А. А. БУХШТАБ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ», МОСКВА 1966
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Обозначения 5
Введение 7
1. Предмет теории чисел 7
2. Краткий исторический очерк развития теории чисел 9
Глава 1. Общие основы теории чисел 15
1. Множества с операциями 15
2. Числа 16
3. Последовательности. Функции 23
Глава 2. Простые числа
1. Простые и составные числа 28
2. Факторизация 33
Исторические комментарии 37
Глава 3. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное 38
1. Общие делители и общие кратные целых чисел 38
2. Алгоритм Евклида 43
3. Взаимно простые числа 45
Глава 4. Функция [х] 48
1. Разложение п\ на простые множители 48
2. Точки с целочисленными координатами 51
Исторические комментарии 57
Глава 5. Конечные цепные дроби 58
1. Представление рациональных чисел цепными дробями 58
2. Подходящие дроби 61
Глава 6. Иррациональные числа 67
1. Критерии иррациональности 67
2. Иррациональность е и тт 69
Исторические комментарии 71
Глава 7. Сравнения 72
Исторические комментарии 76
Глава 8. Классы 77
1. Распределение чисел в классах по заданному модулю 77
2. Кольцо классов 80
Глава 9. Полная и приведенная системы вычетов 85
1. Полная система вычетов 85
2. Приведенная система вычетов 89
Глава 10. Функция Эйлера 92
Исторические комментарии 95
Глава 11. Теоремы Ферма и Эйлера 96
1. Основные теоремы 96

2. Обобщение теоремы Эйлера 99
Исторические комментарии 100
Глава 12. Группа классов, взаимно простых с модулем 101
1. Группа классов 101
2. Поле классов по простому модулю 103
Глава 13. Сравнения с неизвестной величиной 106
1. Сравнения с одной неизвестной 106
2. Системы сравнений 111
Глава 14. Сравнения 1-й степени 113
1. Сравнение 1 -й степени 113
2. Неопределенное уравнение 1-й степени 116
3. Система сравнений 1-й степени 120
Исторические комментарии 125
Глава 15. Сравнения по простому модулю 126
1. Сравнение но простому модулю с одним неизвестным 126
2. Сравнение по простому модулю с несколькими неизвестными 131
3. Приложения: теорема Вильсона, теорема Шевалье 132
Исторические комментарии 135
Глава 16. Сравнения по составному модулю 135
Глава 17. Степенные вычеты 139
1. Показатели классов по заданному модулю 139
2. Число классов с заданным показателем 143
Глава 18. Первообразные корни 145
1. Первообразные корни по простому модулю 145
2. Первообразные корни по составным модулям 148
Глава 19. Индексы 152
1. Общие свойства 152
2. Индексы по простому модулю 155
3. Индексы по составным модулям 156
Исторические комментарии 162
Глава 20. Двучленные сравнения 163
1. Двучленные сравнения по простому модулю 163
2. Двучленные сравнения по составному модулю 167
3. Квадратные корни из единицы 168
4. Показательные сравнения 171
Глава 21. Сравнения 2-й степени по простому модулю 172
1. Квадратичные вычеты и невычеты 172
2. Символ Лежандра 177
3. Закон взаимности 183
4. Некоторые приложения теории квадратичных вычетов 187
5. Символ Якоби 191
Исторические комментарии 195
Глава 22. Сравнения 2-й степени по составному модулю 197
1. Сравнения 2-й степени по модулю р*, тдер - простое число 197

2. Сравнение 2-й степени по произвольному составному модулю 200
Глава 23. Арифметические приложения теории сравнений 201
1. Признаки делимости 201
2. Проверка арифметических действий 205
3. Длина периода десятичной дроби 206
Глава 24. Бесконечные цепные дроби 210
1. Сходимость бесконечных цепных дробей 210
2. Разложение действительных чисел в цепные дроби 214
3. Разложение числа е в цепную дробь 221
Исторические комментарии 223
Глава 25. Приближение действительных чисел рациональными 224
дробями
1. Приближение действительных чисел подходящими дробями 224
2. Приближение действительных чисел рациональными дробями с 230
заданным ограничением для знаменателей
3. Приближение действительных чисел бесконечной 233
последовательностью рациональных чисел
Исторические комментарии 236
Глава 26. Наилучшие приближения 237
1. Отыскание наилучших приближений с помощь» цепных дробей 237
2. Множество всех наилучших приближений к заданному 240
действительному числу
Глава 27. Последовательности Фарея 243
1. Фареевы дроби 243
2. Приближение действительных чисел фареевыми дробями 246
Глава 28. Квадратические иррациональности и периодические 248
цепные дроби
1. Разложение квадратических иррациональностей в цепные дроби 248
2. Чисто периодические разложения 255
Исторические комментарии 258
Глава 29. Алгебраические числа 259
1. Поле алгебраических чисел ; 259
2. Рациональные приближения алгебраических чисел 264
Глава 30. Трансцендентные числа 270
1. Трансцендентные числа Лиувилля 270
2. Трансцендентность числа е. Современное состояние вопроса о 273
трансцендентных числах
Исторические комментарии 277
Глава 31. Представление чисел квадратичными формами 278
1. Общие свойства бинарных квадратичных форм 278
2. Представление натуральных чисел положительно определенными 286
квадратичными формами
Исторические комментарии 295
Глава 32. Некоторые диофантовы уравнения 296

1. Представление чисел в виде суммы двух квадратов и з виде х2+2у2 296
2. Представление натуральных чисел в виде суммы четырех квадратов 299
3. Проблема Варинга 302
4. Неопределенное уравнение Ферма 305
5. Проблема Ферма 308
Исторические комментарии 311
Глава 33. Числовые функции 315
1. Число и сумма делителей 315
2. Функция Мёбиуса 319
3. Дзета-функция Римана 321
Исторические комментарии 322
Глава 34. Средние значения числовых функций 324
1. Среднее значение числа делителей. Среднее значение суммы 324
делителей
2. Среднее значение функции Эйлера 327
3. Числа, свободные от квадратов 329
Исторические комментарии 331
Глава 35. Распределение простых чисел в натуральном ряду 332
1. Неравенства Чебышева для функции, выражающей число простых 332
чисел в заданных пределах
2. Обзор дальнейших результатов 340
3. Оценки некоторых сумм с простыми числами 343
4. Формула Мейсселя 349
Исторические комментарии 353
Глава 36. Распределение простых чисел в арифметических 355
прогрессиях. Аддитивные задачи
1. Простые числа в арифметической прогрессии 355
2. Проблемы аддитивной теории простых чисел 360
Исторические комментарии 368
Таблицы индексов 372
Таблица простых чисел 379

ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга рассчитана в первую очередь на то, чтобы служить
в качестве учебного пособия при прохождении курса теории чисел
на физико-математических факультетах педагогических институ-
институтов и в университетах. Теоретико-числовые вопросы вызывают
интерес не только у специалистов математиков, но и у значи-
значительно более широкого круга людей, задумывающихся над от-
отдельными арифметическими проблемами, и автор старался учесть
интересы читателей в этом отношении. Охватывая полностью
учебную программу по теории чисел, книга содержит и допол-
дополнительный материал, развивающий тот небольшой обязательный
курс, который проходится всеми студентами-математиками в педа-
педагогических институтах. Этот дополнительный материал может
быть использован при организации работы спецсеминаров, а также
в качестве основы для ряда курсовых работ по теории чисел.
Содержание курса теории чисел в педагогических институтах
заключено в следующих главах: 4 (п. 1), 5, 6 (п. 2), 7, 8, 9,
10, 11, 13, 14, 15 (п. 1 и 3), 16, 17, 18 (п. 1), 19 (п. 1 и 2),
20 (п. 1), 21 (п. 1, 2 и 3), 23, 24 (п. 1 и 2), 25 (п. 1 и 2),
26 (п. 1), 28 (п. 1), 29, 30, 33 (п. 1), 35 (п. 1 и 2), 36.
Автор старался добиться того, чтобы читатель мог в этой же
книге найти все то, что используется при доказательстве теорем
курса. В связи с этим в 1-й главе сформулирован ряд общих
математических положений, теорем высшей алгебры и математи-
математического анализа, используемых в дальнейшем.
2-я и 3-я главы излагают арифметику целых чисел. Этот раздел
арифметики фактически является базисом всего дальнейшего
построения самой теории чисел. В педагогических институтах
арифметика целых рациональных чисел проходится в курсе эле-
элементарной математики и эти две главы могут быть использованы
при изучении этого курса.
В книге введена сплошная нумерация теорем (арабскими
цифрами). Это дает возможность более удобно пользоваться под-
подробными ссылками. В конце книги (начиная примерно с 31-й
главы) ссылки, когда они связаны с применением элементарных
теорем теории делимости или теории сравнений, носят менее

систематический характер. Теоремы, относящиеся к другим раз-
разделам математики и помещенные в книге только в качестве спра-
справочного материала, перенумерованы римскими цифрами. Основ-
Основная часть теорем теории чисел дана с полными доказательствами.
Некоторые теоремы даются без доказательств. Автор считал, что
в тех случаях, когда важный результат не может быть дан
с доказательством ввиду его сложности, полезно по крайней
мере сформулировать его, вводя читателя в круг интересов
современной математики.
Большое место в книге занимают вопросы исторического раз-
развития теории чисел. Помимо введения, дающего общий очерк
развития теории чисел, история предмета освещается и в самом
тексте, а в конце многих глав помещены исторические ком-
комментарии.
Автор старался везде, где это возможно, ввести читателя
в курс современного состояния рассматриваемых вопросов и дать
представление о теории чисел как о развивающейся науке.
А. Бухштаб

ОБОЗНАЧЕНИЯ
В скобках указаны страницы, на которых введены или впервые встре-
встречаются эти обозначения.
а?М —а элемент множества М (стр. 15).
((Оц Оа, ...,а„))—комплекс (стр. 17).
Ь | а —Ь делитель а (стр. 19).
b\а —Ь не делитель а (стр. 19).
I (х) -ч, ш (х)— асимптотическое равенство функций Цх) и со (х)
(стр. 26).
О («(*)), о (и (л;)) —(стр. 26 и стр. 27).
(alt а2, ... ,ап) — наибольший общий делитель чисел аъ а2, ... ,ап
(стр. 38).
[ai, <ц ап] — наименьшее общее кратное чисел ait aa, ... , ап
(стр. 41).
la]—целая часть числа а (стр. 48).
{а}—дробная часть числа а (стр, 49).
.+^as—конечная цепная дробь (стр. 59).
е—основание натуральной системы логарифмов.
л—отношение длины окружности к диаметру.
а ^шЬ (mod т.)—а сравнимо с Ь по модулю т (стр. 72).
а—класс по рассматриваемому модулю т (стр. 77).
ф (т)—функция Эйлера (стр. 89).
L(m)—обобщенная функция Эйлера (стр. 99).
Рщ (а)> Р (а)—показатель а по модулю т (стр. 140).
¦ф(й)—число классов по рассматриваемому модулю т,
показатель которых равен k (стр. 143).
inda6—индекс Ь по рассматриваемому модулю т. и осно-
основанию а (стр. 152).
I—|, (—J—символы Лежандра и Якоби (стр. 177 и стр. 191).
в ...—бесконечная цепная дробь (стр. 210).
{а, Ь, с) — бинарная квадратичная форма (стр. 278).
\\б)—Уним°ДУляРная линейная подстановка (стр. 279).
{а, Ь, с) с/5 {А, В, С}—эквивалентность форм {а, Ь, с) и {А, В, С|
(стр. 279).
5

т(п)—число делителей числа п (стр. 316).
а (л)—сумма делителей числа л (стр. 316).
(г(л)—функция Мёбиуса (стр. 319).
?(s)—дзета-функция Римана (стр. 321).
Q (х)—число натуральных чисел, не превосходящих х и
свободных от квадратов (стр. 329).
я(*)—число простых чисел, не превосходящих дс(стр.ЗЗЗ).
\(п)—число различных простых делителей числа п
(стр. 348).
щ{к, х)—число простых чисел, не превосходящих х и при-
принадлежащих прогрессии kt + l (стр. 358).
Х(л)—характер п по рассматриваемому модулю к
(стр. 356).

ВВЕДЕНИЕ
1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Первоначальные элементы математики связаны с появлением
навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравни-
сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества в про-
процессе трудовой деятельности. Понятие натурального числа, появ-
появляющееся как результат постепенного абстрагирования, является
основой всего дальнейшего развития математики.
Изучение свойств натуральных чисел, начатое в примитивной
форме математиками давно ушедших поколений, занимает боль-
большое место в современной математике, составляя основное содер-
содержание одного из ее ведущих разделов, который мы называем
теорией чисел. При рассмотрении натуральных чисел мы заме-
замечаем, что среди них встречаются числа с весьма разнообразными
свойствами. Так, например, среди натуральных чисел мы выде-
выделяем простые числа, и, естественно, возникает вопрос, как
распределены эти числа среди всех натуральных чисел. Мы
можем также заметить, например, что среди натуральных чисел
есть числа, которые нельзя представить в виде суммы двух
квадратов натуральных чисел, и поставить вопрос о том, какие
именно числа обладают этим свойством и как часто встречаются
такие числа.
В теории чисел, естественно, выделяются и рассматриваются
в первую очередь те проблемы, которые глубоко и достаточно
непосредственно связаны с изучаемыми объектами и важны для
построения математики в ее целом. Некоторые теоретико-число-
теоретико-числовые задачи возникают уже в рамках школьного курса арифме-
арифметики. Исторически теория чисел возникла как непосредственное
развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел вклю-
включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за
рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматри-
рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых
чисел, а также множество рациональных чисел.
Если рассматривать корни многочленов:
f{x) = xn + a1*l-*+...+aa A)

с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответст-
соответствуют случаю, когда многочлен A) имеет степень п=\. Во мно-
множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые
целые алгебраические числа, представляющие собой корни
многочленов вида A) с целыми коэффициентами.
Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного
из важнейших разделов современной теории чисел, называемого
алгебраической теорией чисел. В теорию чисел включают
также вопросы, связанные с приближением действительных чисел
рациональными дробями. Такие приближения называют обычно
диофантовыми приближениями, по имени великого греческого
математика Диофанта.
Для современной теории чисел характерно применение весьма
разнообразных методов исследований; так, например, многие
проблемы теории чисел могут быть, естественно, сформулированы
в геометрической форме, и к решению такого рода задач при-
применяют геометрические соображения (геометрическая теория
чисел). В современной теории чисел широко пользуются методами
математического анализа; в частности, при изучении вопросов,
связанных с распределением простых чисел, особенно часто
приходится применять теорию функций комплексного перемен-
переменного. Теоретико-числовые исследования, в которых существенно
используются методы математического анализа, являются содер-
содержанием весьма значительного раздела теории чисел, получившего
наименование „Аналитическая теория чисел".
Развитие теории чисел тесно и непосредственно связано с
развитием целого ряда разделов математики.
Теория чисел не только широко использует методы, разра-
разработанные в смежных математических дисциплинах, но и сама
влияет на формирование этих дисциплин. Так, например, начало
глубоких исследований в теории алгебраических чисел было
связано с так называемой проблемой Ферма о возможности
существования целых положительных решений неопределенного
уравнения x" + yn~zn при п>2; дальнейшее развитие этой
теории оказало решающее влияние на современную алгебру,
а возникшие в теории чисел понятия „кольца", „идеала" являются
одними из основных понятий всей математики нашего времени.
Ряд вопросов теории чисел находит себе применение на практике,
например в теории телефонных сетей (кабелей), в кристаллогра-
кристаллографии, при решении некоторых задач теории приближенных
вычислений. Современную теорию чисел можно в основном
разбить на следующие разделы:
1) Элементарная теория чисел (теория сравнений,
теория форм, неопределенные уравнения). К этому разделу
относят вопросы теории чисел, являющиеся непосредственным
развитием теории делимости, и вопросы о представимости чисел
в определенной форме. Более общей является задача решения

систем неопределенных уравнений, т. е. уравнений, в которых
значения неизвестных должны быть обязательно целыми числами.
Неопределенные уравнения называют также диофантовыми урав-
уравнениями, так как Диофант был первым математиком, система-
систематически рассматривавшим такие уравнения. Мы условно называем
этот раздел „Элементарная теория чисел", поскольку здесь часто
применяются обычные арифметические и алгебраические методы
исследования.
2) Алгебраическая теория чисел. К этому разделу
относят вопросы, связанные с изучением различных классов
алгебраических чисел.
3) Диофантовы приближения. К этому разделу
относят вопросы, связанные с изучением приближения действи-
действительных чисел рациональными дробями. К диофантовым прибли-
приближениям примыкают тесно связанные с этим же кругом идей
вопросы изучения арифметической природы различных классов
чисел.
4) Аналитическая теория чисел. К этому разделу
относят вопросы теории чисел, для изучения которых прихо-
приходится применять методы математического анализа.
Конечно, разделение теории чисел на такие разделы не
является стандартным. Иногда выделяют как особую часть тео-
теории чисел геометрическую теорию чисел или из общего круга
вопросов теории диофантовых приближений выделяют теорию
трансцендентных чисел. Надо, кроме этого, иметь в виду, что
часто приходится иметь дело с исследованиями, которые нельзя
ограничивать рамками одного определенного раздела.
В этой книге мы будем относительно подробно изучать тео-
теорию сравнений; что же касается теории форм и неопределенных
уравнений, то эта проблематика затронута здесь в очень неболь-
небольшом объеме. Книга даст также некоторое общее представление
о приближении действительных чисел рациональными дробями
(диофантовы приближения). В аналитической теории чисел мы
ограничиваемся рассмотрением наиболее простых результатов,
полученных элементарными методами. Оставлены в стороне
методы, связанные с применением теории функций комплексного
переменного. Алгебраическая теория чисел совсем не рассматри-
рассматривается в этой книге.
2. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
При изложении конкретного материала будут приводиться
соответствующие исторические и биографические данные. Здесь же,
во введении, мы ограничимся весьма кратким общим очерком
истории развития теории чисел.
. .Ранний период развития арифметики характеризуется тем,
что постепенно и притом весьма медленно развивается сам
9

процесс счета, выявляются возможности неограниченного его про-
продолжения, создается практическая арифметика, в которой
решаются отдельные конкретные арифметические задачи.
В трудах Евклида теоретико-числовые исследования занимают
сравнительно небольшое место, однако уже у него мы встречаем
ряд основных положений теории делимости и хотя простой, но
чрезвычайно важный результат: бесконечность множества про-
простых чисел.
Греческим математикам был известен способ выделения
простых чисел из натурального ряда, получивший название
эратосфенова решета. Теорию чисел как особую область матема-
математики можно рассматривать только начиная с работ Диофанта
(время его жизни в точности неизвестно, по-видимому, III век
нашей эры). Диофант рассмотрел ряд задач о представимости
чисел в определенной форме и более общие задачи решения
неопределенных уравнений в целых и рациональных (точнее,
положительных рациональных) числах. Именно эти задачи яви-
явились позднее отправным пунктом всей теории форм и той базой,
откуда возникла проблематика теории диофантовых приближений.
В период упадка античной культуры работы Диофанта были
почти совсем забыты. В VIII—IX веках в арабских странах —
на территориях теперешнего Ирака, Средней Азии и других
стран Ближнего Востока — возникает своеобразная математиче-
математическая культура. Арабская математика, культивируя исследова-
исследования по алгебре и тригонометрии, проявляла незначительный
интерес к теоретико-числовым задачам. Некоторые арабские
ученые, например Алькарги (XI век), комментировали Диофанта,
несколько развили его символику, рассматривали арифметиче-
арифметические задачи того же типа, что и Диофант, однако ничего сущест-
существенно нового ими не было получено.
В Европе, начиная с эпохи крестовых походов вплоть до
XVII века, развитие теории чисел, как, впрочем, и всей матема-
математики, было очень медленным. Математики обычно рассматривали
только отдельные конкретные задачи теоретико-числового харак-
характера. Общие методы были почти неизвестны. В этот период
в основном развилась практическая арифметика действий. Из
работ этого времени наибольший след в дальнейшем развитии
теории чисел оставили весьма значительные для этой эпохи
работы Леонардо Пизанского (умер в 1250 г.) и работы Регио-
монтана A436—1476), который нашел труды Диофанта и впер-
впервые в Европе стал систематически их изучать.
В XVI и в начале XVII века на латинском и французском
языках были изданы сочинения Диофанта, и ряд математиков
того времени, из которых в первую очередь можно назвать
Виета A540—1603) и Баше де Мезирьяка A581—1638), занялись
комментированием этих сочинений, несколько дополняя их
новыми результатами.
to

,В настоящем смысле теорию чисел как науку надо считать
начиная с работ французского математика П. Ферма A601—1655),
получившего основной результат теории делимости на заданное
простое число и решившего ряд важных задач теории неопре-
неопределенных уравнений.
В XVIII веке Л. Эйлер A707—1783), большая часть работ
которого была написана у нас в Петербургской Академии наук,
значительно продвинул вперед развитие теории чисел. Л. Эйлер
обобщил основной результат Ферма для случая делимости на
составные числа, создал общую теорию так называемых степен-
степенных вычетов, получил очень большое число разнообразных
результатов о представимости чисел в виде форм определенного
типа, исследовал ряд систем неопределенных уравнений и полу-
получил интересные результаты о разбиении чисел на слагаемые.
У Эйлера мы впервые встречаемся с идеей применения методов
математического анализа к задачам теории чисел. Рассмотрение
бесконечных рядов и произведений явилось у Эйлера дейст-
действенным орудием для получения теоретико-числовых резуль-
результатов.
После работ Эйлера почти все крупные математики XVIII и
XIX веков в той или иной степени занимаются теорией чисел.
В частности, существенный след в развитии теории чисел оста-
оставил французский математик Лагранж A735—1813), развивший
дальше методы Эйлера. Лагранж рассматривал вопрос о пред-
представлении чисел в виде бинарной квадратичной формы ах2-\-
+ Ьху + су2, доказал теорему о представимости чисел в виде
суммы четырех квадратов и провел существенные исследования
по теории непрерывных дробей.
Большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел ока-
оказали и работы А. Лежандра A752—1833) по теории неопреде-
неопределенных уравнений высших степеней. Лежандр, между прочим,
нашел также эмпирическую формулу для числа простых чисел
в заданных пределах. Работы Эйлера, Лагранжа и Лежандра
создали базу для цельной теории, получивший позже у Гаусса
название теории сравнений.
Замечательные работы немецкого математика К. Гаусса
A777—1855) имели особенно большое значение для всей теории
чисел. Работы Гаусса по теории сравнений 2-й степени придали
ей законченный вид, так что в настоящее время вся эта область
теории чисел базируется на результатах, изложенных им в книге
„Disquisitiones arithmeticae". В этой книге рассматривается
также теория квадратичных форм, в которой им были получены
фундаментальные результаты. Гаусс наряду с изучением обычных
целых чисел начал рассматривать также и арифметику чисел,
получивших название целых гауссовых чисел, а именно чисел
вида а + Ы, где а и Ь—обычные целые. Эти его исследования
положили начало алгебраической теории чисел.
11

После работ Гаусса в течение всего XIX века и теперь,
в XX веке, исследования по теории чисел приобретают все
увеличивающийся размах. Крупные математики XIX века: Якоби,
Дирихле, Куммер, Чебышев, Лиувилль, Эрмит, Кронекер, Риман,
Минковский, Золотарев и другие—разрабатывают разнообразные
проблемы теории чисел.
В работах Куммера A810—1893) и Дирихле A805—1859),
развитых затем Кронекером A823—1891), Дедекиндом
A831—1916) и Е. И. Золотаревым A847—1878), была построена
теория алгебраических чисел. Работы Лиувилля A809—1882) и
Эрмита A822—1901) явились основой теории трансцендентных
чисел.
В 1873 г. Эрмиту удалось доказать трансцендентность числа е,
а в 1882 г. была доказана трансцендентность числа п (Лин-
деман).
Особенно надо отметить работы Дирихле, П. Л, Чебышева
и Римана по теории простых чисел, явившиеся фундаментом
всей аналитической теории чисел. Дирихле впервые доказал
существование бесконечного множества простых чисел в ариф-
арифметических прогрессиях общего вида и дал асимптотические
оценки ряда важнейших числовых функций.
Чрезвычайно важное значение имеют работы великого рус-
русского математика П. Л. Чебышева A821—1894). Чебышев пер-
первый дал оценку роста функции я (х), выражающей число простых
чисел, меньших или равных х. Его работы по теории простых
чисел являются основой для целого ряда последующих иссле-
исследований в этой области. Б. Риман A826—1866) дал основные
идеи использования функций комплексного переменного в теории
распределения простых чисел, и эти идеи в работах Адамара,
Валле-Пуссена и ряда других математиков далеко продвинули
эту теорию.
Начиная с работ Чебышева, в теории чисел большую роль
стали играть работы русских математиков, развивавших теорию
чисел во всех ее направлениях. Кроме уже упомянутого
Е. И. Золотарева, разрабатывавшего теорию целых алгебраи-
алгебраических чисел, в первую очередь надо отметить работы А. А. Мар-
Маркова A856—1922) по теории квадратичных форм и выдающиеся
работы Г. Ф. Вороного A868—1908) по аналитической теории
чисел и теории квадратичных форм.
XX век дал существенные сдвиги в аналитической теории
чисел, развитие которой было связано как с совершенствова-
совершенствованием уже известных, так и особенно с созданием совершенно
новых методов.
В начале XX века Э. Ландау, Г. Бор, английские матема-
математики Г. Харди и Дж. Литлвуд, а затем Е. Титчмарш, К. Зигель,
А. Пейдж, Н. Г. Чудаков, А. Сельберг и др. подробно иссле-
исследовали дзету-функцию Римана и L ряды Дирихле (см. главы 33
12

и 36), совершенствовали технику применения методов теории
функций комплексного переменного к исследованию разнообраз-
разнообразных проблем аналитической теории чисел.
В XX веке стали также применяться (Г. Вейль) так назы-
называемые тригонометрические суммы, простейшие из которых рас-
рассматривались еще Гауссом.
Основное влияние на развитие аналитической теории чисел
оказали работы И. М. Виноградова, глубоко разработавшего
метод тригонометрических сумм и сумевшего с помощью этого
метода решить ряд задач, казавшихся до этого совершенно
недоступными. Применение этого метода нашло свое развитие
в работах целого ряда математиков: Ван Корпута, Л. Морделла,
Г. Давенпорта, Т. Эстермана, Хуа Ло-гена, Н. М. Коробова и др.
В самые последние годы большие успехи в аналитической
теории чисел были достигнуты благодаря глубоким идеям,
внесенным Ю. В. Линником. Эти идеи сближают некоторые
разделы аналитической теории чисел с теорией вероятностей.
Методы Линника нашли свое развитие в работах целой плеяды
его учеников и в целом значительно увеличили возможности
применения L рядов Дирихле к различным проблемам аналити-
аналитической теории чисел.
Наряду с методом тригонометрических сумм и теорией рядов
Дирихле в аналитической теории чисел начиная с 1918 г. все
в большей степени применяются элементарные методы.
Метод эратосфенова решета был разработан в работах Виго
Бруна, а другая разновидность решета в работах А. Сельберга.
В последующие годы аппарат метода решета был существенно
усилен.
Советский математик Л. Г. Шнирельман в начале тридцатых
годов разработал общий метод изучения аддитивных свойств
последовательностей натуральных чисел. Идеи, заложенные
в работах Л. Г. Шнирельмана, не только принесли ему успех
в решении ряда конкретных задач, но и внесли в теорию чисел
новую проблематику, связанную с аддитивными свойствами
множеств натуральных чисел.
Проблемы, возникшие на базе работ Шнирельмана, разраба-
разрабатывались в исследованиях А. Я. Хинчина, Г. Мана, Н. П. Рома-
Романова, П. Эрдёша и др.
Из элементарных методов нужно особенно отметить разрабо-
разработанный в конце сороковых годов метод А. Сельберга. В рабо-
работах А. Сельберга основные законы распределения простых
чисел в натуральном ряду и в арифметических прогрессиях
были получены без применения теории функций комплексного
переменного.
Большие успехи в XX веке были достигнуты в теории
диофантовых приближений и в теории трансцендентных чисел.
Новые методы доказательства трансцендентности широких клас-

сов чисел были разработаны советским математиком А. О. Гель-
фондом и немецким математиком К. Зигелем.
Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональ-
рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем
в пятидесятых годах в работах К. Рота. Эти исследования
позволили изучить число решений некоторых неопределенных
уравнений высших степеней. Общие вопросы диофантовых при-
приближений разрабатывались в работах А. Я. Хинчина.
В последнее время все большее внимание специалистов по
теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.
Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особен-
особенности французского математика А. Вейля, результаты которого
были использованы во многих теоретико-числовых исследова-
исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем
квадратичном невычете.
К алгебраической теории чисел относятся и интересные
работы советского математика И. Р. Шафаревича, а также
работы Б. Н. Делоне по теории кубических форм.

ГЛАВА 1
ОБЩИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
1. МНОЖЕСТВА С ОПЕРАЦИЯМИ
Высказывания „М—множество, а—элемент множества М"
(записывается а ? М) рассматриваются как основные, не тре-
требующие определений или каких-либо пояснений. Обычно нам
придется иметь дело с множествами, в которых определена неко-
некоторая операция.
Определение 1. Будем говорить, что в множестве М опре-
определена некоторая операция *, если установлено соответствие,
при котором каждой паре элементов а ? М и Ь ? М сопоставь
ляется некоторый определенный элемент с ? М, называемый
результатом операции над а и Ь.
Таким образом, согласно этому определению задание опера-
операции означает в сущности задание функции двух аргументов
f(a, Ъ), определенной для всех а и Ь, входящих в М, значения
которой также представляют собой элементы этого множества.
В большинстве случаев мы будем иметь дело с множествами,
для которых определены две операции: сложения и умножения.
Будем, как это общепринято, результат сложения а и Ь назы-
называть суммой слагаемых а и Ь и записывать в виде a-\-b, a
результат умножения называть произведением множителей а и Ъ
и записывать в виде аЬ.
Будем считать знакомыми читателю такие основные матема-
математические понятия, как „группа", „аддитивная группа", „кольцо",
„поле". Как обычно, кольцо называется кольцом с делителями
нуля, если в нем существует хотя бы одна пара элементов
а и Ь, таких, что афО, ЪфО и а-Ь = О. Кольцо называется
кольцом без делителей нуля, если для любых двух его эле-
элементов а и Ъ, таких, что аФ0 и ЬфО будет также аЬФО.
* Во всем дальнейшем рассматриваются только так называемые бинарные
операции, т. е. операции с двумя элементами.
15

• - ¦¦"л '¦•;v v'- • ¦'""¦¦¦ ¦ 2. ЧИСЛА
Считая известными читателю различные классы чисел, рас-
рассматриваемые в этой книге, а именно: числа натуральные, целые,
рациональные, действительные, комплексные, мы не будем давать
определения соответствующих понятий и обосновывать действия
над ними. В этой главе мы ограничимся только перечислением
основных понятий, операций и тех их свойств, с которыми мы
будем встречаться в книге.
Натуральный ряд чисел будет, как обычно, обозначаться
в виде 1, 2, 3, 4, ..., а отдельные его элементы—называться
натуральными числами. Натуральный ряд чисел обладает сле-
следующими основными свойствами, называемыми аксиомой индук-
индукции и аксиомой Архимеда.
Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных
чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным чис-
числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно
содержит все натуральные числа.
Аксиома Архимеда. Для любых натуральных чисел а и Ь
существует натуральное число с, такое, что Ьс>а.
Сумма и произведение двух натуральных чисел—функции
двух аргументов, определенные во множестве натуральных чи-
чисел. Мы не будем напоминать общеизвестные свойства опера-
операций сложения и умножения, а также операций со знаками нера-
неравенств.
Распространяя понятия суммы и произведения на произволь-
произвольное число слагаемых и множителей, рассматриваем выражения
S S
вида 2 а,- и Ц а,-, в частности, при а1 — а2= ... =as = a no-
следнее произведение обозначается в виде а* и называется
s-й степенью числа а. Произведение аЬ можно рассматривать
как сумму а-\-а-\-... -\-а, в которой число слагаемых равно Ь,
или как сумму Ь + &+...+ Ь, в которой число слагаемых
равно а. Каждое число мы рассматриваем как сумму, состоя-
состоящую из одного слагаемого, и произведение, состоящее из одного
множителя.
С помощью натуральных чисел мы можем считать предметы,
т. е., выбирая порядок следования, приписывать соответствую-
соответствующую числовую характеристику отдельным элементам любого
конечного множества. Вместе с тем натуральные числа позво-
позволяют придавать определенные числовые характеристики конеч-
конечным множествам в целом, приписывая всем множествам с оди-
одинаковым числом элементов одну и ту же числовую характери-
характеристику. Для натурального ряда чисел, пользуясь аксиомой
индукции, доказываются следующие теоремы.
Теорема I. Всякое непустое подмножество натуральных чисел
содержит наименьшее число.
16

Теорема II. Всякое конечное подмножество натуральных
чисел содержит наибольшее число.
Теорема III. Если известно, что некоторое утверждение:
1) верно для 1; 2) из предположения, что утверждение верно
при некотором п, вытекает, что оно верно для п +1, то это
утверждение верно для всех натуральных чисел.
Теорема IV. Если известно, что некоторое утверждение:
1) верно для натурального числа а; 2) из предположения, что
утверждение верно для всех натуральных чисел k, таких, что
a^k<.n, вытекает, что утверждение верно для п, то утверж-
утверждение верно для всех натуральных чисел k^a.
Если утверждение сформулировано в терминах, имеющих
смысл только для натуральных чисел, не превосходящих N, то
из посылок 1) и 2), где n^N, следует справедливость утверж-
утверждения для всех натуральных чисел k, таких, что a ^k^N.
Мы не будем приводить доказательства этих известных теорем.
Доказательства, в которых используется аксиома индукции или
одна из теорем: III или IV, мы будем называть доказательст-
доказательствами методом математической индукции (индукция по п).
Для двух множеств с одинаковым числом элементов имеет
место общий принцип, который мы сформулируем, называя
условно элементы одного множества „ящиками", а второго —
„предметами". Этот принцип мы будем называть „принципом
ящиков".
Теорема V („принцип ящиков"). Пусть имеется некоторое
число „ящиков" и „предметов". Если известно, что: 1) каждый
предмет лежит в каком-то ящике; 2) ни в одном ящике не
лежит более одного предмета; 3) число предметов равно числу
ящиков, то в каждом ящике лежит один и только один предмет.
Доказательство. Обозначим число ящиков через п.
При п = 1 утверждение очевидно.
Возьмем я>1 и предположим, что хотя бы один ящик пуст.
Тогда (условия 1 и 3) в остальных п—1 ящиках лежит п пред-
предметов, а это противоречит тому, что в п—1 ящиках может
лежать (условие 2) не более п—1 предмета. Предположение,
что хотя бы один ящик пуст, привело нас к противоречию;
значит, все ящики не пусты. Поскольку согласно условию 2
в каждом ящике лежит не более одного предмета, то мы и
получаем, что в каждом ящике один и только один
предмет.
Определение 2. Пусть мы имеем п множеств Mlt М2, ..., Mh.
Комплексами из элементов этих множеств будем называть мно-
множества ((а1э а2, ..., а„))> г^е ai> аг> • ¦ •. оп—элементы, взятые
так, что ах ? Mlt ай ? Мй ап ? Мп, причем выбор элемен-
элементов может быть подчинен и некоторым дополнительным условиям.
В частности, множества Ми Л42 М„ могут совпадать,
и тогда комплексы представляют собой занумерованные наборы
17

из элементов одного и того же множества. Элементы аг, вхо-
входящие в комплекс, будем называть элементами комплекса.
Два комплекса ((а,, а2, ...,а„)) и ((blt b2, ..., bn)) будем
считать равными тогда и только тогда, когда а1 = Ь1, а2 = й2, ...
..., ап = Ьп. Комплекс из двух элементов ((ах, а2)) обычно
называют парой.
Теорема VI. Если элемент ах моокет быть выбран sx спо-
способами, элемент а2 выбран s2 способами и т. д. до элемента
ап, который может быть выбран sn способами, то комплекс
((ах, а2, ...,ап)) может быть выбран я^з-... •sn способами.
При я=1 утверждение тривиально. При п = 2 утверждение
справедливо, так как число комплексов ((%, а2)) получается
равным сумме sx+ ... +s1? где число слагаемых равно s2, т. е.
мы действительно получаем Si^-Sz комплексов. Аналогично дока-
доказывается, что если утверждение верно для п, то оно верно и
для и +1, и тогда согласно принципу полной математической
индукции это утверждение верно для всех л^=1.
Теоремы I, II и IV справедливы для множества целых неот-
неотрицательных чисел, если в их формулировках заменить слово
„натуральный" словами „целый неотрицательный". Упорядочен-
Упорядоченное кольцо всех целых чисел нам придется особенно часто рас-
рассматривать в качестве объекта изучения в этой книге.
Как известно, все числовые кольца представляют собой кольца
без делителей нуля, поэтому для множества целых чисел спра-
справедлива теорема.
Теорема VII. Если ak = bk, где a, b и k (Ь,фО)—целые
числа, то а — Ь.
Множество целых чисел дискретно, а именно имеет место
следующая теорема.
Теорема VIII. Пусть а и b—целые числа и а>Ь, тогда
61
Рассматривая степени целых чисел, мы, по определению при
0=7^0, считаем а°=1.
Основную роль во всей арифметике целых чисел имеет тео-
теорема о делении.
Теорема I. Для любого целого а и целого Ь>0 существуют,
и притом единственные, целые q и г, такие, что a = bq-\-r,
0<г<6.
Число q называют полным или неполным частным, в зависи-
зависимости от того, равно ли г нулю или нет; г называют остатком
от деления а на Ь.
Доказательство. Возьмем числа:
Ь-\, Ь-2, Ь-3, ... A)
При а;>0 рассмотрим множество М тех чисел в (I), кото-
которые больше, чем а. Согласно аксиоме Архимеда М не пусто,
а, следовательно (теорема I), во множестве М должно быть
18

наименьшее число, которое мы обозначим через bs'. Обозначим
через s число, на единицу меньшее, чем s'; тогда s+l=s' и
&6(l)
(+)
При а<0, —а>0 мы можем взять множество М тех
чисел из A), которые больше, чем —а, или равны —а, и обо-
обозначить через Ы' наименьшее из них; тогда при t = t'—1 будет
bt<i—a sS 6(^ + 1), так что
Мы видим, что во всех случаях для аи6F>0) существует
целое q, такое, что
). B)
Обозначая через г разность а—bq, из B) получаем
r = a—bq<b(q+l)—bq = b
так что a = bq-\-r, О
Докажем теперь единственность таких q и г. Пусть
и a — bq' + r', где 0<г<&;
Предположим сначала, чтог'>г; тогда bq-\-r — bq' ,
r'—r = b(q—q'), где 0<r<r'<6, так что 0<r'—r<6, q>qr
и, следовательно (теорема VIII), q~Szq'-\-\, т. е.
Мы получили противоречие с тем, что перед этим имели г'—г <.Ь.
Точно таким же путем мы получаем противоречие, предположив,
что г>г', т. е. должно быть г' = г, и тогда b(q—^') = 0; а
поскольку &=7^=0, то q—q' = 0, q' = q.
Определение 3. Пусть а и b{b=^=Q) — целые числа, b назы-
называется делителем а, если существует целое число q, такое, что
a = bq. В этом случае а называется кратным b; a q—частным
от деления а на Ь.
Соотношение «6 делитель а» мы будем записывать для крат-
краткости в виде b | а, и эта запись всегда содержит в себе предпо-
предположение, что ЬфО. Если же b не является делителем а, то мы
будем писать b\a. Делитель называется собственным, если он
отличен от самого числа.
Теорема 2. при b > 0 b является делителем а тогда и только
тогда, когда остаток от деления а на b равен нулю.
Доказательство. Пусть a = bq + r, OsSr<fc.
1) Если г = 0, то a = bq и Ь\а.
2) Если Ь\а, то существует q' такое, что a = bq', и в силу
теоремы 1 о единственности представлений а в виде a = bq + r
получим q = q', r = 0.
Запишем ряд простых теорем о делимости.
19

Теорема 3. Для любого целого афв имеем а\а (рефлексив-
(рефлексивность отношения делимости).
Доказательство. а = аЛ.
Теорема 4. Для любого целого а имеем 11 а.
Доказательство. а=Ьа.
Теорема 5.ЕслиЬ\а,то при любом сочетании знаков ± Ь\ ± а.
Доказательство. Если a — bq, то а = ( — b)(—q),
—a = b(—q), —а — ( — b)q, где вместе с q число —q тоже
целое.
Теорема 6. Если с\Ь, Ь\а, то с\а (транзитивность отноше-
отношения делимости).
Доказательство. Если a = bqx, b = cq2, где qx н q% це-
целые, то a = cq, где q = qxq2 тоже целое.
Примечание. Из теоремы 6 непосредственно следует, что, если с\Ь,
с )( а, то b >( a,
Теорема 7. Если Ь\а, то при любом целом k=^=0, kb\ka.
Доказательство. Если a — bq, то ka — (kb)q.
Теорема 8. Если kb\ka, k^O, то b\a.
Доказательство. Если ka = kb-q, где k=f= 0, то согласно
теореме VII а — 6q.
Теорема 9. Если Ь\а, то при любом целом с b\а&
Доказательство. Если a = bqlt где qt целое, то ас — bq,
где q — cqx тоже целое.
Теорема 10. Если с\а и с\Ь, то с\а-\-Ь и с\а — Ь.
Доказательство. Если a = cq1, b — cq2, где qt и q2 це-
целые, то a-\-b = cq, где q — qi + q^ целое. Аналогично а—b = cq',
где q' = qi—q% целое.
Теорема 11. Если с|ах, с\а2, ..., с\ап; blt b2, ... , bn
любые целые, то c\a1bl-{-aJbi-\- ... +anbn.
Доказательство. Если с|ах, с\а2, .... с\ап, то, при-
применяя теоремы 9 и 10, получаем последовательно с\a1b1, с\афг,
.... c\anbn; cja1fc1 + a2^2. с\а1Ь1 + агЬ2 + афа, .... c\a1bl +
+ a2b2+...+anbn.
Примечание. Из этой теоремы непосредственно следует, что если
с\аъ ...,с\ап_ъ bi Ь„_г, Ьп любые целые и с )({а-ф^ ... +я«_А,_1+
+ а„Ь„), то с^а„.
Теорема 12. Если Ь1\а1, Ь2\а2, ...,bn\an, то Ь^-Ь^...
... bn\aia% ... ап.
Доказательство. Если a1~biq1, a2 = b2q2, .. .,an = onqn,
где все qt целые, то ata2.. .an = b1bi.. .bnq, гдеq — qtq2.. ,qn тоже
целое.
Теорема 13. Если b\a, то при любом целом п>0 имеем Ьп\а".
Доказательство. Если п = 0, то 111, а при п~з* 1 имеем
частный случай предыдущей теоремы, где ах=... =а„ = а и
20

Теорема 14. Для любых целых чисел а ^ 1 и g> 1 при неко-
некотором S^sO.
1) Существует представление а в виде
a = csgs+cs_1gs-1+...+c1g+c0, C)
где O^Ci^g—1 при всех i — Q, l,...,s—1 и 0<c,<g—1;
2) при заданном g и наложенных на целые с{ условиях пред-
представление а в виде C) единственное.
Доказательство. 1)Существование. Возьмем любое
§>1 и применим метод математической индукции.
При а—1, взяв s = 0, co=lsSg—1, получаем равенство C)
в виде \—с0. Предположим, что рассматриваемые представле-
представления C) имеют место для всех натуральных чисел а, меньших,
чем п. Согласно теореме 1 для п и g можно найти целые неот-
неотрицательные числа пх и /", такие, что
Легко видеть, что nx<z.n. Действительно, если бы было пх^ п,
то, поскольку g> I, r SsO, мы имели бы n = gn1 + r>-n.
Рассмотрим два возможных случая:
а) Если п1 = 0, то п = г, т. е. равенство C) осуществляется
при s = 0, со — г.
б) Если /ij^sl, то 1==^/21<я, и согласно предположению
о существовании представления C) для всех чисел а^п, т. е.,
в частности, и для п1, имеем:
при некотором t и 0^rt^g—1 (i = 0, ...,t), rz>0. Тогда
n = gn1 + r = rtgUl + /¦*_!§*+ ... +г<? + г,
т. е. представление C) осуществляется при s = /+ 1, cs — ru...,
ci = /'o> co — r- Согласно принципу полной математической индук-
индукции (теорема IV) существование рассматриваемых представлений
доказано для всех натуральных чисел.
2) Единственность. Если
t, D)
где все с,- и с\ такие, что 0 sg с,- < g— 1, 0 < с\ < g — 1, cs>Q,
c't > 0, то, записав D) в виде:
мы получаем равенство двух представлений а вида:
a = gq-\-r, 0<r<g—1.
Согласно теореме 1 это возможно только при
со = с0, a1=csgs~1+ ... -fd =ед'-1+ ... +сг.
21

Проводя для аг то же рассуждение, получаем сг = с[, затем
щ = с2 и т. д. Теперь легко видеть, что s — t. Действительно,
если, например, было бы s<t, то, получив со — с'й, с1 — с1,---,
cs=c's, мы могли бы сократить обе части на общие слагаемые
со-> с\ё> •"¦>csSs и> поскольку c't>0, получили бы в правой ча-
части D) положительную величину, равную нулю.
Определение 4. Представление а в виде C), где при всех i
Os^cis^g—1 и cs>>0, называется представлением числа в си-
системе счисления с основанием g. Числа cs, cs_t, ..., с0 называ-
называются цифрами числа а.
Для краткости выражение C) записывают так: a = cscs_l.. .с0,
или даже просто с5с5_г ... с0.
Кольцо целых чисел рассматривается как подполе поля рацио-
рациональных чисел. Рациональные числа мы будем записывать в виде
у, где а и Ь Ss= 1 целые, т. е. фактически будут рассматри-
рассматриваться как пара целых чисел, у которых знаменатель всегда
положителен.
Упорядоченное поле действительных чисел не является объек-
объектом специального изучения в этой книге. Как уже отмечалось
раньше, во введении, теория чисел изучает только вопросы,
связанные с арифметической природой действительных чисел, а
именно такие вопросы, как, например, существование уравне-
уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого является данное
действительное число, приближение действительных чисел рацио-
рациональными и т. д.
Действительные числа мы будем обычно обозначать буквами
греческого алфавита а, р\ у, ..., но иногда, желая подчеркнуть
то, что величина рассматривается как переменная,— последними
буквами латинского алфавита х, у, ....
Будем считать известными понятия суммы, произведения,
разности, частного, степени действительных чисел. Как обычно,
пустую сумму будем считать равной нулю, а пустое произведе-
произведение—равным единице.
Имея в виду интерпретацию действительных чисел на число-
числовой оси, мы будем действительные числа иногда называть точками.
Модуль, или, как иначе говорят, абсолютная величина, дейст-
действительного числа а обозначается | а | и определяется формулами:
{а при а ^г О,
—а при а<0.
Для модулей применяются известные соотношения:
11,°-
E)

= П!«,[, (в)
справедливые при любом s, т. е. при любом числе слагаемых
в формуле E) и множителей в формуле F). Остановимся, в част-
частности, на некоторых важных свойствах модулей целых чисел.
Теорема IX. Если а—целое число, не равное О, то ]а|^1.
Теорема X. Среди целых чисел, модуль которых меньше, чем
т, только О делится на т.
Во множестве целых чисел имеет место теорема, аналогичная
теореме I.
Теорема Г. Всякое непустое подмножество целых чисел со-
содержит наименьшее по абсолютной величине число, причем таких
наименьших по абсолютной величине чисел может быть либо
одно, либо два.
3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ФУНКЦИИ
Будем считать известными читателю не только основные по-
понятия алгебры и математического анализа, но и важнейшие их
свойства. Среди таких понятий у нас будут встречаться понятия:
интервала, сегмента, последовательности, счетного множества,
континуума, предела, непрерывной функции, ограниченной функ-
функции, логарифма, синуса, многочлена, корня многочлена, много-
многочлена неприводимого над данным полем, симметрического много-
многочлена, сходящегося и расходящегося ряда, производной, интегра-
интеграла и т.д.Напомним только определение периодической последо-
последовательности.
Определение 5. 1) Последовательность чисел
ао> °и аа> .... а„ ... G)
называется периодической, если существуют k^l и sSsO та-
такие, что an+k = an при всех n^s.
2) Если k и s—наименьшие числа, удовлетворяющие этим
условиям, то k называется длиной периода, a s—длиной пред-
периода.
3) При s = 0, т. е. если существует k~^\, такое, что an+k = an
при всех п, последовательность G) называется чисто периоди-
периодической.
Периодическая последовательность имеет, таким образом, вид
а0> • • • > as-l> as> • • • i as+k-l> as< • • •» as+k-l> • • • >
где после предперйода а0, ..., as_1 периодически повторяются
одни и те же элементы as, ... , ai+ft_i.
Чисто периодическая последовательность имеет вид:
а0,... , ak_lt aQ,... , ак^и ..,,
23

где с самого начала периодически повторяются элементы а0,
При рассмотрении действительных чисел нам придется поль-
пользоваться и соответствующими теоремами, изучаемыми обычно
в курсах математического анализа и высшей алгебры. Перечис-
Перечислим несколько основных положений алгебры и математического
анализа, на которые мы будем опираться в дальнейшем.
Теорема XI. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) над
полем Р существуют два многочлена над этим полем q(x) и г (х),
таких, что
f(x)=g(x)q(x) + r(x),
причем степень г(х) меньше, чем степень g(x).
Теорема XII (Безу—Горнер). Для любого многочлена /(х) =
~aoxn-i-a1xn~1 + ... +ап(п Ss= 1) и числа а
где
...
Теорема XIII (формула Тейлора). Для любого многочлена f (х)
Теорема XIV. Любой многочлен над полем Р степени п^\
может быть представлен в виде произведения неприводимых
над этим полем многочленов.
Теорема XV. Пусть F {аг, ..., ап, рх, ..., $т)—многочлен над
полем Р, симметрический по отношению к двум системам не-
неизвестных ах, ..., ап и Р1( .... рт. Тогда
F(^i «„. Pi ,РЯ) = ФК, .¦-,о„,х1 хт),
где Ф (alt ..., ст„, т^ ..., хт)—многочлен с коэффициентами из Р,
°i> • • • > ап—элементарные симметрические многочлены от
ах, ..., ап,
тх, .. .,Tm—элементарные симметрические многочлены от
Pi. ••-.Р»,-
Теорема XVI. Пусть а1У ....«„—корни многочлена f(x) сте-
степени п. Тогда элементарные симметрические многочлены от
ах ап выражаются рационально через коэффициенты f(x).
Теорема XVII. Сумма счетного множества счетных множеств
представляет собой также счетное множество.
Теорема XVIII. Последовательность строго вложенных друг
в друга интервалов, длины которых стремятся к нулю, имеет
одну и только одну точку, общую всем интервалам и являющуюся
общим пределом левых и правых концов этих интервалов.
24

Другими словами, если две последовательности действительных
чисел а„ и р„(п = 1,2,...) таковы, что
и Ит (Р„—а„) = 0, то существуют lim а„ и Нт Р„, причем
Нт а„ = Нт Рп.
п -*• оо п -> оо
Теорема XIX. Пусть f(x)—непрерывная в сегменте [а; Ь]
функция; тогда:
1) f(x) ограничена на этом сегменте.
2) Если f(a) и f{b) имеют разные знаки, то в этом сегменте
лежит по крайней мере один корень f(x).
3) Если с—простой корень f(x), такой, что а<.с<.Ь, то
в достаточно малой окрестности с, слева и справа от с, f(x)
принимает противоположные по знаку значения.
Теорема XX. Пусть f (х) —непрерывная в сегменте [а, Ь] функ-
функция; т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значе-
значения f (х) в этом сегменте; тогда
Теорема XXI (Эйлер).
1) e*' = cosje-Hsinx; 2) -i (exi
Действительное число а можно представлять в виде суммы
бесконечной систематической дроби с основанием системы счи-
счисления, равным некоторому целому g> 1, т. е. в виде:
« = ао + | + р+..., (8)
где все at—целые числа и при i^l Os^a,-^g—1. Сокращенно
формула (8) записывается в виде а~а0, ага2 ..., где а1; а2,...
называют цифрами дробной части а; а0 называют целой частью а
и записывают также в виде ао = [а]. Мы рассмотрим [а] как
функцию от а в главе 4. В качестве основания системы счи-
счисления большей частью берется g=10. Известны следующие
теоремы.
Теорема XXII. Любое действительное число а. единственным
образом моокет быть представлено в виде (8), так что при всех
i O^ai^g—1 и существуют a{^g—1 со сколь угодно боль-
большими i.
Бесконечная систематическая дробь (8) называется периоди-
периодической, если периодической является последовательность цифр
а1г а2, ... .
25

Теорема ХХШ. Действительное число а является рациональ-
рациональным тогда и только тогда, когда представление а в виде (8)
есть периодическая дробь.
Эта теорема, в частности, означает, что если представление
а в виде систематической дроби по некоторому основанию g> 1
является периодическим, то периодической будет и системати-
систематическая дробь, получающаяся при разложении а с другим осно»
ванием системы счисления.
Нам часто придется рассматривать функции при неограничен-
неограниченном росте аргумента, т. е. рассматривать процесс, при котором
аргумент становится больше любого фиксированного натураль-
натурального числа.
Определение 6. Функция f(x) называется асимптотически
равной функции а(х), если при я—>-оо, т. е. при неограничен-
ном росте х, существует предел отношения '-^-К и этот пре-
предел равен 1.
Асимптотическое равенство функций / (х) и со (х) записывается
знаком ~, так что / (х) ~ со (х) означает, что lim '~y- = 1.
Примеры. 1) xs + 2x2+Vx~x3; 2) sin — ~-;
X X
3) ln(je-f 2) — e~x ~\nx.
Асимптотическое равенство / (x) ~ ю (х) может иметь место и
тогда, когда разность f{x) и (о(х) растет по модулю с увели-
увеличением х, однако рост \f(x) — «»(x)| медленней, чем рост \f(x)\
и |<в(дг)|.
Действительно, если lim '-Щг = 1, ^~г = 1 + б (х), где при
х—>-оо б(д;)—+0, откуда следует, что f{x) = (i>(x)-\-&(x)(i>(x),
\f{x) — оз(х) | = |6(л;)|'|©(л;)|. Несмотря на то что 8(je) стре-
стремится к нулю, произведение | б (х) \ • | и (х) \ может неограниченно
увеличиваться, хотя и медленней, чем |ю(л;)| и |/(д:)|. Так,
в только что данном примере f(x) = x3-\-2x2 + \rx, а(х) = х3,
a \f(x) — (o(x)\ = 2x2 + Yx—*o° при неограниченном увеличе-
увеличении х.
Определение 7. Пусть f(x) и со (х) (и (х) > 0) — две функции,
рассматриваемые на некотором множестве значений аргумента х,
таком, что х—»-оо. Равенство f (х) — О (и (х)) (читается ,,f(x)
равно О большое от ъь(х)") означает, что существует постоян-
постоянная Л>0, такая, что \ f (x) \ <; Лю (х) для всех достаточно
больших х, т. е. при х>х0.
Таким образом, О (со (х)) может означать любую функцию / (х),
удовлетворяющую при х>х0 условию |/(х)|< Лсо(д;), где А
и х0, вообще говоря, различны для различных f(x). Мы можем
всегда записать О (со (х)) < Лео (х).
26

Примеры. 1) (х-IJ sinx = О(х2); 2) ]/"Зд;в+Ц-1пд;=О(л:3);
Теорема XXIV. \)Если f(x) = O(<o(x)),g(x)>0, mof{x)g{x)=
= 0((o(x)g(x)).
2) Если f(x) = O(a>(x)), то О (/(*)) = О (со (*)).
3) О (со (х)) ± О (со (*)) = О (со (*)).
4) ?сди /(л;) = О(о)(л:)), то О (/(*)) +О (©(*-)) = О (со (х)).
5) О (со (х)) О (g (х)) = О (со (.v) g (x)).
Доказательство. 1) Если f (x) — O((o (х)), т. е. сущест-
существует А > 0, такое, что при х>х0 имеем |/(х) | < Лео (х) и g(x)>0,
то |/(*)g(*)|<i4g(x) «»(*).
2) Запись О (f (х)) означает, что f(x) положительна для рас-
рассматриваемых значений аргумента. Если f (x)< Аа(х), то
\0{f(x))\<Aj{x)<A1A<u(x), т.е. O(f(x)) = O(<o(x)).
ОсЗозначив О (f (х)) через F(x), мы можем записать это свой-
свойство в следующем виде:
Если F(x) = O(f(x))f f{x) = 0(<o(x)), то F (х) = 0 (со (х)).
Таким образом, символ О обладает свойством транзитивности.
Можно вместе с тем отметить, что этот символ не обладает
свойством симметричности. Из / (х) — О (со (х)) не следует со(х) =
= 0{f(x)). Например, \пх = О{х), но д;^=ОAпд;).
3) Если для первой из рассматриваемых функций О (со (д;))
имеем | О (со (х)) | < А^ (х), а для второй | О (со (д;)) | < Л2со (х), то
IО (со (*)) ± О (со (х)) | < | О (со (х)) | +10 (со (х)) \ < (А,+ А2) со (х).
4) Если f (x) — O(w(x)), то, применяя свойства 2 и 3, данные
в этой теореме, получаем
О (f (х)) + О (со (х)) = О (со (х)) + О (со {х)) = О (со
5) \O((o(x))O(g(x))\
= Av>(x)g(x).
Пример. '-=?_,„ (,+±)+0A)=0(±)-0A)
Определение 8. Пусть f(x) и со(д;)(со(л:)>0)—Зее функции,
рассматриваемые на некотором множестве значений х, таком,
что х—>-оо. Равенство / (х) — о (со (х)) (читается ,J(x) равно о
маленькое от ®(х)") означает, что Нт-Ц^- = 0.
v ' ' ' CD (х)
Символ о((о{х)) может означать, таким образом, любую функ-
функцию вида е(д;)со(д;), такую, что е(*)—«-О при х—»-оо.
Примеры. 1) \пх=*о{х); 2) в-* + ^±|—0(^-) .
27

Частными случаями определений 7 и 8 являются функции
вида 0A) и оA). 0A) означает функцию от х, ограниченную
по модулю при всех х>х0, а оA)—функцию от х, которая
при х—»• оо имеет предел, равный нулю.
Примеры. 1) U+-J-) =0A); 2) -~- = оA).
ГЛАВА 2
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
1. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Каждое натуральное число п имеет по крайней мере два
положительных делителя: 1 и п. Существуют натуральные числа,
которые не имеют положительных делителей, отличных от 1 и
самого себя.
Определение 9. Натуральное число р называется простым,
если р > 1 и р не имеет положительных делителей, отличных
от 1 и р.
Мы будем обычно простые числа обозначать буквой р. Пер-
Первые простые числа в натуральном ряду:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,...
Определение 10. Натуральное число п>1 называется со-
ставным, если п имеет по крайней мере один положительный
делитель, отличный от 1 и п. Согласно этому определению,
если п—составное число, то у п имеется делитель а, такой,
п
что n — ab, где Ь — ~ тоже такое, что
а
Все четные числа, кроме 2, составные, так как при n — 2k,
/г>1 будет 2|п и 1<2<п.
Согласно определениям 9 и 10 множество натуральных чисел
разбивается на три подмножества: 1) простые числа, 2) состав-
составные числа и 3) число 1, которое не причисляется ни к простым,
ни к составным числам.
Теорема 15. Если р и рг — простые числа и рФрх, то р\рх.
Доказательство. Положительными делителями простого
рх является только 1 и само р,. Простое число рф\ (по опре-
определению) и рФр\ (по условию), так что р\рх-
Теорема 16. Для любого натурального числа п> 1 наимень-
шийх отличный от единицы положительный делитель всегда
представляет собой простое число.
Доказательство. Рассмотрим множество М положитель-
положительных, отличных от 1 делителей числа п. Множество М не пусто,
так как п ? М(п\п и п>\). Согласно теореме 1 в множестве
М должно быть наименьшее число q > 1. Если бы q не было
простым числом, то существовало бы а такое, что 1<а<<7 и
a\q\ но так как q\n, то тогда (теорема 6) было бы а\п, что
28-

противоречит тому, что q—наименьший, отличный от единицы
положительный делитель п. Предположение, что q не является
простым числом, привело нас к противоречию, следовательно,
q—простое число.
Теорема 17. Каждое натуральное число, отличное от 1,
можно представить в виде произведения простых чисел.
Доказательство. Каждое простое число мы рассматри-
рассматриваем в виде произведения, состоящего из одного множителя,
так что для всех простых чисел, и в частности для 2, утверж-
утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы
верно для всех k, таких, что 2sS&<n. Обозначим через р
наименьший, отличный от 1 положительный делитель п, кото-
который согласно предыдущей теореме должен быть простым числом.
Тогда n — pk'. Если k'—\, то для и = р утверждение теоремы
верно. Если й'>1, то 2^k' <n и, согласно нашему предпо-
предположению, k', а следовательно, и п представимы в виде произ-
произведения простых чисел, т. е. и в этом случае наше утверждение
верно для п. Согласно теореме IV утверждение теоремы верно
для всех натуральных чисел п ~s* 1.
Два разложения на простые множители называются одинако-
одинаковыми, если они отличаются только порядком этих простых мно-
множителей; например, разложения 30 = 2-3-5 и 30 = 5-2-3 счи-
считаются одинаковыми. Следующая теорема является основной
теоремой арифметики натуральных чисел.
Теорема 18. Для каждого натурального числа п> 1 сущест-
существует единственное разложение на простые множители.
Это значит, что для любого натурального п два разложения
на простые множители могут отличаться только порядком этих
множителей.
Доказательство. Предположим, что множеством на-
натуральных чисел, для которых единственность разложения на
простые множители нарушена, не пусто. Тогда согласно теореме I
в множестве М имеется наименьшее число п, для которого
имеются два различных разложения на простые множители:
я = Л ••• P* = <7i-.-<7f A)
Среди простых чисел рх, ..., ps, qx, ..., qt выберем наимень-
наименьшее: пусть это будет, например, рг. Число рх отличается от
всех fy(l s^'js^t), так как если бы px = qjt то, сокращая равен-
равенство A) на ри получили бы два различных разложения на
простые множители для числа — , которое меньше, чем п.
при всех /=1, ..., t и (теорема 15) р^^
Мы можем, представив qx в виде qi = Pik + r, где k^l,
1^г<р1, подставить это выражение вместо qx в A). Получим
n = plp2...ps = p1kq9...qt+R, B)
где R = rq2.. .qt.
29

Из B) видно (теорема 10), что pt\R,
R = rqt...qt = pll, C)
т. е. г <Pi<<?i. R<n, так что R, согласно предположению,
имеет только единственное представление в виде произведения
простых множителей, которое можно получить, разлагая в фору
муле C) г и I на простые множители. Получающиеся тогда из
C) два разложения R на простые множители должны содержать
одинаковые простые множители, а следовательно, поскольку
РхФЯ-и • • •. Pi^Qt* Pi Iг> чт0 противоречит условию К^г^р^
Предположение, что множество М не пусто, привело нас
к противоречию, следовательно, М пусто, т. е. каждое п > 1
имеет единственное разложение на простые множители.
В разложении п = р1р2.. .ps среди чисел рх, р2, ..., ps могут
быть одинаковые простые множители, и если, например, среди
них первые k различны, мы можем записать п в виде п = р®1.. .ркк.
Если целое число п<0, то —п>0 и, представив —п в виде
— п= р"'.. .р1к, где все р,-—попарно различные простые числа,
будем иметь п — — p"\..plk. Такое представление, как это
следует из теоремы 18, тоже обладает свойством единственности.
Определение 11. Каноническим разложением целого числа
а > 1 называется представление а в виде а = р\1 ... р"к, где
Рх, ..., pk—попарно различные простые числа, ах, ..., ak—на-
ak—натуральные числа. Каноническим разложением целого числа
а <;— 1 называется аналогичное представление в виде
a = -PaS...pl\
При ау= ... =аА= 1, т. е. а = р1...рА, число а называют
свободным от квадратов.
Каноническое разложение n = av..as=bl...bt можно получить,
перемножая канонические разложения чисел alt..., as или чисел
bt bt. Теорема 18 показывает, что результат получится один
и тот же. В частности, таким образом, справедлива следующая
теорема.
Теорема 19. Если р—простое число, р\а, р\Ь, то p\ab.
Теорема 20. Если а = ±р°*.. .p"fc—каноническое представ-
представление числа а, то положительное число d является делителем
а тогда и только тогда, когда d = p\1.. ,p\k, Q^P^^a,^ ...,
0 < pft < ak.
Доказательство. Пусть d\a и простое p\d, тогда р\а,
следовательно, согласно теореме 18 р должно совпадать с одним
из чисел рх рк. Таким образом, в каноническое разложе-
разложение d не может войти ни один простой множитель, отличный
от рх, .... р„, т. е. d = p?'... р%к.
Если при всех i (Хр\-<а,-, то а = р.. .pl" — pi.. .РкЧ,
где <? = р"*~Р'-. .р°*~р*—целое число, т. е. d\a.
30

Если же хотя бы одно Р,->0;, то из предположения a = dq,
т. е. из а = р°'.. .pakk — p\l.. .pfyq, после сокращения на р?' мы
получили бы для целого числа — два различных разложения
на простые множители.
Таким образом, d = p\l.. .pi" является делителем а тогда и
только тогда, когда для всех i 0=<р\<;а,.
Последовательность простых чисел неограниченна. Этот ре-
результат был получен еще Евклидом и помещен в IX книге его
„Начал" в качестве 20-й теоремы.
Теорема 21 (Евклид). Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим, что множество простых
чисел конечно и состоит из чисел 2, 3, 5,..., р, где р — послед-
последнее, самое большое простое число. Рассмотрим натуральное
число N = 2-3-5...р+1.
2-fTV, 3-fiV, .... p\N, так как непосредственно видно,
что при делении N на все числа 2, 3, 5, ..., р получается
остаток, равный 1 (теорема 2). Таким образом, N не делится
ни на одно простое число, т. е. (теорема 16) N—1; а вместе
с тем непосредственно видно, что N>1. Предположение, что
множество простых чисел конечно, привело нас к противоречию,
т. е. простые числа образуют бесконечное множество.
В дальнейшем будет показано, что простые числа, хотя их
и бесконечно много, составляют небольшую часть всех нату-
натуральных чисел. Можно легко доказать, что в натуральном ряду
еуществуют сколь угодно большие промежутки, заполненные
сплошь одними только составными числами.
Теорема 22. Как бы велико ни было целое число k^sl, в на-
натуральном ряду можно найти k составных чисел, непосредст-
непосредственно следующих друг за другом.
Доказательство. Число (k+ 1)! =2-3... (k+l) делится
на все числа 2, 3, ..., k+l, так что среди чисел
(?+1)! + 2, (?+1I + 3, ..., (k+l)\ + (k+l) D)
первое делится на 2, второе на 3 и т. д. до последнего &-го,
которое делится на k+l. Таким образом, каждое из этих чисел
имеет положительного делителя, отличного от 1 и самого себя,
т. е. все числа D) составные.
Следующая теорема дает критерий, позволяющий судить,
является ли натуральное число п простым или составным.
Теорема 23. Если натуральное число п(п>1) не делится
ни на одно простое число, не превосходящее Уп, то оно простое.
Доказательство. Если бы п было составным, то п — ab,
где 1<о<п, 1<6-<п. Числа а и Ъ не могут быть одновре-
одновременно больше, чем У~п, так как тогда аЪ было бы больше,
31

чем п. Пусть, например, а^]/~п. Поскольку а > 1, у а должен
существовать по крайней мере один простой делитель р и тогда
р\п, где р^а^\/~п~, что противоречит условию.
Очевидно, что если п делится хотя бы на одно простое число,
меньшее или равное У~п , то оно является составным.
Для того чтобы из множества натуральных чисел выделять
простые числа, можно взять все натуральные числа до заданной
границы и, пользуясь критерием теоремы 23, определить для
каждого из них, является ли оно простым или составным. Бо-
Более удобен способ отсеивания составных чисел, известный еще
греческому математику Эратосфену B76—194 гг. до нашей
эры).
Этот способ, получивший название решета Эратосфена, осно-
основан на следующей модификации теоремы 23.
Теорема 23'. 1) Если в множестве натуральных чисел
2, 3, 4, ..., N зачеркнуть числа, кратные первым г простым
числам 2, 3, ..., рг, то первое (наименьшее) незачеркнутое
число будет простым.
2) Если вычеркнуть все числа, кратные всем простым числам
до V~N, т. е. выбрать г так, что рг^\^Ы <рг+1, то остав-
оставшиеся числа будут совпадать с множеством всех простых чисел р,
таких, что У~Ы < р =sS N.
Доказательство. 1) Каждое составное число п делится
по крайней мере на одно простое число, меньшее, чем п. Если
число п не делится ни на одно простое число, меньшее, чем п,
то оно является простым. _
2) Каждое составное число п, такое, что V~N <С n ^ N, делится
(теорема 23) по крайней мере на одно простое pt <, ]Лг sg Y~N,
т. е. на одно из чисел 2, 3,..., pr(pr^yrN <рг+1), и, следо-
следовательно, будет вычеркнуто.
Простые числа p>V~N не делятся на 2, 3, ,.., рг и, таким
образом, не будут вычеркнуты.
Теорема дает следующий алгоритм нахождения всех простых
чисел sg N: в множестве натуральных чисел
2, 3, 4, 5, б N
первое число 2 простое. Вычеркиваем все числа, кратные 2;
тогда первое невычеркнутое число 3 простое. Вычеркиваем все
числа, кратные 3; первое невычеркнутое число 5 простое и т. д.
Продолжаем этот процесс, пока не вычеркнем все числа, крат-
кратные найденным простым числам 2, 3, ..., рг, где р, такое, что
pr «^ V~N, а следующее простое pr+1 > V~N. Все оставшиеся
невычеркнутыми числа дадут нам множество простых чисел,
лежащих между Y~N и N (включая N, если оно простое), а
32

вместе с ранее найденными простыми 2, 3, .... рг мы получаем
все простые числа, не превосходящие N.
Пример. Пусть N = 50. Последовательные вычеркивания
дают (рис. 1):
13, &Д,&,23,ад,26,27,2а,29Л31,52,33,54,
Рис. 1.
Подчеркнуты простые числа pi^1/r50 B, 3, 5, 7). Остались
невычеркнутыми простые числа, лежащие между ]^50 и 50.
2. ФАКТОРИЗАЦИЯ
Процесс представления чисел в каноническом виде мы будем
называть факторизацией. Общий метод факторизации заданного
числа заключается в том, что п пробуют делить последовательно
на простые числа 2, 3, 5 рг*^У~п до тех пор, пока не
найдется простое число р, такое, что р\п. Если такое р нахо-
находится, факторизация п сводится к факторизации меньшего числа;
если же среди этих всех простых чисел нет ни одного дели-
делителя п, то согласно теореме 23 само п простое.
Для больших п этот алгоритм требует долгих вычислений.
Имеются таблицы, с помощью которых можно производить
факторизацию чисел, лежащих в достаточно широких пределах.
Так, например, таблицы Лемера, составленные им ещё в 1909 г.,
дают для каждого натурального числа «^ 10000000 величину
его наименьшего простого делителя, так что с помощью этих
таблиц можно найти каноническое разложение на простые мно-
множители для любого числа, лежащего в пределах перьых
10 миллионов.
Многие математики давали ряд способов, рассчитанных на
уменьшение объема выкладок, необходимых для факторизации
отдельных классов чисел. Некоторые из этих приемов основаны
на применении простых алгебраических тождеств.
Если многочлен f(x) представлен в виде произведения двух
многочленов -ф (лг) и а(х) с целыми коэффициентами, то при
любом целом п, таком, что г|з(п)> 1 и ©(«)> 1, f(ri), очевидно,
представляет собой составное число и факторизация /(и) сво-
сводится к факторизации i|) (и) и © (и).
Пример (так называемая теорема Софи Жермен).
Число я4 -f 4 при п > 1 всегда составное.
2 А. А. Бухштаб 33

Это следует из того, что п4 + 4 = («2 + 2/г + 2)(п2—2п+2),
где при п>1 оба множителя больше 1.
Факторизацию чисел можно осуществлять с помощью сле-
следующей простой теоремы.
Теорема 24. Рассмотрим при нечетном п^9 числа:
так, что вообще
п будет составным тогда и только тогда, когда в выраже-
выражении E) некоторое Ns = t2, т. е. представляет собой полный
квадрат, причем в этом случае n = {t—s){t-\-s).
Доказательство. Из E) получаем:
Если Ns = n + s2=-t\ то n = *2—s2 = (if—s)(t + s).
1) При в<-^Д имеем n^6s + 9>2s+l, /2
E>(s+1J. i>s+l. t — s>l, так что п—составное число.
2) Если п нечетное составное, то n = ab, где а и Ь—нечетные
числа, такие, что З^а^Кп, j/"n<fc<-|-. При s = -~ по-
лучаем N, = n + * = ab+ F-^)= (^)\ где
т(т~3)> так что целое
Пример. Найти разложение на простые множители
числа 391.
Находим первые числа вида E):
ЛГ0 = 391, ^ = 392, W2 = 395, N3 = 400 = 20*.
Здесь s = 3, г1 = 20, так что 391 = B0—3) B0 + 3)= 17-23.
Примечание. Если применять теорему 24 для числа п, не деля-
делящегося на 2, 3 и 5, то в E) можно ограничиться значениями s<—rj— .
Действительно, тогда n = ab, где 7<а< Уп, V~n<be?— и
Si
2 !
Среди отдельных классов простых чисел в свое время зна-
значительный интерес вызывал вопрос о простых числах вида
2"—1. Интерес к этому вопросу • возник в связи с изучением
так называемых совершенных чисел (см. главу 33). Простые
34

числа вида Мп = 2п—1 рассматривались, в частности, фран-
французским математиком XVII века Мерсенном, и такие числа по-
получили название простых чисел Мерсенна.
Если число п нечетное составное, то 2"—1 будет также
составным числом, так как из п = аЪ, 3 sg a < п, 3^6<п следует
2аЬ 1 /Оа 1\/Оа(& — 1) I Оа(^~2) I I Оа I 1 \
( — \( - ^
При любом четном п Ss=4 числа вида 2"—1 = \22 — 1/ \22 + 1/
составные.
Таким образом, 2"—1 может быть простым числом только,
если само п — р простое. При простых значениях п = р число
2Р—1 может оказаться простым, но может быть и составным.
Например, при р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 мы получаем простые
числа Мерсенна 22—1 = 3, 23— 1 =7, 25 — 1 =31, 27— 1 = 127,
2"—1 = 8191, 217 —1 = 131071 и 219 —1 = 524287, а при р = 11,
23, 29 числа 2Р—1 составные.
При больших значениях р определение того, будет ли 2Р— 1
простым или составным, требует больших вычислений. Было
выяснено, что 231—1 (Эйлер, 1750 г.), 281—1 (Первухин, 1883 г.),
289—1 и 2107—1 (Поуэрс, 1907 и 1914 гг.) —простые числа.
До 1952 г. самым большим известным простым числом Мерсенна
являлось число 2127— 1; простоту этого числа, имеющего 39 цифр,
установил Люка в 1876 г.
Применение быстродействующих счетных машин позволило
за последние годы найти значительно большие простые числа
Мерсенна. В 1952 г. было установлено, что 2Р—1—простое
число при р = 521, р = 607, р=1279, р = 2203 и р = 2281.
В 1957 г. было найдено простое число Мерсенна, 23217 — 1,
имеющее 969 цифр. В 1962 г. были найдены два простых
числа Мерсенна 24253 — 1 и 2**гз — 1, а в 1965 г. еще три прос-
простых числа Мерсенна, а именно 29689—1, 29941—1 и211213—1. Число
2ii2i3—1 ИМеет 3376 цифр и является вообще самым большим из
известных нам простых чисел. Существует ли бесконечно много
простых чисел Мерсенна? Этот вопрос не решен до сих пор и,
по-видимому, является чрезвычайно трудным.
Числа вида 2"+1 могут быть простыми только при я = 2*.
Если п имеет хотя бы один нечетный делитель а> 1, то
где, как легко видеть, поскольку п Ss= 3, а ^= 3, оба множителя
больше 1, так что 2"+1—составное число.
Ферма высказал предположение, что все числа вида Fk —
= 22*-f 1 простые; это как будто подтверждалось тем, что при
fe = 0, 1, 2, 3, 4 действительно получались простые числа
3, 5, 17, 257, 65537. Следующее число такого вида 22' + 1 было
2* 35

уже настолько велико, что Ферма не сумел определить, простое
оно или составное.
В 1739 г. Эйлер показал, что это число составное, и тем
самым опроверг гипотезу Ферма. Эйлер указал общий путь для
факторизации чисел такого вида, доказав, что все делители числа
вида 22*+1 должны иметь вид /л2"+1.
Простые числа вида 2afe +1, как известно, связаны с задачей
построения правильных многоугольников с помощью циркуля и
линейки. Гаусс доказал, что правильный многоугольник может
быть построен с помощью циркуля и линейки тогда и только
тогда, когда число его сторон п равно 2ctpIp2 ... ps, где все
простые числа р( имеют вид 2а* + 1. Среди первых 1000 значе-
значений п(п>1) имеется всего только 54 числа такого вида.
Неоправдавшееся предположение Ферма, что все числа вида
22'1 + 1 простые, естественно ставит задачу построения других
функций f(k), значениями которых при всех натуральных k
являлись бы только простые числа. Функции, которые прини-
принимают подряд много простых значений, были известны давно.
Эйлер указал интересный многочлен х2—je-f-41, который
при всех целых л: от 0 до 40 включительно принимает только
простые значения. При х = 41 и х = 42 значения этого много-
многочлена будут, однако, уже составными числами. Легко видеть,
что вообще многочлен с целыми коэффициентами не может при
всех натуральных значениях аргумента принимать только про-
простые значения.
Теорема 25. Любой многочлен с целыми коэффициентами при
некотором натуральном значении аргумента принимает значе-
значение, представляющее собой составное число.
Доказательство. Пусть / (х) = аохп-{-а1хп~1-\-... + а„,
где все at — целые числа. Предположим, что при некотором k
f(k) = p, где р—простое число. Известно, что многочлен степени
п принимает одно и то же значение не больше, чем в п точках,
так что найдется такое целое t>\, что f(k-\-pt)=^ р. Разлагая
fk + pt) по степеням pt, получаем:
F)
где все с,-—целые числа. Поскольку f(k) = p, из F) получаем,
что p\f{k-\-pt), так что /(& + pt)^~составное число.
Пример. Многочлен x2 + 3x+l принимает простые зна-
значения прих= 1, 2, 3, 4, 5. Однако поскольку/A) = 5 и /F)^=5,
то /(б) согласно доказательству теоремы 25—составное число.
Действительно, /F) = 55. Точно так же из /B) = 11 и f A3) =^11
следует, что /A3) = 209—составное число.
В теореме 25 предположение, что рассматриваемая функция —
многочлен, существенно.
Известен вид некоторых функций f(x), принимающих при
всех натуральных значениях аргумента только простые значения.
36

Так, например, Миллс в 1947 г. доказал, что существует дей-
действительное число а, такое, что f{x)~[as<°] при всех целых
х^ 1 принимает значения, представляющие собой простые числа.
В 1951 г. Нивен несколько уточнил эту теорему, показав, что
о
для любого с> -д- существует а, такое, что [асХ] при всех целых
х ^ 1 — всегда простое число.
Исторические комментарии ко 2-й главе
1. Евклид—великий древнегреческий математик, живший
около 300 г. до нашей эры. „Начала" Евклида — важнейшее
произведение всей древнегреческой математической культуры.
Основное его содержание —изложение системы геометрии, однако
в нем рассматриваются и некоторые теоретико-числовые проблемы.
Теорема 19 в несколько другой форме имеется в „Началах"
Евклида.
2. Теорема 18 по своему содержанию давно известна и часто
неосновательно рассматривалась как очевидное положение.
Точная формулировка с доказательством этой теоремы была
впервые дана Гауссом.
3. Эратосфен B76—196 гг. до нашей эры) был главным биб-
библиотекарем знаменитой Александрийской библиотеки. Помимо
исследования расположения простых чисел в натуральном ряду,
занимался изучением так называемых многоугольных чисел.
Эратосфен был более известен не как математик, а как географ
и астроном, сделавший, в частности, на основании измерения
длины меридиана между Александрией и Ассуаном довольно
точный расчет величины земного шара. Он занимался также
хронологией древней истории.
4. Фибоначчи (Леонардо Пизанский) был первым математиком,
указавшим, что для нахождения делителей числа п достаточно
испытать делимость этого числа на числа, не превосходящие У п.
5. Теорема 24 основана на идее способа факторизации Ферма.
6. Мерсенн A588—1648) рассматривал простые числа вида
2"—1 в своем сочинении „Cogita physico-mathematica". Тот факт,
что числа 217 — 1 и 219 — 1 простые, был установлен итальянским
математиком Катальди A552—1626) до Мерсенна. В сущности
простые числа, носящие имя Мерсенна, встречались еще в тру-
трудах древнегреческих математиков.
Если взять последовательность s1. s2 sft... , где s1 = 4,
sft = s|_1 —2, то (критерий Люка) Мр— 2Р—1 при простом р бу-
будет . простым числом Мерсенна тогда и только тогда, когда
sf,_1^0 (mod/э). В настоящее время числа Мерсенна находят,
применяя быстродействующие .электронно-вычислительные ма-
машины, обычно используя при этом критерий Люка.
37

По-видимому, большая часть чисел вида 2Р—1 составные;
например, при простых значениях р в пределах 2300 < р < 3200
все числа вида 2Р— 1 оказались составными.
7. В настоящее время известно, что числа вида 22"+ 1 состав-
составные при k = b, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 21,
23, 25, 26, 27, 30, 32, 36, 38, 39, 42, 52, 55, 58, 63, 73, 77, 81,
117, 125, 144, 150, 207, 226, 228, 250, 267, 268, 284, 316, 452, 1945.
Делители большинства из этих чисел Ферма были найдены
только в самое последнее время с помощью электронных вычис-
вычислительных машин. До сих пор не обнаружено ни одного про-
простого числа вида 22 + 1 при k ^5.
8. Первые таблицы для факторизации чисел были опубли-
опубликованы еще в XVII веке. Одна из них, составленная Пеллем
A668), дает возможность производить факторизацию чисел в
пределах до 100 000.
Таблица, опубликованная Леммером в 1909 г., дает для
каждого натурального числа, лежащего в пределах первых
10 миллионов, наименьший простой делитель. Польский мате-
математик Я. Кулик A793—1863), работавший в Пражском универ-
университете, составил таблицы для факторизации чисел в пределах
до 100 000000, но эти таблицы до сих пор не напечатаны.
Издана таблица простых чисел, лежащих в пределах первых
11 миллионов натуральных чисел. Таблица первых шести милли-
миллионов простых чисел, наибольшее из которых равно 104 395 301,
записана в 1959 г. на микропленке.
ГЛАВА 3
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ.
НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
1. ОБЩИЕ ДЕЛИТЕЛИ И ОБЩИЕ КРАТНЫЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 26. Каждое целое число а=?0 имеет только конечное
множество делителей.
Доказательство. Пусть d\a, тогда a = dq. Поскольку
0 то qф0, и, следовательно (теорема IX), целое число
|| |d|M|d|
|?|>, || ||M>||
Существует только конечное множество целых d, таких, что
ld|<|a|.
Определения 12. 1) Общим делителем целых чисел аг ап
называется любое целое d, такое, что d\alt ... ,d\an.
2) Наибольшим общим делителем целых чисел alt ... , аа
называется такой положительный общий делитель alt ... , ап,
который делится на любой другой общий делитель этих чисел.
Наибольший общий делитель числа ах, ... , ап обозначается
(% a»)-

Таким образом, (ах an) = d означает:
1) d>0 целое \
2)d|fli d\aa . A)
3) если б | alt .... б | ап, то б j d J
Теорема 27. 1) Для любых целых чисел alt ... , ап, из которых
хотя бы одно отлично от нуля, существует наибольший общий
делитель.
2) Если ах = ±р11 ... pi' ап = ± pi1 ... р]', где plt .. .
... , ps— различные простые числа, то
(a a)— nmin(ai ?i) nmin(as v,) ,n\
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда
все аг=^0. Обозначим через plt ... , ps множество простых
чисел, которые являются делителями хотя бы одного из чисел
ах, ... , ап; тогда ах, ... , ап можно записать в виде
аг = ± pV ... pV, . ¦ ¦ , а„ = ± pV ... pl\ C)
где все а,-^=0, ... , у(^0—некоторые целые числа. Для этого
достаточно записать каждое а,-=т^± 1 в канонической форме и
добавить недостающие простые множители в нулевой степени,
а если fl; = ± 1, то взять а,- = ±/?5 ... р*. Докажем, что
d = птШ (a' Vl) pmin(as Ys)
является наибольшим общим делителем чисел ax ап.
Действительно: 1) d> 0.2) Поскольку ах ^min(a1>... , Yi),- •.
.... as^m\n(as, ... ,ys), то согласно теореме 20d|ax, и со-
совершенно аналогично получаем, что d\a2, ... , d\an. 3) Если
6|ах б|а„, то в разложении б на простые множители не
могут содержаться простые множители, отличные от рх ps,
так что б имеет вид 6 = pJ' . .. /?**, где
&!<«! &i<Yi> так что fe1<min(a1, ... , Yi),
ks<ys, так что ks^m\n(as, ... , ys)
и согласно той же теореме 20 б | d. Поскольку для d выполнены
все условия A), определяющие наибольший общий делитель
данных чисел, то d — (aL ап).
Если ахф0, ... , апф0 и (а1г ... , an)—d, то и
К а„, 0 0) = d.
Действительно: 1) d>0; 2) d|alf ... , d|а„ и d|0 d\0;
3) если б—делитель всех чисел аг, .,. , ап, 0, ... , 0, то 6,
в частности, делитель ах, ... ,ап и б \d.
Таким образом, наибольший общий делитель существует
и тогда, когда часть чисел равна нулю,
39

Теорема 27 дает вполне определенный алгоритм для нахож-
нахождения наибольшего общего делителя d конечного множества
целых чисел аг, . . . , а„. Если среди этих чисел есть хотя бы
одно, равное ±1, то очевидно, что<2—1. Если все они отличны
от ±1, то оставляем только те из них, которые отличны от
нуля, записываем их в канонической форме, а затем дописываем
недостающие простые множители с показателями, равными
нулю, т. е. берем их в виде C); наибольший общий делитель
находится тогда по формуле B).
Если все at равны нулю, то любое целое число б будет их
общим делителем, и не существует целого d, которое делилось
бы на все эти 8, т. е. в этом случае наибольшего общего дели-
делителя не существует.
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел
а=1000000001 и 6=1000000000000 001, записанных в дво-
двоичной системе счисления.
Переходя к десятичной системе, получаем:
25+ 1) B5 + 1) = 993-33 = За-И-331,
так что d = З2 = 9.
Теорема 28. Наибольший общий делитель чисел at, ... , ап
всегда больше любого другого общего делителя этих чисел.
Доказательство. Пусть d = (a1, ... ,а„). Возьмем любой
другой общий делитель б этих чисел (8^/=d). Согласно опреде-
определению наибольшего общего делителя (A), условие 3) 6|d, так
что d = 8q, и поскольку d>0, \d\ = | б|-|<7|, \д\ф0, т. е.
IqI^I, d^\8\^8=^=d, так что d>6.
Теорема 29. Если (аг, ... , an) = d, b\d и &>0, то
Примечание. Из b \ d и d \ сц следуетb \ а-п так что все числа -i-целыг.
Доказательство. 1) d>0, b>0, так что-Г>0.
d
2) Изс(|а(. следует (теорема 8), что-г- — при всех i— 1, ... , п.
п;
3) Пусть б у при всех i = 1, ... ,п; тогда 661 а{ (i — 1, ... , п);
ЬЬ—общий делитель чисел ah а, значит, .б&—делитель их наи-
наибольшего общего делителя d, т. е. 8b\d, а следовательно, по
той же теореме 8, S -f\-r удовлетворяет условиям A), опреде-
определяющим наибольший общий делитель чисел -Л, ... »%•
Теорема 30. (аг ап_х, а„) = ((аг, /.. , ая_,), а„).
Таким образом, наибольший общий делитель п чисел (п S* 3)
можно найти, найдя смашш наибольший-общийделитель ri—i
40

чисел и взяв затем наибольший общий делитель от полученного
таким образом числа d' = (ax,... ,ап_х)и последнего числа ап.
Доказательство. Пусть plt ... ,ps—простые числа,
делящие хотя бы одно из чисел а1г ... , ап.
где все а,^0, ... , ^,-3=0, v,-^=0 целые.
min (ах w,) = min (min (alf .... M, vx),
min (as, ... ,\is, vs) = min (min {as ps), vs),
что согласно B) и доказывает нашу теорему.
Последовательно применяя теорему, получаем, что если
(alt аг) = й1, (d{, a.6) = d2, .. . , (dn_2, an) = dn_lt то dn_x будет
наибольшим общим делителем чисел ау, а2, ... , ап.
Определение 13. Пусть alt ... , ап—отличные от нуля целые
числа. Наименьшим общим кратным этих чисел называют
наименьшее положительное число, кратное всем этим числам.
Наименьшее общее кратное чисел alt ... , аа обозначается
К, • • • > а„].
Таким образом, [alt ... ,ап] = т означает, что:
1) т>0 целое \
2) аг | т, ... , ап \ т | . D)
3) если М>0 и at\M, ... ,ап\М, то т^М J
Положительные кратные любых таких чисел ах, ... , ап обра-
образуют некоторое подмножество натурального ряда так, что (тео-
(теорема I) среди них имеется наименьшее. Таким образом, для
любого конечного множества целых чисел, не содержащего нулей,
существует наименьшее общее кратное.
Теорема 31. Если аг = ± pi1 ... />?', . .. , ап = ± р\1 ... pi', где
все а1 5=0, ... , Y; 5=0—целые числа, то
Доказательство. l)m>0 целое.
2) ax ^ max (a2, ... , Yi), • • • , &s ^ max (a*> ¦ • • > Ys)> так что со"
гласно теореме 20 аг \ т. Аналогично получаем, что а21 т ап\ т.
3) Пусть М>0 целое и а1\М, ... , ап\М.
М = р[1 ... pi'N (/, ^ 0 при всех ;)•
Из аг | М, ... , а„ | М следует, что ах < 1Х, ... , Yi < lit так что
/х > max (a1( ... , Yi)-
Аналогично получаем:
/2 > max (а2, ....'', у%), ... ,ls > max (а^, ... , y*),
41

так что т\М, и, следовательно, поскольку т и М положи-
положительны, т^М.
Для т выполнены все условия D), и, значит, т—наименьшее
общее кратное аи ... , ап.
Пример. Найти наименьшее общее кратное чисел а = 333 333,
6 = 420 и с = —312.
Находим канонические разложения а, Ь и с:
а = 3-111 111 = 3-111-1001 =32-7-1ЫЗ. 37,
6 = 22-3-5-7, с = — 23-3-13.
По формуле E) получаем:
[а, Ъ, с] = 23-32.5-7.1ЫЗ-37 = 4Оа= 13333320.
Теорема 32. Наименьшее общее кратное двух или нескольких
чисел всегда является делителем любого другого общего кратного
этих чисел, т. е.еслит= [alt ... ,ап], ах \М, .. .,ап \М, то т\М.
Доказательство. т>0, так что М можно представить
в виде M = mq + r, где 0^г<Ст. Из ах\М и ах\т следует,
что ах | г. Аналогично получаем, что аг \ г ап | г, т. е. г кратно
всем числам aL ап. Поскольку т—наименьшее из всех
положительных чисел, кратных ах, а2, ... , ап, и г<.т, то г не
может быть положительным, т. е. r = 0, M = mq, m\M.
Теорема 33. [аи ... , а„_1, ап] == [[ах ап_1], ап], т. е. наи-
наименьшее общее кратное п чисел (п^З) можно найти, найдя
сначала наименьшее общее кратное п—\ чисел и взяв затем
наименьшее общее кратное от полученного таким образом числа
т' = [ах а-п-Л и последнего числа ап.
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 30. Достаточно в проведенном там рассуждении всюду
заменить взятие наименьшей величины — наибольшей, т. е. везде
вместо „min" написать „max".
Теорема 34. Пусть а>0, 6>0 целые, (a, b) = d и [а, Ь]~т,
тогда dm = ab, т. е. произведение наибольшего общего делителя
и наименьшего общего кратного двух положительных чисел равно
их произведению.
Доказательство. Пусть а = р ... p"s, b = p\1...pl'
(все а,-5г0, р\-^=0 целые); тогда (теоремы 27 и 31):
т p1) max(aa,P,)
min(a1, P1) + max(a1, Pi) = a1
min(a,,
так что dtn = ab.

Пример. а=132 = 22-3-11, 6 = 90 = 2-32-5, тогда d = 2-3 = 6,
m = 22-32-5-ll = 1980 и, действительно, 6-1980 = 90-132.
Теорема 34 показывает, что наименьшее общее кратное двух
положительных чисел а и b можно найти по формуле
Из доказательства легко видеть, что если взять не два, а
больше чисел, т, е. взять а1>0, ... ,а„>0, где я 5^3, то про-
произведение ах ... ап может оказаться больше, чем произведение
dm наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
2. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
Нахождение наибольшего общего делителя по формуле B)
возможно, если предварительно найдены канонические разложе-
разложения рассматриваемых чисел. Для очень больших чисел нахож-
нахождение таких разложений сопряжено с большими трудностями.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел су-
существует еще другой алгоритм, который был дан Евклидом.
Алгоритм Евклида базируется на теоремах 35—37, в которых,
не оговаривая этого каждый раз, мы будем все рассматриваемые
величины предполагать целыми числами.
Теорема 35. Если Ь\а и 6>0, то (а, b) = b.
Доказательство. 1) 6>0; 2) Ь\а и b\b\ 3) если Ь\а и
б|6, то, в частности, Ь\Ь. Поскольку для b выполнены все усло-
условия A), определяющие наибольший общий делитель аи Ь, то
(а,Ь) = Ь.
Теорема 36. Если a = bq + r, то (a, b) = (b,r).
Доказательство. Пусть (a,b) = d; тогда: 1) d>0; 2) из
d\a, d\b и r — a—bq следует (теорема 11) d\r, 3) если Ь\Ь, Ь\г,
то б\а; 6—общий делитель а и Ь, и, следовательно, b\d.
Таким образом, все условия, определяющие d в качестве
наибольшего общего делителя чисел b и г, выполнены: (а, Ь) =
= d = F,r).
Теорема 37. Для любых целых а и b > 0, где Ь\а при не-
некотором s существуют целые числа q0, glt ... , qs и rlt гг rs,,
такие, что b > rx > r2 > ... > rs > 0,
F)
и {a, b) = rs
Доказательство. Согласно теореме 1 для а и 6>0,
где Ь\а, можно найти q0 и гх, такие, что a = bqo-\-rx и 0<гх<с&-
43

Для Ь и гх можно найти числа qx и г2, такие, что Ь = rxqx + г2,
где 0^г2<гх. Если г2 = 0, мы заканчиваем наш процесс, если
же /-а>0, то для гх и г2 находим <fo и г3, такие, что г1 = га<7г + /'
0</-3</-2 и т. д.
Вообще мы для rk_x и rft @<гА</-А_г) находим qk и rA+1,
такие, что rk^1 — rkqk-\-rk+x, O^rA+1<rA, и если rft+1 = 0, то
процесс заканчивается, а если г^+1^0, процесс продолжается
таким же путем. Получаем соотношения вида:
а = bqe + гх
G)
где b > гх > г2 > .. . > О J
Процесс построения равенств G ) не может быть бесконечным,
так как тогда существовало бы бесконечное множество различ-
различных натуральных чисел rk, лежащих кежду 0 и Ь. Вместе с тем
по условию самого построения процесс заканчивается только,
если некоторое rJ+1 = 0. Тем самым доказано, что при некото-
некотором s будет rs+1 = 0, так что G) заканчивается соотношением
rs_l = rsqs, и мы получаем F), причем b >rx> г2>.. .> ^>0.
Пользуясь теоремами 36 и 35, получаем:
(а, Ь) = {Ь, гх) = (гх, г2) = ... =¦(/-,_!, rs) = rs.
При &<0 можно воспользоваться очевидным соотношением
(а, Ь) = (а,— Ь), так что теорема 37 вместе с дополняющей ее
теоремой 35 дает алгоритм, позволяющий находить наибольший
общий делитель двух любых целых чисел, из которых хотя бы
одно отлично от нуля.
Пример. Найти наибольший общий делитель чисел 1173
и 323.
Последовательным делением находим:
1173 = 323-3 + 204
323 = 204-1 + 119
204=119-1+85
119= 85-1 + 34
85= 34-2+17
34= 17-2,
так что A173,323)= 17.
Пользуясь алгоритмом Евклида, можно найти наибольший
общий делитель любого конечного множества целых положи-
положительных чисел ах, а2, ...,ап. Для этого, пользуясь алгоритмом,
последовательно находим: dx = (alt cQ, di = {dx, а3), ... ,drt_i =
= (dn_2,ап) и согласно теореме 30 dn_1 = (ax,a2, ...,an). В слу-
случае же, когда часть с,- равна нулю или отрицательна, пользу-

ются тем, что (alt а2, ..., а„) = (| ах |, | Oj |, ..., |аяJ) (теорема 5),
причем, как было уже отмечено, при вычислении наибольшего
общего делителя, числа, равные нулю, можно вообще не прини-
принимать во внимание. Алгоритм Евклида дает возможность находить
наименьшее общее кратное любого конечного множества поло-
положительных чисел alta.2 ап. Для этого, пользуясь теоремами
34 и 33, последовательно находим:
di = («I- «2). mi = ^f=[Oi. aj.d^^i. а3),
К' «з] = К. <Ч, а3], ...,dn_l = (mn_t
Если часть чисел а,- отрицательна, то, пользуясь тем, что
[alf ..., а„] = [ \ах |, ..., |а„|], вычисления проводят для чисел
Iflil |aB|.
Пример. Найти наименьшее общее кратное чисел 1403,
1058 и 3266.
Алгоритм Евклида для чисел 1403 и 1058 имеет вид:
1403=1058-1+345, 1058 = 345-3 + 23, 345 = 23-15,
так что
dx = A403,1058) = 23, т1 = [1403, 1058] = ПОЗ— = 64 538.
Применяя алгоритм Евклида, находим теперь d2 =
= F4 538,3266) = 46 и, наконец, та = [1403,1058,3266] =
= [64 538,3266] = 64 538 . ^ = 4 582 198.
3. ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Определение 14. Числа ах ап называются взаимно про-
простыми, если (ах, ...,а„)=1, т. е. если наибольший общий де-
делитель этих чисел равен 1.
Определение 15. Числа ах ап называются попарно взаимно
простыми, если (ah aj) = 1 при всех i Ф j A «s i <= п, 1 ==s / ^ п).
Примеры. 1) 15, 21, 77—взаимно простые числа, однако
эти числа не являются попарно взаимно простыми.
2) 34, 53, 99, 115—попарно взаимно простые числа, следо-
следовательно, тем более взаимно простые.
Теорема 38. Два числа а и Ь, отличные от 0 и ± 1, взаимно
просты тогда и только тогда, когда их канонические разложе-
разложения не содержат одинаковых простых множителей.
Доказательство. 1) Пусть (a,b)=l. Если бы для не-
некоторого простого числа р было р\а и р\Ь, то р являлось бы
общим делителем а и 6, а поскольку (a, b) = l, то было бы
Г552
45

2) Если канонические разложения а и b не содержат общих
простых множителей, то а и Ь можно записать в виде:
a = pa1\..pas>, Ь=р\\..рЬ,
где в каждой паре а,-, рг будем иметь одно число, равное нулю,
т. е. при всех г=1, 2, ...,s имеем Yi = m'n(ai> Р/) = 0 и (тео-
(теорема 27) (а, Ь)= 1.
Теорема 39. Если р—простое число, то р\а тогда и только
тогда, когда (а, р) = \.
Доказательство. При а = ± 1 это очевидно. При аФ± 1
р\а означает, что каноническое разложение а не содержит
простого множителя р; согласно предыдущей теореме это будет
тогда и только тогда, когда (а, р)=1.
Теорема 40. Если (alt ...,an) = d, то числа ^ ,...,— вза-
взаимно простые.
Доказательство. Теорема является частным случаем
теоремы 29 при b = d.
Теорема 41. Если c\ab и (а, с) = 1, то с\Ь.
Доказательство. В случае с=±1 с\Ь для любого Ъ,
При сф\ рассмотрим каноническое разложение с— ± pll...pl'.
По условию при некотором целом q
ab = pX\..p?% (8)
(а, с)=1, так что множители pll, ...,p]s не входят в канони-
каноническое разложение а (теорема 38), а тогда, поскольку канони-
канонические разложения левой и правой части равенства (8) должны
совпадать (теорема 18):
р\1... р]'\Ь, т. е. с\Ъ.
Примечание. Пользуясь этой теоремой, легко доказать, что из ра-
равенства двух несократимых дробей следуег равенство их числителей и зна-
знаменателей, т. е. если (а, 6) = 1, (с, d) — \, -r—-j, b^sl, dSsl, то а=с,
b = d.
Теорема 42. Если (at, b) = \ (aa, b)= 1, mo (at ... an,b)=l,
т. е. произведение чисел, каждое из которых взаимно просто
с одним и тем же числом, также взаимно просто с этим числом.
Доказательство. Рассмотрим три возможных случая:
1) 6 = 0. Из условия (ah 0)=l получаем, что при всех i
а{ = ± 1 и тогда (а1 ... ап, Ь) — 1.
2) Ь= ± 1. В этом случае (ах... ап, ± 1) = 1 при любых
целых alt ..., ап.
3) ЬфО, Ь=7^±1. Рассмотрим в этом случае каноническое
разложение b = ± рТ ... р«*. Поскольку (с1, Ь)= 1,..., (ап, Ь)=1,
множители р?1, ... ,р]' согласно теореме 38 не входят ни в одно
из канонических разложений чисел av ..., о„, а следовательно
46

(примечание на стр. 30), не входят и в каноническое разложение
их произведения ах ... ап, так что по той же теореме 38 имеем
(а1...а„,Ь) = 1.
Теорема 43. 1) Если (a,b)—l, то при любых целых неотри-
неотрицательных пит имеем:
{а",Ьт)=\.
2) Если при каких-либо двух целых положительных значе-
значениях пит (ап, Ьт)= 1, то (а, Ь) = \.
Доказательство. 1) Из (а, Ь)=1 согласно предыдущей
теореме при at= ... =an = a(n>0) получаем (a", b) = \, а от-
отсюда таким же образом при т>0 получаем, что и (а", Ьт)= 1.
Если хотя бы одно из чисел п, т равно 0, то утверждение
очевидно.
2) Если (ап, bm)=l, n>0, m>0 и (a,b) = d, то из d\a, d\b
последовательно получаем: d\a", d\bm, d\(an,bm), d\l, d—\.
Эта теорема, в частности, показывает, что если (а, рт)^= \,
где р — простое число, то (а, р)=?М, а следовательно (тео-
(теорема 39), р\а.
Теорема 44. Если ри р2—простые числа и рхфр%, то при
любых целых n^=0, m^O (pi, р™)=\.
Доказательство. Для двух разных простых чисел рг и
р2 имеем (теорема 38) (р1( р2)=1 и, применяя предыдущую
теорему, получаем (pi, р7)= 1.
Теорема 45. Если целое положительное число d—делитель
произведения двух взаимно простых чисел а и Ь, то d может
быть представлено и притом единственным образом в виде про-
произведения двух положительных чисел Ьг и б2, таких, что 6,Ja, S2|6.
Доказательство. Пусть р... р?*—каноническое разло-
разложение d. Поскольку а и b—взаимно простые числа, простой
делитель ph входящий в каноническое разложение d, не может
быть одновременно делителем а и Ь, т. е. либо Р{\а, либо Pi\b.
Рассмотрим сначала случай, когда Pi\a. Из р{\а следует
(a, Pi)=\, (a, pf')=l (теоремы 39 и 43), и тогда, поскольку
pf^d, d\ab, имеем р?г\аЬ, pfl\b (теоремы 6 и 41).
Точно так же в случае рь\Ь получаем pfl\a.
Таким образом, каждый множитель d вида р?' является либо
делителем а, либо делителем Ь, т. е. d = p1l... pi' — 6,6», где
fil ЧЬ
Представление d в виде 8^, где б^а, 82\b, (a, b)—l,
единственно, так как иначе было бы два различных
канонических разложения для числа d (см. примечание к опре-
определению 11 на стр. 30).
Теорема 46. Произведение двух взаимно простых положитель-
положительных чисел равно квадрату целого числа тогда и только тогда,
когда каждый из сомножителей есть квадрат целого числа.
47

Доказательство. 1) Если a = sa, b=P, то ad = (s/)a.
2) Пусть ab = n%, (a,b)=l. Если каноническое разложение п
имеет вид л = р?\..р?', то каноническим разложением ab будет
ab — n% = p\at... pla'. Поскольку (а, Ь) — 1, каждый делитель ab
вида р,?а' является либо делителем а, либо делителем b и, таким
образом, а и 6 —также полные квадраты.
Теорема 47. ?сли %, ..., ап—попарно взаимно простые числа,
то [а1У ... ,an] = ai ... ап, т. е. наименьшее общее кратное по-
попарно взаимно простых натуральных чисел равно их произве-
произведению.
Доказательство. При п = 2 утверждение теоремы верно,
так как из (а1у а2)=1 следует (теорема 34):
Предположим, что утверждение верно для любых п попарно
взаимно простых чисел (п^2). Возьмем любые «+1 попарно
взаимно простых числа alt ..., ап, о„+1; о„+1, будучи взаимно
простым со всеми числами ах, ... , ап, взаимно просто с их про-
произведением (теорема 42), и тогда согласно сделанному предпо-
предположению и тому, что при п = 2 утверждение теоремы верно,
получаем:
[аи ... ,ап, ап+1] = [[at, ..., ап], ап+1] = [at ... ап, ап+1] =
= ах ... апап+1.
Согласно принципу полной математической индукции утвер-
утверждение теоремы верно при любом п^2.
Теорема 48. Если а1У ... , ап—попарно взаимно простые числа
и аг\Ь, ..., а„\Ь, то ах... ап\Ь.
Доказательство. По условию b—общее кратное alt... ,ап.
Наименьшее общее кратное попарно взаимно простых чисел
alt ...,ап, равное (теорема 47) ага2... ап, согласно теореме 32
должно быть делителем любого общего кратного этих чисел,
т. е., в частности, делителем Ь.
ГЛАВА 4
ФУНКЦИЯ [*1
1. РАЗЛОЖЕНИЕ л! НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
Определение 16. Целой частью действительного числа а на-
называется наибольшее целое число, не превосходящее а, т. е. це-
целое число п, такое, что п^а<п+1. Целая часть числа а
обозначается [а]. Следовательно,
[а]<а<[«]+1. A)
48

Определение 17. Дробной частью действительного числа а
называется разность а—[а].
Дробная часть числа а обозначается {а}. Следовательно,
{а} = а— [а] и 0<{а}<1.
Примеры. [5,8] -5; [3] = 3; [я] = 3; [—7,39] = —8;
[_е] = _3; {4} = 0; {я} = 0,1415...;
Теорема 49. Пусть а—действительное положительное число,
d — целое положительное. Число положительных чисел, не прево-
превосходящих а и делящихся на d, равно -г .
Доказательство. Рассмотрим положительные числа,
кратные d и непревосходящие а; пусть наибольшее из них будет
равно sd, так что (s-fl)d уже больше, чем а; число таких
чисел
d, 2d, 3d, ..., sd
равно s, где sd^a<(s+ \)d, следовательно, sss ^-<s+ 1, т. е.
-И-
Теорема 50. Для любого действительного ос>0 и целого
d>0
Доказательство. Между [а] и а нет целых чисел, и
поэтому число чисел, кратных d, в сегменте 1, [а], равное со-
согласно предыдущей теореме Mj . равно также величине МИ t
выражающей число чисел, кратных d в сегменте 1, а.
Теорема 51. Для любого действительного числа а разность
[а]—2 -S- может равняться только 0 или 1.
Доказательство. Для любого а имеем a—l<[]
так что
т. е. целое число [а]—2 -§- может равняться только 0
ИЛИ 1.
49

Теорема 52. Пусть р—простое число, я 5*1 целое. Для по-
показателя а наивысшей степени р, делящей п\, имеем:
"-1Я+Й+Й+-- B>
т. е. при а, равном сумме B), р*\п\, но pa+1-fn!.
Примечание. Ряд B) представляет собой конечный ряд, так как,
если в знаменателе появляется степень ps> большая числителя п, слагаемые
в B) обращаются в нули.
Доказательство. При п<Ср все слагаемые в ряде B)
равны нулю, и вместе с тем действительно в этом случае пока-
показатель наивысшей степени р, делящей п\, равен нулю, так что
для таких рил утверждение теоремы верно.
Возьмем теперь произвольное простое число р и применим
метод индукции по п. При п=\ теорема верна, так как в этом
случае п= 1 < р. Предположим, что утверждение теоремы верно
при всех п, таких, что
К п < N, где N целое (N 5з 2).
Если N<Cp, то утверждение теоремы верно для N, как это
было отмечено выше.
Если N 3= р, то среди множителей 1,2, ..., N произведения АИ
число делящихся на р будет равно (теорема 49) — . Произ-
Произведение всех остальных множителей числа 1-2...N обозначим
через М.
Тогда
[—1
... г -г L/>Jr"* ^ It]1 М> где
Из N > р следует 1 < Г—1 < ЛЛ
Так что согласно предположению показатель наивысшей сте-
степени р, делящей — I, равен:
(теорема 50). Из формулы C) получаем, что наибольший пока-
ГЛП Г N 1 Г ЛП
затель степени р, делящей AM, равен ~~bp"H~7i|+--'
Таким образом, утверждение теоремы верно для N и в этом
случае. Согласно одной из форм принципа полной математиче-
математической индукции (теорема IV) теорема при произвольном простом р
верна для любого натурального п.
Пример. Найти наибольшее а, такое, что За|1000!
50

По формуле B), имеем:
так что 3498| 1000!, но 3499|1000!.
Теорема 52 дает возможность находить каноническое разло-
разложение п\, а именно, поскольку каждое простое р входит в ка-
каноническое разложение п\ с показателем, равным
И+Й+--™
р
Для функции Т(х)= 2 In я на основании равенства D) и
равенства у-?\~ МН • справедливого для любого целого d> 0,
лча:
Т (*) = ln[*]! = ?lnp ([¦?] + [?] +...). E)
получаем:
В формуле E) можно ограничиться простыми числами p^^j
при остальных р слагаемые равны нулю.
2. ТОЧКИ С ЦЕЛОЧИСЛЕННЫМИ КООРДИНАТАМИ
Возьмем на плоскости решетку, образованную всеми точками
(х, у) с целочисленными координатами х, у. Функция [а] играет
большую роль при подсчете та-
таких точек, лежащих внутри
некоторой замкнутой кривой.
Теорема 53. Пусть f (х) —
неотрицательная и непрерыв-
непрерывная при а^х^,Ь функция.
Число точек с целочисленными
координатами, лежащими в
криволинейной трапеции а ^
0 < г/==S / (x) (исклю-
(исключая, таким образом, точки,
лежащие на отрезке оси х),
равно
v ] F)
Доказательство. При любом целом k(a^k^b) длина
отрезка М'М (рис. 2) равна f (k). Число точек с целыми коор-
координатами, лежащих на этом отрезке (исключая точку на оси х),
равно числу целых значений у, таких, что 0<# </ (&), т. е. равно
51

[f (k)]. Поскольку все точки с целыми координатами в А'АМВВ'
располагаются на таких отрезках, где а ^ k =^ b, то общее число
этих точек равно сумме F).
Если кривая АВ задана уравнением с параметром, т. е.
f(x) — f (N, х), и при изменении этого параметра N площадь
криволинейной трапеции А'АВВ' неограниченно возрастает, то,
естественно, возникает вопрос об оценке порядка роста числа
точек с целочисленными координатами, лежащих в этой области.
Интуитивно ясно, что если кривая АВ не является слишком
изогнутой, то число таких точек близко к площади фигуры;
однако вопрос о том, как сильно может отличаться рассматри-
рассматриваемое число точек с целочисленными координатами от площади,
обычно вызывает серьезные трудности.
Особый интерес для теории чисел представляют случаи, когда
кривая АВ есть дуга гиперболы у=— или окружности у =
рассмотрении числа точек с целочисленными
координатами в области, ограниченной гиперболой у = — , нам
понадобится следующая теорема.
Теорема 54.
Ei- = \nx + C + O[-), G)
где С—некоторая постоянная.
Доказательство. Заменяя подынтегральную функцию ее
наибольшим и наименьшим значениями, получаем:
так что
о<1_ С ^<i L_
Из сходимости ряда^ f-^-—щгг) согласно известному при-
k = x
знаку сравнения рядов следует сходимость ряда а1 + а2+... ,
k+i,
где ak — -r— Г 7"- Обозначая сумму этого ряда через С, по-
k
лучаем:
D?)(i/?)(H'?)- ¦«
S2

Если в сумме (8) взять члены начиная с (iV+l)-ro, то
ЛГ+1 '
так что
Таким образом, соотношение G) доказано для целых зна-
значений х.
Пусть [х]=х—8, где 0s?9<l; тогда
Число С называют постоянной Эйлера. Из G) следует, что
С= lim (l+-i+...+-l-lniv). (9)
Вычисления дают, что С = 0,577215...
Теорема 55. Число S(N) точек с целочисленными положи-
положительными координатами в области, ограниченной гиперболой
у—— и координатными полуосями, равно
(Ю)
где С—постоянная Эйлера.
Примечание. Для таких точек с целочисленными координатами
имеем 1 < х < N, так что S (N) (рис. 3) согласно теореме 53 может быть
записано в виде:
N
Для получения оценки A0) надо предварительно представить S (N) дру-
другой формулой.
./V
Доказательство. Возьмем на гиперболе (рис. 3) г/ = -^_
точки D{VN, VN), A(l,N), B(N, 1) и их проекции на оси
координат: D' (j/iV, 0), ?>"@, УЖ), А' A,0), В"@, 1). (Буквы
53

с одним штрихом означают
проекции соответствующих
точек на ось х, а с двумя
штрихами—на ось у.)
Ввиду симметрии гипер-
гиперболы относительно биссек-
биссектрисы OD координатного угла
число точек с целочисленны-
целочисленными координатами (исключая
точки на осях) в криволи-
криволинейных трапециях A'ADD'
и B"BDD" одинаково и со-
согласно теореме 53 равно
Рис. 3 Число точек с целочи-
целочисленными координатами в
квадрате OD'DD", исключая точки на осях, равно
S JVn]=[Vn}2.
1 SS k г? VN
Таким образом, для S(N) получаем формулу:
(И)
Отбрасывая скобки во всех слагаемых суммы правой части
равенства A1), т. е. заменив -т- числами -г-, мы изменяем
каждое слагаемое меньше, чем на 1, а всю сумму—на величину,
меньшую, чем 2V~N. С другой стороны, []/Т7] = К^—0, где
1, так что [У?]* = (УЙ—Q)* = N + O (У%.
Из равенства A1), пользуясь теоремой 54, получаем
_
Вопрос о точной оценке числа S(N) может быть поставлен
в виде следующей проблемы: в формуле
S(N) = N \п N + {2C—l) N + 0 (Ns)
получить для б возможно меньшее значение.
54
A2)

Теорема 55, доказанная
в 1849 г.Дирихле, дает для б зна-
1 М
чение б = -jj-. Значительно более
точный результат был получен П
в 1903 г. русским математиком
Г. Ф. Вороным. Существенно
усовершенствовав метод подсчета
числа точек с целыми координа-
координатами, Вороной получил для б
в A2) значение б = — -fe, где е —
О ,
сколь угодно малая положитель-
положительная величина. Истинное наимень-
наименьшее значение б в формуле A2)
до сих пор неизвестно. Со вре-
времени появления работы Вороного
было получено много результа-
результатов, постепенно уменьшавших б; однако эти уточнения ока-
оказались не слишком значительными. Например, в 1959 г. для б
было получено значение дп + е< Вместе с тем известно, что
Рис. 4.
т, так что т
Рассмотрим еще задачу подсчета числа точек с целыми коор-
координатами, лежащих в круге с центром в начале координат,
радиус которого г неограниченно увеличивается.
Теорема 56. Число А (г) точек с целыми координатами
в круге х2-\-у2 = г2 выражается формулой
А{г) = лг2 + О(г). A3)
Доказательство, Рассмотрим точки с целыми коорди-
координатами, лежащие в секторе О^х^г, 0^y^V^r2—х2, т. е.
(рис. 4) в M0N, включая точки, лежащие на отрезках ОМ,
ON и дуге MN. Обозначим число этих точек через В (г).
Для каждой такой точки возьмем квадрат со стороной, рав-
равной 1, левая нижняя вершина которого совпадает с данной
точкой. Все эти квадраты заключены в секторе M'ON', ограни-
ограниченном окружностью:
Действительно, левая нижняя вершина квадрата по условию
удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г,
а передвижение в пределах квадрата со стороной, равной 1,
может изменить расстояние от центра не больше, чем еще на
две единицы.
55

С другой стороны, часть плоскости, занятая этими квадратами,
заключает в себе сектор MON, ограниченный окружностью:
Действительно, если точка (х0, у0) лежит в этом секторе, то
она удалена от начала координат на расстояние, не большее, чем г.
Поскольку [х0]^х0, [г/„]<#о> точка ([х0], \у0]) также удалена
от начала координат на расстояние, не больше, чем г, т. е. она
является левой нижней вершиной одного из рассматриваемых
нами квадратов.
Из [х0] < х0 < [*0] + 1, [г/оКб'о<[г/о1+1 заключаем, что
точка (х0, у0) принадлежит этому квадрату.
Число В (г) точек с целочисленными координатами в секторе
MON равно сумме площадей всех этих квадратов, т. е. пред-
представляет собой величину, заключенную между площадью сектора
MON и площадью сектора M'ON':
Мы получаем отсюда, что
О < В (г) — — пг2 < -i я (г + 2)а —\ яг2 = пг + я,
S (/") = ! яг2 + О (г).
4В(г) равно числу точек с целочисленными координатами
в круге л^ + г/2^/, если считать каждую такую точку, лежа-
лежащую вне осей координат, один раз, точки, лежащие на осях
координат,— два раза, а точку @,0)—четыре раза.
Отсюда следует, что
А (г) = 4S (г)— 4 [г] — 3== пг2 + 0(г).
Оценка A3) была известна еще Гауссу. Применяя метод
Вороного, польский математик Серпинский в 1906 г. доказал,
что формула
А (г) = яг2 + O(rv)
2 1
верна при v = -s-. Было доказано также, что v^=-g-, т.е.
у йй v =^ -j. В настоящее время известны оценки А (г) со зна-
2
чениями V, меньшими, чем -тг, однако точная наименьшая вели-
чина v в этой формуле до сих пор неизвестна.
66

Исторические комментарии к 4-й главе
1. Теорема 52 впервые встречается во втором издании 1808 г.
книги Лежандра „Теория чисел". Основные результаты иссле-
исследований П. Л. Чебышева по теории простых чисел базируются
на этой теореме, точнее на формуле E), которую обычно назы-
называют тождеством Чебышева.
2. Теорема 55 была опубликована Дирихле в 1849 г. Немец-
Немецкий математик П. Лежен-Дирихле A805—1859), семья которого
происходила из Франции, большую часть жизни провел в Бер-
Берлине. Лежен-Дирихле—один из крупнейших математиков
XIX века, оказавший большое влияние на развитие математи-
математического анализа и теории чисел. В анализе особенно большое
значение имеют его работы по теории тригонометрических рядов
и дифференциальным уравнениям математической физики. В тео-
теории чисел он доказал основную теорему о простых числах
в арифметической прогрессии. Примененные им при этом ряды
получили название рядов Дирихле (см. 33-ю и 36-ю главы).
Дирихле получил фундаментальный результат о числе единиц
заданного поля алгебраических чисел и определил число бинар-
бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом.
3. Формула A1) впервые встречается в работах Шарля Эрмита.
4. Георгий Федосеевич Вороной A868—1908) — замечательный
русский математик, работы которого почти целиком посвящены
теории чисел. Г. Ф. Вороной оставил сравнительно небольшое
число работ, однако они представляют существенный вклад
в теорию чисел. Его работы, посвященные теории квадратичных
форм, дают существенное развитие так называемого метода не-
непрерывных параметров. Вороной построил алгоритмы для вы-
вычисления основных единиц кубического поля.
Мемуар Г. Ф. Вороного 1903 г. „Об одной задаче из теории
асимптотических функций", в котором он получил оценку
n
\-г- \,
послужил отправным пунктом исследований асимпто-
i
тического поведения различных числовых функций. В частности,
эта работа оказала большое влияние на формирование методов,
развитых в первых теоретико-числовых работах нашего выдаю-
выдающегося современника И. М. Виноградова.
Оценка этой функции имеет чрезвычайно большое значение
в теории чисел и рассматривается как одна из центральных ее
задач (см. 34-ю главу). Начиная с Дирихле, Вороного и вплоть
до нашего времени исследованию, этой функции, обозначенной
у нас через S(N), посвящено очень большое число работ.
Работы Вороного по аналитической теории чисел касаются
также общих вопросов о методах суммирования функций; один
из этих методов получил в математике имя Вороного.
57 :

ГЛАВА 5
КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ
Рациональные числа можно задавать в разной форме, напри-
например, одно и то же число можно записать в виде отношения
двух целых чисел -г или в виде систематической дроби по не-
некоторому основанию g, причем эта систематическая дробь может
быть конечной или бесконечной, в зависимости от выбора осно-
основания системы счисления. Запись в виде систематической дроби
имеет ряд существенных преимуществ особенно при приближен-
приближенных вычислениях, однако существенные неудобства возникают
из-за того, что форма записи зависит не только от рассматри-
рассматриваемых величин, но и от основания системы счисления.
В этой главе мы рассмотрим другую форму записи рацио-
рациональных чисел, а именно представление их в виде так называе-
называемых непрерывных или цепных дробей. Большим преимуществом
аппарата цепных дробей является то, что выражение любого
рационального числа в виде цепной дроби не зависит от каких-
либо других величин, кроме самого этого числа. Другие досто-
достоинства, а также и недостатки этого аппарата по сравнению
с аппаратом десятичных и других систематических дробей будут
рассмотрены позже.
Определение 18. Конечной непрерывной дробью называется
число, записанное в виде
где а0, аг, ..., as, Ъу, Ьг, ..., bs—целые числа.
Мы будем, конечно, предполагать, что все знаменатели,
встречающиеся в этой дроби, отличны от нуля. Очевидно, что
величина такой непрерывной дроби может быть записана в виде
-q- , где Р и Q—целые числа.
Если Ь1 = Ь2= ... =&5= 1, а,-5г 1 при всех i= 1,2, .... s—1
и as> 1, то такую непрерывную дробь называют обыкновен-
обыкновенной непрерывной дробью или цепной дробью.
58

Определение 19. Конечной цепной дробью называется число,
записанное в виде
а+ \
A)
a.
где а0, ах as—целые числа, fl^Ssl, ..., as_x^\, as>\.
Примечание. При s = 0 as = а0 может быть любым целым числом.
Будем для удобства записывать цепную дробь A) в виде
Числа а0, а1( ..., as будем называть элементами цепной
дроби.
Теорема 57. Любое рациональное число равно некоторой ко-
конечной цепной дроби.
Доказательство. Любое рациональное число можно
Р1
представить в виде -^, где Р и Q целые, причем Qs*l. Алго-
Алгоритм Евклида для таких чисел Р и Q дает цепь равенств:
где Q>r1>r2> ...>s
Равенства B) можно записать в следующем виде:
rs_2 ' . 1 Га_г
S±A r*-x / rs-i
59

откуда получаем:
или в сокращенной записи:
Для целого числа, т. е. в случае Q = 1, в равенствах B) будет
только одно первое равенство Р=1-Р + 0, и цепная дробь
оборвется на ао = Р.
Естественно поставить вопрос, является ли такое разложе-
разложение в цепную дробь единственным, т. е. может ли существо-
вать конечная цепная дробь, равная -^-, с элементами, отлич-
отличными от неполных частных аг, полученных в алгоритме
Евклида B). Мы докажем, что каждое рациональное число
может быть единственным образом представлено в виде такой
цепной дроби. Этот факт существенно зависит от того, что
в определение конечной цепной дроби включено условие, что
последний элемент as> I (s^O). Если бы мы, рассматривая
выражение вида A), допускали для последнего элемента значе-
значение, равное 1, то единственность представления уже не имела
бы места, например:
Теорема 58. Существует одна и только одна конечная цеп-
цепная дробь, равная данному рациональному числу.
Доказательство. Предположим, что существуют две
Р
различные конечные цепные дроби, равные -у-, т. е.
= a'o + ^a; + ^a'3 + ... + ^a't, где t ^ s. C)
Если бы было ао — а„, а1 = а1, ..., as = a's, то, поскольку
эти две цепные дроби предполагаются различными, t > s.
Отнимем из обеих частей равенства C) ао — а'о, приравняем
знаменатели получающихся после этого дробей (числители у них
одинаковые), отнимем после этого из обеих частей аг = аг и т. д.,
60

так что в конце концов получим °is = a'!. + ^a's+1-{-... +^
при as = a's и положительных a's+1, ..., dt не может иметь
место.
Таким образом, найдется такое k(O^k^s), что
ао = а'о, ^^ai, .... ak_1 = a'k^l и акфа'к.
Поступая, как и выше, т. е. отнимая в C) ао = а'о, прирав-
приравнивая после этого знаменатели и т. д., до того как в C) исчез-
исчезнут ао = а'о, a^ — a'i, .... ak_1 = a'k^1 и обозначая ak-\-1Jak+1 +
+ ... -{- as через R, получим:
R = ak + liak+1+...+lJas = al! + iJa-k+i+...+^at. D)
Если s = k, то ak = R = [R].
Если s = &+l, то, поскольку согласно определению цепной
дроби ak+1 = as> 1, будем иметь -— < 1 и ak = [R].
Если5>^+1, то ak+1+ ... +^as> 1 и в этом случае
также ak = [R].
Мы видим, что во всех случаях ak = [/?]; совершенно анало-
аналогично из формулы D) получаем, что a'k = [R], т. е. ак = а'к,
в то время как k было выбрано так, что акФак. Предположе-
Предположение, что существуют две различные конечные цепные дроби,
равные -Q-, привело нас к противоречию, т. е. любое рацио-
рациональное число только единственным образом может быть разло-
разложено в конечную цепную дробь.
Теоремы 57 и 58 устанавливают взаимно однозначные соот-
соответствия между рациональными числами и конечными цепными
дробями.
2. ПОДХОДЯЩИЕ ДРОБИ
Для данной цепной дроби
будем рассматривать так называемые подходящие дроби:
Определение 20. п-й подходящей дробью (O^n^s) к конеч-
конечной цепной дроби E) будем, называть величину
8+...+^. F)
61

Рассмотрим теперь две последовательности чисел:
Ра> Pi Я, и Qo, Qi Qs,
определенные рекуррентными соотношениями:
0-0 а +0 f 2<"<s G)
и начальными условиями:
Ро = 0о. Qo = L Pi^A+l. Q^^. (8)
Непосредственно видно, что соотношения G) вместе с усло-
условиями (8) при данных а0, аг as однозначно определяют
величины:
Ро, Ри ..., Ps и Qo, Qlt .... Qs.
Теорема 59. Если а0, аг, ... , as—элементы цепной дроби E),
то последовательность чисел Рп и Qn(n — O, 1, ..., s), опре-
определенная формулами G) и (8), обладает тем свойством, что
при всех этих п отношение -^ равно п-й подходящей дроби F).
Доказательство. Применим метод полной математиче-
математической индукции по rt(Os^nsSs). Для и = 0, и=1 и п = 2 непо-
непосредственно проверяем, что
_a ,Ua Р2_Р,а2+Р0. 1/ i/
совпадают с нулевой, первой и второй подходящей дробью.
Предположим, что утверждение теоремы верно для nB<n<s),
т. е. что подходящая дробь F) равна:
Л Рп Рп-1
п~ Qn~Qn-i
Возьмем (п+1)-ю подходящую дробь Л„+1 и запишем ее
в виде:
+
Непосредственно видно, что если в п-й подходящей дроби
Л„ величину а„ заменить величиной а„Ч , то получим Ап+1.
Рп-и Рп~г> Qn-i> Qn-a выражаются рекуррентными соотноше-
соотношениями G) и (8) через а0, аи ... , ап и не зависят от an+1.
Заменяя в (9) а„ на аа-\ , получаем Ап+1, т. е.
62

Pn_t
«ra+1
"-1
Согласно принципу полной математической индукции соот-
р
ношение Л„ = ^5 верно при всех я = 0, 1, ... , s.
Определение 21. Числителями и знаменателями подходя-
подходящих дробей к конечной цепной дроби E) называются величины
Рп и Qn(n = 0, 1, ..., s), определенные рекуррентными усло-
условиями G) а (8).
Эти названия оправданы тем, что отношение Рп к Qn согласно
теореме 59 равно л-й подходящей дроби. Мы будем поэтому
р
в дальнейшем п-ю подходящую дробь F) обозначать через ~ .
Последовательное вычисление числителей Рп и знаменателей Qn
подходящих дробей по формулам G) удобно располагать по
схеме
Рп
Qn
а0
я<>
1
<h
...
• • •
...
...
• • •
...
...
Каждая следующая пустая клетка заполняется результатом опе-
операций над числами двух предыдущих по горизонтали клеток и
соответствующим ап+1, стоящим над этой пустой клеткой [см.
формулы G)].
Пример. Найти подходящие дроби к цепной дроби
Рп
Qn
2
2
1
2
5
2
1
7
3
3
26
11
1
33
14
1
59
25
4
269
114
3
866
367
63

p
Подходящие дроби 7J5 @ s^/к 7) равны соответственно
2^ 5^ 7_ 26 33 59 269 866
1 ' 2 ' 3 ' И ' 14' 25' 114" 367*
Последняя подходящая дробь, очевидно, равна величине всей
конечной цепной дроби.>
Рассмотрим ряд свойств подходящих дробей, их числителей
и знаменателей.
Теорема 60. При л=1, 2, .... s выполняется равенство
PnQn-x-P^Qn^i-W1-1- (Ю)
Доказательство. Проведем индукцию по п. При п—\
равенство A0) справедливо. Действительно,
P1 = aoal + \, Q0=l, Р„ = а0, Q1 = a1, так что P1Qo — PoQi=\.
Пусть A0) верно при некотором n(\^n^s—1); тогда
P»+iQ»-P«Q»+i = (ЛА,« + Рп-г) Qn-Pn (QA+i + Qn-i) ==
= -(PnQn-i-Pn-iQn) = -(-1)""^ (- i)B,
т. е. равенство A0) верно и при n-fl. Согласно принципу
полной математической индукции равенство A0) верно при всех
и A sgrts^s).
Теорема 61. Числитель и знаменатель любой подходящей
дроби—взаимно простые числа.
Доказательство. При и = 0 Р0 — а0, Q0=l, так что
(Р«, Q0)=l-
Пусть и>0. Обозначим через d наибольший общий делитель
Р„ и Qa, т. е. (Р„, Qn) = d. Из равенства PnQ»_1-Pn_1Qn = (-I)"
(теорема 60), поскольку d\Pn, d\Qn, получаем d\(—I)", где
d>0 и, следовательно, d=l.
Р
Если рациональное число -q- разложить в цепную дробь, то
р
последняя подходящая дробь -^ представляет собой несокра-
Р
тимую дробь, равную -д-. Таким образом, разложение в цепную
дробь позволяет осуществлять сокращение дробей.
2227
Пример. Сократить дробь
Представляя эту дробь в виде конечной цепной дроби,
находим:
9911
64

Находим подходящие дроби:
р»
0
0
1
4
1
4
2
2
9
4
9
40
1
11
49
1
20
89
6
131
583
2227
131 131 -
где =зо — уже несократимая дробь.
9911 583 ' А 583
Теорема 62. При 1
2)
Qn'
(И)
A2)
откуда
Доказательство. PnQn-i — Pn-iQn = (— 1)"
получаем A1) и A2).
Теорема 63. Знаменатели подходящих дробей к цепной
дроби E), начиная с первого, образуют монотонно возрастающую
последовательность, т. е.
Доказательство. Q0=l, Q1 = a1^l = Q0, так что Qo
и Qx положительны. Соотношение
QB=Qn-A, + Qn-, B<n<S) A3)
показывает, что и все следующие знаменатели Q2, Q3, • • • , Qs
положительны. При л^2, поскольку тогда ап^\, из A3) по-
получаем:
QB>QB-i-l+O=Qn_i.
Примечание. Если цепная дробь положительна, то, как это непос-
непосредственно следует из формул G) и (8), числители ее подходящих дробей
также образуют монотонно возрастающую последовательность.
Теорема 64. При п
Доказательство. Заменяя в левой части A4) Рп и Qn
по формулам G) и используя теорему 60, получаем:
PnQn-2 - Pn-*Qn = (РП-1««+ Рп-д Qn-Z-Pn-2 {Qn-Хйп + QB-2> =
Теорема 65. Четные подходящие дроби образуют возраста-
возрастающую, а нечетные подходящие дроби — убывающую последова-
последовательность.
3 А. А. Бухштаб
65

Доказательство. Из A4) получаем:
Qn Qn-2 QnQn-2 '
p p -
так что при п четном имеем -ff>~n^> а ПРИ п нечетном
QnQn-*
р р
Две подходящие дроби "~г и -—, у которых номер отли-
Vra-t Чп
чается на единицу, будем называть соседними.
Теорема 66. Из двух соседних подходящих дробей четная
дробь всегда меньше нечетной.
Доказательство. Согласно теореме 62 имеем:
Qn Qn-i QnQn-i '
При л четном Рг<-7г=л, а при п нечетном ^ >у^1, так что
Чп Чп-1 Чп Чп-1
Р Р
из двух соседних дробей "~1 и -^ четная всегда меньше не-
Qn-i Чп
четной.
Теорема 67. Любая четная подходящая дробь меньше любой
нечетной дроби.
Доказательство. Если бы хоть одна четная дробь была
больше или равна нечетной, то согласно теореме 65 последняя
четная дробь тоже была бы больше последней нечетной, что
противоречит теореме 66.
Теорема 68. Расстояния (модули разностей) между сосед-
соседними подходящими дробями уменьшаются с увеличением их
номера.
Доказательство. Согласно теоремам 62 и 63 имеем:
1
Qn+iQ« Qn-xQ,
Рп Рп-1
Qn Qn-t
Примечание. Теорема 68 является также непосредственным след-
следствием теорем 65 и 67.
Эти теоремы показывают, что подходящие дроби с четными
и нечетными номерами являются левыми и правыми концами
вложенных друг в друга интервалов, т. е.
Qo ^ Qa ^ Qt ^ '' * ^ Qb ^ Q3 ^ <2Г
Р
причем последняя депная дробь -^ совпадает с величиной всей
цепной дроби.
66

ГЛАВА 6
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
1. КРИТЕРИИ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
Множество действительных чисел заключает в себе, в част-
частности, все рациональные числа; все остальные действительные
числа называют иррациональными.
Определение 22. Действительное число а называется ирра-
иррациональным, если оно отлично от всех рациональных чисел,
т. е. если аф-г- при всех целых а и Ъ.
Существование иррациональных чисел было доказано еще
греческими математиками. Иррациональность числа |/Г2 была
известна еще в V веке до нашей эры математикам пифагоров-
ской школы, а доказательство этого часто приписывается Пифа-
Пифагору, хотя точно неизвестно, было ли оно построено им самим
или кем-либо из его учеников. Поскольку множество всех рацио-
рациональных чисел счетно, основную массу действительных чисел
составляют иррациональные числа.
В этой главе мы рассмотрим простейшие методы, позволяю-
позволяющие устанавливать иррациональность некоторых классов чисел,
а также докажем иррациональность нескольких величин, часто
встречающихся в математике. На первый взгляд кажется не-
неоправданным то, что задача доказательства иррациональности
какого-либо действительного числа а относится к теории чисел,
однако включение такой проблематики в теорию чисел стано-
становится сразу ясным, если поставить этот вопрос в следующей
форме: доказать, что не существует целых чисел а и Ь, таких,
что Ьа = а.
Дадим сначала одну теорему, устанавливающую иррациональ-
иррациональность довольно широкого класса действительных чисел, встре-
встречающихся особенно часто в школьных курсах алгебры и
геометрии.
Теорема 69. Пусть f(x) = x" + c1x"~1 + ... +сп — многочлен
с целыми коэффициентами, действительное число а —корень
f(x). Тогда а либо целое, либо иррациональное число.
Доказательство. О—целое число, так что мы рассмотрим
только случай а^=0. Предположим, что а не является ирра-
иррациональным числом, т. е. что а—рациональное число, а — -г-,
где а и b целые, Ъ~^\, (а, Ь)=\. Подставляя а = -г- в уравне-
уравнение /(*) = 0 и умножая обе части его на Ьп, получаем:
Ш

Из этого соотношения непосредственно видно, что Ь\ап.
Поскольку (а, Ь)=\, то (теорема 43) (а", 6)=1 и Ь\ап может
быть только при Ь— 1, т. е. а= а — целое число.
Пр и ме р. Если натуральное число а отлично от всех п-х
степеней целых чисел, то \/а — иррациональное число.
Действительно, ^/а есть корень уравнения х"—а = 0. Если
число Ya не является целым, то согласно теореме 69 оно
иррациональное. Например, У2 — иррациональное число, так как
последовательность квадратов целых чисел имеет вид 0, 1, 4, 9, ...
и ни один из этих квадратов не равен 2. Число ?/21 иррацио-
иррациональное, так как последовательность положительных кубов це-
целых чисел имеет вид 1, 8, 27, ... и ни один из них не равен 21.
Иррациональность некоторых действительных чисел можно
установить с помощью критериев, сформулированных в следую-
следующих двух теоремах.
Теорема 70. Если а — рациональное число, то существует
с>0 такое, что для любой рациональной дроби ~фа будет
справедливо неравенство:
A)
где / Ss 1. Возьмем
Доказательство. Пусть « = 7
--г-. Для любой рациональной дроби -.
а следовательно (теорема IX), целое число \kb — al\~s& 1, и тогда
1 а к
i = -j-. Для любой рациональной дроби -гф-г будет kb — а1фО,
а
а —т
1 kb — al |
lb
Теорема 71. Если для любого положительного числа с суще-
существует хотя бы одна пара целых чисел а, Ь, таких, что ^-фа и
B)
mo a — иррациональное число.
Доказательство. Если бы а было рациональным, то по
теореме 70 нашлось бы с>0 такое, что для любой дроби i-фа
выполнялось бы неравенство A), а это противоречит тому, что
согласно нашим условиям для этого с существует -г-фа такое,
что имеет место неравенство B). Предположение,- что а — ра-
рациональное число, привело нас к противоречию, значит, а ирра-
иррационально.
68

Пример. Доказать иррациональность числа а:
а= 1 ^^* г" ~^" •" " ^ 2^ ^ '' '
Возьмем произвольное О 0 и выберем п настолько большим,
чтобы было 22п+1>—. Положим,
С
2i ~г 24
а и Ъ — целые числа. При таких а и Ъ
1 !_+...
так что а иррационально.
Теорема 72. ?ош при некотором g> 1 разложение а в си-
систематическую дробь с основанием системы счисления, равным g,
содержит сколь угодно длинные конечные цепочки, состоящие из
одной и той же цифры, то а — иррациональное число.
Иначе говоря, если в разложении
для любого п0 найдутся cl!+1 = ck+2= ... =сй+„ (п>я0), причем
са^са+1 и ck+n?=ck+n+i< mo a иррационально.
Доказательство. Если бы а было рациональным, то
разложение а в систематическую дробь с основанием g было бы
периодическим (теорема XXIII). Такое разложение не может
иметь одной цифры в периоде, так как для бесчисленного мно-
множества п ск+пФскЛ.п+х. Предположение же, что период состоит
из нескольких цифр, также противоречит нашим условиям, так
как в этом случае не могли бы существовать цепочки из одной
цифры длиной больше, чем число цифр в периоде.
Пример. Число а, записываемое в десятичной системе
счисления в виде а = 0, 121122 ... 11 ... 1 22 ... 2 ..., иррацио-
п единиц п двоек
нально.
2. ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ б и Я
Теорема 73. ^«сло е иррационально.
Доказательство. Предположим, что ? = т-» где а и 6—
натуральные числа. Известно, что
e-i-l-i + l-i-i-
69

Из е = у следует, что ale —целое число, так что целым
будет и число
Мы получаем отсюда
т. е. между 0 и 1 лежит целое число. Предположение, что е
рационально, привело нас к противоречию, значит, е иррацио-
иррационально.
Теорема 74. Число я иррационально.
Доказательство. Предположим, что я рационально,
т. е. я = у, где а и b — натуральные числа. При увеличении п
величина -т(т-) —; поэтому можно найти п такое, что вы-
п\ \ о ]
полняется неравенство
2 • ^'
Рассмотрим для такого п функцию
f(x) = — x"(n — x)" D)
Заменяя я через у и разлагая (л— х)п — ^(а — Ьх)" по сте-
степеням Ьх, можно представить f(x) в виде:
¦2n), E)
так что /@) = /' @) = ... = /<"-« @) = 0. Если равенство E) про-
продифференцировать s раз, где s^n, то получим:
Биномиальный коэффициент , _ ., — целое число, так что
/(">@), /<п+1)@), ... , /<2п) (О)-целые числа.
Из равенства D) видно, что f(x) = f(n — x), так что, диф-
дифференцируя, получаем для всех k
и,, следовательно, /(я) = /'(я)= ... =/(П-1)(я) = 0, а fin)(n), ....
• • • , /Bл> (я)—целые числа.
70

Интегрируя f(x) sin x по частям, получаем:
I f (x) sinxdx = /@) + / (я) + $ /' (x)cosxdx =
о о
я
= f(O) + f (л)- $/"(*) si
о
я я
J Г (^) sin xdx = f" @)
(л)— J f<IV> (x) sin
о
F)
/<="> (x) sin xdx = /<2"> @) + Ри> (л)
так как следующая производная /Bп+2)(х) тождественно равна
нулю.
Из равенства F) получаем:
я
J / (х) sin х dx = (f @) + / (л)) - (/" @) + /" (л)) + • • • +
о
где А—целое число. Поскольку в интервале @; л) подынтеграль-
подынтегральная функция f (x) s'inx положительна, интеграл в левой части G)
больше нуля и А ^ 1. С другой стороны, из равенства D) видно,
что при О^х^л имеем:
•-я2и = -
: п! я!
и поскольку sinxsgl, то при нашем выборе п (см. C)) имеем:
я
_ 1
о
j
т. е. -д->.ЛЗз1. Предположение, что я рационально, привело
нас к противоречию, следовательно, я — иррациональное число.
Исторические комментарии к 6-и главе
1. Теорема 69 принадлежит Гауссу.
2. Иррациональность числа я была доказана впервые в 1761 г.
французским математиком Ламбертом. Доказательство Ламберта
основано на применении непрерывных дробей. Доказательство,
приведенное в этой книге, было дано Нивеном в 1947 г.
71

3. Арифметическая природа многих величин до сих пор не-
неизвестна. Современным математикам пока не удалось установить,
являются ли рациональными или иррациональными некоторые
часто встречающиеся постоянные. Так, например, неизвестно,
является ли рациональным или иррациональным эйлерова по-
постоянная С (см. теорему 54).
ГЛАВА 7
СРАВНЕНИЯ
Во всей этой главе мы будем рассматривать только целые
числа и обозначать их латинскими буквами.
Возьмем произвольное фиксированное натуральное число т
и будем рассматривать остатки при делении на т различных
целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и про-
проведении операций над ними удобно ввести понятие так называе-
называемого сравнения по модулю.
Определение 23. Целые числа а и Ъ называются сравнимыми
по модулю т, если разность а — Ъ делится на т, т. е. если
т\а — Ь,
Таким образом, сравнение представляет собой соотношение
между тремя числами а, Ъ и т, причем т, играющее роль
своего рода эталона сравнения, мы называем модулем. Для крат-
краткости мы будем это соотношение между a, b и т записывать
следующим образом:
а =b (mod m),
а и Ъ будем называть соответственно левой и правой частями
сравнения. Число т, стоящее под знаком модуля, будем всегда
считать положительным, т. е. запись modm будет означать, что
т 5з 1.
Если разность а—b не делится на т, то мы будем записывать
это так: а ф. Ь (mod m).
Согласно определению а = 0 (modm) означает, что о делится
на т.
Примеры. 101 = 17 (mod 21); —5 = 28 (mod 11).
Теорема 75. а сравнимо с Ъ тогда и только тогда, когда
а и Ъ имеют одинаковые остатки при делении на т.
Доказательство. 1) Пусть a = b (modm), т. е. т\а — Ь.
Представим а и Ъ в виде a = mq1 + r1, b = mq^ + r2, где
0sgr1<m, 0=^r2<m. Из этих представлений а и Ъ получаем
a—b — m(qx—qi) + r1— r2< H0 tn\a — b, так что по теореме 10
будем иметь т\гх — г2. Поскольку—т<.г1 — г2<т, а среди
чисел, абсолютная величина которых меньше, чем т, только 0
делится на т, то получаем гх — г2 = 0, г1 = г2.
72

2) Пусть остатки от деления а и Ь на т равны, т. е.
a = mq1 + r и b=--mq2 + r; тогда a — b=m(q1 — q.2), m\a — b,
a = b (mod m).
Согласно этой теореме сравнимость а и b по модулю т
эквивалентна утверждению: „а и b имеют одинаковые остатки
при делении на т". Поэтому в качестве определения сравнения
можно было взять следующее.
Определение 23'. Целые числа а и b называются сравнимыми
по модулю т, если остатки от деления этих чисел на т равны.
Согласно только что сделанному замечанию определения 23
и 23' эквивалентны. Устанавливая свойства сравнений, мы будем
этим пользоваться для упрощения некоторых доказательств.
Теоремы 76—91 дают основные свойства сравнений, которыми
мы будем пользоваться во всем дальнейшем.
Теорема 76. Рефлексивность отношения сравнимости
а~а (mod m).
Доказательство, а и а имеют одинаковые остатки при
делении на т.
Теорема 77. Симметричность отношения сравнимости: если
a = b(mod m), то Ь~а(тоАт).
Доказательство. Если а и Ь имеют одинаковые остатки
при делении на т, то остатки от деления b и а на т также
равны.
Теорема 78. Транзитивность отношения сравнимости: если
a = b(modm), 6 = c(modm), то a = c(modm).
Доказательство. Если остатки от деления на т одина-
одинаковы у чисел а и Ь, а также у b и с, то а и с тоже имеют
одинаковые остатки при делении на т.
Из теорем 77 и 78 легко получить, что два числа, сравнимые
с одним и тем же третьим, сравнимы между собой по тому же
модулю.
Запись вида
ах =е аг = ... = as (mod m)
будет означать, что любые две из величин: аг, а2, . . . , as
сравнимы между собой по модулю т.
Запись вида
m)
будет означать, что все ах, ... , as сравнимы между собой по
модулю т, причем ak и ай+1 совпадают.
Теорема 79. Если a~b(mod т) и k —произвольное целое
число, то
ka = kb (modm).
73

Доказательство. Если a = &(modm), то т\а— Ь,
m\k(a — b), m\ka—kb, ka = kb (mod m).
Теорема 80. Если ka = kb(modm) и (k, m) = \, mo
a = b (modffl).
Доказательство. Если ka~kb (mod m), то m\ka— kb,
m\k(a— b), но тогда согласно теореме 41 условие (k, m)=l
дает m\a—b, т. е. a = 6(modm).
Если ka = kb (mod m) и (k, m) -ф 1, то может быть a = b (mod tri),
а может быть a^b(modm), например, 3-14 = 3-2 (mod 6) и
14 = 2(mod6), 3-10 = 3-2(mod6), но 10^2(mod6).
Теорема 81. Если a^b (mod m) и k — произвольное нату-
натуральное число, то ka^kb (mod km).
Доказательство. Если a = 6(modm), то т\а — b,
km\ka — kb, ka = kb(modkm).
Теорема 82. Если ka = kb (mod km), где k и m— произвольные
натуральные числа, mo a = b (modm).
Доказательство. Если ka = kb(modkm), то km\ka — kb,
km\k(a — b), k — натуральное, т. е. &=^0, и тогда
m\a—b, a = &(modm).
Теорема 83. Если a = J(modm), c = d(modm), то а + св=
= & + d(modm) и a — c=6 — d(modm).
Доказательство. Если a s b (mod m) и c = d(modm),
то m\a—b и т\с—d. Применяя теорему 10, получаем
m\(a — b)±.(c—d), m\(a±c) — (b + d), a ±c~b ±d(mod m).
Теорема 83' (обобщение теоремы 83). Если аг = bx (mod m),
a2^ft2(modm), ..., an = bn (mod m), mo a1-\-a%-\- ... -fan =
=s br + b% + ... + fc(mod mn).
Доказательство может быть проведено аналогично предыдуще-
предыдущему, причем вместо теоремы 10 можно применить теорему 11.
Переход от случая двух сравнений (теоремы 83) к любому
числу п сравнений (теоремы 83') может быть, конечно, также
осуществлен применением принципа математической индукции.
Теорема 84. Если ass b (modm), c = d(modm), то
ас = bd (mod m).
Доказательство. Если a=b(raodffl), с^d(modm), то
согласно теореме 79 ас = be (mod m) и be = bd (mod m); теорема 78
(транзитивность сравнений) дает тогда ас = bd (modm).
Теорема 84' (обобщение теоремы 84).
Если аг = bx (mod т), . .. , ап = bn (mod m), то
аг ... ап = Ьх ... bn (mod m).
Доказательство. Последовательно применяя теорему 79,
получаем:
й^Сз- . .an~b1ala.i. ..а„Е=Ь1Ь2а3.. .а„ = .. .=ЬхЬаЬ3. ..bn(modm)-
74

Доказательство может быть также проведено применением
принципа математической индукции.
Теорема 85. Если a^b (mod m), то при любом целом
nssO а" = 6" (mod m).
Доказательство. При л = 0 утверждение верно согласно
теореме 76, а при n^s\ оно верно согласно теореме 84', по-
полагая там
a1==...=fln = fl и bl=...=bn = b.
Переход от сравнений
к сравнениям
a±CE=6 ±<i(mod m), ac= bd (mod т), а" == b" (mod m)
будем называть соответственно сложением, вычитанием, умно-
умножением, возведением в степень сравнений.
Поскольку из сравнения с = d (mod m) следует d~c(mod m),
то из сравнений a = 6 (mod m) и c=c'(modm) следует также,
что а ± d = b ± с (mod т) и ad —be (mod т).
Теорема 86. Если a~b (mod т) и /(х) = с0 + qx-f ... + сихи —
произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то
f (a) = f(b) (mod т).
Доказательство. Если пе=Ь (mod m), то согласно теоре-
теоремам 85 и 79 имеем:
as€^bs (modm), c/ls^csbs(mod m) при s = 0,l n,
но тогда по теореме 83' получаем:
co + cla+ ... +cnan~c0-\-c1b+ ... +cnbn(modm),
т. e.
/(a) = /(b)(raodm).
Теорему 86 можно обобщить и дать в следующей форме.
Теорема 86'. Если a1;^b1(modm), ..., a( = bt(modfn) и
f(xx, ... , xt) — многочлен с целыми коэффициентами, то
f(alt ... , а()==/(Ьх, ... , bt)(modm).
Доказательство совершенно аналогично доказательству
теоремы 86.
Теорема 87. Любое слагаемое левой или правой части сравне-
сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть.
Доказательство. Ввиду симметричности отношения
сравнения (теорема 77) достаточно рассмотреть случай, когда
дано сравнение
a-\-b = c(mod m).
75

Складывая это сравнение со сравнением
— Ь = — b (mod m),
получаем:
а = с— &(mod m).
Простым следствием этой теоремы является то, что в левой
и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать
одно и то же слагаемое.
Теорема 88. В сравнении можно отбрасывать или добавлять
слагаемые, делящиеся на модуль.
Доказательство. Если a + c = b(mod m) и т\с, т. е.
— c = 0(modm), то, складывая эти сравнения, получаем
a = b(modm). Аналогично из a = &(modm) и т\с получаем
a + c = b (modm).
Поскольку левую и правую части сравнения можно менять
местами, утверждение верно и для слагаемых правой части.
Теорема 89. Если a = b (mod m) и d\m, то
a = b (mod d).
Доказательство. Если a = b(modт), то т\а — Ъ. Из d\m,
m\a — b в силу транзитивности отношения делимости (теорема 6)
получаем d\a — b, a = b(modd).
Теорема 90. Если a = b (mod m), то множество общих делите-
делителей а и т совпадает с множеством общих делителей bum.
В частности, (а, т) = (Ь, т).
Доказательство. Если a = b(modm), то т\а — Ь,
a — b = mq, b = a — mq, любой общий делитель б чисел а и т
является общим делителем чисел b и т, и, наоборот, если б|Ь
и Ь\т, то 8\а.
Поскольку пара а, т и пара b, m имеют одни и те же общие
делители, то и (а, т) = ф, т).
Теорема 91. Если a = b (modmj), a = i>(modm2), ... ,
a = b(mod т^), mo a = b (mod m), где m = [mlt m2, . .. , ms].
Доказательство. Если a = b(mod тг), a = 6(mod m2), ...
... , a = b (mod ms), то тг\а — b, тг\а — b ms\a — b и согласно
свойствам наименьшего общего кратного (теорема 32) т\а — Ь.
Сравнения в таком виде, как их здесь рассматриваем, были
вредены впервые Гауссом в его знаменитой книге „Disquisitiones
arithmeticae" („Исследования по арифметике").
Исторические комментарии к 7-й главе
Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 г. в Брауншвейге. Боль-
Большую часть своей жизни он прожил в Геттингене, где он в 1795 —
1798 гг. был студентом, а с 1807 г. до конца жизни (Гаусс
умер в 1855 г.) —профессором Геттингенского университета.
С 15 лет Гаусс начал работать в области теории чисел. Сначала
он самостоятельно получил важнейшие результаты в этой об-
76

ласти, известные уже его предшественникам, а затем открыл
ряд новых фактов исключительной важности.
Гаусс начал писать „Disquisitiones arithmeticae" в 1796 г., и
значительная часть этого сочинения им была написана в студен-
студенческие годы. Печаталась эта книга крайне медленно и появилась
только в 1801 г. В первом отделе книги Гаусс вводит понятие
сравнения. Это понятие фактически в неявном виде употреблялось
многими математиками до Гаусса, однако только Гаусс точно
определил его и систематически развил соответствующую теорию.
Дальнейшие фундаментальные результаты Гаусса, изложенные
в этой книге, из которых особенно надо выделить квадратическии
закон взаимности, явились основой всего последующего раз-
развития теории чисел. Большая часть „Disquisitiones arithmeticae"
посвящена развитой Гауссом арифметической теории квадрати-
ческих форм.
В следующие годы, занимаясь различными вопросами мате-
математики и ее приложениями, Гаусс не терял интереса к теории
чисел и написал две очень важные работы в этой области
математики. В целом научное наследие Гаусса очень велико.
Полное собрание сочинений Гаусса было издано еще в XIX веке
Геттингенским научным обществом.
ГЛАВА 8
КЛАССЫ
1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В КЛАССАХ ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ
Определение 24. Классом по данному модулю т называется
множество всех целых чисел, сравнимых с некоторым данным
целым числом а.
Будем обозначать такой класс знаком а. Таким образом, а
обозначает множество всех тех х, которые удовлетворяют усло-
условию х не a (mod т). Например, по модулю 10 имеем 73 ? 13,—17 ? 3,
8 ? — 2. В силу свойства транзитивности сравнений все числа
класса сравнимы между собой, т. е. имеют одинаковые остатки
при делении на модуль.
Теорема 92. Класс чисел, сравнимых с а по модулю т, совпа'
дает, со значениями линейной функции a-\-mt при целых зна-
чениях аргумента t.
Доказательство. Для каждого х ? а имеем х = a (mod m),
т\х — а, х — a = mt, где t — целое, т. е. x = a + mt, где г1 —одно
из чисел: 0, ±1, ±2, ... Таким образом, значения х находятся
среди значений линейной функции a-\-mt. Поскольку при любом
t имеем a + m^ = a(mod m), то значения этой функции при целых
значениях t совпадают со множеством чисел, сравнимых с а по
модулю т, т. е. с числами класса а.
77

Эта теорема, в частности, показывает, что каждый класс
содержит бесконечное множество чисел.
Пример. По модулю 8 класс 11 состоит из чиселг
... -21, -13,-5, 3, 11, 19, 27, ...
Теорема 93. а = Ь тогда и только тогда, когда a~b (mod m).
Доказательство. Если a = b(mod т), то для любого х?а
будет x = a(mod m); пользуясь транзитивностью отношения срав-
сравнения, получаем x~b(modт), х?Ь. В силу симметрии а и Ъ
(теорема 77) для любого х ? Ь также будем иметь х ? а. Классы
а и Ь, таким образом, совпадают.
Обратное утверждение очевидно. Если а = Ь, то это, в част-
частности, означает, что а?Ь, т. е. a = b (mod m).
Введение классов позволяет, таким образом, заменять срав-
сравнение равенством соответствующих классов и, наоборот, равен-
равенство классов — соответствующим сравнением. Эта теорема вместе
с тем показывает равноправность всех чисел класса. Заменяя
в некотором классе а число а любым числом Ь, принадлежащим
тому же классу, т. е. сравнимым с о по рассматриваемому модулю,
мы получаем тот же класс.
Теорема 94. Если два класса имеют хотя бы один общий
элемент, то они совпадают.
Доказательство. Пусть с?а и с?бтогда, c = a(mod/n),
c = b(modm), так что (теорема 78) a = 6(modm) и по предыду-
предыдущей теореме а — Ъ.
Теорема 94 показывает, что два класса по модулю т либо
не имеют общих элементов, либо полностью совпадают.
Теорема 95. Если какбе-то число класса по модулю т имеет
при делении на т остаток, равный г, то все числа класса имеют
вид r-\-mt, где аргумент t принимает любые целые значения.
Доказательство. Пусть а — число некоторого класса
по модулю т и a = mq-\-r, где 0^г<.т. Тогда (теорема 92)
все числа этого класса имеют вид:
а + mt = г + т {t -f <?) = г + mt',
где t' = t-{-q и t', также как и t, принимает любые целые
значения.
Теорема 96. Число классов по модулю т конечно и равно т.
Доказательство. Выше было отмечено, что все числа
класса имеют при делении на модуль один и тот же остаток.
Поскольку, наоборот, каждому остатку г соответствует опреде-
определенный класс чисел г, сравнимых с г, то классы по модулю т
могут быть взаимно однозначно сопоставлены остаткам г.
Остатками при делении на т являются числа 0, 1, 2 т— 1,
78

т. е. число различных остатков, а значит, и число различных
классов равно т.
Пример. По модулю 6 имеется всего 6 классов, а именно:
0{...-12, -6, 0, 6, 12, 18 }
I {...-11, -5, 1, 7, 13, 19 }
2{...-10, -4, 2, 8, 14, 20, ...}
Ч J Q Ч *} Q 1^91 I
4{... -8, -2, 4, 10, 16, 22, ...}
5{...-7, -1, 5, 11, 17, 23, ...}
Определение 25. Вычетом класса называется любое из чисел,
принадлежащих этому классу.
Среди неотрицательных (положительных) вычетов класса,
образующих часть множества неотрицательных чисел согласно
теореме I, содержится наименьшее число, которое мы будем
называть наименьшим неотрицательным (положительным) вычетом
класса. В классе (теорема I') имеется наименьший по абсолютной
величине вычет класса.
Теорема 97. Наименьший неотрицательный вычет класса а
по модулю т равен остатку от деления а на т.
Доказательство. Обозначим через г остаток от деления а
на т, т. е. положима = /я<7 + >\ гдеО ^r< m. Тогда a = r (mod m),
а = г. Любое х?а имеет вид x = r-\-mt (теорема 95). При целых
отрицательных t будем иметь r-\-mt^ г — т<.0, т. е. положи-
положительные числа класса получаются при неотрицательных значе-
значениях t, а наименьшее среди них, получающееся при ^ = 0, равно г.
Теорема 98. Обозначим через г остаток от деления а на т;
тогда наименьший по абсолютной величине вычет класса а равен:
1) г, если 0sSr<-^; 2) ± г, если г = ^ ; 3) г — т, если— </-<m.
Доказательство. Если a = mqJrr @sgr<;m) и х?а,
то x = r-\-mt, где t может равняться 0, ±1, ±2,... . Наи-
Наименьшее неотрицательное значение х равно г, а наименьшее по
абсолютной величине отрицательное значение х равно г — т.
Если при этом:
1) 0гёг<у, то г<|г — т\. Наименьший по абсолютной
величине вычет равен г.
2) г = y (это может быть только при четномт), то г = | г — т\.
Имеются два наименьших по абсолютной величине вычета г
и г — т = — г.
3) -S-.</¦<«, то \г—т\<г. Наименьший по абсолютной
величине вычет равен г—т.
79

Следующая теорема будет иметь существенное значение для
дальнейшего.
Теорема 99. Числа класса а по модулю т образуют k классов
по модулю km, а именно классы:
а, а + т, а + 2т, ..., a + (k— 1) т. A)
Другими словами, значения х, удовлетворяющие сравнению
xsa(modm), совпадают со значениями х, удовлетворяющими
одному из следующих сравнений:
jc = a(mod?m), х = а + т (mod km), x = a + 2m (mod йт),
..., x = a + (k—I) m{mod km).
Доказательство. Возьмем некоторый класс а по мо-
модулю т. Числа этого класса имеют вид a-\-mt, где / = 0, ±1,
±2, . . ., т. е.
..., а—2т, а—т, а, а + т, а-\-2т, ... B)
Докажем, что находящиеся среди них числа
а, а + т, а + 2т, ..., a + (k—\)т C)
попарно несравнимы по модулю km, т. е. принадлежат различ-
различным классам по этому модулю. Действительно, абсолютная
величина разности между двумя из чисел C) будет положитель-
положительной и вместе с тем не больше, чем разность между самым
большим из них a + (k—1) т и самым маленьким а, т. е. не
больше, чем (k—\)т. Такая разность не может делиться на km,
а следовательно, среди этих чисел нет сравнимых по модулю km.
Таким образом, классы
а, а+т, а + 2т, ..., a + (k-— 1) т
по модулю km различны, причем очевидно, чго все числа каж-
каждого такого класса целиком входят в множество B).
Докажем теперь, что любое число из B) сравнимо с одним
из чисел C).
Действительно, любое число из B) имеет вид a + Nm. Пред-
Представим N в виде N ~ kq+ г @ s^r s^k—1). Тогда
а + Nm = a + rm + kmq = а + rm (mod km),
где а + гт — одно из чисел множества C). Таким образом, все
числа класса а по модулю т принадлежат к различным по моду-
модулю km классам A), не содержащим каких-либо чисел, отличных от
чисел вида B), и теорема тем самым доказана полностью.
2. КОЛЬЦО КЛАССОВ
Введем в множестве классов по модулю т две операции,
которые будем называть сложением и умножением классов.
80

Определение 26. Суммой классов а и b называется класс а + Ь,
т. е. класс чисел, содержащий число а + Ь.
Определение 27. Произведением классов а и Ъ называется класс
ab, т. е. класс чисел, содержащий число аЬ.
Поскольку каждый класс содержит бесконечное множество
чисел, то при сложении и умножении классов а и b числа а
и b можно заменять любыми числами а' и Ь', принадлежащими
этим же классам. Возникает вопрос, меняются ли при этом опре-
определенные нами сумма и произведение классов.
Легко доказать, что определенная нами сумма классов един-
единственна и не зависит от выбора отдельных представителей клас-
классов, используемых при составлении суммы.
Действительно, еслиа' ?а, Ъ' ? b, Toa'sa(modm), b'=b(mod m)
и, применяя свойства сравнений (теоремы 83 и 84), получаем:
a' + b' = a + fr (mod m), a'b' ee= ab (mod m),
т. е. (теорема 93)
, a/F'^ab.
Мы видим, таким образом, что сумма и произведение клас-
классов не меняются от замены а и b числами а' и Ь''. Сумма клас-
классов a Vl b содержит сумму любого числа а' ?а и b' ?b, а произ-
произведение классов а и b содержит произведение любых таких
чисел а' и Ь'.
Для суммы классов верно и обратное, а именно любое число
можно представить в виде c = a'-ffr', где а'?а, Ъ' ? Ь.
Действительно, с?а-\-Ь = а-\-Ь означает, чтоc = a-\-b(mod m),
с—a=5&(modm), с—a?b, т. е. с можно представить в виде
с = а-\-(с—а), где а?а, с—a?b.
Например, в кольце классов по модулю 6 (см. стр. 79)
класс 2 представляет собой сумму классов 3 и 5. Любое число
класса 3, сложенное с любым числом класса 5, дает некоторое
число класса 2, и каждое число класса 2 является суммой неко-
некоторых двух чисел из классов 3 и 5.
Для произведений положение меняется. Вообще говоря, не
всякое число из класса а-b можно представить в виде произве-
произведения двух чисел из классов а, Ь. Например, при т = 7 произ-
произведение 5-3=1, но 1 нельзя представить в виде произведения
двух чисел, дающих при делении на 7 остатки 3 и 5. Соотношение
3-5=1 означает здесь только то, что любое число из класса 3,
умноженное на любое число из класса 5, дает некоторое число
из класса 1.
Среди классов особое место занимает нулевой класс, состоя-
состоящий из чисел, остаток от деления которых на модуль равен
81

нулю, т. е. из чисел, делящихся на модуль. Мы имеем для любого
класса а:
Теорема 100. Множество классов по данному модулю пред-
представляет собой аддитивную группу.
Доказательство. Проверим для множества классов по
некоторому модулю т справедливость условий, определяющих
аддитивную группу.
Условие 1 (замкнутость операции сложения).
Действительно, по определению сумма классов а и & по мо-
модулю т представляет собой единственный, вполне определенный
класс по этому же модулю.
Условие 2 (сочетательный закон для сложения).
Действительно,
Условие 3 (существование нулевого элемента). Роль нуле-
нулевого элемента выполняет класс 0.
Действительно, выше было показано, что a-f 0 = а.
Условие 4 (существование для каждого элемента проти-
противоположного ему). Для класса а противоположным классом
является класс —а, т. е. класс, содержащий число —а.
Действительно,
а + f^a) = a + (—а) = 0.
Условие 5 (переместительный закон для сложения).
Действительно,
Можно отметить, что при проверке выполнимости условий
1—5 для классов существенно использовалась справедливость
этих же условий для множества целых чисел.
Установив, что множество классов есть аддитивная группа,
мы можем считать доказанными для классов все те свойства,
которые верны для всех аддитивных групп, например: 1) суще-
существует единственный нулевой элемент (класс) 0; 2) для каждого
класса а существует единственный противоположный элемент
(класс) —а; 3) операция вычитания всегда выполнима и един-
единственна, причем а—& = а + (— Ъ).
Теорема 101. Множество классов по данному модулю пред-
представляет собой коммутативное кольцо.
Дока за те л ьст в о. Проверим выполнимость условий, опре-
определяющих коммутативное кольцо, пользуясь тем, что само мно-
множество целых чисел представляет собой коммутативное кольцо.
82

Условие 1 (множество представляет собой аддитивную
группу).
См. теорему 100.
Условие 2 (замкнутость операции умножения).
Действительно, по определению произведение классов а и Ъ
представляет собой единственный вполне определенный класс ab.
Условие 3 (сочетательный закон для умножения). Дейст-
Действительно,
а (Ь- с) —a (be) = a (be) = (ab) с = (ab) c=(a-b) с.
Условие 4 (переместительный закон для умножения).
Действительно,
a-b = ab = ba = b-a.
Условие 5 (распределительный закон). Действительно,
(а + Ь) с = (а -\-Ь) с — (а + Ь) с = ас -f- be = ас -f- Ьс = ас+ Ъс.
Поскольку для множества классов проверена выполнимость
всех условий, определяющих коммутативное кольцо, теорема
доказана. Установив, что множество классов— коммутативное
кольцо, мы можем считать доказанными для всех классов все те
свойства, которые верны для всех коммутативных колец, напри-
например правила действий со знаками, справедливость сочетатель-
сочетательного закона при сложении и умножении нескольких классов и т. д.
Кольцо классов представляет собой кольцо с единицей. Роль
единичного элемента выполняет класс 1. Действительно, для
любого класса а:
\-а — аЛ = а-\—а.
Обычным для всех колец образом вводятся определения про-
произведения па и степени (а)", а именно:
Определение 28. Пусть целое число л>0, а—класс по неко-
некоторому модулю т. Произведением па будем называть класс,
равный сумме а + а+.-.+#. где а повторено слагаемым п раз.
Произведение—па определим равенством—па = п(—а), а под
произведением 0-а будем понимать нулевой класс 0.
Определение 29. Пусть я>0 целое, а—класс по некоторому
модулю т. Степенью (а)" будем называть класс, равный произве-
произведению а-а.. .а, где а повторено множителем п раз. Степень (аH
будем считать равной классу 1.
Теорема 102. 1) Для любого целого с и любого класса а по
модулю т са = са.
2) Для любого целого п^О и любого класса а по модулю
т имеем (а)" = а".
83

Доказательства. Легко видеть, что классы са и са имеют
общий элемент са, а классы (а)" и а"—общий элемент а", так
что согласно определению классов (определение 24) имеем:
са = са и (а)" =а".
Определение 30. Пусть f (х) = сох" + с^"'1 + ... -f с„—много-
с„—многочлен с целыми коэффициентами, а—некоторый класс по модулю
т; значением этого многочлена по модулю т при х = а будем
называть выражение
Теорема 103. Пусть f (x)—многочлен с целыми коэффициен-
коэффициентами. Для любого класса а по рассматриваемому модулю т
f{a) =fja).
Доказательство. Пусть / (х) = сох"+с1х" + .. . +
~\-cn_tx-+ сп. Тогда, пользуясь теоремой 102, получаем:
Для колец классов естественно поставить вопрос: могут ли
такие кольца иметь делители нуля? Оказывается, что кольцо
классов может быть кольцом с делителями нуля, а может быть
и кольцом без делителей нуля, причем легко установить, в каких
случаях будет то или другое.
Теорема 104. Кольцо классов по составному модулю пред-
представляет собой кольцо с делителями нуля.
Доказательство. Пусть модуль т — составное число,
т. е. т — а-Ь, где 1 <Са<Ст, 1 <Ь<С/п. Из условия \<.а<Ст
получаем a^O(modm), афО и аналогично b Ф 0. Вместе с тем
a-& = ab = m = 0, т. е. а и Ь—делители нуля.
Пример. На странице 79 записаны классы по модулю 6.
В этом случае 2-3 = 0, 2 и 3—делители нуля. Поскольку
имеем 3-4 = 0, то 4—также делитель нуля.
Теорема 105. Кольцо классов по простому модулю представ-
представляет собой кольцо без делителей нуля.
Доказательство. Пусть модуль т = р — простое число,
а=И=0, ЬфО. Тогда a^O(modm), b^O(modm), т. e^p-f a^p-f b,
и тогда согласно теореме 19 p\ab, ab^O(modp), a-b = ab^=0.
Таким образом, произведение классов, неравных нулевому,
всегда отлично от нулевого класса, т. е. кольцо классов в этом
случае—кольцо без делителей нуля. Для полноты можно отме-
отметить, что при т=1 кольцо классов не имеет делителей нуля.
В этом случае кольцо классов состоит из одного нулевого класса.
84

Как было отмечено в теореме 93, соотношение равенства для
классов может быть записано в виде сравнения для чисел (вы-
(вычетов) этих классов. Поэтому теоремы 104 и 105 можно записать
еще в другом виде.
Теорема 104'. По составному модулю т существуют числа
аи Ь, такие, что афО (mod т), b ф 0 (mod m) и притом, однако,
afe = (mod m).
Теорема 105'. По простому модулю р из а^О(тодр) и
fr^O(modp) следует, что а-b ф (mod p),
Таким образом, произведение двух чисел сравнимо с нулем
по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один
из сомножителей сравним с нулем по этому модулю.
Метод математической индукции позволяет распространить
последнее положение на произвольное число множителей. (Про-
(Произведение s чисел представляется в виде произведения s— 1
первых чисел и еще одного последнего.) Таким образом, имеет
место следующая общая теорема.
Теорема 105". Произведение нескольких чисел сравнимо с нулем
по простому модулю только тогда, когда по крайней мере один
из сомножителей сравним с нулем по этому модулю.
Отмеченная здесь разница в свойствах сравнений по состав-
составному и простому модулю является основной для всей теории
сравнений и определяет то, что многие теоремы этой теории,
справедливые для простых модулей, будут неверными при пере-
переходе к составным модулям.
ГЛАВА 9
ПОЛНАЯ И ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМЫ ВЫЧЕТОВ
1. ПОЛНАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
Определение 31. Полной системой вычетов по некоторому
модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого
класса по этому модулю.
Пример. Числа 12, —23, 2, 63, —2, 5 образуют полную
систему вычетов по модулю 6.
Поскольку в полной системе вычетов число вычетов должно
равняться числу классов, полная система вычетов по модулю т
состоит из т чисел. Обычно в качестве представителей классов
берут наименьшие неотрицательные, наименьшие положительные
или наименьшие по абсолютной величине вычеты; такие полные
системы вычетов называют соответственно: полной системой
наименьших неотрицательных вычетов, полной системой наимень-
наименьших положительных вычетов, полной системой наименьших по
абсолютной величине вычетов.
85

Согласно теореме 97 полной системой наименьших неотри-
неотрицательных вычетов по модулю т является система чисел: 0, 1,
..., т—I, а полной системой наименьших положительных вы-
вычетов—система чисел: 1, 2, ..., т.
Согласно теореме 98 при нечетном т наименьшими по абсо-
абсолютной величине вычетами классов 0, 1, 2, ..., т~ являются
—^— а для классов
числа: 0, 1,2 —^— , а для классов -—-, ..., т—2,/п—1 —
числа: ^—, ,.., —2, —1; поэтому при нечетном т полной
системой наименьших по абсолютной величине вычетов является
система чисел:
т~1 __о 1 о 1 о т~1
При четном т для класса ( ~ ] наименьший по абсолютной ве-
величине вычет равен ± -тг \ если для этого класса, как это обычно
т
принято, взять вычет -у, то мы получим следующую систему
наименьших по абсолютной величине вычетов четного модуля т:
•——4-1 9 10 12 —
Примеры. 1) 0, 1, 2, 3 — полная система наименьших не-
неотрицательных вычетов по модулю 4;
2) 1,2, 3, 4, 5 — полная система наименьших положительных
вычетов по модулю 5;
3) —4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4—полная система наи-
наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю 9;
4) —2, —1, 0, 1, 2, 3—полная система наименьших по аб-
абсолютной величине вычетов по модулю 6.
Полную систему вычетов по модулю т мы будем записывать
в виде хх, х2, ..., хт, причем, поскольку в полной системе
вычетов из каждого класса может быть только один предста-
представитель, все X; попарно несравнимы между собой, т. е. при i^j
X; ф. X] (mod m). Справедливо и обратное утверждение, а
именно имеет место следующая теорема.
Теорема 106. Любые т чисел: xlt x2, ..., хт, попарно не-
несравнимых между собой по модулю т, представляют собой полную
систему вычетов.
Доказательство получается непосредственным применением
„принципа ящиков" (теорема V). Будем рассматривать классы
как „ящики", а числа хх, хг, . . ., хт как „предметы" лежащие в
соответствующих „ящиках". Тогда:
1) Каждое из этих чисел принадлежит некоторому классу,
т. е. каждый „предмет" лежит в одном из „ящиков",
86

2) Поскольку любые два из этих чисел х; и X/ несравнимы
между собой, ни в одном „ящике" не лежит более одного „пред-
„предмета".
3) Число чисел т равно числу классов, т. е. число „пред-
„предметов" равно числу „ящиков". Согласно „принципу ящиков"
в каждом „ящике" лежит один и только один „предмет", т. е.
каждому классу принадлежит одно и только одно из этих чисел.
Числа хг, х2, . . ., хт образуют полную систему вычетов.
Теорема 107. Если (а, т)—\, 0—произвольное целое и х
пробегает полную систему вычетов по модулю т, то ах4-Ь
также принимает значения, образующие полную систему вычетов
по этому модулю.
Доказательство. Пусть х принимает значения х1У х2,
..., хт, образующие полную систему вычетов по модулю т.
Составим числа ах1 + Ь, ахгЛ-Ь ахт-\-Ь. Любые два из
этих чисел аХ;-\-Ь и aXj-\-b(i Ф/) несравнимы по модулю т.
Действительно, если бы было ax{-rb^axj-rb (modm), то отсюда
следовало бы ах{ == axj (mod т), и поскольку (а, т) = 1, то согласно
теореме 80 хг = xy(modm). При 1ф\ это противоречит тому, что
хх, х2, . . ., хт есть полная система вычетов. Система чисел
аххЛгЬ, ах2-\-Ь, ..., ахт-\-Ь, содержащая т попарно несравни-
несравнимых по модулю т чисел, согласно теореме 106 представляет
собой полную систему вычетов по этому модулю.
Эта теорема является частным случаем следующей более общей
теоремы.
Теорема 107'. Если (a,m) = d, Ь—произвольное целое, х про-
пробегает полную систему вычетов по модулю -т , то -т х-\-Ь также
принимает значения, образующие полную систему вычетов по
модулю ~ .
Доказательство. Эта теорема получается из предыдущей,
\ . / а т \ Л
если принять во внимание, что из (а, т)=а следует -т , —г ) = 1.
Теорема 108. Если (а, Ь)=1, х пробегает полную систему
вычетов по модулю Ь, у пробегает полную систему вычетов по
модулю а, с—любое число, то ах-\-Ьу+с принимает значения,
образующие полную систему вычетов по модулю ab.
Доказательство. Пусть х принимает значения хг, х2, ....
хь, образующие полную систему вычетов по модулю Ь, у при-
принимает значения i/j, г/2, ..., уа, образующие полную систему
вычетов по модулю а. Составим числа вида ах,--(-&?/, +с, где
is^isSfr, ls^/ssa, соответствующие всевозможным различным
комплексам ((*,-, yt)).
Число таких комплексов (теорема VI) равно а-Ь. Докажем,
что все получающиеся при этом числа вида ах{ Л-Ьу^-г с попарно
несравнимы между собой по модулю ab. Действительно, если
'87

ax[-{-byj-\-с = axk-\-by{-i-c (mod ab), то согласно свойствам срав-
сравнений (теоремы 87 и 89) axj + byj^axb + by^modb). Отбрасы-
Отбрасывая (теорема 88) слагаемые, делящиеся на модуль, получаем
axt = axk(modb) и, поскольку (a, b)=l, получаем xi^xk(modb)\
х1У х2, . . ., хь — полная система вычетов по модулю b и xt =
=x&(mod Ь) может быть только при х; = х&. Аналогично имеем
Таким образом, составив ab выражений вида ах-^Ьу-\-с,
соответствующих различным парам, x=xit у=у}-, мы получим
систему ab попарно несравнимых по модулю ab чисел, т. е. соглас-
согласно теореме 106 полную систему вычетов по этому модулю.
Эта теорема может быть обобщена на произвольное число
попарно взаимно простых модулей в следующей форме.
Теорема 108'. Пусть А = ах-а%-. . . -as, гдевсе а,- попарно взаимно
просты, Л,- =— (/=1, 2, ..., s), с—произвольное целое, xt про-
пробегают соответственно полные системы вычетов по модулям а,-.
Тогда Аххх-\- Л2л:2 +...-(- Asxs-\-c принимает значения, образую-
образующие полную систему вычетов по модулю А.
Доказательство проводится совершенно аналогично доказа-
доказательству теоремы 108. Составим а1-а2-... -as чисел вида Аххг+
+ Л2х2 + . . . -\- Asxs-\-c, соответствующих всевозможным различ-
различным комплексам ((хх, х2, ...,xs)), где каждое х{ принимает
соответственно а,- несравнимых по модулю а,- значений. Два
таких числа вида Ахх±-\- ... + Asxs + c и Аххг-{- ... + AgXs + c,
соответствующих различным комплексам ((хь ... , xs)) и ((л^, ....
x's)), несравнимы по модулю А. Действительно, если бы было
Ахх\ + ... + AfXs +сеевА1х + ... + Asx"s + с (mod A),
то (теоремы 87 и 89) было бы также:
Ахх\ + ... Н- Asx's = Аух\ + ... + Asx"s (mod at).
Так как aL\A2, ..., ах | As, то, отбрасывая члены, делящиеся
на модуль, имели бы Агх\ = Агхг (modo1). Тогда поскольку из
(а1? аг) = 1, ..., (a,, af)= 1 следует (теорема 42) (аг, Аг)= 1, то
х\ = хг (modaj); х\кх—два значения из полной системы вы-
вычетов по модулю аг, так что сравнимыми эти числа могут быть
только при Хг — хх. Аналогично получаем д:2=х2 xs~xs,
что противоречит тому, что комплексы ((хг, ..., xs)) и ((хх xs))
различные. Это доказывает несравнимость по модулю А чисел
Л
А чисел такого вида, попарно несравнимых по модулю Л,
согласно теореме 106 образуют полную систему вычетов по
этому модулю.
88

2. ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ВЫЧЕТОВ
В теореме 90 мы видели, что все числа данного класса, т. е.
все числа, сравнимые с некоторым а по модулю т, имеют с т
один и тот же наибольший общий делитель, равный (а, т).
Определение 32. Наибольшим селителем класса называется
наибольший общий делитель какого-либо числа этого класса и
модуля.
Определение 33. Классами, взаимно простыми с модулем,
называются классы, у которых наибольший делитель равен еди-
единице.
Согласно этим определениям классы, взаимно простые с мо-
модулем, состоят из взаимно простых с модулем чисел.
Определение 34. Приведенной системой вычетов по некоторому
модулю называется система чисел, взятых по одному из каждого
класса, взаимно простого с модулем.
Пример. 1, 29, —-5, 71 — приведенная система вычетов по
модулю 12, так как из 12классов по этому модулю имеется 4 класса
чисел, взаимно простых с модулем, и из всех этих четырех классов
здесь взято по одному представителю.
Теорема 109. Если в полной системе вычетов отбросить пред-
представителей всех классов, не взаимно простых с модулем, то
оставшиеся числа образуют приведенную систему вычетов.
Действительно, в полной системе вычетов имеются предста-
представители всех классов, в том числе по одному представителю
классов, взаимно простых с модулем. Все остальные числа пол-
полной системы вычетов по условию отбрасываются, т. е. остается
приведенная система вычетов. В частности, если в полной си-
системе положительных вычетов 1, 2 т оставить только числа,
взаимно простые с модулем т, то мы получим приведенную
систему наименьших положительных вычетов.
Таким образом, очевидно, что число классов, взаимно про-
простых с модулем т, равно числу целых чисел, не превосходящих
т и взаимно простых с т. Число таких классов зависит от ве-
величины модуля' и является, таким образом, функцией от модуля.
Эту функцию обычно называют функцией Эйлера и обозначают
через ф(га). Мы можем, таким образом, дать два эквивалентных
определения этой функции.
Определение 35. Функцией Эйлера <р (т) называется число
классов по модулю т, взаимно простых с этим модулем.
Определение 35'. Функцией Эйлера <р(т) называется чис-
число натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простых
ст. _
Пример. По модулю 1, очевидно, имеется один класс 1
чисел, взаимно простых с модулем, поэтому <рA) = 1. По моду-
модулю 12, как было указано выше, имеется 4 класса чисел, взаимно
простых с модулем 12, т. е. ф A2) = 4. Чтобы определить фB4),
89

выписываем натуральные числа от 1 до 24 и вычеркиваем числа,
имеющие не равные единице общие делители с 24, т. е. числа,
делящиеся на 2 и 3. Оставшиеся числа 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
образуют приведенную систему вычетов по модулю 24; <р B4)
равно числу этих чисел, т. е. срB4) = 8.
Поскольку приведенная система вычетов содержит предста-
представители всех ф(т) классов, взаимно простых с модулем т, то
приведенная система вычетов состоит из <р(т) чисел. Любая
приведенная система вычетов по модулю т представляет собой,
таким образом, систему <р(т) чисел гх, г,, ..., r(m), где
г,- Ф г j( mod m) при i=?=jn для всех i (rh m) = 1. Справедливо и
обратное утверждение.
Теорема ПО. Любые q>(m) попарно несравнимых по модулю m
и взаимно простых с этим модулем чисел представляют собой
приведенную систему вычетов.
Доказательство. Пусть гг, г2, ..., r.fim) — любые tp(m)
чисел, относительно которых известно: 1) ггщг, (modm) при
ф\ 2) ( ) 1 Т 106,
р ) г, ( р
\, 2) (/-,-, /п) = 1. Так же как и в теореме 106, применяем
„принцип ящиков". Классы, взаимно простые с модулем т, рас-
рассматриваем как „ящики", а числа гх, г2, . . ., r,fim) — как „предметы".
Тогда:
1) поскольку все г{ взаимно просты с т, все эти числа при-
принадлежат классам, взаимно простым с модулем, т. е. каждый
„предмет" лежит в одном из этих „ящиков";
2) все эти числа попарно несравнимы между собой, т. е.
ни в одном „ящике" не лежит более одного „предмета";
3) число „предметов" (чисел) <р (т) равно числу „ящиков"
(классов, взаимно простых с модулем). Согласно „принципу
ящиков" в каждом классе, взаимно простом с модулем, лежит
одно и только одно из этих чисел, т. е. числа гх, т.г, ..., r^m
образуют приведенную систему вычетов.
Теорема 111. Если (а, т)=\ и х пробегает приведенную
систему вычетов по модулю т, то ах также принимает значе-
значения, образующие приведенную систему вычетов по этому модулю.
Доказательство. Пусть х принимает значения гх, г2, . . .,
г9(яг), образующие приведенную систему по модулю т. Эти числа
составляют часть полной системы вычетов, и поэтому согласно
теореме 107, где мы в данном случае берем & = 0, можно сразу
утверждать, что числа агх, аг% аг^ш несравнимы по мо-
модулю т.
С другой стороны, поскольку rl7 r2, ..., г?(т)—приведенная
система вычетов, (rh т) = 1 при всех 1^г'^ф(т). Согласно
теореме 42 из (г,-, т)— 1 и (а, т)= 1 следует (аго т) = \. Числа
агг, аг% аг?ш образуют, таким образом, систему <р(т)
попарно несравнимых по модулю т и взаимно простых с этим
модулем чисел, т. е. согласно теореме ПО приведенную систему
вычетов.
90

Эта теорема является частным случаем следующей, более
общей теоремы.
Теорема 111'. Если (a, m) = d их пробегает приведенную
систему вычетов по модулю —г,то-гх принимает значения,
образующие приведенную систему вычетов по этому модулю.
Теорема 112. Если (а, Ь) = 1 и х пробегает приведенную сис-
систему вычетов по модулю Ь, у пробегает приведенную систему
вычетов по модулю а, то ах-{-by принимает значения, образующие
приведенную систему вычетов по модулю аЬ.
Доказательство. Пусть х принимает значения г1, г2, ...,
гф(Ь), образующие приведенную систему вычетов по модулю Ь, у
принимает значения sx, s2, ..., sr.(a), образующие приведенную
систему вычетов по модулю а. Составим числа вида art-{-bSj,
где 1^?^фF), ls^/s^9(a). Числа rlt г2, ..., г^Ь) — часть
некоторой полной системы вычетов хх, х2, ..., хь по модулю Ь,
числа s,, s2, ..., s,fia) — часть некоторой полной системы вычетов
#i> Ук • ••> Уа по модулю а. Числа вида агг- + &5у-A ^г^ф(Ь),
1 ф (а)) составляют тогда часть чисел вида ах; -+- Ьг/у- A =^г«^6,
a), которые согласно теореме 108 образуют полную
систему вычетов по модулю ab. Разобьем числа вида aX[-\-byf
на два подмножества. Первое подмножество составим из тех
чисел ax,--f-byf, у которых (xit b)= 1 и {ys, a) = 1, т. е. из чисел
ari-\-bSj\ второе —из всех остальных чисел.
Докажем, что числа второго подмножества являются пред-
представителями классов, не взаимно простых с ab. Действительно,
если aXj-i- byj принадлежит второму подмножеству, то это значит,
что выполнено хотя бы одно из условий: (xt, Ь)ф\, (г/у, а) ф 1.
В случае (х;, b) = d>\ получаем (теоремы 11 и 9) d\axiJrbyJ,
d\ ab, т. е. (ал;(- + byJt a&)> 1. Если же (х;, Ь) = \, то (г/у, а)Ф\,
и в этом случае аналогично получаем (axi -j- 6t/y-, ab)~>\.
Докажем теперь, что среди чисел второго множества имеются
представители всех классов, не взаимно простых с ab. Действи-
Действительно, если ах; + by, — представитель класса, не взаимно простого
с ab, т. е. (aXj-\-byj, ab) — d> 1, то, взяв (теорема 16) простое
число p\d, будем иметь p\ax{-{-byj, p\ab, и тогда р—делитель
по крайней мере одного из сомножителей ab. Если р\а, то из
р\а, p\axi-\-byJ- следует р\Ьу}; поскольку (a, b) = 1 и р\а, то
р\Ь. Наконец, согласно теореме 19 из р\Ьу;- и р\Ь следует
р\У], т. е., таким образом, р—общий делитель аиг/;-, а значит,
(У/, а)ф\.
Аналогично, если р\Ь, получаем (xh Ь)ф\, т. е. ах;-\-Ьу^
принадлежит второму подмножеству. Числа ar^bsj (первое
подмножество), получающиеся после отбрасывания в полной
системе вычетов представителей всех классов, не взаимно про-
простых с модулем (чисел второго подмножества), образуют согласно
теореме 109 приведенную систему вычетов.
91

ГЛАВА 10
ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
В этой главе будут рассмотрены основные свойства функции
Эйлера ф(т). В соответствии с определением этой функции ее
аргумент будем всегда считать натуральным числом. Наша основ-
основная цель—получить удобную формулу для вычисления этой
функции.
Определение 36. Функция f{n), определенная на множестве
натуральных чисел, называется мультипликативной, если для
любых взаимно простых натуральных чисел а и Ь:
A)
Определение 37. Функция /(л), определенная на множестве
натуральных чисел, называется вполне мультипликативной, если
равенство A) выполняется для любых натуральных чисел а и Ь.
Очевидно, что множество вполне мультипликативных функций
есть часть множества мультипликативных функций.
Пример. Функция f(n) = na вполне мультипликативная,
так как
Теорема 113. Если f(n) — мультипликативная функция,
ау, а.г, ..., as, — попарно взаимно простые числа, то
f (a^ ...as) = f (aj) f (a2).. . / (а,).
Доказательство. Поскольку (а,-, Яу) = 1 при всех 1ф\,
то (аг ... -as_lt aj=l. Согласно определению мультипликатив-
мультипликативной функции имеем:
/К ••• as_1as) = f(a1 ... a^J / (as).
Продолжая тот же процесс, получаем:
f(al ... fl,_A)=/(a,. ... a,
Теорема. 114. Функция Эйлера мультипликативна, т. е.
Ф(ab) = ф(а)ср(Ь) при (а, Ь)=\.
Дадим два доказательства этой теоремы.
1-е доказательство. Пусть х пробегает значения гх,
г2, ..., г? F), образующие приведенную систему вычетов по модулю
Ь, а у пробегает значения slt s2, ..., s{a), образующие при-
приведенную систему вычетов по модулю а. Составим всевозможные
числа вида ar(- + fe;-, соответствующие различным парам rh s;-;
число таких чисел (теорема VI) будет рзвно ц>(Ь)ц>(а).
С другой стороны, поскольку (а, Ь) = 1, то согласно теореме 112
эти числа образуют приведенную систему вычетов по модулю ab,
92

т. е. число таких чисел должно равняться ф(аб). Произведение
Ф F) Ф (а) и ф(аб) выражают одну и ту же величину, т. е.
Это доказательство существенно использовало теорему 112
о значениях линейной формы ах-]-by. Дадим теперь другое
непосредственное доказательство теоремы.
2-е доказательство. Составим таблицу:
1,
6+1,
26+1,
(а-1N+1,
6 +
26 +
(а-\)Ь
2,
2,
2,
+ 2,
(а
6 +
26 -г-
-1N
3,
3,
о,
+ 3, .
.., 6;
.., 26;
.., 36;
.., ab
B)
)
— и определим число чисел в этой таблице, взаимно простых с ab.
(kb + r, 6)= 1 (теорема 90) тогда и только тогда, когда (г, 6) = 1.
Таким образом, числа, взаимно простые с 6, а тем более и с ab,
могут быть только в столбцах с номерами г, такими, что (г, 6) = 1,
где 1 eg r sg; 6. Число таких столбцов по определению равно ф F).
Каждый такой столбец состоит из чисел:
г, Ь + r, 2Ь + г, ..., (а—1)Ь + г, C)
т. е. из чисел вида бх + г, где х пробегает полную систему вычетов
по модулю а. Поскольку (а, 6)=1, то согласно теореме 107
числа C) образуют также полную систему вычетов по модулю а,
и, следовательно, в C) содержится ц>(а) чисел, взаимно простых
с а. Мы имеем, таким образом, в таблице B) фF) столбцов
чисел, взаимно простых с 6, причем каждый такой столбец
содержит ф (а) чисел, взаимно простых с а. Если число взаимно
просто с 6 и с а, то (теорема 42) оно взаимно просто с ab.
Таким образом, таблица B) содержит фF)ф(а) чисел, взаимно
простых с ab.
С другой стороны, эта таблица содержит все числа от 1 до
ab, и, таким образом, в ней ф (ab) чисел, взаимно простых саб, т. е.
Ф (а) ф F) = ф (ab).
Примеры.
1) фC) = 2, фA0) = 4, ФC0) = 8;
2) фE) = 4, ф(8) = 4, <рD0) = 16;
3) фC) = 2, фF) = 2, фA8) = 6.
В последнем примере ф C-6) =^ф C) фF), так как C,6) = 2.
Теорема 115. Пусть р—простое число, а 5^1 — любое нату-
натуральное, тогда ф(ра) = ра~1 (р— 1).
Доказательство. Число взаимно просто с р* тогда и
только тогда, когда оно не делится на р (теоремы 39 и 43). Среди
первых р* натуральных чисел имеется (теорема 49) — = р"
93

чисел, делящихся на р; остальные р
«1
"— р* 1
чисел взаимно просты
= р\1р%'.. . р"*—каноническое разложение
с р , т. е.
Теорема 116. Если
числа т, то
Ф (т) = р"'~1р22~1.. -р"* {pi — 1) (Рг — 1) • • -(ps — 1).
Доказательство. рх, р2, ..., р, в каноническом раз-
разложении обозначают различные простые числа, поэтому (тео-
(теорема 44) pi', р, ..., р?'—попарно взаимно простые числа я
согласно теоремам 114, 113 и 115 имеем:
ф (pi'pt' • • • P°s) = ф (pi1) ф (ръг) • • • Ф (p"s) =
= pi1'1 (Pi— 1)Ргг~2 (Рг-~ 1) • • • Ps8 (Ps—5).
Примеры.
ф() ф() ()()() ;
2) фG00 000) = фB5-55-7) = 24-54 B — 1)E— 1) G—
3) ф D5 375) = q> C • 53• 112) = 52 • 11 - 2 - 4 • 10 = 22 000.
Теорема 117. При т>1
= 240 000;
р,т
Знак р|т означает здесь то, что множители произведения
берутся при всевозможных простых делителях числа т.
Доказательство непосредственно вытекает из предыду-
предыдущей теоремы. Любое т > 1 можно представить в канонической
форме т — р... р?! и тогда
••/>• Н-рГ
Теорема 118.
Ps
2 ф (<*)=«¦
im
П
pirn
2
dim
Суммирование в левой части производится по всем положи-
положительным делителям числа т. Например, 'при т = 20 имеем:
d
<p(d)
1
1
2
1
4
2
5
4
10
4
20
8
= 1 + 1+2 + 4 + 4 + 8 = 20.
94

Доказательство. Обозначим нашу сумму, значение ко-
которой, очевидно, зависит от т, через F (т), так чгоР (т) = У^<р (d).
Доказательство разобьем на три части. Сначала докажем, что
F (т)—мультипликативная функция, затем вычислим F (т) при
т = р" и, наконец, докажем, что F(m)—m.
1) Пусть (а, Ь) = 1; тогда для любых б | а, б' | Ь будет (б, б') = 1,
так что, применяя правило умножения суммы на сумму, т. е.
правило раскрытия скобок и теорему 114, получаем:
Щ Ь'\Ь Щ 6'\Ь 6\а ЩЬ
Полученная сумма равна 5]ф(^)- Действительно, произведе-
d \ab
ние 66', где Ь\а и Ь'\Ь, очевидно, равно некоторому определен-
определенному делителю d произведения ab. С другой стороны, если взять
некоторый делитель d произведения ab, то (теорема 45) мы
имеем для данного d вполне определенное представление в виде
d = 66', где б| а, б' \Ь.
Равенство
теперь непосредственно следует из того, что между равными
слагаемыми левой и правой частей можно установить взаимно
однозначное соответствие, сопоставляя ф(бб') ~q>(d), если
66' = d, Ь\а, б'|6. Таким образом, получаем:
2) Пусть т — р*, тогда
F{Pl= 2ф(^) = фA
d\pa
3) Пусть т = p?'p • • • p"s — каноническое разложение т. Тогда
согласно теореме 113
F(m) = F (pV) F ffl) ...F (pV) = P^pf ¦. ¦ p"s=m-
Исторические комментарии к 10-й главе
1. Леонард Эйлер A707—1783) родился в Швейцарии. В
1727 г. он был приглашен в Петербург в созданную там незадолго
до того Академию наук. Эйлер жил и работал в Петербурге с
1727 по 1741 г. и с 1766 г. до конца своей жизни.
Среди великих математиков XVIII века, создавших основы
современного математического анализа, Эйлер выделяется своей
исключительной интуицией; даже когда Эйлер, находя новые
95

результаты, обосновывал их не всегда еще строго разработан-
разработанными в его время методами, конечные выводы его, как это
выяснилось позже, были всегда верны. В самых различных
областях математики и ее приложений с именем Эйлера связано
чрезвычайно большое количество новых глубоких результатов,
являющихся основой всего дальнейшего ее развития.
В 1729 г. Эйлер начал переписку с членом Петербургской
Академии наук Христианом Гольдбахом, проявлявшим большой
интерес к теоретико-числовым задачам. Эта переписка и про-
пробудила, по-видимому, интерес Л. Эйлера к теории чисел. На-
Начиная с 1732 г. и до конца своей жизни Эйлер занимался раз-
разнообразными вопросами теории чисел и написал свыше 100 работ
в этой области.
Работы Эйлера по теории чисел посвящены весьма разнообраз-
разнообразным вопросам, в том числе проблеме распределения простых
чисел в натуральном ряду, различным задачам теории форм,
разбиению чисел на слагаемые. В своих работах Эйлер не
употреблял терминов теории сравнений, однако ряд важнейших
ее результатов, сформулированных в терминах теории делимости,
были получены именно им. Для работ Л. Эйлера в теории чисел
характерно стремление использовать методы математического
анализа. Это проявилось не только в работах по распределению
простых чисел, явившихся, как было отмечено выше, началом
аналитической теории чисел, но и в работах по теории разбие-
разбиения чисел на слагаемые.
Труды Эйлера по теории чисел были изданы у нас в России
Академией наук в 1849 г. на латинском языке. Два тома этих
трудов под названием „Commentationes arithmeticae collectae"
содержат 1235 страниц. Функция <р(т), получившая в дальней-
дальнейшем его имя, была введена им в одной работе, опубликованной
в 1760 г.
2. Тождество теоремы 118 встречается впервые у Гаусса.
ГЛАВА 11
ТЕОРЕМЫ ФЕРМА И ЭЙЛЕРА
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Возьмем некоторое натуральное число а, взаимно простое
с модулем т, и рассмотрим последовательные степени а:
а, а2, а3, ...
Все числа этого бесконечного множества распределены в т
классах, следовательно, по крайней мере один из этих классов
должен содержать бесчисленное множество степеней а. Взяв из
этого класса две степени а и обозначив их а" и а*, где s> /5^ 1,
будем иметь as^d(modm).
96

Поскольку из (а, т)=1 следует (а*, т) — 1, то (теорема 80)
aJ-*= I (modm). Таким образом, для некоторого k ~s—/ имеем
я*ееб1 (modm), причем поскольку s>^, то&й==1. Вместе с тем
тогда и при любом натуральном п будем иметь a*'si (modm),
что доказывает существование бесконечного множества степеней а,
принадлежащих классу 1. Конечно, поскольку мы с самого начала
имеем известный произвол в Еыборе чисел as и а', то соответ-
соответствующее k не определяется единственным образом. Например,
при т = 43, а = 6 имеем:
б8 = б2 (mod 43) и б12 == б3(mod 43),
так что
6е = 1 (mod 43) и 69 = 1 (mod 43).
П. Ферма для простого модуля, а Л. Эйлеру для любого
модуля удалось указать значения &;> 0, при которых имеет место
сравнение а*= 1 (modm). Соответствующие теоремы, мы их будем
называть теоремами Ферма—Эйлера, являются основой всей
теории сравнений и находят широкое применение как в тео-
теоретических исследованиях, так и в арифметических приложе-
приложениях.
Теорема 119 (Ферма). Для любого простого р и любого а5з 1,
не делящегося на р, справедливо сравнение
ap-i==l (modp). A)
Теорема 120 (Эйлер). Для любого модуля т и любого aS^l,
взаимно простого с т, справедливо сравнение
а^т=\ (modm). B)
Сравнения A) и B) мы будем называть соответственно
сравнениями Ферма и Эйлера.
Легко видеть, что теорема Ферма является частным случаем
теоремы Эйлера. Действительно, если в теореме Эйлера взять
т = р, где р—простое число, то условие (а, р) = 1 эквивалентно
условию р\а (теорема 39), а ц>(р) = р—1, так что при т = р
теорема Эйлера сводится к утверждению, что при р\а справед-
справедливо сравнение ap-1^l (modp), т. е. к теореме Ферма.
Поскольку доказательство Теоремы Эйлера не сложней, чем
доказательство теоремы Ферма, приведем доказательство теоремы
Эйлера. Тем самым будет доказан и ее частный случай —теорема
Ферма.
Доказательство теоремы Эйлера. Пусть rltr2, ... ,г^{т) —
некоторая приведенная система вычетов по модулю т. При
(а, т) = \ согласно теореме 111 числа агх, аг2, ..., аг9(т) также
образуют приведенную систему вычетов. Установим взаимно
однозначное соответствие между этимидвумясистемами, сопоставив
4 А. А. Бухштаб 97

каждому из чисел аг1, агг м^т) сравнимое с ним число из
системы rlt гг г^ш так, что:
arl = ra (mod m)\
аг2=Гр (mod m)\
где га, г$, ..., /"„ — некоторым образом переставленные числа гх,
Г2' • ¦ ¦ > r<p(ra)> Tl е- Гч Г$ ¦ ¦ • Г* ~ Г1 ri ¦ • • Г<г(га>-
Перемножая все сравнения C), получаем
a^m)r1r2...r9im) = rjy..rw(modm}. D)
Поскольку (г,-, т) = 1 для всех i, то (гг г2 . .. г,(а„ т) = 1
(теорема 42) и обе части сравнения D) можно сократить на
ri-r2- ¦ ..-гоШ, так что a '-w = 1 (modm).
Примеры. При р = 7 имеем 26 = 64= 1 (mod 7), Зв = 729=з
== 1 (mod 7); при р = 11, а = 2,210 = 1024 = 1 (mod 11); при т = 9,
а = 5 имеем ф(9) = 6, 56 = 15625^=1 (mod 9); при т = 2\, а = 2
имеем фB1) = 12, 212 = 4096= 1 (mod 21).
Запишем теорему Ферма еще в другой форме.
Теорема 119'. Для любого простого модуля р и любого нату-
натурального числа а имеет место сравнение
E)
Доказательство. Если р\а, то, умножая на а обе части
сравнения A), получаем аР^а(modp). Если р\а, то р\ар—а,
так что также
Таким образом, сравнение E) имеет место при любом нату-
натуральном а.
Теоремы Ферма—Эйлера позволяют часто находить остатки
от деления на модуль больших степеней заданного числа. Дей-
Действительно, если нам надо найти остаток от деления aN на т,
где (а, ш)=1 и N^y(m), то можно представить N в виде
Тогда
aN =
где аТ может быть значительно меньше, чем aN.
Если (а, т)Ф\, т. е. (aN, m)=d>\, то найдем наимень-
наименьшее k, такое, что d\ak, так что ak = a1d, т = тгй. Обозначая
искомый остаток от деления aN на т через х, имеем:
хв=аы = aN~ka1 d (mod mjd)
и, следовательно, x = xxd, гак что

хг может быть найдено путем вычисления произведения остатков
от деления на тх чисел аы~к и аг. Для отыскания остатка
от деления aN~k на mt можно использовать теорему Эйлера.
Примеры. 1) Найти остаток от деления 17121^7 на 52.
Обозначим искомый остаток через х. Имеем: ф E2) = 24.
*== 171я1*7 = 15»-" + " == 15" == C375)». 225 = ( — 5)8-17 =
== — 21-17 = 7 (mod 52).
2) Найти остаток от деления 1261020 на 138.
Здесь A26, 138) = 6. Если х== 1261020 (mod 138), тох = 6л:1)
x1ees2M261019 = 21-1122"+'eeee—2-1 Fes lle = 63 == 9 (mod 23),
x = 54 == 2 mod E2). Остаток равен 2.
2. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА
Функция Эйлера ф (т.) не всегда является наименьшим по-
положительным значением k, таким, что ай== 1 (mod in). Для нахож-
нахождения значений k, меньших, чем ф(т), удовлетворяющих этому
сравнению, имеет смысл ввести в рассмотрение обобщенную
функцию Эйлера L(m).
Определение 38. Обобщенной функцией Эйлера L (т) назы-
называется функция, определенная для всех натуральных значений т
следующим образом: /,A)=1, а при т>\
где т = р°> р°2.. . р°»—каноническое разложение т.
Примеры.
1) LC60) = M23-32-5) = [4, 6, 4] = 12.
2) LG35) = LC-5-72) = [2, 4, 42] = 84.
3) L D5551) = /.A1-41.101) = [10, 40, 100] = 200.
При т = рЛ функции L(m) и ф(т), очевидно, совпадают.
Теорема 121. При любом модуле т и (а, т)=\ имеет место
сравнение
Доказательство. Пусть m = pa1ip^ ... p^s—каноническое
разложение числа т. Согласно теореме Эйлера ар'' <Р1~1)=5
di?') при i=l, 2, ..., s. Возводя обе части этого сра-
)
L(m) L(m)
внения в степень —-—-^-1 , где ——-!— —целое число,
Р?'"*(/>/-!) РаГЧр~ 1)
так как по определению L (т) кратно pf'1 (pt—1), получаем
aL (">)== 1( mo dp?1). Из сравнимости aL(m> и 1 по модулям р°> ,
р°2, ..., р°» согласно теореме 91 следует сравнимость этих чисел
по модулю т, т. е. aL(m) = I (mod от).

Примеры. 1) m = 546, a = 5; имеем LE46) = LB-3-7-13) =
= 11, 2, 6, 12]= 12; 512=l(mod546). Действительно,
512 = 6253 = 79s = 1 (mod 546).
2) m=1360, a = 3; здесь LA360) = LB4-5-17)= [8,4, 16]= 16;
3le= 1 (mod 1360). Действительно,
316 = 65612 == 11212 = 1 (mod 1360).
Согласно теореме Ферма если т—простое число и (а, т) = 1,
то am~l= I (mod m). Естественно поставить вопрос: может ли
сравнение ага~1= 1 (modm) иметь место для составного т при
всех а, таких, что (а, т) = \, или же это сравнение является
характерной особенностью только простых модулей? Оказывается,
что существуют составные модули т, такие, что при всех а
взаимно простых с т имеет место сравнение
а"»-1==1 (modm).
Действительно, если взять т = pt-p.2-. .. -ps, такое, что
L (т)\(т—1), то согласно теореме 121 будем иметь aL<m>=l (mod/n)
и, возведя обе части сравнения в степень 7* , получим
L (т)
а"'== 1 (modm) при всех а, таких, что (а, т)=1. Нетрудно
подобрать такие значения т. Например, это будет иметь место при:
/п = 3-11-17 = 561, LE61) = 80, 801 560;
т = 5-13-17 = 1105, /.A105) = 48, 481 1104;
т = 5-17-29 = 2465, L B465)= 112, 112B464;
/п = 7-13-19=1729, ?A729) = 36, 36j 1728.
Согласно теореме Ферма при р\а остаток от деления aF~l
на простое число р всегда равен единице. Можно поставить
вопрос: бывает ли остаток равен единице при делении ар~^ (а> 1)
на более высокую степень р, например на р2, т. е. может ли
при каком-либо а>-1 и простом р иметь место сравнение
ap~l = \ (mod р2)? Оказывается, что такие значения аир суще-
существуют. Например, можно взять а = 3, р = 11 и тогда З10 = 2432 еэ
==l(modll2).
Одно время некоторые математики предполагали, что сра-
сравнение 2Р~Х = 1 (mod p2) не может иметь место для простых чи-
чисел р. Это предположение оказалось неверным. Можно прове-
проверить, что, например, 2Р~1~ 1 (modp2) при р= 1093, хотя 1093 —
простое число.
Исторические комментарии к 11-h главе
1. Пьер Ферма A601—1665) —известный в свое время юрист
и советник судебного парламента в Тулузе—интенсивно и с боль-
большим успехом занимался различными математическими вопросами.
П. Ферма является одним из творцов дифференциального исчис-
100

ления и теории вероятностей, но особенно большое значение
имеют его работы по теории чисел. Большинство теоретико-
числовых результатов П. Ферма записывались им на полях
экземпляра сочинений Диофанта „Арифметика"; Ферма обычно
не записывал доказательства, а давал тЪлько краткие указания
о методе, который он применял для получения своего резуль-
результата. Сочинения Ферма под названием „Opera Varia" были изданы
впервые в 1679 г.
Теорема Ферма, изложенная в этой главе, была высказана
в одном из писем, посланном им в 1640 г. Френиклу." В этом
письме Ферма пишет, что он получил доказательство этой тео-
теоремы; однако само доказательство не было им опубликовано.
Первое из известных доказательств теоремы Ферма принад-
принадлежит Лейбницу A646—1716). Доказательство Лейбница было
основано на рассмотрении сравнения:
(а1 + а2+ ... +ап)р = ае + аР+... +а? (mod p).
Эйлер дал несколько различных доказательств теоремы Ферма,
из которых первое относится к 1736 г. В 1760 г. Эйлер обобщил
теорему, придав ей вид теоремы 120, носящей его имя. Надо
при этом иметь в виду, что терминология и обозначения у Ферма
и у Эйлера совершенно отличны от современных. Приведенное
нами доказательство теоремы Эйлера представляет собой непо-
непосредственное обобщение доказательства, данного в 1806 г. для
теоремы Ферма математиком Айвори.
2. Вместо функции L(m), определенной формулой F), можно
рассматривать функцию 1(т), такую, что
L (т), при 8 \ т,
о .
), при 8\т,
и доказать справедливость сравнения a1 <m> = I (mod m) при
всех а, взаимно простых с т.
Функцию / (т) рассматривал французский математик Люка.
3. Доказано, что для любого натурального числа а суще-
существует бесконечное множество составных чисел т, таких, что
a'"-1H=l(modm) (Дюпарк, 1955 г.).
Неизвестно, бесконечно ли множество составных чисел т,
таких, что amE= I (mod m) для всех а, взаимно простых с т.
ГЛАВА 12
ГРУППА КЛАССОВ, ВЗАИМНО ПРОСТЫХ С МОДУЛЕМ
1. ГРУППА КЛАССОВ
Во множестве классов по любому модулю т всегда выпол-
выполнимы операции сложения, вычитания, умножения. В этом мно-
множестве есть единичный элемент, а именно класс 1. Естественно
101

поставить вопрос о выполнимости операции деления, т. е. выяс-
выяснить, является ли множество классов группой по отношению
к введенной здесь операции умножения. Легко видеть, что мно-
множество всех классов по модулю т не является группой. Это
следует хотя бы из того, что для нулевого класса не сущест-
существует обратного элемента. Действительно, при любом х произве-
произведение 0-х = 0ф\. Таким образом, из условий, определяющих
группу, одно условие здесь нарушено. Вместе с тем если
из множества всех классов выделить только классы, взаимно
простые с модулем, то имеет место следующая теорема.
Теорема 122. Множество классов, взаимно простых с модулем,
представляет собой группу.
Доказательство. Пусть г1г г.2, ..., гф(т) — классы,
взаимно простые с модулем т. Проверим, что в этом множестве
выполнимы все условия, определяющие группу.
Условие I (замкнутость операции умножения) выполнено,
так как если (rh т)—\, (г;-, т) = \, то (г,г;-, т)=\ и r^j =
= rtrj — rk, где (rk, т)=\, т. е. произведение классов, взаимно
простых с модулем, также представляет собой класс, взаимно
простой с модулем.
Условие II (сочетательный закон) выполнено при умножении
любых классов (теорема 101).
Условие III (существование единичного элемента) выполнено,
так как класс 1 взаимно прост с модулем и потому входит
в наше множество. Наконец, выполнено и условие IV (сущест-
(существование обратных элементов). Если взять любой класс г, взаимно
простой с модулем т, то обратным классом (г) будет класс
гф <m>-i, также взаимно простой с модулем. Действительно,
f гч> (m)-i __ гч> (т) _ f,
так как согласно теореме Эйлера rv(m)= I (modm).
Класс, обратный классу г, мы будем записывать также
1 1 /-Ч-
в виде —, так что —=(r,) \
г г
Группа классов, взаимно простых с модулем т, представляет
собой коммутативную конечную группу, и порядок ее, т. е.
число элементов, равен ф(т).
В теории групп известна теорема Лагранжа, согласно кото-
которой для любого элемента А конечной группы при п, равном
порядку группы, имеет место равенство А" — Е, где Е—единица
группы. Теорема Эйлера является частным случаем этой тео-
теоремы Лагранжа для группы классов, взаимно простых с моду-
модулем т. Для этой группы теорема Лагранжа принимает вид
(/¦)ф(т) = 1, ЧТ0 в друГОй записи и дает теорему Эйлера гч><т> =
==l(modm) при (г, т) — \.
102

2. ПОЛЕ КЛАССОВ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
В коммутативной группе для любых двух элементов А я В
можно найти элемент X, такой, что АХ = Х- А=В. Для такого
R
элемента X можно принять обозначение X = -г-. В частности,
А.
рассматривая группу классов, взаимно простых с модулем т,
можно, таким образом, ввести дроби — , у которых числитель
а
и знаменатель—классы, взаимно простые с модулем. Мы дадим
более общее определение, позволяющее рассматривать в даль-
нейшем дроби вида — и тогда, когда класс Ъ не взаимно прост
а
с модулем.
Определение 39. Пусть а и Ъ—классы по модулю т. Част-
Частным — называется любой класс х (если он существует), такой,
что
а х — Ь.
Запись k?— будем понимать в том смысле, что k входит
а
в некоторый класс х = ~. Согласно определению 39, если а
а
и Ъ—классы по модулю т, запись k?— означает, что
а
ak = b (modm).
Теорема 123. Для любого класса Ъ и класса а, взаимно про-
простого с модулем т, существует, и притом единственное, част-
F
ное — .
а
Доказательство. Пусть (а, т)—\. Тогда а—элемент
группы классов, взаимно простых с модулем, и для него суще-
существует обратный класс (а).
Если существует частное х = —, то ах = Ь, и, умножая обе
а
части этого равенства на (а), получаем, что х=Ъ(а)~1, т. е. зна-
значение х может быть только единственным. Непосредственная
проверка показывает, что а (Ь (а)'1) — Ь а (а) = 6-1 =Ь.
Таким образом, единственность и существование класса ¦=.
а
доказаны, причем установлено, что — = Ь (а)~1 =
а
103

Примеры. 1) По модулю 8 частное — = 4 • 5 =4-5ч>(8)~1 =
О
= 4~Г53 = 4. _
2) По модулю 14 частное = = 3-И~1=3.11<р u«)-i = 3-118= ПГ
Поскольку дроби вида = представляют собой классы, при
а
операциях над такими дробями можно применять переместитель-
ный, сочетательный и распределительный законы.
Рассматривая дроби = и — со знаменателями, взаимно про-
а с __ _
стыми с модулем, мы будем, как обычно, равенство = = = по-
_ ас
ннмать в смысле совпадения классов — и = .
а с
Теорема 124. Пусть а и с—классы, взаимно простые с мо~
лем
когда
дуяем т. Равенство = = = имеет место тогда и только тогда,
а с
ad~ be (mod m).
Доказательство. 1) Пусть = = = . Возьмем число k,
ас __
~Ь d
принадлежащее этому классу. Поскольку k?= и k? = , то
а с
должны выполняться сравнения:
ak= Ь (mod m), cks^d{modm). A)
Обозначим (k, m) = S, тогда сравнения A) показывают, что
б \Ь и 8\d, т. е. k = k1b, m = m16, b = b1b, d = d1b, где (klt гщ) = 1.
Сокращая (теорема 82) обе части этих сравнений и модуль
на б, получаем:
Перемножая эти сравнения и сокращая на klt взаимно про-
простое с модулем mlt получаем последовательно:
akxdx Ess bxckx (mod тх), adx = bLc (mod mx).
Умножая теперь обе части и модуль на б, получаем:
ad = be (mod m).
2) Пусть ad==bc(modm), (a, m)—l, (с, т) = 1. Возьмем
k? = , т. е. k такое, что ak =зЬ (mod m). Умножая обе части
а
104

этого сравнения на с, получаем ack^=bc (modm), т. е.
ack==ad(modm). Наконец, сокращая на а, взаимно простое
с модулем, приходим к сравнению ck ~d (mod tri), т. е. полу-
получаем k ? = •
с _ _
Поскольку (а, т) — \ и (с, т) = 1, классы = и = опреде-
а с
лены однозначно и имеют общее число k, а следовательно
(теорема 94), ====.
а с
Определение 40. При (а, т) — \, (с, т) = 1 две дроби — и —
называются сравнимыми по модулю т, если be ~ ad (modm).
Мы будем в этом случае писать —=•—- (modm). Согласно этому
определению сравнение — = — (modm) будет означать, что
(а, т) = \, (с, т) = \ и что bc = ad (modm), a следовательно,
по теореме 124 мы будем в этом случае иметь: —==.
а с
Таким образом, сравнимость двух дробей по рассматрива-
рассматриваемому модулю означает совпадение соответствующих классов.
В частном случае, если — = ?(modm), то ak~b (modm), т. е.
а а
Теорема 125. Если
Ь Ь'
то:
n be + ad b'd ± a'd' . , .
1) —=—eee ~—(modm),
; ас а С v •"
r,4 bd b'd' , , ,
2) —==-;—, (mod m).
' ас а с v '
Доказательство.-l) — = — (mod m) и — = — (modm) оз-
означают, что
ba' = ab' (modm) и dc' = cd' (mod m).
Умножая обе части первого из этих сравнений на ее', а вто-
второго—на аа' и складывая, получаем:
{be -J- ad) а'с' ==(b'c' + a'd') ас (mod m).
Поскольку при этом из {а, т) = (а', т) = (с, т) = (с', т) = 1
следует также, что (ас, т) = (а'с', т) = \, то последнее сра-
105

внение Можно записать в виде:
bc-\-ad Ь'с' -\-а!й'
ас
(mod m).
Для разности доказательство совершенно аналогично.
2) Перемножая сравнения ba' =ab' (modm) udc' ~ca" (modm),
получаем:
Ьа'dc' = ab'ca" (mod m), — = -г-7 (mod m).
Таким образом, согласно этой теореме операции сложения
и умножения сравнений с дробными членами производятся
по тем же законам, как операции с обыкновенными дробями.
Следующая теорема является . непосредственным следствием
теоремы 101 для случая, когда модуль—простое число.
Теорема 126. Множество всех классов по простому модулю
представляет собой поле.
Доказательство. Уже раньше (теорема 101) было дока-
доказано, что множество классов по любому модулю представляет
собой коммутативное кольцо по отношениям к введенным нами
операциям сложения и умножения. Если модуль р—простое
число, то, очевидно, существует по крайней мере один класс,
например 1, отличный от нулевого. Если класс и^О и Ь—про-
Ь—произвольный класс, то р\а, (а, р)= 1 и, следовательно, согласно
теореме 123 существует единственное вполне определенное част-
- Т — т-
ное х— = , т. е. ах = о.
а
Поскольку условие, при котором кольцо является полем,
выполнено, теорема доказана.
По составному модулю кольцо классов имеет делители нуля
(теорема 104) и, следовательно, заведомо не является полем.
ГЛАВА 13
СРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ
1. СРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ
Возьмем многочлен с целыми коэффициентами:
Рассмотрим сравнение /(%) = 0 (mod m), которое будем на-
называть сравнением с неизвестной величиной х. Если мы будем
в это сравнение вместо х подставлять различные целые числа,
то, вообще говоря, некоторые значения х могут удовлетворять
сравнению, т. е. соответствующие значения f(x) могут оказаться
делящимися на т. Поставим задачу отыскания множества всех
106

таких значении х, причем не исключена возможность и того,
что это множество может оказаться пустым. Эта задача анало-
аналогична алгебраической задаче нахождения решений уравнения
/(%) = 0. В алгебре мы ищем значения х, при которых f (х) об-
обращается в нуль. Решая сравнение / (х) = 0 (mod m), мы ищем
значения х, и притом целые, при которых f\x) делится на т,
т. е. имеет при делении на т остаток, равный нулю.
Оказывается, что сравнение /(л;) = 0 (mod m) либо вообще
не имеет места ни при каких значениях х, либо существует
бесконечное множество целых чисел х, удовлетворяющих срав-
сравнению, причем все эти значения х образуют некоторое число
классов по модулю т.
Теорема 127. Если некоторое число а удовлетворяет сра-
сравнению
то весь класс а состоит из чисел, удовлетворяющих этому сра-
сравнению.
Доказательство. Пусть а удовлетворяет сравнению
f (x)~0 (mod т), т. е. /(a)=0(mod т) и Ь ?a. Тогда 6 = a(modm)
и согласно теореме 86 f (&) = /(a)~0(modm). Таким образом,
вместе с а любое число Ь класса а также удовлетворяет данному
сравнению.
Согласно этой теореме если в классе имеется хотя бы одно
число, удовлетворяющее сравнению /(x)^O(mod m), то весь
класс состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению, а если
в классе имеется хотя бы одно число, не удовлетворяющее сра-
сравнению, то и весь класс состоит из чисел, не удовлетворяющих
сравнению. Принимая это во внимание, естественно решениями
сравнения называть не отдельные числа, удовлетворяющие сра-
сравнению, а соответствующие классы.
Определение 41. Решением сравнения f (х) = 0 (mod m) на-
называется класс по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяю-
удовлетворяющих этому сравнению.
Если класс а чисел по модулю т является решением сра-
сравнения /(x) = 0(modm), то говорят, что класс а удовлетворяет
данному сравнению. Соответственно определению 41 числом ре-
решений сравнения f (%) = 0 (mod m) называют число классов
по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению.
Задача нахождения чисел, удовлетворяющих сравнению
/(*¦) = 0 (mod m), сводится к нахождению классов, удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнению f(x) = O. Действительно, если /(a) = 0(modm),
то f (a) = 0; но тогда согласно теореме 103 / (a) = / (а) = 0. Легко
видеть, что и, наоборот, из f(a) = O следует /(a) = 0(modm).
Решение сравнения представляет собой частный случай общей
задачи решения уравнений. Особенностью этого частного случая
107

является то, что значениями неизвестного являются классы
по некоторому фиксированному модулю.
Число классов по данному модулю конечно, а именно по мо-
модулю т мы имеем т классов: 0, 1, ..., т—1. Если нам дано
сравнение f (x) = 0(modm), то мы можем, перебрав все эти
классы, выяснить, какие классы удовлетворяют этому сравнению,
а какие нет, т. е. найти все его решения.
Согласно теореме 127, для того чтобы узнать, удовлетворяет ли
класс сравнению, достаточно взять какое-либо число, принад-
принадлежащее классу, и проверить, удовлетворяет ли оно этому
сравнению.
Таким образом, чтобы решить сравнение /(x) = 0(mod m),
можно взять любую полную систему вычетов по модулю т:
хи х2, ..., хт, вычислить f(xy), f(x2), ..., f{xm) и отобрать
те xh при которых / (х{) делятся на т. Соответствующие классы до-
додадут все решения этого сравнения. Обычно в качестве xlt х2, ... хт
берут полную систему наименьших по абсолютной величине
вычетов.
Если сравнение имеет несколько решений alt . . ., as, иногда
эти решения записывают в виде x = alt ..., as(modm). Таким об-
образом, x = alt ..., ^(modm) означает, что х принимает любые
значения, сравнимые с одним из чисел аъ ..., as.
Примеры. Найти все решения следующих сравнений:
1) х3 — 2x + 6 = 0(mod 11). Непосредственная проверка по-
показывает, что в полной системе наименьших по абсолютной
величине вычетов
_5, — 4, —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
сравнению удовлетворяет только одно число 5. Решение запи-
записываем в виде х = 5 (mod 11).
2) A:4-|-2.x:3 + 6 = 0(mod8). В полной системе вычетов
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
ни одно число не удовлетворяет сравнению и, следовательно,
сравнение не имеет решений.
3) х*—х3—х2 + 5х—2 = 0 (mod 6). В полной системе вычетов
—2, —1, 0, 1, 2, 3
сравнению удовлетворяют два числа: —1 и 2. Сравнение имеет
два решения: х=—I(mod6) и % = 2 (mod 6).
Мы видим, что задача решения сравнений вида /(г)==
= 0(modm) гораздо проще, чем рассматриваемая в алгебре за-
задача решения уравнений f(x) = O. Решая уравнение /(л:) = 0,
мы обычно ищем решения в некотором бесконечном поле, на-
например в поле действительных или комплексных чисел, и не
можем путем испытаний перебрать все числа такого поля. Решая
108

сравнение /(x) = 0(modm), мы ищем решение в конечном кольце
классов по модулю т и поэтому можем с помощью конечного
числа операций найти все решения. Теоретически задача реше-
решения сравнений вида /(%M=0(modm) этим решена полностью.
Вместе с тем надо иметь в виду, что нахождение решений пу- •
тем таких испытаний при больших модулях довольно затруд-
затруднительно.
Дальнейшая теория таких сравнений имеет целью дать спо-
способы, позволяющие определять число решений, а иногда и на-
находить эти решения с помощью возможно меньшего числа опе-
операций.
Для сравнений вида / (х) = g (x) (mod m) можно сформули-
сформулировать теорему, совершенно аналогичную теореме 127.
Теорема 127'. Пусть f(х) и g(x)—многочлены с целыми
коэффициентами. Если некоторое число а удовлетворяет
сравнению
f(x)=g(x)(modm), A)
то весь класс а по модулю т состоит из чисел, удовлетворяющих
этому сравнению.
Доказательство. Если а удовлетворяет сравнению A),
то оно удовлетворяет и сравнению
f(x)-g(x) = 0(modm). B)
Вместе с а любое b?a также удовлетворяет сравнению B),
а следовательно, и сравнению A) (теоремы 127 и 87).
Определение 41'. Решением сравнения A) называется класс
по модулю т, состоящий из чисел, удовлетворяющих этому
сравнению.
Определение 42. Два сравнения
C)
D)
называются эквивалентными, если множество чисел, удовлетво-
удовлетворяющих одному из них, совпадает с множеством чисел, удовле-
удовлетворяющих другому сравнению.
Если тг = т2 и сравнения C) и D) имеют одни и те же ре-
решения, то мы, очевидно, будем иметь два эквивалентных срав-
сравнения по одному и тому же модулю.
Теорема 128. 1) Если к обеим частям сравнения f(x)^
=g(jc)(modm) прибавим любой многочлен са(х), то получим
сравнение, эквивалентное первоначальному.
2) Если обе части сравнения f (х) = g (x) (mod m) умножим
на одно и, то же число, взаимно простое с модулем, то получим
сравнение, эквивалентное первоначальному.
109

3) Если обе части сравнения и модуль умножим на одно и
то оке число k>0, то получим сравнение, эквивалентное перво-
первоначальному.
Доказательство. 1) Если при некотором х0
то
f (*о) + ш (*о) = ё (хо) + <» {х0) (mod m)
и, наоборот, из /(x0) + co(%0)=g(xc) + cD(;K0)(modm) следует
f(x0)=g(x0)(modm).
2) Если при некотором х0
) и {k, m) = \,
то
kf(xu)=kg(xu)(modm),
а из kf (х0) = kg (x0) (mod m) следует f(xo)~g(xo) (mo dm) (тео-
(теоремы 79 и 80).
3) Если при некотором х0
f(x0)=g(x0)(modm), E)
то
kf (х0) == kg (xQ) (mod km), F)
а из F) следует E) (теоремы 81 и 82).
Из теоремы 128 A) непосредственно следует, что сравнение
f (x)=g(x)(modm) можно заменить эквивалентным сравнением
f(x)—g(x)==Q(modm),
поэтому в дальнейшем достаточно рассматривать сравнения вида
F(*) = 0(modm) (F(x)*=f{x)—g(x)).
Теорема 129. Если co^co(modm), c1^c[ (mod m), ...,
сп^сп (modт), то сравнения f(x) = coxn-\-c1x"~l-\-... -f-
+ cn^0(modm) и g(x) = coxn + c'1xn~ljr ... -{-с'птее0 (modm)
эквивалентны.
Доказательство. 1) Умножим сравнения
со = с'о (modm), c1^Bc[(modm) cnssc'n (modm)
соответственно на xi, x"'1, ..., 1, где х0—некоторое целое
число. Складывая полученные сравнения, имеем:
Обе части этого сравнения могут только одновременно быть
сравнимы с нулем по модулю т, и, таким образом, сравнения
/ (х) == 0 (mod т) и g (х) = 0 (mod m) эквивалентны.
Согласно этой теореме, в частности, сравнение заменится
эквивалентным, если отбросить или добавить слагаемые с коэф-
коэффициентами, делящимися на модуль.
ПО

Определение 43. Степенью сравнения /(x) = 0(modm), где
f(x)—многочлен с целыми коэффициентами, называется степень
многочлена f(x).
Согласно этому определению эквивалентные сравнения могут
иметь разную степень. Например, сравнения 2л; + 1 =0(mod3)
и xs— I=0(mod3) эквивалентны. Степень первого из них рав-
равна 1, а степень второго 3.
2. СИСТЕМЫ СРАВНЕНИЙ
Более общей является задача решения системы сравнений:
где f1(x), f.i{x), ..., fs(x) — заданные многочлены с целыми
коэффициентами.
Если некоторое число а удовлетворяет этой системе, т. е.
если m1\f1(a), mz\f2(a), ..., ms\fs(a) и M = [mL, т.г, ..., mj —
наименьшее кратное тх, пц, ..., ms, a b — любое число, такое,
что b = a(mod M), то (теорема 86) для всех i(l^i^s),
ft(b) =ft(a) (mod M), а, следовательно, согласно теореме 89
f;(b)==fi(a) (modmi), т.е. /,.F) = 0(modm,) (l<i<s).
Мы видим, что вместе с каждым числом а, удовлетворяю-
удовлетворяющим системе G), этой же системе удовлетворяет и любое число
класса а по модулю М = [т3, т2, ..., ms]. Естественно весь этот
класс чисел рассматривать как одно решение этой системы.
Определение 44. Решением системы сравнений G), где
fi(x), ..., fs(x)—многочлены с целыми коэффициентами, на-
называется класс чисел по модулю M = [mlt m2, .... ms], состоя-
состоящий из чисел, удовлетворяющих всем сравнениям системы.
Соответственно этому число решений системы G) означает
число классов по модулю М, удовлетворяющих всем этим срав-
сравнениям. По модулю М имеется всего только конечное число
классов. Взяв полную систему вычетов по этому модулю, можно
проверить, какие именно числа этой системы, а значит, и соот-
соответствующие классы удовлетворяют G). Поступая таким обра-
образом, мы можем для любой системы сравнений найти все реше-
решения. В частном случае, когда модули всех сравнений одинаковы
и равны т, решениями являются классы по тому же модулю.
Примеры. 1) Найти решение системы сравнений:
xz—x + 3 = 0(mod9).
В полной системе наименьших по абсолютной величине вы-
вычетов по модулю 9 системе удовлетворяет только число 4.
Решение системы—класс х^4(mod9).
Ill

2) Найти решения системы сравнений:
х2 — 3x + 2:=0(mod6), 2;t2 + x + 2=E
Здесь Af = [6, 4] =12. В полной системе наименьших по
абсолютной величине вычетов по модулю 12 системе удовлетво-
удовлетворяют два числа, а именно ±2. Решения системы—два класса по
модулю 12; т.е. хе= ± 2(mod 12).
Еще более общей является задача решения системы сравне-
сравнений с несколькими неизвестными:
/i(*i. х2 xt)=E0(modm1) \
\, (8)
fs(xlt х2, .... xt)==0(modms) )
где fiiXi, хъ, ..., xt), ..., fs(xit хг, ..., ^ — многочлены с це-
целыми коэффициентами.
Если ((alt а2, ..., at)) — комплекс чисел, удовлетворяющих
системе, т. е. если
fy{ax, а2, . ..,at) = 0(modmj), .. .,fs(alt а.г at) = 0(modms);
M = [mlt m2, ..., ms] и bx=ax (mod M), b^^^a^ (mod M), ....
то, пользуясь теоремой 86' и рассуждая совершенно так же,
как в случае системы с одним неизвестным, получим, что
комплекс ((йц Ь2, ..., bt)) также удовлетворяет системе (8).
Естественно поэтому решениями системы (8) называть соответ-
соответствующие комплексы классов по модулю М.
Определение 45. Решением системы (8) называется комплекс
классов ((alt а2 at)) по модулю М = [т1г т2, ..., т9],
удовлетворяющий всем этим сравнениям. Соответственно этому
число решений системы (8) понимается как число таких раз-
различных комплексов.
Поскольку по модулю М каждая из t компонент комплекса
может принимать М различных значений, искомые решения
приходится отбирать среди М1 комплексов. Проверяя, удовлет-
удовлетворяет ли комплекс ((аи а„, ..., at)) системе, из каждого
класса аи а2, ..., at, обычно берут наименьшие по абсолютной
величине вычеты и подставляют их в рассматриваемые сравне-
сравнения. Поскольку М* даже при небольших Mat может оказаться
сравнительно большим числом, вычисления обычно получаются
длинными.
Пример. Найти все решения системы:
()
I==0(mod3).
Здесь М = [6, 3] = 6. Среди 36 комплексов чисел вида ((а, Ь)),
где —2ssa?g3, —2^b^3, имеется только два комплекса:
1J2

((—2, 0)) и (A, 3)), удовлетворяющих обоим сравнениям. Си-
Система имеет два решения:
1) x=—2(mod6), у == 0(mod6), 2) x=l(mod6), t/ = 3(mod6).
Примечание. Сравнение называется тождественным, если оно спра-
справедливо при произвольных значениях неизвестных.
ГЛАВА 14
СРАВНЕНИЯ 1-Й СТЕПЕНИ
1. СРАВНЕНИЕ 1-Й СТЕПЕНИ
Рассмотрим сначала случай одного сравнения 1-й степени
с одним неизвестным, т. е. сравнения
сг^0 (mod m).
Такое сравнение удобнее записать, перенеся с1 с обратным
знаком в правую часть в виде ах = 6 (mod m).
Теорема 130. Если (a, m) = d и d\h, то сравнение
ах = Ъ (mod m) не имеет решений.
Доказательство. Предположим, что существует хотя бы
одно число хс, удовлетворяющее сравнению, т. е. axo = b (mod m).
Тогда поскольку d\a и d\m, то (теорема 90) d\b, но это проти-
противоречит условию d\b. Предположение существования хотя бы
одного числа, удовлетворяющего сравнению, привело к проти-
противоречию, т. е. таких чисел нет.
Согласно этой теореме решения сравнения ax = b(modm)
будут разыскиваться только в случае, когда d\b. В этом случае
имеем a = a1d, m = mxd, b — bxd. Записав сравнение в виде
а^х~Ь^ (modm^), мы можем (теорема 128) заменить его
эквивалентным
axx~bx (mod тг),
где (alt mx)=l. Мы видим, что изучение сравнений 1-й степени
сводится к частному случаю, когда коэффициент при неизвест-
неизвестном и модуль—взаимно простые числа.
Теорема 131. Если (а, т)=\, то сравнение
ах = 6 (mod m) A)
имеет одно и только одно решение.
Дадим два доказательства этой теоремы. В первом доказа-
доказательстве мы обходимся без теорем главы 12. Второе доказатель-
доказательство короче, так как оно основано на теоремах главы 12.
1-е доказательство. Возьмем полную систему наимень-
наименьших неотрицательных вычетов по модулю т, т. е. числа 0, 1,
2, ..., т—1. Поскольку (а, т) = \, то согласно теореме 107
числа а-0, а-\, а-2 а(т—1) также образуют полную си-
систему вычетов, а значит, среди них найдется одно и только
одно, принадлежащее тому же классу, что и число Ь. Обозначив
ИЗ

это произведение через ах0, где О^хо^т—1, будем иметь
a;t0 = b(modm), т.е. класс х0 удовлетворяет сравнению A).
Это решение единственное, так как среди чисел 0, 1, 2, ...,
m—1, кроме х0, нет чисел, удовлетворяющих этому сравнению,
а значит, среди классов б, 1,2, ..., т—1, кроме х0, нет ре-
решений сравнения A).
2-е доказательство. Если (а, т) = 1, то класс а при-
принадлежит (теорема 122) группе классов, взаимно простых с мо-
модулем, а поэтому (теорема 123) существует единственный класс
хо = —, такой, что ахо = Ь, т. е. сравнение ax = b (modm) имеет
а
одно и только одно решение.
Для нахождения этого решения можно пользоваться следую-
следующей теоремой.
Теорема 132. При (а, т) = 1 решением сравнения ax = b (mod m)
является класс
)-1 (modm).
Доказательство. Применяя теорему Ферма, получаем
а фа® е*> -1) = Ьа® (т> = Ь (mod m),
и тогда согласно теореме 131 % = &a<p(m)~1 (mod m)—единствен-
m)—единственное решение сравнения A).
Пример. Решить сравнение 9х = 8 (mod 34).
Здесь (9,34) =1, фC4) = 16 и мы получаем:
При большом т и (а, т) = 1 нецелесообразно разыскивать
решение сравнения a;t = &(modm), подставляя вместо х числа
полной системы вычетов, или искать его по формуле
л>-1 (modm);
обычно значительно проще бывает воспользоваться следующей
теоремой.
Теорема 133. Если ^, ^, .... ?*=i , ?* = — — последова-
тельность подходящих дробей разложения ^- в цепную дробь
и (а, т)=\, то решением сравнения ах ^Ь (modm) является
класс
*==( —l^uP
Доказательство. По условию (a, m) = 1, а согласно
теореме 61 (Ps, Qs) = l; поэтому 7f = -^r есть равенство двух
несократимых дробей, так что (примечание к теореме 41) Ps = m,
Q, = a.
114

Согласно теореме 60
так что
aPs-i = (-l)s + mQs_1, сР,_1 = ( —l)'(modm).
Умножая это сравнение на (— \)sb, получаем:
а((—lYbP^^ — b {mod т).
Таким образом, число ( — \)ibPs_1 удовлетворяет сравне-
сравнению A) и (теорема 131) соответствующий класс представляет
собой единственное решение этого сравнения.
Пример. Решить сравнение 55л: = 7 (mod 87).
Разложение == в цепную дробь дает следующую таблицу
элементов а{ и числителей Pi подходящих дробей:
а,-
Pi
1
j
2
1
3
8
1
11
19
4
87
Здесь s = 6, так что класс *==( — 1N-7-19 = 46 (mod 87) —
искомое решение.
Теорема 134. Если (а,т) — \, a\b-\-sm, то х = m(modm) —
решение сравнения ах = b (mod m).
Доказательство, а ( т ] ~b-\-sm^b (mod/n).
Пользуясь этой тео"ремой, сравнение ax^=b(modm) последо-
последовательно заменяют эквивалентными (теорема 129) сравнениями:
m (mod m), ax=b ±
л:е=Ь ± 3m (mod m),
2m (mod m),
пока не попадется сравнение, в котором левую и правую части
можно сократить на а.
Поскольку условие a\b-\-sm при а^О означает, что
ms = — b (mod а), где (m, а) = 1, то s может быть найдено
в полной системе вычетов по модулю а, т. е. число испытывае-
испытываемых сравнений будет не больше, чем а.
Этот способ особенно целесообразен при небольших а. Напри-
Например, для сравнений вида 2л: = 6 (modm), где 2\т при 2|Ь реше-
решением будет x = y(modт), а при 2\Ь будет ;t = -i-^(mod m).
Пример. Решить сравнение 3x^20(mod 161).
При а — 2> число s можно выбрать среди чисел —1,0, +1.
В данном случае 3 j 20—161 сравнение Зл:;=20(тос1 161)
115

эквивалентно сравнению Зх =—141 (mod 161), так что х?=
= — 47 (mod 161).
Теорема 135. Если {a, m) = d и d\b, то сравнение ax = b (mod m)
имеет d решений. Все эти решения образуют один класс по
~. т
модулю —г.
Доказательство. Выше (стр. 113) было показано, что при
(а, т) = d и d | b сравнение ax~b (mod m) эквивалентно сравнению
вида a1x^^bl(modm1), где тх = ~ , (av mx) = 1.
Согласно теореме 131 такое сравнение имеет решение,
представляющее собой один класс по модулю -j , т. е. этому
сравнению удовлетворяют числа вида х = ос f mod-^ ], где а
может быть найдено применением способов, изложенных в тео-
теоремах 132—134.
Числа этого класса по модулю -^- образуют d классов по
модулю т (теорема 99), и решения сравнения ах ~b (mod m)
могут быть записаны в виде:
х = а (modm), я = а +-г(modm), ..., x = a-\-(d—l)-r(modm).
Пример. Решить сравнение 2(bc = 44(mod 108).
Здесь B0, 84) = 4 и 4 i 44. Сокращая обе части сравнения и
модуль на 4, получаем эквивалентное сравнение 5х= 11 (mod 27)
или Ъх = 65 (mod 27), т.е. х~ 13(mod27). Множество таких к
образует по модулю 108 четыре класса: 13, 40, 67, 94. Сравне-
Сравнение 20л: = 4 (mod 108) имеет четыре решения.
2. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ 1-Й СТЕПЕНИ
Пользуясь теоремами предыдущего раздела, можно для лю-
любого сравнения 1-й степени выяснить, имеет ли оно решения
или нет, и если имеет, то определить их число. Эти теоремы
можно применить к решению неопределенных, или, как их иначе
называют, диофантовых, уравнений 1-й степени.
Определение 46. Диофантовым уравнением 1-й степени с п
неизвестными называется уравнение вида
аххх + а2х2 + •.. -f-а„хп = Ь, B)
где все коэффициенты и неизвестные—целы,е числа и хотя бы
одно а,Ф0.
Определение 47. Решением диофантова уравнения B) назы-
называется комплекс целых чисел {{xlt x2, ..., хп)), удовлетворяю-
удовлетворяющий этому уравнению.
116

Теорема 136. При взаимно простых коэффициентах alt
а2, ..., ап диофантово уравнение
ал + а2х2 + ... + апхп =1 C)
имеет решение в целых числах.
Доказательство. Обозначим через М множество тех
положительных чисел Ь, для которых уравнение
alx1 + a.ix2+ ...
\-r, где 0<r<
ах—(а^ + о,,*,'-
— qx')+a2(—qx.
+ anxn = d.
d; тогда
{- ...+anXn)q =
[)+...+an(—qx'n)
имеет решение в целых числах. М, очевидно, не пусто, так как
при заданных at, a2, ..., ап можно подобрать целые значения
xlt х„, ..., хп, такие, чтобы а1х1 + q2x2 -}-... +апхп было поло-
положительным числом.
В множестве М (теорема I) существует наименьшее число,
которое мы обозначим через d(d?M). Обозначим через
х[, х'2 х'п целые числа, такие, что
Пусть a1
Мы подобрали целые значения: х1 = 1 — qxi, х2=—qx'2, ...,
..., хп= — qx'n, такие, что а1л1 + ад2-|-...+а„л;„ = г, но
Os?r<;d, a d — наименьшее положительное число в М, т.е.
г не может быть положительным, r = 0, ax — dq, d\av
Аналогично получаем: d\a2, ..., d\an.
Мы видим, что d—общий делитель чисел а1у а2, ..., ап,
следовательно, поскольку (alt ..., ап)—\, d\l, d=l, 1^7И,
т. е. уравнение C) разрешимо в целых числах.
Теорема 137. Пусть d—наибольший общий делитель коэф-
коэффициентов аи а%, ..., ап. Диофантово уравнение B) имеет ре-
решение тогда и только тогда, когда d\b. Число решений такого
уравнения равно либо нулю, либо бесконечности.
Докажем последовательно все три утверждения теоремы.
1) Пусть d | b. Для уравнения
Х1 "Г ~j[ Х2 Г • • •
) — 1. существу
удовлетворяющие ему (теорема 136), т. е. такие, что
где {% , ^ ' . <-f) — 1. существуют целые числа: с1( с2> ..., с„,
117

Тогда
r -1
т.е. ((^17. c2^ с„~)) —решение уравнения B).
2) Пусть теперь d\b. Тогда левая часть уравнения B) при
любых целых xlt х2, ..., хп делится на d, а правая на d не
делится, так что равенство B) при целых значениях хх, х%, .. .,хп
невозможно.
3) Если ((х[, х'2, ..., х'п)) — комплекс чисел, удовлетворяю-
удовлетворяющий уравнению B), то, например, все комплексы
((x[ + anj, x'2 — a,J, xs, ..., х'п)) при ^ = 0, ±1, ±2, ...
также удовлетворяют этому уравнению и, таким образом, у нас
либо совсем не будет решений, либо их будет бесконечное
множество.
Если хотя бы одна пара коэффициентов взаимно простая, то
d—l, и уравнение B) имеет бесчисленное множество решений.
Примеры. 1) Диофантово уравнение 9xt — 2\хг-{-6х3= 100
не имеет решений, так как здесь d = 3 и 3-f 100.
2) Диофантово уравнение 20а:1 + 6х2—1 Ъх3 + 35х4 = 12 имеет
бесконечное множество решений, так как здесь d=l.
Теорема 138. Если х0 удовлетворяет сравнению ax = c(modb),
то комплекс \(х0, с ~®х° \ ] есть решение диофантова уравнения
ax-{-by = c.
Доказательство. Из ax0==c(modb) следует, что °~?х°
есть целое число, и непосредственная проверка показывает, что
, , (с— ах„
Теорема 139. Пусть d—наибольший общий делитель а и Ь,
где афО, b^O, d\c и ((x0, у0))—некоторое решение диофантова
и равнения: , ,
ук ах + Ьу = с. D)
Тогда множество решений уравнения D) в целых числах совпа-
Ь_
1
дает со множеством комплексов ((%', у')), где х' = х0—-т t.
у' = #о + 7г^> а t—любое целое число.
Доказательство. Пусть ((х', у')) — произвольное реше-
решение диофантова уравнения D), т. е. пусть
ах'-\-Ьу' = с. E)
По условию, х0, у0 удовлетворяют уравнению D), т. е.
ахо-\-Ьуо — с. Вычитая равенство E) из последнего равенства и
ИЗ

деля все члены на d, получаем:
%(х0—х') = ~а (У' — Уо)>
где ^ и -J — целые числа. Тогда
-^(у'—у0), причем (теоре-
(теорема 40) (т-, т) = ^' так чт0 согласно теореме 41 имеем:
' — Уо> «/'—«/<> =
где t—некоторое целое число. Подставляя найденное значение
у' в E), получаем:
+ t)ax t
ax' = c—t
откуда х' = х0—jt.
Таким образом, любое решение уравнения D) будет иметь
вид:
, Ь , , а ,
Y V __ f II i I —i— Г
х — Ло d 1 > У — Уо~г^''
где /—некоторое целое число.
Обратное утверждение также верно. Пусть ((х', у')) — комп-
комплекс, такой, что
Ъ Q
Непосредственная проверка показывает, что
т. е. ((х', у')), — решение диофантова уравнения D).
Примечание. Теорема верна и тогда, когда а или Ь равны нулю.
Например, при а = 0, т. е. в случае уравнения О-х-^-Ьу = с, получаем d=>
= @, 6) = 6 и при Ь\с для у имеется единственное значение Уо = ~г . а х
произвольное целое. Любое решение этого уравнения можно представить в
виде х'=х0 — Х-t, у' = yo + 0-t, и при любом t такие х' и у' удовлетворяют
уравнению
О
Пример. Решить уравнение 50л:—42г/ = 34.
Здесь E0, 42) = 2, 2 [34. Рассматривая сравнение
= 34 (mod 42), находим последовательно:
4x=17(mod 21), 2x=19(mod 21),
x = 20(mod 21), хо = 2О,
так что 25-20 —21г/0= 17, уо = 23.
Любое решение данного диофантова уравнения имеет вид:
U9

3. СИСТЕМА СРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ
Перейдем теперь к рассмотрению системы сравнений 1-й сте-
степени с одним неизвестным. Рассмотрим сначала систему вида:
Их) )
х = с2 (mod m2) J "
Для краткости будем называть эти сравнения соответственно
первым и вторым.
Теорема 140. Пусть d — наибольший общий делитель, а
М—наименьшее кратное т1 и т{, тогда если d\c2—clt то
система сравнений F) не имеет решений, а если d\c2—clt то
система F) имеет одно решение, представляющее собой класс
чисел по модулю М-
Доказательство. Из первого сравнения F) получаем
x = c1Jr mxt. При любом целом t такие х удовлетворяют пер-
первому сравнению. Задача нахождения решений системы F) сво-
сводится, таким образом, к тому, чтобы выбрать такие t, при
которых х удовлетворяет и второму сравнению, т. е. найти все
целые t, такие, что
c1 + m1t^^c2 (mod m2).
Отыскание таких t свелось к решению сравнения 1-й степени
с неизвестной t:
m1tE^c2—^(mod т2). G)
Если при (mlt m2) = d будет d\c2—clt то (теорема 130)
сравнение G) не имеет решений, т. е. среди всех значений х,
удовлетворяющих сравнению x = cx(mod тх), нет ни одного,
которое удовлетворяло бы сравнению x = c2(mod m2), и си-
система F) несовместна. Если d\c2—clt то решение сравнения G)
можно записать (теорема 135) в виде класса по модулю -т2 ,
т. е. в виде:
^ % y = 0, ±1, ±2, ...);
подставляя эти значения t в уравнение x = c1Jrmit, выделяем
из множества значений х, удовлетворяющих первому сравне-
сравнению, те, которые удовлетворяют и второму:
(У = О, ±1, ±2, ...)•
Эти значения х образуют класс по модулю ^р == М (тео-
(теорема 92), т. е. x=p(mod M), где по теореме 34 M = [mlt тг].
В соответствии с определением 44 система имеет одно ре-
решение.
120

Примечание. Если тх и от2 взаимно просты, то d=\, M = x^
поскольку в этом случае при любых сх и с2 будет 1|с2—съ система F) для
таких модулей всегда имеет одно решение, представляющее собой класс
по модулю т,хтг.
Примеры. 1) Исследовать, имеет ли решение система:
x = 9(mod 34),
л: = 4 (mod 19),
и если имеет, то найти его.
Поскольку C4, 19) = 1, система имеет решение. Находим:
x = 9 + 34*E=4(mod 19), \Ы=—5(mod 19), 3^=— 1 =
= 18(mod 19), t = 6(mod 19), t = 6+\9y.
Подставляя это значение t в выражение для х, имеем:
х = 9 + 34F+19у) = 213 + 646у; x = 213(mod 646).
2) Исследовать, имеет ли решение система:
xss29(mod 63),
х ==9 (mod 35),
и если имеет, то найти его.
Поскольку F3, 35) = 7 и 7^29 — 9, то система не имеет реше-
решений.
Теорема 141. Система
х = сх (mod mx)
от,)
ms)
либо совсем не имеет решений, либо имеет одно решение.
При м е ч а н и е. В соответствии с определением 44 решение понимается
как класс по модулю, равному наименьшему кратному чисел:
Ш\у ТП%, . . . , tns.
Доказательство проведем индукцией по s. При s = 2 утверж-
утверждение теоремы верно в силу предыдущей теоремы.
Предположим, что утверждение теоремы верно для любых
s сравнений вида (8), и возьмем s+1 произвольных сравнений:
x==cs(mod ms)
x = cs+1(mod от,+1
Обозначим: M = [mlt ..., ms] и М'= [mx ms, tns+1].
Известно (теорема 33), что [М, ms+1] = M'. Согласно предполо-
предположению могут представиться только следующие две возможности:
1) Первые s сравнений не имеют решений. В этом случае и
система (9) не имеет решений.
121

2) Первые s сравнений имеют решение, представляющее
собой класс по модулю М. Тогда значения х, удовлетворяющие
первым s сравнениям, совпадают со значениями х вида
x^Ea(mod M), где a—некоторое целое, и система (9) экви-
эквивалентна системе:
( )
x~cs+1(mod ms+1).
Если 6 = (УИ, ms+1) и б^+1—а, то система не имеет реше-
решения, а если 6|ei+1—ос, то система имеет одно решение, пред-
представляющее собой класс по модулю [М, ms+l] = M'.
Таким образом, из справедливости утверждения теоремы для
любых s сравнений рассматриваемого вида следует справедли-
справедливость утверждения теоремы для любых s+1 таких сравнений.
Согласно принципу математической индукции утверждение тео-
теоремы верно для всех s 5з 2.
Если система (8) имеет решения, то их можно найти, решив
сначала первые два сравнения, добавив потом последовательно
третье и т. д., пока не будет исчерпана вся система.
Теорема 142. Если т1, т2, . . . , ms—попарно взаимно про-
простые числа, то система (8) совместна и имеет одно решение,
представляющее собой класс по модулю М = т1-т2-. ¦ ¦• ms.
Доказательство. При s = 2 утверждение верно в силу
теоремы 140 (см. примечание на стр. 121). Предположим, что
утверждение теоремы верно для любых s сравнений вида (8),
где {mh mj) = 1 при 1Ф\, и возьмем s+1 таких сравнений (9)
с попарно взаимно простыми модулями.
Согласно предположению значения х, удовлетворяющие
первым s сравнениям, совпадают со значениями % = a(mod M),
где M — mlt ... , ms, и система (9) эквивалентна системе:
х = а (mod M) \
ms+1) J
Поскольку ms+1 взаимно просто с каждым из модулей: ти
... , ms, оно взаимно просто и с их произведением, так что
Ш, mJ+1)=l.
Система A0), а следовательно, и система (9) согласно к тео-
теореме 140 имеет решение, представляющее собой класс по моду-
модулю Mms+1 = m1.. . msms+1, и, таким образом, утверждение верно
для любых s+1 сравнений рассматриваемого вида с попарно
взаимно простыми модулями. Согласно принципу полной матема-
математической индукции утверждение теоремы верно при любом s.
Пример. Решить систему сравнений:
x = 2(mod 7),
# = 5(mod 9),
х= 11 (mod 15).
122

Решаем сначала систему, состоящую из двух первых срав-
сравнений:
х = 5 + 9/ = 2(mod 7), 2t=~3(mod 7), ^~2(mod 7),
63).
Таким образом, данная нам система эквивалентна системе:
XEEE23(mod 63),
XEEEEll(mod 15).
Здесь F3, 15) = 3 и 3|23—11, так что система совместна.
Решаем ее:
х = 23+ 63у see 11 (mod 15), 3t/ = 3(mod 15),
у=1 (mod 5), у=1 + 5г, х = 23 + 63A+ 5z) = 86+315г.
Ответ. XEEE86(mod 315).
Для нахождения решения системы сравнений 1-й степени
с взаимно простыми модулями можно пользоваться следующей
теоремой.
Теорема 143. Пусть тг, т% ms—попарно взаимно про-
простые числа, М = т1>т2.. .ms\ yt, уг, . .. , ys подобраны так, что
~? (/1=l(modm1),-|L(/2EEEEl(mod т2), ... , -~-ys=\ {mod ms),
, М
-г/А-
Тогда решение системы
м
т.
'1
м
tns)
будет иметь вид: XE=x0(mod M).
Доказательство. Поскольку т,
-^— у1 ЕЕЕ51 (mod mx), получаем хо = -^— t/1c1EEEEC1(mod mx). Ана-
Аналогичным образом проверяем, что x0 = c2(mod тй), ... ,хоеез
^c^(mod ms), т.е. х0 удовлетворяет всем сравнениям системы.
Согласно теореме 142 решение этой системы представляет
собой класс по модулю М, т. е. #==x0(mod M).
Пример. Решить систему.
17),
#E==4(mod 11),
л;=а—3(mod 8).
125

Находим:
11-8^ = 1 (mod 17), 3^=1 (mod 17), ^ = 6;
17-8(/2=l(mod 11), 4i/,= l(mod Il),'y2 = 3;
17-ll</3E=l(mod 8), 3y3=l(mod 8), j/8 = 3;
*0=l 1-8-6-6+17-8-3-4—17-11-3.3== 125 (mod 17-11-8);
XE=125(mod 1496).
Рассмотрим теперь систему сравнений 1-й степени общего
вида:
%;*: = &! (mod mx)
а2х = Ь2 (mod m2)
asx = bs(mod ms)
Если хотя бы при одном t(l^j^s) для (a,-, mi) = di будет
d,"!'^,-, то (теорема 130) не существует значений х, удовлетво-
удовлетворяющих t-му сравнению, а, следовательно, система A1) не имеет
решений.
Если же для всех i dt \ bt, то каждое сравнение можно ре-
решить относительно х и заменить систему A1) эквивалентной
системой:
х = с-. mod -r
\ di
х = с2 (mod ¦—
Такая система согласно теореме 141 либо не имеет решений,
либо, если решения есть, то значения х, удовлетворяющие ей,
образуют класс по модулю \-^- , -~, ...,-— .
Пример. Решить систему сравнений:
11),
35),
5).
Решая каждое сравнение, заменяем эту систему эквивалент-
эквивалентной ей системой сравнений:
11),
7),
х = 4 (mod 5).
124

Применяя теорему 143, находим:
7-5-^5=1 (mod 11), f/i = 6; 11 • 5у2~= 1 (mod 7), уг = —1;
ll-7-s/3=l(mod 5), Уз = 3;
хо = 7-5-6-2—11-5-5+11-7-3-4 = 299 (mod 11-7-5).
Ответ. x = 299(mod 385).
Исторические комментарии к 14-й главе
1. Неопределенные уравнения 1-й степени начали рассмат-
рассматриваться еще индусскими математиками примерно с V века.
Некоторые такие уравнения с двумя и тремя неизвестными по-
появились в связи с проблемами, возникшими в астрономии, на-
например, при рассмотрении вопросов, связанных с определением
периодического повторения небесных явлений.
2. Во 2-м издании книги французского математика Баше де
Мезирьяка „Problemes plaisants et delectables qui se font par les
nombres", вышедшем в 1624 г., решается неопределенное урав-
уравнение ах — Ьу = \. Баше де Мезирьяк фактически применяет
процесс, сводящийся к последовательному вычислению непол-
неполных частных и рассмотрению подходящих дробей; однако он не
рассматривал непрерывных дробей, как таковых, и не употреблял
обозначений вида A) 5-й главы. Популярное сочинение Баше де
Мезирьяка оказало большое влияние на развитие теории чисел,
так как способствовало возникновению интереса к этой области
математики.
Баше де Мезирьяк известен и как поэт, писавший свои
стихи на многих языках. В 1621 г. он выпустил издание сочи-
сочинений Диофанта со своими примечаниями.
3. После Баше де Мезирьяка в XVII и XVIII веках раз-
различные правила для решения неопределенного уравнения
1-й степени с двумя неизвестными давали Ролль, Эйлер, Саун-
дерсон и другие математики.
Цепные дроби к решению таких уравнений были применены
Лагранжем, который, однако, замечает, что фактически это тот
же способ, который был дан Баше де Мезирьяком и другими
математиками, рассматривавшими неопределенные уравнения до
него.
Неопределенные уравнения 1-й степени стали записываться
и решаться в форме сравнения значительно позже, начиная с
Гаусса.
4. Задачи, сводящиеся к рассмотрению системы сравнений
1-й степени, рассматривались в арифметике китайского матема-
математика Сун Тзу, жившего примерно в начале нашей эры. У него,
как у целого ряда китайских, индусских, арабских и европей-
европейских ученых, решавших такие задачи после- него, вопрос ста-
ставился в следующей форме: найти число, дающее заданные
123

остатки при делении на заданные числа. Сун Тзу дает способ,
фактически эквивалентный тому, который дан у нас в теореме
143, и поэтому теорему 143 иногда называют китайской тео-
теоремой об остатках. Работа Сун Тзу стала известна в Европе
в 1852 г. Независимо от китайских математиков способ реше-
решения задач такого рода был дан индусским математиком Браме-
гупта E88—660).
Леонардо Фибоначчи в своей книге „Liber abaci" рассмат-
рассматривал задачу нахождения числа N, делящегося на 7 и имеющего
остаток, равный 1, при делении на 2, 3, 4, 5 и 6.
5. Система неопределенных уравнений 1-й степени впервые
встречается у китайских математиков VI века. Задачи, приво-
приводящие к таким системам, встречаются у Леонардо Фибоначчи и
у Баше де Мезирьяка.
Система п сравнений с п неизвестными изучалась Гауссом.
Полное исследование систем линейных сравнений было дано в
работах Фробениуса и Стейница в конце XIX века.
ГЛАВА 15
СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
1. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Переходя от сравнений 1-й степени к сравнениям более
высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот слу-
случай, когда модуль—простое число. В этом случае имеется ряд
весьма важных теорем, которые, вообще говоря, неверны для
составных модулей. Вместе с тем теория сравнений по простому
модулю является основой, на которой строится изучение срав-
сравнений по составному модулю.
Во всей этой главе буквой р будем обозначать модуль, пред-
представляющий собой простое число.
Теорема 144. Если р \ с0, то сравнение
c0*n-fc1A:B-1-f...+cB~0(mod p)
может быть заменено эквивалентным сравнением с коэффициен-
коэффициентом при старшем члене, равном единице.
Доказательство. Рассмотрим сравнение 1-й степени
c0y=l(mod р); поскольку р\с0, то (с0, р) = 1 и (теорема 131)
сравнение имеет решение. Найдем число у0, удовлетворяющее
этому сравнению, т.е. у0 такое, что c0y0=l(mod p).
Тогда сравнение сох" + с1х™+ ... +cn = 0(mod p) эквива-
эквивалентно (теорема 128) сравнению
(foi/o) хп + {с1Уо) *»-1 + ... + {спУо) = 0 (mod p),
126

а следовательно (теорема 129), сравнению
хп + Ь1хп~1+...+bn = 0(mod р),
где Ьх = Cjt/o(mod р), ... , bn == cnt/0 (mod p).
Пример. Заменить сравнение
59)
эквивалентным сравнением с коэффициентом при старшем члене,
равным 1.
Решаем сравнение 27 уо=1 (mod 59) и находим г/0 = 35. Дан-
Данное нам сравнение эквивалентно сравнению
x3+14-35x2— 10-35*+13-35 =~0 (mod 59),
т.. е. сравнению х3+ 18ж2 + 4%—17 = 0 (mod 59).
Теорема 145. Если f(х) и g(x) — многочлены с целыми коэф-
коэффициентами, то сравнения Ую простому модулю
f(%) = 0(modp) A)
/(*) — (*'-*)? (*) = 0 (mod p) B)
эквивалентны.
Доказательство. Пусть х0 удовлетворяет сравнению A),
т. е. f(x0) = 0(mod p). Поскольку при любом хо согласно тео-
теореме Ферма (теорема 119') х\—x0s=0(modp), то
f(x0)-(xp0-xo)g(xo)==0(modp).
Пользуясь той же теоремой Ферма, получаем, что если х0
удовлетворяет сравнению B), то / (х0) ==(xft—xo)g (x0) = 0 (mod p),
и, таким образом, сравнения A) и B) эквивалентны.
Из этой теоремы непосредственно вытекает следующая.
Теорема 146. Сравнение по простому модулю р, степень
которого больше, чем этот модуль или равна ему, может быть
заменено эквивалентным сравнением степени, меньшей чем р.
Доказательство. Пусть f(х)—многочлен с целыми ко-
коэффициентами степени п^р. При делении f(х) на хр—х со-
согласно известному способу деления многочлена на многочлен
неполное частное g(x) и остаток г (х) будут также многочленами
с целыми коэффициентами:
где степень г (х) меньше степени хр—х, т. е. меньше, чем р.
Согласно предыдущей теореме сравнения / (х) = 0 (mod р) и
г (х) = 0 (mod p) эквивалентны.
Примечание. Практически удобней пользоваться теоремой 145, заме-
заменяя каждое слагаемое многочлена Xs, где s^=p, слагаемым
S — ^P — X) xs-P==xs-ip-i)
127

степени, меньшей чем s. Следовательно, если s = (/?—l)g + r (I <r</7 — 1),
то Xs можно заменить на хг. Проделывая эту операцию для всех слагаемых
многочлена, достигнем того же результата, что и применением теоремы 146.
Пример. Сравнение х164-3х8—5х7—х* + 6х—2 = 0(mod7)
заменить эквивалентным сравнением степени, меньшей чем 7.
Решение. Согласно примечанию к теореме 146 мы полу-
получим эквивалентное сравнение, если заменим х16 на л:16~2-6 = л:4,
х8 на х2, х1 на х. Таким образом, заданное сравнение эквива-
эквивалентно сравнению
(л;4 + 3х2 — 5x)—х4 + 6х—2 = 0 (mod 7),
т. е. сравнению Зх2 + х—2 = 0 (mod 7).
Теорема 147. Если f(x), g(x), h(x), r (x)—многочлены с це-
целыми коэффициентами: / (х) = g (x) h (х) + г (х), и все коэффици-
коэффициенты г (х) делятся на простое число р, то любое решение
сравнения
/(x)=0(m"odp) C)
является решением по крайней мере одного из сравнений:
= 0(modp), /i(x)=0(modp). D)
Доказательство. Пусть х0 — решение сравнения C),
т. е. /(х0) = 0 (mod р). Поскольку все коэффициенты г (х)
делятся на р, будем также иметь г (х0) = 0(modp), а поэтому
g(xo)h(xo) = f {xo) — r (xo) = O {mod p).
Согласно теореме 105" из сравнимости произведения g (x0) h (x0)
с нулем по модулю р следует, что по крайней мере один из
этих множителей сравним с нулем по этому модулю, т. е. х0—
решение по крайней мере одного из сравнений D).
Пример. В сравнении х4+ 18х2 + 5 = 0 (mod 31) левую
часть можно представить в виде (х2—4) (х2—9) + C1х2—31),
и мы находим все решения этого сравнения, решая сравнения:
х2—4 = 0(mod 31), х2 —9E=0(mod31), т. е. x=±2(mod31)
и х = ± 3(mod 31). Все эти четыре класса удовлетворяют на-
нашему сравнению.
Для составных модулей эта теорема неверна. Например,
сравнению х2 + 4х = х(х + 4) = 0 (mod 12) удовлетворяет класс 6,
не являющийся решением ни одного из сравнений: х = 0 (mod 12),
*-f 4 = 0(mod 12).
Теорема 148. Сравнение степени п по простому модулю р
с коэффициентом при старшем члене, не делящимся на р,
может иметь не больше чем п решений.
Доказательство. Утверждение теоремы верно при п == 1.
Действительно, в этом случае мы имеем сравнение 1-й степени:
сох + С! = 0(modр), где р\с0, т. е. (с0, р)=1, а такое сравне-
сравнение (теорема 131) имеет в точности одно решение. Применим
128

теперь для доказательства теоремы метод полной математической
индукции.
Предположим, что утверждение теоремы верно для всех
многочленов (п—1)-й степени со старшими коэффициентами, не
делящимися на простой модуль р. Возьмем теперь произволь-
произвольный многочлен /1-й степени:
где р \с0, и рассмотрим сравнение
/(x) = 0(modp). E)
Если это сравнение не имеет ни одного решения, то число
решений меньше чем п.
Если же это сравнение имеет решения, то возьмем любое
число х0, удовлетворяющее ему, и разделим f (х) на х—х0.
Согласно теореме Безу (теорема XII) будем иметь:
Коэффициенты многочлена (п—1)-й степени
могут быть, как известно, найдены по схеме Горнера и пред-
представляют собой целые числа, причем Ь0 = с0.
Поскольку х0 удовлетворяет сравнению E), p\f(x0), т. е.
здесь применима теорема 147, то все решения E) находятся
среди решений сравнений х—#0 =е 0 (mod р) и g(x) = 0(modp),
удовлетворяя либо одному из них, либо обоим.
Сравнение х—x0==0(modp) имеет одно решение, а сравне-
сравнение g(x) = 0 (mod p), представляющее собой сравнение (л— 1)-й
степени по простому модулю с коэффициентом при старшем
члене Ьо — с0, не делящемся на р, согласно предположению
может иметь не больше чем п—1 решений. Таким образом,
сравнение E) имеет не больше чем 1 + (л—1), т. е. не больше
чем л решений.
Утверждение теоремы было проверено при л=1. Из спра-
справедливости утверждения для многочленов (п—1)-й степени сле-
следует справедливость этого же утверждения для многочленов
л-й степени. Согласно принципу полной математической индук-
индукции справедливость теоремы доказана.
Пример. л:0=31 удовлетворяет сравнению Их2 =65 (mod 103).
Найти все решения этого сравнения.
Очевидно, что вместе с классом 31 этому сравнению удов-
удовлетворяет и класс—31. Коэффициент при старшем члене И не
делится на простой модуль 103, поэтому сравнение не может
иметь больше двух решений.
Ответ. хе=±31 (mod 103).
5 А. А. Бухштаб 129

Для составных модулей эта теорема неверна. Сравнение
степени п по составному модулю с коэффициентом при старшем
члене, не делящемся на модуль или даже взаимно простом
с модулем, может иметь больше чем п решений. Например,
сравнение х2—3x + 2==0(mod6) имеет 4 решения: 1, 2, $, 5.
Теорема 149. Если сравнение степени п по простому модулю
р имеет больше чем п решений, то все коэффициенты сравне-
сравнения делятся на р.
Доказательство. Возьмем любое простое число р. Если
сравнение сох + С] = 0 (mod p) имеет больше чем одно решение,
то согласно теореме 131 (с0, р)Ф\, т. е. р\с0, а тогда и р\с1.
Таким образом, при л = 1 теорема верна. Предположим, что
утверждение теоремы верно для многочленов степени, меньшей
чем п, т. е. предположим, что число решений сравнения сте-
степени, меньшей чем п, может превосходить степень сравнения
только тогда, когда все коэффициенты делятся на модуль р.
Возьмем любое сравнение степени п:
c0xn + c1xn-1+...+cn = 0(modp), F)
имеющее больше чем п решений. Согласно теореме 148 в таком
сравнении с0 делится на р, а тогда сравнение
сгхп-1-{-...+сп~=0(тоАр), G)
эквивалентное (теорема 129) сравнению F), также имеет больше
чем п решений.
В сравнении G), степень которого меньше чем п, а число
решений превосходит степень согласно предположению, все
коэффициенты должны делиться на р, т. е. p\clt..., p\cn.
Поскольку уже раньше было установлено, что р\с0, утвержде-
утверждение теоремы верно для п. Согласно принципу полной матема-
математической индукции справедливость теоремы доказана.
Теорема 150. Пусть f (х) = х"+ сххп ~1 + ... + сп—многочлен
с целыми коэффициентами и свободным членом спф0 (mod p),
где р—простое число, причем р^п. Сравнение f (x) = 0(modp)
имеет п решений тогда и только тогда, когда все коэффициенты
остатка от деления хр~г—1 на f(x) кратны р.
Доказательство. Пусть xp-1 — l=f(x)g(x) + r(x), где
g(x) и г (х)—многочлены с целыми коэффициентами, причем
степень г (х) меньше чем п.
1) Докажем достаточность условия. Пусть коэффициенты
г (х) делятся на р.
Обозначим через S и Т соответственно число решений срав-
сравнений
(8)
(9)
130

Сравнение xp~l—l = 0(modp) по теореме Ферма имеет р — 1
решений. Каждое из этих р—1 решений согласно теореме 147
является решением хотя бы одного из сравнений: (8) или (9),
т. е. S + T^zp— 1.
Сравнение (9) степени р—1 — п имеет коэффициент при
старшем члене, равный единице, так что (теорема 148) Т <; р— 1—п
и, следовательно,
S^(p— 1) — Т^р— 1 — (р— 1 — п) = п.
Поскольку при этом в силу той же теоремы 148 S^n, по-
получаем S = n, т. е. из делимости коэффициентов г(х) на р сле-
следует, что число решений сравнения (8) равно п.
2) Докажем необходимость условия. Пусть сравнение (8)
имеет п решений. Если х0—решение сравнения (8), то
f (х0) = 0 (mod р) и вместе с тем, поскольку р \ сп, то р \ х0, а следо-
следовательно, согласно теореме Ферма Хо — ls=0(modp), так что
Таким образом, каждое из п решений сравнения (8) является
решением сравнения r(x) = 0(mod p), степень которого меньше
чем п. Согласно теореме 149 все коэффициенты г (х) делятся на р.
Пример. Сравнению х3= 1 (mod 13) удовлетворяют клас-
классы 1 и 3. Имеет ли это сравнение еще одно решение?
Деля х12—1 на х3—1, находим:
так чтог(х) = 0, последовательно, это сравнение имеет. три
решения.
2. СРАВНЕНИЕ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обоб-
обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида
f(Xl, *„..., jg==0(modp), A0)
где f(xlt x2, ..., xs)—многочлен с целыми коэффициентами,
а р—простое число. Непосредственным обобщением теоремы
146 является следующая.
Теорема 151. Если в левой части сравнения A0) некоторые
из неизвестных встречаются в виде степени с показателем ~^р,
то сравнение A0) можно заменить эквивалентным сравнением,
в котором степень каждого из неизвестных не превосходит р—1.
Доказательство. Рассуждая совершенно так же, как и
при доказательстве теоремы 145, убедимся, что сравнение A0)
эквивалентно сравнению
5* ' 131

rm g(xx, x2, ..., xs)—произвольный многочлен с целыми ко-
коэффициентами.
Если среди слагаемых f (xx, х2, .... xs) есть член вида
Axkl ... х\''... xk'(l s^i^s), где k{^р, то мы можем, взяв
g(хх, xit ..., xs)= Ax\x ... Xi'~p ... x*', заменить его членом
Ах\* ... х?'"^' ... xks, затем Ах*,1... xki~2 ^-^ ... xks> и т. д.
Если kj = (p—l)<7,- + rf, где 1 <;/•;</?—1, то в показателе
для х-, можно отбросить (р—1)<7г и получить эквивалентное
сравнение, в котором слагаемое Ах\* • ¦ ¦ xki... х*' будет за-
заменено на Axkl... Хс1... Хг'. Проделав такие операции для всех
слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему
с показателем ^р, получим сравнение, эквивалентное перво-
первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неиз-
неизвестному будет не больше чем р — 1.
Теорема 152. Если сравнение f(xlt х2, .... ;^) = 0(modp),
степень которого по каждому неизвестному меньше чем р,
удовлетворяется при всех целых xlt x2, ..., xs, то все коэф-
коэффициенты многочлена f(xlt x2 xs) делятся на р.
Доказательство. Проведем индукцию по числу неиз-
неизвестных s. При s= 1 утверждение теоремы верно. Предположим,
что утверждение теоремы верно при s — n, и возьмем произ-
произвольное тождественное сравнение f(x1 хп, xn+1) = 0 (mod p),
степень которого по каждому неизвестному меньше чем р. Если
k—наибольший показатель степени неизвестного хп+1, то срав-
сравнение можно представить в виде:
xn)xknll+...+gk(x1
= 0(modp),
где все g;(xlt ..., хп) — многочлены с целыми коэффициентами,
степени которых по каждому неизвестному меньше чем р. Если
вместо хх, ..., хп подставить любые целые числа, то получим
тождественное сравнение с неизвестной хп+1 степени k<Cp.
Согласно теореме 149 все коэффициенты этого сравнения:
go(xlt ..., х„), ..., gk{xl, ..., хп)—должны при любых значе-
значениях хх, ..., х„ делиться на р. Поскольку согласно предполо-
предположению для многочленов от п аргументов утверждение теоремы
верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно,
и многочлена f(xx, ..., хп, хп+х) должны делиться на р.
Согласно принципу полной математической индукции утвер-
утверждение теоремы верно для любого числа аргументов.
3. ПРИЛОЖЕНИЯ: ТЕОРЕМА ВИЛЬСОНА, ТЕОРЕМА ШЕВАЛЬЕ
В качестве приложения теоремы 150 докажем интересное
свойство простых чисел, которое обычно называют теоремой
Вильсона.
432

Теорема 153. Для любого простого числа р имеет место
сравнение:
(р—1I + 1=0 (mod p).
Доказательство. Пусть р5*3, т. е. р нечетно и
(-1ГХ=1.
Свободный член сравнения
f(x) = (x-\)(x-2)...(x-(p-l)) = 0(modp), A1)
равный (р—1)! = 1-2« • -(р—1), не делится (теорема 105") на р.
Классы 1, 2, ..., р—1 удовлетворяют этому сравнению, т. е.
число решений сравнения A1) равно его степени. Рассмотрим
равенство
x"-i-\ = f(x)-l + r(x),
где г (х)—остаток от деления хр~х—1 на f(x). Тогда согласно
теореме 150 все коэффициенты остатка
делятся на р. В частности, на р делится свободный член г(х),
равный по абсолютной величине (р—1)! + 1. При р = 2 утверж-
утверждение теоремы проверяется непосредственно.
Примеры.
1) р = 5, 4! + 1 = 25, 5|25.
2) р = 7, 61 + 1 = 721, 7|721.
Теорема 154. Если п—составное число, то
(п—1)! + 1 ^O(modn).
Доказательство. Пусть п составное, т. е. п = а-Ь, где
\<а<.п, \<.Ь<п; тогда а\(п—1)! и, следовательно,
а\{п—1I + 1, но тогда и подавно (примечание к теореме 6)
л{(л-1)! + 1.
Теоремы 153 и 154 показывают, что необходимым и доста-
достаточным условием того, чтобы число п > 1 было простым, является
делимость (л—1I+1 на п.
Иногда простое число р может быть делителем л! + 1, при
значениях п<.р — 1, например,
18!+ 1=0(mod23), 61! +1 s=(mod71).
Следующая теорема была доказана впервые Шевалье в 1936 г.
Теорема 155. Пусть f(xlt х%,..., xs)—многочлен с целыми
коэффициентами со свободным членом, равным нулю. Если степень
этого многочлена меньше чем число неизвестных, то сравнение
по простому модулю р
fib, хш ж,)-зО(modр), A2)
кроме очевидного решения (@, 0 0)), имеет по крайней
мере еще одно решение.
133

Доказательство. Пусть f(xlt'xt,..., xs)—многочлен
степени n<s со свободным членом, равным нулю.
Рассмотрим сравнение
(/(*!, х,,...; я,))'-*sI-O-x^KI-jcS-1)...
...A—*?~ ^(modp). A3)
Согласно теореме 151 сравнение A3) можно заменить экви-
эквивалентным сравнением
F(xt, *„..., х,) = 1-A-хГ1)A-хГ1)...
' A4)
в котором и левая часть будет иметь по отношению к каждому
неизвестному хх, х2, ..., xs степень, меньшую чем р.
Степень F(хх, х2, ..., xs) не больше чем степень
(f(xlt x2, ..., х^У'1, т. е. не больше чем п{р— 1), и, следо-
следовательно, меньше чем s(p — 1). Старшим членом в сравнении A4)
является член (—l)s+1xp1~1xP~1.. .xps~x, который не может со-
сократиться с левой частью, так как его степень s(p — 1) больше
степени всех членов левой части. Коэффициент при этом старшем
члене не делится на р, и, следовательно, согласно теореме 152
сравнение A4) не является тождественным. Сравнение A3),
эквивалентное сравнению A4), также не будет тождественным,
так что существует система значений х± = alt х2 = а2 xs=as,
не удовлетворяющая сравнению A3), т. е. такая, что
(/К, аа, ....сОК-^Е^-О-сОО-аГ1)...
...A—a?-l)(modp). A5)
Поскольку свободный член f(xlt x2,..., xs) равен нулю,
непосредственная проверка показывает, что комплекс (@,0,..., 0))
удовлетворяет сравнению A3), а значит, все эти аг, а.г, ..., о^
не могут одновременно принадлежать нулевому классу, и среди
них найдется по крайней мере одно а,-, такое, что р^а;.
По теореме Ферма (теорема 119) при р\а{ имеем:
так что из сравнения A5) получаем:
Согласно той же теореме Ферма это может быть только,
если
/4ai. «а aj = 0 (mod р),
т. е., кроме очевидного нулевого решения (@, 0, ..., 0)), срав-
сравнение A2) имеет по крайней мере еще одно, отличное от нуле-
нулевого, решение.
134

Пример. При любых целых а, Ь и с сравнение по простому
модулю р
ахг + by2 + сгг = 0 (mod р)
имеет решение, при котором по крайней мере одно неизвестное
не делится на р.
Исторические комментарии к 15-й главе
1. Теорема 148 была доказана Лагранжем в 1768 г. Лагранж
не рассматривал классы решений, а формулировал теорему,
говоря о наибольшем числе целых х, лежащих между — "f" и Т '
при которых /(х) делится на р. Доказательство, приведенное
у нас, близко к доказательству, данному Гауссом.
2. Варинг в своем сочинении „Meditationes Algebraicae",
вышедшем в свет в 1770 г., приводит без доказательства тео-
теорему 153. Варинг пишет, что теорема принадлежит его ученику
Джону Вильсону. Первое доказательство теоремы Вильсона
было дано в 1771 г. Лагранжем. Гаусс обобщил теорему Вильсона
на случай составного модуля (теорема 198 20-й главы).
ГЛАВА 16
СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
В этой главе будут рассмотрены способы приведения срав-
сравнений по составному модулю к сравнениям по простому модулю.
Следующая теорема показывает, что решение сравнений по
модулю т = р... р"', где р,- — простые числа, может быть
приведено к решению сравнений по модулям pfl. Во всей этой
главе f(x) будет обозначать произвольный многочлен с целыми
коэффициентами.
Теорема 156. Если m = pi1.../?"*—каноническое разложение
модуля т, то сравнение
/(x) = 0(modm) A)
эквивалентно системе сравнений:
Доказательство. Решения системы B) (определение 44)
представляют собой классы по модулю т, равному наимень-
наименьшему общему кратному чисел pi1, ..., pf'. Если . класс а по
133

модулю т удовлетворяет системе B), т. е. если
pi1 \f(а), ..., Ps'\f(a), то согласно теоремам 32 и 47, /(а)
делится на т,
/(a)==0(modm),
т. е. а представляет собой решение сравнения A).
Наоборот, если класс 5 удовлетворяет сравнению A), то
m\f (а), и поскольку р?1\т, имеем: p°'|f (a), f (a)=0(modpV) при
i=l, 2, ..., s, т. е. a—решение системы B).
Для нахождения решений системы B) обычно предварительно
решают каждое из сравнений этой системы. Если хотя бы одно
из сравнений B) не имеет решений, то и вся система несов-
несовместна, т. е. в этом случае сравнение A) не имеет решений.
Если каждое из сравнений имеет хотя бы одно решение, то
находим их в виде:
х = as (mod p°s
Значения x, удовлетворяющие всем этим сравнениям с вза-
взаимно простыми модулями, существуют и образуют класс по
модулю т, являющийся решением C), а следовательно, реше-
решением исходной системы B) и сравнения A).
Если некоторые из сравнений B) имеют больше чем по од-
одному решению, то мы получим несколько систем вида C), а
именно, если сравнение / (х) == 0 (modp"') имеет kx решений,
f(x)^0 (mod р°2) имеет k% решений, ..., /(х) == 0(modр"') име-
имеет ks решений, то мы можем составить kr-k%'...^ks систем
вида C), каждая из которых даст по одному решению си-
системы B), и тогда система B) и сравнение A) имеют &1-^2*... -ks
решений.
Можно сформулировать полученный нами результат в виде
следующей теоремы.
Теорема 157. Число решений сравнения A) равно kx-k%-... -ks,
где klt k2, ..., ks соответственно равно числу решений каж-
каждого из сравнений B).
Пример. Решить сравнение хг — 3# + 23== о (mod 63).
Сравнение эквивалентно системе:
х2 — Зх +23== 0 (mod 7),
х2 — Ъх + 23 == 0 (mod 9).
Для сравнения х2—3x+2 = 0(mod7) находим два решения:
x=l(mod7) и x = 2(mod7), а для второго сравнения
136

х* — Зх + 5 =0 (mod 9) — два решения: х = 4 (mod 9) и
х = 8 (mod 9). Решаем четыре системы:
1) x==l(mod7), 2) x==l(mod7),
x=E4(mod9); x = 8 (mod 9);
3) x=i2(mod7), 4) x=32(mod7),
x = 4(mod9); x = 8(mod9)
и находим следующие решения: 1) # = 22 (mod 63),
2) x = 8(mod63), 3) x==58(mod63), 4) x=-44 (mod63).
Рассмотрим теперь сравнение по модулю р", где р — простое
число. Покажем, что нахождение решений таких сравнений
сводится к решению сравнений по простому модулю.
Теорема 158. В каждом классе а по простому модулю р, удов-
удовлетворяющем сравнению f (х)=в0(то<1р), таком, что p^f (a),
числа, удовлетворяющие сравнению /(x) = 0(modp*) (k^l), обра-
образуют класс по модулю ph.
Доказательство. Применим метод полной математиче-
математической индукции по k. Пусть f (х) — произвольный многочлен с
целыми коэффициентами и а, такое, что p\f(a), p\f (а). Сте-
Степень f(x) обозначим через п{п^\). При k=\ утверждение
верно по условию. Предположим, что утверждение верно при
некотором k, т. е. предположим, что среди чисел
..., а — р, а, а + р, а + 2р, ..'.
числа, удовлетворяющие сравнению
f(x) = 0(modph), D)
образуют один класс по модулю pk вида
л: = 6 (mod/). E)
Число b?a, так что &== a (mod p), f (b) = f (a) (mod р) (теоре-
(теорема 86) и из условия p\f (а) следует p\f (b). Поскольку b удов-
удовлетворяет сравнению D), то f(b)==O(modpk), '-—¦ —целое число.
Сравнение первой степени f (b)-t+ '-^-^0 (mod p), у кото-
которого коэффициент при неизвестном и модуль взаимно просты,
имеет решение, так что можно подобрать число t0, такое, что
r(b)pkt0 + f(b)=EO(modp"+i). F)
Тогда класс чисел по модулю р*+1
x=sy(modpk+1), G)
где у = НЛр удовлетворяет сравнению
/(*)ssO(modp*+1). (8)
137

Действительно, в разложении f(b-\-pkt) по степеням pkt
(теорема Ньютона)
2+. ¦ • +сп (pkt0)a,
f W) lb)
f W) lb)
все cs = l—p-^ — целые числа, и поскольку при k~s>\ будет
S I
S + , то все слагаемые, начиная с третьего, делятся на
рк+1, так что
f(\) = f(b + Р%) = /(*) + р V Ф) =в 0 (mod р*+*).
Таким образом, класс G) по модулю pk+1 удовлетворяет
сравнению (8).
Докажем, что среди чисел вида E), кроме класса G), не
существует других классов по модулю pk+l, удовлетворяющих
сравнению (8). Заметим прежде всего, что поскольку у = Ь =
?=a(modp), то р\\' (у). Возьмем среди чисел вида E) какое-
либо число Yi = a + ps^i> удовлетворяющее сравнению (8); тогда
Yi—y = pk{t\ — А>)> так что> разлагая по формуле Тейлора,
имеем:
/ (Yi) = f (У+Рк (ti-to))=f(y) + pk (/x-g /' (Y) (mod pft+1). (9)
Поскольку pk+1 If (yi), pk+1\f{y) и вместе с тем p\f (у), то
(9) показывает, что р \ tx—tf0, так что из Yi —Y = P*(^i~^o) по-
получаем Yi = Y(rnodp*+1); Yi принадлежит по модулю рк+1 тому
же классу, что и y-
Мы видим, что из справедливости теоремы для k следует
справедливость утверждения для k+l. Согласно принципу пол-
полной математической индукции теорема верна при любом k~^\.
Мы видим, что для того, чтобы, зная решение x = fr(modp*)
сравнения D), такое, что p\f (b), найти решение х = у (modpk+1)
сравнения G), надо взять y = b-\-pkt0, где t0 удовлетворяет
сравнению F).
Доказательство теоремы таким образом эффективно и дает
возможность для каждого решения а сравнения /(x)=E0(modp),
такого, что р\\' (а), найти последовательно решения сравнений
f(x) =0(modp2), ..., /(х) = 0(modр") при любом сколь угодно
большом а.
Прим ер. Решить сравнение х3 — 2х2 — 30х + 41 ^0(mod 125).
Здесь f{x) = x3—2х2 — 30л; + 41, 125 = 53. Решаем сначала
сравнение /(x)^0(mod5), эквивалентное сравнению х3—2х2 +
+ 1 = 0(mod5), и находим для него решение х=в 1 (mod 5). Со-
Составляем сравнение /'A) ^+Ц-^^0 (mod 5), т. е. — ЗМ-|-2е=
=.0 (mod 5) или tf = 2 (mod 5). Беря to = 2, находим решение
сравнения f (х) = 0 (mod 25) в виде хее= 1 + 2-5= 11 (mod 25).
Составляем сравнение /'(Il)f + ^i~0(mod5), т. е. 289/ +
138

+ 32 = 0 (mod 5), решением которого является / = 2 (mod 5),
т. е. в качестве t0 здесь также можно взять to = 2.
Решение сравнения f(x) = 0 (mod 125) будет иметь вид х==
= 11+ 2.25(modl25), т. е. х = 61 (mod 125).
Теорема 159. Пусть p\f (а)и
x = a(modp*) A0)
решение сравнения f(x) = O (mod pk).
1) Если pk+1\f(a), то среди чисел A0) нет ни одного числа,
удовлетворяющего сравнению
f(x)==0(modp*+1). A1)
2) Если рк+1\[(а), то все числа A0) удовлетворяют сравне-
сравнению A1).
Доказательство. Разложим f(a-\-pt) по степеням р t:
f{a + pkt) = f(a) + f'(a)p4 + c%{pkt)*+...+cn{pkt)n, A2)
где п—степень f(x),c<. = -—p-^-—целые числа B^s^n). По
условию p\f'(a) и при k^\ 2k~^k-\-\, так что все слагае-
слагаемые правой части A2), начиная со второго, делятся на рк+1.
1) Если pk+1^f(a), T0 правая часть равенства A2) не делится
на рк+1 (примечание к теореме 11) ни при каком /, и из этого
равенства получаем р*+1-|7 (а+ /)**)» т. е. среди чисел A0) нет
ни одного, удовлетворяющего сравнению A1).
2) Если pk+1lf(a), то правая часть A2) при любом целом t
делится на p*+1; p*+1[/ (a-\-pkt), т. е. все числа A0) удовлет-
удовлетворяют сравнению A1).
Теорема 159 показывает, что в случае p\f'(a) среди значе-
значений х, удовлетворяющих сравнению f (x) = 0(modp), может не
быть чисел, удовлетворяющих сравнению
*), A3)
но может быть и несколько классов по модулю ра, являющихся
решениями сравнения A3).
ГЛАВА 17
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
1. ПОКАЗАТЕЛИ КЛАССОВ ПО ЗАДАННОМУ МОДУЛЮ
В этой главе мы рассмотрим вопрос о распределении в
классах по модулю т последовательности:
а, а2, а3, .... A)
где а—некоторое число, взаимно простое с модулем.
В начале главы 11 было показано, что среди этих степеней
должны существовать степени ак, сравнимые с единицей по
139

модулю т. Мы будем рассматривать наименьшее положитель-
положительное k, при котором a*s I (mod/n), и называть его показателем
а по модулю т.
Определение 48. Показателем а по модулю т (будем обозна-
обозначать его через Рт{а)) называется наименьший положительный
показатель степени а, сравнимой с единицей по модулю т.
Если модуль т фиксирован, то показатель Рт(а) зависит
только от выбора а, в этом случае будем обозначать его для
краткости Р(а). Согласно этому определению Р(а) означает
положительное число, такое, что
причем при всех г, таких, что 1<г<Р(а), аг ф 1 (mod/n).
Примеры. 1) Найти РцC).
Легко проверить, что
3\ 32,33,3*, 38е? 1 (mod 11), а 36=е 1 (mod И), так что РпC) = 6.
2) Найти по модулю 15 Р B) и Р A1).
21, 22, 23^l(modl5), а 2* = 1 (mod 15), так что РB) = 4.
H2=l(mod 15), так что РA1) = 2.
Рассмотрим свойства функции Р (а), причем во всей этой
главе, не оговаривая этого каждый раз, будем считать, что
(а, /п) = 1.
Теорема 160. Если b = a (mod/n), то Р{Ъ) = Р(а).
Доказательство. При b~ a (mod/n) для любого нату-
натурального s bs^a*(modm) (теорема 85). Из ар(a> = I (modm)
следует Ьр(а> = 1 (mod/n), а из аТф\ (mod/n) при ls^r<P(a)
следует, что при таких г будет также и б7"?^ 1 (mod/n), т. е.
действительно Р (b) = P (а).
Согласно этой теореме для всех чисел, принадлежащих од-
одному и тому же классу а, показатель по модулю m одинаков.
Мы можем поэтому рассматривать Р (а) как функцию, опреде-
определенную на множестве классов, взаимно простых с модулем, и
обозначать ее в виде Р(а).
Теорема 161. Если а" = 1 (mod/n), то Р(а)\п. Иными сло-
словами, показатели всех степеней а, сравнимых с единицей по
модулю /п, кратны наименьшему положительному из них.
Доказательство. Представим п в виде n — P(a)q + r, где
P). Поскольку а" == 1 (modm) и аРЮ== 1 (mod/n), то
Согласно определению 48 при всех г, таких, что 1 ^ г •< Р (а),
аг несравнимо с единицей по модулю /п, и, таким образом, г
может равняться только нулю, т. е.
n = P(a)q, P(a)[n.
НО

Теорема 162. Р(а)|ф(/п).
Доказательство. По теореме Эйлера ач>(/п)=* 1 (modm),
следовательно, согласно предыдущей теореме имеем Р (а) | ф (т).
Если вместо чисел а брать классы а, то теорема 162 будет
представлять собой частный случай общей теоремы теории групп,
согласно которой порядок любого элемента группы—делитель
порядка группы.
Теорема 162 может быть дана в несколько более усиленном
виде.
Теорема 162'. Р(a)\L (т), где L{m)—обобщенная функция
Эйлера (определение 38).
Доказательство. При {а, т) — \ aL(m) = 1 (modm) (тео-
(теорема 121), и тогда согласно теореме 161 P(a)|L(m).
Теоремы 162 и 162' показывают, что показатели по модулю
т достаточно искать среди делителей ф (т) и даже среди дели-
делителей L(m).
Примеры. 1) По модулю т = 22 найти Р C) и РG).
Ф B2) = 10, поэтому значениями Р (а) могут быть только 1, 2,
5 и 10. Находим З1, З2 =ё 1 (mod22), З9 =2 1 (mod22), РC) = 5.
Для а = 7 имеем: 7,72,75 =ё 1 (mod 22) и, следовательно, Р{7) = 10.
2) По модулю /п=133 найти Р B).
Находим L A33) =18, так что РB)— одно из следующих
чисел: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Поскольку 2\ 22, 23, 2е, 29 ^ 1 (mod 133),
то РB)=18.
Теорема 163. Сравнение oJ=o'(modm) имеет место тогда
и только тогда, когда s = t (mod P (a)).
Доказательство. 1) Пусть а*== a1 (modm), s^t; тогда,
поскольку (а, т) = 1, обе части этого сравнения можно (тео-
(теорема 80) сократить на а*, так что а*~*= 1 (modm). Согласно
теореме 161 будем иметь P(a)\s—t, s==/ (modP (а)). Случай
t>s^sO сводится к уже рассмотренному, так как левую и
правую части сравнения можно поменять местами.
2) Пусть s==/(modP(a)), sss/ssO. Тогда s = t + P(a)y,
где у целое неотрицательное.
а*= at+p <«> * = af (ap W)y == a* (mod m).
Случай />s2s0 сводится к уже рассмотренному.
Теорема 164. В последовательности A) все числа принадле-
принадлежат Р (а) классам, представителями (вычетами) которых яв-
ляются числа: а, а\ а\ ..., а*>«\ B)
Доказательство. Числа B) попарно несравнимы между
собой. Действительно, согласно теореме 163 as = a*(modm)
только тогда, когда s = t (modP(a)); но среди показателей сте-
степеней а в последовательности B) нет сравнимых по модулю Р (а).
С другой стороны, в силу той же теоремы, если показатели
двух степеней а сравнимы по модулю Р(а), то степени сравнимы
141

по модулю т, поэтому в последовательности A) не может быть
больше чем Р (а) несравнимых по модулю т чисел, т. е. каж-
каждое число вида aN(l^N^oo) сравнимо с некоторым числом
последовательности B).
Пример. По модулю т = 21, РB) = б. Среди степеней ос-
основания 2 попарно несравнимыми величинами являются степени:
2\ 22 = 4, 23 = 8, 2* = 16, 25 =э 11, 2е == 1 (mod 21),_и, таким_обра-
зом, все числа вида 2s принадлежат классам 1, 2, 4, 8, 11, 16.
Теорема 165. Р (а*) = Р (а) тогда и только тогда, когда
(s, Р(а))=1.
Доказательство. 1) Пусть (s, P(а))= 1. Найдем наимень-
наименьшее положительное целое число у, такое, что (as)y == I (mod /и).
Из последнего сравнения получаем ауу= 1 (mod/и), т. е. согласно
теореме 161 должно быть P(a)\sy; но, поскольку (s, P(a))=l,
это может быть только при Р (а) | у, и наименьшее положитель-
положительное значение у, удовлетворяющее поставленному условию, рав-
равно Р(а).
2) Пусть (s, P(a)) = d> 1. Тогда —— и -j —целые числа и
(a3) d ={apW)d =1 (modот), т. е. Р{а°)<~^<Р(а).
Эта теорема показывает, что среди степеней последователь-
последовательности B) все степени as, у которых s взаимно просто с Р(а),
имеют тот же показатель по модулю т, как и само а.
Пример. По модулю т =19, РE) = 9. Среди степеней
основания 5:5х, 52, 53, 54, 55, 5е, 57, 58, 59 — подчеркнуты те,
у которых показатели взаимно просты с 9. Для всех этих сте-
степеней и всех чисел соответствующих классов 5, 52 = 6, 5* =17,
55 = 9, 57=16, 58 = 4 показатели также равны 9.
Теорема 166. Если по модулю т P(a) — k, то классы
Ъ,~а\ ...Га" C)
представляют собой различные решения сравнения'.
**=l(modm). D)
Доказательство. Если P(a) — k, то а*= 1 (modm), и
тогда при любом s^O (as)k—(ak)s=. I (mod m), так что все числа
as удовлетворяют сравнению D),' т. е. классы C) — решения
этого сравнения.
Согласно теореме 164 все эти решения различны.
Примечание. Кроме классов C), сравнение D) может, вообще гово-
говоря, иметь и другие решения. Например, при /п=36, РE) = 6 классы 5^
ЕГа = 25, ^ = 17, {? = 13, Р = 29, 5^== 1 являются решениями сравнения дс» =э
«s l_(mod 36),_но это сравнение имеет и другие решения, а именно (классы)
7, И, 19, 23, 31,35.
142

Оказывается, и мы это установим в следующей теореме, в
случае, когда модуль т—простое число, классы C) исчерпы-
исчерпывают все решения сравнения D).
Теорема 167. Если по простому модулю р имеем P(a) = k,
то классы
а, а2, .... а* E)
представляют собой все решения сравнения
xk= I (mod p). F)
Доказательство. В теореме 166 уже было установлено,
что классы E) являются различными решениями сравнения F).
Поскольку модуль р — простое число, сравнение F) (тео-
(теорема 148) не может иметь больше чем k решений и, таким
образом, классы E) исчерпывают все возможные решения этого
сравнения.
Пример. Зная, что 2 удовлетворяет сравнению
*8=El(mod 17),
найти все решения этого сравнения.
Так как ф A7) = 16, то Р17B) находится среди чисел 1, 2,
4, 8, 16. Непосредственная проверка показывает, что РB) = 8.
Решениями данного сравнения являются классы:
2", 22 = 4, 2» = 8, 2* =16, 25 =
= ТЗ, 27=9, 28=Г.
2. ЧИСЛО КЛАССОВ С ЗАДАННЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Если мы возьмем все классы, взаимно простые с модулем т,
то каждый такой класс а принадлежит некоторому показателю
k = P(a), причем (теорема 162) k\(p(m).
Мы будем рассматривать при заданном т число классов,
для которых показатель по модулю т равен k, и обозначать
это число через ty (k).
При ft/ftp (т) число k не может быть значением Р (а), так
что при k\(f (m) имеем яр (k) = 0.
Примеры. 1) При /п=11 имеем фA1)= 10. Возможные
значения k — P(a) должно быть среди делителей 10, т. е. среди
чисел 1, 2, 5, 10. Составим следующую таблицу значений Р (а):
а
k = P (a)
1
1
2
10
3
5
4
5
5
5
6
10
7
10
8
10
9
5
10
2
В первой строке выписаны представители всех классов, вза-
взаимно простых с модулем, а во второй строке—соответствую-
143

щие значения Р (а). Таким образом, по модулю 11 имеется один
класс, показатель которого равен 1, один класс, показатель
которого равен 2, четыре класса, показатели которых равны 5,
и четыре класса, показатели которых равны 10, т. е. при /п=11
имеем:
2) При /л = 20 фB0) = 8. Возможные значения ft= 1, 2, 4, 8.
Соответствующая таблица будет иметь вид:
а
Р(а)
1
1
3
4
7
4
9
2
11
2
13
4
17
4
19
2
»D) = 4,
Теорема 168.
2
*|Ф
Доказательство. Выпишем все положительные дели-
делители ф(/и), обозначая их через Лг == 1, Л2, ..., ?s = q>(m). Всего
по модулю т имеется <р(т) классов, взаимно простых с т, и
каждый из этих классов имеет в качестве показателя одно из
чисел: klt k2, ..., ks (теорема 162).
Некоторые из этих классов имеют показателем klt причем
число таких классов равно г|з (&х), некоторые имеют показате-
показателем k%, причем число таких классов равно "ф(&2). и т- Д- Д°
последней части этих классов, в которую войдут г|)(/г,) классов
с показателями, равными ks. Сумма
равна общему числу классов, взаимно простых с модулем т,
т. е. равна ф(/и) и, таким образом,
2 * (*)¦=* (*i)+*(*•)+•••+*(*.)=ф(«)-
* | Ф (т)
Пример. В примере 1 к предыдущей теореме было вычис-
вычислено, что по модулю 11 1|зA) = 1, i|)B) = I, if E) = 4, 1|зAО) = 4,
|
Теорема 169. По простому модулю р для любого целого
Доказательство. Рассмотрим классы, для которых по-
показатели по модулю р равны k. Если таких классов не суще-
существует, то я|)(?) = 0, т. е. ¦ф(й)<ф(А). Если существует хоть
144

один такой класс а, т. е. если Р (а) — k, то согласно теореме 167
классы _ _ _
а, а2 а* G)
образуют все решения сравнения .**= 1 (mod р).
По теореме 165 P(as) = P(a) тогда и только тогда, когда
(s, k)=l. Число таких s (lss?Ss=?&) равно q>(&), так что число
классов в G), у которых показатель равен k, тоже равно <p(k).
С другой стороны, любой класс Ь, у которого показатель по
модулю р тоже равен k, должен удовлетворять сравнению F),
и поэтому Ъ должен находиться среди классов G).
Это значит, что, кроме ф(&) классов, имеющихся в G),
вообще не существует других классов, у которых показатель
равняется k, т. е. ip(fe) = (p(&). Мы видим, таким образом, что
г|з (k) может равняться либо нулю, либо ф (k), т. е. во всяком
случае ф (k) «S ф (k).
Теорема 170. По простому модулю р при k\p—1 всегда
) ф()
Доказательство. Согласно теоремам 118 и 168 при мо-
модуле т, равном простому числу р, имеем:
Цф(А) = р-1, (8)
*1р-1
2ф(*) = р-1. (9)
*|р-1
Поскольку в формулах (8) и (9) k пробегает одни и те же
значения, то, вычитая (9) из (8), можно объединить попарно
слагаемые с одними и теми же значениями k, так что
2 0- (Ю)
Согласно теореме 169 if (k) «S Ф {k), т. е. все слагаемые в ле-
левой части равенства A0) неотрицательны. Сумма неотрицатель-
неотрицательных слагаемых может равняться нулю только, если все сла-
слагаемые равны нулю, т. е. при всех k\p—1 •
Пример. Для простого модуля 11 в примере на страни-
странице 143 было найдено, что г|>A) = 1, г|>B)= 1, грE) = 4, Ф(Ю) = 4,
и действительно имеем также фA)=1, фB) = 1, фE) = 4,
ФA0) = 4.
ГЛАВА 18
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ
1. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Определение 49. Класс а, где (а, т)=\, называется перво-
первообразным корнем по модулю т, если показатель а по этому
модулю равен ф(/п), т. е. если РC) = ф(/п).
145

Вместе с классом а мы будем называть первообразными
корнями и все числа этого класса.
При (a, m)=l a1» <m> г= 1 (mod m) и (теорема 162) Р(а)|ф(/п),
поэтому, если все собственные делители ф(/п) не являются зна-
значениями Р{а), то Р (а) может равняться только <р(/п). Таким
образом, чтобы убедиться, что а, где (а, т)=\, — первообраз-
первообразный корень по модулю т, достаточно проверить, что ак Ф
^l(d) k\{) l&)
у
^l(modm) при всех k\y{m), таких, что
Пример. По модулю 54 класс 5—первообразный корень.
Действительно, ф E4) =18. Собственные делители фE4) равны
1, 2, 3, 6, 9. Легко проверить, что 5* ф 1 (mod 54) при k—\,
2, 3, 6, 9.
Для простого модуля т = р имеем ф(р) = р—1. Первообраз-
Первообразными корнями по простому модулю р являются классы, пока-
показатели которых по_ этому модулю равны р—1, т. е. классы
а, для которых Р(а) = р—1.
При р\а (т. е. (а, р) — 1) класс а будет первообразным кор-
корнем по модулю р, если при всех k\p—1, таких, что l^fe<!
<.р — 1, а* ф 1 (modp).
Пример. На странице 144 были указаны показатели по
модулю р= 11 для всех классов, не делящихся на 11. Показа-
Показатели, равные р—1, т. е. 10, имеют четыре класса: 2, 6, 7, 8, яв-
являющиеся, таким образом, первообразными корнями по моду-
модулю 1.1.
Первообразных корней по модулю т может совсем не быть
и, таким образом, число первообразных корней может рав-
равняться нулю. Так, например, на странице 144 были указаны
показатели по модулю 20 для всех классов, взаимно простых
с модулем. Для всех этих классов показатель отличен от ф B0) =
=8, т. е. первообразных корней по модулю 20 не существует.
Теорема 171. По любому простому модулю р существует
гр{р—1) классов первообразных корней.
Доказательство. Первообразные корни по модулю р —
классы, у которых показатель k равен р—1. Согласно теореме 170
при k = p—1 число ty(k) таких классов равно ф(&) = ф(р—1).
Если а—класс первообразных корней по простому модулю р,
то согласно теореме 165 все классы а* при (s, p—1) = 1,
l<s=s?p—1 имеют по модулю р тот же показатель р—1, т. е.
также являются классами первообразных корней. Придавая s
значения, образующие приведенную систему вычетов по модулю
р—1, получим ф(р—1) классов первообразных корней, т. е.
все первообразные корни по модулю р.
Пример. По модулю 13 класс 2 является первообразным
корнем, так как при k = i, 2, 3, 4, 6 (собственные делители 12)
2* ф 1 (mod 13).
146

Мы получим все первообразные корни по модулю 13, если
возьмем классы вида 2s, придавая s значения 1, 5, 9, 11, обра-
образующие приведенную систему вычетов по модулю 12. Находим
четыре первообразных корня по модулю 13:
2~i = 2, 2Г=6, 2^=11, 2й = 7.
Теорема 172. Если а — первообразный корень по модулю т,
то числа
а, а\ а3, ... , а?т A)
образуют приведенную систему вычетов по модулю т.
Доказательство. Если а—первообразный корень по
модулю т, то Р (а) = ф (яг), и тогда согласно теореме 164 числа A)
попарно несравнимы по модулю т. Из (а, т) = 1 следует (теоре-
(теорема 43), что все числа A) взаимно просты с модулем.
Таким образом, система <р (т) чисел A), попарно несравни-
несравнимых по модулю т и взаимно простых с этим модулем, образует
(теорема ПО) приведенную систему вычетов.
Замечание. В частности, если а—первообразный корень
по простому модулю т = р, то ф(р) = р— 1, и числа
а, а\ ...,а?-* B)
образуют приведенную систему вычетов по модулю р.
Пример. По модулю р=11 число 2—первообразный ко-
корень. Степени 2 от первой до десятой, т. е. числа:
21, 22 = 4, 23 = 8, 2*=зе5, 25=10, 26==9, 27зз7, 28=~3,
29э6, 210=sl (mod 11),
образуют приведенную систему вычетов по модулю 11.
Для нахождения первообразных корней по простому модулю
можно пользоваться следующим критерием.
Теорема 173. Если р°« р** ... р°»—каноническое разложение
числа р— 1 и
а р> ф. 1 (modp), ... , а р» ф I (modp),
то а—первообразный корень по простому модулю р.
Доказательство. Любой собственный делитель k числа
п J
р—1 является делителем хотя бы одного из чисел -— и тогда
— 1 Р'
-— — kl. Если бы для такого k{l^k<p—1) былоа*==
Pi
Pi
= 1 (modp), то
р-1
a Pi =akl = {ak)lz==l (modp),
что противоречит условию. Таким образом, для всех собствен-
собственных делителей k числа р—1 имеем а*^1 (modp) и, следова-
следовательно, а—первообразный корень по модулю р.
Ш

p-1
Очевидно, что условие а р« ф. 1 (mod р) для всех простых ph
входящих в каноническое разложение р — 1, является не только
достаточным, но и необходимым условием того, чтобы а было
первообразным корнем по простому модулю р.
Пример. Доказать, что 2 есть первообразный корень по
модулю р = 53.
??
р—1=52 = 22-13. Имеем: 21S = 24^ I (mod 53),
2 s =22e = (8192J = C0JE=— 1 (mod 53)
и, таким образом, согласно теореме 173 число 2 — первообраз-
первообразный корень по модулю 53.
2. ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ ПО СОСТАВНЫМ МОДУЛЯМ
Рассмотрим теперь вопрос о существовании первообразных
корней по составному модулю. Прежде всего отметим, что перво-
первообразные корни по модулю ра находятся среди первообразных
корней по модулю р.
Теорема 174. Пусть р — простое число. Любой первообраз-
первообразный корень по модулю р* (а ^ 1) является также первообразным
корнем по модулю р.
Доказательство. Если а не первообразный корень по
модулю р, то существует k такое, что le^tKp—1 и ft
p
si (modp). Тогда ak — l+pt и, разлагая akp = A + Ор
по степеням pt, получаем а^0 — \ + p'~ipt + -—1.2 ~
+ ... = 1 (modp"), где kpa-1<p*~1(p— 1) = ф(ра), так что a не
первообразный корень по модулю р*.
Таким образом, задача отыскания первообразных корней по
модулю ра при а> 1 сводится к тому, чтобы среди первообраз-
первообразных корней по модулю р отобрать числа, являющиеся также
первообразными корнями и по модулю р*.
Теорема 175. Если а—первообразный корень по простому
модулю р и
ар'-* (P-D =? 1 (modpa),
где а ^ 2, то а является также первообразным корнем по мо-
модулю р*.
Доказательство. Пусть по модулю р" P(a) = k, тогда
а*==1(пк^р*) ик\р"-1(р— 1) (теорема 162). Вместе с тем будет
справедливо и сравнение a*==l (modp), так что поскольку а —
первообразный корень по модулю р, то (теорема 161) р—l\k,
k^(p — l)t,(p—i)t\pa-1(P — n\ K0Ph
Таким образом, k = p$(p — 1),
app(p-i)sl(mOdp) ((Xpssa— 1).
148

Если бы было O^psga—2, то, возводя обе части сравнения
app(p-D==l (modpa)
в степень рв~2""Р, получили бы
flPa(P-i) = l (modpa),
что противоречит условию теоремы. Таким образом, р* может
равняться только a—1, так что
т. е. а—первообразный корень по модулю ра.
Теорема 176. Если а первообразный корень по простому мо-
модулю р>2, то из двух чисел аи а + р по крайней мере одно
является первообразным корнем по модулю р2.
Доказательство, a-f-p вместе с а также является пер-
первообразным корнем по модулю р, причем р\а. Предположим,
что а и а + р не являются первообразными корнями по модулю р2;
тогда согласно предыдущей теореме:
a"-xE=l (modp2) и (а + р)р-1=\ (modp2),
1ар-»р«+ ... E==0(modp2),
так что р2|(р—\)аг~2р, р\(р—1)ар~2, что противоречит тому,
что р^р—1 и р|а.
Поскольку уже раньше (теорема 171) было установлено су-
существование первообразных корней по любому простому модулю,
теорема 176 доказывает существование первообразных корней
по модулю р2, где р—нечетное простое число.
Теорема 177. Если а—первообразный корень по модулю р2,
где р—нечетное простое число, то а является первообразным
корнем по модулю р* при любом a ^2.
Доказательство. Докажем сначала, что при п = р"~2,
где р—нечетное простое число, as=2, Csn= s| ,n_s)] » s^2,
будет
Р-'\Ъ C)
Действительно: 1) при s = 2 pa-2|«^^, т.е. р'-*\С*п\
2) при 5^3 pa~2 является делителем числителя выражения
ьп Ь2 ...s '
а р\-р л LP J есть наивысшая степень р, делящая знамена-
знаменатель (теорема 52), поэтому

Если s = 3, то
а-2-Ы-
а если ss* 4, то
= а—2—jzzi^u—2 — у^а—s,
т. е. р*-*|С*.
Перейдем теперь к доказательству того, что а является
первообразным корнем по модулю р".
р\а, так что согласно теореме Ферма а?~х^=\ (modp),
a'-i=l+pf D)
и вместе с тем поскольку Ррг(а) = р(р—1), то p\t.
Возводя D) в степень п = р°!~2, где а>2, получаем
Из C) при s^2 получаем p*\Csnps и, следовательно,
p*\C*(ptJ+...+Cnn(pt)n.
Вместе с тем npt = p*'11 не делится на ра, так что
apa-2{p-i)=? I (modp"),
и согласно теореме 17S а—первообразный корень по модулю рл.
Пример. Найти первообразный корень по модулю 625. По
модулю 5 класс 2 является первообразным корнем, так что
(теорема 176) из двух чисел: 2 и 2 + 5 = 7—по крайней мере
одно должно быть первообразным корнем по модулю 52.
2* ^ 1 (mod52), так что согласно теореме 175 2 — первообраз-
первообразный корень по модулю 52, но тогда (теорема 177) 2—перво-
2—первообразный корень и по модулю 5* = 625.
Теорема 178. Для любого модуля р", где р—нечетное про-
простое число и целое а ^ 1, существуют первообразные корни.
Доказательство. Теорема является непосредственным
следствием теорем 171, 176, 177.
Теорема 179. По модулю т = 2р", где р —любое нечетное
простое число и а ^ 1 целое, существуют первообразные корни.
Любой нечетный первообразный корень по модулю р" является
также первообразным корнем по модулю 2р".
Доказательство. Если а нечетно и а*== 1 (mod/?*), то
a*=l(mod2), а следовательно (теорема 91), a*=l (mod2pa).
Из a*ss I (mo^p"), очевидно, следует а*=П (modpa). Таким
образом, для нечетных а показатели по модулям р" и 2р" равны,
Р()Р()
150

При нечетном р в любом классе по модулю ра из двух со-
соседних чисел одно нечетное. Взяв из класса первообразных
корней по модулю р", существование которого было доказано
(теорема 178), такое нечетное число а, будем иметь
т. е. а будет первообразным корнем и по модулю 2р*.
Пример. Найти первообразный корень по модулю 50.
В примере к теореме 177 было найдено, что 2 есть перво-
первообразный корень по модулю 25. Любое нечетное число, срав-
сравнимое с 2 по модулю 25, будет первообразным корнем по мо-
модулю 50. Например, таким первообразным корнем будет число 27.
Теорема 180. При 2-fa, a^3 имеет место неравенство:
Р2.(о)<Г2. E)
Доказательство. Пусть а—любое нечетное число. Дока-
Докажем неравенство E) индукцией по а. При а = 3 неравенство E)
верно, так как из а=1+2/ следует, что
a2=^\+4t(t+\)~l (mod23), т. е. Р8(а)<2.
Допустим, что неравенство E) верно при а — п^З; тогда
а*" = 1 + 2"/. F)
Возводя обе части равенства F) в квадрат, получаем
a«n~1=l+2"+1f + 2«B^=I (mod2"+1),
т. е. E) верно и при а = я+1.
Согласно принципу математической индукции (теорема III)
теорема доказана для всех а^З.
Замечание. Поскольку фBа) = 2<*~1, теорема показывает,
что по модулю 2" при а^З Р(а)ФфBа), т. е. по такому
модулю не существует первообразных корней.
Теорема 181. Первообразные корни по модулю т существуют
тогда и только тогда, когда:
\)т = р* \ где р —любое нечетное простое число, а —любое
2) т = 2р* ) ' целое положительное.
3) т = 2" при 0<а<2.
Доказательство. Существование первообразных корней
в случаях 1 и 2 при а>0 было доказано (теоремы 178 и 179).
В оставшихся случаях /п=1, 2, 4 можно непосредственно ука-
указать первообразные корни, равные соответственно 1, 1,3.
Докажем теперь, что при всех других т первообразных
корней нет. В случае т — 2*, а ^ 3 первообразных корней не
существует, согласно замечанию к теореме 180.
Если т имеет хотя бы два различных нечетных простых де-
делителя рх и р2, то, поскольку Рх—l и р2— 1—не взаимно про-
151

стые числа, формула F) главы 11 показывает, что L(m)<<p(/n).
L(m)<<p(m) и при /п = 2а р?, а>1, Взз=1. В обоих этих слу-
случаях согласно теореме 162' Р(а)<.<р(т), т. е. по модулю т не
существует первообразных корней.
ГЛАВА 19
ИНДЕКСЫ
1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Общеизвестно, какое большое значение в различных разделах
математики и в особенности в вычислительной практике имеют
логарифмы. В теории чисел вводится сходный с логарифмами
аппарат, который мы будем называть индексами. Логарифмом Ь
по основанию а, как известно, называется показатель степени а,
равный Ь. В теории чисел аналогично этому рассматривают показа-
показатель степени а, сравнимой с Ъ по рассматриваемому модулю т,
и такой показатель называют индексом Ь по модулю т и осно-
основанию а.
Определение 50. Пусть (a,m)=l, (b,m) = \; число s назы-
называется индексом Ь по модулю т и основанию а, если
as==b (mod /л).
Для краткости при фиксированном модуле т мы будем за-
записывать это в виде s = ind0 b, а если фиксировано также и осно-
основание а, то еще короче, в виде s = ind&.
Таким образом, согласно определению:
aind«b = b (mod т). A)
Если bL ?Ь, то из as=Bb (mod т) следует также as=;b1 (mod m),
т. е. индекс числа b является также индексом и всех чисел из
Ь, и мы можем такое число s называть индексом класса Ь.
Определение 50'. Пусть (a, m)=l, (Ь, т) — \. s называется
индексом класса b no модулю т и основанию а, если по этому
модулю
а* = Ъ.
Примеры. Пусть модуль т =13, основание а = 2, тогда
2e=12 (mod 13), т. е. ind, 12 = 6, и для любого bsl2(modl3)
будет также ind2b = 6,213 = 2(mod 13), т. е. inda2= 13, и вместе
с тем, поскольку 2Х = 2 (mod 13), имеем также ind2 2 == 1. у
Пусть модуль т = 21, основание а = 5. Тогда 54=s 16 (mod 21),
5esl(mod21), т. е. по модулю 21 indB16 = 4, indB 1=6. По
этому модулю indB2 не существует, так как не существует s
такого, что 5*= 2 (mod 21).
Если в качестве основания взять число а, не являющееся
первообразным корнем по модулю т, то индексы будут суще-
существовать не для всех чисел, взаимно простых с модулем т.
152

Действительно, если P(a) = fc<<p(m), то согласно теоре-
теореме 164 среди степеней а имеется только k различных, и для
чисел, принадлежащих остальным ф (т)—k классам, индексов не
существует. Иначе обстоит дело, если основание есть перво-
первообразный корень по модулю т. В этом случае, как мы докажем
в следующей теореме, любое число, взаимно простое с модулем,
имеет бесконечное множество индексов.
Будем в этой главе первообразные корни по модулю т
обозначать буквой g, чтобы отличать их от других оснований.
Теорема 182. Пусть g—любой первообразный корень по моду-
модулю т. Для каждого числа Ь, взаимно простого с модулем т,
существуют индексы по основанию g, т. е. существуют s та-
такие, что s , . , .
g =zb (mod m).
Множество всех таких индексов s для данного фиксирован-
фиксированного Ь совпадает с неотрицательными числами некоторого класса
по модулю ф (т).
Доказательство. Согласно теореме 172 степени перво-
первообразного корня g:
g,g*, ... , gtw B)
— образуют приведенную систему вычетов по модулю т.
Если взять любое число Ь, взаимно простое с т, то в приве-
приведенной системе вычетов B), которую можно заменить также
системой g°=\,g, g2, ... , g1"™', существует число и притом
только одно, принадлежащее тому же классу, что и Ь, т. е.
сравнимое с b по модулю т.
Таким образом, при некотором s @^s^,(p(m) — 1)
gs^b (mod/л), т. е. существует по крайней мере один индекс Ь
по основанию g, причем этот индекс не больше чем ф(/п) — 1.
Докажем теперь, что числа s такие, что gs^ Ь (mod m) сов-
совпадают с неотрицательными числами некоторого класса по мо-
модулю ф(т).
Если s и sx—два числа, таких, что gJ=b(modm) и
gsi3E&(modm),TogSi=g*(modm), и тогда, поскольку Р (g) — ф (т)
согласно теореме 163, SJl = s(modф (т)), т. е. все индексы Ъ
принадлежат одному классу по модулю ф(/и).
Все неотрицательные числа этого класса являются индексами,
так как согласно той же теореме из S! = s (mod ф (т)) следует
gSiHsg^modm), и если gs=b(modm), то и gs»=6(mod/n), т. е.
любое неотрицательное slt сравнимое с s по модулю ф (т), также
является индексом Ь.
Теорема 183. Пусть g—первообразный корень по модулю
т, (Ь, т) = \\ сравнение
c^6(modm) C)
имеет место тогда и только тогда, когда
\п&Й с г indj b (mod ф (m)). D)
153

Примечание. Выше было отмечено, что числа с и Ь, сравнимые по
модулю т, имеют по заданному основайию g одни и те же индексы. Прини-
Принимая это во внимание, теорему 183 можно получить из теоремы 182.
Дадим непосредственное доказательство теоремы 183.
Доказательство. 1) Пусть cs Ь (mod от); тогда согласно
определению индекса A):
ginV = c = b~gindgb (mod от);
но поскольку P(g) = (p(m), то по теореме 163 из
?inV==glnV (mod m)
следует
iudg с = indg Ь (mod ф (яг)).
2) Пусть indgc = mdgb (mod ф (от)); тогда согласно той же
теореме
ginVH5ginV (mod от),
т. е. c = b(modm).
Переход от сравнения C) к сравнению D) мы будем назы-
называть индексированием сравнения C), а переход от D) к C) по-
потенцированием.
Теорема 184. Пусть g— первообразный корень по модулю т,
(а, от) = 1, (b,m) = l.
Тогда
indg (ab) = ind^a + mdgb (mod ф (от)).
Доказательство. Согласно определению индекса A):
ginVob) = ab = ginV • ginV =ginV + inV (modот),
но поскольку P(g) = q>(m), то согласно теореме 163 из
g^g(ab)_gindga+ indgb
следует
mdg (ab) = indg a + ind? b (mod ф (от)).
Теорема 184'. Пусть g—первообразный корень по мо-
модулю т,
(а1; от)=1, (ая, /п) = 1, ... , (а„, от) = 1.
Тогда
\ndg(a1-a2- ... •aj = indgfl1 + indga2+ ... +ind^an(mod9(m)). E)
Доказательство. Утверждение теоремы верно при п = 1.
Предположим, что утверждение теоремы верно при некотором п
(n^zl). Возьмем любые п + l чисел аи ... , ая, о„+1, взаимно
простых с модулем т. Согласно теореме 184
indg (ax • • • а». ап+г) = ind? (a1 ... ап) + indg an+1 (mod ф (от)), F)
и поскольку по предположению
ind^ (аг ... а„) == ind^ ах + ... + ind^ an (mod ф (от)), G)
154

то из F) и G) получаем справедливость утверждения для чисел
1 г»+1
Согласно принципу полной математической индукции срав-
сравнение E) верно для любого числа чисел а,-, взаимно простых
с модулем т.
Теорема 185. Пусть g — первообразный корень по модулю т,
(a,m) = l, n^zO; тогда
indga"~nindga(mod(p(m)). (8)
Доказательство. g°= I (mod/и), так что ind^ 1 =
= 0(mod(p(/n)), indga° = indg 1 = 0 = 0 ind?a (mod q>(m)), т. e.
сравнение (8) верно при я = 0.
При п = 1 левая и правая части в сравнении (8) совпадают,
а при п^2 теорема 185 представляет собой частный случай
теоремы 184' при al = ai= ... —ап = а.
Определение 51. Если — = &(mod/n), (a, /n) = l, т>1, то
под ind^— будем понимать indg&, т. е. индекс любого числа
из класса k no модулю т.
Теорема 186. Пусть g —первообразный корень по модулю
т>\, (а,т) = 1; тогда
ind. — = ind b — ind. a (mod <p (m)).
Доказательство. При (a, m) = 1 существует (теорема 123)
единственный класс k по модулю т, такой, что a-k=b. Индек-
Индексируя сравнение ak^b(modm), получаем:
ind^ a + indg k = ind^ b (mod q> (m)),
или
ind^ — = ind^ k = i nd^ b — ind^ a (mod q> (m)).
Теоремы 184, 185 и 186 показывают, что операции с индек-
индексами производятся по тем же правилам, что и операции с ло-
логарифмами.
В частности, конечно, можно брать такие значения индексов,
что ind aft = ind a + ind 6.
2. ИНДЕКСЫ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Особенно большое значение имеет случай, когда модуль—
простое число. Поскольку, как было показано выше (теорема 171),
по любому простому модулю р существуют первообразные
корни, то, взяв за основание какой-либо из них, получим си-
систему индексов, в которой каждое число, не делящееся на р,
будет иметь свои индексы.
155

Индексы каждого такого числа согласно теореме 182 пред-
представляют собой неотрицательные числа некоторого класса по
модулю р— 1, а теоремы 183—186 дают следующие правила
операций с индексами по модулю р.
1. Если а = 6 (mod p), то inda = ind b (modp— 1), и, наобо-
наоборот, из indar=ind 6(modp — 1) следует a==b (mod p).
2. ind(a1.. .an)=Einda1+ ... +indart(modp— 1).
3. inda" = n inda (modp—1).
4. ind — ==ind? — inda (modp—1).
Для краткости здесь везде опущен значок g, указывающий
основание, которое предполагается одинаковым в левой и пра-
правой частях. Все индексируемые числа предполагаются не деля-
делящимися на р. По простому модулю р для каждого числа суще-
существует бесконечное множество индексов, сравнимых по модулю
р — 1, и в качестве индекса можно брать любое из них. Обычно
из всех возможных значений индекса по данному основанию
берут наименьшее; при таком выборе индексов они имеют зна-
значения, меньшие чем р—1.
Таблицы индексов для простых модулей р содержат индексы
чисел от 1 до р — 1. Для каждого такого числа и всех сравни-
сравнимых с ним по модулю р в таблице указывается индекс, пред-
представляющий собой одно из чисел: 0,1, ..., р — 2. В некоторых
таблицах в качестве индекса единицы указывается не 0, ар — 1.
Таблицы индексов составлялись многими авторами. В 1839 г.
таблицы индексов для простых чисел, меньших чем 1000, были
опубликованы Якоби (Jacobi „Canon Arithmeticos").
В конце книги (стр. 372 — 378) приведены таблицы индексов
по простым модулям р sg; 109.
3. ИНДЕКСЫ ПО СОСТАВНЫМ МОДУЛЯМ
Для составных модулей вида ра и 2ра, где р — простое
число (р>2), как было доказано (теоремы 178 и 179), суще-
существуют первообразные корни, и поэтому для любого числа, вза-
взаимно простого с таким модулем, существуют индексы.
Пример. Составить таблицу индексов по модулю 27 с осно-
основанием g = 5.
Собственные делители числа q>(9) = 6 равны 1, 2, 3.
Поскольку 51, 52, 53 несравнимы с 1 по модулю 9, то 5 —перво-
—первообразный корень по модулю 9 = З2, а следовательно (теорема 177),
и по модулю 27 —З3. Получаем последовательно:
5°=1, 51 = 5, 5а==25, 58==17,54=s4, 555==20, 5в = 19, 57==14,
58= 16, 5е =26, 510 = 22, 5" = 2, 5"== 10, 518 = 23, 5us7,
51Бе=8, 5" = 13, 5"= 11 (mod27).
156

Таблица
а
ind a
1
0
индексов
2
11
4
4
5
1
ПО
7
14
модулю
8
15
10
12
11
17
27
13
16
имев!
14
7
16
8
вид:
17
3
19
6
20
5
22
10
23
13
25
2
26
9
Теоремы 183—186 устанавливают правила операций с индек-
индексами по таким модулям, причем в этих случаях
Достаточно иметь таблицы индексов по модулям ра с осно-
основаниями g, представляющими собой нечетные первообразные
корни. Как было доказано в теореме 179, если нечетное осно-
основание g является первообразным корнем по модулю ра, то оно
является первообразным корнем и по модулю 2ра, причем, как
мы докажем, при таком основании индексы чисел по модулю 2ра
такие же, как и по модулю ра.
Теорема 187. Пусть g—нечетный первообразный корень по
модулю ра (р>2), (а, 2р) —1; тогда каждый индекс числа а по
модулю ра и основанию g является индексом а по модулю 2ра и
основанию g.
Доказательство. Пусть s — индекс а по модулю ра и
основанию g, т. е.
^=е a (mod pa).
При 2\а, 2\g имеем g*=a(mod2), так что gs=a(mod 2pa),
т. е. s —индекс а и пО модулю 2ра.
Таблицы индексов по составному модулю вида т — ра или
т — 2ра, где р —нечетное простое число, содержат индексы всех
чисел а, таких, что l«Sa«S/n—1 (а, яг) = 1. Индекс такого
числа а является также индексом всех чисел, сравнимых с а по
модулю т.
В таблицах Якоби даныиндексыдлямодулей вида/п = ра< 1000.
В таблицы индексов, которые помещены в конце книги,
включены индексы по составным модулям т = 9, 25, 27, 49, 81.
При а = 2 для модуля т = 2° существует первообразный
корень g = 3.
При а Зз 3 для модуля т = 2а не существует первообразных
корней (теорема 181), и поэтому степени одного основания не
могут являться представителями всех классов, взаимно простых
с модулем.
Понятие индекса можно обобщить, введя индексы и для мо-
модулей вида т = 2° при а 5*3. Индексы по таким модулям будут
представлять собой уже не числа, а пары чисел. Для построе-
построения такой системы индексов нам понадобится следующая теорема.
157

Теорема 188. При а>2 два числа вида (—1)И5" и ( — l)a'5v'
(v, v'^0) сравнимы по модулю т = 2° тогда и только тогда,
когда
и = и' (mod 2) и » = »'(mod2a-2).
Доказательство. Методом полной математической индук-
индукции докажем, что при любом nSs2 имеет место равенство:
5^=1 + 2%,, где 2\tn. (9)
При п = 2 равенство (9) верно, так как 5=1+2а-1. Пусть
равенство (9) верно при некотором п(п^2), тогда, возводя обе
части равенства в квадрат, получим
52" «1+2п+1 (*„ + 2й-1/*) = 1+2п+чп+1,
где
Поскольку при п^2 2 | 2", 2^„, то 2^^п+1, т. е. из спра-
справедливости равенства (9) для п следует его справедливость
и для п+1. Согласно принципу полной математической индук-
индукции равенство (9) верно при всех п. Соотношение (9) показы-
показывает, что при п 2г2 Р2п E) = 2"~2.
Рассмотрим сравнение
(-1)я5г' = (—l)a'5B'(mod2a). A0)
Если u = «'(mod2), то сравнение A0) принимает вид
W=bvr (mod 2°), что, поскольку
согласно теореме 163 может иметь место тогда и только тогда,
когда D = ?/(mod2a~2).
Если же и ^ы'(mod 2), то сравнение A0) невозможно ни при
каких & и у', так как при «^2^5° = — 5"' (mod2a) следовалобы
1==—I(mod4),
что неверно.
Таким образом, сравнение A0) имеет место тогда и только
тогда, когда u = «'(mod2) и вместе с тем & = ?/(mod2a-2.)
Теорема 189. При а5э=2 любое нечетное число сравнимо по
модулю 2а с одним и только одним числом из множества:
-52°"а -52,-5,5, 5^ 5*"~\ A1)
Доказательство. Числа A1) имеют вид (— 1)", где и рав-
равй
Д () ( ) р
но 0 или 1, 1 sS»sS2a-2. Согласно предыдущей теореме они по-
попарно несравнимы по модулю 2". Все эти числа принадлежат,
таким образом, различным классам нечетных чисел по модулю 2а,
158

и так как их число 2-2"~2 = 2!1~1 равно числу нечетных классов
по модулю 2", то согласно „принципу ящиков" в системе A1)
имеется. по одному и только одному представителю каждого
такого класса.
Определение 52. Индексом нечетного числа а по модулю 2"
при а5=3 называется пара чисел ((и, v)), adev&sO, такая, что
( —1)" 5" = а (mod 2х). A2)
Такую пару ((и, v)) будем иногда записывать также в виде
inda. Теорема 189 показывает, что при а^З любое нечетное
число имеет индекс по модулю 2".
Пример. Пара (@, 0)) является индексом 1 по любому
модулю 2"(ass3). Действительно, ( —1H-5°== 1 (mod2s).
Определение 53. Две пары: ((и, v)) и {{и', v')), где v5*0,
v'^sO—называются сравнимыми по двойному модулю ((т, п)),
если
и = и' (mod т), и == с/(mod л).
Сравнимость пар: ((и, и)) и ((«', v'))—по двойному модулю
((т, п)) будем записывать в виде:
((и, »))н=((и\ v'))(mod((m, n))).
Очевидно, что две пары, сравнимые по двойному модулю
с одной и той же третьей, сравнимы между собой.
В сравнении A2) число а можно заменить числом 6, сравни-
сравнимым с а по модулю 2", так что индекс а по модулю 2" является
вместе с тем индексом всех чисел класса а. Теорема 188 пока-
показывает, что индексом данного числа вместе с парой ((и, v))
является также любая пара, сравнимая с ((и, v)) по двойному
модулю (B, 21")). Теорему 188 при а^ 3 можно поэтому запи-
записать в следующей форме.
Теорема 188'. При a^=3 a = 6(mod2a) тогда и только
тогда, когда индекс а сравним с индексом b no двойному мо-
модулю (B, 2*)).
Определение 54. Суммой индексов ((ы1( vi))+ ... + ((«„, vj)
называется индекс ((«!+ ... +и„, vt+ ¦ ¦ ¦ + с„))-
Теорема 190. При а^=3 для модуля 2" индекс произведения
нечетных чисел сравним с суммой индексов сомножителей по
двойному модулю (B, 2"~2)).
Доказательство. Пусть alt a2, ..., ап — нечетные числа.
Перемножая эти сравнения, получаем:
+l* ;e). A3)
159

Пусть индекс ах.. ,а„ равен ((и, v)), т. е.
*). A4)
Согласно теореме 188 из сравнений A3) и A4) следует, что
= ((«1, "i))+•••+((«„, vn)) (mod (B, 2-»))).
В случае, когда а1= ... = а„, вместо ((«!, о^Ц- . ..((«„,»„))
будем для краткости писать я ((и^ у1)).
Мы получили, таким образом, что для модуля 2a (a
индекс степени а" сравним с ninda по модулю (B, 2а~2)).
Таблицы индексов по модулям видат = 2 , гдеа^=3, даются
в виде пар ((и, v)). Таблица индексов по такому модулю указы-
указывает для каждого класса нечетных чисел соответствующую пару,
представляющую собой индекс чисел данного класса.
Пример. Составить таблицу индексов по модулю т==64.
64 = 26; для чисел вида (—1)", где и равно 0 или 1, а у
пробегает полную систему вычетов по модулю 24 = 16 @ =< v ^ 15),
находим:
± ±, ± ±, ± ±, ±
±512-±17, ±513=±21, ±51* = ±41,
±515==±13(mod64).
Таблица индексов по модулю 64 будет иметь вид:
а
1
3
5
7
9
11
13
15
ind a
(@,0))
(A,3))
(@,1))
(A,Ю))
(@,6))
(A,5))
(@,15))
(A,4))
а
17
19
21
23
25
27
29
31
ind a
(@ 12))
(A,7))
(@,13))
(A,14))
(@,2))
(A,9))
(@,11))
(A,8))
а
33
35
37
39
4i
43
45
47
ind a
(@,8))
(A,11))
(@,9))
(A,2))
«0,14))
@.13))
(@,7))
(d,12))
a
49
51
53
55
57
59
61
63
ind a
(@,4))
(A.15))
(@,5))
(A.6))
(@,10))
((l.D)
(@,3))
(A,0))
Индексы можно применять для вычисления остатков от деле-
деления на заданный модуль т произведений с двумя или несколь-
несколькими сомножителями и, в частности, степеней.
Имея таблицу индексов по модулю т, чтобы найти остаток
от деления а1...ап на т, где все а,- взаимно просты с т, мы
искомый остаток обозначаем через х и пишем
в^п!. ..ah(modm).
A5)
160

Индексируя сравнение A5), получаем:
ind х == ind ах + ... + ind а„ (mod ф (m)).
Находим в таблице индексов s == ind at+ ... + ind an, так что
ind x = s (mod q> (m)).
Находим число, индекс которого равен s, т. е. г такое,что
s = ind r. Тогда
ind x= ind r (mod <p (яг)),
откуда (теорема 183)
х== г (mod m).
В частности, если ах= ... =ап — а, мы получаем прием для
вычисления остатка от деления на модуль т степени а".
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти остаток от
деления на 61 числа 3720-2312.
х == 3720• 2312 (mod 61), ind x = 20 ind37 + 12 ind 23 (mod 60).
В таблицах по модулю 61 с основанием g — 59 или g=—2
находим ind 37 = 9 и ind 23 = 27, так что
ind;t= 504 ==24 (mod 60).
По значению индекса находим х. Число 24 является индек-
индексом 20, так что ind je== ind 20 (mod 60), x = 20(mod61).
Если т — рах ... p"s, то для нахождения остатка от деления
на т произведения или степени находим остатки гх rs при
делении на модули р, .... р"*и затем решаем систему уравнений:
x = r1(modpa11),
При Pi — 2, ах>1 остаток от деления на 2*> находим другими
методами (без применения теории индексов) или рассматриваем
индексы по модулю 2ai (определение 52).
При рх = 2, ах—\ мы можем представить т в виде
Bр)> • • • > р"* и находить с помощью индексов остатки от деле-
деления на 2рЧ\ ..., р"\
Пример. Найти остаток от деления на 1242 числа 35100t
2 = 2-33-23.
Находим остаток rt от деления 35100 на 2-33 = 54:
гх е= 35100 (mod 54), ind rx = 100 ind 35 (mod 18).
В таблице индексов по модулю 27 с основанием g=5 нахо-
находим
ind 35 = ind 8 =15,
6 А. Л. Бухштаб 161

так что
ind rx == 1500 == б (mod 18).
По модулю 27 находим, что 6 = ind 19, так что •
/¦х= 19 (mod 54).
Находим остаток г2 от деления 35100 на 23.
ra = 35100 = 12100(mod23), indr2 — 100-ind 12=100-10 =
ss 10(mod 22), r2== 12 (mod 23).
Решая систему х= 19 (mod 54), х= 12 (mod 23), находим:
хе=127 (mod 1242). Остаток равен 127.
Исторические комментарии к 17-и, 18-й и 19-и главам
1. Теория степенных вычетов возникла на базе мемуара
Эйлера „Теорема о вычетах, получающихся от деления степе-
степеней" A755). Понятие показателя данного основания было вве-
введено Гауссом.
2. Понятие первообразного корня было введено Эйлером.
Теорема о существовании первообразного корня для любого
простого модуля была высказано без доказательства в 1769 г.
Ламбертом. Доказательство этой теоремы встречается у Эйлера,
однако оно не было дано им в достаточно четкой форме. Гаусс
дал два различных доказательства существования первообразных
корней по простому модулю (теорема 171).
3. П. Л. Чебышев в ряде теорем указал некоторые классы
простых чисел, для которых можно легко найти первообразный
корень.
4. И. М. Виноградов дал оценку величины наименьшего пер-
первообразного корня по простому модулю. Он доказал, что если
обозначить через g(p) наименьший первообразный корень по
модулю р, то при любом сколь угодно малом е> О
Существует предположение, что простые числа р, для кото-
которых 2 является первообразным корнем, имеют положительную
плотность в множестве простых чисел. Это значит, что если
обозначить через Т (х) число таких р^х, а через я (ж) — общее
число простых р^х, то при некотором ос > 0 для всех я (дез* 1)
выполняется неравенство Т (х) s= осп (х). Это предположение пока
не удается ни доказать, ни опровергнуть*
5. Теорема 181 встречается впервые у Гаусса B.JDisquIsitiones
arithmeticae". . ,
6. Понятие индекса, основные свойства индексов были даны
Гауссом.
162

ГЛАВА 20
ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ
1. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
Определение 55. Двучленным сравнением называется сравне-
сравнение вида
Ах" == В (mod m).
Мы рассмотрим двучленные сравнения по простому модулю
о > 2 вида
x?=E=a(modp). A)
Теорема 191. 1) При р\а сравнение A) по простому модулю
р>2 либо совсем не имеет решений, либо число решений равно
наибольшему общему делителю п и р—\.
2) Сравнение A) не имеет решений, если для 6 = (я, р—I)
b\mda, и имеет 6 решений, если 6|inda.
Доказательство. Пусть (л, р — 1) = б. По простому
модулю р (теорема 171) существует первообразный корень.
Индексируя сравнение A) по некоторому основанию g, предста-
представляющему собой первообразный корень, получаем
п indx=ind a(modp—1). B)
Сравнения A) и B) согласно теоремам 183 и 185 эквива-
эквивалентны. Если обозначить \ndx = z, \nd a = b, то для неизвест-
неизвестной z получим сравнение 1-й степени:
nz ==b (mod р— 1). C)
При б-finda, т. е. Ь\Ь, сравнение C) не имеет решений
(теорема 130), но тогда не существует и значений х, удовлетво-
удовлетворяющих сравнениям B) и A).
При 6|inda, т. е. б|6, сравнение C) имеет Ь решений (тео-
(теорема 135). Значения ind x, удовлетворяющие сравнению B),
принадлежат б классам по модулю р — 1, а следовательно, и
для х существует б классов по модулю р, удовлетворяющих
сравнению A).
Примечание. При р\а сравнение A) может быть записано в виде
хп з= 0 (mod jo) и в этом случае оно имеет одно решение; х = 0 (mod p).
Определение 56. 1) а называется • вычетом п-й степени по
простому модулю р, если р\а и сравнение х"^а(modp)
имеет решения. ' :
2) а называется невычетом п-й степени по простому
модулю р, если сравнение xn = a(modp) не имеет решений.
В частности, вычеты 2-й степени по лростому модулю р на-
называются1 квадратичными вычетами по этому модулю, вычеты
3-й степени — кубическими вычетами, а вычеты 4-й степени —
биквадратичнъши. ;
6* 163

Заменяя в сравнении A) а любым числом, сравнимым с ним
по модулю р, получим (теорема 129) сравнение, эквивалентное A).
Если а представляет собой вычет n-й степени по модулю р,
то весь класс а состоит из вычетов n-й степени по модулю р,
а если а—невычет, то и весь соответствующий класс состоит
из невычетов. Можно поэтому вместо отдельных вычетов и не-
невычетов n-й степени рассматривать соответствующие классы.
Определение 56'. а фЪ называется классом вычетов п-й
степени по простому модулю р, если сравнение ;e"E=a(modp)
имеет решения, а называется классом невычетов п-й степени,
если сравнение #" = a(modp) не имеет решений.
Имея таблицу индексов по модулю р, легко найти все классы
вычетов степени п по этому модулю. Действительно, теорема 191
показывает, что вычетами n-й степени по модулю р являются
только те числа а, для которых (п, р—1) | ind а. Рассматривая
таблицу индексов по модулю р, можно отобрать все такие а.
Пользуясь этим же свойством, легко определить число таких
классов.
Теорема 192. По простому модулю р>2 число классов
вычетов п-й степени равно ^-г~, где 6 = (п, р—1).
Доказательство. Всего по модулю р имеется р — 1
классов, взаимно простых с модулем (класс 0, состоящий из
чисел, делящихся на р, согласно определению 56' не причис-
причисляется к вычетам n-й степени).
Индексы этих классов образуют полную систему вычетов по
модулю р—1, т. е. каждому такому классу (если взять
ind 1 == р—1) можно сопоставить индекс, равный одному из
чисел:
1, 2, ..., р-\. D)
Возьмем 6 = (п, р—1). Среди первых р—1 чисел D) имеется
Р~7 - чисел, делящихся на б, т. е. согласно теореме 191 суще-
существует р-г- классов вычетов n-й степени по простому модулю р.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти классы вы-
вычетов 6-й степени по модулю р=11.
Здесь б = F, 10) = 2. В таблице индексов по модулю 11
находим, что индексы, делящиеся на 2, имеют следующие классы:
Г, 3, 4, 5, 9. Эти классы и будут классами вычетов 6-й степени
по модулю 11.
Теорема 193. Если 6 = (п, р — 1), то вычеты п-й степени
по простому модулю р > 2 совпадают с вычетами степени 6
по этому модулю.
Доказательство. Если (п, р — 1) = о, то будем иметь
также (б, р —1) = 6. При р\а сравнения je" = a(modp) и
164

Xе as a (mod p) согласно теореме 191 имеют решения при одних
и тех же числах а, таких, что d\inda.
Будем поэтому в дальнейшем рассматривать вычеты и невы-
невычеты п-й степени только для таквдс п, которые являются дели-
делителями р—1, и рассматривать сравнения вида A), где п\р—1.
При п\р—1 теоремы 191 и 192 принимают следующий вид.
Теорема 19Г. При р\а, п\р—1 сравнение x" = a(modp) по
простому модулю р>2 либо совсем не имеет решений,
либо имеет п решений. По такому модулю а является выче-
вычетом п-й степени тогда и только тогда, когда n\inda.
Теорема 192'. По простому модулю р>2 и п\р—1 число
классов вычетов п-й степени равно ^^- .
В следующей теореме мы установим необходимое и доста-
достаточное условие того, чтобы а при п\р — 1 было вычетом п-й
степени по модулю р.
Теорема 194. При п\р—1 а является вычетом п-й сте-
степени по простому модулю р>2 тогда и только тогда, когда
р—1
а " =1 (modp). E)
Доказательство. Индексируя сравнение E), получаем,
что это сравнение имеет место тогда и только тогда, когда
^~- inda==0(modp— 1) или P-^ inda = (p— I) t,
inda = nt, (t—целое),
т. е. сравнение E) имеет место тогда и только тогда, когда
я | ind a.
Примечание. Легко проверить, что теоремы 191 и 192 справедливы
также и при р = 2. В этом случае а?1 и р—1 = 1, так что утверждения
этих теорем тривиальны.
Сравнение .*"== 1 (modp), очевидно, имеет решение
х = 1 (modp). Согласно теореме 191 это сравнение будет,
вообще говоря, иметь 6 = (я, р—1) решений, а при п\р—I
(теорема 191')—п решений. Естественно классы, удовлетворяю-
удовлетворяющие этому сравнению, или, что то же самое, уравнению (х)" = 1,
называть корнями п-й степени из единицы по модулю р. Анало-
Аналогично этому классы (если они существуют), удовлетворяющие
сравнению A), т. е. уравнению (х)п= а, естественно назвать
корнями п-й степени из а по модулю р.
Определение 57. Корнем п-й степени из класса а по про-
простому модулю р называется класс чисел по этому модулю,
удовлетворяющих сравнению
*"==a(modp). F)
165

По простому модулю р, если п\р—1, либо не существует
ни одного корня n-й степени, либо число корней равно п (тео-
(теорема 19Г).
Теорема 195. При п\р—1, р\а все решения сравнения A)
по простому модулю р > 2 можно получить, умножая одно
решение этого сравнения на различные решения сравнения
x"=l(modp). _
Другими словами, все корни п-й степени из а по модулю р
можно получить, умножая один из этих корней на различные
корни n-й степени из 1.
Доказательство. Поскольку Ind 1 = 0 и п|0, сравнение
х" = 1 (mod р) имеет п решений. Обозначим эти решения через
tx tn, где tf^ tj (modp) и p\tt. Пусть x0 удовлетворяет
сравнению A), тогда
(xoti)n = Хо t? = а¦ 1 з= a (mod p)
при (=1, 2, ..., п, т. е. классы xotlt ..., xotn представляют
собой решения сравнения A).
Поскольку р\а, то р\х„ (х0, р) — 1, и, следовательно, числа
xQtx xotn являются (теорема 111) частью приведенной си-
системы вычетов по модулю р; xot1 xotn представляют собой
п различных решений сравнения F) n-й степени и, значит,
исчерпывают все решения этого сравнения.
Сравнение по простому модулю
Ахп еев В (mod p) G)
при р\А эквивалентно сравнению
х" = а (modp),
где АавЕв В (mod p) (теорема 144). При р\В будем иметь также
р\а и> следовательно, согласно теореме 191 сравнение G) либо
совсем не имеет решений, либо число решений равно б, где
6 = (я, р-\).
Имея таблицу индексов по модулю р, сравнение G) можно
решить и не преобразовывая его к виду F). Индексируя срав-
сравнение G), получаем:
n ind л; нее ind В — ind A (modp— 1), (8)
т. е. сравнение 1-й степени с неизвестной z = indjc.
Решая это сравнение относительно z = ind*, находим все
значения indx, удовлетворяющие сравнению (8), а затем по
таблицам находим и значения х, удовлетворяющие сравнению G).
Пример. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнение
13*al=s5(mod31). ,
166

Индексируя, находим:
11 + 21 ind x == 20 (mod 30),
7 ind *=3 (mod 10), ind* = 9(mod 10),
ind* = 9, 19, 29(mod30), ,vs=12, 21, 29(mod31).
(Индексы взяты в таблице с основанием g=3.)
Ответ. Классы 12, 21, 29" по модулю 31.
2. ДВУЧЛЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
Совершенно аналогичным образом можно применять тео-
теорию индексов и для решения сравнений
Ах" == В (mod m) (9)
в случае составного модуля т, если для этого модуля сущест-
существует хотя бы один первообразный корень, взяв который в ка-
качестве основания, можно построить систему индексов.
При /и>2 получаем в этом случае сравнение 1-й степени
с неизвестной ind x: n ind x = ind В — ind A (modcp(m)), из ко-
которого в случае существования решений находим значения ind x,
а по ним и значения х.
Сравнение (9) имеет или не имеет решения в зависимости
от того, будет ли (п, cp(m))|ind5—ind Л. В частности, можно
применить этот критерий для модулей т — ра при р>2 и
в пределах имеющихся таблиц отыскивать решения сравнений
вида Ax"=EB(modp*).
Это позволяет, между прочим, выяснить вопрос о существо-
существовании для заданного простого р>2 числа а, такого, что
ap-1^l(modp!!) A0)
(см. стр. 100). Действительно, такие числа а удовлетворяют
сравнению хг~х^ 1 (modp2), которое эквивалентно сравнению
(р—1) indx = O (modp(p— 1)), т. е. ind л: = 0 (mod р). По мо-
модулю р(р—1) будет р—1 классов таких индексов, а следова-
следовательно, по модулю р2 существует р—1 классов искомых зна-
значений х. При р2з5 будем иметь не менее четырех таких
классов. Мы видим, что для любого р^=5, кроме чисел а,
сравнимых с ±1, существуют и другие значения а, удовлетво-
удовлетворяющие условию A0). Любое число а, индекс которого делится
на р, будет удовлетворять сравнению A0), причем все эти зна-
значения а будут образовывать р—1 классов по модулю р2.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, найти все числа с,
такие, что ae=l (mod49).
Здесь р = 7. В таблице индексов по, модулю 49 находим
шесть классов чисел ш> этому модулю, индексы которых де-
делятся на 7; а именно классы: 1,18, 19, 30, 31, 48, т. е. а=±1,
±18, ±19 (mod 49).
№7

Для составного модуля т = р... р?' мы заменяем сравнение
(9) системой:
5
При модуле m = 2a, as=3, для решения сравнения (9) можно
воспользоваться теоремами 188' и 190 для вычисления индекса х
в виде пары ((и, и)) с тем, чтобы потом по значениям этого
индекса найти и все значения неизвестной х.
Пример. Пользуясь таблицей индексов, решить сравнение
7*e = 23 (mod 64).
Решение. 64 = 2е. Индексируя сравнение, получаем:
ind7 + 6ind*==ind23(mod(B, 16))).
Обозначая ind* через ((и, v)) и пользуясь таблицей индек-
индексов по модулю 64, составленной в примере на странице 160,
находим последовательно:
(A, 10))+ 6 ((и, i>)) = ((l, 14)) (mod (B, 16))),
(Fи+1, 6i»+10))==((l, 14))(mod(B, 16))),
6«+l = l(mod2), 6o-f 10=14(mod2*),
и ==0,1 (mod 2), us6, 14 (mod24).
В качестве значений индекса ((и, v)) имеем четыре пары:
(@, 6)), (@, 14)), (A, 6)), (A, 14)).
В таблице индексов находим соответствующие значения х по
модулю 64, а именно: х==9, 23, 41, 55 (mod64). Сравнение
имеет четыре решения: классы 9, 23, 41 и 55 по модулю 64.
3. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ ИЗ ЕДИНИЦЫ
Понятие корня и-й степени можно распространить на про-
произвольные модули.
Определение 58. Корнем п-й степени из класса а по модулю
т называется класс чисел, удовлетворяющих сравнению
x"===a(modm). A1)
Рассмотрим квадратные корни по любому модулю из еди-
единицы и определим их число. Начнем со случая, когда m — pk,
где k^\, p — простое число.
Теорема 196. При любом нечетном простом р и k^sl
число квадратных корней из единицы по модулю рк равно 2.
При р — 2 число квадратных корней из единицы по модулю 2*
равно соответственно: 1 при fe = 0 и 1; 2 при k~2; 4 при
?2*3.
Л68

Доказательство. 1) Сравнение я2s I (modp*) при не-
нечетном простом р запишем в виде (х—l)(x+ l) = 0(modрк).
Оба множителя при одном и том же значении х не могут де-
делиться на р, так как из х—l=0(modp) и л; + 1 е= 0(modр)
следовало бы 2=.0(modp), что при р>2 невозможно.
Поэтому сравнение х% =. 1 (mod p*) при р > 2 может удовлет-
удовлетворяться тогда и только тогда, когда х—1=0(modpk) или
х + 1 = 0(modp*), т. е. при лг==± 1 (modp*). Мы видим, таким
образом, что при нечетных р существуют два квадратных корня
из единицы по модулю р*.
2) Возьмем теперь р = 2, к^Ъ. Обозначим через ((и, v))
индекс по модулю 2* чисел х, удовлетворяющих сравнению
xi~\ (mod 2*). A2)
Поскольку, как было отмечено раньше, индекс 1 по мо-
модулю 2* равен (@, 0)), индексируя сравнение A2), получаем
согласно теоремам 188' и 190:
2 ((и, 0)=э((О, 0))(mod(B, 2*-«))),
или u = 0(modl), y=.0(mod 2*~3). Для и по модулю 2, и для
v по модулю 2*~2 получаем соответственно:
«==0(mod2), «н=1 (mod 2), ie=0(mod2*-2), te=2*-3(mod2*-2),
т. е. четыре значения индекса х, а именно:
(@,0)), (A,0)), (@,2*-3)), (A,2*-3)),
которым соответствуют четыре класса решений сравнения A2), эти
классы^и являются квадратными корнями из единицы помодулю2*.
В случае р = 2, & = 0 или 1 непосредственно находим, что
существует один, а при р = 2, k — 2—два класса решений
сравнения A2).
Теорема 197. Пусть m = 2*pi1-. ¦ р*% где р,->2—канониче-
р,->2—каноническое разложение модуля т\ тогда число квадратных корней из
единицы по этому модулю равно:
1) 2s при k = 0 или k=\,
2) 2S+1 при fe = 2,
3) 2*+2 при k-^Ъ.
Доказательство. Нам надо определить число решений
сравнения х2== 1 (modm), которое эквивалентно (теорема 156)
системе:
Xs =з 1 (mod 2*) \
. [ A3)
Согласно предыдущей теореме каждое из этих сравнений,
кроме первого, имеет два решения. Если обозначить через ц
169

число решений первого сравнения, то система A3), а следова-
следовательно, и сравнение x2~l(modm) имеет по теореме 157 »]2*
решений.
В предыдущей теореме было определено, что: 1) при k = 0
и &=1 т]=1; 2) при k = 2 t] = 2; 3) при k>2 г| = 22, так что
число квадратных корней из единицы по модулю т в этих трех
случаях получается соответственно равным 2s, 2s*1 и 2S+2.
Примечание. При т > 2 каждому квадратному корню Т из еди-
единицы по модулю m можно сопоставить отличный от г квадратный ко-
корень пг—г.
Действительно, если г2 = 1 (mod m), то и (т—гJ ss I (mod m), причем
т—г Ф г, так как если бы было т—г = г, то имели бы т — г =r (modm),
2r = 0(mod т). Вместе с тем из г2 =1 (modm) видно, что (т, г)=1, так
что было бы т | 2, что противоречит условию т > 2.
Пример. Определить число квадратных корней из единицы
по модулю m = 600.
Поскольку 600 = 23-3-52, т. е. & = 3, s — 2, число таких
корней будет равно 2*= 16.
Результат, полученный в теореме 197, можно применить для
доказательства одной теоремы Гаусса, представляющей собой
непосредственное обобщение теоремы Вильсона (теорема 153).
Это обобщение было приведено Гауссом в „Disquisitiones arith-
meticae"
Теорема 198. Пусть г1г г2, ... , r9<m)—приведенная система
вычетов по модулю т. Тогда
гхгг ... г9(m) = Z(modm), A4)
где 1 = — 1, если т принадлежит множеству, состоящему
из числа 4, всех чисел вида pk и 2рк, где р—любое нечетное
простое число, k^l, и 1 = 1, если т не принадлежит этому
множеству.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно
в качестве
Р = ггг2 ... гчт A5)
рассматривать произведение чисел, образующих приведенную
систему наименьших неотрицательных вычетов.
При т=1 и т = 2 мы можем в правой части A4) взять
как / = —1, так и / = 1.
Пусть т>2. Объединим попарно все числа в A5) следую-
следующим образом. Для каждого г,- решаем сравнение rtx= I (mod m),
(г;, т)=1, и находим г} такое, что /-,•/¦/= 1 (modm).
1) Если r^rj, составляем пару „первого типа" ((/",¦, rj)).
Все такие множители г;, г} в A5) можно отбросить, так как
произведение каждых двух чисел, образующих такую пару,
дает при делении на т остаток, равный L
170

2) Если Г/=г1г т. е. если rf s= I (mod m), то для такого rt
составляем пару „второго типа" ((rh т—г,)), где согласно при-
примечанию к теореме 197 (т—г{)г = 1 (mod т) и т—г{ отлично
от г,-. Для каждого из произведений двух чисел г{ и т—г{,
образующих пару второго типа, имеем:
r,-(m—г,-)н=— r?=— I (modm).
Таким образом, Р по модулю т сравнимо с (— 1)", где п —¦
число пар второго типа.
Поскольку в парах второго типа объединены попарно реше-
решения сравнения #2=l(modm), число этих пар будет равно по-
половине числа квадратных корней из единицы по модулю т.
Согласно теореме 197 при т = 4, т — рк и т — 2рк имеем
n=-j-2=l,T. е. Р==— l(modm). Если же /п = 2*.р?'-... -pkss —
каноническое разложение т, то согласно той же теореме:
1) при k = 0 и 1, sSs2, число « = -2-2^ четно;
2) при k—2, s^l, число n = -2%s+1 четно;
3) при &Ss=3, SSsO, число n — ^2s+2 четно.
Таким образом, во всех этих трех случаях
P = +l(modm). A6)
Непосредственная проверка показывает, что сравнение A6)
верно для т—\ и т = 2, соответствующих значениям k = 0
и 1 при s = 0, что вместе с ранее рассмотренными случаями
исчерпывает все возможные значения т.
Сравнивая результаты, полученные в теоремах 198 и 181,
можно теорему 198 записать также в следующей форме.
Теорема 198'. Произведение чисел, образующих приведенную
систему вычетов по модулю т>2, сравнимо по этому модулю
с — 1 тогда и только тогда, когда по модулю т существуют
первообразные корни. Для всех остальных модулей это произве-
произведение сравнимо с -(- 1.
Примеры, а) т=18 = 2-Зг. Здесь Пг, = 1-5-7-11 -13-17 =
= E.Ц)G13)-A17) = 11(— 1)=— 1 (mod 18).
б) т = 30 = 2-3-5. Здесь Пг, = 1-7-11-13-17-19-23-29 =
= G-13).A7-23)-(Ь29)AЫ9)=1-1(— 1)(— 1)== 1 (mod30).
4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ СРАВНЕНИЯ
Таблицы индексов можно применять и для решения пока-
показательных двучленных сравнений вида
A7)
171

Если по модулю т существуют первообразные корни, то,
индексируя сравнение A7), получаем сравнение
#inda==indb(mod<p(m)), A8)
представляющее собой следствие сравнения A7). Все значе-
значения х, удовлетворяющие сравнению A7), находятся среди чи-
чисел х, удовлетворяющих сравнению A8). С другой стороны,
каждое неотрицательное значение х, удовлетворяющее сравне-
сравнению A8), удовлетворяет также и сравнению A7).
В случае сравнения вида
а'(Ж> ==&*<*> (mod m), A9)
где f(x) и ^(д:)—многочлены с целыми коэффициентами,
а т—модуль, для которого существует первообразный корень,
индексируя, получаем сравнение вида
F(jt) = 0(modq>(/n)), B0)
где
F (x)=f (x) ind a—g (x) ind b.
Значения х, удовлетворяющие сравнению A9), совпадают
со значениями х, удовлетворяющими сравнению B0).
ГЛАВА 21
СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ
1. КВАДРАТИЧНЫЕ ВЫЧЕТЫ И НЕВЫЧЕТЫ
Общий вид сравнения 2-й степени по простому модулю р
имеет вид:
сохг + с1х + с2^0 (mod Р)- A)
В качестве модуля р мы будем брать нечетные простые
числа. При р = 2 решения, если они есть, находятся испыта-
испытанием классов 0 и 1. Мы будем рассматривать только случай
р\са, так как при р\с0 сравнение A) эквивалентно сравнению
1-й степени c1jc4-c2^0(modp).
Теорема 199. При р>2, р\с0 сравнение A) эквивалентно
некоторому сравнению вида
B)
Доказательство. Сравнение A) при р\с0 можно (тео-
(теорема 144) сначала привести к виду
х2 + Ьхх + Ьг = 0 (mod р). C)
172

Рассмотрим два возможных случая:
1) Если 2\Ь1г то сравнение C) можно записать в виде:
2) Если 2 \ blt то сравнение C) заменяем эквивалентным
сравнением
*2 + (Ьг + р) х + Ьг == 0 (mod р),
которое, поскольку р нечетно и, следовательно, 2\b1-{-p, можно
записать в виде
Таким образом, в обоих случаях мы получаем сравнение
вида B), эквивалентное первоначальному.
Если обозначить х-\-с через г, то вопрос о существовании
решений и нахождении этих решений для любого сравнения
2-й степени сводится к исследованию сравнения z2 = (modp).
В этой главе мы будем рассматривать только такие сравнения,
записывая их в виде
x2==a(modp), D)
причем будем считать а не принадлежащим нулевому классу,
т. е. таким, что р\а.
В случае, когда а?0, очевидно, что сравнение D) имеет
только одно решение x = 0(modp), так как при x^0(modp),
as=0(modp) будет также х2 фа(тойр).
Сравнение D) является частным случаем (при л = 2) сравне-
сравнения x"=a(modp), рассмотренного в 20-й главе.
Некоторые из результатов настоящей главы являются част-
частными случаями теорем 20-й главы. Чтобы сделать изучение
сравнений 2-й степени независимым от общей теории двучлен-
двучленных сравнений, будем наряду со ссылками на ранее установ-
установленные результаты давать и новые доказательства, проводя их
специально для рассматриваемого случая.
При р\а сравнение D) может не иметь решений. Например,
легко проверить, что сравнению х2 = 2 (mod 5) не удовлетворяет
ни один из классов по модулю 5.
Вместе с тем если при р\а сравнение D) имеет реше-
решение х0, то решением будет также класс — х0, отличный от х0.
Действительно, если Xo==a(modp), то и ( — #0J = a(modp),
причем поскольку р\в, то р\х\, а, следовательно, для р>2
будет 2x0^0(modp), хв ф — *0(modp), т. е. решения х0 и — х9
различные.
С другой стороны, сравнение D) не может (теорема 148)
иметь более двух решений. Таким образом, если исключить из
раесмотрения, как мы это сделали, значения а, кратные р, то
173

сравнение D) либо имеет два решения, либо не имеет ни одного
решения. Если при некотором а сравнение D) имеет два реше-
решения, то и для любого b==a(modp) это сравнение имеет два
решения, поэтому естественно рассматривать сравнение D) не
для отдельных чисел а, а для соответствующих классов.
Определения 59. 1) Класс чисел по модулю р называется
классом квадратичных вычетов по этому модулю, если для чисел
а, принадлежащих этому классу, сравнение хг == a (mod p) имеет
два решения.
2) Класс чисел по модулю р называется классом квадратич-
квадратичных невычетов, если для чисел а, принадлежащих этому классу,
сравнение х2 = a(mod p) не имеет решений.
Соответственно этому все числа, принадлежащие классам
квадратичных вычетов, т. е. все числа а, для которых сравне-
сравнение je2 = a(modp) имеет два решения, будем называть квадра-
квадратичными вычетами по модулю р и аналогично все числа а, для
которых это сравнение не имеет решений, —квадратичными не-
невычетами по этому модулю. Числа а, принадлежащие классу О,
для которых сравнение D) имеет одно решение, не причисляются
ни к квадратичным вычетам, ни к квадратичным невычетам.
Если сравнить определения 59 с определениями 56 и 56', то
легко видеть, что понятие квадратичного вычета (невычета) по
модулю р совпадает с понятием вычета (невычета) 2-й степени
по этому модулю.
Теорема 200. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы а было квадратичным вычетом по простому модулю
р(р>2, р\а), является справедливость сравнения
a~=El (modp). <5)
Доказательство. 1) Эта теорема является частным слу-
случаем теоремы 194 при п = 2.
Дадим еще одно доказательство этой теоремы.
2) Согласно теореме 150 необходимым и достаточным усло-
условием того, чтобы сравнение D) имело два решения, является
делимость на р всех коэффициентов остатка от деления х''—1
на х2—а. Найдем этот остаток.
По теореме Безу остаток от деления f (z) на (z—а) равен
f(a), так что
z~ — l = (z—a)g(z) + r, <6>
где г — а* —1, а g(z)—многочлен с целыми коэффициентами.
Заменяя в F) z на хг, получаем:
следовательно, необходимым и достаточным условием того,
174

чтобы, сравнение {4) имело два решения, является делимость
р—1
а *. —1 на р, т. е. выполнение условия E).
Теорема 201. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы а было квадратичным невычетом по простому модулю р
(р>2, р\а), является
а 2 ==—1 (modp). G)
Доказательство. Согласно теореме Ферма при р\а
имеем: .
~— l) (a^+l)=a>7-1—1=0(modp). <8)
Если а — квадратичный невычет по модулю р, то первый
множитель не делится на р и, следовательно (теорема 105"),
на р делится второй множитель, т. е. выполнено условие G).
Оба множителя в (8) не могут одновременно делиться на р, так
как тогда их разность 2 тоже делилась бы на р > 2, что невозмож-
но. Поэтому если выполнено условие G), то a 2 =ё 1 (modp), т. е.
согласно теореме 200 а—квадратичный невычет по модулю р.
Теоремы 200 и 201 можно объединить в виде следующего
критерия, данного впервые Эйлером; этот критерий позволяет
судить, является ли целое число а, не делящееся на простой
модуль р>2, квадратичным вычетом или невычетом по этому
модулю.
Критерий Эйлера. Число а, не делящееся на простое число р
(р > 2), является квадратичным вычетом или невычетом по мо-
р-1
дулю р в зависимости от того, будет ли а 2 сравнимо с +1
или с —1 по этому модулю.
Примеры. Число 2—квадратичный невычет по простому
модулю 11, так как 25 — 32==—1 (mod 11).
Число 3—квадратичный вычет по модулю 11, так как
35 = 243=1 (mod 11).
Теорема 202. По любому простому модулю р > 2 число классов
квадратичных вычетов равно числу классов квадратичных невы-
невычетов.
Доказательство. Установим сначала, что число классов
р—1
квадратичных вычетов по такому модулю р равно ~—.
Это утверждение является частным случаем теоремы 192'
при п = 2; мы можем также легко доказать это, пользуясь тео-
теоремой 200.
Действительно, согласно теореме 200 классы квадратичных
вычетов по модулю р представляют собой решения сравнения
л:" 2=1 (modp),
175

и, следовательно, число квадратичных вычетов равно числу
решении этого сравнения. Имеем:
2 — -ч U1 +ч-
Поскольку остаток от деления хр~х—1 на х 2 —1 равен
нулю, то (теорема 150) сравнение (9) имеет ~— решений, т. е.
по простому модулю р > 2 существует ~— классов квадратич-
квадратичных вычетов. Всего по модулю р существует р—I классов
чисел, взаимно простых с модулем, и, таким образом, число
классов квадратичных невычетов равно р—1—^- —р-^-, т. е.
столько же, сколько классов квадратичных вычетов.
Теорема 203. Числа I2, 22, ... , (^—) образуют систему
представителей всех классов квадратичных вычетов по простому
модулю р > 2.
Доказательство. Каждое из этих чисел представляет
собой квадратичный вычет по модулю р, так как сравнение
*2ss2(modp), где lsgssg^-, имеет два таких решения:
л: = ±5 (mod р). Все эти числа попарно несравнимы по моду-
модулю р. Действительно, если взять любые два из них: s2 и t2
(i) то
-1, p\s—t,
и, следовательно (теорема 105'):
(s + t)(s—t)?
Таким образом, числа
1) принадлежат классам квадратичных вычетов,
2) никакие два из них не принадлежат одному и тому же
классу,
3) число этих чисел ^- равно числу классов квадратичных
вычетов.
Согласно „принципу ящиков" (теорема V) можно утверждать,
что эти числа образуют систему представителей этих классов
по одному из каждого класса.
Пример. Найти классы квадратичных вычетов по модулю
р=17.
Берем числа 1"=1, 22 = 4, 32 = 9, 4* =16, 52==8(mod 17),
6* = 2 (mod 17), 72=15(modl7), 8a== 13 (mod 17).
176

Классами квадратичных вычетов по модулю 17 являются
классы: _ _
Т, 2, 4, 8, 9, IT, 15", Ш.
Имея таблицу индексов по модулю р, можно найти квадра-
квадратичные вычеты, отобрав числа, у которых индексы четные
(теорема 191'). |
2. СИМВОЛ ЛЕЖА НДР А
При изучении сравнений 2-й степени удобно пользоваться
так называемым символом Лежандра. Введение этого символа,
как будет видно из дальнейшего, значительно упрощает запись
многих результатов и облегчает вычисления. Символ Лежандра
для числа а по простому модулю р>2 принято записывать
в виде (—) , причем этот символ определяется следующим
образом.
Определение 60. Пусть р — простое число, р>2 и р\а.
Символом Лежандра ( — ) обозначается +1 или — 1, смотря
по тому, будет ли а квадратичным вычетом или невычетом по
модулю р, т. е.:
/^X^f-j-l» если а—квадратичный вычет по модулю р,
Кр/^Х — 1, если а—квадратичный невычет по модулю р.
Другими словами, ( —J равно +1, если сравнение
x2 = a(modp) имеет два решения, и ( — J равно —1, если это
сравнение не имеет решений.
C \
jyj = l, так как сравнение х2 = 3(mod 11)
имеет два решения: х = ± 5(mod 11);
-?-) = —1, так как сравнение х2 = 2 (mod 5) не имеет
решений.
Запишем ряд свойств символа Лежандра, непосредственно
вытекающих из определения и ранее установленных свойств
квадратичных вычетов и невычетов. Поскольку символ ( —)
определен у нас только для простых модулей р>2 и р\а, то
запись (— ] во всех следующих теоремах 204—212 будет озна-
означать, что р и а удовлетворяют этим условиям.
Теорема 204. Если b==a(modp), то (—\ = (—).
Доказательство. Если D) = 1,т. е. a—квадратичный
вычет по модулю р, то и любое b?a тоже будет квадратичным
177

вычетом по этому модулю, и (— j = l. Если f~\ = — i, то и
весь класс а состоит из квадратичных невычетов по модулю р, ,
т. е. при b=sa(modp), (-г-) =—1.
Теорема 205. (j) = l-
Доказательство. Сравнение x2 = a2(modp), p\a, имеет
два решения: # = ±a(modp).
В частности, ( — ) = 1.
Теорема 206 (критерий Эйлера).
сГ^ =¦(!¦) (mod р). A0)
Доказательство. Если ( — ] = 1, т. е. если a—квадра-
a—квадратичный вычет по модулю р, то согласно теореме 200 имеем:
Если ( —) — —1, т. е. если а—квадратичный невычет по
модулю р, то согласно теореме 201 имеем:
Таким образом, сравнение A0) верно для любого а, не деля-
делящегося на р.
Пример ы.
3), так что (^) = 1-
2) (Щ -з 108=(—2L = 16=—1 (mod 17), так что (^\ = — 1.
Теорема 207. (~) = / + J• если Р = ¦ , ...
\ Р I \ —1, если p^3(mod4).
Доказательство. Согласно теореме 206 имеем:
—-)=(— l)~Mmodp).
В левой и правой частях этого сравнения стоят величины,
по абсолютной величине равные 1. Две такие величины могут
быть сравнимы по модулю р~> 2, только если они равны» т. е.
р-1
(— 1) 2 равно +1 или —1, смотря по тому, будет ли
p==l(mod4) или p = 3(mod4).
178

Поскольку сравнение *2==—1 (modp) можно записать в виде
x2-j-1=0(modp), то теорему можно записать еще в следующей
форме.
Теорема 207'. Целые значения х, при которых х2+1 делится
на простое число р, существуют тогда и только тогда, когда
p=s\ (mod 4).
Пример. Существуют ли значения х, такие, чтобы х2 + 1
делилось на 127? Поскольку р = 127 е=3 (mod 4), таких значений
не существует.
Теорема 208.
Доказательство. Согласно теореме 206 имеем:
(^) {f) (J)
/fli..-g|i\ и произведение (—) ... (~j по абсолютной величине
равны 1. Выше было отмечено, что два таких числа сравнимы
по модулю р>2 только тогда, когда они равны, следовательно,
(
_ fab\ f а\ / Ь\ *
В частности, 1 — 1 = ( — I~~)> и. таким образом, если
)() (/) ^()(i) (?)
(f)G,) (/) (т)(i) (?)
= —( — ] = —1, т. е. произведение двух квадратичных вычетов
или двух квадратичных невычетов по модулю р представляет
собой квадратичный вычет по этому модулю, а произведение
квадратичного вычета на невычет представляет собой квадратич-
квадратичный невычет.
Из теоремы 208 следует также, что если I — )=*=i, то и при
любом ss=0 имеем ( —J = l, т. е. любая степень квадратичного
вычета представляет собой квадратичный вычет по рассматри-
рассматриваемому модулю.
Пример. 5*^2(mod23). Пользуясь тем, что 2 является
квадратичным вычетом по модулю р = 23, найти все классы
квадратичных вычетов по этому^ модулю.
Беря степени 2, находим последовательно такие классы квад-
квадратичных вычетов по модулю 23.
2, 4, 8, 16, 2-16 = 9, 2-9=18, 2-18=13, 2-13 = 3, 2-3 = 6,
2-6= 12, 2.12=1.
179

23—1
Мы нашли 11 = —g— классов квадратичных вычетов, т. е.
все такие классы.
Ответ. I, 2, 3, 4, 6, 8, 9, \2, 13, Тб, 18.
Следующий критерий, установленный впервые Гауссом, дает
новый, отличный от критерия Эйлера, способ выяснять, является
ли некоторое число а квадратичным вычетом или невычетом по
простому модулю р.
Теорема 209 (критерий Гаусса). Для любого а, не деляще-
делящегося на простой модуль р (р>2), имеем:
где I—число чисел множества:
а, 2а ?=-1а, A2)
у которых наименьший по абсолютной величине вычет по про-
простому модулю р отрицателен.
Доказательство. Каждое число из A2) сравнимо с одним
и только одним числом приведенной системы вычетов по мо-
модулю р:
-^р-,..., -2, -1, 1, 2, ...,?=!, A3)
так что каждому числу sa из A2) мы сопоставим число из A3)
вида ( —1)'"Г4, такое, что sa==( — l)l*rs(modp), где l^r^——
и ls равно 0 или 1, причем /^=1 тогда и только тогда, когда
наименьший по абсолютной величине вычет sa по модулю р
отрицателен.
Если взять два таких числа: sa и ta (s^t), то соответст-
соответствующие rs и rt также будут не равны друг другу. Действительно,
если бы было rs — rt, т.е. sa~( — l)l'rs(modp) и ta==( —1)'< rs(modp),
то мы имели бы sa = ±ta(modp), p\(s^pt)a. Поскольку при
l<s<^=i, l<*=s:^, s=?t, имеем 0<|s± t |<p — 1,
то p\s±t и, следовательно, р\а, что противоречит условиям
теоремы.
Таким образом, придавая s значения, равные 1,2, ... , ~- ,
будем получать в качестве rs также разные значения из числа
чисел 1, 2, .... ^— и, таким образом, гх, г2 /у_1 и
1, 2, ... , р—%- могут отличаться только порядком, так что
A = rtrs ... /•„_! = 1-2 ... ^
180

Перемножая сравнения:
1 -а = (— I)'1/*! (mod р),
2-а==(—l)'»ra(modp),
получаем:
p-i /i+/,+...+/p_i
Л-a 2 =( — 1) 2
Сокращаем обе части сравнения на А, где А, как произве-
произведение чисел, взаимно простых с р, также взаимно просто с р:
а а ==( —1) а (modp).
Согласно критерию Эйлера (теорема 206) имеем:
так что
it+it+. ..+<р-1
(iL)=(-l) 2 (modp). A4)
В левой и правой частях сравнения A4) величины по абсо-
абсолютной величине равны 1; из сравнимости их по модулю р вы-
вытекает их равенство, т. е.
где /—число чисел /;, равных 1, т. е. число чисел во множе-
множестве A2), у которых наименьший по абсолютной величине вычет
по модулю р отрицателен.
Пример. Имеет ли решение сравнение x2=s6(mod 19)?
Находим наименьшие по абсолютной величине вычеты чисел
6s(l «?s=s?9), подчеркивая те из них, у которых такой вычет
отрицателен:
6-1=6, 6-2е=—7, 6-3==—1, 6-4 = 5, 6-5S5E—8,
6-6=—2, 6-7 = 4, 6-8==— 9, 6-9^—3 (mod 19).
Здесь / = 6, так что Г^9) == ^—^)в==Ь и> значит, сравнение
х* = 6 (mod 19) имеет два решения.
Теорема 210.
\_/ + 1» если p5=l(mod8) или p==7(mod8),
р)~~\ — 1, если p = 3(mod8) или p = 5(mod8).
181

Доказательство. Согласно критерию Гаусса (теорема 209)
1)', где /—число чисел во множестве
(IH
12, 2-2, 3-2, ...,?=^.2 = р-1, A5)
т. е. во множестве 2, 4, 6, ... , р—1 четных чисел, меньших
или равных р — 1, для которых наименьший по абсолютной
величине вычет по модулю р отрицателен.
Числа, лежащие в интервале от 1 до р—1, имеют отрица-
отрицательный наименьший по абсолютной величине вычет, если они
больше, чем ~. Согласно теореме 49 число четных положи-
положительных чисел, меньших или равных ¦?•, равно -?¦ . Во мно-
множестве A5) всего имеется ^г~ чисел, и, таким образом, чисел,
больших чем -§¦, будет
При:
Bл+1) =
(су \
— ) = (—1)' равно 1 для простых чисел р
вида 8п+1 или Ьп + 7 и равно —I для простых чисел р вида
8л + 3 и 8n-f 5.
Теорему 210 можно записать в виде
„а 1
так как легко проверить, что - четно, если р = 8л+1 или
8п + 7, и нечетно, если р = 8л + 3 или 8л+ 5. Теорема 210
означает, что простые делители чисел вида х*—2 могут иметь
только вид 8л+1 или 8я + 7.
Пример. Существует ли целое число х, такое, что х2—2
делится на 79?
Поскольку 79 = 8-9-{-7, то (=§} = 1, и, следовательно, та-
такое целое число х существует.
182

3. ЗАКОН ВЗАИМНОСТИ
Для двух нечетных простых чисел р и q значения символов
Лежандра ( —J и ( — )#связаны замечательным соотношением,
которое обычно называют законом взаимности квадратичных
вычетов. Закон взаимности был найден еще Эйлером, однако
первое доказательство было дано Гауссом. Этот закон в соче-
сочетании с теоремами 204, 205, 207, 208, 210, ка# будет показано
дальше, дает удобный способ вычислять символ Лежандра (-—-)
при любом а.
Закон взаимности дает непосредственное и притом очень
простое выражение для произведения символов Лежандра (—)
и (—) , где р и q—простые числа. В то время как способы
вычисления каждого из этих символов в отдельности, данные,
например, в теоремах 206 и 209, требуют при больших р и q
длинных вычислений, произведение этих символов вычисляется
совсем просто. Мы дадим предварительно следующую вспомога-
вспомогательную теорему.
Теорема 211. Пусть р и q—нечетные простые числа и
q<ip, тогда
где s — число чисел х, принадлежащих множеству 1, 2, ..., — -
и удовлетворяющих какому-либо из сравнений вида qx^r (modp),
где—т<г<-т-
Доказательство. Согласно теореме 2€9 (— ] = (—l)s',
где s' — число чисел х во множестве
1, 2 ^. A7)
для которых наименьший по абсолютной величине вычет qx по
модулю р отрицателен, т. е. числу чисел х в A7), таких, что
при некотором целом у
—-^-<qx—py<0. A8)
Поскольку 0<х<-у-, для возможных значений у получаем
неравенства: •
и так как q нечетно, то
183

Замена у соседним с ним целым числом изменяет величину
qx—ру на ±р; для каждого х в A7) может быть самое боль-
большее одно у, при котором qx—ру лежало бы в пределах от
¦—J- до 0, т. е. s' равно числу пар ((*, у)), где х выбрано из
множества 1, 2 ~- , а у—из множества 1,2, ..., ^~ ,
удовлетворяющих неравенству A8).
Поменяв местами р иq (а также хпу), получаем (—) = (— l)s",
s"—число пар {{х, у)), где х и у—всевозможные числа, взятые
так, что 1 <*<-^р- , 1 >^у^~~ и -~-|- <р*/—-<?
Поскольку p\q и при 1<К~ р\х, то py=?qx, так
что условие —Л-<Сру — qx < 0 можно записать в виде 0 =^ qx —
— РУ < 4" • Произведение
где s = s'-\-s", равно числу всевозможных пар ((х, у)), состав-
ленных из чисел 1, 2 2 для х и 1, 2, ..., —х- для у,
таких, что
р q
При q<Cp для каждого целого х может быть самое большее
одно такое у, так что число этих пар равно числу чисел х
в множестве 1, 2, ..., - ~ , таких, что qx = r (хпо&р) при не-
некотором г, удовлетворяющем условию —|"<г<-|-.
Теорема 212 (закон взаимности). Для двух любых нечетных
простых чисел р и q имеем:
а\ { ~1' если Р = 4п + 3 и <? = 4п' + 3,
) — ) "Н > если хоть одно из чисел р или q имеет вид
/jy { 4п+1.
Доказательство. Пусть q<ip. Обозначим через М мно-
множество чисел х, таких, что 1s?ats?-?^- и <7#=sr (mod р) при
некотором г, таком, что —1-<г <.!-¦.
Согласно теореме 211 имеем:
(f)(f) ¦<-'>'•
184

где s—число чисел х?М. Каждому числу хо?М можно сопо-
сопоставить число -*'0 = -^y х0, также входящее в М. Действи-
Действительно, из lss*oss-^y- следует l«s*'oss^y-, и если
qx0==r(modp), — -f-< г <-|-, то
Обозначив ^^ —г через г', будем иметь qx\==:r' (modp),
где, поскольку — \<-г<-\> получаем — \<-г' = ^-^- —
— г<-~, так что х'д&М. Число ¦*'<, =-^Цр х0 отлично от х0,
за исключением случая, когда х0 — ^j—-
Объединим числа М в пары вида ((х0, ~ хо))< гДе
^ х0. Если ^~ не входит в М, то все числа М ра-
разобьются на такие пары, и s будет четным, а если ^~— входит
в М, то в М, кроме чисел, входящих в эти пары, останется
р + 1 *
еще одно число 1-~~ , и s будет нечетным.
Нам остается только выяснить, входит ли р^" в М или нет.
1) Если р = 4п+1, то -?i нецелое число, ^~- не входит
в М, т. е. s будет четно.
2) Если р = 4п + 3 и <7 = 4п'+1, то
п nJ-л р р Л~ п
При q<.p имеем-|-< ¦i-^-i <-^- и -^-j-1 несравнимо с числами г,
лежащими между —-|- и -|-, так что ~^ не входит в М,
т. е. s—четно
3) Если р =
= 4
Р-
i
Р
In 4
1-1
i
<-
ц—р^
ы
Я
2 '
-+з.
р+1
4
ТО
?М, s нечетно.
Ввиду того что выражение f-^-J f-^-J симметрично по отно-
отношению к р и q, случай p<.q сводится к уже рассмотренному.
185

Легко проверить, что выражение -^-д— • ^-=— нечетно, если
р = 4п + 3 и </ = 4п' + 3, и четно, если хотя бы одно из чисел р
или <? имеет вид 4п + 1; поэтому доказанный нами закон взаим-
взаимности можно дать также в следующей форме.
Теорема 212'.
( ) как величину, равную ±1, можно перенести в другую
сторону и записать эту формулу также в виде
A9)
Применяя формулу A9), знак (—1) 2 ' 2 обычно опреде-
определяют, как в теореме 212, смотря по тому, каковы остатки от
деления р и q на 4.
Пример. (§)=—(§). так как 59=14-4 + 3 и 83 =
= 20-4 + 3.
Закон взаимности вместе с ранее установленными свойствами
символа Лежандра (теоремы 204, 205, 208, 210) позволяет вы-
вычислять ( —) для любых аир (р \а простое), т. е. определять,
имеет или нет решения сравнение х2 = а (modp).
Вычисляя символ Лежандра (— ], мы можем считать 0<а<р>
А ^ Р '
так как если бы число а не лежало в этих пределах, его
можно было бы заранее заменить (теорема 204) остатком от
деления на р.
Если а = </5'...</J«—каноническое разложение а, то (тео-
(теорема 208)
а
причем, так как [.—] =1, можно оставить и притом в первой
степени только те множители, у которых а,- нечетны, заменяя
нечетные а,- единицами. ¦
Если некоторое <7,- = 2, то (—J вычисляется по теореме 210,
а к множителям вида ( —) , где q—нечетное простое (q<.p),
применяется формула A9), сводящая вычисление ( —) к вы-
вычислению (~) — (~)> гДе г—остаток от деления р на q, так
что г<<7-
186

Непосредственно видно, что этот процесс сводит вычисление
символа Лежандра( —I к вычислению других символов Ле-
жандра, в которых а заменяется меньшими числами. Продолжая
этот процесс, мы дойдем до символов вида (~т\ = 1 и (-») =
2
= (—1) 8 (р', р"—некоторые простые).
Применение теоремы 207 часто существенно облегчает вы-
вычисления.
Примеры. 1) Имеет ли решения сравнение х2 = 68 (mod ИЗ)?
Модуль 113—простое число. Находим:
68\ / 2 У(П\(ПЗ\ (П
TT I 1 ~о~ I ' I FT 1 * •
Сравнение не имеет решений.
2) Имеет ли решения сравнение *2==310 (mod521)? 521 —
/310\ / 2 \ f 5 \ f 31\ /521 \ /521 \
простое число; (^l) « (ш) (ш) (ш) - [^ [ж) =
Сравнение имеет два решения.
3) Имеет ли решения сравнение xa +174==0 (mod619)?
619-простое число; (^) = (=±) (^) (gfg) (Й) =
29; ~ \Ю) {&
()()
Сравнение имеет два решения.
4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КВАДРАТИЧНЫХ ВЫЧЕТОВ
Закон взаимности позволяет определить, для каких простых
модулей р(р>-2) данное простое число q (или —q) (q?=2) яв-
является квадратичным вычетом. Действительно, представим р
в виде p = Aqt + r, где 1<г<4<7 (r,iq) = \; тогда
т. е. (— 1 и (—) не зависят от t.
187

Таким образом, q является квадратичным вычетом для тех и
только тех простых чисел р, для которых (—1) * * (т) = ''
а—q—квадратичный вычет простых чисел р, для которых
r-l q+l . .
(-l)-r--f -1.
[Zl .iZ± t . \ r-i .g+l , ,
При данном q величины (—1) J 2 f — j и (—1) a s (—j
зависят от г, т. е. от того, в какой из прогрессий по модулю Aq
лежит р.
Замечание. В частном случае, когда #=1 (mod4), пред-
представив р в виде p — qt + r', где l^,r' <.q, будем иметь ( —\ =¦
= ( — ) = [—) . При заданном q величина ( —) зависит только
\,Я ) \Я J v ч \Р J
от г , т. е. от того, в какой прогрессии по модулю q лежит р.
— j равен +1 или —1, смотря по тому,
будет ли р=1,7 (mod8) или р==3,5 (mod8) (теорема 210),
а (~~)==(=~) (—) равно +1 или —1, смотря по тому, будет
ли р==1,3 (mod 8) или р = 5,7 (mod 8) (теоремы 207 и 210).
Таким образом, и в этих случаях значение символа Лежандра
зависит от того, в какой из прогрессий по модулю Aq лежит р.
Аналогичная задача определения нечетных простых моду-
модулей р, для которых данное а является квадратичным вычетом,
может быть поставлена и для составных а. Эта задача может
быть поставлена также в следующей форме: определить, какие
простые числа р являются делителями чисел вида х2—а.
Можно ограничиться случаем, когда все простые множители
различны, так как при вычислении символа Лежандра ( —) в ка-
каноническом разложении а = ±9"'.. .<?"' каждое а,- можно заме-
заменить остатком от деления на 2.
Беря случай a = (±<7i)-<72 • • • Qk> гДе все 4i—различные про-
простые числа, мы для каждого из этих множителей определим
прогрессии по модулю Aqt, в которых простые числа р таковы,
что (~J = 1, и прогрессии по этому же модулю, в которых
простые числа р таковы, что (— j = — 1 [в случае, когда a<:0,
при t=l вместо ( —) берем (——)\.
После этого остается определить общий вид тех простых
чисел р, при которых
= 1, B0)
188

т. 9. найти те прогрессии по модулю
М = [4fr, 4?2 4<у = 4^2... д„,
для которых.в произведении B0) число множителей, равных —1,
четно. Проще, однако, представить простые числа р в виде
p = Mt-\-r A *^г<М, (г, УИ)=1) и для каждого г определить,
являются ли простые числа прогрессии Mt-\-r квадратичными
вычетами или невычетами.
Примеры. 1) Для каких простых чисел р>2 сравнение
x2s=3 (modp) имеет решения?
Представляем р в виде p=\2t-\-r, где г=\, 5, 7, 11.
==(-l) ^-з-J —>—1 при г = 5,7.
Сравнение имеет решения для простых модулей р = 1 (mod 12),
p^W (mod 12) и не имеет решений для модулей р==5 (mod 12),
р==7 (mod 12).
2) Определить, какие простые множители могут быть у чисел
вида л;2+ 6. Здесь а — —6, Л1 = 24. Представляем р в виде
где г=1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
-6\ /-2W3\ I if) ПРИ Р> Hl 17' 19 (m°d 24)>
Пользуясь результатом предыдущей задачи, находим, что
'— б\ _ j 1 при ps=l, б, 7, 11 (mod 24),
~Р~)~\ —1 при /? = 13, 17, 19, 23 (mod 24),
т. е., кроме 2 и 3, простые множители чисел вида х2-\- 6 имеют
вид 1М-\-г, где г—одно из чисел 1, 5, 7, 11.
Теория квадратичных вычетов может быть применена для
нахождения простых делителей натуральных чисел; например,
следующая теорема позволяет в определенных случаях из мно-
множества всех простых чисел выделить подмножество простых
чисел, которые заведомо не могут быть делителями заданного N.
Теорема 213. Пусть
N^axl+byl B1)
где а, Ь, хп, у0—целые числа, (ах0, byo)—\t 'p—нечетный про-
простой делитель N; тогда
Н-1)^- B2)
189
Доказательство. Из условий p\axl-\-by\, (ах0,
получаем р\а, р\Ь, р\у0, axl + byl=sQ(modp).

(axoJ=s— abyl (mod p), т. e.— aby\—квадратичный вычет по
модулю р и, таким образом,
Пользуясь формулой 11 (теорема 207), получаем:
Условие B2) существенно ограничивает возможные простые
делители чисел N вида B1).
Пример. Разложить на простые множители число
10541 =3-592 + 2-7a. B3)
— ) = (—1) a =
В примере на странице 189 мы видели, что (— ] = 1 при
р==1, 5, 7, 11 (mod24), так что простые делители р=^У 10541
находятся среди чисел: 5, 7, 11, 29, 31, 53, 59, 73, 79, 83, 97, 101.
Из B3) сразу видно, что 5, 7, 59 не делители этого числа.
ё0 (mod 11),
(mod 29),
0 (mod 31),
(mod 53).
Непосредственным делением находим:
73^-10541, 79{10541, 83A0541, 10541 = 83-127.
Частными случаями теоремы являются следующие утверж-
утверждения:
1) Нечетные простые делители р чисел вида х*-\-уг, где
(х, у) = \, имеют вид: /? = 4л+1-
Действительно, при N = х* + у2 условие B2) принимает вид:
р-1
(-1) « =1.
2) Нечетные простые делители р чисел вида *2 + 2(Д где
(я, у) = \, имеют вид: р = 8п-}-\, p — Sn + d.
Действительно, при N = x2-}-2y*, 2\x условие B2) прини-
принимает вид:
что может иметь место только при р — 8п + 1 или р == 8п -f 3.
190

При х = 2хх, 2\у, (xlt y)=*l, N = 2Bx1 + Уг) получаем тот
же результат.
3) Нечетные простые делители р чисел вида 2хг—у3 и х2—2у%
при (х, у)—1 имеют вид: р = 8п+1, р = 8л + 7.
Действительно, при N = xa — 2уа, 2\х условие B2) сводится
— ) =(— 1) 2 j I —\ _ i( чт0 может иметь место только при
р = 8я+1 или р = 8п + 7.
При х = 2хг, N = — 2{y*—2x\), 2\y, {у, ху) = \ получаем
тот же результат.
Рассмотрение чисел вида 2х2—у* = — (уг—2хг) сводится
к разобранному случаю.
Теорема 202 показывает, что среди чисел от 1 до р — 1 квад-
квадратичные вычеты по простому модулю р составляют половину
этих чисел. Естественно поставить вопрос, как распределены
квадратичные вычеты и невычеты по модулю р в некотором
интервале от 1 до Q, где Q<p — 1.
И. М. Виноградов и Пойа независимо друг от друга в 1918 г.
доказали следующую теорему, которую мы приводим без дока-
доказательства.
Теорема 214. Обозначим через R число квадратичных вычетов
по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2 Q.
Тогда
где |в|<1.
Эта теорема показывает, что при Q, большом по сравнению
с V^plnp, примерно половина всех чисел от 1 до Q являются
квадратичными вычетами по простому модулю р.
Аналогичная теорема была указана И. М. Виноградовым для
вычетов л-й степени.
Теорема 214'. Пусть п\р— 1, /?„ — число вычетов п-й степени
по простому модулю р, находящихся среди чисел 1, 2, ... , Q.
Тогда
где |9|<1.
б. СИМВОЛ ЯКОБИ
Обобщением символа Лежандра является символ, введенный
Якоби.
Определение 61. Пусть нечетно^ m — pxp2 ... ps, где р,—
простые числа, среди которых могут быть одинаковые, (а, т) = 1.
191

Символ Якоби (—Л определяется равенством
®-&)й) -(?.)¦
где f-^J при f=l, 2, ... , s—символы Леокандра.
Символ Лежандра ( —) является частным случаем символа
Якоби. КР J
При т = р, где р — простое число, символ Якоби ( —J явля-
является по определению вместе с тем и символом Лежандра. Таким
образом, для простого модуля т = р символ Якоби равен + 1
или — 1, в зависимости от того, имеет ли сравнение x2 = a(mod p)
решения или нет. Вместе с тем символ Якоби (~) может рав-
равняться + 1 и тогда, когда сравнение х'* = а(той т) не имеет
решений.
Например, сравнение я2 = 2 (mod 15) не имеет решений,
а символ Якоби (^) = (|) (|) = + 1-
Свойства символа Якоби аналогичны свойствам символа Ле-
Лежандра. В теоремах 215—216, 218—222 мы будем, не оговари-
оговаривая этого каждый раз, буквой т обозначать произвольное не-
нечетное число, большее чем единица, и, рассматривая какой-либо
символ Якоби вида (—) . всегда считать (а, /и) = 1. Пусть
т = рх ... ps, где р. — простые числа.
Теорема 215. Если a^=b (mod/я), то символы Якоби f^-
и — равны.
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 204,
Теорема 216.
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 205
;ем:
имеем:
При доказательстве следующих теорем нам понадобится вспо-
вспомогательная теорема.
Теорема 217. Пусть пх, п2, ... , ns—произвольные нечетные
числа, k равно 1 или 2, тогда
... ns)k-\ (mod 2^). B4)
192

Доказательство. Для любого нечетного п 2\п—1 и
4|ла — 1, так что при /г=1 и k = 2 будет 2*|я* — 1. При s=l
сравнение B4) верно, так как левая и правая части тогда
одинаковы.
Пусть сравнение B4) верно для любых s нечетных чисел щ.
Возьмем s+1 произвольных нечетных чисел п1г ... , ns, ns+1.
Поскольку сравнение B4) согласно предположению справедливо
для nlt ..., ns, то
{п\- 1)+...+(л.*-1) + Сп,*+1- l) = (nt ... ns)k— l + (ns*+i — 1)
= К ... nsns+1)k-l-((n1...ns)k-l) (nsft+1
Поскольку 2k\{n1 ... ns)k—\, 2*| ns*+1 — 1, то
((nx ... ns)k - 1) (n*+1 -l)=0 (mod 22*), так что
Согласно принципу индукции (теорема III) сравнение B4)
при /г=1 и k = 2 верно для произвольных нечетных чисел
п1г ... , ns, как бы много их ни было.
1
Теорема 218. {^J = (— 1) • .
Доказательство. Согласно определению 61 и формуле A1)
Теорема 217 при /г=1 дает
так что
/—1 \ ^zi
I — ) = (—1) а .
^(
Доказательство. Согласно определению 61 и теореме 208
\ т 1 \ Pi ) \ Ps J
-\к) ••• UJ ••• KFs) ••• lrj=l^j ••• UJ-
¦/о\ m'~l
Теорема 220. (^-]*-(—U-¦* •
Доказательство. Согласно определению 61 и формуле A6)
имеем:
7 А. А. Бухштаб 193

Теорема 217 при А= 2 ;дает
г?!+...+г?! ¦ ¦*¦¦¦¦'f-^J'tj
так что '': : ""¦ ¦ ' ' '¦¦'¦¦¦-¦¦¦ ¦'
m*-i
Мы обобщим закон взаимности, распространив его на значе-
значения символа Якоби. Сначала рассмотрим частный случай сим-
символа Якоби'jjj-J » где <? —простое число, большее 2.
Теорема 221. Для любого нечетного простого числа q и не-
нечетного т имеем:
m-l q-i
[ a ' a
Доказательство. Пусть m = pt ..! ps, где р, —простые
числа., Согласно определению 61 и теоремам 208 и 212'
BlZi .ZS± P,-l q-l
Поскольку (теорема 217 при k=l)
то получаем:
Ш (!)=<-"
m-l iy-1
Теорема 222 (закон взаимности для символов Якоби). Пусть
т и п —нечетные числа, большие 1; тогда
Доказательство. Пусть n = ql...qt, где <7г — простые
числа. Согласно теореме 219, определению 61 и теореме 221
получаем:
fn\/m\_(ql...qt\( т \(дЛ(т\ (Я±\Aп
\mj\nj { т )W...qtJ \m J \qj '" \т) \qt
-1 . . qt-l
++r-
Поскольку (теорема 217 при k—\)
194

ТО
Введение символа Якоби дает возможность во многих случаях
значительно упростить вычисление символа Лежандра. Как было
уже отмечено, символ Лежандра (*—) при нечетном а и про-
простом р совпадает с таким же символом Якоби. Вычисление же
символа Якоби упрощается за счет того, что при составном
а<р можно непосредственно применять закон взаимности, в то
время как, рассматривая одни только символы1 ЛежанДра, необ-
необходимо представить ( —] в виде произведения символов вида
(— J, где 7, —простые множители числа а.
Примеры. 1) Имеет ли решения сравнение хг ==506
(mod 1103)?
1103—простое число. Вычисляем символ Лежандра (tttjq)»
рассматривая его как символ Якоби: , \ , ' ;
506
поз
\ / 253 \ __ /1103\ __.(П\ _ /ЯБЗ\
Сравнение не имеет решений.
2) Имеет ли решения сравнение х2 =г 903 (mod 2111)?
2111 —простое число. Вычисляем символ Лежандра, рассмат-
рассматривая его как символ Якоби:
/903\ /21in_ f305\ /903У_ _ /—12 N _
\2UlJ~ ^ 903 У 1^03/ \JA05j ~ \ 305 ) ~
(-Л ( 3 \ __ Л805Ч ___(Ъ_\ _ i
"" \ж )\т)~ \з)~ V3;
Сравнение имеет два решения.
Исторические комментарии к 21-й главе
1. Символ f—-j был назван символом Лежандра в честь
французского математика Адриана Лежандра A752—1833). Ле-
жандр, помимо ряда исследований в теории чисел, плодотворно
работал над развитием теории эллиптических интегралов.
В 1798 г. Лежандр опубликовал сочинение „Essai sur la theorie
des nombres", в котором излагаются разнообразные результаты
по теории чисел, полученные к тому времени. В этой книге
7* ¦ 195

Лежандр впервые и ввел символ, называемый нами теперь сим-
символом Лежандра.
2. Закон взаимности был открыт эмпирически Эйлером (L. E u-
ler, Opusc, analytica I, St. Peterb., 1783, стр. 84). Лежандр
в „Essai sur la theorie des nombres" приводит закон взаимности
в несколько иной формулировке и дает доказательство, не яв-
являющееся, однако, полным.
Первое полное доказательство закона взаимности было дано
Гауссом в 1796 г. в возрасте 19 лет и опубликовано им вместе
с другим, вторым доказательством в 1801 г. (Disquisitiones
arithmeticae). Формулируя и доказывая этот закон, он не
пользуется символом Лежандра. В последующие годы Гаусс
нашел и опубликовал еще шесть других доказательств этого
закона.
В XIX веке было опубликовано свыше 50 работ с различ-
различными доказательствами закона взаимности, а к настоящему вре-
времени это число еще значительно возросло. Конечно, многие из
этих доказательств близки по своей идее и отличаются только
в деталях.
Интересное доказательство закона взаимности было дано
в 1872 г. Е. И. Золотаревым в статье „Nouvelle demonstration
de la loi de reciprocite de Legendre". Известны некоторые обоб-
обобщения закона взаимности на случаи вычетов степеней, больших
чем 2.
Закон взаимности для биквадратичных вычетов был доказан
К. Якоби в лекциях, прочитанных им в 1836—1837 гг.: однако
даже для этого случая формулировка закона взаимности полу-
получается довольно сложной. Закон взаимности квадратичных вы-
вычетов был перенесен также на случай сравнений, рассматриваемых
в произвольных квадратичных полях. Интересные результаты
о законах взаимности весьма общего вида были даны в ряде ра-
работ И. Р. Шафаревича.
3. Теоремы 207 и 210 часто называют дополнительными к за-
закону взаимности. Теорема 207 была известна еще Ферма, а тео-
теорема 210 была доказана впервые Эйлером.
Теорема 214 была опубликована И. М. Виноградовым в „Жур-
„Журнале физико-математического общества при Пермском универ-
университете", т. 1, 1918 г. Доказательство основано на применении
конечных тригонометрических сумм. Пользуясь этой теоремой,
И. М. Виноградов доказал, что наименьший квадратичный не-
i_
вычет простого модуля р меньше чем ра Ve lna р для всех доста-
достаточно больших значений р.
В 1957 г. Берджесс доказал, что при любом е>0 наимень
ший квадратичный невычет простого модуля р представляет со-
бой величину порядка О(р* ). Этот результат представля-
196

ет собой существенное улучшение результата И. М. Виногра-
Виноградова.
Весьма вероятно, что на самом деле наименьший квадратич-
квадратичный невычет по модулю р при возрастающем р представляет
собой величину порядка 0(р*) (гипотеза И. М. Виноградова).
4. Символ Якоби был введен им в 1837 г. К. Якоби A804—1851)
известен главным образом своими работами в различных обла-
областях математического анализа (эллиптические функции, уравне-
уравнения в частных производных, вариационное исчисление) и в меха-
механике. Развитая им теория эллиптических функций применялась
им для получения теоретико-числовых результатов. В теории
чисел Якоби оставил большой след своими работами по теории
кубичных и биквадратичных вычетов.
Г Л А В А 22
СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
1. СРАВНЕНИЯ 2-й СТЕПЕНИ ПО МОДУЛЮ р*. ГДЕ р — ПРОСТОЕ ЧИСЛО
Рассмотрим сначала сравнения 2-й степени по составному
модулю вида р*.
Теорема 223. Сравнение
xa==a(modp*), A)
где р — нечетное простое число, k&sl, р\а, имеет два решения
или ни одного, смотря по тому, равен ли символ Леокандра
(f) +1 UM -1'
Доказательство. Если f-|j = l, то сравнение #2=a(modp)
имеет два решения: х0 и —х~0, причем ввиду р\а будет также
р\х0. Поскольку тогда для f(x) — x2—а имеем p-f Г (*<>)> то
(теорема 158) и при любом k^sl сравнение A) будет иметь два
решения. Если (-j)=—It то сравнение л:а = a (mod р) не имеет
решений, а, следовательно, при любом k&sl не будет подавно
иметь решений и сравнение A).
Зная решения сравнения jea = a(modp), можно найти реше-
решения сравнения A) при любом /г^*1.
В случае, когда а?1, решениями сравнения A) при любом k
будут (теорема 223) х==± 1 (mod p*).
Если же а ? 1, то для нахождения решений сравнения A)
можно применить способ, изложенный в главе 16 (теорема 158).
_ Можно также пользоваться следующей теоремой.
L97

Теорема 224. Если х0 удовлетворяет сравнению по простому
модулю р>2:
"!'л jc*==a{modp),
где \
1 +Cl4" a + cU" aa + .... (*S*0 f '
me p\ Qk и решения сравнения
x2==a(modpk) C)
имеют вид x^±Pkyk(modpk), где ук^-решение сравнения
Qky == 1 (mod pk).
Доказательство.
так что, поскольку р\х%—а, имеем:
. D)
По ^СЯОвию a^Jfo(m(>dp), так что из формул B) получаем:
...)(тойр),
...) (mod р)
и, следовательно,
Pk + x0Qkm==BxJ*(modp). E)
Докажем, что p^Qk- Если предположить, что p|Qft,TO из
сравнений D) и E) последовательно получаем: р\Рк, р|Bл0)*,
а отсюда, поскольку р>2, следует р\х0 (теорема 105"). Число
х0 — решение сравнения x2^a(modp), т. е. p\xl—а, откуда по-
получаем р\а, что противоречит условию.
Таким образом, доказано, что р\ Qk и, следовательно, су-
существует ук такое, что Qkyk= I (modp*).
Умножая обе части сравнения D) на у\, получаем:
{Pkyk)*==a{modpk),
т. е. х== dzPkyk (mod pk) образуют два решения сравнения C).
В предыдущей теореме было показано, что сравнение C) не
может иметь других решений.
Пример. Решить сравнение *aE=3(mod И3).
Сравнение *2=5 3(mod 11) имеет решение #ei5(mod И).
Беря л;0 = 5, а = 3, вычисляем:
3
Решая сравнение 78i/.= l^mod 1331), находим #8 = 529, так
что х=-170-529==753(mod 1331).
198

Ответ: х == ± 753 (mod 1331). ,^
Рассмотрим теперь случайр — 2, т.е. сравнение дс*=а(то<12^,
где 2-fa. <
Теорема 225. При <1\а сравнение
х*~а (mod 2й) F)
имеет: 1) при k—\ одно решение; 2) при k — 2, a= I (mod4)—два
решения; 3) при fes*3, a==l(mod8)—четыре решения. Во всех
остальных случаях сравнение F) с нечетными а не имеет ре-
решений.
Доказательство. При ft=l и k = 2 утверждение тео-
теоремы проверяется непосредственно.
Пусть теперь ft 5*3. Обозначим через ((и, 0)) индекс по мо-
модулю 2* чисел х, удовлетворяющих сравнению F), а индекс а
по этому модулю обоз начим через ((с, d)).
Индексируя сравнение F) получаем:
2((ы, у))^((с, d))(mod(B, 2*-*))),
т' е' 2u = c(mod2) и 2u==*
Если с=1 или если ,2J(d, то сравнение F) не имеет, реше-
решений, а если с = 0 и 2\d, то ueesO, I(mod2), v==-? ,
_|_2*-s(mod2*), т. е, индекс ((и, и)) имеет четыре значения
>))(())(())((
ответственно получаем четыре решения сравнения F).
Таким образом, при к^Ъ сравнение F) имеет решения
тогда и только тогда, когда inda — ((с, d)), где с=с=О, й Й^чет-
Й^четное число, т. е. d = 2r, a=5ar(mod 2*).
Легко видеть, что 52Ггг 1 (mod 8), в то время как —5аг,
5ar+1, —52r+1 сравнимы по модулю 8 соответственно с. числами
7, 5, 3, т. е. сравнение F) имеет решения тогда и только тогда,
когда a=l(mod8). ¦ :
Эти решения можно найти, пользуясь теоремой 159 главы 16,
а если по рассматриваемому модулю 2* имеется таблица индек-
индексов, то сравнение проще решать, пользуясь этой таблицей.
Пример. Решить сравнение хг + 7\ E=0(mod 128).
Пользуясь таблицей индексов по модулю 64 (стр. 160), ре-
решаем сначала сравнение *2 + 71=E0(mod64), т. е. сравнение
x2==57(mod64).
Индекс 57 по модулю 64 = 2е равен (@, 10)). Обозначая ин-
индекс х по этому модулю через ((и, v)), получаем
2((ы,и))==(@,10)) (mod (B, 24))); 2u=E=0(mod2K 2i>2=10(mod 16);
ы==0, I(mod2), о = 5, 13(modl6).
Индекс х равен одной из следующих napi ({0, 5)), (@, 13)),
(A, 5)), (A, 13)), откуда находим решения сравнения
xa + 71==0(mod64) в виде х==±П, ±21 (mod 64). Имеем:
199

128|2Р + 71, но 128<fll" + 71, так что согласно теореме 159
решения сравнения *2 + 71=0(mod 128) можно записать в виде
21(d64)
()
Ответ. Сравнение_имеет четыре решения по модулю 128,
а именно классы: 21, 43, 85, 107.
2. СРАВНЕНИЕ 2-Й СТЕПЕНИ ПО ПРОИЗВОЛЬНОМУ
СОСТАВНОМУ МОДУЛЮ
Рассмотрим теперь сравнение л:а == a (mod m) при составном
модуле т.
Теорема 226. Пусть т = 2к р*«... р*», где plt ..., ps—pa3-
личные нечетные простые числа (а, т)=1.
1) Сравнение
х2 = a (mod m) G)
имеет решения тогда и только тогда, когда а является квад-
квадратичным вычетом по всем модулям plt ..., ps и, кроме того,
если А: = 2,. то a==l(mod4), а если k^3, то а== 1 (mod8).
2) Число решений сравнения G), если решения существуют,
равно 2" при k = 0 и k=l, 2s*1 при k = 2 и 2"*г при /еЗзЗ.
Доказательство. Сравнение G) эквивалентно системе:
x2==a(mod2*)
х2 = a (mod p*«)
(s)(s)
1) при k = 0 и д=1 первое сравнение в (8) имеет одно ре-
решение, каждое из следующих сравнений имеет по два решения.
Система (8) и сравнение G) имеют 2* решений;
2) при k = 2, a=l(mod4) каждое из сравнений в (8) имеет
по два решения. Система (8) и сравнение G) имеют 2S+1 решений;
3) при ?S*3, a=l(mod8) первое сравнение согласно тео-
теореме 225 имеет 4 = 22 решений и, следовательно, система (8)
и сравнение G) имеют по 2*+2 решений.
Во всех остальных случаях, т. е.:
1) если хоть один из символов Лежандра (^-) = —1.
2) если при k = 2 имеем a = 3(mod4),
3) если при &5=3 имеем а = 3, 5, 7 (mod 8),
в систему (8) входит сравнение, не имеющее решений, а следо-
следовательно, не имеет решений и сравнение G).
При нечетном т, как было отмечено раньше (стр. 186),
сравнение *2=a(modm) может не иметь решений, несмотря на
то, что символ Якоби (—J равен 1. Однако, если этот символ
ж

равен—1, вопрос о наличии решений сравнения G) решается
отрицательно.
Теорема 227. Если т нечетное, (а, /п)=1, символ Якоби
( ^- J = — 1, то сравнение дс2 = a (mod m) не имеет решений.
Доказательство. Пусть каноническое разложение нечет-
нечетного т имеет вид: т = р^ ... р*«; тогда
a\ht
Если (~\z=—1, то среди множителей (—) по крайней мере
один равен —1, так что при некотором i(ls^is^s) сравнение
х2 = a (mod pt) не имеет решений, а следовательно, не имеет
решений и сравнение x2 = a(modm).
ГЛАВА 23
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ
При изложении теории сравнений мы уже встречались с за-
задачами, возникающими в рамках элементарной арифметики,
например с задачей отыскания остатков от деления. В этой главе
мы рассмотрим еще некоторые другие вопросы элементарной
арифметики, изучение которых упрощается применением теории
сравнений.
I. ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Рассмотрим применение теории сравнений к вопросу об оты-
отыскании признаков делимости на т, где т—число, взаимно про-
простое с 10.
Теорема 228. Пусть (т, 10) = 1, Pm(l0) = k и N записано
в системе счисления с основанием 10. Число N делится на т
тогда и только тогда, когда на т делится сумма чисел, кото-
которые получаются при разбиении справа налево цифровой записи
числа N на грани по k цифр в каждой грани.
Доказательство. Запишем N в системе счисления с ос-
основанием 10*, т. е. в виде
A)
где при всех t = 0, 1, ..., s 0<c,-<10*—1.
Если Pm{l0) = k, то 10*= 1 (modm), и тогда
N == с,+c,_i + . • • + ct + с0 (mod m).
Остатки от деления на т чисел N и
,*1 0
равны; следовательно, N делится на т тогда и только тогда,
когда на т делится сумма сг + с5_1+... +ct + c0. Число с0,
201

как это непосредственно видно из A),, равно остатку от. деле-
деления N на 10*, т. е. с0—число, которое в десятичной системе
счисления имеет цифры, одинаковые с последними ft цифрами
числа N.
Отбросив эти цифры в записи N, мы получим число ~с°;
остаток от деления этого числа на 10* равен с,, т. е. сх—число,
которое в десятичной системе имеет цифры такие же, как в пред-
предпоследней грани из k чисел у числа N, и т. д.
Таким образом, с0, q, ..., cs—числа, которые получаются
при разбиении справа налево числа N на грани, по k цифр
в каждой грани.
Примеры. 1) Признак делимости на 9. Р9A0)=1,
10х= 1 (mod 9). Число делится на 9 тогда и только тогда, когда
на 9 делится сумма его цифр.
2) Признак делимости на 11. РиA0) = 2, 10а==1 (mod 11).
Число N делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 де-
делится сумма чисел, которые получатся при разбиении N на
грани по 2 цифры в каждой грани.
Поскольку k = Pm(\0) всегда является делителем (р(т), то
ftsScp(m). Признак делимости на т, сформулированный в тео-
теореме 228, всегда будет таков, что количество цифр в каждой
грани будет не больше чем ф(/и). В частном случае, при оты-
отыскании признаков делимости на простое число р(р\ 10), будет
k\p—1 и k<*p—1, т. е. число цифр в каждой грани будет
не больше чем р—1. Наименее удобен этот признак тогда, когда
k максимально, т. е. k = p—1, или, иначе говоря; тогда,
когда 10 представляет собой первообразный корень по модулю р.
Например, при р = 7, поскольку Р7A0) = 6, соответствующий
признак делимости на 7 будет следующий: число делится или
не делится на 7, смотря по тому, делится ли на 7 сумма чисел,
получающихся при разбиении числа на грани, по 6 цифр в каж-
каждой грани.
Применять этот признак имеет смысл только тогда, когда
испытываемые числа очень велики.
В дополнение к теореме 228 дадим признак делимости на
2й и 5й.
Теорема 229. Пусть N записано в десятичной системе.
N делится на 2" (на 5") тогда и только тогда, когда на 2"
(соответственно на 5") делится число, имеющее те же цифры,
что и последние п цифр числа N.
Доказательство. Пусть N— 10"<7 + r> 0=sSr< 10". Если
2" | N, то 2" | г, и, наоборот, если 2" | г, то 2" | N. Точно так же
5" | N тогда и только тогда, когда Ъ" \г. '
Если N записано в системе счисления с основанием 10, т. е.
если
ЛГ = с,10*+ ... +ся10й + сп_110"-Ч ... +с0,
202

где при всех i 0<с,<9,, то r = c4_lI0"-f ... +ся, т. е. г —
число, цифры которого такие же, как и последние п цифр
числа N. ;'.
Примеры. 1) 73571625 делится на 125 = 5», так как
125|625.
2)909 311736 не делится на 16<=2*. так как 16^1736.
Если т = р(ь...р%г—каноническое разложение числа т, то
число N делится на т тогда и только тогда, когда N делится
на каждое из чисел р°«, .... р*>.
Делимость на числа pf (i'— 1, 2, .... s) может быть выяснена
с помощью соответствующего признака делимости, основанного
на теоремах 228 и 229.
Пример. Определить, делится ли на 3256 число
N = 65204 779 728.
3256 = 2». 11-37. Имеем 2s | 728, так что 2s | N. Разбивая
N на грани по две цифры в каждой, получаем:
tf==6 + 52 + 4+77 + 97 + 28(modll),
так что 11 | N. Так как 10*== 1 (mod37), то, разбивая N справа
на грани по три цифры в каждой, получаем N = 65 + 204 +
+ 779 + 728 = 0 (mod 37), так что 37 | N и N делится на 3256.
При нахождении признаков делимости на m для чисел Л',
записанных в десятичной системе счисления, можно пользоваться
следующей теоремой.
Теорема 230. Пусть (т, 10)= 1, 10'==— l(modm) и N за-
записано в десятичной системе счисления; число N делится на т
тогда и только тогда, когда на т делится сумма взятых по-
попеременно со знаками плюс и минус чисел, которые получаются
при разбиении справа налево цифровой записи числа N на грани,
по I цифр в каждой грани.
Доказательство. Если 10'=—l(modm) и
то
#=.(— l)scs + (— 1)*-^,-!+ ... — сг +c0(mod m).
Остатки от деления на т у чисел N и с0—сх+ ... +(—l)scs
равны, а следовательно, N делится на т тогда, когда на т де-
делится сумма со—с1 +...+(—l)scs. Здесь с0, сх, .... cs—числа,
которые получаются при разбиении справа налево цифровой
записи числа N на грани, по / цифр в каждой.
Примеры. 1) 101==—1 (mod 11). Число N делится или не
делится на 11, смотря по тому, делится ли на 11 сумма цифр
числа N, взятых попеременно со знаками „плюс" и „минус".
2) 10s ==—I(mod7). Число N делится или не делится на 7,
смотря по тому, делится ли на 7 сумма взятых попеременно со
203

знаками „плюс" и „минус" чисел, получающихся при разбиении
справа налево числа N на грани, по три цифры в каждой.
Например, 61907531 делится на 7, так как, разбивая справа
налево это число на грани, потри цифры в каждой, и складывая
получающиеся числа, взятые попеременно со знаками „плюс"
и „минус", получаем:
531—907 + 61= —315 = 0(mod 7).
Если т = р—простое число, р ^ 10, то согласно теоремам
200 и 201 будет либо 10 2 ==l(modp), либо 10 2 ==— l(modp),
и, таким образом, наименьшее из чисел k и /, фигурирующих
в теоремах 228 и 230, будет всегда не больше чем ^-. Это
значит, что признак делимости на простое число р (рФ2, 5),
такой, как в теореме 228 или в теореме 230, всегда можно сфор-
сформулировать так, что число цифр в каждой грани будет не больше
чем ^~ .
Следующий весьма общий способ для отыскания признаков
делимости представляет собой обобщение приема, указанного
еще в XVII веке французским математиком и философом Паска-
Паскалем A623—1662).
Способ Паскаля. Пусть N записано в системе счисле-
счисления с основанием g, т. е. пусть
N = csgs+cs_1gs~1+ ...+с0, где при всех i O^c^g—l,
bo=l, b1==g1(modm), ..., bs=gs(modm). B)
Число N делится на т тогда и только тогда, когда на т
делится число
сА+^_ А-1 + ... +со&о. C)
Действительно, если справедливы сравнения B), то
N = c?s+cs_1gs~1+ ... +co=z cA+c,_A_t+ ... +cobo (mod m),
так что N делится на т в зависимости от того, делится ли на
m число, указанное формулой C).
Теоремы 228 и 230 являются частными случаями применения
этого способа. Действительно, теорема 228 представляет собой
частный случай способа Паскаля при g= 10*, таком, что
10*== 1 (mod т); причем здесь из g— 10*== 1 (mod/л) следует,
что все Ь{г = 1.
Теорема 230—частный случай способа Паскаля при g=10',
где / такое, что 10' =з—1 (mod m), причем здесь
Для применения способа Паскаля в системе счисления с ос-
основанием 10 нужно знать остатки от деления на т степеней
204

основания 10. Эти остатки дают набор чисел blt умножая на ко-
которые цифры любого данного числа и составляя сумму cjbs + ...
... + сг&1 + с0&0, можно узнать, делится ли число на т.
Так, например, при т = 7 имеем 60=1, ^ = 10 = 3,
2>2==102 = 2, Ь8==103=— 1, &4==10*=—3, &6=105==—2(mod7),
а дальше все эти значения bt периодически повторяются.
Пример. Узнать, делится ли на 7 число N = 269341 058.
Находим, что tfs= 8 + 5-3 + 0-2+ 1 (—1) + 4(—3) + 3(—2) +
9l 63 -2=~0(mod7), так что N делится на 7.
2. ПРОВЕРКА АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Теория сравнений дает следующий способ проверки арифме-
арифметических действий.
Выбираем некоторый модуль m и заменяем большие числа
а, Ь, с, ..., над которыми нам надо производить действия (сло-
(сложение, вычитание, умножение, возведение в степень), неболь-
небольшими числами а', Ь', с' сравнимыми с ними по модулю т.
Произведя действия над а, Ъ, с мы точно такие же дей-
действия производим над а', Ь', с', ... Если действия произведены
правильно, то результаты этих действий над а, Ъ, с, ... и над
а', Ь', с', ... должны быть сравнимы по модулю т.
Действительно, согласно теоремам 83', 84', 85 если
а = а' (mod/n), b = b' (mod/n), ...,
то
a + b+...==a' + b'+ ... (modm), a-b.. .E=a'b'... (mod/n),
a" E=bn (mod m).
Для проверки соотношения у=с представляем его в виде
а = Ьс. Применение этого способа проверки, конечно, имеет
смысл только тогда, когда нахождение таких чисел а', Ь', с',...
может быть осуществлено легко и быстро. Для этого обычно
в качестве модуля т выбирают т — 9 или/п=11. Каждое число,
записанное в десятичной системе счисления, сравнимо с суммой
его цифр по модулю 9, так что мы можем сформулировать сле-
следующий способ „проверки с помощью девятки".
Для каждого числа вычисляется остаток от деления на 9 суммы
цифр. Производя действия над числами, производят такие же
действия над этими остатками. Результат рассматриваемых дей-
действий над этими остатками должен отличаться от суммы цифр
искомого результата на число, кратное девяти.
Конечно, если ошибка такова, что разность между найденной
и истинной величинами кратна 9, то она при этом способе про-
проверки не будет замечена.
По модулю m = 11 каждое число, записанное в десятичной
системе счисления, будет сравнимо с суммой цифр, взятых справа
205

налево попеременно со знаками „плюс" н „минус"; поэтому мы
можем сформулировать следующий спошб „проверки с помощью
одиннадцати". Для каждого числа вычисляется остаток от де-
деления на 11 суммы цифр, взятых попеременно' справа налево со
знаками „плюс" и „минуе". Результат рассматриваемых Действий
над этими остатками должен отличаться от суммы взятых по-
попеременно со знаками „плюс" и „минус" справа налево цифр
искомого: результата на число, кратное 11. Если ошибка будет
кратна 11, она не будет замечена при этом способе.
При сложных вычислениях имеет смысл проводить две про-
проверки: одну с помощью модуля 9, а другую с помощью модуля 11.
В этом случае ошибка не будет замечена только, если она
кратна 99, что, конечно, бывает очень редко.
Примеры. 1) Проверить с помощью модуля 9, верен ли
результат умножения 73416-8539 = 626 899224.
Находим, что сумма цифр первого множителя 21=3 (mod 9),
а второго 25 = 7 (mod 9). Сумма цифр произведения равна 48 и
действительно отличается от 3-7 = 21 на число, кратное 9.
2) С помощью, модуля 11 проверить результат:
C197K = 32 675 926 373.,
Сумма вдфр основания, взятых попеременно со знаками „плюс"
и „минус", 7—9+1—3 = 7(modll). Соответствующая сумма
для результата, равная —9, отличается от 73 = 343 на число,
кратное одиннадцати.
3) Проверить с помощью модулей 9 и 11, верно ли, что
5 839 131 309
67 377
¦ = 85847.
Сумма цифр делимого 42 ==6 (mod 9), делителя 30 = 3 (mod 9)
и частного 32 = 5(mod9). Произведение 3-5=15 отличается
от 6 на число, кратное 9.
Проверяем с помощью модуля 11. Знакопеременная сумма
цифр делимого, делителя и частного равны соответственно 22,
2 и 14. Произведение 2 14 = 28 отличается от 22 на число, не
кратное 11, так что результат не верен.
3. ДЛИНА ПЕРИОДА ДЕСЯТИЧНОЙ ДРОБИ
Применим некоторые из рассмотренных свойств сравнений
к вопросу об определении длины периода, получающегося при
обращении обыкновенной дроби в десятичную. Начнем со слу-
случая дробей, у которых знаменатель не делится ни на 2, ни на 5.
Теорема 231. Пусть (Ь, 10)= 1, \^а<Ь, {а, &) = 1, тогда
разложение -г в бесконечную десятичную дробь будет содержать
РьA0) цифр в периоде.
206

Доказательстве. Пусть Рь A0) = ft и, таким образом,
10*=E=l(mod&).
Согласно теореме 1 10a = 6c0+fi, где
(rx, fo) = A0a, 6) = 1 (теоремы 36 и 42), так что, в частности,
rt не может равняться; нулю,- т. е. 1=йг1-<&. Мы имеем
для пары rL, Ь те же условия, что и для пары а, Ь, так что
получаем неограниченно продолжаемую последовательность
равенств:
10а =1 „ .
D)
где при всех i величины rt и ct таковы, что
J<:10(r, = o)
и при всех ( имеем (rir b) = \.
Деля все члены равенствD) последовательно на 106, 1026,...,
10*^получаем
Из соотношений E) находим
так что rk = a- 10* = a(mod&), и поскольку 1 s^rft< &, 1
то rft = a.
Совпадение величин rft и а показывает, что после k шагов
равенства D) периодически повторяются, т. е. ck+s = cs при всех
s = 0, 1, 2, ...
Поскольку у^з—"О ПРИ увеличении п, из равенств E) полу-
получаем периодическое разложение
или в сокращенной записи
0
207

Можно утверждать, что найденный нами период длины k
наименьший. Действительно, если
то
± — ?14- i_??=J 4-— . —
и поскольку (a, b)=l, то 10'=1 (modfc), так что наименьшее
значение 1 = Pb(l6) = k.
22
Пример. Найти число цифр в периоде разложения щ в бес-
бесконечную десятичную дробь. ф(91) = 72. Испытывая делители
72, т. е. 1, 2, 3, 4, 6, 8 находим fe = P91A0) = 6, так что
22
длина периода равна 6. Действительно, дГ = О, B41758).
Теорема 232. Если j = 0, (coc ... ск_г)у где k = Pb(l0), c0,
сх ck_t и ro = a, rlt ..., rk_x определены равенствами D),
то при всех /=*0, 1, ..., k—1 имеем:
? = 0, (ci...ck_1c0...ci_l).
Доказательство. Поскольку rk = r0 = a, rk+1 — r1
то равенства D), начиная с t-ro, можно записать в виде:
F)
где все неотрицательные числа с и положительные г меньше
чем Ъ. Поскольку (гг, Ь) = \ и Pb(l0) = k, то согласно преды-
предыдущей теореме первые k значений с в F), а именно с,-, .... ck_lt
со< • • • > ci-i образуют период разложения у, т. е.
? = 0, (ci...ck_1c0...ci_1).
РьA0)|ф(Ь) и, следовательно, Р6A0)^ф(&), так что из те-
теоремы 231 следует, что для рассматриваемых там дробей -?-
число цифр в периоде всегда не больше чем фF). Если вос-
воспользоваться теоремой 162', то можно утверждать, что число
цифр в периоде не превосходит L (Ь).
208

В частности, разложение в бесконечную десятичную дробь
чисел вида ^-, где р— простое и lsgasgp—1, всегда имеет
не больше, чем р— 1 цифр в периоде, причем число этих цифр
представляет собой делитель р—1.
Если 10—первообразный корень по модулю р, то длина пе-
периода наибольшая возможная и равна р—1. При таких знаме-
знаменателях k — p—1 и число различных остатков в D) равно р—1,
т. е. эти остатки образуют всю приведенную систему вычетов
по модулю р.
В этом случае согласно теореме 232 разложения в беско-
бесконечные десятичные дроби для всех чисел — ,—,..., ^~ по-
получаются друг из друга циклической перестановкой, так что,
зная одну из них, легко найти все остальные.
Пример. Зная, что^ = 0, @52 631 578947 368421), найти ||.
Поскольку число цифр в периоде у„ равно 18, то 10 пред-
представляет собой первообразный корень по модулю 19, и разло-
14 1
жение jg получается из разложения -^ циклической подстанов-
подстановкой. Непосредственным делением находим первые две цифры
jg = 0,73... так что
}|=0, G36 842 105 263 157 894).
Если при (а, Ъ)=\, (Ь, 10) =1 а не лежит в промежутке
между 1 и 6—1, то a = bq + a', где I <а'<6— 1, |-=<7 + у > и
после выделения целого числа q число цифр в периоде разло-
разложения определяется значением РЬ(Ю) по теореме 231.
Если в дроби ~ & = 2°.5?-&', где (&', 10) = 1,то, обозначая
max (a, Р) = /, имеем:
а а __ a2'-l*5l-e I A
Ъ ~2'.№-b'~ jo*.у ~ IQi'b'-
д
Разложение р после выделения целой части чисто периоди-
периодическое, а умножение на -tqi осуществляется переносом запятой
на I разрядов влево, так что разложение получается смешанно
периодйческимл причем число цифр в периоде будет равно
Ру (Ю).
209

¦,м . . . .,,.;.| :i TiTIABA 24 . . м. . ,. .,
БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Взяв две бесконечные последовательности целых чисел
а0, alt a8, ...
и
h, Ьг, Ь3
напишем выражение
соединяя, таким образом, элементы этих двух последователь-
последовательностей в указанном порядке знаками + И . Мы не можем
пока что рассматривать выражение A) как результат ряда
сложений и делений, поскольку в нем не определено, что
прибавляется к каждому ап и на что делятся числа Ь„. Выраже-
Выражение A) мы будем называть бесконечной непрерывной дробью.
Рассматривая выражение A), обозначим через Ап так назы-
называемую л-ю подходящую дробь
где -f- и знаки сложения и деления, так что Ап—неко-
Ап—некоторое рациональное число.
Если существует предел Ап при увеличении п, т. е. если
ИтАп = а, где а—некоторое действительное число, то непре-
непрерывная дробь A) называется сходящейся, а а называется ве-
величиной бесконечной непрерывной дроби A).
Если все 6Я=1 и при я5*1 все ап^1, выражение (L) на-
называется обыкновенной бесконечной непрерывной дробью или
бесконечной цепной дробью.
Определение 62. Бесконечной цепной дробью называется выра-
выражение вида
ао + Ц- B)
где а0—целое число, а все остальные а„—натуральные числа,
т.е. ап7&*\ при п=\, 2, ...
210

Будем в дальнейшем записывать выражение <2)? в виде
р ¦ •
Определение 63. Подходящей дробью -^ к бесконечной цеп-
цепной дроби B) называется- конечная цепная дробь
^ = ao + X'a1 + X'a2+...+i/an. C)
Определение 64. Бесконечная дробь B) называется сходящей-
сходящейся, если существует предел ее подходящих дробей, т. е.
lim *».
п-+ а> ^я
Определение 65. Величиной бесконечной сходящейся цепной
дроби B) называется предел ее подходящих дробей, т. е. число
р [
а, такое, что lim -^ = a.
Если величина B) равна а, будем записывать это в виде
Конечные и бесконечные цепные дроби объединяет,. общим
понятием цепных дробей, понимая под этим выражения вида
где последовательность целых чисел а0, at^l, аг^ 1 может
быть конечной или бесконечной, причем в случае конечной по-
последовательности последний член as> 1.
Свойства подходящих дробей, их числителей и знаменателей,
сформулированные в теоремах 59—68, справедливы и для бес-
бесконечных цепных дробей. Действительно, как бы велико ни
Р Р Р
было п, подходящие дроби ^ , =r* ^ к бесконечной дроби
B) являются вместе с тем подходящими дробями к конечной
цепной дроби а0 + ^аг -\- ^а2 + • • • + ^о„ + ^ап+1, так что ут-
утверждения теорем 59—68 верны для всех п.
Для дальнейшего наиболее существенны следующие свойства.
Теорема 59'. Если а0, а1У аг, ... —элементы цепной дроби B),
то последовательность чисел Р„ и Qn, определенная рекуррент-
рекуррентными условиями:
О - О а 4- Q f при «^ 2 D)
и начальными условиями:
Р0 = а0, Q0=l, Pj^aoOi+1, Qt = alt E)
р
обладает тем свойством, что при всех п. отношение -^ равно
п-й подходящей дроби C). я
211

Определение 66. Числителями и знаменателями подходящих
дробей C) к бесконечной цепной дроби B) называются величины
Рп и Qn, определенные условиями D) и E).
Теорема 60'. При л=1, 2, ...
PnQn_1 — PB_iQn = ( — I)". F)
Теорема 6 Г. Числитель и знаменатель любой подходящей
дроби к бесконечной цепной дроби B)—взаимно простые числа.
Теорема 62'. При всех п s* 1
в Рп-г
Qa Qn~i\
Теорема 63'. При увеличении номера п знаменатели Qn бес-
бесконечной цепной дроби, начиная с л = 1, монотонно, неограниченно
возрастают.
Доказательство. Действительно, поскольку в бесконеч-
бесконечной цепной дроби а„ 5* 1 при всех п s* 1, то согласно сделан-
сделанному выше замечанию результат теоремы 63 распространяется
на любое множество значений п, так что
Поскольку все Qa—целые числа, то при м>1 каждое 0„ по
крайней мере на единицу больше предыдущего, т. е. Qn—<¦ °о.
Аналогично доказывается следующая теорема (см. примеча-
примечание на стр. 65).
Теорема 63". При увеличении п числители Рп положительной
бесконечной цепной дроби монотонно, неограниченно возрастают.
Теорема 68'. Модули расстояний между соседними подходя-
подходящими дробями монотонно уменьшаются с увеличением номера и
стремятся к нулю.
Доказательство. В теореме 68 было доказано, что
п+1
\Q»
р
Qn
в-1
и так как согласно предыдущей теореме 63' Qn—><», то
~„
-0.
Теорема 233. Подходящие дроби с четными и нечетными
номерами образуют систему концов вложенных друг в друга
интервалов.
Доказательство. В теореме 65 было установлено, что
четные подходящие дроби образуют возрастающую последова-
последовательность, а нечетные подходящие дроби—убывающую после-
последовательность, и при этом любая четная дробь меньше любой
нечетной дроби.
212

Так как все это верно для любого числа подходящих дро-
дробей, то
Докажем, что рассматриваемые нами цепные дроби с эле-
элементами ans*l (я=1, 2, ...) всегда сходятся и, следовательно,
имеют определенную величину.
Теорема 234. Любая бесконечная цепная дробь сходится.
Доказательство. Пусть нам дана произвольная цепная
дробь:
где все ап—целые числа иал^1 при всех п=\, 2, 3, ...
В предыдущей теореме было доказано, что подходящие дроби
с четными и нечетными номерами являются левыми и правыми
концами системы вложенных друг в друга интервалов. Согласно
теореме 68' имеем:
Ел±1 _0)
Qn
так что длины интервалов:
(Ех Е±\ (Ел. Е±\
стремятся к нулю при увеличении п.
Согласно известной теореме математического анализа (тео-
(теорема XVIII) левые и правые концы такой системы вложенных
друг в друга интервалов, длины которых стремятся к нулю,
имеют общий предел, представляющий собой некоторое дейст-
действительное число а, такое, что
Иш тг = а.
Замечание. Из приведенного доказательства непосред-
непосредственно видно, что величина бесконечной цепной дроби больше
любой четной подходящей дроби и меньше любой нечетной под-
подходящей дроби, так что
— <: — <?
Для случая, когда цепная дробь конечная, неравенства G) также
верны, однако а совпадает с последней подходящей дробью (см.
примечание к теореме 68).
Определение 67. Пусть а = а0 + i/a1 + -^а2 + ...; полными
частными в разложении а будем называть величины а0, а1г
а2, ..., определенные равенствами:
а = ао + 11а1+...+:иа3 + -ибс3+1 при s^O,
а = а0 при s = — 1.
213

Теорема 235. Пусть a = ao-f^fl\r\-^9%-? «• •• tos+x—полное
частное в разложении а, тогда
и
а 9
а'«- aQs~Ps ' (У>
zcte Р„ Q,, Р,_1( Qs_! —числители и знаменатели s-й и (s — \)-u
подходящей дроби к а.
Доказательство. Сравнивая выражения
непосредственно видим, что если в ^^ заменить as+1 через
а,+х, то получим а. Согласно теореме 59'
l nm
где Pj, QJ( Р,_г, Q,.! не зависят от величины as+1.
Заменяя в A0) as+l через aJ+1, получим, как это только
что было отмечено, а, т. е.
откуда следует и (9).
Замечание. Формулы (8) и (9) верны и при s = 0 и
s= — 1, если принять Р_х=1, Q_x = 0, P_2 = 0, Q_2=l.
Действительно,
В дальнейшем, рассматривая величины Ps, Qs, при s=—1
и s— — 2, будем всегда считать:
2. РАЗЛОЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Рассмотрим теперь разложение действительных чисел в цеп-
цепные дроби.
Определение 68. Разложением действительного числа а в цеп-
цепную дробь называется представление а в виде
где а0, ax, a2...—конечная или бесконечная последовательность
целых чисел, такая, что при k^sl все ak^sl, а в случае конеч-
конечного разложения последний элемент а3>\.
214

Теорема 236. Пусть разложение а. в цепную дробь имеет лид:
Введем обозначение
Тогда:
1) а = ао + ^ах 4-... + as-i + a«> m-e- a«= а* представляет
собой s-e полное частное в разложении а;
2) а^ = [с^] при всех s.
Доказательство. 1) Для конечной цепной дроби это
соотношение очевидно. Рассмотрим случай бесконечной цепной
дроби. Если предел подходящих дробей к бесконечной цепной
дроби as + -^as+1-{-... равен as, то as>l и согласно известным
теоремам о пределе суммы и частного.
lim (ао + ^а1+ ... +1Ч+ i/a,+1+ ... +Ila,+i) =
t -KB
т. е., действительно, a = ao-f ^ax+ ... +lJas_1+^as;(xs=^<x,s:
2) Если цепная дробь конечная и as — ее последний элемент,
то as = as = [as].
Если а^ не является последним элементом, то
и, как только что было доказано в первой части,
as = <*s+a—• так что Й* = К1-
Примеры. 1) Найти величину цепной дроби:
где все дальнейшие элементы равны последовательно 1 и 4.
Согласно теореме 236 имеем:
i
• т- е-> поскольку a>0, a = —
~—.
2) Найти величину цепной дроби:
a = 2 + ^2 +^2+Щ + -^2 + Н + -^2 + -^1 + ...,
где все дальнейшие элементы последовательно принимают зна-
значения 2, 2, 2, 1.
Согласно теоремам 236 и 235 имеем:
215

Составляем таблицу значений Рп и Qn при п — 0, 1, 2, 3:
Рп
Qn
2
2
[
2
5
2
2
12
5
1
17
7
так что я=-7а1-5^' 7а2 —12а—12 = 0, и поскольку а>0, то
6+21^30
а_ ?
Теорема 237. Для любого действительного числа существует
разложение в цепную дробь.
Доказательство. Пусть нам дано произвольное дейст-
действительное число а. В теореме 57 было доказано, что если а—
рациональное число, то существует конечная цепная дробь,
равная а.
Рассмотрим теперь случай, когда а—иррациональное число.
Обозначим через а0 целую часть а, а через ах — величину,
обратную дробной части а, т. е. возьмем аг — -—- , так что
?
Поскольку а иррационально, а^аи а1 также иррациональ-
иррациональное число, причем ах > 1.
Мы видим, таким образом, что для любого иррационального
числа а можно найти целое число ао = [а] и иррациональное
число 0
^, такие, что а = ао-\—. Находя таким же образом
для с^ числа а1 = [а1\ и оса>1, для
и т. д., получим:
числа а2 = [а^] и а8>1
а0 = [а]
• • • г
(И)
где при s^l все иррациональные числа а,>1 и, таким обра-
образом, при всех таких s числа аа*=[ав1&1.
216

Числа а0, alt a^, ... образуют бесконечную последователь-
последовательность целых чисел и, поскольку при s^sl as^\, мы можем,
взяв эти числа в качестве элементов, составить бесконечную
цепную дробь а0 + ^at+ -^Oj-t-. ••, которая согласно теореме
234 сходится.
Докажем, что величина этой цепной дроби равна нашему
исходному числу а. Действительно, из равенств A1) получаем
a = ao+llal + ... + ' as+ as+1,
так что согласно теореме 235 имеем:
„_ Рл+1 + Р,-1
р.
а—^ =
Поскольку (теорема 63', стр. 212) Qs—>-оо, величина а—д^
при увеличении s становится меньше любого наперед заданного
Р
положительного числа, т. е. hm^ = a.
Мы видим, таким образом, что для заданного иррациональ-
иррационального числа а имеется алгоритм, позволяющий строить цепную
дробь, равную а. Легко проверить, что для рациональных а
алгоритм A1) совпадает с алгоритмом, данным при доказатель-
доказательстве теоремы 57, причем при рациональном а все о, также
рациональны и процесс заканчивается
целым числом.
как только as становится
Пример. Разложить в цепную дробь а=-~—
Находим:
]
J
~1 а-
Поскольку аг = а, будем иметь ах = \аг\ = [а] = а0 — 1, так
что оса = а1 и т. д.
В последовательных равенствах A1) будет а = а1 = а2=...,
ao = a1 = a2=... = l, т. е.
A2)
Пример. Найти первые четыре элемента разложения в цеп-
цепную дробь числа л = 3,14159265...
217

Находим ав = [я] =
1 _ 0,14159265...
1=Б",~ 0,00885145... '
1 0,00885145...
tt8 = ?=Т,в0.00882090...
Таким образом,
Для числа л был вычислен ряд элементов цепной дроби.
Разложение л в цепную дробь имеет такой вид:
+J/292-f ^ 1 + ^1 +^
i; iy ... A3)
Пример. Найти первые шесть элементов в разложении
ъ цепную дробь.
Решение, а —\/2—единственный действительный корень
уравнения х3 — 2 = 0; 1<а<2, так что а—\-\—; подставляя
значение а в уравнение, получаем I 1 —}—=- > —2 = 0, или после
упрощений а\—Ъа\—Зах—1 = 0. Непосредственными испыта-
испытаниями находим 3<а!<4, так что а-,=3-\—. Разложив' левую
часть уравнения для осг по схеме Горнера по степеням а.х—3,
находим:
<*з а2 0.2
откуда
10аз —6а*—6а2 —1=0.
Из этого уравнения находим теперь, что 1<а2<2, так что
а2 = 1 + —• Таким же образом находим для а3 уравнение
За» — 12а^—24а3— 10 = 0,
откуда получаем:
5<а3<6, а8 = 5 + ^.
Уравнение для а4 будет иметь вид:
ЬЬа\—81а«—33а4—3 = 0,
откуда находим, что
1<а4<2, а4 = 1+^.
218

Уравнение для <xs имеет вид:
62aJ + 30aJ—84a5 —55 = 0, •
откуда находим, что 1<а5<2.
Таким образом,
В теореме 237 было доказано, что для любого действитель-
действительного числа существует по крайней мере одно разложение в
цепную дробь. Возникает вопрос, могут ли для данного дейст-
действительного числа а существовать различные разложения в цеп-
цепную дробь, т. е. может ли для некоторого а существовать раз-
разложение
где а0, a^^sl, аг3г1...—целые числа, отличные от тех, кото-
которые были получены с помощью алгоритма, примененного при
доказательстве теоремы 237.
Оказывается, разложение любого действительного числа в
цепную дробь обладает свойством единственности, а именно: две
различные конечные или бесконечные последовательности целых
чисел
а0, ах^\, a2 S* 1 ... и а
о,
образуют две различные по величине цепные дроби, т. е. если
хотя бы для одного i а{фа\, то
При этом, как и раньше, в случае конечных цепных дробей
сохраняется условие, что последний элемент больше единицы.
Теорема 238. Для любого действительного числа а сущест-
существует одна и только одна цепная дробь, равная а.
Доказательство. Существование цепной дроби, рав-
равной а, было установлено в теореме 237. Нам надо доказать
единственность такой цепной дроби. Пусть
a = ao + lJa1+:uai+...=a'o+1Ja'1+lJa'2+... ,
где а{ и а\—целые числа, причем при i Ss 1 все а{ и а'( поло-
положительны. Будем считать, что из этих двух цепных дробей по
крайней мере одна бесконечная, так как случай равенства двух
конечных цепных дробей уже был рассмотрен в теореме 58.
Предположим, что эти две цепные: дроби отличаются хотя
бы одним элементом, и обозначим через k первый по порядку
номер, такой, что акфа'к, т. е. предположим, что
219

Обозначим ak = ak + ^ak+1 + ... , a* = a* +
Из равенства (теорема 2361)
получаем afe = otj, но тогда согласно теореме 236а имеем:
что противоречит условию акфа'к.
Предположение, что действительное число а имеет два раз-
различных разложения, привело нас к противоречию, и, таким
образом, разложение в цепную дробь может быть только одно.
Примечание. Единственность разложения уже не будет иметь места,
если отказаться от условия аа^*\ при s^l или вообще брать непрерыв-
непрерывные дроби вида A).
Например, из A2) получаем разложение
но, как легко проверить, для этого же числа имеем другое разложение в
непрерывную дробь:
±He3+-3+3;+-3+...
Теорема 238 показывает, что любое разложение действитель-
действительного числа в цепную дробь, полученное каким-либо другим
методом, отличным от того, который был применен при доказа-
доказательстве теоремы 237, даст нам ту же цепную дробь, как и в
рассмотренном там алгоритме.
Разлагая действительные числа в цепные дроби, мы для
каждого рационального числа имеем единственное разложение,
представляющее собой конечную цепную дробь, а для каждого
иррационального числа—единственное разложение, представ-
представляющее собой бесконечную цепную дробь. В этом отношении
разложения действительных чисел в цепные дроби характери-
характеризуют природу действительных чисел лучше, чем разложения в
систематические дроби.
Разложения рациональных чисел в систематическую дробь,
например в десятичную, могут быть конечными и бесконечными,
причем характер таких разложений существенно зависит от
основания системы счисления.
Поскольку между действительными числами и цепными дро-
дробями установлено взаимно однозначное соответствие, мы будем
в дальнейшем, в случае, когда
220

p
подходящие дроби у* к этой цепной дроби называть также
для краткости подходящими дробями к числу а.
3. РАЗЛОЖЕНИЕ ЧИСЛА е В ЦЕПНУЮ ДРОБЬ
В качестве примера рассмотрим разложение в цепную дробь
числа е.
Теорема 239.
Доказательство. Определим fn(x) (n = 0, 1, 2, ...),
как сумму ряда:
<Y\- nl i (" + l)l .л , (я+ 2I ..4 , у (n+s)\
nK > Bn)l "*" 1! Bn + 2)! * +2!Bл + 4)! "*" ' ' * ~ *¦* si Bn + 2
BяIт11Bп+2)Г "г2!Bл + 4I "*" ' ' * ~ *-* si Bn + 2s)l л '
Этот ряд сходится при любых значениях х; однако мы будем
рассматривать только значения х, лежащие в интервале @; 1).
Легко проверить, что имеет место тождество
). A4)
Действительно, коэффициент при хг в левой части равен-
равенства A4) равен
(An I 2Y
k\Bn + 2k)\ K™^*'
(д + fe)! (. 2n+\ \ 2{n + k)\
)
(k — l)!Bn + 2fe+l)l '
а в правой части равенства A4) он равен
4 (n-f ft+1I _ 2{n + k)\
так что A4) верно.
Обозначим " уД через ап. В частности, поскольку
TO
221

Из тождественного равенства A4) при *=у получаем:
A5)
Поскольку ая+1 положительно, равенство A5) показывает,
что при всех п а„>4я + 2>1, <1, т.е. 4« + 2 = [ая] и по-
ая+1
следовательность соотношений A5) при и = 0, 1, 2..*
«,-2 + 1
«.-•6 + 1-
дает разложение а0 в цепную дробь:
A6)
?±2 = ао
Теорема 240.
e = 2 + Ail+ll2+lli+lll+'JJ4 + *Jl+*Jl + *J6+..., A7)
т.е. элементы ап разложения е в цепкую дробь имеют вид:
2 = 1 и a3n_i = 2n.
Доказательство. Обозначим подходящие дроби к правой
р
части A7) через -—-, а подходящие дроби к A6) через
R
5-3 (п = 0, 1, 2, ...). Докажем, что
п+1
$п Рзп + 1 — Qsn+l
Принимая во внимание значение элементов цепной дроби
A7), имеем:
"зи+х" "зл + "зп-1' 'ап== 'Зп-i + "зл-г>
*Sn-l ~ 2Я/зл-2 + *Эп-3>
' 3n-2 = ' Зл-3 ~Г^Зл-4> "зл-3==' Зл-4
откуда находим:
= D« +2) Р3„-2 + Р*>-,-Рь„-* = Dя + 2) Р8„_2 +
Аналогичное соотношение имеем и для QSn4il, так что
222

Докажем иидукщгеи по п, что
l Q3n+i). A9)
Из A6) и A7) непосредственно вычисляем R0 = 2, i?1=13,
Р^З, Р4=19, Qr— 1, Q4 = 7, так что соотношение A9) верно
при п = 0 и га = 1.
• Предположим, что соотношение A9) верно для всех R с но-
номерами, меньшими чем п, где п2»2, т.е., в частности,
° ( + Q) ^ (^ + ^)!
тогда, используя равенства A8), получаем:
' "sn-5 2
Согласно принципу полной математической индукции равен-
равенство A9) верно для всех п.
Совершенно аналогично доказывается, что
"л = ~ (РSn + l Qsn + l)-
Рассматривая теперь предел отношения величин Rn и Sn, нахо-
находим:
lira ?2n±± +1
_1{rn Рзп+l+Qsn+i _lJm?n._i
— urn -5 л шп с —
lim
т.е. lim ^M±i = e.
Поскольку цепная дробь в правой части A7) сходится, мы
Р
будем иметь также, что вообще lim^-" = e, а это доказывает
теорему.
Исторические комментарии к 5-й и 24-й главам
1) Процесс последовательного образования бесконечных не-
непрерывных дробей, получающихся при разложении некоторых
действительных чисел частного вида, описан в алгебре Бом-
белли, вышедшей в 1572 г.; однако Бомбелли, описывая процесс,
не употребляет обозначений вида A). Обозначения вида A)для
непрерывных дробей впервые встречаются у Катальди в 1613 г.,
только вместо знака „ + " он писал „et".
223

Конечные цепные дроби вида A) 5-й главы рассматривались
немецким математиком Швентером A585—1636). Швентер при-
применял таблицы типа тех, которые даны у нас на странице 65.
Широкое применение цепные дроби получили начиная с
работ известного физика, астронома и математика Христиана
Гюйгенса A629—1695). Гюйгенс рассматривал цепные дроби в
связи с задачей подбора зубчатых колес, у которых отношение
числа зубцов было возможно ближе к некоторому заданному
числу. Число зубцов в таких колесах нельзя было брать слиш-
слишком большим, так что приходилось отыскивать два сравни-
сравнительно небольших натуральных числа, отношение которых было
близко к заданному числу. Решение задач такого рода, есте-
естественно, приводит к рассмотрению цепных дробей и подходящих
к ним. Подбор таких зубчатых колес был нужен Гюйгенсу в
связи с его намерениями построить модель, имитирующую
движение планет в солнечной системе.
2) Теория цепных дробей была систематически разработана
Эйлером, а затем Лагранжем.
2
3) Разложение — в цепную дробь при любом натураль-
ет+\
ном к было найдено Эйлером в 1737 г. Разложение в цепную
дробь числа е (теорема 240) также принадлежит Эйлеру.
ГЛАВА 25
ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
РАЦИОНАЛЬНЫМИ ДРОБЯМИ
1. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОДХОДЯЩИМИ
ДРОБЯМИ
Рациональные числа, как известно, образуют счетное мно-
множество, в то время как множество иррациональных чисел не-
несчетно. В этом смысле можно сказать, что основную массу всех
действительных чисел составляют иррациональные числа. При-
Применение иррациональных чисел в практике обычно осущест-
осуществляется заменой данного иррационального числа некоторым
рациональным числом, мало отличающимся в пределах требуемой
точности от этого иррационального числа. При этом обычно
стараются выбрать рациональное число возможно простым, т. е.
в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после за-
запятой или в виде обыкновенной дроби со сравнительно неболь-
небольшим знаменателем. Для громоздких рациональных чисел, т. е.
чисел с большими знаменателями, также иногда возникают
задачи, связанные с необходимостью отыскания хороших ра-
рациональных приближений, понимая под этим отыскание рацио-
224

нальных чисел со сравнительно небольшими знаменателями,
мало отличающимися от данных чисел.
Цепные дроби дают очень удобный аппарат для решения
задач такого рода. С помощью цепных дробей удается заменять
действительные числа рациональными дробями так, что ошибка
от такой замены мала по сравнению со знаменателями этих
рациональных чисел.
Теорема 241. Для любых двух соседних подходящих дробей
D п
к действительному числу а имеет место неравенство
7Г И
и если а=
4 + 1
A)
то
а —
Р»
1
Доказательство. Если
QnQn+i
Pn+l
подходящие дроби
~ и —^ , из которых одна четная, а другая нечетная, лежат
Чп Уи+1
по разные стороны от а (замечание к теореме 234), и поэтому
расстояние от а до любой из них меньше длины интервала,
образованного этими двумя подходящими дробями, т. е.
а—
0~п
Qn
Если а = :
T0ia-C!=Q^71
p
Теорема 242. Для любой подходящей дроби rf*
тельному числу а справедливо неравенство:
а—
к действи-
B)
Доказательство. Если а = 7г2, то неравенство B) оче-
видно. Пусть
рп " . р
~ , т. е. существует подходящая дробь
При «>0 Qn<Qn+i и согласно предыдущей теореме имеем:
Р
п+i.
а—-
Отдельно рассмотрим случай я = 0. Если
то
la.
l
Ql'
А. А. Бухштаб
223

Теорема 243. Если а Ф -^, то
а —¦
C)
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда для а
р
существует подходящая дробь /?р±^. Неравенства G) 24-й главы
Р Р Р
показывают, что при а^^г^ подходящие дроби гг и ^^^на-
Уи+а Чп Qn+i
ходятся по одну и ту же сторону от а, и тогда, пользуясь еще
теоремой 64, получаем:
QnQ
И + 2
Qn
При а =
^Qn(Qn+ian+a+Qnan+2) Qn{Qn+i + Qn)'
будет ап+2>1, так что
n+%
Qn
+t
«n+a
p p
Если же т^-1 — последняя подходящая дробь, т. е. а =
У+1
и+1
, то
1
QnQn+i Qn(.Qn+i+Qn) '
Теоремы 241 и 243 дают оценки приближения любого дей-
Р
ствительного числа подходящей дробью —. Так как при всех
*ь П
п имеем Qn^Qn+i, то можно написать также
Г
и, таким образом,
2QnQn+i
1
с точностью до множителя, заключен-
VflVn+l
ного между y и "' 0ПРеДеляет порядок приближения а подхо-
подходящей дробью с номером п.
Теорема 242 показывает, что при этом, во всяком случае,
обеспечивается точность приближения —-.
Qn
Мы видим, что, вообще говоря, подходящие дроби дают луч-
лучшие приближения к действительным числам, чем конечные деся-
226

тичные дроби, получающиеся в процессе разложения этого числа
по степеням jq." Действительно, если clt c2)...—десятичные
знаки числа ос после запятой и со = [а], т. е.
то, взяв в качестве приближенного значения а число
будем иметь:
Обозначив 10" через В, имеем:
-?*- + _L_?s___d-
= cn+i | сп+г , -^ 9 I 9 I -_L
юи+1 "т"юя+» "г • • • !S* 10й+1' 10й+*"*"¦¦' ю"'
Десятичная дробь Со + Тп~'~ • * * ~^~ Т§* = ~в выРажает Действи-
Действительное число а с точностью до величины, обратной знаменателю,
в то время как согласно теореме 242 приближение подходящими
дробями обеспечивает точность до величины, обратной квадрату
знаменателя.
Надо при этом иметь в виду, что при больших значениях ап
Qn+1 может быть намного больше, чем Qn, и тогда согласно
теореме 241 точность приближения подходящими дробями будет
еще лучшей.
Для того чтобы найти рациональное приближение действи-
действительного числа а с точностью до е, можно подобрать подходя-
Р 1
щую дробь ¦?* с таким номером п, чтобы QnQn+i было больше — , и
тогда будем иметь:
la-eHd^<e-
Пример. Найти подходящую дробь к числу 2 + 1^5, отли-
отличающуюся от этой иррациональности меньше чем на 0,00001.
Находим, что
Последовательность знаменателей:
Q,= l, Q1 = 4, Q2 = 17, Q3 = 72, Q4 = 305, Q5=1292
так что
Q4Q5> 100 000, |j = ^g
отличается от 2-f Y§ меньше чем на 0,00001.
8* 227

Пример. Найти первые четыре подходящие дроби к числу я,
оценить порядок приближения этими дробями и найти подходя-
подходящую Дробь, Приближающую Я С ТОЧНОСТЬЮ ДО -jgj .
Пользуясь равенством A3) 24-й главы, составляем таблицу
числителей и знаменателей подходящих дробей к я:
Рп
Qn
3
3
1
7
22
7
15
333
106
1
355
113
292
103 993
33 102
7
333
106 '
355
:пз-
Неравенство A) дает:
22
7-106
355
31 ИЗ
700
113-33 102
< 0,0000003.
22
Рациональное приближение к я в виде у , дающее сравнитель-
сравнительно близкое к я значение, было известно еще Архимеду. Особенно
удобным рациональным приближением к я является число
355 -
уго , дающее при сравнительно небольшом знаменателе высокую
точность. Это связано с тем, что в разложении я число а4
сравнительно большое (с4 = 292), и поэтому после знаменателя
113 следующий знаменатель намного больше, чем 113.
Докажем, что каждая следующая подходящая дробь всегда бли-
ближе к рассматриваемому действительному числу а, чем предыдущая.
Теорема 244. Для любых двух соседних подходящих дробей
Р Р
„"-1- и тг3 к действительному числу а имеем:
Чп-l Чп
Р»
Доказательство,
получаем:
Р,
а—тг1 < а — W^ ¦ D)
р
Как и в теореме 237, при аф-^-
"Qn
QZT
п-1
«n+l
E)
F)
228

но ая+1 > 1 и Qn г* Q»_i, так что модуль разности в E) меньше,
Р
чем в F). При а = ~ неравенство D) очевидно.
В следующей теореме мы покажем, что рациональная дробь,
в некотором смысле достаточно хорошо аппроксимирующая дей-
действительное число, должна обязательно совпадать с одной из
его подходящих.
Теорема 245. Если для целых а и Ь (&>0, (с, Ь) = 1) выпол-
выполняется неравенство
то -j—одна из подходящих дробей к а.
Доказательство. Пусть а=^-т- (при а = -т- утверждение
теоремы тривиально). Рассмотрим разложение -^ в цепную дробь:
обозначая через -J- подходящие дроби к этому разложению, возь-
возьмем число
Тогда
, + Qs
откуда получаем, что
co>2—%=-г
Пусть со = as+1 + ^as+2 + ... — разложение со в цепную дробь,
кольку со > 1, то а,+1 ;> 1, и тогда
представляет собой некоторую цепную дробь, величину которой
мы обозначили через р.
Согласно формуле (8) 24-й главы имеем:
о
Р
и, подставляя сюда выражение со из G), после простых преоб-
преобразований получаем Р = а, так что цепная дробь ao-j-"^ai+. ••
с,, равная ^-, есть подходящая дробь к а.
229

2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ДРОБЯМИ С ЗАДАННЫМ ОГРАНИЧЕНИЕМ ДЛЯ ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ
В теоремах 241 —244 ставился вопрос о порядке приближения
действительных чисел подходящими дробями. В следующих
теоремах рассмотрим некоторые сравнительно простые результаты,
показывающие, как обстоит дело с приближением действитель-
действительных чисел рациональными числами, не предрешая заранее, что
эти рациональные числа будут подходящими дробями. Вместе
с тем в доказательствах этих теорем мы часто будем пользоваться
уже известными нам теоремами о цепных дробях, так как
использование их обычно дает наиболее простые пути для
исследования рациональных приближений.
Пусть а — произвольное действительное число. Как было от-
отмечено раньше, уже из теории десятичных дробей следует суще-
а а I „
< v По-
ь
ствование рационального числа -г-, такого, что
ставим вопрос о возможности таких приближений а рациональ-
рациональными числами у, при которых точность приближения будет
оценена не величиной у, а величиной, в т раз меньшей, т. е.
вопрос о нахождении рациональных чисел -г, таких, что
а Г ^ t
где х — любое заранее заданное положительное число..
Например, можно поставить задачу нахождения такого рацио-
рационального приближения к а, чтобы точность приближения была
в 1000 или в 1 000 OOCV раз лучшей, чем величина, обратная зна-
знаменателю. Это соответствует выбору т = 1000 или т—1000000.
Оказывается, что, как бы велико ни было т, можно найти рацио-
рациональную дробь у , приближающую а с точностью до ^, причем,
и это является самым интересным, дробь -г мы можем выбрать
так, что Ь<,х.
Теорема 246 (Дирихле). Для любого действительного числа
а а произвольного т >-1 можно найти рациональную дробь
¦j , такую, что
а_
Доказательство. Обозначим, как обычно, через -тр
(п = 0,1, 2, ...) подходящие дроби разложения а в цепную
дробь. Последовательность
230

может быть конечной или бесконечной, но, во всяком случае,
лоскольку Q.0-=l, а т>1, можно найти наибольший номер п,
такой, что Q^
В качестве дроби j, удовлетворяющей условиям теоремы,
Р
можно выбрать -^, т. е. положить а = Рп, b = Qn. Действительно,
рассмотрим два возможных случая.
1) Qn не является последним знаменателем (это будет для
любого иррационального а, но может быть и в случае рацио-
рационального а), т. е. существует Qn+1, такое, что
Тогда при а — Рп, b = Qn согласно теореме 241 имеем:
2) Qn — знаменатель последней подходящей дроби разложе-
разложения а, т. е. а=д5. Тогда при а = Рп, b = Qn имеем:
a — -
bx
Пример. Найти рациональное приближение ~ к Yb с точ-
точностью до да-
Согласно теореме 246 такую дробь можно найти среди дробей
со знаменателями, меньшими, чем 1000. Разлагая У% в цепную
дробь, получаем
1/^=2 +^4 4-^4+ -^4+-^4+ ^4+ ...
Находим подходящие дроби:
р»
Qn
2
а
1
4
9
4
4
38
17
4
161
72
4
682
305
4
...
1292
...
....
Наибольшим знаменателем, меньшим чем 1000, является
QB = 305. Искомая дробь равна ||; |j/^_|jg|<_?_.
Обобщим теорему 246 при целых т^1 на случай нескольких
действительных чисел.
231

Теорема 247. Пусть с^, ос2, ..., а„—действительные числа;
т—целое число (т^=1). Существуют рациональные числа ^-»
-J-, .... -у-, такие, что
a'-f
«,-ч
Доказательство. В единичном n-мерном кубе берем
т" -f- 1 точек с координатами:
({kaj, {*а2} {kan}),
где /г = 0, 1, 2, .... т", а {ЛаД—дробная часть ka{.
Разделим каждую из сторон этого куба на т равных частей
12 х
точками 0, — , — ,..., — = 1 и соответственно этому весь куб на
%п одинаковых частей, так, что в пределах каждой части любая
координата увеличивается меньше чем на —. Поскольку число
точек ({k а^}, {k а2}, .. ., {kan}) больше, чем число частей, то по
крайней мере две точки:
({b'at}, {b'a2} {Ь'а„}) и {{tfaj. {b"a2} {b"an}),
где OsSb's^x", 0<Ь"^т", попадают в одну и ту же часть, и
тогда соответствующие координаты этих точек отличаются друг
от друга меньше, чем на — .
где as и as(s = O, 1, ..., п) — целые числа, так что, например,
при b'<b" получаем для всех s = 0, 1, 2, .... п:
l(b"-b')as-(as-a's)\<L,
где as=za*s — a's, b = b" — b'^rm — целые числа.
flti О
Примечание. Дроби -~ -&, существование которых мы
доказываем в этой теореме, могут оказаться сократимыми.
Пример. Найти две дроби с одним и тем же знаменателем Ь,
приближающие соответственно е и п с точностью до -jr-.
Решение. В этом примере п = 2, т = 4. Согласно теореме
знаменатель b искомых дробей может быть выбран ^ 4а = 16.
Берем точки с координатами ({ke}, {kn}),k = 0,1, ..., 16. Находим
две точки ({2е}, {2п}) и {9е}, {9п}), у которых координаты
232

отличаются меньше, чем на -у-. Полагая Ь = 9 — 2 = 7 и подбирая
соответствующие числители, получаем:
22
= 4-7
'4-7'
3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 242 показывает, что для любого действительного
числа а существует бесконечное множество рациональных чисел
у, таких, что
а — —
< -р , причем в качестве -=• можно взять
любую подходящую дробь к а.
Можно ли в этом неравенстве заменить постоянную 1, стоя
щую в числителе, другой более маленькой величиной с< 1 так,
чтобы
а — -^
<ж
получающееся после этого неравенство
осуществлялось при любом а для бесконечного множества ра-
рациональных дробей?
Оказывается, это можно сделать, и такое неравенство будет
иметь место при с — ~^==0,4472..., причем постоянная ¦ —
здесь наилучшая; для меньших значений с существуют значения
с
а
а, при которых неравенство
а
осуществляется уже
только для конечного числа дробей -г-.
Теорема 248. (Гурвиц). Для любого действительного числа
а существует бесконечное множество рациональных дробей
-г-, таких, что
(9)
Доказательство. Разложим а в цепную дробь. Мы до-
р
кажем, что из трех любых соседних подходящих дробей -—^ по
крайней мере одна может служить в качестве |-в неравенстве (9).
Доказательство этого утверждения будем вести от противного.
Предположим, что для каких-либо трех соседних подходящих
дробей выполняются неравенства:
а —
а —
A0)
233

p p
•=р=± и yf расположены по разные стороны от а и -поэтому при
четном п из A0) следует:
а при нечетном:
так что и в том и в другом случае имеем:
?п_Рп^х
Qn Qn-
l/l I
или, умножая на Ql и перенося все члены в одну сторону,
т. е.
или, поскольку Qn и Qn_x—целые числа,
#=-<-^У^. (И)
Поскольку т^- и "+1 также расположены по разные сто-
стороны от а, из A0) аналогично получаем:
Пользуясь еще тем, что с„+1^1, из A1) и A2) получаем:
1 + Vb Qn+1 _ Qnon+i+ Qn_i _ _
2 ^ Qn Qn
= a»+i + ПГГ\ > 1 + -г^т
{ Qn\
Предположение, что выполнены все три неравенства A0),
привело нас к противоречию, поэтому по крайней мере для
р Р Р
одной из трех подходящих дробей -~^-, -^, -^^, взятой в
Qn-X Чп Чл+1
качестве -т , должно выполняться неравенство (9). Придавая п
различные значения, получим бесконечное множество дробей,
удовлетворяющих неравенству (9).
Перейдем теперь к доказательству того, что постоянная
-у=, фигурирующая в теореме Гурвица, наилучшая.
234

06 =
a
Теорема 249. При любом положительном
1 + Y5
-?—существует только конечное число рациональных чисел
—, таких, что
а
?• A3)
1 4- YW
Доказательство. Предположим, что при а — - о—,
Я<-^=. неравенство A3) удовлетворяется для бесконечного
V 5
множества рациональных чисел -г. Тогда для каждой такой
дроби выполняются неравенства
Л, а %
а <
откуда, подставляя значение а, получаем:
&<а<
а возводя в квадрат, получаем:
Поскольку 0<]/5Я<1, то при достаточно большом Ь бу-
будем иметь:
*— об—Ьг<1
и, следовательно, целое число аа — а&—&* = 0, у = —2 ,
что при целых а и & не может иметь места. Полученное про-
противоречие показывает, что неравенства A3) может иметь место
только для конечного числа рациональных чисел ~.
Замечание. Из теоремы 249 следует, что при замене А.
достаточно малым положительным с можно добиться того, что
неравенство |« —у <^г не будет осуществляться уже ни для
одной рациональной дроби у , так что при а — —У-— всегда
для всех целых а и b будет иметь место неравенство
Существенные обобщения теоремы 248 были даны в работах
А. А. Маркова. Марков показал, что если из множества дейст-
действительных чисел исключить числа, эквивалентные ос0 = "**2 »
235

т. е. числа вида g Тр, где AD — ВС= ±1, А, В, С, D —
целые, то для оставшихся действительных чисел а неравенство
а
осуществляется при с = —— для бесконечного множества ра-
V 8
циональных чисел -г. Это значение с наилучшее, что легко про-
проверить, рассматривая рациональные приближения к аг = ]
Исключив после этого еще все числа, эквивалентные а^ —1
т. е. числа вида ^—, где /4D — ВС=±1, Л, В, С, D —
целые, получаем множество действительных а, в котором нера-
неравенство A4) удовлетворяется для бесконечного множества ра-
рациональных чисел уже при с =-F=, и т. д. В своих исследо-
исследованиях Марков связывает вопрос о порядке приближения дей-
действительных чисел рациональными дробями с изучением соот-
соответствующих квадратичных форм.
Исторические комментарии к 25-й главе
1. Китайский астроном Цзу Чун-чжи (V век нашей эры)
показал, что я заключено между 3,1415926 и 3,1415927. Он
указал в качестве рационального приближения к п величину т-pj.
В Европе рациональные приближения я в виде ттж и тга
впервые указаны Адрианом Метиусом A571—1635).
Английский математик Валлис A616—1703) вычислил 35
первых элементов разложения я в цепную дробь. Общий вид
элементов разложения я в цепную дробь неизвестен.
2. Теоремы 248 и 249 были опубликованы Гурвицем в 1891 г.
Тот факт, что из трех соседних подходящих дробей по крайней
мере одна дает приближение вида (9), был доказан Борелем
в 1903 г.
3. Андрей Андреевич Марков A856—1922) занимался весьма
разнообразными вопросами математики, но особенно большое
значение имеют его работы по теории чисел и по теории веро-
вероятностей. Исследования А. А. Маркова по теории квадратичных
форм являются основными для всего последующего развития
этой области теории чисел. Важнейшие результаты А. А. Мар-
Маркова, полученные им в этом направлении, изложены им в ма-
магистерской диссертации „О бинарных квадратичных формах
положительного определителя".
235

Научная деятельность А. А. Маркова протекала в Петер-
Петербургском университете, после окончания которого Марков рабо-
талГ^в нем с 1880 г. до конца своей жизни, и в Академии наук,
избравшей его академиком в 1890 г.
ГЛАВА 26
НАИЛУЧШИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
1. ОТЫСКАНИЕ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ
ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
Подходящие дроби в определенном смысле являются наилуч-
наилучшими приближениями к действительным числам.
Конечно, очевидно, что, поскольку множество рациональных
чисел всюду плотно, не существует рациональной дроби, кото-
которая была бы ближе к данному иррациональному числу, чем
любая другая дробь.
Говоря о наилучшем приближении, мы понимаем под этим
наилучшее приближение по сравнению не со всеми другими ра-
рациональными числами, а только по сравнению с рациональными
числами, у которых знаменатель меньше, чем у данной дроби,
или равен ему.
Определение 69. Рациональная дробь у называется наилуч-
наилучшим приближением к действительному числу а, если не сущест-
существует ни одной рациональной дроби — со знаменателем =?&,
У
которая была бы ближе к а, чем —¦.
Таким образом, согласно этому определению у является
наилучшим приближением к а, если для любой другой рацио-
рациональной дроби —, такой, что
У
-7
а
будем иметь у>Ь.
Геометрически это означает, что если взять на числовой пря-
прямой точку а и интервал с концами в точках а — —¦, а + у .
то все рациональные дроби, лежащие в этом интервале, имеют
знаменатели, большие чем Ь.
Таким образом, если у —наилучшее приближение к а, то
рациональные дроби со знаменателями <6 лежат вне этого
интервала или совпадают с одним из его концов.
237

Примеры. 1) y является наилучшим приближением к
числу е, так как среди рациональных дробей со знаменателем
1 и 2 нет ни одного числа, которое было бы ближе к е, чем
•к-, т. е. ближе к е, чем -^, могут быть только дроби -|-, где
&>2.
2) у не является наилучшим приближением к ]/2. Дейст-
вительно, У2 =1,41..., и легко проверить, что дробь -=- со
знаменателем, меньшим, чем у у, ближе к 1^2, чем -у- =
= 1,428... .
Рассмотрим вопрос об отыскании наилучших приближений
к действительным числам и, в частности, докажем, что все под-
подходящие дроби, начиная с первой, не только дают хорошие
приближения к действительным числам, но всегда являются
наилучшими приближениями.
Теорема 250. Если интервал (—¦; ^-) образован двумя ра-
рациональными дробями, такими, что bc — ad=l, то:
1) любая рациональная дробь, лежащая в этом интервале,
имеет знаменатель, больший чем Ъ и d;
2) для любого действительного числа а, принадлежащего этому
интервалу, по крайней мере одна из дробей — или ^-, а имен-
именно ближайшая к а, является наилучшим приближением.
Доказательство. 1) Пусть рациональная дробь — тако-
У
ва, что y<^~<~-T и bc — ad= 1, тогда, поскольку с, Ъ, х, у —
целые и й>0, у>0, из Ьх—а(/>0 получаем Ьх — ау^\, а,
следовательно,
х a _bx—ay I m
С другой стороны, поскольку — лежит между •?¦ и 4
так что, сравнивая A) и B), получаем ^<^» т. е. y~>d.
Совершенно аналогично, рассматривая вместо Ьх—ау выра-
выражение cy—dx и вместо ——%- разность -j—-^ , доказываем, что
У>Ь.
238

2) Пусть y<a<-j . be—ad=l. Если ¦?- ближе к а, чем
-г, то -г—наилучшее приближение к а.
Действительно, любая рациональная дробь — , лежащая бли-
а I а с \
же к а, чем -г, должна принадлежать интервалу 1-т-; -г) и,
следовательно, согласно первой части теоремы для нее будет
у>Ь. Таким образом, любая дробь, которая ближе к а, чем
-г- , имеет знаменатель, больший чем Ъ, т. е. -т—наилучшее
приближение к ос.
Если -т ближе к а, чем -г-, то аналогично получаем, что
-}—наилучшее приближение к а, а если -г- и -г лежат на рав-
равном расстоянии от а, то обе эти дроби являются наилучшими
приближениями.
Примечание. Вообще говоря, как это будет видно из следующей
теоремы, оба конца интервала [-г-', ~г\ могут быть одновременно наилуч-
наилучшими приближениями к а и тогда, когда расстояния от а до концов интер-
интервала не равны.
Р
Теорема 251. При s3»l любая подходящая дробь ^ к дей-
действительному, числу а является наилучшим приближением.
Доказательство. При а=^=-^ а заключено в интервале,
Р Р
концами которого являются ^ и тг^1 • причем (теорема 60')
4s 4s-l
PsQs-i — Ps-iQs^l' или Ps-iQs — ?A.i=1 (B зависимости от
четности или нечетности s).
Согласно предыдущей теореме ближайшая к а из двух дро-
Р Р Р
бей ^ и ^±=±, а таковой является -^ (теорема 244), является
наилучшим приближением.
р
При s = 0 Qo = 1 и — = Ро = [а], как легко видеть, не всег-
Р -4-1
да является наилучшим приближением, так как V" = [а] +1
Р
может быть ближе к а, чем ~.
355
Пример. Дробь щ , найденная нами (стр. 228) в качестве
хорошего приближения к числу п, является согласно послед-
последней теореме наилучшим приближением, т. е. ни одна дробь со
ore
знаменателем <113 не может быть ближе к я, чем туя.
239

2. МНОЖЕСТВО ВСЕХ НАИЛУЧШИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
К ЗАДАННОМУ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОМУ ЧИСЛУ
Естественно возникает задача определения всех наилучших
приближений к заданному действительному числу а.
Прежде всего заметим, что все наилучшие приближения к а
лежат в сегменте ([а]; [а] + 1).
Действительно, если рациональное число -г лежит вне этого
сегмента, то по крайней мере один из концов сегмента, а именно
ближайший к а, имеет знаменатель 1<& и расположен ближе
к а, чем -г , т. е. -г не является наилучшим приближением.
Легко указать алгоритм, дающий последовательное построе-
построение всех наилучших приближений со знаменателями 1,2, 3, ...
Сначала из двух чисел [а] и [а] + 1 берем то, которое ближе
к а; это число будет наилучшим приближением со знаменате-
знаменателем 1. Берем затем в этом интервале последовательно все рацио-
рациональные числа со знаменателями 2, 3, 4, ..., проверяя каж-
каждый раз, не существует ли рационального числа с меньшим
или таким же знаменателем, которое было бы ближе к а, чем
исследуемое число. Если для числа -г не нашлось ни одного
рационального числа со знаменателем ^Ь, которое было бы
ближе к а, то -г- является наилучшим приближением. Конечно,
при этом для сравнения из всех чисел с меньшими чем п зна-
знаменателями достаточно взять ближайшее к а. Очевидно, что в
случае иррационального а может быть самое большее одно наилуч-
наилучшее приближение со знаменателем л, а в случае, когда а
рационально, не больше двух. Таким образом, этот алгоритм
позволяет выделять из множества рациональных чисел все наи-
наилучшие приближения к а.
Для рационального числа & — -г число наилучших прибли-
приближений конечно, так как все рациональные числа интервала
( 7Г • Т М~ О со Знаменателями> большими чем Ь, дальше от
-г-, чем само число -г.
о о
Пример. Найти все наилучшие приближения к \/Ъ со
знаменателями, меньшими чем 15.
Решение. 1<^/3"<2, J/jf = 1,44224...
1 —наилучшее приближение со знаменателем 1; -j — наилуч-
наилучшее приближение со знаменателем 2. В рассматриваемом интер-
интервале A; 2) все дроби со знаменателями 3 и 4 дальше от ?
о
(
о
чем -g-, а из дробей со знаменателем 5 отбираем наилучшее при-
240

ближение -g-, которое ближе к ?/3, чем у. Дроби со знаме-
нателем 6 дальше от j/З, чем -g-. Из дробей со знаменате-
знаменателем 7 отбираем наилучшее приближение у. Наилучших при-
приближений со знаменателем 8 нет, а среди дробей со знамена-
13
телем 9 находим наилучшее приближение -=-. Все дроби со зиа-
менателями 10, 11, 12, 13, 14 и 15 дальше от /3, чем -^ .
У
3 7
Таким образом, искомые наилучшие приближения: 1,-тг, у ,
10 13
7 ' 9 •
Следующая теорема позволяет значительно уменьшить число
испытываемых чисел.
Теорема 252. Пусть -^ (k — 0, 1, 2, ...) — подходящие дроби к
действительному числу а = ао-\-^ах-\-^аг...; тогда любое на~
илучшее приближение к а находится среди чисел вида:
где при k=\, 2, ... величина х принимает значения такие,
что 0^x^aft+1, а при k = 0 выражение C) берем со значе-
значениями P_!=l, Q_1 = 0, 0<^<ах.
Доказательство. Предположим, что у—некоторое
наилучшее приближение к а, отличное от всех чисел C), в
п
частности отличное и от всех чисел Qk~1 . Поскольку, как
было отмечено выше, все наилучшие приближения к а лежат
в сегменте ([а]; [а] + 1) и Р0 = [а], Q0=l, то
Wo^b <¦ Qo
Рассмотрим последовательность
Р
которая, в частности, при рациональном а = тг конечна.
1) Если ?г < 7Г < (Г » т0 Т лежит между двумя какими-
либо соседними числами в D).
р
Отметим при этом, что в случае рационального « = 77* вели-
о Р Р
чина х не может лежать между ¦—¦ и у^-. Действительно, если
241

a P P
бы -j- лежало между тр и rf=±', то согласно теореме 250 было
Ь Qs Qs-i p p
бы b>Qs; вместе с тем, поскольку а—-^ = 0, дробь ¦**¦ ближе
к а, чем наилучшее приближение у, так что Qs>b.
Таким образом, в последовательности D) найдутся две под-
Р Р Л
ходящие дроби -^=1- и ~, между которыми лежит -г-.
Легко проверить, что числа:
Pft-i Pk + Pk-l ^Pk + Pk-l Clk+lPk+Pk-l _
— либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают, т. е.
лежат по одну и ту же сторону от а.
Действительно, разность между двумя соседними членами:
(t + i)okXok~1 и ю*4-е>Й~1-~В последовательности E), равная,
как легко вычислить:
имеет при всех ? один и тот же знак.
Пусть ¦?• лежит между двумя такими членами: .. .. QftT.Qft~'
n <P)b + Pfe-t . тпгпя ппня ич прпипин (< + l)Pft + Pft-i <Pfe+Pft-i
И Т0ГДа °Дна И3 ВеЛИЧИН
тогда одна
i»-r»/
ближе к а, чем наилучшее приближение -? , т. е. один из зна-
менателей: (t + I) Qfc+Qft-i. ^Qfe+Qft-i больше чем &. Вместе
с тем согласно теореме 250 из (б) следует, что Ь больше обоих
этих знаменателей.
2) Если ^<у< q , то ~ лежит между двумя числами
монотонно убывающей конечной последовательности:
Рв+1 2P0+l 3P0 + l aiPB+l_ apgi + 1 Pi ,7ч
Q» ' 2Q0 • 3Q0 aiQ0 ~ щ ~Q1' ^>
т. е. между некоторыми числами —^~- и ,\. из G).
Дробь ' Л ." ближе к а, чем наилучшее приближение у,
а, следовательно, /+!>&; вместе с тем, поскольку разность
??<?±i _(' +Д/|0+ г = f * , то согласно той же теореме 250
имеем ft > t -f-1.
Предположение, что -^ отлично от всех чисел E), в обоих
возможных случаях привело нас к противоречию, т. е. теорема
доказана.
242

Примечание. Среди чисел C) могут быть и числа, не являющиеся
наилучшими приближениями.
Пример. Найти все наилучшие приближения к числу л:
я = 3,1415... =3 + ^7+^15+...,
со знаменателями, меньшими или равными 75.
Подходящие дроби к числу п имеют вид:
з 22 ззз
1 • 7 ' 106 ' " • • •
Дроби вида E) со знаменателями «?75 имеют вид:
j4j^l013 16 19 22?25476991
1 ' " ' 3'Т'~5"'~'Т'Т'"8'Т5'22'29>
Ш 135 137 179 М 223
36 ' 43 ' 50 ' 57 ' 64 ' 71 #
Оставляем из них те, которые ближе к п, чем другие дроби
из этой последовательности с меньшими знаменателями, и по-
получаем, таким образом, искомые наилучшие приближения:
3 13 16 19 22 179 201 223
1 ' 4 ' 1Г ' "б"' 7 ' 7" ' 64 'IT'
ГЛАВА 27
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ФАРЕЯ
1. ФАРЕЕВЫ ДРОБИ
Приближения действительных чисел рациональными изуча-
изучались нами до сих пор главным образом с помощью аппарата
цепных дробей. Эти приближения исследуются также с помощью
так называемых последовательностей Фарея, имеющих большое
значение и при рассмотрении многих других вопросов теории
чисел.
Определение 70. Последовательностью Фарея Ф„ называют
множество несократимых рациональных чисел j со знаменате-
лем Ь=^п, принадлежащих сегменту [0; 1] и расположенных
в порядке их возрастания.
Фареевы последовательности названы по имени английского
ученого Дж. Фарея, опубликовавшего в 1816 г. некоторые
свойства этих последовательностей.
Примеры. Последовательности Фарея при л=1, 2, 3, 6
имеют вид:
Wi~\T' If' 4f*~\l' 2' 1/' Шз"~)Т'3"' 2' 31 I/'
rn —/. llllAlli.i.±l
e~\l' 6' 5' 4 ' 3' 5' 2' 5' 3 ' ¦ 4 ' 5' 6
243

Дроби, входящие в Ф„, часто называют фареевыми дробями
порядка п. Начнем с теоремы, дающей алгоритм построения
для каждой дроби в Ф„, следующей за ней.
Теорема 253. Пусть -т-€Ф„, у0—целое число, такое, что
п—Ь<уо^п и ay0==—l(modb), xo — ay"J*'l\ тогда — являет-
является в Ф„ дробью, непосредственно следующей за ¦?-.
Замечание. Целое число у0, удовлетворяющее условиям
п — b<Lyos?n и ш/0 = — 1 (modb), существует, так как (а, Ь)=1,
и из Ъ последовательных чисел, лежащих между п — Ъ и п,
включая п, одно удовлетворяет сравнению аг/0 =—l(mod&).
Доказательство. Из хо = °уу~ следует bxo — ayo—l,
(х0, Уо) = 1 и поскольку уо<п, то^бФ„;^- = |- + ^;>|--
Пусть -j—дробь из Ф„, непосредственно следующая за -г- .
Если %-<-j<-F~' т0> так как а< b> c< d> xo> Уо~Целые
числа, имеем: xJ, — cyo^\, cb — ad^l и^—-i==f^—4-
^_\ _xod—су0 . cb—ad 1 . 1 _ b+y0
b) dy0 ~*~ bd '^dyo'rdb~ dby0 ¦
С другой стороны,
Xo a __bxo—ayB__ 1
«/o ^ by0 by0'
откуда следует
Поскольку -^бФп и> следовательно, d^n, получаем
^n, yo^n — b, что противоречит условию теоремы.
Предположение, что между у и — в Фя лежит еще одна
дробь, привело нас к противоречию, т. е. ——ближайшая в Ф„
дробь, следующая за -г-; -jSB~H> поскольку обе гги дроби
несократимые, с = х0, d — y0.
о
Пример. Найти в Ф10 дробь, следующую за у.
Решаем сравнение Зу=— I(mod7); находим у ж 2 (mod 7),
j/0=-9, A;0 = ~ti = 4. Искомая дробь у.
Теорема 254. Если у и -^—две соседние дроби в Ф„ и
•?¦ < -j, то верны следующие соотношения:
244

1) b+d>n,
2) be—ad=\,
3) наибольший общий делитель (b, d) = l.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме с = х0,
= y0, где n—b<yo^n, ш/0 = —l(modfc), *o = 2^tl, откуда:
) yo
2) be—ad=bxo—ayo=l,
3) вытекает из 2).
Теорема 255. Если f-< — <4'—тРи последовательные
дроби в Ф„, то f = ^
Дробь |4"^ называют медиантой -г м 4-.
Доказательство. Согласно теореме 2542 имеем:
Ьх—ау = 1,
—dx + cy — 1,
откуда, решая относительно * и у, получаем:
_ а+с _ 6 + <* ? _ а + о
bc—ad' y~bc—ad' у b+d'
Теорема 256. Любая дробь из Фя+1 со знаменателем я + 1
лежит между двумя соседними в Ф„ дробями и является их
медиантой.
Доказательство. В Фя+1 не может быть двух соседних
дробей со знаменателем п-\-1, так как это противоречило бы
теореме 2543. Любая дробь из Ф„+1 со знаменателем, равным
п + 1, лежит между двумя дробями из Ф„ и, образуя вместе
с ними в Ф„+1 три последовательные дроби, является (тео-
(теорема 255) их медиантой.
Эта теорема дает удобный способ получения последователь-
последовательности Ф„+1, если нам известна последовательность Ф„.
Если —¦ и -j—две соседние дроби в Ф„, то
(a + c)b — a{b + d) = bc—ad = l, (a + c,
т. е. медианта щ^—несократимая дробь и—^^Фп+1 тогда
и только тогда, когда й+^ = я + 1. Добавление таких медиант
к Ф„ дает нам множество Ф„+х.
Пример. Зная Фв (см. пример на стр. 243), найти Ф7.
Находим в Фв соседние дроби, у которых сумма знаменате-
. _ .. 011121132
лей равна 7; это будут: y п ~& ' Т н Т' Т я Т; ~2 я Tl T
з 5 1
ит; -g-и т.
245

Вставляя в Фв между этими дробями их медианты, получаем:
Ф — /АЛ J.-L-L JL Л А А Л i. A А А
7 ~~ \ 1 ' 7 ' 6 •. 5 •' 4' 7' 3' 5' 7 ' 2 ' 7' 5' 3' 7»
А ± A A J.I
4 ' 5 ' 6 ' 7 • 1 / •
2. ПРИБЛИЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ФАРЕЕВЫМИ ДРОБЯМИ
Последовательности Фарея позволяют находить хорошие
рациональные приближения к действительным числам, обеспечи-
обеспечивающие точность до величины, обратной квадрату знаменателя.
Теорема 257. Пусть 0<а<1. Из двух соседних дробей
в Ф„, между которыми лежит а, по крайней мере одна дробь
¦у- отличается по абсолютной величине от а меньше, чем на
Доказательство. Пусть ¦?-<а<^ , где-^ и ~г—Две
соседние дроби в Ф„.
Если —¦ se а < гтЬ/ > то> так как согласно теореме 2542
be—ad = \, получаем:
„а + с a be—ad I
Аналогично, если г~гд*^а<~7 f то получаем |а——
Примечание. Если а лежит вне интервала @; 1), то мы можем
применять нашу теорему к {а}-, а затем в найденном неравенстве
11 i Л I 1 „
I |о[ T\<~~W пРи^авить к уменьшаемому и вычитаемому в левой части
целое число [а] = а— {а}.
Рассмотрение последовательностей Фарея позволяет дать про-
простые доказательства многих теорем о рациональных приближе-
приближениях действительных чисел. В виде примера приведем доказа-
доказательство теоремы 246 25-й главы при целом т. Очевидно, что
при этом достаточно рассмотреть случай, когда 0^а<1,так
как при других а можно вместо а брать {а}, и затем в заклю-
заключительном неравенстве поступать так же, как в предыдущем
случае ^см. примечание к теореме 257).
Доказательство теоремы 246. Пусть Т5*1 целое,
а @^а< 1) лежит между двумя соседними в Ф% дробями -|-
и-j , так что у sg a =sS-j. Если у =^ а =< йз > то> так как
согласно теореме 254 bc—ad—\ и b + d>r, получаем;
а
а — -т-
Ь
а-\-с а
b + d b
246

Случай Г7~;^аа^т рассматривается аналогично.
Фареевы дроби можно применять также для нахождения
наилучших приближений.
Теорема 258. Если а лежит между двумя соседними в Ф„
дробями, то по крайней мере одна из них представляет собой
наилучшее приближение к а.
Доказательство. Пусть у<а<-г , -г- и -г—соседние
дроби в Ф„; тогда be—ad—l и согласно теореме 250 по край-
крайней мере одна из дробей: |и4, есть наилучшее приближе-
приближение к а.
Теорема 259. Если а лежит между двумя соседними в Ф„
дробями у и y , то среди несократимых дробей со знамена-
знаменателем п +1 наилучшим приближением к а может быть
только дробь ^Ф^. Эта дробь является наилучшим прибли-
приближением тогда и только тогда, когда b-\-d — n-\-\ и расстоя-
расстояние от этой дроби до а не больше расстояний от ~ и К .
Доказательство. ВФя+1 может быть только одна дробь
со знаменателем п + 1, лежащая в интервале (-г ; -?), а именно
дробь тт^ ПРИ b + d = n + l (теорема 256).
Достаточность условия. При b-\-d = n-\-\, кроме т^
в интервале (у; ^Л нет других дробей со знаменателями
41 I С
1 (теорема 256), и если расстояние до а от ^—^ не больше,
чем от у и -г , то оно тем более не больше, чем расстояние до
а от всех дробей, расположенных вне этого интервала.
Необходимость условия очевидна. Если jprz;
быть не дальше от а, чем дроби у и -г.
b + d = п + 1 — наилучшее приближение к а, то ~^ должно
у и -г
Если исходя из интервала (у; -у) последовательно строить
медианты, отбирая интервалы, заключающие в себе а@<«<;1),
то согласно последней теореме можно найти все наилучшие
приближения. Мы имеем при этом в виду, что при увеличении
номера п новые фареевы дроби появляются (теорема 256) только
в качестве медиант двух соседних дробей. Если а не принадле-
принадлежит интервалу @; 1), то вместо а рассматриваем а' = {«}.
247

Пример. Найти все наилучшие приближения к 1п10=
¦=2,30258... со знаменателями п^ЗО.
Возьмем а' — {In 10} =0,30258..., 0 < а' < -^. Оба конца — ,
у и их медианта у есть наилучшие приближения в Ф3;
0<а'<-д-. Медианта -г- не является наилучшим приближением,
так как она дальше от а', чем -g-; -j-<a' <-.- . Следующая ме-
дианта у ближе к a , чем х и у' т* е# является наилучшим
2 13 2
приближением; у<а'<у. Медианта тд ближе к а', чем у
1 3 1
и -д-, т. е. также наилучшее приближение; ^<а'<;-^. Меди-
4 3 4
анта jg не является наилучшим приближением; То<-а'<"Тз'
Медианта ^ ближе к а', чем т^ и jg , т. е. наилучшее прибли-
приближение. Продолжая процесс, находим еще следующие наилучшие
10 13 23
приближения к а: зз* i«' 76' ln^ = 2 + a', так что наилуч-
наилучшими приближениями к In 10 со знаменателями sg: 100 являются
числа:
9-5.Z1623 53 7699175
' 2 ' 3 ' 7 ' 10' 25' 33' 43' 76 *
ГЛАВА 28
КВАДРАТИЧЕСКИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ
И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
1. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТИЧЕСКИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ
В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Рациональные числа представляют собой корни уравнений
1-й степени вида ах+Ь=*=0 с целыми коэффициентами.
Во множестве иррациональных чисел наиболее простыми
являются те иррациональности, которые являются корнями
квадратных уравнений с целыми коэффициентами; такие числа
мы будем называть квадратическими иррациональностями.
Определение 71. Число а называется квадратической ирра-
иррациональностью, если a—иррациональный корень некоторого
уравнения
* Ь 0 A)
с целыми коэффициентами, не равными одновременно нулю.
При таком а, очевидно, будет. афО, О
248

Коэффициенты а, Ь, с уравнения A), очевидно, можно взять
взаимно простыми; в этом случае дискриминант этого уравнения
D = 6a—4ас будем называть также дискриминантом а.
„ /1Ч —Ь+ }/~Ьг—Аас —b—
Корни уравнения A) равны —^ и ^ •
так что любую квадратическую иррациональность а можно пред-
Р -4- V^D"
ставить в виде а= I— , где Р и Q целые, а ?>(?>> 1)—целое
неквадратное число. Второй корень уравнения A) а = ~~ —
будем называть иррациональностью, сопряженной с а.
В определении квадратической иррациональности особенно
важно обратить внимание на то, что речь идет о квадратных
уравнениях с целыми коэффициентами. Любое а является кор-
корнем квадратного уравнения и даже уравнения 1-й степени,
например уравнений хг —а2 = 0, х —а = 0.
Примеры, а) У~1 — квадратическая иррациональность, так
как У" 7 является иррациональным корнем уравнения х2—7=0.
1 — VT
б) а = —^ квадратическая иррациональность, так как а
о
представляет собой иррациональный корень уравнения 9*2 —
— 6х — 4 = 0. Здесь Р=—\, Q = —3, D = 5.
в) j/ 2 не является квадратической иррациональностью.
Действительно, корень любого квадратного уравнения с це-
целыми коэффициентами имеет вид ^—, где Р, Q, D — целые
числа, причем D>1. Если бы мы имели ^/2= -¦¦- J—, то,
возводя это равенство в куб, мы получили бы, чтоУ^ — рацио-
рациональное число, а следовательно, рациональным являлось бы и
|/ 2, что противоречит результату, полученному в примере на
странице 68.
В этой главе мы будем рассматривать квадратические ирра~
циональности в связи с изучением так называемых периодиче-
периодических цепных дробей.
Определение 72. Цепная дробь до + -^а1 + 1'а2+... назы-
называется периодической, если периодической является последова-
последовательность элементов а0, ах, а2, ....
В частности, если последовательность элементов чисто перио-
периодическая, то и соответствующая цепная дробь называется чисто
периодической.
Длину периода последовательности а0, alt a%, ... будем
называть также длиной периода цепной дроби ao+^at+^a%-}-
249

Если в разложении а после элементов а0, ..., а^^ наступает
периодическое повторение элементов as, .... as+tt_lt т. е. длина
периода равна k(k^sl), то будем записывать а в виде:
-1
в частности, в случае чисто периодического разложения, т. е.
при s = 0, в виде
а = ао + Чц+ ... +¦%_,+ ...
1 1
Теорема 260. Цепная дробь
Aja1 + lJa2+... B)
является периодической с длиной периода k тогда и только
тогда, когда при некотором s имеет место равенство непол-
неполных частных aJ+ft—о^.
Доказательство.
«,=«,+ \+1+.- C)
«t+*=««+*+^+*+1 + • • • D)
1) Если правая часть в B) представляет собой периодическую
цепную дробь с длиной периода k, то существует такое s, что
при всех n^ss оя+А==а„ и, следовательно, разложения C) as
и D) as+k одинаковы, т. е. а,+Л = а,.
2) Если as+k = а„ где k ^ 1, то согласно теореме един-
единственности цепных дробей (теорема 238), разложения C) и D)
одинаковы, т. е. при всех n^s an+k = an и, следовательно,
дробь B) периодическая с длиной периода k.
В частности, цепная дробь B) будет чисто периодической
тогда и только тогда, когда при некотором k(k^l) имеем:
а» = «0 = а.
Рассматривая величины периодических цепных дробей, мы
получаем некоторую часть действительных чисел. Оказывается,
и это на первый взгляд кажется неожиданным, что множество
таких чисел совпадает с множеством квадратических иррацио-
нальностей.
Этот замечательный результат был получен впервые в 1770 г.
Лагранжем.
Тот факт, что величина любой периодической цепной дроби
является квадратической иррациональностью, доказывается сов-
совсем просто, и мы начнем именно с этого. Более сложно дока-
доказывается то, что любая квадратическая иррациональность разла-
разлагается в периодическую цепную дробь; этот факт и называют
обычно теоремой Лагранжа.
Теорема 261. Величина любой периодической цепной дроби
представляет собой квадратинескую иррациональность.
250

Доказательство. Пусть а = а„ = ао + ^ах + ^а2+ ...
представляет собой периодическую цепную дробь, т. е. суще-
существуют s n k(k^l) такие, что a,+ft = tt4. Согласно теореме 235
и замечанию к ней
следовательно,
_
E)
Равенство E) после приведения к общему знаменателю дает
квадратное уравнение с целыми коэффициентами:
где 4 = Q,_1Q,+ft_2 — Qs-2Qs+k-v В частности, при s = 0
/4 = Q_1Qft_2 — Q_2Q*-i= ~Qa-it^0- Доказательство того, что
/4^=0 при s^l проводим от противного.
Прежде всего отметим: из соотношения F) главы 24 следует,
что в последовательности
Q_i = 0, Qo=l <QX<Q2<... G)
любые два соседних знаменателя взаимно просты. Если пред-
предположить, что Л=0 при некотором s>l, то jf=I= ^+й~".
Из равенства этих двух несократимых дробей следует
Qj+a-2 = Qs-2> Qs+k-i= Qj-i>
а это противоречит тому, что при s^=l, fts^l в последователь-
последовательности G) имеются самое большее два равных знаменателя.
Иррациональность а следует из того, что разложение а в
цепную дробь бесконечно.
Пример. a.= l+-1/2 + i/l+-1/l+i/3+... (т. е. дальше
периодически повторяются элементы 1, 1, 3). Составить квад-
квадратное уравнение, корнем которого является а, и найти вели-
величину а,
В данном случае s = 2, k — Ъ; находим подходящие дроби
до тг включительно:
р«
1
1
1
2
3
2
1
4
3
1
7
5
3
25
18
...
...
...
251

При s = 2, & = 3 равенство E) принимает вид:
1-а 7-5а
2а-3~18а—25'
Корень берется с положительным знаком, так как а>1.
При нахождении величины а чисто периодической цепной
дроби
L-
удобней всего пользоваться соотношением (8) 24-й главы, при
s — k—1, ak = a, т. е. формулой
„-
или
При вычислении величины а смешанной периодической цеп-
цепной дроби вида
удобней всего найти сначала величину о^ чисто периодической
цепной дроби
а потом из соотношения а= г,^~1 , „д~" найти а.
Пример. Найти величину цепной дроби:
Находим сначала р = а5 = 4 + ..., где 4 + ... обозначает
цепную дробь 4+" 4+ -'4+ ... Здесь сразу видно, что р = 4 + у ,
откуда Р2 —4р —1=0, аб = Р = 2 + |/г5. Пользуясь таблицей
значений Рп и Qn, вычисляем:
9П
1
1
1
1
2
1
2
5
3
1
7
4
1
12
7
...
...
¦ • •
252

По формуле (8) 24-й главы находим:
.QA + Q. 7B+УТ) + 4 79 *
Прежде чем перейти к теореме Лагранжа, докажем следую-
следующую вспомогательную теорему.
Теорема 262. Если квадратическая иррациональность а пред-
представлена в виде а = а0 + 1Уа1+...+i/an_1+iyan( где все а,
целые, то ап также квадратическая иррациональность с тем же
дискриминантом, как у а.
Доказательство. Пусть a — корень квадратного урав-
уравнения Ла2 + Ба + С = 0, где Л, В, С —целые числа. Подставляя
a = a0H—, получаем:
или
т. е. а! представляет собой корень уравнения Лха^ + Вхах + Сх — О
с целыми коэффициентами, дискриминант которого равен
причем СХ =
Заменяя в квадратном уравнении Аха\ + В^ + С = 0 ах через
at -\—-, аналогично получаем, что а2 — корень квадратного урав-
уравнения с целыми коэффициентами А%а\ + В^а%-\-С^ = 0 с таким
же дискриминантом, как у аг и а.
Продолжая таким же образом дальше, получим, что ап —
корень квадратного уравнения с целыми коэффициентами с таким
же дискриминантом, как у an_t, ап_2, ... , alt a.
Теорема 263 (Лагранж). Любая квадратическая иррацио-
иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь.
Доказательство. Пусть а—квадратическая иррациональ-
иррациональность, т. е. a — иррациональное число, представляющее собой
корень многочлена f (х) = Ах3 + Вх -f С с целыми коэффициен-
коэффициентами. Подставляя в Лаа+Ва + С = 0 а^^"-1"""^"-8 (тео-
рема 235) и приводя к общему знаменателю, получаем:
т. е. выражение вида
= 0, (8)
253

где
— целые числа.
Согласно предыдущей теореме дискриминант уравнения (8)
В?-4ЛПСП = В2-4ЛС (9)
и, таким образом, не меняется при увеличении п.
Докажем сначала, что А„ и С„ при достаточно большом п
имеют противоположные знаки, а затем, пользуясь тождеством (9),
докажем, что величины А„, Вп и С„ — ограничены.
Р Р
~=i и j~^, как известно (замечание к теореме 234), на-
Vn_l Vn-a
ходятся по разные стороны от а, причем при достаточно боль-
большом п сколь угодно мало отличаются от а.
/(а) = 0, но поскольку а —иррациональное число, то
Таким образом, а—простой корень уравнения f(x) = Q.
Известно, что в достаточно малой окрестности слева и справа
от простого корня значения непрерывной функции, в данном
случае многочлена /(х) = Ах* + Вх + С, имеют разные знаки,
т. е. A» = Q*n-if(^) и Cn = Q»-j(fe) "Ри Достаточно
большом п противоположны по знаку, причем / [тг^ ) и / [¦^~1)
и, следовательно-, Ап и С„ не равны нулю.
Таким образом, при достаточно большом п произведение
АпС„ < 0 и дискриминант уравнения (8) можно представить
в виде суммы двух неотрицательных чисел: В* и (—4АпС„).
Поскольку —ААпСп>0, #*>0, имеем:
О < В\ < В*п -4АпС„ = В*-4АС,
т. е. величины В* и — 4АпСп ограничены. Из ограниченности В*
следует ограниченность \Вп\, а из ограниченности —4А„С„,
поскольку Ап и С„ не равны нулю, следует ограниченность \А„\
и \Сп\.
Таким образом, существуют две постоянные L и М, такие,
что при всех п выполняются неравенства':
L<An<M, L<Bn<M, L<Ca<M,
254

а отсюда, поскольку Ап, Вп, Сп целые, следует, что среди урав-
уравнений (8) при безграничном увеличении п существует только
конечное число различных уравнений. Каждое квадратное урав-
уравнение имеет только два корня, поэтому и среди корней уравне-
уравнений (8) существует только конечное число различных, а значит,
и среди величин:
а = а0, аи аг, ... A0)
имеется только конечное число различных.
Отсюда, во всяком случае, следует, что среди чисел A0) най-
найдутся хотя бы два одинаковых, т. е. найдется ak, равное неко-
некоторому последующему aft+n. Равенство ай+п = аА (теорема 260)
означает, что разложение а в цепную дробь периодическое, и,
таким образом, теорема доказана.
Мы уже раньше имели примеры периодических разложений
квадратических иррациональностей (см. стр. 215—217). Теорема
Лагранжа дает нам теперь уверенность в том, что для любой
квадратической иррациональности мы после некоторого числа
шагов получим совпадение двух неполных частных и, таким
образом, найдем периодическую последовательность элементов.
Пример. Разложить в цепную дробь а= "*"*—.
Находим последовательно: а = 1 Н—, «1 = т^ (\П& + 2) =
1+
_
. «з
[9
Получаем:
3+,
1(К23 + 3) = 3+1.
), т. е. а,
2. ЧИСТО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Поскольку мы теперь знаем, что любая квадратическая ирра-
иррациональность разлагается в периодическую цепную дробь, есте-
естественно выяснить, для каких квадратических иррациональностей
такое разложение будет чисто периодическим. Следующая теорема
дает исчерпывающий ответ на этот вопрос.
255

Теорема 264. Квадратическая иррациональность а —
где Р, Q и D (D>1) целые, разлагается в чисто периодиче-
периодическую цепную дробь тогда и только тогда, когда а>1 и сопря-
женная иррациональность а' =—^— лежит в интервале
(-1:0).
Доказательство. 1) (Необходимость условия.) Пусть а —
величина чисто периодической цепной дроби, т. е. при некото-
некотором k Ss 1 aft = а. Для таких а имеем а0 = ak 5* 1, так что
a = ao + lJa1+...>l.
Из соотношения
(где, в частности, при 6=1 Р_2 = 1, Q_1==0) получаем:
Qfc_1a
Для многочлена
имеем (при ?>1 теоремы 63' и 63" (страница 212), а при
непосредственное вычисление):
и /(-l) =
так что в интервале (— 1; 0) должен лежать один из корней
этого многочлена. Поскольку а>1, то в этом интервале лежит
не а, а другой корень, равный а', т. е. —1 <а'<0.
2) (Достаточность условия.) Пусть а= "*"_—> 1 и —1<а' =
Все полные частные ап к а (согласно теореме 262) —квадра-
—квадратичные иррациональности с тем же дискриминантом D, так что
Р + VT5
при любом п имеем сс„= " Q , где Р„ и Qn —целые. Сопря-
"СП
женная к а„ иррациональность ап, т. е. 2-й корень уравнения (8),
будет" иметь вид а'п =Р"~У D .
Докажем, что при всех иЭ*0 выполняются неравенства
Предположим, что неравенства A1) верны при некотором
0). Для сопряженных величин а'п и а'п+1 из соотношения
— получаем: а'п =ап-\-——, a^+i — — ; посколь-
an+1
256

ку а„з* 1 и согласно предположению —1<а'п<.0, то из по-
последнего равенства находим, что —1<с^,+1<0.
а'0 = а', так что неравенства A1) при п = 0 верны по условию,
а тогда, как мы только что доказали, они верны и при л=1.
Таким образом, неравенства A1) верны при п — 0 и п=1, а из
справедливости их для п следует справедливость и для п +1.
Согласно принципу индукции (теорема III) неравенства верны
при всех п(п^О).
Согласно теореме Лагранжа существуют s и к, такие, что
as+k~as и> следовательно, для сопряженных иррациональностеи
о^+А =о^. Переходя к сопряженным иррациональностям, из соот-
соотношения а,_1 = as_x -\— получим:
и поскольку 0< — a^,_1<l, тоа^_1=Г ,1 .
огично из соотношения ot,'s+k_1 =as+k^i
\ '— . и поскольку, как было отмечено выше,
Аналогично из соотношения ot,'s+k_1 =as+k^i~\—;— получим
a
as+k-L
а'в+к = а1> то a#+*-i = fl5-i-
Из равенства правых частей в a's_1 — as.1 + — и a's+k_1 —
= as+k-i+-^— получаем «;+ft_1 = a;_1> а тогда и a,+ft_! =
= aJ_1. Мы доказали, что в условиях теоремы из равенства
as+k = as следует равенство as+k-i — as-i> но тогда из последнего
равенства получаем ai+A,_2 = a;t_2 и т. д., пока не дойдем до
aft = a0 = a, так что разложение а в цепную дробь чисто перио-
периодическое.
1 4- 1/ТЧ
Примеры. 1) а = -^у^— разлагается в чисто периодиче-
j т/Тз
скую цепную дробь, так как а>1, а a' = —g лежит между
— 1 и 0. Действительно, в разложении а с самого начала по-
повторяются элементы 1, 1, 1, 6, 1, так что
24- 1^Т
2) '— разлагается в смешанную периодическую цепную
2— VT
дробь, так как сопряженное число —^— больше нуля.
9 А. А. Бухштаб 257

Теорема 265. Пусть D—неквадратное число, Q—целое,
D > Qa>0; тогда разложение ^~ в цепную дробь имеет вид:
Доказательство. Если ?>>Q2, то число а = ао
где ао=р7)~ > будет иметь чисто периодическое разложение
в цепную дробь. Действительно, а>1 иа' = а0—-q- заключено
в интервале (—1; 0); ао + -^- =2а0, так что (теорема 264)
где последовательно повторяются элементы 2а0, alf ... , ak_x,
и тогда
Примеры.
1) }/'7-2+1/1+-1/1+-1/1+1/4+... (Здесь ао = 2.)
2) }/53-7+i/3 + -1/l+i/l+i/3 + i/14+... (Здесьа
3) Х^-1+^9 + ^2 + ... (Здесь ао = 1.)
Исторические комментарии к 28-й главе
1. Великий французский математик Жозе Луи Лагранж ро-
родился в 1736 г. в Турине. Некоторое время он работал в Бер-
Берлинской Академии наук. С 1772 г.— член Парижской Академии
наук. Последние годы своей жизни — профессор Политехнической
школы в Париже.
Труды Лагранжа по математическому анализу, механике и
теории чисел имеют фундаментальное значение для развития
этих дисциплин. Лагранж—один из создателей дифференциаль-
дифференциального исчисления, классической теории дифференциальных урав-
уравнений и вариационного исчисления. В своей „Аналитической
механике" он показал возможность построения механики на базе
математического анализа.
258

В теории чисел Лагранж дал основные результаты в теории
бесконечных цепных дробей и показал их приложения к решению
неопределенных уравнений. Лагранж доказал теорему о пред-
представлении чисел в виде суммы четырех квадратов и положил
начало изучению бинарных квадратичных форм общего вида
(см. 31-ю и 32-ю главы).
2. Доказательство теоремы 264 было опубликовано Э. Галуа
в 1828 г. Галуа доказал также, что в случае чисто периодиче-
периодического разложения сопряженная квадратическая иррациональность
имеет те же элементы, но расположенные в обратном порядке.
ГЛАВА 29
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1. ПОЛЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Рациональные числа и квадратические иррациональности
представляют собой корни многочленов 1-й и 2-й степени с це-
целыми коэффициентами. В этой главе мы будем рассматривать
корни многочленов с целыми коэффициентами любой степени.
Определение 73. Комплексное или действительное число а
называется алгебраическим числом, если оно является корнем
некоторого многочлена с целыми коэффициентами, неравными
одновременно нулю.
Если а—корень многочлена f (x) = aoxn + a1xfl~1+ ... +ап
степени п с целыми коэффициентами, т. е. если /(а) = 0, то а
является корнем многочлена
г а0 а0
с рациональными коэффициентами. Очевидно, что корень любого
многочлена с рациональными коэффициентами, неравными одно-
одновременно нулю, является корнем некоторого уравнения с целыми
коэффициентами. Поэтому вместо определения 73 можно дать
другое, эквивалентное.
Определение 73'. Комплексное или действительное число а
называется алгебраическим числом, если оно является корнем
некоторого многочлена
с рациональными коэффициентами.
В этой главе мы будем рассматривать только действительные
алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из
/(а) = 0 следует /(a)i|;(a) = 0, где в качестве ty(x) можно взять
произвольный многочлен с целыми коэффициентами. Таким обра-
образом, для любого алгебраического числа а существует бесконечное
множество многочленов с рациональными коэффициентами, корнями
9* 259

которых является а; из всех этих многочленов обычно рас-
рассматривают многочлен наименьшей степени.
Определение 74. Число п называется степенью алгебраичес-
алгебраического числа а, если а есть корень некоторого многочлена п-й сте-
степени с рациональными коэффициентами и не существует тож-
тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффи-
коэффициентами степени, меньшей чем п, корнем которого являлось
бы число а.
Если корень многочлена п-й степени с целыми рациональ-
рациональными коэффициентами а не является корнем ни одного тожде-
тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами
степени, меньшей чем п, то а не может быть корнем и тожде-
тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффи-
коэффициентами степени, меньшей чем га, т. е. а—алгебраическое число
степени п.
Рациональные числа являются алгебраическими числами 1-й
степени. Любая квадратическая иррациональность представляет
собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем
квадратного уравнения с целыми коэффициентами, она не яв-
является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми
коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто назы-
называют кубическими иррациональностями, а алгебраические числа
4-й степени — биквадратическими иррациональностями.
Пример. ]/2 — алгебраическое число 3-й степени, т. е. ку-
кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень
многочлена 3-й степени х3 — 2 с целыми коэффициентами и,
как было отмечено в примере на странице 249, |/2 не является
корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми
коэффициентами.
Определение 75. Если алгебраическое число п-й степени а
является корнем многочлена
f(x)^xn + blx"-l+...+bn (я>1) A)
с рациональными коэффициентами, то f (х) называется мини-
минимальным многочленом для а.
Таким образом, минимальным многочленом для а называется
многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициен-
коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, корнем кото-
которого является а.
Если вместо многочлена A) взять какой-либо другой много-
многочлен с рациональными коэффициентами степени п, корнем ко-
которого является а, то многочлен A) может быть получен из него
делением всех коэффициентов на коэффициент старшего члена.
Пример. Минимальным многочленом для \/2 является
х3 — 2, так как корень этого многочлена f/2 не является корнем
260

какого-либо многочлена меньшей степени с рациональными коэф-
коэффициентами.
Теорема 266. Если f (x)—минимальный многочлен для алгебраи-
алгебраического числа а и F(х)—многочлен с рациональными коэффи-
коэффициентами, такой, что F(a) = 0, то f (х) — делитель F(x),
т. е. F(x) — f(x)g(x), где g(x) такоюе многочлен с рациональ-
рациональными коэффициентами.
Доказательство. Согласно известной теореме алгебры
F (х) можно представить в виде
где g(x) и г (х) — многочлены с рациональными коэффициентами,
причем степень г(х) меньше степени f(x).
Поскольку F(a) = 0 и /(a) = 0, то, придавая х значение а,
получаем r(a) = 0; a —корень многочлена г{х) с рациональными
коэффициентами степени, меньшей, чем у минимального для a
многочлена, т. е. меньшей, чем степень а. Это может быть только,
если г (х) тождественно равно нулю, а, значит, F (x) = f (x)g(x).
Для данного а существует единственный минимальный мно-
многочлен. Действительно, частное от деления друг на друга двух
минимальных многочленов для а должно быть рациональным
числом, равным единице, что означает тождественное их равенство.
Теорема 267. Для любого алгебраического числа а минималь-
минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел.
Доказательство. Пусть f(х) — минимальный многочлен
для а. Предположим, что / (х) приводим над полем рациональных
чисел, т. е. что f(x) = (a(x) ty(x), где ш (х) и i|)(x) — многочлены
с рациональными коэффициентами степени, меньшей, чем п.
Из равенства ш (a) \J) (a) = / (а) = 0 следует, что из двух чисел:
ш (а) и i|)(a), по крайней мере одно равно нулю. Пусть, напри-
например, (о(а) = О, тогда a — корень тождественно неравного нулю
многочлена ш (х) с рациональными коэффициентами степени,
меньшей, чем у f(x), а это противоречит тому, что / (х) — ми-
минимальный многочлен для а. Предположение, что многочлен f (х)
приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным,
т. е. f{x) неприводим над этим полем.
Теорема 268. Если a—корень неприводимого над полем ра-
рациональных чисел многочлена F (х) с рациональными коэффици-
коэффициентами степени п, то а —алгебраическое число степени п.
Доказательство. Обозначим минимальный многочлен
для а через f(x). Согласно теореме 266 F (х) = f (x) g {x); где
g(x) — многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку
F (х) неприводим над полем рациональных чисел и / (х) отлично
от постоянного, то g(x) — c, где с рационально, F(x) — cf(x),
т. е. степень/(jc) равна пи, следовательно, а —алгебраическое
число п-й степени.
261

Пример. Пусть р —простое число, у/а при любом целом а
(а>1), не равном р-й степени другого целого, представляет
собой алгебраическое число степени р. Действительно, это число
есть корень неприводимого над полем рациональных чисел дву-
двучленного уравнения хр— а = 0.
Если а — алгебраическое число степени п и f(x)— минималь-
минимальный многочлен для а, то все корни аи а2, . .., а„ уравнения
f(x) — O, отличные от а, называются сопряженными с а.
Один из корней аъ а2, . .. , ап, мы будем ставить его на
первое место, совпадает с а, так что а^^.
Теорема 269. Сумма, разность, произведение и частное двух
алгебраических чисел а и р (для частного при $фО) являются
алгебраическими числами.
Доказательство. 1) Пусть а —корень многочлена f(x)
степени п с целыми коэффициентами, корни которого: o.ltat, ...,а„,
а р — корень многочлена ty (х) степени т с целыми коэффици-
коэффициентами, корни которого: р\, Р2. • • •> PmCP^Pi)- Рассмотрим
многочлен:
п т
^(х)=П П (х-(аг
^(x-ak — Pl)(x-a1-pa).
(х—аг — $1)(x-az-p2).
(^-an-p1)(x-an-pa)...(x-an-pj. B)
Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку
величин alt ag, ,,., а„, то некоторые строки переставятся местами,
но произведение в целом останется неизменным. Это значит, что
F(х) — симметрический многочлен по отношению к at, a2, ..., an.
Точно так же подстановка величин pit рг ..., Рт будет менять
только порядок столбцов в правой части выражения B), так
что F(x) — симметрический многочлен по отношению к plf р2, ...
...,РЮ. В целом F(х) — симметрический многочлен от двух
систем аргументов: ах, а2, ..., а„ и рх, р2 рт.
Согласно известным теоремам о симметрических многочленах
(теоремы XV и XVI) коэффициенты многочлена F (х) могут быть
выражены рационально через элементарные симметрические
функции от ах, а2, .. ., а„ и Рх, Р2, ..., Рю, т. е. через целые
коэффициенты f (х) и г|з(х). Это значит, что коэффициенты F (х)
рациональны, и, следовательно, числоа+р=а1+Р1, являющееся,
как это непосредственно видно из формулы B), корнем F(x),
есть алгебраическое число.
2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраи-
алгебраических чисел а и Р есть алгебраическое число, достаточно, ана-
262

логично тому, как это было только что сделано для многочлен B),
рассмотреть многочлен
п т
F{x)=* П П (*-а,ру). C)
Этот многочлен с целыми коэффициентами имеет в качестве
одного из своих корней а1р1 = ар.
3) Пусть р — корень многочлена ty (х) = Ьох" + Ъх>?~х + .. .+Ьп,
(bt—целые числа), тогда—{3 является корнем многочлена с це-
целыми коэффициентами г|з(—х) = ( — 1)" Ьох" + ( — 1)"~1Ь1хп~1+ ...
...+Ьп, а при р^О -g- — корень многочлена xnty (—) = b0 -\-
+ bxx-\- ... +Ь„хп. Таким образом, вместе с Р алгебраическими
числами являются — р и -g-.
Разность a — р может быть представлена в виде а + ( — Р).
т. е. в виде суммы двух алгебраических чисел, а потому также
представляет собой алгебраическое число. При Р=^0 частное
"«" = а"в"» являясь произведением двух алгебраических чисел,
представляет собой также алгебраическое число.
Если степени алгебраических чисел аир равны т и п, то,
взяв в качестве / (х) и г|> (х) соответствующие минимальные мно-
многочлены, будем в B) и C) иметь многочлены степени тп, и,
таким образом, непосредственно видно, что а+ р и ар —алгебраи-
—алгебраические числа степени, не большей чем т.п. Многочлены i|)(x),
1|>( — х) и л;"г|) {— J одинаковой степени, а следовательно, р, —Р
и -д—алгебраические числа одной и той же степени, откуда
следует, что и а~р и j имеют степени, не больше чем тп.
Примеры. I) У^2 и У^З — алгебраические числа 2-й степени,
а У~2-\-У~3 — алгебраическое число 4-й степени.
Действительно, если а = ]/2~+"|/3, то а2 = 5 + 2|/г6^ а* —
— 10а2+1=0, т. е. а —корень многочлена /(д;) = л;4 — 1 Од;2-Ь 1
с целыми коэффициентами, и
И*)-U-/2-/3) (x-V2+ /3) (х+УЪ-}Гз) (х+ 1^2+ /3). D)
Из теоремы единственности разложения многочлена на не-
неприводимые множители следует, что любые неприводимые над
полем рациональных чисел множители f(x) должны являться
произведением каких-то множителей правой части равенства D).
Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить много-
многочлен с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем 4,
т. е. f (х) — неприводимый над полем рациональных чисел много-
многочлен, а, следовательно, согласно теореме 268, }^2-t-}^3 — алгебра-
алгебраическое число 4-й степени.
263

2) агт J/аГ и Р= 1/Т2, как легко видеть, —алгебраические
числа 6-й степени, а произведение ар = f/б — алгебраическое
число 3-й степени.
Теорему 269 можно дать также в другой форме.
Теорема 269'. Множество всех действительных алгебраи-
алгебраических чисел представляет собой поле.
2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших
рациональных приближений: погрешность при замене алгебраи-
алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно
мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю
рациональной дроби. С отдельными частными случаями, натал-
наталкивающими нас на мысль об этом, мы уже встречались раньше.
Действительно, в 6-й главе (теорема 70) было показано, что
для рационального а, т. е. алгебраического числа 1-й степени,
существует постоянная с >0, такая, что для любой рациональной
дроби ~, отличной от а, будет выполняться неравенство
а
В 25-й главе (стр. 235) было показано, что для
представляющего собой алгебраическое число 2-й степени, можно
подобрать с > 0, такое, что для любой рациональной дроби будет
иметь место неравенство
с
'¦?
E)
Можно доказать, что неравенство E) при соответствующем
с — с(а) имеет место для всех квадратичных иррациональностей.
Оказывается, что имеет место общая теорема, доказанная впервые
в 1844 г. французским математиком Л иу вилл ем.
Теорема 270 (Лиувилль). Для любого действительного ал-
алгебраического числа а степени п можно подобрать положитель-
положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных
чисел у (у фа) будет иметь место неравенство
*?• F)
При п = 1 теорема была доказана в 6-й главе. Здесь мы рас-
рассмотрим сразу общий случай, включающий и случай рациональ-
рационального а.
264

Доказательство.Пустьf (x) = Aoxn + A^"'1 +... +An—
неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем
которого является а. В качестве / (х) можно, например, взять
многочлен, получающийся из минимального для а многочлена
после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное
их знаменателей.
Согласно теореме Безу имеем:
f(x) = (x-o)g(x), G)
где g(x) — многочлен с действительными коэффициентами.
Возьмем произвольное б>0; \g(x) | —непрерывная, а следо-
следовательно, ограниченная функция от х в сегменте [а —б; а+ 6],
т. е. существует положительное число М, такое, что \g(x)\^M,
для всех х из этого сегмента. Обозначим через c = min (тг . 6] ,
так что с ^ -tj и с ^ б. Для произвольного рационального числа
—• могут представиться две возможности:
l)v- лежат вне сегмента [а — б; а + б]. Тогда
а-"т
2) y удовлетворяет неравенствам a — б^-^-
тогда
yj
и, подставляя в G) вместо х значение у, полу-
получаем:
(т)|<*|-т|«т|«-т|- <8>
Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен / (х)
степени пэ=2 не имеет рациональных корней, а при п = 1 не
имеет корней, отличных от а, так что
Поскольку числитель \Aoa" +A1an~1b+...+А„Ьп\ —целое
неотрицательное, отличное от нуля число, т. е. число, большее
или равное 1, то:
Сравнивая неравенства (8) и (9), получаем:
так что и в этом случае имеем:
о L с
265

Конечно, заменив с немного меньшей величиной, можно в вы-
выражении F) вместо знака 5з= написать знак >.
Пример. Пусть D — неквадратное целое число. Найти О-О,
такое, что для всех рациональных чисел ¦? имело бы место не-
неравенство
VD-1
Ь
V D — корень многочлена х2 — D. Деля х2 — D на х — VD, на-
находим: g(x) = x + VD. При Vp—8<x<V~D + 8 имеем
|g(.x)|<2l/Z> + 8, т. е. Af = 2]/"D + 6. В качестве с берем
min (—j=— , 6), при этом выгодней всего взять б так, что
4/
-l=0, т. е.
6=^—4—,
При таком б получаем c = VD + 1 — VD, так что при любых
целых а и Ъ имеем:
Теорема Лиувилля показывает, что приближение любого
алгебраического числа степени п рациональными дробями у огра-
ограничено снизу величиной порядка ^. В частности, для квадрати-
ческих иррациональностей имеем здесь величину порядка -^ .
Можно показать, что, кроме квадратических иррациональ-
иррациональностей, имеются и другие иррациональности, для которых порядок
приближения рациональными дробями ограничен снизу величиной
порядка р.
Теорема 271. Если все элементы разложения а в цепную дробь
ограничены, то для а можно подобрать с>0 так, что для
любой рациональной дроби ¦?- будет иметь место неравенство
Доказательство. Пусть а = а0 + ^аг + -^а2 + ... и суще-
существует М, такое, что а„^М при всех п = 0, 1, 2, ...
Возьмем произвольную дробь -^ и пусть Ь заключено между
двумя знаменателями соседних подходящих дробей, так что
Qs-i^b<.Qs(s^l), тогда, поскольку подходящие дроби явля-
являются наилучшими приближениями (теорема 251), имеем:
?06

Пользуясь теоремами 59', 63' и 243, находим:
так что
т. е. неравенство A0) справедливо при с = ,-
Теорема 272. Если элементы разложения а в цепную дробь
неограниченны, то для любого с>0 существует бесконечное
множество рациональных дробей у , таких, что
с?. (П)
Доказательство. Пусть а = а04-^ах + ^а% + ... Возьмем
произвольное с>0. По условию существует бесконечное мно-
множество s, таких, 4Toas+1>—. Для каждой подходящей дроби
Ф* с номером s, таким, что
будем иметь:
—, согласно теореме 241
что доказывает существование бесконечного множества дробей
у, удовлетворяющих неравенству A1).
Теоремы 271 и 272 показывают, что существование положи-
положительного с, такого, что для любой дроби выполняется неравен-
неравенство A0), есть необходимое и достаточное условие ограниченности
элементов разложения а в цепную дробь. В теореме 271 доказана
необходимость этого условия. Из теоремы 272 следует, что это
условие достаточно. Действительно, если существует с>0, такое,
что для любой дроби у выполняется неравенство A0), то по
теореме 272 элементы разложения а в цепную дробь не могут
быть неограниченными.
В 1908 г. норвежский математик Аксель Туэ доказал теорему,
дающую гораздо более точную, чем в теореме Лиувилля, оценку
снизу разности
. Дальнейшие результаты в этом направ-
направлении были получены Зигелем, Дисоном, Гельфондом, Шней-
дером. Наиболее точная оценка была получена в 1955 г. англий-
английским математиком Ротом. Мы приводим без доказательства
267

полученную им теорему. Эту теорему, имеющую очень большое
значение в теории чисел, принято называть теоремой Туэ—Зи-
геля —Рота.
Теорема 273 (Туэ —Зигель —Рот). Пусть а—алгебраическое
число степени п^г2; тогда при любом е>0 существует только
конечное число рациональных дробей ¦?-, таких, что
а-± <_L
b ^62+s>
Из этой теоремы вытекает, что для любого алгебраического
числа а степени я>2 и произвольного положительного е можно
подобрать с>0 так, что для любой рациональной дроби -г- будет
иметь место неравенство
2+''
Для алгебраических чисел степени, большей чем 2, этот ре-
результат значительно улучшает теорему Лиувилля. При п = 2
теорема Лиувилля, однако, дает более точный результат. Поль-
Пользуясь теоремой Туэ — Зигеля —Рота, можно доказать следующую
интересную теорему теории неопределенных уравнений.
Теорема 274. Если f (z) = А^ + А^"'1^-... +Ап — непри-
неприводимый над полем рациональных чисел многочлен с целыми
коэффициентами степени п^гЗ, то при любом целом ВфО
уравнение
не может иметь бесконечного множества решений в целых числах.
Доказательство. Пусть ах, а2, ..., а„ — корни много-
многочлена f(z), т. е. f(z) = A0(z — a1)...(z — an). Поскольку /(г)
неприводим, все его корни различны, т. е. существует 6>0,
такое, что |а,- — ау|>6 при всех 1ф\. Представим многочлен,
стоящий в левой части уравнения A2), в виде
A3)
Предположим, что уравнение A2) имеет место при некоторых
целых х и #>0, таких, что «/>у у tj-j-; тогДа из Уравне-
Уравнений A2) и A3) получаем:
1 \В\
а, —-
V"
A4)
Среди множителей левой части A4) по крайней мере один
1 " / | В I
не превосходит — у у^4-, иначе левая часть была бы больше
268

правой. Изменив нумерацию* мы можем считать, что таким мно-
множителем будет
а,— — , т. е. что
Тогда при 1 = 2 п имеем:
х
а,-
' У
У
— и, пользуясь равенством A4), получаем:
У" Ио1 ' \&) '
У" \Л0
т. е.
где
а2—
а1
X
~У
*..
X
~У
с
X
У
A5)
С= -Г
\А0
Поскольку многочлен A2) неприводим над полем рациональ-
рациональных чисел, степень аг не меньше 2. Существование сколь угодно
больших целых чисел у, таких, что несократимая дробь — удовлет-
удовлетворяет неравенству A5), противоречит теореме Туэ —Зигеля —
Рота, так как при y~Szy0, п^З, 0<е<1 имеем -^<-гр.
Таким образом, в парах целых чисел х, у, гдеу>0, удовлет-
удовлетворяющих уравнению A2), значения у ограничены, т. е. число
таких у конечно.
Для каждого у число возможных значений х не превосхо-
превосходит п, т. е. число таких пар конечно.
Каждой паре целых чисел х и у, где 1/<0, удовлетворяющих
уравнению A0), соответствует пара х, —у (где — г/>0), являю-
являющаяся решением уравнения
Аохп-А1х"-1у+ ... +(-1)пАпу" = В.
Таких пар также может быть только конечное число. Мы
доказали, таким образом, что теорему 274 можно рассматривать
как следствие теоремы Туэ —Зигеля —Рота.
Теорема Туэ—Зигеля —Рота является одним из наиболее
глубоких результатов теории алгебраических чисел.
Поскольку (теорема 242) для любой иррациональности а
существует бесконечное множество рациональных чисел-|-,таких,
269

что а—-г- < тг» то результат теоремы Туэ —Зигеля —Рота
нельзя улучшить, заменив в правой части т^ через -р \ однако
не исключена возможность того, что для любого алгебраического а
при достаточно малом О0 и -г-^а всегда выполняется нера-
неравенство
¦»-т
Согласно теореме 272 отсюда следовала бы ограниченность
элементов разложения в цепную дробь любого алгебраического
иррационального числа.
Вместе с тем некоторые математики считают более вероятным,
что это неверно, т. е. предполагают существование алгебраи-
алгебраических чисел, у которых элементы разложения в цепную дробь
неограниченны. Не исключена возможность того, что, кроме
квадратических иррациональностей, не существует алгебраиче-
алгебраических иррациональных чисел с ограниченными элементами.
Характер разложений алгебраических чисел степени, большей
чем 2, таким образом, совершенно неизвестен. До сих пор не-
неизвестно разложение хотя бы одного алгебраического числа сте-
степени п>2 в цепную дробь. Было бы очень интересно, если бы
удалось получить разложение в цепную дробь хотя бы одной из
простейших иррациональностей 3-й степени, например \/2, или
по крайней мере выяснить, ограничены ли элементы этого раз-
разложения.
ГЛАВА 30
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
1. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА ЛИУВИЛЛЯ
В предыдущей главе мы рассматривали числа, являющиеся
корнями уравнений с целыми коэффициентами. Исчерпывают ли
такие числа все множество действительных чисел или же сущест-
существуют действительные числа, отличные от алгебраических? Основ-
Основные теоремы теории множеств приводят нас к выводу, что мно-
множество алгебраических чисел счетно, а отсюда уже непосредст-
непосредственно следует существование действительных неалгебраических
чисел.
Теорема 275. Множество всех алгебраических чисел счетно.
Доказательство. Рассмотрим сначала множество Мп всех
алгебраических чисел степени п.
270

- Каждому неприводимому многочлену с целыми коэффициен-
коэффициентами
сопоставим число Н = \ао\ + \а1\ + ...+\аа\.
Очевидно, что существует только конечное число таких мно-
многочленов с заданным значением Н, а следовательно, поскольку
каждый такой многочлен имеет не больше чем п корней, су-
существует только конечное число алгебраических чисел с задан-
заданным значением величины Я для соответствующего многочлена.
Придавая Н значения 1,2, 3, ... и рассматривая все соот-
соответствующие неприводимые над полем рациональных чисел много-
многочлены и их корни, получаем множество М„ алгебраических
чисел степени п представленным в виде суммы счетного мно-
множества конечных множеств, т. е. Мп — счетное множество.
Множество М всех алгебраических чисел равно Мх + Л12 +
+ уИ3+..-> т. е., являясь суммой счетного множества счетных
множеств Мп, также представляет собой счетное множество.
Теорема 276. Существуют действительные неалгебраические
числа.
Доказательство. Множество действительных чисел не-
несчетно. В этом множестве действительные алгебраические числа
согласно последней теореме образуют счетное подмножество,
а следовательно, не исчерпывают все множество действительных
чисел.
Определение 76. Любое неалгебраическое число называется
трансцендентным.
Таким образом, а называется трансцендентным числом, если
не существует ни одного многочлена с целыми коэффициентами,
корнем которого является а, т. е. если для всех п = 1, 2, ... при
любом комплексе целых, не равных одновременно нулю чисел
((с0, сх с„)) имеем: соап + с1а"-1+ ... +сп=?0.
Из доказательства теоремы 276 видно, что множество дей-
действительных трансцендентных чисел получается исключением из
множества всех действительных чисел, имеющего мощность
континуум, счетного множества; это обычно выражают, говоря,
что почти все действительные числа трансцендентны.
Из теоремы 269 следует, что сумма, разность, произведение
и частное двух неравных нулю чисел, из которых одно транс-
трансцендентное, а другое—алгебраическое, является трансцендентным
числом. В частности, трансцендентными числами являются
комплексные числа вида a + $i, где а — действительное трансцен-
трансцендентное, а C — действительное алгебраическое число. Вопросы
существования трансцендентных чисел возникли впервые в ра-
работах Эйлера. Рассуждения, приведенные в теоремах 275 и 276,
показывающие существование трансцендентных чисел, принад-
принадлежат немецкому математику Г. Кантору.
271

Впервые существование трансцендентных чисел было установ-
установлено Лиувиллем. Доказательство существования трансцендент-
трансцендентных чисел у Лиувилля эффективно; на основе следующей теоремы,
являющейся непосредственным следствием теоремы 270, строятся
конкретные примеры трансцендентных чисел.
. Теорема 277. Пусть а—действительное число. Если для любого
натурального п>1 и любого действительного с>0 существует
хотя бы одна рациональная дробь у, fy=^=ou , такая, что
6» • w
то а—трансцендентное число.
Доказательство. Если бы а было алгебраическим, то
нашлись бы (теорема 270) целое положительное п и действитель-
действительное О 0, такие, что для любой дроби у было бы а—у S3^» .
а это противоречит тому, что согласно условию теоремы для
этих п и с существует дробь у такая, что имеет место A).
Предположение, что а —алгебраическое, привело нас к противо-
противоречию, следовательно, а —неалгебраическое, т. е. трансцендент-
трансцендентное, число.
Числа а, для которых при любых ns^l и с>0 неравенство
A) имеет решение в целых числах а и Ь, называются трансцен-
трансцендентными числами Лиувилля.
Пример. a=^jj-+j^j- + y^y-+... =0,1100010 ... —транс-
—трансцендентное число.
Доказательство. Возьмем произвольные действительные
nSsl и с>0. Возьмем а = 10ftl (——.л.—-, + ... -\
2
где k выбрано настолько большим, что 10fel ^ — и k^n\ тогда
с
а
а--
+ + < [l ++
ю*1 юш
Поскольку для произвольных п> 1 и с>0 можно найти
дробь у такую, что а —у <^-, то а—трансцендентное число.
Если вместо теоремы Лиувилля воспользоваться результатом
Рота (теорема 273), то теорему 277 можно существенно усилить
и дать в следующем виде.
Теорема 277'. Пусть а —действительное число. Если для
некоторого е>0 и любого с>0 существует рациональное
272

a I a
число -г- ( -г-
такое, что
a
&2+•
mo a — трансцендентное число.
Доказательство. Если бы а было алгебраическим сте-
степени п^=2, то при любом в>0 нашлось бы с>0 такое, что
-jp+r (теорема B73), а
для любой дроби -у было бы
это противоречит условию теоремы.
Согласно теореме 70 а не может быть и алгебраическим 1-й
степени, так как тогда имелось бы с>0, такое что для любой
дроби ^г выполнялось неравенство
а
а—ь
62+е
Таким образом, а —трансцендентное число.
Пример. Пользуясь теоремой 277', доказать трансцендент-
ность числа а =
п=1
Возьмем e = -g- и произвольное с>0. Выбрав Ъ = -^-
где k настолько большое, что 20*5'3 >—, имеем:
1 ^с-20>в>3
так что а — трансцендентное число.
2. ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ ЧИСЛА в. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ВОПРОСА О ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ЧИСЛАХ
Теорема Лиувилля, давая возможность строить трансцен-
трансцендентные числа определенной природы, названные нами числами
Лиувилля, не дает, однако, возможности определить, являются
ли алгебраическими или трансцендентными различные постоян-
постоянные, с которыми мы особенно часто встречаемся в математичес-
математических вычислениях и исследованиях.
В частности, эта теорема оказалась недостаточной для дока-
доказательства трансцендентности числа е — основания системы на-
натуральных логарифмов. Трансцендентность е была доказана
только в 1873 г. французским математиком Ш. Эрмитом.
273

Теорема 278. Число е трансцендентно.
Доказательство. Предположим, что е — корень много-
многочлена с целыми коэффициентами с0, сх, ..., сп, так что
cQ + cle+...+cnen = 0. B)
Обозначим через М наибольшую из абсолютных величин коэф-
коэффициентов cs, так что при всех s = 0,1» •¦•> п имеем |с,|«^Л1.
При заданном п функция , .. при увеличении у стремится
к нулю и, поскольку существуют сколь угодно большие простые
числа, мы можем выбрать простое число р так, что будут
одновременно выполняться условия:
(р —1) 1 <2М(»+1) еп> Р>\со\ и
Рассмотрим функцию степени (п-\-\)р — 1
Интегрируя по частям, находим:
V"V @ dt = -/ (х) +e*f(O) + ]е*-Г (t) dt
о
о
0
Продолжим этот процесс, пока не дойдем до производной
порядка (п + 1)р, равной тождественно нулю; получим:
l (O), C)
где F(x) = f (*) + /'(*) +Г (*) + • • • (Д° производной порядка
пр+р — 1).
Подставляя в C) вместо х число s и умножая на cs, @ *=S s ^ n),
имеем:
S
csF (s) + cs J е°-Ч (t) dt = cfFiO). D)
о
Придавая s значения 0,1, ..., n, складывая при таких s равен-
равенства D) и принимая во внимание, что ввиду тождества B) правая
часть получается равной нулю, находим:
c0F@) + clF{l) + ... +с„Р(п)+ 2 сЛе*~*/@* = 0. E)
5=0 о
274

Разложение f (x) по степеням х имеет вид:
1{*) = 1р=щ-(Ар-1*Г-1 + АгхГ+...), F)
где Ap_lt Ap, ...—целые числа. Получаем;
/@) = /'@) = ...=/"-2)@) = 0, а р-1>@) = Л/7_1 =
= (— \)пР.1р-2р...пр
есть целое число, которое, поскольку р простое и п<Ср, не
делится на р; /v>@), /V+1' @), ..., как легко видеть из F), —це-
—целые числа, делящиеся на р.
F@) = f-1)@) + /w@) + /v+1)@) + ... представляет собой
сумму целого числа /<я~г)@)> не делящегося на р, и других
целых чисел, кратных р, так 4Top^F@). Поскольку р>|со|,
то будет также p\c0F@).
Разложение f(x) по степеням x — k, где 1 sS&«S n, имеет вид:
где все коэффициенты Bkt p, Bkt p+1, ...—целые числа.
Дифференцируя G), легко видеть, что при всех таких k
F (k) = f(k) + f (k)-}-...—целое число, делящееся на р.
В сумме
R = c0F@) + ClFA)+ ... +cnF(п)
первое слагаемое не делится на р, а все остальные слагаемые
делятся на р, так что R — целое число, не делящееся на р, и,
таким образом, отлично от нуля.
Целое число, отличное от нуля, имеет модуль, больший или
равный единице (теорема IX), так что \R\^\.
Оценим теперь величину j R | сверху. Согласно E)
s=o 0
Во всех интегралах, входящих в R, величина t пробегает
значения, не выходящие за пределы сегмента [0; п], а при та-
таких t справедливо неравенство:
так что при всех s = 0,l, ..., п имеем (теорема XX):
что противоречит полученному ранее неравенству \R\~s*\.
275

Предположение, что в—алгебраическое число, привело нас к
противоречию; следовательно, в — неалгебраическое, т. е. транс-
трансцендентное, число.
Развивая метод Эрмита, в 1882 г. Линдеман доказал теорему,
устанавливающую трансцендентность довольно обширного класса
чисел. Мы приведем эту теорему без доказательства, так как
оно лежит в том же круге идей, что и доказательство трансцен-
трансцендентности числа е, существенно используя, однако, ряд свойств
множества алгебраических чисел.
Теорема 279 (Линдеман). Если АхеЛ^ + А^е"' + ... + АпеЛп = О,
где Ах, Аг, ..., А„ — алгебраические числа, среди которых хотя
бы одно не равно нулю, alt a2, ..., а„ попарно различны и
а2, .. ., ап — алгебраические числа, то ах—трансцендентное число.
Теорема 279 означает, что если alt .... ап — попарно раз-
различные алгебраические числа, то при любых, не равных одно-
одновременно нулю, алгебраических числах Av ..., Ап выражение
Лхеа1+ ... + Апеапф0. Этот результат выражают, говоря, что
еа>, ...,e"n при таких щ линейно независимы над полем алгеб-
алгебраических чисел.
Из общей теоремы Линдемана, в частности, вытекают следую-
следующие результаты (теоремы 280 и 280').
Теорема 280 (Линдеман). я— трансцендентное число.
Действительно, 2г — алгебраическое число (корень уравнения
х2 + 4 = 0). Если бы я было алгебраическим, то (теорема 269)
алгебраическим было бы и число 2ш\
Известно, что е2га = 1=е0, т. е. е° — е2"' = 0, а тогда согласно
теореме 279 (при Аг — 1, А.г= — 1, ai = 0, а2 = 2ш') число 0
было бы трансцендентным. Полученное противоречие показывает,
что я трансцендентно.
Теорема 280'. При любом алгебраическом а (а ф0) lna — транс-
трансцендентное число.
Действительно, если бы 1па = р" был алгебраическим числом,
то из еЗ = а = ае°, осе0 —е? = 0 согласно теореме 291 следовало бы,
что 0 также трансцендентное. Полученное противоречие пока-
показывает, что in а трансцендентное число.
Метод Эрмита — Линдемана оказался, однако, бессильным
установить трансцендентность многих других величин, часто
встречающихся в математике, таких, например, как 2V*, Iog23, e"
и т. д.
В период с 1882 по 1929 г. теория трансцендентных чисел
почти не двигалась вперед. Известные методы были исчерпаны,
а новых путей для доказательств трансцендентности не было
видно.
В 1929 — 1934 гг. советский математик А. О. Гельфондввел
в теорию трансцендентных чисел существенно новые методы,
позволившие ему и другим математикам, работавшим в этом
направлении, установить трансцендентность многих величин,
276

арифметическая природа которых до этого ие была известна.
В частности, этим методом была доказана трансцендентность
указанных выше величин 2V*, loga 3, е* и многих других, о ко-
которых до этого не было даже известно, являются ли они ирра-
иррациональными.
Общая теорема, доказанная А. О. Гельфондом (мы приводим
ее без доказательства), заключается в следующем.
Теорема 281 (Гельфонд). Если а— алгебраическое число,
отличное от 0 и 1, р—алгебраическое иррациональное, то
а?—трансцендентное число.
Этой теоремой была решена знаменитая проблема, постав-
поставленная Гильбертом еще в 1900 г. на Международном съезде
математиков и считавшаяся одной из наиболее трудных среди
целого ряда проблем, выдвинутых им на этом съезде. Частным
УГ
случаем этой теоремы является трансцендентность чисел а»' ,
где а>1 целое, a b целое, отличное от n-й степени.
Трансцендентность е" так же получается как частный случай
теоремы Гельфонда, так как в теории функций комплексного
переменного доказывается, что е*= (— 1)"'.
Как простое следствие этой же теоремы получается, что ло-
логарифмы рациональных чисел при рациональных основаниях
системы логарифмов либо рациональны, либо трансцендентны,
т. е. не могут быть алгебраическими иррациональностями. Про-
Проблема определения арифметической природы таких чисел была
поставлена еще Эйлером.
Работы Гельфонда и других математиков, среди которых
можно в первую очередь назвать Зигеля, Маллера, Шнейдера,
Шидловского, в последующие годы существенно продвинули
теорию трансцендентных чисел. Вместе с тем о многих вели-
величинах, часто встречающихся в математике, мы до сих пор не
можем сказать, являются ли они трансцендентными или алгеб-
алгебраическими. Так, например, предполагают, что эйлерова посто-
постоянная С, введенная в 4-й главе (теорема 54),—трансцендентное
число. Доказать это пока не удалось, и, как было отмечено в 6-й
главе, не опровергнута даже возможность того, что С—рацио-
С—рациональное число.
Исторические комментарии к 30-й главе
1. Проблемы, относящиеся к теории трансцендентных чисел,
возникли впервые в работах Эйлера, ставившего, в частности,
задачу доказательства трансцендентности иррациональных зна-1
чений логарифмической функции.
Теорема 275, показывающая, в частности, существование
трансцендентных чисел, была дана в работах Георга Кантора
A845-1918).
277

2. Французский математик Лиувилль A809 — 1882) известен
своими работами по теории дифференциальных уравнений, эллип-
эллиптических функций и теории трансцендентных чисел. Вопросы су-
существования трансцендентных чисел были рассмотрены Лиувил-
лем в работах, опубликованных в 1844 и в 1851 гг. до работ
Кантора. Числа Лиувилля проще определить как числа а, для
которых при любом mSsl существует бесконечное множество ра-
рациональных чисел у , таких, что
а— у
-^. Легко видеть, что
это определение совпадает с тем, какое было дано на стра-
странице 272.
3. Ш. Эрмит A822 —1901) —французский математик, рабо-
работавший в области теории функций, алгебры и теории чисел
(трансцендентные числа, квадратичные формы).
4. Теорема Линдемана является частным случаем общих теорем
Зигеля и Шидловского об алгебраической независимости значе-
значений так называемых f-функций при алгебраических значениях
аргумента.
5. Теорема 281 опубликована А. О. Гельфондом в 1934 г. До
этого (в 1929 г.) теорема была им доказана для частного слу-
случая, когда р —мнимая квадратическая иррациональность.
ГЛАВА 31
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
1. Общие свойства бинарных квадратичных форм
В 14-й главе мы рассматривали неопределенное уравнение
1-й степени: ах-\-Ьу = с. Задача, поставленная там, заключалась
в представлении целого числа с в виде формы ах + by, где а
и Ь—заданные, а л; и у — неизвестные целые числа.
В этой главе рассмотрим вопрос о представлении целых чи-
чисел в виде формы 2-й степени с двумя неизвестными, или, как
обычно говорят, бинарной квадратичной формы.
Определение 77. Бинарной квадратичной формой называется
выражение вида
где а, Ь, с —некоторые целые числа.
Будем a, bt с называть соответственно первым, вторым и
третьим коэффициентом формы и для краткости такую форму
обозначать через {а, Ь, с}, так что
{а, Ь, с} = ахш + Ьху + сул. A)
Переменным х, у будем придавать только целые значения.
Форма A) представляет собой функцию от двух аргументов,
278

у которой в качестве множества значений аргументов берется
кольцо целых чисел. Основная задача, которую мы здесь ста-
ставим,— отыскание представлений заданного Л^ в форме A), т. е.
нахождение целых хну, таких, что
ax2 + bxy + cy* = N. B)
Определение 78. Соотношение B) при целых х, у будем
называть представлением числа N формой {а, Ъ, с}.
Для каждой формы A) будем рассматривать множество целых
чисел N, представимых этой формой.
Определение 79. Две формы {а, Ъ, с} и {А, В, С] называются
равными, если а —А, Ъ — В, с = С.
Таким образом, равенство двух форм означает тождественное
равенство, и если две формы равны, то они принимают одина-
одинаковые значения для каждой пары значений х и у. Если в форме A)
после замены хна ах' -\-§у', а у на ух' + б«/', где а, р\ у, б —целые,
получается форма Ах'2-\-Вх'у' + Су'2, то будем говорить, что
линейная подстановка
переводит форму {а, Ь, с} в форму {А, В, С}.
Замену х и у в форме A) их выражениями из C) будем на-
называть применением линейной подстановки C) к форме A).
Начнем с рассмотрения некоторых общих свойств бинарных
квадратичных форм.
Определение 80. Формы {а, Ь, с} и {А, В, С) называются
эквивалентными, если существует линейная подстановка
' \
у' }
с целыми коэффициентами а, р, у, б и определителем
аб — ру=1> переводящая {а, Ь, с} в {А, В, С}, т. е. такая, что
ахг + Ьху + су2 = Ах'2 + Вх'у'+су'2. D)
Эквивалентность форм {а, Ь, с} и {А, В, С} будем записывать
в виде
{а, Ь, с}сл{Л, В, С].
Линейные подстановки C) с целыми а, р, Y. 8 и определи-
определителем аб — Py=1 мы будем называть унимодулярными подста-
подстановками и обозначать в сокращенной записи знаком
279

Из соотношений D) и C) следует:
А =аа2 + Ьау + су* )
E)
J
Таким образом, формы {а, Ь, с} и {А, В, С} эквивалентны
тогда и только тогда, когда существуют целые числа а, $,у,8,
такие, что имеют место соотношения E).
Определение 81. Дискриминантом формы {а, Ь, с) называ-
называется число Д = 62— 4ас.
Теорема 282. Эквивалентные формы имеют один и тот же
дискриминант.
Доказательство. Если {а, Ь, с}сл{Л, В, С), то суще-
существуют целые а, р, у, 6, при которых соотношения E) верны.
Непосредственное вычисление дает
Мы не будем рассматривать форм с дискриминантом Л = 0,
так как в этом случае имеем:
4а (ах2 + Ьху + су*) = Bа* + Ьу)\
т, е. после умножения на 4а мы получаем квадрат линейной
формы.
Теорема 283. Отношение эквивалентности квадратичных
форм обладает свойствами рефлексивности, симметричности
и транзитивности, т. е.:
1) {а, Ь, с}сл{а, Ь, с}.
2) Если {а, Ь, с}сл{Л, В, С}, то {А, В, С}сл{а, Ь, с].
3) Если {а, Ь, с}сл{ах, blt q}, {а1У Ь1г c1}cn{ai, b2, c2},
то {а, Ь, с}сл{а2, Ьг, с2}.
Доказательство. 1) Унимодулярная подстановка („ ,],
т. е. подстановка
У У>
переводит форму {а, Ь, с} самое в себя.
2) Если подстановка (а |М, где аб —Ру = 1. переводит {а, Ь,с)
в {А, В, С}, то обратная подстановка ( ) тожеунимоду-
лярна и переводит {А, В, С} в {а, Ь, с).
3) Если {а, Ь, c}cr>{alt blt cj, {alt Ьи с1)<^>{аг, Ьг, с2],
т. е. существуют унимодулярные подстановки:
переводящие соответственно {а, Ь, с} в {а^ blt c4} и {ах, Ь1э
280

в {аа, Ьл, с%), то произведение подстановок F), т. е. подстановка
переводит {а, Ь, с} в {а2, Ь2, с2}.
Определитель подстановки (матрицы) G) равен произведению
определителей подстановок (матриц) F), т. е. тоже равен 1.
Из теоремы непосредственно следует, что две квадратичные
формы, эквивалентные одной и той же третьей, эквивалентны
между собой.
Теорема 284. Если {а, Ь, с}сл{Л, В, С} и А, В, С не равны
одновременно нулю, то наибольший общий делитель (а, Ь, с) =
= {А, В, С).
Доказательство. Из формул E) непосредственно видно,
что поскольку Л, Л, С не равны одновременно нулю, то и среди
чисел а, Ъ, с имеется по крайней мере одно число, отличное
от нуля, т. е. (теорема 27) существуют наибольшие общие дели-
делители (А, В, С) и (а, Ь, с). Из тех же формул E) видно, что
если d\a, d\b, d\c, то d\A, d\B, d\C.
Поскольку отношение эквивалентности симметрично, то и из
d | А, d | В, d | С следует d\a,d\b,d\c. Множества общих делителей
у а, Ъ, с и у А, В, С совпадают, а следовательно, и (а, Ь, с) —
= (Л, В, С).
Определение 82. Форма {а, Ъ, с} называется примитивной,
если (а, Ь, с) — 1.
Если
N — ax2 + bxy + cy* и (a, b, c)--=d,
то
a^ + b^y + crf* где al = j-, Ьг = \,
и форма {<*!, Ьх, сг} будет уже примитивной.
Изучая представление натуральных чисел квадратичными фор-
формами, достаточно ограничиться рассмотрением примитивных
квадратичных форм.
Теорема 285. Эквивалентные квадратичные формы представ-
представляют одно и то же множество целых чисел.
Доказательство. Пусть {а, Ь, с}сг>{А, В, С}, т. е. су-
существует унимодулярная подстановка C), такая, что при выпол-
выполнении соотношений E) имеет место тождественное равенство D).
Целым значениям х', у', очевидно, соответствуют целые значе-
значения х и у, и если
N^Ax't + Bx'y' + Cy'*, то и ax* + bxy + cy2 = N,
т. е. любое число, представимое формой {А, В, С}, представимо
формой {а, Ь, с}.
281л

Поскольку отношение эквивалентности обладает свойством
симметричности (теорема 283), то и любое число, представимое
формой {а, Ъ, с}, представимо формой {А, В, С].
Определение 83. Классом {а, Ь, с) называется множество
всех квадратичных форм, эквивалентных форме {а, Ь, с}.
Согласно теореме 283 (транзитивность отношения эквивалентно-
эквивалентности), если {А, В, С} en {a, b, с], то множество квадратичных форм,
эквивалентных {А, В, С], совпадает с множеством форм, эквива-
лентных {а, Ь, с], т. е. {А, В, С}= {а, Ь, с}. Класс {а, Ь, с}
объединяет все квадратичные формы, эквивалентные любой из
форм этого класса.
Все формы данного класса имеют один и тот же дискрими-
дискриминант (теорема 282). Вместе с тем один и тот же дискриминант
могут иметь и формы разных классов. Например, 5х2 + у2 и
2х2+2ху-\-Зу2 — неэквивалентные формы, так как число 7 пред-
представимо второй из них (х—1, у=1) и не представимо в виде
Ъх2-\-у2 ни при каких целых хну. Вместе с тем эти формы
имеют один и тот же дискриминант Д= —20.
Определение 84. Представление N в виде B) с взаимно
простыми х, у называется собственным представлением.
Очевидно, что достаточно рассматривать собственные пред-
представления. Действительно, если (х, y) = d и N представимо
в виде B), то d%\N и
— собственное представление -р .
Теорема 286. Число N представимо собственным образом фор-
формой {а, Ь, с} тогда и только тогда, когда существует форма
{А, В, С} ел {а, Ь, с), такая, что A=N, 0^B<2\N\.
Доказательство. 1) Пусть при целых х = а, у = Р, где
(а, р) = 1, выполняется равенство
N = аа2 -\- bay + су2.
Решив неопределенное уравнение
аЬ—ру = 1
с неизвестными 8, y. находим 8 и у, а затем представим число
Q = 2аоф + Ь (аб + ру) + 2суб
в виде:
Q = 2\N\q + r, где 0=s=
Преобразование
282

-с определителем аб—ру=1 переводит форму {а, Ь, с} в неко-
некоторую эквивалентную форму {А, В, С}, где согласно форму-
формулам E)
А = ааг -\- bay + су2 = N,
так что 0 < В < 2 | N \.
2) Существование формы {А, В, С}сл{а, Ь, с}, где A = N,
означает, что некоторая унимодулярная подстановка C) пере-
переводит {а, Ь, с) в { А, В, С}, т. е. выполняется тождественное
равенство
ахг + Ьху + су2 = Ах'г + Вх'у' + Су'2.
В частности, при х' = 1, у' = 0, где A, 0) = 1, и соответ-
соответствующих целых значениях х = а, у —у имеем:
N = A=*aa2+bay + cy2, (8)
т. е. N представимо формой {а, Ь, с}.
Это доказательство показывает, что, зная подстановку C),
переводящую {а, Ь, с} в {N, В, С), мы по формуле (8) нахо-
находим представление N формой {а, Ь, с}.
Теорема 287. Для каждого собственного представления N
формой {а, Ь, с}:
и заданной формы {N, В, С}, эквивалентной форме {а, Ь, с},
существует только одна унимодулярная линейная подстановка
вида ( „ j, переводящая {а, Ь, с) в {N', В, С}.
Y /а р\ /а Р'\
Доказательство. Пусть! s) и\ яг)—две унимоду-
лярные подстановки, переводящие {а, Ь, с} в {N, В, С}.
Поскольку N^0, то а и у не могут равняться нулю одно-
одновременно.
Если, например, а=?0, то из
аб—ру = аб' — p'v = l
получаем:
S-8' = -J(P-p'). (9)
Согласно формулам E) при A = N имеем: аа2 + Ьау + су2 = N,
B = 2aa$ + b (a8 + fiy) + 2cyS = 2aa$' + b (аб' + Р'у) + 2суб', от-
откуда получаем:
6'). A0)
283

Заменяя в A0) §—6' по формуле (9) и перенося все члены
в левую часть, получаем: 2ЛГ(р—$') = Q. Поскольку N=?0,
Р р' (9) и 6 = 6'. Сй ^0
у у (р$) у
то Р = р', а, следовательно, ввиду (9) и 6 = 6'. Случай
рассматривается аналогично.
Теорема 288. Пусть А—дискриминант квадратичной формы
{а, Ь, с) и число N представимо собственным образом этой
формой; тогда:
1) сравнение
z2 = A(mod4|JV|) A1)
имеет решения;
2) Для каждого собственного представления N формой { а, Ь, с}
существует форма {N, В, С}сл{а, Ь, с), такая, что В удов-
удовлетворяет сравнению A1) и 0^B<.2\N\.
Доказательство. Пусть существуют целые, взаимно про-
простые хну, такие, что N = ах*-{-Ьху-\-су*. Согласно теореме 286
существует форма {N, В, С}сг>{а, Ь, с}, такая, что
0Я2|Л?
|
Теорема о равенстве дискриминантов эквивалентных форм
показывает, что тогда
Д, A2)
т. е. сравнение A1) имеет решения и В удовлетворяет этому
сравнению, причем 0 sg В < 21N |.
Число решений сравнения A1) было определено в теореме 226.
Пример. Число 86 не представимо формой х2 + Ъху + гД
так как здесь А = 5,
и сравнение х* = 5 (mod 8 -43) не имеет решений.
Сравнение A1) может иметь решение и тогда, когда N
не представимо формой { а, Ъ, с }. Например, 1, очевидно, не пред-
представимо формой 2хг-\-Ъу2, а вместе с тем здесь А = —24 и срав-
сравнение *2=—24 (mod 4) имеет решения.
Теорема 289. Для каждой квадратичной формы {а, Ъ, с}
существует эквивалентная форма {А, В, С}, такая, что
|В|<|Л|<|С|. A3)
Доказательство. Формы {а, Ь, с} и {с, —Ь, а} эквива-
/0-1\
лентны, так как унимодулярная подстановка I . „ ) переводит
первую из них во вторую. Мы можем поэтому всегда начать
с формы, у которой . |а|^|с|, и если при этом |Ь|^|а|, то
искомая форма найдена. Если |&|>|а|, то найдем целые t и г,
такие, что
284

где |r|s=s|a!, т. е. возьмем в гкачестве г наименьший по абсо-
абсолютной величине вычет по модулю 21 а |, который (теорема 98)
заключен в сегменте [ — \а\; \а\].
(I k\ Ia|
Л . ), где k = — '-^ t, т. е. под-
подстановка.
у=у'.
переводит форму {а, Ь, с} в эквивалентную форму {а1г bt, cx},
где согласно формулам E) аг = а, Ьх = —2а'-^ t + b = b—2\a\t = r,
т. е. в форму, где | bt | sg | ax | .
Если \aY \<,\ct\, то форма {alt blt cL} удовлетворяет постав-
поставленным условиям.
/О—1\
Если \Ci\<,\aLl, то подстановкой I . „I переводим
{аг, blf q } в эквивалентную форму {clt —bv аг}, т. е. в форму
\а2, Ь2) с2} , где
I = N и
. - .- . ,0 — 1 .
Произведение подстановок I и п I равно подста-
iU 1/ \J и/
H0BKeii о,
Таким образом, при |а|^|с| из двух унимодулярных под-
/1 k\ (k—\\
становок I „ . ! и I . „ ! либо первая дает квадратичную форму,
удовлетворяющую поставленным условиям, либо вторая перево-
переводит {а, Ь, с} в эквивалентную форму с коэффициентом при х2,
меньшим по модулю, чем у первоначальной формы, причем
коэффициент при у2 не увеличивается по модулю.
Модуль коэффициента при я2 может принять только конеч-
конечное число различных значений, меньших чем \а\, так что,
продолжая такие преобразования, мы должны встретиться с пер-
первым случаем, т. е. прийти к эквивалентной форме {А, В, С},
такой, что |В|<|Л|<|С|.
Пример. Для формы { 11, 6, 5} найти эквивалентную форму
{ А, В, С\, такую, что |Я|<|Л|<|С|.
Здесь ]с|<|о|, поэтому сначала применяем подстановку
/О—1\
I. _], переводящую нашу форму в форму {5, —6, 11}.
Для этой формы находим:
285

/1 1\
Унимодулярная подстановка I „ . I переводит {5, —6, 11}
в форму {5, 4, 10}, удовлетворяющую условиям A3).
Теорема 290. При любом А =^= 0 существует только конечное
число неэквивалентных форм, имеющих дискриминант, равный А.
Доказательство. Пусть форма {а, Ь, с\ такая, что
Рассмотрим два случая:
1) Д = Ь2—4ас>0. Тогда ас<0, —4ас = А—Ь2^Д,
2) А = Ь2—4ас<0. В этом случае очевидно, чтоас>0 и
—Д = 3ас + (ас—62)Ss3ac, |ас| = ас<—|-.
Таким образом, в обоих случаях из неравенств A4) следует
Существует только конечное число комплексов ((а, Ь, с))
с целыми а, Ь, с, удовлетворяющих этим условиям, и поскольку
каждая квадратичная форма эквивалентна форме с условиями A4),
то существует только конечное число неэквивалентных форм
{а, Ь, с} данного дискриминанта А. Мы доказали, таким об-
образом, конечность числа классов любого данного дискрими-
дискриминанта А
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ПОЛОЖИТЕЛЬНО
ОПРЕДЕЛЕННЫМИ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
Поскольку
то при Д<0, а>0 форма {а, Ъ, с\ принимает, кроме нуля,
только положительные значения, а при А<0, а<0 — только
отрицательные значения.
Определение 85. Форма {а, Ь, с) при А<0, а>0 назы-
называется положительно определенной, а при А<0, а<0—отри-
а<0—отрицательно определенной.
Поскольку при таком А числа а и с имеют одинаковые знаки
и каждой положительно определенной форме {а, Ъ, с} соответ-
соответствует отрицательно определенная форма { — а, —Ь, — с} , при-
принимающая те же значения, но с обратным знаком, достаточно
рассмотреть только один из этих двух случаев. Мы будем рас-
рассматривать положительно определенные формы,
286

Из теоремы 285 следует, что если {а, Ь, с} — положительно
определенная форма, то и Еесь класс {а, Ь, с) состоит из по-
положительно определенных форм. Можно поэтому говорить о клас-
классах положительно определенных форм. Для положительно опре-
определенных форм теорему 289 можно несколько уточнить и дать
ее в следующем виде.
Теорема 289'. Для каждой положительно определенной формы
{а, Ь, с] существует эквивалентная форма {alt Ъх, сх\, такая,
что
а если а1 = с1, то О < Ьг ^ av
Доказательство. Поскольку у положительно определен-
определенных форм коэффициенты при х2 и у2 положительны, форму
{а, Ь, с) согласно теореме 289 можно заменить эквивалентной
формой {Л, В, С}, такой, что —А^В^А^С.
Если В =— А, то форму {А, —А, С} подстановкой (Q A
переводим в {Л, Л, С}.
Если А = С, В <0, то форму {Л, В, А} подстановкой ( _. Л
— В^. А.
переводим в эквивалентную форму {А, —В,С), где 0<
Таким образом, в неравенствах A3) можно избежать случая
В — — А, а в случае, когда Л = С,— сделать коэффициент при ху
неотрицательным.
Определение 86. Положительно определенная форма {А, В, С]
называется приведенной, если
-А<В^А^С,\
а при А^С 0<5<Л=С. j { '
Теорема 291. В каждом классе положительно определенных
форм имеется в точности одна приведенная форма, т. е. одна
форма, удовлетворяющая условиям A5).
Доказательство. Пусть две эквивалентные положительно
определенные формы {a, b, c}zr>{a1, bu сг} удовлетворяют
условиям: -а<Ь^а^с,
а при равенстве а и с или ах и сх соответственно Ь или Ъг
неотрицательны.
Рассмотрим случай, когда al<s&a. Случай а^а^ ввиду сим-
симметрии рассматривается совершенно аналогично. Обозначим через
(а ?) унимодулярную подстановку, переводящую {а, Ъ, с}
в {а17 blf cx}, так что
287

Из первой формулы в A6), поскольку а*?с,\Ь\^а, получаем!
а^а1^аа2-а\ау\+ау\ A7)
откуда
т. е. | ау | равен 0 или 1.
Если jay| = 0, то, поскольку <*6 —Ру=1, а и у не могут
одновременно обращаться в нуль, одна из этих величин равна 0,
а другая по модулю равна 1, так что из неравенств A7) получаем:
Если |ay|=l, то а2 = у2 = 1, и из A7) также получаем:
т. е. всегда а = ах.
Рассмотрим теперь три возможных случая.
1) Если с>а, т. е. |b)^a<c. В этом случае, поскольку
| ay | s^ I, равенство а = а1'^ аа2 + bay + су2 может иметь место
только при у = 0, а тогда aS — Py = 1 дает a6=l. Вторая фор-
формула в A6) принимает вид: Ь1 = 2ааР + Ь, т. е. 2а\Ь1 — Ь.
По условию
так что 2а\Ьг — b может иметь место только при b = blt а тогда
из равенства дискриминантов Ь2 — Аас = Ь\— Аа1с1 получаем, что
и с — с^
2) Если с^а^ то можно рассмотреть преобразование, пере-
переводящее {аг, Ьг, сх} в {a, b, с]. Поскольку доказано, что
^ = 0, совершенно аналогично получаем b1 = b, cl = c.
3) Если с = а = о1 = с1, то из равенства дискриминантов
Ь2 — 4ас = Ь= —40^
получаем b2 = bl, и так как согласно условиям b и bt неотри-
неотрицательны, то Ь = Ь1.
Разработанная нами теория позволяет определить, являются ли
две заданные положительно определенные формы эквивалент-
эквивалентными, и в случае их эквивалентности — найти подстановку, пере-
переводящую одну из них в другую. Чтобы решить этот вопрос,
мы, применяя алгоритм, изложенный в доказательствах тео-
теорем 289 и 289', заменяем каждую из этих форм эквивалентной
формой, удовлетворяющей условиям A5). Если мы при этом
получим одну и ту же форму, то (теорема 2833) первоначальные
формы эквивалентны. Если мы получим две разные формы,
удовлетворяющие условиям A5), то согласно теореме 291 две
первоначальные формы не могут принадлежать одному и тому же
классу, т. е. эти формы неэквивалентны.
Если подстановки S и Т переЕодят соответственно {а, Ь, с}
и {ах, bt, ct} в одну и ту же форму {А, В, С}, удовлетворяю-
288

щую условиям A5), то подстановка ST'1 переводит {а, Ь, с)
в {а1г V сг].
Пример. Определить, эквивалентны ли формы {73, 17, 1}
и {3, —3, 1}. Если они эквивалентны, то найти подстановку,
переводящую вторую форму в первую.
Форму {73, 17, 1 } подстановкой (] q) переводим в форму
{1,-17,73}.
—17 = 2( —9L-1, t = — 9,k = 9.
/1 9\
Подстановка (q \) переводит {1, —17, 73} в приведенную
форму {1, 1, 1 }.
Подстановка Т — М ъ)\Ъ\)~\\ 9/ пеРев°Дит{ 73> 17> * }
непосредственно в {1, 1, 1}. Форму {3, —3, 1} подстановкой
( ~~о) переводим в { 1, 3, 3}. Здесь 3 = 2-1 + 1, /=--1, k = — 1.
Подстановка @~j) переводит { 1, 3, 3} в { 1, 1, 1 } , а под-
становка5= L ~ Qj U ~i) = (i Zi) переводит форму {3, —3, 1}
непосредственно в {1, 1, 1}.
Формы {73, 17, 1} и {3, —3, 1} эквивалентны.
Т~1 = (_10), Sr~1 = f10]j — подстановка, переводящая
{3, -3, 1} в {73, 17, 1}.
Теоремы существования 289 и 289' эффективны в том смысле,
что они дают определенный способ нахождения унимодулярной
подстановки (а*)» переводящей положительно определенную
форму {а, Ъ, с) в приведенную форму {А, В, С}. Естественно
возникает вопрос: сколько существует таких подстановок и чем
они отличаются друг от друга? Ради простоты сформулируем
соответствующие теоремы для примитивных форм.
Теорема 292. Для любой приведенной примитивной положи-
положительно определенной формы {а, Ь, с} с дискриминантом, отлич-
отличным от —3 и —4, существуют в точности две у ни модулярные
подстановки, переводящие эту форму самое в себя.
Одна из этих подстановок @ . j , а другая (~0_, ) .
Доказательство. Если (" «) , где аб — Ру = 1, переводит
форму {а, Ь, с}, удовлетворяющую условиям теоремы, в {a, b, с),
то по формулам E) имеем:
а = ш2 + Ьау + су\ A8)
Ь = 2асф -+; b (аб + Ру) + 2су6, A9)
10 А. А. Бухштаб ' 289

Докажем, что из равенства A8) следует
l>aa-|aY|+Y2. B0)
Действительно, если с>а, то ввиду —a<Lb^a неравен-
неравенства B0) есть непосредственное следствие равенства A8).
Рассматривая же случай с = а, т. е. случай, когда O^&
имеем, поскольку дискриминант Д отличен от —3 и —4,
{а, Ь, с}^{1, 1, 1} и {а, Ь, с}ф{\, 0, 1}.
Наибольший общий делитель (а, Ъ, с)—\, так что Ь
п ЬфО, т. е. 0<Cb<ia, и тогда из A8) также следует неравен-
неравенство B0).
Из неравенства B0) следует:
Предположим, что a = 0, тогда из аб — $у = 1 получаем:
Р\' = —1, Y —±1- При с>а это противоречит равенству A8),
а при с = а из равенств A9) получаем 2Ь = 2ау8, что невоз-
невозможно, поскольку, как это было отмечено выше, в этом случае
0fc
fc<a.
Таким образом, a^O, y = 0, аб=1.
Из равенства A9) получаем 2асф = 0, р = 0, так что приа=1
наша линейная подстановка имеет вид: 10 .], а при а = — 1
' — 1 0\
V .
Определение 87. Унимодулярные линейные подстановки, пере-
переводящие квадратичную форму самое в себя, называются ее авто-
автоморфизмами.
Теорема 293. При А = — 4 существует только одна приведен-
приведенная положительно определенная форма, а именно форма {1,0, 1}.
Эта форма имеет четыре автоморфизма:
) ( ) ( М (
Доказательство. Из Ь2~4ас = — 4, а>0, с>0,
| b \ ==? а ^ с следует:
4
-o-, ас=\, а = с=1, 6 = 0,
о
т. е. {а, Ь, с} = {1, 0, I}.1
Пусть (а g) есть автоморфизм {1, 0, 1}} тогда из A8) и A9)
получаем: 1=а2 + у2, 0 = оф + у6, т. е. либо 1) а = ±1, <у = 0,
р = 0, либо 2) а —0, v = ±l, 6 = 0. Поскольку аб — Py = 1, то
в первом случае б = а, а во втором р== — y» чт0 и Дает четыре
автоморфизма B1).
290

Теорема 294. При А= — 3 существует только одна приведен-
приведенная положительно определенная форма, а именно форма {1, 1, 1}.
Эта форма имеет шесть автоморфизмов:
\oij' \ o — ij* \i \)' V—1— ij' V—1о;» V 1 о; •
Доказательство. Из Ьг — 4ас== — 3, а>0, с>0,
| & | ^ а ^ с следует: 4ас = 3 + Ь2 ^ 3 + ас; ас sg 1; ас = 1; а — 1;
с=1; 6=1, т. е. {а,-6, с} = {1, 1, 1}.
Пусть f ?]—автоморфизм { 1, 1, l}s тогда соотноше-
соотношения A8) и A9) дают!
- аб -f- Py + 2y6. B2)
Если ау = 0, то, поскольку аб — Py = 1, могут быть следую-
следующие возможности:
1) Y = o,-a=l, 6 = 1, р = 0; 2) Y = 0, а = —1, б = — 1, р = 0;
3) а = 0, v=l, Р = -1, в = 1;4)а = 0; у = - 1, р = 1, б = - 1.
Если ау^О, то ау=1—о?—Y2<0. \aY\ = — aY. aY =
= (|а| — |у|J — 1 Эз — 1, aY = —1. Соотношения B2) и условие
аб—Py=1 дают еще две следующие возможности:
5) a=l, y = —I, P—6=1, 6+р=1, р = 1, 6 = 0;
6) а = —1, Y=l. б—р = 1, б+р = —1, 6 = 0, р=— 1.
Теорема 295. Число автоморфизмов примитивной положи-
положительно определенной формы {а, Ь, с} с дискриминантом А
paenot
1) 4 при Д = — 4,
2) 6 при Д = — 3,
3) 2 при всех остальных значениях А.
Доказательство. Пусть S—некоторая унимодулярная
линейная подстановка, переводящая [а, Ь, с} в приведенную
форму {А, В,С}, а {/—автоморфизм {А, В, С}; тогда SUS'1 —
автоморфизм {а, Ь, с}. Мы получим все автоморфизмы {a, b, с],
если в SUS'1 при заданном S будем в качестве U брать раз-
различные автоморфизмы {А, В, С]. Действительно, если V —
произвольный автоморфизм {а, о, с}, то S'^^VS переводит
{Л, В, С} самое в себя, т. е. S~1VS = U, V^SUS'1.
Поскольку SU1S~1 = SU2S~1 только при U1=U2, то число
автоморфизмов у {а, Ь, с} и {Л, В, С} одинаково, т. е. со-
согласно теоремам 292, 293 и 294 равно четырем при Д= — 4,
шести при Д = — 3 и двум во всех остальных случаях.
Определив число автоморфизмов, укажем их конкретную форму.
Теорема 296. Примитивная положительно определенная
форма {а, Ъ, с] с дискриминантом А, кроме (л.)" ( ~*п — 1) '
Ю* 291

имеет еще только следующие автоморфизмы:
2)
_1+fcj при Д = -3.
\ а 2 /
Доказательство. Подстановки @]) и (~0_1). оче-
очевидно, являются автоморфизмами для любой квадратичной
формы. Если дискриминант А отличен от —4 и —3, то (тео-
(теорема 295) других автоморфизмов нет.
Пусть {а, Ь, с)—форма с дискриминантом А= — 4; под-
/ —С
становка . ] переводит ее в форму
\ а • т
а (—^x—
т. е., поскольку b% — 4oc = — 4, в { a, b, c}.
Пусть {a, b, c} —форма с дискриминантом А = — 3; подста-
/1—6 \
f 2 ° \
новка 14-а переводит ее в форму
а —J
г. е., поскольку Ьг—4ас = — 3, в {а, Ь, с\. Аналогично про-
веряем, что и подстановка I 'i—bl ПРИ — представ-
v~a -у
ляет собой автоморфизм {a, b, с).
292

Если f™ gj—автоморфизм, то ( а v J , очевидно, также
является автоморфизмом.
( i c\
Автоморфизм I _ь при А = — 4 и автоморфизмы
а
~а Г
при А = — 3 получаются
4 I
из уже найденных переменой знаков у всех элементов. Согласно
теореме 295, найдя при А = — 4 четыре, а при А = — 3 шесть
автоморфизмов, мы исчерпали все возможные автоморфизмы
таких форм.
Теорема 297. Число унимодулярных линейных подстановок,
переводящих примитивную положительно определенную форму
{а, Ь, с} в эквивалентную ей форму {alt blt сг} с дискрими-
дискриминантом А, равно:
1L при А = — 4;
2) 6 при А = —3;
3) 2 при всех остальных значениях А.
Доказательство. Пусть S—такая линейная подстановка,
переводящая {а, Ь, с) в {alt bt, c1\, U — произвольный автомор-
автоморфизм { а, Ь, с}; тогда US также переводит { а, Ь, с} в {alt blt cx}.
Мы получим все унимодулярные подстановки, переводящие
а, Ъ, с) в {ах, Ьх, сг), если при заданном S будем в качестве
брать различные автоморфизмы формы {а, Ь, с]. Действи-
Действительно, если Т—произвольная унимодулярная линейная под-
подстановка, переводящая {а, Ь, с}, в {аъ Ъх, с1}, то TS'1 —
автоморфизм {а, Ь, с}, т. е. TS~1 — U, T — US.
Вместе с тем равенство UXS = U2S возможно только при
Таким образом, число унимодулярных подстановок, пере-
переводящих {а, Ь, с} в {alt blt ct), равно числу автоморфизмов
а, Ь, с}, т. е. согласно предыдущей теореме равно: 4 при
= — 4; 6 при Д =— 3 и 2 при всех остальных значениях А.
Теоремы этой главы дают возможность найти все собствен-
собственные представления положительного числа N примитивной поло-
положительно определенной формой {а, Ь, с}. Для этого:
1) Решаем сравнение В2 е= A (mod 4JV) и находим значения В,
удовлетворяющие этому сравнению, такие, что 0 sg В < 2N. Если
таких значений В нет, то (теорема 288) не существует представ-
представлений N формой {а, Ь, с). Если же такие В существуют, то
каждому представлению N формой {а, Ь, с} соответствует (тео-
(теоремы 288 и 282) эквивалентная форма {N, В, С} с такими В
и С, где С определяется из равенства A2).
293

2) Найдя все В, удовлетворяющие сравнению Ба = A (mod 4N),
такие, что 0^B<.2N, и соответствующие С, мы можем соста-
составить все формы {N, В, С}, а затем, выделив из них, как это
было показано выше, формы, эквивалентные {а, Ь, с}, найти
все унимодулярные подстановки вида ( \.), переводящие
{а, 6, с} в такие {N, В, С}.
Согласно формулам E), где A — N, каждая пара а, у есть
решение неопределенного уравнения
N — ах2 -j- Ъху + су2.
Пример. Найти все представления числа 73 формой
Зх2— Зху + у2.
Очевидно, что в данном случае все представления собствен-
собственные. Дискриминант А =— 3. Сравнение В2=н—3 (mod 292), экви-
эквивалентное системе В2~ — 3 (mod 73), Ва== — 3(mod4), имеет
(теорема 226) четыре решения. Находя эти решения, получаем:
B==±17(mod292), 5==± 129 (mod 292).
Из возможных значений В условию 0ss;5<2-73 удовлет-
удовлетворяют В = 17 и Л = 129. Значения С, определяемые из равен-
равенства В2—4-73-С = — 3, равны соответственно 1 и 57.
Форма {3, —3, 1 }, как мы выяснили в примере на странице
289, эквивалентна форме {73, 17, 1} и переходит в нее с по-
помощью подстановки ( ,^ ,), такчтох1 = 1, ^ = 10 представляет
собой решение уравнения
Зх2 — Зл# + у2 = 73. B3)
Умножая [,„ , слева на указанные в теореме 296 для слу-
случая Д = — 3 автоморфизмы fq ~| )» (Из 2/ Ф°РМЬ1{3»—3,1},
находим еще две подстановки, переводящие {3, —3, 1} в
/ а 1 \ / 9 1\
{73, 17, 1}, а именно ( 7 — lj и \17 2/' что дает еще два
решения: х2 — — 8, у2 = — 7 и х3 = 9, у3=П.
Остальные три подстановки получаются из найденных пере-
переменой знаков всех элементов, что дает еще три решения:
х* = —1, у4 = — Ю; *6 = 8. У5 = 7; *в = — 9, уй = —17.
При Л = 129, С = 57 форма {73, 129, 57} подстановкой
(l о) пеРев°Дится в форму {57, —129, 73}. Форма
{ 57, — 129, 73} подстановкой (I „ J переводится {1, 15, 57} и,
294

наконец, эта форма подстановкой (~ . ) переводится в {1, 1, 1}.
()()()( )
переводит {73, 129, 57} непосредственно в { 1, 1, 1 }, а произ-
произведение SU'1, где S = ( j ~j). переводит форму {3, —3, 1}
в {73, 129, 57}. Находим
/0-\\/-8-7
SU -
х1 = \, у7 = — 7 — решение неопределенного уравнения B3).
Умножая ( - г-) слева на автоморфизмы („ ,), (~~о о) ,
\—' —°/ v-3—V \—-3 z/
/g я\ / а v\
находим еще две подстановки: (¦,„ 9/ и ( 17 iс ), перево-
переводящие {3, —3, 1 } в {73, 129, 57}, и получаем соответствующие
решения: хв = 9, г/8 = 10 и х9 = — 8, у9 = —17. Меняя знаки,
находим еще три решения: х10 — —1, г/ю = 7; хп = — 9,
Уи — —Ю; х12 = 8, г/12 = 17, так что уравнение B3) имеет всего
12 решений в целых числах.
Исторические комментарии к 31-й главе
1. Теория квадратичных форм возникла как естественное
обобщение ряда частных задач с неопределенными уравнениями;
некоторые из этих задач мы рассмотрим в следующей главе.
В 1773 г. Лагранж в своей работе „Recherches d'Arithmeti-
que" опубликовал основные результаты о представлении чисел
бинарными квадратичными формами. В то время как до Лагран-
жа (Ферма, Эйлер и другие математики) изучали только формы
частного вида, Лагранж, рассматривая бинарные квадратичные
формы вида A), заложил основы общей теории. Лагранж рас-
рассматривал линейные подстановки с определителем, равным ±1.
Он показал возможность замены заданной формы другой фор-
формой, удовлетворяющей условиям A3) теоремы 289, и" установил
основную связь между вопросом о. представимости чисел квад-
квадратичной формой и существованием решений соответствующего
сравнения 2-й степени.
Лежандр в 1798 г., излагая в своей книге „Essai sur la theo-
rie des nombres" результаты Лагранжа по теории квадратичных
форм, внес существенные упрощения и дополнения. В своих
исследованиях он пользовался законом взаимности, доказатель-
доказательство которого, оказавшееся, однако, неполным, было им поме-
помещено в этой же книге. Таким образом, часть результатов Ле-
жандра была полностью обоснована только после выхода гаус-
совских „Disquisitiones arithmeticae".
295

Применяемая в настоящее время в теории квадратичных форм
терминология введена в основном Гауссом, который в своих
„Disquisitiones arithmeticae" дал систематическую теорию бинар-
бинарных квадратичных форм, причем в отличие от Лагранжа он так же,
как Лежандр, брал формы вида ах* + 2Ьху + су2. Гаусс далеко
продвинул теорию таких форм. Рассматривая линейные преоб-
преобразования с произвольными определителями, он ввел понятие
эквивалентности квадратичных форм, существенно различая пре-
преобразования с определителями, равными +1 и —1. Гаусс, не
ограничиваясь делением на классы, дал более полную класси-
классификацию бинарных квадратичных форм. Исследования Гаусса
существенно опирались на развитую им теорию композиции форм.
2. Число классов ft (А) данного дискриминанта Д рассматри-
рассматривается как числовая функция от Л. Эта функция играет большую
роль в различных задачах теории чисел. Изучение этой функции
было начато в работах Гаусса и Якоби, но особенно важные
результаты были получены здесь Дирихле, который дал вывод
формул, выражающих эту функцию через другие, сравнительно
простые арифметические величины.
3. Квадратичные формы с большим, чем два, числом пере-
переменных начали изучаться еще Гауссом (тернарные формы). Наи-
Наиболее общие квадратичные формы от п переменных также изуча-
изучались уже в XIX веке. В настоящее время теория таких форм
с большим успехом развивается многими математиками.
ГЛАВА 32
НЕКОТОРЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ
1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ДВУХ КВАДРАТОВ
И В ВИДЕ Х*+2у*
Общие методы решения диофантовых уравнений е двумя
неизвестными
в целых числах х и у почти не разработаны.
Мы начнем с нескольких диофантовых уравнений, являющихся
частными случаями уравнений, изученных в предыдущей главе.
В качестве первой задачи рассмотрим вопрос о представлении
чисел в виде суммы двух квадратов.
Теорема 298. Уравнение
^Ni A)
еде N(N>0) целое, имеет решения в целых, взаимно про-
простых числах х и у тогда и только тогда, когда каноническое
разложение N не содержит, простых чисел р вида 4п + 3 и
296

( . Число собственных представлений N в виде A) равно 4с\
где v—число решений сравнения
) B)
Примечание. Число решений сравнения BJ было определено
в теореме 226.
Доказательство. На странице 190 (частный случай тео-
теоремы 213) было найдено, что при взаимно простых х и у число
вида х2 + У2 не делится на простые числа р = 4п + 3, поэтому,
если N имеет хотя бы один такой делитель, уравнение A) не имеет
решений с взаимно простыми х и у. При (х, у) — 1 по крайней
мере одно из чисел х, у нечетно; левая часть уравнения A)
сравнима с 1 или 2 по модулю 4 и если 4/N, то уравнение A)
также не имеет решения с такими х, у.
Если N не имеет простых делителей вида 4п + 3 и 4-fjV,
то (теоремы 226 и 207) сравнение B) имеет решения, т. е. и=й=О.
Заменяя В через 2z, легко определить, что число решений
сравнения
B2 = -4(mod4JV)* C)
в два раза больше, чем число решений сравнения B), т. е.
равно 2и. Поскольку вместе с каждым В сравнению C) всегда
удовлетворяет и AN—В, то число решений этого сравнения, таких,
что 0^B<c2N, равно v и, следовательно, согласно результа-
результатам, полученным в предыдущей главе, существует v форм
{N, В, С} с дискриминантом —4, у которых 0^B<.2N.
Все эти формы согласно теоремам 291 и 293 эквивалентны
{1,0, 1} и для каждой из них (теорема 297) существуют четыре
унимодулярные линейные подстановки, переводящие { 1, 0, 1 }
в такую форму {N, В, С}, т. е. общее число таких преобра-
преобразований равно 4и.
Различным унимодулярным линейным подстановкам соответ-
соответствуют различные представления N в виде A) (теорема 287), и,
таким образом, результаты, полученные в 31-й главе (см. стр. 293),
показывают, что число представлений N в виде A) равно 4v.
Если N = p\l ... Ps' или N = 2pi1 ... p*J, где все pf — про-
простые числа вида 4п+1, то сравнение B) имеет 2* решений, и
число представлений N в виде A) равно 2S+2.
Каждому решению х0, у0 уравнения A) можно сопоставить
восемь решений, получающихся перестановкой этих величин и
различными изменениями в их знаках. Если рассматривать только
положительные значения неизвестных, то решений будет v.
Частный случай теоремы 298 для простых значений N был
доказан Эйлером.
Теорема 299. Если не считать различными разложения,
отличающиеся порядком слагаемых, то каждое простое число-
297

p = 4n +1 единственным образом разлагается на сумму двух
квадратов.
Доказательство. При N — p = 4n+l сравнение B)
имеет два решения (у = 2). Уравнение х2 + у2 = р имеет два
решения в положительных числах, при этом (х, у) = \, х=/=у,
так что если разложения р — х2 + у2 и р = у2 + х2 считать оди-
одинаковыми, то будет в точности одно и только одно разложение.
Решения уравнения х2-\-у2 — р можно найти, рассматривая
числа р—I2, р — 22, р—З2, ..., пока не найдем среди них квад-
квадрата. Применение общих теорем предыдущей главы требует
обычно более длинных вычислений, чем непосредственный под-
подбор. Совершенно аналогично теореме 298 можно рассмотреть
представления положительных чисел в виде х2-\-2у2.
Теорема 300. Уравнение
x2 + 2y2 = N, D)
где N—положительное нечетное число, имеет решения в це-
целых взаимно простых числах х, у тогда и только тогда, когда
каноническое разлоэкшие N не содержит простых чисел р
вида 8n-f-5 и 8п-\-7. Число таких представлений равно 2v,
где v—число решений сравнения
E)
Доказательство. Необходимость условия была показана
на странице 190 (частный случай теоремы 213).
Если нечетное N не имеет простых делителей вида 8n-f5 и
8п + 7, то сравнение E) имеет решения, т. е. v фО. Совершенно
так же, как и в теореме 298, получаем, что число форм {N, В, С}
с дискриминантом А = — 8, таких, что 0^B<i2N, равной.
Так же, как в теоремах 293 и 294, докажем, что все формы
с дискриминантом А = — 8 эквивалентны форме { 1, 0, 2}.
Действительно, если у приведенной положительно опреде-
определенной формы {а, Ъ, с) дискриминант А = Ь2 — 4ас =— 8, то,
поскольку |&|<а<с, имеем: 8< 8 + Ь2 = 4ас = 8 + 62< 8 + ас,
2<ас<-|, т. е. ас = 2, а = 1, с = 2, Ь=-0.
Таким образом, при А = — 8 так же, как при Л =— 4 и при
А = — 3, имеется один класс положительно определенных форм.
Для каждой из v форм вида {а, Ь, с) существуют (теорема 297)
два унимодулярных линейных преобразования, переводящих
{1, 0, 2} в {N, В, С}, и тогда, принимая опять-таки во внимание
теорему 287, получаем, что уравнение D) имеет 2v решений
с взаимно простыми значениям х и у.
Число решений сравнения E) определяется теоремой 226.
Согласно этой теореме, если N = p\l ... p*s, где все р,-—про-
р,-—простые числа вида 8п+1 и 8п + 3, то v — 2s, и число представ-
представлений N в виде D) равно 2*+1. В частности, отсюда вытекает,
298

что любое простое число р вида 8п + 1 или 8п + 3 единствен-
единственным образом может быть представлено в виде суммы квадрата
и удвоенного квадрата натуральных чисел.
Примечание. При четном N = 2Ni могут быть два случая:
1) Если Nt нечетное, то, заменяя в уравнении D) х через 2хх и сокра-
сокращая на 2, мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в теореме 300.
2) Если iVx четно, т. е. 4 | N, то из равенства D) следует 2\х, 2\у, т. е.
не существует решений уравнения D) с взаимно простыми х и у.
Число решений уравнений A) и D) было легко определить
благодаря тому, что для дискриминантов Д =— 4 и А = — 8
существует всего только по однои^у классу квадратичных форм.
Легко видеть, что если {а, Ь, с) — положительно определенная
форма с взаимно простыми а, Ь, с и если существует только
один класс примитивных форм с дискриминантом А = Ь2—4ас,
то совершенно так же, как в теоремах 298 и 300, можно опре-
определить число собственных решений уравнения
ах2 + Ьху + су2 = N.
Известно, что для следующих значений —А^100:
— А = 3, 4, 7, 8, 11, 12, 16, 19, 27, 28, 43, 67 F)
— существует только по одному классу таких квадратичных
форм.
2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ
ЧЕТЫРЕХ КВАДРАТОВ
В 1770 г. Лагранж доказал, что каждое натуральное число
представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство этого замечательного факта опирается на извест-
известное алгебраическое тождество Эйлера:
(а\ + а\ + а\ + а\) ф\ + Ъ\ + Ъ\ + Ь\) = ? + ? + ? + с\, G)
где
Справедливость этого тождества при любых alt a2, а3, а4,
b\, b2, bs, Ь4 легко проверяется непосредственным вычислением.
Начнем с рассмотрения разбиений простых чисел на сумму
квадратов. В то время как простые числа вида An -f-1 предста-
вимы в виде суммы двух квадратов натуральных чисел (тео-
(теорема 299), простые числа вида 4п + 3 не всегда представимы
даже в виде суммы трех квадратов целых чисел. Легко, напри-
например, заметить, что число 7 нельзя представить в виде суммы
трех таких квадратов. Вместе с тем оказывается, что каждое
299

простое число представимо в виде суммы четырех квадратов
целых чисел.
Для простых чисел вида р = An + 1 это представляет собой
непосредственное следствие теоремы 299, так как из р = аг + Ьг
следует р = а2 + Ьа + 02 + 0а. Докажем, что и простые числа р
вида 4п + 3 также представимы в виде суммы четырех квадра-
квадратов. Чтобы иметь доказательство, не зависящее от результатов
31-й главы, будем брать общий случай произвольного простого
числа. Нам понадобится следующая вспомогательная теорема.
Теорема 301. Для любого простого числа р^2 существуют
целые числа т, х0, у0, такие, что 1<т<-§- и
xl + yl + l=pm. (8)
Доказательство. Числа
О2 I2 22
попарно несравнимы по модулю р. Действительно, то, что среди
чисел I2, 22, ..., (^—) нет сравнимых по модулю р, мы
доказали в теореме 203, а то, что эти числа несравнимы с 0,
очевидно. Отсюда вытекает, что и числа
-1, -1-12, -1-2», .... -\-(Р=±у (Ю)
попарно несравнимы по модулю р.
Общее число чисел в последовательностях (9) и A0) равно
р+1» т. е. превосходит общее число классов по модулю р, а
это значит, что среди них, взятых в совокупности, есть по
крайней мере одна пара чисел, принадлежащих одному классу,
т. е. сравнимых по модулю р. Одно из чисел такой пары при-
принадлежит последовательности (9), а другое—A0), т. е. при не-
некоторых х0 и у0, где 0 ^ х0 ^ ^-, 0 < г/0 < ^- , имеем:
*о = — 1 — Уо (mod p), xl + у\ + 1 == 0 (mod p),
+ i =pm,
1p ^-2 •
Из равенства (8) непосредственно видно, что т Ss 1.
Теорема 302 (Лагранж). Каждое простое число предста-
вимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство. Согласно предыдущей теореме для
каждого простого числа р>2 существует т, такое, что
1 <:т<%- и
1 рт = х
300

т. е. рт представимо в виде суммы четырех гквадратов. Обо-
Обозначим через рт0 наименьшее положительное число, кратное р,
представимое в виде суммы четырех квадратов целых чисел;
тогда
l l l l A1)
при некоторых целых ах, а2, as, а4 и 1 <то<-|- .
Докажем сначала, что т0 — нечетное число. Действительно,
если бы было mo = 2m', то из равенства A1) следовало бы, что
среди чисел alt a2, as, a4 не может быть одного или трех не-
нечетных чисел, т. е. числа at, a2, а3, а4 либо все четные, либо все
нечетные, либо, наконец, два четных и два нечетных. Мы мо-
можем тогда разбить эти числа на две пары, так, что в каждую
пару входят числа одинаковой четности и, если, например,
21 2, 2|а3 + а4. записать равенство A1) в виде:
' V 2
где ls?m'<m0, что противоречит тому, что рт0 было наи-
наименьшим числом, кратным р, представимым в виде суммы
четырех квадратов целых чисел. Таким образом, т0 — нечетное
число.
Обозначим через rx, r2, rs, r4 соответствующие наименьшие
по абсолютной величине вычеты чисел alt a2, as, a4 по модулю
т0 так, что, поскольку т0 нечетно, все |г,-| < ^-. Поскольку все
rl = al(modm0), из равенства A1) следует:
Л -+• Л + г\ + г\ ==а\ + а\ -\~ а\ + а\ е= 0 (mod m0),
-rl + rl + rl + rl A2)
Перемножая равенства A1) и A2) и пользуясь формулой G),
получаем:
A3)
где
Ci = <hri + fl/2 +a3rz+as i =з a\ -f a\ + a\ + a\ = 0 (mod m0),
ca = a1'-2 — Vi + a^i — a4rs=zi 0 (mod m0).
Для cg и c4 аналогично получаем c3 ^ 0 (mod m0), c4 ^ 0 (mod m0).
301

Деля все члены равенства A3) на ml, получаем:
где все — целые.
т0
0
Поскольку рт0 было наименьшим положительным числом,
кратным р и представимым в виде суммы четырех квадратов,
а Ог^/</л0, то равенство A4) показывает, что / = 0. Из ра-
равенства A2) получаем:
0) при t = l, 2, З, 4,
ml\mop, mo\p,
т. е. поскольку 1<то<|-, то то=1. Равенство A1) прини-
принимает вид p — al + al-\-al+a24, т. е. р представимо в виде суммы
четырех квадратов целых чисел.
При р = 2 имеем: 2= 12+ 12+ ОМ-О2.
Теорема 303 (Лагранж). Каждое натуральное число пред-
представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел.
Доказательство. Мы доказали, что каждое простое
число представимо в виде суммы четырех квадратов целых
чисел. Формула G) показывает, что произведение двух, а сле-
следовательно, и любого числа простых чисел, каждое из которых
представимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел,
также представимо в таком виде.
Поскольку каждое натуральное число, большее чем 1, есть
произведение простых чисел, а 1 = l2-f 02 + 02 + 0а, утвержде-
утверждение справедливо для всех натуральных чисел.
3. ПРОБЛЕМА ВАРИНГА
Рассматривая разбиения чисел на сумму квадратов, мы,
естественно, подходим к более общей проблеме о представле-
представлениях чисел в виде сумм n-х степеней. В 1770 г. английский
математик Варинг высказал без доказательств ряд предложений,
относящихся к этой проблеме. Варинг утверждал, что каждое
натуральное число представимо в виде суммы не более 9 кубов,
19 биквадратов и т. д.
Общая проблема, возникшая в связи с этими в сущности
только эмпирическими соображениями и получившая название
проблемы Варинга, заключается в том, чтобы доказать, что для
каждого натурального .п существует s, такое, что любое целое
положительное N представимо в виде суммы s слагаемых, яв-
являющихся точными л-ми степенями целых неотрицательных чи-
чисел. Решение этой проблемы было получено только в 1909 г.
Мы дадим формулировку теоремы, доказанной впервые Д. Гиль-
S02

бертом; изложение любого из известных доказательств заняло
бы слишком много места и по своему характеру выходит за
рамки этой книги.
Теорема 304. Для любого фиксированного натурального числа
п существует определенное число s, зависящее только от п,
такое, что для каждого натурального N уравнение
N = ? + ?+...+x2 A5)
имеет решение в целых неотрицательных числах хх, х2, ..., xs.
В теореме утверждается существование для каждого п соот-
соответствующего s, обладающего таким свойством, так что s = s(n).
Конечно, основное здесь то, что s не зависит от N, иначе
утверждение было бы совершенно тривиальным, поскольку
N — x1-\-... +хЪ при хх= ... —xN=\. Для каждого п можно
рассматривать наименьшее значение s, при котором каждое
натуральное число N представимо в виде A5); это наименьшее
значение s, зависящее от п, обозначают обычно через g(n).
Например, gB) = 4. Действительно, каждое натуральное
число представимо в виде суммы четырех квадратов целых не-
неотрицательных чисел (теорема 303), и, как было отмечено, су-
существуют числа, не представимые в виде суммы трех квадра-
квадратов, например, как это легко видеть, все числа вида N = 8k + 7.
При п = 3 было доказано, что ?C)гё9. Существуют два
числа, а именно 23 и 239, которые нельзя представить в виде
суммы восьми кубов, что означает: ?C)^9, а значит gC) = 9.
Оказывается, что, кроме этих двух чисел, все остальные на-
натуральные числа представимы в виде суммы восьми кубов.
Вообще, для каждого п существуют сравнительно небольшие
числа N, для которых в уравнении A5) приходится брать много
слагаемых; наличие таких чисел определяет то, что при увели-
увеличении п функция g(n) быстро растет.
Теорема 305.
2^ — 1; тогда N < 3",
так что в представлениях N в виде A5) целые положительные
хх, х2, ..., х. могут равняться только 2 и 1. Слагаемых вида
2" при таком N может быть не больше, чем ^ —1, так что,
2» — 1J = 2" — 1, имеем:
й-
A6)
1 раз 2"— 1 раз
303

Если в разложевии N уменьшить число степеней двойки и
увеличить число единиц, то общее число слагаемых только воз-
возрастет. Наименьшее число слагаемых в разложении A5) для
такого N, как это видно из A6), равно ^ +2" —2, т. е.
g{n) ^2"+Щ-2. .
Имеются основания предполагать, что 2"+ Iш\ —2 является
для всех n^sl истинным значением g(n). Известны следующие
результаты (теоремы 306 и 306'), которые мы приводим без дока-
доказательств.
Теорема 306. Если при натуральном п, отличном от 4 и
5, .имеет место неравенство
3»-2»[Р] <2»-[g], A7)
то
Теорема 303 представляет собой частный случай теоремы 306.
Теорема 306'. Если при натуральном п имеет место нера-
неравенство
то
?(«) =
Если ставить вопрос о представлении натуральных чисел в
виде A5) не для всех натуральных чисел, а только всех чисел,
начиная с некоторого, то число s необходимых для этого сла-
слагаемых оказывается значительно меньшим.
Обозначим через G (п) наименьшее значение s, при котором
уравнение A5) имеет решение в целых неотрицательных числах
хи хг, ..., xs для всех чисел N, начиная с некоторого N^>N0,
т. е. для всех натуральных чисел N, исключая, может быть,
только конечное их число.
При п = 2 значения g(n) и G (п) совпадают: GB) = 4, так
как (см. выше) существуют сколь угодно большие числа, не
представимые в виде суммы трех квадратов. В 1942 г. Ю. В. Лин-
ник доказал, что G C) «g7. Было также доказано, что G D) = 16,
G E) а^ 23. Как быстро растет функция G (п) при увеличении л?
Как много придется брать слагаемых в уравнении A5) при боль-
больших п, чтобы оно было разрешимо в целых неотрицательных
числах для всех натуральных N, начиная g некоторого? Ряд
304

крупных современных математиков разрабатывали методы оценки
функции G (п). Особенно эффективным оказался метод И. М. Ви-
Виноградова, доказавшего, что
G(n) — O(n\nn).
4. НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ФЕРМА
Рассмотрим теперь неопределенное уравнение Ферма
x*—Dy2=l, A8)
имеющее большое значение во всей теории диофантовых урав-
уравнений. Мы докажем, что при каждом натуральном значении D,
отличном от полного квадрата, это уравнение имеет бесконеч-
бесконечное множество решений в целых числах, и дадим общий метод
для нахождения всех его решений.
Теорема 307. Пусть D—целое положительное неквадратное
число и х0, у0 (хо>О, уо>О) — решение диофантова уравнения
A8); тогда х0 и у0 представляют собой соответственно числи-
числитель и знаменатель одной из подходящих дробей к У D.
Доказательство. Из х\—Dy\ = \ следует, что — >
(х0 - уоУо) (х0+Yd у0) = 1,
У о ~~ ~
т. е. согласно теореме 245 —=у~—одна из подходящих дро-
Уо 4s
бей к VD. Поскольку х0 и у0, удовлетворяющие уравнению
X Р
A8), — взаимно простые числа, из равенства —=гг следует:
Уо У«
P Q
В теореме 265 мы получили общий вид разложения
цепную дробь, а именно:
^ ^^ ... A9)
Оказывается, что решениями уравнения A8) могут быть чис-
р
лители и знаменатели только тех подходящих дробей -^ к A9),
у которых индекс s имеет вид kn— 1.
Теорема 308. Если х0, у0 (хо>О, у0 > 1) — решение диофан-
диофантова уравнения A8), то хо = Ры^, yo = Qkn-i> где ъп~1—"°д'
Чкп—1
ходящая дробь к A9).
Доказательство. В предыдущей теореме мы доказали,
что если пара целых положительных чисел х0, у0 представляет
305

p
собой решение уравнения A8), то xo = Ps, yo — Qs, где ~ —
подходящая дробь к a —YD- Число а есть корень квадратного
уравнения с целыми коэффициентами
x2-D = 0. B0)
Полное частное &s+1 = as+1-\-as+2-{-... разложения YD в
цепную дробь представляет собой корень некоторого квадрат-
квадратного уравнения
As+1aUi + Bt+1as+1 + Cs+1 = 0
с тем же дискриминантом, как у уравнения B0) (теорема 262),
и согласно формулам 28-й главы (стр. 254) (при n = s+ 1, А = 1,
5 = 0, С= —D) имеем:
As+1 = Pl-DQ2s=l, a BS+1 = 2(PSPS_1-DQSQS_1);
Bs+1— четное число, которое мы обозначим через —21. Решая
квадратное уравнение для as+1, получаем as+1 = lJryrD, т. е.
разложение as+1 в цепную дробь должно иметь тот же период,
как в разложении A9) числа YD, и отличается от него только
начальным членом. Это может быть только при l = a0, s —J— 1 ==
= kn, т. е. s — kn—l. Теперь остается только выяснить, какие
именно из чисел Pkn-i> Qkn-i являются решениями уравнения A8).
Теорема 309. Пусть D—целое положительное неквадратное
число, k —длина периода разложения YD в цепную дробь. Мы
получим все решения уравнения A8) в целых положительных
числах х и у, если положим:
где п—любое натуральное число, такое, что kn четно.
Доказательство. В предыдущей теореме мы уже уста-
установили, что все целые положительные решения уравнения A8)
находятся среди пар вида Pkn-i, Qkn-i- Нам остается только
выяснить, при каких п числа xo = Pkn_lt У0 = 0.кп-\ удовлетво-
удовлетворяют уравнению A8). _
Полное частное akn в разложении A9) числа YD имеет вид:
т. е.
aka = a0 + VD. B1)
Согласно формуле (8) 24-й главы
l/T) Pk
306

так что, подставляя сюда значения akn из формулы B1), полу-
получаем:
B2)
Поскольку yD иррационально, из равенства B2) следует:
kn-i= aoPkn-i + Pkn-г-
Умножая первое из этих равенств на Pkn-lt а второе на
kn-i и вычитая, получаем:
Следовательно, пара Pkn-lt Q*n_i будет являться решением
уравнения A8) тогда и только тогда, когда ( —1)*"=1, т. е.
при четных значениях kn. Наименьшими положительными зна-
значениями х0, у0, удовлетворяющими уравнению Ферма A8), яв-
являются:
*o = P*-i> Уо = О.к-1> если k четно.
хо = ргк-1> Уо = О.ы-х> если k нечетно.
Примеры. 1) Найти наименьшие целые положительные
значения х, у, удовлетворяющие уравнению х2 — 22г/2=1.
Разлагая j/^22 в цепную дробь, получаем:
/22 =
Здесь k = 6 — четное число, поэтому х0 = Рь, у0 — Q5 — искомые
наименьшие значения х и у. Вычисляя, находим лс0 = 197,
Уо = 42.
2) Найти наименьшие целые положительные значения х, у,
удовлетворяющие уравнению хг—13г/2 = 1.
Разлагая ]/ТЗ в цепную дробь, получаем:
/13=3 + ^1 +^1 +^1 + *1 +^6+ ...
Здесь k — Ъ, наименьшее четное kn равно 10, поэтому иско-
искомые значения хо = Р9, yo = Q9. Вычисляя, находим: яо = 649,
Уо-180.
Совершенно аналогично уравнению A8) можно решить урав-
уравнение
x2-Dy* = — 1. B3)
Теоремы 307 и 308 переносятся на этот случай без всяких
изменений, а в теореме 309 вместо условия четности kn надо
поставить условие 2^ kn. Таким образом, при четных значениях
k диофантово уравнение B3) не имеет решений.
307

6. ПРОБЛЕМА ФЕРМА
Рассмотрим диофантово уравнение
хш + уж = гшг B4)
где х, у и г—натуральные числа.
Известно, что числа х, у, г можно рассматривать как длины
двух катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.
Геометрически задача решения неопределенного уравнения B4)
формулируется как задача нахождения прямоугольных треуголь-
треугольников, у которых длины всех сторон —целые числа.
Эта задача рассматривалась математиками различных стран
еще в глубокой древности.
Общие делители двух из величин х, у, г в уравнении B4)
должны быть делителями третьей из них и могут быть сокра-
сокращены. Мы можем поэтому ограничиться рассмотрением взаимно
простых значений неизвестных.
Теорема 310. 1) Если х, у, z—попарно взаимно простые
числа, удовлетворяющие уравнению B4), то из двух чисел х
и у одно четно, а другое нечетно.
2) Взаимно простые числа х, у, г (х>0, у>0, г>0), из
которых х четно, удовлетворяют уравнению B4) тогда и только
тогда, когда
x = 2ab, у = а* — Ь*. г = а* + Ьа, B5)
где й>6 5>0, (а, Ь)=\ и из чисел а и b одно четно, а другое
нечетно.
Доказательство. ]) При (х, у) = 1 числа х и у не
могут быть одновременно четными. Если бы х и у были оба
нечетными, то г было бы четным и мы имели бы:
+ у A) + (, ) (
г = 2/г, г2 == 0 (mod 4), 2 = 0 (mod 4),
таким образом, из двух чисел хну одно четно, другое не-
нечетно, а следовательно, г нечетно.
2) Достаточность условий. При любых а и Ь числа
x — 2ab, у = а2—Ьг и z = aa + b2 удовлетворяют уравнению B4).
Действительно,
Bab)* + (а2 - Ь2J = (а2
Если (а, Ь) = 1, (а2 —б2, a2 + 62) = d, то d|2a2, d|26s, и
поскольку а и & различной четности, то (d, 2)=1, d|a8, d\b2,
d=\, т. е. (х, у, 2) = 1.
При a>fr>-0 числа х, у, z натуральные.
Необходимость условий. Пусть х, у, г, где 2\х,—
произвольные взаимно простые натуральные числа, удовлетво-

ряющие уравнению B4); тогда, как это установлено выше,у их
нечетны и
Пусть (j-^-t ^^4=d, тогда d\z и d\y, т. е. d=l. Произ-
Произведение двух взаимно простых чисел ^-~ и ^^ представляет
собой квадрат целого числа, а следовательно (теорема 46),
каждое из этих чисел также является полным квадратом, т. е.
при некоторых целых а и Ъ (а>0, 6>0) имеем:
±
где а>Ь>0. Кроме того, из (х, у, z) — \ следует (а, Ь) = \.
Придавая а и b разные значения, удовлетворяющие условиям
теоремы, мы можем получить все решения уравнения B4).
Например, при а = 2, Ь = 1 получаем: х = 4, г/ = 3, z = 5;
при а = 3, Ь = 2 получаем: я =12, у — Ъ, z=13 и т. д.
Многие диофантовы уравнения, в отличие от уравнения B4),
вообще не имеют решений в целых положительных числах.
Например, уравнение x2-{-y2 + z2 — 0, очевидно, не имеет таких
решений, так как левая часть его при положительных х, у, z
больше нуля.
Существуют диофантовы уравнения, не имеющие решений в
целых положительных числах, хотя левая часть уравнения при-
принимает значения разных знаков. Примером такого уравнения
может служить уравнение л:4 + у4— z2 = 0.
Теорема 311. Уравнение
i * = z* B6)
не разрешимо в целых положительных числах.
Доказательство. Применим индукцию по z, придавая
z всевозможные натуральные значения. В нашем доказательстве
все буквы будут означать только целые положительные числа.
При z=l непосредственно видно, что уравнение B6) не
имеет таких решений.
Предположим, что уравнение B6) не имеет решений с целы-
целыми положительными х и у при всех z<n, а при z = n имеет
такое решение х = х0, у = у0, т. е.
* = п*. B7)
Рассмотрим два случая:
1) (х0, у0, п) = 1; тогда согласно предыдущей теореме либо
2\х0, либо 2\у0. Если 2\х0, то (теорема 310) имеем: yl = a*—bz,
(а, Ь)—1, у0 — нечетное число. Квадраты нечетных чисел имеют
вид 4k +1, а отсюда легко видеть, что разность квадратов двух
взаимно простых чисел а и Ь может равняться квадрату нечет-
нечетного yQ, только когда а нечетно, а Ь четно.
309

Из аг — у1 + Ь2 при (а, Ь) — \ получаем, что a = us + v2,
b — 2uv, где (и, v) = \. Далее, из B7) получим также х% = аBЬ)
и (а, 26)= 1, так что по теореме 46 имеем: a = s2, 2b = t2, где
s и t целые, а поскольку b — 2uv, то /2 = 4«и. Ввиду того что
( t \2
(ы, w)==l, равенство (у) = иу может иметь место (теорема 46)
только при и*=х\, v—y\. Подставляя в равенство a = u2 + vi
найденные выражения для а, и и v, получаем:
xi+y\ = s*. B8)
Из тождества B7) видно, что xl<Cn ,и, кроме того, мы имели
Bbimes2 = a и 2а|*о, так что s^a<Xo<n, т. е. равенство
B8) противоречит тому, что согласно предположению уравнение
B6) не имеет решений в целых положительных числах при 2-<л.
Если 2|г/0, то, рассуждая аналогично, получаем то же про-
противоречие.
2) (*о, Уо, n) = d>l, тогда (jL (fL = (^)\ где целое
tj- < /г, что также противоречит нашему предположению.
Полученное в обоих случаях противоречие показывает, что
из предположения отсутствия решений уравнения B6) с нату-
натуральными х, у и z<Cn следует отсутствие таких решений и
при z = n. Согласно теореме IV уравнение B6) не имеет таких
решений при всех натуральных г.
Неоднородное диофантово уравнение с двумя неизвестными
с однородной левой частью степени, большей чем два, обычно
имеет только конечное множество решений (теорема 274). Мно-
Многие диофантовы уравнения с тремя неизвестными также имеют
конечное число решений или совсем не имеют решений в целых
числах.
Мы не имеем общего метода (алгоритма), который позволял
бы для любого данного диофантова уравнения решать вопрос,
имеет ли оно или не имеет решения в целых числах; неизвест-
неизвестно даже, существует ли такой алгоритм. Мы можем ставить
вопрос о существовании решений в целых или целых положи-
положительных числах для отдельных уравнений или для некоторых
классов диофантовых уравнений определенного вида. Наиболее
известная из таких задач проблема, возникшая еще у Ферма.
В одной из книг Диофанта рассматривается задача о разбие-
разбиении заданного квадрата на сумму двух квадратов, причем Дио-
Диофант имеет в виду квадраты положительных рациональных чи-
чисел. На полях своего экземпляра сочинений Диофанта, там, где
решается эта задала, ГГ. Ферма записал: „Вместе с тем невоз-
невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два би-
биквадрата и вообще невозможно разложить какую-либо степень,
310

большую чем два, на две степени с таким же показателем.
Я нашел поистине удивительное доказательство этого, но поля
книги слишком узки, чтобы вместить его". Ферма так и не
обнародовал свое доказательство, и нам неизвестно, имел ли
он полное доказательство этого утверждения в том смысле,
как мы его понимаем, т. е. для множества всех натуральных
чисел. Несмотря на то что с тех пор прошло более 300 лет,
утверждение Ферма, часто называемое последней теоремой
Ферма, не доказано, хотя и не опровергнуто. Истинное поло-
положение здесь таково, что для нас более уместно говорить не о
теореме, а о проблеме Ферма.
Проблема Ферма. Верно ли, что для любого целого
п^ 3 уравнение
хп + у" = zn B9)
не имеет решений в целых положительных числах?
Если для какого-либо п доказано, что уравнение B9) не
имеет решений в целых положительных числах, то говорят, что
утверждение Ферма верно для этого п.
Справедливость утверждения Ферма при п = 4 представляет
собой непосредственное следствие теоремы 311, так как для
такого п уравнение B9) можно записать в виде
д:* + г/4 = (г2J.
Легко видеть, что если утверждение Ферма верно при неко-
некотором п0, то оно верно и для всех чисел, кратных п0. Это
вытекает из того, что уравнение x"»k + yn°k = z"°* можно запи-
записать в виде (х*)"° + (ук)п° — (гк)п«.
Для очень многих частных значений п утверждение Ферма
оказалось верным. Вместе с тем огромное число безуспешных
попыток решить элементарными методами проблему Ферма в
общем виде привело математиков к мысли, что ее решение не
лежит в рамках элементарной арифметики и алгебры.
Исторические комментарии к 32-и главе
1. Великий древнегреческий математик Диофант жил и рабо-
работал в Александрии. Время его жизни в точности неизвестно;
большинство историков относит его к III или IV веку нашей
эры. То немногое, что мы знаем о его жизни, известно только
благодаря одной арифметической задаче, составленной в поэти-
поэтической форме вскоре после Диофанта. В ответе, который полу-
получается при решении этой задачи, содержится, в частности, то,
что Диофант умер 84 лет от роду.
Диофант написал „Арифметику", состоящую из 13 книг,
„Поризмы", „Полигональные числа". Большая часть его сочи-
сочинений не сохранилась. Из 13 книг его „Арифметики" до нас
дошло только 7 книг. Большая часть известных нам книг
311

„Арифметики" посвящена решению систем неопределенных урав-
уравнений 2-й степени. Решая весьма разнообразные системы неоп-
неопределенных уравнений, Диофант проявил большое мастерство и
изобретательность. Диофант рассматривает рациональные, но,
конечно, как во всей древнегреческой математике, только поло-
положительные значения неизвестных. В отличие от Евклида и боль-
большинства других древнегреческих математиков Диофант не
излагает строго логических доказательств, обосновывающих
применяемые им приемы. Основная его цель—дать метод нахож-
нахождения решения. Он не ставит себе задачу нахождения всех
решений неопределенного уравнения даже тогда, когда их бес-
бесчисленное множество, и вполне удовлетворяется отысканием
одного решения. Сочинения Диофанта оказали решающее влия-
влияние на весь последующий период развития теории чисел.
2. Ферма знал доказательство того, что каждое простое
число вида р = 4п+1 представимо в виде суммы двух квад-
квадратов, но сохранились только некоторые указания о методе
его доказательства (так называемый „метод спуска").
Эйлер в 1749 г. опубликовал первое из известных нам
доказательств теоремы 299. Он доказал также, что, если число
вида 4п+1 составное, оно или вообще не представимо в виде
суммы двух квадратов, или имеет больше, чем одно такое
представление. Таким образом, единственность представления
числа вида 4л -f-1 в виде суммы двух квадратов — необходимое
и достаточное условие того, чтобы это число было простым.
Условия существования решений уравнения A) (теорема 298)
были без доказательства известны еще голландскому математику
Жирару A595—1632). Доказательство теоремы, данное Эйлером,
основывалось на теореме 299 и тождестве
3. Теорема о том, что простые числа вида р — 8п-{-1 и
р = 8п + 3 представимы в виде х2-\-2у2, была высказана Ферма
в 1654 г. и доказана Эйлером в 1763 г. Эйлер доказал также,
что простые числа вида р = 6п+1 представимы в виде х2 + 3у2.
Теория квадратичных форм для доказательства теорем такого
типа была применена впервые Лагранжем в 1773 г.
4. Если все формы с дискриминантом А примитивны, то
дискриминант Д называется фундаментальным. Наибольший по
абсолютной величине из известных фундаментальных отрица-
отрицательных дискриминантов А, для которого существует только
один класс, —это Д=—163 (h( —163)= 1). Доказано, что при
— 500000000< А< — 163 для всех фундаментальных дискрими-
дискриминантов А величина h(A)>l, а среди фундаментальных дискри-
дискриминантов А < — 500000 000 существует самое большее один
дискриминант, такой, что /i(A)=l (Хейльбронн, Линфут, Лемер).
312

5. Теорема 303 была высказана Баше де Мезирьяком в
1621 г., который проверил ее справедливость для многих нату-
натуральных чисел; эту теорему часто называют теоремой Баше.
Ферма на полях своего экземпляра сочинений Диофанта написал,
что методом спуска получил доказательство теоремы Баше.
Первое известное доказательств теоремы принадлежит Лагран-
жу, и поэтому мы называем ее теоремой Лагранжа.
6. Английский математик Варинг A734 — 1798) известен
больше всего по своим работам в теории симметрических мно-
многочленов. В теории чисел его имя связано только с поставлен-
поставленной им проблемой о представлении чисел в виде суммы степе-
степеней (теорема 304). Эта проблема, получившая его имя, постав-
поставлена им в его сочинении „Meditationes algebraicae". После
Гильберта ряд математиков дали различные, более простые,
чем у Гильберта, доказательства теоремы Варинга. Сравнительно
элементарное доказательство теоремы было дано Линником.
7. Теорема 306 — результат работ ряда математиков, начиная
с Лагранжа, рассмотревшего случай п — 2. Частными случаями
теоремы 306 является то, что gC) = 9, gF) = 73, gG)=143,
g(8) — 279. Случай п = 3 был рассмотрен Виферихом в 1909 г.,
а случай п = 6 — индийским математиком Пиллаи в 1940 г. При
п^=7 результат теоремы 306 был получен в работах Диксона,
Нивена и Рабегендея. Теорема 306' принадлежит Диксону.
Существование gD) было доказано впервые Лиувиллем в 1859 г.
Точные значения gD) и gE) до сих пор неизвестны. Число 79
нельзя представить в виде 18 биквадратов, так что gD)^19.
С другой стороны, было доказано, что gD)^35, т. е. 19=^
^8D) =^35 (Диксон). Относительно gE) известно, что 37^
*^gE)e^40 (Чень Цзынь-жунь).
Неравенство A7) было проверено для очень многих п, и
пока не было найдено ни одного натурального п, для которого
оно было бы неверным.
В 1957 г. Малер доказал существование п0, такого, что фор-
формула
верна при всех п^п0.
С другой стороны, электронно-вычислительные машины дали
возможность Стемлеру в 1964 г. установить справедливость этой
формулы для всех п ^ 200 000.
8. При всех п^з2 справедливо неравенство G{n)^n-\-1, так
что оценка G(n) — O(n\nn) не может быть слишком сильно улуч-
улучшена. И. М. Виноградов доказал, что G(n)<nC lnn+H), а Дун
Гуан-чан, пользуясь методом Виноградова, получил в 1957 г.
оценки: G(n) < лClnn-f ?) при л = 2* и G(n)<nC1nn + 7) при
?2к
313

Существует предположение, что G(n)<2n-fl при п
) = 4n при л = 2*, k>\.
Справедливость этой гипотезы до сих пор не установ-
установлена.
9. Уравнение A8) часто называют уравнением Пелля, так
как именно под таким названием оно фигурирует в трудах
Эйлера. Пелль не занимался этим уравнением, и название было
дано Эйлером по ошибке. Ферма, по-видимому, первый матема-
математик, знавший общий метод решения уравнения A8), и поэтому
это уравнение многие математики называют уравнением Ферма.
Ферма знал доказательство того, что это уравнение при любом
целом положительном D, отличном от полного квадрата, имеет
бесконечное множество решений, но свое доказательство не
опубликовал. Ферма предложил английским математикам Броун-
керу A620 —1684) и Валлису в качестве задачи доказать уже
известный ему факт существования бесконечного множества
целочисленных решений уравнения A8). Броункер дал метод на-
нахождения решений уравнения Ферма, но вопрос о числе реше-
решений этого уравнения остался у него невыясненным. Исследова-
Исследования Броункера были приведены в трудах Валлиса, а затем вошли
во второй том алгебры Эйлера. Вместе с тем ни Броункер, ни
другие английские математики и даже Эйлер не доказали, что
уравнение Ферма при любом целом положительном D, отличном
от полного квадрата, имеет решения в целых числах; это было
сделано только Лагранжем.
Можно отметить, что отдельные уравнения вида A8) встре-
встречались задолго до работ Ферма, Броункера и Лагранжа. Так,
например, такие уравнения рассматривались индусским матема-
математиком VII века Брамегупта, который умел решать их, а уравне-
уравнение х* — 2у2=\ встречается еще раньше у греческих и индус-
индусских математиков примерно за четыре столетия до нашей эры.
10. Отдельные целочисленные решения уравнения B4) были
известны в глубокой древности. Общие решения уравнения B4)
были даны в трудах Евклида и Диофанта. Формулы B5), дающие
целочисленные решения уравнения B4), рассматривались также
древними индусскими математиками.
Доказательство теоремы 311 было дано Ферма, а затем Эйле-
Эйлером. Ферма в одном из своих писем дал в общих чертах дока-
доказательство теоремы, а его друг Френикль де Бесси по этим
указаниям восстановил и опубликовал его в 1676 г. По вопросу
о том, имел ли Ферма полное решение проблемы, получившей
его имя, можно только строить догадки, и имеются серьезные
основания сомневаться в этом.
Первое опубликованное доказательство утверждения Ферма
при п = Ъ было дано в 1774 г. Эйлером. Весьма вероятно, что
независимо от общего случая оно было известно Ферма. Дока-
Доказательство Эйлера было не совсем полным: недостающее звено
314

было восполнено после опубликования Лагранжем своих иссле-
исследований по теории бинарных квадратичных форм.
При п = 5 доказательство утверждения Ферма было дано
Лежандром и Дирихле в 1823—1827 гг., а при л = 7—Ламэ
в 1837 г. Общий подход к проблеме Ферма был намечен в рабо-
работах немецкого математика Куммера, который применил создан-
созданную им для этого теорию алгебраических чисел. Первоначаль-
Первоначальный результат, полученный Куммером, связан с арифметической
природой чисел Бернулли.
Числами Бернулли (по имени швейцарского математика Якова
Бернулли) называются числа В1( Вг, ... , определенные соотно-
соотношениями
Придавая в формуле C0) п последовательно значения 1, 2, 3
можно вычислять значения Bt:
Куммер доказал, что если при некотором простом р числители
у Ви В2, ..., Вр-з не делятся на р, то при п = р уравнение B9)
2
не имеет решений в целых положительных числах. В дальней-
дальнейшем Куммер и другие математики значительно усилили этот
результат, и в настоящее время таким путем удалось, в част-
частности, доказать справедливость утверждения Ферма для всех п
в пределах от 3 до 4002.
ГЛАВА 33
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
1. ЧИСЛО И СУММА ДЕЛИТЕЛЕЙ
В теории чисел рассматриваются разнообразные функции / (п),
значения которых при натуральных значениях п связаны с ариф-
арифметической природой п. Множество рассматриваемых функций
удобнее не ограничивать заранее какими-либо требованиями,
кроме единственного требования: каждая функция должна быть
определена для всех натуральных значений аргумента.
Определение 88. Функция f (x) называется числовой, если она
определена при всех натуральных значениях аргумента х.
Согласно этому определению значительная часть функций,
рассматриваемых обычно в математическом анализе, таких, как,
например, ех, sin x, arctgx, loga#,— числовые функции. Обычно
315

в теории чисел рассматривают числовые функции, которые либо
вообще определены только при натуральных значениях аргумента,
либо функции, для которых натуральные значения аргумента
являются характерными точками, определяющими величину функ-
функции и в Других точках. В качестве примера таких числовых
функций могут служить рассмотренные нами раньше: функция
Эйлера ф(п) (определение 35), функция [х] (определение 16).
Функция Эйлера вообще определена только при натуральных
значениях аргумента, а у функции [х] все значения определя-
определяются ее значениями при целых х.
Рассмотрим сначала числовые функции х(п) и о (п), завися-
зависящие от делителей аргумента, т (п) определяется как число поло-
положительных делителей натурального п, а о (п) определяется как
сумма положительных делителей п, т. е.
т(я) = 21. o(n) = %d. A)
din din
Примеры. тA) = 1, тA8)=6, так как у числа 18 шесть
положительных делителей: 1, 2, 3, б, 9 и 18.
Если р простое, то т(р) = 2.
оA8) = 1+2 + 3 + 6 + 9+18 = 39; а(р) = 1+р.
Теорема 312. Если р^'-р- ... -р"»— каноническое разложе-
разложение натурального числа, то
т(р«1.р°- ... .р?«) = (а1+1)(а, + 1)... («,+ !)• B)
Доказательство. Любой положительный делитель числа
п = р°1-р°". ... .р«« (теорема 20) имеет вид р\1Р^' ... pf", где
О^Р!^^, 0<ра^а2, ..., 0 sSp^sSOf, и, таким образом, число
положительных делителей п равно числу комплексов((Р1( р2>..., Р),
где рх принимает ах + 1 значений от 0 до ах, р2 принимает
аа+1 значений от 0 до а2, ... , р% принимает а,+ 1 значений
от 0 до as. Согласно теореме VI число таких комплексов равно
(а1+1)(а2+1)...(а,+ 1), т. е.
r(p^pf ... р«') = («1+ О (аа + 1)... К+ 1).
Примеры. тA000000) = tBe.5e) = 7-7 = 49, тD8510) =
= тB.32.5-72.11) = 2.3.2.3-2=72.
Теорема 313. Если р°«р%* ... р°« — каноническое разложение
натурального числа, то
316

Доказательство.
o(PaSP«> ...p°>)= 2 d= 2 pbft---ft
, + ...+р«.). D)
Действительно, перемножая числа, стоящие в скобках, в пра-
правой части, мы получим слагаемые вида р\1р^ ... pfs, где р\ при-
принимает значения от 0 до ах, р*2—от 0 до а2, ... , $s—от 0 до as,
причем каждое такое слагаемое суммы в левой части D) полу-
получится один и только один раз. Чтобы получить формулу C),
остается только каждый множитель правой части записать в виде:
Пример. аA9800)=аB3-За-5а-11)-
_ i2* — 1 2-1 53-1 H»-l_72 540
— 2-1 3-1 5-1 11 — 1 -/Z04U-
Теорема 314. Функции х(п) и о (п) — мультипликативные
функции.
Доказательство. Если а = р°> ... р°» и ft = <7f• ... qf —
канонические разложения взаимно простых чисел а и b (все р,-
и <7у —простые числа), то р°> ... p°s<?f] ... ^f« —каноническое
разложение ab и т(а6) = (а1+ 1) ... (а^+ 1) (рг+ 1) • • • (Р* + 1) —
j ... ; ... ia(a)oF).
Pi—1 Ps— 1 9i— 1 9t— 1 ^ ' v >
Сумма собственных положительных делителей натурального
числа п бывает меньше, чем п („недостаточные числа"), а бы-
бывает и больше, чем п („избыточные числа").
Иногда, правда очень редко, встречаются числа, у которых
сумма собственных положительных делителей в точности равна
самому этому числу. Такие числа получили название „совер-
„совершенных чисел". Вместе с самим числом п сумма положитель-
положительных делителей такого числа п равна 2п, так что мы можем
дать следующее определение.
Определение 89. Число п называется совершенным, если
о{п) = 2п.
Совершенные числа рассматривались еще математиками Пифа-
Пифагорейской школы в VI веке до нашей эры. Евклид нашел фор-
формулу, позволяющую находить четные совершенные числа. Эйлер
317

доказал, что формула Евклида исчерпывает все множество чет-
четных совершенных чисел. Мы можем объединить результаты
Евклида и Эйлера в виде следующей теоремы.
Теорема 315. Четное число п является совершенным тогда и
только тогда, когда оно имеет вид:
п = 2*-1B*-1), E)
где fe^2, a Р = 2к—1— простое число.
Доказательство.
1) Достаточность условия. Если Р = 2*—1—про-
2*—1—простое число, то 2к~х Р — каноническое разложение п, и согласно
формуле C) имеем:
т. е. п — совершенное число.
2) Необходимость условия. Пусть п—четное совер-
совершенное число. Представим п в виде п — 2к~1Ь, где Ь — нечетное
число, k^2. Поскольку а (х) — мультипликативная функция и
Bк~\Ь) = \, то
а (п) = о B*~ *) с (Ь) = B* — 1) а (Ь).
По условию а(п) = 2п = 2кЬ, так что
Bк— \)оф) = 2*Ь. F)
Из равенства F) видно, что 2* — \\2kb, и так как
Bк — 1, 2*)=1, то 2*—1|6, Ь = Bк—1)с, где с—собственный
делитель Ь. Подставляя в F) вместо Ъ величину B*—1)с и
сокращая на 2к—1, получаем:
* * G)
Выше было отмечено, что с\Ь и с<Ь. Если бы с не рав-
равнялось 1, то у Ь было бы по крайней мере три положительных
делителя: Ь, с и 1; o(b)^b+c-\-\, что противоречит, равен-
равенству G). Таким образом, с = \ и fr = 2ft— 1 имеет согласно G)
только два положительных делителя: Ь и 1, т. е. Ъ — простое
число. Тогда
/г = 2*-1& = 2*-1B*-1),
где 2*—\—Р—простое число.
Простые числа вида Р = 2к—1 мы назвали простыми чис-
числами Мерсенна. Было доказано (стр. 35), что число вида 2*—1
может быть простым, только когда само k—простое число.
Таким образом, четные совершенные числа п имеют вид:
n^2iBp— 1), где Р = 2Р— 1 — простое число.
Каждое простое число Мерсенна Р = 2Р — 1 дает нам неко-
некоторое совершенное число, и, вычисляя последовательные числа
Мерсенна, мы получаем все четные совершенные числа.
318

Указанные на странице 35 значения р — 2, 3, 5, 7, 13, ....
при которых 2я— 1 — простые числа Мерсенна, по формуле E)
(k = р), дают совершенные числа: 6, 28, 496, 8128, 33 550 336, ....
Самое большое известное до сих пор четное совершенное
число 211212 B11213 —1) соответствует самому большому из извест-
известных чисел Мерсенна 211213—1. До настоящего времени неизвестно
ни одного нечетного совершенного числа, и есть основания пред-
предполагать, что нечетных совершенных чисел вообще не суще-
существует. Несмотря на большое число работ, идущих в этом
направлении, доказать это пока не удалось, и проблема суще-
существования нечетных совершенных чисел остается среди нерешен-
нерешенных трудных задач теории чисел.
Многие математики, особенно в ранний период развития
теории чисел, рассматривали так называемые „дружественные"
числа. Числа а и b называются дружественными, если сумма
собственных делителей а равна Ь, а сумма собственных дели-
делителей b равна а, т. е. о (а) — a = b, a (b) — Ь = а, или а(а) =
(b) b
Например, числа 220 и 284 образуют пару дружественных
чисел. Вопросу об отыскании пар таких чисел раньше уделя-
уделялось довольно много внимания, но современная теория чисел
мало интересуется этой задачей.
2. ФУНКЦИЯ МЕБИУСА
Важную роль в теории чисел играет числовая функция
Мёбиуса, обозначаемая обычно через ц(п).
Определение 90. Функцией Мёбиуса называется функция ц (п),
определенная следующими, условиями:
2) (х(п) = (—l)s, если каноническое разложение п имеет вид:
3) (J, (п) = 0, если рг | п, т. е. если в каноническое разложение п
входит хотя бы один простой множитель в степени, большей,
чем первая.
Примеры. ц(90) = цB-3*-5) = 0, цG7) = ц,G«11) = 1,
ц,E6) = ц-B3-7) = 0, ц A05) = м-C-5-7) = —1.
Теорема 316.
Y , i I, если п = \,
Х^ м» \и) ^ < Л . (о)
d\n (.0, если п>\.
Доказательство. 1) При /г=1 сумма равна цA) = 1,
по определению.
2) Если п>\, то существует каноническое разложение
/i = pOi ... p«j. Для любого делителя d\n, содержащего хотя бы
одно простое число в степени, большей, чем первая, ц(й) = О;
319

поэтому в сумме (8) можно оставить только делители произве-
произведения Pj, ... ps, т. е. :
1 < t < S l</</<S
Пример. При п = 84,
= 1-3 + 3-1=0.
Теорема 317 (Мёбиус). Если f(x) и F (х) —числовые функ-
функции, такие, что для любого натурального п
2/(d) = F(n), (9)
ТО
d\n
Доказательство. Из равенства (9) следует, что
_
d
Каждое / (б) будет встречаться в двойной сумме справа при всех d,
таких, что б -г , т. е. при dd\n,d -^ . Поэтому собирая слагае-
слагаемые с одними и теми же значениями б, получаем:
так как 2 М-(^) равна нулю для всех б, кроме 8 — п, а при
6 = п мы получаем одно слагаемое, равное f(n) (теорема 316).
Формулу A0) называют обращением формулы (9) суммиро-
суммирования по делителям.
Примеры. Обращением соотношения т (п) = 2 1 является
din
формула
d\n
Обращением формулы (теорема 118) y^y(d) = m является
am
формула
Ef |*(<0-Ф(т). (П)
320

Эту формулу при т>1 можно преобразовать следующим
образом:
d\m р\т
так что получаем еще одно новое доказательство теорем 116 и 117.
3. ДЗЕТА-ФУНКЦИЯ РИМАНА
Важнейшие числовые функции, рассматриваемые в теории
чисел, непосредственно связаны с функцией, получившей на-
название дзета-функции Римана. Систематическое изучение этой
функции было начато в трудах немецкого математика Римана
во второй половине XIX века.
Определение 91. Дзета-функцией Римана ?(s) называется
функция, определенная при s = a-\-it, где о>1, как сумма
абсолютно сходящегося ряда:
т. е.
ю
п=1
В курсах математического анализа доказывается, что ?(s)
при натуральных четных s выражается рационально через я,
например:
Дзета-функция Римана является частным случаем так назы-
называемых рядов Дирихле, т. е. рядов вида
В теории чисел обычно рассматриваются ряды Дирихле, где
в качестве f(n) фигурируют различные числовые функции. Мно-
Многие такие ряды выражаются через ? (s) с помощью сравнительно
простых формул.
Пример. При действительных s>l / 1 ^^ = С2(s).
п=1
Действительно, возводя в квадрат абсолютно сходящийся
при s>l ряд A2), получаем:
т{т)
11 А. А. Бухштаб Х 321

так как в двойной сумме каждое число N1 = ^^ получается
столько раз, сколькими способами т представймо в" виде про-
произведения двух положительных делителей, т. е. % (т) раз.
Теорема 318. При действительном l
Доказательство. Ряд ^ ^^ сходится абсолютно при
-5. Умножая при s>l этот ряд на аб-
s> 1, так как
солютно сходящийся ряд A2), получаем:
Обозначим пхп = т, тогда m будет принимать все значения
от 1 до оо. Для каждого такого т п будет принимать значения,
равные всем делителям т, так что полученное равенство мы
можем записать в виде:
так как согласно теореме 316 2М"(П) Равна нулю для всех т,
п\т
кроме т=1, при котором получаем слагаемое, равное 1. При
s>l, ?(s);>0, так что, деля обе части равенства A5) на ?(s),
получаем A4).
При s = 2 получаем, в частности:
njx n* ;B) яа<
Примечание. Формула A4), так же как и результат предыдущего
примера, верна и при комплексных значениях s = o-\-it, если а>1.
Исторические комментарии к 33-й главе
1. Евклид в IX книге „Начал" показывает, что все числа,
удовлетворяющие условиям теоремы 315, являются совершен-
совершенными (достаточность условий). Эйлер доказал, что, кроме чи-
чисел, удовлетворяющих условиям теоремы, нет других четных
совершенных чисел (необходимость условий).
Нечетные совершенные числа, если они существуют, должны
иметь сравнительно много различных простых делителей и быть
322

весьма большими по величине, а именно иметь не менее 15 де-
десятичных знаков.
2. Совершенные числа являются промежуточными между так
называемыми недостаточными и избыточными числами. Число п
называется недостаточным или избыточным, смотря по тому,
будет ли а (п) меньше или больше чем 2п. Нечетные числа
бывают как недостаточными, так и избыточными; самое малень-
маленькое среди нечетных избыточных чисел — это число 945.
Известно, что функция А (х), выражающая число избыточных
чисел, меньших или равных х, удовлетворяет неравенствам:
0,241 jc<c А (*)< 0,314л;, так что большинство чисел является
недостаточным. В 1933 г. было доказано существование предела
отношения ——, но величина этого предела пока не определена.
3. Еще Эйлер дал 60 пар „дружественных" чисел. Среди
этих пар 34 такие, в которых оба числа четные, и 26 пар,
в которых оба числа нечетные. В настоящее время известно
уже несколько сот пар дружественных чисел, однако среди них
нет ни одной, в которой одно число было бы четным, а другое
нечетным, и неизвестно, существуют ли Еообще такие пары.
4. Немецкий математик и астроном Мёбиус A790—1868)
известен прежде всего как геометр. Он первый систематически
рассмотрел свойства функции ц.(п), получившей его имя. Функ-
Функция (J.(n) встречается впервые в его работе 1832 г.; фактически
в неявном виде эта функция рассматривалась еще до этого
Эйлером.
5. Известен целый ряд теорем, аналогичных теореме 317,
дающих обращение сумм различного вида (см., например, фор-
формулы (9) и A1) 34-й главы). Основную роль в формулах обра-
обращения играют свойства функции Мёбиуса, сформулированные
в теореме 316. Сумма левой части тождества (8) играет роль
разрывного множителя, позволяющего в некотором множестве
значений п выделять те, которые равны 1.
Сумму 2 f(d) иногда называют числовым интегралом от
d/n
функции / (п.).
6. Бернгард Риман A826—1866) — один из крупнейших не-
немецких математиков XIX века, оставивший фундаментальные
работы в различных областях математики и ее приложений.
Особенно большое значение имеют его работы по теории функ-
функций комплексного переменного и по теории рядов. Мемуар
Римана „О числе простых чисел, не превосходящих данной вели-
величины" является основой всего дальнейшего развития современ-
современной теории простых чисел. В этом мемуаре Риман рассматри-
вает дзету-функцию ? (s) = 2и ~р~ сначала для комплексных зна-
л=1
11* 323

чений s = a-ft7, таких, что о>1, а затем аналитически про-
продолжает ее на всю комплексную плоскость. Он устанавливает
основные свойства этой функции, в том числе функциональное
уравнение, дающее непосредственную связь между ?(s) и ?A—s).
Функциональное уравнение для ?(s) показывает своего 'рода
симметрию этой функции относительно прямой о=-^. Риман
установил связь между поведением ?(s) в так называемой
критической полосе 0 «^ 0=^1 и распределением простых чисел.
Риман высказал гипотезу, что в этой полосе все нули ?(s) лежат
на прямой 0 = 7j-- Есть все основания предполагать, что эта
гипотеза Римана верна, однако доказать ее не удалось. Доказа-
Доказательство гипотезы Римана дало бы возможность решить ряд важ-
важных проблем, возникающих при изучении простых чисел.
ГЛАВА 34
СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ
1. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА ДЕЛИТЕЛЕЙ.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СУММЫ ДЕЛИТЕЛЕЙ
Для многих числовых функций, рассматриваемых в теории
чисел, характерно, что при увеличении аргумента значения
функции меняются крайне нерегулярно. Например, функция х(п)
для составных п, состоящих из достаточно большого числа
простых множителей, может принимать сколь угодно большие
значения и вместе с тем для всех простых значений п имеем
т(п) = 2.
Если вместо таких функций рассматривать их средние зна-
значения на сегменте [1; N], то обычно оказывается, что эти сред-
средние меняются довольно гладко и могут быть с достаточно боль-
большой точностью аппроксимированы сравнительно простыми выра-
выражениями.
Определение 92. Средним значением числовой функции f(x)
на сегменте [1; N] (N целое) называется величина
N
Начнем с рассмотрения порядка роста средних значений
некоторых числовых функций, введенных в предыдущей главе.
Теорема 319. Среднее значение функции х(п), выражающей
число положительных делителей п, на сегменте [1; N] равно:
где С—эйлерова постоянная.
324

Доказательство. т (п) равно числу точек с целыми поло-
положительными координатами на гиперболе ху = п, т. е. числу реше-
решений уравнения ху = п в целых положительных числах х, у.
Действительно, для каждого делителя d числа п пара
(id, A J J представляет собой решение этого уравнения и, на-
наоборот, каждое решение уравнения ху = п в положительных целых
числах х и у определяет в качестве значения х некоторый вполне
определенный делитель d. Поскольку кривые ху = п при раз-
разных п не имеют общих точек, то, придавая п значения 1,2, ..., N,
получим, что сумма
тA) + тB)+...+т(Л0
равна общему числу точек с целыми положительными коорди-
координатами в области xy^N, x>0, у>0. Число таких точек
в теореме 55 было обозначено через S(N), и согласно тому, что
там было доказано, получаем:
N
т. е. действительно
-+TW = lniV + BC-l) + 0(]7L). A)
При больших N величина 2С—\-\-0 (-~=Л ничтожна по
сравнению с \nN; lim——П\Г~^—- = 0 и мы получаем асимп-
асимптотическое равенство
N
Можно сказать, что при больших N на долю каждого из
первых N натуральных чисел в среднем приходится примерно
In N делителей.
Теорема 320. Среднее значение функции а (п), выражающей
сумму делителей п, на сегменте [1; N] равно
Доказательство. Так как вместе с d величина 6 = 4-
также пробегает все положительные делители числа п, то
П=1 л = 1 d\n n=l d\n d=i n&N
n = o (mod<0
325

Заменяя п через sd, видим, что, когда п пробегает значения,
кратные d и меньшие, чем N, величина s пробегает целые зна-
значения от 1 до наибольшего целого числа, не превосходящего
N ГЛП ,
-j-, т. е. до -j , и, таким образом:
2 т-Е-Ят] ([?] + ')• C)
*ёд/ s=i
я = 0 (modd) ,
Из B) и C) получаем:
что
[т]<Т <[?]+»• так
от -j на величину, по модулю меньшую чем 1, т. е.
[4]-4+о«). [4]+1-4
где каждое 0A) по модулю меньше чем 1.
отличаются
так как (теорема 54)
лг
0A)
d=l
Заметим теперь, что
так что
d=N+i
d=N+i
J 1
-l d
i_yi_ у i_^4Om
Из равенств D) и F) получаем:
N
G)
326

так что
откуда получается также асимптотическое равенство
n
Для первых N натуральных чисел средняя величина дели-
делителей примерно равна —./V.
2. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ЭЙЛЕРА
Теорема 321. Среднее значение функции Эйлера Ф(«) на сег-
сегменте [1; N] равно ^
Доказательство. Пользуясь формулой A1) 33-й главы,
получаем:
N N N
^i ^ч ^i р, (d)
n = i л = 1 d,n
п = о (mod d)
При доказательстве предыдущей теоремы было получено
тождество C)
п s о (mod d)
так что
N N
Заменяя, как и в предыдущей теореме, \-^-\ и -j + 1 на
¦ + 0A), (|0A)|<1) имеем:
d-\
+ О (iV In JV) = | Af2 + 0 (N In #)•
327

Мы воспользовались здесь тем, что ввиду оценки G) 4-й главы
и оценки E) настоящей главы
N N ос
d=i d=l
а согласно теореме 318
d=N+l
Деля полученное для 2 Ф (") выражение на N, приходим
Я = 1
к равенству
ФA) + ФB)+...+ф(Л0 = |Лг + о0пА0- (8)
Полученный результат можно выразить также в виде сле-
следующей теоремы.
Теорема 321'. В полусегменте @; 1] отношение числа несо-
несократимых дробей (фареевых дробей) со знаменателями, мень-
меньшими или равными N, к общему числу всех лежащих там дробей
с такими же знаменателями стремится к пределу, равному
^ = 0,6079...
Действительно, для данного Ь число несократимых дробей
-2- в полусегменте @; 1] равно числу положительных а, мень-
меньших или равных Ь и взаимно простых с Ь, т. е. равно ф (Ь).
Придавая Ь значения 1, 2 N, получим, что общее
число A (N) несократимых дробей в этом полусегменте со зна-
знаменателями s? N выражается согласно (8) в виде:
В полусегменте @; 1] мы имеем b дробей со знаменателем Ь,
а именно дроби:
ь ' ь • " ' ь ¦
Общее число В (N) всех дробей со знаменателями b^ N
в полусегменте @, 1] равно
N
6=1
Деля A (N) на В (N) и переходя к пределу, находим:
328

Этот результат показывает, что несократимые дроби состав-
составляют примерно 60°/0 от числа всех дробей, т. е. их приблизи-
приблизительно в полтора раза больше чем сократимых.
3. ЧИСЛА, СВОБОДНЫЕ ОТ КВАДРАТОВ
Определение 93. Число называется свободным от квадратов,
если оно не делится ни на один квадрат простого числа, т. е.
если его каноническое разложение имеет вид: n — p1p2...ps, где
Рх, р2, ..., ps—различные простые числа.
Обозначим через Q {х) число свободных от квадратов чисел,
меньших или равных х.
Теорема 322.
Доказательство. Докажем сначала формулу
Каждое число п мы представим, и притом единственным об-
образом, в виде n = k2s, где k2—наибольший квадрат, делящий п,
а $—число, свободное от квадратов. Мы получим все натураль-
натуральные числа, если будем числа, свободные от квадратов, умно-
умножать на I2, 22, З2, 42, ... . Составим таблицу:
1
2
1-.2
3
1-.3
4
-
2*-1
5
1..5
6
1-.6
7
1..7
S
-
21.2
9
—
3i-l
10
l«-10
-
11
l'-ll
-
12
-
2*-3
-
13
I«-13
-
14
1..14
-
15
1*-15
-
16
-
-
4»-l
17
1» -17
—
—
IS
-
3«-2
-
19
...19
-
-
20
-
2«-5
-
-
...
...
где в /г-й строке выписаны произведения k2 на числа, свободные
от квадратов. Согласно сделанному выше замечанию каждое
натуральное число встречается в этой таблице один и только
один раз, так что всего в таблице (под чертой) имеется [л;]
чисел, не превосходящих х.
В первой строке имеется Q (-^J чисел, не превосходящих х,
(х\
22 ] чисел, не превосходящих х,
329

и т. д. Действительно, при любом k в ?-й строке чисел, не
превосходящих х, столько, сколько существует чисел s, свобод-
свободных от квадратов, таких, что k2s<:X, ss?-? , т. е. Q (Д ) чисел.
1 аким образом, должно выполняться равенство
...=м.
где Q (~ j отлично от нуля только при k =s? Vx, т. е. соотно-
соотношение (9) доказано.
Теперь перейдем к доказательству самой теоремы.
Q (л;) можем записать в виде:
k\n
так как согласно теореме 316 среди всех членов в правой части
равенства A0) сохраняется только слагаемое с п=1.
В членах правой части равенства 10 значения k делители п,
т. е. /г^п^Ух, так что k принимает значения в пределах
от 1 до Ух.
Для каждого такого k имеем n = 0(mod?), п^Ух, поэтому,
меняя порядок суммирования в правой части равенства A0)
и, полагая n = ks, получаем:
X
и s о (mod k)
Согласно формуле (9) имеем:
— и окончательно получаем:
Пример. Вычислить QA00), т. е. число чисел, свободных
от квадратов, среди первых ста натуральных чисел.
QA00) = [100]-[^] - Щ - [Щ + [Щ - \Щ + [Щ =61.
Теорема 323.
Я(х)=-^х + О(Ух). A2)
330

Доказательство. Из равенства A1) совершенно анало-
аналогично тому, как при доказательстве теоремы 321, пользуясь
оценкой
-*-^ k2
k>Vx
и теоремой 318, получаем:
"sr^ Гх 1 v*^ и (k) r\ f x^4 \
-'- 2
Формула A2) показывает, что отношение числа чисел, сво-
свободных от квадратов, к числу всех натуральных чисел в отрез-
отрезках натурального ряда по мере увеличения длины отрезка
стремится к пределу, равному ^ = 0,6079..., т. е. чисел, сво-
свободных от квадратов, больше, чем чисел, делящихся на квад-
квадраты каких-либо простых чисел.
Исторические комментарии к 34-и главе
1. Теорема 319, являющаяся непосредственным следствием
теоремы 55, принадлежит Дирихле. Вороной улучшил остаточ-
остаточный член в формуле A) (см. 4-ю главу). Лучшая известная
в настоящее время оценка У1 т(п) (Ин Вэнь-линь, 1959 г.)
имеет вид:
N
2. В то время как среднее значение функции %(п) на сег-
сегменте [1; N] увеличивается, мало отличаясь от \nN, сама эта
функция меняется чрезвычайно нерегулярно. Для всех простых
значений п эта функция равна 2, и вместе с тем было доказано
(Вигерт, 1907 г.), что для любого е>0 существует бесконечное
A с) '""
множество п, таких, что т(п)>2 1п 1п". Вигерт доказал
также, что при любом е>0 для всех п, начиная с некоторого,
1
A|с)
имеет место неравенство т(п)<2 in in л
3. Величина т (п) равна числу решений уравнения хххъ = п
целых положительных числах хх, хг. Рассматривается более
331

общая функция xk(n), равная числу решений уравнения
хххг.. .xk = n в целых положительных числах, т. е. равная числу
представлений п в виде произведения k натуральных множите-
множителей. Функция т(п) является частным случаем функций xk(n),
а именно т(п) = т2(п). Э. Ландау в 1912 г. доказал, что
),
A3)
где Pk (In N) = с0 In* N + сх In* N •+ ... +сл_х—многочлен от
\п N степени k—1. Результат Вороного—частный случай фор-
формулы A3) при k = 2.
В дальнейшем для остаточного члена в A3) при различных
k были получены несколько более точные оценки. Например,
( \
при k = 3 остаточный член в A3) был заменен на OyN*9^
4. В настоящее время известна лучшая, чем G), оценка
У] а(п), а именно работы Н. М. Коробова A958 г.) дали воз-
можность доказать, что
12'
^N(\nNK ) .
5. Теорема 321 была доказана впервые Мертенсом в 1874 г.
В настоящее время на основе работ Н. М. Коробова полу-
щ р
чена следующая оценка:
n-SN
6. Теорема 323 была опубликована впервые в 1885 г. Геген-
бауэром. В настоящее время применение теории функций комп-
комплексного переменного дало возможность получить более точную
оценку остаточного члена.
ГЛАВА 35
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ
1. НЕРАВЕНСТВА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ ФУНКЦИИ, ВЫРАЖАЮЩЕЙ
ЧИСЛО ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В ЗАДАННЫХ ПРЕДЕЛАХ
Существование бесконечного множества простых чисел дока-
доказывается (теорема 21) совсем просто; однако вопрос о том, как
часто среди натуральных чисел встречаются простые и как про-
простые числа распределены среди натуральных, оказывается весьма
сложным. Представим себе, что будем последовательно переби-
332

рать все натуральные числа в порядке их возрастания. Будут
ли при этом простые числа встречаться сравнительно равномерно,
будет ли число встречающихся простых чисел подчиняться ка-
каким-либо законам или окажется, что они беспорядочно разбро-
разбросаны среди натуральных чисел?
Число простых чисел, меньших или равных х, мы обозначим
через л (х), так что
п(х)= 2
?
Для каждого данного х можно, пользуясь, например, теоре-
теоремой 23', выписать все простые числа ps^x и определить их
число, т. е. вычислить л(х); однако мы не получаем при этом
представление о том, как меняется функция л (х) с увеличе-
увеличением х, т. е. представление о том, как быстро увеличивается
число простых чисел, если брать все большие отрезки нату-
натурального ряда.
Теорема Евклида о бесконечности множества простых чисел
(теорема 21) может быть записана в виде
п(х)—> оо при х—> оо.
Однако эта теорема ничего не говорит о том, как быстро
при увеличении х растет величина л(х). В этой главе мы ста-
ставим себе в первую очередь задачу—дать оценки порядка роста
функции л(х).
В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически
формулу
дающую приближенные значения функции л (х) при больших
значениях х. На самом деле, как было доказано позже, более
близкое к истинным значениям л (х) дает выражение ^——г, а
еще более близкие значения к п (х) при больших значениях х
дает функция
A)
J In Г
9
Гаусс еще в юношеские годы вычислял среднюю плотность
простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти вычис-
вычисления показывали, что именно выражение A) является функцией,
хорошо аппроксимирующей л (х); однако свои соображения он
опубликовал много позже.
В 1848 и 1850 гг. появились две замечательные работы
П. Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке
роста функции л (х). В работе 1850 г. Чебышев доказал, что
333

я (х) при больших х заключена между двумя величинами:
йр- и Ь^, где а и Ъ — положительные постоянные. Чебышев
показал, что в качестве а и b можно взять значения а = 0,921,
6=1,106, так что а и Ь сравнительно близки к 1. В дальней-
дальнейших работах были получены и другие значения а и Ь, более
близкие к 1.
Мы докажем теорему Чебышева, ограничиваясь, однако,
только доказательством существования постоянных а и Ь
@<а<1, Ь>1), не стремясь получить для них возможно
близкие к 1 значения, так как это было бы сопряжено с техни-
техническими усложнениями доказательства.
Теорема 324 (Чебышев). Существуют две постоянные а и Ь,
такие, что 0<а< 1, b> 1 и для всех х^2 выполняются не-
неравенства
X
Примечание. Оценку я (х) < b -.— мы будем называть оценкой л (х)
сверху, а оценку я (х) > а -. оценкой л (х) снизу.
Доказательство. Мы установим прежде всего нужные
нам для дальнейшего оценки снизу и сверху выражения
Т(х)-2Т(±у где
Т (*) = 1пМ! (
р
— функция, рассматривавшаяся нами еще в 4-й главе (стр. 51).
При п ;э= 3 имеем:
TBn)-27»= 2-
D)
так как каждое слагаемое вида ln^i- = ln f 1 -\—)^1п2, а
и I 1
первое из них In —j—3* In4 = 21n2.
С другой стороны,
n\n\ — ~»"--
так что имеем:
T Bn) — 2Т (я) = In —j < 2n In 2. E)
334

Возьмем произвольное х^би подберем п такое, что
2п<д;<2(п+1).
Для таких х величина Т (х) либо равна ТBп), либо больше
чем Г Bл) на величину lnBn+l), a Tfy) = T(rt), так что
откуда, пользуясь оценками D) и E) и тем, что п + 1>-| , по-
получаем:
(|)Iп2>^х, F)
Т (х) — 2Т (д ) < 2п In 2 + In Bл + 1) < л; In 2 +
+ 1п(х+1) = 0(х). G)
1) Оценка я (л:) снизу. Формула C) показывает, что
так как при р>х все слагаемые во всяком случае обращаются
в нуль.
Скобки вида M-U—2 \—k ) при рк>х равны нулю, так
что коэффициент при \пр в правой части может быть записан
в виде
ft=s
где ps^x, т. е. slnpsSln*, ssgj—.
Согласно теореме 51 в правой части тождества (8) каждая
скобка не больше 1, а число таких скобок, как мы только что
показали, не больше чем:^р, так что аР^1"^,> и из тожде-
тождества (8) получаем:
1 = л (л:) In х. (9)
Сравнивая неравенства (9) и F), имеем:
т. е. я(*)>а^, где а = ~-.
335

Это неравенство доказано при #3*6, но очевидно, что,
несколько уменьшив а, можно сделать его справедливым для
2) Оценка п(х) сверху. Поскольку все слагаемые в пра-
правой части тождества (8) неотрицательны, то, оставив из них
только те, у которых р>-^ > мы в0 всяком случае, не увели-
увеличим сумму.
При 7j-<p=^x имеем:
Действительно, при таких р и лг^зб, 2р^>х, р2>-т->х,
так что в левой части A0) только — отлично от нуля,
[1
— = 1.
Из равенства (8) получаем:
п|-. A1)
Прибавляя к левой и правой частям неравенства A1)
л: (л:) In 2, т. е. величину, меньшую чем xln2, и пользуясь
оценкой G), получаем:
так что существует постоянная с, такая, что при всех
я(хIпх-я(уIп|<с«. A2)
Для любого х 5*2 можно найти настолько большое s, что
р<2, так что я(^)=0. Последовательно пользуясь неравен-
неравенством A2), получаем:
я(хIпх< сх+п (-J) ln j y
(^^j In ^
т. е., положив 2с = Ь, получаем:
336

Для того чтобы получить значения а и Ъ, более близкие к 1,
П. Л. Чебышев вместо Т(х)—2Г(у] брал выражение
Т(х)-Т (!)_Г (|)-7- (|) + Г (?) . A3)
Рассматривая A3), он получил сначала оценки для функции
получившей название функции Чебышева, а затем уже перешел
к оценкам я (л:).
Из теоремы Чебышева, в частности, следует, что при увели-
увеличении х отношение ^—^—>-0.
Действительно, согласно неравенствам B) имеем:
так что поскольку при увеличении х величина ^—¦О, то и
Среди первых ста натуральных чисел содержатся 25 простых,
т. е. простые числа составляют здесь 25% натуральных. Среди
первой тысячи натуральных чисел имеются 169 простых A6,9%).
Таблицы простых чисел показывают, что при увеличении про-
промежутка рассматриваемых натуральных чисел доля простых чисел
уменьшается. Это само по себе не исключало, однако, того, что
простые числа и при больших х могли все же составлять хотя бы
не менее 0,000 001% от числа натуральных чисел. Теорема
Чебышева показывает, что на самом деле это не так и отноше-
отношение ^-^-' при увеличении х становится меньше любого наперед
заданного числа.
Теорема Чебышева позволяет сравнивать число простых чисел
в заданных пределах и число чисел какой-либо другой под-
подпоследовательности натуральных чисел. Возьмем последователь-
последовательность простых чисел и, например, последовательность всех квад-
квадратов натуральных чисел:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
Среди первых ста натуральных чисел имеются 25 простых и
10 квадратов, так что простых чисел вначале больше, чем квад-
квадратов. Что получится в этом отношении, если брать достаточно
большие отрезки натурального ряда? Каких чисел будет больше:
простых или квадратов?
Обозначим через К(х) число квадратов натуральных чисел
в пределах от 1 до х, т. е. чисел k2, таких, что l^k*s?,x.
337

Число таких чисел равно числу натуральных k, таких, что
Пользуясь неравенством Чебышева (оценка B) снизу), полу-
получаем:
X
я(х) aWx Vic
i—-, а следовательно, и ~~ неограниченно увеличиваются
m х Л (х)
при увеличении х, так что я (л;) стремится к бесконечности
быстрее, чем К(х). Таким образом, простых чисел в заданных
достаточно больших отрезках натурального ряда значительно
больше, чем квадратов.
Пользуясь теоремой Чебышева, можно получить оценку вели-
величины простого числа с номером г. Оказывается, что r-е про-
простое число представляет собой величину порядка г In г.
Теорема 325. Существуют две положительные постоян-
постоянные cud, такие, что для всех простых чисел рг (г ^ 2)
имеет место соотношение
cr In г <Lpr<.dr In r. A4)
Доказательство. Согласно теореме Чебышева имеем:
так что, поскольку по определению п(рг) = г (число простых
чисел, меньших или равных чем г-е простое число, равно г),
из неравенств A5) получаем:
pr<±r\npr A6)
и
рг>|г1прг^|г1пг. A7)
—7= при увеличении z стремится к нулю, так что при доста-
достаточно большом рг имеем \npr<.aYpr- Подставляя эту оценку
\прг в неравенство A6), возводя затем в квадрат и логарифми-
логарифмируя, получаем при г>г0:
pr<rVpr, pr<r*, lnpr<21nr.
Из неравенства A6) получаем теперь
^| A8)
Объединяя оценки A7) и A8), имеем при
cxr In г < /?Г<С dtr In r,
338

1 2
где cl — -г , dl — —. Постоянные сх и d1 можно заменить постояй-
ными cud, так что оценка A4) величины рг будет уже верна
при всех рг, начиная с 3.
Для того чтобы охарактеризовать густоту некоторой подпо-
подпоследовательности натуральных чисел
аЗ>
часто начинают с того, что рассматривают вопрос о сходимости
или расходимости ряда обратных величин:
ЧЧЧ + +
Известно, что ряд величин, обратных всем натуральным
числам, т. е. гармонический ряд
1+I+I+-. .+- + ¦¦¦ A9)
расходится. Если в ряде A9) выбросить достаточно большое
число членов, то вместо этого ряда может получиться сходя-
сходящийся ряд. Например, если в A9) оставить только члены вида
^г , то получающийся при этом ряд
как известно, будет сходящимся.
Рассмотрим ряд величин, обратных простым числам, т. е. ряд
1+1 + 1+...+!+..., B0)
и докажем, что он расходится. Это покажет, что, хотя простые
числа в натуральном ряду встречаются все реже, их все же
настолько много, что сумма обратных величин может дать сумму,
превосходящую любую наперед заданную величину.
Расходимость ряда B0) была доказана впервые Эйлером
в 1737 г. Доказательство Эйлера было основано на рассмотре-
рассмотрении бесконечного произведения ПA 5) ПРИ *—*¦! и пред-
р
ставляет собой первый пример применения методов математи-
математического анализа к теории простых чисел. Мы дадим здесь дока-
доказательство, основанное на применении неравенств Чебышева.
Теорема 326. Ряд величин, обратных простым числам, рас-
расходится.
Доказательство. Рассмотрим ряд
339

b
\ -tj— = In In ft —In In 2 при увеличении b стремится к беско-
\ -tj—
*
00
ft Atf
нечности.т.е. \ —;— расходится. Согласно известному интеграль-
2
ному признаку сходимости рядов ряд B1) также расходится.
Сравним теперь ряд B1) с рядом
В теореме 325 было доказано, что pr<C.dr Inr, (r ^2), откуда
следует, что
pr"d г In г1
т. е. члены ряда B2) больше соответствующих членов расхо-
расходящегося ряда B1), умноженных на постоянную -г. Согласно
теореме о сравнении рядов с положительными слагаемыми
ряд B2) расходится.
В 1845 г. французский математик Бертран высказал предпо-
предположение, что при любом х>\ между х и 2х всегда найдется
хотя бы одно простое число. Это предположение получило
название постулата Бертрана. В 1852 г. Чебышев доказал спра-
справедливость этого постулата и получил более сильный результат,
а именно доказал, что при достаточно больших х и 6>-=-
всегда существует простое число р, лежащее между х и 8х.
Мы дадим результат Чебышева в несколько ослабленной форме.
Теорема 327. Существует постоянная б, такая, что между
х (х ^ 1) и Ьх всегда имеется по крайней мере одно простое
число.
Доказательство. Согласно неравенствам B) имеем:
Если взять б>—, то при достаточно большом х^х0 выра-
выражение B3) будет положительным, т. е. между х и Ьх лежит
по крайней мере одно простое число. Несколько увеличив б,
можно сделать так, что п(Ьх) — п(х) будет положительным и
для 1 sg х s? х0.
2. ОБЗОР ДАЛЬНЕЙШИХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Работы Чебышева поставили перед математиками задачу
доказать, что в неравенствах B) а и b могут быть при доста-
достаточно большом х взяты сколь угодно близкими к 1, т. е. полу-
340

чить асимптотическую формулу
Я (х) /v-fL_ (ОАЛ
п w In х ' W
выражающую, что lim ," ^х\ = 1.
Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел отношения
я {х):-.— существует, то он может быть равен только 1 (см. те-
теорему 331). Основная трудность заключается в том, чтобы уста-
установить существование этого предела, и Чебышеву не удалось
этого сделать. Существование этого предела и тем самым до-
доказательство формулы B4), получившей название асимптотичес-
асимптотического закона распределения простых чисел, было получено в 1896г.
независимо друг от друга Адамаром и Валле-Пуссеном. Тот
факт, что для теоремы, которую в течение многих лет безус-
безуспешно пытались доказать крупнейшие математики, было полу-
получено сразу два доказательства, не является случайностью. До-
Доказательства Адамара и Валле-Пуссена основаны на применении
теории функций комплексного переменного, а именно на рас-
рассмотрении дзета-функции Римана ?(s)(cm. 33-ю главу) при ком-
комплексных значениях s. Идея такого подхода к проблеме распре-
распределения простых чисел была дана Б. Риманом в 1859 г. (см.
исторические комментарии к 33-й главе).
Применение функции ?(s) для получения асимптотической
формулы B4) основано на том, что при s = a-j-iY (о > 1) эта
функция может быть представлена в виде
ц8) = П-1т, B5)
где произведение распространено по всем простым значениям р.
Соотношение B5) при действительных s > 1 было известно еще
Эйлеру A748), и его обычно называют тождеством Эйлера Ко вре-
времени появления в 1896 г. работ Адамара и Валле-Пуссена разви-
развитие самой теории функций комплексного переменного достигло
такой стадии, что сделало возможным, использовав идеи Римана,
доказать асимптотический закон распределения простых чисел.
Работы Римана, Адамара и Валле-Пуссена показали, что
X
Tj— дает более точное приближение к п(х), чем ~х. Мы при-
2
ведем здесь только формулировку основной теоремы Адамара
и Валле-Пуссена.
Теорема 328.
~-г B6)
341

X
Поскольку, как легко можно доказать, \-.—т~р- , форму-
а
ла B4) является непосредственным следствием формулы B6).
Установление асимптотического равенства B6) не исчерпы-
исчерпывает проблемы изучения роста функции л {х). Основной задачей
X
здесь является оценка модуля разности между п(х) и \ т—-. .
2
Существенные результаты в этом направлении были получены
Н. Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соот-
соответствующих тригонометрических сумм, полученные методом
И. М. Виноградова. Последние работы И. М. Виноградова и
Н. М. Коробова дали следующую оценку:
где с и а—некоторые постоянные.
В пределах известных в настоящее время таблиц значений
X
л (л;) величина \ -.—-, обычно принимает значения, несколько
2
большие чем п(х), однако в 1914 г. английский математик Литл-
вуд доказал, что функция I .—- принимает бесконечное множе-
2
ство раз значения, и меньшие и большие чем л (х).
В теории чисел доказательства, основанные на применении
теории функций комплексного переменного, принято условно
называть „неэлементарными". Таким образом, доказательство
называется „элементарным" не в смысле его простоты, а в том
смысле, что оно осуществляется, оставаясь в рамках действи-
действительного переменного. Доказательства теорем Чебышева в этом
смысле являются „элементарными".
Многие математики до недавнего времени сомневались в воз-
возможности построения „элементарного" доказательства асимпто-
асимптотического закона распределения простых чисел; однако это мне-
мнение оказалось ошибочным. В 1949 г. норвежский математик
А. Сельберг и венгерский математик П. Эрдёш опубликовали
„элементарное" доказательство этого асимптотического закона.
Асимптотический закон распределения простых чисел позволяет
получить результат значительно более сильный, чем доказанный
Чебышевым постулат Бертрана.
Из формулы B4) легко получить простое следствие, что при
произвольном сколь угодно малом е>0 для любого х>х0, т. е.
342

для любого достаточно большого х, существует по крайней
мере одно простое число, лежащее между х и (l-fe)*.
В настоящее время в этом отношении известен значительно
более сильный результат, а именно доказано, что существует
Ф«< 1, такое, что при достаточно больших значениях х между
х и х + хь всегда лежит по крайней мере одно простое число.
Определением такого возможно меньшего значения Ф занима-
занимались многие математики. Например, в 1936—1937 гг. в резуль-
результате работ Н. Г. Чудакова и Ингама для ¦& было получено
48 38
значение 77 +8> а затем даже g>+s. Есть предположение, что,
на самом деле, при всех достаточно больших х существует по
крайней мере одно простое число, лежащее между хм.х+У~х\
однако доказать это пока не удалось.
3. ОЦЕНКИ НЕКОТОРЫХ СУММ С ПРОСТЫМИ ЧИСЛАМИ
Формула C) не дает возможности получить непосредствен-
непосредственное доказательство асимптотического закона; вместе с тем из
этой формулы можно получить асимптотические оценки некото-
некоторых сумм, зависящих от распределения простых чисел. Мы
остановимся на оценках сумм '
2 У» Sf
Нам понадобится при этом следующая теорема.
Теорема 329.
2 \nk = x\rvx—х + О(\пх).
Доказательство. Согласно известным оценкам интеграла
(теорема XX) имеем:
ь
т (Ь—а) < J / @ dt < М (Ь—а),
а
где т и М—соответственно наименьшее и наибольшее значения
непрерывной функции f(t) в сегменте a^t^b.
При / (t) = In t имеем:
к к + 1
J lnf#<lnft< J In*Л. B8).
k-i k
Пусть [х] = п. Придавая в неравенствах B8) числу k значе-
значения 2, 3, ..., п и складывая, получаем:
П И+1 П+1
?< \ \ntdt< J \ntdt. B9)
а 1
343

Легко видеть, что поскольку Ждс<Гя+1, то
/1+1 X ДС + 1
I J \x\tdt — Jln/cft|< ^ \ntdt<, 1п(л:+ 1) = 0Aплг),
11 X
и аналогично
* п
|5 In Ы?— J In t dt | = 0 (In л:);
тогда из неравенств B9) находим:
X
2, \пk = ^\п t dt + 0 (\пх) = х\пх—х + О(\пх).
Теорема 330.
C0)
Доказательство. Согласно формуле E) 4-й главы и те-
теореме 329 имеем:
Но
•?» =0A), C2)
(п—!)
так как ряд^ „(n_i) сходится.
Л = 2
Мы имеем также согласно неравенствам B) Чебышева оценку
так что
|>1!? C3)
Из C3), C1) и C2) получаем теперь
344

т. е. существует постоянная с, такая, что
^ = In* + /¦(*), |г(*)|<с. C4)
Применяя очевидное тождество
= ?(«) (/(«)-/(«+ \))+S(u+ l)(/(« + l)-/(«-
¦. ¦ +g(v-l)(?(v-l)-f (v)) + g(v)f (v) C5)
и пользуясь теоремой 330, мы теперь докажем уже упомянутую
выше теорему П. Л. Чебышева о том, что предел отношения
я (х) к j— не может быть отличен от 1.
Теорема 331. (П. Л. Чебышев.) Если при увеличении х от-
отношение п(х):-.— стремится к определенному пределу, то этот
предел равен 1.
Доказательство. Предположим, что lim я '*' = у < 1;
Х-*ф[Л_\
\\nxj
тогда для достаточно большого целого числа N при всех t, та-
t 14-v
ких, что N s^t ziN*, будем иметь п@< Yij^l ' где ^1 = ~^<1>
( 1, если k—простое число;
\ 0, если k—составное число.
Применяя тождество C5) при /(/) = —, g{t) = n(t), u = N,
v—N2, а также принимая во внимание, что согласно теореме 324
величина я(/)-^- ограниченна, получаем:
N% ,. . . In ft
11
l
N
345

Мы воспользовались здесь тем, что функция л (t) постоянна
в интервале (k; k-\-l). Поскольку n(t)<iy1-.—- при всех t, та-
таких, что N <^t*S: N2, теперь получаем:
= Yi(lntf—In 2) + О A) = Yi In Л^ + О A). C6)
С другой стороны, согласно формуле C0)
1пр \n_p_ ^ lnP_
р 2-* р ~
ps^N
= ]nN2—\nN-t0(l) = \nN + 0(\). C7)
Сравнивая формулы C6) и C7), имеем: lnW + O(l)<YilnAH-
+ 0A), A— Yl)lnW<0(l), \nN = o(Tl—) = O(l),T.e.lnN—
ограниченная величина.
Предположение, что lim ¦" (х\ <; 1, привело нас к противо-
IJL)
L
\\пх)
речию. Совершенно аналогично приводит к противоречию и пред-
предположение, что lim -р-^г>1, т. е. предел отношения я (х)
х-кх ( Х \
[\пх]
X
к гр может равняться только 1.
Пользуясь теоремой 330, с помощью преобразования Абеля
можно получить асимптотические оценки целого ряда других
сумм с простыми числами. Особенный интерес представляет сле-
следующая оценка, существенно уточняющая теорему 326.
Теорема 332.
(f) C8)
где В — некоторая постоянная.
Доказательство. При g(t)= z2 — имеем:
Р
g(k)—g(k—l)_ I —, если k = p—простое число;
если k — составное число.
-g(fe-i) f 7'
In ft @(e
Применяя тождество C5) при ы = 2, u = [x] (*з=2), а также
принимая во внимание, что согласно теореме 330
\п[х]~ \п[х]
346
^~ \\nxj '

получаем:
In I
[x]-l k + l
k
g()dt
) Ш
k = 2 k
Мы воспользовались здесь тем, что g{t) постоянна в интер-
интервале (k, k+l), и тем, что (теорема 330)
j
dt
Заменяя g(<) выражением ln^+r@. где | г @1 < с [оцен-
[оценка C4)], получаем:
V 1 ._ht Cr(t)dt
)J^ (ifI). ,39)
Имеем:
X
CO
Несобственный интеграл \ yr^j сходится, так что В = 1 —
2
00
— In In 2+ С ^да/ —некоторая постоянная величина, и из C9)
2
и D0) находим окончательно
347

Вычисление постоянной В показало, что В = 0,26149....
Оценка C8) показывает, что, хотя ряд величин, обратных про-
простым числам, расходится, сумма этого ряда образует медленно
растущую величину. Например, при х= 100000000 (сто миллио-
нов!) величина lnlnx меньше чем 3, а если увеличить х еще
в десять раз, то в V —добавится более 45000 000 слагаемых,
которые, однако, увеличат эту сумму меньше, чем на 0,2.
Рассмотрим функцию v(n), выражающую число различных
простых делителей п. Согласно определению если п — р ... /??* —
каноническое разложение п, то v(n) = s. Например, vF00) =
= vB3.3-52) = 3, v(n!) = n(n).
Мы поставим задачу определения среднего значения этой
функции.
Теорема 333. Среднее значение функции v (п) на сегменте
[1, N] равно
где В—постоянная теоремы 332.
Таким образом, в среднем на каждое из первых N натураль
ных чисел приходится совсем немного, а именно примерно In In i
различных простых делителей.
Доказательство.
2 i=E[y]=?
n e= о (mod p)
где |0 |<1, так что, пользуясь неравенствами B) Чебышева
(оценка сверху), получаем:
а теперь на основании теоремы 332 имеем:
Деля левую и правую части равенства D1) на Af, получаем:
1 N
348

4. ФОРМУЛА МЕЙССЕЛЯ
Асимптотический закон распределения простых чисел дает
представление о примерной величине я (х) при больших значе-
значениях х. Нахождение точных значений этой функции при боль-
больших значениях аргумента сопряжено с длинными вычислениями.
Мы остановимся здесь на некоторых точных формулах для л (х),
позволяющих вычислять значения этой функции, не составляя
предварительно таблицы самих простых чисел. Начнем с того,
что определим одну новую теоретико-числовую функцию двух
аргументов, которой удобно пользоваться при вычислении зна-
значений я (х).
Обозначим через Ф (х, у) число чисел, меньших или равных х,
не делящихся на простые числа, меньшие или равные у, или,
иначе говоря, число чисел п^х, взаимно простых с [у]\.
Теорема 334. Пусть р1 = 2, рг, .... рг — простые числа, мень-
меньшие или равные чем у; тогда
Ф(х,у)= ? [т]11^ D2)
d\pt...pr
Доказательство. Согласно теореме 316 имеем:
( 1, если (п, рх. .. Рг) = 1;
2 Ц (d) = \ 0, если п делится хотя бы на одно
из простых чисел plt...,pr.
2 Ц (d) = \
,У)= 2 i = 2 i = 2 2
n^Zx nCi n^T* d | (n.pi. . .pT)
(л. [»]!) = l (n.pi. .."pr) = i
n^Tx <f|pt...pr
n=o (modrf)
Пример. Вычислить число чисел среди первых 1250 нату-
ральных чисел, не делящихся на простые числам jJ/1250.
?/1250= 10,7... . Простыми числами sg 10,7 являются числа
2, 3, 5, 7. По формуле D2) находим
? p][^][^]
йС i 2 ¦ 3 • 5 • 7
Г12501 Г1250] Г1250] Г1250] Г1250] , Г12501 . Г1250"]
~ L~3-J - [—J - LT-J+ L~6-J+ L~io-J + LirJ + Li5-J
, Г1250] , Г12501 [1250] Г1250] Г1250] Г1250] Г1250]
+ l~W\"+" L~35~ J ~ L0"J "~ LT2J ~" L0~J ~ L"ioTj+ L 2To"J =
В следующей теореме мы дадим формулу, которая осущест-
осуществляет подсчет числа простых чисел методом.эратосфенова решета.
349

Теорема 335. Если р1,р2,...,рг— простые числаsg;}/"¦*, tno
п(х)-П(\Гх)+1=
Доказательство. Ф(х, V x) выражает число чиселsgx,
не делящихся на простые числа sg; Ух, т. е. согласно теореме 23'
отличается от числа простых чисел, лежащих между Ух и х
(включая х, если х—простое число), только одним числом 1.
Таким образом, пользуясь еще предыдущей теоремой, получаем:
я (*)-я(/*)+1=Ф(*,/*)= ? [{\\4d). D3)
d I Pi¦ ¦ ¦ Pr
Произведение рг-р2-... -pr обозначим через М. Формулу D3)
можно записать в развернутом виде:
Pi I M PiPj I М
I At
Эта формула дает численный подсчет числа1 простых чисел,
лежащих между Ух и х, получаемых в процессе применения
решета Эратосфена. Выпишем все натуральные числа sgjjc—их
будет [х]. Вычеркнем числа, кратные рх, — их будет —-I ; крат-
кратные рг, — их будет — , и т. д. до чисел, кратных р , — их
— , т. е. всего произведем V \-j] вычеркиваний.
Pi\M '
Добавим числа ^х, кратные всевозможным PjPj, где р(р,\М,
т.е. добавим 2^ ~~~ I чисел. Вычеркнем числа s^x, крат-
Pipjm LP'p/-l
ные всевозможным PjPjPk> гДе PiPjPk\M, т. е. вычеркнем
Правая часть равенства D4) выражает число чисел n
остающихся после всех этих вычеркиваний и добавлений.
Подсчитаем это же число остающихся чисел другим спосо-
способом. Если среди чисел plt p2, ¦¦¦, рг имеется s простых дели-
делителей числа п(п^х), то п было выписано один раз, вычерк-
вычеркнуто С\ раз, добавлено C's раз, вычеркнуто C's раз и т. д.
Поскольку
350

такое п вычеркивается столько раз, что, несмотря на все до-
добавления, оно не сохранится. Числа П^х, не делящиеся ни
на одно из чисел plt рг, ..., рг, совсем не вычеркиваются и
сохраняются. Таким образом, после всех вычеркиваний и до-
добавлений останутся те и только те числа, которые не делятся
na_plt рг Рг.т. е. останется 1 и простые числа р, такие, что
\^x<i p ^х. Число этих оставшихся чисел равно 1-{-п(х) —
— л(У~х). Мы получаем, таким образом, другое доказательство
тождества D3), наглядно показывающее связь формулы D3)
с решетом Эратосфена.
Пример. При х = 45 простыми числами, меньшими или
равными ]/45 = 6,7, ..., являются 2, 3 и 5.
Применение формулы D3) приводит к длинным вычислениям,
так как сумма в правой части содержит большое число сла-
слагаемых. Мейссель в 1870 г. дал формулу, в которой п(х) выра-
выражается не через Ф\х,хг), как в D3), а через Ф\х, х~*). Эта
формула гораздо удобнее, чем формула D3) для вычисления
значений л(х).
Теорема 336 (Мейссель).
D5)
Доказательство. Пусть ps+l, ps+i, ..., pt — простые
числа, лежащие между ха и х2, так что s = n(x3), t = n(x2) и
Обозначим через М множество чисел ^ х, не делящихся на
простые числа р^х3. Очевидно, что числа, входящие в М, не
могут иметь трех или больше простых делителей.
М
)
2) В М входят все простые числа, лежащие между Xs и х
(включая х, если х—простое число). Число таких простых чи-
351

сел равно n(x) — n(xs) = n(x) — s.
3) Составные числа, входящие в М, не могут иметь больше
двух простых делителей, т. е. они имеют вид р{р}, (pi^pj),
где, поскольку pipj^x, для наименьшего из этих двух простых
множителей pt имеем:
<jj. D6)
Для каждого pt, где s<.i^t, число простых чисел
удовлетворяющих условиям D6), равно
а общее число составных чисел в М равно
!-l)(*-s)
¦-(?)-
х3 <р<х2
Таким образом, для Ф(х, х3) — общего числа чисел в М
получаем формулу:
Ф(х, Д=
_ j
откуда, заменяя s и t их значениями л(л:3) и л(л:2), получаем
для л (л;) формулу D5).
Пример. Найти число простых чисел в пределах от 1 до 1250.
В примере на странице 349 было найдено, что
ФA250, УШЬ) = 287. Между ^Т25б= 10,7... и j/"l250 = 35,3...
лежат простые числа 11, 13, 17, 19, 23, 29 и 31; я A0,7) = 4,
п C5,3) =11. Находим при л; = 1250:
/1250\ .
х3<Р<х2
352

Вычисления значений функций п{х) обычно осуществляются
с помощью формулы Мейсселя или аналогичных формул такого
_i
рода. Известны формулы, выражающие п(х) через Ф(х, х")
при я>3, и значения л (у) при сравнительно небольших зна-
значениях у; однако эти формулы очень громоздки.
Исторические комментарии к 35-й главе
1. Еще в 1798 г. Лежандр в первом издании своей книги
„Essai sur la theorie des nombres" опубликовал приближенную
формулу для я (х) в виде д 1пл. , д • Во втором издании этой
книги он уточнил свою формулу, взяв в качестве А число 1.
2. Гаусс свои соображения о величине функции л (х) при
больших значениях х сообщил только в 1849 г., а опубликованы
они были в 1863 г., уже после работы Римана.
3. Пафнутий Львович Чебышев родился в 1821 г. С 1837
по 1841 г. учился в Московском университете. В 1846 г. защи-
защитил магистерскую диссертацию по теории вероятностей. С 1847 г.
и до конца своей жизни A894 г.) работал в Петербургском уни-
университете. Почти с самого начала своей жизни в Петербурге
стал работать также и в Академии наук, куда был избран
в 1853 г. адъюнктом, а в 1859 г. академиком. Помимо своих
замечательных работ по теории чисел, Чебышев известен своими
фундаментальными работами по математическому анализу, тео-
теории вероятностей и прикладной математике.
В 1849 г. П. Л. Чебышев написал книгу „Теория сравнений".
Эта книга представляет собой оригинальный и весьма глубокий
для того времени курс основ теории чисел. В качестве одного
из дополнений к этому курсу П. Л. Чебышев дает свой мемуар
„Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной
величины". В этом мемуаре, опубликованном также отдельно,
в частности, доказывается теорема о том, что предел отношения
я (х) к т^— не может быть отличен от 1.
Работа П. Л. Чебышева „О простых числах", в которой даны
неравенства вида B) для функции л (х) и доказательство посту-
постулата Бертрана, опубликована Петербургской Академией наук
в 1850 г.
4. Постулат, получивший название постулата Бертрана, был
сформулирован Бертраном в следующей форме: „При п ^ 3 суще-
существует простое число р, такое, что п<р^2п—2. Бертран про-
проверил справедливость этого постулата при всех п^ 3000 000
и применил его при доказательстве одной теоремы теории групп.
Чебышев дает более сильный результат, а именно, он доказал,
что число простых чисел в таком интервале неограниченно
увеличивается при увеличении величины п.
12 Д. А. Бухштаб 353

5. Результат П. Л, Чебышева о том, что предел отношения
л(х) к j-^ не может (если он существует) отличаться от 1,
получается у него как следствие из следующей теоремы: „При
произвольном сколь угодно большом k и любом сколь угодно
малом а > 0 существует бесконечное множество х, таких, что
ln*x w J In t ^ in*x
Величина интеграла I т—r дает более точное приближение
в
к л (х) (при достаточно больших х), чем ¦Л а . как бы мы
ни выбирали постоянную величину В.
Еще Риман дал формулу, устанавливающую непосредствен-
непосредственную связь между п (х) и нулями ?(s)> лежащими в критической
полосе. Формула Римана была полностью обоснована в 1894 г.
Мангольдом.
х
Есть предположение, что модуль разности между я (х) и \ т—т-
2
значительно меньше, чем это дано в формуле B7). Предполагают,
что модуль этой разности представляет собой величину порядка
О{Vx\nx). Такая почти предельно хорошая оценка л(х) будет
получена, если будет доказана гипотеза Римана (см. стр. 324).
X
Оценка разности между эт (х) и I .—¦? зависит от того, на-
сколько далеки от прямой а=1 нули g()
6. Доказательство асимптотического закона распределения
простых чисел, данное А. Сельбергом и П. Эрдёшом, основано
на использовании тождества
D7)
где р и q пробегают простые значения. Тождество D7) получило
название тождества Сельберга. Со времени выхода работы Сель-
Сельберга и Эрдёша появилось несколько различных вариантов
элементарного доказательства асимптотического закона распре-
распределения простых чисел.
7. В 1940 г. П. Эрдёш доказал, что Ит Рк\^~Pk <с< 1,
т. е. разность между соседними простыми числами /?ft+1—рк для
бесконечного множества значений k меньше, чем c\npk, где с< 1.
С другой стороны, было доказано (Эрдёш, Ранкин), что суще-
существует некоторая постоянная Ь, такая, что для бесконечного
354

множества простых чисел pk будет выполняться неравенство
• In In pt In In 1
в качестве b можно взять b = ec—e, где С—постоянная Эйлера
(см. стр. 53), е>0—произвольно малая величина.
8. Теорема 332, так же как и теорема 330, была доказана
в 1847 г. Мертенсом. Применение методов теории функций
комплексного переменного позволило значительно уточнить
оценку C8). Мертенс доказал также, что
где С—постоянная Эйлера.
9. Теорема 333 известна из работы Гарди и Рамануджана A917).
Если вместо функции v(n) взять функцию Q(n), равную числу
простых делителей п, считая каждый из них столько раз, сколько
раз он встречается в каноническом разложении п (например,
QA200) = QB4.3-52) = 7), то также имеем:
2 Q (л) = ЛПпIn
n<,N
причем постоянная J3t = В + 7.. ,<. где В — постоянная
р
р
теоремы 332.
10. Теорема 335 встречается впервые в виде формулы D4)
в книге Лежандра „Essai s.ur la theorie des nombres". После ра-
работ Мейсселя различные формулы, выражающие я (#) с помощью
функции Ф(х, у), были построены Рогелем A899) и Чипола A905).
ГЛАВА 36
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ПРОГРЕССИЯХ. АДДИТИВНЫЕ ЗАДАЧИ
1. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Для большинства результатов, о которых будет идти речь
в настоящей главе, доказательства весьма сложны, и мы не будем
их приводить. Основная задача этой главы—дать очерк совре-
современного состояния теории простых чисел с тем, чтобы читатели,
заинтересовавшиеся рассматриваемой проблематикой, обратились
к специальной литературе.
В предыдущей главе мы рассмотрели вопросы, связанные
с распределением простых чисел в натуральном ряду. Как сле-
следующую ступень изучения простых чисел естественно поставить
12» 355

задачу изучения их распределения в различных подпоследова-
подпоследовательностях натурального ряда. Наиболее простыми бесконечными
подпоследовательностями натурального ряда являются арифме-
арифметические прогрессии.
Если взять, например, прогрессию с разностью 10:
7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97, .... A)
то в начале среди ее членов встречается сравнительно много
простых чисел (подчеркнутые члены); будут ли простые числа,
содержащиеся в этой прогрессии, образовывать бесконечное мно-
множество или начиная с некоторого места простые числа больше
уже встречаться не будут?
Оказывается, и это было впервые доказано в 1837 г. Дирихле,
что не только в прогрессии A), но и вообще в любой прогрессии,
у которой начальный член взаимно прост с разностью, содер-
содержится бесконечное множество простых чисел.
Теорема 337 (Дирихле). Если (k, /) = 1, то прогрессия
I, l + k, l + 2k, / + 3fe, ... B)
содержит бесконечное множество простых чисел.
Условие (k, /) = 1 существенно, так как если (k, l)=d>\,
то все члены последовательности B) делятся на d и прогрессия
тогда содержит самое большее одно простое число. Мы приводим
эту теорему без доказательства. Доказательство, данное Дирихле,
основано на рассмотрении особых теоретико-числовых функций
5С (п), называемых характерами (характеры по модулю k), и так
называемых L рядов Дирихле
1(ч 1\
L (s, X) = j
Л = 1
при комплексных значениях аргумента s.
Характером по модулю k называется числовая функция X (л),
такая, что: 1) ХA) = 1, 2) Х(а) = 0, если (а,к)ф\, 3) %(ab) =
= Х(а)Х(Ь) для любых а и Ь, 4) Х(а) = ХF), если a==b(modA:).
Можно легко доказать, что все отличные от нуля значения такой
функции представляют собой корни степени ф (k) из единицы.
Доказательство использует то, что характеры имеют одно и
то же значение для всех чисел, сравнимых по модулю k, т. е.
для всех чисел, принадлежащих одной и той же прогрессии
с разностью k.
В 1949 г. А. Сельбергом было опубликовано элементарное
доказательство этой теоремы. Для отдельных частных случаев
теорема Дирихле может быть получена совершенно элементарно,
и мы рассмотрим несколько примеров таких доказательств.
Теорема 338. Множество простых чисел вида 4^ + 3 бесконечно.
356

Доказательство. Предположим, что существует только
конечное множество простых чисел вида At + 3; тогда можно
взять число N, равное произведению всех таких простых чисел.
Из x==l(mod4) и ys=l(mod4) следует ху== 1 (mod4), по-
поэтому произведение простых чисел вида At +1 не может рав-
равняться AN—1 (AN—1 ф. I(mod4)). Таким образом, число 4JV—1
должно иметь по крайней мере один простой делитель р вида
4^ + 3, т. е. должно существовать простое число р, такое, что
p\N и р\ (AN—1), откуда получаем р\\, в то время как р^З.
Предположение, что существует только конечное число простых
чисел вида 4^ + 3, привело нас к противоречию; значит, мно-
множество таких простых чисел бесконечно.
Совершенно аналогично доказывается бесконечность множе-
множества простых чисел вида 6/+ 5. Из предположения, что суще-
существует только конечное множество таких чисел, следует суще-
существование хотя бы одного простого числа р, такого, что p\N
и р\ FN—1), где N— произведение всех простых чисел вида
6^ + 5, и тогда р|1, что не может иметь места.
Несколько сложнее доказывается следующая теорема.
Теорема 339. Множество простых чисел вида At + 1 бесконечно.
Доказательство. Предположим, что существует только
конечное число простых чисел вида 4^ + 1; тогда можно взять
N равным произведению всех этих чисел. Возьмем любой про-
простой делитель р числа AN2 + 1. Из того, что p\AN2 + 1 следует
BЛГJ ==— l(modp), т. е. f—j = l, p = At+\ (теорема 207).
Поскольку N—произведение всех простых чисел вида At + 1,
то р является одним из делителей N, p\N и p\AN2-\-l, откуда
получаем р\1, в то время как р>\. Предположение, что су-
существует только конечное число простых чисел вида At +1,
привело нас к противоречию, т. е. множество таких простых
чисел бесконечно.
Теорема 340. Множество простых чисел вида Ы + 1 бесконечно.
Доказательство. Предположим, что существует только
конечное число простых чисел вида 6t -\-1; тогда можно взять
число N, равное произведению всех этих чисел. Любое нечетное
простое число р можно записать в виде \2t-\-r, где г = 1, 5, 7
или 11. Вычислим символ Лежандра ( — ]:
Lzl r-z±(jA_j 1, если г = \ или г = 7,
= (—1) * (—1) а \Ъ)-\_ 1, если г = 5 или г = 11
Таким образом, (—-] = 1, только если р = 1 (mod6).
357

Возьмем любой простой делитель р числа 4JV2 + 3, число р не-
нечетно и
т. е., как мы только что доказали, р имеет вид 6/ + 1, и, сле-
следовательно, p\N.
Из p\N и p|4JV2-f 3 следует р|3, р~Ъ, что противоречит тому,
что p = 6t + l. Полученное противоречие доказывает бесконеч-
бесконечность множества простых чисел вида Ы-\~\.
Обозначим через п{ (k, х) число простых чисел в прогрессии B),
меньших или равных х. Теорема Дирихле заключается в том,
что при (k, I) = 1 и х—+ оо величина nt (k, x) —> оо. Для функции
nt(k, x), так же как для функции л (х), ставится проблема опре-
определения порядка роста при увеличении аргумента х.
Методы, с помощью которых был определен порядок роста
л (х), были перенесены на случай произвольной арифметической
прогрессии, у которой начальный член и разность—взаимно
простые числа, и была доказана следующая теорема.
Теорема 341. При любых постоянных, взаимно простых k и I
имеет место асимптотическое равенство:
X
л' (*¦ *) ~ ^Щ J "ПП • где ф W —ФУнки.ия Эйлера. C)
Из этой теоремы вытекает, что
п. (k, х)~-^гт~, D)
*v ' «р (ft) In х' v ;
а также ввиду формулы B4) 35-й главы, что
«/(*. х)~^)яD E)
Оценка C) точнее, чем D), в том смысле, что разность между
левой и правой частями в C) по модулю меньше, чем в D).
Значительно труднее изучение порядка роста функции nt(k, x),
когда k растет вместе с х. Важные результаты в этом отношении
были получены в последние годы К. А. Родосским, Татудзава и
Э. К- Фогелсом.
Асимптотическое равенство E) показывает, что в каждой
из прогрессий kt+l, такой, что (k, /) = 1, содержится в извест-
известном смысле одинаковое количество простых чисел. Действительно,
число прогрессий с разностью k, где (k,l) — l, равно <р(&), и,
как показывают равенство E), на долю каждой из них при-
приходится примерно -щ часть от общего числа простых чисел,
лежащих в пределах от 1 до «.
35а

Показывая, что в каждой такой прогрессии содержится
весьма значительное количество простых чисел, формулы C) и
D) вместе с тем ничего не говорят о том, как далеко от начала
прогрессии начнут встречаться простые числа. В этом отношении
чрезвычайно интересный результат был получен в 1944 г.
Ю. В. Линником. Теорема Линника устанавливает границу для
наименьшего простого числа любой заданной прогрессии.
Теорема 342 (Линник). Существует постоянное число с0,
такое, что при любых взаимно простых k и / (\^l<Ck) наи-
наименьшее простое число, принадлежащее прогрессии
I, l + k, l + 2k, l + 3k
не превосходит k0".
Арифметические прогрессии представляют собой значения
линейной функции f(t) = kt-\-l при t — 1, 2, 3... Если вместо
линейной функции взять другую функцию f{t), то можно также
ставить задачу: содержит ли последовательность :
/A), /B), /C), ... F)
бесконечное множество простых чисел?
Например, если взять f (t) = t2 + 1, то может быть поставлена
задача: содержит ли последовательность чисел вида /2+1, т. е.
последовательность
2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, 101, ..., G)
бесконечное число простых чисел?
Вначале здесь попадается довольно много простых чисел;
среди первых 3000 членов этой последовательности имеется 300
простых чисел. Будут ли простые числа встречаться в этой
последовательности и дальше, как бы далеко мы ни ушли от ее
начала? Современная теория чисел пока не сумела решить этот
вопрос, и, таким образом, неизвестно, содержит ли последова-
последовательность G) бесконечное число простых чисел или начиная
с некоторого места простые числа больше не будут в ней встре-
встречаться. - , .
Не, надо думать, что трудность этой проблемы связана с ка-
какой-то особенностью функции ^2+1; проблема будет столь, же
трудной, если аналогичный вопрос поставить и для другого
неприводимого над полем рациональных чисел многочлена 2-й
степени at2 + bt + c, где (а, Ь, с) = \. Еще труднее становится
проблема, если перейти к многочленам более высокой степени.
До сих пор ни для одного многочлена с целыми коэффи-
коэффициентами .
степени п > 1 не удалось установить существование бесконечного
числа простых чисел в последовательности F). Таким образом,
359

современной теории чисел удается исследовать распределение
простых чисел только в арифметических прогрессиях, да и то
далеко не полностью.
2. ПРОБЛЕМЫ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Значительные трудности встречаются и в так называемых
аддитивных задачах с простыми числами, т. е. в задачах, в
которых простые числа встречаются в качестве слагаемых. Наи-
Наиболее известна из этих задач — знаменитая проблема Гольдбаха —
Эйлера.
В 1742 г. Гольдбах в письме к Эйлеру поставил проблему
доказать, что каждое нечетное число может быть представлено
в виде суммы трех простых чисел (нечетные числа берутся, на-
начиная с 7). Эйлер в ответном письме высказал гипотезу, что
имеет место гораздо более сильное утверждение, а именно, что
каждое четное число (начиная с 4) может быть представлено
в виде суммы двух простых чисел. Эти проблемы получили
название проблемы Гольдбаха—Эйлера.
Конечно, если бы удалось решить задачу, поставленную
Эйлером, то отсюда справедливость теоремы Гольдбаха получа-
получалась бы как очевидное следствие. Действительно, любое нечет-
нечетное число вида 2N -[- 1 3* 7 можно представить в виде 2N-{-l =
= 3 + 2(Л/—1), где 2(N—l)Ss4; так что из разложимости
2 (N—1) на сумму двух простых вытекает разложимость 2N+1
на сумму трех простых чисел. Вместе с тем решение проблемы
Гольдбаха не дает возможности сделать вывод о справедливости
утверждения Эйлера. Таким образом, проблема Эйлера труднее
и, как потом выяснилось, значительно труднее, чем проблема
Гольдбаха.
Эти две проблемы можно объединить общей формулировкой:
„доказать, что каждое натуральное число N>1 может быть
представлено в виде суммы не более чем трех простых чисел".
В течение почти двухсот лет, прошедших после переписки
Гольдбаха и Эйлера, а именно к началу XX века, эти проблемы
казались совершенно недоступными, а вместе с тем численные
вычисления показывали, что натуральные числа в пределах до
нескольких миллионов обычно разлагаются на сумму двух или
трех простых чисел даже несколькими способами.
Известный специалист по аналитической теории чисел Э. Лан-
Ландау в 1912 г. поставил вопрос о том, чтобы доказать, что каждое
натуральное число N >• 1 может быть представлено как сумма не
белее ну хотя бы миллиона или какого-либо другого опреде-
определенного числа простых чисел, однако и в таком виде задача
в то время представлялась чрезвычайно трудной.
Первый результат в направлении решения проблемы Гольд-
Гольдбаха был сделан замечательным советским математиком
360

Л. Г. Шнирельманом, который в 1930 г. доказал справедливость
теоремы в той форме, которая была предложена Ландау. Теорема
Шнирельмана может быть сформулирована в следующей форме.
Теорема 343 (Шнирельман). Существует постоянная k,
такая, что каждое натуральное число, большее чем 1, может
быть представлено в виде суммы не более k простых чисел,
т. е. для любого натурального N(N>1)
+... +pk,
где р/—либо простые числа, либо нули.
Число k у Шнирельмана было довольно велико; однако в на-
настоящее время методом Шнирельмана справедливость теоремы
доказана при сравнительно небольших значениях k. Если брать
натуральные числа N^zN0, т. е. брать натуральные числа, начи-
начиная с некоторого, то метод Шнирельмана позволяет доказать
справедливость теоремы при fe=18.
Работа Л. Г. Шнирельмана, явившаяся в то время сенсацией
в математике, интересна особенно тем, что разработанные им
методы стали основой нового направления теории чисел. Метод
Шнирельмана находит применение не только в задаче Гольдбаха —
Эйлера, но и в других аддитивных проблемах. Интересные резуль-
результаты, связанные с применением метода Шнирельмана, получил
Н. П. Романов, исследовавший множество чисел, представимых в
виде суммы простого числа и числа вида а" при заданном целом
а>1.
В 1934 г. совершенно исключительного успеха в решении
аддитивных задач с простыми числами добился академик Иван
Матвеевич Виноградов. Ему удалось полностью решить проблему
Гольдбаха для всех чисел, начиная с некоторого. Доказанная им
теорема может быть сформулирована следующим образом.
Теорема 344 (Виноградов). Существует постоянное число No,
такое, что все нечетные числа, большие чем No, могут быть
представлены в виде суммы трех простых чисел.
Таким образом, проблема Гольдбаха решена для всех чисел,
за исключением, быть может, конечного их числа. Можно было бы
организовать проверку теоремы Гольдбаха и для чисел не пре-
превосходящих No, однако это пока не сделано. Полученное для No
значение настолько велико, что даже для современных быстро-
быстродействующих электронных вычислительных машин потребовалось
бы слишком большое количество времени.
Решение И. М. Виноградовым проблемы Гольдбаха явилось
чрезвычайно важным событием в развитии аналитической теории
чисел. При решении этой проблемы И. М. Виноградов применил
созданный им весьма мощный метод, основанный на применении
конечных тригонометрических сумм. Этот метод нашел себе при-
применение при решении многих трудных задач теории чисел,
в частности, многих аддитивных задач с простыми числами.
361

Метод Виноградова оказался все же недостаточным для.реше-
для.решения аддитивных задач с двумя простыми слагаемыми, и про-
проблема Гольдбаха—Эйлера о представлении четных чисел в виде
суммы двух простых чисел остается до сих пор нерешенной. Вме-
Вместе с тем было доказано (Н. Г. Чудаков, Ван-Корпут, Т. Эстерман),
что почти все четные числа разлагаются на сумму двух простых
чисел; это значит, что отношение числа чисел отрезка [1; N],
неразложимых на сумму простых чисел, к самой величине N
стремится к нулю при увеличении N.
В аналитической теории чисел ставятся также задачи о пред-
представимости чисел в виде суммы одного простого числа и других
чисел заданного вида.
Задачи такого типа обычно являются весьма трудными. Так,
например, только весьма тонкие аналитические методы позволили
Ю. В. Линнику решить в 1959 г. проблему, поставленную в
1923 г. английскими математиками Харди и Литлвудом, а именно
ему удалось доказать следующую теорему.
Теорема 345 (Линник). Каждое достаточно большое нату-
натуральное число п может быть представлено в виде суммы простого
числа и двух квадратов целых чисел, т. е. в виде
Среди аддитивных задач с простыми числами особой извест-
известностью пользуется проблема так называемых простых чисел-
близнецов. Кроме 2, все остальные простые числа—нечетные
и наименьшая возможная разность между ними равна 2.
Определение 94. Два простых числа с разностью, равной 2,
называются простыми числами близнецами.
Например, среди первых 50 натуральных чисел имеется 6 пар
простых чисел близнецов, а именно:
3, 5; 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31 и 41, 43.
Предполагают, что существует бесконечное число таких пар,
однако ни доказать, ни опровергнуть это предположение пока не
удалось. Простые числа близнецы можно выделить из натураль-
натурального ряда способом, совершенно аналогичным обычному эратос-
фенову решету.
Теорема 346. Пусть рх = 2, р2, ..., рг—все простые числа
*^У N + 2(N ^з7). Если в натуральном ряду последовательно
вычеркнуть все числа п, делящиеся на рх, на р2, ..., на pr, a
также все числа п, такие, что я+ 2 делится хотя бы на одно
из чисел pv ръ, ..., рг, то оставшиеся числа образуют множество
простых чисел р, таких, что р + 2 также простое число, причем
р < N.
Доказательство. Число 1 будет зачеркнуто, так как
1+2 = 3 делится на 3. Все остальные натуральные числа
362

+ 2 будут также вычеркнуты, так как каждое из них
делится на какое-нибудь из чисел plt р2, ..., рг.
Из чисел п, лежащих между J/JV + 2 и N, Y
2
у ()
все п такие, что п или п + 2— составное, будут вычеркнуты,
так как тогда п или п-\-2 или оба эти числа делятся по край-
крайней мере на одно из чисел р^Рг^ •., рг. Числа р такие, что
р + 2 тоже простое число и У N-\-2< p<,N, не будут вычерк-
вычеркнуты, так как в этом случае р и р + 2 не делятся на р1( р2, ... рг,
которые тогда меньше чем р.
Мы имеем, таким образом, алгоритм, позволяющий находить
все пары простых чисел близнецов р, р + 2, где У N-\-2<^p^N.
Добавляя к ним пары близнецов р, р + 2, где p<,YN + 2, мы
находим все близнецы р, р + 2, где p^N.
Этот алгоритм позволяет, таким образом, вычислять значения
функции B(N), выражающей число простых чисел p^N, таких,
что р + 2 тоже простое число. Проблема простых чисел близне-
близнецов заключается в том, чтобы доказать, что при увеличении N
величина В {N) тоже неограниченно увеличивается.
Подобный алгоритм можно построить для нахождения про-
простых чисел pn^N, таких, что р'— 2N—р тоже простое, т. е.
для нахождения рассматриваемых в проблеме Гольдбаха—Эй-
Гольдбаха—Эйлера пар простых чисел ((р, р')), сумма которых равна заданному
четному числу 2N.
Теорема 346^ Пусть рг = 3<р3<.. .<pr
<.. .<ps^yr2N—все нечетные простые числа, не превосхо-
превосходящие V2~N.
Если среди нечетных натуральных чисел пЛ таких, что
S^n^N, вычеркнуть все числа, делящиеся хотя бы на одно из
чисел рг, р%, .... рг, а также все числа п, такие, что 2N—п
делится хотя бы на одно из чисел ръ, р3, ..., рг, ..., ps, то остав-
оставшиеся числа образуют множество простых чисел р, таких, что
р' — 2N — р тоже простое, причем VN-zCp^N.
Доказательство. Если р —простое число, такое, что
y~N<p^N, и 2N—р — р' тоже простое, то р не делится на
простые числа, не превосходящие YN, а р' = 2N—р ^ N > Y2N,
не делится ни на одно простое число, не превосходящее Y2N.
Если же для такого р число 2N—р составное, то по крайней
мере один нечетный простой делитель 2N—р не превосходит
Y%N> т. е. такое р будет вычеркнуто. Все составные числа,
меньшие или равные N, и простые числа, меньшие ияи равные
YN, будут, очевидно, вычеркнуты, так как у каждого из этих
чисел имеется по крайней мере один простой делитель, не пре-
превосходящий Yn.
363

Добавляя к оставшимся числам простые числа р ^ у N,
такие, что р'= 2N—р простое, мы получим все пары простых
чисел р ир', удовлетворяющие условию р + р' = 2N, C «?/?«?#)•
Беря наряду с парами ((р, р')) еще и пары ((р', р)), мы найдем
все решения уравнения Гольдбаха—Эйлера:
x + y = 2N, (8)
где оба неизвестных принимают только значения, представляющие
собой простые числа.
Обозначим число решений уравнения (8) в простых числах,
т. е. число пар простых чисел ((р, р')), таких, чтор + р' = 2М,
через PBN). Проблема Гольдбаха—Эйлера заключается в том,
чтобы доказать, что РBЛг)>0 при всех N^3.
Пример. Найти все пары простых чисел ((р, р')), таких,
что р + р' = 232. Нечетные простые числа, меньшие или равные
1^116, равны 3, 5, 7, а для чисел, меньших или равных J/232,
прибавляются еще простые числа 11 и 13. В множестве нечет-
нечетных чисел 3, 5, 7, 9, ... , 115 выбрасываем (вычеркиваем) все
числа п, делящиеся на 3, и числа п, такие, что 232—п = 0 (mod 3),
т. е. n = l(mod3). Остаются нечетные числа п ==2 (mod 3), т. е.
числа: 5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77, 83, 89,
95, 101, 107, 113. Из оставшихся чисел выбрасываем те п, для
которых я е= 0 (mod 5), и те, для которых 232—я = 0 (mod 5), т. е.
п = 2 (mod 5). После этого остаются числа: 11, 23, 29, 41, 53, 59,
71, 83, 89, 101, 113. Выбрасываем затем числа вида rc = 0(mod7),
а также вида 232—n = 0(mod7), т. е. n = l(mod7). После этого
остаются числа: 11, 23, 41, 53, 59, 83, 89, 101. Выбрасываем
еще числа п, такие, что 232—n = 0(mod 11), т. e. n= I (mod 11),
и числа п, такие, что 232—ns=0(modl3), т. е. ns 11 (mod 13).
В итоге остаются числа: 41, 53, 59, 83, 101. Добавляем к ним
простые числа 3 и 5, меньшие чем ]Al6, для которых 232—3 =
= 229 и 232—5 = 227 —тоже простые числа. Представления числа
232 в виде суммы двух простых чисел имеют вид
232 = 3 + 229 = 5 + 227 = 41 + 191=53+179 = 59+173 =
= 83+149=101 + 131,
и еще 7 представлений, получающихся переменой мест слагае-
слагаемых. Уравнение х + у — 2Ъ2 имеет 14 решений в простых числах,
т. е. Р B32)= 14.
Решето, аналогичное тому, которое мы применили для на-
нахождения пар простых чисел ((р, р')), таких, что р'—р = 2, и
решений уравнения Гольдбаха—Эйлера р + р' = 2N, может быть
построено и для других аддитивных задач с простыми числами.
Решето подобного типа часто называют двойным эратосфеновым
364

решетом (два „просеивания" для каждого из простых чисел
Pi^V^). Такое решето было впервые построено французским
математиком Мерлином.
Подобно тому как обыкновенное эратосфеново решето выра-
выражено в виде формулы D4) 35-й главы, можно и для двойного
эратосфенова решета построить формулы, выражающие функции
B(N) и PBN) в явном виде. В правой части формулы D4)
-?- , выражающие чис-
число чисел, меньших или равных N и делящихся на k, причем k
равно произведению простых множителей, взятых из числа простых
чисел рх, р2, ..., р n^y~N. Величина -т-1 не более чем на 1
N L J
отличается от р. В случае двойного эратосфенова решета для
каждого k вида k — p^ ... pif в правой части будет 2* величин,
каждая из которых отличается от -г- тоже не более чем на 1.
Использование формулы D4) 35-й главы для определения порядка
роста п (N) встречает ту основную трудность, что, хотя после
замены каждого слагаемого на -г ошибка не велика и не превос-
превосходит 1, общее число слагаемых в сумме, равное, как легко
видеть, 2Г — 2я 0^), представляет собой очень большое число,
намного большее, чем само п(х).
Еще большие трудности встречаются при использовании по-
подобных формул для B(N) или PBN). Например, в формуле для
В(N) число слагаемых равно 1 + 2С) + 22СГ2+ ... +2Г-1СГ
0
~1
= 3Г—2Г, г = я (|/0У + 2). В 1919 г. норвежский математик Виго
Брун разработал замечательный метод, дающий возможность
использовать двойное эратосфеново решето для оценки функций
вида B(N) и PBN). Прежде всего Виго Брун заменил эти
функции функциями B(N,Na)yiP BN,BN a). Функция B{N,Na)
выражает число чисел n^N, таких, что все простые делители п
и п-\-2 больше чем N°. Функция PBN, BN)~") равна числу
чисел n^2N, таких, что простые делители п и 2N — п больше
чем B^)". Для таких функций при а =10 Брун строит двойное
решето (решето Виго Бруна), так что величины P{N, N10) и
j_
Р BN, BNI0) оказываются заключенными между двумя суммами
со сравнительно небольшим числом слагаемых, причем величины
самих этих сумм оцениваются сверху и снизу хотя и сложным,
но вполне элементарным методом. Применяя этот метод, Виго
365

Брун доказал, что B(N,N10) и PBN, BNI0) неограниченно
увеличиваются при увеличении N.
Если число n^,2N таково, что все простые делители п больше
j_
чем BJVI0, то п состоит не более чем из девяти простых мно-
множителей. Если же при этом и у числа 2N—п все простые мно-
1
жители больше чем BNI0, то n' — 2N—п тоже состоит не
больше чем из девяти простых множителей. Таким образом,
1
получив, что PBN, BЛГI0)—* оо, В. Брун доказал, что каждое
достаточно большое четное число 2N может быть представлено
в виде 2Лг = я + п', где каждое из слагаемых пил' состоит не
более чем из девяти простых множителей. Точно так же из того,
что B(N,N1(>)—<-oo, следует существование бесконечного мно-
множества чисел п, таких, что и п и n' = nJr2 состоят не более
чем из девяти простых множителей.
Ряд усовершенствований, внесенных в метод Виго Бруна, по-
позволил снизить число простых множителей у п и п' (в проб-
проблеме Гольдбаха — Эйлера 2N = n-\-n' и в проблеме близнецов
п' — п = 2) до четырех (А. А. Бухштаб, 1940 г.).
Другое решето, существенно отличающееся от решета Виго
Бруна, было построено А. Сельбергом.
Используя различные методы решета, развитые Виго Бруном,
Бухштабом, Сельбергом, Куном, в конечном счете удалось сни-
снизить число простых множителей у п до двух, а у п' до трех
(Ван-Юань, Б. В. Левин 1958 г.).
В 1948 г. венгерский математик А. Реньи доказал следующую
теорему.
Теорема 347. Существует постоянная I, такая, что каждое,
достаточно большое натуральное четное число 2N представимо
в виде 2N = р-\-п, где р —простое число, а, п состоит не более
чем из I простых множителей.
В 1964 г. А. А. Бухштаб доказал теорему 347 со значением
I = 3. Аналогичная теорема была им доказана и в проблеме прос-
простых чисел близнецов.
Теорема 348. Множество простых чисел р, таких, что р + 2
состоит не более, чем, из трех простых сомножителей, бесконечно.
Рассматривая простые числа близнецы, Виго Брун доказал
также следующую теорему.
Теорема 349. Ряд величин, обратных простым числам близ-
близнецам, сходится.
Теорема 349 показывает, что если даже простые числа близ-
близнецы образуют бесконечное множество, то их все же намного
меньше, чем всех простых чисел. Ряд ^ — величин, обратных
¦ р
366

всем простым числам, расходится (теорема 326), но если оста-
оставить в нем только простые числа р, такие, что р' = р + 2 тоже
простое, то получится сходящийся ряд.
Простые числа близнецы — пара нечетных простых чисел с воз-
возможно маленькой разностью 2. Можно рассматривать тройки,
четверки и т. д. простых чисел с возможно маленькими разно-
разностями. Для трех простых чисел р, р' и р", где р>3, не может
быть одновременно р' = р + 2 и р" — р' + 2 = р + 4. Действитель-
Действительно, числа р, р + 2 и р + 4 образуют полную систему вычетов по
модулю 3, и, таким образом, одно из этих чисел обязательно
делится на 3. Наименьшие возможно маленькие разности между
тремя простыми числами, отличными от 3, это разности р'—р = 2,
р"—р' = 4 (или р'—р = 4, р"—р' = 2). Тройки простых близ-
близнецов р, р' = р + 2, р" = р + 6 встречаются вначале сравнительно
часто, например (E,7, 11)), (A1, 13, 17)); вместе с тем таблицы
простых чисел показывают, что по мере удаления от начала на-
натурального ряда такие простые числа встречаются все реже и
реже. Английские математики Харди и Литлвуд поставили проб-
проблему доказательства существования бесконечного множества
таких троек простых чисел: р, р' = р + 2 и р" = р + 6. Эта проб-
проблема по трудности значительно превосходит проблему существо-
существования бесконечного числа простых чисел близнецов. Проблема
становится еще труднее, если рассматривать четверки простых
чисел: р, р' = р + 2, р" = р + 6, р'" = р + 8.
Можно поставить ряд и других задач теории простых чисел,
которые еще ждут своего решения. Перечислим некоторые из них.
1. Доказать, что существует постоянное число к, такое, что
неравенство p' — p<.k имеет бесконечное множество решений в
простых числах р и р'.
2. Найти постоянное число k, такое, чтобы существовало
бесконечное множество пар простых чисел р и р', таких, что
p'-p = k.
3. Доказать, что каждое четное натуральное число представ-
представляет собой разность двух каких-либо простых чисел.
4. Доказать существование бесконечного множества простых
чисел р, таких, что р =f-^- тоже простое число.
5. Доказать( что существует бесконечное множество троек
соседних простых чисел pi-lt ph pi+1, образующих арифметическую
прогрессию, т. е. таких, что pl = Pi~y'p '.
6. Доказать, что для любого сколь угодно большого числа п
существует п простых чисел />/,, pt,, ..., pin таких, что
Pi, — Рк =Pi, — Pl,= '--== Pln — Pln-г-
7. Доказать, что существует по крайней мере один многочлен
f (х) — ахъ-\-Ъх-{-с с целыми коэффициентами а, Ь, с такой, что
367

последовательность /A), /B), /C), ... содержит бесконечное
множество простых чисел.
8. Определить существует ли квадратный трехчлен /(*) =
= ахг-{-Ьх-{-с, такой, что при всех х, таких, что f(x) = p, где р
простое число будет также простым и число р + 2?
9. Доказать, что в последовательности
1,1,2,3,5,8,13,21
где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих
(последовательность Фибоначчи) существует бесконечное мно-
множество простых чисел.
10. Будет ли для любых взаимно простых чисел k и / бес-
бесконечным множеством простых чисел р, таких, что все простые
делители числа р + 2 принадлежат прогрессии I, l + k, / + 2fe, ...?
11. Доказать, что каждое достаточно большое натуральное
число N либо само является квадратом, либо представимо в
виде суммы N — p + s2, где р — простое число.
12. Доказать, что все нечетные числа, начиная с некоторого,
могут быть представлены в виде суммы простого числа и удвоенного
квадрата простого числа (числа 5777 и 5993 не представимы в
таком виде).
13. Определить, будет ли бесконечным множество натуральных
чисел п, таких, что п — рк, я + 1 =р[, где р и рг— простые числа,
k и / — целые.
14. Доказать, что при любом натуральном п между пг и
(я+1J лежит по крайней мере одно простое число.
15. Доказать, что при любом е > 0 каждое натуральное число N,
начиная с некоторого N0(N >JV0, где N0 = N0(e)) может быть
представлено в виде N = n + n', где все простые делители чисел
п и п' не превосходят N\
16. Доказать существование бесконечного множества простых
чисел, представимых в виде суммы трех кубов натуральных чисел.
17. Доказать, что для каждого натурального числа N сущест-
существует целое число а, такое, что х2 — х-\-а принимает простые зна-
значения при х —0,1,2,... ,N.
18. Доказать, что множество простых чисел, для которых
g = 2, является первообразным корнем, имеет положительную
плотность.
Конечно, не исключена возможность того, что некоторые из
этих проблем будут решены в отрицательном смысле.
Исторические комментарии к 36-й главе
1. Теорема 337 для случая /=1 была высказана в 1775 г.
Эйлером.
Лежандр в своей книге "Theorie des nombres" A808) привел
доказательство теоремы 337, однако это доказательство опиралось
368

на одно вспомогательное предложение, которое, как это выясни-
выяснилось позже, оказалось неверным.
Доказательство Дирихле было существенно упрощено Э. Лан-
дау.
2. Характер называется действительным, если его значениями
являются только числа 0,1 и —1. Основная трудность, возни-
возникавшая при доказательстве теоремы 337 методом Дирихле,
00
заключалась в том, чтобы доказать, что ^ „ ^0 Для всех
Я1
действительных характеров по модулю k. Доказательство Сель-
берга обходится без этого.
3. Элементарные доказательства существования бесконечного
множества простых чисел для очень многих арифметических
прогрессий частного вида были получены до Сельберга разными
авторами, например, было известно элементарное доказательство
для всех прогрессий вида kt ± 1 (*= 1,2,3,...). Для многих
прогрессий применялся метод Чебышева, аналогичный тому,
который он применял при доказательстве теоремы 324. Доказа-
Доказательство А. Сельберга было первое элементарное доказательство,
годное в общем случае.
4. Теорема 341 была доказана Валле-Пуссеном. Валле-Пуссен
доказал, что при любом постоянном k
где с — постоянная, зависящая только от k. В настоящее время
остаточный член в формуле (8) оценен более точно.
5. Таблицы простых чисел в широких пределах показывают
преобладание количества простых чисел вида 4^ + 3 по сравнению
с простыми числами вида \t + 1.
Выяснилось, однако, что такое преобладание простых чисел
вида \t + 3 не будет продолжаться неограниченно далеко. Методом
Литлвуда было доказано, что существует постоянная А, такая,
что для бесконечного множества значений х будет иметь место
неравенство
^-(In In InхJ
и вместе с тем для бесконечного множества значений х будет
иметь место неравенство
я3D,
В 1957 г. Лич нашел число 26861 ,для которого п3D, д;)<я1D,х).
26861 наименьшее число, обладающее таким свойством. В пре-
369

делах до 3000 000 имеется только один интервал значений х
F1600<х<63400), для которых я8D, *)<я1D, х).
6. В настоящее время вычислено, что для достаточно боль-
больших k постоянная Со теоремы 342 такова, что 1<СС0<5448.
Согласно гипотезе Човла наименьшее простое число в про-
прогрессии B) не превосходит k1+e для любого е>0 и всех доста-
достаточно больших k.
7. Еще в 1882 г. Вебер доказал, что каждая примитивная,
бинарная квадратичная форма axz-\-bxy + cyi с неквадратным
дискриминантом для бесконечного множества пар целых х, у
принимает значения, представляющие собой простые числа (при
?)<0 форма предполагается положительно определенной).
В 1954 г. Бриге показал, что эта теорема может быть дока-
доказана методом Сельберга.
8. Христиан Гольдбах A690—1764) —математик, член Петер-
Петербургской Академии наук.
9. Л. Г. Шнирельман A905—1935) известен своими работами
по теории чисел, геометрии и вариационному исчислению. Он
доказал, что множество натуральных чисел, представимых в
виде р + р', где р и р'— простые числа, после добавления к нему 1
имеет положительную плотность.
Последовательность натуральных чисел alt a2 ап, ...
называется последовательностью положительной плотности, если
существует постоянная а, такая, что ^ l^saN для всех це-
лых положительных N.
10. Н. П. Романов A934) доказал, что если к множеству
натуральных чисел, представимых в виде суммы простого числа
и степени заданного целого основания а > 1, добавить число 1,
то получится множество положительной плотности. Он доказал,
что то же самое будет, если вместо степеней заданного основания
взять fe-e степени натуральных чисел (k ^ 1 любое целое).
11. И. М. Виноградов не только доказал представимость всех
достаточно больших нечетных чисел N в виде суммы трех простых,
но и дал асимптотическую формулу для числа / (N) таких пред-
представителей, а именно доказал, что
n
где первое произведение распространено по всем простым числам,
а второе по простым делителям числа АЛ
Постоянная No в теореме 344 была определена (К- Бороздкин)
в виде N = ее1''0%я. Хуа Ло-кен рассмотрел ряд задач о представ-
представлении натуральных чисел суммами k-x степеней простых чисел,
12. В 1931 г. Т. Эстерман доказал, что каждое натуральное
число, большее чем 1, может быть представлено в виде суммы
370

простого числа и числа, свободного от квадратов, и дал асимп-
асимптотическую формулу для числа таких представлений.
13. К. Прахар доказал A952 г.), что существует бесконечное
множество чисел k, таких, что уравнение р'—p = 2k имеет бес-
бесконечное множество решений в простых числах р и р'.
14. В 1963 г. Б. М. Бредихин, развивая метод Линника, до-
доказал, что каждое достаточно большое число N представимо в
виде N = р + / (k, /), где р простое число, / (k, I) = ak2-+- bkl + с/2
примитивная положительно определенная форма, 0< / (k, I) < jV.
Теорема Бредихина является, таким образом, обобщением тео-
теоремы 345. Им же был получен и ряд других теорем такого типа.
15. Мерлин был убит на фронте во время первой мировой
войны и оставил свою, работу незаконченной.
16. При доказательстве теоремы 347 А. Реньи существенно
использовал так называемое „большое решето" Линника. Дока-
Доказательство теоремы 348 (так же как и теоремы 347 с / = 3)
опирается на оценку.
. max - • - ?dt
a (mod h)
(a, k) = i
о
где v = -g—е, е>0, А — произвольная постоянная. Эта оценка
была получена в 1962 г. М. Б. Барбаном.
В настоящее время А. И. Виноградов получил оценку (9) со
значением v = -^—е, что дает возможность решать многие ранее
недоступные задачи аддитивной теории чисел.
17. В 1959 г. была опубликована таблица простых чисел-
блязнецов в пределах до 1 100 000. Известны такие большие пары
простых чисел-близнецов, как, например, 10 016957 и 10016 959.
Фрютль подсчитал, что среди первого миллиона натуральных чисел
имеется 166 четверок простых чисел вида р, p' = p-f 2,р" = р + 6,
р'" = р + 8, а в пределах до двух миллионов имеется 295 таких
четверок. Эти подсчеты были продолжены В. А. Голубевым.
18. Среди проблем, сформулированных на страницах 367—368,
проблема 6 предложена П. Эрдёшом, а проблемы 11 и 16 Харди
и Литлвудом.

ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ ДЛЯ МОДУЛЕЙ,
НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 112
Левые таблицы служат для нахождения индексов. Правые
таблицы служат для нахождения чисел (классов) по заданным
значениям индексов. Пусть по модулю т имеем ind^a = s. Левые
таблицы позволяют по значениям т и а наития. Для этого в 1-й
строке (под надписью „Модули") находим модуль т, а в 1-м
столбце (под надписью „числа") находим число а. Индекс s
находится на пересечении столбца, в котором лежит модуль т,
и строки, в которой лежит число а.
Пример. Найти индекс 58 по модулю 89. На стр. 377
в левой таблице на пересечении столбца, сверху которого на-
написан модуль 89, и строки, слева которой написано число 58,
находим, что ind58 = 75.
Правые таблицы позволяют по значениям т и s найти а.
Для этого в 1-й строке (под надписью „модули") находим модуль т,
а в 1-м столбце (под надписью „индексы") находим индекс s.
Число а находится на пересечении столбца, в котором лежит
модуль т, и строки, в которой лежит индекс s.
В частности, по индексу s= 1 могут быть найдены первообраз-
первообразные корни g, являющиеся основаниями взятых систем индексов.
Пример. Найти по модулю 49 число, индекс которого ра-
равен 40. На стр. 375 в правой таблице на пересечении столбца,
сверху которого написан модуль 49, и строки, слева которой
написан индекс 40, находим число 11. Индекс 11 по модулю 49
(основание g = 3) равен 40.
372

Числе
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Модули
3
0
1
5
0
3
1
2
7
0
4
5
2
1
3
9
0
5
—
4
1
—
2
3
11
0
3
4
6
2
7
1
9
8
5
13
0
7
4
2
3
11
5
9
8
10
1
6
17
0
14
1
12
5
15
11
10
2
3
7
13
4
9
6
8
19
0
7
1
14
4
8
6
3
2
11
12
15
17
13
5
10
16
9
23
0
12
8
2
17
20
15
14
16
7
21
10
18
5
3
4
9
6
13
19
1
11
25
0
3
1
6
—
4
15
9
2
—
8
7
17
18
—
12
19
5
14
—
16
11
13
10
27
0
И
—
4
1
—
14
15
—
12
17
—
16
7
—
8
3
—
6
5
—
10
13
—
2
9
ссы 1
Инде!
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Модули
3
1
5
1
3
4
2
7
1
5
4
6
2
3
9
1
5
7
8
4
2
11
1
7
5
2
3
10
4
6
9
8
13
1
11
4
5
3
7
12
2
9
8
10
6
17
1
3
9
10
13
5
15
11
16
14
8
7
4
12
2
6
19
1
3
9
8
5
15
7
2
6
18
16
10
11
14
4
12
17
13
23
1
21
4
15
16
14
18
10
3
17
12
22
2
19
8
7
9
5
13
20
6
11
25
1
3
9
2
6
18
4
12
И
8
24
22
16
23
19
7
21
13
14
17
27
1
5
25
17
4
20
19
14
16
26
22
2
10
23
7
8
13
11
373

1 ЧИСЛ!
1
!
о
Q
4
с
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
2G
27 .
28 1<
29
0
1
2
3
29 3
0 0
17 24
1 1
6 18
10 20
8 25
8 28
23 12
2 2
•714
5 23
719
611
522
121
2 6
1 7
9 26
3 4
6 8
9 29
2 17
4 27
113
310
5 5
5 3
116
9
15
3'
0
11
34
22
1
с
28
33
32
12
6
20
13
3
35
8
5
7
25
23
26
17
21
31:
2
24
30
4
5
0
27
9
4
7 4
0
14
25
28
18
39
1
С
Л/
10
32
37
13
9
15
3
16
7
24
31
6
26
11
4
27
36
23
35
29
33
7
2
0
2
Моду л v
| 4;
0
27
1
12
25
28
35
39
2
10
30
13
32
20
26
24
38
29
19
37
36
15
16
40
8
7
3
5
41
I
4
9
1
5 4'
0
18
20
36
1
38
32
8
40
19
7
10
11
4
21
25
16
12
45
37
6
25
5
28
2
29
14
22
35
39
3
14
7
Г 4?
0
26
1
10
29
27
—
36
2
13
40
11
33
—
30
20
25
28
35
39
—
24
38
37
16
17
3
—
8
4
7
4
1
) 5;
0
49
1
46
15
50
10
43
2
12
34
47
32
7
16
40
22
51
45
9
11
31
39
44
30
29
3
4
8
3
5
7
5
S 5<
0
15
54
30
32
11
38
45
50
47
27
26
37
53
28
2
20
7
48
4
34
42
51
41
6
52
46
0
4
43
9
7
3
) 61
0
31
6
2
22
37
19
33
12
53
45
8
40
50
28
4
17
43
26
24
25
16
27
39
44
1
8
21
5
59
29
5
1
67
Q
17
34
57
20
61
51
6
о
13
37
59
12
60
Q
32
23
38
25
64
30
14
54
48
10
9
29
22
11
7
19
16
3
и
1 Инде]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
2?
1
g
27
23
11
12
21
С
О
15
16
19
28
26
20
2
6
18
25
17
22
8
24
14
13
10
I 31
1
з
9
27
19
26
16
17
20
29
25
13
8
24
10
30
28
22
4
12
5
15
14
11
2
6
18
23
7
21
37
1
5
25
14
33
17
11
18
16
6
30
2
10
13
28
29
34
22
36
32
12
23
4
20
26
19
21
31
7
35
27
24
9
41
1
7
8
15
23
38
20
17
37
13
9
22
31
12
2
14
16
30
5
35
40
34
33
26
18
3
21
24
4
28
32
[9
10
Модули
4J
1
з
9
27
38
28
41
37
25
32
10
30
4
12
36
22
23
26
35
19
14
42
40
34
16
5
15
2
6
18
11
33
13
47
1
5
25
31
14
23
21
11
8
40
12
13
18
43
27
41
17
38
2
10
3
15
28
46
42
22
16
33
24
26
36
39
7
4?
1
з
9
27
32
47
43
31
44
34
4
12
36
10
30
41
25
26
29
38
16
48
46
40
22
17
2
6
18
5
15
45
37
5S
1
О
9
27
28
31
40
14
42
20
7
21
10
30
37
5
15
45
29
34
49
41
17
51
47
35
52
50
44
26
25
22
13
! 5<
1
16
54
20
38
25
18
46
52
28
6
35
37
29
2
51
32
49
40
17
50
36
33
45
56
12
11
15
58
4
43
5
) 61
1
ко
4
53
16
29
3
55
12
37
48
26
9
43
36
50
22
17
27
7
47
28
5
51
20
21
19
23
15
31
30
2
57
67
1
16
з
55
48
g
31
10
27
26
30
14
11
23
42
33
2
59
32
6
43
29
18
62
20
54
52
60
28
22
46
17
374

исл<
IT
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
Модули
37
16
29
18
41
21
19
38
8
5
34
20
43
23
18
14
7
4
33
22
6
21
47
34
33
30
42
17
31
9
15
24
13
43
41
23
49
9
—
12
32
19
34
23
15
—
6
8
31
22
5
21
53
19
25
48
14
42
33
6
21
8
38
28
17
36
24
41
20
27
23
26;
59
35
12
22
13
5
33
19
36
49
31
57
24
8
55
56
18
21
16
9
40
3
1
25
44
29
61
48
41
14
9
57
46
55
54
56
13
47
34
58
20
10
38
15
23
42
3
49
7
52
32
36
1
30
67
49
52
40
44
55
62
42
43
15
21
47
63
31
58
5
56
65
35
27
45
26
4
46
41
39
18
28
53
24
1
36
50
33
я
о
| Инде!
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
Модули
37
8
3
15
1
41
29
39
27
25
11
36
6
43
39
31
7
21
20
17
8
24
29
47
35
34
29
4
20
6
30
9
45
37
44
32
19
49
13
39
19
8
24
23
20
11
33
53
39
И
33
46
32
43
23
16
48
38
8
24
19
4
12
36
2
6
18
59
39
21
34
41
13
7
31
53
24
22
30
57
8
27
10
19
42
9
23
26
14
3
47
48
44
61
8
45
32
58
6
49
24
13
35
52
18
25
11
39
44
34
54
14
33
56
10
42
40
42
38
46
30
67
66
4
51
64
12
19
58
36
57
40
41
37
53
56
44
25
34
65
8
35
61
24
38
49
5
47
13
15
7
39
45
21
50

исл;
;
L
5
6
7
8
с
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
71
2
1
2
3
18
52
34
3
38
39
7
5'
2'
49
58
16
40
27
7
с
о
4
6
С
8
з
8
0
1
0
7
5
9
4
72
6
16
14
33
24
12
1
55
22
59
41
¦
32
21
20
62
17
39
63
46
30
2
67
8
49
35
5
1
40
1
9
4
8
7S
62
53
12
66
6!
с
34
57
63
16
21
6
32
70
54
ТО
26
О
46
38
3
61
1
67
56
20
69
25
7
0
81
i
47
—
40
—
50
33
—
48
17
—
52
43
—
26
39
—
42
41
—
10
31
_
2
45
—
36
1
—
22
9
—
2
1
83
С
79
30
76
27
58
73
60
80
10
24
15
55
31
70
78
57
23
77
OJ
7
66
21
2
12
8
52
46
28
50
67
40
75
59
54
Модули
89
0
16
32
70
17
81
48
С
86
84
33
23
с
71
64
6
18
35
14
82
12
57
49
52
39
3
25
59
87
31
80
85
22
63
34
97
0
34
70
68
8
31
6
44
35
6
42
25
65
71
40
89
78
81
69
С
24
77
76
2
59
18
3
13
9
46
74
50
27
32
6
101
0
1
69
2
24
70
9
3
38
25
13
71
66
10
93
4
30
39
96
26
78
14
86
72
48
67
7
11
91
94
84
5
82
31
33
40
103
0
44
39
88
1
83
4
30
78
45
61
25
72
68
40
74
70
20
80
89
43
3
24
69
2
14
15
92
86
84
57
16
00
12
5
64
107
0
1
70
4
47
71
43
34
48
22
72
14
44
11
1
29
35
78
49
7
23
62
73
94
15
104
45
32
12
27
5
92
30
90
36
109
0
93
28
78
16
13
88
63
56
107
106
7
73
44
48
21
41
3
94
8
92
105
91
32
100
84
58
10
29
74
33
27
6
104
26
3
и
*#•
1 Инде!
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Модули
71
1
7
49
59
58
51
п
14
27
47
45
31
i
28
54
23
19
62
8
56
37
46
38
53
16
41
3
21
5
35
32
11
OJ
42
10
70
73
С
25
52
41
59
3
15
2
10
50
31
с
45
OJ
30
4
20
27
62
18
17
12
60
8
40
54
51
36
34
24
47
16
7
35
29
79
с
27
С
6
18
54
t
12
36
29
8
24
72
58
16
48
65
37
32
17
51
74
64
34
23
69
49
68
46
59
19
57
13
39
81
25
44
58
47
73
41
43
53
22
29
64
77
61
62
67
11
55
32
79
71
31
74
46
68
16
80
76
56
37
23
34
8
40
38
83
с
25
42
44
54
21
22
27
52
11
55
26
47
69
13
65
76
48
74
38
24
37
OJ
12
60
51
6
30
67
3
15
75
43
49
79
89
г,
9
27
81
65
17
51
64
14
42
37
22
66
20
60
с
4.
OJ
18
54
.73
41
34
13
39
28
84
74
44
43
40
31
4
12
36
19
97
j
г
25
28
43
21
8
40
OJ
30
53
71
64
29
48
46
36
83
27
38
93
77
94
82
22
13
65
34
73
74
79
7
35
78
2
10
101
1
2
4
8
16
32
64
27
54
7
14
28
56
11
22
44
88
75
49
98
95
89
77
53
5
10
20
40
80
59
17
34
68
35
70
39
103
С
с/
25
22
i
35
72
51
49
39
92
48
34
67
26
27
32
57
79
86
18
90
38
87
23
12
60
94
58
84
8
40
97
73
56
74
107
1
с
1
8
16
32
64
21
42
84
61
15
30
60
13
26
52
104
101
95
83
59
11
22
44
88
69
31
62
17
34
68
29
58
0
18
109
1
10
100
19
81
47
34
13
21
101
29
72
66
6
60
55
5
50
64
95
78
17
61
65
105
69
36
33
3
30
82
57
25
32
102
39
376

1 Числа
37
38
39
40
41
42
43
44
45 1
46 S
47
48 ?
49
50 6
51
52 5
53 2
54 1
55 5
56 I
57 4
58
59
606
61 6
62 1
63 5
S4 3
55 6
56 6,
37 4'
58 6
59 4
ГО ЗЕ
п
14
717с
20 64
22 7С
55 6?
Ю25
25 4
53 47
18 51
13 71
0 13
154
931
0 38
2 66
210
5 27
1 3
3 53
4 26
956
957
268
4 43
3 Ъ
623
958
7 19
3 45
5 48
Г 60
3 69
Г 50
137
152
5 42
44
36
!7<
1?
зе
ЗЕ
74
75
58
49
76
64
30
59
17
28
50
22
42
77
7
52
65
33
15
31
71
45
60
55
24
18
73
48
29
27
11
51
14
81
ЗС
35
34
<
8
с
24
С
—
46
49
—
38
9
—
18
29
—
4
37
—
14
15
—
12
53
16
25
44
21
8С
22
2С
45
74
44
3
33
61
6с
13
18
34
81
26
9
69
С
О
11
49
53
43
62
25
48
47
36
64
16
37
29
72
14
56
55
51
Модули
! 8?
11
51
24
30
21
10
29
28
72
73
54
65
74
68
7
55
78
19
66
41
36
75
43
15
69
47
83
8
5
13
56
38
58
79
62
50
9'
91
IS
95
7
85
39
4
58
45
15
84
14
62
36
63
93
10
52
87
37
55
47
67
43
64
80
75
12
26
94
57
61
51
66
11
50
101
56
97
35
27
45
79
42
15
62
87
58
73
18
49
99
68
23
8
37
12
65
92
29
95
77
85
47
6
90
83
81
32:
55
34
44
41
ЮС
92
22
9
31
50
87
77
47
79
68
85
11
8
46
7
58
97
59
62
34
17
28
98
26
36
101
82
60
73
42
13
56
63
49
67
6
107
38
79
84
50
40
8
59
24
81
63
66
74
86
95
99
16
52
105
69
46
42
33
21
13
10
28
77
6
61
93
103
31
26
91
89
37
109
65
96
35
79
45
101
66
77
72
90
С
О
76
68
17
49
85
97
69
15
43
31
103
71
14
22
59
36
18
23
12
47
99
25
89
42
11
«•ы1
1 Инде!
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
Модули
71
64
22
12
13
20
69
57
44
24
26
40
67
43
17
48
52
9
63
15
34
25
33
18
55
30
68
50
66
36
39
60
55
29
51
7с
72
6S
4S
21
32
14
70
58
71
63
23
42
64
28
67
43
69
53
46
11
55
56
61
13
65
33
19
22
37
39
49
26
57
56
38
44
7S
38
35
26
78
76
70
52
77
73
61
25
75
67
43
50
71
55
7
21
63
31
14
42
47
62
28
5
15
45
56
10
30
11
33
20
50
81
28
59
52
17
4
20
19
14
70
26
49
2
10
50
7
35
13
65
82
63
66
81
73
33
82
78
58
41
39
29
62
61
56
31
72
28
57
36
14
70
18
7
35
9
45
59
46
64
71
23
32
77
53
16
30
8?
57
82
68
26
78
56
79
59
88
86
80
62
8
24
72
38
25
75
47
52
67
23
69
29
87
83
71
35
16
48
55
76
50
61
5
15
97
50
56
86
42
16
80
12
60
9
45
31
58
96
92
72
69
54
76
89
57
91
67
44
26
33
68
49
51
61
14
70
59
4
20
3
15
101
78
55
9
18
36
72
43
86
71
41
82
63
25
50
100
99
97
93
85
69
37
74
47
94
87
73
45
90
79
57
13
26
52
3
6
12
103
61
99
83
3
15
75
66
21
2
10
50
44
14
70
41
102
98
78
81
96
68
31
52
54
64
11
55
69
36
77
76
71
46
24
17
85
107
36
72
37
74
41
82
57
7
14
28
56
5
10
20
40
80
53
106
105
103
99
91
75
43
86
65
23
46
92
77
47
94
81
55
3
6
109
63
85
87
107
89
18
71
56
15
41
83
67
16
51
74
86
97
98
108
99
9
90
28
62
75
96
88
8
80
37
43
103
49
54
104
59
377

га
?¦
и
s
ЕГ
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
79
44
23
47
40
43
39
81
6
23
—
28
13
—
20
27
83
39
19
32
17
68
42
35
71
38
41
89
20
27
53
67
77
40
42
46
4
37
61
26
76
45
60
44
/
97
28
29
72
53
21
33
30
41
88
23
17
73
90
38
83
92
54
79
56
49
20
22
82
48
Подули
101
61
57
17
98
22
36
64
28
76
46
89
80
54
43
60
16
21
63
75
88
53
59
20
74
52
19
51
50
103
33
35
41
66
65
53
18
75
54
94
38
29
71
19
23
91
99
21
76
10
96
27
81
55
32
52
37
90
95
51
107
83
39
58
80
65
85
98
51
68
41
20
9
76
60
102
25
88
82
57
64
97
67
19
75
101
87
56
96
18
100
55
17
54
53
109
80
50
60
81
87
20
83
64
4
30
46
86
37
51
38
62
40
57
95
75
102
98
19
61
52
53
55
2
9
34
67
70
24
82
39
54
2
и
Индек
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
79
22
66
40
41
44
52
81
83
68
8
40
34
4
20
17
2
10
50
89
45
46
49
58
85
77
52
70
32
7
21
63
11
33
10
30
97
75
84
32
63
24
23
.18
90
62
19
95
87
47
41
11
55
81
17
85
37
88
52
66
39
Модулу
101
24
48
96
91
81
61
21
42
84
67
33
66
31
62
23
46
92
83
65
29
58
15
30
60
19
38
76
51
103
13
65
16
80
91
43
9
45
19
95
63
6
30
47
29
42
4
20
100
88
28
37
82
101
93
53
59
89
33
62
107
12
24
48
96
85
63
19
38
76
45
90
73
39
78
49
98
89
71
35
70
33
66
25
50
100
93
79
51
102
97
87
67
27
54
109
45
14
31
92
48
44
4
40
73
76
106
79
27
52
84
77
7
70
46
24
22
2
20
91
38
53
94
68
26
42
93
58
35
23
12
11
378

ТАБЛИЦА ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ, НЕ ПРЕВОСХОДЯЩИХ 6000
2
3
5
7
И
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
161
167
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
1009
1013
1019
1021
1031
1033
1039
1049
1051
1061
1063
1069
1087
1091
1093
1097
1103
1109
1117
1123
1129
1151
1153
1163
1171
1181
1187
1193
1201
1213
1217
1223
1229
1231
1237
1249
1259
1277
1279
1283
1289
1291
1297
1301
1303
1307
1319
1321
1327
1361
1367
1373
1381
1399
1409
1423
1427
1429
1433
1439
1447
1451
1453
1459
1471
1481
1483
1487
1489
1493
1499
1511
1523
1531
1543
1549
1553
1559
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1607
1609
1613
1619
1621
1627
1637
1657
1663
1667
1669
1693
1697
1699
1709
1721
1723
1733
1741
1747
1753
1759
1777
1783
1787
1789
1801
1811
1823
1831
1847
1861
1867
1871
1873
1877
1879
1889
1901
1907
1913
1931
1933
1949
1951
1973
1979
1987
1993
1997
1999
2003
2011
2017
2027
2029
2039
2053
2063
2069
2081
2083
2087
2089
2099
2111
2113
2129
2131
2137
2141
2143
2153
2161
2179
2203
2207
2213
2221
2237
2239
2243
2251
2267
2269
2273
2281
2287
2293
2297
2309
2311
2333
2339
2341
2347
2351
2357
2371
2377
2381
2383
2389
2393
2399
2411
2417
2423
2437
2441
2447
2459
2467
2473
2477
2503
2521
2531
2539
2543
2549
2551
2557
2579
2591
2593
2609
2617
2621
2633
2647
2657
2659
2663
2671
2677
2683
2687
2689
2693
2699
2707
2711
2713
2719
2729
2731
2741
2749
2753
2767
2777
2789
2791
2797
2801
2803
2819
2833
2837
2843
2851
2857
2861
2879
2887
379

2897
2903
2909
2917
2927
2939
2953
2957
2963
2969
2971
2999
3001
ЗОН
3019
3023
3037
3041
3049
3061
3067
3079
3083
3089
3109
3119
3121
3137
3163
3167
3169
3181
3187
3191
3203
3209
3217
3221
3229
3251
3253
3257
3259
3271
3299
3301
3307
3313
3319
3323
3329
3331
3343
3347
3359
3361
3371
3373
3389
3391
3407
3413
3433
3449
3457
3461
3463
3467
3469
3491
3499
3511
3517
3527
3529
3533
3539
3541
3547
3557
3559
3571
3581
3583
3593
3607
3613
3617
3623
3631
3637
3643
3659
3671
3673
3677
3691
3697
3701
3709
3719
3727
3733
3739
3761
3767
3769
3779
3793
3797
3803
3821
3823
3833
3847
3851
3853
3863
3877
3881
3889
3907
3911
3917
3919
3923
3929
3931
3943
3947
3967
3989
4001
4003
4007
4013
4019
4021
4027
4049
4051
4057
4073
4079
4091
4093
4099
4111
4127
4129
4133
4139
4153
4157
4159
4177
4201
4211
4217
4219
4229
4231
4241
4243
4253
4259
4261
4271
4273
4283
4289
4297
4327
4337
4339
4349
4357
4363
4373
4391
4397
4409
4421
4423
4441
4447
4451
4457
4463
4481
4483
4493
4507
4513
4517
4519
4523
4547
4549
4561
4567
4583
4591
4597
4603
4621
4637
4639
4643
4649
4651
4657
4663
4673
4679
4691
4703
4721
4723
4729
4733
4751
4759
4783
4787
4789
4793
4799
4801
4813
4817
4831
4861
4871
4877
4889
4903
4909
4919
4931
4933
4937
4943
4951
4957
4967
4969
4973
4987
4993
4999
5003
5009
5011
5021
5023
5039
5051
5059
5077
5081
5087
5099
5101
5107
5113
5119
5147
5153
5167
5171
5179
5189
5197
5209
5227
5231
5233
5237
5261
5273
5279
5281
5297
5303
5309
5323
5333
5347
5351
5381
5387
5393
5399
5407
5413
5417
5419
5431
5437
5441
5443
5449
5471
5477
5479
5483
5501
5503
5507
5519
5521
5527
5531
5557
5563
5569
5573
5581
5591
5623
5639
5641
5647
5651
5653
5657
5659
5669
5683
5689
5693
5701
5711
5717
5737
5741
5743
5749
5779
5783
5791
5801
5807
5813
5821
5827
5839
5843
5849
5851
5857
5861
5867
5869
5879
5881
5897
5903
5923
5927
5939
5953
5981
6987

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Обозначения б
Введение
1. Предмет теории чисел 7
2. Краткий исторический очерк развития теории чисел 9
Глава 1. Общие основы теории чисел
1. Множества с операциями 15
2. Числа 16
3. Последовательности. Функции 23
Глава 2. Простые числа
1. Простые и составные числа 28
2. Факторизация 33
Исторические комментарии 37
Глава 3. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное
1. Общие делители и общие кратные целых чисел 38
2. Алгоритм Евклида 43
3. Взаимно простые числа 45
Глава 4. Функция [х]
1. Разложение п\ на простые множители 48
2. Точки с целочисленными координатами 51
Исторические комментарии 57
Глава 5. Конечные цепные дроби
1. Представление рациональных чисел цепными дробями .... 58
2. Подходящие дроби 61
Глава 6. Иррациональные числа
1. Критерии иррациональности 67
2. Иррациональность е и я 69
Исторические комментарии 71
Глава 7. Сравнения 72
Исторические комментарии 76
Глава 8. Классы
1. Распределение чисел в классах по заданному модулю .... 77
2. Кольцо классов 80
Глава 9. Полная и приведенная системы вычетов
1. Полная система вычетов •• 85
2. Приведенная система вычетов 89
381

Глава 10. Функция Эйлера 92
Исторические комментарии 95
Глава 11. Теоремы Ферма и Эйлера
1. Основные теоремы 96
2. Обобщение теоремы Эйлера 99
Исторические комментарии . , 100
Глава 12. Группа классов, взаимно простых с модулем
1. Группа классов 101
2. Поле классов по простому модулю 103
Глава 13. Сравнения с неизвестной величиной
1. Сравнения с одной неизвестной 106
2. Системы сравнений 111
Глава 14. Сравнения 1-й степени
1. Сравнение 1-й степени 113
2. Неопределенное уравнение 1-й степени 116
3. Система сравнений 1-й степени 120
Исторические комментарии 125
Глава 15. Сравнения по простому модулю
1. Сравнение по простому модулю с одним неизвестным .... 126
2. Сравнение по простому модулю с несколькими неизвестными . 131
3. Приложения: теорема Вильсона, теорема Шевалье 132
Исторические комментарии ''..'.' 135
Глава 16. Сравнения по составному модулю . . , 135
Глава 17. Степенные вычеты
1. Показатели классов по заданному модулю 139
2. Число классов с заданным показателем . . , 143
Глава 18. Первообразные корни . ...
1. Первообразные кории по простому модулю .... i .... 145
2. Первообразные корни по составным модулям ........ 148
Глава 19. Индексы
1. Общие свойства 152
2. Индексы по простому модулю 155
3. Индексы по составным модулям 156
Исторические комментарии 162
Глава 20. Двучленные сравнения
1. Двучленные сравнения по простому модулю 163
2. Двучленные сравнения по составному модулю 167
3. Квадратные корни из единицы 168
4. Показательные сравнения 171
Глава 21. Сравнения 2-й степени по простому модулю
1. Квадратичные вычеты и невычеты .............. 172
2. Символ Лежандра . 177
3. Закон взаимности 183
4. Некоторые приложения теории квадратичных вычетов .... 187
5. Символ Якоби 191
Исторические комментарии % 195
382

Глава 22. Сравнения 2-й степени по составному модулю
1. Сравнения 2-й степени по модулю рк гле „ „„„-_„ паРло ¦ 197
2. Сравнение 2-й степени по произвол^ с^осТавн^моду^ • 200
Глава 23. Арифметические приложения теории сравнений
1. Признаки делимости _ 201
2. Проверка арифметических действий \ \ \ \ 205
3. Длина периода десятичной дроби .'.'.'..' '. 206
Глава 24. Бесконечные цепные дроби
1. Сходимость бесконечных цепных дробей .... 210
2. Разложение действительных чисел в цепные дроби .".""""" 214
3. Разложение числа е в цепную дробь !'.!".'.' 221
Исторические комментарии .*.'."*' 223
Глава 25. Приближение действительных чисел рациональными
дробями
1. Приближение действительных чисел подходящими дробями . . 224
2. Приближение действительных чисел рациональными дробями
с заданным ограничением для знаменателей 230
3. Приближение действительных чисел бесконечной последователь-
последовательностью рациональных чисел 233
Исторические комментарии 236
Глава 26. Наилучшие приближения
1. Отыскание наилучших приближений с помощь» цепных дробей 237
2. Множество всех наилучших приближений к заданному действи-
действительному числу 240
Глава 27. Последовательности Фарея
1. Фареевы дроби 243
2. Приближение действительных чисел фареевыми дробями . . . 246
Глава 28. Квадратические иррациональности и периодические цеп-
цепные дроби
1. Разложение квадратических иррациональиостей в цепные дроби 248
2. Чисто периодические разложения 255
Исторические комментарии 258
Глава 29. Алгебраические числа
1. Поле алгебраических чисел . . 259
2. Рациональные приближения алгебраических чисел 264
Глава 30. Трансцендентные числа
1. Трансцендентные числа Лиувилля 270
2. Трансцендентность числа е. Современное состояние вопроса
о трансцендентных числах 273
Исторические комментарии 277
Глава 31. Представление чисел квадратичными формами
1. Общие свойства бинарных квадратичных форм 278
2. Представление натуральных чисел положительно определенными
квадратичными формами . 286
Исторические комментарии 295
Глава 32. Некоторые диофантовы уравнения
1. Представление чисел в виде суммы двух квадратов и з виде
х*+2у* 296
383

2. Представление натуральных чисел в виде суммы четырех квад-
квадратов .... 299
3. Проблема Варинга 302
4. Неопределенное уравнение Ферма 305
5. Проблема Ферма 308
Исторические комментарии 311
Глава 33. Числовые функции
1. Число и сумма делителей 315
2. Функция Мёбиуса 319
3. Дзета-функция Римана 321
Исторические комментарии 322
Глава 34. Средние значения числовых функций
1. Среднее значение числа делителей. Среднее значение суммы де-
делителей 324
2. Среднее значение функции Эйлера 327
3. Числа, свободные от квадратов , 329
Исторические комментарии 331
Глава 35. Распределение простых чисел в натуральном ряду
1. Неравенства Чебышева для функции, выражающей число про-
простых чисел в заданных пределах .... 332
2. Обзор дальнейших результатов 340
3. Оценки некоторых сумм с простыми числами 343
4. Формула Мейсселя 349
Исторические комментарии 353
Глава 36. Распределение простых чисел в арифметических про-
прогрессиях. Аддитивные задачи
1. Простые числа в арифметической прогрессии 355
2. Проблемы аддитивной теории простых чисел 360
Исторические комментарии 368
Таблицы индексов 372
Таблица простых чисел 379
Александр Адольфович Бухштаб
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Редактор Э. К. Викулина. Художник обложки Н. Н. Румянцев. Художественный ре-
редактор В. С. Эрденко. Технические редакторы Т. В. Павлова, Т. А. Семейкина. Кор-
Корректор Т. А. Кузнецова.
* ¦ •
Сдано в набор 29/Х1 1965 г. Подписано к печати 28/111 1966 г. бОхЭО'ц,. Печ. л. 24
Уч.-изд. л. 20.41. Тираж 53 тыс. экз. (Тем. пл. 1966 г. № 23). А13877.
• • *
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощн, 41.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграфнрома Комитета
по лечатя при Совете Министров СССР, Москва, Ж-54. Валовая, 28. Заказ № 3194.
Цена без переплета 57 коп. Переплет 16 коп.