Ш. X. МИХЕЛОВИЧ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством просвещения РСФСР
в качестве учебного пособия
для физико-математических факультетов
педагогических институтов
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«ВЫСШАЯ ".ШКОЛА*
Москва 1967

Михелович Шефтель Хенехович
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Редактор А. М. Суходскиа
Технический редактор Н. А. Еитюкова
Корректор Л. П. Тарасова
Т-06838 Сдано в набор 1/XI-66 г. Подписано в печать 23/V-67 г
Формат 84 X Ю8732' Объем 10,5 п. л. 17, 64 усл. п. л.
Уч.-изд. л. 16, 11. Изд. № ФМ-284. Тираж 20.000 экз.
Заказ Б-530 Цена 45 коп.
Тематический план изд-ва „Высшая школа" (вузы и техникумы
на 1967 г. Позиция № 39
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14,
Издательство „Высшая школа"
Типография * Та тп оли граф" Управления по печати
при Совете Министров ТАССР
г. Казань, ул. Миславского, 9.
2—2—3
39—67

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие ко второму изданию 9
Введение
§ 1. Предмет и основные разделы теории чисел 11
1. Предмет теории чисел A1). 2. Основные разделы
теории чисел A1).
§ 2. Краткие сведения из истории развития теории чисел . 13
1. От Пифагора до Ферма A3). 2. Ферма, Эйлер, Ла-
гранж, Гаусс A5). 3. XIX век. Развитие теории чисел
в России A8). 4. Развитие теории чисел в XX веке.
Советская школа теории чисел B0)
Глава I. Теория делимости
§ 1. Делимость, деление с остатком 23
1. Понятие делимости; свойства делимости B3). 2.
Деление с остатком B4). Упражнения 1—5 B4)
§ 2. Наибольший общий делитель 25
1. Наибольший общий делитель двух чисел. Алгоритм
Евклида B5). 2. Основные свойства Н.О.Д. двух
и нескольких чисел B7). Упражнения 6—19B8)
§ 3. Наименьшее ( бщее кратное 29
1. Наименьшее общее кратное двух чисел B9)
2. Н.О.К. нескольких чисел C0). Упражнения
20-25 C1)
§ 4. Простые числа. Разложение на простые множители . . 31
1. Простые и составные числа; их основные свойства
C1). 2. Основная теорема арифметики C2). 3. Решето
Эратосфена C4). Упражнения 26—40 C5)

Глава II. Классы по данному модулю. Сравнения и классы
§ 1. Сравнения и их основные свойства ... г 36
1. Понятие сравнимости и равносильные утверждения
C6). 2. Основные свойства сравнений C8).
Упражнения 41—50D1)
§ 2. Классы по данному модулю е . . 43
1. Разбиение множества целых чисел на классы D3).
2. Сложение и умножение классов D4). 3. Кольцо
классов D5). Упражнения 51—57 D6)
§ 3. Системы вычетов 47
1. Полная система вычетов D7). 2. Признак полной,»
системы вычетов D8). 3. Первая теорема о вычетах
линейной формы D8). 4. Приведенная система
вычетов. Функция Эйлера D9). 5. Признак приведенной
системы вычетов E0). 6. Вторая теорема о вычетах
линейной формы E0). Упражнения 58—66 E2)
§ 4. Основные свойства функции Эйлера 52
1. Мультипликативность функции Эйлера E2). 2.
Формула для вычисления ф (т) E4). 3. Сумма значений
функции Эйлера, распространенная по всем
делителям данного числа E5). Упражнения 67—77 E6)
§ 5. Теоремы Эйлера и Ферма 57
1. Теорема Эйлера E7). 2. Теорема Ферма E8). 3.
Применение теорем Эйлера и Ферма E9). Упражнения
78-88 F0)
Глава III. Сравнения с неизвестной величиной
§ 1. Классы решений сравнения произвольной степени . . 61
Упражнение 89 F3)
§ 2. Сравнения первой степени 64
1. Критерий разрешимости и число решений. Решение
методом подбора F4). 2. Решение сравнения первой
степени методом преобразования коэффициентов F6).
3. Решение сравнения первой степени при помощи
теоремы Эйлера F7). Упражнения 90—94 F8)
§ 3. Правильные конечные цепные дроби 69
1. Выделение целой части F9). 2. Разложение в
правильную цепную дробь G0). 3. Подходящие дроби;
некоторые их свойства G5). Упражнения 95—102 G8)
§ 4. Решение сравнений первой степени с помощью
цепных дробей 79

1. Вывод формулы решения G9). 2. Применение
сравнений первой степени к решению неопределенных
уравнений первой степени с двумя неизвестными (81).
Упражнения 103—115 (82)
§ 5. Системы сравнений первой степени 82
1. Общий случай (82). 2. Случай попарно простых
модулей (84). Упражнения 116—122 (87)
§ 6. Сравнения п-ои степени по простому модулю 87
1. Сведение к наиболее простому виду (87). 2. О
максимальном числе решений (90). 3. Теорема Вильсона
(93). Упражнения 123—130 (94)
§ 7. Сравнения я-ой степени по составному модулю .... 95
1. Приведение сравнения по составному модулю к
системе сравнений по модулям попарно простым (95).
2. Приведение к сравнениям но модулю ра и к
сравнениям по модулю р (98). Упражнения 131—138 A01)
§ 8. Сравнения второй степени общего вида 101
1. Сравнения второй степени и их связь с
неопределенными уравнениями второй степени с двумя
неизвестными A01). 2. Приведение сравнений второй степени
к двучленным сравнениям A02). Упражнение 139A05)
§ 9. Общие сведения о двучленных сравнениях второй
степени по нечетному простому модулю 105
1. Число решений. Нахождение решений методом
подбора. Число квадратичных вычетов A05). 2. Критерий
Эйлера A07). Упражнения 140—146A09)
§ 10. Символ Лежандра ПО
1. Символ Лежандра и его свойства A10). 2. Лемма
Гаусса A15). 3. Доказательство свойства V символа
Лежандра A17). 4. Доказательство закона взаимности
A20). 5. Символ Якоби и его свойства A23).
Упражнения 147—159 A24)
Глава IV. Степенные вычеты
§ 1. Показатели и их основные свойства 125
1. Число, принадлежащее показателю. Первообразный
корень A25). 2. Классы, принадлежащие показателю
A27). 3. Свойства системы чисел л°, а\ ... аь~1 A27).
4. Необходимое и достаточное условие сравнимости
ят и а**1 по модулю т, если а принадлежит показателю
г по модулю т A28). Упражнения 160—172 A30)

§ 2. Существование и число классов, принадлежащих
показателю . . *3*
1. Лемма о числе классов, принадлежащих показателю
(по простому модулю р) A31). 2. Теорема о
существовании и числе классов, принадлежащих показателю
по простому модулю A33). Упражнения 173—184 A35)
§ 3. Индексы и их свойства 136
1. Понятие индекса. Основные свойства A36). 2.
Таблицы индексов A39). Упражнения 185—190 A40)
§ 4. Применение индексов к решению сравнений 141
1. Решение двучленных сравнений A41) 2. Критерий
разрешимости сравнений х11 == 0 (mod р) A43). 3.
Решение показательных сравнений A44). Упражнения
191—198 A45)
Глава V. Арифметические приложения теории сравнений
§ I. Вычисление остатков при делении на данное число.
Установление признаков делимости с помощью сравнений. 147
Упражнения 199—205 A50)
§ 2. Определение длины периода, получающегося при
обращении обыкновенной дроби в десятичную 150
Упражнения 206—215 A57)
§ 3. Проверка результатов арифметических действий ... 159
Упражнения 216—218 A60)
Глава VI. Аппроксимация действительных чисел
рациональными числами
§ 1. Представление иррациональных чисел правильными
бесконечными цепными дробями 161
1. Разложение действительного иррационального числа
в правильную бесконечную цепную дробь A61). 2,
Сходимость правильных бесконечных цепных дробей A67).
3. Единственность представления действительного
иррационального числа правильной бесконечной
цепной дробью A69). Упражнения 219—223 A71)
§ 2. Приближение действительного числа рациональными
дробями с заданным ограничением для знаменателя . . . 172
1. Постановка задачи A72). 2. Оценка погрешности
при замене действительного числа его подходящей
дробью A72). 3. Приближение действительного числа
подходящими дробями A73). 4. Теорема Дирихле A79).
5. Подходящие дроби как наилучшие приближения
A83). Упражнения 224—233 A90)
6

§ 3. Квадратические иррациональности и периодические
цепные дроби 191
Упражнение 234 A96)
§ 4. Решение уравнения Пелля 196
Упражнение 235A99)
§ 5. Представление действительных чисел цепными дробями
общего вида 199
Глава VII. Алгебраические и трансцендентные числа
§ 1. Иррациональные числа 205
1. Некоторые признаки иррациональности B05). 2.
Иррациональность чисел е и ъ B07)
§ 2. Поле алгебраических чисел 210
1. Понятие алгебраического числа степени п B10).
2. Поле всех алгебраических чисел B11). 3. Целые
алгебраические числа B13). 4. Значение законов
взаимности. Общий закон взаимности B16). 5. Проблема
Ферма B17). Упражнения 236—240 B21)
§ 3. Теорема Лиувилля. Трансцендентные числа 221
1. Теорема Лиувилля B21). 2. Доказательство
существования трансцендентных чисел B23). 3. Исследования
трансцендентности. Результаты Гельфонда B25).
4. Усиление неравенства Лиувилля. Приложение к
решению неопределенных уравнений B27).
Упражнение 241 B28)
Глава VIII. Числовые функции
§ 1. Число и сумма делителей данного числа 229
1. Формула для числа делителей данного числа B29).
2. Формула для суммы делителей данного числа B30).
Упражнения 242-249 B31)
§ 2. Совершенные числа. Специальные простые числа ... 231
1. Определение совершенных и дружественных чисел
B31). 2. Представление четных совершенных чисел.
О нечетных совершенных числах B32). 3. Простые
числа Мерсенна; их наибольшее известное значение
B34). 4. Простые числа Ферма B35). 5. О числовых
функциях, принимающих простые значения B37). 6. О
критериях простых чисел и разложении на множители
B39). Упражнения 250-254 B42)
§ 3. Функции [х] и {х\ 242
1. Графики функций [х] и {х\ B42). 2. Некоторые
свойства функции [х] B43). 3. Вычисление показателя а,

с которым простое число р входит в произведение
п\ B44). Упражнения 255—269 B45)
§ 4. Распределение простых чисел 246
1. Бесконечность множества простых чисел.
Доказательство Евклида. Функция к(х) и ее график B46),
2. Оценка п-го простого числа, вытекающая из
доказательства Евклида B48). 3. Существование любых
отрезков натурального ряда, не содержащих простых
чисел. Проблема простых чисел — «близнецов» B49).
4. Доказательство Эйлера бесконечности множества
простых чисел B50). 5. Расходимость ряда величин,
обратных простым числам. О «средней плотности»
простых чисел B52). 6. Асимптотический закон
распределения простых чисел B55). 7. Основные результаты
1-го мемуара П. Л. Чебышева о простых числах B57).
8. Основные результаты 2-го мемуара П. Л.
Чебышева о простых числах. Неравенство Чебышева и его
упрощенное доказательство B63). 9. Оценка роста л-го
простого числа на основании неравенства Чебышева
B71). 10. О доказательствах закона распределения
простых чисел B72). 11. Об оценках добавочного члена
в приближенном представлении те (х) B74). 12. О
распределении простых чисел в арифметической
прогрессии B76). Упражнения 270—275 B77)
§ 5. Аддитивные проблемы теории чисел 278
1. Примеры аддитивных задач: проблемы Гольдбаха —
Эйлера, Варинга и Харди — Литлвуда B78). 2.
Разложения на сумму квадратов B82). 3. О методе
Л. Г. Шнирельмана B88). 4. О методе И. М.
Виноградова B94). Упражнения 276—280 C01)
Указания и ответы к упражнениям 301
Таблицы индексов 327
Литература 334

ПРЕДИСЛОВИЕ
ко второму изданию
А. Из предисловия к первому изданию целесообразно
напомнить, что книга написана в качестве учебного пособия по курсу
теории чисел для физико-математических факультетов
педагогических институтов и предназначается не только для студентов
стационара, но и заочных факультетов. Поэтому изложение
проводится по возможности в доступной форме, причем особое
внимание уделяется разъяснению вводимых понятий.
Материал книги в основном излагается в объеме,
предусмотренном программой, и в той же последовательности.
Несколько подробнее рассмотрены «Числовые функции». Это
сделано потому, что эта область теории чисел, ярко
свидетельствующая о большом вкладе в науку русской и советской
математических школ теории чисел, очень богата интересными для
учителя вопросами. В остальном материал, выходящий за рамки
программы, дается, как правило, обзорно.
Б. Во второе издание книги наряду с довольно
многочисленными мелкими исправлениями и уточнениями внесен ряд более
значительных изменений и дополнений.
1. Чтобы придать книге большую полноту и расширить
возможный круг читателей, в нее включена теория делимости (гл. I).
Добавлены некоторые сведения о сравнениях (гл. II, § 1, п. 2;
гл. III, § 6, п. 2), степенных вычетах (гл. IV, § 1, п. 4), цепных
дробях (гл. VI, § 2, п. 3 и п. 5Б), функции «целая часть» (гл. III,
§ 3, п. 2) и работах Л. Г. Шнирельмана (гл. VIII, § 4, п. 3).
Уточнена терминология цепных дробей. Дан краткий обзор
цепных дробей общего вида (гл. VI, § 5).
Добавлен новый параграф об иррациональных числах (гл. VII,
§ 1) в соответствии с новой программой по теории чисел.
2. Переработано изложение некоторых вопросов (о
максимальном числе решений сравнения (гл. III, § 6, п. 2), степенных
вычетах (гл, IV, § 2), признаках делимости (гл. V, § 1), проблеме
Варинга (гл. VIII, § 5, п. 1 Е)) и доказательств.
Отмечены достижения последних лет.
3. Книга дополнена 280 упражнениями, которые отнесены
к соответствующим параграфам. Многие из них составлены за-

ново. Подчеркнута геометрическая интерпретация. Ко всем
упражнениям даны ответы, а к более трудным также и указания.
Материал, изложенный в тексте книги, от задач не зависит;
однако задачи в ряде случаев способствуют расширению кругозора
читателя.
При работе над вторым изданием книги были использованы
ценные советы и критические замечания доц. А. Н.
Хованского.
Важные предложения по улучшению книги внесли рецензенты
проф. А. М. Лопшиц, доц. В. И. Нечаев и доц. П. Н. Реморов.
Полезные замечания сделали студенты и преподаватели Дау-
гавпилсского педагогического института, особенно доц. В. А. Юрик.
Всем указанным лицам приношу глубокую благодарность.

ВВЕДЕНИЕ 1
§ !. Предмет и основные разделы теории чисел
1. Предмет теории чисел
Теория чисел является наукой о числовых системах с их
связями и законами. При этом в первую очередь уделяется внимание
числам натурального ряда, которые являются основой для
построения других числовых систем: целых, рациональных и
иррациональных, действительных и комплексных.
Теория чисел изучает числа с точки зрения их строения и
внутренних связей, рассматривает возможности представить одни
числа через другие, более простые по своим свойствам, между
тем строгое логическое обоснование понятия натурального числа
и его обобщений, а также связанная с ним теория действий
рассматриваются отдельно в основаниях арифметики.
Поскольку упомянутые вопросы изучаются в школьном курсе
(или более подробно, например, на физико-математических
факультетах педвузов в курсе элементарной математики), они
объединяются под названием арифметики, хотя, как наука, арифметика
отождествляется с теорией чисел.
Следует отметить, что в последнее время бурно развиваются
новые области математики, требующие глубокого анализа
дискретного, т. е. прерывного. В связи с этим возрастает интерес к
теории чисел, большинство утверждений которой относятся к
дискретной математике.
2. Основные разделы теории чисел
Проблемы и задачи, которые возникли в теории чисел, можно
распределить на четыре основные группы:
1) решение диофантовых (или
неопределенных) ура в н е н и й, т. е. решение в целых числах
алгебраических уравнений с целыми коэффициентами или систем таких
уравнений, у которых число неизвестных больше числа
уравнений;
1 Желательно, чтобы читатель после изучения основных глав
еще раз вернулся к введению.
11

2) диофантовы приближения. В этом направлении
теории чисел рассматриваются приближения действительных чисел
рациональными числами, решение в целых числах разного рода
неравенств (например, неравенства \ *х — У\<~ » где а —
иррациональное число). К диофантовым приближениям относится
также теория трансцендентных чисел (см. гл. VII). В ней
занимаются исследованием арифметической природы разных классов
иррациональных чисел относительно их принадлежности к
трансцендентным числам или к алгебраическим иррациональностям;
3) вопросы распределения простых чисел
в натуральном ряду и других числовых
последовательностях.
К этой части теории чисел, в частности, относят проблему
нахождения л-го простого числа;
4) аддитивные проблемы. Это проблемы касаются
разложения целых (обычно больших) чисел на слагаемые
определенного вида.
В теории чисел развились различные методы исследования
для решения упомянутых задач, которые также берутся за основу
для классификации ее направлений.
С точки зрения методов различают 4 главных направления:
а) элементарные методы теории чисел. К
элементарным методам относят такие, которые в основном
используют сведения из элементарной математики и самое большое —
элементы анализа бесконечно малых.
Элементарными считают методы теории сравнений (см. § 1,
гл. II), творцом которых является великий немецкий математик
К. Ф. Гаусс A777—1855), методы цепных дробей (см. § 3, гл. III),
которые развили великий петербургский математик Л. Эйлер
A707—1783) и французский математик Ж. Лагранж A736—1813),
и многие другие. Следует иметь в виду, что элементарность
метода не говорит еще о его простоте.
По созданию важных элементарных методов в теории чисел
большие заслуги принадлежат великому русскому математик}
П. Л. Чебышеву1 A821—1894), французским математикам
Ж. Лиувиллю A809—1882) и Ш. Эрмиту A822—1901), норвежским
математикам А. Туэ A863—1922) и В. Бруну, а также датскому
математику А. Сельбергу.
Фундаментальный метод в аддитивной теории чисел создав
советским математиком Л. Г. Шнирельманом A905—1938);
б) аналитическая теория чисел. Аналитическая
теория чисел применяет средства математического анализа,
теорию функций действительного и комплексного переменного,
теорию рядов, теорию вероятностей и другие разделы математики.
Основоположником этого направления является Л. Эйлер.
Значительное влияние на развитие этой теории оказали работы
Гаусса. В области действительного переменного аналитические
методы были развиты немецким математиком Л. Дирихле A805—
1 По его собственному указанию, надо произносить: Чебышбв,
12

1859) и П. Л. Чебышевым. Большую роль в развитии
аналитических методов, связанных с теорией функций комплексного
переменного, сыграли работы немецкого математика Б. Римана A826—
1866). Очень важными оказались работы немецкого математика
Г. Вейля A885—1955) и русского математика Г. Ф. Вороного
A868-1908).
Больших успехов добились индийский математик С. Рамануд-
жан A887—1920), английские математики Г. Харди A877—1947)
и Дж. Литлвуд (род. в 1885 г.) и немецкий математик К. Зигель.
Наиболее мощные методы созданы советскими математиками —
академиком И. М. Виноградовым (род. в 1891 г.), а также
чл.-корр. АН СССР А. О. Гельфондом (род. в 1906 г.) и
академиком Ю. В. Линником (род. в 1915 г.);
в) алгебраическая теория чисел. Эта теория,
исходящая из понятия алгебраического числа, создавалась в
работах английского математика Дж. Валлиса A616—1703), Ж. Лаг-
ранжа и Л. Эйлера. Особенно важны работы немецких ученых
К. Гаусса, Э. Куммера A810—1893), Р. Дедекинда A831—1916),
Л. Кронекера A823—1891) и выдающихся русских ученых Е. И.
Золотарева A847—1878) и Г. Ф. Вороного.
Из современных зарубежных ученых необходимо отметить
А. Вейля, Г. Хассе, К. Зигеля. Крупных успехов в этой области
добились советские математики Н. Г. Чеботарев A894—1947),
Б. А. Венков (род. в 1900 г.), в особенности И. Р. Шафаревич
(род. в 1923 г.);
г) геометрическая теория чисел. В этой теории
применяются так называемые «пространственные решетки» или
системы целочисленных точек, имеющих в качестве координат
в заданной прямоугольной системе координат целые числа. Эта
теория используется в геометрии и в кристаллографии, в теории
чисел она связана с теорией квадратичных форм (т. е.
однородных многочленов второй степени ах2 + Ьху + су2, где
коэффициенты а, Ь, с — целые числа). При помощи сетки целых точек
многим утверждениям теории чисел можно дать весьма наглядное
толкование.
Основоположниками этой теории являются Г. Минковский
A864-1909), Г. Ф. Вороной и Ф. Клейн A849-1925).
Геометрические методы успешно применяются советскими
математиками, особенно Б. Н. Делоне (род. в 1890 f.) и Б. А.
Венков ым.
Отмеченные методы часто переплетаются между собой. Так,
например, методы аналитической теории чисел применяются
в алгебраической и геометрической теории чисел.
§ 2. Краткие сведения из истории
развития теории чисел
1. От Пифагора до Ферма
Важные свойства целых чисел были установлены уже в
древности. В Греции, в школе Пифагора (VI в. до н. э.), изучались
вопросы делимости чисел, рассматривались различные категории
13

чисел, например простые, составные, f 0BePj"eH"b'eMV(T-f' ?
сумма собственных делителей которые Р"в«» "°"У_^НОЧИ(^
наппимео 6 — 1 -2 + 3) квадратные. Было также известно, что
по формулам:
х = 2т.л, у~т?-п\ * = т» + л»,
где т и л-целые числа, т>л>0, (т. л) = 1 ' , /л-л-четное
(СМ" В' c5Botxf ГнаУалах» Евклид (III в. до н. э.) дает алгоритм
(так называемый алгоритм Евклида) для определения Н. О. Д.
двух чисел являющийся основой теории делимости, излагает
основные свойства делимости целых чисел, доказывает теорему
о том что простые числа образуют бесконечное множество.
Эратосфен (III в. до н. э.), давший способ для выделения
простых чисел из ряда натуральных чисел (решето Эратосфена)
сделал дальнейший шаг в теории простых чисел. 2
Эратосфен занимался также многоугольными числами . По-
1 Знаком (т, п) мы будем обозначать наибольший общий
делитель (сокращенно Н.О.Д.) тип.
2 Числами л-угольными называются числа вида 5", S%,...,
где ?__ е л-угольное число 5?, является суммой k членов
арифметической прогрессии с первым членом ах — 1 и разностью
d ^п — 2. Таким образом, треугольные числа имеют вид
Sf=l, ^1 = 1 +- 2 = 3,
Им соответствуют треугольники, составленные из точек,
• • • • f ' • ' ' и т. д.
(поэтому и название «треугольные числа»).
Аналогично для 4-угольных чисел имеем разность ^=л—2=^=2,
так что
S\ = l, 5| = 1+3 = 4,..., S|-l + 3+... Ч- B/fe — 1) = Л».
Им соответствуют квадраты, составленные из точек,
.,..,... ит.д,
Для я>2 геометрическое истолкование несколько
усложняется.
14

следним большое внимание уделено и в «Введении в арифметику»
Никомаха. Эта книга является первым из известных
систематических руководств по арифметике; она сыграла значительную роль
в развитии математики в средние века.
Характерным для работы Никомаха является то, что в пей
арифметика впервые излагается независимо от геометрических
представлений.
Большое значение имели работы греческого математика
Диофанта из Александрии (около III в. н. э.). Из его работ
сохранились только часть «Арифметики» и книги о многоугольных
числах. Значительную часть своей работы он посвятил решению
неопределенных уравнений в рациональных числах. (В
дальнейшем название диофантовых уравнений получили уравнения,
решаемые в целых числах.) Диофант с большим мастерством решает
различные неопределенные уравнения до 3-й и 4-й степени,
однако общих методов у него нет. Работа Диофанта, переизданная
французским математиком Баше де-Мезириаком в 1621 г., явилась
отправной точкой для теоретико-числовых исследований
французского математика П. Ферма A601—1665), Эйлера, Гаусса и
других математиков.
Необходимо отметить, что и в Китае со второго века
занимались неопределенными уравнениями. Известна задача о
нахождении наименьшего целого числа, которое при делении ва
заданные числа дает заданные остатки.
В дошедших до нас работах индийских математиков Ариаб-
хата (V в.), Брамагупта (VII в.), Бхаскара (XII в.) имеются общие
методы решения неопределенных уравнений 1-й степени с 2
неизвестными. Они с успехом занимались также уравнениями вида
ах2 + Ь = cy2t ху = ах + by -\- с.
В отличие от Диофанта индусы решали неопределенные
уравнения в целых числах.
Вопрос о взаимовлиянии греческой и индийской математики
остается до сих пор невыясненным. Не подлежит сомнению
влияние последней на развитие математики у арабов, которые, однако,
в области теории чисел существенно не продвинулись, что вообще
характерно для средних веков.
2. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс
а) Расцвет теории чисел начинается в новое время и связан
в первую очередь с именем величайшего французского
математика XVII в. П. Ферма. Ферма под влиянием работ Диофанта
исследовал прежде всего решение многих уравнений в целых
числах. Ферма, очевидно, владел решением уравнения д:2 — #у2=1,
где а — целое положительное число, не равное квадрату. В открытом
письме в виде вызова современным ему математикам Ферма пред-
15

ложил доказать, что это уравнение всегда имеет решение в целых
числах х, у(у^О). Упомянутое утверждение имеет большое
значение1. Впервые оно было доказано Лангранжем2 ,
который использовал эту теорему для полного решения в целых
числах любого неопределенного уравнения второй степени
с двумя неизвестными:
аХ2 +\2Ьху]+ су2 + 2dx + 2e
Ферма высказал утверждение, что он владеет замечательным
доказательством неразрешимости уравнения xn-\-yn = zn для л>2
в целых числах (см. п. 5, § 2, гл. VII). Это утверждение, которое
носит название великой теоремы Ферма, еще до сих пор не
доказано и не опровергнуто. Попытки многих математиков
решить проблему Ферма стимулировали развитие теории
алгебраических чисел.
Ферма доказал, что простые числа вида 4я + 1 единственным
образом разлагаются в сумму двух квадратов. Эту теорему
можно считать первым важным предложением о квадратичных
формах.
Ферма высказал одну из важнейших теорем теории
сравнений, а именно, что ар~х — 1 всегда делится на р, если р —
простое число и а не делится на р. Эта теорема называется теперь
малой теоремой Ферма.
Из других теорем Ферма отметим утверждение, что всякое
натуральное число является суммой п или меньшего числа
/2-угольных чисел. Это предложение можно считать одним из
самых первых в аддитивной теории чисел. В общем виде оно было
впервые доказано Коши A815).
б) Большой вклад в развитие теории чисел внес член
Петербургской Академии Наук великий Л. Эйлер, жизнь и научная
деятельность которого тесно связаны с Россией.
По теории чисел Эйлер написал более 100 мемуаров. Он
доказал почти все теоремы Ферма, которые последний оставил без
доказательств, открыл также много новых законов и методов.
Стремясь исследовать природу натуральных чисел
относительно их простоты и определить сколь угодно большое простое
число, Эйлер, исходя из малой теоремы Ферма, обобщил ее в двух
направлениях. Он доказал теорему, которая носит теперь его имя,
а именно, что а^т^ — 1 делится на т, если ант — числа взаимно
1 Найти решение удалось Валлису и Броункеру, однако
впоследствии Эйлер по недоразумению приписал это решение
Дж. Пеллю, в связи с чем упомянутое уравнение вошло в
математическую литературу под названием уравнения Пелля. Так
называют и более общее уравнение х2 — ау2 = с.
2 Необходимо отметить, что Ферма не оставил
систематического изложения своих открытий и методов. Результаты,
найденные им, записаны лишь без доказательств ка полях его рабочего
экземпляра Диофанта или имеются в письмах к современным ему
математикам, но тоже без доказательств.
16

простые и <р (т) (называется теперь функцией Эйлера) — число
натуральных чисел, не превосходящих т и взаимно простых
с ним. (Если т = р число простое, то у(т) = р—1, и мы
получаем малую теорему Ферма.) Кроме того Эйлер разработал основы
так называемой теории степенных вычетов, связанной с понятием
наименьшего числа ЧфО, для которого ат — 1 делится на
простое /?, если а на р не делится (см. § 1, гл. IV).
Исходя из теоремы Ферма о том, что простое число вида
An + 1 представляется единственным образом в виде суммы двух
квадратов, Эйлер исследовал вопрос о делителях чисел вида
x2-j-dy2 для специальных значений d (Эйлер, между прочим,
доказал, что число вида 4л -I- 1 является простым, если оно имеет
лишь одно представление в виде суммы двух квадратов и эти
квадраты к тому еще взаимно просты).
В 1772 г. Эйлер эмпирически нашел закон взаимности
{см. § 10, гл. III), который характеризует остатки, получающиеся
от деления квадратов на простые числа. Этот закон имеет
фундаментальное значение для решения неопределенных уравнений
второй степени.
Эйлер исследовал ряд задач из диофантова анализа, доказал
великую теорему Ферма для случаев, когда п = 3,4.
Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил
вопрос об их использовании для решения дифференциальных
уравнений, применил их к разложению функций, представлению
бесконечных произведений, дал важное их обобщение.
Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены
М. Софроновым A729—1760), акад. В. М. Висковатым A779—1812),
Д. Бернулли A700—1782) и др.
Эйлер дал новое доказательство бесконечности количества
простых чисел, применив для этого аппарат математического
анализа, и положил этим начало аналитической теории чисел (см. п. 4,
§4, гл. VIII).
Необходимо еще отметить, что в переписке Эйлера с
петербургским академиком X. Гольдбахом A690—1764) в 1742 г.
возникла сложнейшая аддитивная проблема, знаменитая «проблема
Гольдбаха», а именно были выдвинуты две гипотезы: A) всякое
четное число >2 есть сумма двух простых; B) всякое нечетное
число >6 есть сумма трех простых (см. § 5, гл. VIII).
в) Ж. Лагранж A736—1813) заложил основы общей теории
бинарных (т. е. зависящих от двух переменных) квадратичных
форм (которая впоследствии была развита Гауссом и для форм
? большим количеством переменных) и решил, как об этом уже
выше отмечалось, неоднородное уравнение второй степени
с двумя неизвестными. При этом он воспользовался свойствами
цепных дробей.
Лагранж значительно развил теорию цепных дробей и нашел
метод приближенного решения с их помощью дифференциальных
уравнений.
Лагранж доказал также частный случай утверждения Ферма
о многоугольных числах, а именно, что каждое целое
положительное N есть сумма не более 4 квадратов. (Это утверждение
является также частным случаем проблемы Варинга (см. § 5,
гл. VIII.)
?-530.-2 17

г) В развитии теории чисел особенно велики заслуги Гаусса.
В своих знаменитых «Арифметических исследованиях» A801)
и других трудах он изложил все существенное, что было создана
до него, причем во многом в более общей форме 2.
Кроме того, ему принадлежат крупные открытия, из которых
отметим следующие: Гаусс создал аппарат сравнений и доказал
основной закон в теории сравнений второй степени — так
называемый закон взаимности. Он развил теорию квадратичных форм.
Его арифметическая теория целых комплексных чисел имела
большое значение для развития алгебраической теории чисел. Гаусс
рассматривал также особые тригонометрические суммы, которые
сыграли важную роль в аналитической теории чисел (см. § 5>
гл. VIII).
3« XIX век. Развитие теории чисел в России
а) Для развития теории чисел в XIX в. характерны,
во-первых, фундаментальные работы Гаусса (которые мы уже отмечали)
и дальнейшая разработка глубоких идей, изложенных в его
трудах; далее, значительное укрепление аналитических методов ис-
следорания и успешное решение различных проблем в теории
распределения простых чисел, наконец, создание новых
направлений, а именно геометрической теории чисел и теории
трансцендентных чисел.
б) Работы Гаусса не были сразу поняты его современниками,
однако в дальнейшем они нашли многих продолжателей, в
первую очередь среди немецких математиков.
Важную роль в разработке идей Гаусса, изложенных в его
«Арифметических исследованиях», сыграл Дирихле, в частное\иг
его работы оказали большое влияние на развитие теории
алгебраических чисел и аналитических методов в теории чисел.
В создании основ алгебраической теории чисел большие
заслуги имеет Куммер, который пришел к ней, пытаясь доказать
великую теорему Ферма. Куммер ввел так называемые идеальные
числа и дал доказательство теоремы Ферма для целого ряда
показателей, в том числе для всех п < 100. Идеи Куммера были
дальше развиты в работах Кронекера и Дедекинда. Особенно
глубокое развитие теория алгебраических чисел получила в
работах русского математика Е. И. Золотарева.
Начатые Гауссом исследования, касающиеся законов
взаимности, были обобщены математиками К. Якоби A804—1851), Г.
Эйзенштейном A823—1852) и Д. Гильбертом A862—1943).
1 Написаны на латинском языке под названием «Disquisitio-
nes arithmeticae». Имеется русский перевод в книге E).
2 Первую попытку систематически изложить современную
ему теорию чисел сделал А. Лежандр A752—1833) в своей работе
«Опыт теории чисел» A797—1798). Лежандр имеет и другие
большие заслуги в истории развития теории чисел.
18

Дальнейшее развитие теории форм привело Г. Минковского
н Г. Ф. Вороного к открытию геометрической теории чисел.
в) В развитии теории трансцендентных чисел важные
результаты были получены французскими математиками.
Ж. Лиувилль открыл необходимый признак алгебраического
числа и исходя из этого признака получил метод построения
трансцендентных чисел (см. § 3, гл. VII).
Ш. Эрмит развил теорию квадратичных форм и нашел
элементарный метод для доказательства трансцендентности числа е.
Этим же методом немецкий математик Ф. Линдеман A852—
1939) доказал трансцендентность числа %.
г) Существенная роль в развитии теории чисел XIX в.
принадлежит русским математикам.
Интерес к теории чисел в России в XIX в. возродил В. Я. Бу-
няковский A804—1889); он посвятил теории чисел более 40
интересных работ (среди них имеются: доказательства закона
взаимности, задачи диофантова анализа, исследования свойств числовых
функций, вопросы Эратосфенова решета и др.), принял деятельное
участие в издании арифметических работ Л. Эйлера и привлек
к этому молодого П. Л. Чебышева, дальнейшие открытия и
научная деятельность которого в области теории чисел создали целую
школу, сыгравшую в развитии теории чисел XIX в. очень
большую роль и известную под названием Петербургской школы теории
чисел.
Глубокие исследования Чебышева в области теории чисел
относятся к вопросу о распределении простых чисел (см. § 4,
гл. VIII). В изучении этой важнейшей проблемы со времен
Евклида до начала XIX в. были сделаны только лишь первые шаги.
Лежандр и Гаусс нашли эмпирические формулы для количества
простых чисел п (х), не превосходящих данное число х.
Это были замечательные формулы, но подкрепить их
теоретическими доводами эти ученые не сумели. Чебышев был первый,
кто после Евклида достиг важных теоретических результатов
в этом труднейшем вопросе теории чисел. В своих знаменитых
работах 1849 и 1852 гг. он существенно продвинулся в
теоретическом обосновании так называемого асимптотического закона
распределения простых чисел (т. е. доказательства того, что
/ х \ \
lim ( ъ(х):- ) = 1 ), который средствами теории функций
лг-ч-оо \ In X у J
комплексного переменного был полностью доказан пятьдесят лет
спустя, в 1896 г., французским ма1ематиком Ж. Адамаром A865—
1963) и бельгийским математиком Ш. Ж. Валле-Пуссеном A866—
1962), а элементарным путем — сто лет спустя, в 1949 г., датским
ученым А. Сельбергом и венгерским ученым П. Эрдешем.
Выдающиеся представители Петербургской школы теории
чисел А. Н. Коркин A837—1908), Е. И. Золотарев (Ь47—1878),
А. А. Марков A856—1922) и Г. Ф. Вороной нашли новые методы
и направления в теории чисел.
Они провели глубокие исследования, касающиеся
квадратичных форм, которые по сей день остаются предметом
внимательного изучения.
2* 19

Вороной сделал, кроме того, важные открытия в геометрии
чисел и некоторыми своими работами стимулировал развитие
современной аналитической теории чисел.
Работы Маркова имеют важное значение для решения задачи
о приближении действительного числа рациональной дробью.
Работы Золотарева по теории алгебраических чисел, что уже
отмечалось выше, оказались в этой области исключительными по
своей глубине.
Последователями Чебышева в направлении исследований по
вопросам распределения простых чисел были П. В.
Преображенский A846—1905), П. С. Порецкий A846—1907) и др.
д) В развитие теории чисел в XIX в. значительный вклад
внесли и другие русские ученые. Особенно следует отметить
московского ученого Н. В. Бугаева A837—1903), который
посвятил многочисленные ценные труды изучению различных числовых
функций и указал на большое значение прерывных функций
в математике вообще.
В этом же направлении работали и его ученики Н. Я. Сонин
A849—1915), Д. Ф. Егоров A869—1931), Н. В. Берви, И. И.
Чистяков и др.
4. Развитие теории чисел в XX в.
Советская школа теории чисел
а) В XX в. теория чисел интенсивно развивается во всех
своих разветвлениях с применением всех основных методов
исследования. Начиная с тридцатых годов в развитии теории чисел
ведущее место занимает советская школа теории чисел во главе
с академиком И. М. Виноградовым. Об этом убедительно
свидетельствуют успехи советских ученых в решении наиболее сложных
проблем теории чисел.
б) Важнейшее значение в современной теории чисел
приобрели аналитические методы. В первых десятилетиях нашего века
сильные методы в аналитической теории чисел для решения
аддитивных задач и вопросов распределения простых чисел были
развиты английскими математиками Харди и Литлвудом, индийским
математиком Рамануджаном, голландским математиком Ван дер
Корпутом, американским математиком Диксоном, немецким
математиком К. Зигелем и др.
В указанных методах применялась главным образом теория
функций комплексного переменного.
Еще более сильный метод развит академиком И. М.
Виноградовым, который успешно применяется как советскими
математиками (Н. Г. Чудаков, Ю. В. Линник, К. К. Марджанишвили,
Н. М. Коробов), так и зарубежными (Хейльброн, Ван дер Корпут,
китайский математик Хуа Ло-кен, Диксон и др.).
Метод Виноградова касается оценки так называемых
тригонометрических сумм, т. е. сумм вида ? e2ruf(x)f где f(x) — некоторая
функция от х, ъ. х пробегает ту или иную числовую
последовательность. Оказывается, что многие проблемы аналитической и
аддитивной теории чисел сводятся к таким оценкам, например
знаменитая проблема Э. Варинга A770 г.): доказать, что для лкь
20

бого целого числа п > 2 существует такое натуральное число
г = г(п), что всякое натуральное число N можно представить как
сумму г неотрицательных п~х степеней.
Впервые в 1909 г. эту проблему решил Д. Гильберт, но очень
громоздким способом и с грубой оценкой числа слагаемых.
Методом тригонометрических сумм И. М. Виноградов в начале
30-х годов добился больших успехов в улучшении решения
проблемы Варинга (см. § 5, гл. VIII). Тем же методом Виноградов
в 1937 г. доказал справедливость гипотезы Гольдбаха для
достаточно больших нечетных чисел, т. е. доказал, что все нечетные
числа, начиная с некоторого, являются суммами трех простых
(см. § 5, гл. VIII).
Первые успехи в решении проблемы Гольдбаха также
принадлежат советскому математику, а именно Л. Г. Шнирельману,
который в 1930 г. новым методом, имеющим фундаментальное
значение в аддитивной теории чисел, установил, что всякое
целое число является суммой ограниченного числа простых чисел
(см. § 5, гл. VIII).
Необходимо еще отметить крупные успехи советского
математика Ю. В. Линника, который методом Шнирельмана в 1943 г.
дал элементарное решение проблемы Варинга, аналитическим
методом теории функций комплексного переменного в 1946 г.
доказал теорему Гольдбаха-Виноградова, а в 1959 г. — предположение
Харди и Литлвуда о том, что каждое достаточно большое
натуральное число есть сумма простого числа и двух квадратов целых
чисел.
в) Крупные успехи достигнуты за последние три десятилетия
в теории трансцендентных чисел.
Найдены методы для определения арифметической природы
(относительно трансцендентности) довольно широких классов
чисел.
В этой области важнейшую роль сыграл сильный
аналитический метод, созданный советским математиком А. О. Гельфондом.
В 1934 г. А. О. Гельфонд доказал, что о? , где а — алгебраическое
число, отличное от нуля и 1, а E — алгебраическое иррационное
число, является трансцендентным числом, и решил этим так
называемую 7-ю проблему Гильберта, которая в течение 30 лет не
поддавалась усилиям математиков (см. § 3, гл. VII).
Важные результаты в области теории трансцендентных чисел
принадлежат также немецкому математику К. Зигелю.
г) В теории приближения алгебраических чисел при помощи
рациональных большую роль сыграли исследования норвежского
математика А. Туэ A909), которые были продолжены в
дальнейшем математиками Зигелем, Дайсоном, Гельфондом и Ротом.
При помощи теоремы Туэ впервые удалось получить сведения
о числе решений неопределенного уравнения /г-й степени с двумя
неизвестными.
Советский математик Б. Н. Делоне достиг значительных
успехов в области решения диофантовых уравнений третьей степени
(см. § 3, гл. VII).
Важные результаты принадлежат Б. Н. Делоне и Б. А. Вен-
кову в геометрической теории чисел и А. Я. Хинчину A894—
1959) в теории диофантовых приближений.
21

д) Успешно развивается алгебраическая теория чисел.
Крупный вклад внесли в эту область советский математик
Н. Г. Чеботарев, немецкие математики Хассе и Хекке,
французский математик А. Вейль.
Очень важным результатом является общий закон взаимности,
открытый и доказанный в 1949 г. советским математиком И. Р. Ша-
фаревичем (см. § 2, гл. VII).
е) Новыми сильными методами обогатилась в XX в.
элементарная теория чисел. Кроме упомянутых выше методов Туэ и
фундаментального метода Л. Г. Шнирельмана, необходимо указать на
метод эратосфенова решета, созданный норвежским математиком
В. Вруном в 1919 г. Этот метод, получивший дальнейшее
развитие в работах А. Сельберга, советского математика А. А. Бух-
штаба (род. в 1905 г.) и других ученых, успешно применяется
в решении аддитивных проблем.

Глава I
ТЕОРИЯ ДЕЛИМОСТИ
§ 1. Делимость, деление с остатком
1. Понятие делимости; свойства делимости
В области целых чисел из основных
арифметических действий деление не всегда выполнимо.
Возникающие в этой связи вопросы решаются теорией
делимости.
Говорят, что целое число а делится на целое
число b (b=?0), или что Ь делит а, если существует
целое число q, такое, что a = bq. При этом q
называется кратным числа b, a b — делителем числа а.
То, что а делится на Ь, будем обозначать символом
а\Ь, если а на b не делится, будем писать а^-b,
например 15 15, П^ЪХ.
Из определения понятия делимости и свойств
целых чисел вытекают некоторые простые свойства
делимости, которые укажем без доказательства.
1. Отношение делимости рефлексивно и транзи-
тивно, т. е.
а) а\а;
б) из а | b и b | с следует а \ с.
2. Из а\с следует ab\с для любого целого Ь.
3. Из а \с и Ь\с следует ах + Ьу\с для любых
целых чисел х и у (напр., а±Ь\с); это свойство
можно распространить на несколько чисел.
4. Из а | b и b | а следует а = ± Ь.
5. Из а\Ь, а > 0, b > 0 следует b < a.
1 Символом а\Ь чаще принято обозначать то, что «д делит Ьъ.
23

2. Деление с остатком
Пусть а — целое, a b — целое положительное
число. Не всегда а делится на Ь, но всегда
возможно деление а на Ъ с остатком, т. е. можно найти,
причем единственным образом, такие целые q и г,
что
a = bq+r, 0<r<b. A)
Число q называется неполным частным, а число
г —остатком от деления а на Ь.
Примеры:
99=17.5 +14, 0<14<17,
_99 = 17-(-6)+ 3, 0< 3<17,
77 = 11-7 + 0, 0= 0< 11.
Доказательство возможности. Пусть
bq — наибольшее кратное числа Ь, не превышающее а,
тогда
bq<a<b(q+l)
и
0 < а — bq < b.
Полагая a — bq = r, получаем представление A).
Доказательство единственности.
Допустим, что, кроме A), возможно представление
a = bqx + ru 0<rx<b. (V)
Из A) и (Г) следует
bq + r=bq{ + ru
r-r^bfa — q),
г-гх\Ь.
Так как |r—rt | < ?, то r — rx\b возможно лишь
при г — ^ = 0, т. е. при г = гх. В таком случае и
q-=q\. Единственность доказана.
Упражнения
1. При делении целого числа а на 13 получается неполное
частное 17. Найти наибольшее значение делимого а.
2. Делимое равно 371, частное 14. Найти делители Ь и
соответствующие им остатки г.
3. При делении а на Ь получается частное q и ненулевой
остаток г. На какое натуральное число п нужно умножить а>
чтобы при делении на b частное увеличилось в п раз?
24

4. Делимое 100, остаток 6. Найти делитель b и частное q.
5. Доказать, что 1) из трех последовательных натуральных
чисел одно делится на 3, 2) из двух последовательных четных
чисел одно делится на 4, 3) из пяти последовательных
натуральных чисел одно делится на 5.
§ 2. Наибольший общий делитель
1. Наибольший общий делитель двух чисел.
Алгоритм Евклида
Всякое целое число, которое делит целые числа
а и Ь, называется их общим делителем.
Целесообразно ограничиться рассмотрением натуральных
делителей, что и предполагается в дальнейшем.
Совокупность общих делителей а и b — будем ее
обозначать символом Da 6—является конечной1 в ней
имеется поэтому наибольшее число — так называемый
наибольший общий делитель (сокращенно — Н. О. Д.)
данных чисел, который обычно обозначается
символом (а, Ь). Если (а, ?) = 1, то а и b называются
взаимно простыми.
Для нахождения Н. О. Д. двух целых чисел а и b
можно составить совокупности Da и Db всех
делителей каждого, отобрать из них общие, а из
последних — наибольший.
Для чисел 24 и 30 имеем, например:
D2A = {U 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},
Аи>Н1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30},
?>24,зоН1. 2,3, 6}, B4, 30) = 6.
Еще Евклид указал на более удобный способ
нахождения Н. О. Д.
1. Если а\Ь, то Dutb = Db и (a, b) = b.
Действительно, каждый общий делитель чисел а и b делит Ь\
с другой стороны, всякий делитель числа b является
делителем числа а (и Ь). Поэтому Da,b==Db. Так как
из делителей b само число b является наибольшим,
то (а, Ь) = Ь.
2. Если а)(Ь, то согласно теореме о делении
с остатком получается система равенств
1 Предполагается, что по меньшей мере одно из чисел а и Ь
отлично от нуля.
25

(А)
a=bqx + r2,
b = r2q2 + Г3,
О < г2 < b,
О < r3 < г
2>
0<гя<гй_„
Система (А) не обрывается, пока получаемые
остатки больше нуля. Но поскольку целые
неотрицательные остатки г2, г3,... убывают, то для
некоторого п получится гп+г=О, что и принято в (А)
\rn_x = rnqn + rn+u rn+l =0).
Первое из равенств (А) показывает, что всякий
общий делитель а и b делит г2 (и Ь), а всякий общий
делитель b и г2 делит а (и Ь); поэтому Dab = Db,r2,
и вместе с тем (a, b) = (b, r2). Переходя к
следующим строкам системы (А), получаем
Dn h = Db r = ... == Dr , r = Dr и (a, b) = rn.
a'b * 2 rn-\ Гп п п
Указанный способ нахождения Н. О. Д. носит
название метода последовательного деления или
алгоритма Евклида. Итак, установлено, что множество
общих делителей чисел а и b совпадает с
множеством делителей их Н. О. Д., который равен
последнему отличному от нуля остатку алгоритма Евклида,
т. е.
Datb-Dia,b) A)
и
(а, Ь) = гп. B)
Для практического определения Н. О. Д. двух
чисел (например, для 259 и 119) алгоритмом Евклида
обычно применяется схема следующего вида:
259 |119
238 2
1191 21
105 5
211 14
1
14 |_7
- 2
26

Более целесообразно (особенно в связи с цепными
дробями, см. п. 3, § 3, гл. III) вспомогательные
вычисления выполнять по возможности в уме и
располагать схему в одну строку слева направо по
следующему образцу:
259 [И9_ \2\ [14 \7_
2 5 12
Итак, B59, 119) = 7.
2. Основные свойства Н. О. Д. двух
и нескольких чисел
Применяя алгоритм Евклида к числам ak и bkf
где k — натуральное число, вместо равенств
системы (А) п. 1 получаем равенства, члены которых
в k раз больше. Поэтому
(ak, bk) = (a, b)k. A)
Если d является общим делителем а и Ь, то
можно согласно A) писать
откуда следует
(д, Ь)
(а Ь \ __
V7* Т)
В частном случае, когда d = (a, b), из B)
получается
а Ь
(л, *) (о,
-1. (з)
Из свойств A) и A) п. 1 вытекает важная
теорема.
Если ab делится на с и (а, с) = 1, то b делится
на с, т. е.
из ab | с, (а, с) = 1 следует b \ с. D)
Действительно, из (а, с) = 1 следует (ab, cb) == Ь.
Далее, из ab\c (по условию) п cb\c (cb — кратное с)
следует согласно A) п. 1, что (ab, cb)\c. Но так как
(ab, cb) = b, то и получается, что Ь\с.
27

Понятия общего делителя и Н. О. Д. можно
отнести и к нескольким числам. Задача нахождения
Н. О. Д. более чем двух чисел сводится к
аналогичной задаче для двух чисел.
Пусть имеем числа
аи я2,..., ап (А)
и пусть
(аи a2) = d2, {с!ъ aB) = dz,..., (dn_u an) = dn.
Известно, что множество Daltat всех общих
делителей ах и а2 совпадает с множеством Dd2 делителей
их Н. О. Д., аналогично Д*2,аз совпадает с Ddb и т.д.
Поэтому
И
(аи а2,..., an) = dn, E)
где {аи а2,..., ап) означает Н. О. Д. чисел аъ а2,..., ап.
$ Нетрудно проверить, что и для более чем двух
чисел остаются справедливыми соотношения A) — C).
Если dn= 1, то числа ряда (А) называются взаимно
простыми; если каждое из чисел этого ряда взаимно
простое с каждым другим из них, то они называются
попарно простыми. Если числа ряда (А) попарно
простые, то они и взаимно простые. Обратное
утверждать можно лишь для двух чисел.
Упражнения
6. Применяя алгоритм Евклида, найти 1) B47, 133); 2) ^703, 481);
3) C763, 3337).
7. Доказать, что d = (a, b) при а и Ь, не равных
одновременно нулю, можно представить как линейную форму ах + Ьу9
где х и у — целые.
к. -\ 8. Доказать, что соотношение ахх + Ь^у = 1, где х и у —
целые числа, выражает необходимое и достаточное условие
взаимной простоты целых чисел а\ и Ьх-
* ¦ * 9. Представить 3 = E1,21) как линейную форму 51л; + 21^,
где х и у — целые.
10. Найти 1) dx = (819, 702, 689), 2) d2 = C059, 2737, 943).
11. Доказать, что (а, Ь) = (а, а±Ь).
12. Доказать, что числа п, п -\- 1, 2л + 1 — попарно взаимно
простые.
13. Доказать, что из условия (а, Ъ) = 1 следует, что (a -f Ь,
а — Ъ) равен 1 или 2.
2%

14. Доказать, что из условий (ab, с) = d и (а, с) = 1
следует Ь | d.
15. Показать, что соотношение D) из п. 2 является
следствием теоремы предыдущей задачи.
16. Доказать, что (a, b) = (uta + v{bf u2a + v2b), если u1v2 —
— U2Vi = 1.
17. Доказать, что из условий (я, с) = 1 и F, с) = 1 следует
(Л&, с) = 1.
18. Доказать обобщение предыдущей теоремы: если для чисел
систем
аи аъ ..., аъ
ьь ь2,..., ье
(a;, bj) = 1 при любом / и j и ^^2.. .^ = А,
Ь\Ь2. ..Ье = В, то (А, В) = 1.
19. Доказать, что (яс, ^) = (с, &), если (л, ^) = 1.
§ 3. Наименьшее общее кратное
1. Наименьшее общее кратное двух чисел
Пусть а и b — целые (отличные от нуля) числа,
их общим кратным называется любое число, кратное
как а, так и b (т. е. делящееся на а и на Ь). Такое
наименьшее натуральное число называется
наименьшим общим кратным (сокращенно Н. О. К.) чисел
а и Ь, мы будем его обозначать символом [а, Ь].
Если М — какое-либо общее кратное а и Ь, то
М\а и М\Ь. Из М\а следует, что M = ak, так что
ak\b.
Пусть теперь (a, b) = d, a = ald, b = bld. Тогда
в силу того, что \аи *i) = l, из ak\b следует alk\bl
и далее k I bv Поэтому k = bxt = — t, где t — целое
d
ЧИСЛО.
Итак, если М—общее кратное а и Ь, то оно
имеет вид
M = -^-t. A)
d
С другой стороны, любое число вида A) является
кратным а и Ь, так как его можно записать в форме
M=a(b1t) = b(alt).
Таким образом, формой A) исчерпываются все
возможные кратные чисел а и Ь.
29

Поскольку множества общих кратных целых
положительных и целых отрицательных чисел совпадают
и [а, Ь] = [\а\, \Ь\], то ограничимся в дальнейшем
рассмотрением общих кратных натуральных чисел.
Тогда при t=\ получаем из A) Н. О. К. чисел а к Ь,
так что
М = [а, b\t.
Итак,
1) Н. О. К. двух чисел равно их произведению,
деленному на их Н. О. Д.;
2) множество общих кратных двух чисел
совпадает с множеством кратных их Н. О. К., или: всякое
число М, которое делится на числа а и Ь, делится
на их Н. О. К. [а, Ь\\
оч [а> Ь] [я, Ь]
3) числа J L и л взаимно простые, так как:
а Ъ
первое из них равно — = Ьи а второе — = а1;
d d
4) Н. О. К. двух взаимно простых чисел равно их
произведению, т. е.
если (а, Ь) = 1, то [a, b] = ab;
5) если k > 0, то \ak, bk\ = [а, b\ k, и если а | к
, , - Г а Ь Л [а, Ь]
И Ъ \k, ТО —, — = L J .
L ь k J k
2. H. О. К. нескольких чисел
Понятия общего кратного и Н. О. К. можно
отнести к нескольким числам. При этом задача
нахождения Н. О. К. более чем двух чисел сводится
к аналогичной задаче для двух чисел. Покажем это.
Пусть дан ряд натуральных чисел
аи аъ ..., ап (А)
и пусть
[аи а2] = тъ \тъ а3] = ш3,... , [тп_и ап] = тп.
Поскольку общие кратные чисел ах и а2
совпадают с общими кратными их Н. О. К. тъ то общие
кратные рядов (А) и
т2, я3,..., ап
30

совпадают, а следовательно, совпадают и их Н. О. к.,
так что
\аи аъ..., ап] = [т2у а3,..., яя],
где [av а2,..., а„] означает Н. О. К. чисел ряда (А).
Повторяя указанное рассуждение, находим
\аъ а2,..., ап] = \тъ аъ,..., ап\ = ... = \тп_х, ап] = /юя,
значит,
Из доказательства следует, что общие кратные
более чем двух чисел совпадают с кратными их
Н. О. К. и что для попарно простых натуральных
чисел
[аи аъ..., an]=*ala2...an.
Упражнения
20. Доказать, что 1) произведение трех последовательных
натуральных чисел делится на б, 2) произведение пяти
последовательных натуральных чисел делится на 120.
21. Найти 1) [299, 234], 2) [493, 221], пользуясь соотношением
22. Найти натуральные числа а и Ь, если {а, Ь) = 15 и
[л, 6] = 840.
23. Найти Н. О. К. трех последовательных натуральных чисел.
24. Доказать, что для натуральных чисел аь аь..., ап
Л
т = [аи а2,..*, ап]= — , где А = ага2... ая>
а
А А А
d = (Аь Аъ.. •, Ап), Ах == — , А>2 = — , .. •, Ап = — .
25. Доказать, что для натуральных чисел а, Ь и с аЬс =
= [я, &, с] • (д&, ас, be),
§ 4. Простые числа. Разложение на
простые множители
1. Простые и составные числа; их основные свойства
Всякое натуральное число р > 1, не имеющее
других натуральных делителей, кроме 1 и р, называется
простым. Натуральные числа, отличные от 1 и не
31

являющиеся простыми, называются составными.
Число 1 не считается ни простым, ни составным.
Рассмотрим некоторые теоремы, связанные с
понятиями простых и составных чисел.
1. Если рх > 1 является наименьшим делителем
целого числа д>1, то оно простое.
Действительно, иначе рх имело бы такой
делитель а, что 1<а<ри и из п\рх и рх\а следовало
бы, что п\а, а<р{, но это противоречит
определению числа рх.
2. Натуральное число а и простое число р либо
взаимно просты, либо а делится на р, т. е. либо
(а, р) = 1, либо а\р.
В самом деле, единственные делители р—это 1 и/?,
поэтому Н. О. Д. аир может равняться либо 1,
либо р, т. е. либо (а,/?) = 1, либо (а,р)=р. Но
в последнем случае а\р.
3. Если произведение ab делится на простое число р,
то по меньшей мере один из сомножителей делится
на р.
Действительно, если а *^р, то согласно
предыдущему свойству (а, р) = 1. Но в таком случае из
делимости аЪ на р в силу D) п. 2, § 2 следует, что b
делится на р.
Эту теорему можно способом индукции
распространить на произведения трех и более множителей.
Так, например, если abc\p, a a-/-/?, то согласно
доказанному Ьс\р, откуда следует, что либо Ь\р, либо с\р.
Следует отметить, что в случае, когда все
сомножители произведения, делящегося на/?, простые числа,
то по меньшей мере один из сомножителей должен
совпадать с р.
2. Основная теорема арифметики
Теперь мы можем перейти к рассмотрению
основной теоремы арифметики: Всякое натуральное
число а, кроме 1, может быть представлено как
произведение простых множителей
а>=Р\Р2-РП1 п>1> С1)
причем единственным образом, если не обращать
внимания на порядок сомножителей.
32

Представление A) называется разложением числа
а на простые множители.
Существование разложения доказывается без
особого труда.
В силу 1) из п. 1 число а имеет в качестве
наименьшего делителя, отличного от 1, простое число ри
так что а=р1а1. Если ах > 1 и р2 — его наименьший
простой делитель, то а1=р2а2, отсюда а==р1р2а2.
Этот процесс можно продолжить, пока не придем
к какому-либо ап=1. (То, что после конечного числа
шагов такое ап должно получиться, следует из того,
что а> #i > а2 > ..., где а, аи... натуральные числа.)
Итак,
Единственность разложения доказывается при
помощи свойства 3) из п. 1.
Допустим, что существуют два разложения а на
простые множители, а именно, что
Р1Р2~.Рп=<?1Я2-<1з- О')
Поскольку каждое pt делит произведение чисел q,
то согласно свойству 3) из п. 1 можно утверждать,
что Pi равно некоторому qj и что, наоборот,
каждое q равно некоторому р. Таким образом, обе части
в (Г) содержат одинаковые простые числа.
Единственное их отличие может состоять лишь в том, что
некоторое простое р встречается в одной части
равенства большее число раз, чем в другой. Однако
после сокращения на р достаточное количество раз
получилось бы равенство с числом р в одной части
равенства и без него в другой части, а это
противоречило бы свойству 3) из п. 1. Теорема доказана.
Среди простых сомножителей представления A)
могут быть и равные.
Если обозначить различные из них через ри р2,... ,pk
и допустить, что они встречаются соответственно
ai > а2> ••• i ak Раз> т0 получается представление
а=р\рЪ...р?, B)
которое называется каноническим.
Б-530.-3 33

Каноническое разложение показывает, что все
делители числа а исчерпываются числами вида
d = px p2 -"Pk^ w/
где
Действительно, с одной стороны, всякое d такого
вида делит а.
С другой стороны, всякое число d, которое
делит а, имеет указанный вид, так как оно не может
иметь других простых сомножителей, кроме pv p2i... ,pk,
а их показатели р1? Р2,..., % не могут противоречить
условиям D).
3. Решето Эратосфена
Евклид доказал бесконечность множества простых
чисел (см. п. 1, § 4, гл. VIII), но вопрос о том, является
ли данное число простым или составным, решается
для больших чисел с значительным трудом (см. п. 6,
§ 2, гл. VIII). Важно учесть, что наименыний_простой
делитель числа а не может быть больше Vа.
В самом деле, если рх — наименьший простой
делитель а, то а=рхах, причем ах>рх. Поэтому
а = рхах > р\, откуда рх < Va.
Упомянутый факт используется при составлении
таблицы простых чисел < N способом, который был
указан еще Эратосфеном и который носит название
решета Эратосфена.
Выписывают все натуральные числа от 2 до N. Из
них вычеркивают каждое второе число после простого
числа 2. Первым незачеркнутым числом остается
простое число 3; теперь вычеркивают каждое третье
число после 3 (причем считают и те числа, которые
зачеркнуты ранее) и т. д.
После вычеркивания всех чисел, кратных
простому рп, первое следующее за рп незачеркнутое число
Рп+\ является простым, иначе оно имело бы простой
делитель <рп, но все кратные простым числам <рп
уже зачеркнуты.
Простыми являются также незачеркнутые числа
<P^+i, так как составные числа </>jj+1 имеют простой
34

делитель <рп и уже ранее вычеркнуты из таблицы.
Поэтому вычеркивание кратных простому /?л+1 следует
начинать с р^+1 и составление таблицы простых
чисел < N считать законченным, как только найдено
простое число >У N.
Пример. 7V=6O
2 3 4 5 6 7 "8 9 Ш 11 12 13 14 15"
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 3233343^36 37 383940 41 42 43 4445
46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60.
Упражнения
26. Доказать, что для простого числа р из условий а + Ь\р
и ab | b следует, что а\р и b \р.
27. Доказать, что для простого числа р из условий а\р и
а2 4- Ь2\р следует Ь\р.
28. Найти (а, Ь) и [а, Ь], зная канонические разложения
натуральных чисел а и Ь.
29. Доказать, что при простом р из условий (a, bp) — d и
(а, Ь) = 1 следует: d равно 1 или р.
30. Доказать, что из условия (а, Ь) = 1 следует (a -j- b, ab) == 1,
( b b) L
)
31. Доказать, что (а + ^, л&/?) либо равен 1, либо р, если
(а, Ь) = 1 и /; — простое число.
32. Доказать, что при (я, 6) = 1 (а -\- b, a2 — ab + b2) равен
либо 1, либо 3.
33. Доказать, что (я, Ь) --= (а \- b, [a, b}).
34. Доказать, что всякое простое число, большее 3, имеет
форму 6& -f 1 или 6& -f 5.
35. Доказать, что квадрат любого простого числа, большего 3,
имеет форму 12& -Ь 1.
36. Доказать, что простое число вида 3& -f 1 имеет форму
6л -Ь 1.
37. Найти все простые числа р, такие, чтобы р -f 10 и р -f 20
тоже были простыми.
38. Доказать, что при /г>2 числа 2п — 1 и 2п 4- 1 не могут
одновременно быть простыми.
39. Числа р и 8/?2 + 1 — простые; доказать, что 8р2 + 2р + 1 —
также число простое.
40. Доказать, что целое положительное число а вида 3fc 4- 2
всегда имеет простой делитель такой же формы.

Глава II
КЛАССЫ ПО ДАННОМУ МОДУЛЮ. СРАВНЕНИЯ И КЛАССЫ
§ 1. Сравнения и их основные свойства
1. Понятие сравнимости и равносильные утверждения
Пусть т натуральное число. Тогда, по теореме о
делении с остатком, для всякого целого числа а
существует единственная пара целых чисел q и
г—таких, что
a = mq + r, 0<r<m. A)
. Упомянутая теорема является основой следующего
определения: Если два целых числа а и b при
делении на целое положительное т дают один и тот
же^остаток г, так что
a = mq + г и b = mql + г, 0< г < /я, B)
то они называются равноостатояными, или
сравнимыми по модулю т. Это записывается следующим
образом:
а = b (mod m) C)
и читается так: «а сравнимо с b по модулю т».
Соотношение C) называется сравнением.
Пример. 57 и 37 при делении на 5 дают один и
тот же остаток 2, следовательно, они сравнимы по
модулю 5:
57 = 37 (mod 5).
Введенное понятие сравнимости находит свое
оправдание в том, что во многих арифметических вопросах
основную роль играют не числа сами по себе, а те
остатки, которые получаются при их делении на третье
число. Сравнимые числа по данному модулю в неко-
36

тором смысле «равны» между собою, а сравнения во
многом подобны равенствам.
Чтобы изучить свойства сравнений и научиться
бегло ими пользоваться, необходимо установить
удобную связь нового аппарата с обычными для нас
соотношениями и понятиями.
Такая связь устанавливается при помощи формул B).
Из них следует
а — b = т (д — q^) = mt,
или
a = b + mt, D)
где t целое число.
Пусть теперь, наоборот, имеет место D), a b при
делении на т дает остаток г, т. е. b = mq{ + г. Тогда
и а при делении на т даст тот же остаток г. В самом
деле, из D) следует
а = mqx + г + mt = т (qx + t) + г,
где qx + t целое число. Обозначая его через q, имеем
а = mq + г.
Итак, мы установили эквивалентность C) и D). Но
D) эквивалентно соотношению
а — b = mt,
или
a— b\m. E)
Поэтому соотношения C), D) и E) между собою
эквивалентны: C) *—- D) *--E).
В рассмотренном выше примере имеем
57 = 37 + 5-4,
а также
57 - 37 15.
Отметим в заключение следующие очевидные, но
тем не менее важные факты:
1) если а при делении на т дает остаток г, т. е.
а = mq + г,
то
a = r(mod m)\
2) если а делится на т< т. е. а\т,
а =Е 0 (mod m),
то
37

или, другими словами, кратное модуля сравнимо с
нулем по данному модулю:
mk = 0 (mod m).
2. Основные свойства сравнений
1. Соотношение сравнимости: а) рефлексивно,
б) симметрично и в) транзитивно:
а) из а = b следует a s== b (mod /n), т. е. равные числа
сравнимы по любому модулю.
Рефлексивность можно выразить и так:
а е=е a (mod m)\
б) из а в-& (mod/я) следует Ь==а(то&т)\
в) из а г* 6(mod m), b^c(modяг) следует
(d)
Все перечисленные свойства непосредственно
вытекают из определения сравнимости, или равнооста-
точности;
2. Сравнения с одним и тем же модулем можно
почленно складывать и вычитать,
т. е. из аг^ bx(mod т) и а2^ #2(mod m)
следует
ах ± а2 ^b{ ± b2 (mod m).
В самом деле, из условий имеем
а, = b{ + mtx, a2 « b2 + mtv
откуда
аг ± а2 ~ b{ ± b2 + m (t{ ± t2),
или, в силу C) —D)
ах ± а2 hs ^! ± 62(mod m).
Доказанное свойство, очевидно, распространяется и
на случай k сравнений.
Следствия: А. Слагаемое можно из одной части
сравнения перенести в другую, если изменить его знак.
Действительно, из
а + b === с (mod m) и
— 6~= — Ь(тойт)
следует
а^с — b (mod /w).
38

Б. К любой части сравнения можно прибавить число,
кратное модулю. Действительно, из
а =е= b (mod т) и Q^mk (mod m)
следует
а == Ь + mk (mod m),
где ? = 0, ± 1, ±2,...
3. Сравнения с одним и тем модулем можно
почленно перемножать, т. е.
из
a, =s bx (mod m) и
а2 == b2 (mod /гс)
следует
a1»a2zz bX'b2(mod/я).
Для доказательства выражаем данные условия
в форме
аг = bx + mtx, а2 = Ь2 + mt2,
тогда
ах *а2 = F, + mtx) (b2 + mt2).
В произведении этих сумм все члены, кроме bvb%,
содержат сомножитель т, поэтому
ах*а2 == bX'b2 + mt, где / — целое,
или
ах • а2 = 6| • 62 (mod /w).
Очевидно, это свойство распространяется на
случай k сравнений.
Следствия. А. Сравнение можно почленно
возвышать в любую целую положительную степень, т. е.
из
#== Ь(тойт)
следует
а" = &" (mod яг).
Б. Обе части сравнения можно умножать на одно
и то же целое число k, т. е. из
а == 6 {mod/и)
следует
ak = ?&(mod m).
39

Это свойство получается, если данное сравнение
почленно умножить на сравнение k == k (mod т).
В. Сложение и умножение сравнений приводит
к следующему, легко понятному обобщению:
выражения, составленные сложением (алгебраическим) и
умножением сравнимых по модулю т чисел, сравнимы
по этому же модулю.
В частности, если
f(x) = аохп + а{хп~1 + ... + ап
¦— многочлен с целыми коэффициентами, то из
x^y(modm) следует f(x) = f(y)(modm)\
если, кроме того,
a,— ^. (mod яг), i = 0, 1,..., я,
то
аохп + ... + ап = Ьоуп + ... + bn(modm).
Рассматриваемое свойство показывает также, что
в сравнении по модулю т можно слагаемые и
множители заменить сравнимыми числами по тому же
модулю.
Так, например, по модулю т из а + Ь^с и b = d
следует а + d==c, из ас + 6 = 0 и с~е следует
ае + Ь == 0.
Однако необходимо обратить внимание на то, что
встречающиеся в сравнении показатели указанным
образом заменять нельзя.
Так, например, 3 = 8(mod5), однако 23^28(mod5),
так как 23 = 3(mod5), a 28=l(mod5).
4. На общий делитель, взаимно простой с
модулем, можно всегда разделить обе части сравнения,
сохраняя при этом данный модуль.
Действительно, пусть
ad=bd(modm) и (rf, /я) = 1,
тогда
ad—bd\my или {a-~b)d\m,
откуда, ввиду того что (dy /n) = l, следует
а — Ь\т или а === b(modm).
Если условие взаимной простоты делителя с
модулем не выполнено, то сокращение может привести
40

к числам, не сравнимым по данному модулю, но это
не обязательно.
Так, например, 7-5 = 4-5 (mod 15), но 7 ф 4 (mod 15),
однако 17-5 = 2-5(mod 15) и 17 = 2(mod 15).
5. Обе части сравнения и модуль молено
умножить на одно и то же целое положительное число,
а также разделить на любой их общий
положительный делитель: если целое я?>0, то из a^b(modm)
следует
ad == bd (mod md).
Справедливо также и обратное утверждение.
Доказательство. Пусть а~ b(modm), тогда
а — b | /я,
следовательно, (a — b)*d\m*d или ad — bd\md, т. е.
ad^E bd (mod md).
Второе утверждение получается, если рассуждения
провести в обратной последовательности.
Согласно свойствам 4 и 5 из
ad == bd (mod m)
всегда следует а == b(mod ———j .
\ (d, т) J
Действительно, путь (rf, m) = ky d = dxk, т = т{к.
Тогда первое сравнение можно записать в виде
ad}k = bdxk (mod mx k),
откуда по 5-му свойству adx = bdx (modmj)
и далее по 4-му свойству a^=b (mod mx),
или a~bf mod—-—j.
\ (d, т))
6. Если сравнение имеет место по нескольким
модулям, то оно имеет место по модулю, равному
общему наименьшему кратному этих модулей.
В самом деле, пусть
a^b(modтх) и а = b(modm2),
тогда
а — Ь\тх и а — Ь\т2,
откуда
а—Ь\М, где Ж = [ш,, /я2],
41

или
a s= fr(mod M).
Очевидно, свойство остается верным и для
нескольких модулей.
7. Если сравнение имеет место по модулю т, то
оно имеет место и по модулю d, равному любому
делителю числа т: если m\d, то из а^Ь(тойт)
следует
а== b(mod d).
Действительно, из условия следует, что а — Ь\ту
а так как m^mx*d, то я — b\d, т. е. az=b(moud).
8. Общий делитель одной части сравнения и
модуля является также делителем второй части.
Действительно, если
а === ? (mod/я) и a = ax»d, m = mx-d,
то а = ft + mt, или axd — mxdt = by откуда видно,
что b | d.
Доказанное свойство показывает, что все делители
пар чисел а и т, а также bum являются общими.
Это относится^ и к их общим наибольшим делителям.
Таким образом, мы приходим к важному следствию.
Части сравнения и модуль имеют одинаковый
общий наибольший делитель, т. е. (а, т)~{Ь, т).
В частности, если (а, /ю)=1, то и (Ьу /п)==1.
Другими словами, если одна часть сравнения и
модуль числа взаимно простые, то и вторая часть
сравнения и модуль числа взаимно простые.
Рассмотрим числовой пример на применение
основных свойств сравнений.
Так как 10s=l(mod3), то
N = ao+ 10-0! + ... + \0пап = а0 + ах + ... +аЛ(тоA3).
Отсюда следует, что число делится на 3 тогда и
только тогда, когда сумма цифр делится на 3.
Аналогично можно вывести и другие признаки
делимости (см. § 1, гл. V).
Упражнения
41. Записать в виде сравнений условия:
1) —38 и — 3 дают при делении на 7 одинаковые остатки
(проверить!); 2) при делении на 8 число 53 дает остаток 5; 3) а2—Ь2
42

делится на а — Ъ (а ф Ь)\ 4) определить остаток г от деления
— 73 на 8.
42. Охарактеризовать сравнениями числа N следующего вида:
1) четные; 2) нечетные; 3) 5k + 3; 4) Ik -2.
43. Указать наименьшее натуральное /г, чтобы выполнялось
условие л === 0 (mod rn).
44. От деления на т целые числа ах и а2 дают соответственно
остатки г\ и г2. Какие остатки получаются от деления на т суммы,
разности и произведения данных чисел?
45. Сохранится ли сравнение abc -fd — ?-f/==g2 (mod m),
если заменить в нем b через bx, f через f\ и g через gx при
условии, что b ^ bi (mod га), f — f\ -f 3/и, g ss — g1 (mod /и)?
46. Какому необходимому условию должны удовлетворять
целые t, чтобы выполнялось сравнение 5* э 3b (mod 6/тг)?
47. Каков остаток, получаемый от деления целых чисел (в
десятичной системе) на: 1) 9; 2) 11?
48. Доказать, что из условий a^b (mod т), (а, Ь) = d, (а, т) =
,L a b I т\
= F, ш) = flfj следует — s= — mod — .
d d \ dj
49. Доказать, что для простого р Скр_х « (— l)ft(mod/?).
m — 1
50. Доказать, что при нечетном яг (т — l)!=s=(— 1) 2 X
(mod m). Записать это соотношение для случаев
= 4k + 3.
§ 2. Классы по данному модулю
1. Разбиение множества целых чисел на классы
Соотношение сравнимости по данному модулю т,
которое мы начали изучать в § 1, можно выразить
иным образом.
Для этого объединим все целые числа, которые
при делении на т дают один и тот же остаток г,
в один класс, обозначив его через Сг
Тогда в зависимости от возможных т остатков
0, 1, 2,..., /я — 1
при делении на т все целые числа разбиваются на т
классов
которые мы называем классами вычетов по модулю т.
Согласно теореме существования и единственности
частного и остатка понятно, что разные классы вы-
43

четов по модулю т не имеют общих элементов, так
что получается распределение на непересекающиеся
классы.
Числа класса Сг имеют форму mq + г, и все их
можно получить, если в этой форме q принимает все
возможные целые значения.
Так, например, по модулю 10 все числа класса,
дающие остаток 3, имеют вид 10# + 3, где <7 = 0,
± 1, ±2,..., т. е. представляются рядом чисел
...-27, -17, -7, 3, 13, 23,...
Очевидно, числа сравнимы по модулю т тогда и
только тогда, когда они принадлежат одному и тому
же классу вычетов по модулю т.
Числа одного и того же класса называются
вычетами этого класса.
2. Сложение и умножение классов
Если из двух классов Ck и Сг (необязательно
разных) выбрать по вычету и сложить их или
перемножить, то всегда получим вычеты вполне
определенных классов.
Действительно, пусть выбранные представители
mqx + k и mq2 + /. Тогда при сложении имеем
(mqx + k) + (mq2 + /) = mq + k + /, q = q{ + q2.
Если k + / < /я, то полученное число принадлежит
классу Ck+l; если k + l> m, то полученное число
можно представить в виде m(q + 1) + k + l~ m с
условием 0<& + / — т < т, а это означает, что оно
принадлежит классу Ck+l_m.
Чтобы узнать, к какому классу принадлежит
произведение {mqx + k)-(mq2 + /), надо найти остаток г
при его делении на т. Этот остаток, очевидно, равен
остатку от деления Ы на т, так как остальные члены
произведения делятся на т. Таким образом, г
определяется условием
kl = mq + r,
а произведение принадлежит классу Сг
Пример. По модулю 10 два любых вычета
соответственно из классов С3 и С4 в сумме всегда дают
44

вычет из класса С7, а в качестве произведения —
вычет из класса С2.
13 + 24 = 37, —27 + 14= — 13 и
_ 13X24 = 312, -27X14=-378.
Указанный факт выражает в новой форме
известные свойства сравнений, установленные ранее при их
почленном сложении и умножении. В самом деле,
в результате почленного сложения (умножения)
сравнений сравнимые по модулю т числа переходят в
сравнимые по тому же модулю, а это как раз означает,
что произвольно выбранным представителям из двух
классов сопоставляется представитель определенного
класса в качестве их суммы (произведения).
Отмеченные выше равенства можно на языке
сравнений выразить следующим образом:
13 = - 27 (mod 10)
24- 14 (mod 10),
откуда при сложении 37 = — 13 (mod 10),
а приумножении 312=— 378(mod 10).
На основании полученных результатов можно
естественным образом ввести операции сложения и
умножения для классов вычетов, а именно:
Си 4- Г — [ С*+" если k + l < т*
L* + Li-{Ck+l_m, если k + l>m
и Ck-Ct = Cr с условием k*l = m-q + г, 0< г < т.
Определенные таким образом суммы и
произведения классов существуют и единственны.
3. Кольцо классов
Во множестве классов вычетов по модулю т,
которое обозначим через 7W, нами определены две
операции сложения и умножения.
При этом сложение и умножение коммутативны и
ассоциативны, выполняется также дистрибутивный
закон умножения относительно сложения, так как все
эти свойства имеют место при сложении и умножении
вычетов.
Кроме того, в М существует нулевой элемент,
а именно — Со, так как Ck+ C0 = Ck и, наконец, для
45

каждого элемента Ck из Ж существует
противоположный элемент С_к=*Ст_н, так как СЛ + Ст_Л « Со.
Таким образом, М удовлетворяет условиям
коммутативного кольца.
Если модуль т число составное, то М обладает
одной особенностью, которой числовые кольца не
имеют, а именно: в М существуют тогда ненулевые
элементы, произведение которых равно нулевому
элементу. Их называют делителями нуля.
Так, например, по модулю 10
Делителями нуля в М по составному модулю т
являются те элементы С, для которых Ik, m) = d> 1,
так как для них можно найти такой элемент С_, /=^0,
что CfCT^C0.
— m — - Ъ- m
Действительно, если возьмем / = ~ , то k*l =--т- =
==[&, m], т. е. равно общему наименьшему кратному
k и пь, которое, конечно, делится на т.
Рассмотренные примеры подтверждают полученный результат.
Заметим в заключение, что кольцо классов М по
составному модулю не может образовать поля. Дело
в том, что в поле не могут существовать делители
нуля. В самом деле, в поле для каждого ненулевого
элемента а существует обратный элемент сГх с
условием а*сГх = \ (единичный элемент). Поэтому при
а Ф 0 из условия а6 = 0 умножением обеих сторон
на а~1 получаем
откуда следует, ввиду дг|«а=1, Ьй==й и а" 0 = 0,
6 = 0.
Упражнения
51. Каким классам вычетов по модулю 6 принадлежат все
простые числа />>3? Охарактеризовать вычеты этих классов
формами и сравнениями.
52. Доказать, что произведения вычетов одного класса по
модулю т на одно и то же целое число принадлежат одному классу
вычетов по модулю т.
46

53. Принадлежат ли в предыдущей задаче произведения тому
же самому классу, что и данные вычеты?
54. Пусть два вычета из одного класса по модулю т нацело
делятся на п. Принадлежат ли частные также одному классу
вычетов по модулю ml
55. Скольким классам вычетов по модулю 20 (М = dm)
принадлежат вычеты из одного класса по модулю 10 (/и)?
56. Найти: 1) сумму и произведение классов С7 и Су по
модулю 13; 2) класс, противоположный классу С19 по модулю 27.
57 Какие классы по модулю 10 являются делителями нуля?
§ 3. Системы вычетов
1. Полная система вычетов
Если из каждого класса по модулю т взять по
одному представителю, то полученную систему чисел
называют полной системой вычетов по модулю т.
Так, например, чтобы составить полную систему
вычетов по модулю 10, мы должны взять по одному
представителю из классов, числа которых
характеризуются следующими формами:
10<7 + 0, 10? +1, 10? + 2,.. . , Щ + 9,
например, вычеты
20, 31, 112,... -31.
Чаще всего пользуются наименьшими
неотрицательными вычетами, которые получаются, когда в
форме mq + г число q принимает значение 0. В таком
случае вычеты равны остаткам г, так что полная
система наименьших неотрицательных вычетов по
модулю т имеет вид
0, 1, 2,..., т~\\
по модулю 10 это будут числа
0, 1, 2,..., 9.
Иногда удобно рассматривать полную систему
наименьших положительных вычетов по модулю т
1, 2, 3,..., т.
Часто применяется также полная система
абсолютно наименьших вычетов по модулю т. По четному
модулю 10 она имеет вид
0, 1, 2, 3, 4, 5, -4,-3,-2,-1,
47

или
О, ± 1, ±2, ±3, ±4, 5,
а по нечетному модулю 13
О, ± 1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6,
в общем случае по четному модулю т имеем
О, ±1, ±2,..., i(f-l),f,
а по нечетному
О, ±1, ±2 ±~^.
2. Признак полной системы вычетов
Возникает вопрос, когда можно о некоторой
системе чисел утверждать, что она образует полную
систему вычетов по модулю т? Легко понять, что
система из т несравнимых между собой по модулю т
чисел образует такую систему.
В самом деле: 1) поскольку эти числа несравнимы
по модулю т, они должны принадлежать разным
классам по этому модулю, 2) поскольку их число
равно т, они должны принадлежать т разным классам.
Но вообще-то классов имеется всего т,
следовательно, из каждого класса имеется по одному
представителю, что и требуется для полной системы вычетов.
3. Первая теорема о вычетах линейной формы
Установленный признак для полной системы
вычетов дает нам возможность доказать важную теорему,
которую будем называть первой теоремой о вычетах
линейной формы.
Если в линейной форме ах + b число х пробегает
все значения из полной системы вычетов по модулю
т при (а, т) = 1 и произвольном Ь, то и ах + b
пробегает все значения полной системы вычетов по
модулю т.
Действительно, полученная система чисел состоит:
1) из m чисел, так как вместо х мы подставляем т
значений; остается еще доказать, что 2) полученные
числа будут принадлежать разным классам, другими
словами, что они несравнимы по модулю т.
48

Предположим противное, а именно, что для двух
значений хг и х2 из разных классов получаются
сравнимые значения для ах + b по модулю т, т. е., что
ахх + b == ал;2 + * (mod m).
Тогда
ал^ = ах2 (mod /тг)
и в силу
(а, /ю) = 1, д^ = x2 (mod яг).
Получается противоречие с условием, что и
доказывает нашу теорему.
4. Приведенная система вычетов. Функция Эйлера
Из 8-го свойства сравнений нам известно, что
сравнимые числа по модулю т, т. е. вычеты одного
класса по модулю т — имеют с ним один и тот же
общий наибольший делитель. Следовательно, если
один вычет класса взаимно прост с модулем, то
такими же будут все вычеты этого класса. Поэтому
можно говорить о классах вычетов по модулю т,
взаимно простых с этим модулем. Их совокупность
играет большую роль в теории чисел.
Если из каждого класса упомянутой совокупности
взять по одному представителю, то получается так
называемая приведенная система вычетов по
модулю т.
Из определения следует, что приведенную систему
вычетов можно составить, исходя из полной системы
вычетов (взятой в какой-либо форме), выделяя из нее
те вычеты, которые взаимно просты с модулем.
При этом из полной системы наименьших
неотрицательных или наименьших положительных вычетов
получается приведенная система наименьших
положительных вычетов, а из полной системы абсолютно
наименьших вычетов — приведенная система
абсолютно наименьших вычетов. По модулю 10, например,
указанные приведенные системы имеют
соответственно следующий вид:
1, 3, 7, 9,
1, 3, -3, -1.
Б-530.-4 49

Важный вопрос о числе вычетов в приведенной
системе по модулю т решается при помощи функции
Эйлера у(т), с которой мы уже ознакомились в
введении.
Функция Эйлера <р (гп) определяется для всех
целых положительных т как число целых
положительных чисел, не превосходящих т и взаимно простых
с т< или как число чисел ряда
О, 1, 2 , т — 1
взаимно простых с т.
Из определения видно, что в приведенной системе
вычетов по модулю т имеется как раз <?(т) чисел.
Заметим, что значение у(т) характеризует также
число классов вычетов по модулю т, взаимно простых
с этим модулем.
5. Признак приведенной системы вычетов
Мы сейчас убедимся в справедливости следующего
признака: Система 1) из у(т) чисел,
2) несравнимых между собой по модулю т, (т. е.
принадлежащих разным классам по этому модулю) и
3) взаимно простых с модулем т,
образует приведенную систему вычетов по
модулю т.
В самом деле, поскольку эти числа взаимно просты
с модулем, они принадлежат классам вычетов, взаимно
простым с модулем, причем, согласно второму
условию, разным таким классам. Наконец, поскольку
имеется у(т) чисел, т. е. столько же, сколько
классов вычетов, взаимно простых с модулем, то в нашей
системе чисел должен быть представлен каждый из
этих классов, причем единственным образом, что и
доказывает наше утверждение.
6. Вторая теорема о вычетах линейной формы
Признак приведенной системы вычетов дает нам
возможность доказать теорему, которую будем
называть второй теоремой о вычетах линейной формы.
50

Если в линейной форме ах число х пробегает все
значения из приведенной системы вычетов по модулю
т при (а, т) = 1, то и ах принимает все значения из
приведенной системы вычетов по модулю т.
Действительно, мы получаем:
1) <р(т) чисел, так как вместо х подставляем у(т)
чисел;
2) эти числа принадлежат по модулю т разным
классам, так как вместо х берутся числа из разных
классов, а в таком случае (как это было показано в
доказательстве первой теоремы о вычетах линейной
формы) числа ах (даже ах + Ь) должны быть по
модулю т несравнимыми;
3) наконец, числа ах взаимно просты с т, так как
сомножители в отдельности взаимно просты с /я, а
именно, по условию (а, т) = 1, кроме того, (х, т) = 1,
так как х — вычет из приведенной системы.
Таким образом, система чисел ах, как это
установлено в признаке, образует приведенную систему
вычетов по модулю т.
Важно обратить внимание на то, что, хотя вместе
взятые вычеты х, а также числа ах, образуют
приведенные системы по одному и тому же модулю, тем
не менее отдельные значения х и соответствующие
им ах, вообще говоря, принадлежат различным
классам. Действительно, так как здесь (х9 т) = 1, то
сравнение ах ^х (mod m) может выполняться тогда и
только тогда, когда а = 1 (mod m).
Если, в частности, вычеты чисел ах взять в той
же форме, в которой даны вычеты х (например, в
обоих случаях пользоваться наименьшими
положительными вычетами), то в совокупности получатся
одинаковые системы чисел, однако соответствующие
их значения будут, вообще говоря, разные.
Пусть, например, а = 5, т = 14. Условие {а, т) = 1
выполняется. Выразим приведенную систему вычетов
по модулю 14 через наименьшие положительные
вычеты и найдем также наименьшие положительные
вычеты чисел ах.
Тогда имеем
jc= 1, 3, 5, 9, 11, 13
4* 51

и далее по модулю 14
5
5
5
5
5-
5-
• 1= 5
.3=15= 1
. 5 = 25 = 11
. 9 = 45 = 3
11=55 = 13
13 = 65= 9.
В этом примере х пробегает наименьшие
положительные значения вычетов, взаимно простых с
модулем 14, т. е. последовательность чисел 1, 3, 5, 9, 11
и 13, а наименьшие положительные вычеты
соответствующих чисел ах принимают значения 5, 1, 11, 3,
13 и 9, т. е. те же значения, но расположенные по-
иному.
Упражнения
58. Составить по модулям 14 и 15 полные и приведенные
системы наименьших неотрицательных, наименьших положительных
и абсолютно наименьших вычетов.
59. Записать приведенные системы наименьших
положительных и абсолютно наименьших вычетов по простому модулю р > 2.
60. Чем отличается приведенная система вычетов по простому
модулю р от полной системы вычетов по такому модулю?
61. Система чисел З1, З2,..., З6 составляет приведенную
систему вычетов по молулю 7. Проверить.
62. Составить наименьшие положительные вычеты линейных
форм 1) 5л: и 2) Ъх + 7 по модулю 9, когда х пробегает полную
систему наименьших положительных вычетов по модулю 9.
Сравнить полученные системы чисел с исходной.
63. Показать, что члены арифметической прогрессии а,
а + d,..., а + d(n — 1) образуют полную систему вычетов по
модулю п, если (d, п) = 1.
64. Показать, что числа 2, 4,..., 2т составляют полную
систему вычетов по модулю т, если т нечетно.
65. Составить при помощи чисел, кратных 3, 1) полную
систему вычетов по модулю И и 2) приведенную систему вычетов
по модулю 8.
66. В линейной форме ах число х пробегает все значения из
полной системы вычетов по модулю mt причем (a, m)=:d. Сколько
чисел полученной системы делится на т>
§ 4. Основные свойства функции Эйлера
1. Мультипликативность функции Эйлера
Прежде чем заняться вычислением функции
Эйлера <р(//г), определение которой дано в предыдущем
параграфе, докажем одно важное ее свойство, а
именно — мультипликативность.
52

Функция f(m) называется мультипликативной, если:
1) она определена для всех натуральных п и хотя
бы для одного такого п отлична от нуля;
2) для любых взаимно простых пг и п2
Для функции Эйлера первое условие выполняется
согласно определению. Таким образом, остается
доказать, что
<?(т-п) = <р(яг)• <р(#)» если (т, п) = \.
Для доказательства расположим числа от 1 до тп
в виде следующей таблицы:
1,..., ?,..., т
т + 1,.. ., т + k,..., 2т
(п— \)т+ 1, ..., (п — \)т + ?,..., (п—\)т + т=тп
Чтобы найти ср(/п«/г), мы должны узнать сколько
в этой таблице имеется чисел, взаимно простых с тп.
Но взаимно простыми с произведением тп являются
те и только те числа, которые взаимно просты как
с т, так и с п. Поэтому отберем из этой таблицы
сначала все числа, взаимно простые с /я, а из них те,
которые взаимнс просты с п.
Числа одного столбца принадлежат одному классу
вычетов по модулю //г, поэтому все эти числа имеют
с т одинаковый Н. О. Д.: если одно из них взаимно
простое с т, то и все остальные тоже взаимно
простые с т. Таким образом, можно говорить о
«столбцах взаимно простых с т» и судить о количестве
таких столбцов по количеству чисел взаимно простых
с т одной строки, например первой. Очевидно,
поэтому «столбцов взаимно простых с т», будет ср (/гг).
Рассмотрим теперь любой столбец таблицы,
например:
&, т + k, 2т + k,..., (п — 1) т + k.
53

Числа этого столбца можно рассматривать как
значения линейной функции mx + k, когда х
пробегает полную систему вычетов 0, 1, 2,..., п — 1 по
модулю п.
Так как по условию (/и, /z) = l, то получается
такая совокупность чисел, которая независимо от k
образует полную систему вычетов по модулю п и
содержит поэтому о {и) чисел, взаимно простых с п.
Итак, любой столбец нашей таблицы содержит
<р(/г) чисел, взаимно простых с п.
Таким образом, всего в таблице имеется ср (/лг) • ср (//)
чисел, взаимно простых как с т, так и с лг, а
следовательно, и с тп, так что
<Р (тп) = ср (т) • ср (п).
Полученное свойство остается, очевидно,
справедливым для любого числа попарно простых
сомножителей.
2. Формула для вычисления у (т)
Пусть, во-первых, т=р число простое.
Тогда, очевидно, у{р) = р —- 1.
Пусть, далее, т = ра. Для определения ср(Ра) мы
должны рассмотреть ряд чисел от 1 до р%, который
запишем в следующем виде:
1, 2,..., /?,..., 2/7, ..Л Зр,..., р-р,..., р*-1*р =р\
Ясно, что этот ряд содержит ргхЛ чисел, которые
делятся на р и, таким образом, не являются взаимно
простыми с р*; остальные числа этого ряда взаимно
простые с р*.
Их число, следовательно:
Р
Пусть, наконец, т~ произвольное натуральное
число и его каноническое разложение
Тогда, по свойству мультипликативности,
ср (т) = ср (/>««).? {pfj... ср (/?*).
54 "

Следовательно,
или
9 (m) =/7^-1 (/7, - \)p^ (p2 - 1).. ./7V-1 (Л - 1).
На практике удобно пользоваться последней
формулой.
Пример: т-360 = 23-32-5.
? C60) = 22-B - 1)-3 C - 1)-E - 1) == 96.
3. Сумма значений функции Эйлера, распространенная
по всем делителям данного числа
Рассмотрим теперь сумму значений функции
Эйлера, распространенную по всем делителям d данного
числа ш, и запишем ее в виде S^C^O-
т
Докажем, что 1]<р(^) = т.
т
Так, например, для /га =12 имеем
= 1 + 1+2 + 2 + 2 + 4^12.
Доказательство. Пусть каноническое
разложение т имеет вид
т = Р1>р? ... р\К A)
где pv /?2,..., рк разные простые делители т.
Тогда можно утверждать, что все делители числа
т исчерпываются всеми числами вида
d^ft.p^ ... ph, B)
где
0< ft < он, 0 <?2 < а2,.. ., 0< ?k < ч C)
(см. п. 2, § 4, гл. I).
55

Поэтому имеет место следующее тождество:
ср (d) = A + 9 (А) + ... + ? (/
так как в качестве слагаемых произведения мы
получаем все числа вида
где
О <?, < «1, 0 < р2 < оо,. .., 0 < ?Л < огЛ,
т. е. значения функции Эйлера для всех делителей
числа т. Но
= 1 + (л ~ 1) + (Pi ~pk) +... + (Plk - pakk~l) =
Следовательно:
/?^*^2 ... p*kb = m. Теорема доказана.
Упражнения
67. Сколько имеется правильных несократимых дробей
— >0: 1) при фиксированном знаменателе Ь, 2) если 1 < ^ ^ п?
68. Найти число вычетов приведенной системы по модулям:
1) 540, 2) 2240, 3) 13-17, 4) 9-15-42.
69. Найти п: 1) вида 5а, если <?(п) = Ш; 2) вида За-5Р, если
ср (п) = 600.
70. Представить выражение , где т=р\1 -р^2 , ..., />*А,
в виде суммы, пользуясь формулой
т
71. Сколько имеется натуральных чисел: 1) ^385, взаимно
простых с 77. 2) ^ mk, взаимно простых с ml
72. Сколько имеется чисел, взаимно простых 1) с 24 среди
чисел 301, 302,..., 540, 2) с 35 среди чисел 436, 437,..., 750?
73. Сколько имеется чисел, взаимно простых с п, в
арифметической прогрессии a, a -f d,..., а + Bп — 1) d, если (rf, п) = Г ~
74. Для каких п <fBrt) =
56

75. Доказать: 1) что <р (т) четно, если т>2; 2) что для т > 1
сумма натуральных чисел, меньших т и взаимно простых с т,
равна -гт-у(т).
76. Найти: 1) количество натуральных чисел < п, имеющих с
п Н. О. Д. d; 2) применить полученную формулу к случаям, когда
п и d соответственно равны: а) 624 и 12; б) 580 и 20; в) 595 и 17.
77. Пусть п имеет делители dh d2,..., dk\ в совокупности они
совпадают с соответствующими им дополнительными делителями
d[, d'2 ,. .., d'kt для которых *//• tf/ = п и d/ = -7-.
Согласно решению предыдущей задачи <р (rf/) = <р ( —— J =
= ср , (л). Пользуясь соотношением ср (df) = ср , (^z), дать другое
а. а,
доказательство для V о (^) — п.
п
§ 5. Теоремы Эйлера и Ферма
1. Теорема Эйлера
Если ант числа взаимно простые, то
Эту теорему мы докажем, пользуясь 2-й теоремой
о вычетах линейной формы.
Возьмем линейную форму ах и подставим в нее
вместо х вычеты приведенной системы по модулю т,
взятые в форме наименьших положительных вычетов.
Если х пробегает значения
то, как это подробно показано в конце § 3-го,
наименьшие положительные вычеты соответствующих
чисел ах
Г2 , . . . , Г k
образуют в совокупности такую же систему чисел.
Итак,
агг = r\ (mod //г),
аг2= 4 (mod /и),
57

откуда
ak (rxr2 .. . • гл) = (г; • Г2 ... r'k) (mod m).
Но так как произведения гх-г2 ... гА и г\ -г2 . . .
... r'k по предыдущему равны и, кроме того, взаимно
просты с модулем, ибо каждый их сомножитель
взаимно прост с модулем, то можно обе части
сравнения разделить на них, после чего получаем
утверждение теоремы Эйлера ai{m) == 1 (mod m).
Пример. Пусть /я = 9, а = 14.
Тогда <р (/гг) = ср (З2) = З2 — 3 = 6. Далее, так как
14 —5 (mod 9), имеем 146 = 56(mod 9). Но по модулю 9:
51 = 5, 52 = 25 == - 2, 54 = 4, 56 = — 8= 1.
Итак,
14^(9) —I(mod9).
2. Теорема Ферма
Для частного случая, когда т = р число простое,
из теоремы Эйлера следует теорема Ферма:
если р число простое и (а, р) = 1, то ар~1 == 1 (mod/?).
Пример: пусть/? =11, а = 8. В силу того, что
8 = —3(modll), имеем 810ее= (- 3I0(mod 11).
Но по модулю 11
(-3)* = 9 = -2, (— ЗI0 = (— 2M = — 32 = 1.
Следовательно,
810EEEl(modll).
Часто применяется следующее следствие из
теоремы Ферма: для простого р и любого а
аР = a (modp).
В самом деле, по теореме Ферма
а?~х — \\р при (а,/?) = 1.
С другой стороны,
а\р при (а, р)Ф 1;
поэтому при любом а произведение
или
58

т. е.
ар ^з a(modp).
В заключение заметим, что предложение, обратное
теореме Ферма, не имеет места, т. е. в случае, когда
при (а, п) = 1
а"~х= 1 (mod/г),
нельзя еще утверждать, что п число простое.
Так, например, 2341 = 1 (mod 341), однако 341 =
= ЗЫ1.
Действительно,
210-= 1024^1 (mod 341),
поэтому
340 210K4
3. Применение теорем Эйлера и Ферма
Теоремы Эйлера и Ферма имеют многочисленные
применения. Рассмотрим примеры вычисления
остатков при делении степеней на данное число.
Пример 1. Найти остаток при делении 230 на 13.
По теореме Ферма 212 = 1 (mod 13), поэтому 224 =
= 1 (mod 13); кроме того, 26 = 64 = — 1 (mod 13).
Следовательно,
230=-1 ==12 (mod 13).
Итак, искомый остаток равен 12.
Пример 2. Найти остаток при делении З40 на 83.
Теорему Ферма для данного случая нельзя
применить, так как <р (83) = 82 > 40. Поэтому следует найти
такие 3*, чтобы при возможно больших значениях
k, k < 40, получались бы при делении на 83 по
возможности меньшие остатки
З4 = 81 == - 2 (mod 83); З40 == (- 2I0 = 1024 ==
= 28 (mod 83).
Итак, искомый остаток равен 28.
Пример 3. Найти остаток от деления 317259 на
15. Так как
317 = 2 (mod 15), то 317259^ 2259(mod 15).
59

По теореме Эйлера
2*A5)EEEl(modl5),
но <р A5) = 8, поэтому 28 = 1 (mod 15).
Далее, 259-32-8 + 3,
Итак, 317259 при делении на 15 дает остаток 8.
Упражнения
78. Найти остаток от деления: 1) З59 на 17; 2) 7& на 12;
3) 317273 на 39; 4) 45<> на 67; 5) 267311 на 37; 6) 1971" на 35.
79. Найти остаток от деления: 1) 4Ш на 92; 2) б76 на 26;
3) 2183 на 24; 4) 35150 на 425.
80. Найти остаток от деления: 1) З1^ + 4100 на 7; 2) 550 + 770
на 9; 3) 3-5?5 + 4.7"° на 132.
81. Найти последние две цифры в десятичном представлении:
1) 2*53, 2) 3219.
82. Доказать, что 1) а12— 1 делится на 7, если (я, 7) = 1;
2) а>2 — ЬХ2 делится на 65, если (а, 65) = 1 и (Ь, 65) = 1.
83. Доказать, что для простого р: 1) (а + Ь)р = аР + Ьр (mod p);
2) (С! -?.с2 + Л..+ <%) s с?+ 4 + . Л + cl (mod p).
84. Соотношение 2) из предыдущей задачи получено при
помощи малой теоремы Ферма; из 2), наоборот, следует малая
теорема Ферма, если положить с{ =с2 = .. , = са= 1. Поэтому
спрашивается, как получить 2) без помощи малой теоремы Ферма.
85. Показать, что 2n~l = I (mod n) для л — 73*37.
86. Доказать, что 1) I30 + 230 + ... + 1030 = — 1 (mod 11);
2) !*CP-i> + 2*CP-D + ... + (р __ i)*CP-i) s _ j (mod ^
87. Доказать, что при нечетном простом р и (а, /?) == 1 одно
и только одно из выражений
ei+a+ ... +CP-D + 1( ei+2+ ... +(р-1) _ ,
делится на р, а при р = 2, (а, 2) = 1 оба выражения делятся на р.
88. Доказать, что для любого простого р из ар ^ bp (mod р)
следует ар == Ьр (mod p2).

Глава III
СРАВНЕНИЯ С НЕИЗВЕСТНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ
§ 1. Классы решений сравнения произвольной
степени
Если неизвестное целое х подчинено условию
/(;c) = 0(modm), A)
где f(x) = аох11 + аххп~х + ... + ап многочлен с целыми
коэффициентами, причем а0 не делится на //г, т. е.
a0#0(mod/ra), то A) называется сравнением с
неизвестной величиной степени п.
Решить сравнение A) —значит найти все целые
значения х, которые ему удовлетворяют. Но если хх
одно такое число, т. е. /(x1)^0(mod/w), то по
третьему свойству сравнений (следствие В) этому
сравнению будут также удовлетворять все числа
х = хг (mod m),
т. е. все вычеты, принадлежащие к тому же классу,
что и хх по модулю т. Поэтому решением принято
считать не отдельное число, а целый класс чисел по
модулю т, удовлетворяющих данному сравнению1.
Таких классов решений сравнение A) имеет,
очевидно, столько, сколько вычетов полной системы ему
удовлетворяют.
Непосредственным испытанием всех вычетов
полной системы по модулю т можно установить, какие
из них данному сравнению удовлетворяют. Соответ-
1 Иногда мы и отдельные числа называем решениями, но при
этом они считаются разными только в том случае, когда они
несравнимы друг с другом по данному модулю, т. е. принадлежат
разным классам.
61

ствующие им классы по модулю т являются
решениями, сравнения.
Описанный способ нахождения решений называется
методом подбора.
Пример 1. Решить сравнение
Чтобы упростить вычисления, берем полную
систему вычетов по модулю 7 в форме абсолютно
наименьших вычетов
О, ± 1, ± 2, ± 3.
Проверка показывает, что из этих чисел сравнению
удовлетворяет только число л:=1. Поэтому
рассматриваемое сравнение имеет одно решение х~
ее: 1 (mod 7).
Пример 2. Решить сравнение
Среди вычетов полной системы 0, ±1, ±2 по
модулю 5 этому сравнению удовлетворяют два числа
а'=1 и х= — 2, следовательно, оно имеет два
решения: х == 1 (mod 5) и х е= — 2 (mod 5).
Пример. Решить сравнение
х6 — х+ 1 = 0(mod3).
Испытывая вычеты полной системы 0, ± 1 по
модулю 3, видим, что ни один из них сравнению не
удовлетворяет. Таким образом, данное сравнение не
имеет решений.
Если сравнению удовлетворяет любое целое число,
то такое сравнение называют тождественным.
Пример тождественного сравнения дает следствие
из малой теоремы Ферма, согласно которому
хр — x~0(modp)
для любого целого х.
Другим примером тождественного сравнения
является каждое сравнение f(x) = 0(modm), все
коэффициенты которого делятся на т.
Такое сравнение можно рассматривать как
сравнение степени п только в том случае, если отказаться
от предварительного требования, чтобы a0#0(modm).
62

Указанное условие ставится в связи с тем, что
прибавление к выражению f(x) или вычитание из него
члена aoxtl, где а0 делится на т, приводит к
равносильному сравнению, т. е. к такому, которому
удовлетворяют точно такие же значения х, как и
исходному.
Из пятого свойства сравнений следует, что если
обе части сравнения и модуль умножить на одно и
то же целое положительное число или разделить на
любой их общий положительный делитель, то также
получится равносильное сравнение.
Из третьего и четвертого свойств сравнений далее
следует, что и умножение обеих частей сравнения на
число d, взаимно простое с модулем т, приводит к
равносильному сравнению. Однако этого не будет,
если й и т не являются числами взаимно простыми.
В частности, при умножении обеих частей сравнения
на d = m, всегда получится тождественное сравнение,
так как все коэффициенты нового сравнения будут
делиться на модуль т. Так, например, сравнение
х3 — х + 1 = 0 (mod 3), которое (как мы это выше
установили) не имеет решений, перейдет в тождественное
сравнение
Зхг — Зх + 3 = 0 (mod 3).
Заметим в заключение, что сравнение A) можно
записать в виде уравнения f(x) = my. Таким образом,
мы видим, что сравнение п-ой степени представляет
собой частный случай неопределенного уравнения
с двумя неизвестными, в котором одно неизвестное
встречается в первой степени.
Если и второе неизвестное, входящее в уравнение,
имеет первую степень, то имеем неопределенное
уравнение первой степени с двумя неизвестными, решение
которого сводится к решению сравнения 1-ой
степени.
Упражнение
89. Решить методом подбора сравнения:
1) х2 — л; + 2 = 0 (mod 7); 2) Зх4 + 2х2 — 1 = 0 (mod 5); 3) 7л:2—
— Ьх + 1 = 0 (mod 13); 4) 4х3 — 7х2 +10 = 0 (mod 11); 5) 2х2 +
+ 5х + 3 з (mod 6); 6) Зх2 + х ~ 1 =* 0 (mod 5).
63

§ 2. Сравнения первой степени
1. Критерий разрешимости и число решений,
Решение методом подбора
Общий вид сравнения первой степени с одним
неизвестным следующий:
ах = b(mod т). A)
1. Рассмотрим сначала наиболее важный случай,
когда акт числа взаимно простые, т. е. (а, ш) ===== 1.
Если в A) вместо х подставить все вычеты из
полной системы вычетов по модулю т, то по первой
теореме о вычетах линейной формы ах также примет
все значения из полной системы вычетов, поэтому
для одного и только одного значения хх число ах
попадет в тот класс, к которому принадлежит Ъ\ для
него будем иметь
ахг == b(modm).
Таким образом, мы приходим к выводу, что в
случае, когда (а, т) = 1, для сравнения A) существует
решение, притом единственное
х == хг (mod m),
или
х = хх + mt, где t = 0, ±1, ± 2,...
Это решение можно найти методом подбора.
Пример:
5* ^7 (mod 8).
Испытывая вычеты из полной системы вычетов по
модулю 8, т. е. числа 0, ±1, ±2, ± 3, 4, находим
решение
д; = 3 (mod 8).
2. Пусть теперь (я,/гс)=д?>1.
Тогда представляются два случая.
I. Число b в правой части на d не делится.
В этом случае сравнение A) решения иметь не
может, так как это противоречило бы (восьмому)
свойству сравнений, которое говорит о том, что части
сравнения имеют с модулем один и тот же общий
наибольший делитель.
Пример. Сравнение 6л: = 7 (mod 15) неразрешимо,
так как F,15) = 3, между тем 7*^3.
64

Следует отметить, что если (Ь, т) = d > 1, но
то это еще не значит, что сравнение неразрешимо, а
только лишь то, что решение, если оно существует
должно удовлетворять условию ax^d.
Если, например, 7x = 6(mod 15), то мы, ввиду
G, 15) = 1, заключаем, что сравнение разрешимо, а на
основании того, что F, 15) =3, можем утверждать,
что 7jc|3. Но так как 7X3, то отсюда вытекает, что,
х\Ъ. Это можно использовать для упрощения
решения, о чем еще будет речь в дальнейшем.
II. Число b в правой части делится на d. Тогда
имеем
Поэтому по пятому свойству сравнений обе части
и модуль сравнения можно разделить на d, после че*
го получаем сравнение
axx^bx (mod /га,), где (аи тх) = 1, B)
которое равносильно A).
Сравнение B) по основному случаю имеет по
модулю тх единственное решение
х===хг (mod тх).
Однако на этом решение сравнения A) еще не
заканчивается, так как, согласно определению, следует
указать классы решений по исходному модулю /тг, а
мы пока имеем решения по модулю тх. Чтобы найти
классы решений по исходному модулю т, заметим
следующее. Все вычеты
..., хг —тъ xv xt + mv..., хх + (d—\)mu x v
C)
сравнимые с хх по модулю тх, принадлежат по
модулю mxd = m к d различным классам,
представителями которых являются вычеты:
xv хг + тъ хх + 2/я1э..., хг + D—1) тх. D)
Действительно, разность любых двух вычетов из
D) не делится на т (поэтому все они принадлежат
различным классам по модулю яг), а для каждого
другого вычета из C) найдется среди вычетов D) такой,
что их разность будет кратна т (поэтому такие
вычеты принадлежат одному классу по модулю т).
Б-530.-5 65

Таким образом, в данном случае имеем по
исходному модулю т d решений:
х = хг, х + ти..., хг + (d—l)ml(modm).
Пример:
15x^35 (mod 55).
Здесь, после деления обеих частей сравнения и
модуля на 5, получаем
Методом подбора можем найти
jc = 6(modll) или х = 6 + Ш, где * = 0, ± 1,...
Исходное сравнение имеет 5 решений
х = 6, 6 + 11, 6 + 2-11, 6 + 3-11, 6 + 4.11(mod55),
т. е. хе=6, 17, 28, 39, 50 (mod 55).
Резюмируя, приходим к следующему критерию
разрешимости и заключению о числе решений сравнения A):
1) если (а, /и)=1, то решение существует, причем
единственное:
2) если (а, т) = d > 1, то
I) при b^d решений нет, a
II) при bid существует d решений.
Заметим, что решение сравнения надо начинать с
определения d = (а, т) и проверки того, делится ли b
на d или нет.
2. Решение сравнения первой степени
методом преобразования коэффициентов
Решение сравнения 1-ой степени методом подбора
не является эффективным. На практике для небольших
модулей т целесообразнее, используя общие свойства
сравнений, попытаться преобразовать коэффициенты
так, чтобы правую часть можно было бы разделить
на коэффициент у неизвестного х.
Преобразования, о которых идет речь, следующие:
замена коэффициентов абсолютно наименьшими
вычетами, замена b (прибавлением кратного модулю)
сравнимым по модулю т числом с тем, чтобы последнее
делилось на а, переход от а и b к другим, сравнимым
с ними по модулю т числам, у которых оказался бы
общий делитель и т. п.
66

Преобразованиям можно подвергать а или b, a
также а и b сразу.
Отметим еще, что в случае, когда F, /ra) = d>l,
бывает полезным перейти к новому неизвестному.
Хотя этот метод, который мы будем называть
методом преобразования коэффициентов, не выражен
в виде определенного предписания, все же для
небольших модулей он является (при соответствующем
навыке) довольно эффективным.
Примеры:
1) 5л; = 7 (mod 8),
Ъх = 7 + 8 = 15 (mod 8), х = 3 (mod 8);
2) 7х = 6 (mod 15).
Решение 1-е. 7х = 6 + 15 = 21 (mod 15),
x = 3(mod 15).
Решение 2-е. Так как F, 15) = 3, делаем
подстановку х = Ъу, тогда 7-3j/ = 6 (mod 15), 7y = 2(mod5),
2у = 2 (mod 5),j/sl (mod 5),
3y = 3 (mod 15); x = 3y = 3 (mod 15).
3) 17* = 25 (mod 28),
45* =25 (mod 28), 9* = 5 (mod 28),
9* == 5- 140 = - 135 (mod28), jc = — 15= 13 (mod 28)
3. Решение сравнения первой степени
при помощи теоремы Эйлера
Если (а, /и) = 1, то a9(flI)sl (mod/и),
откуда
О? Wb = b (mod m).
При сопоставлении этого сравнения 'с ax = b (mod m)
видно, что
хша*{т)~1-Ь(то<1т) A)
является его решением.
Мы получили решение в виде готовой формулы.
Однако задачу можно считать эффективно решенной
лишь тогда, когда для а*{т) ~l b будет найден
наименьший неотрицательный или абсолютно наименьший
вычет по модулю т.
Примеры:
1) 3x=J (mod 11).
х = 39{П)'7(тоA 11),
5* 67

9 A1) = 10; далее находим абсолютно наименьший
вычет для З9 (mod 11):
32 = 9 = -2, 34 = 4, 35=12 = 1, 39 = 4 (mod 11).
Теперь
39-7 = 28 = 6(mod 11).
Итак,
х =6 (mod 11).
2) 17jCE=25(mod28).
xs^^-1.25 (mod 28),
<pB8) = cpD)-cpG) = 2-6= 12.
Переходим к вычислению абсолютно наименьшего
вычета 17n.25 (mod 28).
17 s-11, 17* = 121 =9, 17^ = 81 s=-3 (mod 28),
178e=9, 1710 = 81 = — 3, 17"s=33 = 5 (mod 28).
17»-25s 125s 13 (mod 28).
Итак,
jcs13 (mod 28).
Примеры показывают, что применение формулы A)
для решения сравнения первой степени не является
практичным.
Подводя итоги всем рассмотренным методам
решения сравнений первой степени, становится ясным, что
для больших модулей (исключая легко обозримые
случаи) ни один из них не является подходящим.
Эффективный способ получается при помощи
конечных непрерывных дробей, с которыми мы
ознакомимся в следующем параграфе.
Упражнения
90. Решить методом подбора сравнения: 1) 3* = 1 (mod 7);
2) 5* = — 2 (mod 11); 3) 4 *э7 (mod 17); 4) 7* s5 (mod 8);
5) 15л: = 25 (mod 35); 6) 15л: =11 (mod 36); 7) 11* = 15 (mod 36);
8) 13*г=1 (mod 15); 9) 21* = 4 (mod 35); 10) Ax = 21 (mod 35).
91. Решить методом преобразования коэффициентов сравнения:
1) 27* = 14 (mod 25); 2) 13* =10 (mod 11); 3) 5* = 3(mod 11);
4) 7* = 5 (mod 24); 5) 16* = 19 (mod 31); 6) 19* = 12 (mod 35).
92. Решить сравнения, используя теорему Эйлера: 1O* =
s5 (mod 17), 2) 13* = 3 (mod 19); 3) 27* = 7 (mod 58).
93. Решить сравнения предыдущей задачи методом
преобразования коэффициентов.
94. Доказать, что кольцо классов по простому модулю р
образует поле.
68

§ 3. Правильные конечные цепные дроби
1. Выделение целой части
Если а — целое, а т — натуральное число, то
существует единственное представление
a = mq + r , 0<г</ю, A)
где <7 —неполное частное, а г —остаток от деления а
на т. Формула A) равносильна соотношению
^ = <7 + -^ с 0<-<1. B)
mm т
Примеры:
147 ft 11 79 -6
^4+° 13 0 13
Из B) видно, что #<— < q+ 1.
m
Таким образом, ^ можно рассматривать как
наибольшее целое число, не превосходящее
рациональное число —. Так определенное целое число q на-
m
зывается целой частью рационального кисла — и
ш
обозначается q = — .
Разность —— q = — называется дробной частью
т т
числа — и обозначается — — |—1.
т тут)
Примеры:
i 17 / 17' 1 17/17*
{-7,25} = 0,75, {4} = 0, {Щ~%.
69

Определение целой части q согласно B) называется
выделением целой части.
Поскольку это понадобится нам в дальнейшем,
отметим, что понятия целой и дробной части можно
отнести к любому действительному числу а.
Целой частью действительного числа а называется
наибольшее целое число k, не превосходящее а, т. е.
удовлетворяющее соотношению
k<a<k+ 1.
Целая часть действительного числа а существует
в единственном виде и обозначается [а]. Итак, [а] *= k,
так что [а] < а < [а] + 1.
Дробной частью действительного числа а
называется разность а—[а]; она тоже существует в
единственном виде и обозначается {а}.
Таким образом,
{<х} = а-[а],
откуда
а=[а] + {а}, где 0<{а}<1.
2. Разложение в правильную цепную дробь
Пусть — рациональное число, причем Ъ > 0.
Применяя к а и Ъ алгоритм Евклида для определения их
общего наибольшего] делителя, ^получаем ^конечную
систему равенств:
a = bqx + r2,
b = r2q2 + r3,
Г2 = +
Гп-2 = Tn-\ Qn-\
rn~\ = rn4v
A)
где неполным частным последовательных делений qu
02э —, #„_! соответствуют остатки г2, г3,... ,гл с
условием b > г2 > г3 > ... > гп > 0, a qn соответствует
остаток 0.
Системе равенств A) соответствует равносильная
система
70

—
b
<72 + f-=?2 + T7-,
1 я-2
Гп-Х
ГП-Х
\ B)
' Яп-Х +
'n-l
! Яп-Х + —
из которой последовательной заменой каждой из
дробей —, — и т. д. ее соответствующим выражением
из следующей строки получается представление дроби
-f в виде
ъ 1
1
0,1-1 + —
Такое выражение называется правильной (конечной)
цепной или правильной непрерывной дробью; при этом
предполагается, что qx — целое число, a q2i..., <?„ —
натуральные числа.
Правильные цепные дроби являются частным
случаем цепных ^дробей более общего вида, с которыми
ознакомимся в гл. VI, § 5. До этого речь будет идти
только о правильных цепных дробях и мы будем их
просто называть цепными, или непрерывными дробями.
Имеются различные формы записи цепных дробей:
а
b
п J-
Ях -г
1
4- *
. 1
Я 1
п
1
~ь —
Яп

b ЧХ q* + Яг + ¦ ¦ ¦+ Чп
и др.
Согласно последнему обозначению имеем
( ^ Я) 9 +
Числа qb q2,...» qn называются элементами цепной
дроби.
Алгоритм Евклида дает возможность найти
представление (или разложение) любого рационального
числа — в виде цепной дроби. В качестве элементов
ь
цепной дроби получаются неполные частные
последовательных делений в системе равенств A), поэтому
элементы цепной дроби называются также неполными
частными.
Кроме того, равенства системы B) показывают, что
процесс разложения в цепную дробь состоит в
последовательном выделении целой части и перевертывании
дробной части.
Последняя точка зрения является более общей по
сравнению с первой, так как она применима к
разложению в непрерывную дробь не только
рационального, но и (см. гл. VI) любого действительного числа.
Разложение рационального числа — имеет, очевид-
ь
но, конечное число элементов, так как алгоритм
Евклида последовательного деления а на Ъ является
конечным.
Рассмотрим в качестве примера разложение —
в непрерывную дробь.
^ Т" TZ — -
42 42 42/11
42_о,9_ „ 1
—— —-~ ^J —4— —• —— ^ —т— ——-——
11 11 11/9
1 Хотя для Н. О. Д. введен такой же символ, это не приведет
читателя к каким-либо недоразумениям.
72

9 ~ l T 9 " * ^ 9/2 •
Подставляя по цепочке, получаем
95 = 24._! =B,3,1,4,2).
42
l+-i-
Практически неполные частные определяются по
той же схеме, по которой находится Н.О.Д. двух чисел
алгоритмом Евклида
95 ]42 |11 [9_ |_2_ [1
2 3 14 2
Понятно, что каждая цепная дробь представляет
определенное рациональное число, т. е. равна
определенному рациональному числу. Но возникает вопрос,
не имеются ли различные представления одного и того
же рационального числа цепной дробью (т. е. не
могут ли различные цепные дроби быть равны между
собой)? Оказывается, что не имеются, если
потребовать, чтобы было qn>\.
Заметим прежде всего, что при отказе от
указанного условия единственность представимости отпадает.
В самом деле, при qn > 1
так что представление можно удлинить:
(qu q2,..., qn) — (?i> ft» •••>?«— !» *)>
например B, 3, 1, 4, 2) ==B, 3, 1, 4, 1, 1).
Отметим далее, что принимая условие qn > 1, можно
утверждать, что целая часть цепной дроби (qu q2,..., qn)
равна ее первому неполному частному qx.
В самом деле:
1) если л=1, то это очевидно;
2) если п — 2, то (qb q2) = q\ Л , ft > 1; поэтому
73

3) если п > 2, то
(Яъ Я*, -., йп) =
так как 9г>1- Поэтому и здесь [(дь 9г. — » ^Л = ^i-
Перейдем к доказательству того, что рациональное
число — однозначно представляется цепной дробью
(ft. ft.-. ?J> если qn>\.
Пусть 4' = (^1, 92. — . <7я)г=(<7ь 92,..., 9л') сусло-
вием qn> 1, 9я' > 1-
Тогда, как выше показано,
так что (92,..., ?„) = (?2,..., 9я')«
Повторным сравнением целых частей получаем
9г — Яч 1 а следовательно, (93,..., 9Я) в (<7з,..., 9/V) и т. д.
Если п = п\ то в продолжении указанного процесса
получим также дп = qn.
Если же пфп\ например п'> п> то получим
0==—, }—, что невозможно,
()
Теорема доказана. Вместе с тем установлено, что
при соблюдении условия qn > 1 между рациональными
числами и конечными цепными дробями существует
взаимнооднозначное соответствие.
В заключение сделаем несколько замечаний:
1. В случае разложения правильной положительной
дроби первый элемент qx = 0, например:
2. При разложении отрицательной дроби (условимся
отрицательный знак дроби всегда относить к
числителю) первый элемент будет отрицательным,
остальные положительными.
74

Это следует из того, что целая часть
отрицательной дроби является целым отрицательным числом, а
ее дробная часть, как всегда, положительна.
Пример:
_95=_31 = _3 1
42 * 42 42/31 '
а так как- = A, 2, 1, 4, 2), то-^ = (-3,1,2,1,4,2).
3. Всякое целое число можно рассматривать как
непрерывную дробь, состоящую из одного элемента,
например 5 = E); дробь—можно рассматривать как
т
цепную дробь @, т).
3. Подходящие дроби; некоторые их свойства
Задаче разложения обыкновенной дроби в
непрерывную дробь естественно противостоит обратная
задача — обращения или свертывания цепной дроби
(Чи Чъ — > Яп) в простую дробь -f .
о
При этом, а также и в других вопросах теории
непрерывных дробей, основную роль играют дроби вида
а Л а . * а . l i
?2+ Т~
ИЛИ
8i = Яи 82 == (^i» ^)» 8з ^ (Яь Яъ Яз), • • • > которые
называются подходящими дробями данной непрерывной
дроби или соответствующего ей числа —.
о
Заметим, что
Считается, что подходящая дробь 8^ имеет
порядок k.
1 Здесь, а также в аналогичных случаях точки будут означать
возможное продолжение, «пока не обрывается».
75

Приступая к вычислению подходящих дробей,
предварительно заметим, что 8Л переходит в 8Л+1, если в
первой заменить qk выражением qk + —— .
Имеем
Яг Л
8 =0 | 1 =
2 ?
р° =
)Р^Р
7)
при этом принимается, что Яо^ Ь Qo= О» Л^ ^ь Qi=l»
^2 = ?2Л + Я0> Q2 = ^2Ql + Q0 И Т. Д.
Закономерность, которую мы замечаем в
построении формулы для 52 (ее числителя Р2 и знаменателя Q2),
сохраняется при переходе к 33 и сохранится также при
переходе от k к k+ 1.
Поэтому на основании принципа математической
индукции для любого ky где 2 < ? < я, имеем
причем
и
Впредь, говоря о подходящих дробях Ьк (в
свернутом виде), мы будем иметь в виду их форму —.
Соотношения A) являются рекуррентными
формулами для вычисления подходящих дробей, а также их
числителей и знаменателей. Из формул для числителя
и знаменателя сразу же видно, что при увеличении k
они возрастают.
Применяется следующая схема, в которую
последовательно записываются значения Pk1 Qk от Ри Qx до
РпУ Qn по формулам A)
76

Pk
Qk
Яо=-1
Oo=0
Чг
Oi=l
92
ft
,Q2
• •
. . .
. . .
4-2
®k-2
V.
Q*-l
/>*
. . .
• . .
. . .
Pn
Qn
В качестве иллюстрации найдем все подходящие
ПС
дроби 8^ цепной дроби ~=B, 3, 1, 4, 2).
Qk
1
0
2
2
1
3
3-2 + 1=7
3-1 +0 = 3
1
1 H i О Q
1-3 + 1=4
4
4-9 + 7 = 43
4-4 + 3 = 19
2
2.43+9=95
2-19+4=42
Итак, для данной непрерывной дроби
i = p 2==7' 3==7' 4==19' 5==42Ф
Практически нахождение неполных частных и
подходящих дробей удобно объединить в одну краткую
95
схему, которую приведем для — :
95
1
0
|42
2
2
T
111
3
7
3
1 ^
1
9
T
|2
T
43
19
1 1
2
95
42*
В заключение отметим некоторые свойства
подходящих дробей, которые используются в следующем
параграфе (к другим их свойствам мы вернемся в гл. VI).
1. Пусть
Так как по формулам A)
то
77

откуда видно, что все Дл имеют одинаковое
абсолютное значение, а знаки их чередуются.
Но
Д — J3 ^~) __ Т^ • |) ' п ¦* • Г) —— 1 • 1 = —— 1
1 ~~~ * 1 \а/П ~~" ¦* О ^С 1 ' */ 1 >
поэтому для любого АA<?<#)
Формула B) показывает, что (РЛ, QJ = 1. В самом деле,
если предположить, что (Pk, Qk) = d > 1, то получится
противоречие, так как из этого следовало бы, что
(— \)k делится на d, что, однако, невозможно.
Таким образом, мы приходим к выводу, что все
подходящие дроби — являются несократимыми.
Отсюда, кроме того, следует, что если — несо-
0
р
кратимая дробь, а — последняя ее подходящая дробь,
Qn
то а== Рп и b = Qrt. Заметим, что в этом суждении
учитывается, что b и Qn имеют одинаковый
(положительный) анак.
2. При помощи формулы B) легко установить
разность двух соседних подходящих дробей.
Действительно, так как
8*~8*-! = ot"""ti= kQk-Qk-x l '
то
Ьк~К-1==~0^Гх- C)
Отсюда расстояние между двумя соседними
подходящими дробями
Упражнения
317
95. Найти целую и дробную части от 1) —; 2) —47,3; 3) 0,73;
45
4)-~; 5)П9; 6M + К17; 7) 3 + sin j; 8) -2 - sin^-;
9) 2,7 + V2; 10) V* + У23; И) 3 - lg0,7; 12) ^
78

96. Доказать, что остаток г от деления целого а на модуль т
совпадает с абсолютно наименьшим вычетом а по модулю т, если
(а\ 1 Г л) 1
{—} ^ — , и не совпадает с ним, если {— }>—.
(т) 2 (т) 2
97. Найти число целых точек, имеющих абсциссы: 1) 17, 2) —33
и расположенных между осью абсцисс и прямой Зх + Ъу — 4= О
(сделать чертеж).
98. Найти число целых точек, имеющих ординату; 1) 23, 2) —28
и расположенных между осью ординат и прямой Ъх + Зу — 8 = О
(сделать чертеж).
99. Доказать, что для действительного а и целого п [а + п] =
= И 4- «.
100. Разложить простую дробь —в правильную цепную дробь
а 137 521 v 247
и найти ее подходящие дроби; — равно: 1) —; 2) —, 3) —,
Ъ о1 14о /4
313 77 оч 53
4) -^7' 5)Ii?' 6)-2l7--
101. Сократить следующие дроби, пользуясь их разложением
871 1241 6821 32671
в цепную дробь. 1)—, 2)—, 3): — , 4)—.
102. Представить Н. О. Д. чисел 285 и 786 как линейную
форму этих чисел.
§ 4. Решение сравнений первой степени
с помощью цепных дробей
1. Вывод формулы решения
Пусть дано сравнение
ах = Ъ(modт), где (а, /и) = 1э а>0* A)
Разложим — в непрерывную дробь и обозначим
а
ее подходящие дроби через —, где & = 1, 2,..., п.
Qk
Тогда согласно свойству несократимости
подходящих дробей имеем
Поэтому вместо соотношения
1 Случай #<0 приводится к данному.
79

имеем
Отсюда
a-Pn_{ = -(-l)n +
или (так как Qn_i целое число)
Умножая обе части этого сравнения на (—l)"^,
получим
а{{-\)п-1 .pn_vb) = b (mod m).
Сравнивая это сравнение с исходным A), приходим
к выводу, что оно имеет решение
)% B)
где Рп__\ — числитель предпоследней подходящей дроби
в разложении —. Так как A) имеет только одно ре-
а
шение, то B) совпадает с единственным решением.
Пример. Решить сравнение 285л; =177 (mod924).
Находим B85, 924) = 3, 177 = 59-3; далее, после
деления обеих частей сравнения и модуля на 3
получаем
= 59(mod308).
По схеме определяем теперь неполные частные раз-
308 ^ тл
ложения — в цепную дробь, а затем Рп_{ и (для про-
95
верки правильности вычисления) Рп. Имеем
308|_95_ |23_ |3_ \2_ Ц_
qk 3 4 7 1 2 '
Pk I 3 13 94 107 308.
Итак, Р„_,=Р4== 107, следовательно,
A;=(-lL.107-59(mod308),
х = 153 (mod 308).
Исходное сравнение имеет решения
jc = 153, 461, 769 (mod 924).
80

2. Применение сравнений первой степени к решению
неопределенных уравнений первой степени с двумя
неизвестными
Пусть требуется решить неопределенное уравнение
ах + Ьу = с, (а, #) = 1. A)
Это уравнение можно переписать в следующем виде:
ах = с — by;
но так как у должно быть целым числом, то
ах = с (mod b) К
Решая это сравнение (оно разрешимо, так как
(а, &) = 1), получаем л: = ^(modft),
или
х = хг + Ы, где t = О, ±1, ±2, ...
Для определения соответствующих значений у
имеем уравнение
а (хх + Ы) + Ьу = с,
откуда by = с — ахг — а>Ыу
ь
Следовательно, уг == с~аХх должно быть целым
b
числом, при этом оно является частным значением
неизвестного у, соответствующим хг (получается, как
и xv при t = 0). Поэтому общее решение уравнения A)
примет вид
X = Xt + bt ) ± *> /о\
1 L где / любое целое число. B)
y=yx-at J
Пример. Решить неопределенное уравнение
Решая сравнение 53х = 25 (mod 17), получаем х =
= 4 (mod 17) или х = 4+Ш, где / = 0, ± 1, ... Если
^ = 0, то ^ = 4, а из уравнения 53-4 + 17^ =25
следует ух = — 11. Поэтому, согласно B) общее решение
данного уравнения имеет вид х = 4+ 171, y = — 11 —
— 53/, где /==0, ±1, ...
1 Без ограничения общности можно считать, что
Б-530.-6 81

Упражнения
103. Решить сравнения: 1) 67л: s 64 (mod 183); 2) 89* =
as 86 (mod 241), 3) 213jc = 137 (mod 516).
104. Решить сравнения: 1) 111* г= 81 (mod 447); 2) 186jk =
ss 374 (mod 422); 3) 129* s= 321 (mod 471).
105. Решить сравнения: 1) — 50* = 67 (mod 177); 2) — 73* =
ss 60 (mod 311); 3) - 53* = 84 (mod 219).
106. Решить неопределенные уравнения: 1) 17*—16_y = 31;
2) 23* + 15y = 19; 3) 12* — S7y = — 3; 4) 18* - 33j; = 26; 5) 11* +
+ 163;= 156.
107. Определить день рождения, зная сумму S произведений
числа месяца на 12 и номера месяца на 31, например для 5 = 436.
108. Сколько решений имеет неопределенное уравнение ах +
+ by = с, если (#, Ь) = 1 и 0 < * ^ b (или 0 < у < а)?
109. Чем объяснить возможность отгадывания дня рождения
в задаче 107?
110. При каких наименьших целых положительных значениях
а и b неопределенное уравнение ах — by ~ 31 имеет решение
E,9)?
111. На прямой ах + Ьу = с найти количество целых точек,
лежащих между точками с абсциссами ах и й2. 1) 8х - 13_у 4-6 = 0,
я, = — ЮО, д2=150; 2) 7*-{-29j/= 584, ^ = — 20, а2=г160;
3) 90* — 74у = 50, ах = - 100, а2 = 200.
112. Доказать, что число внутренних целых точек отрезка с
целыми концами А (хи ух), В (*2, у2) равно d — 1, где d = {ух — у2,
*, — *2).
ИЗ. Через сколько целых точек проходит треугольник с
вершинами А B,1), ?B0,7) и С (8,15)?
114. Найти расстояние г между соседними целыми точками
прямой ах -f- by = с, (а, Ь) = 1.
с
115. При каком условии можно дробь — представить в виде
ab
суммы двух дробей с знаменателями аи b (с целыми
числителями)?
§ 5. Система сравнений первой степени
1. Общий случай
Пусть имеем систему сравнений первой степени
с одним неизвестным
Агх = Вх (mod тх), А2х = В2 (mod т2), ... , 1
A B (d ) J
х) 2 2 (
2= Bk (mod mk).
Решить эту систему — значит найти все целые
значения х, которые ей удовлетворяют. Ясно, что для
существования таких чисел необходимо (но
недостаточно), чтобы каждое сравнение в отдельности было
разрешимым.
82

Поэтому достаточно ограничиться рассмотрением
системы
х = bx (mod тх), x = b2 (mod пг2), ... , х = bk (mod mk). A)
В общем случае на модули отдельных сравнений
никаких требований накладывать не будем.
Перейдем теперь к решению системы A). Покажем,
что в случае разрешимости системы A) числа, ей
удовлетворяющие, всегда образуют класс вычетов по
модулю Ж, равному Н. О. К. модулей ти т21 ... , mk.
Первому сравнению системы A) удовлетворяют
числа вида
x=bx + mxtu B)
где tx любое целое число.
Из них одновременно удовлетворяют второму
сравнению системы A) только те, для которых
Ъх + mxtx = b2 (mod m2). C)
Отсюда mxtl = b2 — bx (mod m2).
Пусть (mu m2) = d. Если b2 — bx^ d, то сравнение (З)
не имеет решения, если Ь2 — bx \ d, то
tl(mod)\
d d \ d J
так как в этом сравнении (~ , ~)«1, то оно имеет
\d d J
решение
или tx = V + —12, где t2 любое целое число.
d
Следовательно, первым двум сравнениям
удовлетворяют значения
или
х ^ + /и/ + /2.
d
Но частное от деления произведения двух чисел
на их Н. О. Д. равно Н. О. К. этих чисел, т. е.
1 Дроби, обозначенные в сравнении, фактически являются
целыми числами.
6* 83

т1Щ = [тх, т2]. Обозначим далее bl + mlt' = x2, так
d
как это число является частным значением,
удовлетворяющим первым двум сравнениям (если положим
/2 = 0).
Тогда
х = х2 + [ти m2\t, или х = х2(mod [mu т2]).
Начатое рассуждение можно продолжить при
переходе к третьему и т. д. к &-тому сравнению.
В случае разрешимости системы, ей удовлетворяет
класс вычетов по модулю М = [ти тъ ... , mk],
который называют решением системы A).
Если модули ти т2, ... , тк попарно простые, то
система A) обязательно имеет решение (сравнение C)
разрешимо, так как коэффициент тх у неизвестного
и модуль т2 взаимно простые; то же будет и в
продолжении решения системы), причем решением будет
класс вычетов по модулю М, равному произведению
всех модулей сравнений данной системы, т. е. М =
= mx*tn2* ...>mk.
Пример. Решить систему х = 5(mod 18), х =
= 8 (mod 21). Из первого сравнения вытекает х = 5 +
+ Ш1э где tx = 0, ±1, ... Затем, из 5 + 18*! = 8 (mod 21)
следует tx == — 1 (mod 7), или tx = ~ 1 + 7*2, где t2 = О,
±1,...
Поэтому х = 5 + 18 (- 1 + 7*2) = - 13 + 126/2, где
*2 = 0, ± 1, ... или х е= — 13 (mod 126).
2. Случай попарно простых модулей
Случай системы сравнений первой степени с
попарно простыми модулями играет, как мы это в
дальнейшем увидим, особую роль, причем для выполнения
этой роли весьма подходящим является
нижеследующий метод ее решения.
Итак, пусть имеется система сравнений
х = Ъх (mod тх), х = b2 (mod /я2), ... , х = bk(mod mk) A)
с условием, что (ml% mj) = l.
В том случае, когда все правые части в
сравнениях системы A) равны одному и тому же числу х0,
решение системы получается сразу как класс
вычетов, сравнимых с х0 по модулю М = тх*т2... mk.
84

Действительно, в силу известных свойств
сравнений (см. свойства 6 и 7 в § 1, гл. II), сравнение л: =
zeex0(modmi*т2 ... mk) равносильно системе A) с
одинаковыми правыми частями х0.
Поэтому возникает идея выразить правые части
отдельных сравнений системы A) единым образом
через некоторое х0, т. е. найти такое х0, чтобы оно
по модулю тх было сравнимо с Ьх, по модулю т2 с Ь2
и т. д., по модулю mk с bk.
Оказывается, что в данном случае, когда все
(ть mj) = \, это всегда возможно, и мы сейчас
увидим, как это делается.
Представим М в следующих видах:
М = (тх)-т2... mk = щ (т2) тг ... mk= ... =
= тх ...mk_x(mk),
или
М = тх* Мг = т2- М2= ... =mk*Mk.
Так как Мх содержит все модули, кроме тх, М2 —
все модули, кроме тъ и т. д., то ясно, что {Ми тх) = 1,
(Ж2, т2) = 1, ... , (Mk, mk) = 1. Поэтому можно найти
такие числа М[, М2, ... , M'k (они нам пока неизвестны),
чтобы выполнялись сравнения:
= 1 (mod mk),
после чего можно составить число х0 (обладающее
вышеуказанными свойствами) по следующей формуле
xQ = Ml-M[.bl + M2-M2-b2+ ... +Mh-Mh-bk. B)
В самом деле, по модулю тх\ МХ*М\^=\, а Л/2 = 0,
М3 = 0,..., Mk = 0; по модулю т2: М2*М2== 1, а Мх =0,
Мг = 0, ... , Мк = 0 и т. д.
Поэтому
xo=bx (mod mx), xo=b2 (mod яг2), ... , ^:0=^(mod mk). C)
Посредством этих сравнений система A) переходит
в равносильную
x^XQimodnix), х^= х0(тойт2), ... , x^x0(modmk), D)
откуда, как уже об этом говорилось, сразу получается
85

решение системы D) и вместе с тем равносильной ей
системы A):
jc = x0(modyW). E)
Важно обратить внимание на то, что числа Мг и М\
от Ь{ совершенно не зависят. Поэтому при изменении
правых частей в сравнениях системы A)
соответствующие выражения для х0 в равенстве B) легко найти,
если bt заменить их новыми значениями.
Как раз в этом удобство метода, так как в
дальнейшем нам придется иметь дело с системами вида A),
которые, имея одинаковые модули, будут отличаться
своими правыми частями.
Пример. Решить систему сравнений:
х= 20 (mod 21), * е= 3 (mod 5), ;c = 5(mod8).
Здесь М = 21-5-8 = B1).5-8 = 21E)-8 = 21-5(8),
или Af=21-Ar, =5-ЛГ2 = 8-М3,
где М = 840, Мх = 40, М2 = 168, М> = 105.
Найдем теперь М[, М'2, М'ъ из сравнений:
40M; = l(mod21), 168Л^ = 1 (mod 5), \05М'г= 1 (mod 8),
2М[ = 20 (mod 21), Ш2 s 6 (mod 5), Мъ = 1 (mod 8).
М\ = 10 (mod 21), ЛГ2 = 2 (mod 5).
Составляем х0:
jco = 4O-1O-2O+168-2-3+105-1-5.
Тогда
х = х0 (mod Ж),
т. е.
х = 800-10 + 1008 + 525 (mod 840),
х = - 40-10 + 168 + 525 (mod 840),
jc = 293 (mod 840).
Для других значений правых частей
рассматриваемой системы решение имело бы вид
х = ШЬ{ + 336&2 + Ю563 (mod 840).
В заключение заметим, что системы вида A)
выражают условие известной старинной китайской
задачи, а именно: найти число, которое при делении на
тх дает остаток Ьи при делении на т2 —остаток Ь2
и так далее, при делении на mk — остаток bk.
86

Упражнения
116. Установить, совместны ли системы сравнений, не решая
их: 1) *= 17 (mod 81); х s 23 (mod 63); 2) х = 33 (mod 77);\ х s
^47 (mod 91).
117. Решить системы сравнений: 1) х = 19 (mod 24), л; ==
ss 10 (mod 21); 2) * = 23 (mod 35), * = 13 (mod 20); 3) х s 12 (mod 15),
л: г 3 (mod 33); 4) х = 32 (mod 40), * г 23 (mod 72).
118. Решить системы сравнений: 1) х г= 6 (mod 15), л: ==
= 18 (mod 21), л: = 3 (mod 12); 2) х = 13 (mod 14), х^= 6 (mod 35),
л: S 26 (mod 45); 3) х = 19 (mod 56), jt = 3 (mod 24), х = 7 (mod 20);
4) л: = 19 (mod 22), х ^ 8 (mod 33), х = 14 (mod 21).
119. В каких целых точках оси абсцисс перпендикуляры к ней
пересекают данные прямые одновременно в целых точках?
Уравнения прямых: 1) х = 2 + Ьу, х = 1+8у, х = 3+11 у; 2) 4х —
— Ту = 9, 2х + 9у = 15, 5* — 13_у = 12.
120. Найти натуральные числа ^ 1000, которые при делении
на: 1) 3, 5, 8, 2) 5, 7, 9, 3) 15, 14, 11, 4) 13, 21, 23 дают
соответственно остатки: 1) 2, 4, 1; 2) 4, 6, 1; 3) 11, 3, 5; 4) 9, 1, 13.
121. Между 200 и 500 найти все числа, которые при делении
на 4, 5, 7 дают соответственно остатки 3, 4, 5.
122. Найти общий вид решения системы сравнений: х ш
е= bx (mod 8), х s= b2 (mod 9), x н= bz (mod 13).
§ 6. Сравнения #-ой степени по простому модулю
1. Сведение к наиболее простому виду
А. Сравнения по простому модулю представляют
собой наиболее простой случай сравнений. Вместе
с тем это и наиболее важный случай, так как
решение сравнения по составному модулю можно свести
к решению сравнения по простому модулю. Поэтому
изучение сравнений /г-ой степени мы начнем с
рассмотрения некоторых их общих свойств по простому
модулю. Итак, пусть дано сравнение
f(x) = aoxn + alxn^1 + ... +an^0(modp), aoj-p. A)
Приступая к решению такого сравнения, можно,
во-первых, заменить коэффициенты а0, аи ... , пп их
абсолютно наименьшими вычетами, что уже дает
некоторое упрощение сравнения *.
Таким образом, можно, например, сравнение
25;с3 + 17^2 — 13 = 0 (mod 11) (Г)
1 Это, между прочим, надо сделать при любом модуле.
87

свести к сравнению
3*3 - 5х2 - 2 = 0 (mod 11). B')
Кроме того, заметим, что можно всегда добиться
того, чтобы старший коэффициент был равен 1. В
самом деле, так как (ао,р) = 1, то можно всегда найти
такое а, чтобы
#0«а= 1 (mod/?).
Умножая теперь обе части A) на а (здесь модуль
сравнения не надо умножать на а, чтобы получить
сравнение, равносильное с исходным, так как а,
очевидно, не делится на /?), получим сравнение с
коэффициентом ао-а у хп, который можно заменить
сравнимым с ним вычетом 1 по модулю р.
Так, например, для B') имеем
За= 1 (mod 11),
откуда
За = 12(mod 11), а г= 4 (mod И).
Поэтому, умножая обе части B0 на 4, получаем
12;c3-20jc2-8 =
откуда
Более существенное упрощение сравнения
достигается на основании следующей теоремы: сравнение
п-ой степени по простому модулю р равносильно
сравнению степени не выше р — 1.
Чтобы это доказать, разделим f(x) на хр — х.
На основании теоремы о делении с остатком для
многочленов мы можем утверждать, что в остатке
получится многочлен R(x) степени не выше р — \.
Если частное равно Q(x), то имеем тождественное
равенство
f(x) = (xp-x).Q(x) + R(xl
где все коэффициенты в Q(x) и R(x), конечно, целые.
Сравнение A) можно теперь представить в виде
(хр — x)-Q(x) + R(x) = 0 (mod p). B)
88

Но так как xp — x = 0(modp) для любого х, то
сравнение B), а вместе с тем и A) равносильно
сравнению
= 0(modp). C)
Теорема доказана.
Б. Для практического применения этой теоремы
нет необходимости делить f(x) на хр — х, проще
пользоваться следующим приемом сведения хт к степени х
не выше р — 1.
Разделим т на р — 1 и определим остаток г в
пределах от 1 до р — 1 \ так что т = (р — 1)-& + г,
1<Г</7-1.
Умножая далее обе части тождественного
сравнения
х = хр (mod /?)
на лг'", x{p~l)'1+r~~\ ... , яСр-Ц.^Ж'--^
по цепочке получим
хг = х0"""^ •1+г = х(р~1} # 2+г = ... = x(p~J) • ^")+r =
где А==0, 1, 2, ...
(Заметим, что здесь нельзя брать г = 0, так как
умножение на хг~1 означало бы умножение на лГ1.)
Таким образом,
l. D)
Вместе с тем мы получили новое доказательство
теоремы.
Пример. Привести сравнение
хв + 2х7 + х5 — х* — х + 3 = 0 (mod 5)
к сравнению степени не выше 4.
Заменяя степени числа х согласно формуле D),
получаем сравнение
х4 + 2хг + х — х4 — х + 3 =5 0 (mod 5),
или
1 Т. е. в отличие от остатков в обычном смысле этого слова,
которые при делении на р — 1 берутся в пределах от 0 до р — 2,
возьмем здесь вместо остатка 0 число р — 1.
89

2. О максимальном числе решений
А. В теории сравнений большое значение имеет
следующая теорема о максимальном числе решений
сравнения: сравнение степени п по простому модулю
имеет не более п решений.
Доказательство этой теоремы аналогично
доказательству теоремы Безу в алгебре.
Пусть сравнение
/(*) = аохп + аххп-1 + ... + апs0(mod/?), агXр A)
имеет'решение хи т. е. /(^,) = 0(mod/?). Тогда по
теореме Безу имеем тождество
где Si (x) ~~ многочлен с целыми коэффициентами
степени лг — 1 с неизменным старшим коэффициентом а0,
a S(x\) делится на р.
По модулю р это тождество переходит в
тождественное сравнение
B)
т. е. в сравнение, верное для любого целого ху так
что сравнение A) эквивалентно сравнению
Подобным же образом можем получить
тождественное сравнение }\ (х) = (х — x2)/2(x)(modp), если
S\(x) = 0(mod/?) имеет решение х2 и т. д., пока не
натолкнемся на неразрешимое сравнение /Л(;с) =
= 0(mod/>) степени n — ky\ или не дойдем до
разрешимого сравнения 1-й степени ао(х— xj='0(mod/?).
Подстановкой по обратной цепочке получаем в 1-м
случае тождественное сравнение
/ (х) s= (х - хх) (х - х2)... (х - xk) Sk (x) (mod/?), C)
которое показывает, что все найденные решения
х2> x3i ... для /1(x) = 0(mod/?), /2(x) = 0(mod/?),...
являются также решениями сравнения A). (Все
сказанное выше справедливо даже при составном модуле.)
Других решений A) иметь не может. Действительно,
если f (xk+l) = 0(modр) яхк+1щкх19 хъ ... , ^(mod^p),
то должно выполняться сравнение Л(^-ц) = 0 (mod p)
(так как остальные множители не делятся на р), но
90

это противоречит принятому условию о
неразрешимости fk (х) = О (mod p).
В случае п решений хи х2, ... , хп получается
тождественное сравнение
— x2) ... (х — хп)(тойр), D)
которое аналогичным образом свидетельствует о том,
что A) не может иметь более п решений. Теорема
доказана К
Заметим, что в случае тождественного сравнения
вида B) говорят, что f(x) делится на х — хх и fx{x)
по модулю р^ а правую часть B) называют
разложением f(x) на множители по модулю р2.
Таким образом, в ходе доказательства теоремы
нами попутно в сравнении D) установлено, что если
сравнение A) имеет п решений, то левая его часть
раскладывается на п линейных множителей по
модулю р.
При решении сравнения /2С*) = 0(mod/?) может
оказаться, что его решение л:2 = хх{то&р). В таком
случае из f(x) вторично выделяется линейный
множитель х—-хи а корень хх считается для A) кратным.
Подобные явления могут встретиться и в дальнейшем.
Заметим еще, что при отказе от предварительного
условия uq^p из доказанной теоремы вытекает
следствие: если сравнение /г-й степени по простому
модулю имеет более чем п решений, то все
коэффициенты f(x) делятся на р. В самом деле, так как в D)
скобки не делятся на р, то ао\р и вместе с тем все
коэффициенты f(x).
Результаты, полученные при доказательстве
теоремы, показывают, что выделением из f(x) линейных
множителей по модулю р можно упростить^нахожде-
ние решений сравнения A).
Пример. Решить сравнение
f(x) = х* + 15х3 + 4jc2 + 4jc - 15 = 0 (mod 29).
1 По составному модулю последние суждения несправедливы
и как раз поэтому по составному модулю доказанная теорема не
имеет места. Так, например, сравнение х2 — 5л: + б = 0 (mod 6)
имеет четыре решения х = 0, 2, 3, 5 (mod 6).
2 Необходимо учесть, что алгебраическое разложение всегда
влечет за собой разложимость по модулю (даже любому), но не
наоборот.
91

Устанавливаем, что /(— 1) = 0 (mod 29), делением
f(x) на х + 1 по модулю 29 находим
f(x) = (х + 1) (jc3 + Ых2 - 10* + 14) (mod 29)
и решаем
/х (х) = х* + Ux2 - \0х + 14 = 0 (mod 29).
Это сравнение имеет решение 2. После деления
fx(x) на х — 2 по модулю 29 из f(x) вторично
выделяется линейный множитель х — 2 и получается
частное jc+18, так что f(x) по модулю 29 разлагается
на линейные множители:
f(x) = (х+1)(х- 2J (х + 18) (mod 29).
Таким образом, исходное сравнение имеет решения
;с= — 1, 2, И (mod 29), из которых второе является
двойным. Нахождение последнего корня методом
подбора было бы, конечно, затруднительно.
Б. На естественный вопрос о том, когда сравнение
степени п<Ср (где простое р — модуль сравнения)
имеет точно п решений, отвечает теорема.
Сравнение f{x) = 0(mo&p) степени п<Ср с
коэффициентом 1 при старшем членех имеет п решений
тогда и только тогда, когда все коэффициенты
остатка от деления хр — х на f(x) кратны р.
Доказательство. Пусть при делении хр — х
на f(x) получились частное q{x) и оста!юк г(х).
Тогда имеем тождество
или
r(x) = x?-x-f{x)-q(x),
причем q(x) и г{х) имеют целые коэффициенты,
степень q(x) равна р — п, а степень г(х) не превосходит
п— 1.
Пусть теперь f(x) = 0(mod/?) имеет п решений,
тогда и r(x) = 0(mod/?) имеет этих же п решений,
так как хр — x = 0(mod/?) выполняется тождественно.
Но так как г(х) -"имеет степень <# — 1, то из этого
следует, что все коэффициенты г(х) делятся на р.
1 Этим случаем можно ограничиться.

Если, наоборот, все коэффициенты г(х) делятся
на /7, то сравнение
f(x)-q (х) = 0 (mod р)
выполняется тождественно, т. е. имеет р решений.
Но любое решение этого сравнения удовлетворяет по
крайней мере одному из сравнений
/(x)==0(mod/?), q (x) = О (mod /7),
поэтому общее число решений этих двух сравнений
не может быть меньше р, т. е. если число решений
этих двух сравнений соответственно пх и п2, то пх +
+ п2> р. Учитывая, что п2<р — п, получаем пг>п,
но так как пх<п, то пх = п и теорема доказана.
Пример. Выяснить, имеет ли сравнение л:3 + х —
— 3 = 0(mod5) 3 решения.
Так как хъ — х = (хг + х — 3)(л;2 — 1) + Зх2 —3, то
этого не может быть.
3. Теорема Вильсона
При помощи теоремы о максимальном числе
решений легко доказать известную теорему Вильсона:
если р простое число, то
(/7-l)! + l=E0(mod/?). A)
Для доказательства заметим, что сравнение
имеет /7 — 1 (значит максимальное число) решений,
наименьшие положительные вычеты которых по
модулю р равны 1, 2, ... ,/7 — 1. Поэтому, согласно D)
из предыдущего пункта, имеет место тождественное
сравнение
хр~г — 1 = (jc — 1) (jc — 2) ... (x-(p-l))(mod/7).
Подставляя здесь х = 0, находим
Если /7 число нечетное, то получаем отсюда
(/7-l)! + l=0(mod/7).
Это же соотношение имеет место для /7 = 2,
поэтому оно справедливо для любого простого /7.
Теорема доказана.
93

Легко понять, что для составного р A) не может
иметь места. Действительно, если p=pxd, l<d</?,
то (/7 — 1)! делится на d, поэтому (р — 1I + 1 на d
делиться не может. Но если (р — 1)! + 1 не делится
на d, то оно не может также делиться на р.
Отсюда вытекает, что справедлива обратная
теорема: если для целого положительного р имеет место
соотношение A), то р число простое.
Таким образом, мы приобрели критерий простого
числа, однако легко понять, что непосредственного
применения на практике он не имеет.
Дело в том, что даже для небольших чисел р
(/7 — 1)! очень большое число.
Если бы мы при помощи указанного критерия
захотели узнать, является ли, например, 11 простым
числом, то надо было бы проверить делимость числа
101 + 1=3 628 801 на 11.
Упражнения
123. Сравнения упростить (понизить степень, коэффициенты
по абсолютному значению уменьшить, а коэффициент у старшего
члена сделать равным 1) и решить методом подбора: 1) 28*9 +
+ 29а:8 — 26*7 + 20*4 — 17jc + 23 = 0 (mod 3); 2) 34*10 — 29*7 +
+ 43*4 — 19* -f 37 == 0 (mod 5); 3) 75*13 — 62л:12 — 53л:11 ~ 24*6 +
+ 13* —27 = 0 (mod 7).
124. Разложить многочлен на множители по данному модулю:
1) л:3 + 3*2 — 3 по модулю 17; 2) *3 + И*2 + 8* + 3 по модулю 23;
3) *3— 13*2 — 3* + П по модулю 31.
125. Найти простейший вид сравнения 3-й степени, имеющего
решения 1, —7 и 19 по модулю: 1) 23, 2) 29, 3) 31.
126. Многочлен /(*) имеет по модулю т разложение /(*)==
s С* — 3) (* — 5) (mod m); 1) т = 15, 2) го =17, 3) т = 20.
Единственное ли оно? Если нет, указать другие разложения.
127. Выяснить, имеют ли сравнения максимальное число
решений: 1) хь + д;3 + 2 s 0 (mod 7), 2) ** — 3*4 + 2*3 + *2 — 3* + 2 s
s 0 (mod 7).
128. Доказать, что для простых р = An + 1 (—-—)! + 1 ==
= 0 (mod/0, а для простых /7 = 4/2 + 3 (——)! —1 =0(modp).
129. Доказать, что для простого р и любого целого а а,Р +
+ (/? — 1)! а ?= 0 (mod /?).
130. Доказать критерий Лейбница для простого числа: для
того, чтобы натуральное число р > 2 i было простым, необходимо
и достаточно, чтобы (/? —2)! —1 =0(mod/?).
94

§ 7. Сравнения /г-ой степени по составному модулю
1. Приведение сравнения по составному модулю
к системе сравнений по модулям попарно простым
В настоящем параграфе покажем, что решение
сравнения по составному модулю можно свести к
решению сравнения по простому модулю.
Предварительно докажем следующую теорему.
Пусть составной модуль М сравнения
= О (тосШ) A)
представлен в виде произведения попарно простых
множителей
М = тх*т2... mk, где (гщ, mj) = 1.
Тогда: 1) сравнение A) равносильно системе
сравнений
/(.*) = О (mod ягО, f(x) = 0(modm2), ... ,/С*)з=
s= 0 (mod mk); B)
2) если A) имеет N решений по модулю Му а от-
дельные сравнения системы B) имеют по
соответственным модулям пь пъ ... , nk решений, то N=
= П у • П<? .. • П^,
Доказательство. 1. Известно, что если
сравнение имеет место по некоторому модулю М, то оно
имеет также место по модулю, равному любому его
делителю. Отсюда видно, что каждое значение х,
удовлетворяющее A), удовлетворяет системе B).
С другой стороны, известно, что если сравнение
имеет место по нескольким модулям, то оно
справедливо также по модулю, равному Н. О. К. данных
модулей (в случае попарно простых чисел их Н. О. К.
равно произведению данных чисел). Это показывает,
что всякое значение х, удовлетворяющее системе B),
удовлетворяет сравнению A).
Таким образом, сравнение A) и система
сравнений B) эквивалентны, причем даже в том случае,
когда (тр mj) Ф 1.
2. В силу эквивалентности сравнения A) и системы
B) (даже в том случае, когда (тп mj) =^= 1) естественно
считать решением системы B) класс чисел по модулю
М = [ти тъ ..., mk], удовлетворяющих всем
сравнениям системы B).
95

Принимая такое определение для решений
системы BI, можем сказать, что сравнение A) и система B)
имеют одни и те же решения.
Таким образом, чтобы найти число N решений
сравнения A), достаточно подсчитать число решений
системы B).
Сделаем это для случая, когда (тр /Иу) = 1,
который рассматривается в теореме.
Полезно заметить, что если хотя бы одно из
сравнений системы B) неразрешимо, то неразрешима также
вся система, а следовательно, и сравнение A).
Пусть Ьх одно из решений 1-го сравнения, Ь2 — одно
из решений 2-го сравнения, ... , Ък — одно из решений
й-го сравнения. Тогда система сравнений
х = Ьх (mod тх), x = b2 (mod /тг2), ... , x = bk (mod mk) C)
имеет единственное решение
x = xo = Ml'M'1b'l + M2-M'2b2 + ... + Мк-МкЬк (mod M),
D)
которое является также решением системы B) и
сравнения A).
(Mt, М\ имеют в сравнении D) такие же значения,
как и в § 5 настоящей главы). Но 1-е сравнение имеет пх,
2-е — л2» ... , k-oe — nk решений, следовательно,
получается nx-n2...nk систем вида C), которым
соответствуют столько же значений х0.
Для утверждения, что им соответствуют разные
решения системы B), необходимо еще показать, что
они принадлежат разным классам по модулю М.
В справедливости последнего мы убеждаемся,
рассматривая, какие числа х0 и х'о получаются, когда
заменяем решение хотя бы одного сравнения другим
его решением, например Ьх на b\.
Вопрос сводится, очевидно, к тому, могут ли быть
сравнимыми по модулю Мчисла М^М^Ьх и Ml-M[b'l9
так как остальные слагаемые в х0 и х'о равны между
собой. Но если предположить, что
Мх -М[ Ъх = MrM[ b\ (mod M),
1 Этому определению отвечает принятое в п. 1, § 5, наст. гл.
понятие решения линейной системы.
96

то должно также быть
МГМ[ Ьг == Мх -М\ Ъ\ (mod
а так как
МХМХ == 1
то и
bx == !
однако это невозможно, так как Ьх и ft'i принадлежат
разным классам по модулю тх.
Итак, мы получаем несравнимые числа по модулю УИ,
а поэтому N = пх-п2 ... nk.
Теорема доказана.
Пример. Решить сравнение
f(x) = Зл:3 + 6jc2 + х + 10 5= 0 (mod 15). (I7)
(Г) заменяем системой
/(jc) = 0(mod3), /(jc)s0(mod5). B')
Легко найти, что 1-ое сравнение имеет одно
решение х^ — 1 (mod 3), а второе — три решения х^
==0,1, 2 (mod 5). Переходим к решению системы
х === bx (mod 3), х = b2 (mod 5). C')
Здесь М = 5-3 = 3-5, поэтому имеем
5М; = 1 (mod 3), М[ = — 1 (mod 3);
3^2=1 (mod 5), М'2 = 2 (mod 5);
jco = 5-(— 1)A + 3-2-62= — 5*! + 6ft2.
Таким образом, сравнение (Г) имеет решения
jd == - 5-(~ 1) + 6-0,== 5(mod 15),
jc2 = 5 + 6 • 1 = 11 (mod 15),
а-3 - 5 + 6-2 = 17 = 2(mod 15).
Приведение сравнений по составному модулю к
системе сравнений по модулям попарно простым можно
также применить к решению сравнений 1-й степени.
Пример. Вместо сравнения 37л; == 17 (mod 180)
можно рассмотреть систему: 37х= 17 (mod 36), 37х^
= 17 (mod 5), или
х = 17 (mod 36), х ?= 1 (mod 5).
Решая последнюю систему, находим: х== —19(mod 180).
Б-530.-7 97

2. Приведение к сравнениям по модулю ра
и к сравнениям по модулю р
Согласно теореме, доказанной в предыдущем
пункте, решение сравнения f(x) == 0 по составному
модулю М сводится к решению сравнений вида
, A)
так как в качестве попарно простых множителей
модуля М можно брать числа вида ра, где р —простое
число.
Решать A) непосредственно методом подбора,
очевидно, очень неудобно, так как даже для небольших
р и а число ра может оказаться большим. Поэтому
весьма примечательно то, что решение сравнения A)
можно свести к решению сравнения
/(*) 5= 0 (mod/*). B)
Действительно, так как всякое число хи
удовлетворяющее сравнению A), удовлетворяет также
сравнению B) (если f(Xi)\p*> то тем более f{xx)\p), то
надо такие числа, которые удовлетворяют
сравнению A), искать среди множества значений,
удовлетворяющих B). Сделаем это постепенно, переходя
сначала от B) к такому же сравнению по модулю р2,
затем по модулю ръ и т. д., пока не дойдем до A).
Итак, пусть нами найдено одно решение
сравнения B):
или
•¦*! = * + />*!, где tx=0, ±1,... C)
Рассуждение, которым мы здесь воспользуемся,
вполне аналогично тому, которое мы применяли при
решении линейной системы.
Если tx — любое целое число, то по формуле C)
получаются числа, которые все удовлетворяют
сравнению B). Чтобы выделить из них те числа, которые
удовлетворяют сравнению
/(*)s=0(mod/>2), D)
мы не можем для tx брать любые целые значения,
а должны брать такие, для которых
/(*!+/>*!> = О (mod/>2).

Для вычисления левой части и упрощения ее вида
удобно заменить многочлен f(xx-\-ptx) его
разложением по формуле Тейлора
где, как известно, —f(k)(xi) ~ число целое.
k !
За исключением первых двух слагаемых, все
остальные содержат р в степени > 2 и делятся, таким
образом, на р2. Поэтому по модулю р2 предыдущее
сравнение равносильно следующему:
. E)
Отсюда, в силу того, что f(xx) \p, получаем
сравнение
или
/'(*,)*, ее? - ^(mod/>). F)
Р
А. В наиболее общем случае, когда fr{xx)Jfp, т. е.
/' (хх) фО(то<\р), из F) находим
/1 = ? (mod/?), tl = t/ + pt2, где t2 = 0, ± 1,...
Подставляя значение tx в C), получаем решение
сравнения D)
х = хх+р(? + pt2) = xx+ pt' + рЧ,.
При t2 == 0 эта формула дает одно из значений,
удовлетворяющих D); обозначим его через х2. Тогда
х = х2 +p2-t2< где /2=0, ±1,...,
или
л;== л;2 (mod/?2).
Переходя к решению
f(x)^0(modp% G)
на ^2 накладываем требование
Применяя формулу Тейлора, легко находим
f(x2) +p*-trf (x2) - 0 (mod pP).
7'- 99

а так как f(x2)\p2, T0 отсюда следует
(8)
^f2
Так как хг = д:2(тос1/?),
то f'{Xi)=f'(Xi)(modp).
Но /' (Xj) # (modр), следовательно, и /' (х2) Ф 0 (mod/?).
Таким образом, (8) дает одно решение
t2 = t'2(mo&p\ или t2=t'2+pts, где <3 = 0, ±1,...,
при помощи которого составляем решение сравнения G):
х = х2 + р* (t'2 + pit) = х2 + ^
или
^с==л:з+/?%, ^з==0, ± 1...,
или
Повторяя примененный процесс, придем к
решению сравнения A)
х ==~ха (modpa).
Итак, в случае, когда f (xx) Jf р, каждое решение
сравнения B) приводит к одному решению
сравнения A).
Пример. Решить сравнение
f(x) == 0 (mod 27), где f(x) = 2хА + 5х — 1.
Сравнение /(х) = 0(mod3) имеет одно решение х==
= 1 (mod 3). Здесь f (х) = 8х3 + 5, следовательно,
f A) = 13 X 3, что соответствует рассмотренному выше
случаю.
Следуя- далее общему приему решения, находим:
x=l +3tx\
13/, e= —2 (mod 3), /rs —2(mod3), /, = —2 + 3/2;
x = 5 -i- g/ »
/(- 5) + 9**,./'(- 5) = 0(mod 27),
1224 + 9/,.(- 995) = 0(mod 27),
- 995*2 s= - 136 (mod 3), t2 s - 1 (mod 3), /2 = - 1 +
или -
xzs 13 (mod 27).
100

Б. Если в сравнении F) f (Х[)\р, а правая часть
на р не делится, то оно неразрешимо; вместе с тем
неразрешимы будут также D) и A).
В. Если при f'{xx)\p правая часть тоже делится
на р, то сравнение F) является тождественным и ему
будут удовлетворять все целые числа tx.
Таким образом, сравнению D) будут удовлетворять
все числа, получаемые по формуле C), т. е. те же
числа, которые удовлетворяли сравнению B). Однако
по модулю р2 они не будут больше принадлежать
одному классу вычетов, а р классам, так что
сравнение D) будет иметь р решений.
Из этих решений будем далее общим приемом
выделять те числа, которые удовлетворяют сравнению
по модулю р3 и т. д.
Упражнения
131. Решить сравнения: 1) 5л;4 -f 2х3 — х + 17 = 0 (mod 21);
2) 5л:3 - 7*2 + Зх + 11 = 0 (mod 33); 3) 2х2 - 7х + б = 0 (mod 55);
4) 4*3 — 5л:2-f 7л: + 21 = 0 (mod 105); 5) Зх2 + 7х + 5 = 0 (mod 34).
132. Через какие целые точки проходят линии: 1) 15_у = 2л:3—
-5л:2 + 4л: +11, если - 2<д:< 8; 2) 14у = Зх3 - 4х2 + Их + 4,
если — 7<jc<7?
133. Решить сравнения 1-й степени, рассматривая
эквивалентные им системы: 1) 43* = 59 (mod 112); 2) 37jc =з 162 (mod 245);
3) 23л: = 11 (mod 153).
134. Решить сравнения: 1) х2 = 19 (mod 25); 2) х2 = 29 (mod 49);
3) х2 == 31 (mod 121); 4) jc« = 82 (mod 169).
, 135. Доказать, что ни при каком целом значении х выражение
х2 + Зх + 5 не делится на 121.
136. Решить сравнения: 1) Ъхг + Зл: + 1 s= 0 (mod 25); 2) Зхъ -
- Ъх2 - 15 = 0 (mod 49); 3) Зх* - 2х2 + Зх + 1 = 0 (mod 49); 4) 4х3-
- 5*2 + 7х - 10 = 0 (mod 27); 5) 3jc3 - 7х - 69 = 0 (mod 125).
137. Решить сравнения: 1) 2xz -f х + 12 -= 0 (mod 25); 2) 4jc3 +
-f 7х + 1 = 0 (mod 25); 3) 3jc3 — 2л'2 - 2л: - 21 == 0 (mod 49); 4) 5л:3 -h
+ 4л:2 - 6л: + 5 = 0 (mod 49).
138. Решить сравнение 2л:3 — 5л: - 32 = 0 (mod 175).
§ 8. Сравнения второй степени общего вида
1. Сравнения второй степени и их связь с неопределенными
уравнениями второй степени с двумя неизвестными
Теория сравнений второй степени, к изучению
которой мы переходим, связана с решением в целых
числах уравнений второй степени с двумя
неизвестными.
101

Сравнение второй степени общего вида
Ах2 + Вх -г С = 0(mod M) A)
равносильно неопределенному уравнению второй
степени частного вида
Ах2 + Вх + С = Му. B)
К сравнениям A) приводят нас также
неопределенные уравнения второй степени общего вида:
ах2 + 2Ьх + су2 + 2dx + 2*)/ + / = 0, C)
решение которых связано также с решением
уравнения Пелля х2 — ау2 = с (см. § 4, гл. VI).
2. Приведение сравнений второй степени к двучленным
сравнениям
А. Сравнение второй степени общего вида
Ах2 + Вх + С = 0(mod М) (I)
можно привести к более простому двучленному
сравнению:
х2 = а(тойт). B)
Это достигается следующим образом.
Умножим обе части и модуль сравнения A) на 4Л;
тогда имеем
4А*х2 + 4АВх + ААС == 0 (mod 4AM). C)
Напомним здесь, что модуль тоже умножается на
4Л для того, чтобы сравнение C) было равносильным
с A). В самом деле, если бы мы этого не сделали,
то в случае, когда DЛ, jW) = d>l, нельзя было бы
перейти обратно от C) к A), так как известно, что
обе части сравнения можно всегда делить только на
множитель, взаимно простой с модулем. Вместе с тем
понятно, что в случае, когда 4А и М взаимно просты
(если М — число простое, это всегда будет так), то
и без умножения модуля на 4Л получается сравнение*
равносильное исходному.
Дальнейшие преобразования следующие:
4А2*2 Ч- 4АВх + В* — В*+ ААС^ 0 (mod 4AM),
B Ах -f SJ == В* - 4ЛС(тос! A AMY
102

обозначив здесь 2Ах + В=у, В2 — А АС = D,
получаем двучленное сравнение
у2 ^D {той 4AM). D)
Ясно, что каждое число, удовлетворяющее A),
будет также удовлетворять D), поэтому из
неразрешимости D) сразу же следует неразрешимость A).
Однако из разрешимости D) относительно у еще не
следует разрешимость A) относительно х. В самом
деле, каждое решение D)
у ==у1(той4АМ)
приводит нас к сравнению относительно х
2Ах -3>i — в (mod 4ЛЖ),
которое может оказаться неразрешимым, если ух —
-BJ-2A.
В случае разрешимости надо еще иметь в виду,
что решения последнего сравнения получатся по
модулю 2УИ, в то время как мы должны указать
решения по исходному модулю М сравнения A). Переходя
к модулю М, количество классов решений может
уменьшиться.
Отметим в заключение, что при переходе от A)
к D) в конкретной задаче не следует обязательно
придерживаться общей схемы, а надо стараться
упростить процесс выделения полного квадрата, для чего
имеются различные возможности, однако мы на них
останавливаться не станем.
Рассмотрим примеры приведения к двучленному
сравнению.
Примеры: 1) 4х2 — 11л: — 3 = 0(mod 13).
Имеем: 4х2 — 24х — 16 == 0 (mod 13), х2 - 6х ~ 4 == О
(mod 13),
(л: — ЗJ — 13 = 0 (mod 13), (х - 3)а = .0(mod 13),
л; ===3 (mod 13).
2) аж2 + 7jc -г 8 е= 0 (mod 17).
Имеем: За:2 + 24* - 9 = 0(mod 17), х* -г Sx - 3 = О
(mod 17),
(Х ^4J^l9(modl7), (л: + 4J^ 2 (mod 17),
х + 4^ ± 6 (mod 17).
103

Отсюда: 1) х + 4^ 6 (mod 17), х == 2 (mod 17);
2) л: +4=— 6(mod 17),х= —10^7(mod 17).
3) л*2 - ох + 6 == 0 (mod 24).
Имеем: 4jc2 - 20х + 64 = 0(mod 96),
Bх - 5J = - 39 (mod 96), ^2 = - 39 (mod 96),
где у = 2х — 5.
Не останавливаясь здесь на самом решении этого
сравнения, отметим, что оно имеет решения у^ ± 21,
± 27 (mod 96). Отсюда легко получить значения х = 13,
-8, 16, - 11 (mod 48).
Но по модулю 24: 13 = —11, 16 == — 8. Итак, имеем
по модулю 24 два решения
х ^13, 16 (mod 24).
Подстановкой легко проверить правильность
решений.
Б. Мы установили, что сравнение A) можно
привести к сравнению вида B).
Если сравнение B) разрешимо при а, взаимно
простом с модулем ту то а называется квадратичным
вычетом по модулю т\ если неразрешимо, то
квадратичным невычетом.
Аналогичные понятия вводятся, кстати, и для
двучленных сравнений высших степеней, а именно: в
зависимости от разрешимости или неразрешимости
сравнения х3 = a (mod яг), где (а, т)=\, мы говорим о
кубических вычетах и невычетах, а относительно
сравнения хп==а(то&т), где (a, /ra) = l, —о вычетах и
невычетах степени п.
Решение сравнения вида B) по составному модулю
сводится (согласно общей теории) к решению
следующих сравнений:
1) х2 = a (mod/?), где р — нечетное простое число;
2) x2 = a(mod/?a), а а>1
и
3) x2=Ea(rnod2a), a> 1.
Наиболее важным является случай нечетного
простого модуля; с ним ознакомимся в следующих
параграфах (остальные случаи рассмотрены в задачах).
Заметим в заключение, что приведение сравнений
второй степени общего вида по составному модулю
104

к более простому виду можно также выполнить,
переходя сначала к простому модулю, а затем уже
к двучленному сравнению. Иногда как раз этот путь
может оказаться более удобным.
Упражнение
139. Привести к двучленным сравнениям и решить:
1) 5*2 — 9х + 13 == 0 (mod 17); 2) 7.x2 + 15* - 11 =s 0 (mod 23);
3) Зх2 -f 13* - 10 = 0 (mod 19); 4) 6л* + 3* + 1 s= 0 (mod 17);
5) 12*2 - 6* - 7 = 0 (mod 19).
§ 9. Общие сведения о двучленных сравнениях
второй степени по нечетному простому модулю
1. Число решений. Нахождение решений методом подбора.
Число квадратичных вычетов
Пусть дано двучленное сравнение второй степепи
по нечетному простому модулю /?:
х2^а(тойр), B, /?) = 1. A)
Случай, когда а\р, является тривиальным, так как
в этом и только в этом случае, очевидно, х = 0 (mod/?).
Поэтому исключим этот случай из дальнейшего
рассмотрения и будем считать, что (а, р)=\.
Тогда решения сравнения A) следует искать только
среди классов вычетов приведенной системы по
модулю р.
Легко понять, что если A) имеет в качестве одного
решения х = хх (mod/?), то оно должно также иметь
и второе х == — хх (mod/?). To, что — хх
удовлетворяет A), является очевидным, поэтому остается
доказать, что — хх является представителем другого класса.
Предположим противное, т. е. что хх и — хх
принадлежат к одному классу. Тогда
хх == — хх(тойр), 2хх = 0 (mod/?);
но B, /?) = 1, поэтому имеем
однако это исключается ввиду условия, что (а, /?) = 1.
Итак, если A) разрешимо, то имеются по крайней
мере 2 решения. Но больше решений и быть не
может, так как число решений сравнения по простому
105

модулю не может превысить степень сравнения. Мы
приходим к окончательному выводу, что если A)
разрешимо, то оно имеет точно два решения. При этом,
если одно решение x^^,(modp) найдено, то второе
можно записать автоматически:
х= — Х\ (mod/?).
Процесс нахождения решения методом подбора
является для сравнения A) более простым, по
сравнению с общим случаем. Дело в том, что записывая
приведенную систему вычетов по модулю р
абсолютно наименьшими вычетами
±
±
мы можем пригодность их положительных и
отрицательных значений проверять одновременно.
Итак, для отыскания решения достаточно
подставить в A) вместо х значения
1, 2,3,...,
При этом в левой части получаются числа
Р, 22, З2,..., (-11J.
B)
C)
В случае сравнимости (по модулю/?) одного из них,
например к2 с а (заметим, что больше чем в одном
случае это, согласно предыдущему, быть не может),
мы получаем решения
х~± k(modp).
Одновременно видно, что по модулю р
разрешимыми будут только такие сравнения A), в которых а
сравнимо по модулю р с числами ряда C). Другими
словами, в ряде C) записаны квадратичные вычеты
по модулю р.
Все они принадлежат различным классам.
Действительно, если предположить противное, т. е. что для
106

то оказалось бы, что A) имеет 4 решения
х == ± k (mod р) и х == ± / (mod />),
что невозможно.
Итак, можно утверждать, что количество
квадратичных вычетов из разных классов (или среди выче-
тов приведенной системы) по модулю р равно -~— .
Таково же, следовательно, количество квадратичных
невычетов. При помощи ряда C) можно найти
наименьшие положительные квадратичные вычеты.
Пример. Найти наименьшие положительные
квадратичные вычеты по модулю 17. Их число должно
быть = 8. Они находятся нижеследующим
вычислением по модулю 17:
12^1, 22-4, 32еее9, 42 = 16, 52 = 25==8,
б2 = 36 =s 2, 72 = 49 = 15, 82 = 64 == 13.
Итак, наименьшие положительные квадратичные
вычеты по модулю 17 суть следующие:
1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16; C')
отсюда сразу же следует, что наименьшими
положительными квадратичными невычетами по модулю 17
являются числа
3, 5, 6, 7, 10, И, 12, 14.
Только в том случае, если а сравнимо с одним
из чисел ряда C') по модулю 17, сравнение х2^а (mod 17)
является разрешимым.
2. Критерий Эйлера
Вполне естественно, что в первую очередь нас
интересует, разрешимо ли сравнение х2 === a (mod/?),
B, /7) == 1, (а, /?) = 1, т. е. является ли а
квадратичным вычетом.
В первом пункте этого параграфа установлен
способ решения этого вопроса; в случае положительного
ответа он дает даже решение сравнения. Однако ясно,
что этот способ не является эффективным.
Очень важным является критерий, установленный
Эйлером: число а, которое не делится на нечетное
107

простое р, является квадратичным вычетом по
модулю р тогда и только тогда, когда а 2 == 1 (mod/?),
и квадратичным невычетом тогда и только тогда,
когда а 2 =. — 1 (mod/?).
Доказательство. По теореме Ферма имеем
для (а, р) = 1 и B, р) = 1
ар~1 == 1 (mod/?),
или
/*-* \/ р-1 \
\а 2 Н- 1/U 2 - l/ = 0(mod/?),
или
Отсюда видно, что, по крайней мере, одна из
скобок должна делиться на р. Но обе скобки не могут
делиться на р, так как в этом случае на р делилась
бы и их разность 2, что невозможно, ибо B, /?) = 1.
Если а является квадратичным вычетом, то
а 2 — \\ру т. е. а 2 = 1 (mod/?). A)
Действительно, в этом случае существует такое
значение ху (х, /0 = 1, что
откуда
а 2 ^
Так как по модулю р имеется ^— квадратичных
вычетов, то полученный результат означает, что
сравнение A) имеет >^-^— решений, если будем в нем
а рассматривать как неизвестное. Но сравнение A),
как сравнение по простому модулю, не может иметь
большее число решений, чем степень сравнения, т. е.
больше чем .
2
Итак, для всех квадратичных вычетов и только
для них выполняется A). Но тогда для остальных а,
108

(а, /?)=1, т.е. для квадратичных невычетов и только
для них
р — 1
а 2
или
а 2 = - 1 (modp). B)
Критерий Эйлера доказан.
Пример. Установить, сколько решений имеет
сравнение
Пользуясь критерием Эйлера, необходимо исследовать,
с чем сравнимо
19 - 1
7 2 ^79 (mod 19).
По модулю 19 имеем
72 = 49 = 11, 73 = 77^1, 79^1.
Итак, сравнение разрешимо и имеет,
следовательно, два решения.
Упражнения
140. Найти наименьшие положительные квадратичные вычеты
и невычеты среди вычетов приведенной системы по модулям: 1) 11,
2) 13, 3) 19, 4) 23.
141. Пользуясь критерием Эйлера, установить, разрешимо ли
сравнение: 1) Jt2 = 7 (mod 29); 2) х2 = 5 (mod 31); 3) Л'2 = 8 (mod 37);
4) х2 = 37 (mod 43).
142. Доказать, что сравнение х2 ;== a (mod pa ), а>1, (at p)=z\,
B, р) = 1 разрешимо и имеет в таком случае 2 решения тогда и
только тогда, когда разрешимо соответствующее сравнение для
143. Найти необходимые условия разрешимости сравнения
х2 35 a (mod 2а ), а>0, (а, 2)=1.
144. Найти достаточные условия разрешимости сравнения
х2 = a(mod2a ), (а, 2) = 1, а= 1. 2, 3 и соответствующие решения.
145. Доказать, что сравнение х2 = a (mod 16), a = 1 (mod 8)
имеет решения х^±х4, ± (х4 -f 8)(mod 16), где х4 — одно из
решений данного сравнения. (Примечание. По модулю 2а , а>4,
аналогично х = ±ха, ± (ха + 2*) (mod 2a ).
146. Решить сравнение х2 = 9 (mod 16).
109

§ 10. Символ Лежандра
1. Символ Лежандра и его свойства
При больших значениях модуля/? критерием Эйлера
неудобно выяснять, является ли а квадратичным
вычетом или нет. Эффективный способ получается, если
применить символ, который ввел Лежандр. Этот
символ ( — ) (читается так: «символ Лежандра а по от-
ношению к р») определяется для нечетных простых р
и чисел аУ которые не делятся на р\ при этом а
называется числителем, а р знаменателем символа.
Если а квадратичный вычет по модулю /?, то
символу (—) сопоставляется число +1, т. е. (—^ =
\Р J \рJ
= + 1; если а квадратичный невычет по модулю р,
то символу (~-) сопоставляется число —1, т. е.
V Р J
(т)—¦
Пример. В примерах § 9 мы видели, что 7
является квадратичным вычетом по модулю 19, а
5—квадратичным невычетом по модулю 17, следовательно,
В силу критерия Эйлера получается следующее
основное соотношение
(^^/"^(mod/?). A)
Действительно, для всякого квадратичного вычета
имеем одновременно
~W + 1, a 2 ^ + l(mod/>),
а для квадратичного невычета
р) ' ~~
откуда и вытекает соотношение A).
110

Исследуем свойства символа Лежандра.
Свойство 1. Если а^ах(то<1р), то
Это свойство вытекает просто из того, что числа
одного класса являются одновременно или
квадратичными вычетами, или невычетами.
Воспользовавшись этим свойством, можно записать
( а\ ( & Л" kp \ ? q , j _4_ о
\p/ \ p J
Свойство II. Символ
= 1, (И)
иными словами, 1 является квадратичным вычетом для
любого нечетного простого р, или сравнение
х2=~ 1 (mod/?), B, р) = 1,
всегда разрешимо.
Это действительно имеет место, так как указанное
сравнение имеет решения
xz= ± I (mod/?).
Свойство III. Символ
В самом деле, в силу сравнения A) имеем
(^)s(-l)^(mod/>).
Символ f ~—) может иметь значение + 1 или —1; то
\ Р J
же можно сказать о выражении (— 1) 2 . Но так как
по нечетному простому модулю р (+ 1) и (—1)
несравнимы, то мы должны иметь в обеих частях
сравнения одновременно + 1, или — 1.
Поэтому здесь
111

Из этого свойства следует, что для простых чисел
р = Am + 1
а для простых чисел р — Am + 3
Другими словами, для простых чисел вида Am + 1 число
(—1) является квадратичным вычетом, а для простых
чисел вида Am + 3 — квадратичным невычетом.
Пример. Сравнение
разрешимо, так как простое число 433= 1 (mod 4).
Сравнение
х2 == - 1 (mod 587),
неразрешимо, так как простое число
587^-1 (mod 4).
Свойство IV.
V pj \р J \р
В самом деле, в силу сравнения A) имеем
Итак,
рассуждая далее так же, как при доказательстве
свойства III, приходим к выводу, что имеет место
равенство
Это свойство, очевидно, распространяется на
случай k множителей.
В частности, из этого свойства следует
112

а также и то, что произведение двух квадратичных
вычетов или невычетов является квадратичным
вычетом, произведение квадратичного вычета на
квадратичный невычет — квадратичным невычетом.
Свойство V.
(V)
Это важное свойство, доказательство которого
приведем отдельно в третьем пункте, выразим для
практического применения иным образом.
Если р = 8т ±\, то
± 16т _ g + 2 _
8 8 8
= 0 (mod 2),
т. е. число четное.
Если р = 8т ± 3, то
р2— 1 __ (8т ± ЗJ — 1 _ 64т2 ± 48т + 8 _
8 ~~~ 8 ~ 8 ~
= 8т2 ± 6т + 1 == 1 (mod 2),
т. е. число нечетное.
Поэтому имеем:
для р = 8т ± 1 (или 8т + 1, 8т + 7) ( — j = + 1;
\РУ
для ^ == 8т ± 3 (или 8/гг + 3, 8/гг + 5) (-)= — 1,
т. е. для простых чисел вида 8/гг ± 1 число 2 является
квадратичным вычетом, а для простых чисел вида
8/гг ± 3 оно является квадратичным невычетом.
Примеры: 1) Установить, является ли 2
квадратичным вычетом по простому модулю 1097.
Так как 1097 == 1 (mod 8), то 2 является
квадратичным вычетом;
2) разрешимо ли сравнение х2 =е= 2 (mod 1709)?
Простое число 1709 = 5 (mod 8), поэтому сравнение
неразрешимо.
Свойство VI. Закон взаимности нечетных
простых чисел.
Б-530.-8 ИЗ

Если р и q нечетные простые числа, то
Доказательство этого важнейшего утверждения
о квадратичных вычетах мы тоже дадим отдельно
в четвертом пункте, здесь же отметим другое его
выражение, удобное для практики.
Умножим предварительно обе части (VI) на ( )
Тогда
Отсюда: если хотя бы одно из чисел р или q имеет
форму Am + 1, то показатель в правой части
равенства четный, поэтому
если же как р, так и q имеют форму Am + 3, то
показатель степени числа (—1) окажется числом
нечетным и мы будем иметь
Пример. Установить, разрешимо ли сравнение
х2 = 426 (mod 491). 491 — простое число, поэтому можно
дать ответ на поставленный вопрос, вычислив символ
Лежандра f—J .
Во-первых, разлагаем 426 на множители:
426 = 2-3-71.
Поэтому, согласно (IV),
\ 491/ \491/ \491/ \491/
Далее имеем:
1) (J-A = - 1, так как 491 == 3(mod 8);
= /491*
114

гак как 491 и 3 = 3(mod4), a 3 = 3(mod8);
(Л
4491/
V 71 У
71
f
471
71
= ~ (?) ' Й)= ~ A) ' (Тз) = "(is) ' S) =
- —"¦(?)- -¦(})='¦
так как 491 и 71 ==3 (mod4), 491 =65 (mod71), 5 =
= l(mod4), 13 = 1 (mod 4), 13 = 5 (mod 8).
Следовательно, (—\ = (— 1) - 1 - 1 = — 1, другими
словами, данное сравнение неразрешимо.
2. Лемма Гаусса
Для доказательства свойства V найдем
предварительно новое соотношение для символа Лежандра.
Пусть (а, /0 = 1 и B, р) = 1.
Обозначим абсолютно наименьший вычет
произведения ах по модулю р через v7*^, гАе s*== + l или
— 1, а гх -~ абсолютное значение этого вычета.
Подставим затем в выражение ах вместо х значения
и найдем соответствующие абсолютно наименьшие
вычеты.
Пример. Для а = 5, /7 = 19 имеем по модулю 19:
5-1= 5= + 1-5 5-4 = 20= + 1-1
5-2=10^-1.9 5-5 = 25=4-1-6
5-3=15= — Ь4 5-6 = 30= —1-8
В общем случае имеем:
аЛ = ej-/-[ (raodp),
а-2 = e2-r2(mod/?),
5-7 = 35 =
5-8 = 40 =
5-9 = 45 =
1-3
1-2
1-7
A)
а*рх ^ е »г (mod/?),
откуда почленным перемножением получаем
яЛ • 1-2.../I, = еГб2.... ?А.г,-г2-... г/? (mod/7). B)
115

Мы сейчас убедимся в том, что
1-2.../>1 = г,-г2...гл. C)
Для этого запишем сначала приведенную систему
вычетов по модулю р при помощи абсолютно
наименьших вычетов
1, -1, 2, -2,..., pl9 -Pl. D)
Тогда по 2-й теореме о вычетах линейной формы
система чисел
а-\, — а-1, а-2, - а-2,... ,аръ — арх E)
тоже составляет приведенную систему вычетов.
Заметим теперь, что если абсолютно наименьший
вычет ах равен гхгх, то абсолютно наименьший
вычет— ах равен — &х-гх.
Поэтому, в силу системы A), абсолютно
наименьшие вычеты приведенной системы E) имеют вид
Vi, -W V2, -vr2,...,eA.rA, ~вР1'гр/ W
Таким образом, в F) имеются те же числа, что и
в системе D), только возможно расположенные в
ином порядке. Отсюда следует, что в совокупности
положительные вычеты системы чисел D), т. е. числа
1, 2,...,/?! должны совпасть с положительными
вычетами системы F), т. е. с числами ги г2,... ,гл. Это и
доказывает справедливость упомянутого равенства C).
Так как, кроме того, каждое из чисел 1, 2,...,/?!
взаимно просто с р, то можно обе части B) разделить
на их произведение, после чего получим соотношение
р-\
a2 =eI.e2...epj(mod/>). G)
/7-1
Отсюда, в силу Л^- j~a2 (mod/?), легко находим
(8)
новое соотношение для символа Лежандра
-У
р/
Последнее в несколько ином виде выражает
знаменитую лемму Гаусса о том, что
ей-"-
Мб

где JJ- — число отрицательных вычетов среди
абсолютно наименьших вычетов произведений а-1, а-2,... ,а-р{
по модулю р.
Действительно, если в формуле (8) отбросить
положительные е^, то из нее получается лемма Гаусса.
Из леммы Гаусса следует, что а является
квадратичным вычетом, или невычетом по модулю р в
зависимости от того, четно ли число у или нечетно.
В рассмотренном выше примере (л = 4, так что
поэтому 5 является квадратичным вычетом по
модулю 19.
3. Доказательство свойства V символа Лежандра
Чтобы доказать свойство V, воспользуемся
полученной формулой
:i)-.--...v
для символа Лежандра, отыскав предварительно
выражение для каждого вх в отдельности.
Проанализируем с этой целью, в каком случае
ел. = + 1 и в каком — 1.
Начнем с примера.
Для а = Ъ и х = 9 имеем: 5*9 = 45 = 7= +1-7
(mod 19); здесь остаток 7 от деления 45 на 19
совпадает с абсолютно наименьшим вычетом 45 по модулю
19, так как 7 < — -19, поэтому
Одновременно замечаем, что
19J 19 2
Для а = 5 и х = 6 имеем: 5-6 = 30= 11 = —1-8
(mod 19); здесь остаток 11 от деления 30 на 19 не
совпадает с абсолютно наименьшим вычетом 30 по
модулю 19, так как 11 > — • 19, абсолютно наимень-
117

ший вычет равен - 8, гак что ?6=^--1. ^-=8,
одновременно
19) 19 ^ 2 '
Очевидно, вообще зл. = +1 в том и только в том
случае, когда ири делении ах на р получается
остаток < — р /т. е. когда по модулю р наименьший
положительный вычет для ах меньше — р и вместе с
^ (ах ) . 1 \ '
тем дробная часть |—1 < — j, и $х == — 1 тогда и
только тогда, когда указанный остаток >~р (а дроб-
(ах ) . 1 \
ная часть {Т}>^)-
Итак, имеем одновременно
1) 0< 1<—,или 0<2 <1 или
I Р ) 2 I р J
[*(-*.}]_„ и.,- + 1;
2) 1 < j^LJ < 1, „ли 1 < 2{-^} < 2, или
Для дальнейшего воспользуемся ещё равенством
ах _
Р
из которого следует
ах
задачу 99.
48
[31 Г зl
13— = 10 + 3— ; подробнее см.

Последнее соотношение дает возможность
отмеченные в 1) и 2) факты выразить следующим образом.
Имеем одновременно:
. ах. 1 число четное и s = + 1;
L p J
число нечетное и &х =
Таким образом, имеем возможность представить
х в следующем виде:
C)
При помощи этого выражения соотношение (I)
переходит в формулу
.и
р
гая при этом, что а— нечетное.
Имеем
2а
Используя D), запишем теперь (-—Л. предпола-
¦ Л1
р '
Pi
но так как
119

то из предыдущего следует
Если теперь в E) подставить а=\, то
.«=1
и мы получаем
\ р)
т. е. свойство V символа Лежандра.
4. Доказательство закона взаимности
В силу свойства V соотношение E) предыдущего
пункта принимает вид
Ifl
A)
где а —нечетное число, а р\=— .
Поэтому для нечетных простых р и q можем написать
Р\~~ о '
(f)-<-
у=1
откуда
\ я / \ р J
Так как числа, сравнимые по модулю 2, имеют
одинаковую четность, то остается доказать, что
а + $ = рх - #1(mod2).
Покажем, что имеет место даже равенство
указанных выражений. Для этого построим в прямоугольной
120

(О, 0), ^(f,
е
(О,
(см.
системе координат прямоугольник с вершинами О
-. -§-) и С,
рис. 1) и, отметив на сторонах этого прямоугольника
О А и ОС соответственно точки с абсциссами jt=l,
2,...урх = Р~ и ординатами у=\< 2,... , qx = ^~! ,
найдем число его внутренних целочисленных точек1.
Сопоставление результатов двух таких подсчетов
приводит нас к искомому соотношению.
С одной стороны, считая по рядам и по столбцам,
мы сразу же видим, что число внутренних
целочисленных точек равно произведению P\-qx.
Перейдем теперь к другому подсчету.
Предварительно заметим, что внутри отрезка ОВ
нет целочисленных точек. В самом деле, уравнение
прямой ОВ имеет вид у=— х и, когда х пробегает
значения
1 2 р~1
у не может стать целым числом.
fo;fj
hBlffl
Рис. 1.
Таким образом, остается подсчитать количество
целочисленных точек внутри треугольников ОАВ и
1 Целочисленные или целые точки
торых целые числа.
точки, координаты
ко121

Целые точки внутри треугольника ОАВ имеются
только на прямых x = k, где & = 1, 2,... ,/?х. Каждая
из них пересекает ОВ в точке fky ~^—) и количество
целых точек такой прямой, расположенных между
осью Ох и ОВ, равно —-1
Поэтому число целых точек внутри треугольника
ОАВ равно сумме
Рассматривая аналогично прямые у = /, где /=1,
2, ....ft, найдем, что число целых точек внутри
треугольника ОВС равно сумме
Таким образом, второй подсчет показывает, что
число целых точек в прямоугольнике ОАВС равно
+ P/V0i
В силу этого соотношения из.?формулы B)
получается закон взаимности
Этот закон, который Гаусс справедливо называет
«фундаментальной теоремой» о квадратичных вычетах,
впервые эмпирически был найден Эйлером в 1772 г.
и опубликован им в 1783 г. Независимо от Эйлера к
этому закону в 1785 г. пришел Лежандр, но и он не
сумел еще дать строгого его доказательства.
Впервые закон взаимности был доказан Гауссом в
1796 г. В дальнейшем ему удалось найти еще 6
других доказательств этого закона. После Гаусса можно
насчитать около 150 доказательств, данных другими
учеными. Изложенное доказательство дано
Эйзенштейном.
1-22

5. Символ Якоби и его свойства
Еще более эффективным, чем символ Лежандра,
является символ Якоби (—) (читается «символ
Якоби а по отношению к Р»). Он определяется для любых
нечетных положительных чисел Р > 1 и чисел а,
взаимно простых с Р, равенством
Pi/ \ft/ 4 Pk J
где Р = /?\ /?2 • • • pk является разложением Р на
простые множители (среди них могут быть и равные),
т. е. как произведение символов Лежандра.
Символ Лежандра является, таким образом,
частным случаем символа Якоби. Для него сохраняются
формулы I — VI символа Лежандра с той лишь
разницей, что в случае символа Якоби речь идет не о
нечетных простых числах /?, а о нечетных числах Р.
Поэтому при вычислении символа Лежандра (для
определения квадратичности вычета по простому
нечетному модулю) удобно рассматривать его как
символ Якоби. Тогда отпадает необходимость выделять
из числителя символа его нечетные простые
множители.
Так, например, символ Лежандра (ср. с п. 1 этого
параграфа)
\ 491/ " \4<ii7j ' \491 / "" 4491 / ~~ ~~ 4213/ ~~~
"Л21з;"""Us; Чбзу"" Лб5У w
Заметим, что но значению символа Якоби можно
о квадратичности вычета а по модулю Р сказать
следующее: если Г—) = —1, то а является
квадратичным невычетом по модулю Р; если же ( —j = l, a
Р— число составное или неизвестно, простое ли оно.
то о квадратичности вычета а по модулю Р
непосредственно судить нельзя.
123

Упражнения
/19\ Оч/56\ /54
/19\ /56\
147. Определить символы Лежандра: 1) ( — ), 2) ( --у
/297 \ /157\ /165 \ /238 \ /Н4\
¦»' (if)-
148. Определить символы Лежандра, пользуясь свойствами
(оооч /28S\ /374\ / 237 \
во?)- 2) Сею)' 3) (м)- 4) (ш)'
/346 \
5) (из)-
149. Установить, проходят ли следующие параболы через
целые точки:
1) 73j/ = ;t2-37; 2) 83 .у = л* —34;
3) 443 .у = х2- 152; 4) 43у = х* — 42.
150. Установить, разрешимо ли сравнение:
1) х2 = 37 (mod 93); 2) х2 = 29 (mod 105);
3) х2 = 31 (mod 77); 4) х2 = 51 (mod 175);
5) х2 = 54 (mod 143); 6) х2 = 20 (mod 171);
7) ^2 = 23(mod 1189).
151. Для каких целых значений а: 1) За2 — 5 делится на 17;
2) 7л2 + 13 делится на 23; 3) 13а2 — 11 делится на 29?
152. Доказать свойства символа Якоби.
153. Для каких нечетных простых р число 3 является
квадратичным вычетом?
154. Для каких нечетных простых р число —3 является
квадратичным вычетом?
155. Для квадратичного вычета а по простому модулю p—4k-\-3
найти решение сравнения х2 == a (mod p).
156. Для квадратичного вычета а по простому модулю /?=8&+5
доказать, что либо а + =a(modp), либо а + =—a (mod/?).
157. Для квадратичного вычета а по простому модулю p=8k+5
найти решение сравнения х2 == a (mod p).
158. Применить результаты задач 155 и 157 к решению
сравнений:
1) х2 = 7 (mod 19); 2) х2 s б (mod 29).
159. Найти: 1) условия разрешимости сравнения
2) в случае разрешимости число решений.

Глава IV
СТЕПЕННЫЕ ВЫЧЕТЫ
§ 1. Показатели и их основные свойства
1. Число, принадлежащее показателю. Первообразный
корень
Пусть (а, т)=1\ тогда по теореме Эйлера
a?(m)^l(modm). A)
Здесь содержится, очевидно, следующее более
слабое утверждение: если (а, т) = 1, то существуют
такие натуральные числа т, что
а1 = 1 (mod m)K B)
В самом деле, по крайней мере одно такое число нам
известно по теореме Эйлера, а именно ср (//г). Кроме
того, ясно, что и кратные <р (т) будут такими же
числами.
Наименьшее из чисел у, обозначаемое в
дальнейшем через 8 (такое обязательно существует, так как
числа т натуральные),2 мы будем называть
показателем, которому а принадлежит по модулю яг, или
показателем а по модулю т.
Итак, натуральное число 8 является по модулю т
показателем для числа а, взаимно простого с т, если
аь = 1 (mod m) C)
1 Заметим, что если (a, /w) = rf>l, то eft = I (mod m)
невозможно, так как правая часть сравнения A) не делится на d.
2 Мы применяем здесь одну из эквивалентных форм аксиомы
математической индукции, так называемый принцип наименьшего
числа: любое непустое множество натуральных чисел содержит
наименьшее число.
125

и о < ^ коль скоро a1 =s I (mod т), или ах ф 1 (mod m),
коль скоро 1<х<о.
Ясно, что 6 не превосходит <?(т), т. е. Ъ<<?(т).
В частном случае, когда а по модулю т принадлежит
показателю ®{т), т. е. 3 = <p(w)> я называют
первообразным корнем по модулю т. Отсюда следует, что
если а является первообразным корнем по простому
модулю /*, то а принадлежит показателю ?(р) — р— 1.
Рассмотрим примеры нахождения показателя,
которому а принадлежит по модулю т.
Составим для этого ряд чисел а1, а2, аг и т. д.,
пока впервые не натолкнемся на такое о, что а° === 1
(mod яг).
1. Найдем показатель, которому принадлежит 2 по
модулю 7.
Имеем по модулю 7
21 = 2, 22 == 4, 23 == 8 = 1 (mod 7).
Итак, 2 принадлежит показателю 3 по модулю 7,
первообразным корнем по модулю 7 число 2 не
является.
2. Найдем показатель, которому 3 принадлежит по
модулю 7.
По модулю 7
3!-3, 32==2, 38е=-1, 34 = —3, 35-~2, 36^Ь
Итак, 3 принадлежит показателю 6, вместе с тем 3
является первообразным корнем по модулю 7.
3. Найдем показатель, которому 5 принадлежит по
модулю 7.
По модулю 7
Итак, 5 принадлежит показателю 6 по модулю 7.
значит тоже является первообразным корнем по
модулю 7.
Примеры 2 и 3 показывают, что но одному и тому
же модулю бывают разные первообразные корни.
Перейдем теперь к изучению свойств показателей
126

2. Классы, принадлежащие показателю
Покажем, что сравнимые числа, т. е. числа
одного класса по модулю т, принадлежат по этому
модулю одному и тому же показателю.
Пример. В предыдущем пункте мы видели, что 2
принадлежит показателю 3 по модулю 7. Этому же
показателю принадлежит 9 = 2 (mod 7).
Действительно,
91 =2, 92 == 4, 93 = 8 = 1 (mod 7).
Доказательство. Допустим противное, а именно,
что a s= аг (mod т) и при этом 8 < 8, или 8 > 8j (где
Ь и 8j показатели, которым соответственно
принадлежат а и а, по модулю т). Первое предположение
исключается, так как изаь = 1 (modm) иа = ах(mod//г)
следует, что а\ = \ (mod /я), и если ах принадлежит
показателю bv то должно быть о{ < о, а по условию
8 < «!• .
Аналогично можно также показать невозможность
второго предположения. Таким образом, остается
принять, что 8 = 81ш
Доказанное свойство показывает, что имеет смысл
говорить о классах, принадлежащих показателю по
модулю т (подразумеваются классы вычетов, взаимно
простых с модулем, так как, согласно подстрочному
замечанию на стр. 125, о других классах не может
быть речи) и о классах первообразных корней по
модулю т.
3. Свойства системы чисел а0, а1,..., а0
Система чисел
1=а<\ а1,...,а6-1, A)
где 6 — показатель, которому а принадлежит по модулю
т, обладает очень важным свойством, а именно — ее
члены несравнимы по модулю т. Это утверждение
следует из того, что противное предположение
al = ak(modm), b~\>l>k>0
приводит к противоречию. Действительно, из условия,
что (а, /я) = 1, получаем
al~k н= 1 (mod л*), 0 < / - k < 8,
127

но это невозможно, так как а принадлежит
показателю 8 по модулю т (см. C) п. 1).
Из указанного свойства следует, что в случае
первообразного корня, т. е. когда 8 = ср(/я), A)
переходит в ряд чисел
\=а\ а\...,а*{т)-1 , B)
образующий приведенную систему вычетов по
модулю т.
В самом деле, ряд чисел B) удовлетворяет
признаку приведенной системы вычетов:
1) B) содержит у(т) чисел;
2) последние взаимно просты с т, так как (а, т)=\\
3) они, как мы это только что показали,
принадлежат различным классам.
По простому модулю р ряд B) принимает вид
1=6°, а1,...,а'. C)
Пример. Составим ряд чисел C) для
первообразного корня 3 по модулю 7.
Получаем систему чисел
1-3°, З1, З2, З3, З4, З5;
их наименьшие положительные вычеты (см. 2-й
пример 1-го пункта)
1, 3, 2, 6, 4, 5
очевидно, образуют приведенную систему вычетов по
модулю 7.
4. Необходимое и достаточное условие сравнимости а{ и а('
по модулю /я, если а принадлежит показателю о по модулю т
В дальнейшем мы часто будем пользоваться
следующей важной теоремой: при а, принадлежащем
показателю 8 по модулю т, а? = a}' (mod m) тогда и
только тогда, когда у == Y (mod 8), т. е. когда ? и у'
принадлежат одному классу по модулю 8.
В частности, а? = 1 (mod m) тогда и только тог-
да, когда 7^=0 (mod 8), т. е. когда у делится на Ь.
Доказательство: 1) пусть а принадлежит
показателю 8 по модулю т и а^^а1 (mod m). Тогда,
представив ] и f в виде
Г = bq + г и Y = Ц' + г', 0 < г < 8, 0 < rf < 8,
128

получим abq+r е= ctqtJrr> (mod т), или
(а5 у аг = (ай)*' -а'' (mod m).
Но а3 = 1 (mod /тг), поэтому из предыдущего
следует
аг == аг' (mod яг), 0 < г < 8, 0 < г7 < 8.
Числа аг и аг' принадлежат ряду A) п. 3,
который содержит вычеты лишь из разных классов.
Поэтому их сравнимость означает, что они равны, т. е.
аг = аг' , откуда вытекает, что г = г', или
Т = т' (mod 8);
2) если, наоборот, т — т' (m°d 8), или
Т = 8? + г, 7'= 8^ +г, 0<г<8
и а принадлежит показателю 8 по модулю //г, ввиду
чего аь == 1 (mod яг), то имеем
(a*)q = (a*f (mod т),
ctq.ar=aq' -аг(тойт),
или сья*г = abq'*r (mod w), или ат = ат' (modm).
Теорема доказана.
Указанный в теореме частный случай получается,
если берем 7' = 0. Из частного случая вытекают
важные следствия.
Следствие 1. Показатель 8, которому а
принадлежит по модулю т, является делителем ср (т)
(а по простому модулю р — делителем <р(р)=р — 1)9.
так как а*{т)= 1 (mod m).
Это следствие дает возможность следующим
образом упростить нахождение 8: проверяются не все
степени от а, начиная с а1, а2,..., а только те,
показатели которых делят ср (т).
Так, например, для нахождения показателя,
которому 3 принадлежит по модулю 7 (см. 2-й пример
1-го пункта), достаточно испытать подряд: З1, З2, З3,
З6, потому что 9 G) = 6 имеет делители 1, 2, 3 и 6.
Рассмотрим следующий пример: найти показатель^
которому 5 принадлежит по модулю 17.
Имеем <рA7) = 16, делители J6 суть: 1, 2, 4, 8, 16.
б-5зо.-9 129

Находим по модулю 17
51 = 5, 52 = 25 s 8, 54 = 64 = - 4,
5* = 16 = -1, 516 = 1.
Итак, 5 является первообразным корнем по
модулю 17.
Следствие 2. Если а принадлежит показателю
8 по модулю т, то а* принадлежит показателю —- по
(В, k)
модулю т.
В самом деле, пусть а принадлежит показателю
7 по модулю //г, так что ? — наименьшее натуральное
число, для которого (а*)т=1 (mod т)у илиа*г = 1 (mod/я).
Согласно доказанной теореме последнее выполняется
тогда и только тогда, когда ?Y = 0(mod8), или ? =
== О ( mod \ Наименьшее у, удовлетворяющее это-
\ (s, k)J
му условию, равно——, что и утверждалось.
Если, в частности, (8, ?) = 1, то а принадлежит
тому же самому показателю 8 по модулю т, что и
число а, а если (8, k) > 1, то меньшему.
Примеры. 1). 2 принадлежит показателю 3 по
модулю 7, 22 == 4 также принадлежит показателю 3 по
модулю 7, так как B, 3) = 1; действительно, по
модулю 7 имеем: 4 = — 3,42 = 2, 43 = 1.
2). 3 принадлежит показателю 6 по модулю 7,
З4 = 81 принадлежит показателю 3 по модулю 7, так
как = 3; действительно, по модулю 7 имеем: 81 =
F, 4)
=е=-3, 812е=2, 81» =1.
Упражнения
160. Число 5 является показателем 4 по модулю 11; может ли
существовать натуральное число п < 5, удовлетворяющее условию
4rtsl (mod И)? Обосновать ответ.
161. 93 = 1 (mod 28); может ли 9 принадлежать показателю 6
по модулю 28? Обосновать ответ.
162. 1). Зная, что 5 является первообразным корнем по модулю
18, составить приведенную систему вычетов по модулю 18 при
помощи степеней числа 5. Найти наименьшие положительные вычеты
указанных степеней по модулю 18; 2) то же для первообразного
корня 3 по модулю 19.
130

163. Может ли существовать число, принадлежащее показателю
5 по модулю 26? Обосновать ответ.
164. Проверить, сравнимы ли 223 и 26 по модулю 11.
165. Какому показателю принадлежит а по модулю т для
следующих значений а и т (соответственно): 1) 3, 17; 2) 3, 19; 3) 4,
21; 4) 5, 18; 5) 5, 23; 6) 7, 24? Является ли а первообразным
корнем по модулю ml
166. Доказать, что для целого положительного а и
натурального п ср(ал—1) делится на л.
167. 1) Зная, что 12 принадлежит показателю 6 по модулю 19,
найти показатели для 123, 124 и 125 по этому модулю; 2) зная, что
6 есть первообразный корень по модулю 41, найти показатели для
б12, б15, б16 по этому модулю.
168. Доказать, что если а принадлежит четному показателю Ь
по нечетному простому модулю р, то л5'2 ss — 1 (mod р).
169. Зная, что по взаимно простым модулям тх и т2 число а
принадлежит соответственно показателям Ьх и Ь2, найти
показатель Ь для а по модулю т^т2.
170. Найти показатели для: 1) 2 по модулю 35 и 2) 3 по
модулю 55, пользуясь свойством, вытекающим из предыдущей
задачи, и независимо от него.
171. Доказать, что если по модулю т показатель для ах — Ьи
для а2 — В2, а для аха2 — Ь, то ЬгЬ21Ь; в частности, когда (&i, Ь2) = 1,
ь = i,a2.
172. Зная, что по модулю 37 число 10 принадлежит
показателю 3, а 31 показателю 4, найти, к какому показателю по этому
же модулю принадлежит 14. (Воспользоваться результатом
предыдущей задачи.)
§ 2. Существование и число классов,
принадлежащих показателю
1. Лемма о числе классов, принадлежащих показателю
(по простому модулю р)
В предыдущем параграфе мы установили, что
каждый класс вычетов по модулю т, взаимно простых
с модулем, принадлежит некоторому показателю 8,
который обязательно является делителем <р (т).
Возникает вопрос, можно ли утверждать обратное,
т. е. что по модулю т каждый делитель у{т)
является показателем некоторого класса, в частности,
что само число у{т) всегда является показателем
некоторого класса, или что для любого т существует
класс первообразных корней. Этот вопрос можно
выразить и так: исчерпывают ли показатели классов
вычетов по модулю т все делители <?(т)?
9* 131

Оказывается, что не для любого модуля т
поставленный вопрос имеет положительный ответ, а только
для простого модуля т=р и некоторых других
категорий чисел.
Наиболее важным в практическом отношении
является случай, когда т=р. Он будет подробно
рассмотрен в этом параграфе. Будет также показано,
сколько указанных классов вычетов существует.
В выяснении этих вопросов имеет значение лемма:
по простому модулю р делитель 8 числа р — 1 либо
не является показателем какого-либо класса
вычетов либо является для у (8) таких классов.
Эту лемму можно выразить и так: если по
простому модулю р существует хотя бы один класс,
принадлежащий показателю 8 (где 8 делитель числа/? — 1),
то таких классов имеется <р (8).
* Доказательство. Отметим, во-первых, что
утверждение леммы можно отнести к числу вычетов
приведенной системы по модулю р, так как каждому
вычету из приведенной системы, принадлежащему
показателю 8, соответствует класс, принадлежащий этому
же показателю, и наоборот.
Обозначив через ф(8) число вычетов приведенной
системы по модулю /?, принадлежащих по этому
модулю показателю 8, можно утверждать: ф(8) либо равно
нулю, либо не меньше единицы.
Если ф(8) = 0, то нечего доказывать.
Предположим поэтому, что ф(8) равно хотя бы
единице, т. е. что 8 является показателем некоторого
а, и постараемся найти все вычеты приведенной
системы по модулю /7, принадлежащие этому
показателю.
Так как все числа, принадлежащие показателю 8
по модулю /7, должны удовлетворять сравнению
хь = 1 (mod/7), A)
то ясно, что указанные вычеты следует искать среди
решений этого сравнения.
Но решения сравнения A) исчерпываются классами
по модулю /7, которые имеют вычеты
а0, а\ ..„^„.„а3-1 . B)
132

Действительно, все числа этого ряда
1) удовлетворяют A), ибо (akf = (аь )*== 1 (mod/?),
2) принадлежат разным классам по модулю р (см.
п. 3, § 1) и 3) их число равно 8, т. е. максимально
возможному количеству решений A) (сравнение A),
имея простой модуль р и степень 8, не может иметь
больше чем б решений).
Поэтому остается разыскать среди чисел ряда B)
те, которые принадлежат показателю 8 по модулю р.
Согласно второму следствию п. 4 § 1 такими
числами являются те и только те числа а\ для которых
(8, k) = \\ но таких чисел в ряде B) имеется <р(8)
(поскольку k пробегает в B) все значения из полной
системы вычетов по модулю 8, а в последней
содержится ср(^) вычетов, взаимно простых с 8). Итак, в
данном случае ф(8) = <р(8), чем и завершается
доказательство леммы.
Пример. По модулю 19 число 4 принадлежит
показателю 9 (предлагается проверить это). Найти все
вычеты приведенной системы по модулю 19,
принадлежащие этому же показателю по модулю 19.
Искомыми числами являются
4\ 42, 44, 45, 47, 48,
так как числа 1, 2, 4, 5, 7, 8 образуют приведенную
систему вычетов по модулю 9.
Их количество равно ср (9) = 6; располагая их
наименьшие положительные вычеты по модулю 19 в
порядке возрастания, получаем, как это легко
проверить, числа 4, 5, 6, 9, 16, 17.
2. Теорема о существовании и числе классов,
принадлежащих показателю по простому модулю
Доказанная лемма, которую можно записать в форме
О
не дает еще определенного ответа на вопрос о числе
классов ф(8), принадлежащих показателю 8 по
простому модулю р.
Между тем, справедлива следующая совершенно
определенная и очень важная теорема: по простому
133

модулю р каждый делитель Ь числа р—\ является
показателем для <р (8) классов {или вычетов
приведенной системы); в частности, существует у(р — 1)
классов первообразных корней.
Проверим сначала справедливость теоремы на
числовом примере.
Пусть, например, /? = 13; тогда р— 1 = 12, а
делители р — \ суть числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Числа приведенной системы по модулю 13
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
распределяются по принадлежности к своим
показателям согласно (вычисления опущены) следующей
таблице:
Делители Ь
1
2
а
4
6
12
Числа,
принадлежащие^
показателю В
1
12
3, 9
5, 8
4, 10
2, 6, 7, 11
Количестро
распределенных чисел:
р— 1 = 12
Ф(&)
1
1
2
2
2
4
2 «к*) = 12
<р(&)
1
1
2
2
2
4
2 ? w = 12
Доказательство теоремы. Пусть St = 1,
82, ..., bk = р — 1 все делители числа р — 1.
Распределяя числа 1, 2, ...,р — 1, т. е. вычеты приведенной
системы по модулю р, в отдельные группы по
принадлежности к своему показателю, мы должны, конечно,
во всех группах вместе получить число
распределенных чисел, т. е. р — 1.
Таким образом,
Ф (8i) + ¦ («2) + ... + Ф (»*) —Р — 1. B)
С другой стороны, нам известно, что сумма
значений функций Эйлера, распространенная по всем
делителям данного числа, равна этому числу, так что
?(81) + ?(82) + ... + ?(^)=^~Ь C)
134

Итак,
*). D)
откуда в силу A) легко обнаружить, что всегда Ф(8/)=
= V (8/)- Действительно, если хотя бы в одном случае
допустить, что ^(8,.) равно нулю, в правой части
равенства D) останется лишний положительный член и
равенство нарушится. Итак, теорема доказана.
Применяя доказанную теорему к делителю 8Л =
= р—\, мы получаем теорему о числе классов
первообразных корней: по простом)} модулю р существует
у{р—-1) классов первообразных корней.
Доказательство, которое мы привели, принадлежит
Гауссу и считается одним из самых блестящих
арифметических рассуждений.
В заключение заметим, что первообразные корни
существуют только по модулям т = 2, 4, р* и 2/Л где
р — простое нечетное число, а а>1.
В 1918 г. И. М. Виноградов доказал, что для
простого числа р всегда существует первообразный
корень, меньший, чем 22kl/plnp, где k —¦ число
различных простых делителей р — \.
Что касается самого нахождения первообразного
корня, то до сих пор эффективный алгоритм для этого
еще не найден.
Упражнения
173. Зная, что а принадлежит показателю В по модулю р, найти
в приведенной системе наименьших положительных вычетов по
этому модулю все вычеты, принадлежащие показателю S; значения
а, Ь и р (соответственно): 1) 7, 7, 29, 2) 9, 9, 37.
174. Зная, что а является первообразным корнем по простому
модулю /?, найти в приведенной системе наименьших
положительных вычетов по этому модулю все первообразные корни; значения
а н р (соответственно): 1) 2, 11; 2) 5, 23.
175. Зная, что а принадлежит показателю В по простому
модулю/?, найти все решения сравнения хь = 1 (mod p); значения
л, Ь и р (соответственно): 1) 3, 5, 11; 2) 4, б, 13.
176. Найти число классов первообразных корней по модулям:
1) 17, 2) 43, 3) 73, 4) 89.
177. Найти число классов, принадлежащих показателю 1) 7 по
модулю 29, 2) 9 по модулю 37.
178. Путем испытаний найти наименьший положительный
первообразный корень по модулю 23.
135

179. Доказать, что первообразный корень по модулю т>2
всегда является квадратичным невычетом по модулю т.
180. Доказать существование первообразных корней по
модулям 2 и 4; найти их наименьшие положительные значения.
181. Доказать, что по нечетному модулю т, имеющему не менее
двух различных простых множителей, первообразных корней не
существует.
182. Доказать, что по четному модулю 2т, где нечетное т
имеет не менее двух различных простых множителей, а также по
модулю 2а -тг, где B, т!) = 1, а> 1, первообразных корней не
существует.
183. Доказать, что по четному модулю Т , а > 2,
первообразных корней не существует.
184. Для каких модулей существование первообразных корней
не исключается, если учесть результаты предыдущих трех задач?
§ 3. Индексы и их свойства
1. Понятие индекса. Основные свойства
Свойства первообразных корней дают возможность
ввести в теорию чисел важное понятие, которое
аналогично понятию логарифма.
Пусть g первообразный корень по простому модулю
р. Тогда по свойствам показателей ряд чисел
представляет собой приведенную систему вычетов по
модулю р.
Так как известно, что для каждого простого р
существуют первообразные корни, то, очевидно,
приведенную систему вычетов по любому простому модулю
р можно составить, пользуясь системой чисел в
форме A).
Отсюда вытекает, что для каждого числа а, взаимно
простого с р, в ряде A) найдется единственное число
gTl, которое принадлежит к тому же классу по
модулю р, что и а, т. е. такое, что
a = g7l(mod/?), 0<Ti<p —2. B)
Ясно, что числам, сравнимым с а по модулю р,
соответствует то же самое число gTl. Таким образом,
числам одного класса по модулю р сопоставляется
единственное число ?, с условием B).
136

Введем следующее определение: если g
первообразный корень по простому модулю р и для а, взаимно
простого с р, имеет место сравнение
a = gi (mod p), C)
где т > О, то каждое такое у называется индексом
числа а по модулю р при основании g и обозначается
символом ind^a, или (если нет опасности ошибиться
или нет надобности подчеркивать основание) более
кратко, через ind#. Поэтому имеем
a^g[nda(modp). D)
Из предыдущего ясно, что любое а, взаимно
простое с р, имеет при данном основании g* единственный
индекс ifi среди чисел
0, 1, ...,/7-2. E)
Числа, сравнимые с а по модулю /?, имеют один
и тот же индекс среди чисел E).
При переходе к другому основанию индекс у1э
вообще говоря, меняется.
Так, например, по модулю 7 числа
1, 2, 3, 4, 5, 6
и сравнимые с ними по модулю 7 имеют при
основании 3 (см. 2-й пример 1 п. § 1 настоящей главы) среди
чисел ряда E) соответственно индексы Yi-
О, 2, 1, 4, 5, 3,
а при основании 5 (см. 3-й пример 1 п. § 1 настоящей
главы):
О, 4, 5, 2, 1, 3.
С другой стороны, легко понять, что при данном
основании g каждое число а имеет бесконечное
множество индексов т- Из B) и C) видно, что это
неотрицательные числа, удовлетворяющие условию
Но так как g по модулю р является первообразным
корнем, т. е. принадлежит показателю/? — 1, то в силу
известных свойств показателей последнее сравнение
имеет место тогда и только тогда, когда
137

Таким образом, каждому классу вычетов по модулю
/>, взаимно простых с модулем, взаимно однозначно
сопоставляется множество индексов, которое состоит
из неотрицательных вычетов некоторого класса
вычетов по модулю р— 1:
Если а^Ь{тойр), то
ind а == ind Ь (mod/? — 1).
В силу сравнения D), соотношение между *[иа
в C) можно выражать следующим образом:
7 = ind a (mod p — 1). F)
Пример. Мы выше нашли, что по модулю 7 lnd3 6
равен 3, если взять его среди чисел 0, 1,...,5.
Поэтому из
55 = 27 = 6 (mod 7)
следует
ind3 55 = ind3 27 == ind3 6 = 3 (mod 6).
Индексы обладают следующими свойствами,
которые аналогичны свойствам логарифмов.
1. Индекс произведения сравним по модулю р — \
с суммой индексов сомножителей:
ind ab ... / == ind a + ind b + ... + ind / (mod p — 1).
Действительно,
d
поэтому ab... / = ?Ind"+ind*+'+!nd/(mod/?), откуда,
в силу сравнений C) и F), получаем
ind ab ... / == ind a + ind b + ... + .nd I (mod p — 1).
Если все множители равны, то имеем:
2. Индекс степени (с натуральным показателем)
сравним по модулю р — 1 с произведением показателя
степени на индекс основания степени:
ind а!1 == п ind a (mod р — 1).
138

Заметим, что при любом простом р индекс
единицы сравним по модулю /7 — 1 с нулем, а индекс
основания с единицей.
ind I =0(mod/7— 1), ind g= 1 (modp — 1).
Это следует из того, что
g°=l(modp) и gl=g(modp).
2. Таблицы индексов
Составленные таблицы индексов для простых
модулей р дают возможность по числу находить его
индекс и, наоборот, по индексу — число. В качестве
основания выбирается один из первообразных корней
числа р.
Первые таблицы индексов для простых модулей
до 200 составил в 1837 г. знаменитый русский
математик М. В. Остроградский A801 — 1862), немецким
математиком К. Якоби эти таблицы были доведены до
1000, а в настоящее время существуют таблицы
индексов для простых модулей до 10000; в конце этой
книги имеются таблицы индексов для простых модулей
до 97. Хотя для данного р обе задачи — нахождение
индекса по числу и числа по индексу—можно
выполнить при помощи одной таблицы, все же, для
большего удобства, она разделена на две части:
1) для нахождения индекса / по числу М
2) для нахождения числа N по индексу /.
В таблицах сопоставлены наименьшие
неотрицательные вычеты чисел по модулю р и их наименьшие
индексы по модулю р—1. Чтобы составить таблицу
индексов для модуля /?, надо для какого-нибудь его
первообразного корня g найти наименьшие
неотрицательные вычеты степеней
& i Ь » v ? Ь *
Пользование таблицами весьма простое.
Для примера рассмотрим таблицу индексов для
простого модуля 37 при основании 2.
139

n
0
1
2
3
0
24
25
14
1
0
30
22
9
2
1
28
31
5
3
26
11
15
20
4
2
33
29
8
5
23
13
10
19
6
27
4
12
18
Простое число
7
32
6
8
3
17
34
9
16
35
21
/
0
1
2
3
37
0
1
25
33
И
1
2
2 4
13 26
29 21
22
7
3|4
8
15
5
14
16
30
10
28
5
32
23
20
19
6
27
9
3
7
17
18
6
8
34
36
12
9
31
35
24
i
В таблицах выделены номера строк и столбцов,
которые соответственно указывают число десятков
и единиц числа (индекса). На пересечении строки и
столбца помещается соответствующий индекс (число).
Примеры: 1) найти индекс числа 23 для модуля 37.
По табличке слева на пересечении 2-й строки и
третьего столбца находим число 15, поэтому ind 23=
= 15 (mod 36);
2) Найти число, если его индекс равен 18 по
модулю 37.
Имеем ind iV= 18 (mod 36). По табличке справа на
пересечении 1-й строки и 8-го столбца находим число
36, следовательно, jV= 36 (mod 37).
Если значения чисел или индексов выходят за
пределы таблицы, то переходим к наименьшим
неотрицательным вычетам: для чисел—по модулю /?, для
индексов—по модулю р— 1.
Отметим, что основание, по которому таблица
составлена, видно из таблицы, так как ind g = 1 (mod p—1);
в нашей табличке, таким образом, g = 2.
В заключение заметим, что можно рассматривать
индексы не только по простым модулям, но и по
другим модулям т, для которых существуют
первообразные корни, так как в таких случаях вычеты
степеней первообразного корня также образуют
приведенную систему вычетов по модулю т (см. 3-й пункт
§ 1 настоящей главы).
Упражнения
185. Зная, что 6 является первообразным корнем по модулю
13, составить при основании 6 таблицу индексов по модулю 13.
186. Зная, что 5 является первообразным корнем по модулю
18, составить при основании 5 таблицу индексов по модулю 18.
140

187. Доказать, что по нечетному простому модулю р
ind (— 1) = ind (р — 1) = F (mod p - 1).
188. Пользуясь свойствами индексов, доказать теорему
Вильсона.
189. Зная, что по модулю 73 ind5 54 = 26 (mod 72), найти по
этому же модулю indu 54 (И— первообразный корень по модулю 73).
190. Зная, что по модулю 71 ind7 66 = 63 (mod 70) найти по этому
же модулю ind13 66 A3—первообразный корень по модулю 71).
§ 4. Применение индексов к решению сравнений
1. Решение двучленных сравнений
Двучленные сравнения с одним неизвестным имеют
вид:
ахп= b (mod m), a^m. A)
Мы ограничимся рассмотрением случая, когда т=р
число нечетное простое, так как решение сравнения
A) сводится, как известно, к решению сравнений по
простым модулям, а что касается случая четного
простого модуля 2, то он легко решается испытанием
чисел 0 и 1.
Итак, пусть дано сравнение
axnz=b(modp), а^р. B)
Пользуясь таблицами индексов, переходим к
равносильному сравнению
ind a + n ind x s= ind b (mod p — 1),
откуда
n ind x == in J b — ind a (mod p — 1). C)
Рассмотрим в этом сравнении ind x как
неизвестное. Решив сравнение C) относительно ind x (если
оно разрешимо), в таблицах индексов по модулю р
находим решение исходного сравнения B).
Представляются следующие случаи:
1) (л, р-\) = \.
Тогда сравнение C) относительно ind x имеет
единственное решение, следовательно, и B) будет иметь
единственное решение для х\
2) (л,/>-1) = ?/>1.
141

Ё этом случае, как это известно из теории решения
сравнений 1-й степени, имеем два подслучая:
I подслучай: правая часть сравнения C) не делится
на d, то есть indb — lnda^d.
Тогда сравнение C) не имеет решений относительно
ind*, поэтому и B) не имеет решений;
II подслучай: ind b — inda | d.
Тогда получаем из C)
п • л V ind Ь — Ша { А р — 1
indx ( mod
mod
)
J
indx ( mod
d d \ d
Это сравнение имеет относительно ind х одно
решение по модулю ^ZI-, а по модулю/7 — 1 d решений.
d
После их определения можно с помощью таблиц
индексов найти d соответствующих решений для х
по модулю р.
Здесь особенно важно учесть требование, что
решения сравнения необходимо указать по
первоначальному модулю, так как переход от индексов к
соответствующим числам означает (см. § 3, п. 1
настоящей главы) переход от сравнения вида
ind л: = у (mod/? — 1)
к сравнению
при условии, что под indx подразумевается «ind*по
модулю р при основании g»1.
1 Если для такого индекса имеем
/ /7 —1\
ind х 2= Yi f mod J ,
то при переходе к
x 2= gh (mod p)
мы не охватываем всех возможных значений х, удовлетворяющих
исходному сравнению, а только часть.
Заметим, что если —рх — 1, где р\ — простое число,
d
19 — 1
например = 6 = 7 — 1, то уже неверно будет в качестве
3
решения находить в таблицах индексов по модулю ри при
первообразном корне gi как основания, число, соответствующее индексу
Yi. так как это означало бы, что
x^g]1 (modpi).
142

Рассмотрим несколько примеров:
1. Решить сравнение 17л: ==8 (mod 73).
Имеем ind 17 + ind х = ind 8 (mod 72),
ind x= ind 8 — Ind 17 (mod 72),
ind x = 24 -21 (mod 72),
ind x = 3 (mod 72),
л; = 52 (mod 73).
Этот пример показывает, что с помощью таблицы
индексов получаем удобный способ решения
сравнений первой степени по простому модулю р.
2. Решить сравнение я3 = 34 (mod 41).
Имеем
3 ind х = ind 34 (mod 40),
3indx= 19 (mod 40),
3 ind x = —21 (mod 40),
ind x = — 7 (mod 40),
ind x = 33 (mod 40),
x ss 17 (mod 41).
3. Решить сравнение
39*21 = 53(mod73).
Имеем
ind 39 + 21 ind x = ind 53 (mod 72),
21 ind x = ind 53 — ind 39 (mod 72),
21 ind x s= 53 - 65 (mod 72),
21 ind jcs- 12 (mod 72),
7indx=-4(mod24),
7 ind *= — 28 (mod 24),
ind x = — 4 (mod 24),
ind * = 20, 44, 68 (mod 72),
jc= 18, 71, 57 (mod 73).
В последнем примере особенно ярко сказывается
мощность примененного метода.
2. Критерий разрешимости сравнения хп ss a (mod p)
При помощи теории индексов легко найти
критерий разрешимости сравнения
A)
143

Действительно, перейдем к равносильному
сравнению
п ind х = ind a (modp — 1). B)
Тогда становится очевидным, что при (я, p—\)=d
необходимое и достаточное условие разрешимости B)
заключается в том, чтобы ind а делился на d, или
inda = 0(modrf). (З)
Выразим это условие в зависимости от р и d.
Умножим для этого обе части и модуль сравнения C) на
——. Получается сравнение, равносильное с C):
d
1
—— ind a ss 0 (mod р — 1),
d
ИЛИ
ind a d = 0 (mod /? —1);
отсюда следует
a d 5=l(mod/>). D)
Итак, необходимое и достаточное условие
разрешимости сравнения A) заключается в том, чтобы
выполнялось сравнение D).
Для случая, когда п = 2, получаем известный
критерий Эйлера для разрешимости двучленных
сравнений 2-й степени по нечетному простому модулю.
Действительно, для сравнения х2 == a (mod/?) условие
D) принимает вид
а 2 == 1 (mod/?), так как здесь d = B, р — 1) = 2.
3. Решение показательных сравнений
Рассмотрим еще решение показательных сравнений
по простому модулю, т. е. сравнений
а* = 6 (mod/?) A)
144

с помощью индексов. Переходя к индексам, получаем
из A) равносильное сравнение относительно х
xivAa = m&b(mo<Xp — 1),
которое легко решается.
Примеры. 1) Решить сравнение 5*= 17(mod31).
Имеем
xind5 = ind 17 (mod 30),
20л: = 7 (mod 30);
так как B0, 30) = 10, а 7 на 10 не делится, то
сравнение не имеет решения.
2) Решить сравнение 11* =17(mod 31).
Имеем
¦Kind И =indl7(mod30).
23а: s=7 (то 130),
23x^ — 23 (mod 30),
х = — 1 (mod 30),
л: 5= 29 (mod 30).
3) Найти показатель, к которому 6 принадлежит
по модулю 23. Для решения поставленной задачи мы
должны найти наименьшее целое неотрицательное
решение сравнения 6* = 1 (mod 23).
Имеем х ind 6 5= 0 (mod 22), 18а: = 0 (mod 22),
9л: 5= 0 (mod 11), * = 0(mod 11),
или х делится на И. Наименьшее значение х9 которое
этому условию удовлетворяет, равно И. Итак, 6
принадлежит показателю 11 по модулю 23.
Упражнения
191. Решить двучленные сравнения, пользуясь таблицами
индексов: 1) хъ а 37 (mod 43); 2) *8 а 27 (mod 37); 3) *">== 33 (mod 37);
4) х12 а 27 (mod 83); 5) *2 а 61 (mod 732); 6) *2 а 29 (mod 59*).
192. Решить сравнения первой степени, пользуясь таблицами
индексов: 1) 23* а 9 (mod 97); 2) 47* г 23 (mod 73); 3) 53* ш
= 37 (mod 79); 4) 65* г 38 (mod 83).
193. Решить двучленные сравнения, пользуясь таблицами ин-
дегсов: 1) 43*17 s 35 (mod 71); 2) 45*12 а 28 (mod 67); 3) 53*21 а
а 38 (mod 61); 4) 27*30 а 41 (mod 79).
И4. Найти остаток от деления, пользуясь таблицами индексов:
1) 341245 на 89; 2) 244«8 на 73; 3) 749™ на 79; 4) 5329-4317 на 37;
5) 175411 на 629.
Б-53Э.-Ю 145

195. Какому необходимому и достаточному условию должен
удовлетворять inda(mod^), где />>2, чтобы а было
квадратичным вычетом по модулю pi
196. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти при
помощи таблицы индексов квадратичные вычеты по модулю 23.
197. Пользуясь таблицами индексов, найти показатель: 1) 7 по
модулю 29; 2) 13 по модулю 53; 3) 27 по модулю 47; 4) 18 по
модулю 41; 5) 10 по модулю 1739 = 37-47; 6) 32 по модулю
4331 = 61-71.
198. Найти наименьшие целые положительные решения
показательных сравнений: 1) 13* = 42 (mod 53); 2) 18* = 53 (mod 79);
3) 44* =19 (mod 71).

Глава V
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ СРАВНЕНИЙ
§ 1. Вычисление остатков при делении на данное
число. Установление признаков делимости
с помощью сравнений
А. Впервые знаменитый французский математик
Б. Паскаль A623—1662) указал на довольно общий
способ, как заменить данное число TV другим так,
чтобы вычисление остатка от деления на т
значительно упростилось. Мы рассмотрим этот способ для
чисел, данных в десятичной системе счисления, а
также в системах счисления с основаниями 102, 103 и
т. д. Получаемые при этом признаки равноостаточ-
ности и делимости легко обобщить на случай любой
g-ичной системы счисления.
Пусть в десятичной системе счисления
натуральное число N имеет вид
N= а0 + ах • Ю1 + • • • +а„-10\
Обозначим абсолютно наименьший вычет числа 10*
по модулю т через rk, так что
k = 0, I,... ,/i, и ro = 1.
Тогда
7V= aoro + axrx-\ \- anrn(mod m) A)
или
где Rm = o0r0 + • • • + anrn представляет собой выше
упомянутую замену.
Сравнение A) выражает признак делимости (а также
равноостаточности) Паскаля: 1) при делении на т JRm
10* 147

дает такой же остаток, как и N; 2) N делится на т
тогда и только тогда, когда Rm делится на т.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1) Если /я = 3, то 10=l(mod3) и 10*=l(mod3);
таким образом, здесь все /^=1, а
Итак, при делении на 3 сумма цифр числа дает
такой же остаток, как само число; число делится на
3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на 3.
2) Для /я = 9 получается аналогичная картина, так
как 10=1 (mod 9) и 10* = 1 (mod 9), вследствие чего
все rk = 1 и
#9 = do + d\ + • • • + ап.
Так, например, для N=285 976 имеем
N=2 + 8 + 5 + 9 + 7 + 6 = 1 (mod 9),
т. е. указанное число при делении на 9 дает остаток 1.
Заметим, что при суммировании цифр кратные 9
следует сразу же отбросить, так как в конечном
итоге нас интересует остаток от деления /?9 на 9.
3) Если /и —11, то 10* = (— l)*(modll) и
или
#11 — (Яо + #2 + • • •) ~ 0*1 + #з + • • •)•
Так, например, для N=3 758 396
N= 6 — 9 + 3-8 + 5-7 + 3 =4(mod 11), т. е. дает
при делении на 11 остаток 4.
4) По модулю т = 7: 10°= 1Д01 = 3,102 = 2,103 =
=• — 1,104 = — 3, 105 = — 2; начиная с 106, остатки
будут повторяться в такой же последовательности,
так как 106=l(mod7). Итак,
/?7 = а0 + За! + 2а2 — пъ — За4 — 2а5 + • • •
Здесь уже замена более громоздкая.
Б. Остановимся несколько подробнее на случае,
когда 10 принадлежит показателю S по модулю т.
Здесь г6 = 1, так как 108= 1 (mod/rc), поэтому начиная
с гг, все остатки rk повторяются и
аь_х гь_г + аь + аш гг
148

По модулям 3, 7, 9 и 11 число 10 принадлежит
соответственно показателям 1, 6, 1 и 2, поэтому и
при указанных модулях остатки начинают
соответственно повторяться с п, г6, гх и г2 (как мы это видели
в примерах 1—4).
Если по модулю т число 10 принадлежит
показателю 8, то в системе счисления с основанием 108
имеем
w= rfo + ^аоЧ-•• + </«• (ioV,
а так как A08)fe= I (mod/я), условие A) принимает
вид
N= d0 + dx H V dn (mod m),
т. е. признаки равноостаточности и делимости по
модулю т здесь такие же, как для 3 в десятичной
системе. Однако «цифрами» в данном случае следует
считать 8-значные числа, получающиеся при разбиении
TV справа налево на грани по 8 цифр в каждой.
Примеры. 1) Представляя N в виде
TV = ь0 + Ьх • 100 + • • • + Ьп • 100",
имеем 100= 1 (mod 11), 100*- 1 (mod 11) и
N= bo + bx + ---+ bn (mod 11),
т. е. остаток от деления числа N на 11 равен остатку
от деления на 11 суммы двузначных граней числа TV,
считая справа налево.
Для рассмотренного выше примера yV« 3 758396
получается
N = 96 + 83 + 75 + 3 = 257 з= 57 + 2 = 59 = 4 (mod 11)
(вычисления удобно расположить в «столбик»).
2) По модулю т = 37 число 10 принадлежит
показателю 3, поэтому при основании счисления 1000 для
/я = 37 получается признак делимости, аналогичный
признаку делимости для 3 в десятичной системе, т. е.
если представим iV в виде
Л^=^о + ^-1000 + •• • + <v 1000я,
то #2=Го +^ Н + cw(mod37).
Для N = 83 576 289 имеем N = 289 + 576 + 83 а
==23 (mod 37).
149

: В случае когда по нечетному простому модулю
р 10 принадлежит четному показателю 8, тогда при
основании счисления 102 для р получается признак
делимости, аналогичный признаку делимости на 11
в десятичной системе, так как 102 = — 1 (mod/?), (см.
задачу 168). Таковы, например, признаки делимости
на 7 и 13 в системе счисления с основанием 1000=103,
поскольку по указанным модулям 10 принадлежит
показателю 6.
В заключение заметим, что признаки делимости
можно рассматривать как алгоритмы,
перерабатывающие каждое число в ответ, делится ли оно на данное
число или нет. С таких позиций вопрос излагается
в C9).
Упражнения
199. Найти признаки равноостаточности и делимости Паскаля
для числа N из. т ъ g-ичной системе счисления.
200. В g-ичной системе счисления найти признаки
равноостаточности и делимости для N на g—1 и делитель d этого числа.
201. Найти в ^-ичной системе счисления признаки
равноостаточности и делимости для N на ?+1.
202. Найти остаток от деления на 37 чисел: 1) 3 989 713;
2) 27 877 165; 3) 31 127 567.
203. Найти остаток от деления 345217 на 6.
204. Для каких чисел в системах счисления с основаниями
1) 13 и 2) 25 признаки делимости аналогичны признакам
делимости на 3 в десятичной системе счисления?
205. В какой системе счисления признаки делимости на числа
2, 3, 4,..., п аналогичны признакам делимости на 3 в десятичной
системе?
§ 2. Определение длины периода, получающегося
при обращении обыкновенной дроби в десятичную
1. Как известно, при обращении обыкновенной
несократимой дроби —/содержащей в знаменателе от-
ъ
личные от чисел 2 и 5 множители, в десятичную
получается бесконечная периодическая дробь.
Чтобы найти число цифр в периоде, рассмотрим
сначала случай, когда знаменатель Ъ несократимой
дроби — не содержит множителей 2 и 5, т. е. когда
о
150

F, 10) = 1. При этом можно ограничиться правильной
дробью (а < Ь) (так как при обращении неправильной
дроби (а > Ь) в десятичную из нее предварительно
выделяется целая часть).* Ясно, что в такой дроби
числитель а может принимать одно из <?(Ь) значений,
меньших b и взаимно простых с Ь.
Поступая так, как это обычно делается при
обращении обыкновенной дроби в десятичную, мы, после
т шагов последовательных делений, получим:
10а = bqx
== bq2
гх
г2
-x = bqm
(О
где все остатки rt удовлетворяют условию 0 < г1 < Ь.
При этом #1 < 10, так как Ь> а; аналогично #2<10, так
как b > rx и т. д. Таким образом, все q{ являются
цифрами.
а 5
Пример: — = —. Здесь
6 13
10- 5=13-3+ 11
10-11 = 13-8 + 6
10- 6=13-4 + 8
Ю- 8=13-6 + 2
10- 2 = 13-1 +7
Ю- 7 = 13-5+5
Заметим, что получаемые остатки rt взаимно просты
с &. Действительно, так как A0, #)=1, (а, #) = 1, то
A0а, Ь)= 1, откуда и (гь Ь) =* 1; аналогично из второй
строчки A) следует, что (г2, Ь) = 1 и так далее.
Таким образом, различные остатки rt принадлежат
приведенной системе вычетов по модулю b и их число
не может быть ><р(&).
Поэтому не позже, чем через <?(Ь) шагов, остатки
начнут повторяться и вместе с тем цифры в частном,
так что в периоде не может быть более 9 (Ь) цифр.
2. Чтобы получить более определенные сведения
о числе цифр в периоде, а также о самом периоде,
рассмотрим равенства A) по модулю Ь.
151

Тогда имеем
Юа = rx (mod b) j
\0г{ = г2 (mod b) I
откуда (в силу того, что произведение /Vr2---rm-i
взаимно просто с Ь) после умножения следует
10m.a = rw(mod6). C)
Пусть теперь т не какое-либо число, а показатель,
которому 10 принадлежит по модулю Ь, т. е.
наименьший показатель степени для которого
10я1 = 1 (mod Ь).
Для такого т из C) получаем a = rm (mod b). Но так
как 0 < а < b и 0 < гт < Ь, то из сравнимости аигй
по модулю 6 следует, что они обязательно равны,
т. е. что
а = гт.
Итак, мы получили остаток, который равен
числителю данной дроби. Отсюда вытекает, что с этого
момента остатки начнут повторяться:
гт+х = ги гт+2 = г2 и т. д.
Очевидно, т соответствует наименьшему периоду,
так как если для т'<т возможно было бы а = гт,,
то из C) следовало бы 10m' ^ I (mod b)y а это
противоречит условию, что т является показателем числа 10
по модулю Ь.
Итак, получается чисто периодическая дробь,
причем число цифр в периоде зависит только от
знаменателя Ьу а от числителя а не зависит 1.
1 Результат о числе цифр в периоде можно также получить
следующим, более кратким рассуждением. После того как при
последовательных делениях Wa, Wa,..., \0та на Ь впервые
получится остаток а, в частном определится наименьший период
а
дроби. Таким образом, число цифр в периоде дроби — равно
Ь
наименьшему показателю т, для которого \0**а s= a (mod b), или
так как (я, b) = \, \0m e= I (mod b), т. е. число цифр в периоде
равно показателю, которому принадлежит 10 по модулю b
Мы предпочли в тексте иное изложение, так как оно дает
более обозримую картину относительно особенностей самого
периода, о чем будет речь впереди.
152

3. Равенства A) показывают, что дробь
— ==— имеет период
b b
Т * * ЯъЯг-ЯтЯ\ и т- Д-»
о
а вообще — » »
ь
Таким образом, периоды дробей
Jj) J\ rm-\
b ' b 1-'"э 6
отличаются друг от друга только лишь круговой
перестановкой цифр. При этом период дроби — полу-
ь
чается круговой перестановкой цифр периода дроби
— на k знаков вправо, где k определяется из сравне-
ь
ния
которое следует из B), если перемножить k первых
сравнений.
п s
Пример. Пусть — = — . Так как 10 принадлежит
b 13
показателю 6 по модулю 13, то в периоде должно
быть 6 цифр. Это подтверждают равенства (Г), из
которых видно, что
1 = 0,C84615), Ji = 0,(846 153), ?-0,D61538),
13 13 13
- = 0,F15384), ^ = 0,A53846), - = 0,E38461).
13 13 13
По этим значениям можно также проверить
правила о смещении знаков периода, так как по модулю 13
10!-5s 11, 102-5 = 6, 103-5 = 8, 104-5 = 2, 105-5 = 7.
4. Если 10 не является первообразным корнем по
модулю Ъ (уш Ьфра, где а> 1, это всегда будет так,
ибо по таким модулям Ь, взаимно простым с 10, пер-
153

вообразные корни вообще не существуют), а
принадлежит показателю т<<рF), который, как известно,
должен быть делителем <рF), так что <р (й) = /тг• rf, то
несократимые правильные <р (Ь) дробей со знаменателем
b распадаются на d систем дробей
Го
b '
b '
0
b '
b
Si
b
h
b '
"¦•' ь
sm-l
'-' ь
'm-l
-' ь
из которых каждая имеет периоды (с одинаковым
числом т цифр в периоде), отличающиеся друг от
друга только круговой перестановкой одних и тех же
цифр (причем, согласно установленному выше правилу
о смещении знаков).
Действительно, если 10 принадлежит показателю т
по модулю Ь@ < т < <?(&)), то в периоде каждой
несократимой дроби со знаменателем b содержится т
цифр. Пусть дробь — имеет период {q\q2 ••• Ят), тогда
ь
такой же период с точностью до круговой
перестановки имеют дроби с числителями гь г2,..., гт_и
которые определяются по равенствам A).
Этими дробями не исчерпываются все правильные
несократимые дроби со знаменателем Ь.
Пусть 50 — числитель, отличный от всех rt.
Тогда — порождает согласно равенствам вида A)
ь
дроби с числителями sx, s2, ... ,<V-i (отличными от всех
Г/, так как дроби с числителями гь порождают дроби
только с такими же числителями), имеющие с
точностью до круговой перестановки период (рх Р2-~Рт)-
Продолжая начатые рассуждения, мы и придем к
указанным d системам дробей.
Периоды в разных системах не могут быть
получены друга из друга круговой перестановкой.
154

Допустим противное. Не ограничивая общности,
можно предположить, что период {рхр2... ДЛ) совпадает
с периодом (qxq2... дт). Тогда имеем системы
Юг0 _ bqi + Г|
1 Or, = bq2 + r2
где ro = rm и so = sm.
Из этих систем следует
\0sx = b-q2 + s
10 (r0 - s0) ==/-!- sx
10 (r^j -S,,^) ==ro--So>
откуда, в силу того, что r^s^O, умножением полу:
чим
что невозможно, так как т> 1.
Пример. По модулю 13 число 10 не является
первообразным корнем, а принадлежит показателю 6.
Поэтому правильные дроби со знаменателем 13
распадаются на =2 системы дробей с только чт©
б
указанными свойствами. С одной из них мы
ознакомились в предыдущем примере.
Если же исходить, например, из дроби — (ее чис-
13
литель отличен от числителей со знаменателем 13
в предыдущем примере), то получим вторую систему
дробей со знаменателем 13, а именно:
-^ = 0,@76923), ^ = 0,G69230), ^ = 0,F92307),
\о LO \о
- = 0,(923076), 4 = °.B30769)> - = 0,C07692).
13 13 13
Если 10 является первообразным корнем по
модулю Ь, то в системе B) остатки rt исчерпывают
приведенную систему вычетов по модулю Ь, а поэтому
получается одна система дробей со знаменателем Ь,
155

периоды которых содержат по у(Ь) цифр и получаются
друг из друга круговой перестановкой цифр. Если Ъ
к тому же еще является простым числом, то в
периоде имеем Ь— 1 цифру, т. е. максимально возможное
количество со знаменателем Ь.
Пример. По модулю 7 число 10 является
первообразным корнем. Поэтому правильные дроби со
знаменателем 7 имеют 6 цифр в периоде. Легко
убедиться, что
у = 0,A42857), у = 0,B85714), у = 0,D28 571),
у = 0,E71 428),, | = 0,G14285), у = 0,(857 142).
5. В заключение рассмотрим пример на
определение числа цифр в периоде: найти число цифр в периоде
при обращении несократимой дроби со знаменателем
6 = 41 в десятичную.
Решение 1. Показатель числа 10 по модулю 41
является делителем <рD1)=г40, т. е. одним из чисел
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Выясним, какое это число, последовательными
вычислениями по модулю 41:
Ю1 = 10, 102 = 18, 104^324==-4, юз ==-40 = 1.
Итак, в периоде со знаменателем 41 имеется 5 цифр.
Решение 2. Число цифр в периоде является
наименьшим значением х, которое удовлетворяет
сравнению 10* е=1 (mod 41).
Отсюда
jt-indlOsEEindl (mod 40),
8* з= 0 (mod 40),
х == 0 (mod 5),
или х^-Ъш
Наименьшее значение для х равно 5.
Решение 3. Так как число цифр в периоде не
зависит от числителя, то можно в качестве числителя
выбрать 1. Приписывая к ней нули и производя
последовательные деления, мы должны этот процесс
продолжать до тех пор, пока в остатке опять не появит-
156

ся 1. Этому процессу равнозначно последовательное
деление чисел 101— 1=9, 102— 1 =99 и так далее на
Ь, пока не получится деление без остатка. Очевидно,
при этом находится и сам период дроби —.
ь
Для 6 = 41 таким делением обнаруживаем, что
0,99999:41 =0,02439, так что ~ = 0, @2439).
6. Рассмотрим теперь обращение несократимой
дроби 4"в десятичную, когда b и 10 не взаимно про-
ь
стые. Пусть при этом b = 2*'5**bu где (Ьи 10) = 1,
а наибольшее из чисел а и р обозначено через п.
Тогда число
10*.а ^ 2п-'-5п-?-а_ ах
Ь Ьх Ьх '
Обращая несократимую дробь —, (bv 10) = 1 в де-
сятичную обычным способом, получим
Чтобы найти отсюда — , надо число
ъ
разделить на 10", т. е. перенести запятую на п знаков
влево.
Тогда получится смешанная периодическая дробь
с п цифрами между запятой и началом периода:
у = ?, ku k2... kn (qxqt... qm).
Итак, при обращении несократимой дроби — в де-
0
сятичную, где b = 2a-Si-bb(b1, 10) = 1, получается
смешанная периодическая дробь. При этом число цифр
в периоде равно показателю т, которому
принадлежит 10 по модулю Ьи а число цифр вправо от запятой
до первого периода равно п — наибольшему из чисел
аир.
Упражнения
206. Найти число цифр в периоде при обращении
несократимой дроби со знаменателем Ь в десятичную; значения Ь следующие:
157

1) 19, 29, 37, 43, 59, 67, 73, 89, 97; 2) 21, 33, 39, 49, 51, 77, 91;
3) 220, 1150, 2380, 26500 (в 3) указать также число цифр вправо от
запятой до первого периода).
207. Сколько имеется систем несократимых дробей со
знаменателем Ь, из которых каждая имеет периоды, отличающиеся
только циклической перестановкой; значения Ь — как в задаче
206-1) и 206-2).
208. В каждой из систем несократимых дробей со
знаменателем Ь (о которых говорилось в задаче 207) указать по одному
представителю, а также его десятичное выражение, если Ь = 39.
209. Найти числитель а правильных дробей
1) ~==0, (86301369) и 2) ^ = 0, C0136 986), если ~ =
73 76 73
= 0,@1369 863).
210. 1) Зная, что-- = 0, @588 235294117 647), найти период
-~; 2) зная, что -тг^О, @2439) и что — имеет период, отличаю-
17 41 41
щийся от периода —- только циклической перестановкой, найти
41
этот период.
211. Пользуясь результатами задачи 208, охарактеризовать
произведения числа 025641, т. е. периода дроби--: 1) на
некоторое k, где 1 < k < 38, (?, 39) = 1 (например, k = 37) 2) на 39;
3) на некоторое К = 39л + k, где п — натуральное число,
например 2.
212. Доказать, что если по модулю Ь число 10 является
первообразным корнем и— = 0, (qi — qm)> T0 тогда произведения
_—
Qm — Я\ ••• ?-»• 1) на k> где (k, b) = 1,1 < k < b, отличаются от Qm
только циклической перестановкой; 2) на b равны числу,
состоящем из т девяток, т. е. 10т —1; 3) на K = nb + k, где п — нату-
ратьное число и l^.k<b, имеют слева число я, а после
отбрасывания этого числа слева и прибавления его к оставшемуся
числу, получается одно из чисел, указанных в 1).
213. Сформулировать свойства, отмеченные в предыдущей
задаче, для случая, когда 10 принадлежит показателю т по модулю
b и y(b) = m-d.
214. Доказать, что для простого знаменателя /?, отличного от
2 и 5, с четным числом цифр в периоде сумма полупериодов
состоит только из девяток.
107
215. Найти вид периодической дроби для: 1) —, зная, что
~ = 0,@9), 1 = 0,@76 923); 2) J|, зная, что у = 0,A42 857);
^ = 0,@52 631 578 947 368 421).
158

§ 3. Проверка результатов арифметических действий
Пусть при сложении целых чисел Nx и Л2 получено
число N. Если сложение выполнено правильно, то
A1+iV2 = A. A)
Если по модулю т
Nx = rv N2 = г2, N == г (mod /я),
то в силу равенства A) должно быть
гх + r2 = r(modm). (Г)
Таким же образом (пользуясь при этом
аналогичными обозначениями), получаем:
если
NX-N2 = N, B)
то
rx — r2 = r (mod m)\ B')
если
NrN%~M, C)
то
гг-г2 = г (mod m); C0
если
NrN2 + Ns = N D)
(последнее соотношение имеем, если iV при делении
на Nx дает частное N2 и остаток Л^3), то
гХ'Г2 + гг=г (mod m). D7)
Соотношения, аналогичные отмеченным, можно,
очевидно, распространить на все случаи, когда над
числами производятся в какой-либо
последовательности действия сложения, вычитания и умножения.
Соотношения (Г) —- D") являются необходимыми
условиями правильности выполненных действий в A)—
D), но, очевидно, еще недостаточными.
Чтобы проверка была по возможности более
надежной и одновременно простой, в качестве модуля
целесообразно выбрать число 9, так как остаток чисел
при их делении на 9 равен остатку при делении суммы
цифр на 9, вследствие чего в проверке участвуют
все цифры, причем сама проверка является легкой.
Конечно, если в качестве модуля выбрать число 10,
то остатки можно найти еще проще, но такую про-
159

верку нельзя считать достаточно надежной, так как
в ней участвует только последняя цифра (справа)
данного числа. Надежность проверки значительно
увеличивается, если она выполняется не только по
модулю 9, но и по модулю 11.
Примеры: 1) Проверить правильность сложения
375819 + 726345 + 807611 = 1909775.
Абсолютно наименьшие вычеты чисел по модулю
9 в данном соотношении соответственно равны:
— 3,0 —4,2; таким образом, условие проверки —3 +
+ 0 — 4 = 2 (mod 9) здесь выполняется.
Легко понять, что при изменении порядка
следования двух последних цифр «суммы» или в случае
пропуска в ней нуля или цифры 9, условие проверки
не нарушается, между тем результат будет
неправильным. ,
2) Проверить правильность умножения
732-421-308172.
Здесь по модулю 9
732 s 3, 421 г - 2, 308172 s 3 (mod 9),
далее
3.(~2)==~6=3(mod9),
так что условие проверки выполнено.
Упражнения
216. Проверить результаты арифметических действий,
пользуясь модулями 9 и 11:
1) 208 973 + 163 786 = 372 759; 2) 387 912 - 203 756 = 185 146;
3) 2 МЗ-783 = 1 984 122; 4) 783 897: 3 914 = 200 (ост. 1097).
217. Указать способ проверки арифметического действия,
если |/*S"= Q с остатком R.
218. Проверить по модулю 9 следующий результат: |^73 818 =
-*271 с остатком 377.

Глава VI
АППРОКСИМАЦИЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
РАЦИОНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
§ 1. Представление иррациональных чисел
правильными бесконечными цепными дробями
1. Разложение действительного иррационального числа
в правильную бесконечную цепную дробь
В § 3, гл. III рассмотрено, как процессом
последовательного выделения целой части и перевертывания
дробной рациональная дробь а = —разлагается в ко-
ь
нечную непрерывную дробь
я = /,. 4--1- =(<7ь?2,...,</„) A)
Яп
и, наоборот, свертывание такой конечной
непрерывной дроби приводит к рациональной дроби.
Процесс выделения целой части и перевертывания
дробной можно применить к любому действительному
числу.
Для иррационального числа а указанный процесс
должен быть бесконечным, так как конечная цепная
дробь равна рациональному числу.
Выражение
Ях + -L~{ B)
42 + — +.
Яг :
(где все qt целые и, начиная с q2, положительные),
возникающее в таком процессе или заданное фор-
Б-530.-И 161

мально (т. е. безотносительно к тому, откуда взялись
числа qx, q2 и т. д.), мы будем называть правильной
бесконечной цепной или непрерывной дробьюх (и обо-
значать кратко через (qx, g2, q$, ...))> а числа qv q2 и
т. д. — ее элементами или неполными частными.
Если выражение B) возникло в процессе
последовательного выделения целой части из действительного
числа а, то будем также говорить, что оно является
разложением а.
Отметим, что разложение ос возможно только
в единственном виде, так как процесс выделения
целой части — процесс однозначный 2.
Рассмотрим пример разложения иррационального
числа а.
Пусть _имеем а = |/П. Выделим из_КП его целую
часть [т/^11] = 3, а дробную часть KIT --3, которая
< 1, представим в виде —, где fy^—zz—>!•
Повторяя операцию выделения целой части и
перевертывания дробной, мы получаем:
aeai==yTl =3 +—, о2> 1.
^ КП-3 2 "~ а3 ' ЛЗ
^ 2 ^2 (КП + 3) ^ 6 1 а j
3 1/ТТ-З 2 а, ' *4
1 До § 5 настоящей главы, как об этом уже отмечалось на
стр. 71 , мы будем рассматривать только правильные цепные дроби
и называть их просто цепными дробями.
2 Заметим, однако, тот факт, что иррациональное число а
можно разложить в цепную дробь единственным образом, еще не
означает, что i представимо цепной дробью единственным
образом, е ли понимать под этим то, что существует единственная
цепная дробь, имеющая значение а. Дело в том, что мы пока даже
не знаем, как сопоставить произвольно заданной цепной дроби
число. Естественно хотелось бы определить понятие числового
значения бесконечной цепной дроби так, чтобы а оказалось
равным своему разложению.
В дальнейшем мы выясним, как можно найти а, исходя из
элементов его разложения, и это подскажет нам, как ввести
понятие значения любой бесконечной цепной дроби.
162

Если остановиться на этом шаге, то можно эапи
сать
С другой стороны, из формулы для а3 видно, что
VTi =3 4 . Поэтому а4 = а2, вследствие чего, начи-
ная с этого момента, неполные частные станут
повторяться.
Заметим, что бесконечная непрерывная дробь,
в которой определенная последовательность неполных
частных,начиная с некоторого места, периодически
повторяется, называется периодической непрерывной
дробью. Если, в частности, периодическое повторение
начинается с первого звена, то цепная дробь
называется чисто периодической, в противном случае —•
смешанной периодической.
Чисто периодическая цепная дробь
записывается в виде
а смешанная периодическая
в виде
Итак, Kll разлагается в смешанную
периодическую дробь C, 3, 6, 3, 6....) или C, C, 6)).
В общем случае разложения действительного
иррационального а поступаем так же, как в примере.
Останавливаясь при этом в процессе выделения целой
части после &-го шага, будем иметь:
а = аг = qx -\ , где qx = [а^], <х2 > 1,
«2 = ?2 + -, где д2 = [а2), а3 > Ь
= Kb *k
C)
И* 163

так что
+
+ _i . D)
Числа аА называются остаточными числами порядка
k разложения а. В формуле D) имеем кусок
разложения до остаточного числа ak+v (Заметим, что
представление D) можно также отнести к рациональной
дроби ~ = 3Л, при этом, конечно, k < /г, а аЛ+1 может
й ь
быть и целое.)
Для бесконечной цепной дроби B) можно построить
бесконечную последовательность конечных непрерыв-
рых дробей
81 = <7ь 82 = (^i»^2)»--» h^iib 02» - > ft). ...
Эти дроби называют подходящими дробями.
Ясно, что закон образования соответствующих им
простых дробей будет такой же, как и для
подходящих дробей в случае конечных непрерывных дробей,
так как этот закон зависит только от неполных
частных qx, <72>«-->ft и совершенно не зависит от того,
является ли ft последним элементом или за ним
следует еще элемент qk+l. Поэтому для них сохранятся
также остальные свойства, которые выводятся из
закона образования числителей и знаменателей
подходящих дробей. В частности, мы имеем здесь* как и
в.§ 3, гл. III
1)
8 -^
* Q* k^
причем
Рн = ftP*~i + Pk-ъ Qk - ^ *
2)
откуда следует несократимость подходящих дробей
164

3) 8-8 i= ——.
Сравним теперь 'подходящую дробь оА+1 и кусок
разложения а до остаточного числа аЛ+1.
Имеем
* , 1 * ]
Як + ^
откуда видно, что вычисление <^+1 по 8Л формально
производится таким же образом, как вычисление а по
Ьк с тем лишь отличием, что в первом случае qk
заменяется на qk-\ , а во втором qh заменяется на
qk -\ . Поэтому на основании формулы
можно сделать вывод о справедливости следующего
важного соотношения
а =.
По этой причине мы пишем также
E)
хотя аЛ+1 не является здесь целым положительным
числом. При помощи формулы E) можно вывести
следующую теорему о расположении подходящих дробей
разложения действительного а.
Действительное число а всегда находится между
двумя соседними подходящими дробями своего разло*
эюения, причем оно ближе к последующей, чем к
предыдущей подходящей дроби К
Действительно, из E) следует
1 Рациональное число а совпадает со своей последней
подходящей дробью &Л+1 и находится между любыми двумя подходящими
дробями меньшего порядка.
165

aQk-i
Ho
a*+i > 1, Q* > Q*-i > 0, так что ak+l Qk > Q^t > 0.
Из этого следует:
1) a —8Л и 8Л_! — <* имеют одинаковый знак, а это
значит, что а находится между bk_x и 8ft;
2) I a — 8Л| < 18ft-1 ~ а |, т. е. а ближе к 8Л, чем к 8А-.1.
Теорема доказана.
Так как, «>81 = ^|| то a < 82, a > о3 и так далее;
отсюда приходим к следующему заключению о
взаимном расположении подходящих дробей:
1) а больше всех подходящих дробей нечетного
порядка и меньше всех подходящих дробей четного
порядка;
2) подходящие дроби нечетного порядка образуют
возрастающую последовательность, а четного
порядка — убывающую (в случае иррационального а
указанные последовательности — бесконечные), т. е.
(в случае рационального а 8л = а).
Учитывая, наконец, то, что при k— *oo Qk—*oov
вследствие чего
1о
приходим к дальнейшему выводу, что в случае
иррационального а сегменты [8|, 82], [83, 84],... образуют
стягивающуюся последовательность, которая, как изве«
стно, должна иметь единственную общую точку,
являющуюся общим пределом последовательностей
8i, 83,... и 8,, 84,...
166

Но так как а принадлежит всем сегментам
последовательности, то а и совпадает с указанной точкой,
так что
Итак, мы имеем следующий важный результат:
бесконечная последовательность подходящих дробей
bk, которая возникает при разложений
иррационального а, сходится к а, колеблясь около него. Или:
иррациональное действительное а равно пределу
последовательности подходящих дробей своего разложения
в бесконечную непрерывную дробь (процессом
выделения целой части).
2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей
Покажем, что сходящейся является
последовательность подходящих дробей не только такой
бесконечной непрерывной дроби, которая возникает при
разложении иррационального а, но и любой бесконечной
непрерывной дроби (qb q2, ...), где qx целое, a q2, q& •••
произвольно выбранные целые положительные числа.
Однако для этого нам предварительно придется
заново исследовать взаимное расположение
подходящих дробей, так как соответствующие результаты
предыдущего пункта выведены в связи с разложением а.
С этой целью рассмотрим формулы
A) и 18^-^-11 =
i
которые справедливы для любой бесконечной
непрерывной дроби.
1) формула A) показывает, что всякая подходящая
дробь четного порядка больше двух соседних
подходящих дробей, у которых порядок на единицу меньше
или больше, чем у нее, т. е.
Согласно этому Ьг и 83 расположены слева от 82> 83 и
Вб — слева от 84 и так далее.
2) формула B) показывает, что расстояние между
соседними подходящими дробями при увеличении k
167

убывает. Действительно, в силу того, что Qk+X > Qk~u
имеем
3) согласно этому свойству о3 ближе к 82, чем Ъи
а так как 8t и 83 находятся слева от 82> то 8! < 83 (см.
рис.). Из этого далее следует, что подходящая дробь
84, которая, как и 82, расположена справа от 8Э, ближе
к 83f чем 82. Итак, 84 < V
Подходящие дроби дальнейших порядков
располагаются подобным же образом.
Итак, подходящие дроби нечетного порядка
увеличиваются с ростом порядка, а подходящие дроби
четного порядка убывают с ростом порядка; при этом
все подходящие дроби нечетного порядка меньше всех
подходящих дробей четного порядка, т. е.
при любых k и /.
И так как 11т(8Л — 8Л-1) = 0, то пары подходящих
дробей [81э 62], [83, 84]>... образуют стягивающуюся
последовательность отрезков, которая должна иметь
единственную общую точку, являющуюся общим
пределом последовательностей 8,, 83,... и 82э 84,...
Обозначая этот предел через а, имеем Шп8Л = а, причем,
очевидно, 62Л_! < а < Ь2к для любых k4 т. е. а
находится между любыми двумя соседними подхрдящими
дробями.
Следовательно, подходящие дроби любой
бесконечной непрерывной дроби имеют некоторый предел а.
Этот предел а принимается в качестве значения
бесконечной непрерывной дроби. Говорят, что
бесконечная непрерывная дробь сходится к а или представляет
число а.
Теперь можно записать
168

подразумевая при этом, что
3. Единственность представления действительного
иррационального числа правильной бесконечной
цепной дробью
Учитывая результаты предыдущих пунктов, можно
утверждать, что для каждого действительного
иррационального а существует представление в виде
бесконечной непрерывной дроби. Таким представлением
является разложение а в бесконечную непрерывную
дробь, так как предел подходящих дробей последней
равен как раз а.
Возникает вопрос, сколько представлений
действительного иррационального а в виде бесконечных
непрерывных дробей существует вообще. Покажем, что
только одно. Другими словами: представление
действительного иррационального а в виде бесконечной
непрерывной дроби всегда является разложением а
с помощью выделения целой части 1.
Докажем это важное утверждение.
Пусть действительное иррациональное а
представлено бесконечной непрерывной дробью (qx, q2,... , qk,
)
т. е. a = lim(^1, ?2,..., qk).
Назовем теперь бесконечную непрерывную дробь
(qk, <7а+1,...) остатком данной дроби порядка k. Так
как любая бесконечная непрерывная дробь
представляет некоторое действительное число, то это
утверждение относится также и к остатку (qfcJ )
Обозначая его через dk, имеем
Ч = (^ Як+u-h т- е- ai = lim(ft
Г-+00
Аналогично
1 Можно сказать: разложения иррациональных чисел
исчерпывают все возможные бесконечные непрерывные дроби.
169

В силу этого из соотношения
предельным переходом получаем
Так как при
k>\ qk> h то все ак > 1, а—— < 1;
следовательно,
т. е.
Но так как «i — a, то #i = M и, ввиду равенства A),
ag равно остаточному числу 2-го порядка для а, т. е.
(согласно обозначению в 1 п. настоящего §) а2.
Тогда далее
fe^KHhl» а «з^^з и т- д-;
вообще в силу того что а'к = аЛ,
Элементы данной бесконечной непрерывной дроби
получаются, таким образом, из его значения а
последовательным выделением целой части; это и
требовалось доказать.
Вместе с тем установлено, что остаток
бесконечной непрерывной дроби a=(^lf q2, q$,.*.) порядка
k+ I o^+1 совпадает с ее остаточным числом
порядка k + 1 аЛ+1.
Поэтому формула E) 1-го пункта остается
действительной, если под ад+1 будем понимать остаток
бесконечной непрерывной дроби порядка k+ 1.
Исследования настоящего параграфа приводят нас
к следующему основному результату: каждое
иррациональное действительное число а единственным
образом представляется бесконечной непрерывной
дробью вида (qu q2,,..) и, наоборот, каждой
бесконечной цепной дроби соответствует единственное ирра-
170

циональное действительное кисло, которое она
представляет.
Можно поэтому утверждать: множество всех
действительных чисел взаимно однозначно отображается
на множестве всех непрерывных дробей (если
условиться, что для конечных непрерывных дробей
берется последнее qn > 1). При этом рациональным
числам соответствуют конечные непрерывные дроби, а
иррациональным — бесконечные дроби.
Упражнения
'Т-Ы
219. Найти разложение и подходящие дроби для а = ¦
Отметить свойство последовательности знаменателей (а также
числителей) этого разложения (получаемый ряд носит имя Фибоначчи,
см. D0)).
220. Найти действительное число а, имеющее подходящую
дробь Ьк и остаточное число с^ . Значения bk и а х:
.) '{, Y1 Ъ % V,
221. Найти разложение действительного числа а в цепную
дробь, если а имеет подходящую дробь bk и остаточное число
10 ,— 37 1 + УЗ"
Vr Значения Ьк и «Л+1: 1) у, \ 3; 2) -, .
222. Не разлагая действительное число а в цепную дробь,
установить, может ли оно иметь подходящую дробь й?
ig _ 37
Значения я и Ь: 1) JA10, — ; 2) J/7, 77.
6 14
223. Теореме о расположении подходящих дробей разложения
действительного а дать наглядное истолкование Ф. Клейна,
приняв (ограничиваясь положительными числами) следующие усло-
у
вия: рациональной дроби — (сократимой или несократимой) с
л
положительными х и у сопоставим точку М{х, у), так что
у
— .z= tg МОх, а иррациональному а — иррациональный луч ОМа
(Ма~ любая точка этого луча), для которого tg Ма0х = а.
( У
|Если ——несократимая дробь, то на отрезке ОМ нет целых то-
\ х
чек; на иррациональном луче ОМа нет целых точек, кроме О;
У\ У
— > — означает, что <с МЮх *> <^ МОх; если луч ОМ лежит
хх х '
между лучами ОМ^ и ОМ2, то будем это записывать символически
171

0Ми ОМ, ОМ2\Л в частности, пусть подходящим дробям bk
и B^_j сопоставлены точки Ми и Mk__v а действительному числу
а —луч ОАГд, если а иррационально, и точка Мл, если а дробь
Сделать чертеж.
§ 2. Приближение действительного числа
рациональными дробями
с заданным ограничением для знаменателя
1. Постановка задачи
Рассматривая задачу приближения действительного
числа а (рационального или иррационального)
рациональной дробью —, надо иметь в виду, что так как
я
множество рациональных чисел всюду плотно, то
существуют, конечно, рациональные дроби, сколь
угодно близкие к любому а.
Если даны а и положительное число s, то всегда
существует рациональная дробь — такая, что
я
р
т. е. любое действительное а может быть
аппроксимировано рациональной дробью с любой степенью
точности.
Основные проблемы, которые здесь возникают,
заключаются в следующем:
1) Если даны айв, найти, как велико необходимо
взять #, чтобы добиться приближения с точностью
до s?
2) Если же даны а и q или некоторое ограничение
сверху для #, установить, сколь малым можно
сделать s?
2. Оценка погрешности при замене действительного числа
его подходящей дробью
В вопросах приближенного представления
действительных чисел (рациональных и иррациональных)
рациональными дробями очень большое значение имеет
аппарат непрерывных дробей.
172

Раньше, чем его практически применить, найдем,
оценку погрешности, возникающей от приближения
действительного числа а его подходящей дробью.
Как уже известно, точное значение непрерывной
дроби (конечной или бесконечной) находится между
двумя соседними подходящими дробями.
ftf « ftf + f
Это дает нам возможность оценить погрешность,
возникающую при замене точного значения
непрерывной дроби'ее подходящей дробью, а именно:
1«Л1<18Л1
причем знак равенства следует брать только в том
случае, когда а = 8Л+1. Но так как
где qk4-\> 1, a Qft и Qk_x целые положительные, то
Q*+i>Q* + Q*-i>Q*
Поэтому
1 1 1
QkQk+l
Таким образом, получаем следующие оценки
погрешности |а —8Л|:
_, „^k—.
из которых первая является наиболее точной, а
последняя — наиболее грубой.
3. Приближение действительного числа подходящими дробями
Решение поставленной в заголовке задачи начнем
с рассмотрения нескольких примеров.
Пример 1. Рассмотрим задачу, аналогичную той,
с которой встретился голландский математик X.
Гюйгенс A629—1695) при построении модели солнечной
системы с помощью набора зубчатых колес и кото-
173

рая привела его к открытию ряда важных свойств
непрерывных дробей.
Пусть требуется, чтобы отношение угловых
скоростей двух зацепляющихся зубчатых колес II и I
было равно а.
Так как угловые скорости колес обратно
пропорциональны числам зубцов, то отношение чисел зубцов
колес I и II должно быть равно а. Если а несократи-
N
мая дробь — с большими числителем и знаменате-
п
1261
лем, например—, то для точного решения задачи
881
возникает техническая трудность изготовления колес
с большим количеством зубцов.
Задачу можно технически упростить при помощи
колес с меньшим числом зубцов. При этом важно,
чтобы отношение этих чисел было, по возможности,
ближе к заданному отношению. Хорошего
удовлетворения поставленных требований можно добиться,
если воспользоваться непрерывными дробями.
Пусть, например, поставлено требование заменить
Nun меньшими числами Nx и пх так, чтобы пх < 100
и чтобы отношение —- было, по возможности, ближе
N
Применяя аппарат цепных дробей, можем дать еле-
10RI
дующее решение этой задачи: разлагаем в непре-
881
рывную дробь и берем ее подходящую дробь с
наибольшим знаменателем, не превышающим 100. Легко
проверить, что
^ = A, 2, 3,7, 8, 2).
Составляя схему, находим
У*
St
1
1
2
i
3
10
7
73
51
•
594
415
2
1261
881
174

Поставленному условию удовлетворяет подходящая
дробь
4 5Г
При этом допущенная погрешность
п
1261
881
73
51
1
51415
< 0,0001,
т. е. весьма незначительна.
Задачу можно было бы иначе поставить: заменить
v
— рациональной дробью с возможно меньшим знаме-
п
нателем так, чтобы отклонение от данного отношения
не превосходило бы 0,0001. При такой постановке
задачи надо, пользуясь непрерывными дробями,
отыскать подходящую дробь Ьк = -? с
Qk
Q
наименьшим зна-
Qk
менателем Qk так, чтобы Qk-Qk+\ > 10000.
Ответом и здесь является подходящая дробь --.
51
Заметим, что для иррационального а по существу
возможно лишь приближенное решение задачи.
Пример 2. Как нам уже известно, У\\ ===C, C,6)).
Поставим перед собой задачу вычислить }/11 с
точностью до 0,001.
Для ее решения, как уже на это указывалось в
конце предыдущей задачи, придется найти такую
подходящую дробь §? = — разложения ]/11, чтобы QkX
1 Q*
X Qk+\ > - = 1000. Сделаем это, используя схему
и , uui
Як
Рк
Qk
1
0
3
?
3
10
3
6
63
19
3
199
60
/»*J
Очевидно, нам достаточно взять 83=—» так
как
1У
19-60 > 1000. Это значение будет равно |/ГТ с
точностью до 0,001, причем с недостатком, так как 83 —
подходящая дробь нечетного порядка.
175

Мы можем — представить в виде десятичной
дроби, причем имеем право взять 3 знака после запятой,
так как — является приближенным значением для
У11 с точностью до 0,001. Получаем —^3,316. (Мы
округляем по избытку, так как— является прибли-
1У
женным значением с недостатком, однако уже не
можем теперь ^сказать, будет ли 3,316 приближенным
значением Kll с недостатком или избытком.)
Задачи, рассмотренные нами в примерах, в более
общем виде формулируются так:
1). Найти рациональное приближение к
действительному числу а со знаменателем < п в виде
наиболее близкой к а подходящей дроби.
Для этого надо взять подходящую дробь для а с
наибольшим знаменателем < п.
2). Найти рациональное приближение к
действительному числу а с возможно меньшим знаменателем
так, чтобы погрешность не превосходила е (т. е. с
точностью до е). Для этого, пользуясь аппаратом
цепных дробей, находим подходящую дробь 6/5,=-^снаи-
Qk
меньшим знаменателем Qk так, чтобы QA- Q^+i > —.
е
Заметим, что приближение подходящими дробями
иррациональностей степени выше второй представляет
значительные трудности. Рассмотрим
соответствующий пример.
Пример 3. Найти подходящую дробь к /2 с
точностью до 0,01.
Решение 1. Имеем а = у^2 = 1 Л . Для оцен-
«2
ки целой части а2 можно исходить из того уравнения,
которому а2 удовлетворяет. Чтобы его найти,
заменим в левой части уравнения а3 — 2 = 0 число а
выражением 1 Н . Практически уравнение относительно
а2 находят, разлагая левую часть данного уравнения
176

по степеням разности а — 1 = —, применяя для это-
а2
го формулу Тейлора и схему Горнера .
Последовательно имеем тогда для а2, а3 и а4
следующие схемы, уравнения и оценки:
II 0 0 —2
1 1
1 2
1 3
а* - За2, - 3a.2 - 1 = О,
3<a2<4, a2 = 3 + —;
3.
3
3
3
1
1
1
1
-3
0
3
6
— 3
-3
6
2
-10
lOag - 6a2 - 6*s - 1 = 0,
1< a3 < 2, a3=l+ — ;
1
1
1
10
10
10
10
-6
4
14
24
— 6 -1
— 2 -3
12
ЗссЗ - 12<%2 - 24а4 -10 = 0,
5<«4<6, а4 = 5 + -|-.
Таким образом,
/2
= (l, 3, 1, 5,...),
1 См., например: Л. Я. Окунев, Высшая алгебра, Учпедгиз,
1958, § 28 и 41.
Б-530. —12
177

так что
s
23
Указанный способ решения можно применить для
нахождения подходящих дробей иррациональности,
определенной некоторым уравнением.
Решение 2. Можно выделять целую часть из
а2, а3, а4 непосредственно.
0^= _- = L_^ = 3 -| ,
у2~ 1 1 аз
3 —. 3
так как 1,5 < у 4 < 1,6, 1,2 < у 2 < 1,3, что легко
найти; далее
1 , , 1
- 2
"*
если учесть, что при указанных границах для
\ 2 имеем f>«a>f
Определим теперь Зз^О* 3, 1) к а и а4 по
формуле а^+1=—*=± *=1- , вытекающей из E), стр. 165,
aQk — ?k
так как из такого выражения для а4 легче выделить
его целую часть, чем из полученного выше
соотношения для а4. Имеем
Як 13 1
25)
поэтому
или
ч
4-3^2"
4 ^2- 5
0
D-3
4.^Т-
1 4
1 3
YT) об
3
^ . 1
3
+ 4
5
4
"+20
«4 = 5 +
178

если учесть хотя бы вышеуказанные границы для
и
Таким образом, так же как и в решении 1,
находим j/2 = (l, 3, 1, 5,...) и т. д.
4. Теорема Дирихле
А. Во 2-м пункте настоящего параграфа мы нашли
оценку погрешности, возникающей при замене любого
действительного числа а рациональными дробями
определенного типа, а именно: подходящими дробями.
Закономерность возможного приближения любого
действительного числа а рациональной дробью,
независимо от того или иного ее вида, выражает
следующая важная теорема, которая носит имя Дирихле.
Теорема Дирихле. Пусть а и т> 1
действительные числа; существует несократимая дробь — ,
ь
для которой
а
Ь
[или: существует такая пара взаимно простых целых
чисел а и Ь, что | bo. — а\ < — , 0 < Ь < т j.
Содержание теоремы Дирихле можно выразить и
так: для любого действительного а и произвольного
т > 1 существует рациональное приближение — сточ-
ь
ностью до —, где 0<й<^, например для У19 су-
ществует рациональное приближение — с точностью
ь
до , причем b не больше 1000.
Теорему легко доказать с помощью аппарата
цепных дробей.
1 Если 1 отлично от натурального числа, то знак равенства
отпадает.
.12* O9

Пуст^ ~ подходящая дробь числа а; выберем
наибольший из знаменателей Qk, не превышающий т, т. е.
наибольшее k, чтобы Q,<x и положим — = ^
Не останавливаясь на тривиальном случае, когда
===Q/ имеем
поэтому
а-±
а —
Qk
Теорема доказана.
Б. Сам Дирихле дал другое доказательства,
использовав в нем принцип, который носит теперь имя
Дирихле: при распределении N объектов между N—1
ящиками хотя бы в одном ящике должно находиться
2 объекта.
Ввиду общей значимости принципа Дирихле,
приведем упомянутое доказательство.
Пусть t = [т]. Рассмотрим совокупность t + 2
чисел, состоящую из 1 и значений дробных частей {ха\
АЛ? Хл~~гР9 !>•••» t (причем, как известно, {ха\ = ха —
- М, 0 < {ха} < 1).
Очевидно, каждое из чисел этой совокупности
принадлежит точно одному из t + 1 промежутков
из которых первые ^ являются полусегментами, а
последний — сегментом.
О 1
Так как чисел у нас t + 2, то (согласно принципу
Дирихле) обязательно найдется такой промежуток,
который содержит 2 числа из совокупности \ха\ и 1.
Разность этих двух чисел не превосходит длину
содержащего их промежутка, т. е. < —?— < —
?4-1 т
180

1. Если такими числами являются {хха\ и {лг2а}, то
I {*2а} - {*!*} Н|(^2-^)а- AХ2а1 - [*!*]) I-
Пусть
х2 > хх и х2 — хх = 6, [x2aj — [х}а\ = а.
Так как 0 < b < / < ?, то
| 6а — а |< — , 0 < 6 < т.
2. Если {^*за} и 1 принадлежат одному промежутку,
то
11 — 4*3*} i = I 1 — *за + [*А I = кза "" A + [*за]) |.
Пусть в таком случае
xz = b, I + [хга] — а.
Очевидно, и здесь 0 < b < t < т, так что
|fta —а|<—, 0<6<т.
т
Теорема доказана.
Заметим, не останавливаясь на этом подробно, что
главное преимущество применения принципа Дирихле
заключается в том, что его легко применить для
обобщения рассматриваемой задачи (приближения
действительного а к рациональному —) на случай не-
b J
скольких действительных чисел. Кроме того, метод
Дирихле имеет огромное значение в учении о
приближенном решении уравнений в целых числах, т. е. в
теории диофантовых приближений.
В. Примеры применения теоремы Дирихле.
1. Найти приближение —кт^Тэ с точностью до
ь
1
1006 • _
Разлагая У19 (вычисления опускаем), находим
= Df B, 1, 3, 1, 2, 8)).
181

Из схемы
1
0
4
4
1
2
9
2
1
13
3
3
48
11
1
61
14
2
170
39
8
326
видно, что наибольший знаменатель Qk < 100 равен
39. Поэтому в качестве решения можно взять дробь
170
39 '
TR 170
39
/19-
1
100-39"
2. Доказать, что каждое простое число р = An + 1
есть сумма двух квадратов.
Так как (— 1) является квадратичным вычетом
такого р (см. свойство III символа Лежандра), то
существует такое k, что
?2еее — l(mod/?).
Возьмем а==— и х =]//?; тогда согласно теореме
Дирихле существуют такие целые числа z и х, что
— — — < —^7=» ° < х < Ур-
Р х xVp
Введем обозначение
y=kx—pz, так что \у\<]/р>
Так как
то
откуда
а так как
то должно быть
у2 = k2x2 = —x2 (mod /?),
х2 + у2 = 0 (mod /?),
х2<Р, У2<Р,
Х*+У2==ри A)
Заметим, что (х, у) == 1, так как из (х, у) = d=fi\
следовало бы, что х2 \ d2, y2\d2 и р\ d2y а это
невозможно.
182

Полученный результат можно выразить так:
уравнение A), где р = 4п + \ нечетное простое число,
всегда имеет решение во взаимно простых целых
числах х, у (в п. 2, § 5, гл. VIII будет показано, что в
натуральных числах — только единственное).
Доказательство указывает путь, как найти
решение. Практически целесообразнее вычислять разности
р — I2, /?-~22,..., пока не получится квадрат.
5. Подходящие дроби, как наилучшие приближения
А. В рассмотренных примерах мы видели, что
подходящие дроби хорошо аппроксимируют
действительные числа. Они дают в общем куда лучшие
приближения, чем приближающие десятичные дроби с
примерно такими же знаменателями, что у подходящих
дробей.
В самом деле, округляя десятичное выражение
действительного а до п-то знака после запятой, мы
тем самым представляем а приближенно дробью
— со знаменателем q = 10", причем погрешность
_ JL
ч
если же — подходящая дробь к <х, то, как известно,
я
так что при сколько-нибудь значительном q величина
— во много раз меньше, чем —.
Так, например, десятичное выражение числа тс =
= 3,1415926... в виде рациональной дроби со знаме-
Q1Л
нателем < 100 имеет вид 3,14 = — откуда |тс—3,14|<
1UU
< 0,0016. Если же тс разложить в цепную дробь,
получается
тс = C, 7, 15,...),
1 3 22 333
о, =
k 0 J 1 ' 7 ' 106"
183

Наибольшей подходящей дробью для тс со знаме-
22
нателем < 100 является число —, известное уже
Архимеду, причем
1 22
Итак, приближение подходящей дробью дает
большую точность при значительно меньшем знаменателе,
чем приближение десятичной дробью.
Основой рассматриваемого факта является
большая гибкость аппарата цепных дробей по сравнению
с аппаратом десятичных дробей: в то время как
знаменатели подходящих дробей полностью
определяются арифметической природой изображаемого числа,
знаменатели приближающих десятичных дробей не
могут быть иными, как только 10".
Естественно возникает теперь вопрос, нельзя ли
при том же или меньшем знаменателе, что у
подходящей дроби, найти такое рациональное число,
которое дало бы еще лучшее приближение, чем
выбранная подходящая дробь. Оказывается, что это
невозможно. Имеет место следующая замечательная тео-
* Р
рема: если рациональное кисло о = — ближе к
действительному числу а, чем его подходящая дробь
bk = ~-> где k>\, moQ>Qk, т. е., если \а — 8|<
<|а-8л|, то Q>Qk.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда
а^8А (так как иначе теорема теряет смысл). Тогда а
всегда лежит между любыми двумя последующими
подходящими дробями, так что для k > 1 а всегда лежит
между 8л-1 и 8Л, причем а ближе к 8Л, чем к bk_v
Поэтому, если 8 ближе к а, чем 8ft, то оно
находится между ок_г и bk.
В случае четного k можно записать
»*_! < Ь < h
(в случае нечетного k доказательство существенно не
изменяется), откуда
184

или
О
о< ^'-gy, <__!_
откуда
Так как PQk^x — QPk-\ число целое и
положительное, то из предыдущего неравенства следует Qk < Q,
что и утверждается в теореме.
Попутно нами еще установлено, что любая рацио-
нальная дробь 8 = — , принадлежащая интервалу
(V-i> &*)» * > 1» имеет знаменатель Q > Qk> Qk-\-
Заметим, что для k==l теорема неверна:
8 = — может оказаться ближе к а, чем его
подходящая дробь 81==—I =-2l = qv хотя Q= Qx = 1. Так,
например, для а = 1/15 81=—, однако — ближе к а.
Доказанная теорема приводит нас к определению
понятия наилучшего приближения: рациональную дробь
— называют наилучшим приближением
действительного а, если любая более близкая к а рациональная
дробь — имеет больший знаменатель, чем — , т. е.
d Ь
если из
— следует d> b.
b
Таким образом, подходящие дроби являются
наилучшими приближениями, например Архимедово число
— для ти является наилучшим приближением.
Заметим в заключение, не останавливаясь на этом
подробно, что подходящие дроби не являются
единственными наилучшими приближениями в указанном
смысле.
185
а —
с
—
d
а -
а
b

Б. Во 2-м пункте настоящего параграфа мы
доказали, что для оценки погрешности |а —8J,
возникающей при замене любого действительного числа а его
подходящей дробью 8* = — t можно пользоваться
неравенством
Выразим этот результат по отношению к
действительным иррациональным числам а, имеющим бесконечное
множество подходящих дробей, следующим образом:
для любого действительного иррационального а
существует при с = 1 бесконечное множество несократи-
Р
мых дробей—, таких, что
р
а ~
О
с
<¦-¦ а)
Такими дробями являются, например, все
подходящие дроби для а
* Q*'
Возникает вопрос о существовании меньших
значений с (чем с=1), для которых неравенство A)
допускает для любого действительного иррационального
а бесконечное множество решений в виде
несократимых дробей —.
(Указанный вопрос можно поставить и так: при
каких меньших значениях с (чем с = 1) существует
для любого действительного иррационального а
бесконечное множество (несократимых) рациональных
Р с \
приближений —, погрешность которых < —— . j
Оказывается, что такие числа с существуют.
Теорема. Для любого действительного
иррационального числа а существует при с = —
бесконечное множество несократимых рациональных дро-
186

р
р
бей—, таких, что выполняется неравенство^),
т. е. неравенство
Такими рациональными дробями могут быть
только подходящие дроби к а.
Справедливость первой части утверждения следует
из того, что из двух последующих подходящих
дробей
•> Pi? ¦> ъл-л
при &>,1 по крайней мере одна удовлетворяет
неравенству A')-
Действительно, если допустить противное, то мы
имели бы
откуда
Но так как а лежит между §А и 8Л+1, то
I« — »* '• -ь !«— »*+i I — Iе* — 8*+11 —ягй
вследствие чего
l lJ Qfi
а это для k > 1 невозможно.
Вторая часть теоремы вытекает из достаточного
признака подходящей дроби к действительному числу
р
а: если —-, где Q > 0, несократимая дробь и для
действительного а имеет место неравенство (V), то
р
— является подходящей дробью к а.
Для доказательства этого признака достаточно по-
Р Рь
казать, что, принимая - = (ql% q2,..., ^) = ^,удов-
v Qk
187

летворяющее условию теоремы, в качестве
подходящей дроби к а, соответствующее остаточное число
ak+\ Разложения данного а в цепную дробь окажется
> 1. Но это действительно так, ибо из
*k-l
Qk
2<Й
следует aA+1Qft — Qk^ > 2Qk, откуда
Ч+i
в силу того, что
?*-!
Достаточное условие подходящей дроби имеет
важное значение: с его помощью можно, например,
решить уравнение Пелля х2 ~ ау2 = 1, где а > 0 и
У а — иррациональное число (см. § 4 настоящей гл.).
Заметим, что достаточный признак подходящей
дроби не является ее необходимым признаком; могут
существовать подходящие дроби для а (их может
даже быть бесконечно много), которые ему не
удовлетворяют.
Крайнюю возможность уменьшения с в указанном
раньше смысле выражает теорема Гурвица — Бореля:
для любого действительного иррационального числа
а существует при с = —?=- бесконечное множество
р
несократимых рациональных дробей -, таких, что
выполняется неравенство A), т. е. неравенство
a
если же с <
.-7Г-. <Г'>
K5Q*
то существуют такие действа-
тельные иррациональные а, для которых неравенство
{[) имеет не более конечного числа рациональныхре-
р
тений — (о последних мы говорим, что они «плохо»
188

приближаются рациональными дробями; такими,
например, являются все квадратические
иррациональности, т. е. иррациональные корни квадратных
уравнений с целыми коэффициентами (см. § 3, настоящей
гл.)).
Справедливость первой части теоремы вытекает
из того, что из трех соседних подходящих дробей
^/ — — э i = k, k + ly k + 2 действительного а по край-
Q/
ней мере одна удовлетворяет условию |а — 8/|<
< . Это утверждение оставим без
доказательно2/
ства. По второй части теоремы ограничимся
замечанием относительно того, что достаточно доказать
существование таких действительных иррациональных
а, для которых при с < —— неравенству A)
удовлетворяют не более конечного числа подходящих дробей
к а, так как согласно предыдущей теореме других
рациональных дробей (кроме подходящих),
удовлетворяющих A) при с< —, вообще быть не может.
Заметим в заключение, что последним теоремам
можно дать и другое очень важное истолкование.
Рассмотрим для этого уравнение
сис-у = О, B)
где а— любое действительное иррациональное число.
Исключая тривиальное решение х==у = 0, уравнение
B) не может иметь решений в целых числах. Однако
можно поставить задачу о приближенном его
решении в целых числах, т. е. о нахождении таких пар
чисел х (х > 0) и у, чтобы
или
X
Теорема Гурвица — Бореля показывает, что для
~ всегда существует бесконечное множество
189

таких пар; если же с < —^г , то существуют такие
действительные числа, для которых таких пар имеется
лишь конечное множество.
Новая точка зрения получает в содружестве с
методом Дирихле весьма значительное применение в
теории диофантовых приближений.
Упражнения
224. Пользуясь аппаратом цепных дробей, заменить дробь
— дробью —— так, чтобы пх ^ 100 и чтобы было по воз-
п пх щ
можности ближе к —; оценить допущенную погрешность е ;
^ «ч 1847 857 1499 2099
п } 379 ' } 149' ' 647 ' ' 593 '
225. Пользуясь аппаратом цепных дробей, заменить дробь
N Nx
— дробью с возможно меньшим знаменателем я, так, чтобы
п пх
допущенная при этом погрешность не превышала е. Значения
N 1741
— и s: 1) из примеров предыдущей задачи с ? = 0,01; 2) »
п 293
226. Пользуясь аппаратом цепных дробей, найти для \fa
рациональное приближение с наибольшим знаменателем пх ^ b и
оценить допущенную погрешность е: 1) «=15, щ ^ 10; 2) #=17,
я, < 10; 3) а = 23, пх < 50; 4) а = 31, я, < 100.
227. Среди подходящих дробей разложения а найти
приближение к а с возможно меньшим знаменателем так, чтобы
допущенная погрешность не превышала е: 1) а===Т/Г261_ е = 0,001;
2) а = К37, в = 0,001; 3) а = "^29, в = 0,001; 4) а = К19, « = 0,01.
228. То же, что в предыдущей задаче, для
2). =
з) a=iri±iL_O(O1;4)_ja
7
5) а=
4
190

229. Найти для разложения е = 2,718 281 828... в цепную дробь
ее неполные частные до qe и подходящие дроби до &6; оценить
погрешность для В6 и выразить эту подходящую дробь в виде
десятичной дроби.
3 -
230. Найти подходящую дробь к у 10 с точностью до 0,01.
231. Среди__подходящих дробей разложения а найти наилучшее
приближение а со знаменателем пх ^ Ь и оценить допущенную
погрешность е:
7" , п, < 100; 2) а =
232. Сформулировать теорему о том, что любая рациональная
р
дробь & = —, принадлежащая интервалу (&. ,, ^)> &>1* имеет
знаменатель Q> Qk*>Qk_v пользуясь интерпретацией Ф. Клейна
(см. задачу 223).
233. Найти разложение простого числа р на сумму двух
квадратов; значения р: 97, 137, 157, 173, 181, 193, 197, 281, 317.
§ 3. Квадратические иррациональности
и периодические цепные дроби
Иррациональный корень квадратного уравнения с
целыми коэффициентами называется квадратшеской
иррациональностью. Общий вид действительной ква-
дратической иррациональности следующий
где а, Ь, с — целые числа, а Ъ > 0, но не является
квадратом целого числа.
Раскладывая квадратическую иррациональность
в непрерывную дробь, мы заметили, что
получается периодическая непрерывная дробь (см. § 1,
настоящей гл.). Оказывается, что это не единичное и
частное явление, а общая закономерность.
Справедлива также обратная теорема, с
рассмотрения которой, как более легкой, мы и начнем
настоящий параграф.
Теорема: всякая периодическая непрерывная
дробь изображает квадратическую иррациональность.
191

Доказательство. Пусть ос смешанная
периодическая цепная дробь, т. е.
где
(
чисто периодическая цепная дробь.
Обозначим подходящие дроби к а и а' соответ-
Pi p'i
ственно через — и --.
Q/ Q,
Так как
то согласно формуле E) из 1-го пункта § 1
настоящей главы
Из этой формулы видно, что а' удовлетворяет
квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Кроме
того, а7 — число иррациональное, так как оно
представляет бесконечную непрерывную дробь.
Таким образом, о! является квадратической
иррациональностью.
Но по той же формуле
ц
«*•' + %-х
поэтому и а является, очевидно, квадратической
иррациональностью.
Труднее доказать обратную теорему, которая
носит имя Лагранжа.
Теорема Лагранжа: всякая действительная
квадратике екая иррациональность изображается
периодической непрерывной дробью.
Доказательство: пусть а действительный
иррациональный корень квадратного уравнения
аа?+ Ь<х + с = О A)
с целыми коэффициентами а, Ь, с.
192

При разложении а в непрерывную дробь получаем
где а' — остаток а порядка k + 1.
Подставляя выражение для а из B) в A), получаем
после преобразований (которые ввиду их
тривиальности опускаем)
AkV + Bk*'+Ck = 0, C)
где
' Ak=;aPl + bPk.Qk + cQl,
Bk = 2aPkP^1 + b (PkQk_x + Pk^Qk) + 2cQkQk_v D)
Ck = aPLx + bPk_xQk^ + cQUu
Отсюда во-первых, видно, что
Q-Ak-i; E)
во-вторых, можно непосредственным вычислением
установить, что
В\ -> 4AkCk - (б2 - 4ос) (PftQ^! - QkPk-x? = b2- Aac.
F)
Таким образом, дискриминант уравнения C) такой
же, как и дискриминант уравнения A), откуда
следует, что он от к не зависит.
Идея доказательства в дальнейшем заключается в
том, чтобы показать, что при данном а коэффициенты
Ak, Bk и Ck ограничены по своей абсолютной
величине.
Если этот факт на самом деле имел бы место, то
это означало бы, что коэффициенты, будучи целыми
числами, могут принимать только конечное число
различных значений. Вместе с тем и число возможных
уравнений C) было бы конечным, хотя k пробегает
бесконечное множество значений.
Но в таком случае и остатки си' (которые
определяются из C)), число которых бесконечно, могли бы
принять только конечное число различных значений.
Поэтому должны были бы существовать остатки а' с
одинаковыми значениями, а это уже означает, что
непрерывная дробь — периодическая.
Б-530.-13 193

Итак, попытаемся доказать, что Ak, Bk и Ck
ограничены по абсолютной величине. Достаточно сделать
это для А& так как, в силу соотношения E), из
ограниченности Ak уже как следствие вытекает
ограниченность Ck и далее, в силу равенства F),
ограниченность Bk.
Как известно из свойств подходящих дробей,
или
откуда
Q~k~a~~oJ'
Поэтому из первого равенства D) имеем
^ к
1 . о 1 1
— 2aa-e
Так как аа2 + ?а + с = 0, то из предыдущего дальше
следует
\АА= -амв + я.».-
а это и доказывает ограниченность \Ak\.
Согласно вышеизложенному, этим завершается
также и доказательство теоремы Лагранжа.
Отметим еще без доказательства следующие
свойства разложений квадратических иррациональностей;
1) при разложении квадратного корня из целого
положительного числа, не являющегося полным
квадратом, период начинается со второго звена;
194

2) чисто периодическая цепная дробь получается
тогда и только тогда, когда квадратическая
иррациональность _
а сопряженная иррациональность а', т. е.
лежит в интервале (— 1,0).
Примеры. 1. Составить уравнение, один из корней
которого разлагается в периодическую непрерывную
дробь (B, 3, 1)), и найти значение этой дроби.
Решение: х = B, 3, 1, 4
Составляем схему вычисления числителей и
знаменателей подходящих дробей:
I 2 I 3 | I ! х
Итак, х =
1
о
4х + 3
9л:+ 7
4х 4-3
откуда получаем
— 6л: — 7 = 0.
Положительное решение этого уравнения дает
искомую периодическую дробь (B, 3, 1)) =* —.
Заметим, что
3 4- I '37
> 1, а
з - У37
лежит в ин-
4 4
тервале (— 1,0).
2. Составить уравнение, один из корней которого
разлагается в смешанную периодическую дробь D,
B,1)), и найти значение этой дроби.
Решение: х = D, у), где j/ = B, 1, у).
Составляем схему для вычисления числителей и
знаменателей подходящих дробей у:
1
0
2
2
1
1
з
1
Зу
У
У
4-
4-
2
1
13*
195

Следовательно,
y + i у
Определим у из у2 — 2у — 2 = 0.
Так как у > 0, то мы должны взять положительный
корень этого уравнения у = 1 + l/з. Поэтому для х
имеем
+
1 + УЗ"
Таким образом, искомая дробь D, B,1)) = .
Для соответствующего квадратного уравнения
имеем __
2х - 7 = 1/3,
откуда получаем 2л:2 — 14л: + 23 = 0.
Заметим, что при решении данной задачи можно
было сначала из х = 4 Н найти у = и это вы-
у х — 4
ражение подставить в уравнение j;2 — 2у — 2 = 0. В тех
случаях, когда нас интересует лишь уравнение,
которому данная цепная дробь удовлетворяет, так
поступать иногда удобнее, потому что не приходится иметь
дело с преобразованиями иррациональностей.
Упражнение
234. Составить уравнение, один из корней которого разлагается
в периодическую цепную дробь а, и найти соответствующую
иррациональность:
1) а = (C, 2)); 2) а = (A, 7));
3) а = (B, 6, 1)); 4) а = (E, 4, 3)); 5) а = C, B, 1));
6) а = D, C, 2)); 7) а = A, 2, C, 4)).
§ 4. Решение уравнения Пелля
Теорема Лагранжа и достаточный признак
подходящей дроби (см. п. 5Б § 2, настоящей гл.) дают
возможность решить уравнение Пелля
Х2-ау2=19 A)
196

где целое а>0 и )/а—-число иррациональное.
(Случаи, когда a = al или а < О, решаются очень просто,
и мы на этом не останавливаемся.)
Уравнение A) имеет решение xQ = 1, у0 = О, которое
называется тривиальным. Из остальных решений важно
найти лишь положительные, т. е. те, для которых
х > 0 и у > 0.
Для таких пар чисел х, у из уравнения A) получаем
— -а= —
У2 У2'
у2
Отсюда видно, что — > У а; следовательно,
Таким образом, — удовлетворяет достаточному
условию подходящей дроби ]/а (причем, очевидно,
четного порядка, так как —>"|/а), вследствие чего
все возможные положительные решения х, у следует
искать среди числителей и соответствующих
знаменателей подходящих дробей — четного порядка раз-
Qk
ложения
Сделаем это.
Согласно формуле E) п. 1, § 1, настоящей гл., имеем
где чер_ез ak+l = (qk+1,...) обозначен остаток
разложения Vа порядка k + \.
Отсюда при k четном получаем
197

откуда
или __
если обозначим QkQk_{a —PkPk_l = b и вспомним, что
PfeQ*_i — QkPk-\ = (—1)* = 1 при четном А.
Полученное соотношение показывает: если x = Pk>
y=Qk является решением, так что Р\ — aQl==l, то
должно быть _
аА+1 - j/a + *; C)
наоборот, из выполнения последнего соотношения
следует, что Pi — aQl = 1, а отсюда вытекает, что л; = Яд,
у = Qk является решением.
Итак, х = Pki у = Qk является решением тогда и
только тогда, когда при четном k выполняется C).
Так как согласно B)
то условие C) переходит в условие
ИЛИ
<**+!= ((?*+!> Лэ-. %))» D)
так что
или _
"K« e (^lt (^...., %+i)). E)
Итак, пары чисел (Рл, Q^) будут нам давать решение
в том и только в том случае, если (согласно E)) Va
раскладывается в периодическую непрерывную дробь»
период которой начинается со второго звена, и если
мы в таком разложении возьмем такие четные подхо-
дяшие дроби, чтобы (согласно D)) остаток начинался
с последнего члена периода.
Так как период разложения квадратного корня иа
целого числа на самом деле начинается со второго
звена, то можно вышеуказанным способом получить
все целые положительные решения уравнения A): если
198

при этом число чисел в периоде равно k и k четное,
то решениями уравнения A) являются пары чисел
(Pk, Qk), (P2ky Q2k) и т. д., а при нечетном k — пары
чисел (Р2Л, Q2k), (P4kJ Q4k) и т. д.
Наименьшее положительное решение в первом
случае равно (Pk, <2Л), а во втором — (P2k, Q2k).
Примеры. 1. Решить уравнение х2 — 11
Как нам уже известно, 1/11= C, C,6)).
Поэтому имеем наименьшее положительное
решение
х = Р2 = Ю и у *= Q2 ~ 3.
2. Решить уравнения х2 — 4\у2 = 1. Здесь
(вычисления опускаем) i 41 =F, B, 2, 12)), так что количество
чисел в периоде — нечетное. Поэтому для определения
р..
наименьшего положительного решения надо взять — =
Q&
2049
==F, 2, 2, 12, 2, 2) = , наименьшее положительное
решение будет х = Р6 = 2049, у = Q6 = 320.
Заметим в заключение, что, зная наименьшее
нетривиальное решение уравнения A), можно всю
совокупность решений (хп, уп) этого уравнения получить из
формулы __ __
ха+уп] а=(хх+ухУа)\
где /г = 0, 1, 2,... (см., например, D2)).
Упражнение
235. Найти наименьшее положительное решение уравнений:
1) х2 - 26j/2 = 1; 2) х2 - 37у2 =* 1; 3) х3 -19у2 = 1; 4) *2 -29j/2 =Ь
§ 5. Представление действительных чисел цепными
дробями общего вида
А. Рассмотренные до сих пор правильные
бесконечные (конечные) цепные дроби являются частным
случаем бесконечных (конечных) цепных дробей общего
вида
199

когда в них принимается, что все ял=1, Ь{~ целое
число, а все остальные ^-—натуральные числа.
В общем случае элементы цепной дроби ak и bk,
k > 1 могут принимать произвольные, отличные от
нуля рациональные значения, а Ьх может также быть
равно нулю 1.
При помощи цепных дробей общего вида одно и
то же рациональное число можно представить
различными способами. Так, например, легко проверить, что
о
В цепной дроби A), которую записывают также
иначе, например,
b2 + bz -f .-• + &„ + ...
или
(>•¦¦%¦%'¦¦¦)¦ <•">
числа Ь{ и — (Л = 2, 3,...) называют звеньями,^ и
^ — членами k-то звена, из них ak — частным
числителем, a bk — частным знаменателем.
Чтобы получить разложение рационального числа
— в конечную цепную дробь A), можно все ak и bk
за исключением одного, выбрать произвольно. Можно,
например, найти разложение
95 . _, 2 ± А.
42 ~ +3 + 5 + х;
для этого (что легко проверить) следует положить
х =-450/587.
1 Рассматриваются даже цепные дроби, где ak и 6&—-любые
действительные или комплексные числа, или функции одной или
нескольких переменных.
200

Можно цепную дробь преобразовать так, чтобы все
частные числители ak были равны 1, т. е., чтобы A)
приняло вид
Так, например,
^2 + ^ч
42 10+2 + 4 ^ Ю/3 + 3/2 + 16/9 '
Дроби вида B) называют обыкновенными цепными
дробями, a qu q2,..., ^л — их неполными частными.
Правильные цепные дроби можно поэтому определить
как обыкновенные цепные дроби с целыми
положительными неполными частными, начиная с q2, причем
q\ может быть любым целым числом.
Правильные цепные дроби являются наиболее
простыми и наиболее изученными среди цепных дробей
общего вида, однако и другие цепные дроби играют
большую роль и имеют важные применения, например,
в приближенном анализе, где при их помощи без
сложных выкладок получают дробно-рациональные
приближения функций.
Б. Рассмотрим обзорно некоторые свойства цепных
дробей общего вида.
Происхождение таких цепных дробей связано с
обобщенным алгоритмом Евклида.
Если мы имеем систему равенств
а = ЪХЬ + а2с, Ь = b2c + asd, с = b3d + аАе,...
с произвольными рациональными числами, то при Ь,
с, d, отличных от нуля, из них следуют равенства
?-*, + =&2 + =b +
b b/c с c/d d dje
так что, подставляя по цепочке, получаем
из
20!

Нетрудно доказать, что k-я подходящая дробь
муле
= (Ь\\ — ,...—^ определяется для &>2пофор-
\ Ь2 bj
Qk
при условии, что Po = 1, Qo = 0, Pi = bv Qt = l.
Пользуясь ею, найдем, например, подходящие дроби
для разложения
42 7-8
Имеем
1
0'
3
1'
16
7 '
122
54 '
398
176'
950
420'
Заметим, что получаемые в процессе рекуррентного
вычисления подходящие дроби могут быть
сократимыми, но сокращать их можно лишь при определенных
условиях.
Свойства подходящих дробей цепных дробей
общего вида с положительными элементами и правильных
цепных дробей вполне аналогичны.
Бесконечная цепная дробь A) называется
сходящейся, если существует конечный предел a=llm—;
ft-* eoQb
в таком случае а принимается за значение этой дроби.
Не всегда общие бесконечные цепные дроби являются
сходящимися, даже тогда, когда они имеют лишь
положительные элементы.
Интересной особенностью цепных дробей общего
вида является то, что даже рациональные числа могут
ими разлагаться в бесконечные цепные дроби. Так,
например, имеется разложение
1
0 *
1
2
0
1
— JL
~~ 3
1
' 3
0,3;
3
— 5 -
5
' 12'
0,42;
8
- 7 -
27
60'
0,45;
15
-IT —...
168
360'
0,467; ...
n»- 1
™- 2n -f 1 - ...
202

Примечательно далее то, что квадратические
иррациональности разлагаются и в непериодические
цепные дроби общего вида. Так, например, имеется
разложение
1/2"= i 1 1 ]?. 1 2л Bя -1)
1 -3 +3 + 3 + 3+...+ 3 +...
1 0 ' 1 ' 1 ' 2 ' 8 ' 8 ' 3S4' '"
1; 1,5; 1,38; 1,44; 1,40; ...
Но самое интересное и важное это то, что в то
время как до настоящего времени неизвестно
разложение в правильную цепную дробь ни одной
алгебраической иррациональности степени выше второй
(другими словами, неизвестны общие свойства неполных
частных таких разложений, разложения сами по себе
со сколь угодной точностью можно практически
найти — см., например, стр. 177), при помощи общих
цепных дробей такие разложения находятся довольно
легко. Отметим, например, некоторые разложения и
3/-—
соответствующие подходящие дроби для у 2;
Vn^i. i. Л зо 3/7C/1-1)
* ~~ 1 - 4 + 4 + 4 + ...+ 4 +...
8 = ] — i- -1 ??. —
k~~ 0 ' 1 ' 1 ' 3 ' 18' 162""
1,33; 1,22; 1,284;...
-2-18-2-...- 2 _
ь =r~ JL JL 12 15Ё 26?
h 1 ' 1 ' 6 ' 8 ' 132' 208 •""
1,17; 1,25; 1,258; 1,2596;...
В заключение приведем еще несколько примеров
разложений других иррациональностей в цепные дроби
203

общего
ft 1
0/, —— .
k 0
вида:
1
k— 0 .
* 1
0 1
1 ' 1
к
4
0
1
1
- 1
1
0
1
1
1
• 1
1
4 2
1
' 1
1
4 2
2
' 3
1
- 3
2
' 3
32
4 2
13
' 15
1
4 2
3
' 5
52
4 2 4
76
' 105'
1
- 54
13
'22"
Bп
-...4
* * *
1
... 42 -
-1J
2 +...
1
2л 4 1 4
Более подробно о цепных дробях общего вида см.
A7).

Глава VII
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Иррациональные числа
В предыдущих главах мы встречались как с
рациональными, так и с иррациональными числами. В этой
главе остановимся сначала на том, как можно в
некоторых простейших случаях судить о том, является ли
данное число рациональным или иррациональным, как
доказывается иррациональность чисел е и тс,
В дальнейшем ознакомимся с различными видами
иррациональных чисел.
1. Некоторые признаки иррациональности
1. Понятия рациональности и иррациональности
весьма существенно характеризуют строение числа.
Так, например, рациональные числа и только они
представимы в виде периодических десятичных дробей
(конечные десятичные дроби рассматриваются при этом
как периодические десятичные дроби с периодом 0)
и в виде правильных конечных цепных дробей,
иррациональные числа и только они представимы в виде
бесконечных непериодических десятичных дробей и в
виде правильных бесконечных цепных дробей:
Указанные факты могут, очевидно, служить
критериями рациональных и иррациональных чисел, но не
всегда имеется возможность непосредственно их
применить.
2. Еще в школе Пифагора была доказана
иррациональность числа т/2, что равносильно утверждению:
уравнение х2 = 2у2 неразрешимо в целых числах. Для
выяснения этого факта можно воспользоваться рассуж-
205

дением, которое применимо для доказательства более
общей теоремы: если N и k — натуральные числа,
причем N не является k-ой степенью целого числа, то
V N — число иррациональное.
Допустим, что y~N~~ — число рациональное, (а,
Ь) — \ и Ь>\ (иначе N было бы Л-й степенью целого
числа). Тогда
ак - bkN,
откуда следует, что ak\b и ак \ р, где р простой
делитель числа Ь. В таком случае а также должно делиться
на р, и получается противоречие с условием (а, Ь) = 1.
Итак, V'N не может при данном условии быть
рациональным числом, следовательно, оно
иррационально. Теорема доказана.
Доказанная теорема является частным случаем более
общей теоремы: если а — действительный корень
уравнения
хп + с{хп-1 + ... + са = 0 A)
с целыми коэффициентами, то а— либо целое, либо
иррациональное число.
В доказательстве ограничимся случаем, когда сп=?0.
Если допустим, что а не является иррациональным
числом, а рациональной дробью, т. е. а = ~, (а, Ь)= 1
ь
и b > 1, то
или
an = -(clan-lb + ... + cnbn);
поэтому an\b, откуда, как и в предыдущей теореме,
получается противоречие, из которого и вытекает
справедливость данной теоремы.
На основании последней можно утверждать, что
число а, неявно определенное уравнением A) и не
являющееся целым, иррационально, причем, как
известно из алгебры, целые решения A) следует искать
среди делителей сп.
3. Для некоторых действительных чисел вопрос об
их иррациональности выясняется при помощи
следующих двух теорем.
206

Теорема 1. Для всякого рационального числа а
существует такое положительное постоянное число с,
что неравенство
v
с
Я
B)
выполняется для любой рациональной дроби -^
я
Доказательство. Пусть а == — =? — (так
ь q
а.
что
aq —
и Ъ > 1. Тогда
\aq-bp\> I = Mb
bq bq q
Принимая поэтому — == с, получаем
b
Я
что и утверждалось.
В этой теореме содержится необходимый признак
рационального числа. Число, которое этому признаку
не удовлетворяет, не может быть рациональным и
должно быть иррациональным. Таким образом,
приходим к теореме 2.
Теорема, 2. Если для любого положительного с
можно напти хотя бы одну пару целых чисел р и q,
таких, что
х-? <-!, C)
я я
то а иррационально.
Действительно, если а было бы рациональным, то
существовало бы такое с, что для указанной дроби —
выполнялось бы B), и тогда для этого с не могло бы
выполняться C). Итак, а иррационально и теорема
доказана.
2. Иррациональность чисел е и я
1. Полученный в конце предыдущего пункта признак
иррациональности можно, например, применить для
доказательства иррациональности числа е. Но еще
проще воспользоваться следующим рассуждением.
207

Допустим, что е — рациональное число, т. е. е *= —,
ь
где а и b целые, и рассмотрим при k>b выражение
1...
1! 2! k\
Поскольку при k > b произведение k\ делится на й,
ясно, что с должно быть целым числом (так как k\e
целое, а остальные слагаемые в скобке при
умножении на k\ также дают целые числа).
Но с другой стороны,
О < с = -!_ + Х- + ... < — Ь
т. е. с — дробное число. Полученное противоречие
свидетельствует о справедливости утверждения об
иррациональности числа е.
2. Доказать иррациональность тс куда сложнее.
Впервые это удалось в 1761 г. Ламберту при помощи
цепных дробей общего вида. Доказательство Ламберта,
уточненное Лежандром, сводится к следующему.
Находят разложение tgx в цепную 'дробь
tar-Л *l Jt ?. •
XgX~ i - 3 - 5 - 7-...'
далее, с одной стороны, tg — = 1 э а с другой стороны, из
4
предположения рациональности — следует иррацио-
4
нальность правой части в указанном равенстве1.
Мы рассмотрим доказательство иррациональности
тс, данное американским математиком И. Нивеном
в 1947 г.
Допустим, что тс рационально, а именно, что тс = —,
ь
где а и b — целые, и рассмотрим функции
fix)-?*=*?¦ О)
1 Доказательства Ламберта и Лежандра можно найти в книге
акад. С. Н. Бернштейна. «О квадратуре круга», с приложением
истории вопроса, составленной Ф. Рудио (изд. 3, М.— Л., 1936).
208

и
F(x) =f{x) -f{//)(x)+fW(x)-... + (- \)nfVn\x). B)
Так как х входит в числитель f(x) с показателями
от п до 2п, то можно f(x) записать в следующем виде:
откуда видно, что
и что в производной f{k)(x), n<k<2n при х = 0
сохранится лишь слагаемое, порожденное членом f{x)
с хк, так что
Ф- Итак, для 0<У<2/г /^@) — целое число. Но так
как согласно A) f(x) = /(тс — я), то при любом у
fU)(x)=f{1)('K — x) и //)(w)=/^>@) — также целое
число. Поэтому и ^@) и /"(тс) — целые числа.
Учитывая теперь, что из
— OF (jc) sin д: - F{x) cos x) = ^ (x) sin л: + F(x) sin x =
dx
= f(x)s\nx
следует
/ = Г /(jc) sin xdx = \Fr (x) sin л: — F(x) cos x] =
приходим к выводу, что /—число целое, притом
положительное, так как в интервале @, к)
подынтегральная функция положительна.
Но это противоречит тому, что (как это видно из
A) для 0 < х < тс f(x) sin x < ^-^- и вследствие этого
для достаточно больших п подынтегральная функция,
а вместе с тем и сам интеграл / могут стать
произвольно малыми. Обнаруженное противоречие
показывает, что тс не может быть рациональным числом,
поэтому тс—иррациональное число.
Б-530.-14 209

§ 2. Поле алгебраических чисел
1. Понятие алгебраического числа степени п
Алгебраическим числом называется корень какого-
либо алгебраического уравнения
f(x) = аохп + аххп-1 + ... + ап = 0, A)
коэффициенты которого а0, аи... , ап суть целые
рациональные числа, не все равные нулю.
Если предположить, что коэффициенты в (^ —
числа рациональные, то от этого класс определяемых
чисел не изменится, так как и в таком случае
можно A) преобразовать в уравнение с целыми
коэффициентами.
Если число а удовлетворяет алгебраическому
уравнению с целыми коэффициентами степени /г, но не
удовлетворяет такому же уравнению степени < nf
то а называют алгебраическим числом степени п.
Из этого определения вытекает, что уравнение A)
степени п, корнем которого является алгебраическое
число а степени п, является неприводимым в поле
рациональных чисел, т. е. что многочлен f(x) нельзя
разложить в произведение двух многочленов с
рациональными коэффициентами степени не ниже первой.
В самом деле, если бы это было возможно, то
мы имели бы
Я*)=/,(*) •/,(*)= о,
и тогда оказалось бы, что а удовлетворяет по
крайней мере одному из уравнений
степени < п с рациональными коэффициентами и не
может поэтому быть алгебраическим числом степени п.
К алгебраическим числам, очевидно, относятся все
рациональные числа —, так как последние удовлетво-
ь
ряют уравнению Ьх — а = 0. (При этом ясно, что они
будут алгебраическими числами степени 1, так как
уравнению с меньшей степенью они удовлетворять
не могут.) Алгебраическими числами будут также
числа вида ат, где а — целое, а т — любое рациональ-
210

3/—
ное число, например число у 5, которое
удовлетворяет уравнению л;3 —5 = 0.
Неприводимый целочисленный многочлен f(x),
корнем которого является а, определен с точностью до
постоянного множителя.
Действительно, если а было бы корнем двух
неприводимых многочленов f(x) и у(х), отличающихся
не только постоянным множителем, то Н. О. Д. этих
многочленов был бы отличен от многочлена нулевой
степени (так как он должен делиться на х — а), а это
невозможно, в силу неприводимости f(x) и <р (х).
Алгебраические числа, являющиеся корнями одного
и того же неприводимого (над полем рациональных
чисел) многочлена, называются сопряженными,
2. Поле всех алгебраических чисел
Покажем, что алгебраические числа образуют поле,
т. е. что сумма, разность, произведение и частное
алгебраических чисел тоже является алгебраическим
числом.
Действительно, пусть даны алгебраические числа
a = aj степени п и Р = Pi степени т. Сопряженные
с ними числа обозначим соответственно через а2> аз> •••» ая
и р8, Рз> •...?*¦
Согласно теореме Виета понятно, что
элементарные симметричные функции ot от (alf a2,..., апI и ту.
от (Pi, ?2,... , рш) являются рациональными числами.
Составим теперь элементарные симметрические
функции от та чисел
а,- + ру, где /=1,2,..., п, j= 1, 2,..., т.
Легко понять, что они не меняются при
перестановках всех а. между собою, а также всех Ру- между
собою. Таким образом, они являются симметричными
по двум системам неизвестных, а поэтому (согласно
теореме о многочленах, симметричных по двум
системам неизвестныхJ они представимы в виде многочле-
j2 ... ал.
2 См., например, А. Г. Курош. Курс высшей алгебры, М.—Л.,
1949, § 37.
14* 211

нов от элементарных симметрических функций с. и Ту.
Значит, они являются рациональными числами. Но
тогда все эти числа, и среди них число а + р, будут
корнями уравнения тп-и степени с рациональными
коэффициентами, т. е. алгебраическими.
Аналогичным образом можно показать, что и числа
<х — 3, а-р и — — алгебраические (для последнего слу-
Р
чая надо учесть, что если р — алгебраическое число
^= 0, то и р — число алгебраическое). Таким образом,
алгебраические числа образуют поле.
Из доказанного следует, что сумма (а также
разность, произведение и частное) рационального числа
и радикала, например 3 + К2, или любых двух
радикалов, например V2 + у 5, являются алгебраическими
числами, так как каждое из слагаемых является
алгебраическим числом. То что и радикалы из радикалов
являются алгебраическими числами, вытекает из
следующей теоремы (доказательство которой опускаем):
если а корень уравнения
Po^+Pi^1+ ... + ?„ = О,
где все ^ — алгебраические числа, то а — число
алгебраическое. (Иными словами, поле алгебраических
чисел алгебраически замкнуто.)
Действительно, если, например, ос = j/з + |/2, то
а является корнем уравнения х3 — р = 0 (где р = 3 +
+ Vе! — число алгебраическое), т. е. алгебраического
уравнения с алгебраическими коэффициентами, поэтому,
согласно вышеуказанной теореме, а—алгебраическое
число. Очевидно, вообще любое число, выраженное
через комбинацию радикалов над полем рациональных
чисел, является алгебраическим числом. Однако
такими числами нельзя еще исчерпать все множество
алгебраических чисел, так как известно, что корни
уравнений степени выше 4-й, а значит, и
алгебраические числа степени выше 4-й, не всегда выражаются
через радикалы (т. е. явно в виде алгебраических
выражений, составленных из коэффициентов
уравнения при помощи алгебраических действий сложения,
212

вычитания, умножения, деления, возведения в целук>
степень и извлечения корня целой степени).
3. Целые алгебраические числа
А. Среди алгебраических чисел особенно важны
те, которые являются решениями уравнения вида
f(x) = хп + bxxn~l + ... + Ьп = 0 A)
с целыми коэффициентами bu b2i..., bn. Такие числа
называются целыми алгебраическими числами.
Из предыдущего легко понять, что они образуют
кольцо, т. е. сумма, разность и произведение двух
целых алгебраических чисел а и р снова будут
алгебраическими числами.1 Но не всегда частное — явля-
ется целым алгебраическим числом. В связи с этим
возникает вопрос о делимости целых алгебраических
чисел.
Как известно из арифметики обычных целых чисел,
вопрос делимости тесно связан с вопросом об
однозначном разложении целого числа на простые
множители. Поэтому и для целых алгебраических чисел
возникает вопрос об их однозначном разложении на
«простые» множители. Если бы это оказалось
возможным, то теория делимости и вместе с тем вся
арифметика в кольце целых алгебраических чисел была
бы аналогична обычной арифметике.
Б. Если говорить о всех целых алгебраических
числах, то здесь на первых порах понятие неразложимости
теряет смысл, так как, например, а = |/"аУ"а =
= у^а/а/а и так далее, причем V"а и/а
также являются целыми алгебраическими числами. Не
так плохо обстоит дело, если рассматривать целые
алгебраические числа так называемого простого
расширения поля рациональных чисел с помощью
присоединения целого алгебраического числа а степени /г,
т. е. все числа вида
А = со+сх*+... + сп_хъп-\ B)
1 Заметим еще, что если коэффициенты в A) — целые
алгебраические числа, то и корни этого уравнения также являются
целыми алгебраическими числами.
21а

где с0У Гц..., сп_х — целые числа, а а —решение
уравнения вида A). Совокупность этих чисел, которую
будем обозначать через Р(а), образует кольцо.
В. Впервые такие числа рассматривал Гаусс, а
именно — целые комплексные числа, т. е. числа вида а + Ыу
где i =}/—-1, а а и Ь — все возможные целые
рациональные числа.
В этом так называемом гауссовом кольце, имеется
бесконечно много «простых» чисел, и всякое число
этого кольца может быть разложено в произведение
конечного числа таких «простых» чисел (и еще одной
из четырех так называемых единиц Y\ = 1, i, — 1, — /
кольца а + Ы), причем однозначно (если не обращать
внимание на порядок их следования и на множители
«единицы»).
Г. Однако такое однозначное разложение на
простые множители (т. е. на множители, которые уже не
могут быть представлены в виде произведения
сомножителей такого же вида) не всегда возможно. Так,
например, в кольце P(j/—5)
причем числа
2 = 2 + 0-1/^5, 3 = 3 + 0-У^, 1 +V:=~5, I -V=5.
являются в нем «простыми», так как оказывается, что
они не разложимы на другие числа такого же вида.
С такими трудностями как раз впервые встретился
Куммер, пытаясь доказать великую теорему Ферма.
Рассматривая целые числа поля деления круга (т. е.
числа вида B), где а корень неприводимого уравне-
ния =0) для простых значений л, он обнару-
X 1 /
жил, что для некоторых п возможно однозначное
разложение любого числа кольца, а для других п
этого нет.
После многолетних усилий Куммеру удалось
преодолеть возникшие трудности. Он ввел в поле
алгебраических чисел новые элементы, так называемые
идеальные числа. G их пОх\шщью ему удалось
восстановить однозначность разложения на простые мно-
214

жители и решить проблему Ферма для целого класса
значений п.
Д. Идея, которая лежит в основе введения
идеальных множителей, аналогична той, с которой
встречаемся в проективной геометрии, когда вводим
несобственные элементы.
Поясним эту идею следующим примером.
Предположим, что нам известно только множество D2 четных
чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12 и так далее. В этом множестве
числа 2, 6, 10, 14, 18 и другие будут неразложимы.
Если будем их считать «простыми», то закон
однозначного разложения на множители в D2 нарушится,
например
60 = 6-10-2-30.
Если же дополнить множество D2 нечетными
числами, которые играют здесь роль идеальных
элементов, и определить «простые» числа в расширенной
области, то однозначность разложения восстановится.
Для числа 60 мы получим
60 = 2-3.2-5,
причем 6 = 2-3, 10 = 2-5, 30 = 2-3-5 (здесь 2 —
«неидеальный» простой множитель, а 3 и 5— «идеальные»
простые множители).
Причину неоднозначности разложения числа
множества D2 на неразложимые числа этого множества
можно объяснить тем, что различные группировки
идеальных множителей в одном и том же
произведении могут давать различные произведения
неразложимых чисел множества /J-
Е. Теория Куммера получила широкое признание.
Однако при попытке распространить метод Куммера
на кольца алгебраических чисел, зависящих от корня а
произвольного неприводимого уравнения
f{x) = хп + Ьххп~х + ... + Ьп = 0,
где Ьь Ь2>..., Ьп — целые рациональные числа, возникли
принципиально новые трудности.
Эту сложную задачу одновременно и независимо
друг от друга решили в самой общей форме Дедекинд
и Е. М. Золотарев в 70-х годах прошлого столетия.
215

При этом решение, данное Золотаревым, оказалось
во многих отношениях более глубоким, благодаря
применению им новых методов.
4. Значение законов взаимности. Общий закон взаимности
В развитии алгебраической теории чисел крупных
успехов добились советские ученые.
Особенно важным достижением является открытие
и доказательство в 1949 г. И. Р. Шафаревичем общего
закона взаимности.
Прежде чем характеризовать закон взаимности
Шафаревича, остановимся на связи, которая существует
между вопросами разложимости на простые множители
(идеальные и неидеальные) и законами взаимности.
Во-первых, отметим, что при помощи
квадратичного закона взаимности для нечетных простых чисел
можно не только по данному а и простому р
определить, является ли а по модулю р квадратичным
вычетом или нет, но и решить более сложную
обратную задачу, как найти те простые числа р, для
которых заданное число а является квадратичным вычетом
по модулю р.
Для случая, когда а = — 1 и 2, это непосредственно
вытекает из свойств III и V символа Лежандра, а
именно: — 1 является квадратичным вычетом всех простых
чисел вида An + 1, а 2 — для простых чисел вида 8п± 1.
В общем случае, когда а — любое целое число, не
делящееся ни на какой квадрат, оказывается, что а
является квадратичным вычетом тех и только тех
простых чисел /?, которые имеют одну из форм 4ak+rx,
Aak + r2, Aak + г3,... (т. е. р =s гь г2, г3... (mod 4a)), где
ги Г2> гз» — — вполне определенные числа,
удовлетворяющие условиям
1<г/<4а, (г,. 4а) =1.
(Условие, что а не делится на квадрат, принято
потому, что если а^=Ь2-а', то а и а' являются
одновременно квадратичными вычетами и невычетами.)
Одновременно оказывается, что как раз те простые
числа /?, по которым а является квадратичным
вычетом (т. е. числа указанных прогрессий), разлагаются
в квадратичном поле K~R(V'а) (т. е. в поле чисел,
216

получаемых путем присоединения к полю
рациональных чисел иррационального числа V а) на простые
множители1 (идеальные и неидеальные), а те, по
которым а является квадратичным невычетом,—не
разлагаются, т. е. являются простыми и в поле К.
Таким образом, квадратичный закон взаимности
показывает, какова зависимость арифметики
квадратичного поля от арифметики рационального поля. Как
раз в этом фундаментальность закона взаимности.
Аналогичные вопросы возникают при переходах
к более сложным полям. Несмотря на большие усилия
таких виднейших ученых, как Гаусс, Эйзенштейн, Кум-
мер, Гильберт и др., в течение 150 лет эти вопросы
удалось решить только для разных частных случаев.
Общий закон взаимности Шафаревича решает
указанную проблему в наиболее общем виде: он
устанавливает зависимость арифметики поля К от арифметики
поля k, где & —произвольное поле алгебраических
чисел т-й степени, а К— его расширение, полученное
присоединением к нему у/'а (где а—число поля k).
5. Проблема Ферма
А. Знаменитое утверждение Ферма (известно под
названиями «Великая теорема Ферма», «Проблема
Ферма») о том, что уравнение хп +yn = zn, где п > 2,
не имеет решений в целых положительных числах, да
сих пор в общем случае не доказано и не
опровергнуто.
1 Заметим, что это равносильно представимости числа р
формой х2 — ау2, т. е. разрешимости уравнения Пелля х2— ау2=р-
Аналогично представимость простого р формой х2 + у2 —
= (х + у У~— 1) (х — у У~— 1) решается арифметикой в гауссовом
кольце целых комплексных чисел поля Я(У^— 1). Так как число
(—1) является квадратичным вычетом для всех р вида 4^+1 и
квадратичным невычетом для всех р вида 4k + 3, то первые и
только они всегда представимы формой х2 + у2, причем
единственным образом, ввиду того что в гауссовом кольце имеет место
однозначность разложения на простые множители (с точностью
до порядка следования сомножителей и множителей «единиц»).
Так с точки зрения арифметической теории алгебраических
чисел знаменитые теоремы Ферма и Эйлера относительно простых
чисел р вида 4k + 1 получают совершенно прозрачное
доказательство.
217

Если утверждение верно для /?, то и для k-n
(так как уравнению xhn+ylin = zkn можно придать вид
\xk)n + (yk)a == (zk)n), поэтому теорему достаточно
доказать для простых показателей р > 3 и для п = 4.
Эйлер доказал теорему Ферма для п = 3 и 4,
Дирихле и Лежандр —для я = 5, Ламэ — для п = 7.
Начиная с Куммера, для решения проблемы Ферма
применяется алгебраическая теория чисел. Куммер доказал
теорему Ферма для всех значений я < 100.
До 1956 года доказана справедливость теоремы
Ферма для всех простых показателей п < 4003. (Для
численной обработки критериев разрешимости
уравнения ха + уп = zn в последние годы применяются
электронные вычислительные машины.)
Для случая /1 = 4 теорема Ферма доказывается
элементарно и приводится ниже.
Б. Прежде чем доказать неразрешимость
проблемы Ферма для п = 4, целесообразно рассмотреть
решение уравнения
х2 + у2 = г2 A)
во взаимно простых натуральных числах х> у, г.
Мы принимаем условие (х, у, z) = 1 потому, что
в случае (х, у, z) = d>l обе части A) можно
разделить на d . Отметим еще, что в отношении к тройкам
чисел, удовлетворяющим A), условие взаимной
простоты означает даже попарно взаимную простоту, ибо
если бы, например,
(х, у) = d > 1, то z | d и (х, у, z) ф 1.
Т е орем а: уравнению A) удовлетворяют такие
и только такие тройки взаимно простых
натуральных чисел х, у, z, что
1) одно из чисел хну четно, а другое нечетно;
2) при четном х и нечетном у
х = 2т-п, у = т2 •— #2, z = т2 + /г2,
где т > п > 0, (т, п) = 1 и 0д«<? #з чисел тип
четно, а другое нечетно.
Доказательство необходимости условий. Если
A) выполняется для натуральных чисел х, у, z и
(х, у, z) = l, то х и у не могут быть оба ни
четными, ни нечетными. Первый случай отпадает в силу
отмеченной попарной взаимной простоты чисел x,y,z<9
218

во втором случае мы имели бы х2 =^у2== 1 (mod4)r
a z2 = 2 (mod 4), но это невозможно, так как квадрат
при делении на 4 не может давать остатка 2.
Итак, одно из чисел х и у должно быть четным,
а другое — нечетным.
Пусть х будет четным; тогда из A) вследствие
нечетности у и z следует
г ~ V = * + у z~~y
2j 2 2'
*+У г-~.У \
где (z *у , у j= 1, так как иначе (у, z)^=l
вопреки условию. Но если произведение двух взаимно
простых чисел равно квадрату, то каждый из этих
сомножителей в отдельности равен квадрату, поэтому
существуют натуральные числа т, п, такие, что
! = „.„, z~±l=m\ ^W, B)
так что
х = 2тп, у = т2 — /г2, z = т2 + п\ C)
При этом (т, п) = 1, где одно из чисел /и и п
четное, а другое — нечетное, иначе у и z были бы оба
четными и (х, >>, 0) Ф 1.
Доказательство достаточности условий.
Если натуральные числа х, у, z составлены по
формулам C), то при любых натуральных тип
выполняется A), так как
B/шгJ + (т2 - п2J = (т2 + п2J.
Если (//г, //)=1 и при этом тип имеют разную
четность, то у и z — нечетные, а, кроме того, (y,z)=lr
иначе из (у, z) = d>\ следовало бы
2 2 )
или (m2, /r)==rf>l, а это несовместимо с (т, п)^\.
Итак, (у, г) = 1, а вместе с тем (х, ^, г) = 1.
Так как х — число четное и нами установлено
также, что у — нечетное, то достаточность условий
доказана. Вместе с тем доказана вся теорема.
Пример. Для т = 7, п = 4 получаем: х = 56г
.у = 33, z = 65.
219

В. Докажем теперь теорему: уравнение
х*+у* = г4 D)
не имеет решений в натуральных числах. Для
доказательства покажем, что даже
x* + y4 = z2 E)
не имеет решений в натуральных числах.
Доказательство. Так же, как в теореме п. Б,
достаточно доказать утверждение при условии (х,у, z) = 1,
которое, как и в п. Б, означает даже попарно
взаимную простоту чисел х, у, z.
Допустим, что существуют тройки взаимно простых
натуральных чисел х, у, z, удовлетворяющие
уравнению E), и выберем из них тройку с наименьшим
значением zl. Как и в доказательстве теоремы п. Б,
можно убедиться в том, что одно из чисел х и у четно,
другое нечетно.
Пусть х — четное (а у, следовательно, нечетное),
тогда согласно формулам C)
х2 = 2тп, у2 = т2 — /г2, z = т2 + я2,
где т > п > 1, (т, п)=\ и одно из чисел тип четно,
а другое нечетно.
Не может быть, чтобы т было четным, а п —
нечетным, ибо тогда яг2 = 0 (mod 4), п2 = 1 (mod 4) и у2=
= т2 — п2= — 1 se= 3 (mod 4), что невозможно, так как
квадрат нечетного числа имеет вид 4k + 1. Поэтому т
должно быть нечетным, а п четным, т. е. п = 2п'.
Тогда х2 = 4тчг\ (- \ =т-п' с условием (яг, яЛ)=1,
отсюда, как и в п. Б, заключаем, что
m = z\, п!== п\,
где (zu Пх)=*\, a zx — нечетное (ввиду нечетности т).
Из у2 = т2 ~ п2 получаем теперь
где Bп\, ,у) = 1,ибо в противном случае мы имели бы
1 См. по этому поводу подстрочное замечание на стр. 125.
220 '

что невозможно, так как
B, т) = 1 к (п\ т) = \.
Согласно формулам C) снова имеем
2nl = 2u-v, z\ = а2 + v2, где (и, v) = \.
Первое из этих равенств приводит нас, как и выше,
к выводу, что
вследствие чего по второму из указанных равенств
где zx < z (так как z > т2 > m = z\> zx).
Итак, предположение о существовании
наименьшего значения z привело нас к противоречию, значит
уравнение E) не имеет решений в натуральных числах.
Теорема доказана.
Упражнения
236. Указать решения уравнения х2 + у2 = z2 (по формулам C)
на стр. 219) при 1) т = 5, п = 4; 2) т = 6, п = 5; 3) т = 9, п = 8;
4) т = 12, п = 7; 5) m = 12, л = 5.
237. Пользуясь результатами задачи 233, указать разложения
(с точностью до множителей единиц) в квадратичном поле RU)
для: 1) 97, 2) 137, 3) 181, 4) 281, 5) 317.
238. Доказать, чго при пересечении окружности х2 + у2 = 1 A)
с прямыми у = kx — 1 B), где k рационально, получаются все
рациональные точки окружности. Сделать чертеж.
239. Найти решения уравнения х2 + у2 = z2 в натуральных и
взаимнопростых числах, пользуясь предыдущей задачей.
240. Великая теорема Ферма эквивалентна утверждению:
уравнение Хп +Yn — l не имеет решений в положительных
рациональных числах, если п > 2. Дать геометрическое истолкование
теоремы, сделать чертеж.
§ 3. Теорема Лиувилля. Трансцендентные числа
1. Теорема Лиувилля
Продолжительное время считали, что все числа
являются алгебраическими. Только в 1844 г. французский
математик Ж. Лиувилль показал, что существуют
такие числа, которые не являются алгебраическими, т. е.
не могут удовлетворять ни одному алгебраическому
221

уравнению с целыми коэффициентами. Такие числа
называются трансцендентными.
Идея доказательства Лиувилля заключается в
следующем. Он сперва показывает, что алгебраические
числа приближаются рациональными числами по
определенному закону, а затем показывает, что существуют
такие числа, которые этой закономерности не
подчиняются.
Теорема Лиувилля: Для всякого
действительного алгебраического числа а степени п (> 2)
существует такое положительное постоянное число cf
что неравенство
>— A)
яп
выполняется для любой рациональной дроби — *
я
Доказательство. Пусть а — действительный
корень неприводимого алгебраического уравнения л-й
степени
/ (х) = аокп + аххп~х + .
. + ап = О,
где все at целые и п > 2.
Согласно теореме Безу f(x) делится на л:
чит,
-а,
знагде <р (х) — многочлен степени п — 1 с
действительными коэффициентами. Полагая х=—, имеем
я
a i
¦)i
B)
Ввиду неприводимости многочлена f(x), числа
f(—) не может быть равно нулю, иначе многочлен
/ (х) делился бы на х — —. Поэтому
я
v я
так как \аорп + ... + anqn\ — целое число, которое
отлично от нуля.
222

Пусть теперь— принадлежит сегменту [а— 1,а+1]
я
и наибольшее значение многочлена | ср (х) | на этом
<?(?)\ <— и согласно B) и C)
\ я /I сх
сегменте. Тогда
1
откуда
D)
Если взять ~ вне сегмента [а—1, а + 1], то
я
также
> 1, а так как q — целое число, то имеем
а-?
E)
Обозначим теперь наименьшее из чисел 1 и с,
через с\ тогда ввиду соотношений D) и E) имеем для
любых рациональных —
я
Я Я11
где постоянная с от р и q не зависит. Теорема
доказана.
Теорема Лиувилля показывает, что приближение
алгебраического иррационального числа
рациональными дробями ограничено снизу.
2. Доказательство существования трансцендентных чисел
Теорема Лиувилля дает необходимый признак
алгебраического числа. Лиувилль показал, что можно строить
бесконечно много таких чисел, которые этому
признаку не подчиняются и поэтому должны быть
трансцендентными. Для этого он воспользовался аппаратом
непрерывных дробей.
Пусть неполные частные строящейся бесконечной
цепной дроби удовлетворяют следующему рекуррент-
223

ному правилу: после того как неполные частные
Я\, #2>---> kk Уже определены (а следовательно,
определена и подходящая дробь -М , следующее
неполное частное выбирается так, чтобы выполнялось
условие qk+l > Qt .
Определенная таким образом непрерывная дробь
представляет некоторое иррациональное число а.
Покажем, что а трансцендентно. Действительно, в силу
известных свойств непрерывных дробей и условия
qk+l имеем
1 1
Qk
а —
Qh(qMQk-
или
Ql
a —
<
Ql
Qk
VQl
Пусть теперь дано любое с > 0 и произвольно
задано натуральное п (> 2). Если мы возьмем k > п такое
большое, что
Ql
(это всегда возможно, так как Q
растает), то будем иметь
k
неограниченно воз-
при таком k Ql > Ql, то тем более
а так как
El
Qk
Таким образом, число а не удовлетворяет
необходимому признаку алгебраического числа степени п,
данному в теореме Лиувилля. Поэтому а не может
быть алгебраическим числом степени п. Но так как п
выбрано произвольно, то а вообще не может быть
алгебраическим числом, следовательно, оно
трансцендентно.
Заметим, что можно также строить
трансцендентные числа, не прибегая к помощи непрерывных дробей.
224

Заметим также, что в 1874 г. немецкий математик
Г. Кантор, исходя из развитой им теории множеств,
дал новое замечательное доказательство
существования трансцендентных чисел. Он показал, что
множество действительных алгебраических чисел счетно,
тогда как множество действительных
чисел—несчетно. Отсюда сразу же следует, что должны
существовать трансцендентные числа, причем даже в «большем»
количестве, чем алгебраические числа, так как
множество трансцендентных чисел — несчетно.
3. Исследования трансцендентности.
Результаты Гельфонда
В предыдущем пункте мы видели, что не
представляет теперь особого труда строить трансцендентные
числа. Несравненно труднее исследовать
арифметическую природу каких-либо конкретно заданных чисел,
в особенности выяснить, являются ли эти числа
алгебраическими или трансцендентными.
Как раз в этом-—важнейшая задача теории
трансцендентных чисел.
Задачи такого рода принадлежат к труднейшим
задачам современной математики.
Только в 1873 г. французский математик Ш. Эрмит
доказал трансцендентность е, а в 1882 г. немецкий
математик Ф. Линдеман (аналогичным методом) —
трансцендентность числа тс.
Доказательства этих фактов довольно сложные
(см., например, (8) или B3)).
Доказательством трансцендентности тс были
наконец решены вопросы о квадратуре круга и о
спрямлении окружности, которые равносильны задаче о
построении отрезка длиною тс. Действительно, при
помощи циркуля и линейки можно строить только корни
алгебраического уравнения с целыми коэффициентами,
разрешимого в квадратных радикалах, а тс, будучи
трансцендентным числом, не может быть корнем
такого уравнения.
После результатов, полученных Эрмитом и Линде -
маном, долгое время не удавалось добиться новых
значительных успехов в рассматриваемой области. На
международном математическом конгрессе в 1900 г.
Б-530.-15 225

Д; Гильберт в качестве одной из актуальных 23
математических проблем выдвинул задачу исследовать,
являются ли трансцендентными числа вида 4?, где а и
? — алгебраические числа, причем а отлично от нуля
и единицы, a p — иррационально!, и, в частности,
VT т
являются ли трансцендентными числа 2 ,е\
Несмотря на усилия многих ученых, эта проблема
долгое время не поддавалась решению. Только в 1929 г.
советскому математику А. О. Гельфонду удалось при
помощи открытого им весьма сильного метода
(основанного на теории функций комплексного переменного)
найти частичное решение проблемы Гильберта.
Углубив свой метод введением в него новых идей,
А. О. Гельфонд дал в 1934 г. полное ее решение. Он
доказал, что все числа, о которых идет речь в этой
проблеме, являются трансцендентными.
Из результата Гельфонда непосредственно следует,
что трансцендентными будут, например, все
десятичные логарифмы рациональных чисел, если сами они
не являются рациональными числами. Действительно,
если бы lgr, где г —рациональное число, было числом
алгебраически иррациональным, то число 10lgr,
согласно результату Гельфонда, должно было бы быть
трансцендентным, между тем 10lgr=r— число рациональное.
Трансцендентным является также число е%, так как
из е** = — 1 = i2 следует еп = Г/.
В последние десятилетия А. О. Гельфонд, все более
совершенствуя свои прежние методы, получил
возможность указать на ряд новых классов трансцендентных
чисел.
Метод Гельфонда успешно использован также
другими авторами, как советскими, так и зарубежными
(например, Зигель, Малер, Риччи, Шнейдер).
В заключение отметим, что большие заслуги в
развитии теории трансцендентных чисел имеет также
немецкий математик К. Зигель. В 1930 г. ему удалось
найти естественное обобщение того метода, которым
1 Проблема трансцендентности чисел вида с^ была впервые
в частной форме поставлена Л. Эйлером.
226

пользовались Эрмит и Линдеман в своих
доказательствах трансцендентности чисел е и те.
С помощью метода Зигеля стало возможным
исследовать арифметическую природу значений довольно
широкого класса целых функций, степенные ряды
которых имеют алгебраические коэффициенты,
например функций типа е*1.
Советскому математику А. Б. Шидловскому
удалось усилить метод Зигеля и получить важные
результаты в теории трансцендентных чисел.
4. Усиление неравенства Лиувилля.
Приложение к решению неопределенных уравнений
Легко понять, что теорему Лиувилля, которую мы
изучали в п. 1, можно выразить также следующим
образом: для всякой действительной алгебраической
иррациональности а степени п(>2) существует такое
положительное постоянное с\ что неравенство
р
а —
О)
имеет лишь конечное число решений в целых числах
р и q. (Если взять сг = с из формулы A) п. 1, согласно
первой формулировке теоремы Лиувилля, то надо
сказать, что решений вообще не существует.)
Неравенство Лиувилля через 50 лет удалось усилить.
Это сделал в 1909 г. норвежский математик А. Туэ,
который доказал следующую теорему:
Если а — любое алгебраическое число степени п,
то неравенство
я
может иметь только конечное число решений в целых
числах р и q при любом s > — + 1.
Метод Туэ был 10 лет спустя усовершенствован
немецким математиком К. Зигелем, а в сороковых
годах усилен советским математиком А. О. Гельфон-
дом и английским математиком Д. Дайсоном.
1 Методом Зигеля — Шнейдера Малер в 1937 г. доказал
трансцендентность числа ^ = 0,123456789101112.,.
15* 227

Наконец, в 1955 г. английский математик К. Рот,
пользуясь методом Туэ — Зигеля, еще более усилил
неравенство Лиувилля A), доказав, что неравенство
B) имеет только конечное число решений при s > 2.
Этот результат, свидетельствующий об определенной
близости алгебраических чисел к квадратическим ир-
рациональностям,является большим успехом в теории
чисел.
Упомянутые результаты имеют многочисленные
приложения в теории решения уравнений в целых числах,
в теории трансцендентных чисел, а также в других
разделах теории чисел.
Уже сам Туэ при помощи теоремы, носящей его
имя, доказал, что неопределенное уравнение
аохп + аххп~х .у + ... + апуп = с, C)
где а0, av...,an, с — целые и многочлен aotn + axtn~l+
+ ... + ап неприводим в поле рациональных чисел,
имеет только конечное число целых решений при п > 3.
Заметим в заключение, что метод Туэ не дает
возможности судить о том, в каких границах находятся
решения и каково их число.
Пользуясь другим методом, советский математик
Б. Н. Делоне для более узкого класса неопределенных
уравнений установил границы числа решений. Он
доказал, что кубическое уравнение Пелля axz +ву3=1,
где а —целое, может иметь, кроме тривиального
решения @, 1), не более одного решения в целых
числах. Он показал также, что для каждого заданного
значения а можно установить, существует ли
нетривиальное решение и как найти его. Делоне доказал
также, что уравнение ахъ + Ьх2у + сху2 4- йуъ = 1 имеет
не более 5, а иногда ровно 5 решений в целых числах,
и указал алгоритм решения.
Упражнение
241. Доказать, что: 1) а « —— + -— + • • • = 0,11000100 ... —
101! 102!
число трансцендентное, 2) то же для а = —— -Ь —тг Л
21! 22!

Глава VIII
ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Число и сумма делителей данного числа
Под числовой фхткциеч f(x) понимают функцию,
определенную для любого натурального аргумента.
С некоторыми числовыми функциями мы уже
познакомились: с функцией Эйлера, а также с функциями
«целая часть от х» и «дробная часть от х».
В этой главе продолжим изучение числовых
функций.
1. Формула для числа делителей данного числа
Обозначим число натуральных делителей
натурального числа п (включая тривиальные делители 1 и п)
через т(/г). Если в каноническом разложении /г имеет
вид
п=р\>р\\..р\\ A)
где /7|, Р2> ••• > nk~~ простые делители п, то, как это
показано в п. 2, § 4, гл. 1, все делители d этого числа
суть все числа вида
*«/М •¦•/#. B)
где
О < Pi < alf 0 < р2 < а2> - , 0 < % < *k. C)
Чтобы найти число делителей, необходимо
подсчитать число возможных различных комбинаций для
Pi» ?2» —»Pft» отвечающих условиям C), так как
различным комбинациям значений р1? р2» — » Ра соответствуют
различные числа d. Поскольку plf р2> — Ли независимо
229

друг от друга принимают соответственно ах + 1, а2 + 1,
..., ал + 1 различных значений, общее число таких
комбинаций будет
(«1+ 1) («а +1) •¦•(**+!)¦
Таким образом, получаем:
т(л)-(а1 + 1)(о2+1)...(аЛ+1). D)
Пример. Пусть я = 504 = 23-32-7; тогда ?E04)=
= 4-3-2 = 24.
Формула D), как и ее вывод, показывает, чтот(я)
не зависит от простых множителей рх, Ръ...*ри
канонического разложения числа /г, а только от их
показателей.
2. Формула для суммы делителей данного числа
Пусть S(n) или ?d—сумма всех натуральных де-
п
лителей d натурального числа п \ имеющего
каноническое разложение A) п. 1.
Легко понять, что
...A + А+.¦.+#), О)
так как слагаемые произведения совпадают с
делителями числа п (см. B) и C) п. 1).
Суммируя каждый сомножитель по формуле для
суммы членов геометрической прогрессии, получаем
B)
()г
Рг — 1 Р2 — 1 Pk ~
Пример:
3 + l 2 + l I 71
"У ' V
1 /^— 1
Если в каноническом разложении числа п
прибавить сомножитель р\1, взаимно простой с
остальными, то в правой части A) появится дополнительный
сомножитель A + р + ... +р, а в правой части B) —
1 Обозначается также знаком I (я) — числовой интеграл от п,
взятый по делителям (Эйлер).
230

Pi "~ 1
сомножитель —, равный сумме делителей числа
р 1
Итак, если (я, /7*') = 1> то S(/i-p**) = S(n
Вообще для взаимно простых пх и п2 S(n) =
= S(nln2) = S(nl)-S(n2)i откуда видно, что функция
S(п) мультипликативная.
Упражнения
242. Найти число делителей для п: 1) 378, 2) 2205, 3) 5775,
4) 36 000, 6) 31652.
243. Найти число решений сравнений: 1) 59^23 (modx);
2) 173 ss 47 (mod х)\ 3) 159 » 75 (mod 2х)\ 4) 319 ш 39 (mod Зх).
244. Найти решения сравнений: 1) 127 s= 87 (mod x); 2) 127^87
(mod 2x); 3) 167 s 68 (mod 5x).
245. Доказать, что т(п) равно количеству целых точек на
гиперболе ху = п в 1-м квадранте.
246. Найти наименьшее натуральное число с 10 делителями.
247. Найти сумму делителей числа п: 1) 210, 2) 756, 3) 495,
4) 18 375.
248. Найти Sr(n)-~ сумму r-х степеней делителей данного
числа п.
249. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти
), S8C0).
§ 2. Совершенные числа. Специальные простые числа
1. Определение совершенных и дружественных чисел
Делители числа п (имеются в виду натуральные
делители), за исключением самого числа, называются
его собственными делителями; их сумма равна S(n)—n.
Если для двух чисел a, b сумма собственных
делителей каждого из них равна другому, то такие числа
называются дружественными; для них
S{a) — a=*b, S(b)-b^a, откуда S(a) = S(b) = a+b.
Натуральное число называется совершенным, если
оно равно сумме своих собственных делителей (или
если оно дружественно самому себе), т. е-
удовлетворяет условию
S(n) — n = n,
или
5(л)«2л.
231

Определения Совершенных и дружественных Чисел
имеются уже в «Началах» Евклида, они упоминаются
и Платоном. Греки видели в них некую совершенную
гармонию и приписывали им мистический характер.
Древним грекам была известна пара дружественных
чисел 220 и 284 и четыре совершенных числа: 6, 28,
495, 8128.
2. Предста ление четных совершенных чисел.
О нечетных совершенных числах
Евклид нашел достаточное условие для четных
сов°ршенных чисел.
Теорема Евклида: если число имеет вид /t=*
= 2Ч~Х Bk — 1), где натуральное k > 1 и при этом
2* — 1 =/? кисло простое, то п сов ршенно.
В самом деле, для такого /г = 2е" •/? по формуле
для суммы делителей данного числа находим
5(rt)=^i.i—bl«B*~ i).(/? +1)^.2*-
= 2<2*~х-р^2п.
Среди чисел k < 7 условие теоремы, чтобы 2* — 1
было простым числом, выполняется для ? = 2, 3, 5 и
7. Мы получаем простые числа 3, 7, 31 и 127, которым
соответствуют упомянутые выше четыре совершенных
числа.
После Евклида дальнейший крупный успех в
исследовании совершенных чисел был достигнут только
через 2 тысячи лет Эйлером.
Эйлер доказал, что достаточное условие Евклида
для четных совершенных чисел является для них
также необходимым.
Теорема Эйлера: четные совершенные числа
имеют вид п = 2*" • B* — 1), где натуральное k>\
и 2k — \ — число простое.
Доказательство. Из условия четности числа
п следует, что оно имеет вид
где натуральное &>1, а « — нечетное натуральное
число, так что Bfe"~\ к) = 1 и
232

Если п к тому же число совершенное, то
поэтому
что дает нам возможность найти вид числа и.
Действительно, в силу того, что Bfe, 2k —1) = 1,
из этого равенства следует, что и = Bk — l)*t (где t—
натуральное число), а вместе с тем, что
Число и заведомо имеет два различных делителя:
t и u = Bk-l)-t>t (так как при k>\ 2k — 1 > 1).
Но так как их сумма равна 2k-t, т. е. S(u), то
этими числами исчерпываются все натуральные
делители и.
Поскольку лишь простые числа р имеют точно два
различных натуральных делителя, именно 1 и /?, то
ясно, что t = 1 и и = B*- 1).* = B*- 1). 1 = 2*- 1 =р-
число простое. Следовательно, п на самом деле имеет
вид, указанный в теореме Евклида.
Теоремы Евклида и Эйлера показывают, что
формулой
^==2fe-1Bft-l),
где ?>1 и 2й — 1 — простое число, представимы все
четные совершенные числа.
В заключение отметим, что в 50-е годы нашего
столетия сведения о совершенных числах обогатились
новыми интересными данными. Найдены, например,
верхние оценки плотностей числа совершенных чисел:
где V(x) — число совершенных чисел <х.
Что касается нечетных совершенных чисел, то до
сих пор неизвестно, существуют ли такие или нет.
Во всяком случае твердо установлено, что если
нечетные совершенные числа и существуют, то они
чрезвычайно велики; ни одно из них не может быть,
например, меньше е52729. Известно также, что они могут
быть только формы /?4*+1-Л^, где простое /? == Am + 1,
(yv,p) = l, и не могут иметь менее 2800 различных
233

простых множителей. Один из первых результатов
о простых делителях совершенных чисел получен
советским математиком И. С. Градштейном в 1925 г.
3. Простые числа Мерсенна; их наибольшее известное
значение
До сих пор неизвестно, имеется ли бесконечно
много четных совершенных чисел, так как неизвестно,
существует ли бесконечно много простых чисел вида
Необходимым условием простоты числа такого вида
является простота его показателя k.
В самом деле, если k = kX'k2 — число составное, то
можно 2k — 1 = B*1)*2— 1 разложить на нетривиальные
множители (т. е. такие, которые отличны от самого
числа и от единицы), из которых один будет 2*1— 1.
Полученное условие не является однако
достаточным. Так, например, при k = 11 имеем 2й—1=2047=
= 23-89.
О простых числах вида Мр = 2Р ¦— 1 (где р — простое
число) французский математик Мерсенн вел переписку
с Ферма; эти числа получили название простых чисел
Мерсенна.
До Эйлера было известно 7 совершенных чисел,
соответствующих простым числам Мерсенна при
/> = 2, 3, 5, 7, 13, 17 и 19, Эйлер доказал, что 231 — 1
есть простое число.
Число Эйлера считалось наибольшим известным
простым числом до 1883 г., когда талантливый
русский вычислитель И. М. Первушин A827—1900)
доказал, что 261 — 1 есть простое число (см. D9)).
К настоящему времени установлена еще простота
чисел вида 2Р — 1 для показателей:
/? = 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217,
4253, 4423, 9689, 9941, 11213.
Начиная с показателя р = 521, простота чисел Мр
была установлена при помощи электронных
вычислительных машин A952).
Простота числа 2п213—1 (имеет 3375 цифр) была
установлена в 1963 г. Это вообще наибольшее из
известных до 1963 г. простое число.
234

Основой для указанных вычислений является
критерий простоты чисел Мр, найденный в основном уже
в 1878 г. французским математиком Э. Люка:
Число Мр = 2Р — \ (где /7 — нечетное простое число)
тогда и только тогда простое, когда (/? — 1)-й член
рекуррентной последовательности.
*i = 4, с2 = 42 - 2 = 14,..., ск = с\_х - 2
делится на Мр, т. е. когда ср_х ^0{то&М^.
Пример. Применим критерий Люка к /И7= 127.
Имеем по модулю 127
съ = 142- 2 = 194 = 67, г4= 1942—2= 672- 2=42,
с5= 422 - 2 = - 16, с6 = 162 - 2 = 254 s 0 (mod 127).
Условие теоремы выполнено, следовательно, можно
утверждать, что 27 — 1 = 127 — число простое.
Отметим в заключение без доказательства один
признак делимости чисел Мерсенна, на который уже
указал Эйлер: если р = 4/t + 3 и q = 2/7 + 1 == 8лг + 7
оба простые, то Мр = 0 (mod q) (некоторые другие
признаки делимости чисел MD указаны, например,
в D5)).
г 4. Простые числа Ферма
Ферма высказал предположение, что все числа вида
2* + 1, где k = 2пу являются простыми. Для k > 0
условие k = 2п является необходимой предпосылкой, так
как в противном случае, когда k = ki-k2 содержит
нечетный множитель kx > 1, 2k + 1 = B*1)*1 + 1,
очевидно, делится на 2*' + 1.
Однако указанное условие не является
достаточным: в то время как для /г = 0, 1, 2, 3, 4 получаются
простые числа, так называемые простые числа Ферма,
3, 5, 17, 257, 65537,
для п > 4 до сих пор не найдено ни одного простого
числа 1. Неизвестно также, обрывается ли последова-
1 Интересно отметить, что простые числа Ферма играют
важную роль в геометрии. А именно, Гаусс доказал, что правильный
^-угольник для простого />>2 можно построить циркулем и
линейкой тогда и только тогда, когда р — простое число Ферма.
235

тельность простых чисел Ферма или их существует
бесконечно много.
До 1952 г. было известно, что числа Ферма
Fn = 22" + 1 являются составными для показателей
я = 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73. (Для я —5
этот факт впервые доказал Эйлер, для /г =12, 23 —
И. М. Первушин.)
При помощи электронных вычислительных машин
до 1964 г. установлено, что и для показателей
10, 13, 14, 15, 16, 19, 21, 25, 26, 27, 30, 32, 39, 42, 52,
55, 58, 63, 77, 81, 117, 125, 144, 150, 207, 226, 228,260,
267, 268, 284, 316, 452, 1945 получаются составные
числа.
Отметим без доказательства критерий простоты
чисел Fn: число Fn = 22" + l в том и только в том
случае простое, когда
V-1
3 2 s-
Нахождение простых делителей составных Fn
значительно облегчается теоремой: для п > 1 каждый
простой делитель Fn = 22n+l имеет вид p=k-2'l+2+l.
Доказательство. Если Fn\p, то 22"= — 1 (mod/?)
и 22"+ == 1 (m dp), откуда следует, что по модулю р
число 2 принадлежит показателю 2^, где k < п + 1
(так как 2г+1 имеет в качестве делителей только
числа указанного вида).
Но k не равно /г, так как в противном случае
получилось бы, что 22" + 1 \р, 22П — 1 \р и вместе с тем
21/7, т. е. /? = 2, что невозможно ввиду того что
/^ — нечетное; k не может также быть меньше /г,
так как если бы 2 принадлежало показателю 2Пх >
где ttx<in, то 2п делилось бы на 2Пх и из 22"'=1
(mod/?) следовало бы 22" == 1 (mod/7), что, как мы в
этом убедились, невозможно.
Итак, 2 принадлежит по модулю р показателю 2n+l
и этот показатель должен быть делителем р—1, так
что /?= 1 (mod2'+l), для п > 1, поэтому р = 1 (mod 8),
откуда следует, что символ Лежандра (—j =1 и
236

2 2 s=f—^ = 1 (mod/?). Из этого следует далее, что
?—!- делится на 2Л+1, т. е. /? = А-2л+2+ 1.
На основании доказанной теоремы можно,
например, утверждать, что возможные простые делители
F5 имеют вид 128&+1. На самом деле оказывается,
что 641=5-128+1 является делителем F& так как,
с одной стороны, 641 =5-27 + 1, 5-27= — 1 (mod641) и
54-228=l(mod641), A)
а, с другой стороны, 641 = 16 + 625 = 24 + 54 и
24=-54(mod641), B)
откуда (почленным перемножением A) и B))
получается
232 ss - 1 (mod 641), или 232 + 1 == 0 (mod 641).
Наибольшее из известных составных чисел Ферма
Fm5 имеет > 10582 цифр. О том, как можно убедиться,
что число 5-21947 + 1, насчитывающее 587 цифр,
является его наименьшим простым делителем, интересно
почитать в E3).
5. О числовых функциях, принимающих простые значения
Многие математики старались найти такую
элементарную функцию /(х), которая для всех целых х (или
по крайней мере для бесконечной последовательности
таких х) давала бы различные простые числа. При
помощи такой функции можно было бы вычислить
сколь угодно много простых чисел и сколь угодно
большие простые числа, если только имеется
возможность найти f(x) для каждого х.
Эйлер нашел сравнительно длинные
последовательности простых чисел, пользуясь квадратичными
функциями. Так, например, выражение х2 + х-\-\7 при
л: = 0, 1,..., 15, а л:2 — х + 4\ прил: = 0, 1, 2, ...,40 дают
только простые числа. Аналогичным свойством
обладают многочлены 2х2 + 29 при х = 0, 1 ..., 28, х2 + х+
+41 при л;=0,1 ...,39, л:2—79jc+ 1601 при х = 0,1,... ,79.
Найдены также другие многочлены f(x), которые
при х = 0, 1, 2,..., k принимают значения простых
чисел.
237

В то же время легко доказать теорему, которую
впервые высказал петербургский академик X.
Гольдбах: никакая целая рациональная функция от х
с целыми коэффициентами не может для всякого
натурального значения х равняться простому числу.
Доказательство. Пусть /(х) = аохп + аххп~х +
Л \- ап и f(a)=p, где р—-простое число. Тогда
для любого целого / имеем по формуле Тейлора
f{a+pt)=f(a)+ptf
откуда видно, что /(а + pt) делится на р, так как
каждое слагаемое в правой части равенства делится
на р.
Поэтому, если и f(a -\-pt) — число простое, то
должно быть f(a + /?/) = р для всех целых t, в том
числе и при t—>co.
Исключая тривиальный случай, когда f(x)=f(a)
тождественно, это противоречит теореме о
неограниченном возрастании модуля многочлена, согласно
которой при t-*oo f(a + pt)—>oo.
Таким образом, не для всякого натурального
значения аргумента xf(x) может равняться простому
числу. Теорема доказана.
Попытка построить функцию, охарактеризованную
в начале настоящего пункта, в виде показательной
функции f(x) = ax ± bx, где а и Ъ — целые, приводит
в простейшем случае, когда а = 2, й==1, к простым
числам Мерсенна и Ферма, которые мы рассматривали
в третьем и четвертом пунктах настоящего параграфа.
В заключение отметим, что хотя американский
математик Миллс в 1947 году доказал существование
действительного числа а, такого, что [а3"] простое
число для любого натурального /г, все же задача
нахождения простого числа, большего любого
заданного числа, остается до сих пор практически
нерешенной.
Дело в том, что известны лишь немногие знаки а,
так что по указанной формуле действительно
вычислить можно лишь немногие простые числа. Результат
238

английского математика Е. М. Райта, что существует
такое действительное число а, при котором числа
[2% [2*% [2**],...,где а, = 2в, a2 = 2*' и так далее, все
являются простыми, и еще более интересный результат
польского математика В. Серпинского, что существует
такое действительное число а, при помощи которого
по формуле
^ = [а- Ю2Л] — Ю^" [а- Ю2^1]
можно вычислить /г-ое простое число в натуральном
ряду, имеют аналогичный недостаток.
6. О критериях простых чисел и разложении на множители
Прежде всего отметим, что каждое составное число
TV содержит простой множитель </jV; если Nне
делится ни на одно простое число р < "J/7V, то оно
простое.
Существуют таблицы простых чисел и разложений
на множители (основой для их составления является
метод решета Эратосфена). Наилучшие таблицы
простых чисел составлены Д. Н. Лемером A914), в них
содержатся простые числа до 10006721 К
Таблица разложений на множители того же автора
A909) дает самый меньший делитель всех чисел до
10017000, не делящихся на 2, 3, 5 или 7. После
нахождения наименьшего делителя некоторого составного
числа задача разложения на множители сводится
к меньшему числу.
Для исследования больших чисел, выходящих за
пределы таблиц, найдены различные критерии простоты
(см. A3)), однако многие из них (например, критерий
Вильсона) не имеют непосредственной практической
ценности. Некоторые критерии приобрели
практическое значение благодаря применению электронных
вычислительных машин.
Разложение на множители очень больших чисел, не
делящихся на малые простые числа, представляет собой
задачу очень трудоемкую, для решения которой общий
метод не найден.
1 В 1959 г. Бэкер и Грюнбергер закончили работу по созданию
микрокарт, содержащих простые числа, меньше чем 104 395 301.
239

Некоторые критерии простоты и методы
разложения на множители связаны с представлением чисел
квадратичными формами и употреблялись еще Ферма
и Эйлером. Эти эффективные методы и сейчас
сохранили свое значение. Рассмотрим их кратко.
1. Из тождества N = 2п+ 1 = (п + IJ— п2 A) видно,
что каждое нечетное число представимо в виде
разности квадратов. Нечетное простое число другого
представления в виде разности двух квадратов иметь
не может.
В самом деле, если N =р число простое, то из
р = 2д + 1 = х2 - у2— (х + у) (х - у)
следует
откуда
х = п+ 1, у = п.
Если нечетное TV составное и N=a-b, а>&>1
(или а~Ьф\), то имеем для TV и другое
представление в виде разности двух квадратов: полагая
х+у = а, х-~у = Ь,
находим
где х и у целые числа, ибо а и Ъ нечетные.
Таким образом, N = x2—y2 является
представлением, отличным от A).
Если, наоборот, для нечетного Af имеется больше
чем одно представление в виде разности двух
квадратов, то N составное (так как простое N не может
иметь более одного представления) и представление,
отличное от A) дает возможность найти разложение
N на нетривиальные множители.
Практически нахождение нетривиального
разложения осуществляется следующим образом: прибавляем
последовательно к jV = 2п + 1 квадраты у2. Если при
у < п получается квадрат, то сразу находим
нетривиальное разложение, например
493 + 62 = 232, поэтому 493 = 29-17,
240

2. Эйлер указал 65 чисел d > 1 (он называл их
удобными), для которых имеет место теорема: если
^нечетное кисло N имеет лишь одно представление
в форме х2+ dy2, причем с условием (л;, dy) = /, то
оно простое (к числам d, в частности, принадлежат
все натуральные числа от 1 до 10, а самое большое
из них 1848; из новых исследований вытекает, что
количество чисел а конечно, однако неизвестно,
является ли 1848 наибольшим из них).
Представления некоторых простых чисел даны в
нижеследующей таблице.
Простые числа N
4л + 1
Ъп + 1, 8л + 3
6я + 1
14/1 + 1, 14л+ 9Д
111
Формы, которыми N
представляются лишь однозначно,
причем с условием (х, dy)=l
х + у
х2 Н- 2у2
х2 + Зу2
х2 + 7у2
Если существует более одного представления Л/
формой х2 + dy2, то N можно разложить на
множители.
Примеры:
1) Пусть
тогда
2 о о о
откуда
•, (я,
Пусть
Здесь
У 2 +У\ = ^, Хх + Х2 == -05,
N^x\ +y\ = -(u2 + v2) (s2 + t2).
= 254137 — 5042 + 112 = 4842 + 1412.
В-530.—16
241

поэтому
7V=B2 + 132)-E2 + 382) = 173-1469;
2) Из тождества
/>4 + 4 = (/>2J + 22 = (р - 2J + B/>J
следует, что все числа вида /?4 + 4, кроме 5, являются
составными (теорема Софьи Жермен). К тому же
результату приводит и алгебраическое разложение
рА + 4 = (р2 + 2р + 2) (/>2 — 2р + 2).
Заметим, что вообще разложения на множители,
которые арифметическим методам поддаются лишь
с большим трудом, иногда легко осуществляются
с помощью алгебраической формулы. Так, например,
с большим трудом удалось разложить на множители
258+1, однако впоследствии оказалось, что
откуда искомое разложение легко получается.
Упражнения
250. Какой вид имеет каждый натуральный делитель
составного Fn?
251. Если Fs = 4 294 967 297 разделить на наименьший его
простой делитель 641, то получается число т = 6700417. Сколькими
делениями можно подтвердить простоту этого числа?
252. Найти нетривиальные множители разложения ЛГ = 2л-Ь 1
на сумму двух квадратов методом, указанным на стр. 240
(воспользоваться таблицей квадратов); N=2173, 1363, 7663, 4187.
253. Разложить на множители число N: 1) N=32 980=: 1782+
+ 363 = 1462 + Ю82; 2) N = 76 082 = 2692 + 612= 1992 + 191».
254. Найти простые числа, которые являются суммами двух
кубов натуральных чисел.
§ 3. Функции [л:] и \х).
1. Графики функций [х] и {х\
В настоящем параграфе продолжим изучение
функций [л;]—«целая часть от х» и {х\ — «дробная часть
от л:», определения которых уже даны в § 3 гл. III.
Наглядное представление об этих функциях дают их
графики.
1. Если т — целое число, причем т<х<т + \, то
по определению [х] = т, так что [*]<#< И + 1.
242

Таким образом, график функции у = [х] имеет вид
как на рис. 2.
2. Из определения «дробной части от х» {х] = х —
— [х] следует, что 0<{x}<1. Поэтому график
функции у = {х\у имеет вид как на рис. 3.
у-М
-7-LX 1 2 3 Ь 5 6 7
89
Рис. 2.
///у
У///////// ,
-4 -3-2 'Ю 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >
Рис. 3.
2. Некоторые свойства функции [х]
При помощи функции «целая часть» легко найти
наибольшее целое а, п кратное которого не
превосходит действительное число х. (Если х > 0, то а
означает количество натуральных чисел, не превосходящих
х и делящихся на п.) В самом деле, поскольку по
условию an <x< (а + \)п, то а<—<а+1, а это
п
означает, что а = \— .
Используя указанное истолкование для — L можно
без особого труда доказать, что — = — I. Дейст-
L « J L n J
16* 243

вительно, fan как между [х\ и х нет целых точек, то
наибольшее целое а, п кратное которого < [х\,
является также наибольшим целым, п кратное которого
<х. Но последнее равно — , поэтому и а = \—4=
Из этого свойства следует, что для натуральных
можно записать также в видах Г-2/2
L Ь
1 и -^- .
J la]
3. Вычисление показателя а, с которым простое число р
входит в произведение п\
Рассмотрим задачу, в решении которой функция [х]
имеет важное применение.
Задача: найти, с каким показателем а простое
число р входит в произведение п\
Показатель простого числа р в произведении п\
зависит только от тех сомножителей, которые делятся
на р.
По крайней мере, по единице в показатель числа р
вносят те сомножители произведения п\, которые
делятся на /?, т. е. числа последовательности 1 -р,
о Г л 1 Г " 1
^'/*>"-» —\-р\ их число равняется — .
По крайней мере, по второй единице в показатель
числа р вносят те числа указанной последовательности,
которые делятся на р2: их число равняется \~ и т. д.
Поэтому
пока ряд не обрывается.
При практическом вычислении а целесообразно
учесть, что согласно доказанному в предыдущем
244

Пример. Найти показатель а, с которым число 5
входит в 71!
В силу последнего замечания можно
воспользоваться легко понятной схемой
71|5_
14lJ
2
_
14lJL , а-14+ 2-16.
О
Если р* есть наибольшая степень р, не
превосходящая п, то а можно записать в виде
Легко вычислить t:
р'<п,
tlnp <\пп,
In р
Следовательно, / = 1-^4.
\\пр J
Впредь будем обозначать максимальное значение
целого /, которое удовлетворяет условию //< /г, че-
t
Упражнения
2^5. Найти показатель а, с которым 1) 7 входит в 89!, 2) 5 — в
313!, 3) 11—в 887! 4) 3 — в 569!
256. 1) Определить сколькими нулями оканчивается 295! 2)
Увеличится ли количество нулей, если взять 299!?
257. Найти канонические разложения на множители для 10! и
20!
258. Найти наибольшее натуральное значение х в сравнении
201-202 ...700= 0 (mud 13').
259. Доказать, что т A) + тB) + ... % (л) ^~ 1 + \~ + . ..
Г" "I
• •. + — , где т (л) — число делителей л.
245

260. Доказать формулу предыдущей задачи, пользуясь
геометрической интерпретацией, указанной в задаче 245. Сделать чертеж.
261. Доказать, что s A) + 5 B) + ...+ s (л) =1 • —
• •• + п\ — , где s(л) — сумма делителей л.
In J
262. Доказать, что [х -f у] > [х] + [у] и вообще [л -f у +.... + *]>
> w + ы +... + и-
263. Доказать, что Af= —^—-——— * * — целое число.
264. Доказать, что для действительных чисел а и В [2а] + [23]>
> w + т + [«+ й.
осе _ Bm)l B/i)!
265. Доказать, что для натуральных тип г—
т\п\ (т+п)!
является целым числом.
266. Доказать, что для любого действительного х и
натурального п
[* + у] + ... + [х + ?~
[х] + [* + у] + ... + [х + ?~] - [пх]. A)
267. Доказать, что 9 (х, Л^) — количество натуральных чисел
^ х и взаимно простых с N (или, что равнозначно, с каждым его
простым делителем /?„ р2,..., р„ или произведением этих делителей)
выражается формулой
на которую впервые указал Лежандр. Имея в виду замечание в
скобках, пишут также <р (х; ръ p2,...,pn)t ?C*5 PiP2-Pn)-
268. Найти количество натуральных чисел: 1) ^300 и взаимно
простых с 30; 2) ^713 и взаимно простых с 42.
о 269. Найти значение функции Эйлера <р (#0» пользуясь
формулой Лежандра, указанной в задаче 267.
§ 4. Распределение простых чисел
1. Бесконечность множества простых чисел. Доказательство
Евклида. Функция я (х) и ее график
Вопросы распределения простых чисел 2, 3, 5, 7,...
в ряду натуральных чисел принадлежат к труднейшим
вопросам теории чисел; ими интересовались
математики уже с древнейших времен.
Еще Евклид в «Началах» доказал бесконечность
множества простых чисел. Сущность его рассуждения
состоит в следующем:
246

Допустим, что число простых чисел конечно, и
пронумеруем их, например в порядке возрастания через
Ри Л» — » /V
Число Qn=PrP*-Pn+l
должно обладать хотя бы одним простым делителем
рт. Этот простой делитель не может быть равен ри
или /?2>---> или рпУ так как в противном случае из
делимости Qn на рт и делимости px-p2...pn на рт,
следовало бы, что и 1 делится на рт, а это невозможно.
Таким образом, предположение, что числами ри
/?2,..., рп исчерпываются все простые числа, приводит
к противоречию.
Обозначим, как это принято, через тс (x) число
простых чисел, не превосходящих действительное число х.
Тогда теорему Евклида можно выразить следующим
образом:
При л:—¦оо к(х)~>оо, или limтс(х) = со.
На рис. 4 дано графическое изображение функции
(*) «BI CJ EK GL A1)б
() () (), () (L, A1)б,
тс A3) = 6 и т. д. Левые концы «ступеней» принадлежат
графику тс (л:), правые концы ему не принадлежат.
С переходом от одного простого числа к
следующему значение функции тс (х) увеличивается на 1; чтобы
у1Г(х)
23 5 7 // 13 17 19
Рис. 4.
23
получить ее значение для х, нужно просуммировать
эти единицы по всем простым числам, не
превосходящим х. Поэтому пишут также
Р<х
247

2. Оценка л-го простого числа,
вытекающая из доказательства Евклида
Доказательство Евклида дает возможность найти
оценку (правда, грубую) для #-го простого числа.
В самом деле, из доказательства следует, что Qn
делится на некоторое простое число рт с индексом
w > п.
Значит,
Pn+l<Pm<Qn
и
n
Отсюда методом математической индукции получаем
оценку
Действительно,
2) предположим, что и
/?з<2*2, Л<2
тогда из
в силу того, что
А =2 И 2/71-/72...рл>/7Г/72.../7Л+1,
следует
т. е.
Поэтому на основании аксиомы математической
индукциих мы можем утверждать, что для любого
натурального п
1 Мы применили здесь аксиому математической индукции в
следующей форме (которая равносильна обычной). Пусть: 1) число
единица обладает свойством А; 2) из того, что свойством А
обладают все натуральные числа, меньшие натурального числа л,
вытекает, что и число п обладает свойством А. При этих условиях
любое натуральное число обладает свойством Д.
248

Отметим, что нетрудно получить более сильную
оценку1: рп<2\ но еще голее точная оценка вытекает*
как это в дальнейшем будет показано, из результатов
П. Л. Чебышева.
3. Существование любых отрезков натурального ряда,
не содержащих простых чисел. Проблема простых
чисел «близнецов»
В закономерности следования простых чисел в
натуральном ряду на первый взгляд неожиданным фактом
является тот, что в последовательности ри /?2,.*.всех
простых чисел встречаются промежутки сколь угодно
большой длины. Однако этот факт доказывается очень
просто.
Действительно, если п > 1 какое-либо натуральное
число, то среди п — 1 следующих друг за другом
натуральных чисел
п\ +2, л!-1-3,..., п\ + п
ни одно не является простым, так как п\ + 2 делится
на 2, п\ + 3 на 3 и так далее, наконец, п\ + п делится
на /г, причем во всех случаях делитель меньше
делимого, т. е. является собственным.
С другой стороны, встречаются такие простые
числа, как например, 11 и 13; 17 и 19, разность между
которыми равна двум, так называемые «близнецы».
Таблица простых чисел (доведенная до одиннадцати
миллионов) показывает наличие весьма больших пар
простых чисел — близнецов р и р + 2 (например, для
р =8 004119, 10 006 427), однако вопрос о бесконечности
числа Таких пар является до сих пор нерешенным
(для наибольшей из известных пар/? = 1 000000009 649).
Интересно отметить, что в 1919 году норвежский
математик В. Брун доказал, что если даже число
«близнецов» бесконечно, то все же ряд из обратных
величин «близнецов» сходится. Он показал также, что для
больших х число простых чисел «близнецов», не пре-
1 См., например: Д. О. Шклярский и др. Избранные задачи и
теоремы элементарной математики, ч. 1. Арифметика и алгебра,
Гостехиздат, 1950, задача 206.
249

>дит и--
ветствующая постоянная 1.
вышающих х, не превосходит С , где С соот-
ln2 jc
4. Доказательство Эйлера бесконечности множества
простых чисел
После Евклида крупных результатов в развитии
теории простых чисел достиг Л. Эйлер.
Эйлер дал новое доказательство бесконечности
числа простых чисел, основанное на идеях
математического анализа и тем самым положил начало
аналитической теории чисел.
Доказательство Эйлера можно изложить следующим
образом: для простого числа р можно писать
= 1 + J_ + X + ... A)
р Рг
Предположим, что число простых чисел конечно,
и пусть рь р2,-.-, pk вся их совокупность.
Напишем ряды A) для всех этих простых чисел.
Так как правце части A) —сходящиеся ряды
положительных чисел и их число конечно, то их можно
почленно перемножить, причем должен получиться
сходящийся ряд. Получим
* 1 B)
П
где суммирование распространено на все различные
возможные комбинации неотрицательных показателей
Gti, а2,..., ал.
Таким образом, знаменатели представляют собой
канонические разложения всех натуральных чисел,
имеющих в качестве простых делителей вдела
Р.и Ръ — э Рь-
Этому противостоит тот факт, что ряд ).—, взятый
по всем
простым числам, является расходящимся (см. п. 5 наст, параграфа),
X
а я(х)<С- (см. п. 8, наст, параграфа).
250

По предположению этими простыми числами
исчерпываются все простые числа, поэтому знаменатели
представляют собой совокупность всех натуральных
чисел вообще. Располагая члены полученного
сходящегося ряда по возрастающим знаменателям (на это
имеем право, так как все члены этого ряда — числа
со
положительные), получаем гармонический рядУ]—>
который, таким образом, должен быть сходящимся и
k
иметь сумму ["] .
Pi
Однако, как известно, гармонический ряд является
расходящимся. Получается противоречие,
доказывающее неверность предположения о конечности числа
простых чисел.
Отметим, что в доказательстве бесконечности числа
простых чисел Эйлер сам исходил из рассмотрения
введенной им функции
где 5>1. В настоящее время эту функцию называют
дзета-функцией Эйлера (еще более широко она известна
под именем дзета-функции Римана, поскольку Риман
первый предпринял глубокие исследования этой
функции для комплексных s).
Как известно, указанный ряд при s > 1 сходится.
Эйлер нашел замечательное тождество, играющее
очень важную роль в теории простых чисел, а именно:
я=1 р 1 ~ „s
где произведение распространяется по всем простым
числам.
Если 5 стремится к единице, левая сторона
последнего равенства беспредельно растет. Это
свидетельствует о том, что простых чисел р бесконечно много.
251

5. Расходимость ряда величин, обратных простым числам.
О «средней плотности» простых чисел
А. Метод Эйлера дает возможность доказать, что
ряд величин, обратных простым числам, т. е. ряд
+
является расходящимся.
Это важное предложение, которое гораздо сильнее
утверждения о расходимости гармонического ряда
со
—, ибо здесь речь идет лишь о части его членов,
дает некоторую характеристику роста простых чисел.
Оно показывает, что ряд простых чисел ведет себя
в некотором отношении так же, как весь натуральный
ряд, в противоположность, например, ряду «полных
квадратов» I2, 22, З2,..., обратные величины которого
оо
образуют сходящийся ряд V — . Можно поэтому ска-
зать, что простые числа в некотором смысле
расположены «гуще», чем полные квадраты.
Докажем расходимость V — .
В дальнейшем будем считать, что бесконечность
числа простых чисел доказана. Умножая (см.
предыдущий пункт) все ряды A) для pt<N, мы получим
ряд B). Произведения P*l-p^.~plk будут при этом
содержать все натуральные числа до А включительно,
а из натуральных чисел, больших Л/, только часть (так
как среди натуральных чисел > N имеются и такие,
которые содержат простые делители, отличные от
А* Л»-./V)'1-
1 Если не сделать оговорку о том, что бесконечность числа
простых чисел считается доказанной, то этого яёльзя было бы
утверждать (см. предыдущий пункт).
252

Поэтому
V
' Pi
Но при Л-^оо в правой части получается
расходящийся гармонический ряд. Следовательно, и бесконеч-
оо
ное произведение || расходится и имеет зна-
/=i 1 — —
Pi
чение +со. Но тогда расходится и ряд
а
причем его сумма тоже стремится к +СО1.
(Заметим, что In (\ !Л сами по себе отрица-
тельны.)
1 Под значением бесконечного произведения
оо
[~] ач = ахафг ... A)
v=l
понимают предел последовательности частичных произведений
«I, u\'d2i ax-a2-az, ax*a2'a^a^ ...,
если этот предел существует. (В общей теории бесконечных
произведений обычно исключают случай, когда один из множителей
равен нулю или когда произведение ах-а2^.ап с возрастанием п
стремится к нулю.)
В случае положительных сомножителей сходимость
произведения A), очевидно, равносильна сходимости ряда
В самом деле, одновременно с частичными суммами этого ряда
стремятся к пределу и частичные произведения al-a2...ani и
наоборот. Согласно теории бесконечных рядов, впрочем, из того, что
1 — — ) = 0, непосредственно следует расходимость ряда
оо
.Pi
253

Далее, поскольку —< 1, имеем
Pi
Pi / Pi
' " 1_ — p*
P/ \P// \P/ 1__..
Pi
причем для Р} > 2
J_ JL J_
1_-L>1H -*-<-?-, T. e. ^7<2-b.
Л 2 j_l JL !_1 Л
Pi 2 p/
oo
Таким образом мы видим, что члены ряда 2-V —
я"
(начиная со второго члена) больше соответствующих
оо
членов ряда —V] In (\ ^ . Но последний ряд явля-
ется расходящимся, следовательно, расходится и ряд
оо
2-V1—> а также ряд
И*
Б. Изучая имеющиеся таблицы простых чисел, легко
заметить, что в среднем простые числа встречаются все
реже и реже, точнее говоря, что отношение —^- —
так называемая «средняя плотность» простых чисел
в отрезке от 1 до х все время убывает. Эйлер
впервые, хотя и не совсем строго, доказал, что при *—»oo
—*-?.—»() или
254

На доказательстве этого факта, который легко
выводится из результатов Чебышева, мы здесь
останавливаться не будем.
6. Асимптотический закон распределения простых чисел
Отмеченные факты о распределении простых чисел
дают лишь смутное представление об этом
сложнейшем вопросе теории чисел.
Ученые начала XIX века поставили перед собой
задачу — найти для функции тс (х) простую, хорошо
известную и как можно лучше приближающую ее
функцию f(x)y такую, чтобы относительная
погрешность была как можно меньше, т. е. чтобы отношение
2-^- для беспредельно возрастающих значений х ста-
новилось все более и более близким к числу 1, другими
словами, чтобы при х—»оо —±-*-—»1 или lim -^-= 1.
F /С*) f(X)
Иначе говоря, проблема состояла в том, чтобы
найти такую аналитическую функцию f(x), которой
п(х) равнялась бы асимптотически, или с которой она
была бы асимптотически эквивалентна. Употребляя
символ асимптотического равенства, предыдущее
соотношение записываем следующим образом:
Заметим, что из асимптотического равенства,
например предыдущего, следует, что функция f(x) должна
быть главным членом в приближенной формуле для
тс (х). Если при этом добавочный член («ошибка») в
приближенной формуле равен R(x), то можем писать
тс (л:) = /(«#) + R (х), или
«(*)-/(.*) = /?(*), где ^2~>0 при л: — оо.
В 1808 году Лежандр на основании исследования
таблицы простых чисел (таблица простых чисел к тому
времени была составлена до числа 400000) опубликовал
замечательную эмпирическую формулу для
приближенного представления функции тс (л:). Лежандр утверж-
255

дал, что дли больших значений х функция тс(.*)
приближенно равна
х
\nx-B '
где В^- некоторое постоянное число, равное 1,08366.
Независимо от Лежандра Гаусс, подсчитывая число
простых чисел последовательно на каждую тысячу
чисел натурального ряда, высказал предположение, что
п(х) сравнительно мало отличается от
X
f—
J )n*
В целях удобства обозначений этот интеграл,
который нельзя выразить элементарными функциями,
обычно заменяется «интегральным логарифмом»
J
0 i
от которого он отличается на постоянную Li2=l,04.
По правилу Лопиталя легко доказать, что
lim ( — :•—)
:)
J П* ХпХ J
2
В самом деле,
lmff:)Umf:)limf
Ar-*oo\J In* In X лг-*оо\1пл; In2 X J x -* оо\1п X — 1
2
Из доказанного факта следует, что предположения
Лежандра и Гаусса приводят к одинаковым
асимптотическим оценкам функции ^(х), а именно:
\пх
или соответственно
J I
2
и
v ' In* J In*
256

Они выражают так называемый асимптотический
закон распределения простых чисел, который на самом
деле имеет место. Однако для теоретического
обоснования этого закона Лежандр и Гаусс ничего сделать
не сумели.
7. Основные результаты 1-го мемуара П. Л. Чебышева
о простых числах
Первым, кто после Евклида добился существенного
продвижения в труднейшем вопросе о распределении
простых чисел при помощи теоретических
исследований, был великий русский математик П. Л. Чебышев.
Его результаты по этому вопросу изложены в двух
мемуарах о простых числах: «Об определении числа
простых чисел, не превосходящих данной величины»
A849) и «О простых числах» A852).
А. В первом мемуаре Чебышев, исходя из
рассмотрения функции Эйлера С (s) при действительных s,
получил следующий основной результат: если п > 0 сколь
угодно велико и а > 0 сколь угодно мало, то будут
существовать сколь угодно большие х, для которых
it ax
\t \пп X
2
а также сколь угодно большие х (возможно
отличающиеся от предыдущих), для которых
+
In* jc
Обозначая функции в правых частях этих неравенств
соответственно через ух и уъ сформулированную
важную теорему можем выразить также следующим
образом: функция ъ(х) растет не медленнее, чем функция
ух и не быстрее, чем функция уъ или, другими словами,
нет такого значения х, начиная с которого график
функции те (а:) весь лежит под графиком функции^ или
над графиком функции у2-
Для лучшего уяснения содержания этой теоремы
полезно рассмотреть более подробно графическое ее
истолкование.
Б-530.-17 257

X
Г dt
Функция Liх= [ , которая для достаточно боль-
J in t
2
ших значений х сравнительно мало отличается от
функции -?— , очевидно, монотонно и неограниченно воз-
растает; ее график своей вогнутостью направлен к
оси х. Значения функции af , которой определяют-
1П X
X
ся отклонения графиков ух и у2 от графика I —, при
J in t
2
небольших значениях х сколь угодно малы, однако при
неограниченно возрастающем х тоже неограниченно
возрастают. Таким образом,^ иу2 определяют сначала
узкую, а затем все расширяющуюся кривую полосу
X
около графика ( .
2
Было отмечено, что нет такого значения х, начиная
с которого график функции ъ(х) весь лежит под
графиком ух или над графиком у2. Вместе с тем можно
также утверждать, что график п(х), который состоит
из отдельных ступеней, отделяющихся одинаковыми
скачками в размере единицы, не может расположиться
только вне указанной полосы.
Отсюда следует, что ступени графика те (х) должны
бесчисленное множество раз входить в полосу между
У\ и у2 — в этом наглядный смысл теоремы Чебышева.
Графически все это можно иллюстрировать на
рис. 5 (в котором мы пока чертим ступени те(лг), не
превышающими график Lix, как это соответствует
имеющимся таблицам простых чисел).
Б. При помощи указанной теоремы Чебышев в
дальнейшем доказывает, что выражение В (х) = In x —
при х—»оо не может иметь предела, отличного от 1
(если таковой вообще существует).
Так как из эмпирической формулы Лежандра
следует, что
Urn \\пх 1 ==Д
258

то Чебышев и заключает, что формула Лежандра при
х—>со не может быть точной, и более подходящей
константой является В=\.
На первый взгляд может показаться странным тот
факт, что в асимптотическом законе распределения
Рис. 5.
простых чисел утверждается, будто п(х)
In х
в то
время как в формуле Лежандра наиболее подходящей
константой оказывается В=\, вместо возможно
ожидаемого значения В = 0. Однако это недоумение не-
обосновано, если учесть, что асимптотический закон
распределения простых чисел может быть записан при
помощи выражения Лежандра следующим образом:
ли (х)
\nx~B
Асимптотический закон допускает различный выбор
главного члена в приближенной формуле для тс(х).
Какой из них является наилучшим, можно решить лишь
дополнительным исследованием, которое Чебышев и
предпринял.
Он доказал, что при выборе в качестве главного
члена приближенной формулы для к(х) выражения вида
In х — в
17*
259

«ошибка»
А\пх-В
для достаточно больших х становится меньше С-
(где С —постоянное число) только в том случае, если
А = 1 и В= 1.
При рассмотрении таблицы простых чисел,
известной во времена Лежандра (т. е. до числа х = 400 000),
создается впечатление, что формула Лежандра
в качестве главного члена приближенной
In* —1,08366
формулы для ъ(х) лучше выражения Lix= .
J In t
X
X
In x- 1,08366
*(*)
100
28
25
29
1000
171
168
178
10 000
1230
1229
1246
2
100 000
9 587
9592
9 630
В действительности это не так: формула Li л: лучше
формулы Лежандра и подобных ей.
Однако^ как справедливо указал Чебышев, таблицы
простых чисел, составленные к тому времени, были
слишком малы, чтобы указанное преимущество
заметить. В пределах этих таблиц оба выражения мало
отличаются друг от друга; но разность их
in х- 1,08366
B,08366)*
0,08366
-I
dt
In*
имея минимум при г = е ^1247 646, после него
постоянно возрастает до оо и уже при х > 10000000
принимает довольно большое значение. Для таких х
X
формула (-^- дает куда лучшие приближения к я (*),
J In t
чем формула Лежандра.
260

Из отмеченного выше свойства константы В
следует, что еще более грубые значения, чем при помощи
формулы Лежандра, получаются при пользовании
формулой
К ' In*
Однако ею очень удобно пользоваться, в особенности
для х = 10*. Тогда
lo
^ In 10 2,303-? k
При &= 1, 2, 3, 4, 5, б соответственно легко находим
следующие приближенные значения для тс A0*):
4, 22, 145, 1090, 8680, 72300.
Их относительная погрешность убывает (сравните
с правильными значениями тс (х) в таблице на стр. 274)
и для достаточно большого k может быть сделана
сколь угодно малой.
В. Установив, что эмпирическое приближение
формулы Лежандра к функции тс (х) неудовлетворительно,
Чебышев далее показал, что если только предел
тс (л;):—- при х-* со существует, то он должен быть
in х
равен 1.
Доказательство этого факта в основных чертах
следующее: если взять в основной теореме Чебышева
/t=l и разделить в обоих неравенствах левые и правые
х
части на , получаем неравенства
in х
\пх In х
1 О вычислении точных значений % (х) далеко за пределами
таблиц см., например A3).
261-

Можно утверждать, что существуют сколь угодно
большие х, для которых
«W
X
J In*
2
In х
X
In x
Г dt х \
\ y-j : j— стремится
к пределу 1, то из последнего неравенства явствует,
что существуют сколь угодно большие х, для которых
«(х) : — отличается от 1 на сколь угодно малое по-
1п х
ложительное а.
.Из этого следует, что если предел существует, то
он не может отличаться от единицы. (Мы не знаем,
как дело обстоит для всех сколь угодно больших х.
Если бы для всех сколь угодно больших х п(х): -^—
ш X
Рис. 6.
262

отличалось от 1 на сколь угодно малое
положительное <*, то мы могли бы утверждать, что предел
тс (•*) : — существует и равен единице).
1П JC
Графически картина этого примерно следующая:
на «ступенях» к(х) для сколь угодно больших х
существуют точки, расположенные вблизи графика -^-. По-
1П JC
скольку существуют сколь угодно большие интервалы
натурального ряда, не содержащие простых чисел,
«ступени» могут сделаться любой длины и значительно
удалиться от графика . Вместе с тем надо иметь
в виду, что такие очень длинные «ступени» появляются
лишь тогда, когда само ъ(х) очень велико. Поэтому
не исключено, что несмотря на абсолютно значительное
удаление «ступени» тс (х) от —^- , отношение соот-
in jc
ветствующих ординат будет сравнительно мало
отличаться от единицы, а в пределе при х —> оо будет равно
единице. Иллюстрацией всего сказанного может
служить схематический рис. 6, на котором изображена
часть графика п(х) и функций для больших зна-
1П X
чений х.
8. Основные результаты 2-го мемуара П. Л. Чебышева
о простых числах.
Неравенство Чебышева и его упрощенное доказательство
Переходим к рассмотрению основных результатов
2-го мемуара П. Л. Чебышева.
А. Поводом для написания второго мемуара явился
так называемый постулат Бертрана. Незадолго до
этого известный французский математик Бертран в
своих исследованиях по теории групп встретился с
необходимостью доказать эмпирически
подтверждавшийся факт, что между п (п > 3) и 2п — 2 всегда имеется
хотя бы одно простое число. Все попытки Бертрана,
а также других математиков, доказать это
предложение оставались безуспешными.
263

В своей второй работе A852) Чебышев доказал
постулат Бертрана К Однако этим не исчерпывается
значение выдающейся работы Чебышева. Главное
значение мемуара «О простых числах» состоит в тех
элементарных и вместе с тем сильных методах,
которые в нем даны и использованы для оценок функции
тс(;с), а также других функций. Из оценок Чебышева
вытекает, что для достаточно больших х выполняются
неравенства
0,92129 <-li*L< 1,Ю555,
или
In х
0,92129 — < тг (*)< 1Д 0555
In л: In
которые впредь будем называть неравенствами
Чебышева.
Графически неравенства означают, что для
достаточно больших х график функции тс (х): -^- лежит
1П X
между параллелями ^=0,92129 и у2=1,10555 (см. рис.7).
У
0,9
у 2=1,1055 5
угО,92129
Рис. 7.
Неравенствами Чебышева впервые было строго
доказано, что тс (х) при х-
>оо растет как функция .
Ш X
На основании первого мемуара этого еще нельзя было
утверждать.
1 В настоящее время доказано, что для натуральных п > 5
между п п 2п содержатся по меньшей мере два простых числа.
264

Удовлетворяясь более грубыми результатами, чем
у Чебышева, мы дадим упрощенное изложение метода
Чебышева, а именно: докажем следующую теорему:
Для всякого действительного х>2 имеют место
неравенства
In л: In л:
где 0<с< 1 < С.
Б. Для оценки п(х) сверху введем функцию
Чебышева 9(х), с которой ъ(х) тесно связана. Эта функция
определяется соотношением
где суммирование распространяется на все простые
числа < х.
Из определения видно, что число слагаемых In p в
Ь(х) равно
Si = *(*).
Пример. Пусть х = 10; запишем все натуральные
числа до 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Очевидно, б A0) = ? \пр = In 2 + In 3 + In 5 + In 7.
Установим связь между ъ(х) и
При*> 1 6(jc)=
так как в Sin/? при х > 1 наименьшее слагаемое
>1пУх, а число слагаемых 2 1 =iu(x) — тс(|/л;).
Но так как
.1 JL
то
265

откуда
in х
и
ir (y\ <^ Q (x\ 4- Л/IF (\}
\nx
В. Оценим теперь 6 (л:) и используем результат для
последующей оценки ъ(х) сверху.
Рассмотрим число
(я + 1) (п + 2).,.2/г _
Это число целое, а так как оно является членом
биномиального разложения A + \Jп = 22п, то
• N<22n.
N делится на все простые числа р в интервале
п<р <2п, так как эти простые числа входят
сомножителями в его числитель, но не могут входить в
знаменатель, который содержит числа сегмента [1, п\.
Поэтому jV делится также на произведение указанных
простых чисел.
Обозначим простые множители в интервале п </? <
<2/t через ри />2>---> /V Тогда имеем
/VA..-A= П Р<М<22п.
Следовательно,
Но так как
S 1п/> =. S In/7 - X lnp == 6 Bл) - 9 (/г),
ТО
в B/г) — 0 (/г) < 2лг In 2.
Это неравенство остается верным и в том случае,
когда простых чисел рь р2,..., pk вовсе не существует,
так как в этом случае 9 B/г) — 6 (/г) = 0.
Полагая
Л = 2*-\ 2*-2,...,1, где k = 1,2...,
266

имеем
8B)-6(l)<2-ln2.
Суммируя эти неравенства и учитывая, что 6A) = О,
получаем
6 B*) < B* + 2k~l + ... + 2) In 2 = 2-Bfe — l)-ln 2.
Следовательно,
6B*)<2*+Чп2. B)
Пусть теперь х>\\ тогда х удовлетворяет
неравенствам
2k'l<x<2\
где k — некоторое целое > 1.
Так как при х{=х2 ^(х1) = Ь(х2), а при хх<^х2
б (хх) < 6 (х2), то на основании B) получаем
6(;c)<eB*)<2fe+4n2.
Но
следовательно, S(x) <4х-1п2.
При 0<л:<^1 это неравенство тоже выполняется.
Поэтому для х > 0 имеем
e(jt)<Crje, где d =41n2. C)
Теперь можно оценить п(х) сверху.
Учитывая C), находим изA)
\пх
In x \ V x 4
\nx
Легко убедиться, что при х > 2 выражение
2
имеет наибольшее значение при х == е2, а именно —
= 0,7.
Итак, при х>2
267

где с = 8 In 2 + 0,7 = 8-0,69 + 0,7 ^6,2;
этим часть теоремы доказана.
Г. Оценим теперь ъ(х) снизу.
Число N^^-^- можно представить в виде
(л!)а
где по § 3 настоящей гл.
''-[f] + [7] + --
и каждая из этих сумм обрывается на t2n p-ou члене
При этом мы имеем в виду, что при/? > п, или t> tn p
справедливо соотношение Мт =0.
Поэтому
Но [2у] — 2\у\ равно либо нулю, либо единице. На
самом деле, пусть
т<у < т + 1.
Если при этом
1) у<т + 1-у то [2у] — 2 [у] == 2т — 2т = 0;
2) ey>m + J~, то [2у]~ 2[j;] = Bw + 1) — 2т = 1.
Следовательно,
N<Ylp2njp.
2
В правой части имеются пBп) сомножителей р2п'р ,
из которых каждый < 2/г, причем знак равенства может
268

выполняться лишь в одном случае (см. п. 3 § 3
настоящей главы); поэтому
откуда
к Bл) In 2ti > In N.
Но число Л можно представить также и в
следующем виде:
~~
(П- 1J...22.12 /I2
V 2J \
-l === 2яBя — 1) Bп — 2) Bя - 3) 2Л
2nJ \ 2(/1-1)
3 5
2 4 6 2/i '
A/>4".i- A — — 2n~l _4n 2™
# 2 ' 3 ' 4 ' 5 2/7 2л 2/7 *
Итак,
следовательно, In jV> 2ti\n2— In2/г E)
и гсB/гIп2/г>2/г1п2 — In 2лг. F)
Пусть теперь
так что
/г< —х < п + 1,
2/г < х < 2/г + 2,
х — 2<2п.
Тогда, учитывая, что при
хх> х2 ^ (хх) > тс (л:2) и \пхх> In x2,
получаем из F)
тс (х) In х > (х — 2) 1п 2 — In х,
269

, ч . (х — 2) In 2 - ln x
откуда тс (х) > \
J \nx
( \ v. ^ In 2 — In 4jc
Если л: = 8, то
In 4x In 25 5 ln 2
f n In 4x 3 t л
In 2 = — In 2.
x 8
При x > 8 значение -— убывает, поэтому величи-
х
на скобки будет увеличиваться; тем не менее G)
остается в силе, так как оно имеет место для всех х > 2.
Таким образом, мы можем утверждать, что при
х>8
Но и для 2<л;<8 последнее неравенство остается
в силе.
В самом деле, для таких х тс (х) принимает значения
> 1 (причем знак равенства имеем для х = 2); с другой
стороны, , достигая в интервале [2,8) для х = е
In х
своего минимума, в остальных точках будет •<
3 In 2
(причем знак равенства имеем для х = 8).
Следовательно,
Учитывая замечания в скобках, имеем и для интервала
Поэтому имеем окончательно для х >2
, где ^41
In* 8
270

Этим доказана вторая часть теоремы и вместе с тем
вся теорема.
Заметим в заключение, что из теоремы Чебышева
непосредственно вытекает теорема Эйлера о том, что
J5i^--*0, когда *->оо.
х
9. Оценка роста /г-го простого числа на основании
неравенства Чебышева
Из неравенства Чебышева для ъ(х) вытекает оценка
роста /г-го простого числа pni а именно: пусть рп — /г-ое
простое число и п > 2, тогда
(необходимо принять я>2, так как In 1=0).
Доказательство. При х=рпъ (рп) = п, и
неравенство Чебышева принимает следующий вид:
c^JL.<n<CJ^, A)
\прп 1прп
Из правой части A) следует
pn>^nlnpni но 1прп>\пп,
поэтому
ря>±п1пп. B)
Из левой части A) следует
рп<-п1пр„ C)
с
а также
1п/?Л-1п^^<1пл. D)
с
Но для достаточно больших п
L<VJ или Щ?±<с, так как ПтЩ^
С VPn VPn
Поэтому из D) для достаточно больших п следует
\npn-j\npn<lnn,
271

или
или
lnpn<2\nn. F)
Учитывая F), для достаточно больших п из C) получаем
рп< -п-2\пп,
с
или
рп< — п\пп. G)
с
2
При увеличении в достаточной мере постоянной —
с
G) останется в силе для всех п > 2. Меняя
обозначения для постоянных, из B) и G) получим
схп \пп<рп< Схп In п. (8)
Отметим еще: 1) для достаточно больших п из F)
следует оценка рп < п2;
2) из (8) легко доказать расходимость ряда величин,
обратных простым числам.
10. О доказательствах закона распределения простых чисел
Выдающиеся результаты Чебышева в вопросе о
распределении простых чисел произвели на современников
очень сильное впечатление. Об этом, например, ярко
свидетельствуют слова выдающегося английского
математика Сильвестра, который в 1881 году предлагал
для дальнейших успехов теории чисел ждать, пока
родится некто настолько же превосходящий Чебышева
своею проницательностью и вдумчивостью, насколько
Чебышев превосходил этими умственными качествами
обыкновенных людей, или слова выдающегося
немецкого математика Э. Ландау A877—1938), который в
своей специальной работе, посвященной распределению
простых чисел, в 1909 году писал: «Первый после
Евклида, кто пошел правильным путем для решения
проблемы о простых числах и достиг важных результатов,
был Чебышев». Однако достижения Чебышева были
еще недостаточны для того, чтобы сделать последний
272

шаг в доказательстве асимптотического закона
распределения простых чисел, а именно: чтобы доказать
(к(х): . И хотя после Чебы-
\пх )
шева были найдены еще более точные границы (так,
например, Сильвестр нашел, что для достаточно
больших х 0,95695 < ^- < 1,04423) для отношения
X
\пх
п(х) : -—при достаточно больших х, все же попытки
1П X
доказать этим путем асимптотический закон оказались
безуспешными.
Ключ к решению проблемы оказался заложенным
в исследованиях знаменитого немецкого математика
Б. Римана, который в своем мемуаре 1859 года указал на
возможность получения глубоких результатов по
распределению простых чисел при помощи исследования
дзета-функции С (s) для комплексных значений
переменной l s = o + и. (Чебышев в свое время исследовал эту
функцию для действительных переменных.) Риман сам
своим методом ни одного арифметического результата
не получил, однако, воспользовавшись методом Римана,
французский математик Ж. Адамар и бельгийский
математик Валле-Пуссен в 1896 году, независимо друг от
друга, доказали существование предела для п(х): -^- .
1Q X
До недавнего времени все доказательства
асимптотического закона базировались на более или менее
глубоком изучении поведения функции C(s).
Только в 1949 году попытка элементарного
доказательства увенчалась успехом. Эта заслуга принадлежит
датскому математику А. Сельбергу и венгерскому
математику П. Эрдешу. Доказательство было упрощено
другими математиками. Наиболее простое доказатель-
1 Риман высказал предположение, что все нетривиальные нули
С (s) лежат на прямой а = —-. Эта так называемая гипотеза
Римана до сих пор не доказана и не опровергнута. Однако известно,
что из ее справедливости следовали бы многие замечательные
теоремы о простых числах.
Б-530.-18 273

ство дано советскими математиками А. Г.
Постниковым и Н. П. Романовым (см. D8)).
Отметим в заключение, что из асимптотического
закона распределения простых чисел легко вывести
асимптотическую оценку для п-то простого числа рп:
рп ~ п In п.
11. Об оценках добавочного члена
в приближенном представлении тс (х)
После открытия асимптотического закона
распределения простых чисел стал актуальным вопрос об
оценке добавочного члена
как по абсолютной величине, так и по знаку.
Если посмотреть в таблицы для ъ(х) и Lix, то
замечаем, что для всех приведенных значений к(х)<,
< Ux.
До 1914 года существовала уверенность, что такое
соотношение имеет место для всех х. Но в 1914 году
английский математик Литлвуд доказал, что при
достаточном расширении таблиц в конце концов ветре-
X
1000
10 000
50 000
100000
500000
1 000 000
2 000 000
5 000 000
10 000 000
20 000 000
90 000 000
100 000 000
1 000 000 000
71 (X)
168
1229
5133
9 592
41538
78 498
148 933
348 513
664 579
1 270 607
5 216 954
5 761455
50 847 534
Li х
178
1246
5167
9 630
41606
78 628
149055
348 638
664 918
1 270 905
5 217 810
5 762 209
50 849 235
274

тятся значения х, для которых ъ{х) > Li x\ что
вообще разность
7г (х) — Li х
бесчисленное множество раз меняет свой знак в
промежутке от х = 2 до jc = oo. Этим факт колебания
функции к(х) около Lix, о котором идет речь в
основной теореме Чебышева, получил свою
окончательную формулировку. Вместе с тем отсюда следует,
что, представляя себе мысленно графики функций
п(х) и Lix, нужно считать, что существуют сколь
угодно большие х, для которых ступени к(х)
пересекают линию у = Li х.
Вопросом о том, с какой степенью точности функ-
х
ция I представляет ^(х), занимались и сам Че-
J \nt
2
бышев, а также Адамар, Валле-Пуссен, Харди и Литл-
вуд и другие ученые; этим вопросом занимаются и в
настоящее время советские ученые. Наилучшие
результаты в этом направлении были получены на основе
применения созданного И. М. Виноградовым метода
оценки тригонометрических сумм (см. § 5) Н. Г. Чу-
даковым (в 1936 г.), Е. Титчмаршем, Н. М.
Коробовым и самим И. М. Виноградовым, который в 1958 г.
доказал, что в равенстве
добавочный член \R(x)\ < сх • х -е с^пх\ где сх и с2
положительные постоянные, а [х= \- г.
о
Применяя тот же метод, Чудакову в 1936 г.
удалось также значительно уменьшить те границы, в
пределах которых можно утверждать наличие хотя бы
одного простого числа. До этого немецким
математиком X. Хейльброном в 1933 г. было установлено,
что в последовательности
I2*0, 2250, З250,..., д250, (п + IJ50,...,
1 Такое значение до сих пор неизвестно, однако Скьюз
установил, что оно меньше, чем 101(I0
18* 275

начиная с некоторого n = ttOi между двумя ее
соседними членами лежит хотя бы одно простое число.
Чудакову удалось заменить эту последовательность
более тесной:
1*. 2\ 3*. ...,*«, (я+1L,...,
имеющей тем не менее аналогичное свойство.
Впоследствии английскому математику А. Е. Инга-
му в 1937 г. удалось еще более уточнить этот
результат, заменив четвертые степени кубами.
Из результатов Ингама следует даже, что число
простых чисел между п? и (п + IK стремится вместе
с /г к бесконечности.
12. О распределении простых чисел в арифметической
прогрессии
Проблема о распределении простых чисел в
натуральном ряду получает дальнейшее развитие в
вопросе распределения простых чисел в арифметических
прогрессиях и других числовых последовательностях.
Уже в 1788 г. Лежандр высказал предположение,
что в каждой арифметической прогрессии
/, /+?, / + 2?,... A)
с общим членом kx + /, где k и /—целые взаимно
простые числа, а х = 0, 1, 2,..., содержится
бесконечное множество простых чисел (другими словами,
при указанных условиях относительно k, x и /
существует бесконечно много простых чисел вида
kx +1).
Однако лишь в 1837 г. немецкий математик Лежен
Дирихле сумел доказать эту теорему. Доказательство
его для общего случая является весьма сложным.
Элементарное доказательство дано А. Сельбергом в 1949
году, затем советским математиком А. О. Гельфондом.
Наиболее простое доказательство дал швейцарский
математик Е. Трост (см. A3)).
Для отдельных частных случаев теорема Дирихле
доказывается просто. Докажем, например, что
существует бесконечно много простых чисел вида 4# +1.
Допустим противное, т. е. что простых чисел
такого вида имеется лишь конечное множество, а имен-
276

но, <7!,<72> ¦•.,#?• Тогда число х2 + 1 = 4(qrq2 • • • qkJ+\,
также имеющее вид Art + 1, должно быть составным,
а так как оно не делится ни на одно из чисел qL, оно
должно иметь простой делитель р = Ап + 3, или
х2 + 1 = 0 (mod /7), или х2 = — 1 (mod /?), т. е/—)= 1>
что невозможно, когда р = 4п + 3.
Полученное противоречие доказывает наше
утверждение.
Аналогично получается, что существует
бесконечно много простых чисел вида Art + 3 и 6/г + 5.
Следует отметить, что уже много лет назад была
поставлена проблема о наименьшем простом числе в
арифметической прогрессии A). Эту проблему
качественно решил выдающийся ленинградский математик
Ю. В. Линник. В 1944 г. он доказал, что в такой
прогрессии (при 0 < / < k) содержится простое число/?<&с,
где с— абсолютная константа (не зависящая от k)x.
Отметим в заключение, что исследования
относительно содержания простых чисел в
последовательности чисел, которая получается, когда в квадрати-
ческой функции ах2 + Ъх + с х пробегает все
натуральные значения, даже для частного случая функции
х2 f 1, до сих пор не имели успеха.
Упражнения
х
270. Пользуясь приближенной формулой те (х) « , найти:
in х
1) теA0т); 2) те A08).
271. Доказать, что те (х) = те (У"х) — 1 + <р (х; /?, р2 >»рг)> гДе
Ръ Р2 у •••»Рг — последовательность простых чисел ^ Ух , а
9 (•*> Р\Ръ*»Рг) имеет значение, указанное в задаче 267.
272. Пользуясь формулой, установленной в предыдущей задаче,
найти те A20).
273. Доказать, что существует бесконечно много простых
чисел вида An -Ь 3.
274. Доказать, что существует бесконечно много простых чисел
вида б/г + 5.
275. Доказать, что существует бесконечно много простых
чисел вида 6п + 1.
1 В 1958 г. китайский математик Пан Чен-тонг, пользуясь
методом Ю. В. Линника, показал, что с < 5448, а в 1965 г.
Чен-ин-рун доказал, что с ^ 777
277

§ 5. Аддитивные проблемы теории чисел
1. Примеры аддитивных задач: проблемы Гольдбаха —
Эйлера, Варинга и Харди — Литлвуда
1. Аддитивными проблемами теории чисел
называют такие задачи, в которых рассматривается
составление целых чисел из слагаемых определенного
вида.
Требования, .которые налагаются на слагаемые,
часто связаны с их мультипликативным
представлением, т. с их представлением в виде произведения
простых сомножителей.
В таких аддитивных задачах исследуются связи,
которые существуют между свойствами целых чисел
относительно умножения (мультипликативные
свойства) и их свойствами относительно сложения
(аддитивные свойства). Эти связи имеют весьма сложный
характер. Стремление установить их привело к ряду
основных проблем теории чисел, которые
объединяются в одно большое направление аддитивных
проблем. Несмотря на простоту в формулировках, эти
проблемы для своего решения очень часто требуют
неимоверных усилий.
2. Одной из таких проблем является знаменитая
проблема Гольдбаха. Она была поставлена в 1742 году
Петербургским академиком X. Гольдбахом в письме
к Эйлеру и заключается в утверждении, что всякое
целое число, большее или равное 6, может быть пред-
ставлено в виде суммы трех простых кисел. Эйлер в
ответе выразил уверенность в справедливости
теоремы, что каждое четное число, превосходящее 2, есть
сумма двух простых1.
1 Утверждения Гольдбаха и Эйлера даны в тексте с
некоторыми уточнениями. Фактически в письме Гольдбаха к Эйлеру от
7 июня 1742 г. мы находим следующее замечание: «Кажется, по
крайней мере, что каждое число, большее единицы, является
суммой трех простых чисел».
В ответном письме от 30 июня 1742 г. Эйлер в этой связи
писал: «Но что каждое число есть сумма двух простых чисел, я
считаю совершенно справедливой теоремой, несмотря на то, что я
ее доказать не могу».
Извлечения из писем цитируются в переводе по Д. А. Граве
(8), стр. 18-19.
278

Если расчленить утверждение Гольдбаха на два
отдельных утверждения для четных (Гч) и нечетных
чисел (Гнч), тогда зависимость между ними, а также
между ними и гипотезой Эйлера (Э) представляется,
очевидно, следующей схемой:
•¦¦ нч
\
г,
ч
где стрелочка означает — «вытекает». В самом деле:
1) Если к каждому из четных чисел >4 прибавить
простое число 2, то получатся все четные числа > 6.
Отсюда видно, что гипотеза Эйлера о том, что
всякое четное число > 4 является суммой двух простых
чисел, приводит нас к выводу, что всякое четное
число > 6 можно представить в виде суммы трех
простых чисел, т. е. к утверждению Гольдбаха для
четных чисел.
С другой стороны, исходя из гипотезы Гольдбаха
для четных чисел, мы должны, очевидно,
предположить, что одно из слагаемых является четным простым
числом, т. е. равно 2. В таком случае мы можем
утверждать, что всякое четное число > 4 является
суммой двух простых чисел.
Мы получили утверждение Эйлера. Итак,
утверждения Гольдбаха для четных чисел и Эйлера
эквивалентны.
2) Из гипотезы Эйлера (или эквивалентной ей
гипотезы Гольдбаха для четных чисел), которая
говорит о том, что всякое четное число > 4 есть сумма
двух простых чисел, можно сделать вывод, что
всякое нечетное число > 6 представляется в виде суммы
трех простых чисел.
Для этого достаточно к каждому из четных чисел
> 4 прибавить по тройке.
Мы получили утверждение Гольдбаха для
нечетных чисел. Вместе с тем последний вывод показывает,
что гипотеза Гольдбаха равносильна с гипотезой
Гольдбаха для четных чисел (или с эквивалентной ей
гипотезой Эйлера).
279

В то же время необходимо подчеркнуть, что из
гипотезы Гольдбаха для нечетных чисел еще не
следует гипотеза Эйлера; из нее лишь следует, что для
любого четного числа > 10 достаточно 4 простых
слагаемых.
Отметим еще в заключение, что, ограничиваясь
рассмотрением четных чисел > 6 и нечетных > 9,
утверждение Эйлера и утверждение Гольдбаха для
нечетных чисел можно соответственно сформулировать
следующим образом:
Утверждение Эйлера: всякое четное число >6
есть сумма двух нечетных простых чисел.
Утверждение Гольдбаха для нечетных чисел:
всякое нечетное число > 9 есть сумма трех нечетных
простых чисел.
Легко заметить также, что гипотезу Гольдбаха
можно выразить так: всякое целое число,
превосходящее 1, есть сумма не более чем трех простых
чисел.
В течение почти что двух столетий попытки
решить проблему Гольдбаха оставались безуспешными.
В 1912 году на международном конгрессе Э. Ландау
сделал даже в связи с этой проблемой
пессимистический вывод: «Проблема Гольдбаха превосходит силы
современной математики».
3. Другой знаменитой аддитивной проблемой
является проблема Варинга. Ее выдвинул английский
математик Э. Варинг в 1770 г.: для любого целого числа
п>2 существует такое натуральное г = г(п), что
всякое натуральное число N можно представить в
виде
N=xl + xU- ••• +*?, х?>0, A)
т. е. как сумму г целых неотрицательных (или не
более чем г целых положительных) п-х степеней.
Надо обратить внимание на то, что число
слагаемых зависит только от показателя п и не зависит от
представляемого числа N. В противном случае
утверждение теоремы становится совершенно тривиальным,
так как любое натуральное число N можно,
например, выразить как сумму N единиц и вместе с тем
как сумму п-х степеней единицы, поскольку 1 = 1п.
280

С, другойГстороны, нетрудно понять, что проблему
Варинга в принципе (т. е. как теорему существования)
достаточно решить для всех достаточно больших N,
так как если для представления натуральных jV>jV0
(т. е. достаточно больших N) в форме A) достаточно
г слагаемых, то для любого N потребуется не более
чем г' таких слагаемых, где г' не превосходит
наибольшее из чисел г и jV0. В самом деле, любое
натуральное число N<N0 можно, во всяком случае,
представить как сумму N п-х степеней единицы.
Заметим, однако, с самого начала, что вопрос о
том, каково наименьшее значение для числа г
слагаемых в A), является, конечно, в проблеме Варинга
наиболее интересным. Если речь идет о представлении
любого N, то оно обозначается через g(n)\ если о
достаточно больших iV, то через О (я).
Еще в XVIII в. частный случай проблемы Варинга
для п==2 был доказан Лагранжем. Для этого
частного случая теорема Лагранжа формулируется так:
всякое натуральное число представляется в виде суммы
не более четырех квадратов, т. е. gB) = 4.
Например,
27- 42 + 32 + 12 + 12,
Теорема Лагранжа доказывается элементарно (см.
следующий пункт). В дальнейшем разными
математиками были даны доказательства также для /г = 3, 4,
5, 6, 7, 8, 10. Однако в общем виде проблема
оставалась нерешенной до начала XX в. Первое общее
доказательство дал немецкий математик Д. Гильберт
в 1909 г., но это доказательство очень сложно и
громоздко, а значение верхней границы для О (п), как
это было показано позже, излишне велико.
4. Харди и Литлвуд высказали следующие
аддитивные предположения: 1) каждое достаточно большое
натуральное число, не являющееся квадратом, есть
сумма квадрата целого числа и простого числа;
^каждое достаточно большое натуральное число есть
сумма двух квадратов целых чисел и простого числа.
Из них второе было доказано Ю. В. Линником в
1959 г., первое же остается пока гипотезой.
281

2. Разложения на сумму квадратов
А. Прежде чем доказать теорему Лагранжа о
разложении любых натуральных чисел на сумму 4
квадратов, рассмотрим разложение натуральных чисел
специального вида на сумму двух квадратов.
Теорема: Необходимое и достаточное условие
представимости натурального числа N формой х2 + у2
(т. е. разрешимости уравнения х2 + у2 = TV, или того,
что окружность х2 + у2 = N проходит через целые
точки) заключается в том, чтобы каноническое раз-
ложение N не содержало простых множителей вида
An + 3 в нечетных степенях
Доказательство. 1. Необходимость условия
следует из того, что если
N=x2-Yy2 0)
и N\p = 4n + 3y то N\p2.
Действительно, если имеем равенство A) и N\p,
то
x2+y2 = 0 (mod/?),
или
x2 = -y2(modp). B)
Так как —у2 не может быть квадратичным вычетом
по модулю Ati + З (символ Лежандра (-—^-Л ^
\ \ р J
= (——) = 1 в том и только в том случае, когда
р = Ап + l\ то из B) следует
* ее: 0 (mod/?), y = 0(mod/7), C)
а тогда N\p2.
Заметим, что согласно C) в рассматриваемом
случае (х, у)ф\. Числа х и у пе могут так же быть
взаимно простыми, когда TV представимо в виде A) и
yV|4, так как тогда х к у должны быть четными. Из
этого замечания следует, что если Л} представимо в
форме A) и (х,~у) = 1, то ;V имеет простые нечетные
делители только вида An + 1 и N^A.
С другой стороны ясно, что в представлении A)
простого числа р = An + 1 (х, у) = 1, так как иначе
из (х, y) = dy 1 следовало бы p\d2, что невозможно.
282

Представление A), в котором (х, у) = 1, называется
собственным; если (х,у)=?1, то оно называется
несобственным.
2) Достаточность условия следует из того, что, с
одной стороны, имеет место тождество
(а\ + Ь\) (а\ + Щ) = (ага2 + bxb2J + (яА ± ^iJ,
которое показывает, что произведение двух целых
чисел, являющихся суммами квадратов, есть снова
сумма квадратов, а с другой стороны, число N,
каноническое разложение которого не содержит простых
множителей вида An + 3 в нечетных степенях, можно
рассматривать как произведение множителей
следующего вида: квадрата, двойки и простых множителей
вида 4п+ 1, которые все разлагаются на сумму двух
квадратов (k2 = k2 + О2, 2 = I2 + I2, Р = 4/г + 1 == х2+у\
согласно п. 4, § 2, гл. VI).
Б. Число представлений простого числа An +¦ 1
формой х2+у2 определяется следующей теоремой:
простое число р = Ап+ 1 представимо формой х2+у2
не более, чем одним способом, если представления,
отличающиеся порядком слагаемых, мы не будем
считать различными.
Теорему можно выразить и так (если учесть, что
в представлении р = An + 1 = х2 + у2 х =fiy): для
простого числа р = Ап + \ при натуральных и попарно
неравных хи Vi, хъ у2 представления
р = *\ + у\ = 4 + у\ 0)
невозможны.
Доказательство. Допустим противное. Тогда
из A) следует
Ау\-у\А=р(у\-у\)>
откуда
(хгу2 —угх2) (х1у2+у1х2)\р, B)
причем обе скобки не могут делиться на /?, так как
их сумма 2хгу2%р.
Перемножая оба представления A), получим
(учитывая тождество в Л)
р2 = {ххх2 ± уху2J + (хху2 + ухх2)\ C)
где можно взять или верхние, или нижние знаки.
283

Если ххУ2-'Ухх2\Р, то (ххУ2 — Ухх2J\Р2 и при
верхних знаках в C) также (ххх2 + УхУч) \Р2- После
деления на р2 из C) получается, что сумма двух
квадратов равна 1, а это возможно лишь тогда, когда один
из квадратов равен 0.
Так как для натуральных значений хх, vv хъ у2
ххх2 +УгУ2^ °> то должно быть хху2—ухх2 = 0, или
хху2 =ух хъ откуда, в силу того, что (хь У\)==
= {х2,у2) = 1 (см. замечание в А), следует хх\х2 и
х2\хь T- e- ^i = ^2> У\ =^25 а это противоречит
условию.
Если хху2 +У\ Х2\Р> то при нижних знаках в C)
аналогично получаем ххх2—уху2 = 0, откуда
вследствие (х1,у1) = (х2, у2) = 1 следует хх\у2 и у2\хх, т. е.
xx=y2i Vi==x2, но это также противоречит условию.
Теорема доказана.
В. Представление числа N=4n + \ формой х2 +у2
дает возможность установить критерий простого числа
такого вида. Мы видели, что простые числа вида
4/г + 1 имеют единственное, причем собственное
представление формой х2+у2.
Оказывается, что и наоборот, если число вида
An + 1 имеет единственное, причем собственное пред-
ставление формой х2 + у2, то оно простое.
В самом деле, составные числа вида 4п + 1,
имеющие собственное представление, содержат, согласно
замечанию в 1-й части доказательства теоремы п. А,
только простые делители вида 4#+1, из которых
каждый представим формой х2+у2.
Произведение двух таких простых чисел, например
Р\=х\+У\, P2 = xl^~yh где можно предположить
х\ >У\ > 0' Х2 У У2 > 0» имеет по крайней мере 2
представления формой х2 + у2, как это видно из
тождества
*>гР2= (х\+У\H4 + VI) = (ЗД ±УхУ2J+ {ххУ2 + УхХ2)\
если учесть, что все х{, ух, х2, у2 отличны от нуля и
что (ххх2 +УхУ2J больше остальных трех квадратов в
правой части тождества. (Достаточно убедиться в том,
что ххх2 + уху2 > хху2 +ух х2, а это действительно
имеет место, ибо (ххх2+УхУ2)— {Х\У2 + У\Х2) ^
= (хх-~Ух)(х2-У2)>0.)
284

Применяя указанное тождество повторно, можно
убедиться, что любое составное N=4n+ I,
содержащее только простые множители вида 4п+ 1, пред-
ставимо более чем одним способом.
Итак, имеем следующий критерий простого числа
вида 4п+\: нечетное число вида 4//+ 1 тогда и
только тогда является простым, когда оно лишь
единственным образом представимо в виде суммы двух
квадратов, притом собственно.
Этот критерий впервые установлен Эйлером.
Г. Теорема Лагранжа: каждое натуральное
число можно представить в виде суммы четырех
квадратов целых чисел (или в виде суммы не более
четырех квадратов натуральных чисел).
1. Эйлер указал на тождество, согласно которому
произведение сумм четырех квадратов тоже сумма
четырех квадратов:
(а\ + Ъ\ + с\ + df) {а\ + Ъ\ + с\ + Щ) - А2 +
+ Я2 + С* + D\ A)
где
А = аха2 + bxb2 + сх с2 + dx d2,
В = — axb2 + bxa2 — Су d2 + dx c2,
С ==¦ ~ axc2 + cxa2 — dxb2 + bx d2,
D = — axd2 + dxa2 — bxc2 + cxb2.
Это тождество проверяется непосредственно. Ввиду
A) для доказательства справедливости теоремы
Лагранжа достаточно показать, что каждое простое
число и единицу можно представить в виде суммы
четырех квадратов. Так как 1, 2 и каждое простое
число 4/г + 1 представимы даже в виде суммы двух
квадратов, то тем более — в виде суммы четырех
квадратов (достаточно прибавить О2 + О2). Остается
доказать, что каждое простое число формы 4/г + 3
представимо в виде суммы четырех квадратов. Мы
все же будем, сохраняя независимость от,предыдущих
результатов, рассматривать представления любых
простых чисел р > 2, так как доказательство от этого
почти не усложняется.
Сначала покажем, что для простого числа р > 2
существует кратное тр, где 0</^</7, представимое
285

в виде суммы четырех квадратов, а затем — что само
р также представимо, т. е. что можно положить
т=1.
2. Для первого шага рассмотрим числа вида х2 и
— у2 — 1, где х и у пробегают значения 0, 1,... ,р-^—.
Из теории квадратичных вычетов известно, что
для таких чисел никакие два значения х2 или два
значения —у2— 1 не могут быть сравнимы по модулю/?.
Так как всего получается р + 1 число, а по
модулю р имеется р классов, то согласно принципу
Дирихле по крайней мере два числа из этих разных
совокупностей должны принадлежать одному классу
по модулю р.
Поэтому существуют хну, для которых
х2 = — у2 — 1 (mod p),
или
тр = х2+у2+ Р + 02, где 0<т<р, B)
так как 1) х2 + у2 + 1 > 0; 2) вследствие того, что
f. V<f.
Таким образом, первый шаг сделан: доказано, что
при любом простом р > 2 существуют целые числа
аь bx, cu du для которых
а1+ b\+ cl + d2v где 0<т<р. C)
3. Чтобы доказать второе утверждение, отметим,
во-первых, что из существования натурального т<Ср,
такого, что тр разлагается на сумму четырех
квадратов, вытекает также существование наименьшего
натурального числа т, обладающего тем же свойством.
Пусть в дальнейшем т и означает это наименьшее
число. Нам надо показать, что т=1.
Допустим, что /и>1.
Прежде всего можно утверждать, что т нечетно.
Действительно, если т = 2ть то в равенстве C) либо
все Я4, bu cu д?! — четные, либо все нечетные, либо
два из дих четные, а два нечетные. В каждом из этих
286

случаев можно числа аь bu cu dx так сгруппировать
по два, чтобы их полусуммы, а значит и полуразности,
были целыми числами. Без ограничения общности
можно считать, что как раз g| + bl , п[ ~~bl , Ci + dl ,
Zi A A
являются целыми числами. Тогда имеем
2
щр
1
т. е. тгр = — тр уже разлагается на сумму четырех
целых квадратов вопреки предположению, что тр —
наименьшее такое кратное р.
Итак, число т — нечетное.
Обозначим теперь соответственно через а2, Ь2, с2,
d2 абсолютно наименьшие вычеты чисел аь bu cx, dly
по модулю //г, так что
ах = а2, Ьг = Ьъ сх = ?2, rf, = rf2 (mod m), D)
причем все | а21, | ^21 > I ^21 > I ^21 < — > т^к как w —
нечетное. Тогда имеем
тр = а\ + Ь\ + с\+ й\ = а?2 + Ь\ + с\ + Ф2=0{то&т\ E)
откуда
mk = а\ + Ц + с\ + d\ <A(^y = m\ F)
с условием 0 < k < //г, ибо & =? 0 (в противном случае
а2 = Ь2 = с2 = d2 = 0, все аь bu cu dx делились бы на
т, а тр делилось бы на т2, т. е. р делилось бы на
т, что невозможно, так как 1 <т<Ср)-
Перемножая равенства в левых частях E) и F) и
учитывая A), получаем
тЧр = А2 + В2 + С2 + D2, G)
где в силу D) и E) А = В = С = D = 0 (mod m).
Поэтому из G) следует
где — , — , — и целые числа.
Ш ТП Ш ТП
287

Получается, что kp, где 0 < k < m, можно
представить в виде суммы четырех квадратов, но это
несовместимо с определением минимальности числа т.
Итак, предположение, что натуральное т > 1
недопустимо, следовательно, т=\. Теорема Лагранжа
доказана.
3. О методе Л. Г. Шнирельмана
А. Как уже отмечалось во введении, первые
успехи в решении проблемы Гольдбаха принадлежат
выдающемуся советскому математику Л. Г. Шнирель-
ману.
В 1930 г. Шнирельман открыл новый метод,
имеющий очень важное значение в аддитивной теории
чисел, так называемый метод сложения числовых
последовательностей. При помощи этого метода
Шнирельман доказал, что существует константа С (называется
теперь константой Шнирельмана), такая, что всякое
натуральное число N>\ есть сумма не более С
простых.
Для достаточно больших N Шнирельман установил,
что наименьшее значение константы не превышает
800000. Разные ученые, применившие метод
Шнирельмана, скоро снизили указанную верхнюю грань до 67
(Риччи, 1936), в 1951 г. она была снижена до 20
(Шапиро и Варга), а в 1958 г. даже до 18 (Ин).
Метод Шнирельмана дал решение проблемы
Гольдбаха в ослабленной формулировке. Это был первый
существенный сдвиг в этой, до тех пор в течение
почти 200 лет казавшейся неприступной проблеме.
Для своего времени результат Шнирельмана был
фундаментальным и вызвал величайший интерес в
математическом мире. Крупнейший специалист по теории
чисел Э.Ландау, пессимистические высказывания
которого в 1912 году мы упоминали, тогда писал: «Работа
Л. Г. Шнирельмана содержит одно из величайших
достижений в теории чисел, до которого мне удалось
дожить».
После работы Шнирельмана исследования его
методом вылились в самостоятельное направление.
Б. Метод Шнирельмана заключается в следующем:
пусть нам дано некоторое число начинающихся с нуля
288

возрастающих последовательностей целых чисел
#о (= 0)> аь а2,..., ат ,...,
^о(=О), Ьи Ь2,...,Ьт,..., (В)
Со(=0), си с2, ...,сЛ
Выберем по одному числу из каждой
последовательности и сложим между собой эти числа. Совокупность
всех полученных таким образом чисел, в которой
равные между собою будем считать только по одному
разу, можно расположить в виде некоторой новой
возрастающей последовательности
Последнюю последовательность мы назовем
суммой данных последовательностей А, Д..., С.
N=A + B+ ... +С.
Последовательность N состоит из всех чисел вида
#/ + bj + • • • + с1
и содержит, в частности, все члены данных
последовательностей (чтобы их получить, нужно складывать
члены данной последовательности с нулевыми
членами остальных последовательностей).
Обозначая через Р последовательность
0, 2, 3, 5, 7, 11, 13..., (Р)
состоящую из нуля и всех простых чисел, можно
гипотезу Гольдбаха выразить следующим образом:
сумма Р+Р + Р содержит все натуральные числа,
превосходящие единицу. В самом деле,
последовательность Р + Р + Р состоит из сумм вида 0 + 0 + 0,
О'+О + Ри 0 + рх+р2, Рх+Р2 + Рг, т. е. из сумм не
более трех простых чисел. Если она содержит все
натуральные числа больше единицы, то это значит,
что всякое натуральное число > 1 можно представить
в виде суммы не более чем трех простых чисел, а это
как раз и утверждается в гипотезе Гольдбаха.
Если сумма k одинаковых последовательностей А
охватывает все натуральные числа, то
последовательность А называется базисом (натурального ряда)
порядка k (она будет также базисом порядка kx > k).
Б-530.-19 289

Говорят также о базисе k-vo порядка Для
достаточно больших чисел, если сумма k одинаковых
последовательностей А охватывает все достаточно большие
числа.
Не всякая последовательность является базисом.
Так, например, последовательность четных чисел
О, 2, 4,...
не является базисом какого-либо порядка, так как при
сложении чисел этой последовательности нельзя
получить ни одного нечетного числа. Не является также
базисом ранее упомянутая последовательность Я, так
как при сложении ее чисел нельзя получить 1.
Шнирельман ввел понятие плотности
последовательности. Пусть
#о = 0, аь &ъ ...»#й» ••• (А)
— возрастающая последовательность натуральных
чисел. Обозначим через А (п) число членов этой
последовательности, не превосходящих п (при этом подсчете
ао = О не считается). Очевидно, при любом п
0 < А (я) < я,
откуда
Так как множество всех значений отношения——
п
ограничено снизу, то оно имеет нижнюю грань, т. е.
существует такое наибольшее число а, которое не
превосходит ни одного из значений отношения —— при
п
любом п.
Нижнюю грань а всех значений отношения ——
п
мы и называем плотностью последовательности А.
Итак, a = inf-^)_, так что a < -^2L и ап<А(п) для
п п
любого п.
Очевидно, плотность последовательности может
принимать только неотрицательные значения и не
может быть больше 1.
290

Если а{ > 1 (т. е. если последовательность А не
содержит единицы), то а = 0; если плотность
последовательности равна 1, то последовательность
содержит все натуральные числа.
Шнирельман показал, что плотность суммы любых
двух числовых последовательностей А и В с
плотностями а а соответственно р не меньше, чем а + р—
Другими словами, если мы через ~[ обозначим
плотность суммы С = А + В, то
Т>а + Р —«р. A)
Для доказательства подсчитаем на отрезке
натурального ряда [1, п) некоторые категории чисел,
принадлежащих С.
К таким можно, во-первых, отнести все числа ak
последовательности А на указанном отрезке: их коли-
ч'ество равно А (п).
Пусть далее между двумя соседними числами ak
и ak+1 из А расположено / натуральных чисел ak + г,
1<г</. Те из них, для которых г принадлежит В,
по определению суммы последовательностей также
принадлежат С.
Внутри [aki ам] таких чисел имеется 5(/), а на
отрезке [1, п] всего их 2Б (/), где суммирование
производится по всем отрезкам между ak и ak+v
Указанными двумя категориями чисел, вообще
говоря, не исчерпываются все члены
последовательности С, так как внутренние точки отрезков [ak,ak+l]
могут оказаться принадлежащими к С в результате
таких сочетаний членов последовательностей А и В,
которые отличны от вышеуказанных. Пусть, например,
имеем последовательности
О, I2, 2\ 32,... (А)
и
О, I3, 23, 3*,...; (Вх)
тогда указанным способом можно на отрезке [25, 36]
выявить лишь числа 25 + 1 = 26 и 25 + 8 = 33 из
С1 = Л1+51, между тем этому отрезку принадлежат
также следующие числа С,: 0 + 27 = 27, 1+27 = 28
и 4 + 27 = 31.
19* 291

Таким образом, имеем для всех п > 1
С(га)> Л (га)
Но так как 5(/)>р/, так что
=Р(я-Л(я)) и А(п)>ап,
i
то
откуда
теорема доказана.
Теорема Шнирельмана допускает следующее
важное усиление:
T>min(l, a + p).
Оно было впервые доказано в 1942 г. X. Манном.
Заметим, что A) можно заменить соотношением
или
1-Т<A-«)A-Р). B)
распространимое по индукции на любое конечное
число последовательностей.
При помощи предыдущей теоремы Шнирельман
доказал следующую основную теорему: всякая
последовательность положительной плотности есть
базис натурального ряда.
Другими словами, если для некоторой числовой
последовательности A a > 0, то сумма достаточного
количества последовательностей А охватывает весь
натуральный ряд.
Для доказательства допустим, что т — плотность
последовательности С, суммы k последовательностей
А плотности а. Тогда согласно B)
292

Для достаточно большого k правая часть станет
меньше— и вместе с тем Т>-тг- Из этого
следует, что на любом сегменте [1, п] расположено
г > — членов С
Если к ним присоединить 0 и числа
то получится всего 2г + 1 > п + 1 чисел,
принадлежащих отрезку [0, п]. Поэтому (по принципу Дирихле)
среди них должны быть равные, т. е.
откуда
Другими словами, любое натуральное число п
можно получить как сумму двух чисел из С, а это
значит, что А есть базис натурального ряда (притом
порядка <2?), что и требовалось доказать.
Основную теорему Шнирельман постарался
применить к решению проблемы Гольдбаха. Сделать это
непосредственно не было возможности, так как
плотность последовательности Р'
О, 1, 2, 3, 5, 7, И, 13,... (Я'),
состоящей из нуля, единицы и всех простых чисел,
имеет плотность нуль. Однако Шнирельману удалось
доказать знаменитую теорему о том, что
последовательность Рг + Р' имеет положительную плотность.
Вместе с тем оказывается, что Р' + Я', а
следовательно, и Р1 является базисом натурального ряда. Из
этого уже нетрудно заключить, что всякое натуральное
число TV, кроме 1, есть сумма ограниченного, не
зависящего от jV числа простых чисел.
Отметим в заключение, что, применяя метод Шни-
рельмана, Ю. В. Линник в 1943 г. дал элементарное
решение проблемы Варинга в основном, доказав, что
для любого натурального п последовательность
п \л 9.п kn
293

представляет собой базис натурального ряда (см. G),
E4)).
Порядок базиса, т. е. минимальное число
слагаемых хп в представлении N, методом Ю. В. Линника
пока не установлен.
4. О методе И. М. Виноградова
1. В проблемах Варинга и Гольдбаха, а также в
других аддитивных задачах И. М. Виноградов исходит
из интеграла
о
где т — любое целое число.
Если /тг = О,
1
если же т=?0, то
/ = f e™™ doi = —— \е™т] = -J— (е*«т - е°) = О,
о
так как
еЫт = cos 2ът + i sin 2nm = 1.
Рассмотрим применение этого интеграла к
решению проблемы Варинга.
Предварительно заметим, что если целое число Л
представлено в виде
N=xfl + x+ ... +хпг
с целыми положительными xiy то, очевидно, х{ < Р,
где Я равно целой части от YN, т. е. [г 7V|.
Пусть дано некоторое целое число /V>0 и пусть
хг, хъ ... ,хг какие-либо г положительных целых чисел,
удовлетворяющих условию xL < Р.
Возьмем
/w=(x;4x«+ • • • + хпг) — N
и подставим это число в интеграл /.
294

Всякий раз, когда
т обращается в нуль и интеграл / принимает
значение 1, в остальных случаях, т. е. когда
т=?0 и интеграл равен нулю.
Суммируя поэтому указанный интеграл по всем хь
х2,... ,хг, пробегающим независимо друг от друга
значения 1, 2,...,Я, мы получим столько единиц, сколько
имеется различных представлений числа N в виде
суммы г слагаемых п-ых степеней целых
положительных чисел (при этом, очевидно, представления,
отличающиеся только лишь порядком следования чисел
хп считаются различными).
Обозначая через W(ft) число таких представлений,
мы можем утверждать, что
j
Так как сумма нескольких интегралов, взятых в
одинаковых пределах, равна интегралу от суммы
подынтегральных выражений, то из предыдущего
равенства следует
Хх=\ Л:2=1 X —\
О ^=1 дг2==1 xr=l
Легко понять, что из всех слагаемых
подынтегрального выражения можно взять за общую скобку
сомножитель e~27ZiN<x и что в скобке останется
произведение
2/? 2ТС/Л 2г/л"
295

ио
Обозначая поэтому
и
мы можем писать
Для решения проблемы Варинга надо, очевидно,
при любом данном п установить существование такого
О(п), чтобы при г>О(п) для достаточно больших
Af W(N) было положительным.
2. В гипотезе Гольдбаха для нечетных чисел
утверждается, что любое нечетное число N>9 есть
сумма трех нечетных простых чисел:
Ри Рч. и /*з ~~ нечетные простые числа.
Рассуждая таким же образом, как при
рассмотрении проблемы Варинга, мы легко найдем, что число
I(N) представлений нечетного числа N в виде суммы
трех нечетных простых чисел выразится через
p3<N
где суммирование ведется по нечетным простым
числам, не превосходящим N.
ЛегкЬ понять, что можно также писать
/ (Л/) - J ( S e*^» K • е~ы"* da,
о /?
296

или
/(ло= '
где
Т = V еЫрал
* а ^
Проблема Гольдбаха для нечетных чисел будет
решена, если удастся доказать, что для любого
нечетного N> 9 !(N) > 0. Теоретически важно доказать
это для достаточно больших N.
3. Как в проблеме Варинга, так и в проблеме
Гольдбаха наиболее трудным вопросом является
оценка сумм
La И Тл.
Эти суммы являются частными случаями сумм вида
А<х<В
где / (л:) — некоторая действительная функция от х и
суммирование распространяется на все целые числа
некоторого интервала (А, /?), или же на какую-либо
часть этих целых чисел, например простые числа.
Такие суммы называются тригонометрическими
суммами. Оценка тригонометрических сумм является
чрезвычайно важным вопросом в аналитической
теории чисел.
Впервые тригонометрическими суммами
интересовался К. Ф. Гаусс. Гаусс изучил суммы вида
?е « , где (а, <7) = 1,
Jt=O
получившие впоследствии название «суммы Гаусса»*
Первый общий метод оценки сумм вида
? <*«'<*, f{x) = %хп + ап_х хп~1 + • • • + eye,
где ая, аЛ_!,..., «j — заданные действительные числа,
причем хотя бы одно из них иррациональное, дал
Герман^Вейль в 1914 г., поэтому эти суммы носят
297

название «суммы Вейля». Оценки, получаемые по
методу Вейля, зависят от приближений посредством
рациональных дробей к старшему коэффициенту
многочлена f(x).
Хотя оценка Вейля лишь немного лучше тривиаль-
р
ной, (тривиальной является оценка J] ё2*'? W I < Р;
л=1
это неравенство заведомо имеет место, так как
модуль в2™/(-*) при действительных значениях f(x)
равен единице, а модуль суммы нескольких слагаемых
не превосходит суммы модулей этих слагаемых),
однако и она уже ведет к замечательным
приложениям.
Использовав ее, Харди и Литлвуд создали первый
мощный аналитический метод для решения
аддитивных задач теории чисел.
Этим методом им (с 1920 по 1925 гг.) удалось, в
частности, дать более совершенное, чем у Гильберта,
доказательство теоремы Варинга. Они снизили также
верхнюю границу для О(п) (т. е. для наименьшего
числа слагаемых г, необходимых для представления
достаточно большого числа TV в виде суммы целых
неотрицательных п-х степеней) до величины
(n-2)-2n~l + 5.
В отношении проблемы Гольдбаха результаты
Харди и Литлвуда имеют условный характер, так как в
доказательстве использована обобщенная гипотеза
Римана.
Существенное развитие теория тригонометрических
сумм получила в работах И. М. Виноградова, начиная
с 1934 г.
Характерной чертой этих работ является
освобождение от условия, чтобы суммирование проводилось по
всем натуральным числам некоторого отрезка подряд.
В отношении проблемы Варинга (которой И. М.
Виноградов начал заниматься с 1924 г.) новый метод
позволил резко снизить верхнюю границу для G(n).
И. М. Виноградов нашел оценку О (п) < п C In n + 11),
а в 1959 г. улучшил свой результат и показал, что
О (п) < я In п B + % (/г)), где е (п) —> 0 при п —> оо.
298

Методом И. М. Виноградова получены также наилуч
шие значения для g(n) (т. е. для наименьшего числа
слагаемых г, необходимых для представления любого
натурального TV в виде суммы целых
неотрицательных п-х степеней).
Заметим, что для небольших значений п
специальные исследования показали, что ОC)<7 (Ю. В.Лин-
ник), О D) = 16, ОE)<23, ОF)<36, ОG)<52,
0(8) < 73 (Давенпорт), agC) = 9 (Виферих), gD) <35
(Л. Диксон), gE)<40 (Чень Цзынь-жунь), gF) = 73
(С. Пиллаи).
Необходимо также подчеркнуть, что в работах
И. М. Виноградова проблема Варинга получила
обозримое решение.
Еще более усовершенствовав свой глубокий метод1
(речь идет об оценке суммы 2 еЫар , взятой по
всем простым числам < N и отчасти о новых
соображениях относительно способа применения Эрастофе-
нова решета, а также об использовании результатов,
касающихся распределения простых чисел в
арифметической прогрессии Y И. М. Виноградов в 1937 г.
доказал, что для всякого достаточно большого
нечетного положительного числа N(N>N0) число I(N)
представлений N в виде суммы трех простых чисел
> 0, а это значит, что такие представления возможны.
И. М. Виноградов нашел также приближенное
значение для I(N).
Относительно числа NQ К. Г. Бороздкин в 1939 г.
показал, что
41,96
NQ < е*е ,
а позднее, что
16,038
N<ee
1 Систематическое изложение этого метода И. М. Виноградов
дал в книгах «Новый метод в аналитической теории чисел».
Труды математического института им. В. А. Стеклова, т. X, 1937 и
«Метод тригонометрических сумм в теории чисел». Труды
математического института им. В. А. Стеклова, т. XXIII, 1947 (см. D)).
299

Таким образом, И. М. Виноградовым была,
наконец, в принципе решена знаменитая проблема
Гольдбаха для нечетных чисел.
Следует отметить, что сильный аналитический
метод в классическом направлении аналитической и
аддитивной теории чисел (использующий метод
аналитических функций комплексного переменного,
опирающийся в частности на свойства функции С {s)
разработан Ю. В. Линником. Пользуясь этим методом,
Ю. В. Линник в 1946 г. дал новое доказательство
теоремы Гольдбаха — Виноградова о представлении
нечетного числа суммой трех простых чисел.
Что касается предположения Эйлера о том, что
всякое четное число представимо в виде суммы двух
простых чисел, то этот вопрос до настоящего времени
не решен
Важнейшие результаты, полученные по данному
вопросу, следующие.
Венгерским математиком А. Реньи (Р48) методом
«большого решета» Линника доказано, что всякое
большое четное число представимо в виде суммы
простого и произведения не более k простых, и А. И.
Виноградовым A96) применением свойств дзета-
функции Римана к решету Сельберга, что всякое
достаточно большое четное число является суммой двух
целых, каждое из которых содержит не более трех
простых множите left. Методом решета Бруно-Ьух-
штаба китайскому математику Ван-Юаню A9^8)
удалось уменьшить максимальное число множителей
одного из слагаемых до двух, не менее числа
множителей во втором слагаемом. Наилучший результат
получен А. А. Бухштабом в 1955 г.: он показал, что
каждое достаточно большое число может быть
представлено суммой простого числа и произведения не
более трех простых чисел.
Отметим в заключение, что значение метода
И. М. Виноградова не ограничивается одной теорией
чисел.
Этот метод имеет также применение, выходящее
за пределы области теории чисел, например в теории
функций, теории вероятностей и приближенном анализе
(в котором для некоторых классов функций, часто
встречающихся в задачах математической физики,
300

него лежат
классические квадратурные формулы практически
непригодны, но в то же время квадратурные формулы
на основе теоретикочисловых сеток обеспечивают
весьма большую точность в вычислениях, причем
оценка их погрешности зависит от оценки некоторых
тригонометрических сумм; см. A1)).
Упражнения
276. Указать, какие из простых чисел р можно разложить на
сумму двух квадратов; значения р: 1) 113, 2) 151, 3), 541, 4) 757,
5) 811, 6) 1091, 7) 1423.
277. Зная, что 317 = И2 + 142, 281 = 52 + 162, найти
разложения на сумму двух квадратов числа -/V = 317-281 =89077; 2) зная,
что 937 = 192 + 242, 74б = 112 + 252, найти разложения на сумму
двух квадратов числа jV = 937-746== 699 002.
278. Доказать, что не существует различных целых точек на
одинаковом расстоянии от точки Q I Y 2, —).
2:9. Доказать, что для каждого натурального числа п
существует такой круг с центром Q^Vr2, -~J, что внутри
точно п точек решетки.
280. Разложить на сумму 4 квадратов 5220 » (I2 + 22 + З2 + 42)Х
X E2 + б2 + V + 82).
Указания и ответы к упражнениям
1. Имеем а = 13-17 + л 0 ^ г < 13. Поэтому наибольшее
значение для а равно 13-17 + 12 = 233.
2. Из 371 =6.14-f г, 0<г<& следует Ш<371, 6<26.
С другой стороны, \ЬЬ > 371, откуда Ъ > 24. Итак, имеем Ь = 25, 26
и соответственно г = 21,7.
Ь
3. Из an = b-qn + rn, rn <b следует п < — .
4. Имеем 100 = &-? + 6, 0 < 6 < b. Поэтому ^ = 94 = 94-1,
Ь94, 47-2, 2-47. Так как делитель b больше 6, то b равно либо
94, либо 47. Соответствующие частные равны 1 и 2.
5. 1) Натуральное число имеет одну из форм: 3k, 3k -f 1, 3& +
+ 2. Если п = 3k, то л 13, если п = 3k + 1, то п + 2|3, если п =
= 3k + 2, то п + 1 13; задачи 2) и 3) решаются аналогично.
6. 1) 19, 2) 37, 3) 71.
7. Вытекает из алгоритма Евклида: г2 = а — bqlf ?гв Ь — t2q2s=s
= a-(—q2) + b A -f- qxq2) и т. д.
8. Если (aibj — dt = 1, то (см. предыдущую задачу)
существуют целые числа хну, такие, что ахх + b1ey = 1.
Если, наоборот, агх + Ьху = 1 и (аи b{) = dx, то п\ \ d\, bx \ d\,
откуда п\Х + Ь\у I du т. е. 11 dx, так что dx = 1.
9.51=21.2 + 9, 21=9-2 + 3. Поэтому 3 = 21 —2-9 = 21 —
— 2E1 — 21 -2) «=21-5 — 51-2.
301

10. i) rfi = i3; 2) d2 = i3.
И. Следует из того, что Da^ b= Da a±b .
12. По теореме предыдущей задачи имеем: (п, п -f 1) = (л, 1)=1;
(/?, 2/i + 1) = (л, л + 1) = 1, (л + 1, 2л + 1) = (л + 1, л) = 1.
13. Пусть (а + b, a — b) = d, тогда 2а | d и 2fr | tf, так что
Bа, 2Ь) — 2(а, Ь)==2 делится на d. Следовательно, d=l или 2.
Н. Из первого условия следует ab \d, cb \ d, так что (ab, cb) \ d.
Но (ab, cb) = b (a, c) = fr, поэтому fc | я*.
15. Пусть ab | с, тогда (аб, с) = с. Кроме того, имеем (а, с) = 1;
поэтому согласно теореме предыдущей задачи получаем ? | с.
16. Пусть (a, b) = d, (иха -f vxb, u2a + v2b) = dx. Имеем иха -f
+ Уф | ^i» «2^ + ^ I d\, откуда в силу щю2 — w2^i = 1 получается
a\du b\dh так что (a, b) = d\dr. С другой стороны, а \ d, b\d,
откуда легко следует, что d± \ d. Таким образом, d = d\.
17. Пусть (ab, с) = d > 1 Тогда в силу того, что (а, с) = 1, имеем
b | d. Так как, кроме того, с \ dt то (b, c)\d, d^>\, но это
противоречит условию (Ь, с) = 1. \
18. По теореме предыдущей задачи имеем последовательно
(a,. bj) = \, (ava2f bj) = 1,..., (A, bj) = \,
так что
(A, *i)=l, (Л fc2) = l,..., (А, &/) = 1.
Отсюда, как и выше, следует
(А, Ьг) = 1, (A, bvb2) == 1, ... , (А, В) = 1.
19. Пусть (ас, b) = d и (с, b) — d\. Согласно теореме задачи
14 из (асу b) = d и (а, &) = 1 имеем с | d. Так как, кроме того, b \ dt
то (с, Ь) | rf, т. е. di\d.C другой стороны, ас | d\ и & | rfj, так что
(ас, b)\d\, т. е. d\dx. Таким образом, d — d\.
20. 1) Если N=n(n + 1)(л + 2), то Л^| 2 и iV| 3, поэтому
ЛП [2, 3] = 6; 2) если ЛГ= л (п + 1) (л + 2) (л + 3) (л + 4), то N\3,
N\5, TV | 8 (см. задачу 5), поэтому N\ [3, 5, 8] = 120.
21. 1) 5382, 2) 6409.
22. Имеем (а, Ь) = \5, поэтому а = \Ьаь Ь — \ЬЬЪ (ах, Ьх)=\.
Далее, из [а, Ь] = 840 следует 15 [аи Ьх] = 840, [ах, Ьх) = 56. Итак,
axbx = 56. Отсюда получаются такие пары значений (если на
последовательность чисел в отдельных парах не будем обращать
внимания):
01^:1, 56; 2, 28; 4, 14; 7, 8
a, b : 15, 840; 30, 420; 60, 210; 105, 120.
23. Пусть т = [л, л + 1, л + 2] = [[л, л + 1J, л + 2]. Так как
(п, л •+• I) = 1 (см. задачу 12), то т=[п(п + 1), л + 2]. Далее
возможны 2 случая:
1) 2^
у
1) п = 2^; тогда (л (л + 1), л + 2) = BЛ BЛ + 1), 2(k + 1)) = 2,
так как (k, k + 1) = 1 и (^ + 1, 2k + 1) == 1 (см. задачу 12).
Поэтому /я = -— л (л + 1) (л -ь 2).
2)л = 2Л+1; тогда (л (л + 1), л +2) « (BЛ + 1).2-(Л+ 1),
2^ -h 3) = 1, так как B, 2^ + 3) = 1, Bk + 1, 2Л + 3) = B^+1, 2)=1,
(Л + 1, 2^ +3) = (k + 1, ^ -Ь 2) = 1. Поэтому /л = л (л + 1) (л + 2).
302

24. Пусть — = х. Так как х = ах —- =а2 — = = а —
то л: |«i, х | л2» ..., х | <2Л, так что х \ т или х = т^, где # > 1.
„ ^1 m Л2 ^ Л/г m
Поэтому—=—?, —- =— q, ...,— = — <?•
a aL а а2 а ап
Левые части этих равенств представляют взаимно простые
числа, а правые части имеют общий делитель q, следовательно,
q = 1 и — = т.
d
25. Формула выражает частный случай соотношения из
предыдущей задачи.
26. Из аЬ\р следует, что по меньшей мере один из
сомножителей делится на р. В силу условия а + Ь\р тогда получается,
что и второй сомножитель делится на р.
27. Из данных условий следует, что а2\р и Ь2\р, но в таком
случае и Ь\р (в силу того, что р—простое число).
28. Числа а и Ь можно представить в виде а = р\1-р% ... plk,
Ь = p\i.p\>... р*ь9 где <ц > О, Р/ > 0.
Тогда ясно, что {а, Ь) = Up^ (e'f Ч [л. Ь] = ПР/тах (e^ ^
(П — символ произведения).
29. Согласно задаче 14 р | d, но так как /? — простое число, то
d равно либо 1, либо р.
30. Пусть а + Ъ и аЬ имеют общий простой делитель р. Из
того, что ab\p, следует, что по меньшей мере один из
сомножителей делится на р. Пусть а\р. Так как, кроме того, а + Ь \р, то
и Ь\р, так что (а, Ь)\р, но это противоречит условию (а, Ь) = \.
Аналогично доказывается второе утверждение.
31. Следует непосредственно из теорем, установленных в
задачах 29 и 30.
32. Пусть (a+b, a? — ab-\- b2) = d, тогда а + b\d, а также
a2 — ab + b2 = (a-\-bJ — 3ab\d, так что и ЪаЬ \ d. Поэтому
(а + bt 3ab)\d. Но согласно предыдущей задаче (a + b, Sab) равен
либо 1, либо 3. Следовательно, и d равен либо 1, либо 3.
33. Пусть (a, b) = d, так что а = a\dy b = bxd, (au b{) = 1. Тогда
(см. задачу 30) (а\ + blt аф{) = 1, откуда (а + b, d-albl) = d. Но
ab
d-афу = — == [a, b], поэтому (a+b, [a, b]) — d.
d
34. Следует из того, что натуральные числа, большие 3, вида
6&, 6& Ч- 2, 6? + 3 и 6& + 4 составные.
35. Следует из положения предыдущей задачи.
36. Если k — 2л -Ь 1, то число 3^ + 1 = 6/г -f 4 составное,
поэтому для простого р вида 3& + 1 k = 2n и о = 6п + 1
(например, 31=3.10 + 1 = 6.5 + 1).
37. Простое число р может иметь вид: 1) 3, 2) 3& + 1, 3) 3&+2.
Условия задачи выполняются только в первом случае (/? + 10 = 13,
р + 20 = 23); во втором случае р + 20 = 3k + 21 является составным,
а в третьем случае р + 10 = 3& + 12—число составное.
303

38. 2ЛХЗ, поэтому 2п имеет вид 3k 4- 1 или 3k 4- 2. В первом
случае 2п — 1 | 3, а во втором — 2п 4-1 | 3; при этом указанные
числа не равны 3, если п > 2.
39. Если /7 и 8/72 Ч- 1 — простые числа, то р = 3 (так как при
p = 3k 4- 1 или 3& 4- 2 число 8р2 4- 1 не является простым); вместе
с тем Ър2 4- 2/7 4- 1 — 79 — также простое число.
40. Простое число может иметь вид: 1) 3, 2) 3k 4- 1, 3) 3k 4- 2.
Но л = 3& 4- 2 | 3 и не может (в силу своей положительности) иметь
простых делителей только формы 3k 4- 1, так как произведение
таких чисел имеет ту же форму. Поэтому должны существовать
простые делители числа а формы 3k 4- 2.
41. 1) — 38 = — 3 (mod 7); 2) 53 s 5 (mod 8); 3) д2 _ &2 == о
(mod i л - b |); 4) — 73 = r (mod 8), 0 < r < 8.
42. 1) W=0 (mod 2); 2) ЛГ== 1 (mod 2), или ЛГ= — 1 (mod 2);
3) N=3 (mod5), или N=—2(mod5); 4) Afe - 2 (mod7), или
N=s5 (mod 7).
43. m.
44. Искомые остатки равны остаткам от деления на т чисел
Г\ ±Г2 и /vr2. Сказанное выражают также сравнения ах±а2^
зв /*i + Л? (mod/и), #i • #2 — f"i * f (mod/и).
45. Сохранится.
46. t = 0 (mod 3).
47. Если N = д0 4- #i 10 4-... 4- ап 10rt, то 1) N = я0 4- ах 4- *..
••.4-лЛ (mod 9), 2) N^a^ — ax 4-— ... 4-(— l)*^ (mod 11).
п b / m \
48. Согласно следствию из свойства 5-го:— = -г I mod '
но (dt т) = rf1#
= (Р— 1) (Р — 2)... (/?— Л). Но /?~/s — / (mod/?), кроме того,
(/, /?) = 1, поэтому С*_! = (~ 1)Л (mod /7).
50. По нечетному модулю т вычеты систем чисел
попарно сравнимы. Поэтому
(т - 1)! s (- 1)Г [({!!у^) !J (mod m).
) !J
51. С! и С5; р = б/г ± 1; р г ± 1 (mod 6).
52. Следует из того, что a^b (mod /w) влечет за собой
ak s= ^^ (mod m).
53. He всегда; ak н а принадлежат одному и тому же классу
вычетов по модулю т в том и только в том случае, когда k при-
304

л т
надлежит классу Сх по модулю —, где (я, m)=**dt потому что
из ak== a (mod т) следует k == 1 ( mod — ).
\ a J
54. Принадлежат всегда, если (т, л)=*1, принадлежат не
всегда, если (т, п) > 1.
55. Двум, (d).
56. 1) С3, С„; 2) Сй.
57. С21 C4» С5, Се» CV
58. П. С. В. 1 (mod 14): 0, 1, 2,..., 13; 1, 2,..., 14; 0, ±1,...,
±6, 7.
Пр. С. В. (mod 14): 1, 3, 5, 9, И, 13; то же; ±1, ±3, ±5.
59. 1, 2, .../>-!; ±1±2, ..., ±^
60. Отсутствует представитель нулевого класса.
61. Составить наименьшие положительные вычеты указанных
чисел по модулю 7.
62. Получаются полные системы наименьших положительных
вычетов.
63. Указанная совокупность чисел получается, если в
линейной форме dx -г а х пробегает полную систему вычетов по
модулю п.
64. Числа указанной системы получаются, когда в линейной
форме 2х, где B, m) = l, x пробегает все значения из полной
системы вычетов по модулю т: 1, 2,..., т.
65. 1) 3-1, 3-2, ..., 3-10, 3-11; 2) 3-1, 3-3, 3-5, 3-7.
66. Пусть а = axdt т = mxd, так что (а\, тх) = 1. Число ах \ т,
или ахх | тх> тогда и только тогда, когда х \ тх\ в полной системе
вычетов 1, 2,..., тх,..., 2тх,..., dmx = т таких чисел имеется d.
67. 1) <р (Ь); 2) ср B) + <р C) + ... + <р (п).
68. 1) 144, 2) 768, 3) 9A3-17) = 12-16-= 192. 4) <р(9.15-42) =
«<рB-34-5.7)= 1296.
69. 1) 9 Eа) « б*-1^ = 100, б* = 52, а « 3; л ~ 125;
2) 9 C*-5р) = За-1.2.5р~1-4 = 600, З"^^1 — З^б2, а = 2,
1125.
71. 1) В сегменте [1, 385] содержится 5 П. С. В. по модулю 77,
а в каждой из последних имеется 9 G7) = 60 натуральных чисел,
взаимно простых с 77. Итак, искомых чисел всего 5-9G7) = 300.
2) В общем случае получается аналогично k-y(m).
72. 1) В сегменте [301, 540] содержится 10 П. С. В. по модулю
24, поэтому надо найти 10«9B4) = 10-8 = 80;
1 П. С. В. — полная система вычетов, Пр. С. В. —- приведенная
система вычетов.
Б-530.-20 §05

2) аналогично —9-ср C5) = 216.
73. Указанная система чисел содержит 2 полные системы
вычетов по модулю л, поэтому искомое число равно 2ср (л).
74. Пусть л нечетно, тогда B, л) = 1 и ср Bл) = <р B) • ср (л) = <р (л).
Если л нечетно, то л = 2е-л^ B, л^ = 1, ср Bл) = <р Bа+1-п1) ==
= 2а-ср(л1), а <р(л) = срBа-л1) = 2а-1-ср(л1), так что ср Bл) = 2ср (л).
Итак, ср Bл) = ср (л) для нечетных л и только для них.
75. 1) Следует из того, что вычеты Пр. С. В. по модулю т
можно сгруппировать в пары, а именно: если а принадлежит
Пр. С. В. по модулю т то и т — а, потому что (а, т) = (т — я, т)
(см. задачу 11). При этом афт — я, если (я, т) = 1 и т > 2.
В самом деле, из а = т — а следовало бы 2а = т, (а, т) =
= {a, 2<z) = #=l, /л = 2, что исключается.
2) При яг > 2 вычеты каждой из указанных групп имеют
сумму т, а таких групп имеется -— ср (т), поэтому их общая сумма
равна —- тер (т); случай, когда т — 2, проверяется
непосредственно.
76. 1) Пусть искомое количество ср^ (л) (так что ? (n) = cpj (л)).
Для интересующих нас чисел dx(<n) (л, dx) = d, a
л \„ л /ч / п \
—, a:J = 1 и а:<~, поэтому ср^(л) = ?1 ^— j = ср
2) а) <р12 F24) = 7 E2) = 24; б) ср20 E80) = ср E9) = 58; в) ср17 E95) -
= ср C5) = 24.
77. Имеем ^j ? (di) = Li Ча* (п)\ в правой части собраны все
п п 1
числа ^ л, которые имеют с л Н. О. Д. du d2,..., d^, таким
образом, исчерпываются все числа от 1 до л, значит, и 2j?(rf/)==n.
п
78. 1) 7; 2) 7; 3) 5; 4) 65; 5) 14; 6) 22.
79. 1) 4»з = 4* (mod 92). 4"* = jc (mod 23), 4112 = 16 (mod 23),
4пз = б4 (mod 92);
2) 6?6 = 2x (mod 26), 3-67з = x (mod 13), 6^5 = 8 (mod 13), 3-67s =
= 11 (mod 13), 67o = 22 (mod 26);
3) 2183 ш 3x (mod 24), 7-2182 == x (mod 8), 2P2 s 21 (mod 24);
4) 35»5o s 25jc (mod 17-25), 49-35"8 = x (mod 17), 35>« s
s 1 (mod 17), 49-351^ = — 2 (mod 17), 35150 = 375 (mod 425).
80. 1) 1; 2) 5; 3) 3-5^ = * ~ 3 (mod 132); 4.7"»sry = 4 (mod 132);
.\: + j/ = 7 (mod 132).
81. Надо найти остаток от деления на 100: 1) 2^з = 4х z=
^92 (mod 100); 2) 3219 = х = 67 (mod 100).
82.1) если (а, 7) = 1, то а6 —117, поэтому и а12 — 1 =
-(лв-1) (вв+1)|7;
2) если (а, 65) = 1 и (ft, 65) = 1, то я12 = ft12 = I (mod 13),
a'2 — bl2 = 0 (mod 13); л4 = ft^ = 1 (mod 5), a12 = ft12 (mod 5),
ai2__&i2==o (mod 5).
Итак, а12 — г?^ 15-13 = 65,
306

83. 1) По малой теореме Ферма (а + Ь)р = а + Ь (mod p)
аР = а (mod p), bp ^ b (mod р)\ аР + ЬР == а + b (mod о); итак
(а + &у> = аР + ЪР (mod />). ^
2) Получается аналогично.
== с^7 -f c?(mod />), так как С^ , С% и т. д. делятся на р. На
основании предыдущего (с{ 4- ^2 + сз)р = (^i + ^г)р + ^3 =
= ср + сР + сР (mod /?) и т. д.
85. Так как п — 1 = 2 700 = 36- 75, 236 -== 1 (mod 37), 29 = 26.2^=
= — 9-8 = 1 (mod 73), так что 236=1 (mod 73), имеем 236 =
= 1 (mod 37-73), 236#75 = 1 (mod 37-73), т. е. 2n~l = I (mod n).
86. 1) lwss21°=... = 10U)sl (modll), поэтому и 130 = 230=...
...1030 = 1 (mod И), так что I30 + 230 + ... + 1030 = 10 s — 1 (mod 11);
2) аналогично.
87. l+2+...+ fr-l)^ Р(Р~Ъ . eP-Uj (mod p),
P_(p-i) p (P-i)
ap{p-l) ss 1 (mod /?), (a 2 — l)(a 2 + 1) | p. Итак, одна из
скобок должна делиться на /?, а обе скобки делиться не могут,
так как иначе на нечетное р делилась бы и их разность 2, что
невозможно. Если р = 2, (а, 2) = 1, то й|1 ий-1 четны и
делятся на 2.
88. Имеем аР — ЬР = {а — Ь) М, где М = /~X + сР~2 X
X fr + .-. +1?~ . По малой теореме Ферма для любого
простого р аР s= a (mod p), bp z=b (mod р), так что аР — Ьр =
= я — & (mod р). Из данного условия я^ — Ьр = 0 (mod /;) следует
поэтому, что я — & s= 0 (mod /7), или а =. fr (mod jy), так что
аг = Ы (mod р). Но тогда при (а, р) = 1 Af == а^" + ... + ар =
= /? = 0 (mod р) и а^7 — ^ | р2] случай, когда а \ р} ясен сам по себе.
89. 1) jc = — 3 (mod 7); 2) ^ = 2 (mod 5); х2 = — 2 (mod 5);
3) a:i = —1 (mod 13); х2 = —2 (mod 13); 4) хх = 3 (mod 11), х2 =
е=4 (mod 11); 5) ^^ — 1 (mod 6), х2 = 3 (mod 6); 6)
неразрешимо.
90. 1) х = 5 (mod 7); 2) х = 4 (mod 11); 3) х s 6 (mod 17);
4) л; = 3 (mod 8); 5) x = 4, 11, 18, 25, 32 (mod 35); 6) неразрешимо;
7) л: ^21 (mod 36); указание: заменить х = 3у, 8) x == 7 (mod 15);
9) неразрешимо; 10) jc = 14 (mod 35); указание: заменить х = Ту.
91. 1) jc = 7 (mod 25); 2) jc s 5 (mod 11); 3)xs5 (mod 11);
3) л =11 (mod 24); 5) x = 7 (mod 31); 6) x = 8 (mod 35).
92. 1) л; ss 8 (mod 17); 2) x = 9 (mod 19); 3) x= 11 (mod 58).
93. 1) — 10* ss 5 (mod 17), — 2x = 1 (mod 17), — 2x =
= — 16 (mod 17), * = 8(modl7); 2) — 6x = 3 (mod 19), — 2л: =
= 1 (mod 19), —2л; = — 18 (mod 19), л; = УAШ^19); З) 27л: =
= - 5i (mod 58), 9л: = - 17 (mod 58), 9л: = - 17 + 116 = 99 (mod 58),
л: =11 (mod 58).
94. Вытекает из того, что сравнение kx 5= / (mod p), где
(k, p)»l, всегда имеет единственное решение.
20* 307

95. 1O, -—; 2) -48, 0,7; 3H,0,73; 4) - 1, -^-; 5) 4,
45 to
К19-4; 6) 9, КТ7-4; 7K,sin j; 8) -3, 1-sinj; 9) 4,
УТ- 1,3; 10) 7, УТ+У23-7; 11) 3, -lgO,7; 12) 2, V 20 - 2.
л /*
96. Пусть a = mq -f- r, 0 < r < m, тогда — = <? + —, где
m m
Г a 1 r f л 1
a = — и — = I — \ • Остаток г является абсолютно наимень-
lmJ w lmJ
1 1
шим вычетом по модулю т, если г<--т, или —^т» т. е.
2 m 2
U) 2
1 г . 1
модулю /тг, если г <
(л I 1
— }< —. Остаток г не является абсолютно наименьшим
тп) 2
1 г \ ( аК 1
вычетом, когда /*>•--/«, или —> —, т. е. когда
2 /72 2
— Зх-
97. 1) Уравнение прямой выражаем в форме у~ г~
• | _47 П Г 471 Л пч ПОЗ ол
искомое число равно = — =9; 2) —" = 20.
LI5IJL5J L^j
98. 1) Уравнение прямой выражаем в форме х--
искомое число
5
О I J i О J О |
99. a + п — 1 < [a -J- п] ^ а + л, откуда a — 1 < [a 4- л] — п ^ a»
а так как [х + п] — л — целое, то [a -j- п) — п — [*] и [х + п] =«
= [а] + п.
137 521
100. 1) ™ = D, 2, 2, 1, 1, 2), 2) — = C, 1, 1, 1, 4, 10)
14__9_223153 137^ _1 ? i 1 Ц 51 521,
А~ 0' 1 ' 2 ' 5 ' 7 ' 12' 31 ; *"~ О1 1 ' 1 ' 2 ' 3 J14'143;
247 313
3) — - C, 2, 1, 24); 4) - — = (-6, 1, 1, 28);
1 3 7 10 247 Л 1—6—5—11 —3 3
57 ;
5) -
— 5
13
308
" 0'
77
— =
187
1
" 0'
1 '
0
1'
¦13
34 '
2' 3'
2, 2, 3);
1 2
2' 5*
-83
217 '
74 '
7.,
17' °А
°* 0'
V-1
;~ 0' 1
1 '
0
' 1 '
1 '
2 '
2
_!
3

4) 32671 | 10 027 12 590
3 3
* _ * A 12 i§ Ё5 1?L
*~~ 0' 1 ' 3 ' 4 ' 27' 31 ' 120' 271 ™ 10 027*
102. При решении пользуемся формулой PkQb \—Ръ Ah***
786
«=(—l)fe; находим для — предпоследнюю подходящую дробь
285
Р 91 Pk 262
—- = -— и несократимое значение =—¦—, обнаруживая
Qk j 93 Qk 95
поп\тнэ, что & = 6 и rf = G86, 285) =* 3. Поэтому по указанной
формуле (- 1N =,= 262-33 И-95, откуда 3 = 786-33 — 285-91.
Возможны и другие представления, так как неопределеннее
уравнение 7&6л; + 2Ь5у — 3 имеет (см. след. §) бесчисленное множество
решений.
ЫЗ. 1) jc = 31 (mod 183); 2) х эв 47 (mod 241); 3) неразрешимо.
104. 1) х ^41, 190, 339 (mod 447); 2) jc = 61, 248 (mod 422);
3) jc = 39, 196, 353 (mod 471).
105. 1) хэ 73 (mod 177); 2) x s= 29 (mod 311); 3) x = 48 (mod 219).
1C6. 1) jc^—1 +16*, ;/ = —8 + 17*; 2) л: = — 7+15*, y =
« 12 — 23*; 3) x = 9 + 37*, у = 3 + 12*; 4) неразрешимо; 5) л: =
107. 26 апреля.
108. Решение уравнения можно свести к решению сравнения
ах^с (modfc). Когда х пробегает П. С. В. по модулю Ь, ах также
пробегает П. С. В. по модулю Ь. Получается единственное число,
удовлетворяющее сравнению, а также уравнению. Указанному х
соответствует единственное у.
109. Решение задачи об отгадывании дня рождения сводится
к решению неопределенного уравнения \2х-{• 3\у = s, A2, 31) =1,
1^д:^31 (или 1^С.у^С12), которое согласно предыдущей задаче
решается однозначно.
309

ПО. а = 8, b = \.
111. 1) jc = — 4 + 13^, -1ОО< —4+ Ш<150, — 7<*<11;
19 точек; 2) 7 точек; 3) 8 точек.
112. Следует из того, что угловой коэффициент прямой АВ,
Уг — У о
т. е. —, есть сократимая дробь; случай, когда хх = х2,
Xi — Х2
ясен сам по себе.
113. Согласно предыдущей задаче (учитывая еще вершины
треугольника) искомое число целых точек равно A8,6) + A2,8) +
+ F,14) +3 = 12.
п
114. Прямая ах + by = с имеет угловой коэффициент — — ,
причем (а, 6) = 1, поэтому г ==]/" а2 + Ь2.
115. Искомое условие определяется разрешимостью неопреде-
с у х
ленного уравнения — =s — -f — » или ах + bу = с, а послед-
ab a b
нее имеет решение тогда и только тогда, когда с \ (а, Ь).
116. 1) (81,63) =9, 23-17 К9, система несовместна; 2) G7, 91)=7,
47 — 3317; система совместна.
117. 1) х г 115 (mod 168); 2) х = 93 (mod 140); 3) *=e102 (mod 165);
4) неразрешима.
118.1) х = 291 (mod 420); 2) х =251 (mod 630); 3) jc=747 (mod 840);
4) x ss 371 (mod 462).
119. 1) Надо найти решение системы сравнений х е=2 (mod 5),
xsl (mod 8) * = 3 (mod 11); х^ЪП (mod 440); 2) решается
аналогично; х = 291 (mod 819).
120. 1) 89, 209, 329, 449, 569, 689, 809, 929; 2) 244, 559, 874;
3) 731; 4) 841.
121. 299 и 439.
122. х э - 351 Ь, + 208&2 + 144fr3 (mod 936).
123. 1) х2 — 1 s 0 (mod 3); jce= ± 1 (mod 3); 2) л* + 2л:3 —
— 2a:2 + 2jc—1 =0 (mod 5), неразрешимо; 3) xQ-\-2x5 — 2x +
+3 = 0 (mod 7); хг= — 2 (mod 7); лг2= — 3 (mod 7).
124. 1) *3 + 3jc2 - 3 ss (x - 2) (x — 3) ( jc — 9) (mod 17); 2) л;3 +
+ llx2 + 8* + 3 = (x - 1) (a: + 2) (x — 13) (mod 23); 3) x* -13x2 —
— 3x+ 11 =(дг -h 1) (x + 3) (л: — 17) (mod 31).
125. 1) *з+10л:2- 6л: - 5 = 0 (mod 23); 2) л:3 — 13л;2— 5л: — 12 s
s 0 (mod 29); 3) л:3 - Ш2 + Зл: + 9 = 0 (mod 31).
126. 1) Имеется второе разложение f(x)^=x (л: — 8) (mod 15);
2) единственное; 3) имеется второе разложение / (л:) == (л: + 5)
(х + 7) (mod 20).
127. 1) Не имеет; 2) имеет.
128. Вытекает из теоремы Вильсона, если учесть результат
задачи 50.
129. Получается почленным перемножением сравнений
а^ар (mod р) и (р — 1)! =5 — 1 (mod p).
13Э. Если р>2 простое, то по теореме Вильсона (/7—1)! +
+ 1=0 (mol р), или (р — 2)! (р — 1) + 1 =0 (mod р), или
(р — 2)! — 1 г 0 (mod p). Если, наоборот, выполняется последнее
соотношение, то р не может быть составным. Допустим, что
имеется составное /?>4. Тогда оно имеет простой делитель
310

,_> — 2. (В самом деле, из p = prd следует, что р>2ри
и есл'и р{>р—2у то р>2р — 4, /><4, что противоречит условию.)
Но (/? — 2)! — 1 не может делиться на простое число р\^р — 2,
так как (р — 2)! делится на любое такое число, а — 1 нет.
131. 1) х = 11, 20 (mod 21); 2) х = 4, 22 (mod 33); 3) л: = 2,7,
24, 29 (mod 55); 4) х = 3, 26, 28, 49, 63, 73, 84, 94 (mod 105);
5) неразрешимо.
132.1) (-1,0), B,1), D,5), G,32); 2) (-6, - 61), (-1,-1),
A,1), F,41).
133. 1) л:=17 (mod 112); 2) *=11 (mod 245); 3) х = 67 (mod 153).
134. 1) х=±12 (mod 25); 2) х = ± 15 (mod 49);
3) х = ±47 (mod 121); 4) х = ± 63 (mod 169).
135. Сравнение л:2 + Зх + 5 = 0 (mod 121) не имеет решений.
136. 1) х ее 13 (mod 25) ;2) х = 17 (mod 49); 3) jc = 18, 33 (mod 49);
4) х ее 11 (mod 27); 5) л: = 19 (mod 125).
137. 1) х = 6 (mod 25); 2) x ss 14 (mod 25); 3) л; = 14 (mod 49);
л: = 5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, (mod 49); 4) x = 33 (mod 49); x = 2, 9,
16, 23, 30, 37, 44 (mod 49).
138. jc = 36, 136 (mod 175).
139. 1) E*+ 4J = 36 (mod 17); x = — 2, -3 (mod 17),
2) (л: + 6J = 8 (mod 23); x = 4, 7 (mod 23); 3) (x-lJ=17 (mod 19);
x = — 5, 7 (mod 19); 4) (л: — 4J =13 (mod 17); jt = - 4, — 5 (mod 17);
5) (x — 5J = 5 (mod 19); x = — 4, — 5 (mod 19).
140. 1) Квадратичные вычеты: 1, 3, 4, 5, 9;
2) квадратичные вычеты: 1, 3, 4, 9, 10, 12;
3) квадратичные вычеты: 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17;
4) квадратичные вычеты: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.
141. 1) разрешимо; 2) разрешимо; 3) неразрешимо; 4)
неразрешимо.
142. Вытекает из того, что для данного сравнения f (х) =х2—а
и /' (х) = 2х X р.
143. Сравнению могут удовлетворять только нечетные числа
х = 2t + 1. Из Bt + 1J = a (mod 2е) или М (?+1) =я-1 (mod 2a )
вытекают необходимые условия разрешимости сравнения: 1) при
а=1 #=1 (mod 2), т. е. имеем данное условие (а, 2) = 1;
2) при а = 2 я = 1 (mod 4), 3) при а > 3 я = 1 (mod 8).
144. Необходимые условия разрешимости, найденные в
предыдущей задаче, являются также для а = 1, 2, 3 достаточными,
а так как при этих условиях сравнение 4t (t + 1) = #— 1 (mod 2a)
выполняется тождественно, то решениями являются: 1) при а=1
х^\ (mod 2), 2) при а = 2 xssl, 3 (mod 4), 3) при а = 3
xsl, 3, 5, 7 (mod 8).
145. По модулю 4 представим нечетные числа в форме
х = ± D^+ 1), тогда D*! + IJ == a (mod 16), 8^ = а - 1 (mod 16),
а— 1
t\ ss (mod 2), ^i = ?' + 2?, где t ~ любое целое. Поэтому
8
х= ± A+4^+80 и х=± (Xt+80, или х= ±-*V> ± (^4 + 8) (mod 16);
где дг4 — значение х для t — 0.
146. Методом, указанным в предыдущей задаче, находим
х = ± 5, ±13 (mod 16).
147. 1) 1; 2) - 1; 3) - 1; 4) - 1; 5) 1; 6) 1; 7) - 1; 8) - 1;
9) —1; 10) 1?
31}

148. 1) - 1; 2) - 1; 3) -1; 4) 1; 5) - 1.
149. 1) Проходят; 2) не проходят; 3) проходят; 4) не проходят.
150. 1) азрешимо; 2) неразрешимо; 3) неразрешимо; 4)
разрешимо; 5) неразрешимо; 6) неразрешимо; 7) разрешимо.
151. 1) Рассмотреть сравнение Зя3 —5 = 0 (trod 17),
преобразовать левую част , чтобы старший коэффициент был равен 1,
с помощью символа Лежандра исследовать вопрос о
разрешимости полученного сравнения; За2 — 5 | 17 для а === + 8 (п od 17);
2) делится для я == +10 (mod 23); 3) таких целых а не существлет.
152. Доказательство усматривается непосредстгенно из о ре-
деления символа Якоби и свойств символа Лежандра, если учесть,
что
Р*~1 mi" ' ' * ~ * ' mi" *(mod 2) и
- (mod 2).
Чтобы упростить рассмотрения, ложно ограничиться частным
случаем, когда P~Pi-p2-
153.
(f
11 (mod 4)
s 3 (mod 4),
f -7- J а» 1, если /7 = 1 (mod 3),
f-?j = — 1, если /7 = 2 (mod 3).
/ 3 \
:, ( — ) = 1 тогда и только тогда, когда 1) 3/7;
v Р У
и 4/7 = 4 (mod 12), откуда /7 = 1 (mod 12), или 2) 3/7 з
и 4/7 = 8 (mod 12), откуда р = —• 1 ss 11 (mod 12).
154.
Итак
3 (mod 12)
9 (mod 12)
(—1
итак,
Но
312
1, если /7 = 1 (mod 4),
— 1, если /7 = 3 (mod 4);
1 если р S3 1 (mod 4),
, — 1 если /7 = 3 (mod 4);
1, если /7 = 1 (mod 3), ч
о / л оч (см» предыдущую задачу).
— 1, если /7 = 2 (mod 3)

Таким образом, ( ^ = 1 тогда и только тогда,
\ Р /
) д о тогда, когда
I (mod 3), т. е. р имеет вид 6л -f 1.
2
155. В указанном случае согласно критерию Эйлера а
д2Л+1==1 (mod p), откуда (ak+lJ s= «(modр), так что х
156. В указанном случае согласно критерию Эйлера а 2 зз
ззд4*+2==1 (mod/;), откуда (а2*+1 - 1) (д2*+1 + 1) = 0 (mod p).
Так как один из множителей должен делиться на р, а оба не
могут (иначе 2\р, что невозможно), то либо /+Isl (mod p),
либо а зз — 1 (mod />). В первом случае а + зз- a (mod /?), а во
втором а + зн — л (mod />).
157. Согласно предыдущей задаче, либо 1) a2k+2 е= я (mod /О,
так что (л*+1Jзза(тоA/>), и тогда .* зз ± ak+1 (mod />); либо
2) а + ss — я (mod/>); в этом случае учтем, что поданному
модулю ( — J«=-~ 1, вследствие чего 2 =24Й+2^—1 (mod/?)»
так что B^+1.^+1J^a(mod/;) и ж ^ ± 22й+1-/+1 (mod p).
158. 1) х зг ± 8 (mod 19); 2) х зз + 8 (mod 29).
159. 1) Согласно теореме гл. III, § 7, п. 1 сравнение
эквивалентно системе х3н=а (mod 2а), х2 зз д (mod /??' ),..., х2 =л (mod Л).
В соответствии с п. 2 § 7 гл. III и результатами задач 143—145
необходимыми и достаточными условиями являются: ( J = 1,
кроме того, при а = 1 а зз 1 (mod 2), при а — 2 а = 1 (mod 4),
при а>3 я=з1 (mod 8). 2) Число решений при а = 0, 1 2k, при
а~22*+\ пр. а>3 2* + 2.
160. Не может; вытекает из определения показателя по
модулю.
161. Не может; вытекает из определения показателя по
модулю.
N, 162. 1) б», 5» 55; 1, 5, 7, И, 13, 17; 2) 3», 3», 3»,.... З17;
1, 3, 9, 8, 5, 15, 7, 2, 6» 18, 16, 10, 11, 14, 4, 12, 17, 13.
163. Не может, так как показатель по модулю 26 является
делителем <р B5) = 12.
164. Несравнимы; из сравнимости следовало бы, что 217
сравнимо с 1 по модулю 11, а последнее невозможно, так как 1 не
является показателем 2 по модулю 11, а остальные делители <р(И)
не делят 17.
165. 1) 16, является; 2) 18, является; 3) 3, не является;
4) 6, является; 5) 22, является; 6) 2, не является.
166. Наименьшее х% для которого йЛг1 (mod an — 1),
равно п, поэтому п является показателем для а по модулю
ап — 1, а <р(а*-1Ж
313

40
D0,12) ' D0,15) D0,16)
168. Из аь = 1 (mod p) следует для четного В, что
(а8'2 — 1) (л82 + 1) \р- Одна из скобок должна делиться на р,
первая не может (так как это противоречило бы тому, что а
принадлежит показателю 5 по модулю р), следовательно, на р
делится вторая скобка, т. е. аЬ2 = — 1 (mod p).
169. Согласно свойствам показателей, установленным в гл. IV,
§ 1, п. 4, ят — 1 | т1 только, если 7 | h и #т — 1 | т2 только, если
7|В2, поэтому (в силу того, что (mlt w2) = l) a* — \\mx-m2
только в том случае, если.^К^ь 82]. Наименьшее значение для y>
т. е. показатель В для а по модулю тхт2) равно, таким образом,
[Ьъ Ь2\. Итак, 5 = [5„ Ь2].
170. 1) 2 принадлежит показателям 4 (mod 5), 3 (mod 7) и 12
(mod 35). 2) 3 • принадлежит показателям 4 (mod 5), 5 (mod И)
и 20 (mod 55).
171. 1) Из (aia2f*bi^(a\f2'(a\2fl = I (mod m) следует, что
&!&21 Ь; 2) по условию af2 гз af»-(a|* f == (а^)^2 =• 1 (mod m),
поэтому й&21 5j, откуда (в силу (Sj, Ь2) = 1) 51 Ьи аналогично Ь \ В2.
Таким образом (в силу E„ В2) = 1), 6 | Ь^Ь2. Учитывая, что ЬгЬ2 \ Ъ,
получаем в данном случае Ь = ЬХЬ2.
172. Так как C, 4) = 1, то 14 = 31-10 (mod 37) принадлежит
показателю 12 по модулю 37.
173. 1) 71, 72, 73, 1\ 7\ 76; 7, 20, 24, 23, 16, 25.
2) 91, 92, У*, 95, 97, 98; 9, 7, 12, 34, 16, 33.
174. 1) 2, 6, 7, 8;
Л 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21.
175. 1) Jt = 3<>, 31, З3, З3, 3*. (mod 11), или х= 1, 3, 9, 5, 4
(mod 11). 2) .*е=4о, 4*, 42, A\ 44, 45, (mod 13), или х^ 1, 4, 3, 12,
9, 10 (mcd 13).
176. 1) ср A6) = 8; 2) <р D2) = 12; 3) ср G2) =32; 4) <р (88) = 40.
177. 1) ср G) = 6; 2) ср (9) = 6.
178. 5.
179. Для /и>2 9 (т) четно (см. задачу 75), поэтому -г у(т)-
целое. Пусть а - квадратичный вычет по модулю т и (д, /и) = 1;
1
тогда из х2 55 a (mod m) следует х* ==¦ a2 si (mod m).
1
а принадлежит показателю < — ?(^) по модулю т, т. е.
не может быть первообразным корнем по этому модулю.
180. Первообразные корни х по модулю т удовлетворяют
сравнению х4^ = 1 (mod /и), но не удовлетворяют такому
сравнению с меньшей степенью. Для т = 2 <рB) = 1, а для т = 4
<р D) = 2. Итак, надо показать существование решений сравнений
314

jc1 s= 1 (mod 2)hjc2=1 (mod 4), не удовлетворяющих таким же
сравнениям с меньшей степенью. Такие решения имеются; их
наименьшие положительные значения соответственно равны 1 и 3.
181. Можно представить т = mim2, (ти /я2)=1, т{^>2, т2>2.
Если ? —первообразный корень по модулю т, то он принадлежит
показателю <р (тх)у (т2). Если, с другой стороны, g принадлежит
показателю bt (mod mx) и Ъ2 (mod т2), то (см. 129 задачу) g
принадлежит показателю [Ьи Ь2) по модулю тхт2. Так как ср (т{) \ Ь1у
? (щ) I ^2» то [<Р ('«О» 9(^2)] | Pj, &2Ь а поскольку тх и /я2>2, то
<?{Щ) и <p(w2) четны (см. задачу 35) и [у(тх), ср (/Т72)) < ср (mj) ср (т2);
таким образом, [fij, B2] < ср (тх) у(т2) и g не может быть
первообразным корнем по модулю /п.
182. Доказывается аналогично тому, как это делалось в
предыдущей задаче.
183. Первообразный корень g имел бы вид g = 4? + l и
тогда gf~2 = (l±22k)**'~2=\±2a-k + 2a+1.W, где N— целое,
откуда ^2 = 1 (mod 2 ). Но g2 ' =? , если а>2,
поэтому g2 =1 (mod 2 ), а это значит, что по модулю 2 ,
где а>2, первообразных корней быть не может.
184. Для модулей 2, 4, ра , 2ра , где р — нечетное простое,
а-— натуральное.
185. Приведенную систему вычетов по модулю 13 образуют
числа
6°, б1, б2, бз, б4, 65, бб, 67, б8, б9, б10, б11;
их наименьшие положительные вычеты по модулю 13 равны
соответственно:
1, б, 10, 8, 9, 2, 12, 7, 3, 5, 4, 11.
Поэтому искомая таблица имеет вид
N
0
1
0
2
1
0
11
2
5
6
3
8
4
10
5
9
6
1
7
7
8
3
9
4
186. Приведенную систему вычетов по модулю 18 образуют числа
5«, 51, 52, 53, 54, 55,
их наименьшие положительные вычеты по модулю 18 равны
соответственно 1, 5, 7, 17, 13, 11.
Поэтому искомая таблица следующая
N
0
1
0
—
1
0
5
2
—
—
3
—
4
4
—
5
1
6
—
7
2
3
8
—
9
—
Числа, не взаимно простые с модулем, не имеют индекса,
315

187. Первообразный корень g по нечетному простому р
принадлежит четному показателю р— 1, поэтому (см. задачу 128)
р—1 -
~9— р — 1
g * m — l (modp), откуда —— зз ind (— l)=ind (/>—1) (mod/?—1).
188. Для нечетного простого р ind (р — 1)! == ind I + ind 2 -f ...
... -f ind (p — l)(mod/7 — 1). Так как совокупность индексов от 1
до р — 1 составляет полную систему вычетов по модулю р — 1,
т. е. числа 1, 2, ... ,р — 1, то сумма правой части сравнения^
H0
.iMH^^1) + H0 <,_,>_
/7—1
s 0 (mod р — 1) и —-— as ind (— 1) (mod p — 1) (см. предыдущую
задачу), поэтому ind (р — 1)! ss ind (— 1) (mod p — 1), откуда
(/7 — 1)! = — 1 (mod/7), или О?— 1)! + 1 =0(mod/?).
189. 54 = IP = 526(mod 73); переходя к индексам при
основании 5, имеем х ind 11 = 26 (mod 72), или 55л: з= 26 (mod 72), откуда
х ss Ind,, 54 = 62 (mod 72).
190. 66 s= 13* = 763(mod 71); переходя к индексам при
основании 7, имеем х ind 13 = 63 (mod 70), или 39л: = 63 (mod 70), откуда
13л: ss 21 (mod 70), Ш гз 91 (mod 70) и окончательно х = ind13 66 гз
гз 7 (mod 70).
191. 1) х = 7 (mod 43); 2) неразрешимо; 3) х з= 4,33 (mod 37);
4) л: = 30, 53 (mod 83); 5) х з= ± 253 (mod 732); 6) л: = + 1634
(mod 593).
192. 1) х зз 51 (mod 97); 2) л: зз 30 (mod 73); 3) х = 32 (mod 79);
4) х зз 44 (mod 83).
193. 1) л* = 59 (mod 71); 2) неразрешимо; 3) л: = 36, 45, 41
(mod 61); 4) х = 6, 65, 59, 73, 14, 20 (mod 79).
191. 1) 60; 2) 8; 3) 8; 4) 19; 5) искомое число — наименьший
положительный вычет решения сравнения х ^ 1754П (mod 629). Это
сравнение равносильно системе л:= 175411 (mod 17), л:=175ш
(mod 37); перяое сравнение дает решение х?= 11 (mod 17), второе —
х зз 36 (mod 37); система, составленная из последних двух
сравнений, имеет решение л: = 147 (mod 629), так что искомый остаток 147.
195. ind a 2.
196. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18.
197. 1) 7; 2) 13; 3) 23; 4) 5; 5) 10 принадлежит показателям
3 (mod 37) и 46 (mod 47), а поэтому (см. 129 задачу) показателю
[3,46] = 138 (mod 1739); 6K2 принадлежит показателям 12 (mod 61)
и 7 (mod 71), а поэтому показателю [12, 7] = 84 (mod 4331).
198. 1) 10; 2) неразрешимо; 3) 2.
199. Если ЛГ= а0 + axgT + ... + angn, gk = т\ (moc* m)> T0 ^iss
ss R'm (mod m), где R'm=a /0 + ... + «wr^ .
2"Ю. Аналогичны соответствующим признакам в десятичной
системе счисления при делении N на 9 и 3.
2Л1. Аналогичны соответствующим признакам в десятичной
системе счис ения при делении /V на 11.
202. 1) 3; 2) 33; 3) 22.
2ПЗ. /^ = 3 + 4 + 5 + 2-4-1=3 (mod 6).
2Э4. 1) 2, 3, 4, 6, 12; 2) 2, 3, 4, Р, 8, 12, 24.
316

205. В системе счисления с основанием М + \, где м =
» [1, 2, 3, ... , п] — Н. О. К. всех чисел от 1 до п.
206. 1) 18, 28. 3, 21, 58, 33, 8, 44, 96; 2) б, 2, 6, 42, 16, 6, 6;
3) 2,2; 2,22; 4,48; 3,13.
207. 1) 1, 1, 12, 2, 1, 2, 9, 2, 1; 2) 2, 10, 4, 1, 2, 10, 12.
208. - = 0,@25641), |j = 0,@51282), ^=0,A79489),
^ = 0,C58974).
209. 1) Решая сравнение а == 105 (mod 73), находим я = 63;
2) аналогично находим а = 22.
210. 1) Решая 10* н= 6 (mod 17) и учитывая, что х < 16,
находим л: = 5, так что — = 0, C5294 ... 5882); 2) 1-й способ: решая
10* г 16 (mod 41) и учитывая, что л; < 5, находим jc = 3, так что
77 = 0, C9024); 2-й способ: умножаем 02439 на 16 и получаем 39024;
2-й способ применяется независимо от дополнительного условия.
Я7
211. 1) 948717 — период дроби --; 2) 999999; 3) 2948715, если
39
слева отбросить двойку и прибавить ее к полученному числу, то
получается число из 1).
212. 1) Вытекает из того, что период Qm дроби — отличается
от периода Qm дроби — только циклической перестановкой;
Ъ
2) Tb = vw + S^+ - в 1 = 0> (^Ь9)'откуда о^в2^2в
10*-l; 3) QmK - Qm (nb + k)^ Qmbn 4- Qmk - A0я» -1) л +
213. Отличие от свойств, отмеченных в предыдущей задаче,
только в 1): произведения распадаются на d групп чисел с т
цифрами в каждой, отличающимися между собой в группе только
циклической перестановкой.
214. Пусть 10 по модулю р принадлежит четному показателю 2л,
тогда 10" = -— 1 н=/>— 1 (mod р) (см. задачу 128), так что через п
делений 1 на р должен появиться остаток р — 1.
Если теперь
10.1-^ + Г!, то
0</> — /*!</?, если 10.r,=/^2 + ra, то 10(/> — г,)
+ (Z7 — Г2>, 0 <р — г2<р и т. д.
Итак, 1) среди остатков деления 1 :/? должен появиться
остаток р—1 и тогда можно сказать, что первой полупериод
завершен; 2) цифры второго полупериода дополняют цифры первого
до девяти. Случай, когда а делят на /?, а < /?, доказывается
аналогично.
317

215. 1) Решая —-=—--}---, находим а = 4, b = 5;
143 11 13
^ = 0, C6), - = 0,C84615),
— = о, <°бз бзб...
7" = 0, 384 615 ...
13
11 = 0,748 251...
123 а Ь
2) решая — = — + -~, находим а = 5, b = 4; чтобы найти
1оо 7 1У
4
период у- , решаем 10v^ 4 (mod 19), откуда х = 17, итак,
у = 0, 714285 714285 714 285 ...
~ = 0, 210 526 315 789 473 684 ...
123
— = 0, 924 812 030 075 187 969 ...
216. 2) Результат неверен, однако проверкой по модулям 9 и
11 этого обнаружить нельзя.
217. Qk + R = S, поэтому если Q === q (mod m), R = r (mod m),
S = s (mod m), то qk -f- r = s (mod m).
218. Должно быть 2712 +377 = 73818, по модулю 9 это
подтверждается.
219. a = ((l)) = (l, 1,...)
Яь
1
*~0
1
1
1 '
1
2
1 '
1
3
2 '
1
5
3 '
1
8
5 '
1
13
8 '
1 ...
21_
13""
В ряде Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... an
220. Разлагаем в цепную дробь lk, что
затем используем формулу E) на стр. 165.
Pk-\
220. Разлагаем в цепную дробь lk, чтобы найти ^_j = ~—
_ 57-К2
^~ 17
318

2)*^B.1.1.8)..41|;.?
17_ k \ 2 1/5-17 + 2
3645 — Уъ
~ 1441
221. Находим разложения для Е^ и а#+1 и присоединяем к
первому разложению второе.
10 —
1) у = О, 2, 3); 1/3 —A, A, 2)); а = A. 2, 3, 1, A, 2));
2) | = B, 1, 5, 2); 1+2V3 =A, B, 1));
а = B, 1, 5, 2, 1, B, 1)).
222. Надо найти по формуле E) стр. 165 остаточное число а^+1
и убедиться в том, что оно > 1.
1 3_ 19
0' 1 ' 6 в
2) Ъ1-B 1 1 1 4V VI- 37х + 8 ' г- 2 + 1/f
1 А Л A i. EZ
О' 1 ' 1 ' 2 ' 3 ' 14*
223. 1) | OMk_v ОМа , OMk |; 2) 2} Ма OMk < ^М
224. 1) ^ « ^ = В6= ^ (с избытком), . < ^^ < 0,0001;
2) —- « ~ = Ьъ = —¦ (с недостатком), е < —— < 0,01;
N Nt 95 1
3) 7^ л = ь*^41 (с избытком)' ? < JTun "^ 0'001;
4) — ^-i = 56==— (с избытком), е<^Г^<0>0001-
л /Zi 63 63-265
Nt 39 23 44 39 ft ^ 101
21 1
226. 1) У15 = C, A, 6)) « S4 = — (с избытком), ? <-— <0,01,
о o*tH
54« 3,87 (при округлении с недостатком);
QQ 1
2) У 17 = D, (8)) ж 8, = - (с избытком), е < -— < 0,01, bt **
О О • О О
^4,12; (при округлении с недостатком).
319

-u. 235 i
3) /23-D, A, 3, l,8))«Se = — (с избытком), * < ?^<
< 0,001, $6« 4,795 (при округлении с недостатком);
_ 206
4) К31 =E, A, 1, 3, 5, 3, 1, 1, 10))«&5= — (с недостат-
37
ком)» е<^ГТТ7<0'001' ^5 — 5,568 (при округлении с избытком).
227. 1) К2б = E, A0))«&2 = ~ (с избытком), &2 = 5,100;
73
2) ^37 = F, A2)) « В2 = — (с избытком), &2 « б, 083 (при
округлении с недостатком);
3) J/29-E, B, 1, 1, 2, 10)«&в«~ (С недостатком), Ььж
ж 5, 385 (при округлении с избытком);
4) У19 - D, B, 1, 3, 1, 2, 8)) « 5, « ~ (с избытком), Ь4 ж 4, 36
(при округлении с недостатком).
36
228. 1) а = (B,8))^h^TZ (с недостатком), &3^2,12 (при
округлении с избытком);
оо
2) а = (C, 2, 5)) « Ь3 = —¦ (с недостатком), &3 » 3,46 (при
округлении с избытком);
3) а = (C, 2, 1, 4)) « &4 — г- (с избытком), 54 « 3,35 (при
округлении с недостатком);
61
4) а = (C, 1, 4))«&4 = -т (с избытком)> ^«3,81 (при округ*
лении с недостатком);
7
5) а = (A, 6, 5, 6)) да Ь2 « ~- (с избытком), Ь2 » 1,16 (при
округлении с недостатком);
34
6) а = B, C, 1))«*&4в7к(с избытком), S4«2, 26 (при округ-
лении с недостатком).
229. е = B, 1, 2, 1, 1, 4, ...)
_ 1 2_ ? _8_ U 19 8
ft~0' Г Г 3' 41 7'32'*"
87 1
0«&б = — (с избытком), s<rrr< 0,001,
\ да 2, 718 (при округлении с недостатком).
320

230. У\0 = B, 6, 2, ...)
__ 1 _2 13 28
°* = о' 1 ' б ' 13' ""
з — 28
v Ю « 56= -— (с недостатком),
1о
оа^2,16 (при округлении с избытком).
231. 1) . = B, A, 7)), « = 5б = ^( ? < _L_ < 0,0001;
_ 83 1
2) а = C, (>,5)), а = 8, = -, е < ^-^- < 0,001;
— 292 1
3) а = C, 1, B, 3)), а = о6 = —, е < —— < 0,0001;
/У /У*1о1
Л7 1
4)а = B, 1, C, 1)), ~* = \=-, ?<^<°>901- .
232. В треугольнике 0Mk_lMk нет целых точек.
233. 97 = 42 + 92, 137 = 42 + 112, 157 «= б2 + 112, 173 = 22 + 132,
181 «= 92 + 102, 193 = 73 +¦ 122, 281 = 53 + 1б2, 317 = И2 + 142.
234. 1) 2а2 — 6а-3 = 0; а=Ю1±1.; 2) 7а2 _ 7а - 1 = 0;
а Ш±±; 3Oа9а13 = 0;^_^
14 14
4) 13а*-64а-21-0; " - 32 + ^Ш ;
13
5) «2__4а + 1 = 0; а = К§"+ 2; 6) За2 — 18а +_22 = 0;
К; 7) 16а2-32а+ 13 = 0; я44 + КЗ
235. 1) К26 = E, (Ю)), jc = 51f 3^=10; 2) |'37 = F, A2)),
-* = 73, j/= 12; 3) Kl9-D, B, 1, 3, 1, 2, 8)), х = 170, _у = 39;
4) К29==E, B, 1, 1, 2, 10)), * = 9801, j; = 1820.
236. l)* = 40, J = 9, 0 = 41; 2) ^ = 60, .у = 11, 2 = 61;
3) х = 144, j; = 17, ^ = 145; 4) jc = 168, у = 95, 2 - 193; 5) х = 120,
3^= 119, 2 = 169.
237. 1) 97 = D + 9/) D - 9/); 2) 137 = D + 11/) D — 11/);
3) 181 =A0+ 11/)A0—11/); 4) 281 =E +160E —160; 5K17 =
= A1 + 140A1 — 140.
238. Окружность х2 + у2 = 1 A) и прямая y = kx — 1 B)
имеют общую рациональную точку Q @, — 1); если и вторая точка
, -У+1
их пересечения рациональная, то k~ , т. е. рационально.
х
Если, наоборот, & —рациональное число, то координаты Р, второй
точки пересечения A) и B), удовлетворяют уравнениям х2 +
Б-530.-21 321

2k k2—\
4- (kx — IK = 1, или x = , и у = , т. е. Р— рацио-
А2 _j_ I Ь2 I "I
нальная точка.
239. Вопрос о целых решениях уравнения х2 4- у2 = z2 A)
равносилен вопросу о рациональных точках единичной окружно-
2k
сти X2 4- К2 = 1. Последние получаются по формулам Х = ,
, k" Нг 1
К = (см. предыдущую задачу). Если положить в них X — —,
k2 4- 1 z
j/ /и
К=—, & = —, (т, л) = 1, w > л > 0, яг — четное, л — нечетное
z л
(или наоборот), то получаются формулы л: = 2тл, у = т2 — л2,
z = m2 4- л2, которые выражают натуральные и взаимно простые
решения уравнения A).
240. Геометрический смысл утверждения Ферма состоит в том,
что при л > 2 дуга кривой Хп 4- Уп = 1 (в первом квадранте) не
проходит ни через одну рациональную точку, кроме A,0) и @,1).
По сравнению с дугой единичной окружности для случая л = 2
дуга кривой для л > 2 все более прижимается к сторонам
единичного квадрата.
241. 1) Пусть — = ci.k = —jt~ 4- —2f "+" ••• + —*Г = —Ж » так
что a — ak< ,*,,1U ( 1 4-ТТ4- —4- - ) < .^fe_ii4i и, наобо-
; 10
рот, —-тщтг"> а — аЛ. Если а — алгебраическое число степени п9
то согласно теореме Лиувилля существует положительное с такое,
с 10
что | а — a.k | > —-^-. Пусть k так велико, что 10^! > —, а с >
10 10 10
> j^fe! ; тог*а по предыдущим неравенствам ^Тг)Г > 10Щп+в
и k\ (л + 1) >(&+ 1)! для достаточно больших &, но это неверно
для значений k>n. Итак, а — трансцендентно; 2) аналогично.
242. 1) 16, 2) 18, 3) 24, 4) 72, 5) 60.
243. 1) х = тC6) = 9; 2) д: = хA26) = 12; 3) х = тD2) = 8;
4) решений нет.
244. 1) Решениями являются все делители числа 40, их можно
получить как слагаемые произведения A 4- 2 + 22 + 23) A 4- 5):
1, 2, 22, 23, 5, 2-5, 22.5, 2з«5; 2) 1, 2, 22, 5, 2-5, 22-5; 3)
решений нет.
245. Целой точке (х, у) гиперболы ху = п соответствует
делитель х числа л и наоборот.
246. 10= 10-1 =2*5, поэтому искомое число имеет либо один
простой делитель, либо два простых делителя; в первом случае
показатель степени единственного простого делителя равен 9 и
наименьшее соответствующее число равно 29, во втором случае
показателями степеней простых делителей являются 1 и 4 и наи-
322

меньшее соответствующее число равно 24«31 = 48. Итак, искомое
число равно 48, так как 48 < 2°.
247. 1) 576, 2) 2240, 3) 936, 4) 35568.
248. Все г-е степени делителей данного п = р\\ ... , pak
получаются как слагаемые произведения
К A + /2 +... $
поэтому Sr(n) равно этому произведению, т. е.
Sr (n)
Р[-\ /2-l prk-l
ИЛИ
Sr(n) =
249. S2A2) = 210, S2A4) = 50, S3 C0) = 31752.
250. Такой же, как и простой делитель.
251. Если число т составное, то его простые делители также
имеют вид 128& + 1 и наименьший из них < V~m, т. е. < 2600;
поэтому &<21, с другой стороны, k>5, таким образом,
достаточно 16 делений.
252. 2173 + 62 = 472, 2173 = D7 - 6) D7 + 6) = 41 -53; 1363 -f
+ 92 = 382, 1363 = 29-47; 7663 + 92 = 882, 7663 = 79-97; 4187 +
+ 132 = 662, 4187 = 53-79.
253. 1) М= 194-170; 2) 7V=349-218.
254. Только 2 = I3 + I3; если р = хг + уъ и хотя бы одно из
чисел jc, у > 1, то р делилось бы на сумму х + у, которая > 1 и
< /?, что невозможно для простого числа.
255. 1) а = 13, 2) а = 76, 3) а = 87, 4) а = 282.
256. 1) Достаточно определить показатель степени 5 в 295!
(так как двойка входит в это произведение с большим
показателем); он равен 70, так что число оканчивается 70 нулями.
2) Нет, так как между 295 и 300 нет чисел делящихся на 5.
257. Пользуясь [д;], находим показатель степени для каждого
простого множителя в 10! и 20!
10! = 28-34-52-7
20! = 218-38.5<-72-1ЫЗ.17-19.
258. Находим показатель степени 13 в 700!: 200!; он равен 41.
259. Надо пересчитать совокупность чисел, состоящую из всех
делителей каждого из чисел от 1 до п. В ней имеются числа,
делящиеся на 1, на 2, .... на л, общее количество которых равно
Г я "] Г я 1 Г я 1
— + — -г ••• + — ; Других чисел в ней нет, поэтому
L 1 J L 2 J L я J
21* 323

260. В левой части формулы сосчитаны целые точки на
гиперболах ху=\, 2, .., п\ их общее, число равно количеству целых
точек ниже гиперболы ху = п и на ней. Пересчитывая те же точки
по вертикалям через целые абсциссы между осью абсцисс и
гиперболой ху = п (включая ее), получаем сумму из правой части
формулы.
Г пЛ
261. Для чисел от 1 до л число k является делителем в . —
случаях, а сумма их равна k\ — . Таким образом, сумма всех
делителей чисел от 1 до п равна выражению в правой части
формулы.
262. Так как [л:] < х, [у] <^у, то М + Ы<^ + У- Итак,
[х] 4- [у] — целое, не превосходящее х + у, а[х + у] —
наибольшее целое < х 4- у, поэтому [х] + [у] ^ [х 4- у]-
263. Простое р входит в N с показателем 2j ab гДе
Н ? hL7H7.b—L7J-
? >Ы + Ы + •'+ L7J(см"предыду-
щую задачу), поэтому N целое.
264. [2*] + [2?] и [а] + [р] 4- [а 4- Р] изменяются на равные числа,
если аир изменяются на какие либо целые числа (так как [а + л] =
= [а] 4- п для целого п), поэтому соотношение достаточно доказать
для случая 0<а<1, 0 < р < 1; тогда оно имеет вид [2а] + [2$] Г
> [а + р"]. Если [а + р]j=To, оно' очевидно; если же [а + Р1« 1," то
«4- Р> 1 и по крайней мере одно из обоих слагаемых, например,
а > —; тогда [2а] 4- [2р] > 1, так что на самом деле [2а] + [2?] >
> [« + И.
265. Записать показатели, с которыми р входит в числитель
и знаменатель, и учесть формулу предыдущей задачи.
266. Справедливость равенства A) вытекает из следующего:
1) Для л; = а, 0<С а<—- A) выполняется, так как в таком
случае все слагаемые слева и выражение в правой части равны нулю.
2) Если A) верно для некоторого х, то оно сохраняется, если
к х прибавить—. Действительно, при этом каждое слагаемое
слева, кроме последнего, переходит в соседнее справа, а
последнее в [х + 1] == [х\ + 1, так что левая часть увеличивается на 1.
То же происходит с правой частью, так как
\п (х + — )
L \ п/\
+ ][]4
3) Любое х можно получить, прибавляя к некоторому а,
11 т т
а<—, —т раз, т. е.—. В самом деле, из а 4- — = ху
п п п п
324

х — — = я, 0 ^ х — — < — , или 0 ^ пх — m < 1, или 0 > m —
п п п
— пх > — 1, следует неравенство пх > т > пх — 1, которое
определяет т однозначно, а вместе с тем и я.
267. Искомое число получается, если сопоставить числам иа
1, 2, ..., [х] A), взаимно простым с N, число 1, числам A),
имеющим k простых делителей из pit число 0 = A —¦ \)k = 1 — С\ -f-
-h C2k + ... ± CJj; и сопоставленные числа сложить. Получится сумма
[х] — 2j Сд; + 2j С| г ». ± 2j ^л » где суммирование
производится по всем числам 1, 2, ..., [х] (и в зависимости от числа
простых делителей /?/ каждого из них).
Но
и т. д., поэтому
268. По формуле Лежандра из предыдущей задачи находим:
1) 30 = 2.3-5,
<р(зоо, a»
гзоо-j Г3001 rjoo
2) аналогично ф G13, 42) = 204.
269. Функцию Эйлера <р(/и) можно истолковать как<р(т, m)t
поэтому (если т == р\1 -ра22... р"*)
mm mm
ср (щ) = ф (т, т) = т — — ... — — + + ... -Ь
Рх Р2 Pk Р1Р2
-+ ... +(-1)*
Pi-Pk
или
А / \ Р2
Здесь в ф (m, m) знак «целой части» не нужен, так как т делится
на ри р2, .~,Pk-
270. 1) те A07) « 620000, 2) «A08) « 5425000.
271. Если из множества простых чисел ^д: исключить все
простые числа ри р2, ..., pr^V~x и прибавить к нему 1, то
получится множество таких чисел <С х, которые взаимно просты с
Pi < У"~х\ поэтому
те (X) ~-(К1)т1=9 (Ъ Рх»'2 .- РгУ
325

272. тс A20) = тс (КПЮ) — 1 + » A20; 2, 3, 5, 7) = 3 +
+ 9A20; 2, 3, 5, 7) «30.
273. Допустим, что простых чисел вида 4л + 3 имеется лишь
конечное число, а именно^, q2, ..., Як- Тогда число Aqx q2... Чь— Ь
также имеющее вид 4л + 3, должно быть составным и иметь
простой делитель вида 4л + 3 (так как произведение чисел вида
4/2 + 1 всегда имеет вид 4л + 1), но ни одно из чисел qu q2, — , 4k
не подходит. Наше предположение привело к противоречию.
274. Допустим, что простых чисел вида 6л + 5 имеется лишь
конечное множество, а именно qlt q2,..., <?&• Тогда число 6qxq2 ...
...qk—l, также имеющее вид 6л + 5, должно быть составным и
иметь простой делитель такого же вида (так как простые числа,
больше 3, имеют вид 6п + 1 или б: + 5, а произведение чисел
вида бл + 1 имеет такой же вич), но ни одно из чисел qlt q2, ...» Як
не подходит. Получается противоречие.
275. Допустим, что простых чисел вида бл + 1 имеется лишь
конечное множество, а именно q\t q2i •••» qk- Тогда число л:2 + 3 =
= 4 (qxq2... quJ + 3, также имеющее вид бл + 1, должно быть
составным, а так как оно не делится ни на одно из чисел qt (оно
должно иметь простой делительр = бл + 5, или х2 + 3 ==0 (mod /?),
т. е. ( —j = 1, что, однако, невозможно, когда р = бл + 5 (см.
154 задачу).
276. 113, 541, 757 можно, остальные —нет.
277. 1) N=2792 + 1062 = 1692 + 2462;
2) 7V= 8092 + 211* = 3912 + 7392.
278. Если целые точки Pt (xu уг) и Р2(хъ у2) имеют от
[V 2, —)
\ 61
одинаковое расстояние, то должно быть
(х, - V -2L (у, - IJ = (х2 - К2J + ( Л - j)
о
откуда х\ —4+2 (хх — х2) У~2 + у\ — у\ = — (ух - J>3), что вле-
о
о
чет за собой необходимое условие хх = х<>. Но так как в таком
2
случае ух* Уъ то получается j/t + у2 = —, что для целых j;,, y2
3
невозможно.
279. Пусть К — круг с центром Q (У% —\ который содер-
V 3 /
жит более л целых точек (такой круг, конечно, существует). Вместе
с тем он содержит лишь конечное число целых точек. Поскольку
они имеют различное расстояние от Q (см. предыдущую задачу),
то их можно расположить в конечную последовательность по
увеличивающимся расстояниям
Л, Ръ .... Pn>Pn+v -
и тогда круг /С,г+1 с центром Q, проходящий через Яя + 1, имеет
как раз внутри себя точно л целых точек Ри Р2, ..., Рп .
280. 5220 = О2 + 82 + 16* + 702.
326

ТАБЛИЦЫ ИНДЕКСОВ
Простое число 3
1
N
0
0
1
0
2
1
3
4
5
6
7
8
9
,11 о
0 1
1
2
2
3
4
5
б
7
8
9
Простое число 5
.'1
1
0
2
1
3
3
4
2
5
6
7
8
9
/
0
0
1
1
2
2
4
3
3
4
5
6
7
8
9
Простое число 7
AMJO
0
1
0
2
2
3
1
4
4
5
5
6
3
7
8
9
/
0
0
1
1
3
2
2
3
б
4
4
5
5
б
7
8
9
Простое число 11
¦ N
0
1
0
5
1
0
2
1
3
8
4
2
5
4
б
9
7
7
8
3
9
б
'1°
0
1
1
1
2
2
4
3
8
4
5
5
10
б
9
7
7
8
3
9
6
Простое число 13
N\ °
0
1
10
1
0
7
2
1
6
3
4
4
2
5
9
6
5
7
11
8
3
9
8
0
0
1
10
1
2
7
2
4
3
8
4
3
5
6
6
12
7
11
8
9
9
5
327

Простое число 17
N
0
1
0
3
1
0
7
2
14
13
3
1
4
4
12
9
5
5
6
б
15
8
7
11
8
10
9
2
/
0
1
0
1
8
1
3
7
2
9
4
3
10
12
4
13
2
5
5
6
6
15
7
11
8
16
9
14
Простое число 19
ЛП 0
0
1 17
1
0
12
2
1
15
3
13
5
4
2
7
5
16
11
|
V
14
4
6
10
8
3
9
9
8
0
1
; о
i17
i
2
15
2
4
11
3
8
3
4
16
6
5
13
12
6
7
5
7
14
10
8
9
9
18
Простое число 23
N
0
1
2
0
3
1
0
9
13
2
2
20
11
3
16
14
4
4
21
5
1
17
6
18
8
7
19
7
8
6
12
9
10
15
/ 0
0
1 '
2
1
12
1
5
22
14
2
2
18
3
10
21
4
4
13
5
20
19
6
Q
О
Q
7
17
15
8
16
6
9
11
7
Простое число 29
N
0
1
2
0
,23
|24
1
0
25
17
2
1
7
26
3
5
18
20
4
2
13
8
5
22
27
16
6
6
4
19
7
12
21
15
8
3
11
14
9
10
9
/
0
1
2
0
' 1
9
23
1
2
18
17
2
4
7
5
3
8
14
10
4
16
28
20
5
3
27
11
б
6
25
22
7
12
21
15
8
24
13
9
19
26
328

Простое число 31
N
0
1
2
3
14
8
15
1
0
23
29
2
24
19
17
1
3
1
11
27
и
18
22
13
5
20
21
10
6
25
6
5
7
28
7
3
8
12
26
16
9
2
4
9
/
0
1
2
: о
t
1
25
5
1
3
13
15
2
9
8
14
3
27
24
11
4
19
10
'2
5
26
30
6
6
16
28
18
7
17
22
23
8
20
4
7
9
29
12
21
N
0
1
2
3
0
24
25
14
1
0
30
22
9
2
1
28
31
5
3
26
И
15
20
4
2
33
29
8
5
23
13
10
19
6
27
4
12
18
Простое числе
7
32
7
6
8
3
17
34
9
16
35
21
/
0
1
2
3
) 37
0
1
25
33
11
1
2
13
29
22
2
4
26
21
7
3
8
15
5
14
4
16
30
10
28
5
32
23
20
19
6
27
9
3
7
17
18
6
8
34
36
12
9
31
35
24
N
0
1
2
3
4
0
8
34
23
20
1
0
3
14
28
2
26
27
29
10
3
15
31
36
18
4
12
25
13
19
5
22
37
4
21
6
1
24
17
2
Простое число
7
39
33
5
32
8
38
16
11
35
9
30
9
7
6
/
0
1
2 1
3 :
1
41
0
1
32
40
9
1
6
28
35
13
2
36
4
5
37
3
И
24
30
17
4
25
21
16
20
5
27
3
14
38
6
39
18
2
23
7
29
26
12
15
8
10
33
31
8
9
19
34
22
7
N
0
1
2
3
4
0
10
37
11
22
1
0
30
36
34
6
2
27
13
15
9
21
3
1
32
16
31
4
12
20
40
23
5
25
26
8
18
6
28
24
17
14
Простое число
7
35
38
3
7
8
39
29
5
4
9
2
19
41
33
о!
1 !
2 I
4 1
43
0
1
10
14
11
24
1
3
30
42
33
29
2
9
4
40
13"
3
27
12
34
39
4
38
36
16
31
5
28
22
5
7
6
41
23
15
21
7
37
26
2
20
8
25
35
6
17
9
32
19
18
8
329

N
0
1
2
3
4
i
! 0
:ig
37
39
, 9
1
0|
7
6
3
15
2
18
10
25
44
24
3
20
11
5
27
13
4
36
4
28
34
43
5
1
21
2
33
41
6
38
26
29
30
23
Простое число
7
32
16
14
42
8
8
12
22
17
9
40
45
35
31
/|
0
1
2
3
4
47
0
1
12
3
36
9
1
5
13
15
39
45
2
25
18
28
7
37
3
31
43
46
35
44
4
14
27
42
34
32
5
23
41
22
29
19
6
21
17
16
4
7
11
38
33
20
8
9
8D0
210
24 26
6-30
1
0
1
2
3
4
5
о
48
49
13
50
43
1
0
6
31
33
45
27
2
1
19
7
5
32
26
3
17
24
39
23
22
4
2
15
20
И
8
5
47
12
42
9
29
!
6
18
4
25
36
40
Простое числе
7
14
10
51
30
44
8
3
35
16
38
21
9
34
37
46
41
28
53
/ 0
0
1
2
3
4
5
1
17
24
37
46
40
1
2
34
48
21
39
27
2
4
15
43
42
25
3
8
30
33
31
50
4
16
7
13
9
47
5
32
14
26
18
41
6
И
28
52
36
29
7
22
3
51
19
5
8
44
6
49
38
10
9
35
12
45
23
20
n\
1
0
1
2
3
4
5
0
7
8
57
9
13
1
0
25
10
49
14
32
2
1
52
26
5
11
47
3
50
45
15
17
33
22
4
2
19
53
41
27
35
5
6
56
12
24
48
31
6
51
4
46
44
16
21
Простое число
7
18
40
34
55
23
30
8
3
43
20
39
54
29
9
42
38
28
37
36
/
0
1
2
3
4
5
59
0
1
21
28
57
17
3
1
2
42
56
55
34
6
2
4
25
53
51
9
12
3
8
50
47
43
18
24
4
16
41
35
27
36
48
5
32
23
11
54
13
37
б
5
46
22
49
26
15
7
10
33
44
39
52
30
8
20
7
29
19
45
9
40
14
58
38
31
N
0
1
2
3
4
5
U
0
23
24
29
25
45
30
1
0
15
55
59
54
53
2
1
8
16
5
56
42
3
6
40
57
21
43
33
4
5
2!22
50 28
9
48
17
19
44
11
34
37
6
7
4
41
14
58
52
Простое число
7
49
47
18
39
20
32
8
3
13
51
27
10
9
12
26
35
46
38
36131
/
0
1
2
3
4
5
61
0
1
48
47
60
13
14
1
2
35
33
59
26
28
2
4
9
5
57
52
56
3
8
18
10
53
43
51
4
16
36
20
45
25
41
5
32
11
40
29
50
21
6
3
22
19
58
39
42
7
6
44
38
55
17
23
8
12
27
15
49
34
46
9
24
54
30
37
7
31
330

Простое число 67
N
0
1
2
3
4
5
6
0
16
17
55
18
31
56
1
0
59
62
47
53
37
7
2
1
41
60
5
63
21
48
3
39
19
28
32
9
57
35
4
2
24
42
65
61
52
6
5
15
54
30
38
27
8
34
6
40
4
20
14
29
26
33
7
23
64
51
22
50
49
8
3
13
25
11
43
45
9
12
10
44
58
46
36
/
0
1
2
3
4
5
6
0
1
19
26
25
6
47
22
1
2
38
52
50
12
27
44
2
4
9
37
33
24
54
21
3
8
18
7
66
48
41
42
4
16
36
14
65
29
15
17
5
32
5
28
63
58
30
34
6
64
10
56
59
49
60
7
61
20
45
51
31
53
8
55
40
23
35
62
39
9
43
13
46
3
57
И
Простое число 71
N
0
1
2
3
4
5
6
7
0
34
40
60
46
62
66
35
1
0
31
27
11
25
5
69
2
6
38
37
30
33
51
17
3
26
39
15
57
48
23
53
4
12
7
44
55
43
14
36
5
28
54
56
29
10
59
67
6
32
24
45
64
21
7
1
49
8
20
9
1943
63 47
8
18
58
13
22
50
4
61
9
52
16
68
65
2
3
41
/
0
1
2
3
4
5
6
0
1
45
37
32
20
48
30
1
7
31
46
11
69
52
68
2
49
4
38
6
57
3
59
28
53
42
44
9 63
50
66
4
58
54
16
10
24
15
36
5
51
23
41
70
26
34
39
6
2
19
3
64
40
25
60
7
14
62
21
22
67
33
65
8
27
8
5
12
43
18
29
9
47
56
35
13
17
55
61
Простое число 73
N
0
1
2
3
4
5
6
7
0
9
17
15
25
10
23
42
1
0
55
39
И
4
27
58
44
2
8
22
63
40
47
3
19
36
3
6
59
46
61
51
53
45
4
16
41
30
29
71
26
48
5
1
7
2
34
13
56
60
6
14
32
67
28
54
57
69
7
33
21
18
64
31
68
50
8
24
20
49
70
38
43
37
9
12
62
35
65
66
5
52
/
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
50
18
24
32
67
65
38
1
5
31
17
47
14
43
33
44
2
25
9
12
16
70
69
19
3
52
45
60
7
58
53
22
4
41
6
8
35
71
46
37
5
59
30
40
29
63
11
39
6
3
4
54
72
23
55
49
7
15
20
51
68
42
56
26
8
2
27
36
48
64
61
57
9
10
62
34
21
28
13
66
331

Простое число 79
N
72
42 77
60 55 24
8 62
9 34 57 63
20 69 25
58 49 76 64
13 46
37
14 44 23 47 40 43
52 65 33
18 73 48
5 53
16 21
38
10
30 59
12
3 61
19 36 35
17 28
15 31
29 27
39
9|
6 32
11
9 27
51
19 57
7'13'39 38 35
77 73 61
721
15 45 56
66 40J41
18 54
2 6
24 72 58
74 64,34 23 69 49 68
16 48 65 37
63 31
10 30
44 53
26
25 75 67 43
14 42 47
11
12
Простое число 83
N
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
28
29
18
30
55
19
36
31
1
0
24
80
38
40
46
66
33
42
2
1
74
25
5
81
79
39
65
41
3
72
77
60
14
71
59
70
69
4
2
9
75
57
26
53
6
21
5
27
17
54
35
7
51
22
44
б
73
4
7
8
56
78152
64 20
61
11
15
49
23
37
45
32
8
3
63
10
48
76
13
58
68
9
62
47
12
67
16
34
50
43
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
28
37
40
41
69
23
63
21
1
2
56
74
80
82
55
46
43
42
2
4
29
65
77
81
27
9
3
3
8
58
47
71
79
54
18
6
4
16
33
11
59
75
25
36
12
5
32
66
22
35
67
50
72
24
6
64
49
44
70
51
17
61
48
7
45
15
5
57
19
34
39
13
8
7
30
10
31
38
68
78
26
9
14
60
20
62
76
53
73
52
Простое число 89
N
332
37
16
33 23
12 57
80 85
10 29
55 78
47
50 20 27
26
52 39
63
34
72 73
66 41
13
53 67
76 45
81
51
48
18 35
25 59
24
65 74
75 43
38 58
40 42
44
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
42
73
40
78
72
87
5
32
1
3
37
41
31
56
38
83
15
7
2
9
22
34
4
79
25
71
45
21
3
27
66
13
12
59
75
35
46
63
4
81
20
39
36
88
47
16
49
11
5
65
60
28
19
86
52
48
58
33
6
17
2
84
57
80
67
55
85
10
7
51
6
74
82
62
23
76
77
30
8
64
18
44
68
8
69
50
53
9
14
54
43
26
24
29
61
70

Простое число 97
N
1
2
3
4
35
69
9
7
36
43
66
41
791
О
134
5
46
85
63
64
11
88
56
24
77
93!
50
7068
74|60i
39
Ю
8075
28
23
49120]
22
32
58 45|
52 87|
12 26
29 72
15
94
38
82148
8|31
|40 89
5918
16 91
84
157!
61
53|21|33|30
6 44
78 81
13
19 95
14 62
47 67
51
54
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
53
93
79
16
72
33
3
62
85
1
5
71
77
7
80
69
68
15
19
37
2
25
64
94
35
12
54
49
75
95
88
3
28
29
82
78
60
76
51
84
87
s2i
4
43
48
22
2
9
89
61
32
47
66
5
21
46
13
10
45
57
14
63
41
39
6
8
36
65
50
31
91
70
24
И
7
40
83
34
56
58
67
59
23
55
8
6
27
73
96
44
4
18
81
9
30
38
74
42
92
26
20
90
17

ЛИТЕРАТУРА
Монографии
1. Боревич 3. И. и Шафаревич И. Р. Теория
чисел. М., изд-во «Наука», 1964 г.
2. Васильев А. В. Целое число. Научное изд-во, 1919.
3. В е н к о в Б. А. Элементарная теория чисел. М. — Л.„
1937.
4. Виноградов И. М. Избранные труды. М., изд-во АН
СССР, 1952.
5. Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Общая редакция
акад. И. М. Виноградова. Перевод В. Б. Демьянова. М., изд-во
АН СССР, 1959.
6. Гельфонд А. О. Трансцендентные и алгебраические
числа. М., Гостехиздат, 1952.
7. Гельфонд А. О., Л инн и к Ю. В. Элементарные
методы в аналитической теории чисел. М., Гос. изд-во физ.-мат.
литературы, 1962.
8. Граве Д. А. Трактат по алгебраическому анализу, т. П„
Изд. АН УССР, 1939.
9. Делоне Б. Н. Петербургская школа теории чисел. Изд.
АН СССР, 1947.
10 Ингам А. Е. Распределение простых чисел. Перевод с
английского Райкова, ОНТИ, 1936.
11. Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в
приближенном анализе. М., Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1963.
12. Т и т ч м а р ш Е. К. Теория дзета-функции Римана.
Перевод с английского М. А. Евграфова. Под ред. А. О. Гельфонда.
М., ИЛ, 1953.
13. Т р о с т Э. Простые числа. Перевод с немецкого'
Н. И. Фельдмана. Под ред. А. О. Гельфонда. М., Гос. изд-во физ.-
мат. литературы, 1959.
14. Хуа Ло-ген. Аддитивная теория простых чисел. Труды
мат. ин-та АН СССР, 22, 1947.
15. Хуа Ло-ген. Метод тригонометрических сумм и его
применения в теории чисел. Перевод с немецкого А. М. Полосуева.
Под. ред. Н. Г. Чудакова, М., изд-во «Мир», 1964.
16. X и н ч и н А. Я. Цепные дроби, изд. 3. М., Гос. Изд-во
физ.-мат. литературы, 1961.
17. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их
обобщений к вопросам приближенного анализа. М., Гостехнздат^
1956.
334

18. Чебышев П. Л. Полное собрание сочинений, т. 1.
Изд-во АН СССР, М. - Л., 1946.
19. Чудаков Н. Г. Введение в теорию /.-функций
Дирихле. М. — Л., Гостехиздат, 1947.
Учебники и учебные пособия
20. Арнольд И. В. Теория чисел. Учпедгиз, 1939.
21. Архангельская В. М. Элементарная теория чисел.
Изд-во Саратовского ун-та, 1963.
22. Архангельская В. М. L — функции Дирихле. Изд-во
Саратовского ун-та, 1962.
23. Бух штаб А. А. Теория чисел. Учпедгиз, 1960.
24. Виноградов И. М. Основы теории чисел, Изд. 7.
Изд-во «Наука», 1965.
25. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел.
ГТТИ, 1940.
26. Граве Д. А. Элементарный курс теории чисел. Киев,
1913.
27. Гребенча М. К. Теория чисел. Учебно-метод. пособие
для заочников пед. ин-тов. М., 1949.
28. Грибанов В. У., Титов П. И. Сборник упражнений
по теории чисел. М., изд-во «Просвещение», 1964.
29. Л еж е н-Д и р и х л е П. Г. Лекции по теории чисел в
обработке и с добавлениями Р. Дедекинда. Перевод с немецкого
под ред. Б. И. Сегала, с приложением статьи Б. Н. Делоне
«Геометрия бинарных квадратичных форм». ОНТИ, 1936.
30. Диксон Л. Е. Введение в теорию чисел. Тбилиси. Изд.
АН Груз. ССР, 1941.
31. Егоров Д. Ф. Элементы теории чисел. ГМЗ, 1923.
32. Марче веки й М. Н. Теория чисел. Изд. Харьковского,
гос. ун-та, 1958.
33. О кун ев Л. Я. Краткий курс теории чисел. Учпедгиз,
1956.
34. Суш к ев и ч А. К. Теория чисел, изд. 2. Изд.
Харьковского ун-та, 1956.
35. Хассе Г. Лекции по теории чисел. Перевод с немец-
ского В. Б. Демьянова. Под ред. И. Р. Шафаревича. ИЛ, 1953.
36. X и н ч и н А. Я. Элементы теории чисел. Энциклопедия
элементарной математики, т. 1, Гостехиздат, 1951.
Обзорные статьи и популярная литература
37. Вальфиш А. 3. Уравнения Пелля. Тбилиси, Изд. Акад.
наук Груз. ССР, 1952.
38. Виноградов И. М. Некоторые проблемы
аналитической теории чисел. Статья в сборнике «Труды третьего
Всесоюзного математического съезда», т. Ill, M., 1958.
39. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. Гос. изд-во физ.-
мат, литературы, М., 1963.
40. Воробьев Н. Н. Числа фибоначчн, М., изд-во
«Наука», 1964.
335

41.' Гельфонд А. О. О проблеме приближения
алгебраических чисел рациональными. Статья во 2-м выпуске
«Математическое просвещение». JVL, ГТТИ, 1957.
42. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах,
вып. 8 популярных лекций по математике. М.-Л., ГТТИ, 1952.
43. Гельфонд А. О. Теория чисел. Статья в сборнике
«Математика в СССР за тридцать лет». Гостехиздат, 1947.
44. Гельфонд А. О., Лин ник Ю. В. Чисел теория,
Б. С. Э., изд. 2, т. 47, 1957.
45. Голубев В. А. Реферативный обзор современных
работ по элементарной теории чисел. «Математика в школе», 1958,
№ 6, 1960, 5.
46. Лин ник Ю. В. Теория чисел. Статья в сборнике
«Математика в СССР за сорок лет, 1917—1957», т. 1. М., Гос. изд-во
физ.-мат. литературы, 1959.
47. Марджанишвили К. К. Простые числа. Статья в
сборнике «Математика, ее содержание, методы и значение», т. II,
Изд. Акад. наук СССР, 1956.
48. Постников А. Г. и Романов К. П. Упрощение
элементарного доказательства А. Сельберга асимптотического
закона распределения простых чисел. «Успехи математических наук»,
т. X, 1955, № 4.
49. Р а й к А. Е. Уральский математик Иван Михеевич
Первушин «Истор. мат. иссл.», т. VI, Гостехиздат, 1953 г. стр. 535—
572.
50. Сер пинский В. Пифагоровы треугольники. Перевод
с польского. Учпедгиз, 1959.
51. Серпинский В. О решении уравнений в целых
числах. Перевод с польского. М., Гос. изд-во физ.-мат. литературы,
1961.
52. Серпинский В. Сто простых, но одновременно и
трудных вопросов арифметики. Перевод с польского. Учпедгиз,
1961.
53. Серпинский В. Что мы знаем и чего мы не знаем о
простых числах. Перевод с польского. М. — Л., Гос. изд-во физ.-
мат., литературы, 1963.
54. X и н ч и н А. Я. Три жемчужины теории чисел.
Гостехиздат, 1947.
55. X и н ч и н А. Я. Великая теорема Ферма, изд. 2. ГТТИ,
1932.
56. Шнирельман Л. Г. Простые числа. Гостехиздат,
1940.
57. Дэвенпорт Г. Высшая арифметика, введение в
теорию чисел. Перевод с английского. М., изд-во «Наука», 1965.