/
Author: Ершов Ю.Л.
Tags: алгебра математика математическая логика естественные науки абелевы группы точные науки
Year: 1980
Text
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1980
ПРОБЛЕМЫ
РАЗРЕШИМОСТИ
И КОНСТРУКТИВНЫЕ
МОДЕЛИ
Ю. Л. ЕРШОВ
москва «наука»
главная редакция
физико-математической литературы
1980
22.13
Е 80
УДК 512.8
& Издательство «Наука».
олопя 080 Главная редакция
Е -1/Х.» пл БЗ-14-33—80 1702020000 физико-математической
0оЗ@2)-80 литературы, 1980
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1
Элементы теории алгебраических систем
§ 1. Алгебраические системы и модели 13
§ 2. Конструкции 18
§ 3. Элементарная эквивалентность 25
§ 4. Полные теории 31
§ 5. Однородные и насыщенные модели 36
Глава 2
Дистрибутивные решетки с относительными дополнениями
§ 1. Решетки, дистрибутивные решетки 45
§ 2. Дистрибутивные решетки с относительными
дополнениями. Категория S>o 54
§ 3. Линейный базис. Суператомные решетки 66
§ 4. Элементарная классификация решеток из S>o . . . . 85
Глава 3
Абелевы группы
§ 1. Абелевы группы 105
§.2. Функторы П„ и П 118
§ 3. Алгебраически компактные группы 13)
§ 4. #„-группы 145
§ 5. Элементарная классификация абелевых групп . . . .161
§ 6. Линейно упорядоченные абелевы группы 167
Глава 4
Нормированные поля
§ 1. Поля 175
§ 2. Кольца нормирования 177
§ 3. Расширения Галуа и кольца нормирования .... 185
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4, Гензелевы кольца нормирования, Гензелизация . . .193
§ 5. Нормирования 199
§ 6. Непосредственные расширения 210
§ 7. Расширения поля вычетов и группы нормирования . . 220
§ 8. Элементарная эквивалентность гензелевых полей . . . 236
§ 9. Разложение нормирований и элементарная теория
поля р-адических чисел 252
Г л а в а 5
Разрешимые и неразрешимые теории
§ 1. Методы доказательства разрешимости и
неразрешимости теорий 265
§ 2. Одноместные предикаты 275
§ 3. Дистрибутивные решетки 279
§ 4. Группы 283
§ 5. Поля . 286
Глава 6
Конструктивные модели
§ 1. Начала теории (основные проблемы) 293
§ 2. Некоторые необходимые (достаточные) условия
существования конструктивных моделей 309
§ 3. Теорема о ядре и ее следствия 325
§ 4, Скулемовские функции и теории с конечными
препятствиями 344
§ 5. Сильно конструктивизируемые модели 365
§ 6. Конструктивные булевы алгебры 391
Литература 397
Указатель обозначений 410
Предметный указатель 412
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современное развитие математики и
электронно-вычислительной техники приводит к тому, что понятие
алгоритма становится одним из важнейших понятий
современной математики. Теория алгоритмов, наряду со
своим внешним успехом и яркими внутренними
достижениями, оказывает плодотворное влияние и на
смежные разделы математики. Так, например, в алгебре и
теории чисел кроме традиционных появились и новые
естественно поставленные алгоритмические проблемы,
связанные с успешным использованием в этих теориях
языка логики первого порядка. Настоящая книга имеет
целью ознакомить читателей с важнейшими из таких
проблем (указанными в названии книги).
Эта новая проблематика — выявление
алгоритмической природы элементарных теорий и их моделей —
возникла на стыке теории моделей и теории алгоритмов.
Основоположники теории моделей — выдающийся
советский математик академик А. И. Мальцев и известный
американский специалист по математической логике
профессор А. Тарский — внесли весомый вклад и в
разработку алгоритмических проблем теории моделей. Так,
А. Тарскому принадлежит постановка проблем об
алгоритмической разрешимости элементарных теорий и ряд
фундаментальных результатов по их решению.
Становление теории конструктивных моделей как интересного
самостоятельного направления современной
математической логики обязано появлению статьи А. И. Мальцева
«Конструктивные алгебры». А. И. Мальцеву
принадлежит и ряд важнейших результатов как по разрешимости
элементарных теорий, так и по конструктивным моделям.
Считая главной своей задачей систематическое
изложение математического материала, автор решил не
8 ПРЕДИСЛОВИЕ
отвлекать читателей обсуждением проблем (не всегда
очевидных) авторства приводимых в книге понятий,
результатов и доказательств, оставляя эти, безусловно
интересные вопросы специалистам по истории
математики. Использованные автором источники приведены в
библиографии.
Предложения и замечания С. С. Гончарова,
С. Г. Дворникова и Н. С. Романовского способствовали
улучшению и упрощению ряда мест книги; многое для
улучшения изложения сделал редактор книги В. А.
Горбунов, за что автор искренне им признателен.
Ю. Л. Ершов
Новосибирск, Академгородок
2 июня 1979 года
ВВЕДЕНИЕ
Развитие математической логики, в частности
создание богатых формальных языков и разработка
точного понятия алгоритма, привело к постановке ряда
новых интересных задач даже для таких классических
разделов алгебры, как теория групп и решеток. К
различным классификационным проблемам добавилась
естественная проблема элементарной классификации —
классификации алгебраических объектов по их
элементарным свойствам — свойствам, которые могут быть
записаны на языке исчисления предикатов. А традицией*
ные алгоритмические проблемы (такие, как проблема
равенства слов для конечно определенных объектов)
пополнились проблемами об алгоритмической
разрешимости или неразрешимости элементарных теорий
различных классов алгебраических систем.
Проблема эта для класса К алгебраических систем
состоит в следующем: существует ли алгоритм, кото-
.рый по любому предложению языка исчисления
предикатов соответствующей сигнатуры давал бы ответ,
является ли это предложение истинным на всех системах
из класса К, т. е. является ли это (формализованное)
утверждение теоремой о классе К?
Проблема элементарной классификации и проблема
разрешимости являются тесно связанными. А именно,
когда проблема элементарной классификации для
некоторого класса решена достаточно эффективно,
разрешимость элементарной теории этого класса, как правило,
получается уже в виде простого следствия.
В настоящей книге будут приведены с подробными
доказательствами результаты об элементарной
классификации для следующих классов алгебраических
объектов: 1) дистрибутивных решеток с относительными
дополнениями; 2) абелевых групп; 3) гензелевых
нормированных полей с полем вычетов характеристики 0.
10 ВВЕДЕНИЕ
Для получения такой классификации требуется
привлечение нетривиального алгебраического материала,
поэтому в книге много места уделено получению
необходимых теорем из теории решеток, групп и
полей.
Указанные выше результаты являются наиболее
известными примерами (к сожалению,
немногочисленными), когда элементарная классификация может быть
проведена явно и эффективно.
Наиболее свежей проблематикой обладает теория
конструктивных моделей — теория, которая возникла на
стыке теории моделей и теории нумераций. Проблема
нахождения для модели (алгебры) «хорошей»
нумерации— конструктивизации — имеет аналогию в
топологической алгебре (проблема существования на алгебре
«хорошей» топологии). Проблемы существования
конструктивных моделей и конструктивизации тесно
связаны с проблемой разрешимости элементарных теорий.
Наиболее тесной является эта связь с так называемыми
сильными конструктивизациями.
Основную задачу настоящей книги автор видит в
том, чтобы на богатом фактическом материале
ознакомить читателей с методами проведения элементарной
классификации, методами доказательства
разрешимости и неразрешимости элементарных теорий и, наконец,
с проблематикой и методами теории конструктивных
моделей.
Книга не претендует на полноту в изложении всех
результатов, относящихся к указанным выше
проблемам. Составить, например, полный обзор литературы
даже по проблемам разрешимости и неразрешимости
элементарных теорий представляется весьма
трудоемкой задачей, которую автор перед собой и не ставил.
Наиболее полно представлена библиография по теории
конструктивных моделей, так как это наиболее новый и
бурно развивающийся раздел математической логики,
не освещенный до настоящего времени ни в обзорах,
ни в монографиях (за исключением ротапринтной
книги автора «Теория нумераций 3». — Изд. НГУ, 1974,
изданной малым тиражом).
Приведем теперь краткий обзор содержания книги
по главам.
ВВЕДЕНИЕ П
Глава 1 носит вспомогательный характер.
Обращаться к ней нужно по мере надобности. Она содержит
напоминания ряда понятий и теорем из теории
алгебраических систем и моделей. Существование хороших книг
на русском языке, в первую очередь книги:
Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970,
ссылки на которую будут даваться так: АС ...,
позволяет приводить много материала без доказательства.
Глава 2 содержит начала теории дистрибутивных
решеток с относительными дополнениями. Новым
является изложение теории расширений для таких
решеток. Приводится элементарная классификация в этом
классе решеток.
Глава 3 содержит материал из теории абелевых
групп, необходимый для элементарной классификации,
в частности теорию алгебраически компактных
абелевых групп. Далее устанавливается эта классификация.
Глава 4 посвящена изучению гензелевых
нормированных полей и содержит довольно много
подготовительного алгебраического материала, доступного
изложения которого на русском языке нет. Далее
устанавливается основной результат о том, что проблема
элементарной классификации гензелева нормированного
поля с полем вычетов характеристики 0 редуцируется к
проблемам элементарной классификации поля вычетов
и группы нормирования. В последнем параграфе этой
главы приводится система аксиом для элементарной
теории поля р-адических чисел.
В главе 5 указаны общие методы доказательства
разрешимости и неразрешимости элементарных теорий
и приводится доказательство (с использованием
результатов глав 2—4) разрешимости теорий булевых
алгебр, абелевых групп, теории поля р-адических чисел.
Здесь же приведен и ряд отрицательных результатов:
неразрешимость теорий групп, решеток, конечных групп,
свободных дистрибутивных решеток и др.
Глава 6 содержит изложение проблематики и
методов теории конструктивных моделей, приводятся
разнообразные примеры, иллюстрирующие положение дел.
Следует указать, что в упомянутой выше книге «Теория
нумераций 3» имеется интересный материал, который не
вошел в настоящую главу из-за недостатка места.
Г Л ABA I
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
На протяжении всей книги будут использоваться
стандартные теоретико-множественные обозначения;
множество всех подмножеств множества М будет
обозначаться Р(М); тождественное отображение
множества М на себя будет обозначаться Ым. Множество всех
натуральных.чисел {0,1..-} обозначается а. Если f —
(частичное) отображение, то р/ (б/) обозначает область
значений (область определения) функции /. Знаки
(метаязыка) =Ф и <=>-.используются как сокращения
выражений «если..., то...» и «тогда и только тогда...»
соответственно. Знак =^ используется для введения
обозначения, стоящего слева от этого знака, для выражения,
стоящего справа; знак ? ставится для указания на
конец доказательства (или его отсутствие). Для
пояснения терминов из теории категорий, которые лишь
эпизодически употребляются в книге, можно использовать
любую книгу по теории категорий (или § 4 введения
в книге [4]).
§ 1. Алгебраические системы и модели
Цель настоящего параграфа — условиться
относительно некоторых обозначений, связанных с языком
узкого исчисления предикатов (УИП) данной
сигнатуры а.
Сигнатурой а языка УИП будем называть пару,
состоящую из трех непересекающихся множеств ор, aF, cc
и отображения ц: ар U aF->а+ =?= {1,2,...}. Если Реор
и jj,(P) = n, то Р называется п-местным предикатным
символом; если f^aF и n(f)=m, то f называется
гп-местным функциональным символом; элементы из ас
называются константными символами. Отображение ц
при задании сигнатуры часто не указываем, а
используем, например, запись вида a = (/J'1'1, .... Pnkk; /J, ...
S 1] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ 13
..., /™я; си ..., с<), где верхние индексы яэляются
значениями отображения ц на соответствующих
символах. Запись (не очень точная) Р^о (f^a или с^о)
будет обозначать, что Р (f или с) является предикатным
(функциональным или константным) символом
сигнатуры а.
Точное определение формулы языка УИП
сигнатуры а, понятия свободных и связанных вхождений
переменных в формулу можно найти во многих книгах
(см. [6], [9], [12], [15], [18]) и поэтому не будет
приводиться здесь в полных деталях. Множество всех
формул языка УИП сигнатуры а будем обозначать La.
Запись Ф (х\,..., хп) будет означать, что все свободные
переменные формулы Ф принадлежат {хи. ..,хп}.
Алгебраической системой (или просто системой) 91
сигнатуры а называется пара, состоящая из непустого
множества |St|, называемого основным множеством
системы 91, и набора предикатов Р% S|2tfl(p) {p^ap),
функций fn: | 21 f* (" -> | 2t \ (f e </), выделенных элементов
са е | 211 (се ас), называемых соответственно
основными предикатами, операциями и константами.
Для любой формулы Ф (х\, ¦ • ¦, хп) сигнатуры а
и для любой системы 91 сигнатуры а определено понятие
истинности формулы Ф на 91 при подстановке xt -> at e
<=|9l|, i=l, ..., п; запись 91|= Ф(аи..., ап) будет
обозначать, что Ф истинна на 91 на элементах а\, ..., а„.
Если Т — система предложений (т. е. формул, не
содержащих свободных переменных), то запись ЩЦ= Т будет
обозначать, что 91 \= Ф для всех Фе7.
Совокупность Т предложений сигнатуры а
называется теорией, если Т замкнута относительно
следствий, т. е. если для любого предложения Ф
сигнатуры а и для любой системы 91 сигнатуры а из 91И Т =^
=Ф91 \= Ф следует Фе7 Используя понятие
выводимости 1- в УИП (см [6]), определение теории можно
сформулировать так' Т'-Ф^ФеГ. Ясно, что для
любого класса К алгебраических систем сигнатуры а
совокупность Th(/C) всех предложений Ф таких, что
91е/(=г91Ь=Ф, будет теорией (Th(/C) называется
элементарной теорией класса К). Подмножество А теории Т
называется системой аксиом для Т (символически:
14 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Т= [А]), если для любой системы Я из SI j= А следует
Ш. \= Т или, что то же, Т = {Ф | Ф — предложение
сигнатуры а, А \- Ф}.
Теория Т называется непротиворечивой, если она
отлична от множества всех предложений. Теория Т
называется полной, если Т непротиворечива и для любого
предложения ф либо ФеГ, либо ~1Фе Т.
Если непустое подмножество Bs|9t| алгебраической
системы Щ сигнатуры а замкнуто относительно основных
операций и констант, т. е. f?l (oi,...,dm)e8 для любых
аи ..., ame|B|, /™eof и с*<е В для любого с^ас,
то на В естественным образом можно задать структуру
алгебраической системы сигнатуры о, которую будем
обозначать %\В. Если 9t0 и Щ—две системы
сигнатуры a, |9to|s|Sli| и % = %il\%o\, т0 яо называется
подсистемой %и обозначать это будем так: 9to^^i.
Если % <: % и для любой формулы Ф(хи...,хп)
сигнатуры а и любых а.\ аяе|91о|
ЯоНФ(а1 а„)^ЗГ,|=Ф(а1) .... ап),
то Яо называется элементарной подсистемой 9li;
обозначать элементарные подсистемы будем так: Sto^Sli-
Имеется ряд теорем (теоремы типа Лёвенгейма —
Скулема), которые показывают, что во всякой
достаточно «мощной» системе % есть элементарная
подсистема ограниченной мощности. Например, если
сигнатура а не более чем счетна, то для любой бесконечной
системы % сигнатуры а существует счетная система 5Г
такая, что %' <J 5t.
Если Щ6> |eS, — множество алгебраических систем
сигнатуры а такое, что для любых 1, |'eS либо
Щ^Щ либо 2t?'^;2t?> то на множестве U | %i |
можно единственным образом задать структуру
алгебраической системы так, что все 9t6 будут ее
подсистемами /'эту систему обозначим U 31A.
Теорема Воота — Тарского. Если Щ<Щ-
или Щ' < 9lt для любых |, 1' eS, то Щ < U Щ' для
6'еЕ
любого I e S.
АС, теорема 7, с. 248. D
§ 1] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ- 15
Если а и $9 — системы сигнатуры ои<р: |Я|-»|8| —
отображение, то назовем q> гомоморфизмом из 91 в $Э
(<р: Я-*§Э), если выполнены условия:
1) для любого предикатного символа Р"ео и
любых аи .... а„е|Я|
(а,, ..., а„> s Р*=> <<ра,, .... фа„> s Ps;
2) для любого функционального символа fm ее а и
любых аь ..., ат|Я|
1, .... q>am);
3) для любого константного символа с е= а
ф(си) = Л
Отношение эквивалентности ti на основном
множестве \Щ системы Я сигнатуры а называется отношением
конгруэнтности на Я, если выполнено следующее
условие:
для любого функционального символа /™sa и
любых <ai,&i>, .... (am,bmy^r[
(Г(аи .... aj, /«F„ .... U)sri.
Отношение конгруэнтности ^ на Я назовем сильным,
если для любого предикатного символа Рп е о, любых
<ai, &i>, .... <ап>6п>ет1 имеет место эквивалентность
(аи .... ап)е=Ржо(Ьи .... 6„>е/.
Если ti — отношение конгруэнтности на 91, то на
множестве Л*^Н91|/п можно задать структуру
алгебраической системы 9Г сигнатуры а так:
а) если Рп(=о, то РИ*=?Ч(МП [а„]„> |
существуют 6;е[а;]п> /=1, ..., «, такие, что (Ь{ 6„)Рй}
б) если Ген и [а,]ч, .... [offi]nE? то
/**(Mn. .... [«m]n)-[/"(«!. .... am)]4;
в) если с — константный символ из а, то
(здесь [а]п обозначает множество всех элементов, tj-эк-
вивалентных элементу а).
Алгебраическую систему Я* обозначим Я/ту,
отображение ai—»[a]n> ae|St|, является гомоморфизмом.
16 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ . 1ГЛ. 1
Если ф: Я-»S3 — гомоморфизм алгебраических систем,
то г)р =?= «a, by\a, b e|Sl|, фа = фб}—отношение
конгруэнтности на St.
Если ф: $-»¦?)— гомоморфизм такой, что ф
одно-однозначно отображает |Sl| на |ЗЭ| и обратное
отображение ф-1 является гомоморфизмом из §3 в % то ф
называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм
ф: Sl-»-§3, то системы % и §3 называются изоморфными;
обозначать это будем так: % =* §3. Если SI ^ So, SI ^ Si
и ф: So—>Si—такой изоморфизм, что ф \ | 91 | = idnn,
то ф называется %-изоморфизмом.
Если а и а' — две сигнатуры, то включение а^а'
будет обозначать, что любой функциональный
(предикатный, константный) символ из а является таковым
и в а' и имеет ту же местность.
Если о^о' и SP — алгебраическая система
сигнатуры (/, то из нее можно каноническим образом
получить алгебраическую систему сигнатуры а, «забывая»
о значениях символов из а' \ а. Эту систему
обозначим Я'Г сг и назовем а-обеднением системы SI', a %.'
назовем а'-обогащением системы Щ? \ а. Пусть о^о', % —
алгебраическая система сигнатуры a, SC —
алгебраическая система сигнатуры сг'; если Ш. ^ Ш.' f а, то будем
это просто обозначать 9f <; Я'.
Пусть Ш. — алгебраическая система сигнатуры а.
Расширим сигнатуру а, добавив к а новое множество
константных символов <ca|ae|Sl|>; пусть о*=^аи<са|ае
e|Sl|>. Система Я имеет естественно определенное
о*-обогащение W (полагаем cf =^= а). Диаграммой ?>($)
системы % назовем множество всех предложений
сигнатуры а*, являющихся элементарными формулами
или отрицаниями элементарных формул и истинных
в Я*.
Полной диаграммой FD{%) назовем множество всех
предложений сигнатуры а*, истинных в 9f*.
Справедливо следующее
Предложение. Пусть I а У — алгебраические
системы сигнатуры а, а* =^ о U (ca\a e|Sl|>.
а) Система %' имеет о*-обогащение 91 такое, что
Й|=?B1), тогда и только тогда, когда %' имеет
подсистему W, изоморфную 91.
§ I) АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ И МОДЕЛИ 17
б) Система 91' имеет а"-обогащение 91. такое, что
11= FD (§1), тогда и только тогда, когда ST имеет
элементарную подсистему 91", изоморфную 21. ?
Заметим, что если 91^91', то 91 есть
элементарная подсистема 91' тогда и только тогда, когда
Универсальные замыкания атомарных формул
называются тождествами. Класс алгебраических систем,
определяемый некоторым множеством тождеств,
называется многообразием.
Справедлива следующая характеризация
многообразий:
Теорема. Непустой класс алгебраических систем К
(некоторой фиксированной сигнатуры) является
многообразием тогда и только тогда, когда выполнены
следующие условия:
а) прямое произведение произвольного семейства
систем из К принадлежит К (определение прямого
произведения см. в § 2);
б) любая подсистема произвольной системы из К
принадлежит К;
в) любой гомоморфный образ системы из К
лежит в К-
АС, § 13, теорема 1. ?
Необходимость условия б) связана со следующим
общим свойством:
Любое универсальное предложение сохраняет свою
истинность при переходе к подсистемам. П
Необходимость условия в) также вытекает из более
общего свойства:
Любое положительное предложение сохраняет свою
истинность при переходе к гомоморфным образам. ?
Во всяком многообразии К существуют свободные
(точнее, /С-свободные) алгебраические системы:
алгебраическая система §1 из К называется К-свободной с
базисом Xs|9t|, если для любой системы Ъ из К и
любого отображения f: X->-|58| существует, и притом
единственный, гомоморфизм ф: §1->9Э такой, что q>[X = f.
Для любого непустого множества X в многообразии К
существует алгебраическая система §1, которая является
^-свободной с базисом X.
18 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ . [ГЛ. I
Для многообразия К имеет смысл говорить об
алгебраической системе, заданной порождающими и
определяющими соотношениями в многообразии К (см. АС,
§ П.2).
§ 2. Конструкции
В этом параграфе укажем ряд известных
конструкций над алгебраическими системами произвольной
(фиксированной) сигнатуры а.
1. Прямые (декартовы) произведения.
Пусть Я,-, ie/, — семейство алгебраических систем
сигнатуры а, Ц | 91, | — декартово произведение мно-
жеств | %i |, ie/, т. е. множество всех функций
f: I -»¦ U | 91,-1 таких, что f(i)^|&/| для любого /е/.
Прямым {декартовым) произведением систем Я<, /е/,
называется система 91, основное множество которой есть
JI191, |, а предикаты, операции и константы опреде-
лены так:
если Рп s ар, то Ря ^ {(f, fn> | </,(/) /„ (/)> s
е Рл< для всех / е /};
если fm^aF, U, .... fm€= П |Я,|, то
/"(fi fm){i)^f4U(i) НО), iel;
если с е ас, то с"(t) =^= ca«, is/.
Прямое произведение систем 91,-, i e /, будем
обозначать Ц 91/. Если 91/ = 91 для всех ie/, то П
будем называть прямой степенью системы 91 и
обозначать 9I7.
Для любого is/ отображение яг: Ц 191у|-»-19t{|
такое, что nt(f)=^f(O, f s Ц |9L|, является гомомор-
физмом (яг называется проектированием на 91,).
Система Ц 91г и семейство проектирований я;, t e /,
обладает следующим очевидным свойством
универсальности;
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 19
Предложение 1. Пусть S3 — алгебраическая
система и щ: §3->Я;, /е/, — семейство гомоморфизмов;
тогда существует единственный гомоморфизм if>: 33->
~* ТТ ^j такой, что ф,- = n.ib для все* [б/. ?
is/
Для любого непустого множества / е / отображение
я, е= (= Я/, у): П I Я» I -> П I Я/1 такое, что Uj (f)^f \ J,
is/ /е/
f i= П|21Д также является гомоморфизмом. Справе-
дливо следующее свойство этих гомоморфизмов: если
0 ?=K^J^I, TO Я/, к = Я/, *Л/,/.
Будем говорить, что алгебраическая система §1
является подпрямым произведением систем Я,, i e /, если
21 изоморфна такой подсистеме S3 прямого произведения
П %i> что я,-(|8|) = |И,-| для любого i'e/.
Is/
2. Обратные пределы.
Пусть на непустом множестве / задан предпорядок
^, т. е. рефлексивное и транзитивное бинарное
отношение; предположим, что </, ^> является
направленным, т. е. таким, что для любых /, /е/ существует
fee/ такой, что i ^ k и j ^ k. Обратным спектром Я
алгебраических систем над </, <:> назовем семейство
алгебраических систем &,-, ie/, и семейство
гомоморфизмов (f/r. Я/ ->¦ §1;. г, / с? /, i ^ /, такие, что <р,-г = id| й(|
•и фй; = ф//ф*/ для всех i ^ / ^ Л; обозначать это будем
так: Я =?= {SI,, ф*/ | /, /, * е /, / < k).
Если обратный спектр Я таков, что множество
Ф/,(/(/))-/@ для /</}
не пусто, то можно построить алгебраическую систему Я
следующим образом: 91 ^= Ц 21, \ Ая- Нетрудно прове-
рить, что это определение корректно (т. е. что
множество Ая содержит значения всех констант и
замкнуто относительно сигнатурных операций прямого
произведения Ц 21Л ; 21^ IJ 51,, т. е. Я — подсистема
( S- / / iSl
прямого произведения семейства Я,-, i e /; ограничение
гомоморфизма nt: Ц ^/-уЭД^ на |§1| обозначим X/ и бу-
20 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. !
дем называть проекцией. Алгебраическую систему 21
назовем обратным пределом спектра Я и будем
обозначать ее (не очень точно) Iitn9l,. Справедливо
следующее свойство универсальности для прямого предела:
Предложение 2. Пусть Я = {%и ф*/ | /, /, k ge /,
/ ^= k} — обратный спектр, §3— алгебраическая система
и г|з,-: S3—*%i, ie/, — такая система гомоморфизмов, что
i|>i = Ф»1|3у для всех i <; /. Тогда Ая Ф 0 и существует
единственный гомоморфизм i|>: %-*-\im%{ такой, что
яр, = /\A|) для всех i'e/. ?
Если /0S / — конфиналыюе подмножество </, ^)
(т. е. такое, что для любого i е= / существует i0 ge /о
с с < /о), то Яо =^= {%, ф*/11, j, k е Уо, / ^ k) также
является обратным спектром, Ля Ф 0 **=>- Ая, Ф 0,н если
Ая ф 0, то обратные пределы 91=^ lim 91г и 91°^ litn 91,
изоморфны. Действительно, для любого i e /
существует /е/0 такое, что i'.^. /; полагаем if,-: St°—»Я/
равным композиции отображений 91° —> 91/ —>¦ 91г; здгсь
К] — проекции обратного предела St°. Нетрудно
проверить, что г|>; не зависит от выбора /.
Предложение 2 показывает, что существует (и притом
единственный) гомоморфизм ф: 91и-»91 такой, что г|>,= Л,г|> для
всех is/. Для /е=/э пусть ф/^Л/: 91-»-91/; тогда, опять
по предложению 2, существует единственный
гомоморфизм ф': %-*-%° такой, что i|>/ = A/i|/ для всех /е=/0.
Оставляем читателю проверку того, что яр и г|/—вза*
имно обратные изоморфизмы.
Отметим, что Ая не всегда отлично от пустого
множества. Пусть а = </">; </, *О ч*= <и, ^>; $1п^:<{я,
я+ 1,...}, РПп), Ря"чг= 0, яеЕ и; для n^k ф*„: 9tft—»•
->-а„ — естественное вложение; тогда для обратного
спектра Я =?= {Я*,фПт|^, т, пеЕ и, т ^ я}, как легко
видеть, Ая = 0.
Укажем два достаточных условия непустоты Ая-
Предложение 3. Для обратного спектра Я множество
не пусто, если выполнено хотя бы одно из двух условий:
а) сигнатура а содержит хотя бы одну константу;
б) все множества |Я;| конечны, ie/,
§ 2] КОНСТРУКЦИИ 21
Справедливость предложения при выполнении условия а) оче- ¦
видна. Докажем справедливость заключения предложения при
выполнении условия б). Пусть / = / и ф — отображение из / в
U I Я^ |; назовем ф допустимым, если ф(у') е |Я/|, фу;ф (у) = ф (<)
для любых t, ;' е /, i' ^ у". Допустимое отображение ф (с областью
определения бф) назовем хорошим, если для любого конечного
подмножества F = / можно расширить ф до некоторого допустимого
отображения ф с областью определения бф = бф U F.
а) Пустое отображение фо (бфо = 0) явпяется хорошим.
Пусть F = {/'о. • ¦ •, in] S /; так как (/, ^j) направленное, то
существует /е/ такой, что im ^ / для m ^ п. Пусть а —
произвольный элемент из |И/|; тогда полагаем ф (/'т) ^ь фуг (a), m < п;
легко проверить, что ф: F -> U | Я,-1 —допустимое отображение.
б) Семейство L всех хороших отображений с отношением s
является индуктивным.
Пусть фя,, АеЛ, — линейно упорядоченное семейство хороших
отображений. На Л задаем линейный порядок sg так: X ^ X' ^ ф^ S
s (fy. Пусть ф ^ь U Фя,1 легко проверить, что ф — допустимое
1еЛ
1
отображение. Проверим, что ф хорошее. Пусть F ={/'о, ..., in)^I;
F* 1=ь ТТ I Ш, \, F* — конечное множество. Для любого АеЛ
выберем допустимое расширение Ф^ отображения фд, с областью
определения бф^ = бф^ (J F. Для а = (ао, .. ¦, ап) е F* полагаем
Ла ^ {А | ф( (<т) = ат, пг < п} . Тогда Л = L)Aa; так как
F'конечно, то для некоторого а0 еРЛ0 — конфинальиое подмножество Л.
Для X sg X' е Affo ф^ s ф^; полагаем ф ^ U Фя,. тогда ф, как
ЛеЛ-о„
объединение допустимых отображений, допустимо; ф = ф, так как
Лао конфинально Л, и бгр = бф (J F, т. е. ф хорошее.
По лемме Цорна существует некоторое хорошее отображение
Фо, которое не имеет собственных хороших расширений. Покажем,
что бфо = /. Предположим противное, пусть i'o е / \ бфо и( Ш.1а | =
= {аь ..., ап). Обозначим через ф*, 1 < k < n, отображение
Фо U { («о, ak)}. Так как ф*, 1 < k < п, собственно расширяют фо,
то они не являются хорошими. Следовательно, для каждого k,
1 ^ k =^ п, существует такое конечное множество Ft = /, что не
существует допустимого отображения ф такого, что бф э Fk и
п
ф = ф*. Пусть Fo ^ {(о) U U Р& так как ф — хорошее
отображение, то существует допустимое отображение ф =! ф такое, что
FoS6t; тогда для некоторого kQ, 1 < Ло< п, ф(/0) = h,
следовательно, ф ^ фйо и /rfeo s Fo г бф, что невозможно по выбору Fk
Полученное противоречие и показывает, что 6<р0 = /; тогда ф0 е Ац
и Ая ф, 0. Q
22 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИ)? СИСТЕМ [ГЛ. 1
3. Прямые пределы.
Пусть </, ^> — направленный предпорядок. Прямым
спектром R алгебраических систем над </, ^> назовем
семейство алгебраических систем Я,-, ie/, и семейство
гомоморфизмов (ft/: 91/->9I/, i, /e/, i ^/, такие, что
<fu = idi я | Ифш = Ф«ф</ для всех i ^ / ^ k; обозначать
это будем так: R = {9t,, <fik \ i, /, fte/,|<ft}.
По всякому прямому спектру R можно каноническим
образом построить некоторую алгебраическую систему
2t и систему гомоморфизмов ц,-: 91, —* 91 такую, что ц,- =
= ц/ф// для любых t ^ /.
Пусть А* Ф «a, i)|<€ /, а е|$(,-|}; зададим на Л*
отношение эквивалентности tj ^ {<<a, t>, <6, />> |
существует k^l такое, что i ^ k, / ^ k и фг*(а)= ф/*F)}.
Легкую проверку того, что г\ — отношение
эквивалентности на А*, оставляем читателю. Полагаем А Ф Л*/л;
элемент [<а, />] „ ^ «6, /> | «а, />, <6, /» е л} будем
обозначать [а,/]. Заметим, что если г"^/, то [a,i] =
= [ф,/(а),/]; поэтому из направленности </, ^>
следует, что для любого конечного множества элементов
[а0, /о], • ••, [an,in] из Л можно, не уменьшая
общности, считать, что /0 = • • • = in. Зададим на А структуру
алгебраической системы сигнатуры а так:
если Р" еа.то
,,i] [а„, Л>|[а„ /], ..., [а„, Л s Л,
существует / ^ t такое, что <ф/; (ai) сри (а„)) е Р
если /т<=а; [ai.tj, ..., [ат,г]еЛ, то
Г([аь /], ..., [ат, /])=*= [f"'(ai. .... ат), i];
если с^о — константа и /е/, то
Нетрудно проверить корректность определения.
Гомоморфизмы ц,: 9(;->21 определяются так: ц/(а)^=
^[a.t], ае|Я,-|. Алгебраическую систему 91 (вместе
с системой гомоморфизмов ц,: 91; -*¦ 91) назовем прямым
пределом спектра R и будем обозначать (не очень
точно) lim 31г. Прямой предел обладает следующим
свойством универсальности:
$ 2] КОНСТРУКЦИИ 23
Предложение 4. Пусть © — алгебраическая
система и К-,: 9Ь-»-$Э, /е/, — такая
система'гомоморфизмов, что %i = К/ер,./ для i < у, тогда существует
единственный гомоморфизм Я: lim 9l; -*¦ 33 такой, что %i =
=r %\ii для всех i e /.
Доказательство оставляем читателю. ?
4. Приведенные (фильтрованные) произведения.
Пусть / — непустое множество, F—фильтр над /,
т. е. семейство подмножеств / такое, что выполнены
следующие условия:
1) /<=F, 0&F;
2) /, Ke=F^J[)KesF;
3) /<=/(<=/, /ef^^ef.
Пусть %i, is/, — семейство алгебраических систем;
для /ef пусть 4\j^ П®Г, Для / = К = /, /ef
пусть яц, г. ^l^c-¦^l^ — гомоморфизм, определенный в
разделе 1. Если на F задать (направленный ввиду
раздела 2) порядок <, противоположный отношению
включения (т. е./</С=^/Се/), то #=^ {Я/.лк, t|/, К, Z-e
е F, /C< L} является, как легко видеть, прямым
спектром над <F, ^>. Прямой предел этого спектра
обозначим Ц %JF и назовем приведенным {фильтрованным)
is 1
произведением семейства %и i е /, по фильтру F над 1.
Существует и другое определение этой операции.
Пусть А ^= Ц I Я( | — прямое произведение основных
is/ -^
множеств алгебраических систем семейства 91;, /е/.
Зададим на А структуру алгебраической системы 91
сигнатуры о, полагая для Р"еа
О Us/, <Ы0 /»@)ePa'}ef},
а значения функциональных и константных символов
из о задавая, как в прямом произведении ГГ 91,.
Отметим, что тождественное отображение icU: A-+-A
является гомоморфизмом из ТТ 9L в 91, но не является,
вообще говоря, изоморфизмом этих алгебраических
систем.
24 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. |
Зададим на множестве Л^|91|= II|9U отноше-
t&i
ние эквивалентности r\F ^ {</, g>|/,ge Л, {i|/e/, f(i) =
()}F}
g()}}
Нетрудно проверить, что х\р является отношением
конгруэнтности на алгебраической системе Ш.
Оказывается, что фактор-система 9Cf ^ %lr\r изоморфна
Ц 21,/F. Зафиксируем некоторый элемент foe|9t|;
пусть /е^и отображение t|>}: |91,/|-»-Л определено
так: для ge|9l.,|= П I Я, |, Ш1
/г@, если is/;
... ,,л /г@, если
*'te)('Hfo(O. если
Пусть ¦ф/ — это композиция -ф} и проекции nF: Щ->
-¦ Я/ = Ш/tif; тогда легко проверяется, что -фу не
зависит от выбора fo и является гомоморфизмом из 9Ь в St/?.
Кроме того, легко проверяется, что система
гомоморфизмов i|>.r. ЗЬ -> S(f, / e F, удовлетворяет условиям
предложения 4; тогда существует гомоморфизм
¦ф: JliWJF-*¦*&[,, который и будет искомым изомор-
ie /
физмом.
Если %t = S3, i'e /, для некоторой фиксированной
алгебраической системы 9, то приведенное
произведение Ц VLi/F называется приведенной степенью®
по фильтру F и обозначается Ъ'/F.
Если F — ультрафильтр над /, т. е. фильтр над /
такой, что для любого ] <=1 либо /ef, либо /\/ef,
то приведенное произведение (приведенная степень)
называется ультрапроизведением {ультрастепенью).
Наиболее важным свойством ультрапроизведений
является следующая
Теорема Лося. Пусть 2lF— П W.JF—
ультрапроизведение семейства алгебраических систем %iy je/,
по ультрафильтру F над I, пусть Ф(х\,..., хп) —
формула сигнатуры a, fit ..., fn e Ц | %\; тогда
. Q
$ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 25
5. Прямые суммы.
Определение прямых сумм дается только для
случая, когда сигнатура а содержит в точности одну
константу, которую будем обозначать 0, и для
алгебраических систем Ш сигнатуры а, в которых одноэлементное
множество {О91} определяет подсистему сигнатуры а
(т. е. для любого функционального символа fm e a
НО, ..-, 0) = 0).
Пусть 91,-, i e /, — семейство таких алгебраических
систем; тогда прямой суммой этого семейства является
подсистема У. 31,- прямого произведения Ц 31; этих
сиге/ ie;
стем, определенная множеством |/|/е Ц |ЯД{1" |t e
I I el
•=/, f(i)?=0®l\ конечно}. Ясно, что прямая сумма
семейства 4Li, i e /, является подпрямым произведением
этого семейства. Если 91,- = S3, /е /, для некоторой
фиксированной алгебраической системы S3, то для
2 %t будем использовать обозначение 93(/>.
§ 3. Элементарная эквивалентность
Две алгебраические системы Щ и Щ сигнатуры а
называются элементарно эквивалентными, если
Th(«o)(^Th("{«o}))-Th(«,)(^Th({«,})), или,
другими словами, если Л0)=Ф <=3>]9ti \= ф для любого
предложения Ф сигнатуры а. Запись % == Щ будет
обозначать элементарную эквивалентность систем 9to и Яь
Заметим, что если a'sa и 9t0 эе 9([, то и 9t011 a' =
эв 9f I fa'. Так как каждая формула сигнатуры а
содержит только конечное число символов сигнатуры, то
справедливо следующее
Предложение 1. Алгебраические системы Щ
и Sti сигнатуры а элементарно эквивалентны тогда и
только тогда, когда для любой конечной сигнатуры
a's a
5tofa' = 2l,K. ?
Укажем теперь некоторый канонический способ,
позволяющий вместо алгебраических систем рассматривать
26 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
модели. Для каждого m-местного функционального
символа fea введем новый (т.+ 1)-местный
предикатный символ Pf. Пусть сигнатура о* получена из
сигнатуры а заменой всех функциональных символов f на
предикатные символы Pf (a*p =^= ap U {Pi \ f e af>, a*F^
ч* 0, a*c чь ac, ц* Г о" ^ ц Г а", ц*(Я/)^ ц(/)+ 1).
Каждую алгебраическую систему 91 сигнатуры о можно
«превратить» в модель Я* сигнатуры а*, положив для
, в», }
Совершенно очевидно, что Яо s= &i тогда и только
тогда, когда %> = Ч1].
Таким образом, полученные редукции показывают,
что для нахождения критерия элементарной
эквивалентности двух алгебраических систем достаточно найти
критерий элементарной эквивалентности моделей для
конечной сигнатуры.
Пусть a — конечная сигнатура, не содержащая
функциональных символов. Частичным изоморфизмом из
модели 9Яо сигнатуры а в модель Ш\ сигнатуры а назовем
всякое изоморфное отображение qp подмодели 9Л2 ^ ЗЯо
в 2Ri; если 9Яг — конечная модель, то qp назовем конечным
частичным изоморфизмом; через бср (область
определения ф) будем обозначать основное множество |9Я2|
модели 9Яг. а через pqp (область значения qp) — множество
(|ЗД
|ЗД
Предложение 2. Две модели 9Яо и 9Ri сигнатуры а
элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда
существует такая последовательность So3 5i2 ...
... Э Sn Э Sn+i э ... непустых множеств (конечных)
частичных изоморфизмов из 9Яо в Ш\, что для любого
/гею, любого qpeSn+i и любых ае|9Я0| и 6e|5Wi|
существуют г|H, % sSn такие, что фггро, % и не 6г|H,
Достаточность. Пусть последовательность S02
= Si = ... удовлетворяет условиям предложения.
Докажем, что для любой формулы Ф(*1, ..., Xk), имеющей
в предваренной нормальной форме п кванторов, для
любого частичного изоморфизма ф е Sn и любых аи ...
..., a* e 6ф имеет место эквивалентность
Ф («1 а
§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 27
Доказательство индукцией по п. Для п = О
формула Ф бескванторная; тогда (*) справедлива, так как
Ф является частичным изоморфизмом.
Пусть для пеш утверждение 'справедливо; пусть
Ф(хи ..., хк) = Зх0Ф'(х0, xi xk) и Ф' имеет п
кванторов; (peSrt+i, аи ¦¦•, а* е бф.
Если Шо ^=Ф(а\,..., пк), то для некоторого аое
е|ЗЛ0| имеем 9Л0 (=Ф'(ио>аи... , а*); но тогда по
условию в Sn существует -ф0 такой, что ф S г|)о и а0 е бгЬ<ь
по индукционному предположению тогда SJli f==
(= ФЧ'Фойо, *Mi,. • •, iM*); следовательно, SJli f=
Ь=ЗхоФ'(хо,$оа1 tyoak) и SWi t= Ф(фЛ1 )
так как г|)Оа< = Ф^г для /=1, ..., ft. Итак, й
|=яф(аь ..., ак)фШ\\=Ф(ч>аи ¦¦., ц>ак). Наоборот,
пусть 2Ui ИФ(фаь--• .фа*); тогда *!R\ f= ФF,фаь...
...,фа*) для некоторого 6e|SJli|. По условию
предложения существует i|)isSrt такой, что ф = ф] и feeptfi;
пусть аое|ЗЛо| таков, что а0 е бг|>1 и Ь = t|)ia0. По
индукционному предположению
9»,NФ'(tiflo, *ifli, • • •, *ifl*)^^оИФ'(во, аь . • ¦. a*);
следовательно, S№01= Заг0Ф'(jc0, ai, ..-, ak) и
эквивалентность (*) установлена.
Необходимость. Пусть 9Л0 и Ш\ элементарно
эквивалентны. Пусть So—множество всех конечных частич-
.ных изоморфизмов из % в ЗЛг, если Sn уже определено,
то Sn+i — это множество всех ф е Sn, для которых
выполнено условие: для любого ае|9Л0|, любого 6e|SJli|
существуют г|H, ifisSn такие, что ф s i|)o, $u a e бг|H,
Ь е pi|)i. Из определения видно, что достаточно
установить непустоту Sn. Для этого докажем лемму:
Лемма 1. Для любых k > 0, п е со существует
конечная последовательность формул Фо(хь ..., хн), ...
..., Ф/(хь-. -,Xk) такая, что для любых а\, ..., д^е
е|Ш?о| существует единственное i^t такое, что 9Л0 N
|=в Ф/(аь..., пн); это i таково, что для любых Ь\, ...
..., Ьк^\Ш\\ множество ф ^= {<а/,6,>|/= 1 k) \]щ,
где фо^{(сэд% с№) |с е ас), является частичным
изоморфизмом из ЗЛо в ЗЯ\ и принадлежит Sn тогда и
только тогда, когда 2Jli t= Ф« (bu ..., bk).
Пусть /г > 0 произвольно, и пусть ао(хи. ..,хн), ...
.... аЛ*ь.. .,Xk) — все атомарные формулы сигнатуры
28 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1ГЛ. 1
а, содержащие свободные переменные только среди
{x\,...,Xk}. Таких формул конечное число, так как
сигнатура а конечна. Для любого / ^ {0 s) положим
i хк)&( & na,(Jfi хк)
\
Семейство формул {Oi(xi Xk) |/s {0,..., s}} будет
искомым для п = 0 и данного к. Действительно, пусть
а\ ak<=\Wl0\ и Io^ {i\i^s,Wlo\=a.i(au...,ak)}\
тогда, очевидно, /0 — единственный индекс, для
которого ЗЯоНФ/„(а1 «*)• Так как Ф/Д*1 xk)
описывает диаграмму подмодели Ш^а{ ak) модели 2Я0.
порожденную множеством {а.\ ак}, то Для ^ь •••
...,Ьк^\Ш\\ условие Эй] )=¦• Ф/оFi bk) является
необходимым и достаточным для того, чтобы ф ^
^ «a/, 6i> | i = 1, • • •, k) U фо было отображением из
15№(ai ak)\ в \Ш\\ и частичным изоморфизмом из
2Чо в 2Й1.
Пусть для лев и любого k>0 лемма
справедлива; зафиксируем k\ пусть Фо{хй,хи...,хк), ...
..., Ф;(хо,х ,Xk) — это- нужная последовательность
формул для п и k-\-\. Для любого /={0;...,/}
полагаем
4i(xi xk)^ { &^ЭлгоФ,- (лг0, xi jrj)) &
&/& УхоПФ,(а:о, л:, хк)\.
Тогда {х?,{х\ A-ft)[/s{0 /}} будет искомой
системой для п -\- 1 и рассматриваемого k. Действительно,
пусть ах ак<=\Шэ\, /0^{/|*</, 9»0(=¦ Эдг0Ф< (х0,
а\ ак)}\ тогда ясно, что /оеР({0, ..., /})—тот
единственный индекс, для которого 2Л0 |==Ч;/. (ai a*).
Проверим остальное: пусть Ь\, ..., 6fte|2JJi|.
Предположим, что ф ^= {{щ, bi)\i = \,... ,k) ифо^5я+1; пусть
/е/0 и аое|2Яо| таково, что SK0 (== Ф«(ао, аь ..., аА);
следовательно, существует if>0 Эф, фо е 5„, такой, что
ао^б^о; можно считать, что 6i|3O = {ao. а\, ¦¦-, ак}[)
U {сЩ се(Гс}, но тогда должно быть Ш\ = Ф,(г|зоао, Ьи ..
§ 3] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ 29
...,bk); следовательно, 9Kif= & Эх0Ф,-(х0, Ьи ..., bk).
i el.
Пусть i^I0; предположим, что 3№i H= ЭхоФо (*о> Ьь ...
..., йА);тогда существует 6e|2Jli| такой, что Ш\ \=
\=Фо\Ь,Ь\,...,Ьк), и существует i^eS,, такой, что
qpSifii, йергр!. Получаем 2Я01== Ф/(ао, п\,..., аи), если
^i(flo)= b, и следовательно, ЭДоН Эх0Фг (х0, а,\ а*).
Приходим к противоречию. Итак, Т1\\=-? (Ьь .... bk)-
Наоборот, пусть Ьи ..., bk^\3Jli\ таковы, что
9Rif=4r/BF|, ..., bk). Должно существовать г^^ такое,
что ЗЯо (== Ф«(а1. fli> •••> a*)i так как 1'^^о, то
9Й] (= ЭхоФ,- (лг0, Ьх bk) и для некоторого 6e|2>li|
Wi\=Q>i{b,bi,...,bk). По условиям на
последовательность Фо, ..., Ф(, множество пар ф ^ {(аи й>, (аи Ь{),...
..., (пк, ЬкУ) U Фо является частичным отображением . (и
принадлежит Sn); в частности, должно быть b = b\.
Покажем, что ф е Sn+i, Пусть аое|2Яо|; тогда существует
ie/o такое, что ЗЯо И Ф<(ao, ai an); тогда
Ш\ |= ЭхоФ/(^о. Ь\, ..., bk) и для некоторого &0 ^ 12Д i J
SWi |= Ф<Fо, йь • • •»bk); тогда, по условиям на Фо Ф<,
¦фо=^ {<Яо. &о>, <ai,&i>, ...,<а*, й*г>} U фо является
частичным изоморфизмом и \|)oeSn; остается заметить, что
Ф S *фо и что по е бгро- Аналогично доказывается, что
для любого &e|2Jli| существует ifieSn такой," что
Ф = 1|I и b eptyi. D
Возвращаемся к доказательству предложения.
Покажем, что для любого n e со, любого J>0 и любых
аи ..., а*е|2Яо| существует фе5л такой, что {ct\,...
...,а*}=бф. Действительно, пусть Ф0(*ь. ..,**). •••
..., Ф((х1,... ,Xk)—последовательность формул,
существование которой (для наших п и k) утверждается
леммой. Пусть to ^ t таково, что 3Ro\=(bt0(ai, ...,ak)\
тогда ЗйоИЭлг! ... Зх*Ф<,(*| xk)\ так как ?0?i
элементарно эквивалентна 9ЙО. то 9№il=3jifi.. .ЗхкФ{,(хп • • •. xk).
Пусть Ьх, ..., bk е | 9Й, | таковы, что SD?i (= Ф/о (й,, ..., bk);
полагаем ф ^ {<а,-, й,->|г = 1, ..., к) 0 фо; тогда по
лемме ф е Sn и по построению (ai, ..., a*} <= бф. D
Замечание. Аналогично можно дать
необходимые и достаточные условия элементарности вложения
ЭДо^ЗЯг. а именно, от системы So = Si = ... частичных
изоморфизмов из 9Ло в 2Jli, удовлетворяющих условиям
предложения, нужно еще потребовать, чтобы для любых
30 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. I
аи ..., afte|2Jlo| и любого лею ф =^= {<аг, а*> ] i =
— 1, ..., к) U фОе Sn.
Важным следствием этого предложения является
такое свойство конструкций, указанных в § 2:
Следствие. Пусть Щ, ie/, и Эг, ie/, — тдкые
семейства алгебраических систем сигнатуры а, что
%i = Э, для всея i е /; тог^а
1) П «,-П»,;
(е/ /г/
2) если F — фильтр май /, то П Я,//7 = П 23,/F;
3) 2 51/ = 2 93/ (когда прямая сумма имеет смысл).
Установим, например, 3). Будем предполагать, что а
не содержит функциональных символов и содержит
единственный константный символ 0. Так как % = 8;,
то по предложению существует система SJ э Si э ...
непустых множеств частичных изоморфизмов из Я, в S3/
такая, что выполняются сформулированные в
предложении условия.
Полагаем 5„^={ф|ф — частичный изоморфизм из
У. % в X 35/ такой, что существуют ф' eS« такие,
<<=/ is/
что для любого f е бф и любого i е / (f(i), ((ff) (/)> s
е ф'}. .^Гегко проверяется, что So = 5i э ..., и для этой
последовательности выполнены все условия
предложения. D
Отметим еще одно свойство моделей 2Я сигнатуры а,
имеющей только одну константу 0 такую, что Ш\=
\=Р@,... ,0) для любого Р^а. Если 2Яо и 2Ki — такие
модели, то имеются естественные вложения fo. h моделей
9Ио и 2Ki в их прямое произведение Ш1о X 2Яь для те |Ш10|
пусть /о (ш) ^ (пг, 0Ш1); для m s | 9», | пусть /,(m) ^ <0* т>.
Предложение 3. Если I — бесконечное
множество, то определенное выше вложение 2Я(/) в ЗЯ'7' X ЭД
является элементарным.
Отождествим модель 2Я(/) с ее образом в 2Л(/)Х2Я.
Докажем сначала вспомогательное утверждение:
Лемма 2. Пусть ft fne2R{0; тогйа существует
изоморфизм ф: 9И(/) X 3№ -^.-» ДО7) такой, чго <р (f,) =;
*=fi, i= 1, .... п.
§ 4] ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ 81
Действительно, пусть /о=?= {i\i^ I, fi(i) Ф 0 или
... или /„(О Ф 0}; тогда /0 конечно. W> ^ $№(/°' X ЭД
где 1\ ^ 1 \ /0. Так как 1Х бесконечно, то существует
изоморфизм ф: аЯ(/'>Х 3»-»-а»(/|): тогда изоморфизм ф: Wl) X
X 2R (= Ш^ X 2R(/l) X 2R) -»¦ 2№(Л (= 2RW X 2И(Л))
определяем так: ф(/, g, m)^{f, i|>(g, m)). D
Для доказательства предложения достаточно
установить, что FDBЙ<'>) s FDB»C) X SW) • Пусть
где с,, .... cf — это все
, t ^C) с,,
V 'I 'nj h
константы вида С/, /е2Я(/)Х2й- Пусть ф: «Ш(/> X 9И —¦
(O — изоморфизм, существующий по лемме 2; тогда
х шт и= ф (cfi с,) *> экю х ая Н- ф (/,, ...
)
c
ф)„
). D
()
При этих же предположениях о сигнатуре и
моделях справедливо следующее предложение, являющееся
следствием предложения 2 (точнее, замечания после его
доказательства):
Предложение 4. ПустьШ0, УЯ\, Ш — модели сигнатуры а,
SKo *¦ SKi и SK ^ SK X SKo; тогда as ^ 5W X 3*1. D
§ 4. Полные теории
В этом параграфе будет дан обзор (в основном без
доказательства) теоретико-модельных методов, которые
используются для установления полноты теорий.
Предложение 1. Непротиворечивая теория Т
полна тогда и только тогда, когда существует модель 2Й
такая, что Т = Th BЙ).
То, что элементарная теория ТпBй) одной модели 2Й
является полной, следует прямо из определения
истинности формулы на модели. Пусть Т — полная
непротиворечивая теория и Ш — модель Т. Тогда Th BЙ) э Т.
Если Ф е Th BЙ) \ Т, то из того, что Ф ф. Т, следует,
что Фе rsTh(SW), что невозможно. Итак, Т =
¦eTh(SK). ?
Следствие. Непротиворечивая теория Т полна
тогда и только тогда, когда любые ее две модели 2ЙО
и 2Й1 элементарно эквивалентны, т. е. ThBJ?o) =
= ThB»,). ?
32 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Теорию 7" назовем категоричной в некоторой
мощности, если любые две модели теории Т этой мощности
изоморфны.
Следующее утверждение часто бывает полезным
в доказательствах полноты и разрешимости. •
Предложение 2. Пусть теория Т не имеет
конечных моделей и категорична в некоторой бесконечной
мощности; тогда Т полна.
АС, теорема 5, с. 253. ?
В качестве примера применения предложения 2
рассмотрим теорию алгебраически замкнутых полей
фиксированной характеристики р(=0, 2, 3, ...). Легко
записать систему аксиом этой теории, которая по
теореме Штейница является категоричной в любой
несчетной мощности.
Следствие. Теория алгебраически замкнутых
полей фиксированной характеристики является полной. ?
Теория Т называется модельно полной, если для
всякой модели 2Л теории Т теория сигнатуры o*=o\J
U (са\а е|2Л|>, определяемая аксиомами T[)D($R),
является полной.
Замечание. Не всякая полная теория является
модельно полной и не всякая модельно полная теория —
полной.
Однако существует некоторый- канонический способ
получения модельно полной теории из произвольной
теории. Сначала определим формульные обогащения
теорий сигнатуры а. Пусть Ф(хи ..., хп)—формулы
сигнатуры а, пусть сигнатура <т' получается из
сигнатуры <т добавлением нового «-местного предикатного
символа Рф. Если Т — теория сигнатуры а, то теория V
сигнатуры а', определенная системой аксиом
nj{V*i ... Чхп(Рф(хи ..., хп)*-+Ф{х{ хп))), на
зывается формульным обогащением теории Т.
Аналогично определяется формульное обогащение теории для
целого семейства формул сигнатуры а. В частности,
если формульное обогащение Т теории 7" получено
добавлением новых предикатных символов для всех
формул сигнатуры а, то такое расширение называется
полным формульным обогащением. Заметим, что если
Т — формульное обогащение теории 7", то модели
теорий Т и Т «по существу» одни и те же: модель 24 тео-
§ 4] ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ 33
рии Г имеет одно и только одно а'-обогащение до
модели теории V. Справедлива следующая*
Теорема 1. Для всякой теории Т ее полное
формульное обогащение является модельно полной теорией.
АС, теорема 2, с. 258. ?
Для модельно полных теорий справедливо
следующее
Предложение 3. Если 2Д0 и SDli— модели
модельно полной теории Т и 2Д0 ^ 2Дь то 2Л0 "^ SPli-
АС, теорема 3, с. 260. ?
Формула Ф(х0, ..., хп) называется примитивной,
если она находится в предваренной нормальной
форме, не содержит кванторов всеобщности (т. е.
является 3-формулой), а бескванторная часть Ф есть
конъюнкция элементарных формул или их отрицаний.
Теорема 2 (критерий Робинсона).
Теория Т сигнатуры о модельно полна тогда и только
тогда, когда для любых ее моделей 2Л0 и SPli таких, что
ЗЛо ^ SPli, любой примитивной формулы Ф (х0 *п)
и любых элементов по, ..., але|2До| из Wli\=O(a0, ...
..., а„) следует, что <2Яо\=Ф(ао, ..., а„).
АС, теорема 4, с. 261. ?
Укажем условия, достаточные для полноты
модельно полной теории.
Модель 2Д теории Г называется первичной (для Г),
если 2Д изоморфно вкладывается в любую модель
теории Т.
Предложение 4. Если модельно полная теория
имеет первичную модель, то она полна.
Предложение 5. Если любые две модели 2Л0
и SPli модельно полной теории Т вкладываются в
некоторую модель 2Д теории Т, то эта теория полна.
Модели 2Д0 и SPli сигнатуры а называются
универсально эквивалентными, если 2Д0 \= Ф <=?>] SPli \= Ф для
любого универсального предложения Ф сигнатуры о.
Предложение 6. Если любые две модели
модельно полной теории Т универсально эквивалентны, то Т
полна.
Предложения 4 и 5 сразу следуют из
предложения 3. ?
Приведем доказательство предложения 6. Пусть Шо
и Щ — две модели теории Г. Рассмотрим множество
34 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
предложений Т[} D(Шо)[} DCRi). Если это множество
совместно, то из полноты [T\JD(m0)] и [T\}D(Wli)]
сразу следует, что Th (SWo) = Th(SWi). Если это
множество не совместно, то существует конечное
подмножество FsD(li) такое, что Щ?>№)Ь- ~| & {F}; пусть
Ст0, •••, Сщк — все константы из о*, встречающиеся
в формулах из F. Заменяя их на переменные xq, ..., Xk
и навешивая кванторы всеобщности, получим
¦Т U D (ЗЯо) Ь- V*o ..-. Vxk I & {F'}. Тогда V*o
...V*ft ~| & {/•"}— универсальная формула, истинная вЭДо,
но ложная в 5Иь что противоречит универсальной
эквивалентности 5Йо и ЗЯ\. Итак, любые две модели теории
Т элементарно эквивалентны. Следовательно, теория Т
полна. ?
В качестве примеров модельно полных теорий
укажем следующие:
1. Теория алгебраически замкнутых полей.
2. Теория вещественно замкнутых полей (см. [14],
теорема 4.2.27).
Предложение 7. Если теория Т полна, а всякая
формула эквивалентна относительно Т бескванторной
формуле, то Т модельно полна. ?
Если выполнено условие предложения 7, то говорят,
что Т допускает элиминацию кванторов.
Следующие теоретико-модельные понятия окажутся
полезными в дальнейших разделах книги.
Пусть Т и Т* — две теории сигнатуры о. Теория Т*
называется модельно непротиворечивой относительно Т,.
если каждая модель 5Ш теории Т может быть вложена
в некоторую модель 5W* теории Т*. Т* назовем модельно
полной относительно Т, если для любой модели 5W
теории Т множество Т* U ЙEШ) определяет полную теорию.
Теорема 3. Если Т<=Т*, то Т" модельно полна
относительно Т тогда и только тогда, когда для любой
модели Ш теории Т, любой примитивной формулы
Ф(*о. •••> хп) и любых элементов а0, •.., а„е|5И|
Ф(а0 а„) либо истинна во всех расширениях WI,
являющихся моделями Т*, либо ложна во всех
расширениях, являющихся моделями Т*.
Это теорема 4.3.1 книги [14]. ?
§ 41 ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ 35
Теорема 4. Если Т^Т*, Т* — модельно полная
теория и для любой модели ЗИ теории Т теория [Т*{]
\JD(Wl)] имеет первичную модель, то Т* модельно полна
относительно Т.
Это теорема 4.3.2 книги [14]. ?
Следствия. 1. Теория алгебраически замкнутых
полей модельно полна относительно теории всех
полей. О
2. Теория вещественно замкнутых упорядоченных
полей модельно полна относительно теории
упорядоченных полей. ?
Теорема 5. Пусть Т^Т'о, Т^Т\; Т, Т*о, Т\ —
теории сигнатуры а; если То и Т\ модельно полны
относительно теории Т, то То = Т\.
Это теорема 4.3.6 книги [14]. ?
Теорема 5 оправдывает введение следующего
определения.
Пусть Т — непротиворечивая теория сигнатуры а;
теория ГэТ сигнатуры а, модельно полная
относительно теории Т, называется модельным
пополнением Т.
Вопрос о существовании модельного пополнения для
теории, вообще говоря, не прост. Приведем ниже только
одно утверждение о существовании модельных
пополнений.
Пусть Т — универсально аксиоматизируемая теория
конечной сигнатуры такая, что для ее моделей
выполнено следующее условие:
Если ЗИ, 9Ло, SWi — модели теории Т и <р0: WI -у
-vSWo, qpi: 2Jt->2Jti — изоморфные вложения, то
существуют модель ЗИ* теории Т и изоморфные вложения
¦фо: ЗИо-^ЗИ* и яр1: 2Jti-»-9ft* такие, что г|)Офо = 1|>1фь
Тогда у теории Т существует модельное
пополнение Т*; Т* является полной счетно категоричной
теорией, допускающей элиминацию кванторов.
Это утверждение, по существу, доказано в работе
[89]. ?
Условие конечности сигнатуры в этом утверждении
можно ослабить до следующего условия: существует
последовательность конечных сигнатур ст0 ^ в\ ^ • • •
такая, что а = U а„ и для любого л е © и любой мо-
36 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ.АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
дели Ф? теории ТпФТ(]ЬОп существует а-обогащение
модели 9Я до модели теории Т (или, равносильно,
существует а„+1-обогащение 2Я до модели теории Tn+i).
§ 5. Однородные и насыщенные модели
Пусть Т — некоторая (непротиворечивая) теория
сигнатуры а. Обозначим через Sn(T) множество всех
формул сигнатуры .а, свободные переменные которых
принадлежат множеству {лг0, ..., хп-\), га ею; через Fn(T)
обозначим фактор-множество множества Sn(T) по
отношению эквивалентности т)г, определенному так: для
S(T)
Если фе5яG1), то через [ф] будем обозначать
элемент из Fn(T), содержащий формулу ф.
Отметим, что имеют место естественные включения
So (Г) s S, (Г) s ...; F0(T) s Л (Т) s ...
Замечание. На множестве Fn(T) можно задать
структуру булевой алгебры (см. гл. 2). положив [ф] [_| [ф] =^= [ф\/г|)];
[]П[*][4*] [1[~1]О[У(^)] 1[Э()]
п-типом теории Т назовем всякое максимальное
^-непротиворечивое подмножество S s Sn(T) (Т-яе-
противоречивость S означает, что предложение
xn_il &. ф; I e 71 для любых ф[ фй е 5 1.
Если ЗИН?1 и а0 ап-1<=\Ш\, то {ф|ф
eSnG1), ая(=ф(ао, •••, an-i)} является «-типом. Этот
тип назовем типом n-ки <ао, ..., ап-\> в модели ЗЯ.
Если 5 есть тип некоторой n-ки элементов 2R, то
говорят, что тип 5 реализуется в модели Ш.
Отметим, что всякий п-тип теории Т реализуется
в подходящей модели теории Т.
n-тип S называется главным, если существует такая
формула ф^5 (главная формула типа S), что 5
является единственным n-типом, содержащим ф.
Если Ш1—модель теории Т и 5 — га-тип теории Т, то
говорят, что модель Ш опускает тип S, если не суще-
§ 5) ОДНОРОДНЫЕ И НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ 37
ствует гс-ки элементов ао> ..., ап-\ в |2Я| такой, что S
является типом этой л-ки в модели 9Я. Заметки, что
любой главный тип реализуется в любой модели.
Как показывает теорема об опускании типов, для
неглавных типов это не так:
Если а — не более чем счетная сигнатура; So, Si,...—
счетное семейство неглавных типов теории Т, то
существует счетная модель WI теории Т, которая опускает
все типы So, Si, ...
Доказательство см., например, в [9]. ?
Если 5 — л-тип, k < л, то 5A5*(Т) является /г-ти-
пом. Пусть k <C n, S — /г-тип, 5' — «-тип и 5^5';
назовем тип S' главным над S, если существует формула
Ф е 5' такая, что S' — единственный я-тип, содержащий
SUM-
Замечание. Существует естественное взаимно однозначное
соответствие между я-типами теории Т и ультрафильтрами булевой
алгебры Fn{T), устанавливаемое так: если 0 = Fn(T)—ультрафильтр,
то я-'(^)— л-тип, где я: Sn(T) -+Fn(T)— естественная проекция.
Введенные понятия позволяют охарактеризовать
счетно категоричные теории.
Теорема 1. Пусть Т — полная теория не более чем
счетной сигнатуры; тогда следующие условия
эквивалентны:
1. Теория Т категорична в счетной мощности.
. 2. Для каждого лею теория Т имеет конечное
число п-типов.
3. Для каждого лею множество Fn(T) конечно.
См. [9] или [18]. ?
Модель 9Я называется однородной, если для любых
а0 an_i, а„, Ьо, ..., Ьп-\^\Щ из того, что типы
кортежей <а0, .... ап-\> и <60, •••. Ьп-\> совпадают,
следует существование такого элемента 6е|2Я|, что
типы кортежей <ао, ..., ап-\, апУ и (Ьо, ••-, Ьп-\, by
совпадают.
Одним из наиболее приятных свойств счетных
однородных моделей является следующее:
Предложение 1. Пусть 2Я0 м 2Jli — счетные
однородные модели одной и той же сигнатуры; тогда
следующие два утверждения эквивалентны:
1. Шо и 2Я] изоморфны.
2. В 5Шо и 2Я] реализуются одни и те же типы.
38 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Доказательство см., например, в [15]. ?
Примером однородной модели является простая
модель: модель ЗЯ теории Т называется простой, если для
любой модели 9ЭТ' теории Т у ЗЯ' существует
элементарная подмодель 2Ио, изоморфная WI. Заметим, что в
простой модели (если она существует) реализуются в
точности все конечные главные типы теории Т; поэтому
простая модель теории единственна с точностью до
изоморфизма.
Укажем один важный достаточный признак
существования у теории простой модели. Теорию Т
(сигнатуры <т) назовем Н-теорией, если для всякого
предложения вида Э*Ф(х) из Т существует константа с
сигнатуры а такая, что Ф(с)<=7\
Предложение 2. Если Т — полная Н-теория, то
для любой модели WI этой теории подмодель Wl0,
определенная в WI множеством значений констант из а,
является простой моделью теории Т. ?
Следующее понятие позволит сформулировать
критерий существования простой модели.
Пусть ©—некоторое семейство типов теории Т;
назовем семейство @ плотным, если выполнены
следующие условия:
1. Пусть peS- га-тип, k sgT п; тогда q"^ pf\Sk(T)^
е @; если т: {х0, .... *,,_i} -> {jco, ..., xn-i} —
перестановка, то \p\ll *п-1 е ©.
т*о ххп-\
2. Если ре® — n-тип, ф(хо, ..., хП)—формула
сигнатуры а такая, что Эл:„ф е р, то существует (п -\- 1)-тип
q е ё такой, что р U {<p} ^ q.
Заметим, что для любой модели Ш теории Т
семейство <В(Ш) всех типов, реализуемых в 9ЭТ, является,
очевидно, плотным.
Довольно' нетрудно установить следующее
Предложение 3. Если @ — счетное плотное
семейство типов полной теории Т, то существует не более
чем счетная модель WI теории Т такая, что все типы,
реализуемые в ЗЯ, принадлежат @.
Заметим, что из условия счетности плотного
семейства @ следует, что сигнатура а теории Т не более чем
счетна. Пусть а' ^ о U <^о. с\,.. .>. Построим
последовательность полных теорий Го s 7"i s .., такую, что Т„ —
§ 8J ОДНОРОДНЫЕ И НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ <$
теория сигнатуры a U <с0, ..., cn-i> и для Тп
существует п-тип ре® такой, что Тп = [р]*0' "" хсп~х.
Занумеруем все предложения сигнатуры а' так, что
если ф„ — предложение, имеющее номер п, то все
константы вида Ci, встречающиеся в ф„, таковы, что / < п.
Приступаем к построению.
Шаг 0. То =^ Т.
Шаг л+1. Пусть pneS- такой тип, что Тп =
— [р„]х° хп-\. Пусть фп имеет вид Зху'п(х) и фп е Tn;
со сп-\
тогда по свойству 2 определения плотного
семейства существует (п + 1)-тип pn+i e® такой, что
Р«и{[ф']?о;;;:; ^-••>*я}=/)п+,. Полагаем rn+1^[pn+1]J;;;;; *«;
заметим, что Ф^(с„) еГл+1.
Если не выполнены сформулированные выше
условия (т. е. ф„ ф Тп или ф„ не имеет вида Зху'п(х)), то
ищем произвольный (п+1)-тап р„+1е® такой, что
рп S Рп+ь и полагаем
Tn+i^[Pn+i\% :::;*яя-
Построение закончено. Теория Та^ \J Tn являет-
ся полной теорией сигнатуры а' и, как видно из
построения, будет Я-теорией. Пусть Шо — простая модель
теории Та и Ш? =^= Шо [ а. Легко проверить, что Ш?
удовлетворяет условиям заключения предложения. ?
Следствие. Полная теория Т не более чем
счетной сигнатуры а имеет простую модель тогда и только
тогда, когда семейство @0 всех главных типов теории Т
является плотным. ?
Замечание. Условие следствия равносильно атомности всех
булевых алгебр Fn(T), песо.
Другим примером однородной модели является
насыщенная модель. Пусть х —некоторый кардинал;
модель Ш? (сигнатуры а) назовем х-насыщенной, если для
всякого подмножества Xs|2R|, мощность которого
меньше к, модель <Ш1, Х>, полученная естественным
обогащением модели 3J? до модели сигнатуры ^^oU(ca|
uG^cf^^a), такова, что любой 1-тип теории
Тп(ЗКД) реализуется в
40 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Если 24—счетная и ©-насыщенная модель теории Т,
то 24 называется счетно насыщенной моделью теории Т.
Замечание. Можно сформулировать следующий критерий
существования счетно насыщенной модели для полной теории Т (не
более чем счетной сигнатуры а):
Теория Т имеет счетно насыщенную модель тогда и только
тогда, когда Fn(T) является суператомной булевой алгеброй для
любого new (определение см. в гл. 2).
Доказательство в [5]. ?
Укажем способ получения coi-насыщенных моделей,
где coi — первый несчетный ординал. Пусть 1Ф 0;
ультрафильтр F над / назовем счетно неполным, если
существует такая последовательность Хо, Х\, ...
элементов из F, что П Xi'=* 0. Заметим, например, что лю-
бой неглавный ультрафильтр над счетным множеством
(например, над со) является счетно неполным:
действительно, возьмем Хп ^ со \ {0,1, ..., п}, песо.
Теорема 2. Если 24г, ieX, — семейство моделей
счетной сигнатуры a, F — счетно неполный
ультрафильтр над I, то модель 9Jc =^ Ц Ttt/F является
^-насыщенной.
Эта теорема легко следует из такого утверждения
(в котором счетность сигнатуры а не предполагается):
Пусть 24* — естественное обогащение 24 до модели
сигнатуры а* ^= a U <со | а е= 1241 >; если S — счетное
множество формул сигнатуры а* с одной свободной
переменной Хо, которое локально выполнимо в W (т. е.
(Д ? Е, Д конечно) =Ф24* |= ^Яо & {А]), го S выполнимо
в W, т. е. существует ае|ЗИ*| такой, что 24*|=ф(а)
для любой (peS.
Если для любого ае| WI \ выберем /а^Я| /ое П 13№/1
il
и рассмотрим а*-обогащение Ш] модели Wit, полагая
cf ^ fa @» а е | ЭК |, [е/, то, как легко видеть,
модель 9Jc* изоморфна модели Ц WIVF. Таким образом,
достаточно установить утверждение для S, состоящего
только из формул сигнатуры а. П'тть 2 = {ф0) фь ...,},
IXX ..., таковы, что Xnef, пе='л, и П Х„=0-
§ 5] ОДНОРОДНЫЕ И НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ 41
Для любого песо Tt\=3xo( &- фЛ; следовательно,
можно выбрать /„еПI 2R* I так, что У1\=( & срЛ ([/„]_ V
i<=I \ft<n / V '"/
тогда Vn чь {г | 2Яг И ( *- Ф*) (f* @) } е F. Полагаем
1
и П Wn=0. Определим /*<= П I 2Я<I так: для ie/
песо <е/
если i ф. W\,
если i е= W „\ W
n +
Покажем, что для любого fee to ?/* ^= {ЦШ; j=
N Ф* (/*('))} *^F- Действительно, если i^W», то
f*(i)= fn(i) и ief, для некоторого n^k, но тогда
ЭЛ<Н( &<рЛ(М0), 2Я.-|=Ф*(/(О), т. е. fe(/, Итак,
U^ft S Uk, следовательно, Uk e F. Из того, что Uk =
= {i | SK, N ф» (/• @)} s F, следует, что 3№ И Щ (\f\F)
для любого ft е to. П
Замечание. Простой индукцией легко
установить, что из coi-насыщенности модели ЗЯ следует, что
для любого счетного Xs|9K| з <ЗИ,X} реализуется
произвольный со-тип теории Th(*fll,X). Здесь под ы-типом
понимается максимальное совместное с Th(9K, X)
множество формул сигнатуры Сх, все переменные которых
принадлежат множеству {х0,х\,...}.
В заключение параграфа опишем семейства всех
типов счетных однородных моделей польой теории Т.
Предложение 4. Для того чтобы семейство ©
типов полной теории Т было семейством всех типов,
реализуемых в некоторой счётной однородной модели
теории Т, необходимо и достаточно, чтобы © было
счетным плотным семейством типов, удовлетворяющим
следующему свойству:
Если р. ?е®-(л+ \)-типы такие, что pf\Sn(T) =
= qf[Sn(T), то существует (п-{-2)-тип se© такой,
что p\J[q]xx'\ ss.
П-г 1
Необходимость сформулированных на <3 условий
легко проверяется.
42 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Установим теперь достаточность. Расширим
сигнатуру с до сигнатуры а'^ a|J<Co,c\,...>; для <4s
= {со, Ci,...} через оА обозначим сигнатуру аК<Л>.
Пусть Л s {со, С\,...} — конечное множество,
содержащее п элементов, Л = {bo 6Л—i}- Перебирая все
«-типы р из © и образуя полные расширения теории
Г(Л) (теории сигнатуры ал, определенной аксиомами
теории Т) так: [р]?0"'"' f"-1, получим последователь-
О' * * "* Я— 1
ность ^-пополнений теории Т(Л). Так как © счетно, то
и множество ©-пополнений также счетно; расположим
их в последовательность До (Л), А1(Л), ...
Аналогично можно образовать последовательность
1-типов теории Г (Л), определенную семейством <5:
Го (Л), Г, (Л), ... (*)
Заметим, что для спф А и fee© [Гй (Л)]^° — @-по-
полнение теории Г (Л U {с„}).
Расположим теперь все элементы
последовательностей вида (*) для всех конечных Л s {со, С\,...} в
единую последовательность So, Si, ...
Каждый 1-тип В„ имеет вид Га(Л)(Л„) для
подходящего конечного Л„ е {с0,Ci,...}, a(/i)e<t>, яесо.
Условие, сформулированное в предложении, имеет
такие следствия:
1. Пусть А, В — конечные подмножества {со, с\, ...};
С^А{\В; если Д„(Л) и Am(fi) таковы, что
ДП(Л) П^ас = Л„(В)П Lac, то существует такое k e со,
что А„ (Л) U Am (В) = А* (Л U В) •
2. Пусть А и В — конечные подмножества {с0, ch , ..};
С Ф А П В; если Ал (Л) и Тт(В) таковы, что
&n(AHLoc^rm(B), то существует такое fee со, что
))()
Эти утверждения легко устанавливаются индукцией
по числу элементов в множестве (A\jB)\(Af\B). ?
Построим теперь по шагам последовательность Бо ?
gfii?... конечных подмножеств {с0, с\,...} и
последовательность в0 = 6i s ... ©-пополнений теорий
Т(Бо), Т(Б\), ... соответственно.
§ 5] ОДНОРОДНЫЕ И НАСЫЩЕННЫЕ МОДЕЛИ 43
Шаг 0. Рассмотрим Во=Г0(о)(Ло) и находим
наименьшее ?ею такое, что СкфА0. Полагаем Бо ^ Ао[] {с*},
Шаг п+1. Пусть Б„ и в„ определены; рассмотрим
Sn+i = Га(П+1) {An+i); пусть С„^= Б„0 Ап+1. Если
в„П^ас $3„+ь то полагаем Бп+1^Бп, в„+1=^=0л. Если
впП^ас ^2я+|, то в соответствии с утверждением 2
находим наименьшее 4еш такое, что 6Л(J В„+1 ?
s Г*(Бпи^п+1); находим наименьшее sea такое, что
?*<???„ U Лп+ь и полагаем Бп+\ ^ finU^n+i {}
Построение закончено. Полагаем в^^ U %• Из
песо
построения видно, что в© — полная теория сигнатуры
allfioo, где Бш— \J Бп.
лев
Из построения сразу видно и следующее основное
свойство:
Если 1-тип Е„ совместен с в©, то для некоторого
sec [2„]*; = е„.
Еще отметим, что для любого конечного A s Бш
множество Д (Л)-^=вшП L°а есть ©-пополнение теории Т(А),
Это следует из того, что для некоторого «ею Дд5„;
тогда А(Д)с0Л) а 6„ есть ©-пополнение теории Т(Бп).
Покажем теперь, что 0ffl есть Я-теория. Пусть
предложение 3xq>(x) принадлежит 6Ш; пусть А = {60, ...
..., 6n-i} — множество всех констант вида с,-, i e (о,
встречающихся в ф. Тогда Д(Л) есть ©-пополнение
теории Т(А), т. е. существует «-тип р из © такой, что
Д(Л) = [р]^° ь"~'; так как Злгф^ебщ и, следова-
тельно, Зх<$(х)еД(Л), то \|з(л:о, ..., лг„)=^[ф]„°"'" ""¦'*
*о п—г *п
совместна с типом р. Так как © — плотное семейство,
то существует (п -f- 1)-тип q е © такой, что р U {^} = <7-
1-тип S=^=[o]ft° xn~v%n ИМеет вид Г„(Л) для некото-
о "n-i. *
рого лею; так как Д(Л)дГл(Л), то по отмеченному
выше свойству построения [Е]*° ^ew для некоторого
sera; но тогда ф (cs) e 0Ш.
44 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. 1
Пусть 2R— простая модель теории 0Ш и Зйо ^= SW f a.
Покажем теперь, что любой тип из @ реализуется
в 2Я0- Доказывать будем индукцией по песо.
Предположим, что любой я-тип из @ реализуется
в ЗЯ0 (для п=0 это очевидно), и пусть ре©—(п+1)-тип.
Пусть q^p(}Sn(T) и bo, b\ bn_i^Ba таковы, что
n-ка {bo'' bfli) реализует тип q в Шъ, т. е.
Q - \чТь1::;; ln-_\ s в;. Пусть Л ч* {bo Ьп_г), Г ^
^[р]»0' "." б"~''хп' тогда Г имеет вид Tk(A) для
некотоfe Т
рого fesco. Так как ГА(Л)Пвш = Р, то, как отмечено
выше, [Гк(A)fc° ^ва для некоторого sea, но тогда
набор {bo1", ..., bfLu cf°) реализует тип р в Шо.
Итак, любой тип, реализуемый в Шо, принадлежит ©
и любой тип из S реализуется в 2K0-
Остается проверить однородность модели Шо. Пусть
а0, . . ., ап, Ьо, ..., 6„_1 s | З^о | таковы, что ft-ки
<а0> -.., an_i> и <60, ••-, bn_i) реализуют в ЗЯ0 один
и тот же n-тип р (из <Sl); (n+ 1)-тип ? набора <а0, ...
..., an_i, а„) также принадлежит <5. Если d0. •••
..., dn-i&Ba таковы, что df'=bi, i<n, то [q]x/^ ;;;; ^"j;^
имеет вид ГА (Л), где A^{d0 dn_i} и Tk(A)
совместен с вш; следовательно, [Гй(Л)]*° e0ffl для
некоторого seoo, т.е. набор ^Ьо, ..., bn_x, cf>) реализует
тип q. Q
ГЛАВА 2
ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ
С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ
§ 1. Решетки, дистрибутивные решетки
Частично упорядоченные множества, в которых
любые два элемента имеют точную верхнюю и точную
нижнюю грани, встречаются во многих разделах
математики и имеют содержательную теорию (см.,
например, книгу [1]). Такие частично упорядоченные
множества называются решетками. Наше изложение ряда
разделов теории решеток будет алгебраическим, что
приводит к такому исходному определению.
Алгебра Ш, = <Л, U, П> с двумя бинарными
операциями называется решеткой, если выполняются
следующие тождества:
1. xUx = x. I'. x[~\x = x.
2. x[Jy = y[Jx. 2'.
3. xU(yUz) = (xUy)Uz. 3'.
4. хи(хПу) = х. 4'. xn{x\Jy) = x.
Определим порядок ^ на решетке Щ. так:
х < у ^ х U у = у (х, у <= Л).
Проверим, что это действительно частичный порядок
на А.
а) Так как xUx=x, то х ^ х.
б) Пусть х ^ у н у ^ z, т. е. x\Jy = yny\Jz = z,
тогда х U г = х\_}(у U z) = (х U y)U z = у U z = z;
следовательно, х ^ z.
в) Пусть х ^ у и у ^.х, т. е. х\_\у = у, y\Jx = x,
но так как х U у = у U х, то х = у.
Докажем теперь следующую эквивалентность,
дающую двойственное определение порядка ^:
х <; у <=> х П У = х. (¦)
Пусть х ^ у, т. е. х U у = у, тогда по 4' х = хП
ГЦ* U у) = х П у; наоборот, пусть х = хПу, тогда
46 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. .2
по 4 y =
т. е. х^у.
Покажем теперь, что операции U, П дают точную
верхнюю и точную нижнюю грани элементов в частично
упорядоченном множестве (А, ^>.
Так как хГ\(х1_1у) = х, то по эквивалентности (*)
x^xUy; аналогично у = у П (у U х) = у П (х U у) и
у ^ х U у. Итак, х U у есть верхняя грань элементов х
и у в <Л, sg:>. Пусть х sg: 2 и у ^ z, тогда (xLJi/)LJz =
= JtU(t/Uz)=A:Uz = z; следовательно, xUj/<z.
Таким ^образом, х U у = sup {*, у}. Двойственным
образом проверяется, что хП у = inf {x,y}.
Оставляем читателям проверку того, что если
<Л, ^> — частично упорядоченное множество, в
котором любые два элемента х, у е А имеют точные
верхнюю и нижнюю грани, то, полагая х U у =?= sup {x, у}
и хП у =^= inf {x, у}, получаем решетку <Л, U, П>, в
которой частичный порядок на А, определенный по
операции U, совпадает с порядком ^.
В любой решетке каждое непустое конечное
подмножество имеет точную верхнюю и точную нижнюю
грани. В дальнейшем нередко будем использовать за-
п
писи вида [__!*;, |~~| *| (для непустого конечного F)
и т. п. для обозначения точных верхних (нижних)
граней множеств {х\, ..., хп}, {л^Це/7}. Если условие
существования точных верхних и нижних граней
справедливо для любого подмножества решетки, то такая
решетка называется полной.
Идеалом решетки SI = <Л, |_1, П> называется всякое
непустое подмножество /еЛ такое, что
а) не/, Ь ^ а =#> Ь <= /;
б) a, beJ^aUbe=J.
Замечание. Отношение а ^Ь есть, конечно,
частичный порядок на решетке 91, определенный выше.
В дальнейшем это отношение для решеток используется
без всяких оговорок.
Со всяким идеалом / решетки SI можно связать
отношение эквивалентности i\j на множестве А так: для
а, ЬеА
{а, Ь) е т)у ^ Зс е / (a U с = b\J с).
i П РЕШЕТКИ, ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ 47
То, что. г\/ — отношение эквивалентности на А,
проверяется очень просто; когда выполнено более сильное
свойство (утверждающее, что г\; есть отношение
конгруэнтности на алгебре 9С):
(а, Ь), (с, d>STj/=^(aUc, b\Jd), (аПо, bnd)<sr\j,
на фактор-множестве A/r\j можно определить операции
U, П так, что выполняются условия:
[a]njU[*>]„,-[aUb\jt МЛ/П[b\,
njU[*>]„,-[aUb\jt
здесь [с] —класс всех элементов А, ^/-эквивалентных о,
т. е. [с]л =^> {d | (с, d) e r\j} s Л/ii/. В этом случав
отображение аь->-[а]_ есть гомоморфизм Я на алгебру
Я// «?= <.A/r\i, U, П> — фактор-решетку Я по идеалу J.
Так как тождества (как и любые положительные фор*
мулы) сохраняют свою истинность при эпиморфизмах,
то %]] также является решеткой.
Если ф: St —»¦ S3 — гомоморфизм решеток, то для
любого идеала / решетки S3 множество <р~'(-0 либо пусто,
либо является идеалом %.
Главным идеалом решетки Я называется всякий
идеал вида d ^ {?>[?> г^ а} для аеЛ. Легко
проверяется, что й — идеал для любого asA
Простым идеалом решетки Я называется всякий ее
идеал / такой, что выполнено условие
аПб^/=»-ае/ или b&J.
Отметим такое свойство простых идеалов:
Если ср: Я->Э — гомоморфизм решеток, J — простой
идеал S3 и <р-! (/) Ф 0, то ф-1 (/) — простой идеал St.
Действительно, если а0 П ai е ф~'(Л. то ф(яоП
Пй1)=ф(ао)Пф(й1)е/ и ф(а<)<=/ для некоторого
/е {0, 1}; но тогда o/eqr'(/). ?
Множество всех собственных (т. е. отличных от А)
простых идеалов решетки SI обозначим через Spec(Sl).
На множестве Spec (Щ можно задать топологию
базисом множеств вида Ха ^ {/[/ е Spec EC), а ф J} для
aei
48 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Проверим, что семейство {Ха\а ^А} действительно
можно взять в качестве базиса некоторой топологии на
Spec (91).
1) Ха П Xb = Ха П Ь-
Действительно, пусть /е1аП Хь, тогда а, Ь ф. J
и аПЬф1, так как /—простой идеал. Следовательно,
ХаОХь s Хаг\ь- Пусть J ^ Хаг\ь> т. е. а П b ф J, но
тогда а > а П 6, а ф J и /еХ». Следовательно,
Ха[-\ь^Ха; аналогично Лап& — Хь и Ларь — А'оП^ь-
Итак, Ха(]Хь = Хапь. ?
2) U Xa
Действительно, любой идеал /е Spec 91
собственный, следовательно, существует оеД аф J, но тогда
/el, D
Отметим теперь, что топологическое пространство
Spec 91 отделимо, т. е. выполнена (слабейшая в общем
случае) аксиома отделимости.
3) Spec Ш, — То-пространство.
Действительно, если /o^/iG Spec St, то /0 \ Л ^ 0
или /i \ /о =5^ 0. Пусть, например, /0 \ /i =?^ 0 и as
s/0\/i, тогда /igX0, но 1офХа. D
Рассмотрим один пример. Пусть 91 —линейно
упорядоченное множество, рассматриваемое как решетка.
Идеалами % будут непустые начальные отрезки %\
любой идеал 91 будет простым. Так как для любых двух
идеалов /0 и J\ либо /0 s /1, либо /i Е /0, то
пространство Spec 91 не может быть Ti-пространством.
Укажем теперь важное свойство отображения
ai—>Ха.
Предложение 1. Отображение ai—*¦ Xa является
гомоморфизмом решетки 9( в решетку <<2/(9t), U,Т)> от"
крытых множеств пространства SpecBf) с теоретико-
множественными операциями объединения и
пересечения.
Свойство 1) показывает, что это отображение
сохраняет операцию П. Остается показать, что Ха U Хь =
= AaLJ6- Так как отображение сохраняет порядок, то
Ха{] Хь s Хаиь- Пусть ) е Ха 1 j 6, т. е. aUJ^Z; тогда
a 9= J или b ф J, так как в противном случае a, b <= J
и a U Ь должен принадлежать /. Итак, /el или
§ I] РЕШЕТКИ. ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ 49
/ <= Хь, следовательно, Хаиь^Ха\]Хь и Хац ь =
= Ха\}Хь. U
Когда гомоморфизм а*—>Ха будет изоморфным
вложением % в <и{Щ) Очевидным необходимым условием
является условие дистрибутивности решетки %.
Назовем решетку 91 дистрибутивной, если в 91
выполняется тождество х П (у U г) = (х П у) U (х П z).
Заметим, что для дистрибутивных решеток
отношение эквивалентности r\j для любого идеала / есть
отношение конгруэнтности, т. е. всегда существует фактор-
решетка по идеалу /.
Так как теоретико-множественные операции U. П
обладают свойством дистрибутивности, то отсюда и
следует необходимость этого условия. Оказывается, что
условие дистрибутивности является и достаточным.
Предложение 2. Если Щ. — дистрибутивная
решетка, то гомоморфизм a i—> Ха есть изоморфное
вложение 91 в <pU(Я),и,П>-
По предложению 1 а*—>Ха есть гомоморфизм,
поэтому остается доказать только, что если афЬ^. А, то
Ха "Ф Хь.
Так как афЬ, то либо а^Ь, либо Ь^ а. Пусть,
например, а^.Ь (случай Ь^. а рассматривается
аналогично). Рассмотрим семейство SQ всех идеалов
решетки Я, которые содержат Ь, но не содержат a. So не
пусто, так как 6 е So. Множество So с отношением s,
очевидно, индуктивно, следовательно, по лемме Цорна
So содержит некоторый максимальный элемент /0.
Покажем, что /о—простой идеал. Пусть иПоеД, /i—
идеал, порожденный множеством /oil {«}. /2 —идеал,
порожденный множеством /oUM- Если ни и, ни v не
принадлежат /0, то а <= ]\ и а <= /2; тогда для
подходящего хеУц o<xLJtt, o<j;LJo, но тогда а ^(хU
U и) П (х U v) = х U (и П v) е /0. Полученное
противоречие показывает, что и е /о или tie/o, т. е. /0 —
простой идеал, причем Ь <= /0 и а ф /0, т. е. /0 <= ^а \ AV ?
Следствие 1. Всякая неодноэлементная
дистрибутивная решетка разлагается в подпрямое
произведение двухэлементных дистрибутивных решеток.
Со всяким простым идеалом / = Sl можно связать
отображение <р: Л-* {0,1}, полагая ф(а)^0 для
ае), ф(а)=^ 1 для аф1. Если положить 2^<{0,1),
60 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. J
max, min>, то легко проверить, что ср будет
эпиморфизмом (/ Ф 0, А \ J Ф 0) Щ. на 2. Из доказательства
предложения видно, что для любой пары a, b
элементов §1 такой, что а^. Ь, существует простой идеал /
такой, что бе/, аф]. Следовательно, для любой пары
a, b элементов А такой, что а ^Ь, существует
эпиморфизм ф: 9t —* 2 такой, что ф(Ь) = О, ср(а)= 1. Это
влечет, что §1 можно изоморфно вложить в некоторую де-
картову степень решетки 2. ?
Другим следствием является выполнение в каждой
дистрибутивной решетке второго дистрибутивного
закона х U {у П г) = (х U у) П {х LJ z), хорошо известного
в случае теоретико-множественных операций U и П-
Однако эквивалентность этого тождества тождеству
х П (у LJ z) = (х П у) U (х П z) можно легко установить
и непосредственно. Покажем, например, как из
тождества x\J(y П z)== (*U у) n(JcLJz) вытекает тождество
хГ\ {yUz) = (xr\)U(r\)
(х П у) U (х П z) = [(х П у) U х] П [(х П у) U z] =
- [х U (х П у)] П [г U (х П у)] — * П [B U х) П (г U #)] =
= [х П (* U г)] П (z U У) = х П (г U у).
Следствие 2. Всякое конечное подмножество
элементов дистрибутивной решетки порождает конечную
подрешетку.
Хорошо известно, что замыкание конечного числа
подмножеств относительно пересечений и дополнений
содержит конечное число множеств. ?
Замечание. Прямое доказательство следствия 2
можно получить, доказав индукцией, что для
любого терма t(xo х„) существует терм вида
+1
f— LJ ( П хХ X, s {0 п), такой, что t = f —
<-i Vex, V
тождество дистрибутивных решеток. (Этот прием можно
назвать «приведением к дизъюнктивной нормальной
форме».)
Дадим теперь топологическое описание образа
изоморфного вложения а I—>Ха, которое будем обозначать
St: Я-*«г*(Я).
Предложение 3. Открытое непустое множество U
пространства Spec?! принадлежит образу отображения
§ 1] РЕШЕТКИ, ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ В1
St тогда и только тогда, когда U — компактное
множество, т. е. такое, что из любого покрытия 0
открытыми множествами можно выбрать конечное
подпокрытие.
Пусть U — непустое открытое множество; тогда
U= И Х„, так как множества вида Ха образуют
х u
ха
а
базис пространства Spec Я. Если U компактное, то
существуют аи ..., ап е А такие, что U = Xul U • • • U Хап
но Xai[j ... [)Xan = Xaiu...\Jan, следовательно, U =
= St(a,U ...Ufl»).
Покажем теперь, что Ха — компактное множество.
Достаточно рассматривать покрытия Ха, состоящие
только из базисных открытых множеств. Пусть
Ха s U Хь. Рассмотрим идеал /о решетки %, порож-
Ь еВ
денный множеством В, /о={с| существуют Ь\, ...
..., fc,sB, с ^ Ъ\ U ... LJ bn). Если иё/о, то для
некоторых Ь\, .... Ь„^В имеем а ^ Ъ\ U ... U Ъп;
тогда ^aS^ftlu...Li»n = ^»,U ••• и*»„и {Хьг Хьп)
образует конечное подпокрытие покрытия {ХЬ\Ь& В}.
Пусть а ф /о", рассмотрим семейство So всех идеалов 51,
которые содержат /0 и не содержат а, /о е So. Частично
упорядоченное множество (So, =>, очевидно,
индуктивно и, следовательно, по лемме Цорна содержит
максимальный элемент J\ e So. Так же, как в
доказательстве предыдущего предложения, проверяется, что /i —
простой идеал. Тогда ]\ е Ха, но /i ф U Хь, так как
ь <= в
если /i e Is, то Ьф]и но /i^/оЭВ, Следовательно,
{Хь\Ь^ В} не является покрытием Ха. Полученное
противоречие показывает, что случай а ф. /0
невозможен. ?
Замечание. Пустое множество всегда является
компактным, однако пустое множество не всегда имеет
вид Ха в пространстве Spec St. Очевидно, что Ха = 0
тогда и только тогда, когда а — наименьший элемент 51.
Итак, 0 лежит в образе St тогда и только тогда, когда
§{ имеет наименьший элемент.
Наименьший элемент решетки 51 будем называть
нолем и обозначать 0я или просто 0. Начиная с этого
места, будем придерживаться следующего соглашения
62 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
(действующего до конца этой главы): любая
рассматриваемая решетка содержит ноль, и любой
рассматриваемый гомоморфизм решеток переводит ноль в ноль.
Кроме того, если будем говорить о подрешетках
решетки St, то подразумевается, что подрешетка должна
содержать 0. Короче все это можно выразить, сказав,
что впредь будем рассматривать решетки как алгебры
сигнатуры <и,П,0>, где значение константы 0 в
решетке St— это ноль решетки St.
Для любого топологического Т0-пространства Т
семейство Ко (Г) всех компактных открытых подмножеств
этого пространства замкнуто относительно (конечных)
пересечений и объединений; следовательно, если это
семейство не пусто, оно образует дистрибутивную
решетку. Предложения 2 и 3 показывают, что таким
образом можно получить любую дистрибутивную
решетку (с нолем!).
В заключение параграфа опишем свободные
дистрибутивные решетки. Как известно ([12]), всякое
многообразие алгебр (класс алгебр, определенных некоторой
системой тождеств) содержит свободные алгебры,
которые в случае класса дистрибутивных решеток могуг
быть определены так.
Пусть X— подмножество дистрибутивной решетки 91;
тогда 9t называют свободной дистрибутивной решеткой
со свободной системой порождающих X, если для
любой дистрибутивной решетки S3 и любого отображения
ф: X —> | S3| существует, и притом единственный,
гомоморфизм ip: 9t->-S3 такой, что ф продолжает ф, т. е.
\|> \ X = Ф.
Пусть 91 — свободная дистрибутивная решетка со
свободной системой порождающих Х = {лг|||еЗ}
(Ч ф хг для | ф I' е= Е).
Предложение 4. Любой ненулевой элемент а
решетки St однозначно представим в виде
a = LJ( П
для подходящих п> 0 и конечных непустых
подмножеств F\, .... FnEE, попарно не вложимых друг
в друга.
§ Ц РЕШЕТКИ, ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ БЗ
Любой элемент вида (*) отличен от ноля.
Пусть 9Г — подрешетка Я, порожденная
множеством X; тогда, как нетрудно видеть из определения
свободной решетки, %' также будет свободной
решеткой со свободной системой образующих X.
Тождественное отображение X на себя порождает однозначно
определенные гомоморфизмы ф: Я->Я';-(р: Я'->91,
тождественные на X; тогда qnjj есть гомоморфизм из §1
в Я, тождественный на X, а фф — гомоморфизм из §Г
в Я', тождественный на X. Так как тождественные
отображения id|5j| и id|M'i также являются
гомоморфизмами, тождественными на X, то из свойства
единственности получаем, что qn|> = id|«|, -фф = id(«' |.
Следовательно, 91 = 91' и §1 порождается множеством X. Тогда
любой элемент а ф 0я можно представить в виде («),
используя дистрибутивность и свойство: для F a F'
( П хА U ( П хг) = П XI.
Для доказательства однозначности представления (*)
построим некоторую дистрибутивную решетку S3
следующим образом.
Для любого множества S через Pa(S) обозначим
семейство всех конечных подмножеств 5. Рассмотрим
множество С ^ Р<л(Р<л(Б)\{0}), т. е. класс всех
конечных семейств непустых конечных подмножеств S.
Определим на С две операции U и П; для 50 =
= {Fi, .... Fn), Si={Oi, .... Gm}sC
s0 и Si ^s0и Si= ^' ^n> ^ь •¦¦• ^«Ь
So П S,чь{Ft UG,| /=1 n; /=1 tn).
Легко проверяется, что в алгебре <С, и,П>
выполняются тождества 1—3, 2'—3', тождество
дистрибутивности, но, вообще говоря, не выполняются законы
поглощения (тождества 4 и 4') и тождество Г.
На множестве С определим отношение
эквивалентности ti так:
<S0, SOsTj
s S, (G s /0 A VG e= S,3F sS0(fsG),
Для S &C через Sv- обозначим множество всех
минимальных элементов частично упорядоченного множества
64 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 8
<S, s>. Легко проверяется, что (So, Si) e ц <s=>So =S*i
и что (So, So) e т).
Отношение tj сохраняет операции U и П; поэтому
на фактор-множестве С/г\ можно задать операции U, П
так, что lSo]4U[S1]T1 = [SoUSi]T1 и [So]4 П [Si], =
= [So П Si] „. Фактор-множество С/т) можно
отождествить с множеством В^= {S^|SeC}sC, а операции
на В задать так: So U Si ^(S0U Si)*1, So П Si ^= (So П
nSi)i\ Алгебра Э = <fi, U, П> уже будет решеткой,
причем дистрибутивной; 0 —ноль решетки 8.
Отображение хъ>—» {{|}} efi для |еВ должно продолжаться
п
до гомоморфизма ф из 91 в Э. Тогда для а = LJ ( П л;
представленного в виде (*), <р(а)= {Fu ..., Fn} e В.
Отсюда легко вытекает единственность представления а
в виде (*) и то, что ф есть изоморфизм 91 и 58. ?
§ 2. Дистрибутивные решетки с относительными
дополнениями. Категория Do
Наиболее изученным классом дистрибутивных
решеток является класс булевых алгебр. Однако категорные
свойства булевых алгебр не являются вполне
удовлетворительными. Так, хотя гомоморфный образ булевой
алгебры вполне определяется ядром гомоморфизма, но
ядро — идеал булевой алгебры, как правило, само
булевой алгеброй не является. Поэтому представляется
целесообразным рассмотрение более широкого класса
дистрибутивных решеток, который сохраняет большинство,
хороших свойств булевых алгебр и обладает лучшими
свойствами замкнутости.
Пусть 91 = <Л, U, П, 0> — дистрибутивная решетка
(с нолем, как было условлено в предыдущем
параграфе), а<&е/4; элемент се Л называется дополнением
а относительно Ь, если сП а = 0 и aU с ¦= Ь. Заметим,
что если дополнение существует, то оно единственно.
Действительно, пусть d\~~\ а== 0, с П а = 0, aU d= b,
a\Jc = b; тогда d = d П b = d П (a U с) = (d П a) U
LJ (d П с) = О U (d П с) = d П с, т. е. d ^ с; аналогично
с ^ d и с = й.
f Я КАТЕГОРИЯ »„ 85
Дистрибутивную решетку 91 назовем дистрибутивной
решеткой с относительными дополнениями, если для
любой пары элементов а ^ b существует дополнение а
относительно Ъ. Если % — дистрибутивная решетка с
относительными дополнениями, то единственность
дополнения, отмеченная выше, позволяет определить на 9(
двухместную операцию а \ Ъ так, что выполнены
тождества:
хП(у\х) = 0, x\J(y\x)~*xUy.
Во всякой дистрибутивной решетке с
относительными дополнениями выполняются следующие тождества:
1) х\у = хП(х\у);
2) (x
3) (х
4) x\(ylJz) = (x\y)n(x\z);
5) х\(уП z) = (x\ y)U(x\z);
6) (xny)U(x\y) = x.
Установим для примера справедливость тождеств
1), 2) и 5). В доказательствах будем пользоваться
следующим свойством: элемент х\у однозначно
характеризуется как такой элемент г, что гП«/=0 и г\Лу =
= xUy.
1) [*П(.к\г/)]Пг/ = *П[(*\«/)Пг/] =
= х П 0 = 0;
У U [хП (х \ y)] = (yU х) П (у U (х \ «/)) =
= (yUx)n(yUx) = yUx.
Следовательно, х\у = хГ\(х\у).
2) [(x\z)
= OLJO = O;
[(х \z) U (и \
-= (* \ z) U г/ U z = [(* \ z) U z] U у =
66 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. S
Отсюда и следует, что (х U у) \ г = (х \ г) U (у\г).
5) [(х \y)U(x\г)] ПA/Пг) = [(х \у)П(уПг)] U
U [(х \г)П(уП г)] = [((х \0)ГМП2]|_|[((х \г)Г\г)Пу]=
= [О П г] U [О П г/] = О LJ 0 = 0;
[(х\у) |_| (х \ г)] U (г/ П г) = [(* \ г/) U (х \ г) U г/] П
П [(х \ у) U (х \ г) U г] = [х U 0 U (х \ г)] П
П [(х \ у) U х U г] = (х U у) П (х U г) = х U (г/ П г).
Предпоследнее равенство вытекает из тождества 1):
так как x\z^x (x\y ^.x), то x\J(x\z) = x (x\J
LJ (х \ у) = я). Установить тождества 1)—5) можно
легко еще так: нужно проверить, что при изоморфном
вложении St: Ч-+°и(Щ выполнено соотношение
St (а \ Ь) = St (а) \ St (b) = Ха \ Хь, здесь справа \ —
теоретико-множественная операция разности. Для
теоретико-множественных операций U> П> \ тождества
1)—5) хорошо известны.
Дистрибутивные решетки с относительными
дополнениями будем рассматривать в сигнатуре <|_1, П, \, 0>.
Заметим, что гомоморфизм <р: 9(->§Э дистрибутивных
решеток с относительными дополнениями в сигнатуре
<и,П,0> сохраняет и операцию \, т. е. является
гомоморфизмом и в сигнатуре <и,П,\,0>. Действительно,
пусть а, Ь, с^А, а П с = 0, а U с = а U Ь, т. е. с =
= Ь \ а; тогда 0 = ф@) = ф(а П с)= ф(а)П ф(с),
ф(а) U фF) = ф(а U *) = ф(а U с) = ф(а)иф(с) и
ф(с)=фF)\ф(а).
Класс всех дистрибутивных решеток с
относительными дополнениями и класс всех гомоморфизмов между
ними образуют категорию 2H дистрибутивных решеток
с относительными дополнениями. Запись Я е S>0 будет
обозначать в точности, что 91 — дистрибутивная решетка
с относительными дополнениями.
Если ЯеЗ)о и Я содержит наибольший элемент, то
SI называется булевой алгеброй. Булевы алгебры часто
рассматривают в сигнатуре <LJ, П, с, 0,1>, где U, П, 0
имеют тот же смысл, что и в 2>0; значение константы 1 —
наибольший элемент, а с — одноместная операция,
связанная с \ так: сх = \\ х.
Сформулируем теперь совокупность утверждений,
известных как теоремы о гомоморфизме.
i 2} КАТЕГОРИЯ % б?
Пусть %, S3 е 3H; множество всех гомоморфизмов из
Я в S3 обозначим Нот {%,Щ. Ядром гомоморфизма
Ф е Нот (Я, S3) назовем множество Кег <р =^= {а \ а е
s|St|, ф(а)= 0}. Легко проверяется, что Кег ф
является идеалом Я.
Предложение 1. Всякий гомоморфизм ф: 9С —>-S3
можно разложить в произведение проекции р: %,-+
->• 9(/Кег ф (р (а) ^ [а]ЧКег Л и изоморфного вложения ф„:
93 ( )
ф (ф ф%р)
Предложение 2. Ясли / — идеал Яе3H, го сг/-
ществует естественное взаимно однозначное
соответствие между подрешетками решетки й// и подрешет-
ками %, содержащими J, причем при этом соответствии
идеалы соответствуют идеалам.
Доказательство предложения 1.
Определим сначала гомоморфизм ф»: 9(/Кегф—>SS. Если
<а0, ai> erjKerq), то существует сеКегф такой, что
aoLJc = aiUc; тогда ф(ао)= ф(ао)й 0 = ф(ао)и
иф(с) = ф(ао1_1с) = ф(а1 U с) = ф(й]) U ф(с) =
= ф(а0и 0 = ф(а1).Следовательно,ф^а^ J=fo(a)}.
Полагая ф,([а]„ г )=^ф(а). получаем корректно
определенное отображение ф*: А/г\к<-т^-*-В. Легко про^
веряется, что ф„ — гомоморфизм из St/Кег ф в S3,
Покажем, что ф» — разнозначное отображение. Пусть
q>*([ao]) = q>»([ai]), тогда- ф(ао) = ф(аО = ф(ао)и
Uq>{ai)=*(f>{aoUai). Пусть Co=^(aoU ai)\ a0, тогда
ф(со) = ф(аоиа1)\ф(ао)= ф(ао)\ф(ао)= 0, т. е.
Со е Кег ф. Аналогично С\ =^= (a0 U а\) \ а\ е Кег ф;
следовательно, с^ь Со U и е Кегф. Далее, a0LJc = (a0U
U co)U Ci = (a0U oi)U Ci = a0U ai, поскольку ci ^
<a0LJai; аналогично ai U с = a\ U(ci U c0) = (ai U
Uci)Uco = (aoU ai)LJco= aoU ai. Так как се
еКегф, то <a0, ai>e Лкегф и [ao] = [ai]. ф = ф»р
следует из определений (ф„р (а) = ф, ([а]„Кег j = ф (а))- П
Доказательство предложения 2 осуществляется пря-
мой проверкой и поэтому оставляется читателю. ?
Категория ©0, очевидно, замкнута относительно
прямых (декартовых) произведений, т. е. Ц 91, е Ъп для
любого семейства %i e S)o, i e /.
58 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
В категории ®0 существуют и прямые суммы любых
семейств {9t,|ie/}. Определим ]? % как подрешетку
решетки П ^и состоящую из всех / е П 151, | таких,
что Н | f (i) Ф О (== 0я Y} конечно. Имеются естественно
определенные изоморфные вложения Рг: %{-*¦ ^ 51^,
определенные так:
и , если у фг,
/ если /=,
Прямая сумма 91= ? 21г (вместе с вложениями
Р*: Я,->Я, ie/) характеризуется следующим свойством:
для любой решетки S3 е ?>0 н любых гомоморфизмов
Ф,-: Я,->8Э гакндс, что ф/(Я.-)Пф/(Я/)= {0} для i=?j<=I,
существует единственный гомоморфизм ф: Я->83 такой,
что фг = фЗг для всех i e /.
Категория 3>о замкнута и относительно прямых
пределов прямых спектров. Если </, «О — предупорядочен-
ное направленное множество, %i, ie/, — семейство
решеток из So, ф(/: %-*~Щ (i ^ /)—гомоморфизмы,
удовлетворяющие условию фгг = id, я ,, ф,л = ф;Афг/ для
то существуют решетка 91 (^Нт{91г |фг/})
в S)o и гомоморфизмы фг: Я,->-Я, is/, такие, что для
любой решетки §ЭеЗ>о, любого семейства
гомоморфизмов \\ц: Я,->-Э, ie/, удовлетворяющих условию г|>,- ==
«= ¦ф/Ф// для i ^ /, существует единственный
гомоморфизм -ф: 91 —»S3 такой, что ¦>]),• = трф; для всех i e /.
Существование прямых пределов прямых спектров
алгебраических систем было установлено в первой
главе. Единственное, что нужно проверить (это
оставляем читателю), — это то, что прямой предел решеток
из S>o является решеткой из 3>о-
Категория 3>о с алгебраической точки зрения
является многообразием, т. е. классом алгебр,
определяемых тождествами (такими тождествами для 2H
являются тождества решеток, тождество дистрибутивности,
тождество хП0 = 0 и тождества, определяющие
операцию \ (см. начало параграфа)). Из общих свойств
§ 21 КАТЕГОРИЯ 3)„ 59
многообразий (см. книгу [12]) следует, что в категории
3>о имеется и свободное произведение произвольного
семейства % е S>o> i е /. Свободное произведение — это
решетка 21= YV% (вместе с гомоморфизмами <ш:
%i-+ 91) такая, что для любой 8еФ0 и любого
семейства гомоморфизмов ф;: $<•->-Э, ie/, существует
единственный гомоморфизм tf>: 91 ->5В такой, что t|n = фгр,-
для любого i е /. Легко понять, что тогда <р, будут
вложениями, т. е. можно считать, что % ^ 9С и что %
порождается множеством U | % |.
is /
Для элемента ае|9(|, как и в предыдущем
параграфе, й обозначает'главный идеал
91 1 б й
{а'
{а'
а} ре-
}
шетки 91; через ах обозначим семейство
Вместо а П Ь = 0 будем часто использовать запись
а ± Ъ и говорить, что а и 6 ортогональны. Легко
проверить, что а1 является идеалом решетки 9С.
В теории решеток имеется понятие, двойственное
понятию идеала, — понятие фильтра.
Пусть 0=т^ф?|91|, 9tsSH; назовем Ф фильтром
в 91, если выполнены следующие условия:
2) а,1Г<='ф=фаП 6<=Ф.'
Со всяким фильтром Ф решетки 9С можно связать
отношение конгруэнтности х\ф так: для а, Ь s 9С
Однако, как это следует из теорем о гомоморфизмах,
это отношение конгруэнтности должно определяться
и некоторым идеалом. Нетрудно проверить, что таким
идеалом будет идеал (что тоже нужно проверять)
Укажем теперь полезное семейство разложений
решетки 9leS>o в прямую сумму (или прямое
произведение, что одно и то же для конечного числа слагаемых).
Предложение 3. Отображение /»ь>(аП6,
b \ а> задает изоморфизм решетки 91 на решетку Э ^=
а
-1-
Дистрибутивность решетки и тождества 1), 2)
показывают, что указанное отображение есть гомоморфизм.
Так как (а П b)U(b\ а) = (a UF \ а))П(Ь U
60 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
U(ft\fl)) = (flU6)riA = i, то это отображение есть
изоморфное вложение (в ноль О8 = @, 0) переходит
только 0я.)Остается показать, что это отображение есть
отображение на. Пусть с0 ей, С\ е а1; тогда для b ^
^ со U ci а П Ъ = а П (с0 U Ci) = (а П с0) U (а П Ci) =
= Со U 0 = Со и b \ а = с\, так как с\ П а = 0, С\ U
U a = CiU(coUa) = (coUci)Ua = 6 U a = a LJ 6.
Следовательно, образ Ь есть <с0, Ci). П
Категория ©0 обладает рядом свойств, делающих ее
похожей на категорию абелевых групп. Опишем,
например, семейство всех расширений решетки Do e Фо с
помощью D\ e ©о.
Перейдем к точным определениям. Будем говорить,
что D есть расширение Do с помощью D\, если Do есть
идеал в D и D/Do изоморфно Du Расширения будем
отождествлять с точными последовательностями вида
Точность последовательности гомоморфизмов D -^*
Д D' -^* D" означает, что Ima — образ гомоморфизма a
в D'— является ядром гомоморфизма P(Ima = Ker P).
Расширение
O-vDo-^D'-^A-^O
назовем эквивалентным расширению (*), если
существует такой гомоморфизм в: D->D', что диаграмма
коммутативна. Без труда проверяется, что в в этом
случае является изоморфизмом между D и D'.
Семейство всех расширений Do с помощью D\ с
точностью до введенной сейчас эквивалентности обозначим
Ext(Dn,Di). Ниже будет дано детальное описание этого
семейства, из которого, в частности, будет следовать,
что Ext (Do, Di) можно считать множеством.
Пусть D — идеал в D'. Назовем D' идеальным
пополнением D, если выполнено условие:
если SeSo и ф: D-*D — произвольное вложение D
в качестве идеала в D, то существует единственный го-
5 Я КАТЕГОРИЯ Та 6J
моморфизм ф': B-*-D' такой, что диаграмма
коммутативна (нижняя стрелка — это вложение D в D').
Предложение 4. Пусть Do — идеальное
пополнение Do, Do =т^ Do/Do', тогда между гомоморфизмами
ф: D\-*-Do и расширениями (*) (с точностью до
эквивалентности) существует взаимно однозначное
соответствие.
Пусть задано расширение (*), ему соответствует
единственный гомоморфизм ф': D-»-Do, тождественный
на Do. Факторизуя D и Do no Do, получаем
гомоморфизм ф": D\ ->¦ Do. Так получаем сопоставление диаграмме
(*) гомоморфизма ф* е Нот (D\, Do). Если е: D-*D'
устанавливает эквивалентность расширений, а
ф": D' -*- Do—тот единственный гомоморфизм D' в Do,
который тождествен на Do, то ф"е = ф' и
индуцированные гомоморфизмы ф': D|-»-Do, ф*: D\-*-Dl связаны
соотношением ф'* = ф*, так как при факторизации D
и D' по Do e переходит в тождественное отображение
D\ на себя. Итак, наше соответствие задает отображение
Ext (Do, Di)-*Hom(Di, Do).
Покажем, что это есть отображение на. Пусть
Ф*: Di-»-Do — гомоморфизм. Рассмотрим подрешетку Dv*
решетки D\ X Do, определенную так: D<p»=^ {{d\, do) \y*d\ =
= pdo}\ здесь p: Do-*-Do — факторизация Do no Do. Легко
проверяется, что Ьф« е 25О- Докажем, что Dv* содержит
идеал / ^ {@, d) \ d s Do}, изоморфный Do (a: d\—> @, d) —
изоморфизм Do на /), и D^/Ia^Di. Действительно,
пусть Р". Djp» -*-Di — проекция на первую координату.
Ясно, что образ 0 — это все Du так как р есть
отображение на. Ядром гомоморфизма р является, очевидно, /,
так как если @, d') е /)ф«, то pd' = 0, следовательно,
d' s Do и @, d') s /. Итак, имеется точная
последовательность
O-vDo^D^-l+D.-vO. (+)
62 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ |ТЛ. »
Легко проверить, что гомоморфизмом из D\ в Do,
соответствующим расширению (+). является <р*.
Покажем теперь, что если <р* соответствует и
последовательности (*), то (*) и (+) — эквивалентные расширения.
Элементу ueD сопоставим пару <г|>а, <pa>, где
ф: D->- Do — гомоморфизм, тождественный на Do.
Проверим, что (i|>a, фа) е Dp»; но р<ра = ф*г|>а по
определению. Соответствие аи—»<\|эа, фа> обозначим через в.
Ясно, что это гомоморфизм, устанавливающий
эквивалентность расширений (*) и (+). Отсюда сразу
следует, что если двум расширениям соответствует один
и тот же гомоморфизм ф*: D\-*-D*o, то эти два
расширения, будучи эквивалентными одному и тому же
расширению (+), будут эквивалентны и между собой.
Итак, Ext (Do, D\) можно отождествить с Нот (Di, Do). ?
Для завершения описания Ext(Do,D\) достаточно
теперь установить, что для каждой решетки Do e ®0
существует ее идеальное пополнение (единственность
которого вытекает из определения).
Для любой дистрибутивной решетки D (с нолем, но
не обязательно из 3H) через J(D) обозначим семейство
всех идеалов D (включая «несобственный» идеал —
саму решетку D). Это семейство является
дистрибутивной решеткой относительно операций /0 U j\ ^{aLJ
U b | a e jo, b e /i} и j0 П /i =?= jo П j\
(теоретико-множественное пересечение). Отображение а>->й есть
вложение D в </(D),U, П,0>. Пусть D' — это семейство всех
локально главных идеалов, т. е. таких идеалов / (из
J(D)), что пересечение / с любым главным идеалом
является главным идеалом (УаЭб (/П ? = &)). Примером
локально главного идеала может служить всякий идеал
вида a1, aeD; в частности, сама решетка D является
локально главным идеалом. Легко проверяется, что D'
есть подрешетка /(D), содержащая все главные идеалы,
т. е. образ D при отображении а>—>&.
Предложение 5. Если Dg^, to D'e©0 «
D -^> D' есть идеальное пополнение D.
Заметим, что D' содержит наибольший элемент,
а именно D, так как Df\d = a. Поэтому достаточно
установить существование дополнения до D для любого
элемента /eD'. Пусть у1 =^ {а | а е D, а_1_6 для лю-
« 2) КАТЕГОРИЯ *>„ 63
бого Ь е /} = П bL. Ясно, что /^ является идеалом
be i
и что /П/±= {0}. Покажем, что /J-efl', Пусть ае?>
и d Л / = #• Пусть с =?= а \ 6. Проверим, что /-1 П & = ?•
Пусть dе/, тогда сП(/ = (о\6)Пс( = (аПс()\6=>
= 0; следЬвательно, cs/1 и /-1- П <2 а ?. Пусть d ш
<= I1 П й, тогда й^аийПЬ = 0, так как бе/, rfe /х;
тогда d=and = (&Uc)nd = (&nd)U(cnd)=>
= с П d и d < с. Итак, /-1 Л & = t и j1 e D'. Покажем
теперь, что / U /-1 = D. Пусть d e Z) и 31"| / = Й(>, т0ГДа
di^d\doe=!\ d=doUdi<=jUj1 и D = /LJ/X.
Итак, /)'eS0; установлено даже, что D'—булева
алгебра.
Пусть <р: D —> D — вложение D как идеала в
некоторую решетку 6еЗH. Для ЗеЛ полагаем <р'(й)ч*
^= {d|ds D, фй ^ Я}. Ясно, что ф'(Я) — идеал D. Если
oeD, то пусть 6еД таков, что ф =¦ фа П Я; тогда
легко проверяется, что ф' (Я) П й = б. Следовательно,
ф'C)ей' и ф': D->D' — такой гомоморфизм, что
диаграмма
коммутативна. Остается только проверить
единственность ф'. Пусть ф": D->D' также удовлетворяет
условию ф"фа = й для всех sefl. Из определения ф' и
монотонности ф" легко следует, что ф'Я ^ ф"Я для любого
Я. Предположим, что ф'Я Ф <f для некоторого Я. Пусть
а <= ф"Я \ ф'Я (здесь \ означает
теоретико-множественную разность). Пусть b e D таков, что й {] ф'Я = Ь.
Так как а ф ф'Я, то Ь Ф а. Кроме того, фа <t Я и ЯП
П фа =^= (pb. Применяя ф" к этому равенству, получим
ф"Я П ф"фа = ф"фЬ, т. е. <f"uf\a = 6 и а ф ф"Я.
Пришли к противоречию. П
Замечание. Полезным дополнением к описанию
всех расширений является следующая характеризация
расширений, являющихся булевыми алгебрами:
В расширении (*) D является булевой алгеброй
тогда и только тогда, когда D\ — булева алгебра, а со-
64 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
ответствующий этому расширению гомоморфизм D\ -*¦ Do
является гомоморфизмом булевых алгебр, т. е.
переводит наибольший элемент D\ в наибольший элемент
Do. О
Предложения 4 и 5 показывают, что Ext(?>o, Di)
можно отождествить с множеством Horn (D\, Do).
Заметим, что на множестве всех гомоморфизмов Hom(Z), б)
решеток D, D из ®0 можно задать частичный порядок,
полагая Фо^ф1 =^ Vd е Z) (фОй ^ ф^). Этот порядок
имеет наименьший элемент, хотя, вообще говоря, не
задает на этом множестве структуры решетки или даже
полурешетки. Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 1. Пусть D ^ Р({0,1}) — четырехэлемент-
ная булева алгебра, D^D и фо, q>i: D-*-D определены
так, что Фо({О})= {0, 1}, Фо({1})=0; ф1({О})=0,
ф1 ({1}) = {0,1}; тогда в Hom(D,D) не существует
гомоморфизма ф такого, что ф ^ фо, ф1. Действительно,
если ф^фо, Фь то ф({О})^фо({О})= {0,1}, ф({1})>
><Pi({l})= {0,1} и 0 = Ф@)^ {0,1} Л {0,1} = {0,1}.
Получаем противоречие.
Пример 2. Пусть D ^ Р* (со) — решетка всех
конечных и коконечных (т. е. с конечными дополнениями)
подмножеств множества со. Любая перестановка К: (о->
->(й порождает естественно определенный автоморфизм
Фь решетки D. Пусть ф0 — тождественный автоморфизм,
а ф1 — автоморфизм, определенный такой
перестановкой %, что множества М ^ {п \ "кп = п} и ш\М
бесконечны. Покажем, что ф0 и ф1 не имеют точной нижней
грани. Пусть ф ^ фо, <pi; так как ф ^ фо, то ф({/г})е
г {/г}. Пусть /СФ =тЬ {п|ф({п})= {/г}}. Покажем, что
гомоморфизм ф однозначно определяется множеством К<р,
а именно что для любого Se?> фE)=5ПКф.
Действительно, если n e S \/Or, то q((S\ {n})\j {n}) =
= ФE\ {/г})иФ({п}) = ФE\ {n})sS\ \n), так как
Ф ^ фо; следовательно, фE)^5|"|/0р. Если n^S[\K<p,
то <p(S) = <p(SU{n}) = <p(S)U<p({n}) = <p(S)U{n}, т. е.
n^y(S). Итак, фE)=5|"|/0ф. Отсюда следует, что К<?
должно быть конечным; действительно, если пфМ, то
ф({п})?=фО({п})Пф1({л}) = 0, так как ф1({/г}) =
= {%п} и "Кпфп (пфМ), следовательно, /Сф = М
и ф(ш) = (of! Кч = k<f\ если K<t бесконечно, то
<о \ /Сф э ю \ М бесконечно, но тогда К<ц бесконечно
5 2) КАТЕГОРИЯ Ф» 6Й
и не конечно, следовательно, /Сф ф D; получаем
противоречие. Игак, /Ср конечно; пусть К^М конечно и
собственно содержит множество /СФ; полагая qp^S)^
^= SП К для SeD, получим гомоморфизм q/ решетки D
в себя; ясно, что q/ ^ фо, Ф1 и ф < ф'; следовательно,
Фо и ф[ не имеют точной нижней грани в Hom(D, D).
Тем не менее полезную информацию из такого
описания Ext можно извлечь. Укажем некоторые
очевидные следствия этого описания:
1. Ext (Д П*ДЛ^ П Ext(D, Dt).
2. Ext (Do X D,, D) ~ Ext (Д>, D) X Ext (D,, D).
Последнее соотношение вытекает из легко проверяемого
соотношения (Do X D\Y — D'o X D[ и его следствия
(D0X^,r~D3XDl. D
Упомянутое выше соотношение (DoX Di)'=^J5oX^i
является следствием более точного утверждения:
Предложение 6. ( ? DiV~ Д Di.
\i €=/ / iS/
Считая, что D,-^ X Dt, проверим, что идеал /3
г <=/
^ Yj Di является локально главным тогда и только
i <= I
тогда, когда /(") D; — локально главный идеал D* для
любого i e /. Проверим это в нетривиальную сторону:
пусть jf\D{ является локально главным идеалом для
п
любого ie/. Пусть flG ^ D,-; тогда a = \_]as, где
as e D{ , s = 0 га; Аь • • • i *n — различные индексы из
п
I и ЙП/ = и(^П/); так как ds()j = Ba &пя некоторого
bs^Di, s = 0, ...,ra, то d П /= I I 6S и / — локально
главный идеал X ?>*• Заметим еще, что если и —
произвольные идеалы Dt для всех ге/, а;- идеал решетки
X Dj, порожденный множеством U 'и, to\[\D1 = \1 для
(е/ ie/
всех t е /. Отсюда уже и вытекает утверждение. Q
66 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ, 3
В заключение параграфа рассмотрим два примера
того, как могут быть устроены идеальные пополнения.
Пример 3. Если D — булева алгебра, то D' ~ D.
Действительно, если а — наибольший элемент, / е
е/)', то /ПД —/П? = / должно быть главным
идеалом, т. е. / = д для некоторого 6eD. D
Следствие. Всякое расширение D булевой
алгебры Do с помощью любой решетки D\ e So расщепляемо,
т. е. DaeD0+ D\.
Действительно, всегда существует расширение О-*-
-»i>o->-Z)o + Z)i-*-Di-»-O. Если же Do — булева алгебра,
то Do = Do/Dp — нулевая решетка и поэтому существует
единственный элемент в Ext(D0, Di) = Нот (A, Do). О
Пример 4. Пусть S — бесконечное множество, D ^'
^ (P®(S), П, U,\, 0> — решетка всех конечных
подмножеств S; тогда D' изоморфна </>E), U, П,\, 0> —
решетке всех подмножеств S.
Заметим прежде всего, что D' = J(D), т. е. любой
идеал / решетки D удовлетворяет условию Va36(/D
П й = В); действительно, для oeD положим Ь ^
5^= {s| s e a, {s} е /}, тогда / П & = Ь.
Для /е/(D) пусть а(/)^ U eei>(S); легко про-
верить, что а — гомоморфизм из D' в< P(S), U, П, \, 0>.
Для SoezP(S) пусть p(S0)=^= {a|aeP(B(S),asSo};
Р(So) —идеал и 0 — гомоморфизм из </>(S),U.n.\. 0>
в /)'. Проверим, что р<х(/) = / для любого у е/(?)).
Включение /spa(/) очевидно из определений. Пусть
во= {sii«2i .... «я} ера(/), т.- е. а0 ^ U fl: тогда
as /
Существуют ai ans/ такие, что s^ea/, i=l, ...
..., п; так как / — идеал, то aiU ... [}an^j, но aoS
eaiU ••• U fl/ii следовательно, aoe/. Равенство
Pa(/)=/ доказано. Аналогично проверяется, что
ap (So) = So для любого So S S. Таким образом, аир —
взаимно обратные изоморфизмы. ?
§ 3. Линейный базис. Суператомные решетки
Начнем с рассмотрения одной общей конструкции
дистрибутивных решеток с относительными
дополнениями. Пусть 3? = <L, ^,0> — линейно упорядоченное
§ S) ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 67
множество с наименьшим элементом 0. Интервалом &
назовем всякое подмножество L вида [a, b)^ {c|ceL,
а ^ с, с <С Ь}; а, Ь е L (если Ь ^ а, то ясно, что [а, Ь) =
= 0; поэтому без дальнейших оговорок, используя
запись [а, Ь), будем предполагать, что а <С Ь или что
а = Ь = 0 для пустого интервала). Рассмотрим подре-
шетку D<g решетки <P(L), f|,U, 0>, порожденную всеми
интервалами.
Лемма 1. Решетка D# имеет наименьший элемент
и относительные дополнения, т. е. D<e e ©о-
Из определения интервала видно, что пересечение
двух интервалов также является интервалом, а также
то, что объединение двух интервалов, имеющих
непустое пересечение, само является интервалом. Интервалы
[а, Ь) и [с, d), как легко проверить, имеют пустое пере- .
сечение тогда и только тогда, когда выполнено одно из
двух условий: Ь ^ с или d ^ а. Из сделанных выше
замечаний вытекает, что любой элемент d из D<e
однозначно представим в следующем виде:
1) d = 0, тогда d = [0,0);
2) dф0, тогда существуют п > 0, элементы а\, ,..
,,., а„, Ъ\, ..., Ьп е L такие, что
п
ai<bi<a2<b2< ... <an<bn и d=\J [at, bt). (*)
t-i
Если a ^ a\ < b\ < ... <an<bn^.b, то дополне-
n
нием элемента d ^Ф \J [at, bt) до элемента [a, b) будет,
очевидно, элемент [a, a{) JJ [bu a2) U ... U [bn-u an) U
U [bn, b). Так как любой элемент из D# содержится
в некотором интервале, то можно считать, что лемма
уже доказана, потому что из do ^ d\ ^ d2 и того, что
с — дополнение d0 до d% следует, что c[\d\ есть
дополнение da до d\. D
Отметим, что D& порождается в P(L) интервалами
как подрешетка в сигнатуре <|J, П>. Если же
рассматривать Dy как прдрешетку P(L) в сигнатуре <LJ, П,
\,0>, то Dy порождается еще меньшим множеством,
а именно интервалами вида [0, a), a e L.
Действительно, если a^.b^L, то [а, Ь) = [0, Ь)\ [0, а).
Семейство интервалов {[0, а) \а е L) — линейно упорядо-
68 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
ценное подмножество решетки Dg, и отображение а ь->
ь->[0, а) является изоморфным отображением SB в D?.
Предложение 1. Пусть & = <L, <, 0> —
линейно упорядоченное множество с наименьшим элементом 0;
тогда для любого монотонного отображения <р из 2?
в D е ®о. сохраняющего 0, существует единственный
гомоморфизм ф„: D#-*D такой, что <р»([0, а)) = <р(а)
для а е L; если <р разнозначно, то ф» — изоморфное
вложение.
Определим отображение ф„: D#->D так:
для aj^&i an^bn^L. Любой элемент из D<e
есть объединение интервалов; поэтому, проверив
корректность определения ц>„, получим отображение из Dx
в D. Итак, проверим, что если ai^bu ..., an^bn, a{<!
<«,..., a'k < 6i s L и U [а„ 6,) = Ц [«/> */). то
л ft
и(ф(**)\ф(а|))=|_1(ф(*/)\ф(а/)). Пусть a<bt=L и
п
[а, 6) s U [at, bt); если 6; е [а, Ь) для некоторого /, то
существует такое /', что Ь{ е [а/, 6/), т. е. aj^b{ <. bj.
я
Так как ae)J [a*, 6/), то существует i0 такое, что
а е [а{„ bio); если b^bh, то [а, 6) г [а*„ &«„); если 6io < &>
то bu s [а, 6) и по отмеченному выше существует п
такое, что biu е [а*,, 6/,), т. е. а/, ^ bi, < 6j,; далее, либо
b^.bt,, либо 6/, < Ь, ... Поступая таким образом,
получим конечную последовательность индексов г0, iy ...
..., f*e{l, ...,«} такую, что aio<a<6io; ai^b^K
< bij ...; a^ ^ 6/ft_l < bik, b ^ 6{ft. Покажем, что тогда
U (ф, (&,) \ Ф (а,)) > У (Ф Ff/) \ Ф (af
§ Я ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 69
Лемма 2. Если D e S)o; a, b, с, d^D; a ^.b, с ^
t^b^d, то (b\a)\J(d\c)^(d\a).
Это соотношение легко устанавливается для решетки
(P(S), U, П. \» 0>! дальше нужно воспользоваться
вложением St решетки D, которое, как отмечено в
предыдущем параграфе, сохраняет и операцию \. D
Так как <р — монотонное отображение, то имеют место
соотношения <p(a«0)<<p(a), <р (а*0) < ф (bi0), ()<
). Пользуясь соотношением леммы 2, устана-
вливаем, что LJ (ф (btj) \ ф (af/)) > ф (bik) \ ф (aio); так как
V(ato)<v(a) и ф(&ХфF«й), то ф (bik) \ <p (ai)
\ ф (а). Итак, если [a, 6)s U [аь 6г), то ф (b) \ ф (а
=^LJ (ф(&г) \ф(аг)); следовательно, если И Wi, bj)e,
'"' ft n /=1
s Д [a*. **), то LJ (ф (b'j) \ ф (ad) < U (Ф (bt) \ Ф (a,)).
Отсюда следует корректность определения ф» и то, что
это отображение монотонно. Как легко проверяется,
подмножество ф„ (Dg) является подрешеткой решетки D;
следовательно, из монотонности ф» вытекает, что ф*
сохраняет операции U, П и операцию \. Итак,
является гомоморфизмом решетки D<e в решетку
Единственность ф* очевидна, так как элементы [0, а)
порождают D#. Если ф разнозначно и а < b e L, то
ф(а)<ф(Ь) и ф*([а, Ь)) = фF)\ ц{а)ф 0; отсюда
сразу следует, что ядро отображения ф« равно {0};
следовательно, ф* — изоморфизм из D<e в D. ?
Таким образом, каждое монотонное отображение 3?
в А сохраняющее 0, порождает гомоморфизм изД? в D;
наоборот, каждый гомоморфизм ф: D^->D задает
некоторое монотонное отображение ф из 9? в D,
сохраняющее 0 (ф есть композиция вложения а*—>[0, а)
и гомоморфизма ¦ф), и, как легко проверить, ф = ф».
Через 60 обозначим категорию линейно
упорядоченных множеств с нулем и монотонными отображениями,
сохраняющими 0. Конструкция & н-»> D? задает функтор
Я, из категории 60 в категорию So. Этот функтор уже
ТО РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
определен на объектах 8о (М-^О^А*); на морфизмах
ц: & -*¦ $' его определяем так: ц индуцирует
монотонное отображение ц' из 9? в /V (ц' есть композиция ц
и вложения 2" в АИ; тогда к (ц) =?ъ ц^ — гомоморфизм
из Dy в D<e', определенный в предложении 1 по
монотонному отображению ц': i?-»-?V (сохраняющему ноль).
Пусть Ое% LsD — линейно упорядоченное
подмножество D, содержащее 0 и порождающее D; тогда
множество L назовем линейным базисом решетки D. Из
предложения 1 следует, что если LaD — линейный
базис D и 3? ^= <L, <;,0>, то D изоморфна решетке Д*.
Оказывается, что решеток D е 3H» обладающих
линейным базисом, не так уж мало.
Предложение 2. Bcd/шя не более чем счетная
решетка D е Фо обладает хотя бы одним линейным
базисом.
Пусть ао = 0, а\, аь ... — последовательность (быть
может, с повторениями) всех элементов решетки D.
Будем строить последовательность Lo s L\ s ... конечных
линейно упорядоченных подмножеств так, что подре-
шетка (Ln)D решетки D, порожденная множеством Ln
(как решетка сигнатуры <U, П, \>), будет содержать
элементы ао, а\ ап.
Полагаем Lo= {а0} = {0}.
Предположим, что Ln уже построено (Ln — конечное
линейно упорядоченное множество и ао, ..., ал^(^л)о).
Пусть Ln = {Ьо bk) и bo < Ьх < ... < Ьк;
полагаем
(ап+1П bi+l) U bt, t — 0 k— 1;
LJ &*;
тогда
f = 0 fe— 1, и
Индукцией по / < k установим соотношение
i
LJ (c2i+i \ c2i) — an+\ П bi+x.
Линейный базис. супёраТомные решетки ?1
б) если /+KbLJ (c2t+i \c2t) = an+i П bl+u то
(
i+\ /1 \
LJ (c2t+i \ c2i) = I LJ (c2i+i \ c2l) 1 U (C21+3 \ C21+2) ==•
<-=0 \i-0 /
= (an+1 П fy+i) LJ (((an+i П fy+2) LJ fy+i) \ bt+l) —
= (an+1 П fy+i) U ((an+1 П bl+2) \ blJrl) =
= (a»+i П 6/+i) U (an+i П (bt+2 \ bt+l)) =
= an+\ П F/+i LJ (bi+2 \ bi+i)) = an+1 fl ^+2»
Тогда U(c2t+i \ c2<)=( LJ (C2t+i \ c2i) )U((an+lUbk) \ bk)=*
= (a»+i П *j) LJ (йЛ|1 \ ij) = а„+г, следовательно, если
положить Ln+i^{c0 c2k+i}, то LnsLn+u Ln+1—
линейно упорядоченное подмножество D и ап+\ &(Ln+1)D.
Если положить LФ U Ln, то LeD-линейно упо-
рядоченное подмножество и (L)o = D. Следовательно,
L — линейно упорядоченный базис решетки D. О
Замечания. 1. Если L — линейный базис решетки
D, ф: D->D' — эпиморфизм, то tp(L) — линейный базис
решетки D'.
2. Если D — свободная решетка в % с несчетным множеством
свободных Порождающих, то D не может иметь линейно
упорядоченного базиса, так как можно показать, что в свободных решетках
не существует несчетных линейно упорядоченных подмножеств.
Используя линейные базисы, установим весьма
полезный критерий изоморфизма не более чем счетных
решеток из ©0-
Пусть Do, DisSH, CsDoX^r» множество С
назовем соответствием между Do и D\, если справедливы
следующие свойства:
1) <0, 0>е=С, (а, Ь
2) (a, i)eC, cG
еД((аПс bHd), (q\c, b\d)<=C);
3) (a, J)eC, cGO0^3de
e=D,«aUc, b\Jd), (c\a, rf\6>e=C);
?2 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. i
4) (а, Ь)<=С, <*е=Д=4-Эсе=
е=Д,«аПс, bnd), (a\c, b\d)<=C);
б) (a, i)eC, ?/еД=>Эсе
е= Д,«a U с, 6 U rf>, <c \а, d\b)<= С).
Теорема. Пусть Do, Die3>0 не более чем счетны.
Для существования изоморфизма между Do и D\
необходимо и достаточно, чтобы существовало соответствие
между Do и D\.
Необходимость справедлива для произвольных
Do, DiS®o, а именно если ср: Dq-*D\— изоморфизм
между Do и D\, то С^= «а, <ра>|а е/H} является
соответствием между Do и D\.
Установим теперь достаточность. Пусть C^D0X.
XDi — соответствие между Do и Dx; Do = {с0, С\,...},
D\ = {do, d\,...}; со = 0, do = 0. Будем строить по
шагам конечные линейно упорядоченные подмножества
Lo ? L\ = ... ? Do и Но s L\ ^ ... S D] такие, что
а) для любого п, если Ln = {ао,аи ..., аи), ао<.
< а\ < ... < ак, то L^ = {60, 6Ь ..., bk), b0 < 6i < ...
... < bk', (ак, WeC и <a*+i \ a«, bl+i \6/)eC для
б) для любого п е со изоморфизм между Ln+l и
продолжает изоморфизм между Ln и L'n;
в) для любого яешсо, сь ..., cns (L2n)D<i;
г) для любого песо d0, du ..., rfn<= (L2n+i)A.
Если такие множества будут построены, то,
очевидно, Do и Di изоморфны, так как L^ \J Ln no
riso
свойству б) будет линейным базисом для Do, a
L'^ U Ln — линейным базисом для L\; свойство а) по^
леи
зволяет устроить изоморфизм линейно упорядоченных
множеств L и L'.
Обратимся к построению множеств Ln и Ln.
Полагаем Lo = Li =?ь {0}, L6 = Li^={0}.
Пусть L2n+i = {а0 «ft}. ao< ... <ak\ Un+i —
= {b0, ..., bk}, bo< ... < bk; (ak, bk) e С; (аг+1 \ a{,
b{+i \Ь{)езС, i< k.
Полагаем а-и^аи i<,k; a'2i+i^(cn+l П ai+\) Ua«,
i < k; Oik+i ^cn+iU а*; тогда a'o < af < ... < ' 4
ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 73
Заметим,что ait+i \аи = cn+in(ai+if\at) ^+г «+i
— (ai+\ \^t) \cn+i> i < k; a2ft+i \ci2k = cn+\ \ak.
Пользуясь условием 2), находим элементы d't e Д такие, что
\at) П с„+ь Fг+, \й,) П d't),
((ai+i\ai)\cn+b (bt+i\bi)\di)e=C для i < k.
Пользуясь условием 3), находим элемент d' e Д такой,
что
(ak U сп+и bk U d'), {cn+x \ ak, d' \ bk) e= С.
Полагаем теперь bU^bi, t<A; &2*+i=?=&/U((&f+i \bi)r\d't),
i<k\ bk+i =^bk\J d'\ тогда f b'o < b\ < ... < 62ft < бг'й+Г,
&2*+i \ бгг = Fj+i \ bt) П dj; 6г«+2 \ bit+\ = F,-+i \ bt) \ d't,
i < k; br2k+\ \ br2k = d' \ bk. По построению (aj+\ \a/,
b't+1 \ 6/) €= С для / < 2k + 1 и (a2'ft+i, fe'ft+i) e С. Отсюда
и из условия 1) соответствия следует, что если a'i<a'i+\
(a^a'j+i), то и bj<b/I+\f(bri = bj+1) для^ j<2k+l.
Полагая L2n+2:=^{ao, ..., au+i}, Ып+2 =^= {&о, ..., 62ft+i},
видим, что условия а) и б) выполнены, условие
в) выполнено, так как, очевидно, сп+\ е (L2n+2)D ¦
Построение Ь2п+з и Цп+зу когда построены L2n+2
и /-2п+2, осуществляем аналогично, с использованием
свойств 4) и 5) соответствия вместо свойств 2) и 3). ?
Если полусоответствием между Do и Di назовем
подмножество CeDoX^i. удовлетворяющее только
условиям 1)—3) соответствия, то справедливо следующее
Предложение 3. Если Do, Die©0. ?0 не более
чем счетно и существует полусоответствие между Dq
и D\, to Do изоморфно вкладывается в D\.
Легко следует из доказательства теоремы. ?
Пусть D eSo; отличный от нуля элемент a eD
назовем атомом решетки D, если для любого с е D из
с ^ d следует, что с = 0 или с = d. Решетку D назовем
атомной, если для любого d^OeD существует атом с
решетки D такой, что с ^ d. Элемент d^D назовем
атомным, если решетка Й является атомной. Элемент d
назовем безатомным, если решетка Й не имеет атомов.
Решетку DeSo назовем безатомной, если любой
элемент решетки безатомный.
Заметим, что 0 является как атомным, так и без?
атомным элементом.
74 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Нетривиальным примером безатомной решетки
является свободная решетка со счетным множеством
свободных порождающих. Действительно, если по, аи ...—
свободные порождающие решетки D, то последователь-
п
ность элементов по, а0Г\аи аоП^Паг. •••, П at, ...
1=0
является строго убывающей и для любого ненулевого
п
элемента d решетки D найдется такое п, что Г~|а*<^.
<=о
Укажем применения теоремы и предложения 3.
1. Если D\ — безатомная ненулевая решетка, то
любая не более чем счетная решетка Do<=®o изоморфно
вкладывается в D\.
Действительно, полагаем С ^= «О, О» U «а, 6>| О Ф
Ф аеВо, 0#isfli и Ъ — не наибольший элемент
в Di}. Легко проверяется, что С является
полусоответствием между Dq и D\. По предложению 3 Dq
изоморфно вложимо в ?>i. ?
2. Если Do, D\ — счетные безатомные решетки, не
имеющие наибольших элементов, то Do и D\ изоморфны.
Множество CsDoX^b определенное выше,
является соответствием между Do и D\. ?
3. Если Do, D\ — счетные безатомные булевы
алгебры, то Do и D\ изоморфны.
Пусть ei — наибольший элемент Dr, полагаем
СФ «О, 0>, (е0, ех)} U {(а, Ь) \а Ф 0, е0; a s Do; b Ф 0, ех;
тогда С — соответствие между Do и D\. ?
Если интересоваться только булевыми алгебрами
(и гомоморфизмами, сохраняющими наибольший
элемент), то можно несколько модифицировать
определение соответствия (полусоответствия).
Пусть Do, D\ — булевы алгебры, CeDoX^i-
Назовем С соответствием между булевыми алгебрами Do
и D\, если выполнены условия 1), 2) и 4) определения
соответствия для решеток и условие
(а, Ь)е=С***(са, cb) s С (*)
(здесь са (cb) — дополнение элемента а \Ь) в булевой
алгебре Do {Di)). Назовем С полусоответствием между
i SI ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 75
булевыми алгебрами Do и D\, если выполнены условия
1), 2) и (•).
Заметим, что если Do и D\ — булевы алгебры, то
С = /H X ^i является соответствием между Do и D\ как
решетками тогда и только тогда, когда С является
соответствием между Do и D\ как булевыми алгебрами.
Покажем для примера, как условие (*) вытекает из
условий 1)—5).
Пусть е0, в\ — наибольшие элементы Do и D\
соответственно; покажем, что <е0, е{у е С и <а,Ь>еС=ф
=Ф (а = еоФЬ = е\)&(Ь = б!=#>а = е0). По условию3)
для с = е0 и <а, Ь> = <0,0> существует d'eDi такой,
что <е0, d'y <= С; если d' Ф еи то пусть d =^= cd', тогда
d Ф 0, d П d' = 0; по условию 5) существует с' е Do
такой, что <е0U с',d' U d>, <c'\eo,d\ d'y e С; так
как с'\ео = О, то d\d' = d = O по условию 1).
Получили противоречие, т. е. d! = ei и <ео> ?i> ^ С. По
ходу было показано, что (во, d'y e C=^d' = e\.
Аналогично проверяются и остальные утверждения.
Итак, <e0)ei><=C; пусть (a,by^C, возьмем с^ео
и по свойству 3) найдем deDi такой, что <а U во,
bUdy, (eo\fl,Ai)eC; так как a U во = во. то
b\Jd = е\, но тогда
d\fc = (d|_Jfc)\fc = ei\fc = cfc и {ca,cb)ezC.
Для полусоответствий такой связи, вообще говоря,
нет; точнее, имеется импликация в одну сторону: если
С <= Do X ^i — полусоответствие между Do и D\ как
булевыми алгебрами, то С является полусоответствием
между /H и D\ как решетками.
Покажем, как условие 3) вытекает из 1), 2) и (*),
Пусть <а, by gC, d0 е Do; тогда по (*) (са, cby e С
и по условию 2) для (са, cby и cdo существует d\ e D\
такой, что (са П cdo, cb П di>, (ca \ cd0, cb \ di> e С;
тогда по условию (*) (с(са П cd0), c\cb П di)> s С,
с(са П cd0) = а U do, с(с6 П di) = Ы_1 cd\\
следовательно, <а U d0, b U cdi> е С; далее, ca \ cd0 = d0 \ а и
cb\d\ = cd\ \ 6, поэтому <do \ а, cdi \ Ь> е С;
элемент cdi e Di удовлетворяет заключению условия 3).
Предложение 3 может быть переформулировано для
булевых алгебр так.
76 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Предложение 3'. Если Do и Д— булевы
алгебры, Do не болев чем счета и существует
полусоответствие между Do и D\ как булевыми алгебрами, то Do
изоморфно вкладывается в D\ как подалгебра
сигнатуры <LJ, П,с,0,1>. П
Идеалом Фреше решетки D e SDo назовем идеал
Ф(?>), порожденный всеми атомами Д Если D
безатомная, то Ф(О)= {0}. Элементами <D(D) являются в
точности элементы, которые являются объединениями
конечных множеств атомов; для оеФ(О) через \а\
будем обозначать число различных атомов, объединением
которых будет а.
Замечание. Легко проверить, что для вгФ(D)
решетка й конечна и содержит 2'а| элементов.
Справедливо и обратное утверждение: если й конечна, то о s
Ф(/))
()
Отметим интересное свойство «поднятия»
изоморфизма для атомных булевых алгебр.
Предложение 4. Пусть Do и D\ — счетные
атомные решетки без наибольших элементов (булевы
алгебры), <р: D0/0(Do)-*Di/0(Di) — изоморфизм; тогда DO
и Д изоморфны и существует изоморфизм i|): ZH->-Z)i,
который индуцирует изоморфизм <р.
Рассмотрим случай, когда Do и D\ — булевы
алгебры, так как случай без наибольших элементов проще.
Построим соответствие между булевыми алгебрами Do
и Dj. Полагаем
С^{(а, &>|asD0, ЬеЩ, <p([a]) = [fr]; если а€= Ф(Д),то
| а | = | Ь |; если саеФ (Do), то \са\ = \сЬ\),
здесь [х] для х е D,- обозначает образ элемента х
в Д/Ф(Д), / = 0, 1. Проверим, что С — соответствие.
Условие (*) вытекает из определения С. Условие 1)
вытекает из того, что | а | = 0 <=$* а = 0. Проверим теперь
условие 2). Пусть (a,b}eC, do^D0; если а П d0
и а \ d0 не лежат в Ф (Do), то <a П do, Ь П d\), (a \ rf0,
6\di>sC для любого di^q>(\d0]), так как <р([аП
ndol) —I&ndi] ^O,9([a\do]) = [&\di]^.O. Пусть
а П rfo s Ф(Do) и n ^= | a П do\, тогда имеется по
крайней мере п различных атомов С\, ..., с„е Д,
меньших Ь (действительно, если а^Ф(До), то Ьф<Ь(О{
§ 31 ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 77
и тогда существует бесконечно много атомов, меньших
Ь\ если а е Ф (Do), то 6еФ (Do) и м^|а|*=|6|). no-
лагаем di=^|_Jcb тогда, как нетрудно проверить,
<аПй0,6П^1>, <a\d0.6\di>eC. Если аГЫо<?
9ЁФ(А>), a (a \d0)eO(D0), то для tt=^|a\do|
находим п различных атомов с\, ..., с„ алгебры Dh
меньших Ь, и полагаем d^b \11_|сг I, тогда также (аП
П do, 6 П di>, <а \ d0, Ь \ dr> e С.
Итак, существует соответствие С между не более
чем счетными булевыми алгебрами Do и D\\ по теореме
Do и D\ изоморфны. ?
Определим теперь трансфинитную
последовательность {итерированных) идеалов Фреше: полагаем
<D0(D)^{0}, <Di(D)^<D(D), ...; если Oa(D) опреде-
лен для ординала а, то Oa+i(D) определяется как
полный прообраз идеала O(D/6a(D)) при естественном
эпиморфизме D->D/<Da(D); если a — предельный
ординал и определены Фр(?>) для всех Р < ос, то полагаем
<Da(D)=^= U Ф- (D) (заметим, что из определений легко
Р<а р
следует, что a sg p влечет Oa(D)s Op(D)).
Фактор-решетку D/Q)a(D) будем обозначать Da.
• Замечание. Если pa: D->Da —естественная
проекция, то р~'(Фр (Da)) = <Da+p(D). Следовательно,
(Daf ~ Da+P.
Из мощностных соображений ясно, что для
некоторого ординала а будет иметь место равенство <Da(D) =
= <Da+i(D); наименьший такой ординал назовем
атомарным рангом решетки D и будем обозначать его
po(D), а вместо Ф {D)(D) будем использовать запись
)
Решетку D назовем суператомной, если для
некоторого ординала a (&a(D)=D (в частности, тогда
(Д) О)
() )
Отметим полезное свойство наследственности для
итерированных идеалов Фреше.
Лемма 3. Если J — идеал решетки D, то для
любого ординала а Фа (/) = / П Фа Ф) •
78 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ, J
Достаточно проверить, что Ф(/) = Jf\(D(D), и
воспользоваться трансфинитной индукцией. Для
установления равенства Ф (/) = / [~| Ф (D) достаточно отметить
очевидный факт: элемент а е / является атомом
в / тогда и только тогда, когда а является атомом
BUD
Следствие 1. Для Do, DieSH Oa(D
= Фа(Д,)+ФаФ.)- ?
Следствие 2. ДляДеФ0, ' s/, Фа(
Ki )
= 2>а (?/)•?
is/
Следствие 3. Для любой решетки DeSo
Фоо (D) — суператомная решетка. О
Так как ?)/Фоо(?>) не может содержать атомов (в
противном случае Ф(?)/Фоо (?>))=/= {0}), то любую
решетку D можно рассматривать как расширение
суператомной решетки с помощью безатомной:
0 -> Ф^ (D) -> D -> D/Ф^ (D) -> 0.
Лемма 4. Если ср: DU-±D\ — эпиморфизм, то
а(До))^Фа(^I) для любого ординала а.
Достаточно проверить, что ф(Ф(О0))еФ№), и
воспользоваться трансфинитной индукцией. Если aeD0
является атомом Д>, то ц>(а) либо равно 0, либо
является атомом ?>i; действительно, если 0^6^ф(а),
то Ь = ц>(с) для некоторого сеДо, тогда ф(сПа) =
= ф(с)Пф(й) = 6Пф(а) = 6 и О^сПа^а;
поэтому либо сПа = 0 и 6 = ф(сПа) = ф@) = 0, либо
сПа = а и 6 = ф(сПа)=ф(а). Отсюда и следует,
что ф(Ф(?>о))^Ф(?>1). ?
Следствие. Эпиморфный образ суператомной
решетки является суператомной решеткой. П
Лемма 5. Если DO^DU то Фаф0)э ДоПФаФО
для любого ординала а.
Покажем сначала, что Ф (Do) э Ц, П Ф (Д). Пусть
аеДоПФ(Д); так как <2 = {&|&еД, 6^а} конечно,
то d(]D0 также конечно, и, следовательно, аеФ(Ц).
Пусть для ординала а имеет место включение Фа(Ц)э
2 Д,ПФа(А)- Пусть D'i^Di=Dj<ba{Pi), Do —образ
решетки Do в Di (Do — Dq/D0 f] Фа (А) )• По доказанному
§ 3J ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 79
выше Ф (Do) 2 Ф (Di) П Do. Пусть Do'=^Do=? А>/Фа(А>)
и D'o-^Щ — эпиморфизм, существующий из-за включения
Фа (Do) э Do П Фа (А)- Так как образ Ффб) содержится
в Ф^'), то для любого элемента aeDor^a+i(Di)
имеем: если а' — образ элемента а в D\ (и Do), то ar e
е Ф (D'i) П Do s Ф (Do); тогда образ а" элемента а' в Do
лежит в Ф(?о), поэтому а лежит в прообразе идеала
Ф^') при эпиморфизме Do ^»-Do = Do/Фа (Do), т. е. as
<= Фа+1 (Do). Следовательно, Фа+1 (Dt) f| Do <= Фа+1 (Do).
Если а —предельный ординал и Фр (Dt) f| Do s Фр (Do)
для всех р < а, то, очевидно, Фа (Dj) Л Do E Фа (Do).
Трансфинитная индукция завершает доказательство. П
Следствие. Подрешетка суператомной решетки
является суператомной. О
Предложение 5. Для решетки DeSH
следующие утверждения эквивалентны:
1) D суператомная',
2) любой эпиморфный образ D атомный;
3) любая подрешетка D атомная.
Следствия лемм 4 и 5 показывают, что утверждения
2) и 3) следуют из 1).
Рассмотрим эпиморфизм D->D/0cx>(D); решетка
D^oo(D) не может содержать атомов. Если выполнено
условие 2), то D/<bx(D) должна быть атомной. Это
возможно только в случае, когда DI<bco(D)= {0}, т. е.
когда D = Ф«. (D); следовательно, в этом случае D
суператомная. Итак, 2)=ф1).
Импликацию 3) =ф 1) докажем от противного. Пусть
D не является суператомной, тогда
D/0oo(D)—ненулевая безатомная решетка. Как было отмечено выше,
в нее изоморфно вложима любая не более чем счетная
решетка. Пусть q>: Dq-^DIQ^D) — изоморфное
вложение свободной решетки со счетным множеством
свободных порождающих {ао, fli,...}. Пусть b0, Ь\, ...eD
таковы, что образ Ьп в D/Ocx>(D) есть ф(ал), песо.
Отображение an1—>bn, пей, продолжается до
гомоморфизма 1|з: D0-*D свободной решетки; так как
отображение ф есть, очевидно, композиция г|э и проекции D->
->D/0oo(D), то 1|з должно быть изоморфным вложением.
Следовательно, i|)(D0)—подрешетка D, изоморфная Do.
Как было отмечено выше, Ро является безатомной
80 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
решеткой; следовательно, D не удовлетворяет
условию 3). ?
Определим понятие атомарного типа для элементов
из суператомной решетки D. Пусть а е D, тогда й —
суператомная решетка; пусть а = ро(<$)—атомарный ранг
решетки й. Заметим, что а не может быть предельным.
Действительно, если а предельный, то Фр(й)сй для
всех Р<а, т. е. а<?Фл(й), и тогда аффа(й) =
= U Фй (й) и Фа (й) ф а. Пусть а* — предшественник а,
Р<а р
т. е. а = а* + 1, тогда Фа. (й) ф й и Фа (й) = &; так как
фа(й) = й, то образ а' элемента а в а/Фа*(а) лежит в
Ф(й/Фа*(й)), т. е. а' есть объединение конечного числа
атомов; пусть п^|а'|; п Ф 0, так как а' ф 0
(йфФа*(й)). Пару <а*, п> и назовем атомарным типом
элемента а; обозначать это будем так: т(а)=<а*, м>.
Определим теперь понятие атомарного типа и для
суператомной решетки D так: пусть ао^ роф), ai —
наименьший ординал такой, что решетка Ь/Фа, (D) имеет
наибольший элемент. Ясно, что ai ^ а0. Если ai = ао,
то атомарным типом решетки D назовем тройку x(D)^
'Ф <а0, ао, 0>. Если ai -< ао, то, как и выше, можно
доказать, что а0 не может быть предельным; пусть а*
таково, что а» + 1 = а0, тогда ai ^ а, и булева алгебра
D/Фа, (D) конечна и отлична от нуля. Пусть п — число
различных атомов этой алгебры; атомарным типом
решетки D по определению будем считать тройку t(D)^
'^(a*, ai, n>. Заметим, что если r(a)=<a, n> для
а е D, то т(й) = <а, 0, м>.
Лемма 6. Пусть Do, D\ — суператомные решетки,
T(Do)=<ao, Ро, «о>, T(Di)=<ab рь «i>; полагаем а ^=
{ao,ai}, p ^= max {p0, Pi}.
«0.
rtl,
«oH
если
если
— /j|(
ао<
если
а0
ai
а0
j
>
t'(D0 + DO = <а, р, п>.
Сразу получается из следствия 1 леммы 3. ?
Следующее предложение будет в некотором смысле
частичным обращением леммы 6.
S 31 ЛИНЕЙНЫЙ БАЗИС. СУПЕРАТОМНЫЕ РЕШЕТКИ 81
Предложение 6. Пусть D — суператомная
решетка, x(D) = <а, р, п>; <а0, 0, по>. <аь Р> «i> — такие
тройки, что
1) ао, аь р— ординалы, oci ^ р, а = max {ао, ai};
2) «о > 0, п\ — натуральные числа;
3) если п\ = О, то ai = р;
4) еслы ai < а0) то л0 = «;
5) если ао < «ь то п\ = п;
6) еслы ао = «ь го По + п\ = п;
тогда существует такой элемент a^D, что т(й) =
= <а0) 0, по>, т(ах) = <аь р, «1>. *
Рассмотрим решетку Da' = й/Фа, (D); так как ao < a
или ао = а и по^.п, то Z)a° .содержит щ различных
По
атомов аи •••, йщ', пусть a^LJa^ нае/) — один из
прообразов элемента а, тогда из выбора а видно, что
т(а)= <ао, 0, «о>- Если ао ф а или пофп, то тройка
<ai, p, rti> определена однозначно (если ао < а, то ai =
= а, «1 = п; если ао = а и п0 < п, то ai = а и «i =
= п — «о). поэтому элемент а является искомым.
Разберем теперь случай, когда обо = а и п0 = я; тогда
либо ai = а и ni = 0, либо ai < а. Если ai = a
и tii = 0, то ai = р = а и элемент а также
удовлетворяет заключению предложения. Пусть ai < а и п\ = О
(тогда ai = р); решетка DP является булевой алгеброй;
пусть b e D — один из прообразов единицы алгебры DP
при проекции рр: D->DP. Тогда т F) = <а, 0, п> п
rF-L)=: <р,р,О>, следовательно, элемент & является
искомым в этом случае. Пусть ai < а и «i ^ 0, тогда
в булевой алгебре Dai (так как ai ^ р) существует
бесконечное число атомов; выберем п\ различных
атомов ди ..., сЯ1; пусть c^ciLJ ... Uc», и с —
дополнение элемента с в алгебре Da'; пусть ceD — один из
прообразов элемента с; тогда %F)= <а,0,п> и т(сх)=:
= <аьр, Л1>, так как D0' = F)ai + (c-L) н (c-L) -
булева алгебра ?, содержащая в точности щ атомов.
Следовательно, т(сх)= <ab p, «i> и элемент с является
искомым. ?
Теперь уже можно полностью охарактеризовать типы
изоморфизма для счетных суператомных решеток.
82 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Предложение 7. Две не более чем счетные
суператомные решетки изоморфны тогда и только тогда,
когда они имеют один и тот же атомарный тип.
Необходимость очевидна и справедлива без
предположения счетности.
Установим достаточность. Пусть Do, D\ e^o — не
более чем счетные суператомные решетки, имеющие один
и тот же атомарный тип. Построим соответствие С
между Do и D\ так:
С^{(а, b)\ae=D0, be*Du x(a) = x(b) и
Проверим, что С действительно является
соответствием между Do и D\.
Так как атомарный тип <0,0> имеет только ноль
решетки, то условие 1) соответствия для С выполнено.
Проверим справедливость условия 2) для С. Пусть
(a,b$^C, сеД). Так как т(й) = т(#), то по
предложению 6 в решетке Ь найдется такой элемент d, что
x(a\lc) = x(d) = x(bnd) и х(а\с) = x(b\d). Так
как (аПс)х=(а\с)х + ах и (Ь П rf)x = (b\ d)x +
+ bL, то из равенств х(а \с) = x(b\ d), т(ах) = x(bL)
и леммы 6 следует, что т((аПсI) = т(FП(/I);
отсюда <а П с, b П d} e С; аналогично- проверяется, что
х((а\с)х) = x((b\d)±) и, следовательно, что (а\с,
J\(/)gC. Условие 2) проверено.
Проверим теперь условие 3). Пусть (а,ЬУ^С,
се Do- Так как т(ах) = x(bl), то по предложению 6
в Ь1 найдется элемент d такой, что х(с\ a) = -x(d)
и x((c\a)xf]a1) = x(d±(]b±) (заметим, что (с\а)хП
Пах — семейство всех элементов решетки ах,
ортогональных элементу с\ а этой решетки, а dL[\bL —
семейство всех элементов решетки 6х, ортогональных
элементу d). Так как d&b1, то d= d\b; следовательно,
x(c\a) = x(d\b) и по лемме 6 t(a U c) = t(a U
U(c\a)) = x(bU(d\b)) = x(bUd), так как
aU(c— a)=a + (c^a) и ЬU(d\a) =
6+(d^a).Заметим теперь, что (с\ аI = ((с\ а)хПах) + й и
rf-i- = (d\bI = (d±{)bL)+6; используя равенства
x(a) = x(b) и т((с\ a)±r\a±) = x(d±(]b±), по лемме 6
цолучаем, что т((с\ а)х) = т(^х) = x[(d\b)L). От-
§ я линейный базис, суператомные решетки 83
сюда (c\a,AS)eC. Аналогично проверяется, что
x{{aUcI) = x((bUdI) и, следовательно,'что (oLJ
LJc,iUd)eC. Условие 3) проверено.
Условия 4) и 5) симметричны условиям 2) и 3), по«
этому их проверку опускаем.
Для доказательства предложения теперь достаточно
воспользоваться теоремой. ?
Приведем теперь подходящее обобщение предложен
ния 4. Для ординала a > 0 решетку D назовем а-атом-
ной, если для любого р<а решетка Z)P = Z)/<DP(Z))
является атомной. Так, 1-атомная решетка — это просто
атомная решетка.
Предложение 8. Пусть Do и D\ — счетные
а-атомные булевы алгебры, Do и Z)? отличны от нуля и
ф: Dq-*-D^~ изоморфизм. Тогда Do и D\ изоморфны
и существует изоморфизм t|>: DQ-*-Di, который
индуцирует ф.
Укажем только, как определить соответствие С
между Dq и D\, оставляя проверку того, что это будет
соответствием, читателю (эта проверка похожа на
доказательства предложений 4 и 7).
Если для элемента а е Д- через [а] будем
обозначать образ этого элемента в Z)?, i = О, 1, то С
определяется так:
С ^ «a, by | а <= Do, b^.Du ф ([а]) = [Ь]; если a s
е'Фа(Д)) (т. е. [а] = 0), то х(а) = х(8); если сае
<= Фа(Д)), то х(са) = х(сЬ)}. ?
Следствие. Если D — счетная w-атомная булева
алгебра такая, что Dm фО, то D изоморфна D1 =
/(D)
()
Действительно, (ZI)® ~D1+<e ~Dm, поэтому по
предложению 8 D a; D1. О
В заключение параграфа рассмотрим некоторые примеры
суператомных решеток, которые позволяют ответить на вопрос: какие же
тройки (a, P, п) могут реализоваться как атомарные типы
суператомных решеток?
Предложение 9. Пусть 9? — вполне упорядоченное
множество; тогда решетка D? является суператомной.
Очевидно, что атомами решетки D# являются в точности
интервалы вида [а, Ь] где аи Ь — соседние элементы множест»
ва 2\ т. е. а < b и нет такого с, что а < с < Ь. Отсюда сразу
следует, что Ds является атомной. Действительно, если эле-
84 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
k
мент y= U [ai> Ь^ решетки Dx отличен от нуля, то (можно
считать, что) [а0 Ьо) Ф0, т. е. по < Ьо; тогда в 2 существует
элемент а* ^ Ь, соседний с ао; следовательно, [а, а*) s [во, b0) e Y-
Итак, каждый ненулевой элемент решетки D? содержит атом,
т. е. D х атомная. Для доказательства того, что
Dx—суператомная решетка, воспользуемся предложением 5, а именно
покажем, что любой гомоморфный образ Dx является атомным. Но это
очевидно, так как любой гомоморфный образ Dx имеет вид Dxit
где 2' — линейно упорядоченное множество, являющееся
гомоморфным образом 2. Тогда 2' вполне упорядочено и Dg> — атомная
решетка, как это было установлено выше. ?
Используя ординальную арифметику, опишем теперь элементы
Dx B вполне упорядочено), которые принадлежат идеалу
Фо(?>^). Очевидно, достаточно описать интервалы [а, Ь),
принадлежащие этому идеалу. Всякий непустой интервал [а, Ь) является
вполне упорядоченным множеством; через о(а, Ь) будем обозначать
ординал, изоморфный [а, Ъ).
Лемма 7. Пусть а, Ъ &2, а <Ь; тогда [a, b) s <X>O (Z)^,)
для любого ординала а тогда и только тогда, когда о (а, 0) < со°.
Доказывать будем по трансфинитной индукции. Для а = 1
утверждение леммы очевидно.
Пусть утверждение леммы справедливо для ординала а;
покажем, что оно справедливо для ординала а + 1.
На множестве 2 зададим отношение эквивалентности г\ так:
(а, Ь) ат]^ (а<6 и о (а, Ь) < со°) или (б<а и о F, а) < со°).
Тогда иа 2' q± 2/t\ индуцируется линейный порядок и
отображение проекции я: 2->2' индуцирует эпиморфизм <р: Dx->-Dyi,
Из нашего предположения следует, что ядро отображения <р есть
в точности <Х>О (-0^) и Dgr a* Das. Пусть а < Ъ е 2 и о (а, Ъ) = соа;
тогда, как легко проверить, па и nb являются соседними
элементами в 2' и интервал [па, nb) является атомом в D?,', тогда
[а, Ъ) s Фо+1 (?>^)=ф-1 (Ф (Dxr)). Если а < Ь<з2 и о (а, 6)<соа-я
для некоторого натурального п, то существуют такие элементы
Ьо, Ь\, .... Ьп&2, что а= bo < &i<^... <^ Ьп = Ъ и о (bi, &i+i)s=J°)ai
i = 0, .... л—1; ио тогда интервал [па, nb) содержит ие более
я элементов {nba nbn-i] и, следовательно, принадлежит
Q>(P<g'), а [а, Ь) е Фо+1 (Рх). Так как coa+1 есть предел ординалов
<в°-я, то из приведенных выше рассуждений следует, что если
а <Ь, о (a, b) < coa+1, то [a, b) e Фа+1 (&#)• Наоборот, пусть
[о, b) a Ф„+1 {Р<е)'< тогда [па, nb) s Ф (рх,у, следовательно,
интервал [па, nb) содержит конечное число элементов. Если [па, nb)—0t
т. е. яа = я6, то о (а, Ь) < соа < <во+1. Пусть [яа, пЬ)ф($ и
содержит ровно k элементов с0 < сх < ... < си-ъ положим еще ^Ь
$ 4] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Sb, 85
Пусть aQ ^± а, а{ — наименьший элемент в 3? такой, что па{ = с?»
/=1 k; тогда а0 < а, < ... < aft_, < aft<&. Дбкажем, что
о(а<( а<+1) = юа, i < &. Действительно, если о(а(, аг+1)<соа, то
nai = nai+1, что невозможно. Если ola^, а(.+1)^юа, то существует
такой элемент а, а(<а <а;+1, что о(а{, а ) = юа; тогда
яа^ <яа'<яаг+1, и так как па( = с( и яа(+1 = е(+1 —соседние
элементы, то яа'= я.а;+1; тогда по выбору элементов а, (как
наименьших) должно быть а' = а{+1. Итак, 0@.^ аг+1) = юа, i < k,
и о (aft, ft) < юа, так как пак = nb. Следовательно, о (а, Ь) =
г=о(а0, а,) + °(а1' аг)+ ••• +°(ak-v ak) + °(ak> b) = с°а ' k +
+ о (aft, ft) < соа • (k + 1) < юа+1. Итак, заключение леммы
справедливо для а+ 1, если оно справедливо для а.
Если а — предельный ординал и заключение леммы справедливо
для всех р < а, то из равенства Фа (?>^) = U Ф„ (D&) и
соотношения «о (а, Ь) < аа ¦**• существует C < а такое, что о (а, Ь) < (Л
сразу вытекает, что заключение леммы справедливо для а. ?
Предложение 10. Пусть а ^ C — ординалы; п —
натуральное число, большее нуля, если а ч*= C. Тогда существует вполне
упорядоченное множество 35 такое, что атомарный тип
суператомной решетки Dx равен {а, р, п).
Используя предыдущую лемму, легко видеть, что можно
поступить так: если а = |3, то в качестве 3? можно взять
юа-(п+1) + «; если а > р, то в качестве & можно взять
•§ 4. Элементарная классификация решеток из 5H
В настоящем параграфе будет дано описание
элементарных типов решеток из 35о- Многие результаты
настоящего параграфа параллельны (аналогичны)
соответствующим результатам предыдущего.
Пусть Do, DieSV, системой соответствий между Do
и D\ назовем всякую последовательность Со Э С\ э ...
.,.. э Си э С„+1 э ... непустых подмножеств Do X Du
удовлетворяющую следующим условиям: для любого
песо
1) {0,0}аС„, (a, ft)eC0^(a = 0^4=0);
2) {а, 6>еС„+1, ceD0^3(/s
sD,({anc bnd), (a\c, b\d)e=Cn)i
3) (a, ft)eCB+1, ceDo^Bis
c, bUd), (c\a, d\b)eCn);
86 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 4
4) (а, 6)еС„+1, dsDi^-Зсе
e=D0«anc, bnd), (a\c, b\d)<=Cn);
5) {а, 6)еС„+1, deDi=>3ce
е Do ((a LJ с, b\Jd), {с \а, d\b)i= С„).
Предложение 1. Решетки Do и D\ элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда существует
система соответствий между Do и D\.
Для доказательства воспользуемся предложением 2
§ 3 гл. 1, которое можно применять и для случая
функциональной сигнатуры, когда каждая подалгебра,
порожденная конечным числом элементов, сама является
конечной. Установим сначала достаточность в
предложении.
Пусть Со э С] э ... э С„ э С„+1 э ... — система
соответствий между Do и D\. Определим семейство Ф„
частичных изоморфизмов из Do в D\ так: если Во —
конечная подрешетка Do и ф: Во —> D\ — изоморфное
отображение Во в Db то поместим ф в Ф„ тогда и только
тогда, когда <а,фа> е Сп для любого атома аеВои
( LJ я. ф( LJ oS \ e С„. Из определения Ф„ ясно, что
Фо э°Ф1 э ...зФлэ Ф„+1 ^ ...; так как <0, 0> е
s Сп, то ф ^ «0,0» е Ф„ для всех пгш. Проверим
теперь, что последовательность семейств частичных
изоморфизмов Фо э Ф1 э ... эФлэ Фя+1 э ...
удовлетворяет условиям предложения 2 § 3 гл. 1. Пусть фЕ
еФ„+1, Во^бф — конечная булева алгебра; а\, ...
..., аи — все атомы Во; пусть a^Do—произвольный
элемент, В\ — подрешетка Do, порожденная Во и
элементом а. Все атомы алгебры В\ принадлежат множе-
ству {аг П a, at \ а \ i = 1 k) U \ а \ LJ at r ;
наибольшим элементом В\ будет элемент а'^[ \ЛаЛ U а.
Пользуясь условием 2) определения системы
соответствий, находим элементы di e D\ такие, что (at П а,
фаг П d,->, <аг \ а, фа,- \ di) s С„, t=l k;
пользуясь условием 3), находим элемент dk+i e D\ такой,
что (ILJaJUa, ф UaJU
(a \ U а„
$ 41 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ 2), 87
ф(Ua
4+1 \ф(UaJyeCn. Положим d
Lj( rfft+i \ ф ( LJ щ 11; тогда из условия 1) легко вытекает,
что изоморфизм ф продолжается до изоморфного
вложения ф' алгебры В\ на алгебру В', порожденную
алгеброй ф(Б0) и элементом й, причем <p'(a) = d. Из
построения видно также, что ф'Ефлиое бф.
Аналогично, используя условия 4) и 5) вместо
условий 2) и 3), покажем, что для любого 6gDi существует
ф" е= Ф„ такой, что ф ^ ф" и бе рф". Достаточность
установлена.
Проверим необходимость. Пусть Do и D\ элементарно
эквивалентны; тогда по предложению 2 § 3 гл. I
существует такая последовательность Фо = Ф[ = ... эф,э
= Ф„+1 = ... непустых множеств частичных
изоморфизмов из Do в D\, что для любых пе= со, фЕ Фп+i, а е= Do,
Ь е= D\ существуют фо, ^1еФ„ такие, что фЕ1|H, i|>i;
а е= бфо, bepifi. Для любого пеш полагаем
Сп^{(а, b)\a^D0, 6e=Z), и существует фЕфл такой,
что ф (а) = Ь).
Так как Ф„+1 s Ф„, то Cn+i ? С„. Проверим, что
последовательность Соз Ci = ... э Сп^ Cn+i Э ...
является системой соответствий между Д> и Dj.
Так как Ф„ = 0, то <0, 0> е С„ для любого «ею.
Оставшаяся часть условия 1) сразу следует из
определения.
Пусть <а, &>eC+i, ceD0; пусть ф?фл+| таков,
что 6 = фа; в Ф„ существует частичный изоморфизм
ф такой, что фЕ1|) и себф; пусть rf^i|)(c); тогда
^(аПс) = фаПфс = 6П</ и ф(а\ с) = фа \ -фс =
= 6 \ d; следовательно, <а П с, Ь П i>, <а \ с, b \ d>e
е Сп- Условие 2) проверено. Аналогично проверяются
и условия 3)—5). ?
Когда Do и D\ — булевы алгебры (и рассматриваются
в сигнатуре с операцией дополнения с), можно немного
видоизменить определение системы соответствий.
Системой соответствий между булевыми алгебрами Во
и В\ назовем всякую последовательность C.03Ci2 ...
,.. 2С,Э Cn+i = ... непустых подмножеств
88 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
удовлетворяющую следующим условиям: для любого
1) <0,0)€=С„, (а, &)еС0^(а
2) (а, 6) €= С„ <=> <са, сЬ) еС„;
3) <а, 6)еСя+1, ceBo=^3deB,«anc, br\d),
(а\с, b\d)<=Cn);
4) (а, Ь) е= С„+1, deB,^3c sB0({flUc, 61_Ы>
(а \ с, ft \ d> € С„)
Замечание. Система соответствий между
булевыми алгебрами Во и В\ может и не быть системой
соответствий между Во и В\ (как решетками из ®0).
и, наоборот, система соответствий между Во и В\ может
не быть системой соответствий между булевыми
алгебрами Во и В\. Тем не менее, если существует
соответствие в одном из двух смыслов, то существует (вообще
говоря, другое) соответствие и в другом смысле.
Справедлив, следовательно, и соответствующий
вариант предложения 1:
Предложение Г. Булевы алгебры Во и В\
элементарно эквивалетны тогда и только тогда, когда
существует система соответствий между булевыми
алгебрами Во и В\. ?
Определим возрастающую последовательность
идеалов Tn{D), песо, в любой решетке De8o. Элемент
а е D назовем разложимым, если а представим в виде
Ь U с, где Ъ — атомный, ас — безатомный элемент.
Заметим, что такое представление единственно: пусть
Ь U с = Ь' U с', Ь, Ь' атомные, с, с' безатомные; тогда
Ь' = Ь' П {Ь U с) = (Ь' П b) U (Ь' П с) = V П Ъ {V П
П с = 0, так как Ъ' атомный, с безатомный);
следовательно, Ь' ^ Ъ\ симметрично b s?l b', т. е. b = b';
аналогично устанавливается, что с = С.
Если а' ^ а и а разложим, то и а' разложим.
Действительно, если а = b LJ с, Ь атомный, с
безатомный, то а'= а'\1а = а'ПF U с) = (а'П 6)LJ
U (а' П с) и а' П b атомный, а' П с безатомный. ?
Если а0 и а\ разложимы, то и a0Uai разложим.
Очевидно (ao = boUcOf а\ = b\ U С\ =#-аои а\ =
( ?
§ 4] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Ф. 89
Если через T(D) обозначим множество всех
разложимых элементов решетки D,- то из сделанных выше
замечаний следует, что T(D) является идеалом
решетки D. Заметим, что если Т(п)Ф D, то D должно
содержать бесконечно много атомов и безатомные
ненулевые элементы.
Полагаем T0(D)^ {0}, °D = Д °р = idfl; Тг(D)чь
=?= T(D), lD =^= DjTi(D), lp— естественная проекция D
на '?>; пусть для песо идеал Tn(D) решетки D уже
определен, тогда nD^D/Tn(D); пр: D-*nD —
естественная проекция; полагаем T^i(D)^np-l(T(nD)).
Таким образом определяется последовательность
идеалов
решетки D, последовательность гомоморфных образов
°D, lD, ... и соответствующая последовательность
эпиморфизмов.
Отметим очевидные соотношения между этими
объектами:
1. Для ftjeo Tn+k(D) = np-4Tk(nD)). D
Соотношение, указанное выше, устанавливает
естественный изоморфизм между k+nD и k(nD), что
позволяет (в большинстве случаев) отождествить эти решетки.
2. Если J — идеал D, то для любого new Tn(J) =
=jr\Tn(D). ?
3. Если D, D'eSo, new, то Tn{DXD')=Tn(D)X
XTn(D') un(DXD')*>"DXnD'. D
Установим сначала элементарную классификацию
булевых алгебр. Для булевой алгебры В ее
элементарной характеристикой назовем тройку е (В) = <а, р, ti>,
где а ^ со, р ^ со, у\ ^ 1 определяются так: если В =
= {0}, то еE)^= <0,0,0>; если В Ф {0}, то
а =^= ю, если для любого «sat, (В) Ф В;
а^п, если Тп(В) Ф В и Тп+1 (В) = 5;
р *?= 0, если а = со или если а < со и аВ — безатом-
ная булева алгебра;
р ^= п > 0, если а < <о и аВ содержит ровно п атомов;
р 5^= ю, если а < со и аВ содержит бесконечно много
атомов;
т] =^= 0, если а = <о или если а<оиаВне содержит
безатомных элементов;
50 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
tj ч?» 1, если а < © и аВ содержит безатомные
элементы.
Элементарной характеристикой г(а) элемента а
любой- решетки DeSo назовем элементарную
характеристику булевой алгебры а.
Лемма 1. Пусть Во и В[— булевы алгебры и
е(Во) = <а0,ро,Ло>, e(Bi) = <оы,Pi,Tii>; тогда
элементарная характеристика (у,б, ?> булевой алгебры ВоX #i
может быть описана следующим образом:
Y = max{a0, aj;
!ро, если щ < ао,
Pi, если а0 < аи
РоФРь если ао = а!
(здесь ф означает сложение кардинальных чисел);
!%, если а! < а0,
¦Hi. если Oq < аь
тах{тH, tji}, если ao = a!.
Непосредственно следует из определения
элементарной характеристики и отмеченных выше свойств. D
Следствие. Если а0, aieDeSo, ao-Lai, e(ao) =
= <a0, po, Цо>, 8(ai)=<ai,Pi,Tii>, то z(ao[Jai) =
= <7, S, ?>> где у, 5, t, описаны в лемме. D
Лемма 2. Если е(В)= <а,р,л>. п> т^ А ею
таковы, что k ^ 1, /п + k ~> 0, если л > 0, я < а или
л = а ы /n ^ p, k ^ т), то существует элемент веВ
такой, что е(а) = <л, т, А>.
Рассмотрим булеву алгебру пВ; так как л sg: a, то
"В содержит либо бесконечно много атомов (если
п < се), либо содержит р атомов. В любом случае из
условий на m следует, что "В содержит по крайней
мере m различных атомов а1г ..., ат; если k = 0, то
т
полагаем а^LJй{ и пусть веВ — произвольный
прообраз элемента й; тогда, очевидно, e(a)'= <n, m, 0>.
Если А — 1, то либо я < а, и тогда "В должно
содержать безатомный ненулевой элемент Ь, либо л = a
и k == т), и снова "В должно содержать безатомный
ненулевой элемент 5; полагаем в этом случае
S 4) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Ф, 91
LJ o,i IU Ь и пусть а е В — произвольный
прообраз элемента 5; тогда е(а)= <n, m, 1>. ?
Определим на множестве всех троек <а, р, ti> (а ^ ©,
Р^со,т|^1) отношение эквивалентности Tin, песо,
так:
«а, 0, т|>, (у, б, ?»ет|„^
P = 6 < 2") )
То, что т|я есть отношение эквивалентности,
проверяется очень просто.
Замечания. 1. Пусть яев; если а'^
^ min {п + 1, а}, Р' =?= min {2n, p}, if =?= т|, то- «а, р, т|>,
<а', р', т|'» е т|„. Следовательно, для любого п е ©
и любой тройки <а, р, T(> (а <; ©, р ^©, т) ^ 1)
существуют а', Р', т)' е © такие, что «a, p, ti>, ^а', р', т)')) е
ет!„.
2. Если лею; а0, oigBo; b0, bieBu ao±.a\, b0A.bi
и <e(ao),eFo)>,<e(ai),e(bi)>eTin, то <e(a0Uai),
e(boUbi)>e=T|n.
Это следует из определения цп и следствия леммы 1.
Лемма 3. Пусть Во, В\ — булевы алгебры, п е ©.
?сли <e(Bo),e(Bi)> ет!„+ь го «Зля любого а^В0
существует Ь<=ВХ такой, что <е(а),е(Ь)>,<е(са),е(сЬ).)е
ет)„.
Пусть е(В0=<а'.Рьти>, t = 0, 1; е(а) = <а,р,т|>,
е(са)= <v, S, S>- Рассмотрим несколько возможных
случаев.
Пусть a < y (случай y < « рассматривается
аналогично, так как а и са совершенно равноправны), тогда
по-лемме 1 е (Во) =е(са) = <y, б, О-
а) Если ao = Y ^ п + 1, то ai = ао = у; по
замечанию 1 выше существуют m, k, /eco такие, что <е(а),
<m, k, /» е Т1„ (очевидно, т = а). По лемме 2 из m =
= а < y = «1 следует, что в В\ существует элемент Ъ
такой, что e(b) = <m,k, />; тогда <e(a),eF)> erjn,
и так как т < он, то e(c6)=e(Bi), но <e(B0),e(Bi)>e
ет!„+г, следовательно, (г{са),в(сб)> erin+i =т|„.
б) Если ао = y > л + 1, т0 и ai > rt+ 1- Если а <; п,
то, полагая Jfe^min{2n, р}, по лемме 2 находим в Bi
элемент b такой, что e(b)= <a,k,r\); замечая, что
92 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
<в(а)", вF)> ет1„ и что eF) = eEi), видим, что Ъ
искомый. Если а > п, то, рассматривая тройку (n-\-\,k, ti>,
где А, как и выше, есть min{2", р}, видим, что <е(а),
<л+ 1,&,т1»ет1„. По лемме 2 в Si существует
элемент Ъ такой, что еF)= <я + l,k,ti>; из n+l<v =
= ai следует, что e(c6)=eEi); тогда <e(ca),e(c6),>e
s т1„+1 е tin.
Пусть a = у, тогда a = 7 = «о, Ро = Р © б и t|0 ==
= тах{л,?;}.
а) Если ао>л+1, то и ai>n+l; рассмотрим
тройку <л+ 1,1,0); по лемме 2 в В\ найдется элемент Ъ
такой, что еF)= <л+ 1,1,0); так как л+1<аь то
e(c6)=eEi) = <ai, Pi,tii>; так как а, п -+- 1 > щ
аь а>п, то <e(a),eF)>etirt; <е(са), е(сб)> <=iv
б) Если ао = л + 1, то Ро ^ 2 или ti0 = 1, так как
в случае Ро ^ 1. Ло = 0 не может быть a = у (см.
лемму 1). Но тогда ai = п + 1 и Pi ^ 2 или t)i = 1 и по
лемме 2 должен существовать элемент Ь^В\ с еF) =
== <« -т|- 1,1,0> или е(Ь)= <л+ 1,0,1> такой, что
е(с6)= <л+ 1, .-..). Для такого Ъ <е(а),еF)>,<е(са),
F)>
()v
в) Пусть а0 ^ п (тогда ai = ao) и Р ^ б (случай
б ^ р рассматривается аналогично). Полагаем Р' ч*=
^min{2n, р}. Рассматриваем алгебру a°Bi. Так как
Pi ^в 2n+1 или Pi = Ро ^ Р> то в этой алгебре должно
существовать р' различных атомов. Пусть b0 e a°Bi —
элемент, являющийся объединением Р' различных
атомов. Если т] = 0, то полагаем Ъ\ ^= 0; если г\ = 1, ? = 0,
то пусть Ъ\ — наибольший безатомный элемент алгебры
ао?Г(так как r(ao5i) = ao5i, то единица алгебры a"?i
разложима: е = д U 3, с (максимальный) атомный,
3 (максимальный) безатомный); если ц = 1 и ?= 1, то
в качестве Ь\ выберем ненулевой и немаксимальный
безатомный элемент. Полагаем б ^ 50 LJ В\, и пусть
6e?i — произвольный элемент из а°р~1 E). Тогда
еF)= <а,Р'.л) и> следовательно, <е(а),еF)>ет1„.
Положим e(cb) =<a,p, fj> и попробуем вычислить
значение a, p и fi. Так как б + ?>0 и Ро = РШб>
^Р'Ф'б, то либо Ро > Р', либо t= 1 (последнее
возможно только в случае i\ = 1). Тогда из построения В
видно, что сВ является ненулевым элементом алгебры
§ 4] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Ф. 93
a'Bi; следовательно, а = <%о = а = у. Из выбора б\
также видно, что fj = ?. Предположим теперь, что б < 2";
тогда из р г^ б < 2" следует, что Р' = р, р0 = Р + б <
< 2n+1 и Pi = р0; по построению В видно, что сб
содержит в точности Pi — р' атомов (если Pi = со, то Pi —
— Р' = со); следовательно, в этом случае сб содержит
в точности Ро — Р = б атомов и тогда р~ = б.
Следовательно, в этом случае s(cb)= <у,б,?> = в(са).
Предположим, что б > 2"; тогда Ро = Р ф б > р' + 2", fa ^
^5 2"+' либо Pi = р0; в любом случае Pi — р' ^ 2" (так
как Р'^2П); следовательно, P=Pi — Р' ^ 2" и тогда
«Y.Р.?>.<».Р.С» ^л», т. е. <е{са),е(cb)> ел». ?
Установим теперь важное следствие технической
леммы 3.
Предложение 2. Если булевы алгебры Во и В\
имеют одинаковые элементарные характеристики, то Во
и Bi элементарно эквивалентны.
Воспользуемся предложением Г. Для этого построим
систему соответствий между булевыми алгебрами Во
и Ви Полагаем для п е со
Сп^{(а, b)\at=B0, ieBii (ea, гЬ), (е(са), е(сЬ))е=цп}.
Так как т)„Эт)„+1, то Cn=Cn+i. Условия 1) и 2)
системы соответствий между булевыми алгебрами
выполнены очевидным образом.
Проверим условие 3). Пусть (а, 6>еСя+ь do^Bo;
так как <а,6> е С„+ь то <е(а),еE)> е Лп+i; по лемме 3
для элемента а П d0 булевой алгебры й найдется
элемент di е Ь такой, что <е(а П do),e(di)>, <е(а \ d0),
eF\di)>STin. Так как с (а П do)= ca LJ (а \ do),
c(b П di)^ cd\ = cb U(b \ di) и имеют место
отношения са ± (а \ d0), сб _1_F \ d\), то из отмеченных выше
условий следует, что <е(с(а П do)),e(cF П di))> ет)„,
следовательно, <а П d0,6 П di> e С„; аналогично
устанавливается, что <е(с(а\ do)),e(cF \ di))> STin;
тогда <а \ d0) b \ di> e Сп. Условие 4) проверяется
аналогично. П
Для завершения элементарной классификации
булевых алгебр достаточно установить обращение
предложения 2.
Предложение 3. Если булевы алгебры Вй и В\
элементарно эквивалентны, то e(B0) = e(Bi).
94 РЕШЕ1КИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ (ГЛ. 2
Индукцией попеш построим такие формулы Я„(х),
®п(х), %п{х) и <&п(х,у), что для любой решетки DgSo
и любых a, b gD справедливо следующее (через а (Б)
обозначен образ элемента а (Ь) в nD):
D\=%n(a)¦*=>а — атом решетки nD, .
О|=8л(аL=Ф-а- безатомный элемент решетки nD, '
Для /г = 0 полагаем Щ (х) =^= л; ^= 0 & Чу (х П у = О V
Vn ) 8MVCl$!l(n)) () 0
) C)) ()
(^) дс = ^. Очевидно, (*) выполнено в этом
случае. Пусть для п уже построены формулы Stn> S3n, ?л, @п
так, что выполнено условие (*); тогда полагаем
я„+1 (х) -^ 1 гп (х) &vy (г„ (х п у) v ®„ (*, г/)),
»e+iW^Vynae+,(jen^),
г„+1 (х) ^ 3y3z (x = yU 2&©„+1 (у) &V«3o (Je B П и) V
vae+,(zn«nt»))),
+i(*. у)^%п(х\у)&г„(у\х).
Легко видеть из определения, что формулы йп+ь
+ Sn+i удовлетворяют условию (*).
Пусть В — булева алгебра и е(Б)= <а, р, т)>; тогда
справедливы следующие эквивалентности:
1) <>ДН3~1г()
)
2) если а = п, то
О < m<p<=>BN3x,.. .3xm( &Пб„(л:г, х7) && «
Ч/^ь/ /=.1
3) если а = п, то
т, = 1 -^ДН-ЭхП 2« W & »„ W).
Из соотношений 1)—3) сразу вытекает, что если Во
и Bi элементарно эквивалентны, то е(Бо)= e(Bi). ?
Следствие. Булевы алгебры Во и В\ элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда е(#о) =
§ 4 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Фо 95
По предложениям 2 и 3. ?
Установим теперь, какие тройки <«, p,ri> могут быть
реализованы в качестве элементарной характеристики
булевых алгебр.
Предложение 4. Пусть а <; <о, р <; <о, х\ <; 1;
если а = р = г\ = 0, или а = <о, р = т] = О, ылы а < со,
Р + г} > 0, го существует не более чем счетное линейно
упорядоченное множество & с 0 и 1 такое, что булева
алгебра D# имеет элементарную характеристику
<а,Р,л>-
Для случая a = p = Ti = 0 в качестве & годится
}
Рассмотрим случай а = 0. Положим Вр ^ $+
здесь р +1 в индексе обозначает линейно
упорядоченное множество, упорядоченное по типу ординала р+ 1.
Тогда, как легко проверить, 5Р — атомарная булева
алгебра с р различными атомами, т. е. е(бр)= <0, р, 0>;
пусть В' =^= Di+n+u здесь индекс 1 + ц + 1 обозначает
линейно упорядоченное множество, изоморфное
множеству всех рациональных чисел т таких, что 0 <; т ^ 1,
с естественным порядком; тогда ъ{В')= <0,0,1>. Для
заданных р и х\ полагаем В =^= 5р, если г\ = 0, и В ^=
^=5р + 5', если Ti= 1; тогда еE)= <О,р,л>.
Предположим теперь, что для данного лею и
любых р s^ ю, ц ^ 1 (р + Л > 0) существует не более чем
счетное линейно упорядоченное множество 2? такое, что
булева алгебра D<e имеет элементарную характеристику
<n, p, ti>. Покажем, что тогда это выполнено и для п+1.
Пусть & — линейно упорядоченное множество с
первым элементом, З'о — линейно упорядоченное
множество, упорядоченное по типу <о + ц (пусть 0 < б — два
первых элемента 9?0\ а е <о, а е ц будет обозначать
принадлежность соответствующим отрезкам). Пусть
S'XS'o линейно упорядочено лексикографически;
зададим подмножество S^cg'X2"o так:
^{{а, а»ае=2\ ae^}U{(a, 0), (a,
U {(а, а) | а <= <о, если яе^ имеет
в 9? непосредственного предшественника а~}.
Лемма 4. \Dx*) = Dx*lT{Dx*) изоморфно Ds.
96 решетки с относительными дополнениями [гл. 2
Зададим отображение qp: 2?*->>-2? так: для (а, а)е2"
а, если а е г\;
. а", если а есо и а" существует;
' '"*• а, если а = 0 или а = 6 и а~
не существует.
Отображение ф является монотонным отображением
на S?. Следовательно, ф индуцирует эпиморфизм г[>:
Djg*-^D^. Покажем, что ядро отображения гр
совпадает с T(D#*), откуда и будет следовать утверждение
леммы.
Начнем с простого наблюдения: в D?* нет ни одного
атомного элемента, содержащего бесконечно много
атомов, — которое устанавливается разбором немногих
возможных случаев.
Пусть <а, а> < <6, а'.> и [<а, а>, <Ь, а'» е Кег ф;
тогда ф(а,а)= фF,а').
Случай 1. а — Ь~ и фF,а')= а, следовательно, а'е
ем и интервал [<а,а>,<6,а'>) имеет один из
следующих возможных порядковых типов: п или 1 + т] + п,
2 + г) + п для некоторого п е со; но тогда этот интервал
принадлежит Т (D#*) (так как интервал типа 1 + ц
безатомный, а конечный интервал атомный).
Случай 2. а — Ь, тогда интервал [<а, а>, (Ь, а'>)
может иметь порядковый тип 1 + ц или 2 + Л'> снова
[(а, а), (Ь, а'»еЕ7(ад.
Итак, Кег i)>s Г (?**).
Наоборот, пусть [{а, а), (Ь, а'))еГ(О^); если
<р(а,а) = ц>(Ь,а'), то этот интервал лежит в ядре.
Предположим, что ф(а,а) < фF, а').
Случай 1. Не существует непосредственного
предшественника для Ь. Тогда ф(Ь, «')== Ь и ф(а, а)= а или а"
и а < Ь. Так как у b нет непосредственного
предшественника, то существуют такие элементы по, «ь ...
... s^, что a<ao<ai< ... < ап < ... < 6.
Заметим, что для любого i е со интервал «а*, 0>, <а,-, б>)
является атомом и содержится в [<а,а>, <6,а'>);
следовательно, существует бесконечно много атомов,
меньших [<а,а>, <&,«'>); по сделанному выше наблюдению
этот интервал не может быть разложимым элементом
решетки D<e*. Случай 1 невозможен.
§4] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ j, 9?
Случай 2. Существует элемент Ь~, непосредственно
предшествующий элементу b в 2. Если q>F, ct')=sb, то
из ф(а,а)<6 следует, что интервал [<а,а>,<6,а'>)
содержит интервал, упорядоченный по типу со + т|'> такой
интервал содержит бесконечно много атомов и не может
принадлежать T(DX*).' Если q>F,a') = Ь~ (тогда а'е
есо), то либо у элемента Ь~ нет непосредственного
предшественника (и тогда рассуждаем, как в случае 1),
либо существует элемент Ь—, непосредственно
предшествующий Ь—, если а = Ь~, то должно быть q>(a,a) =
— ?>--, и тогда интервал [<a,a>,<6,a'>) упорядочен
по типу со + ц + п для подходящего паи и не может
принадлежать Т (А?*); если а < Ь~, то интервал
[<a,a>, <6,a'>) содержит подынтервал, упорядоченный
по типу (D + ri (а именно интервал [<6~, 0>, <6,0>)), и,
следовательно, не может принадлежать T(Dx*).
Случай 2 также невозможен.
Получили противоречие; следовательно> Т (Д?*) е
?Keri|3 и Г(Дг..) = Кег1|). П
Если S7 содержит наибольший элемент, то, полагая
2' = & + \ и продолжая Ф: &*-*& до q/: S"-»-^
так: ф'A)^ наибольший элемент 2", — получим
следующее утверждение:
Лемма 4'. Булева алгебра Dx- такова, что '(As»')
изоморфна булевой алгебре Dx. ?
Возвращаемся к доказательству предложения. Пусть
Р sg: и, ri ^ 1, р + г] > 0; пусть 2 — такое не более чем
счетное линейно упорядоченное множество, что булева
алгебра Dx имеет элементарную характеристику
<n, p,Ti>. Если 2' получено из 2, как выше, то булева
алгебра Dx- имеет элементарную характеристику <п+ 1,
P,Ti>, причем 2' — счетное линейно упорядоченное
множество. Итак, предложение доказано для всех a < со.
Пусть 2\, 2'г, ... — такие счетные линейно
упорядоченные множества, что е (Д^) = (я, 1,0). Пусть 2 —
упорядоченная сумма множеств 2\, 2ь ... с добавленным
наибольшим элементом; тогда, как нетрудно видеть,
булева алгебра Д*. будет иметь элементарную
характеристику <со, 0,0>. ?
Обратимся теперь к элементарной классификации
другого класса решеток из 3>о, в некотором смысле
противоположного булевым алгебрам. Ненулевую решетку
08 решетки с относительными дополнениями [гл. 2
DgSo назовем специальной, если из того, что "D =
= D/Tn(D) для песо отлично от нуля, следует, что nD
не имеет верхней грани для атомных элементов в
случае, когда в "D есть хотя бы один атом, и не имеет
верхней грани для безатомных элементов в случае,
когда в "D есть хотя бы один ненулевой безатомный
элемент.
Пусть D — специальная решетка; элементарной
характеристикой решетки D назовем пару a(D)=^<a, ц)
(а ^ со, т)^2), где а и ц определяются так: а =^
^= sup{n\Tn(D) Ф D}; т) ^ 0, если a = со; если a < со,
то aD — ненулевая решетка, у которой каждый элемент
является разложимым; полагаем в этом случае
!0, если Ю — атомная решетка;
1, если aD — безатомная решетка;
2 в противном случае.
Лемма 5. а) Если D — специальная решетка,
то ах — специальная решетка и o(D)= о(ах).
б) Пусть D — специальная решетка, a(D)=<6,?>;
k, /, m e со, m <: 1, I + m > 0; в D существует элемент
а такой, что г (а) = (k,l,ni), тогда и только тогда, когда
выполнено одно из следующих условий:
1) *<6;
2) * = 6ы| = 2;
3) k = 6, m = 0 и I = 0;
4) k = 6, / = 0ы?=1.
Утверждение а) сразу вытекает из определения.
Необходимость выполнения одного из четырех
условий утверждения б) также следует из определения.
Достаточность условия 1) вытекает из леммы 2, так как
при этом условии в D существует элемент Ъ такой, что
еF)=</г-|- 1, .. .>. Пусть выполнено условие 2), тогда
решетка kD содержит бесконечно много атомов и
ненулевые безатомные элементы; пусть йь .... m e kD —
различные атомы; йо ^ 0, если пг = 0, и йо — ненулевой
безатомный элемент, если т=1; полагаем а ^ LJ а{;
если aefl — произвольный прообраз элемента а, то
§ fl ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Ф« 99
е(а) = <?, /, т>. Аналогично проверяется достаточность
условий 3) и 4). ?
Предложение 5. Две специальные решетки Do
и D\ элементарно эквивалентны тогда и только тогда,
когда a (Do) = о (Di).
Установим сначала достаточность. Пусть a(Do) =
= o(Di)= <6, ?>; построим систему соответствий между
Do и D\ так: для лещ
Сп^{(а, b)\a(=D0, 6е=А, <еа, гЬ)е=цп}\
здесь еа (гЬ) — элементарная характеристика булевой
алгебры й E); цп — отношение эквивалентности на
элементарных характеристиках, определенное выше.
Так как к\п э Tin+i, то С„ э Cn+i и <0,0> е С„ для
всех п?(о, Условие 1) определения системы
соответствий проверяется легко. Выполнимость условий 2) и 4)
сразу следует из леммы 3.
Проверим условие 3) (условие 5) проверяется
аналогично). Пусть (а, 6> е Сл+!, ceD0; е(а) = <а, р, ti>,
еF) = <7,б,Ь.в(с\а) = <а/,р/,т1/>. Достаточно будет
найти элемент deft1 такой, что <е(с\ a),e(d)> ^цп;
тогда по замечанию 2 после определения отношения Tin
будет <e(a U с),еF U d)>eiin, так как a U с = я U
U(c\a) и a_L(c\a). По замечанию 1 после
определения отношения tin существуют k, I, meo такие, что
ks^a', /<p', m<Ti' и «a'.p'.Ti'X^/.m»^^; из
равенства афо) = o(Di) = aib^-) и того, что в Do
имеется (по лемме 2) элемент с/^.(с\а) такой, что
е(с')= (k, l,tn), для (k,l,tn> выполнено одно из
условий 1)—4) леммы 5, и, следовательно, в решетке Ьх
существует элемент d такой, что ъ{й)= (k, I, m>. Для
этого d имеем (a U с, 6 U d> е Сп, <с \ a, d \ 6> е С„,
т. е. условие 3) выполнено.
Достаточность установлена.
Для доказательства необходимости будем
пользоваться формулами SIn, Э„, In, Sn, введенными в
доказательстве предложения 3.
Следующее семейство предложений есть система
аксиом для класса всех специальных решеток:
{Эх (х Ф 0)} U {3* 1 %п (х) -v (Зх%п (х) -v
-v V//3* (?„ (хПу)& Я„ (а:))) & Cjc (»я (х) & П 3:n (x)) -v
(Жя (xny)&~]Zn (х) & 23„ (х)))| п е со}.
100 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Пусть D — специальная решетка и a(D)= <а,т)>;
тогда справедливы следующие эквивалентности:
2) если а = п, то
Из этих эквивалентностей сразу следует, что если
специальные решетки Do и D\ элементарно
эквивалентны, то a (Do) = a (Di). D
Установим теперь, какими могут быть элементарные
характеристики специальных решеток.
Предложение 6. Пусть а <С со, 6^2 или а = со
и б = 0; тогда существует счетное линейно
упорядоченное множество & такое, чтоОх есть специальная решет
ка и a (Dx) = (а, б).
Пусть а = 0; тогда a(Dw)= <0, 0>, a(Dl+r))= <0, 1>
и а(?)а, + ^1+я)== <0>2>. Так как Ои и D\+r) счетны, то
Dta-bDi+ц счетна и, следовательно, имеет вид D# для
подходящего линейно упорядоченного множества &.
Пусть для лею и любого 6^2 существует счетное
линейно упорядоченное множество 9? такое, что D#
специальна и a(D^)=<n,6>. Пусть линейно
упорядоченное множество &* получено из ?, как в лемме 4;
тогда, как нетрудно видеть из леммы 4, D?- —
специальная решетка и o{Dx*) = (n-\-1, б).
Если Do, D\, ... — такие счетные специальные
решетки, что a (?>„) = <я, 0>, то ?>=^ Е А будет счетной
{ею
специальной решеткой и o(D)= <co, 0>. Так как D
счетна, то Dc^.Dx для подходящего линейно
упорядоченного множества 2\ ?
Завершим, наконец, элементарную классификацию
произвольных решеток из ®0.
Предложение 7. Для любой решетки DeS0
справедливо одно и только' одно из следующих
утверждений:
1) D — булева алгебра;
2) D — специальная решетка;
S 4] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ Ф» 101
3) D представима в виде Do-\-D\, где Д> — булева
алгебра, D\ — специальная решетка, причем так, что
если e(Do) = <a,p,6>,a(Di)=<7,|>, то либо у<а,
либо v = a<co, |<2 (? = 0-*р = 0ы?= 1->6=0).
Предположим, что D не является ни булевой
алгеброй, ни специальной решеткой. Так как D не является
специальной решеткой, то "D Ф {0} для некоторого
(выберем наименьшее) п < со и либо множество всех
атомов nD не пусто и имеет верхнюю грань в nD, либо
множество всех безатомных элементов nD имеет
ненулевые элементы и имеет верхнюю грань, либо nD просто
является булевой алгеброй. Тогда' выберем элемент
a^nD такой, что: 1) либо а — наибольший элемент "D;
2) либо а1 состоит из атомных элементов и не имеет
верхней грани; 3) либо aL состоит из безатомных
элементов и не имеет верхней грани; при этом, если
T(nD) = nD, то в случае 2) выбираем а безатомным
элементом, а в случае 3) атомным. Пусть aeD —
произвольный прообраз элемента а; рассмотрим
разложение D = й-\- а1; в случаях 2) и 3) получим
разложение, соответствующее утверждению 3) предложения 7.
В случае 1) решетка ах такова, что Тп(а1)= а1. Если
а1 — специальная решетка, то получили нужное
представление. Если а1 не специальна, то с решеткой а1
поступаем так же, как поступали с решеткой D
(заметим, что а1 не является булевой алгеброй, так как D
не являлась булевой алгеброй). Минимальное и', для
которого п'(ах) будет нетривиально и будет либо
булевой алгеброй, либо содержать верхние грани для атомов
или безатомных элементов, строго меньше п. Поэтому
за конечное число шагов найдем нужное представление
D = Do + Di, где Do — булева алгебра, D\ —
специальная решетка, причем если a(Di)= <7, |>, то у < п ^
<а. ?
Замечание. Представление вида 3) не является,
конечно, единственным, однако пара <e(?>o),(T(Z)i)>
определена однозначно по D, как это будет следовать из
нижеследующих рассмотрений.
Пусть Do — булева алгебра, e(D0)= <a, p, 6>; D\ —
специальная решетка, o(D\) = (у, ?> и элементарные
характеристики e(D0), o(D\) удовлетворяют
ограничениям, сформулированным в утверждении 3) предложе-
102 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ {ГЛ. 2
ния 7; тогда, как нетрудно проверить, для D Ф Do + D\
справедливы следующие утверждения:
2) если у = п, то
| = о ^> D И ЗхЧу C3„ (у) -> Шп {х П У, У)),
1=1 ¦$=> D [= ЗхЧу (?1„ (у) -*¦ ®„ (дс П У, у))',
3) я < а ¦?> Z) |= Зх ~1 2„ (л;);
4) если а = я, то
F
&. ~] ®. (дс,, дс,) & &. 51
Назовем элементарной характеристикой %{D)
решетки fleSo пару <e(Z)),O>, если D — булева алгебра;
пару <0, о (/))>, если D — специальная решетка; пару
<e(ZH),a(Z)i)>, если D = Do + D\ — представление
вида 3) из предложения 7. Корректность определения
/(/)) в последнем случае легко следует из приведенных
выше эквивалентностей.
Сформулируем окончательный результат:
Теорема. Две решетки D и D' из 3>0 элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда x{D) =
= X(D'). D
Из предложений 4 и 6 легко следует, какие пары
могут реализоваться как %(D) для OgSo.
В заключение параграфа сделаем несколько
замечаний о формульных расширениях сигнатуры булевых
алгебр до «модельно полных» сигнатур.
Пусть о получается из сигнатуры булевых алгебр
добавлением счетной последовательности одноместных
предикатов: Ао, Бо, Во, То, Аи Би Ви Т{ Ап, Бп,
Вп, Тп, ... Формулами, задающими значение этих
(формульных) предикатов, будут: формулы %п, §Эп, ?п,
определенные в доказательстве предложения 3, для
предикатов An, Б„, Тп соответственно; формула <?„(л)=^=
^= Уу32(%п(хПу)\/%п(хПуП2)) для предиката Вп,
«ею.
Заметим, что для элемента а булевой алгебры В
В^=$п(а) означает, что образ а элемента а в "В
является атомным элементом.
§ Ц ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РЕШЕТОК ИЗ »# ЮЗ
Лемма 6. Если Во и В\ — булевы алгебры, В0^д
^а В\, т. е. Во есть подсистема В\ в сигнатуре а, то
для любого элемента а е Во его элементарные
характеристики в Во и в В\ совпадают.
Действительно, так как сигнатура а содержит
предикаты ?„ для любого песо, то Г„(Во) = Тп{В\)[\Во\
поэтому первый член а элементарной характеристики
элемента а в Во и в В\ должен быть один и тот же.
Пусть <а,р,б> — элементарная характеристика
элемента а в Во. а <а, р', б'>— элементарная характеристика
элемента а в Вь Если а = со, то p = 6 = P' = 6' = O
и доказывать больше нечего. Пусть а < со, а — образ
элемента а в aB0^aBi. Пусть 5еаВ0, В ^ а и В
является атомом алгебры аВ0; если
ieflo—произвольный прообраз элемента В, то Во^= <&n(b), BQ^=An{b),
В\^= An(b) и, следовательно, В является также атомом
в аВ\. Поэтому, если Р = со, то и р' = со; пусть р =
= п <С со и В\, ..., Вп — различные атомы аВ0 такие, что
п
Bi ^ а; пусть Ъ =^ LJ Ъь тогда а \ В — безатомный эле-
мент; если 6еВ0 — прообраз элемента В, то В0Н
|=?„(а\й) и Bi ИБ„{а\Ь); следовательно, в аВ\
элемент а\В также является безатомным, а В —
объединением п различных атомов В\ б„;
следовательно, р' = п = р. Если 6 = 0, то а — атомный
элемент в аВ0; тогда Во\= Вп(а), Вх^=Вп{а) и,
следовательно, а — атомный элемент в аВ\ и б'= 0 = б. Если
6=1, то существует В ф 0 е™Во такой, что 5<а и 8
безатомный; для прообраза беВо элемента В имеем
Во|= Б„(Ь); тогда Bi \= Б„(Ь) и, следовательно, В —
безатомный (ненулевой) элемент и в аВ\\ В ^ а, и тогда
б' = 1 = б. ?
Предложение 8. Если булевы алгебры Во и Вх
элементарно эквивалентны иВ0^,вВи то Во —
элементарная подмодель В\ (Во =^ Bi).
Для доказательства этого предложения
воспользуемся замечанием после предложения 2 § 3 гл. 1 об
условиях элементарности вложения; аналогично
предложению Г может быть сформулирован следующий
критерий элементарной вложимости булевых алгебр
fl5
104 РЕШЕТКИ С ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ДОПОЛНЕНИЯМИ [ГЛ. 2
Вложение Во в В\ является элементарным тогда
и только тогда, когда существует система соответствий
Со э С\ =з ... между булевыми алгебрами Во и В\
такая, что {а,а) е= Сп для любого не Во и любого
пев. D
По условиям предложения е(Во) = в(В\);
построенная в доказательстве предложения 2 система
соответствий Со а С\ а ... между булевыми алгебрами Во и В\
будет, в соответствии с леммой 6, такой, что <а, а> е=
е= С„ для любого а е= Во и любого л е= со;
следовательно, B0^Bi. ?
Следствие. Любое полное расширение теории
булевых алгебр будет модельно полным в сигнатуре д. О
Замечание. Если для булевой алгебры Во г(В) =
= <а, р, б> и а < со, то, как видно из доказательства,
для справедливости леммы 6, а следовательно, и
предложения 8 достаточно расширить сигнатуру булевых
алгебр предикатами Ап, Бп, Вп, Тп только для п ^ а.
ГЛАВА 3
АБЕЛЕВЫ .ГРУППЫ
§ 1. Абелевы группы
Предполагаем, что читатель знаком с началами
теории групп, включая теоремы о гомоморфизмах (см.
[8]).
В этой главе будем рассматривать только абелевы
группы (в сигнатуре <+,—, 0», т. е. группы,
удовлетворяющие тождеству х + у = у + х\ слово «группа»,
как правило, будет обозначать «абелева группа».
Категорию (класс) всех (абелевых) групп обозначим 91.
п
Часто будем использовать запись ? а^а\ + ... +а„
и Yi а{^±а{, + ••• -\-а,., если лишь конечное число
элементов al{,...,aik в {d;|ie/} отлично от нуля;
k
па^Л,^, если а = ах = ... = ап.
Наименьшую подгруппу в А, содержащую
множество Х^А, обозначим (X) (или (Х)л)', множество
X ^А назовем порождающим для А, если (X) = А;
если X = {хи ..., хп}, то вместо (X) будем писать
(х\,..., Хп). Группа вида (х) называется циклической.
Группа А называется свободной с базисом X g= A
(в категории Я), если X порождает А и для любой
группы В и для любого отображения <р: Х-*-В
существует гомоморфизм г|з: А—*В такой, что iff X = q>.
Заметим, что из А = (X) следует единственность такого
гомоморфизма if. Очевидно, что бесконечная
циклическая группа (*) свободна с базисом {л}.
В категории Я имеются операции суммы и
произведения для произвольных множеств объектов из 91.
Действительно, пусть Л,-, is/, — семейство групп в 91.
Тогда IJi4jsS( и вместе с проектированиями я^:
106 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
ЦЛ/-»-Л/ (nif^f(i)), is/, эта группа является пря-
мым произведением семейства At, i e= /, в категории St.
Последнее означает, что для любой группы В и любого
семейства гомоморфизмов -ф^: В-*-At, is/, существует
единственный гомоморфизм г|г. B->YlAt такой, что
j p для всех /е/. В качестве \|) нужно взять
отображение Ь^-^-^Ь, определенное так: -ф?> (i) ^ т|5,Ь
для is/.
Подгруппа группы Ц Л;, состоящая из всех таких
/г/
f, что {i\f(i)?=0} конечно, обозначается Y At и назы-
вается прямой суммой семейства {Л;|/е=/}.
Существуют вложения hf. А{-*- Y Ajt i^I, определенные
так: для a^At, j e /
а, если / = i;
0, если /^i.
Группа Yi At вместе с гомоморфизмами kt: At-*- Y* At,
i^I le=I
i e /, является прямой суммой семейства Ai, jg/, в
категории 91. Это означает, что для любой группы В и
любого семейства гомоморфизмов ц>г. Л,-> В, t е= /,
существует единственный гомоморфизм qp: Y At-*-B такой, что
фг = фХ,- для любого i s /. (Гомоморфизм ф: Y А{-> В
is/
определяется так: фf^i: Y Ф^ ('")•) Так как X,- — вло-
жение, то можно отождествить At с образом hAi, т. е.
считать, что Ai — подгруппа группы Y А>.
1
Предложение 1. а) Множество \J At является
порождающим для группы Y At-
iml
б) Если Х{^А{ — порождающее множество для А{,
ie=/, то N X, — порождающее множество для У! А,.
в) Если Ас — свободная группа с базисом Xh ie=/,
то Y At—свободная группа с базисом |J Xt.
$ 1] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 107
а) Пусть /е ?7 А, и {/„ /*} а {/1/@^0}; пусть
если (как условлено) считать, что А{ ^ ? А/, то легко
проверить, что f = ? а{.
б) Утверждение б) сразу следует из утверждения а).
в) Утверждение в) легко следует из определения
свободной группы и свойств прямой суммы. ?
Следствие 1. Прямая сумма любого семейства
бесконечных циклических групп является свободной
группой. О
Следствие 2. Группа А является свободной с
базисом Х^А тогда и только тогда, когда для любого
х е X циклическая подгруппа (х) бесконечна и
однозначно определенный гомоморфизм qp: ? (x)-*-A
такой, что tyx ^ х, х^Х, является изоморфизмом.
Непосредственно следует из предыдущего и из
определения свободной группы. ?
В следующем предложении выясним условия, когда
семейство подгрупп At, i е /, группы А порождает
подгруппу, изоморфную прямой сумме ? А{.
Предложение 2. Пусть Ait is/,— семейство
подгрупп группы А. Гомоморфизм ф группы ? А, в А,
iml
однозначно определенный условием г|) \ А{ = id^, i s /,
является изоморфным вложением тогда и только тогда,
когда для любого конечного подмножества {10, м, ...
.... ik) ? /, &^1, 1аф{1\, ...i ik}, имеет место соот-
ношение Alo [\ I U Ai{ 1 = {0}.
Необходимость этого условия очевидна, так как это
условие выполнено в ? А{. Для доказательства
достаточности покажем, что t|>f=H=O для 0=H=/s ? A{. Пусть
f ф® и {г'о, .... ik} = {iI /(i) Ф0}. Если k = 0, то f^At,
и tyf = fф0. Если &>0 и /о^{'ь •••> ik}> то i|)/ =
t
108 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
/ к \ ^
е (U At Л ; поэтому, если бы -ф/ = -ф/ (/<,) + ? $!(ч) = 0,
то i|)/ (/о) = — 2j /Ф/ ('/)е ^й П I U At[) > что невозможно,
так как i|)/ (/0) Ф 0. П
Если для семейства Л/, /е/, подгрупп группы А
выполнено условие предложения 2, то будем говорить,
что подгруппа (\J АЛ группы А разлагается в пря-
\lesl )
мую сумму подгрупп At, ig/. В этом случае будем
использовать обозначение ? At и для подгруппы
( U АЛ группы A. ieI
\i<5l )
Пусть А — абелева группа, аеЛ; если циклическая
подгруппа (а) конечна, то говорят, что а — элемент
конечного порядка; (а) конечна тогда и только тогда,
когда па = 0 для некоторого натурального п > 0;
наименьшее такое п называется порядком элемента а.
Циклическую группу (а), где а имеет конечный
порядок п, часто будем обозначать С„. Отметим важное
свойство порядка элемента а: если п — порядок
элемента а и та = 0, то п делит m(n\m). Если для
элемента oGi4 па ф 0 для всех п > 0, то говорят, что а
имеет бесконечный порядок или что порядок а равен ю.
Если А не содержит элементов конечного порядка,
отличных от 0 (имеющего порядок 1), то А называется
группой без кручения. Если все элементы группы А
конечного порядка, то группа А называется
периодической. Легко проверяется, что все элементы конечного
порядка группы А образуют подгруппу группы А —
периодическую часть группы А, которую обозначим Т(А).
Фактор-группа А/Т(А) является группой без кручения.
Пусть р — простое число; периодическую группу А
назовем р-группой, если порядок каждого элемента из
А имеет вид рп для подходящего натурального п. В
любой группе А множество р-элементов, т. е. множество
Лр^={а|аеЛ, существует п ^ 0, рпа = 0}, образует
подгруппу, которую назовем р-примарной компонентой
группы Т(А) (или А, если А периодическая).
Предложение 3. Всякая периодическая группа
разлагается в прямую сумму своих р-примарных
компонент.
§ 1] АВЕЛЕВЫ ГРУППЫ 109
Пусть А — периодическая группа, Р — множество
всех простых чисел, Ар — р-примарная компонента Л,
РеР. Покажем, что для семейства подгрупп Ар,
рЕР, выполнено условие предложения 2. Предположим
противное, и пусть go. qx qn— различные простые
числа такие, что АЧо Л ( U Aqt) Ф Щ\ рассмотрим
элемент афО из пересечения АЯа П ( U Aqt) • Так как
а е f U Л^ ) . т0 существуют элементы ai^A4l, ...
..., апеАдп такие, что а = flti + • •. + ctn- Так как
а ф 0, то хотя бы один из элементов аи ..., ап отличен
от нуля; не уменьшая общности, будем считать, что
flt( ф 0. Пусть <7? —порядок элемента а, тогда O = q§ct=
= <7§а,+ ... +q$an; так как qx=?q0, то q%a^0;
-9o«i = 9X+ ••• +Я%ап> Яоа1^Ачг '"=1, .... п.
Если выбрать п наименьшим возможным, то сразу
получаем противоречие. Итак, ( U АЛ= /1 Ар. Остается
\р(=Р ) реР
доказать, что А = X -^р. точнее — только включение
р<=р
А ^ X ^р- Пусть а е= Л и п — порядок элемента а.
ревР
Разложим п в произведение степеней простых чисел:
1 = р*° •/>*'• ••• -pf' (ро = 2<р, < ...—перечисление
множества Р в порядке возрастания); ^^0, /^/.
Пусть п^пр^1, i^l; ni — целое натуральное число;
множество чисел ио> Щ П; не имеет общего
простого делителя; следовательно, наибольший общий
делитель НОД(ио щ)=\; тогда существуют такие
целые ult i^.1, что 1=ыо«о+ ... + щщ', полагаем
^l; заметим, что at^APl; действительно,
k k
l
n = nlpkii, следовательно, pkilai = uinipkiia = uina = 0. Но
а = 1 • а — (ыо«о + . • • + щщ) а = по + ... + а, е 21 Лр!
итак, Л< Y, А„ и А= ]? Ар. П
регР регР
Обратим теперь внимание на вопросы делимости
элементов группы на натуральные числа, т. е. на во-
ПО АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 8
просы разрешимости уравнений вида пх = а, а^А,
п > 0, в группе А или ее расширениях. Установим, что
достаточно ограничиться рассмотрением случаев, когда
п есть степень простого числа.
Лемма 1. Пусть n = pkQ°- ... • рр>0, ае=А\
уравнение пх = а разрешимо в А тогда и только тогда,
когда в А разрешимы все уравнения р\1х = a, i
Пусть n^npj^, i^.1; nt — натуральное число и
nip'li = n. Если Ь^А таково, что nb = a, то bt^±ntb
таковы, что p\ibi = a, i<^l. Необходимость установлена.
Так как наибольший общий делитель чисел п0, ..., nt
равен 1, то существуют целые числа uh i<^l, такие,
что 2"г«г = 1> Пусть Ьо,..., 6/еЛ таковы, что
pkiibi = a, i^l; полагаем b^uobo-{- .
проверим, что nb = a: nb = XI пи.Ь, =
Пусть р — простое число. Для характеризации
разрешимости уравнений вида ркх = а введем понятие
р-высоты элемента. Пусть а^ А, тогда р-высотой
элемента а в группе А назовем ординал hp (a) (= hp (a)) ^
^ sup {k I k e со, в группе А разрешимо уравнение
pkx = a} Всегда Лр(а) = hp(—а)^. со и /гр@)=со.
Сформулируем ряд свойств р-высоты.
1. Пусть а, Ь^А, тогда hp(a + b)^ m'm{hp(a),
hp(b)}; если пр(а)Ф hp(b), то hp(a + b)= m\n{hp(a),
hp(b)}.
Действительно, если k e со таково, что k^hp(a),
k ^ hp(b), то существуют с и d в А такие, что ркс = а,
pkd = b\ тогда р*(с + d) = a-\-b и hp(a -\-b)~^ k,
следовательно, hp(a + b)~^ min{Ap(a),Ap(?>)}. Пусть
теперь hp(a)<. hp(b); если hp(a-\-b)> hp(a), то
получим противоречивое соотношение hp(a)= hp((a + b) —
— b)^min{hp(a + b),hp(—b)} >hp(a). ?
2. Если s — натуральное число и р не делит s
(р <fs), то hp(a) = hp(sa).
Пусть kесо и с^А таковы, что ркс = а; тогда.
pksc — sa, следовательно, hp(a)^ hp(sa). Пусть fee со
S 1] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Ш
и се Л таковы, что ркс = sa\ так как s и рк взаимно
просты, то для некоторых целых и и v us + vpk = 1;
тогда а = 1 • а = (us -f- ур*) а = и (sa) + р* (уа) = ыр*с+
+ pkva = pk (uc + va), значит, hp (sa) ^ hp (a). П
3. Если ф: А -*¦ В — 'гомоморфизм, а е Л, го Ар (а
А
Действительно, пусть ^^Лр(а) и а'еЛ таковы, что
рка' = а', тогда <pa = p*<pa/, следовательно, А ^ Ар (фа) и
^()<рф) ?
4. ?слн Л<В, as Л, то hpp
Это частный случай свойства 3. ?
Группа Л, в которой для любых ое Л и л > 0
разрешимо уравнение л* = а, называется полной.
Следствием леммы 1 является следующая характеризация
полных групп:
Группа А полна тогда и только тогда, когда hp(a) =
= со для любого элемента а^А и любого простого
числа р. О
Оказывается, что в этой характеризации условие
Ap(a) = a> можно заменить на условие Лр(а)^1.
Лемма 2. Если в группе А для любого элемента
а^А и для любого простого р hp(a)~^ 1, то А полная.
Покажем индукцией по k, что уравнение pkx = a
разрешимо в Л. Для k = 1 это условие леммы. Пусть
для fee со все уравнения вида ркх = а разрешимы в Л.
Рассмотрим уравнение pk+ix = a, a^A; так как
уравнение рх = а разрешимо по условию, то существует
Ь е Л такой, что рЪ = а. По индукционному
предположению существует с^А такой, что ркс = Ь, но тогда
рк+\с _ р(р*с) = рЬ = а. О
Отметим простые свойства полных групп:
1. Фактор-группа полной группы является полной.
2. Если А, В — полные подгруппы группы С, то
подгруппа (A U В) также полная.
3. Если Аи /е/, — полные группы, то ? At( Д ЛЛ —
lei \<e/ /
полная группа.
4. Если У. At ( ТТ ЛЛ — полная группа, то все группы
le.1 Kiel )
А(, /s/, полные,
112 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ |ГЛ. 3
Эти утверждения проверяются непосредственно (или
с помощью леммы 2 и свойств р-высоты). D
Рассмотрим два примера полных групп.
Пример 1. Группа Q всех рациональных чисел
(с обычной операцией сложения).
Действительно, если — е Q, т целое, г натуральное
>0, то —eQ и является решением уравнения
пх = — для любого п > 0. ?
Пример 2. Квазициклическая группа Ср0О (группа
типа р°°), здесь р — простое число.
Эту группу можно определить как объединение
цепочки конечных циклических групп Ср sQs ...
Более точно ее можно задать с помощью множества
порождающих и определяющих соотношений так: имеется
счетное множество {ао, аи ...} порождающих, которые
удовлетворяют соотношениям ра0 = 0; рап+\ = ап, пе
ею. Тогда (ап) — циклическая подгруппа порядка pn+l
(т. е. (#„) — С_n+i). Проверим, что эта группа является
полной. Установим сначала некоторый общий факт.
Лемма 3. Если А — р-группа, п> 0 и p-f n, то для
любого ее/1 существует единственное решение
уравнения пх = а.
Действительно, пусть pka = 0; так как лир*
взаимно просты, то существуют целые а и v такие, что
ип -|- vpk = 1; тогда а = l-a =(un -|- vpk)a = п(иа)-\-
-\-v(pka)= п(иа), т. е. иа — решение, уравнения пх =
= а. Установим теперь единственность. Пусть а0, а\ е
ei и пао = пай тогда п(а0 — ai)=0; поэтому
порядок элемента а0 — а\ должен делить число и; так как
А — р-группа и pfn, то порядок элемента а0— ai есть 1,
т. е. ао — а\ = 0, a0 = a\. D
Таким образом, нужно только установить
разрешимость всех уравнений вида рх — а, а&С ю (см.
лемму 2). Из определения группы СрОО видно, что для
любого а^СрХ существует а„ такое, что а^(а„); тогда
а = kan для некоторого натурального k, но а = kan =
= kpan+i = p(kan+i) и уравнение рх = а разрешимо
в Ср00. Итак, Сроо — полная группа.
S 1] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ ИЗ
Заметим, что в группе Ср» всякое конечное
подмножество элементов порождает циклическую подгруппу;
действительно, любое конечное подмножество элементов
из Ср<» содержится в подходящей циклической
подгруппе вида (ап), но подгруппа циклической группы
сама циклическая. Группы, в которых каждое конечное
подмножество порождает циклическую подгруппу,
называются локально циклическими. Таким образом,
установлено, что квазициклическая группа Ср«> является
локально циклической. Предоставим читателю
возможность убедиться, что и группа Q также является
локально циклической.
Предложение 4. Для всякой абелевой группы А
существует расширение В, являющееся полной группой.
Рассмотрим бесконечные циклические группы (ха),
оеД; группа FA ^= ? (ха) является свободной (след-
а<=А
ствие 1 предложения 1) с базой {ха\а^А}.
Отображение Ха*—>а продолжается единственным образом до
эпиморфизма ф: FA-*A. Пусть Qa — копия группы Q
и (ха) — бесконечная циклическая подгруппа Qa (такая,
очевидно, существует). Пусть DA =^= Y, Qa'< А« — полная
as A
группа, Fa ^ DA. Рассмотрим фактор-группу D^/Kertp;
она содержит подгруппу К/Кегф, изоморфную А.
Таким образом, можно считать, что имеется вложение
группы А в группу D^/Кегф, являющуюся полной как
фактор-группа полной. ?
Таким образом, можно утверждать, что для любой
группы А существует такое расширение, в котором
разрешимы все уравнения вида пх = а.
Одно из основных свойств полных групп (так
называемая инъективность) описано в следующем
утверждении:
Предложение 5. Пусть А ^ В — группы, С —
полная группа; тогда для любого гомоморфизма ф:
А —> С существует гомоморфизм г|): В -*¦ С,
продолжающий ф, т. е. i|> t A = ф.
Пусть Ф — семейство всех таких частичных
отображений К из В в С," что область определения
отображения Я, есть подгруппа В, содержащая А; К является
гомоморфизмом своей области определения и Я f A = m;
114 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Ф Ф 0, так как, например, феФ. В множестве ф
имеется естественный частичный порядок (Я Е Я' =^= Я'
есть расширение отображения Я). Легко проверяется,
что Ф—индуктивное частично упорядоченное
множество. Следовательно, по лемме Цорна Ф содержит по
крайней мере один максимальный элемент; пусть i|) e
еФ — максимальный элемент и D — область
определения ilp. Если D = В, то утверждение доказано.
Предположим, что D ф В, и пусть 6efi\D. Циклическая
подгруппа (Ь) имеет ненулевое пересечение с D, так
как в противном случае D' Ф- D + (Ь) есть подгруппа В
и i|> может быть продолжено до гомоморфизма i|/:
D'-+C так, что \|/F)=0. Итак, пусть п — наименьшее
положительное натуральное число такое, что nb e D.
Пусть с =^= \|з(п6)е Си с' еС таков, что пс' = с. Пусть
D' =^= (D U {6}); тогда, как легко проверить, любой
элемент й' из D' однозначно представим в виде d' = d -f
+ rb, d^D, 0 ^ r < n; полагаем \|/ (d') = ty'(d-\-rb) ф
=т^ i|) (d) + f<^. Проверим, что i|)' — гомоморфизм из D'
в С. Действительно, пусть d'o = d0 + ^о^1 ^ = ^ + г^;
do, di<=D, 0<r0, ri<n. Тогда' rfj + ^ = (rfo + rf,)+
-f (r0 -f /"i) й. и это есть нужное представление, если
го + И < л; в противном случае имеется представление
do" + d; = (do + d, + n&) + (ro+r1-n)& И 0<Г0+Г1-
— п<.п (так как ft<ro + ri< 2n). В этом последнем
случае имеем ф' (dj + <) = t (^ + dx + nb) + (r0 + rx —
-п)с' = Ъ (d0) + t (d,) + с + roc' + r/ - nc' = [td0 +
+ roc'] + [H + r,c'] + nc' - nc' = ^(dj) + ?{d[).
Проверка соотношения i|)' [d'o + rfj) = 'Ф' (d'o) + 'Ф' (d,) в
первом случае еще проще. Проверка остальных свойств
гомоморфизма аналогична. Итак, 1|/еФ и
\|/—собственное расширение i|). Это противоречие и показывает,
что D = В. ?
Как следствие получаем, что полная подгруппа
всегда выделяется прямым слагаемым в любой группе.
Точное определение следующее: подгруппа А группы В
выделяется в В прямым слагаемым, если существует
такая подгруппа С <; В, что А |"| С = {0} и (А [} С) — В
(тогда Б = Л-(-С). Дадим сначала простой критерий
fl] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ Ц5
для подгруппы А группы В выделяться прямым
слагаемым.
Лемма 4. Подгруппа А <; В выделяется в В
прямым слагаемым тогда и только тогда, когда существует
гомоморфизм ф: В-+А, тождественный на А, т. е. такой,
что ф Г A = id*.
Если В = Л + С, то для Ь = а + с, аеА, с^С,
полагаем фF)^а; ф будет нужным гомоморфизмом
(заметим, что представление b = а + с, а е А, с е С,
для & единственно). Пусть <р: В->Л— такой
гомоморфизм, что фа = а для а е Л. Пусть С ^ Кег ф =
= {& j ф& == 0}—ядро гомоморфизма ф. Так как фа =
= 0 ФФ а = 0 для а е Л, то Л П С = {0}. Для любого
Ь^В положим сФЬ— фб, тогда ф&еЛ, ц>с = ц>Ь —
_ фф& = ф& — ф& ^ 0; следовательно, сеС, 6 = yb +
+ с е (Л U С) и В = (Л U С) = Л + С. D
Следствие 1. Если А ^ В ^С и А выделяется
прямым слагаемым в С, то А выделяется прямым
слагаемым в В.
Действительно, если -ф: С-+А—такой гомоморфизм,
что 1|з \ А = \&а, то ф =^ 1|з \ В удовлетворяет условию
леммы. D
Следствие 2. Пусть А <; В и А — полная группа;
тогда А выделяется в В прямым слагаемым.
Действительно, если в условиях предложения 4 в
качестве С взять Л, а в качестве гомоморфизма ф
тождественное отображение id*, то заключение предложения
показывает существование гомоморфизма ф: В->Л
такого, что ф \ А = id*. По лемме Л выделяется в В
прямым слагаемым. ?
Если в абелевой группе А рассмотреть подгруппу D,
порожденную всеми полными подгруппами, то легко
видеть, что D является полной группой. По следствию 2
D выделяется в Л прямым слагаемым, т. е. А = D -{- R
для подходящей подгруппы R ^ Л. Группа R не
содержит полных подгрупп, отличных от {0}. Такие группы
называются редуцированными. Следовательно, можно
считать, что установлено
Следствие 3. Любая группа А пред ставима в виде
суммы полной и редуцированной подгрупп. ?
Введем понятие, которое является весьма важным
для дальнейшего. Пусть Л <Г В; назовем Л сервантной
116 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
подгруппой группы В,, если для любых. аеА, п > 0 из
разрешимости в В уравнения пх = а следует
разрешимость этого уравнения уже в А. Заметим, что в
соответствии с леммой 1 для проверки сервантности достаточно
рассмотреть числа п, являющиеся степенями простых
чисел. Условие сервантности легко определяется в
терминах р-высот:
Предложение 6. Пусть А ^В; А — сервантная
подгруппа В тогда и только тогда, когда для любого
аЕ/4 и любого простого р h^(a) = Щ(а). П
Отметим простые факты о сервантности:
1. Если В = А -f- С, то А — сервантная
подгруппа В.
Действительно, если а е А, бе В, пЪ = a, b =
= а' -\- с, а' е А, с^С, то пЬ = па' + пс = а, пс =
= а — па' е А П С; следовательно, пс = О и па' = a. ?
2. Если А ^ В ^ С, А — сервантная подгруппа В,
В — сервантная подгруппа С, то А — сервантная
подгруппа С. _
Очевидно. ?
3. Если A sg: 5 и А полная, то А сервантна в В; если
В полная и А сервантна в В, то А полная. ?
4. Если А ^.В и В/А — группа без кручения, то А
сервантна в В.
Действительно, пусть п > 0, оеД 6еВ и nb = а;
переходя к фактор-группе В/А, имеем пЬ = 0; так как
В/А — группа без кручения, то Б = 0, т. е. бе А. ?
5. Периодическая часть Т(А) группы А является сер-
вантной подгруппой А.
По предыдущему, так как А/Т (А) — группа без
кручения. П
6. Если A sg: 5 sg: С и В — сервантная подгруппа С,
то В/А — сервантная подгруппа С/А.
Действительно, пусть п>0, с е С, Ь е В и пс = Б
(черта означает образ элемента в С/А); тогда для
некоторого as Л пс = Ъ + а; так как В сервантна в С
и Ь + а е В, то существует Ь' е В такой, что пЬ' =
= Ь-\-а; тогда пБ' = Б и Б' е В/А. ?
7. Сервантность — индуктивное свойство, т. е. если
Ai сервантна в В, /е/, и для любых i, j e / At ^ Л/
или Ai^At, то (J Аг сервантна в В. О
§ 1] АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 117
8. Если А — сервантная подгруппа С, В ^ С, В/В П
() А —сервантная подгруппа С/А, то (A{j
В)—сервантная подгруппа С.
Действительно, пусть п>0, с^С, аеЛ, Ь^В
и пс = а-\-Ь; так как В/В[\А сервантна в С/А, то
существуют Ьо е В и а0 е А такие, что Ь = nbo + а0;
тогда пс — nbo — a-\-a0 и из сервантности Л в С
следует, что существует а\^А такой, что па\ = а + а0;
тогда а-+- 6 = а + ао + п&о = ««i + «6о = "(ai + b0) и
ai + 60^(Л U 5); следовательно, (Ли В) сервантна
в С. ?
В заключение параграфа установим следующий
аналог предложения 4:
Предложение 7. Пусть А — сервантная
подгруппа группы В; тогда существует такое расширение С
группы В, что А сервантна в С и С/А — полная группа.
Покажем, что это предложение вытекает из
следующего утверждения:
Пусть А ^ В ^ С, А — сервантная подгруппа В, С —
полная группа и В не имеет собственных расширений
в С, в которых А сервантна; тогда В/А полна.
Действительно, пусть это утверждение справедливо.
Докажем тогда предложение 7. Вложим 5 в полную
группу D в соответствии с предложением 4, и пусть S —
семейство подгрупп D, содержащих 5 и в которых А
сервантна. S не пусто, так как В е S. Легко
проверяется, что <S, <;> индуктивно. Следовательно, S
содержит максимальную подгруппу С. Тогда А ^ С ^ D
удовлетворяют условиям утверждения. Следовательно,
С/А полная, А сервантна в С и i4 < В < С.
Обратимся к доказательству утверждения.
Предположим, что В/А не является полной. Тогда для
некоторого простого числа р группа (pB\jA) будет
собственной подгруппой группы 5. Так как С — полная группа,
то множество Н =^= [h\h^C,ph^B\(pB\jA)} не
пусто. Если АеЯ, 6sB, то, очевидно, h + Ь е Я.
Проверим, что если йеЯ, m — целое число и pf m, то
mh e Я. Числа р и m взаимно просты, следовательно,
для некоторых целых п и k имеем mn-\-pk= 1.
Покажем, что pmh e 5 \(pB\jA), pmh = m(ph)& В; если
pmh^(pBljA), то pmh = pb + а для некоторых b gB,
a€i4; тогда ph = p(mn +pk)h = n(pmh) +p2kh =*
118 АВЕЛБВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
= р (nb + kph) -\-na^. (рВ \}А), что невозможно, так как
Лей.
Если в Я имеются элементы конечного порядка, то
пусть с— элемент из Я наименьшего порядка; в
противном случае пусть с — произвольный элемент из Я.
Покажем, что А сервантна в В'^(В\}{с}). Пусть q—
простое число и уравнение qs+ix = а, а^А, имеет
решение тс-\-Ь в В', где JeB, m — целое число. Так
как А сервантна в В, то достаточно показать, что
уравнение qs+lx=a разрешимо в В. Если р\т , то тс-\-
+ JeB. Пусть р^т и q Фр; тогда p-f (qs+lm) и
qs+lmc, qs+lmc + qs+1b e Я, и равенство <7S+1 (тс + b) =
= а невозможно. Пусть р = q; если ps+lmc = 0, то
6(еВ) является решением уравнения qs+1x = а. Пусть
ps+lmc ФО; так как рте = пг(рс)^ В и А
сервантна в В, то существует ао^А такой, что psao —
= ps (mpc + pb). Группа С полна, следовательно,
существует Со е С такой, что рсо = mpc + pb — ад тогда
рсо^В и рсоф(рВ[}А), так как тс^Н, ртс&
ezB\(pB\jA) и pb — aoe=(pB[}А). Далее,
ps+1c0 = ps (рс0) = ps (mpc + pb — flo) =
= ps (mpc + pb) — psa0 = 0.
Следовательно, Н содержит элемент с0 порядка,
делящего ps+l; тогда с также должен быть элементом
конечного порядка р*п, песо, р -f n; так как псе Я и
порядок элемента пс равен р*, то п= 1. Итак, с — элемент
порядка р'; так как ps+1mc Ф 0, то t > s + 1. Элемент с0
принадлежит Я и имеет порядок ^ps+1, а с —элемент
наименьшего порядка в Я; полученное противоречие
показывает, что случай ps+lmc Ф 0 невозможен.
Итак, А сервантна в В' — ({с} \JB)^:C, сфВ, что
противоречит максимальности В; следовательно, группа
В/А полна.
Утверждение, а вместе с ним и предложение 7
доказаны. ?
§ 2. Функторы П„ и П
Пусть п > 0 — натуральное число. Через %„
обозначим полную подкатегорию категории % абелевых групп,
состоящую из всех таких абелевых групп А, что для
$ 2] ФУНКТОРЫ П„ И П П9
любого а^А па = 0, т. е. пА = {0}. Если группа А
принадлежит 21„ для некоторого п > 0, то говорят, что
А имеет конечную экспоненту; наименьшее такое п
называется экспонентой группы А.
Для каждой абелевой группы А существует
наибольшая фактор-группа, принадлежащая %п, а именно
фактор-группа Пя(Л)^Л/пЛ; естественный эпиморфизм
Л->П„(Л). обозначим через Лп (л^)- Если <р: Л—>В—
гомоморфизм абелевых групп, то существует
гомоморфизм П„(<р): П„(Л)->П„(В), корректно определенный
следующим соотношением: Пп (<р) (л^а) = Л°Фа для а^
еЛ. Действительно, если а0, а^Л и г1^Яо = 'Ппа1' то
а0 — а1^пЛ, т. е. существует се Л такой, что ао =
вв{) 1{)
= T)n(Pai» так как 'Пп №) = ® для любого элемента d e В.
Если ф: А->А—тождественное отображение, то
П„(ф): Пп(Л)-»Пп(Л) — также тождественное
отображение. Если ф: А-+В, if>: В-^С — гомоморфизмы, то
П„ (\|5ф) = П„ (if>) П„ (ф). Действительно, Пп (¦фф) ч\%а =
Следовательно, Пл является функтором из категории 91 в
категорию §(„. Если Ве21„, то ПЯ(В) естественно
отождествляется с В, а отображение П„: Нот(Л,В)->
-*¦ Нот(ПлЛ, ипВ) (^ Нот(ПлЛ, В)) является, как
нетрудно проверить, взаимно однозначным отображением
на. Последнее свойство можно переформулировать в тео-
ретико-категорных терминах так:
Предложение 1. Функтор П„ из 91 в 9tn является
левым сопряженным функтору /„ вложения
подкатегории 2С„ в категорию 2С. D
Отметим ряд свойств функтора Пл, вытекающих
прямо из определения.
1. Если ф: Л-+В — эпиморфизм, то П„(ф): Пя(Л)->
-*-Т1п(В)—также эпиморфизм. D
2. Если ф: Л -*¦ В — эпиморфизм и Кег ф ^ пА, то
П„(ф): и„(А)->Пп(В)— изоморфизм. П
3. П„(ЛХВ)^П„(Л)ХП„(В). ?
Более общо:
4. п„( П^Л~П(п„(л()). а
Vie/ / is/
120 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Пусть п, т> 0; тогда существует изоморфизм
ср: Tln{ttnm(A))-*-Tln(A) такой, что диаграмма
коммутативна.
Так как Un(A)&%nm, то существует единственный
гомоморфизм т|з: Unm(A)-+Un(A) такой, что ЧА = Щ*т.
Так как П„(.<4)е91я, то существует единственный
гомоморфизм <р: Пя(Пят(Л))->11я(/1) такой, что'ф = <рт1п1'1т<'4).
Чтобы установить, что <р есть изоморфизм, нужно
заметить, что проведенное сейчас рассуждение позволяет
утверждать, что для любого гомоморфизма а: А-*-В,
В е Яя, существует единственный гомоморфизм |3:
Пп(Ппт(А))^В такой, что а = pt?«»(\L-
В дальнейшем будем часто отождествлять П„ (Пят (А))
с ПП(Л), а эпиморфизм щ^пт{А): Ппт (А)-*• Пп (А) просто
с эпиморфизмом Т1Я (=vEnmiA))-
Пусть ©+ — множество ненулевых натуральных
чисел. Отношение делимости | (х\у ^ 3z(xz = у)) задает
на (о+ направленный частичный порядок. Пусть А — абе-
лева группа, семейство групп Ип(А), песо+, вместе
с семейством гомоморфизмов iv Um(A)-+Un(A),
п, ms©+, n\m, образует обратный спектр групп.
Обозначим через U(А) обратный предел этого спектра,
через if: П И)-»- Пп И)— проекции, а через т) (= т)-4):
A—*ti(A) — гомоморфизм, определенный по системе
гомоморфизмов tin: Л->ПЯ(Л), пеа+.
Предложение 2. Для любого гомоморфизма
ф: А-**В группы А в группу В конечной экспоненты
(т. е. ВеЯп для некоторого пе со+) существует
гомоморфизм ф: П(Л)-»В такой, что ф = ^цА.
Действительно, если ВбЯ„, то существует
(единственный) гомоморфизм t|jn: Un(A)-*-B такой, что
ф — ^п^п- Имеет место равенство ч\* = ц"г\А; полагаем
^^%ЛЛ. тогда г|*1л = *„ЧV = *Х = Ф- П
§ 2] ФУНКТОРЫ П„ И It 121
Замечание. Можно доказать и единственность
такого гомоморфизма гр.
Для более эффективной работы с конструкцией
r\: A~*U(A) дадим другое описание группы П(Л) и
гомоморфизма Т).
Введем натуральные- числа яя, песо, так:
пп=^р%> ... • рпп, здесь р0, р\, ... — последовательность
всех простых чисел в порядке возрастания. Легко
проверить, ЧТО Яо= 1, п\п„ ДЛЯ ЛЮбОГО ЯЕВ+, ЯяЯ*|я„+*
для любых п, k e со.
Для любой абелевой группы А пусть Аа —
декартова (о-степень группы А, т. е. группа всех
последовательностей <а0. аи ...>, а*е=Л, ie=co, с почленным
сложением; через Д обозначим подгруппу группы А®,
состоящую из всех последовательностей <ао. о,\, ¦ ¦ •)
таких, что ап+\ — ап е= ппА, п е= со; An— подгруппа А'л
(даже А), состоящая из всех таких последовательностей
<а0. аи • • •>. что ап е ппА, п е со.
Предложение 3. Существует естественный
изоморфизм групп И (А) и А/Ап-
Так как п\пп и я„|я„+1 для песо+, то множество
{яп|песо} образует конфинальное линейно
упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества
<со+, |>. Следовательно, П(Л)= Нт А/пА = Нт А/ппА.
Пусть АпФ=А/ппА; тогда П(А) можно рассматривать
как подгруппу группы Ц Ап, состоящую из таких по-
следовательностей <50.«ь •••>. алЕ/4я, пе=со, что для
любого п е= со а„ есть образ an+i при естественном
эпиморфизме Л„+1->у4„ (заметим, чтоЛ„ = П„п(у4), Ап+1 =
= П„п+,(Л), я„|я„+1 и 11Я"+1: An+i-+An есть этот
естественный эпиморфизм). Это условие означает, что
а„+1 —а„е=я„Л для любых песо, а„е=а„(=Л), o,+is
ean+i(S.<4). Отсюда следует, что существует
естественный эпиморфизм г|) группы Л на П(А): г|)(<ао, аи .. .>) =^=
^ <ао + яо/1, «1+ пИ, ...). Ядром этого эпиморфизма
является семейство всех последовательностей <а0. аи.. .>
таких, что для любого п е со ая + япЛ = я„Л, т. е. ап е=
Л следовательно, Кегг() = у4ц и А/Аи е*П(А). П
122 Л.БЕЛЁВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Диагональное вложение б: а ь-* <а, а, .. .> группы Л
в Лш является вложением Л в Д. Если в соответствии
с предложением'3 отождествить П(Л) и А/Ап, то
индуцированный диагональным вложением гомоморфизм А
в Д/Лц(=П(Л)), как легко проверить, совпадает с
гомоморфизмом цА: А ->П(Л).
Пусть В — другая абелева группа и ср: А—*В —
гомоморфизм; гомоморфизм ф индуцирует гомоморфизм
Фм(фш«ао, аи ...>)=^: <фао,фаь_...>) из Лш в Вм; так
как ф(лпЛ) = япВ, то ф°(Л) = В и фш(Лп)?Вц;
следовательно, фш индуцирует гомоморфизм П(ф): П(Л)->
—*И(В) такой, что П(ф)'П'4 = т)вф.
Замечание. Так как я„( П ЛЛ = Ц я„Л,, то
Vie/ / <e/
имеет место естественный изоморфизм П ( П ^Л ^^
^11 (П(Л,)).
Установим ряд лемм.
Лемма 1. Ядром гомоморфизма ц: Л->П(Л)
является группа А1 ^= (~| пА.
Достаточно установить, что (~| пА= П лп^! н0
включение s очевидно, а из n|пп для лев+ следует,
что пЛэлп-Д; следовательно, справедливо и обратное
включение. D
Лемма 2. Если ф: Л -> В — талой гомоморфизм,
что В/фЛ — полная группа, то П(ф): П(Л)—>-П(В)
является эпиморфизмом.
Пусть <&о.&ь ...>еВ; найдем последовательность
<а0, аь ,..)еЛ такую, что Ьп — фа„ел„В, отсюда
и будет следовать заключение леммы. Полагаем ао ^ 0;
пусть а0, ..., fl»e^ уже найдены так, что ak+\ — afte
е пнА для k <. п и bk — фа* е л^В для k ^. п. Тогда
Ь„ —фа„ел„В, Ьп+1 — Ьп е я„В; следовательно, bn+i—
— фа„ = F„+1 — Ь«) + (ЬП — фап)ел„В, т. е. bn+i—
— фа„ = л„с для некоторого с^В. Так как В/фЛ —
полная группа, то существуют элементы а^А и deB
такие, что с = nn+\d + фа. Полагаем ап+\ ^ ап + л„а;
тогда а„+1 — а„ = япа е я„Л, Ъп+\ — фап+1 = Ьп+\ —
— ф(а„ + л„а) = (Ь„+1 — фап)—лпфа = л„с — япфа =
(Й + а — фа) = Яп+1Япйе Ял+iB. Итак, можно
§ 2] ФУНКТОРЫ П„ И П 123
построить последовательность <ао, аь ...>,
удовлетворяющую сформулированным выше условиям. "D
Для этой и следующей леммы существуют более простые
аналоги, касающиеся функторов Пл.
Лемма. 2'. Пусть лев+; если <р: А-*-В — такой
гомоморфизм, что В/фЛ п-делима (т. е. в этой группе разрешимо уравнение
пх «=• Ь' для любого Ь'е?/фЛ), то Пл(ф) : ПЛ(Л) -*-Пп(В) —
эпиморфизм.
Пусть Ь е?; так как В/фЛ л-делима, то существуют элементы
се. В и as Л такие, что Ь = пс + уа; тогда образ Ь в группе
Un{B) есть Ь + пВ = фа + л? == Пл(ф) (а + Л); так как Ь
произвольный, то П„(ф) —эпиморфизм. ?
Лемма 3. Если <р: А -*¦ В — такой гомоморфизм,
что Кегф^Л1 и фЛ сервантна в В, то П(ф): П.(А)—*
-*¦ П {В) — мономорфизм.
Предположим противное. Пусть <а0. ^ь .. •> е
еЛ\Лц и <фа0, ф^ь ...>eBrt. Так как <а0, «ь ...>^
ф An, то ап ф ппА для некоторого п е ©; тогда ц>ап ф.
ф япфЛ, так как в противном случае ап = ппа -f- a' для
некоторых аеА и а'еКегф^Л1; но а' = ппа" для
некоторого а" е Л, следовательно, а„ = ял (а + a") s
еяпЛ. Условие <фао>фаь ...)еВп влечет фа„еяпВ.
Следовательно, уравнение ялх = ц>а„ разрешимо в В,
но не разрешимо в фЛ, что противоречит сервантности
фЛ в В. О
Лемма 3'. .Если ф: А-*-В — такой гомоморфизм, что
Кегчр <: лЛ и фЛ сервантна в В, то Пл(ф): ПЛ(Л) ->-Пл(В)
—мономорфизм, л е »+.
Аналогично доказательству леммы 3. D
Лемма 4. Для любой группы А фактор-группа
U(A)/r\A полная.
Пусть a = (ао, аи ...) е Л, п > 0 — произвольное
натуральное число; полагаем a'k^= an+k', тогда, очевидно,
а'=г=(а'о, а\, . ..\еЛ и образы последовательностей a
и а' в П (Л) совпадают, так как a'k — ak = an+k — ak e
ея^ для любого ^еа, Далее, a'k+l — a'k =an+ft+I —
— an+ft ея„+АЛ ^пяАЛ, т. е. существует ck^A такой,
что a'k+l —a'k = nnkck для любого k^a>. Полагаем
&0=^=0, bk+i=?=bb-\-nkCb для любого ^?й; тогда bk+l--bk =
= яАс& е яАЛ, следовательно, р =^= F0. 6i, ...) е Л. Пусть
Я=^ар(=а„); покажем, что a' = 6a + np, т. е. что а^ =
124 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ |ГЛ. 3
= a + nftft для любого kею. Установим это индукцией
по k: a'Q = a + /г • 0 = а; пусть равенство a'k = a + nbk
имеет место, тогда a'k+i = a'k + «яАсА = а + «ftft + яяАсА =
= a + ft(ftft + яАсй) = a + nb\+i. Отсюда следует, что
образ а' или, что то же, образ а в U(A)/r\A делится
на п; п было произвольным, следовательно, П (А)/х\А —
полная группа. ?
Лемма 5. Подгруппа х\А сервантна в П(Л).
Пусть а е А и в П (А) разрешимо уравнение пх = х\а;
тогда существуют последовательности a = (a0, а\, ,,.)е/1
и а* = (ао, а], ...)бЛп такие, что 6а = па + а*. Тогда
а = пап + ait, но a* e An, следовательно, a*n e nnA ^ пА;
отсюда а е пА, т. е. a = «6 для некоторого b e Л; но
тогда 6a = tt6ft и rja == wi6, т. е. уравнение я* —т)а
разрешимо в т)Л. D
Следствие 1. Гомоморфизм Щту4): П(Л)-+
->П(П(Л)) является изоморфизмом; Un(r\A) есть
изоморфизм групп ПП(Л) и ППП(Л) для любого леа+.
По леммам 2, 4 П(ч) — эпиморфизм, а по леммам 5,
1 и 3 II(tj)—мономорфизм; аналогично (с
использованием лемм 2' и 3') для Пп(т)). ?
Замечания 1. Легко проверить, что гомоморфизм
И(г\А): П(Л)-»-П(П(Л)) совпадает с гомоморфизмом
^щл). П(Л)->П(П(Л)).
2. Используя это следствие, легко теперь установить
единственность ^ в предложении 2.
Следствие 2. Если В — группа конечной
экспоненты, то для любого эпиморфизма ij): П(Л)->5
гомоморфизм <р=^\|)т)д: А-*-В также является эпиморфизмом.
Действительно, пусть п — экспонента группы В,
Ф„: ПЯ(Л)->В и у!рп: ПЯ(П(Л) )-*•? — такие
(единственные) гомоморфизмы, что <р = <рптJ, 1() = 1()пт1^^л».
Рассмотрим коммутативную диаграмму
т,пи)
П„П(Л)
§ 21 ФУНКТОРЫ П„ И П 125
Так как И„(г\А) — изоморфизм, то <р„ и ф —
эпиморфизмы. ?
Следствие 2 подсказывает введение следующего
понятия. Абелеву группу Л назовем U-полной, если
гомоморфизм ту4: Л->П(Л) является изоморфизмом этих
групп.
Примерами П-полных групп являются группы
конечной экспоненты, в частности конечные группы,
группы вида П(Л) для любой абелевой группы А,
Замечание. Прямое произведение П-полных
групп является П-полной группой.
Отметим сразу важное свойство П-полных групп,
которое будет предметом изучения в следующем
параграфе.
Предложение 4. Если А — сервантная подгруппа
В и А является U-полной группой, то А выделяется
в В прямым слагаемым.
По предложению 7 предыдущего параграфа
существует группа С такая, что В ^ С, А сервантна в С
и С/А полная. По следствию 1 леммы 4 предыдущего
параграфа достаточно доказать, что А выделяется
прямым слагаемым в С. Так как А сервантна в С, а С/А
полная, то из лемм 2 и 3 следует, что П(ф): П(Л)-*
->П(С) есть изоморфизм (ф: А-*-С — вложение А в С);
так .как А—П-полная группа, то ту4:
А—*П(Л)—изоморфизм, следовательно, ip ^ П(ф)т)'4:
Л->-П(С)—изоморфизм; пусть ipo^^ — изоморфизм П(С) на А,
обратный к \|>. Полагаем ipi ^ i|)otic; i|)i есть гомоморфизм
из С в Л. Покажем, что ifi \ А = icU; действительно,
пусть а^А, тогда ifia = i|)o'nca = 'Фо'Псфа =
= •ф0П(ф)т1/4а = -фо'фа = •ф~1ч|за = а. По лемме 4 § 1
А выделяется в С прямым слагаемым. ?
Функторы П„ и П позволяют охарактеризовать ряд
важных понятий теории абелевых групп. Начнем с ха-
рактеризаиии финитно аппроксимируемых групп.
Абелеву группу Л назовем финитно
аппроксимируемой, если для любого ненулевого элемента а^А
существует подгруппа В ^ Л такая, что аф В и А/В
конечна.
Следующее утверждение есть по существу
переформулировка определения:
126 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Предложение 5. Абелева группа А финитно
аппроксимируема тогда и только тогда, когда она
изоморфно вкладывается в прямое произведение конечных
групп.
Действительно, пусть Ц Аг — произведение конеч-
tel
ных групп, /еП4 /?=0, тогда /(/о)?=О для неко-
ii
торого i0 е /. Пусть pt: Ц А{ -> Ah — проекция на
сомножитель Аи, тогда / ф. Кег р1а и фактор-группа
Ц Л^/Ker pl} ~ Au конечна. Следовательно, прямое
произведение конечных групп финитно
аппроксимируемо. Далее, подгруппа финитно аппроксимируемой
группы финитно аппроксимируема. Пусть А ^ В, В
финитно аппроксимируема, афО^А; тогда в В найдется
подгруппа С такая, что в^Си В/С конечна, ко аф
&А(\СиА/А(\С^ В/С.
Наоборот, пусть А финитно аппроксимируема, / =^=
¦^ {Б|Б<Л, А/В конечна}; пусть С^= JJ А/В и т:
Be/
А->С — естественный гомоморфизм (ф(а)(Б)^=а +
+ fieА/В, Бе/); тогда из условия финитной
аппроксимируемости вытекает, что Кег ф = {0}; следовательно,
А изоморфна подгруппе прямого произведения
конечных групп. ?
Следствие. Если А изоморфна подгруппе прямого
произведения финитно аппроксимируемых групп, то А
финитно аппроксимируема. D
Лемма 6. Если группа А имеет конечную
экспоненту, то она финитно аппроксимируема.
Так как А — периодическая группа, то она
разлагается в прямую сумму Yi ^р своих примерных компо-
_ р
нент. По предыдущему следствию достаточно доказать
финитную аппроксимируемость групп Ар. Таким
образом, будем предполагать, что А есть р-группа конечной
экспоненты. Заметим, что в р-группе конечной
экспоненты р-высота любого ненулевого элемента конечна.
Действительно, если р* — экспонента А, ОФа^А, то
ftp (а) «С k, так как если pkb = а, то порядок элемента b
больше р*, что невозможно ввиду pkA = {0}. Пусть
§ 2] ФУНКТОРЫ И„ И tl 127
а^А — элемент порядка р и hp(a)=t; пусть йеЛ
таков, что р'Ь = а. Покажем, что циклическая
подгруппа (Ь) сервантна в А. Для этого достаточно
показать, что если cG(i) и hp(c) — s, то существует de=
е (Ь) такой, что psd = с. Это будет следовать из
свойств р-высоты, отмеченных в § 1, если установим
равенство hp(psb) = s для 0 ^ s ^ t. Предположим, что
hp(psb)>s для некоторого s, O^s^.t; пусть с^А
таков, что ps+lc = psb; тогда pt+lc = p'b = а и hp(a) >
> t, что невозможно. Итак, (Ь)—сервантная
подгруппа А. Так как (Ь) конечна, то она П-полна;
следовательно, (Ь) выделяется в А прямым слагаемым и
поэтому существует гомоморфизм ф: Л->F) такой, что
ф(й)=й. Таким образом, для любого элемента а
порядка р существует погруппа В ^ А такая, что а ф В
и А/В конечна (в качестве В нужно взять КеГф; ф(&) =
= Ь, следовательно, ф(а)=а). Пусть теперь афО —
произвольный элемент из А, тогда psa будет элементом
порядка р для некоторого s ^ 0; по уже доказанному
существует подгруппа В такая, что - psa ф В и А/В
конечна, но тогда и а ф В. D
Следствие. Любая П-полная группа является
финитно аппроксимируемой.
Действительно, любая П-полная группа с точностью
до изоморфизма имеет вид П(Л) для некоторой группы
А. Поскольку П(Л)< П П„(Л), П„(Л)е=21п, лев+,
яео+
и по лемме ПЛ(Л) финитно аппроксимируема, то по
следствию предложения 5 П(Л) финитно
аппроксимируема. ?
Предложение 6. Группа А финитно
аппроксимируема тогда и только тогда, когда гомоморфизм
г\А: А—>П(Л) является мономорфизмом.
Достаточность вытекает из предыдущего следствия.
Установим необходимость. Пусть А финитно
аппроксимируема и а е Ker i\A = А1 = П пА. Если афО, то
существует гомоморфизм ф: А->В группы А на
конечную группу В такой, что фа ф 0; пусть п — экспонента
группы В; так как пЪ = 0 для любого йеВи ф(ла') =
= лф(а')= 0 для а'еД то Кегф ^ пА; но as/11^
128 АБЁЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
^ пА, поэтому фа = 0; получили противоречие. Следо-
вательно, Кегг)л = {0}. П
Проведенные сейчас рассмотрения помогут сделать
важное заключение о категории 91 и всех П-групп, т. е.
полной подкатегории категории абелевых групп Я,
объектами которой являются все П-группы. На
конструкцию At—з-П(Л), ф1—з-П(ф) (ф — гомоморфизм абелевых
групп) можно смотреть как на функтор из категории Ш.
в категорию Sin- Имеет место аналог предложения 1.
Предложение 1'. Функтор П из категории 31
в категорию Яп является левым сопряженным функтору
/п вложения Щ.ц в Ш..
Действительно, если А — абелева группа, В — П-пол-
ная группа, то соответствие фь->П(ф) (вместе с
отождествлением В и И(В)) задает отображение П:
Нот(Л,В)-»Нот(П(Л),В), причем если ф0 ф ф1 е
е Нот (А, В), то Пфо^Пфь Действительно, если
Пфо = ПфЬ то т)вфо = П(фО)п'4 = ЩфО'П'4 = т)вф1; г\в:
В -> П (В) — изоморфизм (отождествление),
следовательно, ф0 == ф1. Если гр: И(А)-*В — произвольный
гомоморфизм, то для ф =^ iprI4 имеем П(ф)т1'4 = tyv\A.
Поэтому для доказательства того, что П есть отображение
Нот (Л, Б) на Нот (П (Л), В), достаточно показать, что
если г|H, i|>i: П(Л)->? таковы, что ^0ЦА = ^>1ЦА, то г|H =
= ifi. Докажем соответствующую лемму.
Лемма 7. Пусть ipo.^i: П(Л)->Б — гомоморфизмы
в финитно аппроксимируемую группу В такие, что
т!роцА = ^пг\А; тогда ф0 = грь
Предположим, что ^оФ^и и пусть аеП(Л)
таково, что г|)о(а)=т^ г|))(а); пусть 6=^г|H(а) — г|I(а)еБ;
6=^=0. Пусть ф: B-*F — гомоморфизм на конечную
группу F такой, что ц>(Ь) ф 0; тогда ф0 ^ фЧ'о. ф1 =^ ф^1
удовлетворяют условиям леммы для конечной группы F.
Как отмечено в замечании 2 после следствия леммы 5,
имеет место единственность в предложении 2. Если
ф =^ фОг]л, то ф = фол14 = ф^оП14 = Ф"Ф1"ПЛ = ФИТ4 = Ф.
П
ф ф] ф фл ф^ П ФТ Ф
следовательно, фо = фь Противоречие доказывает
лемму. ?
Так как Б~П(Б) финитно аппроксимируема, то
имеет место единственность, следовательно, г|) = П(ф)
и П есть одно-однозначное отображение Нот (Л, Б) на
Нот(П(Л),В), что и требовалось установить. Q
§ i\ Функторы й„ и й 129
Дадим в заключение параграфа некоторые характе-
ризации понятия сервантности.
Предложение 7. Пусть q>: А -*• В — вложение;
А сервантна в В тогда и только тогда, когда П„(ф):
и.п(А)—*Пп(В) — мономорфизм для любого песо4.
Необходимость содержится в лемме 3. Установим
достаточность. Предположим, что А не сервантна в В;
пусть п > О, а ее Л, 6еВ таковы, что nb = а и
уравнение пх = а не разрешимо в А. Тогда а фпА и образ
а элемента а в П„(Л) отличен от нуля; П„(ф)й— это
образ элемента а в группе И„(В); так как nb = а, то
а ее nfl и П(ф)а = 0. Следовательно, если А не
сервантна в В, то Пл(ф) — не мономорфизм для некоторого
п ее со+. ?
Предложение 8. Подгруппа А <; В сервантна
в В тогда и только тогда, когда для любого
гомоморфизма ф группы А в конечную группу F существует
гомоморфизм -ф: B^fF, продолжающий <р (г. е. г|> \ А =
= Ф).
Необходимость. Используя предложение 7 § 1,
можно считать, что В/А — полная группа. Тогда из лемм 2
и 3 следует, что П(А,): П(Л)-уЩЯ), где X: А-*В —
вложение, — изоморфизм этих групп. По предложению 2
существует гомоморфизм ф0: U(A)-*-F такой, что ф =
= фоту4; если ф1 — изоморфизм II(fl) на П(Л),
обратный- изоморфизму П(^), то полагаем г|з =^= фоф1ЛВ: 'Ф —
гомоморфизм из В в F. Если а е А, то г|за = фоф1ЛВа —
= ф0П(А,)-1'пвА,а = ф0П(А,)-1П(А,)т1'4а == фог^а = фа, т.е.
ф| ф
Достаточность. Пусть п>0 и аеЛ — такой
элемент, что а ф пА, ноле пВ. Пусть а — образ элемента а
в Ип(А) = А/пА; тогда а Ф 0. Так как П„(Л) финитно-
аппроксимируема, то существует гомоморфизм г|к
Пп(Л)->^ на конечную группу F такой, что т!р(а)фО.
Так как -ф — эпиморфизм, то FeSln. Пустьф^=г|)Т1^: А-*-
-*F\ тогда фа = Щ*а = tya Ф 0. Если \:
B-*-F—произвольный гомоморфизм, то из Fe 5(л следует, что
Кег | ^ пВ, и поэтому а ее пВ ^ Кег |, т. е. |а = 0.
Следовательно, не может существовать гомоморфизма
|: B-+F такого, что | f А = ф. ?
130 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
§ 3. Алгебраически компактные группы
Абелеву группу А назовем алгебраически
компактной, если она выделяется прямым слагаемым в каждой
группе, где она является сервантной подгруппой.
Понятие это, интересное само по себе, является особенно
важным при изучении элементарных типов абелевых
групп благодаря тому, что для любой абелевой группы
существует элементарно эквивалентная ей группа,
являющаяся алгебраически компактной.
Примерами алгебраически компактных групп
являются полные и П-полные группы.
Предложение 1. Пусть А= П А& абелева
группа А является алгебраически компактной тогда
и только тогда, когда для любого i е / группа Ai
алгебраически компактна.
Достаточность. Пусть i е /, рс А -*¦ At — проекция
прямого произведения, А1 =^= Кегр,(Л' = {f\fe/4,f(i) =
= 0}). Пусть А — сервантная подгруппа группы В,
ie/, тогда А/А1 — сервантная подгруппа В/А'; так как
А/А1 ~ At и At алгебраически компактна, то существует
гомоморфизм ср*: B/Al—*Ai, который на А/А1 задает
отмеченный выше изоморфизм А/А* ~ Ас, пусть \|>;: В->
—+А[ — гомоморфизм, который индуцирован
гомоморфизмом ф,-; отметим, что тогда \|>; Г А = pt. Система
гомоморфизмов \|>г: B-*-Ai, is/, определяет гомоморфизм
i|>: B->J[Al(=A); если f <= А, то (itf) (*) = 4>,f =
= Pif = f(i), is/, т. e. iff = f для любого /еА и А
выделяется прямым слагаемым в В.
Необходимость. Пусть А алгебраически компактна,
/е/ и At — сервантная подгруппа В; тогда Л(=Л,Х
У. А1) — сервантная подгруппа группы С=^ В У. А1.
Следовательно, существует гомоморфизм ф: С-*-А,
тождественный на Л; полагая \р^р,фГ?, видим, что \р есть
гомоморфизм из Б в Л,, тождественный на Ac, At
алгебраически компактна. ?
Теорема. Абелева группа А является
алгебраически компактной тогда и только тогда, когда она является
прямым произведением полной группы и TL-полной
группы.
§ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 131
Достаточность вытекает из предложения. 1 и того,
что полные и П-полные группы алгебраически
компактны.
Пусть А алгебраически компактна. Пусть D —
наибольшая полная подгруппа А, тогда А = D\A0, Ао —
редуцированная группа, т. е. не содержит полных
подгрупп. Ао по предложению 1 также является
алгебраически компактной группой. Достаточно теперь
установить, что редуцированная алгебраически компактная
группа А является П-полной. Для этого нам нужен один
технический результат о существовании подходящего
расширения для произвольной абелевой группы.
Лемма 1. Пусть А — произвольная абелева группа,
А<*> — прямое произведение © экземпляров группы А,
А* — прямая сумма © экземпляров группы А,
вложенная в Аа естественным образом, С(А)^= Аа/А*; тогда
гомоморфизм ц: А-+С(А), индуцированный
диагональным вложением А в Аа, является вложением на сер-
вантную подгруппу, а С (АI (= ("| пС (А)\ является
\ песо* /
полной группой.
Итак, A"={f\f: &-*А), Л* = {f\ft= A",{n\f(n) ф
ф 0} конечно}, диагональное вложение б: А ->ли
определено так: 8(а) (п)Ф а для всех лею. Если О^яе
«=Л, то &(а)фА*, так как {п\8(а) (п)Ф 0} = ю.
Следовательно, 8(А)(]А* = {0} и б индуцирует вложение ц
группы А в С(А) = Аа/А*. Покажем, что \i(A)—сер-
вантная подгруппа С (А); пусть уравнение pkx=\i(a)
разрешимо в С (А), пусть f^Aa такова, что pkf —
— 5(а)еЛ* (т. е. f—прообраз решения уравнения
pkx = \л(а) в Ли), но тогда существует «ею такое, что
р*/(л)=а, следовательно, уравнение pkx = а
разрешимо в А; пусть а'еЛ таково, что pka'= а, тогда
р*в(а')=в(а) и pk\i(a')= ц(а).
Докажем теперь оставшееся утверждение леммы,
т.е. что С (АI — полная группа. Пусть / е А® такова,
что образ / в С (А) лежит в С (АI. Это означает, что
для любого п е о)+ множество Fn =^ {&|&ею,
уравнение пх = f{k) разрешимо в А) является коконечным
подмножеством со, т. е. © \ Fn конечно. Пусть s > 0 —
произвольное натуральное число; Ро ^ ю, Р„ ^
^= Fsn\ \ {0, ..., п} для п е ю+; тогда Ро э Pi э ...,
132 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
f| рп = 0 и © \ Рп конечно. Для любого
ЛЕИ
пусть ле© таково, что йеРД Pn+i; выберем элемент
пк^А такой, что as = 0, если я = 0, иа^е n\A, so* =
= f(k); если л>0 (это возможно сделать, так как
k<=Pn^Fsn<). Полагаем g(k)^ ak; тогда sg — f(=A\
так как sak = f(k) для всех k^P\ и а>\Р\ конечно.
Следовательно, образ g в С (А) будет решением
уравнения sx = J; остается заметить, что g^C(AI. Но это
видно из построения: для пео+ g(k)enA для всех
k&Pn, а © \ Р„ конечно. П
Возвращаемся, к доказательству теоремы. Пусть
А — редуцированная алгебраически компактная группа.
Вложим А в С(А), как указано в лемме 1. А —сервант-
ная подгруппа С (А), следовательно, существует
гомоморфизм ф: С (А)-* А, тождественный на А. Так как
А — редуцированная группа, то С(А)\ как полная
группа, должна лежать в ядре; тогда А (]С(АI = {0};
следовательно, А изоморфно вкладывается в П(С(Л)) при
гомоморфизме г\: С(Л)->-П(С(Л))) так как Kerri =
= С(АI (лемма 1 § 2). Поэтому А — финитно
аппроксимируемая группа. Но тогда г\: Л->П(Л) есть
мономорфизм, по лемме 5 § 2 г\А — сервантная подгруппа
П(Л). Тогда г\А выделяемая прямым слагаемым в П(Л);
в частности, существует такой гомоморфизм q>: П(Л)-*
->-Л, что (рцА = 1Aд. Рассмотрим коммутативную
диаграмму
Пусть ае Кегф, тогда П(ф)т1П('4)а = 0; так как фгу4 =
= id,4, то П(ф1т4)=П(ф)П(л'4)=1йп(Д); но П(т]л) —
изоморфизм П(Л) на П(П(Л)); следовательно, П(ф)—
обратный к Щту4) изоморфизм П(П(Л)) на П(Л); тогда
П(ф)т1п('4»а == 0 влечет Т1п<д>а = 0; Т1П(Д» = П(т1д)
—также изоморфизм, следовательно, а = 0, Кег ф = {0}
и г\А — изоморфизм Л на П(Л) (с обратным к нему
изоморфизмом ф). Итак, Л — П-полная группа. ?
Следствие 1. Абелева группа А является
алгебраически компактной тогда и только тогда, когда гомо-
$ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 133
морфизм т): Л-*П(Л) является эпиморфизмом, а Л1 =
= Кег т] — полная группа.
Достаточность следует из того, что в условиях
следствия A=A1 + R, R~A/Al г-П(Л); Л1 — полная, R —
П-полная группа. Установим необходимость. Пусть Л
алгебраически компактна, тогда по теореме Л = Ло-f-
-\-А\, Ло — полная, А\ — П-полная группа. Тогда,
очевидно, Л1 = Ло, а П(Л1)-»-П(Л)—изоморфизм по
леммам 2 и 3 § 2; из коммутативной диаграммы
Ai -* A
П(Л,)-
и того, что t\Al — изоморфизм, следует, что г\А —
эпиморфизм. ?
Следствие 2. Обратный предел U-полных групп
является U-полной группой.
Действительно, пусть (/, ^} — направленное предупорядоченное
множество, Аи ie/, — семейство абелевых групп, ф,-/: А/ ->¦ .4;,
i ^ / е /, — семейство гомоморфизмов такие, что {At, уц \1 < / е /}—
обратный спектр. А ч± lim At, щ: A-*-Ai, i s /, — проекции
обратного предела. Система групп U(Ai) и гомоморфизмов П(а>1/) также
образует обратный спектр; пусть А ^=НтП(/1<), л^: А ->П(Л{)'
/ as /, — проекции. Так как диаграммы
коммутативны, то существует единственный гомоморфизм ф:
-v/4* такой, что П(лг) = я;^ф, ie/. Система гомоморфизмов
1\ 1п(: А -> П (Л^) определяет гомоморфизм г|>: /1 -¦• /1 *, причем
фГ|л = \Jj (так как т| ini = П (лг) т( ). Если все/1; — П-полные
группы, то г]з — изоморфизм А и /1*; тогда г^-'ф t)A = \йл и,
следовательно, цА(А) изоллорфна А и выделяется в Т1(А) прямым
слагаемым, но тогда А алгебраически компактна и редуцирована,
следовательно, А — П-полная группа. Q
144 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ |ГЛ. S
Обратимся теперь к изучению более подробной
структуры алгебраически компактных групп. Начнем
о полных групп.
Пусть А — полная группа, тогда Т(А) —
периодическая часть А, — как сервантная подгруппа А, также
является полной группой. В примарном разложении
Т (Л) = 2 Ар все слагаемые Ар, р простое, также должны
р
быть полными группами. Далее, Т(А), как полная
подгруппа А, выделяется в А прямым слагаемым, т. е. А
представима в виде T(A)-\-D, где D — (очевидно,
полная) группа без кручения. Таким образом, описание
полных групп сводится к описанию полных групп без
кручения и полных р-групп.
Предложение 2. Полная группа без кручения
разлагается в прямую сумму групп, изоморфных
группе Q рациональных чисел.
Если D — полная группа без кручения, то на D
можно определить структуру векторного пространства
над Q (рассматриваемого как поле). Действительно,
пусть п > 0 — натуральное число, а е D; через — а
обозначим решение уравнения пх = а в D; это
обозначение корректно, так как такое решение единственно.
D — группа без кручения, следовательно, nb = nc=5
*$n(b — c) = 0=$>b — c = 0=$b = c. Если r = -~, n
целое, m > 0 натуральное, то полагаем г >а^± — (па).
Проверка всех свойств векторнрго пространства
(включая корректность определения умножения г-а)
оставляется читателю. D как векторное пространство над
полем Q имеет базис {a,|ie/}. Если для ie/ через
Qui обозначить одномерное подпространство,
порожденное элементом а,-, то D как векторное пространство есть
прямая сумма J^ Qat. Забывая о структуре векторного
пространства, получаем разложение группы D в прямую
сумму групп Qai, ie /, каждая из которых изоморфна Q
(r^Q, п-ъ-r-ui — изоморфизм Q на Qat). ?
Предложение 3. Полная р-группа разлагается
в прямую сумму групп, изоморфных квазициклическор,
группе С со.
$ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 135
Квазициклическая группа С «> была описана в § 1.
Отметим для дальнейшего некоторые свойства этой
группы:
1. Для любого п > О в Ср0о существует
единственная циклическая подгруппа порядка рп.
2. Любая собственная подгруппа СрОа является
конечной циклической р-группой.
Лемма 2. Если А — полная р-группа, а е А —
элемент порядка р, то в А существует подгруппа В,
содержащая элемент а и изоморфная группе СрОо.
Найдем последовательность элементов а0, аи ...
... еХ такую, что а0 =^= а, ра„+\ = а„, пеа>; так как
А полная, то это возможно сделать. Полагаем В Ф
=?=({ао. аи •••}). тогда В изоморфна группе Ср0о
(действительно, существует естественный эпиморфизм <р
группы С» на В; если ядро этого гомоморфизма
отлично от {0}, то оно должно содержать (единственную)"
циклическую группу порядка р, но образ образующей
этой группы есть а<> = а ф 0; следовательно, <р —
изоморфизм); а = аоеВ. ?
Пусть Л — произвольная р-группа, через А [р]
обозначим подгруппу А, состоящую из 0 и всех элементов
порядка р. Пусть теперь А — полная р-группа. Группа
А[р] разлагается в прямую сумму циклических групп
порядка р. Это можно установить, рассматривая А [р]
как векторное пространство над полем GF (р) из р
элементов. Итак, А [р] = X (я*); ai ~ элемент порядка р,
/е/. По лемме 2 для каждого ie/ существует
подгруппа Bi группы Л, изоморфная С «> и такая, что
ai^Bi. Покажем, что Л=Х^г- Заметим сначала,
что для любого подмножества /s/, если Aj^(\j ВЛ,
то А] [р] = X («;)• Включение 2 («г) — А/ очевидно.
Пусть аеЛ;[р]; пусть ^ '*<= 1 — различные
индексы, bo е Bin Ъь е Bi. таковы, что а = X Ь3\
0 R s<ft
если все bs имеют порядок не больше р, то а е X {ais)-
Предположим, что не все 64 имеют порядок ^р; пусть
136 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
pt+i—максимальный среди порядков элементов bo,..., ftj,
/ > 0; тогда имеет место равенство 0 = р'а = ? pibs',
<fe
для любого s<& р*Ь3<^(а1з) (так как pt+lbs = O и
pfbs e Bis) и хотя бы для одного s < k pfbs Ф 0; но это
противоречит тому, что А [р] есть прямая сумма ?
Итак, А][р] = 2 (аг). Пусть теперь fe/\/, тогда
5j П А] = {0}; действительно, если Bt Л -^/ # {0}, то (a*) ^
^ В/ П Aj ((ai) — наименьшая ненулевая подгруппа Bt) и
(а^) ^ А] [р] = Yj (а/); так как i ф J, то получаем про-
тиворечие. Отсюда следует (по предложению 2 § 1),
что А]= Yj &i для любого /?/; в частности, А{ —
= 2j Bi. Л/— полная подгруппа А, следовательно,
ieJ
А представима в виде А] -\-В; но, очевидно, Л[р] =
= At [р] + В [р]; /4/[р] = Л[р] по построению; поэтому
В[р] = {0}, но В есть р-группа, следовательно, В[р] =
= {0}=^В = {0} и А = А,= ? Bt. П
lei
Предложение 4. Всякая полная абелева группа
разлагается в прямую сумму групп, каждая из которых
изоморфна Q или СрХ для подходящего простого р.
Непосредственно следует из предложений 2 и 3. ?
Обратимся теперь к более детальному рассмотрению
П-полных групп. Рассмотрим сначала некоторую
конструкцию над произвольными абелевыми группами.
Пусть р — простое число. Для произвольной абелевой
группы А система факторов Прл(А) = А/рпА, лею,
образует естественную обратную систему. Пусть Пр (А) Ф
^ lim Прл (Л) и т)р: Л->Пр(Л)—гомоморфизм,
определенный системой гомоморфизмов т\рп: А-*Ирп(А).
Лемма 3. Пусть п>0 — натуральное число,
p-f л; тогда для любой группы А и любого элемента
аеПр(Л) существует единственный элемент реПр(Л)
такой, что пр = а.
На самом деле лемма справедлива для любой
группы, которая есть обратный предел р-групп. Заметим,
что по лемме 3 § 1 это справедливо для р-групп.
S 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 137
Пусть {Ai, (fn\i < / & 1} — обратный спектр р-групп
и A^limAi] A^. IJ А{; пусть аеЛ; тогда в каж-
дом Ai существует единственный элемент bi такой, что
nbi = a(i); полагаем P(i)=^ br, тогда
РеПЛ и яр = а;
проверим, что Ре Л, т. е. ф//(Р (/'))= Р (О для любых
i ^ /; пусть рк — такая степень р, что pkb( = k Q
и и и v таковы, что пи + vpk = 1; тогда
следовательно,
<Pn(bi) = Ф'7 («а (/)) = Щи (а (/)) = «а @ = ипЬг =
= (ип + vpk) bi = 6i.
Единственность р очевидна. П
Лемма 4. Для любой группы А Ир(А)/г\рА —
полная группа.
Используя предыдущую лемму, достаточно доказать
разрешимость уравнений вида pkx = a, ae Up(А)/г\"А.
Доказательство этой леммы можно провести так же,
как доказательство леммы 4 § 2, используя такое
представление для группы ПР(Л): рассмотрим в А®
подгруппу Ар последовательностей а = <а<ь «ь • • ¦> таких,
что ап+\ — бп? рпА для любого п е <а, и подгруппу
А (р) последовательностей а таких, что ап е рпА- для
меса; тогда, как и в предложении 3 § 2, Пр (Л) =>:
с^Лр/А(р). D
Предложение 5. Для всякой абелевой группы А
имеет место изоморфизм
П(Л)~П(ПР(Л)).
р
Пусть т]': Л->П*(Л)=^=П(Пр(/4)) — гомоморфизм
в прямое произведение, определенный системой
гомоморфизмов rf: Л->ПР(Л). Так как Пр (А) = lim П п (А),
то ПР(Л)—П-полная группа (следствие 2 теоремы).
П* (А) = П (Пр (Л)) — П-полная группа, так как она
188 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
алгебраически компактна по предложению 1 и
редуцирована. Следовательно, существует единственный
гомоморфизм ф: П(Л)->-П*(Л) такой, что r\* = cpif1
(предложение Г § 2). Проверим, что т\*А — сервантная
подгруппа U*(А). Предположим, что яеЛ и афрпА;
тогда, если я„: Пр (А) -> Прп (А) — естественная
проекция, то nnrf(a) = а-\-рпА ф рпА. Рассмотрим
гомоморфизм ф: П* (А) -* Ирп (А), определенный как
композиция проекции П*(Л) на ПР(Л) и гомоморфизма яп;
тогда Щ*а = ппг\р(а) ф О и Ker if Г^г р"П*(Л), так как
образ ф есть Пл (А) е 91 п; следовательно, ц*а ф.
ф.рпЛ*{А). Отсюда легко следует сервантность rjM
в U*(А). Заметим здесь же, что Кегт]*=П(' П РпА\ =
р \лев / '
= П tiA = А1 (действительно, легко проверить, что для
взаимно простых пит (пА)[)(тА)= птА, откуда
и следует включение э).
Проверим теперь, что Н*(А)/г]*А — полная группа.
Пусть аеП*(Л), р — простое число, k натуральное.
По лемме 4 существуют элемент а е А и элемент bp e
еПр(Л) такие, что а{р) = pkbp-\-r\pa; для простого
цФръ U.i(A) существует элемент bq такой, что a{q) —
— цяа = pkbq; полагаем р(р/)=^-Ьр' для всех простых р';
тогда реП*(Л) и а (//) = р*р (//) -\- цр1 (а) для любого
р', следовательно, а — pk$-\-rf а и в фактор-группе
П*(Л)/т]*Л образ а делится на р*.
Используя леммы 2, 3 § 2, получаем, что П(т]*):
П(Л)->П(П*(Л)) является изоморфизмом. Рассмотрим
коммутативную диаграмму
Так как П*(Л)—П-полная группа, то т]п*(Л>—
изоморфизм; следовательно, и ф — тоже изоморфизм. Р
I »] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫ* ГРУППЫ 139
Для любой П-полной группы Л через Ар обозначим
подгруппу А, которая изоморфна подгруппе- Пр (А) при
изоморфизмеЛ -> П (Л) -> П* (Л) = П (Пр (Л)). Тогда Л =»
-DM'.
Укажем теперь теоретико-модельное условие,
достаточное для алгебраической компактности.
Предложение 6. Если абвлвва группа А югна-
сыщена, то она алгебраически компактна.
Докажем сначала, что Л1 является полной группой,
т. е. что для любого яеД1 и любого вев+ в Л1
существует элемент Ь такой, что nb =* а. Рассмотрим
счетную систему формул (сигнатуры абелевых групп с
константой а) с одной свободной переменной х: {пх = а} [)
U {y(sy = x) jseo)+}. Эта система формул локально
выполнима в Л. Действительно, пусть
— конечная подсистема, пусть N^s0- ... • «а; так как
аеА1^ nNA, то существует элемент й'еЛ такой, что
а = nNb'; пусть с ^ М>', тогда, очевидно, этот элемент
удовлетворяет всем формулам (*). Из юрнасыщенности
А следует, что существует элемент 6еЛ такой, что
nb = a, ~3y(sy = b) для всех se<»+, но тогда бе Л1,
что и нужно.
Покажем теперь, что tj: Л-»-П(Л)—эпиморфизм.
.Пусть /еП(Л) = Л/Лп; пусть а0, аи ... еЛ —такие
элементы, что для а^{ао,а\, ...> ^=а + Лп; тогда
ап — а„+\ е п„А для всех n e со. Для доказательства
того, что f лежит в образе ц(Л), достаточно найти такой
элемент 6еЛ, что а„ — Ь^япА, так как тогда а —
— бF)еЛп и rj6 = б F) + Лп = /. Рассмотрим
счетную систему формул (с константами а0, аи ...) {"Эу(х~
— an = nny) \n e ю}. Любая конечная подсистема этих
формул выполнима в Л. Действительно, пусть "Эу (х —
— аЯо = л„ог/), ..., "Эу(х — ank = Unky) — конечная
система, По ^ ... ^ Пк\ если возьмем элемент аПк, то
легко проверить, что аПк — аП[ ^ яП(Л для всех i = 0, ...
..., &. Следовательно, из он-насыщенности Л следует
существование элемента Ъ такого, что Ъ — а„е я„Л для
140 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
всех п е со. Следствие теоремы и дает нужное
утверждение. ?
Следствие. Для любой абелевой группы
существует элементарно эквивалентная ей алгебраически
компактная группа.
Если F — произвольный неглавный ультрафильтр на
о, то для любой абелевой группы A A®/F является
югнасыщенной и А = A^/F. О
Наиболее важными для дальнейшего являются
такие следствия предложения 6:
Предложение 7. Если А — сервантная подгруппа
В, то группы А + В/А и В элементарно эквивалентны;
более того, элементарно эквивалентны пары (В,А) и
(А + В/А, А).
Рассмотрим ультрастепень В' = B^/F группы В
с выделенной подгруппой А для произвольного
неглавного ультрафильтра F на со. Тогда подгруппа А' в В',
соответствующая подгруппе А, будет Aa/F, а
факторгруппа В'/А' изоморфна (B/A)<a/F. Так как сервантность
записывается на языке групп с выделенной подгруппой,
то А' сервантна в В', тогда В' &* А' + В'/А'. Если
рассмотреть группу Во ^= А + В/А с выделенной
подгруппой А, то B%/F~Ae'/F + (BIA)<0/F~A'+B'/A'=zB'
и изоморфизм В' и Bq/F можно выбрать так, что он
сохранит А. Но тогда пары (В,А), (Во,А) имеют
изоморфные ультрастепени, следовательно, они
элементарно эквивалентны. ?
Предложение 8. Пусть А ^ В ^ С — абелевы
группы, А г^С, В — сервантная подгруппа С; тогда
Л<В.
Так как А < С, то А сервантна в С, тем более А
сервантна в В. Используя предложение 7, можно
утверждать, что тройки (С, В, А) и (С/В +. В/А + А, В/А +
-\-А,А) элементарно эквивалентны. В частности, А
элементарно вложена в В тогда и только тогда, когда А
элементарно вложена в В/А + А. Поэтому предложение
будем доказывать для случая Л^Л + В^Л + В + С,
А < Л + В + С. Рассмотрим семейство групп Do =^= Л,
DD + BDD + C DD B
+ +
с естественными вложениями Di-^Di+i. Покажем, что
вложения Di-*Di+2 являются элементарными. Действи-
$ 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ 141
тельно, с точностью до изоморфизма такое вложение
есть вложение Dt -> Di + В + С, причем D{ "имеет вид
А + D'ii тогда это вложение изоморфно вложению
А + Di-+{A + В + С) + D'i, которое является
элементарным по условию. Рассматривая две цепочки
элементарных вложений
видим, что объединение этих цепочек есть одна и та же
группа D0^±limDt. По теореме Воота — Тарского D
и Д< Da. Остается теперь заметить, что если
<3», <2Я2, ЗЯ<,<2Я2 и 90?! < 2»2, то и 9ЙО<2»1, но это
очевидно по определению. Итак, D0^Di, т. е. А^
<л + в. п
Важным следствием этого предложения является
следующая лемма, которая будет неоднократно
применяться при исследовании элементарной эквивалентности
абелевых групп.
Для произвольной абелевой группы А полагаем
е(Л)^=0, если А имеет конечную экспоненту, т. е. если
А е 91П для некоторого «>0, и е(Л)^=© в противном
случае.
Доказательство леммы проведем подробно, так как
позже придется доказывать ряд подобных лемм,
доказательства которых будут даны лишь в основных чертах.
Лемма 5. Если г(А) = &>, А <; В и В/А — полная
группа без кручения, то А — элементарная подмодель В.
Сделаем сразу ряд редукций. Во-первых, пользуясь
теоремой Лёвенгейма — Скулема для пары {В,А),
достаточно доказать лемму для случая счетных Л и В. Из
того, что BIA — группа без кручения, вытекает, что А —
сервантная подгруппа В. Пользуясь теперь
предложением 7, можно предполагать, что А выделяется прямым
слагаемым в В, т. е. В имеет вид А + D, где D —
счетная полная группа без кручения. D имеет вид X Qi,
Кб
б^со, где Qt — группа, изоморфная группе Q
рациональных чисел по сложению. Предположим, что лемма
доказана для случая 6=1, т. е. когда D~Q; тогда
простой индукцией лемма устанавливается для б < со,
142 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 1ГЛ. 3
а для б != со лемма будет следовать из теоремы Воота —
Тарского, так как группа А + ? Qi есть объединение
Ка
цепочки элементарных расширений
Таким образом, достаточно доказать утверждение:
если е(Л) = а>, то А — элементарная подмодель А + Q.
Пусть v: со -> Q — некоторая одно-однозначная
нумерация группы Q такая, что vO = 0. Обозначим через
DV(Q) следующую систему формул: {xi + д:/ = Xk \ vi +
+ v/ = vk; I, /, *Go}U{Jto = 0}U {xt ф 01 i <= ю+}. Ясно,
что если в какой-то группе С значения переменных
легi—>ct, is со, удовлетворяют системе формул DV(Q), то
подгруппа С' ^({со,с\, ...}) группы С изоморфна
группе Q при изоморфизме c,-i—э-vi. Расширим сигнатуру
теории групп константами, соответствующими
элементам А, и рассмотрим множество формул Г^ DM(Q)U
U {*п # со|п ф 0; 0 # as А). Пусть А' — элементарное
©i-насыщенное расширение группы А. Покажем, что
(счетная) система формул Т локально выполнима в А'
(даже в Л) при естественной интерпретации констант
са, аеА Пусть F^T — конечное подмножество и
{jcj, xikj — все переменные, входящие хотя бы
в одну формулу из F. Рассмотрим подгруппу группы Q,
порожденную элементами vii, ..., vik', так как Q
локально циклическая, то существует п такое, что (vn) =
= (v?i vik). Пусть vi/ = m/vn, m\ целое, / = 1, ...
..., k; тогда все формулы из F Л DV(Q) являются
следствиями системы формул {лг„ = /П/л:г.|/—1, .. .,A>}U {s*n#
ф 0} для подходящего s e со. Вместо соотношений
Xt, Ф ca^F можно написать эквивалентные
соотношения т/Хп Ф са. Таким образом, можно считать, что F
имеет вид {sxn ф 0} (J {koxn Ф сао ktxn Ф са{}. Не
уменьшая общности, можно считать, что kt\s, i — 0, ...
..., /. Пусть Bt^ {b\b^A,kib= a,}, / ^/. Можно
предполагать, что ?,• Ф 0, так как в противном случае
формулу k{xn Ф са. можно без ущерба выпустить из F.
Пусть bi e Bt, i^ I, — произвольно выбранные
элементы. Обозначим через A [s] подгруппу А, состоящую из
f 3] АЛГЕБРАИЧЕСКИ КОМПАКТНЫЕ ГРУППЫ ИЗ
всех элементов а таких, что sa = 0. Тогда В,- s bi ¦+-
+ /l[s]; действительно, пусть ftefii. Тогда ki\b— bt) =
= kib — kibi = ai — at = 0; тем более s(b — bi)=0,
так как ki\s. Рассмотрим фактор-группу SA^A/A[s];
эта фактор-группа должна быть бесконечной, так как
в противном случае А имело бы конечную экспоненту:
если т— экспонента 'А, то для любого as/1 та е
sA[s] и sma — 0. Пусть Ьо bi — образы
элементов Ьо, ¦ ¦., bi в SA\ тогда ввиду бесконечности SA
существует элемент йеЛ такой, что его образ 5вМ
отличен от 0 и элементов Ьо, .-., bt. Тогда b ф. |J Bit т. е.
kib Ф ai, i <: /, и sb ф 0, т. е. b удовлетворяет системе
формул F. Итак, система Т локально выполнима в А',
поэтому она выполнима в А'. Если Ьо = 0, Ь\, ... е А' —
значения переменных хо, х\, ..., которые делают
систему Т истинной, то ({bo,bi, ...}) есть подгруппа Q'
группы А', изоморфная Q, и Q' [\А = {0}. Так как А' —
элементарное расширение А, то А сервантна в A'; Q',
как полная группа, также сервантна в А', но тогда
и А + Q' сервантна в А'. Имеем А ^ А + Q' ^ А', А <
<Л', А + Q' — сервантная подгруппа А'; тогда по
предложению 8 A.^A-\-Q'. О
Из данного выше описания алгебраически компактных групп
легко следует, что существует довольно много групп, не
являющихся алгебраически компактными. Однако полезно рассмотреть
конкретный пример ([13]), показывающий, что бесконечная
циклическая группа не является алгебраически компактной. Этот пример
пригодится и в гл. 4.
Пример. Пусть V = Qeo + Qe\ — двумерное векторное
пространство над полем Q рациональных чисел с базисом ,{ео, е^, р —
простое число. Определим последовательность ?0, Sii • • • элементов V
следующим образом: go^ei> Ire+i^—rrrdn + ео)> "еш. Пусть
р +
Р — подгруппа V (рассматриваемого как абелева группа с
операцией сложения +), порожденная всеми элементами g0. Si. • • •.
т. е. Рч± ({gn|n s ш}). Так как р\х = go + е0, то е0 = р\\ — go e Р.
Покажем, что циклическая подгруппа (е0) сервантна в Р и не
выделяется в Р прямым слагаемым.
Индукцией легко показать, что подгруппа Р„=^= (go, ..., ?„),
п > 0, порождается элементами во и gn. Отсюда следует, что е0 и
gn линейно независимы. Так как Р = U Рш то для любого эле-
га сз и
мента аеР существуют п > 0 и целые «ив такие, что а = ие0 +
+ с/|я; пусть k > 0, s целое и ka = seQ, тогда kue0 + йс/|„ = seQ;
144 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
так как во и ?л линейно независимы, то v = 0 и а е (во). Сервант-
ность подгруппы (во) в Р установлена.
Индукцией по я устанавливается следующая формула:
п1+2+ •"
Со ?± 0, с„+1 ^: е„ + Р 2 , га е ш.
Из этой формулы видно, что любой элемент о из Я представим
в виде Гв° „ С' для подходящих целых г и t и натурального ЛГ.
Р
Покажем, что в Я не существует ненулевого элемента,
который бы делился на любую степень р. Предположим, что а е Р
делится в Я на любую степень р; не уменьшая общности, можно
считать, что о имеет внд reo + tei с целыми г н /. Для любого пет
пусть art+i ^±—(я+1)(в+» » по нашемУ предположению а„+1еЯ.
Рассмотрим элемент
_ _ п 2 t е1 +
»+< 6л+1 — (п+1) (п+2)
р
p ' p
Число sn+i ^i —. .. "'t' должно быть целым, так как
Р ^
и (е0) сервантна в Р. Сделаем некоторую грубую оценку модуля
оценивается сверху суммой геометрической прогрессии
Р 2
Р
Из этой оценки и того, что sn+i целое, видно, что существует такое
натуральное N, что для га ^ N sn+l = 0; тогда г — tcn+i — 0, г =»
§ 4] Яр-ГРУППЫ 145
р
tcN+2 = t\c
= tcn+i; но из равенств г = tcN+l = tcN+2 = t\cN+i + р 2 )
следует, что t = г = 0; таким образом, а = 0.
Предположим теперь, что (ео) выделяется в Р прямым
слагаемым: Р = (е0) + Л. Группа А должна быть изоморфна
факторгруппе Р/(бо)- В этой фактор-группе образы ?о, |ь ... соответственно
элементов ?о> gi, ... удовлетворяют соотношениям
1 S Е 1 ?
""ЗЙТеп и 6"+1==—(H+D(n+2) бо. пей.
Следовательно, элемент |0 делится _на любую степень р; так как
е0 и в[ = |о линейно независимы, то |о ф 0. Следовательно, в группе
А должен существовать ненулевой элемент, делящийся на любую
степень р, что невозможно по доказанному выше. Итак, подгруппа
(во) не выделяется прямым слагаемым в Р.
Замечание. На самом деле Р вообще не разлагается в
прямую сумму двух своих нетривиальных подгрупп.
§ 4. Яр-группы
В настоящем параграфе будет дана элементарная
классификация абелевых групп в классах 7?р-групп для
всех простых чисел р. Это важный шаг для полного
решения проблемы элементарной классификации
произвольных абелевых групп.
Абелеву группу А назовем Rp-группой, если для
любого ogA, любого натурального п, не делящегося на р,
в А существует единственное решение уравнения пх = а.
Примером 7?р-группы является (как показывает
лемма 3 § 1) любая приодическая р-группа А и любая
группа вида ИР(А) (лемма 3 § 3).
Если абелева группа А содержит ненулевой
элемент а, порядок которого конечен и взаимно прост с р,
то А не является 7?р-группой; действительно, пусть п —
порядок элемента а, тогда уравнение пх = 0 имеет в А
цва различных решения 0 и а.
Предложение 1. Абелева группа А является
Rp-группой тогда и только тогда, когда для любого
элемента a gA и любого натурального п, не делящегося
на р, в А разрешимо уравнение пх = а, а
периодическая часть Т(А) группы А является р-группой.
Необходимость очевидна. Для установления
достаточности нужно доказать единственность решений,
146 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Пусть п — натуральное число, не делящееся на р,
и па = пЪ для fl.fteA, тогда п(а — Ь) = 0, т. е.
а — Ь^Т(А)— элемент конечного порядка, но тогда
порядок элемента а — Ь должен делить п. Так как
Т(А) — р-группа и р не делит и, то а — b = О, а = Ь. П
На Яр-группы можно смотреть и по-другому: как на
модули над подходящим кольцом. Пусть Rp есть
множество всех рациональных чисел, знаменатель которых
в несократимой записи не делится на р. Легко
проверяется, что Rp замкнуто относительно сложения,
вычитания и умножения, т. е. что Rp является подкольцом
поля Q рациональных чисел. На любой /?р-группе А
можно (единственным образом) задать структуру
Rp-модуля, т. е. умножение на числа г е Rp, так, чтобы
были выполнены следующие условия: для а,Ь<=А,
г, s<=Rp
1) r{a + b) = ra + rb, \a = a, rO = O;
2) (г + s)a = га -\- sa;
3) (rs)a = r{sa).
Определим это умножение следующим образом:
пусть п — натуральное число и р ¦>( п, тогда для любого
а^А —а— это единственное решение уравнения
их =з а; если r = -2-eJRp и p|n, то га^/пГ—a J .
Несложную проверку корректности умножения на re
е Rp (независимость от представления г = — = -2_,
/> 4* ". Р 4* л') и справедливости свойств 1)—3)
оставляем читателю.
Легко проверить и обратное, т. е. что любой
Яр-модуль А, рассматриваемый как абелева группа, является
Яр-группой. Действительно, — а является решением
уравнения пх = а для натурального и, не делящегося
на р. Покажем теперь, что А не содержит элементов,
порядок которых взаимно прост с р. Действительно,
пусть па = О, р 4* п, тогда в модуле А должно быть
d ^~ 1 а ^~ **~~ а ^— — [tig, )=== —¦— 0==== и •
Аддитивная группа кольца Яр, которую будем также
обозначать ЯР, является примером Яр-группы без круче-
Hi Rp -группы 147
ния. Отметим, что фактор-группа RPlpRp есть
циклическая группа Ср порядка р. Действительно, 1 ф pRp, так
как — ф Rp\ следовательно, Rp ф pRp и Rp/pRp —
нетривиальная элементарная р-группа (т. е. все
ненулевые элементы имеют порядок р). Пусть r = —ei?p
и р -Г п, тогда числа 0, п, 2п (р—1)л имеют
различные остатки от деления на р, поэтому для
некоторого к, О ^ k < р, т и kn имеют одинаковые остатки от
деления на р, тогда (т — kn) — p-s, (——k\ = —-е
е pRp; следовательно, фактор-группа RP/pRp не
может содержать более р элементов (образов элементов
О, 1 р—1). Следовательно, Rp/pRp~Cp. Заметим
еще, что из приведенных рассмотрений следует, что если
Rp t^L А, то для сервантности Rp в А достаточно, чтобы
уравнение рх = 1 было не разрешимо в А.
Опишем теперь, как устроены Яр-группы без
кручения.
Предложение 2. Абелева группа А без кручения
является Rp-группой тогда и только тогда, когда она
содержит подгруппу В, изоморфную прямой сумме групп
Rp, такую,' что А/В — полная группа без кручения.
Достаточность. Пусть В — подгруппа А, изоморфная
прямой сумме групп Rp, тогда В, очевидно, является
Яр-группой (даже свободным Яр-модулем в категории
Яр-модулей). Пусть р f n, аеЛ, тогда, если А/В —
полная группа, то существуют се Л, Ь^В такие, что
пс=а-\-Ь; так как бе В и В — Яр-группа, то
существует dsB такой, что b = nd; тогда а = пс — Ъ =
= пс — nd = п(с — d). Так как А — группа без круче-
ния и любое уравнение пх = а, р -f n, разрешимо в А,
то по предложению 1 А — Яр-группа.
Необходимость. Рассмотрим элементарную р-группу
А/рА; ее можно рассматривать как векторное
пространство над полем GF(p) из р элементов. Поэтому А/рА
представима в виде прямой суммы 2 (й) циклических
групп порядка р. Пусть аг е а*, i е /, — произвольные
представители из А; пусть Rt ^= {rat \r е Яр}, i e /; тогда
Ri — подгруппа А, изоморфная, как нетрудно проверить,
148 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
группе Rp. Пусть В — подгруппа А, порожденная
подгруппами Rh *е/. Проверим, что В = ? Rt; предпо-
ложим противное, пусть У) г/а^ = 0 для некоторых
различных /0. •••> 4е^ и ненулевых г0, .... rk^Rp;
Шл " /Tit
пусть го = ——, ..., гк = —-, р -г п0 • ... • пк. Можно
"о nk
предполагать, что наибольший общий делитель чисел
то, .... tnk равен 1; действительно, если tnl = tsl,
у-о. ...;¦*, то
V — щ. = О, так как А — группа без кручения. Умножив
Y, ^fli, на «о • • • • • tik, получим соотношение 2 qiaii = О,
где 9/ целые и хотя бы одно qt не делится на р (так
как хотя бы одно т/ не делится на р и «о •••.••«* не
делится на р).
Перейдем к фактор-группе Л/рЛ, тогда будем иметь
соотношение ? <7<а,,= 0 и <7/ не делится, на р для
некоторого / ^ k, что невозможно, так как щ, is/, —
базис группы А/рА. Итак, В= 2 /?,. Покажем, что
Л/В — полная группа без кручения. Проверим сначала,
что А/В — группа без кручения. Пусть па = Ь, а^А,
Ъ е В, нужно показать, что а е В; пусть п = щрь,
р К по, тогда по(р*а) = 6; В — /?0-группа, поэтому
существует 6о s В такой, что по^о = Ь; в силу
единственности решения в Л уравнения по* = Ь имеем рка = 60-
Индукцией по k покажем, что не В. Случай k = О
очевиден; пусть ра=*Ь0= ? г/а,/( /о, .... /* —различ-
ные индексы из /; пусть Tj = —-, р -f п/, пц е Z,
П/ е со. Если все т/ делятся на р, то 60 делится на р
в В и, следовательно, в силу единственности а^В.
Предположим, что некоторое /я/ не делится на р;
умножая обе части равенства pa = Z г^. на щ- ... -nk, по
§ 4] Яр-ГРУППЫ 149
лучим элемент ? Qfii, s рА такой, что хотя бы одно(це-
лое) число <7/ не делится на р; переходя к фактор-группе
А/рА, получим противоречивое равенство ? qfii, = 0.
Итак, если раеВ, тоае В; если pka eB^osB, то
р*+'=р(р*а)еВ^р*аеВ^оеВ. Итак, А/В —
группа без кручения или, что то же, В — сервантная
подгруппа А. Покажем, что А/В — полная группа.
Достаточно установить разрешимость уравнений рх = а,
так как для р f л разрешимость уравнений пх = а
следует из того, что А—^р-группа. Рассмотрим уравнение
рх = й(е А/В); пусть не а — представитель а в А;
пусть й — образ а в фактор-группе А/рА; тогда из того,
что Alp А = 2 (at), следует, что существуют t0, ...,<sS
s /, 0 ^ <7/ < Р. / *^ Л. такие, что а = ? 9/й^; тогда а—
— 2 9/аьерА т. е. существует 6еЛ такой, что
6+ 2 '» н0 2! 4iai,^B, следовательно, а =
= pb в фактор-группе А/В. Q
Предложение 3. Если В^А, А — Rp-epynna
и В — Rp-epynna, то и А/В — Rp-epynna.
Для читателя, знакомого с понятием модуля, это
утверждение очевидно. П
Обратимся теперь к изучению структуры
периодических Яр-групп, т. е. просто абелевых р-групп. Всякая
абелева группа есть прямая сумма полной и
редуцированной групп. Структура полных р-групп была описана
в § 3 — это прямые суммы групп, изоморфных группе
Сроо; поэтому сосредоточим внимание на
редуцированных р-группах.
Предложение 4. Если А — редуцированная
р-группа, то А содержит сервантную подгруппу В,
которая является прямой суммой циклических групп
и такова, что А/В — полная группа.
Пусть А ф {0}, иначе нечего доказывать.
Рассматриваем семейства {at\i^I} еЛ ненулевых элементов Л
такие, что подгруппа ({a,|t'e/}), порожденная этим
семейством, разлагается в прямую сумму 2 fai) и
150 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ (N1,8
является сервантной подгруппой Л. Ясно, что множе-.
ство всех таких семейств (его можно считать
непустым, допуская 1 = 0) с отношением включения
является индуктивным; следовательно, по лемме Цорна
существует максимальное такое семейство {а/|/е/}.
Полагаем В ^=({a;|ie/}); тогда В= ? (at) и В—
сервантная подгруппа Л. Если А/В не полна, то
выберем (по лемме 2 § 1) в А/В элемент а наименьшего
порядка pt+l такой, что h*IB (a)=0; используя сервант-
ность В в Л, найдем а^а также порядка pt+i. Из
минимальности порядка а легко следует, что /И/в (р'а)= t,
откуда, как в лемме 6 §2, следует сервантность (а) в А/В,
но тогда по свойству 8 сервантности из § 1 В -}- (а) сер-
вантна в Л и {ai \ i е 1\ [} {а} — собственное расширение
системы {a/| te/}, что противоречит ее максим а льности.П
Подгруппу В редуцированной р-группы Л,
удовлетворяющую условиям предложения 4, назовем базисной
подгруппой группы, А. Расширим это определение на
произвольные /?р-группы. Базисной подгруппой Rp-zpyn-
пы А назовем всякую сервантную подгруппу В группы
Л, являющуюся прямой суммой конечных циклических
групп и такую, что Т(А)/В полная. Из предложения 4,
очевидно, вытекает существование базисных подгрупп
для любых /?,,-групп.
Охарактеризуем теперь число (мощность)
циклических слагаемых порядка pn+l, пей, (в фиксированном
разложении) базисной подгруппы В группы Л.
Обозначим через Л* множество элементов группы Л, р-вы-
соты которых не меньшей, т. е. Ak^{a \a s A, h^(a)^
^k); Ak является подгруппой группы Л; А = А0^
~^.А\~^. ... Пусть Л[р] — подгруппа Л элементов
порядка ^р; для леи через Sn обозначим группу
Л[р]Г|Лп; тогда Л [р] = 50 > Si > ...
Любую абелеву группу С экспоненты р можно
рассматривать как векторное пространство над полем
GF(p) из р элементов. Размерность такого пространства
будем обозначать dim,, С.
Предложение 5. Мощность циклических прямых
слагаемых порядка рп+1 (фиксированного разложения)
базисной подгруппы В группы А равна dimp(SnISn+i).
I 4] Яр-ГРУППЫ 151
Пусть а ^ со, С — произвольная абелева труппа,
тогда через С(а) будем обозначать группу ? Ст, Стс^С
т<а
для всех т<а.
Пусть В = 2 С^+р ап ~ мощность множества сла-
гаемых вида С п+1; пусть Вп^Ф Yi C^?+i- Так как
В — сервантная подгруппа группы Л, а Вп — сервантная
подгруппа В, то Вп — сервантная подгруппа А;рп+1Вп=
= {0}, поэтому Вп алгебраически компактна и,
следовательно, А представима в виде А = Вп + А'п для
подходящей подгруппы А'п группы А. Покажем, что Л[р]П А'п =
= An[p] = Sn+i. Так как всегда ( 2 АЛ[р]= 2 At[p],
Kiel ) is;
то А[р] = Вп[р]+А'п[р].
Если а^0бВ„[/?], то Лр(а)^п; действительно,
если Лр (а) = Л^" (а) > п, то существует b ^ Вп такой, что
pn+ifr __ а> но Т0Гда порядок 6 есть рп+2, что
невозможно, так как рп+1Вп = {0}.
Пусть оеЛ^ [/?]; покажем, что Лр (а) (= h? (а)) ^.п + 1.
Так как Ап — А/Вп, то можно считать (с точностью до
изоморфизма), что А'п содержит подгруппу В'п ^ X C^k+v
которая является в А'п базисной (А'п/В'п са А/В — полная
группа). Если а содержится в циклической подгруппе
порядка ^рп+2, то, очевидно, hp{a)^n-\- I;
следовательно, если aeBi, то hp(a)~^sn-{- 1. Если же аф.В'п>
то из делимости АЦВ'п следует, что существуют с ^ An
и b ^ В'п такие, что а = pn+ic + Ь; если р6 = 0, то
6eBi[p], М&)>я+1 и Ма) = М/>»+1с + &)>
>тт{Лр(рп+1с), ЛрF)}>п+1. Если рЬфО, to pa —
= 0 = рп+2с + рб; В'п сервантна в Ап, пусть Ъ' е В^ таков,
что pn+4' = pb, тогда а = р"+1(с + 6') + (Ь — ^Ь')
b — pn+[b's=Bn и p(b — pn+lb') = O; снова имеем Л
1
Итак, если as Лп[/?], то hp(a)^n-\- 1,
следовательно, ЛПр]<5„+1.
Пусть e#0eSn+i, a = a' + a"» где о'еВ„[р],
о"еЛ;[р]; если а'=И=0, то Ар(а')<л, hp{a")^n+l
и /ip(a) = min{/ip(a/), Лр (а")} = hp (a') ^ п. Получаем
162 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
противоречие; следовательно, а' = 0, а = а" е А'п [р],
т. е. Sn+i<^[p] и A'n[p] = Sn+i.
Завершим теперь доказательство предложения.
С?> А[ A[] S q> + A'l[p] = Cf + S1 и ао =
dimp(SJS$ дляп > О ^«Cjg, + Л'„, S.-^,[p]^
здесь использовалось очевидное соотношение CpB+i [р]с=;Ср;
для дальнейшего напомним, что и Ср«> [р] ~ Ср. П
Следствие. Если Во, В\ — базисные подгруппы
редуцированной р-группы А, то Во =- В\. П
Приступим теперь к изучению элементарных (т. е.
формулируемых на языке УИП) свойств #р-групп.
Предложение 6. Пусть В — базисная подгруппа
Rp-группы А и е(Б) = со; тогда В^А.
Используя предложения 2, 4 и лемму 5 § 3, а также
рассуждение из доказательства этой леммы, легко
редуцировать доказательство предложения к случаю
счетной Лик доказательству двух лемм (В из условия
предложения):
Лемма 1. 5<5 + Сроо<
Пусть v: со -*¦ Сроо — одно-однозначная нумерация
группы Соо такая, что vO = O, и пусть Ау(Ср°°)^
^{xt + x, = xk\i, U *sco, v/ + v/ = vk) U {*o == 0} U
U {хп ф 0 \п s со, п ф 0}. Расширим сигнатуру абелевых
групп константами, соответствующими элементам из В,
и рассмотрим счетную систему формул Т ^ь Dv (Cp°°) U
U {хп Ф сь j 0 ф п е со, О Ф b e В]. Покажем, что
всякая конечная система формул Fs T выполнима в
группе В (рассматриваемой как модель расширенной
сигнатуры с естественной интерпретацией констант Сь*—>Ь,
Ь еВ). Пусть хП() Хпк — все переменные, которые
встречаются в формулах из F. Подгруппа ({v«0, ...
• • • vnk}) — ^pe° является циклической группой (b)
конечного порядка ps для некоторого s e со. Пусть сь, ...
... сь —все константы (вида сь, b e В),встречающиеся
в формулах из F (заметим, что Ь0Ф0 6/^=0).
Для того чтобы удовлетворить системе формул F, доста-
S 4] Лр-ГРУППЫ 153
точно теперь в В найти элемент а порядка ps такой, что
bo, ..., bt&(а). Действительно, если такой элемент а
найден и vn« = пцЬ, i = О, ..., к, 0 ^ пц < ps, то при
значениях переменных хП{ *-*¦ пца, i = 0, .... к, все
формулы из F станут, как легко видеть, истинными в В.
Итак, найдем теперь элемент а г В порядка _ps
такой, что bo, ..., bt&(a). Так как В имеет вид
то существует такое конечное подмножество /о ? /, что
Ьо, ..., bt& ? (а,); так как е(В)= со, то найдется та-
кое /о s /, что а, имеет порядок, больший порядков
элементов аи i е /о; тогда /о ^ ^о- Можно также
считать, что порядок alt больше или равен ps. Возьмем в
(а<о) элемент а порядка ps; так как (а<о) П X («<) = {0}
и Ьо, .... 6г е X («<)> *о ?= 0, .... bt ф 0, то элемент а
удовлетворяет всем нужным свойствам.
Пусть теперь В' — некоторое coi-насыщенное
элементарное расширение группы В; тогда система формул Т
удовлетворяется в В' при некоторых значениях xit—>di,
tea, переменных. Тогда, очевидно, D ^({do,du •••})sa
^ Ср», Df]B = {0} иВ + D сервантна в В' (см.
свойство 8 сервантности в § 1). По предложению 8 § 3
B<.B + D=iB + Cpoo. D
Лемма 2. В < В + /?р.
Пусть v: a>-*Rp — одно-однозначная нумерация
группы Rp такая, что vO = 0 и vl = 1 (е Rp < Q). Пусть
0v(RP) ^ {•«< + */ = ** I», /'. * е со, v/ + v/ = v*} U {дго =
= 0} 0 {хп Ф 01 /г г со, /г # 0}. Расширим сигнатуру абе-
левых групп константами, соответствующими элементам
из В, и рассмотрим счетную систему формул
О№)\){\Ъ0фЪВ)\МЧ{Ф
Ф хх + сь) \b e S}. Покажем, что всякая конечная
система формул F =Т выполнима в группе В (в
естественном обогащении). Пусть *„„> ••-. xnk— все
переменные, которые встречаются в формулах из F;
предположим еще, не уменьшая общности, что 1 е {п0, ..., /г*},
например, /г0 = 1. Подгруппа ({vn0, .... vnft})^/?p
является циклической группой (с), так как /?р«<?) —
154 АБЁЛЕВЫ ГРУППЫ (ГЛ. 3
локально циклическая группа. Так как l(=vl)e(c)',
то можно считать, что с имеет вид —, /tea, ир|п.
Пусть для i = 0 k mi — такое целое число, что
v/i,- = niiC ( =-^- J , a s — произведение всех модулей | гщ \
для ненулевых mt, i = 0, ..., k. Если В имеет вид
У. (а.) и ch , ..., ch —все константы (вида сь, Ь^В),
которые встречаются в формулах из F, то существует
конечное подмножество /0 = / такое, что Ьо й,е
G H (ai)- Так как е(В) = ю, то существует такое i0 e /,
что порядок элемента aL больше порядков всех
элементов at, i e /о, и больше числа s. Проверим теперь, что
если переменным^ придать значения miai, / = 0, ...
..., k, то все формулы из F будут истинны. Если
(xnh + xnji = Xnh)^F, то m/0 + m/, = m/! и,
следовательно, т,а, Л-т.а, =т,а,. Если (х„ ^0\&F, то
'о 'о м 'о >г 'о \ ni )
ГП]ФО, и так как | /ny | [ s, то miah ф 0, поскольку
порядок а{ больше s. Если хп Ф сь е F, то из ЬЬФО
следует, что bt ф (aio) ^так как /0 ф /0 и (ala) П ^ (а,)=
= {0}, 6,е ]] (а{)\ и, следовательно, ^ ф т/аь (v/i; =^
^0^/п^О и |ту11s). Пусть У/у^руфХу + c^^F;
так как 1 =vno = nc, то пго = п и р -f /По, следовательно,
(аЛ = (тоа{) и образ элемента ttiffi^ при проекции
pt\ B->(a{j не делится на р; так как i,e ^ (a*)^
^ Кег ри, то элемент тйаи + ^ не делится на р в В,
следовательно, формула V# (/и/ ф x{-\-cb\ истинна в В
при значении xv равном т^^. Таким образом,
проверена истинность всех формул из F при указанных
значениях переменных.
Пусть теперь В' — некоторое ©гнасыщенное
элементарное расширение В. Тогда система формул Т
выполнима при подходящих значениях x^—^di, /ею,
переменных. Тогда, очевидно, D =^= ({d0, du ...}) =* RP, D(]
П В = {0} и образ D в фактор-группе В'/В сервантен,
t Щ Лр-ГРУППЫ 155
так как образ единицы 1 не делится в В'/В на р (это
есть следствие выполнимости всех формул вида
Уу(РУ Ф xi + °ь)). По свойству 8 сервантпости из § 1
E U D) = В + D — сервантная подгруппа В',
следовательно, по предложению 8 § 3 B^B + D^B + Rp. ?
Следствием леммы 1 будет утверждение:
Если В — прямая сумма конечных циклических групп
неограниченных порядков, С — полная р-группа, то В —
элементарная подмодель В + С. П
Следствием леммы 2 будет утверждение:
Если В — прямая сумма конечных циклических групп
неограниченных порядков, С — Rp-группа без кручения,
то В — элементарная подмодель В + С. ?
Из этих утверждений и вытекает истинность
предложения. ?
Свяжем теперь с каждой /?р-группой А некоторую
подгруппу /?(Л)^Л, являющуюся также /?р-группой,
следующим образом. Сначала предполагаем, что А — не
более чем счетная /?р-группа. Пусть В — ее базисная
подгруппа. Если e(fi) = to, то полагаем R(A)^=B. Если
г(В)=0, то В выделяется в А прямым слагаемым:
А = В-\- А'; так как Т(А')—полная р-группа, то
Т(А') выделяется в А' прямым слагаемым: А' — Т{А')-\-
+ R, где R — /?р-груипа без кручения. (Заметим, что
В+.Т{А')=Т(А).) ;'1устьА^1)<#- такая сервантная
подгруппа R, что R/R '"¦ — полная группа без кручения.
Полагаем R{A)^ T(A) + R ':\ если e(T{A) + Rf)= ю
или г (А) —0, и R(A)^ T(A)+Q, Q^R,b противном
случае (заметим, что тогда Т(А)—В и R ф
{0}—полная группа без кручения). Видим, что всегда R{A) —
сервантная подгруппа А Если А — не счетная группа,
то пусть А'а. А — счетная элементарная подмодель,
полагаем R(A) ^= R(A'). Корректность последнего
определения и основные свойства группы R(A) содержатся
в формулировке следующей теоремы:
Теорема 1. Для любой Rp-группы А группа R(A)
является простой моделью теории Th(A); в частности,
справедливы следующие свойства:
1. R(A) A.
2. Для любой абелевой Rp-группы С имеет место
А з= С Л
156 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Свойства 1 и 2 вместе эквивалентны первому
утверждению теоремы, так что будем доказывать именно эти
свойства.
Предположим, что А — не более чем счетная
Яр-группа. Пусть В — базисная подгруппа А; если е(?)=а>,
то R(A)=B и по предложению 6 /?(Л) = В<Л. Если
е(В) = 0, то по определению R(A) A/R(A)—полная
группа без кручения, причем е(/?(Л)) = 0=#>Л = R{A);
отсюда по лемме 5 § 3 R(A) ^ А. Если А не счетна,
А'*СА, А' счетна, то по доказанному R(A) = R(A)'^.
^.А'^.А, тогда и R(A)^.A. Свойство 1 доказано.
Обратимся теперь к доказательству свойства 2.
Достаточность вытекает из 1; будем доказывать
необходимость. Можно предполагать, что А и С — не более чем
счетные группы. В предложении 5 были
охарактеризованы базисные подгруппы произвольной /?р-группы
с точностью до изоморфизма с использованием групп
S(S(A))S(A) A[](\{rAh$()>}
Через ап(а'п) обозначим мощность числа прямых
слагаемых, изоморфных -Срп+i в некотором фиксированном
разложении базисной подгруппы группы А (группы С).
Рассмотрим некоторые формулы сигнатуры теории
абелевых групп: для пе«), k > О
21Р. п (х) ^ (рх = 0) & Ъу (рпу = х);
XP,n,k
& (& {1 «p. «+i ( Z siJCi) I о < «I < Р- t s, Ф а});
/ С k
§4] Rp -ГРУППЫ 157
Отметим вытекающие из определения свойства
истинности этих формул.
Пусть С — произвольная (не обязательно
Яр-группа) абелева группа, а е С; тогда, очевидно,
С'Н21Р.„(а)^аеС'[р] и А,(а)>я.
По-другому эту эквивалентность можно записать так:
С И Яр. п (а) *> a s S» (= S» (СО).
Пусть ai, ..., а* е С; тогда
подгруппа, порожденная
элементами аь ..., аА, такова, что
к
(ait .... aft)<Sn и (аи ..., а„)П
{}
Так как группа Sn является векторным
пространством, то это условие равносильно тому, что образы
элементов а\, ..., ак в SJSn+i линейно независимы
(над GF(p)). Отсюда следует, что
C'^b.n,k^dimp(SjSn+1)^k. A)
Далее,
СИ1»(в, a*)**ai ake=Sn
и линейно независимы над
GF(p),
и, следовательно,
C'N33P.n>ft^dimp(Sn)^fe. B)
Если С'Н=вр,„^(^1 ¦ •-. ак), то образы а{, ..., ак
элементов аи ...±ак в факторгруппе С^С'/С'[р"]
таковы, что а[-\-рС, ..., а'к + рС — линейно независимые
элементы группы С/рС Легко проверить, что
справедливо и обратное утверждение.
Если положим С ^ С'/С'[рп], то из сказанного выше
получаем
7J*. C)
158 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Возвращаемся к доказательству свойства 2.
Предположим, что Л и С не более чем счетны и элементарно
эквивалентны; покажем, что % = и'п, яесо. В
соответствии с предложением 5 для п е со ап =
= dimp(Sn(A)ISn+i(A)) (a; = dimpEn(C)/5n+1(C)); но
тогда из эквивалентности A) имеем для k > О
А \=%. п.k-*> k < dimp (Sn(A)/Sn+l (A))<=>k^an,
С И Яр. „, ft <=> d < dimp (Sn (C)/Sn+i (C)) <=> k < a'n.
Отсюда сразу получаем an = a'n для всех «еш.
Следовательно, базисные подгруппы В (А) и В (С)
соответственно групп А и С изоморфны. Если в(В(А))= со,
то R(A)=B(A)~B(C) = R(C).
Пусть в.(В(А)) = 0; обозначим через Р(Р') мощность
множества прямых слагаемых, изоморфных группе
Сроо( в разложении полной части группы Т(А) (Т(С));
через y(y') обозначим
dimp ((А/Т (А))/р (А/Т (A)))(dimp ((С/Т (С))/р (С/Т (С)))).
Заметим, что, когда г(В(А)) = 0, имеем /?(Л)~5(Л) +
+с;~+#р'(я(с)~б(С)+ср-~+о, если р (р/)
или у (у') отлично от нуля, и R(A)sxB(A)+ Q (R(C)~
ceB(C)+Q), если р = v = 0 (р' = у' = 0) и е(Л) = со
(е(С) = со). Покажем теперь, что р = Р' и v ^ ?'• Так
как &(В(А)) = 0, то существует Л^есо такое, что для
/г > N ап (= а^) = 0. Тогда 5W (Л) = CJ» [p]=C»),
следовательно, p=dimp5jv(/4) (P' = dimp SN (С)}. Из
эквивалентности B) имеем для k > 0
Л h= 93„. лг. * ^=> k < dimp 5дг (Л) *> & < р,
С f= 93Р, „. k <=> k < dimp SN (С) <=> k < P'.
Отсюда получаем р = p'._
Заметим, далее, что А =^= A/A [pN] ~ C@i, + А/Т (А) и
С ^ С/С [pN] ~ CjPJ + С/Г (С). Тогда Y"= dimp (Л/рЛ)
(у' = dimp (С/рС)), из эквивалентности C) следует для k > 0
Л N ®р, лг. к <=> k < dimp (А/рА)
Отсюда y = y'-
Jfl Л p- ГРУППЫ 169
Так как, кроме того, очевидно, е(Л)=е(С), то
отсюда и следует, что R (А) ~ В (А) + С®1 + R™ га R (С)
()() + ?())
Итак, если Л и С не более чем счетны и A s= С, то
()/?(С). Но из определения R(A) в общем случае
имеем: если Л'< Л, С'< С и Л', С не более чем счетны,
то A = C=$>A' = C'=$R(A) = R(A')~R(C') = R(C).
Теорема доказана. ?
Для формулировки следствий из теоремы введем
следующие инварианты ^-группы А:
РР (А) =^= inf {sup {k | k г (о, Л Н 23P, n, J I n
yp (A) ¦¦*= inf {sup {k \k s (о, Л t= CPl „, J |«
Без труда проверяется, что
1) если г(В(А)) = а или е(Л)=О, то
2) еслы е(В(Л))=0, е(Л)=0 ы
4H, то
3) если е(В(Л))=0, е(Л) = о) ы рр(Л) =
то
Следствие 1. Две Rp-группы А и С элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда ар „(Л) =
= ар,п(С), «ео»: рр(Л) = рр(С), Vp(^)=Vp(C) и
е(Л)=е(С). П
Следствие 2. Для любой Rp-группы А группа
п1г + ?
Р "*¦ Р
элементарно эквивалентна A. D
160 абеЛевы группы [гл. з
. Следствие 3. Для Rp-групп А и В имеет место
следующая эквивалентность:
A^B*=>SP(A)~SP(B). О
Группу SP(A) назовем шмелевской р-канонической
формой группы А.
Теорема 2. Если А и С — Rp-группы, А — сервант-
пая подгруппа С и А = С, то А < С.
Не уменьшая общности (по теореме Лёвенгейма —
Скулема), можно считать, что С—не более чем счетная
группа. Из доказательства предложения 4 видно, что
в С можно выбрать базисную подгруппу В (С) так,
чтобы В(С)[)А была базисной подгруппой А (нужно
начинать с базисной подгруппы А и расширить ее до
базисной подгруппы С); более того, можно считать, что
В (А)—прямое слагаемое В (С). Используя также
доказательство предложения 2, можно утверждать, что
можно выбрать подгруппу R (С) так, чтобы было R(C)f\
[\A = R(A) и R(C) = R(A) + D, а группа D
разлагалась в прямую сумму циклических, квазициклических
(Сроо) групп и групп, изоморфных Rp. Покажем, что
R{A)R{C)
)K{)
Случай 1. s(B(A)) = a, тогда R(A)=B(A) и D
может содержать только конечные циклические прямые
слагаемые. Так как ар,п(А)= ар,П(С), то D может
иметь прямое слагаемое, изоморфное группе С n+i.
тогда и только тогда, когда ар,п(А) = а. По
предложениям 3 и 4 § 3 гл. 1 имеем С«?+1 <С«^+1 + С п+1; так
как В (А) имеет прямое слагаемое вида С(<?+1, то В (А) ^
< В (А) + С п+1. Пользуясь теоремой Воота — Тар-
ского, получаем, в этом случае, что В(Л)< В (С); но
так как В(С) =/?(С)<С, то В(Л)<С, В(А) <Л,
А сервантна в С, следовательно, по предложению 8 § 3
А*СС.
Случай 2." г (В (А)) = 0, тогда D может содержать
еще слагаемые вида Ср« или Rp; первое возможно
только в случае рр(Л) = со; тогда, как и выше,
В (А) < В (А) + Ср~; второе возможно только в случае
§ 5) ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 161
YP(i4)= ю, но тогда В(А)^В(А)-\-Rp; снова по теореме
Воота — Тарского получаем, что В(А)^В(С) и, как
выше, А ^. С. D
§ 5. Элементарная классификация абелевых групп
Цель настоящего параграфа — завершить
элементарную классификацию абелевых групп, начатую в
предыдущем параграфе.
В конце предыдущего параграфа с каждой
Яр-группой А была связана последовательность инвариантов
Рр, уР, «p,п, /гею.
Заметим, что определение этих инвариантов имеет
смысл не только для Яр-групп, но и для любой абелевой
группы.
Предложение 1. Пусть р — простое число, А
и В~абелевы группы; тогда ар,„(А +В)=ар п{А) +
+ аР,п(В), лев; рр(Л + В)= рр(Л) + ррE); ур(А +
-{-/}) = Yp(/4) + уР(В) (здесь + — кардинальное
сложение, Т. в. Ю + П = П + й> = Ю + Ю = й)).
Для любой абелевой группы С через Sp(C)
обозначим группу {с | с е С, рс = 0, hp (с) ^ п).
Из доказательства теоремы 1 § 4 видно, что для
nsio, k > 0
k < ар, п(А + 5) <*=> * < dimp ES (Л + B)/Spn+l (A + 5)).
Но Spn(A + B)
E), тогда
dimp E^(Л + B)/Spn+i (A + В)) =
= dimp (Spn(A)/Spn+l (В)) + dimp (Spn(B)/Spn+l (В)).
Из этого равенства, приведенной выше
эквивалентности и соответствующих эквивалентностей для /, т>0:
р. „ (Л) <*=> / < dimp (Spn (A)/Spn+l (Л)),
т < ар, „ (В) ^ т < dimp (Spn (B)/Spn+l (В)),
и вытекает равенство ар,п(А + В)= ар,„(А)-\-аР,п(В).
162 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Эквивалентность B) в доказательстве теоремы 1 § 4
показывает, что для любой абелевой группы С, любых
n, m е ш, и < т, и ft > О
С N 23,. т. *=* С И «„.„.*,
так как SPn{C)~^-Spm{C). Следовательно, &<рр(С)<=>- для
любого песо k < dimp Spn (С). Имеем для k>0
k < рр (А + В)<=>- для любого п е= со k < dimp Spn (A + В)<=>-
для любого песо &<! d\mp Sn(A) + dimpS^(B), так как
S? (Л + S) = Sn(A) + Sn (В). Отсюда сразу и следует, что
( ) () ()
Равенство 7р(^ "Ь ^) = 7р(^)"Ь Vd(^) доказывается
аналогично с использованием очевидных соотношений
В/(А + В) [рп] ~ А/А [рп]+В/В [рп] (=А + В);
П
Замечание. При разумном определении сложения
аналогично доказываются и соотношения
А,)= Е а„.а(А,); рр ( Е А,)= Е РРИг);
^/ / is/ Vis/ v is/
Предложение 2. ?сл« Л — р-делимая группа
(т. е. в А разрешимы все уравнения вида рх = а, йеЛ)
и Ар = {0}, т. е. А не содержит элементов порядка р,
то ар,п(А) = 0, песо; рр(Л)=О; ур(А)=О.
Из условия Лр = {0} следует, что Sn(A) = {0} для
всех песо; но тогда аР)„04)= рр(Л)= 0, песо, как
это следует из приведенных выше (в доказательстве
предложения 1) эквивалентностей.
Из р-делимости группы А следует р-делимость
группы А ^= А/А [рп] и тривиальность группы Л/рА, п е со;
отсюда ур(А) = 0. ?
Сформулируем и докажем теперь основную теорему
об элементарной эквивалентности абелевых групп.
Теорема 1. Абелевы группы А и В элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда имеют место
§5] ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 163
равенства е(Л)=еE); (
для всех простых р; ар,Я(Л)= ар,п(В) для всех
простых р и всех п е со.
Необходимость в теореме прямо следует из
определения инвариантов е, Рр, Yp> kp. "•
Установим достаточность. Докажем две леммы.
Лемма 1. Всякая абелева группа С элементарно
эквивалентна группе вида ? С (р) + <?(е <С))» где С(р) —
р<зр
Rp-группа, не содержащая подгрупп, изоморфных Q
(р — простое число).
Как было отмечено в § 3 (следствие предложения 6),
С элементарно эквивалентна некоторой алгебраически
компактной группе, т. е., не уменьшая общности, можно
считать, что С алгебраически компактна. Тогда С~
=:П(С) + D, где D — некоторая полная группа
(следствие 1 теоремы § 3); П(С) ^ П Пр (С) (предложение 5
р<=р
§ 3). ПР(С)—редуцированная /?р-группа. Покажем, что
группа X Пр (С) является элементарной подмоделью
группы Цпр(С). Для этого установим, что фактор-
р
группа Ц IF (С)/ ? Пр (С) является полной группой
р(=Р I реР
без кручения. Это справедливо в общей ситуации: если
U(p) — Rp-группа, то фактор-группа Ц U(p)/ ? U(p)
р^Р 'р s Р
является полной группой без кручения. Действительно,
пусть fe Д U (p), q простое, k > 0; так как
р<=р
^-делимая группа для р ф q, то существует ир
такой, что qkup = f(p); если положим
:р, если pфq;
I, если p = q,
то qkg(p)= f(p) для всех р ф q; следовательно,
переходя к фактор-группе, имеем qkg = J, т. е. фактор-группа
полная. Если qf e ? U (р), то, в силу единственности
решения уравнения qx = qf(p) для pфq, для почти
всех р будет f (р) = 0, т. е. f e X ?/(/?), и фактор-группа
164 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. Э
П U(p)/ ? U (р) без кручения. Лемма 5 § 3 показы-
рер ' реР
вает теперь, что ? Пр (С) есть элементарная подмо-
ре= Р
дель П Пр (С). Действительно, если Пр (С) ф {0} для
р&р
бесконечно многих р, то е ( ? IF (С)"] = ©; если же
\р<=р )
IF (С) ф {0} для конечного числа р, то ? IF (С) =
реР
= Ц IF (С). Полная группа D представима в виде
v-,PSP
2jDp-{- R, где /? — полная гручпа без кручения. Пола-
р
гаем С (р) ^ Пр (С) + Dp, тогда имеет место
элементарная эквивалентность ? С (р) + R = Y]_ U" (С) + D.
реР ps P
Опять пользуясь леммой 5 § 3, расширяя группу
X С(р) + Я или беря подходящую подгруппу, получим,
что ZC(p) + R= ? C(p) + Q(e(C)). Итак, Е С (р) +
реР psP psp
+ Q(e (С)) а 2 С (р) + /? = П П" (С) + D ~ С. Остается
рер PSP
указать, что группы С(р) являются /?р-группами и не
содержат подгрупп, изоморфных Q; это следует из того, что
С (p)=lF(C)-f?>P, IF (С) редуцирована, a Dp — р-группа. О
Лемма 2. ?сли С и D — Rp-группы, не содержащие
подгрупп, изоморфных Q, то из равенств ар> „ (С) = ар> „ (Ь),
пей; pp(C) = pp(Z)); VP(C) = yp(D) следует, что C = D.
Действительно, если рассмотреть определенные в § 4
подгруппы R(C) и R(D) соответственно групп С и D,
то из условий леммы вытекает, что R(C)eaR(D). Но
так как C = R(C), D = R(D), то С = D. D
Завершим доказательство теоремы. По лемме 1 А
элементарно эквивалентна группе вида А ^= 2j А (р) +
psP
+ Q(e(i4)), где А (р) — /?р-группа, не содержащая
подгрупп, изоморфных Q. Так как Л = Л(р)+ f
\/5Р
+ q(«m»\ и группа ^ 4(<7)+Q(eM)) является р-дели-
мой и не содержит элементов порядка р, то из
предложений 1 и 2 следует, что ар, „ (Л) = ар, „ (Л) = ар, „ (Л (р)),
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП 165
Если В в соответствии с леммой 1 элементарно
эквивалентна группе вида ? В (р) + Q{e {В)), В (р) — /?р-группа
р
без подгрупп, изоморфных Q, то равенства всех
инвариантов ар, „ (А) = ар, „ (В), п е= со; рр (Л) = рр (В); yp (А) =
= ур(В) по лемме 2 влекут элементарную
эквивалентность А (р) = 5 (р) для всех р, но тогда А = 2 Л (р) +
+ Q е (Л» ^ 2 S (Р) + <?(е <В>> = S, если е (Л) = е (В). Сред-
р
няя эквивалентность справедлива по следствию
предложения 2 § 3 гл. 1. Достаточность установлена. ?
группу s(A)^Z EcMA))+Ec(w +
реРя^ш Р pezP P
+ Z ^lVp (А)^ + Q(e <Л)> назовем шмелевской канониче-
pep p
с/сой формой группы А.
Следствие. Абелевы группы А и В элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда их шмелев-
ские канонические формы 5 (А) и 5 (В) изоморфны.
Сразу вытекает из теоремы после несложной
проверки равенств ар,п(А)= ap,n(S(A)), лею; рр(Л) =
= РРC(Л)); ур(А) = yp(S(A)), p простое, и е(А) =
= еE(Л)). ?
Только что доказанная теорема является
расширением следствия 1 теоремы 1 предыдущего параграфа на
произвольные абелевы группы. Сама же теорема 1 § 4
не может быть расширена на произвольные абелевы
группы, а именно, не всякая полная теория,
расширяющая теорию абелевых групп (т. е. элементарная теория
некоторой абелевой группы), имеет простую модель.
Рассмотрим соответствующий пример.
Пример. Пусть А ^ (а) — бесконечная циклическая
группа, В^± 2 ^р> тогда легко проверяется (с ис-
р<= р
пользованием теоремы 1), что группы А к В
элементарно эквивалентны. Очевидно, что группа А не
содержит собственных элементарных подмоделей,
следовательно, если теория ro=^Th(/4) (=Th(S)) имеет
простую модель, то она должна быть изоморфна А.
Покажем, что группа В не содержит элементарной
подмодели, изоморфной А. Предположим противное,
166 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
пусть 6еВ и \Ь) —элементарная подмодель В. Так как
В=?/?р> то существует простое р такое, что Ь(р)= О,
р
но тогда элемент Ь в группе В делится на любую
степень р* числа р; однако образующая b бесконечной
циклической группы F) вообще не делится в (Ь) ни на
какое положительное натуральное число; приходим
к противоречию.
Теорема 2 § 4 тем не менее остается справедливой
и в общем случае.
Теорема 2. Если А и В — элементарно
эквивалентные абелевы группы и А — сервантная подгруппа В, то
Л<5.
Не уменьшая общности, можно считать Л и В
алгебраически компактными и представления А = Ц Пр (Л) +
+ ?>(Л), В= П W{B) + D(B), где D(A), D(B)-
ре=Р
наибольшие полные подгруппы Л и В соответственно,
можно выбрать так, чтобы вложение Л в В было
индуцировано соответствующими вложениями 1Р(Л)-»-П''(В),
р простое и D(A)-+D(B). Тогда, пользуясь леммой 2
и теоремой 2 § 4, можно считать, что
ПР(Л)—элементарная подмодель П"(В); тогда П П" (Л)< П ПР(В),
р р
Р р
ППР(Л)+?>(Л)< ППР(В) + ?>(Л); таким образом,
ре Р р г Р
остается доказать, что Пп"(В) + ?(Л)< П ПР(В) +
р еР ;еР
-\-D(B). D(A) выделяется в D(B) прямым
слагаемым: D(B) = D(A)-\-D; D разлагается в прямую
сумму групп, изоморфных Q или Срсо; при этом Q
встречается в D, только если г(В) = е(Л)= ю, а Ср<» —
только если рр(В) = рр(Л) = ©. Использование теоремы
Воота — Тарского сводит оставшееся доказательство к
доказательству двух утверждений:
1. Если е(С) = ю, то
2. Если рр(С) = ©, то
Первое утверждение есть следствие леммы 5 § 3.
Второе утверждение есть следствие теоремы 2 § 5 из
гл. 1, так как, не уменьшая общности (предполагая,
§ 6] ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 167
что С является coi-насыщенной), можно считать, что С
содержит подгруппу, изоморфную С((Й,. П
Для формулировки полезного следствия теоремы 2
рассмотрим формульное расширение ors сигнатуры абе-
левых групп, полученное добавлением семейства
одноместных предикатов Dp, п, р простое, п е со+,
определяемых формулой %р, „ (х) =^ Зу (рпу = х). Каждая абелева
группа А имеет естественное <т«-обогащение As. Если
А — подгруппа В, то А сервантна в В тогда и только
тогда, когда As ^ Bs.
Следствие. Любая полная теория То теории абе-
левых групп является модельно полной в сигнатуре as.
Действительно, если А \= То, В \= То, то А ^ В <ФФ А
сервантна в В <=> As ^ Bs- ?
§ 6. Линейно упорядоченные абелевы группы
В этом параграфе изучим ряд вопросов об
элементарных теориях линейно упорядоченных абелевых групп.
Хорошей эффективной классификации элементарных
теорий таких групп не найдено. Полученные в этом
параграфе результаты будут использованы в следующей
главе при описании элементарной теории поля р-ади-
ческих чисел.
Начнем с исходных определений. Сигнатура <Т/а
рассматриваемых объектов получается из сигнатуры
абелевых групп добавлением символ'а двухместного
предиката ^.
Абелева группа А с заданным на ней бинарным
отношением ^ называется линейно упорядоченной абеле-
вой группой, если отношение ^ является линейным
порядком на А, удовлетворяющим следующему
соотношению: для любых а, Ь, се А
Очевидно, имеет место и обратная импликация а +
b + ^^Lb, так как а = (а + с) + (—с), 6 =
)
( ()
Запись а < Ь будет обозначать, как всегда, что
а ^ b и а ф Ъ,
168 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 1ГЛ. 3
Линейный порядок г^Г на линейно упорядоченной
абелевой группе {А, ^> однозначно определен конусом
неотрицательных элементов А+ ^= {а| а е А, 0 ^ а}.
Действительно, для a, b e A
Отметим ряд простых свойств линейно
упорядоченной абелевой группы {А, <;>.
1. Для аеЛ а ^ ОФФ —а < 0.
а>0=>(а-а) = 0>@-а) = -а. D
2. Для любых п>0«аеЛ, если а ;з* 0, го ла ^ 0;
если а ^ 0, то ла ^ 0.
Легкой индукцией: ла^=0=>(л + 1)а^=а; (л+1)а^
а>0=>(л+1)а>0. П
3. Л — группа без кручения.
Предположим противное, пусть О^оеЛ и
порядок а есть л > 1. Если а > 0, то по свойству 1 —а =
= (л— \)а sg; 0; по свойству 2 (л— 1)а ^ 0, но тогда
(л—1)а = 0, что невозможно, так как л — порядок а.
Аналогично рассматривается случай а < 0. D
Следствие. ?слн л > 0, то а > 0 =^ла > 0. ?
4. Для любого натурального п > 0 ы любых а,
Индукцией по л. Для л = 1 доказывать нечего. Пусть
для л указанная эквивалентность справедлива. Тогда
а < Ь =>- (аш < лб) & (nb -f a < nb -f 6) =>- (ла -f a <
а) & И +
Наоборот: пусть (л + 1)а ^ (л+1N, и
предположим, что b < а; тогда 0 < а — Ь и 0 < (л + 1) (а — Ь),
(л+1N < (л-f 1)а, что невозможно; следовательно,
а<6. П
5. Либо А содержит наименьший положительный
элемент, либо порядок ^ плотен на А.
Действительно, если нет наименьшего элемента
в множестве {а|а еЛ,0< а}, то для любых а < Ь,
если 0<с<6 — а, то а<а-\-с<Ь. П
Важным понятием теории упорядоченных групп
является понятие выпуклой подгруппы. Пусть (А, ^> —
§ 6] ЛИНЕЙКО УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 169
линейно упорядоченная абелева группа; подгруппа В
группы А называется выпуклой, если из того, что
Ь, с е В, аеЛ и 6 s^ а ^ с, следует, что аеВ.
6. Если <р: <Л, ^>-><С, ^> — гомоморфизм линейно
упорядоченных абелевых групп, то ядро этого
гомоморфизма В =?= Кег ф является выпуклой подгруппой.
Действительно, пусть Ь, с е В, аеД и b s^ а s^ с;
тогда, так как ф сохраняет порядок, 0 = фF) ^ ф(а) ^
^ ф(с)= 0 и ф(а)= 0, т. е. as Кегф = В. О
7. Если В — выпуклая подгруппа (А, ^>, то на
фактор-группе А/В можно единственным образом задать
структуру линейно упорядоченной абелевой группы так,
что факторизация А -> А/В будет гомоморфизмом
линейно упорядоченных групп.
Для задания линейного порядка sg: на А/В
достаточно указать конус положительных элементов.
Зададим его: для оеД полагаем
a + B>B=^a>0 или aeB.
Проверка того, что это определение действительно
задает порядок, и проверка остальных свойств несложна
и оставляется читателю. ?
Из определений очевидно, что класс всех линейно
упорядоченных абелевых групп является
аксиоматизируемым, т. е. определяется некоторой системой аксиом
в языке сигнатуры а/а; пусть Тш — элементарная
теория сигнатуры a/а, определенная этой системой
аксиом.
У теории Tia имеется расширение Т* такое, что
теория Т* модельно полна относительно теории Tia. Такой
теорией будет теория ненулевых полных линейно
упорядоченных абелевых групп, т. е. таких линейно
упорядоченных абелевых групп (А, ^>, что А ф {0} и А
является полной абелевой группой. Ясно, что и этот
класс упорядоченных групп является
аксиоматизируемым; Т* — теория этого класса, ГэГ/л.
Предложение 1. Теория Т* модельно полна
относительно теории Tia-
Для доказательства предложения воспользуемся
теоремой 4 § 4 из гл. 1. Эта теорема показывает, что
достаточно доказать два следующих утверждения:
J70 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Предложение 2. Для любой линейно
упорядоченной абелевой группы {А, <;> теория, определенная
системой аксиом T*\jD(A, ^), имеет первичную модель.
Предложение 3. Теория Т* модельно полна.
Для доказательства предложения 2 вернемся к
рассмотрению абелевых групп без кручения.
Лемма 1. В абелевой группе без кручения
пересечение полных подгрупп является полной подгруппой.
Действительно, пусть Bi ^A, i е /, — полные
подгруппы группы А без кручения и В ^ П Bt; пусть Ь е В
и п > 0; так как В,- полная, b e ?,-, то существует 6, е В,
такой, что nbi = b, i e /. В группе без кручения
уравнение пх ==¦ b имеет не более одного решения,
следовательно, bi = bj для i, } e / и b-t е В = |~) В/. ?
Следствие. Для любой подгруппы А полной
группы без кручения В существует наименьшая полная
подгруппа С, содержащая А.
Действительно, подгруппа С^=Г1{^|Л^Л^Б, D
полная} группы В и является искомой. ?
В доказательстве предложения 2 § 3 уже
отмечалось, что на полные группы без кручения можно
смотреть как на векторные пространства над полем
рациональных чисел Q. При таком подходе содержание леммы
становится тривиальным утверждением о пересечении
подпространств. Для полной абелевой группы А без
кручения dim Л—это размерность А как векторного
пространства над Q.
Лемма 2. Для любой абелевой группы А без
кручения существует такое расширение В, что: 1) В —
полная группа без кручения; 2) если ср: А -> С —
изоморфное вложение А в полную группу С без кручения, то
существует единственное продолжение ф до изоморфного
вложения В в С.
По предложению 4 § 1 для А существует некоторое
расширение В', являющееся полной группой. Так как
А — группа без кручения, то Т{В')[\А = {0} и,
следовательно, А изоморфно вкладывается в В" Ф В'IT (В').
Группа В" является полной группой без кручения.
Пусть В — это наименьшая полная подгруппа В",
содержащая А. Заметим, что 5 = {га\г е Q, а е А}. Дей-
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 171
ствительно, достаточно проверить, что множество,
стоящее в правой части, является подгруппой: пусть
го"=~. ri = -^-e<?; т0, /п, > 0; щ, nx<=Z; а0, а{<= А;
тогда гоао + га
{ra|rs Q, a s Л}. В частности, для любого
элемента ЬеВ существует натуральное п>0 такое, что
п&еЛ. Пусть ф: А-*-С — изоморфизм в полную группу
без кручения; тогда для 6еВ находим п > 0 такое,
что а ^ nb е^, и полагаем tyb Ф — (ра- Проверка того,
что т|з — корректно определенный изоморфизм, и
проверка единственности оставляются читателю. ?
Группу В ^ А со свойствами, сформулированными
в лемме 2, назовем пополнением А. Пополнение
(обозначать его будем я (Л)) единственно с точностью до
Л-изоморфизма.
Лемма 3. Если {А, ^> — линейно упорядоченная
абелева группа, то на я (Л) можно единственным
образом задать линейный порядок ^ так, что <Л, ^> <;
г^<я(Л),<;> и <я(Л),<;> — линейно упорядоченная
группа.
Определим положительный конус я(Л)+ так: для
(Л) 6я(^) + F>0)=^ существует п > 0, nb e
и nb^O). Легко проверяется, что
отношение ^, определенное так: Ьо ^..ЬуФ (bi — &o)s
ея(Л)+, задает на я (Л) структуру линейно
упорядоченной группы; включение <Л, ^.> ^<я(Л), й^>
очевидно. Единственность порядка ^ на я(Л),
продолжающего порядок на Л, легко следует из свойства 4
линейно упорядоченных абелевых групп и того, что для
6ея(Л) существует п>0 такое, что лбе Л. ?
Теперь уже легко установить предложение 2. Пусть
<Л, ^> — линейно упорядоченная абелева группа. Если
Л Ф {0}, то <я(Л),Л, <:> является первичной моделью
теории \T*\JD(A, <:)]. Это сразу следует из лемм 2
и 3. Если Л = {0}, то группа всех рациональных
чисел Q с естественным порядком будет первичной
моделью теории [r*U?>j{0},^)]= Т*.
Пусть А ^ В — полные группы без кручения, Ъ &'
еВ\Л; через Аь обозначим наименьшую полную
172 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
подгруппу В, содержащую (Ли {Ь}). Легко проверяется,
что Ль = А 4- Qb, где Qb ^ {rb \ r е= Q}.
Лемма 4. Пусть <Л, <:>. (В, s^>, <С, ^> — полные
линейно упорядоченные группы, <Л, «О ^ <В, =?=>>
Eil.a^J}, Sc ^ {a|a g= Л, а ^ с}. Если Sb = Sc, то
существует единственный А-изоморфизм ф: <Ль,^>->
-*• <Лс, ^> такой, что ф(й) = с.
Группа Аь имеет вид Л + Qft, Лс имеет вид A + Qc
поэтому существование и единственность группового
Д-изоморфизма ф: Аь-*-Ас такого, что <р(Ь)=с,
очевидны. Нужно проверить теперь, что ф сохраняет поря-
я ffl г» t. ~^ п
док. Пусть as Л, г = — eQ, л>0, m€=Z и а + го^О.
Рассмотрим два случая.
1. /п>0, тогда a + rft > 0^-n(a +rb) = na +mb =
m m
n .
m ''' '
2. m<0, тогда a + rb > 0=> — m (— ^a — ft) > 0 =>
^ ф гй)>0. П
Обратимся теперь к доказательству предложения 3.
Заметим, что для любой модели {А, ^) теории Т*
порядок ^ является плотным на А. Действительно,
если 0<оеД, то 0 < -j а < а; так как 2 Cj a J = a > 0,
то уаХ) и а = уа + "й->1а> П° свойству 5
порядок; <^ плотен на А.
Воспользуемся теперь критерием Робинсона. Пусть
{А, О N Г, <я, <> Н» г*, <Л, <> < <Б, <>
и 5((*1 х„)—примитивная формула сигнатуры eia,
истинная в (В, ^> на некоторых элементах а\ а„ е
еА Нужно показать, что тогда эта формула будет
истинна на этих элементах и в <Л, ^.>. Формула
St(*i, .... х„) имеет вид Зг/i ... Зг/тйо(Уь ..., ym;xi, ...
.... *„), где 9@ — бескванторная формула. Пусть
ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ 173
Ьи ..., Ьт^В таковы, что (В, ^> (= ЗЦйь .... bm\
аи ¦¦', Ял), и пусть С — наименьшая полная
подгруппа В, содержащая (Л U {Ь\, .... Ьт}); тогда <Л, >
<С ><? > <С>|^ <С>|«
..., Ьт; аи .... а„), <С, OH«(fli а»). Кроме
того, dimo С/Л ^ т. Поэтому для доказательства можно
предполагать, что размерность din\QB/A конечна.
Рассмотрим случай, когда dime В/А = 1, т. е. В имеет вид
A-\-Qb для b ^ В\А. Рассмотрим сигнатуру а' ^
=?= О;а U <са|а е Л> П <сь> и следующее множество
предложений сигнатуры а': Ф =^= T*\JD(A, ^)[) {са ^ Сь\а е
€=/4, а<й}и {Сб< ся|ае/4, 6 < а} U \са Ф сь\а?= А)
и покажем, что Ф|-91(св], .... Сдп). Действительно,
пусть S) = <D, /4, d, ^> — модель сигнатуры о' для Ф,
d^cf; тогда можно считать, что </4, ^> ^ <D, ^>.
Пусть Ad— наименьшая полная подгруппа D,
содержащая (A\j{d}); так как для а^А a^^
<СбеФ <=$> а ^.Ь, то по лемме 4 (Ad, ^> и
будут Л-изоморфными; так как (В, А, ^}И^(
.... Сап), то и (Ad, A, <)(=Я(св1, .... Соге), но
rf. ^>^<О, Л, d, ^> и St примитивная, поэтому
(Z), Л, d, *0\==W(cai> •.., Con). Итак, в любой
модели для Ф истинно предложение 91 (са, спп),
следовательно, по теореме полноты ФН-ЗЦсо,, .... са„),
но тогда существует конечное множество формул
Fs {со<сь|а <6}U {cft<co|6< a} U {са ф сь\а е
€= Л} такое, что Г U D (Л, <) U F h- Я; Г U ^ (Л, <) н
(я)
Пусть Со0, .... са — все константы вида са, а^А,
которые входят в формулы из F, причем <х0 <
< а\ < ... < <xs, и пусть 0 ^ й ^ s таково, что в В
а* < й, й < <х*+1 (случай й < а0 и as<b
рассматривается еще проще). Так как порядок < на Л плотен,
то существует <хеЛ такое, что а* < а < а*+г, тогда
посылка Зл:^]^6 будет истинна в <Л, ^>, так как в
качестве подходящего значения х можно взять а, но так
<Л,Л,ОН7'*и^И.<),то<Л, Л, >%
ся„) и (Л, О1-а(аь •••. а«)-
174 АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ [ГЛ. 3
Простой индукцией легко устанавливается теперь,
что если <Л, <:> <: <В, ^> исНтрБ/Л конечна, то для
любой примитивной формулы 91 (*i, .... хп), истинной
в <В, <:> на некоторых элементах из А, эта формула
будет истинна и в <Л, ^> на этих же элементах. Этого
уже достаточно для завершения доказательства. D
Следствие. Теория Т* нетривиальных полных абе-
левых групп является полной.
Действительно, группа <Q, ^> рациональных чисел
по сложению с естественным порядком является
первичной моделью теории Т*. ?
В заключение параграфа укажем одну конструкцию
над упорядоченными группами и укажем аналог
предложения 7 § 3.
Пусть <Л, <:> и <В, <:> — линейно упорядоченные
абелевы группы; на прямом произведении А X В
зададим лексикографический порядок ^ так: для Со, а\ еЛ;
bo, JieB
(«о» b0) < (аи Ьх) ^ а0 < а\ V (а0 = а\ & Ьо
Легко проверяется, что <ЛХ^»^> является линейно
упорядоченной абелевой группой. В — выпуклая
подгруппа в <АХВ, О и <ЛХЩ О 2*<Л, <>.
Линейно упорядоченную группу <ЛХ5, ^> назовем
лексикографическим произведением линейно
упорядоченных групп <Л, ^> и <В, ^>.
Следующее предложение доказывается так же, как
и предложение 7 § 3:
Предложение 4. Пусть В — выпуклая подгруппа
линейно упорядоченной абелевой группы <Л, г^>; тогда
линейно упорядоченные группы <Л, ^> и <Л/БХ5»^>
элементарно эквивалентны (здесь (А/ВХ.В, ^> —
лексикографическое произведение линейно упорядоченных
групп <Л/В,^> и <В,О). ?
ГЛАВА 4
НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ
§ !. Поля
Предполагаем, что читатель знаком с элементарными
понятиями теории полей и колец. Некоторые из этих
понятий будут напоминаться и в дальнейших
параграфах.
Будем использовать следующие стандартные
обозначения: Z — для кольца целых чисел, Q — для поля
рациональных чисел, R — для поля вещественных чисел
и С — для поля комплексных чисел.
Для поля F через F* обозначим мультипликативную
группу поля F, т. е. F*^F\{0}, и на F* определена
операция умножения (•) и обращения (-1).
Если Fo, F\ — два подполя поля F, то через FQF\
обозначим композит этих полей, т. е. наименьшее
подполе поля F, содержащее Fo и F\.
Рассмотрим следующую схему вложенных полей:
^ к ^
Поля L и К назовем линейно разделенными над k
(обозначение: L\\K), если любое семейство S линейно не-
k
зависимых над полем k элементов из поля L остается
линейно независимым и над полем К. Если L и К лн-
нейно разделены над k, то их композит L/C может быть
описан с помощью конструкции тензорного
произведения.
Пусть Fo и F\ — два поля, содержащие поле k; вьь
берем базис Б поля Fo, содержащий единицу 1 поля k,
рассматриваемого как векторное пространство над k.
176 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Пусть Т — семейство всех формальных линейных
комбинаций Y, bi® а.!, ао, аи •••, ап-\ — попарно различные
элементы базиса Б, bt ef J, / < п, оеш;на множестве Т
естественным образом определена структура векторного
пространства над полем Fu Однако на Т можно задать
и операцию умножения (§>: если а, а'е.Б, то в поле ^о
элемент аа' однозначно записывается в виде ?
Ci e k", i<s; a0, • • •, as-i — попарно различные
элементы базиса Б; полагаем тогда A ® а) ® A ® а')^
^ Y, ct <8> at (е Т) и распространяем эту операцию по ли-
нейности над Fi до коммутативной и ассоциативной
операции <3) на Т, которая задает наГ (вместе со
сложением) структуру кольца; отображение а^-^-а (g) I, eef|,
является изоморфным вложением Fi в Т, а отображение
? Z ® at, где ? с^а, е f 0. с0, ..., cn_i <= **,
по, ..., an-i s Б, есть изоморфизм ^о в Т. Кольцо Т не
будет содержать делителей нуля тогда и только тогда,
когда существуют поле F ~^к и ^-изоморфизмы (т. е.
изоморфизмы, тождественные на k) ф0: /'о —* F и ф1:
Fi-^+F такие, что фо(^оI1ф1 (Л)- Если кольцо Т не со-
k
держит делителей нуля, то Т содержится в поле частных
F(T) этого кольца; в этом случае будем для F(T)
использовать обозначение F0 (g) kF\.
Отметим для дальнейшего, что всегда для полей
k ^ FQ, k ^ Fi существуют некоторое поле F(^k) и
^-изоморфизмы ф0: FQ—*¦ F, фр f]—*¦ F. Это можно
показать, например, так: если ш — максимальный идеал
в Т, то Т/т. — искомое поле, так как образы FQ и Fi
в Т имеют, очевидно, нулевое пересечение с ш.
В дальнейшем нам понадобятся следующие хорошо
известные понятия и факты из теории полей, которые не
будут определяться (доказываться) в этой книге;
сепарабельность (элементов, расширений, многочленов);
связь сепарабельности многочлена f и его формальной
производной (f сепарабелен 4=Ф' f и f взаимно
просты); существование алгебраического (сепарабельного)
§ 2] КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 177
замыкания для любого поля; минимальный многочлен
для алгебраического над F элемента а. Все это можно
найти в любой из следующих книг: [2], [3], [7], [10].
§ 2. Кольца нормирования
Все рассматриваемые ниже кольца будут
ассоциативными, коммутативными и с единицей. Большинство из
них будут целостными кольцами, т. е. такими кольцами
R, что для а, бе/? из а-Ь = 0 следует, что а = 0 или
6 = 0. Если R — целостное кольцо, то существует
наименьшее поле, содержащее кольцо R. Это поле F(R)
называется полем частных кольца R; любой его элемент
можно представить в виде а/b, где а, Ь е R, Ь Ф 0.
Пусть R — подкольцо поля F. Назовем R кольцом
нормирования поля F, если а е R или а-1 е R для
любого Офае F.
Ясно, что если R — кольцо нормирования поля F, то
F есть поле частных кольца R. Целостное кольцо R
будем называть кольцом нормирования, если R есть
.кольцо нормирования поля F(R).
Предложение 1. Если R — кольцо нормирования,
то идеалы этого кольца образуют линейно
упорядоченное множество по включению.
Покажем сначала, что главные идеалы линейно
упорядочены по включению. Пусть а,.6е/?ио/?$ bR.
Покажем, что bR s aR. Для 6 = 0 это очевидно. Пусть
ЬфО; так как a^bR, то a/b?.R, но тогда b/a^R,
be aR и, следовательно, bR s aR.
Пусть /о и /i — произвольные идеалы R и Jo3=Ji.
Тогда существует элемент йе/0\ J\. Пусть b e /i,
тогда a^bR<=J\ и, следовательно, по доказанному
выше b e aR s /о. поэтому У] s /о- ?
Следствие. Всякое кольцо нормирования
является локальным кольцом, т. е. кольцом, имеющим
единственный максимальный идеал.
Действительно, всякое кольцо с единицей обладает
по крайней мере одним максимальным идеалом, но
предложение показывает, это этот максимальный идеал
может быть только один. ?
Максимальный идеал кольца нормирования R будем
обозначать ю(/?). Из локальности кольца R следует,
что R \ Ю(/?) состоит из обратимых элементов.
178 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Фактор-поле R/m(R) называется полем вычетов
локального кольца R; обозначим его FR.
Для локальных колец Ro и Ri будем говорить, что Ri
доминирует Ro, если Ro ^ Ri и для максимальных
идеалов т0 и nti колец Ro и Ri соответственно
справедливо соотношение mi П Ro = т0- Отношение
доминирования будем обозначать так: Ro^Ri.
Заметим, что если Rol=Ri, то для полей вычетов
имеется естественный мономорфизм, который позволяет
считать, что Fr, ^ Fr,.
С каждым кольцом нормирования R поля F можно
связать предпорядок ^r на F, определенный так: для
a,b^Fas^.Rb^(b = 0 или а^Ои b/a e R).
Заметим, что в доказательстве предложения 1 нигде
не использовалось условие, что а или Ъ принадлежит
кольцу R. Поэтому справедливо
Предложение 1'. Если R — кольцо
нормирования поля F, то для любых a, b e F либо aR s bR, либо
bR^aR. ?
Теперь уже легко проверить, что предпорядок ^я
удовлетворяет следующим свойствам: для любых а, Ь.
F
1) a s^Rb
2) а < Rb^ac^ Rbc;
3) a^Rb^a^Ra + b;
4) а ^ Rb или b sg: Ra;
5) R = {a\\ ^Ra}.
Пусть а = Rb означает a ^ Rb и b ^ Ra, a a < Rb
означает a ^ Rb и a Ф Rb\ тогда справедливы свойства:
6) a = Rb =$> ас ^ Rbc;
7) a < Rb =$> a + b = Ra.
Действительно, из а < Rb следует, что b/a^m(R)
и I-\-b/ae R\vx(R), т.е. (a + b) /а обратим в R,
a/ (a + ft)e R, a + b ^ Ra. Обратное неравенство
отмечено выше.
Докажем теперь основную теорему существования
для колец нормирования.
Теорема. Пусть F — поле, R — подкольцо поля F
и р — простой идеал кольца R; тогда существует кольцо
нормирования Ro поля F такое, что т0 Г) R = V, где Шо —
максимальный идеал кольца Ro.
§ 2] КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 179
Рассмотрим семейство S локальных пбдколец R'
поля F таких, что R ^ R' и для максимального идеала
т' кольца R' справедливо т' f| R = V. На семействе S
имеется отношение доминирования с=, частично
упорядочивающее S.
Покажем, что 5 не пусто. Рассмотрим кольцо Rp,
состоящее из всех элементов поля F вида а/b, где
a, b^R и b фу. Проверим, что R9— локальное кольцо
с максимальным идеалом т^})^. То, что m—идеал,
видно из определения. Для доказательства того, что
m — единственный максимальный идеал Rp, достаточно
показать, что R9 \ m состоит из обратимых
элементов. Действительно, если o/Je^Xm, a> b^R, то
а^фи, следовательно, b/ае= Rp. Покажем, что шf|R =
= р._Включение р s ш f| R следует из определения. Пусть
аеиП^, тогда существуют b, c^R такие, что с фу,
бе? и а = Ь/с^ Тогда ас = 6 е= р, но сфу,
следовательно, а^у и mf\R = y. Итак, Rp e 5.
Легко проверить, что <S, ^> — индуктивное
множество. Пусть Ro — максимальный элемент <S, e>-
Покажем, что Ro — кольцо нормирования поля F;
предположим, что это не так, и пусть O^aeF таково, что
a<?Ron a-l<? Ro.
Рассмотрим кольца Ro[a] и i?o[a~M и идеалы Шо[а]
и то[а~'] этих колец, где то — максимальный идеал Ro.
Покажем, что хотя бы один из этих идеалов
собственный, т. е. не совпадает со всем кольцом. Если это не
так, то имеются равенства
1 = 60 + М+ ••• +МГ, Ьещ, /<г, A)
1 = со + с1а-1+ ... +Csa~s, с,<=т0, /<s. B)
Выберем эти соотношения с минимальными г и s и
предположим, что s ^ г. Умножая соотношение B) на brar,
получим
br A - с0) а' = ЬгсхаГ-х + ... + brCjT-. C)
Умножая соотношение A) на A — с0), получим,
применяя C),
1 - со= Ьо(\ ~ со) + h A - со)а + ... + Ьг(\ - со)аг,
1 = (со + bo A — со)) + &i A — с0) а + ...
... + 6Г_, A - со) ar~' + ЬгС1аг-1 + ... + Ьгсл'-°.
180 нормированные поля [гл. 4
Последнее соотношение дает выражение для 1 в Шо[а]
степени (относительно а) меньше г. Это противоречит
минимальности выбора г. Итак, Шо[а] —собственный
идеал R0[a] или то[а~'] — собственный идеал /?о[а—1]•
Пусть ш0[а] — собственный идеал Ro[a] и m* —
максимальный идеал Ro[a], содержащий nto[a]. Пусть
R' ^ Ro [a]m., m' =^= m*R'; тогда R' gS, a Ro = R', но так
как аЕ hI' \ Ro, то получаем противоречие с
максимальностью Ro. D
Применим доказанную теорему для изучения
понятия целых элементов. Пусть Ro ^ Ri — целостные
кольца; бе R\ называется целым над Ro, если он
является корнем унитарного многочлена над Ro, т. е.
многочлена вида хп + ап-\Хп~1 + ... -\-а,\Х-{-ао, а,е^0,
К п.
Лемма 1. Элемент ОФЬ е/?| является целым
над Ro тогда и только тогда, когда 6е^о[*"']К^ №)).
Действительно, если b е ЯоС^], то существуют п > 0
и oq, .... an_i <= Ro такие, что Ь = ап_х + а^гб + • • -
. .. + аоб"^', но тогда Ьа — а„_,6" - ... - а0 = 0 и,
следовательно, Ь целый над Ro.
Наоборот, если Ьп-{¦ ап^фп~1 + ... +ао = О, то Ь =
an-i- ... -aob-^fBRolb-1]. П
Предложение 2. Пусть R s^. F, F — поле; элемент
b ^F является целым над R тогда и только тогда,
когда для любого кольца нормирования R' поля F,
содержащего i?,6e R'.
Пусть b целый над R и R' ^ R — кольцо
нормирования поля F. Тогда b^R' или b~l e R'. Если b e R',
то нечего проверять. Если же b~x^R', то R\b~l\ ^R'
и по лемме 1 b^R[b~l]^R'.
Пусть b — не целый над R элемент, тогда по лемме 1
Ьф.R[Ь-1] и, следовательно, идеал / ^ b-lR[b-l\
кольца /? [6—•] является собственным. Пусть
щ—некоторый максимальный идеал кольца /?[&-'],
содержащий /, а R' — кольцо нормирования поля F такое, что
m,{R')[\R[b-l) = xa,. Тогда Иеи(^') и, следовательно,
Пусть RF *± П {R' I R < R', R' — кольцо
нормирования поля F}. Тогда RF состоит в точности из всех эле-
$ 2] КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 181
ментов F, целых над R. Из этого равенства видно, что
RF есть подкольцо F. RF называется целым замыканием
R в F.
Пусть R — кольцо нормирования поля F, Fo —
алгебраическое расширение поля F. Опишем сейчас все кольца
нормирования поля Fo, которые доминируют R. Это
описание будет использовать конструкцию колец
частных, которая встречалась уже в доказательстве
теоремы: если р — простой идеал целостного кольца R, то
через /?» обозначается подкольцо поля F(R), состоящее
из элементов вида ab~l, a, b<^R, b ф p. R9 называется
кольцом частных кольца R относительно идеала р.
Предложение 3. Пусть R° Ф> RF« — целое
замыкание R в Fo', тогда
• 1) если R' — кольцо нормирования поля Fo, которое
доминирует R, то т0 =?= m(R')[\R° — максимальный идеал
R и R = Апъ>
2) если то — произвольный максимальный идеал R0,
то /?2ц — кольцо нормирования поля Fo,
доминирующее R.
Докажем первое утверждение. Максимальность
идеала то вытекает из предложения 5 (ниже) и того,
что тоП^ = ю(^)—максимальный идеал R. Так как
/?°^/? , to Rma^R ¦ Установим обратное включение.
Пусть 0 ф а е R' и хп + аххп-] + ... + а„ — многочлен
минимальной степени над F, корнем которого является
а. Находим такое / <; п, что ai =?= 0, at ^.R, at для всех
/ < п (а0 =г= 1) и а; <R, at для i < /.
Разделим равенство a^ + aja" + ... +а„ = 0 на
a/a""' и запишем его в виде
+ a" (bI+l + 6/+8а-' + ... + M;-"+l) = 0, (•)
где b^aflj1, /<га; заметим, что по выбору / bt<^R
для всех /<|я. Полагаем fy^btfo.1 + bid~l +.. . + &/_!a+ 1,
y^bj+i + bj+2O,~l +...-(- Ьпа!~п+1; тогда из равенства (*)
можно получить следующие соотношения:
p=_Ycrl, Y = _ap, a-=-vP~l-
182 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ ГГЛ. 4
Покажем теперь, что р, у е R0. Для этого нужно
показать, что р, y <= R Ддя любого кольца
нормирования R^R поля _F0- Если as/), jo Р = йоа' + .._.
. .. + й/_1а+ 1_е/?, так как й2 е/?<!/?, и y= — °Ф е#-
Если же a~lsR,_ro у = Ь!+1 + йу+гсГЧ-.. . + &na1-ft+1&R
и Р= — усГ'е/?. В любом случае Р, \ е R.
Следовательно, р, у е R0.
Покажем теперь, что р ф. т0 = т (/?') П R0.
Действительно, рассмотрим элемент Р*^=Р—1 =60a'+6ia'~1-|-.. .
• •• -\-bj_laeR/. Так как aj<R,ai для К и то й2 =
= aJoj"'e nt(/?') для i<j и, следовательно, p*ent (/?').
Если бы и р е nt (/?'), то и 1 = р — р* s nt (/?'), что
невозможно. Итак, Р^ш (/?'). P^nto и a = —yP~'sR°m.
Следовательно, /?'</?m0 и /?' = /?m0-
Второе утверждение предложения вытекает из
первого. Действительно, пусть R' — произвольное кольцо
нормирования поля Fo, которое доминирует R^, тогда
nt (R') П R° S «УС, П ^° Э ш0; следовательно, nt (#')°П /?° =
= nt0, так как nto — максимальный идеал. По первому
утверждению /?/ = /?°„» следовательно, /^ — кольцо
нормирования. ?
Теперь докажем два утверждения о поведении
простых идеалов при целых расширениях колец. Эти
утверждения известны как теоремы «о подъеме» и «спуске»
простых идеалов.
Пусть Ro^Ri — целостные кольца. Если каждый
элемент из R\ является целым над Ro, то говорят, что
кольцо Ri цело над Ro.
Предложение 4. Пусть R{ цело над Ro и р0 —
простой идеал Ro', тогда существует простой идеал Pi
кольца Ri такой, что Pi П -^о = Ро-
Пусть F =?ъ F (Ri) — поле частных кольца R{. По
теореме существует кольцо нормирования /?' поля F такое,
что /?> Ro и nt (/?') П Ro = р0. Так как /?„</?,</??< /?',
то рх ^ nt (R') Г) Ri — простой идеал кольца R{ и pi fl Ro =
Предложение б. Пусть Ri цело над Ro, p и р' —
простые идеалы R{ такие, что psp' и R 't
тогда р = )/.
§ 2) КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 183
Переходя к фактор-кольцу по р, можно считать, что
р = 0. Пусть ОфЬ&Яи хп + ап_1хп-1+ ... *+ао = О —
уравнение целой зависимости для Ь над Ro (at е=/?0, i <n).
Считая, что п выбрано минимальным, получим, что
по ф 0. Тогда ао е= bRi П Ro и, следовательно, для любого
ненулевого идеала / кольца Ri JГ[RoФO (так как
JO^bRiftRo^JftRo). Поэтому p'ORo = O=>
и }> = }>'. П
В дальнейшем без явных ссылок часто используется
Предложение 6. Пусть R — кольцо
нормирования поля F, Fq — алгебраическое расширение F, а е=
е= Fo — целый над R элемент; тогда унитарный
неприводимый над F многочлен f е= F [х], корнем которого
является а, принадлежит R[x].
Предложение сразу вытекает из следующего
утверждения, имеющего и самостоятельный интерес:
Лемма Гаусса. Если f e R [х] — унитарный
многочлен, f = g-h, где g, fte F[x] — унитарные
многочлены, то g, Л е R [х].
Пусть а — наименьший относительно предпорядка ^R
коэффициент многочлена g, b — наименьший
коэффициент Л, тогда a~'g, b~lh^ R[x] и один из
коэффициентов у a~'g и у b~ h равен единице. Так как а<!Л1,
(ё и h унитарны), то l^Ra~\ b~\ т. е. а,
]. Рассмотрим естественный гомоморфизм ф: R[x]—>
-+R/m[x]; тогда из равенства a~lb~lf = (a~lg)(b~lh)
следует, что ф(а~'б~')ф/ = cp(a~lg)cp(b~lh); по выбору
а и b cp(a~lg)^O и ф(б~'л) ф 0. Кольцо многочленов
над полем ^/ntM без делителей нуля, следовательно,
^(а~1Ь~1)ч>(!)ф0, ф(а~16~')?=0, поэтому a, b~l<=R \m
и а, be=R; g = a(a-lg), h = b(b-lh) e=R[x]. Q
Для иллюстрации опишем все кольца нормирования
поля Q рациональных чисел. Пусть р — простое число,
у ^± pZ — простой идеал кольца Z целых чисел и Zv —
кольцо частных кольца Z относительно простого
идеала у. Тогда Zp— кольцо нормирования поля Q;
действительно, пусть r/s gQ — произвольное рациональное
число в несократимой записи; тогда, если р \ s, то
/r\ -I s
r/s^Zn', если же р \s, то р К г и yj) = — eZ».
184 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Оказывается, что все собственные кольца
нормирования поля Q имеют указанный вид. Пусть R — кольцо
нормирования поля Q и R ф Q; кольцо R содержит
единицу и, следовательно, все кольцо Z целых чисел.
Рассмотрим простой идеал p^±Zf\m(R) кольца Z. Так
как Z — кольцо главных идеалов, то существует
натуральное число га^О такое, что p — nZ; пфО, так как
в противном случае все ненулевые элементы Z
обратимы в R и тогда R — Q. Так как р — простой идеал,
то п должно быть простым числом р, т. е. p = pZ.
Если s — натуральное число, не делящееся на р, то
s^j)?i(i?); таким образом, s~l^R и R^Z$.
Покажем, что R = Z*; пусть ^- е R; r, s e Z, s > 0 и г, s
S
S
взаимно просты. Если р не делит s, то — е Z«; пред-
S
положим теперь, что р \ s и s = pso\ умножив на So,
имеем Sq(—)— — ^R; так как р -f r, то существуют
\ S / р
целые и и v такие, что иг + vp = 1; тогда
т. е. р обратим в R, что невозможно, так как рЕ()
В заключение параграфа докажем одну теоретико-
кольцевую лемму, которая понадобится в дальнейшем.
Лемма 2. Пусть р0, . • •, % — простые идеалы
кольца R. Если J — идеал кольца R и /г (J pt, то сущест-
1<
вует такое /о ^ п, что J s pit.
Доказывать будем индукцией по п. Для п = 0
доказывать нечего. Пусть для п = k лемма справедлива,
и пусть /s U р{.
Случай 1. Существует такое /<|А:+1> что J()PiS
Е U Pi- Тогда из /г U Pi следует, что
/- U (/П*>|), /s U ('ПР/)и U Р/= U *»/•
Kk+l l+l i+l !Ф1
Применяя индукционное предположение, получаем то,
что нужно.
3] РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА И КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 185
Случай 2. /|1>*S= U Pi Для любого i^.k+ 1. Для
каждого /<?+1 выберем а, е GП1>*) \( U Pi) и Pa<>
ft+i Ф
смотрим элемент а^=ао+ Па/е^- Так как /S U Pi,
то ае|)(( для некоторого to^?-f-l. Если го = О, то
ft+i
DEjig и a — ao — T\at^po, так как а0ер0. Так как
/-1
Ро —простой идеал, то для некоторого /, 0 < ]^.k+ 1,
а/ е J>ff, но это противоречит выбору a/ (a.j ф. U |>< Э р<Д.
п+1
Если /0 > 0, то Оо = а — Ц ау е |>io и, как и выше,
приходим к противоречию с выбором а0. Случай 2
невозможен. ?
Следствие. Если Jo, • • •, Ря, п > 0, — попарно не
содержащие друг друга простые идеалы кольца R, то
п
существует элемент xo^(R\ p0) f) П Pi-
i=i
По лемме и условию, pt g= U Pi Для любого i^n.
i+t
Пусть atepi\ U p], i^n. Полагаем xo^ai- ... • а„,
тогда х0 &,Pi для i Ф 0, но х0 ф. р0, так как ах, ...,апфр0
и |>0 — простой идеал. ?
§ 3. Расширения Галуа и кольца нормирования
Напомним ряд понятий и результатов, связанных
с теорией Галуа. Нужные доказательства можно найти
в любой из книг [3], [7], [10].
Пусть Fo — конечное сепарабельное расширение
поля F, G = Aut(F0/F)—группа всех F-автоморфизмов
поля Fo (т. е. таких автоморфизмов <р поля Fo, что
Ф \ F = idf); тогда следующие свойства поля Fo
эквивалентны:
1. Любой многочлен из F[x], неприводимый над F
и имеющий корень в Fq, разлагается над Fo на
линейные множители.
2. Существует семейство многочленов fi^F[x], /e
е /, неприводимых над F, такое, что Fo порождается
над F всеми корнями многочленов /,, / е /.
186 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ.4
3. Существует унитарный многочлен [Ef|jc],
неприводимый над F, такой, что F0 = F(a0, ..., an-i), где
1<
<
4. Порядок группы G равен степени [Fo: F].
5. {a\aezF0, Уф <= G (щ = a)} = F.
Если выполнено одно из эквивалетных свойств 1—5,
то Fo называется расширением Галуа поля F.
Бесконечное сепарабельное расширение Fo называется
расширением Галуа поля F, если выполнено одно из
эквивалентных свойств 1, 2, 5.
Если Fo—не обязательно сепарабельное
алгебраическое расширение F, то условия 1 и 2 еще эквивалентны
и при выполнении одного из этих условий Fo называется
нормальным расширением. Заметим, что в этом случае,
если Fs и Fi — сепарабельное и чисто несепарабельное
замыкание F в Fo соответственно, то Fs — расширение
Галуа поля F, Fo = Fs®FFt и Aut (Fs/F) = Aut (Fo/F).
Для конечного расширения Галуа имеет место
следующее соответствие Галуа между промежуточными полями
F\ (F s^ Fi ^ Fo) и подгруппами группы G = Aut {Fo/F).
Для промежуточного поля F\ пусть Gf, =^= {ф | ф е G,
Ф \ F\ = idf,}. Для подгруппы G\^G пусть
=^= {а \а е Fo, Уф е Gi{щ = а)}. Тогда для F <Fit
G G^G
2)
3) F°F' = FV GFo^Gv;
4) F\ — расширение Галуа поля F -ф> Gf, —
нормальная подгруппа G; в этом случае AvA(Fi/F)~G/Gf,, а
эпиморфизм G->Aut (FjF) задается отображением фн-»-ф [ Fv\
5) Fu — расширение Галуа F\ и Aut(F0/F\) — GFl;
6) любой F-изоморфизм ф: F\ -> F2 продолжается до
некоторого автоморфизма ty поля Fo.
Для бесконечного расширения Галуа выполняются
свойства 1), 4), 5), 6) и часть свойства 3) (FoFl = F1).
Все условия (т. е. условие 2) и оставшаяся часть
условия 3)) будут выполнены, когда G\, G%—замкнутые
подгруппы группы G, если группу G снабдить структурой
топологической группы, взяв в качестве базисной систе-
§ 3] РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА И КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 187
мы окрестностей единицы подгруппы вида Gf, для
конечных расширений F\ поля F (лежащих, конечно, в Fo}.
Тогда замкнутыми подгруппами группы С? будут в
точности подгруппы вида Gf, для подходящего
промежуточного подполя F\.
Для бесконечного расширения Галуа для любой
подгруппы G\^ G группа Gpa, есть замыкание группы G\
в определенной выше топологии. Если G\ — замыкание
Gi, то ф е G\ тогда и только тогда, когда для любого
конечного промежуточного расширения F\ поля F
существует г|) е Gi такой, что q> \ F\ = г|) [ F\.
Пусть Fo — расширение Галуа поля F, R — кольцо
нормирования поля F.
Предложение 1. Если Ro и Ri — кольца
нормирования поля Fo, доминирующие R, то существует F-ae-
томорфизм ф поля Fo такой, что ф/?0 = Ri-
Рассмотрим сначала случай, когда Fo — конечное
расширение Галуа поля F степени п+1. Пусть С? =
= Aut(Fo/F) = {фо= 1,ф1, ••-, фл}, R* — целое
замыкание кольца R в Fq; ясно, что ф,7?* = R* для любого
Ф/ей. Пусть то — произвольный максимальный идеал
кольца R*; полагаем mi ^= фДОо, i = 1, ..., п. Ясно, что
все mi, i ^ п, являются максимальными идеалами R*.
Покажем, что семейством то, ..., шп исчерпывается все
множество максимальных идеалов. Предположим
противное, и пусть m — произвольный максимальный идеал
R*. Пусть Хо — произвольный элемент т. Рассмотрим по\>-
му этого элементаN(xo) = NF,F(xo)= П Фг*о- Так как
х0 е tn, то Nx0 e tn f) R = ш0 П R. Следовательно,
Ц ф^оешо и ф/ЛГоето для некоторого j^.n; поэтому для
/ такого, что ф^ = ф^, имеем лг0 = ФгФ/Аг0 е (fivXo=mi.
Следовательно, nts U m(-. По лемме 2 предыдущего параг-
рафа т s т(- для некоторого i^n. Из максимальности
Ш тогда следует, что ш^от^.
По предложению 3 предыдущего параграфа тогда
(не уменьшая .общности) можно считать, что /?0 = #*
и/?! = /?*„,. Так какфМ — т, и q>lR* = R*, то цц (R* \mo) =
= Я.*\Щ, следовательно, для ab~l е /?*,0(а, бе/?*,
188 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
имеем q>i
Обратимся теперь к случаю бесконечного
расширения Fo. Рассмотрим семейство S F-автоморфизмов q>
промежуточных полей таких, что если F\ = бф —
область определения ф, то <f(Rof\Fi) = R\ [\Fy.
Семейство S частично упорядочено отношением s= (q> s if ^s
=^ бф s бг|) и if f бф = ф). Непосредственная проверка
показывает, что семейство (S, S> индуктивно. Пусть
ф0е5 — некоторый максимальный элемент
(существующий по лемме Цорна) этого частично упорядоченного
множества и F|^ бф0. Если Fi = Fo, то ф0/?о = R\
и предложение доказано. Предположим, что F\ Ф Fo;
тогда Fo — расширение Галуа F\ и пусть F2 — некоторое
собственное конечное расширение Fu содержащееся
в Fo и такое, что F2 — расширение Галуа поля F.
Выбрать такое поле F2 можно, например, так: пусть а —
произвольный элемент из Fq\ Fi и /eF[x] —
унитарный многочлен, неприводимый над F, корнем которого
является а; пусть а0 = а, аь ..., а* — все корни
многочлена / (лежащие в Fo), тогда F2^Fi(cco, .... а*)
будет нужным расширением. Пусть if — некоторый
/•"-автоморфизм Fi такой, что -ф Г Fi = ф0. Пусть
Rb^y(RotiF2) и R\^Rif\F2. Тогда #'о и #{-два
кольца нормирования поля F2, доминирующие кольцо
нормирования R1^Rif]Fi поля Fy (так как /?оП^1 =
=ч|>(/?оЛ/::11)=фо(/?оП/:11) =/?i Л Fi). Тогда по
доказанному выше ([F2:Fi]<co) существует Fi-автоморфизм ifi
поля F2 такой, чтоif^ = R'r Если положим ^i^=ifiif, то ф1
есть F-автоморфизм поля F2 и ф] (Ro П F2) = ifiif (Ro f| F2) =
= 'Ф^о = ^i = ^iПF2. Следовательно, f,eS и, как
легко видеть, ф0 Е Фь но бф] = F2 есть собственное
расширение 6фо = А. Получили противоречие с
максимальностью фо- Итак, бфо = Fo и фо&о = /?i. D
Пусть R — кольцо нормирования поля F, Fo —
расширение Галуа поля F, C = Aut(F0/F1) и Ro —
некоторое кольцо нормирования поля Fo,
доминирующее R.
Группой разложения кольца Ro назовем подгруппу
Gz группы G, определенную так: Gz ^ {ф|ф? G, ф/?о =
R}
§ 3] РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА И КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 189
Пусть Fz=^FqZ, поле Fz назовем полем разложения
кольца Ro. Поле Fz характеризуется с помощью
следующего важного понятия: для произвольного поля F\
(F s^ F\ ^ Fo) будем говорить, что F\ обладает
свойством единственности продолжения, если Ro есть
единственное кольцо нормирования поля Fo, которое
доминирует кольцо Ri =^= Rot\Fu
Предложение 2. Поле разложения Fz является
наименьшим (по включению) среди полей со
свойством единственности продолжения.
Пусть F\ — произвольное промежуточное поле, тогда
по предыдущему предложению все кольца
нормирования, продолжающие R\ = R0[\F\, имеют вид <pR0 для
подходящего /^-автоморфизма <р поля Fo. Если F\
обладает свойством единственности, то <р/?0 = Ro для всех
/^-автоморфизмов ф; следовательно, A\it(Fo/F\)^ Gz =
= {Ф | Ф е= Aut (Fo/F), Ф/?о = Ro} иF, = F™W»)> F°z=
= FZ.
Остается только заметить, что само поле Fz обладает
свойством единственности, но это сразу будет следовать
из того, что Gz = Aut (F0/Fz), и предыдущих
рассмотрений. Равенство Gz = Aut(Fo/Fz) означает просто
замкнутость группы Gz- Проверим это, пользуясь указанным
выше критерием принадлежности автоморфизма ф
замыканию группы Gz- Итак, предположим, что ф <=
е5г\ Gz. Тогда ф/?0ф Ro', пусть ае^0 таков, что
фос ^ /?о- Если Fi^F(a), то Fx — конечное
промежуточное расширение поля F; следовательно, существует
ifeGz такой, что (f\Fi = ф \ Fi\ тогда фа = фа е Ro,
так как ф^0 = Ro и а е Ro. Получили противоречие
с выбором а. Итак, Gz = Gz, Gz = Aut(F0/Fz) и по
предыдущему предложению Ro — единственное кольцо
нормирования, доминирующее Ro(]Fz- D
Пусть снова Fo—расширение Галуа поля F, Ro —
кольцо нормирования поля Fo, которое доминирует
кольцо нормирования R поля F, Gz — группа
разложения Ro, Fz — поле разложения Ro и Rz ^ Ro П Fz\ R с:
^Rz ^Ro- Посмотрим теперь, как ведут себя поля
вычетов колец нормирований R, Rz и Ro, которые обозначим
здесь соответственно Р, Fz и Fo. Образ элемента ае/?о
190 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
в Fo будем обозначать а. Будем считать, что F ^
^ Fz < Fo.
Предложение 3. F = FZ, т. е. поля вычетов
колец нормирований R и Rz совпадают при естественном
вложении F в Fz.
Рассмотрим сначала случай, когда Fo— конечное
расширение F. Пусть R*—целое замыкание кольца R
в Fo, и пусть ю'^/?*Пю(/?о); тогда, как уже известно,
Ro = /?*,'. Пусть R* ^ R* П Fz — целое замыкание R в Fz
и то ^ ю' П К* = ю (Ro) Л К*\ Щ — максимальный идеал
R и Rz = Rm ¦ Если ш" — максимальный идеал R*,
отличный от ю', то ю" П К* Ф ю'П К*', действительно, в
противном случае кольцо нормирования Rm« также
доминировало бы кольцо Rz, что невозможно по свойству
единственности (предложение 2).
Пусть щ, ти ..., mk — все различные максимальные
идеалы_ кольца R*, и пусть | — произвольный элемент
поля Fz = Rz/m(Rz). Тогда найдется элемент а е R
k
такой, что а = | и a s П т,. Действительно, из равен-
ства Rz = R'm> сразу следует, что Rzl^iRz) можно
отождествить с ЕС1щ. По следствию леммы 2 предыдущего
параграфа существует элемент р е (R*/ma) (] П т,-, тогда
р=т^О и существует a's^* такой, что а'р = |;
следовательно, a^a'p и удовлетворяет сформулированным
выше условиям. Пусть ao = a, щ, ..., as — все
различные сопряженные с а элементы поля Fo (т. е. элементы
вида фа, ф е G). Проверим, что аг е т' для / = 1, ..., s.
Действительно, at = фа для некоторого феб; так как
os^'eFz и a^a (/^=0!), то ф ф. Gz; следовательно,
Ф ф. Gz, ф~' (т')Фт' и ф~' (m') f) R* = Щ для некоторого
/ > 0, } < k. Так как osra(s ф (т'), то at = фа ез
в
ефЫЕга'. Пусть а*=^?а*> тогда фа* = а* для лю-
1-0
бого фебн, следовательно, а"&F f\R* = R; кроме того,
a*==Xaf = a+ Zlai = I + 0 — !• Итак, произвольный
i-0 J-1
§ 3) РАСШИРЕНИЯ ГАЛУА И КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ 191
элемент l^Fz есть образ элемента из R,r
следовательно FZ = F.
Прежде чем рассматривать случай бесконечного
расширения, докажем лемму, имеющую и самостоятельный
интерес.
Лемма. Пусть F <: F\ <: Fo; Fo и F\ — расширения
Галуа поля F, RzzRiEzRo— кольца нормирований
полей F, F\ и Fo соответственно. Если F% — поле
разложения кольца нормирования Ro, Fz — поле разложения
кольца нормирования R], то Fzf\ F\ = Fz-
Пусть Gz — группа разложения кольца
нормирования Ro, a Gz — группа разложения кольца
нормирования R]. Пусть (peGz, т. е. q>Ro=Ro, тогда ф/?1=ф (Rof\F\)=
= q>Ro П q>F\ = Ro П Л; следовательно, ф \ Fi е Gz- Таким
образом, отображение фь-^ф^/7] есть гомоморфизм
группы Gz в Gz. Покажем, что это отображение есть
эпиморфизм. Пусть ф — .Р-автоморфизм поля /^ такой,
что <р/?1 = /?1. Так как Fo и Fi — расширения Галуа
поля F, то существует некоторый F-автоморфизм 1|>
поля Fo такой, что -ф \ Fi = q>. Рассмотрим кольцо
нормирования i|)i?0; так как i|) \ Fi = ф, то i|)i?0 П Л =
= фЯ0 П ФЛ = ¦* {Ro П Л) = Ф (Ro П Л) = Ф#1 == R\;
следовательно, Ro П Fi = i|)i?o (]Fi = Ru Очевидно, что Ro Э /?ь
•ф/?5 — R\ и i|)i?0 — кольцо нормирования поля Fo. По
предложению I (с заменой F на F\) существует ^рав-
томорфизм % поля Fo такой, что ?i|>^o = Ro) так как ? —
/^-автоморфизм, то ?ф f ^i = 'Ф \ Р\ = Ф- Итак, ?ty^Gz,
a ?i|) \ F\ = ф; следовательно, отображение фь-»-ф ^ Z7*!
есть эпиморфизм Gz на Gz. Отсюда следует цепочка
эквивалентностей: а е Fz<=>a e Fi и Уф ^ Gz (ера = а)
Уф (р
и Уф s Gz (фа = а)-Ф=^ а s^Pi и ae/^z.
Следовательно, Fz = Fz{)Fl П
Обратимся теперь к рассмотрению случая
бесконечного расширения Галуа. Пусть % е Fz и aei?z таков,
что а = |. Пусть f s F М — унитарный неприводимый
над F многочлен, корнем которого является а; пусть
а0, аь ..., а„_, — все корни этого многочлена (лежащие
в Fo); тогда полагаем F\^=F(a0, ab ..., an_i). Очевидно,
192 нормированные поля [гл. 1
Fi — конечное расширение Галуа поля F. Используя
лемму и ее обозначения, получаем, что Fz Л F\=F% П ^1 =
= Fxz и, следовательно, имеют место включения F ^
<Flz^Fz. Так как a&RzuFi<Fz^F\<Fz, то а =
= 5efi Но так как Fi — конечное расширение Галуа,
то по доказанному выше F = F\ и ^eF. Поскольку
%^FZ было произвольным, то F=-Fz. ?
Определим теперь некоторый гомоморфизм из Gz
в _Aut (FJFZ). Пусть <р е= Qz, а е= Ro', полагаем__ф (а) ч±=
^ фа (так как q>Ro = Ro, то фа s RQ и запись фа имеет
смысл). Если а, о'е/?0 и а = а', то это означает,
чтоо-о'еш(Ro); фт(Ro) = m(RoY, поэтому фа — фа' =
= Ф (а — а') s m (Ro) и, следовательно, фа = фа'. Таким
образом, показано, что указанное выше _определение
задает корректное отображение ф: FQ—>-FQ. Из того,
что ф — автоморфизм и Gz — группа, легко вытекает,
что ф —автоморфизм поля Fo, очевидно тождественный
на F. Таким образом, задано отображение фь-*-ф
группы Qz в Aut{Fo/Fz). Из определения ясно, что это
отображение есть гомоморфизм.
Предложение 4. Поле Fo является нормальным
расширением поля Fz, а гомоморфизм ф(—>ф группы Gz
в Aut(F0/Fz) является эпиморфизмом.
Пусть f — унитарный неприводимый над Fz
многочлен от * с коэффициентами из Rz (т. е. f^Rz [x]).
Если / имеет корень а в Fo, то / разлагается над Fo на
линейные множители: /= Ц (я — at), так как Fo — рас-
ширение Галуа поля Fz- Заметим еще, что в этом
случае для любого ф е= Gz Ф<х = «г для некоторого i > k
и, наоборот, для любого i < k существует ф е= Gz такой,
что at = фа. Действительно, это следует из того, что а
и а.1 сопряжены над Fz как корни одного и того же
неприводимого над Fz многочлена, и того, что Gz =
AtF/F
Пусть теперь |е= Fo, aaeft таков, что a = |. Если
/ — унитарный многочлен минимальной степени над Fz,
корнем которого является а, то f = Ц (я — а,)(а = а0),
Ц
§ 4] ГЕНЗЕЛЕВЫ КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ. ГЕНЗЕЛИЗАЦИЯ 193
а, е /?о, i < k и f e /?z [дс]. Если gj- унитарный
многочлен минимальной степени над Fz, корнем' которого
является |, то g делит f <= Fz [x] (f получается из f
редукцией а*-* а всех коэффициентов многочлена /).
Но f разлагается над Fo на линейные_ множители
П (х — at); поэтому и g разлагается над Fo на линей-
_
ные множители. Следовательно, Fo — нормальное
расширение Fz. Отмеченные в первом пункте
доказательства свойства разложения многочлена / показывают,
что для любого корня |' многочлена g существует Fz-
автоморфизм г|> поля FQ вида ф, фе Gz, такой, что
|' = г|з|. Отсюда сразу следует, что образ Gz в Aut(Fo/Fz)
всюду плотен. Рутинная проверка показывает, что
образ Gz есть все Aut (F0/Fz). П
Замечание 1. Если пользоваться топологическими
свойствами групп, то последнее утверждение сразу следует из того, что
Gz — компактная группа, а гомоморфизм <р i—> ф непрерывен.
Замечание 2. Ядро гомоморфизма ф i—, ф, т. е. подгруппа
Gt всех автоморфизмов феСг таких, что ф = idji называется
группой инерции кольца Ro; существует другая характеризация
этой группы: для <р из k\xi{F0/Fz)
§ 4. Гензелевы кольца нормирования. Гензелизация
Кольцо нормирования R поля F называется гензе-
левым, если для любого сепарабельного алгебраического
расширения Fo поля F имеется единственное кольцо
нормирования /?о поля Fo. которое доминирует кольцо R.
Предложение 1. Для кольца нормирования R
поля F следующие условия эквивалентны:
1. Кольцо R является гензелевым.
2. Для любого расширения Галуа Fo поля F целое
замыкание R* кольца R в Fo является кольцом
нормирования.
3. Если f e R \х] — унитарный многочлен без
кратных корней такой, что J^F[x] (f — образ f при
переходе к полю вычетов) разлагается в произведение
g-H взаимно простых унитарных многочленов над F, то
194 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
существуют унитарные многочлены g, Asi?[л:] такие,
что f = g-h, g = g uh — h.
4. Если f e R [х] — унитарный многочлен без кратных
корней такой, что f e F[x] имеет в F простой корень g,
¦то f имеет в R такой корень а, что а = |.
1 =ф 2. Предположим, что R* не является кольцом
нормирования для некоторого расширения Галуа Fo
поля F. Из результатов § 2 известно, что любое кольцо
нормирования Ro поля Fo, которое доминирует R, имеет
вид Ят.где т—некоторый максимальный идеал кольца
R*. Кольцо R* не может быть локальным, так как в
противном случае существует единственный максимальный
идеал m и тогда R*m = R*. Следовательно, R* имеет по
крайней мере два различных максимальных идеала то
и mi. Тогда Rm, и /?„, — различные кольца
нормирования поля Fo, которые доминируют R. Следовательно, R
не является гензелевым.
2=*-3. Пусть Fo — поле разложения многочлена f,
т. е. Fo получается присоединением всех корней
многочлена f; F0 = F(a0 afe_i), f = Ц (x — a(). Так как
i<k
f без кратных корней, то Fo — расширение Галуа поля F.
Так как R* — целое замыкание R в Fo — является
кольцом нормирования, то R* — единственное кольцо
нормирования поля Fo, доминирующее R, и F совпадает
с полем разложения для R*, FZ = F, GZ = G = Aut (Fo/F).
Все корни многочлена f принадлежат R*, следовательно,
f = Ц (х — а(). Пусть A s {0 k — 1} — множество
_
индексов такое, что |(а() = 0«-1'еЛ; тогда для S^=
^ {0, ..., k — 1} ( A h (щ) = 0 ф=^ I e В, так как g, h
взаимно просты. Пусть g=TL(x — щ), h ^= П (х — щ).
Любой автоморфизм феб индуцирует перестановку
корней многочлена f и, кроме того, <р ^G = GZ
индуцирует автоморфизм_ф поля Fo над F. Так как g, h e
s F [х], то любой F-автоморфизм поля Fo переводит
корни g(h) в корни g (h). Следовательно, для любого ф,
если /е^д фа( = а/, то / е Л, так как g(a,) = 0 =ф- ф^ (а() =
= 0 =*¦ § (фа,) = g (а/) = 0. Аналогично, если ('еВифа,=
= а/, то / s Б. Отсюда для любого ф е О = Oz имеем
§ 4] ГЕНЗЕЛЕВЫ КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ. ГЕНЗЕЛИЗАЦИЯ 195
q>g = П (х — щ{) = П {х — at) = g и <рЛ = h. Следова-
гельно, g, h s F [x] П R* [x] = R [x] и, очевидно, f = gh,
g — g и Л = й.
3 =Ф> 4. Очевидно, так как условие 4 есть частный
случай условия 3.
4ф1. Предположим противное. Пусть кольцо
нормирования R не является гензелевым, но удовлетворяет
условию 4. Так как кольцо R не гензелево, то существует
такое сепарабельное алгебраическое расширение Fo
поля F, что Fo содержит более одного кольца
нормирования поля Fo, доминирующего R. Не уменьшая
общности, можно считать, что Fo—конечное расширение
Галуа поля F. Итак, пусть Fo — конечное расширение
Галуа поля F, G = Aut (Fo/F), Ro — кольцо
нормирования поля Fo, доминирующее R, и имеется по крайней
мере еще одно кольцо нормирования поля Fo,
доминирующее R и -отличное от Ro. Пусть Gz — группа
разложения кольца Ro, Fz — поле разложения. Заметим, что
из сформулированных выше условий вытекает, что
Fz Ф F. Пусть 7?* —целое замыкание Я в F0) К* — целое
замыкание R в Fz. Пусть Шо^ т(У?0)П #*, Юь ..., т* —
все различные максимальные идеалы кольца R*. Из
неравенства F ф Fz вытекает, что k > 0, т. е. К* не
является локальным кольцом. Пользуясь следствием
леммы 2 § 2, выберем элемент а, принадлежащий множе-
k
ству (R* \ ш0) П П Щ- Так как т' Л R = го (Я) для всех
i^ k, то a^R и oc^F, т. е. F(a) — собственное
расширение F. Пусть f^F[x] — неприводимый унитарный
многочлен над F, корнем которого является а; так как а
цело над R, то f e R [х]. Так как f имеет корень а
в Fz ^ Fo, то f разлагается над Fo на линейные
множители, / = П (дс — а,), ао =^= а. Fo — сепарабельное расши-
рение F, поэтому ос0 Ф <*t Для 0 < i < s. Пусть 0 < i < s
и фбC—F-автоморфизм поля Fo, переводящий а в at
(<ра = а,). Пусть т' =^= т(#0)Г)Я*; так как <р#* = R*, то
существует максимальный идеал lit" кольца 7?* такой,
что <рт" = т'. Заметим, что ш" ф ш'. Действительно,
если га." = т', то фш' = фю" = т' и, следовательно,
<Fflm' = #m'; но Rm' — Ro и тогда ф s Gz\ фа = а, так
196 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
как aeF2 = F^z. Поскольку фа = а,- Ф а, то т" Ф т'.
Пусть т"П^*==Ш/ для некоторого \^k\ так как
т' П й* = ю0 и ш' ф ш", то, как отмечено' в начале
доказательства предложения 3 § 3, то Ф tfy; следовательно,
к
j > 0. Так как a e f"| m,, то ae at/ Sm" и a, = фа е
бф|" = 1'?и(/?о). Поэтому ct, =0 и редукция
многочлена f дает разложение / = (*— а) л*-' в Fo[*]- Так
как ае^*\Шо, то а =^ 0 и aeFz, но по
предложению 3 § 3 Fz = F. Следовательно, унитарный многочлен
f^R[x] сепарабелен и неприводим над F и его
редукция / имеет простой корень aeF, тогда по свойству 4
многочлен f должен иметь корень в F. Так как степень f
больше единицы (a^F), то получаем противоречие. D
Следствие. Пусть гензелево кольцо нормирования
R содержится в некотором поле Fi, Fo — подполе F\ и
Fo сепарабельно замкнуто в F\\ тогда кольцо. RU^R[\
П Fo является гензелевым.
Сразу вытекает из условия 4. D
Замечание. В условии 4 можно опустить
требование отсутствия кратных корней у многочлена f, т. е.
условие 4 эквивалентно условию:
5. Если f e R [х\ — унитарный многочлен такой, что
feF[x] имеет в F простой корень \, то f имеет в R
такой корень а, что a = |.
Очевидно, 5^Ф4. Пусть f и | таковы, как в
условии 5, тогда ? (!)=7^0, следовательно, ]' Ф 0 и f ф О
(так как f=J). Пусть g — унитарный многочлен,
являющийся наибольшим общим делителем / и f, тогда
/о ^ f/g и | удовлетворяют предположениям
условия 4. D
Гензелизацией кольца нормирования R назовем
такое гензелево кольцо нормирования Rh, доминирующее
R{R^Rh), что для любого гензелева кольца
нормирования Ri, доминирующего R, существует /^-изоморфизм
R" в #,.
Предложение 2. Для любого кольца
нормирования R существует его гензелизация, определенная
однозначно с точностью до R-изоморфизма.
Пусть f—поле частных кольца R, Fo — сепарабель-
ное замыкание поля F, Ro — кольцо нормирования
§ 4] ГЕНЗЕЛЕВЫ* КОЛЬЦА НОРМИРОВАНИЯ. ГЕНЗЕЛИЗАЦИЯ 197
поля f0, доминирующее R, Gz — группа разложения Ro,
Fz — поле разложения Ro. Полагаем Rh ^ Rof\ Fz, тогда
R4=Rh, RH — кольцо нормирования поля Fz. Проверим,
что RH — гензелизация R. Любое сепарабельное
алгебраическое расширение F] поля Fz можно считать
вложенным в f0. так как FQ является сепарабельным
замыканием и поля Fz- Итак, пусть Fz s^ f1 ^ fo, no
свойству поля Fz (предложение 2 предыдущего
параграфа) #о является единственным кольцом
нормирования поля f0, которое доминирует Rh = Rz- Отсюда
следует, что R] ^ Rof] F, является единственным кольцом
нормирования поля f ь которое доминирует Rh.
Действительно, если R'\=?R\ — другое кольцо нормирования
поля Fь доминирующее R'1, то существует кольцо
нормирования R'n поля f0, доминирующее R\. Тогда #6=!#А
и должно быть Ra*=R'o, но Rof\Fl=R^R'i = R'of\Fu
Итак, Rh — гензелево кольцо нормирования.
Пусть R\ — гензелево кольцо нормирования и R\ Э/?;
F\ — поле частных кольца /?ь F^ — сепарабельное
замыкание поля f 1. Так как f <; f i, то можно считать, что
f о ^ f 2- Пусть #2 — (единственное) кольцо
нормирования поля f2, которое доминирует ^i, и пусть
R'o^RuUFq. Тогда #о — кольцо нормирования поля f0,
доминирующее R; следовательно, существует
^автоморфизм ф поля f0 такой, что ф#0 = #о- Проверим, что
q>Rh <; Ri. Так как ф — f-автоморфизм поля f0 и
ф/?о = #о, т0 yFz есть поле разложения кольца R'Q и
Ф#А = ./?оПч^?- Поэтому для установления включения
достаточно показать, что #о является единственным
кольцом нормирования fo, которое доминирует fli^flifl
П f о — кольцо нормирования поля f i =^= f i П f о- Но f 0
сепарабельно замкнуто и по следствию предыдущего
предложения R\ — гензелево кольцо, поэтому f{ — поле
со свойством единственности (относительно R'o) и,
следовательно, фf z < F'u ф#А = R'o Г) <pf z < #i = Ro П К Если
Ф =^= ф \ Rh, то ф есть /^-изоморфное вложение RH в Rt.
Итак, RH з 'R — гензелизация кольца R.
Пусть R'з R — какая-нибудь гензелизация R, тогда
по определению существует ^-изоморфное вложение i|/
198 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ 1ГЛ, 4
кольца R' в Rh. ф' индуцирует изоморфное отображение
ф' поля частных F кольца R' в поле частных Fz кольца
Rh. Так как Fz— сепарабельное алгебраическое
расширение поля F = F(R), то и F' должно быть сепарабель-
ным расширением F. Аналогично, существует
изоморфное вложение \|) кольца Rh в R' и соответствующее
/•¦-вложение ф поля Fz в Р'. Заметим теперь, что на
самом деле ф и ф' должны быть изоморфизмами полей
F' и Fz, и, следовательно, \|) и г|/—изоморфизмы
(^-изоморфизмы) колец R' и Rh. Для установления
этого докажем вспомогательную лемму.
Лемма. Пусть Fo — алгебраическое расширение
поля F и ф — F-изоморфизм поля Fo в себя; тогда ф —
автоморфизм поля Fq.
Достаточно установить, что (pF0 = Fo. Пусть а е
^F0\F и / — неприводимый над F многочлен из F[x],
корнем которого является а. Пусть ао = а, аь ...
..., otfe—1 — все различные корни многочлена /,
лежащие в Fo', тогда, для любого а,-, фа,- есть также корень f,
так как ф — /•'-автоморфизм и 0 = ф/(а<) = /(фа,).
Следовательно, ф({а0, ..., a*-i})S (а0, ..., a*_i}. Таккак
ф —изоморфизм, то ф({а0, ..., ak-\})= {а0, ..., a*_i}
и, следовательно, a = ao е ф^о. П
По лемме ф'ф есть автоморфизм поля Fz, а фф' —
автоморфизм поля /•". Отсюда и следует, что ф есть
^-изоморфизм Fz на F' и ty — /?-изоморфизм Rh на R'. ?
Следствие. Если RH^R — гензелизация R, то
поля вычетов Rhlm.(Rh), Rlw.(R) соответственно колец
нормирований Rh и R совпадают (при естественном
вложении R/ш. (R) < Rhjm. (Rh)).
Это вытекает из явного описания гензелизации,
данного в предложении 2, и предложения 3 предыдущего
параграфа. ?
В § 2 с каждым кольцом нормирования R поля F
был связан некоторый предпорядок ^я на F. Если
R^R', F'—поле частных R', то из определений легко
видеть, что существует естественное изоморфное
вложение (F/=r^r) в {F'I^r, <*'). В § 6 будет
показано, что если R' = Rh, F' — Fh = F(RH), то это
вложение есть изоморфизм этих линейно упорядоченных
Множеств,
$ б] НОРМИРОВАНИЯ 199
§ 5. Нормирования
В этом параграфе будет введено понятие
нормирования поля. По существу, это просто другой язык для
изучения колец нормирований поля.
Пусть Г — линейно упорядоченная абелева группа
с порядком ^, записываемая мультипликативно; через
Г° будем обозначать линейно упорядоченную
полугруппу, которая получается из Г внешним присоединением
нуля 0 (т. е. Г°=^Ги{0}, 0<=Ё=Г, а-0 = 0-а = 0 для
всех йеГ) так, что а ^ 0 для всех а е Г°.
Нормированием поля F (с группой нормирования Г)
назовем всякое отображение v поля F на Г°,
удовлетворяющее условиям: для всех a, b eF
1) v(ab)=v(a)v(b);
2) v(a-\-b)^ m'm{va,vb}.
Нормирования v0: F-+To, V\: F->TOi поля F назовем
эквивалентными, если существует такой изоморфизм <р:
Го->Г1 линейно упорядоченных групп Го и Гь что для
любого a^F (f°voa = via, где <р° — естественное
продолжение ф до изоморфизма Го и Г? (ф°@)=^0).
Предложение 1. Пусть v0: F-+TI и V\: /•"->¦ Г? —
F R{ \ F ^ 1}
р у
два нормирования поля F, RVi^{a \a eF,
/ = О, 1; тогда
.1) /?Ог — кольцо нормирования поля F, i =0, 1;
2) если R — некоторое кольцо нормирования поля F,
то существует нормирование v: F-+-T0 поля F такое,
что RB = R;
3) нормирования v0 и Vi эквивалентны тогда и
только тогда, когда R0) = ROl.
1. Проверим, что vo(—1)= 1. Действительно,
уоA)=ио((— 1) • (— 1)) = [ио(—1)]2= 1. следовательно,
vQ(—1)= 1, так как Го — группа без кручения. Из этого
следует, что для любого a vo(—a)=vo{—l)vo(a) =
= l-vo(a)= vo(a). Из условий 1) и 2) определения
нормирования и сделанных выше замечаний легко
следует, что /?0о является кольцом. Если a#0ef,
то vo(\) = vo(aa-1) = vo(a)vQ(a-l)=l, и тогда либо
ио(а)^ 1, либо vo(a-1)^ 1, так как vo(a)< I, uo(a-1)<
< 1 =#uo(a)uo(a~1)< 1- Отсюда a ei?O0 или a"'e R03.
Итак, /?в, — кольцо нормирования. Аналогично для RVl.
200 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
2. Пусть R — кольцо нормирования поля F, в § 2
с кольцом R был связан предпорядок ^r на поле F.
Рассмотрим мультипликативную группу F* поля F и
фактор-множество P/=R по отношению
эквивалентности =з=я, связанному с предпорядком j^r. Это
фактормножество F*/=R может быть описано так: пусть
U^ R\m(R)— группа единиц локального кольца R,
тогда F*/=R можно отождествить с фактор-группой
F*/U.
Действительно, если а = «1 для aef, то а, а~х е
еR, следовательно, зеУ; наоборот, если a e U, то
а, а~' е/? и, следовательно, а = «1. Итак, (У = {a|a e
ef,fls Rl}. Пусть a, tef; если a s Rfe, то 1 = л
= R&a~', т. e. fea~' e (У; наоборот, если ba~x е (У, то
I = Rba~x и a ^ Rb. Следовательно, для a, fe e F*
Фактор-группа T = F*/U с порядком,
индуцированным предпорядком ^R, будет, очевидно, линейно
упорядоченной абелевой группой. Определим теперь
нормирование v поля F с группой нормирования Г, полагая
v(a)^ aU для а е Р и я@)^0. Из определения
видно, что a ^ Rb 4=> у (a) ^ v (b) для любых a, ftef,
Свойство у(аб)= у(а)уF) очевидно из определения.
Пусть a, JeP, а ^= —6 (случай a = 0, 6 = 0 или
а——Ь для условия 2) тривиален) и y(a)^ v(b).тогда
а ^ яЬ и по свойству 3 предпорядка sSTr a^Ra + b
и, следовательно, v(a)= min{y(a), v(b)} ^ v(a + 6).
По свойству 5 предпорядка ^R имеем R = {a\a^F,
1 <g Ra} = {a|aef, y(a)^ 1} =/?„-.
3. Пусть ф: Г0-+Г1 — изоморфизм линейно
упорядоченных абелевых групп такой, что ф0Оо = V\. Пусть
а е JRVlJ, тогда vqu ~$s I, »ia = ф°уоа ^ ф°1 = 1 и
a^Rv,, следовательно, RVl^Rv,- Если г|>: Fi -> Го —
изоморфизм, обратный к ф, то, очевидно, 4f°fi = v0
и, следовательно, /?„, ^ /?0o. Поэтому, если v0 и У] —
эквивалентные нормирования, то /?^ = /?„,. Покажем
теперь, что если R = RV и у — нормирование поля F,
построенное в п. 2 доказательства, то о0 и v —
эквивалентные нормирования. Пусть уеГ0 и а е F* таковы,
что voa = у; сопоставим элементу у элемент at/еГ;
проверим корректность этого соответствия: пусть а' е
§ 5] НОРМИРОВАНИЯ 201
еР — другой элемент п voa' = у, тогда »сГ(а'а-1) =
= vo(a')vo(a-1) = y-vo(a)-1 = y-y~' = 1- (Равенство
tH(a-')= vo(a)-x вытекает из соотношений 1 = t>0(l) =
= t>o(aa-')= t)o(a)fo(«~')-) Для установления
равенства aL/ = a'U теперь достаточно установить
эквивалентность b e U <=> vob = 1; действительно, пусть
fteU, тогда b,b~l^R = Rv, Vo(b)^\, t>o (&-') =
= о0F)-'^1; следовательно, Vo(b)^ 1, l^t'o(^)
и tHF)=l; наоборот, если t>0F)=l, то 1HF-') =
= tHF)-' = I = 1 и b, b~l eJRo = R и i»e(/. Итак,
задано корректное отображение ф: Г0->Г = F*/U,
которое, очевидно, является гомоморфизмом. Из
определения видно, что ф — отображение на. Покажем, что ф
есть изоморфизм. Пусть yo < Yi е Го .и ao, ai e F*
таковы, что voao = Yo, voa\ = у\. Покажем, что ao < ru\.
Так как vo(axa~x) = o0a,^оао)~1 --= у^о > 1. то арп* е
^RVi = R и, следовательно, ao^«ai. Если бы а!^да0,
то о^ )
= пцйо^ Doui^Yi- Итак, доказано, что
<=Ф voao^voai; отсюда сразу следует, что ф есть
изоморфизм Го и Г как упорядоченных групп. Из
определения ф видно, что ф°Уо = v; следовательно, v0 и v —
эквивалентные нормирования. Так как отношение
эквивалентности нормирований, очевидно, симметрично и
транзитивно, то из равенства RV) = Rv< вытекает
эквивалентность нормирований i>o и V\. П
Установленное в ходе доказательства предложения
соотношение a^Rvb<=> va< vb для любых a, b^F и
любого нормирования v поля F позволяет написать
следующее соотношение, вытекающее из свойства 7)
отношения =^к, отмеченного в § 2:
Если t>(a)< v(b), то v(a + b)= v(a). О
Индукцией получаем следующее полезное свойство:
Если а0, ..., ak-\ ^ F таковы, что vai ф vaj для
1Ф j<k, то v ( Y, «Л = rnin {v (at) 11 < k). U
Пусть Fo — расширение поля F, v0: Fo —> Г8,
v: F->¦ Г°— нормирования полей Fo и F соответственно.
Будем говорить, что нормирование v0 есть расширение
(или продолжение) нормирования v, если Г ^ Го и
vо \ F = v,
202 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Предложение 1, выражающее «эквивалентность»
языка колец нормирований и языка нормирований,
позволяет сформулировать без доказательства следующее
следствие основной теоремы § 2:
Предложение 2. Если Fo — расширение поля F,
v: F -*• Г° — некоторое нормирование поля F, то
существует нормирование v0 поля Fo, продолжающее v. О
Для обозначения того, что v: F—*T° есть
нормирование поля F (с группой нормирования v), будем
использовать выражение (F, v, Г>. Запись (F, v, Г> = (Fо, v0, Го>
будет обозначать, что F ^ F0 и нормирование v0 есть
продолжение нормирования v (в частности, что Г ^ Го).
Тройку (F, v, Г> будем называть нормированным полем;
так как кольца нормирований характеризуют целый
класс эквивалентных нормирований, то часто
нормированным полем будем называть и пару <f,/?>, где R—
кольцо нормирования поля F.
Если /" — подполе поля ^0, fo-' Fo-*Го—
нормирование поля Fo, то, полагая Г^ vo{F*), v ^ v0 \ F,
получаем, что v: F-*-T° есть нормирование поля F и
<Л v, Г> s (Fo, vo, Го>.
Легко проверить, исходя из определений, что из
(F, v, r>S<f0, fo, Го> следует /?0Е/?»„. Здесь (и далее)
Rv(RVo) используется для обозначения кольца
нормирования, связанного с нормированием v (v0) (короче,
кольца нормирования v {vo)).
Поле вычетов кольца нормирования Rv будем
обозначать через Fv.
Пусть (F, v, Г> S (Fо, Vo, Го>; если Г = Го, то будем
говорить, что t»o — неразвет в ленное расширение v; если
еще и Fv = FVa (заметим, что имеется естественное
вложение Fv^.FVt, так как Rv E/?»,), то v0 назовем
непосредственным расширением v.
Пусть v: F-*-T° — нормирование поля F, Fo —
конечное алгебраическое расширение F, n = [F0:F] —
степень расширения. Нормирование v имеет по крайней
мере одно продолжение до нормирования Vq: ро-+у1
поля Fо', тогда Г ^ Го и F„ ^ F»,; обозначим через / и е
индекс [Го: Г] и степень [F„: F0] соответственно.
Число / назовем индексом ветвления нормирования уо>
а число е — относительной степенью нормирования vq,
i 6] НОРМИРОВАНИЯ SOd
Покажем, что чисйа t и е конечны и не превосходят п.
Предложение 3. Индекс ветвления t и
относительная степень е нормирования v0 конечны, и e-t^n.
Пусть Ro=?=RVi — кольцо нормирования v0; a,,...
..., ak^Ro — такие элементы, что а\ а^е/•"»,,
линейно независимы над FD. Пусть bx bs^Fl таковы,
что элементы vQbi vobs определяют различные
элементы фактор-группы Го/Г, т. е. ьф^Фьфр для 1ф).
Проверим, что семейство {a{bt\ i = 1 k; /= 1 s)
элементов Fo линейно независимо над F. Пусть cit e F,
i=l k; /= 1 s, рассмотрим элемент ^
Полагаем dj-Ф^ сг1аг, /=1 s; покажем, что
vQdj е Г° для всех / = 1 s. Действительно, если
все сц = О, / = 1, ..., k, то dt = О, а0^/ = О S Г°. Если
не все с,-/ равны 0, то пусть /о е О ?} таково, что
k '/ k ' \
тогда d, = cn • X *ч,а,. Покажем, что «п( X c'tfli )= Ь
к
Действительно, по выбору с0 c'tj e Ro, X с^аг =
= с^аг, с^ е Fv; так как с^ = 1, то c'ltj = 1 и из линей-
_ ~*
ной независимости а{ над F следует, что 2 с^л^О;
отсюда получаем, что vQ I X с^,) = 1. Тогда «ody- =
= аосо • v01 2 с^а, I = voco • 1 = voco е Г. Используя вве-
денные элементы, можно написать равенство
S
= 2 ^А- Так как «0^/^Г°, a v<jbx vobs принадлежат
разным смежным классам ГдПоГ.тодля/о^/ь еслий, ^=0
и dfi Ф0, то «о (d,bh) = vodh ¦ voblaФ vodu • vobh = v0 (d°bh).
Выше было замечено, что если с{1Ф0, то Ь1ф0; отсюда
204 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ HVI. 4
следует, что если хотя бы одно Сц=?0, то vol ? <^А ) =
= min{uo(^i&i) vo(dsbs)} < 0 и, следовательно, в этом
s
случае ]?с^а/&/= ? dtbt=^=O. Таким образом, система
{atb/\i=\ k\ j=l, ..., s) линейно независима
над F; следовательно, k - s — число элементов этой
системы — меньше или равно п. Отсюда сразу вытекает
заключение предложения. ? '
Следствие. Если <F, v, Г> = <F0, va, Го> и Fo — се-
парабельное алгебраическое расширение поля F, то
Го/Г — периодическая группа.
Если уо^Го и ао^Го таковы, что уойо = Yo> T0
F(a0)—конечное сепарабелыюе расширение F, v'^
^vofF{ao) — нормирование поля F(a0), уо^Г"^
=^u(F(a0)*); так как Г'/Г конечна, то образ у0 в Г'/Г
(а следовательно, и в Го/Г) — элемент конечного
порядка. ?
Используем понятие гензелизации для получения
описания всех продолжений нормирования v поля F на
любое его сепарабельное алгебраическое расширение
Fo и для уточнения утверждения, полученного в
предыдущем предложении.
Пусть Rv — кольцо нормирования F, Fs —
сепарабелыюе замыкание поля F, Rs — кольцо нормирования
поля Fs, которое доминирует /?0, Fh — поле разложения
кольца Rs, Rh ^ Fh(] Rs. Используя доказательство
предложения 1, можно найти такое нормирование
vs: F,-*T" поля Fs, что Rv =Rs и vs есть расширение
нормирования v (в частности, T^rs). Полагаем Гл^
чь vs{(FH)*)—образ мультипликативной группы поля
Fh — это подгруппа Г$, содержащая Г; vh =^ vs I Fh —
нормирование поля Fh с группой нормирования Гл.
Тогда имеют место соотношения </\ v, Г>=</7'1, vh, Гй>=
s<Fs, fs, Ts>. Нормированное поле <FA, vh, Г"*> назовем
гензелизацией нормированного поля <F, v, Г>.
Предложение 4. Пусть Fq — сепарабельное
алгебраическое расширение поля F; тогда
1) для любого F-изоморфизма <р поля Fo в Fs
соотношение Vyu ^ vsq>a, a e Fo, определяет нормирование
§ 6] нормирования 205
оФ поля Fo, продолжающее нормирование v поля F,
с группой нормирования Гф ^= vф (Fo);
2) для всякого нормирования vo: Fn -> Го поля Fo,
продолжающего нормирование о, существует F-изомор-
физм ф поля Fo в Fs такой, что нормирования v0 и уФ
эквивалентны над v;
3) если фп и ф1 — два F-изоморфизма Fo в Fs, то
нормирования v и оф| эквивалентны тогда и только
тогда, когда эти изоморфизмы эквивалентны над Fh,
т. е. когда существует такой Рн-изоморфизм if поля
q>o(F())Fh на <f>\(F0)Fh, что 1|зфо = ф1.
Первое утверждение предложения очевидно. Второе
утверждение равносильно тому, что для любого кольца
нормирования R» поля Fo. доминирующего Rv,
существует F-изоморфизм ф поля Fo в Fs такой, что
/?0 = ф-'(/?;,J. Докажем это эквивалентное
утверждение. Пусть i|) — произвольный F-изоморфизм Fo в Fs
(таковой существует, как как Fo — сепарабельное
алгебраическое расширение F, a Fs — сепарабельное
замыкание); тогда i|)/?o — кольцо нормирования поля ifFo,
доминирующее кольцо Rv. Пусть R' — кольцо
нормирования поля Fs, доминирующее i|)/?0- Тогда R' и RVg —
кольца нормирований поля Fs, доминирующие Rv;
следовательно (Fs — расширение Галуа поля F),
существует F-автоморфизм % поля Fs такой, что ?/?' = Rv ,
Полагаем ф ^ t,i\>, тогда ф есть F-изоморфизм Fo в Fs
и для aeF0 имеем aei <=*> ifa s i|)/?o -*=*¦ фя s ф/?и <j=$-
¦Ф>фае= RVs; последняя эквивалентность справедлива
ввиду очевидного соотношения RVs П фFo =ф/?0(/?' П ^Fo=
= t|7/?o =*- g/?' П Ф^о = ф/?о)- Итак, #о = ф-1(#05).
Докажем теперь последнее утверждение.
Эквивалентность оф() и оф означает равенство /?»фз = /?»ф,; для a F
R )^ 1 ^ 1 /?
( ф ф
имеем а е RV(f -ф=ф- оф (а)^ 1 -Ф^^фга ^ 1 -ф=ф- ф<а s /?„^, т. е.
/?, =Ф71('/?„\ /==0,1. Пусть теперь существует Fh-
ф; V "sJ
изоморфизм if поля фo(Fo)Fл на фI(Fo)Fл такой, что
1|хро = ф1. F''-изоморфизм if подполя Fs продолжается
до Fл-автoмopфизма Z, поля Fs; ясно, что ?фо = ф1. Так
как ? — F''-автоморфизм, то ? е Aut (FjFh) = GZ — группа
разложения кольца нормирования Rv и, следовательно,
206 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
?,Rs = Rs', тогда для aeFo имеем а е /?0фо<=Ф-фоа е Ro$ <=>
<=>ф!й = ?фоа s ?/?0 =/?о <=>flsRt . Итак, в случае
существования ^ф, /?Оф1 = ^Оф| и, следовательно,
нормирования уФо и уф[ эквивалентны. Наоборот, пусть #вф0 =
= Ro ¦ Пусть ст^ф^ — /^-изоморфизм поля ф,,/11,, на
о» огфо = Фь продолжим а до /^-автоморфизма ? поля Fs,
тогда 5Фо = ф1. Полагаем ?^=?~' и'рассмотрим цепочку
эквивалентностей для а е /v Фоа е /?Os <=> a e /?0ф
a €= ^Оф| ф1 ?Oi ^
S~'/?o,<=>фоа s |/?„ . Следовательно, /?0, П фо/го=
= |/?о5Пфо/:'о- Итак, кольца нормирований Rvs и |/?os
поля Fs доминируют кольцо нормирования RvsVl<PoFo
поля Фо^о; следовательно, существует фо/^о'звтомор-
физм т поля Fs такой, что tROs = %ROs. Полагаем
ф =гь t,x \ Fh(f0F0. Для а ^ Fo имеем Ч»фоа = ?тфоа = ?фоа =
= Ф!а; следовательно, 1ффо = ф1; далее, из xRVs = lRVg
следует, что &Rve = &Rvt = l?-lRve = Rve, т. е. ^те
е Gz = Aut(Fs/Fh); поэтому ф f /г'1=?т f FA = idFft. Итак,
¦ф — ^-изоморфизм cpo(Fo)Fh на q>i(F0)Fh такой, что
о ф. П
Замечание. Нетрудно проверить, что в условиях
предложения нормирования уф> и уф эквивалентны
тогда и только тогда, когда они совпадают: о = о
Следствие. Если v: F-*T° — гензелево
нормирование, /-"о — сепарабельное алгебраическое расширение
F, wo"• ^о -> Го — продолжение v, то уОф = Уо для любого
F-автоморфизма ф лоля Fo.
Это следует из единственности (с точностью до
эквивалентности) продолжения v на Fo, предложения и
замечания. ?
В следующем параграфе будет доказано, что гензе-
лизация является непосредственным расширением
нормированного поля. Используя этот факт и предложения
3 и 4, докажем следующую теорему:
Теорема. Пусть Fo — конечное сепарабельное
расширение поля F степени п; v: F-*T0-^ нормирование
поля F; пусть v\, .... vs — попарно не эквивалентные
нормирования поля Fo, продолжающие нормирование v\
$ б] НОРМИРОВАНИЯ 207
пусть ei, U — индекс ветвления и относительная степень
нормирования vi, t= 1, ..., s; тогда справедливо нера-
S
венство ? Uei ^ п-
i=\
Пусть Fo = F(a) и а— корень неприводимого над F
унитарного многочлена f^F[x] (степени /г). Пусть
аь ..., а„— все различные корни многочлена f,
лежащие в Fs — сепарабельном замыкании поля F. Тогда все
F-изоморфизмы ф поля Fo в Fs определяются
однозначно заданием значения ср(а); это значение должно
принадлежать множеству {аь ..., ап}. Рассмотрим
разложение многочлена / на неприводимые множители
k
над полем Fh: f = JJ.fi, ft ef'D Пусть ср, есть F-изо-
морфизм Fo в Fs такой, что ф,(а)=а/, ?= 1, ..., п.
Тогда по предложению 4 нормирования уф и уф поля
^о, 1 <['. / ^ п, эквивалентны тогда и только тогда,
когда существует ^-изоморфизм Ир поля FhqnF0 на
Fh(fjF0 такой, что 1|>(рг = ф/. Пусть такой
/^-изоморфизм 1|з существует; тогда, если /е {I, ..., k) таково,
что //(а;) = 0, то 0 = -ф//(а;) = //(фаг) = //(а;), так как
фф,- ^ ф/ и ф,а ^ at, ф;а = а/. Следовательно, если
нормирования оф. и »ф , 1 < i, j ^ п, эквивалентны, то а;
и а/ являются корнями одного и того же неприводимого
множителя fi в разложении f над Fh. Легко видеть, что
справедливо и обратное утверждение: если а; и а/ —
корни одного и того же неприводимого многочлена fi,
1 s?l / ^ k, то существует ^-изоморфизм поля Fhq>iF0 =
= FH(ai) на Fhq>iF0= Fh(a.j) такой, что фф; = ф/. Итак,
существует взаимно однозначное соответствие между
неприводимыми множителями в разложении / над FH
и классами эквивалентных нормирований поля Fo,
продолжающих v. Пусть 1 <: / sg; k произвольно и а«, 1 ^
^ i ^ п, таковы, что fi (a«) = 0; тогда
208 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
где vt^vj <?tF0, Г, ^ ^ (F;), v'^vj F» (а,), Г; ^
^±v't(Fh(а,)*). Если п[ = deg/, — степень многочлена f,,
^: rh], /, — степень нормирования v'{ относительно
h
нормирования vh, то по предложению 3 ej/j^nj. Тогда
к к
n=2nz^2^/- Заметим теперь, что из включений
(F, v, Г> <= </?,, vu Г,> <= <F2, о,, Г2>
следует, что [Г2: Г] = [Г2: Г,] [Г,: Г], [Fo,: Fv] = [FOl: FVl] X
X [Fv.- Fo]. Из этого замечания и отмеченного перед
теоремой утверждения: Г = Г", FV==FV следует, что
индекс ветвления е\ нормирования б4 меньше или
равен ei, относительная степень l'{ нормирования б/
меньше или равна Ь- Пусть g: A, ..., s) -> A, .... п)
—такое отображение, что нормирование vt эквивалентно
нормированию Vm({), i = 1, ..., s. Так как о, и V/
попарно не эквивалентны для 1ф], то это отображение g
индуцирует разнозначное отображение I: {1, ..., s} —»
->-{1, ..., k) такое, что //@ (a?((l) = 0, »е{1 s};
тогда из F-изоморфизма нормированных полей <f0, vi, Г,->
и <фя(о^о, wg(o, rg(,-)> следует, что e, = egU),/, = ^(й. Из
сделанных выше оценок получаем e^t = e'gW, ^
Замечание. Легко проверить, что (Fh(а;), v't, Г'{\
является гензелизацией <ф(Ро, б/, Г(), откуда следует,
что отмеченные в доказательстве неравенства е\ < el,
являются на самом деле равенствами.
В заключение параграфа рассмотрим кратко случай несепара-
бельных алгебраических расширений. Большинство результатов,
доказанных выше для случая сепарабельных алгебраических
расширений, сохраняет силу и для общего случая. Основой такого
расширения служит следующее утверждение:
Предложение 5. Пусть v: F -> Г° — нормирование поля
F, Fq — чисто несепарабельное расширение поля F: тогда
существует единственное с точностью до эквивалентности продолжение
нормирования v до нормирования Vo поля Fq.
$ 5] НОРМИРОВАНИЯ 209
Пусть рФО — характеристика поля F. Докажем предложение
сначала для случая, когда эндоморфизм а\—* ар поля Fo переводит
Fa в F, т. е. когда F§ < F. Рассмотрим расширение Г группы Г,
определенное так: отображение y '—*" Yp есть эндоморфное вложение
группы Г в себя (сохраняющее порядок), тогда Г — это группа Г,
рассматриваемая как расширение Г с помощью вложения у—-ур:
Заметим, что для любого уеГ в Г существует элеыеьт
р
такой, что у? — Y> Yo^ Vy~- Определим отображение о0: F0->f °
для а е Fj. Заметим, что для а е F*
Р
yv (а)р = ° (fl)- Пусть Го=^ ц„ (Fo) — подгруппа
группы f, содержащая Г: тогда v0: Fo -*¦ Tq есть нормирование поля
Fo. Действительно, условие 1) определения выполнено очевидным
образом. Условие v0 (а + b)^ min {v0 (a), v0 (b)} вытекает из того,
что а 1—»- ар — эндоморфизм поля Fo, а у '— Ур — эндоморфное
вложение упорядоченной группы Го в упорядоченную группу Г: пусть
р0 (а)< t>o (*)> т. е. o0(a) = min {voa, Vob), тогда v0 (a)? < v0 (b)p,
vo (a)" = v0 (ap) = v (a") < v0 (b)" = v0 (bp) = v (bp), v (a" + bp) >
> v (ap), v (ap +bp) = v ((a + b)p) = v0 (a + &)p > о (ap) = fo (a)p;
отсюда следует, что Vo(a + b)^v (a) ^ min {voa, vab). Итак,
Oo — нормирование Fo, продолжающее v. Пусть V\. Fq->T^ —
произвольное нормирование поля F0) продолжающее v.
Построим отображение \|): Fj -> Г так: пусть Yi е Г^ a eFj и vla =
=Yi; тогда ар е F, v (ар) = t)t (ap) = о1 (а)р = ур е Г; следовательно,
р
Yj i^-s- Y? есть вложение Г|, в Г; полагаем ф (у,) ^= VYp e ?•
Нетрудная проверка показывает что -ф (Fi) = Го: Ф есть изоморфизм Г[
на Го и фР] = Ро. т. е. pi эквивалентно о0-
Простая индукция по леи показывает, чго предложение
справедливо для таких Fo, что F^ < F. В самом общем случае Fo
можно представить в виде объединения возрастающей
последовательности подполей F < F, < F2 < ... < Fn ^ ... , Fo = U + Fn,
таких, что Fp <F. В силу единственности продолжения о на любое
Fn, п = 1, 2 р имеет единственное продолжение на Fo. D
Если Fo — алгебраическое расширение F, а Fi — совокупность
всех элементов из Fo, которые сепарабельны над F, то Fi — сепара-
бельное алгебраическое расширение F, а Fo — чисто несепарабель-
ное расширение Fi. Такое представление F ^ F{ ^ Fo и
предложение 5 позволяют доказывать необходимые расширения результатов,
полученных ранее только для сепарабельных расширении. Так,
доказанная выше теорема сохраняет свою истинность и для несе-
парабельных конечных расширений.
210 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
§ 6. Непосредственные расширения
Этот параграф будет посвящен изучению
непосредственных расширений нормирований. Один из способов
построения непосредственных расширений
нормирования на некоторые алгебраические расширения состоит
в присоединении «пределов» подходящим образом
определенных «сходящихся» последовательностей.
Перейдем к точным определениям. Пусть v: F-*-
-*¦ Г° — нормирование поля F, а — некоторый
предельный ординал, А = {ар |Р < а} —последовательность
элементов из F. Назовем последовательность А
^-последовательностью, если v(ay— ар)<и(аб— ау) для
любых р < у < б < а.
Отметим ряд простейших свойств
^-последовательностей.
1. Для любого Р<а существует элемент b$ e Г
такой, что и (ар — ау) = Ь$ для любого у, р <L у <С а.
Для этого достаточно заметить, что и (ар— а\) =
= и(ар — аб) для р < у < б < а. Установим это
равенство:
v (ар — ай) = v (ар — ау + ау — ай) =
= min {v (a3 — ау), v(ay — a6)} = v(afi — ay). П
Заметим, что если Р < у < а, то 6р < Ьу.
Элемент а е F назовем пределом
^-последовательности А, если v(a — ар) = 6р для любого р < а.
2. Либо u(ap)<y(aY) для всех р < у < а, либо
существует р0 < а такой, что v(ay) = v(a6) для всех
у, б, Ро < у, б < а.
Предположим, что существует ординал р0 < а такой,
что v (ар,) ф 6р0; тогда для р0 < Y < а имеем
v (ay) = v(ay — ар, + аРо) = min {v (аРо), 6р0}.
Если же у(ар) = 6р для всех Р < а, то у(ар) =
= 6р < by = v(ay) для р < у < а. ?
3. Для любого ueF угыбо а) и (а — ар) < у (а — aY)
(Зля всех р < у < а, либо б) существует C0 < а такое,
что v(a~ay) = v(a — ай) для всех у, б, р0 < а, б < а.
Это утверждение вытекает из предыдущего, так как
Аа^ {а — ар|р<;а} есть ^-последовательность. Дей-
§6J НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 211
ствительно, для р <С у <; а имеем
v ((а — аэ) — (а — а7)) = а (— Ц — ау)) =
4. Для любого многочлена P^F[x] существует
ро < а такое, что либо a) &P(aY) <C vP(a6) для всех у,
6, Ро < у <¦ б <¦ а> Либо б) yP(aY)= vP(a6) для всех у,
б, р0 < Y> б < а-
Расширяя, если нужно, поле F до алгебраически
замкнутого поля и продолжая v на это расширение,
можем считать, что Р = с Д (лс — d,), с, с?г е Z7. Поль-
i
<
зуясь утверждением 3, можем выбрать р0 < а такое,
что для любого i < я справедливо либо а) & (aY — d<) <
< v(a6 — di) для всех у, б, Ро < 7 < б < а, либо
б) v(ay — di)=v(a6 — di) для всех у, б, р0 < у, б < а.
Легко проверить, что это р0 и удовлетворяет условиям
утверждения, так как vP (ау) = v (с) • Д v (ay — dt). Q
Будем говорить, что А есть ^-последовательность
алгебраического типа в F, если существует многочлен
Р е F [х\, для которого выполнено условие а)
альтернативы утверждения 4, т. е. существует Ро < а такой,
что vP (ау) < vP (а6) для всех у. 6. Ро < Y < 6 < а-
Предложение 1. Если в нормированном поле
</г, v, Г> имеется ^-последовательность алгебраического
типа в F, не имеющая в F предела, то существуют
такие алгебраическое расширение F' поля F и
нормирование v' этого поля, что v' есть непосредственное
расширение нормирования v, a (F't v', Г> содержит предел
этой ^-последовательности.
Пусть А = {ар|р <. а} —^-последовательность
алгебраического типа в F, не имеющая в F предела,
а Р = хп + С\хп~1 + ... + сп-\Х + сп е F [х] —
многочлен минимальной степени такой, что существует Ро < a
со свойством Ро<7<6 <a=#aP(aY)< vP(a6).
Покажем, что п ^ 2 и что Р — неприводимый над F
многочлен. Ясно, что п > 0; если п = 1, то Р = х-\- с\.
Но тогда для р0 < у < 6 < а имеем y(aY + Ci)==
= vP(ay) = v(P(ay)—P(a6)) = v(ay + a — a6 — a) =>
= v(qy — a6) = by. Следовательно, v (ay + Ci) = by для
Ро < у < «; если у ^ ро < б < a, то v (av -f- n) =
212 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ, 4
= t)(oy — Q6 + a4-f-Ci) = v(ay— a6) -- L\, так как
v(a6 + c1)—b6>'by. Имеем t>(d + av)= v((— d) —
— ay) = by для всех v<« и —Cief—предел
^-последовательности Л. Это противоречит условию
предложения. Итак, п ^ 2. Если P = Q-H — разложение на
множители, Q, HsF[x] и степени Q и И меньше п, то
из минимальности п следует, что существует р0 < а
такое, что vQ{ay) = vQ(a6) и vH(ay) = vH(a6) для всех
у, б, Ро < V» б < а. Но тогда для ро < V- б < а имеем
oP(aY)=o(Q(av).//(flv)) = oQ(av)-o/f(av) = oQ(ae)-
¦ vH(a6)= v(Q(a6) ¦H(a6))= vP(a6). Это противоречит
условию на Р. Итак, Р—неприводимый над F
многочлен степени п ^ 2. Пусть Р получается из F
присоединением корня | многочлена Р. Определим нормирование
ь' поля F' следующим образом. Если d = col,n-1 +
+ Ci|n~2 + ... + Сп-i — произвольный элемент поля F',
то пусть Pd есть многочлен сохп-1 + С\хп~2 + ... + сп-ь
Так как степень Ра меньше п, то существует р0 < a
такое, что vPd{ay)= vPd{a6) для любых 7. б, ро < у,
б < а. Для ро •< у < а полагаем .б^аР^Яу) и у'(^)=^
^ bd. Ясно, что w (of) = v (d) для d&F. Покажем, что
v'\ F'->r° есть нормирование поля F'. Условие v'(d-\-
-\-с)^ min{vf(d),v'(c)} проверяется очень просто, так
как Pd+c = Pd + Pc- Для проверки равенства v'(d-c) =
= v'(d) -v'(c) рассмотрим равенство Pd-Pc = H-P +
+ Pd-c, где Н — некоторый многочлен из ^[дг] степени
<п (так как deg(Pd-Pc) = degPd + degPc < 2n — 2).
Если Я = 0, т. е. Ра-Рс = Pdc, то доказательство
очевидно; будем предполагать ниже, что Я Ф 0. Выберем
Рп < а таким, что для у. б Ро < Y < б < а=#аР<*(ау) =
= t>Pd(ae)=6<*; t)Pc(aY)=t)Pc(a6)=bc; vH(ay) =
= vH(a6) (положим Ьн =Н= vH(ay))\ vPdc(ay) =
= vPdc{cib)=bdc\ vP(ay)<vP{a6). Пусть 7,бтаковы, что
Рп < Y < б < а; тогда у (// (av) • Р (ау)) = Ьн • vP(ay) < bH •
•vP(a6) = v(H(a6)-P(a&)). Если v (Я (av) • Р (ау))< bdc,
то bd • bc = v (Ра (ау) • Рс (ay)) = v (Я (ау) • Р (ау) + Pdc (ay))=
= v(H (ау) • Р (ау)) = bHvP (ау); с другой стороны, bd • bc=
=v (Р,(а6) ¦ Pc(a6))=v(H (a6)-P(a6)+Pdc(a6))^mm {bHvP (ae),
bdc} > bHvP (ay). Получили противоречие. Следовательно,
bHvP(ay)-^bdc, но тогда bHvP(a6)> bHvP(ay)^bdC и
ЬА = v (Pd (ae) Pc Ш = v (Я (a«) • /> (ae) + Pdc (ae)) = bdc.
5 6] НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 2l3
Итак, v'(dc) = bdc = bdbc = v'(d)v'(c) и v' —
нормирование поля F'. Из определения нормирования v' видно,
что v' имеет ту же группу нормирования Г и что
v = v' \ F. Заметим еще, что ? есть предел
последовательности А в (/•", v', Г). Действительно, так как
Р\-ай = х~а6 и v'(ар — ав) = Ьь для всех р, б<р<а,
то v'(l — a6) = b6. Теперь проверим, что FV- = FV. Для
этого достаточно доказать следующее утверждение:
Лемма. Для любого элемента сФ Ое F'
существует элемент d^F такой, что v'{c) = v(d) и v' (с —
— d)>v'(c).
Пусть с^Ое/1" и Рс^ F[x] — многочлен над F
степени < п такой, что с = Рс (%). Выберем % < а так,
чтобы vPc(ay) = vPc(a6) для fl0 < Y < * < а- Рассмотрим
многочлен Рс(х) — Рс(у) е Р[х, у\; он представим в виде
(x-y)Q(x, у), Q(x, y)f=F[x, у]. Полагаем ~Р = Р(Х)^
=^с — РС = РС{1) — Pc(x)=(Z — x)Q(Z, x). Многочлен
Q (|, х) принадлежит F' [х]. По свойству 4 для
последовательности А и многочлена Q(?, x) найдем Pi^Po.
fr<a такое, что o'Q(g,a?)^ o'Q(g, ae) для y._6, Pi <
< Y < 6 < а. Для таких же y. S имеем v'P (aY) =
= v'(l-ay) v'Q (t aY)=6Yy'Q (g, aY) < ftjo'Q (g, ae) = t»'P (ae).
Так как Pi>Po. p t»Pc(aY)j= vPc(a6) — v'{с). Имеем
v' (c - Pc (ae)) = K'P (ae) > o'P (aY) = v' (c - Pc (a,)) >
^min^^c), t»Pc (aY)} = v' (с). Так как Pc(ae)eF, то
утверждение доказано. ?
Пусть 1Ф0^ Fv>, с е У?„- таковы, что | — образ с
при гомоморфизме #„- jia Fv\ Так как | ^= 0, то
и'(с)= 1; по лемме существует def такой, что v{d)—-
= 1 и и'(с — d)>0. Тогда d — образ d при
гомоморфизме У?о на Fo — совпадает с | и /"„• =/70. П
Используя предыдущее предложение, докажем
теперь, что расширение нормирования, связанное с ген-
зелизацией кольца нормирования, является
непосредственным.
Пусть v: F-э-Г0—нормирование поля F, Fo —
алгебраическое замыкание F. Рассмотрим семейство пар
{F\,Ri} таких, что Fi — промежуточное поле (F ^
^Л^^о), #i — кольцо нормирования поля Fu #„«=
E/?i и если v\: Fi-*-Г?— нормирование поля Fu
214 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
продолжающее нормирование v, такое, что RVl =Ri
(такое нормирование всегда существует и единственно с
точностью до эквивалентности), то vi — непосредственное
расширение у. Семейство всех таких пар вместе с
естественным частичным порядком </?i,^i> = (F2, R2) =^
=?= Fi <; F^ и /?2 П Л = Ri является, как нетрудно
проверить, индуктивным. По лемме Цорна существует
максимальный элемент этого семейства, который обозначим
</?»,/?*>. Пусть у„: Ft->T° — нормирование поля F*,
продолжающее v и такое, что /?0, = /?»; тогда у» —
непосредственное расширение v, в частности, Г* = Г.
Назовем у» (или даже всю тройку </?#, у„, Г>) максимальным
непосредственным алгебраическим расширением
v{<F,v,r».
Предложение 2. Если </7«, у»,Г> —
максимальное непосредственное алгебраическое расширение
<F, v, Г>, то /?„ =^ RVt — гензелево кольцо нормирования.
Нормирование у* поля \F, таково, что не существует
собственное алгебраическое расширение F\ поля F*,
имеющее нормирование v\, которое является
непосредственным расширением у». Воспользуемся этим
свойством нормирования у* и покажем, что /?#
удовлетворяет условию 4 предложения 1 § 4. Предположим
противное, и пусть /е/?*[*] — унитарный многочлен без
кратных корней такой, что f e FVt [x] име'ет в FOt
простой корень |, а / не имеет корня а в /?», для которого
а = I
Так как | — простой корень многочлена f, то для
формальной производной / многочлена / имеет место
V(?)=f'(i) Ф 0. Пусть неRt — такой элемент, что
? = а; тогда vj(a)>l, так как /(а) = 0, и vj'(a)=l,
так как fjfl) = f' (i) ф 0.
Построим трансфинитной индукцией некоторую
•ф-последовательность Л^{ар|Р<а} алгебраического
типа, не имеющую предела в Ft. Полагаем аоч±а,
ba ^ vj (а) (> 1). Пусть Р' = Р + 1 — непредельный
ординал и уже, построены элементы ау ^Rt, y^ P, такие,
что если by^vjidy), v<P> то v,(a6 — ay) = by и
v*f (я«) = 1 для y < в ^ Р» I <by<b6. Полагаем ар' ^=
^)]; тогда, так как oj/(ap)=l, имеем
S 8] НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 215
р [/'Ц)] е=Я, \m(/?,) и. Ср-еЯ..
Заметим, что ар' ^ ар, так как / (ар) ^=0 по условию
на /(ap = a0 = ?)- Многочлен f(x — y) представим (по
формуле Тейлора) так: /(а: — */) = f(x) — f'(x)y + g(x, у) у2
для подходящего g (х, у) е R, [х, у]; тогда /(ар-) =
=Кар-/(ар)[Г(ар)Г')=/ («p)~f (вр) • /Ц») [ГЦ,)]-' +
рр Ыр
=^ g (/ (ар). / (ар) * [/' («р)]) е Я,. Следовательно, ?у =^
- VJ (ap.) = о.| • (о,/ (ар) • о. [/' (ар)]J > (vj (ар)J = ftp.
Так как ftp>l, то ftp'^ftp>ftp>l, о,(ар'— ар) =
= f,(/(ap)[r(ap)]~') = f./(ap) = V если Y<P, то
v, (ар' — aY) = и, (ар' — ар + йр — ay)=vt (ар—aY) = 6Y, так
как и, (ар- — ар) = 6р > 6Y = и, (ар — aY). Индукционные
предположения для р' проверены.
Пусть р' — предельный ординал и для всех р < §'
уже определены элементы ар такие, что у < б ^ р =Ф
=$>u»(aY— ae) = 6Y = u»/(aY), 1 < 6Y < b6 = v,f(a6) и
u»/'(aY) = 1. Тогда Лр' ^ {ap IP < P'} — ¦ф-последователь-
ность алгебраического типа. Если эта
^-последовательность имеет в F, предел, то пусть ар— некоторый
предел этой ¦ф-последовательности.
Так как и, (ар- — ао) = bo > 1 и v, (ao)^l, то
Мар')^1. ap'^^.i ар' = ао = |; для любого р < Р'
имеем /(аР')=/(ар —(ар —ар'))=/(ар)+(ар'—ар)Л(ар, ар'),
где h(x, y)^R*[x, у] — некоторый многочлен; тогда
vj (ap') > min {»./ (ар), о, ((ap< — ap) Л (ap, aP'))} > 6p, так
как vj (ap) = ftp, u» ((aP' — ap) • h) = v, (ay — ap) • vji > ftp
Следовательно, ftp' =^= vj (ap') ^ ftp для любого р < p'.
Так как Р' — предельный ординал и у < Р < P'=*-ftY < ftp.
то ftp' > ftp для любого р < P'. Так как /' (ap') = f' (a» =
= f'(t)?*O, то o/(ap')=l.
Так как из мощностных соображений ясно, что
процедура построения последовательности ар (р —
ординал) должна закончиться, то для некоторого
предельного а ¦ф-последовательность Ла^= {ар|Р < ос} не будет
иметь предела в F». По построению Аа — гр-последова-
тельность алгебраического типа, тогда по
предложению 1 для <F», и», Г) должно существовать собственное
216 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
алгебраическое непосредственное расширение (Flt V\, Г>,
что невозможно по выбору F». Получаем
противоречие. D
Пусть v: F->r° — нормирование поля F, Rh— гензе-
лизация кольца нормирования Rv, Fh = F(Rh) и vh:
Р-у(Г'1H—нормирование поля Fh, продолжающее у
и такое, что Rvh = RH; напомним, что нормирование 'vh
(тройка (Fh, »\ Гл>) называется гензелизацией
»
Следствие. Если (Fh,vh,TH)— гензелизация
(F, у, Г>, то vH — непосредственное расширение у;
в частности, Гн = Г.
Действительно, если <F», v», Г> — максимальное
непосредственное алгебраическое расширение <F, v, Г>, то
Rtz^RVt — гензелево кольцо, доминирующее Rv. По
определению гензелизации существует /?г-изоморфное
вложение Rh в /?,, так что можно считать, что Rv^Rh^R*
и (F, v, T>s<Fft, yft,rft>s<F*, у», Г>; из того, что
<F», и», Г> — непосредственное расширение </\ у, Г>,
сразу следует, что и <Fft, vh, Гл> — непосредственное
расширение <F, у, Г>. Впрочем, равенство Fv = Fvh было
установлено еще раньше (следствие предложения 2
§4). D
Замечание. Равенство Р == Г, следовательно и
равенство (ГЛ)°=Г0, влечет отождествление линейно
упорядоченных множеств (F/=Ro, <«0) и (Fh/s=Rh, <лл)-
В заключение параграфа установим один
технический результат о непосредственных расширениях,
который понадобится при исследовании элементарных
теорий гензелевых полей.
Пусть (F, v, Г> = <Fi, vu Fi> = (Г*, у», Г*> —
последовательность нормированных полей такая, что: а) у —
гензелево нормирование; б) поле вычетов Fv
нормирования v имеет характеристику нуль; в) нормирование V\
является непосредственным расширением нормиропа-
ння v; в частности, Fi = Г; г) F* — алгебраически
замкнутое поле.
Предложение 3. При сформулированных выше
предположениях, если Fo — алгебраическое замыкание F
в Ft, то для любых y&Fi, aeFAF существует a^F
такой, что у»(у — а)ф у»(а — а).
§ 6] НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 21?
Предположим противное, и пусть у е Л и as
^F0\F таковы, что v*(y— а)= v*(a — а) для
любого aeF. Пусть / = ха+ ап-\хп-* + ••• + сцх +
+ по^ F[x]—неприводимый над F унитарный
многочлен, корнем которого является а. Пусть си = а, аг, ...
..., а„ — все корни многочлена /, лежащие в F» (или,
п
что то же, в Fo); тогда / = П (х — а,). Пусть у =?ь
^°» \У + "„"' ); a"w~' ^ F, тогда по предположению
p.fa + a"~' ) =Y» Так как для любого i = 1, ..., л
существует F-автоморфизм ф; поля F(au ..., ап) такой,
что ф;а = а,- и, следовательно, % (а + а"~' j =а/ + -—р-.
то по следствию предложения 4 § 5 о, fа; + a"~' j = у.
Пусть av^F таков, что vay = v; такой элемент
найдется, так как # еFu у +-2^<=Fh y =
о, (г/ + -2^-) е= Ti = Г. Полагаем a^aY-
= I. •••-«; тогДа °*(aO = o»(av) '
= Y~' • Y= 1.i= 1 «• Рассмотрим
многочлен
Каждый коэффициент многочлена /* — симметрическая
функция от аь ..., ап, следовательно, для любого
автоморфизма ф поля F(a,\, ..., ап) имеем <рЬ, — Ь[,
/ = 1, ..., п — 1, и поэтому J/GF, / = 1, ..., п — 1;
Многочлен f* неприводим над F, так как F (a{) = F (at)
для любого его корня а'с, следовательно, а\ имеет ту
же степень п над F, что и а,, » = 1, ..., п. Так как
vt (a't) = 1 для i = 1 п, то о»(bo) = vt(a[- ... -а'п) =
(
218 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
+ an_i)>=0; кроме того, v,(b{)"^l для любого /«=1, ...
...,п-2. Пусть /4tflv(y+-?xL). тогда vjy') =
=YY~1 = l- Так как/eF,, то
(
у' s f о, = Л>; у' Ф® и, следовательно, существует
ае/?„ такой, что а<=уг, т. е. »„(#' —а) > 1. Проделаем
вычисления:
у „(# р
1 < и» (г/' — а) = о, (а7 (г/ + -—^-J — а J =
= Y-4 («-
=и„ (aY Га + an~l J — a J = и» (а{ — а). Следовательно,
и, (ai — a) > 1; кроме того, vt (aj — a) = vt (a{ — a) для
любого i = 1 п. Тогда
о. (Г (a)) = о. (U (af - a)) = o. (ai - a)" > 1
и f*(a)=O. Следовательно,_|* е Fo M имеет линейный
множитель (х — а) над Fv. f* не может иметь
нетривиальных взаимно простых множителей над Fv, так как
в противном случае ввиду гензелевости v f* был бы
приводим над F. Следовательно, f* = (х—а)"; так как
a = у' Ф 0, то Ъп-\ = —па Ф 0 (напомним, что
характеристика Fv равна нулю), но Ьп-\ = 0. Получили
противоречие. П
Укажем ряд полезных следствий этого предложения.
Следствие 1. В условиях предложения любой
элемент y&F\\F трансцендентен над F, т. е. F
алгебраически замкнуто в F\.
Действительно, если у е F\\F алгебраичен над F,
то возьмем а^у, и тогда, очевидно, v*(y — а) =
= и#(а — а) для любого aef, что противоречит
предложению 3. ?
Следствие 2. Если (F,v,Г> — гензелево
нормированное поле такое, что характеристика поля вычетов Fv
равна нулю, то это нормированное поле не имеет
собственных алгебраических непосредственных расширений.
Следует из предыдущего. ?
Следствие 3. Если (F,v,Г> г (Fo,v0,Г> —
непосредственное расширение, (Fo, Vo, Г> — гензелево
нормирование с полем вычетов характеристики 0, то алгеб-
§ 6] НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ РАСШИРЕНИЯ 219
раическое замыкание F в Fo является гензелизацией
<F,v,T>.
Следует из предыдущего. ?
Наиболее важное следствие сформулируем в виде
предложения.
Предложение 4. Пусть (F, v, Г> — гензелево
нормированное поле, характеристика поля вычетов Fv
равна нулю; пусть <F, v, Г> = <F(x), и0, Г> и <F, у, Г> =
— (F(y)> Vi,T} — два таких непосредственных
расширения, что vo(x — a)—v\{y — а) для любого asF; тогда
существует F-изоморфизм <р поля F(x) на F(y) такой,
ЧТОФХ = У U У|ф = «о-
По следствию 2, если х алгебраичен над F, то х е F
и O = vo(x — x)= vi(y — х) влечет, что х = у. Если х
трансцендентен над F, то и у трансцендентен над F
и, следовательно, существует единственный F-изомор-
физм ф поля F(x) на F(y) такой, что ц>х = у. Остается
только проверить, что t>i<p = у0. Для этого достаточно
показать, что значение нормирования у0 на любом
элементе поля F(x) однозначно определено, если известны
значения vo(x—а) для всех aef.
Докажем это утверждение. Пусть F* —
алгебраическое замыкание поля F(x), у»: Ft -*¦ Г° — нормирование
поля F», продолжающее vo. Пусть f^F[x] —
неприводимый унитарный многочлен над F (рассматриваемый
как элемент поля F(x)). Если deg/=l, то vof =
= vo(x—a) уже известно. Пусть deg/>l и ось ...
..., ап — все корни этого многочлена. Тогда
vof = vj = у» Щ (х - о,) J = Д v, (х - а{);
По предложению 3 существует элемент aeF такой, что
v*{x — a)=5^u»(ai — а). Тогда v*{x — ai)= min{yo(jf —
— a), u*(ai — a)}. Так как F{a\ а„)—расширение
Галуа поля F и для любого /= 1 п существует
F-автоморфизм ф* поля F(ai, .:., ап) такой, что ф/ai =
= а,-, то у*(а, — а)= у.(ai — а). Таким образом, vof =
= v*(x — a,)n и значение v*(x — ai)= min{yo(;t—a),
y*(ai — a)} не зависит от конкретного выбора F» и у«.
Итак, зная значения vq{x— а) для всех aef, можно
220 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
однозначно определить vof для всех неприводимых
унитарных многочленов из F[x]. Используя равенства
vo\f-g)=vof-vog, vo(l-g-])=vof'.{vog)-\ можно
однозначно вычислить vor для любого элемента г из F(j;). ?
§ 7. Расширения поля вычетов и группы
нормирования
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые
примеры и конструкции, касающиеся нормирований полей.
Пусть R — коммутативное кольцо с единицей, Г —
(мультипликативная) линейно упорядоченная абелева
группа; отображение v: /?-»-Г0 такое, что для любых
о, б/?
(ab)=v(a)v(b);
{a -\-b)^ m\n{v(a),v{b)}', если v(a)<Lv(b), то
) ()
е/?
1) v(
) v{
+ b)
( + ) ()
3) ifA)= 1; t>@) = 0,
назовем «нормированием» кольца R со значениями
в группе Г.
Предложение 1. Если v: R-*¦ Г° —
«нормирование» кольца R, то
1) множество у ^ {а\а е/?, va = 0} является
простым идеалом кольца R;
2) отображение v индуцирует «нормирование» v0
целостного кольца /?о ^ R/V со значениями в Г;
3) «нормирование» v0 кольца Ro однозначно
продолжается до нормирования у» поля частных F^F(R0)
кольца Ro с группой нормирования Г» ^ Г.
Проверим первое утверждение: 0 е V по свойству 3)
определения «нормирования». Если va = 0, vb = 0, то
по свойству 2) v {a -\- b) ^ min {va, vb} =0ии(а-(-6) =
= 0, так как 0 —наибольший элемент в Г°,
следовательно, а-\-Ь^у, если и(а) = 0, то и(—а) = и(—1 >а) =
= v(— \)-v(a)= у(—1)-0= 0 и -ае)). Если sEf,
b^R, то и(а6)= и(а)-иF)= 0-v(b)= 0, т. е. абер.
Итак, проверено, что р — идеал кольца R. Если а, бе
е=/?\р, то и(а)=^0, иF)#0 и v(ab)=v(a)-v(b)<=T,
т. е. и (aft) Ф 0 и аб^р; следовательно, р— простой
идеал.
Если ае=/?, 6е=р, то и (а.+ 6) = с (о); это сразу
следует из условия 2) определения «нормирования». Та-
§ 7] "РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 221
ким образом, корректно определено отображение у0:
Ro(^RIy)-*r° так: vo(a + p)^ v(a) для a&R.
Проверка того, что отображение Vo является
«нормированием» кольца Ro, осуществляется непосредственно.
Заметим, что для «нормирования» и0 справедливо
свойство: 1>0E)= 0<=$ а = 0 для йе/?0.
Для проверки утверждения 3) полагаем vM(ab~1)^
^Vo(a)-vo(b)-1 для a, b^R0, b Ф 0; если с, de/?0,
d =5^ 0 и aft-1 = cd~', то это означает, что ad = cb;
следовательно, vo(ad)= vo(cb); тогда vo(a)vo(d) =
= Vo(c)vo(b) и Уо(а)уоF)~' = vo(c)vo(d)-u, поэтому
отображение w«: F — F(R0)—Г° определено корректно.
Проверка условия w»(ccP)= w*(a)y»(P) очевидна.
Проверим, что w*(cc + Р) ^ min {у*сс, w*p}; пусть w.a ^
<t\P и a = ab-\ p = cd->; о, &, с, cfe/?0; &, d ф 0;
()(&)' ()(dI
P )) ()<
^ vo(c)vo(d)-]vo(b)= vo(cb)v0(d)-u, vo(ad)^. vo(cb);
следовательно, vo(ad-\-ch)^ vo(ad)\ vo(ad-\-
b)bdld)(d)l ()(bI
( )) ) (+
-f cd~l)= v,(a + p); итак, w«(a + P) ^ w»a = min{w»a,
w*p}. Если положим Г* ^= w*(F*), то w* — нормирование
поля F с группой нормирования Г* и у* f Яо = v0.
Проверено существование нормирования w* поля F,
продолжающего vo; его единственность сразу вытекает из
соотношения 1>*(а&-') = wo(a)wo(&)~'. ?
Доказанное сейчас предложение позволит довольно
просто ответить (положительно) на такой естественный
вопрос:
Если k — произвольное поле, Г — произвольная
линейно упорядоченная (мультипликативная) абелева
группа, то существуют ли поле F и нормирование v этого
поля такие, что поле вычетов этого нормирования
изоморфно k, а группа нормирования изоморфна Г?
Пусть k и Г заданы. Рассмотрим групповое кольцо
^ = &[Г] группы Г над k. Элементами этого кольца
являются элементы векторного пространства над k
с базисом, состоящим из элементов Г, т. е. формальные
выражения вида
Е = aoYo + ¦ • • + a,_iY*-f. Y* Ф Y/. Ki<s; (*)
at ф 0 <= k, i<s,
222 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ 1ГЛ. 4
с естественными правилами сложения, отождествления
таких выражений и умножения на элементы из k.
Правило умножения на этом множестве вводится
следующим образом: для одночленов ау, 66 полагаем
(ау) • Fб)=^=(а6) (-уб); умножение линейных комбинаций
определяется по дистрибутивности. Легко проверяется,
что в результате получается коммутативное кольцо,
содержащее поле k (если отождествить элемент оеА*
с элементом а-1 е/? и Oeft с нулевым элементом
векторного пространства R, который формально
записывается так: ? aCii\ ¦
ко )
Определим отображение v: R — Г° следующим
образом: пустьа = ? afli (yt Фу;, К / < s; а,- ф О, а/ е k,
i<s
i<.s); если s = 0, т. е. а = 0, то v (а) =^= 0; если s Ф 0,
то v (а) =?= min {yi \ i < s).
Оставим читателю несложную проверку того, что
отображение v является «нормированием» кольца /?,
прич.ем таким, что »(а)=0ФФо = 0 для ае/?. По
предложению 1 R — целостное кольцо (R = Ro) и v
продолжается до нормирования у» поля F^F(R); так как
v (R) = Г°, то группой нормирования и„ будет Г. Пусть
/?»— кольцо нормирования у»; так как v»a — 1 для
элементов а ф 0 из k ^ R, то k ^ /?*, и поэтому А
изоморфно вкладывается в поле вычетов RJm(R»)
нормирования у,. Покажем, что это вложение является
изоморфизмом этих полей. Пусть ogR,\u(/?,), т. е.
у,(а)=1; а — ab~l, a, b^R, ЬфО (очевидно, и а ф
фО); так как у*а = va(vb)-1, то va = vb\ пусть va =
= v #_1, тогда для а =^= а^, В =^= 6^"' имеем а, 5ей,
а = а&-1 и va = уау-у = VV = U у5 = 1; пусть а* —
образ элемента а в /?,/ш(/?»), a 6*—образ элемента 5
в RJm. (/?*), тогда образ элемента а в /?»/ш(/?«) будет
а* F*)~!. Таким образом, для доказательства того, что
образ а лежит в образе k, достаточно показать это для
а и 5. Итак, достаточно рассмотреть случай, когда
cigJ?, но тогда а имеет вид (*) и у(а)= 1 означает,
S-1
что а представим в виде а = «о * 1 + Л <kVi. У> > 1 для
f=l s—1; для элемента а'^а — а0Л имеем
(/) {i|(= 1, .... s— 1} > 1, a'Gi(J?,), и,
§ 7] РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 223
следовательно, образы элементов а и ao-l&k в
RJm(R^) совпадают. Отметим еще, что отображение
<р: yi—э-Ьу является вложением группы Г в
мультипликативную группу поля F и имеет место соотношение
у*(фу)=У Для любого уеГ. Таким образом, поле F
(обозначим его k ® Г) с нормированием и» дает пример
нормированного поля с заданными полем вычетов k
и группой нормирования Г. Построенный пример
является в определенном смысле минимальным.
Предложение 2. Пусть {F,/?.> — нормированное
поле (у+: F->T°+—ассоциированное нормирование);
для любого изоморфного вложения <р: k-*R и любого
изоморфизма \|з: Г —*¦ F* такого, что и+т|з является
изоморфным вложением линейно упорядоченной группы Г
в Г+, существует единственное изоморфное вложение Ф
поля k (g) Г в F такое, что
1) ф(/?.) = ф(Л ®г)п/?;
2) ФГЛ = <р;
3) ФГГ = ф.
Любое вложение ф: k-*-F и любой гомоморфизм
г|к Г -> F* индуцируют однозначно определенный
гомоморфизм W кольца k [Г] в поле F такой, что Ч' \ k = ф,
«F [ Г = я|>; Y определяется так: Ч7 (а) =?ь 2 Ф (а«)
для- а^ 2 a^Y(. Покажем, что в условиях предложения
Ks
гомоморфизм Ч' является изоморфным вложением.
Пусть а ф 0 е ^ [Г] имеет вид (*); рассмотрим
(г()) (Чг()) у+фа,у+'фу( = и+1|)у<. так
), и, следовательно, v+q>a = 1 для а
^=0eft. Так как и+г|}—изоморфизм, то v+tyyi ф +фу/
для t < / < s, поэтому у+ Dfa) = min {г|}у( 11 < s} >й= 0;
1ра =?*= 0. Из того, что u_i4> — изоморфное вложение Г
в Г+ как упорядоченных групп, следует, что v+Wa =
= Яи.а для любого аб4[Г], где через Я обозначено
изоморфное вложение u+i|) группы Г в Г+. Так как
k sg) Г — поле частных кольца k[T], то построенный
изоморфизм W из ?[Г] bF однозначно продолжается до
изоморфизма Ф поля k <g) Г в F. Соотношение и+Ч'а =
= Яи.а расширяется, очевидно, до соотношения и+Фа=
= Яи.а для любого ае^®Г, откуда следует соотно-
224 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ (ГЛ. 4
шение 1); соотношения 2) и 3) выполнены по
построению. ?
Поле ?®Г обладает рядом специфических свойств,
которые справедливы не для всех нормированных
полей, а именно, это нормированное поле имеет поле
представителей для поля вычетов и сечение в соответствии
со следующими определениями.
Пусть (F,Ry — нормированное поле (т. е. R— кольцо
нормирования поля F). Подполе k поля F назовем
полем представителей для поля вычетов, если k ^ R и для
любого ае/? существует n?i такой, что а — а е u{R).
Это равносильно тому, что естественное вложение k
(индуцированное вложением k ^ R) в поле вычетов
R/m(R) (кольца) нормирования является
изоморфизмом этих полей. Подгруппу Г мультипликативной
группы F* поля F назовем сечением нормированного поля,
если для любого оеР существует единственный
элемент y e Г такой, что aR = yR. Подгруппа Г =?![ F*
является сечением тогда и только тогда, когда для
нормирования v: F->r°, ассоциированного с кольцом R (т. е.
R = Rs), ограничение у на Г есть изоморфизм групп Г
и Г (даже как линейно упорядоченных групп, если на Г
рассмотреть ограничение предпорядка ^я).
Теперь рассмотрим такую задачу:
Пусть задано нормированное поле (F,R} с полем
представителей k ^ R и задано некоторое расширение
k0 35= k поля k. Существует ли нормированное поле
(Fq, Rq> э <F, R} с полем представителей, k-изоморф-
ным полю й0?
Оказывается, эта задача всегда разрешима и
существует даже «наименьшее» решение этой задачи. Рас»
смотрим кольцо Ro =?= F<2> kh\ пусть Б = {с^\% е Н} —
базис F как векторного пространства над k, тогда
любой элемент а из Ro однозначно (с точностью до
порядка слагаемых) записывается в виде
а = .?с|. ®аг; 1гФ1,, i<j<s; at <= k*0 для i<s. (*)
Пусть def и а"фО, тогда dB^ {dc6|ge S} также
является базисом F над k; отсюда следует, что в кольце
Яо умножение на ненулевые элементы def является
инъективным, т. е. с?а = сф=#>а = р. tf0 содержит под-
РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 226
кольцо /?i =?= R <S> ft^o; кольцо /?i содержит идеал nti
()8
Идеал ati кольца Ri является простым {даже
максимальным), а фактор-кольцо /?i/ati естественно
изоморфно полю k0.
Действительно, кольцо R как векторное
пространство над k допускает разложение R = k-\-m(R). Пусть
{с?в|беД}—базис m(R) над k, тогда ?i =^{1} (J
U {d61 б е Д} — базис /? над ft. Используя представление
элемента аеЛ| в виде (*) в базисе 5i (для R), легко
видеть, что а однозначно представим в виде а =
= 1 <8> а + Р; реati = m(R)<8>k0. Отображение а<—>а
будет гомоморфизмом /?i на k0 с ядром Юь ?
Пусть v: F-vT0 — нормирование поля F,
ассоциированное с кольцом нормирования R. Выберем такое
подмножество ГеГ*, чтобы ограничение у на Г было одно-
однозначным отображением Г на Г. Тогда
любой ненулевой элемент а е Ro однозначно
представим в виде a = v<ai, где ^еГ, а a\^.R\\xa.\.
Докажем сначала однозначность. Пусть у • с^=у' • а{;
Y, v'^f; аь aie/^Xntj. Если Y13^'- T0 ai = ai по
отмеченной выше инъективности умножения на Y-
Предположим, что y Ф v' и Y<AtV'> тогда у' = у'Ь, где
iem(^); тогда 0 = Y..'J*i — v' * ai = V " ai — Y(*«i) =
= Y(ai — 6cti); так как aie/?!, 6em(/?), то eaient!;
из ai e Rx \ nt! следует, что ai — 6a{ ^Rx\ щ\ в
частности, cti — 6cti Ф 0; следовательно, и y (ai ~ &xi) Ф 0.
Получаем противоречие. Однозначность доказана.
Установим теперь возможность такого
представления. Выберем базис {бх|^^А} поля k0 над k, тогда
любой элемент а из F®kko однозначно представим
в виде
a = ? ft ® e\; К^К, для i <j < s;
ft e F* для / < s. (*•)
Если о^О, то s>0 в представлении (**). Пусть /0 < s
таково, что v (fio) ^ v (f;) для всех i < s\ пусть y ^ f
таков, что vflt~vy; положим f^^f^Y! тогда y/J =
1'^l, f't&R, i<s; следовательно, a'^=
286 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
^ 2 f\ ® ея s ^г Образ элемента а' при гомоморфизме
К\-+К\\щ может быть (как легко проверить) вычислен
так: ? f^, где f't^k — образ элемента /' при
гомоморфизме R -*R/m (R) (при отождествлении k с R/vn (R))\
так как не все f, = 0 (в частности, f'h ф 0), то из
линейной независимости е%1 над k следует, что образ а'
не равен 0, т. е. что а' ф. ntj. Итак, а = у • а', y e Г
и o'e^ хот,. П
Построим теперь отображение t/: Яо-^Г0 так:
для а = 0 а'(а)^ьО;
для аф0, если а^у>аь Yе ?, а1е/?1\ш1, то
&' (а) ^ v (у).
Проверим, что v' является «нормированием»кольца Ro.
Пусть a = Y'ab a' = Y'-ai; y. Y'e?; a1( afe^Xnti
(случайа=0или а'=0 тривиален), тогда aa'=(YYO(aiai);
так как ab a[G^\ mb то aiai ei?i\m,, Пусть \" е f
таков, что w (yyO —w (y'O; пусть fi^YY^Y")"'; тогда
YY/ = Y> wF) = w(yy') у (y")"' = 1 и> следовательно,
aT ^= 6 (aiai) s /?, \ nt,; тогда aa' = fa"; у" е f, aT <=
e /?! \ nti. Поэтому t/ (aa') = w (y") = v (yyO = v (y) v (y')=
= v'(a)v'(a/).
Проверим условие 2). Пусть а = \>аь P = y'Pi и
o'(o) = ti(Y)<ti(^') = t)'(p); пусть в^уЧ?); тогда
v F) > 1; a + P = ya, + y'Pi = Y«i + Y*Pi = y(«i + «Pi),
0,+iSeiS/}!. Если ti'(a)<ti'(p), то 6 s m(/?), 60t ent!
и at + *Pi ei?i Xntf, следовательно, в этом случае
v' (a + P) = v (v) = &' (a). В любом случае v' (a + P) =
= v'(y® l)-t/(a, + 6Pi)= v(y)- «'(a^fiPi); но, как
легко видеть из доказательства существования
разложения вида y°i. если ai + ePi^#i, то vr (щ + 6Pi) ^ 1.
Следовательно, t/ (a + Р) ^ v (у) = w' (a).
Условие 3) определения «нормирования» следует из
определения отображения t/.
Заметим теперь, что если а =?^= 0, то t/(a)=^0;
поэтому по предложению 1 Ro — целостное кольцо и v'
продолжается до нормирования и# поля Fq^ F(Ro);
группой нормирования &* будет, очевидно, группа Г.
Пусть Rt =^ RVt. Так как Fo является полем частных
§ 7] РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 227
кольца Ri (это следует из представления a = Yiai)> то
из легко проверяемых соотношений Ri ^ Ri, m(R*)C\
n#i = mi следует, что RJm(R») совпадает с Ri/mu
А кольцо Ri (следовательно, и R») содержит поле
представителей k0 (при отождествлении ft—> 1 (?)/) для поля
вычетов Ri/Ш] mk0.
Итак, нормированное поле (Fo, #»> э (F, /?> есть
решение поставленной выше задачи. Именно про это поле
(F0,R*y будем говорить, что оно получено из (F,Ry
расширением поля представителей k до kQ. Установим
теперь, что это «минимальное» решение.
Предложение 3. Пусть (F,R) — нормированное
поле, k <; R — поле представителей поля вычетов, kQ ^
^ k — расширение k, (FQ, #*> — нормированное поле,
полученное из (F,Ry расширением поля представителей
до kQ. Если (F, R} = <Fb ^>, то для любого k-изомор-
физма ф: ko ~* R существует, и притом единственный,
F-изоморфизм W из (FQ, R,y в <Fb Я>, продолжающий ф.
Сначала установим, что подполя F и ф(&0) поля Д
линейно разделены над k.
Пусть а\ а„еф(&0) — линейно независимые над
k элементы, и предположим, что они стали линейно
п
зависимыми над F: ? /гяг = 0, ft e F*\ подберем такой
2-1
элемент d^F*, что все f.^f^sR и f't^m(R)
(z=ia(R)()F) для некоторого i; тогда будем иметь соот-
п.
ношение 2 f'fii = 0; перейдем к образам этих элемен-
п
тов в фактор-поле K/m(R), тогда ? f'iac = O; но ф(А0Х
^Я, следовательно, й\, ..., а„ остаются линейно
независимыми над k, а |[е4 и не все равны 0, t = 1, ...
..., k; получили противоречие.
Следовательно, поле частных кольца F (g) kko, т. с.
поле FQ, изоморфно композиту полей Fy(ko)^. Fi,
причем существует единственный изоморфизм W,
продолжающий ф: kQ-+Fh Остается только проверить, что
W(R,) = W(FQ)()Z. Кольцо R^W-'(W(FQ)(]R) есть
кольцо нормирования поля Fq такое, что E>{)F = R и
^о =^ #; следовательно, Ri = R(g> kk0 ^ /? и нормирование
228 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. I
б поля Fo, ассоциированное с кольцом нормирования R,
продолжает «нормирование» v' кольца Ro=*F® kko.
Но такое продолжение единственно; следовательно,
R = R» и соотношение X?(R*)=X?(FO)(] R
установлено. D
Рассмотрим задачу, аналогичную предыдущей:
Пусть задано нормированное поле <f, #> и задано
его сечение T^F*; пусть Го — линейно упорядоченная
(мультипликативная) абелева группа и q>: Г-*Г0 —
изоморфное вложение Г (как линейно упорядоченной
группы) в Го. Существуют ли нормированное поле
<^о, ЯоУ Э <Л R} и вложение г|): Y0->(F*0, ^Ло) такие, что
a|)(p = idr, г|)Го—сечение нормированного поля (F0,R0}}
Покажем, что и эта задача всегда разрешима и имеет
«наименьшее» решение.
Так как Г — сечение, то можно считать, что с R
ассоциировано нормирование v: F-*T° такое, что vy =
=р v для уеГ.
Рассмотрим групповое кольцо ^[ГоЬ Для любого
Yo s Го определим на F [Го] F-линейную функцию Vy
со значениями в F следующим образом:
для одночленов вида а-у', a&F, у'еГо, полагаем
у (а. л_х.( «^-'(y'Yo)' если /ф (П — Y0«P (Г)!
v \ 0 в противном случае.
Заметим, что из равенства у'<р (Г) = уоф (Г) следует,
что y'Yo е фГ' и> следовательно, элемент ф (y'Yo)
определен.
Для произвольного элемента а = X а{у'{ полагаем
Vy> (а) ^ X ^vo (аМ)- Легко проверяются следующие
к*
свойства этого отображения:
1) Vyo (а + Р) = Vyo (а) + Vyo (Р); а, р s F [Го];
2) KVo(aa) = aKVo(a); asf, o
3) Vyo(a-yo)^a-, oef;
4) KVo(a.Yl) = ^oVr.(«); ae
Элемент ае^[Го] назовем уравновешенным, если
^ve(a) —О ДЛЯ любого YosTq. Из свойств 1), 2) и 4)
i 7] РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 229
отображений VWt легко вытекает, что множество U
всех уравновешенных элементов образует идеал кольца
]
Примером уравновешенного элемента будет элемент
вида иа> у ^ ау • 1 — а • <р (у); aeFjeF. Действительно,
для любого уоеГо, если уо^фГ, то l^v» (aY * 1) =
= KVo (a • фу) = 0; пустьуо = ф(у1)ефГ, тогда V4l(ay • 0=
= ау • ф~' (у^1) = ayyf >, Vyt (a • фу) = ац>~1 (фу • у^1) =
= a(yy[-1) = aYYj-1 и Vya(ua y) = ayy~l — ayYfl = 0. Ниже
будет показано, что множество U всех уравновешенных
элементов кольца ^[Го] порождается как идеал
семейством {иа. у\а <= F,y еГ}; обозначим через m идеал,
порожденный этим семейством.
Выберем и зафиксируем в Го некоторую систему
представителей {vtlgeS} для фактор-группы Го/фГ,
т. е. Го=уу5фг, у^-'еЁфГ для 1^1'eS.
Элемент вида 2 а,у. , at<=F*, Ь?=1/ для i<j <k,
назовем каноническим. Заметим, что ноль кольца
является также каноническим (при & = 0).
Покажем, что
любой элемент а е F [Го] представим в виде а =
в=ао + аь где °о — канонический элемент, а а\ <= т.
. Установим это сначала для одночленов. Пусть а =
= а-уо; a^F*, уо^Го; смежный класс уоф(Г) имеет
вид у^ф(Г') Для некоторого (вполне определенного)
ge S; заметим, что тогда у^'ефГ; пусть уеГ
таков, что фу = У0У^'. Тогда а = а-уо = у5(а'Уоу^') =
= у5 (а • фу) = у5 (а • фу) + аууг — ау • уг = (ау) • у5 —
-У5(ау1-а.фу) = (ау) .у5-у5ыо г Итак, (ау)-у% —
канонический элемент, а у^иа,,еш. Так как сумма
канонических элементов (после приведения подобных
членов) также является каноническим элементом, то
утверждение следует из уже разобранного случая-. D
Покажем теперь, что представление любого
элемента а в виде ао + «ь установленное выше, является
единственным. Для этого достаточно установить, что
если O = ao + ai, ao—канонический элемент, а aiEi,
то «о = ai = 0. Так как а0 = — аи то а0 <= т, поэтому
230 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
tto является уравновешенным элементом. Пусть
а0 = Е а,' Yt ; a, е=F*, |(. ф %,, i?=j<k, и
предположи *' у
жим, что & >• 0 (т. е. что ао ф 0). Вычислим значение
^v (ao): Vy К * У и) = ао по свойству 3); пусть 0 < i < k,
тогда у^ТФу^Т, так как %t ф |0 и {Ys||eS}
—система представителей; следовательно, Vy
и ^о(«о)= 2>п(у^) = аое=Г, т. е. ^
и а0 — не уравновешенный элемент. Полученное
противоречие доказывает, что а0 = а{ = 0.
Из только что доказанного следует, что U = ю.
Действительно, включение ще(/ было установлено раньше
(точнее, было установлено, что иа,ve(/). Пусть aet/
и a = ao + «i; aiEin, a0 — канонический элемент; если
ао Ф 0, то, как установлено выше, Vy (a0) Ф 0 для
некоторого I e S, но KY (ai) = 0, так как щ —
уравновешенный элемент, и поэтому VY. (a) = Vy (cto + ct^ =
= Ууъ (°о) + Ууъ (<*i) = Ууъ (°о) Ф 0. т. е. a — не
уравновешенный элемент; следовательно, ао = О и a = aient,
Usm.
Определим теперь отображение v': F[TQ]-*rl так:
t»'(a)^=0 для aeiti; для a^m пусть 0 = 00 + 0];
a0 = X агУ| — канонический элемент, а,еш (а0 будем
называть канонической частью а); тогда v'{a)^±
=^гшпф(оа^) Yj. e Го; так как at^F*, то ш^еГ;
следовательно, ф (ua*) e Го определено корректно.
Проверим теперь, что v' является «нормированием»
кольца ^[Го]. Сначала установим справедливость
условия 2) определения. Достаточно установить это для
канонических элементов, так как каноническая часть
суммы элементов равна сумме канонических частей. Пусть
а= Z aty,, Р= ? Ь{уъ . ЬФЬ Для 1ф]<.к\ аи
bt^ F (здесь допустим случай, когда а* или 6,- равно 0),
и предположим, что а и р не равны 0; так как а и |3 —
канонические элементы, то t/ (a) = min ф (vat) y^, v' ф)=
§ 7] РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 231
= minq>(vb,)у. ; а + Р— также канонический элемент,
/ )т1пф(о(а/ + 6,)) уг. Пусть i < k, тогда
), v{bt)}, <v{v(at + bt))vl{>
!>min {ф (vat) Yj , ф (»&,) Yj }^min {v'a, p'P}; так как это
справедливо для любого i < k, то w' (a + Р) =
= гшпф(а(аг + bt)) у^ ^min{w'a, а'р}. Если а'(а)<а'(Р),
то пусть го<? таково, что v' (a) = <$(vai3)yi ; так как
?WYS.>»'(P)>»'(«), то <P(o6,,)Y6<)><PK,)YEfa,
Ф (об,.) > ф (vala), vbia > vah и v (ah + bh) = v (al(),
следовательно, ф (о (a/o + bh)) уъ^ = ф (wa/o) y^o = o' (a) и v' (a +
+ P) = min ф (v (al + 6 Л) Yt ^f'(a). Обратное
неравенство установлено выше.
Проверим теперь условие 1). Покажем, что v' {а • Yo)=
= фо (a) Yo для любого одночлена а • Yo. a^F, уй еГо.
Действительно, как было установлено выше,
канонической частью элемента а • y0 будет {ау) • у^, где y^F =
= уофГ и ф (v) = Y0Y^"ь, тогда v' (я • y0) = ф» {ay) ¦ Y| =
= Ф {va ¦ vy) ¦ уъ = ф (wa) • фY • Уг = Ф (wa) • Y0Yf Ч& = Ф {va) ¦ у0.
Из условия 2) теперь вытекает, что если a = Y
i
и • ф (ua0) • Yo < ф {vcti) • Y/ Для 0 < i < I, то v' (a) =
= v' (a0 • Yo) = ФУ (ao) Yo- Если a = Y, aiV% ~ канониче-
ский элемент {at<^F*, lt?=li для I Ф j < &), то
w' (a^Yj ) для i < j < k; действительно, если v' (aiyl \=
/(J> T0 «pH-v^^W-v^ и y6<y^ =
)
= ф (wa^ (ф (wa^)) = ф (w (aya)) s фГ, что невозможно,
так как У^.фГ =/= Yj фГ Для ^ =/= ly. Следовательно,
существует единственное io<k такое, что w'(a/0Y?/) =
= t>'(a). Пусть р^ Yi b.y.r — другой канонический эле-
мент и /о < / таково, что vf (bjypA = v (P). Перемножив a
и Р, получим a-p= Y (а,Ь,)(у.у^\, среди одно-
i<i.l<tK l !/\ ii *//
282 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
членов вида (а^/) (V| Y|') единственный одночлен
(a/iA/o) (^ij \'i) имеет наименьшее значение v',
следовательно, как отмечено выше, v' (ар) = v' ((а^Ь^) (у. у^ Y)=
= ф (Ча А)) Уц.Ч = ф (ти) V ф (у6/~) vu= "'(а)""'(р)-
Условие 1) проверено. Условие 3) следует из
определения отображения v'. Итак, v' — «нормирование» кольца
F [Го]. Пусть Ri^ F [Го] /га, тогда по предложению 1 v'
индуцирует «нормирование» см целостного кольца Ru
которое продолжается до нормирования сп поля ^о ^
^F(Ri)—поля частных кольца R\. Так как элементы
вида а Л, a^F, являются каноническими, то
отображение а\—>а-1 индуцирует вложение F в R\ и,
следовательно, в ^о- Отображение vo'—^ 1 • Yo индуцирует
вложение ф: T0-*-Fq (ф — вложение, так как элементы
вида 1-yo—1 - Yi не являются уравновешенными для
Yo^Vi)- Заметим теперь, что v'A • Yo) = Yo'.
следовательно, i>o(ih>o) = Yo и фГо — сечение для
нормирования vo. Так как v'(a-l) = q>(va) для a^F, то,
отождествляя F с его образом в Fo, получим, что v'a = фуа;
следовательно, R — RvMF, {F, R)^{Fo, Rv). Так как
(Y-1 — 1-<py)sib для ysTi то ФФ7 = V и.
следовательно, нормированное поле (Fo, Rv,) является искомым.
Заметим, что 7*0 как поле порождается над F
множеством фГо, т. е. Fo= F(tyTo). Про нормированное поле
(^о, Rvj будем говорить, что оно получено из (F, /?>
расширением группы сечения нормирования Г до Го.
Установим теперь минимальность этого расширения.
Предложение 4. Пусть Г ^ F* — сечение
нормированного поля (F,R}, ф: Г—>Го — вложение линейно
упорядоченных групп, <770,/?o>(S<^,/?>) получено из
(F,Ry расширением сечения Г до Го (ф: Го -*¦ F*o —
соответствующее вложение). Для любого нормированного
расширения <Л,/?1> поля (F,R} и любого изоморфного
вложения Я: Го-*-(^ь ^«,) такого, что Херу = у для
уеГ, существует единственный F-изоморфизм х поля
\Fo,Ro> в <Fb/?i> такой, что хф = X.
Вложение Я: Го-*-/7! индуцирует ^-гомоморфизм X'
кольца F[r0] в F\. Можно считать, что с кольцом R\
ассоциировано нормирование и,: Р^-ь-Т^ такое, что
Fo^Fi и Wi^Yo = Yo Для Yo^IV Проверим, что тогда
5 Я РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 233
viX'a = v'(a) для любого ае/^Го], где
v'—«нормирование» кольца ^[Го], определенное при построении
поля Fq. Заметим, что via = yva для а е F*, где и:
F-vT0 — нормирование поля F, ассоциированное с R
и такое, что vy — у для у е Г ^ F*. Действительно,
a = {va)ar, где а'е/?\ю(/?); следовательно, а'&
e/?i \m(/?i) и via=zvi(ya)-va'= v\{va)-\ =
= i>i?upi>(a)= q>va. Поэтому для a^F*, уо^Го имеем
vlX'(a-y0) = fi(a-X,Yo) = vi{a)-vikyo = q>(va)-y0 =
==t;'(a-Yo); если а =?.<*!•'Ys, (at<=F*, ЪгФ1, для
i^j<k) — канонический элемент, то Я/a = 2
• Ylji и так как
vi (V (a, • Ys,)) — vf-(at • yit) ф v' (a, - yi{) = t»i (A/ (a/ • Ys;))
для 1ф\< k, то u^'a = minV\%r(at • Ys.), поскольку
v\ — нормирование; но u'a = min vr (at - Ys,); следова-
тельно, v'a = t»iVa для канонического элемента a.
Покажем, что если a — уравновешенный элемент, то
%'а = 0; для этого достаточно показать, что К'иа, Y = 0;
иа,у = (ау)'\— а-ц>{у), У(ау\) = ау, У{а-ц>{у)) =
= а-\у(у)= ау и Х'(иа,у) = X'(ayl) — К'(а-у(у)) =
=? 0. Отсюда следует, что yiX/a = fa для любого a e
е/^Го]. Но тогда X' индуцирует вложение кольца
F[To]/ai в Fu а следовательно, и вложение т поля Fo —
поля частных кольца /?ь Из определений видно, что
ха = а для а е F и если yo е Го, то xipYo = Я-Yo. так как
т индуцировано гомоморфизмом X', а 1|гуо—образ
элемента l'Yo в Fo. Итак, существование нужного F-изомор-
физма из (Fo,Ro> в </7i, /?i> показано. Единственность
вытекает из равенств -пр = X и Fo = ^(фГо). D
В заключение параграфа сделаем замечание о ген-
зелевых нормированиях. Если ограничить себя
рассмотрением только гензелевых нормирований, то, очевидно,
справедливо решение поставленных выше задач в классе
гензелевых нормированных полей, нужно просто брать
геизелизации соответствующих решений; утверждение
о единственности соответствующих вложений также
сохраняют свою силу.
234 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Решение самой первой из задач, рассмотренных в настоящем
параграфе, в классе гензелевых полей может быть дано и
следующей явной конструкцией.
Пусть ft— поле, Г — линейно упорядоченная
(мультипликативная) абелева группа. Пусть ftr— множество всех функций /: Г-*-ft;
через of обозначим множество {у|у^Г, {(у) Ф 0}. На множестве
ftr можно определить операцию + покоординатного сложения. Через
ft (Г) обозначим множество {f\fekT, of— вполне упорядоченное
подмножество (Г, ^ >}. На множестве ft (Г^ можно задать
операцию умножения следующим образом: для f,g e ft (Г), ysT
Z
v'-v"=v
Для корректности этого определения нужно, чтобы сумма в
правой части имела смысл; для этого достаточно установить, что
для любого у еТ существует только конечное число пар
(Y, у") таких, что у'-у" = у и у' е. of, у" s og.
Пусть 2у=г= {y'I/(V) ?• 0, g(YY'-') ¦** 0}; 2Y so/;
предположим, что 2у бесконечно; так как Sy вполне упорядочено, то
существует строго возрастающая последовательность Yo"^Yi< •••
элементов из 1у, но тогда YYo~' > YYi~' > ¦ • • и VYn"'eCTS> n e
е (о, что невозможно, так как og вполне упорядочено. ?
Покажем, что f-gek (Г). Предположим противное, т.е. что
o(f-g) не вполне упорядочено. Тогда существует строго
убывающая последовательность уо > Yi > ••• элементов из o(f-g). Так
как Yn e о(f-g), то существуют yneof, yneog такие, что
уп = Y^-Y^', neat. Поскольку {yq, y[, ...}=of и а/ вполне
упорядочено, то (переходя, если нужно, к подпоследовательности) можно
считать, что Yo^Yi^---. но тогда Yo~' >Vi~' > ••¦ и Yo =
= YoYo"'> Yi' = 'YiYi~1 > •••> что невозможно, так как {yo. Yp
и ag вполне упорядочено.
Легко проверяется, что операции + и • задают на k (Г)
структуру коммутативного кольца. Поле k имеет естественное вложение
в кольцо k(T): для а ей пусть fa — функция, определенная так:
fa(l) =?= a; fa(y)=^O для у еТ \ {1}; тогда a i—> /a — изоморфное
вложение. Группа Г также имеет вложение в k (T): элементу уеГ
сопоставляем функцию fv: ^v(y) =^ 1; Г (у') ^ 0 для y ч4" Y' е Г;
соответствие Y'—>Н сохраняет умножение. Образы k и Г в ft (Г)
отождествим с ft и Г соответственно; поэтому можно считать, что
ft (Г) есть ft-пространство (ft-алгсбра) и в ft (Г) определено
умножение на элементы из Г. Если / т^ 0 е fe (Г), то пусть of=?=
ч*= minaf(s Г), vf^=Q для / = 0; из определений легко видеть, что о
есть «нормирование» кольца ft (Г) со значениями з Г. Так как
f ?• 0 влечет vf Ф 0, то ft (Г) — целостное кольцо и
«нормирование» v продолжается до нормирования v0 поля частных F(ft(r^)
с группой нормирования Г.
Докажем следующее утверждение!
§ 7] РАСШИРЕНИЯ ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ 236
Лемма. Любая '/(-последовательность элементов из k (Г) имеет
некоторый предел в klV).
Пусть А = {/р | р < а} — ^-последовательность элементов из
k(T); пусть 6р чь t»0 (/p — /p+i) = t» (/в — /p+i) 6p s Г и Р <
< 6 < а =*¦ 6р < 6fl. Заметим, что к (/ — g) S> Y равносильно
равенству f HY' IY' e Г, y' < Y} = g t W I Y' €= Г, y' < Y}- Полагаем
для y^T
f (V)^(^(Y). если Y<6p;
'A"; I 0, если Y>sup{6p|P<a}.
Из сделанных выше замечаний следует корректность этого
определения: если Р < 6 < а и y < *р> т0 /р (Y) = fв (Y)> так как
t» (fp — /в) = 6р. Для Р < а через 2g обозначим множество
offp П (YIY < *р}; тогда легко проверяется, что если 0 < в < а, то
2р — начальный сегмент 2в; так как 2р — начальный сегмент сг/р,
то 2а вполне упорядочено, следовательно, 2^= U 2в вполне упо-
P<a p
рядочено. Но из определения fA видно, что ofA ^ S; поэтому
fA<=k(T). Так как /л ^ {yI Y < *р} = /р ^ {yI Y < 6р}, то
v (fA — /р) > 6р для всех р < а, но тогда о (/л — у = Ьр, так как
fpFp) =/= /р+1 Fр) = fA Fр); следовательно, /л — предел
^-последовательности А. П
Предложение б. Кольцо k(Г) является полем.
Достаточно показать, что для 0 ф f e k (Г) существует gsfe (Г)
такой, что fg=l. Будем строить по трансфинитной индукции
некоторую ^-последовательность А = {gp I р < а} так: пусть vf ==\а и
/ (-Yo) = a0 =/= 0 е fe, полагаем g0 =^ a^"'Yo" '• Проверим, что
co=^v(fgo— 1) > 1; действительно, crfe0 = YJJ"'сг/s {у|уеГ. Y>U.
так как Yo — наименьший элемент of; наименьшим элементом of go
будет 1 и fgj A) = / (Yo) g0 (Yo"') = aoao"' ¦=" 1J отсюда и следует,
что v (fga — 1) > 1. Пусть элементы gp, p < 6 F — некоторый
ординал), уже построены так, что для Р < % < 6, если 6p=^o(gp—gp+i)>
(/) /I). то ср<с5 и Cp = Y0*p- Если
pp р p p
6 — предельный ординал, то {g | Р < 6} есть ^-последовательность;
по лемме она имеет предел gflsfe(r). Пусть cfl =^= о (/gfl — 1) и
g < в; тогда о (fee - 1) = о (/ge - fg5 + /g5 - 1), v (fgl - 1) = ch
°{fgu-fgi) = °f-v(g6-gl)=*y0bl' CS = YO*|. поэтому св =
=» " (/ge ~') ^ C5; отсюда «e^c5+i>c5 и C6> cl Л1 Л1°бого
g < в. Все индукционные предположения выполнены и для
{g |Р<6+ 1}. Пусть в = |+1 и съф0, пусть aj=^=(/g5—1) (с5)=
/ (с{) (так как с5 > 1 и 1 (с^) = 0), 0 тб a? e= k; полагаем
(') (') A1)
236 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
1, т. е. Cj-ujYo; ed^v(fgli-l)m>v(f(gi-(ala^)x
X (Wo1)) ~ 0 - " ((fet ~ 0 - / • (<Ч«о""') • («iVo)) > ^ так как
0 (поскольку
^ = O| и (/ffe — !) (cj) = os — os = о. Таким образом-
P < о + 1} удовлетворяет индукционным предположениям.
Итак, построение последовательности еа можно вести до тех
р
пор, пока не окажется с^ = 0, в этом случае fg^ — 1 = 0. Мощ-
ностные соображения показывают, что это должно произойти. ?
Следствие, v — гензелево нормирование поля k{Г); k —
поле представителей, Г — сечение этого нормирования.
Действительно, при доказательстве предложения 2 § 6
установлено, что если в нормированном поле каждая ^-последовательность
имеет предел, то это нормированное поле гензелево. По лемме
п предложению v = v0 — гензелево нормирование. Остальные
утверждения очевидны. D
Замечание. Если Г = (t) — бесконечная циклическая группа,
то ft (Г) —это просто поле ?</» формальных степенных рядов
от одной переменной t над полем k.
§ 8. Элементарная эквивалентность гензелевых полей
В настоящем параграфе будут изучены
элементарные теории (см. гл. 1) (классов) моделей вида (F,Ry,
где R — гензелево кольцо нормирования поля F. Такую
пару (F,Ry будем называть гензелевым
(нормированным) полем.
Теорема. Пусть <F, #> и </7', R'y — два
гензелевых поля и поля вычетов k Ф- R/m(R), k' =?= R'/m(R')
имеют характеристику 0; (F, Ry и </*', /?'> элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда элементарно
эквивалентны поля вычетов и группы нормирований этих
гензелевых полей.
Доказательству этой теоремы и посвящен весь
параграф.
Для точного понимания содержания теоремы нужно
указать сигнатуру, в которой рассматриваются модели
(F,Ry. Такой сигнатурой является сигнатура теории
полей о/^ <+, •,—,0,1>, расширенная одним
одноместным предикатом R и одним двуместным предикатом ^,
т. е. сигнатура о ^ a; U (R\ ^2>. Пусть 7'о — теория
5 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ «jgf
сигнатуры о, моделями которой являются поля с
выделенным (с помощью предиката R) кольцом
нормирования этого поля и предикатом <;, определенным на F
как отношение ^«. Довольно очевидно, что это
записывается аксиомами. Для примера укажем аксиому
о кольце нормирования:
R(O)&R(l)&VxVy(R(x)&R(y)-+R(x + y)&R(x-y)&
&R(x'y))&VxVy(x-y=l-*R(x)VR(y))-
Пусть Th — расширение теории То последовательность!©4'
аксиом Нп, п > 1, утверждающей (в совокупности), что
R — гензелево кольцо нормирования; для любого п> 1
полагаем
n | [/? (a) & & R (a<) & VP (R (p)
Нп ^ VaVa, ... Va
((na-« + (n - 1) a,o^-* + ... + a,,.,) P = 1))] -*
3Y [R (Y) & (Yn + aiY" + • • • + C-iY + a» = 0) &
Аксиома Я„ утверждает, что любой унитарный мно>
гочлен f степени п из R[x] такой, что f имеет простой
корень .а в Fv ^ R/ra.(R), имеет в R корень у такой,
что a = v (или, что то же, a — y^m(R)). Здесь а —
элемент поля Fv, являющийся образом элемента a^R,
а f—многочлен из Fv[x], полученный из feR[x]
редукцией всех коэффициентов.
Заметим, что по любой формуле Sf(х0, ..., хп)
сигнатуры Of можно эффективно построить формулу
§1я(д:о хп) сигнатуры о такую, что для любого
(F, /?> (= То и для любых ао, ..., an^R справедливо
соотношение
R/m(/?)[-31 (So an)*>(F, R)\=%R(ao an).
Построение формулы %R будем вести индукцией по
сложности формулы 21.
Если Я имеет вид /i(лео, ...» xn)=h{xu, ..., хп), то
+уЛЬ-$ + У) (уф{хо,...,хп}).
238 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ, 4
Если Я^Я'&Я*^1 V2t2, ?t'->?l2), то
V 24 «Je
Если Я = Vjc*' (jc), то 21«
Если Я = Эл:Г(л:), то Я«^Э.г(Я(*)&««(*)).
Если </% /?> (= 7о. т. е. если R — кольцо
нормирования поля F, то с кольцом R ассоциировано некоторое
нормирование v: F-+T0 поля F (ассоциированность
означает, что Rv = R). Оказывается, что любое
утверждение об упорядоченной группе Г можно эффективно
переделать в равносильное утверждение о модели
(F, /?>. Более точно: по любой формуле 5Э(л:о х„)
сигнатуры <т; = <•,-', ^> линейно упорядоченных групп
эффективно строится формула %н(х0, ..., хп)
сигнатуры а такая, что для любых элементов ао, ..., ап^ F*
имеет место соотношение
Г(=93(иа0, .... van)<*(F, R)\=W(a0, .... а„), (*)
причем формула 9ЭН не зависит от модели (F, R} (а
только от формулы S3). Укажем индуктивный процесс
построения формулы 9ЭН по S3.
Если S3 = (/i(*o, ••., *лХЫ*о, ...» хп)), то
{уф{ха, ..., хп}).
Если 93 = (ti (х0, ..., хя) = B(х0, ..., х„)), то
^(Ь(х0, ..., xn)^t2(x0 хп))"&
& {h (хо хп) < ti (x0, ..., хп))н.
Если 95 = 9Эо & 23, (93О V 99ь 3%->/Bi), то
93ff чь 930ff & 93f (930ff V 93?, ЗЗ? -
Если 93=у*23оМ, то %н^ух(хфО->Ч$(х)).
Если 23=Зд:930(лг), то %н-^Эх(хф0& B?(jc)).
Из определения формулы S3" почти непосредственно
вытекает соотношение (*).
Из проведенных рассмотрений следует
необходимость условий теоремы; доказательство достаточности
потребует больших усилий.
§ 81 ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 239
Начнем с рассмотрения более специальных моделей,
а именно гензелевых полей, имеющих поле
представителей для поля вычетов кольца нормирования (короче —
поле представителей для кольца нормирования) и
сечение (определения этих понятий см. в предыдущем
параграфе).
В интересующем нас случае всегда существует хотя
бы одно поле представителей, как это вытекает из
следующего утверждения:
Лемма. Пусть (F, R") — гензелево поле, R/m (R) —
поле характеристики 0; тогда существует поле
представителей для R.
Так как R!m(R)— поле характеристики 0, то поле
рациональных чисел Q содержится в R. Пусть k —
максимальное по включению поле, содержащееся в R
(существование такого поля следует из леммы Цорна).
Покажем, что k и является полем представителей.
Предположим противное. Пусть R/m(R)—собственное
расширение поля k (k отождествляется с его образом
в R/m(R)). Пусть ве R/m.(R)\k. Если а является
трансцендентным над k элементом, то для любого
элемента a^R такого, что а = а, поле k(a) будет
содержаться в R и k=fck(a). Пусть а—алгебраический
элемент и хп-\- Ь\хп~х + ... + Ьп-\х-\- bn^k[x] —
многочлен минимальной степени, корнем которого является а.
Так как поле k имеет характеристику 0, то этот
многочлен не имеет кратных корней в R/m(R). Из гензелево-
сти кольца R следует, что этот многочлен имеет корень
а е R такой, что а = а. Но тогда поле k(a) содержится
в R, k=?k{a). Опять получили противоречие.
Следовательно, k = R/m(R) и k — поле представителей для R. ?
Вопрос о существовании сечений более сложен.
Сечения могут не существовать и для гензелевых полей
с полем вычетов характеристики 0. Тем не менее, как
это будет видно из дальнейшего, существует «достаточно
много» гензелевых полей с сечением. В качестве
следующего шага в доказательстве теоремы мы
рассмотрим случай гензелевых полей с выделенными полями
представителей и сечениями. Формально это означает,
что сигнатура а расширяется до сигнатуры ao^oU
LK&'.r1), полученной из а добавлением двух новых
одноместных предикатов, и рассматриваются модели
240 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
сигнатуры ао вида F = (F, R, k, Г>, где R — гензелево
кольцо нормирования поля F, k — поле представителей
для R, Г — сечение для R. Из определений поля
представителей и сечения для R легко следует, что класс таких
моделей сигнатуры сг0 (рекурсивно) аксиоматизируем.
Пусть 7\ — рекурсивная система аксиом для класса всех
таких моделей, у которых характеристика поля k
равна 0.
Пусть g — некоторый аксиоматизируемый класс
полей характеристики 0 и Т% — система аксиом для теории
класса Щ; пусть © — аксиоматизируемый класс линейно
упорядоченных абелевых групп иГ® — система аксиом
для теории класса ©. Обозначим через <8, ©> класс всех
моделей вида F = </%R,k,Г> таких, что F\= 7\, iieg
иГе®.
Для любой формулы 91 сигнатуры Of пусть 91* —
релятивизация % относительно одноместного предиката k;
для любой формулы 8Э сигнатуры а/ пусть 8ЭГ —
релятивизация Э относительно предиката Г. Положим по
определению Г§ ч* {й* 121 е= Г8}, Г® ^ { 93Г 18 г Г®}; тогда,
очевидно, справедливо следующее
Предложение 1. Класс <8.©> аксиоматизируем;
в качестве системы аксиом для теории класса <8, ©>
можно взять систему Г<е, ©> =^ Т\ {] г| U 71®. П
Из главы 1 известно, что для всякого
аксиоматизируемого класса моделей сигнатуры а существует такое
формульное расширение а этой сигнатуры, что модели
этого класса, рассматриваемые как модели сигнатуры а,
образуют модельно полный класс. Представляет
несомненный интерес нахождение как можно меньших
расширений сигнатуры с этим свойством. Пусть а{~
некоторое формульное расширение сигнатуры о/ (и для
каждого предикатного символа PGdf\Of пусть ЗГ:—
определяющая предикат Р формула сигнатуры О(),
пусть а; — некоторое формульное расширение сигнатуры
а/ (и для каждого предикатного символа Q e di \ at
пусть S3 q —определяющая предикат Q формула
сигнатуры от;); предполагая, что df {] {R,k, Г} = 0. a/f|
П {R, К Г} = 0 и dff\di = at, можно определить
формульную сигнатуру д0 ^ а0 [j df \j at для класса <&,©>,
полагая для Р е df \ а/ в качестве определяющей фор*
$ 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 241
мулы формулу21^, а для Qeffj \<т/ в качестве
определяющей формулы формулу 8q. Заметим, что
для F, F'e=<§, ©) из F^F' следует,
что ?<8f ?' и Г<в/Г.
Предложение 2. Если аксиоматизируемый класс
полей g характеристики О модельно полон в
формульном расширении df сигнатуры а /, а аксиоматизируемый
класс линейно упорядоченных групп © модельно полон
в формульном расширении di сигнатуры а/, то класс
<§, ©> модельно полон в формульном расширении а0
сигнатуры а0.
Будем пользоваться критерием Робинсона и
доказывать, что если F, F'«=(§, Я), F<9 F' и Я(*ь ...
..., хп)—примитивная формула (сигнатуры д0).
истинная в F' на некоторых элементах из F, то она истинна
на этих элементах и в F. Пусть F = {F, R, k, Г), F'' =
= {F',R', k', Г'), F<c,F'
Рассмотрим три специальных случая расширения
F'
Случай 1. <.F',R'y — гензелизация нормированного
поля (/-о, /?о>. полученного из </*¦,/?> расширением поля
представителей k до k'.
Заметим, что в этом случае Г' = Г. Рассмотрим
систему аксиом Ф =^ Г«. ®> U Ово (F) [} DBf (k') [} {k (ca) \a e
g'A' \ k). (Предполагается, конечно, что константы,
соответствующие элементам k в F и в k', одни и те же,
а константы, соответствующие элементам F \ k и k' \ k,
попарно различны.) Пусть с^, ..., c^sF и F'\=
(==5l(ai, .... an); покажем, что Ф \- ?t(cai, .... Сап). Для
этого достаточно установить, что для любой модели
F"={F", R", k", Г", ...) такой, что F''t-Ф, будем
иметь F"H2t(co, СО' Так как F"H=«Dao(F), то
можно считать, что F^.e0F" (^F" \ а0); так как F"\=-
|= Ddf (k') U {k (са) | a e k' \ ife}, то можно считать, что
k'<^sfk". По предложению 2 § 7 существует /\ &'-изо-
морфизм поля (Fo, Ro) в {F", R")\ так как (Ff, R') —
гензелизация (Fq, /?о). а (F", /?") — гензелево поле, то
этот изоморфизм продолжается до изоморфного
вложения (F\ /?') в {F", R"). Так как Г<в/Г", k'^ofk",
242 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
то можно считать, что имеет место включение
F<йоF' <e,F". Так какР'|=Щ(а1 а„) и % —
примитивная формула, то F"|=9t(ai а„) и,
следовательно, F"j=9t(ca, Can).
Итак, Ф I—9t (са, Can); следовательно,
существуют конечные множества формул Фо s DSf (kr) и
Ф! s {& (са) | a e A' \ k) такие, что
Т®, Ф U Ddo (F) \- (& Фо) & (& Ф,) -> Я (Cai> .... CaJ. (•)
Пусть ср, сря — все константы вида ср, ре/7
или Р е ^', встречающиеся в Фо или в Фь и
предположим, что Р! &t^k'\k, а р<+1, .... pse/\
Существует формула Ч? {xi xs) сигнатуры af,
являющаяся конъюнкцией элементарных формул или их
отрицаний, такая, что &фо = Чг(ср1, •••, cps). He
уменьшая общности, можно предполагать, что Ф[
состоит в точности из формул k (ср,), ..., k (ср ).
Из доказуемости (*) и того, что константы ср, ср
не входят в Г<з, ®> U ^>a0 (F) и в 21 (са, Сап), следует,
что доказуемо
Ta.»\)Dlh(F)\-k(xl)& ... &k(xt)&
и доказуемо
r«,№U^,(f)b3^, ...3xt(ft(xi)& ... &k(xt)&
&yV(xl Xt, CP<+1 CpJ)-*-Я (Ca, CaJ.
Покажем, что посылка импликации последней
формулы следует из Ds,(F)- Действительно, примитивная
формула 3*i ... 3*^(^1 xt, xt+i, ..., xs) истинна
в k' на элементах р<+1 $s^k; k^ofk'; k, ^'eg;
§ модельно полон в сигнатуре af, и, следовательно,
эта формула истинна и в k, т. е. существуют элементы
р;, .... р;е=? такие, что ^N^(Pi PJ, Pt+1 P.),
следовательно, Z)Sf (A) I- Y (c^ cp/, j
так как р;,...,р;еА, то DdQ(F) \- ft(c)
следовательно, Z)^ (F) (- А (срЛ & ... &k (с^Л &
$ 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 243
w)
... &k{xt) &W(xi xt, ср<+1 cPj)). Таким образом,
(F)V-4L(cai Can).
Но если F — естественное обогащение F до сигнатуры
а0и(са|а^О. т0 ^H^e.wllA^F); следовательно,
i св„) и
Случай 2. (F',R'} — гензелизация нормированного
поля (Fo, /?o>, полученного из (F,R} расширением
сечения Г до Г.
Заметим, что в этом случае k = k'. Рассмотрим
систему аксиом Ф ч* Г<9. е» U Da0 (F) U Dat (Г') U {Г (ca)| a e=
еГ' \ Г} (предполагаем, что константы, соответствующие
элементам Г в f и Г', одни и те же, а константы,
соответствующие элементам F \ Г и Г' \ Г, попарно
различны). Пусть ai с^е/7 и ^'[=91@! а„);
покажем, что Of-U(cOl, ..., cOft). Для этого достаточно
установить, что для любой модели F"={F", R", k", Г",...}
такой, что Р"\=Ф, будем иметь F"f==9l(cai спп).
Так как F"l=Z)o (F), то можно считать, что F<^.6 F"
(- F" \ д0); так как F" \= Dd[ (Г) U {Г (са) | а е> Г \ Г}, то
можно считать, что Г'^о^Г". По предложению 3 § 7
существует F, Г'-изоморфизм поля {Fo, Ro) в {F", /?");
так как </=", R') — гензелизация (Fo, Ro), а {F", R") —
гензелево поле, то этот изоморфизм продолжается до
изоморфного вложения (/•", /?') в {F", R"); так как
Г' г^зг Г", k t^Sf k", то можно считать, что имеют место
включения
Так как fH^fai an) и 91 — примитивная формула,
то Г'НЯ(аь ..., а„) и Е»И«(с., св|(). Итак,
ФЬ- 9l(cOl,..., can); следовательно, существуют конечные
множества формул Фо^^й^Г') и Ф] s{r(ca) |а<=Г \ Г}
такие, что
Т®. ф U Do0 (F) Ь (& Фо) & (& Ф,) -> 91 (св, сап). (*)
244 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Пусть ср>..., Ср —все константы вида ср, ре Г",
встречающиеся в Фо или в Ф1( и предположим, что
Pi, .... веГхГ, а р<+1 fee Г. Существует
формула ?0(х1,..., xs) сигнатуры д/, являющаяся
конъюнкцией элементарных формул или их отрицаний,
такая, что &Ф0 = Чг0(ср1 cps). He у*еньшая
общности, можно предполагать, что Ф{ состоит в
точности из формул Г(ср,), ..., T(cpf).
Из доказуемости (*) и того, что константы ср,,..., cpf
не входят в Г<8, e> LJ A>0 (F) и в 91 (со, со„), следует,
что доказуемо
T&.&[)DaAF)\-r(Xl)& ... &Г(х,)&
A^o^i хи cpf+1, .... Cps)->9l(cOl, .... со„)
и доказуемо
...3xt(T(Xl)&... &V(xt)&
( Xt, Cpf+), .... Cps))->5t(Ca,, -.., Can).
Покажем, что посылка импликации последней
формулы следует из De0 (F). Действительно, примитивная
формула 3*1 ... Эх^оС*!» ..., xs) истинна в Г' на
элементах pf+i, ..., fee Г; Г<Э,Г"; Г, Г'е©; © модельно
полон в сигнатуре 51( следовательно, существуют
элементы р;,..., р^еГ такие, что Г(=^0(Р(.-. К> Pf+i>-> P.);
тогда r(cej)eZ)So(F) для *- 1,...,/; D^V^
()
ср/, ср<+1, .... CpJ, следовательно, ^0()(^) Ь- Г
<+ J () ^^
... & Г (ср/) & W,, (ср/,.... Cpf+i,.... CpJ. Формула Эх,...
... Эх, (Г (х.) & ... & Г (xt) & % (хь ...! xt, cpf+1, .... cPf))
является логическим следствием последней формулы.
Г<8, ®> U DS() (P) h St (св1, .... Сап).
Так как F (= Г<8, ф> U D3l (F) для естественного
обогащения F модели F до сигнатуры c0U(co|osF), то
F!=«(<?.,, .... са„) и Ff-a(a, а„).
Случай 3. (F', /?'> — гензелизация нормированного
поля </?(х),/?0> э <F,/?>, являющегося
непосредственным расширением <F, /?>.
§ 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 245
Расширим сигнатуру в0, добавив к ней новые
константы са для всех aef и еще одну константу й-
Рассмотрим систему аксиом Ф ^ Т\ U DBa (F) [} {v (d — са) =
C3(R()&R{)&l&d ))
y(((){)a y))\,
уеГ, v(x — a) = y}. Здесь v: F'-*¦ (Г')° — нормирование,
ассоциированное с R', такое, что v (у) = у для у <= Г'.
Модель F' можно обогатить до модели F' расширенной
сигнатуры так, что с? = а, d^' = х, тогда Р'\=Ф. Пусть
а{ aBef и F'H^Kai an)'> покажем, что
Ф1— 91 (cai сппу Для этого достаточно установить,
что F"\=*%(cai сап) для любой модели F" этой
системы аксиом^ Пусть"F" = {F", R", k", Г"> —
до-обеднение модели F"; так как F" (== Ds, (F), то можно
считать, что F^.F". Пусть v" — нормирование F",
ассоциированное с R", такое, что v" (у) = у для у е Г";
y^d^'eF") тогда для любого ogF v"(y — a) =
= v(x — а), так как если v (x — a) = у, то из истинности
в F" формулы 3u3v(R(u)&R(v)&uv=l&d—ca = cy-u)
следует, что о" (у — а) = у (= с*"). По предложению 4
§ 6 существует ^-изоморфизм <р из (F (x), Ro) в {F", R")
такой, что <р(л:) = г/. Отождествляя х и у, получим, что
(F(x), R0)s(F", R"); так как (F", R") — гензелево поле
(F" [=• Т\), то можно считать, что имеют место включения
(F, R) s (Ff, R') E (F", R").
Из того, что F <Je0 F", и того, что F' — непосредственное
расширение F, следует, что F <о„ F'^<s, F"'. Из F'\=
(=^(«1 ап) следует, что F"H3t(alf .... а„) и что
^"N=21D сап), так как с^ = а{, /=1 п.
Итак, ФНЯ(«а1 Сап). Следовательно,
существует конечное множество формул Фо Е {о (d — са) =
= у I v (х — а) = у) такое, что
Пусть Фо = {v (d — eg,) = Yi v(d — cPfe) = yk);
так как константа d не встречается в Го U Da. (f) и в I, то
k
v(u-cft) = yt)-*^{cai c.n).
246 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ, 4
Покажем, что посылка импликации следует из D», (F).
Для этого нужно показать, что в F существует такой
элемент и, что v(u — Р<) = Y' для i= I k.
Предположим, что yi ^ Y< Для t = 2 k. Так как v(x—f$i) =
= Yi, то v({x — P1)Yf1)= 1; так как <F(х), Ro} —
непосредственное расширение <7\ /?>, то существует 8е^'
такой, что v ((д: — fy) Yf' — 6) > 1, следовательно, и (л: —
— (Pi + Yi6)) > YiJ элемент u =?= Pi + Yi6 е У7. Проверим,
что v(m — р*) = y^ для всех i = 1, ..., &. Действительно,
и (u — P0= v(u — х + х — р,-)= f(x— p,-)= y/i так как
и(х — $i) — yi^zyi<Zv(u — х). Таким образом,
Г1 U ?>». (F) I- Я (св1, ..., сн).
Если F — естественное обогащение F до сигнатуры
OolKcJae/7), то F I-Ti U ^>в-(f) и, следовательно,
?И«(с«, св„), F(=3t(ab .... а„).
Закончим теперь доказательство предложения 2,
рассмотрев случай произвольного расширения F^d^F'.
Построим ряд промежуточных расширений F*^a Fo^e,
^dcFi^a,Fr следующим образом.
Пусть F'0**Fk', R'o^F'oftR' и (Fo, Ro) - гензели-
зация (Fo, Ro), лежащая в (F', R')\ полагаем Fq^-
^(Fq, Ro, k', Г). Заметим, что (F'Q, ^ — нормированное
поле, полученное из (F, R) расширением поля
представителей k до k', как это легко следует из
предложения 3 § 7.
Пусть Fi^Fo(T'), R[^F[()R' и (Fu R,> - гензели-
зация (F[, R[), лежащая в (Fr, R'); полагаем F^
¦^(Fu Ri, k', Г'). Заметим, что (F\, R\) — нормированное
поле, полученное из (Fo,Ro> расширением сечения Г
до Г', как это легко следует из предложения 4 § 7.
Расширение F\ ^a, F' является непосредственным
расширением. Пусть с^ anef и F'\=%{au ..., а„).
Покажем, что Fi\=%(au ..., а„). Для этого заметим,
что можно ограничиться рассмотрением случая, когда
F' имеет конечную степень трансцендентности над F\.
Формула % имеет вид Зг/i...Зут%{У\ Ут, хь..„ хп),
где %0 — бескванторная формула; так как F'\=%(au..., а„),
то существуют Pi Pme^" такие, что F'(=5lo(Pb•-•» Pm.
a! а„). Если F\ — алгебраическое замыкание поля
Л(Р^ •¦•• Р«)в F'> К^[' ^<^ К k' г>
5 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 247
то FINVPi. ¦•- Р- ai> ••- ап) и ^Н*(а,. .... «„).
Выбрав (конечный) базис трансцендентности F[ над Fi,
можно рассмотреть такую цепочку расширений
что все Fi, i= 1, ..., s, являются гензелевыми
нормированиями и Ft+i имеет степень трансцендентности 1 над
Ft, t = 1, ..., s—1. Если Jt(Eft+i\F(, то по
следствию 3 предложения 3 § 6 Ft+i есть гензелизация поля
Ft(xt).
Используя случай 3, разобранный выше, получаем,
что Fi|= 91 (<xi, ..., а„).
Используя случай 2, из Fi|=9l(ai, ..., ап) получаем,
что Fo\=%(ai, ..., an).
Используя случай 1, H3F0|=9t(ai, •••. ««) получаем,
что F[= 9t(ai, ..., а„).
На этом и завершается доказательство
предложения 2. П
Следствие. Пусть F = <F, R, k, Г> 1= Th F' =
= <F, R', k', Г'> И 7i; если F <s, F', ^ < k' и Г < Г', то
Напомним, что символ <. обозначает элементарное
вложение. Для любых формульных расширений
сигнатур df Э Of и ШЭ01 из &<&' и Г<Г" следует, что
k<^.'efk' и Г^s,Г' и, следовательно, F^.s0F'. Модельная
полнота (для подходящих формульных расширений
dfSOf и df3<Tj) и включение F<^.s F' влекут F*^.F'. ?
Предложение 3. В условиях предложения 2, если
теории классов 55 и ® являются полными, то и теория
Г<5 й> является полной.
Пусть F=</7, Я, fe, Г) и F' = {F', R', k', Г) - две
произвольные модели теории Г<з, ®>, пусть (Fo, Ro){(Ffo, Ro})—
гензелизация нормированного поля k&T (kf®t,),
лежащая в F(F'); тогда Fo — (fо, Ro, k, r)<SoF(F'04±
-^{F'o, RL k', ГКб,П F0(FS)J=r<3l(S>. Так как g-
полный класс, то существует ?е$ такое, что k^.Qfk
и й'^в^й; так как © — полный класс, то существует
группа Ге® такая, что Г^^Г и Г'^^Г; пусть
(F, R) — гензелизация нормированного поля ?<g> Г, тогда
248 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
F -^ (F, R, k, Г) е Г<в, ®> и вложения k <efffej „(&' <9f k),
Г<Э,Г(Г<в/Г) индуцируют вложения А®Г (ft®Г)
в &®Г и вложения Fo<e0F (Fo<»oF). Рассмотрим
диаграмму
Так как теория Г<8,®> модельно полна в сигнатуре д0
и все модели диаграммы принадлежат классу (§, ©),
то все эти вложения являются элементарными и,
следовательно, все эти модели элементарно эквивалентны
между собой; в частности, F элементарно эквивалентна F'.
Так как F и F' были произвольными моделями Г®, ©>,
то эта теория полна. ?
Для завершения доказательства теоремы остается
заметить, что для любого гензелева нормированного
поля (F,Ry с полем вычетов характеристики 0
существует ему элементарно эквивалентное поле, имеющее
поле представителей и сечение. Действительно, для ген-
зелевых полей с полем представителей и сечением
достаточность в теореме вытекает уже из предложения 3,
так как такие поля можно обогатить до моделей полной
теории <$,©> в подходящей сигнатуре во.
Существование поля представителей установлено
выше для любого гензелева поля с полем вычетов
характеристики 0. Пусть F — (F, R} — произвольное ген-
зелево поле, рассмотрим ультрастепень F' ^ Fa/D =
= (F',R'y поля F по любому неглавному ультрафильтру
D над со. Тогда F — элементарная подмодель F', а поле
F' является ©i-насыщенным. Легко проверяется, что
группа единиц W кольца R', т. с. R'\rsi(R'), изоморфна
группе U®/D, где U = R\at(R); следовательно, U'
является ©i-насыщенной группой. Так как F'*/U'
изоморфна группе нормирования поля/"', ассоциированного
с кольцом R', то эта группа без кручения и, следова»
тельно, U' сервантна в F'*. Группа U' является алгеб*
раически компактной, следовательно, она выделяется
§ 8] ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 249
прямым сомножителем из F'*, т. е. F'* представимо
в виде U' X Г" для некоторой мультипликативной
подгруппы Г' группы F'*. Ясно, что группа Г' и является
сечением для нормированного поля </",/?'>• На этом
и завершается доказательство теоремы. П
В заключение этого параграфа сделаем ряд
замечаний.
Небольшая модификация позволяет доказать
аналоги предложений 1, 2 и 3 и для гензелевых полей без
сечений и выделенных полей представителей.
Покажем частный результат такого сорта (который,
впрочем, уже достаточен для установления
сформулированных выше утверждений).
Предложение 4. Пусть </¦,/?> s </¦',/?'>— ген-
зелевы поля с полем вычетов характеристики 0; если
индуцированные вложения полей вычетов и групп
нормирований являются элементарными, то и вложение
</г, /?> Е </г', /?'> также элементарно.
Рассмотрим ультрастепени <F, Я> ^= <F, Rya/D и
<F', R'y =^= <F/, R'y°/D, где D — неглавный ультрафильтр
над со. Заметим, что <F, /?> = </7', /?'> и это вложение
является элементарным тогда и только тогда, когда
вложение (F, /?> s (F\ R") элементарно. Поэтому
достаточно доказать предложение для случая, когда модели
{F, /?> и {Fr, R'y являются coi-насыщенными. Пусть 0 =?=
^R\m(R), U'^Rt\m(R')\ U и V — формульные
подмножества моделей (F, R} и </", /?'> соответственно,
поэтому они также являются аи-насыщенными; в
частности, они являются алгебраически компактными
подгруппами мультипликативных групп F* и F'*. Пусть
v: F-*T°, v': Fr-^T'°—нормирования, ассоциированные
с R и /?' соответственно, и v' г F = v (так что Г ^ Г").
Группа U сервантна в F*, так как F*/U.caV — группа
без кручения; так как U алгебраически компактна, то
в F* существует подгруппа Г\ такая, что F* есть прямое
произведение U и 1\. Покажем, что U'F* есть прямое
произведение \\ и V. Действительно, так как U f| Fi =
=: {1} и U/(]F*=U, то U/(]Ti={l}\ следовательно,
U'T\ — подгруппа группы UF*, являющаяся прямым
произведением V и Гь Далее, V ^ f/Ti и F* = UVi <
^t/Tr, следовательно, U'F's^U'T^U'F*, т. е. U'F*=*
a U'T\. Заметим теперь, что трансляция формул 83 сиг-
250 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
натуры oi в формулы 8ЭН сигнатуры ст, указанная в
начале доказательства теоремы, позволяет заключить, что
coi-насыщенность модели (F,R} влечет coi-насыщенность
(и алгебраическую компактность) группы Г. Так как
U'F* есть прямое произведение групп U' и Г\ т. Г, то
U'F* алгебраически компактна. Вычислим
фактор-группу F'*/U'F*; пусть ср: Г' —»• Г'/Г — естественный
эпиморфизм и -ф =^= фи': F'*-*-r'/T. Легко проверяется, что U'F*
лежит в ядре г|з. Наоборот, пусть г|з(а')=1, тогда
v'(a') = у е Г; следовательно, существует аеР такой,
что v(a) = v(a) = у; пусть и^а'а~1, тогда у'(«) =
но а' = иа, u^.U', a e F*, следовательно, а' е U'F*.
Итак, [/'Р* = Кег г|з и F'*/U'F* ~ Г'/Г. Так как
вложение Г в Г' элементарно, то Г — сервантная подгруппа
в Г'. Следовательно, Г'/Г — группа без кручения; отсюда
следует, что U'F* — сервантная подгруппа F'*. Тогда
существует подгруппа Го < F'* такая, что F'* есть
прямое произведение U'F* и Го; в частности, Го ~ Г'/Г.
Итак, имеем разложение F'* = U'F* X Го = (U' X ГОХ
ХГ0= [/'Х(Г1ХГо). Тогда подгруппа Г2^Г,ХГ0
мультипликативной группы поля F' является сечением
для R', a Ti является сечением для R. Таким образом,
\* , А, 1 1/ ^^ \Г , 1\ , 1 2/.
По лемме кольцо R содержит поле представителей k;
k^R^R'; пусть k' — максимальное поле,
содержащееся в R' и содержащее k. Доказательство леммы
показывает, что k' есть поле представителей кольца R'.
Итак, (F, R, k, Ti> ^ (F', R', k', Г2>. Воспользовавшись
теперь следствием предложения 2, имеем (F, R, k, TiX
",R',k',r2y, тогда тем более <F,R} ^<F',R'>. D
Приведем теперь пример гепзелева нормированного поля с
полем вычетов Q, которое не имеет сечения.
Рассмотрим поле Fo-^Qtt» — поле формальных степенных
рядов от одной переменной над полем Q. Поле Fo имеет естественное
гензелево нормирование Vo с группой нормирования (vot). Пусть
F, — алгебраическое замыкание поля Fo и и, — нормирование поля
F,, продолжающее нормирование v0 (такое продолжение
единственно с точностью до эквивалентности, так как Vo — гензелево
нормирование), Г. — группа нормирования и». Рассмотрим
последовательность элементов <о. 'ь • • • поля F,, удовлетворяющих
следующим соотношениям:
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ГЕНЗЕЛЕВЫХ ПОЛЕЙ 261
Полагаем Fn^F0(tn); vn=t*vj Fn; Г„ ^ г„ (F^) < Г%, «<=»;
заметим, что Го = (voto) и t»o'o— наименьший положительный
элемент Го. Покажем индукцией по п, что справедливы следующие
утверждения: 1) индекс ветвления е„+\ нормирования ил+1 относительно
нормирования vn равен 2"+'; 2) степень расширения sn+i ^[F„+i: Fn]
равн,а 2"+1; 3) относительная степень расширения frt+i ^ [Fn+ivn+i'.
'•Fnvn] равна —1; 4) элемент tn+\ имеет наименьшую
положительную норму в Fn+i и Г„+1 = (t;n+,/n+i).
Пусть п = 0. Так как i\ = 2t0, то v{ (/2) = v0 (t0) и eY = [Г,: Го] >
^lOMi) : (°о'о)] =2, ио s1 = [Fi:F0]<2 (это следует из того, что
^ie=^o('i) и '? = 2/0eF0); тогДа неравенство el-fl^sl влечет,
что si=2, ei = 2, fi = 1 и еще что Г] = (»i'i); так как (t>i/iJ =
= Оо'о > 1. то отсюда следует, что t\ имеет наименьшую
положительную норму в F\.
Пусть для иесо утверждения 1) — 4) справедливы. Так как
+2
оп+2(С?) = оП+1'п+1- и таК Как Гп + 1 = (fn+l'n+l)' T0 еп+2 =
= [Г„+а : rrt+i] > [(vn+2tn+2) : (vn+itn+i)] = 2П+2; неравенство
en+j.fn+2<sn+2 влечет, что sn+2 = 2П+2, е„+2 = 2п+2 и fn+a = l;
равенство еп+2 = 2П+2 влечет равенство Гп+г = (fn+j'n+j); так как
{vn+2tn+iJn+ =on+i/n+1 > 1, то и Оге+г'п+г > 1 и равенство
Г (') t
{n+n+) ++ + р
Гп+2 = (Оп+г'п+г) показывает, что tn+2 имеет наименьшую
положительную норму в Fn+2.
Итак, утверждения 1)—4) справедливы для любого п е со. Из
справедливости утверждения 3) следует, что полем вычетов для Fn
будет поле Q для любого п е со.
Полагаем F^± \J Fn; v ^= v, t F: Г =^= v (F*). Полем вычетов
пей
для F будет, очевидно, поле Q; так как Q ^ F, то Q является и
полем представителей. Рассмотрим подгруппу А мультипликативной
группы F* поля F, порожденную множеством {2, t0, tu ..,}. Без
особого труда можно проверить, что группа А изоморфна группе Р
примера из § 3 гл. 3 (при р == 2) при соответствии ео->2, е,->/0.
Следовательно, подгруппа B) не выделяется прямым сомножителем
в Л.
Предположим теперь, что для нормирования v поля F
существует сечение; тогда можно считать, что T^F*Ht; \ Г = idr. В этом
случае мультипликативная группа F* поля F имеет следующее
разложение в прямое произведение: F* = Q* X U X Г, где U ^
;j2:{a|fa = 1, v(a—1) > 1}; далее, мультипликативная группа Q*
поля Q имеет такое разложение: Q* = (—1)X JJ (р)- Проекти-
р простое
руя F* на Q* и затем проектируя Q* на B), получаем гомоморфизм
ф: F*-y B) такой, что срB) = 2; тогда ограничение ^)=^ф^:Л
показывает, что B) выделяется прямим сомножителем п А, что
невозможно. Полученное противоречие показывает, что нормирование v
поля F не может иметь сечения.
252 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
§ 9. Разложение нормирований
и элементарная теория поля р-адических чисел
Настоящий параграф посвящен описанию системы
аксиом для элементарной теории поля р-адических
чисел — классического объекта теории чисел. Для
доказательства будут нужны результаты предыдущего
параграфа и понятие разложения нормирования по
выпуклой подгруппе, с изучения которого и начнем.
Пусть v: F-*>T°— нормирование поля F, Го^Г —
выпуклая подгруппа группы Г, г|з: F->Ti =^= Г/Го—
естественный гомоморфизм линейно упорядоченных групп.
Гомоморфизм г|з индуцирует отображение v' ^ iff: F -*¦ Г?,
которое, как легко проверить, также является
нормированием поля F. Отметим, что Rv ^ Ro>. Покажем, что
кольцо /?'=?*=/?0' обладает «нормированием» vo со
значениями в группе Го, индуцированным нормированием у.
Это «нормирование» определяется так: для as/?'
v («). если a e /?' \ tn (/?');
0, если a etn (/?').
То, что это отображение является «нормированием»
кольца R' со значениями в группе Г, проверяется весьма
просто. Заметим теперь, что на самом деле значения к0
лежат в Г°и: если а е R' \ m (/?')> то v'(а) = ^v (а) = 1,
следовательно, о(а)еГо. По предложению 1 § 7 v0
индуцирует нормирование v поля R'/m(R') (с группой
нормирования Го). Поле R'/m(R') является полем вычетов
/V нормирования у'. Пара нормирований (i/, v)
называется разложением нормирования v, соответствующим
выпуклой подгруппе Го (короче, по подгруппе Го).
Нормирование v восстанавливается по любому
своему разложению, как это видно из следующего
предложения:
Предложение 1. Пусть v': F-*-T° —нормирование
поля F; v: Fv- -*¦ Го — нормирование поля /v (поля
вычетов нормирования у'); тогда существуют единственное
с точностью до эквивалентности нормирование v: F->-
->Г° поля F и разложение {v",v') этого нормирования
такое, что v' эквивалентно v", a v' эквивалентно v.
Пусть 7?^{a|as7?ti', aeft}; здесь a — образ
элемента а в поле Fv>. Проверим, что R — кольцо норми-
$ gi разложение нормирований 263
рования поля F. То, что R — кольцо, следует сразу из
определения. Пусть ае^-; если аеш^,), то а =
= 0е#с и, следовательно, <хе_/?; если ог^,- \m(Rv>),
то a-'eflt,' и либо а, либо а-'^а принадлежит Л»,
следовательно, либо а, либо а~1 принадлежит R. Пусть
a^F \RV', тогда a-1e^', даже a-'Ei(i-) и,
следовательно, о-' = 0е^8 и a-'eJ?. Итак, в любом
случае а или а-1 лежит в R, т. е. R — кольцо
нормирования поля F.
Пусть v: F -*¦ Г° — нормирование поля F,
ассоциированное с кольцом R (R = Rv). Пусть U z± Rv> \ m (Rv') —
(мультипликативная) группа единиц кольца Rv' и пусть
Г2 =?= v (U) — подгруппа группы Г. Покажем, что С/ =
= v~l (Г2) и что Г2 — выпуклая подгруппа Г. Пусть
asf и о(а)еГ2, т. е. существует |JeU такой, что
w(P) = w(a). Тогда w(aP"') = o(pa~!)«= 1 и <ф~\ $а~1 =
= (ap~l) ^R^RV'', следовательно, aP~lsC/ и a =
= (aP~l)peC/. Итак, о~'(Г2)^С/ и, следовательно,
С/=0-1(Г2). Пусть а, ре?/, уеГ и о(а)<\<»(Р);
пусть бе/1* таков, что оF) = \; тогда о(а)^оF)^о(Р)
и, следовательно, 6a~l, $b~l^R^Rv'\ но а, 0е?/ =
= RV' \m(Rv')> следовательно, и a, fTl s U и 6 =
= (ба~1)а, б = (рб)РаЛр', т. е. 6sC/ HY=oF)sr2.
Итак, Г2 — выпуклая подгруппа Г. Пусть (о", о') —
разложение нормирования о по подгруппе Г2- Покажем,
что RV' = RV'. Пусть a^Rv'\ если aei(^), то й = 0,
следовательно, a^R^.Rv«; если аб^\и(^') = С/,
то 1>(а)еГ2, о"(а) = 1 и ае^-. Итак, RV>*^.RV». Пусть
aeJ?/, т. е. о"(а)>1; если w"(a)=l, то о(а)ЕГ2,
asHfr^t/s^-; если о"(а)>1, то и о(а)>1,
следовательно, aai}, = J?< Rv>. Итак, Ло* < /?с',
Rvr = ЛР"» и нормирования о' и о" поля Т7 эквивалентны.
Покажем теперь, что Re=>Re'. Пусть ое^' и
a^Re, тогда as^ = ^r и w'(S) равно w(a) или 0; но
и(а)^*1, следовательно, в любом случае б'(й)^1 и
ае^С/; Л»^Ла'. Пусть as^-^ и aeJ?c; если
п =7^= 0, то б' (а) = «(а) и v' (а) ^ 1, следовательно,
a^Rv = R и о(а)>1, т. е. ае^в; случай а = 0
тривиален. Итак, R6'^Re, Rs^Ro' и нормирования б
и €' поля /v эквивалентны.
264 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
Пусть v: F-*f° — некоторое нормирование F и
(v',v) — разложение € такое, что v' эквивалентно v',
a v эквивалентно v.
Тогда для as/7 имеют место эквивалентности
(а)>1«-5'(о)>1 и б (а) > 1
и а <= Я? <*=> а е Яо, и а<=Я
Следовательно, Rs = Rv*i нормирования v и v поля F
эквивалентны. ?
Замечание. Очевидно, что группа Гг изоморфна
группе Го, а группа 1\ изоморфна группе Г/Гг-
Предложение 2. Пусть v: F->• Г° — гензелево
нормирование поля F, (v',v) — разложение
нормирования v по некоторой выпуклой подгруппе; тогда v' —
гензелево нормирование.
Предположим противное, пусть Fo — алгебраическое
расширение F и v'o, v[ — два неэквивалентных
продолжения нормирования v'. Тогда существует элемент
o0eF0 такой, что v'0(a0)>l и о[(а„)<1.
Действительно, если R' — целое замыкание кольца Ro' в Fo,
то существуют два (различных!) максимальных идеала
т0 и т, этого кольца такие, что Rv' = R'm и #„' = #„
(см. §4). Пусть vsntoXnt!, pem^nto, тогда р s
&Rm.\Rm,, YP~' s m (R'a,) и yP~V^1,; действительно,
так как y~lsRmi, то из YP~'s#m, следовало бы, что и
p-1=-=(vp~1)Y~ls/?!»,. Итак, ao^YP^sm^JN/?^,
следовательно, Oq(o0)>1, t»,(ao)<l.
Поле вычетов ^"г/ нормирования v'o есть расширение
поля Fo'*, пусть ?>о — некоторое продолжение
нормирования v на /w, и пусть Ко—нормирование поля Fo,
соответствующее, как в предложении 1, паре (i^, ?>0),
Из доказательства предложения 1 легко вытекает, что
кольцо RBa доминирует кольцо Rv; следовательно,
нормирование Do можно выбрать так, что v0 продолжает 0.
Аналогично строим нормирование v\ поля F,
продолжающее о и соответствующее паре @', 0,) для
некоторого нормирования vi поля Fv>, продолжающего
нормирование 0.
§ 91 РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМИРОВАНИЙ 256
Так как нормирование v гензелево, то
нормирования vQ и Vi должны быть эквивалентными, т. е.
R R однако нетрудно проверить, что R
, ае=/Ц, так как аое=т (/?„,) и ^^^
Полученное противоречие и доказывает предложение. ?
Замечание. Аналогично доказывается, что v
также является гензелевым нормированием. Справедливо
и обращение этих утверждений: пусть (v',v) — разло-
оюение нормирования v; v' и v — гензелевы
нормирования; тогда и v — гензелево нормирование.
Перейдем теперь к изучению поля р-адических чисел
(pea — простое число). Начнем с более общего
понятия. Пусть F — поле характеристики. 0; нормирование
v: F-+-T0 поля F назовем р-адическим, если Г= (е) —
циклическая группа (е>1), v(p)=e, а поле вычетов
Fv нормирования v есть конечное поле GF(p) из р
элементов.
Рассмотрим один пример р-адически нормированного
поля. Пусть Гр = {p"|neZ} — мультипликативная
подгруппа группы Q* ненулевых рациональных чисел с
линейным порядком, индуцированным естественным
порядком на Q. Любое рациональное число г Ф 0
однозначно представимо в виде
г = ±.рп у ; neZ, s, tsсо; s, t взаимно
просты, и р не делит s • t. (*)
Зададим отображение vp: Q-+Y% полагая ур@)^0
и vp(r)^pn, где г = dbp"-j — представление вида (*).
Легко проверяется, что отображение vp является
нормированием поля Q, группа Гр = (р) является
сечением. Установим теперь, что фактор-поле QVp этого
нормирования состоит из р элементов. Пусть г Ф 0 е
е#0 и г = ± р" -f — представление вида (*); если
п > 0, то f = 0; пусть п = 0, г = ±у: так как р не
делит t, то остатки от деления на р у чисел t, It, ...
..., (р—1)^ попарно различны и, следовательно,
составляют перестановку чисел 1, 2, ..., р—1; поэтому
2Б6 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
для некоторого k, О < k < р, числа k-t и ±s имеют
одинаковый остаток от деления на р и ±s — kt делится
на р; следовательно, vp(±-(—kЛ = vp (—^ У> 1
Y) = k. Таким образом, фактор-поле Qo
содержит не более р элементов 0,1» •••. (р—1)'. но для
любых i, /<р, если 1ф}, то р не делит (I — /),
следовательно, vp(i—j) = 1 и i ф }. Таким образом установлено,
что vp является р-адическим нормированием поля Q.
Заметим теперь, что vp является единственным
(с точностью до эквивалентности) р-адическим
нормированием Q. Действительно, пусть и: Q->r° — р-адиче-
ское нормирование. Ясно, что Z^.RV, p^Rv. Если
/EZHe делится на р, то I = г, где г — остаток от
деления t на р, 0 < г <С р, и, следовательно, ? ф 0, t>(f) = 1
иНе /?о. Тогда, если г = ± р"-т— представление вида
(*) и п^О, то ге/?,; следовательно, /?„ <:/?„. Пусть
теперь r*=±pn-T^Rv, тогда — е/?„ и pn^Rv; следо-
вательно, п>0; но тогда r^RVp. Итак, Rv = RVp.
Если Fo—подполе поля F, а и: F->r° — р-адическое
нормирование, то, очевидно, ограничение v на Fo также
будет р-адическим нормированием.
Поле Q является подполем любого поля
характеристики 0, поэтому для любого р-адического нормирования
v: F-*-T° его ограничение на Q должно быть
эквивалентным vp. Можно, в частности, считать, что Г = Тр =
= (р). Покажем, что Q является в некотором смысле
плотным в любом р-адически нормированном поле.
Лемма 1. Если v: F -> Т°р — р-адическое
нормирование, то для любого элемента f ее F* существует
элемент г ее Q такой, что v (f — г) > v (f).
Пусть y(f)=pn, тогда v(f-p~n) = l', f-p~n(=Rv \m(Rv),
f ' p~n ф 0; пусть / • p~n*=fe для некоторого k, 0<k<p;
тогда / • p~n — k = fp~n —¦ k = 0, следовательно,
v (f ¦ p~n - k) > 1 и v(f- kp") >pn = v (/).
Элемент r^kpn удовлетворяет заключению леммы. ?
§ 9fl РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМИРОВАНИЙ 257
Следствие. Для любого feF и любого feeZ
существует r&Q такой, что v(f — r)>pk.
Индукцией по k, начиная с такого k, что v(f)=~pk.
Пусть для некоторого k уже найден гк такой, что
v (f — rk) > Рк'> если v(f — гк) > рк+1, то доказывать
нечего; если v(f — гк) = рк+1, то по лемме для f'^f — rk
найдется r^Q такой, что v (f'—r) > v (f')=v(f — rk)I=pk+l\
следовательно, v(f— (rk +r)) = v(f + r)> pk+l. ?
Оказывается, что среди р-адически нормированных
полей существует не только самое маленькое «Q, ир)),
но и самое большое. Будем строить такое поле «попол-
нением» р-адически нормированного поля Q.
Последовательностью Коши назовем всякую
последовательность А = <r,|i e со> элементов Q такую, что
выполнено условие:
существует k e Z такое, что для любого tea
Оставляем читателю легкую проверку такого
свойства:
1. Если А = (jt | i е со> ы 5 = <<7* 11 е ©> —
последовательность Коши, то и А + В Ф- (ji + qi\ie a> также
является последовательностью Коши. ?
2. 2:с./ш Л = <г*|1'ео>> — последовательность Коши,
то либо существует i0 e со такое, что vp (r{) = vp (r/j
5ля i^ /о. либо 5ля любого /еш существует'io(=io(l))
такое, что vp (п) > р' 5ля i ^ t0.
Пусть /г таково, что vp(rt — r<+1)>pft+' для всех
/ео, Если существует tos© такое, что wp(rio) < p*+'«,
то t>o(n0+1) = t>p(rio + n,+1 — rtt) = vp(r{,), так как vp(rt,)<
< рб+'«< ир(r/o+i — г/о). Итак, tip(п0) = о- (г<0+1) </>*+'• <
<р*+/о+ь следовательно, WpCr^^w^fr/o+O^WpCn,) и
т. д.; wp (гг) = vp (rio) для любого t^i0. Если же
wp(r/)^Pft+i Для всех /всо, то, очевидно, выполнено
второе условие. ?
Для последовательности Коши А через v'(A) будем
обозначать v (rh), если выполнено первое условие, и О,
если выполнено второе условие.
Проверку следующего свойства также оставляем
читателю:
3. v'{A + B)^
если v'(A)<v'(B).
258 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ (ГЛ. 4
4. Если А = </•( | i е ©> ы В = <^ 11 <= ю> —
последовательности Коши, то и А-В^ <ri^|«S(i)> — также
последовательность Коши.
Пусть fceZ таково, что ар(г* — ri+1)^pk+i для
любого /ев; пусть /eZ таково, что ор(^ — Qi+i)g?pl+i
для любого i'sb; &0^=min{&, I); по свойству 2 выберем
такое ("ое©, что для любого i^i0 справедливо vp(rt)
= 1»РЫ или 1»„(г,)>1 и vp{qt) = vp{qh) или Ы
пусть fci таково, что pft' = min{op(r,), 0„(
Пусть As2=^=min{^i, 0}. Заметим, что тогда p
^pk'(vp(qi)^pk':) для любого ('ел, Полагаем fe3^
^*о + ^2 и покажем, что vp{riqi — ri+xqi+^'^pki+i для
любого /ею. Действительно,
> min {wp (r^i - ri+lqt), vp {ri+xqt — rl+lql+x)}\
— ri+lqt) = vp (qt) vp (rt — ri+x) > p
— rt+xqt+x) = vp (ri+{) vp {qt — ql+x) > p Vй
Отсюда
vp(riqi — rl+xqi+x)>pk'+l. Q
5. Если Л « В — последовательности Коши, то
v'(A-B)=v'(A)-v'(B).
Легко проверяется разбором случаев свойства 2. О
Свойства 1 и 4 показывают, что семейство всех
последовательностей Коши с операциями почленного
сложения и умножения можно рассматривать как
коммутативное кольцо К. Имеется естественное вложение
поля Q в К: г*—>Аг= (г,г, ...>. Свойства 3 и 5
показывают, что отображение «/: К->ГР является
«нормированием» этого кольца. По предложению 1 § 7 это
«нормирование» индуцирует нормирование v0 поля частных
Qp кольца К/р, где у ^= {А\А еК, v'(A)= 0}. Заметим,
что t»o продолжает нормирование vp поля Q, имеющего
естественное вложение в К/р; без труда также
проверяется, что поле вычетов нормирования v0 состоит из р
элементов. Это показывает, что «о является р-адическим
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМИРОВАНИИ 269
нормированием поля Qp. Поле Qp назовем полем р-ади-
ческих чисел; кольцо Rp^Ro, назовем кольцом целых
р-адтеских чисел.
Для доказательства универсальности
(максимальности) поля р-адических чисел среди р-адически
нормированных полей рассмотрим понятие предела
последовательности Коши в произвольном р-адически
нормированном поле.
Пусть v: F-*TOp— р-адическое нормирование, А =
= <r,| i е со> (г,- gQ<F)— последовательность Коши.
Элемент f 6f назовем пределом последовательности А,
если существует такое keZ, что для всех i e ©
справедливо V (f — fi) ^ pk+i.
Легко проверить, что
если f — предел последовательности Коши A, g—
предел последовательности Коши В, то f -\- g есть
предел последовательности А + В, a f-g— предел
последовательности А'В. ?
Заметим, что
если А^К и f — образ А в Qp, то f — предел
последовательности А в Qp. ?
Лемма 2. Поле F может содержать не более одного
предела последовательности Коши А.
Предположим противное. Пусть f ф g^F — пределы
одной и той же последовательности A; ko, k\, k2eZ
таковы, что ур(г, —r/+I)>p*°+', v(f — гг)>р6'+', v(g —
~~i"i)~^pki+i для всех /в© и k ^ min{?o,kuk?.
Пусть v (f — g) = ps, пусть i> s — k, тогда v(f — r,) =
— v(f — g + g— г{) = р\ так как v(f — g)=ps<
<.pk+i^v(g — n)\ с другой стороны, должно быть
v (f — п) ^ pk+l > ps. Получилось противоречие. П
Лемма 3. Для любого элемента feF существует
последовательность Коши А такая, что f есть предел А.
Используя следствие леммы 1, построим
последовательность г0, и, ... элементов Q такую, что v(f—г;)^
^ р'; тогда v(r{ — ri+l) — у'(г{ — f + f — ri+l) ^ p{;
следовательно, Л =^ <гг|1'е<»> есть последовательность
Коши и из выбора п следует, что / есть предел этой
последовательности. П
Предложение 3. Для любого р-адически
нормированного поля (F,v} существует единственный изомор-
260 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
физм ф: F-*-Qp такой, что нормирование иОф поля F
эквивалентно v.
Зададим произвольное отображение ф: F->K так,
что для любого f^F qi(f)—последовательность Коши,
пределом которой в F является элемент /. Такое
отображение ф существует по лемме 3 (и, конечно, по аксиоме
выбора). Это отображение ф индуцирует некоторое
отображение ф из F в Qp. Покажем, что оно не зависит от
выбора ф. Для этого достаточно доказать, что если
f e F является пределом последовательностей Коши
А = <r<|te<»> и 5 = <^|iea>>, то Л —Sep. Пусть
4eZ таково, что v(f — п)^ />*+', v(f — qi)^ pk+i для
всех i <= со; тогда v (г< — qt) = v ((п — f) + (/ — qt)) ^
^ pk+i, следовательно, v'{A — fi)^0, А — В^'р. Как
было отмечено выше, если f — предел A, g—предел В,
т0 f + g — предел А + В и f-g — предел А-В;
следовательно, индуцированное отображение ф: F-*-Qp
является гомоморфизмом; так как <р-A)= 1 и F — поле,
то ф — изоморфное вложение. Покажем теперь, что если
f — предел А, то v(f)= v'(A); пусть f Ф 0, v(f) = pk
и to е со таково, что v (f — г<) > pk для всех i ^ t0; тогда
v(ri) = pk и v'(A)= pk = v(f); случай f = 0 тривиален.
Из соотношения v(f)= v'(A) следует, что уофШ= v(f).
Остается показать единственность такого вложения,
но это легко следует из леммы 2, так как если $: F-+-
—*QP таково, что voty эквивалентно v, и f — предел
последовательности А в F, то t|)f — предел
последовательности А в Qp. О
Следствие 1. Поле Qp есть К/у, т. е. К/у — поле.
Действительно, из доказательства предложения
видно, что любое р-адически нормированное поле
вкладывается в образ кольца К; в частности, это справедливо
и для Qp; в силу единственности вложения Qp получаем
то, что нужно. П
Следствие 2. Поле Qp является гензелевым.
Действительно, гензелизация р-адически
нормированного поля является, очевидно, р-адически
нормированным полем, поэтому гензелизация Qp должна
вкладываться в Qp\ в силу единственности, Qp должно
совпадать со своей гензелизацией, т. е. Qp гензелево.
Замечание. Следствия 1 и 2 могут быть доказаны
и непосредственно.
§ 9] РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМИРОВАНИЙ 261
Следствие 3. Если р-адически нормированное
поле F содержит пределы любых последовательностей
Коши, то F изоморфно полю Qp.
Это сразу следует из предложения и лемм 2 и 3. ?
Предложение 4. Кольцо Rp является
формульным подкольцом поля Qp.
Формульность Яр в Qp означает существование такой
формулы 61 (л:) сигнатуры Of, что для cteQp
а е Яр <=><?„ |=9l (a).
Рассмотрим сначала случай, когда р Ф 2. Полагаем
Пусть а е Rp, тогда pa2 e m (Rp) и образ элемента
р=^= 1 + ра? в поле вычетов есть единица (р= 1).
Многочлен у2 — р при редукции переходит в многочлен у2— 1,
который в поле вычетов имеет простой (рф2\) корень 1;
следовательно, гензелевость поля Qp влечет
существование корня у для многочлена у2 — р, т. е. существует
такое y^Qp, что р=1+ра2 = у2> и Qp\=4lp(a). Пусть
a^Rp, тогда vo(a)=pk для некоторого k<0; vo(pa2)=p2k+i,
2&+1<0; следовательно, »0A +pa2)=p2fc+1; если бы
существовало YeQp такое, что 1 + ра2 — у2, то »o(Y2) —
= °о (yJ — P2fc+1» что невозможно, так как 26 + 1
нечетно. Итак, показано, что для aeQp
Для случая р = 2 полагаем
Рассуждения, аналогичные проведенным выше,
показывают, что формула %2 выделяет в Q2 кольцо R2. О
Замечание. Приведенные в доказательстве формулы Яр
существенно зависят от р. Небольшое усложнение доказательства
позволяет привести формулу, не зависящую от р, которая во всех Qp
выделяет Rp. В качестве такой формулы для всех р ?*2 можно
взять следующую (см. [28]):
Я (х) чь 3/ (Va> (/ Ф w2) & VmVo [Зг A + tu* = z2) &
& Зг A + /о2 = z*) -> 3z (I + <«V = г1)] & 3z (I + <** = 2s)).
Эта же формула выделяет и кольцо F\[t]] в поле степенных
рядов F ((<) ) над полем F характеристики Ф2.
Приступим теперь к описанию системы аксиом для
элементарной теории поля р-адических чисел Qp (для
262 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
фиксированного простого р). Формулировать эту
систему будем в виде условий на произвольное поле F
(точнее, на алгебраическую систему сигнатуры а;),
которые (условия), как это будет видно, могут быть
записаны в виде системы предложений сигнатуры Of.
1. F является полем характеристики 0.
Пусть #^ {а\а<= F,F^=%(a)}.
2. R является гензелевым кольцом нормирования
поля F.
3. Поле вычетов кольца нормирования R состоит
ровно из р элементов.
Пусть v: F -> Г° — некоторое нормирование,
ассоциированное с кольцом R.
4. Элемент v(p) является наименьшим
положительным элементом группы Г.
Пусть Го=^= (v(p))— подгруппа Г, порожденная
элементом v(p); при выполнении условия 4 Го — выпуклая
подгруппа Г.
5. Группа Г/Го является полной.
Последнее условие (в терминах группы Г и элемента
v(p)) может быть записано как система аксиом
{3>л|л> 1}, где
1
Заметим, что поле Qp удовлетворяет всем пяти
условиям (условие 5 выполнено тривиально, так как Г =
= Го). Оказывается, что эти пять условий и
характеризуют элементарную теорию поля Qp, как показывает
следующая
Теорема. Если алгебраические системы F и F'
сигнатуры о? удовлетворяют условиям 1—5, то они
элементарно эквивалентны.
Не уменьшая общности в доказательстве теоремы,
будем предполагать, что F и F' являются
coj-насыщенными системами (если это не так, то вместо F и F'
нужно рассмотреть их ультрастепеди по любому
неглавному ультрафильтру над о>).
Рассмотрим сначала югнасыщенную систему F,
удовлетворяющую условиям 1—5; тогда F является полем;
R, v, Г и Го определены, как в формулировке условий
1^5, Заметим, что Г Ф Го. Действительно, счетная си-
РАЗЛОЖЕНИЕ НОРМИРОВАНИЙ 263
стема формул {{рп <я jc) & (jc ф 0) | п е со} является
локально выполнимой, следовательно, в ©i-насышенном
поле F существует элемент а такой, что а ф 0 и р„ ^ r
< Ra для всех я есо; тогда !)(а)еГ\ Го, так как Го =
= {v(pn) |«eZ}. Рассмотрим разложение (и', и)
нормирования v, соответствующее выпуклой подгруппе Го-
Нормирование v' поля F имеет группой нормирования
группу Г/Го; по предложению 2 нормирование и'
является гензелевым.
Докажем теперь, что поле вычетов Fv>
нормирования v' изоморфно полю р-адических чисел Qp. Заметим
сначала, что v является р-адическим нормированием
этого поля. Условия 2 и 3 показывают, что нужно
только установить, что характеристика поля Fv> равна
нулю. Пусть «>0, я ею; если я взаимно просто с р,
то я — образ п в поле вычетов кольца R — отлично от
нуля, т. е. о(я)=1, но тогда и о(л)=1; если я = р*,
то o(p') = o(p)'sr0 и образ а элемента рк в Fv' таков,
что v (а) = v (р)к ф 0; отсюда видно, что v (я) Ф0 для
всех я > 0, я sco, и, следовательно, Fv> — поле
характеристики 0. Покажем теперь, что Fv> содержит пределы
для любой последовательности Коши. Пусть
последовательность Л = (г411eсо) элементов Q^F и fee©
таковы, что v{rt — ri+l) = vp{r{ — ri+l)^ph+i для всех
fsco. Рассмотрим счетную систему формул {pk+i^R
<^.'R(x — rfiliею}. Эта система формул локально
выполнима, так как для конечной системы рк+''^ц
<R{x — rit) pk+i"^R(x — rin), lo< ... <in; пусть
a =*»/¦!„ + ,, тогда о (г|||+, - rtj) = о ((rl|| + i - /-,„) +
+ (*¦!,,-»¦,„_,) + ... + (^/+1-г^))> min{t>(rl||+i - rin),...
..., v(rll+l — r{l)}^pk+i; / = 0 п. Следовательно,
в поле F существует элемент y такой, что рк+1^яУ — rt
для всех ie»; тогда v(y — ri)^pk+i для feo,
Покажем, что либо v(y) принадлежит Го, либо v(y)> 1. Для
некоторого se(d k + s^sO, следовательно, f (y —''s)^!;
если «(yK»^), to o(v)er0; если f (y) Ф v (rs), то
о(Y — rs) = min{t>(Y), v{rs)} и либо v{y)<v{rs) и
t; (y) ^ 1, тогда t; (y) s Го ввиду выпуклости Го; либо
v{y)>v(rs)^l. В любом случае y^R0>; рассматриваем
элемент y^Fv>, являющийся образом элемента Y'. без
264 НОРМИРОВАННЫЕ ПОЛЯ [ГЛ. 4
труда проверяется, что у является пределом
последовательности Коши А в {Fv>, v). По следствию 3
предложения 3 Fv> изоморфно Qp.
Итак, если поле F удовлетворяет условиям 1—5
и является coi-насыщенным, то существует гензелево
кольцо нормирования (Ro>) этого поля такое, что поле
вычетов изоморфно Qp, а группа ассоциированного
нормирования является нетривиальной полной группой.
Аналогично, поле F' содержит гензелево кольцо
нормирования R' такое, что поле вычетов изоморфно Qp,
а группа ассоциированного нормирования является
нетривиальной полной группой.
Из результатов предыдущей главы (§ 6) известно,
что любые две нетривиальные полные линейно
упорядоченные группы элементарно эквивалентны.
Следовательно, по результатам предыдущего параграфа
нормированные поля (F, Rv') и (F't R') элементарно
эквивалентны; но тогда элементарно эквивалентны и поля F
и F'. U
Замечания. 1. Небольшое усложнение
доказательства показывает, что класс полей, удовлетворяющих
условиям 1—5, является не только полным, но и мо-
дельно полным.
2. Рассуждения, проведенные в настоящем
параграфе, применимы и для характеризации элементарной
теории любого конечного расширения поля р-адических
чисел. Перечислим необходимые изменения:
а) нужно воспользоваться формулой из замечания
после предложения 4 для формульной определимости
кольца нормирования;
б) число элементов фактор-поля может измениться;
в) норма v(p) элемента р уже может быть не
наименьшей; нужно указать точную степень наименьшего
элемента группы нормирования, которая является
нормой элемента р;
г) любое конечное расширение F поля Qp имеет
вид Qp{ol), где а — корень унитарного неприводимого
над Qp многочлена / е Z [х]; среди аксиом нужно
сформулировать утверждение о существовании корня для
многочлена /.
3. Для случая, указанного в предыдущем замечании,
также справедливо утверждение о модельной полноте.
ГЛАВА 5
РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ
§ 1. Методы доказательства разрешимости
и неразрешимости теорий
Пусть а — некоторая эффективная сигнатура, g — гё-
делева нумерация всех формул сигнатуры а.
Приведем точное описание нумерации g. Пусть а = @$, Qj1,...)—
чисто предикатная сигнатура; ее эффективность означает, что
функция h; х*-^-пх общерекурсивна. Пусть ра =¦ 2, р1# р2) ... — это
последовательность всех простых чисел в порядке возрастания. Зададим
отображение <р: Z.0-XD множества всех формул сигнатуры а в со
следующим образом:
если ^i=Qm(xl,..., х{ ^ — атомарная формула, то
Г1 >
1
если Я = E8 & Е), то
если Я = (83 V К), то ф (Я) ^р20 • р?(8) • р«
если Я =-(©-><?), то ф(Я)^=Ро-р?(8)
если Я = ~| ЯЗ, то ф (Я) =^= pj • р^(8);
если Я == Эх 33 то m ^^^ =^а п- • п- • >^8'<
если Я = V*f39, то
Без труда проверяется, что ф — одно-однозначное отображение
и что <f(La) — рекурсивное множество. Пусть f — общерекурсивная
функция, осуществляющая прямой пересчет q>(L0), т. е. f(n) <
<f(n + l) для любого песо и of = <((La). Полагаем g(n) =^
z^ <p~lf (п), пгш; ^и является (геделевой) нумерацией множества
всех формул сигнатуры а.
Пусть Т — теория сигнатуры а; будем говорить, что
Т — разрешимая теория, если множество ^-номеров
предложений из Т рекурсивно; другими словами, Т
разрешима тогда и только тогда, когда существует
эффективная процедура, позволяющая по любому предложе-
266 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ |ГЛ. 5
нию §1 сигнатуры а отвечать на вопрос: принадлежит
ли §1 теории 7?
В этом параграфе будут описаны важнейшие из
способов доказательства разрешимости и неразрешимости
теорий.
1. Метод элиминации кванторов. Сущность этого
метода состоит в указании алгоритма W преобразования
произвольной формулы % сигнатуры о к эквивалентной
относительно теории Т формуле ?(§1), не содержащей
кванторов. Условие эквивалентности к и W{4)
относительно Т означает
П-Я-»-Ч?(*); Г |-Ч? (*)->*.
Предполагается, что к языку добавлены два
бескванторных предложения 0 и 1 такие, что 1 и 0 —
доказуемые формулы.
Рассмотрим, например, теорию Тпл плотного
линейного порядка без наименьшего и наибольшего
элементов в сигнатуре о = <<>. Теория Тпл задается
следующими предложениями:
1. v*n (*<*».
2. 4xVyVz(x<y&y<z-+x<z).
3.VxVy(x<yVx*=y\/y<x).
4. V*Vt/(jc<t/->-l(t/<*)).
5. V*Vt/3z (x < у -*¦ x < z & z < y).
6. Vx3y3z (y < x & x < z).
Рассмотрим сначала формулы вида 3x$L{xq, x\, ...
• ••. *n-i)> гДе Я — бескванторная формула. Можно
предполагать (переходя, если нужно, к эквивалентной
формуле), что §1 есть дизъюнкция конъюнкций элемен-
к
тарных формул: 91 = V %> % ~ конъюнкция элемент
тарных формул. Можно обойтись без отрицания в 9^,
потому что ~\(x = y)<F>x<yWy<x и ~\{х<у)<=$-
т т
<=¦¦ х = у V У < х (<=> — эквивалентность относительно
г г
/ к \ к
теории 7ПЛ). Далее, Эдг0 ( V ^ )¦*=> V Эдго91,; поэтому
можно считать, что сама формула §1 есть конъюнкция
§ I] МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 267
элементарных формул. Представим Я в виде 93<&(?, где
S3 не содержит вхождении переменной хо, а любая
элементарная подформула формулы S имеет вид х0 < xt,
xo = Xi или Xi < д?0 Для некоторых t=l, .... л—I
(можно предполагать, что S не содержит подформул
вида х0 = хо или х0 <. хо, так как первые можно
вычеркнуть, а вхождение х0 < х0 позволит заменить 21
на 0).
Теперь Злсо91 эквивалентна 93&3jc0G.
Рассмотрим несколько возможных случаев.
1. Формула S содержит подформулу вида хо—xi.
Тогда, если S' получается из S подстановкой всюду
вместо х0 переменной *,-, то Злсо@ <=> G'.
2. Формула 6 не содержит подформул вида х0 = **,
но содержит как подформулы вида x-t < дс0, так и
подформулы вида Хо < jc,-. Пусть S" — конъюнкция всех
формул вида Xj < Xi, где i и / таковы, что S содержит
подформулы хо ¦<. Xi и JC/ < лго. Тогда без труда
проверяется, что формула 3jc0G эквивалентна относительно
теории Т„л формуле S".
3. Для формулы S не имеет места ни случай 1, ни
случаи 2, т. е. S есть конъюнкция формул только вида
х0 < Xi или формул только вида Xi < jc0. В этом случае
формула 3jc0G, очевидно, эквивалентна относительно
теории Т„л формуле 1.
* Итак, мы видим, что формула 3jco91 с
бескванторной формулой 3t эквивалентна относительно Т„я
бескванторной формуле Я'. Используя индукцию по числу
кванторов формулы и замечание, что У1х% 4=> Зх ~] 91, лег-
т
ко показать, что всякая формула Я эквивалентна
относительно Гпл бескванторной формуле Ч^Я), которая
эффективно строится по St. Если Я — предложение, то
~^(Щ есть 0 или 1. Следовательно, предложение Я
принадлежит Гпл тогда и только тогда, когда ЧГ(Я)=1.
Так как W(%) строится по 3t эффективно, то теория Т„я
разрешима.
2. Полные теории. Напомним, что теория Т
сигнатуры а называется полной, если для любого
предложения 91 сигнатуры а либо ЯеГ, либо ПЯе Т.
Следующее простое предложение оказывается чрезвычайно
полезным для доказательства разрешимости теорий:
268 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ !ГЛ. 6
Предложение 1.' Полная непротиворечивая
теория Т разрешима тогда и только тогда, когда она
рекурсивно аксиоматизируема.
Необходимость. Если теория разрешима, то она
рекурсивна, следовательно, и рекурсивно
аксиоматизируема.
Достаточность. Если теория Т рекурсивно
перечислимо аксиоматизируема, то она и сама рекурсивно
перечислима. Эффективно перечисляя Т, для любого
предложения Я дожидаемся, когда в Т окажется % или "Ж
Ввиду полноты Т это должно произойти^ Если ПЯ е Т,
то % ф Т; поэтому можно эффективно узнать,
принадлежит или не принадлежит % теории Т. ?
3. Произвольные теории. Следующее предложение
используется для получения критерия разрешимости:
Предложение 2. Теория Т имеет рекурсивно
перечислимое дополнение тогда и только тогда, когда
существует эффективная последовательность То, Т\, ...
полных теорий такая, что Т= П Т{.
Замечание. Эффективность последовательности
здесь означает, что (двухместный) предикат R(x,y)^
^g(x)eTu рекурсивно перечислим.
Рекурсивная перечислимость дополнения к Т
равносильна рекурсивной перечислимости множества С(Т)
всех предложений, совместных с Т, т. е. таких
предложений %, что Т U {Щ непротиворечиво. Действительно,
ЯеС(Г)<=»ПЯ9Ь7\
Достаточность. Пусть Го, Т\, ... — эффективная
последовательность полных теорий такая, что Т= П Т{.
Тогда %&С(Т)<=>%е (J Tt. Действительно, импли-
кация справа налево очевидна. Если ЯеС(Г), то
Ш ф. Т = П Tt, поэтому ПЯ ф Tt для некоторого
2
tea, и так как Tt — полная теория, то 8e7V
Поскольку g (x) e U Т{ — рекурсивно перечислимый пре-
дикат CyR(x, у)), то С(Т) рекурсивно перечислимо.
Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть С(Т) рекурсивно перечислимо,
%, %, ... —эффективный пересчет всех предложений
сигнатуры a; So, 33h ... — эффективный пересчет мно-
$ I] МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 269
жества С(Т). Теория Tt будет определена эффективной
последовательностью {(?<>> &i, • • •} предложений так:
бо^ЗЗ*; если &?, k^n, определены, то ищем
наименьший индекс l€(o такой, что 33/ имеет один из двух
видов: ( & ?1Л &31„ или ( & Щ\ &~]%„; если 93, имеет
вид ( & &'Л&%п, *го полагаем KJUi^^n, в противном
случае ($.п+\^'~\Ч1п. Заметим, что всегда найдется такой
индекс /ею. По индукционному предположению можно
считать, что &. (Еу совместно с Т, т. е. принадлежит
С (Г). Если SsC (Г), то для любого предложения %
&&%€=С(Т) или S & % <= С (Г). Из построения видно,
что последовательность Го, Ти ... эффективна.-'Далее,
очевидно, что 7\ а Г для любого / е <о. Если
предложение % не принадлежит Г, то ~] 31 е С (Т) и 151 имеет
вид 93/ для некоторого / е <о. Тогда 131 е Г/ и 31 ^ Г/,
следовательно, П Tt = T. О
Is»
Теперь мы в состоянии охарактеризовать
разрешимые теории.
Теорема 1. Теория Т разрешима тогда и только
тогда, когда выполнены следующие два условия:
а) теория Т рекурсивно перечислимо
аксиоматизируема;
¦ б) существует эффективная последовательность
полных теорий То, Ти ... такая, чтоТ= f] Tt.
ISO)
По теореме Поста из теории рекурсивных функций Т
разрешима (рекурсивна) тогда и только тогда, когда Т
рекурсивно перечислима и дополнение к Т рекурсивно
перечислимо. Условие а) необходимо и достаточно для
рекурсивной перечислимости Т, а условие б) необходимо
и достаточно для рекурсивной перечислимости
дополнения к Т. Отсюда и следует утверждение теоремы. D
Предложение 1 и теорема 1 показывают важность
понятия полной теории. Обзор теоретико-модельных
методов доказательства полноты теории был дан в главе 1.
Предложение 3. Если теория Т разрешима,
%, ..., Яп — предложения сигнатуры о теории Т, то
теория V, системой аксиом которой будет множество Т\)
U {%, ..., %п], также разрешима.
270 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 5
Доказательство следует из такой эквивалентности
для любого предложения 91:
а е г<=>((& яЛ-*2П<=г. а
Предложение 4. а) Если Ш10 и Ш\ —модели
сигнатуры а, имеющие разрешимые теории, то и модель
ВИ0ХЗЯ1 имеет разрешимую теорию.
б) Если /Со и К\ — классы моделей такие, что Th (/Co)
и Th(/Ci) разрешимы, то Th(/C0X/Ci) и Th(/C0LJ/Ci)
разрешимы.
Сопоставим каждой формуле у{х\ хп)
сигнатуры о (не уменьшая общности, будем предполагать,
что ф не содержит символов &, —*¦, V) конечное
множество пар формул (ф) = {('Фг(г/1, ••¦> Уп), ^(z,, ...
.... zn))|te/} сигнатуры а следующим образом:
Если ф есть Xi = xj, то (ф) =^= \{yt = yh zl = zl)}.
Если Ф есть P(xh, .... */fJ, то <фЬ
{}
Если ф есть ф0Уф,, <Ф0> = {<"*/> +1I's/)' <(Pi> =
= {{% ^)\tt=T], щт=0, то (ф)^{<^, а|>;>|л=/иг}.
Если ф есть ~1ф0, (фо> = {<^. ^>|{'S4' то пола"
гаем для /s/ i|3,=^ & П i|),, i|3'=^= & 1 -ф' и <ф)=^=
«^ ;>|}
Если ф = ЭяоФо (х0, хи ..., хп) и <ф0) = {{^t (y0, уи ...
..., уп), ^|»е/}, то <Ф>^«Эг/0^, Зго^)|te/}.
Индукцией по построению легко установить, что для
любых моделей %, и ЗИь любой формулы ф(яь .... х„)
сигнатуры а и любых а\ anej3Jlol; b\ bn s
e |5Wif имеет место эквивалентность
Так как множество <ф> строится по ф эффективно
и <ф> для предложения ф состоит из пар предложений,
то ясно, что из разрешимости теорий ThBRo) и Th (ЗЛ1)
следует разрешимость теории Th (Ш1о X 3OTi).
§ 1] МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 271
Пусть /Со и К\ — классы моделей сигнатуры а. Из
приведенной выше эквивалентности следует, что
предложение ф совместно с теорией класса Ко X /Ci =^ {Зйо X
X2fli|2floe/Co,2fli e/Ci} тогда и только тогда, когда
существует пара <i|), i|/> e <ф> такая, что ty совместно
с /Со, а V совместно с К\. Так как теория Т разрешима
тогда и только тогда, когда множество С(Т)
предложений, совместных с Т, рекурсивно, то из сделанного выше
замечания получаем: если Th(A) и Th(/Ci) разрешимы,
то и Th(/CoX/Ci) разрешима.
Последнее утверждение предложения вытекает из
равенства Th (Ко U Яi) = Th (Ко) П fh (Ki). П
Если теория Т не является разрешимой, то она
называется неразрешимой. Теория Т называется
существенно неразрешимой, если любая непротиворечивая теория
Т', содержащая Т, также неразрешима. Теория Т
называется наследственно неразрешимой, если любая под-
теория теории Т той же сигнатуры неразрешима.
Замечание. Из предложения 2 следует, что
теория Т не является существенно неразрешимой тогда
и только тогда, когда она имеет полное разрешимое
расширение V.
4. Метод относительно элементарной определимости.
Для формулировки одного из основных методов
доказательств неразрешимости, метода относительной
элементарной определимости, введем следующее
определение.
Пусть /Со — класс моделей сигнатуры ао = (Ро*, •••
..., Plk), /Ci — класс моделей сигнатуры аи Будем
говорить, что класс /Со относительно элементарно
определим в классе К\, если существуют такие формулы
*(х-,у),
Щх; у1; у2),
бо(*; у1; -..; уп°) М*; у1; •••; у4)
сигнатуры а\ (здесь и далее х^(хи ..., хп), р1 ^
ч*= {у\ у*т)), что для любой модели SJl e Ко
найдутся модель 9ls/Ci и элементы а\ аяе|5Ч|,
удовлетворяющие условиям:
A) множество L^ {B\B <= \%\т,Ч1\\=%{а\В)} не
пусто;
272 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТВОРИИ [ГЛ. 5
B) формула ©(ajy'jp2) задает отношение
конгруэнтности tj на модели 5? сигнатуры ао, основное
множество которой есть L, а предикаты Pi определены
формулами Е,(й; д\ ...; #"'), 0<i<?;
C) фактор-модель S?\r\ изоморфна Ш.
Замечание. Если класс моделей К\ сигнатуры
ai содержит класс Ки а класс моделей Ко сигнатуры ао
относительно элементарно определим в классе Ки то Ко
относительно элементарно определим и в классе Ки
Теорема 2. Если класс Ко относительно
элементарно определим в классе Ki и теория Th(Ko)
наследственно неразрешима, то теория Th(Ki) также
наследственно неразрешима.
Для любой формулы ф (у\ у,) сигнатуры (То эффективно
построим формулу ф(ж; р1: ...; ps) сигнатуры <Xi по следующему
правилу:
если ф(у, у$) есть уг = уг то $(*: уи, ...; ys)=^f&(x;
у1; у>); /
если ф (jr, у,) есть Pt fy(l yln \ то ф (х\ ди, ...; ys) ^
если ф(|М, ..у Уз) есть фо]^, .... ys) ° ф^ (Уь • •¦> Уз) ("*=,*>
если ф(уь ..., Ув) есть | if (^i ys)> то ф (?; у'; ...; #*)*^
чь 1Ф (*; у'; ¦ • •; 9s);
если ф (iTj ys) есть 3jrs+1i]) (jr, ys, ys+1) (Vjrs+1i]) (y1(...
,i </ .\\ m jsfv-.-A ¦ .-is'4=v!'a</?+1 ia«s+1 <¦»(¦?• ns+h a
(х3) s+i (,s s+1) (s+1 (v
ys,ys+l)), то <f(x;yh ...; ys)^3yf+l ... 3j4+1(Slfe 9*+l) A
& Ф fe g1-, ...; Js; ys+l)) (ф (* j1; ...; ys) ^ Vyf+1 ... Vj&+1 (*<*
i)A+1)))
y)$(;p;;;9)))
Пусть Я) (*) = © (*ь ..., xn) — следующая формула:
ЗуШ (x; g)&\Vy°VylVy* ( & Ш(JE; jr')->
L \<
1; дг) -> »(*; у0; у*)))] &
& (Я (*; J;) & Ш (х; г') &
& 58 (x; yh *')) & <St {x; yl; ...; f1) -> <?< (*; z1; ...;
где Vp (Зр) обозначает Vyi .. ym (yi ym)
Для любого предложения ф сигнатуры a0 положим ф*=^У*1 ...
V(S)(i *л)->Ф(*1 *»))• Установим следующий
§ И МЕТОДЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА 273
факт: множество . Г* ^={ф|ф —предложение сигнатуры а0, ф* е
eTh(/Ci)} является теорией сигнатуры а<> такой, что T*s7h{Ko)-
Действительно, обозначим через Kq класс таких моделей Ш
сигнатуры а0; что для SB существуют модель Я е Ki и элементы аь ...
..., ал е \Щ, удовлетворяющие условиям A), B) и C),
определенным выше, тогда по условию теоремы Kq э Kq- Из определения
отображения * следует, что ф е Th (/CJ) ¦<=>• Ф* е Th (ft[) для любого
предложения ф сигнатуры ао, поэтому Т* = Th (/CJ), и так как Ко S
S Ко, то Г s Th (АГ0).
Если теория Th(/d) разрешима, то эквивалентность феГ-»-
<=*-ф* е Th(Ai) и эффективность отображения ф1—> ф* дают нам
процедуру разрешимости для теории Т*. Так как теория Th(fto)
наследственно неразрешима, то теория Т* неразрешима.
Следовательно, и теория Th(/C]) неразрешима. Ясно, что если теория Т\ s
sTh(/C[), то класс моделей ft[=^={2Ji | Щ=7} содержит К\- по
сделанному перед теоремой замечанию класс К\ также удовлетворяет
условию теоремы, следовательно, и Th {К*{) = Т* неразрешима. Итак,
Th(/Ci) —наследственно неразрешимая теория. D
Полезным дополнением к теореме является простое
Предложение 5. Если класс моделей Ко
относительно элементарно определим в Ки a Ki относительно
элементарно определим в Кь то Ко относительно
элементарно определим в Кг- ?
В теореме 2 указан общий метод доказательства
неразрешимости теорий. Однако этот метод редукционный,
т. е. для доказательства неразрешимости теории
используется теория, о которой уже известна ее
наследственная неразрешимость. Укажем удобные для дальнейшего
использования классы конечных моделей с
наследственно неразрешимой теорией.
В работах [27], [34] доказано утверждение
(теорема 3.3.3 в [34]), следствием которого является
Предложение 6. Класс Ко всех конечных
моделей теории То сигнатуры <Р2>, определенной аксиомой
Ух О Р (х, х) & Vy (Р (х, у)^Р (у, х))),
имеет наследственно неразрешимую теорию. О
В дальнейшем будем использовать другой «удобный»
класс моделей.
Предложение 7. Класс Ki всех конечных
моделей теории Т\ двух эквивалентностей, т. е. теории
сигнатуры (r\20, r\f}, определенной аксиомой, утверждающей,
274 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 6
что т]о и г|1 являются отношениями эквивалентности,
имеет наследственно неразрешимую теорию.
Пусть Ко — класс всех неодноэлементных
моделей из Ко- Ясно, что Ко имеет наследственно
неразрешимую теорию. Покажем, что класс Ко элементарно
определим в классе Ki. Пусть 2Я = <М, Р> — модель из
класса Ко- Построим модель W из класса К\
следующим образом: пусть М* ^ М2 (J {zap | <а, р> е Р s М2};
предполагаем, что элементы вида гац не лежат в М2
и попарно различны. Зададим на М* отношение
эквивалентности rjo так (указывая для любого элемента из
М* класс ему эквивалентных элементов): [(а, РМ^^^а,
у)\\^М}; [га^^&ар}. Отношение эквивалентности rji
на М* зададим так:
{(«, Р>, Ф, «>}, если (а, ®<?Р;
{(а> р)) (Р) а>| 2ар> 2ра}> если (а> р>еР;
Тогда аЯ*ч»»<АГ, %, 4i)^Ki.
Формулы
%(х) ^3y(x?*y&i)o(x, у))',
%(х> у)^щ(х, у);
6 (х, у) ^ ЗгЗЯы И % (х, у) & % (*, г) & % (у, 0 &
& y\i (г, 0 & Ti! B, и) & и =? 2 & и Ф t)
элементарно определяют класс Ко в классе К\. Это
следует из легко проверяемого факта, что модель
сигнатуры <Р2>, «полученная» из 2Я* с помощью формул St, Э
и @, изоморфна модели 9И. П
В качестве иллюстрации докажем следующее
Предложение 8. Модель 2Д ^ <<о, +, !•>
{натуральные числа со сложением и предикатом делимости)
имеет наследственно неразрешимую теорию.
Элементы 0, 1 и предикат < формульно определимы
s 9И, поэтому будут использоваться в формулах.
Формула л(х) =ё*х ф 0&х ф 1 &\/у(у \х^>у — I V у = х)
выделяет в Ж простые числа.
Пусть Э1 = <{0,1, ..., n},Tio,ili> — модель теории
двух эквивалентностей; пусть qo, ..., qn — различные
§ 2] ОДНОМЕСТНЫЕ ПРЕДИКАТЫ 275
простые числа, большие числа га; пусть So, ..... Sr — все
различные классы попарно т)о-эквивалентных элементов
из {0,1, ..., га}; г ^ га. По китайской теореме об
остатках существует такое натуральное число /о, что для
любого i ^ «, если i е 5/, то остаток от деления t0 на q\
есть /. Аналогично, если То, ..., Тр — все различные
классы попарно гI-эквивалентных элементов, то
существует такое натуральное число U, что если остаток от
деления U на qi есть /, то / е T!t i «^ п.
Формулы
х2, хг\ у)^я {у) & {у \ xi);
х2, хь\ у и У2)^У1 = у2;
х2, xs\ уи у2)^3u3z(z<yl&z<y2&
(хи х2, xs; уи у2)^3u3z(z<yl&z<y2&
= u + z&(yl\u)&(y2\u))
относительно элементарно определяют класс Ki всех
конечных моделей теории двух эквивалентностей в
классе {2U}. Это легко следует из того, что если в качестве
значений хи х2, х3 возьмем соответственно числа
Ц q{, t0 и tu то формулы 9, 9, бо и ©i «определяют»
в Ш модель, изоморфную 31. По теореме 2 и
предложению 7 теория ТЬ(ЗЭТ) наследственно неразрешима. ?
§ 2. Одноместные предикаты
В этом параграфе докажем разрешимость теории
класса всех моделей сигнатуры <г0 = (Р10, Р\, .. .^,
состоящей из счетного числа одноместных предикатов, и
опишем все полные теории этой сигнатуры.
Рассмотрим сигнатуру o$=*±(PQ Pn^S<r0- Для
любого кортежа е=(е0, ..., е„) длины га+ 1, состоящего
из нулей и единиц,, через РЕ(х) обозначим формулу
Я*0 (х) &Peli(x)& ... & Реп"- (х), считая, как обычно, Р°(х)=^=
=^~\Р(х), Р*(х)^Р(х). Пусть 51 (х) — произвольная
формула, m > 0, тогда Зтх% (х) обозначает формулу
276 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 5
Эх, •.. Зхт(( & xt Ф
(
<</< 1-\
это просто 3*91 (я)).
Предложение 1. Для любого предложения %
сигнатуры о% можно эффективно построить
эквивалентное Я предложение S3, которое является булевой
комбинацией предложений вида 3mxPs(x), m > 0, е = (во, ...
..., е„) — кортеж из нулей и единиц.
Замечание. Формула 91 есть булева комбинация
формул из класса Г, если она принадлежит
наименьшему классу формул, содержащему Г и замкнутому
относительно взятия конъюнкций, дизъюнкций и
отрицаний.
Пусть Го — множество всех формул, являющихся
булевыми комбинациями формул вида ЗтхРе(х), а Г,-
множество всех формул, являющихся булевыми
комбинациями формул из Го и элементарных формул.
Предложение будет получаться из следующего утверждения:
Лемма 1. Если 9((*0. •¦-, xn)^Ti, то по формуле
3*о21 (*о. • ¦ •, хп) можно эффективно построить
эквивалентную ей формулу из Ти
Очевидно, если St — предложение из Гь то Ste Го, так
как наша сигнатура не содержит констант.
Для доказательства леммы 1 нам понадобится еще
одно вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Для любой формулы <&(х) и для любого
тп > 0 имеет место следующая эквивалентность:
Зтх (% (х)&хФу)+-+ Зт+1х% (х) V % (у) & Зтх% (х).
Для любой модели ЗЯ, для любых значений
свободных переменных формулы 91 в |9Я| и для любого
значения b переменной у возможны два случая:
1. ЭЙ|=ЭД. Тогда из Ш^Зтх(%(х)&хфЬ)
следует %R}=3m+ix4l(x), так как в качестве (т+1)-го
элемента, удовлетворяющего 21 (х), можно взять b\ m
различных элементов, отличных от b и удовлетворяющих
91 (х), уже существуют ввиду ЗЯ \= Зтх (% (х) & х ф Ь).
Наоборот, если Ш\=3т+]х%(х) V 151 (Ь)&3тх%(х), то
ввиду ЗИ И 91 (b), 5WH=3m+i*9l (x) можно выбрать т раз-
§ 2] ОДНОМЕСТНЫЕ ПРЕДИКАТЫ 277
личных элементов, отличных от Ъ и удовлетворяющих
%{х). Следовательно, Ш. \= Зтх B1 (х) & х ф Ь). '
2. ЗЙ|=-|ЯF). Если Ж\~Зтх(Ъ(х)&хфЬ), то
т\=-3тх%(х) и поэтому аИИ~|ЯF)*ЗтхЯ(х). Наоборот,
если 2№|=Эт+1л:21(л:) V ПИДО&ЭяХИМ, то, во всяком
случае, Ш\==3тх%(х), а так как Ш\=^~]Ш(Ь), то
Докажем теперь лемму 1. Пусть §t(*0 xn)eFi.
Рассматривая подформулы St вида ЗтхРе(х) и
элементарные подформулы St, не входящие в формулы
ЗтхРе(х), как пропозициональные переменные,
приведем St к дизъюнктивной нормальной форме V 51*. гДе
91»— конъюнкция формул, каждая из которых есть либо
элементарная формула, либо формула вида ЗтхРг (х),
либо отрицание формул такого вида. Тогда Зл;<$(*о> ...
..., хп)•*-*3*о( V ИЛ4-* V Зхо%. Поэтому дальше
\i<k ) i<k
будем рассматривать случай, когда 91 есть одна из
формул Щ, т. е. конъюнкция формул указанного выше вида.
Представим 91 в виде S3&6, где 6 состоит из всех
конъюнктивных членов Я, не содержащих свободных
вхождений *о. В частности, все формулы вида ЗтхРе (х) и их
отрицания являются предложениями и, следовательно,
попадут в 6. Далее, Зх<$ -^-* Эхо23 & К. Каждый
конъюнктивный член S3 имеет вид Р/(хо), ~1Р/(*о), xo = Xi,
*о Ф Xi. Конъюнктивные члены вида х0 = х0 можно
вычеркнуть. Если в S3 имеется конъюнктивный член вида
х0 = xi, i ф 0, то формула Зх<у& эквивалентна
бескванторной формуле S3', которая получается из S3
подстановкой Xi вместо всех вхождений *0. Пусть S3 не содержит
конъюнктивных членов вида х0 = хи Стандартным
образом можно добиться того, чтобы для каждого /'^ «
в S3 был конъюнктивный член вида Pj{x0) или ~]Pj(x0).
Тогда формула S3 будет эквивалентна или 0
(тождественно ложной формуле), или формуле вида
Зхо(Ре(Хо)&Хо ф Х\ & ... &хофха) для некоторого s.
Применяя s раз лемму 2, получим, что эта формула
эквивалентна формуле
Э9+1*(Л (хо) V И Рг (xs) & 3sXoPe (xo) V ...
... V~\Pe(x:)& ... &-]Pe(
а это — формула из Гь ?
278 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 6
Как уже отмечалось выше, из леммы 1 следует
и предложение 1. ?
Укажем одно следствие леммы 1, которое обобщает
предложение 1.
Предложение 1'. Для любой формулы
сигнатуры а% можно эффективно построить эквивалентную
формулу из Гь D
. Еще одним следствием предложения 1 является
разрешимость теории одноместных предикатов.
Пусть Е—множество всех кортежей из 0 и 1
(включая пустой); Е имеет естественную нумерацию д: <»->¦?,
определенную так: дп — это кортеж, который получается
из двоичной записи числа п+ 1 вычеркиванием первой
единицы. На множестве Е имеется естественный
порядок <; (eo<ei=^eo — начало кортежа ei) и операции
ei—>eO (ei—>el) приписывания справа нуля (единицы).
Пусть ©* =н= a U {со} с операцией +, продолженной с со
на а* естественным образом.
Пусть ф — отображение Е в а*, удовлетворяющее
следующему условию:
Ve е= Е ((Ф (е) = Ф (еО) + <р (el)) & <р @) > 0). (*)
По отображению ф, удовлетворяющему условию (*),
построим теорию Гф сигнатуры ст0, задав ее следующей
системой аксиом: {ЗтхРг (х) |ее?, /пев, 0 < /п< ф(е)} U
иПЭтл:Ре (*)|ее=?, т е ю, ф (е) < т}. (Если е
—пустой кортеж, то ЗтхРе (х) =^= 3a:i ... Зхт ( & х{ ф
и
»
Сформулируем теперь основное утверждение этого
параграфа.
Теорема 1. Для любого отображения ф: Е-*-а*,
удовлетворяющего условию (*), теория Ту полна.
2. Отображение ф у—» Гф устанавливает взаимно
однозначное соответствие между отображениями ф: ?->(о*,
удовлетворяющими условию (*), и полными теориями
сигнатуры о0.
3. Теория Г<р разрешима тогда и только тогда, когда
множество пар Dv =Н= {<п,т)|т,пеш,т^ ц>дп}
рекурсивно.
1. Покажем сначала, что 7\р непротиворечива. Пусть
М*± {п|пеа, я^ф@)}, тогда М Ф 0. Условие (*)
§ 3] ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ 279
показывает, что существует такое отображение ф: ?-»¦
->Р(ЛГ), что ф@) = ЛГ, ф(еО)ПФ(е1)=0; ф(еО)и
Uq>(el) = ф(е), и если &ею таково, что Л^ф(е), то
ф(е) содержит по крайней мере k различных элементов.
Если положить Pi истинным на тех и только тех п^М,
для которых существует такой е = <ео, ..., ег>, что
е, = 1 и п еф (е), то так определенная модель Ш будет
удовлетворять, как нетрудно проверить, всем аксиомам
теории Гф. Полнота Гф легко следует из предложения 1.
2. Ясно, что если ф0 ф qpi — два отображения,
удовлетворяющие условию (*), то Гфз Ф ГФ|, так что
отображение фн->ГФ разнозначно. Пусть Г—полная теория
сигнатуры сто, положим для ее?
Ф (е) sFb sup {m | m e= со, 3mxPe (x) e= Т},
тогда Г<р = T, а так как Гф полна, то Т = Гф.
Следовательно, ф(—>ГФ есть отображение на все полные теории
сигнатуры <7о.
3. Если Гф разрешима, то из равенства
Ар = i(n> m) 1я» /га s <а; т
следует, что это множество рекурсивно. Наоборот, если
это множество рекурсивно, то Гф имеет рекурсивную
систему аксиом:
(х) | (п, т) е= Dv} [} {1 ЗтхРдп (х) | (п, т) ф /)ф}.
В силу полноты Гф по предложению 1 § 1 Гф
разрешима. ?
§ 3. Дистрибутивные решетки
В этом параграфе будет получен ряд фактов о
разрешимости и неразрешимости важных классов
дистрибутивных решеток.
Пусть Fd(n)—свободная дистрибутивная решетка
с нолем 0 и с п свободными порождающими |ь ..., ?„,
песо.
Предложение 1. Класс К =?= {Fd(n) |n e со}
свободных дистрибутивных решеток с конечным числом
свободных порооюдающих имеет наследственно
неразрешимую теорию.
280 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ (ГЛ. 5
Заметим сначала, что формула Ъ{ (х) ч± УуУг (х =
= y[Jz->x = yV x*=z) &хфО истинна только на тех
элементах а из Fd(n), которые в нормальной форме,
указанной в предложении 4 § 1 гл. 2, имеют вид
а= ПЬ, 0^F s{i; ..., /г}.
Если положим Ф (х) =?*= Ф[ (х) & Vi/Vz (л: = у П г ->•
-*х = г/\/х = г), то Ф, очевидно, выделяет в Fd (/г)
в точности свободные порождающие.
s
Пусть 0фа = \Л( П |Л — элемент из Fd(n), F{ г
4 = 0 VsF, ^
s{l, ...,«}, t<s, и Fu^Fix для to=^/i<s. Тогда
формула
истинна в Fd (л) на элементах a a b в том и только
в том случае, когда b = П |* длч подходящего /
t
Пусть Ко — класс всех конечных моделей теории
двух эквивалентностей, и пусть 2Й = <{1, ..., п},г\0,
t]i> e Ко. По отношениям эквивалентности ц0 и r|i
определим два элемента по и п\ решетки Fd(n)TaK:
а, -^ U (П {It I (/, f> е т|,}), х = 0,1.
Тогда, как легко видеть из предыдущих рассмотрений,
имеем
Следовательно, формулы
%(Уо, У\\ х)^Ъ(х)\
8(«/о, Уи хо, ^1)^^ = ^;
So (Уо, Уй х0, х{) ч± 3z (S (yQ, г) & z П х0 = г & z П хх — г);
Si(уо, Уь Хо, xi)^3z(^.(yi, z)&zr\xo = z&zr\xi=z)
относительно элементарно определяют класс Ко в
классе К. Действительно, если в качестве значений у0, у\
в Fd(n) взять а0 и сь то формулы Я, S3, @0, ©i
определяют на Fd(n) модель, изоморфную 3??.
§ 3] ДИСТРИБУТИВНЫЕ РЕШЕТКИ 281
Так как теория класса Ко наследственно
неразрешима, то и К имеет наследственно неразрешимую
теорию. D
Следствие 1. а) Класс всех конечных
дистрибутивных решеток имеет неразрешимую теорию, б) Класс
всех конечных решеток имеет неразрешимую теорию.
в) Класс всех дистрибутивных решеток имеет
неразрешимую теорию, г) Класс всех решеток имеет
неразрешимую теорию. О
Следствие 2. Если Fd(S)—свободная
дистрибутивная решетка с бесконечным множеством В
порождающих, то {Fd(S)} имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Это следствие доказательства предложения 1. D
Приведем теперь положительные результаты:
Предложение 2. Любая дистрибутивная решетка
D с относительными дополнениями (т. е. D e 3>о) имеет
разрешимую элементарную теорию.
Предложение 3. Элементарная теория класса ©0
всех дистрибутивных решеток с относительными
дополнениями разрешима.
Приступим к доказательству предложения 2. По
предложению 7 § 4 гл. 2 любая решетка D из 3>0 пред-
ставима в виде произведения булевой алгебры и
специальной решетки. Поэтому достаточно доказать, что
разрешимы элементарные теории любой булевой
алгебры и любой специальной решетки из 3>о.
Случай 1. D — булева алгебра элементарной
характеристики <а, р, tj>. Тогда из доказательства
предложения 3 § 4 гл. 2 видно, что по <а, р, tj> можно
эффективно выписать рекурсивную систему аксиом (которая
будет конечной, если а, Р < со) для теории Th(D). Так
как теория Th(D) полна и имеет рекурсивную систему
аксиом, то по предложению 1 § 1 Th(D) резрешима.
Случай 2. D — специальная решетка с элементарной
характеристикой <a,ri>. Доказательство предложения 5
§ 4 гл. 2 показывает, как по <a,ri> можно эффективно
выписать рекурсивную систему аксиом для теории
Th(D); по предложению 1 § 1 Th(D) разрешима.
Так как произведение двух моделей, имеющих
разрешимую теорию, само имеет разрешимую теорию, то
предложение 2 доказано. ?
282 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ (ГЛ. 6
Для доказательства предложения 3 докажем
следующие два предложения:
Предложение 4. Элементарная теория Тв класса
всех булевых алгебр разрешима.
Пусть (а0, ро. Ло), (щ, Pi. ill). .-. — эффективный
пересчет всех таких троек (а, р, г\); а, р < о», т) <! 1, что
Р + т) > 0. Пусть Tt — полная элементарная теория
булевой алгебры характеристики (с^, р,-, т^).
Доказательство предложения 3 § 4 гл. 2 показывает, что То,
Т\, ... — эффективная последовательность. Покажем
теперь, что Тв = П Tt. Пусть Dt — булева алгебра ха-
рактеристики (а,, р,, i\t), тогда П Tt = Th ({Do, Du ...}).
fern
Поэтому нужно установить, что TB = Th({DQ, Du •••}).
Для этого достаточно доказать, что для любой булевой
алгебры D существует ультрапроизведение булевых
алгебр из {Dt\is(o}, элементарно эквивалентное D.
Если элементарная характеристика (а, р, tj> алгебры D
конечна, т. е. а, р < со, то D = Dt для некоторого / < со.
Если (а, р, т|> = (п, о», т|), п < о», то пусть т/ < о» таковы,
что (amj, р , цт^ = (п, /+1, ti>, У < to; тогда
ультрапроизведение Ц DmJF по любому неглавному ультра-
/«@ ''
фильтру F над о» будет, очевидно, иметь элементарную
характеристику (п, о», tj). Если (а, р, т)) = (ю, 0, 0) и
пу<о» таковы, что (аП/, рП/, тц} = </+1, 1, 0>, /есо,
то ультрапроизведение Ц DnJF будет иметь элементар-
/ЕЮ ''
ную характеристику <о», 0, 0). Итак, Тв = Th ({Do,
D\, ...})= П Tt. По теореме 1 § 1 Тв разрешима. П
(ею
Предложение 5. Элементарная теория Ts класса
всех специальных решеток из ®0 разрешима.
Доказательство аналогично предыдущему. ?
Из предложений 4, 5 и предложения 4 § 1 следует
и заключение предложения 3. D
Важным следствием предложения 4 является
Предложение 6. Если некоторый класс К моделей имеет
разрешимую теорию, то и класс Prod (К) всевозможных приведенных
произведений моделей из К также имеет разрешимую теорию.
Детали доказательства см. в статье [26]. D
§ 4] ГРУППЫ 283
§ 4. Группы
Получим сначала отрицательный результат, из кото-,
рого будет следовать неразрешимость элементарных
теорий класса всех групп и класса всех конечных групп.
Предложение 1. Класс К всех симметрических
групп Sn конечных степеней лею имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Sn есть группа всех перестановок множества {0, ...
..., п—1}. Если osSn, i < п, то ia. — образ элемента
i при перестановке а. На множестве элементов группы
Sn зададим частичный порядок (плохо согласованный
с операцией умножения) <; так: a<Ip^V/</i (Za =
= i у ia = i$). Без труда проверяется, что справедлива
следующая интерпретация отношения ^: а $С р тогда
и только тогда, когда любой цикл в каноническом
разложении перестановки а является циклом и в
каноническом разложении р. В частности, формула
х-ф 1 & Vz/(z/<I#-> у = 1 V у = х) справедлива в <Sn, ^>
в точности на (нетривиальных) циклах.
Укажем, как в группе Sn можно «смоделировать»
элементы множества {0 п—1}, действие
элементов Sn на это множество и отношение <;. Будем
предполагать, что п > 2. Зафиксируем элементы 60 =^= @,1),
6i ^= @,2) е Sn. Для любой упорядоченной пары <а, р>
элементов из Sn и элемента у через <<х, р>-у обозначим
пару (v^av. V~'PV>- Пусть М ^ {<fio,6i>-v|v e=Sn}.
Заметим, что М состоит из всех упорядоченных пар
двухэлементных циклов, имеющих один общий элемент
(действительно, у-'бо? = @?> 1?). У~%У = (Ov, 2y)).
Определим на М отношение эквивалентности г\, считая две
пары я, к'еМ эквивалентными, если общий элемент
пары двухэлементных циклов я является и общим
элементом пары двухэлементных циклов я'. Заметим,
что это отношение г\ может быть определено и так: для
<р> ' ''>М
(я, я') s т, <=> (ааО3 = (ар'K = (ра'K = (РРО3 = 1 •
Действительно, если а и а' — двухэлементные циклы, то
(аа'K = 1 тогда и только тогда, когда а и а' имеют
хотя бы один общий элемент в цикле.
Фактор-множество М/ц естественно изоморфно
множеству {0,1 я— 1}. Если паре яеМ сопоставить
284 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ 1ГЛ. 8
элемент /я, равный общему элементу циклов в я, то
(я,я')еи1-*»/п = /я'. Заметим еще, что /(я-а) =
= (/я) а для любых я е М и а е Sn; поэтому для а, р е
е 5„ имеем
а<Р<=ф- \/я e Af «я • а, я) е щ V (я • а, я • 3) е ц).
Пусть а е 5rt, зададим на Af отношение г\а так:
(я, я/>ел«^<я. я')ег] V
Имеем: <я,я'>е'па тогда и только тогда, когда /я =
= /я' либо существует нетривиальный цикл в
каноническом разложении а такой, что /я и /я' входят в этот
цикл. По-другому это же отношение г\а может быть
определено так:
<я, яОеtjo^<я, я"')eriVVpC<а->«я• р, я>ф
^т)^<я'.р, яО^л».
Ясно, что для любого отношения эквивалентности fj
на {0, .... п— 1} существует такой элемент aeSn, что
х\а индуцирует (с помощью отображения /, так как г\ =
= т)а) на {0, ..., п—1} отношение fj.
Рассмотрим следующие формулы:
И'(хь х2; ух, y2)
ь х2; и, v)^VylVy2(W(xu х2, уь Уг
-»-(93'(хь х2; уи у2\ и~хухи, u-l
VS3'(*i, х2\ и-хухи, и~хуф\ v^yiv, v-xy2v))).
Проведенные выше рассмотрения показывают, что
формулы
2Ц*1. х2, х3, х4; уь у2)^%'(хи х2\ уи у2);
Щх; у'; yn^W(xv x2; у[, у'2; у'[, <);
(So(х; у'; у")^Щх; у'; у") V V«(S>(*,, х2; и, х3)-*
2; у[, у'2\ и-%и, и-%и)^*
v x2; tf, у?; и~ху'[и, и-у2'и)))-,
; у';
; у'; у")^%(х; ?', j")W«(D(x,, x2, и,
x; у"; и~у
§ 4j группы 285
относительно элементарно определяют класс К" всех
конечных моделей теории двух эквивалентностей,
имеющих более двух элементов, в классе К- Так как класс
К" имеет наследственно неразрешимую теорию, то и К
имеет наследственно неразрешимую теорию. ?
Следствие 1. Класс всех конечных групп имеет
неразрешимую теорию.
Действительно, Sn — конечная группа для п е со. ?
Следствие 2. Класс всех групп имеет
неразрешимую теорию. D
Предложение 2. Элементарная теория класса
всех абелевых групп разрешима.
Для доказательства воспользуемся теоремой 1 § 1.
Теория ТА абелевых групп конечно аксиоматизируема,
поэтому достаточно построить эффективную
последовательность То, 7"ь ... полных теорий такую, что П Tt —
=тА.
По конечному набору F = {(p{, (п*0, ..., л?), ml, /')|
i < Ц, &,/eco, pt — (/+1)-е простое число, nj, ml,
tlее», i < /, можно эффективно указать (см. гл. 3)
рекурсивную (конечную) систему аксиом для полной
теории Tf абелевой группы
Эффективно перечислив все такие наборы Fo, Pi,
...,получим эффективную последовательность полных теорий
TF , Тр , ... Для доказательства того, что Г\ Тр = Т.,
достаточно доказать, что любая абелева группа А
элементарно эквивалентна подходящему
ультрапроизведению групп вида Af-
Укажем, как это доказывать. Пусть А — абелева
Fs{( « ) \ ^>|/<}
т
, д у
группа, пусть Fs^{(p{, « 0, .... п\ s), >|}
где nls i =?ь min {s + 1, %v , {A)}; mls^ min {s + 1, 3P/ (АЦ
для /<s; /j^=min|s+l» VP/(^)} Для i<s; /*=^=
^=mm|s+l, YPs(^)} + Tis, где tjs = O, если е(Л) = 0, и
ns = 1, если е (А) = со. Если G — неглавный ультрафильтр
над со, то Л'=^ Ц ApslG элементарно эквивалентна А.
286 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ |ГЛ. .5
Это следует из результатов § 5 гл. 3 и легко
проверяемого факта, что ар,„{А) = аРз„{А') для всех песо,
Рр(Л) = РР(Л'), УР(А) = УР(А') Для всех простых р и
е(Л) = е(Л'). П
Укажем без доказательства результат, который
показывает определенную «законченность» заключения
предложения 2.
Предложение 3. Если V — многообразие групп,
содержащее хотя бы одну неабелеву группу, то
элементарная теория V неразрешима.
" Доказательство см. в работах [44], [35]. ?
§ 5. Поля
Рассмотрение элементарных теорий классов полей
начнем с получения следующего классического
результата:
Предложение 1. Элементарные теории полей
комплексных и вещественных чисел разрешимы.
Это предложение сразу вытекает из следующих двух
предложений:
Предложение 2. Теория алгебраически
замкнутых полей фиксированной характеристики является
полной.
Предложение 3. Теория вещественно замкнутых
полей является полной.
Действительно, каждая из теорий, указанных в
предложениях 2 и 3, является рекурсивно
аксиоматизируемой и поэтому разрешимой (предложение 1 § 1). ?
Предложение 2 вытекает из того, что, как отмечено
в главе 1, теория алгебраически замкнутых полей
является модельно полной. Если же зафиксировать
характеристику, то алгебраическое замыкание простого поля
этой характеристики будет первичной моделью, и
поэтому такая теория будет полной.
Класс вещественно замкнутых полей в сигнатуре
полей с предикатом порядка ^ модельно полон;
вещественное замыкание поля <Q, sg:> является, очевидно,
первичной моделью, поэтому эта теория полна. П
Результаты § 9 гл. 4 позволяют утверждать
разрешимость элементарной теории и для других
«классических» полей теории чисел.
§ Я ПОЛЯ 287
Предложение 4. Для любого простого числа р
поле Qp р-адических чисел имеет разрешимую теорию.
Действительно, в § 9 гл. 4 указана (очевидно,
рекурсивная) система аксиом для полной теории Th(Qp).
По предложению 1 § 1 Th(Qp) разрешима. ?
Результаты главы 4 позволяют сформулировать
следующее утверждение:
Предложение 5. Пусть F — поле характеристики
0; теория Th (F) разрешима тогда и только тогда, когда
разрешима теория поля F«tf>> формальных степенных
рядов над F.
Действительно, в поле F«tf>> можно формульно
выделить кольцо F[[f]] степенных рядов (см. замечание
на с. 261). Следовательно, если поле F имеет
неразрешимую теорию, то, используя формульность кольца
F[[t]] и редукцию q>i—э-ф*, указанную в начале § 8гл.4,
такую, что y(=ThF<=5>(f>Re=Th(F((t>y,F[[t]]),
получим неразрешимость теории Th(F<<tf>>).
Для доказательства разрешимости Th(F«f>»
заметим сначала, что разрешима теория бесконечной
циклической линейно упорядоченной группы <Z, ^> с
естественным порядком. Действительно, легко написать
рекурсивную систему аксиом, утверждающую, что в
линейно упорядоченной группе существует наименьший
положительный элемент е такой, что для любого п >» 0
и любого элемента а этой группы хотя бы один из
элементов а, а — е, ..., а — (п—\)е делится на п. Эта
теория будет полной, так как у любых двух моделей Го
и Г] этой теории, не изоморфных Z, будут существовать
выпуклые подгруппы, изоморфные Z, такие, что YqJZ
и Ti/Z — (нетривиальные) полные группы. Тогда
результаты § 6 гл. 3 влекут Го = Гь
Рекурсивная система аксиом для теории поля F
и указанная система аксиом для группы <Z, ^>
позволяют, в соответствии с предложениями 1 и 3 § 8 гл. 4,
выписать рекурсивную систему аксиом для полной
теории модели
<F((t)), F[[t]), F, {r\neZ}).
Следовательно, теория этой модели и тем более теория
поля F«O> разрешимы. D
288 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 5
В следующем предложении результаты главы 4
будут использованы для получения положительных
результатов об элементарных теориях классов полей.
Пусть 8?—класс полей характеристики 0, ® — класс
линейно упорядоченных групп. Через [g, @] обозначим
класс всех таких полей F, что в поле F существует ген-
зелево кольцо нормирования R такое, что поле вычетов
R/m.(R) принадлежит классу 8?, а группа нормирования,
ассоциированного c"R, принадлежит классу ®.
Предложение 6. Если классы, g и ® имеют
разрешимую теорию, то и класс полей [gf, ®) имеет
разрешимую теорию.
Прежде всего докажем такое утверждение:
Лемма 1. Пусть g0 и gi — классы полей
характеристики 0, ®о и ®i — классы линейно упорядоченных
групп. Если ThSo = ThSi « Th@0 = Th<Si, то
] h[]
Пусть ф — предложение сигнатуры теории полей и
пусть ф ф Th [go. ©о], тогда F (= ~] ф для некоторого
F e [go. ©о]; пусть R — гензелево кольцо нормирования
поля F такое, что поле вычетов Fo^^o, а группа
ассоциированного нормирования Го е ©0- Пусть Th (Fo) =
= {\j)o, \j)[, ...}, Th (Го) = {ifoi Фи • • •}> так как Th§g=Th§i
и Th ©о = Th ®i, то для любого п е <о существуют Fn^%i,
Г" s ©! такие, что {ifo, ..., i|)n} s Th (Fn), (^0 $„} s
s Th (Г"). Пусть G — неглавный ультрафильтр над at,
а ^"^^"(Г"} (определение поля F (Г) см. в конце § 7
гл. 4), ^"elgi, ®i]; пусть ^=^ П F"/G — ультрапроиз-
/IEU
ведение этих полей; поле F обладает гензелевым
кольцом нормирования с полем вычетов FQ, изоморфным
IX Fn/G, и группой нормирования Го, изоморфной
Tn/G. По выбору полей Fn имеем F0^^F0, по вы-
I
бору Г" имеем ГоэзГо; тогда по основной теореме § 8
F^sF] в частности, Р\= ~] ф; так как F —
ультрапроизведение, то для некоторого (бесконечно многих) п е со
имеем F" (Г") |== П ф; следовательно, ф ф Th (Fn (Г"» Э
ЭТЬ[§[, ®[]. Итак,
§ 51 поля 289
В силу симметричности условий иа эти классы имеем
среТЬ^о, ©о]
или, что то же, Th[So,®o] = Th [Si,©i]. ?
Из леммы 1 следует, что можно считать классы S
и © аксиоматизируемыми, т. е. такими, что F |= Th8f=^
==> F е= 5, Г Н Th © =Ф Г <= ®. В § 8 гл. 4 было отмечено,
что любое гензелево нормированное поле с полем
вычетов характеристики 0 элементарно эквивалентно полю,
имеющему поле представителей и сечение. Поэтому
предложение будет следовать из более сильного
утверждения (в условиях предложения):
Класс <8f, ®> всех моделей вида (F, R, k, Г> таких,
что R — гензелево кольцо нормирования поля F, k —
поле представителей для поля вычетов, Г — сечение
ассоциированного нормирования, keS и Ге@, имеет
разрешимую теорию.
Действительно, предложение 1 § 8 гл. 4 и
разрешимость теорий классов g и ® позволяют написать
рекурсивную систему аксиом для теории Т класса <S, ®>. Для
доказательства утверждения остается найти
эффективную последовательность полных теорий Го, 7*1, ... такую,
что Т— П Tt.
Так как теория Т ^ Th E) разрешима, то по
теореме 1 § 1 существует эффективная последовательность
полных теорий 7о, П, .. • такая, что 7" = П Т'г,
te
для теории Т" ^ Th (®) также существует эффективная
последовательность полных теорий Т'6, Т'{, ... такая,
¦по Т"= П 77.
/ S СО
Доказательство леммы 1 показывает, что ее можно
формулировать и в следующем виде:
Лемма Г. Пусть 5о " «Si — классы полей
характеристики 0; ©о и ©1 — классы линейно упорядоченных
групп. Если Th §0 = Th g, и Th ©0 = Th ©,, то Th <g0, ©0>=
= Th<8,, ©,). П
Пусть Ft — такое поле, что F11= T\, i s со; пусть
Г/ — линейно упорядоченная группа такая, что Г/ (==77,
/ е ю. Пусть Т„ — теория класса ({Fin}, {Гг„}), п е со.
Так какГ= П П, то Th § = 7" = Th ({Fo, i7!,...}); так
i SCO
290 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 0
как Т"= П T'i, то Th@ = Th({Го, Гь ...}). По лемме Г
/ею
имеем
П
i, I e
, -..}, {Го, Г„ ...}> =
}. (Гл„}>= П Тп.
лее
Для завершения доказательства предложения остается
применить теорему 1 § 1. D
Для возможных применений этого предложения
укажем, что класс всех линейно упорядоченных групп
имеет разрешимую теорию (для библиографических
указаний см. [34]).
Укажем без доказательства следующие важные
результаты:
Предложение 7. а) Класс всех конечных полей
имеет разрешимую теорию.
б) Класс всех конечных простых полей имеет
разрешимую теорию.
Доказательства можно найти в работе [39]. ?
Перейдем к отрицательным результатам. Покажем,
следуя работе [43], что в предложении 5 (точнее, в
более сильном утверждении, которое именно и
доказывалось) условие на характеристику является
существенным.
Предложение 8. Пусть F— конечное поле
характеристики р; тогда элементарная теория модели
<F((tyy,F[[t]],F, {tn|пе= Z)> неразрешима.
Для доказательства этого предложения понадобится
следующее утверждение, имеющее и самостоятельный
интерес:
Лемма 2. Для любого поля F кольцо многочленов
F [t] от одной переменной t над F. имеет наследственно
неразрешимую теорию.
Заметим, что в кольце F[t] формула у(х, #)=^
*±[у= 1 V VzVu3v (у = uz&и ф l-+u = xv)&3u(y—l =
= и(х — 1))] истинна на элементах t и а тогда и только
тогда, когда а = tn для подходящего new. Далее, для
п, mew имеем п\пг Ф=> 3u(tm— 1 = (tn— 1)и) и tn+m=
= tn-tm. Отсюда ясно, что в кольце F[t] относительно
элементарно определима модель 2Я = <w, -f,|>. По
предложению 8 § 1 SOT имеет наследственно неразреши-
§ 51 ПОЛЯ 291
мую теорию, следовательно, и кольцо F[t] име.ет
наследственно неразрешимую теорию. ?
Теперь нужно будет доказать ряд технических лемм,
чтобы установить формульность кольца F[t] в модели
<F«/>>, F[[t]], F, {/n|«e=Z}>. Введем обозначения:
К^ F «/», Sol (а) ^ ЗхЗу, ... Зур_, (а = х<> - х+ +
У ')
Лемма 3. Пусть а= ? а/, z^Z, o,gF,
тогда
Sol (а) -**- Зх0 е= F (а0 = х' - х0).
Так как ГЦ a/Y = Z а"/", то из а = л;Р-л: +
+ /f/f+ ••• Ч-^-'г/р-, следует, что ао = ^-^о, где
х= J] jCi/'. Импликация слева направо установлена.
Докажем импликацию справа налево. Отметим, что
из Sol (а) и Sol (P) следует Sol(a + P); поэтому
достаточно установить:
( Z /
у
а) Sol (
i> 1 /
б) Sol (ut~k) для «sf, k > 0.
а) Если a= ? a^', то, полагая х^=(— а) + (— а)р +
+ ••••= 2 (—а)Р"» будем иметь, очевидно, а = хр — х,
т. е. Sol (a) (t/,= ... =г/р_, = 0).
б) Случай 1: р -f k, тогда k = pq — у для некоторых
(/еши l^y'^p — 1. Так как F совершенно, то и = wp
для некоторого ibeF; тогда ы^-* = (wt~q)pt'. Полагая
х ч± 0, у/ ^= да^-'7 и t/< =^ 0 для i ^ /, видим, что
справедливо Sol (a).
Общий случай. Доказательство индукцией по k. Для
k = 1 это следует из случая 1. Предположим, что
Sol (wt-q) справедливо для всех q < k, q >> 0, w e F.
Установим тогда Sol(«/~ft). Если p -f k, то это случай 1.
Поэтому рассмотрим случай p\k, т. е. k = qp. Пусть
wp = ы; имеем
„Г* = (шГ')" = [(wrq)P - ш/-"] + wCq.
По индукционному предположению 5о1(ш/~9) имеет
место. Используя «аддитивность» Sol и индукционное
292 РАЗРЕШИМЫЕ И НЕРАЗРЕШИМЫЕ ТЕОРИИ [ГЛ. 5
предположение, достаточно установить So\((wM)p —
— wt~q). Но это очевидно, если положить х = —wM,
У1 = У2= ... =(/Р-1 = 0. ?
Для ае/( Cros(a) будет обозначать aG{r|nGZ};.
если а= X а^'е/С, то Zer (а) ^ а0 = 0.
Лемма 4. Предикат Zer формулен в (К, Cros>.
Пусть q — число элементов поля F, тогда формула
Con (х) =?= хч — х = 0 выделяет в К поле F. В поле F
имеются элементы ао такие, что уравнение х° — х = ао
не разрешимо в F; поэтому по лемме 3 имеем
эквивалентность
Zer(a)<^Vp(Con(|3)->Sol(|3a)). ?
Лемма 5. Кольцо многочленов F[t] формально
определимо в модели (К, F [ [t] ], Cros, Zer>.
Это сразу следует из такой эквивалентности: для
> (Cros (au) &
Asa» ef [[/]]-> Zer (wx)).
Установим эту эквивалентность. Если а = Oq + O[/+...
. .. +aktk, k>0, то для s=^r(ft+1) и любого Л ne=Z,
если sTn e F [ [t] ], то п < - (Л + 1), /"а=а/1+<М"+1+...
... + а^п+к и га + k < 0; следовательно, Zer (/"а).
Импликация слева направо установлена. Пусть а е
eF[[l] ]\F [/]; тогда для любого га > 0 существует m ^ га
такое, что ат ^= 0. Пусть произвольный элемент s и
число га>0 таковы, что stn^F[[t]]. Выбирая m^ra
таким, что ат Ф 0, для w^t~m имеем sw~l = stm =
= (stn)tn-m(=F[[/]], и элемент wa= Z a^'"m будет
иметь коэффициент ат при нулевой степени /,
следовательно, Zer (яях). Отсюда следует и обратная
импликация. ?
Леммы 2, 4 и 5 влекут заключение предложения. ?
Отметим без доказательства справедливость
следующих утверждений:
1. Теория класса всех полей неразрешима.
2. Теория класса всех полей фиксированной
характеристики неразрешима.
Доказательства можно найти в [28], [38J. ?
Г Л Л В Л 6
конструктивные модели
§ 1. Начала теории (основные проблемы)
Все общие рассмотрения будут вестись обычно в
некоторой фиксированной сигнатуре ао = {Ро\ Рр, ...},
содержащей только предикатные символы и такой, что
функция f: kt->nk общерекурсивна. Нам будут нужны
еще следующие сигнатуры:
<*з ^ on U (с>,
которые получаются присоединением к сигнатуре <тэ
символов для констант. Всегда будем предполагать, что
По = 2 и предикат Ро на любой модели определен как
равенство (вместо Рй(х,у) будем писать х = у).
Пусть Ц — совокупность всех формул языка узкого
исчисления предикатов с равенством (Ро) сигнатуры сг,-,
Г= 0, 1, 2, 3. Имеют место следующие очевидные
соотношения:
Предположим еще, что задана какая-нибудь
фиксированная гёделева нумерация g множества
Lt {g: о) -> Lz). Не давая каких-либо уточнений, под гё-
делевой нумерацией множества L3 понимаем любую
нумерацию g этого множества такую, что по g-номеру
можно эффективно построить саму формулу, а по
формуле из L3 можно эффективно найти ее g-номер. Гёде-
левы нумерации для Lz, очевидно, существуют (см. § 1
главы 5), и любые две гёделсвы нумерации L^ эквпва-
294 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. б
лентны. Некоторыми очевидными свойствами
(связанными с эффективным распознаванием тех или иных
свойств формул по ^-номерам) такой нумерации будем
пользоваться в дальнейшем без специальных оговорок.
С каждым подмножеством S S L3 связывается
множество g~l(S) всех номеров формул S. Назовем S
разрешимым множеством, если g~l (S) рекурсивно. Так,
множества Lo, L\ и L^ разрешимы.
Напомним несколько определений, относящихся к
нумерованным множествам и моделям.
Пусть S — произвольное множество. Нумерацией v
множества S назовем отображение v: ©-*S множества
всех натуральных чисел © на множество S. Пара (S,v),
где S — множество, a v — его нумерация, называется
нумерованным множеством; морфизмом одного
нумерованного множества (So, Vo) в другое (Si.vi) назовем
всякое отображение ц: So—*S\, для которого существует
общерекурсивная функция h такая, что ц\0 = v\h.
Нумерованные множества и их морфизмы образуют
категорию 31. Нетрудно показать, что в этой категории
существуют конечные суммы и конечные произведения.
Нумерованной моделью (сигнатуры <т0) назовем пару
BЛ, v), где 2Л = (М, Ро, Ри ...> — модель (сигнатуры
сто), a v — нумерация основного множества М модели 2Л.
Гомоморфизмом нумерованной модели BЛ0, v0) в
нумерованную модель (SOTi, vi) назовем всякое отображение
ц,: Мо—*М\ основного множества Мо модели 2Л0 в
основное множество Mi модели 2ЛЬ которое является как
гомоморфизмом модели Зйо в модель JOti, так и морфизмом
из (Afo.vo) в (Afi.vi).
Гомоморфизм |х нумерованной модели BЛ0, v0) в
нумерованную модель (Sfti.vi) назовем эквивалентностью,
если |х — изоморфизм 2Л0 на Ш\, а обратное отображение
ц,-1 есть морфизм из (Mi.vi) в (M0,v0). Если
существует эквивалентность из BЛ0, v0) в (9)?i,vi), то эти
нумерованные модели назовем эквивалентными и будем
обозначать это так: BЛ0, v0) « (SDei.vi).
По каждой нумерованной модели (9Л, v) можно
каноническим образом построить некоторое ^-обогащение
Wlv модели 3)J (т. е. модель сигнатуры о\, основное
множество которой есть основное множество модели 9Л,
а предикаты из <Xq в 3)?v совпадают с соответствующими
§ 1] Начала теории 295
предикатами Ш1) следующим образом: в качестве
значения константы йк, А: ею, берем элемент'уА:еМ.
Введем следующие обозначения: Tho(9M,v) —
элементарная теория модели Ш1, т. е. множество всех
замкнутых формул сигнатуры о0, истинных на модели 2Й;
ThiBU,v) — элементарная теория модели 9MV. т. е.
множество всех замкнутых формул сигнатуры сть истинных
на модели 2JV, ТЬ3(ЗЯ, v) — теория сигнатуры а3.
системой аксиом которой является множество формул
Th, (Ш, v) U {с ф а0, ..., с Ф ак, ...};
Th2 (!Ш, v)^Th8(SDt, v)[\La.
Нумерованная модель (ЗЛ, v) называется
конструктивной моделью, если множество D (Ш, v) =^= {(k, гп\,
.... tnnk)\3R)=Pk(vmi, .... vtnnk)} рекурсивно.
Одной из основных проблем этой главы является
нахождение условий, при которых теория Т имеет
конструктивную модель, т. е. такую конструктивную модель
(SW,v), 4ToTh0EW,v)s T.
Следующее определение выделяет важный частный
случай понятия конструктивной модели, который
существен при изучении разрешимых теорий.
Нумерованная модель (ЗЯ, v) называется сильно
конструктивной, если Thi(9M,v) — разрешимая теория.
Замечание. Конструктивность нумерованной
модели (9M,v), очевидно, равносильна разрешимости
множества бескванторных формул из Thi (ЗИ, v), так что
всякая сильно конструктивная модель является
конструктивной.
Укажем несколько простых, но полезных утверждений о
(сильно) конструктивных моделях.
Предложение 1. Пусть (ЗЯ,v)—конструктивная модель,
Мо s М, ЗЙо — подмодель модели ЗЯ с основным множеством Мо.
Если v-'(Mo)—рекурсивно перечислимое множество, то существует
такая нумерация vo: ш -*¦ Мо множества Мо, что (ЗЙо, vo) —
конструктивная модель и вложение i: Mo -*¦ М\ является гомоморфизмом
конструктивной модели (ЗЯо, vo) в конструктивную модель (ЗЯ, v). Если,
кроме того, (ЗЯ, v) — сильно конструктивная модель и ЗЯ0 —
элементарная подмодель ЗЯ, то (ЗЯ0, Vo) — сильно конструктивная модель.
Пусть общерекурсивная функция f такова, что /(<») =\-*(М0).
Положим vo =^= vf; этим, очевидно, задана нумерация vo: ш->М0
множества Мо. Покажем, что (ЗЯ0, v0) — конструктивная модель.
296 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ГГЛ fl
Имеем следующие эквивалентности:
a»oN Ph(vo«i. • • •• Vo«B4)о3K0N Рк(v/(m,)..... v/(mnft))ч^
*> ЯЯ И />ft (v/ (m,), ..., v/ (mBfc)) о (*, т„ ..., mnft) с
<= 5 (ЭК0, v0) ^ (*, / (т,)( ..., / (mBfc ))efl (TO. v).
Из последней эквивалентности и рекурсивности D(SW, v) следует ре-
курсивность DCKo, v0) и конструктивность- (SWo, vo).
Для функции / и вложения i из определения Vo вытекает
равенство /vo = v/. Следовательно, I — гомоморфизм конструктивных
моделей.
Последнее утверждение предложения вытекает из следующей
цепочки эквивалентностей и рекурсивности Thi BЙ, v):
*(%>•••> \) е Thi («о-
о Ш И Я (v/ (/,),..., v/ (/,))
Пусть (SWo, Vo), (Wj,V|) — две нумерованные модели. Определим
их прямое произведение (8В0, vo) X (SBi, vt) как нумерованную
модель BR, v), где SDt^SDtoX^i, а нумерация v: ш-»-Л1 (= Л10 X Mi)
определена так: vn ^ (vo/n, vim). Здесь / и г — такие одноместные
примитивно рекурсивные функции, что вместе с некоторой
двухместной примитивно рекурсивной функцией с удовлетворяют
тождествам .
с Aх, гх) = х, к (х, у) = х, гс (х, у) = у,
т. е. осуществляют взаимно однозначное отображение множества
всех пар натуральных чисел на ш.
Предложение 2. Прямое произведение (сильно)
конструктивных моделей также (сильно) конструктивно.
Для произведения конструктивных моделей утверждение почти
очевидно. В случае сильно конструктивных моделей можно
воспользоваться методом, описанным в предложении 4 § 1 гл. 5,
эффективно сводящим вопрос об истинности формулы на прямом
произведении к вопросу об истинности некоторых формул на сомножителях,
что и дает заключение предложения. D
Ограничение, наложенное на сигнатуру о~о, состоящее в том, что
а0 содержит только предикатные символы, не является существенным
для изучения вопросов существования конструктивных моделей.
Стандартная процедура рассмотрения «-местной функции как (п + 1)-
местного предиката эффективно сводит все к случаю чисто
предикатной сигнатуры.
Однако в случае произвольных нумерованных моделей и алгебр
иногда интересно рассмотрение только таких нумераций алгебр, что
операции алгебры являются эффективными. Рассмотрим более под-
§ 1] НАЧАЛА ТЕОРИИ 297
робно этот случай. Пусть сигнатура а = (=, f™\ /^',-•••) такова,
что, за исключением символа равенства, остальные символы
являются функциональными. Если а бесконечна, то предполагаем, что
функция к: и i—? т„ общерекурсивна.
Пусть Я = (A, go, gi, ...) — алгебра сигнатуры а. Нумерацией
алгебры Я назовем всякую нумерацию v: а-*-А основного
множества алгебры Я, для которой выполнено следующее условие:
существует двухместная общерекурснвная функция G такая, что
для любого п s со, любых (/[,..., ут имеет место равенство
gn (v(/! *Утп) = vG (я> ™а (Уi • Утп))- ДРУимн словами,
по v-номерам элементов нз А и номеру операции gn можно
эффективно найти некоторый v-номер результата применения этой
операции к этим элементам.
Если v: со -*¦ А — нумерация алгебры Я, то пара (Я, v)
называется нумерованной алгеброй.
Замечание. Если Я рассматривать как модель, то не всегда
нумерация «модели> Я будет нумерацией алгебры Я.
Покажем, что вопрос существования хотя бы некоторой
нумерации алгебры Я не накладывает, по существу, никаких ограничений
на Я.
Теорема 1. Всякая не более чем счетная алгебра Я имеет
некоторую нумерацию.
Приведем только набросок доказательства. Рассмотрим сначала
абсолютно свободную алгебру Fa (do, du ...) сигнатуры а от
счетного числа свободных образующих do, d\, ... Элементами этой
алгебры являются в точности термы сигнатуры а над константами di,
i e со, которые определяются так:
1. Каждая константа di есть терм, i e и.
. 2. Если f™n Sff,/,,...,r — термы, то выражение fn (tv ...,tm )
есть терм.
3. Множество Т всех термов — это наименьшее множество,
удовлетворяющее условиям 1 и 2.
Зададим отображение <р: 7"->о) следующим образом:
Ф (dt) ^ 2i, i е и;
здесь ру—(</+1)-е простое число (ро = 2, р\ — 3, /?2 = 5, ...).
Легко проверяется, что ф-образ Г в о, т. е. фG"), есть бесконечное
рекурсивное множество; ф — одно-однозначное отображение Г в в.
Пусть общерекурсивная функция f такова, что она осуществляет
прямой пересчет ф(Г), т. е. р/ = фG") н f строго монотонно возрастает.
Полагаем v =^=kx(p-l[(x); v есть нумерация множества 7", которое
есть основное множество алгебры Fa{dn, di, ...)¦ Из определений ф,
f и v легко вытекает, что v — нумерация алгебры Fa(do, d\, ...).
Полное заключение теоремы вытекает из следующих двух
очевидных утверждений:
1. Всякая не более чем счетная алгебра Я сигнатуры о есть
гомоморфный образ алгебры Fo(d0, d\, ...).?
298 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
2. Если v0 — нумерация алгебры Яо сигнатуры a; q>: Яо -*¦ % —
гомоморфизм алгебры % на алгебру &i сигнатуры а (т. е.
эпиморфизм), то Vi=^qn>o есть нумерация алгебры Я^ О
Нумерованная алгебра (Я, v) будет конструктивной алгеброй
(т. е. конструктивной моделью в соответствующей предикатной
сигнатуре) тогда и только тогда, когда v — разрешимая нумерация.
Довольно часто алгебры задаются образующими и
определяющими соотношениями в соответствующем многообразии (например,
в многообразии групп, полугрупп, колец и т. п.). Если многообразие
задается конечной (или рекурсивной) системой тождеств, то любая
алгебра, заданная в этом многообразии конечной системой
образующих и определяющих соотношений, будет обладать, как нетрудно
проверить, естественной позитивной нумерацией. Поэтому полезно
иметь критерий, когда позитивно нумерованная алгебра является
конструктивной.
Предложение 3. Позитивно нумерованная алгебра (Я,v)
является конструктивной тогда и только тогда, когда существует
рекурсивно перечислимое множество S пар натуральных чисел такое,
что
а) (х, у) е S =>- \х Ф vy,
б) для любого ненулевого отношения конгруэнтности г\ алгебры
Я существует пара (х, у) е S такая, что (\х, \у) е г\.
Заметим сначала, что из условия позитивной нумерованности
алгебры (Я, v) вытекает следующее утверждение: по любому
конечному множеству F пар натуральных чисел (х0, Уо) {Хп, Уп)
можно эффективно построить позитивную эквивалентность t\f на со
такую, что множество пар элементов {(vx, vy) \ (x, у) ет}?} есть
наименьшее отношение конгруэнтности на Я, содержащее все пары,
элементов (vxo,vyo), ..., (vxn, vyn). Действительно, пусть tiv
—нумерационная эквивалентность нумерации v, a G — функция,
существование которой предполагается при определении нумерации
алгебры Я; тогда t\f — наименьшая эквивалентность на <о,
удовлетворяющая условиям:
а) T|vSTir;
б) fstif;
в) для любого песо, любых пар (и^, в^,'..., /um , vm \ e r\F
пара (G (я, с™" (и, umj), G (в, </*« (о,, .... omj)) e цР.
Из этого описания т^г видно, что т)г строится эффективно по F.
Пусть S — рекурсивно перечислимое множество пар
натуральных чисел, удовлетворяющее условию предложения.
Докажем, что со2 \ tiv = {{х, у) \ ti{(x_ y)} Л S ф 0}.
Действительно, если (х, у) ф. T)v, т. с. vx ф vy, то vti^ ^ — отношение
конгруэнтности на Щ, содержащее пару (vx, vy), следовательно,
vt1{<jc у)} — ненулевое отношение конгруэнтности алгебры Ш и по
условию б) г\{{х уу}(] S Ф 0.
Наоборот, если r\{{x y)^f\S ф 0, пусть (и, o)eSf|щх у)у тогда
по условию a) vu Ф vv; следовательно, vr\^x y^ — ненулевое
отношение конгруэнтности, а это возможно только в случае, когда
§ 1]
V* ф
vy.
Итак,
ш2
\
НАЧАЛА
= {<*. У)\
ТЕОРИИ
299
0},
поэтому <o2\t)v рекурсивно перечислимо; но тогда tiv рекурсивно, и,
следовательно, v разрешима. Достаточность доказана.
Докажем необходимость. Пусть V — разрешимая нумерация,
тогда в качестве S можно, очевидно, взять множество {(х, у) \vx ф
ф \у} = <02\T]v. П
Укажем ряд следствий предложения.
Следствие 1. Если Я— простая алгебра (т. е. алгебра,
единственными отношениями конгруэнтности которой являются нулевая
и единичная), то любая позитивная нумерация v алгебры Я является
разрешимой.
Действительно, в качестве S можно взять множество,
содержащее одну пару {х, у) такую, что vx ф vy. О
Следствие 2. Если алгебра Я имеет только конечное число
отношений конгруэнтности, то любая позитивная нумерация v
алгебры Я является разрешимой.
Если т)о, T)i т)* — все ненулевые отношения конгруэнтности
алгебры Я, то для каждого i ^ k выберем пару (xi, yi) такую, что
vxt ф vyt и (vX(, vyi) s цс тогда S=^= { {xi, yi) \i ^ k} удовлетворяет
условиям предложения. ?
Следствие 3. Если алгебра Я имеет конечное число
ненулевых отношений конгруэнтности тH, t)i т]* таких, что всякое
ненулевое отношение конгруэнтности содержит некоторое т]<, i s^ k, то
любая позитивная нумерация алгебры Я разрешима.
Как в следствии 2. ?
Отметим без доказательства еще следующие простые
утверждения:
1. Если (Я, v) — позитивно нумерованная алгебра, А<, s А
таково, что \~[(Ао) рекурсивно перечислимо, т. е. Ао — v-вполне
перечислимое множество, то подалгебра 8 алгебры Я, порожденная
множеством Ао, тоже будет v-вполне перечислимой. П
Следствием этого утверждения и предложения 2 будет:
2. Если (Я, v) — конструктивная алгебра, то для любого v-впол-
не перечислимого подмножества Ао существует такая нумерация v<>
подалгебры 8 алгебры Я, порожденной множеством Ао, что (8, vo) —
конструктивная алгебра и вложение у. 8-»-Я есть гомоморфизм
конструктивных алгебр. П
Аналогичные утверждения справедливы не только для
подалгебр, порожденных вполне перечислимыми подмножествами, но для
ряда других «порождений». Например:
3. Если (F, v) — конструктивное поле, Fo — v-вполне
перечислимое подмножество F, то существует такая нумерация
алгебраического замыкания поля, порожденного множеством Fo в F, что
соответствующее нумерованное поле будет конструктивным, а
вложение — гомоморфизмом нумерованных алгебр. ?
В следующем параграфе будет указан ряд
достаточных условий для того, чтобы теория Т имела (сильно)
конструктивные модели.
300 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Не менее важным вопросом, чем вопрос о
существовании (сильно) конструктивных моделей у теории,
является вопрос о том, можно ли занумеровать
конкретную модель так, чтобы она стала (сильно)
конструктивной. Приведем точные определения необходимых
для этого понятий.
Если v: со —»• 15Ш j — нумерация основного множества
модели 2R такая, что BR,v) — (сильно) конструктивная
модель, то v называется (сильной) конструктивизацией
модели 2R. Модель называется (сильно) конструктиви-
зируемой, если она имеет по крайней мере одну
(сильную) конструктивизацию.
Сформулируем теперь две упомянутые выше
проблемы в этой терминологии:
I. Проблема существования (сильно) конструктиви-
зируемой модели у заданной теории Т.
И. Проблема существования (сильной) конструкти-
визации у заданной модели 2R.
В качестве примера решения второй проблемы
покажем, что
поле рациональных чисел Q имеет
конструктивизацию.
Действительно, практически любая явная нумерация
поля Q, которую можно предложить, будет
конструктивизацией. Например, легко проверяется, что таковой
является нумерация v: co-vQ, определенная так:
* 0, если «2 = 0;
v« = vc3 (по, пи п2) Ц "И" > если ¦ «о = °. Ф 0;
1—-^-, если щ > 0, гцфО.
Здесь с8 — трехместная функция свертки, которая
является обратной для тройки одноместных функций Гзь
г32 и гзз, осуществляющих нумерацию троек всех
натуральных чисел (c6(r3i(n),r32(n),r33(n))=n, rzi(cs(nu
)) = m) (см. [4]), a tH4±rsi+1(n), t<3.
Приведем пример и отрицательного решения проблемы II для
«явно» заданного объекта.
Пусть Со — группа всех общерекурсивных перестановок
множества со. Докажем, что Go не только не конструктивизируема, но даже
§ 1] НАЧАЛА ТЕОРИИ 301
не имеет позитивных нумераций, т. е. что G не является рекурсивно
представимой.
В доказательстве будут использоваться идеи доказательства
неразрешимости элементарной теории класса всех конечных
симметрических групп из § 3 главы 5.
Зафиксируем три элемента группы Go: ач^ @,1), р ^ @,2)
у, который определяется так:
2 (я + 1), если k = 2п;
0, если *=1;
2я + 1, если * = 2я + 3.
Определим теперь последовательность пар («о, Ро), (cti, Pi), ...
элементов группы так: для n s. <а
<а.я+„
му эле
следую
/e (А) ^ {я | я s со, (а„б-'а,бK = (Р„б-'а,бK = (anb-%bK =
Каждому элементу б группы Go сопоставим функцию /j: <a
Р(<й) по следующему правилу: для йе<а
Без труда проверяется, что для любого A e ш множество /а (А)
состоит точно из одного элемента йб (йб — результат применения
подстановки б к элементу k).
Предположим, что группа (Go, •, "') имеет позитивную
нумерацию v. Вместо /Vn будем писать /л; из позитивности нумерации v
видно, что отображение п\—. /„ есть вычислимая нумерация
отображений /„, п е ©. Пусть /* обозначает функцию, соответствующую
отображению /л; тогда /* — общерекурсивная функция (на самом
деле /^ = vnt) и отображение «i—*¦ fn есть вычислимая нумерация
семейства всех общерекурсивных перестановок. Обычное
диагональное рассуждение показывает невозможность такой нумерации.
Если проблема (сильной) конструктивизируемости
для модели 5W имеет решение, то естественно встает
вопрос о единственности (сильной) конструктивизации
этой модели в подходящем смысле этого слова.
Определим соответствующие понятия. Если vo и vi — две
конструктивизации модели ЗЯ, то назовем их
эквивалентными, если тождественное отображение |2Л| на себя
есть эквивалентность нумерованных моделей (SR, v0)
и (9R,vi). Это определение равносильно
эквивалентности vo и vi как нумераций множества |9Я|. Напомним
определение этого понятия из общей теории нумераций.
302 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [гл. в
Пусть v0 и V| — две нумерации множества М; Vo
сводится к vi (символически: vo^Vi), если существует
одноместная общерекурсивная функция f такая, что
Vo = vi/. Нумерации Vo и vi эквивалентны (vossvi),
если Vo ^ vi и vi ^ v0.
Отметим некоторые простые факты:
1) Если vo — (сильная) конструктивизация 2Л, а \\ —
нумерация |2Л|, эквивалентная нумерации v0, то vi —
также (сильная) конструктивизация Ш1 (причем
эквивалентная Vo). ?
2) Если v — конструктивизация 2Я, то v —
разрешимая нумерация множества |2Л|, т. е. множество пар
{<*> УУ | v* = v*/} рекурсивно. П
3) Если v — конструктивизация 2Я и |2Я| бесконечно,
то существует однозначная нумерация v0 (* =?^ г/ =#"
=> vo* =й= vo#), эквивалентная нумерации v.
Последнее есть следствие предложения 1 § 3 гл. 1
книги [4]. ?
4) Если vi — конструктивизация 2Я, a vo —
нумерация \Щ и v0 ^ vi, то v0 — конструктивизация 2Я, э/свы-
валентная vi. D
Естественно считать, что эквивалентные конструкти-
визации модели 2Я задают одну и ту же
«конструктивность» на 2Я и поэтому могут не различаться.
(Сильно) конструктивизируемую модель ЗЯ назовем
(сильно) конструктивно устойчивой, если любые две
(сильные) конструктивизации 2Я эквивалентны.
Таким образом, конструктивно устойчивые модели —
это модели, для которых проблема конструктивизации
имеет единственное решение.
Замечание. Для сильно конструктивизируемой
модели из конструктивной устойчивости следует сильно
конструктивная устойчивость, но не наоборот.
В качестве примера решения проблемы
единственности сформулируем простое утверждение.
Предложение 4. Всякая конструктивизируемая
конечно порожденная алгебра является конструктивно
устойчивой.
Доказательство оставляется читателю. ?
Следствие. Поле Q конструктивно устойчиво,
т. е. любая конструктивизация этого поля эквивалентна
построенной выше. ?
§ 1] НАЧАЛА ТЕОРИИ 303
Существует и другое понятие, которое
характеризует единственность конструктивизации модели в более
слабом смысле.
Конструктивизируемая модель Ш1 называется
автоустойчивой, если для любых двух конструктивизации v0
и vi модели Ш1 существует эквивалентность ц: BR,v0)-*
-*(SR,vi).
Связь с автоморфизмами (отмеченная в названии)
проявлена в следующей переформулировке определения:
Предложение 5. Конструктивизируемая модель
Ш автоустойчива тогда и только тогда, когда для любых
двух конструктивизации v0 и vi модели Ш существует
автоморфизм а модели Ш такой, что v0 e= via. D
Замечание. Если модель 2Я имеет несчетное число
автоморфизмов, то она не может быть конструктивно
устойчивой, хотя вполне может быть автоустойчивой.
Примером может служить безатомная булева алгебра.
Обратимся теперь к такой ситуации. Имеется
вложение ф: SDlo —*- SDli одной модели в другую, и имеется
конструктивизация vo модели ЗИо- Проблема
продолжения конструктивизации v0 на модель Ш\ состоит в
следующем: существует ли конструктивизация Vi модели
2Ri такая, что ф есть морфизм из BИо,vo) в (SWbVi)?
Нижеследующая теорема показывает полезность
теоретико-модельного понятия относительной модельной
полноты (определение см. в § 4 гл. 1) для исследования
вопросов продолжения конструктивизации.
Теорема 2. Пусть теория Т\ (сигнатуры <т0)
моде льно полна относительно теории Т (сигнатуры <т0).
Предположим еще, что Т\ рекурсивно
аксиоматизируема. Тогда всякая конструктивная модель BRo,vo)
теории Т изоморфна рекурсивно перечислимой подмодели
некоторой сильно конструктивной модели (Sffti.vi)
теории Тх.
Доказательство этой теоремы будет дано в
следующем параграфе. ?
Следствие 1. Всякое конструктивное поле имеет
конструктивное вложение в сильно конструктивное
алгебраически замкнутое поле. ?
Следствие 2. Всякое конструктивное
упорядоченное поле имеет конструктивное вложение в сильно
конструктивное вещественно замкнутое поле. ?
304 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Следующее замечание позволит уточнить
формулировки этих следствий:
Лемма. Если (F,v)— конструктивное поле, Fo—
рекурсивно перечислимое подполе F, a F\ —
алгебраическое замыкание Fo в F, то F\ рекурсивно перечислимо.
Доказательство вытекает из следующей очевидной
эквивалентности:
= 0)). ?
& \nt e FQ\ &
Kk )
Предложение 6. Конструктивизация поля всегда
продолжается до некоторой конструктивизации
алгебраического замыкания этого поля.
Sto предложение вытекает из следствия 1, леммы
и предложения 1. ?
Рассмотрим вопросы единственности продолжения
конструктивизации. Сначала несколько определений.
Если ф0: BK,v)->BJto,vo) и \|л: CJJ,v)-»-CJJbVi)
—гомоморфизмы, то эквивалентность ф: CJJo,vo)->CJJi,vi)
называется эквивалентностью над CJl,v), если qn|H = ipi.
Проблемой единственности для соответствующей
проблемы продолжения конструктивизации (($RQ, v0), ЗЯо ^
^ Tli) является вопрос, не будут ли всегда
нумерованные модели (Эйр Vj) и C№j, v\) эквивалентны над
(SERo.Vo), если vi и v{ — конструктивизации Ш1ь
продолжающие vo? Если ответ положителен, то будем
говорить, что проблема продолжения конструктивизации
имеет не более одного решения или, в случае ее
разрешимости, имеет единственное решение (с точностью до
эквивалентности над (ЗЯо.Vo)).
Укажем пример, когда отсутствует единственность.
Пример. Существует конструктивное поле,
являющееся алгебраическим расширением поля рациональных
чисел Q, для которого проблема продолжения
конструктивизации на алгебраическое замыкание имеет не
единственное решение.
Пусть Q^Q — алгебраическое замыкание Q; v и
v — конструктивизации соответственно полей Q и Q
такие, что вложение есть морфизм из (Q,v) в (Q, v). Бу-
§ 1] НАЧАЛА ТЕОРИИ 305
дем предполагать также, что v и v — однозрачные
нумерации.
Пусть /—общерекурсивная одноместная функция
такая, что (vf(k)J = pk для любого keсо. Здесь квадрат
обозначает соответствующую операцию в поле Q, а р* —
k-e простое число как элемент поля Q ^ Q. Пусть R =^=
^ {k\xk определена в точке f(k)}, x* — одноместная
частично рекурсивная функция, имеющая клиниевский
номер k. R — рекурсивно перечислимое множество,
следовательно, поле Q'=r^ Q (VPfcl k s R), полученное
присоединением к Q корней квадратных из pk для ke.R,
будет рекурсивно перечислимым подмножеством Q,
и поэтому существует конструктивизация v' этого поля
такая, что вложение есть морфизм из (Q',v') в (Q, v).
Рассмотрим автоморфизм <р поля Q', определенный так:
<Р (л/Рк ) = Vp*. если xk (f (k)) ф f (k), и ф ( VpD = — Vp*
в противном случае. Нетрудно проверить, что если
рассматривать ф как отображение из Q' в Q, то <р будет
гомоморфизмом из (Q', v') в (Q,v). Тогда idQ': (Q', v')-*-
-*¦ (Q, v) и ф: (Q', v')->(Q, v) — два решения проблемы
продолжения конструктивизации на алгебраическое
замыкание. Оказывается, что эти два решения не
эквивалентны над (Q'(v'). Действительно, пусть if: (Q,v)—*¦
-*-EfV) — эквивалентность такая, что диаграмма
коммутативна, т. е. \|) f Q' = ф. Так как ф — морфизм, то
существует общерекурсивная функция х* такая, что
a|3v = vv.k. Но xft общерекурсивна, следовательно, k^R.
Возможны два случая:
1 • Щ (f (*)) Ф f W, тогда Ф (УрТ) = <pvf (Л) = T|>vf (ft) =
= vxA (f (&)) ф vf (k) = Vp* (неравенство из-за
однозначности нумерации vJ^to невозможно, так как в этом
случае (V) V
ЗОо КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
2. «ft (/ (ft)) = / (ft), тогда Ф (VpT) = qw/ (ft) =
= vxft (/ (&)) = vf {k) = VPft . чт?_ невозможно, так как
в этом случае ф(У/?7) = — Vp* ?= Vp* ¦
Полученное противоречие показывает невозможность
существования эквивалентности г|з.
В заключение параграфа рассмотрим вопросы
о «равномерной» конструктивизации семейств
конструктивных моделей.
Пусть WI — модель сигнатуры Сто, a v — нумерация
основного множества |9Л| модели 9Л; в начале
параграфа естественным образом было определено ai-обога-
щение ЗИу модели 9Л (полагаем ajj^^vft для любого
ftE=a>). Через D(<R,v)=D(<Rv) (FD (SR, v) = FD (Wlv))
обозначим множество всех ^-номеров (g — гёделева
нумерация всех формул сигнатуры ai) бескванторных
(всех) предложений сигнатуры сть истинных в модели
Wlv. Тогда нумерованная модель (ЗИ, v) является
(сильно) конструктивной тогда и только тогда, когда
.множество D(Wl, v) (FDCR, v)) рекурсивно (заметим, что это
равносильно и рекурсивно перечислимости этого
множества).
Пусть № — некоторое семейство конструктивных
моделей; нумерацию ф: и—*-й этого семейства назовем
вычислимой, если вычислимой нумерацией является
нумерация ф* семейства {D(Wl, v) | (9Л, v)e$},
индуцированная нумерацией ф. Точнее, соответствие BЙ, v)i—&¦
I—>D(Wl, v) задает отображение D: $?-> 51
(Ж—семейство всех рекурсивно перечислимых множеств), тогда
ф* ^-s ?)ф. есть нумерация некоторого семейства (а
именно D(®)) рекурсивно перечислимых множеств;
требуется, чтобы ф* была вычислимой нумерацией.
Аналогично определяется понятие сильно
вычислимой нумерации для семейства сильно конструктивных
моделей.
Понятие вычислимого класса конструктивных
моделей является довольно узким для приложений.
Например, если Ш1 — бесконечная конструктивизируемая
конструктивно устойчивая модель, то класс $=^={(9Л, v) |v —
коиструктивизация 9Л} будет невычислим. Поэтому
введем более широкое понятие слабо вычислимого класса
конструктивных моделей. Класс.Л конструктивных мо-
§ 1] НАЧАЛА ТЕОРИИ 307
делей назовем слабо вычислимым, если существует
вычислимый класс конструктивных моделей Мо такой, что
любая конструктивная модель из & эквивалентна
некоторой конструктивной модели из $0 и, наоборот, всякая
конструктивная модель из ®о эквивалентна
некоторой конструктивной модели из ®. Указанный выше не~
вычислимый класс j? будет, очевидно, слабо
вычислимым.
Будем говорить, что конструктивная модель B4О, v0)
вложима в конструктивную модель B4i,vi), если
существует изоморфное вложение <р: ЕШо -*-5Иь которое
является гомоморфизмом нумерованных моделей.
Предложение 7. Если B4,v) — конструктивная
модель, то класс & всех конструктивных моделей, вло-
жимых в B4, v), слабо вычислим.
Если ср: 240 —*24— вложение, являющееся
гомоморфизмом конструктивной модели B4О, v0) в B4, v), то
v~! (ф( |2До|))—рекурсивно перечислимое непустое
множество; если h — такая общерекурсивная функция; что
р/i = v—1 (ф(|ЗИо|)), то B4Т <p(|240|)>vft)—
конструктивная модель, эквивалентная, очевидно, B4o,vo). Таким
образом, если X: со->Ф— вычислимая нумерация
некоторого семейства общерекурсивных функций такого, что
{р/|^еФ} — класс всех непустых рекурсивно
перечислимых подмножеств, то X индуцирует вычислимую
нумерацию К* семейства конструктивных моделей
{B41 рХл, vXn) | п е со} и каждая конструктивная
модель, вложимая в B4, v), эквивалентна одной из
моделей этого семейства. D
Проведенное рассуждение справедливо для чисто
предикатной сигнатуры, но предложение справедливо
и для любой сигнатуры, нужно брать только
вычислимую нумерацию не всех непустых рекурсивно
перечислимых подмножеств со (точнее, соответствующих
общерекурсивных функций), а только непустых рекурсивно
перечислимых подмножеств R, содержащих v-номера
всех констант алгебраической системы 24 и замкнутых
относительно взятия операций (точнее, если х0, ...
.... Xn-i &R, /" е а, \х„ — f(vx0, .... vxn-i), то *„<=/?).
Следствие. Если класс & конструктивных
алгебраических систем замкнут относительно конструктивных
подсистем и имеет универсальную систему (т. е, си-
308 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. В
стему, в которую вложима всякая система из этого
класса), то $ слабо вычислим. ?
Отметим, что
существует конструктивная периодическая абелева
группа, универсальная для класса конструктивных
периодических абелевых групп.
Аналогичное утверждение справедливо и для класса
абелевых групп ранга ssjn для любого песо
(см. [64]). ?
Следовательно, каждый из этих классов
конструктивных абелевых групп, а также и класс всех
конструктивных абелевых групп конечного ранга слабо
вычислимы.
Заметим также, что стандартное доказательство
того, что всякое не более чем счетное линейное
упорядоченное множество изоморфно вкладывается в <Q, sg:>,
где Q — множество всех рациональных чисел, легко
«эффективизируется» так, что справедливо
Предложение 8. Если v — конструктивизация
линейно упорядоченного множества й = <Q, sg:>, то
любое конструктивное линейно упорядоченное
множество (S3, ц) вложимо в (Q, v). ?
Следствие. Класс всех конструктивных линейно
упорядоченных множеств слабо вычислим. ?
Существует гипотеза (|83]), связывающая понятие
автоустойчивости и слабую вычислимость некоторого
класса конструктивных моделей. А именно:
Гипотеза. Для любой конструктивизируемой
модели Ш следующие утверждения эквивалентны:
1) ЗЯ не является автоустойчивой;
2) существует бесконечный вычислимый класс
попарно не эквивалентных конструктивизаций модели 2Л;
3) класс $? всех конструктивизаций модели Ш (т. е.
$ =^= {BЛ, v) |v — конструктивизация модели 271}) не
является слабо вычислимым.
Эта гипотеза доказана для случая, когда 2Л —
абелева группа без кручения ([84]) или булева
алгебра П53|).
Из наиболее общих результатов, относящихся к этой
гипотезе, укажем следующую теорему: *
Теорема 3 ([52]). Если 2Л имеет такую конструк-
тивизацию v, что класс всех предложений сигнатуры <Ti
5 2| НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 309
в предваренной форме, имеющих не более одной
перемены кванторов и истинных в ЗЯУ. разрешим, то для
27? справедлива сформулированная выше гипотеза. П
В работе F5] доказано предположение,
высказанное в [119), о том, что семейство всех конструктивных
расширении фиксированного конструктивного поля не
является слабо вычислимым.
§ 2. Некоторые необходимые (достаточные) условия
существования конструктивных моделей
Формулу 91, находящуюся в предваренной
нормальной форме и не содержащую кванторов всеобщности
(существования), назовем3-формулой (^/-формулой или
универсальной формулой). Аналогично определяется
понятие УЗ-формулы, ЗУ-формулы и т. п.
Через аа будем обозначать совокупность всех
сигнатурных символов, которые имеют хотя бы одно
вхождение в формулу Я. Э-предложение 2t назовем
диаграммным, если бескванторная часть &0 предложения Я
есть конъюнкция элементарных формул или отрицаний
элементарных формул, причем для любой
элементарной формулы, построенной из символов ай и
переменных, входящих в Щ, эта формула имеет одно и только
одно вхождение в формулу 91.
3-теорией класса моделей $ (модели 2Я) назовем
совокупность всех 3-предложений сигнатуры класса $
(модели Ж), истинных в каждой модели из $ (в
модели ЗД).
Предложение 1. Если (ЗЯ,v) — конструктивная
модель, то 3-теория 9Л рекурсивно перечислима.
Любое 3-предложение % — Зх0 ... Зл:п9Г(л:о хп)
m
эффективно приводится к виду V Я/, где каждое
предложение П, — диаграммное (в сигнатуре ая формулы 91)
предложение с переменными х0, ..., х„. Тогда
9Л |= а <=ф$R\=%.i для некоторого i^. пг. А
диаграммное предложение 51/ истинно в 2Я тогда и только тогда,
когда найдется последовательность элементов а0, ...
.... а„е|ЗИ| такая, что Я,- есть аи-диаграмма о^-подмо-
дели модели 2Я, определенной подмножеством {а0, ...
310 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
.... ап}. Множество всех таких подмоделей рекурсивно
перечислимо, поэтому и множество диаграммных
предложений, истинных в ЗЯ, рекурсивно перечислимо.
Следовательно, и 3-теория Ш? рекурсивно перечислима. ?
Следствие. Для того чтобы теория Т имела кон-
структивизируемую модель, необходимо, чтобы у Т
была модель 2R с рекурсивно перечислимой 3-тео-
рией. ?
Указанное необходимое условие, конечно, не
является достаточным. Однако оно достаточно для
рекурсивно перечислимых УЗ-теорий, т. е. теорий, имеющих
систему аксиом, состоящую из УЗ-предложений.
Теорема 1. Если Т — рекурсивно перечислимая V3-
теория, имеющая модель 2R с рекурсивно перечислимой
3-теорией, то теория Т имеет конструктивизируемую
модель.
Рекурсивная перечислимость Э-теории позволяет
эффективно выписать последовательность всех (с
точностью до изоморфизма) конечных подмоделей ЗИ:
эяо, аи,,.... тп,...
Далее, пусть ф0) qpi, ... — рекурсивно перечислимая
последовательность всех УЗ-предложений теории Г, фг
имеет вид Чх0 ... Vxk3y0 ... Зу,у((х0, ...; у0, ...),
i e се. Строим возрастающую последовательность
конечных моделей
так, чтобы выполнялись следующие условия:
1. Всякая модель % изоморфна одной из моделей
2Й„ (г. е. изоморфна подмодели Й).
2. Для всякого I, всякого i^l и всякого набора
элементов а0, ..., ak e \3lt | в |ЭТ/+1| найдутся элементы
Ьо, .... bS{ такие, что 9?/+1И=Ф^(а0> •••". К ...).
Для того чтобы уметь выполнять второе условие,
заметим следующее:
для любых п, i и любого набора элементов с0, ...
..., ск е | Шп | найдутся такие m и изоморфное вложе-
§2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 311
ние \|>: 9йп-*-2йт, что
^т Н= Ф* (^К, .... ^ск-, а0, .... а^) для некоторых
а0, .... а^<=|2Ки|.
Это утверждение следует из того, что 2Й„ изоморфна
подмодели 9Й, а в 24 истинны все предложения <р,-.
Сделанное замечание позволяет эффективно выбрать
последовательность (*) со свойствами 1 и 2. Если
положить 91^ U 91п, то из определения видно, что 9f—
л s ю
конструктивизируемая модель, в которой истинны все
предложения <ро, ..., <р«, ..., т. е. 91 — модель
теории Т. ?
Замечание 1. Без труда можно построить
последовательность (*) с дополнительным свойством 3:
всякая модель 24Л изоморфно вкладывается в некоторую
91;. Тогда Э-теории 91 и 24 будут совпадать.
Замечание 2. Условие на рекурсивную перечислимость Т
можно ослабить, потребовав только предельной вычислимости теории Г
(т. е. выполнение условия Т е Д^).
Для этого нужно построить такую двойную вычислимую
последовательность УЭ-предложений {ф'}, что
2) для любого ^^-предложения ф справедливо
Ф<= r-s=s-3;3f!V/>« (фг = ф),
а условие 2 переформулировать в следующем виде:
2'. Для всякого I существует j ^ I такое, что для всякого i ^ I
и всякого набора элементов а0, ..., а / е | ЭТ; | в | 3t;+1 I найдутся
I
элементы Ьо,.... Ъ j такие, что
kfi bo b
sl\
Можно указать условие, при котором условие
предложения 1 выполняется автоматически.
Предложение 2. Если теория Т рекурсивно
перечислимо аксиоматизируема и имеет первичную
модель ЗЯо, то 3-теория модели Зйо рекурсивно
перечислима; точнее, 3-теория модели Tto состоит в точности из
всех 3-предложений из Т,
312 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Если 91 е Т — 3-предложение, то 91 истинно в Ш10,
т. е. 91 принадлежит 3-теории модели SWo; наоборот,
если 91 — 3-предложение и Ш10 И Я. то для любой
модели Ш1 теории Т имеем 9K^=9t, так как
91—3-предложение и можно считать, что Ш10 <: SW. Следовательно,
91 е Г. П
Следствие. Если рекурсивно перечислимо
аксиоматизируемая V3-reopuH T имеет первичную модель,
то Т имеет конструктивизируемую модель. ?
Покажем, следуя [106], что существует непротиворечивая ЗУ-
формула, не имеющая конструктивизируемой модели.
Пусть а = @, s, •, +, <) —сигнатура арифметики. Запишем
аксиомы системы N — слабой подтеории теории стандартной модели
й = (а, 0, s, •, +, <) арифметики, которые позволяют, однако,
развить полную теорию рекурсивных функций в любой модели (см.
книгу [18]):
Nl.sx^O. N6. x-sy=(x-y) +х.
N2. sx = sy -> x = у. N7. "~| (x < 0).
N3. x + 0 = x. N8. x < sy -*-> x < у V x = y.
N4. x + sy = s (x + y). N9. x < у V x = у V У < x.
N5. *-0 = 0.
Пусть А к В — два рекурсивно перечислимых рекурсивно
неотделимых подмножества к>. Используя основную теорему из [205],
находим 3 -формулы Зуо ... "Зута(у0, ...,ут,х) и Эу0... 3ymp(tfo,...
¦ ¦¦,Ут,х) такие, что х е Л ^=*-Зг (= Э(/о •.. 3i/ma (i/o, • • -. Ут, х);
х s В -«=*- Зг |= Эуо . • • Э(/тр (у0 ут, х).
Расширим сигнатуру а до а', добавив символ R двуместного
предиката, и запишем следующие формулы:
. (У{<х)&
m
&а(Уо Ут, z))->R(x, z));
&Р(Уо (/т, г)) -> 1 R (х, г));
фз =г= 3xVy @ < jc & (г/ < х -> sy < х)).
Пусть формула i|> получается конъюнкцией универсальных
замыканий N1—N9 и формул фь фг, Фз- Так как фь ф2 универсальны, а
Фз — ЗУ-формула, то ф эквивалентна ЗУ-формуле.
Определим в 5JI двуместный предикат R* =?= {(k, n)\ k, п е ш
& (»,<*)Ла(у0,..., ут. я) |.Ясно, что R'~
§ 2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 313
рекурсивный предикат, так что обогащение 9J* = (91, /?*) модели Я
но сигнатуры а' есть конструктивная модель. Пусть SK —
собственное элементарное расширение Я*, а элемент as |SW| \ \Ш*\. Пусть
Я— подалгебра ?Ш, порожденная |St*.| и а; тогда на Я истинна
формула ф. Кроме того, из Я* ^ Я <: 2R и того, что SK —
элементарное расширение Я*, следует, что Э-теории Я* и И совпадают.
В частности, Э-теория И рекурсивно перечислима.
Покажем теперь, что ф не имеет конструктивных моделей. Если
BЛ, v) — такая ¦ модель, а с = v/io — элемент из ?Ш,
удовлетворяющий условию STO (= V# @ < с & (у < с -> s# < с)), то множество
Л' чь {п 12» |= R (vn0, s)}
рекурсивно и отделяет А и В, т. е. As А' и А' О В = 0. Это
невозможно. Следовательно, ф не имеет конструктивных моделей. В то
же время т\> имеет модель Я с рекурсивно перечислимой 3-теорией.
Поэтому необходимое условие, указанное в следствии предложения 1,
не является достаточным. Эта же формула показывает, что в
условии теоремы нельзя заменить УЭ-теорию даже на ЗУ-теорию.
Укажем теперь известные результаты о возможной
минимальной сложности модели для непротиворечивой формулы Я,
используя иерархию множеств класса 2[, определенную в § 1 гл. 3 книги
[4J. Будем говорить, что нумерованная модель (?Ш, v) конечной сиг-
m mm
натуры ao принадлежит Д4 = 2S Л П$, если {с11 (х0 *a-i) I 9K I N
Я!
\= P(v*o v*re-i)} еД^для любого предикатного символа Рп s
sao. Тогда справедливы следующие два утверждения:
1. Если все предикаты непротиворечивой формулы Я имеют
число мест ^п, то существует нумерованная модель (Ш, v), принад-
m
лежащая Дд+i, такая, что Ш |= SI.
•Доказательство можно найти в работе [173]. D
2. Для каждого пгш существует непротиворечивая формула Я
с предикатами, число мест которых ^2п, такая, что если Ш (= й и
m
v — нумерация |5ДО|, то (SK,v) не принадлежит Д„.
Доказательство можно найти в работе [61]. D
Обратимся теперь к вопросу о существовании сильно
конструктивных моделей. Начнем с доказательства
основного утверждения о существовании достаточно
«большого» числа сильно конструктивных моделей.
Теорема 2. Пусть rsL0 — разрешимая теория;
тогда существует такая последовательность сильно
конструктивных моделей
BKo,vo), (SR,,v,)
что.
314 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
2) множество {<х, y}\g{y)^ Thi (Tlx,vx)} является
рекурсивным.
Замечание. Условие 2) теоремы означает в
точности, что нумерация v: n ь-> (Ш1„, vn) является сильно
вычислимой нумерацией класса сильно конструктивных
моделей {B4n,vn) |/ге<о}.
Пусть Т1 — теория, порожденная множеством Т
в языке L\. Заметим, что 7м — разрешимая теория.
Действительно, если Ф — произвольная замкнутая
формула в L\ и все константы из Ф содержатся в
множестве {а0 uk), то, очевидно, Ф е V <=Ф Vx0 ...
... У*йФ(*о> •... xjsr (в предположении, что х0, ...
..., Xk не встречаются в Ф и Ф(х0, ..., Xk) — результат
подстановки в Ф вместо всех вхождений букв ai букв
Xi, i ^ k, соответственно). Эта эквивалентность вместе
с разрешимостью Т и дает разрешимость Г1.
Пусть S — множество всех замкнутых формул языка
L\, совместных с Р, и пусть ф0, фь ... — эффективный
пересчет всех формул из S в порядке возрастания
номеров (^"'(ф')*^ g~l(<Pi)> если i<.j). Отметим, что
S — разрешимое множество формул. Пусть -ф0, "фi, ...—
эффективный пересчет всех замкнутых формул языка L\.
Будем индуктивно строить некоторые
последовательности конечных множеств Sn, x формул и теорий
Тп, х (в языке L\).
Для любого n s со пусть
0) ^„.(^{фп}; Т„, о — теория, порожденная
множеством Sn.olIT1'.
k + О- Рассмотрим формулу tyk. Если -фл совместна
с теорией Tn k и имеет вид Эгф^ (х), то находим
наименьшее SG6) такое, что константа as не входит в i|)ft
и не входит ни в одну из формул Sn, k- Полагаем
в этом случае Sn> k+l^Sntk[){tyk, ^'k(as)}- Если ipk
совместна с Т„,й и не имеет указанного выше вида, то
полагаем Sn,k+i^Sn.k U {tyk}- Если i|>ft не совместна
с Tn,k, то полагаем Sn,k+l^Sn,k U{~l ^}-
В любом случае полагаем, что Tn, *+i — теория,
порожденная множеством Sn, k+i U Т1. Отметим, что либо
•фй е Тп, *+1, либо ~\^k e Tn, *+i.
Таким образом, для любых п и k построена
некоторая теория Тп, л- Полагаем Г„^ U ^п. *•
Sen
§ 2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 315
Стандартные рассуждения показывают, что
1) для любых п, к теория Тп,к непротиворечива;
2) Тп, k S Tn, k+u следовательно, Тп непротиворечива;
3) для любого п теория Тп полна. П
Для фиксированного п определяем отношение
эквивалентности х\„ на множестве натуральных чисел так:
для х, у е со
(х, у)е=г)п^Р0(ах, ау)е=Тп.
На множестве а>/цп классов эквивалентных элементов
для любого ieto определяем я*-местный предикат nPk
так:
Нетрудно проверить корректность этого определения
и справедливость следующего утверждения:
Пусть 9Я„ =?= <со/т1п,пРо,пР\, ...> — модель сигнатуры
<т0; vn: (o-xo/rin — нумерация множества (й/г\п,
определенная естественным образом (vnk =^= k/r\n); тогда на
модели (Шп, Vn) истинны все формулы из Тп или, что
то же, rB = Thi(SWB,vn). ?
Для доказательства теоремы остается только
заметить, что
а) теории Тп, k равномерно разрешимы, т. е.
множество, «я, k, xy\g(x)<= Гп, *} рекурсивно (это видно из
построения);
б) теории Тп равномерно разрешимы, т. е. множество
{(п, х) | g (х) 6= Тп) = {(п, х) \g(x)e= Th, (KB, vj}
рекурсивно (это легко следует из а) и полноты Тп);
в) Th({3»0v,, SKw,, -..}) = 7"
(это следует из построения).
Утверждение б) есть заключение 2) теоремы,
а утверждение в) более сильно, чем заключение 1). ?
На самом деле теорема 2 есть следствие теоремы 1
из § 1 гл. 5 и следующего предложения:
Предложение 3. Существует эффективный
способ построения по разрешимой теории Т некоторой
сильно конструктивной модели (9W,v) этой теории.
Доказательство совпадает по существу с
доказательством теоремы 2. ?
31G КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Следствием этого предложения и предложения 2 § 1
гл. 5 является
Теорема 3. Теория Т имеет рекурсивно
перечислимое дополнение тогда и только тогда, когда существует
такая последовательность сильно конструктивных
моделей (SWo.vo), (SWi.vi), ...,что
Г ТЬ({ ))
) ({,ь )
2) множество {(x,y}\g(y)eThi(Wlx,Vx)} является
рекурсивным. О
Укажем теперь простой критерий существования
у теории сильно конструктивной модели.
Предложение 4. Теория Т имеет сильно
конструктивную модель тогда и только тогда, когда Т не
является существенно неразрешимой.
Необходимость. Если BЛ, v)— сильно
конструктивная модель, то ThoBH,v) = ThBH)— элементарная
теория модели ЗЯ —разрешима и ТЬA)эГ.
Следовательно, Т имеет непротиворечивое разрешимое
расширение.
Достаточность. Пусть Т'^Т—разрешимое
расширение Т, тогда по предложению 3 (теореме 2)
существует сильно конструктивная модель BH,v) у теории Т.
Но тогда ЗЯ является и моделью Т. ?
Укажем теперь два условия на теорию, которые
достаточны для того, чтобы всякая конструктивная модель
теории была сильно конструктивной.
Предложение 5. Пусть Т—рекурсивно
перечислимо аксиоматизируемая теория. Тогда всякая
конструктивная модель теории Т будет сильно
конструктивной, если выполнено хотя бы одно из двух условий:
1. Всякая формула эквивалентна относительно Т
бескванторной формуле.
2. Теория Т модельно полна.
1. Если выполнено условие 1, то из рекурсивно
перечислимой аксиоматизируемости легко вытекает, что
теория Т допускает элиминацию кванторов.
Действительно, для любой формулы Я(*о, ..., х„) найдется
бескванторная формула 8)(*о, ..., хп), эквивалентная Я
относительно Т, т. е. такая, что предложение
V.i-3 ... Ухп (B1 -> S3) & C3 -> Щ принадлежит Т. Так как
Т рекурсивно перечислима, то, эффективно перечисляя
все предложения из Г, мы для St эффективно найдем
§ 2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 317
8(=<pBQ). Пусть (SM,v)— конструктивная модель,
Щх0, ..., хп)— формула сигнатуры а; т0, .*.., тп —
натуральные числа. Как эффективно узнать, будет ли
5М|== 5t(vm0, ..., vmn)? Мы берем <р(Я) и узнаем, будет
ли Ш1Нф(Я) (vmo, ..., vtnn). Так как <рBС)
бескванторная, то по замечанию из § 1 мы можем эффективно
узнать, будет ли 9Я\= ф(Щ (vm0, ..., vmn). А так как
•-, vmn),
то мы можем эффективно решить, будет ли 5И (=
t=s5f(vm0, ..., vmn). Следовательно, EW,v) — сильно
конструктивная модель.
2. Пусть Т удовлетворяет условию 2. Тогда по этому
условию теория Г* сигнатуры а\ = at) <ао, аь .. .>,
определенная аксиомами 74J?>(SM, v), будет полной в
сигнатуре о\. Тогда по предложению 1 § 1 главы 5 Т*
разрешима. Из разрешимости Г* и эквивалентности
следует, что (SW, v) сильно конструктивна. D
Приведем теперь обещанное ранее доказательство теоремы 2
из§ 1.
. Рассмотрим теорию Tt^ [7"i U DiEШ0, v0)], где Д(Щ, v0) —
диаграмма модели (SWo>v0) (в сигнатуре Oi). Из условия
конструктивности E>?о,vo) следует, что DiBH0, Vo) —разрешимое множество.
Следовательно, теория Тг рекурсивно аксиоматизируема. Так как
теория Т\ модельно полна относительно теории Т, то теория Г2 полна.
Следовательно, Tt — разрешимая теория. По теореме 2 теория Тг
имеет сильно конструктивную модель($К*, V,) (здесь Ш\ — модель
сигнатуры ai). Нетрудно проверить, что отображение <р: Мй-+М\,
определенное так: если Von = a^Mo, то фо — 'значение константы
ап в Ш{, — есть гомоморфизм (на самом деле изоморфное
вложение) модели 5>?о в модель STCi — обеднение модели 5Ш( до сигнатуры
ао. Кроме того, нетрудно видеть, что <р есть гомоморфизм
нумерованных моделей Bf0. v0) н (STCi.Vi). D
Отметим еще некоторые связи разрешимых теорий
с конструктивными моделями. Будем использовать
обозначения и понятия из § 5 гл. 1.
Если сигнатура а0 теории Т удовлетворяет условию,
сформулированному в § 1, то множества Sn(T) являются
318 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
разрешимыми. Это позволяет определить естественную
нумерацию vn множества Sn(T) и нумерацию v*
множества Fn(T). Легко видеть, что (Fn (Т), v*) —
нумерованная булева алгебра (см. § 1). Однако (Fn(T), v*)
будет конструктивной моделью тогда и только тогда,
когда Т — разрешимая теория.
Оказывается, что в терминах нумерованных алгебр
(Fn (T), v*) можно дать и характеризацию сильно
конструктивных моделей. Докажем сначала
вспомогательные утверждения.
Лемма. Конструктивная атомная булева алгебра
(S3, v) будет сильно конструктивной тогда и только
тогда, когда множество всех атомов S3 разрешимо.
Если (S3, v) сильно конструктивна, то множество
атомов разрешимо, потому что существует формула с
одной свободной переменной, истинная только на
элементах S3, являющихся атомами (т. е. множество всех
атомов формульно).
Наоборот, если множество всех атомов S3 разрешимо,
то (S3, v) конструктивна в сигнатуре <[_], П,с, 0,1,/40>,
где Ао — предикат, выделяющий атомы. Используя
замечание в конце § 4 гл. 2, получим, что теория
алгебры S3 модельно полна в сигнатуре сто = <П, 1_!,с, О,
1,А0, Бо, В0У, где предикаты Бо и Во на S3 выделяют
соответственно пустое множество и все множество.
Следовательно, (S3, v) — конструктивная модель в сигнатуре
ао. По предложению 5 (S3, v) сильно конструктивна. ?
Предложение 6. Для того чтобы нумерованная
модель BЛ, v) была сильно конструктивной, необходимо
и достаточно, чтобы ., нумерованная булева алгебра
(.Fj (Thj (Ш, v)), v*) была сильно конструктивной.
Необходимость. Пусть (Ш, v) — сильно
конструктивная модель. Тогда Thj (Wl, v) = Th (Ttv) разрешима и,
следовательно, (/^(ТЬ^ЗК, v)), v*) — конструктивная
булева алгебра. Так как Mv, очевидно, простая модель
теории Th[ (Tl, v), то по замечанию к предложению 3
§ 5 гл. 1 булева алгебра fj (Thi (Tt, v)) атомная.
Покажем, что множество атомов из /^(Th^SK, v)) рекурсивно.
Пусть 91 (х0) — формула сигнатуры аь Наша задача:
эффективно узнать, будет ли [51 (х0)] атомом в /^(Th^SW, v)).
Рассмотрим предложение Э#с$ (*о) и проверим, при-
§ 2) НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 319
надлежит ли Зхо%{ха) теории ThiC7i, v). Если 3xQ%(xQ)&
ф. Th[ {Ж, v), то [91 (х0)] — ноль булевой алгебры
Т?! (Thi (ЭИ, v)). Если же 3*09l {xQ) е= Thj (Ж, v), то для
некоторого ak предложение 91 (ak) должно принадлежать
Th[C№, v). Такое ak находится эффективно перебором.
Тогда
[91 (*„)] - атом <*¦ Vx0 (91 (х0) -> х0 = ak) е Th, (ЯК, v).
Необходимость доказана.
Достаточность. Если (/^(ТЬ^ЭЯ, v)), v*) даже
просто конструктивна, то ThiBJt, v) разрешима и BЯ, v)
сильно конструктивна. П
Замечание. По существу относительно
нетривиальной является только необходимость в этом
предложении, причем предложение справедливо с заменой
(^(ТМЭЯ, v)), vj) на (/'„(ТЬДаЯ, v)), v;) для любого
Предложение 6 может быть дополнено следующей
теоремой:
Теорема 4. Для каждой сильно конструктивной
атомной булевой алгебры (Э, v) существует сильно
конструктивная модель BJt,V[) такая, что (Э, v) и
(/•"[(Th^ajl, vt)), v*) эквивалентны.
Доказательство этой теоремы будет приведено
в конце параграфа, после описания всех полных теорий
сигнатуры а0, состоящей из счетной последовательности
одноместных предикатов, которые имеют (сильно)
конструктивную модель. Напомним, что в главе 5 описаны
вообще все полные теории этой сигнатуры. Такие
теории имеют вид ГФ, где ф — отображение множества Е
всех кортежей из 0 и 1 в ю* ^ ю U {©} такое, что
выполнено условие Ve е= Е [(ф (е) = ф (еО) + ф (el)) & ф @) > 0].
Опишем теперь те теории Гф, которые имеют
конструктивную модель.
Предложение 7. Теория Гф имеет
конструктивную модель тогда и только тогда, когда множество
Оф ^ {(п, т>} | п, m e a, m ^ ф дп) рекурсивно
перечислимо.
Необходимость. Пусть (Ж, v) — конструктивная
модель Гф, тогда Э-теория Ж рекурсивно перечислима
(предложение 1). Так как предложения вида 3mxPR{x)
320 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ГГЛ. в
являются 3-предложениями, то рекурсивно
перечислимым будет и множество {{п, т)\ Ш\=~ВтхРдп(х)},
равное Цр в силу полноты Гф.
Достаточность. Если мы рассмотрим доказательство
утверждения 1 теоремы § 2 гл. 5, то, пользуясь
рекурсивной перечислимостью Оф, можно построить
отображение ф: ?->P(Af) так, что предикат R(n, m)^m&
еф(дя) является рекурсивно перечислимым. Отсюда
легко следует рекурсивность предикатов Р, на Af
(которое либо конечно, либо равно со) и конструктивность
модели Ш (с естественной нумерацией). ?
Предложение 8. Конструктивная модель BЯ,v)
сигнатуры а0 является сильно конструктивной тогда
и только тогда, когда ТЬ(ЗЯ) разрешима.
Необходимость очевидна. Достаточность следует из
предложения 1 § 2 гл. 5. ?
Предложения 7 и 8 позволяют строить примеры
теорий сигнатуры его. имеющих конструктивные модели, но
не имеющих сильно конструктивных моделей.
Из предложения 1 и теоремы § 2 гл. 5 вытекает
также следующее
Предложение 9. Для любой полной теории Т
сигнатуры а0 любая формула эквивалентна
относительно Т бескванторной формуле. ?
Пусть (Э, v) — нумерованная булева алгебра, а ф:
S3—*¦&>*— отображение, удовлетворяющее условию
V& (ф (Ь) > 0 ++ Ъ Ф 0) & V&0V&, (Ь0 П by = 0 ->
Тогда по (99, v, ф) можно построить полную теорию
T{t&, v, ф), определив ее системой аксиом
{"ЗтхРп (х) Iп е= <в, 0 < т < <в, т <ф (vn)} U
{J{-]3mxPn(x)\ne=®,
0 < т < <о, ф (vn) < т) [}
U {V* (Р„ (д:) ^ ~] Рт (х)) | т, п е= ©, vn = cvm} U
(Pn(x)^~Pm(x)&Pk(x)) \n, m, fee©,vn = vmUvfe}.
Теорема Б. 1. Для любой нумерованной булевой
алгебры (S,v) ы любого отображения ф:53-хй\ |/5ов-
летворяющего условию (*), теория Г(й, v, ф> полна.
§ 2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 321
2. Теория 7\s, v,q» разрешима тогда и только тогда,
когда (83, v)—конструктивная булева алгебра и
множество Оф^{(п, т)\п, теш, т^qwz} рекурсивно.
1. Из аксиом легко следует, что для любого е =
= (е0 е„) существует & е ю такое, что формула
Рк(х)¦+-*¦ Ре(х) есть следствие аксиом. Отсюда,
используя теорему § 2 гл. 5, получаем, что Г(Щ, v, ф) полна.
2. Если C3, v) — конструктивная булева алгебра,
а Оф рекурсивно, то из теоремы § 2 гл. 5 следует, что
Тць, v, ф) разрешима. Наоборот, пусть Г№, v, ф) разрешима.
Заметим, что
vnUv/n = vk<&Vx(Р„ (л:) V Pm(x) ^
Из разрешимости 7\s, v, ф) следует, что предикат
Р(л,m,ft)^vnLJvm = vk рекурсивен. Аналогично
проверяется, что предикаты vn П vm = vk, cvn = vm
являются рекурсивными. Отсюда следует, что (S3, v) —
конструктивная булева алгебра.
Далее,
{п, m)eD',^ЗтхРп(х) е= Г№, v,Ф>.
Из разрешимости Г(Щ, v, ч>) следует, что Оф рекурсивно. П
Хотя, конечно, не всякая полная теория сигнатуры
0О имеет вид Г(щ, v, Фь но по всякой полной теории Г
можно эффективно построить теорию вида Г(а, v, ф),
«эквивалентную» Т. Точное определение
«эквивалентности» будет дано после построения.
Пусть v^ — нумерация всех кортежей натуральных
чисел (включая пустой) (см. § 2 введения книги [4]).
Определим формулу Qn{x) так: если va(n)={na, .. ,,ns), то
(если va(rt):=0, то Qn(x) — тождественно ложная
формула). Рассмотрим сигнатуры о'0^(Р0, Рр ...; Qo,
Q,, ...) и o'^(Q0, Q,, ...). Теорию Г' сигнатуры о^
определим системой аксиом
Г U { V* (Qn W ^> Vo Pan, (jc)) | л s ш J,
322 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ (ГЛ. 6
а теорию Т" сигнатуры о% определим как множество
всех предложений сигнатуры о% из теории Т. Теория Т"
полна и эквивалентна Т в следующем смысле:
существуют два эффективных отображения q>: Lo -»La// и
¦ф: L^f-^Lg таких, что для любых формул 91 (*0, ..., *„)е
<=L0o, 93 (х0, ..., дс„)е^ справедливо:
1. ф(91(*о хп)) содержит те же свободные
переменные, что и 31 (т. е. Хо, ..., хп), и
V*o ... V*.
2. i|> (93 (х0, ..., дс„)) содержит те же свободные
переменные, что и 93, и
3. Vx0 ... Vxn(%(x0, ..., дс„) -«-> -фф (91 (хо, ..., хп)))
и V*o ... V;cn B3(*о, .... хп) *-*¦ ф-ф (93(х0, . •., дс„))) —
тождественно истинные формулы.
Отображение i|) строится очевидным образом заме-
s
ной Qn(x) на V Яа„ (дс), где van = (n0, ..., ns>.
<-о '
Отображение ср строится так: Рп {х) заменяется на
Qk(x), где vak = (k0 V-i)> а ^о- •••• <5^2n-i~"BCe
кортежи (из 0 и 1) длины п+ 1, у которых на
последнем месте стоит 1.
Проверка свойств 1—3 очевидна.
Остается заметить, что теория Т" имеет вид Г(а, „,ф)
(правда, в сигнатуре <Тд'). Это следует из такого
предложения:
Предложение 10. Полная теория Т сигнатуры <т0
имеет вид r^.v, Ф> тогда и только тогда, когда для
любой модели Ш теории Т множество {Рп ^ {пг 19Я [=«
t= Pn(m)}|ne и} замкнуто относительно объединений,
пересечений и дополнений, т. е. образует булеву алгебру
подмножеств |Ш1|.
Необходимость очевидна.
Достаточность. Пусть 331 —произвольная модель
теории Т, S3 ^ {Р„ | п е со}—булева алгебра подмножеств
|2Я|. Отображение v: n-**Pn задает нумерацию множе-
§ 2] НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ 323
ства |9Э|. Отображение ,q>: S3-*©* определим так:
{k, если Р„— конечное множество, содержащее
k элементов;
(о, если Рп бесконечно.
Из определения v и ф легко видеть, что Эй есть
модель теории T(%wv,<f). Но из полноты Т и 7\a,v,<i>)
следует, что 7' = 7'(8,v,V). ?
Предложение 11. Для любой теории Г®,v,Ф)
булева алгебра Л GV v. ф)) изоморфна 23. ?е./ш (93, v) — /соя-
структивная булева алгебра, то (93, v) эквивалентна
(() ;)
По предложению 9 любая формула эквивалентна
относительно Т бескванторной формуле. Если %(х)—
формула с одной свободной переменной, a
S3(jc)—бескванторная формула, эквивалентная Я, то можно
считать, что знак = не входит в S3 (я = х заменить на
Po(x)V~\Pq(x)). Конъюнкция (дизъюнкция или
отрицание) элементарных формул вида Рп(х) эквивалентна
элементарной формуле (Р„(х)&.Рк(х)*^+ Рт(х),гд,ечпП
Пxk = хт, и т. п.). Поэтому Ъ{х) эквивалентна
некоторой элементарной формуле Рп(х). Отображение
%(х)>—>Рп(х) индуцирует изоморфизм Fi (r(s,v,q>)) на S3.
Если (S3, v) конструктивна, то, очевидно, это
отображение есть морфизм нумерованных алгебр. Обратное
отображение vn>—>[Pn(x)] всегда является морфизмом. ?
Следствие. Для любой конструктивной булевой
алгебры (S3, v) существует полная разрешимая теория Т
сигнатуры а0 такая, что (F{(T), v*) и C3, v)
эквивалентны.
Если ф: 33-хо* определим так:
3, если 6 = 0,
в, ' если 6=7^0,
то по теореме 5 Г®,?,*) — полная разрешимая теория,
а по предложению 11 (93, v) и (Z7, G(s v9)), v*)
эквивалентны. ?
В заключение параграфа приведем доказательство
теоремы 4.
324 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ.. 6
Пусть (8,v)— конструктивная атомная булева
алгебра такая, что множество Л=|Э| всех атомов Э
разрешимо, т. е. v~l(A) рекурсивно. Пусть f —
общерекурсивная функция, область значения pf которой есть
v~l(A). Тогда \i^vf: ш->Л есть нумерация
множества А. На множестве А зададим модель Зй сигнатуры
Сто так: Рп(а) истинно тогда и только тогда, когда а ^
s^vn. Из определения легко видеть, что (Зй,
ц)—конструктивная модель сигнатуры сто. Далее, по
предложению 10 Tho(SJl) имеет вид 7\8>v,<p) для подходящего <р
(это отображение <р: §Э-хо* легко построить и
непосредственно: фF)—«число» атомов, содержащихся в Ь).
По предложению 11 (93, v) эквивалентна (/71(ТЬ0(ЗИ)),
vj). Поэтому для доказательства теоремы достаточно
доказать, что (/?, (Th0 (SR)), vj) и (^(ТЬДЗИ, ц)), v\)
эквивалентны. Так как ст0 ^ сть то, существует
естественный гомоморфизм из (Fi (Tho(9№)), vt) в (/МТМЗЙ.ц)),
vt), определенный вложением Sx (Th0 (Ш)) s 5i (Thi (Ti, \i)).
Обратный гомоморфизм определим так,
Для формулы Щ(х0 х„) сигнатуры а\
произведем последовательно элиминацию констант по, а\,... : по
константе а* эффективно находим число / такое, что
\ik = vl; все вхождения аА в 9t (лг0 х„) заменяем на
х„+1 (предполагая, что xn+i свободно для а* в %).
Получим формулу §t'(JCo xn,xn+i), не содержащую а*.
Далее строим формулу
fa xn, +
Заметим, что в модели ЗЯ предикат Pt истинен
только на одном элементе vl = \ik==af^. Отсюда
следует, что для любых элементов с0 сп е | 9И |
с0 Ся).
Обозначая через ф(^) формулу, которая получена
из % элиминацией всех констант, будем иметь
аналогичную эквивалентность:
аи |-а (со,.... с„)<^эи|=(рB1)(со Сп).
Таким образом, ф индуцирует отображение из
i (Thi (ЗЭТ, ц,)) в Fi(ThoCR)), обратное к уже определен-
? 3] ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И EF СЛЕДСТВИЯ 325
ному выше отображению. Эффективность, построения
ф(Ш) по 51 показывает, что это отображение есть мор-
физм. Поэтому (/?, (Th0 (ЯИ)), vj) и (Fx (Th, (ЭЙ, ц)), vj)
эквивалентны. Как уже отмечалось, этого достаточно
для завершения доказательства теоремы. ?
В статье [86] можно найти доказательство теоремы 4
для моделей ЗЛ теории LO линейного порядка.
§ 3. Теорема о ядре и ее следствия
Пусть Ф — некоторое множество формул сигнатуры
о, содержащих единственную свободную переменную.
Ф-алгебраическим элементом модели ЗЛ сигнатуры о
назовем всякий элемент ае|ЗЛ| такой, что Wl\=q>(a)
и множество {Ь\Ь е|ЗЛ|,ЗЛ|= ф(^)} конечно для
некоторой формулы ф из Ф; через /4ф(ЗЛ) обозначим
множество всех Ф-алгебраических элементов модели Ш?.
Пусть о' — подмножество о такое, что (л: = с)еф для
любого константного символа с е а'. Для модели ЗЛ
через [9К]ф обозначим а'-подмодель модели ЗЛ с
основным множеством Лф(ЗЛ) (предполагаем, что оно не
пусто).
Будем говорить, что теория Т сигнатуры о имеет
(о',Ф)-ядро, если существует такая модель 2Hoh= T, что
для любой модели ЗЛ \= Т существует о'-изоморфизм
fc [ЭЯо]ф-*¦ [ЗЯ]ф' такой, что для любого аеЛФ (ЭЛо)
и любой фЕф имеет место
Замечание. В большинстве приложений формулы
из Ф будут бескванторными, поэтому последнее
требование на X будет выполнено автоматически.
Пусть Шо, Шо\= Т и обе модели удовлетворяют
условиям определения. Тогда существуют изоморфизмы
Л: Ро]ф'-*[2>С и Г: [ЭИЯ? -* [ЭЦ, а их суперпозиция
%^%'% будет изоморфизмом [9И0]ф в себя. Так как X
и %' сохраняют значения истинности формул из Ф на
элементах из Аф (Шо) U Аф (9Ио), то для любого аеАх>(9Ио)
и любой ф s Ф имеет место
326 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Покажем, что Я есть автоморфизм. Пусть а)
тогда существует фЕф такая, что 9йо Н= ф(а)> и ф=^
^{Ь\Ь&\Шо\,Шо\=у(Ь)} конечно. В силу (*) Я (ф) s ф, и
поскольку X—разнозначное отображение, то Я(ф) = ф.
Так как такая ф существует для каждого аеЛф(Ш1о),
то Я есть отображение на, т. е. Я—автоморфизм.
Если Шо удовлетворяет условиям определения, то
)ф=^[ЗК0]ф назовем (а', Ф)-ядром теории Т.
Теорема о ядре. Если Т — рекурсивно
перечислило аксиоматизируемая теория сигнатуры, о, о' —
рекурсивно перечислимое подмножество а, Ф —
рекурсивно перечислимое множество формул и Т имеет
(о', Ф)-ядро, то модель С (Т)^ конструктивизируема.
Для любой фЕфи для любого k > О пусть
=Vi>0 ••• Vi>ft_[ ( & ф(уЛ->- V f< —*>Л (число
\i<k i<i<k ')
различных элементов, на которых истинна ср, меньше k),
& О, ф О/ & & ф (Vt))
<i<k i<k )
(существует по крайней мере k различных элементов,
на которых истинна <р). Очевидно, что Пф* •*-*¦ ф(&).
Пусть
?=?= / & ф,I существуют sе= ю, фо ф,еФ, k0, ...
..., ks > 0 такие, что (фо(?о) V ...
... V
Ч*1 — рекурсивно перечислимое множество формул,
имеющих одну свободную переменную.
Замечание. Для любой формулы фе? найдется
k такое, что ф(?)е Т. Действительно, в качестве такого
k можно взять maxffco. .... ks), если i|)= & qtit
Ks
Фо ф*е=Ф, (фo(^o)V ... S/tpt(ki))<=T.
Лемма I. Для любой модели Ш теории Т имеет
место Ay(m)s Аф(Щ.
§ 3] ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЁ СЛЕДСТВИЯ 32?
Пусть а<=Лчг(ЗК), тогда существует ijj.sW такая,
что ЭК (=» ф (а). Но по определению ф = & ф, и
<Po(&o)V ... V 9S(*s) eГ. Значит, для некоторого
%R^=zq>t(kt), т. е. ф^ имеет конечное число (не большее kt)
решений в ЗК (т. е. таких элементов с е | ЗЯ |, что
3# |= ф (с)) и а — одно из решений %; отсюда по
определению Аф (Ж) имеем а е Ау (Ш). О
Лемма 2. Если Ш0\=Т и 2Я0 удовлетворяет
условиям определения, то A$ BЯ0) = Аф EW0).
В силу леммы 1 достаточно доказать, что ЛфBЯо)е
? Л<рBЯ0). Допустим противное. Пусть а е Ар BЯ0)
и а^Лчг(ЗЯо). Определим множества формул
} и Ф1^{ф*|фе=Ф0, * > 0}.
Покажем, что Т[)Фх совместно. Предположим
про°
тивное, т. е. что существуют фд°, ..., ф*5 (ф0 ф
е Фо), для которых
Т\-1( & qM; П(& Ф*'Л-> V Пф!'^ V
следовательно, & ф/е lF. Элемент а удовлетворяет
всем формулам ф*, так как ф< е Фо, т. е.
& ,(о). A)
Пусть ЗК(=Г, тогда существует изоморфизм X:
-+[аК]ф такой, что ЗКо (= ф/(а) <=> ЭК (= ф/(Я-а), /<s.
Тогда из A) следует, что Ш\= & ф/(а), а так как ЭК
произвольно, то Т \- 3v ( & фЛ . Значит, &. ф/ е Y,
и так как имеет место A), то аеЛ<г(ЗИ0). Получилось
противоречие. Таким образом, Г U Ф| совместно. Поэтому
существует ЗК (= Т U Фь по определению существует
изоморфизм Я,: [%>&',-* [Щ% такой, что Ь^=Ха^АФ(Ж),
т.е. существует феФ такая, что ЗК(=ф(&), и
множество {с|се|ЗК|, ЗК(=ф(с)} конечно; пусть в этом
множестве k — 1 различных элементов. Тогда имеет место
' B)
328 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ {ГЛ..6
С другой стороны, так как ЗЛо|=ф(а)
Н= ф(йа)(=фF)), то фЕф0; поскольку ЗИ|== Oi и по
определению Oi имеем ф* е Фь то
SRH<P*. C)
Но B) и C) противоречат друг другу, следовательно,
такого а не существует, т. е. Аф(Ш0)^Ачг(Ш0) и
() = Ау (ЗИо). П
Лемма 3. Если теория Т имеет (о', Ф) -жЗро, го она
имеет и {о'^Уядро, причем С (Г)ф'~ С (Г)?. Более
того, если ЗЯ — модель теории Т, удовлетворяющая
условиям определения (о', Ф)-ядра, то эта же модель
удовлетворяет условиям определения (а',Чг)-ядра.
Все утверждения леммы следуют из последнего,
поэтому мы и будем его доказывать. Пусть Зйо — модель
теории Т, удовлетворяющая условиям определения
(а', Ф)-ядра. По лемме 2 ЛФ(Зйо) = Aw(Wl0). Пусть Зй —
произвольная модель теории Т.
Тогда существует изоморфизм Я, из [9Яо]ф в
такой, что Зйо h= ф (а) <*>¦ Ш (= ф {la) для любого а е
s Лф(9йо) = i4ip(Зйо) и любой феф. Докажем, что
образ К содержится на самом деле в Аф(Т1).
Действительно, так как as Av(Wlo), то существует формула
¦ф s W такая, что 9И0 И ^ (а). Так как г|> имеет вид
S
& ф,, где ф*жФ, то Wl^=ty(ka). Далее, так как
?-0
\|)(А)еГ для некоторого fee©, то существует только
конечное число решеций г|) в 9Й. Поэтому Я,а — Ч'-алге-
браический элемент Ш, так что Л осуществляет
изоморфное вложение [9Яо]чг(==[ЗИо]ф) в [9Я]^. Так как
любая формула \|з из W есть конъюнкция некоторых
формул из Ф, то очевидно из свойств А, что для любого
аеЛт(ЗИо) и любой ^s? справедливо ЗйоН= 'Ф(а)¦
Для каждой формулы треТ полагаем ty=^
¦ф* е Г}. Из определения Ч*1 легко следует, что \j) —
непустое конечное множество. Далее, понятно, что
множество П всех пар вида (тр, г), где ¦феЧ1', /егр,
рекурсивно перечислимо, и можно определить такую
эффективную нумерацию у: ш->-П, что если yn = {ty, г) и
§ 3] ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 329
KS/-O') то пара (i|5, /) имеет номер, меньший п. Если
Yn = (i|), I), то через i|)n будем обозначать "формулу ф.
Сигнатуру а' представим в виде объединения
возрастающей сильно вычислимой последовательности ко*
нечных сигнатур:
o0?(TiS ... So', a'= U а„.
Введем еще новую последовательность констант
do, d\, ...
Конечную модель Ш сигнатуры а„ U <d0, du .... dn}
назовем допустимой, если выполнены следующие
условия:
1. |2Л| — начальный отрезок натурального ряда, т. е.
множество вида {0,1, ..., s}, s&a.
2. Каждый элемент из \Щ\ есть значение некоторой
константы.
3. Если * < / < л, ф* = ф/, то df Ф df.
4. Для каждой модели Ш теории Т существует
изоморфное вложение % модели Wtf а„ в Ж, причем для
каждого k^Ln справедливо Ж \= i|)A (к (df)).
Условия 1—3 эффективно проверяются. Условие 4
выглядит совсем не эффективно. Поэтому укажем
условие, эквивалентное (при выполнении условия 2)
условию 4.
4'. Пусть D — диаграмма модели Ш (из-за условия 2
предложения из D не содержат констант, отличных
от констант из an\J (d0, ..., dn)); &D — конъюнкция
всех предложений из D; D'=^= [&?)]& I & y\>t (dt) I; ТУ' по-
L(=o J
лучается из D' подстановкой всюду вместо d0, ..., dn
соответственно x0, ..., xn. Тогда Зх0 ... 3xnD" e T.
Простая проверка эквивалентности условий 4 и 4'
оставляется читателю.
Обозначим через 3)„ множество всех допустимых
моделей сигнатуры on\J<.do,du ..., dn}. Из формулировки
условия 4' и рекурсивной перечислимости Т следует,
что {So, ®ь • • •}—вычислимая последовательность
рекурсивно перечислимых множеств (конечных
моделей).
330 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Докажем следующие два факта:
1. 3>о Ф 0-
2. Для любой модели ЗЯ е 3>„ существует модель
ЗЯ' е ф„+1 такая, что ЗЯ < ЗЯ'.
Докажем чуть более сложный факт 2. Пусть ЗЯ е 3>„,
а ЗЯо — модель теории Т, которая удовлетворяет
условиям определения (а', Ф)-ядра. По условию 4
существует изоморфное вложение %: 2Jtfan->-2Jto такое, что
2»0НФ*(А(^))для любого k^n. Пусть |ЗЯ| = {0,1, ...
...,s}, у(п + 1) = <-фп+ь/>- Так как <г|)я+ь/> еП, т. е.
/ефп+ь то любая модель теории Г имеет по крайней
мере / различных решений формулы г|)п+ь Поэтому
в |ЗЯо| найдется решение с0 формулы ^п+и отличное от
всех элементов множества |Я (fiff) | k ^ n, 1tft = '<|'n+i}
содержащего в точности /—1 элементов. Пусть с\, ...
..., С/ — элементы |Ш1о|. являющиеся значениями
констант из ап+\\ап. Пусть Ш" — подмодель сигнатуры
<хп+] модели Ш1о. определенная подмножеством М" =^=
^>,({0,1, ..., s})\j{co,C\ С;}. Пусть множество
{с0, С\, ..., С/} \ % ({0,1, ..., s}) содержит в точности
m элементов. Тогда доопределим отображение % до
отображения %' множества {0, ..., s,s + 1, ..., s-\-m) на
М". Зададим на множестве {0, ..., s-{-пг) структуру
модели сигнатуры ап+\ так, чтобы У было
изоморфизмом на ЗЯ". Далее, на этом множестве задаем значение
констант d0 dn так, чтобы ЗЯ было подмоделью ЗЯ',
и, наконец, значением константы dn+\ полагаем то число
k sg: s + m, для которого %'(k) = c0. Определенную
таким образом модель сигнатуры an+i U (do, ..., dn+i>
обозначим ЗЯ'. Ясно, что ЗЯ ^ ЗЯ'. Условия 1—3
определения допустимой модели выполняются для ЗЯ' по
построению.
Выполнимость условия 4 проверена только для
ЗЯо. Но из того, что ЗЯо удовлетворяет условиям
определения (а', Ф)-ядра, а значит, и условиям
определения (a', W) -ядра, легко вытекает, что условие 4' для
ЗЯ' выполнено в полном объеме. (Заметим, что
Г|'|А Л
||)) ())
Зафиксировав какой-нибудь эффективный способ
одновременного перечисления множеств {3>о,S>i, ...},
который задает порядок (перечисления) на этих множе-
§ 31 ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 331
ствах, определим эффективную последовательность
допустимых моделей 2Я°, Яй1, ... так:
0) Ш1°—первая (допустимая) модель из 3H.
Пусть Ш1" уже построена, тогда
л+1) 2Jtn+1 — первая (допустимая) модель из 3>n+i
такая, что Ш1" ^ Ш1П+1.
Из построения видно, что модель 9№ш^ U Шп сиг-
натуры (/и<^о.d\, ...) является конструктивизируемой
(основное множество \№\ равно либо со, либо {0,1, ...
..., s} для некоторого seo). Покажем, что модель
ЯЯ™ f а' изоморфна (а', Ф) -ядру теории Т. По условию 4
для каждого пеш существует изоморфизм X из Ш1" f а„
в ЗИо такой, что Зйо^^СЧ^Г")) для Л1°бого Л ^ п. Такие
изоморфизмы назовем допустимыми. Через Л„
обозначим множество всех допустимых изоморфизмов из
Wlnl On в SWo. Так как \pk имеет только конечное число
решений в ЗЯо, то для любого п множество Л„ конечно.
Далее, ограничение допустимого изоморфизма из
Лп на |Ш1*| для k <C n есть также допустимый
изоморфизм из Лй. Стандартные рассуждения (см.
доказательство предложения 36) § 2 главы 1) показывают, что
существует бесконечная последовательность Ко, h, •••
допустимых изоморфизмов такая, что А,„еЛ„ и ^0?
g ^i с ,,, Тогда Ха Ф- (J %„ есть допустимый изомор-
физм из №\о' в SWo. Так как X (| Ш1П |) = АФ (Щ для
к е Лп, то Kw есть изоморфизм из ЗИ™ Г а' в [ЭИ0]ф =
),"'. Остается проверить, что Ха отображает
{l на ЛФ(Ш1о). Пусть а е /4Ф(Ш10) = А^(Щ, тогда
существует формула фе? такая, что 2Яо h= ij>(a). Пусть
2Яо содержит ровно i решений формулы ф. Тогда <ф,(>г
еП и уп = <ф,i> для некоторого пеа. Рассмотрим
А,„: Ш1" f ал -* 9Яо- Из условий 3 и 4 легко вытекает, что
Л,я(|?Яя|)— подмножество |Ш1о|, содержащее по крайней
мере i решений формулы if>. Следовательно, Я,Я(|Ш1"|)
содержит все решения этой формулы. В частности, а е
еХ„(|аЯ«|)=Я,.(|аЯи|).Итак, U —изоморфизм на[9№0]ф-
Поэтому [3№0]ф = С (Г)ф — конструктивизируемая
модель. D
332 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Применим теперь теорему о ядре к решению
проблемы продолжения конструктивизаций группы на ее
пополнение.
Как будет видно дальше, ситуация, когда для
любого алгебраического объекта из некоторого класса
существует однозначно определенное минимальное
расширение из другого, более узкого класса, является
вполне подходящей для использования теоремы о ядре
для решения проблем продолжения конструктивизаций.
Начнем с некоторых теоретико-групповых
определений.
Группа G нильпотентна, если существует
нормальный ряд подгрупп G = d ^ ... ^ Gn такой, что
G(ag = ga)}
Группа локально нильпотентна, если каждая
конечно порожденная подгруппа нильпотентна.
Группа G называется полной, если для каждых
ge G, п > 0 существует AeG такой, что hn = g.
Теоремь 1 (о пополнении; [8], [203]). Если G —
(локально) нильпотентная группа без кручения, то
существует полная (локально) нильпотентная группа G*
без кручения, удовлетворяющая условиям:
. 1. G < G*.
2. Для каждого g e G* существует п > 0 такое, что
gnz=G.
3. Если G — полная (локально) нильпотентная
группа без кручения и G <: G, то существует изоморфизм G*
в G, тождественный на G. П
Группа G*, удовлетворяющая заключению теоремы,
называется пополнением группы G.
Пусть TgT—элементарная теория класса всех групп,
a T'cr — теория со следующим множеством аксиом:
TgTU{Vg3h(hn=g), \/g\fh(gn = hn-*g = h)\n^^ n>0}.
Моделями теории ТСц являются полные группы (без
кручения) с однозначным извлечением корня. Заметим,
что если G \= TCR и G s?C G, то G содержит наименьшую
подгруппу G такую, что G ^ G и G \= TCr. Действи-
§ 3] tEOPEMA О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 333
тельно, если через G0 обозначим подгруппу, группы G,
порожденную всеми корнями элементов из G, то группа
fe+i
G^± U (... (G°) ...)° удовлетворяет - сформулированным
tsu
выше свойствам. Если О = G, то G назовем
минимальной над G.
Лемма 4. Если G — нильпотентная группа, G ^
^ G, G \= TCr и G минимальна над G, то G изоморфна
над G пополнению G* группы G.
В силу теоремы о пополнении достаточно
установить, что G является нильпотентной.
В доказательстве будем использовать следующее
легко проверяемое свойство групп с однозначным
извлечением корня:
если л, k е со; п, k > 0, то
Докажем ряд вспомогательных утверждений.
) Z(G)ZG)
) ()
Пусть c^Z(G), тогда для любых g e G, n > О
имеем по (*)
cg = gc=>c \gn) =\gn) c=>cgn =gn с.
Следовательно, элемент с перестановочен со всеми
элементами группы G0, порожденной всеми корнями
элементов из G, т. е.
Тогда
Z(G)^Z(G°)^Z((G°)°) и т. д.;
так как
то
334 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ.. 6
2) Группа Z(G) является полной.
Если c^Z(G), g€ О, п>0, то по (*)
g = g\cn
J_ _
т. e. cne=Z(G).
3) C/ZF)H ^cr.
Проверим условие однозначности извлечения корня.
Пусть
я>0, (gZ(G))n = (hZ(G))n,
тогда _ _
g"Z(G)=AnZ(G),
т.е. g" = A"c для некоторого ceZ(G). Так как Z(G)
полна, то cn^Z(G) и поэтому
)
Проверка полноты очевидна.
Нам понадобится следующая теорема о
гомоморфизмах для групп (см. книгу [8], георема 4.2.4):
Пусть А ^ В ^ С, А — нормальная подгруппа В,
Н — нормальная подгруппа С; тогда имеет место
изоморфизм ВН/АН ехВ/А(В(\Н); в частности, если
А^Н.то ВН/Н ~ В/В П Я. D
Докажем, что группа G нильпотентна. Так как G
нильпотентна, то существует нормальный ряд
С„< ... < G\ = G
такой, что
Gft/Gft+1 < Z(G/O*+,),1 <k<n; Gn
Кроме того, имеем
{1} <G^C
и в силу 1) справедливо Z(C)DG = Z(G). Тогда по
теореме о гомоморфизме получим
$ 3] ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 335
т. е. GfZ(G) изоморфно вкладывается в G/Z-(G). Итак,
можно считать, что
G/Z(G)<GIZ{G), G/Z(G)\=TCR
и, очевидно, G/Z(G) минимальна над G/Z(G).
Докажем нильпотентность G индукцией по ступени
нильпотентности. Когда G абелева, G также абелева;
действительно, G — Z(G)^Z(G) и по 2) Z(G) полная;
из минимальности G следует, что G = Z(G), т. е. G
абелева.
Индукционное предположение. Если Н нильпотентна
ступени (п—1), Я^=Тся и Я минимальна над Н, то
Я нильпотентна ступени (п—1).
Пусть теперь G имеет ступень нильпотентности п,
тогда G/Z(G) нильпотентна ступени (п—1). Так как
G/Z(G)\= TCr и G/Z(G) минимальна над G/Z(G), то по
индукционному предположению G/Z(G) тоже
нильпотентна ступени (п—1). Следовательно, G нильпотентна
ступени п. ?
Следствие. Бели G — локально нильпотентная
группа, G ^ G, G\= Tcr и G минимальна над G, то G
изоморфна над G пополнению G* группы G.
Как и в лемме, достаточно показать, что G локально
нильпотентна. Пусть М ? G конечно и Go — подгруппа
G,'порожденная множеством М. Тогда* очевидно,
существует такая конечно порожденная подгруппа G\
группы G, что наименьшая прдгруппа G\ группы G такая,
что G\^.Gi и G\ \=a Tcr, содержит М (а следовательно,
и Go). Так как G локально нильпотентна, то G\
нильпотентна; так как G\ минимальна над G\, то по лемме G\
нильпотентна, следовательно, и G0(^Gi) нильпотентна,
т. е. G локально нильпотентна. ?
Теорема 2. Всякая конструктивизация локально
нильпотентной группы G без кручения продолжается,
и притом единственным образом, до конструктивизации
пополнения.
Докажем сперва существование конструктивизации
для пополнения. Пусть (G,v)—конструктивная
локально нильпотентная группа без кручения. Тогда
диаграмма Dy,(G) рекурсивна; сигнатурой диаграммы
Dy(G) будет а ==<•,-', J, aQ, аь ...>.
336 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Теория Го =^ ITcr \JDV(G)] рекурсивно
аксиоматизируема. Пусть Ф =^= {vn = ak | k е со, п > 0} и а' =^= а.
Покажем, что пополнение G* группы G будет (а, ф) -ядром
теории То. Пусть G \== То; тогда можно считать, что
G ^ G. Из предыдущих рассмотрений видно, что
A<b(G) есть наименьшая подгруппа группы G,
являющаяся моделью теории То. По следствию леммы 4
Ах>(G)~ G*. Так как при изоморфизме пополнений
корень переходит в корень, то в силу теоремы о
пополнении G* является (а, Ф)-ядром теории То. По теореме
о ядре G* конструктивизируема. Пусть v* — конструк-
тивизация модели G* (в сигнатуре а). Покажем, что v*
есть продолжение v, т. е. что тождественное вложение
есть морфизм г: (G, v)—> (G*. v*). Пусть tv (k) = а°* е
eG'; определим h (k)^\iy (a%* = v*t/V,
h—общерекурсивная функция, так как DV*(G*) рекурсивна, и iv = v*h.
Существование доказано. Покажем единственность.
Пусть существуют две конструктивизации v' и v*:
(е*у)
h, h' общерекурсивны.
Возьмем произвольный элемент v*^. Так как G* —
пополнение G, то существует п > 0 такое, что (v*6)"<= G.
Так как i — морфизм, то v~1((v*^)n)—рекурсивное
множество. Возьмем ;ev-'((v^)n), тогда v/ = (v*6)".
Имеем ivl = v'h'(l), отсюда (v*k)n = v'h'(l). У
уравнения x" = v'/i'(/) решение существует (и именно v*6);
поэтому, перебирая v'@), v'(l), ... и проверяя,
находим его v'-номер. Пусть (v'm)" = v'h'(l). Тогда для
тождественного отображения б: G*-+G* имеем ev*& =
= v'm = v7(&), где f: k*—>m — вышеприведенный
эффективный процесс. Таким образом, v* = v'f и v* ^ V.
Аналогично получаем v' ^ v*. Следовательно, v' ^ v*,
что и требовалось доказать. ?
Перейдем к применению теоремы о ядре для
изучения вопросов продолжения конструктивизации поля на
его алгебраические расширения.
§ 3] ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 337
Пусть (F, v)—конструктивное поле,
Fq—-алгебраическое расширение поля F, F ^ Fo. Найдем
необходимые и достаточные условия для того, чтобы конструк-
тивизацию v поля F можно было продолжить до кон-
структивизации поля Fo.
Прежде всего установим один чисто алгебраический
результат.
Теорема 3. Если Fo—алгебраическое расширение
поля F, a F[ — такое расширение поля F, что любой
многочлен от одной переменной над полем F, имеющий
корень в Fo, имеет корень и в F\, то существует
F-изоморфизм из FQ в F\.
Установим теорему сначала для случая, когда Fo—
конечное расширение поля F *). Не уменьшая общности,
можно считать, что поле F\ алгебраично над F (можно
вместо F\ рассматривать алгебраическое замыкание
поля F в F\) и что поля Fq и F\ лежат в алгебраическом
замыкании F поля F. Пусть Lq— наименьшее
нормальное расширение поля F, лежащее в F и содержащее поле
Fo (?о—нормальное замыкание поля Fo в F), тогда
Lq—конечное расширение поля F и G ^ Ant(LQ/F) —
конечная группа. Полагаем L\ =?= Lq Л F\. Для любого
элемента aefo пусть fa ef[)(]— неприводимый над F
многочлен, корнем которого является а; по условию в
F{ найдется элемент р такой, что /а(Р) = 0, тогда ре
е F\ П Lq = L\ и существует F-автоморфизм аа поля Lo
такой, что aa(a)=. р. Следовательно,
Peao(F0)ni, и а = ог->(Р) <=(,-¦(?,)
и так как aeF0 был произволен, то
Fo<= U a-'(Z.i);
пусть
тогда
Fo= U Va.
Если F — конечное поле, то Fo = F(a) для
некоторого а и доказывать, по существу, нечего. Если же F
бесконечно, то, рассматривая Fo как конечномерное
векторное пространство над F, видим, что Fo является теоре-
*) Доказательство предложено И. В. Львовым осенью 1979 г.
338 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
тико-множественной суммой конечного множества своих
подпространств Vo, о е G. Нижеследующая лемма
показывает, что Fo = Va для некоторого а е G, тогда
Fo = Vo s or (L{) и a(F0)?Z,|SF|,
следовательно, a f Fo является искомым F-изоморфиз-
мом из f0 в fi.
Лемма 5. Если F — бесконечное поле, V —
конечномерное векторное пространство над F, Vo Vs —
конечное семейство подпространств V и V = U Vt, то
t<s
V = Vt для некоторого t ^ s.
Пусть в\, .... еп — некоторый базис пространства V.
Для всякого собственного подпространства W
пространства V, очевидно, существует ненулевая форма
^1ь • •• i хп] такая, что aw(ii Я„)= 0 для лю-
бого вектора ]?^ieieU?- Если все подпространства
Vo Vs собственные, то форма Q (х\, ..., хп)
не нулевая. Так как поле F бесконечно, то Q(A,b ...
.... Хп)Ф 0 для некоторых Х\ ^6f, Вектор v =?=
п
^Л hei s V не может принадлежать множеству U Vt,
так как из v e Vt следует, что ю^ (А,ь ..., А,„) = 0, но
тогда и Q (A.1, ..., Х,п) = 0. Это противоречит условию
V= U V,, следовательно, V=V* для некоторого /^s. D
t <s
Для рассмотрения общего случая можно
воспользоваться локальной теоремой Мальцева или следующим
рассуждением, использующим лемму Цорна.
Назовем допустимым частичным изоморфизмом из
^о в F\ всякий F-изоморфизм ф: F'o-+F\ из некоторого
подполя Fq ^ F поля Fo в F\ такой, что для любого
конечного множества элементов {ai а*} из Fo
существует расширение <р до изоморфизма <р' из^о(аь ..., ak)
в F\ (ф?ф'), Множество всех допустимых частичных
изоморфизмов обозначим через D.
Рассмотренный выше случай, когда Fo — конечное
расширение поля F, показывает, что ]Р: F-*-/^ является
§ 3] ГЕЬРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 339
допустимым частичным изоморфизмом, т. е. множество
D не пусто.
Лемма 6. Частично упорядоченное множество
<D, е> является индуктивным.
Пусть {фх|Я е Л} — некоторая цепочка различных
допустимых изоморфизмов, т. е. ф^, s ф^/ или ц>Х' s ф^
для любых Я, Я' е Л. Линейно упорядочим множество А,
полагая
'^фц^ф^', Я, Я'еЛ.
Пусть уф U Фя,; проверим, что ф — допустимый ча-
1еА
1еА
стичный изоморфизм, т. е. что фе?>; заметим, что Фл,е<р
для всех Я е Л. Ясно, что ф является F-изоморфизмом
поля ^о^ U бфх в ^1- Покажем, что для любых
А.еЛ
ai, ..., а» е Fo изоморфизм ф продолжается до
некоторого изоморфизма
ф': ^(о, а*)->/?,.
Для каждого Я е Л изоморфизм фх продолжается до
некоторого изоморфизма ф? из Fk(a.i, ..., ak) в Fi (где
/ч =^= бфх), так как фх е D. Каждый элемент а,-, (=1,...
..., k, может иметь при ^-изоморфизмах только
конечное число образов, так как ai, ..., а* алгебраичны над
F. Поэтому существует лишь конечное число наборов
(af а%), s = 0 t,
в которые может перейти набор <ai, ..., а*> при каком-
либо изоморфизме ф^, Я е Л. Множество Л разобьем на
t -J- 1 частей Ло, ..., At, полагая
л= и л,.
Хотя бы одно из множеств Л«, s ^ t, конфинально
множеству Л. Пусть, например, Ло конфинально Л, тогда
для Я, Я' е ЛоД < Я', имеем
Полагая
LI
Л
340 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
получаем продолжение ср на Ff0{alt ..., ak), т. е. ф —
допустимый частичный изоморфизм. ?
По лемме Цорна множество <Д s> имеет
максимальный элемент. Пусть феО — максимальный элемент;
покажем, что бср = Fo, откуда и будет следовать
заключение теоремы, так как ф — искомый F-изоморфизм из
Fo в Fi. Предположим противное, пусть
FS^fcp, aeEF^F'o и fe=Fi[х]
— неприводимый над Fo многочлен, корнем которого
является а. Пусть ао, ..., а* — все корни многочлена
ф/, лежащие в Fu тогда любой изоморфизм ip из F'0(a)
в F\, продолжающий ф, однозначно определяется
образом i|)a е {ао, ..., а*}. Так как ни один такой
изоморфизм i|) не является допустимым (ф cr tj> и ф
максимальный), то для любого 1 ^ k существуют такие
элементы ЭД $1п е Fo; что ф не может быть продолжен
до изоморфизма V из /^(Р^. ¦ ••> Р? ) в F\ такого, что
•ф'а = щ. Но ф — допустимый частичный изоморфизм,
следовательно, существует его продолжение до
некоторого изоморфизма ф* из поля F'Ja, $\, ..., р? , ...
• •-, В* P*J в F,; если \|з*(а) = аг, t < k, то
частичный изоморфизм i|)* \ F'0(a, p^, ..., рМ противоречит
выбору элементов р^, ..., р^ . Полученное противоречив
показывает, что бф = Fo. ?
Сформулируем теперь нужный результат о
конструктивных продолжениях.
Теорема 4. Если Fo — алгебраическое расширение
конструктивизируемого поля F, то его конструктивиза-
ция v продолжается до некоторой конструктивизации
поля Fo тогда и только тогда, когда множество
многочленов /eF[4 имеющих корень в Fo, рекурсивно
перечислимо.
Необходимость. Пусть Vo—конструктивизация
поля Fo, продолжающая конструктивизацию v, и f —
общерекурсивная функция такие, что />v = Vof, где /V —
вложение F в Fo. Тогда множество
{</о QI /, е= ш, Fo И Э| Ы (to) I" + vo/ (/,) Г"' + •..
}
рекурсивно перечислимо.
§ 3) ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 341
Достаточность. Рассмотрим теорию Г0^[^и
[}Dv(F){j{3x(l* = 0)\feF[x] и / имеет кбрень в
Fo}]; здесь Г/—это теория полей, a f* — это
выражение саахп-\- Са{хп~{ + ••< + со„, определенное по
многочлену f = аоХп + а\Хп~х + ... + ап. Любая модель
теории Го есть пара (Fu Fv\ где Fi — такое поле, что
всякий многочлен feF[x], имеющий корень в Fo, имеет
корень и в F\. Пусть Ф =^= {/* = 0 | / <= F [v]}. Тогда по
геореме 3 для произвольной модели (Fu Fv) теории Го
существует Ф-изоморфизм из Fo в Fi, тождественный
на F. Следовательно, (Fo, Fv} является (а,Ф)-ядром
теории Го, и по теореме о ядре модель (Fo, /ч> конструк-
тивизируема.
Если vo — конструктивизация модели (Fo, Fv}, то
ясно, что vo — конструктивизация поля Fo, а
доказательство того, что /V: F -*- Fo есть гомоморфизм
конструктивных моделей (F,v) и (Fo,vo), проводится, как в
доказательстве теоремы 2. ?
Обратимся теперь к линейно упорядоченным полям.
Пусть (F, ^> — линейно упорядоченное поле, т. е.
выполнены условия:
Г)
2*)
Вещественным замыканием поля {F, s^> называется
такое линейно упорядоченное поле (F', ^> ^ </•", ^>,
что F' алгебраично над F и поле F' уже не допускает
собственных алгебраических линейно упорядоченных
расширений.
Лемма 7. Любые два вещественных замыкания
линейно упорядоченного поля F изоморфны над F.
См., например, [10J, с. 314, теорема 3. ?
Вещественно замкнутое поле характеризуется тем,
что любой полином нечетной степени имеет корень
в нем и что из каждого положительного элемента в
этом поле извлекается квадратный корень. Эти условия
записываются в УИП, и их можно использовать в
качестве аксиом для аксиоматизации теории вещественно
замкнутых полей. Кроме упомянутой аксиомы еще
будут условия 1*), 2*], аксиомы линейного порядка и
342 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
аксиомы поля. Очевидно, теория вещественно замкнутых
полей рекурсивно аксиоматизируема.
Теорема 5. Всякая конструктивизация линейно
упорядоченного поля <F, sg;> продолжается до конст-
руктивизации его вещественного замыкания.
Пусть Т — теория вещественно замкнутых полей и
ф^ {/ = 0|/sF[y]}. Рассмотрим теорию То =^= [Т U
\jDv(F, ^I- Пусть {F, ^> — вещественное замыкание
(F, ^>; <F', Fv, *О является моделью теории T'Q.
Очевидно, что [F'\%, = F'. Отсюда и из леммы следует,
что </•"', Fv, *^> является (о, Ф)-ядром теории То. По
теореме о ядре <,F',FV,^.} конструктивизируема, и
вложение (F,v) в (F',v) будет морфизмом для конструк-
тивизации v' модели (Ff, Fv, ^>. D
Пусть имеются две сигнатуры (f so, задана теория
Т сигнатуры о, B7?, v)—конструктивная модель
сигнатуры о', и предположим, что для 271 существуют о-обо-
гащения, которые будут моделями теории Т.
Теорема 6. Пусть а' — рекурсивно перечислимое
подмножество о, Т — рекурсивно и универсально
аксиоматизируемая теория в сигнатуре о, B71, v) —
конструктивная модель сигнатуры о' такая, что существует
только конечное число а-обогащений модели 27? до
модели теории Т. Тогда любое такое обогащение
сохраняет конструктивность.
Универсальная аксиоматизируемость теории Т
равносильна тому, что если 2Ro И * и SWi ^ 2Ио, где 27?i —
модель сигнатуры о, то 2Ri |= Т.
1. Исследуем сперва случай, когда существует
единственное о-обогащение модели 271. Рассмотрим теорию
Т [rUD()] Ф { \i 0 1 }
[()] { \ , }
Рассмотрим произвольную модель 271' такую, что
2Ж |= Го; 27? ^ 27?', и пусть 271 есть о-обогащение 27?
в 27?', т. е. 27? ^= B7?' \ о) \ 127? |. Так как Т универсально
аксиоматизируема, Ш? —модель сигнатуры о и 27? ^
<: 27?' t о, то 2ГС1= Т. Из определения Лф (Ш') следует,
что [ЭД']ф = Ш. Для любой модели 27?" j= Го 27?
изоморфно вкладывается в 2R", поэтому можем считать,
что 27?<27?", и так же, как для W, Ш=^Щ"]ОФ —
о-обогащение 9» в 27?" и 2Л (= Т. Так как о-обогащение
§ 3) ТЕОРЕМА О ЯДРЕ И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ 343
модели ЗЯ до модели теории Т единственно, то [2#']ф
изоморфно [9№"]ф и, следовательно, Ш является (о, Ф)-
ядром рекурсивно аксиоматизируемой теории То. По
теореме о ядре существует конструктивизация v
модели 2Я, т. е. (SK, v) — конструктивная модель. Покажем
теперь, что v = v; для этого достаточно установить, что
v ^ v. Имеем af = vk; так как |9№| = |9№|, то
yrT3k(yn = ak). Предикат vn = а* рекурсивен, поэтому
функция h, h(n)^i\\k(vn = a,k), общерекурсивна и
v = vh. В случае 1 теорема доказана.
2. Пусть имеется , более одного сг-обогащения
Ш до модели теории Т, и пусть Tt0, fflu .... Щк —
все различные такие обогащения. Для каждого
i=l, ..., k выберем элементарную формулу или
отрицание элементарной формулы %{(х{,..., хп\ и
элементы Ъ\, ..., Ь'п е |Шо| такие, что Wo(== %{(Ь[, ..',Ь1п\
но Э1,НЛЯ,(б/, -.., Ь'П[у, пусть т|ей (/=1, ..., 'к;
1=1, ..., «,) таковы, что \т\ = Ь1,. Рассмотрим
рекурсивно и универсально аксиоматизируемую теорию 7"i=^
— Г^о U №i (ать • ¦ ¦. ат, \ I 1 < i < Ш. Тогда
единственным cr-обогащением WI до модели теории 7\-будет 3Rq.
По случаю 1 v будет конструктивизацией 5№0. П
Следствие. Если конструктивное поле
упорядочиваемо конечным числом способов, то любое такое
упорядочение конструктивно. ?
Условие конечности является существенным. '
Предложение. Существует линейно
упорядочиваемое конструктивное поле, на котором нет
конструктивного упорядочения.
Пусть Q — алгебраическое замыкание поля
рациональных чисел Q и v — некоторая однозначная
конструктивизация Q. Рассмотрим поле Qo^QCVpo. •••
...,д/р7. •••)» гДе Ро, Р\, ... — последовательность всех
простых чисел по возрастанию. Существует
общерекурсивная функция g0 такая, что (vgo(n)J = р„ для пе
со. Существуют и общерекурсивные функции g{ и
(()J () (()J
уу рур фу g{ g2
такие, что (vgi(n)J =\go(n) и (vg2(«)J = — vgo{n)
для песо. Множество /? =^ {k\ щ определена в точке
344 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
go(k)} рекурсивно перечислимо. Для k&R полагаем
а -^ i vgri (ft), если «ft (g0 (*)) — 0;
ak^\*g2(k), если Xft(go(^))?=O.
Поле Qi =^=Qo(ctft | Л е R), очевидно, рекурсивно
перечислимо; пусть / — общерекурсивная функция,
перечисляющая без повторений множество v~' (Qi); тогда Vi ^
=^v/ — конструктивизация поля Qu Легко проверить,
что поле Qi упорядочиваемо. Покажем, что, однако,
никакое упорядочение поля Qi не будет рекурсивным
в нумерации vr. Предположим противное: пусть ^ —
упорядочение поля Qu являющееся рекурсивным в vi.
Тогда характеристическая функция /0 vi-номеров
положительных элементов поля (Qb ^) будет
общерекурсивной. Пусть k — клиниевский номер частично
рекурсивной функции /of; область определения нк есть v~"'(Qi);
так как vg0(k) ^Q0^Qu то g0(k) e 6xft и k e R.
Рассмотрим два случая: a) %k(go(k)) = 0; тогда хА(Яо(^)) =
= /о (Г'go (*)) = 0 => v,f-'go (*) < 0, но v,f-Pgo (ft) =
= vjF/ 1g0(ft)=='vg0(^) = (vgr1(^)J = a|; aft s Q,;.
следовательно, должно быть vj'^oik) > 0. Случай а)
невозможен, б) xA(g0(ft))?=0; тогда xk(go(k)) = fo(rlgo(k)) =
= l=^v1r1go(ft)>O, но v1/-1go(^ = v/r1go(ft) = vgo(^),
и так как ^(go^))^0- то aft = vg2 (k) и a| = (vg2(^)J =
= — vg0 (ft); следовательно, — vg0 (k) > 0, vg0 (ft) =
= vi/ lgo (ft) < 0. Приходим к противоречию. ?
В заключение параграфа рассмотрим случай
нормированных полей. Добавим к сигнатуре теории полей
одноместный предикат R, выделяющий в поле кольцо
нормирования. Оставляем читателям в качестве
упражнения на применение теоремы о ядре доказательство
следующего утверждения:
Теорема 7. Всякая конструктивизация
нормированного поля (F, R) продолжается до конструктивизации
гензелизации (Ffl,Rh) этого нормированного поля. О
§ 4. Скулемовские функции и теории с конечными
препятствиями
Если 91 — формула в предваренной нормальной
форме, то по 91 эффективно строится некоторая
универсальная формула 91* в расширенной сигнатуре по
следующему правилу.
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 345
Каждому вхождению квантора существования в $
ставится в соответствие функциональный символ —
символ скулемовской функции с числом мест, равным
числу переменных, связанных квантором всеобщности
и стоящих левее этого вхождения.
Пусть %0 — бескванторная часть 51, Зг/ есть
некоторое вхождение в % f — символ функции,
соответствующий этому вхождению, а х0, х\ хн — все
переменные, стоящие левее этого вхождения и связанные
кванторами всеобщности. Тогда убираем связку "By и все
вхождения у в Щ заменяем на терм f{xo,xi, ..., Хк).
Проделав это со всеми вхождениями кванторов
существования, получим формулу Я*, которую назовем эр-
брановой формой формулы к.
Для эрбрановых форм справедливо следующее
Предложение 1. Формула §t(z0,..., z,) истинна
в модели Ш на элементах а0, ¦ ¦ ¦, as e \Щ тогда и
только тогда, когда существует такое обогащение W
модели ЗИ до сигнатуры, содержащей скулемовские
функции формулы Ж, что W h= 2C*(a0, ..., as).
Доказательство этого предложения можно найти
в [в]. ?
Аналогичные преобразования можно сделать и с
множеством формул Ф, считая символы скулемовскцх
функций различными для различных формул из Ф.
Справедлив и аналог предложения 1.
Обратимся теперь к вопросу существования
конструктивных моделей для теории и укажем достаточные
условия для существования конструктивной модели на
языке скулемовских функций.
Пусть а = (Pi0 Р**\ с0, ..., ck) — конечная
сигнатура, не содержащая функциональных символов, Т —
(непротиворечивая) теория сигнатуры а. Пусть ф—
некоторая совокупность предложений, находящихся в
предваренном виде, которая является системой аксиом
для Т, ф* — совокупность эрбрановых форм
предложений из Ф, элементы Ф* — универсальные предложения
в сигнатуре о'ч^aU (/qj> /?'» •••). гДе /«— символы для
скулемовских функций. Рассмотрим сигнатуру а* ^=
=^ о'[) (а0, аи ...>; занумеруем все термы to,tlt ...
вида ftfa, .... akn \ так, что для tk-=
-=fifakf
346 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
..., ак \ имеем /, kv ..., kn < k. Рассматривая термы U
как константы, определим сигнатуры ат, п =^= cr|J<Oo. •••
..., ат-\) U <f0, •.., tn-i), n, m e а>, полагаем также
От Ф от, т. Заметим, что Ой = сг0, о = сг. Если 9Я — ко-
нечная модель сигнатуры от, „, п^т, то через ЗА Ш)
будем обозначать формулу сигнатуры а', определенную
так: пусть модель 24 содержит k элементов и v* —
произвольное отображение множества {0,1 k—1} на
основное множество модели 9Я. Элементарную формулу
или отрицание элементарной формулы % сигнатуры а
назовем Ш-формулой, если выполнены условия:
1) все свободные переменные формулы %
принадлежат множеству {х0, ..., Xk-i};
2) если терм / имеет вхождение в 91, то он имеет
вид х,, i < k, или !/(х{ xt \ причем существует
терм tt, Kn, tl = fj)aSi, ..., as\ и a», Kt^n^ —
значение константы as в модели Эй — совпадает с
элементом vk (x{ \,
3) в Ш1 истинна формула Я, когда значениями xi
являются элементы v*@, а значениями термов
fj(x{, ..., хг \ — значения «констант» */^f/(as > • • •
... ,as\ где tt соответствует терму fi(xt, ..., xt\
как в 2).
Если Д (Ш) — конъюнкция всех Зй-формул (их,
очевидно, конечное число), то ЗА (Эй) обозначает
предложение 3*о • • • 3*fe_i А (Ш).
Модель Ш сигнатуры ат,„, п^т, назовем
препятствием, если Ф* U {ЗА (Эй)} противоречиво.
Будем говорить, что Ф* с конечными препятствиями,
если для любого m e а> существует конечное число
конечных моделей Шо, ..., 9Я* сигнатуры от таких, что
для любой конечной модели 9Я' сигнатуры от 24'
является препятствием тогда и только тогда, когда для
некоторого / ^ k модель аЯг изоморфно вкладывается в W.
Теорема 1. Если Ф рекурсивно перечислимо, а Ф*
с конечными препятствиями, то для Т существует
конструктивная модель.
§ 41 СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 347
Конечную модель Ш1 сигнатуры ат, п, п^ т,
назовем правильной, если любой ее элемент есть значение
некоторой константы а0 ат-\ и модель Wl\ а не
является препятствием. Последнее равносильно тому, что
*В1\ о — подмодель некоторой модели теории Т. Мы
будем эффективно строить последовательность
правильных конечных моделей 9Яо> ЗЯь • • • сигнатур ат По,
°m, nt1 '" (ni^mi> i s ffl) соответственно такую, что
"l) mo</n,< ... <mft</nft+1< ... ы Шо \ ат 0 <
2) для любого натурального s существует k такое,
что для k'^k nk, ^ s, Ttk, \ a$ не является препятст-
виемиШк \ as<3KA+1 Us< ... <2ЯА, \ es^mk,+ l \ as<
<.
Укажем теперь, как, имея эффективную
последовательность моделей Ш10, «Wi, ..., удовлетворяющую
свойствам 1) и 2), построить конструктивную модель
теории Т.
Из условия 1) вытекает, что
аи, (¦ <х<... <аи* \
Полагаем Зйи^ U 9№г \ а; 9№щ — модель сигнатуры а.
is a
Определим отображение v: ш->|ЗК(й| так: v(s)
—значение константы as (заметим, что из условия 2) вытекает,
что последовательность пц ^ т,[ ^ ... ^ тк ^ тк+\ ^ ...
не ограничена, и поэтому для некоторого k mk~^s-\-\
и в Шк„ k'^k, определено значение константы as).
Корректность определения вытекает из условия 1), а то,
что v — отображение на (т. е. нумерация), вытекает из
условия правильности моделей Ttk. Эффективность
последовательности Шо, Ш], ... влечет конструктивность
нумерованной модели (ЗЯа, v). Осталось проверить, что
ЭЙШ — модель теории Т. Для этого достаточно задать
на ЗЯц скулемовские функции ft так, чтобы
выполнялись все предложения Ф . Итак, пусть 6, bn e | ЗЯа |,
fi1 —символ скулемовской функции. Находим sv ..., sn
такие, что v{sj) = bj, /=1 щ, и рассмотрим терм
/г (as as \ (= ta для некоторого 5 е ш). По
348 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ГГЛ. в
условию 2) находим k такое, что значение терма ts в 3Rks
k'^k, не зависит от k' и 5Kft, \ as+l не является пре*
пятствием. Полдгаем f^b., ..., bn \ равным общему
значению терма ts в моделях ЗЯк„ k'^k. Итак, в
модели 9ЙИ определены функции f{, i е со. Если (9ЙИ, f0, f i ...)
не является моделью для множества универсальных
предложений Ф*, то существует конечное подмножество
М s | 9ЮИ |, на котором опровергается какое-либо
предложение % из Ф*. Находим k0 такое, что | Шкз1
содержит М и все значения скулемовских функций из 31 на
элементах М. Пусть а. а. —константы, значени-
ями которых являются все элементы из М, а /Мо, ...
..., /„ —все термы, образованные константами а,,
т i
i^.n, и всеми функциональными символами из %.
Находим k\ ^ k0, удовлетворяющее свойству 2)
последовательности 9И0. 9№ii ... для s ^= max {«0 tin} + 1. Тогда
из опровержимости % на элементах М в (9ЙИ, f0, ...) и
определения функций f г, г е со, легко вытекает, что
А Cti \ os) не совместно с % и тем более с Ф*, т. е. что
ki \ as является препятствием. Это невозможно по
выбору k\. Таким образом, (9ЙИ, f0) ...) —модель Ф*,
а 9ЙИ — модель теории Т.
Теперь обратимся к построению последовательности
ЗИо, 9Яь ... Заметим, что для конечной модели Ш
сигнатуры От, я, п =?^ т, эффективно проверяется условие
правильности. Для этого нужно уметь проверять, что ЗИ \ а
не является препятствием. Но из условия конечности
препятствий для Ф* следует, что существует конечное
число конечных моделей 3t0, ..., Sit сигнатуры а таких,
что любая конечная модель Э1 сигнатуры а есть
препятствие тогда и только тогда, когда 91(- изоморфно
вкладывается в 91 для некоторого / <: t. Пусть 9?о, Ши ... —
эффективная последовательность правильных конечных
моделей сигнатур а, ,, а, , , ... такая, что для любой
'О' г0 'I' 1
правильной модели ЗИ сигнатуры ат, „, п^. т,
существует Jem такое, что Шк — модель сигнатуры ot =
~ат,п> изоморфная ЗЯ.
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 349
Используя рекурсивную перечислимость Ф*, можно
устроить эффективную процедуру выписывания
последовательности конечных моделей фо. Фь ••• еигнатур
ah, at являющихся препятствиями, так, что для
любого k и любого препятствия 9Л сигнатуры а&
найдется / такое, что a,- =ok и Ш ~ ^, Зафиксировав
такую эффективную процедуру, конечную модель 2Й
сигнатуры Ok назовем п-препятствием, если существует
/ ^ п такое, что а1 — ок и ^ изоморфна подмодели
модели 9Л.
Заметим, что если 9Л — я-препятствие, то 9Л —
препятствие, и, наоборот, если 9Л — препятствие, то 9Л —
«-препятствие для некоторого п е со.
Приступаем к построению последовательности ЭЯо,
9Ль ... Заметим еще, что эта последовательность будет
удовлетворять условию:
3) Шк \ ап не является k-препятствием.
Рассматривая модель Шо сигнатуры a/t Го, находим
наибольшее п0 ^ г0 такое, что Яо \ а^ не является ло-пре-
пятствием. Полагаем /по^/0, ЗЙ0 =?^= 0lo J1 a/o геа.
Пусть модель Шк сигнатуры am п уже построена.
ft' ft
Пусть nk^± max {п\п<^пк, Шк \ ап не является (k -f l)-
препятствием}. Далее, среди моделей Яо» • • •> 9lft+i ищем
такую модель 9t/( что: а) 1г~^тк, rt > л^; б) Шк \ ат п>
к* к
изоморфно вкладывается в Я,- (очевидно, единственным
образом); в) п'к (i) ^ щах |л | п ^ rt, fRt \ ап не является
(k + 1)-препятствием} > лл. Если такой модели 81* нет, то
полагаем тк+х^тк, пк+х^п'к и Жк+1ч±Шк \ amft+j „ft+j.
Если же такая Я/ найдется, то пусть /0 — наименьшее
среди таких i. Тогда полагаем mk+l =^ //о, пй+1 =^ л^' (г0), а в
качестве 3№ft+1 берем модель, изоморфную ®t \ от „
Построение закончено.
Выполнение условий 1) и 3) для этой
последовательности очевидно из построения. Проверим выполнимость
условия 2). Так как выполнено условие 3), то
достаточно доказать следующее утверждение:
350 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Лемма 1. Для любого seo существует k такое,
что для k'^tk nk,^s и Эй k\ os^ mk, \ as.
Для s = 0 из условия 1) вытекает, что в качестве k
можно взять 0. Пусть s > 0 и для чисел, меньших s,
утверждение леммы справедливо. Пусть k0 таково, что
«fc,>s-l и ЯИ*Д<т,_,<аИЛ°»-1 для й'>й0.
Докажем, что nk^s для бесконечно многих k^k0.
Предположим противное, и пусть kl^k0 таково, что nk, =
= s— 1 для k'~^k\. Из определения последовательности
моделей Шо, 2R,, ... сразу вытекает, что amft, nft, = am^ n^
и 3Rk, — 3Rk для k'~^kv Так как Шк< не является
препятствием, то ЗА (ЗИй,) совместно с Ф*. Поэтому
существует не более чем счетная модель Эй сигнатуры а',
удовлетворяющая всем предложениям из Ф* и
допускающая а*-обогащение ж такое, что ЭЙ/^^ЭРГ. Не
уменьшая общности, можно считать, что в Ж*
значение терма /s-1 совпадает со значением некоторой
константы at с l^mk. Правильная подмодель Эй'
сигнатуры am +1 s модели Ш* удовлетворяет условиям: fflk ^
^ Ш' и Ж \ as не является препятствием. Тогда для
достаточно большого k2 > h найдется i ^ k2 такое, что
li = mki+l, ri = s, а Щ{~ЗЯ'. Тогда на шаге k2 для этого
i и 9Ий2-1 = аИй, выполнены условия а), б), в). Поэтому
должно быть nk^s> s— 1. Полученное противоречие
доказывает, что nk^s для бесконечно многих k^k0.
Так как Ф* с конечными препятствиями, то для s
существует конечное число конечных моделей %, ..., 3lt
сигнатуры as таких, что конечная модель ffl сигнатуры as
является препятствием тогда и только тогда, когда
9Jj изоморфно вкладывается в ffl для некоторого i^t.
Тогда найдется 63г=>&2 такое, что в
последовательности ^Poi .-., ^*j для любого i^t встречается модель
сигнатуры as, изоморфная 31^ Заметим теперь, что для
конечной модели Ж сигнатуры as условия «ЭИ' есть k'-
препятствие для k' ^ 63* и <<с^' — препятствие»
равносильны. Пусть теперь k^k3 таково, что nk^s. Тогда
модель ЗИ \ а и тем более модель Ж. \ а„ не являют-
ся /г4-препятствиями, следовательно, 3Rk \ oa и вообще
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 351
не является препятствием. Из построения
последовательности 2ЙО, Зйр ... теперь видно, что -nft,^s и
^*, ^ as ^ ^*' t as Для *' ^ К' Лемма и вместе с ней
теорема доказаны. ?
Сделаем теперь несколько замечаний о возможных
расширениях и уточнениях теоремы 1.
Замечание 1. Теорема 1 допускает расширение
на случай бесконечной сигнатуры а со следующими
изменениями. В определении конечности препятствий
нужно требовать, чтобы была конечность препятствий
для любых конечйых обеднений сигнатуры а. А в
условиях теоремы нужно добавить разрешимость
универсальной теории, которая в .случае бесконечной
сигнатуры не вытекает из условия конечности препятствий.
Вместо разрешимости универсальной теории можно
потребовать и меньшего: рекурсивной перечислимости
семейства правильных конечных моделей.
Замечание 2. Скулемовские функции, которые определяются
на модели (ЗЯШ, v), не будут, вооще говоря, рекурсивными, а будут
из к\. Однако можно указать некоторые достаточные условия для
существования конструктивных моделей с рекурсивными скулемов-
скими функциями. Например, назовем Ф* с абсолютно конечным
числом препятствий, .если существует такая конечная
последовательность %, ..., Щ конечных моделей сигнатур оп , .... оп что для
любой конечной модели ЗЯ сигнатуры сг< 2Й является препятствием
тогда и только тогда, когда для некоторого переобозначения
констант {а, н-» a, {i), f, (ai( а, ^ (-> f, (as (i() as ^ ^, s:
{0,1 t — 1} -> {0,1 t — 1} — перестановка) в
соответствующую модель 2Д5, полученную из 2Д, изоморфно вкладывается
некоторая модель SR;, i ^ k, с tii ^ t. В этом случае легко получаем
утверждение: если Ф* с абсолютно конечным числом препятствий,
то существует конструктивная модель (Я$ш, v) сигнатуры а' для
Ф*. Например, легко проверить, чтоформула Крома без равенства
([99]) определяет теорию с абсолютно конечным числом
препятствий.
Замечание 3. Существенным в доказательстве утверждения
в предыдущем замечании является рекурсивность множества
препятствий. Это условие можно ослабить так: если для Ф* семейство
всех препятствий есть Л^-множество, то Т имеет конструктивную
модель с рекурсивными скулемовскими функциями для формул
из Ф*.
Укажем теперь некоторые теоретико-модельные
условия на теорию Т, которые влекут конечность
3S2 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
препятствий для любой предваренной аксиоматизации
этой теории.
Теорию Т конечной сигнатуры о = <Р<> Рп>
Со, ..., Ck> (не содержащей функциональных символов)
назовем V-конечной, если универсальная теория любого
расширения V эГ (той же сигнатуры) конечно
аксиоматизируема (универсальными предложениями).
Теорию Т назовем сильно ^f-конечной, если для любого
конечного множества <cft+i c,> константных
символов теория Т*, определенная теорией Т в языке
сигнатуры о* =^= о U <Са+1, ..., csy, является V-конечной.
Замечание. Из определения легко видеть, что
если теория Т (сильно) V-конечна, то для любого
расширения Г'эГ той же сигнатуры Т (сильно) V-конечна.
Докажем простое утверждение о характеризации
теорий с конечно аксиоматизируемой универсальной
теорией.
Предложение 2. Универсальная теория
непротиворечивой теории Т сигнатуры о конечно
аксиоматизируема тогда и только тогда, когда существует конечная
последовательность fflto> • • • > 2Hs конечных моделей
сигнатуры а такая, что в любой модели fflt сигнатуры а
истинно всякое универсальное предложение теории Т
тогда и только тогда, когда Ш1/ не вложима изоморфно
в Ш ни для какого i ^ s.
Необходимость. Пусть Я — такое универсальное
предложение теории Т, что всякое универсальное
предложение из Т есть следствие Я. Пусть SI имеет вид
V*o ••• V*n Яо(хо, •••> •*")> где ^° — бескванторная
формула. Представим_ 91 в (эквивалентном) виде 89, где
© = Э*о ••• Эх,, ~\ 9to(xi, ..., х„). Бескванторную
формулу ~\%{ха х„) приведем к совершенной
дизъюнктивной нормальной форме, считая
пропозициональными переменными все элементарные формулы, термы
которых только из множества {х0, ..., х„,с0, ..., с*}.
t
Пусть ~| 9Ь^ V 23<; отбрасывая теперь те 93{, которые
не являются диаграммными (определение см.
на с. 309) получим, что S3 эквивалентна формуле
s
V 3*0 • • ¦ Эх„93;, где для каждого / г?С s S3,- есть диа-
<о
§ 4] СКУЛЁМОВСКИЁ ФУНКЦИИ 353
граммная формула некоторой конечной модели fflt/. Без
труда проверяется, что 9 истинна в некоторой -модели Ш1
тогда и только тогда, когда 2Й; изоморфно вкладывается
в Ш для некоторого i ^ s. Следовательно, отрицание 9,
т. е. формула 91, истинно в 2Я тогда и только тогда, когда
2Й< не вкладывается изоморфно в 2Й для любого i ^ s.
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть 2Я0 SKs — конечная
последовательность конечных моделей такая, что в модели 2Й
истинны все универсальные предложения из Т тогда
и только тогда, когда 2Й< не вкладывается изоморфно
в Ш для любого i ^ s. Пусть п — натуральное число,
большее мощности каждой модели 2Я», i ^ s. Для
каждого i ^ s зафиксируем некоторое отображение
V;.- {О, 1 п) -^*-1 ЭЙ; |. Запишем, используя новые
константы ао, ..., а„ и отображение v», диаграмму 2Й/
и возьмем конъюнкцию Щ всех формул диаграммы
D(ffli). Пусть 23= V 23/. Формулу 9 получим, подставив
_ 1 = 0
в 33 всюду вместо а; переменную х,-, i ^ л, и навесив
впереди кванторы существования на все переменные
х0 хп. Из построения очевидно, что предложение 9
истинно в модели 2JI тогда и только тогда, когда 2Й,-
изоморфно вкладывается в 2Й для некоторого ? ^ s.
Следовательно, предложение §1 =^= ~9 истинно в 2Я тогда
и только тогда, когда Эй,- не вкладывается изоморфно
в 2Л для любого i sg: s. Так как предложение S3 есть
3-формула, то §1 эквивалентно V-предложению %'.
Итак, мы нашли V-предложение SC, которое истинно
в модели Ш тогда и только тогда, когда в Ш истинны
все универсальные предложения теории Т.
Следовательно, все универсальные предложения из Т выводятся
из этого универсального предложения 91'. Остается
только заметить, что Я'еГ. Действительно, пусть Ш1 —
произвольная модель теории Т. Тогда в 2Я истинны все
(в том числе все универсальные) предложения Т.
Поэтому в Ш истинно и 91'. Следовательно, 91' истинно во
всех моделях теории Г и 1'еГ. G
Следующее предложение позволит
переформулировать предыдущее:
Предложение 3. Модель Ш изоморфно вложима
в некоторую модель Ш' теории Т тогда и только тогда,
354 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
когда в Зй истинны все универсальные предложения
теории Т.
Пусть Зй'— модель теории Г и Зй ^ Зй'. Если 91 —
универсальное предложение из Т, то §1 истинно в 1', а в
силу универсальности и в Зй. Для доказательства
обратного утверждения достаточно показать совместность
Ги^ЧЗЙ). Если T[)D(Wl) не совместно, то для
некоторого конечного подмножества предложений F = Z) (Зй)
из Г выводимо отрицание конъюнкции элементов из
F(т \- ~] (&F)). Пусть ст„, ..., с„п—все константы из
F, не принадлежащие о. Тогда для подходящих
переменных jco, ..., хп справедливо Т \- ~]&>F', где F'
получается из F подстановкой всюду вместо ст переменной
Xi. Так как Г состоит только из предложений, то
Г I— Vjco ... Vxn &> F'. Следовательно, универсальное
предложение Vjc0 ... Чхп~]&Р' должно быть истинно
в Зй, однако в Эй истинно отрицание этого предложения
Эхо • • • 3xn&F', что легко видеть, если переменным
jco, ..., хп приписать в качестве значений значения
констант сто, .... стп. D
Предложение 2'. Универсальная теория
непротиворечивой теории Т конечно аксиоматизируема тогда
и только тогда, когда существует конечная
последовательность конечных моделей Зйо, ..., Зйз такая, что
произвольная модель Зй вложила в некоторую модель Зй'
теории Т тогда и только тогда, когда Зй< не вложима
изоморфно б "Зй ни для какого i ^ s. ?
Теорема 2. Если теория Т сильно V-конечна, то
для любой системы предваренных аксиом Ф для Т
система Ф* с конечными препятствиями.
Будем пользоваться обозначениями, введенными
перед теоремой 1. Пусть m — произвольное натуральное
число, 0m = 0U<a<>, •-.. am-i>U<u>. ---. <m-i>, Tm —
теория сигнатуры om, определенная теорией Т. Тогда
Тт V-конечна. Рассмотрим теорию V сигнатуры о* =
= a/U<ao,а\ ••-> = tfU</o,/i. ...>U<ao,аь •••>.
определенную системой аксиом Ф*. Формулы сигнатуры ат
можно рассматривать и как формулы сигнатуры о*, если
«вспомнить», что константа U есть некоторый
постоянный терм сигнатуры а*. Сделав гакое отождествление,
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 355
рассмотрим множество Тт всех предложений сигнатуры
ат, которые лежат в Т'. Легко проверяется, что Тт есть
теория в языке сигнатуры ат (т. е. из Тт \-% 9t—
предложение сигнатуры ат, следует, что 5t e Тт).
Лемма 2. Конечная модель Ш1 сигнатуры ат есть
препятствие тогда и только тогда, когда диаграммная
формула 9tgn модели Ш в сигнатуре ат не совместна
с теорией Тт.
Пусть модель Tt есть препятствие, тогда Ф* Ь- ~| 3 А (№)•
Кроме того, очевидно, I— 51ад "~* ЗЛ (9№), следовательно,
Ф* Ь- 1 51», П Яв е Г и П «в s Тт.
Наоборот, пусть Тт \-~\ 5lm, тогда (по определению
теории Тт) Ф* .1— ~~1 31дд. Обычным рассуждением,
позволяющим заменить константы а о, ¦¦¦, ат-\ на"
подходящие переменные х0, ..., хт-\ (причем и в термах to, ...
..., tm-\), получим, что Ф* |- VxQ ... Vxm_x ~| %'щ.
Последняя формула эквивалентна формуле 3А(9И),т. е.
Ф* и ЭА(ЗК) не совместны, ЗЯ есть препятствие. П
Из определения Тт следует, что Тт э Тт. Так как Тт
V-конечна, то универсальная теория Тт конечно
аксиоматизируема. По предложению 2' существует конечная
последовательность ЭЯ0, ..., S8ls конечных моделей
сигнатуры ат такая, что произвольная модель Ш
сигнатуры ат не вложима ни в какую модель теории Тт
тогда и только тогда, когда Wli изоморфно вложима
в Ш для некоторого / ^ s. По лемме конечная модель 2Я
сигнатуры ат не вложима ни в какую модель теории Тт
тогда и только тогда, когда Ш есть препятствие.
Таким образом, для любого т существует конечная
последовательность Шй WtSm конечных моделей
сигнатуры ат такая, что конечная модель Ш сигнатуры
от есть препятствие тогда и только тогда, когда %¦
изоморфно вложима в Зй для некоторого i ^ s.
Следовательно, Ф* имеет конечные препятствия. ?
Следствие. Если Т сильно V-конечна, а Т —
рекурсивно перечислимое расширение Т, то Т' имеет
конструктивную модель. О
Для того чтобы иметь возможность проверить
выполнимость условий теоремы 2, изучим сначала понятие
нётеровости для предупорядоченного множества.
356 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Пусть 9* = <Р, ^> — предупорядоченное множество,
т. е. модель теории Гро, определяемой аксиомами:
РО 1.
РО 2. VxVi/Vz (х < у & у < 2 -> * < г).
Фильтром в 0> назовем произвольное непустое
подмножество /sP такое, что *е/, х ^ г/=> г/ е /.
Базисом фильтра J назовем всякое подмножество
5s/ такое, что /= U 6, где Ь =^= {х \ х е Р, &<;*}.
Предупорядоченное множество 38 назовем нётеро-
вым (или со свойством конечности базиса), если любой
его фильтр имеет конечный базис.
Предложение 4. Для предупорядоченного множества &
следующие условия эквивалентны:
1. 0> нётерово. .
2. Для любой последовательности а0, аи ... элементов из Р
существуют i < / такие, что ai ^ а/.
3. Не существует бесконечного подмножества Р, состоящего из
попарно не сравнимых элементов, и любая убывающая
последовательность а0 ^ а\ "^ ... элементов Р стабилизируется, т. е.
существует ioEti такое, что ak ^ ak> для всех k !> fe0.
1=Ф-2. Пусть & нётерово, ао, аи ... — произвольная
последовательность элементов Я. Фильтр /^ U йл имеет конечный базис
лею
Б = {bo 6*}; пусть ni е м таковы, что ап ^6 г, i^k, тогда /а„ ,...
..., ап \ также является базисом /. Пусть n>max{n0 nk};
one/= U Яп >следовательно, апейп для некоторого i^k, т. е.
аП1<ап и~пг<п-
2=*- 3. Очевидно.
3«*-1. Пусть & удоплсгворяет условию 3 и / — произвольный
фильтр &. Рассмотрим множество В, состоящее из всех
минимальных элементов множества /, т. е. такцх элементов 6eV, что из
ue/eu<( следует b ^ а. Из условия стабилизации убывающих
последовательностей легко следует, что для любого ое/
существует бев такой, что b < а, т. е. В является базисом фильтра /.
Предпорядок < определяет на Я отношение эквивалентности г) так:
{а,Ь) е г] =?=а^6 и Ъ ^ а. Из каждого класса ^-эквивалентных
элементов В пыбираем по одному элементу, полупаем подмножество
8'sB попарно не сравнимых элементов. По условию 3 В' конечно.
Так как любой элемент из В ^-эквивалентен некоторому элементу
из В', то В' также является базисом /. Итак, / имеет конечный
базис. П
Следствие. Если 0> — нётерово предупорядоченное
множество, то для любой последовательности по, аи ... элементов Р суще-
§ 4) СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 357
ствует такая последовательность щ < П\ < ... натуральных чисел,
что ая,<аЯ|<...
Элемент а* назовем начальным элементом последовательности
по, аи ..., если нет такого m > k, что a* sj am. Число начальных
элементов последовательности по, at, ... должно быть конечным, так
как в противном случае последовательность а^, а^ k0 < kl <
<..., всех начальных элементов будет такой, что ~1 fak <aft \
для i < /, что невозможно для нётерова &>. Итак, существует s e со
такое, что а„ не является начальным элементом для любого я ^ s,
т. е. для любого п~^ & существует m > л такое, что an ^ am.
Теперь уже очевидно, как строить нужную последовательность
an,<an,< ••• ?
Для дальнейшего условимся последовательность ао, а\, ...
элементов предупорядоченного множества fp называть хорошей, если
существуют i < ; такие, что at sj Я/, и плохой в противном случае.
Тогда эквивалентность условий 1 н 2 предложения 4 может быть
переформулирована так:
Предложение 4'. Предупорядоченное множество &
является нётеровым тогда и только тогда, когда любая последовательность
а0, Яь ... элементов из Р является хорошей. ?
Лемма 3. Если & и 9>' — нётеровы предупорядоченные
множества, то и прямое произведение 3>У,3>' также является нётеровым.
Пусть (а0, Яо)> \яр ai)> • • • — произвольная последовательность
элементов из Я X Р ¦ По следствию предложения 4 существуют
такие натуральные числа л0 < п1 < ..., что аП)<аП| s^ ...
Рассмотрим последовательность. anj, ащ, ...; так как &' нётерово, то
существуют I < I такие, что а'п ^ ап , но тогда и (ап , а'п ^ ^ (ап t
а'п }ш, т. е. последовательность (aQ, a^, (alt а^, ... является
хорошей. Р
Пусть 9> = (Р, sgj) —предупорядоченное множество. На
множестве Sa(P) всех конечных подмножеств Р зададим предпорядок
^ следующим образом: для А,В eSa {P) А ^ В ^существует
одно-однозначное отображение f: A-+B такое, что a^f(a) для
всех as Л. Через S(?P) обозначим предупорядоченное множество
<S.(*), О-
Лемма 4. Если & — нётерово предупорядоченное множество,
то и S(ff>) также нётерово.
Предположим, что лемма не верна. Выбираем Ao^S(t){P) так,
что Ао есть первый член некоторой плохой последовательности
элементов из Sa,{P) и число элементов Л о, т. е. \А0\, наименьшее
возможное. Затем выбираем Ai е Sa (Р) так, что Ао, Ai — два первых
элемента некоторой плохой последовательности элементов из S<b (P)
и |/4,| наименьшее возможное. Продолжая таким образом,
находим последовательность Ло, Ai, .... которая, очевидно, является
плохой. Так как эта последовательность плохая, то все At не пусты
(так как 0 sg: А для любого A eSB(P)); выберем в каждом
множестве At по элементу dt и полагаем В;=г*=/4;\ (at), iee, Если
существует плохая последовательность Bw Bai,... такая, что ^
358 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
i е= со, то последовательность
AQ, Alf.-.., Ля,_!, ВПа, Bni, ...
также должна быть плохой (так как At sg: S/ влечет, что Ai sg: A/).
Но это противоречит выбору АП:> (так как | Sm | < | АПа |).
Следовательно, не может существовать такой плохой последовательности
Вп, Bni что По < tit, ieffl. Но тогда предупорядоченное
множество &=?=({Bi\i e= ш), г?|) ?S(^) является нётеровым;
действительно, если последовательность Вщ, Sni, ... является плохой и если
nk^tn'w {«о, "ь • • •}, то, полагая то=^ и», ..., т»=^= n*+s, ..., будем
иметь последовательность Smj, Вт, . ...которая есть
подпоследовательность последовательности Вп, ВП{, ... и, следовательно, будет
плохой; кроме того, то =SJ mi для всех / е= со, что невозможно. По
лемме 3 & X SS является нётеровым, следовательно, для
последовательности (по, So), (яь Si), ... должны существовать i'</S(o
такие, что (a;, S;) ^ (а/, S,), т. е. что щ ^ at и Bi <: В,; но если /:
Bt-+Bj — отображение, такое, что b ^ f(b) для всех Ь sB[, то
расширяем / до g: At-*Aj, полагая g{ai) =^a/(Ai = Bt U {а;} и A/ =
= S/ U {a/}), тогда a sg; g(a) для любого a e= -4(, т. е. Л; jg: А/;
получаем противоречие. ?
Пусть & = <P, <;> — нётерово предупорядоченное
множество, а т — конечное дерево, т. е. частично
упорядоченное множество, удовлетворяющее аксиоме
tr =^ VxVyVz (x^.z&y^.z->xf^.y V у f^.x). Всякое
отображение /: т->Р (вместе с т) назовем деревом над &.
Если f0: т0—*Р и fi: ti->P — деревья над ^, то жо«о-
морфизмом из <то, fo> в <ть fi> назовем всякий
мономорфизм ц дерева т0 в дерево ti такой, что fo(v)^ f\(\xv)
для любой вершины v дерева т0. Если существует
мономорфизм из <т0, /о> в <Ti,fi>, то будем писать <т0,/о>^
<!<¦*],/]>• Ясно, что отношение ^ является предпоряд-
ком на множестве Т{0>) всех конечных деревьев над &.
Теорема 3. Предупорядоченное множество (Т(&*),
<; > нётерово.
Сначала докажем теорему для подсемейства Го(^) семейства
Т(!?), состоящего из (конечных) деревьев над ^ с наименьшим
элементом. Для непустого дерепа (т,}) 'е=71п(^>) через S)(t,f)
обозначим конечное множество деревьев над ^ из Го(^), которые
получаются по следующему правилу: пусть а0 —наименьший элемент т и
ai а* — все минимальные элементы дерева т \{ао}, пусть с' ^±=
=^={о|ает, a,-sga}, i= I, ..., k, и fl^bflx'; тогда 3>(x,f)^ {(т1,
/') (т*, f*)}. Заметим сразу, что | (т,/) | =^ |т| > |т'| для всех
i= 1 k. Конечные множества 3)(х, f) можно считать
элементами предупорядоченного множества S(Tp(!?)). в частности, имеет
смысл говорить о предпорядке ?>(T,f) г?| 3)(x',f).
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 359
Предположим теперь, что теорема не верна для Т0AР).
Выбираем дерево (т0,/о) над & так, что (то, /о) —первый члеК некоторой
плохой последовательности и | (то, h) I наименьшее возможное; далее
выбираем дерево (ti, /i) над Ф так, что (то, /о), (ть /i) —два
первых члена некоторой плохой последовательности и | (ti. ft) I
наименьшее возможное, и т. д. Получим, очевидно, плохую
последовательность (то, /о) > (ть fi), • ¦ • деревьев над 3>.
Если nt s ш и (т^. {'^ е 2> (хп , \п \ I e ш, таковы, что no^nt
для всех /<=со и последовательность ^Tg, /g)> (Ti> h}> ••• деревьев
над & плохая, то последовательность
(Ч fo) <т«.-1> ^-1>. <т'о. f'o)> <Ti> О' ••*
также должна быть плохой (так как из (тг, f{y ^(x'j, fj), очевидно,
следует, что (Х(, /Л^\т«/ '1//)- ^° это противоречит выбору
<тпл» U>> так как I <Tn»> ^n:> I > | <то. ^о> |- Отсюда следует, что
Ф =?= / U &> (тп, fn)> ^\ — нётерово предупорядоченное множество
(действительно, если бы существовала плохая последовательность
(Tq, fg), /т(, fj) то, выбирая наименьшее п, для которого су-
ществует такое k е ш, что ^Tfc, /о е 2) (тч, /„), мы получили бы
плохую последовательность (т^, f'^ (т^+1, ^+1) которая
удовлетворяла бы сформулированным выше условиям). По
лемме 4 S(S) —также нётерово предупорядоченное множество, а по
лемме 3 9> X 5(S) —нётерово предупорядоченное множество.
Рассмотрим последовательность элементов из ЭР X 5S)
W>. <Pi. 2>(ti. Л» (•)
где pi — значение функции /j на наименьшем элементе дерева Xi, iE
е w. Последовательность (*) должна быть хорошей, следовательно,
pi sg: р/ и 0(Xi,fi) ^ ?>(т/,//) для некоторых i < /. Но если р,- ^ ру
и 3> (Т(,/;) ^ ib(T/, f/), то легко устроить вложение g: Т(->-Т/ такое,
что g переводит наименьший элемент в наименьший и fi (a) ^fi{g(a))
для всех aeti, т.е. (тг,/,) ^ (т/>//)- Это противоречит тому, что
последовательность (то, /о), (ti, /i), • • • плохая. Следовательно,
TqIJP) нётерово.
Заметим теперь, что ТC>) изоморфно S(Ta{3>)) и, следовательно,
по лемме 4 ТC>) нётерово. П
Пусть Т — теория сигнатуры а. Через МФ(Т)
обозначим множество всех конечных моделей сигнатуры а,
основное множество которых есть начальный отрезок
натурального ряда и которые являются подмоделями
некоторых моделей теории Т. На множестве МШ{Т)
360 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ 1ГЛ. 6
определим предпорядок ^ так: 9Л0 ^ ?Wi тогда и только
тогда, когда 9Л0 изоморфна подмодели Зйь
Предложение 5. Если универсальная теория
теории Т конечно аксиоматизируема и (Ма(Т), <;> — нёте-
рово преду пор ядоченное множество, то теория Т
является V -конечной.
Пусть ГэГ — расширение теории Т; если Т
противоречива, то она задается универсальной аксиомой
Vx(x Ф х). Пусть V непротиворечива. Тогда Ma(T')s
S.Ma(T); рассмотрим множество J ^ Ма(Т)\Ма(Т').
Если У = 0, то универсальные теории Г и Г
совпадают, а универсальная теория Т по условию конечно
аксиоматизируема. Если / ф 0, то легко проверить,
что / — фильтр в (МФ(Т), ^>. Действительно, если
9Л е /, то 9Л не вложима ни в какую модель для Т, но
тогда и любое расширение 9Л также не вложимо ни
в какую модель из Т. Из нётеровости (Ma(T),^Z}
следует, что существует конечная последовательность
моделей Зйо, ..., ЭЛа из / такая, что конечная модель 2Й из
Л!,,,, G") не вложима ни в какую модель для V (т. е.
9Л е/) тогда и только тогда, когда найдется t^ k
такое, что 9Л,- изоморфна некоторой подмодели 9Л.
По условию универсальная теория теории Т конечно
аксиоматизируема, поэтому по предложению 2'
существует конечная последовательность конечных моделей
Ко, ..., 9lj такая, что произвольная модель 9Л
изоморфно вложима в некоторую модель теории Т тогда
и только тогда, когда 31; не вложима изоморфно в 9Л
для любого i ^ s. Рассмотрим теперь
последовательность %, ..., %, Зйо, ..., 9Л*; из отмеченных выше
свойств последовательности Зйо, ..., 9Ла и замечания о
том, что произвольная модель 9Л вложима в некоторую
модель теории тогда и только тогда, когда всякая
конечная подмодель 9Л вложима в подходящую модель этой
теории (это легко вытекает из предложения 3),
вытекает следующее:
Произвольная модель 9Л вложима в некоторую
модель теории Т' тогда и только тогда, когда ни одна из
моделей конечной последовательности Э1о, • •., %, ЭЛо, •..
..., 9Й* не вложима в 9Л.
По предложению 2' универсальная теория теории Т
конечно аксиоматизируема. П
§ 4] СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 361
Замечание. Из результатов статьи [204] следует, что если Т
универсально аксиоматизируема, то справедливо и обратное к
предложению 5 утверждение:
Если Т ^-конечна, то (Ма (Г), ^> — нётерово пред упорядоченное
множество. ?
Укажем теперь пример сильно V-конечной теории.
Пусть ^ — символ двухместного предиката; напомним,
что tr = V*Vz/Vz(*<z&#<z->*<#V y<x). Пусть
Ts, sec»,— теория сигнатуры aa=^(^.,Pl,...,Pl-i),
определенная аксиомами 7Voil{tr} в исчислении
предикатов с равенством.
Предложение 6. Теория Ts сильно ^/-конечна.
Заметим сначала, что достаточно доказать V-ko-
нечность Ts для любого s е со. Действительно, если Tl
получается из Ts расширением сигнатуры сг, с помощью
констант с0 c*_i, то стандартная элиминация
констант с помощью одноместных предикатов позволяет
считать, что П есть расширение теории Ts+k. Поэтому
из V-конечности Ts+k следует V-конечность Tl. Итак,
остается доказывать V-конечность теории Ts для
любого seio. He уменьшая общности, можно считать,
что s > 0.
Пусть <со, <;> — множество всех натуральных чисел
с естественным порядком. Ясно, что <со, ^> — нётерово
упорядоченное множество. Пусть ^1^<со,
^>2S—декартова степень <со, ^>; тогда ^i также нётерово. Пусть
X ^ Х\ U {*} — множество, состоящее из * и
упорядоченных наборов (*0, ..., x2s_:) натуральных чисел с
частичным порядком <!, определенным так: * и (*0, ...
..., дй*-1 ) несравнимы, а для (*0, ..., х2$_,), (tj0, ..., у2$_ ^s
(х0 x2S_,) < (у0, ... у2,_х) ^ V/ < 2s (xt <yt).
Тогда {X, sg:) — нётерово частично упорядоченное
множество.
Пусть SW = <М, ^,Ро Ps-i) — конечная модель
теории Ts. Построим по 2Я дерево t($R) над X по
следующему правилу.
Зафиксируем нумерацию /0 12$_1 всех
подмножеств множества {0,1. •••. 5—1}. На множестве М
362 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
зададим отношение эквивалентности ti так: (х,
^х^у&у^х. На множестве М' -ф М/т\
классов эквивалентных элементов предпорядок <;,
заданный на М, индуцирует частичный порядок, который
будем обозначать ^'. Добавим к М' новый элемент а
и доопределим на М'[) {а} порядок <;' до порядка <:"
так: а ^ "т для любого т е М' (J {а}; т <: "т! =?=
^ т<^.'т' для т, т'^М'. Нетрудно проверить,чтот=^
=^=<М'и {а}, ^"> — дерево. Отображение f: M'\J{a}->
->Х определим так: f(a)^*; f(m)^(xo,...,x2S_l)
для meM', где для i < 2s xt — это число элементов г
множества т = М таких, что {/|/ < s, 24f= P,(z)} = /,¦;
Лемма 5. Если 24 и 24' — конечные модели
теории Ts, то 24 изоморфно вкладывается в 24' тогда и
только тогда, когда /B4)^/B4') в <Г(Х),<>.
Непосредственно проверяется, что изоморфное
вложение 24 в 24' естественно индуцирует мономорфизм из
/B4) в ^B4'). Обратно, если ц — мономорфизм из ^B4)
в /B4') (==<т/,/'», то отображение ср: |SM|-v|SW'| строим
так, чтобы
1) [ф(т)],'<ц(Ю для ms|aX|;
2) ф разнозначно;
3) если га=\Ж\ и Iz^{i\i<s, Ж\=--Р,(г)}, то
Возможность построения такого <р вытекает из
условий f([m]^)< f'iv-iWr])) Для me \Ш\. Проверка того,
что ф есть изоморфное вложение 24 в 24', очевидна. ?
Из леммы и теоремы 3 теперь вытекает, что не
существует бесконечной последовательности 24о, ..., 24П, ...
конечных моделей теории Ts такой, что ни одна из них
не вложима в другую. Замечая теперь, что Ts конечно
универсально автоматизируема, по предложению 5
имеем, что Ts V-конечна. ?
Следствие 1. Любое непротиворечивое
рекурсивно аксиоматизируемое расширение теории Ts имеет
конструктивную модель. ?
Пусть Га. —теория сигнатуры (Та,^^; Ро, Р\, ...)
определенная аксиомами РО 1, РО2, tr.
§ 4J СКУЛЕМОВСКИЕ ФУНКЦИИ 363
Следствие 2. Любое непротиворечивое
рекурсивно аксиоматизируемое расширение теории Tf^ с
разрешимой универсальной теорией имеет конструктивную
модель. D
Замечание 1. В работе [146] получен результат, который
показывает «оптимальность» условия рекусивной
аксиоматизируемости в следствии 1:
Существует д!;- расширение теории деревьев, не имеющее кон-
структивизируемых моделей. ?
Интересно, что для теории линейного порядка эта граница
повышается на одну ступеньку в иерархии Клини — Мостовского. А
именно, в этой же работе получены следующие результаты:
1. Любое 2^- расширение теории линейного порядка имеет
конструктивную модель. ?
2. Существует Дд-расширение теории линейного порядка, не
имеющее конструктивизируемых моделей. ?
Замечание 2. Без труда можно показать, что
элементарная теория булевых алгебр является сильно
V-конечной. Однако для применения к конструктивным
булевым алгебрам это не так интересно, потому что
справедливо более сильное утверждение:
Любое непротиворечивое расширение элементарной
теории булевых алгебр имеет сильно конструктивную
модель.
Для теории деревьев, даже для теории rLo линейно
упорядоченных множеств, утверждение о существовании
сильно конструктивной модели у всякого
непротиворечивого рекурсивно перечислимого расширения 7\о
несправедливо.
Укажем пример такой теории.
Пусть п > О—натуральное число, через %„
обозначим следующее предложение:
ЗлгоЭл^Эг/о ... Эг/„ (х0 < хх & Эг (z < х0) & Эг {х{ < г) &
& V«3u (и < хо -* и < v & v < х0) & V«3i> (xi < и -*•
п— 1
->л:! <v&.v <«)& & г/г <yi+i&x0< уй&уп<х{&
10
&Vz(xo<z&z<xl->\/z =
364 КОНСТРУКТИВНЫЙ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Пусть А и В — два рекурсивно перечислимых
рекурсивно неотделимых подмножества о; тогда теория,
определяемая системой аксиом LOU {%„\п^ А}[]
U (~121я|я s В}, будет непротиворечивым рекурсивно
перечислимым расширением LO. Если бы (ЗЙ, v) была
сильно конструктивной моделью этой теории, то
рекурсивное множество С^ {п\2Я\=%„} отделяло бы А и В,
т. е. Л = С, С П В = 0, что невозможно.
Покажем, что теория ТРО предупорядоченных множеств, даже
теория частично упорядоченных множеств, ие является V-конечной.
Действительно, если рассмотреть последовательность конечных
частично упорядоченных множеств,
то легко проверяется, что ни одно из них не вложимо изоморфно в
другое. Следовательно, (МФ(РО), ^) не нётерово. Поэтому по
замечанию к предложению 5 теория частично упорядоченных множеств
не является V-конечной.
Оказывается, что можно указать и рекурсивно перечислимое
непротиворечивое расширение Гро, которое не имеет конструктивных
моделей. Пусть 28о, 2Дь ... — последовательность указанных выше
моделей. Через 35„ обозначим формулу, которая истинна в частично
упорядоченном множестве 9 = (Р, «^) тогда и только тогда, когда
модель & содержит подмодель, изоморфную модели 2Й„. Пусть А —
простое не гиперпростое множество (см. [11]) и {Fo, F\, ...} —
сильно перечислимая последовательность попарно не пересекающихся
конечных множеств такая, что Fn(] (&\А) ф 0 для любого песо.
Рассмотрим систему аксиом: { 1 S3n I я еЛ}11{ V 33H«s<°b
I F
Теория Та, определенная этой системой аксиом, является
рекурсивно перечислимым расширением 7W Действительно,
непротиворечивость Та следует из того, что существует модель Шл для Та,
определенная так: Ш ,ч*= U Зй — дизъюнктное объединение мо-
л леа\4 "
делей 2Л„, пфА.
Покажем, что ТА ие имеет конструктивных моделей. Если (Ш,
v) — конструктивная модель Та, то из рекурсивной перечислимости
3-теории SR следует, что множество С ч*= {я]Ш!„<ЗЯ}= (п|!й :¦= 8Э„}
рекурсивно перечислимо.
Отсюда следует, что С Л А = 0, т. е. С s to \ А. Так как
множество А просто, а С рекурсивно перечислимо, то С конечно. Но
для всякого я существует (ef, такое, что ЗЯ^З^-Так какР„П/?П'=»
= 0 для я Ф я', то С бесконечно. Получили противоречие.
Следовательно, Та не имеет конструктивных моделей.
t 5] СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЁ МОДЕЛИ 365
§ 5. Сильно конструктивизируемые модели
Как было обнаружено в § 2, теория Т имеет сильно
конструктивизируемые модели тогда и только тогда',
когда Т имеет полное разрешимое расширение. В
настоящем параграфе для произвольной полной
разрешимой теории Т изучим вопросы о возможности
реализации и опускании типов в сильно конструктивизируемых
моделях, о сильной конструктивизируемости
специальных (простой, однородной, насыщенной) моделей
теории, о «числе» (типов изоморфизма) сильно
конструктивизируемых моделей и о «числе» сильных конструк-
тивизаций сильно конструктивизируемой модели.
Начнем с вопросов реализации типов. Совершенно
очевидно, что любой (конечный) тип р, реализуемый
в сильно конструктивизируемой модели, должен быть
рекурсивным (т. е. (см. § 1) множество гёделевых
номеров формул из р рекурсивно). Справедливо и
обратное утверждение.
Предложение 1. Всякий рекурсивный тип р
теории Т реализуется в некоторой сильно
конструктивизируемой модели теории Т.
Действительно, если р есть n-тип, с0, ..., сп-\ —
константные символы, не входящие в сигнатуру а теории Т,
то 7V^[p]*0'¦'¦'*"-' —полная разрешимая теория
сигнатуры aU<Co, ..-, с„_1>. Теория То имеет сильно кон-
структивизируемую модельЭДо, тогда 5Ш0 Г а—сильно кон-
структивизируемая модель теории Т, в которой
реализуется тип р (значениями констант с0, •••, сп-\). ?
Вопрос о реализации в сильно
конструктивизируемой модели теории Т даже двухэлементного множества
рекурсивных типов может решаться отрицательно, как
показывает следующий пример.
Пример 1. Пусть o = (Pl Р\, ...; Qo, Q\, ...; До,
R\, ...}. Рассмотрим универсальную теорию То
сигнатуры а, определенную следующими аксиомами:
*1. Vjc-1(Po(*)&Qo(jc));
2„. Vx[(Pn+l(x)-+Pn(x))&(Qn+i(x)-+Qn(x))], пе=щ
3„. VxV*/(#„(*. у)-+Рп(х)&ЯпШ «е<п-
Для формулировки следующей группы аксиом
потребуется одноместная частично рекурсивная функция
366 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
f, принимающая значение только из {0,1} и не
имеющая общерекурсивного продолжения. Последнее
условие равносильно тому, что рекурсивно перечислимые
множества Мо =^= {«!/(«)= 0} и Mi ч± {n\f(n) = 1}
рекурсивно не отделимы. Такие функции существуют;
например, диагональная функция ЫП. (и, п) для
двуместной частично рекурсивной функции П, универсальной
для класса всех одноместных частично рекурсивных
функций, принимающих значение из {0, 1}.
Зафиксируем для дальнейшего некоторый «способ вычисления»
функции f, а именно сильно вычислимую
последовательность конечных функций f° ^fl *= ... такую, что
f= U /*>' не уменьшая общности, будем предполагать,
что для k ^ s k не содержится в 6/s — области
определения функции fs.
Следующей группой аксиом будет:
для k такого, что fs(k)= 0,
4k. VxVy (Ps (x) & Qs (y) -> Rk (x, y));
для k такого, что fs(k)= 1,
5ft. VxVy (Ps (x) & Qs (y) ->~\Rk (x, y)).
Справедливо следующее утверждение (см. [74]):
Теория То имеет модельное пополнение 7Y, Т\ —
полная разрешимая теория.
Теория Т\ имеет два рекурсивных 1-типа р и q,
которые однозначно определяются условием:
Рп(х0) е р; Qn(х0) еq для любого «ев.
Покажем, что не существует конструктивизируемой
модели теории Т\ {даже теории То), в которой
реализовались бы оба типа р и q. Если бы такая модель Ш1
существовала, то для элементов ао и а\ из 9Й,
реализующих типы р и q соответственно, множество R ^
=?= {«|2Л|= Rn{a,o, a\)} было бы рекурсивным. Покажем,
что M0^R и Mif\R =z 0. Действительно, если п^М0,
т. е. если f(n) = 0, то fs{n) = 0 для некоторого s; тогда
но аксиоме 4„ должно быть Ш11= Ps(a0)& Qs(ai) -*¦
-*-Rn{a<), ai); но посылка верна, следовательно, Ш1И
Н Rn(ao, а\), т. е. п е R. Если п е Mi, т. с. если f (п) =
= 1, то fs(n)= 1 для некоторого s; тогда из аксиомы 5П
§ 5) СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 367
следует, что Ш\= ~\Rn{a0, сц), т. е. nei?. Следователь-
но, рекурсивное множество R отделяет множества Мо
и М, что невозможно по выбору функции /.
Замечание. Построенная теория Т\ есть также пример
полной разрешимой теории, у которой никакая рекурсивно
насыщенная (см. книгу [20]) модель не является конструктивизируемой.
Вопрос об опускании типов решается более просто.
Ясно, что для существования сильно
конструктивизируемой модели, опускающей некоторое множество 5
неглавных типов теории Т, нужно накладывать
определенные условия эффективности на множество 5.
Сделаем сначала отступление в общую теорию
нумераций.
Пусть @ = (S, v) — нумерованное множество;
подмножество SoSS назовем S-Ks?, П?)-подмножеством ®,
если существует R ? со такое, что R е 2° (S?, П?) и
vR = S0.
Лемма 1. Если нумерация v цилиндрическая, то
любое ^-подмножество © является Щ-подмножеством ©.
Напомним ([4]), что нумерация v называется цилиндрической,
если она изоморфна своему цилиндру c(v), т.е. нумерации S,
определенной так: c(v)=?=vr, где г—канторовская функция. Так как по
условию леммы v и c(v) изоморфны, то существует общерекурсивная
перестановка / такая, что c(v) = v/.
Пусть R ? <а и JJe j"; тогда существует трехместный
общерекурсивный предикат S такой, что
п <= R •*> Зх Vy S (х,у,п).
Пусть R0^{n\yfyS(In, у, гп)}; из определения видно, что
Ro г П,. Покажем, что vR = c (v) 7?0. Пусть п е R, тогда
существует такое ш, что WyS (m, у, п): отсюда с (tn, n)eRonc (v) (с (m, я))=
= \п\ следовательно, vR ? с (v) 7?0- Пусть п е 7?0; тогда VyS (in, у, гп)
и HxVyS (х, у, гп); отсюда теЛ и vrn — с (у) п; следовательно,
с (v) Ro^vR и vR = с (v) 7?o-
Далее, vR — c (v) 7?0 = vf G?0); так как 7?0 s П°, a f —
общерекурсивная перестановка, то / G?0) е IlJ. ?
Всякому рекурсивному типу р теории Т сопоставим
рекурсивное множество G{p) гёделевых номеров
формул из р. Семейство (рекурсивных) типов S назовем
(?, иТ)-семейством, если множество G E)^{G (p) \ p^Sj
368 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ.. в
является 2° B^, П°)-подмножеством нумерованного
множества П = C1, я); если S — 2°-семейство, то S назовем
вычислимым семейством.
Следствие. Семейство Sm всех конечных типов,
реализуемых в некоторой сильно конструктдвизируемой
модели 2Я, является вычислимым.
Действительно, пусть v: <о—*\ЗЯ\— сильная конструк-
тивизация, vm: ©-»¦ U ©" — эффективная нумерация
леи
всех кортежей ([4], § 2 введения); для лев такого,
что vm(n)=<mo, ..., rrik-\), полагаем
xft_i)|<p — формула сигнатуры ст,
Так как EB?,v)— сильно конструктивизируемая модель,
то нумерация ri.y->G(pn) вычислима; следовательно,
G (рп) = Щ(„) для некоторой общерекурсивной
функции f; если R ^ р/, то G (SB) = nR, т. е. G (SB) - S,°-
подмножество Я, а 5^ вычислимо. ?
Предложение 2. Для всякого 2%-семейства S
неглавных типов теории Т существует сильно
конструктивизируемая модель теории Т, опускающая все типы
из S.
Используя хорошо известный факт, что постовская
нумерация я является цилиндрической, и лемму 1,
будем считать, что 5 является Щ- семейством, т.е.
существует такое П°-множество U S о, что U е Щ и яС/ = G (S).
Пусть R — двуместный общерекурсивный предикат
такой, ЧТО ДЛЯ flGffl
net/<=>> Vx/?(x, n).
Для любой формулы ф вместо ?(<р)еяп (?(ф) — гёде-
лев номер ф) будем просто писать ф е кп.
Для простоты рассмотрим случай, когда все типы из
5 являются 1-типами. Это ограничение, как будет
видно из доказательства, не является существенным.
Отметим следующий факт:
Для любого п е © и для любой формулы ф
(сигнатуры а) с одной свободной переменной. х0 можно
эффективно обнаружить наличие одного из следующих
§ 5! СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЭИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 369
случаев {которые не являются, вообще говоря, взаимно
исключающими):
1. пф1); 2. феяв; 3. Пфеяп.
Действительно, если net/, то имеет место случай 2
или 3, что можно обнаружить, вычисляя постепенно яп;
если же п ф. U, то это тоже обнаруживается эффективно
(n&U<*3y-\Rti,n)). D
Пусть ф0, фь ... — эффективное перечисление всех
предложений сигнатуры о U <Со, си .. .>. Будем
эффективно строить по шагам конечные множества формул
Г„ следующим образом (Г-i =?= 0):
Шаг 2п. Бели Ггп-i U {фп} совместно с Т, то
полагаем Г2п =?= Ггп-i U {фп}» когда ф„ не начинается с
квантора существования, и Г2п^Г2п_, U {ф„, У'п(сГ)}' когДа
Фп = Эд:ф^(д:) и г — наименьшее натуральное число
такое, ЧТО Ст Не ВХОДИТ В формулы ИЗ Г2п-1 U {фп}-
Если Ггп-i U {фп} не совместно с Т, то Г2п =^= Г2п-1 U
U ПФп}.
Шаг 2п+1. Пусть m^ln, k^±rn. Рассматриваем
формулу ф, получаемую из &,Г2„ следующим образом:
все константы вида с,- заменяем всюду на различные
переменные, причем константу ст заменяем на дг0 (если
нужно избежать коллизии, переименовываем связанные
переменные в оьГ2п), далее навешиваем квантор
существования на все эти переменные, отличные от дг0.
Далее, используя упомянутый выше факт, обнаруживаем
справедливость одного из трех случаев:
1. k^U; 2. фея*; 3. 1фея*.
Если имеет место случай 1 или 3, то полагаем
Ггп+i ^ Г2п- Если имеет место только случай 2, то
ищем формулу Ф сигнатуры о с одной свободной
переменной х0 такую, что формулы ф & -ф и ф&Пгр обе
совместны с Т. Такой поиск либо приведет к успеху (когда
йе(/, тогда g^ink)—неглавный тип и фея*), либо
обнаружится, что кф.и. Во втором случае опять
полагаем Ггп+i ^ Г2п. В первом случае обнаруживаем
эффективно справедливость одного из трех подслучаев:
1) kt?U; 2) грея*; 3) Игре я*. Если имеет место 1),
то Г2п+1^Г2„; если 2), то Г2п+1 ^T2nU {Пф]^}; если
370 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ.. 6
Построение закончено. Так же, как и в теореме 2
§ 2, легко проверяется, что Гш ^ U Г„ — непротиворе-
чивая теория, по которой строится сильно конструкти-
визируемая модель WI теории Т. Заметим, что для
любых k, m e со, если k <= U, то значение константы ст не
реализует тип #-' (я^); для этого достаточно
посмотреть, что происходит на шаге 2с(т,k)-\- 1; так как
любой элемент модели 9Л есть значение некоторой
константы вида ст, то модель WI опускает тип ?~'(л*)- П
Замечание. Существует естественное обобщение
предложения 1, которое можно объединить с предложением 2:
Предложение 1'. Пусть р„, я е <в,— вычислимая
последовательность конечных типов теории Т такая, чтоpospjE ...; S —
1$-семейство типов теории Т, не являющихся главными ни над
каким из типов р„, п е <в. Тогда существует сильно конструктивизи-
руемая модель теории Т, реализующая все типы рп, п е <в, и
опускающая все типы из S. ?
Обратимся теперь к вопросу о сильной конструкти-
визируемости однородных моделей теории Т.
Пусть S — счетное семейство конечных типов
теории Т, удовлетворяющее следующим условиям:
1. Если р — п-тип из S и т: {ха, ..., хп-\} —* {х0, ...
..., хп-\\—перестановка, то [р]*" *»-> eS.
2. Если р — п-тип из S, пг^.п и рт ^= {<р(*о, ...
..., Хт-\) | ф S р}, ТО pm^S.
3. (Плотность). Если р — п-тип из S и ц>(х0 хп)
совместна с р, то существует (п-\-\)-тип q^S такой,
что р U {ф} S q.
4. Если р, q e S, р и q — п-типы, то существует
2п-тип neS такой, что pl)[q]x° *""' sn.
5. Если р, q^S — (п + \)-типы и pn = qn, то
существует (п -f 2)-тип neS такой, что р [} [q]xxn s я.
Если S удовлетворяет условиям 1—5, то у теории Т
существует счетная однородная модель Wls, в которой
реализуются в точности типы из S; модель 3RS
определена этими условиями однозначно с точностью до
изоморфизма (см. § 5 гл. 1).
Изучим теперь, какие условия «эффективности» на
семейство S гарантируют сильную конструктивизируе-
§ 61 СИЛЬНО КОНСТРУК.ТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 371
мость модели Ш?5. Естественными (очевидно,
необходимыми) требованиями являются условие рекурсивности
типов из 5 и вычислимость семейства 5.
Нумерацию v: и->5 семейства рекурсивных типов
назовем вычислимой, если нумерация m—>G(vn)
является вычислимой нумерацией рекурсивно
перечислимых множеств. Ясно, что семейство 5 вычислимо тогда
и только тогда, когда оно имеет хотя бы одну
вычислимую нумерацию.
Заметим, что если семейство 5 вычислимо и
удовлетворяет условиям 1—3, то семейство S имеет такую
вычислимую нумерацию v: и->5, что по v-номеру типа
можно эффективно узнать его «размерность». Для этого
нужно эффективно перечислять подсемейства Sn всех
типов из 5, содержащих формулу & xt — Xi, и затем
Кп
образовывать из типов в Sn n-типы, ограничивая типы
из Sn до n-типа. Впредь под вычислимой нумерацией
семейства S (удовлетворяющего условиям 1—3), будем
понимать вычислимую нумерацию с указанным
дополнительным свойством.
Используя вычислимость семейства 5 (и сделанное
ранее замечание об эффективном распознавании
размерности типа), построим некоторые новые
эффективные последовательности. Пусть А = [с, , .... с \ —
\ 'о in-u
конечное подмножество множества {c<|te ш},
содержащее п элементов. Выбирая последовательно
(используя вычислимую нумерацию семейства 5) все я-типы р
из 5 и образуя полные теории [р]*<> *»-' сигнатуры
о[)(Ау, расширяющие теорию Г, получим некоторую
(эффективную) последовательность S-пополнений
теории Т(А), полученной из Т расширением сигнатуры а
до а11<Л>:
Ло (Л), Л, (Л), ...
Поступая аналогично (с использованием (п+ 1)-типов),
получим эффективную последовательность 1-типов
теории Т(А), определенных семейством S: ГоИ), Fi(i4), ...
Для константы с множество {[ф]*°) ф ^ Г„ (Л)}
обозначим Гп(А)(с).
372 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Для любой формулы ф сигнатуры o\](c0,clt ...>
через с(ф) обозначим множество всех констант вида ci,
которые входят в ср; если А <= {со,си ...}, то через у{А)
обозначим формулу, которая получается так: пусть
с,, ..., с, —все попарно различные константные сим-
'0 'k
волы из {с0,с\, ...}, которые входят в <р и не входят
в А, т. е. {cjg, ..., ct^ = c((f))\A; пусть у0, ..., ук —
переменные, не имеющие вхождений в ср; тогда
]»»/• Е^и ВдД то Ап{А)\
"О "к
\ В ^ {фE) |фе= Д„(Л)}. Можно предполагать, что по
А, СкфА и иеш можно эффективно находить т такое,
что Дт(Ли {Ск})= Тп(А){ск); пусть т = H(A,k,n),
Н — соответствующий алгоритм.
Из условий 1—5 можно легко получить ряд
следствий для введенных последовательностей:
1) Если В s А, то для любого п есо существует теш
такое, что Д„(Л) \ 5 = Дт(В). ?
2) Если (( — предложение сигнатуры а[](с0, сь ...)
и ф совместно с Д„(Л) (эго в точности означает, что
ф(Л)бД„(Л)), го <5ля любого конечного ВэЛис(ф)
существует /песо такое, чго Д„(Л)и {ф} ^ Дт(^)- ?
3) Если С = А[\В и Д„(Л) \ С = Дт(В) f С, го
существует ssco, гакое, чго Ь.п{А)[}Ат{В)^Ь.${А[}В). ?
3') ?сли 5^ Л « Г„(В) совместно с Дт(Л) (г. е.
Ф s Г„ E) =*- 3*оф ^ Дт (¦^)). го существует s e со такое,
что Дт(Л)иГп(Я)Е=ГЛЛ). а
Предположим теперь, что условие 3 на семейство 5
выполняется эффективно, а именно: по номеру n-типа р
и гёделеву номеру формулы ф(х0, ..., хп) можно
эффективно указать номер (п -\- 1)-типа q из S такой, что
р U {ф} Е q. Тогда легко понять, что свойство 2) также
выполняется эффективно, т. е. тогда будет справедливо
следующее утверждение:
2') Пусть фо, фь ... — эффективное перечисление
всех предложений сигнатуры a U <Со, сь .. .>. Тогда
существует алгоритм G такой, что если ЛсВ — конечные
подмножества {со,с\, ...} и <рп(В) совместна с типом
Am(A), TO Am(A){J{q>n(B)}<=AG(A,B,m,n)(B). О
Теперь уже можно сформулировать теорему,
отвечающую на поставленный ранее вопрос.
5 51 СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 373
Теорема 1. Пусть S — вычислимое семейство
конечных типов теории Т, удовлетворяющее' условиям
1—5; тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. По любому пг-типу р из S можно эффективно
построить семейство всех (пг-\- 1)-типов из S,
расширяющих тип р.
2. По любому т-типу р из S можно эффективно
построить плотное семейство (т+ I)-типов из S,
расширяющих тип р (плотность семейства означает, что для
любой формулы ц>(хо, ..., xm-i,xm), если Эхтфер, то
в этом семействе существует тип q такой, что ipGij).
3. Условие 3 на S (для некоторой вычислимой
нумерации семейства S) выполняется эффективно.
4. Модель 2Rs сильно конструктивизируема.
Импликации 1=>2 и 2=>3 очевидны.
Докажем импликацию Зф4. Перед чтением этого
доказательства полезно ознакомиться с
доказательством предложения 4 § 5 гл. 1, эффективной версией
которого и является дальнейшее изложение. Как
отмечено перед формулировкой теоремы, утверждение 3
влечет справедливость утверждения 2').
Расположим множество всех 1-типов {Г„ (А) \ п е со,
А — конечное подмножество множества {с0,си ...}} в
эффективную последовательность 30, Si, ..., так что
по номеру S можно эффективно найти соответствующее
леи и Л (т. е. Е = Гп(А)); пусть Еп = Га(П)(Л„), а —
общерекурсивная функция. Если с — константный
символ, то 3„ (с) =^= Го („) (Ап) (с) = {[ф]*э | ф<=3„}. Будем
предполагать также, что зафиксирован некоторый
эффективный пересчет по шагам множеств S,- и А,(Л) для
всех i, /ей и конечных j4s{c0, cv ...}; S", А" (Л)
будут обозначать конечные подмножества 3< и А/(А)
соответственно, перечисленные к концу шага
п B"sS"+I, ne=a>; U 3^ = 2,; А?(Л) S Д?+1(Л),/геи;
V песо
леи /
Будем по шагам эффективно строить
последовательность формул 8о, 8i, ... так, что 0n+i = 0„ & ц>п или
9„+1 = 0„ & Пф„; здесь ф0, фЬ .... как в утверждении
2'),— эффективная последовательность всех предложений
374 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
сигнатуры oU<co, Сь .. .>. Для любого п 0„ будет
совместна с теорией Т; следовательно, теория Та
сигнатуры aLK^o,ci, ...), определенная множеством аксиом
{0n|neco}, будет полным (разрешимым!) расширением
теории Т. Установим также, что если qpn = 3xq>'n (*)еГт,
то q>'n(cs) s Та для некоторого sg<o. Тогда стандартным
образом на константах {с0, сь ...} строится сильно
конструктивная модель ЗЯ' теории Гт. Построение
гарантирует, что Wl' t a ^ $Rs.
Приступаем к построению.
В конце каждого шага п будут определены
следующие объекты: натуральное число тп\ конечное
множество /„ s [т„] {^={i\i < tnn}); функции gn: [m]->co,
fn: /„->© и hn: In-*-a>.
Введем следующие обозначения: для i ^ тп
для ie/.
Заметим, что если i<j^tnn, то В"^В"; если еще
is In, то Bi<=Ci sfl?.
Предполагается, что выполнены следующие условия
для любого i ^ тп:
1". Qn(Bi)^Agnw(Bi).
2пг Если 1е1я, то S«UA>(i)(<)sIVw(<) и
(Я@(Я(,@)
3". Если 1ф1п, то множество {б„(В")} LJS"U А^
не совместно с Т.
Шаг 0. ео^(со = со); mo=^O; /0^{0}; g°@)-
наименьшее seco такое, что А^(ЛО)^3Э; ^^ —
наименьшее ^есо такое, что сгф A0\]{cQ}\ A°@)=^a@) (тогда
(^) )
()
Шаг п+1. Находим наибольшее m^mn так, что
для 6п+1^°п&Фп (или 6„+1 ^ 0„ & ~1 ф„) выполнены
условия: для любого i^m
СИЛЬНО К.ОНСТРУК.ТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 375
2) если 1б/„ то SJ
Ж)(о(<К7<«)
Кроме того, если m <C пгп, то выбираем, если
возможно, 0п+1 так, чтобы было выполнено условие
)д
%)
Легко видеть, что для m = О условия 1) и 2) можно
выполнить (нужно выбрать 0„+1 так, что 6п+1 (Ло U
и{сЛо)})еГй"@)(/4о)(с/"@)))>такчто таК0е наибольшее m
существует. Выбор 0n+i уже определен
сформулированными условиями (максимальность m и дополнительное
требование при m < mn) (если и 8П & ф„ и 0П & Пф„
удовлетворяют всем условиям, то полагаем 0n+i =?^ On & фп).
Полагаем mn+i=^m+l; In±i^ I,,(\[m], /л+iflN^^+i.
l 1 l
^¦h" \ I'n+\. Заметим, что теперь fim+'i уже определено
и fim"+'i = fim+i, если m<tnn. Если т<тп и (')
s V(m+i)(fl«+'i)' T0 полагаем g"+1(«»+i)
"(l)
Если т = mn или если т < tnn и
\()' то находим /ем такое, что Эп+1==ф<)
и если тф1п, то полагаем g"+1(m+l)^ G(Bnm, Bn^+V
ft), 0 (заметим, что из утверждения 2') и условия
g(+)(m+)); еСЛИ Же me/«- T0 ПУСТЬ S^
^ И (Впт, Г («) А" И) и g"+1 (m + 1) ^ G (С, ВЙ-1,, s, t)
(заметим, что тогда en+1(B^.11)eAgn+1(m+1)(fi^+11) и
ГА«(т) (Bnm) (cfn (т)) = As (СЦ s Agn+1 (m+1, (В^'О).
Далее рассматриваем конечное множество формул
если это множество не совместно с Г, то полагаем
At+i^/n+i, и все уже определено. Если это множество
совместно с Т, то полагаем In+i^I'n+i 11{/я+1}; находим
наименьшее г е со такое, что ?г9= Bm+'i U c(Qn+\), H
376 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
полагаем/n+1 (m + l)^r. Находим теперь наименьшее/
такое, что {б„+1 (В^)} [} В? U A^WnpC'.) =
и полагаем hn+1(m + 1)=^/. Построение
закончено.
Установим теперь стабилизацию построения. А именно
покажем, что для любого те© существует «ев такое,
) ) I[] []
уу
что для любого n^s: 1) т„ > т; 2) Inf\[tn] — Isf\[m];
3) gn \ [т] = gs \ [т]; 4) Г\1.П [т] = Г[/,П [т];
5) /inr/sD[m]=:Asr/sn[m].
Для т = 0 стабилизация наступает на нулевом
шаге. Предположим, что для некоторого те© после
шага s уже произошла стабилизация на [т]; для i ^
^ т далее будем писать: i'e/ вместо (e/s; g(t)
вместо gs(i); 5; вместо В*; если еще ie/, то будем
писать f(i) и h(i) вместо fs(i) и hs(i) соответственно и
Ct вместо С\.
Заметим, что Bq<=B\<=: ... ^Вт; покажем, что
Ag(o)(Bo)^Ag<nEi)= ••• eA«(h)(B«i), Действительно,
если хотя бы одно включение нарушено, то существуют
i<m, t> s такие, что ф< е Ag(,) (В,) \ Ag(i+i) (B,+i) и на
шаге ^+ 1 невозможно одновременное выполнение
условий l'+1 и 1/+I, следовательно, должно быть mt^.m,
что тоже невозможно. Аналогично доказывается, что
если i е /, i < m, то
Ег (cfw) s гмо (в/) (cf(о) s Ag(-) (в-)-
Если же и те/, то Вт(сдт))Е Yh(m){Bm) (сцт)) и
Аг(т)(Вт)^Гй(т)(Вт) (cf(m)) = ASm(cm), где sm =^=_
=^ H(Bm,f(m),h(m)). Предположим теперь, что
существует шаг п ^ s такой, что тп = т+ 1. (Если такого
шага нет, то стабилизация для m + 1 имеется уже и на
шаге s.)
Заметим, что Впт+Х = Вт[) Am+i (или Bm+i = Bm[) Am[)
U{cf{m)}, если те/) уже стабилизировалось (б^+1 ==
==Bm+i); покажем, что g"(m + l) может изменить свое
значение не более одного раза для n^s.
Действительно, предположим, что gn(m-\- 1) ф gn+l (m+ 1) для
n^s; тогда ясно, что mn+i = m+l, и из построения
видно, что gn+I(m+l) = G(Bm, Bm+b g(m), t) (или
СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 377
gn+l(m+l) = G(Cm, Вт+и sm, /), если me/), где t-
номер формулы 0„+1. Заметим, что по определению G
А8ш(Вт)^\п+Чт+1)(Вт+1) (Ag{m)(Bm)<=AsJCm) s
sAgn+i(m+1)(fim+1), если me/). Поэтому на любом
шаге п' > п возможен выбор Qn- такой, что выполнены
все условия 1" — 3", i^.m, и условие lm+i\
действительно, если выбрать 9П, так, чтобы было 9„-Eт+1)^
S V+1(m+.) (Bm+l)' Т0 ВСе УСЛОВИЯ If - 3f, /<«, И 1?+,
будут, очевидно, выполнены. Следовательно, существует
шаг rto^s такой, что значение gn'(m-\- 1)
стабилизировалось, будем писать g(m-\-\) вместо g"°(m+l).
Рассмотрим два случая.
Случай 1. Sm+i не совместно с Ag{m+i)(Bm+i), тогда
Sm+i U Ag(m+i)(flm+i) не совместно с Т для некоторого
«1^и0 и т+1^/„ для всех п~^щ; следовательно,
начиная с щ, имеем стабилизацию.
Случай 2. Sm+i совместно с Ag(m+i)(fim+i). Так как
Зт+1 = Г0<т+1)(Лп+1) COBMeCTHO С Ag(m+l)(#m+l) И Am+lS
Sfim+i, то по свойству 3') существует /есо такое, что
AS(m+i) (Bm+i) U sm+i S Г( (Bm+i); пусть /0 — наименьшее
такое /. Пусть «2>«о таково, что Ag!(m+i)(fim+i)|JSm!+iSE
SgF/(fim+1) для всех / < /0. Если на шаге щ еще
не произошла стабилизация на множестве [пг + 1], то
существует «з > «2 такое, что тПа = т-\- 1. Так как
en,(fim+i)eAg(m+1)(fim+1), то тогда {en,(fim+1)}U2?+iU
U Ag(m+i) (Bm+i)(sr/0(fim+i)) совместно с Г, следовательно,
т+ 1е/„,. По выбору «2 и построению А" (т+ 1) будет
равно /0; /n'(m+l) = r и сгфВт+1[]сфп). Так как
Ag(m+i)(flm+i)sr/o(fim+i) и Ag(m+1)(fim+1)sr<0(fim+i)(cr),
то после шага п3 всегда возможен выбор 0 такой, что
условия 1 г — Зг выполнены для i^m+ 1; а именно, 0„
для п>п3 нужно брать таким, что 9„(Дт+1 U{cr}) s
еГ/0Eт+1)(сг). Следовательно, т+1 становится
постоянным элементом /„, значения функций / и h в точке
т + 1 больше не меняются.
Стабильное значение /", gn, fn, hn, Bn будем
обозначать опусканием индексов. Из доказанного выше имеем
b(B)b()s ... Так как
для всех /sto, то U Вп = {со, си ...}. Условие 1"
ЛЕШ
378 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
показывает, что Та^ U Ag(i)Ei) — полное непротиворе-
чивое расширение теории Т(А). Пусть 2т совместно
с теорией Гщ для те со; тогда 3mUAg<m)(Bm) совместно
с Г и из доказательства стабильности видно, что в этом
случае те/ и Zm(cfm) s Ag(m+1)(BOT+1) s Г„. Пусть
Ф = Эх0ф' (дг0) еГа, Л ^= с (ф), га е со таково, что Д„ (Л) =
= Ги f Л; так как ф'(хо) совместна с А„ (Л), то
существуют /, meto такие, что {ф' (х0)} U А„ (Л) ? 1\ (Л) = Зот;
так как Зт = А„ (Л) = Та \ А, то Зт совместна с Та и,
следовательно, Sm(c/(m)) s Ги, но ф'(л:о)е3т; отсюда
ф'(сдт)) е Ги. Таким образом, на константах {с0, ср .. Л
можно стандартным образом определять сильно кон-
структивизируемую модель 3R' теории Ги; модель ЗИ=^
^ЗИ'^а будет сильно конструктивизируемой моделью
теории Т. Так как для любого конечного Л ? {с0, Сь ...}
существует meto такое, что Л ? Вт и, следовательно,
Гщ \ А = Ag(m)(Bm), то любой (конечный) тип,
реализуемый в Ш, принадлежит 5. Отмеченное выше
свойство реализуемости в Ш' каждого типа Зт, совместного
с Та (= FD (Ж)), показывает, что ЗИ является 5-однород-
ной моделью, т. е. 2K~S№S. Импликация 3=^4
доказана.
Докажем теперь импликацию 4=ф1. Пусть v: со->
-*- jWls |— сильная конструктивизация модели Tls. Пусть
¦фо, фь ... — эффективное перечисление всех формул
сигнатуры а; для /песо пусть ty™— формула,
полученная из ¦$„ навешиванием кванторов существования на
все свободные переменные, отличные от Хо, ..., хт-\.
Для кортежа т = (t0, ..., /„_,) е com (| x | =^= т) пусть
'"т-И^^Ув1"*' гх-тип кортежа <v/0, •••, v^OT_!>
модели Wls.
Зафиксируем некоторый /n-тип р из 5 и построим
эффективно для каждого т = <rfo. ••-. tm-\,tmy (/n+1)-
тип qx так, что если кортеж <v^o, • • •. v/m-i'> имеет тип
р, то <7t = Гт; если же тип кортежа <vrf0, . • •, vrfm_i>
отличен от р, то q = 1\, для некоторого кортежа т' =
=(С •••>С-1>С> такого, что т'^(/6 /m-i> — m-кор-
§ 51 СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 379
теж с наименьшим номером (в некоторой
фиксированной нумерации кортежей) такой, что IV = р.
Укажем построение типа qx.
1. qx^{3x(x = x)}.
2. Пусть конечное множество формул q\ уже
построено и Э*т(&<7*)<=/?. Если Эл:т(&Г*+1)ер, то
полагаем <7*+1=^<7*1)Г*+1.
Если Эл:т(&.Г*+1) фр, то ищем наименьший кортеж
t' = (to, •¦-, t'm-\) такой, что для некоторого ^k + l
выполнены условия:
()
б) Существует t^.n такой, что для %^{to t'm-u t)
((&)(&))
(()())
Заметим, что для любого кортежа т' = (^о tm-i)
проверка существования такого п эффективна.
Действительно, если rt' = p, то обязательно найдется /е©
такое, что 3RS И (&-</*) [vt] для x = (f0 fm_v t),
так как Зхт (&< qf)<^ p и vt' реализует р. Если же
IV Ф р, то Г?' ф р для некоторого /г. Пусть теперь
/—наименьшее число такое, что Зхт ((& Г*+1) & (&¦ д*))ер
для выбранного т' и для %^={t'o t'm-\, t); полагаем
Оставляем читателю проверку сформулированного
выше свойства типа qk =^= U q!L. Из этого свойства вы-
к еш
текает, что {^т| |т| = т+ 1} — множество всех (т+ 1)-
типов из 5, расширяющих р. ?
Укажем теперь два важных следствия, когда
эффективность условия 3 вытекает уже из вычислимости
семейства 5.
Предложение 3. Если семейство всех
рекурсивных типов Sr теории Т вычислимо, то для Sr условие 3
выполняется, и притом эффективно.
Нужно уметь по любому рекурсивному m-типу р
и формуле qp(xo xm), для которой 3*m(pep,
эффективно построить (т+ 1)-тип q так, что p\J {q>} s q.
Рассматриваем полную теорию Тй ч^ [р]хс°' "" хст~х
<J8O КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
сигнатуры «тU<с0> ..., cOT_i> и разрешимую теорию Т\
сигнатуры aU(co, .... cm-i, Cm), определенную
аксиомами То U ([ф]^° cml • Полное разрешимое расши-
С 0' ' * *' ftt )
рение Т2 теории Т^ определяет нужный (т+1)-тип
Следствие. Если семейство Sr всех рекурсивных
типов теории Т удовлетворяет условиям 1—5, то 3Rsr
сильно конструктивизируема тогда и только тогда, когда
Sr — вычислимое семейство. О
Теория Т имеет простую модель тогда и только
тогда, когда семейство So всех главных типов теории Т
плотно, т. е. удовлетворяет условию 3. Оказывается, что
из вычислимости So в этом случае вытекает и
эффективность условия 3.
Предложение 4. Если семейство So всех главных
типов теории Т плотно и вычислимо, то простая
модель fflo теории Т сильно конструктивизируема.
Утверждение будет следовать из теоремы 1, если
будет установлено, что для семейства So свойство
плотности выполняется эффективно. Покажем это. Пусть р —
главный m-тип, <p(jc0, .... xm) — такая формула, что
Элгтфер; пусть <7о. Чи ••• — эффективная
последовательность всех главных (т+1)-типов теории Т.
Построим эффективно некоторый главный (т+1)-тип q
такой, что р U {ф} ? q.
Пусть зафиксирован эффективный способ
одновременного эффективного перечисления по шагам всех
типов р, q0, qv ...; рп и q^ — конечные множества
формул, вычисленные к концу шага и; рп = pn+l, \J pn=p;
?m-C+1. U ?m = ?m' m^o>. Полагаем ?°=^{ф}; пусть
песо
п0 — наименьшее число такое, что ро1)<7° — Ящ и
Зхт (ф & (&> q°n У) е р. Предположим, что на k-м шаге
построения определены конечное множество формул qk
и число nk такие, что pk\}qk^qn и Эхт ((&qk)&
(&О)
$ 51 СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 381
Если p*+4J<7*S4 и Э*Д(&<?*) &(&<?*+'))<=р,
то полагаем nk+l^nk, qk+l^qk\Jq^+l.
Если одно из этих условий не выполнено, то ищем
наименьшее число пи+\ такое, что
p*+W^n и 3x
Заметим, что такое число всегда существует, так как
р U <7* совместно и содержится в некотором qm.
Полагаем теперь qll+1^qk\jq^+1 .
Если k0 таково, что р*0 уже содержит полную
формулу, то nk+\—nk, так как pk'(Jqk'sqn влечет
р U qk' s о и, следовательно,
"So
Поэтому, начиная с этого k0, для k^k0 имеем
nk==nka и <7 = qk —главный тип такой, что p(J{cp}^<7- П
Следствие. Если теория Т имеет простую модель,
то она сильно конструктивизируема тогда и только
тогда, когда семейство So всех главных типов теории Т
вычислимо. О
Отметим один довольно неожиданный факт о том,
что. в условиях предложения 3 теория Т имеет простую
модель и она сильно конструктивизируема.
Предложение 5. Если семейство Sr всех
рекурсивных типов теории Т вычислимо, то семейство So всех
главных типов теории Т плотно и вычислимо.
Покажем для примера, как по произвольной
формуле ф (х0) такой, что 3*оф ^ Т, построить эффективно
главный 1-тип q такой, что (ре^. Для этого нужна
будет только вычислимая последовательность р0, pi, ...
всех рекурсивных 1-типов теории Т.
Пусть фо, фь ...¦—эффективная последовательность
всех 1-формул сигнатуры а. На шаге k будем
определять формулу 8* так, что 3*o6fe ^ Т.
Шаг 0. 60=^ф.
Шаг k-\-\. Смотрим, будут ли одновременно
формулы 0* & фй и Qk & ~\<pk совместны с Т. Если нет, то
полагаем G*+i =^ 9*.
382 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. 6
Если 0* & ф* и 0* & ~\щ совместны с Т, то находим
наименьшие s и t такие, что 0* & ф* е р$, 0* & ~1фд е р<
(так как Sr — плотное семейство, то такие s и t
найдутся). Если s > t, то полагаем 0*+i =^ 0* & <pft; если
t > s, то полагаем 0^+1 =^= 0& & Нф^.
Из построения видно, что Ухо(&к+1-><рк)^Т или
Vx0 @fe+1 -> (рь) ^Т для любого ^еш. Следовательно,
семейство формул {00,0ь ...} однозначно определяет
(очевидно, рекурсивный) 1-тип р теории Т. Покажем,
что для некоторого ko 0* = 0*о при k > k0. Пусть s0 —
наименьший номер 1-типа р, т. е. p~ps и р ф ps для
s < s0. Пусть k0 таково, что для любого s <Z s0
существует формула ф, , ts< k0, такая, что ф( ер\ps.
Предположим, что для k~^k0 оказалось, что 0*&ф*
и 0* &Пф* совместны с Т. Предположим, что 0*&фАе
^p = ps,; так как dk^ps при s <. s0, то наименьшее t,
для которого 04&Пф*е ри будет больше s0. Тогда на
шаге k-\- 1 формула О^-н должна быть равной 0?&~|ф*.
получили противоречие. Аналогично приходим к
противоречию, предположив, что (Ь&ПфАер. Итак, 0Й = 0*О
для любого k ^ k0; следовательно, 0А„ — полная
формула, а 1-тип р главный и фер, ?
Следствие 1. Если семейство Sr всех рекурсивных
типов вычислимо, то теория Т имеет простую модель
и эта модель сильно конструктивизируема. ?
Следствие 2. Если теория Т имеет счетно
насыщенную модель и эта модель сильно
конструктивизируема, то и простая модель теории Т сильно
конструктивизируема.
Действительно, если счетно насыщенная модель ЗЭТ
сильно конструктивизируема, то (вычислимое)
семейство 5 типов, реализуемых в 5Ш, совпадает с Sr- ?
В работе [60] построен пример теории, у которой
имеется счетно насыщенная модель, не являющаяся
сильно конструктивизируемой, а простая модель сильно
конструктивизируема.
Укажем еще один случай, когда выполнены условия
теоремы 1.
Предложение 6. Пусть ЗЯ — счетная однородная
модель теории Т. Если все типы, реализуемые вШ, рекур-
S 51 СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 383
сиены, семейство S типов, реализуемых в ЗЯ, есть
^-семейство и семейство S' всех рекурсивных типов Т,
не реализуемых в Ш, также есть ^-семейство, то Ш
сильно конструктивизируема.
Докажем две леммы, из которых предложение
следует непосредственно.
Лемма 2. В условиях предложения 6 по любому
т-типу peS и любой (т+ I)-формуле ср такой, что
Злгтфер, можно эффективно построить (т+1)-лт q
такой, что р U {ф} = q, q eS.
Доказательство этой леммы аналогично
доказательству предложения 2, так как условие i/eS можно
заменить эквивалентным условием q ф S'. Укажем только
конструкцию q. По лемме ] можно считать, что S' есть
П?-семейство. (Для дальнейшего доказательства можно
предполагать, что S' состоит только из (т+ 1)-типов.)
Пусть U = (о таково, что nil = G (S'), и R — такой
двуместный общерекурсивный предикат, что для пеш
п е U ФФ» VxR (x, п).
Пусть фо, фи ... — эффективное перечисление всех
(т+1)-формул сигнатуры а.
Шаг 0. <70^=Ф-
* Пусть qn уже определено, так что Зхт (&> qn)^ p и
для любого t ^ п либо / ф. U, либо Gqn & щ.
Шаг«+1. Полагаем ?п:;^9'ги{фя}. если Э*т (&><?„)ер,
и qn ^ qn U {~1ф«} в противном случае. Далее, так же как
в доказательстве предложения 2, находим
(т+^-формулу a|j такую, что выполнен один из случаев:
1) пфи или 2) Эхт(ф &(&?*)) ер и
Э*т(-Ц>&(&$„)) ер.
Если выполнен случай 1), то qn+1 ^ qn\ если
выполнен случай 2), то эффективно обнаруживаем один из
трех подслучаев:
а) пфЬ, б) феяя, в) ~laf>enrt.
Если имеет место а), то qn+l ^ qn', если б), то
qn+x ^qnU {"!¦*}; если в), то qn+l ^= qn\J {}
Построение закончено.
384 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Легко проверяется, что q^ (J qn есть (т -f- 1)-тип,
ПЕН
р U {ф} ? q и ^ отлично от всех типов из S'. ?
Следствие. В условиях предложения 6 по любой
(т + 1) -формуле ср такой, что Э*о • • ¦ Э*тФ е ^> можно
эффективно построить (ш-\- \)-тип q такой, что фЕ?
и q ^S.
Доказательство такое же, как в лемме, с заменой
условий 3*mi|) ер на условия Э*о • • • ЗХтУ е 7\ П
Лемма 3. Семейство всех пг-типов из S вычислимо.
Действительно, по лемме 1 5 является IIi-семей-
ством. Пусть G (S) = nil, где U = ©, U е П?; /? —
двуместный общерекурсивный предикат такой, что для
ЛЁШ
ne?U<=>VxR(x, n).
Не уменьшая общности, будем предполагать, что S
состоит точно из m-типов; тогда, используя предикат R,
будем строить /га-тип qn так, что G(qn) = лл, если яе(/,
и <7л есть m-тип из S, построенный по следствию
леммы 2 по формуле & (<7?). такой, что G (q°) г я„ и Эд;0...
• • • 3*m_! (^&. ^) е Т. Этих пояснений уже достаточно для
формального проведения доказательства. ?
Как уже отмечалось, предложение сразу следует из
этих лемм. ?
При условии вычислимости семейства Sr всех
рекурсивных типов теории Т можно ослабить условия
предложения 6.
Предложение 7. Пусть семейство всех
рекурсивных типов теории Т вычислимо, Ш1 — счетная
однородная модель теории Т. Если семейство S типов,
реализуемых в 2Л, есть ^-семейство, то Tt сильно конструк-
тивизируема.
Это предложение также легко следует из двух лемм,
для которых дадим только наброски доказательств.
Лемма 4. Семейство S вычислимо.
Действительно, можно считать, что S есть Пгсе-
мейство, и тогда, пользуясь предложением 5, можно
указать эффективную процедуру перечисления типов из
I 5) СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 385
5: ро, Рь ••• так, что если nll—G(S) и f/.slli, то
<5(рл) = я„ для ле?/, а для пфИ рп получается как
главный тип, содержащий построенную на некотором
шаге конечную систему формул qkn такую, что G (9*) s па
(k — это шаг, на котором обнаружилось, что пф.11).
Так как все главные типы лежат в S, то отсюда и
следует лемма. ?
Лемма 5. По любому т-типу р е 5 и любой
формуле ф(лсо. ••., Хт) такой, что З.*отф ^ р, можно
эффективно построить (т + \)-тип q&S такой, что {q>}[]p^q.
Действительно, нетрудно заметить, что если
семейство всех рекурсивных типов теории Т вычислимо, то
вычислимым будет и семейство всех рекурсивных типов
теории Го=^[р]*0ст"' сигнатуры aU<c0, .... cOT_i>.
Применяя к теории То предложение 5, по формуле
¦ф^Мс0,'.'.'." сТ' хт эффективно найдем главный 1-тип
Q теории Го такой, что ф е Q; тогда а =^ [Q]c<> 1т~'' 1?
*о- •"• *т—р т
есть рекурсивный (т-\- 1)-тип теории Т такой, что р U
U {ф} S q; но так как Q — главный тип, то q является
главным типом над р, т. е. существует такая формула
9е?, что q — единственный тип, содержащий рU {в}.
Но тогда q должно лежать в S. П
•Предложение следует из этих лемм. ?
В работе [215] построен пример полной разрешимой
(тотально трансцендентной) теории, у которой ни одна
однородная модель не является сильно конструктиви-
зируемой (хотя эта теория имеет и простую и счетно
насыщенную модели). Поэтому целесообразно выяснить
вопрос о том, каковы вообще семейства Sffl всех
конечных типов, реализующихся в сильно конструктивных
моделях 5Ш. Очевидными необходимыми условиями
являются условия 1—4 и вычислимость семейства 5^.
Следующая теорема дает ответ на этот вопрос:
Теорема 2. Пусть S — вычислимое семейство
конечных типов теории Т, удовлетворяющее условиям
1—4; тогда следующие условия эквивалентны:
1. По любому т-типу р из S можно эффективно
построить семейство всех (т+ 1) -типов из S,
расширяющих тип р.
386 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ 1ГЛ. в
2. По любому пг-типу р из S можно эффективно
построить плотное семейство (т + 1) -типов из S,
расширяющих тип р.
3. Условие 3 на S выполняется эффективно.
4. Существует сильно конструктивизируемая
модель Ж теории Т такая, что S состоит в точности из
типов, реализуемых в WI.
Импликации 1 =ф 2 и 2 =Ф 3 очевидны.
Импликация 3=#>4 доказывается так же, как в тео*
реме 1, нужно только реализовывать все типы из 5,
а не 1-типы над конечными множествами Л?={со,с\, ...}
и вместо свойства 5 в доказательстве стабильности
использовать свойство 4.
Импликация 4=Ф1 доказана в теореме 1, так как
однородность модели WI в этом доказательстве не
использовалась. ?
Следствие. Если Ж — сильно
конструктивизируемая модель такая, что 5Ж удовлетворяет условию 5,
то однородная модель Ш3 также сильно конструктиви-
зируема.
Это по существу следствие теоремы 1. ?
Обратимся теперь к изучению вопроса о «числе» (ти-
пов изоморфизма) сильно конструктивизируемых моде*
лей теории Т.
Предложение 8. Если теория Т не имеет
простой модели или простая модель не сильно конструк-
тивизируема, то число сильно конструктивизируемых
моделей у теории Т бесконечно (счетно).
Действительно, пусть ЗИ0 — какая-нибудь
конструктивизируемая модель, ро — неглавный тип, реализуе*
мый в ЗИо (так как Ш10 не является простой, то такой тип
существует). Пусть Tli — сильно конструктивизируемая
модель, опускающая тип ро, и pi — неглавный тип,
реализующийся в SOTi; пусть ЗЛ2 — сильно
конструктивизируемая модель, опускающая типы р0 и р\, и т. д. Все
модели в последовательности Ш10» 9Йь %» ««. попарно не
изоморфны. ?
Предложение 9. Если теория Т не является
счетно категоричной и все типы Т рекурсивны, то Т
имеет по крайней мере три неизоморфных сильно
конструктивизируемых модели.
§ SI СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 387
Заметим сначала, что если счетно насыщенная
модель теории Т (а она существует в условиях
предложения) не является сильно конструктивизируемой, то
теория Т имеет бесконечно много сильно конструктиви-
зируемых моделей. Действительно, если бы таких
моделей было конечное число, то семейство всех типов,
реализующихся в этих моделях, было бы вычислимым, но
по предложению 1 это было бы все семейство Sr, но
тогда по теореме 1 счетно насыщенная модель была бы
сильно конструктивизируемой.
Если счетно насыщенная модель 2Я# сильно конструк-
тивизируема, то по предложению 5 простая модель Ш1Э
тоже сильно конструктивизируема. Пусть р —
некоторый неглавный m-тип и Г0=^[р]*° *т~'— полная тео-
°о т-\
рия сигнатуры aU<Co> ..-, cOT_i>; простая модель ж^
этой теории также сильно конструктивизируема (так
как множество всех рекурсивных типов теории То
вычислимо), но тогда Ш{^Ф Ш'о \а сильно
конструктивизируема и SJti не изоморфна ни Wl0, ни SJI», так как То не
является счетно категоричной. ?
Однако если не требовать, чтобы все типы теории
были рекурсивны, то предложение 9 становится
неверным. Укажем для любого п > 1 примеры теорий, у
которых точно п сильно конструктивизируемых моделей.
Пример 2 (п > 1 произвольно). Этот пример
использует идеи примера 1. Пусть f, fs, sea>, имеют тот же
смысл, что в примере 1, а = ^Р10, Р\, ...; R$, Щ, •••) —
сигнатура теории. Рассмотрим универсальную теорию То
сигнатуры а, определенную следующими аксиомами:
1. VxPoW;
2*. Vx(Ph+i(x)-*Pk(x)), k^a»
3». V*o • ¦ ¦ V*«-i \Rk (*o, • ¦ •, *„_,)-* Г & х{фх,) &
& Pk(xt))l k^co;
->Rk(x0, ..., *„_,)], если f (k) = 0;
6..*. V*o • • • V*«-i[( & Х[Фх,) & f &. Ps(xt))->
L\(</<n ) \t<n )
-+lRk(xo, •--, Jfn-i)]. если f*(k) = l.
388 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ.. 6
Справедливо следующее утверждение (см. [74]):
Теория То имеет модельное пополнение Т\\ Т\—
полная разрешимая теория. ?
У теории 7"i имеется единственный 1-тип р такой, что
Рк (хо) е р для всех k <= о.
Справедливы следующие утверждения:
1. Если модель 3R теории Т\ имеет ~^п элементов,
реализующих тип р, то Ш не конструктивизируема. ?
2. Если 2Яо и SWi — счетные модели теории Т\, 2ЙО
имеет s < п элементов, реализующих тип р, 2Jti имеет
t <. п элементов, реализующих тип р, то 2ЙО " SOTi сильно
конструктивизируемы и 2Я0 еа 2йь если s = t. D
Отсюда и следует, что теория Т\ имеет в точности п
сильно конструктивизируемых моделей.
Рассмотрим случай, когда теория Т имеет только
конечное число неизоморфных моделей; тогда семейство
Sr всех рекурсивных типов вычислимо, следовательно,
по предложению 5 простая модель теории Т сильно
конструктивизируема. В работе [89] построена серия
примеров, показывающая, что для любого п ^ 3 существует
полная разрешимая теория, имеющая в точности п
попарно не изоморфных счетных моделей, из которых
конструктивизируема только одна. Как указано выше,
эта одна модель простая, и она даже сильно
конструктивизируема.
Довольно обозримым является пример Лахлана для
п = 6; приведем кратко описание этого примера вместе
с наброском доказательства.
Пусть (о* — тип линейно упорядоченного множества,
обратный и, например, естественный порядок на
отрицательных натуральных числах. Пусть и + и* — тип
линейно упорядоченного множества, имеющего начальный
сегмент типа и, дополнение до которого имеет тип <о*.
Лемма 6. Линейно упорядоченное множество §t =
= (А, ^) типа и -{- и* имеет конструктивизацию v
такую, что \-1(А0) нерекурсивно, где Ао — начальный
сегмент А, имеющий тип и.
Пусть Р — простое множество, Р° s P1 s ... s Pn s
= Р"+1г...; Р= U Рп — эффективное представление
и
Р в виде сильной последовательности конечных
множеств Рп, пен). Пусть Д), D\, ... — стандартное пере«
§ 5] СИЛЬНО КОНСТРУКТИВИЗИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ 389
числение всех конечных множеств (Do'^0). Будем
последовательно определять конечные множества Л°,
Л1, ... =ю и линейные порядки ^°, ^', ... на них
соответственно так, что ^n+1 [А" = ^".
0) Л°^{0}, порядок <;° тривиален.
Пусть <Л", ^"> уже определено.
/г+1) Находим наибольший (относительно порядка
^") элемент k из Ап такой, что Dkf\P" = 0 (такое k
существует, так как ОеЛ" и Dof\Pn = 0). Находим
наименьшее число /ею такое, что Dk собственно
содержится в Dt н Dif\Pn = 0 (такое / найдется, потому
что для s ф. Р" U Dk имеем Dk a Dk U {«} и [Dk U {s} ] (]
f|P« = 0).
Индукцией по п легко доказывается (k определено
выше), что
(*) если k0 < nki < nk, то Dkl s Dkl s Dk, и если s e An,
k<ns, то Ds[\Pn=?0. п
Из свойства (*) вытекает, что 1фАп.
Полагаем А*+1 ^ Ап\] {/}, k<n+H, и если s<=An+l
uk<ns,Tol< n+ls. (Для «о, s e Л" s0 ^n+1Si <=>s0 < "
< ns,.)
Построение закончено.
Полагаем Л ^ U Л", <ш^= U <rt; А—рекурсивно
яен лги
перечислимое множество, ^ш — линейный порядок
на А. Если / — общерекурсивная функция такая, что
А = рД то, как легко проверяется, / есть конструктиви-
зация модели <Л, ^ш>. Если положим Ао =^= {п\п е А,
Dnf\P = 0}, то из свойства (*) вытекает, что Ао —
начальный сегмент <Л, ^и>. Из бесконечности
дополнения к Р вытекает, что Ао бесконечно, а следовательно,
по построению Ло имеет тип <о. Также без труда можно
проверить, что Л\Л0 имеет тип со*; Ао рекурсивно
перечислимо относительно конструктивизации / тогда и
только тогда, когда Ло как подмножество <о рекурсивно
перечислимо. Покажем, что Ло не может быть рекурсив*
но перечислимым. Действительно, если Ло рекурсивно
перечислимо, то рекурсивно перечислимо и множество
\J Dn в дополнении Р. Но так как Ло бесконечно, то
и U Dn бесконечно. Это невозможно, так как Р про
СТО. Q
890 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Рассмотрим теперь теорию Тпл плотного порядка без
наибольшего и наименьшего элементов. В § 1 гл. 5
было доказано, что всякая формула этой теории
эквивалентна относительно Т„я бескванторной формуле. Из
этого факта и того, что каждое линейно упорядоченное
множество вкладывается в некоторую модель Тпл, без
труда вытекает
Предложение 10. Теория Тпл модельно полна
относительно теории Тю линейно упорядоченных
множеств.
Рассмотрим теперь теорию Г# в сигнатуре а =
= <^,ао,аь ...>, определенную рекурсивной системой
аксиом Гпл U D (% v), где v удовлетворяет заключению
леммы. Теория 7\, полна и разрешима.
Пусть ЗИ = <М, ^,йо,аи ...> — счетная модель
теории 71». Рассмотрим множество А(Ш)^ {a\a^M, Vns
ev-I(i40)(an<a)&V«^v-I(i4o)(a<an)}. Это
множество есть сегмент в <Л1, ^>. С точностью до
изоморфизма возможны только 6 случаев:
1) ДBК) = 0;
2) Л (ЗИ) одноэлементно;
3) Л (Эй) бесконечно, имеет наименьший и
наибольший элементы;
4) Л (Эй) бесконечно, имеет наименьший элемент, но
не имеет наибольшего элемента;
5) ДBК) бесконечно, имеет наибольший элемент, но
не имеет наименьшего элемента;
6) ДBК) бесконечно и не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего элемента.
Без особого труда (используя стандартное
доказательство счетной категоричности теории Тпл)
доказываем, что две счетные модели Зйо и 2Ki теории Г#
изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны Д(ЗЙ0)
и A(9Jli). Докажем теперь, что если Зй — модель теории
Г# и ДBЛ)=?^ 0, то ЗИ не конструктивизируема.
Предположим противное. Пусть v*: (о-*|9й| — конструктивиза-
ция ЗИ. Если Лею таково, что v*k^A(Wl), то
множество R ^ {«| а„ <: v*k) рекурсивно. Однако R ^ v1 (Ао)
не может быть даже рекурсивно перечислимым. Итак,
только одна (с точностью до изоморфизма) модель
теории 7*# может быть конструктивизируема (она даже
сильно конструктивизируема).
§ 0] КОНСТРУКТИВНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 391
В заключение параграфа приведем формулировку
теоремы, которая отвечает на вопрос, сколько может
быть сильных конструктивизаций у сильно конструкти-
визируемой модели.
Теорема 3. Пусть Ш — сильно конструктивизируе-
мая модель; следующие условия эквивалентны:
1. Модель 2Я имеет единственную (с точностью до
автоэквивалентности) сильную конструктивизацию.
2. Существует конечное множество Л = |ЗД| такое,
что
а) (Ш, А)—простая модель теории ТпBЛ,Л);
б) семейство множеств атомов алгебр Fn (Th BЯ, А))
вычислимо.
Доказательство импликации 2=#>1 получается эф-
фективизацией доказательства изоморфизма двух
простых моделей теории.
Для доказательства импликации 1=#>2
устанавливается (см. [83]) приоритетным построением
следующее более сильное утверждение:
Если не выполнено условие 2 теоремы, то по любому
вычислимому семейству сильных конструктивизаций
модели 2Я эффективно строится сильная конструктиви-
зация Ж, не автоэквивалентная никакой
конструктивизаций этого семейства. П
§ 6. Конструктивные булевы алгебры
Различные результаты о конструктивных булевых
алгебрах встречались в предыдущих параграфах. Здесь
же (в основном обзорно) укажем некоторые
дальнейшие результаты.
Эффективность доказательства теоремы из § 3 гл. 2
показывает справедливость следующей теоремы:
Теорема. Пусть (S3o,vo), (S3i,vi) —
конструктивные булевы алгебры. Если существует рекурсивное
множество 5 = |S3o|X|S3i| (т. е. множество пар {(х,у")\х,у&.
е о, (ух, \уУ е S} рекурсивно) такое, что выполнены
условия:
а) <1,1>е5;
б) <o,»)eS4(e = 0^» = 0];
в) (a, &>€=S=^Vao<a3&0<M<ao, &o>e5&
& (а \ а0, b \ Ьо) <= 5],
то существует вложение (S30, Vo) в (S3i,Vi).
392 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ 1ГЛ. 6
Если множество S удовлетворяет еще условию:
г) (a, 6>eS=*-V6o<*>3ao<a[<ao, 60><=S&
& {а \ во, Ь \ bo) e S,
то (830,v0) и (Si.vi) эквивалентны. П
Следствие 1. Если C3,v) — конструктивная
безатомная булева алгебра, то любая конструктивная
булева алгебра вложима в (S3, v). ?
Следствие 2. Счетная безатомная булева алгебра
автоустойчива. О
Следует заметить, что безатомные булевы алгебры —
это в точности алгебры элементарной характеристики
<0,0,1>. Таким образом, существует по крайней мере
одна конструктивизация (даже сильная конструктиви-
зация) счетной безатомной булевой алгебры.
Замечание. 6 работе [121] указан рекурсивно перечислимый
идеал F конструктивной безатомной булевой алгебры (8, v) такой,
что S/f не конструктивизируема.
Следствие 3. Класс всех конструктивных
булевых алгебр слабо вычислим.
Это утверждение вытекает из следствия 1.
Эффективность доказательства предложения 2 § 3
гл. 2 показывает, что справедливо
Предложение 1. Всякая конструктивная булева
алгебра имеет рекурсивный линейно упорядоченный
базис. ?
Если i? ^= <L, <:>, (S'.v)—конструктивное линейно
упорядоченное множество с наименьшим @) и
наибольшим A) элементами, то можно построить естественную
конструктивизацию v булевой алгебры Dg интервалов
так: если х — стандартный номер конечного множества
{Уо, •¦•,«/*}(•"¦ V*). т0 полагаем \хф \J [vlyh \ryt)
i ^^ ft
(если x = 0, т. e. yx = 0, то vjc ^= 0). Непосредственно
проверяется, что v— конструктивизация D#.
Предложение 1 может быть дополнено следующим
очевидным утверждением:
Предложение 2. Если (8,$) — конструктивная
булева алгебра, & = <L, О — рекурсивный линейно
упорядоченный базис, a v — соответствующая
конструктивизация <L, ^>, то конструктивные булевы алгебры
C?, v; и {Dx, v) эквивалентны.
§ б] КОНСТРУКТИВНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 393
Таким образом, с точностью до эквивалентности все
конструктивные булевы алгебры могут быть*построены
как алгебры интервалов конструктивных линейных
порядков.
Выясним теперь взаимоотношение линейно
упорядоченных базисов с другими понятиями булевых алгебр.
Ясно, что атомами алгебры интервалов Dx
являются одноэлементные интервалы, т. е. такие
интервалы [а, Ь), что а, 6eL, а < Ь и между а и b нет
других элементов, т. е. b является непосредственно
следующим для а.
Пусть F — некоторый идеал булевой алгебры вида
Dx; определим на L отношение эквивалентности цр так:
Л, ^ {(a, b)\a,b<=L, [а, Ь) s F, [b, a) e F).
Заметим, что отношение эквивалентности r\F
является выпуклым, т. е. если а < Ь, <а, 6> е i\P и а <; с ^ Ь,
то <а, с>, <с, by e т)л Это следует прямо из определения,
поэтому на фактор-множестве Lj\\F можно ввести
естественный порядок, индуцированный порядком на L.
Обозначим через 9?F линейно упорядоченное множество
L/ >
Предложение 3. Булева алгебра D&/F изоморфна
булевой алгебре DXp.
Зададим гомоморфизм q> из DSp в Dxh так, чтобы
для интервалов из D#p выполнялось условие:
Нетрудно проверить корректность такого
отображения. Ясно, что ф есть отображение на. Если ак^Ь и
Ф ([Wv Ib}^)) = OfF, т. е. Ф ([[а]цр, [Ь]Цр)) s F, то [а, Ь) е
е F, т. е. <а, b) e г\р и [а]^ = [6]Л/?, следовательно,
я],,,,» l^ltip)=== ^ и ядро гомоморфизма q> есть нуль;
Ф — избморфизм. П
Заметим, что двухэлементная булева алгебра имеет
упорядоченный базис из двух элементов {0,1}, поэтому
следствием только что доказанного предложения будет
описание максимальных идеалов булевой алгебры
интервалов Dx.
394 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
Следствие 1. Максимальные идеалы
(ультрафильтры) булевой алгебры D<e находятся во взаимно
однозначном соответствии с сечениями L, не
содержащими 1, т. е. с такими подмножествами L'gL, не
содержащими 1, что a^b, b ei=^ a^L. D
Еще одним следствием предложения 3 (точнее,
следствия 1) и того факта, что суператомные счетные
булевы алгебры имеют вполне упорядоченный базис
(предложение 10 § 3 гл. 2), является
Следствие 2. Не более чем счетная суператомная
булева алгебра имеет не более чем счетное число
ультрафильтров. ?
Идеалу Фреше Ф булевой алгебры D<e соответствует
отношение эквивалентности т]ф на L, определяемое так:
если а ^ Ь, то <а, Ь} е х\ф ч± интервал [а, Ь) конечен.
Из этого замечания следует такое утверждение:
Предложение 4. Если порядковый тип линейно
упорядоченного множества &' есть «>-L+ 1, где L+1 —
порядковый тип линеЪно упорядоченного множества i?
с наибольшим и наименьшим элементами, то D<er —
атомная булева алгебра и Д^'/Фф*') изоморфна D*.
Атомность Dsc' проверяется непосредственно (как
отмечено выше, достаточно показать, что всякий -непустой
интервал содержит одноэлементный подынтервал), а
изоморфизм следует из предложения 3 и очевидного
замечания о естественной изоморфности & и2?'/1\9A) ,. П
Еще одним интересным следствием является .
Предложение 5. Если §3 — счетная атомная
булева алгебра и §Э/Ф(§Э) конструктивизируема, то §3
сильно конструктивизируема.
Действительно, пусть v' — конструктивизация
алгебры Э' =^= §Э/Ф (Э), тогда (§3', v') эквивалентна (по
предложению 2) булевой алгебре интервалов (D#, v) для
некоторого конструктивного линейного порядка (i?,v). По
конструктивизации v линейного порядка 9? определим
конструктивизацию Vo линейного порядка 5",
связанного с 2?, как в предложении 4, так: для jtea \0(x)=*±
=^ 1, если vlx = 1; vo(^)^<v/^,rx) в противном случае
(элементы 2", отличные от наибольшего элемента 1,
рассматриваем как пары </,«>, leS'Xfl}, пёш,
с лексикографическим порядком). Эта конструктивиза-
S 51 КОНСТРУКТИВНЫЕ БУЛЕВЫ АЛГЕБРЫ 396
ция v0 такова, что по любым х, yea можно эффек*
тивно узнать, является ли интервал [vox, voy)
одноэлементным. Следовательно, конструктивизация vo алгебры
интервалов Ds- такова, что множество атомов
рекурсивно. Так как D& — атомная булева алгебра, то из
результатов § 1 и гл. 2 следует, что vo — сильная конст<
руктивизация алгебры D#>. По предложению 4
Аг"/Ф(Аг") изоморфна Dx, последняя изоморфна Э'^=
=^Э/Ф(§Э). Но тогда по предложению 4 § 3 главы 2 §Э
и D<? изоморфны. Следовательно, §Э сильно кон-
структивизируема. D
Следствие. Если & — а-атомная конструктивизи-
руемая булева алгебра, то она сильно конструктивизи-
руема.
Следует из предложения 5 и следствия
предложения 8 § 3 гл. 2. ?
В терминах атомарного типа можно дать следующее
описание конструктивизируемых суператомных булевых
алгебр (даже решеток из 3H).
Предложение 6. Если D — счетная суператомная
решетка из 2)о атомарного типа <а, р,/г>, то следующие
утверждения эквивалентны:
1) D конструктивизируема;
2) D сильно конструктивизируема;
3) а — конструктивный ординал.
¦ Доказательство (для случая суператомных булевых
алгебр) см. в работе [47]. ?
Итак, для безатомных, суператомных и со-атомных
булевых алгебр конструктивизируемость и сильная кон-
структивизируемость равносильны. Для произвольных
булевых алгебр это не так, как показывает следующее
утверждение, доказательство которого можно найти
в работе [50]:
Предложение 7. Для любого п > 0 существует
п-атомная, но не (п + 1) -атомная булева алгебра,
которая конструктивизируема, но не сильно
конструктивизируема. ?
Можно дать более тонкую классификацию конструк-
тивизаций, чем просто сильная конструктивизация и не
сильная конструктивизация. Пусть (9Я,
v)—нумерованная модель (алгебра), песо; тогда через Th(n,2flv)
обозначим совокупность всех предложений сигнатуры аи
396 КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ [ГЛ. в
истинных в модели SWV и таких, что они имеют вид
булевой комбинации предложений, находящихся в
предваренной нормальной форме и содержащих не более п
блоков одинаковых кванторов. Это множество Th(n,SWv)
будем называть п-теорией модели SWV. Заметим, что
разрешимость (рекурсивность) 0-теорни равносильна
конструктивности (SW, v), а разрешимость Th (9№v) =
= U Th (л, Зйу) — сильной конструктивности (9Я, v).
лею
Для конструктивизаций булевых алгебр справедливо
следующее утверждение, доказательство которого
можно найти в работе [210]:
Предложение 8. 1) Для любого песо
существует конструктивизируемая булева алгебра S3 такая,
что: а) для некоторой ее конструктивизаций v0 п-теория
23Vo разрешима; б) для любой конструктивизаций v
алгебры §Э (п + 1) -теория §ЭУ не разрешима.
2) Существует конструктивизируемая, но не сильно
конструктивизируемая булева алгебра Э такая, что для
некоторой ее конструктивизаций vo для любого п е со
п-теория &V, разрешима. ?
ЛИТЕРАТУРА
Книги
1. Биркгоф Г. Теория структур.— М.: ИЛ, 1953.
2. Б у р б а к и Н. Коммутативная алгебра. — М.: Наука, 1975.
3. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.— 2-е изд. — М.: Наука,
1979.
4. Е р ш о в Ю. Л. Теория нумераций. — М.: Наука, 1977.
5. Е р ш о в Ю. Л. Теория нумераций 3 (Конструктивные
модели).— Новосибирск: НГУ, 1974.
6. Ершов Ю. Л., П а л ю т и н Е. А. Математическая логика. —•
М.: Наука, 1979.
7. Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра,
тт. 1.2. — М.: ИЛ, 1963.
8. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории
групп. — 2-е изд. — М.: Наука, 1977.
9. Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория моделей. — М.: Мир, 1977.
10. Л ей г С. Алгебра. —М.: Мир, 1968.
И.Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — М.:
Наука, 1965.
12. Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970.
13. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. — 3-е изд. — М.:
• Наука, 1973.
14. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику
алгебры. — М.: Наука, 1967.
15. Сакс Дж. Насыщенные модели. — М.. Мир, 1976.
16. С и к о р с к и й Р Булевы алгебры. — М.: Мир, 1969.
17. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, т. I. — М.: Мир, 1974.
18. Ш е н ф и л д Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975.
19. А с k e r m a n n W. Solvable cases of the decision problem.—
Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1954.
20. В a r w i s e J. Admissible sets and structures. — Berlin; Gottin-
gen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1975.
21. Cherlin G. Model theoretic algebra, selected topics. — Berlin;
Gottingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1976.
22. С г о s s 1 e у J. N. Constructive order types. — Amsterdam: North-
Holland Publishing Co., 1969.
23. Crossley J. N., Nerode A. Combinatorial functors.—Berlin;
Gottingen; Heidelberg: Springer-Verlag, 1974.
24. T a r s к i A. A decision method for elementary algebra and
geometry.— Second ed. — Berkeley and Los Angeles, 1951.
25. T a r s к i A., M о s t о w s к i A., Robinson R. M. Undecidable
theories.—Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1953.
898 ЛИТЕРАТУРА
Статьи по элементарным теориям
26. Ершов Ю. Л. Разрешимость элементарной теории
дистрибутивных структур с относительными дополнениями и теории
фильтров. — Алгебра и логика, 1964, 3, № 3, с. 17—38.
27. Ершов Ю. Л. Неразрешимость теории симметрических и
простых конечных групп.—ДАН СССР, 1964, 158, № 4, с. 777—
779.
28. Е р ш о в Ю. Л. Неразрешимость некоторых полей. — ДАН
СССР, 1965, 161, № 1, с. 27—29.
29. Ершов Ю. Л. Об элементарных теориях локальных полей.—
Алгебра и логика, 1965, 4, № 2, с. 5—30.
30. Ершов Ю. Л. Об элементарной теории максимальных
нормированных полей. — Алгебра и логика, 1965, 4, № 3, с. 31—70.
31. Ершов Ю. Л. Об элементарной теории максимальных
нормированных полей II.— Алгебра и логика, 1965, 5, № 1, с. 5—40.
32 Ершов Ю. Л. Новые примеры неразрешимых теорий. —
Алгебра и логика, 1966, 5, № 5, с. 37—48.
33 Е р ш о в Ю. Л. Об элементарной теории максимальных
нормированных полей III.—Алгебра и логика, 1967, 6, № 3, с. 31—38.
34. Ершов Ю. Л., Лавров И. А., Т а й м а н о в А. Д., Т а й ц-
л и н М. А. Элементарные теории.— УМН, 1965, 20, № 4, с. 37—
108.
35. Замятин А. П. Неабелево многообразие групп имеет
неразрешимую элементарную теорию. — Алгебра и логика, 1978, 17,
№ 1, с. 20—27.
36. К о к о р и и А. И., П и н у с А. Г. Вопросы разрешимости
расширенных теорий. — УМН, 1978, 33, № 2, с. 49—84.
37. Л а в р о в И. А. Эффективная неотделимость множества
тождественно истинных и множества конечно опровержимых
формул некоторых элементарных теорий. — Алгебра и логика,
1963, 2, № 1, с. 5—18.
38. П е н з и н Ю. Г. Неразрешимость полей рациональных функций
над полями характеристики 2.— Алгебра и логика, 1973, 12,
№ 2, с. 205-210.
39. Ах J. The elementary theory of finite fields. — Ann. Math., 1968,
88, p. 239—271.
40. A x J., К о с h e n S. Diophantine problems over local fields I,
II. —Amer. J. Math., 1965, 87, p. 605—648.
41. Ax J., Кос hen S. Diophantine problems over local fields III.—
Ann. Math., 1966, 83, p. 437—456.
42. В u r r i s S., Werner H. Sheaf constructions and their
elementary properties: Preprint. — 1976.
43. D e n e f J. Some trivial remarks on Hensel fields in char, p:
Preprint. — 1978.
44. E г s о v Ju. L. Theories of nonabelian varieties of groups —
Proc. Tarski Symp. (Proc. Symp. Pure Math., XXV), 1974,
p. 255—264.
45 S z m i e 1 e w W. Elementary properties of Abelian groups. —
Fundam. math., 1955, 41, p. 203—271.
40 Tarski A. Arithmetical classes and types of Boolean
algebras. — Bull, Amer, Math. Soc, 1949, 65, p. 63.
ЛИТЕРАТУРА 399
Статьи по конструктивной теории моделей
47. Гончаров С. С. Конструктивизируемость суператомных
булевых алгебр. — Алгебра и логика, 1973, 12, № 1, с. 31—40.
48. Г о н ч а р о в С. С. Конструктивизируемость простых
моделей.— В кн.: III Всесоюзная конференция по математической
логике (тезисы). Новосибирск, 1974, с. 46—47.
49. Г о н ч а р о в С. С. Конструктивные булевы алгебры. — В кн..»
III Всесоюзная конференция по математической логике
(тезисы). Новосибирск, 1974, с. 48—49.
50. Г о н ч а р о в С. С. Некоторые свойства конструктивизаций
булевых алгебр. — Сиб. матем. ж., 1975, 16, № 2, с. 264—
278.
51. Гончаров С. С. Вычислимые классы конструктивных
моделей. — В кн.: Всесоюзный алгебраический симпозиум, т. 2.
Гомель, 1975.
52. Гончаров С. С. Автоустойчивость и вычислимые семейства
конструктивизаций. — Алгебра и логика, 1975, 14, № 6, с. 647—
680.
53. Г о н ч а р о в С. С. Неавтоэквивалентные конструктивизаций
атомных булевых алгебр. — Матем. заметки, 1976, 19, № 6,
с. 853—858.
54. Гончаров С. С. »i-категоричная теория с единственной
конструктивизируемой моделью. — В кн.: IV Всесоюзная
конференция по математической логике. Кишинев, 1976, с. 32.
55. Гончаров С. С. О числе неавтоэквивалентных
конструктивизаций. — Алгебра и логика, 1977, 16, № 3, с. 257—282.
56. Г о н ч а р о в С. С. Конструктивные модели «i -категоричных
теорий. — Матем. заметки, 1978, 23, № 6, с. 885—888.
57. Гончаров С. С. Сильная конструктивизируемость
однородных моделей. — Алгебра и логика, 1978, 17, № 4, с. 363—388.
58. Гончаров С. С, Д о б р и ц а В. П. Пример конструктивной
абелевой группы с неконструктивизируемой редуцированной
подгруппой. — В кн.: IV Всесоюзная конференция по
математической логике. Кишинев, 1976, с. 33.
59. Гончаров С. С, Дроботун Б. Н. Обобщение
конструктивизаций. — В кн.: XIV Всесоюзная алгебраическая
конференция, т. 2. Новосибирск, 1977, с. 93—94.
60. Гончаров С. С, Н у р т а з и н А. Т. Конструктивные модели
полных разрешимых теорий. — Алгебра и логика, 1973, 12, №2,
с. 125—142.
61. Денисов С. Д. Модели непротиворечивой формулы и иерар
хия Ершова. — Алгебра и логика, 1972, 11, № 6, с. 648—655.
62. Д о б р и ц а В. П. Конструктивизируемые абелевы группы без
кручения конечного ранга. — В кн.: II Всесоюзная конференция
по математической логике. М., 1972, с. 14.
63. Д о б р и ц а В. П. О рекурсивно-нумерованных классах
конструктивных расширений и автоустойчивости алгебр. — Сиб.
матем. ж., 1975, 16, № 6, с. 1148—1154.
64. Д о б р и ц а В. П. О вычислимых и строго вычислимых
классах конструктивных алгебр.— В кн.: Материалы
республиканской конференции молодых ученых. Алма-Ата, 1976, с. 187.
400 ЛИТЕРАТУРА
65 Д о б р и ц а В. П. Вычислимость некоторых классов
конструктивных алгебр. —Сиб. матем. ж., 1977, 18, № 3, с. 570—579.
66. Д о б р и ц а В. П., X и с а м и е в Н. Г. Нумерация свободных
алгебр. — В кн.: Тезисы сообщений XII Всесоюзного
алгебраического коллоквиума. Свердловск, 1973.
67 Дроботун Б. Н. О нумерациях простых моделей. — Сиб.
матем. ж., 1977, 18, № 5, с. 1002—1014.
68. Дроботун Б. Н. Нумерация простых и насыщенных
моделей разрешимых теорий. — В кн.: XIV Всесоюзная
алгебраическая конференция, т. 2. Новосибирск, 1977, с. 98—99.
69 Дроботун Б. Н. О невычислимости одного класса сильных
конструктивизаций. — В кн.: VI Казахстанская межвузовская
научная конференция по математике и механике. Алма-Ата,
1977, с. 130.
70 Дроботун Б. Н. О счетных моделях разрешимых почти
категоричных теорий. — ИАН КазССР, сер. физ.-матем., 1977,
Ns 5, с. 22—25.
71 Ершов Ю. Л. Существование конструктивизаций. — ДАН
СССР, 1972, 204, № 5, с. 1041—1044.
72, Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. — В кн.:
Избранные вопросы алгебры и логики. Новосибирск, 1973, с. 111—
!30.
73 Ершов Ю. Л. Сколемовские функции и конструктивные
модели. — Алгебра и логика, 1973, 12, № 6, с. 644—654.
74 КудайбергеновК. Ж. Теория с двумя сильно
конструктивными моделями. — Алгебра и логика, 1979, 18, № 1.
75 Кузнецов А. В. О проблемах тождества и функциональной
полноты для алгебраических систем. — Труды III Всесоюзного
математического съезда, т. 2. М.: Изд. АН СССР, 1956,
с. 145—146.
76. Кузнецов А. В. Алгоритмы как операции в алгебраических
системах. — УМН, 1958, 13, № 3, с. 240—241.
77 Л и ф ш и ц В. А. О конструктивных группах. В кн.:
Исследования по математической логике, т. I. M, 1967, с. 86—95.
78. Мальцев А. И. Строго родственные модели и рекурсивно-
совершенные алгебры.— ДАН СССР, 1962, 145, № 2, с. 276—
279.
79. М а л ь ц е в А. И. О рекурсивных абелевых группах. — ДАН
СССР, 1962, 146, № 5, с. 1009—1012.
80 Мальцев А. И. Конструктивные алгебры I. — УМН, 1961,
16, № 3, с. 3—60.
81 Ногина Е. Ю. Нумерованные топологические пространства —
Z. math. Logik Grundl. Math., 1976, 24, N 2, с. 141—176.
82 H у р т а з и и А. Т. Вычислимые семейства и сильные и слабые
конструктивизаций сильно конструктивизируемой модели. В кн.:
III Всесоюзная конференция по математической логике
(тезисы). Новосибирск, 1974, с. 156—158.
83. Н у р т а з и и А. Т. Сильные и слабые конструктивизаций и
вычислимые семейства. — Алгебра и логика, 1974, 13, № 3.
с. 311-323.
84. Н у р т а з и н А. Т. Кандидатская диссертация. — Новосиб! рек,
J975
ЛИТЕРАТУРА 401
85. Перетятькин М. Г. О сильно конструктивных моделях. —
В кн.: Тезисы конференции аспирантов и студентов НГУ.
Новосибирск, 1971, с. 9—10.
86. Перетятькин М. Г. Сильно конструктивные модели и
нумерации булевой алгебры рекурсивных множеств. — Алгебра и
логика, 1971, 10, № 5, с. 535—557.
87. П е р е т я т ь к и н М. Г. Каждое рекурсивно-перечислимое
расширение теории линейного порядка имеет конструктивную
модель. — Алгебра и логика, 1973, 12, № 2, с. 211—219.
88. Перетятькин М. Г. Сильно конструктивная модель без
элементарных подмоделей и расширений. — Алгебра и логика,
1973, 12, № 3, с. 312—322.
89. Перетятькин М. Г. О полных теориях с конечных числом
счетных моделей. — Алгебра и логика, 1973, 12, N° 5, с. 550—
576.
90. Перетятькин М. Г. Пример разрешимой теории, не
имеющей бесконечных конструктивных моделей.— В кн.: Труды
конференции преподавателей и сотрудников Казахского
государственного университета. Алма-Ата, 1975.
91. Перетятькин М. Г. Критерий сильной конструктивизируе-
мости однородной модели.—Алгебра и логика, 1978, 17. № 4,
с. 436—454.
92. П и н у с А. Г. Об эффективных линейных порядках. — Сиб.
матем. ж., 1975, 16, № 6, с. 1246—1254.
93. П и н у с А. Г. Теории булевых алгебр в исчислении с
квантором «существует бесконечно много». — Сиб. матем. ж., 1976,
17, № 6, с. 1417—1421.
94. X и с а м и е в Н. Г. О сильно конструктивных моделях. — ИАН
КазССР, сер. физ.-матем., 1971, № 3, с. 59—63.
95. X и с а м и е в Н. Г. О конструктивных алгебраических
системах.—В кн.: II Всесоюзная конференция по математической
логике. М., 1972.
96: X и с а м и е в Н. Г. О сильно конструктивных моделях
разрешимой теории.— ИАН КазССР, сер. физ.-матем., 1974, № 1,
с. 83—84.
97. X и с а м и е в Н. Г. О периодической части сильно конструкти-
визируемой абелевой группы. — В кн.: Теоретические и
прикладные задачи математики и механики. Алма-Ата, 1977,
с. 299—303.
98. X и с а м и е в Н. Г. Конструктивные периодические абелевы
группы. — В кн.: Тезисы I Казахстанской конференции по
математике и механике. Алма-Ата, 1974, с. 253.
99. A a n d e r a a S. О., J e n s e n F. V. On the existence of
recursive models for Krom-formulas. — Aarhus Univ. preprint ser.,
1971/1972, № 33.
100. Alton D. A., Madison E. W. Computability of Boolean
algebras and their-extensions. — Ann. Math. Log., 1973, 6, № 2,
p. 95—128.
101. Applebaum Ch. H. co-Homomorphisms and co-groups.—J.
Symbolic Logic, 1971, 36, № 1. p. 55—65.
102. A pp 1 eb aum Ch. H. Isomorphisms of co-groups. — Notro
Pame J. Formal Logic, 1971, 12, p. 238—248.
402 ЛИТЕРАТУРА
103. Appiebaum Ch. H. A result for w-groups.— Z. math. Logik
Grundl. Math., 1973, 19, № 1, p. 33—35.
104. Applebaum Ch. H., Dekker J. С. Е. Partial recursive
functions and co-functions. — J. Symbolic Logic, 1970, 35, № 4,
p. 559—568.
105. Baur W Rekursive algebraische Strukturen: Dissertation.—
Zurich, 1973.
106. Baur W. Ober rekursive Strukturen. — Inven. Math., 1974, 23,
№ 2, S. 89—95.
107. Baur W. Rekursive Algebren mit Kettenbedingungen. — Z.
Math. Logik Grundl. Math., 1974, 20, № 1, S 37—46.
108. Bean D. R. Effective coloration. — J. Symbolic Logic, 1976, 41,
№ 2, p. 469—480.
109. Bienstock E. Sets of degrees of computable fields. — Isr. J.
Math., 1977, 27, № 3-4, p. 348—356.
ПО. В б r g e r E. On the construction of simple first-order formulas
without recursive models. — In: Coll. Symb. Log. Madrid, 1976,
p. 7—24.
111. Co bh am A. Effectively decidable theories. — Summ. talks
Summ. Inst. Symb. Log., Cornell Univ., 1957, 1, p. 391—395.
112. Cob ham A. Some remarks concerning theories with recursively
enumerable complements. — J. Symbolic Logic, 1963, 28, № I,
p. 72—74.
113. Cross ley J. N. Constructive order types I. — In: Formal
systems and recursive functions. Amsterdam, 1965, p. 189—264.
114. Cross ley J. N., Nerode A. Effective dimension. — J.
Algebra, 1976, 41, № 2, p. 398—412.
115. Dekker J. С. Е. Countable vector spaces with recursive
operations I. — J. Symbolic Logic, 1969, 34, № 3, p. 363—387.
116. Dekker J. С. Е. Countable vector spaces with recursive
operations II.— J. Symbolic Logic, 1971, 36, № 3, p. 477—
493.
117. Dekker J. С. Е. Two notes on vector spaces with recursive
operations. — Notre Dame J. Formal Logic, 1971, 12, p. 329—
334.
118. E i s en ber g E. F. Effective isomorphisms of algebraic
systems. — Notices Amer. Math. Soc, 1974, 21, № 6, A-551.
119. Ershov Yu. L. Numbered fields.— In: HI ICLMPS.
Amsterdam, 1968, p. 31—34.
120. Feferman S. Arithmetically definable models of formalised
arithmetic. — Notices Amer. Math. Soc, 1958, 5, p. 679—680.
121. Feiner L. Hierarchies of Boolean algebras. — J. Symbolic
Logic, 1970, 35, № 3, p. 365—373.
122. Feiner L. Degrees of nonrecursive presentability.— Proc. Amer
Math. Soc, 1973, 38, № 3, p. 621—624.
123. Frohlich A., Shepherdson J. С Effective procedures in
field theory. — Phil. Trans. Soc, London, 1956, A248, p. 407—
432.
124. Grzegorczyk A. A theory without recursive models. — Bull
Acad. Polon. Sci., ser. Math. Astr. Phys., 1962, 10, p. 63—69.
125. Guhl R. A theorem on recursively enumerable vector spaces,—
Notre Dame J. Formal Logic, 1975, 16, N° 3, p. 357.
ЛИТЕРАТУРА 403
126. Hamilton A. G. Bases and co-dimensions of countable vector
spaces with recursive operations. — J. Symbolic Logic, 1970, 35,
№ 1, p. 85—96
127. Harrington L. Structures with recursive presentation. —
Notices Amer. Math. Soc, 1971, 18, № 5, p. 826.
128. H arri n gt on L. Recursively presentable prime models.—
J. Symbolic Logic, 1974, 39, № 2, p. 305—309.
129. Hassett M. J. Recursive equivalence types and groups.—
J. Symbolic Logic, 1969, 34, № 1, p. 13—20.
130. Hensel G., Putnam H. Normal models and the field 2f.—
Fundam. math., 1969, 64, p. 231—240.
131. Jensen F. V. Examples of existence proofs for numbered
models of first-order theories. — Aarhus Univ. preprint sen, 1971,
№ 36.
132. Kalantari I. Major subspaces of recursively enumerable
vector spaces.— J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 2, p. 293—303.
133. Kalantari I. Recursive enumerable topological spaces. —
Notices Amer. Math. Soc, 1977, 24, № 6, A-549.
134. Kalantari I. Recursion theory and linear topological vector
spaces. — Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-385.
135. Kalantari I., Retzlaff A. Maximal vector spaces under
automorphisms of the lattice of recursively enumerable vector
spaces.— J. Symbolic Logic, 1977, 42, № 4, p. 481—491.
136. Kreisel G. Note on arithemetic models for consistent formulae
of the predicate calculus. — Fundam. math., 1950, 37, p. 265—268.
137. Kreisel G. Note on arithmetic models for consistent formulae
of the predicate calculus II. — In: Proc. XI Intern. Congr. Phil.
Bruxelles, 1953, p. 39—49.
138. L achl a n A. H. On the lattice of recursively enumerable sets.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1968, 130, p. 1—37.
139. Lachlan A. H., Madison E. W. Computable fields and
• arithmetically definable ordered fields. — Proc. Amer. Math. Soc,
1970, 24, № 4, p. 803—807.
140. Lacombe D. Proprietes recursives des structures enumerees.—
Publ. C'Inst. B. Pacsal, Annee 1966.
141. Lambert W. H., Jr. A notion of effectiveness in arbitrary
structures.—J. Symbolic Logic, 1968, 33, № 4, p. 577—602.
142. La Roche P. E. Effective Galois theory. — Notices Amer.Math.
Soc, 1978, 25, № 4, A-443.
143. La Roche P. E. Effective Galois theory II. — Notices Amer.
Math. Soc, 1978, 25, № 6, A-604.
144. Lerman M. Theories with recursive models. — Notices Amer.
Math. Soc, 1976, 23, № 1, A-20.
145. Lerman M., Schmerl J. H. Theories with recursive models.—
Recursive funct. theory: Newsletter, 1975, № 10, p. 6—7.
146. Lerman M., Schmerl J. H. Theories with recursive models:
Preprint.— 1978.
147. Lin Ch. R. Recursion theory on countable Abelian groups. —
Notices Amer. Math. Soc, 1977, 24, Mi 6, A-558.
148. Lin Ch. R. Recursively presented Abelian groups. — Notices
Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-386.
404 ЛИТЕРАТУРА
149. Madison E. W. Structures elementarily closed relative to a
model for arithmetic. — J. Symbolic Logic, 1968, 33, № 1,
p. 101—104.
150. Madison E. W. Computable algebraic structures and nonstan-
dard arithmetic. — Trans. Amer. Math. Soc, 1968, 130, № 1,
p. 38—54.
151. Madison E. W. A note on computable real fields.— J.
Symbolic Logic, 1970, 35, № 2, p. 239—241.
152. Madison E. W. Some remarks on computable (non-archime-
dian) ordered fields. —J. London Math. Soc. B), 1971, 3,
p. 304^308.
153. Madison E. W., Nelson G. C, Some examples of
constructive and non-constructive extensions of the countable atomless
Boolean algebras.— J. London Math. Soc. B), 1975, 11, p. 325—336.
154. Metakides G., Nerode A. Recursion theory and algebra. —
Lect. Notes Math., 1975, 450, p. 209—219.
155. Metakides G., Nerode A. Recursively enumerable vector
spaces. —Ann. Math. Logic, 1977, 11, № 2, p. 147—172.
156. Met akides G., Nerode A. Recursive content at field
theory I.—Notices Amer. Math..Soc., 1978, 25, № 3, A-385.
157. Metakides G., Nerode A. Recursive content at field theory
II. —Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-361.
158. Metakides G., Nerode A. Recursion theory of fields I.—
Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 6, A-496—A-497.
159. Metakides G., Nerode A. Recursion theory of fields II.—
Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 6, A-599.
160. Millar T. S. Recursively presented models. — Notices Amer.
Math. Soc, 1974, 21, № 6, A-550—A-551.
161. Millar T; S. Some results in recursive model theory. — Notices
Amer. Math. Soc, 1977, 24, № 2, A-252.
162. Millar T. S. Homogeneous models and decidability. — Notices
Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-384.
163. Millar T. S. Foundations of recursive model theory.— Ann.
Math. Logic, 1978, 13, № 1, p. 45—72.
164. Мог ley M. Decidable models. —Isr. J. Math., 1976, 25, p. 233—
240.
165. Moschovakis Y. N. Notation systems and recursive ordered
fields. — Compositio math., 1965, 17, № 1, p. 40—71.
166. Mostowski A. On a system of axiom which has no т.е.
arithmetic model. — Fundam. math., 1953, 40, p. 56—61.
167. Mostowski A. A formula with no recursively enumerable
models. — Fundam. math., 1955, 42, № 1, p. 125—140.
168. Mostowski A. On recursive models of formalized
arithmetic—Bull. Acad. Polon. Sci., 1957, № 7, p. 705—710.
169. Nerode A. A decision method for p-adic integral zeros of dio-
phantine equations. — Bull. Amer. Math. Soc, 1963, 69, p. 513—517.
170. Nerode A. The limits of effectivity in classical mathematics.—
Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, M 5, A-505.
171. Nerode A., Metakides G. Creative presentations. — Notices
Amer. Math. Soc. 1974, 21, № 6, A-551.
172. Putnam II. Arithmetic models for consistent formulae of
quantification theory.— J. Symbolic Logic, 1957, 22, p. 110—111.
ЛИТЕРАТУРА 405
173. Putnam H. Trial and error predicates and the solution to a
problem of Mostowski. — J. Symbolic Logic, 1965," 30, № 1,
p. 49—57.
174. Rabin M. O. On т.е. and arithmetic models of set theory.—
J. Symbolic Logic, 1958,23, № 4, p. 408—416.
175. Rabin M. O. Computable algebra, general theory and theory of
computable fields. — Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95, Ns 2,
p. 341—360.
176. Remmel J. B. Co-hypersimple algebraic structures. — Notices
Amer. Math. Soc, 1974, 21, № 6, A-556.
177. Remmel J. B. Co-hypersimple structures. — J. Symbolic Logic,
1976, 41, №3, p. 611—625.
178. Remmel J. B. Maximal and cohesive vector spaces.— J.
Symbolic Logic, 1977, 42, № 3, p. 400—418.
179. Remmel J. B. Recursively enumerable Boolean algebras.— Ann.
Math. Logic, 1978, 14, № 2, p. 74—107.
180. Remmel J. B. On the lattice of r.e. subalgebras of weakly
recursively presented Boolean algebras. — Notices Amer. Math.
Soc, 1978, 25, № 3, A-383.
181. Remmel J. B. Recursive isomorphism types of recursively
presented Boolean algebras. — Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25,
№ 7, A-70&
182. Remmel J. B. Realizing partial orderings by classes of
cosimple sets. —Pacif. J. Math., 1978, 76, № 1, p. 169—184.
183. Remmel J. B. Ar /"-maximal vector space not contained in
any maximal vector space. — J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 3,
p. 430—441.
184. Remmel J. В., Metakides G. Recursion theory on
orderings; a model theoretic setting. — Notices Amer. Math. Soc,
1978, 25, № 2, A-249.
185. Retzlaff A. Simple and hyperhypersimple vector spaces.—
.J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 2, p. 260—269.
186. Retzlaff A. Direct summands of r.e. vector spaces.—
Z. math. Logik Grundl. Math., 1979, 25, № 4, p. 363—372.
187. Rice H. G. Recursive and recursively enumerable orders.—
Trans. Amer. Math. Soc, 1956, 83, p. 277—300.
188. Rich man F. Constructive aspects of noetherian rings. — Prjc.
Amer. Math. Soc, 1974, 44, № 2, p. 436—441.
189. Rosen stein J. G. Recursive linear orderings. — Notices Amer.
Math. Soc, 1977, 24, № 6, A-559.
190. Schmerl J. H. Recursive colourings of graphs. — Notices Amer.
Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-384.
191. Shore R. Controlling the dependence degree of a recursively
enumerable vector space.—J. Symbolic Logic, 1978, 43, № 1,
p. 13—22.
192. Smith R. Effective group structures on П? classes of
functions. — Notices Amer. Math. Soc, 1978, 25, № 3, A-387.
193. Smith R. Abelian recursively profinite groups. — Notices Amer.
Math. Soc, 1978, 25, № 5, A-507.
194. Suter G. Recursive elements and constructive extensions of the
computable local integral domains.— J. Symbolic Logic, 1973,
38, № 2, p. 272—289.
406
195. Tannenbaum С. Non-axchimedian models for arithmetic —
Notices Amer. Math. Soc, 1959, 6, Na 3, p. 270.
196. Tucker J. V. Recursiveness and the algebra of fields: some af-
fine constructions. — J. Symbolic Logic, 1977, 42, Ks 3, p. 472—
473.
197. V a u g h t R. L. Non-recursive enumerability of the set sentences
true in all constructive models. — Bull. Amer. Math. Soc, 1957,
63, p. 230.
198. Vaught R. L. Sentences true in all constructive models.—
Summ. talks Summ. Inst. Symb. Log., Cornell Univ., 1957, 1,
p. 51—55.
199. Vaught R. L. Sentences true in all constructive models —
J. Symbolic Logic, 1960, 25, № 1, p. 39—53.
200. Wang H. Arithmetic models for formal systems.— Method, 1951,
3, p. 217—232.
Статьи на другие темы, использованные в книге
201. Ершов Ю. Л. Полулокальные поля.— ДАН СССР, 1974, 215,
№ 1, с. 41—44.
202. Ершов Ю. Л. Алгебраически компактные группы. — Алгебра
и логика, 1978, 17, № 6.
203. Мальцев А. И. Нильпотентные группы без кручения. — ИАН
СССР, сер. матем., 1949, 13, с. 201—212.
204. Мальцев А. И. Универсально аксиоматизируемые подклассы'
локально конечных классов моделей. — Сиб. матем. ж., 1967, 8,
№ 5, с. 1005—1014.
205. Матиясевич Ю. В. Диофантность перечислимых
множеств.—ДАН СССР, 1970, 191, с. 279—288.
206. Hanf W. Primitive Boolean algebras.— Proc Tarski Symp.
(Proc. Symp. Pure Math., XXV), 1974, p. 75—90.
207. Kaplanskl I. Maximal fields with valuations. — Duke Math.
J., 1942, 9, № 2, p. 303—321.
208. К r u s k a 1 J. B. Well-quasi-ordering, the Tree Theorem and
Vaszonyi's conjecture. — Trans. Amer. Math. Soc, 1960, 95, № 2.
p. 210—225.
209. N a s h - W i 11 i a m s С St. J. A. On well-quasi-ordering finite
trees. — Proc. Cambr. Phil. Soc, 1963, 59, № 4, p. 833—835.
Статьи по конструктивной теории моделей,
добавленные при корректуре
210. Гончаров С. С. Ограниченные теории конструктивных
булевых алгебр.— Сиб. матем. ж., 1976, 17, № 4, с. 797—812.
211. Гончаров С. С. Тотально трансцендентная теория с некон-
структивизируемой простой моделью. — Сиб. матем. ж., 1980,
21, № 1, с. 44—51.
212. Гончаров С. С, Дроботун Б. Н. О нумерациях
насыщенных и однородных моделей. — Сиб. матем. ж., 1980, 21,
№ 2.
213. Гончаров С. С. Автоустойчивость моделей и абелевых
групп. — Алгебра и логика, 1980, 19, № 1, с. 23—44.
ЛИТЕРАТУРА 407
214. Гончаров С. С, Дзгоев В. Д. Автоустойчивость
моделей.—Алгебра и логика, 1980, 19, № 1, с. 45—58.
215. Гончаров С. С. Тотально трансцендентная теория без кон-
структивизируемых однородных моделей. — Алгебра и логика,
1980, 19, № 2.
16. Гончаров С. С. Конструктивизируемость декартовых
степеней моделей. — В кн.: 15-я Всесоюзная алгебраическая
конференция (тезисы), т. 2. Красноярск, 1979, с. 40.
217. Гончаров С. С. Рекурсивные модели и полурешетка по
отделимости. — В кн.: V Всесоюзная конференция по
математической логике (тезисы). Новосибирск, 1979, с. 31.
218. Гончаров С. С. Конструктивизируемость некоторых
булевых алгебр и суператомные булевы алгебры. — В кн.: Тезисы
докладов X научной студенческой конференции. Новосибирск,
1972, с. 13—14
219. Гончаров С. С. О конструктивных моделях. — В кн.:
Материалы XI научной студенческой конференции, посвященной
памяти В. И. Ленина. Новосибирск, 1973, с. 9—11.
220. Дзгоев В. Д. О конструктивизируемости булевых алгебр. —
В кн.: IV Всесоюзная конференция по математической логике
(тезисы). Кишинев, 1976, с. 42.
221. Дзгоев В. Д. О конструктивизации дистрибутивных
структур с относительными дополнениями. — В кн.: 14-я Всесоюзная
алгебраическая конференция (тезисы), т. 2. Новосибирск, 1977,
с. 93.
222. Дзгоев В. Д. Рекурсивные автоморфизмы конструктивных
алгебраических систем. — В кн.: 15-я Всесоюзная
алгебраическая конференция (тезисы), т. 2, Красноярск, 1979, с. 52.
223. Дзгоев В. Д. Декартовы степени конструктивных моделей.—
В кн.: V Всесоюзная конференция по математической логике.
Новосибирск, 1979, с. 43—44.
224. Дзгоев В. Д. О конструктивизациях некоторых структур. —
• Сиб. матем. ж., 1980, 21, № 1, с. 231.
225. Вайнберг Ю. Р., Ногина Е. Ю. О двух типах
непрерывности вычислимых отображений нумерованных топологических
пространств. — В кн.: Исследования по теории алгоритмов и
математической логике. М.: ВЦ АН СССР, 1976, 2, с. 84—99.
226. Добрица В. П. О конструктивных абелевых группах без
кручения. — В кн.: Тезисы докладов IX научной конференции
студентов и аспирантов. Новосибирск, 1971, с. 7.
227. Добрица В. П. Одно необходимое условие вычислимости. —
В кн.: IV Всесоюзная конференция по математической логике
(тезисы). Кишинев, 1976, с. 44.
228. Добрица В. П. Замечание о вычислимых классах
алгебраических систем. — В кн.: 15-я Всесоюзная алгебраическая
конференция (тезисы), т. 2, Красноярск, 1979, с. 53.
229. Добрица В. П. Пример неавтоустойчивой группы конечного
ранга без кручения. — В кн.: V Всесоюзная конференция по
математической логике (тезисы). Новосибирск, 1979, с. 45.
230. Закирьянов К. X., Блощицын В. Я. Конструктивные
абелевы группы. — В кн.: Тематический сборник научных
трудов профессорско-преподавательского состава и аспирантов
408 ЛИТЕРАТУРА
высших учебных заведений Минпрос КазССР. Алма-Ата, 1978,
с. 18—25.
231. Крупский В. И., Ногина Е. Ю. О существовании
рекурсивных остовов топологических пространств. — В кн.: V
Всесоюзная конференция по математической логике (тезисы).
Новосибирск, 1979, с. 5.
232. Кудайбергенов К. Ж. Об а-конструктивных моделях. —
В кн.: V Всесоюзная конференция по математической логике
(тезисы). Новосибирск, 1979, с. 76.
233. Ногина Е. Ю. О прослеживаемости нумерованных
совокупностей множеств. — В кн.: V Всесоюзная конференция по
математической логике (тезисы). Новосибирск, 1979, с. 111.
234. Нуртазин А. Т. Критерии автоустойчивости моделей
полных разрешимых «о-категоричных теорий. — В кн.: Материалы
XII Всесоюзной научной студенческой конференции.
Новосибирск, 1974, с. 29.
235. Перетятькин М. Г. О конечноаксиоматизируемых полных
теориях. — В кн.: V Всесоюзная конференция по
математической логике (тезисы). Новосибирск, 1979, с. 119.
236. Перетятькин М. Г. Сложность некоторых классов
предложений. — В кн.: V Всесоюзная конференция по математической
логике (тезисы). Новосибирск, 1979, с. 120.
237. Тайманов А. Д. О топологизации счетных классических
алгебр. — В кн.: 14-я Всесоюзная алгебраическая конференция
(тезисы), т. 2. Новосибирск, 1977, с. 124—125.
238. Тайманов А. Д. О топологизируемости счетных алгебр. —
В кн.: Математический анализ и смежные вопросы
математики. Новосибирск, 1978, с. 254—275.
239. Тайманов А. Д. О топологизации счетных алгебр. — ДАН
СССР, 1978, 243, № 2, с. 284—286.
240. Хисамиев Н. Г. Критерий конструктивизируемости прямой
суммы циклических />-групп. — В кн.: V Всесоюзная
конференция по математической логике (тезисы). Новосибирск, 1979,
с. 157.
241. Ash С. J., N erode A. Recursive model theory in recursive
algebra.— Notices Amer. Math. Soc, 1979, 26, № 2, A-249.
242. Goncharov S.S. Strongly constructive homogeneous
models. — In: 6-th International Congress of Logic, Methodology
and Philosophy of Science, Hannover, 1979, p. 108—112.
243. Kalantari'I. Automorphisms of the lattice of recursively
enumerable vector spaces. — Z. math. Logik Grundl. Math., 1979,
25, № 5, p. 385—401.
244. Kalantari I., Retzlaff A. Recursive constructions in topo-
logical spaces.— J. Symbolic Logic, 1979, 44, № 4, p. 609—625.
245. Lacombe D. Les ensembles recursivement ouverts ou fermes,
et leurs applications a l'analyse recursive. — С. г. Acad. Sci.
Paris, 1957, 245, p. 1040—1043; 1958, 246, p. 28—31.
246. Lacombe D. Quelques procedes de definition en topologie
recursive. — In: Constructivity in Mathematics. Amsterdam:
North-Holland, 1959, p. 129—158.
247. La Roche P. Recursively presented Boolean algebras, —
Notices Amer. Math. Soc, 1977, 24, A-552.
ЛИТЕРАТУРА 409
248. Lerman M., Schmerl J. H. Theories with recursive
models.—J. Symbolic Logic, 1979, 44, № 1, p. 59—76.
249. Mead J. Recursive prime models for Boolean algebras. —
Colloquium math., 1979, 41, № 1, p. 25—33.
250. Metakides G., Remmel J. B. Recursion on orderings I:
A model theoretic setting.— J. Symbolic Logic, 1979, 44, № 3,
p. 383—402.
251. Millar T. S. A complete decidable theory with two decidable
models.—J. Symbolic Logic, 1979, 44, № 3, p. 307—312.
252. Moschovakis Y. N. Recursive metric spaces. — Fundam.
math., 1964 65, p. 215—238.
253. N e г о d e A. Recursive vs. Constructive Mathematics. — Notices
Amer. Math. Soc, 1979, 26, № 1, A-21.
254. Remmel J. B. #-maximal Boolean algebras. — J. Symbolic
Logic, 1979, 44, № 4, p. 533—548.
255. Remmel J. B. Recursive isomorphism types of recursive
Boolean algebras; Preprint. — 1979.
256. Remmel J. B. Recursive Boolean algebras with recursive
atoms: Preprint. — 1979.
257. Smith R. L. The theory of profinite groups with effective
presentation. — Dissert. Abstr. Intern. B, 1979, 40, № 4, p. 1758-B—
1759-B.
258. Stoltenberg-Hansen V., Tucker J. V. Computing roots
in fields: Preprint. — Amsterdam, 1979.
259. Tucker J. V. Computing in algebraic systems: Preprint: —
Oslo, 1978.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ttV2 ir «i»
M i e/
nf^tio2 a\aXft 59
^^.12 Ext (Do, D.) 60
^=i ? 12 "^ W ^2
Th (AT) 13 Dse 67
Ио < «i 14 Ф @) 76
«o < «i 14 Фо (?>) 77
St f В 14 Da 77
Я/п 15 т(a) 80
SI ~ S3 16 о (a, b) 84
Я fa 16 ?"(D) 89
D (St), FD (SI) 16 Tn (D) 89
TT St, SI7 18 "D 89
limSi 20 e (a) 90
lim Щ 22 x (D) 102
П W 23 W' (Л) 105
"n Ё «/ 105
85'/F 24 ffi l
Yj Я< 25 T(A) 108
is/ Лр 108
Sto^sSti 25 hAtn\ iin
Sn(T), Fn(D36 oPr no
<3K, ^K9 <?, С с 112
* U 0, x П у 45 Л [р] 135
л в (Л) 141
I I х„ П Jft 46 Л [s] 142
У tef I? И) 155
й 47 Sp (Л) 159
Spec(St) 47 ар,„(Л), вр (Л), \р(А) 159
1аЬу47 §(Л) 165
<U (Я) 48 „ (Л 171
St: Я-><М(Я) 50 р« 175
P®(S) 53 L||^ 175
a\b 55 ft
Кег ф 57 Fo ® fcFi 176
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
411
F(R) 177
ttt(fl) 177
Ro^Ri 178
RF 180
Rp 181
Aut(F0/F) 185
Gf, F° 186
G- 188
Fz 189
Rh 196
Г" 199
Rv 199
(F, о, Г) 202
Fv 202
(?л, uft, Rh) 204
A [Г] 221
* <8> Г 223
V 228
*<Г>234
k«t» 236
(g, ©) 240
Qp 259
Г» 278
д:; ш -> ? 278
Fd (я) 279
5„ 283
[g, @] 288
(SDl, v) 294
(Ш10, vo) ж BKb
kv 294
Tht (ЗЙ, v) 295
с, /, г 296
г(а. v, Ф) 320
W\% 325
^' 326
294
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра булева 56
— нумерованная 297
— позитивно нумерованная 298
— простая 299
Атом решетки 73
Базис линейный 70
— фильтра 356
Гензелизация кольца
нормирования 196
— нормирования 216
— нормированного поля 204
Гомоморфизм 15
— нумерованных моделей 294
Группа алгебраически
компактная 130
— без кручения 108
— единиц локального кольца
200
— квазициклическая 112
— конечной экспоненты 119
— линейно упорядоченная 167
— локально нильпотентная 332
циклическая 113
— нильпотентная 332
— нормирования 199
— периодическая 108
— полная 111
— разложения 188
— редуцированная 115
— свободная (абелева) 105
— симметрическая 283
— финитно аппроксимируемая
1 ^и
— П-полная 125
Дерево 358
— над & 358
Диаграмма 16
— полная 16
Дополнение .относительное 54
Замыкание вещественное 341
— целое 181
Идеёл решетки 46
главный 47
локально главный 62
— — простой 47
— Фреше 76
итерированный 77
Изоморфизм 16
— допустимый 331
— конечный 26
— частичный 26
Индекс ветвления 202
Интервал линейно
упорядоченного множества 67
Инъективность группы 113
Категория Я 105
— Я„ 118
-ЯП128
— ©о 56
— «о 69
Класс конструктивных моделей
слабо вычислимый 307
Кольцо групповое 221
— локальное 177
— нормирования 177
гензелево 193
— целое над кольцом 182
— целостное 177
— целых р-адических чисел 259
— частных относительно идеала
181
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
413
Комбинация булевых формул 276
Композит полей 175
Компонента р-примарная группы
198
Константы основные 13
Конструктивизация модели 300
сильная 300
Конус неотрицательных
элементов 168
Критерий Робинсона 33
Лемма Гаусса 183
Метод относительной
элементарной определимости 271
— элиминации кванторов 266
Многообразие 17
Многочлен унитарный 180
Множество нумерованное 294
— основное системы 13
— порождающих группы 105
— предупорядоченное 355
нётерово 356
со свойством конечности
базиса 356
— формул разрешимое 294
Модель 13
— автоустойчивая 303
— допустимая 329
— конструктивизируемая 300
— конструктивная 295
— конструктивно устойчивая
302
— нумерованная 294
— однородная 37
— первичная 33
— правильная 347
— простая 38
— сильно конструктивизируемая
300
конструктивная 295
конструктивно устойчивая
302
— счетно насыщенная 40
— х-насыщенная 39
Мономорфизм деревьев над &
358
Морфизм нумерованных
множеств 294
Нётеровость предупорядочен-
ного множества 355"
Ноль решетки 51
«Нормирование» кольца 220
Нормирование поля 199
— р-адическое 255
Нумерация 294
— алгебры 297
—гёделева 265
— семейства конструктивных
моделей вычислимая 306
: сильно конструктивных
моделей сильно вычислимая
306
— цилиндрическая 367
Обогащение формульное 32
полное 32
Операция основная 13
Определимость относительная
элементарная 271
Ортогональность элементов 59
Отображение допустимое 21
— хорошее 21
Отношение доминирования 178
— конгруэнтности 15
сильное 15
— предпорядка направленное 19
Подгруппа базисная 150
— выпуклая 169
— сервантная 116
Подсистема 14
— элементарная 14
Поле вычетов локального
кольца 178
— гензелево 336
— нормированное 202
— представителей для поля
вычетов 224
— разложения 189
— частных 177
— р-адических чисел 259
Полусоответствие между
булевыми алгебрами 75
решетками 73
Пополнение группы 171, 332
— идеальное 60
— модельное 35
414
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Порядок лексикографический 174
— элемента 108
Последовательность Коши 257
— плохая 357
— хорошая 357
Предел обратный 20
— последовательности Коши 259
— прямой 22
— ^-последовательности 210
Предикат основной 13
Предложение диаграммное 309
Предпорядок ^ R 178
Препятствие 346
Проблема единственности для
продолжения 304
— продолжения конструктивиза-
ции 303
— существования конструктиви-
зации у модели 300
конструктивизируемой
модели 300
Продолжение нормирования 201
Проектирование 18
Проекция 20
Произведение
лексикографическое 174
— подпрямое 19
— приведенное (фильтрованное)
23
— прямое (декартово) 18
— свободное 59
Разделенность линейная над
полем 175
Разложение в прямую сумму
подгрупп 108
— нормирования 252
Расширение Галуа 186
— группы сечения 232
— непосредственное 202
алгебраическое
максимальное 214
— неразветвленное 202
— нормальное 186
— нормирования 201
— поля представителей 227
— решеток 60
Решетка 45
— атомная 73
— безатомная 73
— дистрибутивная 49
Решетка дистрибутивная с
относительными дополнениями 55
— полная 46
— специальная 98
— суператомная 77
— а-атомная 83
Сводимость нумераций 302
Свойство единственности
продолжения 189
Семейство типов плотное 38
Сечение нормированного поля
224
Сигнатура 12
Символ константный 12
— предикатный 12
— функциональный 12
Система алгебраическая 13
— аксиом 13
— соответствий между
булевыми алгебрами 87
решетками 85
— ./(-свободная 17
Слагаемое прямое группы 114
Соответствие между булевыми
алгебрами 74
решетками 71
Спектр обратный 19
— прямой 22
Степень относительная 202
— приведенная 24
— прямая 18
Сумма прямая 25, 106
Теорема Воота — Тарского 14
— Лёвенгейма — Скулема 14
— Лося 24
— о пополнении 332
ядре 326
— об опускании типов 37
Теория 13
—, допускающая элиминацию
кванторов 34
— категоричная 32
— модельно непротиворечивая
относительно теории 34
; полная 32
относительно теории 34
— наследственно неразрешимая
271
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
415
Теория непротиворечивая 14
— неразложимая 271
— полная 14
— разрешимая 265
— с абсолютно конечным
числом препятствий 351
конечными препятствиями
346
— сильно V-конечная 352
— существенно неразрешимая
271
— элементарная класса 13
— Тал 266
— ТА 285
— 7"CR332
— Т„ 332
— Tia 169
— 7Yo 390
— 7Vo 356
— V-конечная 352
Тип атомарный решетки 80
элемента решетки 80
— главный 36
над типом 37
—, опускаемый моделью 36
—, реализуемый в модели 36
Тождество 17
Ультрапроизведение 24
Ультрастепень 24
Ультрафильтр счетно неполный
40
Фактор-решетка 47
Фильтр предупорядоченного
множества 356
— решетки 59
Форма шмелевская
каноническая 165
р-каноническая 160
— эрбранова 345
Формула примитивная 33
— типа главная 36
Функтор П 128
— П„ 119
— П„ 136
Функции скулемовские 345
Характеристика элементарная
булевой алгебры 89
Характеристика элементарная
решетки 102
специальной решетки 98
элемента 90
Часть каноническая элемента 230
— периодическая группы 108
Эквивалентность конструктивна
заций 301
— моделей универсальная 33
— нормирований 199
— нумераций 302
— нумерованных моделей 294
над подмодулем 304
— элементарная 25
Экспонента группы 119
Элемент бесконечного порядка
108 '
— канонический 229
— кольца целый 180
— конечного порядка 108
— модели Ф-алгебраический 325
— начальный 357
— решетки атомный 73
безатомный 73
разложимый 88
— уравновешенный 228
Я-теория 38
я-препятствие 349
п-теория 396
л-тип теории 36
р-высота элемента в группе 110
р-группа 198
р-элемент группы 108
Яр-группа 145
/?р-модуль 146
S-пополнение теории 371
Я-изоморфизм 16
ЯК-формула 346
©-пополнение теории 41
^-последовательность 210
— алгебраического типа 211
а-обеднение 16
а-обогащение 16
2°-подмножество 367
2°-семейство типов 367
(а', Ф)-ядро теории 325, 326
V-формула 309
3-теория 309
Э-формула 309
Юрий Леонидович Ершов
ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШИМОСТИ
И КОНСТРУКТИВНЫЕ МОДЕЛИ
(Серия: «Математическая логика и основания
математики:»)
М., 1980 г., 416 стр. с илл.
Редакторы В. А Горбунов, В. В. Донченко.
Технический редактор С. #. Шкляр.
Корректор В. П. Сорокина
ИБ № 11190
Сдано в набор 18.07.79. Подписано к печати 10.06.80
Т-08169.Бумага 84Х108'/зг. тип. J6 2. Литературная
гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 21,84.
Уч.-изд. л. 23,25. Тираж 5450 экз. Заказ J* 307.
Цена книги 3 р. 10 к.
Издательство «Наука>
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография М 2 имени Евгении Соколовой
«Союзполиграфпрома» при Государственном коми-
тете СССР по делам издательств, полиграфии и
книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский проспект, 29