган (Fb Fg), (F3, F4), (F8, F6) жуфт кучлар система-
сини оламиз. Бу жуфт кучларнинг моментлари орасида зуйидаги
муносабат бажарилиши керак:
Frd=F;-db F3’d=F'^d2, F^d^F'-d^
41- раем.
35
бундан
Fz=F'^- (5-8)
Л ва В нуцталардаги кучларни ало^ида-ало^ида цушиб А нуктада
R кучни, В нуктада R' кучни оламиз (41-раем, б), бу кучлар уз-
аро параллел, лекин царама-^арши то.монга йуналган булиб, микдор-
лари тенг:
/?=tf=f1 + F3-fa. (5.9)
Демак, берилган жуфт кучлар системаси биргина (/?, R') жуфт
кучга келтирилди, шунинг учун бу жуфт кучни тенг таъсир этув-
чи жуфт куч^батят мумкин.
(5.8) даги Flt F3t F6 ларнинг цийматларини (5.9) га цуйсак,
R‘d= F\ dj + F3 d2 — d^.
тенглик зоспл булади. Бу тенгликнинг чал томони тенг таъсир
этувчи жуфт кучнинг моментларини ифодалайди. Унг томони эса
берилган жуфт кучлар моментларининг алгебраик йигиндисидан ибо-
рат, яъни
+ Ms + М3. (5.10)
Учта жуфт куч учун теорема исбот килинди. Худди шунингдек, бир
текисликда ётувчи, моментлари Alj, М2,. .., Мп га тенг п та жуфт
кучлар системасини ц.ушиш натижасида битта тенг таъсир этувчи
жуфт кучни олиш мумкин; бу жуфт кучнинг моменти куйидагича
ани^ланади:
Л1=л11 + м2+...+лс= s ЛД О-11)
Л=1
Агар жуфт кучлар системаси параллел текисликларда ётса, экви-
валент жуфт кучлар за^идаги 2-теоремага асосан, уларни бир текис-
ликда ётувчи жуфт кучлар системаси билан алмаштириш мумкин. Шу
сабабли исботланган теорема параллел текисликларда ётувчи жуфт,
кучлар системаси учун ^ам уринли булади.
20-§. Фазода ихтиёрий вазиятда жоллашган жуфт
кучларни цушиш
Дастлаб, фазодаги иккита кесишувчи текис.пикларда жойлашган
жуфт кучларни >фшишни к^фиб чи^амиз.
Теорема. Иккита кесишувчи текисликларда жуфт кучлар ёлгиз
Жуфт кучга эквивалент булиб, унинг моменти берилган жуфт
кучлар моментларининг геометрик йигиндисига тенг.
Исбот. Кесишувчи Пг ва 772 текисликларда жойлашган, момент^
лари мос равишда Мг ва Ма булган (F\t F'^ ва (F'y F'4) жуфт куч
лар берилган булсин (42-раем). I
36
Z7i ва IL тскисликларнинг кесишшп чизигида бирор [ABl=d кес-
манн олиб, берилган жуфт кучларни уз текислигида умумий елка d
га келтирамиз. Эквивалент жуфт кучлар >^акидаги теоремалардан
олинган натижалэрга кура (F'v F2) жуфт кучни (Fh F,) билан, (F',
F‘4) жуфт кучни эса (F3, FJ эквивалент жуфт кучлар билан алмаш-
тирамиз.
Бунда
Al^Fjd, M2=F2d (5.12)
булади. В ва А нукталарга фйилган Fls F.a ва F2, F3 кучларни j$y-
шампз:
+ (5.13)
R, = F2 + F„ I
Натижада (F3, F2), (F3, F4) жуфт кучлар ёлгиз (/?x, R2) жуфт куч-
га эквивалент булади. (5.7) ва (4.4) га кура бу жуфт кучларнннг
момента куйпдагича аникланади:
Т1 = Л1Д (KJ = АВХЁ! = АВ х (Л -J-
= АВХ1\ -ь АВ X Fa = Мл (F^ 4- Л1А (Л) = Д + Я-
Шундай циляб,
лТ = Я+Я- (5-14)
Л1Х ва Л12 векторларга ясалган параллелограмм Fx, F4 ва F2, Fs куч-
ларга ясалган параллелограммларга ухшашдпр, чунки мос равишда
томонлари перпендикуляр, бурчакларининг капалигн тенг ва (5.12)
га^асосан мос томонлари мутаносибдир. Шунинг учун М вектор
жуфт куч текислнгига перпендикуляр йуналади ва модули
Al = R^d булади. Теорема исботладди.
37
I а)
n=J '
Фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган (Fp Fj), (Г2, F'), ...»
(F FJ жуфт кучлар берилган булсин. Бу жуфт кучларнинг мо-
менгларини Mit Мг ..., Мп (аницлик учун расмда п — 3 булган
Золни курсатамиз) билан белгилаймиз (43-раем, а). Юцоридагидек,
жуфт кучларни кетма-кет цуинб, битта натижаловчи жуфт кучни
оламиз. Бу жуфт кучнинг моменти берилган жуфт кучлар момент-
ларинадг геометрик йигивдиеига тенг (43-раем, б):
M = Mi ++ Мп
ёки
М = £Л1 (5.15)
Л=1 к
Шувдай цилиб, фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган п та
жуфт кучларни куушиш натижасида %осил булган тенг таъсир
этувчи жуфт кучнинг моменти берилган жуфт кучлар момент-
ларининг геометрик йиеиндисига тенг.
21-§. Жуфт кучлар системасинииг мувозанат
Kjarni^ жиемга таъсир этувчи, фазода ихтиёрий вазиятда жойлаш-
ган жуфт кучлар системаси момент вектори берилган жуфт кучлар
моментларянинг геометрии йигиндисига теиг булган битта жуфт
кучга эквивалент булади. Шу сабабли жиемга таъсир этувчи
жуфт кучлар системаси мувозанатда булиши учун уларга экви-
валент булган жуфт куч моменти вектори нота тенг булиши
зарур ва етарлидир.
38
Шундай 1\илиб, жуфт_кучлар системаси мувозанати шарти-
нинг векторли ифодаси М = 0, (5.15) га асосан цуйидагича ёзилади:
п ___
= (5-16)
яъни жуфт кучлар момента векторларига цурнлган купбурчак ёниц
булиши керак. Бу цолда жуфт кучлар системаси мувозанатининг
аналитик ифодаси цуйндагича булади:
S м„ = о,
4=1 *“
i,M4z=°-
(5-17)
Бинобарин, Жиемга таъсир этувчи жуфт кучлар системаси
мувозанатда булиши учун жуфт кучлар моментлари векторлари-
нинг %ар бир координата укларидаги проекцияларининг йивиндиси
нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
Бир текислнкда (ёки параллел текисликларда) жойлашган жуфт
кучлар системасининг мувозанат шарти (5.11) га асосан цуйидагича
булади:
Дл1А = О. (5,18)
Демак, цаттиц 'жиемга таъсир этувчи бир текисликда (ёки
параллел текисликларда) жойлашган жуфт кучлар системаси
мувозанатда булиши учун Жуфт куч моментларининг алгебраик
йириндиси нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
6- масала. Узунлиги АВ = 8 м булган балканинг А ну^таси
шарнир воситасида бириктирилган, В ну^таси эса эркин таянчда
ётади. Балкага моменти Mj = 24H-m. булган жуфт куч таъсир эта-
ди (44-раем, а). Балканинг огирлигини эътиборга олмасдан, таянч
реакция кучлари ани^лансин.
Ечиш. Богланишдагн АВ балкани эркнн жнем шаклига келтириш
учун А ва В ну^талардаги таянчларнинг балкага курсатадиган таъси-
рини богланишлар ^ацидаги аксиомага асосан реакция кучлари билан
алмаштирамиз. Берилган балкага цуйилган жуфт куч балкани соат
мили айланадиган томонга тескари йуналишда айлантиришга интнла-
дн. Балка мувозанатда г^рлиши учун таяич кучлари соат мили аила-
наднган йуналишдаги (7?л, /?в) жуфт кучни ^осил цилиши керак
(44-раем, б). (5.18) га кура жуфт кучларнинг мувозанат тенгламаси-
ни тузамиз:
39
44- раем.
2И х + М2 = 0.
Бунда М2 = — AB’RB — — АВ*7?4, (Л\ 7?в) жуфт кучнинг момен-
тики ифодалайди. Mt ва М2 нинг кийматини (1) га ^уйиб, номаълум-
ларни аницлаш мумкин:
/?А = /?в =3 Н,
VI боб
Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системаси
Таъсир чизи^лари фазода ихтиёрий равишда жойлашган кучлар-
дан ташкил тонган система фазодаги кучлар системаси дейилади.
Фазодаги ; кучлар системаси таъсиридаги жисмнинг каддай ^олатда
(мувозанатда ёки ^аракатда) булишини аниклаш учун жиемга т^уйил-
ган кучлар содда з^олга келтирилади.
22-§. Кучнн узига параллел равишда кучиришга оид лемма
Жисмнинг бирор нуцтасига цуйилган кучни унииг таъсир чизиги
буйлаб исталган нуктага к^чиргандз кучнинг жиемга таъсири узгар-
маслиги бизга маълум. Аммо тажрибадан маълумки, куч узига парал-
лел равишда таъсир чизигида ётмайдиган бирор нуктага кучирилса,
кучнинг жиемга таъсири узгаради. Кучни узига параллел равишда
жиемнинг цайси нуктасига ке.тгнрилса, шу ну^та келтириш маркази
дейилади.
; Кучнинг жиемга таъсирини узгартирмай уни узига параллел ра-
вишда бир нуцтадан иккинчи нуктага келтириш масаласи 1804 йил-
да француз олими Луи Пуансо (1777— 1859) исботлаган i^-йэдаги
лемма билан ифодаланади.
Лемма. Жиемнинг бирор нуктасига чуйилган куч жиемда
олинган ихтиёрий келтириш марказига Цуйилган худди шундай
кучга еа момента берилган кучнинг келтириш марказига нисба-
тан моментига тенг жуфт кучга эквивалент булади.
Исбот. Жиемнинг А нуктасига т^уйилган F кучни узига параллел
равишда жиемнинг ихтиёрий О нуктасига келтириш керак (45- раем, а).
40
45- раем.
Бунинг учун О нуктага таъсир чизиги F га параллел (Ff, F") из О
системасини куямиз (45-раем, б). Бу ноллик системанинг ташкил
этувчилари = 1^1 булсин. Натижада F из (F, F't F").
У'з навбатида (Г, F' F") кучлар системаси О нуктага цуйилган
F' «= F кучга ва (F, F") жуфт кучга эквивалент булади. Бу жуфт
куч куилилган жуфт куч дейилади. (Г, F") жуфт кучнинг момента
М, F кучнинг О нуктага нисбатан момента 7И0 (F) га тенглиги
жуфт кучлар назариясидан маълум: Л1 = A40 (F). Шу билан лемма
исботланди.
23- §. Фазода ихтиёрий жойлашган кучларни бир
нуктага келтириш
Энди жиемнинг Alt Л2, ..., Ап нуцталарига фазода ихтнерии
йуналган Flt F2,. .,. Fn кучлар системаси ^уйилган ^олда бу
кучларни О марказга келтирамиз (46-раем, а). Х'ар бир куч ва О
нуцта оркали П1г П2 . . ., Пп текисликлар утказамиз. Пуансо лем-
маенга кура, хар бир куч уз текислигида узига тенг куч ва цушил-
ган жуфт куч билан келтирилади. Натижада келтириш маркази О
нуктага цуйилгад F, = Fj, F2 = F2
маси ва моментлари
Л12 = A1o(F2),
. . . , Fn = F’n кучлар систе-
(6.1)
булган фшилган жуфт кучлар системаси (Fp F\'), (F2, Р2) , . . ,
(Fn, F") (аниклик учун раемда п = 3 булган ^олни куриб чицамиз)
хосил булади (46-раем, б). Мр М2, . . . , Мп векторлар мос равишда
77. /7, , . . . ,ПП текисликларга перпендикуляр равишда йуналади
41
4
46- раем.
^амда мусбат йуналишда караганимизда, цушилган жуфт кучлар
жисмни соат милининг айланишига тескари йуналишда айлантиришга?
ннгилади. • _ _ __
О марказга цуйилган FJ, Fz, . . . , F'n кучларни геометрик КУ*
шиб битта /? кучни оламиз (46- раем, в):
МЛ
ёки
куч фазодаги кучлар системасининг бош вектори дейилади«
Бинобарин, кучлар системасининг бош вектори мазкур кучларничл
геометрик йисиндисига тенг булади.
42
(Fp Fj), (F2. F2),. . ., (Fn, F’) фазовий жуфт кучларни цушиб
моменти Мо га тенг битта жуфт кучни оламиз. Бу жуфт кучнинг
моменти (5Л5) га асосан мазкур жуфт кучлар моментлари —
М,,• . •» Мп ларнинг геометрик йигиндисига тенг (46- раем, г):
ёки (6.1) га кура
^=2М0(Л)- (63)
Мо ни (Fp F2, . . ., Fn) кучлар системасининг бош моменти
дейилади. Демак, фазодаги кучлар системасининг бирор марказга
нисбатан бош моменти ташкил этувчи кучларнинг шу марказга
нисбатан моментларининг геометрик йириндисига тенг.
Шундай ^илнб, цуйидаги теорема исботланди: фазода ихтиёрий
&сойлашган кучлар системасини бирор О марказга келтириш наши-
жасида бу кучлар системаси келтириш марказига ц$йилган бош
вектор 7? га тенг битта куч ва моменти Мо га тенг булган
битта жуфт куч билан алмаштирилади (46-раем, д').
Бундай усул билан кучлар системасини бир марказга келтириш
кучлар системасини содда цолга келтириш дейилади.
/? ва Мо векторларни аналитик усулда, яъии уларнинг координата
уцларидаги проекцияларига кура аницлаш мумкин. Худди 7-§ даги
каби лар учун ушбу муносабатлар уринли булади:
^=25-
(6.4)
Шунингдек, бош векторнинг модули ва йуналиши гуйцдагича
аникланади:
R
(6.5)
cos(R, х) =-^-
Ry
cos(R,y)=-jr’
i\
______n
C0S(R,2)
(6.6)
Бош момент <И0 нинг координата у^чаридаги проекцияларини Мх,
JY1yt Л1г билан белгиласак, векторлар йиншдисининг дааги проек’
43
цияси хацидаги теоремага асосан ЛГv = У [Al0(Ffe)].v еки (4.7) га
7X1
п _______
кура Мх — У; Mx(I'k) булади. Шупга ухшаш формулалар Л4у ва
Л=1
Mz катталиклар учун з$ам уринли булади. Демак,
-Wv = i4f.v(Ft).
*=1
Му = V 'И, (РЛ (6.7)
fe=l
Mx = ^Mz(Fk).
л=1
Бу моментнинг модули ва йуналиши учун куйидагига эга була-
миз:
=У! [£лмЫ2+| L л=1 Ji i fe=l J [i'W] 2 (6.8)
cos(AlO1.v)=^-,
cos (Л10, у) = -О-, f (6.9)
cos(Alo,"s) = Ol. j
Юкорида исботланган теоремадан ^уйидаги хулоса келиб чпкади:
бош векторлари ва бош моментлари устма-уст тушадиган икки-
та кучлар системаси стапшк эквивалент булади. Бинобарин, ^ат-
тик жиемга таъсир этувчи ихтиерий кучлар системаси унинг бош
вектори ва бош моменти билан апикланади.
24-§. Фазодагн кучлар системасининг инвариантлари
Берилган кучлар системасипи унта эквивалент булган система
билан алмаштирганда узгармай коладиган вектор ёки скаляр катта-
лик кучлар системасининг инварианта дейилади.
(6.2) тенгликдан к^рамизки, бош вектор /? нинг ми^дори ва йуна-
лиши келтириш марказига боглик булмайди, чунки келтириш марка-
зи узгарганида Flf F2, ,. ., Fn кучлар узгармай услади, натижада
бош вектор узгармайди. Шу туфайли 7? бош вектор фазодаги кучлар
системасининг биринчи инварианта дейилади.
О келтириш маркази узгариши натижасида мазкур марказга нис-
батан куч куйилган нуктанинг радиус- вектори узгаради. Бино-
барин, (4.4) га кура Fk кучнинг О нуктага нисбатан моменти ^ам
44
узгарлди. Шунвнг учун бош _
момент келтириш марказита j-, g -Д /ю
ботлит; булади. Фазодагп (F„ Vy M0V«J
Fj, ... , F„) кучлар система-
сини О дан банка О’ нуктага ~ /
келтириб, бу марказга ннсба- ч>^Мс?(к/ Д. \ г,
тан тртсобланган бош момент- '
ни Мо. билан, бош векторнн
7?' билан белгпласак'(47-расм), 47. расм_
у тр.тда (6.3) га кура
^о- 2 ‘^О’ (F t) ~ X rh X
Js.1 4=1
Бу формулада гк вектор F к куч цуйилгая Ак нуктанннг О' нудтага
нисбатан радиус-векторини ифодалайда. 47- расмда r’k = rk -j- О'О
бултани учун
= 2 + О’О) X К = 2 X F4 + У 0'0 X Г, =
Л=1 ft=l k=I
= i^xFi+o7ox2i^-
__ п ____
Агар К = У Fk эканлнгини эътиборга олсак, олдингн ифодадан
k=\
келиб чи^ади.
(4.12) га асосан
мо> ^Мо^О'О X R
ОО X
(6.10)
бош векторнинг О' нуктага нисбатан моментини ифодалайда. Шу са-
бабли (6.10)*ни 1\уйидагича ёзиш мумкин:
яъни келтириш марказини узгартирши натижасида бош момент-
нинг^згариши аввалги О келтириш марказига ^рйилган кучлар
системаси бош векторининг янги О' келтириш марказига нисба-
тан^моментига тенг.
(6.10) ни R' — R биринчи инвариантга скаляр купайтирсак,
R' •Mot=R»Mo-FR^iprO X R).
бу тенгликда R • (О'О X /?) =? 0, чунки аралаш купайтмада иккита
бир хил купаитувчига эгамиз.
45
Шундай фьлиб,
/? • Мо, = /? • Мо = const
(6.11)
ёки
Мо, cos а' = 2И0 cos а = const,
(6.12)
бунда а' = Rf, Мо, a=R, Мо. (6.11) ва (6.12) тенгликлардан ку-
рамизки, бош векторнннг бош моментга скаляр купайтмаси ёки бош
моментнинг бош вектордаги проекцияси узгармасдан цолади. Бу
катталнк фазодаги кучлар системасининг иккинчи инварианта
дейилади.
25-§. Фазодаги кучлар системасини жуфт кучга ёки тенг
таъсир этувчига келтириш
Жиемга таъсир этувчи фазодаги F2, ... , Fn кучлар система-
сининг бош вектори /? = О, бош момента М 0 булса, бундай куч-
лар системаси момента бош моментга тенг булган битта тенг таъсир
этувчи_жуфт кучга келтирилади. Бу цолда (6.10) га кура бош мо-
мент Мо келтириш марказита бокпиц булмайди.
Фазодаги кучлар'системаси тенг таъсир этувчига келтирилиши
мумкин булган цуйидаги икки ^олни куриб чицайлик.
1. Агар фазодаги кучлар системасининг бирор келтириш маркази-
та нисбатан бош момента Мо = 0, бош вектори 0 булса, фа-
зодаги кучлар системасининг жиемга таъсирини битта R бош вектор
сабабли бош вектор R берилган
кучлар системасининг О нукдадаги
тенг таъсир этувчисини ифодалай-
ДИ.
2. Фазодаги кучлар системасн-
ни бирор О марказга келтириш на-
тижасида R бош вектор Мо бош
моментга перпендикуляр йуналган
булсин. Бош вектор орцали бош
моментга перпендикуляр П текис-
билан алмаштириш мумкин. Шу
Мо
ч)
-
б) е>
48- раем.
46
лик угказамиз (48-раем, а). Бу текисликда момента Мо бош
моментга тенг булган (7?', 7?") жуфт кучни оламнз, унинг ташкил
этувчилари |7?'| = |Я"| = |У?| булиб, R га параллел йуналган (48-
расм, б). Жуфт кучнииг айланиш йуналишинн Мо векторга мослаб
оламиз. Бу ^олда (/?', 7?") жуфт кучнинг елкасиии d билан белги-
ласак, бош момент Мо мнцдор жи^атдан цуйидагича анит^ланади:
Mo~R'd = Rd. (6.13)
R' кучни бош_вектор ^унилган О нуктага жойлаштирамиз. У эрлда
бош вектор R билан R" мицдор жи^атдан тенг, йуналиши царама-
царши булгани учун 1- аксиомага кура узаро мувозанатлашади, яъни
(7?,R") го 0 булади. Натижада А ну^тада биргина R' куч услади
(48- раем, в). Бу куч берилган кучлар системасига эквивалент була-
ди. R' куч берилган кучлар системасининг тенг таъсир этувчиси бу-
лади.
Демак, бирор О нуцтада бош вектор R бош момент Мо га пер-
пендикуляр йуналган булса, кучлар системаси келтириш маркази
О дан d = /^2 масофадаги А нуктага гфйилган ва бош вектор
R±ea параллел йуналган тенг таъсир этувчи R' кучга келтири-
яади.
26-§. Тенг таъсир этувчинНнг момента эодидаги
Варипьон теоремаси
Француз олими Пьер Вариньон (1654— 1722) фазодаги кучлар
системасининг тенг таъсир этувчисига оид т^уйидаги теоремани ис-
ботлаган.
Агар фазодаги кучлар системаси тенг таъсир этувчига^келти-
рилса, бу тенг таъсир этувчининг ихтиёрий нуктага нисбатан
моменти барча кучларнинг мазкур нуктага нисбатан моментла-
рининг геометрик йигиндисига тенг.
Исбот. Фазодаги Flt F2, . .. , Fn кучлар системаси таъсир чизи-
ги А ну^тадан утадиган R' тенг таъсир этувчига келтирилади, деб
фараз цилайлик. Тенг таъсир этувчининг ихтиёрий О нуктага ннсба-
тан моментики ани^лаймиз. Бунинг учун R' куч ва О нуцта ортали
П текислик угказиб (48-раем, в), R' кучни Пуансо леммасига асо-
еан О нуктага келтирамиз. Натижада О ну^тада R' = R кучга ва
моменти R' кучнинг О нуктага нисбатан моменти Мо = Мо (R') га
тенг булган (R', R") жуфт кучга эга буламиз (48- раем, б). (R',
R") жуфт кучнинг моменти бош моментга тенг булиши керак: М ==
Мо •
47
Бунда Л4 = /Ио(У?) эканлиги ва (6-3) эътиборга олинса,
/Мо(Я') = У (6.14)
k=i
келиб чи^ади. Шундай цилиб, теорема нсботланди.
(6.14) тенгликни О нуктадан утувчи бирор Oz у!ша проекциялай-
миз:
(«')} =Д!^Йо (?*)}
(4.7) тенглнкка асосан охирги ифода цуйидагича ёзилади:
Ч(Ю = i м,(Гр.
л=-1
Демак, тенг таъсир этувчининг бирор ук^а’' нисбатан момен-
ти барча кучларнинг мазкур у^ка нисбатан моментларининг ал-
гебрами йириндисига тенг.
Изо^. Агар Flt F2, • •. , Fn кучлар бир текисликда ётса, у зрл-
да (6.14) да мазкур кучлар моментларининг геометрик йигиндиси ур-
нига алгебраик йигиндиси олинади:
M0(R') = $ Mo(Fk).
Л=1
Бинобарин, текисяикдаги кучлар системаси тенг таъсир этувчиси-
нинг шу текисяикдаги бирор нуктага нисбатан моменти барча
кучларнинг мазкур нуктага нисбатан моментларининг алгебраик
йириндисига тенг.
27-§. Фазодаги кучлар системасини динамик винтга келтириш
/?
49- раем.
Берилган кучлар системасини их-
тиёрий О нуцтага келтириш натижаси-
да 7? бош вектор билан 2И0 бош мо-
мент бир чизш$ буйлаб йуналган (яъни
а — 0) булса, бундай ^ол динамик
винт дейилади (49- раем). Бош ыомент-
нинг бош векторга ‘нисбати винт па-
раметри дейилади Винт параметри р
билан белгиланса,
м0
Ц билан Мо йуналган чизтщ винт
yt^u дейилади.
Берилган кучлар системасини О мар-
казга келтириш натижасида R бош век-
48
50- раем.
(6.15)
тор билан Мо бош момент орасидаги бурчак а 90° буладиган
^олни текширамиз. Аниклик учун а бурчакни уткир бурчак деб ола-
миз (50- раем, а). Бу ^олда Л40 бош момент векторный бош век-
тор буйлаб йуналган Мг ва у ига перпендикуляр йуналган А!2 таш-
кил этувчиларга ажратамиз (50- раем, б). У ^олда
Al1 = Moc0Sa=^^ = «^“,
М2 = Мо sin а
Момента /И2га тенг жуфт куч ва Я бош векторни (Af2_L/? бул-
гаии туфайли) О нуктадан М2 га перпендикуляр утказилган П те-
кисликдаги (50- раем, в)
ОО' — М* = Мо sin а = d
R R
масофада О' нуктага цумилган R = /?' куч билан алмаштнриш
мумкин (50-раем, г).
Alj момент вектори эркин булгани учуй у ни узига параллел ра-
вишда О' нуктага келтирамиз (50- раем, д). Натижада берилган куч-
лар системаси О нуктага ^уйилган кучга ва шу куч буй-
лаб йуналган моментли (Г, F') жуфт кучга келтирилади. (F,
F') жуфт куч Мг векторга перпендикуляр /7Х текисликда ётади.
Шундай ^илиб, кучлар системаси О келтириш марказидан ОО' ~
, , Mi Mr, cos се
= d масофадаги О нуктада параметры р = —— = ------ булган
R R
динамик винтга келтирилади.
4—2344 49
51- раем.
(6.17)
28- §. Марказий винт у^и
Фазода шундай О*нуцтани
танлаб олайликки, берилган
кучлар системаси ту ну^тада
динамик винтни ташкил "этсин.
яъни R бош вектор билан
Мо, бош момент бир турри
чизиц буйлаб йуналсин. У
>;олда R билан Л40. йуналган
чизиг; динамик винт уци екн
марказий у% дейилади. Мар-
казий yi^ тенгламасини аник-
лаш учун Л40„ ]| R шартдан фойдаланамиз, яъни
7?0. ~R-M0. _~R-MC
Р = ~R R>~
бунда р узгармас микдор булиб, винт параметридир. (6.10) га асосан
МОя = Мо — 00* X R булганидан (6.17) цуйидагича ёзилада:
Р- . (6.18)
Бу тенглама вгетгзр куричишдззи марказий тенгяамасидир.
Марказий у^нднг аналитик тенгламасини ёзиш учун ихтиёрий О
нуктада x,y,z координата уцтарини утказамиз (51-раем). Бу нукта-
га кучларни келтириш натижасида бош вектор R ва бош момент
Л40 га зга булайлик. Марказий укда ихтиёрий (х*, у* г*) ну^тани
оламиз. Бу нуцгада Мо, = Л1Х булиб, R(Rx,Ry, Rz) векториинг таъ-
сир чизиги буйлаб йуналади.
(6.18) теигликни координата у^ларига проекпиялаб марказий уК’
нинг аналитик тенгламасини ^осил ^иламиз:
Mx — (y*Rz—z*Ry) = My — (z*Rx — .
Л1г ——у*/?х) = р
Rx
Rz (6.19)
бунда Mx, My, Mz лар Mo бош моментнинг координата укларидаги
проекцияларидир.
29- §. Кучлар системасини содда ^олга келтиришга оид
масалалар
7- масала. Кубнинг томони а га тенг булиб (52- раем, а), учла-
рига
Ft = Fz - брТН; Fз = 10 К2 Н; = 20Н
50
кучлар {ф’йилган. Бу кучлар системаси содда ^олга келтирилсин.
Ечиш. Ох, Оу ва Oz у^ларни расмда курсатилгандек, кубнинг кир-
ралари буйлаб йуналтириб, бош векторнинг цийматини (6.4) ва (6.5)
дан ^исоблаймиз: .
Rx = 2 2С, = — F3+F4 cos 45° =0,
A-i
R., = V Yt = — F4 cos 45° = — 1O/2H,
n=\
R2 = 2^=F1+f2 = ior2H,
*=-i
R = VR^+R^ + R2, = 20 H.
Rx = 0 булгани учун бош вектор yz текисликда ётади. Бош вектор-
нинг йуналишини (6.6) дан аницлаймиз:
cos(R, бс) = = 0, R^x = 90°,
cos (У?, у) = , R, у = 135?,
cos (R, 'г) = -^- = 15- , «5 = 45°.
Худди шунингдек, бош моментни (6.7) — (6.8) дан ашщлаймиз:
МЛ = У Mx(Ft)=F£a + F4acos45° = 15/2'а Н-м.
*=1
Му = У Му (Fk) = — Fta — F^a + F4a cos 45° = 0,
M, = 2 МЛЁ]) = F3a — F& cos 45° = 0,
*=i
M}=V M* + M* + M* = 15V2 a Н-м.
My =0, Alz = 0 булгани учун бош момент х ук, буйлаб йуналади.
Шундай ^илиб, бфнлган кучлар системасини О нуктага келтирнш
натижасида ми^дорн R = 20 Н ва йуналиши R, х — 90°, R, у = 135°,
R, z •= 45° булган бош вектор R га ^амда моменти Мо — 15 У^а Н *м
булган ва Ох ут^ буйича йуналган жуфт кучга эга буламиз (52- раем, б).
Бу ^олда R _L Мо булгани учун 25- § га кура кучлар системаси R'
. Мв ЗУ2~
генг таъсир этувчига келтирилади ^амда а = О А = — а
аа R' =R, R' || R булади.
51
52- раем.
8- масала, Улчамлари а = 2м,
b = 4 м, с = 3 м булган паралле-
лепипеднинг учларига 53-расмда
курсатилганидек Pv = 2 Н, Р2 =д
= 5 Н, Р& = 14 Н кучлар таъсир
этади. Бу кучлар системаси сод-
да ^олга келтирилсин. Агар куч-
лар системаси динамик винтга кел-
тирилса, марказий у’К тенгламаси
^амда бу уцнинр zOx ва хОу
текисликлар билан кесишган ну^-
таларининг координаталари анид-
лансин.
Ечиш. Бош векторнинг координата у^ларидаги проекциялари, мо-
дули ва йуналишини аниклаймиз:
=Ра = 5Н,
Ry= — Р3 = -14Н.
R2=P, = 2H,
/?=^ + ^+^1 =15Н.
—Rx 1
cos(R, x) = —=у,
—Ry 14
cos(R, s) = — =
____х-s ft 2
cos(R, г) = -^ =-^-
Бош моментнинг координата уцларидаги проекцияларнии аннцлай-
миз:
Мя = °,
Му = Р2с = 15 Н-м,
Mz = — PJ> —Psa = — 48 Н-м.
Демак, R О, Мо =f= 0.
52
Берилган кучлар системаси тенг таъсир этувчига ёки динамик
винтга келтирилишини аницлаш учун бош векторпинг бош моментга
скаляр купайтмасини хисоблаймиз:
R • Мо'= Rx Мх + Я/М+ЛЧ = ~ 306 Н2-м.
Бу купайтма иолдан фиркли, шу сабабли R ва Л/о векторлар бир-
бирига перпендикуляр булмайди, натижада берилган кучлар система-
сн динамик винтга келтирилади.
(6.17) ии эътиборга олиб, марказий у^нинг фазодагн холатини
(6.19) дан аниклаймиз:
Мх — (ij*Rz — S*Ry) ‘R-Mo. — 2 У* ~ В z* 305
R~x R^~~ ’ 5 225 ’
Л/у — (z*Rx — x*Rz) _ д’- ЛЪ 15 —5z*-{-2 х* 306
——я2 * “14 — “ 225 •
Шундай килиб, марказий уц тенгламаси куйндагича ёзилади:
145* =6,8,1
2.г* — 35* = 4.04. J
Марказий укнинг zOx текнслик билан кесишган (х., уъ нук-
тасининг координаталарлни кжоридаги тенгламалардан ашщлаймиз:
бунда 1/1- 0 эканлигини эътиборга оламиз:
хг = 3,23 м; 0,486 м.
Марказий укнинг хОу текнслик билан кесишган Л2 (.r2, у2, z.2) нут^-
тасининг координаталарини аниклаймиз; бунда z2 ~ 0 эканлиппш
эътиборга оламиз:
х2 = 2,02 м; у.2= 3,4 м.
R- = /?• 2И0< 0 булгани учуй марказий yi; буйича 7? ва Л1Х
лар царама-царши йуиалган булади (54-раем).
53
30-§. Фазодаги кучлар системаси мувозанати шартларининг <
векторли ифодалари I
Кучлар системасини бош векторга тенг битта кучга ва моменти
бош моментга тенг битта жуфт кучга келтириш ^ацидаги теоремадан
фойдаланиб кучлар системасининг мувозанати шартларини келтириб
чи^ариш мумкин. Агар берилган кучлар системаси мувозанатда бул- J
са, у ^олда у нга эквивалент булган бош векторга тенг битта куч ва '
моменти бош момент Л1о га тенг жуфт кучлардан ташкил топган
система нолга эквивалент булиши керак. Агар R ва нолдан фарц-
ли булса, бундай кучлар системаси мувозанатда була олмайди, чун-
ки жуфт кучни битта куч билан мувозанатлаш мумкин эмас. Агар
— О, Л1С 0 булса, кучлар системаси битта жуфт кучга келтири-
лади ёкн — 0, у- 0 булган з^олда кучлар системаси келтириш
марказига куйилган битта тенг таъсир этувчига эквивалент булади.
Кар иккала з^олда з$ам кучлар системаси мувозанатда була олмайди.
Шу сабабли кучлар системаси мувозанатда булиши учун /? = 0 ва
Л40 = 0 булиши зарурий шарт эдесобланади. Бу шартлар кучлар сис-
темаси мувозанатининг етарли шартини з^ам ифодалайди. 5^ицатан
з$ам, бу шартлар бажарилса, келтириш маркази О га кучирилган бар-
ча кучлар хам, ^ушилган жуфт кучлар системаси з^ам мувозанатла-
шади.
Шундай т^нлиб, фазодаги кучлар системаси мувозанатда бу-
лиши учун кучлар системасининг бош вектори ва ихтиерий кел-
тириш марказига нисбатан бош моменти нолга тенг булиши за-
рур ва етарлидир. Яъни фазодаги кучлар системаси мувозанати
шартининг векторли ифодаси куйндагича ёзилади:
Я = 0; Мо = 0. (6.20)
31-§. Фазодаги кучлар системаси мувозанатииинг аналитик
шартлари
23-§ да курганимиздек, берилган кучлар системасининг бош век- ,
тори ва бош моменти (6. 5) ва (6.8) дан ани^ланади. Шу сабабли ;
(6.20) тенгликлар фазодаги кучлар системаси мувозанатининг ана-
литик шартларини ифсдаловчи куйидаги олтита алгебраик тенг- 1
ликлар системасига эквивалент булади:
V Xk =0; V Yk = 0; V Zk = 0;
Т‘ ‘=1 П n (6.21) '
V] Мл(7*)=0; V M,(Fft)=0; v Af#*)=O.
fe=l fe=I 4=1
Демак, жисмга таъсир этувчи фазодаги кучлар системаси му-
возанатда булиши учун барча кучларнинг учти Декарт коорди-
ната у^ларининг %ар биридаги проекцияларининг йириндилари нол-
54
га тенг булиши еа кучларнинг учта координата у кларинит г \ар
бирига нисбатан моментларининг йириндилари ^ам нолга тенг
булиши зарур ва етарлидир.
32-§. Хусусил ^олларда кучлар системасининг мувозанати
тенгламалари
1. Бир нуктада кесишувчи кучлар системаси. , F2, • - • » Fn
кучларнинг таъсир чизицлари О нуктада кесишсин (55-раем). Бу О
нуцтаин координаталар боши ^илиб оламиз. Барча ку^-тлар учала коор-
дината эдларини кесиб утади. Бинобарин, кучларнияг мазкур $/клар-
га нисбатан моментлари нолга тенг булади. Натиисада (6. 21) даги
охирги учта тенглама айниятга айланади.
Шунга кура (6.21) тенгламаларни кесишувчи кучла-р системаси учун
татбиц этсак, аввал келтириб чицарилган (3. 14) ифодта .хосил булади:
ук = о,
УА = °-
2. Текисликдагн кучлар системаси. Fn F2,. . . , Fn кучлар Оху
текисликда ётувчи кучлар системасини ташкил этсият (56-раем). Бу
^олда кучлар г укка перпендикуляр текисликда ётг лнлиги туфайли
уларнинг шу уцдаги проекциялари нолга тенг булз.ди. Кучларнинг
таъсир чизиклари х ва у у'кларга ё параллел, ёки у_ларни кесиб ут^
гани учун кучларнинг Ох ва Оу укларга нисбатан мгоментларл нолга
тенг булади. Натнжада (6. 21) нинг учинчи, туртитчи ва бегвинчи
тенгламалари айниятга айланади. Барта кучлар Оху т*екисликда ётган-
лиги сабабли уларнинг z ук^а нисбатан моментлар^и координаталар
боши О га нисбатан моментларининг алгебраик цийм атига тенг булиб
^олади. Шу сабабли текисликдаги кучлар сиапема^сининг муеоза-
нати тенгламаларини куйидагича сзиш мумкин:
55- раем.
56- раем- -
55
VA’.^O, }
VAI#\)=O.I
(6.22)
Бинобарин, текисликдаги кучлар системаси таъсиридаги эркин
жисм мувозанатда булиши учун кучларнинг координата уцларида-
ги проекцияларининг йикиндилари са кучларнинг улар ётган те-
кисликдаги ихтиерий нуктага нисбатан момснтларининг йиринди-
си нолга тенг булиши зарур ва етарлидир.
3. Параллел кучлар системаси. a) Fit F2, ... , Fn кучлар фа-
зодаги параллел кучлар системлсини ташкил этсин (57-расм). Бу зол-
да Ог укни кучларга параллел йуналтирамиз. Кучларнинг таъсир чи-
зиклари Оху текисликка перпендикуляр булгани учун уларнинг Ох
ва Оу у^лардаги проекциялари нолга тенг булади. Кучлар Oz укца
параллел булгани учун кучларнинг мазкур узка нисбатан моментлари
нолга тенг булади. Натижада (6.21) даги биринчи, иккинчи, олтинчи
тенгламалар айпиятга айланади ва фазодаги параллел кучлар таъси-
ридаги эркин жисмнинг мувозанати тенгламалари цуйидагича ёзи-
лади:
24 = о.
2-Илл) =о,
=о-
(6.23)
Шувдай килиб, фазодаги параллел кучлар системаси таъсири-
даги зркин жисм мусоуанатда брлиши учун кучларнинг шу куч-
ларга параллел булган укдаги проекцияларининг йикиндиси \ам-
да мазкур кучларга перпендикуляр икки ук^а нисбатан момент-
ларининг йигиндияари iuioxyida-алкида нолга тенг булшии зарур
ва етарлидир.
56
б) ( Fv F%,., , , Fr) кучлар системаси текисликдаги параллел куч-
лар системасппн ташкил этсин (58-раем). Бу хрлда кучлар ётган
текнслик учун Оху текиелпкии олиб, у^лардан бврвни (масалан. Оу
ни) кучларнинг таъсир чязигига параллел йуналтирамиз. Кучларнинг
таъсир чизиклари Ох укца перпендикуляр йуналгани учун уларнинг
бу укдаги проекциялари нолга тенг булади. Бинобарин, (6. 22) даги
биринчп тенглама айннятга айланади ва текисликдаги параллел куч-
лар системаси таъсиридаги эркин жисмнинг мувозанати тенгла-
малари цуйндагнча ёзилади:
vyft=0, 1
2л10(Л)=о(
(6.24)
Демак, бир текислнкда жойлашган параллел кучлар системаси
таъсиридаги эркин жисм мувозанатда бйлиши учун кучларнинг
узларига параллел булган укдаги проекцияларининг йиеиндиси ва
мазкур кучлар ётган текисликдаги ихтиёрий нуктага нисбатан
момснтларининг йиеиндиси нолга тенг булиши зарур ва етарли-
дир.
Мувозанати текширилаётгап жиемга борлапншлар цуйилган булса,
(6.21)—-(6.24) тенгламаларни тузншдз боглаииш реакция кучларини
xytM эътиборга олиш керак.
33- §. Текисликдаги кучлар системаси мувозанати тенгламаларининг
бошкача куринишлари
Текисликдаги кучлар системасининг мувозанатига омд масалалар
ечганда (6.22) га тенг кучли цуйидаги мувозанат тепгламаларидан
хам фойдаланилади.
1. Текислнкда ётувчи ихтиёрий кучларнинг шу текисликдаги бир
тутрн чизикда ётмайдиган учтя нуктага нисбатан моментларининг ал-
гебраик йиЕиндилари алохида-алохида нолга тенг булса. кучлар сис-
темаси мувозанатда булади (59-раем):
5\НЛ (/*)= О,
1Л1В(р>) = 0,
=0.
(6.25)
Булардан биринчи тенгликнинг бажарилиши А нуктага нисбатан
бош моментнинг нолга тепглигини ифодалайда. Бу ^олда текислик-
дагв кучлар системаси А ну^тадан утувчи тенг гаъспр этувчвга кел-
тирилпши мумкин. Худди шундай >{ол В нукта учун хам урннли бу-
либ, тенг таъсир этувчи В ну^тадтн утади, яъии у (ДВ) чнзнкда
ётадв деб караш мумкин. С ну^та (,4В) чизикда ётмаганлиги сабаб-
ли, учинчи тенгликдан (Вариньон теорсмаспга купа)
yMc(Fk)==Mc{R)==U,
57
яъни тенг таъсир этувчининг С нуц-
тага нисбатан момента нолга тенг
булишини курамиз. Охирги тенглик
/?=0 булгандагина уриплидир. Шун-
дай килиб, кучлар системаси мувоза-
иатда булади.
2. Текисликда ётувчи ихтиёрий
кучларнинг шу текисликда ётувчи
ихтиёрий иккита нуктага нисбатан
моментларининг йиншдилари ва маз-
59- раем. кур цуцталардаи утувчп чнзикца пер-
пендикуляр булмаган укдаги проек-
цияларининг йитандиси алохида-ато\ида нолга тенг булса, бундай
кучлар системаси мувозанатда булади:
2Л1л(^)=0,
W*) = 0,
-0.
(6.26)
Олдинги хрлдагидек, бирипчц икки шартнинг бажарилшии тенг таъ-
сир этувчининг (АВ) чпзм^ буйлаб йушитганлигини (59*расм) нфода-
ласа, учинчи тенглама унинг (ЛВ) га перпендикуляр булмаган уцда-
ги проекциясининг нолга тенглигини ифодалайди. Шунинг "учун
R = 0 булиб, кучлар системаси мувозанатда булади.
9-масала. 60-расмда тасвирланган конструкция Л нуктадч девор-
га кисиб ма^камланган. Агар 6=109 Н, Р=600 Н, /И=1000 Н-м,
q = 100 Н/м, а=-- 45° бу’лса, /1 таяпчдаги реакция кучлари ани^лан-
син.
Ечиш. Л ну1;тад1ги богланмш шу нуктанинг кучишини чеклаши
билан бирга конструкциянинг вертикал текисликда мазкур nyiyra ат-
рофида айланпшига хам т>'С1^и1иик цялади. Шу сабабли ^исплган ер-
даги бокганишни Х’^У’Л реакция кучлари ва моменти Мд га тенг
реакция жуфг моменти билан алмаштирамиз (61-раем), DC орали^-
даги тскис- таксимлапган кучларни В нуктага {DB = у DC) цунил-
ган Q — DC-q— 100 Н горазонтал куч билан алмаштирамиз.
Текисликдаги конструкция га таъсир этувчи кучлар системаси учун
мувозанат тенгламаларини тузамиз:
=0; Q — Р sin а + ХА = 0;
vy^ = 0; — Pcosa —G+КЛ =0;
v МЛ(ГЛ) = 0; — Л4Л 4- М + С-АК + Рcosa-AD -Psinct-DE —
— Q-DB^O.
Охирги тенгламада Р кучнинг А нуцтага нисбатан моментини
^исоблашда унинг ташкил этувчилари P'(Pr =Pcosa) ва Р" [Р" =
= Pstn а) моментларининг йигиндиси олинган. Бу тенгламалардан
Хл, Ya, Ма номаълумларни аниклаймиз:
ХА = 324,26Н, УА = 1424,26 Н, МА = 3798, 52 Н-м.
10-масала. Огарлиги Р = 8Н булган АС балканинг D нукта-
сига Q = 6 Н, ВС кисмига интенсивлиги q = ЗН-м булган текис
таксимланган куч ^у’йилган. Балка В нутрада эркин таянчда ётади,
А нуцтада таянч билан шарнир воситасида бириктирилган. А ва В
нукталардаги реакция кучлари аницлансин. ^лчамлар 62- расмда кур-
сатилган.
Ечиш. Балканинг СВ цисмига цуйвлган текис таксимланган кучни
Е нуктага купилган ~ BC-q = 6 Н куч билан алмаштирамиз.
Огирлик кучи Р ни ва Л, В нутраларнинг реакция кучларипи 62-расм-
дагидек йуналтириб, АС балка учун мувозанат тенгламаларини
(6. 26) куринишида тузамиз:
=о:
VA's = 0;
— 2 Q cos 45° — 3 Р-F 4— 5/>! = 0,
— 1-P+ IP + 2Q-cos45° — 4¥л = 0.
А'л — Q cos 45° = 0.
Бу тенгламалар системасини ечсак, Pfi = 15,6 Н, Y = 2,61 Н,
А'л = 4,2 Н келнб читали.
59
34“ §. Статин ани1< ва статик ани^мас масалалар
Берилган масалада помаълумлар cohjj мувозанат тенгламалари со-
иига тенг булса, бундай масала статик аник масала дейилади.
Агар масалада номаълумлар сопи мувозанат тенгламалари сонидгш
ортик булса. бундай масала статик аникмас масала дейилади.
Масалан, .4С бдлкз.нипг D нуктчепга Р куч таъсир этадп (63-ра-
ем). Бзлкт 4 нуктада шарнир воситаепдг богланган, В, С нукталар-
да эса эркин таяниб турадп. Л, В, С нукталарннпг таянч реакция-
лари ани!<т.?.псип.
Балкага кукилган Р куч каторига А'л, YA, NB, Nc режшя куч-
ларвни хушиб, упи эркин зкигл келтиртмиз. Балкага тскисликдзги
кучлар системней таъсир этаёггаплиги туфзйли учта мувозчнат тенг-
ламасини тузиш мумкин. Номаълумлар сони зет туртта. Шу сабабли
куриллйгац масала статик аникмле масаладир.
35- §. Бир йена жиемдаи ташкил топган системанинг мувозанати
Бир-бпрлари билан богланган блр неча жисмлардан ташкил топ-
ган снсгеманпнг мувозанзтияи анш^лэшга утамиз. Бунинг учун сис-
темлга таъсир этувчи кучларни шжи гурухга: ички ва таш^и кучлар-
га ажратамиз. Системами ташкил этувчи жисмларнинг бир-бирларига
кур-сатадигап таъсир кучлари и.чни кучлар дейилади. Спстемага кир-
маган жисмларнинг унга курсатадпган таъсир кучлари таити куч-
лар дейилади.
Магадан, учло кетаетгтп слмолстни барча кисмларп билан бирга-
ликда система деб олсак, унинг поршенига газнинг босим ку^ш, пор-
шеншшг шатунга таъспр кучи ва шунга ухшвш кучлар ички кучлар
гуру^ига кпрэди. Са.молётнпнг огирлигп, кутаринл кучи, хзвонинг
каршя ли к кучи ташки кучлар rypyxira кнради.
Агар системани бир бутуй яхлнт цзттпк жисм деб кдрасак. таъ-
сир ва акс таъсир ха^идагп аксиомага асосан, ички кучлар жуфт-
жуфт холда микдорлари тенг, иуналишлари бир тугри чнзик б?йлаб
карами-карши томонга йуналган кучлар системасини ташкил этади.
Шунинг учун ички кучларнинг бош вектори ва бирор марказга нис-
Сатаи бош моменти нолга тенг булади. Агар система мувозанатда
60
булса, унинг таркибидаги %ар бир жисм мувозанатда булади. Система-
нинг мувозанатипи текшириш учун системани ташкил этувчи xyip бир
жиемнинг мувозанати ало^ида текширилади. Мувозанати текширила-
ёттан системада ажратиб олинган бирор жиемнинг мувозанати текши-
рилаётганда бу жисмга системани ташкил этувчи бошка жисмларнинг
таъсири кучлар билан алмаштирилади. Бу кучлар система учун ички
кучлар булади, аммо ажратиб олинган жисм учун ташки кучлар ца-
торига киради.
Текисликдаги кучлар таъенрида N та жиемдан ташкил топган сис-
тема мувозанатда булса, хар бир жисм учун учтадан мувозанат тенг-
ламаси тузиш мумкин. Натижада система мувозанат тенгламалари-
нинг сони 37V та булади.
Баъзан системани яхлит битта жисм деб цараб, учта мувозанат
тенгламаси тузилади. Бу тенгламаларда ички кучлар цатнашмайди. Сунг-
ра N— 1 та жисмлар учун учтадан мувозанат тенгламаси тузилади,
Натижада З4-З (N— 1) = 3N та мувозанат тенгламаларини оламиз.
11-масала. Куприн А шарнир билан бир-бирига ^амда В ва С
шарнирлар билан икки ^иргоцдаги таянчларга бириктирилган икки
фюмдан иборат. Куприкнинг нуцтасига Pt юк куйилган. Куприн
^ар бир ^исмининг огирлиги Р булиб, D ва Е нут^таларга куйилган.
Улчамлар 64-расмда курсатилган. В ва С ну^талардаги реакция куч-
лари хамда куприк кисмларининг А нуктадаги узаро таъсир кучларн
аншулансин.
Ечиш. Бу масалада Р, Л кучлар ^амда В ва С шариирларнинг
реакция кучлари ташки кучларни ташкил этади. В ва С шарнирлар-
нинг реакция кучлари номаълум булгани учун уларни Вх ва By у^-
ларнинг мусбат йуналишлари буйлаб йуналган ташкил этувчиларига
ажратамиз.
61
Система иккита жисвдан ташкил топгани учун системанинг муво-
занат тенгламалари 6 та булади.
Бутун куприк учун мувозанат тенгламалари ^уйидагича булади:
2Хл = 0; ХВ + ХС = О;
2 (Fft) = 0; — аР — {а + Ь — с) Рх —
— (a + 2b)P + 2 (a+b) Yc = 0.
Энди 'к^прикнинг чап цисмини олиб, унг цисмининг берадиган
таъсирини А нуцтанинг реакция кучи билан алмаштирамиз. А нут^га-
нинг реакция кучини Вх ва By уцлариинг мусбат йуналиши буйича
йуналган ХА ва YA ташкил этувчиларга ажратамиз (65-раем). Куп-
рикнинг'чап цисми учун мувозанат тенгламаларини тузамиз:
2Х,= 0; Хв+Хл=0;
2у* = 0: -P-7’1+ Ул=0; (2)
(Д) =0; P1-c + P-b-y'/i(a + 6) + XB-d = 0.J
r* (1) ва (2) тенгламалар системасидан 6 та номаълум реакция куч-
ларини аниклаймиз. Мазкур тенгламалар системасини ечгацца номаъ-
лумлардан бирортаси манфий цийматга эга булса, унинг йуналиши
аслида тескари булади.
36-§. Фазодаги кучлар системасининг мувозанатига
сид масала ечиш
12-масала. 66-расмда тасвирланган конструкциянинг таянч реак-
ция кучлари аницлансин. Куйидагилар берилган: Q = 3000 Н; G —
= 2000 Н; а = 0,6 м; Ь = 0,2 м; с = 0,4; г = 0,05 м; а = 30°; р
=60°.
62
Ечиш. Валга таъсир этувчи кучларни расмда тасвирлаймиз* Р
кучни аркой буйлаб йуналтирамиз._Д ва В ну^тадаги цилиндрсимон
подшипникларнинг таъсирини Хл, ZA, XB,ZB реакция кучлари би-
лан алмаштирамиз. Кучларнинг координата ут^ларидаги проекцияла-
рини ва мазкур уцларга нисбатан моментларини зсисоблаб, (6.21) га
мувофш; мувозанат тенгламаларини тузамиз:
2ХА = 0; Ха — Qcos60°4-XJ34-Pcos30° = 0; (I)
2У* = 0; 0=0;
ZZk = 0; ZA + Qcos30° + ZB — Pcos60° — G = 0; (2)
2Д1А. (FA) = 0; (a + &)-Qcos30°+(a4-3b)ZB— (3)
— (a + 3fc + c)-Pcos60° — (a + 3b+c) G = 0;
s My (F) = 0; — Г Qcos 30° + R-P = 0; (4)
2/VI, (0=0; (a + 6) <2 cos 60° — (a + 3F) XB +
+ (a + 3b +c)-Pcos 30° = 0. (5)
Тс-нгламаларни бнргаликда ечиб куйидагн 1$ийматларнп топамиз. (4)
Дан: р = = 649,5 Н; (5) дан: [(a +1) X
Qcos 60° + (о + ЗЬ +с) X Pcos30°J = 1749,96Н; (1) дан: ХА =
-~Qcos60°—хв — 7>cos30° = — 812,42 Н; (3) дан: ZB= х
> I — (а 4-ft)-Q-cos30° 4- (а + 3b + с) Pcos60° + (а 4- 3F4-c)GJ =
“ 1367,67 Н; (2) дан: ZA = —Qcos 30° -Zt, + Pcos 60° + G =
355,08 H.
63
VII боб
ИШКАЛАНИШ
Богланишдаги жисмларнинг бири нккннчиснга нисбатан силжиган-
да уларнинг бир-бирига тегиб турган сиртларида хосил буладиган
^аршилик кучи ишкаланиш кучи дейилади.
Иш^аланишнинг цуйидаги асосий 2 тури ни куриб чп^амаз.
1. Бир жисмнинг иккинчи жисм устида сирпаниши натижаснда
^оснл буладиган ишкаланиш сирпанишдаги ишкаланиш дейилади.
Масалан, поршень цилиндр ичида ^аракатлангацда ёкн чана цор ус-
тида харакатланганда сирпанишдаги ишцаланнш ^осил булади.
2. Бир жисмнинг иккинчи жисм устида сирпанмасдан думалаши
натижасида ^осил буладиган ишкаланиш думалашдаги ишкаланиш.
дейилади. Рельс устидаги гилдиракнинг думалаши бунга мисол була
олади.
37-§. Сирпанишдаги ишкаланиш ^онунлари
Сирпанишдаги ишкаланиш кучининг мавжудлигини Морен тажри-
баси деб аталувчи куйидаги тажриба ёрдамида кузатиш мумкин.
Аслида бундай тажрибани А.М.Морендан (1775— 1880) анча ав- '
вал ишкаланиш назарияси устида му^им тадкш;отлар олиб борган
француз олими Г. Амонтон (1663 — 1705) утказган. Горизонтал стол
устидаги огирлиги Р га тенг булган жисмни блок ортали утказилган .
ипга боглаймиз (67-расм). Ипнинг иккинчи учига палла осиб цуямиз.
Жисм онирлик кучи Р ва столнинг реакция кучи W таъсирида му-
возанатда булади. Жиемга таъсир этаётган кучлар вертикал кучлар-
дан иборат булгани учун палла га жуда кичик огирликка эга булган
тош ^уйсак, ипнинг тортилиш кучи таъсирида жисм ^аракатга кели-
ши керак. «Пекин жисм паллага маълум ми^дорда тош цуйгунча .yi-
ракатланмайди, чунки стол юзаси ва жисмнинг столга тегиб турган
юзаси абсолют смллиц булмагани учуй ипнинг тортилиш кучи Q га !
микдор жи^атдан тенг, йуналиши царама-царши булган F иил^ала-
ниш кучи ^осил булади. Q кучнинг,т^ннмати (яъни паллага цуйила-
диган тош) орта бориб, маълум миедорга етганда жисм силжиш ол-
67- раем.
64
дида ту ра ди, бу ^одда ишкаланиш кучи F = Г тах энг катта (мак-
симал) цийматга эришади. Мазкур куч энг катта статик ишкала-
ниш кучи дейилади. Шундан сунг паллага оз миедорда тош цуйсак,
жисм сирпана бошлайди. Жисм ^аракатланаётганда ^осил буладиган
ишкаланиш кучи динамик иии$аланиш кучи ёки ^аракатдаги пшка-
ланиш_кучи дейилади. Бу тажрибадан курамизки, статик ишкаланиш
кучи F нолдан то энг катта ишкаланиш кучигача узгаради:
' (71)
Кузатилган тажрибадан маълум буладики, богланиш реакция кучи
фацат нормал реакция кучидан иборат булмай, жисмларнинг бир-би-
рига тегиб турган юзаси ортали утган уринма текислигида ётувчи
уринма реакция кучидан ^ам иборат булар экан. Шунинг учун бог-
ланишнинг тула реакция кучи уринма ва нормал реакция кучлари-
нинг геометрик йигиндисига тенг булади:
= (7.2)
Француз олими Ш.Г. Кулон (1736—1806) утказган тажрибалари-
га асосланиб, сирпанишдаги ишкаланиш конунларини т^уйидагича таъ-
рифлаган.
1. Энг катта ишкаланиш кучи нормал босимга мутаносибдир:
Г.*» = /W. (7-3)
бунда: Fmax— энг катта статик ишкаланиш кучи; / — сирпанишдаги
ишкаланиш коэффициенты; N — нормал босим.
2. Ишкаланиш кучи жисмларнинг иии^аланувчи сиртлари $л-
чамларига боклиц б^лмайди.
3. Сирпанишдаги ишцаланиш кучи жисмларнинг материалига
ва иищалануечи сиртларнинг ишланиш даражасига боглиц була-
ди. Сиртлар силищу булса, ишкаланиш кучи кам булади.
4. Жисм ^аракатда булганда ишкаланиш кучи тинч турганда-
гига нисбатан камроц булади.
(7.3) дан
/ = (7.4)
яънн сирпанишдаги ишкаланиш коэффициента улчовсиз сон булиб,
унинг цийматини ю^орида келтирилган Морен тажрибаси асосида аниц-
лаш мумкин. Турли материаллар учун ишкаланиш коэффициентининг
1(ийматлари справочникларда берилади.
38-§. Ишкаланиш бурчаги. Ишкаланиш конуси
Агар бирор сиртга таяниб турган жнем сирпаниш олдида (муво-
занат чегарасида) булса, ишкаланиш кучи энг катта ^ийматга эга" бу-
лади (68-раем), яъни
(7-5)
5—2344
65
Ишкаланиш кучи энг катта цнйматга эришганда тула реакция ку-
чи 7?тах нинг нормал реакция кучи N билан ташкил цилган (ргаах
бурчаги шщаланиш бурчаги дейилади. 68-расмдан куриниб туриб-
дики,
tgq> = 2™^ = HL = f. (7.6)
s 'max yy N ' 1
Шундай ^илиб, ишкаланиш бурчагининг тангенсы ишкаланиш ко-
эффициентига тенг булар экан. Силжитувчи Q куч жисмга турли
йуналишда таъсир этиши мумкин булганидан энг катта ишкаланиш
кучи ^ам уринма текислигида уз пуналишини узгартиради. Л ну^- s
тадаги нормал реакция кучига нисбатан ^ар бир йуналишга тегишли
тулиц реакция кучини ишкаланиш бурчаги <Ртах остида утказсак, унинг
геометрик урни конус сиртидан иборат булади. Бу конус ишцаланиш
кону си дейилади.
Тажрибаларнинг курсатишича, ёгоч учун ишкаланиш конусининг
асоси эллипсдан иборат булади.
Мисол тарицасида бир нуктаси билан кузгалмас сиртга таянади-
ган жиемнинг мувозанатини текширамиз (69- раем). Таяниш ну1<тасини
А билан белгилаймиз. Жисм мувозанатда булиши учун жисмга таъсир
этаётган кучларнинг тенг таъсир этувчисн Rr А нуктада пайдо бу-
ладиган тули^ реакция кучи Ra га миедор жи^атдан тенг, йунали- "
ши эса царама- карши булиши керак.
А нуктада ишкаланиш конусини ясаймиз. Жисм мувозанатда бул-
ганда Ra кучнинг таъсир чизиги ишкаланиш конуси ичида ётади, му-
возанат чегарасида (сирпаниш олдида) эса конус сиртида ётиши мум- j
кип. Шу сабабли RA куч Rf кучни ишкаланиш конуси ичидагина му- ,
возапатлай олади. Тенг таъсир этувчи кучнинг нормал реакция кучи
.V билан ташкил килгап бурчавши а билан белгиласак, C4 = qn!,x
булганда жисм мувозанат чегарасида булади; «><р б<лса, жисм
снрпана бошлайди. Шундай килиб, бир нуцтаси билан кузгалмас
сиртга таянган жисм мувозанатда булиши учун бу жисмга таъ-
сир этаётган кучларнинг тенг таъсир этувчисн ишкаланиш кс-
нусидан ташкарида булмаслиги керак.
39-§. Ишкаланиш бурчагини тажриба йулн билан
аницлаш
Огирлиги Р га тенг булган жисмни горизонт билан а бурчак таш-
кил килувчи кия текисликка 1;уямиз (70-раем, а). О нукта кузгал-
мас булиб, сс бурчакни шкала б?йича улчаб узгартириш мумкин. а
бурчакни орттира бориб жиемнинг сирпаниш олдидаги (мувозанат чега-
расидаги) агоах бурчакни топиш мумкин. Жисм бир нуктада кесишувчи
Р, N, F кучлар таъсприда мувозанатда булиши учун мазкур кучларга
цурилган кучлар учбурчаги ёпиг^ булиши керак (70-раем, б). Кучлар уч-
- , F 1 ^пт /Л'
оурчагидан tgee = — , мувозанат чегарасида tg%.ax = ———- —
= f. Буни (7.6) билан солпштириб a.max = сртах эканлигига пшонч хо-
сил 1\иламиз. Шундай Ю1либ, шкаладан аннкланган бурчакнинг
т^иймати ишкаланиш бурчагига тенг булар экан.
Бинобарин, ^ия текисликдаги жисм мувозанатда булиши учун а <
«Ртах шаРт бажарилиши, яъни текиелнкнинг ^иялик бурчаги иш-
каланиш бурчагидан катта булмаслиги зарур.
13- масала. Огирлиги G га тенг бир жинсли ингичка АВ стер-
жень А учи билаи вертикал деворга ва D ну^тасида киррага тая-
О Г' б
на ди. В учига огирлиги = —
АЕ = 2а, DE = а; стержень
билан девор орасидаги ва
кирра билан стержень ора-
сидаги ишкаланиш коэ^хри-
циентлари fA = 0,3; /д^О.З
берилган.
А учи пастга сирпанмас-
лиги учун стерженнинг энг
фк?1^а узунлиги, шунингдек,
А ва D ну^таларнннг нор-
мал реакциялари NА, ND
аниклансин (71-раем, а).
га тенг юк осилган. Масофалар:
70- раем.
67
Ечиш. Стержень ^аракатланиши олдидаги мувозанат ^олатада ун-
га таъсир этувчи кучларни курсатамиз. Стерженга берилган 6_ва Gy
кучлар, А ва D нукталарда нормал реакция кучлари G, NA,
да сирпаниш йупалишига тескари йуналган энг катта ишцаланиш куч-
лари F™ax, Fd** таъсир этади (71- раем, б). FAax ва Fdbx кучларнинг
циймати (7.3) га асосан аникланади:
FAaX=fANA. (О
Стерженнипг узунлигини I билан белгилаймиз. 71-расмдан:
AD « ]/ (ДЕ)3 + (£D)2 = а | 'Т ,
АЕ 2 . ED 1
ЛО 1/5 AD 1/5
Стерженга таъсир этувчи кучлар бир текисликда ётувчи кучлар
системаси булгани учун мувозанат тенгламаларини (6.22) кУринищца
тузамиз:
У Л\ = 0; NA — Nd sin а -}- F™ax cos’a = 0, (2)
уУл 0; F"ax —G + ArDcosa +7™axsina —С, 0, (3)
(Fft) = 0; —G--- cos a + NDavr5 —Gllcosa= 0. (4)
(1) ни (2) ва (3) га куямиз:
— Nd sin а + fD Nd cos a = 0, (5)
!л Л'л — G + Arecosa + fDNDsma — ~ = 0. (6)
(5) ва (6) тенгламаларни биргаликда ечиб NA ва ND ларни ани^лай-
?лиз:
3G (sin а — fD cos а)
Л 2[(fA - fD) sin а + (1 -j- f A fD) cos ct]
68
N ___3G .
D 2 KfA +fo) s in a 0 —Fa Id) cos “J
fA, 11)' s’n a Ba cos a ларпивг ^ийматларнни цуйсак, NA == 0,38G,
?ZD = 0t63i 5G хосил булади.
Л\ ва cos а лариинг т^ийматларини (4) га цуйиб, стерженнипг
узунлигини аншупаймиз:
— G-—+ 0,63) 5G о> 5 —- /= 0,
2)5 2)5
бундан I = 1,575} 5 а, яъни
АВ = 1,575 AD.
Стержень DB кпсмининг узунлиги DB — АВ— AD = 0,575 AD.
40- §. Думалашдаги ишцаланиш
Огирлиги Р ва радиуси R га тенг цилиндр горизонтал текислик-
да турган булсип, у холда цилиндрнинг огирлик кучи Р текислик-
нинг А ну^тадаги нормал реакция кучи билан мувозанатлашади
(72-раем, я):
Л?4-Р = о.
Цилиндрнинг марказига унча катта булмаган горизонтал Q куч
таъсир этса, цилиндр мувозанат зрлатида цолаверади. Бувдай холда
цилиндр билан текисликнинг деформацияланиши натижасида шикала-
ниш А иу^тада хосил булмаи, икки жнемнинг бир- бирига тегиб тур-
ган (эзнлган) юзасида хосил булади. Эзилиш юзаси уриниш нуктаси
Д дан жиемнинг думалаш томонида жойлашади. Эзнлган юзанингхар
бир нуцтасида э$осил буладиган нормал реакция кучларининг тенг
таъсир этувчиси А нуктага эмас, балки эзнлган юзадаги бирор В
нуцтага цуйилган булади (72-расм, б). В нуктада, N кучдан таш-
69
кари, Q кучга тескари йуналишда горизонтал сирпанишдаги ишкала
ниш кучи F ^ам хосил булади (72-раем, в). Думаловчи жисм жуда
кичик деформацияланганидан F кучни А нуцтага куйилган деб карат
мумкин. F билан Q елкаси /? га тенг булгап жуфт кучни ташкил
этиб, циливдрни думалатишга интилади. В нутугадаги N куч билан
Р огирлик кучи жуфт кучни ташкил этади. Бу жуфт куч (Q, F) жуфт
кучнинг таъсирига тескари йуналишда цилиндрнинг думалашига
царшилик курсатади. Шундай килиб, цилиндрга моментлари бир-би-
рига царама- карши йуналган (Q, F) ва (Р, Л') жуфт кучлар таъсир
этади. (Q, F) жуфт кучнинг моменти (Р, N) нинг моментига тенг
булгандагина цилиндр сирт устида ду малаш олдида туради. Цилин-
дры шг думалашига царшилик курсатувчи (Р, Аг) жуфт куч думалаш-
доги ишцаланиш жуфт кучи, бу жуфт кучнинг моменти дума-
лашдаги ишкаланиш моменти дейилади. Думалащдаги ишкаланиш
моменти М = kN бирор 7ИП1ах дан катта була олмайди, яъни
(7.7)
Тажрибаларнинг курсатишича, думалашдаги ишкаланиш моменти-
ни иг энг катта киймати нормал босимга мутаносиб булади:
Л-и = 6^. (7.8)
Бунда б > k булиб, думалашдаги ишкаланиш коэффициента дейи-
лади ва у узунлик бирлигида $'лчанади. Тажрибаларнинг курсати-
шича, думалашдаги ишкаланиш коэффициент!! жисмларнинг материа-
лига, ишкаланувчи сиртларпинг ишланиш даражасига, гилдиракнинг
радиусига ва нормал босимга боглиц булади. Билдирак думалаши ол-
дида
|Т1ЛЙ)| = |Т1Л(Х')|
ёки
Q.Z? = 6mV,
бундан
<2 = у W- (7.9)
Бу формуладаги — катталик купчилнк материаллар учун сирпаниш-
даги ишкаланшп коэффицвепти f дан анча кичик булади. Шу сабаб-
ли техникада кхпинча сирпанма ^аракат гилдирактар, галтаклар, ша-
рикли подшипниклар, роликли подшипниклар ёрдамцда буладиган ду-
малаш харакати билан алмаштирилади. Бу холда жиемни сирпанти-
ришдап кура думалатиш учун кам куч талаб этилади.
14-масала. Огирлиги Р ва радиуси N га теиг гилдирак горизонт
билан а бурчак ташкил этуввд к.ия текнслик буйлаб думаламаслиги
учун а бурчакнинг киймати кандай булиши керак (73-раем)? Билди-
70
ракнинг думалащдаги ишкаланиш ко-
эффициент» 6 ва сирпанишдаги иш-
каланиш коэффициента / берилган.
Ечиш. Еилдиракка огирлик ку-
чи Р, сирпанишдаги ишкаланиш ку-
чи F, текисликнинг нормал реакция
кучи N ва момента М га тенг бул-
ган думалащдагн ишкаланиш жуфт
кучи таъсир этади. Булар текислик-
даги кучлар системасини ташкил
этади. Ах уцни кия текнслик буй-
лаб. Оу уцни унта перпендикуляр ^олда йуналтариб, гилдиракнинг
мувозанат тенгламаларини (6.22) га мувофи^ тузамнз:
= 0; Р sin ос — F = 0, (1)
У У/. = 0; — Рcosa N = 0, (2)
£А1Л (F*) = 0; М~P-Psina = 0. (3)
(1) дан F = Psincx, (2) дан /V = Pcosa. (7.1) ва (7.3) га асосан
Р since < f Pcosa
келиб чикадн. Охирги ифодадан
tg«< f-
(3) дан гилдиракнинг ция текнслик буйлаб думаламаслик шартини
аницлаймиз:
Р-Р sin а = Л4.
(7.7) ва (7.8) га асосан
Л1 д-N = 6-Pcoscz.
Шунинг учун Р Psin сс 6’Р cos а,
бундан tga < —. R
U г
— катталик f дан кичик булгани учун
R 0 < a < arctg . (4)
(4) муносабат гилдиракнинг тщя текнслик буйлаб думаламаслик шар-
тини ифодалайди.
VIII боб
ПАРАЛЛЕЛ КУЧЛАР МАРКАЗИ ВА ОЕИРЛИК МАРКАЗИ
41-§. Бир томонга йуналган иккита параллел кучни цушнш
А ва В Hyigarapra бир томонга йуналган F\ ва F2 кучлар ^уйил-
ган булсин (74-раем). А ва В ну^таларга таъсир чизицчари АВ да
ётувчи ихтиёрий (Fg, F4) со 0 системани цуямиз. А ва В ну^талар-
га куйилган Ft ва Fs_дамда F2 ва кучларни параллелограмм цои-
дасига_асосан цушиб = Ег — F3 ва R2=F2~ Ft кучларни ола-
миз. /?] ва /?2 кучларнинг таъсир чизи^ларини давом эттириб, улар-
нннг кееншган ну^тасини О билан белгилаймиз. О нуктага Rr ва R2
кучларни кучириб, Rx ни Fx, F3 кучларга, R2 ни F2, Ft кучларга аж-
ратамнз. О нуктага куйилган (F3, F4) со 0 булгани учун А ва В иуц-
таларга куйилган Ft ва F2 кучлар урнига О нуктага куйилган, ОС
буйлаб йуналган Ft ва F2 кучларга эга булдик, Бу кучларнинг
тенг таъсир этувчнеи уларнинг алгебраик йириндисига тенг:
+ (8.1)
R' ни таъсир чизиги буйлаб С нуктага кучирамиз. Расмдаги ДОАСсо
со -OAiAz, ^ОСВ со ^0ВгВ2 учбурчаклар удшашлигидан цуиндаги
пропорцияларни тузамиз:
АС = ОС . СВ _ ОС_
F3 Л ’ f4 f2 ’
F3 = Ft эканлигини эътиборга олсак.
^осил булади. Пропорциянинг хос-
сасига кура
= —. (8.3)
СВ АС АВ
(8.1) ва (8.3) дан цуйидаги нати-
жа келиб чн^ади: бир томонга
йуналган икки параллел кучнинг
тенг таъсир этуечиси шу куч-
ларнинг алгебраик йириндисига
тенг булиб, йуналиши мазкур
кучлар йуналишида, тенг таъ-
сир этувчининг таъсир чизиги
эса бу кучлар куйилган нукта-
лар орасидаги масофани шу куч-
ларга тескари мутаносиб булак-
ларга булади.
72
42- §. Параллел кучлар
маркази
z
75- раем.
фазода бир томонга йу-
шлган параллел Г2,...,
Fn кучлар жиемнинг А1Г
Д2. . . Д„ нукгаларига
л.уйилган булсин. Шу куч-
^рнпнг тенг таъсир этув-
шси /?' ни ва унинг цуйил-
ан ну^таси С нинг коор-
динаталарини аниклаймиз.
бунинг учун бирор Oxyz
координаталар системасига
нисбатан Д^ Д2, . . Ап пукталарнинг радиус-векторларини
7, 7S, . . ., гп билан белгилаймиз (75-раем). Даставвал ва
/•'2 кучларни цушамиз:
/^куйилган Сх ну^танинг
ипиб аниклаймиз:
Л
—д- = еки . (8.0)
СХДЯ 4jCj Fa Fi V }
Расмдан
ДХСХ = гс •— гх, 4 СХД2 = rCt* (S-6)
(8.6) ни (8.5) га цуйиб, Л\ куч куйилган Сх ну^гангщг радиус-век-
тори гС1 ни ани^лаймиз:
— F/-J- F2. (8.4)
радиус- вектори 7С1 ни (8.2) дан фонда-
Fn .. А, с. с7д„ ___
Энди 7?! куч билан F3 кучни цушимиз:
/?2=/?i’rf3 = ^1+F2-PF8 = S Fk. (8.8)
*=i
оу куч F3 кучга параллел йуналади. R2 куч куйилган нуцтанинг pa-
т. нус-вектори (8.7) га асосан ^уйидагича ани^ланади:
з
*=1
73
Худди шунингдек, п та параллел кучларни цушиш натижасида С
нуктага куйилган бнтта тенг таъсир этувчи Р' кучни оламиз. (8.4),
(8.8), (8.7), (8.9) муносабатларга асосан
(8.10)
(8.U)
куч берилган Flt Fz, . . . , Fn кучларга параллел йуналадп. (8.11)
формула ёрдамида аникланадиган С нуцта параллел кучлар маркази
дейилади.
гс ва векторларнинг координата утуларидаги проекцияларини мос
равишда ус, zc, xk, yk, zk оркали бёлгиласак, (8.11) дан параллел
кучлар маркази С нуцтанинг координаталарини аниклайдиган куйидаги
муносабатларни оламиз:
(8.11), (8.12) формулалардан курамизки, тенг таъсир этувчи куйилган
С нуцта ^олати кучларнинг йуналишига богли^ булмай, фацат улар-
нинг микдорига ва куйилган нуцталарининг координаталарига боглн^
булади. Шунга асосан, агар кучлар куйилган нуцталарни узгартирмай,
барча кучларни бирор а бурчакка бурсак, бу кучларнинг тенг таъсир
этувчиси ^ам шу бурчакка бурилиб, куйилган ну^тасининг ^олати
узгармайди.
43-§. Цаттиц жисмнинг онрлик маркази координаталарининг
умумий формулалари
Бирор цатти!^ жисмнинг j^ap бир булагига ериинг марказига йу-
налган тортиш кучи (огирлик кучи) таъсир этади. Бу кучларни Ри
Р2, . . . , Рп би таи белгилаймиз. Ернипг радиусига нисбатан жисм-
нинг улчамлари жуда кичик булгани учун бу кучларни параллел куч-
лар деб т^араш мумкин. Бу параллел кучларнинг маркази — Снудта
жисмнинг огирлик маркази булади (76-раем). (8.12) да кучларнинг
урнига Pk кучларни олсак, жисмнинг огирлик маркази координилга-
ларини топамиз:
n
Бу '|юрмулада Р — V Ря жисмнинг огирлигини ифодалайди.
л=1
Агар жисм бир жинсли булса, огирлик маркази унинг кандайма-
герпалдан ташкил топганпга боглик булмай, фацат геометрик шаклига
бор лик булади.
Орирлиги Р га тенг булган жисм V хажмга эга булсин. У з$олда
жисмни п та булакдан иборат деб цараймиз. Орирлиги Р1{ га тенг
булган булакча хажмини A Vk билан белгиласак, Pk — TftAVft булади.
Бу ерда у хажм бирлигига тугри келган орирликни ифодалайди. Агар
жисм бир жинсли булса, y-R = у== const булади. Келгусида бир жинсли
жисмларнинг огирлик марказини анш^лайынз. Шу сабабли
РЛ = Т.ДУА, (8.14)
Буни эътиборга олиб, (8.13) га асосан, хажмга эга булган бир
жинсли жисмнинг огирлик маркази координаталари учун куйидаги
ифодаларни оламиз:
п п п
Vi 1'17-7:
, ус=^------------. г,= -5=!---------. (8-15)
С у JC у С v
п
Бу формулада V = ”V бутуй жисм хажмини ифодаланди.
k=\
(8.15) да п чексизликка интилса, AVft-»-0. У ^олда йириндиларнннг
лимита ^ажм буйича олинган аник интегралнн ифодалайди:
I xdV I ydV i \zdV
yc = ZC = (8.16)
бунда V = [ dV — бутун жисм зажми.
(V)
Сирт огирлик марказининг координаталари хам худди говори-
дагидек авицланади:
75
Бувда S бутун сирт юзасини, х&, ук, zk снрт булаклари орирлик’
марказининг координаталарини ифодалайди (77-раем).
Чизикнинг сжирлик маркази ^уйидаги формулалардан аницлянади:
п п П
Д lk xk 3j *lk A Zfe Zfe
~ . Ус = < = -i=^L--------, (8.19)
бунда: L = "V Д lk бутун чизнкнинг узунлипши, A lk чизик бирор
Й=1
булагининг узунлигини, х}1, yk, zk лар эса шу булак орцрлик маркази*
нипг координаталарини ифодалайди (78-раем). (8.19) формулаларпинг
ннтегралли ифодаси купидагича булади:
I xdl 'i udl I zdl
76
44-§. Жисмларнинг огирлик марказини ани^лаш усуллари
Симметрия усули. Агар жисм симметрия текислигига эга булса,
жисмнинг огирлик маркази симметрия текислигида ётади (79-раем).
By ни исбот ф!лиш учун симметрия текислиги ортали Оху текисликни
.тказамиз. У холда э^ажми га тенг жисмнинг хар бир (х/{,
yk, zk) заррачасига Л' (%л, yk — zk) заррачаси мос келади. Шу сабабли
'уладп.
Жисм симметрия укига эга булса, шу уц буйлаб Oz укпи йунал-
тирамиз (80-раем). У ^олда жисмнинг 5^ар бир Ak (хА, ук, z-K) зарра-
часига A'k (— xk, — yk, zk) заррача мос келади. Шу сабабли
2ДП ч
V
v
= 0, ус =
= 0.
Луидаи ^илиб, жисм симметрия yiaira эга булса, унинг огирлик мар-
<ази шу симметрия у^ида будар экан. Худди шунингдек, жисм сим-
метрия марказига эга булса, унинг
ирказида ётиши исботлаяади.
Жисмни булакларга ажратиш усу-
ли. Агар жисмни огирлик марказ-
1ари маълум булган бир неча 1$исм-
тарга ажратиш мумкин булса, у зеол-
[а бундай жисмнинг огирлик марка-
ми (8.14), (8.17), (8.19) формулалар
рдамида ани^лапади.
15- масала. 81 -раемдаги жисм юза-
ининг огирлик маркази аницлапсин.
Зарча улчамлар сантиметрда берил-
ан.
огирлик маркази шу симметрия
79- раем.
£0- раем.
77
81- раем. 82- раем.
Ечиш. Координата уцларини утказиб. жисм юзаенни учта турт-
бурчакка буламиз (булиш чизиклари штрих билан курсатнлгап). Хар
бир б<7лаги огирлик марказининг коордннаталарини ва юзларини аник-
лаймнз: Cj (— 1; 1), С2 (1; 4), С3 (5; 7), = 4 см2, S8 == 16 см\
83 — 12 см2. Берилган шаклиинг огирлик марказини (й.17) формулага
асосан аниклаймиз:
= 4.(- 1)+ lf.1-1-12.5 = Q
Si4-S2 + S3 4 — 16 + 12 ~
_ Styi + S2t/2 + Say4 _ 4-1 -f- 16-4 + 12-7 _ 4 3
S1+S2-S3 “ ^+16^-12 “ 4
С иуцтани раемда курсатамиз. Бу мисолдан курамизки, жисмнинг
огирлик маркази геометрик нукта булиб, жисмнинг узада ётишп шарт
эмас экан.
Манфий юза (^ажм) усули. Агар жисмнинг бирор ^лсми киркиб
чашл ангаи булса, бундай тешик жисмнинг огирлик маркази манфий
юзами (ёки ^ажм) ^ушиш усули билан анш^танади. Бу усулнинг мо-
хияти шундан иборатки, жисмни ^ир^илмаган бутун жисм ва цир-
к тлган жиемдан иборат деб ^аралади; киркплган булак юзаси шартли
равишда манфий ишора билан олинади.
16-масала. 82-расмдаги жисмнинг огирлик маркази ани^лансип»
$ лчамлар раемда берилган.
Ечиш. Ох укни жисмнинг симметрия утиг буйлаб йуналтирамиз.
У холда жисмнинг огирлик маркази бу укда ётади. Шу сабабли
yt.=0 булади. хс ни аниклаш учун жисмни ^ир^илмаган туртбурчак
юзасидан ва юзаси манфий кийматгаэга булган г радиусли дойра дан
иборат деб цараймиз. У ^олда
х, = — % == J
1 2 9 2
5, — ab, S.2 = — №.
Топилган кийматларнп (8.8) га куямиз:
а
ab-— — лга-й
__ SjXj + Ssx2 2 __ a~b — 2nr2d _ _
$1 + S2 ob— nr2 2(ab — w2)
Тажриба усули. Юзага эга булган жисмни аввал А нукдасидан,
сунгра В нуктасидан ипга осамиз (83-раем, а, б). У ^олда жисм
огирлик кучи Р ва иннинг таранглик кучи Т таъсирида мувозанатда
булади. Иннинг таранглик кучи Т вертикал юцорига йуналганлигн
сабабли, огирлик кучи Р унта тескари йуналади ва таранглик кучи
ётган чизикда ётади. Жисмда иккала з^олат учун мос равишда А ва
В ну^талар оркали огирлик кучининг таъсир чизигини утказсак, бу
чизи1\ларнинг кесишган нуктаси жисмнинг огирлик марказини ифода-
лайди.
45-§. Оддий шаклли баъзи жисмларнинг огирлик марказларини
аниклаш
Учбурчак юзаеннинг огирлик маркази. Ихтиёрий ABD учбурчак
юзасининг огирлик марказини аниклаш учун учбурчак юзасини АВ
томонга параллел булган кичик булакларга ажратамиз (84-раем). Бу
булакларнинг огирлик маркази DE медиавада ётади. Худди шунинг-
дек, учбурчак юзасини AD томонга параллел булган булакларга аж-
ратсак, бу булакчаларнинг огирлик маркази ВК медианада ётади.
Шундай ^илиб, учбурчак юзасининг огирлик маркази унинг медиа-
налари кесишган нуктасида ётшиини курамиз. Геометриядан маъ-
лумки, медианаларнинг кесишган нуктаси асосдан медиананинг ~-
^исмида ётади.
Учбурчак юзасининг огирлик марказини билган ^олда ихтиёрий
купбурчак юзасининг огирлик марказини аииклашимиз мумкин. Бу-
79
84- раем.
пинг учун купбурчак юза-
сини бир неча учпурчак-
ларга ажратиб (8.18), фор-
мула ёрдамида купбурчак
юзаси огирлик маркази-
нинг коорди наталар! i
аникланади.
Айлана ёйининг огир-
лик маркази. Радиус»
R га, марказий бурчаги
2а га тенг булган айла-
на ёйи АВ) нинг
огирлик марказини ашщ-
учун Ох укни айлана ёйининг симметрия укп
лаймиз, Бунинг
буйлаб йуналтирамиз (85-раем). У ^олда айлана ёйининг огирлик
маркази шу Ох увда ётади {ус— 0). 85-расмдан dl ^Rck^, х—7?costp,
L АВ = 2/?а эканлигини эътиборга олиб, (8.20) формулаларнинг
биринчисини ^уйидагича ёзиш мумкин:
Гxdl f Kacosq>d<p
__ Щ __ —а_______________
Д since
с L 2R а а
Демак, берилган айлана ёйи огирлик марказининг координатаси
^=₽sina (821)
формула ёрдамида аницланади.
Дойра секторининг огирлик маркази. Радиуси R га, марказий
бурчаги 2а га тенг дойра секторининг огирлик маркази аницлансин
(86-раем).
80
Ох укпи сектор юзинипг сим-
метрия ухи буйлаб йуналтирсак,
огирлик маркази шу укда ётади.
Расмдан
dS - ~ х = — /?cos<p
эканлиги куриниб турибди, чунки
элемептар GAIN секторни баланд-
лиги R га тенг учбурчак деб ца-
расак, MN=Rdq> огирлик мар-
2
казн О нуцтадан — масофада
ётади. Шу сабабли (8.18) га асо-
сан
Демак,
(S)_____
f dS
(S)
л и?
i4"
2 D sin a
Яримшарнинг огирлик маркази. Радиуси R га тенг булган ярим-
шарнинг огирлик марказини аниклаймиз (87-раем). Oz уцни симмет-
рия у^и буйлаб йуналтирсак,
хс = 0, ус = 0, zc = ~^~ zdV.
ПО
(8.22)
Радиуси г га, калинлиги dz га тенг элементар дискни ажратиб
оламиз. У ^олда
Яримшарнинг ^ажми
г = р /?2 — a2, dV = л r2dz = л (R2 — z2) dz.
2
v=тя/?3
булгани учун (8.22) куйидагича булади:
ziR4 JtR*
<= ~------------(гл йг = -2-----------------------i-
--- тг D3 Ji" __ пЯ
— nRs о
~TnR3
Демак, яримшарнинг огирлик маркази
формуладан аникланади.
6—2344
81
КИНЕМАТИКА
46-§. Асосий тушунчалар
Назарий механиканинг кинематика булимида жисмларнинг \аракати
мазкур жисмларнинг массаси ва уларга таъсир этувчи кучларга бог-
ламай, фа^ат геометрик нуцтаи назардан текширилади.
Кинематика сузи юнонча «кинема» сузидан олинган булиб, хара-
кат деган маънони англатади.
Кинематиканинг теорема ва формулалари техникада турли машина
ва механизмлар цисмларинннг \аракатини урганищда назарий асос си-
фатида кулланилади.
XIX асрнинг бошларцда техннканинг тез суръаглар билан тарацций
этиши, жумладан, машинасозликнинг ривожланиши жисм ^аракатининг
геометрик хусусиятларини текшириш масаласини илгари сурди. Шу
даврдан бошлаб кинематика назарий механиканинг муста^ил ^исми
булиб ажралди.
Кинематикада жиемнинг харакати бошца жисм билан богланган
сано^ системасига нисбатан текширилади. Айнан бир вацтда жисм
турли сано^ системасига нисбатан тур лича ^аракатда булиши мумкин.
Масалан, кема палубасидаги жисм кема билан богланган саног; систе-
масига нисбатан \аракатсиз булса, кирго^ билан богланган саноц сис-
темасига нисбатан кема билан биргаликда ^аракатланади; агар бирор
жисм Ерга нисбатан тинч турган булса, Куёш билан богланган санш\
системасига нисбатан Ер билан биргаликда .\аракатда булади ва х;о-
казо. Табиатда мутла^о ^аракатсиз жисм булмагани туфайли, мут-
ла^о кузгалмас саноц системаси з;ам мавжуд булмайди. Шу сабабли
«\аракат» ва «мувозанат» тушунчалари нисбий тушунчалардир.
Техника масалаларини ечишда, одатда, Ер билан кузгалмас бог-
ланган саноц системаси олинади. Ерга нисбатан кузгалмас булган са-
ноц системаси асосий ёки кузгалмас» саноц системаси дейилади.
Кузгалмас санок; системасини танлаб олиш масаланинг щгйилишнга
боглш\ булади. Танлаб олинган санок; системасига нисбатан жисм вазия-
ти ва^т утиши билан узгармаса, жисм олинган системага нисбатан тинч
холатда дейилади. Агар вакт утиши билан мазкур саноц системасига
нисбатан жиемнинг вазияти узгарса, жисм шу системага нисбатан ха-
ракатда булади. Жиемнинг танланган саноц системасига нисбатан з^ар
ондаги вазиятини аницлаш мумкин булса, унинг харакати кинематик
берилган деб хисобланади.
82
Кинематикада жисмларнинг массасини эътиборга олмай, унинг гео-
метрик образи ^аралади. Классик механикада моддий жисмларнинг
харакати уч улчовли Евклид фазосига нисбатан текширилади хамда
фазони мутлако кузгалмас деб царалади. }\аракат улчовига оид кат-
таликлар Евклид геометрияси асосида олинади.
Кинематикада учрайдиган барча чизиклм улчовлар (харакатдаги
нуктанинг координаталари, утгаи йулининг узунлиги ва ^оказ<>) тех-
ник ва СИ системасида метрда олинади.
лМеханикада вакт абсолют деб хисобланадп, яъни уни барча са-
hoi\ снггемалари учун (уларнинг нисбнй харакатпдан катъи пазар)
бир хилда утади деб караладн. Ва^т одатда t билан белгиланади ва
у харакатнинг аргумента хрсобланади. Вакт улчови учун МКГСС
системасида соат ёки минут, СИ системасида секунд (с) цабул кп-
линган.
Каттит^ жисм ^аракатинн кузатар эканмиз, кулинча унинг пукта-
лари турлича харакат цилишини курамиз. Шу сабабли жисм харака-
тини урганиш учун унинг нутугалари харакатини урганншга тутри ке-
лади. Дастлаб н^тста кинематикасини урганиб, ундан датчик жисм
кинематикасини урганишга утилади.
Кучиш ва ^аракат тушунчалари механиканинг асосий тушунча-
ларидир. Бирор санок системасига нисбатан нуктанинг маълум А/
ватуг ичида фазода бир хюлатдан бошка ^рлатга ихтиёрпй равишда
утиши кучиш дейилади. Нуктанинг кучиши унинг бошлангич ва охир-
ги х;олатлари дамда утган А/ ва^т оралиги билан аникланади.
Нуктанинг бошлангич ^олатдап охирги з^олатга вагдта боглиц
х;олда~ аниц бир усулда утишини харакат деб атаймиз. Бинобарин,
нуцтанинг бошлангич ва охирги ^олатлари орасидаги ^ар бир хола-
тига ва^тнинг аннц бир найти мос келади,
Фазода 2;аракатланаётган нуктанинг бирор сано^ системасига нис-
батан хрлати билан вагд? орасидаги бонланишни ифодаловчи тенглама
нуктанинг харакат конунини аниклайди.
Кинематиканинг асосий вазифаси нуктанинг (ёки жиемнинг) ^ара-
кат цонунларини урганишдан иборат. Ва^тнинг ихтиёрий пайтида фа-
зода нуктанинг холатинн бирор саноц системасига нисбатан ани^лаш
мумкин булса, у эрлда мазкур нуктанинг ^аракат кону ни маълум
булади. Агар нуцтанинг бирор сано^ системасига нисбатан харакат кр-
нуни берилган булса, нуцта харакатининг кинематик хусусиятлари:
траекторияси, тезлиги ва тезланишларини аниклаш мумкин булади.
Вакт ^тиши билан нуктанинг фазода колдирадиган изи унинг
траекторияси дейилади.
IX боб
НУЦТА КИНЕМАТИКАСИ
47-§. Пук,та харакатининг берилиш усуллари
Кинематикада нуцтанинг \аракати, асосан, вектор, координаталар
ва табиий усулда берилади.
83
1. Вектор усули. Бу усулда Л1 нуцтанинг ^олати бирор цузгал-
мас О марказдан утказилган г радиус- вектор билан аникланади
(88-раем). М нуцта ^аракатланганда унинг г радиус-вектори ва^т
утиши билан маълум цонун асосида \’згаради, яъни скаляр аргумент
t нинг векторли функциясидан иборат булади:
_ 7=7 (/). (9- 0
Агар г (t) функция маълум булса, t вактнннг ?;ар бир пайти учун
М' нут^танинг х;олати маълум булади. Шу сабабли (9.1) тенглама нуц-
танинг вектор шаклидаги царакат тенгламаси ёки царакат ко-
ну ни дейилади, Ну^та здакатинннг (9.1) векторли тенгламаси t вакт-
нннг бир кийматли, узлуксиз ва дифференциал ланадигап функциями
булади. г = const булса, нуута тинч %олатда булади.
2. Коордмнаталар усули. Oxyz саноц системасига нисбатан ?$ара-
катланаёттаи А! нутуганинг холатини унинг учта х, у, г Декарт коор-
динаталари ортали аншугаш мумкин (88-раем). Ну^та ^аракатлапганда
унинг координаталари ва^г утиши билан узгаради. Бинобарин, 41 нуц-
танинг координаталари i вацтнинг функциясидан (бир ^ийматли, узлук-
сиз ва дифференциалланадиган) иборат булади:
* = fi юл
У = h Ю. (9-2.)
г = h (0-J
Нуцта координаталари билан ва1\т орасидаги (9.2) муносабатлар бе-
рилган булса, М нуцтанинг фазода исталган пайтдаги ^олати маълум
булади. Агар вацт утиши билан х = cons/, у = const, г = const бул-
са, яъни х, у, z лар узгармаса, нуцта мазкур саноц системасига
нисбатан тинч холатда булади. Шу сабабли нуутанинг Декарт ко-
ординаталаридаги уаракат тенгламаси деб аталувчи (9,2) тенгла-
малар нуктанинг ^олатини бутунлай ани^лай олади.
Нуцта ?^аракати вектор ва координата усулларида берилганда.
улар орасида куйидаги муносабат мавжуд булади:
84
r =xi-t- yj+zk,
бунда i, j, k лар координата укларииинг бирлик векторларидир.
(9.2) тенгламалардан t вактни йуцотиб, нуцтанинг траекторияси
тенгламаси аникланади. Масалан, (9.2) нинг биринчисини t га нис-
батан ечиб t — <р (л) ни оламиз. Топилган t ни (9.2)тенгламаларнинг
иккинчисига ва учинчисига 1;уйиб цуйидаги тенгламаларни оламиз:
У = A !<Р (*)1 = Fi (*); г = f31 <р (х)} = F2 (х). (9.3)
(9.3) тенгламалар нуцта траекториясининг тснгламасини ифода-
лайди.
Агар нукта траекторияси бир текислнкда ётса, у з^олда ху текис-
лик учун мазкур траектория ётган текисликни оламиз (89-раем).
Бунда нуцтанинг харакат тенгламаси
х = А(0,|
£ = (9.4)
шаклида ёзнлади. (9.4) тенгламалар нуцтанинг текисликдаги хара-
кат тенгламалари дейилади.
Нуцта тугри чизицли ^аракатда булса, харакат траекторияси буйлаб
х уцни йуналтирамиз, бу эрлда
*=-- f<f)
нуктанинг mijFpu чизицли харакат
тснгламасини ифодалайди (90- раем). ’ о М х
Нуцтанинг ^аракати, Декарт --------V 7г j
I координаталаридан таш^ари, цутб :
i координаталарида, цилиндрик коор- 90’ Р3™-
• динаталарда, сферик координаталар-
। да ёки эгри чизнцли координаталарда дам берилиши мумкин. Маса-
лан, харакати
х = 5 cos ty
| у = 3 — 5 sin t
( тенгламалар билан берилган (бунда t секувдда, х, у—саитиметрда
। ^лчанади) нуктанинг траекторияси тенгламасини аницлаш учун бу тенг-
ламаларни
х = 5 cos t,
у — 3 = —5 sin t
куринишида ёзамиз ва уларни 'квадратга ошириб кушамнз. Бунда t
’ вакт берилган тенгламалардан йуцотилиб, нуктанинг траекторияси
тенгламаси ^осил булади:
| X- 4- {у — 3)" = 25.
Демак, ну^танииг траекторияси маркази С (0; 3) нуктада булган, ра-
диуси 7?--= 5см га тенг айллнадан иборат (91-раем).
Айтайлик, нукта бир вацтнинг у?зида
85
х = Ae cos {kt -J- a),
у — Ae^sin {kt 4-a)
копун асоспда уззро перпендикуляр йуналишда сунувчан тебрапма
^аракатда иштирок этсин. Бунда А Д>0, /i>0, k>Q ва а лар узгар-
мае мнкдорлардир. Мазкур нуктанинг кутб координаталаридаги кара-
кат тенгламаси ва траекторияси тенгламасини ани^лаймиз.
Маълумки, кутб коордпнаталари г, <р билан Декарт координата-
лари орасида цуйидаги муносабатлар мавжуд булади:
х = г созф, у = г sinq,
г2 = ух2 + у2, х^ 0.
Шундан келиб чициб,
г=А~ш, (1)
tg гр = tg {kt а) ёки ср = kt ~ a (2)
булпшини аниклаймпз. (2) дан t ни топиб, уни (1) га гсуйсак,
— — (Ф — а)
г = Ае к (3)
куринишдаги траектория тенгламаси ^осил булади.
Шундай цилиб, нуктанинг траекторияси (3) тенглама билан ифо-
даланадиган логарифмик спиралдан иборатдир.
3. Табиий усул. Нуктанинг траекторияси маълум булса, нуцта
харакатини табиий усулда аниклаш цулай булади.
Нуктанинг траекторияси бирор Opcyz координата системасига нис-
батан маълум булсин (92-раем). Траекториянинг бирор О ну^тасини
саноц боши учун танлаб олиб, уни дузгалмас нуцта деб караймиз.
Харакатланаётган нуктанинг ^олати траектория буйлаб ^исобланади-
ган ]О.И| = $ ёй координатасп билан аникланади. Нуктанинг траек-
ториядаги хрлатини бир цийматли анидлаш учун ёй координатаси-
нипг мусбат ва манфий йуналишдари курсатилади.
Вакд утиши билан иукта чизи^ буйлаб ^аракатланиши натижасида
унинг ёй координатаси s узгариб боради х;амда t ва^тнинг бир ^ий-
матли. узлуксиз ва дифреренциалланадиган функциясидан иборат бу-
лади;
s = /(0- (9.5)
Бу муносабат нуктанинг хараксип тенгламаси ёки чизик буйлаб
харакат кону ни дейилади.
Агар f (?) функция маълум булса, t вацтнинг ^ар бир пайти учун
s ни аниклаб, уни ишорасига караб О нуктадан траектория буйича
куямиз. Натижада М нуцтанипг берилган пайтдаги полати аникла-
нади.
Шундай килиб, /И нуктанинг харакатини табиий усулда аниу-
лаш. учун унинг траекторияси, траекторияда олинган О цузгалмас
86
нуцта, ёй координатасининг ^исоблаш йуналиши ва s = f (t) ^аракат
тенгламаси берилган булиши керак.
Нуктанинг s ёй координатаси билан траектория буйлаб утган
о Нули доимо бир хил булавермайди. Агар М нукта О кузгалмас
нуктадан бошлаб [О, П вацт оралдаида доимо бир йуналишда хара-
кат килса, нуктанинг шу ва^т ичида ёй координатаси билан утган
нули узаро тенг булади.
Агар i0 бошлангич вацтда нукта Мо холатда булиб, унинг полати
s0 ёй координатаси воситасида, /ва^тдан кейинги Л4 ^олати OM—s
ёй координатаси билан аникланса (92- раем), t — t0 вацт оралигида
нуцтанинг бир томонга харакатланиши натижасида утилган пул
|'ОМ — OMJ = |s — s0| (9.6)
формула билан антщланади; бу ^олда утилган йул билан ёй коорди-
натаси тенг булмайди.
Демак, нукта санок бошидан бир томонга ^аракатланса, унинг ёй
координатаси модули нуктанинг утган йулинп ифодалайди. Агар доимо
s = const булса, нукта берилган санок системасига нисбатан тинч
холатда булади.
48- ХаРакати вектор усулида берилган нуктанинг тезлиги
Нукта ^аракати вектор усулида берилгапда унинг радиус-вектори
г — г (t) каР он учун вацт функцияси сифатида ани^ланади. Фараз
килайлик, t ва^тда бирор О марказга нисбатан г радиус- вектор билан
ани^ланувчи ну^та /VI холатни эгалласин хамда = t 4- St вактдан
кейин ЛД ^олатни эгаллаб, радиус- вектори гг = г (t + St) б)’лсин
(93-раем). У х;отда г (t 4- St) — г (/) Н-Аг нуктанинг St вактдаги ку-
чишини ифодалайди. Аг ни нуктанинг вектор кучиши дейилади.
87
— Нуктанинг вектор кучшпм Аг пинг
__у --------------------*- шу кучиш учун кетган 64 вактга
пасбаги мазкур нуктанинг уртача
/ ЛГ----------~♦тезлиги Дейилади. Уртача тезлик
/ s' х""^ векторини о* билан белгиласак:
I (97)
Бунда A t скаляр мицдор булга-
0 пидан, о* векторнинг йуналиши А г
93- раем. нинг йуналиши билан бир хил бу-
лади. Ну^та уртача тезлик вектори-
нинг А/ нолга интилгандаги лимита нуктанинг берилган пайтдаги
тезлик вектори дейилади ва v билан белгиланади:
— А г
v = hm -
. ,-о Аг
ёки
v =
dr
dt ’
(9.8)
Шундай фыиб, нуктанинг берилган пайтдаги тезлик вектори нуц-
танинг радиус- векторидан ва'уп буйича олинган биринчи тартибли
уосилага тенг булади.
о* вектор ^аракат йуналишида кесувчи буйлаб йуналади,
А/ нолга интилгацда, Мг ну^та траектория буйлаб М га интилади,
шу сабабли AfAfj. вектор лимит ^олатида эгри чизида М нуцтада
утказилган уринма билан устма-уст тушади. Бинобарин, М нутда-
нинг тезлик вектори о траекториям А! нуктада утказилган уринма
буйлаб ^аракат йуналиши гомон йунатади. (9.8) га кура, тезлик век-
тори t ва^тнинг векторли функцияси булади. Ва^т утиши билан тез-
лик вектори узгаради.
СИ бирликлар системасида тезлик м/с да улчанади.
49-§. ^аракатн вектор усулида берилган нуктанинг тезланнши
Вацт утиши билан нудта тезлигининг мивдор ва йуналиш жи^а-
тидан узгаришпни ифодаловчи катталик тезланиш дейилади.
Фараз 1$илайлик, харакатланувчи нуцта t ва^тда Л1 ^олатда бу-
либ, тезлиги v га тенг булсин, t-т-Ы вакт утгандан сунг нукта
^олатга келиб, тезлиги булсин (94-раем). Тезлик векторининг А/
ваф’ ичидаги узгаришини апи^лаймиз.
Бунинг учун векторни узига параллел равишда .'VI нуктага ку-
чириб, бу нуктада томоиларидан бири о тезликка, диагонали эса
тезликка тенг Л1АВС параллелограмм ясаймиз. У холда параллело-
граммнинг иккинчи томони А? ва^т ичида тезликнинг узгариши Av ни
ифодалайди.
88
Ну^та тезлик векторининг Га-
гарины Ли нинг шу узгариш учун
кетган Д/ вактга нисбати мазкур
нуктанинг &t вакт оралигидаги ур-
тача тезланшии дейилади. Х'рта-
ча тезланиш векторини w* билан
белгиласак,
(9.9)
94- раем.
и?* векторнинг йуналиши Ди нинг
йуналиши билан бир хил булиб, нуцта
траекториясининг ботик- томонига йуналади.
Нуктанинг уртача тез-
ланиш вектори нинг А/ нолга интилгандаги лвуштану/рпанинг бе-
рилган пайтдаги тезланиш вектори дейилади ва ау билан белги-
ланади:
1 U J1 ----,
д/->0 Д/
ёки (9.8) га кура
w
dv ____ d-r
dt ~ df1'
(9.10)
Демак, нуктанинг берилган пайтдаги тезланиш вектори нукта
тезлик векторининг вакт буйича олинган биринчи тартибли хо-
силасига ёки радиус-векторининг вакт буйича олинган иккинчи
тартибли хосиласига тенг.
Агар нутра бир текисликда ётувчи траектория буйича ^аракат-
ланса, у ^олда w тезланиш вектори, уртача тезланиш вектори w*
каби, траектория текислигида ётади ^амда траекториянинг ботиц то-
моннга йуналади.
Агар нуктанинг траекторияси бир текисликда ётмайдиган эгри чи-
зикдан иборат булса, ьу* вектор М ну^тадан утувчи МАВС парал-
лелограмм текислиги П да ётади з^амда траекториянинг боти^ томо-
нига Ди га параллел равищда йуналади (94- раем). Бунда П || бу-
лади. Л4Х нутра М га интилгандаги лимитда, бу текисликнинг эгал-
лаган ^олати эгрилик текислиги ёки ёпшима текислик дейилади.
Демак, умумий ^олда тезланиш вектори М нуктада траекториям ут-
казилган эгрилик текислигида ётади ва траекториянинг ботиц томо-
нига йуналади.
СИ бирликлар системасида тезланиш м/с3 да улчанади.
50-§. ^аракати координаталар усулида берилган нуктанинг
тезлиги
Нуктанинг харакати бирор кузгалмас Декарт координата уцларига
нисбатан (9.2) куринишдаги
89
х = к (Г), У = f2 (О» z = fs V)
тенгламалар билан берилган булсин (95-раем, а). У ^олда нукта-
нинг радиус-векторы г ва тезлиги v ни координата т^ларидаги про-
екциялари ортали куйидагнча ёзиш мумкин:
Г = XL + yj + Zk,
v = vxi + Uyj + k,
(9.П)
(9.12)
бунда: x, yt z лар M нуцтанинг координаталарини, f, /, r лар коор-
дината у^ларининг бирлик векторларини vx, vyt vz лар эса тезлик
векторининг координата укларидаги проекцияларини ифодалайди.
7, 7» бирлик векторларининг микдори ва йуналиши узгармаслигиии
ва (9.8) ифодани эътиборга олиб, (9.11) дан ва^т буйича росила ола-
— dr dx — . dij — . dz -г
(9.13)
(9.12) ва (9.13) формулалардаги
i, j, k векторлар олдидагп коэф-
фиииентларни солиштириб, тез-
ликнинг координата укларидаги
проекцияларини апи^лаймиз:
90
dx ’ du
---= X, Vv —
dt y dt
dz
di
(9.14)
Демак, тезлик векторининг бирор цузгалмас Декарт координата-
лар м;идаги проекцияси нуктанинг мос координаталаридан вацт бу-
йича олинган биринчи ^осилага тенг булади. Ma, Mb, Мс кирралари
координата у^ларига параллел ва ur, v. ларнинг микдорига тенг
булган параллелепипеднинг диагонали А4 нуктанинг тезлигшш пфо-
далайди:
у = ]-/ =] Л’4-^24-52, (9.15)
cos (и, 0 —“> cos (^> /) = cos(у, k) = —• (9.16)
Нукта Oxyz координаталар системасига нисбатан бирор траекто-
рия буйлаб даракатлансин (95-раем, б). Нуктанинг траектормяда
эгаллаган бир неча Л/х, Л12, Л43, . . . , кетма-кет холатларига мос
тез шкларининг барчасини микдор ва йуналишларини узгартирмай,
бирор 01 цутбга келгирайлнк (95-раем, в). Бу холда тезлик вектор-
ларининг учлари бирор узлуксиз эгри чизи^ни чизади. Мазкур эгри
чизик нуцта тезлигининг годографи дейилади.
Нуктанинг Oxyz координаталар системасига нисбатан ^аракати
маътум булганда тезлик годографи тенгламасини чицариш учун тез-
ликлар келтирилган Ох цутбда Oxyz координаталар системасига па-
раллел булган Орсру^ координаталар системасини утказамиз. Тезлик
годографида бирор N нуцтани олиб, унинг координаталарини хх> ylt
zx билан белгилаймиз. N нуцтанинг радиус- вектори O^V = v булиб,
бунда v — траектория буйлаб даракатланаётган нуктанинг тезлиги.
Агар нуктанинг ^аракат цонуни (9.2) куриншлида берилса, у ^олда
N нуктанинг координаталари цуйндагича аникланади:
= х,
^2,
ёки
У1 =
rffi ft) 1
dt
df2 (о
dt
г1=^Ма
dt
(9-17)
Бу тенгламалар N нуктанинг тезлик годографи б^йича харакат
тенгламасини ифодалайди. (9.17) тенгламалардан t ва^тни чикариб
ташлаезк, Орсру^ координаталар системасига нисбатан тезлик годог-
рафининг тенгламасини ^осил киламиз.
Агар нугуга микдор жихатдан узгармас тезлик билан ^Ракат>-тан'’
са, бундай тсаракат текис харакат дейилади. Эгри чизшуди текис
харакат дагн нуктанинг тез тик годографи, радиуси микдор жихатдан
тезликка тенг булган сфера сиртидагн эгри чизикдан иборат булади.
Т\гри чизи1<ли текис харакатдаги нуктанинг тезлик годографи битта
нуктадш иборат булади.
91
51-§. ^аракатн координаталар усулида берилган иуцтаиинг
тезланиши
^аракати координаталар усулцда (9.2) тенгламалар билан берил-
ган нуктанинг тезланишини аниклаш учун к; тезланишпи координа-
та ^ларидаги cc'v> wy, wg проекциялари ортали ифодалаймиз:
и’ = ^?+<г-У7+^Ь (9.18)
(9.12) ва (9.18) ларни (9.10) га кхямиз:
кух i + k = ~ (vx i + Оу / + vz k) — i -|-
Бу тенгликнинг икки томонидаги i, f, k бирлик векторлар олдпдаги
коэффициентларни солиштприб, (9.14) ни эътиборга олсак, куйидаги
ифодага эга буламиз:
dvv ___ d-x ___ ••
dt ~ ~dF ~ Л’
di'v dry
~ = —- = /Л
dt di*
dvg d-y
—- = —— = z.
dt dt1
(9.19)
Демак, mesACiHuui векторшшнг бирор кузгалмас Декарт коор-
динаталар уцидаги проекцияси нуктанинг мос координаталаридан
вакт буйича олинган иккинчи хосилага ёки терлик еекторининг
мос координата укларидаги проекциясидан вакт буйича олинган
биринчи хосилага тенг брлади.
Нукта тезяанишининг модули ва йуналиши ^уйидаги форму-
лалардан топилади:
-= + (9.20)
cos (к\ /) = —, cos (w, /) =~^L, cos (&•, /.) = — (9.21)
Агар нутрга тутри чизи^ли ^аракатда булса, у пинг харакати битта
х = / (/)
тенглама билан аникланади. Бу ^олда нуцта тезлиги ва тезланишн-
нинг ми^дори
92
булади. Агар vx > 0 булса, нук-
танинг тезлнги х укнинг мусбат
йуналиши буйича, сл<0 булса,
г укнинг мусбат йуналишига тес-
кари гпналади. Тезланишнинг йу-
налиши .хам шундай аникланади.
Агар вацт утиши билан туг-
ри чизикли харакатдаги нукта
тезланишининг микдори орта бор-
са, яъни нуктанинг тезлнги би-
лан тезланиши бир йуналишда
булса, бундай харакат тезлануе-
чан харакат дейилади.
Вакт утиши билан нукта тез- 96-раем,
ланишинииг микдори камая борса,
яъни тезланишнинг йуналиши тезлнкка карама-т;арши йуиалса, бун-
дай харакат секинланувчан харакат дейилади.
52-§. Нуктанинг тезлик ва тезланишларини ачи^лашга оид
масалалар
Нукта кинематикасида купмпча нуктанинг харакат тенгламалари
берилган булиб, унинг траекторияси, тезлнги ва тезланиши каби кн-
н ела тик элементларини аниклаш талаб этилади. Айрим ^олларда
Х£'.ракат тенгламаси берплмайди. Бундам ,\олда масалада берилган
шартлардан фойдаланиб, даставвал нуктанинг харакат тенгламалари
тузилади, сунгра нукта харакатининг кипематик элементлари топи-
лади, 1\уйида шундай иккн хол учун масалалар ечамиз.
17-масала. ^аракати
х = — 212, у = 3 (/ — 0,5/2)
тенгламалар билан берилган нуктанинг траекторияси, тез лиги ва тез-
ланиши топилсин (д', у — метрда, t—секундда улчапади).
Ечиш. а) Берилган каракат тенгламасидан I пи йукотсак, нукта-
з *
нинг траектория тенгламаси у =— х куринишда булади. Демак,
4
нуктанинг траекторияси координата бошидап утувчи Ох Ук билан
3
а = arc tg — бурчак ташкил этувчи тхтри чизикдан иборат (96-расм);
4
б) нукта тезлигининг координата укларидаги проекцияларини
(9.14) га, тезлигинипг модулини (9.15) га муворик аниклаймиз:
vA- = л == 4 (1 — f) м/с, vy = у = 3(1 — /) м/с,
с = ] х2-гу2 =5 (1 — t) лъ'с;
в) (9.19) дан тезланишнинг координата укларидаги проекциялари
&'А- = х = — 4 м/с2, zi'y = у — — 3 м/с2
93
ва (У.20) дан ну^та тезланншининг модули
— 1 х2 + у- =5 м/с2
топилади. Харакат ту три чизкцли булганидан и билан гэ, траекториянн
ифодаловчи тутри чизш; буйлаб йуналади.
Бошлангич пантда, яъни /=0 булганда, х = хо=0, у=уй — Ова
v— а0 — 5 м/с булганлиги учун нукта t — 0 да координата бошидан
траектория буйлаб О дан А га v0 бошлангич тезлик билан хараказ-
ланади. /=1 с булса, х=2 м, //==1,5 м булиб, нукта Л (2; 1,5) хо-
латда, тезлиги эса v = 0 булади. Демак, нукта 1 секунд дави ми да
О дан А га секинланувчан таракат билан кучади.
t > 1 секунддан бошлаб нукта тезлнгининг модули орта боради
хамда ал<0, иу<0, к»л<0, ®?у<0 булганлигидан нукта А дан В га
т^араб тезланувчан ^аракат билан к^чадн (бу ^ол нуктанинг Л12 хр-
латида тасвирланган).
18-масала. 97-раем, а да кривошип- шатунли механизм таевпр-
ланган. О А кривошип О нуцта атрофида ф = со/ (бунда со = const)
тенгламага мувофи^ айгланади, Агар ОА — АВ = а булса, АВ шатун-
нинг уртасидаги М нуктанинг траекторияси, тезлиги, тезлик годе-
графи ва тезланиши аниклансип.
Ечиш. М нуцтанинг ^аракат тенгламаларини тузамиз. Бунинг учун
масалада берилган шартлардан фойдаланиб нуцтанинг координата лари
х ва у билан t вакт орасидаги муносабатни ани^лаймиз. Расмдан:
х=ОЕ=ОВ—ЕВ—2 О A coscp----------coscp = cos со/,
. „ - АВ . а .
у = ME = — sin ф = —- sin со/.
Шундай цилиб, нуцтанинг харакат тенгламалари jQ-'йидагича бу-
лади:
За 2
х = — cos со/,
2
а . < (О
и = — sin со/.
J 2
(1) дан / вацтни йуцотиш учун уни куйидагича ёзамиз:
х , и
— = cos со/. = sin со/.
За а
2 ~2
Буларнинг хар бирини квадратга ошириб, цушамиз:
97- раем.
Демак, нуктанинг траекторияси маркази координата бошида, ярим
Уцлари ~ ва булган эллипсдан иборат (97- раем, б).
Тезликнинг координата укларидаги проекциялари (9.14) га кура
аникланади:
За . , q
1}х = х =---------— со sin со/ == — 3 (01/,
* а 4 1
у = Ц —-------------со cos со/= — сох.
у 2 3
(9.15) га асосан тезлик модули ва^т функцияси сифатида аницланади:
у=| + "^9 sin2 со/4-cos2 со/=-у-1^1 4-8 sin2 cot
еки нукта координаталари ортали ^уйидагича пфодаланади:
И=-уГх2+8П/2.
Аналитик геометриядан маълумки, ярим у^лари at ва га тенг
эллипснинг М нуцтасига утказилган уринмадан унинг марказигача
булган h масофа
-
|/
формуладан аникланади. Бу масалада
й=—1?—
41/х2 + 81у»
булганидан тезликнинг микдори учун куйидагини оламиз:
За2 о
U 4й
95
Бу формуладан куриниб турибдики, нукта тезлигининг модули шу
нуктада эллипсга утказилган уринмадан унинг марказигача булган
масофага тескари мутаносиб равишда узгаради. Бинобарин, эллипсиинг
катта ва кичик яримуцларининг учларида тезлик модули мос ра-
вишда энг кичик ва энг катта ^ийматларга эга булади.
Тезлик годографининг параметрик тенгламаси (9.17) га асосан
аникланади:
За . ,
х« =-----to sin tor.
1 2
У1— т со cos со Л
Бу тенгламалардан t ни чикариб ташласак, тезлик годографининг
тенгламаси цуйидагича ёзилади:
Шундай 1^илиб, тезлик годографи яриму^лари w ва -|- со га
тенг эллипсдан иборат булади.
(9.19) дан фойдаланиб тезланишнинг координата уцларидаги проек-
циялари аникланади:
Зоы3 о
— х —---------cos со / = — or х,
л 2 ‘
. — а со2 . . о
Wy = у =------— sin со/ = — со2 у.
(9.20) га асосан тезланиш модули ^уйидагича ифодаланади:
и = К х2 + у2 = ш2 V х2 + у2 = а2г,
бунда г ^аракатланувчи нукта радиус-векторининг модулидир. Тез-
ланиш йуналиши (9.21) дай аникланади:
cos (w, х) ~ -----,
(3)
cos (w, у) = — = — — .
KI Г
Нуцта радиус-векторининг косинуслари учун
cos (г, х) = —,
cos (7, у) = i
r I
формулалар уринлидир.
(4)
96
(3) ва’ (4) ни солиштириб, w векторпинг йуналтирувчи колшусла-
ри г радиус-векторнинг йуналтирувчи косинусларидан факат ншорасл
бнлан фарц цилишипи курамиз. Бу эса ну^та тезлапиши унинг ра-
диус-векторига тескари йуналганлигнии курсатади. Бу холни яш
куйидагича изохлаш мумкин: нуктанинг тезланиши w унинг радиус-
вектори г га мутаносиб равишда узгаради:
w — wx i -г wy j ~ or (х I ~ У!) — — со2 г.
Бундаги минус ишора w тезлапиш г радиус-векторга тескари нунал-
ганлигини ифодалайди.
53-§. Дифференциал геометриядан баъзи маълумотлар
1. Табиий координаталар системаси. Цузгалмас Oxyz координата-
лар системасига нисбатан 51 нукта бир текислнкда ётмайдиган эгри
чизи^ АВ буйлаб .^аракатлансин (98- раем). АВ эгри чизикда мазку р
нуктанинг бир-бирига якни иккита М ва ^олатларини олиб, дйр
бири оркали Л4 т ва Alft, уринмаларни утказамиз. Бу уринма ларнинг
йуналиши Hyiyra харакатинипг мусбат йуналишидаги т° ел т, бир-
лик векторлар билан аникланади. АВ эгри чизиц бир текислнкда ёт-
магани учун 51т ва урипмалар оркали битта текнслик утказиб
булмайди. М нуктада 51^ га параллел, чизицни утказамиз
т М тх ётган текисликни Ло билан белгилаймиз. zMj нуцта 51 га ин-
тилганда Ло нииг 51т атрофидаги ^олати узгара боради. /70 текис-
ликнинг эгаллаган лимит ^олатини Л билан белгилаймиз. Л текис-
лик эгри ЧИ31ЦНИНГ 51 нуктасидаги ёпшима текислик дейилади.
Агар эгри чизи^ бир текислнкда ётса, бу текислик эгри чизик-
нинг ёпишма текислиги булади.
51 нуктадаги уринмага перпендикуляр ^илиб утказилган текис-
лцк нормал текислик дейилади. Нормал текислнкда ётувчи ва 51
нуцтадан утувчи хар кандай гутри чизик нормални ифодалайди. Нор-
мал текислик билан ёпишма текисликнинг кесипшш чизпги Мп ил
7—2344
97
ЛI нукта даги бот нормаль дейилади (99-раем). Бош нормалнинг
йтаалишн VI пуктадан эгри чизикнинг ботиц томонига йуналган п°
бирлик вектор билан аникланади.
Танлангап /VI т ва Мп ларга перпендикуляр булган ва улар би-
лан унг елегемани ташкил этадигаи Mb нормални утказамиз. Бу
нормаль бинормаль дейилади. Бинормаль ва уринма оркали утувчи
текислик уринма текисликдир. Эгри чизикнинг М нуктасидан ут-
казилган уринма ва бинормалнинг бирлик векторларини мос равишда
т°, Ь° билан белгнлаймиз.
М нуктадан утказилган уринма, бош нормаль ва бинормаллар
буйлаб йуналган уцлар табиий координата уцлари дейилади. Бу
уклар нукта билан биргаликда каракатланади. Табпий уклардан таш-
кил топган координаталар системаси табиий координаталар систе-
маси дейилади.
2. Эгри чизикнинг эгрилиги. М нуктанинг траекториясини ифо-
даловчи эгри чизикнинг бнр-бирига жуда якин /VI ва Mt нукталари-
дан А 1т ва Afftj уринмаларни утказамиз. Уринмалар орасидаги бур-
чакни АО билан, ёйни As билан белгнлаймиз (100-раем).
нисбатиинг As нолга интилгандаги лимита
As
, .. ле
k 11ГП —•
A S
de
ds
(9.22)
эгри чизикнинг .И ну^тадаги эгрилиги дейилади.
бЭгриликнинг тескари циймати эгри чизицнинг /М нуцтасидаги
эгрилик радиуса дейилади. Эгрилик радиуси р билан белгиланади:
1 ds
р =— = —-
н k de
(9.23)
98
100- раем.
101- раем.
Мисол тарицасида /? радиусли айлананинг эгрилигинн тоиамиз
(101-раем). .41 ва Mj ну^таларда айланага угказилган уринмалар
орасидаги бурчании ДО билан белгилаймиз. Айланада МЛЦ ~ !?• Д0
булгани учун, Л1 яуцтадаги эгрилик
. .. до v де 1
k = hm ------= lim --------= —
As-»0 As As-»0 де-й R
формуладан аникланади. Шундай т^илиб, айлананинг ихтиёрий нукта-
сидаги эгрилик узгармас булиб, айлананинг ртдиусига тескари мутз-
носиб булади.
54-§. ^аракатн табиий усулда берилган нуктанинг тезлиги
Нуцта харакати табиий усулда берилганда, яъни унииг АВ траек-
торияси, траекторияда олинган цузгалмас О нуцта (саноц боши) ва s
ёй координатасининг ^исоблаш йуналиши хамда траектория буйлаб
^аракат тенгламаси s = f (?) берилганда нуктанинг тезлигини аннк-
лаймиз (102-раем). Нуцта t вактда М ^олатни, ? — А? вактдан кейии
^.олатни эгалласин. Мазкур нукталарнинг ёй координаталарини
ани^лаймиз:
s = 0M, Sj = ОЛ1! = ОА4 + AUlj = s + As.
Ихтиёрий O' нуцтани олиб,
бу нуктадан А1 ва ну^талар-
нинг мос равишда г ва ^радиус-
векторларини утказамиз ^амда
(9.8) га асосан М нуцтанинг тез-
лигини аницлаймиз:
Нуктанинг г радиус-вектори
s ёй координатасига бовлиц, яъни
1G2- раем.
99
= r(s). Шу сабабли нуктанинг тезлиги учун цуйндаги ифюдани ёзиш
гмкип:
— d г ds
V = —•-------,
ds di
бунда
= lim Ar.
ds As-->0 As
(9.24)
(9.25)
— векторнинг йуналиши А г векторникн билан бир хил бхладп.
As “
/As'->0 да унинг йуналиши ёп коордииатаги ортиб борадиган томон-
га .И пуктэдз траекторняга утказитган уринманинг йуналишига инти-
лада. Бу холд i
| АШ1|
im
ЛШ1
lim ।
=6, — вектор ’мицдор жи^атдад бирга тенг ^амда
ds
ортиб борадиган томонга Л4 нуктада траекторняга
... ------ ----- dr ^сгггор уринманинг
ids
^Шундай к(Л1
ёй коордипатаси
утказилган уринма буйича йуналади, яъни вектор
бирлик вектори т° ни ифодалайди (103-раем):
ds
(9.26) ни (9.24) га цуйиб, нуктанинг тепигини аницлаймиз:
Т = (9.27)
dt
(9.26)
бунда
ds
— = t>
di
тезликнинг алгебраик цийматиин ифодалайди.
Агар вацтнинг бирор пайтида -- > 0 булса, s функция шу пайт-
di
д-1 уеувчан бу.мди ваТ тезликнинг йуналиши уринманинг бирлик
вектори т, билан бпр хил булади (103-раем, а). Агар вацтнинг бирор
пайтида — < 0 булса, s функция шу пайтда камаювчан булади ва
Л
Гтезликнинг йуналиши т° га тескари булади (103-раем, б).
Агар -- хосила узлукенз равишда узгариб ~ = 0 орцали утганда
r di ’
уз ишорасини узгартирса, $ ей координатаси бу пайтда максимум ёки
(9.28)
100
lt>3- раем.
минимум цийматга зришади, яъни нуктанинг харакат йуналиши узга-
ради.
Шундай цилиб, о = — нуцта тезлипвдинг алгебраик циймэги би-
dt
лан бирга траекториядаги й$налишини дам ифодалайди.
19-масала. Огиш бурчаги кичик булганда маятник s-:asinkt
донун асосцда айлапа ёйи буйлаб даракатланзди (104-раем,а).Бунда
ей координатаси боши учун О нудта олинган, а на k узгармас мик-
дорлардир. Маятникнн и([одаловчи нуктанинг тезлиги ва тезликнинг
энг катта киймати апи^лансин,
Ечиш. (9. 28) га асосан
ds . ,,
v = — —ak coskt.
(1)
ds и *
булса, нуцтапинг тезлиги ей коордппатасининг мусбат йупа-
лиши буйича (104-раем, б), ~ <0 булса, ей координатасишшг ман-
фий йуналиши буйича (104-раем, в) йуналади.
Харакат ^онунидан кууамизки, нугута ей амплнтудаси а га тенг
булган гармоник тебранма харакатда булади. Энг четки А га Z? кух-
таларда 5шЛ/ — ± 1 на coskt --- 0 булгани учуп бу ну^тагарча тез-
лнк нолга тенг. (1) дан
^’пах —
булишини аницлаймиз. Яъни | cos kt |
~ 1, sin kt — 0 булг. нда (ёки нут$та
О дан утганда) унинг тезлиги макси-
мум ^ийматга эришади.
55-§. ^аракати табиий усулда
берилган нуктанинг тезланиши
105-раем. Нудта тезланишининг табиий коор-
дината у^иаридаги проекцияларини анид-
лаймиз. Бунинг ут1ун (9.27) формулани цуйидаги куринишда ёзамиз:
у = у т°,
бунда: т° — уринманинг бирлик вектори; v = — — тезликнинг алгеб-
раик циймати. У холда нукта тезланиши учун берилган (9.10) фор-
мула куйидагича булади:
dv dv n I d т° dv г, । rf т ds /q oo\
w — = -— 4- f —- = ---------4- v------------. (9. 29)
dt dt dt dt ds dt
dt0 •» «
Бу формуладаги •— векторнинг миддори ва йуналишини анидлаймиз:
ds
di° ,. Дт°
----- = hm ----------,
ds &s->0 A s
бунда A t° вектор траекториянинг M ва нудталарида мос равиш-
да олинган т° ва Tj уринмалар бирлик векторларининг айирмасига
тенг (105-раем). |А1В| = 1, ]Л1С|=1 булгани учун, тенг ёнли МВС
учбурчакдан
|A?[ = |BCJ = 2sin^p
бунда А 6 орцали т5 ва tJ бирлик векторлар орасидаги бурчак бел-
гиланган. Натижада
ёки
(. АО \ . А6
ЬШ 2 А 6 I Sm 2 .. Д6 А0
-----------— I = 11Ш ----------- • hm — = hm — ,
А 6 Д 5 I Д6-»0 А6 A s As->0 A s
2 / 2
бу тенгликда (9.22) ва (9.23) га кура
Де ,1
hm------- = k = —
As->0 As P
102
бунда: k — траекторияиинг /VI нуктадаги эгрплнгп; р — эгрилик ра-
диуси. Бинобарин, 1-^- I — — булиб, векторнинг модули траек-
I ds I р ds
ториянинг М нуктадаги эгрилигини ифодалайди. Мазкур векторнинг
йуналиши DM В нинг Л 0 -> 0 даги лимит холати билан аникланади:
DMB = DMC + СМВ = (— — — '| — ДО = — + —,
\2 2 } ‘ 22
Бу тенгликдан курамизки, А 6->0 да DMB-^-~t яъни вектор-
нинг йуналиши М нуцтада траекторияга утказилган п° бош нормаль
бирлик векторининг йуналиши билан бир хил булади.
Шундай гуилиб, -— вектор миедор жихатдан — га тенг, йунали-
ds * р
ши бош нормаль буйлаб траекторияиинг эгрилик маркази томен
йуналади, яъни
(9.28) ва (9.30) га асосан, (9.29) цуйидагича езилади:
+ — 7i°. (9.31)
dt р
Бу формула ёрдамида тезланишнинг табиий координата ут^ларидаги
ташкил этувчилари аникланади. — т вектор траекторияга М нук-
тада утказилган уринма буйича йуналади ва уринма тезланиш
дейилади хам да билан белгиланади:
— dv .—
т°. (9.32)
— rf вектор эса траекторияга 7И нуктада утказилган бош нормаль
Р „ —
буйлаб йуналади ва нормал тезланиш дейилади хамда wn билан
белгиланади:
wn = — 7°. (9.33)
р
Уринманинг бирлик вектори т° ва бош нормалнинг бирлик векто-
ри п° траекторияиинг М нуцтасида утказилган эгрилик текислигида
ётгаплиги туфайли А1 нуктанинг тезланиши хам мазкур эгрилик те-
кислигида ётади. сабабли тезланишнинг бинормалдаги ташкил
этувчиси нолга тенг булади.
(9.32) ва (9.33) га асосан тезланишнинг табиий координата уцла-
ридаги проекциялари куйидагича аникланади:
103
<»„ = -. (9.35)
р
Бу тенгликтардан курамлзки, ну^па тгзлачишининг уранмада-
ги проекцияси тгзликчанг агггбртлк. цийчтплдан вац-п буйича
олинган биринчи тартибли з&силага ёки нущпанинг ёй координа-
тасидан вахт буйича олинган иккинчи тартибли 'крсилага тенг;
нуцта тезланишининг бош нормалдаги проекцияси шу нуфпа тез-
лиги кваЭратининг траекториянинг берилган нуцтадаги эгрилик
радаусига нисбатига тенг.
Траекгориянинг М ну^тасида уринма ва бон нормалнинг бирлик
векторлари т°, п° буйича йуналган wx ва wn вектозларни тасвир-
лаймиз (106-раем). Бунда wn нэрмал тезланиш доимо М ну^тада
траекгориянинг бэтш$ тэчэнага йуналада ва мусбат ^ийматга эга бу-
лади. уринма тезланиш эга > 0 да т° билан бар йуналишда
булади (lO5-]pacvi, а) з>т<0 да га ^арама-^арлл йуналади
(106-раем, б). __ _
Нуктанинг тезланиш вектори w уринма тезланиш ва нормал
тезтаниш ’л)п ларнинг геометрик йикшдиенга тенг:
w ~wx + wn, (9.36)
Бу иккя тезланиш узаро перпендикуляр йуналганидан туда тезланиш
модули
w = (9-37)
формуладан, йуналиши эса
= (9.38)
формуладан топилади.
104
56-§. ^аракатнинг хусусий х°ллари
1. Тугри чизицли харакат. Агар нуктанинг траекторияси тугри
чизикдан иборат булса, р ~ оо булади. Бу з^олда wn = — = 0 бу-
Р V
лио, нуктанинг тезланиши фацат уринма тезланишга тенг булади:
Бу холда нуктанинг тезлнги фа^ат миедор жихатдан узгарганлнги
туфайли нуктанинг уринма тезланиши тезликнинг сон хиймати жи-
хатдан узгаришини ифодалайди.
2. Эгри чизи^ли текис харакат. Агар нукта эгри чизицли текис
Харакат хилса, яъни о ~ const булса, 0 булиб, нуктанинг
тезланиши фа^ат нормал тезланиш w — w„ = — га тенг булади. Бу
хотда нуктанинг тезланиш вектори w доимо эгри чизикнинг ботиц
томонига йуналган бош нормаль буйлаб йуналади. и = const булга-
ни учун бу тезланиш ва^т утиши билан фа^ат ну^та тезлиги йуна-
лишинииг узгаришидан хосил булади. Бннобарин, нормал тезланиш
нухта тезлигининг йуналиш жихатдан узгаришини ифодалайди.
Текис харакат тенгламасини тузиш учун (9.28) тенгликдан фой-
даланамиз, бунда [t£= = const булганндан v0 = — ёки]
dt
ds = t)0 dl (9. 39)
Дастлабки пайтда, яъни /=0да нуцтапинг ёй координатаси sora
тенг, t настлан кейин эса s га тенг булсин. У зрдда (9.39) нн ин-
• I
тегралласак, [' ds = f vodt ёки
s9 6
s=s04-o0/ (9.40)
келиб чикади. (9.40) ифода нуктанинг эгри чизиули текис хара-
кати тенгламаси дейилади.
3. Тугри чизицли текис харакат. Бу холда w = = wn — 0 бу-
лади. Фаь-ат тугри чизи^ли текис хаРакатда нуктанинг тезланиши
доимо нолга тенг булишини таъкидлаб утамиз.
4. Эгри чизи^ли текис узгарувчаи харакат. Агар нуктанинг ха-
ракатн давомида доимо — const булса, бундай харакат текис уз’
гарусчан харакат дейилади. Текис узгарувчаи харакат тенгламасини
тошпи учун харакатнинг бошлангич шартлари берилган булиши керак.
Дастлабки пайтда, яъни t = 0 да s = s0 ва v ~ v0 булсин. (9. 34)
формуладан
dv=wxdt (9.41)
тенгликни оламиз. (9.41) ни = const эканлигини эътиборга олиб
интеграллаймиз:
105
f dv = j i»t at
°o t
ёки
D = + (9.42)
(9.42) дан эгрн чизицли текис узгарувчан ^аракатдаги нуктанинг
тезлиги аницланади. Бу ердаги v нинг урнига — ни цуямиз:
dt
— = ип -г к-' t ёки ds = v,.dt 4- а-> tdt.
dt 0 г о • х
Бу тенгламанинг икки томонини яна интеграллаб текис узгарувчан
^аракат тенгламасини олампз:
s = su-| Jr (9.43)
Тугри чизицли текис узгарувчан харакат тезлиги ва харакат тенг-
ламаси хам (9.42) (9.43) формулалар каби топнлади, факат ёй коор-
динатаси s урнида нуктанинг тугри чнзи^ли координатаси х катнашади:
57-§. Нуктанинг уринма ва кормал тезланишларига оид
масалалар
20-масала. Нуцта R радиуели айлана буйлаб s масофани утган
ондаги тезлигн и — K2g/i га тенг; бунда h — айлананинг горизонта.?
ОВ диаметридан нуктанинг пастга ту шиш баландлиги. Агар шу пайт-
да ООгМ = <р булса, нуктанинг уяга мос келувчи тезланиши топил-
сип (107-раем).
6' .. . л _-V4 у 107- раем. 106 Ечиш. Нуктанинг хрлатини ёй координатаси Й4 = s = билан ! аии-утаймиз. Нуктанинг нормал тез- / ланшдини (9. 35) дан топамиз. p~R, / v ~ J 2gh, h = R sin <p ^ийматлари- c2 . ini wn = — форжлага кеисак, P = 2^ sin ср (1) ^осил булади. Уринма тезланиш эса (9.34) воситасцца ани^ланади:
= — ёки = — ('/2Й = S— —
<u 1 « I J л ’
h — R sin <p булганидан
tlft d / 7-4 • . _. dtp
~ = X-(Rsln4’) =Rc°s<p J .
dt dt dt
Нукта тезлигининг алгебраик цийматини (9.28) дан топамиз:
о = — = — (R-ф) =
dt Л di ’
бундан
d <р _ V~2gft
dt R
(5) ни (3) га цуйсак,
— =1^2gh costp
dt
^осил булади. (6) га асосан (2) дан ^йидаги келиб чнвди:
wx = gcos<p.
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(1) ва (7) ни (9.37) га цуямиз ва нуктанинг тули^ тезланишини анда
лаймиз:
w = = g |/r(2sin<p)2 4- (cos<p)2 = g \Г 1 4-3sin2(p.
21-масала. Снарвднинг харакати
x := ц/ cos а0, у = ц/ sin сс0 — у g? (1)
тенгламалар билан берилган, бу ер да и0 ва а0 — доимий мицдорлар;
а0 < Снаряднинр энг узоцца тушиш масофаси х1Пах ва Ерга ту-
шиш о^дидаги траекториясининг эгрилик радиуси р топилсин.
Ечиш. ^аракат тенгламаларидан t ни йуцотиб, траекториянинг
тенгламасини топамиз:
У = х tg а0--------— х2.
2cficos-a0
(2) I
Демак, траектория параболадан
иборат экан (108- раем). Ну^та
Ерга {Ох уда) тушган ва^тда
унинг координаталари (лггагх, 0)
булади. (I) да у = 0 деб караб,
спаряднинг Ерга тушиш вацти
ни апиклаймиз*
108- раем.
107.
О = vot sin a0 —l- gt2,
бунда t — О бошлангич Балтии,
_____________________________j. __2p0 sin (g)
1 g
эса сиаряднипг энг узок да ту шиш вацтини билдиради, У ^олда
sin 2 ct0
х = -V.nax = Vo COS ----- (4)
(9.14), (9.15), (9.19) ва (9.20) формулмар воситаспда v тезлик
ва w тезланишпи топамиз:
х — v0 cos а0, х — 0,
у = v0 sin а0 — gt, у = — g, (5)
Vе = л'2 4- У~ = V2 — 2 vQgt sin cz0 -{- g2t2,
= x2 4- t/ =
(9.34) га кура уринма тезланиш
"I = -- ~ — g fro sin a0 — gO
cd I (u0 cos tzc)J + (sa sill — gt)*
булади. Бу ердаги t нинг урплга Ерга тушиш влкти ни куйиб шу
пайтдаш ни топамиз:
= = g bin йо
] siri^o
(9.37) га асосан иуцтапинг нормал тезланиши кунидагича булади:
=}•' to2 — te£ = I g~ — g2sm2a0 = geos а,.
(3) пи (о) га ^уйсак, t — tr пайтдаги тезлшшинг кийматя v = и0
экаилиги келиб чикади.
(9.35) даги о нинг урнига и0 ни куйсак, эгрилик радиуси
X боб
ЦАТТИК ЖИСМНИНГ И,Г! Г АРИЛ АНИЛ ВА ЦУЗГАЛМАС УК
АТРОФИДАГИ All,ПАННА ХАРАКАТИ
1\атти^ жисм кинематикасида учрайдиган масалалар икки циемга
булинади: 1) бутун жисмнинг ^аракати ва бу харакатнинг кинематик
хусусиятларини ани^лаш; 2) жисм хар бир нухтасинииг ^аракатини
ургаииш.
108
Дастлаб ^аттик жисмнинг энг содда з^аракатлари: илгариланма
ва цузгалмас уц атрофидаги айланма ^аракатларини куриб чицамнз.
58-§. Катти;< жисмнинг илгариланма ^аракати
Жисмда олинган ^ар кандай кесма жисм ^аракати давомида
хрмма вацт уз-узига параллел цолса, жисмнинг бундай харакати ил-
гариланма харакат дейилади.
Илгариланма харакатдаги жисм нукталарининг траекториялари
исталган куринищда булиши мумкин. Масалан, тугри чнзикли рельс-
да харакатланаётган вагон кузовинииг харакати илгариланма .харакат
булиб, кузов нукталарининг траекториялари тугри чизикдан иборат.
Иккинчи мисол тарикаснда 109-расмда курсатилган Л В спарник-
нипг харакатини кузатамиз. OjA ва 02В кривошиплар 0ь О % уклар
атрофида анланганда, АВ спарник ^амма вацт уз-узига параллел ко-
лади, яъни илгариланма ^аракат килади. Спарникнинг А ва В нук-
талари марказлари Olt 02 ну^таларда ётган айланалар чизади. Демак,
бу холда илгариланма харакатдаги АВ спарник нукталарининг траек-
ториялари айланалардан иборат булади.
К.атти^ жисмнинг илгариланма ^аракатига оид хуйидаги теорема-
ни исботлаймиз.
Теорема. Илгариланма харакатдаги жисмнинг зуиама нуктала-
ри бир хил чизиц (траектория) чизади ва хар онда микдор хамда
йуналишлари жихатдан бир хил тезликка ва бир хил тезланишга
эга булади.
Теоремани исботлаш учун жисмнинг берилган Oxyz 1^узгалмас
координаталар системасига нисбатан илгариланма ^аракатини текши-
рамиз (110-расм). Жисмда ихтиёрий Л ва В нуцталарни олиб, улар-
нинг радиус-векторларияи гА ва билан белгилаймиз. Расмдан
+ (Ю.1)
Жисм харакатланганда гА, гв узгаради. Аммо АВ кесманинг
узунлиги ва йуналиши узгармайди. Чунки цатти^ жисм таърифига
кура, АВ кесманинг узунлиги узгармас булнб, илгариланма эсара^ат таъ.
рифнга кура, у доимо узига параллел крлади, Шунинг учун (10.1) тенг-
ликдаги гА ва гсвекторларузгарганда, уларнинг А ва В нукталарининг
траекториялари бир хил булади, яъни AAt = BBt ва параллел булади.
В нуктанинг тезлигини ани^лаш учун (10.1) дан t вакт буйича
росила оламиз:
109
ёки
А ва В ну]уга.иар ихтиёрий нукта л ар булгани учун илгариланма
харакатдаги жисмнинг цолган барча нуцталарининг тезликлари хам
бир хил булади. (10.2) дан t ва^т буйича росила оламиз:
dvB dvA
dt dt *
ёки
= (10.3)
(10.3) тенгликдан илгариланма харакатдаги жисм хамма нуктала-
рининг тезланишлари бир хилда булишини курамиз. Шундай 1\илиб,
теорема исботланди.
Бу теоремадан, жисмнинг илгариланма царакати унинг бирор
нуцтасининг ърракати билан аникяанади, деган хулосага келамиз.
Одатда, бундай нуцта учун жисмнинг огирлик маркази С ну^та оли-
пади. Мазкур нуктанинг харакат тенгламаларини координата усулида
куйидагича ёзиш мумкин:
*с = № УС = Ш. (Ю.4)
Шу сабабли илгариланма хдракатдаги жисмнинг кинематикаси
нукта кинематикасидан фар1$ ^илмайди. _ _
Илгариланма харакатдаги жисм нуктасининг с тезлнги ва тез-
ланиши жисмнинг барча нутдалари учун бир хилда бх'лганидан улар-
ни мос равишда жисмнинг тсзлиги ва тезланиши дейилади. v ва ш
векторлар жисмнинг ихтиёрий нуктасига куйиб тасвирланади.
НО
2 |
111- раем.
59-§. Цаттиц жисмнинг кузгалмас
ук атрофидаги айланма ^аракати
тенгламаси
Харакатланувчи каттик жисмнинг Ни-
кита пуктаси доимо ^узгалмасдаи колса,
унинг бундай харакати кузгалмас yi\ ат-
рофидаги айланма харакат дейилади.
Шу кузгалмас нуцталардан утган тугри
чнзик айланиш. iftu дейилади. Жисмнинг
айланиш у^ида жойлашган ну^талари дои-
мо харакатсиз булади.
Капиц жисмнинг айланма царакати-
ни текшириш учун айланиш уки орцали
иквита текислик утказамиз. Улардан би-
ри кузгалмас 77О текислик, иккинчисиэса
жисм билан маркам бириктирилган ва у би-
лан бирга харакатланадиган П текислик булсин (111-раем). Айланиш
укини жисмнинг А ва В нуцталари ортали юцорига йуналтирамиз ва
уни Az билан белгилаймиз. Жисм Az уц атрофида харакатлангаяда
П текислик По текнеликка нисбатан ф бурчакка бурилади. Бу бур-
чав айланиш бурчаги дейилади (у радианда улчанади). Айланиш
укининг мусбат йуналишидан цараганимизда жисм соат милининг
айланишига тескари йуналишда айланса, айланиш бурчаги мусбат,
акс цолда манфий деб хисобланади. К^узгалувчан текисликнинг куз-
галмас текнеликка нисбатан фазодаги цолати исталган t вацт учун
Ф бурчав билан аникланади. П текислик жисм билан маркам бирив-
тирилганидан жисмнинг цолати цам ф бурчав билан аницланади.
Жисм Аг уц атрофида айланганда мазкур бурчав вацтнинг узлук-
сиз, бир кийматли функцияся сифатида узгаради:
Ф = (10.5)
Бу ифода жисмнинг кузгалмас атрофидаги айланма ^аракати
тенгламаси дейилади. Агар (10.5) тенглик берилган булса, жисм-
нинг Ло текнеликка нисбатан вактнинг з^ар бнр пайтидаги ^олати
маълум булади.
60-§. Айланма ^аракатнинг бурчав тезлнги.
Текис айланма ^аракат
Айланиш бурчаги ф дан ват^т буйича олинган биринчи росила
Жисмнинг бурчак тезлиги дейилади ва со билан белгнланади:
“ = -f- (10.6)
ёки
<о = ф = f (/).
ill
Бунда хосиланинг ишораси жиемнинг айланиш йуналишини нфода-
лайди. ф = /'(/)> О булса, шу онда f(t) функция усувчан булади,
яъни у^нинг мусбат йуналишидан Караганда, соат милининг айлаии-
шпга тескари йуналишда айланади; <р = f' (t)< 0 булса, шу онда
f(t) !ру'икция камаювчан булади, яъни жисм соат милининг айланиш
йуналишнда айланади.
Агар харакат давомида со — со0 узгармаса, жисм текис айяанма
харакатда дейилади. Бу хрлда
= соо = const, dtp = соо dt.
di
Бу тенгламани интеграллаймиз:
Ф = <оо£ -ф Cj.
Бунда С\ интеграллаш доимийси булиб, харакатнинг бошлангич шарт-
ларидан аникланади. Масалан, бошлангич (£=0) пайгда айланиш
бурчаги <р = ср0 булсин. У хрлда ю^оридаги тенгликдар = ф0 бу-
лади. Шундай килиб, жиемнинг текис айланма прикати тенгла-
маси
<Р = <Го + ‘о< (*0.7)
куринишда ёзилади.
Агар t — 0 пайтда ф0 = 0 булса, (10.7) га кура текис айланма
^аракат тенгламаси ф = cot куринишда ёзилади. Бундан
СИ системасида бурчак тезлиги рад/с (ёки 1/с) да улчанади.
Жисм бир марта туда айланганда ф — 2л булади. Жисм бир ми-
нутда п марта айланса, текис айланма ^аракатвинг бурчак тезлиги
цуйидагига тенг булади:
со — = 2YL рад/с. (10.9)
60 30 н v л
Бу форму лада бир минутдаги айланишлар сони п жисм текис-
айланма ^аракатинииг бурчак тезлигини характерлайди.
22-масала. Буг турбинаси дискнн ^аракатга келтириш давридаги
айланиш тенгламаси ёзилсин; айланиш бурчаги ва^тнинг кубига му-
таносиб ва / = 3 с булганда бурчак тезлиги п = 810 айл/мин га
тенг булади.
Ечиш. Масала шартига кура, дискнинг ^аракат цонунини 1^уйи-
даги формула билан ифодалаш мумкин:
Ф = kt3 рад,
бу ерда k — узгармас кяйматга эга булган ва изланаетган номаълум
коэффициент.
(10.6) га асосан дискнинг бурчак тезлиги со ни аницлаймиз:
(0==_^Ф=3^2. (])
dl v '
112
t — 3 с булганда n = 810 айл/мин булиши маълум; (10.9) га асосан
“ = ТГ = ЛГ=27л1’ал'с- (2)
k ни топиш учун (1) га t = 3 с кпйматии куйиб, (2) билан солиш-
тирсак, k = л келиб чицади.
Шундай 1\илиб, дискнинг ^аракат кснуни q = л/3 ку’ринишида
езилади.
61- §. Айланма харакатнинг бурчак тезланиши.
Текис узгарувчан айланма ^аракат
Вакт бирлиги ичида жиемнинг бурчак тезлиги узгариши билан
характерланадиган катталик жиемнинг бурнак тезланиши дейилади.
Жиемнинг айланма ^аракатдаги бурчак тезланиши бурчак тезлигидан
вацт буйича олинган биринчи тартибли ^осилага ёки айланиш бурча-
гидан вацт буйича олинган иккиичи тартибли хосилага тенг булади.
Бурчак тезланиш одатда е билан белгиланади:
е = = ^5.. (10.10)
dt dt \ dt ) di* '
Бурчак тезланиш рад/с2 ёки 1/с2 билан улчанади.
(10.10) да ^осиланинг ишораси жисм айланма ^ракати бурчак
тезлигининг орта бориши ёки камайишини ифодалайди. ->0 ^Ул"
са, со орта боради ва бундай ^аракат тезланувчан айланма харакат
дейилади; -^-С 0 булса, со камая боради ва бундай харакат секин-
ланувчан айланма харакат дейилади.
Агар ^аракат давомида е = е0 = const булса, жиемнинг бундай
харакати текис узгарувчан айланма харакат дейилади.
Текис узгарувчан айланма харакат тенгламасини ани^лаш учун
(10.10) тенгликни хуйидаги куринишда ёзамиз:
dco = Eodf.
Бу тенгликни интеграл лаб со = го/-рС1 ни ^осил ^иламиз. Бунда
Ci интеграллаш доимийси булиб, харакатнинг бошлангич шартлари-
дан топилади. Масалан, t = 0 да со = соо булса, Сх = соо булади. У
хрлда текис узгарувчан айланма харакатнинг бурчак тезлиги
co = coo-b£f (10.11)
формула дан аникланади.
Текис узгарувчан айланма зрракат тенгламасини келтириб чиг;а-
риш учун (10.6) га кура (10.11) ни цуйцдагича ёззмиз:
с/ср = (соо + е/) dt.
8—2344
113
Бу тенгликни интегралласак,
ф — 1й0^ 4—— С2.
t => 0 да ф — Фо булса, охирги тенгликдан С2 = ф0 булишини ку-
рамнз. У ^олда
ф = % + ц/ + -у-. (10.12)
Бу тенглама жисмнинг кузгалмас уц атрофидаги текис узгаруечан
айланма ^аракати тенгламасини ифодалайди.
Жисмнинг айланма ^аракати тенгламаси ф — f (Г), бурчак тезлиги
(й ва бурчак тезланиши в кузгалмас уц атрофнда айланаётган бутун
жисмнинг ^аракатини кинематик характер лай ди. Аммо жисм ай-
рим нухталарининг харакатини аниклаш учун бу катталиклар етарли
эмас.
62- §. Кузгалмас ух атрофида айланма харакатдаги жисм
нукталарининг тезлиги ва тезланиши
Кузгалмас yi£ атрофида айланма харакатдаги жисм иуцталари-
нинг харакатини характерловчи кинематик элементларни, яъни тра-
ектория, тезлик ва тезланишларни аниклаймиз.
Жисмнинг айланиш у^ида иккита цузгалмас Л ва В нуцталарни
оламиз. Жисмнинг айланиш увидал /? масофада жойлашган М нуц-
тани олиб, уни А ва В ну^талар билан туташтирамиз (112-расм, а).
112- раем.
114
Жисм айланиш ухи атрофида айланганда МА ва МВ кесмаларнинг
узунлиги узгармас булганидан М нухта радиуси R га тенг, маркази
айланиш ухининг С нуктасида жойлашган айлана чизади. Бу айлана
М нуцтанинг траекториясини ифодалайди. М нукта жисмнинг ихтиё-
рий нудтаси булганидан, айланма харакатдаги 'жисм нукталарининг
траекториялари, маркази айланиш ухнда булган ва айланиш укига
тик текисликларда жойлашган айланалардан иборат эканини кура-
миз. Энди М нуктанинг траектория буйлаб харзкатини кузатайлик
(112-расм, б). Бирор t вадтда мазкур нудта М холатда булиб, dt
вакт утгандан кейин у траектория буйлаб М долатга кучсин. Шу
dt вадт ичида жисм у к атрофида dtp бурчакка айланади. Нукта эса
траектория буйлаб ds ~ Rd(p ёйни босиб утади. М нудтанивг траек-
тория буйлаб харакат тезлиги (9.28) формулага мувофид анидланадш
о = —= = (10.13)
dt dt
Бу формула ёрдамида анндланадиган v тезлик 'жисм ну^пасининг
чизиули тезлиги дейилади.
Шундай хилиб, кузгалмас уц атрофида айланма харакатдаги
жисм ихтиёрий нуцтаси чизицли тезлигининг мицдори жисм бур-
чак тезлигининг мазкур нукупадан айланиш уцигача булган масо-
фага купайтмасига тенг. Чизи^ли тезлик М нухта чизган айланага
харакат йуналиши буйича утказилган уринма буйлаб йуналади.
Жисмнинг барча нухгалари учун берилган онда w бир хил дий-
матга эга булгани учун (10.13) дан дуйндаги натижани оламиз: дуз-
галмас уд атрофида айланма харакатдаги жисм нудтасининг чизидли
тезлиги мазкур нудтадан айланиш удигача булган масофага мутано-
сиб тарзда узгаради (112-расм, в).
кузгалмас ух атрофида айланма даракатдаги жисм нукталари-
нинг траекториялари айланалардан иборат булгани учун М нукта-
нинг тезланиши уринма ва нормал тезланишлардан ташкил топади;
(9.34) ва (9.35) га асосан
Курилаётган долда Р — R ва v = Rm булгани учун
гит= =Д.Е, (10.14)
= ('«-'б)
Уринма тезланиш траекторияга утказилган уринма буйлаб
(агар харакат тезланувчан булса, хаРакат йуналишида; секинланув-
чан харакатда эса, унга тескари) йуналади, Нормал тезланиш wn эса
R буйлаб айланиш уки томон йуналган булади (112-расм, г). Баъзан
wx ни айланма тезланиш деб, wn ни эса марказга интилма тез-
ланиш деб хам юритилади. (9.37) формуладан тезланишнинг микдори
115
= + (10.16)
ва (9.38) дан мазкур тезланишнинг йуналиши
tg(i = ^L (Ю.17)
со-
топилади.
Жисмнинг барча нукталари учун берилган онда со ва е бир хил
^ийматга эга булганидан ji бурчак хам шу онда мазкур нукталар
учун битта цийматга эга булади. (10.16) дан айланма харакатдаги
жисм нухтасинивг тезланиши мазкур нухтадан айланиш уцигача бул-
ган масофага мутаносиб равишда узгаришини курамиз (112-расм, д).
63- §. Бурчак тезлик ва бурчак тезланишнинг векторлигм
Юкорида курганммиздек, кузгалмас ух атрофида айланма хара-
катдаги жисмнинг бурчак тезлиги (10.6) формула ёрдамида аникла-
на дитан скаляр катталик билан ифодаланади. У холДа нукта чизик-
ли тезлигининг мгкдори (10.13) форму-ладан топилади. Нуцта чизиц-
ли тезлигининг вектор шаклидаги формуласини ани^лаш учун бурчак
тезяикни вектор катталик деб караймиз. Бунинг учун бурчак тез-
лик векторини айланиш ухи буйлаб йуналган ва уиинг мусбат йуна-
лишидан кэралганда, айланиш соат милининг айланишига тескари
йуналишда к урин? диган, айланиш уцининг ихтиёрий нухтасига цуйил-
ган вектор билан тасвирлаймиз. Бурчак тезлик векторининг модули
форму ладан аникланади.
Бурчак тезлик вектори со берилган [булса: 1) со вектор ётувчи
айланиш уцининг холата; 2) со векторнипг йуналиши ёрдамида аншу
ланадиган айланиш йуналиши ва 3) со векторнипг модулига тенг бул-
ган жисм бурчак тезлигининг абсолют цмимати маълум булади. Шу
сабабли бурчак тезликни вектор тарзида тасвирлаш купчилик кинема-
тика масалаларини ечишни осонлаштиради.
Айланиш ухи учун z ухни олиб, мазкур ухнинг бирлик векто-
рини k билан белгиласак, куйидагича ёза оламиз:
— dq> —
со = —/г. (10.18)
Айланиш ухи кузгалмас булгани учун k= const', жисмнинг бурчак
тезланишини аниклаш учун (10.18) дан вакт буйича росила оламиз:
- = ^=2г=д>£
(10.18) ва (10.19) формулалардан ку-рамизки, со ва е векторлар
ва бир хил ишорали булса, айланиш уки буйлаб бир то-
пе
мопга (113-расм, а}, турли ишорали б$'лса, ^арама-царши томонга
йуналади (113-расм, б).
г векторнинг модули
I £ । " |~d^| ‘
64- §. Айланма харакатдаги жисм нукталари Тезлиги ва
тезланишининг векторли ифодалари
Жисм ихтиёрий М ну^тасининг айланиш уцидаги О нуктага нис-
батан радиус-векторини г билан белгилаймиз. У холда М ну^та тез-
лигининг модули
| v | = /?со = гео sin (to-r ) = | со X г |
формуладан аникланади. _
и тезлик. вектори со бурчак тезлик билан г радиус-вектор
ётган текисликка перпендикуляр равишда, айланиш йуналишида
М нукупага айланага утказилган уринма буйлаб йуналади (113-
расм). со X г вектор <о ва г ётган текисликка (яъни М нукта ва
айланиш у^и орцали утувчи текисликка) перпендикуляр равншда, ай-
ланиш иуналиши_ буйича йуналади.
Бинобарин, v ва со X г векторлар модуль жихатдан тенг, йуна-
лиши бир хил, яъни улар узаро тенг бу'лади:
117
V = <0 X т .
(10.2С)
Шундай килиб, к$з?алмас атрофида айланма уулракатдаги
жисм ихтиёрий нуктааининг чизицли тезлиги жиемнинг бурчак
тезлик вектори билан мазкур нуктанинг айланиш уцидаги ихти-
ёрий нуктага нисбатан радиус-векторининг векторли купайтма-
сига тенг.
(10,20) ифода т^атти^ жисм кинематикасидаги асосий формула’
лардан бири булиб, Эйлер формуласи дейилади.
Уринма ва марказга интилма тезланишларнинг векюрли нфодаси-
ни аиицлаш учун (10.20) дан ватуг буйича
— du do - . —
w = -—- — — X Г 4- Сй
di dt
росила оламиз:
dt
Бунда
d со — dr —
Т " 6 ва ~at ~ v
булгани учун
(10.21)
Бу тенгликдаги в х г уринма тезланиши, со X о марказга интил-
ма тезланишни ифодалапшни курсатамиз.
113-раем, а да тезланувчан айланма ^аракат, шу раемнинг б
сида секннланувчан айланма харакат учун уринма ва марказга
интилма тезланишларнинг йуналиши курсатилган.
в X г векторнинг модули:
|б X г J = | б | г sin а = | б | /? =» | ач I
буладн; бунда а ортали г радиус- вектор билан б бурчак тезланиш
орасидаги бурчак белгиланган.
е х г вектор 8 ва г ётган текисликка (яъни М нуцта ва аила-
ниш уки ортали утувчи текисликка) перпендикуляр равюда тезла-
нувчан айланма харакатда v тезлик йуналиши буйича (113-раем, а),
секннланувчан айланма ^аракатда эса унга тескари йуналади (113-
расм, б). _ _ _
Бинобарин, б х г ва wx векторларнинг модуллари тенг, йуна-
лиши бир хил, яъни улар узаро тенг булади:
w* = 8 Хг. (10.22)
Шундай ^илиб, цузсалмас уц атрофида айланма ^аракатдаги
жисм ихтиёрий нуцтасининг уринма тезланиши жиемнинг бур-
чак тезланиш. вектори билан мазкур нуктанинг айланиш уцидаги
ихтиёрий нукупагд, нисбатан радиус- векторининг векторли купайт-
масага тенг.
118
Курилаётгап долда о X со булгани учун, sin (со v)— 1 булади. Шу
сабабли
| со х f | — | со 11 v | sin (со , и) = fсо 11 о | = # со2 — w
Агар бурчак тезлик вектори со ни фикран Л1 нудтага кучирсак, со х
X v вектор тезланувчан айланма даракатда дам, секинланувчан айлан-
ма Даракатда Vм Л1С радиус буйича С марказга йуналади.
Бинобарин, со х f ва wn векторларнинг модуллари тенг, йуна-
лиши бир хил, яъни улар узаро тенг булади:
шп=соХи. (10.23)
рд Шундай цилиб, кузгалмас уц атрофида айланма %аракатдаги
жисм'ихтиёрий ну^тасининг марказга интилма тезланиши жием-
нинг бурчак тезлик вектори билан мазкур нукта чизикли тезли-
гининг векторли купайтмасига тенг.
(10.22) ва (10.23) га асосан дузгалмас ук атрофида айланма х^ара-
катдаги жисм ихтиёрий нудтасининг тезланишини ифодаловчи тенг-
ликни куйидагича ёзиш мумкин:
= + (10.24)
(10.22), (10.23) ва (10.24) формулалар мос равишда цузюлмас
ук атрофида айланаётган каттик жисм нукталарининг уринма,
марказга интилма ва тулик тезланишларининг векторли ифода-
сидир.
23-масала. 114-расмда тасвирланган механизмда А юк х=(0,18-р
4- 0,7г2) М (t вацт секунд дисобида) цонун буйича тугри чизидли
илгариланма даракат дилади. ]дуйндагилар берилган: #3 — 1 м; г-з ~
= 0,6 м; 7?8=0,75 м. Юк 5=0,2 м йулни утган пайтда механизм
М нудтасинииг тезланиши анидлансин.
Ечиш. А юк S=0,2 м йулни утишига кетган т вадтнн дисоб-
лаймиз:
S = %^ — Л'(/=о) = °>7 т2'
бундан
Т=Ю>/б1=0-5з -
Харакат тенгламасидан вакт
буйича хосила олиб, А юкнинг
тезлигини анидлаймиз:
vA = х = 1,4^ м/с.
г9 радиусли гилдирак гардиши-
да етган нудтанииг тезлиги vA =
114- раем.
119
= r2<o2. Бупдав механизм 2-бугннпинг бурчак тезлиги учун едйидаги
ифодани оламиз;
Таллии илашмали R2 ва R$ радиуслн рилдираклар царама- царши
йуналишда айланади ва уларнинг бурчак тезлнклари рилдираклар
радиусларига тескари мутаносибдир: — = —*
Бундан
(10.10) га асосан бурчак тезланиш
<йо3 28 9 ,
е3 = —- cr2=const.
at у
(10.3) га кура М ну^та тезлигининг мицдори
wx = ^ЗШ, = °-75 “а
булиб, 3-гилдирак радиусига перпендикуляр равишда, у айланадиган
томонга йуналган.
(10.14) га биноан М нуктанинг уриима тезланиши ми^дор жи-
^атдан
= /?3 е3 = 2,33 м/с2
булиб, йуналиши v тезлик буйича йуналади, чунки рилдираклар
тезланувчаи даракат тдтлади (е > 0).
М нугуга марказга интнлма тезлаиишининг микдори (10.15) ёр-
дамцда апиклапади:
= 0,75
wn вектор радиус буйича рилдирак марказига йуналади.
(10.16) воситасида М нуктанинг тулиту тезланиши топилади:
и> = ЯгУе!+<4
Ани^ланган ифодаларнинг t = т ва^тдаги ^ийматлари ^уйидаги
жадвалда келтирилган:
О), с~ Ел > с— V м/с Тезланиш, м/с®
wT
1,65 3,11 1,24 2,33 2,02 3,09
120
XI боб
КАПИЦ ЖИСМНИНГ ТЕКИС ПАРА ПЛЕЛ XAPARATH
Жисмнинг хар бир ну^таси доимо бирор кузгалмас По текис-
ликка параллел текисликда ^аракатланса, унинг бундай ^аракати
текис параллел харакат дейилади.
Цаттиц жисмнинг текис параллел^аракатига хуйцдаги мисоллар-
ни келтириш мумкин: I) асоси доимо бирор кузгалмас текисликда
сирпанувчи конуснинг харакати; 2) тугри чизн^ли рельсда гилдирак-
иинг думалаши; 3) бир текисликда харакатланувчи машина ва меха-
низм ^исмларининг ^аракати ва ^оказо.
65- §. Текис параллел ^аракатнннг хусусиятлари.
Текис шаклнинг ^аракат текислигида кучиши
Цаттих жисмнинг текис параллел харакатини урганиш учун жисм
ортали По текнеликка параллел булган ихтиёрий П текисликни ут-
казамиз. П текислик жиемда S хирцимни хоенл дилади (115-раем).
Келгусида S юзани текис шакл деб атаймиз. Текис шакл хамма
вацт П текисликда харакатланади. Текис параллел харакатдаги жием-
да П текнеликка перпендикуляр цилиб олинган ДДз кесма узига
параллел равишда кучади, яъни A/l2 -кесма илгариланма харакатда
булади. Шу сабабли жисмнинг бу кесмада ётган хамма нукталари-
цинг харакатини урганиш урнига, улардан бирининг, масалан, S те-
кис шакл А нуктасининг харакатини урганиш кифоя. Шунингдек,
П текнеликка перпендикуляр ВгВ2 кесманинг хаРакатини урганиш
урнига унинг S юзадаги В нуктасининг харакатини урганиш етарли-
дир. Шундай цилиб, цатттих жисмнинг текис параллел хаРаКйТИНИ
Урганиш учун жиемда По кузгалмас текнеликка параллел булган
S юзаницг П текисликдаги харакатини билсак кифоя.
Текис шакл харакатланадиган
П текислик текис шаклнинг ха-
ракат текислиги дейилади. Цара-
кат текислигида жойлашган цуз-
галмас Оху координаталар систе-
масига нисбатан текис шаклнинг
Харакатини урганамиз. Келгусида
Харакат текислиги учун шакл те-
кислигини оламиз.
Текис шаклнинг уз текисли-
гидаги хаРакати унинг ихтиёрий
икки нуктасининг холэти билан
ёки бу нухталарни туташтирувчи
кесманинг холати билаи ани^ла-
нади. Шу сабабли текис шакл-
нинг харакатини урганиш урнига
унда олинган ихтиёрий кесманинг
Харакатини урганиш кифоя.
115- раем.
121
Текис шакл ^аракатини унда-
ги кинематик холата аник; булгап
нукта .^аракатига боглаб урганиш
кулай булади: бу нуцта кутб
деб юритилади.
Текис шаклнинг кучишига оид
куйидаги теоремами исботлаймиз.
Теорема. Текис шаклнинг ха-
ракат текислигидаги %ар цандай
кучашана кутб билан биргалик-
даги илгариланма харакати хам-
да кутбдан харакат текислиги-
и ук атрофидаги айланма хрра-
катидан ташкил топган деб цараш мумкин.
Исбот. Текис шаклнинг харакат текислигидаги ихтиёрий икки хо
латинн оламиз: унинг I ^олати АВ билан, И полати эса А1В1 би-
лай аниклаисин (116-расм). А нуктани ^утб деб олиб, текис шаклга
шундай илгариланма кучиш берамизки, натижада А нукта Аг нукта
билан устма-уст тушсин. У холда текис шакл пунктир билан чизил-
ган III ^олатни эгаллайди, бунда АГВ' || АВ. Текис шаклнинг илга-
риланма кучиши AAt вектор билан аникланади. Аг ну^тадан хара-
кат текислигига перпендикуляр равишда утувчи yri атрофида текис
шаклни В' А1В1 = бурчакка айлантиреак, текис шакл II ^олаани
эгаллайди. Шундай кулиб, теорема исботланди.
Кутб учуй В нуктани олсак, илгариланма кучиш ВВг вектор би’
лан ифодаланади. Текис шаклни Bt цутб атрофида Л'В1Л1 = ф2
бурчакка айлантиреак, текис шакл П ^олатпи эгаллайди. Расмдан
курамизки, ВВг Ф АА^, яъни илгариланма кучиш кутбни танлашга
боелик булади; В'А || ВгА’ ва АгВг умумий булгани учун <pt — <р3
хамда айланиш йуналиши бир хил булади. Шундай ^илиб, кутб
атрофида айланиш бурчаги кутбни танлашга боклиц булмайди.
66-§. Текис шаклнинг ^аракат тенгламаси
Юфрида исботланган теоремага асосан, текис шаклнинг уз текис-
лигидаги ^ар ондаги ^аракатини илгариланма ва айланма уаракат-
лардаи иборат деб караш мумкии; илгариланма ^аракат кутбни тап-
лашга боглик булади ва ккутб учун олинган нуцтанинг харакзти
билан аникланади.
Текис шаклнинг бирор Д ну^тасини кутб учун цабул килиб,
унинг ^узгалмас Оху координаталар системасига нисбатан координа-
таларини хл, уА билан белгилаймиз (117-раем). А нуктанинг .\apa-
катини аниклайдиган
ХА =fM, УА = Ы)
тенгламалар текис шаклнинг илгариланма ^аракатиии ифодалайди.
Текис шаклда олингаи ихтиёрий АВ кесманинг х ут^ билан ташкил
122
^илган бурчагини ф билан бе лги-
ласак, жисм ^ракатланганда <р
бурчак вакт функцияси сифатида
узгаради:
ч> = й>(0-
Шундай 1^илиб, текнс шаклнинг
з;аракати
*л = АИ-
»л = /,(<).
<P = f3W-
тенгламалар билан аникланади. (11.1) тенгламалар цаттиц жисм-
нинг текис параллел ^аракати тенгламалари дейилади.
Хусусий ^олда ф = const булса, текис шаклда олинган АВ кесма
доимо узига параллел равишда едракатланадн ва текис шакл (ёки
жисм) илгариланма ^аракатда булади. Агар ^аракат давомида хА ва
уА лар узгармас кийматга эга булса-ю, <р бурчак узгарса, у $олда
А нуцта цузгалмасдан колади ва текис шакл А нут^та атрофида
айланма 5£аракатда буладн, яъни жисм А иуктадан утувчи ва шакл
текислигига тнк у^ атрофида айлаима ^аракатда булади.
Маълумки, кутб атрофида айланиш бурчаги ^утбга боглиц бул-
майдн. Шу сабабли текис шакл ^утб атрофида айланганда унинг
барча нуцталари ^ар онда бир хил бурчак тезлик ва бир хил бурчак
тезланишга эга булади ва цуйидаги формула воситасида аникланади:
d(p
(Й — —
di
__ do d2q>
dT *** a? ’
Бурчак тезлик о ва бурчак тезланиш в векторларн текнс шакл
текислигига A 1<угб оркали утган перпендикуляр чизи^да ётади.
Агар текнс шакл цутб атрофида тезланувчан айланма з^аракатда
булса, со ва в лар бир томонга (118-раем, а), секииланувчан айланма
^аракат ^илса, царама- ^арши томонга йуналади (118-раем, б)
(П-2)
67- §. Текис шакл нуцтасининг тезлигиии цутб усулнда
аницлаш
Текис шакл нуцталаринниг тезлнклари орасидаги богланиш 1;уйи-
дагн теорема ёрдамида аникланади.
Теорема. Текис шакл ихтиёрий ну^тасининг тезлиги кутб
тезлиги билан мазкур нуктанинг кутб атрофидаги айлана буйлаб
%аракагпидаги чизи^и тезлигининг геометрик йигиндисига тенг.
Исбот. S текис шаклнинг ^аракатини кузгалмас Оху коордииата-
123
лар системасига нисбатан текширамиз. А иу^тани цутб деб олсак,
ихтиёрий В нуктанинг Оху системага нисбатан радиус- вектори гв А
эдтб радиус-вектори гА билан куйидагича богланади (119-раем, а):
7в = 7а + ав. (11.3)
(11. 3) дан вакт буйича хосилт олнб, В нуктанинг тез тигана
аницлаймиз:
d г я 1
бунда •—— = vA кутб део олинган нуктанинг тезлигини вфодалай-
di
ДИ. ___
Текис шакл харакатлапганда АВ вектор модули узгармайди, йуна-
лиши эса^жисм кутб атрофида айланиши билан узгаради. Шу са-
d АБ г-1 я .
баоли ------- хрепла В нуктанинг А нукта атпосЬида аилачГйНдтги
d/ “ * *
чизикли тезлигини и^одалайди; уни г-£4 билан белгилаймиз, яъни
dAB
di =
124
Эйлер формуласига кура vAB ни текис шаклнинг бурчак тезлиги
о ва радиус-вектор АВ ларнинг векторли купайтмаси ортали и^ода-
лаймиз;
w~,
бунда ивц айланиш радиуси АВ га перпендикуляр равишда, текис
шаклнинг айланиш йуналиши буйича йуналади ва унинг модули
1рвл1 = 1“ I'lSel (11.5)
булади,
У хрлда (11.4) ни куйидагича ёзиш мумкин (119-раем, б)’
PJ3 = VA + VBA О1-6)
ёки
ив = vA = а X АВ. (11.7)
Теорема исботлапди.
Текис шакл бирор н^тасининг тезлиги ва айланма харакатининг
бурчак тезлиги берилганда текис шакл бошда бир нуктасининг
тезлигини (П.7) формулага мувофиц аншрчаш уни кутб усулида
аницлаш дейилади.
68- §. Текис шакл икки ну^таси тезликларининг проекцияларига
оид теорема
Теорема. Текис шаклнинг иккита нуцтаси тезликларининг шу
нуцталардан утусчи укдаги проекциялари узаро тенг булади.
Исбот. Текис шакл А ва В нуцталаринииг тезлнклари берилган
булсин (120-расм). Маълумки, В нуцтанинг тезлигини (11,6) кури-
125
нишида ёзиш мумкин. А ва В нукталар оркали х у^ни утказиб,
(11.6) ни шу ук1\а проекциялаймиз:
(yj3 ( VA )x“r ( )x‘
uBA J- x булгани учун бу теигликда )х = 0 булади. Шундай ^илиб,
= (11.8)
Теорема исботланди.
Текис шаклнинг бирор В иуктаси тезлиги йуналиши ва бошка А
нуктасининг тезлиги маълум булганда В яуцта тезлигининг микдо-
ри (11.8) дан фойдаланиб топилади.
69-§. Тезликларнннг онии маркази
Берилган онда тезлиги нолга тенг булган текис шакл нуктаси
тезликяарнинг оний маркази ёки ^ис^ача опий марказ дейилади,
Текис шакчнияг тезлиги нолга тенг булган биргииа нуцтаси .\ар
онда мавжуд эканлигини исботлаймиз. Текис шакл бирор О нуктаси-
нинг тезлиги v0 ва шу О нукта атрофидаги айланма ^аракатининг
бурчак тезлиги си берилган булсин (121-раем). О ну^тани кутб деб
121- раем.
оламиз. Кутбдан айланма ^аракат йуналишида
га перпендикуляр ОК чизи^ни утказамиз.
ОК чизи^да ОР — ~ тенгликка мос келувчи
to
Р ну^тани олиб, (11.6) формулага кура
унинг тезлигини ани^лаймиз:
vp=vo-rvpo- (П-9)
(11.5) га асосан иро = Ю’ОР ёки ОР=~~
булгани учун — vo хамда Р нугк-
тада vp0 век юр v0 га ^арама- ^ярши йу-
наладн, яъни
126
Vpo =—lO-
У холда (11.9) тенгликдаи vp — О булиши келиб чнкади. Бинобарин,
Р нутуга текис шаклнинг тезликлари оний маркази булади.
70- §. Текис шакл ну^таларининг тезликларини оиий марказдан
фойдаланиб аниклаш
Берилган онда текис шаклнинг оиий маркази Р ни к.утб деб
олиб, (11-6) формулага муво|)и1\ текис шакл А, В, С нукталарининг
тезликларини топамиз (122-раем):
VA = VP “Ь VAP> VB = VP VBP> VC ~ VP VCP‘
Бу ерда vp = 0 булгани учун ^уйидагича ёза оламиз:
VA ~ VAP> VB ~ VBP' VC = VCP
^амда
= (л-РА, vB = <dРВ, vc = соPC,
(11.10)
Уд_БРА, vB-LPB, vc-LPC.
Демак, бирор онда оний маркази маълум булган текис шакл нук-
таларининг шу ондаги тезликларини оний марказ атрофида худ-
ди оддий айланма харакатдаги жисм ну^паларининг тезликлари
каби топиш мумкин. Текис шакл ихтиёрий нуктасининг тезлиги
унинг оний марказ атрофида айланишидаги бурчак тезлиги билан
мазкур нуцтадан оиий марказгача булган кесма узунлигига купайтма-
сига теиг булади ва айланиш йуналиши буйича шу кесмага перпен-
дикуляр равишда йуналади. (11.10) дан текис шакл нуцталарининг
айни паптдаги тезликлари орасидаги муносабэтни ани^лаймиз:
VA VB __ VC
РА ~~ РА ~ PC '
яъни текис шакл нукталарининг ^ар oi
оиий марказдан мазкур нутугаларгача бул-
ган масофаларга мутаяосиб булади.
71-§. Баьзи ^олларда тезликларнинг
оиий марказини аниклаш
1. Агар текис шакл бирор А нуктаси-
нинг тезлиги vA ва В нуктасининг тезли-
ги йуналгаи чизи^ маълум булса, тезлик-
лариинг оиий маркази А ва В нукдалар-
даги тезликларга утказилган перпендику-
лярлариинг кесишган нуцтасида булади
(123-расм, а). А нукта тезлигининг моду-
ли маълум булгани учун А нугугадан оний
127
марказгача булган АР масофани
нинг бурчак тезлигини топамиз:
аницлаб, (11.10) дан текис шакл-
др'
2. Агар текис шакл А ва В нуцталарининг тезликлари параллел
ва АВ га перпендикуляр йуналган булса, у ^олда оний марказни
аниклаш учун тезликлар модули хам маълум булиши керак (123-
расм, б, в).
vD Рв
(11.11) га кура — = — . Бинобарин, Л ва В нукталар тезлик
векторларининг учи оний марказ орцали утувчи тугри чизикда ётади.
Шу тугри чизш^нинг (АВ) билан кесишган ну^таси тезликлар оний
маркази булади.
124- раем.
128
Агар текис шакл Л ва В ну^талари-
нинг тезликлари тенг ва параллел йу-
иалган булса, у з^олда тезликлар оний
маркази чексизликда булади {АР = со);
текис шаклнинг* бурчак тезлиги
яъни текнс шакл берилган онда илгари-
ланма харакат цилади (124-раем, а, б).
3. Техиикада купинча текис шакл би-
рор цузгалмас чизиц устида сирпанмасдан 125‘ Расм-
^аракатланадиган доллар учрайди. Тугри
чизи^ли рельс устида сирпанмасдан думалаётгаи гилдирак буига ми-
сол була олади. Бу э^олда текис шаклнинг цузгалмас чизикда тегиб
турган ну^тасининг тезлиги нолга тенг булгани учун оии'й марказ
шу уриниш иу^гасида ётади (125-расм).
72-§. Текис шакл ну^тасининг тезланиши
Текис шакл иу^таларининг тезланишлари орасидаги богланиш
цуйидаги теорема ёрдамида аникланади.
Теорема. Текис шакл ихтиёрий нуцтасининг тезланшшГцутб
тезланиши билан мазкур нуктанинг цутб атрофида айланишида-
ги тезланишининг геометрик йиеиндисига тенг.
Исбот. Текис шакл бирор А нуктасининг хамда мазкур ну^та
атрофида текис шаклнинг со айланиш бурчак тезлиги ва е бурчак
тезланишииииг алгебраик циймати берилган булсин.
А иуцтани ^утб деб олиб, текис шакл ихтиёрий В нуктасининг
тезлигини (11.7) формуладан аницлаймиз:
+ а X АВ
В нуктанинг тезланишиии аницлаш учун (11.7) дан^вацт буйича
росила оламиз:
- dvB
tiyR= ----
B dt
dv д dw —— — dAB
———I-------— ХЛ5-1-соХ-----.
dt dt dt
Бунда
dv _
---— —xs)
dt
d<a — dAB
------=e. ----
dt----di
~VBa=^XAB
булгани учун
x АВфй xxtBA,
бунда wA—А ну^таиииг тезланиши; exAB=WBA~~B нуктанинг А
цутб атрофида айланишидаги тезланиши; ujxvba— zlba~В иу^та-
9-2344 129
(10.14), (10.15) ларга асосан wxba~AB>^
Wba нинг модули куйидагича аникланади:
нинг А кутб атрофида ай-
ланишидаги марказга ин-
тилма тезланиши.
Шундай цилиб,
w£ 4-швд 4-^вл
(11-12)
(11.12) да Wba 4-к’вл =
№вл деб ёзиш мумкин,
бунда wAB—В нуктанинг
А атрофида айланишида-
ги тезланиши.
В нуктанинг А атро-
фида айланиши тезланув-
чан бул ганда wba А^утб-
га нисбатан айланиш йу-
налиши буйича (126-расм,
а), секинланувчан булган-
да эса—унга царама-^ар-
ши йуналади (126-расм, б),
яъни wba нинг А цутбга
иисбатан йуналиши бур-
чак тезланиши е нииг йу-
налишига богли1$ равишда
олинади.
Натижада В ну^танииг
тезланиши цуйидаги фор-
муладан аникланади:
(ПЛЗ)
w^A—ABbiz. Шу сабабли
wba—AB}/' е24-(о4. (11.14)
Wba нинг йуналиши (10.17) га кура аникланади:
fe|
(О2
1g Р=
(11-15)
Шундай цилиб, В ну^тадаги Wba ва Йа тезланишларни геомет-
рик цушибшвл тезланишни ани^лаймиз ва уни В нуктага кучирил-
ган А ^утбнинг тезланиши им билан бирга геометрик ^ушиб В ну^-
танинг тезланишини ани^лаймиз.
Теорема исботланди.
Текис шакл бирор нуктасининг тезланиши хамда айланма хара-
кат бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши маълум булса, бу теорема-
130
дан фойдаланиб текис шакл ихтиёрий нуцтасининг тезланиши аншу-
лаиади.
Текис шакл ихтиёрий нуктасн тезланишининг микдори ва йуна-
лишини (1L13) дан фойдаланиб аниклаш мураккаб [булиши мумкин.
Бу ^олда wB нииг бир-бирига перпендикуляр йуналган уклардаги
проекциялари топилади. Бунинг учун уцлардан бириии, масалан, х
у^ни айлаииш радиуси (АВ) буйлаб, иккинчисини эса унга перпенди-
куляр равишда утказиб, (11.12) ни мазкур утуларга проекциялаймиэ.
^Bx=^4cos(p—=iey4cos<p—АВсо2,!
г • чг> г (11.16)
wBii=wzsincp—w^A=wAsm(p—'
бунда к.'л вектор билан х у^иинг мусбат йуналиши ташкил цилган
бурчакнинг катталиги ср га теиг деб олинган. wb нинг координата
уцларидаги проекциялари маълум булса, унинг модули [ва йуналиши
г^уйидаги тенгликлардан аникланади:
№в= V (11.17)
COS (И’, х) = —cos (ffl, у) = (11,18)
WB WB
73-§. Тезланишларнинг оний маркази
Текис шаклнинг берилган ондаги тезланиши нолга тенг булган
нуцтаси (ёки текис шаклга богланган ва у билан биргаликда хара-
катланувчи текисликнинг нук.таси) тезланишларнинг оний маркази
дейилади. _
Агар текис шакл бирор А нудтасининг тезланиши wA ва текис
шаклнинг бурча к тезлиги со хамда бурчак тезланиши е берилган бул-
са, тезланишларнинг оний маркази куйидагича аникланади. Дастлаб
е| форму ладан р_ бурчак топилади- Сунгра тезланувчан айланма хара- / \j{ катда wA векторга ^аракат / Ду4 йуналиши буйича, секинла- / / нувчан айланма харакатда / / эса айланиш йуналишига , L, тескари йуналишда р бур- \ чак остида АК. тугри чизиц- \ ии утказамиз (127-расм, а, \ . 6). Бу т>три чизицда шун- дай Q нуктани аииклаймиз- ки, бунда /К [A [ тА / N / 127- раем.
131
булсин. У зрлда Q ыуцта тезланишларнинг оний марказини нфода-
лайда. Хаци^атан хам (11.13), (11.14) формулаларга кура
®<г= “’л+“’сл- • V ег+и‘=шл.
Бундан таш^арн, wQA вектор АК тугри чизи^ билан р бурчакни таш-
кил цилади, яъни йУрЛ мшдор жихатдан wA га тенг, йуналиши эса
чиА га царама-царшцдир. Шу сабабли wQ~ wA+wQA—0.
Агар тезланишларнинг оний маркази Q ни цутб деб олсак, и»с=0
булгани учун (11.13) ва (11.14) формулаларга кура
™B=WQB
ва
wB=BQV &+<,)*'. (11.20)
Шундай цилиб, текис шакл нуцталарининг берилган оидаги тезла-
нишлари мазкур ну^талардан тезланишларнинг оний марказигача бул-
ган масофаларга мутаносиб буладн:
...
BQ AQ CQ
(11.21)
Бундан ташцари, текис шакл ну^таларинииг тезланиш векторлари ва
мазкур ну^таларни тезланишларнинг оний маркази билан туташтн-
рувчи кесмалар орасидаги р бурчаклар зрм бнр хил булади (128- раем).
е=0 булган ^ол учун Wa ^Wqa. wb=vi)qb >;амда тезланишларнинг
оний маркази wA ва йуналган чизи^ларнинг кесишган нуцтасида
булади (129-раем).
132
74-§. Текис параллел харакатдаги хатти^ жмем нухталарининг
тезлик ва тезланишларини ани^лашга дойр масалалар
24-масала. Узуилиги 0,2 м булгаи ОА кривошип ш0=10“
бурчак тезлик билан бир маромда айланади ва узунлиги 1 м булган
АВ шатунии харакатга келтиради. В сирпаигич вертикал буйлаб ха-
ракат цилади. Кривошип ва шатун узаро перпендикуляр ва горизон-
тал ух билан <х=₽=45° бурчак ташкил хилган пайт учуй шатуннииг
бурчак тезлиги ва бурчак тезланиши хамда В сирпаигичнинг тезлиги
ва тезланиши гопилсин (130-раем).
Ечиш. Бу масалада механизм ОА кривошип, АВ шатун ва В сир-
пангичдзи ташкил топган. ОА кривошип А хузвалмас }х атрофида
айланади, В сирпаигич вертикал чизикда илгариланма харакат кила-
ди, АВ шатун ху текисликда текис параллел хаРакатда булади. м
Масалани ечншни цутб учун олинадиган /1 нуктанинг тезлиги ва
тезланишини анихлашдан бошлаймиз:
Ул=сооОД, иА=2-~-,
В нуктанинг тезлнгиии цуйидаги уч усулда аииклаймиз.
1. Текис шакл икки нухтаси тезликларининг прсекцияларига оид
(Гл)ав— (у^)ав
теорема асосвда аних-лаймиз '(130-расм, а):
vA=vBcos> 45°, =2,82 —.
А в * -в cos 45° с
2. Тезликлар оиий марказидан фойдаланиб vB ни топамиз. А нух-
тадан vA га, В иухтадан ьв га утказилган перпендикулярларнинг
кесишган Р нухтаси АВ шатун учуй тезликлариинг оний маркази
булади. Расмдан АР ва ВР оний айланиш радиусларини аиицлаш
мумкин:
АР=АВ, BP^ABVZ
А£АВ ии эътиборга олиб, шатуннинг оний бурчак тезлиги
ни топамиз:
Qa 1
^л=(алв-ЛР. солв=—=2—
Шундай цилиб,
vb =^лв-ВР=2АВ у~2 =2,82-^-.
3. АВ шатуннииг А нуцтаенни кутб учун олиб, В нуктанинг
тезлигинп (11.6) формула ёрдамида ани^лаймиз:
vb=va = ^ba-
133
134
Бунда овл=олв-ЛВ=2 —; овл_1_ВД va эса АВ буйлаб йуналга-
нидан ивл_1_ил. Бу ^олда
*B=V ^л+^А =2,82-^.
В нуктанинг тезлаиишини аниклаш учун А нуктани цутб деб
олиб, (11.12) формулани ^уллаймиз:
^ = ^+^+^4-
О А кривошип соо бурчак тезлик билан текис айланма кдракатда
булгани учун А нуктанинг тезланиши О марказга йуналади ва унинг
модули куйидагича аницланади:
_ _ м
wa =wa =ОА со2=0,2 102=20—
А В шатун А кутб атрофида айлангаида В нуктанинг марказга
интилма тезланиши В иуктадан А нук/га томонга йуналади з^амда
(10.15) га асосан
булади. _
Масала шартига кура В нуктанинг тезланиши wB вертикал чизи^
буйлаб йуналади. юв ни дастлаб график усулда аницлаймиз. Бунинг
учун В нуктада танлангаи масштаб бирлигида А нуктанинг тезлани-
ши wA ни куямиз (130-расм, б). wA векторнинг учидан (ВЛ) tra па-
раллел равишда векторни утказамиз. w^A векторнинг учидан
(В А) га перпендикуляр булган (яъни w”A га параллел булган) тугри
чизнц утказамиз. Бу тугри чизициинг В ползуннииг тезланиши йунал-
гаи чизик билан кесишган нуктаси ва wxA векторларнинг учини
ифодалайди. Расмда улчаш нули билан wB ва wBA ларни аншрай-
миз:
шв=5,65 м/с2, w^4 = 16 м/с2.
wxba=AB>zaB булгани учун АВ шатуннииг бурчак тезланиши
130- расм, а ва б ларни солиштириб, tB ва лар узаро кара-
ма-царши томонга йуналганлигиии курамиз. Бинобарин, В сирпангич
курсатилган ^олатда вертикал буйлаб секинланувчан харакатда була-
ди. Шу пайтда о ва е лар бир томонга йуналгаии учун В нуцта
135
А к^утб атрофида тезланувчан айланма ^аракатда булади, деган ху-
лосага келамиз (130-расм, в).
wB ва wBA ларнииг йуналишини билган з^олда уларнинг модули-
ни аналитик усулда ани^лаш йули билан текшириш мумкин. Бунинг
учун В нуктада х ва у у^ларни олиб, (11.12) ни бу у^ларга проек-
циялаймиз:
WB cos 45° =™пВА, (1)
—wB cos 45°=ил (2)
(1) дан wB ни топамиз:
wB нинг ^ийматини (2) га куйиб, нн ^исоблаймиз.
w^A——wB cos 45°4- wA — 16м/с2.
25- масала. Радиуси г—0,5 м булган гилдирак тугри чизицли
рельсда сирпанмай гилдираиди; берилган пайтда гилдирак С маркази-
м м
нинг тезлиги vc~0,5— ва секинланиши &ас=0,5 —. Билдирак тез-
ланишининг оний маркази, тезликлар оний марказининг тезланиши,
шунингдек, гилдирак М нутугасининг тезланиши топилсин (131- расм).
Ечиш. Бу масалани икки усулда ечамиз.
1. Билдирак С .марказининг vc тезлиги ва wc тезланиши маълум
булганидан, С нуктани Е^утб деб, (11.12) формул ага мувофиц М нуц-
танинг тезлаиишини цуйидаги фэрмуладан ани^лаймиз:
tt>5f=oyc+^c+aJMC* t1)
136
бу ерда
wlc^ePMC,
w^c^^pMC
булиб, (йр ва ер лар оний бурчак тезлик ва оний бурчак тезланишни
ифодалайди.
Гилдирак сирпанмасдан думалаганидан гилдирак билан рельснинг
уриниш иуцтаси Р тезликларнинг оний маркази булади. У з^олда
t/c=CP»<op=r<op, (2)
бундан
<0р= —, Ор=1 —. (3)
Гилдирак бурчак тезлигининг йуналиши ис нинг йуналишига муво-
фи^ аницланади, яъни кузатувчидан шакл текислигига перпендикуляр
равишда йуналади. С нуцта тугри чизикрш харакатда булгани учун
унинг тезланишн цуйидагича аникланади:
ri Амр
wr =-(СР-и>р1 = СР —- — СР-Ер,
dt ‘ dt F
бундан
*р=>. ^=1^- W
ер нинг йуналиши Wc нинг йуналишига мувофи^ аникланади, яъни
шакл текислигига перпендикуляр равишда кузатувчи томонга йуна-
лади.
Энди w^c ва ларни топамиз:
-MC = wc-,CP = МС, (5)
i vr \2 Vr
wn = tfMC = — -МС = — = 0,5 м/с2. (6)
мс \СР J СР
wmc ъаи&с векторларни М нуктада 131-расмдагидек тасвирлаймнз.
С нуктанинг ^аракати секинланувчан булганидан wmc М. нуктада
гилдиракка уринма равишда пастга йуналади; wmc эса М ну^тадан
айланиш маркази С нуктага цараб йуналади. (11.12) га мувофи^ М
нуктага wc вектор ^ам ^уйилади. Эндн М нуктанинг тезланишини
топамиз (131-расм, а):
= /^мс)2 + (№с —W^c)2 = |/ + {v!c —'^р ]= °-5 м7с2-
Бу тезланиш М дан вертикал пастга цараб йуналади.
137
P нуктанинг тезланишиии (И. 12) га мувофик аницлаимиз:
®Р=^+^с+^с- <7>
МС ~ PC ва гилдиракнинг ^амма нукталари бир хил оний бурчак ।
тезланиш ер хамда бир хил оиий бурчак тезлик юр га эга булгани-
дан Р нуцтаниг уринма ва нормал тезланишларининг микдорлари М
нуктанинг мос тезланишларига тенг булади; йуналишлари Р нуктада
Ер, (йр лариинг йуналишларига асосан олинади:
(7) тенгликка мувофиц wc, w^c ларни Р нуктага 131-[расм, одатас-
вирлангандек цуямиз. У ^олда
wp= V (wc — wcp)2 4~ (к^с)2 = 0.5 м/с2.
Бу тезланиш Р ну^тадан С га цараб йуналади. Бу тенгликдан тез-
ликлар оний марказининг тезланиши наддай фарклм булишини кура-
миз.
Шундай цилиб, М ва Р иукталар тезланишларининг мнцдорлари
тенг, йуналиши эса параллел булиб, царама- карши томонларга йуна-
лади.
2. Энди б>7 масалани тезланишлар "оний марказидан фойдаланиб
ечамиз. Еилдиракнинг vc тезлиги ва wc тезланиши маълум булгани-
дан, сор ва ср ларни ю^оридагидек аниклаш мумкин.
Q ну^тани тезланишлар оний маркази деб, уиинг С нуцтага нис-
батан ^олатини (11.19) формула асосида топамиз:
Энди CQ кесманинг wc билан ташкил этган бурчагини ани^лаймиз:
tgp=-^7=l> ц = 45°=фрад.
wc тезланиш йуналган чизицца гр йуналишида р бурчак остида CQ
чизирини утказсак, тезланишлар опий маркази Q нинг ^олати маълум
булади (131-раем, б). i^CQP тенг ёили булганидан
•/г
PQ = -bi-M.
4
Р нутута тезланишинииг модули
wp = PQ у' + Юр = г"2~ = 0,5 м/с2.
138
Бу тезланиш Р нуктада [Р Q] га 45° бурчак остида утиб, Р дан С
томон йуналади.
Шунингдек,
wM = МР-Угр -Ь — 0,5 м/с2.
Бу тезланиш МР билан 45° бурчак ташкил едлиб, М нуктада гр
йуналишига биноан вертикал пастга йуналади.
XII боб
КАТТИК жиемнинг КУЗГАЛМАС НУКТА АТРОФИДА
АЙЛАНМА ХАРАКАТИ
Жисм одракатланганда уиинг бирор нуктаси доимо кузгалмасдан
цолса, цаттиц жиемнинг бундай ^аракати цузгалмас нуцта атро-
фидаги айланма ^аракат. ёки сферик харакат дейилади.
Масалан, жисм бирор иу^таси билан бош^а бир кузгалмас жисм-
га сферик шарнир воситасида бириктирилган булса, ва^т утиши бн-
лан жисм нукталари шарнир атрофида сферик ^аракатда булади; ёки
уткир учли пирилдоц горизонтал текисликдаги бирор иуктада туриб
долган холда, унинг бу нукта атрофидаги харакати жиемнинг куз-
галмас нукта атрофидаги айланма харакатига мисол була оладн (132-
расм).
75-§. Эйлер бурчакларн. Сферик ^аракат тенгламалари
Жиемнинг цузгалмас О нукта атрофидаги ^аракатини ургаииш
учун О £ т] £ кузгалмас координаталар системасини ва жисм билан
маркам бириктирилган ^амда у билан бирга харакатлана оладиган Oxyz
координаталар системасини утказамиз (133г-раем). Жисм ^аракатини
урганиш учуй О t т) £ кузгалмас системани асосий координаталар сис-
темаси деб кабул цилиб, Oxyz кузгалувчи координаталар системаси-
нинг харакатини асосий системага нисбатан урганиш кифоя.
кузгалувчи Oxyz системанинг кузгалмас системага нисбатан вази-
ятини Эйлер бурчаклари деб аталувчи учта бурчак орцали аниклаш
мумкин. Эйлер бурчаклари куйидагича киритилади: кузгалмас О£т]
текислик билаи кузгалувчи Оху текисликнинг кесишган ON чизиги
тугунлар чизиги дейилади. кузгалмас О £ текисликда ётувчи О £
УК билан ON орасидаги бурчак ф билан белгиланади. Ушбу бурчак
прецессия бурчаги дейилади. кузгалувчи Оху текисликда ётувчи
ON билан Ох орасидаги бурчак ср билан белгиланади ва соф айла-
ниш бурчаги дейилади. О£ ва Oz орасидаги бурчак 0 билан белги-
ланади ва нутация бурчаги дейилади, О£, Oz, ON укларнинг учла-
ридан караганимизда шу укларга мос перпендикуляр текисликларда
жойлашган ф, <р, 0 бурчаклар соат .милининг айланишига тескари
йуналишда орта борадиган йуналишни бурчаклариинг мусбат йуна-
лиши деб кзбул циламиз.
139
Arap ф, 0, ф бурчаклар маълум булса, к^'згалувчи Oxyz коорди-
наталар системасининг ва у би лай бирга жисмнинг О % т] С цузгалмас
системага нисбатан вазияти маълум булади. ^а^и^атаи хам, бошлан-
гич пайтда О £ т] С билан устма- уст тушадиган ва жиемга бнрикти-
рилган О тр системани куйидаги кетма- кет учта айлантириш би-
лан Oxyz устига тушириш мумкин. Дастлаб О сх т], £* ии О £ у^ ат-
рофида курсатилган йуналишда ф бурчакка айлантирсак, О£г уц ON
билаи устма- уст тушади. Шундай кейин ON у^ атрофида О ни кур-
сатилган йуналишда 6 бурчакка айлантирамиз, бу ^олда О£г уц Oz
билан устма-уст тушади; ии^оят Oz yi\ атрофида ON ни курсатил-
ган йуналишда ф бурчакка айлантирсак, ON yi\ Ох билаи устма-уст
тушади. Натижада система Oxyz система билан устма-уст
тушади. Кузгалувчи Oxyz системаиинг кузгалмас системага
нисбатан вазиятини аниклайдиган, бир-бирига богли^ булмаган эркин
узгарувчи ф, 0, ф бурчаклар Эйлер бурчаклари дейилади.
Жисмнинг кузгалмас нуцта атрофидаги харакати учта Эйлер бур-
чаклари билан аиицлангани учуй бундай жисмнинг эркинлик дара-
жаси учта булади.
Агар ф, ф ва 0 бурчаклар t вацтнинг узлуксиз фуикцияси кури-
нишида
Ч>=А Ю.1
<Р = /г(О. (12.1)
е = /3 «)
берилган булса, ^атти^ жисмнинг цузгалмас нуцта атрофидаги ^ара-
кати аницланган булади. (12.1) тенгликлар t^amtnu^ жисмнинг г^з-
еалмас нуцта атрсфидаги \аракат тенгламалари дейилади.
140
76-§. Кузгалмас ну^та атрофида айланувчи жигмнинг
кучишига оид Эйлер — Даламбер теоремаси
Фазода жисмнинг вазияти уиинг бир тугри чизиц усгида ётмай-
диган уч нухтаси билан аниклаииши геометриядан маълум. О нуц-
та кузгалмас булгаии учуй жисмнинг з^олати унинг О нуцтадан утув-
чи бир тугри чйзицда ётмайдиган иккита ихтиёрий нуктасининг по-
лати билан аницланади. Бу икки ну^таии ^уйидагича оламиз. Ку3-
галмас О иу^тани марказ килиб, ихтиёрий радиус билан сфера чи-
замиз (134-раем, а). Сферани жисм билан бириктирилган деб т^арай-
миз. Сфера усгида жисмнинг ихтиёрий А ва В нукталарини олиб,
уларни сфера катта айланаеннинг ёйи билан туташтирсак, олинган
АВ ёйнииг ^олатига асосан берилган жисмиинг ^олатиин аниклаш
мумкин. Сферик харакатдаги жисмнинг бир ^олатдан боища зрлатга
кучиши цуйидаги Эйлер—Даламбер теоремаси билан аницланади. ,
Теорема. Дузгалмас нуцта атрофида айланувчи цаттик жисм-
нинг бир хслатдан иккинчи холатга утишини кузгалмас нуута
ортали утувчи бирор ук атрофида бир айлантириш билан олиш
мумкин.
Исбот. Сфера сиртида олииганАВ жисмнинг биринчи вазияти-
ни, А^ВГ эса иккинчи вазиятини ифодаласин (134-раем, б). Тео-
ремани исботлаш учун А ва Аг ни ^амда В ва ни сфера катта
айланаеннинг ёйлари билан туташтирамиз. Хосил булган /1/lj ва ВВг
ларнинг уртасидагн Д ва L ну^талардан мазкур ёйларга сферик пер-
пендикуляр ёйлар угказиб, уларнинг сфера сиртида кесишган ну^та-
сини С билан белгилаймиз. С ва О ну^талар орцалн ОС укни утка-
замиз. С ну^тани сфера катта айланаеннинг ёйлари ортали A, Ai ва
J3, Bt лар билан гуташтириб, сферик Д АВС ва А А^^ ларни
134- раем.
141
Косил циламиз. С нукта А ва Д нуцта-
Z лардан ^амда В ва Д иу^талардан
А /\\ / тенг узоцликда булганидаи АС — АгС
I/\ ва ВС == BjC; жисм цаттиц жисм бул-
г7/ дХч ганидан
Гв=
lij//'//Х' Шу сабабли АВС ва ДВ^ сферик
gMfr' учбурчаклар конгруэнт булади, иати-
О жада сферик АВС ни (ОС) атрофида
ACAl = BCBt = <р бурчакка айлантнр-
сак, сферик 2. AvBtCi иинг устида ту-
135- расм. шади, яъни •_ АВ ^олатнни
эгаллайди. Теорема исботландо.
Каттик жисмнинг кузгалмас нукта атрофидаги харакатинн кетма-
кет узлуксиз элементар кучишлардан иборат деб цараш мумкин. Ис-
бот ланган теоремага асосан, каР бир элемеитар кучишни кузгалмас
нуцтадан утувчи бирор ук атрофида чексиз кичик бурчакка буриш
натижасида олиш мумкин. Бундай у к айланиш. оний уци ёки оний
уц дейилади. Шуидай килиб, жисмнинг кузгалмас нукта атрофидаги
Каракатиии шу нуктадан утувчи оний уклар атрофида кетма-кет уз-
луксиз оний айланма харакатлардан ташкил топган деб каРаш Ь1УМ*
кин. Бу кол оний укнинг фазода узлуксиз равишда узгариб туриши-
ни курсатади. Оний ук вакД утиши билаи фазода ва жисмда из кол-
диради. Оний уклар колдирган изларииинг геометрик урии боши куз-
ралмас нуктада булгаи конуссимон сиртдан иборат булади. Оиий
укнинг харакатсиз фазода чизган конуссимон сирт ъ^зналмас аксоид,
жисмда чизган конуссимон сирт цузгалувчи аксоид дейилади. Конус-
ларнииг бир-бири билан тегиб турган умумий чизиги оний укбУлаДи
(135-расм).
Каттик жисмнинг сферик харакатиии нтальян олнми Пуансо гео-
метрик тарзда куйидагича тасвирлайди.
Кузгалмас нуктаси булган цаттиц жисмнинг бир ^олатдан ик-
кинчи цолатга утишини цузсалувчи аксоидни ц^згалмас аксоид ус-
тида сирпантирмасдан думалатиш натижасида амалга ошириш
мумкин.
77-§. Сферик каракатдагн жисмнинг оний бурчак тезлиги
ва оний бурчак тезланиши
кузгалмас нуктага эга булган кяттиК жисмнииг айланиш оний
УКИ атрофида элементар бурчакка айлаиишидаги со бурчак тезлик
оний бурчак тезлик дейилади.
Жисм кузгалмас нукта атрофида даракатланганда оний у^инг
йуналиши узгара боради, шу сабабли оиий бурчак тезлик вектори
микдор ва йуналиш жикатидан узгаради. Одатда со оний бурчак тез-
142
лик вектори цузгалмас О нуктага ку-
йилган ва оний ук буйлаб йуналган
вектор билан тасвирланади.
Оний бурчак тезлик векторидан
ва^т буйича олинган бириичи росила
оний бурчак, тезланиши дейилади:
dco
а/
(12.2)
<d2
е оний бурчак тезланиш вектори, со
векторнинг годографи ALN га утка- |
зилган уринма буйича йуналади (136- I _
расм). е векторни кам О нуктага КУ- v
йилган вектор билаи тасвирлаймиз.
Демак, жисм чузвалмас ну что ат- 136- Расм-
рофида ^аракатланганда, цузралмас
УЧ атрофидаги харакатдан фаркли равишда оний бурчак тезлик
вектори со билан оний бурчак тезланиш вектори е бир чизичда
ётмайди.
78-§. Цузгалмас нукта атрофида айланувчи жисм
нудтасининг тезлиги
Жисм кузгалмас нукта атрофида ^аракатланаёп^шща кар онда ай-
ланиш оний уки мавжуд булиб, жисм шу пайтда со оний бурчак тез-
лик билан айланма з^ракатда булади. Жисмиинг оний укда ётмайди-
ган исталган М нуктасининг чизикли тезлигини аниклаймиз. Уни
Эйлер формуласига мувофик аниклаймиз:
v = со X г,
(12.3)
бунда г = ОМ —М нуктанинг радиус- вектори, О ва М —жисм пук-
таси булганидан 1ОМ| = const булади. Тезлик вектори ОР оний ук
ва М нукта ётган текисликка перпендикуляр йуналган булади (137-
расм). Унинг модулини иккита
вектор векторли купайтмасииинг .Я
модул I каби аниклаймиз: J
|о| =co-rsin(cor) = со ft, (12.4) X
бунда ft — М нуктадан ОР айла-
ниш оний ^кига туширилган пер- I
пендикуляр булиб, у ft = г-sin I
}—-ч
(©, г ) = г-sin у га тенг.
Агар оний бурчак тезлигининг х ',у'
Кузгалувчи уклаРдаги проекция-
ларинн сох, соу,со2 билан ва бууц-
ларнинг бирлик векторларини
137- расм.
143
х, /, k билан белгиласак, (12.3) ни детерминант шаклвда куйидагича
ёзиш мумкин: __
X / k
V = <0 X Г = <0х toy С0г ,
х у г
бунда х, у, z — М нуктанинг коордииаталари. Бу детермииантии би-
риичи йул элементлари буйича ёйиб, тезлик учун цуйидаги ифодани
оламиз:
v = (coyZ — ыгу) I 4- (Pzx — <охг) / + (!®хУ — <М) (12.5)
v векторни координата у^ларидаги унинг ^проекциялари ортали
ифодалаймиз:
v = vxi + оу / + vfc k.
Бу ифодани (12.5) билан солиштириб тезликнинг х, у, z кузгалувчи
у^лардаги проекцияларини оламиз:
vx = toyZ — <0^,
иу =<ozx — <охг,
vz =ыхУ —<ЯуУ-.
(12.6)
Шу тарзда v нинг В» i], С КУзралмас координата укларидаги про-
екцияларини ^ам аниклаш мумкин:
v£ = %S —
«. = <оЛ'-<оХ (12.7)
vC=<o61l — coti^J
бунда: т], £—М нуктанинг кузгалмас координаталар системасига
нисбатан коордииаталари; tog, <0^, tog— оний бурчак тезликнинг куз-
галмас координата укларидаги проекциялари.
Оний yi\ устида жойлашган ну^талар учун h = 0 булганидан
(12.4) формуладан оний у^ барча нуцталаринииг тезликларн нолга
тенг, бинобарин, мазкур ну 19 а л ар учун vx=vy =vz = 0 ва =
= = 0 булади. Натижада (12.6) ва (12.7) лардан мос равиш-
да чуйадаги тенгликларии оламиз:
h ____ у _________2_
С0х (Оу (02
5 П 5
(12.8)
(12.9)
(12.8) ва (12.9) тенгламэлар оний у^нинг мос равишда х^зралувчи
Oxyz ва кузгалмас О с 14 g координаталар системаларига нисбатан тенг-
ламаларини ифодалайди. (12.8) дан t вактни йут^отиб кузгалувчи ак-
соиднинг тенгламасини, (12.9) теигламадан эса цузгалмас аксоид-
нинг тенгламасини ^оснл х^иламиз.
144
79-§. Кузгалмас иуцта атрофида айланувчи жисм
нуцтасииииг тезланиши
Кузгалмас нуцта атрофида ^аракатланаётган жисм нуктасининг
тезланиши унинг тезлик векторини ифодаловчи (12.3) дан'вацт буйи-
ча олинган з^осилага теиг:
d (£> — « - d Г —
бунда: ------ = е — жисмнииг онии бурчак тезланиши; ------ = v =
_ _dt dt
= d) xr — M нуктанинг тезлиги. Бу ифодаларга кура
© = EXr + wXv. (12.10)
(12.10) даги
ше=“ёх7 (12.11)
айланма тезланиш,
w'^Xv (12.12)
yt$\a интилма тезланиш дейилади.
we вектор е ва М ну^та ётган текисликка перпендикуляр равиш-
да йуналади (138-раем) ва сон ^иймати цуйидагича булади:
ш8 = e-r-sin (в, г).
М нуцтадан в вектор йуналган ОЕ у W туширилган перпендикуляр
MCi кесмани ht билан белгиласак, г • sin (в, г)=hx булади. Шунинг учун
_ _ = (12.13)
и,<0 вектор со билан v ётган текисликка перпендикуляр равишда
(МС) чизиц буйлаб йуиалада ва сон киймати
©“= |<о X и[ =©-v-sin (со, i?)=w2h (12.14)
формуладан аникланади. (12.14) да
h — М. нуцтадан оний айланиш уфь
гача булган масофа.
Шундай цилиб, (12.11) ва(11.12)
ларга кура (12.10) ифода
+ (12.15)
куринишда ёзилади. (12.15) формула
цуйидаги Риеальс теоремасинимфо-
далайди.
Теорема, кузгалмас нугупа ат-
рофида айланаётган жисм нукта-
сининг тезланиши айланма тезла-
ниш билан ytg^a интилма тезла-
нишларнинг гесметрик йириндиси-
га тенг.
10—2344
145
Тезланиш модули параллелограмм цоидасига мувофиц топилади:
w = ](е')2 + (ш“)! + 2ro'-ta“ -cos (w'/'tF"). (12.16)
Изох. 10е ва w& ларга дойр (12.11) ва (12.12) ифодалар таш^и
куринишидан w-t уринма ва wn нормал тезланишларга ухшаса ^ам,
аслвда улардан фарк килади. Чунки курилаётгаи ^олда <о билан е
бир чизик буйлаб йуналмайди. Шунинг учун Ф h. Натижада ш®
тезланиш билан v тезлик бир чизи^ буйлаб йуналмайди.
26-масала. О учи кузгалмас булган конус кузгалмас горизонтал
текисликда сирпанмасдан думалайди. Конуснинг учидаги бурчаги
2 сс = 60° ва асосииииг радиуси г — 0,2 м. Агар конус асоси марка-
зининг тезлиги vc = 0,6 м/с = const булса, конуснинг бурчак тезли-
ги, бурчак тезланиши, асосининг пастки А нуктаси ва энг ю^ори В
нуцтасининг тезлиги ва тезланиши ани^лансин (139- раем, а).
Ечиш. 1. Конуснинг бурчак тезлигини аншушймиз. Конуснинг
битта О нухтаси доимо кузгалмас булгани учун конуснинг
^аракати сферик харакатдан иборат булади. Бундай ^аракатни
хар онда оний ут^ атрофидаги айланма ^аракатдан иборат деб ца-
раш мумкин. Масала шартига кура, коиус текисликда сирпанмасдан
думалагани учун ОР айланиш опий уци унинг горизонтал текислик-
ка тегиб турган ОА ясовчиси билан хар овда устма-уст тушади. Шу
сабабли ОА ясовчидаги ^амма нуцталарнииг тезликлари нолга тенг
булади (139-раем, б). С нуцтаиииг тезлигидан фойдаланиб оиий
бурчак тезликнинг модулями апицлаймиз. (12.14) га асосан С нуцта-
нииг тезлиги:
vc = со-CD.
140-расмдан CD = CA cos 30° = г-cos 30° = 0,17 м. У ^олда
и = » ЗЛб-’с-1.
Оний бурчак тезлик вектори оз оний OP yi; буйлаб йуналади.
146
2. Конуснинг бурчак тезланишини аницлаймиз. Оиий бурчак тез-
лик со мицдор жихатдан узгармас булгани учуй конус Oz у к атро-
фида бир марта айланганда о векторнинг учи горизонтал текисликда
со радиусли айлана чизади, яъии оний бурчак тезликнинг годографи
<о радиусли айланадан иборат (139-раем, б), со векторнинг Oz \\
атрофидаги айланиш бурчак тезлиги сох ОС укнинг Oz ук атрофпда-
ги айланиш бурчак тезлиги билан бир хил булади. Шуиинг учун
140-расмдан
СК = ОС cos 30э = ОА cos 30° • cos 30° = 2r cos2 30° = 0,3 м
булгани учуй
<ох — 2 с-1.
Шундай цилиб, "© вектор z yi\ атрофида |<oL[ = 2 с-1 бурчак тез-
лик билан айланар экан. У ^олда оний бурчак тезланиш вектор»
ё~оний бурчак тезлик векгори со учининг тезлигига тенг булади:
€ — и = со 6,93 с-*2.
и вектор со векторнинг годографига уринма буйлаб йуналади. Шу
сабабли оний бурчак тезланиш горизонтал текисликда и га параллел
равишда ОЕ буйлаб йуналади ва е JLco булади.
3. Л ва В нуцталарнинг тезлигиии ани^лаймиз. А нукта оний
у^да ётганлиги туфайли унинг тезлиги нолга тенг булади:
VA = °-
В нуцтанинг тезлигиии (12.4) га асосан аниклаймиз:
vB = со BD^.
(BDL = 2 CD = 0,2]/3 м булгани учун
vB = 1,2 м/с.
В нуктанинг тезлиги ов худди С нуктанинг тезлиги v9 каби
POz текнеликка перпендикуляр равишда йуналади ^амда
BD?"
Ли_1 = 2
vc CD
булади.
4. А ва В пуцталарнинг тезланишини аниклаймиз. В нуктанинг
тезланишини (12.15) га асосан аниклаймиз:
WB = ™В + WB
бунда — бурчак тезланиш вектори йуналган ОЕ уь:ца писбатан В
147
векторнинг йуналиши соат милинииг
булсин (140-раем).
(12. 14) формула ёрдамида
нуктанинг айланма ^аракат
тезланиши; w® шу нуцтанинг
ОР оний уц атрофида айлани-
шидаги у^ка интилма тезлани-
ши. ВО —2 г булгани учун
(12.13) га кура
до®? = е-ВО = 2,771 м/с®
булади. векторни POz те-
кисликда (О В) га перпендику-
ляр равишда шундай йуналти-
рамизки, е векторнинг мусбат
йуналишидан Караганда,
айлаиишига тескари йуналишда
ни аниклаймиз:
4,157 м/с2.
wB вектор В нукдадан ОР оний }цка туширилган перпендикуляр буй-
лаб оний ух томонга йуналади.
(12.16) га асосан В нуцтанннг wB тезланиши модулини аниклаймиз:
wB = (а®)2 + (ш“)2 + 2^^,cos 120° = 3,66 м/с2.
А нуктанинг уц^а интилма тезланиши нолга тенг: — 0. Шу-
нинг учун
= weA = г‘АО — 2,771 м/с2
wA вектор POz текисликда ОА га перпендикуляр равишда ю^орига
йуналади.
Охирги тенгликдан курамизки, оннй уц нукталарннинг тезланиши
умумий холда нолдан фар^ли булар экан.
XIII боб
ЦАТТИЦ ЖИСМ ХАРАКАТИНИНГ УМУМИЙ ХОЛИ
80- §. Эркии хаттиЧ жисмнинг харакатини илгариланма ва айланма
харакатларга ажратиш
Эркин жисмнинг фазода умумий холДО кучишини урганиш цуйи-
дагн Шаль теоремасига асосланади.
Теорема. Эркин жисмнинг фазодаги %ар цандай кучишини бир
илгариланма царакат еа f\ym6 деб танлаб олинган ну^тадан
утувчи бирор уц атрофида бир айлантириш билан амалга оши-
риш мумкин.
148
Исбот. Эркин жисмнинг бирор кузгалмас Ост]£. координаталар
системасига нисбатан вазияти унинг бир тутри чизикда ётмайдигаи
А, В, С нухталарининг холати, яъни г^АВС холати билаи аникланади.
Эркин жисмнинг ихтиёрий иккита ^олатини, яъни вахтдаги 1 хр-
латини, t2 вахтдаги II хрлатини оламиз (141-раем). Бунда бир туг-
ри чизикка ётмайдиган А, В, С нуцталар мос равишда А1г Blt Сг ва
А2, В2, С2, холатларни эгалласин. У хрлда жисмнинг =
вахтдаги кучишинй ^уйидагича бажариш мумкин. Жиемга шундай
илгариланма кучиш берамизки, натижада Д нукта А2 нукта билан
устма-уст тушсин. Бунда В1г Сх нухталар В', С' нухталарга утади.
У зрлда д А В С вазияти д А2 В' С' га алмашинади ва жисм Г
Холатини эгаллайди. Эйлер — Даламбер теоремасига кура, жисмни Г
ХОлатдан II х°латга А хутбдан утувчи бирор оний ух атрофида бир
айлантириш билан утказиш мумкин. Теорема исботланди.
Хдракатни бу хилда илгариланма ва айланма кисмларга а?кратиш
жисмнинг ^а^ицнй харакатини акс эттира олмайди. Жисмнинг ха^и-
Хий харакатини тасвирлаш учун ихтиёрий д/ вахт оралигини кичик
булакларга булиб, мазкур булакларга мос булгаи эркин жисмнинг
Харакатини хутбнинг илгариланма харакати ва хутбдан утувчи оний
УХ атрофидаги айланма хаРакатларидан ташкил топган деб каралади.
Эркин жиемда олинган кутб координаталарини сл, Сл билан
белгнласак:
5л =Л (0,1
Пл = К (0, (13.1)
Ьд = f 3 (О')
тенгламалар хутбнинг харакат тенгламаларини ифодалайди.
Жисмнинг хутб атрофидаги харакатини аниклаш учун хутб иуц-
тасида Ог кузгалмас координата системасига параллел булган
ЛамДа жиемга бириктприлган Аху z координата системалари-
149
ни утказамиз (142-раем). У ^олда жисмнииг ^утб атрофидаги сферик
харакатини ф, <р, 0 Эйлер бурчаклари билан ани^лаш мумкин. Шу
сабабли
ф = А (ОЛ
ч> = А (0. (13.2)
e=A(OJ
тенгламалар жиемнинг цутб атрофидаги айланма царакатини ифода-
лайди.
Шундай килиб, (13.1), (13.2) тенгламалар биргаликда эркин кат-
тик; жиемнинг умумий хрлдаги харакат тенгламаларини ифода-
лайди.
81-§. Эркин цаттиц жисм нукталаринииг тезлиги ва тезланиши
Эркин Капиц жисм ихтиёрий В нуцтасининг тезлиги, текис па-
раллел х,аракатдаги каби, vA цутбнинг тезлиги ва vBA цутбдан утув-
чи оний уц атрофидаги айланма царакат тезликларининг геометрик
йигиндисига тенг:
Тв = “л + и,-а = °л + «ХАВ, (13.3)
бунда to оний бурчак тезликдир.
Шунга ухшаш, В нуктанинг тезланиши учун (11.13) каби ^уйида-
ги формула уринлидир:
“в = ^л + '®вл- (13.4)
(13.3) ва (13.4) форму лаларнинг исботи текис параллел ^аракатдаги
каби б^ладн. (13.4) даги wBA Ривальс теоремасидан аникланади:
^ВА + WBA- (13-5)
150
XIV боб
НУКТАНИНГ МУРАККАБ ХАРАКАТИ
Шу пайтгача нукта ёки жиемнинг ^аракатини кузгалмас деб ^абул
^илинган бирор координаталар системасига нисбатан текширдик. Ку-
пинча техникада учрайдиган масалаларни ечишда нуцта ёки жиемнинг
^аракатини икки ва ундан ортп^ координата системаларига нисбатан
текширишга тугри келади. Бундай ^олда координата системаларидан
бири кузгалмас деб олиниб, ^олганлари эса унга нисбатан маълум
цонунга мувофн^ даракат килади, деб царалади. Бу ^олда нуцта (ёки
жисм) кузгалмас координаталар системасига нисбатан мураккаб дара-
катда булади. Л1асалан, Ернинг сунъий йуддоши ичида ^аракатлана-
ётган бирор нукта Ерга нисбатан мураккаб даракатда буладн. Вагон
ичида юраётган йуловчи поезд даракатланаетганда Ерга нисбатан му-
раккаб даракатда булади. Бу мисолларда Ер билан богланган коор-
динаталар системаси кузгалмас булиб, сунъий йулдош ва поезд билан
богланган координаталар системаси кузгалувчи координаталар систе-
масидан иборат булади.
82-§. Нуктанинг нисбий, кучирма ва мураккаб харакатлари
М нуктанинг кузгалмас б\ £ г] £ координаталар системасига нис-
батан мураккаб ^аракатини текширамиз. Бунинг учун 0г £ г] £ га нис-
батан ихтиёрий равишда ^аракатланадиган Oxyz координаталар сис-
темасини оламиз (143-раем).
М нуктанинг кузгалувчи Oxyz координаталар системасига нисба-
тан даракати нисбий харакат дейилади. Нуцтанннг нисбий ^аракати
текширилаётганда кузгалувчи координаталар системасининг даракати
фикран эътиборга олинмайди. Нуктанинг иисбий даракатда чизган
траекторияси нисбий траектория дейилади.
Нуктанинг нисбий траектория буйлаб ^аракат тезлиги нисбий
тезлик, нисбий тезликнинг ниебнй даракат траекторияси буйича уз-
гаришнни ифодаловчи тезланиш
нисбий тезланиш дейилади.
Нисбий тезлик ~vr билан, ннс-
бий тезланиш wr билан белги-
ланади.
Ернинг сунъий йулдоши
ичидаги нуктанинг сунъий йул-
дош билан бириктирилган коор-
динаталар системасига нисбатан
^аракати ниебнй ^аракат була-
ди. Нуктанинг сунъий йулдош-
га нисбатан тезлиги нисбий тез-
лик, тезланиши нисбий тезла-
ниш буладн.
143- раем.
151
М нуцтани Oxyz цузгалувчи координаталар системасига нисба-
тан берилган онда фикран цузгалмас деб цараб, унинг кузгалувчи
координаталар системаси билан биргаликда кузгалмас | т] £ коорди-
наталар системасига нисбатан килган ^аракати кучирма \аракат де-
йилади. Нуктанинг кучирма каракати кузгалувчи координаталар сис-
темасининг кузгалмас координаталар системасига нисбатан ?^аракати
билаи аникланади.
Харакати кузатилаётган М нуцтани берилган онда кузгалувчи
Oxyz координаталар системасининг бирор нуктаси билан устма- уст
тушган ва унга нисбатан кузгалмас деб караб, шу нуктанинг кузга-
лувчи координаталар системаси билан биргаликда кузгалмас коорди-
наталар системасига нисбатан каракат тезлиги берилган онда кучир-
ма тезлик ва тезланиши кучирма тезланиш дейилади. Кучирма
тезлик ve билан, кучирма тезланиш we билан белгиланади.
Келтирилган мисолда М нуктани сунъий йулдошнинг бирор нук-
тасида жойлашган деб цараб, мазкур нуктанинг сунъий йулдош би-
лан биргаликда Ерга нисбатан ^аракатн кучирма ^аракат булади
Сунъий йулдош Л1 нуктасининг Ерга нисбатан тезлиги кучирма тез-
ликни, тезланиши кучирма тезлаиишни ифодалайди.
7И нуктанинг бевосита кузгалмас координаталар системасига нис-
батан ^аракати мураккаб харакат ёки абсолют харакат дейилади.
Нуктанинг бундай ^аракат тезлиги абсолют тезлик, тезланиши аб-
солют тезланиш дейилади. Абсолют тезлик va билан, абсолют тез-
ланиш а'е билан белгиланади.
Келтирилган мисолда сунъий йулдош ичидаги М нуктанинг Ер
билан боглангаи координаталар системасига нисбатан каракати абсо-
лют харакат булади.
143- расмда тасвирланган М нуктанинг | т] g координаталар
системасига нисбатан харакати мураккаб каракат булиб, бу ^аракатни
нисбий ва кучирма ^аракатдан ташкил топган деб караймиз.
Нуктанинг мураккаб ^аракатини текширганда нисбий, кучирма ва
ва абсолют тезликлари ^амда тезланишлари орасидаги муносабатни
топиш асосий масала кисобланади.
М нуктанинг кузгалмас координаталар системасига нис-
батан ^олати координаталар боши Ot ва М нукта оркали утувчи р
радиус-вектор билан аникланади. Яъни р радиус-векторинннг узгариши
абсолют харакатни белгнлайди.
М нуктанинг кузгалувчи Oxyz координаталар системасига нис-
батан к°латн координаталар боши О ва нукта оркали утувчн
г радиус-вектор воситасида аникланади.
_ Кузгалувчи координаталар системасининг бирлик векторларини
i, j, k билан белгиласак, г цуйидагича ифодаланади:
г — х i ф- yj + zk.
Бунда х, у, z лар М нуктанинг нисбий \аракатини белгиловчи коор-
динаталаридир. Шундай килиб, нуктанинг ннсбий каракат тенглама-
лари ушбу куринишда ёзилзди:
152
Х = к (0.1
J/=fs(0. (14.1)
я = MO-J
кузгалмас системанинг координаталар боши OL ва кузгалувчи сис-
теманинг координаталар боши О нуцта орцали утувчи р0 радиус-
векторнинг узгариши О нуктанинг абсолют ^аракатини белгнлайди.
83-§. Тезликларни ^ушиш теоремаси
М нуктанинг кузгалмас координаталар системасига нис-
батан абсолют тезлигини ани^лаш учун ^аракатни кузгалувчи Ох у Z
координаталар системасига нисбатан нисбий ^аракат ва бу координа-
талар системаси билан биргаликда содир буладиган кучирма ^аракат-
даи ташкил топган деб цараймиз (143-расм). кузгалувчи Oxyz коор-
динаталар системаси кузгалмас координаталар системасига
нисбатан худци эркин жисм каби ^ракатлансин. У ^олда ю^орвда
курганимиздек, О х у z координаталар системасининг ^аракатини коор-
динаталар боши О нукта—цутбнинг илгариланма ^аракати ва бу ^утб
атрофидаги сферик ^аракатдан ташкил топган деб т^араш мумкин.
Мазкур сферик харакатни О нуцтадан утувчи ОР оннй атрофида-
ги сое бурчак тезлик билан содир булувчи айланма харакатдан ибо-
рат деб цараймиз (144-расм).
Расмдан цуйвдаги муносабатни оламиз:
Р=Ро + г = Ро + Н i+yj-rZk. (14.2)
М нуктанинг абсолют тезлигини ани^лаш учун (14.2) дан вацт
буйича росила оламиз:
J44- расм.
153
d p a pl , {dx ~ , Ф/ — dz-~ di di z/T\
iir + U1 + л> + ak)+(* ar + & ~dt~ + я-&-J (14.3)
Бунда
dp — t
~dT=va (14.4)
нуктанинг абсолют тезлигини ифодалайди,
dp0 —
dt ~ v°’ (^4.5)
„ dx dy dz
бунда U ^утбнинг тезлигидир; (14.1) га кура = vrjc, ~ vry,~ =
= vrl булиб, нисбий тезликнинг кузгалувчи х, у, Z координаталар
уц.чаркдяги проекцияларини ифодалайди. Шу сабабли нуктанинг нис-
бий тезлиги куйидагича топилади:
dx — . dy — . dz — — — — _
+ hi + ak = v™‘ +vryi + ^,k = 'Br (М.6)
Цузгалувчи Oxyz_координаталар системаси О нуцтадан утувчи
OP оннй уц атрофида we бурчак тезлик билан айланма ^аракатда
булгаии учун i, у k бирлж векторлардаи вацт буйича олинган хр-
сила, радиус-векторлари i, j, k га тенг булган ну^таларнинг чизиц-
ли тезлиги каби олинади. У ^олда Эйлер формуласига кура ^уйида-
ги тенгликлар уринли булади:
dt = X 1 » ~~dT ~ X / > — ие X k . (14.7)
(14.4) — (14.7) ларга асосан (14.3) ни куйидагича ёзамиз:’
иа = vo + vr + x (x7 + у] + zk),
ёки
{va = vr 4- Vo + X r . (14.8)
M нуктанинг кучирма тезлнгн Oxyz кузгалувчи координаталар
системасининг шу Hyiyra билан устма-уст тушган ну^тасининг QiJrqg
га нисбатан тезлигига тенг булади. Курилаётган ^олда Oxyz
координаталар системаси кузгалмас га нисбатан худди эркин
жисм каби ^аракатланаётгани учун М нуктанинг кучирма тезлиги
(13.3) га асосан куйидагича ёзнладн:
^+coexr=t7 (14.9)
Шундай ь^илиб, (14.8) ушбу куринишни олади.
(14.10)
Бу тенглик тезликларни ^ушиш теоремасини ифодалайди.
Нуктанинг абсолют царакат тезлиги унинг нисбий еа кучир-
ма ^аракат тезликларининг геометрик йириндисига тенг.
154
Бу теорема тезликларнинг параллелограмм цоидаси дейилади.
(14.9) дан курамизки, кузатилаётган ^олда М нуктанинг кучирма
^аракат тезлиги ^утб О нинг тезлиги v0 ва ОР оний у^ атрофидаги
айланма харакат тезлиги <ое X г га ^урилган параллелограммнинг
диагонали билан нфодаланади.
Агар кучирма э^аракат илгариланма ^аракатдан иборат, яъни
(i)£ = 0 булса, у ^олда кузгалувчи координаталар системаси билан
богланган барча ну^таларнинг тезликлари геометрик тенг булиб,
Кутбнинг тезлиги v0 билан аникланади:
= ^о-
Бу зрлда хам (14.10) формула уринли булади.
Абсолют тезликнинг модули нисбий ва кучирма тезликларга КУ"
рилган параллелограммнинг диагонали билан ифодаланади:
va = -Ь + 2 ие vr cos а, (14.11)
бунда
а = (уе, vr).
Агар ct = 0, яъни vr билан ve бир тугри чизик; буйлаб бир то-
монга йуналган булса, абсолют тезлик куйидагича топилади:
= V+ Vl + 2 ve Vr = Иг + vr-
Агар а =90°, яъни ve-Lvr булса, абсолют тезлик
и„ = Kv; +
формуладаи, а = 180°, яъни и, билан ve бир тугри чизи^ буйлаб
царама-Гу.рши йуналган ^олда эса
va = + —2ад. = |н, — t'J
формула дан аникланади.
Агарда нисбий, кучирма ва абсолют тезликлардан ихтиёрий икки-
таси маълум булса, учинчи номаълум тезликни тезликларни ^ушиш
з^а^идаги (14.10) теоремадан фойдаланиб аниклаш мумкин.
84-§. Тезланишларни цушиш теоремаси
(Кориолис теоремаси)
М нуктанинг кучирма ^аракати илгариланма булмаган хрлда аб-
солют тезликнинг ^уйидаги
“ . !dx — . ~ . dz i:\ . { М । i dk\
v°=-dT +-dF I +~di k) +{x-dT +y-di +z~dr)
ифодасидаи ва^т буйича росила оламиз:
155
dva
dt
dx di
dt dt
dP \ dt* dP
dy dj dz dk \
dt di ‘ dt dt J
(Pt
dt*
d2}
dt*
(14.12) да
d‘k
dP
(14.12)
---- = &’✓> •
dt a
Л1 нуктанинг абсолют тезланишини,
^Pe
-----= w
dp °
О цутбнинг тезланишини,
(Fx ~ d*y_ ~ d*z - -
dt- 1 + aP * “* dP k=wr
M нуктанинг нисбий тезланишини ифодалайди.
га асосан ^уйидагиларни хосил ь;иламиз:
dx di , dy dj dz dk
Л Al "И Л dt dt dt
(14.13)
(14.14)
(14.7)
(14.15)
ва (14.6) лар-
dx ~ , dy -
1
dt dt
= ®, xt,, (14. 16)
= e, Xi +«, X (Д X i J ,
— dti>e
бунда ce = —~ булиб, ОЕ уц атрофидаги оний бурчак тезланишдир
(145-расм). Худди шунингдек,
-^ = ёе Х/ + ^ х(“. X?).
-~-=ее х7г + «е X (а, X k).
Шу сабабли
Н“‘хГ)]х+
+ [Е. х / + “, х (й, х7)]» + [г, X k 4- Ые X (йг х *)]« =
= Ее X (xi + yj + zk ) + Д X [й, X (xi + yj + jel) j =
= ё„ X7+йе X (йе X r). (14.17)
156
(14.13) — (14.17) ларга асосан (14.12) ни цуйидагича ёзамиз:
wa = + Ч + 2 (ч х Ч ) + е« х г + 4 X (ч х г)- (14.18)
М нуцтанииг кучирма тезланиши Oxyz цузгалувчи координата-
лар системасининг шу нуцта билан устма-уст тушган нуктасининг
О га нисбатан тезланишига тенг булади. Курилаётган ^олда Oxyz
координаталар системаси худди эркин жисм каби ^аракатлангани
учун кучирма харакат тезланиши О ^утбиинг тезланиши w0 дам-
да кутб атрофидаги айланма ^аракат тезланиши = ef X г ва ОР
оний уда интилма тезланиш w*3 — X (сое X г) дан ташкил топа-
ди:
Wo + Ее Х Г + Ч +(Ч Х Г) = We • (14.19)
(14. 18) дагн
2 X ог) » wk (14.20)
Кориолис тезланиши дейилади.
Шундай килиб, нуктанинг абсолют тезланиши куйидаги тенглик-
дан аншуланади:
+ ‘Й’д • (14.21)
(14.21) тенглик кучирма даракати илгариланма булмаган нудаиинг
тезланишларини цушиш ^а^ндаги Кориолис (1792— 1843) теорема-
сини ифодалайди.
Кучирма царакати илгариланма булмаган мураккаб ^аракат-
даги нуктанинг абсолют тезланиши унинг нисбий, кучирма ва
Кориолис тезланишларининг геометрик йигиндисига тенг.
157
Агар нуцтанинг царакати табиий усулда берилса, у цолда нисбий
тезланишни уринма ва нормал ташкил этувчилардан нборат деб ка-
раш мумкин.
Wf = U'J -7- wz»
бунда
, <fo_ - n се
Л =—r-=s , ^r =
dt Pr
булиб, sr — хисоблаш бошидан нуктанинг нисбий ^аракат чизиги
буйлаб унинг берилган ондаги ^олатигача булган ей координатаси;
рг — нисбий царакат чизш ининг эгрилик радиуси.
Кучирма царакат кузгалмас уц атрофидаги айланма царакатдан
иборат булган хусусий цолда кучирма .харакат тезланиши учун
и>, = C'J +w"
формула уринлидир. Агар айланиш уцидан нуктагача булган энг пис-
ца масофани R билан, кучирма харакат бурчак тезлиги ва бурчак
тезлапишини мос равишда <оева ев билан белгпласак, (10.14) ва
(10.15) ларга кура, кучирма уринма тезланиш
< =
кучирма нормал тезланиш эса
формулалар ёрдамида аницлаиади. Бу цолда нуктанинг абсолют тез-
ланиши учун куйидаги тепгликни ёза оламиз:
оус = о? 4- оу" 4- «£ + оу" + • (14.21')
Агар кучирма царакат илгариланма царакатдан иборат булса, у
цолда w, = 0,=0. Шу сабабли цузгалувчи координаталар сис-
темаси билан богланган барча нукталарнинг тезланишлари узаро гео-
метрик теиг булиб, цутбнинг тезланиши wo билан аникланади:
=^'о
Бу цолда wk = 2(сое X vf )= 0. Шу сабабли (14.21) ни курилаётган
цолда цуйидаги куринишда ёзамиз:
wa = o)z 4- • (14.22)
(14.22) формула кучирма харакати илгариланма ^аракатдан
иборат. булган нукта учун тезланишларни цушиш ^ацидаги ц^ши-
даги тсоремани ифодалайди.
158
Кучирма царакати илгариланма ^аракатдан иборат булган
нуктанинг абсолют тезланиши унинг нисбий ва кучирма тезла-
нишларининг геометрик йириндисига тенг.
Шундай килиб, кучирма ^аракат илгариланма харакат булганда,
нуктанинг абсолют тезланиши нисбий тезланиш wr ва кучирма тезла-
ниш а>еларга курилган параллелограммнинг диагонали билан ифода-
ланади. Бу ^олда абсолют тезланишнинг модули цуйидагнча ^исоб-
ланади:
wa = -J- u>g + 2o>r we cos I wr we
(14.23)
85-§. Кориолис тезланиши
Ю^орида курганимиздек, Кориолис тезланиши мураккаб ^аракат-
даги нуктанинг кучирма даракат бурчак тезлиги билан нисбий хара-
кат тезлигининг векторли купайтмасининг иккиланганига тенг.
wk = 2 ( ое х vr J. (14.24)
Агар билан vr орасидаги бурчак катталигини а билан белги-
ласак, Кориолис тезланишининг модули
w. = 2ь>е vr sin а
(14.25)
формуладан аникланади.
Кориолис тезланишининг йуналишини кунидаги Жуковский кои-
даси асосида анщлаш ^улайдир.
Кориолис тезланишининг йуналишини аницлаш учун нуцта-
нинг нисбий тезлигини кучирма ^аракат айланиш уцига перпен-
дикуляр текисликка проекциялаб, бу проекцияни мазкур текислик-
да, кучирма харакат айланиши йуналишида 9(f бурчакка буриш
керак (146-расм).
Агар Хиг булса (147-расм), sin а == 1. У ^олда
146- расм.
147- расм.
159
(14.25) формулага кура Кориолис тезланиши нолга тенг буладн-
ган ^олларни куриб чикамиз:
1) юхорида курилганидек, сое = 0, яъии кучирма харакат илгари-
ланма харакатдан иборат булса, wk — 0 булади;
2) нисбий харакат тезлиги бирор оида нолга тенг булса, шу онда
ivk ~ 0 булади;
3) ct = 0 ёки а = 180° булса, яъни нисбий ^аракат кучирма ха~
ракат айланиш укига параллел равишда содир булса ёки берилган
онда нисбий ^аракат тезлиги мазкур уцка параллел булса, wk ~ 0
булади.
86-§. Мураккаб харакатдаги нуцтанинг тезлик ва тезланишларини
аниклаш га дойр масала л ар
Мураккаб харакатдаги нухганнпг тезлик ва тезланишларини аних-
лашга дойр масалаларни хуйвдаги тартибда ечиш тавсия этилади.
1. кузгалмас ва хуз^лувчи координата системалари танлаб оли-
нади.
2. ХаРакатНИ нисбий, кучирма ва абсолют хзРакатларга ажратп-
лади.
3. Кучирма харакатни фикран тухтатиб, нуктанинг нисбий хара-
кат тезлиги ва тезланишлари аницланади.
4. Нисбий харакатни фикраи эътиборга олмай, нуктанинг кучир-
ма харакат тезлиги ва тезланишлари анихланади.
5. Тезликларнн хушнш тео-
ремасидан фойдаланиб, нуцта-
нинг изланаётган абсолют тез-
лиги топилади.
6. Нухта илгариланма ку-
чирма харакатда булмаса, унинг
Кориолис тезланиши аникла-
нади.
7. (14.21) ёки (14.22) ни
координата ухларига проекция-
лаб нукта абсолют тезлаииши-
нинг проекциялари топилади.
8. Мазкур ироекциялар во-
ситасида нухта абсолют тезла
нишннпнг микдори ва йунали"
шн анихланади.
27-масала. АравачанингА£
томонн горизонт билан а = 45°
бурчак ташкил этдди. Аравача
Oil >1$ буйлаб w0 = 1 уз-
гармас тезланиш билан тугри
чизихли харакат хилаДи- Шу
160
текисликда Ржисм wr =j A2 узгармас нисбий тезланиш билан
тутииб келади. Текислик билан жисмнинг бошлангич тезлиги нолга
тенг, жисмнинг бошлангич ^олати Е — 0, т] = h координаталар билан
ани^ланади. Жисмнинг абсолют харакати тенгламаси, абсолют тез-
лиги ва тезланиши топилсмн (148-расм).
Ечиш. Шаклда курсатилган О(Ет] текислик — кузгалмас текислик.
АВ кия текислик оркалн кузгалувчи Аху координаталар системаси-
нн утказамиз. Р жисмнинг Ах га нисбатан харакати нисбий, жисм-
нинг фацат Аху билан биргаликда OjEtj га нисбатан харакати кучир-
ма (илгариланма), жисмнинг OjEtj га нисбатан ^аракати абсолют (му-
раккаб) харакат булади. Нисбий харакат узгармас wr тезланиш билан
содир булганда унинг иисбий тезлиги
vr = vr t-|- wf t
формулага мувоф!к топилади. Шунингдек, кучирма харакат тезлиги
^ам аникланади:
= ч.+а’Л-
Масаланннг шартига кура, бошлангич t = 0 пайтда кия текислик ва
жисмнинг бошлангич тезликлари нолга тенг: ve^ =0, = 0. Шу
сабабли
vr = wr t ва ve = we t.
v Ax уц буйлаб, v эса Oj| уцка параллел равишда йуналган. Улар
орасидаги бурчак 45° га тенг. Абсолют тезликнинг микдорини (14.11)
формулага мувсфгц аниклаймиз (148-расм, а):
va = + v, + 2 ve vr cos 45° =
= /р 4- (u'£ / |'2 + 2эги/ cos 45’;
бунда wr = > 2 м/с2, we = = 1 булгани учун
Ч, = > = * —
келиб чикади. Энди Р жисмнинг Ах уц буйлаб утган йулини топа-
миз. Харакат текис тезланувчан булганидан
* = *о+
Шунта ухшаш, кучирма харакат конунини ёзамиз:
11—2344
161
t = 0 да = О, л0 = 0. иг = О, vr =0 бу-'га1шдан
х = -^,
2 ‘ 2
^осил булади.
Энди Р жиемнинг Oil?] кузгалмас системага нисбатан абсолют ха-
ракати тенгламасини аниклаймиз:
/2
| = х cosa 4- we — ,
iq=h — х since.
Ю^оридагиларни эътиборга олсак, абсолют ^аракат тенгламалари
В = Л Ч=А—у
куринишда ёзилади. Бу ^аракат тенгламаларидан t ва^тни чицариб
ташласак, абсолют ^аракат траекториясииинг тенгламасини оламиз:
п=л-у-
яънн абсолют ^аракат траекторияси тугри чизикдап иборат булади.
Масалада кучирма ^аракат илгариланма булганидан, (14.22) га бино-
ан, абсолют тезланиш
И.’ = 4~ &У
а е ' г
формула ёрдамида аникланади (148-раем, б). Абсолют тезланиш мо-
дули
wa = ]/ wg + 4- wr cos 45° = 7^5 .
Абсолют \аракат тутри чизшуш булгани учун бу натижанинг тугри-
лигини абсолют тезликдан вацт буйича росила олиб текшнриш мум-
кин:
&>а М
w =---- =15 — .
а dt ’ с8
28-масала. ОА кулиса узининг О учи атрофида узгармас <о =
= 2с~1 бурчак тезлик билан айланади. М ползун ОА кулиса буйлаб
О дан А га караб S = ОМ =(2 4- З/2) м цонун асосида ^аракат Би-
лали. Ползуннинг t — 1 с даги абсолют тезлиги ва тезланиши то-
пилсин (149-расм).
г Ечиш. О ну!\та ортали цу'згалмас координаталар системасини
^амда ОА кулиса оркалн Ох кузгалувчи уф!и утказамиз. М ну^та-
нинг тезлигини тезликларни 1$шнш теоремаси (14.10) га мувофиц
аниклаймиз: _ _ __
va = Ve “Ь Vr •
162
1
М нуктанинг нисбий тезлигини топиш учун унинг Ох ук буйлаб
нисбий ^аракат тенгламаси s — 2 4- З/2 дан t буйича косила оламиз:
с, м
vr = 6/ — .
с
vr тезлнк М дан А га цараб йуналади. М ползунии ОА кулисага
нисбатан харакатсиз деб карасак, М нинг кулиса билан биргаликда
кузгалмас О нуцта атрофидаги харакати кучирма харакат булади ва
унинг тезлиги
V, = ы-ОМ = 2(2 + ЗЛ)~ .
ve айланиш йуналишида (ОЛ1) га перпендикуляр равишда йуналади,
яъни ve Ч- ог . Шу сабабли va нинг модули
Оа = V t+t = lZ(4 + 6^ + (602
тенгликдан топилади. t = 1 с булганда va ~ 11,64 м/с, а бурчак тангенсы
ve 5 _
эса tga = — = — га тенг булади. а бурчак ^нйматига кура va
нинг йуналиши топилади.
М ползуннинг берилган ондаги кучирма ^аракати айлана буйлаб
?рракат булганидан унинг абсолют тезланиши Кориолис теоремасидан
аникланади:
=^'г +Е» .
Демак, wr нисбий, we кучирма ва wk Кориолис тезланишларини аншу
лашимиз керак.
163
Нисбий ^аракат тугри чизи^ли булганидан унинг тезланиши нис-
бий тезликнинг t буйича ^осиласига тенг:
Бунда w >-0 булганидан нисбнй тезланиш нисбий тезлик буйича
йуналади.
Кучирма ^аракат кулисанинг айланма ^аракатидан иборат булга-
нидан М нуктанинг we кучирма эдакат тезланиши
формула асосида топилади. Берилган масалада кучирма ^аракат бур-
dftj, „
чак тезлиги со узгармас булганидан е =-------=0 булади. Бу ^олда:
е е dt
= Ч 0М = 0; Wc = tBe„= -ОМ = 4(2 + 3t)2 -= .
Бу тезланиш О А буйлаб М дан О айланиш марказига цараб йуналади.
Кучирма ^аракат бурчак тезлик вектори О нуцтадан шакл текис-
лигига перпендикуляр утган у^ буйлаб кузатувчи томонга йуналади,
яъни сос _Lt'r . Бу ход да wk нинг микдори (14.26) га кура цуйида-
гича булади:
wk = 2сое • vr = 24 .
vr J_ сое булганидан vr ни М нуцта атрофида айланма ^аракат йуна-
лишида 90° га айлантиреак, се^ нинг йуналиши топилади.
Абсолют тезланиш модулини wa — j ~г ^’аУ формула га кура
аниклаймиз. Расмдан:
СУ = w — W , W = СУ. .
ах г гл ’ су k
Шунта кура, t = 1 с да абсолют тезланиш модули
=27-8
булади.
29-масала. R радиусли Ер шари узгармас сов бурчак тезлик би-
лан гарбдан шарьдеа караб уз у^и атрофида айланади. Ер шарининг
АВ меридиани буйлаб М жисм жанубдан шимолга караб vr узгармас
мицдорли нисбий тезлик билан ^аракат цилади. Жисм Ер шарииинг
шимолий ярим шарида ср кенгликда ётган вацтида кандай абсолют
тезлик ва абсолют тезланишга эга булади (150-расм)?
164
Ечиш. Харакатланувчи жисмни
ну^та деб 11араймиз. Ер шари ай-
ланма ^аракатининг бурчак тезлик
вектсри айланиш уци буйлаб йуна-
лади. /И нукта Ернииг Ozx айланиш
у^ига нисбатан мураккаб ^аракат
г^илади. Унинг Ер сиртида А В мери-
диан буйлаб харакати нисбий, 4®кат
Ер билан бирга Oz, уц атрофида
айланиши кучирма ^аракат булади.
М нуктанинг нисбий тезлиги шу
нуцтада АВ га утказилган уриима
буйлаб йуналган.
М нуктанинг айланиш укнга пер-
пендикуляр булган О^И радиусли
айлана буйлаб кучирма харакати
тезлигини топамиз. Расмдан Oi/W=
150- расм.
= /?созф. Кучирма тезлик модули
ие = Ч = 4 ’^costp формула ёрдамида аникланади.
Бу тезлик OiM радиусли айланага утказилган уринма буйлаб
йуналади. Абсолют тезликни (14.10) формулага мувофиц топамиз:
»а = vr 4- ve .
Бу масалада ve _Lur булганидан
va = V Ue “Ь = 1 Vr •^2"СО&2(Р •
7И нуктанинг абсолют тезланишини Кориолис теоремасига мувофиц
аниклаймиз:
wa=wr + we±wk.
М нуцта узгармас нисбий тезлик билан АВ меридиан буйлаб ха-
ракатланганидан, у меридиан айланаси буйлаб текис узгарувчан ай-
ланма ^аракат цилади.
__ _ _____ dvr
wr =wrnA~ Чт тенглнкдаги wrn , и’гт=—^-=0(t>= const) бул-
ганидан зуг = wrn эканлиги келиб чизади. Бу тезланиш М дан [Ер
маркази О га караб йуналади. Кучирма ^аракат Ер у^и Огг атрофи-
да = const бурчак тезлиги билан айланма >,аракатдан иборат бул-
гани учун weX = ee'R = 0, чунки ей = —^g- = 0. Шу сабабли
= со;-/? cos <р.
е еп е 1 е 4 •
Бу тезлаииш Л4 дан ЛЮХ буйлаб йуналади. Энди Кориолис тезлани-
шини топамиз: __
wk = 2 (o£ X vr).
165
Бу тезланиш билан vr ётган текисликка перпендикуляр равишда
М нуцтада кучирма ^аракат траекториясига уринма равишда йунала-
ди, микдори эса wk = 2 vr sin <р га тенг булади.
(14.21) тенгликнииг ^ар икки томонини х, у, z координата уцла-
рига проекциялаймиз:
wox ~ 2 (ое • ve sin ср;
а>ау = — (ясо] + ) cos ср;
с?
®<м- = — — Sirup.
У ^олда
w„ = w2 -4- Ис'2 ==
« г ах • оу ‘ az
-лП J \ „ «г2 у ,
|/ ( 41^-и] + I sm2cp + I Л? со® + —) cos-ср.
Агар нуцта экваторда булса ф = 0; бу ^олда <ое || vr булиб, М
нуктанинг Кориолис тезланиши булмайди, яъни:
wk ~ 2£0в’г»г51Пф = 0.
Vr
Бу ^олда We = woy = — R со2--------- .
Агар М нуцта шимояий ь^утбда булса, ф = ~, coeJ_fr булади ва
М нуктанинг Кориолис тезланиши энг катта цийматга эришади:
wk =2oe-vr.
Бу зрлда М нуктанинг абсолют тезланиши цуйидагича булади:
XV боб
ЦАТТИК ЖИСМНИИГ МУРАККАБ ХАРАКАТИ
Жиемнинг мураккаб ^аракати тушуичасн нуктанинг мураккаб ^арака-
тига ухшаш. Баъзи ^олларда жиемнинг кузгалмас саноц системасига
нисбатан харакатини икки хдракатдан ташкил топган деб цараш ь^у-
лай булади; бу ^аракатлардан бири жиемнинг маълум ^онун асосида
Oxyz цузгалувчи координаталар системасига нисбатан нисбий ^аракати
булиб, иккинчиси—жиемнинг О& 1] £ цу’згалмас саног; системасига
нисбатаи кузгалувчи сано^ системаси билан биргаликдаги кучирма
166
Харакати булади. Ю^орида кургаиимиздек, эркин жиемнинг умумий
Холдаги харакатини илгариланма ^аракат ва оний ух атрофида айлан-
ма ^аракатдан ташкил топган деб цараш мумкин. Шунинг учун одат-
да жиемнинг мураккаб (абсолют) харакатини ани^лаш масаласн унинг
кучирма ва нисбий харакат турларига цараб, ё илгариланма харакат-
ларни, ё айланма харакатларнн ёки айланма ва илгариланма харакат-
ларии хушиш масаласига келтирилади. Жисм харакатларини кушиш-
нинг амалда учрайдиган баъзи холларинн куриб утамиз.
87-§. Иккита параллел ух атрофида айланувчн жиемнинг
харакатларини хушиш
Каттих жиемнинг нисбий ва кучирма харакатлари параллел ухлар
атрофидаги айланма харакатлардан иборат булсин. Бундай х<хлга 151-
раемда кургатилган жиемнинг харакати миоол була оладч. Фараз
Хилайлик, жисм Oxyz хузгалувчи системанинг Oz \ хи атрофида со2
бурчак тезлик билан нисбий айланма .харакатда булиб, Oz ухиинг узи
унга параллел хузгалмас 0^ уц атрофида Wj бурчак тезлик билан
кучирма-айланма .харакатда булсин. Бунда жисм бир вактда икки па-
раллел ук атрофидаги айланма харакатда иштирок этади. Унинг хам-
ма нухталари Oz ва £ параллел ухларга перпендикуляр булган те-
кисликларда харакатланади.
Жиемнинг икки параллел ух атрофидаги айланма харакатини ку-
шиш масаласи айланиш ухига перпендикуляр булган текисликлардаги
S хирцимнинг .харакатини, яъни текис параллел харакатни Арганиш-
га келтирилади (152-раем). 5 текис шаклнинг уз текислигидаги Xй'
ракатини оний марказ атрофида оний айланма .харакатдан иборат деб
Х^раш мумкин. Текис шаклнинг уз текислигидаги харакатини тезлик-
лар оний лиркази атрофида оний айланма харакатдаи иборат деб ха-
раш мумкин. Текис шаклнинг тезликлар оний марказининг вазиятини
167
ва оний бурчак тезлигиии аиицдашдэ уч кол булиши мумкин. Бу^ол-
ларнинг кар бирлни куриб утамиз.
1. Бир томонга йуналган икки параллел ук атрофидаги жисм
айланма ^аракатларини куляш. Жчом бир вактда иккига параллел
z ва g уклар атрофида блр томонга ^араб йуналган со» ва сох бурчак
тезликлар билан айланма каракатда деб ^араб, унинг шу икки каРа'
катини к$тнамиз (152-раем).
Бунинг учуй укларга перпендикуляр текислик утказамиз, текис-
ликнинг ук билан кесишган нукталарини А ва В ортали белгилай-
миз. АВ кесмада бирор D нуктани олиб, унинг абсолют тезлигиии
топамиз. Нукта мураккаб ^аракзтдз булган i учун унинг тезлиги тез-
ликларни кушиш теоремасига мувзфц аижуланади:
v0 =~ve -Hv,
бунда ve = AD-о»! ва vr~ DB-^, бу кучирма ва нисбий тезликлар
D нуктэда кесмага перпендикуляр равишда, бир чизик буйлаб карама-
царши томонларга йуналади. Бу э$рлда
va — (AD^ — BD со2). (15.1)
АВ да шундай С нуктани топиш мумкинкя, унинг шу оидаги аб-
солют тезлиги нолга тенг. У ^очда С нукта жисмнинг айланиш оний
маркази булади ва (15.1) га кура
= АС С0| — ВС со9 = 0.
Бундан
С нуктадан айланиш укига параллел утган СР чизик устидаги
жисм нукталарининг тезлиги шу онда иолга тенг булади ва шу сабаб-
ли СР айланиш оний уци булади. _
Оний айланиш бурчак тезлиги со нинг мэдзриня аниклаш учун
В нуктанинг абсолют тезлиги vB ни (15.1) га кура топамиз:
vB = AB'to1 — 0-со2 = ЛВ-со1. (15.3)
Иккинчи томондан, В нукта айланиш оний уки атрофида со бур-
чак тезлик билан айланма фракатдр булгани учун
vB = v-BC. (15.4)
(15.3) ва (15.4) тенглнкларни солиштириб куйидагини оламиз:
Ы‘ВС ~ (Hi-АВ,
бунд ан
со,-ЛВ АС-ВС [АС , Л
со = —-----= со.---------- = со, —— -р 1 ,
ВС ВС 1\ВС I
ёки (15.2) ни эътиборга олсак,
со = СО| -}— со2 (15.5)
168
(15.2) ва (15.5) тенглик-
лардан курамизки, бир- би-
рига параллел икки у% ат-
рофида бир томонга айла-
нувчи жисмнинг харакат-
ларини кушиш натижасида
олинган абсолют хара-
кат оний айланма хара-
катдан иборат булиб, ай-
ланиш оний yt\u айланма
харакатлар содир булаёт-
ган уцларга параллел ра-
вишда йуналади хамда у>$-
лар орасидаги масофани
ичкаридан кучирма ва нис-
бий харакат бурчак тез-
ликларига тескари мута-
носиб булган булакларга
булади. Оний айланма харакат бурчак тезлигининг модули нис-
бий ва кучирма харакат бурчак тезликларининг алгебраик йи-
киндисига тенг ва унинг йуналиши берилган бурчак тезликлари-
нинг йуналиши билан бир хил.
2. Икки параллел ук атрофида карама-^арши томонга айланув-
чи жисмнинг ^аракатлариии кушиш. Жисм кузгалувчи гук атро-
фида <о2 бурчак тезлик билан нисбий ^аракатда, кузгалмас ва z га
параллел Bt, ук атрофида кучирма ^аракатда булиб, со, бурчак тез-
лик билан айлансин (153-раем.) Кучирма ва нисбий ^аракатлар й$'-
налишлари бир-бирига тескари булсин. <о1>со2 булган шундай иккн-
та ^аракатни кушамиз.
Бу зрлда ^ам к^ттик жисмнинг ^аракатларини цушиш айланиш
укларига перпендикуляр текисликдаги текис шаклнинг оний айланма
Каракагига келтирилишини исботлаймиз. Бунинг учун z ва £ укларга
перпендикуляр текислик утказиб, унинг уклар билан кесишган нук-
таларини А ва В билан белгилаймиз. АВ кесманинг давомида бурчак
тезлиги катта булган ук томонида жойлашган С нуктанинг тезлигн-
пи топамиз:
vc = ЛС-<о2 — cojl-BC. (15.6)
Бундаги ЛС*со2 ва ы^ВС лар АВ га перпендикуляр ва царама-кар-
ши томонларга йуналади. С нуктани шундай танлаймизки, унинг аб-
солют тезлиги vc нолга тенг булсин. У колда (15.6) дан ушбу тенг-
ликни оламиз:
С нуктанинг тезлиги нолга тенг булгани учун у айлаииш оний
маркази ва айланиш у^ига параллел булган СР ук айланиш оний уки
булади.
169
Оний айланиш бурчак тезлиги со нинг микдорини аниклаш учун
В нуктанинг тезлигини (15.6) га кура топамиз:
vB = АВ’^ — 0-о1 = АВ’(д2. (15.8)
Иккинчи томондан, В нукта айланиш оний уки атрофида со бур-
чак тезлнк билан айланма ^аракатда булгани учун
= (15.9)
(15.8) ва (15.9) ларни солиштириб со-ВС == ЛЙ-со2 тенгликни ола-
с АВ-а>а (АС—ВС)-о., [АС . \ - /их
миз. Бундан со =------— = '-----------—— = |-------1 ]<о2, еки (15.7)
ВС ВС \ ВС )
нн эътиборга олсак, цуйидаги косил булади:
<О=СОГ---<02. (15.10)
(15.6) ва (15.10) тенгликлардан курамизки, бир-бирига параллел
иккита уц атрофида карама- кариш, томонга бир- бирига тенг бул-
маган бурчак. тезликлар билан айланувчи жисмнинг царакатлари-
ни уУшиш натижасида олинган абсолют %аракат оний айланма
Харакатдан иборат булиб, айланиш оний уки айланма харакатлар
содир булаётган укларга параллел равишда йуналади хамда уклар
орасидаги масофани ташки томондан (катта бурчак тезлик то-
мондан) кучирма ва нисбий харакат бурчак тезликларига тескари
мутаносиб булакларга булади. Оний айланма харакат бурчак тез-
лиги катта бурчак тезлиги билан бир хил йуналади ва унинг мо-
дули берилган бурчак тезликларининг айирмасига тенг.
Айланиш оний укининг берилган уцлардан бирортасига нисбатан
эрлатпни аниклаш учун (15.7) дан ^осилавий пропорция тузамиз:
АС— ВС со, — со2
ВС о)а
ёки
АВ ____ со, — со2
ВС со2
бундан
[;с = АВ^ (15.11)
СД—0)2 W
3. Жуфт айланиш. Критик жисм икки параллел ук атрофида ка-
рами- царши томонга айланиб, бурчак тезликлари сон жихатдан бир-
бирига тенг булса, бундай айланиш жуфт айланиш дейилади. Жуфт
айланишда с»! = — <о2 булади. __ _
Фараз килайлик, жисм бурчак тезликлари сох ва со2 га тенг бул-
ган (бунда сог=— со2) иккита оний айланма ^аракатда катнашеин.
Буидай жуфт айланиш хусусиятини тасаввур килиш учун жисм_ их-
тиёрий М нуктасининг ^аракатини текширамиз. М нуктанинг сог ва
170
со2 тегаслигвдаги Q ва Р ну^аларга нисбатан ^олатн QM = т\ ва
РМ = г2 векторлар билан аниклансин (154’расм). Тезликларнн
шиш теоремасидан фойдаланиб М нуцтаиниг абсолют тезлигини цуни-
дагича ёзиш мумкин:
VM = wi X w2 X r2
бунда (i)2= — (dj, r\ — r2 — OP булганидан
v ~ wiX (fi —r2)= (OiXQP (15.12)
келиб чизади. (15.12) тенгликдан курамизки, М нуктанинг тезлиги
унинг ^олатнга бовдиц булмайди. QP вао^ жисмнинг хамма нуцтЗ’
ларн учун умумий булганидан и тезлик х;ам жисмнинг ^амма ну^
талари учун бир хил булади, яъни жуфт айланишдагн жисм ^ар онда
илгариланма ^аракатда буладн. Илгариланма ^аракат тезлигн э жуфт
айланиш векторлари (о^, ©2) ётган текисликка перпендикуляр йунала*
ди; унннг мусбат йуналишидан караганимизда, жуфт айланиш бурчак
тезликлари векторларининг йуналиши соат милининг айланишига теС’
кари йуналищда булишини куришимиз мумкин. Тезликнинг сон ций-
мати t’ = co1-h, бунда h—айланиш ут^лари орасидаги энг ^ис^а ма-
софа булиб, у жуфт айланиш елкаси дейилади. v вектор жуфт ай-
ланиш моменти дейилади.
Шундай килиб, ^уйидаги натижага келамиз. Жуфт айланиш
жуфт айланиш текислигига перпендикуляр йуналишда булган оний
илгариланма %аракатга эквивалент. б$либ, илгариланма харакат тез-
лигининг катталиги жуфт айланиш моментигатенг. Аксинча, цат-
ти^ жисмнинг илгариланма харакат тезлигини, шу тезлик векторига
перпендикуляр текислнкда жойлашган, моменти v=(£>'h га тенг (tolt
со2) оний жуфт айланиш билан алмаштириш мумкин (154-расм).
Жуфт айланишга велосипед DE педалинннг рамага нисбатан >;а-
ракати мисол була олади. Велосипеднинг АВ кривошипи В ну^тадан
утган уц атрофида тула бир марта айлангаида, унннг DE педали х;ам
А нуцта атрофида тескари томонга тула бир марта айланадн (155’
171
раем). Демак, ^ар оида педалиинг АВ кривошипга нисбатан <р, айла-
ниш бурчаги АВ нинг рамага нисбатан <р2 айланиш бурчагига тенг,
шунинг учун «!= —<о2. Натижада бу икки айланиш А ва В нуцта-
лардан утган уклар атрофидаги жуфт айланишдан иборат булиб, пе-
даль эса миедрри о=ЛВ-со, булган тезлик билан илгариланма ^а-
ракат цилади.
88- §. Жиемнинг параллел уклар атрофидаги э^аракатларини
цушншга дойр масалалар
1\аттиц жиемнинг параллел ут^лар атрофидаги айланма .\аракатла-
рини цушишга мисол тари^асида ^аракатни узатувчи механизмларни
курсатиш мумкин. ^аракатни тасмалар ёрдамида ёки тишли гилди-
раклар (шестернялар) воситасида узатиш мумкин. Тишли узатмалар
харакатининг турига караб, оддий, планетар ва дифференциал узатма-
ларга булинади.
Валларининг ^аммаси цузгалмайдиган подшипникларда айланади-
ган тишли галдираклар бир-бири билан илашган булса, уларнинг шу
тарика нлашиши оддий узатма дейилади (156— 158-расмлар). Одат-
да бундай узатмада валлардан бири етакчи, долган лари етакланувчи
деб ^исобланади.
Оддий узатмада гилдираклар бир-бирига нисбатан силжимайди.
Шу сабабли гилдираклар тегиб турган нуктада куйидаги муносабат
уринли булади:
^-=±—= ±— (15-13)
С02 Г! zt
бунда: се»! ва со2 — тишли гилдиракларнинг бурчак тезлиги; zl ва z2—
гилдираклар тишларининг сони; ва г2 — гилдираклар радиус лари.
Рнлдираклар таш^аридан илашган булса, бу формулада маифий ишо-
ра, ичкаридан илашган булса, мусбат ишора олинади.
Узатмадаги 1-тишли гилдирак цузгалмас булиб, кетма-кет илаш-
ган, ^олганлари мазкур кузгалмас гилдирак у^и атрофида айланади-
ган АВ кривошипга урнатилган булса, бундай узатма планетар узат-
ма дейилади (159-раем).
1 6- раем.
157- раем.
158-раем.
172
159- раем-
160- раем.
г Агар ’планетар узатмада 1-тишлн гилдирак хам АВ кривошип ай-
ланадиган уц атрофида айланадиган булса, бундай узатма дифферен-
циал узатма дейилади (160-раем).
Планетар ёки дифференциал узатма бутинларининг кинематик ху-
сусиятлари куйидаги усуллар ёрдамида ^нсобланада.
1. Бурчак тезлик векторларини цушиш усулн. Айланиш уклари
параллел у^лардан иборат булганда абсолют харакат бурчак тезлиги
(15.5) ёки (15.10) формула ёрдамида аникланади.
2. Тезликларининг оний марказидан фойдаланиш усули. Маса-
лада тезликларнинг оний марказини ани^лаш мумкин булса, бутин-
нинг абсолют бурчак тезлиги <ос= — форму-ладан топилади.
Нисбий бурчак тезликнинг катталигини (15.5) ёкн (15.10) га асо-
сан бундай ёзиш мумкин:
“2=
бу ерда: со2 — нисбий харакат бурчак тезлиги; <ой — абсолют ^аракат
бурчак тезлиги; coj — кучирма харакат бурчак тезлиги.
3. Виллис усули ёки «тухтатиш усули». Бу усулда дифференци-
ал ёки планетар узатма оддий узатмага келтирилади ва унга мос ки-
нематик ннсбатлардан фойдаланилади. «Тухтатиш усули» ни маса-
лаларга ^уллаб баён киламиз.
30-масала. Тишлари сони zx булган 1 кузгалмас шесгернянинг О
уци атрофида (оо узгармас бурчак тезлик билан айланадиган ОА кри-
вошицдаги у^ларга тишларининг сони z2, z3 булган II ва III жуфт
шестернялар ^амда тишларининг сони булган IV шестерня утка-
зилган. IV шестернянинг абсолют бурчак тезлиги топилсин (161-раем).
Ечиш. L Масалани «Тухтатиш усули» билан ечиш учун бутун
системага фикран бурчак тезлиги кривошипнинг бурчак тезлнгига
173
тенг, лекин тескари томон-
га йуналган, яъни бурчак
тезлиги — <о0 булган кучир-
ма ^аракат берамиз. У ^ол-
да ОЛ кривошип тухтайди
ваоддий узатмага эга була-
миз. ОА тухтагандан кейин
(15.5) формулага асосан цуз-
галмас гилдиракиинг бурчак
тезлиги — со© га, II ва III
жуфт гилдиракларнинг бур-
чак тезлиги (о2 3 — юога тенг
булади (бунда —мазкур
гилдираклариинг тухтагунча
булган бурчак тезлиги), IV гилдиракиинг бурчак тезлиги со4 — соо
(бунда (о< — IV гилдиракиинг тухтагунча булган бурчак тезлиги)
булади. Рилдиракнннг бурчак тезликларини ^уйидаги жадвалга ёза-
миз:
Кривошип Тишли гилдираклар
1 2^ 4
Тухтагунча булган бурчак тезлиги <оо 0 ®2,3 w4
Тухтагандаи кейинги бурчак тезлигн 0 ®2,3 (04 —(i)0
Илашиш тури - таш^и тайлам
I ва II гилдирзклар ^амда III ва IV рилдираклар таш^и илашга-
нини эътиборга олиб, (15.13) формулага асосан куйидаги тенгликлар-
ни оламиз:
— % ___ г2 ^2,3 —^0 __ ___ z4
Ю2,3 — г1 — % г3
бундан
(|)п =
<t)4 to0 • Z3
ёки
Охирги формула ёрдамида IV рилдирак бурчак тезлигининг миц-
дори ва йуналиши ани^ланади.
2. Маса лани бурчак тезликларни [\ушиш усулида ечиш учун I, II,
III, IV рилдираклар абсолют бурчак тезликларннинг алгебраик цийма-
тини мос равишда (Од, со2, <о3, со4 билан белгилаймиз. Мазкур гилди-
ракларнинг О А кривошипга нисбатан айланма ^аракати нисбий ^ара-
174
кат булади, Нисбий ^аракат бурчак тезликларини ю1г, со2г, <о3/., о4Г
билан белгнласак, (15.10) га асосан
Ю1г = ©! — G)o, со2г = С0а — соо,
Ю3г = — (Оо, (04г = (04 — (оо,
бунда <оо— кривошипнинг бурчак тезлиги булиб, кучирма ^аракат
бурчак тезлигиии ифодалайди.
I ва II шестернялар ^амда III ва I Ушестернялар ташци илашганн-
ни эътиборга олсак (15.13) га асосан
Oj^ 22 ^ЗГ ^4
<02r Zj (l)ir Z3
тенгликлар уринли булади. Бу иккита тенгликни узаро купайтириб,
(о1г, °2г’ to3r» ларнинг юкорндаги цийматларини цуйсак ^амда
<0j == 0, <о2 = (о3 (чунки II ва III гилдираклар битта уда утказилган
бириктирилган жуфт шестернялар) эканлигини эътиборга олсак,
ю° = бундан со4== (оо fl-----------) келиб чицади.
<о4 —«о zrz8 \ z2-z4 /
3. Масалани тезликларнинг оний марказини аниклаш усулн билан
ечамиз. II шестерня ц^галмас булган I шестерня билан В нуктада
илашади. Шу сабабли II шестерня В нуцтасининг тезлиги нолга тенг
булади. Бундан курамизки, II ва III жуфт шестерняларнинг айланиш
оний уки В нуцтадан утади. Натижада ^уйццаги тенгликни оламиз:
иаг г1
о0 za '
co2r = ыЗГ булгани учун
— = —» бундан (о3г = (оо —.
Од z2 z2
О А кривошип соат милининг айланишига тескари йуналишда ай-
ланганлиги туфайли III гилдиракиинг С нухтаси оний марказ В нуцта
атрофида соат милннинг айланишига тескари йуналишда айланади,
унинг тезлиги vc ОС га перпендикуляр йуналади*; модули эса цуйида-
гига тенг булади: ис=г3-<о3г; бунда г3 билан III гилдиракиинг ра-
диуси белгиланган. Иккинчи томондан, С ну^та IV шестерняга та-
аллу^ли булиб, унинг тезлиги |<04Г[-г4 га тенг; бунда г4 билан JV
гилдиракиинг радиуси белгиланган; [<о4г)эса/У гилдирак ннсбнй бур-
чак [тезлигининг абсолют ^ийматиин ифодалайди. Шундай цилиб,
[ (о4г ] - г4 = г3 со3г тенгликни оламиз, бундан | <о4г | = — со3г =
G
= 3 ?t (оо-ис векторнинг йуналишидан курамизки, IV шестерня А
’ ^2
атрофида соат милининг айланиш йуналишцда айланади. Шу сабабли
* Соат милининг айланишига тескари йуналищдаги айланма ^аракатнинг бур-
чак тезлигиии мусбат деб цараймиз.
175
m4, = — -L^L<d0 булади. TV шее-
Z2Z4
тернянинг абсолют бурчак тезли-
ги (15.5) га асосан
W-i = + со4г = (1---------—Ц)
\ z2"z4 /
формуладан аникланади.
«Тухтатиш усули» билан яна
цуйидаги масалани ечамиз.
31- масала. Дифференциал ме-
ханизмли редуктор етакланувчи
валининг бурчак тезлиги соп то-
пилсин; узатманинг бир-бирига
”расм* бириктирилган шестернялар утка-
зилган етакчи (кривошипли) вали
<1)^120 с-1, гилдирак 1 <в1=18Ос-"1 бурчак тезлик билан айланади.
Рилдиракларнинг тишлари сони мос равишда z2 — 20, za = 40, =
= 60; гилдирак 1 билан етакчи валнинг айланиш йуналиши бир хил
(162-расм).
Ечиш. Редукторнинг ^амма бутинларига (шестернялар /, 2, 3, 4 га
ва кривошипга) сон циймати кривошипнинг бурчак тезлиги coj га
тенг, аммо унга царама-царши йуналган бурчак тезлик берамиз. Шу
тарзда дифференциал узатмани оддий узатмага айлантирамиз ва мос
бурчак тезликларни цуйидаги жадвалга ёзамиз:
Етакчи вал 1 Тишли гилднраклар
2, 3 4. 11
Тухтагуича бурчак тезлиги (£>2 0)1 3 ^11
Тухтагандан кейинги бурчак тезлиги 0 to-—toj °2, 3— °>/ ^11 —
Илашиш тури - таш^и Tawipi
Кривошипнинг бурчак тезлиги <о/ билан шестерня нинг бурчак
тезлиги бир хил йуналгани учун улар бир хил ишора билан олинган.
Кривошип фикран тухтатилгандан кейин шестернялар бурчак тез-
ликларининг нисбатини (15.13) формулага асосан тишлар сони ортали
ифодалаймиз:
буларда нлашиш тури таш^и булгани учун тишлар сони нисбати ол*
двда минус ншора олинган. Олинган тенгликларни узаро купайтир"
сак,
°z/ -- О/ _ г1'гз
z2z4
булади. Бу тенгликдан номаълум бурчак тезлик <оп ни аницлаймиз:
“// = + (0)i —<*/)•-'** •;
22'г4
берилганларга кура соп = 280 —; етакланувчи /1 валнинг бурчак
тезлиги мусбат ишорали чшуци. Шу сабабли етакланувчи 11 валртакчн
I вал билан бир томонга айланади.
89- §. Жисмнинг кесишувчи у^лар атрофидаги айланма
^аракатларини ^ушиш
Жисм бир-бири билан О нуктада кесишувчи икки: Oz ва О£ Гуту*
лар атрофида айланма ^аракатда булсин. Бундай ,\аракатга мисол та-
ри^асида 163-расмда курсатилган дискнинг мураккаб ^аракатини
курсатиш мумкин.
Жисм кузгалувчи Oz ук; атрофида од бурчак тезлик’билан нисбий
айланншда булиб, Oz ук жисм билан бирга Ot кузгалмас удртро-
фида ю2 бурчак тезлик билан кучирма айланищда булсин (164-расм).
Шу икки ^аракатни_{уу-шнб дискнинг мураккаб ^аракатини анидлай-
миз. Бунинг учун со2 ни О А ва од ни ОВ векторлар билан белгилаб,
мазкур векторларни параллелограмм кридасига асосан ^ушамиз. Па-
раллелограмм диагоналининг учидаги С нуктанинг тезлигини аниклай-
миз. С нуктанинг кучирма ^аракат тезлиги ми^дор жихатдан со3-DC
га тенг ва кузатувчидан расм текислигига перпендикуляр равишда
йуналади, нисбий харакат тезлиги эса од. СЕ га тенг булиб, расм
текислигига перпендикуляр равишда кузатувчи томон йуналади. <о2- DC
ва (.<>!• СЕ купайтмаларнинг ^ар бири ОАСВ параллелограммнинг юзинн
ифодалайди, шу сабабли бу купайтмалар тенг булади.
163- расм.
164- расм.
12—2344
177
Шундай килиб, С нуктанинг ниебнй ва кучирма ^аракат тезлик-
лари мицдор жи^атдан тенг, йуналиши бир тугри чизик буйлаб ца-
рама-1\арши томоига йуналади. Тезликларни г^ушиш ^а^идаги теоре-
мага асосан С нуктанинг тезлиги нолга тенг. Жиемнинг О ну^таси
кузгалмас булгани учун бу нуцтанинг тезлнги .\ам нолга теиг. Шун-
дай килиб, берилган онда жиемнинг мураккаб харакатида унинг ик-
кита иу^тасининг абсолют тезлиги нолга тенг булиб, бу нуцталардан
утувчи ОС ук айланиш оний уцини ифодалайди.
Жиемнинг ОС чизигида ётмайдиган нуцталари ОС атрофида оний
айланма \аракатда булади.
Оний айланиш бурчак тезлиги со ни ва оний у^нинг вазиятинн аниц-
лаш учун жиемнинг ихтиёрий М ну^тасининг абсолют тезлигини
топамиз. Тезликларни цушиш теоремасига мувофи^
Чм = = «2 X ом + <0г х ОМ,
бундан
Чм = (wi + “г) х ОМ. (15.14)
Иккинчи томондан, М нуктанинг тезлиги vM оний уц ОС атрофида
со бурчак тезлик билан содир булади, яъни
vM = со X ОМ. (15.15)
(15.14) ва (15.15) тенгликларни солиштириб, ушбу тенгликни ола-
миз:
СО = COj + со2.
Оний бурчак тезликнинг модули косинуслар теоремаси асосида
топилади: _______________________
со = | г соJ 2 C0j со2 cos а,
бунда а—Oz ва О£ уклар орасидаги бурчак. ОС оний у^нинг coj ва
а>2 лар билан ташкил килган бурчакларини <рж ва <р2 билан белгила-
сак, — О АС дан (164-раем) куйидаги тенгликни оламиз:
COj __ <±>2 СО
sin <р2 sin <Pi sin (л — а)
Бу тенгликлардан сра ёки <р2 ни топиб, оний уцнинг берилган Oz ва
0g укларга нисбатан вазияти аникланади.
Демак, жиемнинг бир нуктада кесишувчи У^лар атрофидаги
айланма харакатларини цушши натижасида олинган абсолют ха-
ракати мазкур нуьутшдан утувчи уц атрофидаги оний айланма ха-
ракатдан иборат булиб, абсолют харакат бурчак тезлиги нисбий
ва кучирма ^аракатлар бурчак тезликларининг геометрик йирин-
дисига тенг,
Худди шунингдек, жисм бир нуктада кесишувчи п та уклар ат-
рофида айланма ^аракатда булса, бундай айланма ^аракатни ^ушиш
178
165- раем.
натижасида хреил буладиган оний айланма ^аракатлар бурчак тезлигн
берилган ех» со2, . .. , соп бурчак тезликларнинг геометрик йиринди-
сига тенг булади:
п
(1) — О»! 4- С02 4- .. • + = 2
fe=l
32- масала. Горизонтал [OOj yi\ |к>гзгалмас вертикал Ot ук атро-
фида со2 бурчак тезлик билан айланганда ООг уда унинг нукда-
сида подшипник ёрдамида урнатилган диск горизонтал текисликда
сирпанмасдан думалайди. Дискнинг радиусини гва OOi=l деб хисоб-
лаб, дискнинг О(\ атрофидаги нисбий айланиш бурчак тезлиги ва
абсолют ^аракат бурчак тезлиги со топилсин (165-раем).
Ечиш. Диск кузгалмас горизонтал текисликда сирпанмасдан ду-
малагани учун дискнинг кузгалмас текислик билан уринган С нукта-
сининг абсолют тезлиги нолга тенг. С ни О ну^та билан туташтир-
сак, оний УК ОС ни оламиз. Оний бурчак тезлик со оний ук буйлаб,
дискнинг нисбий ^аракат бурчак тезлиги cor О()1 буйлаб йуналади.
со2 ва сох ларга ^урилган параллелограмм тугри туртбурчакдан иборат
ттт а. - 6Ю, I
булади. Шаклдаги учбурчакларнинг ухшашлигидан —- = —,
0)г ОгС г
„ I
оундан (Dj = — (о2.
Абсолют харакатнинг бурчак тезлиги со = сох 4~ <02 булади; унинг
сон хвймати со = со, + со| ёки сох нинг кийматини хис°бга олсак,
со = j2 4- со2 = -у- 4- г2 булади.
179
166* раем.
90-§. 1^аттиц жисмнинг
илгариланма т^аракатларини
|\ушиш
Нисбий харакати э^ам, кучирма
э$аракати ^ам илгариланма ^аракат-
дан иборат булган каттиц жисмнинг
^аракатларинн цушамиз.
Жисм Oxyz кузгалувчи система-
га нисбатан Dj иисбий тезлик билан
илгариланма э^аракатда булиб, Oxyz
система эса кузгалмас ОДт]£ систе-
мага нисбатан и2 кучирма тезлик би-
лан илгариланма ^аракатда булсин
(166-раем). Бу ^олда цаттиц жисм
ихтиёрий М нуктасининг абсолют
тезлиги нисбий ва кучирма тезлик-
ларнинг геометрик йигиндисига тенг булади: va = vr -J- ve.
Жисмнинг нисбий ва кучирма ^аракатлари илгариланма булгани-
дан унинг замма нукталари учун = vr ва v2 = ve. Бу ^олда жисм
хамма нуцталарининг абсолют тезлиги бир хил булади: va — гу -J- р2.
Шундай килиб, жисмнинг кучирма еа нисбий ^аракатлари ил-
гариланма харакат булганда уларни душили натижасида хосил
булган абсолют харакат илгариланма харакат булиб, унинг тез-
лиги кучирма еа нисбий харакатлар тезликларининг геометрик йи-
гиндисига тенг.
риланма
91-§. Винт ^аракати
Жисм цузгалмас Oz yi\ атрофида со бурчак тезлик билан айланиб
кучирма ^аракатда ^амда z буйлаб v тезлик билан нисбий илга-
^аракатда булсин. Жисмнинг бундай ^аракати еинт хара-
кати дейилади (167-раем).
_ Агар айланма (кучирма) ^аракатнинг бурчак тезлиги
со билан илгариланма ^аракат тезлиги v уц буйлаб бир
томонга йуналса, бундай ^аракат унг еинт харакати де-
йилади. Агар со билан v ^арама-к;арши йуналса, чап винт
Харакати дейилади.
НисбийТтезлик о нинг кучирма ^аракат бурчак тезли-
ги со га^нисбатига тенг катталик еинт параметр и де-
йилади ва у р билан белгиланади:
(15.16)
Агар жисмнинг уц атрофида айланиш бурчагини <р би-
167- раем, лан, айланиш ут^и буйлаб кучишини s билан белгиласак,
180
0*
168* раем. 169- раем.
dq> ds
ft) = —, V —------
dt dtp
булади. Бу jjO-зда
P = -f4 (15.17)
аф
Агар винт параметры р узгармас булса, (15.17) ни dep га купай-
тириб, 0 дан s гача ва О дан ср гача булган чегараларда интеграл-
ласак,
s <р
f ds = )’ pdq
б б
ёки
S = РФ
э^осил булади. Бу тенгликдан курамизки, айланиш у^и буйлаб кучиш
s винт уци атрофида айланиш бурчзги ср га мутаносибдир.
Жисм бир марта ту лик айланганда <р = 2л булади, бунда жисм-
нинг ук буйлаб кучишини s = h десак,
h'e—2sip
ёки
тенгликни оламиз. Жисмнинг винт у^и атрофида бир марта тулиц
айланишида унинг винт уки буйлаб кучиши h еинт радами дейи-
лади.
Винт ^аракатидаги жисмнинг ихтиёрий нуцтасидан айланиш у^и
z гача булган масофа доимо узгармасдан колади. Шу сабабли жисм-
нинг z уцдан г масофада турган ихтиёрий нуктасининг траекторияси
радиуси г га тенг булган цилиндр сиртида ётади (168-раем).
Цилиндр сиртидаги М нуктанинг va абсолют тезлиги тезликларни
цушиш теоремасига мувофи^ аницланади:
181
Va = Vr + Ve.
vr _L ve булгани учун va нинг модули куйидаги тенгликдан топилади*
va = V °? + °? = “ ] ''Р^+Н.
Абсолют тезликнинг айланиш уци ёки цилиндрнинг ясовчиси би-
лан ташкил этган бурчагини у билан белгилаб, (15.16) ни эътиборга
олсак, tgy куйидагига тенг булади:
. Ve С1>Г г
tg У = — = -----= —.
vr V р
Агар р = const булса, у эрлда
tg у — const.
Демак, г радиусли цилиндр сиртида ^аракатланувчи М нуктанинг
траекторияси винт чизиги деб аталувчи чизи^дан [иборат булиб, ци-
линдр ясовчиларини бир хил бурчак остида кесиб утади. Агар ци-
линдрни ясовчиси буйлаб кесиб, текисликка ёйсак, бу текислнкда
винт чизиги ясовчи билан у бурчак ташкил этувчи тдтри чизицдан
иборат булади (169-расм) ва
ft = 2 nrctgy
формула ^осил булади.
ДИНАЛ1ИКА
XVI боб
ДИНАМИКАГА КИРИШ
92-§. Динамиканинг асосий тушунчалари
Жисмларнинг механик харакатини уларнинг массасига ва \аракат-
ни вужудга келтирувчи кучларга боглик равишда текшнрадиган наза-
рий механпканинг булими динамика дейилади.
Статикада таъсир этувчи кучларни узгармас деб ^араган эднк,
бироц жисм ^аракатланганда унга узгармас кучлардан ташкари, миц-
дор ва ну налил жихатдан узгарадиган кучлар дам таъсир этади. Жисм-
ларнинг узаро таъсир кучлари вактга, жисм долатига ва унинг тез-
лигига маълум муносабатда боглик эканлиги тажрибалардан маълум.
Масалан, электровоз реостатини кетма-кет улашда еки узшида хреил
буладиган тортиш кучи вактга боглик, пружинаиинг эластиклик кучи
жисмларнинг ^олатига боглик, суюклик ёки гавонипг царшилик кучи
эса жисмнинг тезлигига боглиц булади.
Демак, умумий хрлда жиемга таъсир этувчи кучлар вацтга, жисм-
нинг ^олатига ва тезлигига боглик булади:
F = F (t, г, v ),
бунда: t — ^аракат вакти, г — нуктанинг \олатннн анпкловчи ради-
ус-вектор ва v—нуцта тезлиги. ^згарувчан кучларни содда >;олга,
яъни бош вектор ва бош моментга келтириш масаласи худди узгар-
мас кучлар сингари бажарилади. Жисмнинг ^аракати унга куйилган
кучгагина боглиц булиб ко.дмай, балки жисмнинг инерглик хусусия-
тига з^ам богли^дир.
Бир кучни икки жиемга айрим-айрим таъсир эттирилса, айнан бир
хил ва^г нчида жнемлар турли масофаларни босиб утиши ва олган
тезликлари тур лича булиши тажрибада ани^ланган. Жисмнинг куйил-
ган кучлар таъсирида уз тезлигини тез ёки секин узгаргириш хусу-
сияти жисмнинг инерпыиги дейилади. Агар бир хил кучлар таъси-
рида икки жиемдан бирининг тезлиги иккинчисига нисбатан секин
узгарса, биринчи жисм купроц инертликка эга дейилади.
Жисмнинг инертлигини миодор жихатдан ифодаловчи физик кат-
талик жисмнинг массаси дейилади.
Классик механикада жисмнинг массаси узгармас, скаляр ва мус-
бат катталик деб ^аралади.
183
Умумий холда жиемнинг ^аракати унинг массаси ва куйилган
кучларгагина боглт; булмай, балки жнем шаклига, ани^рога, жисм-
ни ташкил этган зарраларнинг жойлашувига (масеаларининг та^симла-
нишига) хам богли^ булади.
Динамика да дастлаб жисмларнинг улчамлари ва массаларининг
та^симланишнни эътаборга олмаган ^олда уларнинг харакатини урга-
ниш учун моддий нуцта тушунчаси киритилади.
Харакатини урганишда улчамлари ахамиятга эга булмаган, лекин
массага эга булган жисм моддий нукта дейилади.
Масалан, Ернинг уз србитаси буйлаб К,уёш атрсфидаги харака-
ти хрганилаетганда, мазкур орбитанинг улчамларига нисбатан Ернинг
улчамлари жуда кичик булгаии учун Ерни моддий нуцта деб ^араш
мумкин. Лекин Ернинг уз УЦИ атрофидаги харакатини \ам эътибор-
га олиш зарур булса, Ерни моддий нуцта деб бул найди, чунки Ер-
нинг укидан хар хил узокликдаги нуцталари бу харакат ва^тида хаР
хил масофани утади.
Динамикада жиемнинг харакатини ургаиишни, одатда, унинг ай-
рим ну^гаси харакатини урганишдан бешланади. Динамика икки 191см-
га булинади:
1. Моддий нухта динамнкаси.
2. Механик система ва катти^ жисм динакшкаси.
93- §. ДИНАМИКАНИНГ АСОСИЙ ЦОНУНЛАРИ
Урганилаётган механика курси 1687 йилда Ньютон таърифла-
ган конунларга асосланган булиб, классик механика деб аталади.
Классик механика х°нунлари жисмларнинг тезликлари ёрувдик тезли-
гидаи анча кичик булган ХОДДЗ урин л и булади.
1-конун (инерция цонуни). Ташци таъсирлардан холи булган
моддий нукта бирор куч таъсир этмагунча узининг тинч хола-
тини ёки тенг $лчовли тугри чизицли харакатини сацлашга ин-
тилади.
Шундай цилиб, инерция конунига кура F — 0 булса, а/ = О булиб,
ц = const булади; бу ерда: и — моддий нуктанинг тезлик вектори-
w — тезланиш вектори; F — моддий нуктага таъсир этаётган куч векто-
ри.
1-Хонун уринли буладнган нуктанинг харакати инерцион харакат,
бу конуннинг узи эса инерция цонуни дейилади.
2-конун (динамиканинг асосий кону ни). Моддий нуцтанинг куч
таъсирида олган тезланиши билан массасининг купайтмаси миц-
дор жи^атдан шу кучга тенг б^либ, тезланиши куч билан бир
хил йуналишда булади (170-расм):
= (16.1)
бу ерда т узгармас мицдор булиб, берилган моддий нуцтанинг мас-
сасини ифодалайди.
(16.1) тенглама динамиканинг асосий тенгламаси дейилади ва
у динамиканинг асосий цонунини ифодалайди.
184
— d v
Кинематикадан маълумки, w =-&-•
Буни эътиборга олиб, (16.1) тенгламани
ушбу куринишда ёзамиз:
= K (16.2)
dt
Агар v = const б\лса, F — 0 булади.
Яъни нуктага (ёки жисмга) куч таъсир
этмаса, нукта (ёки жисм) инерцион ко-
латда булади.
Куч билан нукта тезланиши бир ПО- раем,
чизиц буйлаб йуналгани учун (16,1) га
кура уларнинг модуллари орасида куйидаги тенглик уринлн булади:
mw ~ F.
(16.3)
Бундан
“' = £• (16.4)
яъни, моддий нуктанинг берилган куч таъсирида олган тезланиши
кучга тутри мутаносиб, нукта массасига эса тескари мутаносиб була-
ди.
%ар кандай жисм бушликда огирлик кучи таъсирида ерга бир хил
узгармас g тезланиш билан тушиши тажриба ёрдамида анпкланган.
Огирлик кучининг жисмга берадиган бу g = 9,81 м/с2 тезланиши
эркин тушиш тезланиши деб юритилади. (16.3) тенгламага кура, эр-
кин тушаётган нукта (ёки жисм) нинг огнрлик кучи
Р = mg
формуладан, массаси эса
Р
tn — —
g
(16.5)
формуладан аникланади.
Моддий жисмга таъсир этувчи куч манбаи бирор бошка жиемда
булади. Аммо бу таъсир бир томонлама булмайди, Иккинчи жисмга
биринчи жнем кам маълум таъсир курсатади. Моддий жисмларнинг
бундай узаро таъсирлари классик механикада куйидаги конун билан
бери л а ди.
3-конун (таъсир ва акс
таъсирнинг тенглиги црну-
ни). Иккита моддий нукта
мицдорлари тенг ва шу нук-
таларни туташтирувчи тук-
ри чизик б$йлаб карама-цар-
ши томонга йуналган кучлар
билан бир-бирига таъсир
этади.
171- раем.
185
Масалан, А моддий нуцта В нуктага Fa куч билан таъсир этса,
В нукта ^ам А нуктага FB куч билан таъсир цилади. Бунда FB
нинг миддори Fa кучга тенг булиб, Л ва В нуцталардан утувчи
тутри чизиц буйлаб унга тескари йуналади (171-раем). (16.1) га кура
А ва В ну^талар учун динамиканинг иккинчи црнуни куйидагича
ёзилади:
FB = mAWA, (16.6)
Fa~ тви'в, (16.7)
3-конунга кура
Тл = — FB (16.8)
булади, бунда |£д| = |Fn\.
(16.8) га мувофиц (16.6) ва (16.7) тенгликлардан ушбу муносабат-
ларни оламиз:
ша wa = — fiiB ив; (16.9)
"'л = WB
mB UA (16.10)
Бундаги минус ишора пукталарпипг тезланиши царама-царши йу-
налганлигини ифодалайди.
Динамиканинг 3-кону ни статиканинг 1-аксиомасидан тубдан фарц
килади. ^а^ицатан хам, статиканинг бирипчи аксиомаси битта жиемга
таъсир этувчи икки кучнинг мувозанати шартини ифодаласа, динами-
канинг 3-конуни иккита жисмнинг узаро таъсирини ифодалайди.
4-конун (кучлар таъсиринимг рзаро муспюкиллиги конуни).
Моддий нуктанинг унга куйилган бир неча кучлар таъсирида ол-
ган тезланиши хар бир кучнинг алохида таъсирида нукта олади-
ган тезланишларнинг геометрик йигиндисига тенг.
Моддий нуктага Fr, F2, ... Fn кучлар таъсир этаётган булсин
(172-расм). >фр бир куч таъсирида нуктанинг олган тезланишларини
186
wt. w2t . . . wn билан белгилаймиз. У ^олда 2-^онунга мувофи^
F, = mw\
Fn = mwn ,
4-цонунга асосан FitF2, '--Fn кучлар таъсирида нуктанинг олган
тезланиши
w — Wi -J- w2 Ч- • • 4“ ь?п (16.12)
булади. Буни эътиборга олиб, (16. II) ни цушиб
т w = F х 4- F г + • • + Fn
ёки
(16.13)
муиосабатни оламиз. (16.13) тенглама бир неча кучлар таъсир этаёт-
ган нут$та учун динамиканинг асосий цонуиини ифодалайди.
Классик механика конунлари уринли булган сано^ системаси
инерциал система дейилади. Бундай системага нисбатан текши-
рилаётган харакат абсолют даракат деб каралади. Аксарият техника
масалаларини ечишда инерциал система сифатида Ер билан бевооь
та богланган система олинади. Агар Ернинг суткалик айланиши хи-
собга олинса, инерциал система учун координаталар боши Ернинг
марказида ва координата уцлари учта «кузгалмас» юлдузларга йунал-
тирилгаи система цабул килииади. Астрономияда инерциал система
учун маркази 1\уёшда олингаи гелиоцентрик система кабул цилинади.
94-§. Механик улчов бирликлари системаси
\амма механик катталикларни улчаш учун учта асосий улчов бир-
ликларни киритиш етарлидир. Булардан иккитаси учун вацт ва узун-
лик бирликлари олиниши кинематика булимидан маълум. Одатда,
учинчи улчов бирлиги сифатида масса ёки кучнинг улчов бирликла-
ри олинади. Аммо масса ва куч орасида динамиканинг асосий цону-
нига кура (16.3) тенглик мавжудлигидан уларни ихтиёрий равишда
олиб булмайди. Шу сабабли механикада бир-биридан фарц цилувчи
икки турдаги бирликлар системаси киритилади.
Биринчи тур бирликлар системаси. Хозир™ пайтда халкаро СИ
бирликлар системасининг таркибий цисми булган МКС системаси
кенг ^улланилади. Бу системада асосий улчов бирликлари учун ^уйи-
даги бирликлар олинади: 1) узунлик бирлиги — 1 метр(м); масса бир-
лиги — 1 килограмм (кг); 3) вакд бирлиги — 1 секунд (с).
Колган барча механик катталикларнинг бирлиги асосий бирликлар-
даи хосилавий бирлик сифатида олииади. .Масалан, куч бирлиги учун
1 иьютон (Н) цабул цилинади; (16.3) га кура 1 Н = 1 кг д/с2, яъни
1 кг массага 1 м/с2 тезланиш берадиган куч бирлиги 1 нъютонга тенг.
187
Иккинчи тур бирликлар системаси. Механикада СИ системасидан
ташкари, техник бирликлар системаси деб аталувчи МКГСС систе-
маси ^ам кулланилади. Бу системада асосий улчов бирликлари учун
куйидаги бирликлар цабул килинган: 1) узунлик бирлиги — 1 метр (м);
2) куч бирлиги — 1 килограмм-куч (кгк); 3) вакт бирлиги — 1 секунд
(С)-
Бу бирликлар системасида масса бирлиги учун I техник масса бир-
лиги (т. м. б.) кабул цилинган; (16.3) га кура
1 кг массага 1 кгк куч g = 9,81 м/с2 тезланиш беради; худди
шу массага 1 Н катталикдаги куч 1 м/с2 тезланиш беради. Шу са-
бабли
1 кгк = 9,81 Н
ёки
1 Н = 0,102 кгк.
Бундан ташцари, куйидаги муносабатлар уринлидир:
1 кгк = 1 т. м. б. - 1 м/с2,
1 кгк = 1 кг-9,81 м/с2.
Хар кандай масалани ечишда факат битта бирликлар системаси-
дан <|х)йдаланиш керак.
XII боб
МОДДИЙ НУЦТА ХАРАКАТИНИНГ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
ТЕНГЛАМАЛАРИ ВА УЛАРнИ ЕЧИШ
95-§. Моддий иу^та ^аракатининг дифференциал тенгламалари
Эркин моддий нуцта F куч таъсирида цузгалмас Oxyz саиоц сис-
темасига иисбатан харакатланаётгап булснн (170-расм). Бу нуцта учун
Ньютоининг иккинчи цонуни цуйидагича ёзилади:
mw — F’ (17.1)
Агар моддий нуцта бир цанча кучлар таъсирида булса, F ни шу куч-
п
ларнинг тенг таъсир этувчиси, яънн p'—.'S'Fk деб караймиз.
— dv _ ^г_
w= dt ~~ dP
булгани учун (17.1) 1$уйидагича ёзилади:
= F (17.2)
ёки
mg- = F' (17.3)
188
(17.2) ёки (17.3) тенглама эркин
моддий нуцта харакати диффе-
ренциал тенгламасининг век-
торли ифодаси дейилади.
Дииамиканииг асосий цонуиини
ифодаловчи (17.3) векторли теиг-
ламаии Декарт координата у^ла-
рига проекциялайлик (170-расм:)
173- расм.
ту = У,
mz = Z,
(17.4)
бунда: X, У, Z — кучнинг коор-
дината уцларидаги проекциялари;
х, у, z —тезланиш проекциялари.
(17.4) тенгламалар иуцта координаталарига нисбатан иккинчи тар-
тибли дифференциал тенгламалар системасини ташкил этади. Бу тенг-
ламалар эркин моддий нуктанинг Декарт координаталаридаги
харакат дифференциал тенгламалари дейилади.
Моддий ну^та харакати дифференциал тенгламаларини табиий коор-
дината у^ларида ?^ам ифодалаш мумкии.
Нуктанинг траекториясида у билаи биргаликда харакатланувчи,
уринма, бош нормаль ва бинормаллардан ташкил топгаи табиий коор-
дината укларини утказамиз (173-расм). Бу укларнинг бирлик вектор-
ларини мос равишда т°, №, ва Ь°, билан белгиласак, тезланиш век-
торинииг табиий координата укларидаги ифодаси
—п
р
шаклда ёзилиши кинематикадан маълум.
Кучнинг табиий координата укларидаги ифодаси цуйидагича була-
ди:
F = 74T°4-fn/2o ±Fbb°,
бу ерда FXtF Fb — моддий нукдага таъсир этувчи кучнинг мос
равишда уринма, бош нормаль ва бинормалдаги проекциялари.
Шуларга кура динамикаиинг асосий тенгламаси (17.1) куйидагича
ёзилади:
dv~ и2— — — —
m + т-л” =F,^ + F„'i° + Fbb .
Охирги тенгликнинг икки томонидаги мос бирлик векторлар олдида-
ги коэффициентларни тенглаб,
189
dv
m— = F
dt •>
t>3 n
tn— = F,
P
0=F6
(17.5)
тенгламаларни цосил циламиз. Эркин моддий нуктанинг табиий
координата уцларидаги царакати дифференциал тенгламаларини
ифодаловчи (17.6) тенгламалар нуцта дифференциал тенгламалари-
нинг Эйлер формасида берилиши дейилади.
(17.5) да Fb ~ 0 эканлиги моддий нуктага таъсир этувчи куч эг-
рилик текислигида ётишинн курсатади.
96-§. Бонланишдаги моддий нуцта царакатининг дифференциал
тенгламалари
Агар царакатланувчи моддий нуктага бирор богланиш цуйилган
булса, дифференциал тенгламаларни тузищда, богланищдан бушатиш
цацидаги аксиомага кура, реакция кучини цам таъсир этувчи кучлар
каторига цушиб олинади. __
Маса л ан, М моддий нуцта П си л лиц сирт устида F куч таъси-
рида царакатланаётган булса, у цолда П сирт моддий нуцта улун
богланиш вазифасини утаиди (174- раем). Сирт сил лиц булганидан бог-
ланиш реакция кучи АГ ни царакати кузатилаётган М. нуцтада сирт-
га утказилган нормаль буйлаб йуналтирамиз. Натижада богланишда-
ги нуцта F ва X кучлар таъсиридаги эркин нуцта деб царалади.
Бундай нуцта учун Ньютоининг иккинчи цонунини цуллаймиз:
mw = F + N. (17.6)
(17.6) тенглама боеланишдаги нукта харакати дифференциал тенг-
яамасининг векторли ифодаси дейилади.
(17.6) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, шу уцларга
нисбатан харакат дифференциал
тенгламаларини цосил циламиз:
174- раем.
тх — X 4- Nx,
my = Y + Ny, (17.7)
mz = Z + Xs,
бунда Nx, Ny, — реакция ку-
чинииг координата уцларидаги
проекциялари.
Агар моддий нуцта силлиц бул-
маган сирт устида царакатланса,
нормал реакция кучидан ташцари,
сиртга уринма буйича йуналган ва
190
175- раем.
Кулон ^оиунига кура аникланувчи ишцаланиш кучини ^ам кушиш
керак. __
Агар моддий Hyicra F куч таъсирида кузгалмас силли^ эгри чизид
буйича ^аракатланса (масалан, шарча иайча ичида харакатланса), бу
чизикнинг нормал реакция кучини N билан белгилаб, нуктанинг та-
биий координата у^ларидаги харакати дифференциал теигламалариии
куйидагича ёзиш мумкин (175-раем, а):
т — = F 4- ;V
Р п п
О = Рь + Nb.
(17-8)
Агар берилган эгри чизид бир текисликда ётса (175-раем, б), бу те-
кислик учун эгрилик текислиги олинади, у холда (17.8)
dv
т di = F*
т- , кг
m — = Г 4- Д',
Р n ’J
(17.8Э
ёки
_ d!s F
tn —т = rT,
dt2 T
m - = F + N
v n
(17.9)
куринишда ёзилади.
191
(17.9) тенгламаларнинг биринчисида бог-
у ланиш реакция кучи катнашмаганлигидан
\\ бу тенглама нуктанинг берилган эгри чизиц
‘We\ буйлаб харакати коиуиини аницлашга имкон
уГЬ \*х/ беради; (17.9) нинг иккиичисидан фойдала-
W у богланиш реакция кучи N топилади.
97-§. Математик тебрангич
I Р
Чузилмайдиган ва ошрлиги ^исобга олин-
майдиган ипга осилган з^амда огирлик кучи
176- расм. таъсирида бирор вертикал текислнкда ^ара-
катлаиадиган моддий ну^та математик
тебрангич дейилади. Бунда моддий иуцта сифатида улчамлари ипнииг
I узунлигига нисбатан аича кичик булган жисм олинади.
М нуцтага огирлик кучи Р ва ипнинг таранглик кучи Т таъсир
этади (176- расм). Табрангичнинг вертикалдан огиш бурчагини <р би-
лан белгилаймиз. Тебрангичнинг вертикал текисликдаги ^аракатини
текшириш учуй (17-8Z) нинг биринчи тенгламасини тузамиз. Бунда
v = I <р , Гг— — mg sin (р
булишини эътиборга олсак,
т I <р = — mg sin ф
ёки
6
ср -ф- ~ sin <р = 0 (1)
(1) тенглама чизиксиз дифференциал тенгламадан иборат булиб, уиинг
ечимини элементар функциялар ортали ифодалаб булмайди.
Математик тебрангичнинг кичик тебранма ^аракатини текширамиз
ва (1) да (р бурчак кичик булганидан sin ф « ф деб цараймиз. У ^од-
да математик тебрангичнинг кичик тебранма харакати тенгла-
маси г^уйидагича ёзилади:
Ф +7<Р = °- С1 2)
Бунда
=
I
белгилаш киритиб, тенгламани
ф + Ф =0 (3)
куринишда ёзиш мумкин.
Чизицли, узгармас коэффициеитли ва бир жинсли (3) теигламани
интеграллаш учуй унга мос тенгламани тузамиз:
192
V + kz = 0.
Бу теигламаиинг илдизлари
Xi = 4- i k,
л2 = — i k.
Шунта кура (3) дифференциал теигламанииг умумий ечимн
Ф ~ Сг cos k 14- С2 sin k t (4)
курииишда булади. Бундаги интеграллаш доимийлари Cj ва С2 ни
t = о да ф = %, ф = ф0. (5)
бошлангич шартларга кура аниклаймиз.
(4) дан вацт буйича росила олиб, тебрангичнинг О иутуга атрофи-
да айлаьшшдаги бурчак тезлигини топамиз:
<р = — kC^ sin kt 4-k Cz cos/г/. (6)
(5) ни (4) ва (6) га цуйиб, Сх ва С2 ии аниклаймиз:
Г — гп С — 5S.
— Фе '-'2 — .
к
Сг ва С2 ларнинг цийматларини (4) га цуйиб, математик тебраи-
гичнинг кичик тебранишлари ^оиунини аниклаймиз:
<р = % cos k t 4- — sin k t. (7)
k
(4) да Сх ва C2 лар урнига
Ci = a sin a, C2 == a ccsa,
янги узгармас a ва ct ларни киритиб, математик тебрангичнинг кичик
тебранишлар ^аракат цонунини
<р = a sin (k t 4- a; (8)
куринишда ёзиш мумкин (177-расм). Бунда: а — кичик тебранишлар
амплитудаси (радианда улчанади); a — бошлангич фаза; k — тебраииш-
лар частотаси. а ва а лар бошлаигич шартлар орцали цуйидагича
аницланади:
1/ ’ 4-
<Ро+^- (9)
а = arc
Фо
(8) тенглама нуктанинг гармо-
ник. тебранма %аракапш тенгла-
масини ифодалайди.
Математик тебрангичнинг кичик
тебранишлар даври
177- расм.
13—2344
193
ёки
r = 2n]/-i (10)
формуладан аницланади. I
(10) дан курамизки, математик тебрангичнинг кичик тебранпшлар
даври харакатнянг бошлангич шартларига боглик булмай, асосан, теб-
рангичнинг I узуплигнга боглиц булади. ।
98-§. Моддия ну^та динамикасининг икки асосий масаласи 1
Моддий нукта динамикасининг асосий конунипи ифодаловчи (17.1)
тепглик ёрдампда нуктага таъсир этувчи куч билан нуцтаиинг тезла-
ниши орасидаги муносабат аницланади. Бу конундан фойдаланиб
нукта динамикасининг ^уйидаги икки асосий масаласи ечилади.
Моддий нукта динамикасининг биринчи асосий масаласида нуц-
таиинг массаси ва харакат конунига кура хар онда бу з^аракатни ву-
жудга келтирувчи кучни топиш урганилада.
Нуцтага таъсир этувчи кучни топишда, нуцтанинг ^аракат конуни
кандай усулда берилишига i£ipa6, Ю1\орида чи карилган дифференциал
тенгламаларнинг векторли (17.1), Декарт координата укларидаги
(17.4) ёки табиий координата укларидаги (17.8) ифодаларининг бири-
даи фонда лап илади. >^ар г^айси усулда ^а.м масалани ечиш харакат
цонунцдан нуктанинг тезланишини топишга келтирилади.
Масалан, массаси tn га тенг моддий нуктанинг ^аракат тенгламала-
ри Декарт координаталарида берилган булсин:
* = jW2(0; *=М0. (17.W)
У ^олда харакатии вужудга келтирувчи кучнинг координата ук-
ларидаги проекцияларини аниклаш учуй (17.10) харакат тенгламала-
ридан ва^т буйича икки марта хосила олиб, (17.4) га куямиз:
(0;
Y = т Г2' (/);
z = т f'i (I).
Прсекцияларига кура кучиинг модули
F = V’X2 + F24-Z2, (17.11)
формуладан, тналиши эса
— X —Y —Z
cos(£, x)=-;cos(F, !/) = -;=; 50s (F, z) = y. (17.12)
формулалардан ани^лаиади.
Мисол учун, массаси т га тенг булган М моддий н^^танинг з^а-
ракат тенгламалари цуйидагича берилган:
194
х — a cos k i\
у = b sin k t.
Л1 нуцтага таъсир этувчи F
кучни аниклаймиз (178-раем).
Берилган ^аракат тенгла-
маларидан t ни йуцотиб, нук-
танинг траекторияси тенглама-
сини топамиз:
Демак, нуктанинг траектория-
си ярим уцлари а, b га тенг
булган эллипсдан иборат.
Нукта харакат тенгламаларипинг ^ар биридан t вакт буйича икки
марта росила олиб, тезланишнинг проекцияларини топамиз:
х — — k-acoski = — /г2л;
У — — k~b sin kt = — k*y.
(17.4) дифференциал тенгламалардан фойдаланиб номаълум куч-
нинг хар ондаги координата укларидаги проекциялари аницланади:
X = —т№х'у
Y — —mkry.
(17.11) га мувофиц кучнинг модулини аниклаймиз:
F = УХ2-;У2 = k-m Ух2-|-у = Irmr, (1)
бунда г = У х= .
(17.12) дан фойдаланиб кучнинг йуналтирувчи косипуслариии то-
памиз:
— ~ X х Y у
cos (Е х) = - = — —, cos(F, У) = =------ • (2)
Нукта раднус-вектори г нинг йуналтирувчи косинусларини ани^лай-
миз:
— X —у
cos (г > х) = —, cos (г, (/)== —
(2) ва (3) тенгликларни солиштнрнб
F = — k-т г
(3)
(4)
муносабатни оламиз.
ШунДай цилиб, (1) ва (4) тенгликлардан курамизки, А1 нуцта
уни О марказга тортувчи ва ну^тадан О марказгача булган масофага
мутаиосиб булган куч таъсирида ^аракатланади.
195
Моддий нукта динамикасининг иккинчи асосий масаласида мае-
саги ва нуцтага таъсир этувчи куч берилганда нуктанинг царакат
цонупи аникланади.
Бу масалани ечиш (17.3) ва (17.4) ски (17.5) харакат дифферен-
циал тенгламаларини интеграллашга келтирилади. Шу сабабли
динамиканинг иккинчи асосий масаласини ечиш биринчисига нисбатан
аича мураккабдир.
Юцорида кургапимиздек, умумий хрлда нуцгага таъсир этувчи
куч бир капча омилларга боглиц булади. Масалан,
F = F (t, г , о).
Бу цолда нуцта харакат цонунининг Декарт координата уцлари-
даги ифодасипд топшп учун кучнинг координата уцларидаги проек-
цияларини
X=X(t, х, у, £, х, у, z);
Y = Y (/, х, у, г, х, у, я);
Z = Z(t, х, y.s. х, y,z)-,
куринишнда ёзиб, (17.4) нуцта харакатининг дифференциал теигла-
маларини куйидагича ёзамиз:
тх = X (Z, х, yt z, х, у, Z);
ту = Y(t,x, y,z,x, у, z);
ms = Z(t, х, у, z, х, у, z\.
(17.13)
(17.13) тенгламалар х,у, z ларга нисбатан иккинчи тартибли диффе-
ренциал тенгламалар системасини ташкил этади.
Шундай цилиб. Декарт координата уцларига нисбатан нуцтанинг
харакат цонунини аницлаш масаласи учта иккинчи тартибли диффе-
ренциал тенгламалар системаси (17.13) ни биргаликда интеграллашга
келтирилади. Мазкур тенгламаларни ечиб, харакатлаиаётгаи нуцтанинг
х, у, z коордииаталари t вактнинг ва 6 та ихтиёрий узгармасларнинг
функцияеи сггратида аницланади:
х = х (tt Ср С2, . . . , С6);
у = y{t, СХС2У. . . , С6); (17.14)
z s(tf Су, С2^ • • > С6).
(17.14) дан курамизки. нуцта берилган куч таъсирида бирор апиц
траектория буйича харакатлапмайди; балки интеграллаш натижасида
цосил булгаи. Съ С2, . . . , CG сонларнинг цар бир цийматига мос
келувчи царакатлар тупламидан иборат булади. Харакатнинг кандай
со дир булиши бошлангич шартларга боглиц. Масалан, огирлик кучи
таъсирида харакатланаётган нуцтанинг траекторияси бошлангич тез-
ликнинг йуналишига цараб тугри ёки эгри чизикли булади.
196
Моддий нуктанинг бошлангич пайтдаги холати ва тезлигини ифо-
даловчи шартлар бошлангич шартлар дейилади. Мгсалаи, бошлангич
шартлар куйидагича булсин:
— Л0’ У — У О' 5 S0- |
х = У = .Vo, S = Я„-)
(17.15)
(17.15) га мос. келувчи Clt С2> . . . , Сс ларни аницлаш учун (17.14)
дан вакт буйича хосила олиб, нуцта тезлигинииг проекцияларини
аницлаймиз:
х = х(/,С1.С2, .... Q;
!/ = #(/,С„С2, .... Qi
g: z(t,C„ С2, ... , CJ.
(17.16)
Бошлангич (17.15) шартларни (17.14) ва (17.16) тенгламаларга
цуйиб х0, у& £0, х0, у0 z0 лар цатнашадиган олтита алгебраик теиг-
ламалар системасига эга буламиз. Бу олтита тенгламалар системаси-
дан узгармас сонлар Са(а — 1,6) пи аницлаймиз:
— faSfo* л'о> Уо* ^о» хо> Уо> ^в)> (^ — Б6).
Буларни (17.14) га цуйсак, (17.13) нинг цуйидаги ечимини оламиз:
х = х (/, х0, £/0, я0, х0, у0, 20);
У = У {$* хо> У о* х& У o’ ^о)>
2 — z (t, х01 у0, Zq, х0, у0, ^о).
(17-17)
(17.17) тенгламалар маълум кучлар таъсиридаги нуцтанинг бе-
рилган бошлангич шартларни цаноатлантирувчи харакат цонунининг
Декарт координата уцларидаги ифодасидан иборат.
Дифференциал тенгламалар курсидан маълумки, иккинчи тартиб-
ли учта дифференциал тенгламалар системасининг (17.14) 'куриниши-
даги умумий ечимини аницлаш урнига бу тенгламаларнинг цуйидаги
fk i)=CkAk= Кб) (17.18)
6 та биринчи интегралларини аницлаш етарлидир.
Техникада баъзаи аралаш турдаги масалаларни ечишга тугри ке-
лади. Бундай масалаларни хал цилишда нуцтанинг харакат цонунини
аницлаш билан бирга, таъсир этувчи айрим кучларни цам аниклашга
тугри келади. Богланиш лар дай бушатиш хацидаги аксиомага кура
бундай иуцтани берилган кучлар ва номаълум богланиш реакция куч-
лари таъсиридаги эркин нуцта деб царалади.
197
99- §. Динамиканииг иккинчи
z масаласини ечншга оид мисоллар
_ Моддий нуцта динамикасининг
иккинчи асосий масаласи цуйида-
ги тартибда ечилади.
чР \AfO,yo) 1- Инерциал санок системаси-
'—у ни киритиб, координата уцлари
таплаб олииади. Агар нуцта би-
х pop цолатда мувозанатда була ол-
179- расм. са, у холда саноц боши учун
нуктанинг статик мувозанат хола-
ти олинадн.
2. Нуктага таъсир этувчи ва бовланиш реакция кучлари курсати-
лада.
3. Нуцта царакатининг бошлангич шартларн аникланади, яъни
t = 0 булган бошлангич пайтда х0, у0, z0 х0, y0,z0 аницлаб олинади.
4. Нукта царакатининг дифференциал тенгламалари тузилади.
5. Тузилган дифференциал тенгламаларнинг бошлангич шартларни
Каноатлантирувчи ечими аникланади ва изланаётган номаълумлар то-
пила ди.
Нуцга царакатининг дифференциал тенгламаларини иуцтага таъ-
сир этувчи куч:
1) мицдор ва йуналиш жихатдан узгармаган;
2) фацат вактга боглик булган;
3) фацат нуцтанинг фазодаги хрлатига боглик булган;
4) фацат нуцтанинг тезлигига боглик булган холларда осонгина
интеграллаш мумкин.
33- масала. Горизонтга а бурчак остида v0 боштаигич тезлик би-
лан отилган жисмни моддий нукта деб цараб цамда цавонинг цар-
шилигини цисобга олмай, мазкур нуцтанинг фацат огирлик кучи таъ-
сиридаги царакати аницлансин,
Ечиш. О координаталар бошини нуцтанинг бошлангич холатида
олиб, Ог уцни вертикал юцорига йуналтирамиз: Oyz текисликни эса
t'o бошлангич тезлик ётган текислнкда оламиз (179-расм).
У цолда царакатиинг бошлангич шартларини цуйидагича ёзиш
мумкин:
t =0 да хо = 0, y0 = G, z0 = 0; 1
~ 0, у0~ v0 cos а; sin а. J
(1)
Нуцтага таъсир этувчи кучнинг координата уцларидаги проекция-
лари
Х = 0, Y = 0, Zt- — mg
булгани учун нуцтанинг Декарт координата уцларидаги царакати диф-
ференциал тенгламалари цуйидагича ёзилади:
198
тх — 0;
т у — 0;
т Z — — mg
Бу тенгламаларни интеграллаймиз:
у = С2
2 — — gt + С3.
(2)
Олинган тенгламаларни яна бир марта интеграллаймиз:
х = Cjt 4- С
у ~ C2t + СБ;
£ ~ —h + С6>
Са (а — 1,6) узгармас сонларни аницлаш учун царакатнинг бошлан-
рич шартлари (1) ни (2) ва (3) га цуямиз. Натижада
Сг == 0, С2 = vc cos а, С3 — v0 sin а,]
= 0, С8 = 0, С6 = 0. J
(4) га кура нуктанинг царакат тенгламалари (3) цуйидагича ёзи-
лади:
х = 0;
у ~ vQt cos а;
Z = — ~—F v0Z sin а.
Бу тенгламалар системасидан курамизки, огирлик кучи таъсирида
нуцта yOz текислнкда бирор траектория буйлаб царакатланади.
Бу траектория тенгламасини топиш учун (5) дан t вацтни йуцо-
тамиз. (5) нинг иккинчисидан t ни топиб, учинчисига цуямиз:
Z = ytga------. (6)
2 Vq cos2 ос ' r
Шундай килиб, нуктанинг траекторияси уци Oz га параллел бул-
ган параболадан иборат. (1) бошлангич шартлар урнига цуйидаги
шартларни олайлик:
t = 0 да
х0 = 0; Уо~ 0; z0 — 0;
Xq — 0; yQ — 0, zo = v0,4
яъни бошлангич пайтда нукта координаталар бошида булиб, верти-
кал юцорига тезлик билан отилган (180- расм). Бу цолда
199
z Cx == 0, C2 — 0, C3 = t»0;
Q = 0, Cs = 0, Ce = 0.
M Бинобарии, нуктанинг харакат тенг-
ламалари куйидагича булади:
р х = а,
У = &- (8)
яъни (7) бошлангич шартларда нуц-
та Oz ук буйича тугри чизи^ли ка*
ракат цилади.
180- раем, (6) ва (8) тенгламалардан кура-
мизки, бошлангич шартлариинг бе-
рилишига i;apa.6, нуктанинг траекторияси турлича булиши мумкин
экан.
34- масала. Массаси tn га тенг булган моддий нукта F = Fo cos со t
(бу ерда Fo ва о — узгармас мицдорлар) цонунга мувофик узгарувчи
куч таъсирида тугри чизицли харакат цилади. Бошлангич пайтда
нукта координаталар бошида булиб, тезлиги хо = vo. Нуктанинг
Каракат тенгламаси топилсин.
Ечиш. О координаталар бошини нуктанинг бошлангич ^олатида
олиб, F кучни Ох ук буйича йуналтирамиз.
-У зрлда нуцта каракатининг дифференциал тенгламасини цуйида-
гича ёзиш мумкин:
тх = FQcoswt,
бунда х = — булгани учун
dt
dx __ с .
т — = г о cos о/
dt
ёки
mdx= F0cos w tdt.
Бу тенгламани бошлангич шартларга мос келувчи чегараларда
иитеграллаймиз:
X t
tn §dx = Fo J cos co tdt\ mx — mx0 = — sin (at,
i
бунда x0 = n0 булгани учун охирги тенгламани га нисбатан ечиб
цуйцдагича ёзамиз:
200
dx । Fo . .
—• — vo 4—- sin to/,
dt ° mo
уни dt га купайтирамиз ва бошлангич t = 0 пайтда х = 0 эканли-
гини эътиборга олиб, бу тенгламани интеграллаймиз:
J dx~v0 f + J <atdt.
ООО
Бундан
x=vJ+
mor
f0 4
------— COS bit
m(i)a
куринишдагп харакат хрнунини оламиз. Бу тенгламадан курамизки,
нуцтанинг харакатини
f
конунга буйсунадиган теиг улчовли харакат хамДа х2~—cos со/
цоиунга буйсунадиган гармоник тебранма хаРакатлаР™пг йиринди-
сидан иборат деб цараш мумкин.
XVIII боб
МОДДИЙ НУКТАНИНГ НИСБИЙ ХАРАКАТИ ДИНАМИКАСИ
100-§. Моддий нухта нисбий харакатмнинг дифференциал
тенгламалари
Динамика хонунлари ва улар асосида олинган хамма тенглама-
ларни шу пайтгача моддий нуктанинг абсолют хаРакати учуй, яъни
моддий нуктанинг инерциал саноц системасига нисбатан х3!531^™
учун уринли деб царадик. Энди моддий нуктанинг инерциал булма-
ган саноц системасига нисбатан харакатини текширамиз.
Фараз цилайлик, массаси т бул-
ган богланишдаги М моддий нук-
та бирор Oxyz санох системасига Н
нисбатан хаРакатлансин» бироц бу <|
системанинг узи хам бошха бир инер-
циал OjBtjS саноц системасига нис-
батан маълум хоиУн асосида хара-
катланаётган булсин (181-расм).
Моддий нуктага цуйилган актив
кучларнинг тенг таъсир этувчисини
F t богланиш реакциясининг тенг
таъсир этувчисини N десак, Нью- ..я/-
тоннииг иккинчи х°нунига кура цу-
йидагига эга буламиз:
181- раем.
201
mwa = F -\-N,
(18.1)
бу ерда wa — нуцтанинг абсолют тезланиши. Тезлашппларнн цушиш
цацидаги
Wa ~ We + Wr + Wk
Кориолис теоремасига кура (18.1) куйидагича ёзилади:
mwe 4- mwr + mwk = F 4- N
ёки
~ F 4-(— mwe) 4-(— mJ, (18.2)
бу ерда (—mwe) ва (—tnwj векторлар мос равишда кучирма ва
Кориолис инерция кучлари дейилади. Уларии цуйидагича белги-
лаймиз:
— mwe = Фр, — mwk = Ф~ (18.3)
(18.3) га кура (18.2) ни куйидаги куринишда ёзамиз:
F 4- N 4-Фе 4- Фл. (18-4)
(18.4) тенглама моддий нуцта нисбий харакати дифференциал
тенгламасининг векторли куриниши дейилади. Бу тенгламанинг
иккала томонини цузгалувчи санок системасининг координата уцла-
рига проекциялаб нуцта нисбий харакати дифференциал тенгла-
маларининг координата уцларидаги ифодасини оламиз:
/пх = Fx 4- Мх +Ф€л4- Ф4х;
т^Ц + ^+Ф^+Ф^;
mz = Ft 4- Кг +Фег 4-ФАг-
(18.5)
Демак, нисбий царакатдаги моддий нуцта царакатининг дифферен-
циал тенгламасини тузишда моддий нуцтага таъсир этувчи берилган
куч ва реакция кучлари цаторига_ кучирма ва Кориолис инерция
кучлари хам цушилади. Бу Фе ва Фд кучларни цушиш натижасида
кузгалувчи система кучишипинг нуцтанинг нисбий царакатига курса-
тадиган таъсири эътиборга олинади.
куйидаги хусусий холларни куриб чицамиз.
1. кузгалувчи саноц системаси илгариланма царакатда булсин.
У холда сое — о ва Ф., = 0 булади. Бинобарин, моддий нуцта нис-
бий царакатининг дифференциал тенгламаси
rnwr =?+^+Фе (18.6)
куринищда ёзилади.
202
2. Кузгалувчи санок системаси илгариланма ва тугри чизикли
тенг улчовли царакатда булсин. Бу цолда к’е=0, wk~0, Фй=0,
Фл=0 булиб, (18.4) тенглама куйидаги куринишга келтирилади:
mwr =?4-А/. (18.7)
Демак, бу холда нуцта нисбий царакатининг дифференциал тенг-
ламаси худди кузгалмас саноц системасидаги тенгламалар каби бу-
лади; бошцача айтганда, царалаётган кузгалувчи саноц системаси
хам инерциал система булади. Шунинг учун цар цандай механик
тажриба билан цузгалувчи саноц системасининг бундай царакатини
сезиш мумкин эмас.
Масалан, илгариланма ва тугри чизицли тенг улчовли царакат-
ланаёгган кемадаги цамма томони берк каютада жойлашган кузатув-
чи, кема царакатдами ёки тинч цолда турибдими, сеза олмайди.
Чуики кузатувчи кучирма ва Кориолис инерция кучларининг таъси-
рини сезмаганлигидан бошца саноц системасига нисбатан уз цолатинн
аниклай олмайди. Бу му\им иатижа Галилей томонидан аник-
лаиган булиб, классик механиканинг нисбийлик принципа деб ата-
лади.
3. Нукта цузгалувчи санок системасига нисбатан _тугри чизицли
ва тенг улчовли царакатлавсин (vr ~ const). Бу цолда wr = 0 булиб,
(18.4) тенглама цуйидаги куринишни олади:
F 4- 77 _р Фг _р фа « о, (18.8)
яъни берилган кучлар ва реакция кучлари цар онда кучирма ва Ко-
риолис инерция кучлари билан мувозанатлашади.
4. Нукта кузгалувчи саноц системасига нисбатан тинч цолатда
булсин. Бу цолда or=0, wr =0, Фг =0 булади. Шу сабабли (18.4)
тенглама ушбу куринишни олади:
Г+/У-|-Ф<=0, (18.9)
яъни берилган кучлар, реакция кучлари ва кучирма инерция Кулла-
ри хар оида узаро мувозанатлашади. (18.9) тенглама моддий нуцта
нисбий мувозанат тенгламасининг векторли куриниши дейилади.
101-§. Жисмларнинг мувозанати ва царакатига Ер айланиши-
нинг таъсири
Динамиканинг техникада учраидиган купгина масалаларини ечиш-
да Ер сирти билан боглик саноц системасини, одатда, инерциал сис-
тема деб цисобланади. Бу билан Ернинг суткалик айланиши, Куёш атро-
фида орбита буйлаб царакати цисобга олиимайдн. Аммо Ер орбита
буйлаб Куёш атрофида харакатлангаида (18.4) тепгламага киради-
гаи кучирма инерция кучи амалда Цуёшнинг тортиш кучи билан му-
возаиатлашади. Шундай цилиб, Ер сирти билан боглиц булгаи саноц
системасини инерциал система деб хисЪблаш билан уиинг сутка ичи-
203
да Ер бадан бирга юлдузларга нис ба-
тан айланишинигина эътиборга олма-
дик. Бу айланиш
ы =—~ 0,0000729 —
86164 с
бурчак тезлик билан содир булади.
Бундай секин айланиш жисмнинг
харакатига ва мувозанатига цандай таъ-
сир этишини текширамиз.
1. Ер сиртидаги нисбий мувозанат.
Огирлик кучи. Ерга нисбатан цузгал-
мас булгаи силлиц горизонтал текис-
лнкда ётувчи пуктани оламиз (182-
расм). Унинг ерга нисбатан мувозапати
182- расм. шарти (18.9) тенгликка мувофиц Гт 4~
N + Фе = 0 куринишда ёзилади. Бунда
— ернинг тортиш кУчи; Л1’—текисликнипг реакцияси; Фс — кучир-
ма инерция кучи.
со = const булганидан Фе куч факат Ериинг айланиш уцига
перпендикуляр булгаи нормал ташкил этувчидан иборат булади.
FT ва Фе кучларни цушиб, уларнинг тенг таъсир этувчисини Р би-
лан белгилаймиз:
Гг + Фе=А (18.10)
У цолда М моддий нуцтага узаро мувозанатлашувчи нккита Р ва
N куч таъсир этади. Р куч М нуцтанинг олирлик кучи дейилади.
Р куч ернинг берилган нуктасида вертикал йуналган булиб, унга
перпендикуляр булган текислик горизонтал текисликдир.
Шундай килиб, кучирма харлкатнинг инерция кучи
Фе—тлаг, (18.11)
бунда: т — нуцтанинг массаси; г — нуцтадан Ернинг айланиш уки-
гача булган масофа; со — Ернинг уз уки атрофида айланиш бурчак
тезлиги.
со2 жуда кичик, шунинг учун Ф€ v.' FT булиб, Р нинг йуналиши
FT нинг йуналишидан жуда оз фарц цилади.
Жисмни тарозида тортганда Р куч аницланади, яъни жисм Р
куч билан тарози палласипи боса ди. Шундай цилиб, мувозанат тенг-
ламасига огирлик кучини киритиш билан Фе кучни хам киритгап бу-
ламиз, яъии Ернинг айланиш таъсирими цам эътиборга олган була-
миз.
2. Эркин тушаётгаи жисмнинг вертикалцан огиши. Ер сиртига
умча катта булмаган (Ериинг радиусига нисбатан жуда кичик масо-
204
183- раем.
184-раем.
фага тенг) баланддикдан огирлик кучи таъсирида эркин тушаётган
моддий нуктанинг харакатини кузатамиз. Нуцтага таъсир этувчи
Р =mg огирлик кучи (18.10) га мувофик аникланади. Уни узгар-
мас деб хисоблаймиз хамда хавонинг царшилик кучини эътиборга
олмаймиз. Ер билан бонпанган ва Ер билан биргаликда харакатла-
нувчи координата укларини цуйидагича таилаб оламиз: z уцни верти-
кал юцорига, х уцни мервдианга уринма буйича жанубга ва у уцни
параллелга уринма равишда шарцца цараб йуиалтирамиз (183-расм).
Танланган Oxyz координаталар системасига нисбатан М нукта-
нииг царакат^ каралаётганда (18.4) тенгламага асосан, иуцтага таъ-
сир этувчи Ернинг тортиш кучи цаторига Фе кучирма ва Фй Корио-
лис инерция кучларини кушиш керак. Лекин Фе куч Р огирлик ку-
чи таркибига киради. Шундай килиб, Ернинг айланишини эътиборга
олиш учун Р кучга Кориолис инерция кучини цушиш кифоя.
Ф/. куч Р га нисбатан анча кичик булгани учун биринчи яцин-
лашишда нуцтанинг vr нисбий тезлигини Р кучнинг йуналиши
буйича, яъни вертикал пастга йуналган деб царалади.
Ернинг уз уци атрофидаги со айланиш бурчак тезлигини айлаииш
уки буйлаб шундай йуналтирамизки, унииг мусбат йуналишидан цара-
ганпмнзда Ернинг айланишн соат милининг айланишига тескари йуна-
лищда куринсин. У цолда 181-расмда курсатилгаиидек, wfe=2co X
X ц, Кориолис тезланиши NOS меридиан текислигига перпендикуляр
равишда параллелга утказилган уринма буйлаб гарбга йуналади;
Кориолис инерция кучи эса (шимолий ярим шарда цам, жанубий
ярим шарда хам) шаркка йуналади.
205
Шундай ^илиб, биринчи
якинлашишда эркин туша-
ётган моддий нукта Ернинг
айланиши таъсирида верти-
калдан шарк^а томон огади.
3. Ер сирти буйлаб ^а-
ракатланувчи жиемга Ер
айланишннинг таъсири. Ер
сиртида меридиан чизиги
буйлаб шимолий ярим шарда
шимолдан жанубга харакат-
ланаётганЛ! нуктанинг Ко-
риолис тезланиши, 184-расм-
да курсатилганидек, пара л-
лелга М нуцтада утказил-
ган уринма буйлаб шаркка
йуналади; Кориолис инер-
ция кучи эса унга тескари
йуналишда, яъни гарбга йу-
налади. Шу сабабли, мери-
диан буйлаб шимолдан жанубга окаётган дарё шимолий ярим шарда
унг киргоцни, жанубий ярнм шарда эса чаи цирго^ни Кориолис
инерция кучи таъсирида ювиб кетадн.
35- масала. АВ найча вертикал CD уц билан узгармас а — 45°
бурчак хосил ^илади ва унинг атрофида доимнй со бурчак тезлик
билан айланади. Найча ичида массаси tn га тенг шарча ^аракатла-
нади. Агар шарчанинг бошлангич тезлиги нолга тенг булиб, О нуц-
тагача булган бошлангич оралш^ а га тенг булса, шу шарчанинг ха-
ракати ^амда шарчанинг найча деворига босим кучи аницлансин.
Ечиш. Ох укни АВ буйлаб йуналтириб, Oxyz ^узгалувчи коор-
динаталар системаси найча билан биргаликда ^аракатланади деб ка-
раймиз (185-раем). Бу координаталар системасининг кузгалмас
уцига иисбатаи харакати М нукта учун кучирма ^аракатни ифода-
лайди. Нуктанинг найча буйлаб харакати ннебнй ^аракатдан иборат.
М нуктага унинг огирлик кучи Р, найча деворининг нормал ре-
акция кучи N куйилган. N кучни узаро перпендикуляр ^амда z ва
у укларга мос равишда параллел булган Nt на Аа ташкил этувчи-
ларга ажратамиз.
Бундан танщари, М нуктага марказдан ^очирма инерция кучи
Ф” ва Кориолис инерция кучи Ф6 ни цуямиз. Нисбий тезликнинг
Ох уцдаги проекциясини мусбат деб царасак, у ^олда Кориолис
тезланиши Оу уцца параллел йуналади; Кориолис инерция кучи эса
унга тескари йуналади. Найча узгармас бурчак тезлик билан айлан-
ганн учун инерция кучларининг модули (18.3) га асосан цуйидагича
ани^ланади:
Фе = = таг£ = т<£? х sina,
206
ФА = mwk ~ 2 тсзе vr sin а,
бунда
(£)е ~ (i), Vr = X.
Нуктанинг нисбий харакат тенгламаси (18.4) га асосан
Г _|_ дГ + 772 + Ф* + Фй (1)
куринищца ёзилади.
(1) ии Ох уцца проекциялаб нуцтанииг нисбий харакати диффе-
ренциал тенгламасини оламиз:
тх =№е since — Р cos се,
тх ~ тиРх sin2 а — mg cos а
ёки
х — со2 х sin2 а — — g cos а. (2)
Бу дифференциал тенгламанинг умумий ечими
х = хг + х2
куринишга эга булади. Бунда хг — (2) га тааллуцли бир жинсли
дифференциал тенгламанинг умумий ечими; xz — (2) тенгламанинг
хусусий ечими.
Характеристик тенгламани тузиб, унииг илдизларини топамиз:
Z2 —о2 sin2 а =0,
~ co sin а, к2 = — о sin а.
Шу сабабли бнр жинсли дифференциал тенгламанинг умумий ечимнни
„ ___(-> sin v. , Г — erf sin а
Ag -- Cujt- "T" 0*2^'
куринишда ёзиш мумкин. Бунда а = 45° деб олсак,
,, О,Б со/ VT , -=»0,5 at У2-
хг = CjC Ч- С2е
(2) тенгламанинг хусусий ечимини х2 — D куринищца оламиз. У
2$олда (2) га кура
х = D = gcoscc _
со3 sin2 a co2
Бинобарин, M нуктанинг нисбий харакат тенгламаси цуйидагича бу-
лади:
х = С1е<,-5а‘^+ С2е^'5а,УГ+-SXL. (3)
СО2
Бундай ^аракат тезлиги
х = 0,5 &V2 (Cte °* — С2е“0,6 1'г) (4)
формуладан аницланади.
207
Харакатнинг бошлангич шартлари
t = 0, х = а, х ~ О (5)
пи (3) ва (4) га куйсак:
а = С, + С2 -г
О = 0,5 a V2 (С,--С2).
бупдан С\ ва С2 интеграллаш доимийлари аникланади:
Натижада (5) бошлангич шартларда нуктанинг нисбий харакати
ва нисбий царакат тезлиги куйидагича булади:
(6) ва (7) дан курамизки, бу масалада нуцтанинг нисбий царакати
ва нисбий тез лиги унинг массаснга бог лиц эмас экан.
Найча деворининг реакция кучи
/V= + /V|.
формуладан аницланади. ва ларни топиш учун (2) ии у ва г
уцларга проекциялаймиз (бунда wr бу уцларга перпендикуляр экан-
лигини эътиборга оламиз):
O = Af2-<Dfe,
О - .V, — Р cos 45° —Ф* cos 45°.
Бундан
^2 = j
М шарчанинг найча деворига курсатадиган босими микдор жи-
хатдан реакция кучн N га тенг, йуналинм эса унга царама-царши
булади.
102-§. Вазнсизлик
Агар Ер сиртига якин бирор горизонтал текислик устидагн нуцта
тинч цолатда булса, унга таъсир этувчи Ернииг тортиш кучи текис-
ликнинг нормал реакция кучи билан мувозанатлашади. Бунда нуцта-
208
нинг горизонтал текисликка курсатадиган босимиии ифодаловчи куч
микдори нуцтанинг огирлиги ёки вазни дейилади.
Масалан, юкнинг тарози палласита курсатадиган босими юкнинг
онфлигини ифодалайди.
Агар нукта берилган санок системасида, бу системага нисбатан
мувозанатда турган жисмга боеим курсатмаса, нуктанинг бундай по-
лати вазнсизлик холати дейилади.
Ернииг тортиш кучи таъсирида каракатланаетган нуктанинг эркин
каттик жнсмга маркам бириктирилган, инерциал булмаган кузгалув-
чи санок, системасига нисбатан вазнсизлик холатини текширамиз. Ер
атмосферасидан ташкарида каракатланаетгап Ернинг сунъий йулдоши
бундай жисмга мисол булади. Сунъий йулдошга нисбатан нисбий му-
возанатдаги нуктанинг вазнсизлик холатини текширамиз. Бундай нук-
танинг нисбий тезлиги ва нисбий тезланиши нолга тенг булади. Шу
сабабли нуктанинг нисбий мувозанат тенгламаси (18.9) оркали ифода-
ланади:
+ = 0.
Бу ерда: F = mg — нуктага таъсир [этувчн Ернинг тортиш кучи;
А — сунъий йулдош ичидаги нуктага куйилган реакция кучи; Фе =
= — tnwe — кучнрма инерция кучи.
Вазнсизлик холатида N = 0 булиб, нисбий мувозанат тенгламаси
куйидаги куринишда ёзилади:
Е+Ф₽ =0.
Шундай килиб, вазнсизлик ^олати
F = — Ф<? = mwe ёки we • - g
булганда, яъни кучирма ^аракат тезланиши эркин тушиш тезланиши-
га тенг булгандавужудга келади. Нукта сунъий йулдошнинг масса-
сн марказида жойлашган колда бу шарт уринлиднр, чунки масса мар-
кази фа кат ернинг тортиш кучндан нборат ташки куч таъсирида ка-
ракатланади ва унинг тезланиши g га тенг булади. Бу тезланиш
айни вактда нуктанинг кучирма тезланишини хак» ифодалайди. Агар
моддий нукта сунъий йулдошнинг массасн марказида жойлашмаса,
йулдош айланма каракатда булгани учун нуктанинг кучнрма ^аракат
тезланиши масса марказининг тезланишидан фарц килади. Шу сабаб-
ли нукта вазнсизлик ^олатида булмацди. Агар йулдош илгариланма
Каракатда булса, йулдош нчидаги ихтиёрий нукта вазнсизлик холати-
да булади. __
Худди шунингдек, g тезланиш билан пастга тушаётган лифт каби-
насида ^ам вазнсизлик хрдисаси кузатилади.
Космонавтика ривожлангани сари вазнсизлик ходнсасини урганиш
мухим ахамиятга эга булмоцда.
14—2344
209
XIX боб
МЕХАНИК СИСТЕМА ДИНАМИКАСИГА КИРИШ
103-§. Механик система. Механик система га таъсир этувчи
кучларнинг тафсифи
Бир-бири билан маълум муносабатда богланган ^амда хар бир
нуцтасининг ^аракати боннца нукталарининг холата ва ^аракатига
боглиц булган моддий нуцталар туплами механик система дейилади.
Исталган машина ёки механизм механик системага мисол була ола-
ди, чунки машина ва механизмларнинг ^исмлари бир-бирлари билан
шарнирлар, стерженлар, тасмалар ёки тишли рилдираклар воситасида
богланган булади. Бу ^олда система нукталарига боглаиишяар орта-
ли бериладиган таранглик кучлари ёки узаро босим кучлари таъсир
этади.
Агар механик системани ташкил этувчи ну^талар орасидаги ма-
софалар доимо узгармасдан крлса, бундай механик система узгармас
механик система дейилади. Масалан, абсолют ^атти^ жисмни узгар-
мас механик система иу>?галарининг тупламидая иборат деб караш
мумкин.
Агар механик системанинг барча ну^талари эркин булса, у ^олда
системани ташкил этувчи нукталар орасидаги богланишлар мазкур
ну^таларнинг узаро таъсир кучцдан иборат булади. Бунда биз эркин
нукталардан ташкил топган механик системага эга буламиз. Масалан,
Куёш системасини бундай системага мисол килиб курсатиш мумкин,
чунки Цуёш ва планеталар узаро бутун дунё тортилиш кучи таъсири-
да булади.
Агар механик система нукталарига богланишлар цуйилган булса,
система бонланишдаги система дейилади. Бундай системага мисол
тарицасида узунлиги узгармас булган стержень билан бириктирилган
икки моддий нуктани олиш мумкин.
Берилган механик система нукталарига таъсир этувчи кучлар ич-
ки ва таш^и кучларга ажратилади.
Механик системани ташкил этувчи нукталарнииг узаро таъсир куч-
лари ички кучлар дейилади. Ички кучлар, одатда, F1 билан белги-
ланади.
Механик система нукталарига бу системага кирмайдиган ну^та ёки
жисмларнинг таъсир кучлари ташки кучлар дейилади. Талики кучлар
Fe билан белгиланади.
Масалан, автомобилни механик система деб ^арасак, двигатель ци-
линдрларида ^осил буладиган газларнинг поршенга босим кучлари,
поршеннинг шатунга, шатуининг тирсакли валга таъсир кучларн ва
:$оказо кучлар ички кучлардир; автомобиль огирлиги, автомобиль гил-
дираклари билан Ер сирти орасидаги шш^аланиш кучи, ^авонииг iyip-
шилик кучи ва бош^алар ташци кучлардир.
Богланишдаги механик система нукталарига таъсир этувчи кучлар
боняаниш реакция кучларига ва актив кучларга ажратилади. Бу
кучлар уз навбатида ички ёки ташки кучлар булиши мумкин.
210
Ичкн кучларнинг асосий хоссалари би-
лан танишамиз.
1. Динамиканинг учинчи коиунига ку-
ра механик системанинг хар кандай икки
иуктаси (масалан, Мг ва Л12 иудалари)
микдор жихатдан тенг ва бир чизик буй-
лаб карама-даши томонларга йуналган
F* ва F^ кучлар билан бир-бирига таъсир
этади (186-расм). Бу кучларнинг геомет-
рик йигиндиси нолга тенг:
Л + ^ = о.
Шу сабабли N та ну^тадан ташкил топган механик система учун
цуйндаги муносабат уринли булади:
(19.1)
*=1
Демак, система нукталарига таъсир этувчи ички кучларнинг геомет-
рик йнриндиси (бош вектори) нолга тенг булади. Бундан буен йиган-
ди чегарасини тушнриб ёзамиз ва k ни 1 дан Л7 гача цийматларнн
олади, деб ^исоблаймиз.
(19.1) нн бирор Ох уда проекцияласак
21X1 = 0, (19.2)
яъни ички кучларнинг ихтиёрий укдаги проекциялари йигнндиси нол-
га тенг булади.
2. F\ ва Ft, кучларнинг бирор О нуктага нисбатан моментларини
топамиз. 186-расмдан
Л1о(Г|) + Л<о(Т1) = 0,
булшиини курамиз, чунки нккала кучнинг елкаси бир хил булиб,
момент векторлари даама-царши йуналган. У ^олда бутун система
учун куйидагини ёза оламиз:
Aii = V.Mo(Tl), (19.3) (3^
бунда Mq ички кучларнинг О марказга нисбатан бош моментини ифо-
далайди. (19.3) ни ихтиёрий Ох уда проекцнялаймиз:
2!A4o»(K) = 0. (19.4)
(19.3) ва (19.4) лардан курамизки, ички кучларнинг ихтиёрий нуцта-
га нисбатан ^исобланган моментларининг геометрик йигиндиси ёки
ихтиёрий уда нисбатан моментларининг йиншдиси нолга тенг булади.
(19.2) ва (19.4) нфодалар фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган
кучлар системасининг мувозанат тенгламаларига ухшаса-да, нчки куч-
лар мувозанатлашмайди. Чунки улар системанинг турли пуктала-
рига куйилганлиги туфайли мазкур кучлар таъсирида системанинг
нуцталари бир-бирига нисбатан даакатланади. Узгармас механик сис-
тема ёки катти^ жисм каралаётганда ички кучлар мувозанатда-
шувчи кучлар системасини ташкил этади.
211
101-§. Механик система
^аракатининг дифференциал
тенгламалари
Механик система та моддий
ну^галардап ташкил топган булсин.
Бу системанинг ихтиёрий Л4* нук-
тасини олиб, массасини mk билан,
унга таъсир этувчи таш^и кучлар
хамда ички кучларнинг тенг таъсир
этувчиларини мос равишда 7*, Flk
билан белгилаймиз (187-раем). У
^олда система нуцталари ^аракати-
нинг дифференциал тенгламалари
Ньютоннинг иккинчи цонунига биноан ^уйидагича ёзилади:
m* Wk = Fl -rlFlk(k = 1, N).
(19.5) ни Декарт координата уцларига проекциялаб
та тенгламалар системасига эга буламиз:
(19.5)
куйидаги ЗЛГ
mkxk = X‘k + Xe
ткУк = ¥‘к + у>к>
(k = 1, N).
(19.6)
Бу тенгламалар системаси механик система царакатининг Де-
карт координата укларидаги дифференциал тенгламалари дейила-
ди. Бу тенгламаларнинг унг томони умумий ^олда t вацтга ^амда
системани ташкил килувчи барча ну^таларнинг координаталари ва
координаталарнннг вацт буйича хосиласига боняиц булади. Бу тенг-
ламалар системасининг, умумий холда, механик система ^атто битта
ну^дан ташкил топганда ^ам аниц ечими топилмаган. Лекин хр-
зирги замой электрон ^исоблаш машиналарини куллаб бу тенглама-
ларнинг тацрибий ечимини жуда катта аниклик билан топиш мумкин.
Купиича (19.6) тенгламаларда цатнашувчи ички кучлар хам
номаълум булади, шу сабабли масалани ечиш янада мураккабла-
шади.
105-§. Боглаиишдаги механик система ^аракатининг
дифференциал тенгламалари
Агар система нуьргаларига богланишлар куйилган булса, у ^олда
борланишлардан бушатиш ^а^идагн аксиомага кура, таъсир этаётган
Fk актив кучлар каторига Nk боглаииш реакция кучларини ^ам цу-
шиш керак. Натижада механик системани Fk актив кучлар ва ;Vft
реакция кучларн таъсиридаги эркин механик система деб кара ла ди.
Бундай система ^аракатининг дифференциал тенгламалари Ньютон-
нинг иккинчи конунига асосан цуйидагича ёзилади:
212
mkwk=Fk + Nk, (fe=l, N). (19.7)
У холда борланишдаги система царакатининг Декарт координата
укларидаги дифференциал тенгламалари цуйвдаги куринишни олади
— X* + ^Лл>
ВДй = ^й+^у,
mkzfi ~ Nkz>
(k = I, N)
(19.8)
Бунда Xk, Yki Zf, лар актив кучларнинг, Nkj., Nkz лар эса реак-
ция кучларининг координата укларидаги проекциялари дир. (19.8)
тенгламаларда эркнн системадан фарцли равишда 3N та Nkx, N^, Nkz
номаълум реакция кучлари э$ам цатнашади.
Шундай зилиб, богланишдаги механик система ^аракатининг 3N
та дифференциал теигламаларида 6/V та xh, ук, zk, ЛГЙХ, Nky, Nkz номаъ-
лумлар цатнашадн, яъни номаълумлар сони тенгламалар сонидан ор-
тик булади. Шу сабабли богланишдаги механик системанинг ^арака-
тини аниклаш учун богланишлар турини ифодаловчн цушимча маълу-
мотлар (масалан, ишцаланиш цонуни) берилган булиши керак.
XX боб
Массалар геометрияси
106-§. Системанинг массалар маркази ва унинг координаталари
Механик система динамикаснда система нуцталари массаларининг
таксимланишини нфодаловчи катталиклар му^им а^амиятга эга. Бу
катталиклар ^а^идаги таълимот массалар геометрияси дейилади.
Механик система Mi, М2, . . . , Ми нукталардан ташкил топ-
тан булсин. Бу ну^таларнинг массаларини мос равишда mi, т2,
mN билан белгилаймиз. Oxyz коор-
динаталар системасига нисбатан сис-
тема нуцталарининг холати гг, г2,
. . . , г п радиус-векторлар билан
аншутансин (188- раем).
Система ну^талари массаларининг
йигиндиси
Л1 = V mk
системанинг массаси дейилади.
Система динамикасида радиус-
вектори
g (20.1)
М ]88- раем.
213
формула ёрдамида аиицчанаднган геометрик нуцта С системанинг
массалар маркази дейилади.
(20.1) нинг иккала томонини х, у, z координата укларига проек-
цня.лаб массалар марказипинг коордииаталари аникланади:
Л1
2^*
М
V т
Л/
(20.2)
Бу формулалардан курамизки, система массалар марказининг хода-
ти таъсир этувчи кучларга боглиц булмай, фацат берилган система
нуцталарининг цолатига ва уларнинг массаларига боглиц булади. Агар
система бнр жинсли огирлик кучи мдйдонида жойлашса, бу система-
нинг массалар маркази унинг огирлик маркази билан устма-уст туша-
ди. Система огирлик кучи майдонида харакатланса, огирлик маркази
мавжуд; (20.2) формула лар эса ихтиёрий система учун уринлн була-
ди. Шунинг учун системанинг массалар маркази тушунчаси огирлик
марказига нисбатан кенг маънога эга.
107-§. Системанинг инерция моментлари.
Инерция моментларининг умумий формулалари
ГГ Система динамнкасини урганишда муцим ацамиятга эга булган сис-
тема нуцталари массаларининг уцца, нуцтага ёкн текисликкача бул-
ган масофалар квадратига купайтмаларининг йигиидисига тенг булган
динамик катталиклар аникланади. Бу катталиклар система массалари-
нинг уц» нуцта ёки текисликка нисбатан тацсимланишини ифодалайди
ва мос равишда системанинг нуцтага ёки текисликка нисба-
тан инерция моментлари дейилади.
Системанинг х, у, г, координата уцларига нисбатан инерция мо-
ментлари 1Х, 1г билан белгиланади. У цолда таърифга кура
189- раем.
h = (20.3)
бунда hk— берилган уцдан mk мае-
сали нуцтагача булган масофа (189-
расм).
Системанинг О нуктага (кутбга)
нисбатан ниерция моменти эса цу-
йидагича ёзилади:
1о = ^тЛ (20-4)
бу ерда rk — О нугугадан система-
иинг Mk нуцтасигача булган масофа.
Системанинг ^олатиин Oxyz ко-
ординаталар системасига нисбатан
214
аницлаймиз (189-раем). Система Mh нуцтасининг [координаталарини
У& zk билан белгилаймиз. У холда системанинг4О координаталар
бошига нисбатан инерция момента куйидагича ёзилади:
/o=2m*'l = Z'V4 + 4 + 2l)- <20-5)
Системанинг координата уцларига нисбатан инерция моментлари
'« = 2'МИ+4).
I7, =Zm»(4+2D>
7. = ^тД4+^>
(20.6)
формулалардан аиицланади.
Уцца нисбатан инерция моментларини цушиб координаталар боши-
да жойлашган нуцтага нисбатан инерция моменти олинади:
/х-Ц/, + /г=2/0. (20.7)
Моддий жисм текис шаклдан иборат булса, х ва у уцларни шакл
текислигида олсак, Iz =з 1о булади. У цолда (20.7) цуйидагича ёзи-
лади:
/х4-/у=/0. (20.8)
Системанинг yz, xz ва ху текисдикларга нисбатан инерция мо-
ментларн цуйидаги формулалар асосида цисобланади:
7<Вг) = ^тА
(20.9)
МКГСС бирликлар системасида инерция момента 1 кгк*м*с2 да
халкаро СИ бирликлар системасида эса, 1 кгм2 да улчанади.
1^аттиц жиемнинг бирор z уцца нисбатан инерция моментини аниц-
лаш учун уни жуда кичик булакчалардан ташкил топтан деб цараб,
цар бир булакча массасининг берилган уккача булган масофа квад-
ратига кунайтмаларининг йнгиндиенни тузамиз ва булакчалар сони
N оо хамда булакчалар массаси -> 0 булгандаги лимнтини ци-
соблаймиз:
w
Iz = 1пп\у|Д тк
N-^oo k=l
Д 0
ёки
Ц ~ f r2dm.
(М)
Бу интеграл бутун жисм массаси буйича аиицланади.
Хажмга эга булган жисм учун dm^pdv, бунда: р — хажм бир-
лигига тугри келадиган жисм массаси; dv—жисм булакчасипинг
хажми.
215
Бир жннсли жисм учун р = const булиб,
4 = [r*dm.= fr2pdo = р 5 r~dv. 9
(М) С?) lV>
Бир жинсли моддий сиртиинг инерция моменти
4= Р1 (rtfs (20.11)
(S)
формуладан аникланади, бунда: Р1 — сирт бирлигига тугри келадиган
масса; ds — сирт булакчасннииг юзи булиб, интеграл бутун сиртиинг
S юзи буйича олинади.
Бир жинсли моддий чизи^ учуй
/г = р2|гЖ (20.12)
бунда: Рз — узунлик бирлигига тугри келувчи масса; dl — чизи^ бу-
лакчасининг узунлиги. Интеграл бутун чизицнинг L узунлиги буйи-
ча олинади.
Купиича жисмнинг уцца нисбатан инерция моменти
4 = (20.13)
формуладан аникланади,
Ри = -/5 (20-14)
булиб, жисмнинг уцца нисбатан инерция радиуси дейнлади. Инер-
ция радиуси узунлик бирлигида улчанади. Жисмнинг массаси ва
ииерция радиуси берилган булса, уг^а нисбатан инерция моментини
(20.13) дан аниклаш ^улай. Оддий шаклдаги жисмларнинг инерция
радиуслари жадвалларда берилади.
Хажмга эга булгаи бир жинсли жисмнинг бирор цутбга нисбатан
инерция моменти учун (20.10) — (20.12) га ухшаш формулалар урин-
ли булади ва г ни жисмнинг бирор заррасидан ^утбгача булган ма-
софа деб каралади.
108-§. Жисмнинг параллел одларга нисбатан инерция момент-
ларини ^исоблаш. Гюйгенс-Штейнер теоремаси
Жисмнинг у^ка нисбатан инерция моменти жисм нуцталарининг
массаларига ва мазкур нуцталардан удача булгаи масофалар квадра-
тига боглицлиги (20.6) фэрмулалардан куриниб турибдн. Шу сабаб-
лн жисмнинг турли уцларга нисбатан инерция моментлари турлича
булади.
Жисмнинг бирор уда нисбатан инерция моменти маълум булса,
шу уда параллел булган исталган бонда угда нисбатан инерция
моментиин дадай даоблашнн куриб утамиз.
Бунинг учун жисмнинг массалар маркази С орцали ихтиёрий
Cx'y'z' координата ударини утказамиз ва Сх' уда ихтнёрий О
нуктаци олиб, бу нуктада Оу [| Су*, Oz [| Сг' булган Ох, Оу, Oz
координата Ударнни утказамиз (190-расм). У ^олда (20.6) га кура
216
4 = ^(4 + ^)-
190-расмдан жисмнинг ихтиёрий Mk нуктаси учун xk = x'k~- d.
у k = y‘k булганидан
4 = 2 mk IK—= 2тк K2 + y$ +
— ^^imkx'k- (20.15)
(20.15) да ^mk(x'^ + y2) = ICz. — жисмнинг массалар марказидан
утувчи уда нисбатан инерция моменти; У, mk = М — бутун жисм
массаси; d—-параллел уцлар орасидаги масофа. Массалар марказн-
нинг координаталарини аницловчи (20.2) формулага асосан —
= Мхс. Цараяаётган ^олда массалар маркази С координата бошида
слингаиидан х'с = 0. Шу сабабли Щ = 0 шбулади. Натижада
(20.15) куйидаги куринншии олади:
4 = /Сг. С2016)
Бу формула ушбу — Гюйгенс- Штейнер теоремасини ифодалай-
ди: жисмнинг бирор уцца нисбатан инерция моменти, жисмнинг
массалар марказидан утувчи ва мазкур уцца параллел булган уцца
нисбатан инерция моменти билан жисм массасининг уцлар ора-
лиги квадратига к$пайтмасининг йириндисига тенг.
Жисмнинг массалар марказидан dr масофада утувчи zr уда нис-
батан инерция моменти 1гГ берилган булса, шу уда параллел ва
массалар марказидан d2 масофада утувчи z2 уда нисбатан инерция
моменти /2а ни аницлаш мумкин. ^ацицатан ^м Гюйгенс-Штейнер
теоремасига кура
4. = Дг- + м<%-
У=1с* + М<Ъ
булардан
4.-4, = ^K-d|)
ёки
4, =4. + ^-^).
109-§. Баъзи оддий шаклли
жисмларнинг инерция момеитларини
^исоблаш
1. Бир жинсли стерженнинг инерция
моменти. Кундаланг кесимининг улчам-
лари узунлигига иисбатаи анча кичик ци-
линдр ёки призма шаклидаги жисмлар
ингичка стержень деб караладн. АВ стер-
жень перпендикуляр булган Ау уда
нисбатан инерция моментини даоблай-
миз (191-расм). Узунлиги I га тенг стер-
217
191- раем.
женнинг Ay укдан х масофада жой-
лашган бу лаги узунлигини dx билаи»
массасини dm билан белгилаймиз.
Агар стерженнипг узунлик бирли-
гига тугри келадиган массасини р2
билан белгиласак, dm — p^dx була-
ди. Жисм инерция моментинн хи-
соблаш формуласининг интеграл ку-
риниши (20.12) дан фойдаланиб
ушбу ифоданн ёза оламиз:
/у =р2 fx2dx =
о d
Агар бутуй стержеининг массасини
М = р21 булганидан
_ МР
~ з •
М билан белгиласак, у ^олда
(20.17)
Стержеининг массалар марказидан унга перпендикуляр утган Су'
уда нисбатан инерция моменти 1Су, ни Гюйгенс-Штейнер теоремаси
ва (20.17) формулага кура хисоблаш мумкин:
/с„, =/„ — ЛМ2 = — — м(— f =—. (20.18)
У з ^2/12 ' ’
2. Ингичка доиравий ^ал^анинг инерция моменти. Массаси .И
ва радиуси R га тенг булган ингичка доиравий халдаинг марказдан
утувчи ва халка текислигига перпендикуляр булган Cz уда нисба-
тан инерция моментики топамиз. Халк.анинг хамма ну^талари Cz уку
дан hk ~ R масофада жойлашгаилигидан ва жисмнинг массаси халка
гардиши буйлаб текис тадамлангапидан, (20.3) формулага купа
/Сг = mk Я2 = V (20.19)
келиб чикади.
3. Бир жинсли доиравий пластинканинг инерция моменти. Мас-
саси М ва радиуси R га тенг булган бип жинсли доиравий нлзстин-
каиинг пластинка текислигига пзрпен-
дикуляр булган га массалар марка-
@зид<1Н утувчи Cz yi\Ka нисбатан инер-
ция моментики хисоблаймнз (192-рас.м).
Бунинг учун упдан радиуслари г ва
г A-dr булган айланалар орасидаги дои-
равий элементар халкани .чжратамнз.
S Унинг юзи 2nrdrt массаси эса dm —
2яг pj dr га тенг, бу ерда pj —
пластинканинг юза бирлигидаги масса-
си. У холда (20. 19) формулага бшюап,
ажратмлган элемептар халка кдаламн-
192- раем. нинг инерция моменти
218
dICz = r2dm = 2 л pj r3dr.
Бутун пластинка учун эса
/cz=2lIPl J>S*= -'-РцА11
0 z
формула уринли булади. Бунда р лг R2 = М эканини назарда тутиб,
цу йпдаг ини оламиз:
>Сг =
(20.20)
Пластинка текислигида Сх ва Су уцларни утказсак (192-раем), (20.8)
га асосан 1Сх + 1Су = 1Сг ва диск учун 1Сх = 1Су. Бинобарин, 1Ск=^
, _ _ MR?
1сУ~ 2 ~ 4 ’
Масалалар ечишда купрок учрайдиган айрим бир жинсли жисм-
ларнинг инерция моментлари цуйидаги жадвалда берилган:
Жисм янли Жисм шакли Инерция моменти Инерция радиуси
Ингичка стержень i- Ъ\12 3 t уд =0,577/
Доиравий юща пластинка 2 4 0,5 R
Тугри бурчакли параллелепипед с!+Ь2 М 12 Va^-j-b2 _ 2 1/3 ~ =0,289Уо«-|Ь
«3
219
Давоми
Жисм ХИЛИ Ж игм шакли Инерция моменти Инерция радиуси
Юпка деворли шар £ ^2 Г fl. 2 ТМД= У? = 0,816 R
Доиравий цилиндр (айланиш укига нисба- тан) Ыг МТ?2 2 =0 707 R
Доиравий цилиндр (кундаланг укига нис- батан) \ ! м „ Д Р + 3R‘
/1 — J V 12
Шар 2 — МТ?2 о 0,632 R
Доиравий конус (айланиш укига нисба- тан) Z < J — М£г 10 0,547 R
220
110-§. Жиемнинг берилган
ну^тадан утувчи ихтиёрий уда
нисбатан инерция моменти
Берилган О нудадан утувчи би-
рор I укка нисбатан жиемнинг инер-
ция моменти 7) ни топамиз. х, у ва
z укларнинг бирлик векторларини
i, /, k ортали, I укнипг бирлик век-
торини Г орка-ли, унинг координа-
та уклари билан ташкил этган бур-
чакларпни мос равишда а, р, т би-
лан белгилаймиз (193-раем). У хол-
да, таърифга кура, жиемнинг укка
нисбатан инерция моменти куйида-
гича булади:
(20.21)
бунда hk—Mk нуктадап I удача булган масофа.
нуктанинг радиус- вектори ОМ k = гk ва /° учун куйидагп-
ларни ёза оламиз:
Гь — хъ^— Уь / + Zb k’
k k -‘k1 1 k ’
/° = cos a i 4- cos ,6 / J- cos у k,
у холда
rk-F — xk cos a -|- yk cos 6 -r zk cos y.
Ammo rk-l° учун яна ушбу тенглик уринли булади:
гк[> =гк I COS4’/;=r» “Sf*,
(20.22)
(20.23)
бу ерда билан rk вд орасидаги бурчак курсатилган. (20.22) ва
(20.23) дан
х/{ cos а yk cos В + zk cos у = гk cos
Расмдан hk= rksm(pk булгани учун (20.21) куйидагича езилади:
li = 2 mt r'isinZ = X m - (hcos ч> Л‘1 •
cos2 a -j- cos2 p + cos2 у = 1 эканлигини эътиборга олиб, I, учун ку-
йидаги ифодага эга б^ламиз:
1Л + 4) (cos2 а + cos' ₽ + cos2 т) ~
— (xk cos a + yk cos p + zk cos y)2]
221
ёки
11 = X mk +ZDcos2 “ + (z« + c°sa P + (•**>+4)cos2 т—
— 2yt zt cos P cos T — 2 Zk xk cos у • cos a —
— 2xti/scosa-cosp].
К^уйидаги белгилашларни киритампз:
Л= /х= Vmt ZD>
6 = 'у = X'"i. (4 + 4).
С = Л = ХЯ!Л (Xi + у^’
C = V=Xm»^z4I
Е = Ц= ХгаНЛ
(20.24)
(20.25)
(20.26)
F = ’„Г У™ЛУк-
D, E, F катталиклар марказдан цочувчи инерция моменти де-
йилади. У холда I yi^Ka нисбатан инерция моменти куйидагича бу-
лади:
lt — Ix cos2а + /у cos2₽ + 4 cos2 У — 27уг cos В-cos у —
— 21 гх cos у • cos а — 2lxy cos сс • cos р. (20.27)
Бу формулалар ёрдамида жисмнинг берилган х>г/, z координата у^ларига
нисбатан инерция моментлари lxt Iy, Iz з^амда марказдан цочувчи
инерция моментлари Iyz, Izx, !ху, шунингдек I укнинг координата
у^лари билан ташкил этган бурчаклари: os, р, у лар маълум бул-
ганда, координаталар бошидан утувчи ихтиёрий I ук^а нисбатан инер-
ция моменти анн^ланади.
Ш-§. Инерция эллипсоиди
(20.27) да сс, р, у ларга турлича ^ийматлар бериб, жисмнинг ко-
ординаталар бошидан утувчи уклар дастасига нисбатан инерция мо-
ментлари ^исобланади.
Жисмнинг О нуцтадан утувчи у^-
лар дастасига нисбатан инерция мо-
ментларининг тацсимлаиишини геомет-
рик тасвирлаш учун I yv^\ ихтиёрий
ОМ. = R масофада М нуктани оламиз.
У холда М нуктанинг координаталари
х = R cosa, у =7? cosp, z = R cosy.
тенгликлардан топилади (194-раем).
Бу тенгликлардан cos a, cosp, cosy
ларии ани^лаб, уларни (20.27) га цуя-
миз:
222
ZzA>2 = /л2 + Iyy* + Izz2 — 2Iyxyz — 2Izxzx — 2Ixyxy. (20.28)
R катталикни шундай танлзймизки»
ft-
ёки
Я = ту- (20.29)
булсин. R пинг ^ийматини (20.28) га цуямиз:
Zxx2 + + V — 2Iyzyz — 2Izxzx — 2Ixyxy = ft2. (20.30)
Бу тенглама иккинчи тартибли сирт тенгламасини ифодалайди. (20.29)
да If доимо нолга тенг булмаган мусбат катталик булгани учун
(20.30) теиглама билан ифодаланадиган сиртнинг чексиз узо^лашган
нуктаси бул май ди, шу сабабли у маркази О нутргада ётувчи эллпп-
соидии ифодалайди. Эллипсоид тенгламасидаги х, yt z узгарувчнлар
олдидаги коэффициентлар жисмнинг инерция моменти булганидан, бу
эллипсоид инерция эллипсоида дейилади.
(20. 25) ва (20.26) лардзгн белгилашларга асосан инерция эллип-
соидининг (20.30) тенгламасини
Ах2 ф- Cz2-— 2 Dyz — 2 Ezx — 2Fxy=№ (20.31)
курииишида ёзиш мумкин. Бу тенгламада ft узгармас катталик бу-
либ, инерция эллипсоидининг масштабипи ифодалайди. Демак, жисм-
нинг О нуктасига берилган масштабда апиц бирор инерция эллипсои-
да мос келади. ft га турлича кийматлар бериб О нукта атрофида
хар хил концентрик инерция эллипсоидларини оламиз.
Аналитик геометрия дан маълумки, агар координата укларини
инерция эллипсоидининг бош у^лари буйлаб йуналтирсак, инерция
эллипсоидининг тенгламасида координаталарнинг кунайтмасини уз ичига
олган ^адлар катнашмайди. Инерция эллипсоидининг бош уцлари
инерция бот уцлари дейилади. Инерция эллипсоидининг бош у^ларга
нисбаган тенгламаси куйидагича ёзилади:
Ах2 4- By2 + Cz2 = 1. (20.32)
Бииобарин, бош уцларга нисбатан марказдан крчувчи инерция мо-
ментлари нолга тенг булади. (20.32) да A, В, С лар жисмнинг инер-
ция бош укртарига нисбатан инерция моментлари булиб, улар инер-
ция бош моментлари дейилади.
Агар Oxyz координата системасининг уцларидан бирини, масалан
Oz ни, маркази О нуктада булган инерция эллипсоидининг бош уки
буйлаб йуналтирсак, у холда (20.31) да yz ва xz купайтмаларнн уз
ичига олган ^адлар ^атнашмайди, бинобарин, марказдан цочувчи D,
Е инерция моментлари нолга тенг булади.
Агар О нуцта жисмнинг массалар марказида олинса, у ^олда бу
нукта учун ясалган инерция эллипссиди марказий эллипсоид дейн-
ла ди.
/Марказий эллипсонднинг бош уклари инерция марказий бош ук-
лари дейилади.
223
Агар х, у, z уцларни маркази О
2 нуктада булган инерция эллипсои-
дининг бош уклари буйлаб йунал-
тирсак, у ^олда жисмнинг О nyiy-
L тадан утувчи ихтиёрий I уда нис-
- батан инерция моменти (20.27) га
к^Ра
* .... > h — I v cos2 a + I у cos2 P + Z2 cos2 у
М-ОЖ У ' (20.33)
форму ла ёрдамида даобланади.
/6с 36- масала. Массаси М, радиуси
Cj R булган бир жинсли доиравий
195- расм. дискнинг О марказидан утувчи ва
диск текислиги билан 60° бурчак
ташкил этувчи/укка нисбатан инерция моменти топилсин (195-расм).
Ечиш. Координаталар бошини О нуктада олиб, диск Oxz текис-
ликда ётади деб царайлик. У ^олда а = 90°, р_= 30°, у = 60е экан-
т/3- ]
лигини назарда тутсак, coscc = 0, cos₽ =-Ц—, cosy=-у бу?лади.
Дискнинг х, у, г координата укларига иисбатан инерция момент-
лари
/о= №
у 4 е 2
хамда х, у, г уцлар инерция бош уцлари булгани учув (20.33) дай
фойдаланиб /z ни ^исоблаймиз:
112-§. Инерция бош ударининг хусусиятлари
Инерция бош укларининг цуйидаги хусуснятларини куриб чида
миз.
1. Инерция марказий бош уци шу уц устида ётувчи барча
нуцталар учун бош уцдан иборат булади.
Ха^икатан ^ам, агар Cz уц учун инерция марказий бош у^и
олинса,
= = 1уг = Vm^z^O,
хс~ Ус ~
булади (196-расм).
Cz уцда ихтиёрий Ох нуцтани олиб, бу нуцтада ва уклар
мос равишда Сх ва Су у^ларга параллел булгаи Orxryrzr координа-
талар системасини утказамиз. У ^олда
1^. = 2 xt <-zk ~= S Zjt - hMXc = o,
'„г, = ZmkУк — ^^ЛУА — hM,Jc = °-
224
бииобарнн, уц з^ам бош уц
булади.
2. Агар бир жинсли жисм
моддий симметрия уцига sea
булса, бу уц устида ётувчибар-
ча нуцталар учун мазкур yt$
марказий бош $кдан иборат бу-
лади.
Жисмнинг массаси бирор уда
нисбатан симметрии равишда жой-
лашган булса, бу уц моддий сим-
метрия уци дейилади. Агар мод-
дий симметрия уци учун г уц
олинса,у хрлда жисмнинг ^арбир
mk массалй Mk (xk , yfc, z^ зарра-
сига худди шундай mk массалй
гр.
196- расм.
M’k{— xk, —yk, — гк) зарраси мос келади (197-расм). Натижада
/х2, 1у7 марказдан цочувчи инерция моментлари ва жисмнинг огирлик
маркази С нуктанинг координаталари хс, ус лар учун куйидаги муно-
сабатлар уриили булади:
/ = Vт х г — ^tn' X г =0; х = 2-тк*к ~Ximtxk = 0
К п К R К К V » - Z * \ *
т __ уч т .. 7 — Vт' и у ~0’ V ________ '^rn^k ^mbVk _____ г,
*У2 2imk^kzk 2jmk^kzk Ус — —------о.
Шундай цилиб, г уц бош ук булиб, жисмнинг масса марказидан ута"
ди, яъни инерция марказий бош увидан иборат булади.
3. Агар бир Жинсли Жисм моддий симметрия текислигига эга
булса, бу текисликка перпендикуляр булган \ар кандай уц мазкур
197- расм.
198- расм.
15—2344
225
укнинг текислик билан кесшиган нуктасига нисбатан бош укдан
иборат булади.
Жиемнинг симметрия текислигига перпендикуляр равишда утувчи
ихтиёрий Oz уцни утказамиз (198-раем). У ход да жиемнинг хар бир
mk массали Mk (xk, yk, zj заррасига m'k массалн (m'k = mk) M'k (xft,
yk, z^ заррасн мос келади. Бинобарин,
= V т„ хк zk - v mkхк г„ = О,
гь~ = о
булади. Бу формулалардан курамизкм, Oz уц О нукта учун бош уц-
дир.
XXI боб
Динамиканинг умумий теоремалари
Юкорида биз динамика масалалариии ечишда моддий нуцта ёки
механик система царакати дифференциал тенгламаларининг векторли
ёки координата уцларидаги ифодасидаи фойдаланиш мумкин эканли-
гини курдик. Бу тенгламаларни интеграллаб нуцта ёки система
харакатининг тулпц тасвири цосил цилинади. Аммо бундай тенглама-
ларни интеграллаш масаласи, айницса, тенгламаларида цушимча но-
маълумлар цатнашадиган моддий нуцталар системаси учун нихоятда
мураккабдир. Шунинг учун бу усулни цуллаш цар доим цам мацсадга
мувефиц булавермайди. Купинча система хар бир нуцтасининг хара-
катини аницлаш урнига мазкур система нуцталарининг харакатини
ифодаловчи бир неча механик катталиклар орасидаги муносабатларни
топишнннг узи етарли булади. Динамиканинг умумий теоремалари
ёрдамида худди шундай муносабатлар аникланади. Бу теоремаларнинг
татбиц этилиши масалалар ечиш жараёнини бирмунча соддалаштиради,
шунингдек, тенгламалар тартибини пасайтиришга ёки уларнинг сонини
камайтиришга, тенгламалардан айрим номаълум кучларни чицариб
ташлашга имкон беради. Баъзи холл ар да динамиканинг умумий тео-
ремалари воситасида харакат дифференциал тенгламаларининг (17.18)
куринишидаги биринчи интегралларини олиш мумкин.
113-§. Система массалар марказининг харакати
цацидаги теорема
Айрим холларда система харакатининг хусусиятини аницлаш учун
мазкур система массалар марказининг харакат цонунини билиш етарли
булади. Система массалар марказининг царакатини аницлаш учун сис-
тема харакатининг дифференциал тенгламаларидан фойдаланамиз.
N та иуцтадан ташкил топган механик системанинг ихтиёрий Mk
нуцтасига таъсир этувчи ташци кучлар цамда ички кучлар тенг таъсир
этувчилари мос равишда FeM Flk га ва нуцтанинг бу кучлар таъ-
сирида олган тезланиши wb га тенг булсин. У цолда (19.5) га кура
система нуцталари харакатининг дифференциал тенгламалари
226
т1 и>, = F‘ -J- F<( (21.1)
ку'ринишда ёзилади.
(21.1) тенглама ларнинг чап ва унг томонларини хадлаб кушамиз:
= (21.2)
(20.1) га кура
V mk rk = Mrc
тенглик уринли булади. Бу тенгликнинг иккала томонидан вакт бу-
йича икки марта росила оламиз:
ёки
бу ерда wc— система массалар марказининг тезланиши.
Ички кучларнинг хоссасига кура
Бундан ташкари,
таш^и кучларнинг бош векторини ифодалайди.
(21.2) куйидаги куринишда ёзилади:
Mw,=R>. (21-3)
Бу ифода система массалар марказининг харакати хацидаги тео-
ремани ифодалайди: системанинг массалар маркази, массаси бутун
система массасига тенг булган ва система нуцталарига таъсир
этувчи барча ташци кучларнинг бош вектори таъсиридаги моддий
нуцта каби харакатда булади.
(21.3) дан курамизки, бу теорема исталган механик система мас-
салар марказининг харакатини аницлащда аввалдан номаълум булган
хамма ички кучларни эътиборга олмасликка имкон беради.
(21.3) тенгламани х, у, г координата укларига проекциялаб сис-
тема массалар маркази харакати дифференциал тенгламаларининг
Декарт координата уцларидаги ифодасини оламиз:
227
ЛЧ = /?',
(21-4)
Массалар марказининг ^аракати хахвдаги теоремадан мухим ху-
лоса келиб чизади.
Илгариланма харакатдаги катти^ жисмнинг харакати битта нуц-
тасининг харакати билан тулих аницланиши кинематикадан маълум.
Бинобарин, системанинг массалар марказини, массаси бутун система
массасига тенг булган ва таш^и кучларнинг бош вектори таъсиридаги
моддий нуцта деб царалса, унинг харакати жисмнинг илгариланма
Харакатини ифодалайди.
Умумий х0ЛДа эркин жисмнинг харакатини массалар маркази би-
лан биргаликдаги илгариланма хаРакат ва массалар маркази атрофи-
даги айланма харакатдан иборат деб хараш мумкин.
Система массалар марказининг харакати хацидаги теоремадан фой-
даланиб жисмнинг фацат илгариланма харакати аникланади. Жисм-
нинг масса маркази атрофидаги айланма харакати динамиканинг бошца
теоремаларидан фойдаланиб аникланади. Шундай цилиб, бирор жисмни
моддий нукта деб цараш масаласи жисмнинг цандай харакат
шига боглиц булади.
Масалан, планеталарнинг 1\уёш атрофидаги илгариланма царзкати
текширилаётганда уларни массаси мазкур планеталарнинг массасига
тенг моддий нуцталар деб хараш мумкин, лекин планеталарнинг уз
уци атрофидаги айланма хаРакати царалаётганда уларни моддий нухта
деб хисоблай олмаймиз.
114-§. Система массалар маркази харакатининг
сацланиш цонуни
' Система массалар марказининг харакати цацидаги теоремадан цу-
йидаги натижаларни оламиз.
1. Фараз цилайлик, системага таъсир этувчи ташхн кучларнинг
бош вектори нолга тенг булсин:
У х°лда (21.3) тенгламадан wc = -^~- = 0 булиб,
vc ~ const
булишини курамиз. Яъни система нуцталарига таъсир этувчи кучлар-
нинг бош вектори нолга тенг булса, системанинг массалар маркази
тугри чизицли, тенг улчовли харакат хилади.
Агар массалар маркази бошлангич пайтда тинч цолатда булса, у
ХОлда vc — 0 булиб, натижада
228
rc = const,
яъии система ^аракатланганда системанинг массалар маркази тинч
холатда ^олади.
2. Фараз килайлик, системага таъсир этувчи ташки кучларнинг
бош вектори нолдан фар^ли булиб, унинг бирор укдаги проекцияси
нолга тенг булсин:
= Xе = 0.
У холда (21.4) тенгламаларнинг биринчисцдан
хс = 0
х*= const
келиб чикади.
Демак, системага таъсир этувчи ташки кучларнинг гбирор укдаги
проекцияларининг алгебраик йигиндиси нолга тенг булса, система
массалар маркази тезлигининг шу укдаги проекцияси узгармас бу-
лади. Хусусан, агар бошлангич пайтда хс = vCXo = 0 булса, система-
нинг харакати давомида vcx = 0 булади, яъни бу да да система мас-
салар марказининг координатаси хе узгармай услади:
х, = х = const,
с с0
Олинган натижалар система массалар маркази ^аракатининг са^-
ланиш фнунини ифодалайди.
Система массалар маркази харакатининг сакланиш ^онунини ^ул-
лашга оид бир неча мисоллар келтирамиз.
1. Хавонинг ^аршилигини хисобга олмай, горизонтга нисбатан
к^иялатиб v0 бошлангич тезлик билан отилган туп укининг огирлик
кучи таъсиридаги ^аракатини текширамиз. учиб кетаётганда за-
вода ёрилса, унинг булаклари турли томонга учиб кетади, лекин
булакларининг бирортаси ерга бориб тушгунча уларнинг массалар
маркази илгариги ^аракатини давом эттиради. Булакчалардан бирор-
таси ерга тушгандап сунг, системага таъсир этувчи ташгр-i кучларга
Ернинг реакция кучи хам кушилиб, ук массалар марказининг хара-
катини узгартиради. ёрилганда хосил буладиган кучлар мохияти
буйича ички кучлардан иборат булгани учун улар укк массалар мар-
казипинг харакатини узгартира олмайди.
2. Абсолют сил лик горизонтал текислик устида турган одам узича
горизонтал йуналишда даакат кила олмайди. Чунки одамнинг огир-
лиги ва горизонтал силлик текисликнинг нормал реакцияси ташки
кучлар булиб, бу иккала куч вертикал йуналгани сабабли уларнинг
горизонтал укдаги проекциялари йигиндиси нолга тенг. Агар одам
бошлангич пайтда тинч холатда булса, массалар маркази харакати-
нинг сакланиш ^онуинга кура, у Уз гавдасининг масса марказига го-
ризонтал кучиш бера олмайди. Масалан, одам уиг оёгнни олдинга
кутарганда унинг чап оёги ор^ага сурилади ва массалар маркази уз
жойида даади. Одамнинг оёг; кийими билан горизонтал текислик
229
орасида сирпанишдаги ишцаланиш мавжуд булганда, одам чап оёгининг
орцага кетишига царшилик курсатадиган ва олдинга йуналган ишца-
ланиш кучи таъсир этади. Бунда иш^аланиш кучи ташки куч булиб,
одамнинг олдинга ^аракат цилишнга имкон беради.
3. Паровоз, автомобиль ва шунга ухшаш системаларнинг горизон-
тал йуналищдаги харакатини з;ам шундай тушунтнриш мумкин. Дви-
гателдаги газнинг поршенга бэсими автомобилга нисбатан ички куч
булгани туфайли автомобилнинг массалар марказини харакатлантира
олмайдп. Двигателдан етакчи гилдиракларга айлантирувчи момент
узатнлиши хисобига етакчи гилдирак айланади. Автомобиль унгга
^аракатланганда етакчи гилдиракиинг текнеликка тегиб турган нугр
таси чапга силжишга интилади. У холда гилдиракка унг томонга
йуналган ишкаланиш кучи таъсир этади. Бу куч ташки куч булиб,
автомобиль массалар марказинпнг унг томонга силжишига имкон
беради. Агар ишкаланиш кучи булмаса, ёки бу куч етакланувчи гил-
диракнинг каршилигини енга олмаса, автомобиль .^аракатлана олмай-
дн. Бунда етакчи гилдирак айланса-да, автомобиль жойидан нузгал-
майди.
Изох,- Етакланувчи гилдиракка айлантирувчи момент таъсир кил-
масдан, балки унинг уцига куйилган куч таъсир ^илади. Бу куч
таъсирида хамма рилдираклар ва улар билан бирга гилдиракиинг те-
кисликка тегиб турган нуктаси з^ам автомобиль билан биргаликда
унг томонга силжийди. Бунда гилдиракка орцага йуналган ишцала-
ниш кучи таъсир этади. Бу куч ташки куч булиб, гилдирак харака-
тини тухтатишга интилади.
Моддий ну^та ва механик системанинг харакат микдори
Механикада моддий нутута (механик система) нинг харакат ^лчов-
ларидан бири сифатида унинг ^аракат микдори олинади. Нуцта мас-
саси билан тезлик вектори купайтмасига тенг вектор катталик нук-
танинг харакат. микдори дейилади. Нуктанинг харакат микдори
то тезлик вектори буйича йуналади.
Халцаро СИ бирликлар системасида нуктанинг ^аракат микдори
кг «м/с билан улчанади.
Система нукталарн харакат миедорларининг геометрик йигинди-
сига тенг булган К вектор системанинг харакат микдори дейилади:
K = ymkvk. (21.5)
(21.5) да v — ва m4=const булгани учун
/( = V m = JL V т,rh.
к dt л —* 6 *
(20.1) га кура
230
булгани учун
к=4 (-л1)=.и 4г-=
Шундай килиб,
K=3fv«. (21.6)
Демак, системанинг 'харакат микдори система массаси билан
унинг массалар маркази тезлигининг купайгпмасига тенг.
(21.6) дап курамизки, агар массалар маркази системанинг харака-
ти давомида кузгалмасдан колса, системанинг харакат мицдори нол-
га тенг булади. Масалан, массалар марказидап утувчи у к атрофида
айланма харакатдаги жисмнинг харакат микдори волга тенг булади.
Агар жисм мураккаб ^аракатда булса, К фа^ат системанинг мас-
салар маркази билан биргаликдаги илгариланма харакатини ифода-
лайди. Масалан, горизонтал рельсда харакатланаётган гилдиракиинг
харакат мицдори, гилдиракиинг массалар маркази С нукта атрофида
кандай айланишидан цатьий назар, А = Л1ие булади.
116-§. Моддий ну^та харакат микдоринннг узгариши ха^идаги
теорема
Бирор кузгалмас Oxyz координаталар системасига нисбатан М
нуктанинг F куч таъсиридаги харакатини кузатамиз (199-раем). Бу
нуктанинг харакат кону ними куйидагича ёзамиз:
mw~F
ёки
dHr) (217)
Бунда mv нуктанинг харакат микдори векторини ифодалайди. (21.7)
нинг иккала томснини dt га купайтирсак,
d(mv) = Fdt (21.8)
ёки
d (т v) = dS
келиб чи^ади. Бу ерда dS = Fdt
— кучнинг dt вакт ичидаги эле-
ментар импульси дейилади.
Моддий нуктанинг %аракат
мицдори ^ацидаги теореманинг
дифференциалли (21.8) ифодаси-
ни куйидагича таърифлаю.шз: нукта
199- раем.
231
царскат мицдорининг дифференциала нуцтага таъсир этувчи куч-
нинг элементар импулъсига тенг.
Нуцта царакат мицдорининг чекли вацт ичида узгаришини аниц-
лаш учун (21.8) ни интеграллаймиз:
t
mv—mVQ=\=Fdt, (21.9)
о
бунда vG билан /=0 бошлангич пайтдаги тезлик, v билан исталган
t пайтдаги тезлик курсатилган. Кучнинг чекли [О, d вацт оралиги-
даги импульси учун
S = \pdt (21.10)
О
белгилаш киритиб, (21.9) ни куйидагича ёзиш мумкин:
mv— mvc = S. (21.11)
(21.11) ифода чекли вацт оралиеида нукта харакат микдори-
нинг узгариши цацидаги теоремани ифодалайди; нукта харакат,
мицдорининг бирор чекли вацт ораликида узгариши унга таъсир
этувчи кучнинг шу вакт ичидаги импулъсига тенг. (21.11) ни ко-
ордината уцларига проекциялаб
тох— = Sx 1
mvy —mvDy = | (21.12)
mvz — m t'oz = Sz )
f t
системани цосил циламиз. (21.12) даги Sx = ^Xdt, Sy = ^Y dt,
t
Sz = ^Zdt нуцтага цуйилган куч импульсининг координата уцлари-
б
даги проекцияларидир.
Демак, чекли вакт ичида нуцта харакат мицдорининг бирор
координата уци буйича узгариши нуцтага таъсир этувчи кучнинг шу
вакт оралисидаги импульсининг мазкур уцдаги проекциясига тенг.
Нуцта харакат мицдорининг узгариши цакидаги теоремадан цуйи-
даги муцим натижаларни оламиз.
1. Агар нуцтага таъсир этувчи куч F = 0 булса, (21.8) га кура
d(mv) = 0
ёки
zrctj=const, (21.13)
яъни нуцтага таъсир этувчи куч нолга тенг булса, нуцтанинг хара-
кат мицдори, мицдор ва йуналиш жихатдан узгармас булади. (21.13)
тенглик нуцта харакат микдорининг сацланиш цонунини ифода-
лайди.
232
2. Агар кучнинг би-
pop уцдаги проекцияси
нолга тенг булса:
Х==0,
у цолда
т vx =const.
Агар нуктага богла-
нишлар куйилган булса,
(21.11) теоремадан фой-
даланишда берилган куч-
ларнинг импульси цато-
рига богланиш реакция
кучларининг импульсларини хам цушиш керак.
37- масала. Массаси т га тенг булган локомотив йулнинг гори-
зонтал кисмида царакатланади (200-раем). Локомотивга тортиш кучи
F = const ва узгармас R царшилик кучи таъсир эта ди. Локомотив-
нинг тезлиги кандай t вацт оралирида t'o дан v га узгаради?
Ечиш. Локомотивни моддий нукта деб цараймиз ва Ох уцни ца-
ракат йуналиши буйича йуналтирамиз. Локомотивга таъсир этувчи
кучларни раемда курсатамиз. Локомотивнинг огирлик кучини Р би-
лан белгилаймиз, Локомотив рельс орцали богланишда булгани учун
рельснинг нормал реакцияси N ни цам киритиш лозим. Моддий нуц-
та царакат мицдорининг узгариши цацидаги (21.12) теореманинг Ох
уцца проекциясидан фойдаланамиз:
т v —mv0 = (F — R)t,
бундан
m(v—v0)
F — R
117-§. Система царакат мицдорининг узгариши цацидаги теорема
Механик система N та нуцтадан ташкил топган булсин. Систе-
манинг ихтиёрий А1к нуцтасига таъсир этувчи ташци кучлар цамда
ички кучларнинг тенг таъсир этувчилари мос равишда Fk бул-
син. У холда система нуцталари харакатининг дифференциал тенгла-
малари цуйидагича ёзилади:
“+ (й-ГМ (21.14)
(21.14) тенгламалар системасини цушамиз:
2™* °* = 2F* -ь 2 <21-15)
бунда: 2/??fe Vk ~ — системанинг царакат микдори; 2^ = —
ташци кучларнинг бош вектори. Ички кучларнинг хоссасига кура
233
Натижада (21.15) ни цуйидагича ёзнш мумкин:
4г =^‘- (21-1б>
(21.16) тенглама система харакат мицдорининг узгариши хацида-
ги теоремани ифодалайди: система ^аракат мицдорининг вакт'
буйича биринчи хосиласи системага таъсир этувчи ташци куч-
ларнинг бош векторига тенг. 1
(21.16) ни Декарт координата уцларига проекциялаб, система ца-
ракат мицдорининг узгариши ^ацидаги теоремани скаляр куринишда
ёзамиз:
(21.17)
dt
dI<z
~~dt
яъни, система ^аракат миудорининг бирор укдаги проекциясидан,
caiyu буйича олинган хосила, системага таъсир этувчи ташци куч-
лар бош векторининг мазкур укдаги проекциясига тенг.
Система харакат микдорининг чекли вацт ичида узгаришини аниц-
лаш учун (21.16) ни dt га купайтириб, интеграллаймиз:
K = K0=
ёки
К — Ко=&. _ (21.18)1
Бунда Ко билан t ~ 0 бошлангич пайтдаги, К билан ихтиёрий I
t
вацтдаги системанинг царакат мицдори белгиланган; Se — | R'dt—t,
6
вацт ичида системага таъсир этувчи ташци кучлар бош векторининг
импульси.
(21.18) ифода чекли вацт ичида система харакат мицдорининг
узгариши цацидаги теоремани ифодалайди: система харакат миц-
дорининг чекли всмуп
ташци кучлар бош
тенг.
(21.18) ни Декарт
ёзамиз:
ичида узгариши системага таъсир этувчи
векторининг шу вакт ичидаги импульсига |
координата уцларига проекциялаб цуимдагини •
Кг-Ккг = 8‘г.
(21.19)
234
Система ^аракат мицдоринннг узгариши хацидаги теорема билан
система массалар марказининг э^аракати э^идаги теоремалар ораси-
таги муносабатни аниклаймиз. Бунинг учун (21.6) ни (21.16) га ^уя-
миз:
d ______
№)=/?»
ёки
= Re.
Бу муносабат система массалар маркази харакати хакидаги теоремани
ифодалаши бизга маълум.
Шундай ^илиб, умуман олганда, система массалар марказининг
харакати ^акидаги теорема ва система харакат ьшкдорининг узгариши
хакидаги теорема битта теореманинг икки хил куринишини ифодалай-
ди. Капиц жисмнинг царакатини урганншда бу теоремаларнинг ис-
талган бирортасидан фойдаланиш мумкин. Бунда купинча, массалар
марказининг харакати цакидаги теоремадан фойдаланнлади. Бироц, туташ
муцит (суюклик ёки газлар) учун бутун системанинг массалар марка-
зи тушунчаси амалда уз маъносини йуцотади. Шу сабабли, бу зол-
да масалалар ечганда система харакат мицдорининг узгариши хацида-
ги теоремадан фойдаланиш максадга мувофиц булади. Система хара-
кат мицдорининг узгариши хакидаги теоремадан зарба назариясида,
ракеталар харакатини урганишда ва бошца бир гатор амалий масала-
ларни ечишда цам самарали фойдаланиш мумкин.
118-§. Система харакат микдорининг сацланиш цонуни
Система царакат микдорининг узгариши хакидаги теоремадан цуйи-
даги мухим натпжаларни оламиз.
1. Система нуцталарига таъсир этувчи ташцн кучларнинг бош
вектори нолга тенг булсин:
/?е=0.
У .хрлда (21.16) га кура системанинг харакат мицдори узгармас бу-
лади:
К = 2 ть Vk ~ v- = С‘ (21.20)
(21.20) тенглик система харакат микдорининг сауланиш цону-
нининг векторли ифодаси дейилади.
Шундай цилаб, агар системага таъсир этувчи таищи кучлар-
нинг бош вектори нолга тенг булса, у %олда система ^аракат
микдорининг вектори модуль ва йуналиш жихатдан узгармасдан
колади.
(21.20) даги С узгармас микдор система таркибига кирган ну^-
галарнинг бошлангич ^олатига боглиц. (21.20) дан курамизки, бош-
лангич пайтда системанинг харакат миедори нолга тенг булса, таш^и
кучларнинг бош вектори нолга тенг булади ва ички кучлар система-
нинг харакат мицдорини узгартира олмайди.
235
2. Система нут^галарига таъсир этувчи тапщи кучлар бош некто-
рининг бирор (масалан, Ох) укдаги проекцияси нолга тенг булсин:
«1 = 0,
у з^олда (21.17) га кура
Кх ~Мхс = const (21.21)
булади. (21.21) тенглик бирор координата уци буйича система ха-
ракат мицдорининг са^ланиш конунини ифодалайди: системага
таъсир этувчи кучлар бош еекторининг бирор укдаги проекцияси
нота тенг булса, у холда система харакат мицдорининг мазкур
уцдаги проекцияси узгармас булади.
119-§. Механик система \аракат ми^дорининг узгариши ва
система массалар марказининг харакати ^а^идаги теоремаларни
цуллашга оид масалалар
^Механик система харакат мицдорининг узгариши ва система мас-
салар марказининг ^аракати хацидаги теоремаларни туллашга оид
масалалар ^уйидаги тартибда ечилади.
1. Кузгалмас координаталар системаси танлаб олинади.
2. Система нуцталарига таъсир этувчи барча таш^и кучлар ^ам-
да богланиш реакция кучлари раемда тасвирланади.
3. Масаланинг шартига кура, теоремаларни ифодаловчи (21.4),
(21.17), (21.19) тенгламалардан бирортаси тузилади.
4. Бошлангич шартлар аншранади.
5. Берилган бошлангич шартлардан фойдаланиб тузилган диффе-
ренциал тенгламаларни иптеграллаб, изланаётган номаълумлар то-
пиладн.
38- масала. Горизонт билан а = 30° бурчак ташкил килувчи туп
стволининг огирлиги = 11000 Н, туп у^ининг огирлиги Р2 = 540
Н. Sfy стволнинг огзидан чикишида г2 = 900 м/с тезлик билан та-
ракан ^илади. Укнинг отилиб чи^иш пайтида туп стволининг эркин
суратда ор^ага тепиш тезлигининг горизонтал тузувчиси аниклансин
(201-раем).
236
Ечиш. Координаталар бошини О ну^тада олиб, х у^ни горизон-
тал буйлаб унгга йуналтирамиз.
Туп стволн ва уки механик системани _ташкил этади. Системага
ствол ва укнинг огирлик кучлари Pt ва Р2 хамда бовланиш реак-
ция кучи Р таъсир килади. Бу кучлар х уда перпендикуляр бул-
гани учун Rex = 0. Шу сабабли (21.17) ни тузсак, система ^аракат
ми^дорининг х у^ буйича сацланиш цонуни (21.21) га эга буламиз:
Кх = const.
Бошлангич t = 0 пайтда, яъни у^ отилиши олдида, ствол ва уц-
нинг тезликлари нолга тенг:
t'io = 0; и20 = 0.
туп стволидан чициш пайтидаги ствол тезлигининг горизонтал
ташкил этувчиси vix ни аниклаш керак.
Берилган бошлангич шартларга кура
яъни
mi V}K —rn-2 V2X — 0
ёки
-у- 01, + ~ о2 cos 30’ =0,
бундан
P.V1 540-900 УТ
о,, = — -д— cos 30° = — • —— = — 3,82 м/с.
I 1 1 1UUU Л
Бунда манфий ишора туп стволининг тепиш тезлиги у^ харака-
тига ^арама-царши томонга цараб йуналганлигини ифодалайди.
39- масала, с» тезлик билан горизонтал йуналишда учиб келаётган
массали ук аравачага урнатилган ва г^ум тулдирилган яшикка
бориб тегади (202-раем). Агар аравачанинг мазкур яшик билан бир-
237
203- раем.
галикдаги массаси /?г2 га тенг булса, уц яшикка урилгандан кейин
аравача цандаи тезлик билан царакатланади?
Ечиш. Ньютоннинг учинчи цонуннга кура, уц яшикка урилганда,
уц билан аравачанинг узаро таъсир кучлари мицдор жицатдан бир-
бирига тенг булади. Агар уц билан аравачани битта механик систе-
ма деб царасак, бу кучлар ичш кучларни ташкил этади. Шу сабаб-
ли бу система учун царакат мицдорининг узгариши цацидаги
теоремани цуллаганда мазкур кучлар цатнашмайди.
Агар Ох уцни аравачанинг з^аракат йуналишида горизонтал унг
томонга йуналтирсак, у цолда система нуцталарига таъсир этув-
чи Ру Р2 огирлик кучлари ва рельс Nlf N2 реакция кучларининг
бу уцдагн проекциялари нолга тенг булади. Бу цолда харакат мнцдо-
рининг сацланиш цонуни уринли булади:
Кх = const
ёки
Кох = Кх , (1)
бунда КЬх, Кх — мос равишда уц аравачага урилишидан олдинги ва
урилгандан кейинги системанинг харакат микдорлари.
Уц аравачага урнлиши олдида аравача тинч холатда [булгани
учун Кох — mtu буладн. Уц аравачага урилгандан кейин аравача бн-
лан биргаликда v тезлик билан харакатланадн. У цолда
A* =(^i
булиб, (1) тенгликка кура
п^и =(тг -Vtn^v.
Бунда
ц = —; и»
238
40-масала. Умумий массаси т булган электр мотори горизонтал
пойдеворга болтлар билан ма^камлаиган. Роторнинг массаси тг ва
гнинг массалар маркази айланиш увидан ОС х = / масофада жойлаш-
г ан >^амда ротор ср = g 1 цонунга мувофик айланади. t = 1 с ут-
ганда двигателнинг пойдеворга курсатган вертикал босими ва болт-
лардаги горизонтал зурикиш топилсин (203-расм).
Ечиш. Электр мотори статорининг огирлик марказини ва масса-
сини мос равишда С2 ва т2 деб белгилаймиз. Ох ва Оу координата
хкларини утказамиз. Статор ва ротордан ташкил топтан системага
уларнинг огирлик кучлари ni?gt пойдеворнинг нормал реакция
кучи jRy = 4- ва болтларнинг горизонтал реакциясн Rx —
^Rix-rRzx таъсир эта ди. Система массалар марказининг ^арака-
ти хакидаги теореманинг координата у^ларидаги (21.4) ифодасидан
фойдаланамиз:
т XS = т Ус Ry- (2)
Агар Сг ва С2 нукталарнинг коэрдинаталарини мос равишда (хх, ух)>
(х2, билан белгиласак, системанинг массалар маркази координата-
лари
1
Хг = ~ + m2x2),
1
№ = VO'iJ'i + ВДг)
формулалардан аникланади. х2, у2 координаталар узгармас булганидан
- -• mt ••
Хе = — х; ус У1.
Натижада (2) куйидагича ёзилади:
= Rx,
nVJi^—mg + Ri,. (3)
Расмдан yL координаталарни топамиз:
/ • / - nt '3
Xt ~ I Sin ф = I Sin —>
зт Т2
Уг = I COS ф = I COS »
^ундан
.( nt2 . лt2 \
Л\ = Л Z ( COS — л t~ Sin —— )»
/ лР nt2 \
IJl ~ — nl (sin “— — П12 COS —
239
Шуя га кура (3) дан
/ л /г п . л Р \
Rx = mlnl (cos —— — jti2 sin 2 J,
[ л P лР яРД
Ry — mg — mx л /Isin-^- cos~)
ни зрсил циламиз.
t — 1 с булганда
/?х = -/Ихл2/,
Ry ~mg—тх л I.
Бу тенгликлардан курамизки, t = 1 с булганда <Р ~ у ва
горизонтал равишда чапга йуналади; mg >mx7il булганда Ry вер-
тикал ю^орига йуналади.
120~§. Система ^аракат мицдорининг узгариши ^а^идаги
теоремани суюцликнииг стационар о^имига татбиц зтиш. Эйлер
теоремаси
Система ^аракат ми^дорининг узгариши ^ацидаги теоремадан ту-
таш му^итлар механикасида кенг фойдаланилади.
Фараз цилайлик, моддий нуцталар системаси берилган пайтда оу
ва <т2 кесимлар билан чегараланган т ^ажмга эга булган цувур ичи-
да окувчи сую^ликдан иборат булсин (204-расм). Суюкликнинг цувур-
даги о^имини стационар оцимдан иборат, яъни хар бир Oj ва о2
кесимдаги суюцлик зарраларининг тезликлари бир хилда булиб,
вактга боглш; эмас деб цараймнз. Бу кесимлардаги сукжлик зарра-<
ларининг тезликлари ва v2 га тенг^булсин. У ^олда
dK = р2о2о2 (dt) v2 — рхад (dt) (21.22)
бунда рх ва р2 билан ва в.2 кесимлардаги зичлик белгиланган;
Pi Ох Сх, Р2О2а2 эса мазкур кесимлар оркали вакт бнрлиги ичида о^иб
утувчи сую^лик массаларини ифодалайди. Кувурнинг иктиёрий кеси-
ми ордали вацт бирлиги ичида бир хил миедордаги суюцлик массаси
оциб утади деб царасак,
Pit'll = РгО2а2 = т
булади ва (21.22) цуйидагича ёзилади:
_^_ = т(^_г1). (21.23)
Туташ му^итлар механикасида бирор ^ажмни банд цилган суюц-
ликка таъсир этувчи кучлар суюкликнинг хар бир заррасига таъсир
этувчи >;ажм кучларига (масалан, огирлик кучи) ва берилган ^ажм-
нинг сиртидаги суюцлик зарраларига таъсир этувчи сирт кучларига
240
(масалан, суюклик харакатланганда цувур деворида э^осил буладиган
ишкаланиш кучи) булинади. У ^олда ташци кучларнинг бош векто-
ри куйидагича аницланадн:
бунда ва Rc лар мос равишда э^ажм кучларининг ва сирг кучла-
рининг бош векгорларини ифодалайди.
Натижада система ^аракат мивдорининг узгариши ^а^адаги
-^- = R, + Rc (21-24)
теорема куйидагича ёзилади:
т{иг — и/)
ёки
mvt — тv2 -J-Z?c = 0. (21.25)
Яъни цувурнинг иккита ихтиерий кесими орцали оциб утувчи
суюкликнинг игу кесимлар орасидаги цажмнинг ички томонига
йуналган ваут бирлигидаги харакат микдорлари хамда хажм ва
сирт кучлари бош векторларининг геометрик йигиндиси нолга
тенг булади. Бу Эйлер теоремаси деб аталади. (21.25) ни 204-расм,б
билан тасвирлаш мумкин.
41- масала. Диаметри d = 0,3 м булган кувурда v = 2 м/с тез-
лик билан сув оцади. Кувур тирсагидаги таянчга тушадиган кушимча
босимнинг горизонтал ташкил этувчиси N ани^лансин (205-расм).
Ечиш. Кувур тирсагинн тулдириб окувчи сувнинг зарраларига ^ар
овда огирлик кучи ва цувур деворида ^осил буладиган реакция ку-
чи таъсир этади. Огирлик к}-члари ^ажм кучларидан иборат булиб,
уларнинг бош вектори цувурнинг берилган ^ажмини банд этган сув-
J 6—2344
241
нинг OFiipjin' кучига тенг ва
вертикал буйлаб йуналгани
учун унинг горизонтал укдаги
проекцияси нолга тенг булади.
Цувур тирсагидаги таянчга
сувнинг ощ-тши натижасида ту-
шадиган едшимча босимнинг
изланаётган горизонтал таш-
кил этувчиси /V кувур тирса-
® гида ^осил буладиган сирт куч-
^ларидан иборат реакция кучи
—*- бош векторининг горизонтал
ташкил этувчиси N' га микг
дор жи^атдан тенг, йуналиши
^арама-карши булади. Кувур-
га клрувчи сувнинг тезлиги
вертикал_ва кувурдан чицувчи
сувнинг t'2 тезлиги горизонтал
йуналгани учун (21.25) ни ^у-
йидагича ёзиш мумкин:
N' — т v2 = О,
ёки N' = N ва v2 — v булганидан
nd2
N = mv = pvo- v ~ ~~— p v2 = 28,9 H.
121-§. Узгарувчан масс ал и жисм ^акида тушунча.
И. В. Мешчерский тенгламаси
Одатда, назарий механика да ^аракатланаётган жиемнинг массаси
узгармас деб карала ди. Лекин техникада жисмларнинг массаси ва^т-
га боглиц равишда узгарадиган масалалар куп учрайди. Бунда жисм-
ларнинг массаси ундан зарраларнинг ажралиши ёки унга таш^аридан
зарраларнинг ^ушнлиши натижасида узгаради. Масалан, ракета ёки
самолёт ^аракатланганда ёнилгининг ёниши ^исобига уларнинг мас-
саси камая боради, галтакка ипнинг уралиши натижасида унинг мас-
саси орта боради ва ^оказо.
Ва^т утиши билан зарралар цушилиши ёки ажралиши натижасида
массаси узлуксиз равишда узгарадиган жисм узгарувчан массали
жисм деб аталади.
Узгарувчан массали жисм харакатланганда унинг утган масофасига
нисбатан жиемнинг улчамларини эътиборга олмаслик мумкин булса
ёки жисм илгариланма харакатда булса, у ^олда бундай жисмга
(зарралар ^ушилиши ёки ажралиши натижасида массалар маркази з;о-
латининг жисмга нисбатан узгаришини эътиборга олмай) узгарувчан
массали ну^та деб цараймиз.
242
Массаси узлуксиз равишда ка-
майиб борувчи ракетами узгарув-
чи массали нуцта деб цараб,
унинг царакати дифференциал
тенгламасини чицарамиз-
Ёнилги ёнгавда ракетадан аж-
206- раем.
ралувчи зарраларнинг ракета кор- _
пусига нисбатан нисбий тезлигини иг билан белгилаймиз (206-расм).
Ракетадан ажралувчи зарраларни ва ракетами битта система деб ца-
раймиз. У цолда ракетанинг массаси М ёнилги ёниши натижасида
ажралувчи зарралар цисобига камая боради ^амда М ни вацтнинг
узлуксиз функциясидан иборат деб цараймиз:
М = f(t).
Шу сабабли dt вакт ичида ажралувчи зарраларнинг массасини dM
билан белгиласак, dM<0 булади, бинобарин, сон модули таърифм-
га кура | d М J = — d М.
(21.16) тенгламани берилган система учун
dK = Fedt
(21.26)
куринишда ёзиш мумкин. Бунда Fe—ракетага таъсир этувчи таш-
ци кучларнинг геометрик йириндисига тенг куч._
Агар ракетанинг v тезлиги dt вацт ичида dv га узгарса, у цол-
да системанинг харакат микдори Mdo га узгаради. Ажралувчи зар-
ралар эса ракетага нисбатан иг нисбий тезликка эга булади ва ха-
ракат мицдори — ur dM га узгаради. Шундай килиб,
dK = Mdv — urdM. (21.27)
(21.27) ни (21.26) га цуйиб, dt га булсак,
М =р (21.28)
dt dt
тенглама келиб чиеди.
(21.28) тенглама Узгарувчан массали нуцта харакатининг диф-
ференциал тенгламасини ифодалайди. Бу тенгламани 1897 йилда
рус Олимп И. В. Мешчерский тавсия этган ва шунинг учун унинг
номи билан аталади.
(21.28) даги
— dM — „ _
^г~^ = Ф (21.29)
катталик куч улчамлигига эга булади ва реактив куч дейилади.
Бунда ~dt " ажралувчи массанинг секундлик сарфини ифодалайди.
Н Y 6 $ _
243
122-§. Циолковский формуласи
И. В. Мешчерский тенгламасини цуллашга мисол тари^асида фацат
реактив кучдан бошца куч таъсир этмайдиган майдондаги ракетанинг
харакатини текширамиз. Бу цолда (21.28) да Fe = 0 булади ва у
Д7Г — dM
куринишда ёзилади.
х у^ни ракетанинг ^аракат тезлиги v буйича йуналтирамиз ва ра-
кетадаи ажралувчи зарраларнинг тезлиги иг ни (ёнилги ёииши нати-
жасида цосил буладиган газларнинг ракета двигателидан ажралиш
тезлигини) узгармас ва v га царама-царши йуналган деб цараймиз.
У цолда (21.30) ни х уцца прсекциялаб, ушбу куринишда ёзамиз*
Mdo = —iir dM
ёки
dM
du=-u, —.
Бу тенгламани интеграл л асак,
Мо
v = d0 4-uJn-^-, (21.31)
бунда и0 ва Мо лар мос равишда ракетанинг бошлангич пайтдаги
тезлигини ва массасини ифодалайди.
(21.31) формула ёрдамида ракета массасининг камайиши натижа-
сида ракета тезлигининг ортиш цонуни аникланади. Ракета корпуси-
нинг массасини Мк, ёнилгининг бошлангич массасини Mg билан бел-
гиласак, ракетанинг бошлангич пайтдаги массаси Mo = Ms + Мк,
ёнилги ёниб булгаидан кейинги массаси М = Мк булади. Ёнилги
ёниб булганда ракета энг катта тезликка эришади ва бу тезлик
(21.31) га асосан
/ М«
«Умах — Do + /Л I 1 4- м I
формуладан аникланади. Бу формула Циолковский формуласи дейИ’
ла ди.
Агар d0 = 0 булса,
Л \
Гмах = Urln I 1 + I.
Циолковский формуласидан курамизки, ракетанинг энг катта тез-
лиги ажралувчи зарраларнинг нисбий тезлигига тугри мутаносиб ра-
Мё
вишда узгаради дамда г,— нисбат ортгани сари огаах ^ам орта бора-
ми
мё
дн. п- = z соии Циолковский сони дейилади.
тк
244
122- §. Моддий нуцта харакат мицдорикинг моменти ва
системанинг кииетик моменти
Моддий нуктанинг (механик системанинг) бирор марказ атрофида-
ги айланишини ифодалашда царакатнинг улчови сифатида нуцта ха-
ракат микдорининг моменти (системанинг кинетик моменти) тушунча-
сидан фойдаланилади.
Статикада курганимиздек, Г кучнинг О марказга нисбатан мо-
менти
=7 X F
теиглик билан ифодаланади. Бунда г царакатланувчи нуцтанинг О
марказга нисбатан радиус- векторный ифодалайди. Худди шунингдек,
нукта харакат микдори ти нинг шу марказга нисбатан моменти
lo = r X tnv (21.32)
формуладан аникланади (207- расм). Бу вектор О иуцтага цуйилган деб
каралади ва момент маркази цамда т v вектор оркали утувчи текислик-
ка перпендикуляр равишда шундай й^налтириладики, унинг мусбат
учидан царалганда О нуцта атрофида то вектор йупалишидаги ай-
ланиш соат милининг айланишига тескари ку-ринишн керак.
Координаталар бсшини О марказда олиб, цузгалмас х, у, £ уклар-
ни утказсак. (21.32) пи цуйидагича ёзиш мумкин:
бунда i, j, k — координата уцларининг бирлик векторлари. Охирги
тенгликни х, у, s уцларга проекциялаб, кучнинг |уцца нисбатан мо-
менти каби, нуцта царакат мнцдорининг мос уцларга нисбатан мо-
ментини аниклаймиз:
lK=m(yz — г у).
(21.33)
1,= т(ху — ух).
Нуцта царакат микдорининг
моменти СИ бирликлар систе-
масида кг*м2/с билан улча-
нади.
Механик система барча нуц-
талари харакат мицдорларининг
бирор марказга нисбатан мо-
ментларинииг геометрик йигин-
дисига тенг булган £0 катта-
лик механик системанинг
207- расм.
245
марказга нисбатан кинетик моменти
(ёки харакат микдорининг бош моменти)
дейилади:
208- раси.
Ло = ХггХтЛ- (21.34)
(21.34) ни Декарт координата уграари-
га проекциялаб системанинг координата
уцларига нисбатан кинетик моменти аниц-
ланади:
£« = 2тД!/*^— 2kyb),
(21.35)
Кузгалмас jfy атрофида айланма хара-
катдаги латти^ жисмнинг кинетнк момен-
тики хисоблаймиз. z у^ни айланиш угш
буйлаб йуналтирамиз (208- раем). Берилган жисмни элементар моддий
зарраларга ажратамиз. Бундай зарралардан ихтиёрий биттаси — Mk
иинг массасини mk билан, ундан удача булгап масофани hk билан
белгилаб, z уда нисбатан жисмнинг кинетик моментинн ^исоблай-
миз:
L2 = =
бу ерда ^tnkh2k = 1г— жисмнинг z уда нисбатан инерция моменти
Бинобарин,
£г = Лгм.
(21.36)
Демак, цузеалмас уц атрофида айланувчи жисмнинг айланиш
укига нисбатан кинетик моменти жисмнинг мазкур укка нисба-
тан инерция моменти билан бурчак тезлигининг купайтмасига
тенг.
Битта yi^ атрофида айланувчи бир кеча жиемдан ташкил топган
системанинг кинетик моменти
L2 — + L22 “г + • • • + /„гЧ,
формула ёрдамида хисобланади.
(21.37)
124-§. Моддий иу^та харакат микдори моментининг узгариши
^а^идаги теорема
Массаси т га тенг булган моддий нуцта F куч таъсирида хара-
катлансин. Бу ну^та харакат микдори ва F кучнииг бирор О марказ-
га нисбатан моментлари орасидаги бовдаиишни ани^лаймиз (207- раемга
^аранг).
246
r~r (/) эканлипши эътиборга олиб, (21.32) нинг иккала томо-
нидан вакт буйича росила оламиз:
X mu +r X = v X то г х mw. (21.38)
v ва т v параллел векторлар булгани учун v X т v = 0 хамда
Ньютоннинг иккинчи ^онуни/ину =F эканлигини эътиборга олсак,
(21.38) куйидагича ёзилади:
~аГ
г XF =Af0(F) булгани учун
=jW0(fj. (21.39)
(21.39) ирода нукта харакат микдорининг О марказга нисба-
тан моменти узгариши хауидаги теоремани ифодалайди: моддий
нукта харакат микдорининг бирор уузгалмас марказга нисбатан
моментидан вакт буйича олинган хосила нуктага таъсир этувчи
кучнинг шу марказга нисбатан моментига тенг.
(21.39) ни х, у,£ уклаРга проекциялаб цуйидагиларни оламиз:
dlx —
^- = 4(f)-
^Г = 4(П.' (21.40)
dl, —
^-=4(f)-1
Бу муносабатлар нуцта %аракат микдорининг координата уклари-
га нисбатан моментлари узгариши хауидаги теоремани ифодалай-
ди: моддий нуtima харакат микдорининг бирор уузсалмас укка
нисбатан моментидан ваут буйича олинган хосила., нуктага таъ-
сир этувчи кучнинг шу уууа нисбатан моментига тенг.
Агар моддий нуктага бир канча кучлар таъсир этса, F шу куч-
ларнинг теиг таъсир этувчиси деб каралади.
125-§. Нуктанинг марказий куч таъсиридаги ^аракати.
Юзалар конуиИ
F кучнинг бирор цузгалмас О марказига нисбатан моменти иолга
тенг булсин. Бу ^олда F ~ 0 бу лиши ёки F кучнинг таъсир чизи-
ги доимо момент марказидан утиши керак. F = 0 булган колни эъти-
борга олмай, иккннчи кол ни текширамиз.
Доимо таъсир чизигн момент марказидан утувчи куч марказий
куч дейилади. Кучнинг таъсир чизиги утадиган О нукта куч мар-
кази дейилади.
247
r*v ~c
Марказий куч таъси-
ридаги нуцта учун (21.39)
цуйидагича ёзилади:
dT0
х=0'
бундан
/0 — const,
ёки
209- раем.
г X tn v = const.
Бу тенглама нуцта
Харакат мицдори момен-
тининг сацланиш цону-
нини ифодалайди: мар-
казий куч таъсиридаги
нуцта царакагп. мицдори-
нинг куч марказига нис-
батан моменти узгар-
масдан цолади.
Охирги тенгламада
т = const булганидан уни
г Хи =с (21.41)
куринишда ёзиш мум-
кин.
(21.41) да r(x,y,z), о(х; у, я), с(с1}с2, с3) эканлигини на-
зарда тутиб, координата уцларига проекциялаймиз;
yz ~Zy = q,
zx — xz~ c2,
xy ~yx=^c3.
(21.42)
Шундай цилиб, марказий куч таъсиридаги моддий нуцта учун
царакат мицдори моментинииг узгариши хацидаги теоремами куллаб
нуцта царакати дифференциал тенгламасининг (21.41) ёки (21.42)
тенгламалар билан ифодаланадиган биринчи интегралларини топиш
мумкин экан.
_ Бу бириичи интегралларга яццол геометрик изоц бериш мумкин.
г X v вектор доимо г ва v ётган текисликка перпендикуляр ра-
вишда йуналади ва_узгармас йуналишга эга булади (209-раем, а).
Шу сабабли г ва t векторлар доимо О марказдан утувчи бир те-
кисликда ётади. Демак, марказий куч таъсиридаги нуцтанинг траек-
торияси текис =гри чизицдаи иборат булади.
243
(21.41) нинг физик моциятини таллии цилиш учун нуцтанинг ра-
диус-вектори чизгаи юзанинг узгариш тезлигини ифодаловчи вектор
катталик—секторли тезлик тушунчасиии киритамиз.
Фараз цилайлик, моддий нуцта t вацтда уз траекториясида М цо-
латни, t +&t вацтда цолатии эгалласин_(209-раем, б). 0ММ±
ечбурчакнинг юзи г радиус- вектор билан Д г = г (t + Д t) — г (t)
кучиш векторининг векторли купайтмаси модулининг ярмига тенг:
^домдц = “2 \г X Дг|.
—• (г х Дг) вектор г ва Аг ётган текисликка перпендикуляр ра-
вигода йуналади; бу векторни До билан белгилаймиз:
До =-g (г х Дг). (21.43)
До юза вектори орттирмасининг унга мос Д/ вацт оралигига
нисбатининг Д^—>0 даги лимити нуцтанинг О марказга нисбатан
секторли тезлиги дейилади. Бииобарин, секторли тезлик
— ..До
m = нт-----
° дг^о Д/
ёки
(21.44)
формуладан аиицланади. _
Секторли тезликнинг v тезлик орцали ифодасиии топиш учун
(21.43) теигликнинг иккала томонини Д^ га буламиз:
До __ £ ~х Д7 __ J ~ Д7~\
д/ 2 д/ ~ 2\г х At ) '
Д^->0 дагн лимитни цисоблаймиз:
Во=4^(7х^-)=у(Г><0’)
ёки
2va~rx v=M0(v). (21.45)
Яъни нуктанинг бирор марказга нисбатан иккиланган сектор-
ли тезлиги шу марказга нисбатан уисобланган нукта тезлигининг
моментига тенг.
(21.41) га асосан
ёки 2o0 =F
<21-46)
249
210- расм.
Шуидай цилиб, марказий куч таъ-
сиридаги нуцтанинг секторли тезлиги
узгармас булади. (21.44) га кура
(21.46) дан
dt ~ 2
муносабатни оламиз. Бу тенгламани ин-
тегралласак.
булади. Демак, марказий куч таъсиридаги нуцтанинг радиус-вектори
чизган юза вацтга мутаносиб равишда орта боради ва траекторияси
бир текислнкда ётувчи эгри чизицдан иборат булади. Бу натижа юза-
лар цонуни ёки юзалар интеграла дейилади.
42- масала. Планета фокусларидан бирида Б\уёш жойлашган эл-
липс буйлаб К,уёшга тортувчи куч таъсирида царакатланади. Плане-
танинг Цуёшга энг яцин цолатдаги (перигейдаги) ир тезлиги берил-
ган булса, унинг Куёшдан энг узоц цолатидаги (апогейдаги) va тез-
лиги топилсин. Эллипсиинг катта яримуци а ва эллипс марказидан
Г^уёшгача булган масофа с берилган.
Ечиш. Планетага куч маркази Ку’ёшда булгаи тортиш кучи таъ-
сир этади. Планетани М билаи, Цуёшни эса S билан белгилаймиз
(210- расм). У цолда
Ms (F) = 0
булиб, нуцта царакат мнцдорининг S марказга нисбатан моменти сац-
ланиш цоиуни
Ms(nwa} = Ms(mv^.
куринишда ёзилади. Ёки
mva (а + с) =* тир (а — с).
Бундан изланаётган va тезликии аницлаймиз:
бу ерда е = —< 1 эллипснинг экснентриситетини ифодалайди.
126- §. Механик система кннетик моментанинг узгариши
цацндаги теорема
Механик система N та нуцтадан ташкил топган булсин. Система-
нинг бирор ихтиёрий Mk нуцтасиин олиб, унга таъсир этувчи ташци
кучлар цамда ички кучлар тенг таъсир этувчиларини мос равишда
Fk билаи белгилаймиз (211-расм). Моддий нуцта учуй чяцарил-
250
ган харакат мицдори моментининг узгариши ^а^идаги теоремани ме-
ханик системанинг ^ар бир пуцтаси учун цуллаб куйидагига эга бу-
памиз:
^=М0(^)+Ч>^). (fe-h2, .. . W),
бу ерда lOk =rk X mkVk — нукта харакат мик^цоринииг О марказга
нисбатан моменти. Бу ифодаларни цушамиз-
= + (21.47)
Ички кучларнинг хоссасига кура
2^(7*,) = о.
У цолда (21.34) га мувофиц (21.47) ни ушбу куринишда ёзамиз:
(21.48)
ёки
dLO = ме
~л~ °'
бу ерда Л Ijj = V Л40 (F’k) = V rk X F’k — система иугугаларига таъ-
сир этувчи таш^и кучларнинг О марказга иисбатан бош моменти.
(21.48) ифода система кинетик моментининг узгариши %аци~
даги теоремани ифодалайди: механик системанинг бирор цдзгал-
мас марказга нисбатан кинетик моментининг вакт бЦйича уоси-
ласи система нуцталарига таъсир этувчи matutyi кучларнинг шу
марказга нисбатан бош моментига тенг.
(21.48) ифоданинг Jjap иккала томонини х, уу г уцларга проекция-
лайм из:
<ке)-
= (Ft),
at -j у4 k 1
—
(21.48)
Демак, механик системанинг
бирор кузгалмас укка нисбатан
кинетик моментидан вакт бу-
йича олинган росила система
ну^таларига таъсир этувчи
211- расм.
251
ташци кучларнинг шу i/куа нисбатан моментларининг йигинди-
сига тенг.
Система кинетик моментининг узгариши ^а^идаги теоремадан i-рт-
тш; жиемнинг айланма харакатини ургаиишда, гироскоплар назария-
сида кенг фойдаланилади.
Бу теореманииг афзаллиги шундай иборатки, система харакат
микдоринннг узгарншига оид теоремадагидек, олдиидан номаълум
булган ички кучлар катнашмайдн.
127- §. Система кинетик моментининг сакланнш ^онуни
Система кинетик моментининг узгариши вдидаги теоремадан ма-
салалар ечишда му^им ахамиятга зга булган куйидаги [натижаларни
оламиз.
Ташци кучларнннг кузгалмас О марказга нисбатан беш моменти
нолга тенг булсин:
14, (7») = 0,
у ^олда (21.48) га кура
LO=C. (21.50)
булади. (21.50) тепглик система кинетик моментининг сацланиш
конунини ифодалайди: агар система ну^таларига таъсир ётувчи
тайней кучларнинг бирор марказга нисбатан бош моменти нолга
тенг б$лсау системанинг шу нуктага нисбатан кинетик моменти
микдор ва йуналиш мщатдан узгармас булади.
2. Система ну^таларига таъсир этувчи ташци кучларнинг бирор
кузгалмас z укца иисбатан моментларининг йигиндисп нолга тенг
булсин:
2-иг(Гр = о,
у хрлда (21.49) га кура
£.= const (21.51)
булади. Шундай цилиб, система нукталарига таъсир зтувчи таш-
ди кучларнинг бирор кузгалмас ук^а нисбатан моментларининг
иигиндиси нолга т.енг булса, системанинг шу укка нисбатан ки-
нетик моменти узгармас булади.
Система кинетик моментининг сакланнш кспунвдан курамизки,
ички кучлар системанинг кинетик моментини уз тартар а олмайди.
Агар система цаттиц жиемдан ёки жисмлар тупламидан иборат
булиб, бирор z уц атрофида айлаиа олса ва
v.w2(fp = o
шарт бажарилса,
Lz = 7г со — const
ёки
= (21-52)
252
келиб читали. (21.52) да /г ва о — жиемнинг исталгаи t вафтдаги
инерция моменти ва бурчак тезлиги; 1го ва соо — бошлангич пайтдаги
инерция моменти ва бурчак тезлиги.
Бу цонунии Жуковский екамейкаси мисолида ядам кузатиш мум-
кин. Вертикал у^ атрофида деярли ишкаланишсиз айланадиган Жуко-
вский скамейкасининг горизонтал платформасига ^улларига тош уш-
лаган одам турганидан кейин унга соо бурчак тезлик берилса, у
^олда
>г0 <^> = 1г<л
булади. Чунки одамнииг, тошларнинг ва платформаиинг огирлик куч-
ларидан ташкил тоиган ташци кучлар z уда параллел йуналган ёки
таянч подшипникда ^оеил буладиган реакция кучи z уда кесиб ута-
ди ва уларнинг шу ук^а иисбатаи моменти нолга тенг.
Бинобарин, агар одам цулларини ёзиб, инерция моментики ошир-
са, у ^олда айланиш бурчак тезлиги пасаяди ёки, аксинча, цулларини
пастга туширса, айланиш бурчак тезлиги ортади. ^а^и^атда ^авонинг
^аршилик кучи ва подшипникларда даил буладиган ишкаланиш куч-
лари таъсирида айланиш бурчаги аста-секин кичиклаша боради.
43-масала. Иккита цаттиц жисм битта цузгалмас уц атрофида
узгармас ва со.2 бурчак тезликлар билаи бир-бирига боглгщ булма-
ган ^олда айланади. Цаттиц жисмларнинг шу уда нисбатан инерция
моментлари мос равишда IL ва /2 га тенг. Агар улар айланиш ва^-
тида бир-бирига бириктириладиган булса, цандай а бурчак тезлик
билаи айланади?
Ечиш. Айланиш уци учун Oz уда оламиз. Иккита жиемдан
ташкил топган система нуцталарига уларнинг огирлик кучлари таъ-
сир этадн. Бу кучлар Oz утда параллел. Бундан ташцари, таяич
реакция кучлари Oz угри кесиб утади. Шу сабабли система nyiyra-
ларига таъсир этувчи ташки кучларнинг Oz ук*\а нисбатан бош мо-
мента
Л^ = 0.
булади ва система кинетик моментининг сацланиш даунига кура
Бунда
^го = ^“1 +
жисмлар бирлаштирилгунга цадар системанинг кииетик момеитини,
/jtt> -ф Zg со = co(/j -ф /2)
жисмлар бириктирилгандаи кейииги кииетик момеитни ифодалайди.
Шундай цилиб,
4“ /г) = 4“ ^2^2»
бундан
toj —Ф
со = —---------.
44-“»
253
128- §. Механик система кинетик моментининг массалар
марказига нисбатан узгариши ^а^идаги теорема
Ю^орида бирор хузгалмас марказга нисбатан механик система ки-
иетик моментининг узгариши ^а^идаги теоремани исботлаган эдик.
Цаттих жисмнинг мураккаб харакатини (жумладаи, текис параллел
харакатини) урганишда хузгалмас марказга нисбатан механик система-
нинг кинетик моменти билан системанинг массалар марказига нисба-
таи нисбий харакати кинетик моменти орасидаги богланишдан фойда-
ланишга тугри келади.
Бу богланишни топиш учун ц^згалмас О нухтада О £ rj» хузгал-
мас координата ухларини ва система массалар маркази С билан бир-
га илгариланма харакатланувчи Cxyz координаталар системасини
оламиз. У холда жисмнинг абсолют харакатини массалар маркази би-
лан биргаликдаги илгариланма хаРакат 83 массалар марказидаги Cxyz
координаталар системасига нисбатан айланма харакатлардан ташкил
топган деб хаРаш мумкин.
Кучирма харакат илгариланма хаРакатДан иборат булгани учун
система барча нухталарининг кучирма тезликлари бир хил ва система
масса марказининг тезлигига тенг булади, яъни vke ==vc(k = 1,2,..
. . , N). Система ихтиёрий 7Wfc нухтасининг масса марказига иисба-
тан нисбий тезлигиии vkr — v'k билаи белгиласак, у холда Mk нухта-
нинг абсолют тезлиги тезликларии хушиш теоремасига кура
= + (21.53)
булади.
Радиус-векторлар орасида цуйидаги муносабат мавжуд булади
(212-раем):
254
Кузгалмас координаталар системасига нисбатан абсолют
харакатдаги системаиинг кузгалмас О марказга нисбатан кинетик мо-
^енти (21.34) дан топилади:
Ц =^Г„ X mkv„.
Бу формулага rk ва vk ларнянг ифодаларини (21.53) ва (21.54)
дан келтириб цуямизг
= гс X vc^mk-\- Zrk X mk vk +
+ rc X + x °c- (21.55)
Бунда V mh — M — бутун система массаси ^амда
Лекин массалар марказининг таърифига кура ва координаталар бани
С нуктада булгани учун
V mk r"k = М г’с = 0.
Шундай килиб, (21.55) да охирги иккита хад нолга тенг булади
ва бу формула куйидаги куринишни олади:
Lo = гс х М vc + L‘c, (21.56)
бунда
У r'k X mkvk
системанинг массалар марказига нисбатан нисбий харакат кинетик мо-
ментики ифодалайди.
(21.56) формула кузгалмас марказга нисбатан механик система-
нинг кинетик моменти билаи системанинг массалар марказига нисба-
тан нисбий харакат кинетик моментлари орасидаги богланишни ифо-
далайди: механик системанинг цузсалмас О марказга нисбатан аб-
солют харакатининг кинетик моменти, массаси бутун система
массасига тенг булган массалар марказининг шу нуктага нисба-
тан кинетик моменти билан системанинг илгариланма харакат-
даги массалар марказига нисбатан нисбий хиракат кинетик момен-
тининг геометрик йисиндисига тенг.
(21.54) ва (21.56) ларии назарда тутиб, система кинетик момеи-
тининг узгариши хацидаги теоремани куйидагича ёзамиз:
(Гс ХМvc +7Д = S (^ + rj) X Ft
ёки
4 (ъ х м »с) + =7с+ ST' + 2л х Fi (а)
255
Бу тенгликда
(7С X М uc) = X Л1йс+ rc X ЛйЙс
(1 fq ——
булишини хамда------= va массалар марказининг харакати цацидаги
at _
теоремага кура М wc = Re ~ 2 эканлигини эътиборга олсак, ушбу
муиосабат уринли булади:
(гс хмйс) =7cx'R*.
Буни иазарда тутиб, (а) ни цуйидагича ёза оламиз:
-^-=27*xfJ. (21.57)
at
(21.57) тенглик (21.48) га ухшаш булиб, механик система кине-
тик моментининг массалар марказига нисбатан узгариши хакида-
ги теоремани ифодалайди.
(21.48) ва (21.57) тенгликларни солиштирамиз. (21.48) да [систе-
манинг кинетик моменти Lq ни цисоблашда система нуцталарининг
цузгалмас нуцтага нисбатан абсолют тезлиги эътиборга олинади; (21.
57) да эса система нуцталарининг тезлиги жисмнинг массалар мар-
кази билан биргаликда илгариланма харакат цилувчи Схуг координа-
талар системасига нисбатан цисобланади цамда момент маркази учун
системанинг массалар маркази олинади.
129-§. Кучнинг иши. Кувват
Жисмнинг бирор куч таъсирида кучишини ифодалаш учун ишту-
шунчаси киритилади. Иш царакатланувчи нуцтага цуйилган кучнинг
нуцта тезлигн модулнни узгартирадиган таъсирини ифодалайди. _
Дастлаб мицдори ва йуналиши жицатдан узгармас булган F куч
таъсиридаги нуцтанинг тугри чизицли харакатдаги ишини хисоблаи-
миз. Тутри чизицли харакатдаги нуцтанинг кучиши уиинг тезлиги
нуналишида булади.
Фараз цилайлик, куч цуйилган нукта тугри чизиц буйича s йул-
ни утсин цамда кучнинг йуналиши тугри чизиц билан устма- уст туш-
син. У цолда мусбат ёки манфий ишора билан олинган F кучнинг s
йулга купайтмаси иш дейилади. Шундай цилиб, иш
А F-s.
формуладан апицланади. F кучнинг йуналиши нукта тезлигининг йу-
налиши билан бир хил булса, бу тенгликда мусбат ишора, акс цолда
манфий ишора олинади.
Агар F кучнинг йуналиши нуцта харакатланаётган тугри чизиц
билан бирор ct бурчак ташкил этса, иш учун
256
A = F*scoscc. (21.58)
формула уринлн булади (213-расм).
(21.58) да а нинг уткир ёки утмас бур-
чак булишига цараб, иш мос равишда мус- wc
бат еки манфий цийматга эга булади. а =
л
— да эса г кучнинг иши нолга тенг бу-
213- расм.
лади.
Агар кучнинг мицдори ва йуналиши узгарувчан булса ёки куч
цуйилган нуцта эгри чизнц буйича харакат цилса (21.58) формула ёр-
дамида ишни цисоблаш мумкин эмас. Бу ^олда нуцтанинг бутун у'т-
ган йулини фнкран шундай кичик булакларга будамизки, натижада
бу булакларнинг цар бирини тугри чизицли ва мазкур булакларга
таъсир этувчи кучларни мицдор ва йуналиш жихатдан узгармас деб
караш мумкин булсин (214-расм). У цолда цар бир булакка мос
булгаи элементар иш (21.58) га асосан куйидаги формула ёрдамида
цисобланади:
dA = F cos (F, v) ds. (21.59)
Бу тенгликдаги ds нуцта ей коордннатасининг дифференциали булиб
элементар кучишни ифодалайди: ds = vdt. Бинобарин, (21.59) ни ушбу
куринишда ёзиш мумкин:
dA — F-v-dt cos (F, v) = F»vdt.
Бунда v — —• булганидан элементар нш учун
di
dA=F-dr (21.60)
муносабатни оламиз.
Агар нуцта царакати Декарт координаталарида берилган булса,
F'=XT+YTA-Zkt
dr — dxi + dyj -J-dzk
эканлигинн эътиборга олиб, (21.60)
<И = Xdx 4- Ydy + Zdz (21.61)
куринишда ёзилади ва элементар
р^нннг аналитик ифодаси дейи-
•Чти.
I Шундай цилиб, нуцта цара-
Нати табиий усулда, вектор усу-
Н^ида ёки координата усулида бе-
Рилганда кучнинг элементар иши
равишда (21.59), (21.60) ёки
^1-61) формулаларнинг бирортаси
рФдамида аницпанади.
Г,17-2344
214- расм,
257
Умумий ^олда (21.61) формуланинг унг томоиидаги уч^адну^та;
координаталарига боглик бирор фуикцияиинг тулир; дифференциалига
тенг булмаслиги мумкин. __
Нукта Мо холатдан ^олатга чекли кучишида F кучнинг иши-
ни хисоблаш учун бу кучишни лимит холатида элемеьтар кучишдан
иборат буладиган п та кучишдан ташкил топган деб ^араймиз. У
Золда F кучнинг чекли кучишдаги и ши
п >?
А — lim У dAk |
формуладан аиицланади. Бунда dAk билан k — элементар кучишдагн,^
элементар иш белгиланган.
(21.59)— (21.61) ларга асосан ну^та траектория буйлаб A40Ali гЙ
чекли кучишидаги кучнинг иши табиий усулда ®
л?1 '¥
А = j Fds cos (F, v), (21.62jf
вектор усулида
Л!г , .
Л = ( F.dr, (21.63
мо
координаталар усулида j
А = (Xdx + Ydy 4- Zdz) [(21.64
м„
формулалардан фойдаланиб ^исобланади.
Хал^аро СИ бирликлар сисгемасида иш жоулда улчанади: 1Ж -
= 1Н-м. j
Механикада иш [тушунчаси [билан Гбиргаликда гцувват тушунча
^ам ^улланилади. Кучнинг ва^т бирлиги ичида бажарган иши л^/в<м
дейилади. КУвватии N билан белгиласак, таърифга кура
N = ёки N — — = F*v. (21.61
dt dt ' .
Кувват хадщаро СИ бирликлар системасида ватт билан улчанад
1Вт = 1Ж/с ~ 0,102 кгк«м/с. Бундан таш^ари, цувват техникада i
кучид? хам улчаиади. 1 от кучи (о.к.) = 75 кгк-м/с =735,5 Вт.
130-§. Тенг таъсир этувчининг иши ^ацидаги теорема
Каракати кузатилаётган М нуктага Flt F2, . . ., Fn кучлар
темаси таъсир этаётган булсин (215-раем). Бу кучларнинг тенг та®
сир этувчиси ft’ уларнинг геометрик йигиндисига тенг: j
258 .8
R' тенг таъсир этувчи кучнннг dr элемен-
тар кучишдаги элементар иши (21.60) га
кура
dA — R'-dr
формуладан аиикланади. R' ни уиинг таш-
кил этувчилари билан алмаштирсак, цуйи-
даги тенгламани оламиз:
R'-dr — Fy-dr + F2>dr + . . . + Fn-dr.
(21.66)
I
I
215- раем.
(21.66) тенглама цуйидаги теоремани ифодалайди: бир нугрпага цуйил-
ган кучлар системаси тенг таъсир этувчисининг шу нуктанинг
элементар кгучишида бажарган элементар иши ташкил этувчи куч-
ларнинг худди шу элементар кучишдаги элементар ишларининг
алгебраик йигиндисига тенг.
Л£_иудтага цуйилган Flt F2, . . . , F„ кучлар тенг таъсир зтув-
чиси R' иинг иу^та Мо ^олатдан Му болатга кучишида чекли йул-
даги ишиии аниклаш учун (21.66) ни интеграллаш зарур.
131-§. Кучнинг ишиии ^исоблашга оид мисоллар
Умумий ^олда нуктага таъсир этувчи кучнинг иши нуктанинг ба-
рака-гига боглиц булади. Бинобарин, ишни бисоблаш учуй нуктанинг
харакатини билиш зарур. Баъзи холларда табиатда шундай кучлар уч-
райдики, уларнинг ишини бисоблаш учун нуктанинг бошлангич ва
охирги хрлатларини билиш етарли булади. Бундай кучларга мисол
тарибасида огирлик кучи ва марказий кучларни курсатиш мумкин.
Огирлик кучинииг иши. М (х, у, z) моддий нубтанинг А40 (х0, у0,
z0) бошлангич болатдан Му (Ху, ylt z^ болачга утншида нуцтага таъ-
сир этувчи mg огирлик кучининг ишини бисоблаймиз (216-раем), z
Убни вертикал тарзда ю^орита йуналтириб, огирлик кучининг коорди-
ната удларидагн проекцияларини топамиз:
х = 0, У = 0, Z == —
(21.61) га кура, бажарилган элементар ишни бисоблаймиз:
dA = Xdx + Ydy +Zdz = — mgdz, (21.67)
бундан
Z|
A = — mgj dz = —mg fa-z^).
2o
|гх — z01 = h белгилашни киритсак, цуйидаги тенгликни оламиз:
A = zkmgh, (21.68)
бунда Zy<Cz0 булса, мусбат ишора, ?y>z0 булса, манфий ишораоли-
пади.
259
216' раем.
217- раем.
Шундай ф1либ, моддий нукта огирлик кучининг 'иши огирлик
кучинииг модули билан нуктанинг бошлангич ва охирги вазиитлари-
га теплили баландликлари фарцининг купайтмасига тенг. (21.68) дан
курамизки, агар h = 0 булса ёки нуцта ёпик; эгрн чизиц буйлаб ца-
ракатлаиса, нуцтага таъсир этувчи огирлик кучининг иши нолга
тенг булади. Демак, моддий нуктага таъсир этувчи огирлик кучининг
иши фацат унинг огирлигига ва нуцта баландлигининг узгарншига
боглиц булиб, траекториянинг шаклнга ва нуцта утган йулнинг
узунлигнга бог лиц булмайди (жумладан, 1, 2, 3 чизицлар буйича ци-
собланган ишлар бир хил булади).
Эластиклик кучининг иши. Бирор пружинанинг эркин учига би-
риктирилган М нуцтанинг вертикал Ох уц буйлаб царакатини текши-
рамиз (217- раем). Координаталар боши учун пружина деформация-
ланмаган холатдаги М нуцтанинг вазиятига мос келувчи О нуцтани
цабул циламиз. Бунда 1О = АО—пружинанинг табиий узунлиги. Пру-
жииани I узунликка чузиб, нуцтани О мувозанат цолатдан четлатсак,
у холда нуцтага О марказга цараб йуналган пружинанинг эластиклик
кучи F таъсир этади. Гук цонуинга кура бу куч пружинанинг А1=
— I — 1С узайишига мутаносиб булади. Пружинанинг узайишини х би*
лан белгилаб, М нуцтага таъсир этувчи F кучни аницлаймиз:
Jf) = c|AZ| =cxt
бунда с—пружинанинг бикрлик коэффициента, с катталик пружинами
узунлик бирлигига чузувчи (ёки сицувчи) кучга тенг булиб, одатда
техникада кгк/мда улчанади.
М нуцтанинг О вазиятдан В вазиятга кучишида эластиклик кучн-
нинг ишини цисоблаймиз. F кучиинг координата уцларидаги проек-
пияларини аницлаймиз:
260
X = —cx, y=r:Z = O.
(21.64) га кура пружина OB = h
га чузилгандаги эластиклик кучининг
иши
А = — J cxdx = (21.69)
О 2
формула асосида топилади.
(21.69) дан курамизки, нуктага
таъсир этувчи эластиклик кучининг
иши хам нуцтанинг тугри чизиц буй-
лаб харакат цонунига боглиц булмай,
фацат нуцтанинг бошлангич О ва охир-
ги В цолатларининг координаталарига
боглнц булади.
Марказий кучнинг иши. Фараз цилайлик, М (х, у, г) нуцтага цуз-
галмас О марказга тортувчи F марказий куч таъсир этсин. Марказий
кучни М нуцтадан О марказгача булган г масофага мутаносиб ва нуц-
та радиус-векторига царама-царши йуналган деб цараймиз (218-раем):
F = F (r) = -F,(r)-^.
Г
(21.60) га асосан марказий кучнинг элементар ншини цисоблай-
миз:
dA = -
Г
бунда г2 = г® булгани учун уни дифференциалласак, г • dr = г -dr бу-
лади. Шу сабабли
dA = — Fr(r)-dr.
Чекли масофани утишдаги марказий кучнинг иши А ——J Fr (г) dr
формуладан топилади.
132-§. Цаттиц жисмга таъсир
этувчи кучларнинг элементар иши
Дастлаб цаттиц жисм харакатининг
умумий цели учун элементар иш фор-
муласини чнцарамиз. Эркин каттпц
жиемнинг Л2, . . ., Ап нуцталарига
мос равишда Flt Fz, . . . t Fr кучлар
таъсир этсин (219-раем). Fk(k= 1,7V)
кучларнинг элементар ишларини хисоб-
лаймиз.
219- раем.
261
Жисмнинг ихтиёрий О нуцтасини кутб учун тан лаб олсак, у хол*
да эркин цаттиц жисм А1{ иуцтасииинг тезлиги (13.3) га асосан цуйи-
дагича аницланади:
v~k ="d0 + со х (21.70)
бунда vk — царакати кузатилаётган Ak нуцтанинг тезлиги; у0— О
кутбнинг тезлиги; со — жисмнинг оннй бурчак тезлиги; r'ft — Aft нуц-
танииг О цутбга нисбатан радиус- вектори.
(21.70) ни цуйидаги куринишда ёзиш мумкин:
Бу тенгликни dt га купайтирсак,
drk = dr0 + wdt X r'k
цосил буладн. Бунда со dt = d ср — жисмнинг цутбдан утувчи оний
уц атрофида элементар айланишдаги бурчак вектори. dtp вектор со
буйича йуналади
Шундай цилиб, Ak нуктанинг элементар кучиши учун цуйидаги
ифодани оламиз:
= +d4’X (21.71)
У ^олда жиемга таъсир этувчи кучларнинг элементар иши
dA = ^Fk -drk -dra + (21.72)
k~\ k=A fe=I
n
формуладан аницланади. Бунда = Я— таъсир этувчи кучлар-
k=i
нинг бош вектори.
Аралаш кулайтманинг хоссасига кура
п п
2 pk • (dtp X г*) = dtp • 2^* х
fc=l А=1
п
ва.М0= жиемга цуйилган кучларнинг О цутбга нисбатан
А=1
бош мэменти эканлнгини эътиборга олсак, (21.72) цуйидагича ёзилади:
dA d~r0+~M0-dф. (21.73)
(21.73) формула эркин t\a:n'nw-{ жисм ну^паяарига таъсир этувчи
кучларнинг элементар ииш ^а^идаги теоремани ифодалайди: эркин
г^аттик жиемга таъсир этувчи кучларнинг элементар иши i^atntniui
жисмнинг 1\утб билан илгариланма харакатдаги элементар кучи-
шида кучлар бош векторининг иши билан жисмнинг fiym.5 атрофида
262
элементар айланма ку-
чишида кучларнинг ку-
тбга нисбатан бели мо-
менти ишининг алгеб-
раик йиеиндисига тенг.
Бу теоремадан фойда-
ланиб каттиц жисмнинг
асосий царакатларидагн
кучларнинг элементар
ишини цисоблайм из.
1. Илгариланма ца-
ракат. Бу цолда элемен-
тар айлаима кучиш иолга
тенг булади (220-расм):
d(p=O. Шу сабабли
(21.73) цуйидагича ёзи-
лади:
220- расм.
221- расм.
гМ= R-dr0,
яъни илгариланма харакатдаги каттих жисм нухталарига таъсир
этувчи кучларнинг элементар иши кутбнинг (массалар маркази-
нинг) элементар кучишидаги кучлар бош. векторининг иишга тенг.
2. Кузгалмас уц атрофидаги айланма царакат. Бу црлда цутбни
z айланиш уцида оламиз (221-расм), натижада
шу сабабли
dr0 = 0, M0*dq> = М9 d <р.
dA = М2 d<p,
(21.74)
яъни кузвалмас ух атрофида айланма харакатдаги хаттик жисм
нукталарига таъсир этувчи кучнинг элементар иши жисмнинг t/x
атрофида элементар айланма кучишидаги кучларнинг айланиш ухи-
га нисбатан бош моменти ишига тенг.
Курилаётган цолда жиемга таъсир этувчи кучларнинг цуввати
Цуйидагича булади:
N = — = М Д
dt dt
ёкн
N = Мгы,
бунда о>—жисмнинг бурчак тезлиги.
3. Текнс параллел царакат. Жисмнинг текис параллел харакати-
нн цутб билан биргаликда илгариланма харакат ва цутб атрофидаги анлан-
ма харакатдан иборат деб царалганидан, кутб учун жисмнинг массалар
марказини олсак, (21.73) га кура элементар иш
dA =~R • d Fc -J- MCzd^ (21.75)
263
(]юрмуладан аиицланади. (21.75) да drc— массалар марказининг эле-
ментар кучиши; Мсг— таъсир этувчи кучларнинг массалар марказига
нисбатан (ёки массалар марказидан текис шакл текислигига перпенди-
куляр равишда утувчи уцца нисбатан) бош моменти; dtp— массалар
маркази атрофидаги элементар айланма кучиш.
Бинобарин, текис параллел ^аракатдаги жисм нуцталарига таъ-
сир этувчи кучларнинг элементар иши жисм массалар маркази-
нинг элементар кучишидаги кучлар бош вектори иши билан жием-
нинг масса маркази атрофида элементар айланма кучишидаги куч-
ларнинг массалар марказига нисбатан бош моменти ишининг
йириндисига тенг.
4. Сферик царакат. Бу цолда цутб учун жиемнинг цузгалмас
нуцтасини оламиз. Натижада dr0 = Q булади. Шу сабабли (21.73)
дан
dA = MGd<p = Mop‘d<p,
бунда d<p— оний уц атрофидаги элементар айланма кучиш; Л10р—
—кучларнннг оний уцца нисбатан бош моменти.
Шундай цилиб, сферик ^аракатдаги цаттик жисм нууталарига
таъсир этувчи кучларнинг элементар иши кучларнинг оний уука
нисбатан бош моментининг жисм шу уу атрофида элементар
айланма кучишидаги ишига тенг.
133-§. Потенниалли куч майдони
Нуктага таъсир этувчи кучнинг бнрор кучишдаги иши умумий
цолда нуцтанинг шу кучишдаги харакат цонунига бог лиц булади. Аммо
кжорида курганимиздек, нуцтага цуйилган огирлик кучининг, элас-
тиклик кучининг ёки марказий кучларнинг нуцтанинг бирор кучиши-
даги ишлари шу нуцтаиннг царакат цонунига боглиц булмайди. Бун-
дай кучлар потенциалли кучлар деб аталувчн кучлар туркумнга ки-
ради.
Потенциалли куч майдони ва куч функцияси. Фазоиинг бирор
соцасига киритилган моддий нуцтага нуцта коэрдинаталарининг функ-
цияси булган куч таъенр этса, бундай соца куч майдони дейилади.
Куч майдонига мисол тарицаецда планеталар ёки 1\уёшшшг тор-
тиш кучи майдонини олиш мумкии. Бошца мисол сифатида электр
ёки электромагнит майдонини курсатиш мумкин.
Майдон кучини F (X, У, Z) билаи бзлгиласак, бу кучнинг элемен-
тар иши (21.61) га мувофиц
dA = Х(х, у, z)dx A-Y(x, yt z)dy + Z(x, у, z)ds (21.76)
куринишда ёзилади. Бу ифоданинг уиг томони умумий цолда нуцта
коордннаталарига боглиц бирор функциянинг тулиц дифференциал и
булмайди. Куч майдоилари ичида блзни (21.76) нинг унг томонида-
ги уч цад бирор U(x, у, г) функциянинг тулиц дифференциали була-
диган куч майдони цизицтнради:
264
dA = dU. (21.77)
Бундай куч майдони потенциалли куч майдони дейилади.
Шундай цилиб, потенциалли куч майдонида бажарилган элемен-
тар иш
dA = Xdx + Ydy + Zdz (21.78)
формуладан аникланади. U функциянинг тулиц дифференциали учун
яна цуйидаги ифодани ёзиш му4мкин:
dU = ^-dx + ^-dy + ^-dz. (21.79)
дх ду dz
(21.77) уринли булиши учун (21.78) ва (21.79) тенгликлардаги
dx, dy, dz лар олдидагн мос коэффициентлар узаро теиг булиши за-
рур;
Х = —, У = . (21.80)
дх ’ ду ’ dz
Бинобарин, (21.80) шартларни цаноатлантирувчи х, у, г коорди-
наталарнинг бир цийматли, чекли ва дифференциалланадиган U функ-
цияси мавжуд булса, яъни майдон кучининг координата уцларидаги
проекциялари U функциядан мос координаталар буйича олинган ху-
сусий ^осилаларга тенг булса, бундай куч майдони потенциалли куч
майдонидан иборат булади.
V функция куч функцияси деб, бундай майдон кучи потенциал-
ли куч ёки консерватив куч деб аталади.
Демак, потенциалли мацдон кучи F цуйидагича аиицланади:]
— dU—, dU—. dU’^
F = ^i+^i+^k
ёки _
F = gradU.
Шундай цилиб, Гкуч U скаляр функциянинг граднентига тенг була-
Ди.
Майдон кучининг координата уцларидаги проекциялари Х(х, у, z),
Y(x, у, z), Z(x, у, z) нинг куринишнга цараб, майдоннинг потенциал-
ли эканлигини аницлай олмаймиз. Бу масалани ечиш учун (21.80) дан
хусусий цосилалар оламиз:
дХ _ d4J дУ __ д-lj
ду дхду ’ дх дудх *
дУ d4J dZ __ 64J
dz дудг ду дгду
дХ &Ц dZ _ &U
dz dxdz dx dzdx
ёки ара ла ш цосилалар тенглигидан
^дУ_ dZ _dX_^dZ_ (21.81)
ду dx ’ dz dy г dz дх
265
(21.81) тенгликлар куч майдони потенциалли булишининг зарурий
шартини ифодалайди (бу тенгликлар етарли шарт эканлигини хам ис-
ботлаш мумкин).
Тенг потенциалли сирт. Потенциалли куч майдонидаги куч функ-
цияси х, у, z координаталарнинг функциясидан иборат:
U = U(.r, у, z).
Агар бу функция узгармас ми^дорга тенг, яъни
L? = (x, у,г) = С (21.82)
булса, бундай тенглама воситасида аннт^ланадиган сирт тенг потен-
циалли сирт дейилади. (21.82) да С га турлича ^ийматлар бериб,
хар цайсисида куч функцияси узгармасдан коладиган сиртлар ту’пла-
ми ^осил цилинади (222-расм).
(21.82) ни дифференциалласак,
dt'-. О
булади. Шу сабабли (21.77) га асосан цуйидаги натижани оламиз:
нуктанинг тенг потенциалли сирт буйича хдр цаидай элементар ку-
чишидаги кучнинг иши нолга тенг, яъни
dA — F-d г =0
ёки
|F/.|d7(-cos(F.'d7) = 0. (21.83)
(21.83) да | F | it 0, | d г | 0 булгани учун cos(F, dr )=0
ёки
— — л
F, dr = ~
булади. Яъни F куч тенг потенциалли сирт нормали буйлаб йунала-
ди (223-расм).
266
134-§. Потенциалли куч майдонидаги иш.
Потенциал энергия
(21.63) ва (21.77) га мувофиз потенциалли куч майдонида нузта
Мо золатдан Л4 золатга кучишида бажарилган иш
* _ „ Ч. (21.84)
А = j F-dr = \dU = U — U0
Мо Uo
формуладан аницланади, бунда Uo — UQ{x0, уй ,z0 ), (7 — U(x, у, z).
Шундай зилиб потенциалли кучнинг иши нуктанинг охирги ва
бошлангич ^олатларига мос келувчи куч функцияларинниг айирмасига
тенг (224-раем).
(21.84) га асосан, потенциалли куч майдонида нуктанинг ёпиз
эгри чизиц буйича кучишидаги майдои кучининг иши нолга тенг бу-
лади:
Z = ^F-d7=0.
(21.77) дан курамизкн, потенциал функция узгармас сонгача аниц-
лик билан топилади:
U = U0+A. (21.85)
Агар координата бошини нуктанинг бошлангич М„ золатида олсак,
бу нуцтада = 0 деб зисоблаш мумкин. У золда (21.85) ушбу ку-
ринишда ёзилади:
А = U(x, yt z). (21.86)
(21.86) тенглик куч функциясининг фнзик хусусиятини ифодалайди:
куч функцияси нуцта координаталар бошидан майдоннинг берил-
ган нуцтасигача кучгандаги майдон кучининг иши билан улчанади-
ган катталикни ифодалайди.
Майдон кучи потенциалли булган золда куч функцияси U билан
бир цаторда майдоннинг берилган нуцтасидаги энергия миздорини ифо-
далайдиган ва потенциал энергия деб аталаднган бошца П функция
>>ам киритилади.
Куч майдонининг М нуцтасндаги потенциал энергияси П деб, май-
дон кучининг нузта М золатдан бошлангич 7И0 золатга кучишидаги
иши билаи улчанадиган катталикка айтилади. Потенциал энергия зуйн-
дагига тенг булади:
П = Д= ff-d7 = y() —£/, (21.87)
м
бунда майдоннинг барча нукталари
учун бир хил булиб, нуктанинг бошлангич
золатига боглиз. Агар координаталар бо-
ши нуцтанинг бошлангич золатида олик-
са, Оо = 0 булиб, потенциал энергия
224- раем.
учун
267
п =—и
(21.88)
формула уринли булади.
Демак, потенциалли куч майдонининг берилган нуцтасидаги по-
тенциал энергия ана шу нуцтадаги куч функциясининг тескари
ишорали цийматига тенг.
135-§. Куч функциясини ^исоблашга дойр мисоллар
Потенциалли куч майдонига мисол тарицасида бир жинсли огир-
лик кучи майдонини ва чизикли эластиклик кучи майдонини олиб, бу
майдонлар учун куч функциясини цисоблаймиз.
1. Бир жинсли огирлик кучи майдонининг куч функцияси. Бир
жинсли огирлик кучи майдонидаги элементар иш (21.67) га кура
dA = —rngdz = —d(mgz) = dU
формуладан аникланади. Бундан куч функциясини аниклаймиз:
U = —mgz + const. (21.89)
Демак, бир жинсли огирлик кучи майдони потенциаллидир.
2. Чизицли эластиклик кучи майдонининг куч функцияси. Чизиц-
ли эластиклик кучи цуйидагича аницланади:
F = —сг ,
ёки
X = —ex, Y — —су, Z = — cz.
Бинобарин, чизикли эластиклик кучининг элементар иши
dA — Xdx +Ydy +Zdz = — c(xdx -\-ydy -}-zdz) = —cr • dr —
4-^)
га тенг, чунки
xdx-r ydy + zdz = r -dr, r2=r".
Шундай цилиб, чизицли эластиклик кучнинг куч функцияси учун цуйи-
даги ифодани оламиз:
U = —~ 4-const,
ёки r2 = xs +у2 + z2 булгани учун
U =----— (х- + уг + z'2) + const.
Бу ифодадан курамизки, эластиклик кучи таъсиридаги нуцта учун
тенг потенциалли сиртлар маркази координата бошида булган
сферик сиртлардан иборат.
268
136-§. Нуцта ва системанинг
кинетик энергияси.
Кёниг теоремаси
Механикада моддий нуцта цара-
катининг динамик хусусиятларидан
бири сифатида унинг кинетик энер-
гичен олинади. Нуцта массасининг
унинг тезлиги квадратига купайтма-
mv-
сининг ярмига тенг булганска-
ляр катталик нуцтанинг кинетик.
энергияси дейилади.
Халцаро СИ бирликлар систе-
масида нуктанинг кинетик энергияси
кг'м ёки Н-м да улчанади.
с®
Механик системанинг кинетик энергияси
кинетик энергияларининг йигиндисига тенг
225- расм.
унинг барча нуцталари
(21.90)
катталик системанинг кинетик энергияси дейилади.
Нуцта ёки системанинг кннетнк энергияси нуцталар тезлик лари-
нинг йуналишига боглиц булманди. Механик системанинг барча нуц-
талари тинч цолатда булгандагина системанинг кинетик энергияси
иолга тенг булади.
Механик система цузгалмас координаталар системасига нис-
батан царакатлаисин. Системанинг массалар маркази С нуцтада олин-
ган ва у билан бирга илгариланма царакатланувчи Схуг координата-
лар системасини киритамиз (225-расм). У цолда системанинг
координаталар системасига нисбатан абсолют царакатини массалар мар-
кази билан биргаликдаги илгариланма царакат ва ундан утувчи Схуг
координаталар системасига нисбатан айланма царакатдан ташкил топ-
ган деб цараш мумкин.
Расмдан
rk~rc +rk-
Mk нуцта тезлиги учун
= = (21.91)
-
формула уринли булади. Бунда v’* = —- нуцтанинг нисбий тезли-
гидир^
vh = v\ эканини назарда тутиб, (21.91) ва (21.90) ларга кура систе-
манииг абсолют царакатдаги кинетик энергиясини цисобланмиз:
269
-г °C V . v ~ V1 —.
Т = ~Г 2<т* + 2<----------~2-----rtfc- (21.92)
йГ V V1 mkvk
бунда Д mk = М — система массаси; Д —к =ТС — система-
нинг массалар марказига нисбатан нисбий царакат кинетик энергияси.
чунки харакатдаги координаталар системасининг боши массалар мар-
казида олингани туфайли
= = 0
булади.
Шундай цилиб, (21.92) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
м .Д
Т = ^~ -\-Т’ (21.93)
2 е
(21.93) тенглик система кинетик энергияси цацидаги Кёниг тео-
ремасини ифодалайди; мураккаб харакатдаги системанинг кинетик
энергияси массаси система массасига тенг деб олинадиган масса-
лар марказининг кинетик энергияси хамда массалар маркази билан
биргаликда илгариланма царакатланувчи координаталар система-
сига нисбатан системанинг нисбий харакат кинетик энергияла-
рининг йисиндисига тенг.
137-§. Каттиц жисмнинг кинетик энергияси
К^аттиц жисмнинг цуйидаги царакатларида унинг кинетик энергия-
сини цисоблашни куриб чицамиз.
1. Илгариланма царакат. Р\аттиц жисм илгариланма царакатда
булса, барча нуцталарининг тезлиги хар онда узаро тенг булади:
о — vc, бунда vc—-жисм масса марказининг тезлиги. Шу сабабли
„ mk vl су _, Мы
Т = v = -£ у т = _<
—< 2 2 k 2
(21.94)
Шундай цилиб, илгариланма харакатдаги жисмнинг кинетик
энергияси массаси бутун жисм массасига тенг булган массалар
марказининг кинетик энергиясига тенг.
2. Кузгалмас уц атрофидаги айланма царакат. кузгалмас уц
атрофида айланаётган жисм исталган Mk нуцтаси тезлигининг мо-
дули — co/zfe формуладан аницланади. Бунда: о — жисмнинг бурчак
тезлиги; hk — жисмнинг Mk нуцтасидан айланиш уцигача булган ма-
софа.
270
Демак, мазкур жисмнинг кинетик энергияси
т = У = У = - У ткк
2 2 2 k k
ёки
Т' = 4-у (21.&5)
булади, бунда /г — V tnk hzk — жисмнинг айланиш у^ига нисбатан
инерция моменти.
Бинобарин, цузсалмас ук атрофида айланаётган жисмнинг
кинетин энергияси жисмнинг айланиш $кига нисбатан инерция
моменти билан унинг бурчак тезлиги квадрати к^пайтмасининг
ярмига тенг.
3. Текис параллел ^аракат. Датти^ жисмнинг текис параллел
^аракатини массалар маркази билан биргаликдаги илгариланма ^ара-
кат ва унинг атрофидаги айланма ^аракатдан иборат деб цараймиз.
У ^олда (21.93) да нисбнй ^аракат кинетик энергияси
(21.96)
формуладан аникланади; бунда /Сг—жисмнинг массалар маркази ор-
тали фраках текислигига перпендикуляр равишда утувчи ухца нисба-
тан инерция моменти. Шундай ^илиб;
ТИпр , . о2
Т « - + Zc2 —-
2 сг 2
Яъни, текис параллел харакатдаги жисмнинг кинетик энергияси
массалар маркази билан биргаликдаги жисмнинг илгариланма
Харакат кинетик энергияси ва жисмнинг массалар маркази орцали
Харакат текислигига перпендикуляр равишда утувчи уц атрофида
айланма харакат кинетик энергияларининг йириндисига тенг.
4. Сферик ^аракат. Дузгалмас О ну^та атрофида сферик ^аракат-
даги т^аттиц жисмнинг ^ар ондаги ^аракатини шу нуидадан утувчи
бирор оний ут$ атрофидаги айланма ^ракатдан иборат деб т^араш
мумкинлиги кинематикадан маълум. Бинобарин, бу \олда кинетик
энергиями ^исоблаш учун (21.95) формуладан фойдаланиш мумкин:
(21‘97)
бунда —оний у^а нисбатан инерция моменти булиб, (20.27)
формуладан аникланади.
(21.97) дан курамизки, кузгалмас нуцта атрофида харакат-
лануечи жисмнинг кинетик энергияси жисмнинг оний айланиш
$цига нисбатан инерция моменти 1е нинг оний бурчак тезлиги
со квадратига купайтмасининг ярмига тенг.
5. ЦатТ1Щ жисм ^аракатииинг умумий ^оли. Эркин цатпц
жисмнинг ^аракатини массалар маркази билан биргаликдаги илгари-
271
лайма харакат ва унинг атрофидаги айланма ^аракатдан ташкил
топгаи деб харасак, эркин цаттиц жисмнинг кинетик энергияси (21.93)
ва (21.97) ларга кура
формула срдамида ^исобланади.
Шундай цилиб, эркин цаттиц окисмнинг кинетик энергияси
массалар маркази билан биргаликдаги жисмнинг илгариланма
харакат кинетик энергияси ва массалар маркази оркали утувчи
оний атрофида айланма харакат кинетик энергияяарининг
йириндисига тенг.
Агар механик система бир неча цаттих жисмдан ташкил топтан
булса, у ^олда хар бир жисмнинг кинетик энергияси айрим-айрим
хисобланади ва уларнинг йигиндисн олинади. Жисмлар системаси -
нинг кинетик энергияси шу йусинда хисобланади.
138-§. Моддий ну^та кинетик энергиясининг узгариши
Ха^идат теорема
Массаси т га тенг булган М эркин моддий нухта F куч таъси-
рида хаРакатлаысин (226-раем). Нуктага таъсир этувчи кучнинг
кучишдаги иши билаи нухта кинетик энергиясининг узгариши
орасидаги муносабатни_ аниклаймиз. Бунинг учун динамиканинг асо-
сий хонунини mis) = F куринишда олиб, бу тенгламанинг хар ик-
кала томонини М нуцтанинг траекториясига харакат йуналиши
буйича утказилган Мх уринмага проекциялаймиз:
mwx = Fx. (21.99)
Уринма тезланиш wx ни хуйидагича ифодалаш мумкин:
du dv ds du
ЕЕ' -------------=----V.
dt ds dt ds
Бундан ташкари, Fx = F cos а булгани учун
du n
mv — ~ Г cos a
ds
муносабатни оламиз. Унинг хар иккала томонини ds га купайтирсак,
mvdv = F cos a-ds.
булади. ^осил хилинган тенгламанинг чап хисми нукта кинетик
энергиясининг дифференциалини, унг хисми эса (21.59) га кура эле-
ментар ишни ифодалайди. Шундай хилнб,
d^-^dA (21.100)
(21.100) формула ну^та кинетик энергиясининг узгариши %а-
цидаги теореманинг дифференциалли ифодасидир: нуцта кинетик
272
энергиясининг дифференциала нуцта-
га таъсир этувчи кучнинг элементар
шиига тенг.
(21.100) ни dt га булиб, — =N—
цувват эканлигнни иазарда тутсак, уш-
бу тенгламани оламиз:
226- раем.
= N.
(21.101)
(21.102)
Яъни, моддий нуцта кинетик энергиясидан вакт буйича олин-
ган хосила унга таъсир этувчи кучнинг цувватига тенг.
(21.100) ни нуктанинг бошлангич Мй ва охирги 7ИХ цолатларига
мос чегараларда интеграллаймиз:
mvj mvy
1 2~ =
бунда А~ | F cos а • ds билан F кучнинг кучишдаги иши
м0
курсатилган. (21.102) тенглама чекли кучшида нукта кинетик энер-
гиясининг узгариши хаЪидаги теоремани ифодалайди: нуцтанинг
бирор чекли кучишида кинетик энергиясининг узгариши унга таъ-
сир этувчи кучнинг худди шундай кучишдаги шиига тенг.
Агар моддий нуцтага бир неча куч таъсир этса, (21.100), (21.102)
тенгламаларда мазкур кучлар тенг таъсир этувчисининг иши ёки
цуввати олинади.
Борланишлар цуйилган нуцтага кинетик энергиянинг узгариши
цацидаги теоремани цуллаш учун борланишларни борланиш реакция
кучлари билан алмаштирамиз. Агар 7V1 нуцта цузгалмас, идеал сил-
лиц сирт буйича царакатланса, бундай сиртнинг реакция кучи М нуц-
тада сиртга утказилган нормаль буйича йуналади, шу сабабли иук-
танинг элементар кучишидаги бундай реакция кучининг иши нолга
тенг булади.
Бинобарии, идеал силлиц сирт устида царакатланаётган иуцта
учуй кинетик энергиянинг узгариши цацидагн теорема эркин нуцта
кинетик энергиясининг узгариши цацидаги теоремалар билан бир хил
булади.
Агар нуцта цузгалмас, сил лиц булмаган сирт буйича царакат-
лаиса, у цолда иуцтага цуйилган кучларнинг ишидан ташцари, ишца-
лаииш кучининг иши цам цисобга олинади.
139-§. Нукта механик энергиясининг сацлаииш цонуни
Агар 714 нуцта потенциалли куч майдонида царакатланса, элемен-
тар иш (21.77) га кура аницланади цамда нуцта кинетик энергия-
сининг узгариши цацидаги теоремани нфодаловчи (2*. 100) формула
ушбу куринищца ёзилади:
18—234 4
273
d(~-]=dU. (21.103)
Бу ифодани интеграллаб
mv2 mvl
----------------------------f=U-Uo (21.104)
муносабатни оламиз/Бунда U ва Uo лар куч функцнясининг бош-
лангич ва охирги цолатларга мос келувчи цийматларидир. Бинобарин,
потенциалли куч майдонида кинетик энергиянинг узгариши нуцта-
нинг охирги еа бошлангич цолатларига мос келувчи куч функция-
си цийматларининграйирмасига тенг.
Куч функцияси ;урнига потенциал энергияни киритсак, (21.88)
га^бнноан (21,104) ни^цуйидагича ёзиш мумкин:
^0.= 77 /7
2 2 °
ёки
ГПО2 rnVa
— + n~_y- + nc = h, (21.105)
бунда h — узгармас катталик.
Нуцта кииетик ва потенциал энергииларининг йигиндиси тулиц
механик энергияни ифодалайди ва у £ билан белгиланади, яъни
Е=^- + П =h. (21.106)
(21.106) тенглик нуцта царакат дифференциал тенгламасининг
биринчи интегралидан иборат булиб, энергия интеграла дейилади.
Бу тенглик нуцта механик энергиясининг сацланиш цонунини
ифодалайди: потенциалли куч майдонида харакатланаётган нуцта
кинетик ва потенциал энергияларининг йигиндиси узгармасдан
црлади.
140-§. Механик система кинетик энергиясининг
узгариши цацидаги теорема
Механик система N та моддий нукталардан ташкил топган буЛ’
син. Системанинг цар бир нуцтасига актив кучлардан ташцари,
богланиш реакция кучлариии хам куямиз ва система нуцталарига
цуйилган кучларни ички ва ташци кучлардан иборат икки гуруцга
ажратамиз, Системанинг Mk нуцтасига таъсир этаетган ташки куч-
лар цамда ички кучларнинг тенг таъсир этувчилари мос равишда
F®, Flk булсин. У цолда системанинг цар бир нуцтасини Fek ва F*
кучлар таъсиридаги эркин нуцта деб цараш мумкин. Бинобарин,
(21.100) га асосан системанинг цар бир нуцтаси кинетик энергияси-
нинг узгариши цацидаги теореманинг дифференциал.™ ифодаси цуйи-
дагича ёзилади:
274
rf (= dA{ + dA‘k, (*=1,2,.. ,N), (21.107)
бунда dA"k ва dAlk— мос равишда, система нуцталарига таъсир этув-
чи ташки ва ички кучларнинг элементар ишлари. (21.107) ифодани
хадлаб кушамиз:
ёки
dT = 2 dAk -г Sddft, (21.108)
бунда Т — —системанинг кинетик энергияси. (21.108) тенг-
лама система кинетик энергиясининг Узгариши цацидаги теорема-
нинг дифференциалли ифодасидир: система кинетик энергиясининг
дифференциала системага таъсир этувчи таищи ва ички кучлар
элементар ишларининг йириндисига тенг.
(21.108) ни интеграллаб система иукталарининг чекли кучишла-
рида кинетик энергиясининг узгаришига оид теорема га эга буламиз:
= + (21.109)
бунда: То ва Т — мос равишда системанинг бошлангич ва исталган
пайтдаги кинетик энергиялари; Aefc — система иу^таларига таъсир
этувчи ташци кучларнинг иши; Alk — ички кучларнинг чекли кучиш-
даги ишлари.
(21.109) муиосабат система кинетик энергиясининг узгариши
цацидаги теоремани ифодалайди: системанинг бир цолатдан ик-
кинчи холатга кучшиида кинетик энергиясининг узгариши систе-
ма нуцталарига таъсир этувчи барча ташци ва ички кучларнинг
мос кучишлардаги ишларининг йириндисига тенг.
(21.108) ва (21.109) дан курамизки, система динамикасинииг
бошца умумий теоремаларидан фар^ли равишда, система кинетик
энергиясининг узгариши ^а^идаги теоремада ички кучлар ^ам цатна-
шади.
Узгармас механик система учун (ёки абсолют цатти^ жисм учун)
ички кучлар бажарган ншлариинг йигиндиси нолга тенг булади. Бу
.\олда (21. 109) куйидагича ёзилади:
Т-ro=VZ‘. (21.110)
Яъни, узгармас механик система (ёки абсолют цаттиц жисм)
бир уолатдан иккинчи цолатга кучишида кинетик энергиясининг
узгариши мазкур система (ёки цаттиц жисм) нуцталарига таъ-
сир этувчи барча ташци кучларнинг мос кучишлардаги ишлари-
нинг йириндисига тенг.
Агар механик системани ташкил цилувчи нуцталар кузгалмас
снллик сиртлар устида ^аракатланса, богланиш реакция кучлари мазкур
сиртларга утказилган нормаль буйича йуналганн учуй система нуцта-j
ларининг цар цандаи кучишида боглаииш реакция кучларинннг ипп<
нолга тенг буладн ва (21. 109) да боглаииш реакция кучлари цатпашч
майди. t
141 §. Система механик энергиясининг сацланиш (
цонуни '
Система кннетик энергиясининг узгариши цацидаги теоремани *
7’-7'о = 2Л: + 2^ = 2л* (2i.ni)|
куринишда ёзиш мумкин. i
Агар система нуцталарига таъсир этувчи ички ва ташки кучлар’
консерватив кучлардан иборат булса, цуйидаги муносабат уринлн-
булади:
2^ = по-п,
бунда По, П лар билан система нуцталарига таъсир этувчи ички ва
ташци кучларнинг бошлангич ва исталган пайтга мос булган потен-
циал энергия лари белгиланган. Бу цолда (21.111) ни цуйидагича
ёзиш мумкин:
т—т0=п0-п
ёки
Т + П=То-|-П0 = й, (21.112)
бунда h — узгармас катталик.
Тулиц механик энергияни Е билаи белгиласак,
£=Т+П = й. (21.113)
буладн. (21.113) формула энергия интеграла дейилади ва механик
система энергиясининг сацланиш цонунини ифодалайди: консерва-
тив кучлар таъсиридаги механик система кинетик ва потенциал
энергияларининг йигиндиси узгармасдан цолади.
Механик системанинг сацланиш цонуни уринли буладиган меха-
ник системалар консерватив системалар дейилади.
Абсолют цаттиц жисм учун барча ички кучлар ишларииинг йигин-
диси нолга тенг булади, бинобарин, ички кучларнинг потенциал энер-
гияси узгармас катталикка теиг булади; бу узгармасни нолга теиг
деб олиш мумкии. Бу цолда (21.113) да потенциал энергия фацат
ташци кучларнинг потенциал энергиясидан иборат булади ва унинг
система кинетик энергияси билаи йигиндиси узгармас булади.
Нуцта ёки механик система потенциалли булмаган куч майдоиида
царакатланса, механик энергия узгаради. Масалан, турли царшилик-
ларни енгишда система механик энергиясининг бир цисми иссицликД
электр ёки бошца хил энергияларга айланиб сарф булиши мумкин.t
Лекин цар цандай куч майдонида царакатланаётган нуцта ёки меха-
ник системанинг барча турдаги тулиц энергияси узгармасдан цолади.
276 i
142-§. Модгий нуцта ва система кинетик энергиясининг узгариши
хацидаги теоремаларии цуллашга оид масалалар
44-масала. Бошлангич тезлиги и0 га теиг булгаи жисм горизонт
билап а бурчак ташкил этувчи кия текислик буйлаб харакатланади
(227-раем). Жисм билан текислик орасидаги ишкаланиш коэффициен-
та f га тенг. Нуцта s йулни утгандан сунг цандаи тезликка эга бу-
лиши аницлансин.
Ечиш. Жиемга Р — mg огирлик кучи, А ция текисликиинг нор-
мал реакция кучи ва = fN сирпанишдаги ишцаланиш кучлари
таъсир этади. Р кучни ция текислик буйича ва унга перпендикуляр
йуналишда Д ва Pz ташкил этувчиларга ажратамиз. У цолда
Л = ^sina, Р2 = mg cos а
булади. Бинобарин* нормал реакция кучи
N =Рг= mgeosa
ва ишцаланиш кучи
Fmit = fmgcosa
формулалардан аницланади.
Берилган жисм s йулни утишида кииетик энергиясининг узгари-
ши цакидаги (21.102) теоремани цуллаймиз:
ёки
ти2 гт&
—--------— = Wigs (sin а — f cos а).
Бундан
v = У Vq 4-2mgs (sin а — fcosa)
45-масала. Иккита зар-
рача мусбат электр билаи
зарядланган булиб, биринчи
заррача цузгалмас булиб,
заряди <70 га тенг; иккинчи
заррачанинг массаси т га,
заряди qx га тенг. Иккинчн
.заррача бириичи заррачанинг
F = - га тенг итариш
кучи таъсирида царакатла-
нади (бунда х— заррачалар
орасидаги масофа). Агар ик-
кинчи заррачанинг бошлан-
227- расм.
277
рич тезлиги t'c = 0 булса, бу заррача A40(xfl) ^олатдан (хх) колат-
га кучишида кандай тсзликка эга булиши аниклансин. л*0 = a, = b
магофалар берилган (228- раем).
Ечиш. Иккинчи заррача учун кинетик энергиянинг узгариши j^a-
цидаги теоремани цуллаймиз:
> 2 Ь. Ь
, I W7i . qtfi .
---------- 1 Fax = I-dx = -(b — a)
2 2 J J x3 ab
a a
v„=0 булгани учун
«1 = 1/.
Iх mab
46-масала, m массали нукта F = kyfv H царшилик кучи таъсир
этадиган мукитда и0 м/с тезлик билан уранат кила бошлайди. Бу ерда:
v— нуктанинг тезлиги; k — узгармас мусбат коэффициент. Нукта-
нинг огирлик кучини кис°бга олмай, унинг канча вактдан кейин ва
кандай масофани утиб тухташи аниклаисин.
228- раем.
Ечиш. Бу масалани каРакат микдори ва кинетик энергиянинг уз-
гариши какидати теоремалардан фойдаланиб ечамиз.
Нуктанинг бошлангич колатини координаталар боши учун кабул
килиб, х укни каракат йуналиши буйича йуналтирамиз (228-расм).
Кучиинг х укдагн проекцияси
X = —F == —k у' v
тенгликдан аникланади.
Берилган нукта учун каракат микдорининг узгариши ва кинетик
энергиянинг узгариши каКиДаги теоремаларни дифференциал куриниш-
да ёзамиз:
d(mv)=Xdt-, d j = Xdx
ёки
d (mu) = —kV v dt; d = —dx.
Бу тенгламаларни узгарувчнларни ажратиш усули билан интеграл-
лаймиз:
278
т/т?"-
О
dv2 _____
Охирги тенглиида “т=г =у и dv эканлигини назарда тутиб, интег’
V 2v
ралларни ^исоблаймиз:
2m У v |..о = — kt |о ,
—mvy'v^ = — kx I’ .
Бу тенгликларда v = 0 десак (чунки иу^та тухта ганда тезлиги нол-
га тенг булади), цунидаги тенгламалар ?;осил булади:
2mt'v0 =kt,
— mc-oi/:),, =ks.
Булардан нуцтанинг тухташ ва^ти ва утган йулиии ани^лаймиз:
229- раем.
279
47-масала. Огирлик кучи Q га тенг булган М юк пастга тушнб,
чузилмайдиган ип воситасида горизонтал текисликда сирпанмасдан
гилдирайдигап В гилдиракни даракатлаптиради; ип кузгалмас А
блокдан утказилган. А блок билан В гилдирак дар бирининг огир-
лиги Р ва радиуси /? га тенг булган бир жинсли дисклар деб дара-
лади. Думалашдаги ишдаланиш коэффициента 6 га тенг. Блок ва
гилдиракнинг уцларцда дасил буладиган ишдаланишни ва ипнинг огир-
лигини эътиборга олмай, М юкнинг тезлиги унинг тушиш баланд-
лиги h га боглик равищда ани^лансин (229-раем). Бошлангич пайтда
система тннч далатда булган.
Ечиш. Бу масалада юкнинг кучиши h ва узгармас Р, Q кучлар
маълум булиб, юкнинг v тезлигини топиш керак. Бунинг учун юк,
ип, блок ва гилдиракдан ташкил топган система учун (21.109) фор-
мула билан ифодаланадиган кинетик энергиянинг узгариши дададаги
теоремани цуллаймиз. Бошлангич пайтда система тинч далатда бул-
гани учун То = 0.
Юк, блок ва гилдиракнинг кинетик энергияларини Т19 Т2, Т3 би-
лан белгиласак, юк тугри чизи^ли илгариланма даракат г^илади, блок
О нут^тадан утувчи yi; атрофида айланма даракатда булади, гилди-
рак эса текис параллел даракат ^илади. Шу сабабли Tlt Т2, Т3 лар
мос равишда (21.94), (21.95) ва (21.96) форму ла лардан аникланади:
т - - Р -г
g 2 • 2 2 • g 2 2 •
7\
буад:7-Ог=7-сг=-|-^-
— блок ва гилдиракларнинг марказидан
раем текислигига перпендикуляр равишда утувчи увда нисбатан инер-
ция моментлари; = ——- блокнинг бурчак тезлиги; vc — о —юк
R
тезлигига тенг булган гилдирак марказининг тезлиги ва = — .
R
Шундай килиб, каралаётган системанинг кинетик энергияси:
т =T1 + T2+TS = (2Q + ЗР + Р) = £((? +2Р).
4g 2g
Ип таранглик кучининг иши нолга тенг булганидан, ип билан
бириктирилган жисмлар системаси учун ички кучлар бажарган иш-
ларнинг йигиндиси дам нолга тенг булади.
Блокнинг огирлик кучи ва О нуктанинг таянч реакция кучи цуз-
галмас О нуктага ^уйилгани туфайли бу кучларнинг иши нолга тенг.
Гилдиракнинг огирлик кучи С нуктанинг кучишига тик равишда
йуналгани учун бу кучнинг иши дам нолга тенг. Нормал реакция
кучи N ва ишдаланиш кучи Filw тезликларнинг оний маркази С± нуда
тага цуйнлгани туфайлн бу кучларнинг иши дам иолга теиг. Нати-
жада фадат юкнинг огирлик кучн ва гилдиракнинг думалашига дар-
шилик курсатувчи ишдаланиш моменти Л16иш бажаради. Бинобарин,
280
У/l' =Qh- Л 1бЧ>,
бунда <р—юк h баландликдан пастга тушганда гилдиракнинг айла-
ниш бурчаги. ЛТбва <р лар
М6 — b*N = б-Р = const; Ф =
формулалардан аникланади. Шунинг учун
yA‘.=Q-h — 6Р —.
—- * R
Т ва ларнинг цийматиии кииетик энергиянинг узгариши
цацидагн теоремага куйнб цуйидаги тенгламаин оламиз:
^(Q + 2P) = ft(Q-AP),
бундан
143*§. Механик харакатнинг улчовлари хасида
Механикада икки хил улчовлар мавжуд булиб, улардан бири мод-
дий объектларнинг (моддий нуцта ёки механик системанинг) механик
даракат улчовини, нккинчиси эса мазкур объектлариинг узаро меха-
ник таъсирини ифодалайди.
Харакат мицдори, харакат мицдорининг моменти (кинетик момент)
ва кинетик энергия каби катталиклар моддий объектларнинг механик
Харакат улчовини ифодалайди. Куч, куч моменти, кучнинг импульси,
кучнинг цуввати, кучнинг иши каби катталиклар эса моддий объект-
ларнинг узаро механик таъсирини ифодалайди.
Динамиканинг умумий теорзмалари воситасида моддий объектлар-
нинг механик харакат улчовлари билан уларнинг бир-бирига узаро
механик таъсири орасидаги муносабатлар уриатилади.
Кинематика булимида нуцта харакатининг асосий курсаткичлари-
дан бири сифатида нуцтанинг тезлиги олинади. Динамика булимида
эса тезлик асосий курсаткич була олмайди. Динамикада моддий объ-
екгнииг массасини билиш муцин ацамиятга эга (масалан, темир йул
вагони ва кичкина вагонча, Ер шари ва глобус, туп уци, милтиц уци
ва цоказо). Бинобарин, механик харакатнинг улчовлари т ва v нинг
бирор функциясцдан иборат булади.
Моддий иуцта (ёки механик система) царакатлангаида, умумий
цолда механик царакатнинг улчовлари (харакат мицдори, кинетик мо-
мент, инетик энергия) узгаради. Бу узгаришлар уларнинг характери
ва моддий объектларнинг бир-бирига узаро цандай таъсир этишига
боглиц булади.
281
Моддий жисмларнинг бир-бирига механик таъсмрининг интенсив-
лигини ифодаловчи физик катталиклар узаро механик таъсирнинг
улчовлари дейилади.
Механик харакатнинг биринчи векторли длчови учун царакат
мицдори олинади.
Берилган моддий объсктга бошца моддий объектларнинг цар он-
даги таъсирини ифодаловчи узаро механик таъсирнинг асосий улчови
учун куч олинади. .Пекин куч таъсирининг эффекта фацат унинг цар
оидаги мицдори ва йуналишига боглиц булмай, балки таъсир вактига
цам боглиц булади. Шундай цилиб, узаро механик таъсирнинг би-
ринчи векторли улчови булган куч импульса тушунчасини киритиш-
га тугри келади.
Харакат мицдори билан куч импульси орасидаги ыуносабат иук-
та (ёки система) царакат микдорининг узгариши цацидаги теорема
воситасида аницланади.
Механик харакатнинг иккинчи векторли улчови учун харакат
микдорининг моменти (кинетик момент) олинади. Механик хара-
катнинг иккинчи векторли улчовига узаро механик таъсирнинг ик-
кинчи векторли улчови мос келади; у эса кучнинг марказга нисба-
тан моменти векторидир.
Нуцта царакат мнцдорининг моменти (ёки системанинг кинетик
моменти) билан нуцтага таъсир этувчи кучиннг марказга нисбатан
моменти (системага таъсир этувчи ташки кучларнинг бош моменти)
орасидаги богланиш царакат мицдори моментининг (кинетик момент-
нииг) узгариши хацидаги теорема воситасида аницланади.
Механик харакатнинг скаляр улчови сифатида кинетик энер-
гия олинади. Харакатнинг скаляр улчови бошца улчовларга нисбатан
универсал улчов цисобланади. Чунки механик царакат бошца хил
царакатга айланганда (масалан, иссицликка ёки электрга айланганда)
механикада тушуниладиган харакат йуналиши уз маъносини йукотади.
Механик царакатнивг скаляр улчовига кучнинг цуввати, кучнинг
элементар иши ёки чекли кучишдаги иши каби узаро механик таъ-
сирнинг скаляр улчовлари мос келади. Улар орасидаги муносабат
кинетик энергиянипг у’згариши цацидаги теорема ёрдамида аниклана-
ди.
Механик харакатнинг битта улчови ёрдамида нуцта царакатини
тулиц аницлаб булмайди. Хакицатан хам, 46-масалада харакат мик-
дори ва нуцтага таъсир этувчи царшилик кучини бнлган цолда нуц-
танииг неча секунддан кейин тухташини топиш мумкин, лекин бу
холда нуцтанинг цанча йулни утиб тухташини аницлай олмапмиз.
Ёки нуцтанинг бошлангич кинетик энергияси ва царшилик кучи маъ-
лум булганда нуцтанинг цанча масофани утиб тухташини аниклаш
мумкин, лекин цанча вацтдан кейин тухташини топа олмаймиз. Яъни
бу масалани тулиц ечиш учун механик харакатнинг икки улчовидан
фойдаланишга тугри келади.
282
XXII боб
КАТТИК ЖИСМНИНГ БАЪЗИ ^АРАКАТ ДОЛЛАРЫ
Системанинг царакат мицдори ва кинетик моменти цацидаги тео-
ремалар цаттиц жисм динамикасида муцим роль уйнайди. Дацицатан
цам, биз царакат мицдорн цаттиц жисмнинг илгариланма царакати
улчовини ифодалашини курдик. Айланма царакатдаги жисмнинг ца-
ракат улчови учун унинг кинетик моменти олинади. Жисм царакатн-
ни, умумий цолда унинг массалар маркази билан биргаликдаги илга-
риланма ва массалар маркази атрофидаги айланма даракатлардан таш-
кил топган деб цараш мумкин. У долда жисмнинг массалар маркази
билан биргаликдаги илгариланма царакатини урганиш учун даракат
мицдори дакидаги теореманинг бошца куриншндаги ифодаси булган
массалар марказининг даракати дацидаги теоремани, жисмнинг мас-
салар маркази атрофидаги айланма даракатини урганиш учун кинетик
момент дацидаги теоремани цуллаш мумкин. Бироц, динамикада жисм
даракатини илгариланма ва айланма даракатларга ажратишда кинема-
тикадан фарцли равишда, цутб сифатида жисмнинг ихтиёрий нуцтаси
олинмай, балки фацат система массалар маркази олинади.
Юцорида цайд цилинган теоремаларни цаттиц жисмнинг оддий
даракатларига татбиц этамиз.
144-§. Даттиц жисмнинг илгариланма даракати
Кдттиц жисмнинг илгариланма даракати унинг С массалар марка-
зининг даракати билан тулиц аницланади. Шунинг учун жисмиинг
даракати битта векторли тенглама билан ифодаланади:
ёки
М wc — Re
М гс = Re ,
(22.1)
бу ерда /?е = 2 Fek — жиемга таъсир этувчи ташци кучларнинг бош
вектори. (22.1) векторли тенгламани координата уцларига проекция-
лаб цуйидаги учтя скаляр тенгламани оламиз:
Млс =Хе,
м£с = Уе,
(22.2)
Шундай цилиб, цаттиц жисмнинг илгариланма даракати (22.2)
тенгламалар билан аиицланадиган, массаси бутун система массасига
тенг булган битта нуцтанинг — массалар марказининг царакатини ур-
ганишга келтирилади.
283
J
(22.2) тенгламаларни маълум бошлангич шартларда интеграллаб,
жисм массалар марказининг координаталари [хс, ус, zc) вакт функ-
цияси сифатида аникланади»
145-§. Цатти^ жисмнинг кузгалмас уц атрофидаги айланма
^аракати
Фараз цилайлик, каттик жисм кузгалмас г уц атрофида F* (k =
= 1, Af) ташци кучлар тиъсирида даракатлансин. У ^олда укка нис-
батан кинетик момент ^аедцаги теоремага асосан цуйидагига эга бу-
ламиз:
dL2 _,в
(22-3)
Аммо (21,36) га кура
Бундам nai\T буйича росила оламиз:
- da
бунда -— = е жисмнинг бурчак тезланишидир.
dt
(22.3) ва (22.4) га биноан ушбу тенгламани оламиз:
ёки
/2Ф=<« (22.5)
Бу тенглама ц^зсалмас уц атрофида айланувчи цаттиц жисм ,\а-
ракатининг дифференциал тенгламаси дейилади.
(22.5) дифференциал тенгламани маълум бошлангич шартларда ин-
теграллаб каттиц жисмнинг кузгалмас уц атрофида айланиш бурчаги
<р вакт функцияси сифатида аницланади.
(22.5) дан курамизки, берилган Мег таъсиридаги жисмнинг инер-
ция моменти ^анча катта булса, бурчак тезланиши шунча кичик бу-
лади ва аксинча. Бинобарии, кузгалмас у^ атрофида айланаётган жисм
учун инерция моменти, худди илгариланма харакатдаги жмем масса-
си каби функциями утайди. Яъни инерция моменти айланма хара-
катдаги жисмнинг ингртлик рлчовини ифодалайди.
146-§. Фи.и с тебрангнч
Узининг огирлик кучи таъсирида ^\згалмас горизонтал ук атро-
фида айлана оладиган ихтиёрий шаклдаги жисм физик тёбрангич
дейилади. Физик тебраигичнинг айланиш уки жисмнинг ов!рлик_ мар-
i
i
284
казидан утмаедиган цилибтан-
ланзди ва бу уц тебрангичнннг х0
осилит уци дейилади. ------*
Физик тебрангичнннг оси- т —
лиш у^и учун 2 ^цни олиб,
жисмнинг огирлик маркази Оху
текисликда ётади деб ^араймиз
(230- раем).
Вертикал ^олатдан огди-
рилган тебрангичга огирлик
кучи Р ва О нуцтадаги цилин-
дрик шарнир реакция кучлари
Хо, У0 таъсир этади. Шарнирда
э^осил буладиган иш^аланит
кучини ^исобга олмаймиз.
Физик тебрангич цузгалмас 23°- Р’см*
УК атрофида айланма ^аракат-
да булгани учуй (22.5) тенгламадан фойдаланамш- Шу тенгламаии
тузиш учун кучлар моментларини аницлаймиз.
Хо ва Уо реакция кучларининг осилит у^ига Нисбатан момент^а-
ри нолга тенг. Огирлик кучи Р нинг z укца нисбатан моменти
Мг — —Pasinq
булади.
Шундай цилиб (22.5) тенглама физик тебранп!4 учун куйидагича
ёзилади:
/аФ = — Ра sin ф,
бунда 1г —тебрангичнннг осилит у^ига нисбатан инерция моменти.
Бу тенгламани
<р + sin ф = 0 (22.6)
*г
курииишда ёзиш мумкин.
(22.6) тенглама физик тебраигичнинг >;ара!:ат дифференциал
тенгламаси дейилади. Бу тенглама математик тебрангичнннг 97-§
даги (1) тенгламасидан фа^ат sin <р олдвдаги узгармас коэффициент
билан фарц гриади.
Тебраниш даври берилган физик тебрангичиш'Т' тебраниш даври-
га теиг булган математик тебрангичнннг узунлигини аширлаймиз. Бу
узунлик физик тебрангичнинг келтирилган удЦнлиги дейилади.
97-§ даги (1) ва (22.6) тенгламаларда sinq? олдидаги узгармас
коэффициентларни солиштириб
Я = Ра
285
булиши учун
шарт бажарилиши зарурлигини курамиз. Бунда tn — физик тебрангич
массаси. (22.7) формула ёрдамида физик тебрангичнинг келтирилгаи
узунлиги аиицланади.
Огирлик маркази С нуцтадан осилит уци Oz га параллел Cz'
уцни утказиб, Гюйгенс — Штейнер теоремасига кура цуйидаги тенг-
ликни ёзамиз:
4 = 7Сг< +т°2 = “Рсг- + та1> (22.8)
бунда рС2, — тебрангичнинг Cz' уцца нисбатан инерция радиуси.
Iz нинг цийматини (22.8) дан (22.7) га куямиз:
2 . 2
тпрСг> — та
та
Натижада физик тебрангичнинг келтирилгаи узунлиги учун
PC.-
I = — + а (22.9)
а
формулами оламиз.
(22.9) дан курамизки, доимо 1^^ яъни физик тебрангичнинг
келтирилгаи узунлиги осилит уцидан тебрангич огирлик марказигача
булган масофадан катта булади.
ОС тугри чизицда ОА - I кесмани цуйиб, А нуцтани оламиз
(230-раем). А нуцта силкиниш маркази дейилади:. А нуцтада Oz
уцца параллел Az! уции утказамиз. Бу уц силкиниш уци дейилади.
Агар физик тебрангичнинг осилит уци учун силкиниш уцини ол-
сак, у цолда физик тебрангичнинг келтирилгаи узунлиги (22.9) фор-
мулам кура
. _ Рс< .
li — -------г а
«1
2 2
булади. Бунда ajl—l — а= + с]— а = —— булгани учун
а
яъни А ва О нуцталардан утувчи уцлар учун келтирилгаи узунлик-
лар ва I узаро тенг булади. Бинобарин, О нуцтадан ^тувчи ва А
нуцтадан унга параллел равишда утувчи укларни узаро алмаштирсак,
физик тебрангичнинг тебраниш даври узгармайди.
Инглиз олимн Картер 1817 йилда физик тебрангичнинг бу хусу-
сиятидан фойдаланиб, ер сиртининг турли нуцгаларида огирлик кучи-
нинг тезланишини авицлайдиган тескари тебрангични нхтиро цилган.
286
Физик тебрангичнинг кичик тебранншларн царалаётгацца sintp^tp
деб олиш мумкин. Бу цолда (22,6) ди})ференциал тенглама гармоник
тебрапма царакат тенгламаси каби булади:
Ч> + Ч> = 0, (22.10)
'1 / /^(Z
бунда kA — |/ -у----теорангичнинг теораниш частотаси.
(22.10) тенгламанинг ечими 97-§ даги (8) формула куринишида
булади:
<р = a sin(V + ₽), (22.11)
бунда: а — радианда улчанадиган тебраниш амплитудаси; £5—тебра-
нишнинг бошлангич фазаси.
Физик тебрангичнинг кичик тебранишлар даври
7-=2^.= 2л|/^ (22.12)
формуладан аиицланади.
147-§. Жисмларнинг инерция моментини тажриба усулн билан
аницлаш
Ихтиёрий шаклдаги, бир жинсли булмаган ёки бир жинсли жисм-
ларнинг уцца нисбатан инерция моментини цисоблаш анча мураккаб.
Шу сабабли бундай жисмларнинг инерция моменти, одатда, тажриба
усули билаи аникланади. Жиемнинг уцца нисбатан инерция моменти
унинг уц атрофида айланишидаги ииертлигини ифодалаганлиги туфай-
ли, цаттиц жиемнинг цузгалмас уц атрофидаги царакатини турли
усулларда тажрибада кузатиш нули билан инерция моментини хисоб-
лаш мумкин.
Техникада тажриба йули билаи инерция моменти аницланадиган
тебратиш усулини куриб чицамиз.
Фараз цилайлик, бирор жиемнинг огирлик марказидан утувчи го-
ризонтал Cz' уцца нисбатан инерция моментини аницлаш лозим бул-
син. Бу жисмга, физик тебрангич каби, Cz'
уцца параллел булган бирор уцца нисбатан
кичик тебранма харакат берамиз.
Масалан, огирлик маркази С иуцтада бул-
ган шатунни О нуцтадаги втулка оркали
утувчи горизонтал Oz уц атрофида мувоза-
нат цолатидан бир оз огдириб, кичик теб-
ранма царакат берамиз (231-раем). Бу цара-
катни кузатиб т вацт ичидаги тебранишлар
сони п ни аницлаймиз. У цолда кичик теб-
ранишлар даври
231- раем.
формуладан топилади.
287
Буидай физик тебрангичнинг тебрапиш даври (22.12) га кура
аницланади:
Бундан z уцца нисбатан инерция моменти топилади:
, ТгРа
‘‘ = ^- (22.14)
Шундай цилиб, тебраниш даври Т, огирлик кучи Р ва осилит
уцидан огирлик марказигача булгаи масофа а маълум булганда
(22.14) формула ердамида жисмнинг z уцца нисбатан инерция мо-
менти топилади.
Осилит уци Oz га параллел булгаи марказий Cz' уцца нисбатан
жисмнинг инерция моментини аницлаш учун Гюйгенс — Штейнер
теоремасидан фойдаланамиз:
4 = + та"-
г г -з р • 2
бундай 1Сг. = 1г-т&=~---------—а*.
Бу цолда Cz' уцца нисбатан жисмнинг инерция радиуси
формуладан аницланади.
148-§. Цаттиц жисмнинг текис параллел царакати
Айтайлик, жисмнинг массаси Оху текисликка нисбатан симметрии
равишда тацсимланган булиб, Fp F2, ... , Fn кучлар жиемга маз-
кур текислнкда таъсир этсин ва жисмнинг бошлангич тезлиги унга
параллел булсин. Бу шартлар бажарилса, жисм текис параллел ца-
ракатда булади цамда бундай жисмнинг царакатини ургаииш урни-
га жисмни Оху текислик би-
F у Г а - \ । о Д 232- рази. 288 лай кесиш натижасида цирцим- ] да цосил булган текис шакл- нинг царакатини урганиш етарли | булади (232- расм). Жисм- ? нинг Оху текисликдаги кирци- } ми царакатини текшириш учун (жисмнинг массалар маркази С нуктада Оху цузвалмас сис- ' темага параллел Сх’у’ систе- мани ва жиемга бириктирил- ган Cx"if системани утказамиз. У цолда жисмнинг холати мас- салар марказининг радиус- 1
вектори r^x# ус) ^амда ex' ва Сх? уцлар орасидаги <р бурчак бн-
лан аникланади. С нуктанинг харакат тенгламаси массалар маркаэи-
нииг харакати ^акидаги (22.1) тенгламадан, массалар маркази
атрофидаги айланма харакати эса (22.5) тенгламадан аникланади.
Шундай килиб, текнс параллел харакатдаги жисмнинг харакат диф-
ференциал тенгламалари куйидагича ёзилади:
Mwc = ~&;
1с^ — М.’с
(22.15)
бунда: М—жисмнинг массаси; wc = ----жисм массалар марка-
зининг тезланиши; Re— жиемга таъсир этувчи ташци кучларнинг
бош вектори; 1С — расм текислигига перпендикуляр ва масса марка-
зидан утувчи ухца нисбатан жисмнинг инерция моменти; —ана
шу ух^а нисбатан ташки кучларнинг бош моменти; <р — в — бурчак
тезланиш.
(22.15) нинг бирпнчисини координата укларидаги проекциялари
оркали ифодаласак, бу система куйидаги тенгламалар системаси би-
лан алмашинади:
= мс-
(22.16)
(22.16) тенгламалар каттпиц жисм текис параллел харакати диф-
ференциал тенгламаларининг скаляр ифсдасидир. Бу тенгламалар-
нинг бириичи иккитасн жисм масса марказининг илгариланма харака-
тини ифодалайди. Учинчиси эса каттих жисмнинг масса маркази С
нуцтадан утувчи ва расм текислигига перпендикуляр булган укда
нисбатан айланма харакатинн ифодалайди.
Агар хамма ташки кучлар маълум булса, (22.16) дифференциал
тенгламалар системасини маълум бошлангич шартларда интеграллаб,
жисмнинг текис параллел харакатини аниклевчи А'с, ус ва <р катта-
ликлар ва^т функцияси енфатида аникланади.
Агар массалар марказининг траекторияси маълум булса, С нукта
Харакати диффере нциал тенгламасининг табиий координата укларидаги
проекцияларндан фойдаланиш цулай булади. У холда текис параллел
Харакат дифференциал тенгламалари ушбу куринишда ёзилади:
^~ = VFa„ (22.17)
Р
/с<р = Мес,
19—2344
289
бунда: vc — массалар марказининг тезлнги; р — массалар маркази
траекториясииинг эгрилик радиуси; Fkx— таш^и кучларнинг уринма-
даги проекцияси; Fkn— ташци кучларнинг бош нормалдаги проек-
цияси.
149-§. Гироскопнинг элементар назарнясм
Узинииг моддий симметрия уки атрофида катта бурчак тезлик
билан айланадигаи ва бунда ушбу уцининг битта нуктаси доимо
цузгалмасдан коладигаи жисм гироскоп дейилади. Гироскопик асбоб-
ларда гироскоплар, одатда, ^алкали осмага ёки рамаларга уриатила-
ди ва гироскоп хар кандай тфракатланганда хам унинг битта нуцта-
си гфзгалмясдан услади (233-раем).
Техцикада кулланпладигап гироскоплар симметрия уки атрофида
жуда катта бурчак тезлик билан айланади. Шу сабабли биринчи
яцинлашитда гироскопнинг бошца у^лар атрофидаги айланишини
эътиборга олмай, гироскопик ^одисаларнинг элементар назарияси би-
лап танишамиз.
Oz yi\ атрофида айланаеттан жисмнинг кинетик моменти Lo айла-
ниш уки буйлаб йуналади. Гирсскопнииг элементар назариясида, ги-
роскоп уки еекин >доакатланганда исгалгап пайтда гироскопнинг ки-
нетик моменти Lo гироскоп уки буйлаб Wj вектор билан бир хил
йуналган деб кара лад и ва (21.36) га кура
'«ЧЧ®! (22.18)
деб олинади. Бунда: lz — гироскопнинг симметрия ут;ига нисбатан
инерция моменти; — симметрия уки атрофида айланиш бурчак
тезлиги.
Бундан гироскопнинг амрнм хусусиятларини куриб утамиз.
1. Гироскоп у^ига кучнинг таъсири. Тез айланаётган
гироскоп укига моменти Мо — Fh га тенг булган F куч таъсир
этсин (234-раем). У \олда кинетнк моментнинг узгариши ха^ндаги
теоремага кура
233- рзем.
234- ра:м.
290
— м
dt - /VJ0-
L(i дан вакт буйича олинган хосила Lo вектор учннинг и тезли-
гиии ифодалайди:
(22.19)
(22.19) тенглама Резаль теоремасини ифодалайди: ццзгалмас
нуктага нисбатан гироскоп кинетик моменти вектори учннинг
тезлиги таъсир этувчи татки кучларнинг мазкур нукупага нис-
батан моментига тенг.
(22.19) дан курамизки, В нукда ва у билаи биргаликда гироскоп
уки А1о момент йуналишида харакатланади. Шундай килиб, тез ай-
ланаётган гироскопнинг укига куч таъсир этса, у ^олда гироскоп уци
куч таъсир этаётган йуналишда огмай, балки таъсир этувчи кучнинг
гироскоп кузгалмас нуктасига нисбатан момент вектори йуналишида
огади, яъни кучнинг йуналишига перпендикуляр текисликда огади.
Агар бирор пай)дан бошлаб гироскоп ут^ига F куч таъсир этмай
1\уйса, яъии Мо = 0 булса, у холда (22.19) га кура худди шу пайт-
дан бошлаб
и ~ О
булади, яъни В нукта ва у билан биргаликда гироскоп уци шу он-
дас!\ огишдан тухтайди. Шундай килиб. гироскоп уки куч таъсиридаги
харакатини давом эттирмайди. Агар гироскоп yrpira куч жуда кичик
вакт ичида таъсир этса (зарба берилса), у ^олда гироскоп уг;и амал-
да деярли уз йуналишиии узгартирмаиди. Бу эрдиса тез айланувчи
гироскопнинг асосий хусусиятларидан бир и булнб, гироскоп уцининг
устуворлик хусусиятини ифодалайди.
2. Гироскоп учннинг прецессияси. Гироскопнинг огир-
лик маркази С кузгалмас О нуцта билан устма-уст тушмаган холни
куриб чикамиз (235-раем). Бу холда гироскоп уцнга доимо огирлик
кучи Р таъсир этади ва юцорида исбот 1\илинганидек, гироскопнинг
Oz у^ини а бурчак ортиб борадиган томонга эмас, балки Ozz} те-
кисликка перпендикуляр йуналишда ^аракатлантиради. Натижада ги-
роскоп уки вертикал Огг уц атрофида ы2 бурчак тезлик билан учи
цузгалмас О нуцтада ётувчи конус сирти буйлаб ^аракатланади. Ги-
роскоп укининг бундай ^аракати прецессия дейилади.
Прецессия бурчак тезлиги со2 ни аницлаймиз. (22.19) га кура и —
= Л4С булади. Кузгалмас О нуцтадан гироскопнинг огирлик маркази
С нуцтагача бу'лган масофани ОС = а билан белгиласак,
Мо = Pg sin а.
В нукта Z, атрофида со2 бурчак тезчик билан айлангани учун
и — tii^’BD = ыг*ОВ since = ш2£0since
булади. (22.18) ни эътиборга олсак,
и = /jWjCOg sin а.
291
Бинобарин (22.19) ифода
/zi<)i«j)2 sin а == Ра sin а
куринишни олади ва бундан
Ра
“2 = 7^ (22.20)
прецессия бурчак тезлигн аиицланади. Бу тенгликдан курамизки, сог
бурчак тезлик жуда катта булгани учун прецессия бурчак тезлигн
жуда кичик булади, Агар соц бурчак тезлик пасайса, у цолда прецес-
сия бурчак тезлиги о2 ортади. Бунга болалар уйинчоги — пирилдок-
нинг царакати мисол булади.
3. Гироскопик момент. Агар гироскоп мажбурий прецес-
сия харакатида булса, яънн А ва А подшипникларда гироскоп уки
урнатилган цалца DD' у к атрофида со2 бурчак тезлик билаи айлан-
тирилиши натижасида прецессия харакатида булса, у цолда2И0 мо-
мент А ва А' нуцталарнинг реакция кучлари (Q, Q') таъсирида ^осил
булади (236-раем). Уз навбатида, таъсир акс таъсирга тенглиги j^a-
кидаги цонунга кура, гироскоп уци подшипникларга мицдор жицат-
даи мазкур реакция кучларига теиг, йуналиши царама-царши булган
кучлар (АГ, Лг') билан таъсир этади. Бу кучлар, моменти гироскопик
момент деб аталувчи жуфт кучни ташкил этади цамда
Л1™р = —Л10. (22.21)
OB = Lo = 1г сс»г эканлигини эътиборга олиб, В нукта тезлиги
учун
и = со2 х OB = cog X Lo = Z/o2 X <01
формулани оламиз. У ^олда (22.19) цуйидагича ёзилади:
lz <о2 X о)! = А1о.
292
t
Шунга асосан (22.21) дан ги-
роскопик момент учуй цуйида-
ги ифодани оламиз:
Л1™₽ = — /гсо2 X се»!
ёки
M"₽ = х со2. (22.22)
Бундан гироскопик момент мо-
дулнни аницлаймиз:
Л1™р = /e<Jo1co2sin( ю ь)2).
(22.23)
237- раем.
(22.22) тенглик 11. Е. Жуковский цридасини ифодалайди; агар
тез айланувчи гирпскопга мажбурий прецессия харакати берилса,
у цолда гироскоп урнатилган педшипникларга моменти гироскопик
моменгпга тенг жуфт куч таъсир этади ва у гироскоп симмет-
рия уцини прецессия уци устига энг цисца йул билан устма-уст
туширишга интилади.
Гироскопик момент ва педшипникларга тушадиган гироскопик бо-
симларни аницлашга мисол тарикасида, кемага урнатилган тез айла-
нувчи турбинани оламиз. Турбина ротори сц бурчак тезлик билан
айлаисин. Кема <о2 бурчак тезлик билан бурилганда А ва В подшип-
ник ларга 237- раемда курсатилгандек гироскопик босим кучлари таъ-
сир этади. Жуковский цоидасига кура вектор 237-раемдагндек
йуналади. Агар АВ = I ва турбина роторининг_ инерция моменти 1г
маълум булса, у холда (22.23) га кура
Иккинчи томондан,
Мгонр = Ar-Z
булгани учун гироскопик босим ушбу
ДГ = 1^2
I
формуладан топилади.
293
XXII боб
ДАЛАМБЕР ПРИНЦИПИ. ЦУЗЕАЛМАС УК АТРОФИДА
АЙЛАНАЁТГАН ЖИСМНИНГ АЙЛАНИШ УКИГА
КУРСАТАДИГАН БОСИМИ
Эркин моддий нуцта ва эркин механик системанинг царакатини
урганишда Ньютон конунларидан фойдаланилади. Техникада учрай-
диган цатор масалаларни ечишда богланишлар цуйилган системанинг
царакатини урганишга тугри келади. Бундай системаларнинг царака-
тини урганишда Петербург Академиясининг аъзолари Я. Герман
(1716 йилда), Л. Эйлер (1737 йилда) ва Ж- Даламберлар (1743
йилда) томонидап кайф килинган ва «Даламбер принципи» деб юри-
тиладиган принципдан фойдаланилади.
Даламбер принципини Ньютониинг иккинчи цонуни ва богланиш-
дан бушатиш цакидаги аксиома асосида чицариш мумкии.
150-§. Моддий нуцта учун Даламбер принципи
Эркин булмаган нуцта учун динамиканинг асосий цонунипи
F -4- Лг 4- (— т к) - 0
куринишда ёзиб,
Ф = — mw (23.1)
белгилаш киритсак,
/Ч-ЛЧФ = 0 (23.2)
тенгламани оламиз.
Мицдор жихатдан нуктанинг массаси билан унинг тезланиши ку-
пайтмасига тенг, йуналиши эса тезланиш векторига тескари булган
вектор инерция кучи дейилади. (23.2) тенглик эркин булмаган нуц-
та учун Даламбер принципини ифодалайди (238-раем): актив куч
ва боеланиш реакция кучи таъсиридаги нуцтага %ар онда инерция
кучини цуйсак, бу кучлар узаро мувизанатлашади.
Даламбер принципини таърифлашда киритилган мувозанат тушун-
часи шартли тушунчадир, Аслида F ва N кучлар таъсир этаётган
нуктага инерция кучи цуйилган булмайди. Даламбер принципида хар
онда инерция кучини нуцтага цуйилган деб цараб, мувозанатни тек-
ширищдан максад динамика масалаларини ечишда статиканииг муво-
занат теигламаларига ухшаш тенг-
ламалардан фоидаланишдир. Далам-
бер принципинииг моцияти ана шун-
дан иборат. Даламбер принципи ёр-
дамида динамика масалаларини ечиш
формал равишда статика масалала-
рини ечишга келтирилади. Шу са-
бабли бу усул кинетостатика усу-
ли дейилади.
N
238-
294
Динамика масалаларини ечишда Да-
ламбер приициридан асосан номаълум
реакция кучларни топишда самарали фой-
даланилади.
Агар нукта эгри чизицли траектория
бу йлаб_ вотские харакатда булса, инерция
кучи ф траекторияга утказилган уринма
ва бош нормаллар буйича ташкил этувчи-
ларга ажратилади (239-расм):
239- расы-
ф = ф ф
г • п-
бундаги фт ва Фп мос равишда уринма ва нормал инерция кучлари
дейилади. Бу кучлар уринма ва нормал тезланишларга тескари йуна-
лади цдмда
Ф^ = — ш ,
Ф„= —(23.3)
муносабатлар уринли булади. Уринма ва нормал тезланишлар
dv и2
г dt п р
формулалардаи аницланишинн эътиборга олсак, уринма ва нормал
инерция кучларининг модули учун ушбу муносабатларни оламиз:
ф« = — - (23.4)
I dt | р
Агар иуцта эгрн чизиц буйича текис харакатда булса, — О,
Фх = 0 ва инерция кучи Ф фацат нормал ташкил этувчидан иборат
булади.
Нуцта тугри чизпц буйича нотекис царакатлаиганда wn=0 ва инер-
ция кучи фацат уринма ташкил этувчидан иборат булади.
Нукта тутри чизицли текис царакатланганда w — 0, бинобарин,
инерция кучи Ф = 0 булади.
Кузгалмас уц атрофида айланма царакатдаги цаттиц жнем нуцта-
сииивг тезланиши айланма ва марказга интилма тезланишлардан ибо-
рат булгани учун мазкур нуцтанинг уриима ва нормал инерция куч-
лари мос равишда айлаима ва марказдан крчувчи инерция кучлари
дейилади хамда улар
Фг = mR [ в Ф„ = niR 0)2 (23.5)
формулалардаи аницланади. (23.5) да: R — нуцтадаи айланиш у кигача
булган масофа; со ва е — жисмнинг бурчак тезлиги ва бурчак тезла-
ниши.
295
151-§, Механик система учун Даламбер принципи
Системанинг з;ар бир Мк иуктаси учун Даламбер принципини ёза-
миз: _ _ _
ГЛ + Nk 4-Фа = 0, (k = 1,2,. . ., N), (23.6)
бунда Fk—Mk нуктага таъсир этувчи актив кучларнинг теигтаъснр
этувчиси; Nk—богланиш реакция кучларининг тенг таъсир [этувчиси;
ФА= — — шу нуктанинг инерция кучи.
(23.6) тенгламалар механик, система учун Даламбер прнципини
ифодалайди: актив куч ва богланиш реакция кучлари таъсиридаги
системанинг %ар бир нуцтасига %ар онда инерция кучини цуйсак,
бу кучлар системаси мувозанатлашади.
(23. 6) тенгламаларни цушиб цуйидагини \оеил циламиз:
24 + + 24 = 0 (23.7)
ёки
Я/’ + Ял'+Яф =0, (23.8)
бунда: RF — —актив кучларнинг бош вектори; RN = —
реакция кучларининг бош вектори,
я* = 24 <23-9)
система ну^талари инерция кучларининг бош векторидир.
(23.8) тенгламадан курамизки, бэгланищдаги механик система
учун актив кучлар, реакция кучлари ва система ну1$талари инерция
кучлари бош векторларининг геоматрик йигиндиси ^ар онда нолга
тенг булади.
(23.6) теягламаларнннг ^ар бирнни Mk нуктанинг радиус-вектори
rk га векторли купайтириб цушсак,
Ъч + 24 х 4 + 2 4 х 4 ='Д
ёки _ _ _ _
2 Af0 (FA) + 2 Мо <лу + 2 Ч (фА) = о, (23.10)
ёхуд
Л^ + МЙ' + Ж = 0 (23.11)
^осил булади. Бунда Мо = 2 (^ft)—актив кучларнинг О мар-
казга нисбатан бош моменти: Мо — ^Mo(Nk)—реакция кучлари-
нинг О марказга нисбатан бош момеити;
Л!? = 2Л?о(Ф4) (23.12)
система ну^талари инерция кучларининг О марказга нисбатан бош
моментини ифодалайди.
296
(23.11) дан курамизки, борланишдаги механик, система учун ак-
тив кучлар, реакция кучлари ва система нуцталари инерция куч-
ларининг ихтиёрий цузгалмас марказга нисбатан бош. моментла-
рининг геометрик йитндиси %ар онда нолга тенг булади.
(23.7) ва (23.10) тенгламаларни координата укларига проекция-
лаб кучлар системасининг олтита мувозанат тенгламасини оламиз:
У Z. + у N,+ V Ф. = 0,
-1 ‘ te “L _ (23.13)
2 Мх (Ау + 2 мх (Ф*) - о,
2 Му (FJ + 2 Му (Nt) + V Ms (Ф^) = о,
2 мг (FJ + V Ч W + 2м. (ф4) =0-
Агар системанинг хар бир вуцтасига куйилган кучларни ички ва
таш^и кучларга ажратсак, ички кучларнинг бош вектори ва бирор
марказга нисбатан бош моменти нолга тенг булгани учуй (23.7) ва
(23. 10) тегламалар цуйидаги куринншни олади:
yF*+v®*=0, ]
— } (23.14)
2A,oO + 2«o(,i’ft)-o. J
(23.9) ва (23.12) ларга кура (23.14) ни цуйидагича ёзамиз:
— - * _ (23.15)
2А1о(/Д4<=0.|
(23.15) тенгламаларнииг афзаллигн шундан нборатки, бу тенгла-
маларда ички кучлар ^атнашмайди, шу сабабли система динамикаси-
нииг купгина масалаларини ечншда бу мувозанат шартларидан фой-
даланиш цулай булади.
152-§. Инерция кучларининг бош вектори ва
бош моменти
Инерция кучларининг бош вектори ва бош моментини ^исоблаш
учун система массалар марказининг \аракати ха^идаги ва кинетик
моментининг узгариши ^ацидагн теоремалардан фойдаланамиз:
A4.wc = 2FI-
^ = 2M>(fp.
(23.16)
бунда: М — системанинг массаси; wc — массалар марказининг тезла-
ниши; Lo — системанинг О марказга нисбатан кинетик моменти.
(23.16) тенгламаларни (23.15) билан солиштириб
297
/С = — ЛЬ К'с]
= ' (22J7)
dt )
муносабатларнн оламиз.
Шундай цилиб, ихтиёрий механик система (ёки цаттиц жисм)
инерция кучларининг бош. вектори мицдор жицатдан система мас-
сасининг мазкур система (цаттиц жисм) массалар марказининг тезла-
иишига купайтмаснга тенг булади ва бу тезланишга тескари йунала-
ди; инерция кучларининг О марказга нисбатан бош моменти эса
мицдор жицатдан шу марказга нисбатан система (цаттиц жисм) ки-
нетик моментидан вацт буйича олинган цосилага тенг, йуналиши унга
тескари булади.
Каттиц жисм илгариланма, цузгалмас уц атрофида айланма ёки
текис параллел царакатда булганда инерция кучларининг бош вектори
ва бош моментини цисоблашни куриб чицамиз.
1. Илгариланма царакат. Жисм илгариланма царакатда булганда
массалар маркази атрофида айланмайди. Шу сабабли У Мс (Fek) = О
ва (23.15) га кура
Яф = о
булади.
Шундай цилиб, илгариланма царакатдаги цаттиц жисмиинг инер-
ция кучларн массалар марказидан утувчи ва
7?Ф — M-Wc (23.18)
булган битта тенг таъсир этувчига келтирилади.
2- Кузгалмас уц атрофида айланма царакат. Агар жисм кузгал-
мас уц атрофида айланма царакатда булса, у цолда инерция кучлари
умумий цолда бирор ихтиёрий О нуцтага цуйилган кучга ва мо-
мента Л1Ф га тенг булгаи битта жуфт кучга келтирилади. Дастлаб
жисмнииг айланиш уци Oz га нисбатан инерция кучларининг бош
моменти Mf нн цисоблаймиз. Бунинг учун (23.17) иинг иккиичи
тенгламасини Oz уцца проекииялаймиз:
Д1Ф = —_
2 dt
Ammo курилаётган цолда А. = 1га> булгани учун
М*= — /2е (23.19)
тенгликни оламнз, бунда 1г~айланиш уци га нисбатан жисмнииг инер-
ция моменти. (23. 19) даги манфий ишора инерция кучларининг айла-
ниш уцига нисбатан бош моменти жиемнинг бурчак тезланиши
е га тескари йуиалганлигини ифодалайди.
Хусусий хрлда, агар айланиш уци жиемнинг моддий симметрия
уци билан устма-уст тушеа, жиемнинг массалар маркази симметрия
298
уцида етади ва цузгалмас булади.
Бунда wc — 0 булгани учун инер-
ция кучларининг бош вектори =
= 0 булади. Бинобарин, бу цолда
кузгалмас уц атрофида айлаиаётгаи
цаттиц жиемнинг инерция кучлари,
момеити (23. 19) формуладан аниц-
ланадиган битта жуфт кучга кел-
тирилади. Жисм симметрия уцига
эга булгани учун бу жуфт куч ай-
ланиш уцига перпендикуляр текис-
ликда ётади.
240- раем.
3. Текис параллел царакат. Фараз цилайлик, симметрия текисли-
гига эга булсин ва унга параллел равищда царакатлаисии. Бу цолда
инерция кучлари жиемнинг массалар марказига цу'йилган, (23,18)
формула ёрдамида аницланадиган РФ кучга ва жнемнинг симметрия
текислигида ётувчи битта жуфт кучга келтирилади цамда унинг мо-
менти кам (23.19) формула ёрдамида аницланади, бунда 1г ни жием-
нинг массалар марказидан царакат текислигига перпендикуляр равиш-
да утувчи уцца нисбатан инерция моменти деб царалади.
48- масала. Массаси т га тенг булган М моддий нуцта горизонт
билан а бурчак ташкил этувчи гадир- будир ция текислик буйлаб ца-
ракатлаиади. Ишцаланиш коэффициенти f га тенг. Бу нуцтанинг
тезланиши топилсин (240-раем).
Ечиш. Нуцтага таъсир этувчи огирлик кучи Р, ишцаланиш кучи
Риш, вормал реакция кучи Л7 лар цаторига цар онда тезланишга тес-
кари йуналган Ф инерция кучини цуйсак, у цолда Даламбер принци-
пига кура бу кучлар системаси мувозанатлашади.
Координата уцлариии раемда курсатилгаидек танлаб олиб, иккита
мувозанат тенгламасини тузамиз. Барча кучларнннг х ва у уцларга
проекцияларининг йигиндисини нолга тенглаб оламиз:
Р sin а — FKia — Ф — 0,
N — Р cos а — 0.
(2)
Бу тенгламаларда Р = mg, FWJ1 = fN, Ф = mw эканлигини эътибор-
га олсак,
mg sin а — [N — mw = 0,
Лг — mg cos a ~ 0
булади. (2) теигламадан иормал реакция кучини аницлаймиз:
N = mg cos а.
N нинг бу цнйматиии (1) тенгламага цуйиб, нуцтанинг тезланишини
топамиз:
тг» — g (sin a —• f cos a).
299
242- ррсм.
49-масала. Огирлиги Q — 10000 Н булган автомобиль дуиг куп-
рикда v = 10 м/с узгармас тезлик билан царакат циладн; куприк ур-
тасининг эгрилик радиуси р=50м. Автомобиль куприк уртасиданут-
ган пайтда куприкка цанча босим курсатиши аницлансин (241-расм).
Ечиш. Автомобилни моддий нуцта деб цараб, автомобиль куприк
уртасидаи утган пайтда унга таъсир этувчи огирлик кучи Q, куприк-
нинг нормал реакция кучи Лг цаторига нормал тезланишга тескари
йуналган Фл марказдаи кочирма инерция кучини цуйсак, Даламбер
принципига кура бу кучлар системаси мувозанатлашади (и = const бул-
гани учун уринма инерция кучи нолга тенг булади).
у уцни вертикал тарзда кжорига йуналтириб, кучларни бу уцца
проекциялаймиз. Натижада мувозанат тенгламаси цуйидагича ёзилади:
-С+л! + ф„ = о,
бунда
булгани учун
W=Q —<pn=Q—2-±_ = 10000------------=7961 н.
g р 9,81 50
Куприкка курсатиладиган босим кучи микдор жицатдан N га тенг,
йуналиши эса унга царама-царши булади.
50- масала. Огирлиги Р, радиуси г га тенг ва О нуцтадан утувчи
цузгалмас Qz уц атрофида айланадиган барабанга ип уралган (242-
расм). Ипнинг учига огирлиги Q га тенг А юк осилган. Юк верти-
ка лига царакатланганда, ипнинг огирлиги ва айланиш уцидагн ишца-
ланишни цисобга олмай, барабаннинг бурчак тезланиши цамда ипда
цосил буладиган цушимча таранглик кучи топилсии. Барабаннинг ай-
ланиш уцига нисбатан инерция радиуси ры га тенг.
300
Ечиш. 1. Барабан ва к>кни битта механик система деб цараймиз.
Л юк вертикаль буйича илгариланма царакатда булгани учун (23.18)
га кура унинг инерция кучи битта А* тенг таъсир этувчига келтири-
лади:
Барабаннинг инерция кучи айланиш йуналишига тескари йуналган
жуфт кучга келтирилади ва жуфт куч моментининг мицдори (29.19)
га кура цуйидагича аницланади:
1л?о>| =/ое = — р*е.
е
Барча кучлар учун V, Л40 (Fk) = 0 курннишдаги мувозанат тенг-
ламаларини тузамиз:
|М* | + ЯФ-г-<2-г = 0
ёкн
— Pl e+-r2e-Q-r=0.
g g
Бундан барабаннинг бурчак тезланиши е ни аницлаймиз:
е = Qrg
Pp2u+Qr>'
2. Ипнинг таранглик кучини^ аниклаш учун А юкнинг мувозаиа-
тини алоцида цараймиз^ Унга огнрлнк кучи Q ва таранглик кучи Т
цамда инерция кучи /?Ф ии цуйсак, Даламбер принцнпига кура бу
кучлар системаси мувозанатлашади.
у Уцни вертикал тарзда юцорига йуналтнриб, мувозанат тенгла-
масини тузамиз (242-расм, б):
-Q + T + 7?Ф=О,
бундан Т ии аиицлаймиз: Т =
Д. гв
g) PPa+Q-ra
51-масала. Огирлиги Р га тенг
булган D юк чиБир ёрдамида w
тезланиш билаи кутарилади. Чигир
горизонтал АВ тусинга урнатил-
ган; тусин эса Л ва В таянчларга
эркин цуйилган (243-расм). Чигир
барабанининг огирлиги Q, радиуси
243- расм.
г га, айланиш укига нисбатан инер-
301
ция радиуси эса рц га тенг. D юкнинг ва айланувчи барабан моддий
зарраларииинг инерция кучлари хнссбига хосил буладиган А ва В
таянчлардаги кушнмча босимлар хамда иннинг таранглик кучи топнлсин.
Улчамлар раемда курсатилган. Тусиннииг огирлиги ,\исобга олинма-
син.
Ечиш. I. Тусин, чигир ва юкдан иборат механик система ну^тала-
рига инерция кучлариии куямиз. У холда динамик реакция кучла-
ри кутарилаётган юкнинг ва айланма харакатдаги барабаннинг инер-
ция кучлари хисобига хгси‘1_рУлаДи-
D юкнинг инерция кучи R4’ юкнинг тезланиши аа га тескари йу-
налади ва (23.18) га Kvpj модуль жихатдан = — w булади.
g
Чигир барабани шакл текислигида ётувчи симметрия текиелмгига
эга ва унинг массалар маркази С ай ланит укида ётадн деб царайлик.
У холда барабан моддий зарраларииинг инерция кучлари моменти Мс
га тенг битта жуфт кучга келтирилади ва (23. 19) га кура унинг мо-
дули AfJ = Zce булади. Бунда 1С=— р“ —барабаннинг айланиш
уцига нисбатан инерция моменти; е—барабаннинг бурчак тезланиши.
Барабан гардишидаги нуцтанинг уринма тезланиши юкнинг тез-
ланишига тенг: wj, = w хамда wjf = а-г булгани учун
е =-------- —
г г
1 cw Q
Шундай цилиб, М$ =-------- = булади.
Фацат инерция кучлари хисобига А ва В нухталарда хосил була-
диган цушимча (динамик) реакция кучларини RdA билан белгилаймиз.
Бундан ташкари, система нуцталарига (юцорида хисобланган) юкнинг
инерции кучи R® ва моменти Л1? га тенг булган барабан нуцталари-
нинг инерция кучини ифодаловчи жуфт кучни цуямиз. Натижада бир
текисликда ётувчи параллел кучлар системасига эга буламнз. Улар-
нинг мувозанат тенгламалари цуйидагича булади (тенглама тузншда
Р ва Q эътиборга олинмайди):
У^(Г*) = 0; /?^ + /с.е-Аф-с-0,
(^) = 0; — F?A-b + + а) = 0.
Бу тенгламалардан динамик реакция кучлари R°A ва RdB ларни аник;-
ланмиз:
(д— о) w
Ъ = С ' ----- = — «2-Р’„ + гР (Ь - а)],
Z? rgb
рф-а — к!
RdB =---------£--=-------(Рта — QpД .
в b rgb'
302
4>irr
244- раем.
босим мицдор
динамик реак-
Динамик (цушимча)
жи^атдаи ai шкл анган
ция кучига тенг, йуналиши эса унга
царама- карши булади.
153-§. Кузгалмас ук атрофида
айланувчи ^аттик жисмнинг айланиш
у^нга курсатадиган динамик
босимиии аиОДлаш
Кузгалмас уц атрофида айланувчи
катти^ жисмнинг таянч нукталарида
подшипникларга курсатадиган босими-
ни Даламбер принципи ёрдамида аниц-
лаймиз.
Жисмнинг Л ва В нукталарида
подшипниклар урнатилган булиб, унда
хосил буладиган ишцаланиш кучини
хисобга олмаймиз.
Жисмнинг огирлик маркази С нук-
гада айланиш уцига перпендикуляр
гекислик утказиб, унинг айланиш у^и
сини О билан белгилаймиз (244-раем, а). Бундай жисмнинг ^арака-
тини аниклаш учун О нуцта оркали 2 та координаталар системасини
Утказамиз: 1) Ol, у к айланиш у^и билан устма-уст тушадиган луз-
гал мае О g г; £ координаталар системаси; 2) Oz уц айланиш уци буй-
лаб йуналган ва Ox yi\ жисмнинг огирлик маркази оркали утадиган
хамда жисм билан биргаликда ^харакатланувчи Oxyz координаталар
системаси.
билан кесишган иуцта-
303
Бундай жиемнинг царакати <р бурчак билан аиицланади.
Даламбер принципига асосан царакатдаги жисмга таъсир этувчи
берилган кучлар ва богланиш реакция кучлари цаторига инерция куч-
ларини цушеак, у цолда кучлар системаси хар онда мувозанатлашади,
А ва В нуцталардаги реакция кучлари Na, Nb нинг царакатла-
нувчи координата уцларидаги проекцияларини ХА, Y А, ZA, Хв, Yв.
ZB билан белгилаймиз. Инерция кучларннн цуйидагича киритамиз.
Жиемнинг ихтиёрий Mk нуктасини олиб, унииг массасини mk билан,
ундан айланиш уцигача булган масофаии rk билан белгилаймиз. У
цолда инерция кучининг бош векторини
Я*=2А = ^(*к + 0ь,)
куринишда оламиз. У цолда (23.5) га асосан айланма ва марказдан
цочувчи инерция кучларининг модуллари цуйидагича аникланади:
Бу ифодаларда и ва е билан жиемнинг бирор пайтдаги бурчак тез-
лигн ва бурчак тезланиши белгнлаиган. е>0 булганда Флг, &kn куч-
ларнинг йуналиши 244-раем, б да тасвирланган. Инерция кучи бош
векторининг х вау уцларндагн проекцияларини цуйидагича ифодалаш
мумкин: == R* i + Ry i . Бунда
Rx (Фат) X 4" 21 (Фап) x, 1 (23 20)
J#=E(0h)»+2(«M». J
Расмдан ушбуларни аницлаймиз:
(Фах) к = tnk rk e sin ak = mk Ук e,
(Фат)» = — tnurk e cos a a = — tnkxke,
(Фап) x = mk rk co2 cos a* = tnk xk co2,
(Фал) = mk rk co2 sin ak = mk Ук w2.
Бу ифодаларни ва жиемнинг огирлик маркази Ох укда ётганини
(Zimkxk=:^x^ ^1ткУк = ^!/c = Q эътиборга олиб, (23.20) ни
цуйидагича ёзиш .мумкин:
= — eyimtxt + a2^imtyl! = — Mxce. J ' ' '
Фат ва Фал кучларнинг координата уцларнга нисбатан моментлари-
нн аналитик усулда топамиз:
(Йя) = У к (АО 2 — гДАх) J, = mk Хк zk е,
Мц (Фк^ = zk (Ат). — xdpki) 2 = Шк Ук Zk е,
Л4.(А<) = Фкх-Гк = —ткг1г.
304
Мх (Ф^п) — Ук (Фап) 2 Z/{ (Фап) у — tTlk Ук Zk to2,
(Фап) — Zk (Ф*л) д — Xk (Фал) z “ W-k Xk^ k to2,
лмф*л) = О-
Жисм барча нуцталари инерция кучларининг Ох уцца нисбатан
бош моментини цисоблаймиз:
Л1? = 5 Л1, (Фи) + У м, (Фл„) =
= с V тьг. ,zt — — I (23.22)
к k к кJ к k xz yz 4 '
(23.23)
Худди шуниигдек, жис>м барча нуцталари инерция кучларининг Оу
ва Oz уцларга нисбатан бош моментлари аникланади:
^=^е + 7«“2-
Л1® = —/2е,
бунда 1г = 'S\mk г~ — жиемнинг z уцца нисбатан инерция моменти.
(23.21)— (23.23) ларни эътиборга олиб, Даламбер принципи асоси-
да чнцарилгаи (23.13) тенгламаларни тузамиз:
хл-гХв + 2^ + ^с^ = о,
5/л + Уй + 25/4-ЛЧ6=°.
2л + гв + ^гк =°>
— ЬУд -}- aYB + s Мх (Ft) + в — /w и2 = О,
ЬХл — аХв + Д (It) + 1уг в + 1x2 w2 = О,
(23.24)
бунда Xk, Yk, Yk билан Fk кучнинг цузгалувчи координата уцлари-
даги проекциялари (Р кучии цам шу кучлар цаторида деб цараймиз)
белгиланган.
(23.24) тенгламалар системасндан А ва В подшипникларнинг реак-
ция кучларини аницлаш керак. Бу тенгламалар системасининг олтнн-
чисида реакция кучлари цатнашмайди ва мазкур тенглама каттиц
жиемнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма царакати дифференциал
тенгламасини ифодалайди. ZA ва ZB номаълумлар (23.24) нинг фа-
цат учинчи тенгламасида цатнашадн, шу сабабли ХА, YA, Хв, YB
номаълумларнн (23.24) нинг цолган тенгламаларидаи аницлаш мум-
кин. Бу номаълумлар подшипник лар га тушадиган кундаланг реак-
ция кучи дейилади.
Шундай цилиб, (23.24) тенгламаларни ечиб ХА, YA, Хв, Yв но-
маълумларни ва ZA-\-ZB ни топиш мумкин. Техника да бу аницмас-
ликни цал цилишда, масалан, В нуцтада таянч подшипник, А нуц-
тада цилиндрсимон подшипник олинади (244-раем, в). У цолда Л
нуцтада реакция кучининг г уц буйлаб йуналган ташкил этувчиси
булмайди ва (23.24) нинг учинчиендан ZB ни аницлаш мумкин. А
ва В подшипниклардаги кундаланг реакция кучларини шартли равиш-
да статик ва динамик реакция кучларига ажратамиз.
20—2344
305
co = О, e = O булганда фацат берилган кучлар таъсирида подшип-
никларда цосил буладиган реакция кучларини статик раекция куч-
лари деб атаймиз. Берилган кучлар таъсирида жисмнинг царакатла-
ниши натижасида цосил буладиган инерция кучлари билан аницлана-
диган реакция кучлари динамик реакция кучлари дейилади. Статик
реакция кучларини А”, У”, X", билан, динамик реакция кучла-
рини Ад. AJ, YdB билан белгиласак,
(23.25)
деб ёзиш мумкин.
Статик реакция кучлари
va; + x- + .\" = о,|
+ =о, I
— bY" - a) ” --- 0, j
ЬА'"~ aX'"= 0 J
(23.26)
тенгламалардан аницланади.
(25.25) ва (23.26) ни эътиборга олиб, (28.24) гдан динамик реак-
ция I учлари аницланадиган куйидаги тенгламаларни оламиз:
Л^-тХв + ММ0^0-
-bY^YaY1j + I„e-I^ = 0,
^л-аХ% + '^ + '^=‘°-
Куйидаги хусусий цолларии куриб чикамиз.
1. Жисмнинг айланиш уки инерция бош укидан иборат булмасин
ва жисмнинг огирлик маркази айланиш уцнда ётсин. Бу цолда
(23.27) да хс*= 0, 1Х2 =*= 0, 1уг ф 0 эканлигини эътиборга олсак,
X* + = 0,
у а ц_ уа = л
-№^-^-/„-^<.,= = 0
ЬА'^ - оХ» + 1уг е + 1хг <о- - 0,
бундан
306
(23.28) дан курамизки, бу цолда таянчларнинг динамик реакцняларп
микдор жихатдан тенг, йуналиши эса карама-карши булади хамда
бунда а 4- b — таянч подшипник лари орасидаги масо^я.
2. Жисм <с — <оо = const бурчак тезлик билан текис айланма \apa-
катда булсин. У холда е - б ва динамик реакниялар учун куйидаги
тенгламаларни оламиз:
Л'^-rX’i -ЬЛКок = 0,
— + = О,
*X*--^-Zx> = 0,
бундан
уд____4~ Ixz) liP yi, lyz &
Ла~ ajb ' A a-rb ’
yd______4* Ivz) °** yd __ yz w~
' B~ a + b ’ B 'a 4- b ‘
Бу з$олда X^, X^, P’, YdB лар узгармас кийматларга эга булади.
Агар хс — 0 булса, яъни 1- ва 2- шартлар бир вацтда уринли
булса,
i^i==/^f=y/4fr“2- (23,29)
Демак, бу цолда таянч реакциялари микдор жихатдан тенг, йуна-
лиши царама-царши булган иккита кучга [келтирилади цамда улар-
иинг мицдори подшипниклар орасидаги масофага тескари мутаносиб,
бурчак тезлик квадратига тугри мутаносиб равишда узгаради.
3. Агар жисмнинг огирлик маркази айланиш £цида ётмаса хамда
бу уц бош инерция уцидан иборат булиб, А нуцта Q билап устма-
уст тушеа, яъни
Хс + 0, 1уг = °> lxz = 0. Ь = 0
булса, (23.27) дан Хдь = О, — 0 булади. Бу цолда В таянчда
хеч кандай динамик реакция кучи цосил булмайди ва А нуцтадан
утувчи инерция бош уци эркин айланиш уци дейилади.
4. Агар хс= 0, 1уг = 1хг = 0 булса, айланнш цоиуни хар кан-
дай булганда хам (2'3.29) га кура ва NdB нолга тенг булади.
Демак, ай.шниш уци инерция бош марказий укидан иборат бул-
са, А ва В нукталарда динамик реакция кучлари хосил булмайди.
Энди подшипникларда цосил буладиган цушимча динамик реакция
кучи нолга тенг буладиган зарурий шартларии аницлаймиз. Бунииг
учун (23.24) да инерция кучларига боглиц булган цадлар нигинди-
307
синн нолга тенгланмиз. Бош^ача айтганда, (23.21)—(23.23) форму-
лалар ёрдамцца аникланаднган инерция кучларининг бош вектори ва
бош моментики нолга тенгланмиз:
Мхс и? = 0, |
— Мхс е = О, j
(23.30)
(23.31)
0,1
;yz>4-ZX2ws= о. j
(23.30) дан xc = 0 келиб чи^ади. Бундан таш^ари, огирлик мар-
кази х уада ётгани учун ус = 0 булади. Бу 30л жисмнинг массалар
маркази айланиш уцида ётишини курсатади.
(23.31) тенгламаларни Ixz ва /у2 га нисбатан ечсак,
^хг ~ 0’ А-г ~ О
булади. Бу тенгликлар z у К О нуцтадаги инерция бош уци бу лиши
кераклигини ифодалайди.
Шундай цилиб, ц$зралмас ук атрофида айланма харакатдаги
жисм таянч нуцталарига динамик босим курсатмаслиги учун
айланиш уки инерция бош марказий укидан иборат булиши зарур
еа етарлидир.
Катти; жисмнинг айланиш у^ига курсатадиган динамик босимини
аниклашга оид масалалар ечищда (23.24) формула жиемга таъсир
этаетган кучларга ва танланган координата укларига мослаб тузи-
лади. Бунда цузгалувчи координата у^ларини цандай танлаб олиш
ало^вда ахамиятга эга. Масалан, агар Oz уцни айланиш у^и буй-
лаб, Ох ни эса массалар марказидан утмайдиган у’К деб олинса,
у холда (23.21) да У tnk yk = Мус=М) булиб, (23.24) да ус ни уз
ичига олган хадлар хам цатнашадн:
Хд 4* Xjg ^Ус 6 Мхс с°2 ~
УА “Г YB + "£Yk — МХс£ + =* °>
— Ь¥А + иУв + i Мх (Fft) + hi в — 1уг Ю2 — О,
ЬХа — аХв + 2 At, (7л) + е - /„ = 0.
(23.32)
Бунда b ва а лар таянч нуцталари Л ва В дан координата боши О
нуцтагача булган масофалардир.
154-§. Кузгалмас атрофида айланувчи жисм массаларини
динамик мувозанатлаш
Кузгалмас уц атрофида айланаётган жисм массаларини динамик
мувозанатлаш масаласи (бош^ача айтганда, инерция кучларини муво-
занатлаш масаласи) техникада му^^м ахамиятга эга булиб, бу ма-
салани ечиш жисмнинг бош марказий инерция у^ини аницлашга ке^1-
тирилишини курсатамиз. Бунинг учун жиемда утказилган ихтиёрий
укни иккита цушимча масса киритиш йули билан инерция бош
марказий уки килиб танлаб олиш мумкинлигини исботлаймиз.
308
Массаси М га тенг булган жисм уч^н хс, ус, 1хг, 1уг катталик-
лар маълум ва улар нолдан фаркли булсин. Жисмнинг (ху, ylt
ва (х2, у2, z2) ну^таларига массалари тх ва т2 га тенг иккита цу-
шимча масса киритамиз. У ^олда массалар цушилган жисмнинг огир-
лик маркази айланиш укида ётиши учун бу жисм огирлик маркази-
нинг координаталари хс = у'с ~ 0 булиши Еа айланиш у^и инерция
бош уцидан иборат булиши учун жисмнинг айланиш уцига нисбатан
марказдан кочувчи инерция моментлари Гхг = /'z=0 булиши зарур ва
етарлидпр. Бу шартларни бош^ача килиб куйидагича ёзиш мумкин:
А1ХС 'Г ГЩХ^ + HlgAg = О,
Л^с+/и1у1Ч-т2У2 = 0,
+ m.,v.^2 = О,
+ “1S/A + т2у„г2 = 0.
(23.33)
куйилган масала тх ва т2 массаларни ва улар куйилган нукталар-
нниг координаталарини (23. 33) тенгламалар системасини каноатлан-
тирадиган цилиб танлаб олиш йули билан ечилади. Бунда баъзи кат-
таликлар олдиндан маълум булиши керак. Масалан, тъ т2 ва zlt z2
ларнинг (бунда zt Ф г2) цийматлари олдиндан берилган деб караб,
(23.33) тенгламалар системасидан хъ ylt х2, у2 ларни топнш мумкин. Бу
усулдан техникада тирсакли валлар, кривошиплар, автомобиль гилдмрак-
лари ва шу кабн деталларни динамик мувозанатлашда фойдаланилади.
52-масала. Доимий <и бурчак тезлик билан айланувчи горизонтал
АВ валга бир-бирига перпендикуляр булган текисликларда ётган I
узунликдаги иккита стержень тугри бурчак остида бириктирилган.
Стерженларнинг учларида ?;ар цайсисининг массаси tn булган D ва
Е шарлар бор. Валиинг Л ва В таянчларга курсатадиган динамик
босимлари аницлансин. Стерженларнинг эгаллаган ^олати раемда кур-
сатилган. Шарлар моддий нуцта деб хисобланспн, стерженларнинг
массалари \исобга олинмасин (245-раем).
Ечиш. Координата уцларини раемдагидек йуналтнрамиз. Л ва В
нуцталарда ^оснл буладиган ^ушимча динамик реакция кучларини х
309
ва у укларпинг мусбат йуналиши буйича йуналган Хд> У л, Хв» У в
ташкил этувчиларга ажратамиз. D ва Е нуцталарга Фл ва ф£ мар-
каздан цочувчи инерция кучларини цуямиз:
Ф;) = Ф£ = тьг1.
Инерция кучлари ва динамик реакция кучларининг мувозанат
тенгламаларини тузамиз:
vx = 0; + х*-ЬФ£ = 0,
V У = 0; У^ 4- + Фр = 0.
У М х (FK) = 0; За (- У°А - У*) - яФ; = 0,
= За М-^-афс=о
Бу тенгламаларни биргаликда ечиб изланаётган номаълумларии топа-
миз:
= — - т а-l, Х>=--т «Я,
А 3 Б 3
Уд.=-то>‘1, У'1 = — -т^1.
А 3 в з
Ушбу ифодалардаги маифнй ишора А ва В нуцталардаги цушимча
динамик реакция кучларининг ташкил этувчилари ^акицатда х ва у
укларнинг мусбат йуиалишига тескари йуналганлигини курсатади.
Шундай килиб,
Ад = Г (А ДН (1'1)’- ~ т1Ы‘,
N'!. = —- mlar .
* 3
53- масала. Эксцентриситета ОС = е га тенг булган бир жинсли
юлка диск горизонтал вал уртасига унинг у^и билан 90° — а бурчак
ташкил куыадиган з^олатда кузгалмас цшшб урнатилган; дискнинг
огирлиги R, радиуси г га тенг. Вал ва диск ю бурчак тезлик билан
бир текис айланганда достиг буладиган статик ва динамик реакция
кучлари аницлансин (246-расм.п).
Ечиш. Статик реакцияларии топиш учун валга таъсир этувчи
кучларни схема куринишида тасвирлаймиз (246-раем, Ь). Валга диск-
нинг огирлик кучи Р ва подшипникиинг таяич сиртларига перпенди-
куляр равишда йуналган R'a ва Rcb статик реакция кучларидан ибо-
рат ташци кучлар таъсир этади.
Расмдан AD ва DBhh аницлаймиз:
AD = а — е sin а,
DB == а + e sin а.
Р, I^a, Rcb кучлар системаси текисликдаги параллел кучлар сис-
темасини ташкил этади. Бу кучларнинг мув<ваиат тенгламаларини
тузамиз:
310
246- раем.
У,Л'(л (F*) = 0; +Яв-2я — Р(а —esina) = 0, 1
SAlfi(Fj) = O; —/&T-2a + P(c + esina) = 0. (
Бунда Л ва в таянчларда мкил буладиган статик реакция кучлари-
ии аницлаймиз:
пет __ р
л 2а ’
рст = р а sin а .
Вал билан биргаликда царакатланувчи координаталар системаси-
нинг бошини дискнинг маркази О да олиб, Oz уцни айланиш уци
буйлаб, Ох уцни эса дискнинг огирлик маркази С нуцта ва г ук ор-
цали утувчи текисликда оламиз.
Вал АВ уц атрофида узгармас бурчак тезлик билан айлангани
учун динамик реакция кучлари аницланадиган (23.32) тенгламаларни
цуйидагича ёзамиз:
У*+У’-гЛ^о? = О,
A4-Q-XB-Q + /,.-("2 = °-
Оу уц бош инерция уци булгани учун 1гу = О.
Марказдан кочувчи lzx инерция моментини цисоблаш учун кузга-
лувчи Cxji/jZi бош марказий координата уцлар системасини кирита-
миз. У цолда Oxyz координаталар сисгемасидан Сх-^^ координата-
лар системасига
311
х == (e ~h Xj) cos a — zx sin a,
у = (e -f- xT) sin a + zt cos a
формулалар ёрдамида рплади. Буни эътиборга олиб, 1ХХ ни цисоб-
лаймиз:
Лх = (е + xi),dm — [ 2:rf,;1 ] +
(Ao ей) (An
-7- cos 2 a (e -p *1) Zjdm.
Cxtylzl координаталар системаси боши дискнинг массалар марка-
зига жойлашгани учун
f Zjdtn = 0, f Xjdm = О
(Alj (М)
булади. Бинобарин,
/« = jeW + tffydm - [(4 7 yfrim] =
(AD (At)
= S-~(eW + \-/V1).
Массаси текис таксимланган диск учун
г 1 лл S I Mr*
1Х = — Mr, ,
*14 21 2
шу сабабли
у P«sin2a [ „ г- \
'5 ' т)-
Расмдан у’— 0, хс = ecosa булгани учун (1) тенгламалар систе-
масидан цуйндаптрни аниклаймиз:
Удл = П = 0.
Me cos а • ш2 = — (Хдд + Хдв),
Шундай цилиб, динамик реакциялар огирлик маркази ва дискнинг
айланиш уки билан бир текислнкда ётади ва Ох уцца тескари йуна-
лади цамда
Х6А = — ^-[ecosa —-ре2 f| w2,
2g U Л
v'3 Г z. г, , sin 2 я / г® . 9\1 „
А^=-гДесо5и + ^г(т+е')]“'
булади.
312
XXIV боб
Аналитик механикадан бошлангич маълумотлар
Аналитик механика булимида барча механик системаларнинг цара-
кати ва мувозанатига оид умумий принциплар баён этилади. Бу прин-
циплардан механик система харакатининг асосий дифференциал тенг-
ламаларини чикариш, бу тенгламаларни талцин цилиш ва интеграллаш
масалалари аналитик маханиканинг асосий мавзуини ташкил этади.
Аналитик механика булимида цулланиладиган усулларни, механик
системалардан ташцари, электр ва электромеханик ходисаларга цам
куллаш мумкин.
Статика булимида абсолют цаттиц жисм мувозанатинннг зару-
piifi ва етарли шартлари чицарилган эди. 1\отиш принщшига асосан
исталган механик система учун бу шартлар фацат зарурий шартларни
ифодалайди. Мувозанатнинг етарли шартини аницлаш учуй хар бир
жисмнинг мувозанатини айрим текшириш керак. Бунда номаълум
булган бир цанча ички богланнш реакция кучларини цисоблашга тут-
ри келади. Системани ташкил цилувчи жисмлар сони ортгани сари
тенгламалар сони цам купая боради.
Аналитик механикада барча механик системалар учун умумий
булган принциплар асосида системанинг царакат дифференциал тенг-
ламалари ёки мувозанат тенгламалари аналитик усулда чицарилади.
155-§. Богланишлар ва уларнинг классификациям
Ихтиёрий актив кучлар таъсиридаги N та нуцтадан ташкил топ-
ган механик система нуцталарининг координаталари ва тезликлари
системанинг царакати давомида маълум шартларни цаноатлантирсин.
Буидай шартлар системага цуйилган богланишлар дейилади. Богла-
нишлар бирор координаталар системасига нисбатан система нуцталари-
нинг координаталари (лк, ук, z^ (А = 1, 2, , 2V), улардан вацт
буйича олинган биринчи тартибли цосилалари (>*, ук, гк) орасидаги
маълум муносабатлар билан ифодаланади. Бу муносабатларда t вацт
ошкор равишда цатнашиши мумкин.
Система нуцталарига цуйилган богланишларни ифодаловчи муно-
сабатлар тенгламалар ёки тенгсизликлардан иборат булиши мумкин.
Богланишлар цуйилмаган система эркин система дейилади- Сис-
тема нуцталарига цуйилган богланишлар актив кучлар таъсиридаги
система нуцталарининг царакатини худди шу кучлар таъсиридаги эр-
кин система нуцталарининг царакатмга нисбатан маълум маънода
чеклавди.
Бундай чеклашдан техниканинг турли сохаларида, амалиёт учун
зарур булган, мацсадга мувофиц бирор йуналиш буйича царакатни
таъминлашда фойдаланилади. Двигатель цилиндри ичида царакатла-
наётган поршень бунга мисол була олади. Бунда цилиндр богланиш
вазифасини утайди.
313
Шундай цилиб, богланишдаги система ну^тала рининг ^аракати
<|)ацат система нуцталарига таъсир этувчи кучлар ва бошлангич шарт-
ларгагина боглиц булмай, балки цуйилган богланишларга хам боглиц
булади. Бу >^олда бошлангич шарглар богланиш тенгламаларини ца-
ноатлантнриши керак.
Система нут^таларига цуйилган богланишлар турига караб систе-
ма нуцталари турлича ^аракатда булади. Богланишларнинг турли
хилларини куриб утамиз.
Богланишлар факат система нуцталарининг коордпнаталарини чекла-
са, бундай богланиш тар геометрик богланишлар дейилади. Геометрик
богланишнинг тенгламаси
t(xv yv Яр ..., xN, yN, яу, 0 = 0
ёки кисцача
yk, zk, 0 = 0 (24.1)
куринишда ёзилади. Бу ерда ва бундан кейин /(а\, yk, zk) ифодада
х» Ук’ К урнида барча лр л,, хп; г/ь уг. .., уп, я,, я,,. ., £„
лар цатнашади >^амда / функция ва унинг ^осилалари узлуксиз
функция деб царалади.
Агар богланиш система нуцталарининг координаталаридап таш-
цари тезлигиии хам чекласа, бундай богланиш кинематик ёки диф-
ференциалли богланиш дейилади. Кинематик богланиш тенгламаси
цуйидагнча ёзилади:
Нх„, yk. ze xh Ук 0 = 0. (24.2)
Геометрик богланишлар ва интегралланадиган (24.2) куринишда-
ги дифференциал богланишлар голоном богланишлар дейилади.
Интегралланмайдиган дифференциал богланишлар ноголоном богла-
нишлар дейилади. Ноголоном богланиш тенгламаларини система
нуцталари косрдинаталарининг функциясидан иборат булган бирор
функцнянинг тулиц дифференциали тарзида ифодалаб булмайди.
Биз фацат голоном богланишлар цуйнлган механик системаларни
куриб чицамиз.
Агар богланиш тенгламаси вацтга ошкор равишда боглиц булса,
бундай богланиш стационар булмаган богланиш дейилади. Бундай
богланиш тенгламаси умумий ^олда (24.2) куринишда ёзилади. Ма-
салан,
тенглама билан ифодаланган богланиш стационар булмаган богла-
нишдир. (24.5) нинг геометрик маъноси цуйидагичадир: нуцта ^аракат
давомида битта яримуци узгариб турадиган эллипсоид сиртида, яъни
деформацияланадиган эллипсоид сиртида колади.
Агар богланиш тенгламаси вацтга ошкор равишда боглиц булма-
са, бундай богланиш стационар богланиш дейилади. Стационар
богланиш тенгламаси
314
Hxk,yiizk, ik,yt,ik)=o (24.6)
куринишда ёзиладн.
Масалан,
4 + ~ + 4 = 1 (24.7)
а- Ь- с2
тенглама билан ифодаланган богланиш стационар боглаиишдир,
чунки (24.7) да t вацт ошкор равишда цатнашмайдн.
Богланишни ифодалайдигаи муносабат тенглама билан ифодаланса,
буидай богланиш бушатмайдиган богланиш дейилади. (24.1) — (24.7)
богланишлар бунга мисол булади.
Боглаиишни ифодалайдигаи муносабат тенгсизлик билан ифо-
даланса, бундай богланиш бушатадиган богланиш дейилади.
Шундай ь^илиб, бушатадиган богланиш
ук, st, >-к ук вк, 0>0
ёки
Ф(х, у, s, х, у„ я)< О
тенгсизликлар бнлан ифодаланади. Масалан, богланиш
х2 + У2 + 22 < R2
шаклида берилса, нуцта сферанинг ичида ёки сфера сиртида ^аракат-
ланнши мумкин.
Богланиш тенгламаларини тузишга оид бир неча мисол келтира-
миз.
1. Бир текисликда .\аракатланувчи ва шарнирлар воситасида би-
риктирилган хамда битта стержени доимо цузгалмасдан цоладиган
турт бутинли механизмга куйилган богланиш тенгламасини чицара-’
миз (247-раем).
Богланиш тенгламалари О А = а, АВ^Ь, ВС — с масофалар
узгармаслигини ифодалайди:
xi —у\
(х2 Xj)~ -г (у2 — i/j)2 — Ь-.
(x2—df А-у[
315
248- раем.
Бу тенгламаларда t вакт ошкор равишда катнашмайди ва бу тенг-
ламалар система нуцталарининг координаталарини чеклайдп. Шу
сабабли бу тенгламалар геометрик стационар богланишпи ифода-
лайди-
2. Горизонтал текисликда узгармас v тезлик билан харакатла-
нувчи уч бурчакли призма АВС устида Р жисм сирпанади (248-раем).
Жисм цар онда призма сиртода турганлиги сабабли у жисм учун
богланиш вазифасини утайдн. Богланиш тенгламасини чицарлмиз.
Оху координаталар системасини шундай танлаймизки, t ~ 0 бул-
ган пайтда Л В чизиц у ук билан устма-уст тушсин. У цолда ВС
тугри чизицнинг ихтиёрий t пайтдаги тенгламасини
Н—= 1
ОС OD
куринишда ёзиш мумкин. 248-расмдан
ОС = ОА + АС = Ы 4- b
OD = AB- — = av^.
AC b
Буларни олдинги тенгламага цуйсак,
ёки
ах — by — a(yi 4- Ь).
булади. Бу стационар булмаган талоном богланиш тенгламасидир.
156-§. Умумлашган координаталар ва системанинг
эркиилик даражаси
Механик системанинг исталган пайтдаги холати система ^ар бир
ну^тасининг коордииаталари билан аиицланади.
Механик система N та нуцтадан ташкил топтан булсии, У цач-
да бундай системанинг холатини аницлаш учуй 3 N та Декарт коор-
316
динаталари хр х2......xfv, у}, у2.....yN. zv z2.......zN ни би-
лиш етарли. Агар механик система чексиз куп нуцталар тупламидан
ташкил топтан булса, у цолда бундай системанинг холатини унинг
коордииаталари воситасида чекли равишда аницлаб булмайди.
Лекин куп цолларда механик системанинг цолатини бир-бирига
боглиц булмаган маълум сондаги параметрлар билан аницлаш мум-
кин. Масалан, бирор мураккаб машина ёки механизмнинг цолатини
аницлаш учун бнтта ёки иккита етакчи бутиннинг цолатини билиш
етарли, чунки бошка бутинларнинг холатини етакчи бугин цолати
орцали аницлаш мумкин.
Аналитик механикада механик системанинг царакатини урганиш
учун «умумлашган координаталар» тушунчаси киритилади.
Системанинг фазодаги холатини бир цийматли тарзда аннцлайди--
ган ва мацсадга мувофиц равишда танлаб олинган, бир-бирига боглиц
булмаган катталиклар системанинг умумлашган коордииаталари
дейилади. Бундай координаталар учун цутб коордииаталари. цилинд-
рик координаталар, сферик координаталар ва бошца координаталар-
ни олиш мумкин. Умумлашган координаталар, одатда q билан белги-
ланади.
Умумлашган координаталарни киритишга оид бир неча мисоллар
курайлик.
1. Каттиц жиемнинг цузгалмас уц атрофидаги айланма цара-
кати. Айланиш уцп сифатида 5 уцни олнб, цузгалмас координаталар
системасини 249-раемдагидек киритамиз.
Каттиц жиемнинг фазодаги цолати унинг бир тугри чизицда
ётмайдиган учта нуцтасининг цолати билан аницланиши геометрия-
дан маълум. Агар иккита нуцтани айланиш уцида олсак, бу нуцта-
лар кузгалмас булади. Шу сабабли кузгалмас уц атрофида айла-
наётган цаттиц жиемнинг цолати айланиш уцида ётмайдиган жисм
ихтиёрий нуцтасининг цолати билан аннцланади. Бундай нуцта учун
бошлангич пайтда xs текисликда
ётган ихтиёрий Л10 нуцтани ола-
миз. Жисм цузгалмас уц атро-
фида айланганда бу нуцта айла-
ниш ^кига перпендикуляр текло
лнкда ётувчи а радиусли айлана
чизади. Ихтиёрий пайтда бу нуц-
танинг эгаллаган цолатини М
билан белгиласак унинг координа-
талари куйидагича анцланади:
х = a cos ф, 1
у — a cos <р, I
z = const, J (24.8)
бунда <р — айланиш бурчаги.
(24.8) да нуцтанинг координа-
талари фацат ф бурчакнииг узга-
249- расы.
317
ришига боглиц эканлигини курамиз. Бинобарин, <р бурчак маълум
булса, жисмнинг исталган цолатини аниклаш мумкин. Шу сабабли
q — (р бурчакни умумлашган координата учун кабул цилиш максадга
мувофиц булади.
2. Цаттиц жисмнинг текис параллел харакати. Кинематика були-
мида курганимиздек, цаттиц жисмнинг текис параллел харакати
унда олинган цутбиинг илгариланма харакати ва шу цутб атрсм}®-
даги айланма царакатдан ташкил топган деб царалади. Жисмнинг
илгариланма царакатини аниклаш учун цутбнииг координаталари
х, у ни аницлаш кнфоя. Кутб атрофидаги айланма харакат эса айла-
ниш бурчаги <р билан аницланади. Шундай килиб, 1екис параллел
харакатдаги жисм учун умумлашган координаталар сифатида учта:
qx = х, q2 = у, q3 = <р параметрларни олиш мумкин.
Умумлашган координаталар бундай танланганда qr ва q2 пара-
мгтрлар чизикли катталик булиб, q3 эса бурчакни ифодалайди.
Текис параллел харакатдаги жисмнинг царакатини аницлашда
учала умумлашган координаталарии цам чизицли цилиб танлаб олиш
мумкин.
^акикатан цам, текис шаклнинг ихтиёрий хрлати унинг иккита
нуцтасининг координаталари АД (х1э уг) ва Л12 (х2, у.2) билан аницла-
нади. Лекин турттала координата АЦ ва Л12 нукталар орасидаги
масофанинг узгармаслигини ифодаловчи ушбу
(Л'1 — х,)2 + (I/, — 1/2)2 = (р (24.9)
битта алгебраик тенглама билан богланган. Шу сабабли бир-бирига
боглиц булмаган координаталар фацат учта булади. Бинобарин,
жисмнинг текис параллел царакатини аницлаш учун умумлашган
координаталар сифатида унинг бирор нуцтасининг координаталарини
ва бошца нуцтасининг битта координатасини олиш мумкин.
Масаланинг цуйилишига цараб, умумлашган координаталар мац-
садга мувофнц равишда биринчи ёки иккинчи усулда танлаб олинади.
Аналитик механикада жисмнинг текис параллел царакатини урга-
нишда купинча х, у, (р параметрлар умумлашган координаталар
учун олинади.
N та моддий нуцталардан ташкил топган механик системага I
та бушатмайдиган голоном богланишлар цуйилган булсин:
/а(^, = °, (« = L2> • ’ 0- (24.10)
У хрлда системанинг 3 N та координаталари хг, х2, .... х*л„ уъ
у.2, • • > % • • • sv узаро I та тенгламалар билан боглан-
ган булади. Бинобарин, 3N та координаталардан фацат 3N — I = п
таен эркин булиб, цолган I таси богланишда булади. ЗА/ — I = п
та эркин координаталарии мацсадга мувофиц равишда танлаб олин-
ган q-i, q2, . . . , qn умумлашган координаталар оркали ифодалаш
мумкин. (24.10) ни I та богланишдаги координаталарга нисбатан
ечиб, уларни п та эркин Декарт координаталарининг функцияси си-
фатида ифодалаш мумкин. Натижада система нуцталарининг барча
318
Декарт координаталарини умумлашган координаталар орцали ифода-
лаш мумкин:
хк = хк tap <72- • • Ч„- 1 _
Ук = УЬ(Я\< <72............<7„. 0. № = 1, Л') (24.11)
%...........ч„. 0,1
Бинобарин, цар бир нуцтанинг радиус- вектори цам умумлашган
координаталарнипг векторли функнняси тарзида аницланади:
= 9= , <7„. <)(А = 1.ЛУ (24.12)
Бушатмайдиган голоном богланишлар цуйилган механик система
царакатини аницловчи бир- бирига боглик булмаган умумлашган
координаталар сони системанинг эркинлик даражаси дейилади.
Юцорида кургапимиздек, цузгалмас уц атрофида айланувчи жисм-
нинг харакати битта q — (р умумлашган координата билан аницла-
иади. Шу сабабли бундай жисмнинг эркинлик даражаси бигта була-
ди. Каттиц жисмнинг текис параллел харакати эса мос равишда
танлаб олинган qlt </2. q3 умумлашган кшрдинаталар билан апицла-
нади. Бинобарин, текис параллел царакатдаги жисмнинг эркинлик
даражаси 3 та булади.
Агар система нуцталарига богланишлар цуйилган булмаса, у хол-
да барча 3/V та координаталар эркин булиб, уларнинг циймати фа-
кат таъсир этувчи Fek ташци кучларгагина боглиц булади. Бупдан
курииадики, система нуцталарига богланишлар цуйилганда, система
нукталарини бокчанишни цаноатлангирган холда харакатлаитиришга
мажбур этадиган цушимча кучлар цосил булади. Бу кучлар богла-
ниш реакция кучларини ифодалайди.
Техник жараёнларни бошцаришда богланиш тенгламаларини тутри
ганлаш му хим ахамиятга эга. Масалан, милтикдан отилган уцца
айланма царакат бериш учун ствол махсус равишда уйилган булади.
157-§. Мумкин булган кучиш
Аналитик механикада мумкин булган кучиш тушунчаси асосий
тушунчалардан бири цисобланади. Бу гушуичани голоном богланиш
цуйилган нуцта учун киритамиз. Моддий нуктага
№, у, 2) =0
(24.13)
голоном стационар богланиш цуйилган булсин. Бирор пайтда сирт
устидаги нуктапннг эгаллаган холагидап богланишпи цаноатлантир-
ган холда фикран хар цандай элементар (жуда кичик) кучишлар
о тиши мумкинлигини тасаввур цилайлик. Бу кучншларии нуцта ра-
диус-векторининг сирт устида жойлашган елпигичеимоп оргтирмалари
тарзида тасвирлаш мумкин. Мазкур кучншларии биринчи тартибли
кичик микдоргача аиицлик билан олсак, у холда бу кучишлар М
нуцтада сиртга утказилган уринма текислнкда ётади (250-расм).
319
250- раем.
1\уйилган богланишни берилган он-
да цаноатлантирувчи нуктанинг цар
цандай тасаввур цилинадиган чексиз
кичик кучиши мумкин булган кучиш.
ёки еиртуал кучиш дейилади. Нуцта-
нинг мумкин булган кучиши 6г (6х,
бу, 6s), 6s, 6<р лар билан белгиланади.
Агар нуцтага стационар булмаган
f(x, у, s, 0 = о (24.14)
богланиш цуйилган булса, у цолда
нуцтанинг мумкин булган кучиши вакт-
нинг берилган пайтидаги аниц цайд
цилинган циймати учуй хисобланади,
яъни бунда 6Z = 0 деб царалади. Масалан, харакатдаги ёки дефор-
мацияланувчи сирт устидаги нуцтанинг мумкин булган кучиши, бе-
рилган пайтда сирт эгаллаган холатда нуцтанинг снрт буйлаб эле-
ментар кучишларидан иборат булади.
Богланишни цаноатлантирган холда нуцтанинг фазода dt вацт
ичида элементар кучиши цакикий кучиш дейилади. Агар нуцтага
(24. 13) богланиш цуйнлган булса, у цолда М нуцтанинг dt вакт
ичидаги цакиций кучиши dr шу пайтда траекторияга уринма буйича
йуналади (251-раем). Нуцтанинг цациций кучиши нуцтага таъсир
этувчи кучларга, унга цуйнлган богланишга ва бошлангич шаргларга
боглиц булади. Нуцтанинг мумкин булган кучиши билан цакиций
кучиши орасидаги муносабатни аницлаймиз. Агар нуцтага стационар
богланиш цуйилган булса, у цолда нуцтанинг цар бир цацнций ку-
чиши бирорта мумкин булган кучиши билан устма-уст тушади. Нуцта-
нинг цар бир мумкин булгаи кучишини голоном богланиш билан
ифодаланган сиртга нисбатан нуцтанинг нисбий кучиши деб цараш
мумкин. Агар боглаииш стационар булса, яъни сирт геометрик шак-
лини узгартнрмаса ва фазода кучмаса, сирт устидаги нуцта кучирма
царакатда цатнашмайди ва нуцтанинг барча мумкин булган кучиш-
251- раем.
252- раем.
320
лари абсолют кучишлардан иборат булади. Бинобарин, кучлар таъси-
ридаги нуцтанинг исталган_цациций кучиши dr шу нуцтанинг бирор
мумкин булган кучиши бг билаи устма-уст туша ди. *
Стационар булмаган богланишлар цуйилган нуцтанинг цацикий
кучиши бирорта цам мумкнн булган кучиш билан устма- уст тушмас-
лиги мумкин._Бу цолда нуцтанинг цациций кучиши dr унинг нпс-
бий кучиши бг (бирорта мумкин булган кучиш) билан сиртнинг
кучиши ёки деформацияланнши натижасида цосил буладиган цу-
шимча dre кучншнинг геометрик йириндисига тенг булади (252-раем):
dr — бг + dre.
Механик_ система нуцталарииинг мумкин булган кЗ^чишлари (бгп
бг2, . . . , бгл.) туплами системанинг мумкин булган кучиши дейи-
лади.
Нуцтанинг мумкин булган кучиши билан цациций кучнши ораси-
да урнатилган муносабатлар система нуцталарииинг кучишига цам
тааллуцли булади.
Агар система Mk нуцтасининг радиус-векторини rk ва коорди-
наталарини xk, yk zk билан белгиласак, Mk нуцтанинг мумкин бул-
ган кучиши
вектор бнлаи ифодаланади. Бунда /, /, k лар Oxyz инерциал систе-
ма координата уцларннинг бирлик векторларини, 6xft, byk, $zk лар
эса мумкин булган кучншнинг мазкур уцлардаги проскцияларини
ифодалайди ва координаталарнинг вариациялари дейилади.
Mk нуцтанинг цациций кучиши
+ dy~j + dzkk
вектор билан ифодаланади. Бунда dxk, dyk, dzk лар координаталар-
нннг дифференциалини ифодалайди.
Системанинг цолати умумлашган координаталар орцали ифодалан-
ганда (24.11) ёки (24.12) га кура системанинг мумкин булган кучиш-
ларини хам умумлашган коордиваталарнинг вариациялари орцали
ифодалаш мумкин.
Юцорида курганимнздек, системанинг мумкин булган кучишини
аниклащда богланиш тенгламасида t ни узгармас деб цараш керак.
Шунинг учун (24.11) ва (24.12) да мумкин булган кучишни аниц-
лашда б/=0 деб олинади. У цолда Декарт координаталарининг вариа-
циялари бхй, §yk, 8sk ва мумкин булган кучиш 6rfe учун худди куп
узгарувчили ^функциянинг тулиц дифференциалига ухшаш цуйидаги
формулалар уринли булади:
21—2344 321
4=v-6?1 + ^-4 + - + ^-4„,
Sq, dqt г 0l7n
4 = ^6?i + ^4 + -- •+“Tb^’
d9i dq2 z dqn
6z4 = ^«9. +5^ 6q2 + . . . + 6q„,
^71 dq<, dqn
f~r = 4^- «9, + -4^ 69. + .. . + 4^- «9
* ддг H 1 oq2 /2 1 1 oqn 4n
ёки
ч=2 ч=2 4"4 4 4=2 v4- 4.
* s 8« fi *« st dn
4=2^4. (24.15)
Бунда 6ft, 6ft, • - . , fyn лаР умумлашган ^координаталарнииг вариа-
цияларини ифодалайди.
Системанинг хаки^ий кучиши царалаётганда (24.12) да /узгарувчи
микдор деб олинади; у цуйидагига тенг:
п _
= + (24.16)
Бу тенгликни dt га булиб, система ихтиёрий нуктасининг тезлигиии
умумлашган координаталар оркали ифодалаш мумкин:
- - _ V а~» • . огк ,94 |7.
й м а?, Ч‘+ <11 (24.1Z)
бунда qt = — умумлашган тезлик ва
Др- = -^-Г+-^4-7+ fc (24.18)
0е< O0Z dq, 1 1 дщ ' >
158-§. Кучнинг мумкин булган кучишдаги иши.
Идеал богланишлар
Аналитик механнкада системанинг ^аракати ёки мувсванатини тек-
ширишда мутры а^амиятга эга булган яна битта тушунча— кучнинг
мумкин булган кучишдаги иши тушунчаси киритилади. Кучнннг
мумкин булган 6 г кучишдаги элементар иши М цуйцдагича аниь>-
ланади:
«А =Fbr
(24.19)
322
ёки
ЬА = Хбх 4- Убг/ 4- Z6g- (24.20)
бунда X, У, Z лар F кучнинг, 6я,
6г/, 6g лар эса мумкин булган ку-
чиш 6г нинг Декарт координата уц-
ларидаги проекцияларини ифода-
лайди.
Кучнинг мумкин булган кучиш-
даги иши учун (24.19) га кура яна
куйидаги ифодани ёзиш мумкин:
6А = |F|-|6r]-cosa, (24.21)
253- раем.
бунда а билан F куч на мумкин булган кучиш 6 г векторлари ора-
епдаги бурчак белгиланган.
Агар системанинг хар цандай мумкин булган кучишида система
нуцталарига цуйилган богланиш реакция кучларининг ишлари йигин-
диси нолга тенг булса, бундай богланишлар идеал богланишлар де-
йилади; идеал богланишлар учун [куйидаги тенглик уринлн булади.
VN .6г. = 0,
R R •
(24.22)
бунда: Nk — богланиш реакция кучи; 6rft — мумкин булган кучиш.
Идеал богланишга дойр бир неча мисол келтирамиз.
1. Силли^ сирт. М нуцта силлиц сирт устида харакатланганда
силли^ сиртнинг реакция кучи фацат шу пуктада сиртга утказилган
нормаль буйича йуналган ташкил этувчидан иборат булади (253-расм).
Мумкин булган кучиш эса М нуцтада сиртга утказилган уринма те-
кисликда ётади. Бинобарин, силлиц сиртнинг богланиш реакция кучи
^ар цандай мумкин булган кучишга перпендикуляр равишда йунала-
ди. Шу сабабли N реакция кучининг >^ар к€андай мумкии булган ку-
чишдаги иши нолга тенг булади:
6А Мбг = 0.
2. Кузгалмас нуктага эга булган жисм. Жисм харакати давомида
унинг битта нуцтаси кузгалмасдан крлсин. Бундай жиемга мисол та-
рнкасида пилдироцни олиш мумкин. Бу холда ишкаланиш эътиборга
олинмаса, жисмнинг ^ар рандам мумкин булган кучишида кузгалмас
нуцтага куйилган реакция кучининг иши нолга тенг булади.
3. Кривошип-шатунли механизм. О ва А уклардаги шпкаланиш,
шунингдек В сурилгич (ползун) йуналтирувчи буйлаб зрракатлан-
ганда хосил буладиган ишцаланиш кучи хисобга олинмаса, кривошип-
шатупли механизмга куйилган богланишларни идеал богланишлардан
иборат деб караш мумкин (254-раем).
.Х^икатан хам, механизмнинг хар цандай мумкин булган кучи-
шида О ну^та кузгалмас булгани сабабли Ао реакция кучининг иши
нолга тенг. NBA_6rB булганидан NB реакция кучининг мумкин бул-
323
254- расм.
ган кучишдаги иши хам нолга тенг. А нуцтада ОА кровошип-
нинг АВ шатунга таъсир кучини NA билан цамда шатуннинг криво-
шипга таъсир кучини N'A билан белгиласак, бу кучлар цар бирининг
мумкин булган кучишдаги иши нолдаи фарклидир. Лекин Ньютон-
нинг учинчи цонунига кура NA = — N'A булади ва бу кучлар цуйил-
ган А нуцта бир хил 6гл кучиш олади. Бинобарин, NA ва М'А куч-
ларнинг 6 гА мумкин булган кучишдаги ишларининг йигиндиси нолга
тенг булади:
А'л Ь’гл + ''А 6гл = — Мл) 6гл = 0.
Шундай цилиб, (24.22) шарт бажарилди.
159-§. Умумлашган кучлар
Система нуцталарига таъсир этувчи кучларнинг мумкин булган
кучишдаги ишларининг йигиндиси
У16А1, = ^11-.6Г» (24.23)
формуладан аникланади. (24.15) ни^эътиборга 'олиб (24.23) ни цуйи-
дагича ёзиш мумкин:
ёки йигиндиларнинг тартибини узгаргирсак,
324
булади. Бу тенгликда ушбу белгилашни киритамиз:
<24-24>
у холда
= 2 <2.Ч = <2А1+--- + <2л6«» (24.25)
ft=l
булади.
Qi катталик умумлашган координата сц га мос келувчи умумлаш-
ган куч дейилади. Бош^ача айтганда, берилган механик система нук-
таларига таъсир этувчи актив кучларнинг мумкин булган кучишдаги
элементар ишлари йигиндпсидаги бирор умумлашган координатанинг
орттирмаси олдидаги коэффициент системанинг ушбу умумлашган ко-
ординатасига мос келувчи умумлашган кучни ифодалайди. Бу, умум-
лашгаи кучни аниклашнинг биринчи усулидир.
Умумлашган кучни э^исоблашда куйидаги иккинчи усулдан ^ам
фойдаланилади. Бунда Qt умумлашган кучни хисоблаш учун мумкин
булган кучишлар шундай танланадики, факат Q; га мос келган умум-
лашган координата qt узгарсин, яъни булиб, колган барча
... , i • - - bqn лар нолга тенг деб царалади.
Барча кучларнинг бундай хусусий кучишдаги ишларининг йигин-
диснни билан белгиласак, унинг микдорн (24.25) га кура
битта ^ушилувчи билан ифодаланади:
= (24-26)
Бундан
о - СЕ*л*)г
Ни^оят, учинчи усулда, ^берилган индекслн умумлашган куч
(24.24) га асосан
<?< = У (Х» & + % + Z* ). («=1. 2,................п) (24.27)
формула ёрдамида аналитик усулда хисобланади.
Умумлашган куч Q,- нинг умумлашган координата орттирмаси 6^'га
купайтмаси ишни ифодалаганлиги туфанли
«21 = -^-
Id
булади. Бинобарин, умумлашган кучнинг улчови умумлашган коор-
динатанинг улчовига боглиц булади. Агар умумлашган координата
узунлик улчовига эга булса, у ^олда умумлашган кучни куч бнрли-
325
гида (ньютояда) улчанади, агар умумлашган координата учун бурчак
олинса, умумлашган кучнинг бирлиги куч моментининг улчов бирли-
гида (Н«м) булади.
Механик система нукталарига таъсир этувчи кучлар потенциалли
булганда умумлашган кучни цисоблашни куриб чицамиз. Системанинг
Mk К» У г (& = Г А) нуцталарига цуйилган кучлар U (xfc, yk, zk]
потенциалга эга булсин. У цолда (21.80) га кура кучнинг коорди-
ната уцларидаги проекциялари куйидагича ифодаланади:
Хк = -Д, Y. = ~, Z. = ~~ (k =17N). (24.28)
k dxk k dyk * dek ' * ' ' '
(24.28) ни (24.27) га цуйиб, умумлашган кучларни аницлаймиз:
Qi = y (i = i7Nj:
I dxk dqt dyk dqk dzk dqt J
k~i
Бу тенгликларнинг j/нг томони, U функциянинг qt узгарувчилар
буйича хусусий хосила ларини ифодалайди. Бинобарин, таъсир этувчи
кучлар потенциалли булганда умумлашган кучлар
Q, = — (i=TT) (24.29)
а?/
формула ёрдамида аиицланади.
Системанинг потенциал энергияси
П (91, q2, .... q„) = —и (Чь q2, ... , ?„)
булгани учун умумлашган кучии яна куйидаги куринишда ёзиш мум-
кин:
& = —п). (24.30)
Агар ишцаланиш кучи мавжуд булса, у цолда бу кучларни цам
актив кучлар цаторига цушиб, уларга мос умумлашган кучлар ци-
собланади.
255- раем.
Умумлашган кучларни цисоб-
лашга оид бир неча мисол куриб
чицамиз.
1. Огирлиги Ру ва узунлиги
/ га тенг стерженга огирлиги Р2
га тенг А юк мацкамланган.
Стержень цилиндрсимон шарнир
воситасида О нуктага мацкамлан-
ган ва z уц атрофида эркин ай-
ланиши мумкин. Цилиндрсимон
шарнирни абсолют силлиц деб
цараб, стержень ва юкдан ташкил
топтан система учун умумлашган
куч аницлансин (255-расм).
326
Стержень ваюкдан ташкил топтан механик системанинг цолгатини
битта умумлашган координата билан аниклаш мумкин. Бу умузмлаш-
ган координата учун стержень огирлик маркази С нуктанинг коор-
динатаси х ёки стерженнинг вертикал дан огиш бурчаги <р ни олнб,
уларга мос келувчи умумлашган кучни хисоблаймиз:
a) q = х булсин. Рг ва Р2 кучларнинг кучишдаги шпини ци-
соблаймиз:
2 = Р^х + Р2-2 = (Рг + 2Р2) Ъх.
Бинобарин, умумлашган куч
Qx = P1-r2P2
булади;
б) q= <р булсин. Рг ва Р2 кучларнинг 6ф мумкин булган к^чшп-.
даги ишини
6Д = ТИ^бф
формуладан аницлаймиз. Бунда
ДМ = — Рг J— sin ф — Р21 sin ф
булиб, айланиш укига нисбатан берилган кучларнинг бош моментини
ифодалайди. Шундай килиб, бу цолда умумлашган куч Qv~ бу-
лади.
(24.27) формулада xt = х = — созф, х2 = 2х = I созф эканли-
гини назарда тутиб, Qx ва учуняна цуйидаги ифодаларни оламиз:
<2, = V = X, 4- 2Х2 = Р{ + 2Р2,
— — — I $й1ф — Р21 sin ф = Ме.
2. Эпицнклик механизмда R радиусли
цузгалмас гилдирак 1 буйлаб ^аракатла-
нувчи г радиусли сателлит 2 ни ОС
кривошип харакатга келтиради (256- раем).
Кривошипга айлантирувчн момент Л1аПл
к.ушглган. Ишцаланиш кучлари сателлит
уки С да ишцаланиш моменти Л1иш ни
вужудга келтиради. Механизмгоризонтал
текисликда жойлашган. Умумлашган
координата учун кривошипнинг айланиш
бурчаги ф ни олиб, унга мос умумлаш-
ган куч хисоблансин.
Механизм ^аракатланувчи кисмларининг ^олатн криво шиллинг О
нуцта атрофидаги айланиш бурчаги ср билан ани^ланади. Механизмга
куйидаги актив кучлар таъсир этади: механизм цисмларининг огир-
лик кучлари ва Л4айл айлантирувчи моментни вужудга келтирувчи
кучлар; бу кучлар цаторига ишкаланиш моменти Л4ИШ ни цушамиз.
Умумлашган кучни анш$лаш учун кривошипга б ср мумкин булган
кучиш бериб, кайд цилинган барча кучларнинг бу кучишдаги иш-
ларини цисоблаймиз. Огирлик кучларининг нши нолга тенг булади.
Чунки масаланинг шартига кура, механизм горизонтал текисликда
жойлашганидан механизм нукта лари нинг кучиши огирлик кучига пер-
пендикуляр йуналади. У холда
26Д4 = 6Д (Л!аПл) + 6Л (Л41ш)
булади. Кривошип бср бурчакка бурилганда Л1айл моментнинг иши
(Майл) = Л4айл-б<р
га, шпкаланиш моментининг иши эса 6Д (Миш) = Л411Ш-бсрг га тенг.
Бунда 6ф, сателлитнинг нисбий кучиш бурчагидир:
бфг = бср.
г
Шундай килиб,
&р.
ft=l
Бу формулада 6(р олдндаги ср коэффициент умумлашган координатага
мос булган умумлашган кучни ифодалайди, яъни
ОФ = ЧВЛ—"иш-
160-§. Мумкин булган кучиш принципи
Мумкин булган кучиш принципи берилган кучлар таъсиридагн
маълум богланишлар куйилган механик системанинг мувозанат шар-
тння ифодалавди.
Актив кучлар таъсиридаги идеал, бушатмайдиган ва стацио-
нар богланишлар цуйилган механик, система мувозанатда булиши
учун система шуцталаринине хар кандай мумкин булган кучишида
барча актив кучлар элементар ишларининг йириндиси хамда сис-
тема барча нуцталарининг бошлангич тезликлари нолга тенг бу-
лиши зарур ва етарлидир, яъни
284 = 2л-ч.=°- (24-31)
Зарурлиги. 7V та моддий нукдалардан ташкил топган механик
система мувозанатда булсин. Системанинг бу мувозанат хрлатидан
328
^ар кандай мумкин булган кучишида барча актив кучлар элементар
ишларининг йигиндиси нолга тенг булишини исботлаймиз.
Системанинг бирор Ак нуцтасини олиб, унга таъсир этувчи актив
кучлар ^амда богланиш греакция кучларининг тенг таъсир этувчи-
ларини F* ва Nk билан белгилаймиз (257- раем). Ak нуктага цуйил-
ган богланишлар таъсири богланиш реакция кучи билан алмаштирнл-
ганлиги туфайли бу ну^та эркин ну^та деб царалади. Механик сис-
тема мувозанатда булгани |учун унинг хар бир Ай нуктаси ?;ам му-
возанатда буладн. Шу сабабли
Fk + Nk = 0, (k = 1, 2.....N) (24.32)
тенгламалар уринли булади.
Системанинг хар бнр Ak нуктасига 6гй мумкин булган кучиш бе-
риб, (24.32) нинг иккала томонини 6гй га скаляр купайтирамиз:
+ (Ь=1, 2, ... , N).
Бу тенгликларни ^ушиб цуйидагини оламиз:
2 =°- (24-33)
Система нукталарига [куйилган ^богланишлар идеал богланишлар-
дан иборат булгани учун
У?Мг.=О.
Шу сабабли (24.33) дан исбот цилиниши талаб этилган (24.31) тенг-
ликни оламиз.
Етарлилиги. (24.31) шарт бажарилса, система мувозанатда
булишини исботлаш учун муло^азани тескаридан бошлаймиз. Даст-
лаб мувозанатда булган система нуцталарига Fk актив кучлар таъ-
сир этиши натижасида (24.31) шарт бажарилишнга царамай, система-
нинг бирор Ak нуцтаси харакатга келади деб царайлик. Бошцача айт-
ганда, Ak нуктага таъсир этувчи Fk ва N* кучларнинг тенг таъсир
этувчиси R'b нолга тенгбулмасии (258-раем). ДастлабАй нукта тинч
329
цолатда булгани учуй R'k куч таъсирида Ak нукта бу кучнинг таъ-
сир чизиги буйича йугиалган бирор drk цациций кучиш опади. Систе-
мага цуйилган боглан: ишлар стационар булгани учун Urk цакиций ку“
чиш бирор мумкин булган кучиш билан устма-уст тушади вабу
кучиш учун _ _ _ __
R +
буладн. Системанинг <5арча нукталари учун бундай тенгсизлвкларнн
ёзиб, уларни цушсак,
муносабатни оламиз.
Система нуцталарига цуйилган богланишлар идеал богаанишлар-
дан иборат булгани у чуи
2Д/ .6? - 0.
k k
Шу сабабли цуйидаги тенгсизлик уринли булади: VfySr* >Q. Де-
кин бу натижа цабу.ж цилинган (24.31) шартга зиддир. Бинобарин,
бу шарт бажарилганда система мувозанатда булиши керак. Шундай
цилиб, (24.31) шарт ^акицатан цам механик система мувозанатинннг
зарур ва етарли шартилни ифодалашини исботладик.
(24.31) тенглама сгпатиканинг умумий тенгламаси дейилади. Бу
принцип Лагранжылме-г мумкин булган кучиш принципи деб цам
юритилади.
Мумкин булган кучиш принципининг Декарт координата уцлари-
даги ифодаси цуйидагжлча ёзилади:
v (Xfe Ч + + Z„tet) = 0. (24.34)
Агар механик система нуцталарига стационар булмаган богланиш-
лар цуйилган булса, у Цолда система нуцталари царакатланувчи ёки
деформация ланувчи скртлар устида ’ цолиши керак. ^Мумкин булган
кучиш эса вацтнннг цгар бир пайтида сирт буйлаб кучищцан иборат.
Бинобарин, стационар булмаган богланишлар цуйилган системага мум-
кин [булган кучиш принципини цуллаш натижасида система нуцта-
ларининг сиртлар устидаги нисбнй мувозанати аницланади.
161-§. Механик системанинг умумлашган координаталардагн
мувозанат шартлари
Голоном богланишлар цуйилган Ата нуцтадан ташкил топган ме-
ханик системанинг эркинлик даражаси п га тенг булсин. У цолда
бундай системанинг цо-латини qv q2, ... , qn умумлашган координа-
талар билан аницлаш клумкин.
(24.23) ва (24.25) г .а асосан системанинг мувозанат шарги (24.31)
ни цуйидагича ёзамиз:
330
(?!«<?! + Q26<72 + .. . 4- QnSqn = 0. (23.35)
Бунда барча <7Р q2, , qn умумлашган координаталар эркин
булгани учун уларнинг kqt (/=1, 2, .... п) орттнрмалари хам Эр-
кин булади. Шу сабабли мувозанат шартларини цуйидагича ёзиш
мумкин: Q, — 0. Q2 = 0, ... , Qn = 0. (24.36)
Бушатмайдиган голоном ва идеал богланишлар цуйилган, эр-
кинлик даражаси п га тенг булган %амда ихтиёрий %олати qlt
q.2, ... , qn умумлашган координаталар билан аникланадигаи ме-
ханик система мувозанатда булиши учун танланган умумлашган
координаталарга мос умумлашган кучлар нолга тенг булиши зарур
ва етарлидир.
Кучлар потенциалли булгаи холда (24.30) га кура мувозанат
шартларини
— = 0, — = 0............— = 0 (24.37)
Sgi dq2 dqn
куринишда ёзиш мумкин. Бу тенгламалар умумлашган координата-
лар орцали ифодаланган потенциал энергиянинг экстремумга эга бу-
лиши учун зарурий шартни ифодалайди. Шундай цилиб, голоном
системанинг мувозанат холатида потенциал энергия экстремумга
эришиши мумкин.
54- масала. Q юк О А = 0,6 м ли дзета билан харакатга келтири-
ладиган домкрат ёрдамида кутарилади. Дастанинг учига унга перпен-
дикуляр булган Р=160Н куч цуйилган. Домкрат винтининг кадами
h = 12 мм. Q юкнинг мицдори аницлансин (259-расм).
Ечиш. Q юк ва О А дастани механик система деб цараб, система
нуцталарига мумкин булган кучиш берамиз. Бунинг учун О А дастани
Р куч йуналишида бср бурчакка бурамиз. У холда Q юк вертикал
тарзда юцорига 6гв га тенг мицдорга кучади. Системанинг мувоза-
нат шартини ифодаловчи (24.31) тенглама цуйидагича ёзилади:
Р • 0А-6<р — Q-&B =
бувдан
___Р-ОА-8(р
бср ва 6гв мумкин булган кучишлар
орасидаги муносабатни аницлаймиз. Q
юкнинг илгариланма царакати ОА даста-
нинг айланиш бурчагига мутаносиб бу-
лади ва даста 2л га тенг бурчакка
айланганда Q юк вертикал буйича винт
цадами h = 12 мм = 0,0012 м га тенг
масофага кутарилади. Шу сабабли
~ ~ , бундан 6<р = — -бгв . Нати- wXzw-z 7///7/7/Я7/я%
h h
Жада 259- расм.
331
260- раем.
(?=-. 2л-Р —=
h
= 2-3,14.160- = 50200 Н.
0,0012
55-масала. Вертикал текисликда
жойлашган 7? радиусли цалца (айла-
на) буйлаб харакатланувчи, огирлиги
Р га тенг булган А шарчанинг му-
х возанат цолати аницлансин (260-
расм).
Ечиш. Айлананинг марказини
координата боши учун олиб, Ох, Оу
уцларни раемдагидек йуналтирамиз.
Нуктага цуйилган богланиш тенгла-
масини
х2+*/2-Я3 = 0
куринишда ёзиш мумкин. Шарчанинг к, у коордииаталари орасада
битта богланиш мавжуд булгани учун унинг эркинлик даражаси
битта булади. Шу сабабли шарчанинг айланадаги холат и битта умум-
лашган координата q билан аиицланади. Умумлашган координата
учун Z- //ОА=<р бурчакни оламиз. Нукта айлана буйлаб царакатланга-
ни учун Р кучнинг 6ф мумкин булган кучишдаги элементар иши
6А = PR зшф’бф
формуладан цисобланади. Шу сабабли Q9 куйидагича булади:
0ф = ~ = PR sin ф.
Оф
Шарча мувозанатда булиши учун = 0 ёки PR sin ф = 0 шарт ба-
жарилиши керак. Бунда ф = 0, ф = 180° булганда шарча мувозанат-
да булишини курамиз. Демак, шарча вертикал уц устнга тушган хо-
латидагина мувозанатда булиши мумкин.
56-масала. Учта таянчда ётган AD тусин С нуцтада шарнир
билан бириктирилган иккита цнемдан иборат. Тусиннинг АС цисмига
Рг = 8000 Н, Р2 = 6000 Н га тенг вертикал кучлар цуйилган; CD
цнемига эса моменти М = 4000а Н-м га тенг ва соат милининг ай-
ланишига тескари йуналишда жуфт кучлар куйилган (261-раем, а).
Улчамлар шаклда курсатилган. А, В, D лардаги таянч реакциялари
аниклансин.
Ечиш. AD тусинни мувозанатдаги АС ва CD тусинлардан иборат
иккита цаттиц жиемдан ташкил топтан система деб цараймиз.
Бу масалани статика усулида ечиш учуй тусиннинг АС цисмини
фикран ажратиб олиб, CD цисмининг унга курсатадиган таъсирини
куч билан алмашгириб, АС учун мувозанат тенгламасини тузиш ке-
рак. Худди шунингдек, тусиннинг CD цисми учун цам мувозанат
тенгламаларини тузиб, олинган тенгламалар системасини биргаликда
332
ечиш керак. Бу уеул ан-
ча машаццатли булиб,
таянч реакциялари фацат
барча мувозанат тенгла-
маларини тузгандан ке-
йин топилади.
Мумкин булган ку-
чиш принципини цуллаш
натижасида эса мос ра-
вишда тузилган битта
тенгламадан керакли та-
янч реакция кучини
аницлаш мумкин. Бу
усул масалани ечишни
анча соддалаштиради.
Мумкин булган кучиш
принципини цуллаб Д, В
ва D таяичлардагн реак-
ция кучларини аницлай-
миз.
Таянч реакция кучи
7?л ни аницлаш учун Д
таянчни фикран олиб таш-
лаб, унинг таъсирини шу
куч билан алмаштирамиз.
Д нуцтага вертикал
юкорига йуналган бгд
мумкин булган кучиш
берамиз (261-раем, б).
261- р^см.
Pi ва Р2 кучлар цуйилган К ва Е нуц-
таларнинг мумкин булган кучишини 6 гк ва б г^. билан белгилаймиз;
— CD тусиннинг бурчак кучиши. Учбурчакл^рИИнг ухшашлигидан
фойдаланиб, мумкин булган кучишлар орасидаги муносабатларни то-
памиз:
ЬгА = 2бгх = 4Ьге = 2бгс= 4аб<р. (1)
Мумкин булган кучиш принципини цуллаС5 берилган кучлар ва
реакция кучининг мумкин булган кучищдаги ишларининг йигиндиси-
ни нолга тенглаимиз:
РА б г л — == 0. (2)
(1) ни эътиборга олиб, (2) даги 6гл олдцдаги коэффициента и
нолга тенглаштирсак, цуйидагн ифода цосил булади:
^-7p* + -4Ps+70m^°-
Бундан Рл = 1500 Н булишини аницлаймиз.
333
Рв таянч реакция кучини аниклаш учун В таянчни фикран
олиб ташлаб, унинг таъсирини шу куч билан алмаштирамиз.
С шарнирга вертикал тарзда юцорига йуналган 6гс мумкин бул-
ган кучиш берамиз (261-раем, в).
Pt, Р2 ва Рв кучлар цуйилган К, Е ва В нукталарнинг мумкин
болтан кучишини 6гк, 6г£ ва бгв билан белгилаймиз; вер—CD
тусиининг бурчак кучиши. Бу мумкин булган кучишлар орасидаги
муносабатаи аницлаймиз:
Ьгс = -|«r£ = f,rE = 36гк = 2а 6<р. (3)
Мумкин булган кучиш принципини к^ллаймиз:
+ #в SrB — Е2Ьге — 7И6ф = 0. (4)
(4) даги барча орттирмаларни (3) дан фойдаланиб Src ортали ифэда-
лаймиз ва унинг олдидагн коэффициент™ нолга тенглаштирамиз:
Бундан Рв = 14500 Н эканлигини аницлаймиз.
PD ни аницлаш учун D таянч таъсирини шу куч билан алмашти-
рамиз.
D нуктага вертикал тарзда юкорига йуналган б rD мумкин булган
кучиш берамиз. У холда CD тусин соат милининг айланишига тес-
кари йуналишда 6<р бурчакка бурилади ва
в <Р = -^ (5)
булади. АС тусиннинг ^олати узгармасдан крлади (161- раем, г).
Мумкин булган кучиш принципини цуллаб цуйидагн тенгламани
оламиз:
RD<&rD +М6ф = 0, (6)
бундан PD = — 2000 Н. Бунда манфий ишора PD таянч реакция
кучининг вертикал тарзда пастга йуналганлигини ифодалайди.
162-§. Динамиканинг умумий тенгламаси (Даламбер — Лагранж
принципи)
Теорема. Агар харакатдаги механик система нуцталарига идеал
еа бушатмайдиган богланишлар цуйилган булса, у холда система
нуцталарига таъсир этувчи актив кучларнинг хамда инерция куч-
ларининг хар цандай мумкин булган кучишдаги элементар ишла-
рининг йигиндиси хар онда нолга тенг булади, яъни:
=0’ (24#38)
334
Исбот.. Агар Fk актив кучлар ва Nk идеал богланиш реакция
кучлари таъсирида даракатланаётган механик система иукталарига
мос равишда ФА инерция кучларини цуйсак, у холда Даламбер прин-
ципига кура бу кучларнинг геометрик йигиндиси дар онда нолга тенг
булади:
+ Nk = 0 (fe = 1,2,. . ., N). (24.39)
Система иукталарига ихтиёрий мумкин булган кучиш берамиз ва
(24.39) тенгламаларнинг дар бирини мос нуктанинг мумкин булган
кучиши &rk га скаляр купайтирамиз; олинган ифодаларни дадлаб
цушиб цуйидаги тенгламани оламиз:
2 (А +Л + Ф4) • 8?г = 0. (24.40)
Системага куйилган богланишлар идеал булгани учун 2^4 =0-
Шу сабабли (24.40) дан исбот цилиниши зарур булган (24.38) тенг-
ламани дасил циламиз:
21(Т*+Ф4)-6Г4 = 0.
Бу тенглама динамиканинг умумий тенгламаси дейилади. Ушбу
тенглама Даламбер принципи билан Лагранжнинг мумкин булган ку-
чиш иринципларинннг мажмуасидан иборат.
Шу нинг учун бу принцип Даламбер — Лагранж принципи дейи-
лади.
>(24.38) ни Декарт координата укларидаги проекциялари ордали
ифодаласак,
X [ (А'6 — тх xj 8 Xk + (Yk — mk yk) 6 yk + (zk —
— m4Ss)6st]=0 (24.41)
хосил булади.
(24.41) тенгламадан фойдаланиб механик системанинг даракати
дифференциал тенгламаларини чика-
риш мумкин. 57- масала. Марказдан кочувчи ростлагич вертикал уц атрофида узгармас со бурчак тезлик билан айланади. Шарларнинг дар дайсиси Рг огирликка, С муфта эса Р2 огирлик- ка эга эканлигини хисобга олиб, ОА ва ОВ стерженларнинг верти- калдаи огиш бурчаги аниклансин; дамма стерженларнинг узунлиги бир хил ва 1 га тенг (262- раем). Ечиш. Координата укларини ут- казамиз. Системанинг эркинлик да- X лл с У h 262- раем.
335
ражаси бирга тенг. Системага — шарларнинг огирлик кучлар! ва
Р2—муфтанинг оннрлик кучи таъсир этади. Бу кучлар цаторига
шарларнинг
р р
Ф. — Ф„ = —?rco2 = — Z sin се «со2
л в g е
марказдан цочувчи инерция кучларини цушиб данамиканинг умумий
тенгламасини тузамиз:
Ул +р^ у В + Р^УС + фв «*В - ®л «ХА = О- (>)
Расмдан:
Ул =УВ = fcosa,
хА = — I sin ее,
ус = 2 Z cos се,
хв = Z sin се.
Демак, А, В ва С нукталар координаталарининг вариациялари
цуйидагича аникланади:
= = — Zsinct’fia, 6ус =—2Zsince-6cc,
ЪхА =—Z$osce-6a, =Zcosoe-6ce.
Шу сабабли (1) цуйидагича ёзилади:
2Z (—sin се— P2since +GBcosce) ба — 0.
Бундан
Фв cos се = (/\ -р Р2) sin ое*
Бу тенгликка Фв нинг цийматини цуйиб, sin а га цисцартирсак,
— I со2 cos2 a = Pi + Рг
g
булади. Бундан
(J’l + fyg
cosce = —pif<oa -
эканлигини топамиз.
58-масала, кузгалувчи С
блокни ушлаб турадиган ип уц-
лари цузгалмас булган А ва В
блоклар орцали утган; ипнинг
блок лар устида булмаган кисмла-
ри вертикал тарзда осилиб тура-
ди. С блокка огирлиги Р =40 Н
булган тош осилган, ип учларига
огирлиги Рх = 20 Н, Р2 = 30 Н
булган юклар богланган. Блоклар
билан ип массасини ва уклардаги
ишцаланишнн цисобга олмай, хам-
ма юкларнинг тезланиши аницлан-
син (263-расм).
336
Ечиш. A4lt Л1а ва М юклардан ташкил топтан моддий нукталар
системасининг царакатини текширамиз. Системага цуйилган богланиш
(блоклар орцали утказилган чузилмайдиган ип) идеал богланишдан
иборат.
х уцни вертикал тарзда пастга йуналтирамиз. Ип чузилмайдиган
булгани учун кжларнннг коордннаталарй орасида цуйидаги богланиш
ыавжуд булади:
2 х -J- хг + х2 = const,
бунда х — С блок марказининг, хг ва х2 — ва М2 юклар огирлик
марказларининг координаталари. Богланиш тенгламасига кура, система
нуцталарининг мумкин булган кучишлари орасида цуйидаги муноса-
бат уринлн булади:
2 б х -р &хг 4-бх2 = 0. (1)
Бундан ташцари,
,2 х + хА 4- х2 = 0. (2)
Бу тенгликларда: бх, 6xls 6х8— мумкин булган кучишлар, х = wf
xr = х2 ~w.2 — мос равишда С, ва Л12 нуцталарнинг тезла-
ниши. wt ва о>2 ни вертикал тарзда пастга йуналган деб фараз ци-
ламиз, у цолда w юцорига йуналади. Фх, Ф2, Ф инерция куч тори
мос тезланишларга тескарн йуналади.
Динамикаиинг умумий тенгламасини тузамиз:
(Pl — - f>x1 + (P2—-2 -xs) (,Х2 + (Р--x) 6r = 0, (3)
£ g £
ёки (1) дан 6х ни 6хх ва 6ха орцали ифодалаб, (3) га цуйсак,
[2 Л (g — *i) — P(g —х)1 6*1 +
+ [2 Р2 (g — х2) — Р (g — х)] 6х2 = 0
цосил булади. Бу тенгламада бхх ва бх2 лар ихтиёрий хамда бир-
бирига борлицсиз булгани учун улар олдадаги коэффицнентлар нол-
га тенг булиши керак;
2 Л (g — xj — P(g—xj^ 0.
2 Р2 (g ~ P (g — x) = 0.
(2) дан x ни Xj ва x2 орцали ифодалаб, бу тенгламалар система-
сини цуйидагича ёзиш мумкин.
(4Р1Ч-Р)х1+Рх2 = 2(2Р1-Р)^
Рх± + (4 Р.2 4- Р)х2 = 2 (2 Р2 - Р) g.
Бу тенгламалар системасини ечиб, изланаётган номаълумларни
аницлаймиз:
22—2344
337
x -g tP1Ps+(Pl-3P2)P
1 g <PA + (P1+PJP '
“ = 4(Р,Р,+ (Рг-ЗР,)Р
2 ё 4p1p2+(p1 — P2}P *
X = X* = —0 4PlP2-(fl+P2)P .
2 ё 4 РгР.2 + (Fx 4- P2) P ’
Сон цийматларини ку'йсак, куйцдаги натижага эришамиз:
1--3 1
x*=ng' х=-~п8-
Бунда манфий ишора юклар тезланиши юкорига йуналганлигини
ифодалайди. Шундай цилиб, курилаётган холда М2 юк пастга, Мх
ва М. юклар юкорига йуналган тезланишлар билан харакатланади.
163- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари
Голонои идеал ва бупгатмайдиган богланишлар цуйилган А та
нуцтадан ташкил топган механик системанинг эркинлик даражаси п
га тенг булиб, цолати q^ q.2, . .. , qn умумлашган координаталар
билан апиклансин:
Маълумки,
7= , ЧпЛ (k = 1,2. . . . , А). (24.42)
Динамиканинг (24.38) умумий тенгламасцда Фй =—m^k =
= —эканлигиии эътиборга олиб, уни куйидагича ёзиш мумкин:
2(^-^74)«74 = 0. (24.43)
А-1
(24.15) га кура система нуцталарииинг мумкин булган кучиши умум-
лашган координаталар орцали цуйцдагича ифодаланади:
= 1,2, ... . А).
(24.44)
(24.44) пи (24.43) га цуйпб, иигинди тартибини узгартирсак,
V(V?<24-45)
b dqi ‘ s oqi ) ч‘
црсил булади. (24.45) даги
(24.46)
.338
умумлашган кучларни] ифодалайди. Бундан ташкари, цуйидаги ай-
ниятдан фойдаланамиз:
7 - -d 17 - 8~* ) 7 d «447>
k &4i dt ' R dqs ) * # dqL ( )
Бу айниятдаги * ва ~ хаддарнинг фацат голоном системага
G4i dt G(lr
хос булган бошцача ифодасини топамиз. Бунинг учун (24.42) дан вакт
буйича цосила оламнз:
-- k * ГЬ ' д Г ь
(2448>
(24.48) тенгликнинг цар иккала томонидан <yt- — умумлашган тезлик
буйича хусусий цосила оламиз:
(I =17). (24.49)
0 q i
/пл »tw •• ® rk d &rь r
(24.49) ердамида —ч- аникланади. —• -=— ни аницлаш [учун
Q°i * dt o<ii
(24.48) нинг иккала томонидан q. буйича хусусий цосила оламиз:
ВГк -.= №гк а I д‘Гк а . (24.50)
dQl dQidqi dq^dgi ‘ ' dqn dqt "п ** dtdqt
Бундан гашцари, умумлашган коордииаталарга ва вацтга ошкор
dr*
равищда боглик булган
функциянинг вакт буйича тулик хрси-
ласини оламиз:
d dr„ a7s 0Vfi • dirt
----5 = ---------Ql “Ь дТ—T—<7-3 4” • • • 4“ 5 Л— q„ 4“ "a 57 (24.51)
dt dQi dqidqt-----^Qi^n n d4idt
(24.50) ва (24.51) ларнииг унг томонлари иккита ^згарувчи буйи-
ча иккинчи тартибли хусусий зосилалар диффереициаллаш тартибига
боглиц булмаганидан узаро тенгдир.
Шуидай цилиб,
= (24.52)
dt dQi
(24.49) на (24.52) ларга асосан (24,47) айниятни цуйидагича ёзиш
мумкин:
~ dfk _ d drk
r”' BQ1 в q.)
'г
k Qq.
(24.53)
339
(24.53) ни эътиборга олиб, (24.45) даги учуи уш^у
А--1
ифодани оламиз:
S т‘7‘ ’ - £ т‘7‘ ‘ ' (2454)
Л=1 /г=1 /г--’
(24.54) нинг унг томонини бошцача куринишда ёзиш учун система-
нинг кинетик энергиясини киритамиз:
Л'
7’ = 4^"^’
Л=1
ёки vk = rk эканлигини хисобга олсак,
7- = yVmX (24.55)
z fe=l
(24.48) ва (24.42) лардан курамизки, rk функция умумий хрлда
барча qv qt га (жумладан, q. га чизикли равишда) ва вактга богли^
булади. Бинобарин, системанинг кинетик энергияси ^ам мазкур узга-
рувчиларга боглик булади:
Т—Т (q„ q2, . . . , qn, q„ q2, ... , q„, t). (24.56)
Системанинг T кинетик энергиясидан q. ва c/i узгарувчилар буйи-
ча мураккаб функцияни днфференциаллаш цондасига кура хусусий
^оаиалар оламиз. Бунинг учун дастлаб г? = гк-тк скаляр купайтма-
дан ва qt лар буйича хусусий росила оламиз:
. _п~ йгк Вг1 с,— в™
B4i Вд, д-. £ Г1>' BQl
у золда
ат _ л; - ег у -
7^ а». ’ = ’
Бу муносабатларии эътиборга олиб, (24.54) ни т\уйидагича ёзиш мум-
кин:
V т.* г. . ~ = А--------------• (24.57)
Лл k k dqt dt д • '
“ dQi
340
(24.46) ва (24.57) га асосан (24.45) ушбу куринишни олади:
(24.58)
(24.58) тенглама динамика умумий
ган координаталардаги ифодасидир. Бу
тенгламасининг умумлаш-
тенгламада
I d дГ
дТ я
^ад система нукталаринииг dqlt &qz, ... , Sqn мумкин булган ку-
чишдаги барча инерция кучлари ишларининг йигиндисини ифодалайди,
(24.58) да барча умумлашган координаталарнинг орттирмалари dqt.
dq2, .... , 6 qn эркии булгани учун улар олдндаги н«фодаларни ай-
рим-айрим нолга тенглаш мумкин.
Шундай килиб, куйидаги п та тенгламалар системасини оламиз:
Q.-l± ----BJL\
* I dt fyi )
= 0(i== 1Д . . . , n)
еки
= q (f = 1>2.......n). (24.59)
dt dqi &U
(24.59) тенгламалар Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалорч ёки
механик системанинг умумлашган координаталардаги харакат диф-
ференциал тенгламалари дейилади. Бу тенгламалар сони системанинг
эркинлик даражасига тенг булиб, системанинг умумлашган коорди-
наталарига нисбатан иккинчи тартибли дифференциал тенгламалардан
иборат. Уларни интеграллаб ва интеграллаш доимнйларини >;аракат-
нинг бошлангич шартлари асосида аниклаб, системанинг умумлашган
координаталар оркали ифодаланган п та харакат тенгламаларини ола-
миз:
(( = 1,2.....п). (24.60)
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари аналитик механикада му-
хим а^амиятга эга ва купгина техника масалаларини ечишда улардан
самаралн фойдаланиладн. Ленин бу тенгламалар таркибида богланиш
реакция кучлари ^атнашмайди. Шунга кура реакция кучларини ани1\-
лаш лозим булганда Даламбер принципи кулланилиши мумкин.
(24.60) ни (24.42) га г$йиб система нукталаринииг радиус-век-
торлари аникланади:
Г* = ^(0,(й=1“¥)
Натижада система нукталаринииг харакат ^опуни вектор усулида
аникланади. У холда инерция кучларинн
341
формуладан аниклаш мумкин.
Даламбер принципига асосан номаълум богланиш реакция кучла-
рини топамиз:
- -£ (*=MV),
бунда Fk— система нуцталарига цуйилган, берилган кучлар.
Шундай килиб, механикада голоном богланишлар цуйилган сис-
теманинг берилган кучлар таъсиридаги царакатини аницлашга дойр ма-
салани икки цисмга булиб ечиш мумкин.
1. Лагранжнинг тенгламалари (24.59) ни интеграллаб царакат
тенгламалари топилади.
2. Даламбер принципи воситасида номаълум богланиш реакция
кучлари аницланади.
164-§. Потенциалли кучлар таъсиридаги механик система
учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари. Цикдик
интеграллар
Агар механик система нуцталарига фацат потенциалли кучлар таъ-
сир этса, у цолда умумлашган кучлар (24.30) дан аницланади. Бу
цолда Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари (24.59) цуйидагича
ёзилади:
—------------?- =------~ , (/ = 1,2, .. . , п). (24.61)
л Bqi
(24.61) да дП- ни тенгламанинг чап томонига утказамиз. Бун-
дан ташцари, потенциал энергия /7 богланишлар стационар булмаган
цолда умумлашган тезликларга боглиц булмаганлигидан —?— = 0.
Шу сабабли
дТ _ д(Т—П)
oqt dq(
деб ёзиш мумкин. Натижада (24.61) ушбу куринишга эга булади:
d_ д(Г-П) __ др —IT) = о = ! 2............п) (24.62)
д‘ dgt ‘Ч
(24.62) да £ = 7 — П белгилаш киритамиз. Умумлашган коор-
динаталар ва умумлашган тезликлар функцияси булган L Лагранж
функцияси ёки кинетик потенциал дейилади. Бу белгилашга кура
(24.62) цуйидагича ёзилади:
A J>L-------B_L_ = 0 (i = 1, 2.....л). (24.63)
л dqt
342
(24.63) тенгламалар потенциалли кучлар таъсиридаги система
учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари дейилади.
Циклик координаталар ва циклик интеграллар. Кинетик потен-
циал L нинг ифодасида ошкор равишда катнашмайдигаи умумлашган
координаталар циклик координаталар дейилади.
Агар п та умумлашган координаталар орасида s та циклик коор-
динаталар qlf q2, ... , ^(s<n) мавжуд булса, у цолда таърифга
кура
......*) (24.64)
Бу цолда циклик коордмнаталарга мос булган Лагранжнинг ик-
кинчи хил тенгламалари (24.63) ушбу куринишга эга булади:
1-^- = ° (/=1.2....«) (24.65)
Бу тенгламаларни интеграллаб, бир пула s та биринчи интеграл-
ларни оламиз:
Л- = С, а = 1,2, . . . , s). (24.66)
в 9,-
(24.66) тенгликлар билан аницланадиган биринчи интеграллар циклик
интеграллар дейилади.
165- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини цуллашга
Дойр масалалар
Лагранжнинг иккинчи хил тенглама ларини цуллашга дойр маса-
лалар куйидаги тартибда ечилади.
1. Системага цуйилган богланиш тенгламаларини аницлаб, умум-
лашган координаталар киритилади.
2. Умумлашган кучлар топилади. Бунинг учун система нукталари-
га таъсир этувчи актив кучлар расмда тасвирланади; идеал богланиш-
ларнинг реакция кучларини курсатиш шарт эмас; агар ишкаланиш
кучи мавжуд булса, улар актив кучлар кагорига цушилади. Су игра
умумлашган кучлар 159- § да курсагилган уч усулдан бирортаси
буйича цисобланади.
3. Система кинетик энергияси умумлашган координаталар оркали
нфодаланади. Агар система нуцталарига фацат консерватив кучлар
таъсир этса, кинетик потенциал хисобланади.
4. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари тузилади ва бу генг-
ламаларни ечиб, изланаётгая номаълумлар топилади.
59- масала. Горизонтал текислнкда жойлашган механизмда Ох О2
дзета билан харакатга келтирилувчи ва унга эркин урнатилган II
гилдирак кузгалмас III гилдиракнинг ички сирти буйлаб сирпанмай
гилдирайди ва / гилдиракни О цузгалмас уц атрофида айлантиради
(264- расм). Дастага М = const айлантирувчи момент, I гилдиракка
эса 7l4i = const царшилик моменти таъсир этади. Дастанинг I узун-
лиги I ва II гилдиракларнинг огирлиги Рг ва Р2 га тенг. I гилди-
343
ракнииг Oi нуцтадан раем те-
кислигига перпендикуляр ра-
ришда утувчи нисбатан
инерция радиуси йгх ва шу уц-
ца параллел равишда 02 нуц-
тадан утувчи уцца нисбатан II
гилдиракнинг инерция радиуси
kr2 булиб, ~ = 1,5. Даста-
г2
нинг массасини цисобга олмай,
уиинг бурчак тезланиши топил-
син.
Ечиш. 1. Умумлашган
координаталарни аницлаш.
Системанинг цолати 0г02 дас-
танинг айланиш бурчаги <р би-
лан бир цийматли аницлана-
ди. ^акицатан цам, агар О±О2
дастани кузгалмас деб царасак,
у цолда система цузгалмас булади. Бинобарин, системанинг эркинлик
даражаси битта булади. ОХО2 дастанинг айланиш бурчаги <р ни умум-
лашган координата учун кабул циламиз, яъни q — <р. У цолда
q = = (о булади. Бунда <о — дастанинг бурчак тезлиги.
Бу геометрик мулоцазаларни аналитик жицатдаи асослаймиз.
Даралаётган механик система I ва II гилдираклардан иборат булиб,
уларга куйцдаги голоном богланишлар цуйилган:
= (1)
0 ёки r2<p2 = /<р, (2)
''1<Р = 2г2<|)„ (3)
бунда: х2, у2 — О2 нуцтанинг коордииаталари <рх, <р2 — мос равишда I
ва II гилдираклариинг бурчак тезлиги. (1) тенглама царакат давоми-
да О1О.2 масофа узгармаслигини, (2) — III гилдиракнинг цузгалмас-
лигини ёки II гилдирак учун А нуцта тезликларнинг оний маркази
экаилигини, (3) =са В нуцтада царакат сирпанмасдан содир булишини
ифодалайди.
I гилдирак Oi нуцтадан утувчи уц атрофида айланма царакатда
булганидан унииг цолати фх бурчак билан аиицланади. II гилдирак
текис параллел царакатда булганидан унинг цолати х2, у2, <р2 билан
аникланади. Шундай цилиб, системанинг цолати 4 та: ф1»х2, #2»Ф2
нараметрлар билан аиицланади ва улар орасида 3 та голоном богла-
нишлар мавжуд. Бинобарин, системанинг эркинлик даражаси 1 га
тенг булади.
2. Умумлашган кучни аницлаш. Расмда айлантирувчи момент 7И
ва царшилик моменти ни тасвирлаймиз. Механизм горизонтал
текисликда жойлашгани учун Рх ва Р2 огирлик кучларн иш бажар-
344
майди. Шу сабабли бу кучларни расмда курсатиш шарт эмас. ОгО2
дастага соат милининг айланишига тескари йуналишда 6<р мумкин
булган кучиш берамиз. Бу мумкин булган кучищда царакатланти-
рувчи момент М ва царшилик моменти Afj ишларининг йигиндисиии
цисоблаймиз:
б Лф = М б б<рх. (4)
I гилдиракнинг ва дастанинг кучиш бурчаги уларнинг бурчак тез-
ликларига мутаносиб дир: ~ . (2) ва (3) ларга кура
оф ф
21 ’
Ф1 = —(5)
Г1
ёки
?1 = 2 ('1 ~т~ г2)
ф Г1
булгани учун
^=£(й+^=2Л+^ = 5>
6ф Г1 к Г! J
бундан б^ ни бф орцали ифодалаб, (4) га цуямиз:
бДф = (Л4-5Л41)6Ф.
У цолда <р умумлашган координатага мос келувчи умумлашган куч
цуйидагича аиицланади-
O=^=jM-5M,. (6)
Оф 1 ' 7
3. Системанинг кинетик энергиясини аницлаш. Системанинг ки-
иетик энергияси / гилдиракнинг кинетик энергияси 7\ билан II гил-
диракнинг кинетик энергияси Tz нинг йириндисига тенг:
Т = Т14-Тг. (7)
I гилдирак Оъ нуцтадан утувчи уц атрофида <р> бурчак тезлик би-
лан айланма царакатда булганидан
р
бунда Ц = — k2r? — I гилдиракнинг Oi нуктадан утувчи айланиш
g
уцига нисбатан инерция моменти. (5) ни назарда тутсак,
Л = -^!-ИЧг. (8)
II гилдирак текис параллел царакатда булгани учун унинг кине-
тик энергияси
345
р
бунда <pOj = Z<p; /2 = — k2r~ — 02 нуктадан утувчи укка нисбатан II
гилдиракиинг инерция моменти; (2) га асосан <р.> = —<р2 булгани учун
^2
Т2 = ^- (9)
2g
(8) ва (9) ларни (7) га цуямпз:
+ Ю + (Ю)
2g
4. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини тузиш. Система-
нинг эркинлик даражаси битга булгаии учун Лагранжнинг иккинчи
хил тенгламалари хам битта булади:
d дТ __ дТ_ _ q
(10) дан ушбу ^оснлаларни ^исоблаймиз:
-^- = — [ашк+ю-гкн.
бср Е
л д ф S
(6) ва (12) ларга биноан (11) тенглама
Л- [А? (4 Р, 4- Р2) 4- Я1 ф = .И — 5.«!
куринишни олади. Бундай дастанинг изланаётган бурчак
ни апиклаймиз:
(И)
(12)
тезланиши-
р = (И —5Aft)g
= const.
Агар М — 5 Л1г булса. е = 0, яъни даста текис айланма даракатда
булади.
60-масала. 58- масала Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари
ёрдамида ечилсин (263-расмга карамг).
Ечиш. 1. Умумлашган координаталарни аниклаш. Маълумки,
курилаётган механик системага
2 х 4- хг -J- х2 — const
богланиш куйилган. Шу сабабли эркни координаталар сони иккита
булади. Умумлашган координаталар учун ва q.2 — х.2 ларни
346
оламиз. Бинобарии, системанинг эркинлик даражаси ^ам [иккита бу-
лади.
2. Умумлашган кучларни аниклаш. Системанинг эркинлик дара-
жаси иккита булгани учун Mt ва Л12 юкларга вертикал тарзда паст-
га йуналган бхх ва бх2 мумкин булган кучиш берамиз. У зрлда М
юк вертикал йуналишда бирор бх мумкин булган кучиш олади. Бу
кучишлардаги РЬР2,Р кучлар ишларипинг йигиидисини топамиз:
УбЛй = Р^х^ + РЛх, + Рбх.
Богланишлар тенгламасига кура, мумкин булган кучишлар ораси-
да куйидаги муносабат мавжуд:
2 б х + 6 .Yj + б х2 = О,
бундан бх ни топамиз:
g ____ __ 6хг -{- 6х2
' ~ 2
бундаги манфий ишора б.г нинг юдорига йуналганлигини билднра-
ди. Шу сабабли
Z 6 A k = | Л - Л) 6 х + |>2 - л ] 6 х2
булади. Бундан х± ва х2 координаталарга мос умумлашган кучларни
^исобланмиз:
0 (У6^)1 „
“ 6a-j ~Г1 2
3. Системанинг кинетик эиергиясини аниклаш. Системанинг ки-
нетик энергияси уч цисмдан иборат булади:
Т~7\ + Т2 + Т3.
Бунда Т\,Т2,Тз лар мос равишда Afj,Af2, ва М юкларпинг кинетик
энергияларини ифодалайди. Юклар тугри чизикли даракатда булгани
учун
Шуидай килиб,
Т = — (РЙ + Р.Л 4- Р^2)-
2g
Богланиш тенгламасига кура:
^.2 _ (Л'1 — Х2)2 -4- 2XjX2 -р
—4 — = 4
347
Бинобарин, системанинг кинетик энергияси умумлашган тезликлар
ортали цуйидагича нфодаланади:
Т = 4 [м + М + т Й + 2 + ¥1 •
2g L е J
4. Лагранжнинг иккинчи хил теигламаларини тузиш. Система-
нинг эркинлик даражаси иккита булгани учун Лагранжнинг иккинчи
хил тенгламалари цам иккита булади:
d дТ_____dL^Q d дТ дТ
& дхг ° Л дх2 дх2 2’
Бунта систама кинетик энергиясидан олинган цуйидаги
-?£ = -L [(4Р1+Р)х14-/>;2],
8xj 4 g
4 = 4 [<4 ₽1 + + Рх^-
<и gX1 «в
— = о,
dxt
—Ц4Р2+Р)х2+Р^],
0х2 4 В
4-^-=4 «4р2+**+
dt Вх2 4 g
^- = 0
дХ1
цосилаларни ва Qj, Qa ларнинг цийматларини цуйсак,
4 К4 +р)л;1+=рх-4
4g 2
4 l(4P2 +P)tt2 + ^11 = Р2~4
4g 2
тенгламалар цосил булади. Уларни
(4 Рг + Р) х, + Рх2 = 2 (2 Рг - Р) g,
Рх\ 4- (4 А 4- Р)% = 2 (2 Р2 — Р) g
куринишда ёзиб, богланиш тенгламалари билан биргаликда ечсак,
юклариинг тезланиши цуйидагича булади:
П1унд1й цилиб, бу масаланм иккита усулда, динамиканинг уму-
мий тенгламалари ва Лагранжнинг иккинчн хил тенгла*малари ёрда-
мида ечдик. Бу иккала усулни бир-бирига солиштириб, Лагранжнинг
иккничи хил тенгламалари воситасида бу масалани ечиш бирмуича
348
самарали эканлигини курамиз, чун-
ки бунда инерция кучини киритиш
усулидан фойдаланилмайди.
61- масала. ОА кулиса горизон-
тал текислнкда узининг О учидан
утувчи 2 уц атрофида айлана ола-
ди (265- расм; расмда юкрридан
куриниши тасвирланган). Массаси
т га тенг М сирпангич кулиса
ичида харакатлана олади. М сир-
пангични моддий нуцта деб карал-
* с
265- расм.
син. Кулисанинг z уцца нисбатан инерция моменти 1г га тенг. Кар-
шилик кучи цисобга олинмасин. Умумлашган координаталар учун г
ва ф кутб координаталарини кабул килиб, Лагранжнинг иккинчи хил
тенгламалари тузилсин ва уларнинг ' иккита биринчи интеграллари
аниклансин. ф бурчак циклик координатадан иборат булиши курса-
тилсин.
Ечиш. Кулиса ва сирпангичдан ташкил топган системанинг эр-
кинлик даражаси 2 га тенг. Масаланинг шартига кура, умумлашган
координаталар учун г ва ф цутб координаталарини оламиз (265-расм-
га царанг).
Агар кулиса ва сирпаигичиинг кинетик энергияларини Тк ва Тс
билан белгиласак, системанинг кинетик энергияси учун
7’ = Гк + 7’с (О
муносабат уринли булади.
Кулиса z уц атрофида айланма царакатда булгани учун
Тк = ф/2?. (2)
Расмдан
х = г cos ф, # = г$тф
булганн учун
х = г cos ф — г ф sin ф,
у — г sin ф + г ф cos ф.
Шу сабабли
= А.
+ (3)
(2) ва (3) .парни (1) га г;уйсяк.
349
Система нуцталарига таъсир этувчи актив кучлар кулиса ва сир-
пангичнинг огирлик кучларидан иборат булиб, царакат горизонтал те-
кисликда содир булгани туфайли потенциал энергия нолга тенг бу-
лади:
П = 0. (4)
(3) ва (4) ларни назарда тутиб, Лагранж функциясини цисоблай-
миз:
£ = 7’-П = ± (/г+т^)^+ 1 mh.
Система учун
d__________________dL_dL q
dt dr dr
d dL______dL 0
dt dtp dtp
(5)
(6)
куринишдаги Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини тузиш учун
зарур булган Лагранж функциясининг цосилаларини цисоблаймиз:
dL ‘ d dL - dL
—г = rnr, — —- = tnr, — = tnr <p2,
dr dt dr dr
A- = (7г +mr=) <1, —-------= 2mr<p + rn
dtp dt dtp ' '
+ (/, + №) =0.
o<p
(7) ни (6) га цуйиб, берилган система учун Лагранжнинг иккинчи
хил тенгламаларини цуйидагича ёзамиз: 1
тг—тг2<р2 — 0,
2тгг Ч- (/2 4- wr2) <р ~ 0, J
еки J
г — г<р2 = 0, 1 |!
2тгг <р 4~ Цг -f-wrz) <р == 0. J ‘I
Лагранж функцияси Ь да <р бурчак ошкор равишда цатнашмагани £
туфайли у циклик координатадан иборат булади. Шу сабабли (24.66) |f
га кура, щшидаги муносабат уринли булади:
й<р I
ёки г
(/,+mr2) Ф = С,. (9) I
(9) тенглик (8) тенгламанииг циклик интегралини ифодалайди. |
350 I
Т ва П ларнинг цийматларини (3) ва (4) дан энергия интеграли
Т + П=/х
га цуйсак,
у m (г2<р* + г1) =
ёки (9) ни эътиборга олсак.
бунда С2= Д
Шундай цилиб, (8) куринишдаги Лагранж иккинчи хил тенглама-
ларининг иккита биринчи интеграл лари (9) ва (10) тенгликлар билан
ифодаланади.
XXV боб
МЕХАНИК СИСТЕМАНИНГ КИЧИК ТЕБРАНИШИ
166-§. Механик системанинг кичик тебранма царакати иа
устувор мувозанати
Техникада учрайдиган бир канча масалаларда системанинг мувоза-
нат цолати якинида кичик амплитуда билан тебранишларини хисобга
олишга тугри келади, Бундай тебранишларга машина ва механизмлар
пойдеворининг титраши, самолётларнинг титраши, ер силкинишлари-
ни улчайдиган сейсмометр асбобининг тебраниши мисол була олади.
Идеал ва голоном ботланишлар цуйилган механик системанинг
цолати г/2, . . . , qn умумлашган координаталар билан аиицланади.
Агар кнчик тебранма царакатдаги механик системанинг бошлангич
мувозанат цолатини умумлашган координаталар системасининг боши
учун кабул цилсак, у цолда система нуцталарииинг мувозанат хола-
тидан кичик огиши qy, qZt . . . , qn ларнинг кичик цийматлари билан
аникланади.
Фараз килайлик, механик система цуйилган кучлар таъсирида му-
возанатда булсин. Агар система нуцталарига кичик бошлангич кучиш
ва кичик бошлангич тезлик бериш натижасида система нуцталари дои-
мо мувозанат цолати якинида цолса, системанинг буидай мувозанати
устувор мувозанат, мувозанат цолатидан узоцлаша борса, ноусту-
вор мувозанат дейилади.
Системанинг устувор мувозанатига аницрок таъриф бериш учун
системанинг умумлашган коордииаталари ва умумлашган тезликла-
рини номсиз катталикда оламиз. Бунинг учун уларнинг цар бирини
мазкур координата (ёки тезлик) учун хос султан катталикка келти-
рамиз. Системанинг мувозанат цолатида qt — 0, (с = 1 ,п) деб оламиз.
351
266' раем.
Бирор t0 пайтда системани мувозанат хрлатидан огдириб, система*
нинг шу пайтдаги умумлашган координата ва тезликларини qi0 ва qio
билаи белгилайлик. Агар исталганча кичик р>0 сони учун шундай
т] (р) > 0 сонни топиш мумкин булсаки,
l?iol 1%оI < п. М (25.1)
булганда учун ____
lftl<P. (‘=1/1) (25.2)
тенгсизликни цаноатлантирадиган системанинг мувозанат зрлати Ля-
пунов таърифига кура устувор мувозанат дейилади. Акс ^олда
системанинг мувозанати ноустувор мувозанат дейилади.
। qt | = р, (г = I /г) тенгликлар п улчамли фазода системанинг му-
возанат ^олати яцинидаги бирор D со^ани ифодалайди. Мувозанат
уплати устувор булган система мазкур ^олатдан кичик ордирилган-
дан кейин ^ам D соэ^ада харакатланади.
Сферик идиш ичидаги шарчанинг мувозанати устувор мувозанатга
мисол була олади (266-раем, а): мувозанат ^олатида шарчага орир-
лик кучи Р ва сферик сиртнинг нормал реакция кучи А дан иборат
(Р, А) мувозанатлашувчи кучлар таъсир этади. Сферик сирт ни^оят-
да силлш; булганда шарчани мувозанат ^олатидан oi-дирсак, унинг
огирлик кучи ва сирт нормал реакция кучларининг тенг таъсир этув-
чиси А шарчаии мувозанат ^олатига цайтаришга интилади.
Сферик гумбаз устида ^ам ша *ча мувозанатда булади (266- расм,б),
лекии бу мувозанат ноустувордир. Чумки шарча мувозанат ^олати-
дан огдирилганда унинг орирлцк кучи ва сирт реакция кучларининг
тенг таъсир этувчнеи R шарчани мувозанат ^олатидан узоклашти-
ришга интилади.
Худди шунингдек, 55-масалада ^ам шарчанинг <р= 180° ^олат-
даги мувозанати устувор мувозанатдир; = 0° даги му'возанати эса
ноустувор мувозанатдан иборат булади.
352
167-§. Системанинг мувозанати тодидаги Лагранж-
Дирихле теоремаси
Идеал богланишлар цуйилган механик система мувозанатда були-
ши учун, системанинг умумлашган кучлари нолга тенг булиши
зарур ва етарли эканлиги мумкин булган кучиш принципнда баён
этилган эди. Лекин бу теорема воситасида система мувозанатининг
устуворлигини аницлаб булмайди.
Механик система иукталарига факат потенциалли кучлар таъсир
этсин. У ^олда умумлашган кучлар потенциал энергия орцали
л дП .. "7—;
Qf=——, С = 1,«)
o<h
формулалар билан ифодаланади. Шу сабабли системанинг мувозанат
^олатида
— = 0, (г=Тп)
булади. Яъни голоном богланишлар куйилган потенциалли кучлар
таъсиридаги механик системанинг мувозанат ^олатида потенциал энер-
гиянинг экстремумга эга булиши учун зарурий шартлар бажарилади.
Лагранж - Дирихле теоремаси воситасида система устувор муво-
занатининг етарли шарги ани^ланади; агар голоном идеал еа стацио-
нар богланишлар цуйилган, потенциалли кучлар таъсиридаги сис-
теманинг бирор цолатида унинг потенциал энергияси энг кичик
(минимал) цийматга эришса, система бу %олатда устувор муво-
занатда булади.
Исбот. Координата бошини системанинг мувозанат ^олатида олин-
са, системанинг мувозанат ^олатида qt = 0, (i = 1 ,п) булади. Потен-
циал энергиянинг ^нймати ихтиёрий узгармасгача аницлик билан ^и-
собланади. Шу сабабли мувозанат ^олатвда уни нолга тенг деб к^а-
бул цилиш мумкин:
П (0,0, ..., 0) = 0.
Агар мувозанат зрлатида системанинг потенциал энергияси иолга
тенг булса ва минимумга эришса, у зрэлда доимо шундай ихтиёрий
кичик р > 0 сонни топиш мумкинки, | qt [ р тенгсизлик билан ифо-
даланадиган D со^ада П потенциал энергия мусбат булади.
Координаталардан бири D со^анинг чегарасига тегишли 1 | — р
^ийматни i-^абул ^иладиган, ^олганлари эса р дан катта булмаган цуйи-
даги
Р, = П (р, q2, . . q„),
Рг = П (ft, р, . . ft)
Р» = П (ft, ft, . - р),
23—2344
353
функциялардан энг кичигини Р билан белгилайлик. У цолда коор*
динаталардан бири микдор жихатдан р га тенг, цолганлари р дан
катта булмаганда, албатта П (qlf q<>, . . qn)^P булади. Система
координаталарига мицдор жихатдан р дай кичик 910, qZQ, . . qn0
кийматларни бериб, уни мувозанат цолатидан огдирамиз ва система
нуцталарига 91с,720, . . qnb бошлангич тезлик берамиз. Натижада
система царакатга келади цамда таъсир этувчи кучлар потенциалли,
цуйилган богланишлар стационар богланишлардан иборат булгани
учун энергияиинг сацланиш цонуни — энергия интеграли уринли бу-
лади:
Бундан Т=70 + Ц) — П. ^аракат давомида Т>0 булганидан
П<Т0 + П0. (25.3)
тенгсизлик уринли булади. Мувозанат цолатида То = О, По = 0 бул-
гани учун система нуцталарига шундай бошлангич тезлик бериб му-
возанат цолатидаи овдирамизки, То< — Р ва По< ~ Р булсин. У
цолда (25. 3) тенгсизликни цуйидагича ёзиш мумкин:
П<Р
ёки
Р — П>О. (25.4)
(25.4) дан курамизки, у1мумлашган координаталарнинг бошлангич ции-
матлари / qt I < р тенгсизлик билан ифодаланувчи D соца ичида ёт-
ганлиги туфайли царакат давомида умумлашган координаталарнинг
бирортаси цам р цийматга эриша олмайди (яъни система нуцталари
D соцадан чициб кетмайди), чунки акс цолда Р — П манфий цийматга
эга булиши керак; бу натижа (25. 4) га зиддпр. Шундай цилиб, сис-
теманинг текширилаётган цолати устувор мувозанатдан иборат.
168-§. Эркинлик даражаси битта булган системанинг
усгувор мувозанат яцинидаги эркин тебранишм
Стационар богланишлар цуйилган ва эркинлик даражаси битта
булган механик системанинг консерватив кучлар таъсиридаги царака-
тини текширамиз. Бундай системанинг царакатини битта умумлашган-
q координата билан аницлаш мумкин: Системанинг мувозанат цолати
учун
9 = 0
деб цараб, q ни шу цолатга нисбатан цисоблаймиз.
Система нуцталарига кичик кучиш ва бошлангич тезлик бериб му-
возанат цолатидан огдирамиз. Системанинг бундай царакати дифферен-
циал тенгламасини Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаси
354
d_ дТ дТ _
dt dq dq
(25.5)
воситасида аницлаймиз. Бунда: Т— системанинг кинетик энергияси;
Qn — потенциалли умумлашган куч.
(25,5) ии тузиш учун Т vMqva.q орцали ифодалаш керак. Систе-
мага цуйилган богланишлар стационар богланишдан иборат булгани
учун система нуцталарининг xk, yk, zk координаталарини ёки унинг
ихтиёрий нуцтасининг rk == xki + ykj -г 2kk радиус- векторини умум-
лашган координата q оркали ифодалаш мумкин:
^=7„ (?). (25.6)
У цолда система нуцталарининг тезлиги
к = — 9 (25.7)
k dt dq 4 ' '
формуладан аницланади. (25.7) ни назарда тутиб системанинг кине-
тик энергияси учун цуйидаги муносабатни оламиз:
ёки (25.6) ни эътиборга олсак,
Т’ = ГЛ(9)^ (25.8)
деб ёзиш мумкин, бунда А (а) = У\гп. (-------- .
\ dq ]
zoc Ох дТ дТ d ОТ „ /ог- с.
(2а. 8) дан---, •—— —- цосилаларни хисоолаб, (25.5) га асо-
dq dq dt dq
сан системанинг царакат дифференциал тенгламасини тузиш мумкин.
A (q) ва Q лар q нинг ихтиёрий функцияси булганда бундай тенгла-
ма чизицли булмаган дифференциал тенгламадан иборат булади ва уни
умумий цолда ечиш, бинобарин, системанинг царакатини аницлаш анча
мураккабдир.
Шу сабабли системанинг мувозанат цолати якинидаги кичик цара-
катинп текшириш билан чекланамиз. Системанинг мувозанат цолати-
да <7 = 0 булганидан системанинг мувозанат цолати яцинида q ва q
ларни кичик микдорлар деб цараш мумкин. (25. 5) да q ва q кичик
микдорларнинг фацат биринчи даражали хадларини сацлаб, бу тенг-
ламани соддалаштирамиз. У цолда тенглама чизицли тенгламадан ибо-
рат булади ва уни ссонгина интеграллаш мумкин. Бу цолдаги систе-
маларнинг тебраниши чизицли тебраниш дейилади.
(25.5) ни чизикли тенгламага келтириш учун системанинг кинетик
энергиясини тацрибий цисоблаймиз. Бунинг учун системанинг кинетик
энергиясини цисоблашда иккинчи тартибли кичик микдорлар билан
355
чеклаиамиз. У холда (25.5) га кирувчи — ва —— хосилалар 1-тар-
дд dq
тибли кичик мицдоргача аницлик билан цисобланади.
A (q) ни q = 0 сохада Тейлор каторига ёямиз:
Л(9) = Л(0)+-^?+ ... (25.9)
oq
Т ни 2-тартибли кичик мицдоргача аницлик билан Цисобланган-
лиги туфайли (25.9) да фацат А (0) цадни олиш кнфоя, чунки q-q2
купайтма 3-даражали кичик мицдорни ифодалайди.
Агар
Д(0) = а (25.10)
белгилаш киритсак, (25.8) га кура системанинг кинетик энергияси
тацрибан куйидагича цисобланади:
T = ~aq\ (25.11)
Бунда а узгармас мусбат катталикдир, чунки кинетик энергия доимо
мусбат цийматга эга булади. Системанинг кичик царакати каралаёт-
ганда а коэффициент физик моцляти буйича жиемнинг инертлик ху-
сусиятини ифодалайди ва инерцион, доимой дейилади.
(25.11) дан курамизки, агар умумлашган координата узунлик ул-
човига эга булса, у цолда q чизикли тезликни ифодалайди, биноба-
рин, а коэффициент масса билан бир хил улчовга эга булади; агар
q бурчак улчовида олинса, у цолда q бурчак тезликни ифодалайди
ва а инерция момента улчовига эга булади ва показе.
Система нуцталарига потенциалли кучлар таъсир этганлиги ту-
файли умумлашган куч
<2П = -^- (25-12)
формуладан цисобланади. Бунда П — системанинг потенциал энерги-
яси.
Потенциал энергияни q = 0 атрофида цаторга ёямиз:
П = По + (^Л? + ± (—-)«*+•••. (25-13)
\ dq /о 2 \ dq- /0
бунда 0 ивдекси билан П функция ва унинг цосилаларининг система
мувозанат цолатидаги цижматлари курсатилган. Системанинг мувоза-
нат цолатида ® булади. Системанинг потенциал энергияси
ихтиёрий узгармасгача аниклик билан цисоблангани учун мувозанат
холатида Г10 = 0 деб олиш мумкин. У холда (25.13) да q кичик бул-
ганда учинчи тартибли цадларни эътиборга олмасак,
(25.14)
356
булади. Бунда с = — узгармас коэффициент булиб, квазиэлас-
dq"-
тик доимий дейилади.
(25.12) ва (25.14) га асосан умумлашган куч учун цуйидаги ифо-
дани оламиз:
Qn = —cq. (25.15)
Бундай куч цайтару&ш, куч дейилади. Эластиклик кучи цайтарувчи
кучга мисол була олади. (25.11) ва (25.15) ни назарда тутиб, Лагранж-
нинг иккинчи хил тенгламаси (25.5) ни тузамиз. Биз текшираётган
цол учун
d дт •• дт п
dt dq dq
булади. Шунта кура даракат тенгламаси цуйидагича ёзилади:
а^4-с^=0. (25.16)
й2п
с=------>0 булсин. У холда потенциал энергия системанинг муво-
dq-
занат холатида минимумга эришади ва системанинг харакати устувор
мувозанат холат якинида содир булади.
(25.16) да — — k2 белгилаш киритсак, прокат тенгламаси
q + k2q = 0
(25.17)
куринишда ёзилади. Бу тарздаги тенгламалар (худди математик маят-
ник ёки физик маятник тенгламалари каби) гармоник тебранма цара-
катни ифодалайди. Бундай даракат эркин тебранма царакат дейи-
лади.
Шундай цилиб, эркинлик даражаси битта булган системанинг
устувор мувозанат яцинидаги кичик тебраниши нуктанинг эркин
тебранма царакатига келтирилар экан.
(25.17) тенгламанинг умумий ечими
q = A sin {kt -|- а) (25.18)
куринишида ёзилади. Бунда: А—тебраниш амплитудаси; а—бош-
лангич фаза булиб, харакатнинг бошлангич шартларидаи аиицланади;
k — ”|/ ~ — тебраниш частотаси.
t = 0 булганда q = q0, q — q0 булсин. У хрлда
A = V ?о + 4- = (25.19)
келиб чикади. Тебраниш даври
Т = -^=2л|/-^- (25.20)
357
267- раем.
формуладан аникланади.
Гармоник тебранма ^аракат графиги 267-расмдагидек булади.
Агар потенциал энергиями каторга ёйганда < 0 булса,"у хол-
б2П
да^§- =—b белгилаш киритсак, (25.17) тенглама урнига
гини оламиз:
хуйпда-
q — 0)^=0, (25.21)
бунда
(25.21) тенглама учун характеристик тенглама тузсак,
X2 —6)2 = 0
булади. Бу тенгламанинг = ± о илдизлари зса^икий булгани
учун (25.21) нинг умумий ечими
q = С^1 + Сгеш (25.22)
куринишда ёзилади. Бунда Сг ва С2 лар интеграллаш доимийлари
булиб, ^аракатнинг бошлангич шартларидан аникланади.
(25.22) дан курамизки, бошлангич шартлар исталганча кичик бу-
лишига карамай, вахт утиши билан q координата орта боради.
Бинобарин, бу холда система бошлангич холатДаи исталганча ки-
чик огдирилганда берилган кучлар таъсирида система мувозанат х°-
латндан узоцлаша боради, яъни системанинг бундай мувозанат хола-
ти ноустувор булади.
62-масала. Чузилмайдиган АВ ип хузгалмас О нухтадан утувчи
горизонтал ух атрофида айлана оладиган блок орхали утказилган.
Блокнинг огирлиги G га тенг булиб, унинг массаси гилдирак туги-
ми буйлаб бир текис тахсимланган. Ипнинг В учи хатгихлик коэф-
фициента С га тенг вертикал пружинага богланган; ипнинг А учига
эса огирлиги Р га тенг юк осилган (268-раем).
Бошлангич пайтда А юк пружинанинг эластиклик кучи билан му-
возанатлашади деб караб, юкка вертикал тарзда пастга йуналган ки-
358
чик vQ бошлангич тезлик берилгандаги юкнинг
тебранма харакати ани^лансин. Блок укида ва
подшипникда ^осил буладиган ишцаланиш ку-
чи, ипнинг огирлиги ^исобга олинмасин.
Ечиш. Юкиинг здракатиии аниклаш учун
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини ту-
замиз. Координаталар бошини юкнинг мувоза-
нат холатида олиб, х у^ни вертикал тарзда
пастга йуналтирамиз. У холда юкнинг ихтиё-
рий холатини х координата оркали тулик аник-
лай оламиз, бинобарин, умумлашган координата
учун х ни олиш мумкин.
Агар блок ва юкнинг кинетик энергиялари-
ни мос равишда Тг ва Т2 билан белгиласак, у
.\олда блок ва юкдан ташкил топтан система-
нинг кинетик энергияси учун
т = т\+т2
тенглик уринли булади.
Блок цузгалмас уц атрофида айланма харакатда булгани учуй
Г, = = —— <А (2)
1 2 2
Or2
бунда: = ------блокнинг z ук^а нисбатан инерция моменти;
— блокнинг z yi\ атрофидаги айланма ^аракати бурчак тезлиги.
Юк тугри чизикли харакатда булгани учун
Ип чузилмагани ^амда ип блок сирти буйлаб сирпанмагани ту-
файли юкнинг тезлиги гилдирак тупшидаги нуктанинг тезлигига
тенг:
х = лр. (4)
(2) — (4) ларни назарда тутиб, (I) ни куйидагича ёза оламиз:
Т = ^(Р+т)к (5)
Умумлашган кучни бисоблаш учун юкка 6х мумкин булган ку-
чиш берамиз ва берилган кучларнинг мазкур кучишдаги ишларини
здасоблаймиз:
64 = Р Ъх — с (л'4 - ZCT) 6 л.
бунда \т — пружинанинг статик чузилиши. Мувозанат ^олатида
р = е\т булгани учун
М = —сх&х.
359
Умумлашган куч учун
п М
Qx = ~r = ~сх
ох
(6)
тенглик уринли булади.
Бу масалада умумлашган кучни бошцача усулда цам цисоблаш
мумкин. Бунинг учун юкнинг мувозанат цолатида потенциал энер’
гияни иолга тенг деэ цисобласак, у холда
П = — сх2.
2
(25.12) га кура
ап
<3, =------= — сх
* дх
булиб, бу натижа (6) билан мос келади.
by масалада ^“Г=с>0 булгани учун потенциал энергия муво-
занат цолатида минимумга эришади ва системанинг даракати усгувор
мувозанат холати якинида содир булади.
Система учун
d_dT
di дх дх
(7)
куринишдаги Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини тузиш учун
зарур булган кинетик энергиянинг хрсилалариии цисоблаймиз:
д х & х, 2 у & dx & 2 I j
(8)
(6) ва (8) ларни (7) га цуйиб, Лагранжнинг иккинчи хил тенглама-
сини
1 / t G \
7(Р+т)х = -“
ёки
x + ^2x = 0
куринишда ёза озамиз. Бунда
P-rO,5G
(25.18) га кура, (9) нинг умумий ечимини цуйидагича нфода-
лаймиз:
(9)
х = A sin {kt + а).
(Ю)
360
(10) даги Л ва а лар интеграллаш доимийлари булиб, харакатнинг
бошлангич шартларидан аницланади. Масаланинг шартига кура бош-
лангич
t = 0 пайтда х = 0, л;1= 0. (]])
(10) дан ва^т буйича цосила оламиз:
х = Ak cos (kl 4- а). (12)
(11) ни (10) ва (12) ларга цуйсак,
О = A sin cl, 1
L’o = 71&cosct, J
бундан а ва k ларни аниклаймиз:
cl = 0;
fe = ^.’
A
а ва fe нинг бу цибматларини (10) га чуйиб, юкнинг тебранма
^аракат чрнунини аниклаймиз:
х = — sin kt.
k
(25.20) га кура, юкнинг тебранма ^аракат даврн учун
Г = ^ = 2л1./£±^
k Г eg
формула уринлидир.
Изо^. Моддий нуктанинг тугри чизицли тебранма царакатига оид
масалаларни ечишда Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини ту-
зиш урнига нуцта динамикасининг асосий
цонунидан фойдаланиш цам мумкин.
63- масала. Огирлиги Р га тенг юк А
учи кузгалмас цилиб бириктирилган АВ
пружинага осилган (269-расм, а). Юк тинч
холатда турганда пружннанинг чузилиши fCT
га тенг. Юк бошлангич пайтда вертикал бу-
йича пастга у0 масофага силжитилиб, у0
тезлик билан цуйиб юборилган. Пружииа-
нииг массасини хисобга олмай юкнинг хара-
кати аницлансин.
Ечиш. Юкни моддий нуцта деб цабул
цилиб, у укни юкнинг тугри чизикли хара-
кат траекторияси буйлаб вертикал тарзда
пастга йуиалтирамиз. Координата боши учун
кжиинг тинч холатини оламиз (269-расм, б).
Масаланинг шартига кура бошлангич шарт-
лар цуйидагича булади: t — 0 да у = у0,
269- расм.
361
У = Уо> яъни бошлангич пайтда юк у0 координатага мос булган Мо
цолатни эгаллайди ва у0 бошлангич тезлик билан царакатланадн.
Юкка унинг огирлик кучи Р ва мицдор жицатдан пружинанинг де-
формациясига мутаносиб булган эластиклик кучи F таъсир этади.
Юк у координата билан аницланадиган М цолатни эгаллаганда
пружинанинг деформациясн
fcr + У
га теиг ва эластиклик кучининг микдори
f = С(/ст + »)
формуладан аиицланади; бунда с пружинанинг бикрлик коэффициент
тидир. F кучни у у'цца проекцияласак
Fu = ~ с (fn + y)-
Юк тинч цолатда булганда унинг огирлиги, микдори Fcr = cfCT
булган эластиклик кучн билан мувозанатлашади:
(1)
бундан
Р
с = г- (2>
/ст
Юкнинг царакат тенгламасини цуйидагича ёзиш мумкин:
ту = Р— c(fCT + y). (3)
Р = mg эканлигини назарда тутиб, (2) га кура пружинага осилган
юкнинг царакат дифференциал тенгламаси (3) нн цуйидагича ёзиш
мумкин:
У+/~У = О (4)
/ст
ёкн
у + khj = О,
бунда
k= i/Z
юкнинг эркин тебраниш частотасини ифодалайди.
Юкнинг тебраниш даври
7 = — = 2л У (5)
формуладан аникланади.
362
(25.18) га асосан юкнинг даракат цонунини
^=zlsin(y +
куринишда ёзиш мумкин. (25.19) ва берилган бошлангич шартларга
кура
64-масала. Огирлиги Р га тенг булган юк бикрлик коэффициент-
лари Cj ва с2 булган пружиналарга осилган. Пружиналар кетма-кет
ва параллел уланганда юкнинг эркин тебраниш даври аницлансин
(270-раем, 271-раем, а). Юк шундай урнатилганки, параллел бирик-
тирилган иккала пружина цам бир хил узунликка чузилади.
Ечиш. Юк осилган пружиналар кетма-кет уланганда уларнинг
умумий статик чузилиши иккала пружина чузилишининг йигиндиси-
га тенг. Шу сабабли
f = f J- f — — Р С1'^Сг
'СТ Пст^АсТ * <Ч*С2 '
Шундай цилиб, пружиналар кетма-кет уланганда уларга эквива-
лент булган пружинанинг бикрлик коэффициента
С — С1'С8
С1 + св
булади.
363
Юкнинг эркин тебраннш давринп (5) га асосан аниклаш мумкин:
Т = 2 л = 2л УР^СА. (6)
Пружиналар параллел равишда бириктирилганда пружинани чу-
зувчи Ру ва Р2 кучлар Р кучнинг параллел ташкил этувчилари сифа-
тида аникланади (271-расм, б).
fl = А
р2 ii
(7)
Масаланинг шартига кура иккала пружинанинг чузилиши бир хил
булиши керак:
flcv f'2cr*
ёки (2) га кура
(7) ва (8) пропорцнялардан пружиналарнннг бир хил чузилиш
шартнни оламиз:
(8) га кура цар бир пружинанинг статик чузилишини топамиз:
f -р* -р* Pi + P* - р
Cj с2 С1 -{- С2 Ci —J- с2
Юкнинг тебраниш даври учун
7г = 2пуЕ=2л]Л“₽= (9)
формула уринли булади.
169-§. Эркинлик даражаси битта булган системанинг муцит царши-
лиги таъсиридаги сунувчи тебранма даракати
Техникада учрайднган муайян масалаларни ечишда, система нуц-
таларига таъсир этувчи цайтарувчи кучдан ташцари, муцптнинг цар-
шнлик кучини эътиборга олишга тугри келади. Бундай системанинг
мувозанат холати яцинидаги кичик тебранишларини урганишда систе-
манинг хар бир нуцтасига таъсир этувчи Rk царшилик кучини маз-
кур нуцталарнииг тезликларига мутаносиб деб цараймиз:
/?6 = —(25.23)
бунда —узгармас каршилик коэффициенти. (25.23) даги манфий
ишора царшилик кучи тезлнкка тескари нуналганлигини ифодалайди.
Царшилик кучига мос булган умумлашган куч
364
формуладан аникланади. Юкорнда курганимиздек, — = —V'.r.i-
dq dq
да vk= rk булгани учун
о« = -Vu4 = —У
4 dq dq 2 dq
бундаги Ф = Vp* ни Рэлейнинг диссипатие функцияси дейилади.
Система нуцталарига стационар богланиш куйилгани учун
гь = Йг (Q)
ва
— drk ’
булади. Шу сабабли бундай система учун
ф = 4?^ (-%г) Н 4"В&> (25.24)
бунда
Днссипатив функциянинг физик маъноспни аниклаш максадида
каралаётган система учун Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини
ёзамиз:
а дТ дТ______дП дф
dt dq dq dq [dq
Бу тенгламани q га купайтирсак,
• / d dr dT\ on • ’дФ •
q(——.---------=-------q------т q
\dt dq dq I dq dq
(25.25)
(25.26)
булади. Бунда
• / d дТ dT\ d f dT\ f “ dT , • oT\
9---------------| = — Q— ~ q— H- <?— .
\^dt dq dq J dt \ dq j ( dq dq J
Эйлернинг бир жинсли функциялар дацидаги теоремасига кура
-^-9 = 2Т.
365
Бундан ташцари,
тенглик уринли булади,
Худди шунингдй,
«2_’9 = 2Ф, =
д q д q dt
булгани учун (25.26) ни куйидагича ёза оламиз:
т^ = _2Ф
dt
ёки
— = — 2Ф,
dt
бунда Е = Т + П тулиту механик энергияни ифодалайди.
Шундай цилиб, щрли^ механик энергиянинг всиуп бирлиги ичи-
даги сарфи Рэлей диссипатив функциясининг икки %исса кийма-
тига тенг булар эшн.
Эркинлик даражаси битта булган система учун (25.11), (25.14)
ва (25.24) ларни эътиборга олиб, унинг кичик тебранма ^аракати
дифференциал тенгламаси (25.25) га кура куйидагича ёзнлади:
° Q + И Я +1С9 = °
ёки
q + 2b q 4- k2q = 0 (25.27)
Бунда — = k\ -Ь. = 2b белгилаш киритилган. (25.27) учун
Ха4-2Ь7.4-й2 = 0
характеристик тенглама тузиб, унинг илдизларини аниклаймиз:
>.1Д = — 6 ± у'Ь2-^ • (25.28)
Агар А >6, яыи царшнлик цайтарувчн кучга нисбатан кичик
булса, А2 —• Ь2= /г, белгилаш киритиб, характеристик тенгламанинг
илдизларини
>.112 = —Ь±«А,
куринишда топамиз.
У ^олда (25.27) тенгламанинг умумий ечими системанинг эркин
тебранма харакати ечими (25.18) дан фацэт е~ы ^адн билан фар^
Килади. >^аг;|<^атаи хам, курилаётган ,\олда
q = e~w(CiSin ktt + С2созк^1) (25.29)
366
<1
булади. Бунда Сг ва С2 лар
интегра ллаш доимийларндир.
(25.29) да
Сх = A cos а. С2 = A sin а
алмаштнриш киритсак (бунда
Л ва С узгармас мицдорлар),
q = Ae~bi sin (kJ + a) (25.30)
муносабатни оламиз. Бунда А
ва а лар х^аракатиииг бошлан-
FH4 шартларидаи аникланади.
(25.30) цонун асосида со-
дир буладиган тебранма ^ара-
кат сунувчи тебранма ^аракат-
ни ифодалайди, чунки вацт утиши билан e~bt .\ад туфайлн q коор-
дината камая боради ва нолга интилади. Бинобарин, бу >;олда сис-
тема узининг мувозанат ^олатига я^инлаша боради.
Сунувчи тебранма харакат графиги 272-расмда тасвирлангаи. Бу
график пунктир чизи^ билан чизилган q — Аё~ы ва q — — Аё~ы чи-
зиклар ораспда ётади, чуики sin (kJ 4- а) миедор жихатдан бирдан
катта бу ла олмавди.
(25.30) дан курамизки, sin (kJ 4- а) купайтувчи ^исобига систе-
ма тебранма харакатда булади ва вакт утнши билан бу царакат
амплитудаси камая бора ди. Сунувчи тебранма ^аракат даври sin(^i<+
4- а) нинг даврига тенг булади ва kjT^ = 2л формуладан ани^ла-
нади. Шундай кнлнб,
— — 2л
ki ~
(25.31)
Тi вацт ичида система бир марта тебранишини 272-расмдан я^цол
куриш мумкин.
(25.31) ни эркин тебранма ^аракат даври (25.20) билан солишти-
риб 1\Z>T булишини курамиз. b<^k булганда деб олиш
мумкин. Бинобарин, царшилик кичик булганда системанинг эркин
тебранма ^аракат даври билан сунувчи тебранма ^аракат даври деяр-
ли бир-биридан фар^ ^илмайдн.
Вацт утиши билан сунувчи тебранма ^аракат амплитудаси ^андай
узгаришини аниклаш учун системанинг мувозанат ^олатидан бирин-
чи энг катта огишиии qjqt > 0) билан, шу ондаги взятии ty билан,
иккинчи энг катта отишинн q2(q2 > 0) билан ва унга мос вацтни ts
билан белгиласак, t2 = 4 + Д булади. Шу сабабли (25.30) да
= 2л экаиинн назарда тутиб
qt = Ae~btl sin (kJi 4- a),
q2 = sin (k^ 4- a) = qi^
367
273- раем.
белгилаш киритамиз. Натижада
муиосабагларни оламиз. Шунга ух-
шаш ихтиёрий <?л+1 учун
тенглик уринли булади.
Шундай цилиб, сунувчи теб-
ранма даракат амплитудами гео-
метрик прогрессия цснуни асосида
камайиб боради. Тебранишиинг су-
нншини ифодалайдиган е~ЬТ* катта-
лик тебраниш декременти дейи-
лади. Бу декремент модулннинг ло-
гарифмига тенг булган ЬТГ катталик
логарифмик декремент дейилади.
Агар b > k, яъни цайтарувчи
кучга нисбатан царшнлик кучи кат-
та булса, у цолда
характеристик тенгламанинг илдиз-
лари цуйидагича булади:
2 = — b ± л,
яъни иккала илдизи хам цациций ва манфий булади.
Бниобарин, (25.27) тенгламанинг умумий ечимини ушбу кури-
нишда ёзиш мумкин:
q = С1ечд+")' + С2 (25.32)
Бу тенглама билан ифодаланадиган царакат тебранма царакатдан
иборат булмайди. q координата вацт утиши билан нолга интилади.
Бундай харакат графиги q ва q ларнинг бошлангич цийматларига
караб 272-расмда тасвирланган графикларнинг бирортаси каби булади.
Агар b — k булса, = —b булади ва (25.27) тенглама-
нинг умумий ечими
q^e^^+CJ).
куринишда ёзилади. Бунда е~ы катталик t га нисбатан тезроц нол-
га ннтилгани учун даракат графиги 273-расмдагнга ухшаш булади.
170-§. Эркинлик даражаси битта булган системанинг мажбурий
тебранма царакати
Эркинлик даражаси битта булган система нуцталарига потенциал-
ли цайтарувчи куч, тезликнинг биринчи даражасига мутаносиб ра-
вишда узгарувчи муцитиинг каршилмк кучи ва вацт функциясидан
иборат уйеотувчи куч таъсир этсин. Уйготувчи кучга мос булган
умумлашган кучни
Q = (25.33)
368
копун асосида узгаради деб царайлик. У холда бундай кучлар таъ-
сиридаги системанинг царакати мажбурий тебранма царакат
дейилади. Мажбурий тебранма царакат дифференциал тенгламасини
чицариш учун (25.11), (25.14), (25.24) ва (25.33) ларнн эътиборга
олиб, Лагранж тенгламасини тузамиз:
а<7 -ГНо9 + CQ = Qsfapt.
Бу тенгламанинг иккала томонини а га булиб,
- = k\ Jin- = 2b, & = Ро
а а а
белгилашлар киритсак,
q 4- 2bq 4- k2q = Ро sin pt (25.34)
тенгламани оламиз. (25.34) тенглама эркинлик даражаси битта
булган системанинг кичик мажбурий тебранма царакати диффе-
ренциал тенгламасини ифодалайди.
Дифференциал тенгламалар назариясидан маълумки, бундай уз-
гармас коэффиниентли, чизицли ва бир жиислимас дифференциал
тенгламаларнинг умумий ечими цуйидагича ёзилади:
<7 = <71 + ?2>
бунда qt (25.34) га мос булган бир жинсли дифференциал тенглама
(25.27) нинг умумий ечимини, q2 эса (25.34) тенгламанинг бирор ху-
сусий ечимини ифодалайди.
k>b булганда (25.27) тенгламанинг умумий ечими
qx == Ae~bt stn (kjt 4- a)
куринишда ифодалаииши бизга маълум.
(25.34) тенгламанинг унг томонида sin/rt функция цатнашгани
учун бу тенгламанинг хусусий ечимини
д2 = В sin (pt — Р) (25.35)
куринишда оламиз. Бунда В ва р лар узгармас мицдорлар булиб»
уларни шундай танлаш керакки, (25.34) да q нннг урнига q2 ни
цуйгаида у айниятга айлансин. Буиинг учуй дастлаб куйидаги цоси-
лаларни цисоблаймиз:
= Bp CCS (pt — Р), = —Bp2 sin (pt — Р) (25.36)
pt — Р == 6 белгилаш кпритамиз. sin pt = sin (0 + р) экашши назарда
тутиб, (25.35) ва (25.36) ларни (25.34) га цуямиз:
В (k2 — р2) sin 6 4- 2bp cos 6 = Ро (sin р -cos 6 4- cos р-sin 6).
Бу тенглик t вацтнинг ёки 6 бурчакнинг хар цандай цийматида урии-
ли булиши учун унинг чал ва уиг томонвдаги sin 6 ва cos 6 олди-
дагн коэффициентлар мос равишда тенг булиши керак:
В(№ — рг) = Ро cos р; 2ЬВ = sin р. (25.37)
24—2344
369
Бу тенгликларнинг иккала томонини цадлаб булиш ва квадратга ошн-
рнб цушиш натижасида
tE₽=7T£? (25.38)
k-—р-
В = - .......р°- - - - (25.39)
У (А2 — -г 4 &р2
нфодаларнч цосил киламиз.
Шундай цилиб, (25 34) тенгламанинг умумий ечимини
q — Ае bt sin (kxt а)В sin (pt— 0)
(25.40)
куринишда ёзиш мумкин. Бундаги А ва а лар интеграллаш доимиЙ-
лари булиб, харакатнинг бошлангич шартларидан аникланади; 0 ва В
лар эса (25.38) ва (25.39) фсрмулалар ёрдамида аницланади.
(25.40) дай курамизки, системанинг тебраниши мураккаб тебран-
ма царакатдан иборат булиб, уни системанинг сунувчн тебранма ха-
ракати ва мажбурий тебранма харакатларидан ташкил топган деб ка-
раш мумкин.
Вацт утиши билан (25.40) даги биринчи цад нолга интиладн,
яъни сунувчи тебранма царакат йуцолиб, харакат асосан
q = q2 = В sin (pt — 0)
мажбурий тебранма царакатдан иборат булади. Бу тенгликдан кура-
мизки, системанинг мажбурий тебранма царакати бошлангич шартлар-
га боглиц булмай, фацат (25.39) ёрдамида аницланадиган В ампли-
туда ва уйготувчи кучнинг частотасига тенг булган частота билан
содир булади. Шундай цилиб, уйготувчи куч системани уз частота-
сига мос равишда тебранишга мажбур этади.
Муцитнинг царшилигини хисобга олган цолда уйтотувчи куч таъ-
сиридаги системанинг мажбурий табранма царакатини текшириш учун
(23.39) ва (25.38) тенгликларнинг сурат ва махражини kz га булиб,
цуйидагича ёзамиз:
Ро
k2____.
tg₽^-
В =
Куйидаги белгилашни
киритамиз:
Р b 1
= h.
k k
(25.41)
(25.42)
(25.43)
370
fl
г катталик уйготувчи куч частотасининг эркин тебраниш частотаси
нисбатига тенг булиб, носозлик коэффициента дейилади, h эса ном-
сиз катталик б^'либ, царшилик коэффициентини ифодалайди
(25.44)
а а
булгани учун
А = =; в
Л2 с “
(25.45)
Во катталик статик силжиш дейилади.
В
1] = т-
«о
белгилаш киритсак, бу номсиз катталик динамик коэффициент
дейилади. Бу коэффициент мажбурий тебранма царакат амплитудаси
В статик силжишдан цаича катта (ёки кичик) эканлигиии ифодалайди.
У цолда (25.41) ва (25.42) лар цуйидагича ёзилади:
‘g₽ = — (25.47)
Бинобарин, э] катталик z ва h га боглиц булар экан.
h = 0; h — 0,1 h = 0,2 булганда т] ва р ларнинг z га боглиц
равишда узгариши 274 ва 275- расмларда тасвирланган.
Мажбурий тебранма царакат амплитудаси энг катта цийматга эрн-
шадиган цол алоцида урин тутади. Бу цолда резонанс цодисаси рун
беради.
z нинг цандай цийматларида л экстремум цийматга эга булишини
аницлаш учун (25.46) да махраждаги ифбданн /(z) билан белгилай-
миз:
f(z) = (I — z2)2 + 4/i2z2.
371
f' (2} хосилани нолга тенглаб
4z (2/г2 — I 4- z2) = О
тенгламани оламиз: Бу тенгламадан бизни хизихтирадиган цийматлар-
ни ани^лаймиз:
21 == о, z2 = V 1 ~ 2/г2.
/ функциянинг иккинчи хосиласини олиб, z = zx да f (z) макси-
мум, z = г2 да минимум цийматга эга булишига ишонч хосил килиш
мумкин. Бинобарин, т] катталик ва у билан бирга В амплитуда z = О
да минимум ^ийматга, z = ]' 1 — 2 h2 да эса максимум цийматга
эришадн.
Одатда /г<< 1 булгаии учун амалда резонанс ходисаси z— I
булганда, яъни мажбурий тебраниш частотаси ва эркнн тебраниш-
частотаси устма-уст тушганда кузатиладн.
Агар мухитнинг ^аршилиги системанинг ^аракатига таъсир этмай-
диган даражада кичик булса, системанинг харакат дифференциал
тенгламасини
q + k2q = Pb sin pt (25.48)
куринишда ёзиш мумкин. У холда р=£ k (р -= k ^олни ало^ида кура-
миз) булганда (25. 48) тенгламанинг умумий ечими
q = A sin (kt + а) 4~ В sin (pt — Р) (25.49)
формуладан аникланади.
Бинобарин, бу холда системанинг харакатини k ва р частотали
иккита гармоник ^аракатдан ташкил топган деб papain мумкин.
(25.49) да А ва а лар юкоридагидек, харакатнинг бошлангич
шартларидаи, В эса
В = —— (25.50)
тенглик билан аникланади.
6 = 0 булганда р нинг ^ийматини (25.37) дан аниклаш цулай.
(25.49) ни назарда тутсак, sinp=O ва p<k булганда cosp*=];
р > k булгаида cos р = — 1 булади. Бинобарин, мухитнинг хар*
шилиги эътиборга олинмаса, р <Z k булганда Р = 0; р > k да эса
Р — л булади, яъии р < k булганда мажбурнй тебранма харакат фа-
заси билан уйготувчи куч фазалари устма-уст тушади, pZ>k холда
эса, мажбурий тебранма харакат бнлан уйготувчи куч фазалари урта-
сидаги силжиш л га тенг булади.
Агар мажбурий тебранма харакат частотаси р билан эркин теб-
ранма харакат частотаси k узаро тенг булса, бундай х°Диса резонанс
дейилади.
Резонанс холида (25.48) тенгламанинг
q = —^2------sin (pt — Р)
72 | А3—И v н
372
куринишдаги хусусий ечими мавжуд булмайди. Бу ^олда (25.48)
нинг хусусий ечимини
?s = -Р°~. fsin W — s‘n(И)! (25. 51)
куринишда оламиз. Бу хусусий ечимни (25. 49) да узгармас мицдор-
лар
шартларнн ^аноатлантирадиган цилиб танлаб олиш мумкин. р = k
булганда (25.51) хусусий ечим — шаклидагн анш^ламасликдан ибо-
рат булади, шу сабабли Лолита ль цоидасини цуллаб Цуйидагинн ола-
миз:
?! = Р„
d
-—[sin (pt) — sin(fo)J
dp______________
iU2-"2'
—-f^cos^- (25.52)
P = k
Бинобарин, p = k булганда (25.48) тенгламанинг умумий ечими
Р t
q =-----cos kt 4- fl sin (kt +a)
(25.53)
формуладан аникланади.
(25.53) дан курамизки, резонанс ^олида мажбурий тебранма ца-
ракат частотаси вацт утиши билан чексиз ортиб боради. Резонанс бо-
лида мажбурий тебранма ^аракат графиги 276-раемда тасвирланган.
Акустика, радиотехникада ва биноларнннг лойихасини динамик ^исоб-
лашда резонанс ^одисаси алоздда ахамиятга эга.
65- масала. Пружинанинг статик
чузилишга мос равншда юкнинг тннч Ч .
золатдан бошлангич огиши у0 бошлан- q=^-t
гич тезлиги и0 нинг у укдаги проекция- А
си у0 берилганда 277-раемда тасвир- /Д
ланган ва эркинлик даражаси битта /All fl
булган механик системанинг частотаси, /7\ 11 11 1 t
кичик тебранишлар даври ва /- юкнинг /А И I I 11 I ~
y—y(t) ^аракат тенгламаси ашщлан- и 11 11 | I
сии. || II
Раемда цуйидаги белгилашлар ки- ^\и
ритилган: /-массасига тенг юк; 2-
массаси т2 ва раднуси га га тенг блок v ро
(бир жинсли диск); 3- массаси т3 ва
радиуси г3 га тенг бир жинсли диск;
с- пружинанинг бикрлик коэффициента. 276- раем.
373
Юцорадаги катталикларнинг сон циймати ушбу жадвалда Серил-
ган:
Ечиш. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламасидан фойдаланамнз.
Системанинг умумлашган координатаси учун 1-юкнинг статик муво-
занат ^олатидан опили у ни оламиз. У хрлда система харакатининг
дифференциал тенгламаси
+ = 0 (])
и а'у е» д>'
куринишда ёзилади.
Стстеманинг кииетик энергияси 1, 2 ва 3-жмсмлар кинетик энергия-
ларининг йигиндисидан иборат:
7 = 7\ + Т2 + Т3.
Т1У Т2 ва Т3 ларни умумлашган тезлик у оркалп ифодалаймиз.
и = у тезлик билаи илгариланма харакатланувчи 1- юкнинг кииетик
энергияси
у. __ ШхУ1 .
1 ” 2
формуладан ^исобланади.
О нуцтадан раем текислигига перпендикуляр равишда утувчи
атрофида айланувчи 2-блокнинг кинетик энергияси
374
бунда
2~ 2 ’
Г — 2 2 < — V
' 2Х-----> W2-----------~
Демак,
т —МгУ*
2 4
Текис параллел царакат цилувчи 3-дискнинг кинетик энергияси
бунда
3-диск массалар марказининг тезлиги vc цуйидагича аницлана-
ди.
Системанинг кичик тебранишлари царалаетгани учун
У
деб олиш мумкин. Диск сирпанмасдан думалагани учун
ва
Шундай цилиб,
7 - 4- = 2 m
ls~ 8 + 16 16 зУ
Бинобарин, курилаётган механик системанинг кинетик энергияси
7=^+^-+-^^= {('"1+^+!«%)?•
Системанинг мувозанат цолатида, у = 0 деб цараб, системанинг
потенциал энергиясини хисоблаймиз.’ Системанинг потенциал энергия-
си 1-юкнинг у масофага кучишидаги потенииап энергияси билан
системанинг кучишида деформацияланадиган пружинанинг потенциал
энергияси П2 нинг йигиндисидан иборат:
П = Fli + П2; Hj = — m^gyt
375
п с(/ет + ^сГ cfcT|
2 2 2
бунда /ст — пружинанинг статик чузилиши, — мувозанат холати-
даги пружинанинг потенциал энергияси; хс — пружина [ма^камлан-
ган С нуктанинг юк у масофага огднрилгандаги кучиши.
Системанинг кичик тебранишлари ^аралаётганлигн туфайли
£
с 2
деб олиш мумкин. Натижада
булади.
Шундай килиб, системанинг потенциал энергияси учун
п = — т£у + cfct^ +
муносабат уринлвдир.
Системанинг мувозанат ^олатида
булгани учун
бундан
= «iig-
Бинобарин, системанинг потенциал энергияси П = (1) тенг-
ламанинг цадларшш цисоблаймиз!
d дТ ! , т. , 3
~(т‘+Т+ТтГ’
эг 50 — **
Sy ’ ду 4 ’
(1) тенглама цуйидагича ёзиладш
(«1 + y + J ms) У + ’Т = °’
ёки
у + khj = 0.
376
Бунда k эркин тебраниш частотасн булиб,
fe = , / -----------с~—-----= 16,03 с“*.
га теиг. Эркин тебраниш даври куйидагича ^исобланади:
Т = = ?^!1 = 0з9 с.
k 16,03
(2) тенгламани интеграллаб 1-юкнинг ^аракат тенгламасини ола-
миз:
У = С1 cosAf-j-C2 sin kt. (3)
Ci ва C2 интеграллаш доимийларини аниклаш учун юкнинг тез-
лигини аниклаймиз:
у = — kCi sin kt + kC2 coski (4)
ва бошлангич шартлардан фойдаланамнз. (3) ва (4) тенгламаларда
I = 0 да
уо = cv
у = kC2.
Демак,
С1 = у0,1
С2= -& (5)
К • 1
(5) ни (3) га г^уйсак,
у —y^ccskt + ~ sin АС
у = 0,0003 cos 16,0314- 0,0037 sin 16,03t.
(2) ни (25.17) билан солиштириб, унинг ечимини (25. 18) ва (25.19)
ларга кура цуйидаги куринишда хам ёзиш мумкин:
У = a sin (& + ₽),
бунда
р = arc tg -^5- = arc tg 0,08.
Ус
sinp>0(c1>0) булгани учун
р = 4°36' = 0,08 рад.
377
278- раем.
Шундай килиб, 1-юкнинг царакати
х = 0,00001 sin (16,03 1 4- 0,08) м (6)
тенглама билан ифодаланади.
66-масала. Огирлиги Gx га тенг стерженнинг бир учи О нуцта-
да деворга шарнир воситасида бириктирилган; иккинчи учига огирли-
ти G га тенг В юк бириктирилган. Стержень ва юк бикрлиги с га
тенг пружина ва О нуцтадан /2 масофада урнатилган суюцлик демп-
фери воситасида горизонтал холатда сацлаб турилади. I ва улчам-
лар 278-расмда курсатилган. Суюцлик демпферида поршенга курса-
тиладиган царшилик кучи тезликнинг биринчи даражасига мутаносиб,
яъни R = р v деб цараб, системанинг тебраниш частотаси ва тебра-
ниш даври аниклансин. Шунингдек, система апериоднк царакатда бу-
лиши учун р нинг цабул циладиган цииматлари топилсин.
Ечиш. В нуцтанинг у координатасини умумлашган координата учун
цабул цилсак, системанинг кинетик энергияси цуйидагича цисобла-
нади:
= ,р2. (7)
G^G ва пружинанинг эластиклик кучига мос булган системанинг по-
тенциал энергияси учун ушбу муносабат урннли буладн:
- Gy +
*(/ст+У)г
2
П =
+ g)j/ + 4„»+-y-.
378
бунда /ст — системанинг мувозанат холатидаги статик чузилиши;
—------мувозанат хрлатидаги пружинанинг потенциал энергияси.
Системанинг мувозанат ^олатида
= +G
булгани учун
П = у (8)
Умумлашган координата учун <р бурчакни олсак, (7) ва (8) ларни
куйидагича ёзиш мумкин:
7'=4Р-+л к- о)
2 \ в ! / П = -i-cZ4!- (Ю)
Демпфер царшилигига мос булган умумлашган куч
<2Я = —₽»—₽/гч> (11)
формуладан аникланади.
(9) ва (И) ларга асосан Лагранжнинг иккинчи хил тенгламасини
тузамиз: -г 4) ч>+₽ 4 ч> + cP <₽ = о
ёки ,| + _g 4g ф + _£Pg_ ф = о. (12) Ы‘+1г1! GP + lzg '
(12) ни (25.27) билан солиштирнб
2b = — ёки b = Cf= + /2g 2(№+4g) cPg -ки k = / _cPg GP + '.g V GP + llg
муносабатларни оламиз.
Эркнн тебраниш частотаси k ва суниш коэффициенты b ни бил-
ган зрлда сунувчи тебранма даракат частотасини
ki^vk^ — b'-
формуладан аникла ймиз.
379
Сунувчи тебранма харакат даври
у, __ 2л __ 2л
тенгликдан топилади.
Система апериодик харакатда булиши учун b > k булиши, яъни
Л с1’е
тенгсизлик бажарилиши керак. Бундан
9/ /
₽>-^l/cg(G/2+'’g)
шарт бажарилганда система апериодик харакатда булишини курамиз.
XXVI боб
ЗАРБА НАЗАРИЯСИ
171- §. Зарбали куч. Зарбали кучнинг моддий нуктага таъсири
Шу пайтгача моддий нукта, механик система ёки жиемга огирлик
кучи, му^итнииг царшилик кучи, тортилиш кучи каби кучлар таъсир
этган лларни куриб чиедик. Бундай кучларнинг таъсири натижаси-
да механик система ёки жисм нукталаринииг тезлиги узлуксиз ра-
вишда узгаради. Ленин жуда кичик ва^т ичида жисм нукталаринииг
тезлиги, бинобарин, бундай жисмнинг ^аракат миедори чекли мик-
дорга узгарадитан доллар ^ам учрайди.
Жуда кичик ва^т ичида жисм нукталаринииг тезлиги чекли кат-
таликка узгарса, бундай ^одиса зарба дейилади. Турли тезликларга
эга булган жисмлар бирданига туднашгацда зарба руй беради.
Зарба содир буладиган ва^т зарба вацти дейилади. Зарба вакти
амалда секуиднинг мингдан бир ёки ун мингдан бнр улушига тенг
булади.
Моддий нуктага жуда кичик ва^т ичида таъсир этиб, жуда кат-
та кийматга эришадиган ва импульси чекли булган куч зарбали куч
дейилади.
Массаси т га тенг моддий нуктага жуда кичик т вакт ичида
зарбали куч F ва одатдаги (зарбали булмаган) Q (t) куч таъсир эт-
син. Нуктанинг зарбадан олдинги ва зарбадан кейинги тезликларини
мос равишда v ва и билан белгиласак, зарба вактида бундай нукта
учун ^аракат микдорининг узгариши ^а^идагн теоремани куйидагича
ёзиш мумкин.
mu — mv = J F dt -J- J Q (f) dt, (26.1)
380
бунда
\Fdt = S
(26.2)
зарбали куч импуяьсини ифодалайди. Иккинчи интеграл Q кучнинг
зарба вактидаги импульси булиб, Лагранжнинг уртача igriiMar хаки-
даги теоремасига кура
\= \Q(t)dt = Q*r,
бунда Q* билан Q кучнинг (0, т) да цабул киладиган уртача ь;ий-
мати белгиланган. Q* чекли катталик, т эса кичик микдор булгани
учун Sq^O деб олиш мумкин. У ^олда (26.1) ни
ти — mv=* S
(26.3)
куринишда ёзиш мумкин. Ушбу тенглама зарба назариясининг асо-
сий тенгламаси дейилади. Шундай цилиб, зарбали куч импульси
микдор ва йу’налиш жихатдан зарба вакдида ну^та харакат млкдори-
иинг узгариши билан ифодаланади. Агар зарбали куч импульси маъ-
лум булса, у холда (26.3) га асосан нуктанинг зарбадан кейииги
тезлиги
- - . S
и = v 4--
т
формуладан аникланади. Бунда v, S ва т чекли булгани учун ну$-
танинг зарбадан кейииги тезлиги и ^ам чекли катталик бу'лади.
Зарба вакгида нуктанинг кучишини аниклаш учун нуктанинг би-
рор цузгалмас координата системасига нисбатан^. радиус-векторини
г билан белгилаймиз. и = -^-эканлигини назарда~[тутиб (26.3) ни
dt га купайтирамиз ва 0 дан т гача вакт оралишда интеграллаймиз:
г =гот-й.т + — Г Sdt,
бундан нуктанинг зарба вактидаги кучиши учун [\уйидагпнн оламиз:
Аг = г—rD « -|—— S*«t.
tn
Бунда S* билан зарбали куч импульсининг т вахтдаги уртача кнйма-
ти белгиланган. v ва S* чекли мпкдорлар, т эса жуда кичик булга-
ни учун нуктанинг зарба вактидаги кучнши Аг хам жуда кичек бу-
лади ва уни одатда эътиборга олннмайди-
Шундшт килиб, куйидаги хулосага келамиз:
1) зарба вацтида зарбали булмаган кучларнинг таъсирини эъти-
борга олмаслик мумкин;
381
2) зарба вактида нуктанинг кучиши эътиборга олинмайди;
3) зарбали кучнинг нуктага таъсири натижасида зарба вацгвда
нуцта тезлигининг узгариши зарба назариясинннг асосий тенгламаси
(26.3) билан аникланади.
172-§. Зарба назариясинннг умумий теоремаларн
Механик система ёки жиемга зарбали кучларнинг таъсири куйи-
даги теоремалар ёрдамида аникланади.
1. Зарбада система царакат мицдориинн г узгариши. Д’ та мод-
дий нуцталардан ташкил топган механик система нуцталарига ташци
ва ички зарбали кучлар таъсир этсин. Зарбали булмаган кучларнинг
система нуцталарига таъсирини эътиборга олмаймиз. Система ихтиё-
рий Мк нуцтасининг зарбадан олдинги ва кейинги тезликларини
vk, uk билан белгилаймиз. Шу нуктага таъсир этувчи ташци ва
ички зарбали куч-импульсларнинг тенг таъсир этувчиларинн мос ра-
вишда Sj, ва Sjj, билан белгилаймиз. У холда (26.3) га биноан
(26-4)
тенглама уринли булади. Системанинг барча нукталари учун бун-
дай тенгламаларни тузиб, уларни цадлаб цушеак,
Бунда uk ~ • ^mk vk = ^o лаР мос равишда система-
нинг зарбадан олдинги ва зарбадан кейннги царакат мнцдорларинн
ифодалайди. Ички кучларнинг хусусиятига кура ички зарбали куч-
лар импульсларниинг йигиндиси нолга тенг. Шу сабабли
= <26-5>
Демак, зарба вацтида система харакат мнцдорининг узгариши
система нуцталарига таъсир этувчи ташци зарбали куч импульс-
ларининг геометрик йининдисига тенг.
(26.5) ни бирор координата уцига проекцияласак,
(26.6)
булади. у ва z уклар^учун шунга ухшаш муносабатлар уринлидир.
Системанинг царакат мицдорини массалар марказининг тезлиги
орцали ифодалаб, (26.5) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
м(«с-Ъс) = 2а;. (26.7)
ёки координата уцига проекцияласак,
= (26.8)
382
(2 6.7) тенглик зарба еацтида система массалар маркази хара-
кат микдорининг узгариши хацидаги теоремани ифодалайди.
Хусусий цолда У Sek — 0 булса, (26.5) ва (26.7) ларга асосан
куйидагини оламиз:
Шундай килиб, система нуцталарига таъсир этувчи ташки зарба-
ли куч импульсларининг геометрик йигиндиси нолга тенг булса, у
цолда зарба вактида системанинг царакат мицдори ва система масса-
лар марказининг тезлиги узгармасдан колади.
2. Зарбада система кинетик моментининг узгариши цациДаги
теорема. Системанинг ихтиёрий Mk нуктаси учун (26.4) ни
=S' + S‘
куринишда ёзиб, бу тенгликии мазкур нуцтанинг бирор цузгалмас
марказга нисбатан радиус-вектори rk га векторли купайтирамиз:
г* х mk — rk *mtVil = rk*S'i1 + rk'*Sk-
Системанинг барча нукталари учун шунга ухшаш тенгликларнн
тузиб, уларни цадлаб кушамиз:
Xm* УХх -< s' + Vr4 х5‘.
Бунда rk '^mkukz= '\rk^'mkvk= лаР мос равишда
системанинг О марказга нисбатан зарбадан олдинги ва зарбадан ке-
йпнги кинетик моментларини ифодалайди. Ички кучларнинг хусусия-
тига кура ички зарбали кучлар импульслари моментларининг геомет-
рик йигиндиси нолга тенг, 'V rk X S* = О, Шу сабабли
Б,— (26.9)
ёки
= с6-10’
булади. яъни зарба вактида система харакат микдорининг бирор
кузгалмас марказга нисбатан моментининг узгариши система нук-
таларига таъсир этувчи ташки зарбали куч импульсларининг маз-
кур марказга нисбатан моментларининг геометрик йигиндисига
тенг.
(26.10) ни цузгалмас О нуктадан утувчи бирор z уцка проекция-
ласак,
Сг~Чг = У-Иг1Х) (26-П)
булади.
383
(26.10) ва (26.11) лардан курамизки. агар система нуцталарига
таъсир этувчи ташки заржали кеч импульсларцнинг бирор кузгалмас
марказга (у^ка) нисбатан моментларининг йиншдиси нолга тенг бул-
са, у Цолда системанинг мазкур марказга (уцца) нисбатан кинетик
моменти зарба вацтида узгармасдан цолади. Бинобарин, зарба вацти-
да ички зарбали кучлар системанинг кинетик моментини узгартира
олмайди.
173-§. Шарпинг цузгалмас сиртга урилишидаги тугри зарба.
Тиклаш коэффициентини тажриба усули билан аницлаш
шар берилган кузгалмас сиртга утказилган нормаль буйича
пастга v тезлик билан илгариланма царакатда булсин (279-раем).
У цолда шар А нуцтада сиртга урилгандаги зарба т$рри зарба дейи-
лада. Зарбадан кейин шар Ап нормаль буйича и тезлик билан юцо-
рига царакатланади. Тажрибанинг курсатишича и тезлик и га нис-
батан кичик ва
u=kv
(26.12)
муносабат уринли булади. Бунда 0 < k < 1 булиб, k ни зарбадаги
тиклаш коэффициента дейилади. Бу коэффициент уриладиган жисм-
ларнинг эластиклик хусусиятига боглиц булади.
Зарба вацтини т билан белгиласак. бу вацт мобайнида шарга
цузгалмас сиртнннг зарбали реакция кучи N таъсир этади. Бу куч
Ап буйлаб йуналади ва унинг сон циймати жуда катта мицдор га
эришади. Зарба вацтини икки циемдан иборат деб цараш мумкин:
биринчи даврни билан белгиласак, бу вакт мобайнида шарнинг
тезлиги нолга тенг булгунча у деформацияланади; tl дан т гача
булган вацт мобайнида шар эластик булганлиги сабабли уз шаклини
цисман (бутунлай эмас) тиклайди ва тезлиги 0 дан и гача ортади.
Хар иккала вакт оралиги учун зарба назариясинипг асосий тенг-
ламаси (26.3) ни тузиб, Ап га проекциялаймиз:
279- раем.
0 — (— mv) =
ти — 0 = S2>
(26.13)
бунда = J Ndt S.2 = J Ndt лар билан
о т,
мос вакт оралицларцдаги зарбали реакция
кучи импульсларининг модули белгиланган.
> (26.12) ва (26.13) га асосан StBaSgSap-
бали импульслар орасидаги муносабатни
аницлаймиз:
S2 =kS,, ёки k = А. (26.14)
Бинобарин, зарбанинг иккинчи даврда-
384
ги импульсининг биринчи даврдаги
импулъсига нисбати тиклаш коэф-
фициентига тенг.
Тиклаш коэффициентини куйнда-
ги содда тажриба ёрдамида аницлаш
мумкин. Синалаёгган жисм материал
лидан ясалган шарча худди шу ма-
териалдан ясалган горизонтал пли-
тага бошлангич тезликснз hY баланд-
лнкдан ташланади. Зарбадаи кейин
шарча h2 баланддикка кутарилади
(280- раем). Галилей формуласига
кура
V = I 2g/i! и = /2gft2
булади. У холда тиклаш коэффи-
циента
280- раем.
и |/ л1
(26.15)
формуладан аникланади. Турли материалларнинг тиклаш коэффици-
ентларн справочникларда берилади.
Зарбали куч хусусиятини куйидаги мисол воситасида тасаввур
килиш мумкин. Огирлиги Н булган пулат шарча h=6 м ба-
ландликдан тушиб, пулат плитага v тезлик билан уриладн ва зарба-
дан кейин и тезликка эга булади. Зарба даври т = 0,001 с ва тик-
лаш коэффициента k = = — булса, зарбали кучнинг уртача миц-
дори аницлансин.
Дастлаб зарбали куч импульсини цисоблаймиз. Бунинг учун зар-
ба назариясининг асосий тенгламаси (26,3) ни у уцца проекциялаймнз
ти -\-mb~S
ёки
S = т (и + и) = — (v 4- и).
g
v ва и тезликларни аниклаймиз:
o = /2gh =/2-9,81 -6 « 11 м/с,
и= — v ж 6 м/с.
9
Бинобарин, зарбали куч импульси цуйидагича булади:
S = /(11 + 6)«1.7 Н-с.
Зарбали кучиинг уртача циймати
н-
25—2344
385
Шундай ^илиб, огирлиги I Н га тенг булган шарча плитага ур-
тача ^иймати 1700 Н га тенг зарбали куч билан таъсир этади. Зар-
ба л и кучнинг энг катта ^иимати 1700 Н дан ^ам ортиц булади.
174-§. Икки жисмнинг тугри марказий зарбаси (шарлар зарбаси)
Илгариланма харакатдаги икки жнем бир-бири билан тукнашиб
урилиши олдида массалар марказларининг тезликлари шу марказлар-
ни туташтирувчи тугри чизих буйлаб йуналган булса, бундай зарба
тугри марказий зарба дейилади.
Зарбагача массалар маркази бир тугри чизих буйлаб ^аракатла-
нувчи иккита бир жинсли шарнинг урилишидаги зарба бунта мисол
була олади.
Тукнашадиган жисмларнинг массалари ва т2, массалар марказ-
ларининг зарбадан олдинги тезликлари Vj ва t?2, зарбадан кейииги
тезликлари ult и2 булсин. Массалар маркази С{ ва С2 оркали доимо
Q дан С2 га йуналган. Crv укни утказамиз (281-раем)? У холда
зарба содир булиши учуй t>lx>v2x шарт бажарилиши зарур (чушки
акс холда биринчи жисм иккинчи жисмни кувиб ета олмайди); бун-
дан ташцари, и1х < и2х шарт хам бажарилиши зарур, чунки урилув-
чи жисм уриладиган жиемдан узиб кетмайди. Бу шарт жисмлар
бир-бирига харама-харши харакатлаиаётганда хам уринли булишини
таъкидлаб утамиз.
mi» т2 v\x * v2x ла₽ берилган булса, и,х ва и2х ларни аниклай-
миз. Бунинг учун уриладиган жисмларни битта система деб караб,
бу система учун харакат микдорининг узгариши хацидаги теоремани
куллаймиз. У холда жисмлар урилгандаги зарбали кучлар ички куч-
лардан иборат булади. Шу сабабли V S® х = 0 ва (26.6) га кура
К1х = К2х булади ёки
“lX + т2 U2x = т\ V\x ^m2V2x (26.16)
Иккннчи тенгламани эса тиклаш коэффициента ифодасидан топа-
миз. Иккита жисм урилганда содир буладиган зарбанинг интенсив-
лиги хар бир жисм абсолют тезликларига боглик булмай, балки
урилувчи жисм тезлигининг уриладиган жисм тезлигидан цанча ор-
тиклигига, яъни vix — v.2x айирмага боглих- Шу сабабли иккита жисм
урилишидаги зарбада доимо и,х < и^ шартлар бажарили-
шини эътиборга олсак,
281- раем.
386
k = Jjfix—M =------"lx "fa (26.17)
|°lx— "2x| °2«
ёки
(2l.-112x=-ft(Dlx —(26'18>
(26.16) ва (26.18) тенгламаларни биргаликда ечиб жисмларнинг
зарбадан кейинги тезликлари и1х ва и2х ни аниклаймиз:
(26.19)
Урилаетган жисмларнинг зарбали импульсини аниклаш учун
(26.3) ни жисмларнинг бирортаси, масалан, биринчиси учун айрим
тузиб аниклаймиз:
Sl.=ml (“1« — »1х)-
Ньютоннинг учинчн конунига кура
$2х — •
Куйидаги икки ^олни~айрим-айрим куриб чицамиз.
1. Абсолют эластик булмаган зарба (fe = 0). Бу з^олда (26.16)
ва (26.18) лардан курамизки,
Р1х4-^2 °2х
|Х т1 + т2
(26.20)
яъни зарбадан кейин иккала жисм бир хил тезлик билан ^аракатла-
нади; зарбали импульс
1х
Н11ГП2
^14“ ^2
(26.21)
формуладан аникланади.
2. Абсолют эластик зарба (k = 1). Бу эрлда (26.16) ва (26.18)
лардан
г \
, 2/711 ,
^2х ' *^2х i ( ^lx ®2х । ’
(26.22)
булади. Зарбали куч импульси куйидагига тенг:
^ = -51я = ^-(В1х-Ои) (26.23)
387
(26.21) ва (26.23) ларни солиштириб абсолют эластик зарбадаги зар-
бали куч импульси абсолют эластик булмаган зарбадагидан икки
марта катта булишини курамиз. Хусусий цолда агар = т2 = т
булса, (26.22) дан uix = , и2х — vlx муносабатларни цосил ци-
ламиз. Шуидай цилиб, бир хил массалй иккита жисмнинг урнлишн
натижасида содир буладиган абсолют эластик зарбада урилувчи
жисмларнинг тезликлари алмашади.
67- масала. Огирлиги Р2 = 5 кН булган map t>i = 15 м/с тезлик
билан царакатланади, унинг олдида худди шу йупалишда огирлиги
А, = 8 кН булган шар и2=2 м/с тезлик билан царакатланади. Агар
4
тиклаш коэффициента k = — булса, шарларнинг зароадан кейипги
тезликлари аницлансин.
Ечиш. Курилаетган цолда шарларнинг зарбаси эластик зарбадан
иборат булгани учун (26.19) га асосан шарларнинг зарбадан кейии-
ги тезликларини аниклаймиз:
Ы1 = 01 — (1 -f- fe) -„- (>>i — t’J *= 15 —(I +
Q t "2
+ 0,5)-q^- (15 — 2) =;3 м/с;
“г= «а + (1 + k) (ft — fj = 2 + (1 +
“ гг“ 2
4- 0,5) (15— 2) = 9,5 м/с.
Шундай цилиб, зарбадан кейин биринчи шарнинг тезлиги камая-
ди, иккинчисиники эса ортади (цамда шарлар илгариги йуналишда
царакатланади.
175- §. Зарба вактида кинетик энергиянинг йуцолиши.
Карно теоремаси
Бу теоремани иккита шарнинг тутри марказий зарбаси учун чица-
рамиз. Бу цолда цар цайси шарга таъсир этувчи зарбали куч им-
пульси ва тиклаш коэффициента (26.3) ва (26.17) ларга кура цуйи-
дагича аницланади:
mi (ui — Vi) = — S,
m2(uz—v2) = St
k=u£=a!_
Vl—Vi'
(26.24)
Биринчи тенгламанннг иккала томонини ut 4- kuL га, иккинчисини
щ, kv2 га купайтирсак
пч («1—и1) + hvi) = — «S (Uj 4- kvt),
(и2 — v2) (и2 4- kv2) = S (н2 4-
388
Бу тенгламаларни кушиб (26.24) нинг учинчисини эътиборга олсак,
т1 (W1-----------Ul) (U1 4“ kvl) + т2 («2 — Цг) (W2 + ^2) = О
тенгламани оламиз.
Олинган тенгламани бошкача куринишда ёзиш учун куйидаги ай-
ниятлардан фойдаланамиз:
ui («1—°i)=4" и—
Ц («I — в1)= 4~ k —Г k —”1)г’
^£«2—И2) = 4' Н-Г1) + 4“ ("2 —
(u2 — Sj) = Л_ ft („2 _ сф-L („2 _ о2)2.
У ^олда
(«! — »1) («1 +/»1) = 4- (• + fe) (“1 — Ф +
+ -^(1-й)(И1-И2
К—»2) <иг +^ = 4" О + fe> (“!—®D +
+ 4-<1— fe)(«2—®2)2-
Бинобарин,
4-0 + fc) i(mi U\ + ,П2 и2> — (Ш1 Г1 + т2 +
+ ~ (1 - k) [mi (U1 - «j)2 + m2 (щ - o2)2] = 0. (26.25)
Бу ифоданииг биринчи урта ^авсдагиси кинетик энергиянинг зарба
вактида узгаришини ифодалайди.
Агар
белгилаш киритсак, Тг системанинг зарбадан олдинги, 7\эса система^
нинг зарбадан кейинги кинетик энергиясини ифодалайди. (26.25) да
иккинчи урта цавс ичидаги эса зарба натижасида йукртилган тезликка
мос булган кинетик энергия булиб, уни Т билан белгилаймиз:
389
т = —
2
[m1 (Uj — vt)2 + m2 (u2 — Сг)2]-
Натижада (26.25) ни цуйидагича ёзиш мумкин:
Т2 — 7\
т
l-^-k
(26.26)
Бу муносабат иккита шарнинг тугри марказий зарбаси учун кине-
тик энергия балансига оид Карно теоремасини ифодалайди: эластик
зарба вактида йуцотилган кинетик энергия й$котилган тезликка
i — k
1 — k
мос кинетик энергиянинг
кисмига тенг.
Абсолют эластик жисм учун k = 1 ва 1\ — Ts булади, яъни зар-
бадан сунг абсолют эластик жисмларнинг кинетик энергияси йуцол-
майди. Абсолют пластик жисм учун k — 0 ва 1\ — 1\ = Т булади.
Бу цолда кинетик энергия энг куп мицдорда йуцолади.
Пластик зарба натижасида жисмлар зарбадан кейин бир хил тез-
ликка эга булади:
Бу цолда иг = и2=- и белгилаш киритиб, (26.4) ни куйидагича ёзиш
мумкин:
ггу (и — Vjl) = — S, 1
m2 (и — и2) = S. J
Бу тенгламалардан и ва S ни аницлаймиз:
u~mi vt+mzvz
Wt + ^2
S _ (&!—£2)
гтг1-[-т2
(26.27)
(26.28)
Зарба натижасида пластик жисмларнинг кинетик [энергияси ка-
маяди. ^ацикатан цам, пластик жисмларнинг зарбадан олдинги ки-
нетик энергиясини TL билан, зарбадан кейингн кинетик энергиясини
Т2 билан белгиласак, Т2 <Z Тг эканлигини исботлаш мумкин:
Т, = — m. vl 4- ~ т„ v£, Т2 = ™ (т. -4- т., и2).
1 2 JI g 2 2’* 2 1 ‘ 2 /
Бундан
Г,— T2=~Y mt (l’I — "2) + 4“ П12
ёки (26.27) га асосан
Л - Тг = Л- S (и + 01)---S (и + о2) = S (V1 - v2).
Бу формулага S нинг кийматини (26.28) дан келтириб^цуйсак,
Т _/р = т1т2 (°1 — °2>а
1 2 2 (гту + т2)
(26.29)
390
муносабатни оламиз. Шундай килиб, Тг1>Т2 булиши исботланди.
(26.28) нн эътиборга олиб, йуцотилган кинетик энергия Tt — Tz
учун бошцача куринищдаги ифодани ёзиш мумкин:
7 _ 7 = S2 — 53 । S3
1 ~ 2лц m2 2m x 2m2
ёки (26.27) га асосан
Ti — T2 = [— m, (^ — U)2+ — m2 (v.~ u)=l (26.30)
[2 2 J
Бундаги гц—u, v.2~ и ларни жисмларнинг «йуцотилган» тезлиги деб
аташ мумкин. (26.30) тенглик пластик жисмлар учун Карно тео-
ремасини ифодалайди: абсолют эластик булмаган зарбада систе-
манинг [йуцотилган кинетик энергияси йуцотилган тезлик билан
царакатланувчи системанинг кинетик энергиясига тенг.
(26.29) формулани жисмлардан бири цузгалмас булган цол учун
ц^ллаймиз. Масалан, и2 = 0 булса,
rji rjp ____ t^2
2(/ni4-W2)’
ёки курилаётган цолда T\ = тх vf булгани учун
Тг — Т2 = —--------И1, (26.31)
Mi -р- tn2
булади.
Шундай цилиб, кинетик энергиянинг сарф булиши урилаётган
жисмлар кинетик энергияларининг маълум цисмига тенг булади; бу
цисми уз навбатидат! ва mz массаларга боглиц булади. Агар m^-mt
булса, ——— коэффициент бирга яцин цийматни цабул цилади; ак-
синча m2<^ml булса, нолга яцин цийматга эга булади. Масалан, утда
киздириб чуг килинган металлни тоблашда болганинг кинетик энер-
гияси иложи борича купрок сарф булиши мацсадга мувофикдир. Бу-
нинг учун массаси болганинг массасидан бир неча бор катта булган
огир сандондан фойдаланиладн. Аксинча цозиц цоцилаётганда цозиц-
нинг деформацияси имкони борича кичик булгани ёки кинетик энер-
гия иложн борича кам сарф булгани маъкул. Шунинг учун бу цолда
туцмокнинг массаси цозицнинг массасига нисбатан иложи борича
катта килиб олиниши мацсадга мувофикдир.
Карно теоремасини цуллашга оид цуйидаги масалани ечамиз.
68-масала. Огирлиги Р= 19620 Н булган болга /г = 0,8 м ба-
ландликдан саидон устида тобланаётган циздирилган металл устига
огирлик кучи таъсирида тушади. Сандон ва металлнинг огирлиги
294300 Н га тенг. Мазкур болганинг фойдали иш коэффициенте
аиицлансин.
Ечиш. {Болганинг сандонга урилиш олдидаги кинетик энергияси
кучнинг hx кучишидаги нши билан аиицланади:
391
7\ = Pfa.
1\издирилган металлни пластик жисм деб цараи мумкин. (26.31)
га асосан эластик булмаган зарба вактида йу^отилган кинетик энер-
гияни ^исоблаймиз:
Л — Тг = ---- 7\ = P,h,,
mt 4- m2 tn^ m2
бунда: тг — болганинг массаси; mz—сандон ва тобланаетган металл
массаси. Йуцртилган кинетик энергия асосан тобланаётган металл-
нинг деформацияланишига сарф буладиган иш билан ифодаланади.
Бу фойдали ишнинг болгани hr баландликка кутарищдаги иш мик-
дори Pj/ij га ннсбатини болганинг фойдали иш коэффициент деб
аташ мумкин. Бу коэффициентни -q билан белгиласак,
п = JkzZk = т* =
Л ---™2 ^1+^2*
Рх ва Р2 нинг берилган ^ийматларида
294300
71 = 313920 =
булади.
176-§. Цузгалмас уц атрофида айланма харакатдаги жиемга
зарбали кучнинг таъсири. Зарба маркази
кузгалмас 2 ук атрофида со0 бурчак тезлик билан айланаётган
жиемга,зарбали куч таъсир этсин (282-расм). Зарбали куч импуль-
сини S билан белгилайлик. У холда Л ва В таянч нухталарида
зарбали реакция кучлари хосил булади. Уларнинг зарба ва^ги мобай-
нидаги импульсларини ва Sb билан белгилаб, жисм зарбадан
кейин кандай со бурчак тезлик бнлан айланишини топамиз. У холДа
z уда нисбатан 5л ва SB зарбали куч импульсларининг моменти
нолга тенглигини назарда тутиб, мазкур уда1 нисбатан кинетик мо-
ментнинг узгариши xaiWanI (26.11) теоре-
Z
282- раем.
мадан фойдаланамиз: Ц2—Lq2 -^MZ(S).
Бунда Бог =Ц «о*» Liz = h <0 булгани учун
куйидаги муносабат уринлидир:
7z(o>-o)o) = Afz(S), (26.32)
ёки
(0 = ц>0 Ч----у----- (26.33)
Бинобарин, зарба вацти мобайнида жисмнинг
бурчак тезлиги зарбали куч импульсининг
айланиш у^ига нисбатан моментининг жисм-
нингшу уда нисбатан инерция моментига
нисбатига тенг катталикка ортади.
392
Раем текислигига перпендикуляр
z ук атрофида айлана оладиган
жиемга зарбали куч импульси S
таъсир этсин. г укнинг раем ге-
кислиги билан кесишган нуктасинп
О билан белгилаймиз (283-раем).
Жисм симметрия текислигига эга
деб караймиз ва раем текислиги
учун симметрия текислигини олиб,
х укни жисм огирлик маркази С
ортали утказамиз. Таянч подшип-
пиклари раем текислигига симметрии
жойлашган деб карасак, у холда
таянчларда хосил буладиган зар-
бали реакция кучлари (ёки улар-
пинг импульс лари) О нуктага цуйил-
гап битта кучга (ёки So импульега) келтирилади. 1\андай шартлар
бажарилганда зарбалн куч импульси S таъсирида жисмнинг таянч
ну^таларида зарбали реакция кучи эрсил булмаслигини аниклаймиз.
Жисм зарбагача тинч ^олатда булсин, у ^олда w0 = 0. Зарбадан
кейин жисм со бурчак тезлик билан айлансин ва огирлик маркази-
нинг тезлиги ис га тенг булсин. Бу тезлик микдор жихатдан о со
га тенг, йуналиши эса (ОС) га перпендикуляр булади (283-расм).
Массалар марказининг узгариши ^акидаги теоремани х ва у ук-
ларга нисбатан г^уллаймиз:
S\ 4~ So* = 0.
Sy -f- Soy = М tic-
(26.34)
Подшипникларда зарбали реакция кучи ^осил булмаслиги учун
So* = Soy = 0
булиши керак. Шу сабабли (26.34) дан Sy —Мис, Sx =0 муноса-
батларни оламиз. S, = 0 шартнинг бажарилиши зарбали куч импуль-
си х укка, яъни огирлик марказини айланнш у^и билан туташтирув-
чи чизикца перпендикуляр булишини курсатади.
Шундай ^илиб, S = Sy = Мис булади. ис = со булгани учун
зарбали куч импульси
S = AIczcd
формуладан аникланади. Жисмнинг зарбадан кейинги бурчак тезлиги
(26.33) га биноан аникланади. У ^олда
s'h
S = Ма~т*
(26.35)
деб ёзиш мумкин, бунда: 1г — жисмнинг айланиш у^ига нисбатан
инерция моменти: h—мазкур уцдан зарбали импульс S йуналган чи-
звдача булган масофа. (26.35) дан
h = (26.36)
393
бинобарин, зарбали куч импульси таъсир этадиган тугри чизиц ай-
ланиш уцидан ~масофада ётиши керак.
Ма
Бу тугри чизикпинг х уфни кесиб утган К нуфтаси зарба мар-
кази дейлади.
Масалан, горизонтал ук атрофида айлана оладиган ва узунлиги
I га тенг булган бир жинсли стержень учун зарба марказини аниф-
лаймиз. Бу фолда
7г = —/Ш2, 0 = —.
3 2
(26.36) га кура
ОК = — 1,
3
2
яъни зарба маркази айланиш уфидан масофада ётади (284-расм).
Зарба марказини анифлаш муфпм булган яна бир мисол тарифа-
сида материалларнинг зарбага каршилигини аниклашда фуллаииладиган
асбоб — Шарпи тебрангичини олиш мумкии. Бу асбобнинг асосий
фисми пулат тит урнатилган ва массаси т га тенг булган фамда О
нуфтадан утувчи горизонтал уф атрофида вертикал текислнкда айла-
нувчи салмофдор тебрангичдан иборат (285-расм). Тажрнба утказишда
тебрангични бирор баландликка кутариб вертикал фолатдан а бурчак-
ка огдирилади ва уни фуйиб юборилади. Тебрангич уз огирлиги таъ-
сирида мазкур фолатдан бошлангич тезликсиз туша бошлайди ва вер-
тикал фолатга келганда, текширнлаётган материалдан ясалган нусха
тусиффа урилади фамда уни кесиб утади. Натижада тебрангичнинг
бурчак тезлиги маълум даражада пасаяди. Зарбадан кейин тебрангич
уз фаракатини давом эттиради ва бирор 0 бурчакка бур клади.
Агар тебрангичнинг айланиш уфига нисбатан инерция моментини
I билан, зарбалн куч импульси S фуйилган нуфтадан айланиш уфи-
гача булган масофани с, тебрангичнинг текширнлаетган материал нус-
хасига урилиш олдидаги бурчак тезлигини билан, зарбадан кейин-
285- расм.
394
ги (нусхани кесиб утгаидан кейинги) бурчак тезлигини со билан бел-
гиласак, (26.32) га кура
/(<о— (оо) = S*c,
бувдан
Q _ ;(ет — юо)
— с
Зарба даврида тебрангичга таъсир этувчи S импульс тебрангич-
нинг айланиш уки урнатилган подшипникларда зарбали реакция ку-
чини цосил цилади. Агар подшипниклар О нуцтадан бир хил масо-
фада урнатилган булса, зарбали реакция кучларини О нуктага куйил-
ган битта куч билан алмаштириш мумкин.
Юкорида курганимиздек, подшипникларда зарбали 'реакция кучи
хосил булмаслиги учун тебрангичда тиг урнатиладиган с масофаии
(26.36) га кура
С s= —*— ’
та
га тенг килиб олиш керак. Бу ифодани (22.28) формула билан солиш-
тириб зарба марказидан айланиш уцигача булган с масофа физик
маятникнинг келтирилган узунлигига тенг булишини курамиз. Бош-
цача айтганда, зарба маркази тебрангичнинг силкиниш маркази билан
устма-уст тушади.
177-§. Текис параллел харакатдаги жиемга зарбали кучнинг
таъсирн
Зарбали куч таъсиридаги жисмнинг текис параллел царакатини
текшириш учун уни уз огирлик маркази оркали утувчи ва харакат
текислигига параллел булган П текислик билан фикран кесамиз. Бу
текислнкда кузгалмас Оху ва жисмнинг массалар маркази орцали
утувчи цамда у билаи биргаликда илгариланма царакатланувчи Сххух
координата системаларини утказамиз. Жиемга шуцдай зарбали кучлар
таъсир этадики, зарбадан кейин цам жнем мазкур харакат текислигига
парраллел текислнкда царакатланади. Бундай куч таъсиридаги жисм
массалар маркази атрофидаги айланма харакат бурчак тезлигини
аниклаймиз.
Зарбалн куч таъсир этаётган курилаётган жисм учун массалар
марказининг царакати цакидаги теоремани х на у уцларга нисбатан
[(26.8) кура] цуйидагича ёзиш мумкин:
М (исх — vex) = Z Six,
М (Ucy — veu) = Д S‘ks.
Зарбали куч импульси S, массалар марказининг зарбадан олдинги
тезлиги vc берилганда, бу тенгламалар воситасида система массалар
марказининг зарбадан кейинги тезлигини аницлаш мумкин. Жисмнинг
массалар маркази орцали П текисликка перпендикуляр равишда утув-
чи уц атрофида зарбадан олдинги айланиш бурчак тезлиги берилган-
395
да системанинг бу укка нисбатан кинетик моментининг узгариши
ха^идаги
Zcz(ffl-<o11) = 21Mcz(5l)
теоремадан фойдаланиб зарбадан кейннги бурчак тезлиги ш ни аник-
лаш мумкин.
АДАБИЁТ
Асосий
1. Б у те н и н Н. В., Л у н ц Я. Л.» Меркни Д. Р. Курс теоретической
механики. Кайта ишлаиган ва тулдирилган 2- нашри, 1, 2- тт. М. : Наука, 1979.
М Н В ° Р Ц?66 ° В М’ Курс те0Ретическ°й механики. — 13- стереотип иашри.
3- Добронравов В. В., Никитин В. В. Курс теоретической механики.
Канта ишлаиган ва тулдирилган 4-нашри. М.: Высшая школа, 1983.
„ 4. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики.
Кайта ишлаиган ва тулдирилган 8-иашри, 1-т. М.: Наука, 1981; кайта ишлаиган
ва тулдирилган 6-нашри, 2-т. И.: Наука, 1983.
5. Л1е ш черский И. В. Назарий механикадаи масалалар туплами. Руеча
30-иашрига мувофящлаштирилгаи 3-нашри. Т.: Уцитувчи, 1989.
6. Ста ржи некий В. М. Теоратическая механика. М.: Наука, 1980.
7. Тар г С. М. Краткий курс теоретической механики. 9- иашри, М.: Наука,
1974.
8. Яблонский А. А. Куре теоретической механики. Тузатилган 5-нашри,
II цисм. М.: Высшая школа, 1977.
9. Я б л о и с к и й А. А., Н и к и ф о р о в а В. М. Курс теоратической меха-
ники. Тузатилган 5- натри. I ^исм. М.: Высшая школа, 1977.
10. Яблонский А. А., НорейкоС. С., Вольфсон ва бош^алар.
Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Тузатилган
3- иашри. М.: Высшая школа, 1978.
11. р о з б о е в М. Т. Назарий механика асосийJ курси. Кайта ишлаиган
3- нашрн. Т.: Укитувчи, 1966.
1. Азиз-Кориев С. К«* Янгуразов Ш. X. Назарий механикадаи ма-
салалар ечиш методикаси (статика ва кинематика). Кайта ишлаиган 2- иашри. Т. :
У^итувчи, 1974.
2. Азиз-Кориев С. К-> Янгуразов Ш. X. Назарий механикадаи
масалалар ечиш методикаси (динамика). Т.: Угрггувчи, 1967.
3. Айзенберг Т. Б., Воронков И. М., Осецкий В. М. Руковод-
ство к решению задач по теоретической механике. 6- стереотип нашри. М.: Выс-
шан школа, 1968.
4. Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзоон А. С. Теоретиче-
ская механика в примерах и задачах. Тулдирнлгап 7-нашрн, 1-т. М.: Наука,
1975; тулдирилган 6-нашри, 2-т. М.: Наука, 1975; 3-т, М.: Наука, 1973.
5. Бражиичеико Н. А., Кан В. Л., Миицбург Б. Л. ва бопща-
лар. Сборник задач по теоретической механике. Ka^ia ишлаиган ва тулдирилган
3-нашри. М.: Высшая школа, 1974.
6, Б утенин Н. В. Введение в аналитическую механику. М.: Высшая школа,
1973.
7. Г е р и е т М. М. Курс теоретической механики. Кайта ишлаиган ва т^ис-
цартирилгаи 4- нашри. М.: Высшая школа, 1981.
8. Колесников К. С., Блюмин Г. Д., Дронт В. И. ва бошцалар.
Сборник задач по теоретической механике. —М.: Наука, 1983.
9. Шульгин М. Ф. , Шо^айдароваП. Ш. , Шозиётов Ш. Наза-
рий механиканинг асосий тушунчалари. Т.: 1979.
396
АСОСИЙ ТУШУНЧАЛАРИ ИН Г АЛФАВИТ КУРСАТКИЧИ
абсолют тезланиш 152
— тезлик 152
— эластик булмаган зарба 387
— эластик зарба 387
— каттиц жисм 6
— царакат 152
айлана ёйи огирлик марказниинг ко-
ординатаси 80
айланиш бурчаги 111
— оний уци 142
— уци 111
айланма инерция кучи 222
— тезланиш 115, 145
аналитик механика 313
асосий саиоц системаси 82
бинормаль 98
бир жиислн доиравий дискнинг инер-
ция моменти 218
----огирлик кучи майдонннииг
куч функцняси 268
— нуцтада кесишувчи кучлар сис-
темней 12
бошлангич шартлар 197
бош нормаль 98
богланиш 9
богланишдаги жисм 9
— нукта царакати дифференциал
тенгламасининг векторли ифодасн
190
— система 210
----царакатинииг Декарт коор-
дината J-цларидаги дифференциал
тенгламалари 213
богланишдан бушатиш аксиомаси 10
богланишлар 313
богланиш реакция кучи 9
б^шатадигаи богланиш 315
бушатмайдиган богланиш 315
вазнсизлик цолати 209
Вариньои теоремаси 47
вектор к\ринишидаги марказий уц
тенгламаси 50
Виллис усули 173
винт параметри 48, 180
— чизиги 182
— уци 48
— цадами 181
— харакати 180
виртуал кучиш 320
геометрик богланишлар 314
гироскоп 290
— ^цига кучнинг таъсири 290
— уцининг прецессияси 291
------- устуворлик хусусияти 291
гироскопик момент 292
голоном богланиш 314
Гюйгенс — Штейнер теоремаси 217
Даламбер—Лагранж принципи 315
динамика 6, 183
— умумий тенгламасининг умум-
лашган координаталардаги нфо-
дасн 341
динамик винт 48
— ишцаланиш кучи 66
—- реакция кучи 306
— коэффицненти 371
динамиканинг асосий тенгламаси 184
— асосий цонунн 184
— умумий тенгламаси 315
дифференциалли богланиш 314
— узатма 173
дойра секторинииг огирлик маркази 80
думалашдаги ишцаланиш 64
-----жуфт кучи 70
-----коэффицненти 70
-----моменти 70
епишма текислик 89, 97
жнем массаларини динамик мувоза-
натлаш 308
— нуцтасининг чизицли тезлиги
жисмнииг бурчак тезланиши ИЗ
----- тезлиги Ill
— инертлши 183
— огирлик марказининг коорди-
ната лари 74
— текис айланма царакатт 112
------- харакат тенгламаси 112
— $кца нисбатан инерция рали-
уси 216
— цузгалмас ?ц атрофидаги ай-
ланма харакат тенгламаси i 11
397
-----------текис узгарувчаи ай-
лапма харакат тенгламаси 114
Жуковский цоидаси 154, 293
жуфт айланиш 170
— моменти 171
— елкаси 30
— куч 30
моменти вектори 34
— — текислиги 30
— кучлар системаси мувозаиати-
нинг аналитик ифодаси 39
• мувозанат шартининг
векторли ифодаси 39
зарба 380
— вацти 380
— вацтида система массалар мар-
кази царакатининг узгариши
цацидагн теорема 383
— маркази 394
— иазариясининг асосий тенгла-
маси 381
зарбада^система кииетик моментининг
узгариши цацидаги теорема
-ц а рак ат микдорининг узга-
риши 382
зарбадаги тиклаш коэффициента 384
зарбали куч 380
— - — импульси 381
идеал богланиш 323
илгариланма царакат 109
ингичка доиравий цалцаиинг инерция
моменти 218
инерциал булмаган санок системаси
201
— система 187
ннерцион доим ий 356
инерция бош моментлари 223
— — уцларн 223
— кучи 294
— марказий бош ^цлари 223
• — эллипсоида 223
— цоиуни 184
ички кучлар 60, 210
иш 256
ишцаланиш бурчаги 66
— конуси 66
— кучи 10, 64
Карно теоремаси 390
квазиэластик доим и й 357
кесишувчи кучлар 12
системаси таъсиридаги эр-
кин жисм мувозанат тенглама-
сининг аналитик ифодаси 18
Кениг теоремаси 270
кинематика 6, 82
кинематик богланиш 314
кинетик потенциал 342
кинетостатика усули 294
классик механика 184
398
— механиканинг нисбийлик прин-
ципи 203
консерватив куч 265
координата уки буйича система цара-
кат микдорининг сацланиш ко-
вуни 236
Кориолис тезланиши 157
— теоремаси 157
— тезланишинияг модули 159
куч 6
— елкаси 23
— маркази 247
— функцияси 265
— куйилган нуцта 6
кучлар купбурчаги 14
— системаси 7
— системасини содда цолга ке.т-
тириш 43
— системасининг бош вектори 42
—• -моменти 43
инварианта 44
— — биринчи инварианта 44
иккинчи инварианта 46
— - — тенг таъсир этувчиси 7
— таъсирннинг узаро мустацил-
лик цонуни 186
— учбурчаги усули 13
кучиинг йуналиши 6
— мумкии булган кучишдаги иши
— нуктага иисбатаи моменти 23
— — — момент вектори 24
— •—• — моментинниг гео метрик
маъиоси 24
— таъсир чнзиги 7
— элементар импульси 231
— укдаги проекцияси 15
— уцца нисбатан моменти 26
кундаланг реакция кучи 305
кучирма тезланиш 152
— тезлик 152
— харакат 152
кучиш 83
Лагранж—Дирихле теоремаси 353
Лагранж функцияси 342
Лагранжнинг нккннчи хил теиглама-
лари 341
— мумкнн булгаи кучиш принци-
пи 330
логарифмик декремент 368
Ляпунов таърифига к^ра устувор му-
возанат 352
мажбурий прецессия 292
— тебранма царакат 369
марказга интилма тезланиш 115
марказдан цочувчи инерция кучлари 222
.—------момента 222
марказий уц 50
— куч 247
— кучиинг ишн 261
— эллипсоид 223
массалар геометрияси 213
математик тебрангич 192
— тебрангичнннг кичик тебранма
харакат тенгламаси 192
механик система 210
------- Даламбер принципи 296
•----^аракатининг Декарт коор-
дината укларидаги дифферен-
циал тенгламалари 212
— системанинг марказга нисбатан
кинетик моменти 246, 255
• — — умумлашган координата-
лардаги ^аракат дифферен-
циал тенгламалари 341
- — харакат 5
— Харакат улчови 281
— харакатиииг скаляр улчови 282
Мешчерский тенгламаси 243
моддий нуцта 6, 184
------ динамикасинннг биринчи
асосий масаласи 194
,— — — иккничи асосий масала-
си 196
----нисбий харакат дифферен-
циал тенгламасинннг векторли
куриниши 202
— харакат микдори ^а^идаги те-
ореманн диффереицналли ифо-
даси 231
момент маркази 23
мувозанатлашгаи кучлар системаси 7
м умки и булган кучиш 320
му-раккаб х.аракат 152
назарий механика 5
нисбий тезланиш 151
— тезлик 151
— траектория 151
— хдракат 151
иоголоном богланиш 314
нормал инерция кучи 222
• — реакция кучи 10
— тезланиш 108
носозлик коэффициента 371
ноустувор мувозанат 351
иутация бурчаги 139
ну^та дифференциал тенгламалари-
нинг Эйлер формаси 190
— кинетик энергиясининг ^зга-
риши ^акидаги теоремани диф-
ференциалли ифодаси 272
— механик энергиясининг caipa-
ниш цонуни 274
— тезлигининг годограф и 91
— траекториясининг тенгламаси 85
— ^аракатииинг кинематик хусу-
сиятлари 83
• ^аракат микдори моментининг
сакланнш коцуни 248
— — микдорининг координата
Уцларига нисбатан моментла-
ри узгариши хакидаги теоре-
ма 247
-------- - марказга нисбатан мо-
ментининг узгариши ^ацидаги
теорема 247
—-----сакланиш цонуни 232
нуктанинг берилган пайтдаги тезла-
ниш вектори 89
---— тезлик вектори 88
— вектор к^чиши 87
— — шаклидаги харакат тенгла-
маси 84
— гармоник тебранма х.аракат
тенгламаси 193
— Декарт координаталари даги
харакат тенгламаси 84
— ёй координатаси 87
— кннетнк энергияси 269
— огирлиги 209
— секторли тезлиги 249
— тезлик годографн буйича ба-
раках тенгламаси 91
— текисликдаги ^аракат тенгла-
малари 85
— тугри чнзицли харакат тенгла-
маси 85
— эгри чизицли текис ^аракати
тенгламаси 105
— уртача тезланиши 89
• — уртача тезлиги 88
— харакатини табинй усулда
аниклаш 86
— харакат микдори 230
— — тенгламаси 86
— -— конуви 83
оддий узахма 172
оний бурчак тезланиши 143
тезлик 142
— марказ 126
огирлик кучи 204
— кучининг нши 259
параллел кучлар маркази 74
параллелограмм аксиомасн 8
планетар узатма 172
пластик жисмлар учун Карно теоре-
маси 391
потенциал энергия 267
потенциалли куч 264
---майдони 265
— кучлар таъсиридаги система
учун Лагранжнинг иккинчи хил
тенгламалари 343
прецессия бурчаги 139
реактив куч 243
Резаль теоремаси 291
резонанс 371
Релейнинг диссипатив функцияси 365
Рнвальс теоремаси 165
сано^ системаси 7
сскинланувчан харакат 93
— айланма харакат 113
399
силкиниш уаркази 286
— уки 286
снриашштдагп ишкаланиш 64
---коэффициента 66
сир г огирлик марказининг координа-
талари 76
система кинетик моментининг сацаа-
ниш конуни 252
---моментининг узгариши ха-
кидаги теорема 251
---энергиянинг Узгариши хаки-
даги теорема 275
-------------теорем анинг диф-
ференциалли ифодаси 275
— массалар марказининг харака-
ти хакидаги теорема 227
— харакат микдорининг узгариши
хакидаги теорема 234
-----------сацланиш цонупини век-
торли ифодаси 235
системанинг кинетик энергияси 269
— массаси 213
— массалар маркази 214
— мумкин булган кучиши 321
— нуктага нисбатан инерция мо-
менти 214
— текисликка нисбатан инерция
моменти 214
— умумлашган координаталари
317
— эркинлик даражаси 319
— укка нисбатан инерция мо-
менти 214
— харакат мицдори 230
соф айланиш бурчаги 139
статика 6
статиканинг умумнй тенгламаси 330
статик аниц масала 60
— аникмас масала 60
— ишкаланиш кучи 66
— реакция кучи 306
— силжиш 371
стационар богланиш 314
— булмаган богланиш 314
стсржепдаги зурикиш 19
сферик харакат 139
табиий координаталар системаси 98
— координата уклари 98
ташци кучлар 60, 210
таъсир ва акс таъсирнинг тенглнк цо-
нуяи 185
тебраниш декремента 368
тезланишларпинг оний маркази 131
тезланувчан айланма харакат 113
— харакат 93
тезликлар оний маркази 126
тезликларки цушиш теоремаси 154
тезликларнииг координата уцларида-
ги проекциялари 90
— параллелограмм коидаси 155
текис параллел харакат 121
400
— шакл 121
— — нуцтасининг тезланиши 140
- — тезлши 125
— шаклнинг харакат текислиги
121
- харакат 91
— узгаревчан айланма харакат
113
----------бурчак тезлиги 113
— узгарувчан харакат 105
текислнкда кесишувчи кучлар систе-
масининг мувозанат тенглама-
лари 18
— параллел кучлар таъсиридаги
эркин жисмнинг мувозанат
тенгламалари 57
тенг потенциалли сирт 266
— таъсир этувчи жуфт 36
техник бирликлар системаси 188
тинч холат 82
траектория 83
тугунлар чизиги 139
тулиц механик энергия 274
тухтатиш усули 173
тугри зарба 384
— марказий зарба 386
— чизикли текис х.аракат 105
---царакат 105
уйготувчи куч 368
умумлашган куч 325
уринма инерция кучи 222
— тезланиш 108
— текислик 98
устувор мувозанат 351
учбурчак юзинииг огирлик марцази 79
уч куч теоремаси 21
фазодаги кучлар системаси 40
--------мувозанатниииг анали-
тик шартлари 54
-----------векторли ифодаси 54
— параллел кучлар таъсиридаги
жисмнинг мувозанат тенглама-
лари 56
физик тебрангич 294
— тебрангичнинг келтирилган
узунлиги 285
---харакат дифференциал
тенгламаси 285
халцаро СИ бирликлар системаси 187
циклик интеграллар 343
— координаталар 343
Циолковский сони 244
— формуласн 244
чап винт харакати 180
чекли вацт оралигида нукта харакат
мнцдорининг узгариши цацн-
даги теорема 232
• ичида система царакат миц-
дорининг узгариши цакидагн
теорема 234
- — кучишдаги иуцта кинетик эиер-
гиясииинг узгариши хакидаги
теорема 273
чизикли тебраниш 355
— эластиклик куч майдонининг
куч функцияси 268
чизикнинг огирлик маркази 76
Шаль теоремаси 148
Шарли тебрангичи 394
эгрилик текислиги 89
эгри чизнкнинг эгрилнги 98
--- эгрилик радиуси 98
эквивалент кучлар системаси 7
— жуфт кучлар 31
Эйлер бурчаклари 140
Эйлер—Даламбер теоремаси 141
Эйлер теоремаси 241
— формуласи 118
элементар иш 257
— ишиинг аналитик ифодаси 257
энергия интеграла 274, 276
эркин айланиш уки 327
— булмаган нуцта учун Далам-
бер принципи 294
— жисм 7
— моддий нуцтанинг Декарт ко-
ординаталаридаги харакат
дифференциал тенгламалари
189
— — — табиий координата ук-
ларидаги харакат дифферен-
циал тенгламалари 190
— моддий нуцта харакат диффе-
ренциал тенгламаларииинг век-
торли ифодаси 189
— система 313
— тебранма царакат 357
— тушиш тезланиши 185
эркинлик даражаси битта булгаи сис-
теманииг кичик мажбурий теб-
ранма харакат дифференциал
тенгламаси 369
эластиклик кучииииг ишн 260
юзалар иитеграли 250
— цонуни 250
ярим шарнинг огирлик маркази 81
узаро механик таъсир 281
26—2344
-----таъсирнинг биринчи вектор
лн Улчови 282
------- — иккинчи векторли ул-
човп 282
-----скаляр улчовлари 282
— — — улчовлари 282
узгармас механик система 210
узгарувчап массалй жисм 242
— — нукта 242
-----харакатининг дифферен-
циал тенгламаси 243
унг винт харакати 180
укца интилма тезланиш 145
цаттиц жисмнинг кинетик энергияси
270
-----мураккаб харакати 166
----- текис параллел царакат
дифференциал тенгламалари
289
— —----------тенгламалари 123
-----цузгалмас нуцта атрофида-
ги айланма царакати 139
---- -----------тенгламала-
ри 140
кайтарувчи куч 357
царшилик коэффициента 364, 371
котиш принципи 9
кувват 256
цутбиииг царакат тенгламалари 149
цузгалмас аксоид 142
— аксоиднинг тенгламаси 144
— саноц системаси 82
— уц атрофидаги айланма цара-
кат 111
----атрофида айлаиувчи цат-
тиц жисмиииг таянч иуцтала-
рида подшипникларга курсата-
диган босими 303
---------------- царакат диф-
ференциал тенгламаси 284
кузгалувчи аксоид 142
— аксоидиинг тенгламаси 144
кушилган жуфт куч 41
хажмга эга булгаи бир жинсли жисм-
нинг огирлик марказини коор-
динаталари 75
царакат 83
цацикий кучиш 320
401
МУНДАРИЖА
Биринчи иашрига суз боши............................................... 3
Иккинчи нашрига суз боши............................................. 3
1 боб. Кириш....................................................... 5
1- §. Умумий мулоцазалар................................. 5
Статика
II боб. КаттнН жисм статикасн ва статиканинг асосий аксиомаларн 6
2- §. Асосий тушунчалар ва таърифлар....................... 6
3- §. Статиканинг асосий аксиомаларн....................... 7
4- §. Богланиш ва богланиш реакцияларн..................... 9
III боб. Бир нуктада кесишувчи кучлар системаси...................... 12
5- §. Бир нуктада кесишувчи кучларни гесметрик усулда
цушиш....................................................... 13
6- §. Кучнинг Уцдагн проекцияси........................... 15
7- §. Тенг таъсир этувчини аналитик усулда аницлаш .... 16
8- §. Бир нуктада кесишувчи кучларнинг мувозанати......... 17
9- §. Уч куч мувозанатига оид теорема..................... 20
IV боб. Куч моменти................................................... 23
10- §• Кучнинг нуцтага инсбатан моменти................... 23
11- §. Кучнинг нуцтага нисбатан момента вектори........... 24
12- §. Кучнинг уцца нисбатан момента...................... 25
13- §. Кучнинг уцца инсбатан моменти билаи шу уцдагп нуцтага
нисбатан моменти орасидаги муносабат ....................... 27
14- §. Кучнинг координата уцларига нисбатан моментларини
аналитик усулда аницлаш..................................... 28
V боб. Жуфт кучлар на зари яс и....................................... 31
15- §. Жуфт куч ва жуфт кучиинг моменти................... 39
16- §. Эквивалент жуфт кучлар цацидаги теоремалар....... 31
17- §. Жуфт куч моментига оид теооема...................... 34
18- §. Жуфт куч моментининг векторлиги..................... 31
19- §. Бнр текисликда ва параллел текисликларда ётувчи жуфт
кучларни цушиш.............................................. 35
20- §. Фазода ихтиёрий вазиятда жойлашган жуфт кучларни
цушиш................................................. 36
21 - Жуфт кучлар системасининг мувозанати................. 38
402
VI боб. Фазода ихтиёрий жойлашган кучлар системаси ...... 40
22- §. Кучин узига параллел равишда кучиришга оид лемма . . 40
23- §. Фазода'ихтиёрий жойлашган кучларни бир нуцтага кел-
тириш ...................................................... 41
24- §. Фазодаги кучлар системасининг инвариантларн......... 44
25- §. Фазодаги кучлар системасини жуфг кучга ёки тенг таъ-
сир этувчига келтириш....................................... 46
26- §. Тенг таъсир этувчининг моменти цацвдаги Вариньон теоре-
маси ....................................................... 47
27- §. Фазодаги кучлар системасини динамик винтга келтириш 48
28- §. Марказий винт уци................ 50
29- §. Кучлар системасини содда холга келтиришга оид масала-
лар ........................................................ 50
30- §. Фазодаги кучлар системаси мувозанати шартларининг век-
торлн ифэдалари............................................. 54
31- §. Фазодаги кучлар системаси мувозанатининг аналитик
шартлари.................................................... 54
32- §. Хусусий цолларда кучлар системасининг мувозаиатн тенг -
ламаларн.................................................... 55
33- §. Текислнкдагп кучлар системаси мувозанати тенгламалари-
нинг бошцача куринишлари.................................... 57
34- §. Статик аниц ва статик аницмас масалалар........... . 60
35- §. Бир неча жисмдан ташкил толган системанинг мувозанати 60
36- §. фазодаги кучлар системасининг мувозанатига оид масала
ечиш........................................................ 62
VII боб. Ишкаланиш............................................... 64
37- §. Сирпанишдаги ишкаланиш цонунлари............... . 64
38- §. Ишкаланиш бурчаги. Ишкаланиш конуси................. 65
39- §. Ишкаланиш бурчагини тажриба йули билаи аницлаш . . 67
40- §. Думалащдагн ишцаланиш............................... 69
VIII боб. Параллел кучлар маркази ва огирлик маркази.................. 72
41- §. Бнр томонга йуналган иккита параллел кучни ц^шит . . 72
42- §. Параллел кучлар маркази............................. 73
43- §. КаттяЧ жисмнннг огирлик маркази коордннаталарннинг
умумий фэрмулалари.......................................... 74
44- §. Жисмларнинг огирлик марказинн аницлаш усуллари . . 77
45- §. Оддий шакллн баъзи жисмларнинг огирлик марказларинн
аницлаш ................................................... 79
Кинематика
46- §. Асосий тушунчалар.............................» 82
IXJ606. Нуцта кинематнкаси............................................
47- §. Нуцта царакатининг бернлиш усуллари................
48- §. Караката вектор усулида берилган нуцтанинг тезлиги . .
49- §. Харакати вектор усулида берилган нуцтанинг тезланиши
50- §. ХаРакати координаталар усулида берилган нуцтанинг тез-
лиги .................................................
51- §. ХаРакатн координаталар усулида барнлган нуцтанинг тез-
ланиши ....................................................
52- §. Нуцтанинг тезлик ва тезланишларини аиицлашга оид
масалалар.........................................
53- §. Дифференциал геометриядан баъзи маълумотлар ....
54- §. Харакати табпий усулда берилган нуцтанинг тезлиги . .
55- §. Харакати табпий усулдт берилган нуцтанинг тезланиши
83
83
87
88
89
92
93
97
99
102
403
56. §. Харакатнннг хусусий холларп......................... 105
57- §. Нуктанинг уринма ва нормал тезланншларига оид масала-
лар . . .................................................... 106
Хбоб. Катти^ жисмнинг илгариланма ва кузгалмас уц атрофидаги
айланма харакати....................................................... 108
58- §. К,атти^ жисмнинг илгариланма харакати............. 109
59- §. Каттиц жисмнинг кузгалмас у^ атрофидаги айланма ха-
ракати тенгламаси........................................... Ill
60- §. Айланма ^аракатнинг бурчак тезлнги. Текис айланма ха-
ракат ....................................................’ . 111
61- §. Айланма харакатнинг бурчак тезланиши. Текис узгарув-
чан айланма ^аракат.................................... . . . 113
62- §. Кузгалмас уц атрофида айланма харакатдаги жисм нуцта-
ларининг тезлиги ва тезланиши .............................. |14
63- §. Бурчак тезлик ва бурчак тезланишнинг векторлиги ... 116
64- §. Айланма харакатдаги жисм нуцталари тезлнги ва тезла-
нишининг векторлп нфодалари................................. 117
XI боб. Каттн^ жисмнинг текис параллел ^аракати....................... 121
65- §. Текис параллел ^аракатиинг хусусиятларн. Текис шакл-
нинг харакат текислигида кучйши............................. 121
66- §. Текис шаклнинг ^аракат тенгламаси............ . , 122
67- §. Текис шакл нуктасининг тезлвгинп цутб усулида анпцяаш 123
68- §. Текис шакл икки нуктаси тезликларининг проекцияларига
онд теорема................................................. 125
69- §. Тезликларнинг оний маркази.......................... 126
70- §. Текис шакл нукталаринииг тезликларини оннй марказдан
фойдаланиб анвдлаш ......................................... 127
71- §. Баъзи хрлларда тезликларнинг оний марказини анюуиш 127
72- §. Текис шакл нуктасининг тезланиши................... 129
73- §. Тезланишларнинг оний маркази....................... 131
74- §. Текис параллел харакатдаги цатпщ жисм нукталаринииг
тезлик ва тезланишларини аши^лашга дойр масалалар 133
XII боб. Катти’^ жисмнинг кузгалмас нуцта атрофида айланма ^аракати 139
75- §. Эйлер бурчаклари. Сферик харакат тенгламалари .... 139
76- §. кузгалмас нуцта атрофида айланувчи жисмнинг кучипшга
оид Эйлер — Даламбер теоремаси..................... . . . 141
77- §. Сферик харакатдаги жисмнинг сияй бурчак тезлиги ва
оннй бурчак тезланиши....................................... 142
78- §. Кузгалмас нутра атрофида айлаиувчи жнем нуктасининг
тезлнги..................................................... 143
79- §. Кузгалмас нутра атрофида айланувчи жисм нуктасининг
тезланиши................................................... 145
ХШ б о б. Катти^ жнем даракатининг умумий цоли..................... 148
80- §. Эркии цатти^ жисмнинг харакатгнп илгариланма ва
айланма .харакатларга ажратиш........................ 148
81- §. Эркин катти^ жисм иукгалариш.пг тезлнги на тезланиши 150
XIV боб. Нуцтанинг мураккаб царакати.............................. . 151
82- §. Нуктанинг нисбий, кучирма ва мураккаб ^аракатларм 151
83- §. Тезликларни цушиш теоремаси........................ 153
84- §. Тезланишларни ^ушнш теоремаси (Кориолис теоремаси) 156
85- §. Кориолис тезланиши................................. 159
86- §. Мураккаб харакатдаги пуцтанпнг тезлик ва тезланишларини
апи^лашга допр масалалар.................................... 160
404
XV боб. ^аттик жисмнинг мураккаб ^аракати ............................ 166
87- §. Иккита параллел уц атрофида айланувчи жисмнинг ^ара-
катларини цушиш............................................. 167
88- §. Жисмнинг параллел уцлар атрофидаги харакатларини цу-
шишга дойр масалалар........................................ 172
89- §. Жисмнинг кесишувчи уклар атрофидаги айланма >{аракат-
ларини цушиш................................................ 177
90- §. 1\аттик жисмнинг илгариланма ^аракатларини цушиш . 180
91- §. Винт 'харакати...................................... 180
Динамика
XVlJ5o6 Динамикага кирнш.................................................... 183
92- §. Динамиканинг асосий тушуичалари........................... 184
93- §. Динамиканинг асосий цонунлари............................. 164
94- §. Механик улчов бирликлари системаси........................ 187
XVII б о б. Моддий нукта царакатинивг дифференциал тенгламалари ва
уларни ечиш • ...................................................... 188
95- §. Моддий нуцта ^аракатпиинг дифференциал тенгламалари 188
96- §. Богланищдаги моддий нуцта харакатининг дифференциал
тенгламалари......................................... 190
97- §. Математик тебрангпч................................. 192
98- §. Моддий нуцта динамикасининг икки асосий масаласи . . 194
99- §. Динамиканинг иккинчи масаласини ечишга оид мисоллар 198
XVI Пжб о б Моддий нуктанинг нисбий харакати динамикаси..................... 201
100- §. Моддий нуцта нисбий ^аракативинг дифференциал тенгла-
малари .................................................. 201
101- §. Жисмларнинг мувозанати ва ^аракатига Ер айланиши-
нинг таъсири............................................. 203
102- §. Вазнсизлик.............................................. 208
XIX боб Механинк система динамнкасига кирнш................................. 210
103- §. Механик система. Механик системага таъсир этувчи куч-
ларнинг тавсифи........................................... 210
104- §. Механик система ^аракатинннг дифференциал тенглама-
лари ..................................................... 212
105- §. Богланищдаги механик система ^аракатинииг дифферен-
циал тенгламалари.................................... 212
XX боб. Массалар геометрияси......................................... 213
106- §. Системанинг массалар маркази ва унинг координаталари 213
рЛо?- §. Системанинг инерция моментлари. Инерция моментлари-
нинг умумий формулалари...................................... 214
108- §. Жисмнинг параллел уцларга нисбатан инерция момент-
ларинн бисоблаш. Гюйгенс—Штейнер теоремаси ... 216
109- §. Баъзи оддий шаклли жисмларнинг инерция моментла-
ринни зисоблаш...................................... 217
ПО- §. Жисмнинг берилган нутр-адан утувчи ихтиёрий уцка
нисбатан инерция моменти............................ 221
111- §. Инерция эллипсоиди................................ 222
112- §. Инерция бош уцларининг хусусиятларн............... 224
XXI б о б. Динамиканинг умумий теорема лари................................. 226
113- §. Система массалар марказининг з^аракати ^ацидаги теорема 226
114- §. Система массалар маркази харакатининг сацланиш цонуни 228
405
115- §. Мэдднй иуцта ва механик системанинг царакат мицдори 230
116-§. Моддий нуцта харакат мнцдорининг узгариши цакидаги
теорема . . .................... 231
117- §. Система царакат мнцдорининг узгариши цацидаги тео-
рема ................................................... 233
118- §. Система царакат мицдорининг сацланиш цонуни .... 23-">
119- §. Механик система царакат мицдорининг узгариши ва сис-
тема массалар марказининг харакати цацидаги теорема-
ларии цуллашга сид масалалар ............................ 236
120- §. Система харакат микдорининг узгариши хацидаги теоре-
мани суюцликнинг стационар оцимига татбнц этиш. Эйлер
теоремаси............................................... 240
121- §. Узгарувчан массалй жисм хацкда тушунча. И. В. Меш-
черский тенгламаси . ....................................242}
122- §. Циолковский формуласи.........................
123- §. Моддий нуцта царакат мицдорининг моменти ва система-
нинг кинетик моменти..................................... 245
124- §. Моддий иуцта царакат мицдори моментининг узгариши
цацидаги теорема........................................ 246
125- §. Нуцтанинг марказий куч таъсиридаги харакати. Юзалар
цонуни................................................... 247
126- §. Механик система кинетик моментининг ^згаришп цацн-
даги теорема............................................. 250
127- §. Система кинетик моментининг сацланиш цонуни . . . 252
128- §. Механик система кинетик моментининг массалар марка-
зига нисбатан jferapimiH хацидаги теорема................ 254
129- §. Кучнинг иши. Цувват............................ 266
130- §. Тенг таъсир этувчининг иши цацидаги теорема .... 258
131- §. Кучнинг ишини хисоблашга оид мисоллар.......... 259
132- §. Цаттиц жиемга таъсир этувчи кучларнинг элементар иши 261
133- §. Потенциалли куч майдоии........................ 264
134- §. Потенциалли куч майдонидаги иш. Потенциал энергия 267
135- §. Куч функциясипи хисоблашга дойр мисоллар...... 268
136- §. Нуцта ва системанинг кинетик энергияси. Кёниг теоре-
маси .................................................... 269
137- §. Цаттиц жисмнинг кинетик энергияси............. 270
138- §. Моддий иуцта кииетик энергиясининг узгариши цаци-
даги теорема............................................. 272
139- §. Нуцта механик энергиясининг сацланиш цонуни .... 273
140- §. Механик система кинетик энергиясининг узгариши цаци-
даги теорема............................................. 274
141- §. Система механик энергиясининг сацланиш цонуни ... 276
142- §. Моддий нуцта ва система кинетик энергиясининг узга-
риши цацидаги теоремаларни цуллашга оид масалалар 277
143- §. Механик харакатнинг ^лчовлари хацида............ 281
XXII боб. Цаттиц жисмнинг баъзи царакат цоллари................... 283
144- §. Цаттиц жисмнинг илгариланма царакати........... 283
145- §. Катшц жисмнинг ц^зналмас уц атрофидаги айланма ца-
ракати .................................................. 284
146- §. Физик тебрангич................................ 284
147- §. Жисмларнинг инерция моментини тажриба усули билан
аницлаш.................................................. 287
148- §. Цаттиц жисмнинг текис параллел царакати......... 288
149- §. Гироскспнинг элементар назарияси................ 290
XXIIIбоб. Даламбер принципи. Цузгалмас уц атрофида айланаётган
жисмнинг айланиш уцига курсатадиган б ос ими...................... 294
150- §. Моддий нуцта учуй Даламбер принципи............. 294
151- §. ^Механик система учун Даламбер принципи......... 296
406
152- §. Инерция кучларинипг бош вектори ва бош моменти . . 297
153- §. Кузгалмас ук атрофида айланувчи цаттиц жисмнинг ай-
ланиш уцига курсатадиган динамик босимини аниклаш 303
154- §. Кузгалмас атрофида айланувчи жисм массаларини
динамик мувозанатлаш....................................... 308
XXIV б о б. Аналитик механикадан бошлангич маълумотлар................ 313
155- §. Богланишлар ва уларнинг классификациям............. 313
156- §. Умумлашган координаталар ва системанинг эркинлик
даражаси.................................................. 316
157- §. Мумкин булган кучиш................................ 319
158- §. Кучнинг мумкин булган кучишдаги иши. Идеал богла-
нишлар .................................................... 322
15&- §. Умумлашган кучлар.................................. 324
160- §. Мумкин булгаи кучиш принципи....................... 328
161- §. Механик системанинг умумлашган координаталардаги
мувозанат шартлари .................................. 330
162- §. Динамикаиннг умумий тенгламаси (Даламбер — Лагранж
принципи) ................................................. 334
163- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари .............. 338
164- §. Потенциалли кучлар таъсиридаги механик система учун
Лагранжнинг иккинчи хил тенгламалари. Циклик инте-
граллар....................*.............................. 342
165- §. Лагранжнинг иккинчи хил тенгламаларини цуллашга
дойр масалалар............................................ 343
XXV боб. Механик системанинг кичик тебраниши.......................... 351
166- §. Механик системанинг кичик тебранма харакати ва усту-
вор мувозанати........................................... 351
167- §. Системанинг мувозанати хацидаги Лагранж — Дирихле
теорамаси.................................................. 353
168- §, Эркинлик даражаси битта булган системанинг устувор
мувозанат яцинидаги эркин тебраниши........................ 354
169- §. Эркинлик даражаси битта булгаи системанинг муцнт
царшилиги таъсиридаги сунувчи тебранма царакати . . 354
170- §. Эркинлик даражаси битта булган системанинг мажбурий
тебранма царакати ......................................... 268
XXVI боб Зарба назарияси............................................ 380
171- §. Зарбали куч. Зарбали кучнннг моддий нуцтага таъсири 380
172- §. Зарба назариясининг умумий теоремалари............. 382
173- §. Шарнинг ($згалмас снртга урилишцдаги > тугри зарба.
Тиклаш коэффициентами тажриба усули билан аницлаш 384
174- §. Икки жисмнинг тутри марказий зарбаси (шарлар зарбаси) 386
175- §. Зарба вацтада кинетик энергиянинг йуцолнши. Карао
теоремаси................................................ 388
176- §. Кузгалмас уц атрофида айланма царакатдаги жиемга
зарбали кучиинг таъсири. Зарба маркази ....... 392
177- §. Текис параллел царакатдаги жиемга зарбали кучнинг
таъсири................* . .............................. 395
Адабиёг . . .......................................................... 396
Асосий тушунчаларнинг алфавит буйича к^рсаткичи....................... 397
407
22.21
III 82
Шохайдарова П. ва бошц.
Назарий механика. Олий техника укув
юрт. талабалари учун УКУВ ^улл./П. Шохай-
дарова, Ш. Шозиётов, Ж. Зоиров.—2-^айта
ишлаиган ва тулдирилган нашр.-—Т.: Укитув-
чи. 1991,—408 б.
1.1.2 Автордош.
Шахайдарова П. Учебное пособие для етуд. высш,
техн, учеб, заведений.
техн. учеб, заведений.
ББК 22.21Я73
На узбекском языке
ШАХАЙДАРОВА ПУЛАТ,
ШАЗИЯТОВ ШАМИРЗА,
ЗАИРОВ ДЖАМАЛ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Учебное пособие для студентов высших технических
учебных заведений
Переработанное и дополненное 2- е издание
Ташкент «Уцитуечи* 1991
Му^аррир Шарипов С.
Бадиий му^аррир Нек^адамбоев Ф.
Техн, муз^аррир Скиба Т.
Мусазди^ Содик. о в а 3.
ИБ № 5445
Теришга берилди 10.07.90. Босишга рухсат этилди ’0.01,91. Формата 60 v 90/16. Воем,
довози № 2. Литературная гарнитурасн. Кегли 10 шпонсиз. Юдори босма усулида босилди.
Шартли б. л 25.5. Шартлн кр.-отт. 25,69. Нашр. л 21.65. Тиражи 12000. Зак. №2344. Ба.\о-
си 3 с. 60 т.
«Удитувчи» кашриёти» Тошкент — 129. Навоий кУчасн, 30. Шартиома №11-111-90.
УзССР Матбуот давлат комитетининг полиграфкомбннати. Тошкент, Навоий к^часн, 30.
1991.
Полиграфномбинат Государственного комшета УзССР по печати. Ташкент, ул. Наваи, 30.