Author: Зильберман А.Р. Кротов С.С. Буздин А.И.
Tags: строение материи физика квант
ISBN: 5-02-014401-0
Year: 1990
Text
@
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ-
ВЫПУСК 81
А.И. БУЗДИН
А.Р. ЗИЛЬБЕРМАН
с.с. КРОТОВ
РАЗ ЗАДАЧА,
ДВА ЗАДАЧА...
МОСКВА «HAYKA
rЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТJfЧЕСКОй ЛИТЕРАТУРЫ
1 990
ББК 22.36
Б90
У ДК 539 (023)
Серия «Библиотечка «Кввнт»
основана в 1980 r.
р Е Д А К Ц И О Н Н А Я К О Л Л Е F И Я
Академик ю. А. Осипьяв (предсеД8теЛЬ)f доктор физико-мате-
матически наук А. и. Буздии (ученый секретарь); академик
А. А. Абрикосов, академик А. с. Боровик"Романов, академик
Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР Б. 1(. Воздвижен-
ский, акзде.\1ИК В. JI. fиизбурr, академик Юа 8. fуляев, профессор
с. П. Капица, академик А. Б. МиrJ.аJl, академик с. П. Новиков,
академик АПН СССР В. r. Разумовский. академик Р. 3. CarAeeB,
профессор Я. А. Смородинекий. член-корреспондент АН СССР
д. К. Фаддеев
Рецензент
профессор Е. И. БутUК08
Буздии А. Н., 3ИJlьбермаи A P , Кротов с. с.
Б90 Раз задача, два задача... ......М.! Наука. rл. ред.
фиэ.-мат. ли ., 1990......... 2400. (<<Б-чка «Квант»; Выл. 81)
ISBN 5..02-014401-0
в еборвик вошло около двухсО'1' пятидесяти ориrянаtllЬНЫХ задач с
решениями пв физике, преДnaFавшихся авторами на физических олим-
пиадах раЗН5IХ уровней...... от школьноrо до международноrо. Для работы
с книrой достаточно знание курса физики в объеме ШКОJlЬНОЙ проrраММli,
но решение мноrих задач требуe'J сообразительности, умения по.новому
взrлянуть на известные явления.
Для школьников, ИН1ересующихоSl физикой, студентов, преподава-
телеЙ и руководителей физических кружков.
6 1604010000........121 181.90 ББК 22.3
053 (02)-90
ISBN 5-02-014401-0
с «Наука:.. ФизмаТJlИТ, 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
При изучении физики приходится все время
решать задачи. Часть таких задач совсем простые......... это
скорее не. задаЧl::I, а упражнения, примеры. Попадаются
задачи и посложнее, требующие для CBoero решения уже
некоторых усилий и размышлений. И важны ведь не сами
по себе усилия хотя и они полезны для поддержания
формы,........... ломая rолову над задачей, мы начинаем лучше
понимать физические законы, связь между ними.
Наконец, есть задачи совсем сложные для их реше-
ния мало просто понимать материал, нужно и уверенно
владеть математическим аппаратом и уметь выделять в
физическом явлении существенные стороны (несуществен-
ные тоже нужно уметь выделять......... и отбрасывать). rоворя
..
о владении математическим аппаратом, мы не имеем в виду
знакомство с какими-то разделами математики, которые
изучают только студенты....... речь идет об обычной триrо-
нометрии, системах уравнений. Но зачастую необходимо
увидеть в сложном выражении что-то простое и суметь
этим воспользоваться для упрощения.
Почти в-сеrда решение сложной задачи заставляет еще
раз вспомнить теорию, сравнить написанное в разных
книrах........ И, порой, найти в них неточности. Такие задачи
интересно обсуждать, спорить о них, и, если удается до-
казать свою правоту, можно испытать чувство законной
rордости дo следующей задачи... Именно по этой при-
чине сборник так и называется: «Раз задача, два задача...».
Ну, а если вам не доставляет удовольствия решать хит-
рые задачи, то не надо этоrо делать ни в коем случае
ведь столько есть на свете интересных вещей обирание
марок, например.
В сборник вошло около двухсот пятидесяти задач, ко..
торые авторы предлаrа и для физических олимпиад всех
уровней......... от ШКОЛЫIОI'О дО международноrо. Некоторые
задачи отмечены звездочками.......... это означает, что авторы
считаlОТ их трудными, однаКО вы с этим можете и не са-
з
rласиться. Приведены довольно подробные решения задач,
причем некоторые решения превратились внебольшие
статьи с названиями авторы надеются, что это может
принести некоторую пользу читателям. Для удобства
пользования в конце книrи приведена таблица основных
физических констант..
Большая часть задач этоrо сборника была напечатана
в журнале «Квант», и авторы пользуются с.пучаем насто-
ятельно рекомендовать этот журнал всем, кто интересу-
ется физикой и (или) математикой.
считаем своим приятным долrом поблаrодарить
рец нзента книrи профессора Е.. И. Бутикова 38 полезные
замечания и предложения.
ЗАДАЧИ
1 о МЕХАНИКА
"
с::=-
Кинематика
1.1, Киномеханик по ошибке пустил кино-
ленту так. что все события на экране «потекли в обрат-
HO i направлении», при этом автомобили поехали назад.
Как изменилась скорость автомобилей в результате
такой ошибки? А ускорение?
1.'2. rидрофон, установленный вблизи дна, эзреrист"
рировал последовательность сиrнаЛОВ t связанных с под-
EOДHЫ I взрывом на дне. l)ромежуток вреl\tlени между
первым и вторым сиrналом составил t 1 == 1 с, между пер-
вым и третьим t 2 == 3 о. Почему зареrистрировано несколь...
КО сиrналов и на каком расстоянии от rидрофона прои-
зашел взрыв?
Скорость распространения. звука в Боде v == 1500 м/с.
1.3*. Муравей бежит от муравейника по прямой так,
что скорость ero обратно пропорционаJJьна расстоянию до
иентра муравейника. В тот момент, коrда муравей нахо-
дится в точке А на расстоянии 11 == 1 м от центра мура-
вейника, ero скорость равна Vi == 2 см/с. За какое время
муравей добежит от точки А ДО точки В, которая нахо-
дится на расстоянии 12 == 2 м от центра муравейника?
"
'/
р не. I
Рис. 2
1.4. На неподвижном клине, образующем уrол а о
rоризонтом, .лежит нерастяжимая веревка. Один из кон-
цов веревки закреплен в точке А. К нижнему концу ве.
ревки прикреплен небольшой rрузик. В неКQТОРЫЙ момент
вреrvlени клин начинает двиrаться вправо с постоянным
ус орением а (РИG. 1).
С каки:м ускорение t движется rрузик, пока ОН нахо-
дится на клине?
6
1.5. По rладкому столу движется, быстро вращаясь
BOKpyr своей оси, ВОЛЧ0К, имеющий ФОР IУ конуса (рис. 2).
При какой скорости v поступательноrо движения вол
чок lie уд'\рится о край стола, СОСI{ОЧИВ с иеrо? Ось вол-
чка остается вертикальной. Размеры волчка указаны на
рисунке
1.6*. Лампочка ВИСИТ на расстоянии II от потолка на
высоте 12 ОТ пола. При ее разрыве осколки разлетаются
u U
во все стороны с однои И тои же по величине скоростью
V Найдите радиус Kpyra на полу, в который попадут
осколки. Считать, что удары осколков об потолок абсо-
лютно упруrие, а об пол неупруrие. До стен осколки
не долетают
t .7*. Два спортсмена стоят в точках А и В и держат
резиновый шнур. По сиrналу спортсмен А начинает ДВН-
rаться на восток со скоростью С
V o == 1 м/с, а спортсмен B Ha
юr с постоянным ускорением. А
Найти это ускорение, если
известно, что узел С, завя- С
о
занныи на шнуре, при дви-
жении прошел точку D (масш-
таб приведен на рис. 3).
1.8. В пространстве дви-
жетсядеревянныйкуб (рис 4).
В некоторый момент времени
rpaHb ABCD оказалась ro-
РИЗОН1альной, а скорости вершин куба А и В направлены
вертикально вниз и равны v по модулю. Известно, ttTO
скорость вершины куба С в этот же момент времени равна
по модулю: а) 2v, б) v/2. Какую максимальную по моду-
ЛЮ скорость MoryT иметь в этот момент друrие точки
куба?
1.9*. Один конец шарнирной конструкции из двух
одинаковых звеньев длины 2а закреплен. Друrой ее ко..
нец движется с постоянной скоростью v по прямой, рас..
стояние до которой от неподвижноrо конца конструкции
равно За (рис. 5). Найти, ускорение шарнира в тот мо"
мент времени, коrда' а) левое звено rоризонтально; б) СКО"
рость шарнира. равна нулю.
1.10. Цилиндр с намотанной на Hero нитью, второй
u u
конец которои закреплен, находится на rоризонтальнои
u U
подставке, движущеися поступательно с постоянноя rори..
онтально направленной скоростью v. Найти скорость оси
цилиндра в зависимости от утла а, образуемоrо нитью с
з
в
.0
ю
в
2М
р не. 3
7
А'
с'
А
с
"
11
Рис. 4
Рис. 6
Рис. 8
t1
Рис. 5
Риr. 7
Рис. 9
5M
Рис. 10
веРТИКЗ,,1JЬЮ. Относительно \ подставки ЦИЛИНДР не про-
скальзывает (рис. 6).
1.11. ЦИЛИНДР с намотанной на Hero нитью, второй
u u
конец которои закреплен, скатывается с rладкои наклон..
НОЙ ПЛОСКОСТИ, образующей уrол а с rоризонтом. Зная,
что в МОl\lеит, коrда нить вертикальна, уrловая скорость
вращения цилиндра равна 0), найдите: а) скорость дви-
жения ero оси, б) скорость точки ero касания с наклон-
ной плоскостью. Радиус цилиндра равен R (рис. 7).
1.12. Конец нити, намотанной на катушку t перекинут
через rвоздь, вбитый в стену. Нитку тянут с постоянной
скоростью V. С какой скоростью будет двиrаться центр
катушки в тот момент, коrда нить составляет уrол а с
вертикалью? Внешний радиус катушки R, внутренний........ (.
Катушка катится без проскальзывания (рис. 8).
1.13. Шарик катится вдоль ребра прямоуrольноrо же-
лоба АС В со скоростью v без проскальзывания (рис. 9).
Расстояние АВ равно радиусу шарика. Какие точки ша-
рика имеют максимальную скорость? Чему равна эта
скорость?
1.14*. В пространстве падает лист фанерЧI. Оказалось,
что в некоторый момент времени скорости двух точеI(
листа А и В одинаковы (у А == VB == v) И лежат в плоско-
сти листа. Оказалось также, что скорость точки листа С,
являющейся вместе, с точками А и В вершинами равно-
CTopoHHero треуrольника, в два раза бо ьше по величине
скорости v. rде в данный момент на листе находят-
ся точки, скорость которых в три раза больше скоро-
сти v?
1.15. lllайба наезжает на ледяную ropKY под уrлом
р == 600 к ее основанию, скорость шайбы при ЭТОJ\-1 V o ==
== 10 м/с (рис. 10, а). След шайбы на ледяной ropKe ча-
стично стерся, а то, что от Hero осталось, изображено
на рис. 10, б. Каков уrол наклона а ледяной rорки к
rоризонту? Трение шайбы о лед пренебрежимо мало,
u
въезд на rop ку .......... плавныи.
1.16. Из точки А, находящейся на вершине KpYToro
обрыва на высоте Н над rОРИЗ0НТОМ бросают небольшой
предмет в точку В rоризонтальной поверхности, нахо-
дящуюся от обрыва на расстоянии 1 (рис. 11). Че IУ рав-
на минимальная скорость броска? Под каким yr лом а It
rоризонту должен при этом быть соверщеli бросок? С
какой скоростью предмет упадет на rоризонтальную по-
верхность? Чему будет равен уrол падения на rоризон-
тальную поверхность В?
9
1.17*. При какой минимальной начальной СI{ОРОСТИ
можно перебросить камень через дом с покатой крышей
(рис. 12). Ближайшая стена имеет высоту Н, задняя сте-
на........ высоту h. ширина дома равна l.
1.18*. По прямой движется с очень большой скоростью
v (v с, rде с...... скорость света) светящийся объект о.
н
1
в
Рис. 11
Рис, 12
Наблюдатель находится на расстоянии 1 01' этой прямой.
Найти зависимость скорости объекта, которую зафикси-
руют приборы наблюдателя от уrла между нормалью R
прямой И направлением на объект (рис. 13).
v
"",,-
..........,
"""
.......1... ......
н
,,1\7 /
R " ,/
'...... .....-"
,
р не. 1 3
Рис" 14
1.19*. Из пункта А в пункт В, раостояние между ко-
торыми равно d. должны добраТЬGЯ n велосипедистов, у
которых имеется т одноместных велосипедов (т < п). Каж-
дый веw'Iосипедист идет пешком со скоростью а, а едет на ве-
lIосипеде со скоростью v. За какое наименьшее время
рее n велосипедистов CMorYT попасть из А в В? Время
считается по последнему прибывшему . Велосипед можно
оставлять на дороrе без присмотра.
1.20. Будет ли равномерным прямолинейное движение,
если за любую секунду тело проходит ровно 1 м?
1.21. Моторная лодка. находящаяся в точке А на рае-
стоянии R от береrа озера (рио. 14), начинает разворот,
10
двиrаясь со скоростью о== 18 км/ч по окружности ради-
уса r == R/2; в начальный момент скорость лодки направлена
к береrу. Волна от лодки дошла ДО береrа через время
t == 3 мин после начала разворота. Скорость распростра-
нения волн от лодки по поверхности воды равна u ==
== 9 км/ч.
Найти расстояние R.
1.22. В системе, изображенной на рис 15,
блоки невесомы, а нити....... невесомы и нерастяжимы. Най-
ти ускорение подвижноrо блока.
1.23. Акробат, находясь на боковой поверхности ци-
линдра, лежащеrо на очень шероховатом полу, перебирает
u
ноrами и движется с постояннои скорос ью.
Считая коэффициент трения ботинок акро-
бата о поверхность цилиндра равным f-t, оп-
ределить предельный уrол (х о , который со-
ставит с вертикалью радиус цилиндра, про-
веденный в точку, в которой находится ак-
робат. Чему будет" равна сила трения
ботинок акробата о цилиндр при этом? Масса
акробата равна т. I
1.24. Кубик из пенопласта массой J\tl ==
== 100 r лежит на rоризонтальной подстав
ке. Ребро кубика h == 10 см. Снизу кубик
пробивает вертикально летящая пуля мас-
сой т== 10 r. Скорость пули при входе в
кубик V 1 == 100 м/с, при вылете V 2 == 95 м/с. Подпрыrнет
ли кубик?
1.25. На rладкий жесткий неподвижный стержень,
образующий yroJI cl с rоризонтом, надето колечко массы
т t , которое может скользить по стержню без трения. К
колечку при помощи невесомой нити АВ прикреплен
небольшой rрузик массы т 2 . Первоначально колечко
удерживают рукой так, что нить АВ вертикальна. Чему
будет равно натяжение нити сразу после Toro, как ко-
лечко отпустят?
1.26*. Декоративная квадратная штора размером 1,5 х
Х 1,5 м висит на rоризонтальном карнизе. Нижний край
шторы поднимают вровень G верхним, так что штора оказы-
вается сложенной вдвое, и отпускают. Найдите зависи-
мость силы, действующей на карниз, от времени. Штора
тонкая, rладкая, ее масса равна т == 3 Kr.
12
'-
р не. 15
Динамика
1.27. Внутрь камеры велосипедноrо колеса попал мао
ленький ]{амешек. Радиус колеса R, поверхность внутри......
шероховатая, коэффициент трения J.t. Опишите возмож-
ные варианты движения камешка при различных скоростях.
1.28= Почему человека отбрасывает на «чертовом ко-
лесе»? Куда Иl\1енно ero отбрасывает? (Не путайте «чер-
ТОВО колесо» ....... rоризонтальный быстро вращающийся ДИСК,
с колесом обозрения, с KOToporo никоrо никуда не от-
брасывает .)
1.29. На rлздкой rОРИЗ0НТ ЛЬНОЙ поверхности тележ-
ки лежит шар радиуса R. Тележка начинает двиrаться
со скоростью V O . Найти rоризонтальную проекцию скоро-
сти шара в момент ero удара об пол.
1.30*. Уrол раствора rладкой конической поверхности
а == 'Л/2, а ее ось образует с rОрИ30Н1'ОМ уrо,л aj2. К вер-
Ulине коническоЙ поверхности изнутри нитью длины 1
привяаан тяжелый маленький шарик массы т. Какую
минимальную rоризонтальную скорость нужно сообщить
шарику, чтобы он, не отрываясь от поверхности, описал
замкнутую траеI<ТОрИЮ? Как будет при этом зависеть сила
натяжения веревки от высоты подъема шарика над пер-
воначальным ero положением?
1.31. Обруч р-адиуса R == 1 м толчком «закручивают»
BOKpyr столба диаметром d == 0,4 М. Какую скорость v нуж-
но придать обручу (v........ скорость ero центра), чтобы он
не съезжал вниз? Коэффициент трения J.t== 0,05.
О'
8
.
",.
v
7
J
Т
,
бере?
111
А
10м
о
Рис. 16
Рис. 17
1.32. Автомобиль движется вдоль прямой 00' (риQ.
16) и в точке А начинает поворачивать, не снижая СКО"
рости. В точке В автомобиль сбил придорожный столбmr.
Оцените скорость, с которой Mor ехать автомобиль. сЧIi.
тайте сцепление шин с асфаЛЬТО f хорошим. Руль авто-
мобиля управляет ero передними колесами.
18
1.33*. Плот оттолкнули от береrа реки, сообщив ему
скорость 0,3 м/с в направлении, П,ерпендикулярном береrу.
На рис. 17 приведен начальный участок траектории дви-
жения ПJJота. На каком удалении от береrа будет в конце
концов плыть плот? Скорость течения реки V p == 0,3 м/с.
Сила сопротивления движению плота пропорциональна
ero скорости относительно воды.
1.34. На rладкий rОРИЗ0нтальныЙ стол поставили вер-
тикаvТ}ьно rантельку, состоящую из HeBeCOMoro стержня с
двумя одинаковыми l\iаленькими шариками на концах.
Верхиеl\ilУ шарику ударом сообщают скорость v в rори-
зонтальном направлении. При какой Мhнимальной длине
rантельки l нижний шарик сразу оторвется от стола?
1.35*. .i\\ассивный диск вращается BOKpyr вертикальной
оси с УI'ЛОВОЙ скоростью Q. На Hero сверху опускают
ДИСК радиуса r массы т, ось KOToporo CTporo вертикальна,
но не совпадает с осью массивноrо диска. Расстояние
между осями дисков равно d (d>r). Коэффициент трения
между поверхностями дисков равен fЛ. Малый диск всеми
своими точками касается большоrо. Определить YCTaHO
ВИБШУЮСЯ уrJl0ВУЮ скорость l\Iалоrо диска. Какой момент
сил необходимо приложить к оси большоrо диска, чтобы
скорость ero вращения оставалась неизменной? Трение в
осях отсутствует.
Законы сохранения
1.36. Шарик, движущийся по rладкой rори..
эонтальноЙ поверхности, срывается с нее, падает На на-
клонную Ilлощадку и упруrо отражается'" от последней.
После удара шарик продолжает лететь вперед, а ero тра-
ектория остается в исходной вертикальной плос ости.
Как вы думаете, может ли l\fзксимальная высота подъема
шарика после удара быть равна первоначальной?
1.37. 1\lодель тележки на rусеничном ходу поставили
На наклонную плоскость с yrJ!OM наклона а == 300 и от-
пустили. Найти ускорение моде.ни. Длина модели 1 == 50 см,
высота h == 2 см. rусеницы сделаны из резины, их масса
составляет 80 % от массы всей модели. Трение в меха-
низме модели пренебрежимо мало.
1.38*. '\ежду стенкой и кубом массы М == 10 Kr ле-
Тает на r ладком столе упруrий шарик массы т == 0,1 r.
Ero скорость вначале, коrда куб покоился, составляла
О@== 100 м/с. Найти скорость куба в тот момент, Kor118
ОН буДет в 2 раза дальше от стенки, чем вначале.
1.
1.39. Одинаковые rрузы положили в тележки одина-
ковой массы (рис. 18), одна из которых имеет rладкое
дно, а друrая...... шероховатое. rрузам толчком придают
одинаковые СКОРOGти вправо.
Далеко от тележек справа находится стенка. Считая,
что rрузы о тележки ударяются упруrо, определите ........
какая из тележек приедет к
I стенке раньше.
, 1.40. Из куска тонкой
етальной ,пенты ширины d, в
которой пробито небольшое
отверстие радиуса " сделали
обруч и поставили ero на стол так, что отверстие оказа-
лось внизу. Из этоrо ПОложения обруч HeMHoro сместили
и предоставили самому себе. Чему равна максимальная
скорость качения обруча?
1.41. Мальчик медленно поднимается на снежную
ropKY и тащит за собой На веревке санки так, что Be
ревка все время параллельна поверхности rорки. Верши
на rорки расположена на высоте Н и расстоянии 1 от ее
основания. Какую работу совершит мальчик при подня
тии санок на ropKY? Масса санок т, коэффициент трения
санок о cHer f..t.
1.42*. rантелька длины 1 стоит в уrлу, образованном
rладкими плоскостями (рис. 19). Нижний шарик raH-
тельки смещают rОРИЗ0нтально на очень маленькое рас-
стояние, и rантелька начинает двиrаться. Найти скорость
нижнеrо шарика в тот момент, коrда верхний шарик
оторвется от вертикальной плоскости.
F?'/A--+U I
о
р не. 18
m т
о ) vo
2т
р не. t 9
р не. 20
1.43. На rладком rоризонтальном столе лежат сталь-
ные шарики массами т и 2т, связанные натянутой нитью
длины l. Еще один шарик массы m налетает на систему
со скоростью V(\ (перпендикулярно натянутой нити)
(рис. 20) и происходит абсолютно упруrий лобовой удар.
16
Найти максимальную величину натяжения нити и уско-
рение шарика taCCbI 2т.
1.44*. Длинный иrрушечный поезд, составленный из
большоrо числа сцепленных BarOHOB, едет по rОРИЗ0Н-
та-пьным рельсам СО скоростью V и въезжает в «мертвую
петлю» радиуса R (радиус существенно превышает размер
BaroHa, но длина поезда L > 2nR). При какой скорости
V поезд преодолеет препятствие так, что ни один BaroH
не перестанет давить на рельсы во время движения?
1.45*. Ядро массы т, летящее со скоростью v, рас..
падается на два одинаковых осколка. Внутренняя энер-
rия ядра равна Ef.' внутренняя энерrия каждоrо из ос-
колков Е 2 (Е 1 > 2Е 2 ). Определите максимально возмож-
ный уrол разлета осколков.
1.46. На рельсах стоит rладкая ropKa массы М и вы-
соты Н. На ropKY наезжает со СКОРОGТЬЮ V тележка
массы т. Какую скорость приобретает ropKa после Toro,
как тележка ее покинет? Переедет ли тележка через ropKY?
1.47. Тяжелая доска массы М лежит на двух тонко-
стенных катках радиусов r и R и равных масс т. Рас-
стояние между центрами катков равно [. С каким уско-
рением начнет двиrаться доска, если ее отпустить? Про-
скальзывание между всеми соприкасающимися телами
отсутствует.
1.48*. Однородный стержень массы М подвешен при
u
помощи леrких нерастяжимых веревок одинаковои длины
к потолку и находится в положении устойчивоrо равно..
весия. Расстояние между точками крепления веревок
равно длине стержня. По стержню без трения может пе..
ремещаться небольшая шайба массы т. В начальный мо-
мент времени натянутые веревки отводят на уrол а от
вертикали, так что стержень и точки крепления веревок
к потолку лежат в вертикальной плоскости, а шайба на..
ХОДИ1СЯ посередине стержня (рис. 21). Найти ускорение
шайбы сразу после Toro, как веревки отпустят.
1.49*. Однородная палочка длины 1 связана нитью
той же длины с неподвижной точкой А. Нижний конец
палочки может скользить без трения по rОРИЗ0нтальному
GТОЛУ. Расстояние от точки А до стола равно Н (l <
< н < 21). Палочка начинает двиrаться без начальной
скорости И3 положения, изображенноrо на рио. 22. Нанти
максимальную скорость центра палочки при ее.пос еду..
ющем движении.
1.50. С наклонной плоскости скатываются две бу-
тылки: одна........ ПУGтая, друrая........ заполненная водой. Ка-
17
кая из 'них скатится быстрее? Какая И3 этих бyrылои
поднимется на большую высоту, еСJIJI их пустить вверх
по наклонной плоскости с одинаковыми начальными ско-
ростями? Считать, что проскальзывания нет.
А
Рис. 21
Рис. 22
1.51*. Три одинаковых MaCC BHЫX шара находятся на
одной ВЫСО1'е над rОРИЗ0нтальной поверхностью (рис. 23).
Первый шар насажен на невесо!v1УЮ спицу, конец кото-
рой закреплен в шарнире. Второй IIIЗр насажен на такую
же спицу, но ее конец может без трения скользить по
поверхности. Третий шар никак с поверхностью не СВЯ-
заи. Шары одновременно отпускают без начальной ско-
РОСТИ. В каком порядке они yrJадут на плоскость?
р НС. 23
Рис. 24
1.52*. Тонкий обруч массы М и радиуса R жестко
u
закреплен при помощи леrких спиц на оси, проходящеи
через цеитр обруча, так что плоскость обруча составляет .
уrол а с осью. Определить, какую работу необходимо
совершить, чтобы раскрутить ось до уrловой скорости 0>.
. 1.53. Тонкое однородное кольцо радиуса R надето на
rладкий rОРИЗ0нтальный ЦИЛИНДР радиуса Т. Кольцо по-
ворачивают на максимально возможный уrол так, что:
а) ero плоскость остается вертикаЛhНОЙ; б) ero rоризон-
тальный диаметр остается параллельны.-. себе, и отпуска-
18
ют (рис. 24). Найти максимальную уrловую скорость
кольца.
1.54*. Два тонких однородных обруча радиуса R со..
единены так, что их плоскости взаимно перпендикуляр-
ВЫ, а иентры совпадают. Система находится в положении
неустойчивоrо равновесия, касаясь rОРИЗ0нтальной по-
верхности одной из точек соединения обручей. ПОС.ТIе
леrкоrо толчка система приходит в движение. Найти ее
максимальную уrловую скорость, если: а) плоскость очень
шероховатая; б) плоскость rладкая.
Статика и rидростатика
1.55. Предложите своему товарищу стать
о u
спинои К стенке, прислонив к неи пятки, а потом попы-
таться достать пальцами рук носки обуви, не сrибая ноrи
в коленях. Наверняка эro ему не удастся сделать. По..
чему? Теперь предложите встать к стенке лицом так,
чтобы носки ботинок и нос касались стенки, и попросите
приподняться на носках. Это также не удается. Почему?
1.56. Бывалые турис'l'Ы, как известно, подходя 1{ реке,
через которую переброшено бревно, обычно стараются
перебежать по нему, а не идти медленно. Зачем они это
делают?
1.57. Действующая модель подъемноrо крана способна
поднять 1 О бетонных плит без обрыва троса. Сколько
u v
ппит поднимает реальныи кран, изrотовленныи из тех же
v
материалов, если линеиные размеры крана, троса и плит
в 12 раз больше, чем в модели?
1.58. На rладкое rоризонтапьное бревно радиуса R
кладут сверху «книжку»; составленную из двух однород..
БЫХ тонких квадратных пластинок со стороной 1 == 4R.
Пластины скреплены при помощи HeвecoMoro шарнирноrо
стержня. I(акой уrол образуют пластины в положении
равновесия?
1.59. Папа Карло сделал для Буратино колпак из
тонкой жести. Колпак имеет форму конуса высотой Н ==
== 20 см с уrлом а == п/3 при верllIине. Будет ли этот
колпак держаться на rолове у Буратино, если эта rоло
ва...... rладкий шар диаметром D == ] 5 см?
1.60*. Если шестиrj1анный карандаш поместить на /
наклонную плоскость, составляющую уrол а с rоризон",
тальной поверхностью, перпендикулярно ее обраЗУЮIIJ.ей
(линии пересечения плоскости с rоризонтальной поверх-
19
.
.......
.,
::
.
)"'t"" ...,
...........
,
.........--- =..:::.
.:.......- ::
;;.
.
V----
"'"""'"'
::::
.,.........
т
=
...:
Цi
....
I
1.
ностью), карандаш будет покоиться. Если ero положить
параллельно образующей, он будет скатываться ВНИ3.
Определите уrол ер между осью карандаша и образу-
ющей наклонной плоскости (рис. 25), при котором ка-
рандаш еще будет находиться в равновесии.
J , , -
I '--'
I
Рис. 25
Рис. 26
1.61. На шероховатой наклонной плоскости с уrлом
наклона rz лежит тело, к которому привязана леrкая H -
раСТЯЖИfvlая нить. Свободный конец нцти пропущен через
маленькое отверстие в плоскости'. В начальный момент
тело лежит на плоскости так, что нить rОРИЗ0нтальна
(рис. 26). НИТЬ начинают медленно выт rивать; ори этом
тело к моменту достижения отверстия описывает поло-
вину окружности. Найти величину коэффициента трения
тела о плоскость.
1.62. Леrкий стол состоит из круrлой столешницы ра-
диуса R и трех вертикальных ножек, прикрепленных к
краю столешницы на равных расстояниях друr QT друrа.
Тяжелый rpy3 М кладут на стол, сместив ero относи-
тельно центра стола на расстояние R.
Какими MorYT быть при этом силы реакции, действу-
ющие на ножки?
1.63. На r ладком rоризонтальном столе лежит пачка
бумаrи, в которой 500 листов. Сотый лист (считая СНИ3У)
больше друrих. Этот лист осторожно тянут в rоризон-
тальном направлении. ,Какое максимальное ускорение
можно сообщить пачке, чтобы она при этом двиrалась не
распадаясь? Каково максимальное ускорение, с которым
может двиrаться центр масс пачки? С каким ускорением
должен двиrаться при этом сотый лист? I<оэффициент
трения бумаrи о бумаrу fl == 0,2.
1.64. Однородная балка подвешена к потолку за края
и середину при помощи нитей равной длины. Две нити
одинаковые, а третья (привязанная к одному из краев)
2)
двойная. Во сколько раз отличаются натяжения одина-
ковых нитей?
1.85. Автомобиль повышенной проходимости может
использовать в качестве ведущих либо передние, либо
задние колеса. Водитель хочет буксировать тросом тяже-
лый rруз. Какую максимальную силу тяrи Т (без рывка)
сможет развить при этом автомобиль, если коэффициент
трения колес о дороrу f1 == 0,4, масса автомобиля М == 2 т,
расстояние между центрами колес 1 == 4 м, радиус колес
R == 0,3 м? Передняя и задняя оси расположены в одной
rоризонтальной плоскости; центр масс автомобиля лежит
u " u
В этои плоскости на равном расстоянии от осен; в этои
же плоскости лежит трос. Какие колеса должны быть
ведущими? Зависит ли от этоrо величина т?
1.66*. Через неподвижное rоризонта,.11ЬНО закрепленное
бревно переброшена веревка. Для Toro чтобы удерживать
rруз массы т == 6 Kr, подвешенный на этой веревке, не-
обходимо тянуть второй конец 'fверевки с минимальной
силой F f == 40 Н. С какой минимальной силой Р 2 надо
тянуть веревку, чтобы rруз начал подниматься?
1.67. Космический аппарат представляет собой жест-
кую тонкостенную сферу радиуса R == 2 м, наполненную
rазом. Внутри аппарата находится шар радиуса ,== R12,
u
наполненныи тем же rазом, что и весь аппарат, но при
большем давлении. Шар касается внутренней поверхности
аппарата. В результате повреждения Iпар лопнул. Найти,
80 сколько раз изменилось давление внутри аппарата,
если оказалось, что весь аппарат при этом сместился на
расстояние а == 0,5 м. Массой оболочек пренебречь; теМ-
u
пературу считать неизменнои.
1.68. В закрытом сосуде на поверхности воды плавает
деревянный шар Как изменится rлубина поrружения
шара, если в сосуд накачать воздух так, чтобы давление
воздуха в сосуде увеличилось вдвое?
1.69. В стакане о ВОДОЙ плавает деревянная шайба о
цилиндрической дыркой. Оси шайбы и дырки параллель-
вы. Площадь дна стакана S, площадь сечения дырки Si.
Дырку осторожно заполняют довер"у маслом. На какую
высоту поднимется шайба, если внача.,'1е ее ВЫСТУf1ающая
113 воды часть имела высоту h?
Плотность масла р, плотность воды Ро' Известно, что
все масло осталось в дырке.
1.70. rирю, подвешенную к динамометру, опускают в
воду. пока уровень воды в сосуде не поднимется на
Ah == 5 см. Показание динамометра при этом изменилось
22
па l\F == 0,5 Н. Определить площадь дна сосуда. Плс ]'..
ность поды Ро == 1000 Kr. м -- 8.
1.7 t. В стакане, ДOB PXY наполненном ВОДОЙ и закры
том сверху t плавает деревяннЫЙ шарик. Как изменится
давление шарика на крышку, еСJ1И стакан движется с
ускорением а, направленным вверх?
1.72. Два шарикз/одинаКОБоrо размера., соединенные
u u u
тонкои, длиннои И невесомон нитью, опускаются на дно
водоема с установившейся скоростью. Нижний шарик из-
rотовлен из алюминия. Если нить перереэать, то верхний
шарик будет всплывать о той же установившейся СКО"
ростью. Определить ПJIОТНОСТЬ РХ материала BepXHero ша..
рика, если плотность алюминия р==2800 Kr.M....D, а воды
Ро == 1000 Kr .1\1---3.
1.. 73. rде сильнее rорит rаз --- на первом или на шест-
надцатом этаже?
1.74. В районах, rде в земле имеются карстовые по-
лости, иноrда встречаются необычные пруды. В сезон
дождей такие пруды постепенно напо.пняются водой, од..
нако потом вдруr неожиданно резко мелеют. Каким об.-
,Разом это может происходить?
Механические колебания и волны
1.75. Длинный железнодорожный состав,
двиrаясь по инерции, въезжает на ropKY с уrлом накло-
на а (рис. 27). Коrда состав полностью остановился, на
ropKe находилась половина
ero длины. Сколько времени
прошло от начала подъема
до остановки? Длина состава
п, трением пренебречь.
1.76. Д.пинные сани с rpy- Рис. 27
зом, едущие по льду, попа..
u u
дают на участок, посыпанныи песком, и, не проидя и по-
ловины своей длины, останавливаются. После этоrо им
резким толчком сообщают первоначальную скорость.
Найти отношение путей и времен торможения.
1.77*. Шарнирная конструкция из леrки:\ звеньев
АВ == АС == вр == СЕ == РО == ЕО закреплена в точках А
и G (рис. 28). Между точками В и С и Е и F вставле-
ны пеrкие пружины жесткости k, так что в положении
равновесия все уrлыI конструкции прямые и пру-
живы недеформированы. В точке D надето небольшое
23
колечко массой т. Найти период малых колебаний систе-
МЫ, при которых колечко движется перпендикулярно
пружинам. Силой тяже ти пренебречь.
Е
А
Рис. 28
1.78. Шарик массы т подвешен на пружине жестко-
сти k (I1РУЖИННЫЙ маятник). Точка подвеса пружины со."
вершает вертикальные rаРМОllические колебания сампли..
тудой а и частотой 0>. Как движется шарик при устано-
вившихея колебаниях?
1.79. Штатив массы М СТОИТ на rладком столе. К
штативу на леrкой нити длины 1 прикреплен шарик мае..
сы т. Нить отклоняют на малый уrол а, и отпускают.
Нарисовать rрафик зависимости скорости штатива от вре-
мени. Столкновения шарика с основанием штатива абсо-
JIЮТНО упруrие.
1.80. Тяжелая тележка движется со скоростью v по
rоризонтальной плоскости и въезжает на наклонную
плоскость, составляющую уrол с rоризонтом. Переход
между плоскостями плаВНЬ1Й. На тележке на нити дли-
ной l висит шарик. Какова будет амплитуда колебаний
шарика, коrда тележка въедет на наклонную плоскость?
1.81*. На верхней образующей rладкоrо цилиндрара-
диуса R, ось KOToporo наклонЕ'На. ПОД уrлом а к rори-
зонту, укреплена невесомая веревка длины l. К друrому
концу веревки прикреплен небольшой rруз. Определить:
а) длину свисающей части веревки в положении рав-
новесия rруза;
б) период Ma lIЫX колебаний rруза в вертикальной
плоскости, параллельной ОСИ цили дра.
1.82. На очень шероховатый цилиндр радиуса " рас-
u u.
положенныи rОРИЗ0нтально, надет тонкии однородныи
обруч радиуса R. Найти период малых колебаний обруча
u
ввертикальнои ПЛОСКОGТи.
26
1.83. По цилиндрическому желобу радиуса R, ось ко-
Toporo наклонена ПОД уrлом а к rоризонту,СКОЛЬ3ИТ ма-
ленький шарик (рис. 29). Длина желоба L. Сколько раз
шарик пересечет самую ниж-
В нюю обра3УЮI1 УЮ желоба АВ,
если он был пущен без на-
чальной скорости из точки,
находящейся вблизи нижней
образующей?
t .84. Почему плохо слыш...
но против ветра?
Рис. 29 1.85. Наливая воду в тер-
мос, мы слышим звук. Как
меняется ero тон по мере заполнения термоса?
t .86. Рыбак, живший около устья впадающей в океан
реки, перебрздся на новое место жительства на несколь-
ко километров выше по течению. К своему удивлению, он
обнаружил, что время между началом прилива и началом
отлива умеНЬШИJIОСЬ, а время между началом отлива и
началом прилива увепичилось. :Как можно объяснить это
обстоятельство?
2, МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗlll{А
И ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Идеальные rазы, начала термодинамики,
тепловые процессы
2.1. Пробирка массой М содержит моль
идеальноrо rаза массой J.t при температуре Т. Пробирку
открывают, вынимая из нее пробку пренебрежимо малой
массы. Оцените скорость пробирки после Toro, как весь
rаз выйдет из нее наружу. Считать, что дело ПРОИСХОДИТ
в BaKYY le. .
2.2*. В rориsонтально расположенной плоской короб-
ке размером 1 ОХ 1 О см беСIlОрЯДОЧНО лежат 1000 малень-
ких стальных шариков массы т == 0,5 Mr I}аждый. Короб-
ку начинают двиrать со скоростью V o == 10 м/с перпенди-
кулярно одной из боковых стенок. Считая удары шари-
ков о стенки коробки и друr о друrа абсолютно упруrи и,
определить: а) какие импульсы передадуТ шарики каждой
из боковых стенок за первые 10 секунд; б) какие импуль-
сы получат ст нки за следующие 10 секунд после Toro,
как коробку резко заторм03ИЛИ.
2.3*. В кубическом сосуде объемоrd V == 1 литр нахо-
дится т == 0,01 rpaMMa rелия при Т == 300 К. Понаблюда-
ем за одной из молекул. Сколько раз она ударится о
верхнюю стенку сосуда за время t == 1 мин?
2.4. Из баллона, в котором находятся СИ.пьно разре-
женные пары калия, через узкую rоризонтаJlЬНУЮ трубку
выходит пучок атомов. Определить температуру паров,
если на rоризонтальном пути длиной l == 50 см среднее
Р t смещение атомов по вер-
тикали составляет h ==
2р, ===3,2 мкм.
2.5. В сосуде находится
", Cl'vfeCb rазов rелия и кисло..
р., 2 рода. При температуре t ==
.:= 2 ОС И давлении р ==
==9.104 Па плотность этой
смеси р == 0,44 Kr /м 3 . Каким
31:, т станет давление в сосуде, ес-
ли из Hero удалить поло-
вину молекул кислорода?
2.6. Над идеальным rазом совершают цикл 1 2 3,
изображенный на диаrрамме р........Т (рис. 30). Найти отно-
шение максимальноrо и минимальноrо объемов.
2.7. Для дальней космической связи используется
спутник объемом V == 1000 м 3 , наполненный воздухом, на-
ходящимся при нормальных условиях. Метеорит пробив а-
т;
р не. 30
28
ет в корпусе спутника отверстие площадью S == 1 см 2 .
Оценить время, через которое давление внутри спутника
И3 lенится на 1 %. Температуру rаза считать неизменной.
2.8. rрО!\1коrоворитель имеет диффузор с площадью по-
nеречноrо сечения S == 300 см 2 И массой т == 5 Р. Резонан-
сная частота диффузора "о == 50 rц. Какой окажется ре-
зонансная частота, если rромкоrоворитель врезать в стенку
закрытоrо ящика объемом V == 40 л (рис. 31)? Расчет про-
вести в предположении, что температура воздуха внутри
ящика не ИЗ 1еняется при колебании диффузора.
р, уел. ед.
60
'10
20
7000 2000 3000 t; с
Рис. 31 Рис. 32
2.9*. Спускаемый аппарат космическоrо корабля опу-
скается вертикально на поверхность планеты с постоянной
скоростью, []ередавая на борт корабля данные о наруж-
ном давлении. rрафик зависимости давления (в условных
единицах) от времени приведен на рис. 32.
Оказавшись на поверхности планеты, аппарат измерил
и передал на борт данные о температуре Т == 700 К и
ускорении свободноrо падения р
g == 1 О м/с 2 . 3'Ро
Определить скорость спуска
аппарата, если известно, что
атмосфера планеты состоит .из
уrлекислоrо rаза (СО 2 ). РО 1
2.10. Определите отношение
fJl/fJ2 коэффициентов полезноrо
действия двух циклических про- j' у
цессов, проведенных с идеаль-
ным rазом (рис. 33)! первый
процесс 1........2..........B.........4 1, второй poцecc 5 6 7 .........4........5.
2.11. На pV-диаrрамме (рис. 34) изображены два ЦИК-
ла, которые ПрОБОДЯТ с одноатомным идеальным rазом!
1....... 2 8.........1 и 1.........8........4.......} . У KaKoro из ци клов кrщ
больше и во сколько раз?
29
2.12. Вертикальный теПЛОИЗ0лированный СОСУД, в ко-
и
тором находится одноатомныи rаз, закрыт поршнем мас-
сы М. В сосуде включают наrреватель мощностью N и
поршень начинает медленно сдвиrаться вверх. За какое
время 't он поднимется на высоту Н относительно началь-
Horo положения? Теплоемкостью поршня и трением пре-
небречь. Атмосферное давление отсутствует.
р
2р,
2
3
1
. . .
. . .. .
. . .
. ....
. . . .
. .'
.... .
. .
......:.
........
:.:.:.-.:
с D
I
I
I
I
I
I
.
2J:i
р не. 34
3f;; У
р не. 35
2.13. В теПЛОИЗ0лированный сосуд, содержащий (п 1 ==
== 20 r rе.пия влетает со скоростью v == 100 м/с стальной ша-
pиK массы тз == 1 r. Найти изменение температуры в со-
суде. Удары шарика о стенки сосуда и атомов о шарик
считать абсолютно упруrИhfИ.
2.14. rоризонтально расположенный цилиндрический
теплоизолированный сосуд объема У О == 100 л, заполнен-
u
ныи rелием, разделен на две части теплонепроницаемым
поршнем, который может перемещаться без трения. rазу,
находящемуся в левой части сосуда, сообщают количест-
во тепла д-Q == 100 Дж. Найти изменение давления в со-
суде к тому моменту, коrда поршень перестанет двиrаться.
2.15*. ТеПЛОИЗ0лированный сосуд разделен на две
части леrКИf\i поршнем. В левой части сосуда иаi{ОДИТСЯ
m! == 3 r водорода при температуре Т 1 == 300 К, в правой
т'}, :=: 16 r кислорода при Т 2 == 400 К. Поршень слабо про-
водит тепло, и Te fl1epaTypa в сосуде постевенно вырав-
нивается. Какое количество теплоты отдаст кислород к
тому моменту, KorAa поршень перестанет двиrаться?
2.16*. Тепловой двиrатель представляет собой напол-
ненный rазом цилиндр с поршнем, движение Koтoporo
orраничено упорами АА и ВВ (рис. 35). rаз медленно
ваrревают, пока поршень не коснется упоров ВВ, после
чеrо основание пружины смещают ИЗ положения се в
положение DD. Затем сосуд медленно охлаждают ДО тех
8»
пор, пока поршень не коснется упоров АА. Тоrда осно-
вание пружины смещают назад до сс, цилиндр HarpeBa-
ЮТ снова и т. д. Найти КПД этоrо двиrзтеля. ЦИЛИНДР
заполнен rелием; площадь поршня S == 1 О см з ; жесткость
пружины k== 10 Н/м, длина ее в нерастянутом состоянии
lo == 60 СМ. Внешнее Давление принять paBHbIl'Jt нулю. Раз-
меры на рисунке приведены в сантиметрах.
. .
2.17. Наrревая воздух в комнате с помощыо электро-
наrревателя, мы всю 9нерrию электрическоrо тока пере-
водим в 'f( пло. А нельзя ли предложить прибор, который,
затратив некоторую энерrию, выдал бы тепла в несколь-
ко раз БОЛhше t и тем caMbl"i сэкономить расходы на отоп-
ление?
2.18. ИlVlеются два теПЛОИЗ0лированных сосуда. В пер-
вом из них находится 5 л воды при температуре t 1 == 60 сс,
во втором: ---- 1 л воды при температуре t 2 == 20 ос. Внача..
ле часть воды перелили из первоrо сосуда во второй.
Затем, коrда во втором сосуде установилось тепловое рав-
v ,
новесие, из Hero в первыи сосуд \ ОТЛИЛИ с'rо.ПЬКО ВОДЫ,
чтобы ее объе 1Ы в сосудах
t ос
стали равны первоначальным. 1
После этих операций темпе- о
ратура воды в первом сосуде
стала равной t == 59 ос. Сколь- 20
ко воды переливали из пер-
Boro сосуда во второй и об- IIO
ратно?
2. 19. 1 Kr льда и 1 Kr
леrкоплавкоrо вещества, не
смеПIивающеrося с ВОДОЙ, при температуре 40 ос поме-
щены в теПЛОИЗ0лированный сосуде наrревателем внутри
На наrреватель подали ностоянную мощность. Зависимость
температуры в сосуде от времени показана на рис. 36.
Удельная теплоемкость льда С л == 2. 10 З Дж/кr. К; твердоrо
оещества с == 103 Дж/кr. К.
Найти удельную теплоту плавления вещества А и ero
удельную теплоемкость С 1 в расплавленном состоянии.
1
2 J
Р не. 36
q ",. мин
Пары, ВJlажность,
поверхностное натяж ние
2.20. Перевернутая вверх дном пробирка
поrружена в стакан с ВОД<:JЙ (рис. 37). Начальная темпе-
ратура воды в стакане и пробирке 20 ос. При медленном
наrревании воды до температуры 90 ос объем воздуха в
31
пробирке увеличился в 4 раза. Чему равно давление на-
сыщенных паров' воды при 90 ос?
2.21. Будет ли кипеть вода в пробир еt опущенной в
колбу с кипящей водой? Что мы увидим, если поверх
воды в пробирку налить толуол (это более леrкая жид-
кость, не смешивающаяся с водой), температура кипения
Koтoporo 11 1 ос?
2. 2. Почему, коrда одежда намокает, становится x<r
лодно?
в
Рис. 37
р не. 38
2.23. Удельная теплота парообразования воды значи-
тельно больше, чем cepHoro эфира. Почему же эфир, на-
литый на руку, производи'т значительно большее охлаж-
дение, чем вода?
2.24. Почему обычно не бывает росы под rycTblM де-
ревом?
2.25. В сосуд, заполненный эфиром, поrружают пере-
вернутую пробирку А (рис. 38). Из нее сразу же начи-
нают выходить пузырьки. Если собрать эти пузырьки в
первоначально полностью заполненную эфиром пробирку
В (вдвое более длинную, чем А), то из нее окажется вы-
тесненной доля х== 2/3 объема эфира. Объясните это ЯВ-
ление и определите по имеющимся в задаче данным дав-
ление насыщенных паров эфира. Температура в комнате
поддерживается постоянной и равной 20 ос.
2.26*. Подвижный поршень делит цилиндр на две
равные части объемом V o == 10"'3 м 3 . В одной части нахо-
дится сухой воздух, в друrой...... водяной пар и т == 4 r
воды. При медленном наrревании цилиндра поршень при-
ходит в движение. После смещения поршня На 1/4 часть
длины цилиндра движение прекратилось. Каковы масса
воздуха Мо и водяных паров М, находившихся в сосуде
До наrревания? Какова была начальная температура t o и
при какой температуре t j поршень перестал двиrаться?
Зависимость давления насыщенных паров ри(t) воды ar
температуры:
t, ос 100 120 133 152 180
Ри, кПа 100 200 300 500 1000
2 А. И. Буздин И дp. .
зз
2.27*. Смесь ra30B, состоящую из m 1 === 100 r азота и
неизвестноrо количества кислорода, ПО)lверrают изотерми-
ческому сжатию при температуре Т == 74,4 К. rрафик за-
р висимости давления смеси
rазов ОТ ее объема приведен
на рис. 39 (в условных еди-
ницах). Определите массу
кислорода 11Io!. Рассчитайте
давление насыщенных паров
u
кислорода Ро, при этон тем-
пературе.
Прuжчшше. т ==74,4 K
ЭТО температура кипения
у жидкоrо азота при нормаль-
ном давлении; КИСЛОРОД ки-
Рис. 39 пит при более высокой теМ-
пературе.
2.28. При относительной влажности воздуха , 1 == 50 %
вода, налитая в блюдце, испарилась на открытом воздухе
за время '1:1 == 40 мин. За какое время 2 испарилась бы
вода при '2==80%?
2.29*. В высокочувствительном rермети еском калори-
метре измеряют теплоемкость неизвестноrо количества т .
воды. повышая температуру. При
t 1 == 10,5 ос теплоемкость скачком
упала с С I ДО С 2 . Объем сосуда
калориметра V == 1 11. Пользуись
rрафиком зависимости плотности
насыщенных паров воды Рlf ОТ
температуры (рис. 40), найти OZ,
11 12 Cj, c s - При t 1 удельная теплота
т; ос испарения ВОДЫ равна r == 2,25 х
х 10' Дж/кr. Теплоемкость одно-
ro моля 8Одяноrо пара Су == 3R ==
==24,9 Дж/моль. К.
2.30. В замкнутом сосуде нахОДЯТСЯ иасыщенныIй пар
при температуре 100 0 С и HeMHoro 80.дbl. Масса пара
М == 100 r, масса вoды т == I Р. <:ОСУА наrревают, пока
вся вода не испарится. До какой температуры Т I надо
Harpeть сосуд? Какое количество теПJlа Q АЛЯ ro пот-
реБУeтGя? Давление насыщенноrо водяноro пара возраста-
ет на 3,7 кПа при повышении температуры на 1 ос.
Удельная теплота испарения воды q== 2,.2S. 10' Джjкr.
Удельная теплоемкость ВQдяноrо пара Су == 1 ,38 · 103 ДЖ/К!" К.
2!31j В кастрюле rJlубиной 10 см и объеМОМ 1 литр
'1
2
о
" r/M3
11
10
9
10
Рис,40
з4
ватяжение К8ждоrо куска? Коэффициент поверiностноrо
натяжения воды 0==0,07 Н/М.
2.39. Объясните явление, о КОТОРОМ идет речь в сле-
Аующем отрывке из книrи Джона Тиндаля «Физика в про-
стых уроках» (перевод с анrлийскоrо, С.-Петербурr, 1871)1
«Знаменитый Вениамин Франклин получил однажды
известие от cBoero друrа, что рыбаки вблизи rибралтара.
коrда им нужно было сделать поверхность моря r л адкою ,
АЛЯ Toro чтобы при этом можно было видеть на дне боль-
ших устриц, имеют обыкновение для этоro лить масло на
поверхность воды. В друrих частях Испаиекоrо поморья
ныряющие' набирают в рот масла, и, коrда им нужен
свет, они ero выбрасывают; масло при этом всплывает на
поверхность, расходится по ней и сrлаживает водяную
зыбь, мешающую свету проникать вrлубь».
2.40. Пламя спиртовки, перед тем как поrаснуть, на-
чинает мерцать и потрескивать. Почему?
Теплопередача, тепловое расширение
2.41. Снимая с ПJIИТЫ rорячую кастрюлю,
хозяйки, чтобы не обжечься, используют матерчатые ва-
режки. Возрастет или уменьшится вероятность ожоrа,
если варежка окажется мокрой? (
2.42. Для сравнения теплопроводностей различных
u
материалов предлаrалось использовать следующии метод.
На rорячую плиту ставятся два одинаковых цилиндра из
исследуемых материалов. На цилиндры кладут по кусочку
воска. rде скорее воск начнет таять........ тот цилиндр и
обладает лучшей теплопроводностью. Верен ли этот ме..
тод?
2.43. Кастрюлю, в которую налит 1 J) воды, никак не
у дается довести до кипения при помощи наrревателя
мощностью' 100 Вт. Определить, за какое время вода
(JCTbIHeT на 1 ос, если отключить наrреватель.
2.44. Оболочка космической станции представляет со..
бой зачерненную сферу, температура которой в резуль..
тате работы аппаратуры внутри станции поддерживается
равной Т === 500 К. Какой будет эта температура, если
станцию окружить тонким черным сферическим экраном
почти TaKoro же радиуса, как и ее оболочка? Количество
тепла, излучаемоrо с единицы поверхности, пропорцио..
нально Т4.
2.45. При прочих равных условиях в какой шубе бу..
дет теплее в белой или черной?
36
2.46*. Для исследования свойств иелинейиоrо резисто,.
ра был произведен ряд экспериментов. Вначале была
исследована зависимость СОПРОТИВ.1Jения резистора ОТ TeM
пературы. При повышении температуры до /1 == lOQoc
мrновепно происходил скачок
сопротивления от R 1 == 50 0]\1
ДО R 2 == 100 01\1, при охлаж-
дении обратный скачок про
исходил при температуре
t j == 99 ОС (рис. 43).
Во втором опыте к рези-
стору прило ли постоянное
t,OC напряжение и 1 ==60 В, при
этом ero температура оказа-
лась равной t. == 80 ос.
Наконец, коrда к резистору приложили постоянное
напряжение и 2 == 80 В, в цепи возникли самопроизволь-
ные колебания тока. Определите период этих колебаний Т t
а также максимальное и минимальное значения 1'ока.
Температура воздуха в лаборатории постоянна и равна
t o == 20 ОС. Теплоотдача от резистора пропорциональна
разности температур резистора и окружающеrо воздуха,
теплоемкость резистора С == 3 Дж/К.
2.47. Вертикальная длинная кирпичная труба запол
нена чуrуном. В нижнем конце трубы поддерживается
температура Т i > Т nJf (Т М....... температура плаВJIения чуrу-
на), в верхНеМ.......темпераТура Т 2 < T nJl . Теплопроводность
расплавленноrо чуrуна в k раз больше, чем твердоrо.
Какая часть металла находится в расплавленном состоя
нии?
2.48. В небольшой чайник налита доверху теплая вода
(t i == 30 ОС). Чайник ocTывет на I ос за время 't == 5 мин.
Для тoro чтобы чайник не осты.. в нею капают rорячую
БОДУ (t a ==45°C). Масса ОДНОЙ капли т.==О.2 r. Сколько
капель в минуту должно капать в чайник. чтобы темпе-
ратура поддер]КИвалась равной 30
Насколько подоrреется вода за одну минуту, если
начать капать втрое чаще? Считать, что температура воды
в чайнике выравнивается очень быстро. Лишняя вода вы-
ливается из носика. В чайник входит 0,3 литра воды.
Температура окружающеrо воздуха t o == 20 ос.
2.49. В стакан с водой опустили наrреватель и сняли
зависимость температуры воды от времени:
'(, мин О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
t, ос 20 26,2 31,8 36,8 41,4 45,6 49,3 52,7 55)8 58)5 61,1
Н,Ом
100
ш н
() I I
I I
I I
I I
99 100
Р не. 43
з8
1) На сколько ос остынет вода за 1 мин, если паrре--
атеJlЬ ОТКJOOЧИ1:Ь от сети при температуре t 1 == 50 ОС?
2) Закипит ли вода, если наrреватель не выключать до-
статочно долrо? МОЩНОСТЬ наrреватеJlЯ счита1Ъ неизменной.
2.50. Для поддержания постоянной reмпературы ВОДЫ
в проточном аквариуме пользуются двумя одинаковыми
наrревателями (рис. 44). В
обычном режиме используют
один ИЗ них, а если ПОДКЛIOча-
.
ю!' параллелъно втораи HarpeBa..
тель, то расход ХОЛОДНОЙ воды
ПРИХОДИТСЯ увеличивать в три
раза. Как нужно изменить рас-
..
ХОД ХОЛОДНОН ВОДЫ, если на-
rреватели включены в сеть по-
следовательно? Каким должен
быть расход ХОЛОДНОЙ ВОДЫ, если ВКJIючен ОДИН изrре...
ватель МОЩНОСТЬЮ Р == 100 Вт? Температура ХОЛОJ.\ной
воды t 1 == 1 О ос, температура. воды в аквариуме t. == 27 ос.
ВО)J.З быстро hеремешнвается.
- ......
.........
Рис. 44
Рис. 45
р не. 46
"2.51. МОЩНЫЙ транзистор, выделяющий тепло, закреп-
лен на теплопроводящей пластине, обдуваемой воздухом,
температура KOToporo равна 30 ос. На рис. 45 покаэано
распределение температур на пластине. Определите рас-
сеивае.мую мощность. Известно, что равномерно наrретая
до температуры /1 == 70 ос пластина рассеивает мощность
39
р == 1 О Вт при температуре воздуха t Bi == 20 ос. Теплоотдача
.ропорциональна разности температур пластины и воздуха.
2.52. Один из простейших термоскопов (эти приборы
8спользовались до изобретения термометра) состоял из
открытой стеклянной трубки, заполненной водой почти
иолностью (рис. 46). В воде находились неско.ПЬКО кро-
lIJечных rрушевидных сосудов с оттянутыми вниз rорлыш-
Iами. Внутри сосудов находились пузырьки воздуха, по-
"обранные таким образом, чтобы при определенной тем-
пературе (около 15 ОС) сосуды плавали внутри трубки.
При более высокой температуре сосуды всплывают на
поверхность воды, коrда же температура ниже 15 ос, они
опускаются на дно.
Если же стеклянная трубка термоскопа заполнена водой
полностью и запаяна сверху, то прибор начинает рабо-
тать наоборот: при наrревании сосуды опускаются, а при
охлаждении ....... всплывают. .
Объясните, какие физические .Я8JJeНи.я. лежат в основе
конструкции описанных выше приборо:в?
2.53. Почему зимой в Сибири ведро с ВОДОЙ, оставляе-
мое в сенях, обычно закрывают сверху rазетой?
2.54. В. некоторых старинных часах, предназначенных
для работы на открытом воздухе, маятник изrотовлялся
в виде длинной трубки, за-
канчивающейся сосудом l со
ртутыо. С какой целью исполь-
зовалась такая конструкция
маятника?
2.55. Если наrретую мед-
ную лопатку положить на
брусок свинца треуrольноrо сечения (рис. 47), то можно
явственно услышать звук. Объясните природу возникно-
вения этоrо звука.
Рис. 47
з. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАrНБТЦ3М
ПОС1'ОЯННЫЙ ТОК, электрические цепи
3.1. Лампочку, рассчитанную на напряжение
2,5 В и ток 0,2 А, ПОДК.1Jючают ДЛИННЫl\,1И проводами к
батарейке. Амперметр, включенный последовательно с лам-
почкой, показывает ток 0,2 А. Коrда лаl\fПОЧКУ подкто-
чили к ПрО80Д8М параллельно с амперметром, она нака-
пилась так же, как и в первом случае. Какой ток 1 z
показывает амперметр? Батарейку считать идеальной,
сопротивление проводов равно 2 ()М.
3.2. Рабочее напряжение лампочки, ВОLlIьтамперная
характеристика которой приведена на рис. 48, равно 3,5 В
I А (кривая обрывается при на-
, пряж нии 4 В лампочка пе-
D,J p ropaeT). Две такие лампоч..
ки соединяют последователь-
42 но и подключают к мощ-
HOl\IY источнику напряжения
0,1 5 В.
Какой ток при ЭТОМ потечет
по цепи? Какой резистор R
1 2 3 4 нужно подключить параллель-
У,В но одной из лампочек, чтобы
Рис. 48 напряжение на друrой со-
ставило 3,5 В? Переrорит Jrи
какая нибудь из лампочек, если этот резистор заменить
еще одной такой же Л3"hiПОЧКОЙ?
3.3. К батарее, эдс которой 9 В, а внутреннее соп-
ротивление неизвестно, подключены последовательно
амперметр и вольтметр (внутренние сопротивления при-
боров также неизвестны). Если включить параллельно
вольтметру некоторое сопротивление, величину KOToporo
мы также не знаем, то показания вольтметра уменьшатся
в два раза, а показания амперметра возрастут в два ра-
за. Что показьmал вольтметр до подключения сопротив-
ления?
3.4. На наrрузку необходимо подавать напряжение
20 В. Напряжение питания не должно меняться более,
чем на 1 %, а сопротивление наrрузки может быть любым
в пределах от 50 до 100 Ом. В наличии имеется батарея,
Э С которой 100 В с малым внутренним сопротивлением.
Нарисовать возможную схему питания наrрузки от этой
батареи. Каким будет кпд этой схемы питания?
3.5. При подключении rальваническоrо элемента с эдс
1,5 В к зажимам А и В (рис. 49) амперметр показал ток
42
1 А. Коrда полярность злемента И.3I\-lенили на противопо-
ложную, ток упал в два раза. Какая электрическая цепь
находится внутри коробки?
3.6. Исследуется «черный ящик)} С четырьмя выводами.
Если к вьшодам 1 и 2 подключить батарею с Э,L1С и t то
между выводами 3 и 4 будет 1/2 U. Если же ПОДКЛЮЧИТЬ
эту батарею к выводам 3 и 4, то напряжение между ВЫ-
вода fИ 1 и 2 будет равно 1/3 и. Что внутри ящика?
Нх
':? I
Рис. 49
Рис. 50
3.7. Исследуется «черный ящик» С четырьмя выводами.
KorAa между выводами 1 и 2 была включена батарея 4
напряжением и 1 == 2 В. напряжение между выводами 3 и 4
оказалось u 2 == 7 В. KorAa между выводами 3 и 4 ВКЛЮ-
чили батарею с напряжением из == 1 О В, то напряжение
между выводами 1 и 2 U 4 == 3 В. Нарисовать несколько
возможных схем счерноrо ящика».
3.8*. На рис. 50 показана часть схемы, состоящей из
резисторов, сопротивления которых неизвестны. KaK имея
I
амперметр, вольтметр, источник тока и соединительные
провода, можно определить сопротивление одноrо из ре-
зисторов, не разрывая ни одноrо контакта в схеме?
3.9. Схему собирают из батарейки, двух одинаковых
амперметров и двух одинаковых вольтметров (рис. 51).
Амперметры А 1 И AI пока-
зывают соответственно /1 == f B" А1
== 1,1 мА, /1 == 0,9 мА; вольт- 82
метр В 2 показывает и t ==
==0,25 В. Что показывает вольт-
метр В 1 ? Чему равно напряже- Рис. 51
вие батареи?
3.10. мноrопредельный аАlперметр высокой точности
v са
содержит ДЛЯ каждоrо предела измерении отдельныи
шунт. Амперметр включают в цепь на пределе 10 мА. и
ОН показывает 11 == 2,95 ыА; коrда ero переключили на
предел 3 мА, /2 == 2,90 мА. Какова была сила тока в це и
до подключения амперметра?
3.11*. Омметр СОСТОИТ из миллиамперметра, рассчитан-
Horo на максимальный ток 1 тах == I мА, источника тока
43
и добавочноrо резистора, реrулировкой сопротивления
KOToporo омметр устанавливается на нулевую отметку при
замкнутых накоротко выводах (нуль омметра находится
в правом конце шк лы).
Схему собирают из батареи для KapMaHHoro фонарика
с ЭДG <8 == 4,5 В, резистора с неизвестным сопротивле-
нием и омметра. Коrда омметр включают последователь-
но, он показывает О Ом. Коrда ero включают параллельно
батарее, он показывает бесконечно большое сопротивление.
Определите неизвестное сопротивление резистора и
напряжения на батарее и на омметре.
3.12. Цепь, IЮказанная на рис. 52, собрана из одина-
ковых резисторов и одинаковых вольтметров. Первый
вольтметр показывает и 1 == 10 В, а третий U з == 8 В. Что
поgазывает второй вольтметр? :
3.13. Схема, приведенная на рис. 53, содержит 50
разных амперметров и 50 одинаковых вольтметров. Пока-
зания первоrо вольтметра и 1 == 9,6 В, первоrо ампермет-
ра 11== 9,5 мА, BToporo амперметра........../ 2 == 9;2 мА. Опре-
делите по этим данным сумму показаний всех вольтмет-
ров.
3.14*. Собрана схема, показанная на рис. 54. эде ба-
тареи <81 уменьшили на 1 ,5 В, после чеrо токи на раз-
личных участках цепи изменились. Как нужно изменить
ЭДС батареи <82' чтобы: а) ток через батарею <82 стал
прежним; б) ток через батарею <81 стал прежним? Внут-
ренним сопротивлением батарей пренебречь.
3.15*. На проводящие рельсы иrрушечной желеЗН9Й
дороrи беспорядочно бросают, замыкая рельсы, тонкие
длинные оrоленные проводники из меди. Оценить сопро-
тивление между рельсами, если расстояние между ними
l==5 см, диаметр каждоrо проводника d==O,2 мм, ero
длина h==30 см, бросили N == 100 проводников.
3.16. В схеме, приведенной на рис. 55, все вольтмет-
ры одинаковые. эде батареи <& == 5 В, ее внутреннее соп-
ротивление мало. Верхний вольтметр показывает и == 2 В.
Что показывают остальные вольтметры?
3.17. Элемент S имеет вольтамперную характеристику,
изображенную на рис. 56 (это идеализированная харак-
теристика стабилитрона). Последовательно с сопротивле-
нием R подключают S к батарее с эде 8. Какова вели-
чина тока в цепи?
3.18. Элемент В имеет вольтамперную характеристику,
Jlзображенную на рис. 57 (это идеализированная харак-
теристика бареттера). Последовательно с сопротивлением R
44
Рис. 52
Рис. 53
R JR
'7
R R
,
12
Рис. 54 Рис. 55
1
1
10
и
--l
D
ц,
и
р не. 57
р ие. 56
l,А
0,8
0,6
S О,Ц
42
О 20 ЦО 60 80 B
Р не. 58 Рис. 59
45
А В
68
а
11
42
1
Рис. 60
а
r
Рис. б3
2 8
4"
1,мА
'1
1
2
7
О,Ч 8 2
f B
ив
,
6
,
lI,B
20
10
о
200 зв,
1, мА
100
Рис. б2
Рис. 64
ero подключают к батарее с ЭДС <8. Какое напряжение
будет при этом на В?
3.19. Найти токи через элеrvlенты S и напряжения на
эле1Iентах В в приведенных схемах (рис. 58). Вольтам..
перные характеристики элементов S и В даны в задачах
3.17 и 3.18.
3.20. lvl0ЖНО ли две лампы накаливания мощностью
60 Вт и 100 Вт, рас читанные на напряжение 11 О В,
включить последовательно в сеть напряжением 220 В, если
допустимо превышение напряжения на каждой из ламп
не более 10 % от номинальноrо? 80льтамперная характе-
ристика лампы мощностью 100 Вт показана на рис. 59.
3.21*. Для по.пучения напряжения, величиl1а KOToporo
мало зависит от температуры, собрана схема по рис. БОа.
Вольта lперные характеристики диода D при трех различ-
ных температурах окружающей среды t i == 125 ос, t 2 == 25 ос,
t 3 == ..........60 ос приведены на рис. 60б. Напряжение источника
и == 6 В при температуре 25 ос и с увеличением темпера-
туры возрастает на 25. 1 о э В/rрад. Найти напряжение
между зажимами А и В при t == 25 ос и зависимость этоrо
иапряжения от температуры.
3.22. На рис. 61 приведена зависимость напряжения
источника питания от тока наrрузки. Найти максималь-
ную мощность W R, которую можно получить в наrрузке.
При каком сопротивлении наrрузки она достиrается? Для
чеrо может понадобиться такой источник питания и как
практически осуществить такую зависимость U(I)?
3.23*. Зависимость напряжения от тока для HeKoToporo
источника электрической энерrии показ'ана На рис. 62.
Постройте rрафик зависимости напряжения на наrрузке,
на которую замкнут источник, от сопротивления наI РУЗКИ.
3.24*. В схеме, приведенной на рис. 63, а и 0== 2,4 В,
R == 600 Ом, , == 200 Ом, диоды Дl И Д2 имеют одинако
вые вольтамперные характеристики (рис. 63, 6). Найти
ток через диод )12'
3.25. Фиrура, изображенная на рис. 64, сделана из
проволоки постоянноrо сечения. Сторона большоrо квад-
рата а, сопротивление I м проволоки равно р. Найти
сопротивление между точками А и В.
3.26*. Те же условия, что и в задаче 3.25, но фиrура
более сложная (рис. 65). Число квадратов очень велико.
Найти сопротивление между точками А и В.
3.27*. Между Ленинrрадом и Москвой протянута двух-
проводная телефонная линия. Сопротивление одноrо метра
проволоки равно r == 0,05 Ом. Из..за несовершенства изоля-
47
ции сопротивление между проводами составляет R 107 Ом
на каждый метр линии. К концам линии в Москве под
ключают источник с напряжением и == 100 В. Что пока
жет вольтметр, если ero подклю
чить: а) к концам линии в Ле
нинrраде; б) в середине линии?
3.28*. На рис. 66, а приве
дена вольтамперная характери
стика лампочки от KapMaHHoro
фонаря. Лампочка включена в
схему, ноказанную на рис. 66, б.
а) Найти rрафически ток в
лампочке.
б) При каком положении
движка потенциометра напря
жение между точками А и В
равно нулю?
в) При каком положении движка потенциометра наП
ряжение между точками А и В почти не будет меняться
ори небольших изменениях ЭдlС батареи?
I,А
4'1
43
42
47
А
Рис. 65
1 2 1 Ц 5 lf,B
а
в
А В
Н=ЦО ОМ
8=ЦВ
л
о
Рис. 66
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
8.29*. Из бесконечной квадратной сетки с сопротив-
лением каждоrо ребра r удалили
часть проводников ........ так, как по..
казано на рис. 67 (тонкие линии).
Найти сопротивление, АВ между
точкаt.IИ А и В, В и С, А и С.
3.30. Если молния во время rpo-
зы попала в воду, то после rрозы на
озере иноrда видят всплывшую
мертвую рыбу. Как это объяснить?
Ведь вероятность попадания мол..
нии в отдельно взятую рыбу ни
Рис. 67 чтожно мала.
.;
с
А 8
48
3.31*. При исследовании электрических свойств ТОН-
кой пластинки HOBoro соединения было обнаружено, что
ero ПрОБОДИМОСТЬ (1 сущесrвенно анизотропна: ВДОЛЬ одноrо
направления (ось х) она максимальна, а вдоль друrоro
(ось у) минимальна. Из пластинки вырезали образец в
виде длинной полоски (длины 1 и ширины d) под yr лом
450 к направлению осей х и у. Через образец пропустили
электрический ток, при этом разность потенциалов на
концах полоски составила и, а измерения разности по-
тенциалов между краями полоски зареrистрировали нап-
ряжение V.
Чему равно отношение проводимостей вдоль оси х и
вдоль оси у?
Электростатика, емкость
3..32. При проведении в 1720 rоду основопо-
лаrающих экспериментов по изучению явления электропро-
водности тел Стивен rрэй установил следующее: мноrие
тела, обнаруживающие способность наэлектризовываться
трением (шелковые нити, бумаrа, кожа и др.), проявляют
ЭТО свойство В большей степени, если их предварительно
HarpeTb. Почему? "
3.33*. Направленный поток электронов вылетает из
тонкой широкой щели со скоростью v== 10 м/с (рис. 68).
Концентрация электронов в потоке n == 1010 частиЦ/м 8 . На
каком расстоянии от щели толщина пучка увеличилась
в 2 раза? Масса электрона т == 9.10"'81 Kr, заряд электрона
е == 1 ,6 . 1 О 19 Кл.
..р +1'
d d
P .M P .OO
3.34*. Два плоских слоя толщины d каждый равномернс
заряжены объемным зарядом с плотностями р И + р.
Частица с отрицательным зарядом ......... е и массой т подле-
49
"
тает к положите.,1ЬНО заряженному слою со скоростью v, на-
правленной ПОД уrлом а к поверхности слоя (рис. 69).
Определить:
а) при какой скорости частица не сможет проникнуть
в отрицательно заряженный слой?
б) через сколько времени и на каком расстоянии от
точки А частица в этом случае покинет положительно
заряженный слой?
3.35*. Для очистки воздуха от ПЫЛИ, которая в обычных
условиях оседает очень медленно, можно использовать то
обстоятельство, что пылинки заряжены.
Рассмотрим стеклянный цилиндр (R ==0,1 м, Н == I м)
о пыльным воздухом, помещенный в электрическое поле
напряженностью Е 1 == 1.101 В/М, направленное вдоль оси
цилиндра. Через время t j == 2 мин вся содержавшаяся
в цилиндре пыль осела на дно. В друrом случае вдоль
оси цилиндра натяrивают тонкую проволоку и соединяют
ее с ИСТОЧНИКОМ высокоrо напряжения. Известно, что в этом
случае напряженность поля Е,,-..; l/r, rде '........ расcrояние
ДО оси. Напряжение источника подбирают так, чтобы Ha
пряженность электрическоrо поля у стенок цилиндра была,
как и в первом опыте, 1.104 В/М.
Считая пылинки одинакрвым,' а их заряды. равными,
.,
определите время оседания веев ПЫЛИ на стенки цилиндра
I .
ВО втором опыте. Пыли в воздухе HeMHoro, так ЧТО объ-
емным зарядом можно пренебречь.
3.36. Имеются АВа проводника А и В произвольной
формы. Первоначальво на проводнике А имепся заряд Q,
а ПроВОДНИК В не был заряжен. ПРОВОДНИКИ ПРИВОДЯТ
В еоприкосновеиие, н на ПрО80ДНИК В перетекает заряд q.
Соприкасающимся ПРОБОДНИК8М сообщили дополнительно
некоторый заряд qz, и в реэУJlьтате на ПРОВDдиике А ока-
зался заряд q. Определить з-ряд qx.
а
3.37. в однород.НОМ rОрИЗ0нтально направленном элек-
трическом поле Находится незаряженный проводящий куб,
51
рри этом две ero вертикальные rрани перпендикулярны
Вектору напряженности (рис. 70, а). Плотность заряда
. середине указанных rраней 00' Какова будет поверхност-
ная плотность заряда в середине всех rраней куба, если
он расположен так. что вектор напряженности ПОJlЯ па-
раллелен: а) диаrонали rоризонтальных оснований куба
(рис. 70, б), б) пространственной диаrонали куба (рис. 70, в).
3.38. Четыре одинаковых пластины расположены так,
как показано на рис. 71. Площадь каждой пластины 5,
расстояние между соседними пластинами d HaMHoro меньше
размеров пластин. Крайние пластины соединены провоЛ-
ииком. Найти емкость между среДНИАIИ пластинами.
. . ......
d.
d.
11.
:
..."
,
Рис. 71
Рис. 72
При замыкании крайних пластин между собой емкость
между средними пластинами изменяется. Однако, как
известно, поле плоскоrо конденсатора (а средние плаСТИIJЫ
образуют плоский конденсатор) сосредоточено внутри Hero,
Т. е. около крайних пластин поля нет. Как же их замы-
кание влияет на емкость BHyтpeHHero конденсатора? Объ-
ясните этот факт.
3.89. К большому металлическому листу поднесли парал-
лельно ему две металлические пластинки, площади которых
Si и 82' Они находятся на расстояниях d 1 и d 2 соответ-
ственно от плоскости листа. Какую емкость можно полу-
чить, присоединив ПрОВОД8 к любым двум проводникам?
Пластинки друr от друrа находятся на очень большом
раССТОЯНИИ F d i и d 2 HaMHoro меньше размеров пластинок.
8.40. пластины плоскоrо конденсатора соединены ди-
электрической пружиной (рис. 72). Начальное расстояние
между пластинами d o , а после.тоrо, как конденсатор заря-
ДИЛИ, оно уменьшилось до величины d 1 == d o /2. Каким будет
расстояние между пластинами конденсатора, еС.JJИ парал-
u
Jlельно ему подключить такои же конденсатор, но неза-
ряженный?
3.41. Незаряженная проводящая тонкостенная сфери-
Ч СJ{ая оболочка помеЩена в однородное 3JIеI{трическое
r"C)
... ..
поле. При напряженности поля Б о оболочка разрывается.
При какой минимальной напряже ности поля разорвется
оболочка вдвое БО.i1ьшеrо радиуса, имеющая ту же толщину
стенок?
3.42. Во сколько раз энерrия равномерно заряженноrо
по поверхности очень TOHKoro диэлектрическоrо KBaдpaT
Horo листа больше (или меньше) энерrии Toro же листа,
сложенноrо вчетверо так, что получился квадрат со CTO
роной В два раза меньше первоначальноrо?
3.43. В однородном электрическом поле находится He
заряженный металлический шар. При выключении поля
в шаре выделилось количество тепла Q.. Какое количество
тепла выделилось бы в аналоrичном случае в шаре 1 втрое
большеrо радиуса?
3.44*. Электростатический вольтметр представ.пяет собой
плоский конденсатор, одна из пластин KOToporo закреплена
неподвижно, а друrая может двиrаться, оставаясь парал..
лельной первой, :пластине. Подвижная пластина прикреп..
лена к стене пр.и помощи пружины жесткости k == 1 О Н/м.
Начальное расСТ ffние между пластинами d == см, плОщадь
каждой из пластин S:::::: 0,5 м 2 . Рассчитать шкалу вольт
метра. Какое максимальное напряжение можно измерять
этим вольтметром? Рассмотреть случаи, коrда вязкое трение
пренебрежимо мадо и весьма велико.
3.45. В наличии имеются два конденсатора: С 1 == 2 мкФ,
и 1 == 160 В, диэлектрик этоrо конденсатора промасленная
бумаrа, С 2 ==О,5 мкФ, и 2 ==З00 В, диэлектрик слюда.
К какому максимальному напряжению их можно п?Дклю"
чить при последовательном соединении? А если бы у обоих
диэлектриком была слюда? и 1 и U2 максимально допу-
стимые напряжения, подаваемые на конденсаторы.
3.46. К батарее с внутренним--сопротивлением , == 1 ом
подключены последовательно два одинаковых конденсатора.
Параллельно одному из них присоединяют резистор R =:.
== 1000 Ом, при этом в схеме выделяется некоторое коли-
чество тепла. Какая часть этоrо тепла выделится на внут-
реннем сопротивлении батареи?
3.47. К батарее с ЭДС <8 последовательно подключены
три конденсатора с емкостями С, 2С и зс. Конденсатор
2С вырвали из схемы, поменяли местами ero выводы и под-
ключили обратно. Найти изменение заряда на с.
3.48. В схеме на рис. 73 конденсатор С замыкают пере..
мычкой. Какое количество тепла выделится при ЭТОМ в схеме?
Уберем перемыку.. Какое количество тепла выдеЛtится
в этом случае?
53
3.49. Конденсатор С разряжается через резистор R
и перемычку АВ (рис. 74). В тот момент, коrда ток раз-
ряда составил 10' перемычка переrорелз. Какое количество
тепла выделится в схеме, начиная с этоrо момента?
н 2С 1 1 t JJ c
c TJ
Рис. 73 Рис. 74
1
т 110
3.50. Конденсатор зарядили до и е == 100 В и подклю-
чили к нему резистор. Сразу после этоro за некоторый
интервал времени 8 цепи выделилась в виде тепла энерrия
и в W 1 == 1 Дж, а за следУЮЩИЙ
, u
1011 таков же интервал энерrия
W 2 == 0,3 Дж. Определить ем-
200 КОСТЬ конденсатора.
3.51*. При конструирова-
нии ламПЫ-8СПЬUDКИ применили
10IJ нелинейный конденсатор (он
заполнен диэлектриком, у ко-
TOpOro диэлектрическая про-
В 1111 lJ,,2 43 'l,Кл ницаемость зависит ОТ НЗОрЯ-
Рис. 75 жен ности поля). [рафик за-
висимости напряжения и от
заряда q конденсатора приве,ден на рис. 75. Конденсатор
заряжают от батареи с и е ==З00 В через резистор с сопро-
тивпением R== 10 кОм. Найти максимальную энерrию
вспышки.. Оценить максимальное число вспышек за I ми-
нуту. Считать, что при вспышке конденсатор полностью
разряжается. Минималъное ItaЧ8J1ЬНое напряжение вспышки
и 1 == 250 B .
3.52*. Три одинаковых конденсатора t каждыIй емкости С,
соеДИНИЛИ после,в.оватеJlЬНО И ПОДКJПOЧИЛИ К батарее с эдсtC.
После Toro как они полностью зарЯДИJlИСЬ, их отключили
от батареи. Затем к ним одновременно ПОДКЛЮЧИЛИ два
резистора с сопротивлением R каждый так, как показано
на рис. 76. Какое количество тепла выделится на каждом
из резисторов? Чему равны токи через резисторы в момент
времени, KorJ(3 напряжение на среднем конденсаторе в 1 О раз
меньше эде батареи?
3.53. Напряжение источника меняется со временек по
линейному закону. В начальный МQмеит напряжение быJЮ
54
равно нулю. С помощью ключа К источник можно ПОД"
кmoчить к схеме, приведенной на рис. 77. В какой момент
нужно замкнуть ключ, .чтобы ТОК в цепи был постоянным
по величине?
R
С С С
fI
Р НС. 76
к R
С Т
о
Рис. 71
O----
о с '
Л1l
Рис. 78
Рис.. 19
3..54. На схему из конденсатора С, двух ДИОДОВ и ампер..
метра (рис. 78) подают прямоуrольные ИМПУJlЬСЫ ампли..
туды и о И частоты ,.. Какой ТОК показывает амперметр?
Зависят ли ero показания от устройства амперметра (маrни..
тоэлектрический, длектромаrнитиый' тепловой)? Диоды
можно считать идеальными, сопротивление амперметра
невелико.
3.55 fr . В цепи, показанной на рис. 79, R== 100 Ом,
с== 10 мкФ, U е == 10 B внутреннее СОПРОТИВJleние батареи
и сопротивление амперметра п ренебрежимо M8J1Ь1. Ключ К
периодичеСI{И замыкают на вре-
мя '(1 == J .10....3 с и ра3 1Ыкают
на время Т 2 == 20.} O 3 с. При та..
ком режиме переключеиий стрел..
ка амперметра практически не
ДРОЖИТ. Какой ток показывает
амперметр?
3.56. В схеме, изображенной
на рис. 80, ключ К «колеблется»
между положениями 1 и 2 с
частотой '== 100 rц; в каждом положении ключ нахо..
дится одинаковое время. Найти ток через резистор
Cf.== 10 мкФ, С 2 ==ЗО мкФ, R== 100 кОм.
У..
"
Рис. 80
55
Силы в маrнитных поля.х
3.57. В то время, коrда еще не был ПОД-
писан доrовор о запрете .ядерных испытаний в атмосфере,
при взрывах водородных бомб на больших высотах воз-
никали пото«и заряженных частиц, вызывающие свечение
ночноrо неба. [де на ЗеJ\.l.Р.е Mor ло наб,,1ЮДДТЬСЯ такое
свечение?
3.58*. Заряженная частица попадает в среду, rде на
нее действует сила сопротивления, ПРОПОРЦИОН8льная ско-
рости. До полной остановки частица проходит путь S:::
== 10 сМ. ЕСJ1И В среде меется маrнитное поле, перпенди-
кулярное скорости частицы, то она при той же начальной
скорости остановится на расстоянии 11 6 СМ от точки
входа в среду.',
На каком расстоянии 12 от точки входа в среду оста-
новилась бы частица, если бы поле было в два раза меньше?
3.59 Электрон покоится ввутри солеН6ида- на расстоя-
нии , от ero оси За малый интервал BpeMe'H А-! индукция
поля внутри соленоида увеличилась ОТ В Д(» 28. Как при
этом изменилась скорость электрона?
3.60*. Во сколько раз величина BeK:ropa индукции Mar-
нитноrо поля, создаваемоrо током I в центре кольца ра-
диуса R, больше (или меньше) величи-
ны вектора маrнитной индукции, созда-
BaeMoro системой последовательно со-
единенных проводящих дуr окружности
радиуса R уrловоrо размера 'Jtj2, ле'-
жащих попарно через одну в трех
взаимно перпендикулярных плоскос-
тях, ПО KOTOpbIl\f идет такой же ток
(рис. 81)? Какой уrол с вертикалью обра
зует вектор индукции, созданный си-
стемой дуr?
3.61*. ll(eCTKoe тонкое проводящее КОЛЬЦО лежит на
rоризонтальной непроводящей поверхности и находится
в ОДНОрОДНОl\.1 1\1аrнитном поле, линии ИНДУКЦИИ KOTOpOI'O
rорязонтальны. Масса кольца М == 2 1', радиус ero R == 4 см,
маrнитная индукция В == 0,5 Т л. Какой ток 1 нужно про..
пустить по КОЛЬЦУ, чтобы оно начало приподниматься?
3.62*. Квадратная недеформируемая сверхнроводящая
рамка со стороной' а расположена rоризонтально и нахо-
дится в неоднородном l\tlаrнитном поле (рис. 82), индукция
KOToporo меняется в пространстве по закону
В х .......... kx, Ву::;:: о t В Z =: kz + ВО'
р ие. 81
57
cca рамки т, ИНДУКТИВl!ОСTh L. В начальный момент
аентр рамки совпадает с началом координат, а стороны
параЛw1ельны осям х и у. Рам..
ку отпускают. Как она будет
двиrаться и rде окажется через
время t?
3.63. Вначале несколько
слов о сверхпроводниках.
Сверхпроводники обладшот
свойством выталкивать маrнит-
ное поле (так называемЫЙ
эффект Мейсжра) , блаrодаря
чему они orYT парить над
маrнитом. Эту особенность
сверхпроводников предлаrает-
ея использовать для создания
сверхскоростных поезДОВ на «маrнитной подвеске», опытные
образцы которых уже испытываются. Особый интерес к та-
кому виду транспорта появился после открытия высоко-
температурных сверхпроводников.
А теперь сама задача. На сверхпроводящий образец
массой Пl, парящий над постоянным маrнитом, кладут rруз
точно такой же массы. Во сколько раз необходимо уве,'lИ-
чить индукцию поля, создавае:моrо маrНИТОАf, чтобы сверх-
проводник с rрузом парил на прежнеАi расстоянии ОТ
маrнита?
3.64*. По длинному сверхпроводящему соленоиду
с индуктивностью 4== lrH, содержащему N ==200 витков,
течет ток [о == 0,1 А. I1здали к соленоиду ПОДНОСЯТ замк-
нутый ПРОВDДЯЩИЙ виток ТО-
ro же радиуса, что и витки
соленоида; индуктивность
витка L 1 == 1.10 1 [Н. Виток
вставляют между витками
соленоида СООСНО с НИМИ_
Как изменится ток, текущий
по соленоиду? Каким будет
ток витка?
3.65. Для Toro чтобы полу-
чить две совершенно одина
ковые катушки, их наматывают на немаrниrный сердечник
одновременно, используя сложенные вместе провода
(рис. 83). Од.ну из катушек подключают через КЛIОЧ К
К батарейке с напряжением и о, ВТорую....... к резистору R.
Ключ замыкают. РаССЧИ1'вйте МОЩНОСТЬ тока на резисторе.
х
Рис 82
Kl R
РJИC.8З
58
НарисуЙте rрафик зависимости силы тока через батарейку
от временн.
Через время 1: ключ размыкают. Какое количество
теплоты выделится в резисторе, начиная с ЭТО[О МО\1ента?
ИНДУКТИВНОСТЬ каждоЙ из катушек L. Батарейку считать
идеальноЙ. Сопротивлением проводов пренебречь
3.66*. При изменении напряжения на ЭJJеi\It'нте Э ТОК
через Hero l\Iеняется так, как показано на рис 84, а. Как
будет l\-fеняться со временем напряжение на элементе Э,
если ero в лючить в схему, приведенную на рис. 84, б
(параметры схемы указаны на рисунке)? KaKoro мини..
мальноrо сопротивления резистор l\10ЖНО подключить па..
раллельно элементу Э t чтобы напряжение на элеrvfенrе не
оставалось постоянным?
3.67*. Для подзарядки аккумулятора с эде {j == 12 В
от МОЩНОI'О источника напряжения и == 5 В со6рана схема
из катушки с индуктивностью L == 1 rH, диода D и пре..
рыателяя К (рис. 85), который периодически ззмыкается
и размыкается на одинаковые промежутки времени 1'1 ==
==Т2 == 0,01 C Определить средний ТОК заряда аккумуля"
тора / ер'
3.68*. В схеме, приведенной на рис. 86, замыlаютT
ключ К. Найти максимальный ток через катушку. Найти
максимальное напряжение на конденсаторе C j . Нендеаль-
ностью элементов схемы можно пренебречь.
l,мД
5
'1
J
2
7
О 0,2 0,'1 qs 0.8 и 1 В
fl
': 2B
L= 1DMHf
3
l R I
L .... =J-- ........ ... ..... J
!
Рис. 84
L
1
T L2
( '
' и.
Рис. 85
Ри . 86
59
3.69. Какова средняя сила притяжения пластин кон-
денсатора С сразу после замыкания ключа К (рис. 87)?
А после затухания колебаний? Расстояние между пласти-
нами конденсатора d.
....rY'V'V'
I
iJ
{
'т
I c
Т
р не. 87
3.70*. Первоначально заряженный конденсат<?р ем-
кости С подключают к последовательно соединенным
батарее с напряжением и и катушке с индуктивностью L.
Ток через катушку вначале увеличивается, а затем умень-
шается. В TQT момент, коrда ток стаPlОВИТСЯ равным нулю,
конденсатор отключают от схемы и ПОДК..1Iючают вновь,
п.)меняв местами ero выводы. Какой максимальный ток
будет после этоrо течь через катушку? Как ИЗIvlенится
этот ток, если процесс переключения повторить 1984 раза?
СОпротивлением цепи пренебречь.
3.71. Схему на рис. 88 называют «выпрямитель с удвое-
нием напряжения». До KaKoro напряжения заряжается
I<аждый из конденсаторов?
3.72. В обычной схеме однополупериодноrо выпрямителя
(рис. 89) С == 1000 мкФ, R == 500 Ом. Частота сети v==50 [д.
Считая диод идеальным, найти' а) коэффициент пульса-
ций напряжения k == и /и на резисторе R; б) во сколько
раз уменьшится коэффициент k, если последовательно с
резистором включить катушку индуктивности L == 100 fи.
3.73. Как зависит напряжение между точками А и В
(рис. 90) от сопротивления резистора R?
З.74. Цепь, показанная на рис. 91, подключена к сети
переменноrо тока с напряжением U 0== 220 В. Каково на-
пряжение между точками А и В?
3.75. Колебательный контур состоит из катушки L== 1 fи
с сопротивлением r == 1 Ом и конденсатора С == 1 мкФ.
Конденсатор нельзя считать идеальным сопротивление
ero изоляции R конечно (хотя и велико). При каком значе-
нии R в конденсаторе перейдет в тепло 2/3 начальной
энерrии контура?
3.76. В сеть переменноrо тока с напряжением 220 В
и частотой 50 [ц подключены последовательно два кон-
денсатора с емкостью 1 мкФ каждый. Параллельно одному
60
A
r C
2208 А ,
Р не. 88
с
д
с
R
р ие. 89
R В С
NU Р
С А
'v
Рис. 90 Р не. 91
Т С2
р не. 92
R
Л 2
Рис. 94
1,А
0,'1
0,2
ЦО 80 120 160 200 и, В
Рис. 93
Рие. 95
61
из конденсаторов включен резистор с сопротивлением
R== 100 кОм (рис. 92). Найти тепловую мощность.
3.77. На рис. 93 приведена вольтамперная характе-
ристика лампы накаливания, номинальное напряжение
которой и н == 220 В t номинальная мощность Р в == 100 Вт.
Лампу подключают к сети переменноrо тока (220 В, 50 rц)
последоваreльно с конденсатором емкости С == 1 О мкФ.
ОПl?еде.пить ток в лампе и напряжение на ней. Считать,
что в течение периода ceTeBoro напряжения температура
нити практически не меняется.
3. 78. Электрический прибор П подключен к сети пере-
менното тока с напряжением 220 В через конденсатор
емкостью С == 0,5 кФ (рис. 94). Амперметр показывает
ток 1 == 0,01 А, показание вольтметра........ и == 180 6. Найти
мощность, потребnяемую от сети прибором. Считать ам-
перметр и вольтметр идеальнымц.
3.79. - В схеме, приведенной на рис. 95, трансформатор
идеальный. Параметры схемы указаны на рисунке. Найти
аМIIJlИТУ ду тока и СДвиr фаз в первичной цепи.
3.80. Обмотки трансформатора содержат 111 == 1000 вит-
ков и n! _ 2000 витков и намотаны на сердечник с боль-
шой маrнитной проницаемостью. Соединим обмотки парал-
лель но и подключим их последовательно с резистором
R==lOOOOM к сети 220 Вольт. Какие токи потекут по
обмоткам?
4. ОПТИКА
4.1. Фотоrрафировать тиrра с расстояния L
менее 20 lVleTpoB опасно. Какой размер может иметь ка-
мера обскура с отверстием диаметром d === 1 мм, чтобы тиrр
на фотоrрафии получился полосатым? Расстояние между
полосами на шкуре тиrра 1 == 20 см.
4.2. Посередине плоскоrо экрана находится точечный
источник света. Параллельно экрану расположено плоское
зеркало в форме paBHocTopoHHero треуrольника со сторо-
ной а == 1 О СМ. Определить площадь «зайчика» S на эк
ране.
4.3. rород раскинулся на восточном склоне ropbl.
Утром у-сталый путеIuественник, расположившийся на от-
ДЫХ у ПОДНО}l{ЬЯ ropbI, видит отражение Солнца в окон-
ных стеклах Он заlVlечает, что «светящиеся» окна со
временем перемещаются' в ОДНИХ домах «rаснут», а в
друrих «зажиrаются». Куда они перемещаются: вверх
или вниз, направо или налево? Объясните данное явление.
4.4. Луч света падает в центр верхней rрани стеклян-
ной треуrольной прямой призмы. Чему равен максималь-
ный уrол падения Cl max , при котором преломленный луч
еще может выйти через нижнюю rpaHb призмы (без ОТ-
ражения от друrих rраней). Показатель преломления
стекла п === 1,5. Высота призмы равна ребру основания.
4.5. Оценивая качество протяженной зеркальной (ИJlИ
по.пированной) поверхности, специалисты обычно рассмат-
ривают ее либо издали, либо, если отойти не удается,
rлядя вдоль нее, слеrка покачивая rоловой. Зачем они
это делают?
4.6. Луч света падает перпендикулярно поверхности
жидкости, налитой в стакан о rоризонтально расположен-
ным плоскопараллельным прозрачным дном, и после со-
ответствующих преломлений выходит через дно стакана
наружу. Насколько изменится уrол выхода луча из ста-
кана, если стакан повернуть на небольшой уrол <р? Пока-
затель преломления жидкости равен n. (Ось вращения
стакана rОРИЗ0нтальна.)
4.7. Правдоподобен ли рассказ о том, что rреки по
совету Архимеда сожrли деревянные корабли римлян,
направив на них солнечные лучи, отраженные от отпо-
ли рованных плоских щитов? Принять для оценки диаметр
щита D == 1 м, число воинов n == 100, расстояние до ко-
рабля 1 == 20 м. Известно, что в солнечную поrоду удается
зажечь кусок cyxoro дерева при помощи линзы с фокус-
ным расстоянием F == О, 1 м и диаметром D == 3 см. Уrловой
размер солнца а == О, О 1 рад.
64
4.8. ЯСНОЙ морозной ночью ПОСМОТрИ1'е на небо. Какие
звезды мерцают более заметно: находящиеся высоко над
rоризонтом или низко. и почему?
4.9. Непрозрачное тело имеет форму конуса (рио. 96),
у KOToporo уrол между осью и образующей равен а === 'Л/3.
Ero поrрузили в прозрачную жидкость вершиной вниз
craK, чтобы ось была вертикальна. Оказалось, что под-
водную часть боковой поверхности конуса нельзя увидеть
NИ из одной точки пространства над поверхностью жид..
кости. Каково должно быть минимальное значение пока..
sателя преломления жидкости n, чтобы выполнялось это
условие?
4.10. Для Toro чтобы уверенно разбирать чертеж, на..
рисованный черной тушью на белом листе бумаrи, доста..
точна освещенность 300 ЛЮКG. А при какой освещенности
пр дется работать, если чертеж вделан на «серой» бумаrе?
Считайте, что коэффициент отражения CBeтoBoro потока
белой бумаrи 0,9, «серой»...... 0,6, а тушью.... 0,2.
--=--=-- =--r
............ .............., ...............
1
............. "",..
р не. 96
р не. 97
4.11. При каких положениях точечноrо источника ОТ-
носительно тонкой собирающей линзы с фокусным рас..
€тоянием F == 1 м можно хотя бы из одной точки увидеть
и изображение, и источник? ИGТОЧНИК расположен на
,лавной оптической оси линзы.
4.12*. Точечный источник света движется издалека с
u U u
постоянном скоростью V o под уrлом а к rлавнои оптическои
оси собирающей линзы G фокусным расстоянием Р, ero
траектория пересекает эту ось на расстоянии а от линзы,
1<ак покаэано На РИG. 97. Найти минимальную относитель..
ную скорость изображения и источника. Линзу считать
идеальной.
4.13*. На в ртикальной стене на высоте Н == 1,5 м на-
рисован чвловечек роатом h == 20 см. При помощи линзы
фокусным расотоянием р;::;; 1 О см получают максимально
3 А, И, Бувдив В АР. 65
резкое изображение на полу. Найти размер изобра)ке-
пия h'.
4.14*. Быстрая космическая частица, движущаяся с
v
околосветовои скоростью, попадает в резервуар экспери-
u V
ментальнои установки, заполненнои ЖИДКОСТЬЮ G показа-
тeJIel\1 преломления п == 1,6. Прохож,цение частицы через
)КИДКОСТЬ сопровоЯ{дается излучением.
Через небольшой промежуток времени после попадания
частицы в резервуар был включен прибор, находящийся
А 8 в точке С, который зареrистрировал
. . . две светящиеся точки А и В. Схе-
ма опыта в определенном масшта-
бе приведена на рис. 98.
Объясните наблюдавшееся явле-
ние и, используя чертеж, найдите
Рис. 98 скорооть чаетицы. Торможением
частицы в жидкости пренебречь.
4.15. Как рассказывают альпинисты, высоко в ropax
сумерки заметно короче, чем на равнине. Как вы думаете,
с чем это связано?
4.16. Почему ближние ropbI кажутся более темными,
чем дальние, которые зачастую кажутся rолубоваТЫl\llИ?
4.17. Капнув несколько капель молока в стакан с ВО-
ДОЙ t посмотрите сквозь Hero на светящуюся лампочку.
Лампочка покажется красновато-желтой. Если же посмот-
реть на отраженный от стакана свет, он будет rолубым.
Объясните наблюдаемое различие цветов.
4.18. Почему внизу на фоне деревьев дым костра ка-
жется синим, однако над верхушками деревьев (на фоне
светлоrо неба) он выrлядит желтовато-красноватым?
4.19. Почему в вечернее время ближе к закату солнца
человек кажется более эаrоpeлы??
4.20. На картине И. Левитана «Март» тени на CHery,
отбрасываеМhlе деревьями в ясный солнечный день, rолу-
боrо цвета. Не правильнее (с физической точки зрения)
БЫJlО бы нарисовать их темными, беспветными (черными
или серыми)? 1
4.21. Наблюдая за происходящим на теннисном корте
v
из-за сетчатои orpaды' можно установить следующие две
закономерности; во-первых, если отходить дальше, то
иrрающих становится видно лучше; во-вторых, если идти
быстро вдоль оrрады, то «сетка» как бы пропадает.
Объясните, почему это происходит.
4.22. Из СКОJlЬКИХ влоев марли нужно 8делать зана-
веску на окно, чтобы днем Q улиды не было видно то,
66
с
.
что происходит в комнате? Толщина нити d == 0,2 мм, раз-
мер ячейки а == 4 мм.
4.23. В полой сфере проделано маленькое отверстие,
через которое внутрь проникает узкий параллельный пучок
света. Внутренняя поверхность сферы отражает свет во
все стороны одинаково (диффузно) и не поrлощает ero.
Как будут различаться в этом случае освещенности в точке,
..
диаметрально противоположнои отверстию, и во всех ос-
тальных точках сферы?
4.24*. Зеркало антенны радиолокатора, работающеrо
на волне л== 0,3 м, представляет собой параболоид вра-
щения с «выходным» диаметром d == 6 м, в фокусе KOToporo
(r лубоко внутри параболоида) расположен точечный из-
лучатель энерrии. Эrа же антенна используется для при-
ема отраженноro ОТ самолета сиrнала. Мощность излуча-
теля Р и == 2.10' Вт. Минимальная мощность сиrнала на
входе антенны, необходимая для нормальной работы,
P min == 1.10--11 Вт. Оцените максимальную дальность об-
наружения локатором самолета, площадь поверхности
отражения Koтoporo S == 5 M . Считать, что мощность отра-
женноrо сиrнаJIа в п == 10 раз мен ше мощности падающеrо
сиrнала и отражение происходит равномерно во все сто-
роны.
4.25. Известно, что светящийся след падающеrо метео-
рита по мере приближения к земле становится ярче.
Однако в верхних слоях атмосферы он сохраняется зна-
чительно дольше, чем у земли. Почему?
4.26. При проведении радиолокации Луны, взошедшей
над rоризонтом, чтобы обеспечить правильную направлен-
ность, излучатель высокочастотных радиосиrналов был
сопряжен с оптическим телескопом. Однако при наличии
оптическоrо изображения Луны отсутствовал отраженный
радиосиrнал. В то :яre время, коrда удавалось получить
отраженный радиосиrнал, не было оптическоrо изображе-
ния. Объясните это явление.
..
РЕШЕНИЯ
1. МЕХАНИКА
1.1. Пусть. коrда лента всtавлена правильно. авто-
мобиль на $кране имеет скорость У. Тоrда ero перемещение ва
малый промежуток времени At==I......t 1 есть
x==x (t 2 ).....x (ti)==V At.
Если же лента вставлена так, что событии на 9кране «потекли в
обратном направлении», перемещение автомобиля аа это же время
&! будет
Ь.х' == х (t:t>---x (/.)-.... Ах.
Но Ах' == у' !J.t так что
у' А! == Ах=-...... v А'
и кажущаясSl скорость автомобиля на 8кранв
,
v :=--- У,
Аналоrично
у' == v! (tU....... у' (t) =:1--- у (/f)......(..... V (t .» == v (t 2)...... у (/i),
И так как АУ==аАе, а Av'==a'At,
а' ==а.
Следовательно, коrда лента вставлена «задом наперед», ско..
рость автомобиля на экране меняет направление, а ускорение
остается неизменным.
1.2. Отражение сиrналов ПРОИСХОДИТ на rраница раз ела
B03ДYX 8()дa и Boдa }'HO, с этим и связано наличие нескольких
зареrистрированных rидрофоном си-
rналов. Схема распро транения си-
rналов показаН8 на рис. 99.
Пусть rлубина водоема Н, а
искомое расстояние между истоq. Н
ником взрыва и rидрофоном обо-
значим 48. TorAa, вычисляя длины
путей, которые проходит сиrнал в
каждом случае, можем записать
2 V H2+482 4S == vti,
4 V H + S3 48 == vt 2 .
Решая эту систему Nравнений (исключая неизвестную rлубину Н),
находим ответ
'/
Рис. 99
е:...... 4ti 5
48 ==v 2 ( 4t l..... t 2) ==3.7 КМ,
". е. взрыв произошел на расстоянии 3,75 км от rидрофона.
1 .3. Скорость муравья меняется со временем не по линеЙl\9МУ
эакону t поэтому средняя скорость на разных Nчастках пути раз-
лична и пользоваться для решения известными формулами для
средней скорости мы не можем.
Разобьем пrть муравья от точки А до точки В на малые уча-
'тки t которые он прохо,uи'Р 88 ОДИН8ковsе промежутки времени At.
Тоrда t==41Iocp (111), рде Оср (Аl)......сре.аВяJl скорость на данном
отрезке l. Эта формула подскаЗБlвает НJlею решения вадачн: на-
89
s == l/Vi+ I/vtj (12 lf) == ( ...!...+...!...1! ) (12.......11) ==
2 2 2
( так как ==..!... 12 ) .
V2 vi
Таким образом. муравей добежит от точки А ДО точки В за
время
рисуем rрафик зависимости величины l/v cp (/11) от 1 на пути от
точки А до точки В. Этот rрафик......отреэок прямой (рис. 100).
З-аштрихованная на рисунке площадь численно равна искомому
времени. Ее нетрудно найти: -
l .......l
2Оl/1
4....... I
Т== 2.2.10--3 с==75 с.
1.4. К MOMeHTN времени t от на чала движения клин проедет
расстояние SK == at 2 /2 и приобретет скорость V K == at. К этому мо-
менту rруэик переместится вдоль клина на такое же расстояние
1
и
7
Ц
11М
Vf(
1
и 2
Рис, 100
Рис. 101
1 == Sr == ai"/2, ero скорость О; относительно клина будет равна о;==
== о. ==at и направлена ВДОЛЬ клина вверХ!. Скорость V r rрузика
относительно 8емли равна V r == V; +у. (рис. 101), (f. е.
ct 'а
I v r l==2v K sln '2=201 Slп]-.
а froJI Р. который составляе'Р вектор У" с rоризонтом, ,равен
3"& а
Р==2....2.
Таким образом, находясь на клине, rрузиКi движется вдоль
'3"& а
прямой, составляющей frол Р==2....Т с rоризонтоМ; ускорение
rрузика относительно вемли равно
dV r 2 а
ar=={[t"==.osIn T ,
1.5. Соскочив со стола, волчок 6удет двиrаться по параболе
(вращение ЛИШЬ стабилизирует вертикальное поло ение оси волч-
ка) (рис. 102). rОРИIонтальная проекция VJt скорости волчка буде'J1
70
равна скорости v ero поступательноrо движения по столу; верти-
кальная проекция вершины будет меняться со временем по закону
у ==gt '1. J2t Волчок не ударится о край С!ОJIа. если за время 't', за
которое он стремится по вертикали на Н, ero смещение по rори..
ЗОН1али vx't будет больше или равно '. Запишем это vсловие:
У 7 8
VX't==vr 'f
Таким образом, скорость поступательноrо движения волчка должна
довлетворять условию
, / r 2 g
о ;:;а. V 28 .
1.6. Предположим сначала t что потолок OTcyrcTByeT, и найдем
в этом случае максимальный радиус пятна на полу t В котором
лежат осколки,
"
g
,
..
Рис. 103
Введем систему координат с началом, совпадающим с патро.,
ном лампочки (рис. 10З}. Условия падения на sемлю через время'
осколка, вылетевшеro ПОД уrлом а к rоризовту, таковы:
gt'4
......12 == vl sfn а ...... т · (1)
R ==vt соз а.
Очевидно, нам необходимо так подобрать frол а, чтобы величин,
R была максимальной, Преобразуем для этоrо уравнения (1) к вид,
gt 12
2........ -т == V sln а,
R
т==а соз .
2)
Orсюда дли величина R получим неравенство
g2t 4 2
R2 == (v 3 + gl2) 11......4....12 ==
( v t + g l s ) 2 r2 ( gt 3 V2+gll ) ( V2 gl'1. ) 2 d
== .... J!..... .......... ..... < ..... l2
g 2 g g ·
71
Таким обравОМ t
Rmax== v v +2g1i'
g
время полета t. осколка на такое расстояние
t. ==1.. у 2 (gl.+v 2 ) ,
g
yron ввпета . rоризонту найдем из f равнения
. Rrnax , / v 2 +2g1 2
соэ а, == vP == V 2 (02+ glt) ·
Высот, h 8 9ТОЙ траектории Ha,ll fpoBHeM патрона пампочки найдем
по форм ле
(о ЭШ а,8)' 01 о'
h. -= 2g = 2в (1 соэ ' а,е) == 4g (v 2 + g/2) ·
Вспомним теперь про потолок, Оче ВИJlН,О, если /1;:: ь. t то
Rraaxc:a.!. У 01 + 2g1,..
g
о'
В случае Kotдa It. < h 8 , Т. е. I1 < 4g (v 3 + g/2) . маисималь н ы й- ра-
диус пятна на полу получится от осколков, 'f которых максималь-
ная высота траектории (над ,ровнем патрона) равна li (их траек-
тория будет касательной и потолку). Чтобы доказать зто, доста-
точно рассмотреть хоти ба один оtколок. отразившийся от потолка.
}'ровень патрона после отражении он пересечет под уrлом вылета.
Следовательно, траектория этоrо осколка будет более крутой по
сравнению с «касательной» траекторией, и они никоrда не пере-
сек тся. Значит) осколок, коснувшийся потолка, пролетит по rори-
soнтали дальше все» 08таЛЬНЫJ!, даривши ся о потолок. Осколки.
не долетевшие до потолка. при своем движении до земли Не мо-
rYT пересечь «касательной» qoраектории (докажите это самостоя-
тельно).
v'
Таким образом, если '! > 4g (03 + g12) I то
Rmax ==!!.. у v 3 + 2g1a,
g \
v' У а 2 ..... 2g 1 f ( ... r............ ... r
если 11 < 4 (2+ 1) ,то Rmax== , 2g1i+' 2g(li+ 1 2».
g v g 2 g
1.7. Во время движения в любой момент времени шнур натя-
нут равномерно и, следовательно, отношение расстояний от узла С
до концов шнура с течением времени меняться не будет. На
рис. 104 находим, что в начальный момен'Р это отношение равно
I АС 1: I CD I == 1 : 4.
Очевидно, что смещение /!х узла На восток определяется смеще-
нием AS x беr}'на А и в l.Iюбой момеН1 составляе1 4/5 от 9TorO
i2
смещения, т. е.
4 4
Ах==s L1Sx==Svot.
Пользуясь масштабом, пр иве денным на рисунке, находим, что
точка D смещена на восток от точки С на X == 4 м. СлеJlовательно,
узел n рОIlIел точку D через время
t== 5 4 Ах ==5 с
Vo
после начала движения беrунов.
Смещение y узла на юr определяется сме. С
щением Sy беrуна В, и в любой момент Y==
==1/5 Sy. Пользуясь масштабом, находим, что
за время t ==5 с узел сместился от началь.
Horo положения (точки С) на юr на y==2 м.
Следовательно, беrун В двиrаясь с ускорением
а, за t==5 с прошел путь L1S y ==5Ay==10 м, 1'. е,
} at =: AS"t
А
'1м
.... .... ... ---1
12,.,.
.
в
следо вательно,
Sy 20
а==2 tr==25 м/с 2 =:0,8 м/с',
1.8. В задаче, очевидно, подразумевается, что размеры куба
в процессе ero движения не меняются. Это, в свою очередь, озна.
чает, что расстояние между парой Jlюбы точек куба с течением
времени остается неизменным. Тоrда иа равенства скоростей коц-
цов ребра куба АВ будет следовать, что и все точки ребра куба
АВ в данный момент времени движутся вниз со скоростью и.
Сложное движение куба можно предс'rавить в данный момент вре-
мени как сумму поступательноrо движения вместе с ребром куба
АВ и вращения относительно оси, проходящей через вершины
куба А и В. Отсюда следует, что движения Bce сечений куба.
перпендикулярны ребру куба АВ, будут совершенно одинаковыми.
Поэтому для ответа на вопросы задачи достаточно рассмотреть
движение rрани куба ВСС' В (рис. 105, а), Из неизменности ДЛИНЫ
ребра куба Ве следует, что в данный момент времени вектор ско-
рости точки С также вертикален и направлен либо вверх, либо
вн из.
Рассмотрим первый случай (рис. 105, б). Пусть длина ребра
куба равна 1. Нетрудно понять, )что точка Е ребра ВС, такая, что
ВЕ/ЕС=: 1/2, будет иметь в данный момент НУJlевую скорость.
В таком случае rоворят, что точка Е .....центр MrHOBeHHoro вра...
щения rрани ВСС' В . Очевидно, максимальную скорость буДет
иметь та точка rрани ВСС' В', которая максимально удалена 01'
точки Е. Этому условию отвечает точка С' .....вершина куба. При
этом так как расстояние между точками Е и С" равно 'Ее' == IVi3/з,
а расстояние между точкой Е и вершиной В равно 1/3 == 1 ЕВ) то
.. r ---- "
VG'/VB==IEG,/lBB==' 13, rде VG,......CKOpOCTb точки C } VB CKOpOCTb
точки В, vB == О. Таким образом, V8' == v JliЗ.
Второй случай отвечает ситуации. KQrAa точк О, как и точ'"
ка А и В t Jlвижется вниз (рис. 105. в). В этом случае центр MrHo
Рис. 104
13
BeHHoro вращения rрани ВСС' В' .......точка Е' ......будет лежать на
продолжении отрезка ве на расстоянии 1 от точки Е. Максимально
возможную скорость в данном случае будет опять-таки иметь
точка, максимально удаленная от центра MrHoBeHHoro вращения.
МЫ ВИДИМ, что в в зтом CJlучае искомой t. ТОЧКОЙ б,дет точка С',
ваХО]J;ищаяси от точки Е" на расстоянии 'в'а' == 1 У5. позтому
1 У5 ..r....
скорость точки С' теперь будет равна Va == vB 1 ==о f' 5.
Для vпоминаемоrо в условии вадачи СJlучая (б) нетрудно по-
нять, что максимальную скорость для обеи возможностеii будет
с
А с
L!1 а
к t'
"",,/
//
U'4:'
. 8 С
t'
/1
Рис. 105
lIМeть теперь точка В', причем если точка С движется вниз, то
скорость точки В' будет равна VВI==vУ IЗ/2 . при движении точки
.,ба С вверх скорость точки Bf будет максимально возможноii
V ..r .....
. равной ОВ'=='2" 5.
1.9. Поскольку левый конец звена конструкции закреплен,
t:O шарнир б.,дет двиrаться по окр,жности радиуса R ==2а и в JlЮ-
101 момент времени вектор ето скорости будет перпендихулярен
fJe80МY авен,. В тот момент времени, коrда левое 8вено rоризон-
..ально, скорость шарнира направлена вверх. А так как конец
.paBoro звена также имеет вертикаJlЬНО направленную скорость,
w из-за иерастижимости npaBoro пена в 9ТОТ момент времени
,.
скорости ero концов будут равны о. В системе отсчета. движу-
ще йся с постоянной скоростью v вместе с правым концом npaBoro
звена шарнир в тот момент времени, коrда левое звено rоризон-
тальнО, будет неподвижен,. поэтому вектор ero ускорения может
быть лишь перПёНДИКУ лярен правому звену. Вектор полноrо уско-
рения шарнира будет точно таким же и в неподвижной системе
отсчета. Проекция вектора полноrо Nскорения шарнира ап! на
u
I
I
f
I
I
I
I
I
Рис. 106
направление левоrо звена представляет собой центростремитель-
ное ускорение, и поэтому (рис. 106, а) anf cos rx ==ап ==v 2 /2a. Зна-
чит, вектор полноrо ускорения шарнира в момент времени, коrда
левое звено rоризонтально, будет
v l
a ""'"
,,1....... 2й cos а ·
Леrко видеть (см. рис. 106. а), что a==n/6, откуда апi::-::v2/VЗй.
В момент времени, коrда скорость mарнира обратится в нуль.
правое звено будет rоризонтально (зто, во-первых). а, BO-ВТОрbl1f,
вектор ускорения mарнира будет перпендикулярен неподвижному
левому звену (рис. 106, б) Составляющая ускорения шарнира на
о' п
правое звено будет равна ам eos а== 2а I а таи как а==6' то
01 01
an! 2 == у..... . Таким обраЗОМ t
acosa За
VI
а n l == anl == ...r..... .
r За
1.10. Пусть в тот момент времени. KOI')l8 нить образует с вер-
тикалью уrол а. ось цилиндра
имеет скорость VtJ, а }Тловая
скорость цилиндра равна ro. ви-
жение цилиндра представим в виде
суммы поступательноrо движения
со скоростью Vo в вращательно-
ro........ со скоростью ю. Пусть ра-
диус цилиндра равен R. Так как
нить при движении u.илиндра все-
rда на тянута, то скорость точки
цилиндра j касающаяся нити, бу-
дет направлена перпендикулярно
170
UO+tc)R=v
Рис. 107
78
вити (рис. 107). Это. позвоnяет записать
оо sln а == юR,
GKOpOCTb ТОЧКИ цилиндра. касающаисв rОРИlонтально движущейся
10 скоростью f) подстаВКИ J ',дет равна
о==vо+юR
и скорость ципИНJра
v
00" 1 +slD (1.
1.11. Прежде чем решать данную sадаЧf, обсудим более под-
робно следующую ситуацию. Предположим. что нерастяжимая ве-
ревка одним своим концом закреп-
пена. а с противоположноrо конц.а
намотана на подвижный цилиндр (и
В процессе движения цилиндра обра-
в,ет плоскую кривую). Пусть также
известно, что в процессе общеrо дви-
жения цилиндра и веревки послед-
няя BcerIa натянута. Это означает,
ч,:rо в каждый момент времени часть
веревки представляет собой отре-
80К прямой, касательной цилиндру,
а оставшаяся часть веревки намо-
ffaHa на цилиндр. Так как верев-
ка нерастяжима, q'o те ее точки,
которые пежат на отрезке пря-
Рис. 108 мой, будут иметь векторы скоро-
сти, перпендикулярные веревк-е.
Точки же частка веревки, HaMoTaHHoro на цилиндр (образующие
,r., окружности), относительно цилиндра скользить не MorYT, в
Е отивном случае веревка либо порцалась бы, либо провисла .
о означает. что скорости 8ТИ точек веревки в любой момент
ремени совпадают со скоростями Te точек цилиндра, которых
они касаются. Этот участок веревки как бы обрззует с цилиндром
нечто целое. Особое положение занимает точка веревки, ЯВЛЯIО-
щанся местом сопряжения ПРЯМОJlИнейноrо и криволинейноro
участков веревки. Она обладает свойствами точек как прямоли-
нейноrо, так и криволинейноrо участка. Поэтому, с одной стороны,
ее скорость обязана быть направлена перпендикулярно веревке,
а с друrой стороны, она не может скользить по цилиндру.
ро тоrда и касательная с ней точка цилиндра будет иметь скорость,
перпендикулярную прямолинейному участку веревки.
Рассмотрим теперь момент времени, коrда прямолинейный
rчасток нити верcrикален (рис. 108). В силу сказанноrо выше ниж-
няя точка ее вертикальноrо участка и соприкасающаяся с ней
croчка цилиндра А имеют одинаковую, rоризонтально направлен..
ilую скорость УА. Предсrавим себе движение цилиндра как сумму
оступательноrо движения со скоростью ero оси уо, направленной
параллельио наКЛQННОЙ плоскости (под уrлом а к rоризонтали) и
'ращения по часовой стрелке с frловой скоростью 00. В этом слу-
'ае скорость "очки А преJlставим в виде
9
УА ==Увр+У"
N
причем, кан нетрудно видеть, , У;р 1 ==mR, УА J. УВР' откуда
00 с::: mR/sfn CI.
Аналоrичное соотношение получим для точки О
"
Ус==Уо+Увр,
причем, поскольку вектор скорости точки С направлен вдоль на.
клонной плоскости, получим алrебраическое соотношение
vc==vo (j)Rt
откуда
фR I ...... аш а
ос== --mR==mR In .... ,
а.... а s а
v А == Vo сов а == ooR ctg а.
Итак,
mR
Об ==...........
slnd
ос ooR(l sln a1 .
вша
1.12. Если нить натянуть так, как показано на рис. 109, кЗJ
тушка будет катиться вправо, вращаясь при этом по часовой
стрелке Boкpyr своей оси.
Для точки В сумма проекций скорости Уб поступательноrо
движения и линейной скорости вращатеJIЬНОro движения с уrло-
вой скоростью 00 на направление нити равна v:
00 вш а...... 001 == О
(оо модуль искомой скорости). Из-за отсутствия
катушки по rоризонтальной
поверхности сумма проекц и 9
соотйетствующих скоростеА ;r
для точки С равна нулю!
vo......ooR ==0.
Полученные vравцения даю.,
R
00 == О R аln а....... r ·
Очевидно, что при Rsrn а== Рис. 109
==' (это соответствует случаю,
коrда точки А, В и С лежат на одной прямой) выражение для Vo теряe'J
СМБIСJI. Заметим также, что найденное выражение описывает / ВЦ&
жение катушки как вправо (коrда точка в вакодится слев of
прямой АС и R аfn а > ,), так и влево (коrда точка в находитеJt
справа от прямой АС и R sin а < ,).
1.13. По fСЛОВИЮ 8адачи шарик катится без проскальзывания.
поэтому скорости те)! точек шарика которые в данный момеи1
В ремени касаются желоба в точка)! А и 8 (рис. 110), равны н,л
Считая шарик абсолютно твердвм crелом (т. е. расстояние между
JJюбыми двумя точками шарика неизмеННБlМ), ПрИ30ДИМ к ВБlВОДу\
ТI
проскальзываНИJl
А
11
ЧТО В данный момент времени все точки шарика, лежащие на 01-
резке АВ, неподвижны. А это означает, что в каждый MOMeHI'
ВQемени движение шарика......зто вращение относительно оси АВ.
(Ясно, ЧТО точки А и В ......Точки, В которых шарик касается жело-
ба,....... перемещаются со скоростью о.)
Мrновенная скорость любой 'ТочКи ш рика есть roр, rде (1)
уrловая скорость вращения, р....... рас-
стояние ОТ точки ДО оси АВ. Скорость
центра шарика (точки О на рисунке)
равна о; расстояние от точки О до
оси АВ .......ро == I ос 1== R У3/2, Следо-
вательно,
f} 20
ro == р;-== R уз ·
Понятно, что максимальной
скоростью обладают точки шари-
РИС, 110 ка, наиболее удаленные от оси
АВ, Из rеометрических соображе-
ний ясно, что в любой момент имеется лишь одна точка, макси-
мально удаленная от оси, .......на рисунке это точка D. Расстояние
от точки D до оси вращения равно р'==ро+R==R(1+У З/2 ), и
скорость точки 1)
, 20 ( УЗ ) 2+У3
Оmах==ШР == R УЗ R 1+ 2 ==0 УЗ ·
1.14. Движение nиста фанеры представим в виде суммы I1ВУXl
авижений....... поступательноrо движения со скоростью о вместе с
врямой (осью). проходящей через точки А и В. и вращательноrо
авижения с уrJIОВОЙ скоростью ro относительно оси АВ. Пусть
АВ ==а. Тоrда по условию задачи расстояние 1 от точки С до
прямой АВ равно высоте paBHocTopOBHero треуrольника со сторо-
_ой а, т. е. 1== а З . Поэтому величина скорости то'fКИ а буде"
.ввнз модулю суммы двух взаимно перпеНJlИКУJIЯРНIU векторов.
описывающих поступательное и вращательное движение:
ОЬ == 402 == 02 + (0)1)3.
IJ.1JЯ произвольной точки листа фанеры D. находящейся на рас-
tтоянии х от прямой AD, можем ааписать
trD == ot+ (roх)2.
Icли 0D == 30, то
Откуда ( ; у : . или
9v 2 == v 2 +(<UX)2.
2 У2 ..r....
x==l УЗ ==а,. 2.
I'аким образом, те точки листа фанеры (TOHxoro). которае па_о-
,.тси на расстоянии х==а У2 от прямой АВ, бу.lf'l' иметь втрое
....ьшfю скорость, чем точки А и В,
f8
J.15. Выберем на плоскости rOpKJf систему коордаН8" с осью
х ВДОЛЬ основания rорки и ОСЬЮ у ВДОЛЬ направления ПР6еИItИR
вектора g на плоскость rорки (рис. 11 t). В этой системе КООРДИ-
нат движение шайбы ВДОЛЬ оси х........раВНоМерНое со. скоростью
Vo COS , а ВДОЛЬ оси Yi8I88o равноускоренное с ускорением а == g sfп 'Z.
След шайбы на ropKe представляет, 1 аким образом, пара60ЛУ.
Пусть началу отсчета времени t == О соответствует момевт МIХ-
симальноrо поднятия шайбы на ropKY (Т. е. прохождение через
веРlIIИНУ параболы), тоrда можем ааписать
x==vo соэ t,
9 == g (sin а) ' 2 /2.
Уравнение траектории будет y==g (sin а) х 2 /(а соэ )2. Для расчеrа
сннуса уrла HBI{.}10Ha можно брать Лlобые точки траектории, 80.
х
1.
l
,
,
у
Рис. 111
Рис. 112
даннои задаче удобно взять ТОЧКУ с координатами %а==5 М, Уо ==
:::::. 2,5 м:
. !J {оо соэ )2 I
sш а:: X g T.
Искомый уrол a.==arcsin (114) 150.
1.16. Введем оси координат х и У, как указано на рис. 112.
Пусть бросок совершается ПОД уrлом CG и СО скорОСТЬЮ v. TorJX8
условие падения предмета в ТОЧКУ В через вреuя t запишем в
виде двух условий:
по со рuзонтали
l==v cos at
и по вертикали
О==Н+о sin a.t gt2/2.
Исключив в этих уравнениях время t, получим квадратное урав-
нение относительно tg a.
g 12 g [2
............... t g g а.......! t g а. +............... ..... н == о .
2v2 2tJ2
Полученное падратное уравнение означает, что при данных 1 и
Н и при Jl8ИВОМ значении скорости v может реаJlИзоваться ОJlва
ИЗ тpe воэможиоетей: bo-пеРВЫ)I, v настолько МЭJlО, что НИ при
каком уrле бfЮС8НИЯ предмет не JtОЛетит до точки В. ВО-:ВТОРЬП',
79
при некотором 8начении скорости Vmin (коrда дискриминант квад-
paTHoro уравнения обращается в нуль) существует только один
rол бросания предмета, обеспечивающий попадание в точку В;
в-третьих, наконец, при значениях скорости V > Vmin попасть в
точку В f\JОЖНО по двум траекториям.
По условию задачи нас ИН1ересует второй случай. Следова-
тельно, приравнивая нулю дискриминант квадратноrо уравнения,
и получим искомую скорость бр осания
V in ==g (у Н 2+ 12.....H).
Уrол бросания при этом найдем по формул е
V in .. / ( Н ) 2 Н
tg ct == gl == r 1 + -т .... т '
откуда
tga==tg( ; ) (rIetgq>== иа== ).
Используя закон сохранения 8нерrии, найдем скорость Vi, с ко-
торой предмет попадет в точку В:
o ==g (у H2+l2+H),
а из условия сохранения rоризонтальной составляющей скорости
при полете предмета получим после несложных преобразований и
rол падения в точке В:
1.17. Требование минимально-
сти скорости бросания камня с
поверхности вемли означает, что
оптимальная траектория камня
пройдет через точки крыши В и
С (рис. 113), причем в точке В
Рис. 113 СКорость камня vml n будет мини-
мально возможной, Учитывая ре-
шение предыдущей в8дачи. nerKo понять, что эта скорость Vmin
будет удовлетворять fСЛОВИЮ
V in ==g [у (Н ......h)2+ 12...... (Н .....h)].
Минимально возможную скороеть бросания камня G земли V il1
найдем из закона сохранения энерrии
,:& 2 Н
vml n С:= vml n + 2g .
1& q>
==......+ .
4 2
ОТКfда
V: in ==g (у (Н ....h)2+ l2+8 +h).
1.18. Пусть с момента пролета светящимся объектом точки А,
ближайшей к наблюдателю, прошло время t. Тоrда vt == 1 tg а, r де
t..... время, отсчитываемое неподвиЖНЫМИ часами, которые нахо-
.{Iятся в данный момент времени в месте нахождения объекта.
Наблюдатель же увиди'J в атом месте объек'I' несколько позже из-
8а конечности скорости распрос:rранения света. и ero часы пока-
ао
1 1
IК T время t", причем tt ==t+ , а ,-:;,время,98 которое
с cos а с cos а
сиrнал доходит от объекта к наблюдателю.
Очевидно, скорость с-ветящеrося объекта, измеряемая наблю-
, tb dx dt dt
Аателем, будет равва v == dt' == dt dt t == V dt . посколыЕ,, е од-
u dt" 1 sin а da u 1 da
нои стороны, ............ dt == 1 + 2 dt ,а с друrои.......v== 'ёf! ! '
с соз а соз а Е
sависимость СКQРОСТИ, измеряемой неподвижным наблюдателем,
будет аависеть от уrла а:
, dt t1
V ==VdF== v ·
1 +...... sin а
о
1. t 9. Разобьем решение вадачи на две части. Вначале, всхо-
дя из возможностей движения каждой из «точек системы» (к-аж-
Jloro велосипедиста) в отдельности, найдем наименьшее время пе-
редвижения всей «системы точек». А затем опишем один из воз-
можны способов движения, реализующи это наименьшее время.
Покажем, что в нашей sадаче наименьшее время передвиже-
ния
d т d п ....... т
t m i n == ........ +.......
v п и п '
причем каждый из велосипедистов при таком движении проходит
п.......т
расстояние d пешком (со скоростью и), а оставшееся рас-
п
т
стояние d проезжает на велосипеде (со скоростью v), а все ве-
n
lIосипедисты добираются из А в В одновременно. Действительно,
taK как каждый из велосипедистов в общей сложности перемеща-
ется на расстояние d (из А в В), в итоrе все т велосип дистов
Проедут путь т. d. Если какой-нибудь из велосипедистов проедет
на велосипеде путь, больший d!!!:.. , то найдется велосипедист, ко-
п
(fОрЫЙ проедет на велосипеде путь di < d !!!:... Пешком этот вело-
п
сипедист пройде'!' путь d .......di. Полное время движения этоrо вело-
сипедиста
4... di + d....... di
'1 ==
v и
d ( 1 1 )
...... + d i ....... ..... .
и v и
Так как по условию аадачи и < v. а по предпопожению dj <
т
< d n ' для времени ti получим
ti > +d!!!. ( l.. ! ) .
и п v и
Очевидно. общее время движения rрrппы Т (которое заечи-
'l'ывается по последнему прибывшему) будет удовлетворять ,сло-
8НЮ Т ti > tmin. Поэтому .lIвижение, при котором каtc:ой-нйбудь
81
т
велосипедис'I проезжает на велосипе,це путь не d ........., не БУАет соп-
n
тимальным».
Укажем теперь, как ДОЛЖНЫ вести себя велосипедисты, чтобы
общее время передвижения было равно tmin. Это удобно сделать
с помощью «столбов:..
Б удем считать, что вдоль дороrи на одинаковых расстояниях
друr от друrа расставлены n столбов: ki, k 2 , ... t k п , причем по-
следний столб....... в пункте В. Способ передвижения состоит в сле.
дующем. т велосипедистов садятся на т велосипеJlОВ и проезжают
вдоль дороrи: первый....... до столба kf, второй....... до столба k t , ...,
т-й.......до столба k m . После этоrо они остС}вляют велосипеды
на дороrе (у столбов ki. ... t k m соответственно) и дальше идут
пешком. При этом первый велосипедист доходит до столба kп т+i,
второй....... до столба kп m + 2, а т-й велосипедист доходит до пунк-
та В. n..... т велосипедистов, которым не достались велосипеды,
идут из пункта А пешком. Они последовательно доходят до стол-
бов kf, ..., k,. т' садятся на оставленные там велосипеды и даль-
ше уже едуТ.......до столбов kт+i, kт+'l' ..., k n (Т. е. «последний»
ИЗ этих велосипедистов приезжает в пункт В). ВеJIосипеДИС1,
вначале доехавший до столба ki, а затем доmе.llШИЙ до столба
k п .... т + 1 , садится на стоящий там велосипед (оставленный велоси-
педистом из первой или из второй rруппы) и заканчивает СБое дви-
жение на велосипеде. Велосипедист, вначале доехавший до столба
k 2 , а затем дошедшиЙ до столба kn т+2' садится l;Ia велосипед,
оставленный велосипедистом, доехавшим до этоrо столба, и также
заканчивает свое путешеСТl\.ие на велосипеде. И так далее. J
Велосипедисты, которые вначале шли пешком, а потом ехали
на велосипедах, оставляют (кроме последнеrо из них) свои вело-
сипеды у С10лбов km+l' ..., kп l cooTBercTBeHHo и доходят до
пункта В пешком. Идущие пешком велосипедисты. начавшие свое
движение на велосипедах, «подбирают» оставленные у соответст-
вующих столбов велосипеды, садятся на них и Аоезжают дО В.
1.20. Не обязательно. Приведем пример (рис. 114). Видно, что
наложение периодической (с периодом ровно 1 с и в среднем рав-
ной RУ.1I.Ю) функции на rрафик paBBOMepHoro движения v== 1 м/с
также дает пройденный путь 1 м за Jlюбую секунду, но движение
TaKoro рода явно не является раивомерным.
7
Z1sina,
v; м/с
1е
t
3J
Рис. 114
Рис. 115
1.21. Рассматривая лодку как источник волн, распространяю-
щихся из каждой точки траектории ЛОДКИ, наЙАем ту точку С,
ИЗ которой волна дойдет АО береrа раньше всею. Положение точ-
ки С определяется из условии равенства скорости распростраве-
82
ния волн и проеКЦИИ скоростк ЛОДКИ на направление «к береrу»
(ось х на рис. 115)
и ==v x == v sin а,
следовательно,
sln а == u/v == 1/2,
т. е. а == 300. Расстояние от точки С до береrа
1 == R r cos (1,== R : cos (1,==R ( 1 cos (1,).
Время t 1 , которое требуется волне, чтобы дойти из точки G до
бе pera J
ti:= == (t cos (1, ).
Время t 2 , в течение KOToporo лодка дошла от точки А 10 точии С.
равно
t 2п, 600 ........ яR
I v 3600 6v ·
Полное время, через которое после вачаJl& разворота волна доиде'Jt
ДО береrа, равно
t==t 1 +,.== R ( l___!.COSCl ) + ПR .
u. 2 &1
Отсюда находим расстояние R от точки А 110 береrа;
6tao
R = Зv (2.......cos <&) + пи 545 11.
<><><>
1.22. Для подвижноro блоха и rpysa М (рис. 118)
2Т 1....... М, == Ма,
rAe Тi.......наТижение нити. Ускорении ABY 4Р)тИХ rрузов равны 2а.
Для rруза т " ,
Т"....... т i mg == т2а.
Для первоrо rруза
Mg T2==M2a.
Решая систем, полученных уравнений, най-
lем
M 2m
a==g 5М+4т ·
1.23. Силы, действующие на акробата
(рис. 117)'....... сила тяжести mg, сила трения
Р тр и сила нормальной реакции N. По усло-
вию sадачи акробат движется с постоянной
скоростью. Следовательно, соrласно второму
.зКОНУ Ньютона, векторная сумма сил mg,
F тр и N равна нулю. Запишем это условие в проекциях на оси .
а у, направленные так, как покаэаао на рисунке (система коорди-
2&
Рис. 116
83
нат y движеТСR вправо с той же скоростью, что и акробат;
начало координат совпадает с ТОЧI{ОЙ, в которой находится акробат):
в проекциях на ось х.....
mgslna FTP==Ot (1)
в п роек ци я х на ось у.....
N ....... mg соз сх r= О. (2)
Учитывая, что F тр Еа; flN t из (1) и (2) на-
ходим предельный уrол ао:
ао == arctg ,..,.
Величина силы трения при а == схо
fl
F тр == тg sш СХО == mg ..r
, fl2+1 ·
Рис. 117
1.24. I<убик может подпрыrнуть, если модуль силы Р, дейст-
вующей на Hero со стороны пули, окажется большим модуля силы
!J'яжести Mg==l Н. Найдем эту силу. Для этоrо рассмотрим пулю.
На нее со стороны кубика действует сила, равная по модулю,
но противоположная по направлению силе f, и сила тяжести mg.
Скорость пули при пролете СКВозь кубик меняется незначи.
ffельно: ее изменение равно 5 м/с, что составляет Bcero 5% от ско-
рости пули при входе в кубик. Поэтому будем считать, что ила F
не зависит от скорости пули и постоянна.
Импульс пули при пролете сквозь кубик меняется блаrодаря
деиствию на пулю двух сил силы тяжести и сиды трения. Если
время, за которое пуля пролетает сквозь кубик, обозначить че.
рез 1', то
т (Vi .......Ui) == (Р + mg) ".
(1)
Время 't найти HeTp ДHO. Так как силы, деЙС1'вующие На
кубик, постоянны, то постоянно и ускорение пули, а значит, ско-
рость пули меняется со временем линейно. Поэтому средняя ско-
рость движения пули в кубике равна
Vi + и2
О ср == 2 ·
следователыIJ J пуля пролетает сквозь кубик аа времв
h
't'
и ср
2а
+ 10--1 С.
Vf и2
Подставив это эначен:ие l' в формулу (1), найдем
F == т (Vi....... и2)....... тgt 50 Н,
't
так как 't мало, 'То величина mg1' MHoro меньше импу льсd. пули
В ею можно пренебречь. Сила F оказалась больше силы тяжести,
аействующей На кубик, поэтому он подскочит.
1.25. После Toro как колечко отпустят, оно начнет двиrатьси
с rскорением af, направленным вдоль стержни. Соответствующее
85
уравнение движения в проекции на стержень запишем в виде
тlаl == m1f1 sin а+ т sin <х,
rде Т .........сила натяжения веревки.
rрузик в первый момент времени будет двиrаться вертикально
вниз с ускорением а2, при этом
т2а2== т T.
Учитывая верастяжимостъ веревки, получим связь ускорения ко-
лечка ai и rрузика а2 в виде
ai sin а == 02'
Решая полученную систему уравнений, найдем выражение для
силы натяжения веревки в начальный момент времени:
Т== тl т 2!! (1 sfn а) .
ml + п12 sin а.
1.26. Рассмотрим положение шторы спустя время t после начала
8е падении. Так как штора мяrкая, ТО нижняя ее часть (на рис. 118
она слева) свободно падает, а верхняя не-
подвижна. При этом в момент времени t ле-
вая часть движется со скоростью gt. Так как
штора мяrкая и тонкая, пренебрежем разме-
ром области переrиба и ее импульсом. Спу-
стя небольшой интервал времени At затормо-
аится еще часть шторы массой
Ат ==.!!!:.... gt d At
d 2 2
(d CTopOHa шторы), которая до торможения
имела импульс
т А!
Ap==Aт.gt==7 (gt)2T.
N(t)
1,,2
Tft}
Рве. 118
lI,нкеним к этсму куску шторы закон изменения импульса, чтобы
,dределить силу Т (1), действующую на Hero со стороны висящей
..стн шторы (по третьему закону Ньютона точно такая же по вели-
.IBe сила будет действовать вниз на висящую часть шторы)о Итак,
Ар т
т (t).........Am.g== Лt == 2d (gt)2,
ОТКУАа
т (t) I == 2 т d (gt)l.
At-+O
(i.\т-+O)
ПОСКОЛЬКJ правая часть шторы неподвижна, сумма сил, действую-
"8 ва вее, в любой момент времени равна нулю. Следовательно,
. момевт времени t получим
т m gt a
т (1)+2 g+ 2d 2 dT g...... N (t) O,
,.. N (1)......сил8, действующая со стороны карниза на штору в МО-
_ев.. 8ре_ев. '.
88
Таким образом,
N (t)== {g/)1+ g+ т !t})1 т: [1+ g 1 J ==
==15[1+lO( Y]H (/< v ;d у о.з с).
1.27. ЯСНО, что характер движения сильно зависит от началь-
ных условий. Разберем характерные варианты (рис. 119).
1. Равновесие достиrается в точке (касание внешней поверх-
ности камеры), rде
тg sfn С%О == IlN
и N == тg cos ао сила реакции. (В этом
случае камешек движется по прямой.)
Tor да tgao== f1.
Есть и еще одна такая точка....... навер.
ку (касание внутренней поверхности ка.
меры). Если там нет не0днородностей (в
обычной камере есть ниппель), то все Рис. 119
аналоrично. В нижнем положении равно-
весие устойчиво, в BepXHeM HeT.
2. Для достаточно больших скоростей, коrда ro > romin, воз..
можно «прилипание» камешка .....оН при этом вращается вместе
с олесом. Ясно, что равномерное движение колеса тут несущеет-
венно:
тg соэ сх+ N ==тш 2 R,
тg зtn a,.....fTP ==0,
'тр <: (lN,
отсюда
зin а
f.t (J)2Rlg cos сх ·
Самый «невыrодный» уrол соответствует максимуму функций fJ (а,).
Взяв производную по уrлу и приравнвв ее нулю, получаем
соз (I{ == uJ R I
rоrда
и
ffimin== { Yl+ .
1
11;" У Cп:R у l
3. Если колесо катится само без велосипеда, то при ro > Юt
оно начнет прыrать (а вместе с ним и камешек, который нас инте-
ресует):
{ тg+ N ==m(J) R.
Mg N ==0,
Wt== V t(I+ ).
11, разумеется, во всех случаях возможны хаотические движения,
KorAa камешек беспорядочно отражается ОТ внутренних стенок.
87
1.28. На самом деле никуда человека не отбрасывает.......просто
он не может удержаться на данном месте вращающеrося диска......
силы трения, даже максимальной, оказывается недостаточно. Если.
например, трение вдруr исчезло бы........
человек просто продолжал бы двиrаться
по прямой.
1.29. Рассмотрим движение шара
в системе отсчета, движущейся со
скоростью Vo. В этой системе шар
движется со скоростью Vo. С Toro
момента, как центр шара окажется
точно над краем тележки, и до момен-
та отрыва центр шара движется по ок.
ружности радиуса R с центром в точ...
ке касания (при этом шар не вращаетс,.
BOKpyr собственноrо центра). НайдеМ
уrол а (рис. 120) в момент отрыва. Для
законом сохранения энерrии и вторым за.
и
О
., ........ --.. u
"
\
\'С
Рис. 120
этоrо оспользуемся
коном Ньютона.
Пусть и......сКорость eHTpa шара в момент отрыва, m Macca
шара. Тоrда закон сохранения энерrии
2
ти 2 mvo
T==T+mgR(I.......cos а).
второй еакон Ньютона
(1)
ти 2
T==тgcosa.
(2)
Из (1) и (2) находим
cosa== ( g +2). и== V ( +2gR).
2
Посколькv cos а...- 1 f ясно, что при ио g R отрыв произойдет
сразу В момент, KorJ18 центр шара окажется над крайней точко,
тележки, и rоризонтальная проекция скорости шара U r при паАе
2
нии на пол будеr равна нулю. Если Vo < gR, то
1 .. / 1 ( 2 ) 3
U r == vo.......и cos (1,== VO....... 3Rg V 3 vo+2gR ·
1.30. Если в начальный момент времени шарику сообщить
необходимую скорость V(j, то он будет двиrаться по окружностИ
радиуса R == 1 sln ; . Центр этой окружности находится на оси
конической поверхности, а плоскость, в которой лежит окруж-
n а
ность, составляет с rоризонтом уrол 2"........2. При движении ша-
рика в произвольной точке ero траектории на шарик действуют
три силы сила тяжести тg, сила натяжения веревки Т и сила
нормальной реакции со стороны конической поверхности N. Пусть
в некоторый момент времени шарик, имея скорость V, находится
на высоте h над первоначальным уровнем и с начала cBoero дви...
жени я описал дуrу .
Запишем второй вакон Ньютона в проеКЦИЯ 1
88
1) на ось конуса, которая по условию задачи наклонена ПОД
уrлом а/2 к rоризонТу......
а а а
mg sш + N SIo'2......LCOS 2==0;
2) на мrновенную ось, проходящую через шарик и направлен
ную в центр описываемой окружности
а а а mv 2
т sln 2+ N cos 2...... mg соэ '2 cos «р== а .
1 sш
2
Из закона сохранения 9нерrии получим
v ==v2+2gh,
rje высота h связана с АЛИНОЙ веревки 1, уrлами а и q> формулой
а а
h== 1 slo 2 (l......cOs ер) cos 2' ·
Тоrда из полученной системы уравнений с учетом Toro, что
а а У2
cos '"2==5102"== 2 t находим зависимость Т (h):
т == те ( 1 ) + т;б . .
Требование минимальности начальной скорости означает, что в верх-
вей точке траектории шарик будет находиться на rрани отрыва от
конической поверхности, т. е. сила нормальной реакции должна
оtSратиться в нуль N ==0.
Так как верхняя точка траектории находится на высоте h==l.
'8 сила натяжения Т==те, то для минимальной начальной ско-
рости шарика получим выражение
2 .. r...........
Vo min == Зgl или Vo min == f Зgl.
&ответствующая 8ависимость силы натяжения веревки от высота
Т (h) примет вид
Т==те ( 4.... ) .
1.31. Будем считать, что обруч вращается. оставаясь ПОЧТIJ
rоризонтальным. Тоrда центр ero движется по окружности радиуса
r==(R : )
ПОД действием rоризонтальной силы реакции столба N
N==Mv 2 /r.
Как обычно. FTp< N и FTP==Mg (М......Масса обруча).
Отсюда
V 2
M ...... Mg
,
н
V V g(R;d/2) 12 М/С.
89
1.32. я CIlO , что мы можем оценить только максимальную ско.
рость автомобиля, соответствующую самому крутому из возможных
поворотов, Kor).la автомобиль движется по дуrе АВ окр ужности t
, которая касается прямой 00' (рис.
а 121). Радиус 9ТОЙ о ружности
R == I АС I == 1/11 AD 1; R 35 м.
Разворачивает автомобиль (сообща-
ет ему центростремительное уско-
рение) сила трении, действующая
на передние колеса в направле
нии, перпеНДИКУJlЯРНОМ скорости
автомобиля. Если считаТЬ t что
центр масс автомобиля располо-
жен примерно посередине и поднят
не очень высоко над дороrой, а ускорение автомобили не очень
J)елико (подумайте сами, почему это существенно), то сила нор-
мальной реакции, действующая со стороны дороrи на два перед-
них колеса, равна половине силы тяжести, а сила трения равна
Jt g . Уравнение llвижения автомобиля при поВороТе......
А
о
r--t
,Дм
с
]J
Рис. 121
2
mVmax тg
R ""2 .
откуда находим максимальную скорость и тах :
V max == у Jt R .
Приняв р, ==0,8, получаем О шах 12 м/с 43 км/ч.
Итак, скорость автомобиля
V О таХ 43 км/ч.
Разумеется, это довольно rрубая оценка. Более точную оценку
можно было бы получить, рассматриваи весь след автомобиля от
,"очки А ДО точки В.
1.33. Перейдем в систему координат, связанную с водой, в ко-
t'орой плот llвижется ПРЯМОJlинейно и постепенно тормозится"
Поскольку сила сопротивления, а значит, и ускорение плота про-
Dорциональны ero скорости V относительно воды, то в выбранной
L\v
системе координат а== L\t :=..... kv. Пусть направление движения
плота совпадает с осью х (а начало координат совпадает с MeCTOM
с KOToporo столкнули плот), тоrда и=== f1x/L\t, и, учитывая условие
AvjAt ===...... k (Ax/At)t' заключаем, что Аи==..... k Ах и vo.......v==kL, rде
(10......... на чальная скорость плота, а L....... пройденное им расстояние.
Максимальному пройденному расстоянию Lo соответствует v==O,
fJ'. е. ио == kLo, а Vo == У"2 v p '
Выбрав произвольную точку на траеК10рИИ движения плота,
измеряем для нее пройденное относительно воды расстояние L
(поскольку скорость течения и начальная скорость плота относи-
RЛЬНО береrа равны, то искомое расстояние L будет длина отрезка
прямой, проведенной из 9Той точки под yrпOM 450 к линии береrа)
и связываем скорость Vi в этой точке (направление которой совпа-
90
дает с направлением касательной к траектории) с начальной СКО.
ростыо (рис. 122).
Удобнее Bcero выбрать такую точку А на траектории, для
которой уrол а. наклона касательной по отношению к линии береrа
составляет 450 (а. == 458). В этом
случае, как видно из рис. 122, б,
скорость плота относительно во- 8
ды в выбранной точке V == Vl ==
У2 Vo
== v p 2 "2 и из условия
vo/2 == kL получаем, что Lo ==2L. Ir
Искомое расстояние Н плота
от береrа связано с Lo простым
соотношением Н ==Lo sln 45Е> ==
==2L sin 45О ==2h, rде h---- расстоя- О
иие от береrа до выбранной точки
А на траек rории. Из чертежа сле-
дует, что h==7 м, а 8начит, плот Рис. 122
будет плыrь на расстоянии Н ==
==2h == 14м от береrа.
1.34. После Toro как верхнему шарику сооС'щили rоризонталь.
ную скорость V, ша рики будут вращаться BOKpyr цен rpa M<lCC
системы, КОl0рЫЙ в свою очередь будет двиrаться поступатеЛI)НО
со скоростью v/2. Если нижний шарик сразу }I{e отрывается от
стола, то на систему в целом действует только одна сила сила
тяжести. Она сообщает системе, а значит, и нижнему шарику
ускорение g. Поэтому, чтобы шарик оторвался от стола, необхо-
димо, чтобы ero центростремительное ускорение было больше g.
В системе координат, движущейся со скоростью центра масс,
скорости обоих шариков по модулю равны v/2, а центростре\IИ-
тельное ускорение равно
(0/2)2 v 2
а ц ==lj2' == 2['
UНарии оторвется от стола, если
v 2 /21 е,
т. е. при
1,;;;; v 2 j2g.
1.35. Рассмотрим, как будет двиrаться малый диск сразу после
соприкосновения с большим. Пусть О---центр бопьшоrо диска
(рис. 123).
Выберем два одинаковых небольших участка малоrо диска t
расположенных на одном диаметре симметрично относительно
центра этоrо диска О'. На рис. 123, а точки А 1 и A g ---- центры масс
таких участков. В момент касания дисков (коrда малый диск еще
покоится) скорости Vi и У2 тех точек большоrо диска, которые
соприкасаются с точками А! и АI малоrо диска, направлены так,
как покаэано на рис. 123, а (и! ==g.OAi, v2==Q.OA 2 ). Понятно, что
вдоль скоростей Vi и V2 будут направлены в момент касания силы
трения Р тр :1 И Р тр 2, действующие со стороны большоrо диска
на центры масс выбранных участков A:f и А 2 малоrо диска
(Р тр :1 == F тр .). Поскольку плечо l! силы F тр i . относительно оси
малоrо диска меньше плеча 1. силы Р тр 1I суммарный момент пары
91
СИЛ Р тр f. И Р ТР I будет закручивать малый диск в направлении
вращения большоrо диска.
Рассматривая аналоrичные пары участков малоrо диска, при-
«одим к Бавод}', что сразу после касания малый диск начнет
закручиваться в направлении вращения большоrо диска.
F rp 2
Рис. 123
Пусть в некоторым момент времени уrловая скорость мзлOfО
Jlиска стала равной (О. Скорости участков с центрами масс в точ-
ках Af и Ав будут равны o ==v ==юrt rде (==О' Ai==O' А 2 (рис! 123, 6).
, ,
Силы тренив Р,р 1 И РI'Р 2, действующие на эти участки, будут
,
направлены вдопь векторов Vi Vl (относительная скорО6ТЬ точки
,
большоrо диска. касающейся точки А 1 ) и у1.....у2 (относительная
скорость точки 'большоrо диска, касающейся точки А 2 ). Понятно,
, ,
что момент пары сил Р тр 1 И Р тр 2 будет раскручивать малый диск
(т. е. Уfловая скорость диска будет меняться), если o =:'o <
< 8182/2 ==О, (рис. 123, б; для удобства сравнения векторы, «O T-
восящиеся» к точке А2' перенесевы в точку А 1 ). .
Таким образом, пока ю < О, имеется отличный от нулй момент
сил трения, раскручивающий малый диск. При ю==Q относитель-
ные скорости участков с центрами масс в точках А 1 и Ав направ-
лены перпендикулярно отрезку 00' (вдоль прямой A1C на рис. 123, б)
и момент сил трения относительно оси малоrо диска равен нулю.
Следовательно, в дальнейшем малый диск будет вращаться с уста-
вовившейся уrловой скоростью Q.
При ю==Q все силы трения, действующие на аналоrичные
пары участков малоrо диска, будут равны по модулю и направлены
одинаКоВо......перпендикулярно отрезку 00'. Соrласно третьему за-
кону Ньютона, результирующая всех сил трения, действующих
на большом диск,' будет приложена к точке большоrо диска, каса-
ющейся центра О' малоrо диска, и равна f.tтg. Чтобы компенси-
ровать тормозящий момент этой силы, к оси большоrо диска надо
приложить момент сил, равный М == f.tтgd.
1
<С><><>
1.36. При ударе о наклонную плоскость на шарик
будет действовать сила реакции, имеющая rОРИ801lтальную состав-
IJЯЮЩУЮ. Так каи после удара шарик ПРОllолжае'Р llвиrат.ся вперед,
92
то rОРИЗ0нтальная составляющая ero скорости не может
остаться неизменной по величиНе..... она либо увеRИЧИТСЯ. либо
уменьшится. Но тоrда вертикальная составляющая скорости ша-
рика после удара либо уменьшится. либо увеличится. Следова-
тельно, максимальная высота ПОJ.(DeU8 шарика после удара не будет
равна первоначальной ero высоте над уровнем земли.
1.37. При таком уrле наклона резиновые rусеницы движутся
по плоскости без проскальзывания. Значит. тепло при движении
не выделяется (нет трения в механизме модели).
8ОСПОJIЬзуемся законом сохранения энерrии. Для расчета ки-
нетической зверrии учтем. что длина rусениц MHoro больше высоты
модеJIИ и будем считать. что при движении модели со скоростью v
нижняя ПOJJовина rусениц веподвижна. а верхнии половина имеет
скорость 20. Тосда кинетическая энерrия модели '"""":'
(2v) 2 v 2
Е к ==О.4т 2 +О,2т т==О,9т02
(т......масса всей модели; O,4т Macca половины rусениц; О.2т.........
масса модели без rусениц). За малый промежуток времени At
модель опуститсп на Ah==v.At.slna и ее кинетичесха. энерrия
увеличитси на l1E.. == mgv. At 810 а. Если за это время скорость
модели увелИЧИllась на Av, то
АВ" ==О,9т (v+ Av)2.....0,9mv 2 1 ,8mv dU,
1. е.
тgv. At. 81n а == 1 ,8тv Av,
откуда находим ее ускорение
Аu g 8ln а
а== At....... 1 .8 2.7 м/с 2 .
1.38. Будем считать, что при каждом ударе шарика о куб
скорость куба меняетСJl на очень малую величину и остается во
MHoro раз меньше, чем скорость шарика.
Пусть х раССТОJlние ОТ куба до стенки, и.........сКоросТь куба,
O CKOpOCTЬ шарика. TorAa время между двумя после,l(оватепьными
соударениями равно ==2z10. При каждом соударении куб полу-
чает импульс Ap==2тv (мы JЧJIИ, что и < v). Скорость шарика
за один удар измеНИТСJl на Ао==......2и (это очевидно, если рассмат-
ривать движение в системе отсчета, связанной с кубом). Для,
упрощения расчетов пр и мек, что в результате соударений ско-
рости и и v меНЯЮТСJl не скачками, а плавно. Тоrда «среднее»
rскорение шарика v' == vl't== иv/x. Учитывая, что u == х', пере-
пишем это равенство:
,
v'x+x'v==O.
Заметим, что слева написано выражение, равное производной от
произведения vx; тот факт. что эта производная равна нулю. озна-
чает, что величина vx остается в процессе постоянной. Следова-
тельно.
vx == VoXo,
rAe хо......расстояние между кубом и стенкой в начале процесса.
При х==2хо скорость шарика равна vo/2. Скорость куба в этот
94
момент найдем из закона сохранения зперrни:
.,
mVO т (ио/2)2 + М 112:
,....... 2 2 s
следовательно.
О, ... /" 3т
и==т V м 0.27 м/с.
1-.39. Стенка далеко, будем считать, что rруз в тележке с ше-
роховатым дном вскоре перестанет проскальзывать и скорость
тележки Vi станет постоянной,. равной скорости центра масс и ц . м
тvo
Vl ==v u . м== М + т.
Такая же средняя скорость будет и у друrой тележки, но она то
обrоняет «свой» центр масс,. то отстает.
Значит t в зависимости от расстояния до стенки может при-
ехать первой как одна, так и друrая тележка. Данных в задзt:е
мало для Toro, чтобы дать определенный ответ. Попробуйте полу-
чить ответ, самостоятельно задав неJtостающие данные. Подсказка:
ответ будет зависеть и от начальноrо положения rрузов в тележ-
ках. Удобно рещать -пу задачу rрафически.
1.40. Описанное в условии начальное положение обруча
неустойчиво. Будучи предоставлен самому себе, обруч Еачнет
двиrаться. Если трение достаточно велико, обруч катится без
проскальзывания. Скорость обруча будет максимальной в тот
момент, коrда ero потенциальная энерrия БУАет минимальной, Т. е.
коrда центр тяжести обруча будет в иаинизmем положении. Это
условие выполнится в тот момент. Korдa дырка окажется наверху
на расстоянии D от стола, равном диаметру обруча. Нетрудно
сообразить, что уменьшение потенциальной энерrии обруча АU
при переходе дырки из нижнеrо положения (в начале движения)
в верхнее равно
Мяr' M,2g
I1U==Aт.gD== nDd gD== d t
М
rде М Macca Bcero обруча, Am пDd пr 2 .......«Масса дырки»
(Ат < М).
Это изменение потенциальной зиерrии равно кинетической
энерrии обруча в тот момент, Korдa дырка находится наверху.
Кинетическая энерrия обруча складывается из энерrии поступа-
тельноrо движения обруча жак целоrо Ми 2 /2 (V......CKOpOCTb центра
масс обруча в данный момент) и энерrии вращательиоrо движения
Mu 2 j2 (u линейная скорость всех точек обруча).
При качении беэ ПРОСКЗJlьзывания и == v, и кинетическая энер-
rия обруча равна Mv 2 ,
Таким образом,
2 Мт'е
Mvmax== d -,
отк У}1а
tlmax==' П.
911
1.41. Работа А по поднятию санок складывается из двух
частей: работы против силы тяжести Ai == mgH и работы против
силы трения As. Чтобы наити As, рассмотрим небольшое переме..
щение S санок вдоль rорки. Пусть касательная к ropKe в 91'ОМ
месте составляет уrол а с rоризонтом (рис. 124). Поскольку
подъем медленный и сила натяжения веревки Т направлена вдоль
ка ательной (вдоль s), можно считать,
что санки все время находятся в равнове-
сии и
F тр == JJN == JJтg cos а.
Работа AAs, совершаемая против силы
трения при перемещении lIа As, равна
АА 2 == JJтg cos а. As.
Как видно из рисунка, As cos а == Ах......
перемещение санок в rоризонтальном на-
правлении. Так что ясно, что результирую-
щая работа против СИЛЫ трения при по нятии санок на высоту Н
равна
А 2 == JJmgl.
так как l......cyMMapHoe rоризонтальное перемещение санок при
ПОJl еме.
Таким образом, ПОJIная работа, совершаемая мальчиком, равна
А == Ai+ АI == тg8 + Jlтgl == mg (8 + ",/)
и не 88ВИСИТ ОТ профиля rорки.
1.42. Пусть в момент отрыва BepXHero шарика от вертикальной
ПJIОСКОСТИ raHTeJIbKa составляет frол а С вертикалью (рис. 125),
скорость BepXHero шарика равна У, ско-
" рость иижнеrо......u.
Соrласно закону сохранения 9нерrии
{ ти 2 тu 2
--т+,....-;:::; mg Ah::; тgl (1..... cos а),
, ............. .
17
или
OI+u l ==2g1 (l---cos а) (1)
(т.....Масса каждоrо шарика; v, и, В......
модули соответствующих векторов).
-- Поскольку стержень жесткий.
v соз а == и sln а. (2)
Из равнений (1) и (2) находим
и ' ==2g1 (COS s а....... cos а). (3)
Рис. 12б До момента отрыва UeHTp масс
rантельки двиrался с rоризонталь-
ПБlМ fскорением (это ускорение со06щалось силой реакции
вертикальной стенки). Поэтому к моменту отрыва BepXHero шарика
от вертикальной стенки скорость u максимальна. Найдем
8начение соэ а, при котором выражение cos? a,.......cos 3 а (см. (3»
максимально: (x ......x')' ==2х.......зg ==О (х== соз а) при %==2/3, т. е.
cos == 2/3.
86
ПОД<1тавив 9ТО значение СО8 (z в (3), иайдем
и i -v'" ig 1 . '
.L 1.43. Удар небольшиХ! стальныХ! шариков происходит быстро,
r 8а ЭТQ время шарик массы 2т не успевает набрать заметной ско-
рости. Тоrда удар шариков т и m можно рассчитывать как оюыч-
,ыA лобовой удар, значит, налетающий шарик остановится, а друrой
получит скорость 00. Тоrда скорость центра масс шариков, связан-
тоо 1
BblXi нитью, Оц.м== 3т ==-з оо.
Итак, центр масс движется поступательно со скоростью 1/3 ОО
В отиосительно Hero шарики движутся по окружности с уrл-овой
о 1 1 V t1
скоростью 00== о 1/з1 3 о ==+.
Тоrда натяжение нити найдем, рассмотрев движение шарика т
80 окружности (относительно центра масс):
"' 1 21 тo 21 2 тo '
1. == тro т== ----;,r 3 == з --т---- ·
Таким получается натяжение в момент удара, и далее оно остается
tюстоянным.
Ускорение mарика 2т также Остается постоянным по величине:
т о:
а== 2т == Зl · .
1.44. По мере подъема ваrончиков на мертвую петлю скорость
состава падает. Она достиrнет минимума. коrда петля будет цели-
ком взнята составом и после Toro перестанет fМеньщаться. Леrко I
найти эту скорость t1 из аакона сохранения энерrии
мО: MV1 +(M 2nR ) n
2 -2 L gZ\.
2nR
rA8 Vо....начальнаsr скорость состава, М .....ero масса, М ---т-- ......Масса
ваrончиков состава, находящихся на мертвой петле, и R........BbIcoTa
центра масс этиХ! ваrон иков. Из (1) ПОЛfч ем
4nR
(} ==oI+---r gR.\
(1).
Чтобы ваrончики не сошли с рельсов, необходимо наличие силы,
реакции со стороны рельсов. Наименьшей силе реакции соответ-
ствует наИВ5Iсшая точка мертвой петли. Предельный случай отве.
Чае'l' нулевой реакции. При этом на ваrончик в верхней точке деА-
t.Твуют: сила тяжести тg (т.......Масса ваrончика) и сил «натяжения»
,. O стороны ос"а.пьноrо OCTaBa_ Результирующая ЭТИJ\ сил направ-
аеиа вниа и должна сообщать необходимое центростреМIIТ8льное
о'
,скорение, Т. е. она равна т R . Проекциs каЖltОЙ из СИJl Т Jlа
а r"
.ртикаль (рис. 126, а) равна Т sfn 2 2 (rrол (1 МВ считаем
алым...... это (l'от wrол, , oд KoTopыM виден ваrОНЧИIl на центра мерт-
4 А. И. Бувдив И . 117
вой петли, Т. е. a==I!/R, r,le l AJlина urоичика)_ В рез.ультате
приходим к соотношению
а mv 2
2 т ........ + те == ...............
2 R
(2)
( заметим. что масса состава М == т ).
l R
Учитывая, что т == М т==Ма Т' получаем из предыдущеrо
уравнения
R v 2
Т+уМе==М т .
(З)
Осталось теперь найти "си.1lJ «ватвженииJ. Т. ДЛЯ 3fOfO рас-
смотрим часть состава, которая эабирае'lСJl на neТJIJO (рис. 12t>, 6).
у
+----.....--
,.,
'
t1
tJ
Рис. 126
Пусть состав сместилеи на малую ДJПfFfУ i\x, тоrда эта сила про-
извела работу АА == Т. Ах, НО поскольку скорость состава не ме-
няется, то работа A ДОJlЖВа быть равна И3Менению потенциальной
8IJерrии f1U. Это изменение опрежеJtsется тем, что участок состава
М
длины x. поднялся на высоту 2R и, значит, f1U ==т f1x.2R. Итак,
М М
ТЛх== 2Rg Т Ах и. T==2gR Т' ПОДСТaJUlRR эта ан.ачение. наТSiже-
Mv 2 3MgR 2
ния Т В (3), получим 1.. ,Т. е. v ==3gR, и уже леrко
находим ИСХОДНУЮ минимальную скорость состава
,с.== у'" gR (3+4л 1 ).
1.45. ПJIOцесс распада идра па два ОСКОJfXЗ ПрЕJ{СТ28Jfяет tооой
как бы ооращеНИRЙ ]ВО времени нроц.есс неупрyroro СТОЛJI НОве Н ИЯ .
На первой стадии процесса 000 ОСItОJПfа ЛenIТ и месте, образуя
един ую систему.
В результате действия внутренних сил при разрыве система
распадается на две части. о C.KOJI К И , образовавшиеся в результате
разръrвв ядра, раЭJIетаютсSI s раЗН:Бre етороныI с I10СТОЯННЫМП ао-
РQС:ИUDl и Ta ПрОJ!,0J1Ж8Ю'l аое АВИжеиие.
9i
{)бозиачим че,еэ vi и 'У2 скорости осколков идра и запишем
ваконы сохранения импульса и Полной эперrии системы:
т т
IIN==T'Y i +T Y 2,
тu 2 т v'i т
T+Ei==TT+T т+ 2Е 2.
Учитывая закон сохранения ИМПУJIЪса системы, изобразим rрафи-
чески (рие. 127) скорости цра и ero OCКOA:tcOB AC:=Vi" AD==Vl,
АВ == у. Посrрои.u вараЛJlелоrр.аым
скоростей ACB'D (1 АВ t ==
== ; I АВ' 1) . в ведем АО ПО.1J1Ш.
-----+.........
тельные векторы 8С в вп (ВС==
==........BD) и обозначим I ВС == vo.
Леrко понять, что Vg имеет QtblCJI модуля скорости осколков в
системе центра i43CC. из закона сохранения lI()JIHOll эн.ерrин и
теоремы о то)(. что сумма ква..араl'ОВ АИасоналей naралле.лоrрам,ма
равна cyм.we кацратов ero сторон, ВOJlучаем
ui +oi==2v 2 +.i.. (Ef........2E,J,
т
°i+V:==2v2+2 ,
откуда V.o== у ; {Ei 2Ed'
ОчевиАПО, lЮЗМОЖllfi ..,.а Qучая: а} 'о vo; б) v < Vo.
Рассмотрим их Dосле:(ОВ?1теЛЬDО. а) Нэiдем максимально ]ЮЗ-
МQЖИЬ1Й yrOIJ ч' (рве. 127). ДЛИ ЭТDI'О воспользуемся теоремой коси-
HY OB АЛЯ треyro3fЪПИИ:ОВ ACO ABD и АСВ и получим после Ао.
ВОАЬНО t'ромоэ в:х ВО Пpoct'ЫХ ВъtЧИCJI ИЯЙ (а== L. СВА)
vi + (2Vt)2 v 2 .......1;'1.
COS qJ ....... .. , .
2V1VI У (v2+V:) ......(2vvtO соэ а}2
О тсюд.а
v2 о2
О
tnSfP +
и:
02...... vg
CPMaKC==arcoos v 2 +v:;t
rде V3==.!. (Ej......2E 2 ). При этом Vi==V2== V v 2 +vZ ' Для случая
III
б) Q)max == Л (покажите С8мосroятеJlЬИО).
1.46. Раsберем вначале вопрос о том, переедет ли теле)кка
через ropKY. ДЛЯ ЭТDl'О на.йжем критическое эва чение скорости те-
лежки vo: если тележка наезжает на рорку с такой скоростью, то
4*
99
, верхней точке подъема корости тележки и rорки совпадут, обо.
8начим эту скорость "о, Tot.aa можно записать
mvJ (т+М) и
,.... 2 +тgH t
mv o ==(т+ M) "о'
Отсюда найдем vo==Y2gH( 1 +m/M}.
Ясно, что при меньшей скорости тележка съедет назад, а ПР.
большей перееде'Р через ropKY. Рассмотрим первый случай. После
т<>rо кан тележка покинет ropKY, скорости обоих тел можно найти
используя законы сохранениц
импульса и энерrии уравнениJt
получаются совершенно такие же,
как для абсолютно упруrоrо
удара (проверьте это!). Тоrда мож-
но сразу написать ответ: скорость
rорки
А'
о
...... ...--
u==2v/(1 +М/т).
Рис. 128 Во втором случае уравнеНИJJ
получаются те же самые, значит
ответ Д8СТ вторая пара корней (напомним, что одно из уравнениА
КВ8дрз'Тное, вначит, и решений должно быть две пары): ясно, чтQ
В этом случае скорость rорки равна нулю, а скорость тележкtf
равна начальной.
1.47. Так как проскальзывание между всеми поверхностями
отсутствует, то при движении доски и катков будут оставаться
неизменными расстояние I АВ I между точками касания катков
и rоризонтальной плоскостью и равное ему расстояние I А' В' I между
точками касания катков и доски (рис. 128). Следовательно, не будет
изменяться и расстояние 0102== 1 между центрами катков. А э1'6
означает, что скорости центров обоих катков в любой момент вре-
мени одинаковы и направлены по прямой 0102.
Найдем направление скорости центра масс доски О. Пусть ско-
рость центров катков равна У. Тоrда в системе отсчета, движущейся
с этой скоростью, центры катков неподвижны, скорости же точек
А' и В', а значит, и скорость V u . м центра масс доски равны по
модулю I v r и направлены вдоль доски. В неподвижной относительно
rоризонтальной плоскости системе отсчета скорость U ц . м центра
масс доски равна векторной сумме скоростей V м и V. ИЗ рис. 12в
можно видеть, что скорость u u . м направлена параллельно прямой
0102. Так же направлены перемещение доски и ее ускорение.
Обозначим через 5 перемещение центра масс доски в тот MOMeHT
коrда ero скорость равна U ц . м. В этот момент модуль скорости
центра катков I v 1==1 U ц . м 1/2 cos а и кинетическая энерrия всей
системы равна '
fmv 2 ти 2 u S
2.,...-+ 2 Ц . м м (т cos"' 2 а+2М).
Изменение кинетической энеР1 ии системы происходит за счет из-
менения потенциальной энерrии АОСКИ:
и .M
4 (т cos-- 3 cx+2M)==Mgh.
100
rде
R r
h == I s I sin (1. а Вin а ==..,.....
Так как доска движется равноускоренно (действующие на систему
силы постоянны), справедливо равенство
и 2 == 21 а 1-' s I
Ц.М
(а----ускорение доски).
Используя полученные соотношения, найдем
I I 2g(R r)
а ( т 12 ) ·
1 2+ лr l2 (R r)2
1.48. Так как в ПРОЦiссе движения (рис. 129) фиrура, образо-
1-
ваllная веревками, стержнем и отрезком потолка между точками
крепления веревок представляет собой параллелоrрамм, то арн
любом своем положении стержень будет оставаться параллельным
своему первоначальному положе-
пию, т. е. стержень движется по-
ступательно. Рассмотрим нашу си-
стему, спустя некоторый интервал
времени после Toro, как веревкиот-
пустили . Концы веревок совершат
одинаковые перемещения L\s, высо-
та стержня над rоризонтом умень- JJh
шится на L\h. Под действием вер-
тикально направленных сил тяже-
сти и реакции со стороны стерж-
I!я (трения нет!) шайба совершит Рис. 129
вертикальное перемещение Afz.
Тоrда потенциальная энерrия системы уменьшится на величину
Аи == (т + М) gAh,
rде т и М ----массы шайбы и стержня соответственно. Пусть к KOHny
интервала А! скорость шайбы станет равной и, а стержни и. Так
как перемещения стержня L\s и шайбы L\h связаны соотношением
М== L\s sш а, rде а уrол первоначальноrо отклонения нитей от
вертикали, то v== и sina и закон сохранения энерrии запишем
в виде
mv 2 Ми 2
(т+М) gAk==T+T'
или
22М М+т
v == g M/sin 2 a+т.
,мы считаем, что интервал времени At настолько мал, что усиc;rре..
Ьия стержня и ша йбы на 9Том интервале можно считать пост()ян-
tIыми. Тоrда так как
v 2 == 2а М,
то
М+т
a==g М / 2 4 .
т+ sln
Юl
1.49. Для решения задачи воспользуемся законом сохранения
энерrии. В начальный момент палочка образует с rоризонтом уrол ,
такой, что sin a==H/21. Полная энерrия палочки в начальный момент
А равна ее потенциальной энерrии и состав-
ляет
н
U .о == mg ...........
4
в
При движении палочки ее полная знерrия
в любой момент времени складывается из
потенциальной энерrии
и 1 sin
==mg
2
с
Рис, 130
( ---frол, который палочка образует с ro-
ризонтом в данный момент (рис. 130», кинетической знерrии по-
ступательноrо движения
mv 2
Ef==T
(V CKOpOCTb центра масс палочки) и знерrии Е. вращательноrо
движения. Cor ласно закону сохранения знерrии
U+Ei+ E 2==U o ,
откуда
mv 2
Е i ===............... == и о --- и --- Е .
2
н
v== V (иo и E2)'
Очевидно, скорость центра масс палочки будет максимальной, коrда
значение суммы и и Е 2 будет минимальным.
Потенциальная энерrия минимальна в тот момент, Kor,aa верх-
ний конец палочки занимает наинизшее возможное положение,
т. е. коrда нить вертикальна. При этом
Н ......1
UlDin == mg 2 ·
rlетрудно ПОНЯТЬ 1 что в этот момен1' времени палочка движется
только поступательно. Действительно, поскольку палочка нерастя-
жима, проекции скоростей люБЫ1R ее точек на направление самой
палочки должны быть одинаковы. Скорость нижней тачки (точки С)
всеrда направлена rоризонтально, а в тот момент, коrда нить вер-
тикальна, скорость верхней точки (точка В) также rоризонтальна
(так как нить нерастяжима). Из словия нерастяжимости палочки
следует, что эти скорости должны быть одинаковы и все точки
палочки должны в этот момент ДВИFаться с такими же скоростями.
Это означает, что вращательное движение отсутствует. Т. е. Е,,==О.
Итак, в тот момент, коrда нить вертикальна, скорость центра
масс палочки имеет максимальное значение
и шах == -V (тg!f тg H ;-/ )== -V (2/ H)
и направлена rОРИ80нтальио.
102
1.50. Нестроrий, качественный ответ на первый вопрос можно
дать сразу. При скатывании пустой бутылки ее потенциальна.
нерrия переходит в кинетическую. знерrию как поступательиоrо,
"ак и вращательноrо движения. Если внутри бутылки имеетсSl
вода, то она, блаrодаря малой вязкости, во вращении практически
не участвует. В результате во втором случае большая часть началь-
ной потенциальной 9нерrии переходит,. в v;
кинетическую энерrию поступательноrо l
движения, и бутылка с водой скатится
быстрее пустой бутылки.
Теперь приведем более cTporoe ре-
шен! . Найдем, чему равна кинети е-
ская энерrия пустой бутылки массой т,
которая катится по rоризонтальной по-
верхности без проскальзывания со скоро- '
стью V. ДЛЯ простоты заменим бутылку
пустотелым цилиндром и будем считать,
что вся ero масса сосредоточена в тонких: Рис. 131
стенках.
В се точки цилиндра участвуют в сложном движении: это по-
ступательное движение со скоростью центра масс У ц . м и вращение
. с линейной скоростью rJ В системе отсчетаj связанной с центром
масс.
Рассмотрим небольшой часток «обода» массой Aтj. Ero ско-
рость складывается из скорости У; В системе центра масс и скоро-
сти v caMoro центра масс (рис. 131). Кинетическая знерrия этоrо
частка равна
дЕ ...... Аm; (1 V i+ V О' ....... Аm; (v +v2+2rJiV сов (X,i)
Ki 2 2 J
rде уrол а; для разных частков принимает значения от О до 2л;.
Полная кинетическая энерrия цилиндра складывается из кинети-
ческих энерrий всех ero участков:
Aтi(V +v2)
Е к == АЕ к .== 2 == AтirJ ==тv1
. l . .
I t t
(здесь мы iVЧJlИ, ЧТО ДJlЯ BCe:xi iVчастков Vi== v, а соз а, принимае'1'
все возможные значения......и положительные, и отрицательные, так
ЧТО СОЗ ai==O),
Если наш цилиндр скатывается по наклонной плоскости, то,
спустившись с BЫCOTЫ h, он приобретет скорость о, которую
можно найти из закона сохранения энерrии:
тgh==тv
и
v== у gh .
(1)
Отсюда видно, что эта скорость в У-2 раз меньше скорости для
случая скатывания без вращения. Это связано с тем; что потенци-
альная энерrия цилиндра переходит в кинетическую энерrию как
поступатепьноrо движения, q-ак и вращатепъноrо.
103
I(оrда внутри цилиндра находится вода (наш СЛfчаl бутылки
с ВОДОЙ), которая из-за незначительной ВЯЗКОСТИ ВО вращение прак.
тически не вовлекаетСЯj полная кинетическая энерrия равномерно
катящеrося цилиндра масСОЙ т, ваполненноrо 'водей Maccolf. М,
будет равна
MvI ( М )
E.==тv2+---:r-== т+у v 2 .
После спуска с высоты h по наклонной плоскости такой цилиндр
за счет потенциальной энерrии (т+М) gh приобретет кинетическую
9нерrию ( т+ ' ) и', так что ero ск орость составИ'Р
и== -v :: 2 gh== v (1+ 2т M ) gh. (2)
Сравнивая выражения (1) и (2), видим, что ВО втором случае
скорость оказывается больше. Это означает, что на любом участке
спуска с наклонной плоскости СКОРОСТЬ бутылки с ВОДОЙ буДе1
больше скорости пустой бутылки. Поэтому полная бутылка иска.
тится быстрее пустой.
Второй вопрос задачи ..... зто , по существу, по-друrому сформу-
лированный первый. Мысленно обратим движение в перВОМ случае
и сразу приходим к выводу, что пустая бутылка, имея меньшую
начальную скорость; чем полная; закатится на ту же высоту.
А тоrда, если начальные скорости обеих бутылок будут одинако.
выми, пустая бутылkа поднимется выше ПОЛНОЙ.
1.51. Кинетическая энерrия ПJlоскопараллельно движущеrося
твердоrо тела.
Рассмотрим для начала твердое тело, вращающееся
u u
уrловои скоростью ro относительно неподвижнои оси, и
!I u; найдем ero кинетическую
энерrию. Выберем начало си-
стемы координат О на оси
вращения, а взаимно перпен-
дикулярные оси Ох и Оу в
I плоскости,перпендикулярной
:Ait'Alni} оси вращения. Пусть неболь-
I шая область вращающеrося
I тела (точка А ,) имеет массу
:с т, и находится от оси вра-
щения на расстоянии r i (рис.
132). Считая. что твердое
тело вращается против часовой стрелки, леrко понять,
что мrновенная скорость v i выделенной области cOCTa!J-
п 1,
ляет с осью Ох у:rол Т+Ч>, поэтому проекции скорости У,
на оси КООРiинаТ получим в виде
V';r = Ю, I СОЗ ( у + ер ) .. Ю, I sin ер = юу,.
!Ji
31..
l.
Рис, 132
I
104
Vty'" 6>, t sln ( t+ q> ) ... 6>1', cos <р.... 6> X t t
ТД8 Х, И yl......coomeтc eнHo х-я и у-я координаты мало!
области.
Кинетич ская 9нерrия &Е. малой области А равна
А В ...... А т . == А т +vrg А т щl (% +y7) ____ А т . r (Q1
D. К...... Ll 1 2 Ll 1 2 ....... Ll 1 2 ...... Ll 1 2 ·
Полная кинетическая знерrия твердоrо тела Е к равна
сумме кинетических 9нерrий всех малых областей, состав-
ляющих твердое тело,
Aт,, oo2 ф' 00'
Е. == k. 2 == т Amlr! == т 1.
1 1
Величина 1 называется моментом инерции твердоrо те.Л(l
относительно выбранной оси (в данном случае относи!
тельно оси вращения). Ясно, что момент инерции зависит
от Toro, rде выбрана ось и как она направлена.
Плоскопараллельным назыветсяя такое движение твер-
дorо тела, при котором траектории всех ere точек лежат
в плоскостях, параллельных IРУР друrу. Для описания
этоrо типа движения твердоrо тела поступают следующим
образом. Выбирают жестко связанную в телом «ось вра-
щения» (она может оказаться и вне тела), которая пер-
пендикулярна плоскостям, в которых лежат траектории
движения различных точек Твердоrо тела. Движение твер.
доrо тела представляют как сумму поступательноrо дви-
"
жения тела как целоrо вместе с указаннои осью со СКО-
"
ростью v о И вращательноrо движения ВОКРУР этои оси
С уrловой скоростью 00.
Поскольку «ось вращения» можно выбрать достаТОЧНQ
произвольно, разбиение плоскопараллельноrо движения
твердоrо тела на сумму вращательноrо и поступательноr6
движений можно осуществить orpoMHbIM числом способов'.
При этом скорость поступательной части общеrо движе.
ния У О будет совпадаТБ- со скороотью выбранной оси вра-
щения. Уrловая же скорость 00 от выбора оси зависеть
не будет. Это связано G тем, что все отрезки твердоrо
тела, лежащие в плоскостях, перпендикулярных направ-
" \
лению оси вращения, за данныи промежуток времени
повернутся на один и тот же уrол. Именно поэтому чаСТ9
rоворят, что урловая вкорооть вращения описывает вра-
щение твердоrо тела как целоrо.
Выберем ось вращения так, чтобы она проходила чере
центр масо твердоrо тела. Движущуюся поступательно
105
систему координат выберем так, чтобы ее начало О нахо-
дилось в центре масс твердоrо тела (а значит, на оси
вращения), а оси Ох и Оу были бы перпендикулярны этой
оси. Относительно неподвижной системы координат век-
и
roр скорости произвольнои точки твердоrо тела имеет сле-
Аующие проекции Vi и Vjy:
Vix == V ox ro. у j, Viy == V Oy + ф. Xj,
r}l.e V'x и VD ........ соответствующие проекции скорости v о
v
центра масс твердоrо тела относительно неподвижнои
системы координат, Х; и Уj............коордиНаТы рассматриваемой
"
точки тела относительно подвижноя поступательно дви-
жущейся системы координат (оси координат неподвижной
u
И подвижнои систем соответственно параллельны друr
дpyry). Если масса рассматриваемой точки твердоrо тела
равна f1т,. то ее кинетическая энерrия
т. Ат.
I1E. == T(V:X+ II) ==т ((vox.......m. Yi)2+ (V Og +ю.х;)I] ==
=== A t [(V:+{j).rд! vох.{j).АтjХj+(Jоgro.AmiY/],
rде v. скорости оси вращения, ro уrловая скорость
. е
твердоrо тела, 'i.........расстояНие l-И точки от оси вращения.
Полную кинетическую энерrию твердоrо тела в данном
"
случае наидем, суммируя энерrии составляющих ero малых
областей ---- точек
Е. == A , ("1%+&",> == (f 11m/) + ' ( Aт, )
ООХЮ ( AmiXi) +VOgro ( Aт'Yl) == М+ ! /,
rде М......Масса TвepAoro тела, ].......ыоМеНТ инерции относи-
тenЬHO выбранной оси вращения.. Выражения ( AmjXi)
И ( !!т/y,) равJШ НУJIЮ, поскольку каждое из них про-
, u
порционально соответствующеи координате центра l\lfacc
.
TBepAoro тела в системе координат, начало каюров совпа-
дает с центром масс тверJ\Оro тела (именно так мы выбрали
движущуюся систему координат). Таким образом, если
твердое тело массы М движется плоскопараллельно, ero
центр масс имеет скорость V et yr ловая скорость равна ю,
.
а момент инерции относительно ПРОХОДЯlЦеи через центр
масс оси вращения равен /, то кинетическая энерrия
J06
тела Е к будет определяться по формуле
MV: 1оо3
Е.== 2 +--т---.
Перейдем теперь к решеииrо задачи 1.51.
Леrко понять, что раньше всех roРИЗОНТ2JlЬВОЙ ПJ10СКОСТИ
,Z{остиrнет третий шар. Действительно, воспользуемся законом со-
хранения 9нерrии дли описания движения шаров. Тоrда для пер-
Boro и BToporo шаров изменение потенциальной энерrии идет иа
увеличение кинетической энерrии как поступательноro, так и вра-
щательноrо движения этих шаров. Для TpeTbero же шара все из-
менение ero потенциальной энерrии «расходуется» на увеличение
кинетической энерrии поступательноrо движения. Поэтому третий
шар, двиrаясь вертикально ВНИЗ, на каждой высоте Иl1eer СКОРОСТЬ
центра большую, чем первые два. СJlедовательно, он первым .-о..
стиrнет rорвзонтаЛЬНОЙ поверхности.
Более подробно рассмотрим движение nepBoro в BToporo ша-
РОВ. В начальный момент времени спицы образуют одинаковые
уrлы с rоризонтом, и изменение потенциальной эиерrии шаров
одинаково и равно Аи. 3аксч сохранения знерrии для первоrо
шара примет вид
л. u т + lro
а 2 2'
rде Vi CKOpOCТb центра шара. направленная ПОД yrJIOM а к вер-
тикали, Юi уrловая скорость шара относительно оси, проходя щей
через ero центр и одновременно уr.повая скорость вращения спицы,
1 MOMeHT инерции шара. Так как Vi==Юl1, rде l.....расстояНие от
шарнира до цеитра шара, то
Aa==и с; + ;Р )
и
../ и.и
Vf== r т+J/fA.
Но за изменение высоты шара над rоризонтом «отвечает» проекции
скорости Vi, равная U==Vf COS СХ. Изменение высоты первоrо шара
над rоризонтаJI НОЙ поверхнос тью ПРО ИСХОДИТ со скоростью
, / 2А.и
и == V m+ljl" соз а.
Для BToporo шара заКQН сохранении 9 ерrии запишетс.я в ВИАе
Аи== + 100: у
2 2
rде V2 CKOpOCTb центра шара, направленная CTporo вниЗ (так каи
спица невесома. а силы. действующие на систему шар + спица,
веРТИКЗЛЬНЫ J то и центр масс системы, совпадаlOПХ"Й с центром
шара, движется веРТИКIJJfЪНО вниз), fDt.....yrлОВ8J1 скорость шара.
Из условия нерастяжимости спицы следуеТ t что
(Оа==и2/' cos а.
107
TorAa
.. ;-- 2 U
02== V mcos1a+l/l 2 cos (Х"
Следовательно, 02 > U. Поэтому второй шар быстрее первоrо до-
стиrнет rОРИ ОН1альной плоскости.
1.52. Найдем сначала кинетическую энерrию об руча, вращаю-
щеrося с уrловой скоростью 00 BOKpyr
оси 0'0" в таком положении, как ука-
зано в условии (рис. 133).
Линейные скорости раЗJIИЧНЫХ то-
чек обруча различны; соответственно,
раэличны вклады отдельных частков
........... --., обруча в общую кинетическую энер-
) rию. Найдем кинетическую энерrию из-
---.---"" ры малых участков Ai и А2, располо-
.,. женных так, что L A 1 0As==n/2. Размер
Каждоrо участка iЙавен RAq>, масса........
т == 2:R R 8,:, '== 1231 Aq> (размер RAq> на-
.......) столько мал, что различием в радиу-
'*'" сах окружностей, по которым враща-
ются разные точки участков, можно
пренебречь). Линейные скорости участ-
ков Ai и А. равны, соответственно,
\
"",'"
"..---
("
-- -- ...
10' \
Of == 00.1 OiAi 1, 02 == 00'1 ОиА21,
Рис. 133 rде I 01 A i 1, I 02А21 радиусы окруж-
ностей, по которым вращаются уча-
стки Ai и А 2 BOKpy r оси 0'0". Как в идно из рисун ка,
I OiAf 1 == У ' OA112 1 00112 == R У 1 соэ 2 (х, cos 2 <р ,
1 02 А 21 == YI OA 2 )1.......1 00212== R У 1 С08 2 а 8ln 2 <р.
Таким образом, кинетическая энерrия пары участков Al и А 2
равна
АЕ к == тM+V:),== : Aq>.6)2R'(l+sin S a).
Рассмотрев lIюбую пару fчастков, радиус-векторы которых
рбразуют уrол 'It/2, мы получим такое же выражение для кинети-
ческой энерrии. Число таких пар, очевидно, равно п/ t\q>. Следо-
вательно, полная ерrия вращающеrося обруча равна
n М \
Е к == <p L\E K ==т oo2R2 (1 +stn 2 а).
оrласно аакону сохранения 9нерrии раб01а, которую надо совер..
lПить, чтобы раскрутить обруч до уrловой скорости ы, рапна
м
A==-:rю2R2 (1 +SJn2 а).
108
Для частноrо случая а == п/2 (обруч вращается в rоризонталь-
ной плоскости BOKpyr вертикальной оси)
Е М 202
rop==T Ю ц .
Для а==О (обруч вращается вокрур вертикаJlьноrо диаметра)
Е М 102 I Е
верт===т ц =='2 rop.
1.53. Из-за r ладкости rоризонтальноrо цилиндра и симметрич.
ности начальных условий в обоих рассматриваемых случаях центр
масс кольца будет двиrаться только по вертикали. При этом кольцо
будет вращаться; в случае а) относительно вертикальной оси, в слу-
чае б) относительно rоризонтальной оси. Оси вращения в эти.
с3lучаях выберем проходящими через центр кольца. Максимальна'!
уrловая скорость кольца и в первом, и во втором случаЯJQ будer
в тот момент, KorAa ero центр ванимает наиниsшее положение J .
а скорость центра обращается в нуль. Весь запас начальной п(J'l
тенциальной энерrии
Аи с:м, (R.....r),
rAe м ......масса кольца. перейдет в кинетическую знерrию вращении
М 0)1 RI
Е к == 4
(см. решение задачи 1.52). Поэтому в обои случаsпа
OOmах==2 у g( ;-r) .
1.54. Рассмотрим сначала случай а). Из-за шероховатости пло-
скости система обручей движется по ней без проскальзываниЯ' t
причем движение будет плоскопараллельньtМ. Между скоростью
центра и уrловой скоростью вращения системы имеется прямая
зависимость. Уrловав скорость будет тем больше, чем больше ско-
рость центра и чем меньше расстояние от цен тра системы до со-
прикасающихся с rоризонтальной поверХНОС'1 ью неподвижныХ!
точек системы. Максимальную уrловую скорос'РЬ О)тах система,
очевидно, будет иметь в тот момент, корда центр системы займе'I'
наинизшее положение. При этом кинетическая знерrия системы
будет максимальной. Изменение потенциальной энерrии системы
найдем по формуле
Аи == 2Mgh,
r де М..... масса oAHoro оБРfча, h...... максимаJlьное изменение высоты
центра системы над rоризонтом. посколькr обручи взаимно пер.
пеНДИКУJIЯРНЫ, JIerKO показать, ЧТО h == R ( 1 2 ). ЕCJIИ ско-
рость центра системы в момен'!' ero наинизшеrо ПQложения и, а
Уfловая скорость Ю. "о киветическав знерrия системы Ев БУJlе'Р
Ев=:2 +2 Mro;R8 (1+.} }==Mva+tMro2R
(см. решение еаД8ЧИ 1.52 для СJJJЧ8S ==1f,/4).
100
11 .. r .....
Поскольку ю == R f 2,
Е и ==М 002R2 +!. M«fJ-RJI, == M002.R3.
2 4 4
11з закона сохранен.я эверrии получим
2MgR( 1 ; 2 )==fМф2R2,
"доваr.елъно
Ютах== V f (1 2 ) ·
Случай б). Если fl.7lOCКDCTb r.л.адкая, то центр масс нашей си..
-темы будет )J.виrатъся по вертикали.. При этом в момент er6 наи.
'азш rо полож ния СКОjЮC1'Ь ц.ентра обращается в нуль и весь
8аПас потенцшль-в.ой энерmи
AU==2MgR(1 2 )
верей;nет 'в кинernческую энерrию вращения относите ьно rори-
IOнтальной оси, проходящей ''ie})еЗ центр (см. решение зад чи 1.52)
R 2002 ( 1 ) 3
Е 2М 1 + ........ == M R 2 00a
K -4 2 4
откуда
!. м R 2 002 ==2Mg R ( 1 )
4 У 2 '
Фп-к== у : (1 2 }
<:t<><>
1.55. Д,.fI ТОО'О ..,.ооы со..хранить рлвновесие, н.еоо-
КОДИJlО., .IjTOOJЬ1 п.ервesт.ик.,uр, Qпущенвvй НЗ центра масс вашеrо
товарища, ве ВlllЖО)J,И.I за RAGDI.адь опори ero Hor. При Сl'ибании
товарища ВlIере:а 81000 мmIШO жо6ВТJЬCЯ., eL7IИ сместить назад -ос-
тальную часть туловища, но мешает стена. Во втором случае,
вставая на носки, необходимо ,ДЛЯ сохранения равновесия пере-
местить все туловище вперед, ЕО PI этому мешает стена.
t..5S. ПР. быcrр<n'I n ИИ пэ .бревву вероятность паде-
ния е воду умевьшаетея.. дeй.enmтеПЫlО" если по какой-то при
чине центр тяжеети пе,естал находиться над площадью опоры и
вы начэ:1rИ ПI)J;aТ& (а время падеlIИЯ составляет доли ttКУНДЫ',
lIучше двиrатьея быстрее, так чтобы последняя фаза падения при-
ШlIась на пр-ОТИВОП<>ЛОЖfIЫЙ берет.
1.57. МаКafМ'a3IЪЯ8'S1 нзrруЭ1tа, 1tO'fО'рУЮ выержиизетT Тр<:>С
крана, определяеr..ся пределом прочности Jlатериала троса макси-
мальным н.апряж-ени-е"м, при хотор()м м'Зтеризл еще не разрушается.
Предположим, что вес модельной плиты q, площадь попереч-
Horo сечения троса S.. Н пряж.е!LИе.. ВО8никающее в тросе при
11
t1JL-.
наrрузке в одну плиту (]==q/S. Соrласно данным задачи предел
прочности материала троса ....максиМалъно ВЫАеРЖifваемое напря-
жение (]о определяется условием
lQq l1q
S < (]о < S (1)
(это означает, что kpaH-МОJ1ель поднимает 10 плит, а наrрузку
в 11 плит трос не выдерживает).
При пере:моде к реальным крану 1} плитам все линейные раз-
меры увеличиваются в п =: 12 раз. Значит, вес плиты Q увеличи-
вается в п 3 раз, поперечное сечение троса S увеличивается в п 2 раз:
Q == n 3 q, S =: n 2 s (2)
(таи как плотность соответствующих: материалов не меняется).
Максимальное число плит N t которые может поднять реальный
KpaH t определяется условием
Q Q n q
(N + 1) S > (]о N S:::;N n 2 s ==Nn s' (3)
отк)' да
(]о
N <: 12q/s ·
Но из соотношения (1) следует; что
(]о
11q/s < 1.
СлеllоватеЛЬНОl
N (]с) 0'0 I
< 12q / s < 11q / s < ,
". е. реальный кран не сможет поднять ни одной плиты.
1.58. На рис. 134 показаны внешние силы, действующие на
«книжку»: две силы тяжести те пластинок и две силы реакции N
со стороны бревна. Запишем "словия равновесия (книжки» для сил
в проекция на вертикальную ось
2mg...... 2 N соз а == О
и для моментов сил относительн о
оси. проходящей через точку А)
1
N R tg a.......тg '2 соз а=:О.
читывая, что 1==4R" пол чаем
f/равнение
tg 3 а+ tg а.....2 ==0
Рис. 134
Решение зтоrо "равнения J1ae'J
1&
==4.
113
ипи
(tg a 1) (tg 3 а+ tg а+2) == о.
я;
2а==т.
Таким образом, в равновесии пластинки состав,,1ЯЮТ друr с дрrrОIl
прямой уrол. Можно показать, что при этом равновесие устойчивое.
1.59. Для решения задачи нам необходимо вначале определить
положение центра масс колпака. С этой целью разобьем мысленно
колпак на стопку узких колец одинаковой ширины. При этом масса
колец нарастает линейно вниз от вершины к основанию колпака.
Центр масс каждоrо кольца находится на ero оси. «Сплющим» мыс-
ленно колпак так, что каждое кольцо превратится в равнобедрен-
ную трапецию, а весь конус превратится в равнобедренный тре-
уrольник. Центр масс каждой составной части колпака останется
на месте (на оси), поэтому и центр масс
всей системы останется на месте. Но,
как известно, центр масс треуrольной
пластины находится в точке пересечения
медиан. Следовательно, центр масс колпа-
ка находится на ero оси на расстоянии Н
/зН от вершины.
Положение равновесия системы бу-
lIeT устойчивым, если при небольшом ее
смещении из положения равновесия центр
масс поднимается (потенциальная энерrия
системы увеличивается); тоrда система,
fJредоставленная сама себе, возвращается
. исходное ПОЛО1Кение равновесия.
В нашем случае для Toro, чтобы колпак 8анимал устойчивое
положение равновесия на rолове Буратино, ero центр масс (точка М
на рис. 135) должен оказаться ниже центра rоловы Буратино
(точки О). Следовательно, должно выпол-
няться условие АМ> АО, т. е.
2 R
3 н > sln (а/2) ==2R,
А
или Н > 3R==22t5 см. А по УСJIОВИЮ
Н ==20 см. ЗнаЧИТ t колпак не будет дер-
жаться на roпoBe Буратино.
1.60. Из fСЛОВИЯ задачи следует,
что коэффициент трения скольжения ка-
рандаша по наклонной плоскости удовле-
fJ'воряет Ъ'словию f.t tg а.. Действительно.
карандаш, положенный перпендикулярно
образующей, находится в равновесии, а
это означает, что тg sln а:=Р тр , rде
тg....... сила тяжести, F тр сила трения.
Но F тр f.tтg cos а. Следовательно. Рис. 136
mg sin а f.tmg cos а, откуда f.t tg а.
Таким образом, ни при каких значения уrла карандаш П8
наклонной плоскости скользить не будет.
Скатывание карандаша может начаться при таком уrле <&>,.
коrда вектор силы тяжести «выйдет) за пределы участка соприкос-
новения карандаша и наклонной плоскости (на рис. 136 этот rча-
аток заштрихован). Чтобы найти 8ТО'Р JrOJl, спроецируем на наклон-
ную плоскость центр масс карандаша (точку А) и отметим трчкr
пересечения вертикали, проходящей Ч.Р" ero центр масс, .. н.-
К 10ННОЙ плоскостью (точку В), ОЧ8Ви...о. при раЗЛИ1l1l0Й 'ориtнта.
ции карандаша, если ero центр масс оста.те" на месте. точки А .
118
в БУJlУ'I В ПОДJШЖНЫ, при.чем если С'I'ороиа шестиуl'OJПtиorо попе-
речиоrо с.ечения карав,U.ша равна l то АВ ==21 300 tg а (причем
21 cos ЗОО О раАИус вписанной в IlИ.C'IИуrОJlhНое сечеиие ОIрУЖ-
насти ).
Пока '1очи:а В .лежит в эаш1'р&Хс.:ва.ваой об.л.аC'l8. карандаш не
бу Дe'I сха'IНБа'IЬСЯ..
Напишем условие начала сиаты.ваиlШ караи.uша:
AD/cos Ч!О == АВ или l/cos "О == 1 уз tg а.
I
<р.. == arccos .. r f/I
f 3 tg а.
Отсюда
Таким образом, если уrол , удовлетворяет условию
arcoos ( y ' ) Е:;ЕрЕ;; ,
3 tg а 2
карандаш находится в равновесии. В ыражение для уrла «ро имеет
смысл при условии tg а. > l/У 3.. Тот факт" что караидаш ПОJЮ-
женный D!'раллельно образующей" СИЗ'IываеttS. ознаqает, Ч'lО
tg а > 1/V3 (покажите зrrо самОС'JQЯтеJIЪНО).
1.61. На рис. 137 приведена траектория движеп"" тела 07 В3-
чальноrо положения до отверстия (ПJJOCкость риеУRка (овпадаer
с наклонной плоскостью). Точка O' neHTp' JFолуохружкоеm, по
котороА движет я тело.
Д2
х
о
т!lsiпa
Pмr. 137
g
РИСа 1'38
ПOClCOJJьку нить ВЫТJlrИS8-1OТ lIeAlIевио, МОЖJfО СЧВТЭ1'... что
В к2)l1LJlый момент времеви тело иажо,ртсв в COC'1OSIlИИ' рав-но.е-
сия. Запишем условие равновесии 'IeJla для момента, КOFАЭ иитъ
СОСТCfВJIЯет уrол ер с rориоонтаJIыo 00-.
В проекции на ось z.
Р тр COS ( -;--2ч> ) ==Т COS, ИJlИ F Tp SI11 :DT costp. (1)
В проекции на ось g
F т' СО! 2ч> + т SID ер== тg вт а. (2)
Силу реакuи N находим ера.у:
N==тgeosa. (3)
Учитывая. чtО сипа трения Рт:р, равна по аБСОЛЮТНQЙ величине I1 М ,
из (1).....(3) иахоJLИМ lL
l1- t g о.
114
1.62. Крайние значения иском.blX ал (рис. J38) .со@твеreт.вую'l'
смещению rруза в сторону одной из ножек (точки А) либо по бис-
сек:Трисе.........Меж;цу напраВJIe1IИИМИ из ножки (например, 1s еторону
ТОЧКИ В). HaQewI СКАЫ реаКЦИИ Ni, I В первом спучае, а за-
!'еМ......... во второ».
Из NСЛОВ.ий равновесия (учитывая что N 1 ==N a ) получим
2Ni+N2==Mg,
2Nf ( : +l)==N2(R l).
Решая 9ТВ f})81U1ения, най е\l
Mg (R l)
Nf.==N з == ЗR '
N ...... Mg (R +2!)
!...... ЗR ·
Для ВТОроСО CJ1учая достаточно заменить 1 на .........1:
N ......N Mg(R+l) Nn Mg{R.........21)
з ЗR ' 3R
ЯСНО, что при l > R!2 во втором 'СJryчае стоп опрокивется и найтtl
силы реакции будет непросто.
1.63. Любой яист В верхней части ОБА Аейетнех СИАЫ I'рения
может п.оЛУЧIfТЬ ,es:орение
аl lЧt.
это значит, что 1(pyr ОТИ'ОСИ'Тепьно :ltpyra эш 3IИe'fЫ проекаJlb3Ы-
88ТЬ не бу.l.УТ а при fС"О9е11ИИ бо ЬJlJoro lПierа а> p.g IЮзви&иет
проскаЛЬЗhIваиве всей верхней чаем п.аIlКИ оmоеите.въвй бмьшоrо
IШста.
В нижне'Й части пачки проска.льзывавие возникает только
в месте конТ8ХТ8 'с большим 3fИС1'ОМ, потому что Ч М ниже ШlСТ
тем больше ClUfa, ирижимаlOjЦaИ JlИcrш ..Ipyr к apyrJ. Vскорение
пистов нижней части пачки
а2< ftMg ==41tg
т
(М...... масса верхней части пачки. 11l == М /4...... масса нижней части).
Ясно, что для получения мак.сим.aJIьноrо ускорения пачки при
fСЛОВИИ, что она не распадаеТ4:1I, большой лист нужно тянуть
с ускорением
ItJ==ai==2 м/с'.
Таким и окажется ускорение пачки.
Чтобы получить максимальное ускорение центра масс пачки
(без учета большоrо листвJ).. нужно aTЬ так, чтобы проскаль-
8ывали обе части. При ЭТОМ общаl1 внешнях СИ31а
F ==fzpi +f7P J=:2p,Mg.
fскорение центра масс
а== M т ==2 1+ /M ==1. 6Jtg==3.2 м/с'/..
т януть большой ЛИСТ нужи С ускорением а > а2 шах == 8 м/с 2 .
1....
1.64. Модели, которые .мы JJыбuрае.м.
Для анализа физических явлений мы всеrда пользу-
емся моделями, упрощая и идеализируя реальную ситуа.
пию. Ясно, что в каждом конкретном случае нужно отразить
в модели все важные для данной задачи детали и отбро-
сить все лишние (этот совет, как и мноrие друrие, леrче
.аавать, чем ему следовать). Поэтому при выборе модели
следует оценить, хотя бы приблизительно, действие фак-
торов, которые мы хотим отбросить, и посмотреть, кан
скажутся сделанные нами допущения и упрощения на
точности получаемоrо решения задачи.
Рассмотрим пример: спортсмен толкает ядро С высоты
h== 1,5 м под уrлом ==400 к rоризонту со CKopoCTbI<1
v== 12 м/с. Найти дальность полета ядра.
Выберем модель: плоская невращающаяся Земля, воз-
духа нет, нет также Солнца и Луны. Оценим воздействие
отброшенных факторов.
Солнце! дает поправку к ускорению свободноrо паде-
ния dg i == ro Rf, rде О)! == 2п/l rод, Ri == 150 м.ли км;
Agi 10 ! M/C 10", s .g. На самом деле ЭТа поправка
иамноrо меньше....... ведь сила со стороны Солнца действует
и на Землю, сообщая ей почти такое же ускорение. Луна
дает примерно такую же поправку (вспомним ПРИJIИВЫ).
Сопротивление воздуха: сила лобовоrо сопротивления
F conp == asv . Величину а, приблизительно можно оценить,
зная СКОРОСТЬ выпадения rрада Vr 20 м/с при 'r 0,5 СМI
4
a3'tr == Л1тg ::; Pr' а nr:. g,
отсюда
...... 4Pr' rg
а ..... 2 .
3vr
Для ядра скорость V., при которой сила лобовоrо
сопротивления воздуха равна силе тяжести, определяется
условием
VIIO == V r ... / PII' 11 200 м/с.
V Pr'r
Значит, для данной в условии скорости Fсопр-==тg ( )!
3.10..... mg (отметим, что при таких СКОРОСТЯХ сила'"
вязкоrо трения больше, чем лобовоrо, однако она 'также
невелика). Архимедова сила
F А == рвозд ту 10'" mg.
Р.
116
Поправка к ускорению свооодноrо падения из-за враще-
ния Земли
- 11ga == ro:R Bt
rдe ro == 23111 сутки, R 2 == 6,3.1 О' cos q> (q>........ широта мест-
ности). На 8КВ8торе 6.gl 3.10 3g.
Цифры в задаче заданы «круrлые»; из простых прак-
тических соображений ясно, что требуемая поrрешность
уж никак не лучше 3 5 %. Значит, все перечисленные
поправки несущественны и модель наша вполне разумна.
Решение задачи совсем простое, мы ero не приводим.
Возможны, однако, ситуации, коrда даже небольшие
u
поправки MorYT оказать решающее воздеиствие на резуль-
тат. Это может произойти, например, если мы З8интере..
суемся различиями в движении нескольких тел. Рассмот-
рите самостоятельно такой вопрос: попадет ли вертикально
выстреленный снаряд назад в ствол орудия?
Модель может оказаться и совсем неприменимой, если
она не отражает существенных черт явления. Например,
модель абсолютно твердоrо тела для описания удара абсо..
лютно неприменима важную роль при ударе IJrpaIOТ
деформации, а абсолютно твердое тело He деформируется.
Еще пример: часто пренебреrают индуктивностью провод-
ников (или....... что то же самое........ энерrией маrнитноrо поля,
возникающеrо BOKpyr проводника при пропускании по
нему TQKa); однако в извесТНОЙ задаче про конденсатор,
который после зарядки закорачивают проводником, нельзя
OДHOBpeмeHHO пренебреrать сопротивлением проводника и
ero иНдуктивностью......если сопротивление очень мало, то
ток получается весьма бо ьшим, и даже при малой индук-
тивности энерrия маrнитноrо поля оказывается существен-
ной. Простой анализ показывает, что индуктивностью
в этой задаче действительно можно пренебречь, только
если выполняется условие L R C.
Очень часто при использовании «плохой» модели концы
не сходятся с концами...... куда-то девается (или появляется)
энерrия, не хватает уравнений для решения задачи и т. п.
Это всеrда должно настораживать I
Разберем полезный пример: на двух нитях подвешена
однородная балка. Требуется найти силы натяжения ниreй.
Задача эта очень просто решается: нити будем считать
нерастяжимыми, составим уравнения равновесия, т. е.
апишем условия равенства сил и моментов сил,...... и не..
hзвестные величины сразу определятся.
111
Добавим теперь еще одну вить и придеы к рассматриваемой
. I8JЖ8че ситуации. Сразу появляются неприятности....... не хватает
,равнений. В чем дело?
Причина тут ДОВОЛЬНО серьеэная не rодится модель. В слу-
.ае двух нитей она подходила малые растяжения нитей были
, # несущественны, они приводили ЛИШЬ к
тому, что балка чуть криво висела, а силы
при этом практически не менялись. Если
7i же нитей три. положение совсем друrое.
7i 1; Чуть ослабим одну нить вся наrрузка
сразу придется на две друrие. Значит,
lалые растяжения существенны и \10дель
«нерастяжимые нити» не rодится. (Ведь
АС! можно пренебреrать каким то фактором,
только убеди:вшись, что ero влияние пре-
небрежимо мало.)
Положенпе леrко поправить нуж-
НО задать коэффициенты жесткости нитей
Рис. 139 (МОЖНО одинаковые, ее...1И их длины оди-
наковы) и из rеО'dетрических соображений
.аАта связь между )1длинениями нитей, а значит,. и между силами
иатяJt<ении. Это и будет недостающее уравнение.
Сделаем чертеж, сильно увеличив для наrлядности дефОР'\1ации
витей (рис. 139).
Уравнение РJI СИЛ
Тf+ Т 2+ 2Т з==Мg. (1)
Моменты относительно nентра тяжести:
1 l
Тi ==2Тз . (2)
2 2
Еще одно уравнение получим из rеометрически соображений:
Ali Als 1
Аll Аlз lI2 ==2. (3)
Если нити о)Жинаковые, ТО
Tf=::k li, T,==k 111,. Тз == Аl з
и Tor да авнение (3) можно пере писать так:
Тl ТЗ ==2.
Т 2 Т S
Решая эту систему, получим
432
Тi==п Мg . Тt==п Мg . Тз==п Ме .
I
Системы TaKoro рода называют «статически неопреде-
пимыми»; имеется в виду необходимость к уравнениям
сил и моментов....... уравнениям статики....... добавлять урав-
нения, характеризующие физические свойства тел (напри-
мер, ЖeQТКОСТЬ). Статически неопределимые задачи встре-
чаются не так уж редко. НапримеРt задача о распре-
делении сил давления на кирпич, .лежащий на наклонной
118 '
плоскости. Она похожа на только что рассмотренную,
только опор не три, а очень MHoro. Малейшая неровность
на основании кирпича кардинально меняет результат
кирпич нельзя считать абсолютно твердым телом.
Особенно каверзными бывают задачи, в которых взаимо
действуют MHoro тел и при этом есть трение. Один при
мер: известная задача про песок, насыпанный в кузов
автомобиля.
В кузов автомобиля (размеры заданы) насыпают до..
верху песок. Заданы: плотность песка, ко ициент Tpe
ния. Найти силу, действующую на боковую стенку кузова
(борт rрузовика).
Давление на стенку кузова зависит и от Toro, как мы
насыпали песок, и от Toro, как именно движется aBTOMO
биль (напомним тем, кто давно не ездил в кузове rрузо
Boro автомобиля, что даже при движении с постоянной
скоростью кузов сильно трясет). Из за непрерывных толч
ков в разные стороны сухой песок постоянно перемеши
вается, при этом силы трения между песчинками все
время меняют направление. В среднем при этом действие
сил трения компенсируется, и песок напоминает жид
кость, налитую в кузов (нечто похожее происходит, коrда,
желая наблюдать картину силовых линий маrнитноrо
поля, мы насыпаем железные опилки на лист бумаrи и
потряхиваем ero, чтобы ослабить трение). В этом случае
задачу леrко решить.
Однако все может лроисходить иначе. Мы можем, Ha
пример, плотно набить песок в кузов, добиваясь «закли
нивания» песчинок, коrда уже никакая тряска не поможет
сила давления на стенку может при этом оказаться во
MHoro раз больше.
Если же мы насыпаем песок медленно и аккуратно,
конусом, а потом осторожно заполняем края и тщательно
Нзбеrаем тряски, то сипа давления может оказаться cy
щественно меньше, чем в «rидростатическом» случае.
Разумный выбор модели может очень облеrчить реше
ние серьезной проблемы, причем t.l0дель может быть и
очень неожиданной. Капельная модель ядра позволила
оценить мноrие эффекты, евЯЗ8нные с устойчивостью ядер,
планетарная модель Бора дает ВО3 t10ЖНОСТЬ вЫчислить
множество полезных величин, хотя ясно, что На самом
деле все устроено совсем не так. Ведь модель Должна
передавать далеко не все свойства изучаемоrо объекта
(так, например, rиря на чашке весов моделирует далеко
не все свойства взвешиваемоrо куска сыра).
119
Итак, при выборе модели явления нужно быть очеНh
аккуратным, не забывая, однако, о том, что живо и на.
r лядно представить себе явление значит существенно
продвинуться в решении задачи.
1.65. Сила тяrи Т автомобиля есть сила трения ведуших ко..
лее о землю. Рассмотрим вначале случай, коrда ведущие колеса
задние. Рис. 140 дает представление о силах, действующиХ1 на
автомобиль; N i и N 1...... силы реакции соответственно для ваДНИJa и
передних колес. Максимальная величина силы трения, а значит,
и СИ..1Ы тяrи Т == JA.N i, из условия баланса сил по вертикали имееч
Ni+N2==Mg. Условие равенства нулю cYMMapHoro момента сил,
записанное относительно центра масс автомобиля, имеет вид
1 1
Nf. 2.....N g 2 TR == о,
Решая три полученных уравнения для трех неизвестных Nit N g и
Т, находим силу тяrи
Mg/2
т == JA. (1 JA.R/ 1) 4120 Н.
Отметим, что сила реакции на 8адние колеса N:1 обычно: больше, а
на передние меньше половины веса автомобиля.
Если ведущие......передние колеса, то сила тяrи Т== JA.N 2 , а
остальные уравнения те же, и в реа льтате
Mg/2
Т== JA. (1 + Rll) ::::;3880 Н.
Таким образом, максимальная сила тяrи развивается, KorAa веду-
щие......задние колеса. В реальной ситуации центр масс авrомобиля
может быть на разныJC расстоянияХ1 от осей, но обычно он ближе
к вадней оси (если машина rруженая). и тоrда также максималь-
ная сила тяrи развивается задними веДNЩИМИ колесами.
1.66. Вес rрjyза Р ==тg==60 Н существенно больше силы Р1..
с которой надо тянуть веревку. Такая ситуация нам хорошо зна.
кома из жиани и связана с наличием трения между веревкой и
бревном.
В первом СЛjyчае (веревка неподвижна) СИЛ61 трения направ-
лены против действия веса rруза и помоrают NJlерживать веревку
с rpyaoM,
Полный расчет распределения сил трения АОВОЛЬНО сложен
так каи абсолютное вначение сил. натяжения веревки (которая
опреJ1еляет силу реакции в точки соприкосновения веревки d
120
бревном) меняется от Р! (условие равновесия левоrо конца веревки)
до Р == тg (условие равновесия правоrо конца). Однако для реше
ния задачи нам достаточно заметить, что максимальная сила тре-
ния, пропорциональная в каждой точке силе реакции опоры, будет
пропорциональна силе натяжения веревки; для определенноет"
будем считать, что F тр пропорциональна большей силе натяжения,
Т. е. FTP==kP. Это означает, что Fi==P kP и отношение большей
силы натяжения Р к меньшей Р! есть величина постоянная:
Р 1
F i. == 1 ........ k == cons t.
Во втором случае, коrда мы !Хотим поднять rруз, концы ве,
ревки как бы меняются местами. Сила трения оказывается направ-
ленной против действия силы Р 2 и уже не помоrает, а мешает.
Отношение большей силы натяжения Р 2 к меньшей Р должно
Р 2 Р
быть таким же, как и в первом случае: Р==7;' Отсюда находим
р2
Р 2 == Р 1 ==90 Н.
1.67. При изменениях, происходящих внутри аппарата, поло-
жения центра масс (ц. м.) О аппарата с содержимым не меняется,
В начальный момент ц. м, аппарата определяется как ц. м
системы «шар С плотностью Рl + шар с плотностью Р2........Рl», rд
Рl плотность rаза, заполняющеrо сферу ра - --- ...........
диуса R, Р2 ПЛОТНОСТЬ rаза, заполняющеrо / ' ,
шар радиуса R/2. / h \
После Toro как лопнул шар, ц. м. аппа- l
рата определяется как ц. м. сферы радиуса
R, заполненной rазом с плотностью р, rде
р........ плотность rаза в сфере после поврежде-
ния шара.
Тот факт, что после повреждения шара
весь аппарат сместился на расстояние а, оз-
начает, что ц. м. аппарата с целым шаром Рис. 141
находился на расстоянии а от центра сфе-
ры (рис, 141). Из этоrо условия найдем соотношение между Р! и Р2:
4 4 R3 ( R )
nR3 p1a g == n (Р2..... Pi) .............а g t
3 3 8 2
т. е.
Р2 ...... R + 14а
......... ...... .
Рl R 2a
Плотность rаза в аппарате, после Toro как лопнул шар. опре.
деляется условием
4 4Rs 4
nR 3 Р! +........ л ............ (Р 2 ..... Р 1) == ........ лR з р
3 3 8 3
и
7 I
P==sPJ+a Р2.
1 I
Давление р rаза в аппарате после повреждения шара может быть
вайдено из РСJIОВИЯ Р Р ==L, тде Рl начальное давление rаза
'J 1 'Pi
внУтри тонкостенной сферы.
Таким образом,
р р 7 1 Р2 R
.......... == == +...... == == 2,
Pi Рl 8 8 Рl R...... 2а
". е. давление rаза внутри аппарата увеличилось в 2 раза.
1.6Ч. При равновесии равнодействующая всех сил давления,
действующих на шар, равна ero весу и весу выт сненной им воды;
поэтому, если пренебречь сжимаемостью воды и материала шара,
fJlубина ero поrружения не изменится при увеличении давления
здуха. Если же сжимаемость материаJIа плавающеrо тела велика
по сравнению со сжимаемостью воды, то тело будет поrружаться
при увеличении внешнеrо давления. Так происходит в известной
вrрушке «картезианский водолаз», в которой перевернутая вверх
JIIIОМ пробирка плавает в наполовину заполненной водой мензурке,
ватянутой сверху тонкой резиновой пленкой. Если надавить на
пленку пальцем, давление воздуха внутри мензурки повышается,
воздух внутри пробки, поддерживающий ее «на плаву», сжимается;
в конце концов вес пробирки станет больше веса вытесненной
пробиркой (и находящимся в ней воздухом) воды пробирка нач-
вет тонуть. Стоит отпустить паJIец----про6ирка снова ВСПJIывет.
Попробуйте сами сделать эту простую и забавную иrрушку.
1.69. Нетрудно понять что при осторожном наполнении дырки
маслом шайба будет постепенно подниматьсп, пока дырка не ока.
жется заполненной доверху. Если при этом уровень воды вне
шайбы в стакане поднимется на величину х, то ровно настолько
поднимется и шайба. Пусть высота слоя воды внутри дырки будет
при этом равна у. Если высота шайбы равна d, то остальную часть
дырки, высоту d y, будет заполнять масло. Тоrда из условия
равенства давлений внешнеrо столба воды высотой d........h и давле-
ния, создаваемоrо водой и маслом внутри дырки, получим
Pog (d......h) == pogy+ pg (d.......y),
или
Poh
y==d..... .
Р о ...... Р
Так как масса масла, находящеrося в дырке, равна
4т == pSi (d....... у),
то сила давления на дно стакана после добавления масла ДОЛ1Кна
возрасти на величину f1F r:=4тg. С друrой jCTOpOHbI, 'из-за подня-
тия fРОВНЯ воды В стакане на веJIИЧИНУ %, давление на дно ста-
кана возрастает на величину
AP==Poxg,
откуда
pSi (d.....y) g== Poxg8
и
rpSf p8 1 h
х ::;:;............. 8 (d у) == ( ) S '
Ро Ро..... Р
122
Итак, шайба поднимется на высоту Ah == х, следовательно,
pSt
Ah== ( JJ s h.
po p
1.70. Так как сила, действующая на rирю со стороны пру-
жины динамометра, уменьшается, а rиря находится в равновесии,
то на соответствующую величину возрастает сила, действующая
со стороны воды на rирю (по закону А рхимеда). По третьему за-
кону Ньютона ровно на эту величину возрастает сила давления
на воду со стороны rири, а следовательно, и сила давления воды
на дно сосуда, которая возрастет на величину
АР давл == P o SAll,
rде S.......площадь поперечноrо сечения сосуда.
Следовательно,
f1F =.. АР давл == PoSAh,
откуда
rAF
S == pAh == 100 см 2 .
1.71. При ускоренном движении стакана изменится распреде-
ление давления в воде по высоте. Разность давлении на высоте h
будет теперь равна PBh (g+a), поскольку эта разность давлений
должна не только компенсировать силу тяжести столба воды вы-
сотой h, но и сообщать столбу ускорение а вверх. Сила АрХИ\1е f rт а,
действующая на шарик, должна, таким образом, возрасти в
g+a ==l+ раз. Поскольку шарик движется вверх с ускоре-
g g
нием а, разность силы Архимеда F А И сил тяжести тg и давле-
ния на шарик со стороны крышки F будет равна та, т. е.
F А ........ тg F :;::::: та.
Значит, F == F А --- mg (1 + a/g) и IIзменившаяся сила давления такх{е
возрастает в (1 +a/g) раз.
1.72. Пусть сила сопротивления движению шарика равна Р,
а ero объем v. Сумма BCeJCi сил, действующих на тело, ДВИЖУ-
щееся с постоянной скоростью, равна нулю. Следовательно, до
разрыва нити (р+Рх.......2ро) Vg==2F, апосле.....(Ро.......Рх) Vg==P. (По-
скольку скорость движения шарика по модулю не изменилась,
величина F тоже осталась прежней.) Окончательно получаем
Р + Рх..... 2 ро == 2Ро....... 2рх,
Рх== 4po p ==400 Kr/M 3 .
1.73. Интенсивность rорения rаза оп ределяется разностью дав-
лений rаза в трубе и атмосферноrо. Обычно rаз в трубах, которые
подходят к плитам, находится под очень небольшим избыточным
давлеНием........всеrо на несколько {процентов превышающим атмос-
ферное. При этом плотность природноrо rаза существенно меньше,
чем плотность воздуха. это означает, что при подъеме на 16 этаж
давление атмосферноrо воздуха уменьшится сильнее, чем давление
rаза в трубе, Т. е. разность давлений rаза и воздуха по мере подъе-
ма должна возрастать. Таким образом, rаз АО.,lжен ropeTb сильнее
на 16 этаже, чем на первом,
123
1.74. Необычное поведение воды в
описываемых в задаче прудах объясня-
ется п ринципом действия сифона. Схе-
матически вид карстовой полости, обес-
печивающей периодическое опорожне-
ние пруда, приведен на рис. 142.
Вода заПоЛllяет пруд до уровня
Рис. 142 АА', после чеrо «включается» сифон, и
вода практически полностью ходит ИЗ
пруда. Пруды, rде карстовые полости образуют сифон, подобный
описанному выше, называют перемежающимися прудами.
<>
1.75, 1.76. Колебаний нет, а уравнение колебаний
«ть ...
Для решения задач.и 1.75 воспользуемся законом сохранения
энерrии. Пусть на ropK1 въехала часть состава длиной х. Тоrда,
считая, что длина переходноrо участка пути от rоризонтальноrо
J( наклонной плоскости MHoro меньше длины состава, приравняем
началЬный запас кинетическои 9нерrии состава Ми8/2, rде М
масса состава, сумме Itинетической 9нерrии состава М о"/2 и ero
Ьотенциальной энерrии и == (Mx/L) (g sln а) (х/2) после въезда на
,
ropKY:
MvJ Mv' + Mgslna %'
TZ::T L 2'
.мы учли, что если на ropy въехала часть состава длины % и yrол
наклона ropbl (1, то' центр тяжести въехавшей на ropy части со-
, h %
става будет находиться На высоте =='2 sln а над rоризонтальным
rчастком пути.
ах
Учитывав, что о== dt ' пр.одифференцируем полученное выше
fравнение по времени и получим
O М dv + Mg slna dx
o dt L Х dt ·
Поделив обе части уравнения на Мо, получим уравнение движе-
ния состава в виде
dv + gslna O
dt L % ·
Поскольку dv/dt == а, rде а ускорение состава, то окончательно
получим уравнение
+ gSlna О
а L Х==.
Итак, торможение состава на наклонной плоскости удовлетворяет
уравнению rармонических колебаний. Решение этоrо уравнения
(в общем случае), Т. е. зависимость х (1), получим в виде
х (t) == А соэ (oot+cp),
rде А «амплитуда колебаний», ср........ Начальна я фаза, 00....... частота.
В нашем случае, очевидно, оо==- у g sln a/L. Выражение ДЛЯ
124
скорости состава и зависимости от времени V (t) получим в виде
v(t) == Аro cos (rot+<p+n/2).
Так как в начальный момент времени xlt==o==O, то, с одной
стороны, А cos <р == О, а с друrов стороны,
Vlt==6==Vo==Aw cos (<р+п]2).
3t l"o V L
Отсюда получим <р ==..... 2 и A== == Vo . .
w g Sln а
вадачи известно, что максll.1laiIЬНая длина въехавшей
ную плоскость части состава равна L /2, Т. е.
L , jr- L
А == '2== "й У g sin а, ·
По УСJ10ВИЮ
на наклон-
или
4D Vo
II slп1Z ==т и (0==2 Т'
Время. за которое СОС13В оааиОВIIТCЯ (v==O), будет отвечат& чет-
верти «пер иода и:ue6aвиi.." 1'. е. At == п/2ro== nL/4vo. Кроме Toro,
для моментов времевв. поп COCDB -будет важit,диться на наклон-
ной п.иоскости, '&а1lВCID4OCПI % (t) .. v (t) ПDЗlyчnt в виде
V. L ( 2 )
х(J)::::.SЙJI(мIJ==т sln T t ,
( 2110 )
v{tj==... COS L t ·
Для pe . aap'UI 1.11 :ааПlfшем уравнение движения саней
для момента .IIpWtJUI . кor» ва песок въехала их часть длиной Х.
Так как на савв . ropВЭОВ'I3JIЬИО.м п.алравлении действует только
сила TpeJUUI Pт.== -: .qa.. r:.e ' ДJIина саней, I-t коэффициент
трениs савей о весок. '10
..
..== X
st
а+тх==О.
УЧИТl:Iвая решение 8peAW,дУщeii зада... DОЛУЧИМ
z (t) == Vo siп 81.
w
rде ro == у gl-t/l. Время ],J) nер1roЙ ОСТ8ВОU1l 11. иаi;J{ем по ..;ормуле
t 1 == п/2ю,
путь торможения будет равен хо == vo/w.
Для рассмотрения второй фазы движения саней (после Toro,
как их толкнули) прибеrнем к следующему приему. Предположим,
что на песок сани въехали со скоростью Vi, такой, что после пре-
одоления по песку расстояния ХО их скорость упала до vo. Тоrда
в этот момент времени t*
Vo == Vl cos t*,
Vl . t
XO== Sln ffi !
(!)
126
Отку да
( v - ) 2 ( :ч» ) 2
+ ==1.
или
v ==и:+(щ2.
Кроме 'IOiO,
tg wt*== .ж.. vj ==Хо,
Vl Vo
поэтому шt* == 3oJ4 ИJlИ t* == 1t/4u>.. Время AJlи:ж ев8Я сане. ItОСЛ8
подталкивания
11 * 1t ti
t a ............. ....... t
2OJ 4ro 2'
отк у...
Полный
t 2 1
4...... т.
Пуп. ТОрlЮ&еНJlfI савей - 6УАеу
равен
(1'
Х . 1
1 ==......... :::1
.
== -v + ( : ):t . поэтому A/lЯ RТОРОЙ фаэи -Жения путь тор-
можения саней ПЗQebl по форму.n.е
%'2 == Zj"""'- Же == У2 Ха...... %о == Zo (УТ .......1),
откуда
Х 2 .. r......
........... ==" 2 1.
Xi
1.77. Пусть колечко совершает колебания в плоскосТJI РИСУН-
ка вдоль оси Ох (ри . 143} и CilC'1U18 uрактеризуется полной
энерrией Е Q. Рассмотрим проме-
жуточное lЮJIожеиие колечка,
Korll.tl О'ПО CМeff(eR'O вправо ОТ по-
ложевия pa_ВOвecJlSl на веJl.ЧII
ну Х. И имеет скорость V. У'l.-
'Jывая, что' в положшliИ раа-
новесия все уrлы конструкции
врвмые 7 а с:кецевJlВ K-OJJeчwа А
Ma.-ыет JJe8aS DруаИВ8 и.. па
сократилась на величину 2х и
имее'I запас УlIрУIОЙ эиерrии.
k (2х)2/2, а праиав УДJlИИИЛ3СЬ
на &еJПIЧIIНУ 2% JI Т811'Же lDfeer
такой же запас уп руrой энер-
rии. Действительно, из-за не-
растяжимости звеньtи, при ма-
лых смещения точки п, вер-
шины В и С прrпll)лижаютс. К оси Ох на раСGтояпие х каждая.
поэтому левая [т, } )I<ина ,сокращается на величину 2х. (То же са-
мое касается и i.uведения ПРУЖIIНЫ. сосдиняющей вершины Е и F!)
Закон сохрапеRИЯ" знерПlИ системьr запишем IJ впде
E + k(2x)
о ---'!! 2 .1# 2 ·
Рис. 143
127
Найдем первую ПрОИЗБОДНУЮ по времени этоrо СООТl!ОjUения
O==aтv+8kvx,
dv dx
rде а == dt ........ускорение колечка, а== dt ·
Разделим левую и правую части полученноrо уравнения на
отличную от ну ля скорость v (мы «застали» систему в ее проме.
жуточном положении):
ma+8kx==O"
Получаем уравнение rармоничеСКИJa колебаний.
частота (00 которых равна
oo ==8k/т.
Период соответствующих колебаний системы То
получим в виде
Т о ==2л; У т/8k ==л; У mj2k .
о
10+ тg/k
т
Рис. 144
Подставив
JОЛУЧИМ
1.78. На рис. 144 показано положение систе.
мы в некоторый момент времени t. Точка О......по.
JIожение равновесия точки подвеса; х отклоне.
ние шарика от положения равновесия, при котором
длина пружины равна lo+mg/k (lо длина пру.
жины в нерастянутом состоянии).
Запишем fравнение движения шарика:
mg ....... k x == тх" .
тg
L\x==T+x+a slnoot (полное длинение пружины),
тX'+kx== kasin(Ot. (1)
Вынужденные колебания шарика происходят о частотой вынуж.
дающей силы, т. е. с частотой 00. В fстановившемся режиме соб-.
ственные колебания, частота которых (00 == У k/m , отс тствуют..
Будем искать решение (1) в виде
х == А sln (Ot+ В соз ООе. (2)
rде А и В ......некоторые постоянные коэффициенты, которые нужно
определить, Ввяв.. дважды. Производную от (2) и ПОjставив в (1),
ПОJIfЧИМ
(..... Аоо2 т + kA) вш ООе + ( в (02 т cos те + kB) соз rot == .... a sin oot. (3)
Вто равенство должно выполняться в JIlобой момент времени. Взяв
ti == О и t 2 == л;J2, найдем
ka а
А == 2 k == 2 1
(О т ......1
ю
в ==0,
ПОJ;lставив найденные эна чения А и В в (2) получим
а sln oot
IC=:I 2 ·
002' 000....... 1
118
1.79. При малом уrле отклонения а перемещение шарика мало
отличается от rоризонтальноrо. В rоризонтальном направлении
на систему не действуют внешние силы, и импульс системы (точ-
нее проекция импу пьса на rоризонтаЛЬНУIО ось) остается посто-
янным равным НУЛIО. Следова-
тельно, при движении шарика шта- А' и
тив движется в противоположную
сторону; абсолютные значения о
и и скоростей шарика и штатива
(точнее проекuий соответствую-
щих скоростей на rОfJизонталь-
ную ось) связаны соотношением !1
то== Ми. (1) А 5
Центр масс системы (точка О на Рис. 145
рис 145, а) остается неподвиж-
ным, значит, неподвижной остается и точка О' (проекция точки О
на нить).
Таким образом, движение шарика это колебания маятника с
длиной нити
l' == I О' в 1==1 М М
т+
(см. рисунок). Частота этих колебан ий равна
,/Т ,/ g т+М
0>== V F == r т м
CKop n c1b luариКа......
(/== (/max sin ( У тt м t).
,/ gm+M
rде и тах .::= ООХ тах == JI 7 м 1 sln a.----МаксиМальное (по модулю)
значение скорости, X max == 1 sin a----аМплитуда смещения шарика.
Восполь зовавшись соотношением ( 1), найдем скорость штатива:
и==( V f тt м ISin ) sin У f тt M t==
==U maX Sin( -V f тt м t).
После каждоrо упруrоrо соударения направления скоростей Omax
И и max меняются на противоположные (проверьте это).
rрафик зависимости с корости ш татива от времени приведен
n,/l М
на рис. 145,6, '(==2" V g М+т ·
1.80. Математический маятник 8 неине рциальной системе от-
'lЧеmа.
в чем состоит задача описания движения математи
ческоrо маятника небольшоrо rруза на невеСО!\fОЙ нити?
Мы должны, зная начальное положение и начальную
скорость rруза, суметь определить ero положение в лю
5 А. И. БузJlИН' и др.
129
бой последующий момент времени. Иначе rоворя, мы
должны определить, например, вид зависимостей x(t) и
у (t), rде х и у координаты, определяющие положение
rрузика в плоскости ero движения.
Рассмотрим уравнения, описывающие движение мате-
матическоrо маятника длины 1, коrда точка ero подвеса
неподвижна относительно земли. Выберем оси координат
91
:&
тg
/ тg
I g I 1
Рис. 146
Il
g а
Ох и Оу так, как указано на рис. 146, а. Пусть в веко-
u
торыи момент времени в процессе движения маятника
вить составляет с вертикалью уrол ер (уrол q> отсчиты-
вается от оси Оу против часовой стрелки). Уравнение
АВижения rруза......... уравнение BToporo закона Ньютона
тa==тg+T (1)
(т сила натяжения нити) в проекциях на оси Ох и Оу
имеет вид
та х == ...... т sin <р,
тау == mg .... Т cos <р.
(2)
(3)
Поскольку при движении маятника длина нити неизмен-
на, между координатами х и-- у выполняется соотношение
. (кинематическая связь)
X + у! == l!
н для описания движения маятника будет достаточно
знать зависимость от времени какой-нибудь одной коор-
АВнаты.
Более естественной координатой, описывающей движе-
ние маятника, является уrол <р. Найдя зависимость q> (t),
мы тем самым определим и зависимость от времени ко-
ординат х и у:
х (е) == 1 sin q> (t), у (е) ;;;; 1 cos q> (е).
IS)
Перепишем уравнения (2) и (3), подставив в них значении
ах == V == ,,' =:=........1 (q>')2 sin qэ + lfP" cos <р,
ау == v; == 1f ==........[ (q>')2 cos q> ......./q>" sin <р.
Умножив левые и правые части уравнения (2) на cos <р,
а (3)...... на sin ер, получим
lq>" cos q> ---1 (cp') sin q> cos q> +!:... sin q> cos q> == O (2')
т
........lq>" sin ер .....1 (ер')! sin q> cos q> +!:... sin (j) cos ер ....... g sin ер == О.
т
(3')
Вычитая (3') из (2'), получим дифференциальное уравне-
ние, которому удовлетворяет функция q> (t):
ер" + f sin q> == О. (4)
в случае малых отклонений нити маятника ОТ вертикали
sin <р <р. и уравнение (4) переходит в уравнеиие
<р" + q> == О.
которое представляет собой уравнение rармонических ко-
лебаний с частотой (i) == V g/l . Общее решение T8KOro
уравнения имеет вид
tp==q>ocos( П t+ Ф).
rде q>о амплитуда колебаний, ф.......Начальная фаза. Ве-
личины <Ро И Ф определяются однозначно начальными
условиями.
Пусть теперь точка подвеса математическоrо маятника
движется с ускорением Ь относительно неподвижной........
инерциальной системы отсчета (рис. 146,6). Ускорение
а rрузика (точки А) относительно этой системы можно
u
представить в виде векторнои суммы
а == а' + Ь,
r де а,........ ускорение точки А относительно неинерциапьной
системы отсчета, которая сама движется с ускорением Ь
относительно неподвижной системы отсчета. Уравнение
( 1) теперь запишется так:
m(a'+b):=mg+T.
5*
,131
Отсюда
та' == т (g...... Ь) + Т.
(5)
Уравнение (5) по форме отличается от уравнения (1) на-
личием постоянноrо вектора т ( b), имеющеrо размер-
ность силы. Таким образом, если мы хотим воспользо-
ваться вторым законом Ньютона в неинерциальной систе-
u u
ме отсчета, движущеися относительно инерциальнои
системы с постоянным ускорением Ь, то к реальным си-
лам, действующим на rрузик........ силе тяжести mg и силе
натяжения нити Т, мы должны добавить еще одну:
т( Ь). Эту силу называют силой инерции. В уравнении
(5) мы объединили вектор т ( b) с вектором силы тя-
жести mg. В такой записи (5) представляет собой урав-
нение BToporo закона Ньютона для rрузика, на который
действует сила натяжения нити Т и сила т (g....... Ь), иrра-
ющая роль силы тяжести. Введение такой новой «силы
тяжести» т (g Ь) задает нам новое направление «верти-
кали» Оу', совпадающее с вектором g....... Ь; т. е. роль век-
тора g переходит к вектору g...... Ь. Соответственно, появ-
ляется и новое направление «rоризонтали» Ох', перпен-
u
дикулярное новои вертикали.
Преобразования, которые привели нас от уравнения
(1) к уравнению (4), применимы и к уравнению (5). Надо
только помнить, что положение равновесия маятника в
неинерциальной системе отсчета задается направлением
u u
новои вертикали; от 9ТОИ вертикали отсчитывается и уrол
отклонения маятника от положения равновесия; скорость
маятника (rрузика) это ero скорость относительно дви-
жущейся с ускорением Ь системы отсчета.
При использовании энерrетических соотношений (за-
кона сохранения механической энерrии) в иrtерциальной
системе отсчета мы можем пользоваться формальной за-
писью
т (о' ) 2
тg'h' + 2 == const,
rде g' == I g...... ь 1, h'....... высота, отсчитываемая по новой вер-
тикали, v'......... скорость тела относительно неинерциальной
системы отсчета.
rJерейдем теперь к решению задачи.
Мы должны, очевидно, рассмотреть движение маятника отно-
сительно неинерциальной системы отсчета ......тележки, движущеЙСJl
равнозамедленно вдоль наклонной плоскости (мы полаrаем массу
маятника MHoro меньше массы тележки). Будем считать, что пер..
132
oд от rОРИ30нтальной поверхности к наклонной плоскости очень
rладкий и время движения тележки по закруrлению MHoro мень-
ше периода колебаний маятника, так что практически MrHoBeHHo
точка подвеса маятника начинает двиrаться вверх по наклонной
плоскости с начальной скоростью ио и е ускорением, равным по
абсолютной величине Ь == g sin а и направленным вниз вдоль на-
клонной плоскости. Относительно тележки маятник имеет в на-
чальный Mo eHT скорость ио (1..... соз а); вектор относительной ско-
рости перпендикулярен нити (считаем, что параллельная состав.
пяющая скорости rасится), Новое ускорение свободноrо падения
равно Ig....... ь I == g соз а.
Максимальный уrол <p отклонения маятника от, HOBoro поло-
жения равновесия найдем из аакона сохранения энерrии, ваписан-
Horo в новой системе отсчета (рис. 146, 8):
т (vo (1......... cos сх»2 ( ' )
2 + тgl cos а (1....... cos а) == тg cos аl 1...... cos <ро ,
отку да
и5
cos <ро == cos а....... 2 1
g cos а
( 2ио stn 4 )
«ро == arccos COS а : .
g соз а,
1.81. Очевидно, что KorIa rруз находится в положении равно.
весия, свисающая часть веревки вертикальна (на рис. 147. а 9ТО
участок BD, rде В........последняя
точка касания веревки и цилинд- А
ра) и, следовательно, образует с
осью цилиндра уrол р == n/2.......a.
Рассмотрим ту часть верев-
ки, которая лежит на цилиндре.
Разобьем ее на множество малыХ!
частков, каждый из которыХ!
можно считать прямолинейным.
Каждый такой участок испытывает
действие сил натяжения со сторо-
ны двух соседних участков и силы
реакции со стороны цилиндра.
Так как трение отсутствует, сила
реакции в каждой точке касания веревки и цилиндра перпенди-
кулярна поверхности цилиндра (т. е. направлена по перпендику-
пяру к соответствующей образующей. который проходит череl
ось ЦИJlиндра). Поскольку веревка невесомая, силы натяжения.
действующие на отдельный часток, имеют одинаковые по абсо-
лютной ве,,1ичине проекции на направление образующей. Значит,
все частки веревки пеl>есекают соответствующие образующие по..
одним и тем же уrлом р == п/2.......а. Отсюда следует, что если мыс-
ленно « развернуть» верхнюю четверть цилиндра (от образующей,
проходящей через точку В, дО образующей, проходящей через
!fОЧКУ А), то участок БА веревки перейдет в прямолинейвый от-
резок ВА. Найдем ДЛИНУ этоrо отрезка.
Проведем сечение цилиндра, перпендикулярное ero оси и про-
!ХоДящее через ТОЧКУ В. Пусть с.......верхняSl точка этоrо сечениSl.
2 . а
иn 2 s In4 .......
2
(1....... cos а)2 == соз а...... 1
g ('os а,
/J
а
Рис. 147
i
138
При «развороте» верхней четверти цилиндра точки А, В и С 01<а-
жутся лежащими в вершинах прямоуrольноrо треуrольника с пря-
мым уrлом ВСА (рис. 147, 6). Уrол АВС равен Jt.......nI2 ==а и
I ВА 1---- 1 ВС 1/008 а.. Но I ве 1== nRI2, так что I ВА 1== лR/2 cos а.
Следовательно, длина свободно свисающей частн веревки равна
nR
I BD 1 == [...... 2 ·
cosa
После тoro как rрузу сообщат небольmую скорость в верти-
кальной плоскости, паР8JIЛельвой образующей цилиндра, он на
протяжении Bcero движения будет находиться в этой вертикаль-
ной плоскости. Поскольку веревка все время натянута, то в любом
промежуточном положении свисающая часть (B'D) будет образо-
вывать прямую, а вся веревка будет лежать в плоскости, прохо-
дящей через точку А. Роль кривой ABt будет такая же, как если
бы точка А находилась на вертикали над точкой В на расстоянии
пR/2 соз а выше нее.
Отсюда для периода малых колебаний rруэа получим
Т:=2пу .
1.82 Пусть обруч отклонен от положения равновесия так, что
прямая OOi (рис. 148) составляет с вертикалыо уrол <ро. Потенциаль-
ная знерrия (отсчитываемая от положения
равновесия обруча), которой обладает обруч
в момент максимальвorо отклонения, равна
ПQЛНОЙ 9нерrии Ео обруча
Е 0== м, (R.....r) (l.....cos СРО),
rAe М...... масса обруча. Если обруч отпустить,
он начнет совершать колебания. При этом в
любой момент времени полная энерrия об-
руча будет равна Ео (из-за отсутствия про-
скальзывания).
Если yrOJl отклонения прямой OOj от
вертикали равен ер. ТО потенциальная знер-
Рис. 148 rия обруча равна
и == Mg (R......r) (1 соз <р),
М
а ero кинетическая энерrия равна Ea==2Tl(R ')q>']2 (мы учли.
ЧТО кинетическая энерrия обруча, скорость центра KOToporo равна
(R.......r) ер', rде ср' ........сКорость изменения уrла ер, складывается из
sнерrии движения центра обруча и равной ей (поскольку отсутст-
вует проскальзыванне) знерrии за счет вращения BOKpyr центра).
Таким образом, полная знерrия обруча равна
Е == и + Ев == Mg (R......r) (l.....cos ср)+М «R---r) ер')2.
Cor ласно закону сох ранения 9нерrии Е == Е о, т. е.
Mg (R.......r) (1......соз ср)+М «R.....r) ер')2== Mg (R......r) (l......cos <р()}.
Приравняем производные левой и правой частей этоrо paBeHcтвa
g (R...... т) 'ID ер.ер' +2 (R r)1 cp'q>" ==0.
134
или, поскольку уrол ер мал и sln <р <р,
ер" g m
.......... 2 (R.... () т ·
Это выраже ние опис ывает rармонические колебания, частота кото.
рых ф== у g/2 (R......r).
Таким образом, период колеб аний оБР УЧ8
Т==2п у 2 (R;,) .
1.83. Разложим силу тяжести тg, действующую на шарик, на
две составляющих, одна из которых направлена вдоль оси желоба
и равна тg sln С%, а друrая......тg cos С%== тg' лежит в плоскости,
перпендикулярной оси. Движение шарика вдоль оси будет равно-
fCKopeHHblM с ускорением а == g sш С%. В плоскости, перпеВАИКУ-
лярной оси, шарик БУАет совершать малые rармонические колеба.
ния с периолом
fj'==2n,1" ==2п,1" R .
, у g r gcosa
Число пересечений траектории шарика С lIинией АВ равно еди-
нице плюс целой части отношения Bcero времени движения t ==
== у 21/a минус четверть отношении периода колебаний к полупе-
риоду колебаний Т/2:
[ .. ;-21 rп.. / R ]
1 + у а.....'2 У g соз а, I [ 1 У 21 t 1 ]
n == == +....... .......... с g а..... .
У R .Л R 2
n
g cos а,
(Мы учли, что от начала движении шарика от первоrо пересече-
ния с прямой АВ пройдет четверть периода колебаний, а затем
fже каждое последующее пересечение будет происходить через
полпеРИОД8 колебаний.)
1.84. Данная задача имеет давнюю историю и долrое время
правильное объяснение явления оставалось неизвестным. Сразу
же стоит заметить, что скорость даже сильноrо ветра (скажем,
20 м/с) HaMHoro меньше скорости распространения звуКа......330 м/с,
и тот факт, что по ветру звук распространяется чуть быстрее, чем
ПрОТJ{В ветра, сам по себе существенной роли не иrрает.
Правильный ответ был получен в 1857 roAy анrлийским физи-
ком и математиком Дж. Стоксом. Суть дела состоит в том, что
скорость ветра меняется с высотой: она меньше 'f поверхности
земли и растет по мере удаления от земли. (Это связано с трением
слоев воздуха о зеМЛIО и внутренним трением в воздухе.) Посмот-
рим теперь, как это обстоятельство повлияет на распространение
фронта плоскоЙ вертикальной звуковой волны, движущейся против
ветра......сМ. рис. 149, а.
Верхняя часть волны, наиболее удаленная от поверхности
вемли, распространяется медленнее, чем нижняя, rде скорость
135
ветра меньше. В результате фронт волны перестает быть верти-
кальным и верхняя часть фронта наклоняется назад.
Направление распространения звуковой волны всеrда перпен-
дикулярно ее фронту, и зто означает, что звуковые волны, которые
распространялись бы вдоль поверхности земли, при наличии ветра
отклоняютсSl BBepXi......cM. рис. 149, а.
Если в отсутствие ветра земной поверхности на линии АВ
достиrнут звуковые волны, испущенные внутри уrла а, то при
ветре этот уrол уменьшаетсSl (а,')......см. рис. 149, б. В результате
на единицу площади земли в направлении против ветра будет при-
ходиться меньше звуковой знерrии, что и означает ослабление
силы звука. В то же время в направлении по ветру, как видно
из рис. 149, б, наоборот, сила ввука возрастает,
в А
I I
I I
/ li
' l.g
" +-1 t--
'
I
I I
в
А
6
с
а
Рис. 149
Убедительное подтверждение объяснения Стокса получило в
опытах друrоrо известноrо анrлийскоrо физика о. Рейнольдса.
Рейнольдс в качестве источника звука использовал электрический
звонок, который можно было поднимать и опускать. Он обнаружил,
что звонок был слышен против ветра на rораздо большем рас-
стоянии, если ero поднимали высоко над землей.
Довольно MHoro внимания влиянию ветра на распространение
звука уделил и блестящий лектор и популяризатор науки......джоН
Тиндаль. В ero опытах использовался 'колокол; а экспериментатор;
ваходившийся на некотором расстоянии против ветра от колокола,
отчетливо улавливал звук колокола, коrда поднимался на специ-
альную лестницу. Эксперименты Тиндаля прямо показали, что аву-
ковые волны под действием ветра; действительно, ОТКJlОНЯЛИСЪ
вверх.
1.85. Полость термоса можно рассматривать как некий резо-
патор, который усиливает ввуковые чаСТОТБI, близкие к собствен-
ным частотам (резонансные). При sаполнении термоса водой шум,
издаваемый струей воды, содержит широкий спектр частот, но
,силены будут (и услышаны нами) пишь частота, близкие к соб-
ственным частотам резонатора термоса. По мере наполнения тер.
моса длина 9Toro резонатора меньшается; а 8начит, меньшаЮТСJt
в длины резонансных звуковых волн.
В результате тон шума должен становиться выше.
1.86. Как известно, океанские приливы и отливы связаны.
. основном, с действием сил тяrотения со стороны Луны. Врема
между приливами и отливами в океане одно и то же и равно при-
мерно 6 часам. Это и наблюдал рыбаК j живя на береr океана.
JЗ6
Иная ситуация может сложиться в низовьях впадающих в океан
рек (или в мелководных заливах). Дело в том, что по реке рас-
пространяются приливно-отливные волны, приход которых и может
считаться приливом. (На Амазонке, например, эти олны даже
представляли опасность для судоходства.) Важным обстоятельством
является тот факт, что 'скорость этих волн зависит от rлубины
она тем [меньше, чем меньше rлубина (попробуйте это показать
самостоятельно, например из соображений размерностей). Поэтому
если высота ПРИЛИВНО-О'fливны.х: волн сравнима с rлубиной реки
(залива), то скорость приливной волны будет меньше; чем отливной.
Так объясняется явление, обнаруженное рыбаком на новом
месте жительства.
2. МОЛВКVЛЯРНАЯ ФИЗИКА
И твппОВЫЕ явпвния
2.1. Направим ОСЬ х ВДОЛЬ оси пробирхи. Половина
общеrо числа молекул rаза имеют проекцию скорости V x > о. Эти
молекулы уйдут из пробирки, не передав ей никакоrо импульса.
Друrая половина молекул передаст задней стенке пробирки свой
двойной импульс, а затем также покинет пробирку. Следовательно,
пробирка получит импульс (в проекции на ось х)
МУ ==2то I V x I N А/2,
rhe V.........проекция скорости пробирки, тo Macca молекулы rаза,
1V;I среднее значение модуля проекции ее скорости и NА.......числО
Авоrадро.
"2
У v "
читывая, что v ==3" т. е. средния квадрат проекции ско-
рости равен 1/3 среднеrо квадрата самой" скорости, и ЧТО v 2 ==
3kT
(k......... постоянная Больцмана), получим, считая
то
l V x 1 V V '
... i kT
MV==тoN А J' ·
то
Отсюда
1 V 1 ..r...............
V ==лr (moN А) (kN л) Т ==лr у mRT,
rде R универсальная rазовая постоянная.
2.2. Коrда коробка начнет двиrаться и шарики ударятся о
стенку, они приобретут скорость 2Уо и через время 1:i ==a/vo (а......
длина стенки коробки) все шарики начнут двиrаться (это время на
самом деле несколько меньше, так как HeKoropbIe шарики MorYT
из-за взаимных столкновений начать движение раньше, чем стенка
приблизится к НИМ). После множества соударений шариков друr
с друrом и со стенками скорости шариков будут иметь самые раз-
ные направления.
Дальнейшее их поведение удобно рассматривать в системе от-
счета, связанной с коробкой. В этой системе средняя скорость
шариков (векторная) равна нулю, а так как скорость коробки ПО
словию не меняется, то и суммарная энерrия шариков остаетсв
постоянной, и в среднем каждый шарик будет иметь энерrию mV8/2.
Это все очень похоже на поведение молекул rаза, влетаЮЩИJl
через малое отверстие в пустой сосуд и И'dеющих вначале одина-
ково направленные скорости, а через некоторое время уже дви-
жущихся совершенно хаотически.
Остается выяснить: достаточно ли 10 секунд (по условию за.
дачи), чтобы движение шариков стало хаотическим. Для зтоrо
найдем приближенно среднее время между соударениями шариков.
Будем считать, что за это время 1: ер шарик диаметра d двиrалсв
по прямой СО скоростью vo. Тоrда он «заметает» площадь
S == UlVo1:cp.
В которую (в среднем) попадает центр только одноrо шарика .,
всех, хаотически расположенных. На эти остальные шарики при-
!Ходится площадь а 2 (a CTopOHa коробки). Значит, условие един-
Ственности столкновения за время 1: ер выrлядит так:
а 2
N ......1 2dvo1:cp'
131
следовательно,
а 2
't"Cp== 2dvo (N 1) ·
Диаметр шарика найдем; зная ero массу и плотность стали:
V* 6m
d== 5.10 4M==0,5 мм{
пр
Итак, среднее время между соударениями равно 1.10--8c.
Ясно, что с учетом времени 'ti==a/vo==10-- 2 c время «хаотизации»
не превышает O,OI5 0,020 с, т. е. составляет малую часть вадан-
Horo интервала 10 с. Поэтому можно приближенно считать, что
шарики все время движутся хаотически, тоrда число fдаров о каж-
дую из стенок одинаково. Для подсчета Nдаров с щественно дви-
жение шарика перпендвкулярно интересующей нас стенке. Обо-
8начим скорость шарика в этом направлении V X ' Число fIapoB ва
малое время At равно
л ...... О х ' Ata 1.. N vxN Л t
u.n .... а" 2 == 2а Ll I
Значит, за время ТС:::: 10 с число Nдаров составило
Ап vxN
п== f1t T_ T.
При каждом fдаре стенка получает импульс p==2тv x ; и полный
нмп льс, получаемый стенками 8а время Т
то NT
P==pn==2тvgn== х .
а
У 2 9 " 2 2
читывая; что 00 == Ох+ Vy И; в среднем; ох == VYi получаем
mv NT
Р== 2а ==2,5 Kt:'M/cc
Суммарная 8нерrия шариков складывается из энерrии их по-
tтупательноrо движения с коробкой и энерrии хаотическоrо ДВИ-
жения относительно коробки:
2 9
W==N тоо + N тоо ==Nтvg("
2 2
После остановки коробки эта энерrия измениться не может. Сле-
довательно, среднее значение квадрата скорости хаотическоrо дви-
жения шариков после остановки коробки станет 2v и за следую-
щие 10 секунд стеl1КИ получат импульс 2Р ==5 Kr'M"/c каждая.
Все это очень похоже на поведение обычноrо идеальноrо rаэа,
только ша рики «летают» В плоскости И имеют каждый по две
степени свободы, а не по три, как молекулы rаэа. Поэтому коэф-
фициент в формуле (1) отличается от привычноrо.
Подумайте, как изменятся импульсы, полученные стенками;
если еще раз привести коробку в движение, а потом остановить.
2.3. Если время наблюдения достаточно велико (а это мы
дальше проверим успеет ли молекула за время '=::: 1 мин «обле-
ссеть» весь сосуд, т. е. достаточно ли хорошо перемешается rаз за
I мин), то все молекулы fдаряются о верхнюю стенку одинаково
140
часто и тоrда искомое число можно найти, разделив полное число
ударов об эту стенку на общее число молекул. Число ударов можно
найти, зная давление в сосуде
vRT
р== v
2тVхсрNуд
St
rде Nуд полноечисло ударов за t==1 мин о верхнюю стенку, пло-
щадь которой S. Искомое число
N y ll. vRT St RTSt
N.
1 N V 2mv x cpN V2v xcp "'"
У ,. у-----=- ... / RT
Оценим v xcp : vxcp Vx== 1/8 V2 == V . Итак,
Ni RTSt == y RT 2.1 .
V2J1 y JI
Оценка степени перемешивания выходит за рамки школьной про-
rpaMMbl, однако в «Факультативном курсе физики» за 9 класс ЭТОТ
материал есть. В среднем, смещение вдоль прямой (л длина сво-
бодноrо пробеrа):
х== УЛ'V х cpt 1 м> а==О,1 м.
Отсюда видно, что rаз хорошо перемешивается. Интересно. ЧТО
эти 2.10 ударов распадаются на 5 серий (2а /х 5), а большую
часть времени молекула проведет вдали от этой стенки.
2.4. Температура паров определяется средней (точнее, сред-
неквадратичной) скоростью молекул паров:
2
Т vcp
,.., 3R ·
Для определения температуры надо найти v cp .
Смещение по вертикала происходит под действием силы тя-
жести. Время tt движения молекул, путь 1, пройденный ими за 9:?
время, и смещение h молекул по вертикали связаны соотноше-
ниями 't==I/v c p== Y 2h/g , откуда
v CP == 1 У g/2h .
Подставляя (2) в (1). находим
Т '" f.t12g '" 6 10 2 К
'" 6Rh""" ·
(1)
(2)
(Большая точность расчетов не нужна, поскольку мы довольно
rрубо оценили среднюю скорость движения молеку л, воспользо-
вавшись среднеквадратичной скоростью.)
2.5. ПfСТЬ в 1 м8 смеси находится "l молей rеЛIiЯ и "в o..e l
КИСJlорода. TorAa полное ЧИСJlО молей в объеме V == 1 м 8 ра8И
рУ 0,9.10&.1
'V=="i+VI== RT........ 8,3.271 40 моль.
Масса смеси в этом объеме
т == тi + т! == fJl v i + ""1"2 == Р V == 0,44 Kf.
,141
Решая систему уравнений
"! + "1 == 40,
4.10"' "i + 32.10--"'. == 0,44,
находим \'i и \'1:
\'i == 30 моль, "2 == 10 моль,
Если далить из сосуда половину молекул кислорода, то полное
число молек станет равным ,,' ==35 моль, Давление р' в сосуде
найдем из соотношения р/ р' == v/v':
' з5
р' == p--:у==0.9.IО& 40 0,79.105 Па.
2.6. На диаrрамме p T изохоры представляют собой прямые,
проходящие через начало координат, причем TaHreHc уrла наклона
изохоры обратно пропорционален объему rаЗ8. ыcпeHHO проведя
изохоры, нетрудно Ъ'бедиться. что максимальный V шах объем rаэа
будет в точке 2, а минимальный V m1D.......8 точке 1, Воспользовав-
шись законом МеНJlелеева....... Клапейрона, вапишем
2PiV IIIln ....... мУ шах
т i ..... ЗТ 1. ·
Отсюда сразу нахоДИМ искомое отношение объемов V max/V min ==6.
2.7. Число молекул, которые за время 'r проходит через отвер-
стие площадью S. перпеНДИКУJlЯРНое оси ., равно
п. .....
N==тIVжIS't,
rAe п число молекул я единице объема, I (---среднее значение
модуля проекции скорости молекулы на ось х.
Число молек л в единице объема спутника изменяется на
А N п S (v x f 1;
ап==у-==т V ·
отсюда
Ап V
't' == 2 ........ ... .
п S I ох I
По условию вадачи температура воздуха в спутнике остается
неизменной. Как следует из уравнения Клапейрона......Менделеева,
в этом случае давление пропорп.ионапьно плотности rаза и, следо-
вательно, числу молекул в единице объема (р""'" п), поэтому
Ар Ап
........ ==......... == О, о 1.
р 11
Для оценки можно считать. что
3 (1 V z 1)2 == (и t ).
ВJlИ
I 1/---=-- .. / RТ
I их I == У з " (и 2 ) == у '"j:i".
142
Тоrда
Ар V ... /
==2 pS V RT '
rде р.......Молярная масса Воздуха. Подставляя В это выражение чис-
ловое значение величин, получим
't 70 с.
2.8. Диффузор представляет собой пружинный маятник, н ero
резонансная циклическая частота
00.== V . (1)
rде k......жестКосТь fпруrой системы диффузора. Отсюда
k==ю m. (2)
KorAa rромкоrоворитель помещают в ящик, то при смещении диф-
фузора от положения равновесия на Hero действует дополнитель-
ная сила
F == (р...... Ре) S, (3)
'де р...... давление воздуха в ящике, а Ро........ атмосферное давление
вне ящика. Так как температура воздуха В ящике не меняется, 1'8
по закону Войля......Мариотта
рУ == роУ о,
авв
У О
P:=PoV'
Подставляя зто выражение в формулу (3), получаем
V О...... V
F==poS V ·
(4)
Так каи
V о....... V == Sx,
rAe z........ смещение диффузора, то
F== PoS' " (5)
У О
.вид, тото, что изменение объема мало, принимаем в знаменателе
ус:: У е ). Из этой формулы следует, что воздух в ящике действуе"
8ОДООВО пружине с жесткостью
82
ki == Ро V о ·
Общая жесткость упруrой системы равна
... 2 poS2
k ==k+ki==rooт+ V '
о
. Р880вансиая частота v ди узора
1 ... /7i ,'" 2 POS2
'У=: 2п r т== У '\1.+ 4п 2 У.т ·
141
2.9. Определим сначала скорость спускаемоrо аппарата. Для
9Toro заметим, что изменение давления p с изменением высоты М
связано соотношением
p== pg&h; (1)
rде р.......плоТность rаза. Из закона Менделеева Клапейрона сле.
дует, что р==1!.. RT (здесь Т температура rаза именно в той точке,
f.J.
вблизи которой мы интересуемся изменением давления). Учитывая,
что &h ==...... v&t, r де v....... скорость спуска аппар ата, &е....... время спуска,
МО}КНО записать выражение (1) в виде
Ар f.J.v e
r;==g RT ' (2)
Зная отношение p/&t, т. е. TaHreHC уrла наклона касательной
В конечной точке А rрафика (см. рис. 32), с помощью соотноше..
ни я (2) найдем скорость v. (Отметим, что, поскольку в левой
части (2) стоит отношение &р/ р, нам безразлично, K KOB масштаб
rрафика по оси ординат.) Определяя из rрафика (&р/&е)/р и под-
ставляя f.1 == 44 r /моль дЛЯ СО 2 , получим, что скорость спуска аппа-
рата космическоrо корабля равна
RT &р 8,3 Дж/(К,моль).7.10 К
и== gJ-t p&t == IO(M/c2).44.10 8 (Kr/McJ: ).1150 с 11,5 м/с.
Перейдем теперь к решению второй части аадачи. Учитывая,
что скорость аппарата v == 11,5 м/с, на высоте h == 15 км над поверх-
ностью планеты он был еа 1300 с до посадки, т. е. этому соответ-
ствует время t ==2350 с. Зная значения (&р/ &t)/ Р в 9ТОЙ точке rpa-
фика, из выражения (2) найдем искомую температуру Т h:
T h "== g v ( p )t 430 К.
2.10. Коэффициент полезноrо действия циклическоrо процесса
определяется как f) == A/Q, r де А....... работа, совершен на я системой
за цикл, Q....... количество теплоты, полученное системой от Harpe-
вателя. '
Работе rаза аа цикл на р...... У -диаrрамме соответствует пло-
n aДb, заключенная «внутри)) цикла. Из условия аадачи следует,
что работа rаза в первом и во втором проце сах одна и та же.
Следовательно, f)i/112== Q2/Qi, rде Qi и Q2 количества теплоты,
"
полученные системои соответственно в первом и во втором циклах.
Найдем Qf и Qs.
Пусть температура rаза в точке 1 (см. рис. 33) была Ti. Вос-
пользовавшись уравнением состояния идеальноrо rаза, нетрудно
показать, что
I
Т 2 == T5==2Ti' Т з == Te==6Tf, T 4 ==3Tf, T 7 ==9Tf.
Очевидно, что в процессе } 2......3---4......1 rаэ получил тепло Ql
на участках }.....2 и 2.....8' причем Qi == А 1 + &Ui, rде А 1 == 4роУо ==
== 4vRT 1 ....... работа, совершенная на этих участках rазом, &и 1 ==
3 15 Т
== 2'vR (ТЗ Ti) ==2' vR 1...... изменение ero внутренней энерrии,
так что
15 23
Qi==4vR T i+ 2 vR T i==2: vRTf..
144
в процессе 5.......6.......7 4.......5 rаз получи..'! тепло Q2 на участка1а
5....6 н 6 7, причем
3 27
Q2==A 2 +AU g ==3p o V o + 2 vR (T7 T5)2 vRTi.
Таки.м образом,
'1i QI 27
'11 ==Qf== 23 '
2.11. В цикле 1.......2 8 1 rаз получает тепло на частка 1 2
и 2......3 и отдает на участке 8.......1. Тоrда
А
'1i == ,
Qll+Q23
rде А работа, совершенная rазом за цикл.
Так как эта работа численно равна площади фиrуры, оrрани-
ченной rрафиком цикла, то, как видно из рис. 34, совершенная
rазом работа в оБОИ2а случая)! одинакова. Но в цикле 1-8.......4 1
rаз получает тепло только на участке 1.......3. Поэтому
А
'12== Q ·
18
еледовательно,
'1i Q lЗ
.,...... ......... .
1)2 Qll+ Q2З
Так как процесс 1.......2 изохорический, то
3
Q i2 == Аи ia == 2 R (Т 2....... Т 1).
(1)
Но
T _ POVo И
1 ......... ...............
R
Т 2poYo
1 ........ R ·
Следовательно,
3 3
Qi2==2' (2P o V o ...... poV o > =="2 РоУ о . (2)
Далее,
3
Q28 == АU 2з + А 2з ==2 R (T8 Т2>+2ро (3V o ....... у о ) == 10p o V o ' (3)
И, наконец,
3 3
QiЗ == АUiз+Аiз ==2 R (Тз........ Т 1 )+'2 Po(3V o ....... у о ) == 10,5р о У о . (4)
Подставляя найденные выражения для Qiз, Qi2 и Q2З В (1), полу-
чим Т)1/Т)2 == 21/23.
2.12. 3а искомое время 't к rазу подводится количество теп-
лоты Q == Nт:. Оно расхо уется на работу по расширению rаза при
постоянном давлении, paBHYIO работе по равномерному поднятию
поршня
A==p.dV==vR AT==MgH,
и на увеличение внутренней энерrии 'v молей одноатомноrо rаза
3 3
AU==T'YR АТ-2' MgH.
145
Из уравнения
3
N1:== МеН +'2 MgH
получаем
5 MgH
1:=='2 N ·
1.13. Чере! большое время шарик потеряет практически всю
еаорость (ero масса во lIВoro раз больше массы атома rелия), и
...НО считать, что изменение внутренней энерrии rаза в сосуде
'..ВО начальной кинетической энерrии шарика:
т2 V2 Aи 1. Nk AT .! k N тl dT (1)
2 2 Б 2 Б А"., ,
,. N-=N A тi .......число атомов rелия в сосуде, АТ......изменение тем-
".,
..,атуры rелия. Учиrывая, что 'B N А === , из (1) находим
т2 V2 ".,
АТ- 3m 1 R 0,08 К.
Иолее точное решение должно учесть повышение температуры
.рика. Тоrда
т2rr- Л Т / + 3 тl R А Т '
2 ....... ст2 Ll 2'1.t L1 ;
,. с== 0,5 .103 Дж/(кr. К) .......удельНая теплоемкость стали. Отсюд.
..ходим АТ':
т2 V2
АТ' == [ 3 тl ] 0,08 К.
2 cт2+2"IIR
8вачение АТ' практически то же самое.
2.14. После подведения тепла AQ rаз в левой части сосуд.
f8Cширяется, совершая работу АА. Эта работа целиком идет и.
реличение энерrии rаЭ8 . правой части сосуда. Таким образом,
AQ ==AUl+AA==AUi+AU.== : R ( :. ATi+ ;2 АТ.). (1)
Vеловие равновесия поршня до наrреВания......
Рl == Р2 == р,
rpавнения состояния в левой и правой частях сосуда
тi Т т2
pVf,c:::........ R i, рУ 2== RT2'
"., ".,
,р Vi+ V 2 == У О . После наrревания, коrда поршень уже не б,..
18иrаться, давления в левой и правой частях уравниваются. Обозв..
ам увеличение давления в сосуде Ар; тоrда
т-
(р+ Ар) (У 1 + АУ) ==.........! R (Т 1 + АТ 1 ),
J1
(р+ Ар) (У 2....... Ау )== m2 R (Т,+ АТ 2 ).
fJ.
148
После простых преобраЗОВ8НИЙ получаем
( то т )
Ap(Vi+Vs)==R fJ.l ATf.+-'!АТ. ,
или (с учетом (1»
2
ApVo==-з AQ.
Отсюда находим Ар:
Ар == ./ Q 667 НfMI.
Этот результат можно получить HaMHoro проще: при равновесии
давление в сосуде всюду одинаково, значит, одинакова и плот-
ность энерrии (энерrия единицы объема). Следовательно, увели-
чение плотности энерrии составит AQ/V o ; вспомнив известную
формулу, связывающую плотность энерrии идеальноrо rаза с дав-
лением, сразу ПОJlуqи ответ.
2.15. По словию задачи тепло передается медленно; значит,
давления на поршень с двух сторон практически равны, т. е,
в любой момент времени
Т * Т * Т * Т :
тl 1 т, 2 1 ' Ij
""1 V 1 1"'2 (V ........ V 1) или "i V 1 == "2 V........ V 1 ' (1)
* *
rде Тl, Т 2 .......температуры соответственно водорода и кислорода,
V i и (V...... V 1) ......объемы, занимаемые rазами (V объем сосуда)
в данный момент.
5
Внутренняя энерrия AByxaToMHoro rаза равна 2' vRT. Соrласно
аакону сохранения энерrии,
"'iR (т; Tl)== : v.R (T. Т;). (2)
Из уравнений (1) и (2) получаем
*
Т] "l T l+ V 2 T 2 t
Y == V ==cons,
1 "1
иными словами, давление Рl в левой части сосуда, rAe находится
водород (а значит, и давлен ие Р2 в правой части, rAe находится
кислород), в процессе не меняется, т. е. процесс передачи тепла
происходит изобарически.
Поршень перестанет двиrаться, KorAa температуры водорода
и кислорода станут одинаковыми. К этому моменту, соrласно закону
tохранения энерrии,
; : v 1 R (т Т 1 )== : ",.R (T. т)
(Т установившаяся в сосуде температура), откуда
Т== v 1 T 1 +v 2 T 1 ==325 К.
"1 + "2
Количество теплоты, отданное кислородом, равно сумме изме-
нения ero внутренней энерrии : v.R (T. Т) и совершенной над
141
ним работы 'V2R (T .......Т):
7
Q ==2 'V R (Tt...... т) 1090 Дж.
2.16. Нарисуем цикл на диаrрамме p V (рис. 150). Начнем
с момента, коrда rаз станет расширяться. HarpeB производится
очень медленно, поэтому МОЖНQ
считать, что поршень в любой
момент находится в равновесии.
Учтем, что длина пружины в
нерастянутом состоянии равна
расстоянию от левой стенки со-
суда до линии ее на рис. 150,
поэтому при расширении raS8
(при движении поршня от упоров
АА дО упоров ВВ) сила упруrо-
сти пружины пропорциональна
объему jrаза.......Р упр == kx == kV /8 и,
значит, давление rаза.....
2'10"'" 1/'10"'" M' k
Рнс. 150 Рl..... 2 == 83 У.
р, кnа
2
'1
2
1
1
4-
На этом участке объем rаза увеличивается от У 1 ==24110"" М'
kV'
АО V 1 r:::4.10.... м3. Давление rаЗ8 возрас:ает от р== 821 ==2.1 Па
k
АО р,,== 82 V s ==4.10 3 Па (см. рис. 150).
После Toro как основание пружины сместили из се в DD,
сила упруrости пружины уменьшилась. В результате при охлаж-
дении сосуда rаэ начнет сжиматься не сразу, а лишь после Toro,
как давление rаза на поршень упадет настолько, что сила давле-
ния rаза станет равной силе упруrости пружины. Это произойдет
10.0 3
при Ра== 10 Па ==3.103 Па (см. рис. 150). При дальнейшем
охлаждении rаз будет сжиматься, и давление будет меняться по
взкону
k
Ра -+ .. == 81 (У V о),
rде V о объем, занимаемый rазом в случае,
крепленная в положении DD, оказывается
== 0,1.10"'3 м 3 == 1.10...4 м а . Таким образом,
== 1 . 103 Па.
После Toro как основание пружины переместят из положе-
ния DD в положенне ВВ, сила упруrости возрастет. Поэтому при
последующем наrревании rаз начнет расширяться лишь с тoro
момента, Kor да сила давления ra за станет равна силе уп pyrOCTH.
Это произо.йдет при р == Рl :::2.103 Па; в дальнейшем процесс
повторяется (см. рис. 150).
Работа rаза за один цикл численно равна ПJJощади параJlлело-
rpaMMa на рис. 150:
коrда Пружина; еа.
нерастянутой: У О ==
k
Р4 == 82 (V 1....... V о) ==
А == 0,2 Па. м 3 == 0,2 Дж.
148
Тепло rаэ получает на Nчастках 1 2 и 4 1; IYчитывая, ЧТО
rаз одноатомный, находим
Q == Qi+Qs==A 1 -+ 2+ и 1-+ 2+ Аи 4';; ==
Pi+ Р2 V V + 3 Т Т + ::S Т Т
::;;:; 2 (,..... 1) 2' vR ( 2 1) 2 'VR ( j..... 4) ==
t=l Pitpa (Vz Vj)+ : ( Na P4V4)==2.7 Дж.
Таким обраSОМ J кпд этоrо двиrателя....
А
f)==Q. 100 % 7,4 %.
Полезную работу в этом цикле «снимают» С двиrателя при смеще-
нии основания пружины коrда rаз HarpeT и ero давление велико,
он совершает работу б6льшую, чем работа внешних сил при
обратном смещении основания ПРУЖИНБI
2.17. Тепловой н асоа ,
Прежде чем ответить на вопроо звдачи. рассмотрим J
u U
принцип деиствия холодильнои машины.... холодильника. i
Холодильник отбирает тепло от внутренней емкости, rде
поддерживается низкая температура, и отдает ero в ком-
нату. Сам пф себе такой процесс идти не может. Тепло не
может перейти само собой от холодноrо тела к rорячему
(это одна И3 формулировок BToporo начала термодина-
мики).
«Обратная» теплопередача требует постоянноrо подвода
энерrии работы компрессора холодильника. Детали уст-
ройства холодильника для нас не cYLЦecTBeHHЫ, заметим
лишь, что для ero работы всеrда необходима энерrия.
Пусть, совершая работу А, холодильник отобрал у мо-
розильной камеры количество теплоты Q2' Тоrда, соrласно
закону сохранения энерrии, в комнате выделилось коли-
чество теплоты Qi == Q2 + А. Понятно поэтому, что при
работе холодильника, даже е открытой дверцей, в ком-
нате становится теплее.
Попробуем найти коэффициент полезноrо действия
холодильника. Но прежде вспомним о тепловом двиrателе,
принцип устройства и работы KOToporo точно такой же,
как и у холодильной машины. По существу холодильная
машина это тепловой двиrатель, работающий по обрат..
ному циклу.
Рабочее тело двиrателя получает от наrревателя коли..
чество теплоты Ql' совершает работу А' и отдает холо..
дильнику (не путайте с холодильной машиной!) количество
теплоты Q2 < Qj,. Максимальный коэффициент полезноrо
149
действия идеальноrо тепловоrо двиrателя равен
А' Ql Q2 Tl T2
f)шах == Ql === Ql == Т 1 '
r де Т i ...... температура наrревателя t а т 2 температура
холодильника.
Эффективность работы холодильника характеризуется
так называемым холодильным коэффициентом f]x, КОТОРЫЙ
равен отношению количества теплоты, отбираемоrо у мо-
розильной камеры, к необходимой дЛЯ ЭТОI'О работе. Для
идеальноrо холодильника
Q2 Q2 1 11тax Т 2
llx==T==Ql.........Q2 Чтах ==Tl T2'
Заметим, что как следует из этой формулы, холодиль-
ный коэффициент больше единицы.
А теперь нетрудно доrадаться, как можно использо-
вать холодильник для отапливания помещения в холо-
дное время rода........ для этоrо холодильную камеру надо
вынести на улицу, а все остальные части «arperaTa»
оставить в комнате. Тоrда, совершив работу (отобрав
энерrию у электрической сети) и забрав с улицы коли-
чество теплоты Q2' мы передаем в комнату количество
теплоты Qi == А + Q2 > А. Понятно, что никакоrо противо-
речия с законом сохранения энерrии нет...... дополнительная
энерrия в виде тепла отбирается от холодноrо наружноrо
воздуха.
Холодильная машина, работающая таким образом,
и называется «тепловым насосом», поскольку тепло «пере-
качивается» снаружи вовнутрь комнаты. В результате
работы тепловоrо насоса в помеLЦении становится теплее,
а на улице еще холоднее (последний эффект, конечно
же, незаметен). кпд тепловоrо насоса (отопительный
коэфrфициент) llи определяется отношением получаемоrо
помещением количества теплоты к необходимой для этоrо
внешней работе. В идеальном случае он равен
Ql Ql 1 Т 1
flи == Т == Ql.........Qz == 11тах == т 1........ Т 2
Н всеrда больше едйницы.
В качеt:тве примера раССl\ЛОТРИМ случай, коrда темпе-
ратура наружноrо воздуха ----- 20 ос (Т 2 == 253 К), а внутри
дома необходимо поддерживать температуру +20 0 С
(Т 1 ==293 К). Тоrда flH==293/40 7,3, т. е., используя
электрическую энерrию для работы тепловоrо насоса, мы
150
можем получить в семь раз больше тепла, чем, пользуясь
электронаrревательным прибором. Разумеется, реальный
КПД всеrда ниже, K тому же двиrатель тепловоrо на-
соса также превращает в работу не всю потребляемую
энерrию. Однако все равно ИСПОЛЬЗ0ва:lие тепловоrо насоса
оказывается в несколько раз более рентабельным, чем
использование электронаrревателя.
По сути дела тепловым насосом является обычный
кондиционер: он «откачивает» тепло из комнаты. Если
поменять ero «ВХОД)) и «ВЫХОД» местами, то в холодное
время он может использоваться как экономичный Harpe-
ватель.
Тепловые насосы существенно более экономичны, чем
электронаrреватели, и несомненно, они должны ВОЙТИ
В наш быт и вытеснить. расточительные 9лектроотопитель-
ные приборы.
2.18. в результате двух переливаний масса воды в первом
сосуде осталась прежнеЙ t а ее температура Nменьшилась на
At 1 == 1 ос. Следовательно, энерrия воды в первом сосуде уменьши-
лась на
AQ ==свml At,
rде св ---- теплоемкость ВОДЫ, ml ---- масса воды в первом сосуде.
Энерrия воды во втором сосуде увеличилась на AQ, поэтому
AQ ==свт2 At 2
(тl первоначальная масса воды во втором сосуде). Следовательно,
CBтi At 1 ==с в т 2 At 2 ,
откуда
At 2 == т i tl ==5 .с.
т2
Температура воды во втором сосуде t ==t2+AtJ==25 ес. Этоrо
значения она достиrла после переливания из первоrо сосуда во
второй . некоторой массы воды Лт, имеющей температуру '1. Запи-
шем уравнение тепловоrо баланса:
Св Ат (t 1 ...... t ) == свт2 (t;........ t 2)'
Отсюда находим т:
t' t
Лт == т2 2.....: 0,14 Kr.
tl t
2.19. Наличие на rрафике плато при температуре ......20 ос сви-
детельствует о TO\i, что это и есть температура плавления вещества
(плато при температуре О ос соответствует температуре таяния
льда). l(aK видно из rрафика, HarpeB от начальной температуры
........40 до 20 ос потребовал времени 1:'1 ==60 с, а количество тепла,
выделенное наrревателе\1, при 9ТО:\1 составило РТ1. rде Р мощ-
ность наrревателя. Уравнение тепловоrо баланса для данноrо про-
151
цесса запишем в виде
(сJI+с) m.20 ос == P1:i.
Для полноrо расплавления вещества потребовалось время
'(2==1ОО с. Поскольку температура при этом не менялась,
m'Л==Р1:2'
Поделив первое и второе уравнения друr на друrа, найдем
удельную теплоту плавления вещества
л == (СJI+ ) (1:J't'i).20 ос == 10 Дж/кr.
Дальнейший HarpeB льда и плавление вещества от темпераТУ 8 Ы
.......20 до О .С, как видно из rрафика, потребоваJI времени '(3 == 8 с
и уравнение тепловоrо баланса для этоrо процесса будет иметь вид
\
(CJI+Ci) т.20 ос == Р'(з.
Снова поделив это уравнение на первое уравнение, найдем тепло-
емкость вещества в расплавленном состоянии
Cf == (С л +C)('fJ'fU C.. == 2.103 K K '
<>.o-
2.20. В п ирке над водой находится ВОЗДУJl в
насыщенный водяной пар. Суммарное давление воздуха Р и пара Рп
равно атмосферному давлению РО (можно пренебречь небольшой
разностью высоты столба воды в пробирке и в стакане):
Р+ Рп== Ро'
Давление воздуха в пробирке нетрудно найти, воспользовав-
шись уравнением Менделеева...... Клапейрона
pV 'Т == const.
Действительно, начальное давление воздуха в пробирке при темпе..
рату ре Т 1 == 293 К (20 ОС) практически совпадало с атмосферным РcJ
(при этой темпера1:уре давление насыщенных паров воды пренебре-
жимо мало), а поскольку при HarpeBe до температуры Т 2 ==З63 К
(90 ОС) объем воздуха увеличился вчетверо, ero давление стало
1 Т 2
Р==Т Т 1 Ро.
Примем в качестве Ро значение HOpMaJIbHOrO атмосферноrо
Азвления, которое составляет/760 мм рт. ст., тоrда давление насы-
щенных паров Рп (Т 2 ) будет
Рп ==Р: ( 1 {;1 ) RI 525 мм рт. СТ.
Решение данной задачи по сути дает один из возможныXi ме..
тодов эксперим нтальноrо определения зависимости давления наев..
щенных паров от температуры. Вы можете ВОСПОJlьзоваться этим
методом в своей школьной лаборатории. Разумеется, в качестве Ро
..учше использовать точное значение атмосферноrо давления, кота..
рое может несколько отличаться от 760 мм рт. СТ. (хотя обычные
отклонения составляют лишь несколько процентов).
152
2.21. Процесс кипения, как известио, требует непрерывноrо
подвода тепла. Коrда вода в пробирке наrреется до температуры
lОО ос, подвод тепла из колбы прекратится. Поэтому вода в про.
бирке кипеть, естественно, не будет.
Более интересная ситуация возникает, коrда поверх воды
в пробирке налит толуол. Здесь мы сталкиваемся с интересным
явлеНием.......таК называемым поrраничным кипением. Суть ero
состоит в том, что кипение начинается на rранице двух жидкостей,
коrда сумма парциальных давлений их насыщенных паров равна
внешнему атмосферному давлению. Ясно, что при этом давление
насыщенных паров БОДЫ меньше атмосферноrо, а значит и темпе-
ратура ниже 100 ОС. Таким образом, при добавлении толуола в про-
бирку с водой кипение на rранице толуол вода начнется раньше,
че\1 закипит вода в колбе. При поrраничном кипении температура
Jленьше температуры кипения каждой из жидкостей.
2.22. Испаряющаяся с мокрой одежды вода аабирает тепло
'f человека, что и вызывает ощущение холода.
2.23. Дело в том, что температура кипения воды (100 ОС) за-
метно выше температуры кипения эфира и поэтому испарение
налитоrо иа руку эфира будет идти rораздо интенсивнее, чем воды.
3а единицу времени испарится rораздо больше эфира; чем воды,
и полное тепло, которое идет на испарение эфира, окажется больше
(несмотри на малую удельную теплоту парообразования !фира по
сравнению С водой). Действительно, эфир практически мrиовенно
испаряется С руки, в то время как влажной рука остается до-
вольно долrо.
2.24. rYCToe дерево выолняетT роль термостата.....сутОчRНе ко-
лебания температуры под ним не так сильно выражены: днем не-
MHoro холоднее, а ночью чуть теплее, чем BOKpyr. Поэтому при
охлаждении воздуха, перед восходом солнца роса выпадает на от-
крытых местах, а ПОД rycTыM деревом точка росы не достиrается.
2.25. Сразу же, как только пустую пробирку А опустили в
сосуд с иром, началось испарение эфирз внутрь пробирки.Эrот
процесс и приводит к появлению пузырьков, ВЫХОДЯЩИХ из про-
бирки А'...... ведь суммарное давление воздуха и паров эфира в ней
должно поддерживаться равным атмосферному давлению Ро (можно
nренебречь увеличением давления из-за поrружения пробирки в
эфир .......ОнО не пре80СХОДИТ нескольких мм рт. ст.). Пузырьки
перестанут выходить, KorIa прекратится испарение эфира внутрь
пробирки А, Т. е. коrда давление паров эфира там станет равным
давлению насыщенных паров Рн и суммарное давление будет
Ро==Рн+Рв, rде рв давление воздуха.
Аналоrичное условие должно выполняться и В пробирке В.
При этом воздух, занимавший в пробирке А объем у о , в пробир.
4
ке В будет занимать объем 3' V o . Пользуясь ваконом Бойля.....Ма.
рнотта, можем записать
( ' 4 ) 7
POVO==PB Vo+-з Vо ==3 pBV 01
3
откуда находим Рв ==7 РО. Теперь леrко определить давление на-
сыщенных паров эфира:
4
Рн == Po Рв ==7 Ро 430 мм рт. CT
154
2.26. Движение поршив прекратится, коrда вся вода испарит-
ся; при этом слева и справа от поршня будут rазы (воздух и
водяной пар), состояния которых описываются уравнением Мен-
делеева........КлапейроНа. Леrко понять, QTO до этоrо при движении
поршня уменъшался объем воздуха от у о до V o /2, а водяной пар
все время оставался насыщенным.
Пусть начальные температура и давление То и Ре, КонечНые.......
Т 1 и Pi, тоrда мы можем записать следующие уравнении: для
воздуха ......
РоУ о Рl У О
'f;;== 2Ti ;
для па ра в начальный моменТ......
М
poVo==J1 RTo, Ро== РН (/0)' (2)
в конце процесса.......
3 М+т
Pi 2 V о ....... J.I. RT i, pt == Ри (/1), (3)
rде ,..........молярная масса водяноrо пара. Решая совместно уравне-
ния (1).....(3)' находим массу 80дяноrо пара до иаrревания:
М == т/2==2 r.
(1)
Пользуясь приведевными в условии данными, построим rрафик
зависимости рн (t) для водяноrо
вара (рис. 151). Тоrда темпера- р,кПа
'[ура То определяется из уело- р= M т '::' 0 т
вия пересечения этоrо rрафика с r
.. М R Т Т
прямои P== V ,а l.......C пря-
JA. о
tt M+m'l. R
мои Р JA. 3 V о · ИСПОЛЬЧУВ
rрафический метод решения, на-
ходим
t o == 140 ОС. ti == 170 ОС.
Ро 3,8.105 Па. О 50
Зная температуру То ==413 К и Рис. 151
величину РО из уравнения Менде-
леева...... Клапейрона для воздуха (JA.B == 29 r /моль), находим массу
воздуха Мо:
М PoV OJA.B I'W 3 2
0== RT о , r ·
2.27. Обозначим характерные точки на rрафике, как показано
на рис. 39. При V < V 1 давление смеси rазов не меняется то
означает, что и кислород, и азот конденсируются и давление
равно сумме давлений насыщенных паров кислорода Р н . 02 И азота
РН, N 2 при Т==74,4 К. Так как данная температура является тем-
пературой кипения жидкоrо азота, то Рн, N 2 == Ро атмосферно'vfУ дав-
лению (10& Па). Изломы на rрафике в точках (V 1, Pl) и (V 2, Ра)
свидетельствуют о фаsовых переходах кондеНС8ЦИИ rазов" если
при V < V 1 сконденсировались оба rаза. 10 при \/.1 < v < /2 .,1ИШЬ
один, а при V > У 2 конденсации нет, Предположим, что в АэнноА
153
точке (Pi, Vi) конденсируется азот, TorIa кислород сконденсировался
в точке (Р2' V 2), и мы можем записать систему уравнений
Рl == рн,. 0,+ Ро,
Р2==РП,Оt+РN 1 ' (1)
rде РN 2 ... па рциаJIьное давление азота в точке (У 1. pi). Поскольку
на участке У 1 У 2 азот находится лишь в rазообразном состоянии,
V
то из закона Бойля Мариотта слеJ1ует. что PN, == РО у; . Подстав-
ляя это значение в (1) и поделив wравнения (1) друr на друrа
(используя соЬтношения Pi/ Р2.== 7/4, а V i/V 9 == 1/2). находим
1
Р н , 01 ==6 Po 17 кПа.
Предположив, что в точке (Vi, Рl) конденсируется кислород, мы
получили бы, как нетрудно проверить, Р н , О, ==6ро. Это противо-
речит тому, что кислород кипит при более высокой теМпературе.......
давление насыщенных паров кислорода при Т==74 К должно быть
меньте Ро'
Найдем теперь массу кислорода тОЙ Точка (ри, У.) соответ-
ствует началу конденсации кислорода, ". е. ero давление равно
Р н , О. И весь кислород при этом находится в rазооб,разном состоя-
нии. В соответствии с ваконом МеНделеева.... Клапейрона
то
Р н О V 2 ==......,....! RT, (2)
" J.to,
r,ne fJ.0. молярная масса кислорода. Для азота конденсация начи-
нается в точке (Pi, V i), значит,
m N
Ро V 1 ::::..........] RT, (З)
J.tN 1
rде f.tN2......молярная масса азота. Поделив Fуравнение (2) на (3) и
учитывая, что J.tNif.to, ==7/8 и Р н , 02 ==l/еРо, опреде.т.им массу кис-
лорода
то, ==(8/21) mN. за r.
2.28. Наряду с процессом испарения жидкости идет и процесс
конденсации пара. Скорость испарения 8 обоих случаях (при
'1 == 50 % и при '2 == 80 %) одна и та же........она зависит только от
температуры жидкости. Скорость же конденсации пропорциональна
концентрации молекул пара 8 воздухе, т. е. она пропорциональна
относительной влажности и во втором случае выше, чем в первом.
Ясно, что скорость убывания уровня воды
У у == VИСП VКОRД'
При 100 % влажности воздуха V ИСП == V кОНД. Учитывая все это,
можно записать:
при rl ==50 %
1
V yi == V иСп........ V КОНД i ==2 V исп'
1
V yl == V Неп........ V КОНД 1==5 V НСD4
при '1==80 %
156
т or да
Vyi 5
't' 2 == 't' 1 ==......... 't' 1 == 100 м и н .
V у2. 2
Важно отметить, Ч,то цифра Э1а занижена при недостаточноЙ
конвекции воздуха у самоЙ поверхности БОДЫ образуется тонкий
сЛОЙ насыщенноrо паря, кот()рый сильно замедляет испарение. ТОТ,
кто обмахивается веером (или просто rазетой) в жаркую поrоду
ИJlИ дует на блюдце с rорячим чаем, не всеrда четко понимает
физику явления, однако испарение все равно идет интенсиВнее.
Не помоrает это только при 100 % влажности воздуха.
2.29. В калориметре вначале находились вода и ее пар и при
повышении температуры тепло шло как на наrревание воды и пара,
так и на ясна рение воды. Ска чкообразное уменьшение теплоем-
кости при температуре t 1 означает, что при этой температуре вся
вода испарилась и, таким образом, суммарная масса воды т в
жидком и парообразном состояниях была:
т == VPH (t 1 ) ==9,7 .10 3 f.
Для определения теплоемкости Сl рассмотрим уравнение ба-
ланса тепла при температуре, чуть меньшей /1' В этом случае
подведенное к системе вода + пар тепло dQ идет на HarpeB пара,
масса KOToporo практически равна т, и на испарение остатков
воды dm. При увеличении температуры на d/ испаряется масса
ВОДЫ Aт==V[PH(t+At) PH(t)]==V H At и уравнение тепло-
Boro баланса можно ваписать в виде
rде величину
== 18 r/моль.
Поделив обе части этоrо уравнения на dt и учитывая, что по
определению теплоемкости C==dQ/dt найдем
Сl == 3RV РН tf) + rV ( At; ) 1,6 Дж/I(.
При температуре t > t 1 уже всн вода испарилась и теплоем-
кость С2 будет равна теплоемкости водяноrо пара при постоянном
объеме
AQ ==3R fAt+rv ( H ) Ы,
наклона (dри/dt) леrко найти из rрафика, а Jt ==
С2 == 3RV РН (/1) 0,013 Дж/кr.
fJ.
2.30. Uпределим сначала, до какой температуры надо HarpeTb
сосуд, чтобы вся вода пспарилась.
Запишем уравнение состояния пара при начальных УСЛОВИЯJl
(давление насыщенноrо пара при температуре t 1 == 100 ос равно
Рl == 10 Па):
м
Рl V ==........... R Т i . (1 )
....
Коrда температура сосуда станет Т 2 == Т 1 +ЛТ и вся вода испа,-
рится, давление насыщенноrо пара в сосуде будет Pl +Лр По ус-
IJОВИЮ задачи Ар==а, ЛТ, rде а,==3,7 Па/К. Воспользовавшись этим,
\
157
I8пишем уравнение состояния пара при температуре Ts:
paV== M+m RTI
,...
или
(CXAT+Pi)V<= M т R(Тi+АТ): (2)
Решая совместно (1) и (2), находим АТ:
тТ 11'1.
АТ== МТ М 0,29 К.
1 а ........ Р i ....... mPi
Таким образом, дли испарении воды еосу.в. необходимо наrреть до
leмпературы 100,29 ос. Количество тепла, которое необходимо АЛЯ
aтoro, найдем из уравнения тепловоrо баланса:
Q == ,т+с'УМ !:J.T 2290 Дж.
Поскольку масса воды в сосуде памноrо меньше массы парэ,
можно не учитывать ее теплоемкость, а также счиraть массу пара
неизменной.
2.31. На поверхности молока при КИПJlчении возникает плот-
вая пенка, которая не дает ВЫЙТИ наружу образовавшимси парам
!RИ пары быстро поднимают оенку до верха кастрюли и молоко,
смешанное с паром, выплескивается наружу...... «убеrает». Для тoro
чтобы провести оценку, будем считать, что молоко это та же во.ца
(про которую мы все знаем: удеЛЬН8J1теплоемкостьс==4200 Дж/кr.К,
,дельная теплота парообразования л==2,2 МДжjкr). Можно считать,
что теплоотдача наружу не Мениется........это значит, Ч'i'О приток
тепла в систему можно считать постоянным.
Мы знаем, что интенсивность парообразования сильно увеличи.
вается с приближением к температуре кипения, т. е. можно счи-
тать, что почти до самой температуры кипения все тепло идет на
наrревание, а потоМ.......на испарение молока. Осталось найти массу
пара ПОД пенкой: воспользуемся уравнением Клапейрона .....МеН.
делеева, считая давление паров равным 1 атм:
т ==JJ.PV/ RT 0,5 r.
Теперь леrко оценить интересующее нас время: для HarpeBa
100 r воды на 10 rрадусов нужно затратить 4200 Дж, а на испа.
рение 0,5 r воды....... 1100 Дж, значит искомое время составит 2,5 мин
на HarpeB до температуры кипения и еще 5.1100/4200 1,3 мин,
а всеrо примерно 4 минуты. Можно эти цифры проверить на
D рактике. '
2.32. Маленькие капли rрязной воды, попадающие на лобовое
стекло, вначале ре растекаются по нему из-за недостаточноrо сма.
чивания cyxoro стекла. «Дворники» же делают все стекло мок-
рым, а попадающие на мокрое стекло капли rризиой воды растека-
ются по нему, резко ухудшая видимость.
2.33. Керосин очень хорошо смачивает практически все тела,
поэтому пылинки, поп ав на ero поверхность, сразу тонут, а не
}'Аерживаются силами поверхностноrо натяжения, как например,
на воде. Хорошие смачивающие свойства керосина приводят и К
тому, что емкости. rде он хранится, покрываются пленкой керо-
сина и снару.ыи, а внизу обычно образуется и небольшая лужица
керосина. Аналоrичная ситуация возникает и с растительным мас-
158
ДОi\I вспомните: достаточно взять бутылку, куда налили масло, IJ
руки потом надо мыть. .
2.34. При рыхлении почвы происходит частичный разрыв ка-
пилляров, а те, что остаются,. преимущественно приобретают кони-
ческую форму сужаются книзу.
А куда будет двиrаться капелька воды, помещенная в кони-
ческий капилляр?
При условии смачивания водой стенок капилляра капля стре-
мится занять такое положение, коrда площадь контакта вода
стенки капилляра будет максимальна.
Это реализуется при движении капли в сторону узкоrо конца,
капля при этом сильно вытяrивается и площадь ее боковой поверх-
ности растет. Таким образом, при рыхлении почвы вода по воз-
никающим коническим каПJ;iллярам уходит в rлубь почвы, что и
способствует ее более долrому сохранению в почве.
2.35. При наrревании воды коэффициент ее поверхностноrо
натяжения уменьшается, а значит, сила поверхностноrо натяжения.
действующая со стороны холодноrо конца, будет больше.
В результате вода в капилляре будет перемещаться в сторону
холодной области.
Это свойство жидкостей в капиллярах мы часто используем в
быту. Например, если хотят просмолить лыжи, на них наносят
слой смолы, а затем снаружи Проrревают в результате смола
проникает в rлубь древесины. Также поступают с лыжными ботии-
ками при их пропитке водоотталкивающим составом их Harpe-
вают сна РУЖИ.
2.36. Капля отрывается от конца пипетки в тот момент, коrда
сила поверхностноrо натяжения уже не может уравновесить СИЛУ
тяжести капли.
С ростом температуры воды коэффициент ее поверхностноrо
натяжен-ия, а значит, и .сила поверхностноrо натяжения, умень-
шаются. Причем уменьшаются довольно заметно примерно на 20"
при повышении температуры от 20 до 100 ос. Таким образом, вес
rорячей капли меньше, чем холодной, а число rорячих капель,
наоборот, больше.
Заметим, что при наrревании происходит еще один процесс.....
Nменьшение плотности воды (связанное с ее расширением). Это
обстоятельство, вообще rоворя, иr- ,
рает противоположную роль. Но об- О .
условленный им эффект, из-за малоrо
КОЭффdциента тепловоrо расширения
воды, оказывается rораздо слабее пер-
Boro и практически не проявляется.
2.37. При вращении капилляра
мениск в вертикальном колене ста-
новится BorHYTbIM, а в rоризонталь-
Ном....... выпуклым. Предельные фор-
мы менисков (Kor да вода еще не
выливается)...... полусферы. В этот мо-
мент давление в точке В (рис. 152)
равно PB==2a/r, а в точке A PA ==
==pgh 2a/r .
Пусть со предельная yrловая скорость вращения капилляра.
Разобьем мысленно rоризонтальное колено на N отрезков малоЙ
длины Ах== 1/ N (L\x < 1). Рассмотрим два малых капилляра, содер.
жаЩИ}Q воду массой Ат== 1tr 2 p x, находящихся на расстояниях.
1 +1
о
\
Рис. 152
159
от середины колена. Запишем уравнения дви}кения этих элементов:
/1тro 2 ( x ) ==(Pj+1 Pi V 1tr 2 ,
/1тro 2 ( +х ) ==(Pq+1 Pq t) 1tr 2 ,
rде Pi--l (Pq...f.) и Pi+i ( q...f.) давление на эти элементы соответст-
венно слева и справа. Число таких пар, очевидно, равно N/2. Про-
суммировав все аналоrичные уравнения, получим
N
2 тoo21== (PB PA) 1tr 2 ,
следовательно,
poo2l2 4а
----r==,.----pgh.
Отсюда находим 00:
, /' (80'/ ()........ 2pgh
00 == JI pl2 ·
2.38. После Toro как в точке А оказывается поверхностно
активное вещество, оно распространяется по поверхности воды
910 энерrетически выrодно, так как снижает поверхностную энер-
rию. Однако веревки препятствуют ero распространению.......макси.
мальная площадь поверхности при условии оrраничения перимеТRа
области paBHoro (t+ l .) будет у Kpyra радиуса R== 'l/l;: 2 ,
/. Конфиrурация веревок при этом
l1/ 2 показана на рис. '153, а, третья
веревка не будет натянута.
Найдем теперь натяжение
веревок, составляющих образо.
вавшуюся окружность.
Рассмотрим небольшой эле.
мент веревки, видный под уrлом
а из центра окружности.......е ro
длина l == Rrz, а результирующая
действующих на Hero сил натя.
жения веревки Т равна Та и
направлена к центру.
Действие сил натяжения веревки уравновешивается силой по-
( (J ) n ........ 1
BepxHocTHoro натяжения р н === (J.......n l==(J n Ra, т. е. Та ==
n l n........l
== (J Ra, откуда находим Т==(J R. Подставляя числовые
n n
8начения, получаем, что сила натяжения веревок составляет Т
O,017 Н.
В случае коrда и в точку В капнули поверхностно активноrо
вещества, конфиrурация веревок будет такой, как показано на
рис. 153, б. Нетрудно сообразить, что короткая веревка натянута
ре будет......ее длина больше, чем диаметр образованной двумя оди-
наковыми веревками окружности. Натяжение веревок, обраЗУЮЩИJi
n----l li
окружность Т' == (J ......... 2 .
n 1t
а
т
Рис. 153
5
160
2.39. Присутствие масляной пленки на поверхности моря при..
водит, во-первых, к уменьшению поверхностноrо натяжения, а
во-вторых, и к уменьшению силы трения на rранице воздух вода.
Оба эти фактора способствуют сrлаживанию водяной зыби. Неод-
нок ратно также описывалось в морской литературе, как небольшое
количество масла, вылитоrо на поверхность моря, преобраэовывало
волны прибоя с пенистой «опрокидывающей» верхушкой в rладкие
волны, что помоrало шлюпкам блаrополучно достичь береrа.
2.40. Причиной мерцания пламени является, очевидно, нерав-
номерность поступления rорючеrо спирта. Это имеет место, коrда
спирт кончается.
Действительно, коrда спирта остается мало, начинают сказы..
ваться, помимо капиллярных сил захвата) rорючеrо фитилем,
силы взаимодействия спирта с дном и стенками спиртовки (силы
поверхностноrо натяжения). Перебои в поступлении rорючеr()
MorYT возникнуть и из-за наличия всякоrо рода «rрязи», нахо-
дящейся, как правило, на дне спиртовки.
Итак, в некоторый момент времени спи рта, поступающеrо
к пламени по фитилю, не хватает для поддержания устойчивоrо
размера П.'1амени, и пламя как бы пропадает; рднако а следующий
момент поступает «избыток» спирта, и происходит резкое увеличе..
ние пламени, сопровождающееся треском. \
Как правило, при диаметре фитиля 2......3 мм такие мерцании
с потрескиванием возникают, коrда длина фитиля составляет не..
сколько миллиметров, причем, чем короче фитиль тем чаще
происходят вспышки, сопровождзющиеся треском.
<>
2.41. Плохая теплопроводность тряпки или матер.
чатой варежки обусловлена низкой теплоп роводностью воздуха,
находящеrося между волокнами ткани. Теплоп роводность воды
выше, поэтому, если заменить в тряпке воздух на воду (т. е. на.
мочить тряпку), можно сильно обжечь руку.
2.42. К сожалению, этот простой метод сравнения теплопро.
водностей нельзя считать правильным. И Bor почему.
Время, за которое верхняя часть цилиндрическоrо образца
наrревается до температуры плавления воска, конечно же, тем
меныле, чем больше теплопроводность. Однако это время зависит
также и от теплоемкости материала цилиндра...... чем она больше,
тем больше время (большее количество теплоты) потребуется, чтобы
HarpeTb образец до соответствующей температуры. Таким образом,
цилиндр из материала с большей теплоемкостыо будет разоrре..
ваться медленнее, чем цилиндр из материала с небольшой тепло-
емкостью и чуть меньшей теплопроводностью. Именно так проис..
ходит в случае с висмутом и желеаом.
Оказывается, предлаrаемый метод позволяет сравнивать друrие
тепловые ха рактеристики материалов, а именно их температуро-
проводности. Это тоже важная физическая величина, которая ха-
рактеризует скорость изменения т.емпературы вещества. Коэффи..
циент температуропроводности ПРОIIорционален отношению коэф"
фициентов теllЛОП роводности и теплоемкости.
2.43. Это совсем простая задача...... из словия ясно, что мощ"
ность наrреваlеля равна мощности, рассеивающейся в окружаю..
щее пространство (темпераrура воды со временем не меняется).
Значит, если наrреватель выключить, то отдаваемая мощность
6 А. И. Бузднн И АР,
161
составит 100 Вт и на один rрадус вода остынет за время
cт T
't == ::::::: 42 с.
р
2.44. Полное количество тепла, излучаемоrо в окружающее
пространство, осталось прежним, так как оно определяется энер--
rовыделением аппа ратуры станции. Поскольку вовне излучает лишь
внешняя оболочка, ее температура равна начальной температуре
станции Т == 500 К. Экран, однако, излучает такое же количество
тепла и внутрь. Таким образом, полный подвод тепла к станции
равен теперь 2Q (к тому, что выделяют приборы, добавляется
излучение внешней оболочки) Из условия тепловоrо баланса «старая»
оболочка станции т.акже должна отдавать количество тепла 2Q t
откуда температура внутри станции удовлетворяет условию
Q Т4
2Q == т; ,
откуда находим
4/
Т х == V 2Т =:::: 600 К.
2.45. Вопрос задачи, по существу, сводится к следующему:
какое тело, белое или черное, сильнее излучает при одинаковой
темпе рату ре?
Чтобы ответить 113 втот вопрос, давайте мысленно поместим
в теПЛОИЗ0ЛИРОJJ(lIIlr У!О полость с абсолютно отражающими стен-
ками белое и черIIое q:iJl ; на rpeTbIe до одинаковой температуры.
Черное те;то r:с .тrощае'1' адающее на Hero излучение HaMHoro эф-
фективнее, че 1 6{: 'ioe Тело.
В результате, казалось бы, черное тело должно H3f реваться,
а белое охлаждаться; Т. е. будет самопроизвольно происходить
перенос тепла от более холодноrо тела к более rорячему Это,
однако, противоречит второму закону термодинамики. ВЫХОД из
противоречия состоит в том, что черное тело не только сильнее
поr лощает, но и сильнее излучает....... в этом случае разность темпе-
ратур между белым и черным телами в полости не появится и про-
тиворечия с законом тер\iодинамики не возникнет.
Вывод о более сильной излучательной способности черноrо
тела rоворит о том, что в белой шубе будет теплее.
2.46. Обозначим коэффициент пропорциональности между рас..
сеиваемоЙ на резисторе мощностью и разностью температур рези..
стора и окружающеrо воздуха сх. Тоrда, поскольку при Тз ==80 ос
сопротивление резистора равно Ri, а напряжение на нем и 1 , рас..
иi
сеиваемзя мощность равна R 1 ' и мы можем записать
и 2
R: == а (Тз........ То). О)
При повышении приложенноrо напряжения температура рези-
ctopa растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении
тока мощность. Коrда температура достиrнет значения Т 1 == 100 ос
сопротивление резистора скачком веJIИЧИТСЯ в два раза. Выделяе-
мая на нем мощность меньшится, и, если напряжение не очень
велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем ее выделение.
Это приведет к падению температуры дО Т 2 ==99 ос, но тоrда сопро-
тивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс
6*
163
вачнет повторяться. Так,им образо , в цепt1 возникнут колебаниs.f
тока, связанные со скачкообразнои зависимостью сопротивления
резистора от температуры
Температура резистора во время этих колебаний почти по-
стоянна (она изменяется в пределах от Т 2 ==99 ос дО T 1 ==100°C),
так что можно считать теплоотвод ПОСТОЯННЫ\1, и отводимая мощ-
ность составляет а (Т 1 То). Тоrда, вводя '1'1 время HarpeBa (ot
99 до 100 ОС), 'Т2 время охлаждения и '1'1 + '1'2 == Т период колеба-
ний, можно написать уравнения тепловоrо баланса:
U 't11 Rf == а (Т i..... Т о) '1'1 + с (Т i Т 2),
U 't2/ R 2 ==a (Т1 То) '(2 C (Тl Т 2 ).
Используя найденное из (1) значение а, находим
C(T1 T2)
'1'1 == 2 2 '
U 2/ R....... U 1 (Т 1 Т о)![ R 1 (Тз....... Т о)]
с (Т 1 Т 2)
'1'2 == 2 2 ·
U 1 (Tl....... T o )/[R 1 (Тз То)] и 2 / R2
(2)
Подставляя числовые значения, получаем
'1'1 == '1'2 == 3/32 с О, 1 с, Т О ,2 с.
,
Максимальное и минимальное значения тока леrко находим;
так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется
от Ri==50 дО R 2 == 100 Ом; слеДоватеЛЬНО t
1 max == и 2/ R 1 :=:; 1,6 А, 1 min == и 2/ R 2 == 0,8 А.
Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая
в sвдаче ситуация 0т:вечает фазовому переходу l-ro РQД.а, в мате-
риале, из KOToporo сделан резистор. При наrревании при темпе-
ратуре Т! == 100 ОО происходит переход материала в новую фазу
(этот переход, например, может быть связан с перестройкой кри-
сталлической решетки материала резистора). Обратный переход
происходит при более низкой температуре Т2==990С это явление
так Н8зываемоrо rистерезиса, свойственноrо фазовым переходам
I..ro рода.
2.47. Поскольку нижний конец трубы поддерживается при
температуре Т i > Т nJIt QyrYH внизу будет расплавлен. Темпера-
тура rраницы между расплавленным и твердым чуrуном, естест-
венно, равна температуре плавления Т пл.
Так как температура BepXHero и нижнеrо концов трубы под-
держивается постоянной, количество тепла, проходящеrо за еди-
ницу времени через поперечное сечение трубы, в любом месте
трубы должно быть одним и тем же. Друrими словаМИ t поток тепла
через расплавленный и твердый чуrун должен быть одним и тем
же. (Кирпичная труба плохо проводит тепло, и теплообменом через
ее стенки можно пренебречь.)
Поток тепла пропорционален теплопроводности, площади попе..
речноrо сечения и разности температур, приходящейся на единицу
длины. Пусть ll..........длина нижней части трубы, rде чуrун расплав-
лен, а 12......... длина верхней части, rде чуrун находится в твердой
фазе. Условие постоянства потока тепла запишется тоrда в виде
(сечение трубы постоянно)
Ti........ Т пл Т ".'1 Т 2
Х Ж 11. "'тв 12 '
164
rде Х ж и ХТВ теплопроводность жидкоrо и твердоrо чуrуна соо1'-
ветственно. Учитывая, что 'Х Ж == kX TB , находим
1 [ k Т 1 Т ПJL
.1 2 Т Т ·
ПЛ 2
.Полная длина трубы равна [1 + [2; значит, в расплавленном состоя.'
нии находится
li k (Т 1 Т пл)
часть металла.
11 + 12 k (Т 1 Т пл) + (Т пл т 2)
2.48. За одну минуту чайник остывает на L1ti :=0,200. Кo.I8.'
чество тепла. «теряемое» за это время чайником, равно
L1Ql==Cт L1t 1
(с удельная теплоемкость воды). Если в минуту в чайник Кап....
п капель, то количество тепла, передаваемое ими воде в чайник...
равно
L1Qa== пткс (ta ti).
Условие постоянства температуры воды в чайнике ......L1Qi :::aAQ., "....
ст L1t 1 ==пткс (tl tl)'
Отсюда находим п:
т L1t,
п== t lt 20 капель в минуту.
m к 2 1
Если капать не п, а 3п капель в минуту, то вода 8 чайннке
наrреется за одну минуту на
At 2 3dQ2 AQi 2Atl==O,40C.
сm
2.49. Будем считать, что температура воды величива т . ....
равномерно за счет увеличения теплоотдачи с рвстом темп.рат"..
Чтобы учесть влияние теплоотдачи, проследим, как меняете. ПР":
ращение At температуры за L11:== 1 минуту работы Barpe8aТU8 .'
зависимости от температуры воды trемпературу будем 'рать среДИD.'
6 "
ж: +
s '1
u
о I I
I I
I I
I I "
I I I
'10
Рис. 154
fil1
между значениями ее в начале и в конце кажАОЙ минуты). Пост-
Ы
роим ПО данным условиям rрафик зависимости A't ' Как видно
из rрафика (рис. 154), все точки хорошо ложатся на ПРЯМУЮ,
пересекающую ось температур в точке t Kp ==85 ос. Ясно, что если
..аже закон теПЛООТАачи не изменится (а с ростом температуры
испарение должно увеличиться, что увеличит теплоотдачу), вoJt:a
наrреется только до 85 ос и, следовательно, при нормальных уело-
ииях не закипит.
Из этоrо же rрафика ВИДНО, что при температуре ti == 50 ос вода
8а ОДНУ минуту наrрела сь на З,5 ос, а без теплоотдачи она Harpe-
пась бы на 6,5 ос (температура окружающей сре.аы 20 ОС). Значит,
если при температуре 50 ос отключить наrреватeлh. то за 1 минуту
вода остынет на зос.
2.50. Тепло, получаемое водой от наrревателей, компенсирует
тепловые потери теПJJО, отдаваемое аквариумом в окружающую
среду. МОЩНОСТЬ потерь зависит от разности температур ВОДЫ
D аквариуме и окружающеrо воздуха. Если эти температуры не
меняются. то и мощность потерь ост.ается неизменной.
Обозначим секундиый расход воды в первом случае (включен
ОДИН яаrреватеJlЬ) Ат. Torдa
Р ==с Ат (tg----tt)+q,
(1)
rде q мощность потерь. Во втором случае (включены два иаrре-
вателя параллельно) мощность возрастает в два раза, и
2Р == с. 3 /!,.т (/2...... t 1) + q. (2)
Из (1) и (2) сразу можно получить
ч== l/gP.
Но В том случае, коrда спирали будут ВКЛlоченЬ1 роследовательно,
выделяемая ими мощность составит как раз Р/2. Значит, в этом
случае холодную БОДУ следует отключить.
Теперь из ур нений (1) и (2) найдем расход воды за секунду
при условии, что включена одна спираль:
Ат== р 100 7.10"" .
2с (t2 t 1 ) 2.4,2.}()З.17 с с
2.51. Разобьем пластинку на одинаковые маленькие участки
(на рис" 155 таких участков 130). Понятно, что мощность Р рас..
(
;'
/ ..... "
, , ........... "' "111"
I / ".. .......... "' \. ,
I I ' " 600 С). 500 С \ IJ:O° с 1...-
· 70 0 с. '
, \.. I
'" / J
""IiII ........ ...."""
........ ....... .... 'tI'
'" --'
..... .....
Рис. 155
сеиваемая пластиной, равна CY\iMe Р; мощностей, рассеиваемы
отдельными частками.
169
м.ОЩИОСТIt, которая уносится с каждоrо частка
Pi==a. I1t j,
rде At i разность температур участка в воздуха, а......Коэффициен...
пропорциональиости. С К8ждоrо участка равномерно наrретой пла-
стины носится одна и та же МОЩНОСТЬ:
р
р== 130 == ar (t i..... 1.1).
Тоr..з
а,
р
1 зо (t i ....... t в 1)
10 Вт ..., Вт
130.50 ос == 1,54-10 ОС '
Для оценки мощности, рассеиваемой неравномерно и.rретой
пластиной при температуре воздуха ЗО ос, БУАем считать, что тем-
пература участков, лежащих между изотермами 60 00 и 10 ОС. равна
65 ос (для 9ТИХ участков А' == 35 ОС), между И8ОТермами 60 ос 11,'
50 Ос......55 ос (At ==25 ОС), и т. Д. Тоrда полную мощность, рассеи-
ваемую пластиной, можно найти так:
Рl == 1,54- IO ' (45.4+35.17 +25.30+ 15-60+5.20) Вт==
== 1,54-10"'.2525 Вт :::$ З,9 ВТ.
ДЛЯ оценки точности этоrо результата можно посмотреть, ка.
влияет на результат веточность оценки температуры «долей. пла-
стины. Возьмем вместо 65 ос......в7.5 ОС. вместо 55 ОС---57,5 00 в т.. ...
Тоrда
р верх 1,54-10"" (47,5.4+37,5.17 +27,5-30+
+17,5-60+7,5.20) 4,4 Вт.
Оценку сразу получим, взяв заниженные температуры:
р ниж 1,54.10-- (42,5.4+32,5.11 +22,5-30+
+ 12,5.60+2,5-20) 3,4 Вт.
Итак,
Pi:= (3,9 :1: 0,5) Вт.
Конечно, мы сильно «завысили» возможную неточность определе-
ния температуры. Однако нужно понимать, что эта неточность.....
не единственная (да и не самая важная) причина поrрешностей
нашеrо расчета . Условие sадачи идеализировано, оно не fчиты-
8ает конвекции воздуха, которая может сильно изменить результат.
2.52. При наrревании и воздух, и вода расширяются. Если
трубка не запаяна, то этому расширению ничеrо не препятствует.
Понятно, что пузырек воздуха .при расширении вытесняет часть
воды из каждоrо сосуда; архимедова сила величивается и сосуды
всплывают. При охлаждении все происходит наоборот.
Если же трубка зап аяна, то общий объем воды и воздуха
остается практически неизм нным. так как тепловое расширение
стекла HaMHoro меньше, чем воды_ Сжимаемость воды существенно
меньше сжимаемости воздуха, поэтому в данном случае при Harpe-
вании вода будет расширяться, а пузырьки воздуха сжиматься.
Поэтому при наrревании BToporo (запаянноrо) термоскопа сосуды
тонут.
2.53. В сильный мороз вода в. ведре может довольно быстро
замерзнуть, Образование льда начинается на поверхности воды и
167
вблизи стенок ведра. Если на поверхности образуется толстый и
прочный слой льда, то при дальнейшем замерзании воды из-за
увеличения объема при переходе вода лед может возникнуть де-
формация ведра или даже произойдет ero разрыв.
Закрывая ведро rазетой, удается уменьшить охлаждение с по.
верхности и в этом случае замерзание начинается в нижней части
ведра и опасные деформации не возникают. .
2.54. Изменение температуры приводит , блаrодаря тепловому
расширению, к изменению длины маятника, Что, в свою очередь,
сказывается на точности хода. В часах описываемой конструкции
удается преодолеть этот недостаток. Ltействительно, например,
при повышении температуры длина маятника увеличивается, но
ртуть, увеличиваясь в объеме, поднимается вверх по трубке, что
при подборе объема ртути и диаметра трубки дает возможность
сохранить постоянным расстояние от точки подвеса маятника до
ero центра тяжести. Именно зто расстояв ие; а не длина маятника
определяет в данном случае период колебаний, а значит, точность
хода.
2.55. Из-за неизбежных небольших неоднородностей и шеро-
ховатостей, контакт между лопаткой и бруском осуществляется не
по линиl1, а в ряде точек. Именно в этих точках будет происхо-
дить более интенсивное охлаждение медной лопатки и, блаrодаря
эффекту тепловоrо расширения локальная 10лщина, лопат и здесь
окажется мецьше. В результате точка контакта перем стится в дру-
roe место, после этоrо ситуация повторится. Таким образом, точки
контакта наrретой лопатки и бруска все время перемещаются, это
приводит к небольшим смещениям лопатки, которые и сопровож-
даются звуком.
Колебания аналоrичноrО типа иноrдв возникают, коrда чайник
стоит на конфорке электрической плиты.
8. ЭЛЕ ТРИЧRСТВО И млrнвтиэм
3.1. При последовательном соединении амперметр
.оказывает ток, текущий через лампу. По условию задачи ток
через лампу равен номинальному току 1 н ==0,2 А, на который рас-
сатана лампа. Следовательно, в первом случае напряжение на
лампе равно номинальному зна-
чению и и == 2,5 В. Тот факт, что
при параллельном соединении
пампы и амперметра лампа на-
калилась так же, как и в первом
случае, означает, что ток, теку-
щий через лампу, равен поми.
нальному и на!lряжение на лам-
Рис. 156 пе в па амперметре равно но-
минальному.
Запишем закон Ома ДЛЯ обоих случаев coeJIииения.
При последовательном соединен ии (рвс. 156, а)........
tfj==t и (R+r>+U., (1)
fAe R сопротивленне проводов, ' СОПРОТИВJIение амперметра.
При нараллельвом соединении (рис. 156, 6)........
G:::.(/H+l х) R+U и ,
fAe 1 х........ТОК, текущий че f ез амперметр. Учитывая, что ,1 == и н,
преобразуем уравнение ( ):
8==1. (R+!f;)+U..
Решая совместно уравнении (1') в (2), находим ток 1 , текущий
через амперм,етр при парамельном соединенни лампы и ампер-
мет ра:
R
а.
j
(2)
(1 ')
'3&== У /и::и ==0,5 А.
3.2. При последовательном подключении J1Вyx одинаковых лам-
почек напряжения на них будут одинаковы, а так как суммарное
напряж пие равно 5 В (напряжение мощноrо источника Не меняется
при подключении к нему наrрузки), то на кажмI из лампочек
окажется 2,5 8.
Во втором случае напряжение на лампочке, которая rорит
полным накалом, равно 3,5 В, знаqит, на второй (и на ПОДКJlючен.
ном к пей резисторе) напряжение составляет 5 3,5== 1,5 В. По
вольтамперной характеристике на-
ходим токи через лампочки при
напряжениях 3,5 В и 1,5 В.....они
составляют 0,28 А и 0,22 А. 3Ha
чит, ток через резистор равен 0,06 А
(разность токов лампочек) и по за-
кону Ома можно найти
R==1,5/0,06==25 Ом.
Теперь ПОСМ01рИМ, переrорит
ли лампочка в последнем случае
(рис, 157)...... ясно, что речь может идти об «одиночной» лампочке.
Пусть напряжение на ней составит 4 В (предельное значение). Ток
при этом примерно равен 0,28 А. При токах 0,14 А (половина)
напряжение на лампочках, ВКЛIоченных параллельно, составило бы
58
Рис, 157
170
(),7 В, Т. е. оредельноrо значения 4 В напряжение на ОДИНО'lноl
.рампочке достиrло бы при напряжении источника 4,7 В. 3Н8'IIIY.
при напряжении источника 5 В лампочка должна neperopeTb.
3.3. Обозначим напряжение, которое вначале показывает ВОЛЬТ-
метр, и, ток амперМетра........./, внутреннее Сf)противлеRиебатареи rt
сопротивление амперметра r л- Тоrда АЛЯ тока через ампермnр
МОЖНО ааписать соотношение
.....u
1== .
,+r д
После тoro, как показания амперметра УDeЛИЧИЛИСЬ в 2 раза, .
покаэание вольтметра в 2 раза уменьшились
21== <8 UI2 .
'+'А
Разделив второе уравнение на первое, получим
2-== <8 U /2
lJ......и
2
или U==з- G ==6 В.
3.4. Схема питання может преАСТ8ВJ1ЯТЬ собой просто делитеа
напряжения, состоящий из резисторов R 1 и R. (рис. 158), сопpCJ-
тивления которых мы сейчас рассчитаем. ЯСНО, что величины R 1 в
R 2 должны быть достаточно малыми, чтобы при значительном изме-
нении R H напряжение меНЯJlОСЬ Н
() мало. Из условия задачи не совсем 1
ясно, от чerо берется 1 %, однако
это не очень существенно: БУАем
считать для определенности
и min == О,99и шах, U IDЗХ == 20 В.
(если бы В l.СЛОВИИ была цифра, PIIC. J58
скажем, ЗО ", пришлось бы акку-
ратнее формулировать ......оТНосителЬНо какой именно величины
нужно брать 30 % ........средвей, максимальной .обо какой.нвбуАЬ
еще.......от 9Toro существенно зависели бы получающиеся результаты).
R.Rmln ( D + RzRmin ) --!
Umin==U(Rnmin)==Uo (Rs+Rmin) Цl R2+Rmill '
и RaRmax (R + R"Rmax ) ],
Umах==U(RишаxJ=: 8 (Rs+RlUx) 1 R2+Rmax 9
Отсюда
1МВ
1/2
(
R R 0,01 (1+R 2 /R 1 )
,== шах O,99(RmaxlRmin) I
Кроме Tora,
1+R21Rt
о 98 ОМ.
,
R i R шах
и шах == и о Rl (R,+ Rmax)+R2 R max t
отсюда
и о == ==1+ Ri ( 1+ Rs ) .
и тах 20 RJ Rroax
171
Окончательно Rl 1,26 Ом, R з 5 Ом, КПД получаеТСJJ очень.
202/100 о
малым: 11mln == 1002/6,25 0,25 .
3.5. Рассмотрим два возможных случая. перВый.......ТоК пал
, Ава раза, направление тока осталось прежним; второй ток упал
D два раза, и направление тока изменилось на противоqpложное.
В первом случае ясно. что в коробке должна быть батарейка
(без этоrо направление тока при переключении должно стать
А
а
6
Рис. 159
противоположным). Простейшая возможная схема в этом случае
батарейка с ЭДС <8 х и последовательно с ней сопротивление Rx
(рис. 159, а). Тоrда имеем
fCx+I,5 1 А ,8х.......l,5 05 А
Rx ==. Rx , ..
Отсюда
о 7
<8 х==4,5 В." Rx==6 ОМ.
В Rx может входить и внутреннее сопротивление батарейки.
Второй случай существенно «боrаче» возможными схемами.'
Кроме батарейки с резистором (в этом случае l/ х==0,6 В, Rx==2 Ом),
возможны схемы снелинейными устройствами.......диодами. транзисто-
рами, реле и т. д.
Одна из простейших схем приведена на рис. 159, б. При одной
полярности приложенноrо ко входу напряжения диод открыт;
сопротивление КОрQбки составля-
J ет 1,5 Ом. При изменении поляр-
ности диод зак рыт, и соп ротивле-
ние коробки равно 3 Ом.
3.6. Простая схема из одниJC
резисторов может выrлядеть так,
" как на рис. 160. Тут R можно
выбрать любым. При подключении
батареи к точкам 1 и 2, напряже..
ние между точками 3 и 4 оп ре..
делнется делителем R и R, а если подключить батарею к точ"
кам 3 и 4, напряжение между точками 1 и 2 будет задано делите..
лем R и R/2.
Попробуйте сами придумать схему проще (но нам кажется, что
\у вас ничеrо не получится).
3.7. В первом случае напряжение на выходе больше, чем на
входе, следова rельно, внутри ящика обязательно есть бата рейка
(МЫ считаем, что сложных электронных схем внутри нет). В общем
случае подойдет схема (рис. 161, а) '1
н
2
Рис. 160
172/
R B R8
Выбирая U о и отношения Ri и R; j можно удовлетворRТ
любым «наборам» напряжений. Запишем уравнения. Для Ui (между
I и 2) и U 2 (между 3 и 4):
(Ui+ и о ) R 2
R2+RB и 2 .
Для Ив (между 3 и 4) и и 4 (между I и 2)
(UB Uo)Ri
R R U 4'
1+ в
После просты преобразований
R з == Ui+Uo .......1'
R2 и 2
R B U В U о .......1.
Ri и 4
Для Toro чтобы существовали искомые соотношения : и ,
правые части должны быть положительны, т. е.
иo U2 иl==5,
иo<и8 и4==7.
(Для друrи значений; возможно, понадобится изменить З1fак и о'
Т. е. включить батарею наоборот.)
В нашем случае можно взять любое вначение 5 В < u о < 7 В.
R3 R3 2 R
Например, для и о ==5 В получим R;==O и Rl ==-З' т. е. 2==OO,
этот резистор можно просто неl1ключать, Rз==Ri, Ri==I,5R. Если
отнестись к задаче не очень серьезно, то можно предложить забав-
ный вариант, Nдовлетворяющий условию формально (рис. 161; 6).
1
З"7 J
Н 2 д(
II 2.:.:т L'I
о
2
а.
Рис. 161
Рис. 162
«Достоинством}) 9ТОЙ схемы является то, что напряжения на
выходных контактах вообще не зависят от Toro, что подключено
ко входным.
3.8. Приборы нужно подключить так, как показано на рис. 162.
Точки О, и В при таком подключении будут иметь ОДИflаКQВЫ
потенциалы (сопротивление амперметра мало, и падением напряже-
ния на нем можно пренебречь). Следовательно, через резисторы,
включенные между точками О, А и В, ток идти не будет Это озна
чает, что ампеР!dетр покажет ток, идущий через резистор, включен-
ный между точками О и С. Вольтметр покажет падение напряжения
173
на ЭТОМ реЗИСТоре. Разделив покаэание вольтметра на показание
8ImepMeTpa, найдем сопротивление резистора.
Такой способ rодится, если сопротивление амперметра иамноrо
меньше, чем сопротивления резисторов в схеме (идеальный ампер-
метр подошел бы лучше Bcero, жаль, что таких амперметров не
бывает). Для любителей и знатоков электротехники ясно, что мы
-закоротили» амперметром не интересующие нас резисторы, чтобы
токи через них оказались прене-
брежимо малыми.
3.9. Ток 13 (рис. 163) через
:А 2 112 вольтметр в 2 равен разности то-
ков, протекающих через ампер-
метры А 1 и А 2
Рис. 163 13 == /1 I 2 == 0,2 м А.
При этом показания вольтметра
B, и2==O,25 В. Следовательно, сопротивления вольтметров 8.
н 81
RBa==RB2== U 1 /la == 12,5.102 Ом.
ТОК, текущий через вольтметр 81....... Т 1 == 1,1 мА; при этом вольт-
метр 81 показывает
и 1 == /IR B1 == 1,375 В.
противления амперметров одинаковы и
RAt == RA2 == (j ,) J! 2,71.102 ОМ.
Напряжение U з на амперметре Ai
U з ==llRАt 0,305 В.
Напряжение на батарее равно сумме напряжений И 1 , И 1 , ИЗ
Uб==Ui+U.+Uа 1,93 В.
3.10. Изменения тока при переключении амперметра малы. Зна-
чит, можно считать, что изменение тока в цепи при подключении
ампе рметра мало и пропорционально изменеНИIО полноrо сопротив-
ления цепи, т. е. tJ./ ==аRобщ, rде а.......Коэффициент пропорцио-
11 JЛЬНОСТИ. Но tJ.Rобщ==R А (Rл сопротивление амперметра). На
разных пределах сопротивление амперметра разное.
Если J о........Ток В цепи до подключения амперметра, то
l i == 10....... J i == aR А 1 '
tJ./ 2 == /0........ J 2 == aR А!'
rде R Л1 .......сопрОтиВJIение амперметра на пределе 10 мА, RA........Ha
А R А 1 3
пределе 3 м . чНТыВаяJ что т== 10 ' из (l) получаем
А.
1 О ......./ i 3
==....... ,
10 J9 10
(1)
откуда
1 ........1 О 1 {....... З/ t 2 97 А
о 7 , м.
3.11. Для t'oro чтобы найти неизвестиое сопротивление Rx.
lостаточно знать результат первоrо изме НИJl (при последова-
114
тельно включенном O\.fMeTpe). Если омметр показывает ИУ.fJЬ t ТО
напряжение на ero зажимах равно нулю, а ток в цепи равен f ==
lmax 1 мА. Следовательно. неизвестное сопротивление резистора
равно
Rx==B/lmax==4,5 кОм.
(Батарейка для KapM8HHoro фонарика рассчитана на ток ,...., 200 +
+ зоо мА; значит, при токе 1 мА падением напряжения на ее
внутреннем сопротивлении можно пренебречь).
По результатам BToporo измерении (бесконечно большое сопро-
тивление) видно, что ток через омметр не течет и суммарное напря-
жение в цепи батарейI<а.........оММетр равно нулю. Значит. напряжение
на источнике тока в омметре равно напряжению на зажимах бата-
рейки и равно <с == 4,5 В"
3.12. Вольтметры одинаковые, ВН8ЧВТ, отношения токов, про-
текающих через них, равны отношению напряженнА па вольтмет-
рах (Т. е. их показаний). Обозначив сопротивление каждоrо ре..
знстора R, запишем
Из== U2 RJз,
U а == иi R (/1+/8).
После простых преобразований получим
/t+/з иl+u з Ul ИI
13 и а U2 и"
или
2 2
и 2........ И S == и 1 из........ и 2 и З,
2 2 О
и 2 + u.u з ...... из u 1 и з == t
и2== iI +V U /4+U +UIU2== 4+12.6==8,6 в.
3.13. Ток, текущий через амперметр Af; равен сумме токов,
t'екущих через вольтметр Bi и амперметр A J ; Т. е.
1 i == / в, + J 1,
следовательно. ток, текущий через вольтметр Bfj равен
/ в, == I i ......../, == 0,3 мА
и сопротивление вольтметра
и! 9,6
R== / В 1 == 0'3.10....8 Ом ==32 кОм.
По условию задачи все вольтметры одинаковые; Т. е. сопротивле-
ние К8ждоrо из них з2 кОм.
Запишем сумму напряжений, показываемых всеми вольтмет-
рами:
50 50 50
UBt== lBt R ==R IB1.
i= 1 i= 1 i= 1
БО 50
Но 1 Вt......этО ток, текущий через амперметр Ai, Т. е. / В 1 == 1 н
i= 1 1= 1
поэтому
50
UBt==R1i==304 В.
1=1
175
Метод наложения.
3.14. Для решения некоторых задач удобен метод нало-
жения. Он основан на принципе суперпозиции и подходит
только для цепей, не содержащих нелинейные элементы
(если в схеме есть, например, диод или лампа накалива-
ния, то этот способ применять нельзя). Метод наложения
используется для расчета цепей, содержащих несколько
источников ЭДС, и позволяет свести сложную задачу
к нескольким простым.
Расчет "роводят так. Чертят и рассчитывают упрощен-
ные схемы, в каждую из которых включен только один
ИЗ источников, а ЭДС остальных считают равными нулю;
при этом внутренние сопротивления «выкинутых» источни-
ков включают в соответствующие участки схем. Ясно, что
число таких схем равно числу ИСТОЧНJ{КОВ в начальной
схеме. Искомый ток в ветви находят, суммируя токи,
u
текущие по ЭТОН ветви во всех простых схемах.
Рассмотрим следующий пример. К параллельно соединенным
батареям <fJl, '1. и {J2' '. подключают резистор R. Найти ток
через Hero.
t 2
tf
T '
" 9 r,
" 9
а
R
JR
R
R
R
R
JJ8 2
8 +-------- А1
А 1 ..............
е
Рис. 164
На рио. 164, а приведены простые схеМБI. Ток; текущий через R
в схеме 164, а,
/1== <fJf. '2 == <81 '2 ____ <Ci's ,
. 'общ 1 (R+'2) 'i+'IR/('s+R) R+,. 'i,.+R ('1.+'2)
а в схеме на рис. 164,.6
<89 '1 ____ 112'11
f[ 2 == ........
'общ 2 (R+'t) '11"2
В исходной схеме с двумя батарейками ток, текущий через ре-
вистор;
1 1 + 1 111.' 2 + <82' i
== 1 2== .
'1 ' 2+R ('i+'2)
176
Для некоторых специальных задач например, для
расчета изменения тока в какой либо ветви схемы при изме..
нении ЭДС одноrо из источников метод наложения очень
удобен. Изменение ЭДС на 8.11 можно представить как
добавление к данному источнику последовательно батареи
без BHYTpeHHero сопротивления с ЭДС, равной 8.11. Понятно,
что в этом случае нет надобности рассчитывать все простые
схемы; достаточно рассмотреть только одну с ЭДС AI1.
Полученные при ЭТОl\t значения токов в ветвях и будут
искомыми изменениями токов.
На рис. 164, б представлены простые схемы для цепи, в ко-
торой Сl заменено на &С1, а <82 на &/12' rде &it2 и есть
искомое изменение ЭДС (82' Для Toro чтобы ток чер з вторую
батарею остался прежним, токи, текущие через эту батарею (т. е.
через ветви, из которых эта батарея «выкинута») в схемах на
рис. 164 должны быть равными по величине и противоположными
по направлению.
В схеме на рис. 164, а ток, текущий от батареи & i развет-
вляется, и по диаrонали получившеrося моста течет ток &/, равный
разности тока в разветвлениях
&! == Л<81 ( )
RAB 2 4
Л<81 I АВ!
5R/4 4:=2 5R ·
в схеме на рис. 164, б
A f ..... &8. ....... АВ2 ..... 4Лс88'
L.l ........ RCD 5R74 5R'
Приравнивая полученные выражения для &1, найдем &/12:
А82 == A<8i/ 4 .
Знаки изменений найдем, сравнив полярность батарей в исходной
схеме и в схемах на рис. 164. В нашем случае батарея &<8i вклю-
чена ПЕОТИВ батареи <81. (суммарная ЭДС меньше 111)' и бата-
рея Л(/)2 условно нарисована с полярностью, противоположной В.,
при этом мы получили &<8. < О.......эдG батареи В2 следует умень.
шить. Если бы оказалось, что &<82 > О, &то означало бы, что
ЭДС <82 следует Nвеличить,
Аналоrично находится изменение <82 для случая сохранения
тока через батарею <81..
Эту задачу можно решать и любым друrим способом, но метод
наложения дает, пожалуй, самое простое и наrлядное решение.
3.15. Будем считать, что все брошенные проводники попадают
на рельсы. Ясно; что вамыкания проводников между собой не
влияют на результат......соотвеТствующие точки проводников имеют
одинаковые потенциалы. Если проводник составляет уrол а с рель-
сами, то ero «вклад» в общее сопротивление
l!sln а
, ==р nd 2 /4 ·
177
Для полноrо сопротивления R о 6щ меж,u,у рельсами можно завис,т.
N N
I I ntfJ/4.sJn а; JU12 ntJ2 1
R =- k". --,:== 1 4т sinai== , N (зш.".
общ 1 I Р Р i
СреАнее значение синуса (уrол в пределах О.. .п) можно найти так'
1с
1 5 2
(sln ai)== sln а da== ,
11 11
О
тor,lU1
Rобщ== ;: ::::: 4.IO 4 Ом.
Мы подсчитали ожидаемое (<<среднее») значение Rобщ' однако
сопротивление может оескOJIЬКО отличаться от HerO B зависимости
от ТОfO, как Сllяrут» проводники на рельсы. Оценить возможный
разброс МОЖНО при ПОМОЩИ стандартных формул для учета ошибок
при ,средневии неэависимых результатов измерений. Интересно
промо.делировать «бросание проводников) на персональной ЭВ М
(при ПОМОЩИ датчика случайных чисел выбирается очередной
уrол аi распределение уrлов равномерное) и посмотреть на раз..
брос результатов.
3.16. Сумма показаний cBepxHero» 81 и «нижнеrо» 82 вольт-
метров рпвна напряжению баТареи, т. е. «нижний» вольтметр
покажет 3 В. Вольтметры одинаковые, значит, ток «нижнеrо»
вольтметра в 1,5 раза больше тока «BepXHero», Т. е. ток вольт-
метра Нз равен половине тока «BepXHero», а следовательно, ero
показания 1 вольт.
3.17. Если напряжение батареи 11 > u. (в противном случае
идеализи рованная характеристика стабилитрона нам не подойдет........
нужно будет задать ее более аккуратно при и < и о ), То можно
за писать
Uo+/R==tC.
Таким образом,
<8 ...... U.
J R ·
3.18. Если СОПРОТИВJlение R не слишком велико (СМ. решение
предыдущей задаЧИ), то можно записать
loR+ и ==с,
таким образом
U==<8 JoR.
Ясно, что такой ответ rодится только при R < <с /10'
3.19. В схеме на рис. 58, а напряжение на резисторе опреде-
ляется током в цепи. Но этот ток равен 10 (если напряжение
баlареи достаточно велико), тоrда можно sаписать
loR+ ив+ и о ==<8.
Отсюда ив ==<в ио 10R. При этом {J должно удовлетворять
условию
<с > Uo+/oR.
178
В схеме на рис. 58, б напряжение на резисторе
U R == 1 R == <8....... и..
Но ток через резистор складывается из токов через элементы В и S,
т. е.
Отсюда получаем
c иo
1 === R == J 0+ / с.
{j и о
R / о.
/с
Это верно при {J > /oR+U o . т. е. оrраничения на 11 такие же.
как и в первой части задачи.
3.20. При номинальном напряжении и н == 110 В ток, текущий
через пампу мощностью Рl==60 Вт, равен I==Pl/UH==O,5 А. При
таком токе напряжение на лам 1 мА
пе МОЩНОСТf)Ю 100 Вт. соrласно '
вольтамперной характеристике 150
этой лампы, и:::::: 55 В. Следова-
тельно, при последовательном co 7/1-8
единении двух .памп напр жение
на лампе мощностью 60 Вт дости
raeT значения номинальноrо уже
Л п ри напряжении в сети :::::: 165 В. 1,00
оэтому ясно, что при напряже-
нии в сети 220 В напряжение
н а этой лампе будет превышать
номинальное больше, чем на
10 %, и лампа переrорит. 058
3.21. Диод подключен к ис 050
,
ТОЧИИКУ последовательно с рези
сторами, сопротивление которых
Rобщ ==5,2.103 Ом.
Следовательно, в любой мо-
мент времени (при любой тем- 2 У, В
пературе) ток в цепи равен
и ид
1== R '
общ
rде и, u д""'" значения напряжения на источнике и на диоде в
данный момент.
Построим на рис. 165 rрафики зависимости 1 (и д) для трех
различных температур:
8.5 и д, 125
' 1 ==+125°0 , Ui25==8,5 В ; li25== 5,2 мА;
6 ....... U Д, 25
/2 == +25 ФС. U 25 ==6 В, 1 Ji 5,2 мА;
ф 3,875....-ао и д, 60
/з== 60 С, и.... 60 ==3,875 В; 1....60 5 2 мА.
,
Точки пересечения этих rрафиков с вольтамперными характери-
стиками диода (для соответствующих температур) определяют
напряжение на диоде и ТОК в цепи при данной температуре.
179
Из рисунка находим (разумеется, приближенно)
И д ,125 ==0,77 В, /i25 ==1,48 мА;
И д, 25 ==0,8 В, /25 == 1 мА;
И д, 60==3,875 В, 1 60==0,5B мА.
Соответствующие значения напряжения И АВ == (И д + 1 .0,2) В
между зажимами А и В
ИАВ, 125== 1,07 В, ИАВ,25==1 В, ИАВ, 60==0,94 В.
Таким образом, те 1пературный коэффициент, характеризующий
относительное (относительно И АВ, 25) изменение наПРЯЖ,ения и АВ
при изменении температуры от 60 ос дО +125 ос
а АИ АВ 7 .lO 4 (OC) l.
At И АВ,25
По сравнению с ИСХОДНЫМ температурным коэффициентом ай ==
25 · 1 О 3
::::: 6 4.10 3 (OC) l полученное значение а примерно в 6 раз
меньше.
Подумайте, как надо изменить СОПРОТ).Iвления резисторов, чтобы
. о практически полностью скомпен-
1 сировать температурную неста-
бильность источника.
, 3.22. Наклон прямой вольт-
1 6:z,'2 амперной характеристики опреде.
о ляется внутренним сопротивлени-
ем источника. Данный источник
питания как бы состоит из дву.2Q
источников С разными. ЭДС и
внутренними сопротивлениями, которые «работают» TOJlbKO В опре-
деленных диапазо ах значений и и /. Из rрафика определяем
(рис. 166): на участке 1 <81==иl(0)==6 В,
6В
'1 == 0,3 А ==20 Ом;
на участке I 1 <82 == и 2 (О) ==3 В,
3В
'2== О 6 А 5 ОМ.
,
1
Т 8 11 'i
Рис. .166
Мощность, выделяющаяся на наrрузке с сопротивлением R,
равна
<8 2 R
W R ==1 2 R
(R+,)i'
Из NСЛОВИЯ WR ==0 найдем, при каком R максимальна W R:
, <82 2<8 2 R 2R
WR== (R+')2 ........ (R+')3 0 или l R+r О,
откуда получаем R == '.
Итак, на 'участках 1 и 11 максимальные мощности выделяются
на наrрузка , сопротивления которых равны; соответственно,
Ri=='i==20 Ом, R2=='2==5 Ом.
180
Соответственно, токи в цепи долж-ы быть равны
[1 'Л 0,15 А, [2 R li2 ==О,3А.
R 1 +'l 2+'2
Обе рабочие т{)чки попадают на соответствующие участки, и, сле-
довательно, на каждом из них действительно обеспечивается мак-
симальная мощность в наrрузке.
Соответствующая максимальная мощность
W 1 == I Rl ==0,45 Вт, W 2 == I R2 ==0,45 Вт.
На рис. 166 приведена простая схема, обеспечивающая зави-
симость U (/) в цепи такую, как на рис. 61 (диод считаем идеаль-
ным). Интересно отметить, что при значительных изменениях
наrрузочноrо сопротивления мощность в наrрузке почти не изме-
няется. Это может оказаться очень удобным для калориметрических:
опытов. Подумайте сами, какова должна быть кривая зависи-
мости U от I t чтобы мощность наrрузки вообще he зависела от Rие
Источник с «отрицатеЛЬНblМ» внутренним сопротив-
лением.
3.23. MHoro интересных вопросов возникает в связи
со свойствами источников, у которых зависимость напря
жения от тока отличается от обычной зависимости U ===
== <f1 '! (<8 эдс, ' BHYTpeHHee сопротивление источ
ника). Некоторые из этих вопросов мы разберем на при
мере этой задачи.
Подключим к источнику резистор с сопротивлением R. (
Напряжение на нем связано с током простым соотноше
нием ин == RI. Там же, rде изображена зависимость и (/),
начертим прямую UH==RI. Точка пересечения rрафика и (/)
и прямой и н == RI даст нам искомые ток и напряжение: Для
обычноrо источника, у KOToporo напряжение на зажимах
тем меньше, чем больше ток, никаких проблем больше
не возникает точка пересечения одна и результат опре
Деляется однозначно. А вот для необычноrо источника,
у KOToporo на некотором участке напряжение paiTeT
с ростом тока, есть область значений R, при которых
точек пересечения целых три. Понятно, что ток не может
иметь одновременно три значения; значит, с этой областью
нужно разбираться отдельно ........ удобный rрафический спо-
соб определения тока в цепи тут явно не подходит.
Подключим к источнику сначала резистор с очень
большим сопротивлением, а затем будем постепенно
сопротивление уменьшать. Первоначальный ток в цепи
будет очень малым, и при уменьшении сопротивления он
будет возрастать. На рис. 167, а такому режиму COOT
ветствует участок аЬ, на котором значения и и 1 (И)
меняются от и а == 20 В, ! а == О до и ь 1 О В, ! ь 120 мА.
J J
Каждая точка этоrо участка соответствует устойчивому
состоянию (малые изменения тока в цепи приводят к из-
менениям напряжения, которые стремятся компенсировать
изменения тока; это характерно ДЛЯ всех «нормалъных»
цепей). При дальнейше 1 уменьшении R режим меняется
1/1
l
700 200 }{)О О
о. 1 мА
I
Рис. 167
100 200 ЗОО
о- /I MA .
скачхоr-.i ОТ и ь , lb до uc 22 В, Ic 260мА , а затем
снова «устойчивый» режим (справа от точки с ПО кри-
вой и (/).
Если мы начнем с малых сопротивлений резистора, то
при увеличении R мы дойдем до точки d (рис. 161,6),
затем скаqок от Ud 23B, ld 210мA до иe 8B,
I е 80 мА и снова по кривой U (/) ДО точки а.
А что если взять резистор', сопротивление KOTOporo
лежит в области 80 ом < R < 100 Ом (значению R 80 ом
соответствуют точки Ь и с на рис. 167, а, значению
R lОООм точки е и d на рис. 167,6, и подключить
ero к источнику? Каковы будут напряжение и ток в цепи?
Чтобы ответить на этот вопрос, надо знать такие пара-
метры цепи, как индуктивность проводов, емкость между
вывода IИ реЗllстора. Если, например, ИНДУКТIdВНОСТЬ
ПрОБОДОВ боJ1ьшая (длинные провода), а емкость между
проводами маленькая, то в момент подключения резистора
к источнику ток будет малым (влияние индуктивности),
а затем будет нарастать режим в цепи будет устанавли-
ваться в соответствии с рис. 167,а. Если велика емкость
м:ежду подключаемыми к источнику Ilроводами, а индук
тивность ПрОБОДОВ маленькая, то в первый момент ток
будет БОJlЬШИМ и станет уменьшаться (по мере зарядки
емкости, случай, соответствующий рис. 167,6.
18.2
Интересно отметить, что, используя подобные источ-
ники, можно получить незатухающие колебания в цепи.
Правда, для этоrо нужен второй источник обычный.
У обычноrо источника, напряжение на котором падает
с ростом потребляемоrо тока, можно определить величину
BHYTpeHHero сопротивления по отношению изменении
напряжения на выходе к изменениям тока: r ==.......... Аи /&/.
В нашем случае на некотором. участке на участке bd
зависимости и (/) внутреннее сопротивление источника
получается отрицательным. При этом участок bd настолько
КРУТ, что даже полное сопротивление цепи (' +. R) оказы-
вается отрицательным. Отсюда и неустойчивость «средней»
точки, и друrие «странности» (в том числе возможность
получения неЗ8тухающих колебаний: «отрицатtльное»...: со
противление может компенсировать потери в колебательной
системе естественно, все это происходит без нарушения
закона сохранения энерrии за счет энерrии источника).
Как же удается получить по.т;ностью кривую зависи-
мости U (/), если как при уменьшении, так и при увели-
чении сопротивления наrрузки из кривой «выпадает»
участок bd? При помощи маленькой хитрости: возьмем
второй источник, ero «минус» подключим К «плюсу» наIпеrо
источника, а наrрузку R включим между оставшимися
выводами. Это позволит нам при той же величине тока
подобрать резистор с существенно БОльшим, чем R, сопро-
тивлением так, чтобы полное сопротивление в цепи было
всеrда положительным. (На rрафике такая прямая уже
не выходит из начала координат и пересекает кривую и (/)
только в. одной точке.)
3аВИСИl\10СТЬ, подобная приведенной в условии за-
дачи, вовсе не редкость.. Она l\10жет возникнуть, напри-
мер, при попытке сделать стабилизатор напряжения,
у Koтoporo выходное напряжение не меняется при
изменении тока наrрузки. Чаlце Bcero этоrо достиrают,
компенсируя уменьшение напряжения (компенсационный
стабилизатор). Стоит только HeMHoro ошибиться сразу
в какой-то области наступит перекомпенсация , и напря-
жение начнет увеличиваться с ростом потребляемоrо тока.
(Радиолюбители знают, что стабилизаторы часто склонны
к самовозбуждению; причины этоrо явления мы выше
обсудили .)
3.24. Будем решать задачу rрафически.
Разобьем схему на две части .......баТарейКа и резистор (У 0+ R)
(рис. 168, а) и цепь с нелинейными элементами (r+Д2+Дl)
(рис. 168, б)....... и построим их ВОJIьтамперные характеристики.
183
Для участка (У 0+ R) зависимость 1 (И) находится леrко:
иo и
l R '
и иo
пр я м.а я 1 v 0+ R н а р и с. 168, в.
В нелинейной цепи сначала найдем зависимость 1 (И) дЛЯ
последовательно соединенных резистора r и диода Д2 (т+ Д2).
'1
3
а
2
7
о О о,ц 0,8 2 6 2,0 2,Ц и, В
D
Рис. 168
Начертим прямую 1 r == И/r и для каждоrо значения тока просум-
мируем значения падений напряжения на r и на Д2. Получится
кривая 1 '+Д2 (см. рис. 168).
Теперь для ка)l{доrо значения напряжения найдем полный тои
в нелинейной цепи просуммируем значения токов через Дi и
в участке (Т+Д2)' Полученная кривая 1 r+Дf+Д2 во.льтамперная
характеристика нелинейной цепи, выделенной на рисунке. Заметим,
что нам не надо строить всю кривую
1 r+Дt+Д2 ......достаточно кусочка в райо-
не пересечения этой кривой с вольтам-
пер ной характеристикой участка у о + R
(с прямой / Vo+R). Точка пересечения
этих линий и 0,9 В и / общ 2,5 MA
Е дает значения напряжения и полно-
ro тока в цепи (r+Дi+Д2). Ток
через диод Д} при напряжении 0,9 В
11 == 1,5 MAj 8начи1', ток через резис-
тор' и ДИОД Д2
В
/1==lобщ.....ii==О,9 мА.
3.25. Подключим точки А и
В к батарейке И о (рис. 169).
ЯСIIО, что потенциалы точек С и D равны; то же можно сказать
про точки Е и F. Это значит, что по отрезкам прямых, соединяю-
U ИХ то'н(и С И D, а также Е и Р, ток не течет. Д в таI<ОМ случае
эти отрезки можно выброситЬ......сопротивлеНие ОТ этоrо не иэме..
А
D
с
/
/
/
/
//
/
/
//
//
[.
Рис. 169
184
IJНТСЯ, а схема ЯВНО станет проще. Теперь схему можно рассчитатъ
80всем просто:
[ ар ,r 2 р ]
I а r а ар 1 ар
RAB==2 2 Р + а а +2 Р ==2 ( 1+ y ) == y '
ар+ У"] Р 2+1 2
3.26. Это---сложная вадача. В решении ее есть два довольно
тонки момента: во-перых, нужно доrадаться, как схему упростить,
а во-вторых, нужно понять, что с этой упрощенной схемой делат.
дальше.
Итак, простим схему, разомкнув точки, потенциалы KOTOpЫ
одинаковы это С! и Са, С 2 и С 4 на рис. 170, а. Кроме Toro, сое-
диним накоротко точки А! и А2, а также В1. и В2"' Тоrда и полу-
чится схема, приведенная на рис. 170, б. Видно, что между точ-
ками А* и В* подключен такой же «квадрат», только вдвое мень.
ШИ размеров. И вот тут самое сложное место в решении сопро-
тивление этоrо квадрата ровно в два раза меньше, чем исходноrо.
81
О.
82
8
Рис. 170
Зная это, вы леrко можете объяснить; почему именно в два раза,
а вот доrадаться об этом самостоятельно нелеrко.
Дальше все просто: обозначим полное сопротивление R, сопро-
тивление стороны большоrо квадрата , и найдем RAB из получен-
ной эквивалентной схемы:
r I
. R==2+ 1 1 1 ·
,/2 + ,/(У22) + R/2+rHY 22)
После довольно нудных преобразований, обозначив R/r == х, полу-
чим
х 2 + (Y2 1) x 2 ==0.
и окончательно
R:= ; (1 У2+ у-з) 0,659r==0;659ap.
185
3.27. Примем расстояние между Москвой й Ленинrрадом рав-
ным 6.105 М. Разобьем линию на множество звеньев; каждое звено
представим в виде эквивалентной схемы из трех резисторов
(рис. 171). Еслн одно звено соответствует I М длины линии,
r :""' .., то последовательные резисторы
r .,. . имеют сопротивление ,==0,05 Ом,
е, а паР;ЫIЛельный R == 107 Ом. Яс-
но, что два резистора, подклю-
чeHHыe последовательно, можно
заменить одним, сопротивление
Koтoporo равно 2, == О, 10м.
Число звеньев такой цепочки
очень веЛИКО. Будем считать эту
получив решение, обсудим право-
L .................J
Рис. 171
цепочку бесконечной, а ПО М,
мерность тэкоrо приближения.
Найдем вначале сопротивление RоБIII. такой цепи. Для этоro
добавим еще одно звено впереди цепочки и потребуем, чтобы полное
сопротивление акой удлиненной цепи опять составило Rобщ:
R.Rобщ +2 R
R+Rобщ (== общ'
ОrСfода находим Rобщ:
Rобщ==,+Vrt+2rR==0,05+V(О,05)2+106 103 Ом. .
Если ко входным зажимам схемы на рис. 171 подключить на-
лrяжение и, то после подключения добавочиоrо звена напряжение
Уi\I НЬШИТСЯ на величину
и
Аи==2тl ==2, R ·
общ
Эl.) 0значает j ЧТО после одно й ячейки напряжение станет меньше
:и 1
в I == U Аи ....... 1 'J /R 1,0001 раз и каждая следующая
....... ....... ...., об щ
яч йка уменьшает напряжение во столько же раз. Значит, напря-
)ксние после n-й ячейки на оставшейся части цепи будет
и
и п -== k п ·
6.105 М
При нашем способе разбиения число ячеек равно N == 1 м ......
== 6 .10 , 8начит, напряжение на конце линии состави-r
U ...... !!......... 1 00 В ,-
N ...... k N ..... (1 +0,0001)6-106' ,
п реобразуем выражение, (:.тоящее ванаменателе:
(1 +0,0001)'.10. c:::1(1+0,OOOl}IOOOO)80 e60 1,14.1026.
(выражение в квадратных сКобках......это приближенное значение
числа е==2,718.....0снования натуральных лоrарифмов е== lilП (l +x)l/X.
Х-+О
11TaK, напряжение на конце линии составляет
100 1 О 14 В
и N 1, 14 . 1 026 ... ·
TaKYIO величину просто н возможно измерить, вольтметр покажет О,
186
НаПРJlжение посереАине лиНии......
100
U NI2 == е3 0 В lO 11 В.
Что изменится, если разбить линию на ячейки «длиной» не 1 м,
а 1 см или 1 км (или 100 км)? В нашем CJJучае «умелъчение» ячеек,
конечно, АОпустимо, НО явно не имеет СМblCла; а вот увеличивать их
размеры нужно осторожНо.....на длине линии 10 км (10000 ячеек 00
I м) напряжение падает в е раз, и ясно, что «длина» ячейки
J,Oлжна быть во BC1JKOM случае, во MHoro раз меньше, чем 10 КМ.
Считая цепь бесконечной, мы как бы добавили к концу ее еще
очень MHoro ячеек. Ясно, что расчет Rобщ был вполне корректным
(напряжение на конце цепи во MHOro раз меньше входно ro, и при
ПОДlUfючеиии ДОПОЛНИleJIЬНЫХ резисторов Rобщ врактически не
меняется). А вот напряжение на
выходе мы оцен или не OQeHb ТОЧ-- 1 А
П u I
но. одумаите сами, каким должно
быть сопротивление вольтметра, что- I
бы наш способ решения давал точ- 0,'1
ный результат. 424
3.28. Если через лампу и резис-
тор r течет ток /, то напряжение 0,2
и на лампочке
U==f8......../r. (1) 0,1
rрафик и (/) этой зависимости
(рис. 172) называется наrРУЗ0ЧНОЙ
прямой. Точка пересечения наrрузоч
ной прямой с вольтамперной харак-
теристикой лампы определяет значе-
ния U и J: I==O,24A,U==I,6B.
Для Toro чтобы разность потенциалов между точками А и В
была равна нулю t нап ряжение на нижней части реостата должно
быть равно напряжению и на лампочке. Это условие будет выпол-
нено, если
о
1 1,6 2
3
'1 5
и,В
Рис. 172
R 1 U
R 2 == {j........ и t
или
R и
R ........ R 1 == се....... U '
rде Ri и R 2 .........сопротивления нижней (по схеме) и верхней частей
потенциометра (R 1 +R 2 ==R). Отсюда
и
Rl==R C ==150M, R 2 ==24 Ом.
При изменении эдс источника меняется напряжение нз всех
9Jlементзх схемы. Для тoro чтобы Аи АВ было минимальным, И3-
менение напряжения на лампочке должно быть равно изменению
напряжения на нижней (по схеме) части реостата.
Сопротивление лампочки завИ,сит от напряжения на ней. При
неболъших изменениях напряжения вблизи «рабочей ТОЧКИ» ла f-
почки можно считать. чro А./ l'8tJ А U. Это соответствует замене самой
вольтамперноi характеристики вблизи рабочей точки касательной
к ней (см, рис. 172).
(2)
187
Следовательно, вблизи рабочей точки лампочка ведет себя, как
резистор с сопротивлением
Аи
'л == А/ == ctg (\, (3)
rJte ....... уrол наклона касательной.
Величину 'л называют дифференциальным сопротивлением.
Оно определяет не соотношение между напряжением и током
.. лампочке, а отн6шение их изменений.
ПровеJ1Я касательную (см. рис. 172), найдем, что в рассмат-
риваемом случае
r л == 12,5 Ом.
Так как нап ряжение на лампочке определяется формулой (1), то
l1U ==A<8 l1/,.
Но
U
А / ==.............. .
'л
Следовательно,
11 U == 11..0....... А и,
(Q ,.
л
Отсюд
АU с= АВ л .
, 'л
Из соотношения (2) следует, что напряжение на нижней части
реостата
(4)
Ri
Ui ==<8"7['
поэтому
Ri
AUi== <8 т'
(5)
При равняв I1Uf и I1U, поJtYчим
'л Rl
'+'л Т"
откуда
Rl == 18 Ом.
При этом и АВ 0,6 В, и при изменении эда t8 на величину,
лежащую в предела 1 В < Ас8 < 1 В, эначеliие U АВ меняется
менее, чем на 0,03 В. Рассмотренное устройство может служить
стабилизатором небольших напряжений.
3.29. Перерисуем схему так, как изображено на рис. 173, а.
Подключим к точкам А и В схемы (рис. 173, б) два одинако"
БЫХ источника тока с эдс <8! == <82 == через два одинcrковых рези..
стора с сопротивлением R » , (внутренним соп ротивлением источ"
ни ов пренебрежем). Положим, == 1 Ом и подберем значения {J и
R так, чтобы lJ/ R == 1 А.
188
Рассмотрим сначала подключение лишь одноrо источник
к точке А и получим следующую схему разветвления втекающеrci
в узеJ1 А тока 1 1 ==cf}/(R+'AB) 1 А (рис. 173, в). Оставляя затем
только источник с ЭДС С2' получим ситуацию, коrда из узла В
вытекает ток 1 2 =={J/(R+'AB) 1 А (рис. 173,2). Этот ТОК сте-
кается из трех ближайших к В злов И через источник уходит на
1&"
" ,
о
а
11/3
[2/3
6
Рис. 173
«бесконечность». Теперь подключим к точкам А и В оба источ-
ника, тоrда из принципа суперпозиции и из условия R , полу-
чим, что по проводнику АВ будет протекать ток 1 === (/1 + 12)/3
и напряжение на проводнике будет
2 2
UАв==з-А.I0м==з-В.
С друrой стороны, на схему подано общее напряжение 2С и в нее
втекает ток 1:::::: 2C/(2R) == lА. Следовательно"
иАВ 2
RAB == 1 ==3 Ом.
Случай, коrда внешнее напряжение прикладывается к точкам А
и С, совершенно аналоrичен предыдущему:
2
RАС==З- Ом.
Нам осталось найти сопротивление между точками В и С. Подклю-
чение только одноrо источника приводит к тому, что по ребру АВ
будет течь ток //3, а по ребру Ас........ток 1/6. ПОДКЛIОЧИМ затем
к узлу второй источник и из соображений симметрии и принципа
суперпозиции получим
иве == 1 Ом ( ; А + А ) + 1 Ом ( ; А + А ) == 1 В
189
в
иАС
RBC== 1 ==1 Ом..
3.30. Рыбу, конечно же, убивает не прямое попадание МОЛНИИ.
8 электрический ТОК, который ПРОХОДИТ при этом через воду. ПЛОТ-
ность тока спадает по мере уда-
ления от места попадания молнии'
(рис. 174). Разность потенциалов,
возникающая на туловище рыбы
(которая пропорциональна величине
тока, проходящеrо через рыбу),
оп ределяется плотностью тока че-
рез волу, и поrибает та рыба, ко-
торая находится в области, rде
плотность тока превышает крити-
(lecKYlo величину. Характерный раз-
мер этой области составляет от не-
скольких метров до нескольких де-
сятков метров, и. в этой опасной
зоне вполне может оказаться не-
сколько рыбин.
В некотором смысле сходная ситуация может возникнуть при
обрыве провода BbIcoKoro напряжения и падении ero на землю.
В этом случае плотность тока, текущеrо по земле, растет по мере
приближения к месту падения провода. Степень опасности для
человека ха рактеризуется здесь так называемым «шаrовым напря-
жением» напряжением, возникаIОЩИМ между ноrами человека при
контакте с землей. Ясно, что маленькие шаrи приводят к мень-
шему шаrовому напряжению имеНllО поэтому выходить из опас-
ной зоны, rде упал провод, надо не60льшими шаrами.
3.31. ПРОВОДИМОСТЬ 0' 9TO коэффициент пропорциональности
между плотностью тока j и напряженностью электрическоrо поля Е.
В изотропном теле направления напряженности и плотности тока
совпадают и j ==аЕ. В анизотропной среде, например, в кристалле,
проводимость вдоль разных осей
может быть разно й. В рассмат-
риваемой в задаче ситуации про-
водимость ВДОЛЬ ОСИ Х (J х превос-
ходит проводимость вдоль оси
y alI И плотность тока не совпа-
дает с направлением напряженно-
сти электрическоrо поля: ix==
==охЕх, iy==oyEy и ixli и #- ExlEyI
Ток в образце течет ВДОЛЬ полоски, но напряженность элект-
рическоrо поля направлена ПОД уrлом к току и слаrается из про-
дольной напряженноСти Е 1 == и /1 и поперечной Е 2 == V/d (рис. 175).
П роекции поля на оси х и у будут
Е х== (Ej----E 2 ) cos 45° == (Ei...... E 2)/y"2'
ElI==(El+Ej) cos 45° == (Ei+E2)/Y2,
Рис. 174
j (у
tI.
l
Рис. 175
а значит, для проекций плотности тока мы можем записать
. Ei Р.
/ ==(JxEx==ax У2 t
190
. El +Е2
Jи ==fJ l/ == ау У2 ·
Поскольку ток течет ВДОЛЬ полоски, то j х == j у и
El Es (Et+ Е 2 )
(Jx У2 йl1 У2 '
а значит, отношение проводимостей будет
Ох........ El+E2 (и /1) + (V /d)
fJ у ...... Е 1 ....... Е 2 (и /l) (У /d) ·
3.32. Нетрудно понять, что наrреВ8ние раЗЛИЧНЫ)I
предметов приводит к исчезновению как с их поверхности, так и
из внутренних полостей имеющеися влзrи. Это существенно УХУА-
тает проводящие свойства, а значит, способствует более JVjитель-
иому сохранению на поверхности предметов разделенных зарядов,
что и проявляется внешне как усиление их диэлектрических свойств.
3.33. Будем считать, что щель настолько узка, что расстояние,
на котором толщина пучка заметно меняется (например, в два
раза), MHoro больше ширины щии d. В этом случае МОЖНО счи-
тать, что пучок представляет собой плоскопараллельную заря)кен-
HYIO пластину, создающую электрическое поле с напряж.енностью
Е ==(1/28o,
rде о........плотностЬ заряда на пластине, равная ОТНОIПeJ]НЮ заряда Q
участка пластины к площади S этоrо участка. Так как
Q ==eпSd,
то
(J == eпd.
Gледовательно,
Е == eпd/2eo.
В этом поле на электрон у края пучка действует сила
F == еЕ,
сообщающая ему в направлении, перпендикулярном к пучку, уско-
рение
F e 2 пd
а ..... .....
......т---- 2тво ·
Ширина пучка удвоится, коrда злектрон пройдет с таким ускоре-
нием расстояние dJ2, т. е. через промежуток времени
t ... / d ...... ... / 280т
..... V а V е 2 n ·
Вдоль направления пучка электрон за это время удалится от
щели на расстояние
l==vt==v ... / 280т 2,5 СМ.
V е 2 п
191
3.34. Выберем систеl\fУ координат ху, как показано на рис. 176.
Сразу же можно ОТ 1етить, что движение частицы вдоль оси у бу-
дет раВНО:\1ерным со скоростью v cos а (действие 1 силы тяжести
1Ы пренебреrае\1). Сила, деЙствующая на частицу со стороны за-
ряженных слоев, направлена вдоль оси х и в точке с координатой х
определяется зарядами, находящимися в заштрихованных на ри-.
сун ке областях (симметричных 01носительно плоскости раздела
слоев). Действительно, действие незаштрихованных областей с раз-
НОИ iенными зарядаl\1И компенсируется, поскольку область объем-
Horo заряда можно представить себе как набор плоскостей с по-
верхностным зарядом, а поле, создаваемое заряженной плоскостью,
не зависит от расстояния до нее. По той же причине можно счи-
тать, что поле в точке с координатой хоп ределяется за ряженными
плоскостями с поверхностной плотностью заряда px и +рх
расположенными слева и сп рава от этой
точки. Напряженность TaKoro поля равна
Е == 2 рх == рх .
280 80
Значит, сила, действующая на частицу в
тот момент, коrда она находится в точ-
ке с координатой х,
F х ==....... е рх ,
80
и уравнение движения частицы в направ-
лении оси х
.. ер
х ==....... ............... х
m80
ж
---- это уравнение rармонических ко - Рис. 176
лебани й с частотой ю о == Уер/тв о .
Понятно, что частица не проникнет в область отрицательноrо за-
ряда, если амплитуда этих колебаний будет меньше d. Преде.пь-
ная скорость V пр частицы, при которой выполняется это условие,
определяется равенством
V п р sln а==юоd==d .... /' ер
JI т80'
отсюда
d -. ;-ёр-
V пр == sin а JI т80 '
При скоростях v < V пр частица проникает в положительно за-
ряженный слой на некоторую rлубину, а затем «выталкивается»
ИЗ Hero. Частица проводит внутри слоя время t, равное половине
периода колебаний с частотой ю, т. е.
t .!.... '" "1 / т 8
2 " JI ер'
3а это время частица смещается по вертикали на расстояние
I
у == tv cos а == ли V т8 cos а.
ер
'1 А. И. Буздин И др.
193
На таком расстоянии от точки А частица вылетит из ноло}кительно
заряженноrо слоя.
3.35. На пылинку в электрическом поле действует сила F == qE
rде q----заряд пылинки, Эта сила уравновешивается силой сопро-
1 А тивления воздуха Fc==kv(v CKO-
i1 рость движения пылинки). В пер-
вом случае напряженность элект-
ричеекоrо поля постоянна вдоль
цилиндра, и скорость пылинок Vl ==
==qE 1 /k, а время, за которое ве,СЬ
воздух очистится,
R
н Hk
ti === vt == gEi ·
(1)
Во втором случае пылинки дви-
жутся в поле, напряженность
KOToporo падает по мере удаления
от оси цилиндра: Е (r) == Е iR/r;
скорость пылинок также убывает с ростом (: V (r) ===qRE 1 /(kr).
Пользуясь определением скорости v=== Ar/At можно записать:
Ar/v <r)==At. rрафик зависимости I/VOT r......прямая линия (рис. 177).
Величина At == Ar/v (r) численно равна площади заштрихованной
трапеции. Чтобы иайти ПО.,1Jное время движения пылинки t х от оси
ДО боковой стенки цилиндра, необходимо просуммировать все ин-
тервалы At, т. е. найти площадь прямоуrольноrо треуrольника
с rипотенузой О А:
1 1 Rk
' Х ==2" R V (R) == 2qEJ. .
Подставляя значение k/q, найденное из (1), получим
R
t x==ti 2Н ==6 с.
r
Рис. 177
о теореме единственности в электростатике.
3.36. Напомним некоторые условия, которые выпол-
няются при равновесном распределении зарядов в про-
воднике. Наличие практически неоrраниченноrо числа
свободных носителей тока (электронов) приводит к тому,
что электрическое поле в толще проводника отсутствует
(иначе не прекратилось бы перетекание зарядов внутри
проводника). Проводник, таким образом, образует область
с постоянным потенциалом. Линии электрическоrо поля
1
всеrда перпендику лярны эквипотенциальным поверхно-
стям, в частности внешней поверхности проводника.
Еще одним фактом, справедливым для проводников лю-
бой формы, является то, что весь сообщенный проводни-
ку заряд располаrается на ero поверхности (в противном
случае внутри проводника существовало бы поле).
Теперь рассмотрим ПрО80ДНИК, которому сообщили
положительный заряд Q. Уместно поставить вопрос: един-
194
CTBeHHh!\1 .ли образом весь этот заряд сможет растечься
по ПОВ...:рХН(уl rи проводника? Ответ на этот вопрос со-
ставляет СОД,ержание так называемой Teope IЫ единствен-
R С1И Б э еКТростатике.
rIредпо.ТIОЖИМ, что заряд Q может растечься по про-
Вfi'р,НИКУ двумя способами, т. е. существуют два различ-
ны J Р2спределения заряда Q на поверхности проводника.
Будеi обозначать эти распределения Pr и Р 2 . Очевидно,
ЧТО если этому же проводнику (незаряженному) сообщить
отринательный заряд ........ Q, то среди ero равновесных
распределений по поверхности проводника будут распре-
деления p и p , которые отличаются от Р! и Р 2 лишь
тe 1i что знаки соответствующих зарядов в данном месте
поверхности изменены на противоположные. Действительно,
си/!ами взаимодействия в конфиrурации P i (Р 2 ) являются
силы взаимноrо отталкивания зарядов, «сидящих» на по-
верхности. Изменение знаков всех зарядов оставляет эти
u u
силы неизменными, поэтому каждыи элементарныи по-
верхностный заряд будет в равновесии; при этом элект-
рическое поле в каждой точке пространства вне провод-
ника лишь изменит направление на противоположное.
Таким образом, конфиrурация p (P ) также будет равно-
весной.
Рассмотрим далее такую ситуацию. Сообщенный про-
воднику заряд Q принял распределение Pio «Заморозив»
это распределение, поместим на проводник заряд Q так,
чтобы он принял распределение P . Если теперь суммар-
ный заряд проводника (равный нулю) предоставить са-
мому себе, то соrласно принципу суперпозиции, система
будет находиться в равновесии и никакоrо перетекания
заряда по поверхности проводника не произойдет. Итак,
общий заряд проводника оказался равным нулю; при
этом на поверхности проводника обязательно найдутся
разноименно заряженные области: Ai' заряженная поло-
жительно, и Bi' заряженная отрицательно. Рассмотрим
СИJIОВУЮ линию, выходящую из области А:{. Поскольку
проводник уединенный, то эта силовая линия либо кон..
чается на нем, либо уходит на бесконечность. В первом
случае точки начала и конца силовой линии (принадле-
жащие проводнику) должны иметь разные потенциалы
(почему?), чеrо не может быть. Остается второй случай.
Аналоrично рассмотрев одну из силовых линий, прихо-
дящих к ПрО80ДНИКУ В области B i , мы придем к выводу,
что она пришла из бесконечности. Мы считаем, что бес-
конечность имеет фиксированный потенциал; но тоrда
7"
195
потенциал области А 1 выше потенциала бесконечности, а
потенциал бесконечности выше потенциала области В 1 ,
т. е. различные области проводника имеlОТ разные потен
циалы. Но это противоречит условию равновесия зарядов
на поверхности проводника.
Итак, предположение о возможности двух различных
равновесных распределений заряда было неверным. Заряд
на проводнике может распределиться единственным обра
зом. Если в конкретной задаче нам удалось уrадать paB
новесное расположение зарядов, то это и будет ответ. '.
Теперь рассмотрим решение задачи.
Два соприкасающихся проводника А и В представляют собой
уединенный проводник (А + В). Заряд, сообщенный этому провод-
нику , Q. Рассмотрим ма.ПЫЙ элемент L\s поверхности проводника,
на котором в результате paBHoBecHoro распределения заряда Q по
поверхности проводника (А+В) установилась плотность заряда а.
Если бы проводнику (А + В) (незаряженному) сообщили заряд Q',
то установившаяся плотность заряда а' на L\s удовлетворяла бы
слеДУЮIцему соотношению:
а' Q'
a Q.
Действительно, сила, действующая на заряженный элемент L\s
поверхности проводника (А + В) со стороны друrих заряженных
областей поверхности, определяется как сумма сил взаимодейст-
вия данноrо элемента поверхности со всеми остальными. Поскольку
пространственное распо.тIожение проводников осталось неизменны\!
(это важный МО\1ент), взаимные расстояния между элементарны-
ми зарядами (зарядами отдельных элементов поверхности (А t-- В)
также остались неизменными, а изменились лишь величины самих
взаимодействующих зарядов. ПОЭТО\1У каждая из сил попаРНОI"О
взаимодействия элементарных зарядов изменилась в одно и то же
число раз в (Q'/Q)2 раз. Таким образом, каждая элементарная
область поверхности по-прежнему будет находиться в равновесии.
Из приведенных рассуждений следует, что какой бы заряд ни
сообщался контактирующим проводникам А и В (проводнику
(А+ В», отношение заряда qA, распределившеrося на проводнике А,
к заряду qB, распределившеrося на проводнике В, остается неиз-
менным (разумеется, при неизменном расположении контактиру-
ющих проводников).
Первоначально, коrда на проводнике (А + В) распределен за-
ряд Q,
!lд..== Q q (1)
qB q
При сообщении ПрОБОДНИКУ (А+В) дополнительноrо заряда qx
qA q
q в == Q + q х ......ц . (2)
Из (1) и (2) находим qx:
2q Q
Qx==Q Q Q .
196
3.37. Сначала ДОI{ажеJ\1, что при первоначальной ориентации
куба в электрическом поле поверхностная плотность зарядов, на-
веденных в центрах rраней, параллельных полю (остальных четы-
рех), будет равна нулю. - Действительно, пусть напряженность
внешнеrо однородноrо поля равна Ео. Из соображений СИМl\1етрии
ясно, что поверхностная плотность зарядов, наведенных в сере-
динах четырех rраней куба, параллельных вектору Ео будет оди-
накова. Примем ее равной 0'1. Изыеним теперь направление век-
тора напряженности внешнеrо однородноrо поля на противополож-
ное. Тоrда леrко понять, что поверхностная плотность наведенных
зарядов, оставаясь неизменной по величине, ПОl\lеняет знак на
противоположный в каждой точке поверхности куба. В частности,
в серединах отмеченных выше четырех rраней эта величина станет
равной O' == 0'1. Но «получить» ситуацию с повернутым на 1800
вектором напряженности внешнеrо поля можно было бы, «повер-
нув» все пространство» (поле вместе с расположенным в нем ку-
бом) на 1800 относительно вертикальной оси, проходящей через
середины rоризонтальных rраней куба. При этом, очевидно, по-
верхностная плотность наведенных зарядов в центрах параллель-
ь '
ных полю rранеи не изменится, т. е. 0'1 ==0'1-
Итак, мы получили, одновременно
, ,
0'1 ==O'i и 0'1 == O'i,
т. е. 0'1==0.
Рассмотрим далее случай, на рис. 70, б.
Воспользуемся принципом суперпозиции и будем считать, что
куб помещен в систему из двух взаимно перпендикулярных полей,
век тор напряженности каждоrо из которых Е 1 И соответственно
Е 2 в У2 раз меньше вектора cYMMapHoro поля Ео, т. е. выполне-
ны следующие условия Ео == Е 1 + Е2, I Е11 == I Е 2 1 == Е о /У2, Е11. Е 2 .
Леrко сообразить, что поле Е 1 наводит в центрах перпендикуляр-
ных ему rраней заряды с поверхностной плотностью 0" == 0'0/У2
так как Е 1 == Е о/У2, а в центрах остальных четырех rраней по-
верхностная плотность заряда будет равна нулю. Сходные рас-
суждения проведем и для поля Е 2 . Тоrда поверхностная плотность
наведенных зарядов в исходном внешнем однородноы поле вели-
чины Ео в центрах всех вертикальных rраней будет одинакова по
величине и равна 0" == 0'/У2. Поверхностная плотность наведен-
ных зарядов в центрах rоризонтальных rраней будет равна нулю.
В случае, коrда куб сориентирован так, как на рис. 70, в,
также воспользуемся принципом суперпозиции. Для этоrо пред-
ставим внешнее поле как сумму трех взаимно проникающих пер-
пендикулярных полей величиной Ео/УЗ. Рассуждая, как и в пре-
дыдущем случае, придем к выводу, что теперь величина поверх-
ностной плотности зарядов, наведенных в центрах всех rраней
куба, будет равна 0'" ==0'/У3.
3.38. Получившаяся система пластин соответствует эквивалент-
ной схеме из трех конденсаторов емкости С == Eosjd каждый
(рис. 178):
с 3 3 €oS
С АВ ==С+ Т =="2 С ==2" Т'
Реальное поле плоскоrо конденсатора вовсе не сосредоточено
внутри только очень приближенная модель не учитывает поля
197
снаружи (<<краевых эффектов»). Если бы поля снаружи не было,
можно было бы взять контур, часть KOToporo находится внутри
конденсатора, а часть снаружи, и получить при переносе по
этому контуру пробноrо заряда, работу, не равную НУЛIО (а это
для поля неподвижных зарядов невозможно!).
А Б
А
(
Рис. 178
(
S2
Рис. 179
3.39. Присоединив проводники А и В (рис. 179), мы получим по.
80S1 80S 2
следовательное соединение конденсаторов С 1 == d 1 И С 2 == d 2 '
т. е.
8j 59
cr; d; 81$2
САВ==ВО SI + S2 ==1',0 Sl d l+ S 2 d 2°
d 1 d 2
Присоединив провода к точкам А и D (D........ на проводящем
листе), получим Ci, а к точкам В и D......eMKocTb С 2 <
3.40. Найдем связь между зарядом на конденсаторе и рассто.
янием между ero ПJlастинами d. Сила, действующая на пластины
конденсатора со стороны пружины, равна k (do........d), rде k.......коэф.
фициент упруrости пружины. Эта сила ур?-вновешивается си.ПОЙ
электростатическоrо притяжения между пла"тина и KOHдeHC Topa
q (Е/2) (здесь q.......заряд пластины, а Е........напряженносТЬ 9лектри-
ческоrо поля в конденсаторе (множитель 1/2 появляет я из-за
Toro, что полная напряженноr.ть равна сумме напряженностей,
создаваемых каждой из пластин». Разность потенциалов и на
пластинах конденсатора U==Ed==q/C, rде C==80S/d.......eMKocTb пло.
CKoro воздушноrо конденсатора. В итоrе можем записать соотно.
шение
q q2
k (d o ....... d) == q 2dC == 2808 '
При заряде на конденсаторе, равном qo, расстояние между ero
пластинами составляло d t , т. е.
с}
qo
k (d o ....... d t ) == 2808 ·
(1)
После парзплепьноrо подсоединения неэзряженноrо конденсатора
варяд перерасцределился и меньшился наполовину на первом
конденсаторе до Qo/t. Расстояние между пластинами конденсатора
d t при этом определяется из соотношения
k (d ..... d ) (qo/2)Z
о 2 2808 ·
(2)
Сопоставляя (1) и (2), находим искомое расстояние d 2
d o ...... d z == 1,/. (d o ...... d1J',
198
т. е.
d 2 == 7/sd(j.
3.41. Н а проводящей оболочке, помещенной в электрическое
поле, будут индуцироваться заряды. Поверхностная плотность этих
зарядов пропорциональна напряженности поля Е. При изменении
pa Mepa оболочки в n раз и напряженности поля в. k раз силы,
деиствующие на половинки сферы (на которых индуцированы за
ряды противоположных знаков), изменятся в k 2 n 2 раз.
Поскольку толщина стенок остается постоянной, сила, прихо-
дящаяся на единицу длины оболочки, должна быть прежней. Если
в первом случае разрыв происходит при некотором значении /0
этой силы, ТО при увеличении размеров сферы в n раз и напря-
женности поля в k раз разрыв произондет при 1== (k 2 n 2 /n) /0'
Из условия /==/0
k 2 n 2
==It
n
следовательно,
k== I/Yп.
При увеличении радиуса оболочки в два раза разрыв произоАдет
при напряженности поля
Е==Е о /У2.
3.42. Известно, что энерrию заряженноrо тела можно пред-
ставить как суммарную потенциальную энерrию взаимодействия
всех пар небольших заряженных областей, из которых состоит за-
ряженное тело.
Выберем на квадратном заряженном листе две произвольных
небольших области ( ис. 180), t
площади которых 81 и S2 соответ-
ственно, а расстояние между ни-
ми ,. Тоrда энерrия взаимодейст-
вия пары выбранных областей
А W 1 (а8 1 ) (а8 2 )
12 4Л80 ,
rде а заряд, приходящийся на
единичную площадку заряжен-
Horo листа, поверхностная пло.,.
ность заряда.
Для сложенноrо вчетверо листа выберем два сходных с nep
вой парой небольших участка, соответственно площадей 8 == 81/4
и S == 82/4 на расстоянии ,'==, /2 дру!' от друrа. Т or да энерrия
взаимодействия новой пары областей
, 1 (а' 8 ) (а' 8;) ....... 1 8 1 8 2 а 2
А W 12== 4 l ...... 4 (,/2) 2А W i2;
ПВО , пво
а
tJ
Рис. 180
(мы учли, что после складывания листа поверхностная плотность
заряда возросла в 4 раза, а' ==4а).
Разбивая заряженный JIИСТ на множество небольших участков,
в первом и подооным образом во втором случае (после складыва-
ния) убедимся, что любаи пара областей в первом случае будет
давать в общую энерrию вклад, в два раза меньший, чем соответ-
199
ствующая пара областей во втором случае. Следовательно, и пол-
ная энерrия листа до складывания будет в два раза меньше пол-
ной энерrии листа после складывания.
Точно такой же ответ мы ПОЛУЧИ:\1, если воспользуемся сооб-
ражениями размерности. Учтем, что полная энерrия равномерно
заряженноrо квадрата будет пропорциональна квадрату ero пол-
Horo заряда и обратно пропорциональна Д.ТУине стороны квадрата.
После двукратноrо складывания квадрата мы получим ситуацию
подобную исходной. При этом полный заряд квадрата остался не-
изменным, а размеры уменьшились в два раза. Следовательно,
полная энерrия квадрата увеличилась в два раза.
3.43. Очевидно, при помещении незаряженноrо металлическоrо
шара в однородное электрическое поле на поверхности шара по-
явятся наведенные электрические заряды. Они расположатся по
ero поверхности так, что напряженность результирующеrо элект-
рическоrо поля внутри шара будет равной нулю. Ясно, что по-
верхностная плотность заряда (1 опреде lIяется напряженностью
внешнеrо электрическоrо поля и rеометрией проводника. При за-
данной rеометрии чем больше внешнее электрическое поле, тем
больше величина (1 в каждой точке поверхности проводника.
При выключении внешнеrо электрическоrо поля в шаре выде.
пится тепло за счет потенциальной энерrии поля, созданноrо на-
веденными на шаре зарядами. Эту энерrию можно найти как сумму
потенциальных энерrий всевозможных пар заряженных точек по-
верхности шара. Разобьем поверхность шаров на подобные малые
tyчастки. Энерrия взаимодействия пары участков поверхности мень.
wero шара, находящихся на расстоянии R12 друr от друrа, равна
A W k L\SIL\S2
L.l (11(12 R . ,
12
rде (1i и (12 соответствующие плотности заряда, L\Sl и L\S .....пло.
щади соответствующих участков. Поверхностные плотности заряда
на подобных участках большоrо шара также равны (11 и (12' (По-
кажите это самостоятельно, воспользовавшись принципом супер-
позиции и условием равенства нулю напряженности поля внутри
проводника.) Если радиус этоrо шара больше в n раз, чем радиус
меньшеrо шара, то энерrия пары подобных участков большоrо
ша ра равна
, ,
Л W ' k L\SlL\S2 k n2L\Sj.n2L\S2 3Л W
Ll (11(12 , (11(12 R ....... n Ll ,
R 1 2 n 12
, ,
rде S 1 и L\ S 2....... площади соответствующих увеличенных участков,
,
R 1 2........ расстояние между ними.
Таким образом, при увеличении размеров шара в три раза
(п == 3) потенциальная энерrия поля наведенных зарядов увеличится
в 33 == 27 раз и, следовательно, во столько же раз возрастет ко-
личество тепла, которое выделится при выключении внешнеrо
поля. Более короткое реluение задачи мы получим, если, как и
при решении предыдущей задачи, воспользуемся соображениями
размерности. Действите 7JbHO, единственными величинами, через
которые будет выражаться запасенная шаром энерrия, равная ко-
пичеству тепла Q, будут величина вектора на т '"'яженности внеш.
Hero однородноrо поля Е и радиус шара R. ,)ткуда Q ==aE2R2.
При увеличении радиуса шара в три раза, учитывая физическое
подобие ситуаций, количество выделившеrося тепла Q t будет удов.
200
летпорять соотношению
Q' == а.Е2 (3R)3 == 27Q.
3.44. Пусть подвижная пластина сместилась на. х и расстоя-
ние между пластинами стало d x. Условие равновесия пласти"
ны равенство «электрической» И упруrой сил:
8 0 SU
2 (d X)2 ==kx,
отсюда уравнение Д...1я шкалы
U == .. / 2kx (d....... х)2 .
V 80S
Чтобы найти и mах, исследуем U (х) на максимум. Приравняв про-
изводную нулю, получим
(d xmax)2 2 (d xmax) Х таХ ==0,
Х тах == djЗ.
При этом смещение
/ 8 kd 3
Umax==U(xmax)== V 27 80S 4,З.I03В.
Ясно, что это и есть ответ, коrда вязкое трение велико. При ма-
лом же трении решение усложняется: пластина может «проско-
чить» по инерции положение равновесия так, что электрические
силы превзойдут упруrие и пластины «схлопнутся» . У равнение
равенства сил имеет два корня меньший (Хl) соответствует
WСТОЙЧИВОМУ равновесию, а больший (Х2) неустойчивому. Итак,
если пластина попадет по инерции во второе равновесное положе-
ние и скорость ее не упадет точно до нуля, произойдет «схлопы-
вание». Именно это и оrраничивает диапазон измеряемых нап ря-
жений при малом трении величиной И 1 < и mах .
Найдем величину U 1, соответствующую rраничному случаю,
используя закон сохранения энерrии. При подключении батареи
начальная энерrия системы
W coui 80S И 2
о 2 2d 1 ·
Если пластина сдвинулась на Х2, то энерrия конденсатора в этом
положении
Работа
8oSU
2
Если
2
W 80S U 1
1 == 2 (d Х 2) ·
батареи Абат== и 1 (g gнач)== И 1 (CIиl coиl) ==
2
Х2 kX2
d(d X2) · Энерrия пружины Wпр==т.
скорость пластины в положении Х2 упала до нуля, то
u 80S И
упрощении d (d X2) kX2'
Wнач+Абат== W KOH + W пр или, после
Но Х2......положение равновесия, т. е.
8 0 sui 8 0 sui 8 0 sui
kx 2 ил И ........
2 (d X2)2 d (d X2) 2 (d X2)2 '
201
ОТКУJJЯ Х2 == l/ . Тоrда
, / 1 kd з
и 1 == u (d/2) == V "'4 80S 3,9.103 В.
3.45. Сразу после подключения конденсаторов к источнику
напряжения на них делятся в отношении, обратном емкостям.
Однако, если подождать некоторое время, заряды конденсаторов
перераспределятся за счет токов, протекающих по неидеальному
диэлектрику. Сумма напряжений, как и раньше, равна напряже-
нию источника, но большая часть приложена к тому конденсатору,
у KOToporo диэлектрик лучше. В нашем случае к конденсатору с
диэлектриком из слюды.
Итак, если учесть токи утечки (а это делать нужно обяза-
тельно!), максимальное напряжение не должно быть выше U 2 == 300 В.
Даже при одинаковом выборе диэлектриков один из конденса-
торов может оказаться получше........ему и придется выдерживать
«львиную долю» приложенноrо напряжения.
В цепях переменноrо тока таких проблем не возникает (если,
1
конечно, т == -т 't'распр RYT C), а что делать в цепях постоян-
Horo TOKa Beдь может так случиться, что напряжение источника
превышает допустимые для конденсаторов величины и их прихо-
дится соединять последовательно? В этом случае можно подклю-
чить па раллельно конденсаторам резисторы, которые заставят рас-
пределяться приложенное напряжение. Разумеется, сопротивление
TaK6ro резистора должно быть достаточно большим, чтобы не на-
рушать работу Bcero устройства, однако, оно должно быть сущест-
венно (rарантированно) меньше, чем ожидаемое R yT . Обычно этим
условиям леrко можно удовлетворить. Такие же проблемы возни-
кают при последовательном соединении диодов в выпрямителе и
решают точно так же.
3.46. После подключения резистора R нижний конденсатор
будет разряжаться (рис. 181), а верхний.......заряжаться. Учитывая
малость " можно считать, что в любой момент сумма напряжений
на конденсаторах равна и о , т. е. учитывая Ci==C 2 , можно сказать:
увеличение заряда BepxHero конденсатора равно уменьшению за-
ряда нижнеrо. Но это значит, что ток через резистор R в любой
r 1 c
, 1/-,
1 '=' II [9 R 1 2С ]:1/-2
T зс I 3.
Рис. 181 Рис. 182
момент ровно в 2 раза больше, чем через " и отношение количеств
тепла Wl (на ') и W? (на R):
Wl r _____ 1
W2 4R 4000 '
3.47. До Toro как из схемы вырвали конденсатор 2С, заряды
всех конденсато р ов были равны
- 6
q==С о бщ<8==п св.
2()2
в ПОЛУЧИDШСЙСЯ схеме (рис. 182)
ql + q 2 + qз ..Q
С 2С зс == <9 ,
qi == qз,
12
qi +q2 == 2q ==...... П С <8.
Отсюда
102
qi== 121 С<8,
36
Aqi == qi q == 121 <С.
3.48. Начальная 9нерrия системы конденсаторов
2 2
ио 2 и о 1 2
W 1 == С об == с ............... === с и о
ш 2 3 2 3 ·
После замыкания перемычки остается конденсатор 2С и энерrия
системы
<)
W И'О 2
2==2С т ==СИо.
После замыкания батарейка «протолкнула» по цепи дополнитель-
ный заряд
4
Аq==2СUо СобщUо==з си о .
При этом она совершила работу
4 2
А ==AqUo==-зСUо.
«Баланс энерrий»: Wl+А==W +Wтепл. (В принципе, часть энер-
rии перейдет в тепло не сразу при З3\1ыкании проскочит искра
и излучится электромаrнитная волна, кроме Toro, будет слышен
звук значит, и звуковая волна образуется тоже.)
1 2 4 2 [2 2
Wтепл==з-СUо+-з UrIС СUО==зСUО.
При размыкан ии перемычки заряды в цепи перетекать не бу ут,
значит, и тепло не выделяется.
3.49. В тот момент, коrда ток достиr значения /0' заряд кон-
денсатора С составил qo ==с/ oR и начальная энерrия электроста-
q-ическоrо поля
Q
W o == 2С '
Равновесие в схеме установится, коrда этот заряд распределится
между двумя конденсаторами.
В конце перезарядки (через
2
W qn
1 ........
2С обш
очень большое время) энерrия
q
== 6С '
Разность этих энерrий равна коли честву выделившеrося тепла
q С / R2
W теПJl == W о....... W 1 == 3С == 3
203
3.50. Мощность, переходящая в тепло на подключенном резис-
. 2
торе, в каждыЙ момент времени пропорциональна U С, т. е. энерrии
конденсатора.
Отсюда следует, что за фиксированный отрезок времени энер-
11. Е 1 11. Е 2
rия конденсатора У fеньшится в определенное ЧИСJIО раз: E === E ·
1 2
В наших обозначениях
'2
Ei== C o , t!.E 1 == Wi, t!.E 2 == W 2 , E2==El t!.El,
тоrда получим
W 1 W 2
El El Wl
или
W
Е 1 ==
Wl W 2
1
W 1
l W 2 ·
W 1
Отсюда
с == 2Е 21 == 2W 1 280 мкФ.
и о и ( 1 :: )
3.51. Максимяльная энерrия вспышки численно равна площади
под rрафиком кривой U (q), оrраниченной значением и == и о ===300 В
(при этом q 0,3 Кл; рис. 75).
1/1, д1 Чтобы определить эту площадь, раз-
делим кривую и (q) на участки, на
которых зависимость и (q) можно
'200 приближенно считать линейной. Под
каждым таким участком площадь чи-
сленно равна I1.qi' U ер' Таким обра-
ЗО:\1, максимальная энерrия вспыш-
ЮО ки
W
( 1 40 О 05 + 140 + 200 о 075 +
2 " 2 '
+ (200t300) 0,175) Дж ==60 Дж.
21l ,Кл
о
0,1
Рис. 183
Удобный способ определения вре-
I\lени заряда конденсатора от О до
250 В подсказывает фОРМУJlа I дt == дq, откуда Д! === I1.q/1 и
1
t оr)щ == т I1.q.
Начертим rрафик зависимос rи 1/ I от Q (рис. 183). Ток при заданном
значении q находи \1 по rрафику I == (и O и)/ R. Площадь под rpa-
фиком кривой, orpaH иченной значениями 1 1 == 200 А 1, q == 0,2 Кл,
численно равна времени заряда конденсатора
tобщ C3 100 0,125+ 100 t 200 0,075) с 20с.
Итак, вспышки можно произnодить примерно три раза в минуту.
204
3.52. Ca 10e rЛ(lвное КОlIденс(\торы в этой схеме не разряжа-
IОТСЯ полностью. После Toro как ток в цепи стане r раЕН Ы1\ нулю,
конденсаторы ока)кутся сое1I1неННЫ:\IИ П(lра 'IL1ельно, т. е. н пряж:е-
ния на них окажутся одинако-
ВЫ:\1И.
Ток, разряжающий средний
конденсатор, равен сумме токов
в цепях с крайними конденса-
торами, а так как в силу СИ 1-
метрии те равны между собой
(рис. 184), то
12==2/1.
Обозначим напряжение на кон-
денсаторах в конце процесса и Х.
Поскольку начальное напряжение на каждом из них было <fJj3, за
время разряда через крайние конденсаторы протекут заряды ql ===
== С ( f их) , а через средний заряд Q2==C ( + их) (заряд
среднеrо конденсатора станет противоположным).
Ясно, что q2==2ql, т. е.
[1 R
11
Рис. 184
2С ( их) ==с ( + их) ,
откуда
1
Ux==gl}.
Тепло, которое выделится на каждом из резисторов, найдем
из закона сохранения энерrии:
1 1 C ( Ii ) 2 1 C ( <fJ ) 2 2
Ql==Q2==2(WHaq WKoH)==232 3 232\9 == 27 C <fj2.
При перезарядке среднеrо конденсатора напряжение <fJ/IO
будет на нем дважды во в рем я раз р яда от <f} /3 до О и во в рем я
зарядки от О до cfJ/9. Для первоrо случая, соrласно закону Ома,
Ut1+ ==RltI (1)
(и 11 напряжение на крайн их конденсаторах в этот момент); за-
ряды, которые протекут к этому моменту через крайние конден-
саторы и через средний, связаны соотношением
с ( CfJ ии ) ==.!.С ( )
3 2 3 10'
(2)
Решая совместно (1) и (2), находим ток I t1 , текущий в первом
случае через резисторы:
1 10 <fJ
t1 == 60 R.
Составляя аналоrичные уравнения для BToporo случая:
и 12 == R I 12, С ( и 12 ) == ; с ( + ),
205
находим
1<8
/t2== 60 Т'
3.53. Пусть напряжение источника И (t) :::at, а ключ замы-
кается в момент t == Т. Обозначим постоянны й по величине ток
в цепи /0. Тоrда
и (t)::: R/o+q/C.
Но q == / о (t Т), значит,
at== R/ 0+1 о (t......т.)/С j
или
( а O ) t == Rl O lот:/С.
Ясно, что выражение в скобках должно быть равно нулю (справа
постоянная величина, не зависящая от времени), отсюда
/ о ==аС и т== RC.
3.54. Найдем средний ток, протекающий через амперметр. Это
сделать довольно просто: f раз в секунду конденсатор заряжается
до напряжения и о (причем этот заряд проходит «мимо» ампер-
метра через второй диод) и столько же раз разряжается через
амперметр:
q CUofT
/ ер== т== т си 01.
(Для случая Uo==lOB, C==l мкф, f==500rц, /ep==5.10 3A.) Обра-
тите внимание на то, что ток через амперметр имеет вид остро-
конечных импульсов довольно сложной формы, однако среднюю
ero величину мы оценили вполне корректно. А вот значение «сред-
ней величины квадрата тока» для прибора тепловой системы и
«средней величины непонятно чеrо» для электромаrнитноrо
амперметра будет друrим (и может отличаться довольно сущест-
венно).
Такая схема широко используется для измерения частоты им-
пульсов (их форма не очень существенна ......лишь бы конденса тор
уверенно успевал полностью заряжаться и разряжаться до ампли-
тудноrо значения), а при известной частоте reHepaTopa импуль-
с()в для измерения емкостей конденсаторов.
3.55. При замыкании ключа конденсаторы почти MrHoBeHHo
(сопротивление амперметра и внутреннее сопротивление батареи
и
пренебрежи-мо малы) заряжаются до напряжения И з == 20 , а при
размыкании ключа практически полностью разряжаются. Поясним
310.
Разряжается каждый конденсатор через резистор R. ТОК раз-
ряда в первый MOM HT
1 из И О
о ==1[== 2R '
Если бы этот ток не изменялся, то конденсатор полностью разря-
дился бы за время
q СИз
't == 7; == -т;;- == RC.
206
На самом деле ток уменьшается по мере разряда конденсатор.], и
конденсатор разряжается все медленнее; формально rоворя, C
полностью не разрядится никоrда. Нас же интересует не абсолютно
ПОlIНЫЙ ero разряд, а такой, при котором просто U Uз; длn
этоrо достаточно потребовать, чтобы Т разр » 't. в HaUIeM случае
т р а 3 р == 't 2 == 20 · 1 О з с 't' == 1 · 1 О с.
Рассчитаем заряд, протекший через амперметр яри замыкании
ключа:
qi== и о 'ti C U о
2R 2
(н ап ряжение на резисторах равно U ,.,/2, ток резисторов протекает
через амперметр).
При замыкании ключа оба конденсатора разряжаются через
амперметр:
си о
q2 == 2 ----r.
Средний ток
И О + ио
....... С ........ ............. 't i + С U о
J с == qi+q2 2 2R == и о 'ti+RC 4,8.10 З А.
р 'ti+'t2 'tl+'t2 2R 'tl+'t2
3.56. Ответ на вопрос задачи очевиден: средний ток через
резистор должен быть равен нулю. В самом деле, при любом зна-
чении тока. отличном от нуля, потенциал точки соединения кон-
денсаторов со временем возрастал бы неоrраниченно.
.......
i ,
и 2
........
1,
У,
и 2
У,
U,/R
.........
12
.........
i
2 и 2 !н
/1
Уо
12
..............
lfo
а
6"
Рис. 185
Найдем ток через батарею, считая напряжение батареи Uo==IO В.
Леrко проверить, что за то время, коrда переключатель нахо-
дится в одном из положений l или 2 KOHдeHcaTOpы перезаря-
жаются незначительно. Действительно. пусть на конденсаторе
емкостью С напряжение и. Замкнем ero на резистор сопротивле-
нием R. По цепи пойдет ток 1 == U/R. в результате за малое время
варяд конденсатора изменится на
t,.q == l't == U't / R .
а напряжеНие.....На
так что
t,.U == Aq/C . U't/(RC),
t,.U 't
и== RC <1.
201
На самом деле ИЗ fенение напряжения еще меньше, так !<ак от
батареи тоже протекает некоторый заряд.
Итак, напряжения на конденсаторах можно считать постоян-
ныrv1и. Тоrда для схем, изображенных на рис. 185, получим
Ut. и 2 .
l 1 == 1 1 l')== 1 2
R 'R'"
Но
i(t1 == 1 2 't2' i 2 T 2 -== 11Т1'
или, учитывая, что Ti=='t2==1/(2f),
i 1 ==/2 и i 2 ==/ 1 .
Следовательно, в установившемся режиме
и о
и 1 == и 2 ==т,
J 1 + [2 == U 0/ (2 R).
и ток через батарею
[ /l+/2
2
u о == 25 м кА.
4R
Интересно, что в ответ не вошли значения емкостей конденсаторов.
Они нам понадобились только для подтверждения условия RC :> l/f.
<><><>
3.57. Как известно, в маrнитном поле заряженная
частица движется по спирали вдоль силовой линии. Заряженные
частицы, рожденные водородным взрывом на больших высотах, рас-
пространяются от места взрыва по силовым линиям маrнитноrо
поля Земли к южному и северному маrнитным полюсам. Именно
там B полярных облас-
тях и возникало свечение
ночноrо неба из-за появления
заряженных частиц на сравни-
тельно малых высотах.
3.58. На частицу в сре-
де при наличии маrнитно-
ro поля действуют дв-е вза-
имно перпендикулярные,
пропорциональные скорости
частицы силы: сила тре-
r
ния F Tp == kv == k t и
сила Лоренца F л ==
==qB Il1r/l1t 1 (Fл 1.. Р тр ) (рис.
186). Приращение импульса
mf1 v за время I1t будет поэтому векторно складываться из импульса
склы трения k Il1r I и перпендикулярноrо ему импульса силы Лорен-
ца qB I r 1, образуя прямоуrольный треуrольник рис. 186, а. Подоб-
ный треуrольник образуют и соответствующие векторы за все время
движения частицы рис. 186, б, rде 1 расстояние от точки входа
в среду до точки остановки, а vо начальная скорость частицы.
В ОТСУТСТDие поля прямоуrольный rреуrольник вырождается в пря-
Ik.drl
I q 8\ I
а.
6'
Рис. 186
208
8 А. И. БуЗ.l.ин И др.
.)
муЮ И тVO == ks. В маrнитном поле, ИСПОJlЬ8 УЯ теорему Пифаrора,
може м записать mv() - у (kl 1 )2 + (qB 1):)2 в поле В /2: mV(j ==
s:: у (kI 2 )2+ (qB 1?/2)2. ИЗ 8ТИХ трех соотношений леrко находим, что
2
l! == 11 8,3З см.
У 1+3 О1/8)2
3.59. При изменении маrнитноrо поля В08никает вихревое элек-
трическое поле. Напряженность Е 8Tore пеля в точка , находя.
ЩИ хся на расстоянии , от оси соленоида, можно найти, 8ная эда
индукuии в KOH'rype, представляющем окружность раJlиуса (:
I L\q> I Bnr2 В,
IСинд 1-= бt ==21trE, Е-= 2nrAt ==W.
(Е с:::: I Е 1). Сила, действующая на электрон со стороны 8тoro поля,
L\v еЕ
сообщает 9пектрону ускорение а == А.! ==т' направленное по каса-
тельной к окружности радиуса (. Таким образом, 18 М8пое вре-
мя L\t скорость электрона изменяется на величину
А еЕ Лt еВ,
L.\V -= т == 2т ·
(Эта формула справеllлива для скоростей, существенно меНЬШИJII
еВ, )
скорости света с, т. е. 2т < о.
При решении вадачи мы не учли действия маrнитноrо поля на
движущийся электрон. Сила, действующая со стороны маrнитноrо
поля, соо6щает эnеКТР6НУ ускорение, направленное вдоль радиуса
соленоида. Чтобы приведенное выше решение было верным, не..
обходимо выполнение следующеrо условия: аа время А! ивмене-
ние L\v, скорости вдоль радиуса должно быть MHoro меньше изме-
нения Ли скорости по касательной, т. е.
А А. ! ( еисрп ) A t еЛvБ L\t А.
uV, а, L.\ -= U &11: 2 < аО.
т т
0тсюда находим оrраничение для Лt:
At < 2т
еВ
Так, для В ..10.... Тл
r 2 . 9. 1 О.. 31
At < 1,6. lO 1910"" 10'" е.
При ,-10"' м
А.о 10! м/с < с,
rде с-скорость света.
3.60. Пусть по тонкому кольцу радиуса R течет 'ок 1 (рис. 187, а).
Этот ток СОЗ)1ает в окружающем провтранстве маrнитное поле.
Пvсть в центре кольца маrнитная индNкция 8f. Поскольку при
повороте кольца на пюбой frол отноС!ительно ero оси система со-
вмещается (переходит в себя), вектор маrнитной индукции в центре
кольца должен быть направлен ВЛ0пь оои.....иначе после ПОБорота
кольца BOKpfr оеи на конечный rол вектор маrнитной индукции
210
булет описывять kоническую поверхность и после поворота Н8 уrол,
H равный 2n, не совместится со своим первоначальным положе-
нием. Рассмоtрим теперь ДBa участка кольца е током, предстаF-
пяющие собой две дуrи окружности длиной лR/2. сере1lИНЫ KOTOpЫ
лежат на одном диаметре (рис.
187, 6). Очевидно, данная система
самосовмещается при повороте ОТ-
носительно оси кольца на уrол n.
Следовательно, и 8 этом случае
вектор маrнитной индукции также
будет направлен по оси кольца.
Но в силу принципа суперпозиции
он будет 8 два раза меньше, чем
для полноrо кольца. В настоящей
а даче система проводников представляет собой набор из трех пар
дуr взаимно перпендикулярных колец. Поэтому полный вектор
индукции маrнитноrо поля В в их общем центре будет npeДCTa8
Л Я Т'"' rеометрическую сумму трех взаимно перпендикулярных век-
торов величины 81/2. Следовательно. полная маrнитная ИНДУКЦИЯ
8 центре системы будет
81
81/2
о.
о
Рис. 187
B 1 == VЗ Bi/ 2 .
Следовательно,
8;: 2
в== ..r > 1.
, ,. 3
С вертикалью этот вектор образует уrол а такой, QTO
81 1
соз a== == .
28'J У 3
и так,
1
а == arccos )1- з '
8.61. Рассмотрим проводящее кольцо. которое еще лежит rори-
З0нтально (рис. 188......вид сверху). Выделим на нем два небольшиХ1
участка (в лизи точек К. и Ь) одинаковой длины dl. расположенныl
симметрично относительно диаметра ОКРУЖНО8ТИ Ай. На первый ИЗ
них действует направленная вертикально вниз сила dFt:
dF 1 .. 8 dl/ IШ -:х, =- В/ dx,
rде dх......проекция отрезка dl на диаметр ОКРУЖНOQти Ай. На вто-
рой отревов б J1е1' действовать направленная вертикально веер.
сила dF,
dF 2 == 8 dl J sm а r=a 8/ dJD.
Векторная CfMMa этих сил dFl и dF 2 будет равна нrлю. Следова-
тельно, мы имеем пару GИЛ, момент KOТOpht1l
dM -dFrlКL == В 1 dx IKL с:::: В I ds,
rде dS -площадь 8аштрихованной чаоти Kpyra (СМ. рис. 188). Раз-
бив все кольца на пары симметрично расположенным относительно
диаметра Ай не60льmих отрезков, мы найдем, что на тонкое про-
водящее кольцо о током " находящееQЯ в rОРИlонтально направ-
.ленном маrнитном поле В будет действовать вращающий момент
Ь*
211
маfНИТНЫХ сил
м i с:: В 1 8KPyra с= В 1 nR2.
Этот момент сил будет вращать кольцо BOKpyr вертикальной оси,
параллельной диаметру КОЛЬП8 АС. Коrда кольцо будет находиться
на rрани «подъема», препятствовать
'. вращению кольца будут две механи.
ческие силы-сила тяжести, прило-
t женная в центре кольца, и сила нор.
е мальной реакции rоризонтальной по-
верхности N, приложенная в точке
касания кольца и rориэонтальной по.
верхности. Поскольку кольцо все еще
находится в равновесии, N ==Mg. Две
механические силы создают свою пару
сил, характеризуемую моментом
M2-=МgR.
А
L
dl
Рис. 188
Из равновесия кольца следует, что
суммарный момент всех сил в нашем случае маrнитных и меха-
нических ....... будет равен нулю, т. е.
M,=:Mf
или
MgR-ВlnR .
Таким образом, критический ток IJ кр, отвечающий началу подъема
кольца,
Mg
'крС:: ВлR ==0,3 А.
3.62. Маrнитный поток, пронизывающий площадку, оrраничен-
ную сверхпроводящим контуром, постоянен. Действительно,
АФ/ t==i8, но iJ==/R ==0 (поскольку R==O), следовательно, ф ==
== const.
Маrнитный ноток через площадку, оrраниченную конту ром,
складывается иа потока внешнеrо маrнитноrо поля и потока Mar.
нитноrо поля, создаваемоrо током 1, текущим через контур. Таким
образом, маrнитный поток, ПРОНИ9ывающий рамку, в любой момент
времени
Ф==а 2 В о +а 2 аz+Ll.
Так как в начальный момент (z==O, J =:0) Ф==В о а 2 , в любой дру-
rой момент времени сила тока 1 будет определяться соотношением
Ll -=...... aza 2 , I ==....... aza 2 / L.
Результирующая сила, действующая со стороны маrнитноrо
поля на рамку с' током 1 f направлена вдоль оси z и равна сумме
сил, действующи1С на те стороны рамки, которые па раллельны
оси У', т. е.
F == 2а l ах 11 с= а 2 аl (х == :f: а/2). .
Таким образом, fравнение движения рамки имеет вид
тz" ==.... тg+aa 2 1-=.... тg....a"a 2 z/L.
Это уравнение по форме совпадает с уравнением колебаний
массой т, подвешенноro на пружине жесткостью k ==a 2 a 4 /L:
mz" с::::...... тg... kz.
тела
212
Из 9ТОЙ аналоrии ясно, ЧТО рамка будет совершать rармониqеские
колебания вдоль оси z около положения равновесия. определяемоrо
из условия
. а 2 а 4 -
L2o== mg,
т!!,
20 == .. Q ·
а а,'!!
Ча тота этих колебании рамки будет
аа 2
со == V Lm ·
Координата рамки через время t после начала движения
2== : : [ I+COS( ; t) J
3.63. Маrнитное поле, созданное постоянным маrнитом, не Пр()4
викает в сверхпроводящий образец. Это происходит потому t ЧТО
В поверхностном слое сверхпроводника индуцируется ток, котор,?!й
создает свое собственное поле, компенсирующее внешнее.
Этот ток I должен быть пропорционален величине маrниrной
индукции В внешнеrо поля: I ,..., 8. Соrласно aKOHY Ампера, взаимо-
действие злектричеСКОFО тока с маrнитным полем характеризуется
силой Р. пропорциональной и току /, и маrнитной индукции 8.
В нашем случае
F J В 8 а .
Эта сила и уравновешивает силу тяжести СВ8РХПРОВО4ящеrо образца.
Если масса образца с rрузом удвоилась, для сохранения равно-
весия маrнитная индукция поля постоянноrо маl'нита должна быть
увеличена в У2 раэ.
3.64. Вначале маrнитный поток через катушку Ф -Lol о. Число
витков можно считать достаточно ольwим и не учитывать «неравно-
правное» положение крайних витков катушки. TOl'Aa кажды й из
витков катушки «пронизан) потоком ФО == Ф/ N. С друrой стороны.
каждыЙ из витков катушки оздае'l' поле, пронизывающее все витки,
и ero вклад в созданный катушкой поток составляет тоже ФI N ==Фcj
(это не случайное совпаJlение -так и JJ.олжно быты..
После внесения в катушку aaMKHYToro витка. в нем возникне'J
ток (обозначим ero /1.), изменится и ток через ка1')'ШКУ (ОООlначим
ero '1)' В ИТОК не имеет сопротивления, значи1') ма.vВИ1ВЫЙ потаи
через Bero .аО.Iжен остаться paBHЫ нулю.
1
b1.1f+71bfjll-O.
Аналоrвчно (с учетом ВR!ла.uа поля внесеННОI?О ВИ'Рка) АЛИ катушка
1 --
Ь о / о =-ЬО/ 8 +71 Lol1J
Решая систему, получим
1 L(j 1 о'
/1- N Lf 1- Lo/(LiNI) .....Оа51А .
1(J
'1-= 1 Lo/(Li Na) ==: O.102.A.
213
Энерrня системы увеличится за счет работы внешних сил (напом-
ним, что разнонаправ.ленные токи отталкиваются).
3.65. При расчете ЭДС индукции в цепи каждой катушки нужно
учитывать полный маrнитный поток через нее, т. е. сумму пото-
КОВ, создаваемых токами обеих катушек.
После замыкания ключа в обеих цепях возникают одинаковые
ЭДС fJl == fJ2 == и о И мощность, выделяющаяся на резисторе.
2
Р ==:: 112 := ио
R R'
Ток, текущий через вторую катушку, /2== Uo/R. Маrнитный
поток, пронизывающий первую катушку,
Фl ==L/ i+ LI 2,
rде /1 TOK через первую катушку и через батарейку. (Поток через
К8ЖДУIО катушку, создаваемыЙ током /2, ОДИН И тот же катушки
намотаны вместе.) Следовательно,
Р == U == I dФl l == I L d/ 1 + L d/ 2 1 == I L dJ 1 1
<о 1 о dt dt dt dt
(так как '2 == const). Отсюда
/ 1 ---- ио + и о t
R L.
fрафик 1 i (t) приведен на PIJC! 189. Скачок
ток а в первый момент связан с тем, что
полный поток через катушки не ДОлжен ме-
няться скачком, и сразу после включения
возникает добавочный поток, направленный
против потока, создаваемоrо первой катуш-
кой.
размыкания ключа полный поток через вторую ка-
:;
о
РИс. 189
к момеН1У
"ушку
Ф2У == Ll '1+ LI l, == L o 1: == и 01:.
Сразу после размыкания КЛlоча в этой катушке возникнет ток
иот.
JpC::y'
поскольку поток через катушку не должен меняться скачком. Тепло,
которое выделится на резисторе с момента размыкания,
1 2 U "t2
W=='i L1p 2L
3.66. Рассмотрим поведение схемы с момента включения. В мо-
мент ВКЛlочения ток через катушку и элемент Э равен нулю; при
этом напряжение на элементе также равно нулю, и все напря)ке-
ние батареи приложено к катушке. Ток через катушку (и через
элемент) начинает нарастать. Коrда он достиrает значения 11 == 5 мА,
происходит скачок напряжения на элемеНте.......при фиксированном
OKe 5 мА (ток через катушку не может меняться скачком) напря-
жение на нем MrHoBeHHo увеличивается до и 1 ==0,8 В (рис. 190).
При этом напряжение на катушке меняет знак (и 1 > {j) и, следо-
214
вательно, ТОК И3!.J:tиает убывать. Аналоrично, коrда ток y eHb.
шится до значения 1,==0,5 мА, вновь произойдет скачок напряжения
на элементе оно уменьшится практически ДО и 2 О, И все начи-
н ается сна чал а. -
Рассчитаем приблизительно время '11 нарастания тока от J 0==0
ро I f == 5 мА и вре IЯ i 2 убывав и я тока от 1 i == 5 мА до I == 0,5 мА.
Поскольку напряжение на элементе ори увеличении тока от О до / j
мен яется мало, будем считать, что среднее напр яжен ие на катушке
83 время 1'1
U к f 0'2..... О, 1/2 == О, 15 В.
Точно так же среднее напряжение на катушке за время '{2 будем
считать равным
U ,...., 0,8 + 0,6
к I 1">01 2
При нарастании тока
L/'==UKf.,
0,2 == 0,5 В.
[' == А.I == J i....... / fj .!l..
1'1 1'1 'ti
Отсюда находим 1'1:
L/ i 10- 'O 3.5. 10"'3
1'1== и К1 == 15.IO 2 0,ЗЗ.l0"';}с.
Пр и уБЫВ IНИИ тока
L(/i 12)..... 10.]0--3.4,5.10--3 9.10 5
1; 2 и к 2 5. 1 О ;1 с.
rрафик И31\lенения напряжения на элементе Э со временем приведен
на рис. 190.
Подключим параллельно лементу резистор. Для Toro чтобы
напряжение на элементе не оставалось постоянным (т. е., чтобы
существовали колебания), не-
обходимо, чтобы на «суммар- ,B
ной» вольтамперной xapaK &
ристике (элемент+ резистор)
присутствовал хоть малый
участок, на котором напряже-
ние падает с ростом тока (стро-
ro rоВоря........ в точке U == <ft).
Построив характеристику для
резистора (1 == U /R) и «сум-
марную» характеристику (про-
делайте &ТО самостоятельно);
найдем минимальное сопро-
тивлен ие, при котором на..
пряжевне на элементе не ос..
та Не1'СЯ постоянh'ы:: R min
100 Ом.
(Отметим, что такую вависимость 1 (и), как на рис. 84, а
имеет широко распространенный прибор.......тунНелЬный диод. Схема
на рис. 84, б обычНая схема [еоератора импульсов на туннель-
(lu АИОАе.)
L/( == U К2,
откуда
11' I == 11 I i , ,
'12
8
0,6
0,4
0,2
о
t , С
't7
-t 2
Рис. 190
215
3.67. Для TOrO чтобы найти средний ток варя.да аккумулятора,
IIУЖНО определить варяд, протекающий на акк м пяторе ев одии
ии кл замыкания...... размыкания ключа.
Коrда ключ замкнут, катушка непосредственно подключена
J{ источнику и возникающая ЭДС самоиндукции равна и. Значит.
ток через катушку меняется по линеЙНОМf аакону. Считая, что
в момент замыкания ключа ток через катушку отсrТСТВОВ8Л, получим
U
1==7: t .
:к моменту размыкания ключа
и
Ior:=yT.
После размыкания ключа диод откроется и эде самоиндукции <8 с. и
станет равной раэности напряжения батареи и аккуМуJIяТора.........
li с. и == U <f1 и изменит знак. Значит, ТОК через кат шку начнет
инейно убывать по закону
<8 U
/ с;: / о ........ L t ·
Скорость убывания тока (при разомкнутом ключе) оказывается
больше скорости возрастания тока (при замкнутом ключе). Э10
означает, что еще до истечения времени Т2 ток падет до нуля
(за время Тз от момента размыкания) и в этот момент диод закроется.
В ремя Та, в течение KOToporo аккумулятор подзаряжается, найдем
из условия
<8 и u
L Та == / о =: т 'tf,
откуда
u
't' а -= <8........ u Т f.
Заряд, который протечет через аккумулятор аз это время
1 U . 1 U 2 Ti
f1.q== / ср та==2 /0 <8..... U Ti -=2 L (tC и) '
Тоrда средний ток заряда аккумулятора
q и 2 Тl
'ср== == 8,9 мА.
Т] + Т2 2L (<8...... И) (Т1 + Т2)
8.68. Максимальный ток чере. катушку соответствует моменту,
коrда эде индукции равна нулю, т. е. в этот момент параллельно
lma.x L L
rVVY"\
ir: с,
I lfo
+ ...
I
1=01
-1 с
+r 7
I
I
"' I I
С 2
уа
О + I
С 2
а
Рис. 191
подключеннЫЙ конденсатор С 2 раsряжен, напряжение на KOHдeHC€]-
{Соре С! равно и о (рис. 191, а), С учетом работы батареи запишем
216
вакон сохранения энерrии:
2 2 'J
Ll шах + Cf ИО == С 1 С 2 Ио + А ..
2 2 С 1 +С? 1-
Заряд, протекающий через батарею, равен изменеНИIО
денаатора Ci и
Al== qUO== ( CIUO C C 2 и О ) и о .
Таким образом,
заряда кон-
1 СtИ о
тax
у L (С 1 +С 2 )
Второй вопрос HeMHoro сложнее. Сумма напряжений на КОН-
денсаторах равна напряжению батареи и постоянна. ПОЭТО\1У в ТОТ
момент, коrда напряжение _Иf на конденсаторе С! максимально,
напряжение И 2 ==И(j.......Ui на конденсаторе С 2 должно быть мини-
мально (и отрицательно), а значит, в этот момент ток через катушку
должен быть равен нулю (рис. 191, б)_ Снова запишем закон сохра-
нения энерrии:
С 1 Иi + С 2 (И О....... Иi)2 С 1 С 2 И'О
2 2 С! + С 2 2 + А2'
rде
А ( C i C 2 )
2 == \ СiИf C1+C И О И о .
Отсюда находим максимальное значение напряжения на конденса-
торе Ci.
( Cf )
Ui тах == И(j 1 + Ci+ C 2 ·
3.69. Ответ на второй вопрос задачи дать несложно. После
sатухания колебаний разность потенциалов на конденсаторе С будет
равна эде батареи IJ. Заряд каждой пластины конденсатора
.
1(
...............
,,-=о
т
а
о
Рис. 192
q I ==С<8, а напряженность 9лектрическоrо поля в конденсаторе
Е ==<8/d. Учитывая, что каждая из пластин создает поле напря-
женностью Е /2, леrко находим силу притяжения между пласти-
нами конденсатора
F == чЕ /'} ==Cl/2/(2d).
Рассмотрим теперь ситуацию сразу после замыкания ключа К,
КОl'да в контуре возникли колебания (рис, 192). Напряжение на
217
конденсаторе С складывается при этом из постоянной составляю-
П еЙ lJ, даваемой источником питания, и осциллирующей состав.
JJяющей напряжения на индуктивности и L ==....... i1 cos оо!, rде (jJ ==
== 1/У LС ......частота колебаний. MrHoBeHHoe значение силы притяже-
ния между пластинами конденсатора при этом
2 [ 1 + cos 2оо! ]
С<82 (1 cos (jJt)2 С<8 1......2 соз оо! + 2
F == 2d........ 2d ·
Поскольку средние по периоду колебаний значения функций соэ rot
и cos 2(jJt равны нулю, величина средней силы ПРИТЯ}l{ения состаВИ17
3 С<8 2
Р СР ==4Т'
(f. е. в 1,5 раза больше, чем после затухания колебаний.
3.70. В тот момент, коrда ТОК через катушку станет равным
нулю, энерrия конденсатора будет равна работе, которую произ-
вела батарея. Следовательно, заряд конденсатора в этот момен'1'
определяется условием
2
qo
2с == и OQOI
откуда
qo ==2СU о .
Найдем максимальный ТОК через катушку после ПОдключения
конденсатора. Условие максимума TOKa /' ==0, т. е. t8иид ==
== L1J! ==0; значит, в тот момент, коrда ток максимален, напря-
жение на KOIEIE:'HCaTOpe равно И О и «компенсирует» напряжение
батареи (рис. 193, а). Из вакона
сохранения энерrии
иоси о cи + L/g
2 2
уа
Уа
(о J2:'1
а
находим максимальное вначение то-
ка:
а
"5
/o::Uov z .
Рис. 193
Рассмотрим схему после переКЛlочения (рис. 193, 6). ТОК через
каТУШКf равен нулю (только в тот момент, коrда энерrия катушки
равна нулю, ее MO; .нo «безнаказанно» отключить от цепи). В тот
MOMegT, коrда ток'достиrнет искомоrо максимальноrо значения /j
напряжение на конденсаторе будет равно и о; значит, к этому мо-
менту по цепи протечет заряд ЗСИ (j и, соrласно аакону сохране-
ния энерrии,
и ЗСи + с ' (2ио)2 ...... cи + L/ -
о о 2 2 .
Отсюда
/iC=3U o У z ·
218
Перед следующим, вторым, переключением, коrда ток через I<атушку
будет равен нулю, на конденсаторе будет заряд Qi, который, КaJI
И В первом случае, найд м из условия
(2и 0)2 qf
и о (2CU O +ql)+C 2 2С '
Отсюда
q ..... 2С и oqi 8С 2 и == О,
ql == си о :f: зси о.
Следовательно, решение с qi == 2си о не подходит (подуыаите,
какому случаю оно соответствует). Значит,
ql == 4си о.
Максимальное значение тока после BToporo переключения будет
Ig==5U o V i . после TpeTbero переключения lз==7Uо vi
и т. Д. После n переключений
lп ==(2п+ 1) и о v i ·
При n == 1984 получим '
rc
li984==3969U o V у'
3.71. Конденсатор Ci, подключенный непосредственно к сети;
будет 'заряжен до и о ==220 У2 310 В (рис. 194).
Напряжение в точке А повторяет rармоническое напряжение
сети, но «сдвинуто» на и о вверх за счет напряжения конденса-
тора С 1 . Это означает, что макси- у о
мальное напряжение в точке А со- L +
ставляет 2и о ==620 В и напряжение
на конденсаторе С 2 будет именно
таким.
Эта схема использ)'ется до- UoCOStAJt
вольно широко, однако ее расчет
сильно усложн ится, если учесть
ток, потребляемый «наrрузкой»
выпрямителя. Попробуйте приду"
мать самостоятельно схему «выпря-
мителя с утроением напряжения» и схему «выпрямителя с умно-
жением на N». (Эти схемы обычно приводятся В справочника}Q для
радиолюбителей, правда, без объяснений.)
3.72. а) При выбранных параметрах С и R заряд конденсатора
меняется незначительно, поэтому ток разрядки конденсатора можно
считать постоянным. Тоrда
А
Д2
Дl
С 2 +
2 О О ....
Рис. 194
Л И f:.q J д.t и д.t
u С С RC ·
Значит,
k д.и
и RC'
219
Если конденсатор разряжается мало, то он подзаряжается в мо-
менты максимальноrо положительноrо напряжения в сети (рис. 195),
б) При подсоединении ка-
rrушки индуктивности коэффи-
циент пульсаций станет еще
меньше (индуктивность боль-
шая: 2лvL > R). Ток наrрузки
тем более можно считать посто-
янным; значит, напряжение на
конденсаторе будет мен яться
по тому же закону, что и в первом случае. При этом напряжение
на катушке будет почти компенсировать из.\!енения [напряжения
на конденсаторе. Ток через катушку в течен ие пер иода будет
меняться по параболическому закону (ЭДG индукции меняется по
линейному закону), причем максимальное значение тока б l1ет в
середине пер иода:
tJ
Рис. 195
. е.
1
t == Т == .........
v
и
Следовательно,
1
k == \'RC == 0,04.
t
р.... 'Аи t Т Т
(о т (при t Е [п . (п+ 1) ),
U 1 1
1-= 1 о"" т Т 2 е 2 .
Пульсации в этом случае определяются изменениями тока:
Аи 1 == RA/. Поскольку
1 и T'l. 1 ито;.
111 -=Jmax lmin==2 LT Т==8" LRC
( t!..U== ) . окончательно получаем
Итак, при подсоедннении кат шки
индуктивности пульсации MeHb.
4.10--2
шатея в 51 10 4 == 80 раа.
3.73. Построим векторную ди-
arpaMMY АЛЯ цепи (рис. 196). Токи,
текущие через конденсатор С и
резистор R, одинаковы; значит,
векторы u иR и UиС перпендику.
лярны. Сумма их равна вектору U u
и через концы тих векторов мож-
но провести окружность, диаметр которой равен I Им 1. Напряже-
ние и R на резисторе с сопротивлением R равно U.. R /'2. Gледова-
теЛЬНО 1 искомое напряжение и.. АВ численно равно радиусу пост-
....... .......
."" ""'-
"
"
\
\
\
v
U M
Рис. 196
220
иy I Т2
k == == .............. == 5 · 1 О -- , .
и 8 LC
1
роенной окружности; fl'. е. ИМ АВ =="2 и м И не зависит от ве-
"ичины R.
При изменении R меняется уrол сдвиrа фаз между векторами
U M и U м АВ, так что предложенная схема может служить фазо-
вращателем. (Часто в радиотехнике
необходимо менять фазу переменноrо
напряжения, оставляя неизменной
амплитуду. На практике вместо де-
лителя из резисторов ,обычно НС- U C
пользуют tpal-'СфОрМ8ТОр сотволом
ОТ середины обмотки.)
3.74. Построим векторную диа-
rpaMMY напряжений для цепи
(рис. 197). Вектор напряжения UR
между точками D и Е равен сумме
векторов напряжения на конден. Рис. 197
С8торе, и резисторе, Т. е. изобра..
жается диаrональю прямоуrольника, построенноrо на BeKTopa
U c и U R
UDB==UC+U R ; И Dв =:IU с +U R I==Uо==220 В.
Вектор наПРЯ)l{епия между точками А и в равен раlНОСТИ Uc и U R
и, следовательно, изображается друrой диаrональю Toro же прямо-
frольника. Так как диаrонали прямоуrольника раВНБ1, то
и АВ == U О8-22О В.
Это напряжение сдвинуто по фазе относительно
СДВИI'а фаз леrко най") и из век-
торной диаrра\1МЫ: L
" t U С .) t 1
<р == arc g U R ::: асс g юС R . С
входноrо. Уrол
L
с R
3.75. Разберемся с потерями
энерrии в контуре. Рассмотрим
для ПРОСТОТБI потери за счет по-
следовательно включенноrо в кон-
тур резистора , (потер и в кон-
денсаторе пока не учитываем)
(рис. 198, а). Будем считать ток
одноrо периода):
r
l'
а
о-
Рис. 198
rармоническим (на протяжении
, == 1 () соз Ф(jt.
2п
Torp.a потери в резисторе за период Т ==....... составя1'
1. Фd
Т 1 1 2 2п
E == 1 эфф' -= ...... 2 ... о' .
Ф(j
I 2 f1E
l\\вксимальная 9нерrия в контуре Е ==2 Llo в отношение т==
2лr , /С О
== (j)oL ==2лr V у. в нашем случае при '::: 1 м отношение
EIE a::6.10"' < 1. Значит, колебания на протяжении одноrо периода
221
взтухают мало даже с fчетом потерь в конденсаторе (потери в нем
в два раза БОЛЬПJе, чем в резисторе, Iначит, АЕ/Е 2.10"'2).
Из условия примерноrо равенства максимальных 8начений
8верrий конденсатора и катушки (за пеРИОll)
, С 2
Ll ио
Т==2
получим
иn-=,о y ·
Потери в конденсаторе (точнее, в резисторе R (рис. 198, 6» в 2 раза
больше, чем в резисторе 1
U !,
2 Т с::: 2/ orT t
отсюда
L
R с= 2С, == 5-105 ОМ.
3.76. Емкостное сопротивление Н8 данной QaCTOTe f =:50 rц
I
Zc == 2nfC 3.103 Ом.
Поскольку сопротивление резистора R -= 108 Ом. Т. е. R > ZCf
можно считать, что UR UI2-=110В(U напряжениесети).Таким
образом, тепловая мощность равна
Р.. uh/R 0,12 Вт.
3.77. Поскольку темпераТfра нити в течение периода остается
неизменной, в рабочей точке лампу можно считать обычным рези-
стором.
.. 1 А
,
и н 0,'1
0,3
0,2
0,1
и с О '10 80 120 160 200 и в
а d
Рис_ 199
На рис. 199, а приведена векторная диаrрамма для цепи с по.
следовательно включенными реsистором и конденсатором. Из диа.
rpaMMbl находим
u c+ u R -= u .
Подставляя и а-I /(jJ2(;а, найдем связь между напряжением U OR
222
на лампе и током / через нее :
V 1 2 V 2
1 о с::: юС U О...... и oR == 314 -1 o.... 48400 и oR А.
Построим rрафик этой зависимости на том же рис. 199, б на кото-
ром 8qaHa вольтамперная характеристика лампы. Точка пересече-
ииs rр.афиков и определяет рабочую точ-
ку:Uл==180В,lл 0,4А. 1
3.78. Найдем сначала действующее,
8начение напряжения на конденсаторе: и с
1
и с == J ХС -= 1 2.nvC == 63,7 В.
(IАесь v -= 50 rц ..... частота колебан и й пв-
p8MeHHoro тока в сети). Теперь нарису-
ем векторную диаrрамму токов и напря.
жений для данной цепи (рис. 200). Из
4иаrраммы леrко найти сдвиr фаз (j) меж- Рис. 200
4У током J и напряжением и о:
u 2 + u'А и2
ep...90o arccos а ..900 arccos о 2Uо --;; ::::s 46".
Активная мощность, потребляемая прибором П j равна активноR
мощности, которая выделяется во всей цепи (В конденсаторе тепло
не выделяется), т. е.
р::= Иоl сов <р 1,53 Вт.
3.79. Напряжения обмоток трансформатора связаны соотноше-
нием
Иl nj
и'} == п9 '
Поскольку трансформатор идеальный, мrновенная мощность во вто-
ричной цепи равна мощности первичной. Значит, токи обмоток свя.
ваны соотношением
/1. n2
1 f == nf .
ТОК 12 И нап ряжение и I сдвинуты ПО фазе на n/2; такой же сдвии-
будет и между 1 i и Иf.. Отсюда видно, что трансформатор с nO;t-
ключенным к нему конденсатором емкости С можно заменить кон-
денсатором, емкость KOToporo равна
Cj z: С ( :; ) 2 ....4.1O 8 Ф.
После TaKoro преобразования наша схема представляет собой обыч.
ную цепь, содержащую сопротивление R и емкость . Амплитуда
тока в цепи '
и и
I == == 4 0.17 А.
( R + ( 2n i ) 2 R3 + 4nа:2 С;
GJlВИI' фаз
ер == arctg 1/2:VCi arctg (2nV :; RO)::::S 0,9 рад.
223
3.80. При таком cTpaHHoilT подключении трансформатора (рис. 201)
я результат получится необычным напряжение на каждой из
обмоток будет равно нулю. В самом деле, обмотки соединены парал-
лельнО. 9начит. их напряжения одинаковы. Маrнитный поток не
рассеивается (сердечник имеет
R /, /2 большую маrнитную прониuае-
мость), значит, поток Ф через
л, П 2 пюбой из витков один и тот же,
т. е.
nt Ф ' -= п2 Ф '
откуда следует Ф' с:: о.
Это может выполн яться толь-
ко в том случае, коrда поля обмо-
ток в сердечнике компенсируются. Поле каждоrо из витков про-
порuионально ero току, (f. е.
njl j :1: п,1 2 - о. (1)
«Плюс) или «минус) в формуле получаются при различных под-
ключениях обмоток ДРfr относительно друrа (если одну из обмоток
переключить наоборот, то ее поле в сердечнике ивменит направле-
ние на противоположное).
Так как напряжение источника приложено в ревисторJ' R.
и
1(+ 1'--7["
(2) (точнее.... две системы иа АВУХ &,равне..
Рис. 201
(2)
Решая эту систе (1) и
пий каждая), получим
'1 0;147 А,
'. 0,073 А,
1(-=0,44 А .
' -0,22 А.
4. ОПТИКА
4.1. Камера-обскура это просто ящик :с дыркой,
напротив которой находится фотопластинка (рис. 202). Для рас-
четов можно принять, что И3 каждой точки ИСТОЧНИI(а исходит
пучок лучей, оrраничиваемый дыркой перед попаданием на фото-
пластинку. Конечно, изображением точки в этом случае оказы..
вается небольшой кружок. Для Toro чтобы ПОЛОСЫ можно было
различить, нужно сделать так, что.
бы изображения ближайших ДРУ17
к друrу точек, принадле}кащих раз-
ным полосам на шкуре-источнике,
1 не перекрывались. Из rеометри-
l ческих соотношений (см. рис. 202)
получим (полосы считаем узкими):
х > (dj2) ctg а.
Но
1 d (L + х)
:( J.......... х tg а -= 2 (L + х) , х > l ·
Рис. 202 ОТСЮД2! х > d.Ljl == 10 см. (Мы
учли, что d < 1). Итак, rJrубина
камеры lIолжна быть более 10 СМ. Леrко видеть, что при диаметре
отверстии d == I мм Llифракцией можно n рен 6речь.
4.2. При рассматриваемом взаимном расположении ИСТОЧНИI<а,
ЭК р;=}на и зеркала зайчик на экране будет иметь форму треуrоль-
н и ка, подобноrо треуrольнику-зеркзлу. Все линейн ые размер ы
ввйчика при этом будут в два раза больше соответствующих раз-
меров эеркаnа. Следовательно, площадь зайчика S будет удовлетво-
рять СООТНОl11ению
L
s == 48,
r де s ПЛОlцадь зеркала.
Поскольку зеркало имеет форму равностороннеrотреуrольника
со стороной а,
а2. уз
в== 4 ·
Тоrда
s == 4s == 402 V 3 == а 2 .r3 1 7. 1 0...1 M .
4 r ,
4.3. В описанной ситуации «восточные» оконные стекла в ДОМ8Х1
ориентированы примерно одинаково и параллельно ДРУI' l1pyry.
Поэтому он и MOr}T фактически рассматриваться как части одноrо
большоrо зерк ла. В таком эеркале по мере BocXOJla Солнца мы
видим светило все выше и выше, т. е. «светящиеся» окна должны
перемещаться вверх по склону ropbl. К роме Toro, как нетрудно
заметить, в северном полушарии они HeMHoro смещаются на юr,
а в южном полушарии на север. На экваторе в дни BeceHHero и
oceHHero равноденствия боковоrо смещения нет.
4.4. Если а.......уrол падения луча, а q> уrол преломления луча,
то из аакона преломления Вln <Х== п еln q> получим, что максимально
возможному yr лу падения а б дет отвечать максимально возмож-
ный уrол преломления q>, и наоборот. В CBOIO очередь, уrол пре-
помления <р тем Оольше, чем больше при данной высоте призмы а
проекция О' В (рис, 203) преломленноrо луча 08 на основание
226
приэмы. Точки О и О' центры соответственно, BepXHero и нижнеrо
оснований призмы. Действительно, tg <р== О' В/а и чем больше tg <р,
тем больше уrол <р, а значит, и уrол падения а. Следовательно,
максимальный уrол падения C1 max будет тоrда, коrда преЛОМJIен-
вый луч пройдет через одну из вер-
и}ин нижнеrо основания призмы,
liапример, через вершину А. При
9ТОМ
а mах == arcs[n 0,75.
4.5. У даляясь от рассматри-
ваемой поверхности, во-первых,
добиваются увеличения поля зрения, т. е. при неизменном уrле
зрения увеличивается доля одновремен но рассматриваемой поверх-
ности. Во-вторых, чем дальше мы удалились от поверхности, тем
С' роже оказался по rлу отбор лучей, которые приходят в rлаз.
Эrо означает, что если от некоторой точки поверхности луч при-
Ulел в rлаз под некоторым уrлом, 1'0 точка, от которой луч придет
HeMHoro под друrим rлом, будет тем ближе, чем дальше мы отошли
от поверхности. Мы как бы сужаем уrловые размеры световыХ!
пучков, приходящи в rлаз от точек рассматриваемой поверхности.
Поэтому даже небольшая неровность поверхности ПрИ80ДИТ к тому,
что sначительная часть лучей от нее в rлаз не попадает, если
отойти подальше, что и приводит к улучшению контрастности
рассматриваемой картины.
Рассматривая поверхность вблизи, но полоrо, добиваются уве-
личения доли рассматриваемой поверхности и более KOHTpaCTHoro
ПРОЯВJlения соответствующи неровностей, если rлаэ слеrка то
приближать, то удалять от поверхности. Неровности поверхности
при этом проявят себя наиболее сильно, поскольку при покаЧИВ8-
нии rоловы будут резко меняться наиболее отчетливо видимые
участки неРОВНБ1Х мест. Эти места будут как бы «дышать}) в Т8КТ
поворотам rОЛОВБ1.
4.6. При исходном положении стакана пуч света, падающий
нормально поверхности жидкости, очевидно, последовательно про-
ходя через две плоскопараллельныХ! пластиНВ.....первая обрааОВ8Н8
слоем жидкости, вторая......это дно стакана, ......н8 изменит направле-
ния распространения. Он выйдет из стакана п рпеНдикулярНо дну.
После поворота стакана на небольшой frол «р луч света встре-
тит на своем пути, bo-первыХ!, приэму с малым преломляющим
уrлом €p ИJ жидкости С покаэателем преломления n, а аатем стек-
лянную плоскопаралпельную пластину .......дно стакана.
Рассмотрим сначала прохождение луча через жидкую приэму
(рис. 204). Свободная поверхность воды остается после поворота
стакана rоризонтальвой, поэтому на ней в точке А луч не претер-
пит преломления и упадет l\але8 ка rраниц)' раадела жидкости и
АЙ' а уз УЗ
tg «Ртах == 00' == за == 3 j
т. е.
sln а. тах == п sln <Ртах == 0,75.
Таким образом,
зt
<pmdx == 6 '
I I
'
I I
+
"
10' ( "
"
Рис. 203
221
стекла под уrлом q> (так как именно на такой уrол повернулось
дно стакана) в точке В. Пусть покаsатель преломления стекла
равен nl 4 тоrда уrол t}, который образует луч с нормалью после
преломлен ия, найдем из 8аКОlI а л реломлен ИЯ sln :::::: sfn <р. Точно
пf
под таким же уrлом В луч упадет на rраницу раздела стекло воз-
дух (в силу Toro, что дно стакан а
плоскопараллельно). После выхо.
да из стакана луч составит уrол
а с нормалью к ПЛОСI{ОСТИ дна ста-
кана, причем из закона преломления
....
получим
Л ,
tp
п
.....
sln "Х == sln В. пj .
т al{ как нор Ma.ТIЬ к ПЛОСI{ОСТИ дн а
стакана составляет с вертикалью
уrол , то вышедший из стакана
луч будет отклонен от направле-
ния первоначальноrо распростране-
н пя на уrол
204
1р== (X <p.
Учитывая малость yrJloB q> и С'Х, из законов преломлени5' н аЙllем a
а: -= пер,
Т. е. при повороте стакана нв )'ТОЛ <р уrол выхода луча И3 стакана
изменится на
'IJ === а <р == q> (п......]).
4.7. Изображение Солнца, полученное при помощи линзы
с фокусным расстоянием Р, имеет пиаметр d::= а. F, на Hero попадает
световой ПОТОI{ со всей поверхности линзы....... Зllачит освещенность
9Toro изображения больше освещенности линзы в (D/d)2== О2/а. 2 Р2
раз. Аналоrичная формула получается и для BorHYToro зеркала. Если
бы можно было считать систему плоских щитов BorHYTЬYM зеркалом
диаметром 10 меlрОВ (оценка довол ур rрубая 100=:;IО.10) и
фокусным расстоянием равным 20 м (расстояние до объекта), то
отношение квадрата диаметра к квадрату фокусноrо расстояния
(для JIИНЗЫ эту величину называют светосилой) будет ра вно (),25,
что БОЛЬUlе, чем линзы, с помощыо КОIОрОЙ можно вых{иrаТь......
0,09. Однако составленные рядом щиты .......9то не сферическое зер-
кало. Отличие эак;пючается в том, что размер изображения Солнца
в BorHYTorv' зеркале определяется, как и у линзы, уrловым разме.
ром Солнца и' фокусным расстоянием и составило бы в наИlем
случае 0,01. 20 == 0,2 м, а ДЛЯ «coCTaBHoro» зеркала оно не может
оказаться меньше размера щита........) м (расходимостью лу чей в этом
случае можно пренебречь по сравнению с размерами «заЙЧИl{а»)
И освещенность будет в (1/0,2)==25 раз меньше, а значит в 9 раз
меньше, чем линзы для выжиrания. Итак, если взятые нами
цифры (довольно произвольные) близки к р альным, то рассказ
неправдоподобен. Впрочем, в rреции довольно жярко, а воинов
можно собрать и побольше, да и щиты их Mor ли оказаться не
плоскими, а ВоrнутыМи.....в сторону моря, так что все не так просто.
KCTal и, подумайте каким был бы наилучший радиус кривизны
щита для поджиrательских цедей,
228
4.8. Мерцание звезд обусловлено турбулентными потоками воз-
духа в атмосфере, которые возникают из-за HepaBHoMepHoro про-
rpeBa атмосферы. В основном это восходящие потоки, возникаю-
щие из-за разности температур земной поверхности и прилеrаю
щих к ней слоев воздуха. Эти потоки приводят К TOMYt что плот
ность атмосферы все время HeMHoro меняется. Соответственно,
меняется 1I0казатель преломления, и поэтому идущие от звезд лучи
света преломляются то в одном, ТО в друrом направлении .....звеэды
мерцают. Этот эффект особенно заметен вблизи земли; поэтому
«низкие» 8везды, лучи которых по пути к наблюдателю проходят
больший п,ть В атмосфере, чем лучи «высоких» звезд, мерцают
заметнее.
4.9. Покажем сначала, что все уrлы, под которыми лучи света,
идущие от различных точек боковой поверхности конуса, падают
на поверхность жидкости не меньше Gtmin == л/3.
8'
в'
01
D2
. С
4
8
Рис. 205
Действительно, рассмотрим проиэвольную точку А боковой
поверхности конуса. Проведем чеt>еэ эту точку касательную к по-
верхности конуса ПЛОСКОС1fЬ (рис. 205, а). Эта плоскость, очевидно,
пройдет через образующуiо конуса, на которой лежит точка А,
и пересечет поверхность ЖИДIСОСТИ по rОРИ30нтальной прямой 88'.
Прямая 8В', в свою очередь, касательна KpyroBoMY сечению ко-
нической поверхности поверхностью воды в точке О. Все выходя-
щие из точки А лучи либо лежат в указанной плоскоct1и, либо
окажутся в той части пространства, от.uеляемоrо касательной
Плоскостью, rде нет конической поверхности. Следовательно, "8
из лучей, которые дойдут до поверхности воды, пересекут послед-
нюю либо по прямой 8Bt, либо правее (см. рис. 205, а). Кратчайший
путь до поверхности воды проделает один-еJlинственный луч тот,
который идет по образующей конуса. Он будет лежать в касатель-
ной плоскости и по теореме о Tpe перпендикулярах будет перпен-
икулярен прямой 8В", Опустим теперь перпен.llИКУЛЯР И3 точки А
на поверхность жидкости, получим точку А l (на рис. 205, 6
показан вид сверху на поверхность жидкости). Если рассмотреть
ПРОИЗВОЛЬНБIЙ луч, выходящий ИЗ точки А и не совпадающий с обра-
зующей конуса, то он «выйдет» на поверхность жидкости либо
в TOtJKe прямой 881;, например. Di или rJ1e.TO справа от прямой
229
BB' B точке D 2 . Леrко видеть, что A'D 1 > А'С, A'D 2 > АС. tlo
отрезки А' Di, А' D 2 И А/С являются проекциями отрезков AD 1t
AD 2 И АС на поверхность жидкости. Следовательно. будут выпол-
нены инеравенства ADl > АС и AD2> АС.
Уrлы падения лучей AC ao, ADl ai и AD2 a.2 наХОДЯ1СЯ
из уравнений
АА'
cos ао == АС '
АА'
cos аl == AD 1 t
АА'
cos а2== AD 2 .
Так как отрезок АС самый короткий, то и уrол падения луча АС
на поверхность ЖИДI{ОСТИ будет МИНИ:\1альным из всех возможныл.
И [ак,
л.
ао==з==а m i n .
Если уrол (хо будет уrЛО:\1 полноrо BHYTpeHHero отражения для
rраJIИЦЫ раздела жидкость воздух, то ни один из лучей, идущих
ОТ боковой поверхности КОНуса, не выйдет наружу. В этом случае
ни из одной точки пространства над поверхностью жидкости конус
не будет виден
Минимальное значение показателя преломления жидкости пrnin
найдем из условия полноrо BHYTpeHHero отражения для луча, па-
дающеrо на поверхность жидкости под yr лом аа
1
l sin ао == ,
пmin
но sln (хо
уз
2
.
Следовательно j
1
пmin ==
вln (хо
2
Vз.
Таким образом, для параI{сиальных лучеЙ (т. е. Jl 'r 1" ;1) для кото-
рых L\<p 1) изображение источника оказывается в точке падения
луча, испытавшеrо полное отражение (в точке 8).
4.10. Оrраничимся rрубой оценкой все равно физиолоrия
зрения очень не проста и рассчитать сколько-нибудь точно такие
вещи не удается. Итак, потребуем для BToporo случая TaKoro же
цветовоrо контраста, как и для первоrо. В первом случае раз-
ностный» световой поток составляет Е 1 == Ео (O,9 O,2) S. Во вто-
ром случае Е2==Ех (O,6 O,2) S и для равенства этих ПОТО,ков
необходимо взять Е х== Ео.О, 7/0,4 50{) .пюкс. ВОТ почему следует
пользоваться для (Jисьма и черчения именно белой бумаrой. Впро-
чем, есть и друrие причины.
4.1 а. Изображение и источник можно увидеть из одной точки,
если область I1 (р'ис. 206, а) не лех{ит целиком внутри области 1.
Крайний случай.......таКое положение точки А, коrда лучи АВ и DC
будут параллельны. Леrко видеть, что это будет в том (и только
в том) случае, косда точка А расположена на двойном фокусном
расстоянии от линзы.
Для доказательства проведем луч ЕО параллельно АВ и CD
(рис. 206, б) и воспользуемся тем, что лучи CD и ЕО после пре-
ломления в линзе пересекутся в фокальной плоскости.
Итак, изображение и источник можно увидеть одновременно,
если источник расположен от плоскости линзы на расстоянии
большем, чем d-=2F==2 М. (Напомним, однако, что формула линзы
230
применима только для узких пучков, что оrраничивает справе. .
JlИВОСТЬ ответа.)
4.12. Источник движется по ПРЯ\10 Й АО. Построим обычны
способом «изображениеi'> этоrо луча ---- прямую 08 (и ее продолже-
Ние......штрихОВ)-IО линию 08'). ЯСНО, что изображение источника
А
а
о
Рис, 206
снета движется ВДОЛЬ этой прямой, причем ero скорость v изменяется
от ну ля...... Kor да источи ик находится очень далеко от линзы, и ДО
очень большоrо значения, форМально.....до бесконечности, коrда
источник проходит через фокус Дальше скорость изображения
вновь уменьшается и достиrает значения v== vo cos a./cos Р, коrда
источник доберется до линзы.
, 88
"
"-
"
k
V o
а
"
Рис. 207
Придется отдельно рассмотреть два случая: если а+ > п/2,
«,о относительная скорость (рис. 207, а) не может быть меньше
Vo и равна ей, коrда источник находится очень далеко от линзы.
Итак, в этом случае ответ vo.
Если сумма казанных rлов меньше п/2, ответ получить слож-
нее, В этом случае минимальная величина относительной скоро-
сти v (рис, 207, б) достиrается в тот момент, коrда вектор отно-
сительной скорости окажется перпендикулярным вектору У. При
8ТОМ ио тв == Vo sln (а. + ). Уrол р находится из соотношения
tg == (а..... ') tg а//.
ТоrД8, после триrонометрически п реобразовапий, получим
V OTH 8IlaC= voa sln а/У f3+(а.и..f}3 tg 2 а.
231
Осталось найти 8начение утла (хо, при котором уrол между
лучами АО и ОБ составляет ровно л/2 (rраничное значение)
а tg (хо==Ь tg. o==b ctg ао.
Но Ь == af/(a ,); тоrда
tg ао=: V f/ (a 1).
4.13. Изображение на полу можно получить при различны
положениях линзы, и увеличение будет зависеть от положения
линзы. Наиболее четким изображение будет в том случае, коrда
«центр» источника (точка А на рис. 208) и соотвеТСТВУIощая точка
, изображения (точка А') лежат на
rлавной оптической оси линзы.
Нетрудно показать, что плоскость,
в которой лежит линза, прохо-
дит через вершину О прямоrо уrла
АОА' .
Запишем формулу линзы:
1 I 1 1 1
p===(i+t - I АО'I .;'- и' А' ,
н
о
А'
Рис. 208
Считая, что I ОА 1== н h/2 ==Hi,
получаем , Ай' == Н 1 cos а, I (}' А' 1==
== , ОА' I sln а == Н 1 tg а. sin а, и
1 + 1 1...
н 1 COS 'Х Н 1 t g а. s in а F J
откуда
F
sfn 2 а · соз а.. == Н 1
F
Н h/2 ·
Из 3Toro уравнения можно наАти frол а. Приближенно можно
считать (уrол а мал), ч то cos а 1, тоrда
sfn а ::::1 у Н Ы2 ::::1 0,233 и а::::1 0,231.
Рассчитаем теперь размер изображения. Если бы источник и
изображение лежали в плоскостях, перпендикулярны rлавной
оптической оси линзы, то увеличение было бы
J О' А' \
r,;= I А()' I
н i t g ({ sln а. ........ t
....... g а.
Н} cos а
в нашем случае увеличение равно отношению длин проекций изо-
бражения и источника на эти плоскости; 8нач т, размер изобра.
жения
h' ==hf tg Q == h tg,j '.J 0,25 см.
4.14. Наличие двух светящихея точек означает, что скорость,
с которой частица движется в резервуаре, больше скорости света
в >КИllКОСТИt Т. е. больше и==е/п (c----сКорость света в вакууме).
Действительно, в момеНl включения прибора к прибору при-
шел свет, испущенный до это['о В рззн ыв \10менты времени из то-
232
чек А и В. Путь ЕС свет прошел за время li, которое больше,
чем время t s на пути АС. Следовательно, в точке В частица была
раньше, чем в точке А, т. е. частица движется справа налево
(от В к А). За время t 2 ......ti свет в жидкости ПрОUIел путь 12 lf
(рис. 209), а частица.....пуТь ( 9 . Как
видно из рисунка 19 > 12 11.. Значит,
действительно, и > v.
Значение и найдем из уравнения
12 ........ 11. 19
и u'
следовательно,
13 С 13
и==и == .
12 11 п 12 11
Определив из чертежа отношение
1:J
l2 li' получим
u == 0,83 с.
Рис. 209
4.15. Сумерки..... это полутьма между за ходом солнца и наступ-
лением ночи. В 9ТОТ период освещение вызывается солнечным све.
том, рассеянным атмосферой на большой BыcOTe TaM, rде Солнце
пока еще не скр ылось за rop изонт. Высоко В ropax слой атмо-
сферы над землей меньше и период ero освещения после захода
Солнца короче. Поэтому и сумерки в ropax короче. Заметим, ч'fо
на планетах, лишенных атмосферы, сумерек нет. Нет их и на Луне.
«Т олубые дали».
Цвет неба определяется рассеянием солнечноrо света
в атмосфере. Правильное объяснение особенности окраски
неба принадлежит Смолуховскому и Эйнштейну, показав-
шим, что важнейшую роль иrрает рассеяние света из за
неравномерности распределения молекул воздуха в атмо-
сфере, т. е. из-за флуктуаций плотности воздуха.
Наиболее сильно молекулы воздуха рассеивают СИНIОЮ
часть спектра, и участки неба, которые мы видим в рас-
сеянном свете, кажутся rолубыми. Может возникнуть воп-
рос! почему rолубыми, а не фиолетовыми? Дело в том,
что надо еще принять Ба внимание специфику восприятия
цветов человеческим rлазом и тот факт, что в солнечном
свете фиолетовых лучей «меньше», чем синих.
А теперь перейдем к рассмотреНИIО решений ваД8Ч.
4.16. МеЖllУ дальними rорами и наблюдателем находится тол-
стый слой воздуха, который из-за рассеяния солнечноrо СВета вос-
принимается rлазом rолубым. Поэтому дальние ropbl и кажутся
светлее и «окрашенными» в rолубо й цвет, что, кстати, корошо
видно на картина мноrи:'<i художников. Аналоrичный эффект леrко
ваметить; взrлянув в ясный солнечный JleHb на даЛЬНЮIО опушку
lIеса,
233
4.17. Частицы молока в воде рассеивают более интен(:ивно си-
ний свет, поэтому, как и в случае с цветом неба, вода в стакане
БУ..1.ет казаться rолубой. ПрошедшиЙ же через воду свет, наоборот,
o eДHeH синей компонентой и поэтому, если СМотреть через стакан
[1 а лампочку, она будет казаться красновато желтоЙ.
4.18. Цвет дыма внизу опреДeJlяе"IСЯ светом, рассеянным части..
цами дыма. Как и при рассеянии на флук rуациях плотности воз..
духа, наиболее сильно рассеивается свет синей ':.lзсти спектра, это
и приводит К тому, что дым костра кажется синим.
Над верхушками деревьев, на фоне свет лоrо неба цвет дыма
определяется проходящими через Hero лучами света. В проходящем
свете из..за рассеяния уменьшается относительная доля синей ком..
поненты спектра и в результате цвет дыма костра кажется желто-
вато-красноватым-
4.19. Утром и вечером, коrда Солнце находится низко над ro-
ризонтом, солнечные лучи пронизывают сущеСlвенно более толстый
слой атмосферы, чем коrда Солнце стоит высоко. Это усиливает
эффект рассеян ия солнечных лучей атмосферой из за сильноrо
рассеяния синей части спеК1ра солнечные лучи fiрIIобреТ310Т крас-
новатый оттенок, Э1ИМ, кстати, и вызван красный цвет неба при
восходе и заходе Солнца. Поэтому и заrар кнжется более темным.
(У1\1еньшение доли синих и ультрафиолетовых лучей, а также общее
ослабление солнечноrо излучения в атмосфере и приводят К тому,
что утром и вечером опасность солнечноrо ожоrа невелика.)
4.20. Освещенность любоrо участка поверхности земли создается
как прямЫМИ солнечными лучами, так и рассеянным в атмосфере
солнечным светом. Как известно, rраница тени задает область, куда
не попадают прямые солнечные лучи. Если бы вообще никакие
лучи в эту область не попадали, то соотвеТСТВУIощие участки были
бы бесцветными (черными).
В ясный солнечный день (коrда на небе почти нет облаков)
рассеянный свет, приходящий на Землю, «имеет син(ою окраску»
(цвет неба). Попадая в область «прямой» тени, этот свет отражается
от белоrо снежноrо покрова без существенноrо поrлощения (таково
свойство белоrо CHera) и придает тени синий цвет. Описанный эф-
фект тем более ярко выражен, чем чище снежный покров.
4.21. Если мы находимся вблизи сетки-оrрады, то даже отдель-
ный прут сетки может существенно перекрыть поле зрения rлаза.
у даляясь от сетки, мы увеличиваем поле рения rлаЗ8, при этом
соотношение между световыми потоками t ПРИХОJЯЩИМИ от отдель-
ных проволок сетки и от рассматриваемых объектов за сеткой pe KO
возрастает в пользу последни в меру отношения площадей дырок
к площади сетки (на иrрающеrо теперь приходится очень MHoro
клеток).
Быстро переДВ , иrаясь вдоль сетки, мы спос06ствуем тому, что
иrрающих видно лучше в силу Toro, что из-за инертности зрения
в формировании изображения иrроков участвует теllерь несколько
разлиqны MrHoBeHHblX картин. В разных картинах будут видны раз-
ные части иrрающи , так что в результате «суммирования» BCelQ
картин получается одна размытая, но существенно более,прозрачная
сетка, и иrроков становится видно HaMHoro лучше.
4.22. Явления TaKoro рода мы наблюдаем часто. Даже довольно
проэрачная занавеска днем «маскирует) комнату и снаружи не
видно Ничеrо.....если не ПОЛХОДИТh к окну вплотную, «зеркальные»
очки ltают возможность человеку видеть то, что происходит, и не
дают возможности опрелелить, KYia он смотр ит сам t Зато вечером,
234
коrда снаружи темно, а в комнате rорит свет .......все наоборот, сна-
ружи все видно, а из комнаты не видно ничеrо. И описанные очки
помоrают только при ЯрКО!,f освещении, а в полумраке становятся
почти прозрачными. Дело тут в том, что на фоне отраженноrо (очки)
или рассеянноrо (занавеска) внешнеrо cBeToBoro потока почти не
виден слабый поток, проникающий изнутри. Очки для этоrо нужно
сделать достаточно БОЛЬШИ 'IИ (нужно заслонить от внешнеrо света
rлаза), а коэффициент отражения достаточен совсем небольшоЙ......
5 10 %.
Сделае 1 rрубую оценку для занавески. Пусть нити перекры-
вают часть CBeToBoro потока снаружи и вовнутрь попадает 1/n часть
падаIощеrо на окно потока (n > 1). Если освещенность прямыии
солнечными лучами Ео, то освещенность предмета, находящеrося
БJ1И3КО к окну Е == Ео/n, с учетом поr лощения света на обратном
пути Е о бр==Е о /п 2 . Освещенность занавески Ea==Eo(l l/п). Будем
считать, что маскировка проис-
ходит при Е о бр==Е з . Тоrда полу- ' ..J L L
чим уравнения .
...... ................... .........s...
n2 n 1 ==0, п 1,6.
При таком п внутрь прохо-
дит примерно 0,7 от внешнеrо flO-
тока, значит суммарная площадь, d/2
переКРqIваемая НИТЯ iИ, составит
0,3 от общей площади OI{Ha. Один
.. 1 d 4 I ')
слои марли закроет 2 а а" ==
== О, 1.. (рис. 210), Т. е. 10 % площа
ди. Если считать, что н ити почти
не перекрывают друr друrа, то
можно принять необходимое чис- а
ло слоев равным трем. Это впол-
не соrласуется с практикой. Рис. 210
4.23. Поскольку по УСЛОВИIО
задачи внутренняя поверхность
сферы не поrлощает падающую на нее световую 9нерrию, после
мноrократиых отражений через некоторое время в системе УСТ8НО-
вится равновесие. При этом каждый небольшой участок внутренней
поверхности сферы всю попадающую на нето CBeToBYIO энерrию
будет равномерно рассеивать во все стороны. В результате уста-
новления равновесия освещенность всех внутренни точек сферы,
кроме точки, противоположной отверстию, будет одинаковой. При
равновесии суммарная световая энерrия, приходящая к отверстию
в единицу времени от всех внутренних точек сферы, будет равна
энерrии, поступающей через отверстие в сферу иавне. Таким обра-
зом, после установления равновесия (3 именно такая ситуация
и рассматривается в задаче) отверстие будет эквивалентно УСТрой-
ству, которое всю приходящую к нему энерrию от всех внутренних
точек сферы посылает узким пучком в диаметрально противополож-
ную точку.
Леrко понять, что в силу малости отверстия суммарная энер-
тия, приходящая к нему от всех участков внутренней поверхности
сферы, равна суммарной энерrии, рассеиваемой во все стороны
JIюбым участком сферы, равным по площади ОТRерСТDЮ (это следует
из обратимости состояния равновесия еCJIИ все рассеиваемые лучи
«заставить» двиrаться в обратных направлениях, то ничеrо не из-
235
меtlИfСЯ); ЭТО рассуждение не касается только точки, диаметрально
(J ротивоположной )тверстию.
Итак, в силу рассеяния доли энерrии, посылаемые всеми внут-
ренними точками как к отверстию, так и в противоположную от-
версТИЮ точку J будут одинаковыми. Кроме Toro, ровно столько же
энерrии придет n точку, ПРОТИВОПОЛО)l{НУЮ отверстию, и от caMoro
отверстия- Следовательно, освещенность внутрен них точек сфери-
ческой поверхности будет ровно вдвое меньше освещенности точек
участка сферы, п ротивоположноrо отверстию. (Чем меньше площадь
отверстия, тем точнее выполняется отношение 1 :2.)
4.24. Для увеличения предельной дальности работы раАИОЛО-
катора увеличивают мощность передатчика, разрабатывают прием-
ные УСI ройства высокой чувствительности, применяют антенны
с очень высокой направnенностью.
Чем определяется направленность антенны?
Соrласно законам rеометрической оптики, точечный ИСIОЧНИК,
ПО\1ещенный в фокусе параболоида, дает после отражения парал..
лельный пучок лучей (уrол расходимости пучка равен нулю). В этом
случае освещеннооть объекта, попавшеrо в луч, не зависит от рас-
стояния до отражателя.
На caMO 1 деле уrол расходимости пучка не равен нулю и опре-
деляется дифракцией.
Для приближенноrо расчета пучка удобно воспользоваться
такой МО.llелью: плоская электромаrнитная волна (какая получилась
бы при отражателе очень больши размеров) падает на непрозрач.
ный экран, в котором проделано круrлое отверстие диаметра d
(d......диаметр зеркала). Будем приближенно считать, что направле.
ние на первый минимум в зтом случае соответствует уrлу
а-л/d.
в нашем случае уrол а довольно мал, что позволяет упростить
дальнейший расчет. На очень большом расстоянии L от зеркала
радиус «освещенноrо» пятна r-аL и на самолет с площадью ПО-
ве рхности S lIопадает мощность Ре == Р иS/'Jtr2 (мы приближенно
п ринимаем, что освещенность в прелелаJO Bcero пятна ОДНа и та
же). По fСЛОВИЮ заJlачи отраженный от самолета сиrнал равномерно
распределяется во все стороны. Мощность принятоrо сиrнала Р пр ,
попаJlающеrо обратно на антенну r равна
'Jtd 2 /4 nSd'
Р пр - Реп 431L2 === Р И 16;-й.2LJ .
Максимальная дальность Lmax соответствует пороrовой чувствитель-
ности приемника. Иа у словия Р п р - Pml n иаХОjИМ
, / Р И nSd 4 10 5 О
Lmax - у Pmin 16'Jtл 2 1,3. м == 13 км,
4.25. Свечение следа метеорита это реэулыат ero столкнове-
ний с атомами атмосферы. БлаrОllаря большой скорости метеорита
при evo движении в атмосфере раавивается высокая тамперат ра
и прОИIХОДИТ ионизация, так что СЛIJl метеорита представляет собой
плааму, СОQТОЯЩУЮ из электронов и положительно sаря:)кеННЫJQ
ионизованны атомов. При рекомбинации, KOflla электрон вновь
занимает свое место в атоме, энерrия, еатраqенная на иониsацию,
8ыделяется в ВИ4е квантов света.
236
Леrко понять; что яркость свечения нарастает по мере прибли-
жения метеорита к земле, поскольку растет плотность атмосферы
Й, СlIедоватеЛЬНО J большее "число молекул в единицу времени стал-
кивается с метеоритом. Коrда метеоритная частица находится 38
пределами земной атмосферы, она вообще не светится.
G разной плотностью атмосферы на больших и малых высотах
связано и различие БО времени свечения следа. На больших БЫСО-
fJ'ax, rде плотность мала, проходит больше Бремени между соударе-
ниями частиц плазмы друр с друrом и с молекулами воздуха, а именно
вти столкновения ПРИБОДЯТ к рекомбинации. В результате свечение
следа может продолжаться несколько секунд, На малых же ВБIсотаXJ
блаrодаря большой плотности атмосферы рекомбинаuия протекает
очень быстро.
4.26. Описанное Б задаче явление связано с тем, что Б атмо-
сфере Земли коэффициент прелоылен ия СБетовых лучей и радиовоw'IН
разный. Путь распространения свеТОБЫХ лучей от Луны Б атмосфере
HeMHoro отличается от прямолинейноrо (так называемая рефракция),
аналоrичное явлен ие су-ществует и для радиосиrналов, но отклонс-
ние будет иным. Таким образом, траектории радиосиrнаЛОБ и лучей
света от. Луны различны что и Бызывает необходимость в разной
направленности. телескопов для оптическоrо и радиолокапионноrо
изображений Луны.
НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
rравитаииов ная постоянная
Ускорение свободноrо падении
(нормальное)
Скорость света в вакууме
Электрическая НОСТОЯНН8S1
Масса покоя электрона
протона
Элементарный заряд
Orношение заряда электрона
к ero массе
Постоянная Планка
ПОСТОЯН ная Авоrадро
Универсальная rаэовая постоян-
ная
Постоянная Больцмана
Плотность воды
льда
..... ртути
Удельная теплоемкость ВОДБJ
льда
Удельная теплота испарения
воды
плавлен ия
льда
а == 6,67 · 1 О 11 Н. м 2/ Kr
g==9,8 м/с 2
С:=: 2,998.108 м/с
80 == 8.8S.10 12 Ф/М
т == 9,1.10--31 Kf
т р == 1836т == 1,67.10"1' кр
е == 1,6.10--19 кл
e/т==I,76.10 1J кл/к"
h.. 6,63-10'" 34 Дж-с
N А=- 6,02 -1 023 моль" l
R == 8,31 Дж/(моль, К)
k_l,38.10 23 Дж/К
103 Kr 1м3
0,9-103 Kr/M8
13,6.103 кr/м З
4200 Дж/(кr. К)
2100 Д>к/(кr. К)
2,26.106 ДЖ/КJJ
0,32.106 ДЖ/КI'
СОДЕРЖАНИЕ
.
i7 V
Преяисловие
3
8АДА ЧИ
1. Механика 5
Кинематика 6
Динамика 12
Законы сохранения 14
Статика и rидростатика 19
Механические колебания и ВОЛНБf 23
2. Молекулярная физика и тепловые явления 27
Идеальные rазы, начала термодинамики, тепловm:1 про-
Ц Ы
Лары, влажность, поверхностное натяжение 31
Теплопередача, тепловое расширение 36
8. Электричество и маrнетиsм 41
Постоянный ток, електрические uепи 42
Электростатика, емкость 49
Силы в маrнитны поля 57
4. Оптика 63
РЕШЕНИЯ
1. Механика
2. МолеКУЛЯРН8И физика и тепловые ЯВJlенив
з. Электричество и маrнетизм
4. Оптика
Некоторые физические константы
68
'138
169
225
238
239
Научно-популя,ное издание
БУЗДИН Александр НваНО8и"
3 И л ЬБ Е Р М А Н А Аекса1lдр РафаUАОВUfl
КРОТОВ Сереей (Jер2еевuч
РАЗ ЗАДАЧА, ДВА ЗАДАЧА...
Библиотечка «Кв а Hn, вВ1ПУСК 81
3аВt"Д)'ЮЩИЙ редакцией Р. й. КУАиков
Редактор Т. Р. Борисова
Художник д. А. Крымов
Кудож веННВlА редактор Т. Н. KOAbfleH1CO
Технический редактор В. В. МОРО8084
КОРРРКТОР М Н. Дронова
ИБ N!! 41085
Сдано в набор 27.03.90. Подписано в печать 1 .1 О. 90. ФО1>ма1' 4 Х 0 8 t
Бумаrа I'НП. 1(2 2. rарпвтура литературная. Пеllа'РЬ высокая, Уел. П$ _ L t
Уел. Kp.-OТf, 12,81. 1'Ч.-И3Jl. л. 11,84. Тираж 150000 эка, 8акае () 21tJ
Це на 1 руб.
ИздательокФ-проивводотвевное и книrоторrовое объединение HaYKaa
f'лаВRая редакция ФИЗИК0-маiематической литераТУР&J
'11071 Мооква В-71, Ленинский проспекw, 15
Набор и матриIXS ордена Октябрьской Революции и ОрДена TpYAoBoro Краеио!'9
Знамени мпо «Первая Образцовая rrипоrрафИЯ:t Fосударственноrо К(9митета СССР
ПО печати. 113054, Москва, Валовая, 28
ОтпечатаН0 на ПOJJиrрафкомбинате ЦК Лкс.м Украины «Молоды
ордена Трудоворо I(расноrо:3намени издательско..полиrрафическоrо объединения
цк вл Кем «Молодая Рвардия:t 252119 Киев.119, ул. Пархоменко З8 44.