Tags: аэродинамика теория полёта общетехнические дисциплины математика прикладная математика
ISBN: 5-03-001081-5
Year: 1989
Text
дЖ КОУЛ, Л. КУК
ТРАНСЗВУКОВАЯ
АЭРОДИНАМИКА
g«(f< Е\
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
TRANSONIC
AERODYNAMICS
Julian D. Cole
Departmeпt of Mathematica/ Scieпces
Reпsse/aer Po/ytechпic /пstitute
ТroY, NY, U.S.A.
L. Pamela .Cook
Departmeпt of Mathematics
Uпiversity of De/aware
Newark, ОЕ, U.S.A.
North-Hollaпd ...... Aтsterdam
New York...... Oxford ...... Tokyo
дж. коул, л. КУК
ТРАНСЗВУКОВАЯ
АЭРОДИНАМИКА
ПЕРЕВОД С Анrлийскоrо
д-ра физ.-мат. наук В.П. СТУЛОВА,
канд. физ.-мат. наук В.Н. Д И ЕСПЕРОВА, И.В. САВЕНКОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
д-ра физ.-мат. наук Y.r. ПИРУМОВА
МОСКВА ((МИР" 1989
ББК 30.124
К73
УДК 533.6
Коул Дж., Кук л.
К73 Трансзвуковая аэродинамика: Пер. с анrл. М.: Мир,
1989. ...... 360 с., ил.
ISBN 5..03..001081..5
в lCНиrе известных амерпансJCИX авторов изложена теория трансзвуковых течений ra
за. Представлены аналитические методы решения rлавным образом внешних задач аэро
динамики. Рассмотрены двумерные и пространственные, а также нестационарные
теченWI. Приведены также исследования течений в соплах и струях. Описаны трансзвуко--
вые законы подобия и некоторые современные численные методы.
для научных работнИlCОВ, специализирующихся в аэродинамИlCе и ПРИlCЛадной MaTe
маТИlCе, а также студентов и аспирантов.
20040 319
К 041(01 89 109 89
ББК 30.124
Редакция литературы по новой технике и космическим исследованиям
Научное издание
Джулиан д. Коул, л. Памела Кук
ТРАНСЗВУКОВАЯ АЭРОДИНАМИКА
Заведующий редакцией В. И. Пропой. Ст. научный редактор О.Н. Вишнякова
Мл. редактор ю. В. Иванова. ХУДОЖНИIC В. И. Шаповалов
Художественные редакторы О.Н. Адаскина, Н.М. Иванов. Технический редактор Т.К. Такташова
Корректоры Т. Е. Луrанова, Т. А. Куликова
ИБ .N26837
Подписано к печати 27.07.89
Формат 70 х 1()()Х6. Бумаrа офсетная N2 1.
rарнитура таймс. Печать офсетная (фотоофсет). Объем 11,25 бум.л.
Усл. печ. л. 29,25. Усл. Kp. OТT. 58,50. Уч. изд.л. 24,83.
Изд. N2 7/6140. Тираж 2350 экз. Зак.l084. Цена 5 р. 30 к.
ИЗДАТЕЛьcrВО «МИР»
В/О «СОВЭКСПОРТlCНиrа» rосударственноrо комитета СССР по делам издательств,
полиrpафии и книжной торrовли.
129820, rcп, Москва, И 110, l й Рижский пер., 2.
Набрано в Межиздательском фотонаборном центре издательства «Мир»
Можайский полиrpафкомбинат В/О «Совэкспорткниrа»
rосударственноrо комитета СССР по делам издательств, полиrрафии и книжной торrовли.
143200, Можайск, ул. Мира, 93.
ISBN 5-03-001081-5 (русек.)
ISBN 0-444-87958-7(aнr л.)
@ EIsevier Science Publishers ВУ., 1986
@ перевод на русский язык, «Мир», 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая моноrрафия является тридцатым томом известной серии «При..
кладная математика и механика», издаваемой в Нидерландах. Авторы кви..
rи известные специалисты в области аэродинамики трансзвуковых ско"
ростей.
Около тридцати лет назад были опубликованы две моноrрафии, посвящен..
ные трансзвуковой аэродинамике: К. rудерлея «Теория околозвуковых тече..
ний» (1957 r.) и л. Берса «Математические вопросы дозвуковой и около..
звуковой rазовой динамики» (1961 r.), которые оказались весьма полезными
для аэродинамиков. Обе эти моноrрафии были переведе ы в Советском Со..
юзе. За прошедшее время в данной области накоплено MHoro информации,
опубликовано большое число статей, созданы ориrинальные численные мето..
ды. Основные достижения последних лет нашли отражение в предлаrаемой
читателю квиrе.
Актуальность рассматриваемой проблемы велика, особенно для задач
внешней аэродинамики как в стационарном, так и внестационарном двумер..
ном и пространственном течениях, которые во MHoroM определяют развитие
современной авиации. Трансзвуковые течения имеют место также и в компрес..
сорах, в турбинах, около лопастей вертолетов, в критическом сечении аэроди..
намических сопел и сопел реактивных двиrателей, в диффузорах.
Трансзвуковая аэродинамика обладает рядом специфических особенностей
по сравнению с аэродинамикой до.. и сверхзвуковых скоростей в силу Toro,
что течения rаза происходят при числах Маха, близких к единице. Это приво..
дит К существенному усложнению как физической картины течения, так и ма..
тематическоrо аппарата, который опирается в основном на нелинейные
дифференциальные уравнения в частных производных смешанноrо типа. В
трансзвуковом потоке возникают ударные волны, контактные поверхности,
взаимодействующие между собой, что в ряде случаев приводит к неустойчи"
вости течения и требует применения для исследования специальных аналитиче..
ских, численных и экспериментальных методов.
В моноrрафии представлены rлавным образом аналитические методы, хо..
тя изложены и некоторые численные методы, с пояснением, как правило,
сложной физической картины течения; при этом в ряде случаев дано сравнение
и с экспериментальными данными. Особое внимание уделено применению ме..
тода малых возмущений для трансзвуковых течений и аналитическим решени..
ям нелинейноrо уравнения для потенциала скорости. В книrе в основном
рассмотрена проблема трансзвуковоrо обтекания тел, хотя имеются разделы,
6
Предисловие редокторо перевода
посвященные течениям в каналах, соплах, течению от источника, течениям в
струях. Моноrрафия современна как по содержанию, так и по стилю изложе
ния и может быть полезна научным работникам, специализирующимся в аэро
динамике и прикладной математике, аспирантам и студентам старших курсов.
Авторы книrи приводят ссылки на основные работы, выполненные в Co
ветском Союзе по этой проблеме. Некоторые дополнительные ссылки на pa
боты советских авторов сделаны по тексту моноrрафии. При переводе были
устранены опечатки и неточности, замеченные редактором и переводчиками
книrи. Перевод книrи осуществлен И.В. Савенковым (rл. 1, 2), Д pOM физ.
мат. наук В.П. Стуловым (rл. З, rл. 5 разд. 5.1 5.5, rл. 6, 7) и канд. физ.
мат. наук В.Н. Диесперовым (rл. 4, rл. 5, разд. 5.6).
Y.r. Пuрумов
Авторы выражоют свою nризнательность Научно..
исследовательскому ведомству ВВС за поддержку данноzо nроекто в
рамках контракта NJ Р49620..79..с..о162. Второй автор хотел бы
также nоблаzодарить Национальный научный фонд за поддержку в
виде официальных субсидий NJ MCS 80..02203 и DMS..8401738.
1. ВВЕДЕНИЕ
Трансзвуковыми называются течения, местная скорость которых близка к местной
скорости звука, т. е. местное число Маха М, определяемое как отношение скорости
потока q к скорости звука а, близко к единице (М == q/a == 1). Скоростной напор
р q2/2 и статическое давление Р таких течений являются величинами одноrо поряд..
I:а, так как p 2 'У м2 /2 0(1)1). Поскольку местная скорость потока близка к
IPитической, можно ожидать появления некоторых характерных особенностей тече
ния, отличающих ero от друrих режимов течения, что в действительности и проис
ходит. Качественными особенностями, пр и сущим и трансзвуковому течению,
являются наличие минимальноrс сечения в трубке тока при местном числе Маха,
равном единице, и возможность появления ударных волн при М > 1. Например,
при формировании местной сверхзвуковой зоны в потоке при обтекании профиля,
а также при сверхзвуковом ero обтекании появляется ударная волна (рис. 1.1.1).
.
Мао < 1
.
\
I
М<1. М>1 <
I
I
Мао > 1
Рис. 1.1.1.
Примеры типичных трансзвуковых течений.
в технических приложениях трансзвуковые течения встречаются при полете ca
молетов TaKoro типа, как «Боинr..727 и ..747», со скоростями, близкими к скорости
звука. В будущем возможно создание самолетов, не вызывающих звуковоrо удара,
поскольку их полет будет совершаться на таких больших высотах, что скорость
полета будет превышать скорость звука на этой высоте, хотя у поверхности земли
J) Для идеальноrо rаза а 2 = 'YRT =: 'УР/р. На десятикилометровой высоте Р/РО =: 0,26153, rде Ро
.Jавление у поверхности земли (Ро =: 1,01325.105 н/м 2 ), Р =: 0,4153 Kr/M 3 , а = 299,53 м/с,
Т = 223.25 К.
8
rлава 1
скорость самолета останется дозвуковой. Трансзвуковые течения наблюдаются так..
же в компрессорах и турбинах, около вертолетных лопастей, в окрестности мини..
мальноrо сечения сверхзвуковых аэродинамических труб и сопел реактивных
двиrателей, в воздухозаборниках. Даже при высоких сверхзвуковых скоростях поле..
та в окрестности rоловной части затупленноrо тела возникает трансзвуковая об..
ласть. «Квазитрансзвуковые» течения появляются тоrда, коrда одна из компонент
вектора скорости близка к звуковой, как, например, на крыле с yrлом стреловид..
ности, близким к yrлу Маха (JM := arcsin(l/ Мао), так что проекция вектора скорости
на нормаль к кромке крыла близка к скорости звука.
Цель настоящей книrи представить по возможности самосоrласованное изло..
жение теории трансзвуковых течений на основе элементарных понятий механики
жидкости и rаза.
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Рассмотрение будет вестись в рамках теории течения идеальноrо невязкоrо rаза (ra..
зодинамики). Для внешних задач результаты применимы к течениям около хорошо
обтекаемых тел при больших числах Рейнольдса. Предполаrается, что влияние вяз..
кости существенно только в очень тонких областях. Хорошо обтекаемые формы
тел желательны в технических приложениях, и опыт показывает, что в рамках не..
вязкой теории может быть решен широкий класс инженерных задач. Например,
можно рассчитать подъемную силу, сопротивление и момент для крыльев конечно..
ro размаха.
Эффекты вязкости и взаимодействия MorYT оказаться существенными, но в лю..
бом случае надо уметь рассчитывать невязкие течения.
1.2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
При систематическом изложении трансзвуковой теории малых возмущений будем
пользоваться методами возмущений. Применимость трансзвуковой теории под..
тверждается тем, что упрощенные уравнения отражают все существенные особен..
ности трансзвуковых течений и во мноrих случаях дают численные результаты,
хорошо соrласующиеся с экспериментальными данными. В рамках упрощенной тео..
рии формулируются различные правила подобия, что невозможно сделать для точ"
Horo уравнения. Реrулярная процедура вывода уравнений трансзвуковой теории
малых возмущений позволяет изучить поправки к теории первоrо порядка.
Кроме Toro, будут рассмотрены некоторые задачи, описываемые более точны..
ми уравнениями.
Потребуется знание некоторых специальных областей математики, а именно:
уравнений в частных производных смешанноrо типа;
слабых решений (ударные волны);
преобразований в плоскости rодоrрафа;
автомодельных решений;
новых численных методов для уравнений смешанноrо типа.
Замечание. Уравнения смешанноrо типа можно встретить также в друrих обла..
стях науки, таких как океаноrрафия, теория упруrих оболочек, вязкоупрyrие среды.
Введение
9
1.3. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Трансзвуковые течения начали изучать теоретически с начала столетия (см., напри..
мер, Чаплыrин С.А. О rазовых струях, изд"во MOCKoBcKoro университета, 1902).
Ударные волны как самостоятельное явление известны уже в течение длительно..
ro времени. Первые эксперименты были проведены в ЗО..х rодах текущеrо столетия
Бриrсом, драйденом иСтэком (NACA, США). Стимулом к их проведению послу..
жило обнаружение звуковых эффектов на концах лопастей пропеллера.
Пионерская работа в области трансзвуковых течений была проделана rудерлеем
(начало 1950..х rодов) и Франклем, о чем свидетельствуют мноrочисленные ссылки
на этих авторов на протяжении всей книrи. К настоящему времени накоплена об..
ширная литература по трансзвуковым течениям. В особенности MHoro работ посвя..
щено численному расчету приближенных и более точных уравнений.
НеВОЗМQЖНО в рамках одной книrи дать обзор всех последних достижений. Мы
пытаемся дать детальнyJO теоретическyJO картину основ трансзвуковых течений и
обсудить некоторые идеи в свете недавно разработанных численных подходов.
ЛИТЕРАТУРА
[1.1] Guderley, К. G., Theorje ScЬallnahe Stromиngeп, Springer.. Verlag Berlin
1957. English translation: Addison.. Wesley 1962.
[1.2] Bers, L., Mathematjcal Aspects of Sиbsonjc aпd Traпsoпjc Gas Dyпam
jcs, John "'.ilеу, N.Y. 1958.
[1.3] Ferrari, с. and Тricomi, F., '1ransonjc Аеrоdуnaпllсs, Academic Press
1968.
Имеются на русском языке
[1.1] rудерлей К. Теория околозвуковых течений. М.: ил, 1957.
[1.2] Берс л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуко..
вой rазовой динамики. М.: ил, 1961.
2. НЕприrодность ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ
В ТРАНСЗВУКОВОЙ ОБЛАСТИ
Движение самолетов и тонких тел в воздухе вызывает только малые возмущения.
Распространение малых возмущений в однородной покоящейся среде описывается
акустической теорией. Таким образом, вся линейная аэродинамика (дозвуковая,
сверхзвуковая, нестационарная) эквивалентна акустической теории, в основе KOTO
рой лежит классическое волновое уравнение. Однако в аэродинамике возникают HO
вые типы краевых задач.
Линейная теория чрезвычайно полезна для практических приложений, если она
дает хорошее приближение. Линейные решения леrко находятся, при этом возмож
ны постановка и решение адач весьма общеrо вида. Например, Джонс в рамках
линейной сверхзвуковой теории определил распределение подъемной силы на крыле
заданноrо размаха, при котором волновое сопротивление минимально. К сожале
нию, линейная теория неприменима к описанию трансзвуковых течений.
Для оценки неприrодности линейной теории рассмотрим развитие акустическоrо
поля в окрестности тела, летящеrо со скоростью звука. При этом потребуются
уравнения акустической теории. Предположение об изоэнтропичности течения экви
валентно предположению о малости возмущений в акустической теории. Этот BO
прос будет обсужден ниже.
Акустическая теория базируется на модели невязкоrо идеальноrо rаза. В этой
модели предполаrается, что влияние вязкости существенно только в тонких слоях,
таких' как поrраничные слои на твердых поверхностях, вихревые пелены, BHYTpeH
ние области скачков давления (ударных волн). Для безотрывных течений в рамках
невязкой теории можно рассчитать силы, нормЩ}ьные к твердой поверхности. При
этом можно пренебречь действием сил вязкости, хотя эти силы MorYT существен
ным образом изменить течение вниз по потоку. Предположение об идеальности ra
за не является обязательным, так как в силу малости возмущений можно
рассматривать произвольное уравнение состояния.
В дальнейшем при рассмотрении трансзвуковых течений будет использоваться
rлавным образом модель невязкоrо идеальноrо rаза.
2.1. УРАВНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
Пусть q(x, JI, t) скорость течения в неподвижной системе координат
(рис. 2.1.1). В акустической теории предполаrается, что скорость мала внекотором
смысле, например,
HeпpuzoдHOCтb линейной теории 8 mpaНСЗ8УК080Й области
11
I :., ' < < 1; {Iqo == скорость звука на бесконечности == ('У р ",,/ р 00)112 ,
"у == отношение удельных теплоемкостей == cp/c v == 7/5 для ДBYX
aTOMHoro rаза,
"у == 5/3 для одноатомноrо rаза.
Основные уравнения:
др
+ V.pq == О, V. div;
at
р { ; + q. V q} = V Р, V = gradj
Р РОО
р"У p"Jo .
Уравнения акустической теории выводятся в предположении малости возмущений
,
р/ роо == 1 + 8, J fo" f'
неразрывности
движения
(2.1.1)
изоэнтропичности
Р/РОО == 1 + Р.
Р, s « 1.
p Po р'
(2.1.2)
Подставим эти выражения в уравнения (2.1.1) и прене6режем членами BToporo
и более высоких порядков малости. У словие постоянства энтропии дает
1 + Р == (1 + 8)"У == 1 + ,/8 + · · ·
или ' D ' . р' 1>0 2
Р = 18. fio ':: t ро ' Р' = )1 Ро =- (2.1.3)
Уравнения неразрывности и движения записываются в виде
д8
Bt + V.ч == О, (2.1.4)
Bq
Роо ot == Poo Vp. (2.1.5)
Таtrnм образом, из уравнений исчезли нелинейные конвективные члены. Из ypaвHe
ния (2.1.5) имеем кинематическое следствие
BVJ
Bt == О, си == V х q = curl q == завихренность . (2.1.6)
Завихренность в любой точке потока не может измениться с течением времени. Так
как мы делаем предположение об отсутствии распределенной завихренности в Ha
чальный момент времени, она не может появиться и в дальнейшем. Однако, как
хорошо известно из аэродинамики, позади несущеrо крыла должна образоваться
концентрированная вихревая пелена, которая описывается уравнением (2.1.6). При
этом завихренность вносится в аэродинамическое течение действием сил в зкости.
Для дозвуковой задней кромки справедливо условие плавноrо схода с нее потока,
известное как условие Кутта. Это условие неявно отражает влияние вязкости в пре
деле Re ---+ 00 И позволяет отобрать единственное решение с вихревой пеленой. В
случае сверхзвуковой задней кромки условие плавноrо схода обеспечивается C CTe..
мой волн в окрестности этой кромки. В линейной теории классификация кромки
на сверхзвуковую и дозвуковую производится по невозмущенной компоненте CKO
рости, нормальной к ее поверхности.
12
rлава 2
у
Состояние
покоя
(Роо' РО
U(t)
.
U(t)
х
...
/
/ ////
I /
L Вихревая пелена I / /
1/
y
z
Рис. 2.1.1.
Система координат в акустике.
Рис. 2.1.2.
Сферически симметричное
расходящееся возмущение.
Таким образом, существует потенциал возмущенной скорости, такой что
q == Vф, Ф == ф(х,у,z,t). (2.1.7)
Уравнение движения имеет вид: V (р"" + Р..,р) == о. Ero интеrрирование дает
Роо(дф/дt) + РООР f(t) О, поскольку возмущения затухают на бесконечности. Ta
ким образом, имеем линеаризованное уравнение Бернулли 1 )
дф
РОО аф { Р Роо == Pдt,)
p==,s == Рос дt,или s == dф J (2.1.8)
a at '
связывающее поле давлений (и сил) с потенциалом. Уравнение для потенциала сле
дует из уравнения неразрывности
1 д 2 ф ,/Роо
а 2 at 2 + V'. v' Ф == о, a
Роо
Итак, имеем классическое волновое уравнение
1 а 2 ф а 2 ф а 2 ф а 2 ф 1 а 2 ф
V'2ф а 2 at 2 == ( дх 2 + д у 2 + az 2 ) а 2 at 2 == о. (2.1.9)
00 00
Наиболее типичное ero свойство состоит в том, что создаваемые точечные возму
щения распространяются во все стороны с конечной скоростью 000. Эта скорость
отражает свойства среды и не зависит от природы возмущения. Сиrнал, посланный
из точки РО в момент времени t О, за время t распространяется на расстояние
Ooot (рис. 2.1.2). Это свойство иллюстрирует основное решение, полученное uз сфе
1) Точнее, это линеаризованное уравнение Коши Лаrранжа. ПРUМ. перев.
Непри20дность линейной теории в трансзвуковой области
13
рически симметричноrо решения ур авнения (2.1. 9), описывающеrо уходящие волны.
В сферических координатах (R == ...J r- + y Z + z Z , t) волновое уравнение принимает
вид
д 2 ф 2 дф 1 д 2 ф
аю + RaR a at 2 == О.
(2.1.10)
к счастью, ero можно свернуть:
д 2 (Rф) 1 д 2 (Rф}
a R 2 2 д 2 = о.
а оо t
(2.1.11 )
Для уходящих волн получаем
ф(R,t) == f t R/a oo ) ,
R
(2.1.12)
тоrда радиальная скорость qR == дф/дR имеет «ближнее» и «дальнее» поля
дф /(t R/a oo ) f'(t R/a oo )
aR R2 aooR
«ближнее поле»
«дальнее поле»
Это решение можно интерпретировать как результат действия источника rаза,
помещенноrо в начало координат, причем «ближнее» поле представляет собой He
сжимаемое течение (почему?). При R О поток вытекающей массы (в единицах Рос)
определяется в виде
lim 471' R 2 аф (R, t) == 471' f (t) == Q (t) == Интенсивность источника. (2.1.13)
R......O aR
Для частноrо случая импульсноrо источника Q(t) == o(t) получаем фундаментальное
решение 8з волновоrо уравнения в трехмерном пространстве
ф(R ) S б(t R/a oo )
, t 3 ·
41r R
(2.1.14)
Это решение дает потенциал в точке с текущими координатами (R, t) от единично
ro источника, расположенноrо в точке с координатами (О, О), и удовлетворяет
уравнению
д 2 ф д 2 ф д 2 ф 1 д 2 ф
ах 2 + ау2 + az2 a at 2 == cS(х) cS(у) cS(z) cS(t)
при Ф == Фt == О и t = О .
(2.1.15)
Таким образом, уравнение (2.1.9) представляет собой уравнение неразрывности, а
правая часть уравнения (2.1.15) приобретает смысл распределенноrо источника.
Уравнение (2.1.14) показывает, что в действительности распространение ВОЗМУ
щений носит локализованный характер, и весь потенциал возмущения сконцентри
рован при R == Ooot. Соответствующее поле. давления
р р. p дф РОО б'(t В/а оо ) (2.1.16)
00 00 at 4п- R
1-'
r 1IQ8il 2
8QD
.
р
4
8QD
t
R
t=
8CJ:j
Рис. 2.1.3.
Давцение от импульсноrо источника.
Рис. 2.1.4.
Построение оrибающих.
указывает на возникновение особенности в виде сжатия, за которым следует разре
жение (рис. 2.1.3). Суперпозиция (справедливая в силу линейности) сферических по
лей позволяет с помощью процесс а построения оrибающих сформировать,
например, цилиндрические и плоские волны (рис. 2.1.4). Ясно, что движущееся с
постоянной сверхзвуковой скоростью тело обrоняет посылаемые им же сиrналы.
В этом случае оrибающая возмущений, распространяющихся от движущейся точки,
наклонена под уrлом Маха дм (рис. 2.1.5).
Рис. 2.1.5.
Возмущение, движущееся со сверхзвуковой скоростью.
2.2. ПРЕОБРА30ВАНИЕ rАЛИЛЕЯ
Простейшим решением линейной теории является обтекание бесконечно TOHKoro
рофиля равномерным сверхзвуковым потоком. Рассмотрим, например, обтекание
плоской пластины под уrлом атаки еж.сС 1. В линейной теории всеrда возможно
разбить течение BOKpyr профиля на два, а именно течение, обусловленное конечной
HeпpиzoдHocть линейной теории 8 mpaНСЗ8Уковой области
IS
толщиной тела, и течение BOKpyr бесконечно TOHKoro (и криволинейноrо) тела, pac
положенноrо под yrлом атаки. Такой простой ПОДХОД тем не менее позволяет полу
чить реалистическую оценку подъемной силы. Свяжем сист у координат (х', у,
t ') с движущимся С постоянной сверхзвуковой скоростью профилем
{ ж' == ж + и t } .
(2.2.1)
t' == t
Тоrда производные преобразуются по правилу
д д д д д д
+ u -------+ u
дж дх" Bt Bt' дж' дж'
для paвHoMepHoro течения, и
д 2 д 2
at 2 u 2 дх'2 '
д 2 д 2
дж 2 дж'2 ·
Волновое уравнение (2.1.9) для ф(х', у, t') в новых переменных имеет вид
2 д 2 ф д 2 ф
(Мао 1) дх'2 д у 2 = о. (2.2.2)
Теперь Ф потенциал возмущенноrо движения, наложенноrо на однородный
поток.
rраничные условия:
1. Условие непротекания
дф = tg n ( и + д Ф ) при у == tg а.ж' и О < х 1 < 1.
ду дж'
Anпроксимируя tga = а, дфl ду(х', ах') = дфl ду(х', О) и прене6реrая членами
BToporo порядка малости, на разрезе у = О, О < х' < 1 получаем линеаризованное
rраничное условие
дф ( ' ) , IJ
ду х, О = и n, О < х < .
(2.2.3)
2. Условие излучения. Волны не приходят из бесконечности на профиль, а толь
ко сбеrают с Hero вниз по потоку (рис. 2.2.1).
Общее решение в волн овой зо не, таким образом, прин имает с ледующий вид:
ф(ж',у) == f(ж' vM l у), если у> о, о < ж' VM l у < l,
ф(х', у) == g(ж' + V M lу), если у < О, О < ж' + V M lу < l,
rде f, g произвольные функции, описывающие уходящие волны. Функция f нахо..
дится из rраничноrо условия
(2.2.4)
:: == VM!o 1 f'(x' V M!o 1у)==
== V M lf'(ж') при у О,
дФ == UQ при у==о.
ду
16
rлава 2
у
\
",,\
( ) \\ \
ф=о \ \
и = const r \
--\
и > 800 \
\ х'
х' \
х
(+ )
Рис. 2.2.1.
Система волн при сверхзвуковом обтекании профиля.
Рис. 2.2.2.
Изображение траектории полета.
Следовательно,
/( ' ) ио: ,
х х.
..; M'tx, 1
Таким образом, имеем решение для волновой системы над профилем
Ф =:; ио: (х' у'М2 l у).
"; M 1 00
(2.2.5)
(2.2.6)
Из преобразованноrо соотношения (2.1.8) находим возмущенное давление на Bepx
ней стороне профиля:
Роо дф и РОО дф u 2 РОО
p== ==
РОО Bt Рос дх' Рос "; M 1
...... /М:Юо: < о
..; M 1 ·
о:
(2.2.7)
Таким образом, при у > о существует область разрежения, а при у < о область
сжатия. Волны разрежения и сжатия соответственно на передней и задней кромках
имеют равные интенсивности, так что вниз по потоку от волновой зоны Ф == const
(рис. 2.2.3). Эти волны перед профилем и за ним являются «слабыми» решениями
волновоrо уравнения (2.2.2) в том смысле, что проинтеrрированное уравнение
(2.2.2) справедливо в направлении поперек этих волн. Слабые решения будут под
робно обсуждаться ниже. Так как скачки скорости и давления конечны, то потенци
ал Ф остается непрерывным.
Неприrодность линейной теории при трансзвуковых скоростях можно увидеть
из формул (2.2.6), (2.2.7). При Мое 1 возмущения, предполаrавшиеся малыми,
стремятся к бесконечности. Возмущенное давление и подъемная сила становятся
бесконечно большими. Эта трудность обусловлена тем обстоятельством, что при
движении тела со звуковой скоростью все возмущения в рамках линейноrо прибли
жения остаются на теле. Стационарное состояние может не существовать.
HeпpuzoдHOcтb линейной теории в mрансзвУК080Й области
17
у
ф=о
о
ф = const
и
М.
ф=о
х
ф = const
Рис. 2.2.3.
Сверхзвуковое обтекание плоской пластины.
для более тщательноrо исследования этоrо вопроса приступим к изучению волн,
порождаемых тонким телом, разоrнанным до звуковой скорости и продолжающим
звиrаться точно со скоростью звука.
2.3. АКУСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ TOHKOrO ТЕЛА
Нестационарное движение TOHKOI'O тела вдоль оси х может быть пред ставлено pac
пределенными на ней акустическими источниками. Считается, что источники посы
:Iают свои сиrналы только в те моменты, коrда тело проходит их местоположение.
Интенсивность источников можно связать с rеометрией тела и характером ero дви
жения (рис. 2.3.1). Источники распределены внутри криволинейной полосы на плос
IОСТИ (х, (), выделяемой траекториями передней и задней кромок (рис. 2.3.2). Пусть
Q(x, () интенсивность источника в точке х, t (в единицах Роо), т. е. Q поток
массы из единичноrо объема, деленный на Роо (сравни уравнение (2.1.9». Тоrда из
(2.1.14) получаем
t 00 Q( ,r)б (t r а: )
4 ф(х, y,.Z, t) == r dr r d ,
J oo J oo R
(2.3.1)
с R== y (x )2+y2+z2.
Вследствие резкоrо характера распространения сиrналов имеем
00 Q ( ;t (Ж 2+r2 )
41t'ф(х, " t) == ! d€ ,
oo у (х €)2 + , 2
(2.3.2)
rде
r == у у2 + z2 .
2 1084
18
rлава 2
х
у
..
Рис. 2.3.1.
Тонкое тело в движении.
Рис. 2.3.2.
Области влиянИJI для ускоряющеrося тела.
Это обычная формула для запаздывающеrо потенциала в случае осесимметричноrо
тела. Вклад в потенциал в точке (х, r, t) дают только те источники, которые дей..
ствовали в более ранний момент времени
R
T==t .
а оо
Они лежат на rиперболе, расположенной между траекториями задней и передней
кромок в плоскости х, t (рис. 2.3.2)
T==t v (x EP+r2 ·
а оо
Очевидно, что учитываются сиrналы, поступающие из близких точек (ХП.К.' Х Э . К )' а
также и из удаленных.
Для TOHKoro тела непосредственно cyuцecTBYeт локальная связь интенсивности
источника Q(x, t) с формой тела и законом ero движения. Для выявления этой связи
можно построить асимптотическое разложение интеrрала (2.3.2) при r --+ О, основы..
ваясь на том, что в указанном пределе основной вклад в решение дает окрестность
== х. Интеrрал можно разбить на три части
ф(х, Т, t) == ФJ + ФJJ + ФJJJ
и аппроксимировать следующим образом:
l Ж+ф) Q (Е, t v (x ЕР + т 2 )
41rФJJ == 00 d€
ж (r) v (x €)2 + т 2 '
Неприzодность линейной теории в трансзвуковой области
19
Пусть == х + r shи, тоrда
/ tТ 11 (
47rФll == Q х + r
all
/ а 11 {
Фrr Ф I1 == Q(x, t) + r
all
sh (1, t сЬ (1 ) d(1 ,
а оо
sh (18 Q % ( х, t) сЬ (18 Q t ( Х , t) + · · . }
а оо
d(1J
тде l1II == arcsh (;).
Выберем такую зависимость e(r), что e/r ---+ О при r ---+ О
47rФI1 == 2Q(x,t) arcsh (;) + О(е}=
== 2Q(x, t) log (; + J :: + 1) + О(Е) ,
47rФI1 == 2Q(x, t) log 2: + О (Е, :: ) .
(2.3.3)
Интеrралы фI, фIII не содержат особенностей при == х, r == О, поэтому
f ж е(r) Q ( , t Xa )
47rф J == 00 d + · .. ,
ХП.J(Х' r, t) Х
rде Хп.к.(Х' r, t), Хэ.к.(Х' r, t) точки пересечения обращенноrо назад конуса (rипер
бола t ..... R/aoo == т) с траекториями передней и задней кромок на плоскости Х, t. Инте
rрирование по частям дает
( Х Xl )
47rФl == Q xl,t а оо log(x хl) Q(x,t)logE
1 % { ( Х ) 1 ( Х ) }
log(x ) Q% ,t + Qt ,t d .
%1 а оо а оо а оо
(2.3.4)
Аналоrично
( Х2 Х )
47rФIIl == log(X2 x)Q Х2, t а оо Q(x, t) log Е +
+ lЖ210g( х) {Qж ( ,t a X ) a Qt ( ,t a X ) } d ,
rде
Xl,2(X,t) == XL,T(X,O,t)
(2.3.5)
Окончательный результат для осесимметричноrо TOHKoro тела:
2
47rф(Х, Т, t) == 2Q(x, t) log + Qllog(x Xl) +
r
+Q21og(x2 x)+ rЖlоg(Х Е) { Q%+ Qt } d
J % 1 а 00 заr1азд
lЖ210g( Х){Qж a Qt}]апа]: +О(т210gт),
(2.3.6)
2()
rла8а 2
rде
( ж жl )
Ql==Q Жl,t а оо '
( Ж2 Х )
Q2==Q Ж2,t а оо '
( Iж I )
{!} запа зд I , t аОС) ,
жl (ж, t) == Х о . х . (х, о, t) }
Ж2 (х, t) == Х э . х . (х, о, t)
Точки пересечения обращеиноrо назад
конуса сиrналов с траекториями кромок.
Следующие члены этоrо асимптотическоrо разложения леrко найти путем рекурсив
Horo решения волновоrо уравнения (2.1.9)
д 2 ф 1 дф 1 д 2 ф д 2 ф
+ == , (2.3.7)
ar 2 r дт а 2 at 2 дх 2
00
используя формулу (2.3.6) в ero правой части. Первый член (logr) в формуле (2.3.6)
описывает течение, обусловленное источником, расположенным в плоскости попе
речноrо сечения, а следующие члены дают систему зависящих от (Х, t) плоских
волн, производимую источниками, находящимися на некотором расстоянии от
(х, 1; t) вблизи r == о. i'Iсточник несжимаемой жидкости в плоскости поперечноrо
сечения связан с ближним полем точечноrо источника, упоминавшеrося ранее.
Интенсивность источника Q(x, t) может быть связана с rеометрией тела и xapaK
тером ero движения, если удовлетворить условию непротекания на поверхности.
Пусть
B(x,r,t) == О == r rb(x,t), r == у у2 + z2
(2.3.8)
задает форму тела, тоrда rраничное условие общеrо вида будет следующим:
дВ
+ ч.У' в == о при В == О .
at
(2.3.9)
Таким образом,
дть дть
at Фж дх + Фr == О при r == 'ь ·
Прене6реrая малыми членами, имеем
дф дть
Br (x,rb,t)== at .
Из формулы (2.3.6) (справедлив()й в силу TOrO, что 10...... О) получаем
(2.3.10)
Следовательно,
1 Q(x, t)
211" 'ь
дть
.
at
Q( ) aAb(x,t)
х, t at '
(2.3.11 )
rде Аь(х, t) площадь поперечноrо сечения тела. Заметим, что для тела с постоян
ной rеометрией, но движущеrося с переменной скоростью
Аь(х, t) == Аь(Х) , О < Х < l ,
]{епри20дность линейной opии в трансзвуковой области
21
rде
Х == х + l е И(т) dT == координата фиксированной точки тела .
Отсюда
д ь == A (X) == U(t)A (X) .
(2.3.12)
2.3.1. MrHOBeHHoe ускорение до скорости звука
Чтобы проследить процесс аккумуляции волн, можно рассчитать поле давления
около тела, приведенноrо в движение со скоростью звука в момент t == О и затем
совершающеrо равномерное движение с этой же скоростью.
В данном случае, применяя формулы предыдущеrо раздела, имеем (рис. 2.3.3)
Х2 == ж + aoot == Х (например) = координата фиксированной точки тела,
х aoot
2
(2.3.13)
(2.3.14)
Хl ==
Для этой задачи точка Х2 больше не располаrается на траектории задней кромки;
ее положение определяется начальным моментом времени t == о:
Аь(х, t) == Аь(Х) , Q(x, t) == д ь == aooA (X) ,
1 " Q 1 Q O
Qж + Qt == 2а оо А ь (Х), ж t ·
а оо а оо
(2.3 .15)
Заметим также, что для заостренноrо тела
Ql == aooA (O) == О.
Таким образом, основная формула (2.3.6) для потенциала TOHKoro тела принимает
вид (справедлива при х + aoot > о)
ф(х, Т, t) == : АНХ) log : A (X) log(aoot) +
а оо
+
2п-
ж
! log(x )A (2 + aoot х) d + · .. .
(2.3.16)
Ж CI t
2
Интеrрал в разложении (2.3.16) можно преобразовать, положив
(1 == 2 + aoot х,
с (1 х aoot
2+ 2 '
Х (1
x == .
2
t, т
Х, t
.
/ \
/ \
\
\
о
Х 2
l
Х, Е
Рис. 2.3.3.
Области ВЛИJlНИЯ в случае внезапноrо старта
со скоростью звука.
Отсюда видно, что интеrрал зависит только от х. Далее
ф(х, r, t) = : A (X) log i : A (X) log(aoot) +
+ : lX log ( Х ; (1 ) A «(1) ш/, Х = х + aoot.
(2.3.17)
Видно, что в окрестности тела (величина Х фиксирована) потенциал и избыточное
давление растут по лоrарифмическому закону при t ---+ 00. В самом деле,
2
Р Роо ...... P :oo A (X) log(aoot) + ... .
(2.3.18)
Мы видим, что вследствие аккумуляции волн за большой промежуток времени по
тенциал, который предполаrался малым, стремится к бесконечности по лоrарифми
ческому закону. Сопротивление при этом может остаться конечной величиной, но
это не меняет дела, поскольку стационарное состояние не достиrается никоrда, и
акустическая теория становится неприrодной.
Полученный здесь результат является общим и не зависит от допущения о BHe
запном старте со скоростью звука. В действительности тот же самый результат
получается для тела, плавно разоrнанноrо до звуковой скорости и затем совершаю
щеrо равномерное движение с той же скоростью.
Как и следовало ожидать, акустическая теория не может дать достаточно точ
Horo описания течения при скоростях полета, близких к скорости звука. Необходи
ма более точная теория, которая учитывала бы изменение скорости волн с
1) Заметим, что эта формула может быть записана в виде
ф(х,r,t) = : lX log ( aoot( (1) ) A «(1)dи,
приrодном для размерных величин.
Непри20дность линейной теории в трансзвуковой области
23
изменением локальноrо состояния. Это изменение учитывается в акустическом
уравнении BToporo порядка, в которое включены все квадратичные члены 1):
1 ( Фt ) 1 д ) 2 2
1 + (1' 1) Фtt + (V Ф V Ф == о.
а 2 а 2 а 2 at
00 00 00
(2.3.19)
Решение этоrо уравнения значительно сложнее решенИя волновоrо уравнения.
Трансзвуковая теория, которая будет обсуждаться позднее, обеспечивает система..
тическое упрощение уравнения (2.3.19).
Чтобы найти область применимости линейной теории вблизи Мое == 1, можно
изучить поправки BToporo приближения к стационарному течению. Это делается
в следующем подразделе после рассмотрения точных уравнений.
Задача 2.3.1. Показать, что для двумерноrо профиля, разоrнанноrо до звуковой ско"
рости, р #8OW {t при t...... 00.
Замечание. Для симметричноrо профиля задачу можно решить путем введения
акустических источников в плоскости (х, t) при У == о. Потенциал двумерноrо источ"
ника определяется как
==
1 1 t > vr + у 2
при
21(" I t 2 х2 + у2 а.о
t&
о в остальных случаях.
2.4. ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ плоскоrо ТЕЧЕНИЯ.
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И СКАЧОК ЭНТРОПИИ
в следующем разделе будет обсуждаться процедура разложения для линейной тео..
рии и теории BToporo порядка, а затем в rл. 3 метод построения разложения
для трансзвуковых течений. Для этих целей полезно иметь точное (по крайней мере
до определенноrо порядка величины завихренности) уравнение движения для потен..
циала Ф. в данном разделе дается вывод Taкoro уравнения, базируюЩИЙся на
основных законах сохранения массы, количества движения и энерrии. Для простоты
рассматривается стационарное течение в плоскости (х, у), хотя результаты леrко
обобщить на рехмерный случай.
Основные уравнения в консервативной форме записываются следующим
образом:
количества двИ)Кения
в проекции на ось у
д д
дх (рqж) + ду (pq,) == о, или V' .pq == о ,
:х (pq + Р) + :у (pq",q,,) == о
, или div(pq.q + Р 1) == О ,
д ) д ( 2 )
дх (pq",q" + ду м" + Р о (2.4.1)
неразрывности
количества движения
в проекции на ось х
1) Cole J .О., AcceleratJon of Slender Bodies of Revolution Through Sonic Velocity, J.App/. Physics, v. 26,
No 3, рр. 322 327 (1955):-
24
rла8а 2
энерrии
:х { ( pq2 + I 1 ) qж + рqж} +
+ :у {( pq2+ I 1 ) q,+pq,} ==0.
q == ч(х, у) == (qж, q,,),
q2 == q; + q; ,
С" Р
р е == удельная внутренняя энерrия == ре" т == Р == ,
R '1 1
отношение удельных теплоемкостей 'у == С р / С v'
'у = 7/5 (двухатомный rаз),
'у = 5/3 (одноатомный rаз).
р 1 2
Полная энерrия единицы объема rаза == '1 1 + 2 pq ·
У словия на поверхности разрыва получаются из интеrральной формы законов со..
хранения (2.4.1). Так, локально скачки давления, плотности и скорости даются вы..
ражениями (рис. 2.4.1)
[рqж]dув [pq" ]dx. == О ,
[pq; + P]dy. [рq"qж]dх. == О ,
[рqжq,,]dу. [pq; + P]dx. == О ,
[ M2+ l l qж+рqж]dУ. [ pq2+ l l q,+pq,]dX.==O.
Здесь использованы обозначения: ( )а значение перед скачком; ( )ь значение
за скачком; [ ] скачок величины, например,
(2.4.2)
[рqж] == (рqж)ь (рqж)а ·
В этом смысле условия на поверхности разрыва содержатся в дифференциальных
уравнениях, записанных в консервативной форме (2.4.1).
Поверхность разрыва в невязкой теории, представляющая скачок, является идеа..
лизацией очень тонкой (по сравнению с характерным размером задачи) области,
в которой важны такие диссипативные процессы, как в зкость и теплопроводность.
Поток проходит через эту тонкую область из одноrо однородноrо состояния в дру..
roe. Вязкие напряжения и потоки тепла входят в (2.4.1) в диверrентном виде. Они
не дают вклада при интеrрировании от (а) дО (Ь). Наличие диссипативных процес..
сов сказывается только на росте энтропии, о чем пойдет речь ниже.
Полезны также некоторые друrие кинематические формы записи. Уравнения
движения можно переписать в виде
( дqж д q ж ) дР
р qж дх + q" ду == дх '
( aqy a q ,, ) дР
р qж дх + q" ду == ду ,
Непрuzодность линейной теории 8 траНСЗ8УКО80Й области
25
или в виде
pq · V q == V Р .
(2.4.3)
в векторной инвариантной форме имеем
p(V( 2 ) qxU)) == VP,
rде
w == curl q == V х q == завихренность .
Производная вдоль линии тока Ф == const записывается в виде (рис. 2.4.2)
а а
q. V == qж дх + qll ду ·
Далее, используя уравнение неразрывности, леrко показать, что полная удельная
энтальпия сохраняется вдоль линии тока. Уравнение энерrии из (2.4.1) может быть
переписано в виде
:х {рqж ( q2 + 1 1 ) } + :у {pqll ( q2 + 1 1 ) } == О,
(2.4.4)
или, используя определения
1 а 2
h == полная удельная энтальпия == q2 + ,
2 '1 1
в виде
2 Р
а == '1 == '1 RT== (скорость звука)2,
р
д а
дх {рqж h } + ду {pqllh} == о ,
(2.4.5)
или
V.(pqh) == О .
Кинематическая форма (с использованием V · pq == О) принимает вид
ah ah
qж дх + qll ду = q.Vh == О ·
(2.4.6)
1/11
Рис. 2.4.1.
Локальный элемент ударной волны.
Рис. 2.4.2.
Линии тока.
26
rлава 2
Отсюда видно, что h == const вдоль линии тока. Из консервативной формы уравне..
ния (2.4.5) можно также видеть, как меняется h при переход е через ударную волну.
Имеем
[рqжh]dу. [pq,hJdx. == О .
(2.4.7)
Выражения для скачков в формуле (2.4.7) можно преобразовать, применяя простые
правила расчета скачков. Пусть J, g величины, терпящие разрыв. Леrко убедить..
ся в справедливости формул
[/g] == [/](g} + (/}[g] ,
1
(/ g) == (1) (g) + 4 [/][g] ,
[/2] == 2(/} [1] .
(2.4.8)
Скачок для Jgh можно рассчитать путем повторноrо применения указанных формул
и т. д. Здесь
1
[/] == l" 10 , (/) = среднее значение 1 == {/b + lo} .
2
Применяя правила расчета скачков к формуле (2.4.7), видим, что
{[pqж](h} + (pqж)[h]}dу. {[pq,,](h) + (pq,}[h]}dx. == о.
Используя соотношения на скачке из (2.4.2) для уравнения неразрывности, получаем
или
((рqж}dу. (pq,,}dж.) [h] = О ,
[h] == О .
(2.4.9)
Так как энтальпия h постоянна вдоль линии тока и не терпит разрыва на скачке,
имеем интеrрал h == const вдоль линии тока даже при переходе через ударные во..
лны. Константу для этоrо интеrрала можно выразить, например, через параметры
набеrающеrо paвHoMepHoro потока
q == Ui ж , Р == Р 00 , р == Роо ·
Таким образом, имеем интеrрал полной энтальпии 1 )
q2 а:) и 2 а 2
+ == + 00
2 1' 1 2 1' 1
а 2
00
I'Poo
= == I'RT 00 ·
роо
(2.4.10)
Так как энтропия непосредственно связана с завихренностью течения (см. ниже),
полезно также получить формулы для изменения энтропии вдоль линии тока и при
переходе через ударные волны. Из (2.4.6) находим
( 2 '1.Е. )
q.V !..+ р ==0,
2 l' 1
1) Уравнение (2.4.10) уравнение Бернулли. Прuм. ред.
}{епри20дность линейной пreopии в трансзвуковой абласти
27
а из уравнения движения (2.4.3) следует
q.'V ( ': ) := q.:p , таккак q.(q Х "') = О.
Отсюда
( )
q. V' Р р
+q.V' O,
Р , 1
или
q.VP Iq.Vp M l ( Р ) О
q. v og .
Р р р""
Удельная энтропия S для совершенноrо rаза дается выражением
S S 1 Р ( Роо ) "" Р РОО S Sco
00 == СО og"'D"""" , или == e с., ,
roo р р"" Рос
(2.4.11)
следовательно,
q.V'S == о.
(2.4.12)
Величина S также постоянна вдоль линии тока, однако мы не имеем полноrо закона
сохранения энтропии. Известно, что вследствие диссипативных процессов внутри
ударной волны энтропия rаза при переходе через нее должна возоасти
[8]. > о .
(2.4.13)
В действительности ударные волны, возникающие в трансзвуковых течениях, яв..
,ляются слабыми. Выразим скачок энтропии на ударной волне через ее интен..
сивность
qo. qb (qJ
l , rде qж = q . (2.4.14)
qo. qo.
Достаточно рассмотреть прямую ударную волну (рис. 2.4.3), так как при переходе
через ударную волну касательная к волне компонента вектора скорости сохраняет..
ся. Скачок нормальной компоненты служит мерой интенсивности ударной волны
и увеличения энтропии.
Так как
(pq J == о , то
pbqb == Po.qo. ,
или
Ро.
==l l.
Рь
(2.4.15)
Р.
РЬ
q.
qb
Р.
РЬ
Ударная волна
Рис. 2.4.3.
Ударная волна.
28
rлава 2
Из закона сохранения количества движения (2.4.2) следует
[Р + pq2] = О = Р Ь + pbq Ра Paq ,
или
Р Ь РО = Poqo(qo qb) == poq E.
(2.4.16)
Так как [h] == О, имеем
1 2 а2 1 а 2
q + = q2 + ь
2" о 1''':1 2 ь "Y 1
Далее
2 I Р ь I(Р о + Paq E) (1 ) ( 2 + 2 )(1 )
аь Е аа IqaE Е ·
Рь Ра
Таким образом, сохранение полной энтальпии означает
1 а 2 1 1
q + о == q (l Е)2 + (a + Iq E)(l Е) ,
2 1 1 2 1 1
или
( Е2 ) 1
О = q E + 2 + "У 1 { Ea + "Yq (E Е2)} ,
2 { 1 Е } 1
о == Ма (1 Е) 1 + ,
1 1 2 1 1
rде Ма == qa/ l1a число Маха, вычисленное по нормальной компоненте скорости
перед фронтом ударной волны. Наконец,
2 1
Ма == 1 :tl..!E ·
2
(2.4.17)
Следовательно, величина е изменяется в диапазоне О е 2/(1' + 1). Отсюда вид
но, что Ма > 1 при е > О, т. е. ударная волна движется со скоростью, превышаю
щей скорость звука в потоке перед ударной волной. Ударная волна обладает
максимальной интенсивностью, ес и
2 РЬ 1 + 1
Е = "У + l ' Мо ----+ 00 , р о "У 1
Теперь леrко найти скачок энтропии. В самом деле,
.! [8] = log РЬ ( Ра ) '"
С" РО Рь
(2.4.18)
С учетом (2.4.16), (2.4.17) получим
Рь Paq 2 I Е
n == 1 + E = 1 + I М а Е == 1 + + 1
АОАО 1 1 Е
2
'Y 1
1 + I Е
2
1 1+1 ·
Е
2
(2.4.19)
Неприzодность линейной теории в трансзвуковой области
29
Следовательно,
"Y 1
1 + I Е
Р Ь ( Ра. ) .., = 2 (1 Ер.
Ра, Рь 1 ' + 1 Е
2
Это выражение является точным, так как до сих пор мы не требовали выполнения
} словия малости Е. Теперь получим приближенное выражение для скачка энтропии
при малых значениях Е. Имеем
(2.4.20)
1 ( , 1 ) ( ,+1 )
с" [8] = log 1 + 2 Е log 1 2 Е + ,log(l Е).
(2.4.21 )
При е...... О
[8] = ' 1 Е ! ( , 1 Е ) 2 + ! ( , 1 Е ) 3 ...
с" 2 2 2 3 2
{ '; 1 Е ( ,; 1 Е) 2 ( ,; 1 Е) 3 ...} +, { E Е: Е з 3 ...} ,
[8]=! { (, 1)2 + (,+1)2 ' } E2+! { (, 1)3 + (,+1)3 ' } .E3+...
С" 2 4 4 3 8 8 '
[8] == ,(,2 1) 3 + О( 4 )
с" 12 Е Е ,
(2.4.22)
или
[8] = ,(, 1) (М 2 1 ) з + . . .
С" 3 (, + 1)2 а .
rUI слабых скачков уплотнения увеличение энтропии составляет величину Tpeтbero
порядка малости по отношению к интенсивности скачка. Это означает, что С точ
ностью до первых двух порядков по t трансзвуковое течение можно считать изоэнт
ропическим:
= : (1+0(E3)).
(2.4.23)
Рассмотрим одно кинематическое следствие из теоремы Крокко о вихрях. Ypaв
вение количества движения, записанное в явной форме через завихренность 1), имеет
вид
Qxw=:v( q: ) + vp,
UJ == завихренность == V Х q ·
(2.4.24)
2 , ( Р )
Поскольку величина h всюду константа и равна + р
2 , 1 '
1) В отечественной литературе эта форма уравнения имеет название уравнения rромеки Лэмба.
Прим. перев.
30
rлава 2
Vh==0==V Q2 + ' V ( P ) .
2 "Y 1 Р
Следовательно,
qxUJ=!VP ' V ( P ) :; 1 VP + 'у P Vp Р ( VP V p )
р , 1 р , 1 р , 1 р2 р(, 1) Р , р
вт VS с
"v 1-
, , "
, 1 С" с" '
R == С р С" ,
или
I q х '" == TV S 1 .
(2.4.25)
Из (2.4.25) следует, что
1) если V S О, то (JJ О,
2) если (JJ == О, то V S == о (безвихревое течение),
З) если V S == о (е 3 ), то (JJ == О (е 3 ).
Как правило, при появлении в потоке ударных волн V S О, из за чеrо возникает
завихренность вниз по течению от этих волн. Исключения составляют только пло
ские и конические скачки с постоянными параметрами течения по фронту.
Выведем теперь уравнения движения в предположении отсутствия вихрей (нет
скачков) или их прене6режимой малости (слабые скачки), так что течение будет изо
энтропическим (или приближенно таким). Тоrда существует потенциал Ф(х y Z),
такой что
UJ = V х q = curlq = О ,
q == VФ .
(2.4.26)
Основные уравнения с точностью до е 3 (и точные при отсутствии скачков) имеют
следующий вид:
неразрывности
divpq = pV.q + Q.Vp == о ,
q2 а 2 u 2 а 2
+ + 00
2 , 1 2 , 1'
Р РОО
=:: == const .
р"" P'Jo
сохранения энтальпии
постоянства энтропии
I
Заметим, что
2 ,Р
а == == ,RТ
р ,
откуда
2 da == (, l) d p = da 2 .
а р а 2
Уравнение неразрывности, таким образом, перепишется в виде
q.V(a 2 ) + (, l)a 2 V.q == О,
а интеrрал энтальпии дает
, l
V(a 2 ) == 2 Vq2.
Непри20дность линейной тЕории 8 траНСЗ8УКО80Й области
31
itтп , можно переписать основную систему в переменных: скорость течения и CKO
lb звука:
a 2 V'.q = q.V' ( q; ), q = V'Ф ,
q2 а 2 u 2 а2
+ + 00 .
2 , 1 2 , 1
(2.4.27)
эта запись справедлива, конечно, как в двумерном, так и трехмерном случаяХ. За
weтим, что при а 00 имеем уравнение для несжимаемой жидкости V 2ф == о.
в двумерном случае
а а
ч.У' == фж +ф
ах " ау
и (2.4.27) приобретает вид
а 2 (ф zz + Ф",,) = ( Ф z :х + Ф" :у ) (Ф + Ф:) = Ф Фzz + 2Ф z Ф"Ф z " + Ф:Ф"" ·
.{так, получаем систему уравнений для потенциала Ф(Х J у)
(а 2 Ф:)Фжж 2ФжФ"Фж" + (а 2 ф )ф"" == о ,
1 ( 2 2 ) а2 1 2 a
2 Ф z + Ф" + '1 1 = 2 и + '1 1
(2.4.28)
эта система является точной для дозвуковых течений и для течений без удз;рных
;IН. Ее также можно взять за основу при построении теории трансзвуковых тече
DI: со скачками уплотнения.
Поскольку потенциал Ф(Х, у) найден, можно определить и q, а, Р, р. Основным
уравнением для этоrо служит уравнение неразрывности, записанное в диверrентной
оорме
УО. ( q) = о = УО. ( ( а: ) V' Ф ) = о ·
(2.4.29)
Обсудим кратко некоторые свойства первоrо уравнения (2.4.28). Это уравнение яв
.DeТся квазилинеЙIIЫМ (в действительности нелинеЙIIЫМ), и ero локальный тип (эл
.пmтичесКИЙ или rиперболический) зависит от местной скорости I q I == v Ф + Ф ; ·
Критической скоростью а* называется скорость звука, при которой I q I == а; сле
.ж.ательно,
( 1 1 ) .2 , + 1 .2 u 2 a
2 + , 1 а == 2(, l)а 2" + , 1 ·
Введем критическую скорость qv ........ максимально возможную скорость течения,
wтoрая достиrается при истечении rаза в вакуум (о == о).
q2 u 2 а2
== + 00
2 2 , 1
32
rлава 2
При q2 < 0.2 имеем q2 < 02, И течение является локально дозвуковым. При
q > q2 > 0.2 справедливо q2 > 02, И течение является локально сверхзвуковым.
Области в плоскости rодоrрафа, соответствующие этим типам течений, отмечены
на рис. 2.4.4. Тип уравнения определяется дискриминантом присоединенной квадра..
тичной формы
Дискриминант == ( 2Ф ж Ф ,,)2 4(а 2 Ф ) (а 2 Ф:) == 4а 2 (Ф + Ф: а 2 ) == 4a 2 (q2 а 2 ) .
Таким образом, уравнение локально rиперболическоrо типа обладает действитель..
ными характеристиками, если течение сверхзвуковое (q2> 02); оно эллиптическоrо
типа, если течение дозвуковое (q2 < 02). В физической плоскости характеристики
являются линиями Маха, образующими с линией тока yrлы, равные yrлу Маха дм
(рис. 2.4.5). Их образами в плоскости rодоrрафа являются эпициклоиды
(рис. 2.4.4)1).
В качестве типичной краевой задачи, описываемой системой уравнений (2.4.28)
рассмотрим задачу обтекания профиля.
Выберем длину хорды профиля, равную 1, относительную толщину (, и предста..
вим верхнюю и нижнюю поверхности посредством Р и , 1
у == БFu,t(Х) при О < х < 1
(2.4.30)
(рис. 2.4.6).
rраничные условия будут следующими:
1) равномерное течение на бесконечности вдоль оси х
Ф Uх или (Фж U,Ф,, О) при x oo;
(2.4.31)
Фу
Характеристики
(ЭПИЦИКЛОИДЬJ)
! '\
/ / c, \(\""
Э:
e
/ о э.
..,.. ..,. ..... ...
...........---
Ф}(
м:=!!!.
а
Рис. 2.4.4.
Плоскость rодоrрафа.
Рис. 2.4.5.
Локальные характеристики
в сверхзвуковом течении.
1) Подробности можно найти в любой фундаментальной книrе по rазодинамике, например, Лип
ман r., Рошко А. Элементы rазовой динамики. М.: ИЛ, 1960. Прu.м. перев.
Неприzодность линейной теории в трансзвуковой области
зз
у
у = tJF и(Х)
1 1
)(
Рис. 2.4.6.
Обтекание профиля.
Рис. 2.4.7.
Течение в окрестности задней кромки.
2) условие непротекания в каждой точке поверхности
Ф,,(х,6F u ,t(Х)) ' ( )
) == 6Fu,t х ;
Ф ж (х,6F u ,t(Х)
(2.4.32)
3) условие Кутта Жуковскоrо.
Делается предположение, что поток плавно сходит с дозвуковой задней кромки
хорошо обтекаемых тел (рис. 2.4.7). Это условие необходимо для достижения един"
:твенности решения. Как полаrают, плавный сход потока с кромки обеспечивается
.:хйствием вязких сил. На сверхзвуковой задней кромке поток может внезапно по..
вернуть с образованием веера волн разрежения или ударной волны, чем обеспечится
равенство давлений и сонаправленность потоков сразу за задней кромкой.
Последнее требование является общей формулировкой условия Кутта: сразу за
з.a.:mей кромкой должны совпадать давления и направления потоков, сходящих с
3С'рхней и нижней поверхностей.
Наконец, к уравнениям (2.4.28) нужно добавить условия на скачке (2.4.2) с до..
noлнительным требованием [8] > О на ударных волнах. Последнее условие исклю..
lllaeт скачки разрежения.
Предполаrается, что в указанной постановке решение задачи существует и един..
:rвeннo. Вследствие ее нелинейности заранее неизвестно, возникнут ли ударные вол..
3ы и каково их положение. Аналоrичное замечание применимо к поверхности
!4Нrенциальноrо разрыва или к вихревому следу, который может появиться позади
'!'pexмepHoro несущеi"О крыла. Задача является чрезвычайно трудной и не поддается
решению при помощи аналитических методов. Аналитическое решение, которое
описывало бы скачок уплотнения на фоне HeKoToporo неоднородноrо течения, неиз..
HO, хотя появление ударных волн в сверхзвуковом потоке является общим пра..
3JL'OM. Исключения составляют: обтекание профиля без образования ударных волн
iI чисто ускоряющиеся течения в соплах и струях.
Поэтому к приближенным методам решения этой задачи и родственных ей за..
Ч всеrда существовал повышенный интерес. Для мноrих практических задач адек..
3атным является предположение о малости возмущений, вносимых малыми
.лIOIонениями потока. Стандартная процедура разложения по малому параметру
r=pименительно к тонкому профилю описывается в следующем разделе.
:' &4
34
rлава 2
2.5. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ TOHKOrO ПРОФИЛЯ
в этом разделе с математической точки зрения рассматривается линейная теория,
а также поправки к ней. Преследуемая при этом цель более наrлядно показать
неприrодность линейной теории для описания трансзвуковых течений.
Рассмотрим семейство плоских течений за подобными профил и относитель
ной толщины о при о ---+ О (рис. 2.5.1). Построим асимптотическое разложение для
точноrо потенциала Ф. найдем различные члены этоrо разложения путем предель
Horo перехода о ---+ О при фиксированных значениях Мое, х, у.
Асимптотическое разложение имеет вид
Ф(х, У; Моо, 6) == U {х + 6Фl(Х, у, Моо) + 6 2 Ф2(Х' у, M ) + ...} .
(2.5.1)
Можно показать, что для сверхзвуковоrо течения в первых двух приближениях (но
теперь по о) опять будут несущественными завихренность и скачки энтропии, вноси
мые в течение ударными волнами. Мы предполаrаем здесь, что про филь с острой
передней кромкой приводится в движение таким образом, что rоловная ударная
волна является присоединенной. В любом случае в линейной теории скачки возника
ют только при Мое > 1 и вводятся специальным образом (см. ниже).
Разложение (2.5.1) характеризует невозмущенный поток с наложенными на Hero
малыми возмущениями. Порядок о первоrо возмущенноrо члена определяется по
рядком производной Фу на профиле. Порядок 02 естественным образом следует из
требования существования нетривиальноrо решения уравнения для Ф2.
Чтобы получить уравнения для последовательных приближений, подставим раз
ложение (2.5.1) в основную систему уравнений (2.4.28). Имеем
1 2 1 2
U Ф Ж == 1 + 6Фlж + Б Ф2ж + · .. J U Ф == БФl" + б Ф2" + ... . (2.5.2)
Интеrрал полной энтальпии есть
l' 1 { ф + Ф }
U 2 M + 2 1 и2
(2.5.3)
откуда
а 2 1 { ( } 2 { ( "'1 1 ( 2 2 ) }
и 2 == М2 б "'1 l)ФIЖ б "'1 1)Ф2ж + 2 Фlж + Фl" + ...
00
(2.5.4)
у
Моо
и
Рис. 2.5.1.
Семейство профилей.
HeпpuzoдHOCтb линейной теории в mpaнсзвУК080Й оБЛQсmи
35
IIO.XТaВmUI разложение (2.5.4) в уравнение дЛЯ Ф, находим
б(1 1)Фlж ... (1 + 2Цlж) ...} { БФlжж + б2Ф2ЖЖ} 2ЦlflБФlЖII + ... +
+ ( б(1 1)Фlж +.. -) (БФ1ww + б 2 Ф2.. +...) = о
' члены одноrо порядка (о и 02), получаем уравнения для первых двух при
евий:
( 1 M ) Фlжж + ФllIlI = О 1
: И ) Ф2жж + Ф2f1f1 = (1 1)М ФlЖФlжж + (1 1)М ФlЖФlflll + 2М ФlflФlЖII ==
2 {( 'Y 1 2 ) }
== 2Моо 1 + 2 Моо ФlжФlжж + Фl"ФlЖfJ ·
(2.5.5)
(2.5.6)
--oe уравнение соответствует уравнению (2.2.2), полученному в акустической
,.,...M С ПОМОЩЬЮ преобразования rалилея. rраничные условия к каждому ypaвHe
180, задаваемые на профиле, следуют из разложения точноrо условия (2.4.32). Ha
'- .......cp , на верхней поверхности
10:. \ ж, БF.) + б 2 Ф 2 11 (х, БF..-) + ... = БF (х) { 1 + БФIЖ (х, БF..) = ...} при О < х < 1
::7тnoл arая реrулярный характер поведения решения, можно разложить rраничное
- около значения у == 0+ 1), что дает
Ф11I(Х'0+) == F (x),
Ф211( х, 0+) == F (х )ФIж( х, 0+) Fu (х )Ф11lfJ (х, 0+) .
(2.5.7)
(2.5.8)
ая процедура может быть применена и к нижней поверхности, так что
rpaиичвое условие переносится на разрез у == О, О < х < 1. Следующее rранич..
lCte ус.:l0вие условие затухания возмущений на бесконечности вверх по потоку.
'-'IC Toro, нужно удовлетворить rраничному условию Кутта.
Зawетим, что уравнение для Фl всеrда либо эллиптическое (Мао < 1), подобно
_. аевию Лапласа, либо rиперболическое (Моо > 1), как волновое уравнение. Ypaв
--- зля ф2 обладает аналоrичной структурой. Так как оба уравнения линейные,
I...., hl e волны в обычном смысле не возникают. Более Toro, пока Мао < 1, не MO
-йз ник:ну ть разрывы, которые аппроксимировали бы скачки, так как эти ypaв
..... эллиптическоrо типа. Таким образом, отсутствуют некоторые качественные
Н ОСТИ, присущие трансзвуковым течениям.
Неаостатки этоrо подхода можно более ясно увидеть при решении простой
3iLJ2IDI. В общем случае решение строится пошаrовым способом. Если потенциал
.. ..v) яайп ен, то правая часть уравнения (2.5.6) и rраничное условие к нему из
__ .. J:UII , И можно найти Ф2.
C:-poro rоворя, это разложение rраничныx условий точно не соответствует предельному проuессу,
!.ty асимптотические разложения. Нужно использовать внутреннее разложение, справедли
8.:R ..:r" профиля и сращивать ero с решением для внешнеrо течения, но результат будет тем же самым
c _ r..-п оrо поведения потенuиала вблизи у = о.
36
rлава 2
Наиболее просто анализируется случай сверхзвуковоrо обтекания, коrда потоки
на верхней и нижней поверхностях независимы. Общее решение уравнения (2.5.5),
описывающее волны, распространя ющиеся только вниз по потоку, имеет вид
Фl == !(х JM lУ) при у > о , (2.5.9)
rде f произвольная функция (рис. 2.5.2)
Имеем
ф 1 == О при х < V M 1 у ,
т. е. впереди волны от носовой част и. Из ( 2.5.7) находим
Фl,,(х,О+) == y M lf'(x) == F (x),
так что решением в волновой зоне
О < х V M 1 у < 1
является
F..(x yM lУ)
Фl == J M 1 ·
Вниз по потоку от хвостовой части можно положить Фl == const. I Для нахождения
удобно ввести характеристические переменные
(2.5.10)
== х y M 1 У,
'1 == х + v M 1 у
(2.5.11)
Имеем
Фж == ф + ф,., ,фу == y M lф + y M lф,.,
Фжж == ф + 2ф ,., + ф,.,,.,
Фуу == (M 1) (ф{{ 2ф{" + Ф",,)
у
\
о
\
\+
\.)с'
\ / 11
\ .\ \
\
\
\\
\СО
\
\
\
\
\
Ф1 = const
Моо > 1
х
Е
Рис. 2.5.2.
Линеаризованное сверхзвуковое течение.
Неприzодность линейной n7еОрUU в трансзвуковой области
37
.]алее, решение Фl зависит только от одной характеристической переменной:
Фl = F...( ) при О < < 1
V M 1
(2.5.12)
Поскольку
(M 1) Ф2жж + Ф 2 1111 = 4( M 1 )Ф2(" ,
(2.5.6) приобретает вид
Ф = (1' + I)М:" F' ( C ) F" ( t )
2 " ( ) 2 и
4 М2 1
00
(2.5.13)
в такой форме уравнение дЛЯ Ф2 можно непосредственно проинтеrрировать:
Ф2" = 9 ('1) (1'+ I)M)2 F 2( )
8 M l
Ф2( ''1) = /2( ) + 92('1) iz:; t2 F2( ).
(2.5.14)
Произвольные функции h и g2 можно определить из rраничных условий. На волне
:"!" передней кромки ( == О) надо удовлетворить условию Ф2(0, .,,) == О, так что
92 ('1) = (1' + 1) М:., 2 '1F 2 (О) , (2.5.15)
8 ( М!О 1)
=::III 12(0) положить равным нулю. Предположим, что p (О) имеет конечное значе
ВIr (заостренный профиль). Тоrда в волновой зоне
Ф2( , '1) = /2( ) + (1' + 1)2 М:"2 '1 {F 2(0) F 2Ш} .
8 ( М!О 1)
(2.5.16)
ъ...... 7 rpаничное условие (2.5.8) принимает вид
Ф ( Х 0+ ) == (, + l)M { Р '2 ( О ) F '2 ( x )}
2у , ( ) 3/2 t& t&
8 M l
. \ 1 " ( х ) + (1' + I)М:" xF' F" ( x ) == F 2(x) 1М2 1 F ( x ) F" ( x )
.:х 2 ( ) 3/2 u t& V М2 1 v 00 t& U
4 М!О 1 00 (2.5.17)
ПWТaJIСЬ найти решение в явном виде, можно заметить преобладающую зависи
1
WlL...... 12 от числа Maxaf2( ) ,...., М;,..... 1 при Мао ---+ 1. Таким образом, общий вид лине
....."wt:IRR OrO представления (2.5.1) при Мое > 1 будет следующим:
.= rz 6 /и ) +6 2 { (1'+I)М:"2 '1(F 2(0) F 2( ))+... } +О(Б3)+... }
I \' Моо 1 8(М!о 1)
38
rлава 2
6
6- ( 1)312
Линеаризованные
течения
Транс звуковые
течения
ЛинеаРИ30ваНН lе
течения
1
М Ф
Рис. 2.5.3.
Приближенные rраницыI режимов течения.
Это асимптотическое разложение нарушается, коrда член порядка 0(62) становится
сравнимым с членом порядка 0(6). При Мое =: 1 отношение этих членов при фикси
рованных значениях (Х , у) имеет вид
Б
(M 1)+
Таким образом, разложение справедливо только при
б
3 «1
(M 1)7
(2.5.19)
Эта оценка более точно определяет rраницы трансзвуковой области (рис. 2.5.3).
Изучение случая Мое < 1 аналоrично показывает, что линейная теория справедли
ва при условии
3
б « (1 M ) 2 .
Заметим также, что ударные волны (Мое> 1) в этой теории аппроксимируются
скачками скорости на характеристиках ( == О). Неравномерная приrодность разлtr
жения также проявляется на бесконечности в волновой зоне (71 ---+ 00, О < < 1). Она
порождается кумулятивным эффектом из за несколько неточноrо определения уrла
наклона скачка уплотнения, в результате чеrо ero положение на больших расстояни
ях от про филя может сколь уrодно сильно отличаться от истинноrо.
В следующей rлаве мы рассмотрим различные процедуры разложений для TOH
ких тел и профилей, справедливые в трансзвуковой области. При изучении линей
ной теории стало ясно, что приrодность разложеНIIЯ зависит от связи между Мое
и о. Ниже для построения разложений, приrодных в трансзвуковом режиме, будут
использоваться различные связи между этими параметрами.
з. мЕтоды TPAHC3BYKOBblX
РАЗЛОЖЕНИЙ. ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ,
интЕrрАльныE СООТНОШЕНИЯ
в занной rлаве рассматриваются методы малЫХ возмущеНИЙ, которые можно исполъ..
ЗС8а1Ъ для получения приближенных уравнеНИЙ, справедливых в трансзвуковой облас..
Iетоды разложения основаны прежде Bcero на том факщ что характерная относи..
тотцина или yrол наклона вектора скорости о очень малая величина. В
.J8ВeЙНой теории, которая несправедлива в трансзвуковой области, считается, что чис..
.IO Маха невозмущенноrо потока Мое фиксировано при o O. Чтобы получить прибли..
" мe, справедливое в трансзвуковой области, нужно рассмотреть предельный переход
, Moe l.
-UI ряда простеЙШИХ случаев будет описан метод разложения, а затем рассмотре-.
5i некоторые простые решения. В заключение будут выведены интеrpальные теоремы
подъемной силы, силы сопротивления и момента.
1. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ
ДЛЯ СТАЦИОНАрноrо ОБТЕКАНИЯ ПРОФИЛЯ
простейший подход основан на системе уравнений для полноrо потенциала, получен..
в разд. 2.4, т. е. на системе уравнений (2.4.28):
(02 Ф )Фzz 2Ф z Ф"Ф z " + (02 Ф:)Ф"" == О,
1 ( 2 2 ) а2 1 2 a
2 Ф z + Ф" + 'у 1 =="2 и + , 1 ·
ЗiL1aча обтекания профиля была сформулирована в разд. 2.4; здесь будем следовать
.)()озна чениям, приведенным на рис. 3.1.1. Координаты Х, у нормированы с помощью
араrreр ной длины, равной хорде профиля.
Если определить семейство профилей посредством задания относительной толщи
n.l.. формы средней линии профиля и yrла атаки, можно записать функции, определя
--.пие верхний и нижний контуры профиля, в следующем виде:
а
c5Fu"t(x) == с5{с(х)::I:: t(x) "6Х}' 0-< х < 1 , (3.1.2)
с(х) форма средней линии профиля, t(x) функция распределения толщины,
:! утол атаки (в пределе o O отношение А == а./о фиксировано).
как показано в разд. 2.4, система уравнений для полноrо потенциала является
:"\)IIIIОЙ, коrда завихренность равна нулю, и приближенной до определенноrо порядка
чины I, коrда появляется з авихренн ость , обусловленная присутствием ударных
lН. В соответствии с уравнением (2.4.22) скачок энтропии равен
(3.1.1)
[S] == ,(,2 1) fЗ +...
с" 12
== , (, 1) ( м2 1 ) 3 + . . .
3 (, + 1)2 CI
(3.1.3)
40
rлава 3
у
у = tJFL(x)
Х
Воо I и
Р оо, РОО
ЛИНИЯ
СКОЛЬжения
Рис. 3.1.1.
Задача обтекания профиля.
rде Ма число Маха, определенное по нормальной составляющей скорости перед
ударной волной. Оценка величины [8] и соответствующей ей завихренности будет
возможна, коrда будут найдены порядки величин различных параметров в трансзву
ковом потоке. Поэтому нет необходимости в предварительном обсуждении COOTHO
шеНИЙ на ударной волне; ниже будет показано, как эти соотношения соrласуются
с приближенными уравнениями.
rраничные условия [ry] также обсуждались в разд. 2.4; они имеют следуюЩИЙ
вид:
1)
2)
однородный набеrающий поток Фх----+ Ц Фх----+О,
условие непротекания
Ф,(х, БFu,t(Х» == БF ,t(Х )Фж(х, БFu,t(Х »,
(rY 1)
(rY 2)
3) условие Кутта Жуковскоrо. (К. Ж.)
На задней кромке направления потоков и давления сверху и снизу одинаковы. За
метим, что вследствие возможных изменений энтропии с задней кромки может cxo
дить танrенциальный разрыв (на котором при одинаковых давлениях с двух сторон
скорости различны).
Чтобы потенциал в общем случае был однозначной Функцией, нужно ввести в
плоскости ( у) разрез и допустить скачок потенциала. Наиболее удобно совместить
разрез с танrенциалъным разрывом. Разумеется, существование танrенциальноrо раз
рыва невозможно без допущения о нарушении потенциальности потока. Неизбеж
ность введения разреза связана с наличием циркуляции потока при появлении подъ
емной силы, действующей на профиль. Все приведенные здесь соображения в целом
такие же, как и в случае несжимаемой жидкости, и иrрают существенную роль в
решении лишь для дозвуковых чисел Маха набеrающеrо потока. Детали излаrаются
ниже.
Соrласно линейной теории, в пределе Моо----+ 1 продольная протяженность поля воз
мущений все более нарастает, т. е. д/ду<Сд/дх. Формальный математический прием
ДЛJl учета этоrо факта состоит во введении растянутой координаты
у == {3(Б)у ,
(3.1.4)
так что д/ ду----+{3(д/ дУ); при этом (3----+0, если 0----+0. Использование этой координаты
помоrает получить нетривиальное трансзвуковое уравнение. И так, рассматривается
семейство течений, представляющих собой малые возмущения однородноrо потока;
в этих течениях
Б о , M == 1 К J.l(Б) 1, J.l(Б) о
Меrr.оды mрансзвуковых разложений
41
и тройка чисел
(х,у,К)
фиксирована. К характеризует степень отклонения Мао от 1; К == О соответствует
Мао == 1.
Разложение имеет вид
Ф(х, У; МО(» о) == и {х + Е:(О)ф(Х, у; К) + · .. }
(3.1.5)
Порядки величин (е, J.L, (3) следует выбрать так, чтобы получить нетривиальное ypaв
нение, которое может описывать трансзвуковой поток. Результирующее уравнение
должно описывать поток, который является локально дозвуковым или локально
сверхзвуковым. Иначе rоворя, должна быть обеспечена возможность перехода от
уравнения эллиптическоrо типа, близкоrо к уравнению Лапласа, к уравнению rипер
болическоrо типа, близкоrо к волновому уравнению. Отсюда следует, что уравнение
lIОЛЖНО быть нелинейным, поскольку локальные области сверхзвуковоrо и дозвуково
[о потоков установить заранее нельзя. Нелинейность определяется также необходи
мостью допущения ударных волн, которые MorYT аппроксимировать действительные
разрывы переменных. Наконец, можно надеяться, что уравнение будет справедливо
во всем поле течения от поверхности профиля до бесконечности. Вместе с тем следу
ет предвидеть локальное нарушение приближения вблизи точки торможения, как и
в линейной дозвуковой теории.
Пусть
Ф Ж
и == 1 + Е:фж
Ф"
11 == Е:{3ф, ·
(3.1.6)
Тоrда условие (rY 2) принимает вид
Е:{3ф,(х,{30F u ,t(Х)) == oF ,t(x){l + Е:фж}
При 0.....0 можно задать это rраничное условие на линии j == о и получить
фу(х,О:1:) == F ,t(X) , О < х < 1 ,
(3 .1. 7)
если положить
I E: == Б. I
(3.1.8)
Cтporo rоворя, данный предельный переход не соrласуется с разложением на rрани
и ero следует заменить на внутренний предельный переход. Эта процедура полез
на в осесимметричном случае; здесь, однако, можно обойтись и без нее из за ожидае
иой rладкости функции Фу при у....... о.
Заметим далее, что
1 2
U 2 Ф ж == 1 + 2Е:фж ,
1 2 2 2
ф ==0 ф +...
U 2 " "
1 ( 2 2 )
U 2 Ф ж + Ф!I == 1 + 2Е:фж + . · ·
а 2 1 '1 1 ( ф2 + ф2 )
U 2 == M + 2 1 ж U 2 11 == 1 + к IL ( Б) (')' 1) Е:фж + '" ·
(3.1.9)
(3.1.10)
(3.1.11)
(3.1.12)
42
rлава 3
Последнее равенство получено из (3.1.1). Таким образом, основное уравнение для
полноrо потенциала (3.1.1) принимает вид
(1 + к Jl (1 1 )Е:фж + · · · 1 2Е:ф ж) (Е:фжж + · · .) 2( 1 + · · .) о 2 Фi Фж;' +
+ (1 + · · .) (о ,8Фlii + · · .) == о
rлавные члены этоrо уравнения имеют порядки p,t, ,o{3; единственный способ по--
лучить уравнение, отвечающее сформулированным выше требованиям, состоит в
приравнивании этих порядков. Получаем известный результат, состоящий в onpeдe
лении порядков величин (р., 8, (3):
JlE: == Е: 2 == 0,8, Jl == Е:, Е: 2 == 02/Е: ,
так что
I == Б f,
2
Jl==Оз,
Р==Бf. 1
(3.1.13)
Суммируя, результаты, получим трансзвуковое разложение в виде
Ф(х, У; Моо, Б) == U {х + Б1Ф(х, У; К) + ... } ,
(3.1.14)
rде
K l M
2
o
3
параметр трансзвуковоrо подобия,
I
У == 0з у,
Ф Ж -} ф
и ==1+и ж,
Ф,
и == 6Фi ,
а 2 .L
U 2 ==1+0з(к (, 1)фж)
Неудивительно, что возмущение скорости в направлении потока по порядку Be
личины 0(02/3) превышает ее возмущение в поперечном направлении 0(0). То же
самое имеет место на характеристиках (эпициклоидах) (рис. 2.4.4.), rде вблизи ЗВУ
ковой линии Фу (Фх 0*)3/2. Такое поведение параметров воспроизводится в точ
ном решении для околозвуковой простой волны.
Заметим, что
а 2 , 1 2 ( Ф + Ф ) 2 Т
==1+ 1.\1 1 ==l оз ( "" l ) ф +...==
а 2 2 00 U2 I ж Т
00 00
поэтому
Р ( а2 ) .., 1 i.
== 2 == 1 о 3 Фж + . · ·
Роо а оо
и
р ( Р ) "У 1
== == 1 о з,Фж +...
Роо РОО
р 2
Роо 1 == ,6зфж,
p p 2
С р == ( РОО2 и :') = 215 j Фж ·
( Коэффициент давления)
(3.1.15)
Методы mpaнсзвуковых разложении
43
Иначе rоворя, возмущение давления пропорционально возмущению скорости в на..
правлении х, как и в линейной теории.
Окончательное уравнение для потенциала возмущения имеет вид
I(К (I+l)ФЖ)ФЖЖ+Фii=О, I
Уравнение K. r.
(3.1.16)
с rраничными условиями в плоскости ( j)
Фж, Фу ......-.+ о в набеrающем потоке
фу(х,О:t:) == F ,t(X) условие непротекания.
(rY 1)
(rY 2)
Условие Кутта Жуковскоrо реализуется приближенно как условие отсутствия
перепада давления на дозвуковой задней кромке
фж(l, 0+) фж(l, O ) = [Фж] 3.)( == О .
(К. ж.)
Результаты применения этоrо условия будут обсуждаться ниже при рассмотрении
краевой задачи для профиля.
Уравнение (3.1.16) в разных формах обычно известно как уравнение Кармана
rудерлея (К. r.), названное так по имени авторов, которые одними из первых
исследовали задачу (3.1.1), (3.1.2). Ранее независимый вывод этоrо уравнения пред..
ложил Ф.и. Франкль в СССР.
Уравнение (3.1.16) ........ смешанноrо типа. Оно является локально эллиптическим
в до звуковом потоке, если К ('У + l)фх> О, локально rиперболическим в сверхзвуко..
вом потоке, если К ('У + l)фх < о. ЗВУХОВaJI линия В потоке определяется соотноше..
нием К == ('У + 1 )Фх. В rиперболической области характеристики уравнения (3.1.16)
действительны; их направления определяются уравнениями
dy 1
= :t: . (3.1.17)
dx V (, + l)фж К
Линии тока, приближенно описываемые соотношением j == const, служат биссектри
сами уrла между характеристиками. Локальное число Маха М, определяется
формулой
2 Ф + Ф
м
t а 2
2
1 + 2сзфж + . · . L
1 ( К ( + l )ф ) 6з
1 + б-t(к (1 l)фж) ,Z,
1 M2
а t ==к (,+1)фж.
ба
(3.1 .18)
Таким образом, уравнение Кармана ........ IYдерлея в локальном смысле аналоrично
уравнению линейной теории (2.5.5). Характеристические направления также совпа
дают с направлениями локальных волн Маха (сравни (3.1.17». Если обратиться к
теории BToporo порядка (уравнение (2.5.6», видно, что некоторые нелинейные чле..
вы становятся большими (ФхФхх) и, следовательно, появляются в уравнении первоrо
приближения при Мао .......1. Этот нелинейный член (и их) в классической римановой
теории нестационарных волн определяет наклон волновых фронтов и образование
ударных волн, что имеет место и в рассматриваемой теории. Задача решается для
фиксированноrо значения параметра К, называемоrо параметром трансзвуковоrо
подобия. Заданное значение К соответствует набору значений (Мао, о), так что имеет
44
rлава 3
место правило подобия для аффинноподобных контуров, обтекаемых потоком с со..
ответствующими числами Маха. Некоторые правила подобия подробно обсуждают..
ся ниже (разд. 3.4).
Полезно отметить, что уравнение Кармана IYдерлея (3.1.16) является уравне..
нием сохранения. Следовательно, ero можно записать в диверrентной форме, так
что оно будет выражать закон сохранения некоторой физич ской величины. Имеем
( l' + 1 2 )
КФж 2 Фж ж+(Фi)i=О,
Консервативная форма уравнения K. r.
(3.1.19)
Чтобы показать, что уравнение отражает физический закон сохранения, испо..
льзуем выражения для плотности и потока массы. Из условия изоэнтропичности
следует, что
L:= ( a22 )
РОО аоо
Разлаrая интеrрал полной энтальпии до членов более высокоrо порядка, находим
(сравни (3.1.1), (3.1.12) и следующие)
2 1 ( ф2 + ф2 ) 1 1 ( 2 ) ( 2 4 )
: =1+ 72 M 1 ж u2 " =1+ 2 1 К6з 26зфж 6jф +...,
: = 1 (7 1)6 : Фж (7 1)6}1 { КФж} +... · (3.1.20)
Итак,
Р { 2 4 ( ф2 ) }
Роо = 1 (7 1)63 Фж (7 1 )6з 2 Ж К Фж +. · · ,
Р 2 1 ( 1 1 )
Рею == 1 БЗ-Фж 6 J 2 Ф к Фж +....
(3.1.21)
в приведенных выражениях не нужно учитывать потенциал BToporo порядка
({)4/3Ф2х) , поскольку в формулах потока массы этот член мал (порядка ()4/3). Компо..
ненты потока массы имеют вид
РФж ( 1. 4 ( '1 1 2 ) ) ( 2 )
РООи == 1 6 J Фж + Б3 к Фж 2 Фж +. . . 1 + 6 J Фж +...,
РФ:z; == 1 + 61 ( К Ф ж l' + 1 Ф 2 ) + . . .
РООи 2 ж ,
(3 . 1 .22)
РФ" ( .l. ) ( )
РООи == 1 6 J Фж + · . · 6Фi + . . · ,
РФ"
и == 6ф, + . .. ·
РОО
(3 . 1 .23)
Методы трансзвуковых разложений
45
Таким образом, видно, что левая часть (3.1.19) представляет собой диверrенцию
вектора потока массы, причем div == (д/дx й1/Зд/дj). Отметим, что возмущение по
тока массы направлении х
( рФж 1 )
РООи == К Ф l' + 1 Ф 2
61 ж 2 ж
(3.1.24)
имеет локальный максимум при К == (1' + l)фх (рис. 3.1.2), т. е. при значении CKOpOC
тв, равной локальной скорости звука, что имеет место и в точном решении для
идеальноrо rаза. Вдали от звуковой линии уравнение кривой потока массы можно
аппроксимировать линейной зависимостью, как в линейной теории. Однако вблизи
звуковой линии необходима аппроксимация кривой BToporo порядка параболой.
Это выражает хорошо известный результат, состоящий в том, что трубки тока
имеют минимальное сечение при достижении местной скорости звука.
Таким образом, уравнение Кармана lYдерлея в форме (3.1.19) имеет вид физи
ческоrо закона сохранения, т. е. уравнения неразрывности. Решение этоrо уравнения
.10ЛЖНО допускать существование ударных волн. Условия на поверхности разрыва
можно получить непосредственно из уравнения сохранения в форме (3.1.19).
Поскольку уравнение (3.1.19) выражает физический закон сохранения, ero инте
rpальная форма сохраняется при переходе через поверхность разрыва. Интеrрирова
иве поперек поверхности разрыва (в обозначениях рис. 3.1.3) дает
[ l' + 1 2 ] ... [ ]
к Фж 2 Ф Ж dy. Фi dx. == О ·
(3.1.25)
Второе условие означает, что разрыв потенциала поперек поверхности разрыва OT
сутствует, или, что то же самое, разрыва касательной скорости поперек ударной
волны не происходит
[Ф] == О, или [Фж] dx. + [Фi] dy. == О .
(3.1.26)
Дозвуковое Сверхзвуковое
течение течение
I
а
10, 1\ о 41з
_и J
у
Lx
Дозвуковое Сверхзвуковое
течение течение
q.
<!\..'b- OJ. 'ь-
rO
Во3мущение
,,-тока массы
ь
dys
dx s
К!(-у + 1) 2К!(-у + 1)
[ ] = ( )ь ( ).
Рис. 3.1.2.
Поток массы в трансзвуковой области.
Рис. 3.1.3.
Разрывы в трансзвуковой области.
46
rлава 3
Квадратные скобки в формулах означают разрыв
] == ( )Ь ( )0 ,
(3 . 1 .27)
т. е. разность между значениями некоторой величины позади разрыва и перед ним.
Последнее условие, которое нужно удовлетворить на ударных волнах, состоит в
том, что существуют только скачки сжатия
{Фж] < о .
(3.1.28)
Как будет видно ниже, это позволяет исключить одну ветвь возможных решений
уравнений (3.1.25), (3.1.26). Наиболее просто получить выражение для при роста
энтропии поперек ударной волны из выражений для отношения плотностей (сравни
(2.4.15), (3.1.21»
2
Po 1 БТфzo 2
g == + 1 == 2 + 1 == БТ[Фж] + . . .
РЬ 1 о:зФжЬ
(3.1.29)
Таким образом, формула (3.1.3) дает
[S] == ,(,2 1) h 2 [фж]З + ...
CtJ 12
(3.1.30)
для любой ударной волны. Эту формулу можно проверить также, вычисляя величи
ну (M 1), rде М п число Маха, определенное по нормальной к скачку компонен
те скорости. Из теоремы Крокко (2.4.25) следует, что завихренность UJ не превыша
ет величину 0(02). Вплоть до величин порядка 0(02/3, /3) поток является безвихре
вым, поэтому можно ввести потенциалы возмущений 01/3 ФI, /3 Ф2. Условия на
ударной волне для этой системы ставятся как обычно. Например, если известно co
стояние перед ударной волной (ФХ а ' Фу) и ее уrол (dx/ dj)s, то имеем два ypaвHe
ния (3.1.25) и (3.1.26) для двух неизвестных (ФХЬ' Фу,).
Подводя итоr, заметим, что построенные здесь разложения привели к прибли
женному уравнению, решения KOToporo в математическом смысле обладают всеми
основными особенностями сжимаемоrо околозвуковоrо течения, такими как локаль
ная структура, ударные волны, переход через скорость звука в самом узком
сечении.
В следующем разделе проводится простое обобщение теории для описания обте
кания трехмерных крыльев.
3.1.1. Обобщение на TpeXMepHble крылья
Разложение в первом приближении получается леrко с использованием Toro факта,
что возмущения распространяются одинаково в обоих направлениях (у и z). Поверх
ность TpexмepHoro крыла, лежащая вблизи плоскости у = О, представляется семей
ством функций
z
S(x, у, z) == у oFu,t(X, ь) == о
(3.1.31)
для верхней и нижней поверхностей соответственно (рис. 3.1.4). Хорда крыла берет
ся равной единице, полуширина равна Ь, и о относительная толщина. Пусть про
Методы mpaнсзвУК08ЫХ разложении
у
b
U,M CID
р ",,' р""
z
у
B
Рис. 3.1.4.
Трехмерное крыло в физических
в в трансзвуковых переменных.
47
х
Вихревая
пелена
:ii.и передней и задней кромок крыла на плоскость у == о определяются следую
DX\( образом:
( ""' )
2 Z
x x
Х П.К ( Ь) П.К В '
( ""' )
z z
x x
Х 1.К (Ь ) 1.К В '
передняя кромка,
задняя кромка ,
(3.1.32)
:-зе i == o 1 / 3 Z, В == й 1 / 3 ь.
Основное разложение потенциала при трансзвуковой скорости (3.1.5) принимает
-з
Ф(х, у, Zj М<Х),б, Ь) =: U {х + б ф (х, у, Zj К, В) +...} .
(3.1.33)
rра.н.ичн ое условие непротекания q · V S == о на поверхности S == о берется в форме
BF б BF
Ф", =: б дх Ф Ж + Ь д(2) Ф z при У =: БF
(ry 2) ,
(3.1.34)
E д(2) означает производную от функции, задающей контур, по ее второму apry
. В трансзвуковом пределе следует положить
I
В =: fJ зь фиксировано при б О, Моо 1 .
} ",]OBBe Кутта........ Жуковскоrо приближенно ставится как условие отсутствия разры..
Ja .:Iавления на ДО звуковой задней кромке
фж(l, 0+) фж(l, o ) = [Фжj З.К, = о. (К. Ж.)
48
rлава 3
Следствия, вытекающие из этоrо условия, обсуждаются ниже. Как и ранее, rранич
ные условия непротекания можно приближенно задать на плоскости у == о. С п<r
мощью разложения (3.1.33) получим
Ф" Ф.. Ф Ж .1.
и БФi, и бфj, и == 1 + б:зфж, (3.1.35)
так что условие (rY 2) принимает вид
Ф ( O ...L ""' ) BFu,t (х, i)
" х, , z дх
(ry 2)
(3.1.36)
при
Х п.к ( ) < х < Х 1.К ( ) .
Условие Кутта Жуковскоrо должно формулироваться на задней кромке точно
так же, как и в двумерном случае; в рамках теории малых возмущений нет произво-
ла в выборе положения задней кромки Х == Х З . К . Формула для распределения давле
ния имеет тот же вид
[Фж] З.К. == Фж(.Х 3.К ,0+, z) Фж( х 3.К , o , z) == о (К. Ж.)
а 2 V 2 ф == ч.У' C V :)2 ) ,
в данном случае
Сходящая с несущеrо крыла вихревая пелена простирается вниз по потоку от
Hero; как и в линейной теории, с достаточной точностью ее можно считать лежащей
в плоскости j == о. Это приближение определенно несправедливо при Х --+ 00, по
скольку вихревая пелена движется вниз по потоку (и свертывается) вследствие caмo
индукции.
Приближенное уравнение Кармана lYдерлея получается из уравнения для пол
Horo потенциала практически так же, как и ранее. В общем случае уравнение для
полноrо потенциала имеет вид (сравни (2.4.27»
а 2 (V'ф)2
, 1+ 2
а 2 u 2
00
I 1+2.
(3 . 1 .37)
v 2 ф Фijj + Фii
и
I (к (, + 1)фж )Фжж + Фlili + Ф%i == О, I уравнение K r. ,
(3.1.38)
или в консервативной форме
( К Фж '; 1 ф ) ж + (ФIi)1i + (Фi) % == О ·
(3.1.39)
Условие сохранения массы на ударной волне снова можно получить путем интеrри
рования уравнения в диверrентной форме (3.1.39) поперек поверхности разрыва. Co
ответствующий вектор потока массы имеет вид
pq . { ( I + 1 2 ) } "'"
роои ==l 1+15з КФж 2 Фж +... +БVф+...
(3.1.40)
Методы mраНСЗ8УКО8ЫХ разложении
49
x
z
8
Рис. 3.1.5.
Элемент ударной волны.
ь
... · д · д Е Й
[зе V == I j ду + l i ai · диничная нормаль к поверхности ударно волны, заданной
уравнением S(x, у, i) == О, определяется в виде
n= s.:iж+ б 1-vs =iж { l Бf(V )2 +... } +б (VS) +...
J S +б i (VS)2 2 Sж S
(3.1.41)
.;в=.З.l.5).
Закон сохранения массы поперек ударной волны [q. n]s == О представлен ypaв
3CIIIIeM
[КФж ,;l ф ] +[VФ]. [ :] =0 ,
(3.1.42)
'10вие сохранения касательной компоненты скорости [q] х n == О уравнением
ЦФж] х ( :) + [Vф] х i ж = о. (3.1.43)
lu заданной rеометрии ударной волны уравнения (3.1.42) и (3.1.43) дают три COOT
'"'ПIeIIИЯ для возмущений компонент скорости за ударной волной, выраженных че
соответствующие величины перед ней. Эквивалентом соотношения (3.1.43) слу
условие [ф] == о. Эти условия на ударной волне более детально анализируются
J ра3з. 3.2.
ЯМТЕРАТУРА
[3.1.1] Karman, Т. von: The similarity law of transonic flow, Journal оЕ Math.
and Physjcs, \'.26, No. 3, October 1947.]
[3.1.2] Guderley G: Considerations of the Structure of Mixed Subsonic and Su-
personic Flow Patterns, Wright Field Report, F TR 2168 ND, October
1947.
3..2. ПРИМЕНЕНИ МЕТОДА РАЗЛОЖЕНИj1
К ОСНОВНОИ СИСТЕМЕ УРАВНЕНИИ
в занном разделе приближенное трансзвуковое уравнение получено друrим способом,
liDТорый служит для контроля рассуждений предыдущеrо раздела. Этот метод леrко
МDзифицировать, если необходимо учесть определенный уровень завихренности в на-
::!--L
5()
rЛО8Q з
6еrающем потоке. НастоЯЩИЙ подход состоит в применении разложения определен
Horo вида к основным уравнениям неразрывности, сохранения количества движения
и энталъпии в дифференциальной форме, а применительно к ударным волнам и в
интеrральной форме. Преимущество данноrо подхода состоит в том, что он свободен
от предположеНИЙ об изоэнтропичности и завихренности, что проясняет смысл при
ближеlПlоrо потенциала ф. Второе преимущество состоит в возможности paCCMOTpe
ния соотношений на скачках в явном виде. Недостаток заключается в том, что для
получения результатов разложение нужно продолжать до членов более высокоrо п<r
рядка: до членов BToporo порядка, чтобы получить потенциал первоrо порядка, до
членов Tpeтbero порядка, чтобы получить потенциал BToporo порядка и вычислить
сопротивление непосредственно из системы уравнений.
Отклонение потока, как и прежде, характеризуется параметром о; рассматривается
предельный переход Мао 1, так что параметр трансзвуковоrо подобия К определя
ется соотношением
2
M == 1 Кб З. (3.2.1)
Разложение строится в фиксированной системе координат х, у, i (рис. 3.2.1), rде
как и ранее,
I I
У == бз у, z == бз z .
Характерная длина в направлении х принимается за единицу. Удобно предста
вить возмущения скорости вдоль направления набеrающеrо потока и в поперечном
направлении (обозначенных символом ...). Таким образом, в соответствии с порядка
ми величин, обсуждавшимися в последнем разделе, переменные течения следует
представить в виде следующих асимптотических разложений:
q (1 .r.l. ( IW IW К) .r ) ..r..".r .."
и == + v з u 1 Х, у, z; + v '3 и 2 + · .. 1 ж + vV 1 + v '3 V 2 + · .. ,
р .1. ..1
== 1 + б з Рl + б з Р2 + · · ·
РОО
р .z.
== 1 + б з 0'1 + б ЗD'2 ... ,
Рос
(3.2.2а)
(3.2.2б)
(3.2.2в)
rде ix единичный вектор в направлении х, а v возмущение скорости в попереч
ном направлении с компонентами (и, w) в декартовых координатах.
Сначала рассмотрим интеrральньiе соотношения, которые следуют из интеrрала
полной энтальпии (2.4.10), справедливоrо во всем поле течения, поскольку он coxpa
У'
ЬУ + 05l3 y
'; 2 ,
/1
I
I
[,213 и 1 + 04l3 U2
и
I
I /
1//
.....v
х
LJ(
Рис. 3.2.1.
Координаты, используемые
в трансзвуковом разложении.
Методы трансзвуковых разложении
51
IС Я при переходе через ударнуlO волну
а 2 1 1 ( q2 )
a = 1 + 2 1 и 2 ·
(3.2.3)
r1pe.з ставим отношение температур Т/Тоо, сохраняя только требуемые порядки Be
, в виде
2 4
02 Р РОО 1 + 63Рl + 6 3 Р2 ( 1. 4 )( 1. ( 2 ))
== . == 2 4 == 1+0 3 Pl+ 0J P2 1 6ЗО'I 6З0'2 0'1 ,
o Роо Р 1 + 0з 0'1 + 630'2
а 2 2 4
2"" = 1 + ОТ(Рl 0'1) + 6""Т(Р2 0'2 + O' РIО'I) + · .. .
а оо
(3.2.4)
.k-.ce,
q2 I. 2
и 2 = 1 + о з(2Ul) + 6 з(2U2 + и 1 ) +... . (3.2.5)
' за следует, что интеrрал энтальпии (3.2.3) содержит следующие члены:
2 4
1 + 03(Рl 0'1) + 6 Т (Р2 0'2 O'I(Pl 0'1)) ==
= 1 + '; 1 { Б1(2Ul) Б (2U2 + и )}{1 КБ } .
образом, приравнивая члены одноrо порядка, получим интеrралы энтальпии
I!Iq)ВOM И втором приближениях:
Рl и! == (1' 1 )иl ,
Р2 0'2 = (, 1)и2 (, 1) { +О'1иl ки 1 }
(3.2.6)
рим далее уравнения неразрывности и количества движения в дифференци
l.:IJiIiIOЙ форме. Вектор потока массы равен
pq ( l ..l. ) ( ( 1 1. ...i ) . .., I 1..., )
== +VЗU1+VЗU2 +VЗUl+VЗU21%+VVlТVЗV2
роои '
0= (1 + Бf(Ul + 0'1) + Б (и2 + 0'2 + UIО'I))i ж + БVl + Б (V2 + O'IVl) +...
7E ...
(3.2.7)
JUI1O диверrенции можно представить в виде
d . '!""'1 ( . д 1.. )
lV == v. = 1% дх + о з v' ,
(3.2.8)
з: 7 = (д/дY a/ai) преобразованный оператор диверrенции (rрадиента) в Tpaнc
м."Lr( координатах. Следовательно, из '1. (pq) = о в различных приближениях
52
rЛQВQ 3
получаем
2
0(63)
4
0(6з)
(иl + О'I)ж == о,
(и2 + 0'2 + UIО'I)ж + V.Vl == О ·
Уравнение неразрывности.
(3.2.9)
Соответственно эйлерова форма уравнений движения выражается через производ
ные вдоль линии тока
ч. V == и { (1 + Б ; иl + ... )i ж + БVl + .. · }. { i ж ( :х ) + o+v} ,
{( 2 ) д .i ... }
qeV==U 1+63Ul дж +63VlеV .
(3.2.10)
Уравнения Эйлера имеют вид
( L ) ( роои2 ) { q .V Ч } == V .
Роо Роо U и роо
(3.2.11)
Заметим, что
2
роои 2 ( 1. )
Р =,Моо==,l К6з.
00
(3.2.12)
Проекция уравнения движения на ось х имеет вид
2 2 ( . д 4 ... ) 2 4 2 4
7(1 КБ)) (1 + 1530'1) (1 + Б з иl) дх + 03Vl. V (БЗ U 1 + Б"'iU2) == Б3 Pl z БЗР2 z ,
или
O(6 )
0(6 t )
I' U lж == Рlж,
7 U 2ж + ,(0'1 + иl К)Ulж == Р2ж.
(3.2.13)
Для поперечной компоненты уравнения движения имеем
(7(1 +15 ; (0'1 + иl К) + ...) :х +7Б}V1.V) ( БV l + Б1V 2 + ...)== БVР2,
или
0(6)
5
0(63")
...
)'V'lж == V'Pl ,
,V2ж + 7(0'1 + иl К)Vlж == VP2 ·
(3.2.14)
Следует изучить также соответствующий приближенный вид соотношений на П
верхности разрыва. Пусть ударная волна задается поверхностью
S ( х, у, z) == о == х 9 (у, z) . . .
(3.2.15)
Методы mpaнсзвуковых разложении
53
Рис. 3.2.2.
Схематическое изображение ударной волны.
n
Ориентация поверхности характеризуется единичным вектором нормали n
J ....
v' S i 63V'g . (1 .2.1 ( '" ) 2 ) .ln
n l ж fJ 3 v 9 () 3 v 9
IVSI I+Бi(Vg)2 2
(рис. 3.2.2).
Вектор n раскладывается в направлении х и в поперечном направлении
2
. { Б3 ( IW ) 2 } .).IW
n == l ж 1 2 n + 6 зп + · .. ,
(3.2.16)
rде ii == v g. Условие сохранения массы можно записать как равенство нулю раз
рыв а нормальной компоненты потока массы
(рч.п] == о .
(3.2.17)
Используя разложение для вектора потока массы (3.2.7), получим
[ Б t ( u 1 + о' 1) + Б 1 (и2 + 0'2 + U 1 о' 1) Б ( u 1 + о' 1) (:ii ) 2 + Б v 1 .:ii] =: О ,
или
[иl + 0'1] = о ,
[и2 + (12 + Ul(11) + [vl).ii == О .
Сохранение массы на ударной волне
(3.2.18)
Иначе rоворя, имеем интеrрал потока массы, справедливый во всей области. Пер
вое уравнение неразрывности (3.2.9) дает .
иl + (11 = /n(у, i) .
Поскольку предполаrается , что все возмущения затухают на бесконечности вверх
по потоку, ненулевая правая часть может появиться только за счет ударных волн.
Однако из соотношения (3.2.18) следует, что ударные волны не изменяют величину
иl + 0'1. Поэтому
10'1 + иl =: О. I Интеrрал во всей области.
(3.2.19)
54
rЛQВQ 3
Из интеrрала энтальпии следует также, что до рассматриваемоrо порядка величин
энтропия постоянна, и существ ует простое соотн ошение между Рl, иl
I Р1 = ,(11 = ,и1. I (3.2.20)
Видно также, что первое из соотношений для х компоненты количества движения
следует из этих формул. Далее из первоrо соотношения для поперечной компонен
ты количества движения вытекает
1"1& = VU1 · I
Это означает, что в данном приближении отсутствуют поперечные компоненты за
вихренности, которая возникла бы в исходном безвихревом течении при наличии
ударных волн. Напомним, что в общем случае выражение для завихренности '-' за
пи:сывается в виде
=Vx . = (i ж : х +б V)Х ((б ; U1+б U2)iж+бV1+бfV2)==
== б (( Vl ж Ulj )i z (Wl ж Ul,i)i!/)
5 4 .,
+ Б З ((V2ж U2у)i ж + (W2ж v2z)i!/) + 6з (У' Х Vl) + .... (3.2.22)
Чтобы получить систему уравнений первоrо порядка относительно (иl, "l), сле
дует найти выражение для (и2 + 0'2)х, входящее во второе уравнение неразрывности
(3.2.9). Из BToporo соотношения для х компоненты количества движения (3.2.13)
следует, что
P2 z == ,U2ж + 'КUl ж ,
и из BToporo соотношения для интеrрала энтальпии (3.2.6) и равенства иl + 0'1 == О
вытекает
Р2 == (12 (, 1)и + (, 1) { + ки1} ·
Таким образом,
( , 1 2 )
((12 + U2)ж = Ки1 2 и 1 ж.
(3.2.23)
Используя условие отсутствия завихренности (3.2.21) и уравнение неразрывности
(3.2.9), получим основную систему дифференциальных уравнений для (иl, "l)
.."
Vl ж V'Ul == О ,
( 'u , + 1 2 ) .;:.,., О
.n. иl 2 и1 ж + V.V1 = ·
Основная система трансзвуковых
уравнений.
(3.2.24)
Возмущения давления вычис ляются в этом приближе нии из (3.2.20)
I Р1 = ,и1, (11 = и1. I
(3.2.25)
Мепюды mpaНСЗВУК08ЫХ разложении
55
Потенциал возмущения первоrо порядка вводится следующим образом:
-.,
Vl VФ1' Ul Фlж.
Основное уравнение для потенциала совпадает с уравнением (3.1.38)
(3.2.26)
( 1+12 ) ....2
К Фlж 2 Фlж ж + v Фl О ·
(3.2.27)
Далее из точных соотношений на поверхностях разрыва будут получены условия
на поверхностях разрыва, соответствующие основной системе (3.2.24). Условие He
прерывности компоненты скорости, касательной к поверхности ударной волны,
имеет вид
[ xn] ==0,
или
[ ( 1 .f. ) . 10<1 ] ( . ( 1. (п) 2 ) .... )
б3Ul+бЗU2+... lж+UVl х 1% I UЗ2 +uзп ==
= б[Ul]i ж х ii + б[v] х i ж + ... о .
Окончательно
I [Ul]ii == [Уl]. I
(3.2.28)
Это соотношение определяет уrол волны и показывает, что разрыв поперечной co
ставляющей возмущения скорости происходит в направлении нормали.
Рассмотрим также поток количества движения п по нормали к поверхности
ударной волны. Ero точное выражение имеет вид (сравни (2.4.2»
[ Р 2 Р ( Qen ) 2 ]
['дn] == РОО + /Моо Роо и о ,
роои 2 М 2
РОО 1 00.
2
Заметим, что 'YM == "'1(1 Кбз), тоrда
Р
(1 КБз) Роо == 1 + 15з (0'1 К) + 15з (0'2 КО'I) +... ,
q 1. ( (п)2.... 10<1 )
u еп l+БЗUl+Б3 U2 U12+Vlen +...,
( 8n) 2 == 1 + Бf( 2U l) + Б ( 2и 2 ul(ii)2 + и + 2V 1 8ii) +... .
Следовательно,
l. 4 { 4
,/f n 1 + б 3 Рl + 63 Р2 + ... + 1 (1 + б з (0'1 К) + 63(0'2 О'IК)) Х
Х (1 + Бt(2Ul) + Б1(2U2 ul(ii)2 + и + 2V 1 8ii)) } ==
2 4 {
1 + бз Рl + 6з Р2 + 1 1 + б з (0'1 + 2u 1 К) +
+ Б (0'2 + 2и2 КО'I ul(ii)2 + и + 2V 1 8ii + 2иIО'1 2Киl) } .
56
rлава 3
Таким образом, с точностью до О (02/3) имеем
[Рl + ,(0'1 + 2иl)] = о ,
или с учетом 0'1 == иl
[Рl ,(11] = о ·
Эти формулы отражают уже известный результат о изоэнтропичности течения в
соответствующем приближении. Важное следствие вытекает из членов порядка
O( /3) в выражении для
Д"2 == 151 (Р2 + ,(0'2 + 2и2 К иl и + 2V18:ii Ul (В)2)) .
Используя интеrрал энтальпии, запишем
,,11"2 == Б t {0'2 (, 1) и2 + (, 1) ( + К U 1) +
+ ,(0'2 + 2и2) .,К ul ,и + 2,v18:ii ,Ul (B )2} ,
Д"2 == 151 { (, + 1)(0'2 + и2) '; 1 и К Ul + 2,v 1 8В ,щ (В)2} .
Теперь из условия сохранения массы на ударной волне (3.2.18) следует, что
[(12 + и2] = [Уl].б + [и ] ,
[Д"2] == о == Б [ ,; 1 и Киl + (, I)V18:ii ,Ul(:ii)2 j ,
Используя теперь кинематическое соотношение (3.2.28), получим
[ , + 1 2 ] [ ] ., О .
2 и 1 К иl tJl .п == ·
(3.2.29)
Условия на разрыве описываются соотношениями (3.2.28), (3.2.29) и в точности со..
ответствуют интеrральной форме основной системы (3.2.24), записанной в направ..
лении поперек поверхности ударной волны. Результаты данноrо раздела служат
подтверждением приближенноrо подхода, предложенноrо в разд. 3.1 для потенциа..
ла Ф.
Описанная здесь методика может быть использована также для вывода прибли..
женных уравнений в случае, коrда набеrающий поток имеет заданную завихрен..
ность, например сдвиrовый профиль скорости в направлении х и постоянную пол..
ную энтальпию. Разложение сохраняет прежний вид (3.2.2), например, в плоском
случае
== (1 + Б ; Ul (х, У; К») i ж + БVl (х, У; K)i j + · ..
Р ].
== 1 + БЗРl + ...
РОО
(3.2.30а)
(3.2.306)
Методы mpaнсзвуковых раЗЛo:JlCeНUЙ
57
9
и (9)
Рис. 3.2.3.
Трансзвуковое сдвиrовое течение.
х
При X 00
иl (х, У; К) ------+ и оо (у), 1)1 ------+ О, Рl ------+ О ,
иl (х, О) == О (например)
(3.2.31)
(рис. 3.2.3).
Дальнейший вывод повторяет предыдущий, однако теперь завихренность набеrа
ющеrо потока имеет порядок О (о) и сохраняется. Основная трансзвуковая система
уравнений имеет вид
duoo , ( '"' )
tJlж и] oj == dy == иoo у ,
( (,+1) 2 )
Kиl 2 и 1 .,+"I;=0,
(3.2.32)
Ее можно преобразовать к друrому виду путем замены
иl == иоо(у) + ш(х, у) ,
(3.2.33)
так что
tJlж Wi == О ,
( ,+1 )
Kw (, l)uoow 2 w 2 .,+";=0,
Таким образом, можно ввести потенциал возмущения (x j)
w == <Рж, Vl == <Р; ,
(3.2.34)
и уравнение неразрывности принимает вид
I
I (К (, + l)Uоо(ji)) жж (, + l)<,Ох<,Ожж + <Ру; == о.
(3.2.35)
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение Кармана lYдерлея (3.1.16)
с той разницей, что параметр подобия заменен на параметр, содержащий возмуще
58
rлава 3
ние сдвиrовой скорости в набеrающем потоке
К К.(у) == К (, + 1)и оо (у) .
(3.2.36)
Заметим, что интеrрал уравнения для компоненты х количества движения имеет вид
Pl == ,W == ,r.pж .
(3.2.37)
3.3. МЕТОДЫ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СТРУЙНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В трансзвуковых струйных течениях в качестве xapaKTepHoro размера в поперечном
направлении можно взять полуширину Н В плоском случае или радиус струи в осе..
симметричном случае (рис. 3.3.1). Это означает, что трансзвуковое разложение нуж"
но строить по координате х, напоминающей продольную координату в поrранич..
ном слое, чтобы учесть большие rрадиенты параметров в направлении х. Для слу..
чая дозвуковой струи характерный уrол наклона вектора скорости потока о можно
определить по форме канала перед выходным сечением, а Мао по условиям дале..
ко вниз по потоку.
Разложение принимает вид
Ф(Х,У) == U{Х+Е:(б)Нф(х.,у;к) + ...},
(3.3.1)
rде
у
y== ,
н
. 1 Х
х == р,(б) Н '
к == 1 M
v(б)
Величины е, р., ." требуется определить. Компоненты скорости записываются следу..
ющим образом:
Ф Ж Е
== 1 + Фж. ,
и р,
Ф v
и == Е:ФJJ ·
(3.3.2)
Чтобы в решении учесть члены порядка О (о), следует положить
lе:=б .1
(3.3.3)
Интеrрал энтальпии (3.1.1) представляется разложением
а 2 б
2 == 1 + (к (, l)фж.) + ... ,
и р,
(3.3.4)
у
у = н + ')'f(x)
н
ь
р 00' и, Моо
===а х
Рис. 3.3.1.
Дозвуковая струя.
н
Методы mрансзвуковых разложении
59
rде
Е 6
1I .
JJ Jl
Уравнение для потенциала (3.1.1) имеет следующие rлавные члены:
( .. 6 6 ) 6
(11 (7 l)фж.) 2 фж. 2 ФЖ . Ж . + ... + 6ф"" О ,
Jl JJ Jl
так что трансзвуковое уравнение получается при условии 02/ JL3 == О, откуда
I р == б
и
v == 151 .1
Итак,
I (к (')'+ l)фж.)фж.ж. +ф.. == о ,1
(3.3.5)
т. е. получаем обычное трансзвуковое уравнение.
В итоrе трансзвуковое разложение имеет вид
Ф и {х + 6Н ф(х* , У; К) + . . .} ,
(3.3.6)
rде
у
y н '
* X
х () l
Н '
К 1 M
2
6)
в соответствии с этим разложением уравнение rраницы струи от выходноrо ce
чения можно записать в виде
у н +Tf(x*), или у 1 + r(6)f(x*).
(3.3.7)
Условие Toro, что скорость направлена по касательной к линии тока, имеет вид
Ф" ( . ) r(6) f ' ( * )
6ФJ/ Х , 1 + · .. ( 6 ) ж ·
и+... JJ
Таким образом, т == tf/3, И условие на верхней линии тока принимает вид
Ф,,(х*, 1) /'(х*) .
(3.3.8)
Имеется соответствующее условие и на нижней линии тока. Эти условия служат
для определения контура струи по найденному решению. rраничное условие на rpa
нице струи означает постоянство давления. Поскольку (сравни (3.2.20»
р .1.
Р 00 1 ,6 3 Фж. + · .. ,
условие постоянства давления приближенно при у == ::1:: 1 принимает вид
фж.(х* ,:f:l) о.
(3.3.9)
60
rла8а 3
Ме
Ре
у
х
Рис. 3.3.2.
Сверхзвуковая струя.
Можно также рассмотреть задачу о струе, имеющей сверхзвуковую скорость на
выходе (рис. 3.3.2). В этом случае малый параметр, определяющий порядок величи
ны уrла наклона вектора скорости потока, возмущения давления и т. д., можно
выразить через разность давлений в выходном сечении и в окружающей среде. Если
Е == ( 1 :. ) ! , (3.3.10)
Аоо '1
разложение принимает вид
. з
Ф(Х, У) == и {х + Е2 н ф(х., У; К) + .. .} ,
rде
1 M2
К== 00
Е
у
y== ,
н
. l Х
х ==Е 2 .
Н
3.4. ПРАВИЛА TPAHC3BYKOBOrO ПОДОБИЯ
Правила трансзвуковоrо подобия фактически содержатся в методах разложения,
описанных в разд. 3.1. Течения рассчитываются для фиксированных значений пара
метров подобия (например, A В). Правила подобия устанавливают связь между
различными про филями или крыльями одинаковоrо контура и формы в плане при
подходящем выборе толщины () и числа Маха набеrающеrо потока Мао. Имеется
соответствие локальных характеристик потока, например положения и протяжен
ности ударной волны, давления в точке, а также распределения давления по поверх
ности, подъемной силы, сопротивления и момента. Из приводимых здесь рассужде
ний становится ясно, как получить более общие правила для конкретных условий.
В данном разделе кратко обсуждаются эти правила подобия. Рассмотрим снача
ла семейство трехмерных крыльев, как в разд. 3.1.1. Можно ввести более удобное
представление контура, чтобы выделить уrол атаки фиксированноrо контура крыла.
Пусть
F...t( х, i) == с(х, i):i: t( х, i) А.
(3.4.1)
Здесь А == а./ () друrой параметр подобия, который считается фиксированным при
() о; а. уrол атаки крыла. Функция t (x z/ Ь) описывает распределение толщины,
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложении
61
с(х, z/ Ь) форму средней линии. Форма крыла в плане определяется уравнениями
передней и задней кромок Х == Х П . К (z/ Ь), Х == Х З . К (z/ Ь). Трансзвуковое разложение
для заданноrо семейства крыльев (подобные профиль и форма в плане) имеет вид
Ф(х,у,z; 6М оо ,Ь,а) =: U{х + 6 f ф(х,у,z; К,В,А) +...} ,
(3.4.2)
оно содержит следующие параметры подобия:
1 М 2 I
К 00 В L
=:иv3,
б
А== а
6
и координаты
I J
у=:бзу, z== 6 з z.
Коэффициент давления определяется следующим образом:
P Poo 1. ( "" "" )
С р == роои 2 == 2б 3 Фж х, у, z; К, В, А .
2
(3.4.3)
Таким образом, для двух различных значений Моо, М 1 00 и М200 должно выполняться
равенство
J
б == б ( 1 M oo ) "2
2 1 1 М 2 J
100
чтобы в двух подобных течениях значения К были одинаковыми. Аналоrично для
соответствующих течений
( 61 ) t ( l Mloo )
Ь 2 Ь 1 82 Ь 1 1 M oo '
3
62 ( 1 M oo ) '2
а2 == аl 6 == аl 1 М2
1 100,
По мере приближения числа Маха к единице потоки остаются подобными в тех
случаях, коrда толщина профиля и уrол атаки уменьшаются, а хорда крыла возрас
тает. Координаты соответственных точек связаны соотношениями Х2 == Хl,
У2 == Уl (02/01)1/3 == Yl[(l M oo)/(l МIоо)] 1/2, Z2 == ZI(OI/ 02)1/3, И В этих COOTBeтCТBeH
ных точках, расположенных относительно оси Х (на линии, аналоrичной линии Маха
в сверхзвуковом потоке), имеет место соотношение для С р
( 6 2 ) t ( 1 М 2 )
С р 2 == С р l 81 == С р l 1 Ml:
Интенсивность и положение ударных волн пересчитываются таким же образом.
Напомним, что С р l == (Р 1 РОО)/ Рlоо(иI/2). Распределение давления на поверхности,
взятое при j == О, пересчитывается тем же способом. Поскольку подъемную силу
L и сопротивление D можно получить интеrрированием давления на поверхности,
правила подобия для этих параметров формулируются следующим образом:
j Ь j ХЗК
L == с 2 dz . dx (Р! Ри) , rде с характерная длина хорды профиля
Ь х (ранее с=: 1),
П.К
(3.4.4)
Ри,1 давления на верхней и нижней поверхностях соответственно. Итак,
u 2 2 j B "" ! ХЗ.К
L POO 2 6 3 С dz dx(c PL c pu ) ,
B х
П.К
или
I j B J ХЗК
L=рооu 2 б з с 2 dz . dх{фж(х,о+,z;к,А,В) фж(х,о ,z;к,А,в)},
B х
П.К
и
L 1-
CL == и == б з fn(K, А, В) .
РОО2 (площадь крыла
в ПЛёiне)
(3.4.5)
если принять, что площадь крыла в плане....., Ьс, причем Ь/С == B/o 1 / 3 . Аналоrично
получаем для сопротивления
j ' j X З.К ( aF aF t )
D = с 2 б dz dx PU, Pt ·
ь х дх дх
П.К
(3.4.6)
Выбирая тем же способом масштабы, получим
4 j B j ХЗ.К { aF дР. }
D = рооU 2 0 З с 2 B di х dx фж(О ) Bx l Фж(О+) дх" ,
П.К
D .1
CD == 2 == б зfn(К, А, В) .
Р2 u (площадь крыла
в плане)
(3.4.7)
Один из основных способов про верки трансзвуковой теории состоит в сопостав
лении теоретических правил подобия с результатами эксперимента для крыльев и
профилей с различными значениями (о, Мао). Можно сравнивать локальные величи
ны, такие как давление, а также рассматривать подобие подъемных сил и сопротив
ления. Несколько примеров TaKoro сравнения приведено на рис. 3.4.1 3.4.3. Во
всех случаях соответствие достаточно хорошее, чтобы укрепить наше доверие к Teo
рии. Рис. 3.4.1 заимствован из работы [3.4.1], автор которой особо указывает на
неединственность трансзвуковоrо параметра подобия К.
Данные рис. 3.4.1 более точно ложатся на единую кривую, если использовать
модифицированный параметр
К 1 M
s 2 ·
{ (1 + l)M o } 3
Этот вопрос вновь поднят в работе Хейза [3.4.2], rде подробно обсуждаются второе
приближение трансзвуковой теории и влияние на Hero выбора параметра подобия.
Например, Хейз предлаrает использовать парам'етр Кв, основанный на втором при
ближении теории Буземана
К l M
B 2.
{( tl М:О + 2 2M ) б} 3
Хейз обобщает также предыдущие результаты на случай rаза с произвольным ypaв
нением состояния (что всеrда возможно для теорий малых возмущений). Использо
вание параметров КВ или Ks не всеrда предпочтительнее, поэтому следует прово
Меrrюды mpаНСЗ8УКО8ЫХ разложении
63
2
........... Трансзвуковая
теория
0,6
Полууrол клина
0,4
Со
0,2
О
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
Моо
Рис. 3.4.18.
Трансзвуковые эксперименты;
коэффициент сопротивления В зависимости от числа Маха.
t
f 1
2
Полууrол клина
А 4,50
'v 7,50
. 10,00
з
4
й
,
1'----
......
Линейная
теория
[( + 1)м2] 1/3
e 'Y 00 С
О (6) 513 D
Трансэвуковая
теория
1
2
1
О
Ks
1
2
Рис. 3.4.1б.
Трансзвуковые эксперименты;
представление результатов в переменных подобия.
дить более полное сопоставление с экспериментом. На рис. 3.4.1 приведены также
теоретические результаты для случаев обтекания клина при дозвуковых скоростях
[3.4.4, 3.4.5], звуковой скорости [3.4.6] и сверхзвуковой скорости [3.4.7]; все эти pe
зультаты хорошо соrласуются с экспериментом.
Данные, представленные на рис. 3.4.2, 3.4.3, построены по результатам работы
[3.4.3] и показывают влияние конечноrо удлинения. Имеются также эксперимен
тальные данные и законы подобия и для тел вращения; различные случаи обсужда
ются в работе Хейза (квазицилиндр, цилиндр, тонкие плоские тела, неплоские TOH
кие тела). Систематическое исследование параметра подобия было предпринято Ky
суноузом в работе [3.4.8]. В случае двумерноrо потока целью работы было
64
rлава 3
0,05
4 ;
0,04 а-
: ..6 о о
,/
1 ·
с!
3 0,03
-.1
u
s:?
2 0,02
Q
u
0,01
Все крыльи примоуrольные в плане
Все крыльи примоуrольные в плане
I
о
о
1
2
3
00
1
2
з
AR(h 1 / 3 )
AR(h 113 )
Рис. 3.4.2.
Трансзвуковые эксперименты; закон подобия
для коэффициента сопротивления В трехмерном
потоке.
Рис. 3.4.3.
Трансзвуковые эксперименты; закон подобия
для подъемной силы В трехмерном потоке.
использование разложения по параметру подобия до более высоких степеней
2 4
M == 1 Кбз + К 2 (К)Ьз + ...
вместе с аналоrичным разложением по У, а также применение трансзвуковой теории
малых возмущений BToporo порядка для определения К2(К) и друrих коэффициен
тов. Кусуноуз рассмотрел ударные волны и простые волны и попытался определить
К2(К) , чтобы максимально улучшить теорию первоrо порядка. К сожалению, pe
зультаты в простой форме не получились, поэтому лучшим методом выбора KOH
кретной формы К в широком классе задач остается эмп.ирическое исследование.
ЛИТЕРАТУРА
[3.4.1] Spreiter, J., Оп the Application of Тransonic Similarity Rules to Wings
of Finite Span, NACA ТесЬ. Нер. 1153, 1953.
[3.4.2] Hayes, W. D., La seconde approximation pour les ecoulements tran
soniques поп visqueux, Journal de Mechanjque, v. 5, n. 2, Juin 1966.
[3.4.3] Nelson, W. Н. and McDevitt, J. В., ТЬе Тransonic Characteristics of
17 Rectangular Symmetrical Wing Models of Varying Aspect Ratio and
Thickness, NACA Research Мето. А51А12, 1951.
Методы mраНСЗ8УКО8ЫХ разложений
65
[3.4.4] Cole, J. D. Drag of Finite Wedge at High Subsonic Speeds, J. Math.
aпd Phys., 30, No. 2, July 1951, рр. 79-93.
[3.4.5] Тrilling, L. Тransonic Flow Past а Wedge at Zero Angle of Attack,
ZAMP 4:, No. 5, Sept. 1953.
[3.4.6] Guderley, G., and Yoshihara, Н. ТЬе Flow over а Wedge Profile at МасЬ
Number 1, J. Aero. Scj., Vol. 17, No. 11, Nov. 1950, рр. 723..735.
[3.4.7] Vincenti, W. G., and Wagoner, С. В., Тransonic Flow Past а Wedge
Profile with Detached Bow Wave .. General Analytic Method and Cal..
culated Results, NACA, TN 2588, (1951).
[3.4.8] Kusunose, К. Тwo Dimensional Flow Past Convex and Concave Corners
at Тransonic Speed and Тwo Dimensional Flow around а Parabolic Nose
at Subsonic and Тransonic Speeds, PhD." Thesis, University of California
Los Angeles 1979.
3.5. УРАВНЕНИЯ rодоrРАФА ДЛЯ плоскоrо ТЕЧЕНИЯ
Уравнение теории малых возмущений для плоскоrо течения (3.1.6) и условие отсут-
ствия вихря эквивалентны следующим уравнениям:
ww ж 19 у == О ,
Юу д ж == О ,
(3.5.1)
соответственно, rде
W == (/, + l)фж К ,
д == (')' + 1)фу . (3.5.2)
При определенных условиях в системе уравнений (3.5.1) можно поменять места-
ми зависимые инезависимые переменные. Получающиеся при этом уравнения из-
вестны как уравнения rодоrрафа; в этих уравнениях независимыми перемен..
ными служат модуль w и уrол наклона вектора скорости {}, а зависимыми
х, у. С этими уравнениями работать леrче, чем с уравнениями (3.5.1), поскольку
они линейны, так что характеристики и положение звуковой линии в плоскости ro..
доrрафа известны до решения задачи. Вместе с тем rраничные условия в плоскости
rодоrрафа в общем случае остаются достаточно сложными; ударные волны в физи-
ческой плоскости соответствуют «дырам» в плоскости rодоrрафа, а обратное пре-
образовани (т. е. переход от плоскости rодоrрафа к физической плоскости) часто
допустимо лишь в локальном смысле.
Чтобы провести обратное преобразование, заметим, что дифференциалы скорос-
ти dw, d{} имеют вид
dw == wжdх + wfidy ,
d19 == 19жdх + 19fidy ,
(3.5.3)
а дифференциалы координат запишутся в виде
dx == xV)dw + х"а19 ,
dy == ywdw + y"d19 .
5 1084
66
rлава 3
Подстановка (3.5.3) в (3.5.4) дает
dx == (ХwW ж + х"fJж)dх + (xwwi + x"fJi)dy ,
dy == (уwwж + у"fJж)dх + (YwWj + y"fJj)dy .
Поскольку dx, dj независимы, эти соотношения выполняются при условиях
ХwW ж + х"fJ ж == 1 , УwWж + у"fJ ж == О ,
xwwi + х"fJ ж == О , YwWj + у"д у == 1 .
Эта система уравнений может быть однозначно разрешена относительно X w , х", Yw,
у" В окрестности тех точек (х, п, в которых
. д ( ю, д) O (3 5 5)
J == д ( Х, у) == W ж д; v ж W; -;- О , · ·
rде j якобиан. Таким образом, в окрестности всех точек (х, Л, в которых j ;I! О,
можно провести обратное преобразование и получить
1
Xw == дfI ,
J
1
Х" == Шу ,
J
.., 1 O
Yw = vж ,
J
.., 1
у" == --: w ж .
J
(3.5.6)
Подстановка (3.5.6) в (3.5.1) дает систему уравнений, описывающую течение в
переменных rодоrрафа
шу" Xw = О ,
Yw х" == О .
(3.5.7)
Эквивалентное уравнение BToporo порядка в частных производных имеет вид
шу"" Yww == О
(3.5.8)
и известно как уравнение Трикоми. Это уравнение с переменными коэффициентами
изменяет свой тип при w:::: о. Если w <О, имеем уравнение эллиптическоrо типа,
а если w> О, получаем уравнение rиперболическоrо типа. Линия w = О, т. е. ось
{J в плоскости rодоrрафа совпадает со звуковой линией. Данное уравнение является
линейным, так как нелинейные члены, содержащие якобиан, сокращаются. В боль
шинстве случаев это сокращение невозможно, например в осесимметричном тече
нии, и поэтому соответствующее уравнение нелинейно.
Аналоrично обратное преобразование из плоскости rодоrрафа в физическую
плоскость может быть выполнено в окрестности любой точки (w, д), в которой
д(х, у) 1 .., .., О
J == д( w, д) == J == Xw у" X"Yw -;- ·
Якобиан j представляет собой отношение элемента площади в плоскости rодо
rрафа к элементу площади в физической плоскости, что леrко показать, вычислив
векторное произведение
(3.5.9)
dw х dfJ == (wжdх + widY) х (fJжdx + fJidY) == i(dx х dY) .
Методы mpaнсзвуковых разложении
67
Таким образом, отображение является обращающим, если j < о, и сохраняющим,
если j> о. Из (3.5.5) и (3.5.1) имеем
j == южд у джюу -= юю wi '
(3.5.10)
поэтому в дозвуковых областях, т. е. при w < о, преобразование всюду, rде оно
определено, является обращающим U < о), в то время как в сверхзвуковых областях,
т. е. при w> о, оно может быть как обращающим, так и сохраняющим.
Из формулы (3.5.10) становится ясно, что якобиан j может обращаться в нуль
по крайней мере в изолированных точках в дозвуковой области, поскольку если pe
шение эллиптическоrо уравнения постоянно вдоль некоторой кривой, то оно посто
янно во всей эллиптической области. Если в некоторой области (сверхзвуковоrо)
потока j == О, эта область в плоскости rодоrрафа свертывается, так что ее образом
в этой плоскости будет точка или кривая. Потоки, для которых j == о вдоль HeKOTO
рой линии в физической плоскости (линии ветвления), рассматриваются в разд. 3.7
вместе с лишенными физическоrо смысла течениями, для которых J == О вдоль HeKO
торой линии в плоскости rодоrрафа (предельной линии). Эти последние течения не
имеют физическоrо смысла, поскольку соответствующее течение в физической плос
кости будет состоять из нескольких листов (т. е. будет неоднозначным).
Характеристики в физической плоскости задаются уравнениями
dy 1
dx =1: y'W '
(3.5.11а)
Чтобы найти образ этих характеристик в плоскости rодоrрафа, заметим, что
вдоль кривой (z, у(х» в физической плоскости имеем
дж+дj( )
( d ) ,
W ж + Юу
dfJ
dw
поэтому вдоль характеристики
dd дж + WW Ж (1:*)
dw w + д ( :t:.....L. ) ,
z, z, ..;w
dfJ
dw ==:t:yW ,
(3.5.11 б)
Интеrрирование уравнений (3.5.11б) позволяет записать уравнения характеристик в
плоскости rодоrрафа в аналитической форме
2 J
д == до :t: Ю2 .
3
(3.5.12)
То, что кривые (3.5.12) являются характеристиками системы (3.5.7), леrко прове
рить непосредственно (рис. 3.5.1). Таким образом, характеристики в физической
плоскости отображаются на характеристики в плоскости rодоrрафа, причем xapaK
теристики первоrо семейства (верхний знак в уравнениях (3.5.11), (3.5.12» отобража
ются в направлении, ортоrональном исходным характеристикам BToporo семейства
(нижний знак в уравнениях (3.5.11), (3.5.12» и обратно.
68
rлава 3
+2 312
" "о 3 w
х
" Звуковая
линия I
/,
1/
/ /
,/ ./
'" ./ ./
.,-' ,/./ Характеристики
....."').(/ /
..: ""....
....
" ,
w
,
rиперболическая
верхзвуКовая)область
fI. ./
.r
.. / l'
ft I \
g,ttt. I \ I \
# /, \
A/ ,
lO. I \
I I \ Характеристики
I ,
'1
Эллиптическая
(дозвуковая)
область
Рис. 3.5.1.
Характеристики в плоскости rодоrрафа и в физической плоскости.
Как уже отмечалось ранее, хотя уравнения линейны в плоскости rодоrрафа, а
положения звуковой линии и характеристик в этой плоскости известны, положения
rраничных кривых заранее неизвест ы, за исключением некоторых частных случаев.
В плоскости rодоrрафа в сверхзвуковой области (w > О) следует определить HeKO
торое направление, как времениподобное (маршевое) направление. В физической
плоскости линии j := const служат в первом приближении линиями тока. Линии TO
ка являются биссектрисами уrла между характеристиками (3.5.11 а). В физической
плоскости в качестве времениподобноrо направления выбирается направление BeKTO
ра скорости потока вдоль линии тока, а направление двух характеристик в каждой
точке физической плоскости выбирается вниз по потоку. Эти две характеристики
оrраничивают область влияния, поэтому времениподобное направление в плоскости
rодоrрафа также устанавливается с помощью образа линии тока. Следовательно,
направления характеристик известны. Это удобно проиллюстрировать путем pac
смотрения двух элементарных решений уравнений (3.5.7).
3.5.1. Трансзвуковое течение от источника
Течение от источника имеет cTporo радиальные линии тока (рис. 3.5.2). Течение с
малыми возмущениями оrраничено около звуковыми скоростями и малыми откло
нениями от направления х (заштрихованная область на рис. 3.5.2). Решение в при
ближении малых возмущений (3.5.7) имеет вид
у = сд J
сю 2
x== .
2
(3.5.13)
Для этоrо течения величина j постоянна вдоль линий {} == const; иначе rоворя,
на линиях тока уrол наклона вектора скорости постоянен. Коrда с > О, течение cy
ществует в физической плоскости лишь при х > о. (Отображение из плоскости rодо
rрафа в физическую плоскость не занимает полностью всю физическую плоскость).
Фактически правая половина физической плоскости дважды покрыта решением (для
w> О и для w < О). Вычисление якобиана J дает J == CW, т. е. как и ожидал ось,
J == О при w == о. За звуковой линией отображение в физическую плоскость выпол
нить нельзя. Звуковая линия совпадает с предельной линией. Это отражает то
обстоятельство, что линии тока в данном течении не образуют rорловины, так что
поток не может перейти через скорость звука. Если принять оrраничение на w в
виде w > О, т. е. течение считать сверхзвуковым, то отображение становится пол
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложений
69
у
Звуковая / ' -
линия
х
Рис. 3.5.2.
Течение от источника.
ностью определенным (1 1 и отображение w > О на х> О). Обратное преобразова
ние имеет вид
O 1 ...
v == y ,
С
ю== .
Характеристики можно явно определить в физической плоскости
J
dy :i: ( ) 4"
dx J.. .JW 2х '
J
4 J
...... ( С ) 4
У == Уа :i: 3 2 х 4 .
Отображение является сохраняющим, линии тока в плоскости rодоrрафа служат
биссектрисами уrла между характеристиками, отсюда и название: течение типа ис
точника (рис. 3.5.3). Это течение является сверхзвуковым, ускоряющимся от звуко
Boro. Для ветви решения w < О имеем ускоряющееся течение дозвуковоrо стока, при
ходящее из бесконечности.
Можно рассматривать дозвуковой источник с замедляющимся от звуковой CKO
рости течением и сверхзвуковой сток с замедляющимся до звуковой скорости Te
чением. ... .,.
"..'" CJ"\....
Y ./ ./ а<'''''
/ "\,,у
/ ?i-
/ ...... ./
/
*"
'"
CJ
-c..0
rtt+- /
..L'lt q / /
ж --..""" т-./ /
>, J/ /
а:: ......."></" .
...-' ,,/ '"
.......", \
Q) -' "
q .......
Q) ,
а. "
с
u:: ",
ns
са
о
>.
ш
(w)
{J
./
У = const .......<.
u:: ./ ......
s: /
z Х
s:
с::
u:: {J = const
w ns
ш
О
>.
ш
(w)
б
в
Рис. 3.5.3.
Трансзвуковое течение от источника.
а плоскость rодоrрафа; б физическая плоскость.
З. .2. Трансзвуковое течение от вихря
Линии тока течения от вихря представляют собой окружности. Течение с малыми
возмущениями выражается друrим решением системы (3.5.7), для KOToporo
70
rлава з
у
х
Рис. 3.5.4.
Течение от вихря. Внутри предельной окружнос
ти q == qv течение отсутствует.
j == const на линиях w == const. Решение дается формулами
у == cw , х == сд .
Оно справедливо в заштрихованной области на рис. 3.5.4. Для этоrо решения
J == t?, поэтому отображение между плоскостью rодоrрафа и физической плоскос..
тью является обращающим; оно определено во всей плоскости. Обратное преобра..
зование имеет вид
AI
У
w== ,
с
х
a
v .
с
Характеристики в физической плоскости записываются следующим образом:
dy
== или
dx У ,
y == xJё(x Ха) .
3
...
cn
с
О
u
11
r.>.
" = xlc
Сжатие
Скорректированная
линия тока
Разрежение
),.......... ,-
./ ,/
"
/
/
х
w
Звуковая линия
.......
..........
........
"
'\
\
Волн ы
сжатия
Рис. 3.5.58.
Трансзвуковое течение от вихря в плос
кости rодоrрафа.
Рис. 3.5.5б.
Трансзвуковое течение от вихря в физической
плоскости.
Методы трансзвуковых разложении
71
В этом течении линии тока j == const пересекают два семейства характеристик, одно
из которых соответствует расширению, а друrое сжатию (вихреподобное течение)
(рис. 3.5 .5а, б).
Вследствие линейности системы уравнений в плоскости rодоrрафа можно соста..
вить линейную комбинацию решений в плоскости rодоrрафа для источника и вихря
и получить решение в общем виде
{ У == Сl д + C2w }
Сl w 2 .
Х == + С2 д
2
(3.5.14)
Очевидно, что течение в физической плоскости не является простой суммой этих
двух течений.
Были найдены некоторые друrие точные решения. Мноrие из них обсуждаются
ниже. Здесь же упомянем одно семейство точных решений, необходимое для изуче..
ния струйных течений. Решения получаются путем разделения переменных в уравне..
нии (3.5.8).
Полаrая в (3.5.8)
у( w, д) == W (w )е( д),
находим
е" 1 W"
\
е w W л ·
Тоrда
{ е( д) == al ei " + a2e iv'i" }
W(w) == ыli( лw)) + b2Bi( AW) ,
(3.5.15)
rде Ai, В; функции Эйри. Они связаны с функциями Бесселя порядка 1/3 следую..
щими соотношениями:
. fi { ( 2 1 ) ( 2 l. )} . f2 { ( 2 ) ( 2 l )}
АI( Z)==VЗ- J1 З- Z2 +J l З- Z2 ,BI( z)==Vi J l -З Z ' 2 Jl з Z2 ·
Друrие свойства этих функций понадобятся в следующих разделах, поэтому приве..
дем их ниже [3.5.1].
Для малых значений z
Ai(z) == clf(z) C2g(z), Bi(z) == JЗ(Сlf(z) + c2g(Z)) ,
rде
1
j(z) == 1 + З! z3 + O(z6), g(z) == Z + O(z4)
и
Ai(O) == Сl == B ) == (з1r(2/з)) 1, Ai'(O) == C2 == В:З(О) == (З1r( )) 1
72
rлава з
z
0,6
Рис. 3.5.6.
Функции Эйри.
Для больших значений z
{ 2 3
Ai(z) == (2Viz ) l + О (z 1) } е,.... 2, если Jarg zJ < 1r ,
А . ( ) ( r= 1 ) 1. ( 2 1. 1r ) ( '1 21r
I z == y1rz' SШ з- Z2 + 4 +0 z .), если Jarg zl < "3 '
. ( { 1 ( '1 ) } 1. t 1r
Вж z) == 1. + О Z 4 е ЗZ '" если larg zl < ,
ViZ4 ' 3
В . ( ) 1 ( 2 1 1r ) ( ! ) 21r
! z == .l cos Z2+ +0 Z 4 если largzl< .
ViZ4 3 4 ' 3
Определения составлены таким образом, что В; экспоненциально растет при боль
ших значениях (положительной действительной части) aprYMeHTa, а А; экспоненци
ально убывает. rрафик этих функций приводится на рис. 3.5.6.
Заметим, что в сверхзвуковой области (w> О) эти частные решения для действи
тельных значений л имеют осциллирующий характер как по д, так и по w. В локаль
ном смысле это имитирует поведение решения волновоrо уравнения. Однако для
дозвуковой области (w < О) зависимость от w носит экспоненциальный характер и
осциллирует по д, как и решение уравнения Лапласа.
ЛИТЕРАТУРА
[3.5.1] М. Abramowitz and 1. Stegun, Handbook оЕ Mathematjcal Functjons,
Dover, New York 1965.
3.6. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ, УДАРНЫЕ ВОЛНЫ,
ОТОШЕДШИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
Частные решения, рассматриваемые в данном разделе, обладают тем общим свой
ством, что они MorYT быть использованы как в качестве rлобальных решений, спр
ведливых во всей области, так и в качестве локальных решений, справедливых в
Методы mрансзвУКО8ЫХ разложении
73
окрестности некоторой точки. Простыми волнами называются сверхзвуковые тече
ния, в которых возмущения переносятся лишь вдоль одноrо семейства характери
стик. Иначе rоворя, поток изменяется, лишь коrда линия тока пересекает xapaкTe
ристики одноrо семейства (расширение или сжатие). Ударные волны представляют
собой сvачки сжатия, рассчитанные в соответствии с выведенными ранее правилами
(3 .1.23) и (3 .1.24) .
в соответствии с известной теоремой, доказанной в' моноrрафии Куранта и
Фридрихса [3.6.1], сверхзвуковые области однородноrо потока (д == const, W == const)
оrраничены либо ударными волнами (постоянной интенсивности), либо простыми
волнами. Эти решения используются для построения более сложных полей течений.
З.6.1.ПрОСТЬlе волны
Решения типа простых волн для rиперболических систем общеrо вида можно опре
делить как решения, в которых все зависимые переменные зависят от единственной
координаты о, называемой фазовой. Для построения этоrо решения в трансзвуко
вой системе уравнений (3.5.1)
{ WWЖ д;; О }
дж Wj О
(3.6.1)
положим
W == w(u), д == д(О') ,
(3.6.2)
rде зависимость о == о(х, j) подлежит определению. Имеем
{ w dw (1 dfJ (1- == о }
dtт ж dtт fI
dfJ dw ·
O' и-==O
dtт ж dtт'
(3.6.3)
Решение для (ох, Оу) существует лишь при условии, что детерминант
W( Z-) 2=( : )2
(3.6.4)
обращается в нуль. Условие (3.6.4) показывает, что
1) решение существует лишь при сверхзвуковой скорости w>o;
2) если фазовая координата о изменяется, отображение течения в область rодо
rрафа д (w) соответствует одной характеристике, которая получается путем интеrри
рования уравнения (3.6.5) (сравни (3.5.12»
dfJ ==...L r::: w dw
V.W (3.6.5)
dtт d(1
и описывается уравнением
2 3
д((1) == до :r зw 2 ((1) ·
(3.6.6)
Теперь с помощью (3.6.3) можно получить условия, которые должны выполняться
на данной фазовой кривой о == const, т. е. при О == do == oxdx + oydy,
74
rЛQВQ 3
dд
( d Y ) t1 ж dt1 1
== =F ·
dx o=const (1;; w dw y' w((1)
dtт
(3.6.7)
Последнее равенство следует из (3.6.5).
Это последнее соотношение показывает, что
1) линии и = const в физической плоскости являются прямыми линиями, так как
w( и) = const;
2) эти прямые линии имеют характеристическое направление в физической плос
кости (сравни (3.5.11», т. е. они наклонены под локальным уrлом Маха к прибли
женным линиям тока (j = const),
J
dy 1 1 6з
dx = =t= y'w((1) = =t= у'(, + l)фж((1) К = =t= y'Ml 1 J
как показано в (3.1.1 5) и (3.1.16);
3) эти плоские линии (прямолинейные характеристики) ортоrональны характери
стике в плоскости rодоrрафа с наклоном dfJ / dw, в которую отображается все
течение.
Заметим, что для этоrо течения
aw дд дд aw dw dд
j= дхду дхду = diJdt1 ((1ж(1j (1Ж(1j)=О,
(3.6.8)
Конечная площадь, занимаемая течением в физической плоскости, отображается в
линию (характеристику) в плоскости rодоrрафа.
В качестве примера течения типа простой волны рассмотрим переход от одноrо
однородноrо течения (w := W a := const, fJ := да := О) к друrому однородному течению
с более высокой скоростью и низким давлением, т. е. ускорение сверхзвуковоrо по
тока при повороте около выпуклой стенки. Картина течения в физической плоскости
показана на рис. 3.6.1.
Параметр () характеризует уrол наклона вектора скорости в соответствии с изло
женным ранее выводом уравнений теории малых возмущений. Соответствующая
картина этоrо течения в трансзвуковой плоскости и в плоскости rодоrрафа показана
на рис. 3.6.2а и 3.6.2б.
Данная постановка является самой общей. Любая функция, описывающая реше
ние типа простой волны, отвечает некоторому возможному течению. Однородные
состояния вверх и вниз по потоку произвольны.
Образ Bcero течения типа простой волны располаrается вдоль характеристики
в плоскости rодоrрафа, проходящей через начальное состояние
2! 2 i
fJ + w 2 = Wa (да = О) .
3 3
(3.6.9)
Это соотношение связывает скорость (и давление) с уrлом отклонения потока в
каждой точке веера волн разрежения. Конечное однородное состояние достиrается
при fJ := дь
2 l 2 2 1
Wb2 == w'; д ь == wJ + (, + 1) .
3 3 3
(3.6.10)
Методы mpaНСЗВУКОВЫХ разложении
75
Однородный поток
..........
W.
К
у = t.,
Рис. 3.6.1.
Простая волна в физической плоскости.
Формула (3.6.9) позволяет найти также давление в каждой точке поверхности
331.
w(x, О) == (wJ 2"11 f(X)) 3, 11 f(X) == +(1'+ l)F'(x) . (3.6.11)
Семейство прямолинейных характеристик (каждая с локальным уrлом Маха) пред
ставляется выражением
у== v' 1 (x и),
wf{и}
(3.6.12)
"
/
I
/
/
/
/
/'
/'
,."
/
/
" А /
" /
(А)
(8)
у
----
.....
......
и = 1
" = о
х
Р, /
/
Р 2
....... и2
, " / Р Э
" из
'у,/ 8
/ '
./ \ и = 1
/' \
,." \
........
" \
,
"
,
\
W
W = W.
W = w b
.....",
.......
" = о
" = "ь
(8)
о
\ 1
,
",(х) = ()' + 1)F (х)
" = "ь = ()' + 1)
Рис. 3.6.2а..
Простая волна в трансзвуковой плоскости.
Рис. 3.6.26.
Трансзвуковая простая волна в
плоскости rодоrрафа.
76
rлава 3
rде в качестве фазовой координаты О выбирается координата х при j == о. Итак,
3 3 .1
Wj((1) == (ш! 2 11j ((1») 3 .
(3.6.13)
Состояние rаза постоянно вдоль каждой характеристики веера; для каждоrо О значе
ния {Jj, Wj известны, так же как и положение прямой линии, на которой эти значе
ния постоянны. Образ каждой линии тока располаrается вдоль cerMeHTa характери
стики АВ Каждая точка Р 1 , Р 2 , Р з служит образом одноrо из лучей 01, 02, оз. Любая
из пересекающих характеристик, отвечающих семейству сжатия, отображается на дy
ry AB . это семейство характеристик не пере носит возмущений.
Предельным случа.ем рассматриваемоrо течения является центрированная волна
разрежения в сверхзвуковом потоке при обтекании выпуклоrо уrла (рис. 3.6.3).
Образ этоrо течения в плоскости rодоrрафа тот же самый, что и рассмотренный
выше, он связывает начальное и конечное состояния. Лучи сходятся в одной точке,
поэтому
..,
у
1
.;w
1
3 l'
(wJ 11)З
до, < {J < дь .
(3.6.14)
х
Саму величину {J можно использовать в качестве фазовой координаты, а формула
(3.6.9) дает зависимость w({J). Центрированную волну раз-режения (рис. 3.6.4) мож
но рассматривать также в качестве локальноrо решения, коrда неоднородный дозву
ковой поток достиrает звуковой скорости на острой кромке. Например, это имеет
место при дозвуковом обтекании клиновидноrо профиля. В этом течении уrловая
точка (х == j == о) отображается на всю дуrу АВ в плоскости rодоrрафа.
Можно также рассматривать простую волну сжатия, однако она всеrда имеет
оrраниченную протяженность, поскольку в этом случае лучи имеют оrибающую.
Картина течения показана на рис. 3.6.5.
Пересечение характеристик (каждая из которых несет на себе постоянные значе
ния W, д) при формировании оrибающей приводит к образованию области MHoro
значности, лишенной физическоrо смысла. Выше по потоку от места расположения
оrибающей характеристик должна образоваться ударная волна. Для линий тока,
проходящих ниже ударной волны, течение рассчитывается по формулам простой
волны, однако для нахождения течения за ударной волной нужно решить проблему
взаимодействия (простой волны с ударной волной). Картины течения в плоскости
трансзвуковых переменных и в плоскости rодоrрафа показаны на рис. 3.6.6а и
3.6.6б.
.
у Р, Р 2
Рз
W b . "ь
W.
у
W.. ". == о
х
х
W b
". = о
"ь == const == ("У + 1)
в
6
Рис. 3.6.3.
Центрированная волна разрежения.
а физическая плоскость; б трансзвуковая плоскость.
Методы траНСЗ8УКО8blХ разложении
77
Локальна" центри .
рованна" волна
разрежени"
+
Y I /
+-0. /'
,/
.
x
Моо < 1
Рис. 3.6.4.
Локальная центрированная
волна разрежения.
I
\
Приведем пример расчета оrибающей для частноrо случая параболической кри"
вой. Имеем
х 2
F(x) == 2' дj(х) == (")' + 1)F'(x) == (")' + 1)х, О < х < 1 · (3.6.15)
Из (3.6.12) получим, что семейство лучей описывается формулой
х q == VWj(q) y ,
(3.6.16)
rде в соответствии с (3.6.13) для данноrо случая
{ 1 3 } ; ( 3 3 )
Wj(q) == wJ 2 дj (q) - == WI 2(")' + 1)и
(3.6.17)
Чтобы вниз по потоку течение было сверхзвуковым, должно выполняться нера..
венство
! з
W a > 2(1+ 1) ·
Течение тормозится как раз до звуковой скорости в случае, коrда выполняется ра..
венство (Wf == О). Записывая формулу (3.6.16) в виде
)
х q == ( wj (")' + 1)и ) 3 у,
(3.6.18)
...............
W a
у
"'2
"'1
Рис. 3.6.5.
Образование оrибающей при обтекании
воrнутой стенки.
х
78
rЛQвQ 3
у
'"
OV
.J. '1j. J. fb.
..!
' o Е
fb. fb.tt- А
o +
'1;
W = W a
У2
....
....
......
У1
./
/
/'
./
./
./
./
"
./
,./
"
"
,
,
,
\
\
w
в
х
{}а = о
{}ь = l' + 1
Рис. 3.6.6а.
Трансзвуковая плоскоС}ь.
Рис. 3.6.6б.
Плоскость rодоrрафа.
получим условие для оrибающей (д/до == О)
""'
У
3 2
(шл Н, += 1)и ) 3
Таким образом, параметрическое представление оrибающей имеет вид
O==l ,+l
2
2 ( J 3 )
УЕ(и) := , + 1 ш 2(' + 1)и ,
2 ( 3 3 )
ХЕ(и):=и+ ,+1 Ш! 2(,+1)и
2 J
1 W 20' ·
,+
(3.6.19)
Полаrая для последнеrо луча о == 1, получим точку с координатами
2 1-
ХЕв == 1 wJ 2 > 1 ,
,+
""' 2
УЕв == , + 1
( J 3 ) t
w a 2 2 (, + 1) - > о .
На первом луче о == О
2 3
ХЕА == w2'
,+ 1 '
"" 2
УЕА == , + 1 W a ·
Точка Ев движется в направлении поверхности с уменьшением W a И достиrает ее
(х == 1, У == О), коrда поток непосредственно за веером становится звуковым. Исклю
чение параметра о из (3.6.19) дает уравнение оrибающей
2 3 l.
""' 33 ( 2 wJ ) 3
YE==2i(,+1)t ХЕ з,+l
(3.6.20)
Методы mpaнсзвуковых разложений
79
в различных ситуациях взаимодействие простых волн может приводить к более
сложным течениям. Например, в начальной области сверхзвуковой струи (рис. 3.3.2)
зона ABCD является зоной взаимодействия. Простые волны исходят из всех четы
рех сторон этой зоны.
3.6.2. YAapHble волны, отошедшие ударные волны
Переходы в ударных волнах удобно представлять в плоскости rодоrрафа, rде мож
но изучать rеометрическое место всех возможных состояний вниз по потоку, дости
rаемых из заданноrо состояния вверх по потоку. Такое rеометрическое место назы
вается ударной полярой. Она служит важной составляющей различных rраничных
задач и характеризует поведение ударных волн в сверхзвуковом потоке около ocт
рых кромок.
Ниже соотношения на ударных волнах записаны в переменных (w, д). В любой
конкретной задаче формулы можно преобразовать к переменным (Фх, Фу). Резуль
таты преобразования выражаются уравнениями (3.1.25), (3.1.26) для ударных волн;
их можно получить путем интеrрирования консервативной формы уравнений (3.6.1)
поперек разрыва (рис. 3.6.7)
{ [ 2 ] dfi. + [д]dх. == О } усовия на ударной волне (3.6.21)
[д]d!i. + [w]dx. == О
Исключение уrла (dx/ dj)s позволяет получить основное уравнение ударной
поляры
![w 2 ][w] == [д]2 , (3.6.22)
2
или
(w) [w]2 == [д]2 , (3.6.23)
rде < ) означает среднее арифметическое, равное (1/2) ( )ь + ( )а), а [ ] разрыв
соответствующей величины.
Если величины разрывов известны, локальная форма ударной волны следует из
(3.6.21)
( dx ) [д] rт:::\
dy . == [w] == =fv (w) ,
1
(w) ==.2 (wb + w Cl ) .
(3.6.24)
W 8 , "8
ttJ.
o
",+
si'
dys
/
Сверхзвуковой
поток
W a > О
W bl "ь
Рис. 3.6.7.
Течение в окрестности ударной волны.
dx s
[ ] = ( )ь ( )8
W b < W 8
80
rлава з
Это приводит К неравенству, устанавливающему соотношение между наклоном ха..
рактеристик (волн Маха) и наклоном ударной волны, коrда течение перед ударной
волной и за ней является сверхзвуковым
( : ) == > ( : ) == J (Wb + w..) > ( : ) == vwь .
у СА У , У Сь
(3.6.25)
Эти соотношения справедливы для характеристик первоrо семейства (рис. 3.6.8).
Стрелки показывают направление распространения возмущений вниз по потоку.
Достаточно построить поляру (3.6.23) для да == О, поскольку уравнения (3.6.1)
и условия на разрыве (3.6.21) инвариантны относительно поворота на уrол д, а
величину дь всеrда можно заменить дь да, если да о. Тоrда, переписывая
(3.6.22), получим
д == (Wb + W..)( Wb w..)2.
Ударная поляра
.
(3.6.26)
Зависимость дь от Wb при заданном W a имеет вид полукубической параболы. Эта
формула дает семейство кривых для различных значений W a (рис. 3.6.9); имеем reo..
метрическое место всех возможных ударных переходов.
В соответствии с (3.6.24) и (3.6.26) ударная волна в переменных (х, у) локально
ортоrональна касательной к кривой dx/dj == :ж: (wb wа)/дь. в случае криволинейной
ударной волны ее образ располаrается вдоль некоторой дуrи ударной поляры. Заме..
8
.
o
q.
<f
W.
Дозвуковое
течение
+(» ,q'\
o
' "O
fi. 0
\ 'b- 0"
.., 0
"
Сверхзвуковое
течение
4 ЗI2
m W. /
/
/
W
..",
c;'(""' "'" ,.-,.-""
1 е9"" ,.."'"
1.e.9e. ..", ,..
"""....
..",
ем
.
ь
\
\
\
\
\
\ \
\ \ \
\ \ \
\ \ \
\ \ \
\ \
\ \
\
,.-
,..
,..
9 = canat
Рис. 3.6.8.
Характеристики и ударная волна.
Рис. 3.6.9.
Семейство трансзвуковых ударных поляр.
Методы mpaНСЗ8УКО8ЫХ розлож:енuй
81
fY
Простая
волна
.
Мао > 1
1
а
ф
:
Рис. 3.6.10.
Сверхзвуковое обтекание клина.
х
тим, что для ударной волны малой интенсивности, Wb W a ...... О, < w) ...... W a , а уrол
ударной волны (dx/ dj)s...... :i: {ИIа == (dx/ dj)c приближается к уrлу Маха. В прямой
ударной волне Wb == W a , т. е. поток за волной дозвуковой. Из формы ударной по
ляры следует, что существует несколько состояний за ударной волной. Из заданноrо
начальноrо состояния можно перейти в конечные состояния с дозвуковой И CBepx
звуковой скоростями. Однако участок ударной поляры, показанный на рис. 3.6.9
штриховой линией, не может быть реализован (w a > Wb), поскольку он отвечает вол
не разрежения. Элементарный расчет показывает, что максимальное отклонение по
тока достиrается за косым скачком, для KOToporo
1
Wb == зWа ,
4 .1
lдьl == зv'з wJ
(3.6.27)
Все семейство ударных поляр можно привести к единой кривой путем выбора
следующих масштабов:
1 А
д ь == Wa д ,
А
Wb == W(lW .
(3.6.28)
Тоrда уравнение кривой имеет вид
д2 == (и, + 1)(ц, 1)
Ударная поляра в
преобразованных
переменн ых .
(3.6.29)
Рассмотрим теперь сверхзвуковое обтекание плоскоrо клина (рис. 3.6.10). Если
число Маха Мао достаточно велико, а уrол наклона вектора скорости потока о дocтa
точно мал, ударная волна является присоединенной, и за ней формируется OДHOpOД
ный сверхзвуковой поток.
Если течение за ударной волной действительно сверхзвуковое, то длина клина
не влияет на течение около ero поверхности, поскольку возмущение от уrловой точ
ки не может достиrнуть ударной волны, так как распространяется от уrловой точки
вниз по потоку в виде простой волны. Лишь коrда Мао убывает или о возрастает
в достаточной степени, так что за ударной волной образуется звуковой или дозвуко
вой поток, то возмущения от yrловой точки будут распространяться вверх по пото
ку. Ударная волна все еще может быть присоединенной, однако она уже имеет KO
нечную кривизну, определяемую характерной длиной клина. Наконец, ударная вол
на должна отойти от клина, коrда отклонение потока превышает максимально
возможное значение. Чтобы определить течение в этих двух последних случаях,
6 1084
82
rлава 3
нужно решить краевую задачу, поскольку ударная волна уже не является прямоли
нейной. Эти задачи выходят за рамки данноrо раздела. Их подробное описание
можно найти в работах [3.1.1, 3.6.2]. Рассмотренный выше набор течений проиллю
стрирован с помощью ударной поляры (3.6.29) на рис. 3.6.11.
Уравнение поверхности клина имеет вид
.f (х) == 6 х при О < х < 1 ,
(3.6.30)
поэтому rраничное условие на поверхности запишется так
д(х,о) == (/, + 1) .
(3.6.31)
Течение перед ударной волной характеризуется параметром трансзвуковоrо
подобия
rr I KI м;, 1
w... .n
... 2 ·
6j
(3.6.32)
Поэтому в преобразованных переменных получим
А 3 6
д(х,о) == (1 + 1)IKI 2 == (1 + 1) ! ·
(M 1)
(3.6.33)
При условии 0< д(х, О) < д* (точка Рl на рис. 3.6.12) ударная волна остается прямо
линейной и присоединенной, а течение за ней однородным сверхзвуковым с пара
метрами (Wb, дь). Коrда д достиrает значения д*, Wb == О, И течение за ударной вол
ной становится звуковым. Имеем
А 1 3
дО == J2 == (')' + l)IKI "2 ·
(3.6.34)
При условии д* < д < д тах ударная волна остается присоединенной, но искривляется,
а течение за ней становится дозвуковым. Как показано в книrе [3.6.1], кривизна
в носовой точке изменяется от конечноrо значения до бесконечности для HeKoToporo
{}
{}
Дозвуковое
течение
Сверхзвуковое
течение
I
/
А /
{}так /' /
./
u;
с
О
CJ
"
>..
I
I
I
I
I
I
I
I
3J,wa 1/]wa 1/7 W a
Р м
.......
........
.........
"
"-
"
"
"
"-
"
w
.
р н
Рис. 3.6.11.
Ударная поляра с элементами линий
j == const.
Рис. 3.6.12.
Ударная поляра в универсальных
переменных.
Методы mраНСЗ8УКО8ЫХ разложений
83
Р.
у
r i \
. I \
/ ' \
/ "
'. /
/{ //
, I \ /
/ / /х.
, \
,
а
1
6
х
" л
О < {j < {j.
,. ,.. л
{j · < {j < {j тах
о
о
Р Н
о
1
в
Рис. 3.6.13.
У дарно волновые структуры на клине.
а присоединенная прямолинейная ударная волна; б присоединенная криволинейная ударная
волна; 8 отошедшая ударная волна.
критическоrо значения д в этом диапазоне. Заметим, что
А 4
д тах == 3vЗ ·
При 3 > д тах ударная волна отходит от вершины клина. Картины течения для этих
случаев по казаны на рис. 3.6.13, а 8.
Простая волна на кромке имеет локальный характер в последних двух случаях,
коrда поток за ударной волной является дозвуковым вплоть до уrловой точки. Зву
ковая линия проходит от уrловой точки до ударной волны. В случае ОТОlUеДlUей
волны ее образом в rодоrрафе служат все точки PN ... рм ... Р* И т. д.
Единственным случаем, в котором можно просто рассчитать давление на по
верхности клина, является сверхзвуковое течение. Коэффициент давления равен
1 fKI Wb
С р == 26 3 Фж == 26 3 ,
1+1
(3.6.35)
rде Wb соответствующий корень кубическоrо уравнения (3.6.29), представляющеrо
поляру при 3 Ь .
ДЛЯ однородных течений при наличии ударных волн реlUение краевой задачи в
плоскости rодоrрафа сводится к уравнениям Трикоми для y(w, д). Можно сформули
ровать однородное rраничное условие на ударной поляре, содержащее частные про
изводные (Yw, YiJ). Такое условие необходимо при постановке краевой задачи. По
скольку
( : ) у = соп'. на ударной аолне
(Уш) .
(у,,). '
(3.6.36)
то это условие определяет направление линии у == const на ударной поляре в nлос
кости rодоrрафа. Оно выводится следующим образом. На ударной волне из (3.6.21)
получаем
JW Q + W"
д ь == (W a Wb) 2
(+ ветвь) .
(3.6.37)
6*
84
rла8а 3
Поэтому
( dдь ) J Ш а + шь Ш а шь
dwb = 2 + 2V2 y'w a + шь
(ЗWЬ + Wb)
2V2 y' w a + Wb ·
(3.6.38)
Далее за ударной волной имеем
( d Y ) W a Wb (Yw).dwb + (у., ).dfJb
dx ,, дь V (Xw).dWb + (x.,).dfJ b '
или
"" ,.., ( d" ) ( "" ) Зwь + W a ( "" )
(Уш). + (у,,). d;;; ь У". 2V2V w a + шь УШ ·
у "" ( dfJ ) ( ) Зwь + W a ( "" )
шь(у"). + (Уш). dw ь ШЬ у" · 2V2 vw a + шь УШ ·
(3.6.39)
с использованием (3.6.38). Соотношение (3.6.39) дает искомое условие; после упро
щений имеем
( д У ) ( д У )
( 5W Ь+ ЗW а) дш . у (7шь+да) дд . =0,
(3.6.40)
или
( d" ) 7 шь + Ш а J шь + Ш а
dw j=const = 5 w b + ЗW а 2
(3.6.41)
для наклона линии j == const на ударной поляре. Схематически элементы этих линий
показаны на рис. 3.6.11. Набор линий тока для j == const напоминает картину, COOT
ветствующую линиям тока от особенности, расположенной в данном случае внутри
ударной поляры. Это так называемый дикобраз Буземана.
ЛИТЕРАТУРА
[3.6.1] Courant, R. and Friedrichs, К. О., Supersonic Flow and Shock Waves.
Interscience Publishers (J. Wiley and Sons) New York, 1948.
[3.6.2] Guderley, К. G., ТЬе Theory оЕ Тransonic Flow, Pergamon Press, Lon
don, 1962.
[3.6.3] Vincenti, W. G. and Wagoner, с. G., Тransonic Flow past а Wedge
Profile with Detached Bow Wave, NACA TN 2688, 1951.
Имеются на русском языке
[3.6.1] Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные
волны. М.: ИЛ, 1950.
[3.6.2] rудерлей К. r. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ,
1960.
Методы mраНСЗВУК08ЫХ разлOJlCeНUЙ
85
3.7. ТЕЧЕНИЕ В СОПЛЕ, ЛИНИИ ВЕТВЛЕНИЯ,
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ
В данном разделе рассматриваются два течения, каждое из которых описывается
точным решением трансзвуковых уравнений с малыми возмущениями. Решение для
первоrо течения, являющеrося переходом через скорость звука в минимальном сече
нии сопла, содержит линию ветвления. Это течение соответствует потоку в сопле
Лаваля [3.7.2]. Второе течение описывается решением Ринrлеба; некоторые вариан
ты получаются путем разделения переменных в уравнении полноrо потенциала (в
координатах t/ == ф; + ф;, д == arctg (фу/фу» [3.7.1]. Решение строится в плоскости
rодоrрафа и содержит предельную линию, если не обеспечен специальный выбор
rраниц течения. Это течение служит также примером rладкоrо трансзвуковоrо по
тока, в котором линии тока проходят от дозвуковой области к сверхзвуковой и
обратно без образования ударных волн.
Ниже описываются общие свойства линий ветвления и предельных линий; после
этоrо даются иллюстрации на двух примерах.
Кривая x(j) называется линией ветвления потока (решения уравнений (3.5.1»,
если
. a(w,d) 2 2
J = д(х, jj) = WW Ж
ю; = О
(3.7 .1 )
вдоль кривой, и j
о в некоторой окрестности кривой. В разд. 3.5 показано, что
в этом случае переход .от плоскости (х, у) к плоскости (w, д) нельзя определить
единственным образом. Эта линия ветвления является характеРИСТИI<ОЙ. Поэтому
ее образ в плоскости rодоrрафа также является характеристикой (разд. 3.5). Все
кривые в плоскости rодоrрафа, которые встречаются с этой характеристикой и не
касаются ее, пересекают ее под конечным уrлом, как, например, характеристики
друrоrо семейства. Линии тока y(w, О) == const касаются этой характеристики
(рис. 3.7.1). Плоскость rодоrрафа имеет складку вдоль образа линии ветвления, и
отдельные участки плоскости перекрываются дважды. Предельная линия является
отображением на плоскость переменных (х, у) линии w(fJ), вдоль которой
J == д(х, у) == .w2
.w2 == ( vw ay + д У ) ( vw ay
д У ) == о
a(w,d) wy" у", w дд aw w дд aw ·
(3.7.2)
Линии тока у == const касаются характеристик вдоль образа предельной линии в
плоскости rодоrрафа, однако не касаются самих характеристик. В физической плос
кости эти характеристики составляют конечный уrол с предельной линией, и nлос
кость (х, у) перекрывается дважды. Таким образом, предельная линия служит оrи
Рис. 3.7.1.
Образ линии ветвления в плоскости rодоrрафа.
{}
".>1-
>I-'i'
"
n
'!I
e'i'
ОЬ У e-<'f'
w
86
rлава 3
{}
.s
о
:r
&3 s
/
g-
/
/
/
/
/
у
'11
Предельная ЛИНИЯ
'12
'12
УЗ
х
Рис. 3.7.28.
Предельная линия в плоскости
rодоrрафа.
Рис. 3.7.26.
Предельная линия в физической плоскости.
бающей характеристик одноrо семейства. Она представляет собой складку в плос
кости, и линии тока имеют точку возврата на предельной линии (рис. 3.7.2а, 3.7.2б).
Очевидно, течение, содержащее предельную линию, не имеет физическоrо смысла.
Отметим, что хотя предельная линия и линия ветвления соответствуют обраще
нию в нуль якобиана отображения плоскости (w, д) на плоскость (х, .:9) (или наобо
рот) вдоль линии, они имеют совершенно разные свойства. Причина состоит в том,
что основные уравнения линейны в плоскости rодоrрафа и нелинейны в физической
плоскости.
3.7.1. Течение в сопле
Рассматриваемое ниже течение представляет собой переход через скорость звука в
минимальном сечении. Полуширина минимальноrо сечения принимается за единицу,
а контур сопла в ero окрестности задается соотношением
у == :1:(1 + 6F(ж)) , (3.7.3)
rде
6«1,
а
F'(O) == О . (3.7.4)
Уравнения для полноrо потенциала, описывающие поток,
это уравнения (3.1.1)
при U == a
rде а*
скорость потока, совпадающая с местной скоростью звука.
Интеrрал Бернулли принимает вид
а 2 Ф
+ Ф
a. 2 (1' + 1)
+
l'
1 2 2( l'
1)
(3.7.5)
Методы mрансзвУКО8ЫХ разлож:енuй
87
9
Рис. 3.7.3.
Течение в сопле.
х
Ero нужно рассматривать вместе с уравнением
(й 2 Ф )Фжж 2Ф ж Ф.,Ф ж " + (й 2 Ф )Ф,," == О .
(3.7.6)
Поток должен быть касательным к контуру сопла, поэтому (рис. 3.7.3)
Ф
== :t:6F'(x) на у == ::t (1. 6Р(х)) .
Ф Ж
(3.7.7)
Масштаб в направлении у полаrается равным единице, поэтому, чтобы измене
ния переменных потока в направлении х в области минимальноrо сечения были
сравнимыми с их изменениями в направлении у, нужно растянуть координату х.
Приближение малых возмущений получается, если положить, что
* * х Ф
х хо == иксировано при и О
11(6)
(3.7.8)
в разложении для потенциала
ф == й* {х + Е(6)Ф(х* , у) + .. .} ,
(3.7.9)
rде величины 11, е 1 должны быть определены, как и сдвиr начала координат х8.
Подставляя производные функции (3.7.9)
Ф Ж ( Е )
== 1 + Фж. + · .. ,
й* 11
Ф"
й * == Еф" + · · · ,
Ф""
== Еф + · · ·
й * ""
Ф жж Е
== Фж.ж. + ...
й. 112
в уравнение (3.7.5), получим
й 2 ,+ 1 , 1 ( Ф + ф2 )
== 11 == 1 (, l)(Е/II)фж. +... .
й*2 2 2 а*2
(3.7.10)
После этоrо подстановка производныx и (3.7.10) в (3.7.6) с сохранением rлавных
членов дает
Е 2
(, + l)зфж.фж.ж. + Ефу" == о.
11
(3.7 .11 )
88
rла8а 3
Нетривиальный предел левой части (3.7.11) получается при условии
ё
==1.
v 3
(3.7.12)
В преобразованных координатах rраничное условие (3.7.7) принимает вид
ёф" == :f:6v(x. x )P"(O) + ... ,
поскольку F' (О) == о. Чтобы учесть форму контура в пределе о О, следует по
ложить
ё == 6v .
(3.7.13)
Вместе с (3.7.12) это условие дает
11 == .Jб, ё == 63/2 .
Таким образом, трансзвуковое приближение для маловозмущенноrо течения в сопле
описывается формулой
Ф == а. { х + 63/2 ф( х. , у) + · · · }
(3.7.14)
при условии, что
х. Ха == х /.Jб остается фиксированным при () .... о ,
(3.7.15)
а Ф удовлетворяет уравнению и rраничному условию
(1' + l)фж.фх.х. ф"" == О,
Ф"I,,=:!:l == х(х. ж )F"(О) .
(3 .7.16)
(3 .7.17)
Отметим, что это приближение совпадает с соответствующим решением для тече
ний в струях (разд. 3.3), за тем исключением, что здесь К == О (возмущение звуково
ro потока) и имеется сдвиr начала координат (xd). Физический смысл параметра
о выясняется сразу же, если сопоставить ero с радиусом кривизны контура
(рис. 3.7.4).
В окрестности минимальноrо сечения уравнение контура сопла совпадает с ypaв
нением окружности
(у (R + 1))2 + х 2 == R 2 ,
откуда
у == R + 1 V В2 ж 2 == R + 1 R ( 1 + · · . )
2В2 '
ж 2
У == 1 + + · .. для больших R
2R ·
Поэтому если положить
у == 1 + 6F(x) ,
Методы mраНСЗ8УКО8ЫХ разложении
89
Рис. 3.7.4.
Окрестность rорла сопла.
-,J ,
/ "
/ \
I R \
,
\
\
,
. х
как это сделано в (3.7.7), то
1
б ,
R
х 2
F ,
2
так что величина {) равна половине ширины канала, деленной на радиус кривизны
KOHTYP сопла в минимальном сечении.
Отсюда
F"(O) == 1 .
в этих переменных задача теории малых возмущений (3.7.16), (3.7.17) имеет вид
(, + 1)фж.фж.ж. ф"" == О ,
(3.7.18)
Ф"I,,=:I:1 = :i::(x. Хо) ·
(3.7.19)
Среди всех решений этой системы существует решение в виде полинома четвертой
степени. С учетом симметрии по у и условия (3.7.19) решение для Ф принимает вид
ф == ах. 2 + Ьх.у2 + су4 .
(3.7.20)
Вычисляя производные функции (3.7.20)
Фж. == 2ах. + Ь у 2, Фж. ж. == 2а (однородное ускорение потока),
ф"" 12 су 2 + 2Ьх. ,
и подставляя в (3.7.18), получим, что эта функция является точным решением при
условии
(1' + 1)2а(2ах. + Ь у 2) == 12 су 2 + 2Ьх. ,
или
4а 2 (, + 1) == 2Ь, 2аЬ(, + 1) == 12с .
(3.7.21)
Окончательное соотношение между тремя константами о, Ь, с дается rраничным
условием (3.7.19), соrласно которому
::i:2bx. ::i: 4с == :i::x. =t= x .
(3.7.22)
90
rлава 3
Отсюда
2Ь = 1 ,
а затем из (3.7.21) получим
2 1
а =
4(, + 1) ,
с= (,+1)1/2
.24
Итак, постоянные а, Ь, с определены, а выражение (3.7.22) дает величину смеще
ния начала координат
. (, + 1)1/2
ХО == ·
6
Итак, точное решение задачи (3.7.18), (3.7.19) имеет вид
( . ) 1 .2 1. 2 \/', + 1 4
Ф х , у = 2\1', + 1 х + 2"Х у + 24 у,
откуда
. (,+ 1)у2
w==(,+l)фж.== v ,+lх + 2 '
(1' + 1) З /2 уЗ
{) = (, + 1) ф" = (, + 1) х. у + .
6
(3.7.23)
(3.7.24)
Чтобы определить картину течения в сопле, отметим, что звуковая линия полу
чается из условия w == (1' + l)фх. == О, или
2
х. = V I + 1 , звуковая линия.
2
(3.7.25)
Якобиан j == wW;. W; обращается в нуль вдоль линии
3 у2
(, + 1)2х. + (, + 1)22 = (, + 1)2у2 ,
или
2
х. == V , + 1 , линия ветвления .
2
(3.7.26)
Течение является обращающим и < О), если х* < v (1' + 1) <1/2), и из меняет ся
при переходе через линию ветвления на сохраняющее и> О), если х* > v ('Y + 1) х
х <1/2). Уrол наклона вектора скорости равен нулю вдоль линии {J == О, или при
у2
х. = V I + 1 ,
6
нулевое отклонение
,
или
у = О,
нулевое отклонение.
Методы трансзвУКОRЫХ разложении
91
Характеристики задаются уравнениями
dy 1 1
== :I:
== :I:
dx. .;w .j (, + 1р/2х. + "1;1 у2
Заметим, что вдоль кривых x*lr := л := const
dy 1
dx. == :!: 2 vлх. ·
Поэтому характеристики совпадают с этими линиями, если
:!: 1 == :I: 1
2 V АХ. .j (, + 1)! х. + ("1
1) Ж).. '
или
2
== V (,+ 1)! + (,;;. 1) ,
4>' 2
(, + 1)! А
(, + 1) == о ,
2
или
л == v"/ + 1
2 '
V"/+ 1
4
Первая из этих кривых
. V"/ + 1 2
Х == у
2
(3.7.27)
является линией ветвления (3.7.26). Таким образом, как было сказано выше, линия
ветвления является характеристикой.
руrая характеристика
.
v "/ + 1 2
Х == у
4
(3.7.28)
служит предельной. Свойства течения ниже по потоку от этой характеристики не
MorYT влиять на области выше по потоку.
авление вдоль нее возрастает, в то
время как вдоль линии ветвления давление падает. Эти свойства течения представ
лены на рис. 3.7.5.
Чтобы изучить свойства потока в плоскости rодоrрафа, получим сначала OTO
бражение линии ветвления. Подстановка (3.7.26) в (3.7.23) и (3.7.24) дает
w = (,,/ + l)у2 ,
2 1 3
д ==
(,,/ + 1) 2 У .
з
Из первоrо уравнения следует у == ::i:: v wl('Y + 1); подставляя это выражение во
второе уравнение, получим формулу для линии ветвления в плоскости rодоrрафа
2 а
д==:I: з W 2 ·
92
rлава 3
у
..; ')' + 1 ..; ')' +
2 4
v:r+1
2
, ,. ..",.
ae . '" ,с е"," е'/<оФf.
Ito e ., "
q..," \ ,/ e
JlI-fJ.t.' \ / '/<офf.
j < о .., . \ I j > о
.
х.
Рис. 3.7.5.
Линия ветвления при течении
через сопло.
х.
о
Как следует из разд. 3.5, эти кривые являются характеристиками. Применяя анало
rичные рассуждения для предельной характеристики (3.7.28), получим
1 + 1 2
W == 4 У ,
iJ =: (')' + 1) i уЗ .
12
Таким образом, у == ::i:: 2 -v w/(", + 1), и формула для предельной характеристики в
плоскости rодоrрафа принимает вид
2 8
fJ == =f W2 .
3
Отметим, что из "(3.7.23) следует
:1
. W (1+1)'i-
х ==
V I+ 1
Поэтому, используя (3.7.24), имеем
(,+1)1 1
{J уЗ + ( 1 + 1 ) i yw
3 ·
(3.7.29)
Решая это кубическое уравнение, получим y(w, д). При фиксированных значениях
w, д MorYT существовать три различных значения у. Заметим, что линии тока
СУ == const) в плоскости rодоrрафа имеют вид прямых линий с наклоном (", + 1)1/2 y
и точкой пересечения оси д при [(", + 1)3/2/з]у3.
На основании предыдущеrо найдем уrол наклона линии ветвления
dfJ ==:i:w .
dw
Приравнивая это выражение наклону образов линий тока, получим
.1
:i:w 2 = (1 + 1)! у .
Итак, точка пересечения образов линий ветвления и линий тока удовлетворяет COOT
ношению (с использованием (3.7.29».
1-
2 8 (1+1)2 З .1
:i: w 2 = У + (1 + 1) :1 yw ·
3 3
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложении
93
х.
о
х.
{}
"""
./
./
./
./
./
./
,/
..... .....
.....
У = 1
У2
/
/
I
/
w
У1
УЗ
1\
/ \
. \
"
"
"-
"-
"-
'.
"
у = 1
Звуковая линия./'
............
,
,
У4
Рис. 3.7 .6а.
Течение через сопло в физической
плоскости.
Рис. 3.7.66.
Течение через сопло в плоскости rодоrрафа.
Второе уравнение тождественно удовлетворяется при подстановке в HerO первоrо,
и поэтому образ линии тока касается образа линии ветвления в точке их пере
сечения.
Наличие двух знаков объясняется следующим образом: кривая д == + (2/з)w 3 / 2
служит линией ветвления в плоскости rодоrрафа при у > О, а ей соответствует пре
дельная характеристика д == (2/3) w 3 / 2 . Аналоrично при у < о линией ветвления в
плоскости rодоrрафа будет кривая д == (2/3) W 3 / 2 с соответствующей предельной
характеристикой д == + (2/з)w 3 / 2 . Эти результаты показаны на рис. 3.7.6а, 3.7.6б.
3.7.2. Непрерывное трансзвуковое течение
Рассматриваемое здесь течение является обобщением на трансзвуковой случай тече
ния несжимаемой жидкости около полуплоскости. Оно было получено Ринrлебом
[3.7.3] путем решения уравнения для полноrо потенциала. Линии тока в физической
плоскости и плоскости rодоrрафа для несжимаемой жидкости показаны на
рис. 3.7.7. Обобщение на случай сжимаемой жидкости делается вначале в плоскости
rодоrрафа, rде уравнения линейны, при этом течение более не соответствует обтека
нию полуплоскости.
Поскольку задача не содержит характерной длины, масштаб в физической плос
кости произволен. Выбирая некоторый масштаб, можно рассчитать область сверхзву
KOBoro потока, в которой поведение трубок тока качественно иное, чем в случае He
сжимаемоrо течения. На рисунке заштрихован трансзвуковой участок этой области,
rде поток мало отличается от однородноrо звуковоrо потока.
Функция тока для течения несжимаемой жидкости в заштрихованной области
представляется в виде 1/1....., и' 2 + .0,2, rде qx == 1 + и', qy == до. Несколько более
сложные полиномы описывают трансзвуковые решения. Уравнения для малых воз
мущений в плоскости rодоrрафа имеют вид
{ w!" ХШ = О } .
(3.5.7)
Yw х" == О
94
rла8а 3
у
qy
)(
q](
в
б
Рис. 3.7.7.
Течение около полуплоскости.
а физическая плоскость; б плоскость rодоrрафа.
Искомое решение системы (3.5.7) запишется так
у == 2 + w ( 1 + 2 )
Х == д (1 + 2 )
(3.7.30)
Для этоrо течения якобиан J равен
J == wy у; == wд2 (1 + 2 ) 2
Следовательно, J == О, если
1 I 2 ) 2
д 2 == W \ 1 +
(3.7.31 )
Линии j == const описываются уравнениями:
д2 ( W 2 )
y==c==2+ w 1+6 .
(3.7.32)
Линия j == const пересекает линии (3.7.31), если
( w2 ) 1 ( W2 ) 2
2с 2w 1 + 6 == w 1 + 2
Иначе rоворя, это условие реализуется при f(w) == О, rде
7
f(w) = 12 w4+зw2 2сw+1.
в частности, существует значение СО > О, при котором линия тока j == С He eceKa
ет кривую (3.7.31), если С < Со, и пересекает ее четырежды, если СО == v2/7(10/3).
Методы mраНСЗ8УКО8ЫХ разложений
95
Чтобы показать это, заметим, что
".
f'(w) == i- w3 + 6ш 2с, f"(W) == 7ш 2 + 6.
Иначе rоворя, кривая f(w) всеrда расположена воrнутостью вверх. Если с О, мини
мум f располаrается при Wo < О (f'(wo) == О), причем f(wo) > о. Поэтому f(w) ниrде
не обращается в нуль. Если с> О, с 1, то минимум f достиrается в точке Wo
[(6/7)с] 1/3 И f(wo) (6/7)1/3 (3/2)с 4 / 3 + ... < о.
Чтобы построить линии J == с (3.7.32) в плоскости rодоrрафа, заметим, что при
w, д 1 кривые описываются уравнением
.02 w з ( w)1
с == + ., или iJ f"OOJ I 1. .
2 6 32
В друrом предельном случае, т. е. п ри w 1 , имеем
с== 2 +ш, 11==:i: J 2(c w)==:i:J2t;{1 +',,} 1
и при д 1, w == Wo + w rде с == Wo [1 + (W/6)2], w* Wo, леrко получить
11 == :i: J w(c)(wo ш) 1
rде w(c) == 2 + wб. Наконец, на линиях тока (3.7.32)
d.o " ( w2 )
д dw == 1 + 2 ·
Линия тока пересекает образ предельной линии (3.7.31) в точках (w;, д;), rде
1 ( w )
11 i == JW; 1 + 2 '
i == 1, 2, 3, 4 .
Таким образом,
1 ( ю ) d.o ( w )
I 1 +.2.. == 1 +.2.. ,
JW; 2 dw 2
или
d.o
== :т= ·
dw
Наконец, с помощью (3.5.11) получаем, что линия тока касается характеристики в
ее точке пересечения с образом предельной линии (рис. 3.7.8).
Перед преобразованием в физическую плоскость заметим прежде Bcero, что зву
ковая линия w == О является параболой
.... х 2
y
2.
Предельная линия имеет вид (3.7.31)
112 == (1 + 2 ) 2
96
rлава 3
o'l-
e 'O
e
(\ ",,,,
otJ '/j; '.J\
( W З ' 11з) J :::: О
w
Оа
ci
'011)
/) $
'l,1y '.1/ $/),
'1, 6 Jy,
°li
Рис. 3.7.8.
ЛИНИИ тока в ПЛОСКОСТИ rодоrрафа И образ предельной ЛИНИИ.
Можно выразить х, j параметрически вдоль предельной линии как функции только
w (О < w < 00), подставляя (3.7.31) в (3.7.30)
У! == { ( ) (1 + 2 ) 2} + w ( 1 + 2 ). '
Х! == л (1 + 2 ) 2 ,
или
"'" { 1 Зw w з }
У! == 2w + 2 + 7 24
{1 ( w2 ) 2
Х! == IV ; 1 + 2
пара метрическое представление предельной
линии в физической плоскости при
O<w<oo.
Для больших значений w
"'" 7 з
У! f"OOJ W
24
т
W 2
Х! f"OOJ I
4
так что
7 е
У! f"OOJ x14 i
24
Meтvды траНСЗ8УКО8ЫХ разложении
97
а для малых значений w
,., 1
у t ,....,
2w
Х L ,...-:х. 1f
так что
1 2
У! ,...., 2"Х ! ·
Кроме Toro,
dXt . {2
dw == О, если w == :I:V '7 '
d fт
У! == О если
, w==:I: 7 '
dw
Леrко проверить, что dx// dw и dy// dw меняют знак при w == + 2/7 . Таким образом,
предельная линия имеет точку возврата при (х/( + 2/7) , У/( + 2/7» == (:i: 7 /2 х
х(64/49), 2/7 (10/3» (рис. 3.7.9).
Заметим, что соrласующееся с физичеСКИl смыслом единственное решение ypaв
нений для малых возмущений получается, если rраницы расположены при
( 10 )
у = СО = V "7 \ з 1,78 ,
например, при
у == ::t:l .
у
Предельна"
лини"
у == С 2
;.1 Характеристика
;--... (Х с ' ус) // /
Y ':-, Сверхзвуковое ,,/' /'9 =(7/24)(4Х!""
· +0 " течение //
" . / У == с з
. /11f.
. s, \ /
х
Дозвуковое течение
Рис. 3.7.9. у == с,
Физическая плоскость.
7 1084
98
rлава 3
9
х Рис. 3.7.10.
Непрерывное трансзвуковое течение.
Поэтому, чтобы восстановить физическую задачу, в которой формулы (3.7.30)
представляют собой решение для малых возмущений, необходимо найти д на rpa
ницах j == ж 1. Значения дь определяют Р'(х) по формуле дь(х) == (" + 1)Р'(х); кроме
Toro, j == ж (1 +OF'и,/(X», причем Р и соответствует j == + 1, а РI соответствует у == ..... 1.
При j == ж 1 получим .
д ь = I V 2 ( тl w (1 + 2 ) ) ,
ХЬ = д ь ( 1 + 2 ) .
Хотя отсюда нельзя явно определить д(х) , эти формулы дают параметрическую
зависимость д от Х через скорость w. Леrко найти, что д монотонно убывает и
что I д(х, Уо) I при данном Х возрастает с ростом уо. Поэтому в физической плос
кости течение имеет вид течения в канале (рис. 3.7.10).
Разумеется, данное решение не имеет реальноrо физическоrо смысла, пока не
удовлетворены соответствующие условия во входном и выходном сечениях; в каче
стве таковых можно использовать условия однородноrо потока.
(3.7.33)
ЛИТЕРАТУРА
[3.7.1] Courant, R. and Friedrichs, К. О., Supersonjc Flow a.nd Shock Waves,
Interscience, New York 1948.
[3.7.2] Guderley, К. G., ТЬе Theory о{ 7ransonjc Flow, Pergamon Press, Lon
don, 1962.
[3.7.3] Ringleb, F., Exacte LOвungen der Differentialgleichunsen eineradiabatis
chen Gasstromung, ZAMM 20 (1941), ppI85 198.
Имеются на русском языке 1 )
[3.7.1] Курант Р., Фридрихс К. Сверхзвуковое течение и ударные
волны. М.: ИЛ, 1950, 426 с.
[3.7.2] fYдерлей К. r. Теория около звуковых течений. М.: ИЛ,
1960, 421 с.
1) Трансзвуковым течениям в соплах посвяшена моноrрафия Рыжова о.с. Исследование трансзвуко
вых течений в соплах Лавеля. M.: ВЦ АН СССР, 1965. В моноrрафии Y.r. Пирумова (Обратная зада..
ча теории сопла. М.: Машиностроение, 1988) представлены аналитические, численные и эксперимен
тальные исследования трансзвуковых течений в соплах. Прuм. ред.
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложении
99
3.8. ДОЗВУКОВЫЕ И ЗВУКОВЫЕ СТРУИ
Задача о плоском струйном течении с дозвуковым или звуковым однородным пото
ком В начальном состоянии допускает простую постановку в трансзвуковых пере
менных плоскости rодоrрафа. Она является упрощенным вариантом ориrинальной
задачи Чаплыrина для уравнения полноrо потенциала (Чаплыrин с. А. О rазовых
струях, 1906). Простота задачи оБУGловлена тем, что rраницы струи в плоскости
rодоrрафа являются известными кривыми; на прямолинейных стенках во BHYTpeH
нем течении известен уrол наклона скорости фу, а в самой струе известно давление
на rранице (фх* == О). Структура решения, ero особые точки и т. п. MorYT быть най
дены путем анализа совокупности линий тока в плоскости rодоrрафа. Далее в пол
ностью дозвуковом потоке ударные волны не возникают. Основной интерес пред
ставляет контур струи, а также переход к стационарному состоянию.
Процедура разложения применительно к струйному течению обсуждалась в
разд. 3.3 (сравни рис. 3.3.1). Результат имеет следующий вид:
Ф(х,У)=U{Х+с5Нф(х.,у;К)+...}, у= ,
1 М 2
К== 2,00 ,
6-
. .c ! Х
х ==и 3 ,
Н
(3.8.1)
(3.8.2)
I (к ("У + l)фж. )Фж.ж. + ф"" = 0.1
(3.8.3)
rраничные условия в трансзвуковых координатах показаны на рис. 3.8.1.
Течение начинается из ресивера и ускоряется до состояния с низким давлением.
В рамках теории малых возмущений заторможенное состояние в ресивере
(х* 00) описывается пределом фх. 00; это условие типично для теорий малых
возмущений.
Уравнение Кармана........ fYдерлея (3.8.3) эквивалентно следующей системе:
{ wwж. д" О } ,
w r tЭr, О
(3.8.4)
rде
w == (,+ l)фж. К, д == (,+ l)ф.,.
Величина w характеризует отклонения от локально звуковоrо потока, причем w < О
в дозвуковом потоке. Эту систему можно записать в переменных rодоrрафа с по
у
А
)( -
D
00 +- Фх
1
В
Ф.. = о
с
и, р 00
о - )(.
Рис. 3.8.1.
Струя в транСЗВyICовых координатах.
G
Ф Х . = о
1
7*
100
rлава 3
"
w
у = 1
"
у = о
х- = о
y= 1H
У = 1
С, F, 1
"о
G
оо"х-
,
у = + 1
А
8
х- = О
I
I
I
I
I
w= K
"о
у = + 1
w= K
Рис. 3.8.2.
Струйное течение в плоскости rодоrрафа.
Рис. 3.8.3.
Локальная структура особой точки, COOT
ветствующая набеrающему потоку.
мощью функций y(w, д), X*(w, д) (сравни разд. 3.5)
{ Wy: х:, О } ,
х" Yw О
(3.8.5)
или с использованием приближенной функции тока у, удовлетворяющей уравнению
Трикоми
I wy"" у",,,, = о 1 .
(3.8.6)
Как только величина у найдена, величину х* можно определить, например, из вто"
poro уравнения (3.8.5). Краевая задача в плоскости rодоrрафа (w, д) показана на
рис. 3.8.2.
rраница АВ записывается соотношением
19 == 190, до == (1 + 1),
(3.8.7)
а rраница ОН выражается в плоскости rодоrрафа в виде
д == +190 .
(3.8.8)
На поверхности струи у == :i: 1 (ВС и HI) давление постоянно и поэтому
w == K .
(3.8.9)
Стрелки на линиях у == const указывают направление возрастания х*
х. == о при 19 == :i:190' w == K.
(3.8.10)
Методы трансзвуковых разложении
101
Однородное состояние на бесконечности вниз по потоку (х* СХ» изображается син
rулярной точкой (w == К, д == О) в плоскости rодоrрафа, поскольку все линии
у == const входят в эту точку. Локальная структура этой особой точки показана на
рис. 3.8.3.
В окрестности особой точки уравнение Трикоми можно заменить уравнением
Лапласа
К у"" + yw w + . . · == о ·
(3.8.11 )
в этой же окрестности линии тока совпадают с линиями тока течения стока, т. е.
2 д
у ( ш, д) == arctg ..JК + · .. ,
1(' К (w + К)
х.(ш,д) == 2 10g у'д 2 + К(ш+ К)2 +... .
1r
(3.8.12)
Можно найти решения уравнения Трикоми (3.8.6), имеющие локальную особенность
(3.8.12), а для удовлетворения rраничноrо условия д == :%: до воспользоваться прин
ципом отражения. Возможно, однако, проще построить разложение по собствен
ным функциям, используя решения, получаемые разделением переменных. Природа
локальной особенности также может быть установлена путем разложения по собст
венным функциям. Чтобы воспользоваться этим разложением (или отражением),
нужно получить однородные rраничные условия путем вычитания решений при
w oo
iJ
у == ур == ,
до
2
. . w
х ==х ==
р 2д о ·
(3.8.13)
Разложение имеет вид
2
д 00 . n1rд А; ( ( ) :-- w )
у(ш, д) == Т + :>:I!n lDT ( 2 )
О п l О Ai ( : ) '3 К
(3.8.14)
(см. также разд. 3.5). Собственные функции sin п1rдl до обращаются в нуль при
д == :%: до, а функции Эйри Ai(z) обращаются в нуль при z 00. Коэффициенты
Фурье ап определяются из условий при w == к
д . n1riJ
y( K,д) == sgn{J == т + O:nS1nT' 'дl < до.
о п== 1 О
(3.8.15)
Получим
ап == ; 1 "0 sin :д { sgnд + _ } diJ ,
о "o ио ио
ап == 211 (1 (3)sinn1r (3 d(3 ,
2
О:п == , n == 1, 2, 3 . .. .
n1r
(3.8.16)
1()2
rла8а 3
Выражение
(3.8.14) принимает вид 1.
А. ( ( n ) 3 )
у(w,д) = 2 f: SiD( n ) I д; 2 W }
до R=l n до А; ( ( : ) т К )
оно представляет решение, записанное через с06ственные Функции. Для нахождения
х* заметим, что
(3.8.17а)
А.' ( ( n1r ) )
. 2 ( 1r ) f'00 1. ( д ) I W
х" = Yw = д L: L SlD n д ( 1 ) ,
о R=l n 3 о А; ( : ) 3 К
(3.8.176)
тоrда
( ( ) i )
А ., n1r
1. I w
х. = fn(w) 2 ( ) 3 f: COS /!- до
1r до n 3 ( ( ) )
в= 1 А; : з К
Часть произволъной функции определяется из условий при w == 00
А .' ( ( n1r ) )
I I w
2 2 ( ) " 00 COS n 7r" д о
· w . L: "о
х == 2д о + Хо 1r до n t ( ( n1r ) 2 3 ) ·
n l Ai К
до
Константа х8 находится из условия в начальном сечении струи
д == до, w == К, х. == О ,
( 1 )
А ", n1r 3 К
О = К 2 + x 2 ( ) t f: I + (д;
2д о до R=l n1 А; ( ( : ) з К )
Окончательно
к 2 w 2
х. (w, д) = 2до
2 2
2 f: Ai' ( ( : ) 3w.) c B:o" ( )RAi' ( ( : ) j к) .
(дJ R=l А; ( ( ) t к )
(3.8.18)
Методы mpаНСЗ8УКО8ЫХ разложении
103
Структура особенности при w == К, == о в суммах (3.8.17), (3.8.18) может быть
изучена путем оценки асимптотическоrо поведения слаrаемых (с использованием
асимптотической формулы для фунКЦИЙ Эйри); можно показать, что это поведение
соответствует формулам (3.8.12) при К> о. Уrол наклона rраницы струи получается
в неявном виде из формулы (3.8.18) (xJ( » при w == к
А.' ( ( n1r ) f К )
хj(д) = x.( K,д) = 2 ( ; ) ! f.: t D;; :l { сos n;од ( )n } . (3.8.19)
о n=l n. А; ( ( : ) · к )
Ai' ( (*) к) ( n1r ) t vк
А; ( ( : ) i к ) до
Поскольку
при n 00 .
Леrко видеть, что xJ 00 при o. Аналоrичный вывод применим к (3.8.17). OДHO
родное состояние, соответствующее особой точке при == о, w == К, достиrается
асимптотически в бесконечности вниз по потоку.
Следует заметить, однако, что структура особенности изменяется, если число
axa в области вниз по потоку в точности равно единице,
Моо 1, К О .
При K O
( 22
Ai' ( : ) 3 К ) C2, А; ( ( : ) 3 К ) Cl .
(3.8.20)
Таким образом, при о сумма (3. 8 19) принимает вид
I
хj(д) = х.(о,д) = 2 ( ) 3 f.: 1 ( )n ( С2 ) р. ,
1r до n=o n! Cl
(3.8.21)
rде
104
rлава 3
: Мао = 1
i
.
] х.
! . Рис. 3.8.4.
J.L. Звуковая струя.
Отсюда следует, что однородное асимптотическое состояние достиrается на конеч
ном расстоянии от выходноrо сечения!) (рис. 3.8.4). Ниже по потоку от сечения
х* == К* существует однородный звуковой поток.
Если давление на выходе несколько уменьшается по сравнению с давлением, co
ответствующим звуковому потоку, то течение может ускориться до сверхзвуковых
скоростей. Звуковая линия начинается в уrловой точке и располаrается близко к зву
ковой линии на рис. 3.8.3. Течение расширяется в уrловой точке в локальной npoc
той волне. Волны разрежения отражаются от звуковой линии и от rраницы струи.
Расчет этоrо течения более сложен, поскольку он включает решение для смешанно
ro дозвуковоrо и сверхзвуковоrо течений, и здесь не обсуждается. Численное реше
ние задачи TaKoro типа рассматривается ниже.
3.9. ТОНКИЕ ТЕЛА В ТРАНСЗВУКОВОМ ПОТОКЕ.
ПРОЦЕДУРА РАЗЛОЖЕНИЯ, ПРАВИЛО ПЛОЩАДЕЙ
Тонкие тела характеризуются значениями размаха и толщины одноrо порядка Ma
лости о 1, rде о относительная толщина. Например, поверхность тела можно
представить в декартовых координатах в следующем виде:
, у' z у' , z
В(х, 6' б) == 6 Fu t(X, б) == О, (3.9.1)
rде Ри,1 уравнения верхней и нижней поверхностей соответственно, а х', у'
координаты, связанные с телом (рис. 3.9.1). Длина тела принимается за единицу.
Уrол атаки равен а, так что А == а/о == 0(1); можно надеяться, что предлаrаемая
теория равномерно справедлива в пределе А о. Положим
у' == у cos еж + х sin еж == у ( 1 2 ) + х (еж З ) + ... J
х' == Х cos еж у sin еж == х ( 1 2 ) у ( еж З ) + ... .
(3.9.2)
в пределе о О тонкое тело вырождается в линию. Поэтому необходимо внутреннее
разложение, которое должно учитывать форму тела и rраничные условия. При nepe
ходе к внутреннему пределу остаются фиксированными координаты (х, у* == у/о,
1) ОтмечеННblЙ факт бblЛ доказан Л.В. ОВСЯННИКОВblМ в работе:Об одном rазовом течении с прямой
звуковой линией перехода. ПММ, 1949, т. 13, ВblП. 5. Прuм. ред.
Методы трансзвуковых разложении
105
z* := z/ о) при о О, Моо 1. Как будет показано ниже, это приводит к цепочке OДHO
родных либо неоднородных уравнений Лапласа в поперечных плоскостях (х фикси
ровано). В друrом пределе должны быть получены соответствующие нелинейные
уравнения смешанноrо типа. По аналоrии с разд. 3.1 в этом пределе при о о KOOp
динаты (х, у == оу, z:= oz) фиксированы; кроме Toro, фиксирована величина
К:= (1 M )/02. Эти результаты были систематически получены в работах [3.9.1,
3.9.2]. Внутреннее и внешнее разложения сращиваются до величин первоrо порядка,
однако в общем слУчае сращивание членов более высокоrо порядка не обеспечивает
ся. Это не является неожиданным результатом, поскольку во внутреннем пределе
(y z* фиксированы) точка с координатами (у, z) стремится к оси, rде находится
поверхность тела, в то время как во внешнем пределе (У, i фиксированы) эта точка
(у, z) отклоняется от оси. Внешний предел описывает большую область поля тече
ния около боковой поверхности тела. В данном разделе показывается з что суще
ствуют промежуточныЙ предел и промежуточное разложение (х, у, z фиксированы),
которое сращивается как с внешним, так и с внутренним разложением и обеспечива
ет необходимую связь между ними.
Ниже излаrаются подробности этоrо метода. В разложении появляются внепо
рядковые члены (включающие log о, log20...), которые учитываются в данном Meтo
де. Удобно начать изложение с точноrо уравнения для потенциала (2.4.28), которое
запишем в виде
(a Ф )Фжж + (а 2 ф2)ф + ( а 2 ф2 )ф
11 1111 % %Z
== 2ФЖФIIФЖII + 2ФIIФZФ,lZ + 2Ф%Фх Ф zх ,
(3.9.3)
а 2 1 I 1 { q2 }
U 2 == м;., + 2 1 U 2 '
rде
2 Ф 2 Ф 2 Ф 2
q == х+ 11+ z.
(3.9.4)
Для BHYTpeHHero разложения величины х, у* == у/о, z* == z/o, К == (1 M )/02,
А == а./ о фиксированы при о о. Форма параметра трансзвуковоrо подобия К уточ
няется ниже при построении внешнеrо разложения (сравни [3.9.1], [3.9.2]).
I
У У
у' /0
Поперечное
сечение
z/o
а
й
Рис. 3.9.1.
Тонкое тело.
и, МаО
.
х
,
х
z
106
rлава 3
Внутреннее разложение
Ф = и {х + 6 2 10g б (2S 1 (х») + б2 1 (х, у*, z*) +
+ 6 4 10g б 21 (х, у*, z*) + б4 2(Х' у* , z*) + ...} о
(3.9.5)
Имеем
Ф
ri = 1 + б 2 10g6(2sа + б2 IZ +. о. ,
Ф жж L'2 1 L' 2S " L'2
== и og и 1 + и <Рlжж + · .. ,
и
Ф, 3 L'З
== О<Рl,. + 6 log O 21,. + и <Р2,. + · .. ,
и
Ф"I/ = I".I/. +б210g6 21".I/. +б3 21/.". + о.. ,
и
ф ж ,
== 6<РIж,. + ... ,
и
rде ()' == d/dx,
1
== 1 + К6 2 + Кб. + ...
А(2 )
00
а 2 ( I 1 2 2 )
и 2 = 1 б 2 10g6(2sа + 152 к (")' 1) 1ж 2 ( 1,. + IZ.) +...,
а 2 ф2 ( I 1 2 )
и 2 z = 621og 6 ((")' + 1)2SH + 62 к (")' + 1) 1ж 2 ( ,. + IZ.) +....
После этоrо уравнение (3.9.3) принимает вид
{ 1 б 2 10gб(")' 1)2S + 6 2 (к (")' 1) 1Ж ")'; 1 ( ". + z.) б2 ". о..})(
Х { 1".". + 6 2 10g б 21".". + 62 2,.". + · · .} +
+ { 1 6 2 10g 6 (")' 1)2S + 62 (к (")' 1 ) 1ж ")'; 1 ( l". + lz.) 62 z.} 'f,.
х { lz. z. + б 2 10g б 21z. z. + 62 2z. z. + ... } + O(6 4 1og 2 15)-==
== 62 · 2( 1 + · · · )<PllI. <PIZII. + 62 · 2<plz. <Рlжz. + 62 . 2<Рl". lz. <Рl,. z. + · .. .
Это приводит К последовательности аппроксимирующих уравнений:
0(1)
0(6 2 10g б)
0(62)
.2 д 2 <Рl д<Рl
V 1 = ду*2 + az*2 = О ,
V. 2 <P21 == О ,
V .2 д ( 2 2 ) 2
<Р2 == дх <PllI. + <Plz. + <Рl,. <Pll/.lI. +
+ 2<pl,. <Plz. <Рll1. z. + <p z. <Plz. z. ·
(3.9.6)
(3.9.7)
(3.9.8)
Методы mpaНСЗ8УКО8ЫХ разложении
1()7
Теперь нужно сформулировать внутренние rраничные условия непротекания. Каж..
дая внутренняя задача формулируется в поперечной плоскости (х := const); это ти"
пично для теории тонких тел. Поведение BHYTpeHHero решения в дальней области
потока (r* О) определяет характер процедуры сращивания.
Используя (3.9.2) для разложения уравнения поверхности тела, получим
в. == о == у. + Аж F u,t (ж, z.) + 62 Н ",! ( ж, z.) + · .. ,
(3.9.9)
А 2
rде Н = А 3 х /3 T(xF)x + АРРх поправочный член. rраничное условие непроте
кания V ф. v в := О принимает вид
ФжВжо + Ф"В"о + ФzВ;о = о на В. = О )
или при условии расстановки индексов (и, /)
{ 1 + 021ogo(2S ) + 02<РIЖ(Х, F Ах, z.)...} { А F ж + 02 Н ж + ...} +
+ { O<Pl"o (х, F Ах, z.) 03 Н <Pl"o"o + 0310g 0<P21"o + 03<Р2"о }
+ {O<PIZO 03 H<PIZo"o + 03 log 0<Р21а0 03<Р2а0 } { Pao + 02 НаО } = о.
(3.9.10)
Все производные от q; (3.9.10) вычисляются на основной поверхности у* ==
== Fи./(X, z*) Ах. Отсюда получаются rраничные условия для приближений раз..
личных порядков:
0(1)
О( 6 2 10g 6)
0(62)
<Pl". (ж, F Аж, z.) F z - <Plz- == F ж А ,
<P21y- F z - <P21z- == 28 (F ж А) ,
<Р2,,- F z -<P2z- == Hz.<Plz- H<Plz-,,-F z - + H<Pl,,-,,- +
+ <Рlж(F ж А) == J(ж, z.) (например).
(3.9.11)
(3.9.12)
(3.9.13)
В rраничных условиях (3.9.11) (3.9.13) нормальная производная в плоскости попе..
речноrо сечения вычисляется на поверхности у*:= Ри.1 Ах. Поэтому решения
уравнений (3.9.6) (3.9.8) в дальней области потока можно представить в виде
суперпозиции особенностей в начале координат, включающих источник 81 (х), посто..
явные интеrрирования (з ависяши е от х) и частные решения. Известно, что
'Рl .--... logr* + ..., rде r* == y .z + z .z , поэтому rлавный член в правой части (3.9.8)
при r* 00 равен aq;rr/aX. Необходимое нам частное решение <рр отыскивается из
уравнения
д 2 <Рр 1 д<рр 28 8 ' 1 О ( 1 )
+ 1 +
ar. 2 r. ar. 1 r. 2 r. з .
Имеем
<Рр = SlS log2 Т. + о ( т 1 . ) .
(3.9.14)
108
rлава 3
Далее получаем <.021 == 28{ <.01 без учета константы интеrрирования. Окончательно
внешняя часть BHYTpeHHero разложения описывается формулами
S ( ) 1 * ( ) Dl ( Х ) cos д Е 1 (х) cos 28
ерl == 1 Х og r + 91 х + + 2 + . . · )
r* r*
ер21 == 2B1B log r* + 921(Х) + 2В 2 (х) + ... ,
ер2 == B1B log2 r* + В2(Х) log r* + 92(Х) + ...
(3.9.15)
(3.9.16)
(3.9.17)
Интенсивности источника, диполя и квадруполя 81, 82, D 1 , Е 1 определяются из pe
шений внутренних rраничных задач, а величины gl, g21, g2 должны быть найдены
из решения (численноrо) внешних задач. Вниз по потоку от TOHKoro тела (х> 1)
остается лишь вихревая пелена, поэтому 81 == 82 == О, Е 1 == О, а D 1 == const == D 1 (1).
Промежуточное разложение
Ф == U { х + 6 2 10g 6В 1 (х) + 624>1 (х, у, z) + 6 3 4>2(Х' у, z) + 6 4 1og2 64>32 (х, у, z) +
+ 6 4 10g 64>31 (х, у, z) + 6 4 4>з(х, у, z) + · ..} · (3.9.18)
Отсюда
Ф ж 2 '2 Ф жж 2 В " 2
и ==1+6 log6S 1 +6 Фlж, u==6 logv 1 +и Фlжж+...,
Ф" 2 3 4 2 4 1 4 ф
и == 6 Фl" + 6 Ф2" + 6 log 6ФЗ2" + 6 og VФЗl" + и 3",
Ф"" 2 З 4 2 4 4
== 6 фl"" + 6 Ф2"" + 6 log 6ФЗ2"" + 6 log 6Ф31"" + v Фз"" + · .. ,
и
Ф ж" 2
== 6 ФIЖ" + · · · и Т.Д .
и
а 2
и 2 == 1 62 log6(')' + 1)B +6 2 {к (')'+ 1)4>10;) + ...,
а2 ф 2
2 о; == 621og 6( ')' + 1)B + 62 (к (')' + 1)4>10;) .
Уравнение для полноrо потенциала (3.9.3) принимает вид
{ 6 2 log 6 (')' + 1) S + 62 (к (')' + 1) 4> 1 0;) + · · · } { 62 log 6 B ' + 624> 1 0;0; + · · · } +
+ { 1 62 log 6 (')' 1) B + 62 (к (')' + 1) 4>10;) + · ..} х
Х {6 2 (4)11111 + 4>lZZ) + 6 4 1og2 6(Ф321111 + 4>32ZZ) +
+ 6 4 10g 6( 4>31"11 + 4>31zz) + 64 (4)31111 + 4>зzz) + · · · } ==
4
== 6 . 2(1 + · · .)( Фl"Фlж" + ФlzФlЖZ) ·
Меlподы mрансзвУКО8ЫХ разложенuй
109
Для приближений различных порядков имеем
2 2
2 д Фl д Фl
O(h'2) V Фl == д у 2 + az 2 О ,
0(63) v 2 Ф2 == О ,
0(6 4 10g 2 6) v 2 Ф32 == (1' + l)S B ' ,
4 2 " ,
0(6 log6) V Ф31 == K51 + (1' + 1)(5 1 Фlж)ж ,
O(h'4) v 2 фз == (Ф r ) (к (1 + l)ФlЖ)ФlЖЖ ,
rде , == v у2 + z2 .
(3 .9.19)
(3.9.20)
(3.9.21)
(3.9.22)
(3.9.23)
Промежуточное разложение должно сращиваться с внутренним при r ---+ О И С
внешним при '---+ 00; в определенном смысле эти разложения дают необходимые rpa
ничные условия для уравнений промежуточноrо разложения. Правая часть (3.9.23)
содержит член д(ФIr)/дх, необходимый для с ряп,ив ания с внутренним разложением,
а TaK e типично трансзвуковой член (1' + I)ФlхФlхх, необходимый для сращивания
с внешним разложением. Уравнение (3.9.19) можно рассматривать как обычное ли
нейное уравнение Прандтля rлауэрта (малый параметр 02 пропорционален пло
щади поперечноrо сечения) для набеrающеrо потока с числом Маха Мао :::= 1. Задавая
ф 1 == S 1 ( х) log , + 9 1 ( Х )
(3.9.24)
для сращивания с внутренним разложением, можно получить различные частные
решения, соответствующие правым частям приближений (3.9.21) (3.9.23). Имеем
д 2 Фl 1 дФl 2 ,2 2,2 3
ar 2 +; ar == log r, Фl == 4" log r 2 log r + 8 r2 ,
д 2 Фll 1 дФl1 ,2,2
+ == log, , Фll == log ,
д,2 , д, 4 4 '
и, как и ранее,
д 2 фl11 1 дФll1 1
+ == ,
д,2 , д, ,2
1 2
Ф 111 == log '.
2
Для сращивания с внутренним разложением добавим необходимые решения уравне..
ния Лапласа и получим
Ф 1 == 51 ( Х ) log r + 9 1 ( х) ,
., Dl(X) cos д
Ф2 == ,
r
ФЗl == g21(X) + В2(Х) + 1; 1 (S 2)'r2Iog r+ (1 + l)(g S )' KB ' (1 + 1)(B ')') r; ,
(3.9.27)
(3.9.28)
(3.9.25)
(3.9.26)
5 5 1 l' + 1 5 1 S " 2
ФЗ2 == 1 1 + 4 1 1 r ,
-Е 1 cos 2 8 I 2
Фз == 2 + 5 1 S 1 1og , + S2(X) log r +
,
+ g2(X) + 1; 1 S S 'r2Iog2 r + T(x)r 2 Iog r + V(x)r 2 ,
(3.9.29)
11()
rлава 3
rде
Т ( х ) = (, + 1)(8i9 )' К 8 ' ,+ 1 81 s"
4 2 1 l'
V(x) = (, + 1)5 5 ' (, + 1)(5 :O' K5 ' K: +
, + 1 I "
4 9191.
Сращивание с внутренним разложением проводится с помощью предела о ---+ О
(r" == '/11(О) фиксировано), rде о 11(0) 1, так что у ---+ О, О ---+ О, Т1/ 0---+ 00. Тоrда
r == '7r" О ,
,. == '7 r " 00 .
о
Величина 11(0) представляет полный порядок предельных переходов между BHYTpeH
ним и промежуточным разложениями. Путем рассмотрения отброшенных членов
нужно указать более жесткие оrраничения на 11 (о), чтобы обеспечить перекрывание.
Здесь будет продемонстрировано только сращивание. Разложения должны совпа
дать до определенноrо порядка в пределе сращивания, если их записать через '".
Заметим, что
log r" = log '7;" = log '7r" log б ,
log2 ,. == log2 '1 r " 210g '7 r " log Б + log2 о .
Итак, выпишем внутреннее и промежуточное разложения (3.9.5), (3.9.18), выражая
их члены через '" (сравни (3.9.25) (3.9.29) и (3.9.15) (3.9.17».
Внутреннее разложение
0210g 0281 + o { 51 (log '7 r " log б) + g1 + D1 S д + Е 1 cos 8 + ., . } +
6 ( )
+ 0410g о {2818 (log '1r" log о) + (921-+ 282) + . ..} +
+ 04 (818 (log2 7]r" 210g '7f" log о + log2 о) + 82 (log '7f" log о) + 92).
Промежуточное разложение
0210g 081 + 02(8 1 10g '7 r " + 91) + оз ( Dl cos д ) +
. '1 r "
.+0410g20( 818 + ...) +041 0g0 (921 +82 + ...) +
4 ( Еl COS 28 I 2 )
+ б ('7 r ,,)2 + 5 1 5 1 log '7 r " + 5 2 log '7 r " + g2 + ... ·
(3.9.30)
Из сравнения этих разложений очевидно, что слаrаемые сращиваются. Члены более
высокоrо порядка, чем O( ), не сращиваются. Ниже строится внешнее разложение,
которое демонстрирует трансзвуковую структуру решения. Внешний предел таков:
о --+ О, (х, у, Z, К, А) фиксированы, rде у == оу, z == oz, К == (1 M )/ 02, А == а/о.
Внешнее разложение
Ф = и {х + б 2 Ф1 (х, у, Zj К, А) + б 4 10g БФ21 + б 4 Ф2 + · .. } . (3.9.31)
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложений
111
Имеем
Ф Ж ",2 ",4 4
и == 1 + (1 Фlж + () log 6Ф21ж + 6 Ф2ж + · .. ,
Ф, 3 5 5
==6 Фl;+6 lоg6Ф21;+6 Ф2+...,
и
Ф жж == 6 2 Фlжж + 6 4 10g 6Ф21ж + 6 4 Ф2ж + ... ,
и
Ф" 4 6 6
u==6 Фl;;+6 lоg6Ф21;+6 Ф2;;+...,
Фжj 3
и == 6 Фlжj + . .. ,
Ф + Ф; + Ф ф 2 2 4 4 2
U 2 == u == 1 6 2Фlж + 6 lоg62Ф21ж + 6 (2Ф2% + Фlж) +... ,
а 2
== 1 + К6 2 K 264 ... +
U 2 1.
+ 1; 1 { 1 (1 ...;... 022ФIЖ ...;... 0410g 02ф21ж + 04(2Ф2ж ...;... ф ж)) } ==
== 1 + 62 (к (, l)Фlж)
04 log 0(1 1) Ф21ж + 04 ( К 2 (1 1) Ф 2ж 1; 1 ф ж) ...;... . .. ,
а2 ф 2
и 2 ж == 02(к (1+ I)ФIж)
0410g 0(1 + I)Ф21ж + 04 (К 2 (1 + I)Ф2ж 1 + 1 ф ж) + ... .
2
Основное уравнение для полноrо потенциала (3.9.31) принимает вид
{02(К (1 + I)ФIж) 041 og0 (1 + I)Ф21ж + 04(к2 (1 + I)Ф2ж 1; 1 ф ж) +...}х
х {02 Фlжж ...j... 0410g ОФ21жж + 04Ф2жж 4... ... } -+- { 1 7 02 (к (1 1)4>IЖ) + · .. } х
х {04V 2 Фl ., 0610g оv 2 Ф21 ...;... 06v 2 Ф2 ""j-- ...} +... ==
... 2 д 2 д 2
== 2{ 1 -r · · · } {Ф1iФlжj -+- ФliФlii }06 + · .., == afj2 + дЕ2 . (3.9.32)
Эта процедура приводит к следующей последовательности аппроксимирующих
уравнений:
0(64) (к (, + l)ФlЖ)ФlЖж + v 2 Фl == О,
6 ( .... 2
0(6 log 6) К (, + 1)ФlжФ21жж (} + 1)Ф21ж Ф lжж + V Ф21 == О,
(3.9.33)
(3.9.34)
0(66) (к (, + 1)Фlж)Ф2жж (/...L 1)Ф2жФlжж f'2Ф2
( 2/+12 ) ( ) ....2 д ( 2 )
== к 2 Фlж Фlжж К (1 1)Фlж V Фl + дх Фlj ·
112
rлава 3
Последнее уравнение с помощью (3.9.33) можно записать так
(к (1 + 1)Фlж)Ф2жж (1' + 1)Ф2жФlжж + v 2 Ф2 ==
( (21' 1)(1'+1) ) д 2
== 2 Фlж 2jK ФlжФl:r.ж + дх (Фli) ·
(3.9.35)
Уравнение (3.9.33) представляет собой обычное трансзвуковое уравнение для малых
возмущений, уравнение (3.9.34) ero вариационный ан ало r, а (3.9.35) HeOДH
родное вариационное уравнение. Сращивание с промежуточными разложениями
(' о, r (0) дает необходимые rраничные условия для решений уравнений
(3.9.33) (3.9.35) в виде интенсивностей особенностей вдоль оси. Асимптотическое
поведение решений уравнений (3.9.33) (3.9.35) при ' o можно получить, записав
эти уравнения в форме V2 правая часть, оставив rлавный член правой части и
интеrрируя. На основе работ [3.9.1, 3.9.2] либо непосредственно имеем
Ф1 == 51 (х) log ;: + 91 (х) + ;:21og2 ;: ( ')' ; 1 5 5;') + ;:21 og ;:Т( х) + ;:2V (х) + ..., (3.9.36)
Ф21 == 2B1B logr + 921 +... · (3.9.37)
Для получения Ф2 заметим, что разложение дЛЯ Ф2 начинается с члена
(D 1 (х) cos д)/ r и, кроме Toro,
"" 2 B1B
v' Ф2 == 2 ""2 +. . . ,
r
так что, как и ранее,
D 1 ( х) cos д 1 2 "" ...
Ф2 == .., +SlSl 1o g r+s2(x)logr+92+....
r
(3.9.38)
в пределе сращивания промежуточноrо и внешнеrо разложений имеем: r." фиксиро
вано, rде r." == 1](5)r, 5 <с 1](5) <с 1, так что r == r.,,/1] 00, f == 5r.,,/1] о. Заметим, что
log r -----+ log д т" == log Б + log ',., ,
'1 '1
log2 ; -----+ log2 Б + 210g Б log '" + log2 r" .
'1 '1
Для проверки выполнения сращивания выпишем промежуточное и внешнее разло
жения в следующем виде (сравни (3.9.24) (3.9.29), (3.9.35) (3.9.38»:
Промежуточное разложение
6210g651+62(5110g +91) +63 ( D1(Х СOSд )+6410g26( 515 + ')';1 515 ' ) +
( 2
.. '" ',., 1 + 1 12 1 , 2
+ 6 log6 921 + 52 + ,,2 log 4 (51) + : ((')' + 1)(9 5 ) K5 ' (')' + 1)(5?)') ) +
Методы трансзвуковых разложении
113
( '1 + 1 r 2 r r 2 r
+ 84 8 8 ' log2 Д + Т(х) .....!.log...!l. +
4 1/2 1/ 1/2 1/
. r" I 2 '" '7 Т " )
+ V(x) + 5 1 5 1 10g + 5 2 10g + 92 + ... ·
'7 '7 '7
(3.9.39)
Внешнее разложение
( ( r ) 82т2 ( ) + 1
82 81 log 8 + log...!l. + 91 + log28 + 210g 8 log '" + log2 '" '1 51 8" +
'7 '72 '7 '7 4 1 1
,,2 2 ( ) ,,2 2 ) ( )
v r r v '" 4 I r
+ ,/' lоgБ + log ; T(x)+7 V (x) +15 lоgБ 25151(lоgБ+lоg ; )+921+'" +
D 1 (х) cos 11 ( 2 r r )
+ 84 8 + 81 5 log 8 + 210g Бlоg ...!l. + log2 д +
. '7 '7
'1 + 52 (log Б + log Т; ) + 92 + . .. .
Из сравнения этих разложений становится ясно, что они сращиваются. Итак, все
поле течения охватывается представленными тремя разложениями: внутренним,
промежуточным и внешним.
Общая теоретическая процедура решения этой системы состоит в определении
81 (х), D 1 (x), 82(Х) из решений внутренних краевых задач. Однако оказывается, что
81 и 82 можно найти из одних лишь rраничных условий (см. ниже) с использованием
интеrральной теоремы. Эти функции однозначно характеризуют синrулярное пове
дение внешних потенциалов Фl, Ф21, Ф2. После решения краевых задач для Фl, Ф21,
Ф2 определяются заранее неизвестные функции интеrрирования gl (х), g21 (х), g2(X).
После этоrо можно найти распределение давления, сопротивление и подъемную си
лу тонких профилей. Рассмотрим подробнее эти вычисления.
Для первоrо BHYTpeHHero потенциала q;1 (х, y z*) имеем (3.9.6)
a 2 V'1 + a 2 V'1 == О
ду.2 az. 2
(3.9.40)
с rраничным условием (3.9.11) на поверхности тела в плоскости поперечноrо сечения
(рис. 3.9.2)
arp1 ( А * ) aFu,l ( * ) дФ1 ( * ) aFu,l ( * )
ду. х, х F u,t, Z д z. х, z д z. х, Ах F u,t, Z == дх х, z А ·
(3.9.41)
Дальнее поле задается разложением (3.9.15). Выпишем ero еще раз
8 ( ) 1 * ( ) Dl (х) cos 11 Е l (х) cos 28
<Р1 == 1 Х og r + 91 х + + 2 + · .. ·
,* ,*
8 1084
114 rлава 3
у I у
I
I
I
n I
и, м 00
р 00 t РОО
А(х)
)(
Рис. 3.9.2.
Контрольная поверхность.
Выражения для подъемной силы (и боковой силы), действующей на участок тела
до сечения х == const, леrко получаются с помощью закона сохранения количества
движения во внутренней системе координат (х, ' lJ). Приведем сначала некоторые
полезные выражения для различных переменных течения, которые используются в
интеrральных теоремах. Из выражений, следующих за (3.9.5), имеем
02 а 2 а 2 2 , 2 ( V + W ) ,
= M2 = (1 Кб 2 ) == 1 б log62(')' 1)81 6 (')' 1) иl + ---r ... ,
а 2 и 2 00 и2 2
00
1
rде иl = <Рlж , Vl = <Plr., Wl = <P18 ,
Т.
так что
Р ( а2 ) ( v2 + w 2 )
= 2 == 1 6 2 10g 62')'8 62')' ul + 1 1 + · .. ,
РОО а оо 2
Р РОО
роои 2
( Р ) ( Р ) ., 2 , 2 ( Vl + W 1 )
Рос рос .l == 1 о log 0281 О и1 + 2 2 2 + .. ·
( L l ) 1 == 0210g028 02 ( U1+ V W ) +...
РОО ')'M
(3.9.42)
Различные компоненты вектора потока массы имеют вид
pq ж == 1 б 2 ( V + W ) + . .. J
роои 2
pqr 3 1 ( 8 , ) 3 ( V + W )
роои = иVl +v ogv V21 2Vl 1 +и V2 UI V l Vl 2 + ...)
: == OW1 +оЗI ОgО (W21 2W18 ) +ОЗ (W2 U1 W 1 W1 v W ) + ....
(3.9.43)
Методы трансзвуковых разложений
115
Выбирая цилиндрическую контрольную поверхность около заостренноrо тела (рис.
3.9.2), можно выразить подъемную силу l(х), действующую на участок тела до сече
ния х == const, через силу давления и вертикальный поток количества движения на
цилиндрической части контура и вертикальный поток количества движения на TOp
цевой площади Ас А (х). Считается, что контрольная поверхность расположена
во внутренней области 'с == or!, так что возмущения в плоскости х == О отсутствуют.
Применяя закон сохранения количества движения в направлении оси У, получим
l(x) == {Ж dx' (2" r"de( p(Xl' r", е) сов e) {Ж dx' {2" r"de (pqr )qll l! (рqж)qlldА ,
J o 10 10 10 Ас А(ж)
(J · (J д<Рl
qll =: qr COS q, Sln =: и + ... ·
ду.
rде
(3.9.44)
Записывая теперь контрольную поверхность во внутренних координатах и исполь
зуя выражения (3.9.43), получим
f(x)
роои 2
== 1 Ж dx' 12" 6r; ( 621og 62B 62 ( Ul + V w ) ) cos {J de
{Ж dx' {2. 6r; ( 6V l + ...Н 6Vl соз {J 6Wl sin 8) d8
10 . J o
6 2 ! ! ( 1 62 ( v W ) ) (6 : ) d8.
А: А.(ж)
Используя теперь (3.9.15)
д <Р 1 , . , D соз д ( 1 )
Ul:= д =: 8 1 10gr +91 + +0 ,
х r. r.
Vl == Wl == О ( r 1 . ) ,
можем положить '! 00. В первый интеrрал вносит вклад лишь диполь Dl; в инте
rрале остается член
P 63 == 1r 1 Ж Dax')dx' rf!Poo / / : dy. dz. ==
А: А(ж)
=: 1(' D 1 ( х) lim f <Р 1 ( r. ) dz. + J <Р 1 dz. ,
r; OO
тело
f {2. (2.
<Рl (r;) dz. == J o <Рl (r; )r; соз {J d8 == D (х) Jo cos 2 8 d8 == 1r D (х) ,
поэтому
f(x) f
2 3 <Pl (х, F, z.) dz. ·
роои б
тело
(3.9.45)
8*
116
rлава 3
Линейный интеrрал от q;l по z* вдоль поверхности тела в сечении х дает подъем
ную силу TOHKoro тела. Боковая сила (в направлении + z*) имеет вид
S(x) f ( * * ) d *
рооU 2 б 3 == <Рl Х, У , Zp у ·
тело
(3.9.46)
в формулах явно присутствует уrол атаки, однако поверхность тела сама по себе
создает подъемную силу. В большинстве случаев поверхность тела не вызывает по
явления боковой силы; последняя образуется лишь за счет уrла рыскания (здесь не
выписан). В частном случае, коrда средняя поверхность тела не зависит от z, полу
чаем простое расслоение течения. Чтобы обнаружить это, положим
{ F.. ( х, z:) t ( х, z.). + ( х) ,
Ft(X, Z ) t(x, Z ) I с(х) ,
(3.9.47)
rде t(x, z*) распределение толщины, с(х) форма средней поверхности. Тоrда
rраничное условие (3.9.11) принимает вид
<Ply. (х, t + с Ах, z*) t z . <Plz. (х, t + с Ах, z*) == t x + с'(х) А,
<Ply. (х, t + с Ах, z.) + t z . <Plz. (х, t + с Ах, z*) == tx + с'(х) А ·
Некоторая замена переменных упрощает rраничные условия; расстояние по вертика
ли измеряется от поверхности, определяемой уrлом атаки и средней поверхностью
{ Y+=Y.+AX C(X)' }
z+ = z. .
(3.9.48)
Тоrда компоненты скорости преобразуются следующим образом:
<Pl". = <Pl"t ,
<Plz. == <Plz t ,
и оператор Лапласа остается без изменений. rраничные условия запишутся в виде
{ <Pl"t (х, t(x, zt, zt) tzt<Plzt(X, t, zt) = t x + с' А ,
<Pl"t(X, t, zt) + tzt<Plzt(X, t, zt) == tж + с' А.
}
(3.9.49)
в плоскости (yt, zt ) rраничное условие удовлетворяется на симметричных верхней
и нижней поверхностях :ж: t (рис. 3.9.3).
Таким образом, q;l можно разделить на симметричную и антисимметричную ча
сти относительно плоскости у + == О
<Рl (у+, z+) = <p + <pf , (3.9.50)
rде
<p (y+, z+) = <p ( y+, z+) ,
<pf (у+, z+) = <pf ( y+, z+) ,
А ( + + ) А ( + + )
<Pl,, У , z <Ply+ y , Z ,
S ( + + ) S ( + + )
<Ply+ У , z <Pl,,+ Y , z .
Меmoды mраНСЗ8УКО8ЫХ разложений
117
у+
z+
Рис. 3.9.3.
Симметричное распределение толщины.
Условие (3.9.49) также запишется раздельно
<p +(x, :1:t, z--\-:) =ftZ+<P +(X, :1:t, z+) == с' А,
<pf,,+(x, :1:t, z+) =ftz+<pfz+(x, :1:t, z+) == :i:t ж .
(3.9.51)
(3.9.52)
Поэтому симметричную и антисимметричную части можно рассчитать отдельно.
Полная подъемная сила связана лишь с антисимметричной частью. Интеrрал подъ
емной силы (3.9.45) принимает вид
l(ж)
рооU 2 б 2
= f
<Р: (х, :!:t, z+) dz+ .
(3.9.53)
тело
Эти результаты соответствуют классической теории тонких тел для линеаризо
ванных дозвуковых и сверхзвуковых течений; здесь они применяются к трансзвуко
вому диапазону, в том числе и при наличии ударных волн. Ударные волны в этой
теории влияют на функцию gl (х), которая не входит в формулу для подъемной си
лы. Иллюстрируем это замечание простым примером. Для тела вращения под yr
лом атаки а и с уравнением образующей ,й(х) имеем
t(x, z+) = V rj/(X) z+2, с(х) = О .
(3.9.54)
Решение леrко записать в полярных координатах
{ У + == Р cos fJ , }
z + = Р sin fJ .
(3.9.55)
Заметим, что
z+
t + ==
z V .2 +2
r B z
tg fJ на поверхности р = ,.; (,\') ,
118
rлава 3
поскольку
<Рll/+ == <Рlр cos д ! <Рl.. sin д ,
Р
<Р 1 z+ == <Р 1 р sin 8 + ! <р 1.. cos д ·
Р
rраничное условие для антисимметричной части (3.9.51) запишется в виде
.
<P p(X, Тв, 8) == A cos д .
(3.9.56)
Течение в этих координатах соответствует течениlO от диполя
Т. 2 ( х )
<p == А в cos д .
Р
(3.9.57)
На поверхности ({J1(x, rJ, д) == ArJ(x)costJ. Поскольку на поверхности тела
dz+ == rJ(x)costJdtJ, интеrрал подъемной силы принимает вид
Р: ;Б3 == 12" (Атв(х) cos д)тв(х) cos L'dд == 1rATB2(x).
(3.9.58)
Если тело имеет среднlOlO поверхность, то из выражения (3.9.51) становится яс
но, что важен лишь локальный эффективный уrол атаки. Подъемная сила получает
ся путем замены А в (3.9.58) на величину А с' (х). Коэффициент подъемной силы
CL, отнесенный к площади поперечноrо сечения, имеет вид
l
с L == 2 == 26 А == 20:
РООи ( ",2 .2 ) I
2 'Ко rB
так как
о:
А == 6 ·
(3.9.59)
Теоретически замкнутое тело вращения не имеет подъемной силы; подъемная си
ла у таких тел связана с отрывом потока. Эта подъемная сила равна подъемной
силе плоскоrо крыла под уrлом атаки а той же самой формы в плане Z:'K == rJ(x).
Коэффициент подъемной силы, отнесенный к lтощади крыла равен
C L == '(х) == 26 3 1r Ат. 2 == 1r а ( АВ)
РОО2 и2 (W) В 2 )
rде
( 26 т в ( х ) ) 2
АВ ==
W
относительное удлинение. Расчеты сопротивления можно провести аналоrичным
путем. Появление ударных волн во внутреннем контрольном объеме не изменяет
уравнения сохранения количества движения для расчета сопротивления, поскольку
как поток массы, так и поток количества движения сохранЯlOтся поперек ударной
волны. Обсудим вначале кратко метод решения.
Интенсивность источника в дальнем поле (сравни (3.9.15» можно оценить с по
мощыо потенциала {{Jl, выраженноrо через распределения по поверхности тела ис
точников и диполей,
f ( a<Pl aG )
<Pl == G <Pl dl,
дп · дп ·
в
rде G == (1/21[")log {(у* у:)2 + (z* z:)2) 1/2 решение для источника, (УА, z:)
координаты точки на поверхности тела, п* нормаль к линии поперечноrо сечения
(рис. 3.9.4).
(3.9.60)
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разложении
119
у.
".
z.
Рис. 3.9.4.
Поперечное сечение.
Итак, при r* 00
1(T., е) = 2 logT. f ( ::: ) в dl+g 1 (x) +о С 1 : ) ,
(д ) V. в. j aF..,t k
<р} · " N . =: az.
дn. ==n -V<Рl; /V.B.,
в 1 + ( aFu,t ) 2
Bz.
( а<р} ) == ( д<Рl aFu,t д<р} ) 1
дn. в ду. az. az. 2 '
1 + ( aFu,t )
Bz.
(3.9.61 )
(3.9.62)
dl == v' dy.2 + dz. 2 == dz.
1 + ( aFu,t ) 2
az.
Окончательно
( . ) 1 . f ( д<Р} дРи t a<Pl ) . ( ) ( 1 )
91 Т ,е = 2", logT ау. az: az. dz +91 х +0 ;; ·
Видно, что rраничное условие (3.9.11) содержит нормальную производную; с учетом
этоrо условия получим
91 = 2 log Т. f ( А) dz. + 91 + О С 1 . ) = 21", log Т. :; f F(x, z.) dz. + 91 + О С 1 . ) ,
f F dz. = I (F.. Ft) dz. = А. (х) нормированная площадь поперечноrо сечения.
Тоrда
дА-
1 = ;; logT. +91 +о С 1 . ) ·
(3.9.63)
120
rлава 3
Интенсивность источника 211"81 == дА*/дх равна скорости изменения площади попе..
речноrо сечения.
Ниже будут выписаны компоненты вектора потока количества движения через
площадку, ортоrональную оси х (в соответствии с расположением контрольной по..
верхности). При этом используются выражения для вектора потока массы (3.9.43)
и основное разложение (3.9.5).
Находим
(рqж)qж == 1 + 6 2 10 g 6 ( 28' ) + 62 ( иl ,, + W ) + ...
роои2 1 2 '
(pqж)qr ,,3 1 " ,,3 ( t11 ( 2 2 ))
2 == 6t1 1+ 0 Og Vt1 21+ V t121 2 tJl+Wl +....
роои
(3.9.64)
(3.9.65)
Применяя интеrральную теорему сохранения количества движения в проекции на
ось х к цилиндрическому контуру (рис. 3.9.2) и продолжая контур до сечения х == 1,
т. е. до KopMOBoro среза обтекаемоrо тела, получим в общем случае выражение
для сопротивления носовой части L>N
DN=!! (р + рq )ж=о dA ! ! (р + рq )ж=1 dA ! ! рqжqr dA ,
Ас Ac Aь r=rc
(3.9.66)
rде Аь площадь донноrо среза.
С учетом приведенных выше формул соотношение (3.9.66) принимает вид
(8{ (О) == О)
DN 2 == рооА: +А ь +б 2 / "{ r*dr*d8 { 6 2 10 g 62S:(1) +62 ( иl+ " +W )
роои роои JA. A. 2
с ь
2 , 2 ( t11 + W 1 ) }
б log б28 1 (1) б иl 2 2 2
б II dx' l21r х; d8 {б"l + б 3 10g бV 21 + б 3 (V2 Vl ( vI W )) } .
Если давление в донной части считать равным Рь, то сопротивление донноrо
среза L>b равно рьАь/ Роо == и 2 , а полное сопротивление запишется в виде
D
роои2
== 62 А; + 64 / " r (v + W )T* dT*d8
J А: Aь
{1 (21r {1 (27r
б 2 т; 10 dx' 10 vl d8 б 4 10g бт; 10 dx' 10 "21М
{1 (27r ( 2 2 )
б 4 т; 10 dx' 10 d(J V2 vl "1 W l ·
(3.9.67)
с помощью интеrрала потока массы можно показать, что это выражение на
самом деле не зависит от положения контрольной поверхности rc как и должно
Методы трансзвУКО8ЫХ разложении
121
быть. Закон сохранения массы приводит к соотношению
/1 рqж dА == /1 рqж dА + /1 рчж dА ,
Ас Ас Аь rc
или
02 А; == 02(А; Аь) 04 /i.. A. ( tJ W ) т" dT"d8 +
с ь
+ от; II dx' l27r d8 {t5V 1 + 031 0g0 ( tJ 21 2tJlS ) + 03 (tJ 2 UltJl tJl tJ W ) } .
Тоrда
0(62)
{l {21f
Аь == т: 10 dx' 10 d8 tJ 1 ,
{l {21f
0== 10 dx' 10 d8{ tJ 21 2tJ 1 S:},
f { ( v + W ) r. dr.d8
1 A. A. 2
е Ь
(3.9.68)
0(6 4 10g 6)
(3.9.69)
0(64)
{l {27r { 2 2 }
== т; 10 dx' 10 d8 tJ2 UltJl tJl tJ 1 Wl .
(3.9.70)
Используя эти выражения для исключения величин V2, V21 из интеrрала сопротивле..
ния, получим выражение первоrо порядка для сопротивления
D 1 1 1 21f
2 == 64 log 6r; dx' d8 2VlS (х) +
РООи о о
+ 64 ! { ( v + W ) т" dT"d8 04т; {l dx' (2" d8 иl tJl .
1 A. A. 2 10 10
с ь
Возвращаясь к выражению (3.9.15), видим, что
atpl 51 (х) D l (х) cos д El (х) cos 28
Vl == == 2 + . · ·
ar* r. r*2 r. з '
1 27r 211"
v15 dJJ == SIS ,
О r.
1 1 1 27r 1 1 2
dx' d8 2V15 == 411" B15 (x') dx' == 5l(1).
о о о rc
так что при
. *
r == rc ,
Далее, f f [(vI + wi)/2] r*dr*d8 представляет собой выражение для возмущения
А?А,
кинетической энерrии поперечноrо течения в плоскости донноrо среза. Этот интеr-
рал можно выразить через rраничные значения с помощью формулы rрина
/ / фv 2 ФdА == / Ф :: dl // (vф)2 dA .
(3.9.71)
122
rлава 3
Применяя ее в данном случае, получим
/ " { (1)2 + w 2 )"=1 r" dr" d8 == r; {2. (<Рl 1)1).,=1 d8 {2. ( <Рl д<р: ) dfJ .
JA. A. J o J o дп в.
с Ь a 1
(3.9.72)
Далее,
1 2",
(<,01 Vl) & 1 d8 ==
о re
1 271' d8 { 5 ( 1 ) 1 . ( 1 ) D 1 (1) cos д Е 1 (1) cos 28 }
1 og r + 91 + + + · .. х
с r. r. 2
О с
Х { 51 ( 1) D 1 (1) cos 8 2 Е 1 (1) cos 28 +... } ==
r. r. 2 r.3
с
211'51(1) log r. 211'51(1)91(1) 1I'D (1) 1I'E (1)
== + и Т.Д..
r. r* r.3 r*4
с с с с
(3.9.73)
Кроме Toro,
{ 1 { 271'
10 dx' 10 d8Фl.,Фlr-==
1 1 d ' 1 2", d8 {S ' ( ' ) 1 · , ( ' ) D (х') cos д E (х') cos 28 }
х 1 Х og r с + 91 Х + . + .2 + · ..
о о rc rc
Х { 5 1 (Х') D 1 (x')cOSt? E 1 (x')cos2t? +... } ==
r. r. 2 r. 2
с с
1 1 d I { 211' log r; 5 S ' 211'519 11' D 1 D 11' Е 1 E }
х 1 1 + 2 3 + и Т.Д ,
r* r* r. r*
О с с с с
1 1 , 1 271' 11' 5; (1) log r; 211' 1 1 ,
dx d8 Ф 1ж Ф 1 r. == * + 51 ( х) 91 ( х) dx
о о rc rc О
i D (1) 11' E ( 1 )
2 r. 2 2 r.3
с с
(3.9.74)
Интеrрал по поверхности тела в (3.9.72) можно также упростить с помощью rpa
ничноrо условия непротекания. Тоrда выражение для сопротивления принимает вид
D 1 1
2 == Б 4 10g Б21r5;(1) + Б 4 11'5 1 (1)91 (1) 211' 51(X)9 (х) dx
роои О
f <,01 ( д<,о1 BFu,t д<,оl ) dz. .
ау. Bz. az.
Интеrрирование по частям дает
II SI(X)9 (x)dx == 81(1)91(1) II 8Hx)gl(Xj K)dx,
Методы трансзвуковых разложении
123
и с помощью rраничноrо условия (3.9.11) это выражение запишется в виде
D 2 == 6 4 10g 62"Bf(1} + 64 ( 211" ( 8 (X}91(X; К) dx 1I"8 1 (1}91(1) )
РООи 10
64 f 1 ( a::,t А ) dz. .
тело
Используя выражение (3.9.45) для подъемной силы L =: /(1), можно переписать фор..
мулу для сопротивления следующим образом:
D 2 == 6 4 10g 6211"8f(1} + 64 ( 211" {1 8Hx}91 (Х; К) dx 11"81 (1}91 (1) ) +
роои. 10
Аб L 41 ! % .KJl) ( aFu aPl ) .
+ б tpl dz
роои 2 2 z. (1) дх дх '
П.К
rде
о
A
Б ·
(3.9.75)
Отметим, что
S ( ) Э(А.)
1 х 211" дх '
rде
f j Z.П'К (х)
А. == Fu,t dz. == . (Fu Ft) dz
z П.К (ж)
Формула (3.9.75) составляет основной результат теории, она представляет собой яв..
ное выражение для сопротивления, если функция gl (х; К) известна. Детали контура
тела, кроме распределения площади поперечноrо сечения, проявляются в (3.9.75)
лишь в интеrрале по донному срезу и в подъемной силе. Напомним, что gl (х; К)
также зависит лишь от распределения площади поперечноrо сечения, поскольку осо..
бенность на оси для первоrо внешнеrо потенциала 'Рl зависит лишь от 81 (х) (сравни
(3.9.36». Если этот интеrрал обращается в нуль, то имеем правило площадей. Для
заданной подъемной силы сопротивление зависит лишь от распределения площади
поперечноrо сечения и не зависит от деталей контура тела.
Прuмер
1. дР и / дх =: дР,/ дх; производные уrла наклона контура обращаются в нуль в хво..
стовой части. В общем случае р их р'х =: 2t x =: О (сравни (3.9.47», однако здесь до..
статочно иметь с =: с(х, z*». Тоrда 81 (1) =: О, и поэтому
D 4 1 1 I ) ( ) 1 oL
2 == Б 211" В1(Х 91 Х; К dx + 2 U 2 .
Роо U о Роо
(3.9.76)
Вклад подъемной силы в сопротивление в (3.9.76) можно рассматривать как индуци..
рованное сопротивление.
2. дР и /дх(l, z*) =: const, др,/дх(1, z*) =: const как это имеет место для крыла
с конечными уrлами наклона поверхности на хвостовой кромке. Если верхний и
нижний уrлы на хвостовой кромке не зависят от z, то имеем
F u == а и (1 х) + · .. ,
Ft == at(1 х) + · .., au.,t > О .
(3.9.77)
Тоrда
j %LE(I) ( aFu aFt ) d · ( ) f d . (а! au)L
tpl z а! а и tp 1 Z ·
%. 1 дх дх z=l рооU 2 б 3
LE( ) тело
124
rлава 3
как и ранее. Площадь поперечноrо сечения вблизи хвостовой кромки равна
А* == 2z: K (I)(a и а/)(1 х) + ..., 81 (1) == 2z: K (I)(a и ад == const.
3. Если тело в хвостовой части стяrивается в точку, подъемная сила обращается
в нуль, 81 (1) == О, и выполняется правило площадей
D 1 1
U 2 == Б 4 21r S (х )gl (Х; K)dx.
РОО О
(3.9.78)
4. Если тело в хвостовой части является осесимметричным, то
! ""1 ( д;:.. t ) dz. = тв d;: 1 2" ""l(X, тВ)d8= тв d;: 1 2" (8 1 (1)logT B +gl(X») ,
или
! ер1 ( дР и aFt ) dz. == 21rS: (1) log '; (1) + 21rS1 (1 )g1 (1) .
дх дх
(3.9.79)
Снова при заданной подъемной силе выполняется правило площадей
D aL .. Б ( 2 )
U 2 = U 2 + Б log V . 71"81 (1) +
Роо Роо r В (1 )
+ 154 (271" 11 8 (X)gl (Х; K)dx 271"81 (1 )gl (1)).
(3.9.80)
ЛИТЕРАТУРА
[3.9.1] Cole, J. D. and Messiter, А. F., Expansion Procedures and Similarity
Laws for Тransonic Flow, z. Ang. Math. Physjc. 8, 1957, рр 1..25.
[3.9.2] Cole, J. D., Studies in Тransonic Flow 1: Тransonic Area Rule .. Slender
Bodies, UCLA Eng Rpt 7257, Aug. 1972.
3.10. ИНТЕrРАЛЫ ПОДЪЕМНОЙ СИЛЫ И СОПРОТИВЛЕНИЯ
Интеrралы подъемной силы и сопротивления выводятся в данном разделе для задач
о двумерных и трехмерных несущих крыльях. Полезно привести следующий список
основных уравнений.
Методы трансзвУКО8ЫХ разложении
125
Для двумерноrо случая
2
Ф == U { х + б 3 Ф ( х, У; К) + · . .} ,
K l M
z
{) з
(к (')' + l)фж)фжж + Ф;;;; == о( K r), фj(х,О::l:) == a:;,t ,
,., l
у==uзу'
u == Фж, v == Фi
{ (к (')' + 1) и) и + Vj о неразрывность, } система теории
малых
и" v ж О отсутствие завих возмушений.
ренности '.
(3.1 О)
Условия на скачке
[ ')' + 1 2 ] ,., [ ]
Ки 2 и . dy. V. dx. == О,
[и]. dx. + [v]. d!i. == о .
Разность давлений
2 .1-
Р РОО == pooи б зФж .
Краевая задача для двумерноrо профиля показана на рис. 3.10.1.
Подъемная сила L, действующая на профиль, задается формулой (хорда крыла
равна единице)
L = 11 (Р(х, o ) Р(х, 0+)) dx,
(3.10.1)
или
L= L а = r о 1(фж(х,0+) фж(х,0 ))dx.
рооU 2 б. Jn
(3.10.2)
Она может быть выражена в виде криволинейноrо интеrрала uds по профилю;
этот интеrрал равен циркуляции ; udx + vdj по контуру специальноrо вида на
профиле. Циркуляция не зависит от пути интеrрирования, как будет видно из даль
нейшеrо (существование потенциала). Вдоль j == О не может существовать разрыв
величины Фх или давления, за исключением участка несущеrо профиля (О <х < 1).
Интеrрирование Фх вдоль верхней и нижней поверхностей дает разрыв величины Ф
на задней кромке
[ф] З.К == ф(l, 0+) ф(l, o ) .
(3.10.3)
126
rлава 3
у
r
I /.
ФJ('Ф У .... 01 /
I
и, ool /
I /
I
I
..........
I
Ударная волна I
I
I
I
I
I
I
I
[Ф]спе = r
1 I
I
I
I
I
I
х
[Ф 1cnеа: r
x
Х 2
Рис. 3.10.1.
Двумерный профиль краевая задача.
Рис. 3.10.2.
Соrласно условию Кутта Жуковскоrо [Фх]э. r == о. Для х > имееl\;! [Ф ]j==О == о.
Далее [Ф]след==Ф(Х' О+) Ф(х, o ), а при Х> имеем [ф]э.к==r, rде L==r==,фхds,
у == О, причем Ф терпит разрыв при j == о, Х == 1 для несущеrо профиля. Однако
вдоль любоrо пути, окружающеrо профиль, имеем (рис. 3.10.2)
r == f u dx + v dy == f dф == [Ф] след ·
Вычисление сопротивления для этоrо профиля также должно быть связано с ин
теrральной теоремой. Удобный подход состоит в интеrриров ии разности давле
ний p Р .по поверхности контура
D == 11 (Р Роо)БF (х) dx 11 (Р Роо)БF (х) dx, Р(О) == F(l) == О .
(3.10.4)
Используя основные уравнения (3.10), получим
5 {l 5 {l
D == рооu2Бj 10 (uv)o+ dx + рооU 2 Бj 10 (uv)o dx I
или
iJ == D 5 == ( 0 1 [uv]w dx ;
рооU 2 б з Jn
(3.10.5)
здесь индекс w означает поверхность крыла, а []w == ( ) == о + ( )у == о .
Если вывести консервативную (диверrентную) форму уравнений, содержащую Ии
в качестве rраничноrо члена, то можно сформулировать интеrральную теорему для
сопротивления. Это делается непосредственно 'путем умножения уравнения нераз
рывности на и и уравнения отсутствия вихря на v I в системе уравнений теории Ma
Методы mраНСЭ8УКО8ЫХ разложении
127
лых возмущений
{ (к (')' + l)1t)1t1t ж + 1tVj О } .
VUj VV x О
Складывая эти уравнения, получим
( и2 v 2 "'1 + 1 )
K иЗ + (uv)j ==0
2 2 3 х
диверrентная форма .
(3.10.6)
Эта форма не соответствует физическому закону сохранения, поэтому нельзя ожи
дать, что полученная комбинация сохраняется на ударных волнах. Рассмотрим BHa
чале поток, являющийся на бесконечности дозвуковым. Интеrрируя (3.10.6) по KOH
трольному контуру С, показанному на рис. 3.10.1, устремим верхнюю и нижнюю
rраницы к бесконечности. Дополнительно к интеrралам вдоль rраниц необходимо
учесть разрывы на ударных волнах. Например,
1 Ха. 1 Х2 [ и 2 v 2 + 1 ]
+ содержит выражение К "'1 иЗ
Х 1 Хь 2 2 3 в
Поэтому
0==/1 ( к 2 v; ')'; l и 3 ) ж dx dy + // (1tv)j dfjdx ==
1 00 ( и2 v 2 "'1 + 1 З ) #w
== к и dy +
oo 2 2 3 Х=Жl
/ 00 (к и2 v 2 "'1 + 1 З ) d "'"
+ и у
00 2 2 3 х= Ж2
== / [к v; ')'; l и 3 ]. dfj 11 [uV]w dx + / [uv]. dx. (3.10.7)
Ударные волны .. .J Ударные волны
Ь
Теперь для дозвуковоrо на бесконечности потока можно ожидать, что решение ypaв
нения Кармана I)rдерлея может быть приближенно описано решением уравнения
к Фхж + фjj == о .
(3.10.8)
Подробные выкладки для дальнеrо поля течения приводятся ниже, здесь же OTMe
тим только, что rлавная часть дальнеrо поля будет той же самой, что и в линейной
теории
#w
r
Ф== о+...
, 21t'
о == arctg
Vf(y
r == v x2 + Ку2 00.
(3.10.9)
х
128
rлава 3
Это позволяет оценить скорости и и и.
"'"
r У
и == 2 ..;к 2 К 2 +...
11' Х + у
,.,
r IV Х
v== yK +...
211' х2 + Ку2
f sin ()
== +...)
211' r
== !' IJ( cos8 + ...
211' УА r' ·
(3.10.10)
Теперь можно показать, что интеrралы вдоль rраниц х == Хl,2 обращаются в нуль
при хl....... 00, х2....... + 00. Интеrральная теорема (3.10.7) принимает вид
... f [ и2 v 2 I + 1 З ] "'"
D == [иv]. dx. К 2 2 3 и . dy. ·
Ударные воJпIыI
(3.10.11)
Это выражение можно упростить, используя соотношения для ударной волны.
Заметим
[иv]. == [и].(v). + (и).[v]., [ v 2 2 ]. == (v).[и]. ,
rде < > s == (1/2)[( )а + ()ь] среднее значение.
Получим
2
- [uv]s dxs + dys == [и]в (v) s dxs + (и) stv]s dxs + (v) s [и]в dys == (и) s [v]s dxs
2
Тоrда (3.10.11) принимает вид
... f [ ] [ и2 I + 1 З ] ,.,
D== (и).v.dx. K2 3 и . dy..
Ударные волны
(3 .1 0.12)
Используя условия на ударной волне для исключения [v]dx, получим
D== f «и). [Kи /;l и2 ]. [K 2 /;l из ].) dii.)
Ударные волны
или
Ь==(,+1) f ((и).[ 2 ]. [ З ]Jdii..
Ударные волны
(3.10.13)
Заметим, что
[иЗ] == [и 2 ](и) + [и](и 2 ) == 2(и}2[и] + (и 2 )[и] .
Методы траНСЗ8УКО8ЫХ разлOJlteНUЙ
129
Вместе с тем
2 1 { 2 2 } 1 ( 2 ) 1
(и) == 4 и а +2и а и ь+ и ь == 2 и + 2 иаиь ,
[и]2 == и 2иаиь + и J
поэтому
1 1
(и)2 + :( [и]2 == 2( и: + и:) == (и 2 ) .
Так как
[иЗ] == 3(и) 2 [и] + [и]З ,
jj = (1 + 1) ! ( (и) [и]. + 112 [и]: (и) [и].) dy.,
Ударные волны
или
D (I'+I) ! [ ] З d
и. У..
12
Ударные волны
(3.10.14)
Поскольку всеrда [u]! < о, имеем 15 > о. Таким образом, в дозвуковом на бесконеч
ности потоке сопротивление целиком определяется наличием ударных волн. Yдap
ные волны неизбежно приводят к сопротивлению и наоборот. Итак, существуют
два различных способа вычислить сопротивление: с помощью интеrрала по поверх
ности от давления и с помощью интеrрала вдоль ударных волн. Формула (3.10.14)
имеет простое физическое истолкование. Обратимся к выражению для скачка удель
ной энтропии на ударной волне.
(8] l' (1' 1) з
== Е +....
C t1 12
Поскольку е == 1 Ра/ Рь == [p]s/ Рос + ..., а также справедливы соотношения (сравни
(3.1.3»
р а
==1 68и,
РОО
м. = c5! [и] "
РОО
имеем
jj = D J. 1 + 1 ! (8] dy
роои 2 6 8 12 C t1 I'(1' 1) 62 '
У дарныс волны
или
2 5 1
D == ! РООи 15з J dy [8] .
C t1 I'( С р C t1 ) 6
Ударные волны
9 1084
13()
rлава з
Используя выражение и 2 /",КI'oo = 1 + ..., получим
D = РооТоо f [S]dy.
у дарные волны
(3.10.15)
Сопротивление связано с полным производством энтропии В системе ударных волн.
Этот результат можно обобщить на случай трехМерных крыльев (разд. 3.1.1).
Рассмотрим рис. 3.10.3.
Выражение для подъемной силы теперь имеет вид
l ' { Хэ к
L== dz. '(Р(ж,О ) Р(ж,О+))dж,
ь J Х п . к
21 1 B ""' j Хэ.к(Z')
L == роои б 3 dy [Фж]tD dz ,
B Х (z)
П.к
--- L l В "'" "'" f
L== 21. == r(z)dz; r== фжdж==[ф]з.к(z).
роои б 3 B
"'" -" .1
Z==03z,
(3.10.16)
Подъемная сила определяется интеrралом по размаху крыла от циркуляции.
Система уравнений, од'общающая трансзвуковую систему уравнений (3.10), име
ет вид
{ (К /+ )U)Uж+tJ:+Wti о } , w==Фi.
и " v ж О , U z W Ж О .
(3.10.17)
Соответствующая диверrентная форма для вычисления сопротивления будет сле
дующей:
( и2 v 2 + w 2 I 1 )
K2 2 3 U З ж+(utJ)ti+(UW)i=О,
(3.10.18)
у
и, Мао
d
Ф9 = dx Fи,t (x,l)
Вихревая пелена
х
Рис. 3.10.3.
Картина течения для Tpexмe}r
ных несущих поверхностей.
Методы траНС3ВУК08ЫХ разложении
131
Теперь интеrрирование можно провести по объему, оrраниченному плоскостями
Хl == const, Х2 == const; Однако при Х2 00 возмущения не затухают из за вихревой
пелены. Это можно видеть из TpexмepHoro уравнения Кармана ryдерлея (сравни
(3.1.38»
(к (')' + l)фж)фжж + Ф;;;; + Фiz == О .
(3.1 0.19)
При X 00 (У, z фиксированы) течение стремится к потенциальному потоку в плос
кости поперечноrо сечения (д/дx O)
фjj + Фii == О . (3.10.20)
На вихревой пелене имеет место разрыв скорости w
dr
[ш] след = [Фi] спед = di
(рис. 3.10.4).
Расчет TaKoro течения является классической задачей теории потенциальных по
токов. Можно считать, что течение в этой плоскости по рождается двумерными ви
хревыии областями
ф(fj, z) = 2 [Ьь ,(!i) arctg
1 j b 1
W == Фi == 2 fj ,(!i) 2 + С )2 d!i
7r ь У z
( y ) d ,
z
(3.10.21)
i: ,(i)
2 '
у 03: ,
иначе rоворя,
dr
,(i) == 2w(0+, i) == [W]след di ·
(3.10.22)
Интенсивность вихря определяется распределением подъемной силы по размаху.
Сопротивление по прежнему связано с интеrралом по поверхности крыла от Be
личины [и v]w. В соответствии с (3.10.5) имеем
D j B f хз.к(i)
D == == dz t и v] tu dx .
роои 2 6 3 B х (i)
П.К
(3.10.23)
у
в
х
'у > о
Рис. 3.10.4.
Потенциальное течение при Х2 = 00.
9*
132
rЛQвQ 3
Если Хl 00, Х2 + 00, то в выражении для сопротивления помимо получен..
ных ранее членов, содержащих разрывы параметров, остается лишь член, пред став..
ляющий кинетическую энерrию потока, вызванноrо действием вихревой пелены при
Х2 == 00. Окончательный результат имеет йид
Ь==жli оо ff ОО ( v2+w2 ) dYdz . 1+1 f '( [и];dyd-i.
2 oo 2 12 JудаРные волны
(3.10.24)
Первый член представляет собой так называемое индуцированное сопротивле..
ние, которое отлично от нуля даже в отсутствие ударных волн. Это выражение для
индуцированноrо сопротивления совпадает с соответствующим результатом линей..
ной теории. Хорошо известный результат состоит в том, что при заданном значе..
нии подъемной силы L индуцированное сопротивление минимально, если подъемная
сила по размаху распределена по эллиптическому закону. Далее, увеличение относи..
тельноrо удлинения В приводит к уменьшению минимальноrо значения индуциро..
BaнHoro сопротивления при заданной подъемной силе. Если бы это можно было
сделать без увеличения BToporo члена, т. е. сопротивления за счет ударных волн,
это открывало бы путь к выбору оптимальной формы.
3.11. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТРАНС3ВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ
в данном разделе рассматривается нестационарный трансзвуковой поток при отно"
сительно низких частотах, как это сделано в работе [3.11.1]. Анализ приведен для
колебательноrо движения профиля. Уравнение, полученное в трансзвуковом пределе,
сводится при условии стационарноrо набеrающеrо потока к стационарному Tpaн ..
звуковому уравнению (3.1.19). С появлением зависимости от времени возникают
два новых параметра подобия. (Ориrинальный вывод OCHoBHoro уравнения (3.11.3)
принадлежит Тимману [3.11.2].)
в рассматриваемом нестационарном потоке ударные волны остаются слабыми,
так что течение оказывается изоэнтропическим, до Toro же порядка величин, KOTO
рый "уже рассматривался (см. (2.4.22)). Итак, как и для стационарноrо течения
Р РОО
== const == ,
p"'t Рiю
(3.11 .1)
2 ,р РОО 1
а == == , p"'t
Р р7х,
(3.11.2)
Кроме Toro, поскольку ударные волны движутся медленно, завихренность течения
пренебрежимо мала. Следовательно, существует потенциал Ф такой, что q == 'УФ.
Получим вначале полное нестационарное уравнение для потенциала, а затем рас..
смотрим ero трансзвуковой предел. Используя потенциал Ф, уравнение сохранения
количества движения
ч2 1
Чт + v' Х,У 2 + Р V' Х,У Р == о
можно переписать в следующем виде:
( ( \7 Ф ) 2 а 2 )
\7 фт + Х,У + == о .
2 , 1
Методы mрансзвуковых разложении
133
Это уравнение можно проинтеrрировать один раз и получить уравнение Бернулли,
поскольку набеrаюIЦИЙ из бесконечности поток считается стационарным,
( У' Ф ) 2 а2 u 2 а 2
фт + Х.У + == + 00 .
2 I 1 2 '1 1
(3.11.3)
Здесь и скорость набеrающеrо потока.
С использованием потенциала Ф и Формулы (3.11.2) уравнение неразрывности
(PT + ч.У' х уР) + УО.Ч == о
р .
принимает вид
1 1 ( (а 2 )т + v х у ф. v х у а 2 ) + a 2 V 2 Ф = о .
'1 .. Х.У
Наконец, исключая производные от ll- с помощью уравнения Бернулли (3.11.3), по
лучим нестационарное уравнение для потенциала
(а 2 ф )фхх 2ФхФуФху + (а 2 ф} )фуу
2ФхФхт 2ФуФут Фтт == О,
(3.11.4)
rде ll- определяется уравнением
ф2 + ф2 а 2 u 2 а2
Ф х fI 00
т+ 2 +'1 1==2+'1 1.
(3.11.5)
Последние три члена уравнения (3.11.4) являются новыми; они возникают из..за He
стационарности течения, как и первый член в уравнении (3.11.5). Локальная CKO
рость звука ll- является Функцией времени.
Рассмотрим теперь частную задачу о колеБЛЮlЦемся проФиле (рис. 3.11.1).
Толщина крыла равна d, хорда с, а поверхность проФиля задается уравнением
у == dFиl(X/c) + mcos(JJt, rде (Р и Р,)тах == 1. rраничное условие непротекания на
поверхности проФиля имеет вид
w т + ч. VW == о на W == о,
(3.11.6)
У
Поверхность
Y=dFи,L ( ) + тcos",t
d
т со s '" t
Рис. 3.11.1.
КолеблющиАся профиль.
х
134
rлава 3
rде
w = у dF _,t ( ) m сos wt .
(3.11. 7)
Друrие rраничные условия: условие Кутта Жуковскоrо о плавном сходе потока
с задней кромки, однородный набеrающий поток и условия на ударных волнах.
Трансзвуковое решение в этом случае является обобщением соответствующеrо
решения для стационарноrо потока. Малым параметром служит относительная
тол на профиля
d
6 == .
с
Пространственные координаты представляются в виде
х
x== ,
с
""' l У
y==(}3 .
С
(3.11 .8)
Вводится безразмерное время
i = (3(.5) UТ ,
с
(3.11.9)
rде {3 се 1 подлежит определению. Разложение потенциала имеет вид
Ф = и {х + .5 ;с ф(х, y,i) + · . .} ·
(3.11.1 О)
Здесь предполаrается, что стационарное течение служит предельным случаем Hecтa
ционарноrо потока.
Имеем
Ф Х I
""J 1 + Б 3 Фх ,
и
Фу
""' Б ф
и У'
ФТ 2
[3 /3(Б)Фi ,
и
(3.11.11 )
поэтому в трансзвуковом пределе уравнение Бернулли (3.11.5) принимает вид
а 2 2
U2 = 1 +.5 з (к (, + l)фж) + .., · (3.11.12)
Отметим, что чисто нестационарные члены в уравнении Бернулли отброшены. Пер
вые три члена в уравнении неразрывности (3.11.4) запишутся как. и в стационарном
случае: lf/3 (К ("У + 1) Фх)ФххФjj} + ... . Вследствие оценок
Фтт 1 2
6 3 Q ( 6 )ф
U 2 }J tt ,
ФхФхт 6 Q ( 6 )ф Ф
U 2 ,.., ж жt'
ФуФу т 62Q ( 6 )ф . ф
U 2 }J 1/ I/t'
нетривиальный предел уравнения неразрывности (3.11.4) получается при условии
2
(3==6з
Методы тронсзвуковых разложений
135
и имеет вид
(к (1 + l)фж)фжж + Ф;; 2Ф ж i == о.
(3.11.13)
Очевидно, что это приближение несправедливо для высоких частот, поскольку пред
полаrается, что Ф1Т<С фт.
В рассматриваемом пределе rраничное условие (3.11.6) принимает вид
Ф;(х, О:!:, t) == F ,t(X) N sin ni.
(3.11.14)
Здесь параметры подобия
'fТUJJ
N == БU '
п
тБt
(3.11.15)
должны быть фиксированы при () О, чтобы сохранить в задаче изменение решения
со временем.
Коэффициент давления запишется в прежнем виде
l
С р == 2Б 3 Фж ,
он зависит от времени только через функцию ф. Условие Кутта Жуковскоrо име
ет вид
[Фж(l,о,i)] == о.
Таким образом, нестационарный след в каждый момент времени выrлядит как
стационарный. Это вытекает из предположения, что продольное обтекание, порож
дающее завихренность, HaмHoro быстрее коле6ательноrо движения.
Рассмотрим, наконец, ударные волны. Заметим, что нестационарное трансзвуко
вое уравнение (3.11.13) в консервативной форме принимает вид
д д ( '1 + 1 2 ) д
дt ( 2ФЖ)+ дх КФж 2 фж + дjj (Ф';) ==0.
(3.11.16)
Чтобы показать, что это уравнение выражает физический закон сохранения, приве
дем выражения для отношения плотностей
р 1 ! { "1 1 2 }
Рос == 1 б 3 Фж + б 3 К фж 2 фж Фi +. · ·
и потока массы
p:iт == (1 + бt ( КФж 'У; 1 ф Фi) , б ф ,;) +... ·
Вспоминая выражение для оператора rрадиента
( д 1 д )
V'== Б3
дх ' ду ,
136
rлава 3
и производной по времени
lд
бз ,
at
видим, что уравнение (3.11.16) выражает равенство диверrенции вектора потока
массы и изменения массы со временем. Друrое условие на ударной волне выражает
отсутствие разрыва касательной скорости
[фж]dх в + [Фi]dув == О .
Расположение ударной волны показано на рис. 3.11.2.
Если С ! скорость ударной волны, то условия на ней принимают вид
[ / + 1 2 ] ( dY ) ( dX )
2с.[фж] == К Фж 2 Фж dt. . [Фj] dt. .'
( dX ) ( dY )
О == [Фж] dt. . + [ФjJ dt. .'
(3.11.17)
(3.11.18)
rде
( ; ) . == sin 8 ,
( d Й )
dt. . == cos 8 ·
(3 .11.19)
Нестационарное трансзвуковое уравнение (3.11.16) всеrда является уравнением
rиперболическоrо типа. Однако структура характеристических поверхностей изменя
ется в зависимости от Toro, является ли течение локально дозвуковым, звуковым
или сверхзвуковым.
Чтобы изучить локальные свойства характеристических поверхностей, положим
к. == К (/+l)Фж
в окрестности данной точки. Тоrда характеристическая поверхность (x, У, f) для
уравнения
К.Фжж + Фii 2Фжi == О
определяется решением уравнения
K. + 2 ж€i == о.
9 ot'o 'li-
8 'li-" Ь
'li-
r
I с. I
I dl I d9.
.J
dx.
х
Рис. 3.11.2.
Элемент ударной волны.
Методы mpaнсзвуковых разложении
137
Прежде Bcero рассмотрим плоскости
€ ( х, у, [) == l + ох + (1у ,
задающие однопараметрическое семейство при выполнении условия
K*02+(12 2a==O.
При К* > О, т. е. в случае локально дозвуковоrо потока, это условие дает эллипс,
опи ываемый уравнением К*[а (l/к*)]2 + (3 == I/K Этот эллипс определяет reo..
метрическое место всех возможных волновых фронтов. При К* < О, т. е. в случае
локально сверхзвуковоrо потока, это rеометрическое место является rиперболой
(32 + 'К*' (а + (1/ , К*' ») 2 == 1/ 'К*'. При К* == О, т. е. в случае локально зву"
KOBoro потока, имеем параболу (рис. 3.11.3).
Оrибающая этих плоских волн является характеристическим конусом. Урцвнения
оrибающей имеют вид
Е == i + ах :f: ../ 2а К*02 у == О
(3.11.20)
и
€o == о .
(3.11.21)
Вычисляя a из (3.11.20), получим
1 К*а
.,. == х::!: V У ·
20 К*02
Поэтому уравнение (3.11.21) Meeт вид
1 К*о
x:f: у==О.
v 2a К*а 2
Решая ero относительно а(х, у), получим
1 ( Х )
ох == 1 .
(,у) к. ../К.у2+х2
1
а
а
а
к. > о
к. < о
к. = о
Рис. 3.11.3.
Плоские сечения характеристической поверхности.
138
rла8а 3
а
у
х
х
к. > о
-.1
t
у
б
х
х
к. < о
8
..,
tt
у
х
х
к. = о
Рис. 3.11.4.
Характеристические поверхности.
Здесь знак минус выбран потому, что он соответствует распространению волны от
источника. Далее,
y
20 К.о2 == ==
у' 13 y'K02(Koi? + х 2 )
Подставляя это соотношение в (3.11.20) и упрощая, получим уравнение характери
стической поверхности
у2 == к.Р + 2xt .
(3.11.22)
При К* > О, т. е. в случае локально дозвуковоrо потока, при фиксированном f
формула (3.11.22) описывает параболу в плоскости Х, у. С ростом f эта парабола
движется влево, описывая коноид в пространстве х, У, f (рис. 3.11.4, а). При К* < О,
т. е. в случае локально сверхзвуковоrо потока, при постоянном f по прежнему имеем
Методы mpaнсзвуковых разложении
139
пар а олу. о днако с изменением lоrибающая этих парабол изображает линию Маха
j == К*х (рис. 3.11.4, 6). При К* == О, т. е. в случае локально звуковоrо потока,
ветви параболы с ростом f расходятся, однако она всеrда проходит через точку
х == О (рис. 3.11.4, в).
Отметим, что все эти результаты носят локальный характер. При больших х
поверхности расходятся, поскольку вследствие трансзвуковоrо приближения волны
в направлении вниз по потоку распространяются с бесконечной скоростью. Области
влияния на рис. 3.11.4, а .......... в заштрихованы; их следует учитывать при разработке
численных схем.
ЛИТЕРАТУРА
[3.11.1] Krupp, J. А. and Cole, J. О., Unsteady Тransonic Flow, Studies in
Тransonic Flow IV, UCLA School оЕ Eпgjпeerjng aпd Appljed Scjence
Report, UCLA..Eng.. 76104, Oct 1976.
[3.11.2] Timman, R., Unsteady 1otion in Тransonic Flow, Symposjиm Тranssoп..
jcиm, Springer Verlag, 1964, К. Oswatitsch, ed.
4. ТРАНСЗВУКОВОЕ ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ
в настоящей rлаве довольно подробно изучается дальнее поле трансзвуковоrо
течения. При этом преследуются несколько целей. Дальние поля являются примера
ми качественноrо различия между дозвуковыми, трансзвуковыми и сверхзвуковыми
течениями. Их изучение существенно для понимания поправок, которые обусловле
ны влиянием стенок аэродинамических труб. Дальние поля MorYT иrрать важную
роль при использовании сложных численных схем. Расчет обтекания в ближнем по
ле производится с помощью методов конечных разностей или конечных элементов,
поэтому дальнее поле служит в качестве довольно точноrо внешнеrо rраничноrо
условия. Явление трансзвуковоrо удара, представляющее особую проблему, связано
со скачком давления на земле вследствие небольшоrо превышения звуковой CKOpOC
ти полета. Поведение давления может быть определено из сверхзвуковой теории
дальнеrо поля. Наконец, введенные в этой rлаве методы подобия применяются за
тем при изучении решений, описывающих локальные особенности, для нахождения
поправок на относительное удлинение крыла, обусловленных конечностью ero раз
маха при Мое == 1, и при анализе закона стабилизации.
В следующем разделе сначала исследуется течение при Мое == 1 (К == О), которое
имеет наиболее типичные особенности трансзвуковых течений. Затем рассматрива
ется случай небольших сверхзвуковых скоростей при (Мое > 1, К < О), который в
отдельных своих аспектах напоминает звуковой случай. и наконец, изучаются дo
звуковое течение, которое совершенно отличается от звуковоrо.
4.1. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПРИ Мое == 1 (к == О)
Природа дальнеrо поля при Мое == 1 (К == О) совершенно иная, чем в случаях дозву
ковых и сверхзвуковых скоростей. Качественная картина течения, справедливая как
в плоском, так и осесимметричном случаях, представлена на рис. 4.1.1. Звуковая
линия уходит в бесконечность. Только небольшой участок сверхзвуковоrо течения
около тела, а именно тот, характеристики KOToporo (линии Маха) достиrают звуко
вой линии, может влиять на течение вверх по потоку. Существует предельная xa
рактеристика, которая пересекается со звуковой линией только в бесконечности.
Решение вниз по потоку от нее не может влия.ть на решение вверх по потоку, и
поэтому последнее вычисляется отдельно. Затем находится решение вниз по пото
ку. Такое описание справедливо для Bcero внешнеrо поля течения, особенно в
окрестности бесконечности. При Мое ---+ 1 кормовая часть профиля или тела все
слабее и слабее влияет на течение вверх по потоку. В случае Мое == 1 происходит
полное разделение области течения. При сверхзвуковых скоростях такое разделение
поля течения на заднюю и переднюю части сохраняется.
Трансзвуковое дальнее поле
141
.
CD
/ ,1
/f
Ф ' / !
y /l
lftlt- . /
ОФ'l /
'/) g.
,.,Ф. / tti
" /
, /0
,1, \ / 0 ",
· I V) /'"
I Л \ ",/
I /'"
Ф
o
"
g
м < 1
Моо = 1
у
Рис. 4.1.1.
Поле теченИJI при МОО == 1.
Iy /
Л/
\!
\
х
Характер течения на большом расстоянии вверх по потоку не может быть опи
сан путем введения источника или точечной силы. Местоположения звуковой линии
и предельной характеристики на профиле заранее неизвестны и зависят от формы
тела. Кроме Toro, оказывается, что влияние несимметрии профиля сказывается на
бесконечности слабее, чем влияние толщины тела. Прямой противоположностью
этому является случай дозвуковых скоростей, обсуждаемый позже. Для объяснения
этих эффектов должна быть привлечена теория подобия.
4.1.1.Двумерное течение
При К == О нужно решать трансзвуковое уравнение (3.1.16)
(1 + l)фжфжж Фii = О
(4.1.1)
с rраничными условиями при О х 1
фj(ж,О:i:) = F ,t(Ж) ·
(4.1.2)
Нас интересует дальнее поле перед профилем при (х, у ---+ 00). Масштаб длины, ис
пользуемый в уравнении (4.1.1), был принят равным единице (единичная хорда).
о
/ . I
. /
Ф/ CJt
/ /#
.. . 1.1 "
o e ';. А
!b . e l. e
", I I \ /g'li А
. '\ / ,,""
I /'( "" " ""
""
I Х
\ I
,1,
'\
\
.
\
I
I
9
Рис. 4.1.2.
Трансзвуковая плоскость.
142
rлава 4
Однако в окрестности бесконечности этот масштаб является неприrодным. Коrда
наблюдатель удаляется к бесконечности, ему кажется, что профШIЪ стяrивается в
точку. Чтобы получить решение на бесконечности, положим
х
Х Ха == ,
л
.. у
y== ,
J.l
rде
о < Ха < 1 .
(4.1.3)
Заметим, что х ---+ 00, j ---+ 00 при л, р. ---+ О И фиксированных координатах (Х, У).
Начальная координата ха выбирается произволъной. Основное уравнение записывает
ся в новых (больших, чем прежние) произвольных масштабах длин, в которых про
филь стяrивается в точку. Теперь предположим, что асимптотический потенциал
q; (Х, У) имеет вид
<р(Х,У)== lim vФ ( хо+ , У ) .
Л,II О л Il
(4.1.4)
Параметр v является характерной величиной потенциала. Можно изучить cтpyк
туру дальнеrо поля, если сделать следующие предположения:
1) потенциал q;(X, У) должен представлять течение (в новом масштабе) и, следо
вательно, удовлетворять уравнению
(, + l)<рх<рхх <руу == о ·
2) потенциал q;(X, У) не должен зависеть в пределе от параметров (р, л, р.). Что
бы удовлетворить условию (1), заметим, что
v v
<Рх == Фж, <ру == Фi и Т.Д.
Л Il
Таким образом, уравнение (4.1.1) становится следующим:
л З Jl2
(, + 1) 2 <Рх<Рхх <pyy == о.
v v
Потенциал q; описывает малые возмущения в потоке, если
J.l 2 V
==1.
л 3
Это дает одно соотношение между тремя параметрами. Поэтому два из них
остаются произвольными. Следующее утверждение является типичным в теории
rрупп [4.1.1]. Пусть масштаб длины р. произволен. Тоrда положим
л == л (J.l) .
Изучим, как изменяется соотношение (4.1.4) при изменении р.,
. л 3 (J.l ) ( х у )
<р (Х, У) == 11т 2 Ф хо + \ ( ) ' ·
II O J.l лJ.l J.l
(4.1.5)
Мы хотим, чтобы q;(X, У) не зависел от р.. Таким образом,
Трансзвуковое дальнее поле
143
д<р == 0== ( ЗА 2 dA 2 А3 ) ф+ .х з ( х Фж d.x у2 ф_ ) ==
др, р,2 dp, р,3 р,2 А 2 dp, р,2 JI
( ЗА 2 dA А 3 ) А 2 dA АЗ
== 2 ф(х,у) хф:r, уф- .
р,2 dp, р,3 р,2 dp, р,З 11
Если теперь
dA А
== к, ; к, == const при А, р, о t
dp, р,
(Зк, 2)ф(х, у) к,хфж(х, у) уф;(х, у) == о ,
(4.1.6)
то при р. ---+ О И любом к, результирующая форма не зависит от р.. Уравнение (4.1.6)
является уравнением в частных производных первоrо порядка. Проинтеrрируем ero,
чтобы получить асимптотический вид ф(х, у). Так как
к,хф + Уфj == (Зк, 2)ф ,
то
dx dy
.....
к,х у
dф
(Зк, 2)ф
( 4.1. 7)
являются характеристическими уравнениями. Интеrрирование первых двух
log х к log у == log
определяет автомодельную переменную
х
== ""'"" .
у
(4.1.8)
Интеrрирование последних двух из (4.1.7) вдоль == const дает
..... f( )
log Ф == (31C 2) log у + log (")' + 1) ,
(4.1.9)
или в окончательном виде
(1 + l)ф(х, у) = узк 2 f( ), = :"" .
у
Множитель 'у + 1 введен для удобства. Из уравнения (4.1.1) следует, что f( )
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Потенциал (4.1.10)
является первым членом асимптотическоrо разложения, описывающеrо течение в
окрестности 00. Оно находится в результате предельноrо перехода j ---+ 00 вдоль ли..
ний == const. «Точный» потенциал, таким образом, представляется в виде
2
Ф == и { х + Н (уЗ.. 2 f (Е) + у" f 1 (Е) + .. .) + .. . } , (4.1.11)
1+1
(4.1.1 О)
rде (J < 3 к. 2. Так как х == ty"", можно ожидать, что асимптотическая форма спра..
144
rлава 4
у
I
E= oo
о
Е = + 00
Рис. 4.1.3.
Поведение кривых == const.
ведлива в окрестности бесконечности, если
к, > Зк, 2 или к, < 1 .
Это условие rарантирует Фх, Фу ---+ о. Форма кривых Е == const показана на рис.
4.1.3 для j > о.
Таким образом, компоненты возмущенных скоростей, найденные из (4.1.1 о),
имеют вид
w == (1 + l)фж == y2 2 /'(€) }
д == (1' + 1 )Фti == Y3 3 {(Зк, 2) / к,€/'} ·
(4.1.12)
Звуковая линия находится из условия l' (Е) == о. Обозначим ее Е == Е*. Конечно,
в сверхзвуковой области l' (Е) > о, а в дозвуковой l' (Е) < о. Наклон характеристик
определяется в виде
== х \I" (7 + l)фж == :l:VW ·
Для предельной характеристики имеем знак« +» и
dx r:;;;-:- "'K 1 \1" / ' ( с )
-----:: V WL У L
dYL
при
с "'к,
х == L У ,
или dXL == K€LyK ldYL .
Следовательно, предельная характеристика совпадает с кривой Е == EL, на
которой
f'(€L) == €lK.2 .
(4.1.13)
Также можно ожидать, что хвостовая ударная волна описывается уравнением
Е == Es > ь..
Задача теперь заключается в определении TaKoro значения /\', при котором тече
H e начиналось бы при 00 с f' (Е) < о, затем ускорялось до звуковой скорости
l' (Е) == о и rладко проходило через предельную характеристику. Течение будет
окончательно сформировано, если продолжать поток в область за предельной xa
'1jюНС38УКовое дальнее поле
145
рактеристикой через хвостовую ударную волну таким образом, чтобы он ускорился
до звуковой скорости. Эту проrрамму можно выполнить, изучив свойства диффе..
ренциальноrо уравнения для f( ). Заметим, что
( 7 + 1) Ф жж =: y 2/" ( ) ,
(1 + l)Фii = y3 3{ (3к 3)/' ка"} { K } +
+ (Зк З)у3 4 {(Зк 2) / K /'} .
Следовательно, трансзвуковое уравнение (4.1.1) принимает вид
(/' к 2 2)/" к(5 5K) /' + (3 Зк)(3к 2)/ == о .
(4.1.14)
Отметим, что f" ( ) обращается в бесконечность при == h (см. (4.1.13». Урав..
нение (4.1.13) допускает следующую rруппу преобразований:
{ /+ =: АЗ f }
+ = A ' (4.1.15)
которые оставляют ero инвариантным при любом выборе масштабноrо множителя
А. Отсюда следует, что уравнение дляf+( +) совпадает с (4.1.14). Если/== P( )
решение, то f+ == P( +) или
1
f= Аз F(А ), A=const (4.1.16)
также является решением.
Это rрупповое свойство позволяет свести уравнение (4.1.1) к уравнению первоrо
порядка. Так как множитель А произволен, можно искать решение для любоrо
h == 1 (или . == 1). Чтобы срастить дальнее поле с течением BOKpyr заданноrо
профиля, необходимо выбрать подходящую величину А.
Заметим теперь, что для течения с циркуляцией, которая обусловлена на беско..
нечности основным членом асимптотическоrо разложения и не зависит от контура
интеrрирования, к == 2/3, (-у + l)ф == f( ). Для TaKoro решения возможен скачок Ф
при некотором значении независимо от контура интеrрирования при у ---+ 00. Та..
ким образом, получено циркуляционное течение, как в случае дозвуковых скоро..
стей. Можно показать, что для этоrо течения возмущение скорости нормально к
линиям == const. Как будет показано ниже, при к, == 2/3 невозможно найти реше..
ние, которое было бы rладким в области от 00 до предельной характеристики
включительно. Поэтому неудивительно, что дальнее поле симметрично относитель..
но у
ф(х, у) =: Ф(х, y) ,
даже если профиль обладает подъемной силой, и что
1 <K<l.1
lO l084
146
rлава 4
При стремлении к бесконечности симметричное поле перед профилем затухает Meд
леннее, чем поле с циркуляцией. Далее, при переходе через звуковую линию любое
изменение скорости (увеличение или уменьшение) вызывает расширение трубок тока
(рис. 3.1.2). Поэтому всеrда формируется симметричная компонента дальнеrо поля.
Сначала изучим поведение решения при ---+ 00. Затем найдем ero разложения
в окрестностях предельной характеристики и звуковой линии и тем самым получим
полную качественную картину течения. В окрестности = ..... 00 основное уравнение
(4.1.1) сводится к уравнению Фуу = О, так что
(')' + 1) Ф = Ао ( х) + А 1 ( х) у + · · · = уЗ 2 f ( ), -----+ ..... 00 .
Следовательно, функция f должна иметь вид
Ао(х) + Al (Х)У + ... == y3"' 2 { ао( €)3 + ь о ( €)3 + ... }
и
з 1 з
Ао (х) == ао ( ..... х) , Al (х) = Ь О ( ..... х) ,
2 3
(')' + 1) Ф == ао ( ..... х) з + Ь О ( ..... х) з у + · .., € -----+ ..... 00 .
Такая же форма решения может быть получена при изучении OCHoBHoro ypaвHe
ния (4.1.14) в окрестности = ..... 00. Если начать интеrрирование от = ..... 00, то 00,
ьо произволъные постоянные. Если ищется решение, симметричное относительно
У, то ьо == о. Исследование в плоскости rодоrрафа, связанное с именами Франкля
и rудерлея, также показывает, что ьо = О, что является условием симметрии фун
даментальноrо решения. Подробности будут приведены ниже, коrда решение в
плоскости rодоrрафа будет найдено в замкнутой форме. В результате, получаем
следующее разложение для дальнеrо поля при ---+ ..... 00:
f( €) = ао(..... €)З : + al (..... €)з + · .. ,
f' (€) == ( 3 ) ао ( €) 2 : (3 ) al ( €) 2 + · .. .
(4.1 .17)
Подстановка в уравнение (4.1.14) дает
1
al(aO) = з(Зк ..... 2)2(1 ..... K)a > о.
к
(4.1.18)
Для компонент скорости имеем (сравни (4.1.12»
(, + 1) == w == y2"' 2 { (3 ) ао( €)2 (3 ) al ( €)2 } ==
2 4
==..... (3..... ) ao(.....x)2 ..... (3..... ) al(.....x)2 y2 + ... , (4.1.19)
(, + 1)ф. == д = Y3"' 3 { (3/1: 2) al ( €)3 + /1:( 1) (3 ) al ( €)3 + . ..}==
== Y3"' 3 { ( 2a l ( €)3 + . .. } = 2al ( x)3 Y + . .. (4.1.20)
Трансзвуковое дальнее поле
147
в окрестности звуковой линии =: ., на которой f' == О, соrласно уравнению
(4.1.14)
'" > О, если f > о ·
На предельной характеристике == Ь. можно искать реrулярное разложение
(сравни (4.1.13»
f( ) = то + 1C2 i( L) + !т2( L)2 +... .
2
(4.1.21)
При подстановке ero в основное уравнение (4.1.14) mo принимает заданное значе..
ние, а т2 удовлетворяет квадратному уравнению. Один из корней соответствует
ускорению при переходе через предельную характеристику. Получаем
f( ) = з(з lC 2) I + IC 2 I ( : 1) + IC(З 21C) I ( : 1) 2 +... . (4.1.22)
На основании этих. общих рассуждений заключаем, что поведение решения дол..
жно быть таким, как показано ниже.
,
(....t}3.... <
.....
<t
f
'lttt-
9 'lt
'1j
O I
I
I
I
f = ,, eL
I
I
Е
Е. L з
Рис. 4.1.4.
Дальнее поле в двумерном случае.
Теперь суть задачи ясна. Должны быть удовлетворены два условия при == ь. 1):
5K 3 d
Ль,) == 3(31C 2) , f' (ь,) == к,.2и, и, кроме Toro, решение должно давать течение с
ускорением. Только одна постоянная интеrрирования ао все еще произвольна. Сле..
довательно, нельзя ожидать, что решение вообще может быть найдено, за исключе..
нием случая особоrо значения параметра К.
Франклем [4.1.2] и IYдерлеем [4.1.3] впервые было доказано существование ре..
шения и найдено единственное значение к. В дальнейшем рядом исследователей
[4.1.4 4.1. 7] было найдено решение в замкнутой форме с помощью прямоrо анали..
за уравнения (4.1.14). Воспользуемся последним методом, поскольку с ero помощью
можно получить результаты и в осесимметричном случае, для KOToporo линейная
теория метода rодоrрафа неприменима. Некоторые результаты, полученные мето..
дом rодоrрафа, будут приведены ниже. Здесь мы будем придерживаться положений
1) Значение L выбирается произвольно (например L = 1). Решение для любоrо друrоrо значения
L можно найти, используя rрупповое свойство (4.1.16).
10*
148
rЛО80 4
элеrантной статьи Мюллера и Мачата [4.1.4]. 1Удерлей, используя rрупповые свой..
ства, предложил исследовать уравнение (4.1.14) в соответствующей фазовой плос..
кости. Любой набор координат, инвариантных относительно rруппы, позволяет
понизить порядок уравнения до первоrо, после чеrо ero можно изучать в «фазовой»
плоскости. Затем полное решение получается с помощью квадратуры. Один из на..
боров инвариантных координат имеет вид
t = с 2 , 8 = С З !( ) .
Однако проще иметь дело непосредственно с компонентами скорости!)
2
W :.... (, + l)фж == y21C 2 /'( ) == y2" 2 2t( )== :2 t( ) ,
У
3
{) == (, + I)Фri == у31C З{(3к 2)/ K f'}== уЗIC З{(3к 2)s Kt} 3 == :3 0'( ) .
у
(4.1.23)
Основная система (сравни '(4.1.1» имеет вид
{ WW д. О } .
w., дж О
(4.1.24)
При w > О течение является сверхзвуковым, а при w < О дозвуковым. Имеем
ж { dt } ж2 { dt }
W Ж = jJ2 d + 2t , Wjj = уЗ K d + 2t ,
ж 2 { dи } хЗ { dtт }
дж = уЗ d + 30' , д. = у4 K d + 3/7 ,
так что система (4.1.24) становится следующей:
dt dи
t d + 2t 2 + K d + 30' = О
dt dи
K d + 2t + d + 3/7 = О
,
или
dt
(t K2) == 2t2 + 2tK 30'(1 к)
d
(t к2) du = 2(1 K)t 2 30'(t к)
d
.
(4.1.25)
Следовательно, деля второе уравнение на первое, получаем
dи 2(1 K)t 2 + 3(7(t к)
dt 2t 2 2Kt + 30'(1 к) ·
(4.1.26)
1) См. также работу [4.1.8], в которой в обших чертах дано систематическое изложение автомодель
ных решений.
7):юНС38УКовое дальнее поле
149
Переменная , соответствующая какой либо интеrральной кривой уравнения
(4.1.26), находится посредством интеrрирования одноrо из соотношений (4.1.25), на..
пример
d€
€
(t к 2) dt
2t 2 2Kt + 30'(1 к)
(4.1.27)
вдоль интеrральной кривой уравнения (4.1.26).
Как будет показано ниже, начало (и == t == О) соответствует == 00, бесконечно
удаленная точка в плоскости (и, () == О, особая точка седло на прямой
t == It 2 == L 2 f' ( ) предельной характеристике. Задача заключается в определении
TaKoro значения к" при котором интеrральная кривая выходила бы определенным
образом из начала, проходила через бесконечно удаленную точку и попадала в осо..
бую точку седло SP (рис. 4.1.5).
В методах, применяемых в плоскости rодоrрафа Франклем, использовались ана..
лоrичные условия для определения к,. В двумерном случае Мюллер и Мачат ввели
преобразование, приводящее уравнение (4.1.26) к линейному виду и позволяющее
обнаружить целый класс частных решений в замкнутой форме. Одно из них облада
ет желаемыми свойствами. Выписанное ниже решение в замкнутой форме для осе..
симметричноrо случая получено по существу на основании подбора и знания ero
свойств (см. следующий раздел) [4.1.4, 4.1.6]. В окрестности и == О, t == О ( == 00)
имеем соrласно (4.1.18) (4.1.20)
( 2 ) 2 J. х 2
W 3 ао ( х ) --=--- t ,
к, у2
( ) 2 З
2 2 2 з ... х
{) 3 (1 к,) ао ( х ) у 7""" tJ ,
к, к, уЗ
или
t ----+ (з ) ао ii 2 ( х ) , t1 ----+ (1 ,,) (з ) 2 a у4 ( х ) .
...
Д03вуков8Я
область
\
а
t = 1
I
I СвеРХ3ВУКОВ8А
область
.
.....
..... --..
Рис. 4.1.5.
Фазовая плоскость.
150
rла8а 4
Отсюда получаем, что интеrральная кривая в окрестности начала имеет вид
о' == 2 ( 1 It ) t 2 + · .. . (4 1 28)
IC · ·
Она является особой кривой узла (одной из ero осей), что можно проверить с
помощью уравнения (4.1.26). В окрестности t = О соrласно (4.1.27)
d == к, dt или ( ) == O oo( t) i +... J
2 t
но С 00 выражается с помощью выведенных выше формул через произвольную
постоянную ао (сравни рис. 4.1.5). Далее эта кривая уходит в бесконечность
(О' = 00, t = 00), rде достиrается х = О или = о. Так как решение является pery..
лярным в окрестности = О (w < о, {J > о), из (4.1.23) получаем
t у2к / ' ( 0 ) /'(0)
ж2 2 ,
....эК
о' L(зк, 2) 1(0) ,
ж З
f(О)(Зк, 2)
O'
3
так что при х ---+ О
3
(7 :f:Co( t)1 ,
{ +, если Ж 0+ ,
,если ж О .
(4.1.29)
Интеrральная кривая возвращается из бесконечности при о' = + 00, t = 00, Kor..
да х переходит значение о, и затем устремляется к особой точке седло SP, имею..
щей координаты
t == к,2 ,
2
о' = к,З .
3
(4.1.30)
При переходе через седло решение должно вести себя соrласно (4.1.22). Из
(4.1.23) следует
2
W == y2.. 2 I'( ) == y2.. 2 {к,2 а + 2It L(3 2к,)( L) + · · .} == :2 t ,
У
д == уз.. з { (Зк, 2)1 к,а' } == уз.. з { к,З i + (6к, 8)к,2 i( L) + · ..} == : q .
Таким образом,
2 ( ) € €L
t ....... к, + 6к, 1 к, L + · .. при ....... L ,
2 3 2 € €L
о' к, 4к: (2 к,) + · .. при € €L ,
3 €L
(4.1.31)
и интеrральная кривая проходит седло SP вдоль
q к,З == к,(2 к) (t к,2) .
3 3 1 к:
(4.1.32)
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
151
Это утверждение нетрудно проверить с помощью (4.1.26). Решение (4.1.26),
удовлетворяющее всем условиям, может быть найдено только для
I к . 1
Оно имеет вид
441
и == з 2t 3 (1 t) 2, и < О, 00 < € < О ,
и==
441
и+==з 2t+з(1 t)2, и>О, O<E<€L.
(4.1.33)
Интеrральная кривая проходит звуковую линию при t == О, u == 8/3. Используя
уравнение кривой (4.1.33) и интеrрируя (4.1.27), нетрудно найти функцию (t):
( )6
1 3 1. 2
:4 (1 t)2 {1 (1 t ) 2 }
oo < € < О ,
О > t > oo ,
(4.1.34)
1 3 1 2
(l t)1{1 + (1 t)2}
4
О < € < €L ,
oo < t < 1<:2 == .
Формулы (4.1.33) и (4.1.34) дают искомое решение в неявном виде. Компоненты
скорости получаются из (4.1.23).
Ветвь решения u + (4.1.33) можно продолжить, так как решение rладко проходит
через особую точку t == 1<: 2 == 16/25, соответствующую предельной характеристике.
Она пересекает u == О при значении o > ь., и при o(д == О) линии тока становятся
rоризонтальными. При дальнейшем увеличении и, значение t также увеличивается,
стремясь к единице, и кривая u + (t) достиrает особой точки при t == 1, u == 2/3.
Эта особая точка узел, и если интеrральная кривая, соответствующая реше..
нию, входит в нее справа, то ...... + 00 (вниз по течению от оси j == О). Но так как
(t, (1) конечные величины и не равны нулю, то скорость бесконечна. Следователь..
но, при некотором s > Ь. должна появиться ударная, волна, такая, что решение
может перейти на особую интеrралъную кривую, входящую в начало координат
(и == t == О). Поскольку локальное рассмотрение, которое приводит к уравнениям
(4.1.19) и (4.1.20) для отрицательных значений х, остается справедливым и в окрест..
ности положительной части оси х с заменой х на х, ао на аО, решение u(t) может
быть продолжено в область с t > о. Построенное решение описывает течение в
окрестности == 00.
Разрыв в значениях компонент скоростей на ударной волне вызывает со ответ..
ствующий разрыв в значениях (t, и). В результате решение переходит с ветви u + (t)
на ветвь u (t), что позволяет удовлетворить условиям на ударной волне, которые
будут ниже выведены в переменных (t, и).
Следуя методу раздела (3.6), с помощью (4.1.24) можно написать
{ [w 2 ]djj. + [д] dx. = О } )
[w] dж. + [д] dy. = О
152
rЛQВQ 4
или в общем виде
(ш)[ш] + [д] ( ; ) . == о
[w] ( d ) + [д] == О
dy .
Однако разрыв должен иметь место на кривой == s, на которой
Х == .Yl(, ,
( dX ) .....It l Х
d..... == к, .y == к,-= ,
у . у
(4.1.35)
поэтому
(K== ) ,
х 2 х 2 Х3
[w] == -=2[t], (w) == -=2(t), [д] == .....3 [и] ,
у у fJ
так что (4.1.35) при обретает вид
{ (t)[t] + к,[и] == О } .
It[t] + [и] == О
(4.1.36)
Ясно, что не существует нетривиальных решений линейной системы (4.1.36), ec
ли только дискриминант не равен нулю
(t) к,2 == О .
(4.1.37)
Обозначим через ( )а и ( )ь соответственно состояния перед ударной волной и
за ней. Таким образом, имеем
t.. + tb == 2к 2 == 2 ( ) 2 ,
4
иь и 4 == It(tb t 4 ) == (tb t a ) .
5
(4.1.38)
Далее, положение разрывов должно соответствовать концам интеrральных кри
вых (4.1.34)
( . ) 5 1 3 J 1 1. 2
== (1 t 4 ) 2 {1 + (1 t 4 )"2} 2 == 4 (1 tb) 2 {1 (1 tb) } .
. 4
(4.1.39)
Решение, удовлетворяющее этим соотношениям, имеет вид
( 4 ) 2 vз ( 3 ) 2
t 4 == 5 +"2 5 '
23 2 ( 3 ) 3
и 4 == 75 vз 5 '
tb == ( ) 2 ( ) 2
иь == : + ( ) з
(4.1.40)
Поэтому течение'за ударной волной является сверхзвуковым и rладко тормозит
ся ДО звуковой скорости при + 00. Величины (4.1.40) должны также удовлетво
рять (4.1.33), u + (t a ) == и а , U (tb) == иь.
7jюНСЗ8УКовое дальнее поле
153
Эти результаты были получены численно в статье Бариша и rудерлея [4.1.9].
Связь между звуковой линией, предельной характеристикой и положением скачка
дается соотношением
€. €.
€L ,
йо Ь О
(4.1.41)
rде ао == 24/5 з3/5 5 1 == 0,67, ьо == 28/5 11 2/5 (М) 1/5 == 2,03.
Эксперименты в аэродинамической трубе подтвердили, что асимптотическое
уравнение ударной волны Х...., у4/5 [4.1.10].
Представление в плоскости rодоrрафа
Уравнения в плоскости rодоrрафа, выведенные в разд. 3.5 для плоских течений,
имеют вид
{ w ду дх == О }
дд aw
дх ду == О '
дд aw
(4.1.42)
rде х == x(w, t?), j == j(w, t?). Для случая звуковоrо набеrающеrо потока имеем
W==(I'+l)фж
,
д == (1' + 1) Ф1i ,
rде w > О соответствует сверхзвуковому течению, а w < О дозвуковому. Дальнее
поле физической плоскости представляется как особая точка в начале координат
плоскости rодоrрафа. В плоскости (х, j) возмущения затухают вдали от любоrо
тела, так что все линии тока с различными значениями j == const входят в начало
(w == t? == О). Функция j(w, t?) удовлетворяет уравнению Трикоми
wy"" у",,,, == о .
(4.1.43)
Необходимо найти решение уравнения (4.1.43) с особенностью в точке
(w, t?) == О, в которой j мноrозначна и х ---+ 00, но не имеющее особеlПlОСТИ на ха..
рактеристике, выходящей из начала. Последняя является образом предельной ха..
рактеристики в физической плоскости. На рис. 4.1.6 показано поведение линий тока
и характеристик.
Исследование этой особенности в набеrающем потоке впервые было проведено
Франклем и rудерлеем в плоскости rодоrрафа [4.1.2, 4.1.3]. Ими была введена ав..
томодельная переменная == х/у4/5. Их результаты воспроизводятся здесь с испо..
льзованием решений Трикоми в канонической эллиптической форме. Ниже дается
достаточно детальное их изложение, поскольку они понадобятся нам в дальнейшем.
Вводя новую переменную
2 3
т== ( W)2 ,
3
(4.1.44)
154
rлава 4
........
'" ...............
"\ ......,
"
х
...."
11 А
...
/
е / l' +-.
q I t-'
/Ф А .#
/ (/) "f) ,..
/л-Q 'V
/ ...... Q" q
"/F +'"
\
9
е/
1/ / "It
\t / *,'"
/ r"
/ QФ Q.'" (J
/ / +'" "фQ
92
91
/ / ,,-
z = О А //
w
\
,
"
\
,
.............
........
.......
.........
"
,
"
"
\
Рис. 4.1.6.
Особенность в набеrающем потоке.
можно переписать систему уравнений (4.1.42) следующим образом:
1
С; ) 3 у" Х Т = О
( 3; ) t ут Х" = О
Уравнение Трикоми примет тоrда каноническую эллиптическую форму:
(4.1.45)
.. 1 ..
Утт + Зт УТ + У"" = о ·
(4.1.46)
Далее, вводя полярные координаты в плоскости (Т, t?) (рис. 4.1.7), систему
(4.1.45) можно заменить на
1
( З Р ) 3 ( 1 ) 1 ду
cos 3 а
др 2 р да
1
lдх ( з р ) з ( l ) ay
р да = 2 cos J а др .
дх
(4.1.47)
Уравнение Трикоми (4.1.46) в новых переменных записывается в виде
д 2 4 д 1 д 2 " 1 ду
+ J.. + ....J.. . tg a == О .
д р 2 Зр др р2 да 2 З р 2 да
(4.1.48)
Теперь мы имеем особенность при р == о. Частные решения ищутся методом
разделения переменных
у == R(p) А(а),
Трансзвуковое дальнее поле
155
{}
/
/
/
/
/'
./
,/
"
.......
w
т
.......
........
"""
........
'"
,
\
,
Рис. 4.1.7.
Полярные координаты в плоскости rодоrрафа.
так что
R" 4 R' А" tg а А'
p2 + p == + == А 2 == const.
R 3 R А 3 А
(4.1.49)
Уравнение для R(p!) является однородным
в" + ! в' ).2 R == О .
3 р р2
(4.1.50)
Используем решения
R J. {j
== р 6 , . r де
{3 == J 1 +).2.
36
(4.1.51)
Для А (а) имеем
d 2 А ! tg а dA + А 2 А == О .
da 2 3 da
(4.1.52)
Уравнение (4.1.52) можно записать в самосопряженной форме
d ( dA )
C081/3Q + (cos1/ 3 a)A2 А == О.
da da
в результате введения переменной
. 2 д 2 д 2
Z==SlD a== ==
р2 д 2 w3
(4.1.53)
уравнение (4.1.52) приводится к стандартной rиперrеометрической форме
d 2 А ( 1 7 ) dA А 2
z(l z) + ""z + A=O.
dz 2 2 6 dz 4
(4.1.54)
156
rла8а 4
Обозначая через
аЬ а(а + I)Ь(Ь + 1) 2
F(a,bjcjz) = 1 + z+ с(с+ 1)2! z +...,
аналитическое решение стандартноrо rиперrеометрическоrо уравнения из (4.1.54)
получаем
1
с 2' а + Ь + 1
7
, аЬ
6
л 2
.
4
Отсюда имеем
_ / л 2 /3
а, Ь 12 :i: У 144 + 4 12 :r: 2 (например).
(4.1.55)
Таким образом, систему линейно независимых синrулярных решений с (3 > 1/6
можно представить в виде
Yr(P, а) = P 1 P F С 1 2 + , 112 j i; sin 2 а), (4.1.56)
симметричном по а и
"'" ( ) 1. fJ. F ( 7 /3 7 /3 з · 2 )
УIIР,О p 6 Slna 12 + 2 ' 12 2 ; 2;sln а,
(4.1.57)
антисимметричном по а.
Решение (4.1.57) связано со вторым линейно независимым решением rиперrео
метрическоrо уравнения в окрестности z == о. Оно имеет вид: zl"'Cp(a + 1 с,
Ь + 1 с; 2 с; z)1). Нет необходимости рассматривать частное решение (4.1.50)
р "'1/6+ отдельно, так как решения (4.1.48) будут такими же, как (4.1.56) и (4.1.57).
Ясно, что симметричное решение в плоскости rодоrрафа YI не может описывать
течение, поскольку как положительные, так и отрицательные значения j необходи
мы, чтобы достиrнуть бесконечности вдоль звуковой линии.
Из (4.1.53) видно, что z == О соответствует отрицательной части оси х, z == 1
звуковой линии, а z == 00 ......... предельной характеристике f} == 2/3 w 3 / 2 . rиперrео
метрические функции в (4.1.56) и (4.1.57) описываются реrулярными разложениями
в окрестности (z == а == О). Поведение на предельной характеристике находится пу
тем аналитическоrо продолжения этих функций сначала в окрестность звуковой ли
нии (z == 1, а == 7/2), а затем в окрестность предельной характеристики (z == 00).
Только при определенных значениях {3 решение остается реrулярным (j конечно)
при z 00.
Для аналитическоrо продолжения rиперrеометрической функции можно исполь
зовать следующую формулу [4.1.11]:
F( а, Ь; С; z) = А 1 z .. F (а, а + 1 С; а + Ь + 1 С; 1 ) +
+ A2z" C(1 z)C " 6F(c а, 1 а; С+ 1 а Ь; 1 ),
1) Для работы с формулами, содержащими rиперrеометрические функции, можно воспользоваться
моноrрафией [4.1.11] или любым классическим трудом.
'1jJaнсзвуковое дальнее поле
157
rде
Al == r(c)r(c а Ь) ,
r(c a)r(c Ь)
А r(c)r(a+b c) дЛяlargzl<1r.
2 r(a)r(b)
(4.1.58)
с ее помощью аналитически ПРОДОЛЖИМ УН в окрестность Z == 1 действительной
оси
#v ! ( 7 7 3 д2 )
У II == d р 6 fJ F 12 + 2 ' 12 2 ; 2; р2 '
(4.1.59)
{ ( 3 ) ( 1 ) ( 2) ..I... !
#v ! r 2 r 3 {) 12 2 ( 7 1 (3 2 2 )
Yll==fJp 6 fJ r O )r и + ) р2 F 12 + 2 ' 12 + 2 ; з j 1 :2 +
r ( ) r ( i) ( tЭ2 ) н + ( д2 ) j
+ 1 х
r ( ..L+ ) r ( l ) р2 р2
12 2 12 2
( 11 5 (3 4 р2 ) }
Х F 12 2 ' 12 2 ; з; 1 д2 ·
(4.1.60)
Теперь, чтобы достиrнуть предельной характеристики {} == :1:2/3 W 3 / 2 , потребуем
р О ({) фиксированное). Используя формулу
r(c)r(c a Ь)
F (а, Ь; с; 1) == r (с а) r (с Ь) ,
c a Ь>O
,
с =j:. О, 1, . . .
(4.1.61)
и тождество
F( a ь. с. Z ) ( 1 Z ) c a b F ( c а с ь. с. Z )
", , ,,1
(4.1.62)
найдем
F( . Ь · ) "'-J (1 ) C (I Ь r(c)r(a + ь с)
а, , z z r(a)r(b)'
коrда Z 1 и с а Ь < о.
Продемонстрируем наличие особенности при z 1. Используя (4.1.61) и (4.1.62),
пред ставим (4.1.60) при р о в виде
#v .0 1. {3 2 (3 r ( ) r (,8)
!/11 ....... 11 е р ( ) ( ) х
r + r 172 +
{ r( )r( ) r( )r( ) }
х ( 11 I! ) ( .].. I! ) ( ) ( ) + Реrулярные члены. (4.1.63)
r 12 2 r 12 + 2 r 12 2 r 12 + 2
f[a основании равенства
1r
r(z)r(1 z) = .
SlD 1r Z
158
rлава 4
член в скобках в (4.1.63) можно переписать следующим образом:
1 { . ( 1 (3 ) . ( 5 (3 ) }
Sln 7r + + Sln 7r + .
sin i 12 2 12 2
Следовательно, в решении на предельной характеристике (р---+ О, " фиксиро
ванное) особенность будет ОТСУТСТ80вать, если
+ (37r == ( 57r + (37r ) + 2k7r k == О, 1, 2...
12 2 12 2 '
или
I == + 2k I
(4.1.64)
при k == 1, 2 . .. .
Для TaKoro множества {3 rлавный синrулярный член в (4.1.63) исчезает. OCTaв
шиеся члены, которые подробно исследуются ниже, определяют значение конечной
величины УН на предельной характеристике. Однако не все значения {3 допустимы
при описании дальнеrо поля с помощью ун.
Если УН представляет собой rлавный член в дальнем поле, то необходимо, что
бы УН > о для всех" > о. Покажем, что только (3 == 1/2 rарантирует выполнение
этоrо условия 1). Из (4.1.57) имеем.YII == р 1/6 {3 А (z), rде А (z) удовлетворяет ypaв
нению (4.1.54), или, Ч'ТО эквивалентно, уравнению
( JZ(1 z)t dA ) + >'2 1 l A==O
dz dz 4 yZ(1 z)з
с л 2 == {32 1/36. Функции А, dA/dz непрерывны на (О, 1], Az o vz. Пусть
At, А 2 решения (4.1.65) с л == Лl, Л2 соответственно, и пусть Л2 > Лl. Тоrда если
а*, {3* являются следующими один за друrим нулями решения Аl, то решение А2
имеет нуль на (а*, (3*). Чтобы доказать это, предположим противное: Аl, А 2 > О
на (а*, (3*). Тоrда имеет место равенство
(4.1.65)
1 fJ * ( { d dA 1 л 1 }
А 2 JZ(1 -----: z) 3 + 1 Аl
0* dz dz 4 yZ(1 z)з
{ d dA2 л 1 })
Аl JZ(l z)3 + 1 А2 dz == О.
dz dz 4 yZ(l z)3
Интеrрируя по частям и используя с,?отношения А 1 (а*) == А 1 ({3*) == О, получаем
. *
JZ(l z)tA 2 dA 1 /3 == л л 1 /3 AIA2 1 dz.
dz 0* 4 Q. yZ(1 z)з
Так как At(a*) == А 1 ({3*) == О, A 1 (z) > О на (а*, (3*), то dA 1 /dz(a*) О,
dA 1 / dz({3*) о. Следовательно, левая часть равенства неотрицательна, правая же
часть cTporo больше нуля, так что имеется противоречие. Результат остается спра
1) Значение п раметра {j, равное 1/2, не удовлетворяет условию {j > 1/6 [СМ. (4.1.56) и (4.1.57)].
Имеется в виду значение {j == 3/2 [СМ. (4.1.66)]. Прuм. перев.
Трансзвуковое дальнее поле
159
ведливым, даже если а* == О, несмотря на то что dA/dz не определена. В этом слу..
чае необходимо перейти к пределу в левой части последнеrо равенства при а * о.
Так как Al,2 z =O VZ, а А 1,2 z :: 0 1/(2VZ), находим
..
О = Ч >. (Р А 1 А2 1 dz .
4 J o (1 z)з
Рассмотрим теперь Ak, являющийся решением (4.1.65) при {3 == 1/2 + 2k.
Вдоль звуковой линии Z == 1 из (4.1.60) при (3 == 1/2 + 2k имеем
r( )r( )
Ak =
r ( ) r o + )
но
r ( :21 ) = r ( k) > О, если k = 1, З, 5, . . .
< 01 если k = 2,4,6, . .. .
Таким образом, А2т (т == 1, 2, 3, ...) становится отрицательной величиной внут..
ри [О, 1] и, следовательно, УН не может быть rлавным членом дальнеrо поля ни
при каких четных значениях k. Так как А 2т (0) == О, А2т({3*) == О для HeKoToporo
{3* < 1, то А2т + 1 (а*) == О для HeKoToporo а*(О < а* < (3* < 1). Следовательно, при
т 1 решения А2т + 1 (z) не допускаются. Остается только одна возможность
YII == p t fJ Al
с (3 == 1/2 1). В этом случае, как можно видеть из замкнутой формы решения
(4.1.71), функция УН всеrда положительна на интервале (О, 1).
Следовательно, соответствующее синrулярное решение можно получить только
в случае k == 1
I р i 1 ,
"'" a . · ! F ( 4 1 3 · 2 )
YII = V 3 Sln 3 Q . . Sln Q
s з' 6' 2' ·
(4.1.66)
(4.1.67)
Так как а == const является кривой в плоскости rодоrрафа и так как вдоль нее
.УПS ...., {} 5/3, то из (4.1.47) имеем ХПS ...., {}1/3, .УПS ...., {} 4/3.
Таким образом, автомодельная переменная в плоскости rодоrрафа отображается
в автомодельную переменную
х
==
уа
в физической плоскости, что использовал ось ранее в этом разделе.
Как было показано Жерменом [4.1.8], синrулярные решения можно представить
в простой замкнутой форме, используя преобразования rиперrеометрических функ..
1) СМ. прим. перев. на с. 158.
160
rлава 4
ций. Это можно сделать, если записать (4.1.67) в виде
"" l. F ( 4 1 3 · 2 )
Уl1 s == Р 3 Sln а 3' 6; 2; Sln а
(4.1.68)
и использовать квадратичное преобразование rypca [4.1.11]
r( !)r(a+b !).! ( З ) ( 1 1 Z )
2 (2 1 ) ( 1) Z 2 F а, Ь; 2 ; z == F 2а 1, 2Ь 1; а + Ь ;
ra rb 2 2
2 2
( 1 1+Z! )
F 2а 1 2Ь 1. а + Ь .
, , 2' 2 ·
(4.1.69)
Следовательно,
"" 4 r(i)r( )
!/11s == Р · r ( !) r ( )
{ ( 5 4 2 l Sina ) ( 5 42 1+sinO: )}
F з' з; з; 2 F з' з; з; 2 · (4.1.70)
Разность между параметрами с и а в (4.1.70) равна целому числу, поэтому реше
ние можно привести к замкнутой форме, используя тождество (4.1.62),
I
F ( . . .1 sin а ) == ( 1 sin а ) 3 ( . . 1 sin а ) =
з' з' з' 2 1 2 F 1, 2, з' 2
J
(l+;У ( 1 ) 4 I
2t l З 2 Р == (2р) 3(17+р)3(З17 р).
Таким образом,
r(!)r( !) { I l }
Ylls == (1) (2) Р З (р+17)J(З17 р)+(р 17)3(З17+р) ·
2 4 r r ...
j 2 3
Так как нормировочный множитель произволен, то основное синrулярное реше
ние можно представить в виде
Уа == р З {(р + 17) (З17 р) + (р 17)t(З17 + р)} ,
rде
(4.1.71)
4
р2 == {)2 wз .
3
При необходимости ero можно умножить на интенсивность «источника» Q. Te
перь леrко убедиться, что Ys принимает конечное значение на предельной характери
стике при р --+ О И фиксированном ". Сначала получим разложение
1. 1. ( Р ) ! 1 { 1 Р ! ( ! ) (р) 2 ! ( ) ( ! ) (р) З }
(р + д) 3 == 17з 1 + д == 173 1 + 3 д + з 2 з д + з Зз! З д + · · · ·
Трансзвуковое дальнее поле
Затем из (4.1.71) при р...... о найдем
.... 1. З { ( 2 р 10 рЗ ) ( 1 р2 ) } 16 5
У. == д 3 Р 3д 3 д + 81 д З 2р 1 9 д 2 + · · · 27 д 3.
Далее, используя (4.1.47), определим величину Х!
У. (р, о) == р ч (1 + sin о) t (3 sin о 1) + (1 sin о) t (3 sin о + 1) } ,
З l (1 + sin o) i (3 sin о 1) + 3(1 + sin о)
ду.
до. == Р з cos о.
(1 sin o) i(з sin о 1) + 3(1 sin о)
== p сов о{ (2 + 3 sin 0)(1 sin o) + (2 3 sin 0)(1 sin o) f } ,
1.
дх. ( 3 ) 3 4 !
др =: 2 з р 3 COS :, О. Х
Х {(2 + 3 sin 0)(1 + sin o) + (2 3sin 0)(1 sin o) } ,
x.== ( )t р }соз10Х
х {(2 + 3 sin 0)( 1 + sin о) + (2 3 sin 0)( 1 sin о) ; } .
в переменных р 2 == tJ2 4w 3 /9 и tJ окончательно находим
2 { l l
х. == зw2р 3 (2р + 3д)(р + д) з + (2р 3д)(р д) з } .
16]
(4.1.72)
(4.1.73)
(4.1.74)
(4.1.75)
(4.1.76)
Например, вдоль tJ == О, У == О, коrда w...... О, имеем Х! == ( 8/3 w 2 )(9/4)3/4 ...... 00.
Затухание возмущений перед телом происходит довольно медленно: w,..., 1/ ...J х ·
Разложение X s , так же как и разложение Ys, показывает, что на предельной xapaкTe
ристике
s
5 · 2 J j
Х! ...... 8 tJ ·
з J
(4.1.77)
Вводя масштабный множитель А! в (4.1.71) и (4.1.76), для предельной xapaKTe
ристики получаем
s 12
t. Х! А } 5 · 2 J 3'
s и .
Y з J 2'
Для нормализованноrо решения имеем
23 4
== 1, А! == 5 S2 зJ.
11 1084
(4.1.78)
162
rлава 4
Параметрическое представление
Компоненты скорости можно найти в параметрической форме друrим способом,
с помощью решений в плоскости rодоrрафа и некоторых замечательных свойств,
не учтенных Франклем [4.1.2] 1). Далее, располаrая соответствующими выражения
ми для компонент скорости, можно леrко найти параметрическое представление по
тенциала, выраженноrо через f( ). Подобные представления имеются в
осесимметричном случае и используются в дальнейших исследованиях.
Метод опирается на тот факт, что решения, описывающие течение в OKpeCTHOC
ти центра сопла (разд. 3.7) и дальнее поле, принадлежат семейству rиперrеометри
ческих функций, которые выражаются в алrе6раической форме и связаны между
собой дифференцированием. Производя замену х == ("У + 1) 1/2 х ., У == ("У + 1) 1/2 у , KOM
поненты скорости (3.7.23), (3.7.24) в окрестности центра сопла можно представить
в виде
ш(х, у) = х + y2 ,
д(х, У) = ху + y3 .
(4.1.79)
(4.1.80)
Вследствие однородности системы уравнений (4.1.42) в плоскости rодоrрафа
найденные выражения являются также решениями. Исключая х из (4.1.80), получа
ем ранее упоминавшееся кубическое уравнение
уЗ 3WY + 3д == О для у == YN(W,d) ,
(4.1.81)
которое мы сейчас рассматриваем в связи с использованием в плоскости rодоrрафа
решения У == YN(W, tJ), описывающеrо течение в окрестности центра сопла. В этом
случае У очевидно антисимметрично по tJ. Из (4.1.79), (4.1.80) или из (4.1.81) видно,
что оно является автомодельным решением Toro же типа, что и .9I, .9II В (4.1.56),
(4.1.57). Фактически YN == tJ 1 / З fп(w/tJ 2 / З ).
Из условия антисимметричности следует, что YN представляется функцией .9II с
(3 == 1/2
"'" 1. F( l 5 3 . 2 )
У N == Р 3 Sln Q з' 6; 2; Sln Q ·
(4.1.82)
Поскольку y(w, tJ) действительный корень (4.1.81) при W < О, F выражается
в замкнутой алrебраической форме. Так как y(w, tJ) решение уравнения Трикоми
(4.1.43), то aylav также решение. Следовательно, решениями являются:
YN = дi 'N ( ;; ) антисимметричное по ".
aYN = д 'N ( W ) симметричное по д,
дд д1
д 2 ун 1 ( W )
дд 2 == д 3 fn д1
антисимметричное по д.
1) Параметрическое представление течения впервые было получено Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем
(Механика сплошных сред. rостехиздат: М. Л., ]954) на основе результатов Франкля при исследова
нии асимптотическоrо поведения ударной волны в течении. ПРUМ. перев.
Трансзвуковое дальнее поле
163
Последнее решение ведет себя как tJ 5/3 вдоль кривых Z == const, точно так же
как и решение дальнеrо поля УПs (4.1.67). Поэтому оно должно быть пропорцио..
нальным ему. Это означает (как мы уже видели), что УПs можно выразить в за..
мкнутой алrебраической форме. Теперь на основе кубическоrо уравнения (4.1.81)
найдем параметрическое представление синrулярноrо решения Ys И с ero помощью
определим == х/у415, wy 215 , tJ y 3/5. Обозначив через Bs числовой множитель,
положим
__ д 2 ун
У. == В. дд2 ·
(4.1.83)
Заметим, что
--2 aYN aYN
ЗУн ад Зw ад + з == о )
или
дун
дд
1
y w '
2 --- дун
a 2 YN УН ад
дд 2 (y w)2
2ун
(y w)3 ,
(4.1.84)
--
--- 2В YN
Ув == в ( ---2 ) 3 ·
YN W
(4.1.85)
Также необходимо найти XN и a 2 XN/atJ 2 , являющиеся решениями. Из (4.1.79) сле..
дует, что
ХN(w,д) == w У1(w,д).
Тоrда
дх!\, __ дун
дд == YN дд '
д 2 хн ___ д 2 ун ( aYN ) 2 2y'jy
дд 2 YN дд 2 ад (Yh w) 3
Таким образом,
1 y'J.., + w
(y'jy w)2 (!i'h w)3 ·
у2 +w
Х. == В. C 2N )3 '
.YN W
(4.1.86)
Параметр s, постоянный на кривых z == const, вводится следующим образом:
--2
S == УН
y'J.., w
(4.1.87)
или
---2 ( s 1 )
w == YN
S
и
---2 --2 (1 S 1 ) Y
УН w YN ,
s s
--2 --2 ( 28 1 )
YN + W == YN S ·
11*
164
rла8а 4
Для
= X s / Ys 4/S имеем
В *"'2 ( "'2 ) R
........!... УН + w УН w 5
2t (y:V w)3 ... !
YN
1.
B ( 28 1 ) {
B
2J s
Окончательно
Х. 1.1. 2
"""""i" = € = 2 (2B.)5 (28 1)8 i ·
"'5
У.
(4.1.88)
Значения s = О и 1/2 соответствуют = 00 и = о. Компоненты скорости по..
лучаются следующими:
или
2
W --- f =:: ---2 ( 8 1 ) В i 2 y 2 а. В f ( 8 1 ) 6
Ув У N s ( ""2 ) ! == 5 8 8 8'5'
S YN w 5
8t= (2B.)t(8 1)81 . I
(4.1.89)
Таким образом, величина s = 1 соответствует звуковой линии = *.
I1редельная характеристика находится из условия
( dX ) = JW = kELi/ l = y 1 EL при
dy L 5
4
k == J
5
или
w.w j 16 2
Ys 25 €L .
Используя (4.1.88), (4.1.89), получаем
! 16 1 2
(8 1) s 5 -== 25 х 4 (28 1) s 5 ·
(4.1.90)
Отсюда s является корнем уравнения
Следовательно,
82 8 == (8 ) (1 + ) == о .
I 8L 1 .
Величина зависит от Bs. Для нормализованноrо решения с = 1
2В. == 29ЗЗ5 5 .
Величина fJy /s определяется из (4.1.81)
д"' == ( Y1 + З WУN ) ( ( 2B.)! fit ) == ...1 ( y 3y / : 1 ) ( (2Bs)i 81 )
У. 3 ( .w 2 ) 2 У N 3 и'
YN w 5 Ун
Трансзвуковое дальнее поле
165
3
O'" (2B.)s (3 2 )
VYtJ + s 8 5 .
3
(4.1.91)
Так как компоненты скорости известны, то функцию f( ), которая определяет по..
тенциал и удовлетворяет (4.1.14) и (4.1.16), также нетрудно найти. Поскольку
"" == 4/5, из (4.1.14) следует
2 f O'" 4 f ' O'" 4 ... ; f 5 O"'! I 2 ...
5 иУ. + 5 иУ. + 5 wy. , == 2иу. I wy. ·
Используя (4.1.88), (4.1.89), (4.1.91), находим
3
5 (2В ):5 1. 1 1 1
f == 2 3. (3 28) S 5 + (2 В.) 5 (2 8 1) 8 5 (2 В. ) 5 (8 1) s 5
== (2B.) 8 ! { ( 8) 8 + (28 1)(8 1)} ,
(4.1.92)
1 { 82 8 } !
f == (2В.) 5 "3 2 + 1 8 5 ·
(4.1.93)
Параметрическое представление (4.1.93) можно использовать только до хвосто..
вой ударной волны. Как и прежде, применяя условия на ударной волне и используя
неравенство, справедливое вниз по потоку от ударной волны
"'2
S == YN > О
w Yh .)
получаем скачок параметра s на ударной волне. Приведем окончательный результат
[4.1.2]
sь == (5У3 8) == 0,11
вниз по потоку,
(4.1.94)
1 .
$о == (5У3 + 8) == 2,78
вверх по потоку,
а также параметрическое представление решения вниз по потоку от ударной волны
1 1 ( о ) 1. ( ) ) J
. == ху. 5 == 2 (2 с.) 5 2 s + 1 8 5, wy: == 20. 5 (2 s + 1 s '5 ,
3! J 1
ду; == (20.)5 (3 + 28)85, f == (20.) 5 (282 + 38 + 6)э 5
(4.1.95)
и
с. == 9v'з + 1 == 1,14 .
В. 9v'з 1
Значения параметра s в зависимости от приведены ниже в таблице.
I О I €. L .
oo ! +00
8 I О ! ! I 1 sa.lsb о
2 ! з
166
rла8а 4
Эта таблица содержит полную информацию о решении, описывающем дальнее по
ле в плоском случае при Моо == 1.
Члены более высокоrо порядка
Порядки следующих членов в выражении для Ф ищутся в предположении, что при
у 00 и фиксированном справедливо разложение
2
(, + l)фо == ys f(€) + yaOc%(€) + yD1Cl/l(€) +... , (4.1.96)
rде Ul < ио < 2/5. Найдем эти члены, поскольку они понадобятся нам в разд. 5.6
и 6.3.
Подстановка в (4.1.1) показывает, что если СУ == Uo,l, g == /0,1 , то для
Ul > 2ио 2/5 функция g удовлетворяет уравнению
( , 16 2 ) " ( " 4 ( 9 ) ) , ( )
f 25 € g + f + 5 20 5 € 9 о: о 1 9 == о ,
(4.1.97)
которое имеет реrулярную особую точку , соответствующую предельной xapaKTe
ристике if' ( ) == 16и/25), и особую точку == 00, соответствующую всей отрица
тельной части оси х. В результате получается линейная задача о собственных
значениях. Необходимо найти такие значения СУ, при которых решения g существу
ют, и соответствующие им функции уа g являются rладкими как в окрестности OT
рицательной части оси x( == 00), так и в окрестности предельной характеристики
( L == 1). Уравнение (4.1.97) сводится к уравнению rиперrеометрическоrо типа с по
мощью нескольких замен переменных, использующих только параметрическое пред
ставление (4.1.98), (4.1.93).
После еще одной замены
9 == s 2 l( в) ,
з
t == B ,
4
h ( t) == l( s )
(4.1.98)
функция h будет удовлетворять уравнению
(1 t)th" + ( i(5Q + 4)t) h' + :2 а(5а 2)h = О
(4.1.99)
для О t 1. Оно является rиперrеометрическим уравнением с параметрами
5
а == o: ,
2
1
Ь == 6 (2 50) ,
1
С==2.
Два линейно независимых решения (4.1.99) имеют вид
s ( 5 2 50 1 ) А 1. ( 50: 1 5 3 ) '
h ( t ) == F o · . t h ( t ) == t 2 F ( 1 О ) . . t
2' 6 '2' , 2'6 '2"
(4.1.100)
rде
r(a+n)r(b+n) R
F(a, Ь, с, t) == r(a) r(b) r(c + п) r(c)t ·
ТраНСЗ8уковое дальнее поле
167
Если а или Ь целые отрицательные числа, то ряд обрывается на конечном
числе членов и Р(а, Ь, с; 1) полином от 1, и, следовательно, является rладкой
функцией на всем интервале изменения 1 от О до 1. В самом деле, Р(а, Ь, с; 1)
является rладкой функцией в точке 1 == 1 тоrда и только тоrда, коrда а или Ь прини..
мают отрицательные целые значения. Это можно показать аналитически. Если
с ..... а ..... Ь не является целым, то
r(c) r(c а Ь)
Р(а, Ь; С; t) == r(c а) r(c Ь) Р(а, Ь; 1 + а + Ь С; 1 t) +
c a Ь r(c) r(a + Ь..... с)
+ (1 t) r(a) r(b) Р(с а, с Ь; 1 а Ь + С; 1 t) .
Если же с ..... а ..... Ь целое, то
F(a, Ь; а + Ь + n; t) ==
r(n) r(a + Ь + п) (a)k(b)k ( ) k
l.....t +
r(a + n) r(b + n) k=O k! (1 n)k
n r(a+b+n) (a+n)k(b+n)k { } n+k
+ (1) r(a) r(b) t='o k! (k + п)! h.. brak log(l t) (1 t) ,
п 1
rде habпk число, нуль, коrда п ..... 1 ..... 1. Таким образом, h S (1) (соответс..
k=O
твенно h A (1» является реrулярной в окрестности 1 == 1 функцией тоrда и только
тоrда, коrда
2 + 6n ( 2n ..... 1
а == 5 соответственно а == 5 '
n == О, 1, 2, . .. .
Значения а из (4.1.101) обеспечивают реrулярность соответствующих им реше..
ний на предельной характеристике. Теперь необходимо выбрать из них такие, при
которых функция уа g будет rладкой в точках отрицательной части оси х.
Коrда ----+ ..... 00 (х < О, У #<ow О)
3 3 J 5 3 I 5 5 S
t == s "" al2 2 "2 "" a 2 2 X 2" у2 Ьx 2 у2 .
444
Поэтому при х < О, j ----+ О имеем
2
a== n,
5
6
а== 1+ sn).
(4.1.101)
yQg(s) == уО B f h(t) "" X bh(t) .
Так как функция h S (1) полином от 1, она является rладкой по переменной у2
при j ----+ о. С друrой стороны, поскольку функция h A (1) полином от 11/2, то она
является rладкой по переменной j при j О (х < О). Отсюда получаем, что если
условия (4.1.101) выполняются, то решения yah S (I) и j Q h A (I) будут rладкими как
в окрестности отрицательной части оси х(х < О, j == О), так и в окрестности пре..
дельной характеристики.
Поэтому, используя (4.1.101) в (4.1.96), получаем
1 VЗl
0'0=0, O'l== , /0==1, hl=t /1== S5.
5 2
168
rлава 4
Возвращаясь теперь к rрупповому свойству (4.1.16) ФУНКЦИИ /, видим, что даль..
нее поле общеrо вида описывается разложением
... I(a€) ... ! Il(a€)
( ,+1)ф==у(; +СО+СIУ (; +...,
аЗ аЗ
(4.1.102а)
rде
1 1 2
a€ == 2а: S i (28 1) ,
1 I
1 == a: 8 i (282 З8 + 6) ,
6
VЗl
11 == 85
2
(4.1.102б)
и
аl == 29 · з З . 5 5 .
В плоскости rодоrрафа нетрудно найти решение в следующих приближениях.
Так как основное уравнение (4.1.43), уравнение Трикоми, линейное, то поправочные
члены удовлетворяют тому же уравнению, что и rлавный член. Следовательно, при
д ----+ О и фиксированном {}/ р им'еем
у == у. (р, о) + УС (р, о) + · .. ,
rде Ys определяется решением (4.1.68), а ус одним из решений (4.1.56) или
(4.1.57). Аналитическое продолжение решения УН показывает, что на предельной ха..
рактеристике особенность отсутствует, если
1 1 2k
(3 == 2 + 2k или (3 == 6 з' k == 1, 2, ... · (4.1.103а)
Отметим, что второй случай не учитывался в (4.1.64), так как рассматривались
только синrулярные решения. Аналоrичный анализ для .YI показывает, что особен..
ности на предельной характеристике также отсутствуют, если
з 1 2k
(3 == 2 + 2k или (3 == 2 з' k == 1, 2, · .. .
(4.1.103б)
Таким образом, следующее после Ys синrулярное решение имеет {3 == 1/2. В ре..
зультате при {} ----+ О И фиксированном {}/ р получаем
... 'l'l' 2. F ( 4 1 3 · 2 ) . ь 2 ( 1 1 1 2 )
У ==.Л Р 3 Sln Q з' 6; 2; Sln о: + 1 Р J F з' 6; 2; sin о: +. ... (4.1.104)
Постоянные а, Cl в разложении дальнеrо поля (4.1.102) MorYT быть найдены с
помощью различных законов сохранения. Задача состоит в том, чтобы связать кар..
тину поведения потока в дальнем поле с фактической формой профиля. В дальней..
шем будут использоваться некоторые представления в плоскости rодоrрафа.
Поэтому введем обычные координаты rодоrрафа w == ФОх, {} == Фо у , так что в даль..
нем поле w У'" 2/5/, (a )/ а 2 и {} У'" 3/5 ( (2/5}f(a ) (4/5)аУ' (a )) / а 3 .
Теперь необходимо найти пары функций ( x, У) от w, {}, диверrенция от кото..
рых равнял ась бы нулю, т. е.
д д
дx ( X) + ду (У) == О.
(4.1.105)
Трансзвуковое дальнее поле
169
Если эти функции найдены, тоrда, конечно,
0= !(Xdfj+YdX)
(4.1.106)
BOKpyr любоrо замкнутоrо контура, который не охватывает тело или след.
Можно показать [4.1.8], что любые две функции X(w, "), Y(w, "), которые
удовлетворяют системе уравнений Трикоми
{ ( X)w +wY" О } ,
(4.1.107)
( X)" + Y w О
порождают закон сохранения в форме (4.1.105). Фактически Жермен [4.1.8] получил
целое семейство законов сохранения, для которых величина У имеет основную
форму
У 1. { 1. +JJ. F ( 1 {3 7 (3 3 · 2 ) }
== Р 8 Р 6 Sln Q + . . Sln Q
12 12' 12 2' 2' ,
(4.1.108)
соответствующим образом связанную с х. Здесь F rиперrеометрическая функция.
Чтобы определить а, рассмотрим (4.1.108) с {3 == 3/2. В частности, пара функций
I I
У == (р + 11) j (311 р) + (р 11) j (311 + р) ,
2 2 2
Х = зw2{(р+ д) з(3д+ 2р) + (p д) j(2р 3д)}
связана с синrулярным решением в плоскости rодоrрафа для двумерноrо звуковоrо
потока (4.1.71). Тоrда ясно, что ( x, У) удовлетворяет системе уравнений Трикоми
(4.1.107) и, кроме Toro, на предельной характеристике" == (2/з)w 3 / 2 имеем р == о.
Следовательно, Х == у == о.
Контур интеrрирования в (4.1.106) С == /в + /L + /1 + /2 + /3 выбран так, как по
казано на рис. 4.1.8. Здесь через /L обозначен интеrрал вдоль предельной xapaKTe
ристики, через /в интеrрал вдоль поверхности тела, через /1, /2 интеrралы
вдоль rоризонтальных сторон контура и, наконец, через /3 интеrрал вдоль ero
вертикальной стороны. Следовательно, из (4.1.106) имеем
0= !(Xdfj+YdX) = !(Xdfj+YdX) + ! Ydx+! Xdfj,
l в 1 1 u1 z 18
(4.1.109)
11
13
18
12
Рис. 4.1.8.
Контрольная поверхность.
170
rлава 4
так как Х == у == о вдоль IL. Нетрудно проверить, что Х:= O(j 1) при У 00.
Поэтому, если Iз устремить в 00, то r. Xdy о. Отсюда из (4.1.109) находим
J 1,
f ""У(Х,1I1)dх+ / ЖLУ(Х, 1I1)dх== / (Xdji+Ydx), (4.1.110)
ж+ oo
L Тмо
rде XL+, XL координаты верхней и нижней предельных характеристик с у := Уl,
Уl соответственно. Теперь при IYtl 00, XL+ XL получаем, что дальнее поле яв
ляется симметричным в первом приближении. Кроме Toro, это означает, что
У(х, Yt):= Y(x, Yl). В результате (4.1.110) принимает вид
2 1Ж У(х, 111) dx == / (Х dy + У dx) .
Тело
(4.1.111)
Можно точно подсчитать выражение в левой части равенства (4.1.111). Факти
чески величина а (или л' аналоrия а в плоскости rодоrрафа) была вычислена Жер
меном. Воспроизведем с небольшими изменениями метод расчета, чтобы ero
простую технику можно было использовать для вычисления интеrралов, которые
встретятся при определении Ct.
Перейдя к переменноЙ s (4.1.102б), левую часть уравнения (4.1.111) можно пере
писать в виде
ж 4 1
L 2.3 заt з
2 1"" У(х, 111) dx == 5a 5 (z.) о т(в) ds ,
rде
т(в) == зs: 1 ({( зs + 4) + si( 2B + з)}t { ( Зs + 4)! + Зs (2s + з)}+
+{( Зs+4)t st( 2s+з)}i{( Зs+4)t( 2S+З)}). (4.1.112)
Интеrрал упрощается с помощью еще одной подстановки
s == COS 2 (J .
3
(4.1.113)
Тоrда
1 .t .!r 7
3 II 1. 2. 2 3 511'
т ( s ) ds == 2 3 З 2 r sш 4 tJ (1 + 4 cos 2 О) dtJ == 1 ,
О 10 32
так что
37 7
/ 233611' / Ж L
Ydx== 55a 5 (z.) == 2 "" Y(x,1I1)dx.
11 LJI2
(4.1.114)
Подставляя (4.1.114) в (4.1.111), выводим выражение для а
55 / 1 J
а 5 == 11 7. { (р + д) 3 (3д р) + (р д) 3 (3 д + р) } dx ,
233611',
Тело
(4.1 .115)
Трансзвуковое дальнее поле
171
в котором интеrрал вдоль носовой части контура тела берется от нижней предель..
ной характеристики до верхней. Заметим, что величина {J на теле известна, так как
известна ero форма, однако w (а следовательно, ир), так же как и положения пре..
дельных характеристик на теле, заранее неизвестны. Постоянная а не может быть
определена до тех пор, пока не будет вычислено поле течения. В этом отношении
ситуацпя подобна той, которая возникает при вычислении r вокрут дозвуковоrо
профиля.
Ситуация для Cl аналоrична. В этом случае мы используем закон сохранения
в форме (4.1.108) с {3 == 1/6. Следовательно,
I I
У == (р + д) j + (р д) 3 ,
Х == 3 t 2 t { (р д) j (р + д) } .
(4.1.116)
Контур интеrрирования С снова выбирается таким же, как на рис. (4.1.8). Как
и ранее, r == о, если /з ---+ 00, а r == о. Отсюда
Jh Jh
J Ydx+Xdii== J Ydx==2 iЖ у(х,у.)dХ.
Тело l1 U1 2
(4.1.117)
Переходя к переменной s в правой части (4.1.117), получаем
I 4
J Yd == 36Cl(Z.) 1 3 ( )
х 1. 9 s d8,
а 2 5а 6 О
11 U/2 1
(4.1.118)
rде
( 1 ({ 1. ( 1. }{ .1 1. }
9 8) == 82 8 3)( 38+4) 2 (38 1) ( 38+4)2 +82( 28+3) 3+
+ {8 (8 3)( 38 + 4) + (38 1) }{( 38 + 4)f 8f (28 + 3)} i) .
Используя подстановку (4.1.113), окончательно имеем
"
I
dIJ == 2 571"
32
Наконец, подставляя этот результат в (4.1.117) и (4.1.118), получаем
1 1 0 3 5 ( 8 )
9 ( 8 ) d8 == 1 . sin 8 cos 8
о f 2 з SlП 8 cos 8 3
(4.1.119)
22 1. 2
2li 3 1& а J I 1
Cl == { (р + д) 3 + (р д)"3} dx ,
511"
Тело
(4.1.120)
rде а определяется формулой (4.1.115), а интеrрал берется вдоль Toro же контура,
что и в (4.1 .115).
Отметим, что этот анализ применим только к той части течения, которая рас..
положена до ударной волны. Он был проведен для области перед предельной харак"
172
rла8а 4
теристикой, но может быть распространен на область, расположенную за ударной
волной. На данном этапе трудно понять, каким образом учитывается подъемная
сила, даже в задаче о Фо, так как дальнее поле, представляемое Фо, не создает подъ..
емной силы.
Продолжим наше исследование, чтобы определить поведение течения за ударной
волной. Перед ударной волной при j ---+ 00 имеем разложение (4.1.102а,б)
Ф yf f(a ) + + y ! 'l(a ) + o( "' f )
З со Сl . зУ,
а а
(4.1.121)
в котором == x/y4/S. Оно справедливо вплоть до ударной волны. За ударной вол..
ной разложение будем искать в виде
Ф ... "'! '(a ) + "'nl il(a ) + "'n2 i2(a ) +
Yg у у....
аЗ аЗ аЗ
(4.1.122)
Поскольку потенциалы фиФ удовлетворяют одному и тому же уравнению
(4.1.1), функция.h удовлетворяет уравнениям, аналоrичным тем, которым удовлет..
воряет функция /1, а именно (4.1.97). для.h и.h имеем
(/ ' 16 2 2 ) "'" ( " 4 ( 9 ) ) "', '"
25 a 11+ / +5 2nl 5 a 11 nl(nl I)/l==O,
(/ ' 16 2 2 ) 1 "'" ( " 4 ( 9 ) ) "', '"
25 а 2 + / 5 n2 5 a 12 n2(n2 1)/2 ==
2
О,если n2 > 2nl 5 '
ЛЛ', если n2 == 2nl .
(4.1.123а)
(4.1.123б)
Решения этих уравнений не совпадают с прежними решениями (4.1.102), так как
друrими являются rраничные условия. Предельная характеристика (особая точка
/' (a ) == (16/25)а 2 d) не входит в область определения решений А. Вместо этоrо тре..
6уется, чтобы J; удовлетворяли соответствующим условиям на ударной волне и ra..
рантировали rладкость функций фх И Фу при переходе через положительную часть
оси х ( == + 00).
Условия на ударной волне даются формулами (3.1.25), (3.1.26)
[Ф ][Фж]. + [Фii] == О ,
(4.1.124)
[Ф). = о .
(4.1.125)
Положение ударной волны в нулевом приближении может быть разложено в
дальнем поле. В нулевом приближении ударная волна в переменных подобия задает..
ся кривой == o (4.1.41), так что истинное положение ударной волны s для j > о
будет описываться разложением
== a s == : + tyml + iym2 + ... ,
(4.1.126)
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
173
в котором т2 < тl < о. Таким образом, вдоль ударной ВОJПIы получаем
ажs == tyt + tyt+ml + iyt+m2 +... ,
(4.1.127)
или
d + { 4c+.... }. ( 4 ) c+.... .l+ml } d #V
а xs== s oY 5+ s+ml lY 6 +... ys.
(4.1.128)
Для любой функции f( ) имеем
1 "
Ils == 11.0 + :yml /'1.0 + iym2 1'1.0 + iy2ml 2 + ... ,
.0
(4.1.129)
rде
80 : a == t ·
(4.1.130)
Следовательно, подставляя разложения далънеrо поля (4.1.121), (4.1.122) в усло
вия на ударной волне (4.1.124), (4.1.125) и используя (4.1.129), получаем уравнения,
первое из которых эквивалентно (4.1.125),
у i [/] у"l il + ут 1 + i [/'] + : ут 2 + i [/'] +
2 2 /"
+ + у2т 1 + а [2] у"2 i2 уml+"l tЛ + ... == о,
(4.1.131)
а второе (4.1.124)
y ! ( ) {[I'2] + 2 i ут 1 [/' 1"] + 2у"1 -t la } х
{ ..1.#v 2 + }
Х [/'] + ynl 5 / + yn2 1" / + yml l [/"] +
+ y {[ 1] t [I']} 2 2 у т 1 { [I] t [/']} { [1'] t[/"]} +
+ у"l ;- 2 { ( nlil + t i ) ( [I] t [/']) } +... == о . (4.1.132)
Разрывы функций и сами функции в этих уравнениях оцениваются по положе
нию ударной волны в нулевом приближении + == +. Члены первоrо порядка Ma
лости дают
[1].0 == о
(4.1.133)
и
[/,2].0 [/'].0 + { [1].0 o [/'].0 } 2 == О .
Используя (4.1.133), последнее выражение можно переписать следующим образом:
и'}.о == ( t ) 2
(4.1.134)
174
rЛQ8Q 4
Из уравнения (4.1.97) для функции f и из (4.1.133) находим также
(1").0 == €: ·
(4.1.135)
Прежде чем перейти к исследованию следующих членов, необходимо определить
соотношения между порядками тl, пl, о. Заметим, что, если пl, тl + 2/5 > О и
если:
1) тl + (2/5) > пl, тоrда, поскольку [(']so о, из (4.1.131) следует El == О и
AISo == о. Далее из (4.1.132) получаем '{ Iso == о. Так KaK.h удовлетворяет OДHOpOД
ному дифференциальному уравнению BToporo порядка (4.1.123) с нулевыми началь
ными условиями, то .h == о.
2) тl + (2/5) < пl, то можно показать аналоrично случаю (1), что .h == о.
Таким образом, представляет интерес случай
2
m l + == N l > О · (4 1 136)
5 · ·
При этом условии члены порядка уn 1 В (4.1.131) и Ynl 8/5 В (4.1.132) (с использо
ванием (4.1.133» соответственно дают
"'" + ' ]
11\.0 == €1 [1 .0 ,
( 4.1 .1 37)
6 [/' 1"] + iU'[/'] + [112](+ п + [/"]) + €: €: [/']2 + €: [1'] ( [I'] + €: [/"])
( .., 4 + "",, ) ( 4 + [ ' J)
2 n} 11 5 €o 11 5 €o 1 == о ·
(4.1.138)
Снова все разности параметров на ударной волне вычисляются при 5'0, а все осталь
ные величины при &1+. Например, величина f' 1 o+ определена только позади
ударной волны. Упрощая последнее условие с использованием (4.1.134), (4.1.135),
(4.1.137), находим
.." 8, +
111.0 == 25 €;- €o (10nl 1) ·
(4.1.139)
До сих пор анализ производился для j > о. При j < о разложение потенциала (экви
валентное (4.1.122» представляется в виде
Фо == у! It(€+) + ( Y)nl ilt(€+) +... .
аЗ аЗ
(4.1.140)
Имеем
€: == €: + €:t( y)ml + ... .
(4.1.141)
Соотношения, получаемые на ударной волне, являются точно такими же, как
и в случае j > о. Они имеют вид формул (4.1.133), (4.1.134), (4.1.137), (4.1.139), в
которых El+ заменено на E11. Ясно, что в действительности fi == f.
Используя параметрическое представление решения f, уравнение (4.1.123а) мож
но представить в виде rиперrеометрическоrо точно так же, как и перед ударной
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
175
волной. За ударной волной переменная s задается выражением (4.1.95). Теперь она
изменяется от значения (5УЗ 8)/6 за фронтом ударной волны до нуля на положи
тельной части оси х. Переходя к переменной s в уравнении (4.1.123а), получаем
2 .... ....
2 d /1 d/ 1 ....
(Зs + 4)а ds 2 + 2(1 + 2nl)(1 + 2а)а ds + nl (nl 1)(1 Зs )/1 ::= о . (4.1.142)
Далее, производя еще одну подстановку
з
т = t = э
4 '
.... .....
/1{а) = B 2 h(t),
(4.1.143)
находим
t (t 1) h" + {С (а + Ь + 1) t } h' abh == о ,
(4.1.144)
rде
1
С == ,
2
5
а == 2n1 ,
1
Ь == 6(2 5nl) ·
Два линейно независимых решения имеют вид
..... 5 ( 5nl 1 1 )
h==F ( 2 5n l) . . T ,
2 ' 6 ' 2'
hA== T!F ( 5nl+l 5(1 nl) . . )
2 ' 6 '2' т ·
Таким образом,
.... ........5 "" ""А
/lu == (c1h + C2h )8 2 ,
ilt == (d 1 h 5 + J2hA)8 .
(4.1.145)
(4.1.146)
Отсюда
"" / ' .... 1 "
.... уа у 1 { .... ..... 5 ""..... А ....
Ф== +7 c1h +C2 h }s 2 +...,еслиу>О,
.... .... / lyl"l { ..... .... 5 ..... ..... А
ф==уаз+ d 1 h +d 2 h }Э 2 +... , сслиу<о.
а а
Производные Фх, Фу должны быть непрерывными при переход е через след. Коrда
у...... О, ...... 00, s, t...... о, f Oo + 1/2 И А CtS пl/2 + CtS< пl +2)/2 + ё2 1 s( пl + 1)/2 +
+ ё2 1 S< пl 1)/2 и т. д. Также s l( +) s/2 + 'l( +) S + .... в результате имеем
2 .... 1 , 1. .... ( 5п / 4 ) 1 ""
а Фж""" 2aox 2 +СIХ 1 +CIY+..., У> О,
2 .... 1 1 .... (5 /4) 1 ....
а Фж ,...., 2a x 2 + d 1 ж "1 + d 2 1yl + · .., у < о .
Следовательно, непрерывность Фх при переходе через j == о требует выполнения
условия
..,
Сl == d 1 ·
(4.1.147)
176
rла8а 4
Тоrда
3 .... з { 2 } { ( ) 1.("1 2)
а Фi ,..,. Y 6 5a ( +) 2 + у"l 1 Сl nl +. + Сl +.
5 }
.... +.. +1. nl 2
nlCl 4(n 1 2)C2 .( ) +... '"
"J 2a x 2y + 2ёlyx (' 1 2) + ё2x!(nl 1) +... , у > о .
Аналоrично
а 3 Фil "J 2a x 2y + 2Jlyx (nl 2) d2x1(n1 1) +..., у < о .
Далее, из условия непрерывности Фу при переход е через след имеем
....
d 2 == С2 ·
(4.1.148)
Теперь, возвращаясь к условиям (4.1.137), (4.1.139) на ударной волне для трех неиз
вестных 11 I So' I{ I So' 1+ И исключая из НИХ 1+, получаем
и
If (10nl 1) t+
11 25 [/'] O.
После подстановки вместо h и '{ выражений (4.1.145),
(4.1.147), (4.1.148), равенство (4.1.149) принимает вид
cli'. + C2if A (10nl l)€t
Сl i: + c 2 it 25 [/']
Cli 8 c 2 if A 8(10nl l)€t
- [ ] , ii < о ·
ё 1 / 8 c 2 /t 25 1
(4.1.149)
(4.1.146) с условиями
у>О
(4.1.150)
(4.1.151)
Здесь
it( +) == ht(t)s !j'- .
Для ёl + о равенства (4.1.150) и (4.1.151) не MorYT выполняться одновременно,
так как два решения являются линейно независимыми и, следовательно, их вронски
ан не может равняться нулю. Таким образом, если имеется ненулевое решение А,
то оно должно быть либо четным, либо нечетным по у. Оно не может быть нетри
виальной линейной комбинацией этих двух решений.
Переходя к переменной Т, перепишем условие (4.1.149) для функций fiS и fiA co
ответственно в виде
,.,
dh.
S. = 30т(1 + т) dT {(8 65nl)Т + 3(1 5nl) }Х. ,
(4.1.152)
или
SA = 30T(1 + T)!!..(T hA) + {3(4 + 5nl) + (65nl + 1)т }T ihA ·
dr
(4.1.153)
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
177
Полученные уравнения должны обращаться в нуль при т = (5УЗ 8)/8. Отсюда воз..
никает вопрос: при каких значениях пl (если вообще такое имеется) в интервале
О < пl < 2/5 должны выполняться эти требования?
Эврар показал [4.1.12], что уравнение (4.1.152) имеет только одно решение в ин..
тервале значений О < пl < 2/5 при пl =: 1/5. Аналоrично он показал, что уравнение
(4.1.153) не имеет решений в случае пl е (О, 2/5). Он доказал это, непосредственно
вычисляя коэффициенты при степенях разложения Ss, SA в ряды.
Для пl = 1/5 уравнение (4.1.123) является точноЙ производной выражения
( ( ' 16 +2 ) "" 4 +.., ) ,
I 25 € 11 + 25 11 == О ·
(4.1.154)
Симметричное решение имеет вид
.., ""..1... 1.
11 == ClB 10 (Зв + 4) 6 .
(4.1.155)
Таким образом, величины 1+, А Iso, J{ Iso вычисляются точно. Эврар нашел, что
1+ =: o,1852427a + .
Продолжим наши исследования с целью определить, существует или нет в раз..
ложении член, ответственный за подъемную силу и соответствующий разрыву Фо
при переходе через след. Следовательно, будем искать в разложении член порядка
уО. Пока имеем
,., "'а L
Фо = У I(a€) + Iyl! 11 (a€) + y.. J2' (a€) +...
аЗ аЗ аЗ
(4.1.156)
и
: == €; + t Iyl + €;,Llylm 2 + ... .
(4.1.157)
Уравнения и условия на ударной волне, которым удовлетворяет А, будут те же
самые, что и для А, если п2 > 2пl 2/5 = о. Следовательно, первое возможное ре..
шение может реализоваться при
n2 == о ,
2
т2 == 5 ·
(4.1.158)
в этом случае функция А удовлетворяет неоднородному уравнению (4.1.123б). Ус..
ловия на ударной волне имеют вид
+2
1 "" I 8 t+ t+ 2 €1 [/ " ] t+ [/ ' ] З
2 .0 25 O 1 2 2 + а Со ,
.." 2 { + +2 " ] 64 + +2 } + + 28 +2 +
121.0 [/'] 25"0 €1 [1 + 625 Ео Е 1 25 Ео Е 2 + 25 Е 1 5 Е 1 ,
(4.1.159)
(4.1.160)
в которых разность параметров на ударной волне, как и ранее, вычисляется при
50, а под f' , f" понимаются их значения за фронтом ударной волны.
Переходя к переменной s в основном уравнении (4.1.123б) с п2 = О, получаем
d 2 i2 d i2 1 3 10
s(Зs + 4) ds 2 + 2(1 + 2в) ds == 4a2 5 ( Зs + 1) (Зs + 4) T (2в + 1) .х
х (7883 + 5282 + 818 + 6)ё: . (4.1.161)
12 1084
178
rлава 4
Эврар нашел подобное, но более сложное уравнение, поскольку он не использо
вал теорию малых возмущений 1). Общее решение имеет вид
i2(8)=:t:/+e ,lls 0' !(ЗО'+4) tdи +
1 ---2 7 3 2
+2а26СIЕl 38) l(38+4) з(28 +58 8 4). (4.1.162)
Индексы и, / соответствуют у > о и у < о. Коэффициенты ёG,l, if,1 перед линейно
независимыми решениями однородноrо уравнения определяются как из условия на
ударной волне, так и из условия непрерывности ФОх, ФОj при переходе через след.
При s ---+ О имеем
,., t t З....,. j.
12(8) ==e ' +ё ' yS а;iС:2 з +...,
( ) 2
20 а
u,t
,., ,., j. 7... .,., j. '!.. е 1 ,., 2 .! 05
( 12 ) == У 5 8 5 1 2 == У 5 S 5 + · .. f"OtJ У Ж . ё' , 2
Ж. · 2JЭ 1 2
и
4 4 { u,t } 2 ( 2а ) i
2 ,., ...., 1 + ж 1 е 1 ! u,t 5
а (/2). f"OtJ y 12f,+ f"OtJ B 5 + ... f"OtJ ж · е 1 ·
5 5 ys 2JЭ 5 a
Следовательно, коэффициент ёс,1 остается произвольным, однако
"'u ....! ,.,
е 1 = el == е)
для TOrO чтобы функция фОу была непрерывной при переходе через след.
Далее, исключая 1:2+ из двух условий на ударной волне (4.1.159), (4.1.160), полу..
чим связь между .h I So и Ji I So в форме
i l.o == А + Bi2 . (4.1.163)
Здесь
в = .! t
25 [! 1]
и
{ + +2 [ " ] 64 +2 +2 .! 3 32 +2 +2 2 + +2 [/"] }
А [/'] 25 Ео El 1 + 625 Ео El + 25 Q со + 625 Ео El + 25 Ео El [/'12 ·
Из (4.1.62) также имеем
,., I ....u, t А ( ) А"'" 2
12 .0 == е о + еl sgn У + е2Сl ,
rде
5v'i 8
el =: ё 1 1 6 о' (30' + 4) dи ,
1 ( 5 ) 1 l
е2 == 2 а2 3 з 2 JЗ (5VЗ) 3 х
1) Эврар использовал полную систему уравнений ЭЙJIера [4.1.12]. Прu.м. перев.
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
179
х (( 5 8 )3 + ( (5(vЗ 8))2 5 ))
и
2
f l.o == L 1 (sgn у) + L 2 G 1 ,
rде
L1=e1ll==
= el {5а;} e 8 ) i e 5) l} { e 8 ) ! ( 5 ) i} ,
7
L 2 = 5a; ( 5 8 ) 5" ( 5 5) lX
Х { (1 3S) 1(3S+4) t(2S2+5s2 S 4) } .
. S 8
6
Таким образом,
условия (4.1.163) на ударной волне
L L 2 А B( U А А C 2 )
1 + 2 C l == + е + el + е2 1
L L 2 А B( ! А А C 2 )
1 + 2 С l == + е el + е2 1
принимают вид
для у > о ,
для у < о .
Следовательно,
2L 1 == B(e e ) + 2Веl , 2L2ё == 2А + B( + e ) + 2Be2ё ,
(eo)w = (L2 0 f А Вё 2 ё 1 ) , [eo]w = (2.Ll 2Вёl) .
Здесь ё 1 постоянная в (4.1.155), так что нам известна ё'о(ёl).
Наконец, возвращаясь к (4.1.159), можно определить измененное положение
ударной волны
{ +2 }
+ ",! 1 ....u,l 8 + + 2 € 1 " 3
Е2 [1'] 12 + 25 Ео El + 2 [1 ] + а Со ·
(4.1.164)
Все величины в (4.1.164) вычисляются на ударной волне.
Очевидно, что на этой стадии исследования подъемная сила имеет вид
COL ..... f Фож dl = e e ·
Все еще не определенные постоянные ёl, ёl можно отыскать с помощью законов
сохранения подобно тому, как определялись коэффициенты а, Cl.
4.1.2. ОС8симметричное течение
Коrда К == О, трансзвуковое уравнение для осесимметричноrо течения (3.9.33) при
нимает вид
1
(, + l)ф:r,ф:r,х, + ф;; + :;ф; == о ,
r
(4.1.166)
12*
180
rлава 4
а rраничным условием на поверхности осесимметричноrо тела при r ---+ О, О х 1
является условие (3.9.63)
(F 2 (x))' ,.,
ф ,...., log r .
2
(4.1.167)
Заметим, что основное уравнение (4.1.166) точно такое же, как и основное ypaв
нение в случае плоских течений (4.1.1), за исключением последнеrо дополнительноrо
члена, содержащеrо производную первоr.о порядка. Таким образом, можно ожи
дать, что процедура описания дальнеrо поля осесимметричноrо течения аналоrична
уже использованной в разд. 4.1.1 для плоских течений, за исключением Toro, что
простой метод rодоrрафа более неприrоден. К сожалению, это оrраничивает воз
можности для получения результатов. Исследование начнем с изучения течения
вверх по потоку от предельной характеристики. Далее продолжим ero вниз по пото
ку сначала в область до ударной волны, а затем и в область за ударной волной.
Автомодельная форма потенциала Ф имеет вид
(, + l)ф(х, i) == ;Зk 2 /( ) )
(4.1.168)
rде
х
€ == "'k ·
r
(4.1.169)
Параметр автомодельности k должен быть определен. Для компонент возму
IЦенной скорости и продольноrо ускорения получаем
w == (, + l)фж == i2k 2 /'(€) , }
{J == (, + l)ф; == rЗk 2 {(3k 2)/ k€/'}.
(4.1.170)
(, + l)фжж == rЗk 2 /"( ) .
(4.1.171)
Подставляя эти формулы в основное уравнение (4.1.166), найдем уравнение для
определения f
(/' k2 2)/" + (5k. 5 + л)k /' (3k 2)(3k 3 + л)/ == О, (4.1.172)
или при л == 1
(/' k 2 2)/" + (5k 4)k /' (3k 2)2/ == о .
(4.1.173)
Уравнение (4.1.172) при л ='0 переходит в уравнение (4.1.14), описывающее даль
нее поле двумерноrо течения.
Из (4.1.170) видно, что звуковая линия соответствует такому == ., при KOTO
ром f' ( .) = о. Предельная характеристика определяется значением == , удовлет
воряющим условию f' (ь,) = Ic 2d,. Хвостовая ударная волна возникает при
некотором s, таком что s > ь,. Уравнение (4.1.173) имеет особые точки при
== ..... 00 (соответствующую отрицательной части оси х) и на предельной характери
стике = ь,. Таким образом, снова имеем нелинейную задачу на собственные значе
НИЯ. Требуется найти такое значение k, при котором решение f уравнения (4.1.173)
rладко соединяет особые точки == ..... 00 и == ь. 1). Мы ожидаем, что с ростом
1) Как будет видно ниже, решение f при ...... 00 должно вести себя по степенному закону. Прu.м.
перев.
Трансзвуковое дальнее поле
181
от 00 функция f сначала уменьшается ([' < О, дозвуковой поток), затем проходит
через минимум ([' == О, звуковая линия) и увеличивается ([' > О, сверхзвуковой по
ток) (рис. 4.1.4). Требование затухания скорости вдоль == const при f ---+ 00 приво
дит К условию k < 2/3.
Первоначально значение параметра k было определено численно. Сейчас имеется
точное решение. Полезно изучить свойства этоrо решения, поэтому продолжим ис
следование уравнения (4.1.173).
Оно обладает rрупповым свойством, т. е. если P( ) решение, то решением
также будет
1
АЗ F(A€) ·
(4.1.174)
Следовательно, порядок уравнения (4.1.173) можно понизить до первоrо. Ис
пользуя инвариантность решения (4.1.174), сначала найдем решение с == 1, а за
тем масштабную постоянную А, соответствующую данному телу.
Если воспользоваться переменными
8 € 3f(€), t == € 2f'(€),
то компоненты скорости, так же как и в случае двумерных течений, примут вид
2
W (1' + l)фж r2k 2 f'(€) :2 t(€) ,
r
19== (1' + l)ф;: rЗk З{(3k 2)f( ) k f'(€)}==
з
== iЗk З{(3k 2)8 kt}€З == :З O'(€) .
r
(4.1.175)
Отсюда находим
х 2
W;: == 1{k€tf + 2t} ,
r
х 2 3
iJ ж == ;2 {67 ( + 30'} , iJ i == ;3 {k Е о' ( + 30'} .
Подстановка в основную систему (4.1.66)
1
WWж + д; + -;;д О ,
r
Wi дж == О
х
W ж ---2 {€ t f + 2t} ,
r
дает
{ t€tf + 2t 2 + k€O'f + 20' == О , }
k€tf + 2t + €иE + 30' == О ,
(4.1.176)
или
{ (t k 2 )€tf + 2t(t k) + (2 3k)O' О, }
(t k 2 )€O'f + 2t 2 (l k) + (3t 2k)O' == о.
(4.1.177)
Далее, исключая , получим уравнение в фазовой плоскости
dt1 2t 2 (l k) + O'(3t 2k)
dt 2t (t k) + о' (2 3k) ·
(4.1.178)
Если определено решение 0'(1) уравнения (4.1.178), то ero можно записать и через
автомодельную переменную , которая находит я с помощью интеrрирования OДHO
182
rлава 4
ro из уравнений (4.1.177), т. е.
d€ (t k 2 ) dt
2t 2 2kt + 20' ЗkО' ·
Особыми точками (4.1.178) являются (t, о) == (О, О) узел, (п 2 , 2п З (п 1)/
/(3п 2» седло и (2/3, 4/9) узел (если k < 2/3). Тщательное исследование
этих точек позволяет выяснить свойства интеrральной кривой, дающей решение Ha
шей задачи.
В окрестности (t, и) == (О, О) дЛЯ интеrральных кривых имеем
(4.1.179)
00. 2kO'
,
dt 2kt + (2 Зk)О'
так что
2 Зk
о' == О или t == о' ln С о' .
2
Используя (4.1.179), для BToporo решения получаем
c .a
о' ""'-J k.
Следовательно, ф; ,... f 1 х З 2fk, Фх ,... r- 2fk (2 3k)ln и при О < k < 1 поле CKO
ростей синrулярно на оси х. Поэтому наше решение, которое не должно иметь oco
бенностей на оси х, соответствует друrой интеrральной кривой, выходящей из
точки (t, и) == (О, О), а именно и == о. Тоrда из (4.1.179) находим
d€ k
== dt , ( 4.1.180 )
2t
или
( €) == C OO( t) t ,
точно так же, как и в двумерном анализе. Эта особая интеrральная кривая выходит
из начала координат в плоскости (t, и) и уходит в ( oo, 00), что соответствует,
как видно из (4.1.175), переходу через х == о. Так как в окрестности х == О решение
является реrулярным ( == О) и
....2k / ' ( 0 ) ....зk ( Зk 2 )
t 2 1'(0) == Е 2 ' и 3 (3k 2)/(0) == 1(0) E '
то при х О:ж: интеrральная кривая ведет себя следующим образом:
3
о' == :i:CO( t)2 "
(4.1.181)
После перехода через ось х == О наша кривая снова появляется из ( oo, 00) и попада
ет в окрестность особой точки седло
t == k 2 ,
2k З (k 1)
(f := Зk 2 ·
Чтобы найти интеrральную кривую, проходящую через особую точку седло,
можно либо использовать свойства J, как в разд. (4.1.1), либо непосредственно ис
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
183
пользовать уравнение в фазовой плоскости. Интеrральная кривая, проходящая седло..
вую точку, В ее окрестности имеет вид
2k З (k 1) ( .... k 2 )
(f 3k 2 m t )
rде
т
k ky'25k 2 56k + 32
2(2 3k)
На рис. 4.1.9, а изображены интеrральные кривые, проходящие через начало
(t, и) == О при 1/2 < k < 1, а на рис. 4.1.9, б представлена искомая кривая. В част..
ности, при изображении интеrральных кривых на рис. 4.1.9, а использовалось зна..
ние точноrо решения при k == 2/3. Если k == 2/3 (так же как и для k == 1/2 и
k == 1), можно найти первый интеrрал (4.1.173). Интеrральная кривая, проходящая
через начало (t, и) == (О, О), определяется уравнением 3 + 4tи + 2t 3 == о.
Решение (4.1.178), удовлетворяющее всем перечисленным выше условиям, мож"
но получить только при условии
4
k
7 ·
Оно представляется в виде
и==
.1
2t ( 1 t ) 2
9 9 2 '
.1
8 8 ( 3 ) 2
2t + 1 + t
9 9 2 '
и<О,
oo < € < о ,
(4.1.182)
и>О,
о < € < €L ·
(1
Рис. 4.1.9.
Фазовая плоскость. Осесимметричное течение.
184
rлава 4
Используя это решение при интеrрировании (4.1.179), получаем (1):
( ) 7
I 1 2
( 1 t) 2 { 1 (1 t) 2 }
1 ( З ) { ( З ) 1 } 2
4 1 2 t 1 + 1 2 t
oo < € < о' ,
О > t > oo ,
(4.1.183)
о < € < €L ,
k 2 > t > oo .
Соотношения (4.1.182) и (4.1.183) дают требуемое решение.
Отметим, что решение, которое мы хотим построить в области за предельной
характеристикой, должно rладко ее проходить. Этому условию удовлетворяет плю
совая ветвь (4.1.182), т. е. решение за предельной характеристикой 1 == k 2 дается
нижними формулами в соотношениях (4.1.182), (4.1.183). Интеrральная кривая про
ходит через (1 == О (д == О, радиальное течение отсутствует) в область с (1 < О (д > О)
и попадает прямо в особую точку узел (1, (1) == (2/3, 4/9), но при этом 00.
Так как 1, (1 конечны и отличны от нуля, то из (4.1.175) следует, что в окрестности
положительной части оси х компоненты скорости становятся бесконечными, что He
возможно объяснить с физической точки зрения. Чтобы решение моrло попасть на
особую интеrральную кривую, входящую в начало, в течении должна возникнуть
ударная волна при некотором s > L. ДЛЯ особой кривой в окрестности (1 == 1 == О
из (4.1.180) имеем == C( oo)1 k/2. Отсюда (1, (1) (О, О) при ...... 00, и компоненты
скорости остаются оrраниченными. Условия на ударной волне имеют вид (см.
разд. 3.6)
(w) [w] [д] ( ; ) s = О ,
[w] ( ; ) s + [д] = О ·
(4.1.184)
Так как ударная волна возникает на кривой x/f k == s, получаем
( ; )s ; '
Из (4.1.75) имеем
х 2
[w] = -=2[t] ,
r
х 2
(w) = -=2(t) ,
r
х З
[ д ] == "'3 [(1] ,
r
поэтому система уравнений (4.1.184) эквивалентна системе
{ ) [t] + [11] = О ,
"7 [t] + [(1] = о ·
(4.1.185)
".
или
Нетривиальное решение этой линейной системы для [1], [(1] существует, если
щ ( )2=о,
tb = 2 ( ) 2 t a .
(4.1.186)
Трансзвуковое дальнее поле
185
Тоrда
4
иь == [t] + О'а .
7
(4.1.187)
в добавление к этим условиям должна быть непрерывной при переходе через
ударную волну. Поэтому
( €. ) 7 1 ( З ) { ( З ) !, } 2 1 ( З ) { ( 3 ) t } 2
€. ==:4 1 2 t .. 1 + 1 2"t.. '=':4 1 2"tb 1 1 2"t b . (4.1.188)
Из (4.1.188) и (4.1.186) следует
( 4 ) 2 1 ( 5 ) 2
t.. == 7 + vrз 7 '
tb == ( ) 2 Jз ( ;) 2
(4.1.189)
Отсюда и из (4.1.182) и (4.1.187) получаем
о' 58 ( ) 2 t1b == 58 + ( ) 2
а == 73 vrз 7 7' 73 vrз 7
(4.1.190)
Эти результаты были получены численно Баришем и I)тдерлеем [4.1.9], точно
Фальковичем и Черновым [4.1.6], Мюллером и Мачатом [4.1.4], а также Рэндалем
[4.1.13]. Решение (4.1.173) было получено ими в параметрическом виде. Связь между
, . и s дается соотношением
. €s
L
ао Ь О '
в котором ао = 62/755/77"'1 = 0,75 и ьо = 2. з1/7 (v'З 1)1/7 = 2,23.
Решение (4.1.173) в параметрическом виде (s......... параметр) дается формулами
128 5
J.'
78 Т
2 Б 1
f == 73 87 (1282 158 25)
в области перед ударной волной и
С 128 + 5 2 Б 1
€== 2. ' f== 7 з С387(12s2+158 25)
78'
в области за ударной волной. Здесь
1
G == (2 JЗ) 7 .
На ударной волне имеем
1 1
. == 2 . 3 7 ( 1) 7 ,
8а ==
7JЗ + 12
12
8ь ==
7vrз 12
12
Связь между значениями s и переменной дается в таблице
€ I oo
s I о
i
12
!
6
€L
1
€.
8 a lsb
+00
О
о
€.
186
rлава 4
Возвращаясь теперь к rрупповому свойству (4.1.174) функции f, находим
Ф ...., ; I( a ) .
аЗ
Перед ударной волной и / описываются формулами
128 5 2 Б J. 2
a€ 1. ' / з87(128 158 25).
787 7
(4.1.191)
Позади ударной волны имеем
С 128 + 5
al,. 2
7 8" ,
25 1
/ == СЗ 87 ( 1282 + 58 25 )
7 З ·
(4.1.192)
Постоянная С в последнем соотношении равна (2 УЗ) 1/7. Положение ударной
волны определяется равенством
1. rn !.
а s==2.З7(vЗ 1)7 .
Члень/ более BbIcoKoro порядка
Порядки следующих членов, описывающих дальнее поле, находятся в предположе..
нии, что разложение потенциала при ; о() и фиксированном имеет вид
Фо = ; I(a ) + ;"0 со / o( a ) + iD1Cl/1 (a ) + ... .
аЗ аЗ 1,. аЗ (4.1.193)
Здесь 0'1 < 0'0 < 2/7. Обозначив а = 0'0,1, g == /0,1' И подставив (4.1.193) 'в основ..
ное уравнение (4.1.166), получим, что g удовлетворяет уравнению
(1' ( а Е ) ) g" + (1" + ( 2а ) а{ ) g' а 2 g = о ,
(4.1.194)
если 20'0 + 2/7 < 0'1.
Используя параметрическое представление (4.1.191) для и f, приведем уравне..
ние (4.1.194) к виду
482(1 8) d 2 g + 4(1 + 0)8(5 128) dg + 2 g == О .
I (4.1.195)
1+68 d8 2 8(1+68) ds
Положив теперь
g(8)==s fh(s),
(4.1.196)
для функции h получаем rиперrеометрическое уравнение
8(1 s)h" + (1 a(12 + 7a»)h' + ;о а(7а + 2)h = О,
(4.1.197)
в котором
а = 1 { 1 + а + J 6 а 2 + 2; а + 1} ,
ь = !... { 1 + а J 6 а 2 + 24 а + 1 }
10 7'
с == 1 .
ТраНСЗ8УКО80е дальнее поле
187
Значения а должны быть такими, чтобы решение h было rладким для значений
переменной от == oo(s == О) до u(S == 1). Два линейно независимых решения
(4.1.197) имеют вид
hi(s) = F(a, Ь, 1; s),
.. (a)k(b)k k
h "( s) = Р(а, Ь, 1; s) ln s + L.J (k!)2 s g,.,b,k ,
k=l
rде под ga,b,k подразумеваются числа.
Коrда s O( 00), второе решение ведет себя подобно lns и, следовательно,
g(s) == O(s a/21 n s). Однако == O(s 2/7), так что g(s) == 0( 7a/41nl I), 00.
Вклад этоrо члена в продольную и радиальную компоненты скорости в окрестности
отрицательной части оси, Х, т. е. при oo, будет соответствеlПlО 0(x7a/4 11ogl l)
И 0(x7a/4f 1). Таким образом, это решение является синrулярным в окрестности
отрицательной части оси Х и должно быть отброшено. Аналоrичный анализ перво
ro решения показывает, что построенные по нему компоненты скорости являются
rладкими функциями при f о, Х < о. Следовательно,
h( 8) == F( а, Ь, 1; 8) .
(4.1.198)
Как было показано в разд. 4.1.1, это решение rладко проходит предельную xa
рактеристику (s == 1), если только о или Ь равно целому отрицательному числу или
нулю. Отсюда имеем
:0 { 1 + и:!: J 6 02 + 2: о + 1 } = k, k = О, 1,2,. · ·
или
о = { 2k 1 :!: J 24P + 24k + 1}, k = О, 1,2,. .. ·
(4.1.199)
Поскольку мы предполаrаем а < 2/7, то
о = { 2k 1 J 24k 2 + 24k + 1}, k = 1,2,... .
(4.1.200)
Следовательно, используя (4.1.199), получаем искомые показатели в разложении
(4. 1 .193)
6
(10 == ,
7
(11 ==
з v145
7
9,04
7
(4.1.201 )
и соответствующие им функции
6
10 == 1 58 ,
f 1 2 \ л(л+l) 2
1 лs + 2 s
V145
цри л = 4 5 ·
(4.1.202)
В разложении, описывающем дальнее поле, необходимо еще определить посто
янные О, со, Cl. С их помощью осуществляется связь между формой профиля и тече
нием в дальнем поле. К сожалению, мы не можем использовать законы сохранения,
как в разд. 4.1.1, поскольку осесимметричное течение не описывается уравнением
Трикоми. Вопрос о нахождении о, Со, Сl остается открытым.
188
rлава 4
Отметим, что полученное нами представление дальнеrо поля
2
i , /(a ) '"' i Со/о (аЕ) ,", (j v'W) /1 (a ) I
Ф == + r т + r т Сl ? "1 . .. ,
аЗ аЗ а у
в КОТОРОМ/о и/l даются формулами (4.1.202), а s( ) формулой (4.1.191), справед..
ливо только в области перед ударной волной. Чтобы найти разложение потенциала
за ударной волной, необходимо использовать условия на ударной волне. Предполо..
жим, что в области за ударной волной дальнее поле описывается разложением
Ф i f '(a ) ino io(a€) ir&l il(a )
+ + +...
аЗ аЗ аЗ ·
(4.1.203)
Положив а NO, пl и g 10, /1 И подставляя (4.1.203) в основное уравнение
(4.1.166), найдем уравнение, которому удовлетворяет функция g
{f' (ia ) 2}gll + {f" + i(20 )a }у" 0292 ==
Q == по ,
О, если 2
Q == nl > 2nо +"7 '
'"', ..." 2
/0 /0 если Q == n 1 == 2 по + .
, 7
(4.1.204)
Отметим, что оно совпадает с уравнением, которому удовлетворяют автомодель..
ные функции в разложении перед ударной волной. Их решения, однако, из..за раз..
личных rраничных условий будут отличаться. Решение g теперь должно принимать
заданные значения на ударной волне s и rладко проходить + 00 1). Опреде..
лим функцию h следующим образом:
9(S) == s fh(s) . (4.1.205)
Тоrда, используя параметрическое представление (s параметр) решения (4.1.192)
в области за ударной волной, однородное уравнение для h можно представить в
виде
'"' ( 7 Q +.12 ) '"' 7 '"'
s(s+l)h"+ 1+ 5 s h'+ 20 Q (7Q+2)h==O.
(4.1.206)
Уравнение (4.1.206) является rиперrеометрическим с параметрами
а = 1 { о + 1 J 6 02 + о + 1 }, ь = 1 { о + 1 + J 6 02 + 274 о + 1 }, (4.1.207)
с==l.
Одно из ero решений Р(а, Ь, 1; s), друrое, линейно независимое содержит член
1) Это требование справедливо для а = 110. Прu.м. перев.
Трансзвуковое дальнее поле
189
10gs. Поскольку мы ищем rладкое решение при + 00, а значит, и при s о, вто"
рое решение должно быть отброшено. Следовательно,
ho(s) == сР(а, Ь, 1; B) .
(4.1.208)
Заметим, что вклад этоrо поправочноrо члена в продольную и радиальную компо..
ненты скорости при ; о, х> О есть o(x7a/4 1) И o(;x7a/4 7/2) соответственно.
Чтобы определить значение параметра а и связанных с ним величин а, Ь, необ..
ходимо рассмотреть условия на ударной волне (разд. 3.9)
[Ф ].[Фж]. + [Фi] = О ,
[Ф]. == о .
(4.1.209)
Ударная волна задается уравнением
: == a . == €: + timl + iim2 +... , (4.1.210)
в котором + положение ударной волны в нулевом приближении, а т2 < тl < о.
Отсюда
ах. == ti + timl+ + iim2+ +... .
(4.1.211)
Поэтому, разлаrая функцию / по формуле Тейлора в окрестности точки +, по..
лучаем
11. == 11.0 + t;"'1 1'1.0 + ( i;m2 /;' ) 1.0 +... ·
Используя эти разложения, из условий (4.1.209) находим
!i 1f [/'][/'2] Е: ;"'1 If [/"][/'2] : i m1 1f [2/' /"][/'] +
2 2 2
)6 "" 1 ""'
+ ino 7 l' I [f'] + 2ino 7 [/'2]/ +
+r 1f [ / Eo/,]2 +26iml 1f [ / o/'] [ /' (€f')']
""по { ; 4 ;, } [ 2 f 4 ] 2 2
, 7 nOJo 7r.,.JO 7 7€I +...==0 (4.1.1)
и
i t[/] + liтl '[/'] ino io + ... == о .
(4.1.213)
в последних двух формулах все величины, стоящие в квадратных скобках, вычисле..
ны при := +. Отсюда, в наименьшем порядке O(; 18/7), будем иметь
[11 = о , (/') = ( ) 2 6 .
Здесь был использован тот факт, что [( )2] == 2« »[( )], rде «» означает среднюю
. величину. В следующем порядке мы должны иметь no == тl ..... 2/7. Доказательство
проводится совершенно аналоrично случаю двумерных течений, а именно если
no > тl ..... 2/7, то, поскольку [{' ]so о, из (4.1.213) следует, что 1 == о, а следова..
тельно, и 10 Iso == о. Но тоrда из (4.1.212) вытекает, что Jo Iso := о. Так как /0 удов..
190
rлава 4
летворяет обыкновенному дифференциальному уравнению BToporo порядка с
однородными начальными условиями, то /0 == о.
При тl 2/7 == 110 из (4.1.213) имеем
""'
/0 = El [/'] ·
(4.1.214)
Из (4.1.212) после упрощения получаем
,., 16 ( 2 )
/ ==7EoEl nО+"7 ·
(4.1.215)
Таким образом, условием совместности для.1о на ударной волне будет
"', ( 2 )
/0 16 с+ по + "7
io 7 o [/'] ·
с помощью параметрическоrо представления решения (4.1.192) и выражения для
функции fio (4.1.205) оно приводится к виду
{ 10t(t + 1) d o + { ( 19 (по + ) + 1 ) t + 5 (по + ;) } ho } It. == о.
(4.1.216)
Подставляя (4.1.208) в (4.1.216), Турнемин [4.1.13] показал, что первым
110, 110 < 2/7, является 110 == 4/7. Для этоrо значения а решением
(4.1.204), соответствующим (4.1.208), будет
N 2 2
/0 = cos"7(s + 1)' .
значением
уравнения
Постоянная Co( I) может быть определена из (4.1.215).
Исследуя высшие приближения, на основе этих вычислений Турнемин показал,
что за ударной волной решение имеет вид
ф,..., ; 1 + ; 10 + r il + 0(1)
и
с с + с ,., .2 C"'
. ""'J o 1 r 7 + 2 r 7 + · .. .
Отметим, что А находится из решения неоднородноrо уравнения (4.1.204). Как и
ожидалось, в осесимметричном течении нет подъемной силы.
Результаты, относящиеся к высшим приближениям в этой задаче при описании
дальнеrо поля перед ударной волной, были получены Эвраром [4.1.12], а за ударной
волной Турнемином [4.1.14]1). Фактически Эврар изучил дальнее поле при Tpex
мерном обтекании тела, так как он включил в разложение члены, связанные с уrлом
е 1 ).
1) Эти результаты одновременно были получены более простым способом на основе законов coxpa
нения в работе Диесперова В.Н., Рыжова о.с. О пространственном обтекании тел звуковым потоком
идеальноrо rаза. пмм, 1968, т. 32, вып. 2. Там же были исследованы высшие приближения и по
строена асимптотическая картина обтекания TpeXMepHoro тела. Прuм. перев.
Трансзвуковое дальнее поле
191
ЛИТЕРАТУРА
[4.1.1] G. W. Bluman and J. D. Cole, SiпUlaritу Methods for Differeпtial Equa..
tioпs, Springer Verlag, 1974.
..
[4.1.2] Frankl, F. 1., Uber eiпe Klasse voп Losuпgeп der gasdyпamischeп Gl
ichuпgeп voп S.A.. Tschaplygin: Uchebпja Zapjsku. Also: Dokl. Akad.
Nauk SSR 57 (1947) 7, 5161 164. And: Landau, L. and Lifschitz, Е. М.,
Flujd A1echaпjcs, Pergamon 1969.
[4.1.3] Guderley, G., Theorej Schallпaher Stromuпgeп, Springer 1957, and ем..
lier references in that book.
[4.1.4] Muller, Е. А. and Matschat, К. Ahnlichkeitslosungen der Тransonischen
Gleichungen bei der Anstrom..Machzahl 1., Proceedjпgs of the Eleveпth
Iпterпatjonal Congress оЕ Appljed Mechanjcs, Munich (1964), рр. 1061
1068, Springer.
[4.1.5] Falkovich, S. V., Plane Тransonic Gas Flow with Singularities оп the
Sonic Line, РММ 25 (1961), рр. 324 338. (English Тranslation)
[4.1.6] Falkovich, S. V. and Chernov, 1. А., Flow о! а Sonic Gas Stream Past а
Body о! Revolution, РММ Jan. 1965, рр. З42 347. (English Тranslation)
[4.1.7] Szaniawski, А., Тwo Parametrical Forms о! the Self..Similar Тransonic
Guderley..Frankl solutions, Klejпe Afitteпlungen Z.A.M.M., у. 4:7, No. 5,
1967, р. 342.
[4.1.8] Germain. Р., Ecoulements Тranssoniques Homogeenes, Progress in Aero..
пautjcal Scieпces, у. 5, 1964. Also: O.N.E.R.A. Tjre А Part 242, 1965.
[4.1.9] Barish, D. Т. and-Guderley, G., Asymptotic Forms of Shock Waves in
Flows over Symmetrical Bodies at МасЬ One, J. Aero. Scj., у. 20, р. 491,
1963.
[4.1.10] Van..Guy, Nguyen, Verification Experimentale de la Solution Homogene
pour un Ecoulement Plan а М == 1, These Lille U., 1962.
[4.1.11] Goursat, М. Е., Sur l'equation differentielle lineaire qui admit pour
integrale la serie hypergeometrique, Aппales Scieпtjfiques de l'есоlе nor..
таlе Superjeure, Supplement аи Тоте Х .. Annee 1881 Deuxieme serie,
pps. 1 142.
[4.1.12] Euvrard, D., Etude asymptotique de l'ecoulement а grande distance
d'un obstacle эе deplacent а la vitesse du son, Premiere Partie, J. de
Mechaпique, 6, #4, 1967, рр. 547 592, Deuxieme Partie, J. de МесЬа..
пjque, 7, #1, 1968, рр. 7 139, Тroisieme Partie, J. ае Mechanjque, 1,
1968, рр. 291 307.
[4.1.13] Randall, D. G., Some results оп the theory of almost axisymmetric flow
at transonic speed, .4.IAAJ, 3, 12, 1965, рр. 233 2341.
192
rлава 4
[4.1.14] Tournemine, Georges, Compartement asymptotique de l'ecoulement 80--
nique autour d 'un COrp8 de revolution finies en аушl de l'onde de choc,
J. de Mechanjque, 7, З, рр. ЗО9 ЗЗЗ.
Имеются на русском языке
[4.1.2] Франкль Ф.И. Исследования по'теории крыла бесконечноrо раз
маха, движущеrося со скоростью звука. ДАН СССР,
1947, т. 57, Х27, с. 5161 1564; также: Ландау Л.Д.,
Лифшиц Е.М. Механика сплошных cpeд. М. Л.: rостехиз
дат, 1954.
[4.1.3] I)дерлей К. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960.
[4.1.5] Фалькович С.В. Околозвуковые плоские течения rаза с особыми
точками на звуко ой линии. ПММ, 1961, т. 25, вып. 2,
с. 218 228.
[4.1.6] Фалькович С.В., Чернов И.А. Обтекание тел вращения звуко
вым потоком rаза. ПММ, 1964, т. 28, вып. 2, с. 280 284.
4.2. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПРИ Мое > 1 (К < О)
Поле потока при Мое > 1 для двумерных и осесимметричных течений делится на
три области. Перед фронтом rоловной ударной волны течение остается невозму
щенным. Тело не оказывает влияния на течение вверх по потоку. В этой области
течение отличается от звуковоrо (Мое == 1). Картина течения между rоловной и xвo
стовой ударными волнами не зависит от течения за хвостовой ударной волной. Она
подобна той, которая возникает при числе Маха, равном единице (рис. 4.2.1).
Течение в дальнем поле подобно по своим свойствам течению, описываемому
линейной теорией, а именно возмущение переносится вдоль линеаризованной xapaK
теристической поверхности вниз по течению. Для систематизации этой идеи исполь
зуются координаты, связанные с линеаризованными характеристиками, так как
предполаrается, что изменения вдоль характеристической поверхности MHoro MeHЬ
ше, чем поперек характеристик.
В результате получается, что течение в дальнем поле между ударными волнами
в целом является симметричным, как и в звуковом случае. Подъемная сила этой
частью потока не создается. Чтобы найти подъемную силу, необходимо изучить
течение за хвостовой ударной волной.
4.2.1. Двумерное течение
При К < О исследуемое уравнение
( IKI (1 + l)фж)фжж + фjj = о
(4.2.1)
в дальнем поле (Фх........ О) является уравнением rиперболическоrо типа. Фактически
при Фх........ О уравнение (4.2.1) переходит в линейное уравнение
IКIФжж фflfl == о ·
(4.2.2)
Трансзвуковое дальнее поле
193
/'
/
/
/
/
/
/
/
/
. /
//
1 .,\ /
'
ф == const
ф==о
х
Рис. 4.2.1.
Течение при А{оо > 1.
Рис. 4.2.2.
Трансзвук вая плоскость, А{оо > 1.
Поле течения, изучаемое с помощью этоrо линейноrо уравнения, состоит из обла..
л
стей невозмущенноrо течения (ф =: const), расположенных перед волновой зоной и
за ней. Последняя оrраничена характеристиками Х::!: v'!КТy =: О, Х::!: v'!КТy =: 1
с У либо меньшим, либо большим нуля. (Здесь предполаrается, что профиль распо..
ложен вдоль у =: О, О х 1.) Возмущения в волновой зоне переносятся по характе..
ристикам Х::!: v'!кт У =: const.
Для нелинейноrо уравнения (4.2.1) ситуация до некоторой степени аналоrична.
Действительно, имеются rоловная и хвостовая ударные волны. Перед rоловной
ударной волной течение невозмущенное (ф =: О). Ударные волны не являются пря..
мыми, они искривлены из..за нелинейности уравнения (4.2.1) (рис. 4.2.2).
Чтобы проанализировать течение в волновой зоне между rоловной и хвостовой
ударными волнами, удобно перейти к координатам, связанным с характеристиками
линеаризованноrо уравнения (4.2.2)
Х == х 1= JiК1 у Хо , У == У ,
(4.2.3)
так что для фиксированноrо множества значений Х мы не выходим из волновой
зоны при изменении Вместо криволинейной системы координат можно ввести
ортоrональную, также связанную с линеаризованными характеристиками, но ника..
Koro преимущества это не дает.
В новой системе координат уравнение (4.2.1) принимает вид
(, + l)фхфхх :i 2JfK f ФХУ ФУ У == о.
(4.2.4)
Здесь Х приблизительно соответствует rоризонтальному расстоянию от центра ме..
стоположения волновой зоны с неопределенной пока величиной Хо. Предп, олarается
что изменения параметров течения поперек характеристик (в направлении потока)
будут HaмHoro больше, чем вдоль характеристик. Таким образом, предполаrается,
lЗ lО84
194
rлава 4
что д/дХ д/дУ, поэтому (4.2.4) в первом приближении должно аппроксимироваТIr
ся уравнением
(1 + 1)фхфхх:!: 2М Фху = О.
Переходя к компоненте скорости й = (", + l)фх, получаем
ййх :i: 2М йУ = о ·
Продолжим теперь исследование с целью дальнейшей систематизации предложен
ной идеи.
Для описания течения в дальнем поле решение будем искать в виде разложения
по автомодельным функциям
ф == IYIQ /(€) + IYI 6 g(€) + ... ,
(4.2.5)
rде () < О!, == X/I YI,g; о! и {3 должны быть определены. Мы ожидаем также, что
(3 < 1 и поэтому д/дХ д/дУ при I УI 00.
Чтобы найти уравнение, которому удовлетворяет f( ), и оrраничения на о!, (3,
подставим разложение (4.2.5) в уравнение (4.2.4) и объединим члены наибольшеrо
порядка по У: Поскольку
фу == :i:JYIQ l(of f3€f'):f: IУI6 1(бg f3€g'),
фуу == IYIQ 2 {(о 1)(а! f3€f') P€(a! f3 f')'} + O(IYI6 2) ,
Фх == IYIQ f' + IYlcS g',
Фхх == IYIQ 213 f" + IYI6 2I3g")
Фху = :tIYIQ I3 l(of f3€f'):t IУlcS l(бg f3€g')' ,
(4.2.6)
то уравнение (4.2.4) с выделенными членами наибольшеrо порядка принимает вид
(1 + 1)IY 12o 313 f' f" + 2MI1"IQ I3 1 {а! f3€f'}' + O(IYIQ 2) = О ·
(4.2.7)
Приравняем их
20 Зf3 == о: f3 1 ,
или
о: == 2(3 1 .
Следовательно, имеем однопараметрическое семейство решений
Ф '" IYI(213 1) f(X/IYII3) .
(4.2.8)
Функция f удовлетворяет уравнению
(1 + 1)f' f" + 2М {(2Р 1)! f3€f'}' = о .
(4.2.9)
После однократноrо интеrрирования получаем
(1 ; 1) (/')2 + 2М {(2 1)/ и'} = А .
(4.2.10)
Трансзвуковое дальнее поле
195
Постоянная А должна быть определена.
Уравнение ударной поляры (3.6.22) принимает вид
[ (1 + 1) 2 ] [ ] [ ] 2
К Фж 2 Фж. Фж. + ФiI . == о ·
Для rоловной ударной волны ero нетрудно переписать в виде
2 1+13 2
IK IUb + 2 иь == "ь )
(4.2.11)
так как ua == V a == о. в координатах Х, У имеем
U == Фж == Фх == IYII3 l "( ),
" == фj == фу =t= МФх == =FIYII3 l Mf'( ) +
:i: IYI213 2((2,8 l)f( ) ,8 f'( )1.
Подстановка этих разложений в уравнение ударной поляры (4.2.11), дает
"1 + 1 IYI3,9 3(1')3 == 2МIУIЗ,9 3 /'((2 1)/ и') +
2
+ IY 14/3 4 ((2,8 1) f ,8 f') 2.
Отсюда в первом приближении получаем (так как (3 < 1) либо f' == О (и == v == о),
либо
"1 + 1 (1')2 == 2JiК1((2 1)/ и') .
2
Таким образом, постоянная в (4.2.10) определяется, а именно А == о, и уравнение
"1; 1 (1')2 + 2v1 K I{ (2 1)/ и'} == о
(4.2.12)
описывает течение в волновой зоне.
Уравнение (4.2.12) является обыкновенным дифференциальным уравнением ne}r
Boro порядка с параметром {3.
rраничные условия следующие: f == о на rоловной ударной волне (ф не имеет разры..
ва при переходе через ударную волну), и, кроме Toro, при прохождении волновой
зоны течение должно сначала сжиматься ([' < о), а затем расширяться ([' > о)
(рис. 4.2.3). Из условия существования Taкoro решения необходимо определить {3,
а затем найти соответствующее ему решение f.
Рассмотрим уравнение (4.2.12) в новых переменных
" f
t == ' 8 == 2 '
а именно
"1 + 1 t 2 t + (2 1)8 == О .
4 V1Кl
(4.2.13)
Решение тоrда может быть найдено интеrрированием выражения
d€ d8
t 28
13*
196
rлава 4
у
х
Рис. 4.2.3.
Автомодельная переменная
и поведение функции f.
s
в
6
Рис. 4.2.4.
Требуемое поведение функции f.
вдоль интеrральной кривой, описываемой уравнением (4.2.13). Мы ищем решени
которое начиналось бы при s = О, t > О (f = О, = О, f' < О) и продолжалось в o
ласть s < О, t > O(f < О, Е < о, f' < О).
При {3 1/2 из уравнения (4.2.9) следует, что, коrда Е проходит через нуль,
f' о, f О ([' обращается в нуль только один раз, а f еще остается отрицатель
ной). Таким образом, интеrральная кривая, прежде чем перейти через s = О, должна
пройти через бесконечность ( == О) и пересечь ось t = о. Она попадает из области
t > О, s < О в область t < О, s < О ([' < О, > о, f < О или f' > О, Е < О), а затем
в область t > О ([' > О, > О). Если {3 1/2, то интеrральная кривая должна вести
себя, как показано на рис. 4.2.4 а, б.
Однако уравнение (4.2.10) в переменных s, t дает кривую, поведение которой
представлено на рис. 4.2.5 а, б при О < {3 < 1/2 и 1/2 < {3 < 1 соответственно. Сле
довательно, оба этих случая исключаются.
Для {3 == 1/2 имеем
l' + 1 f,2 ! f' == о .
4 JIКi 2
== О (и == v == О), либо
2 v / I K I
f' == +
1+1
Отсюда либо f'
s
8
s
б
Рис. 4.2.5.
Поведение (4.2.1() при {j 1/2.
Трансзвуковое дальнее поле
197
(здесь взят положительный корень, так как течение должно сначала сжиматься, а
затем расширяться (рис. 4.2.3». Интеrрируя, находим
Л ) =: + JiКI ( 2 А2 ) , (4.2.14)
, + 1 .
rде л пока неизвестная величина.
и
ф =: JiКI ( Х 2 А2 )
,+ 1 У
(1 + 1)и =: (1 + l)фж == 2М ' I =: 2М IYI . (4.2.16)
rоловная и хвостовая ударные волны имеют координаты Е == ж л COOTBeтCТBeH
но, а возмущение давления линейно по Е. Постоянная величина л связана с формой
тела и ее нельзя определить, исходя только из условий дальнеrо поля. Течение на
большом расстоянии от профиля является течением типа N волны (рис. 4.2.6а), BЫ
зывающим звуковой удар (например на земле). Ударная волна в этом приближении
является параболой (рис. 4.2.6б), а потенциал Ф постоянен в переменных подобия на
кривых Е == Xlv'lYТ == const. Возмущение давления затухает на этих кривых по
закону О( I YI 1/2).
Чтобы найти первую поправку к течению типа N волны, а именно I YI g, необхо
димо исследовать члены 0(1 УI 2) в уравнении (4.2.7). Разложения (4.2.6) с подстав
ленными величинами Ol, {3, f, имеют вид
Фж=:IУI t 21 +IУI6 tg'+... ,
Фхх =: 2 IYI l + IYI6 lg" + . .. ,
Фу =: :I: е IYI l :I: IY16 1 (6 9 g') + ... ,
фуу == 2 eIYI 2 + ... ,
фху == :I: JiКI IYI f :I: IYI6 i ( Бg' !( g')' ) +... .
;+1 2
.
(4.2.15)
х
t
Рис. 4.2.6а.
Возмущение давления в дальнем поле.
Рис. 4.2.66.
Ударная волна в дальнем пол
198
rлава 4
Подставляя их в основное уравнение (4.2.4), находим
IYI 2 2М е 2М IY 1.s 1 ( 6 9 ' ! ( g')' ) == (, + 1) IY l.s t 2J]КТ ( g" + g') + ... .
,+1 2 ,+1
Для нетривиальноrо решения имеем
1
б
2 ·
Объединяя все члены, получаем
2 е == g" .
,+1
Интеrрирование дает
1 з
9 == З(, + 1) + с + D ·
Наконец, мы должны рассмотреть rраничные условия на ударной волне. Положение
ударной волны определяется разложением
I
€. == л + ЛlIУI 2 .
Ударная поляра (4.2.11) в переменных и, rде u == и, v == v .J"lКТ u, имеет
следующий вид:
,+1 uЗ == v2 =r=2JjКjuv .
2
(4.2.18)
Теперь
U == IYI 2J]КТ е + IYI lg' +... ,
'1 + 1
V == :i: JIКТ е IYI l =r= IYI t !(g + g') + ... .
,+1 2
Чтобы найти соответствующие условия на ударной волне, разложим компоненты
скорости в окрестности предельноrо положения ударной волны Е == л при
I УI ...... 00. Таким образом,
UI. == 2, IYI t ( л + ЛIIУI ) + IУI lg'I(= л +... ,
UI s == 2М лIУI + IYI l ( 2М Лl + g'( Л) ) + ...
,+1 ,+1 '
(4.2.19)
VI. == м IYI l (л 2 2ЛЛIIУI ) IYI ! (g( л) лg'( л)) + ... ,
,+1 2
M 2 1 1. ( М 1 ( , ))
V\s== лУ +У 2 2ЛЛl g( л) лg( л) +....
,+1 ,+1 2
fФ.] == о ,
(4.2.20)
Так как
I 2М \ \
9 · I + 1 ЛЛl ·
(4.2.21)
Трансзвуковое дальнее поле
199
Подставляя разложения (4.2.19), (4.2.20) для и, v на ударной волне в уравнение
ударной поляры (4.2.18) и оставляя члены rлавноrо порядка o(y 2), найдем
g'l. == 2( 'у 1) { 4JiК1 Лl + л 2} · (4.2.22)
При выводе (4.2.22) использовалось выражение для gls. Уравнения (4.2.21), (4.2.22)
дают нам два соотношения, связывающие неизвестные постоянные С, D и сдвиr
ударной волны Лl.
4.2.2. Осесимметричное течение
Рассматривается осесимметричное уравнение теории малых возмущений (3.9.33) при
К<О
1
( IKI (1' + l)фж)фжж + Фii + -=Фi == О ·
r
(4.2.23)
Можно предположить, что анализ дальнеrо поля аналоrичен соответствующему
анализу в случае двумерных течений (разд. 4.2.1), так как (4.2.23) получается из
двумерноrо уравнения только добавлением последнеrо члена. Следовательно, ypaв
нение является rиперболическим в дальнем поле (Фх О), а течение является невоз
мущенным (Ф == const) перед волновой зоной, которая оrраничена rоловной и
хвостовой ударными волнами.
Для анализа уравнения (4.2.23), описывающеrо дальнее поле, удобно (как и в
двумерном случае) использовать координаты, связанные с линеаризованными xa
рактеристиками х .JlКТ r == const. Обозначим новые координаты через
Х == х JjЩ i Ха, R == i
(4.2.24)
и будем искать решение в виде разложения по автомодельным функциям
Ф( х, i) == R Q / (Е) + R 6 g( Е) + . .. ,
(4.2.25)
rде
х
E
В{3
(4.2.26)
и () < а, {3 > о.
После дифференцирования разложения (4.2.25) имеем
ф х == R Q {3 /' + R 6 (3 g' + . .. )
Фхх == RQ 2{3 /" + R6 2{3g" + ... ,
ф R == R Q 1 { о: / {1 Е f'} + R 6 1 { О 9 РЕ g'} + . .. ,
ФRR == RQ 2 {о:(о: 1)/ {1(0: I)Е/' (1o:Ef' + p2 (Ef')'} +
+ R 6 2 { О (о 1) 9 Р (о 1) Eg' {1 Е о g' + 2 ( Е g')'} +
(4.2.27)
(4.2.28)
(4.2.29)
(4.2.30)
+... ,
ФХR == RQ {3 l {(о: (3)/' Ef"} + R6 {3 1 {(о (1)g' {1Eg"} + ... .
(4.2.31)
200
rлава 4
Поскольку д/дх == д/дХ, a/ar == a/aR V'lКТ д/дХ, уравнение (4.2.23) в координатах
Х, R представляется следующим образом:
(')' + l)фхФхх + фRR 2JjКj фХR + (фR JfКi Фх) = О . (4.2.32)
Подставляя разложение производных потенциала Ф в уравнение (4.2.32) и оставляя
члены rлавных порядков, находим ({3 < 1)
(')' + 1)R2а З f' 1" 2JfКi Ra l { ( Q /3 + ) l' /3а"} = о. (4.2.33)
Приравнивая их, получаем
2а З = Q 1 ·
Отсюда, как в двумерном случае, получаем значение ol
а == 2{1 1
(4.2.34)
и уравнение, которому удовлетворяет h
(I' + .1)/' /" + 2P€JfКi/" VТК!(2p 1)/' == о .
(4.2.35)
Интеrрирование сразу дает
(')' 1)/'2 + 2 JIKi U' (4/3 1)МI = А ,
(4.2.36)
rде постоянная А должна быть определена с помощью условий на ударной волне.
Уравнение ударной поляры имеет вид
[ ТЕ '"" l' + 1 '"" . 2 ] [Ф 1 I '... I ] ( ' ] О
.П. rrpx 2 rфх xJ т LrФi Фi ·
Используя условие постоянства Ф перед ударной волной, находим, что позади нее
I К I ' ф 2 '1 + l Ф З + ф == о (4.2.37)
х 2 x.r ,
или в координатах Х, У
'1 + 1 з 2 2 / I r. I . О
2 ФХ+ФR \ n.IФХФR== .
(4.2.38)
Подставим (4.2.27), (4.2.29) в уравнение (4.2.38) и сохраним в нем только члены
наибольшеrо порядка
RЗ З ( ')'; 1 I'З 2VТК!(2p 1)1 l' + 2 JjКjЩI,2 ) = о.
(4.2.39)
Отсюда следует, что за ударной волной либо f' == О, либо
')' + 1'2 2JfКi(ц 1)1 + 2JjКj /Зf.I' = о .
2
(4.2.40)
ТраНСЗ8уковое дальнее поле
201
Так как f перед rоловной ударной волной равна нулю (потенциал Ф не имеет разры..
ва при переходе через ударную волну), мы видим, что уравнение (4.2.40) совпадает
с уравнением (4.2.36) на ударной волне, если А == о.
Поэтому необходимо решить нелинейную задачу о собственных значениях
'; 1 1,2 + 2 y1Кlи' ( l)JiI(if == О, (4.2.41)
в которой, как и в (4.2.1), требуется найти такое решение f, чтобы оно сначала
равнял ось нулю, затем становилось отрицательным (f' < о, течение замедляется
ударной волной) и далее меняло знак производной f' > о, поскольку течение УСКО..
ряется снова. В переменных t == f' / , s == f/ 2 уравнение принимает вид,
(,; 1) t 2 + 2 v1Кit (4 1)Ма == о.
Оно совпадает с уравнением (4.2.13), за исключением коэффициента (4{З 1), кото..
р'ый появляется вместо (2{З 1). Требования к f, f' остаются прежними. Следова..
тельно, все утверждения также остаются справедливыми. В результате отыскивае..
мое решение существует, если только
1
/3 == . (4.2.42)
4
Тоrда
( '; 1 l' + V1Кi € ) l' == о .
Отсюда либо f' == о, либо
I'(€) == M€
(1 + 1) ,
1 (€) == JjКf (е >. 2) .
2( 1 + 1)
(4.2.43)
(4.2.44)
Мы имеем те же фунКции (вплоть до множителя 2), что и в двумерном случае.
Однако потенциал и компоненты скорости будут следующими:
I t
Ф == B 2/( ) == i 2 /(€),
и == Ф == R i !'(€) == ;: ! M€
ж (1+1)'
Ф R l { 1 / 1 , } l. /i""UI ,
v== i== 2 2 4 I B 4vI K //,
или
v == M€ v1К1e м >'€
( l 1 + 1 .
1+1);4 4(1+1);2 4(1+1);2
Поэтому опять получаем, что rоловная и хвостовая ударные волны расположе..
ны асимптотически при == ::!: л, а возмущение давления линейно по . Давление
затухает по закону O(f 3/4) на кривых == const. В первом приближении ударная
202
rлава 4
поляра имеет вид
/i'UI , + 1 и 2
v== VIKlu .
JjЩ 4
Чтобы определить поправочные члены к первому приближению, снова проведем
анализ с учетом членов следующих порядков. Подставляя разложения производных
(4.2.27) (4.2.31) в основное уравнение (4.2.32) и используя величины а, {3, f, получа
ем следующее приближение:
R.s ! { (')' + 1) (I"g' + /'g") 2JjЩ (б )g' + €g" JjЩ g'} +
{ 1 5,. 1 2 ,, }
+ R 2 "4 f + 16 € f 1" 16 € f == о ·
Отсюда имеем 5
б == (4.2.45)
4
и уравнение, которому удовлетворяет функция g ,
€", 1 ( 2 ).2 )
2 g + 9 == 2(')' + 1) € "4 ·
Отсюда
g" 2, 1 ( 1 ).2 ) , €2 ( ).2 )
€2 €3 9 == (')' + 1) € 4€3 ' 9 (')' + 1) ln I €I + 4€2 + в ,
€З ).2
9 == 3(')' + 1) ln I€I + 8(')' + 1) € + ве + С · (4.2.46)
Необходимо также удовлетворить условиям на ударной волне. Ее положение
определяется разложением
3
€.== "+"1H 4+... .
(4.2.47)
Имеем также
Ф I == B JjЩ л + B { J[К1 л + g ' I } + · · .
х. ,+1 ,+1 1. ,
Ф I == B л 2 JjКj + B ! { JjЩЛЛl + л ' } ...
R. 4(,+1) (,+1) 4 g 4 g + ·
(4.2.48)
(4.2.49)
Так как потенциал остается непрерывной функцией при переходе через ударную
волну и поскольку
Ф\. == H { JjКj ЛЛl + gl. } + ... ,
1+1
I \!ТКI
9 I в = , ЛЛ 1 .
1:1
Подставляя разложения для Фх I s, ФR I s, (4.2.48) и (4.2.49) в уравнение ударной поЛJI
ры (4.2.38) и используя формулу (4.2.50) для величины g Is, получаем в rлавном п<r
то
(4.2.50)
Трансзвуковое дальнее поле
203
рядке O(R 3) следующий результат:
g'ls= /2 ) {8Л1JiК1+л2}.
40'1+1
(4.2.51)
Уравнения (4.2.50) и (4.2.51) являются двумя соотношениями для определения трех
постоянных }ч, В И с.
4.3. ДАЛЬНЕЕ ПОЛЕ ПРИ МОО < 1 (К > О)
Течение при МОО < 1 сильно отличается как от звуковоrо течения (Моо == 1), так и
от сверхзвуковоrо течения (МОО > 1). При МОО < 1 ero нельзя разделить на независи..
мые области. Сверхзвуковая зона, примыкающая к поверхности профиля, занимает
оrраниченную замкнутую область. Течение вне этой зоны является дозвуковым, и,
следовательно, все точки оказывают влияние друr на дрyrа в поле потока.
В дальнем поле течение приближенно описывается линейной теорией, которой
соответствует модифицированное' уравнение Лапласа. Картину течения в дальнем
поле можно изучить, построив разложение в предположении, что ero rлавный член
является известным решением из линейной теории. Решение в дальнем поле можно
также найти, анализируя асимптотическое поведение интеrральноrо уравнения, опи..
сывающеrо течение. Последний метод имеет преимущество, поскольку позволяет
вычислить коэффициенты разложения.
В противоположность случаям Моо > 1 и Моо == 1 в разложении, описывающем
дальнее поле течения с подъемной силой при МОО < 1, rлавным будет член, ответ..
ственный за подъемную силу. Дальнее поле характеризуется вихрем, источником и
различными мультиполями, т. е. фактически особенностями, помещенными в нача..
ло координат.
4.3.1. Двумерное течение
При Моо < 1 (К > О) течение в дальнем поле является дозвуковым. Основное уравне..
ние (3.1.16)
(к ('1 + l)фж)фжж + ФiJj = О
после замены переменной
у = vк у == v 1 M y
(4.3.1)
принимает вид
(1+ 1)
Фжж + Фgg = к ФжФжж.
(4.3.2)
Таким образом, коrда в дальнем поле Фх ....... О, течение в системе координат х, j в
первом приближении описывается уравнением Лапласа. Картина дальнеrо поля мо"
жет быть получена либо путем построения разложения, начинающеrося с известно..
ro из линейной теории решения, либо путем асимптотическоrо исследования
решения интеrральноrо уравнения. Начнем с первой процедуры, поскольку она бо..
204
rлава 4
лее простая. После этоrо будет рассмотрена вторая процедура, так как она дает
больше информации о неизвестных постоянных.
Подъемная сила несущеrо про филя связана с циркуляцией
L 1. = f и dl == 1 1 [и];=odx = [Ф] _=О = r . (4.3.3)
,Росс 8 о z>1
Основной член разложения в дальнем поле по линейной теории обусловлен цирку
ляцией
r
Ф '"OJ 211" 8 ·
(4.3.4)
Здесь
8 == arctg
JiКТ ii = arctg у
х х
(4.3.5)
в дальнейшем будем использоват ь перем енную
r == V x2 + Ку2 == V x2 + у2.
(4.3.6)
Возможный член с log r из разложения исключается, поскольку профиль является
замкнутым. Следующий член по линейной теории должен быть диполем O(l/r),
однако из за нелинейности уравнения (4.3.2) перед этим членом в разложении появ
ляются друrие поправочные члены.
Следующие члены в асимптотическом разложении потенциала Ф при r..... Q() мож
но найти из решения уравнения (4.3.2). При этом на каждой стадии решения правая
часть уравнения (нелинейные члены) известна. При переходе к координатам r, 8
уравнение (4.3.2) принимает вид
1 1 ,+1
Фrr + Фr + 2 Ф ,е == К ФжФжж. (4.3.7)
r r
Предполаrая, что асимптотическая форма решения Ф имеет вид
r8
Ф== ь+... ,
получаем
r sin8
Фж == + · .. ,
27r r
ф %% = r sin е 08 е +... .
7r r
Таким образом,
Ф Ф r 2 sin 2 е С08 8
ж жж 21(' 2 r З
r 2
- { cos 8 cos 38} + · .. .
81r 2 r З
Теперь уравнение (4.3.7) в первом приближении приобретает вид
1 1 (, + l)r 2 ( COS 8 СOS 38 )
Фrr + Фr + 2 Фее == 8 2 К з + · .. ·
r r 11" r r
Частные решения этоrо уравнения леrко найти в форме cos 8(log r/r), cos 38/r, так
что
Ф r8 r 2 (,+I)logr л r2(,+I)cos38 Dcos8 Esin8
21r + 167r 2 к r cos и 641r 2 К r + 211"r + 211"r +.... (4.3.8)
Трансзвуковое дальнее поле
205
Первый член в (4.3.8) пред ставлен циркуляцией (из линейной теории), с которой
мы начали. Следующие два члена являются нелШlейными поправками. Член с Iog ,/,
обусловлен тем, что cos в/, является решением однородноrо уравнения Лапласа. Ero
же решениями типа диполя являются четвертый и пятый члены в разложении
(4.3.8). На этом этапе невозможно определить неизвестные постоянные, поскольку
при вычислении не были учтены особенности формы тела. Вид разложения (4.3.8)
соrласуется с найденными ранее Финном и Джилберrом [4.3.1], а также Лудфордом
[4.3.2].
Отметим, что разложение (4.3.8) для Ф не является равномерным при К..... о, ес..
ли только, не стремится к бесконечности с тем же порядком.
Сила сопротивления дается формулой (3.10.7)
D f({ v 2 1+1 3 ки2 } "., ) /
б!'УРоо == 2 + з и 2 dy + иdx + [иv].dx.
Из асимптотическоrо разложения Ф видно, что и == 0(1/,), v == 0(1/,), поэтому
при ,..... 00 вклад от криволинейноrо интеrрала исчезает. Следовательно, сила
сопротивления обусловливается только ударной волной: 15 == [(" + 1)/12] )s[u]:dx
(см. разд. 3.10).
Можно также найти представление дальнеrо поля в плоскости rодоrрафа. Даль..
нее поле в физической плоскости при ,..... 00 соответствует точке w == К, {} == о в
плоскости rодоrрафа (здесь w == (" + l)фх К, {} == (" + I)Фj). Поэтому оно в плос..
кости rодоrрафа изображается особенностью, размещенной в точке w == К, {} == о.
Поскольку фх ry/(21[",-2), Фу rx/(21[",-2), имеем (w + к)2 + .02 == (" + 1)r 2 /
/(41["2,-2). Отсюда получаем
А (1+ 1 )(w+K)r
у '"v 21r((W + К)2 + 172) ·
(4.3.9)
Линии у == const соответствуют окружностям
( 1 ) 2 1
W + к 20 + д2 == 402 ' (4.3.10)
так что особенность в плоскости rодоrрафа выrлядит как диполь (рис. 4.3.1, а). Та..
кая ситуация имеет место для несущеrо профиля (r о). Для профиля без подъем..
ной силы (r == о) дипольные члены в разложении (4.3.8) потенциала Ф становятся
rпавными. В этом случае особенность в плоскости rодоrрафа, соответствующая
дальнему полю, является точкой ветвления (рис. 4.3.1, 6).
Чтобы найти более cтporoe представление дальнеrо поля, выведем точное инте..
rральное уравнение, эквивалентное полной краевой задаче, а именно уравнению
(4.3.2) с условиями на ударной волне (3.1.25), (3.1.26), rраничным условиям (3.1.16,
rYl, rY2) и условию Кутта (3.1.16, К. Ж.). Затем исследуем асимптотические
свойства решения интеrральноrо уравнения при ,..... 00.
При выводе интеrральноrо уравнения за основу возьмем линейную часть уравне..
ния (4.3.2), а нелинейный член рассмотрим в качестве правой части. Поэтому испо..
льзуем решение уравнения Лапласа S (х, у) типа источника с оrраниченными
производными в бесконечности. Оно удовлетворяет уравнению
Sжж + Sgg = б(х )б(у '7)
(4.3.11)
206
rлава 4
"
"
w
w
K
а
6
Рис. 4.3.1.
Дальнее поле для несущеrо профиля (о) и для профиля без подъемной силы (6) в плоскости ro--
доrрафа.
и имеет вид
В(х Е, 9- '1) = 2 log J (x Е)2 + (9 '1)2.
Далее,
11 (5v 2 ф фV'l5) dEd'1 = II S(Е,О)[фn]wdЕ + loo 5,,(Е,0)[ф]у=оdЕ
1)
1 В(Е, '1.(Е)){[ф{]d11. !ф,,]dЕ}. (4.3.12)
Ударные волны
После подстановки V 2 ф из (4.3.2)
2 (')'+ 1) ')'+ 1 д 2
V Ф = к Ф{ФН = 2К дЕ Ф {
и V 2 S из (4.3.11) уравнение (4.3.12) принимает следующий вид:
ф(х,у) = 1'2 1 11 S :Е (ф{)2 dЕ d 11 + II S(Е,О)[Ф,,]wdЕ
D
100 В" (Е, О)[Ф]у=о dE + 1 S {[ф,,] d11. [ф,,] dE} ·
Ударные нолны
Интеrрируя один раз по частям первый интеrрал и используя (4.3.3), получаем
ф(х, у) = 12 1 1 1 S{ф dE d11 + 11 В( Е, О)[ф,,]w dE
D
II 5" (Е, О)[Ф]у=о dE r 100 5" (Е, О) dE + ! S {( [ф{] 12 1 [ф ]) d11. [ф,,] dE } ==
Ударные волны
== 11 + 12 + 13 + I. + Is .
ТраНСЗ8уковое дальнее поле
207
Интеrрал Is ВДОЛЬ ударной волны обращается в нуль, так как условия на ударной
волне содержатся в уравнении, т. е. выражение, стоящее в круrлых скобках, равно
нулю. Основная трудность состоит в анализе интеrрала 11; исследование интеrралов
12, 13 И 14 HaмHoro проще.
Используя rраничное условие (3.1.16, ry 2), находим для 12
1 1 1
(F F )log J r2 2rEcos8+ 2dE.
211" о
Здесь " (J определяются формулами (4.3.5), (4.3.6), так что при '...... 00 имеем
1 ( 1 ( ' ' ) 1 СОВ 8 1 1 ( ' ' )
211" log r 10 F.. Ft dE 211" О F.. Ft d + ... ·
Далее, предполаrая профиль замкнутым, т. е. Р и ( ) == Fi ( ) , получаем
1 COS8 1 1 cos8
12== (Fu FL)d +... ==Aw 2 +...,
2 r о r
rде Aw является площадью сечения профиля.
Теперь при '...... 00
s ( O) rsin8 sin8 +...
" , 2 r 2 2r cos 8 + 2 2 r ·
Следовательно,
sin 8 1 1
13 == + 2 [Ф( ,о)J d ·
r о
Производная S." имеет особенность в области интеrрирования 14, поэтому при OTЫC
кании 14 необходимо проявить некоторую осторожность. Имеем
ry (00. 1
[4 == 211" 11 (х )2 + у2 dE ·
Подстановка == х + jtg (J дает при '...... 00
r fJ r А ( 1 )
14 == arctg == arctg 1 + +...
2 х 1 2 х х
r
arctg
2
у r у
+...==
х 2 х 2 + у2
r rsin8
== 8 +...
2 21rr ·
Тоrда
r8 8in 8 { 1 1 [ ] } cos 8
ф(х,у) == 11 + + r + Ф(Е,О) dE +Aw + ... ·
211' 21rr о 21rr
Теперь, чтобы оценить 11, разобъем область интеrрирования на две одну
внутри Kpyra радиусом М, друrую за ero пределами. В интеrрал за пределами
208
rлава 4
Kpyra добавим и вычтем член с циркуляцией. Тоrда
: 11 == 1М 127< SЕф рdрdд + f: 127< SE (Ф ( ) 2 si :: д )РdРdд+
1 00 1 271' ( r ) 2 · 2 f)
+ Sf. Sln dpdf) ==J 1 +J 2 +J з ,
м о 21[' р
rде
2 + '72 == р2 ,
'7
Ф == arctg ,
а первый интеrрал имеет область интеrрирования с разрезом вдоль 11 == О от == о
до == 1.
Так как
s == rсоsfJ рсоsд ,
( 211" r 2 2rp соэ(е д) + р2
то при оrраниченном р и r..... 00 получаем
1 cos 8
S f. == 21[' + · .. ·
(4.3.13)
Поэтому при r..... 00
1 cos fJ 1 М 1 271'
J 1 == ф рdрdf)+ ... ,
21[' r о о
rде интеrрал снова имеет разрез вдоль 11 == О от == о до == 1. Далее имеем также
J2 == сos (J {СО {27< ( ф2 ( ) 2 sin 2 д ) pdp df) .
21[' .,. J м J о ( 21[' р2
Последний результат не очевиден сразу, поскольку асимптотическое разложение
(4.3.13) производной Sf не является равномерно приrодным во всей области инте
.rрирования. Однако оставшаяся часть подынтеrральноrо выражения {Фl (r 2 /
/(2 »(sin2t?/ р2») имеет порядок 0(1/ р2) при Р 00. в действительности, как мы уви
дим, она имеет порядок О «log р)/ р3). Следовательно, в области, в которой асимп
тотическое представление Sf более не справедливо, оставшаяся часть интеrрала
мала. Запишем
J 2 == cos(J {СО {27< Ф ( ) 2 Sin2д рdРdд +
r J M Jo 21[' р2
+ fM co 127«SE С (J )(ф ( )2 Si::д )РdРdд.
Можно показ, ать что второй интеrрал при r..... 00 имеет порядок О «log r)/,-2).
Наконец, необходимо оценить Jз
( r ) 2 {ОС {27r
J з == 211" J M pd p Jo
r cos (J р cos д sin 2 д dt?
21r r 2 2трсоэ(е 19) + р2 р2
Трансзвуковое дальнее поле
209
== r 2 (00 p 1 dp (2" (тcos 8 р cos 11) sin 2 11 d11.
(211")3 J М J o r 2 2rpcos(8 t?) + р2
Делая подстановку (J д == х, разбивая подынтеrральное выражение на части и ис
пользуя выражения
f а если а 2 < 1,
[ о " cos пх dx 1 .: а 2 n,
J (] 1 2а cos х + а 2) если а 2 > 1,
== l an(a 1)
можно вычислить величину BHYTpeHHero интеrрала. Имеем
{
J ( cos 8 cos 38 р2 )
21r если р < r,
} 2т 4 т 3 ,
t 21rr cos ()
если р > r.
4р2
Поэтому
r 2 1 r ( cos 8 cos 3() р d 1 00 т cos "() d ==
Jз (2 ) 2 2 4 3 Р + 4 3 Р
1r М тр r f' р
== ( ) 2 { cos 8 log т cos 8 log М cos 38 + cos 8 +... } .
211" 2т 2r 8т 8r
Таким образом, объединяя все результаты вместе, получаем
== r8 + '1 + 1 ( ) 2 10g r cos 8 "1 + 1 ( ) 2 cos 38 +
Ф 21r 4К 21r r 16К 21r r
D cos 8 Е sin 8
+ + + . .. , (4.3.14)
21rr 21rr
rде
D == Aw + '1 + 1 ( ) 2 + "1 + 1 (М (2.. рф2 dpd11 +
211" 211" 16К 21r 4K1r J o J o (
I 1 { [ 00 {21f ( ( r ) 2 sin 2 () ) ( r ) 2 }
+ ; 11" J м J o ф 211" р2 Р dpd11 + 211" 11" log М ,
Е 1 (l r
211" == 211" J o [ф(€,О)] d€ 211" ·
(4.3.15)
(4.3 .16)
Отметим, что зависимость от величины М является кажущейся. В действительности
слаrаемое с log М, но со знаком минус появляется при вычислении нижнеrо предела
в интеrрале, стоящем в фиrурных скобках, от ero BToporo подынтеrральноrо члена.
Аналоrично первый подынтеrральный член в этом интеrрале также зависит от М,
60 эта зависимость компенсируется первым интеrралом в D.
Заметим, что разложение (4.3.8), описывающее дальнее поле и полученное по
средством итераций, соrласуется с найденным из интеrральноrо уравне ия (4.3.14).
14 1084
210
rлава 4
Последнее дало возможность определить интенсивность диполей (4.3.15), (4.3.16).
4.3.2. Осесимметричное течение
для осесимметgичноrо течения, в котором, естественно, отсутствует подъемная си..
ла, при МОО < 1 дальнее поле определяется дипольным членом, так же как и в не..
сжимаемом течении. В этом разделе разложения строятся на основе интеrральноrо
представления потенциала ф, что позволяет определить коэффициенты перед ди..
польными членами. Анализ п роводится т ак же, как и в разд. 4.3.1.
После подстановки ;: == v K(j 2 + Z 2 ) уравнение осесимметричноrо течения
(3.9.33) принимает вид
1 1+1 2
Фжж + Ф;; + -;Ф; = 2К (Фж)ж.
Решением типа источника уравнения Лапласа является S == l/r, поэтому из формулы
rрина имеем
1+1 ! (( 2 / ( ( дф as )
Ф = 2К 111) S(ф ) dv + 161) S дп дп ОО,
(4.3.17)
rде D трехмерная область, оrраниченная расположенным вдоль оси х(О х 1)
бесконечно малым цилиндром, поверхностью на бесконечности soo и ударными
волнами.
Для больших R имеем Ф == O(x/R 3 ), rде R == (r + F)I/2. Поэтому если soo ци..
линдр радиусом ;:00 и высотой Хее, то интеrрал по области soo исчезает при ;:00'
хао 00.
Беря первый интеrрал в (4.3.17) по частям, находим
'Y2 l fflS ф:dV+ !Роflе(S : Ф :: )da.
(4.3.18)
Здесь Се цилиндр радиусом е, а О х 1. Отметим, что член, связанный с удар.-
ной волной
/ - ( ( 8 дф 1 + 1 8 ф2 ) da
J s дп 2К
пропадает, так как подынтеrральное выражение совпадает с условием на ударной
волне (3.9.36).
Теперь из (3.9.36) известно, что
Ф ( F2(X) ) ' I '"
""w og r ,
r O 2
поэтому выражение для Ф (4.3.18) принимает вид
1+ 1 /!! (1 (27r ( Р 2 (х) ) '
ф= 2К S ф dv+ 1010 Slp=o 2 diJdx=
== 11 + 12 ,
Трансзвуковое дальнее поле
211
rде
s == ((х )2 + ;2 + р2 2;pcos((J д)) l .
Таким образом,
1 1 1 1 2 (F2(€))'
[1 dд d ""'
2 о о у' (х €)2 + ;2
1 1 % (F2(€))'
,...., 11" d €
r oo о В3
или после интеrрирования по частям получаем
11"% 1 1
11 ,...., В 3 F2 (€) d€ .
r oo О
Здесь рассматривается тело конечных размеров F( ) = о.
При '....... 00 и оrраниченных , р имеем
% % 1
S€ == I == Н3 + О( В3 ) ·
((х )2 + r 2 2rpcos(lJ д) + р2) 2
(4.3.19)
Тоrда
1+1 f ra(( (,+1)% (2 f OO (00
12 = 2К JJ D S ф d" = 2КRЗ J o ooJo ф рdрd dfJ
1+ 1 (2 f OO (00 % 2
2К J o oo J o (S RЗ ) ф рdрd dfJ ·
(4.3.20)
Используя (4.3.19) и тот факт, что Ф =: O(I/R 2 ), R....... 00, можно показать, что BTO
рой интеrрал в (4.3.20) при R....... 00 имеет порядок O(I/R 3 ). Следовательно,
D%
Фl R oo В3 '
rде
D= 1r{11F2( )d + ,;1 [:100 Ф РdРdЕ}.
4.3.3. Несущее трехмерное крыло
Чтобы определить картину течения в дальнем поле для несущеrо TpexмepHoro KpЫ
ла, найдем интеrральное уравнение для потенциала и исследуем асимптотические
свойства ero решения. Анализ аналоrичен тому, который был применен в случае
двумерноrо крыла в разд. 4.3.1.
Дальнее поле было построено Клюнкером [4.3.3], а исправления в этой работе
были позже произведены Мурманом [4.3.4].
После замены переменных (") == ук(..-..) трехмерное трансзвуковое уравнение
14*
212
rла8а 4
принимает вид
,+1
Фжж + Фji + Фjj == 2К (Ф )ж.
(4.3.21)
Уравнение справедливо в области, оrраниченной поверхностью крыла сходящей
с задней кромки вихревой пеленой V и ударными волнами s. Поверхности W
в плоскости (х, i) имеют координаты B i В ( Vk В z vk В) (рис. 4.3.2).
Следовательно, применяя формулу rрина с решением типа источника S(x, y z)
уравнения Лапласа
S(x, у, z) == (471' V (x Е)2 + (у ,,)2 + (z )2) l ,
//L(SV2ф фV2S)dtJ== /lD (Ф : S : ) 00,
и используя уравнение (4.3.21), получаем
ф(х, y,z) == //L S 12 1 (ф ) dtJ + /lD (S : ф : ) 00,
(4.3.22)
rде поверхность о[) состоит из wu vusuSao, а п внутренняя нормаль к ней.
Здесь soo является замкнутой поверхностью, расположенной на бесконечно большом
расстоянии.
Уравнение (4.3.22) для потенциала ф, кроме Toro, можно упростить следующим
образом. Первый интеrрал берется по частям, давая новый интеrрал по области
[) и интеrрал по поверхности S ударных волн. Второй интеrрал имеет вид
r s дФ da r ( ф дS S дФ ) da r aS da.
J s дп Jw дп дп Jv дп
Здесь использовался тот факт, что потенциал Ф не имеет разрыва при переходе че..
рез ударную волну, а Фх непрерывна при переходе через вихревую пелену, поэтому
они не дают никакоrо вклада. Поскольку Фх непрерывна при переходе через раз..
рыв Ф при переходе через V является функцией только от z. Всю эту информацию
можно использовать, чтобы исключить интеrралы по вихревой пелене. Интеrрируя
9
у
v
х
х
1
8
(5
Рис. 4.3.2.
Трехмерное крыло (а) и ero поперечное сечение (6).
ТраНСЗ8УКовое дальнее поле
213
по частям, получаем
/ " f ф дВ da
Jwuv дп
..t / f [ ] ( 1 х ) 1 d d
4,," J w ф( + J(x €)2 + у2 + (z ))2 у2 + (z ))2 ) ,
rде [ф ] теперь означает ф ( , 0+, r) ф ( , o , r) разрыв Ф при переходе через
поверхность крыла. Наконец, собирая все члены, относящиеся к ударным волнам,
находим
f s [ I + 1 Ф 2 + д Ф ] da
J s 2К ж дп ·
Выражение в скобках совпадает с условием (3.1.43) на ударной волне, так что по
следний интеrрал равен нулю. Следовательно, rруппируя все члены вместе и испо
льзуя rраничные условия (3.1.36), получаем
Ф = 12 1 !!h S(ф d d1J d) !!w S[F(] d d) +
+ :,," !!w[Ф(] у2+( ))2 (1+ J(X )2x:Y;+(Z ))2 )d d) =
=- [1 + [2 + [з ,
(4.3.23)
rде [ ] == ( )и ( )/.
Заметим, что если Ф не зависит от z (двумерное течение), то (4.3.23) можно про
интеrрировать по z и получить уравнение, которое соrласуется с (4.3.12). Также об
ратим внимание на то, что интеrрал по soo исчезает. Это нужно проверить после
построения дальнеrо поля. Второй интеrрал в уравнении (4.3.23) является суперпо
зицией источников на поверхности крыла, а третий суперпозицией подковообраз
ных вихрей вдоль т ой же повер хности.
Для R I(R == r + у 2 + Z 2 ), оrраниченных , r и 71 == О имеем
S( '" "' ) 1 ( x€ Z )
Х, у, Z ,...,., 1 + + + · . .
41rR R2 R2 '
так что
!! S[F(] d d) '" 4,," 3 !! [F(] d d) .
w w
Для крыла конечных размеров J JFf]d == о, поэтому прсле интеrрирования по ча
стям получаем /! /!
[2 = S[F(] dE d) '" 4,," 3 [F] d d) ·
w w
При анализе асимптотических свойств ]3 заметим, что необходимо рассмотреть
две области одну в окрестности следа (х велико, r == 0(1», друryю вдали от Hero
(r велико).
214
rлава 4
При R 1 имеем r l(r == (92 + Z2)1/2), т. е. на больших расстояниях от следа,
и оrраниченных , r
1 (1 х ) 1 (1 2 .i )
""W + х
у2 + (z )2 I у (х €)2 + у2 + (z )2 r 2 r 2
( 1 х x.i r 2 € )
х + R + RЗ '
поэтому
13 4;r 2 (1 + ) // [Ф(] dE d +
w
zy ( 2 ( х ) х ) / ( у / (
+ 471'r2 r2 1 + R + R3 J w [Ф(] dE d 471' R3 Jw Е[Ф(] dE d ·
Заметим, что если фf является четной функцией по t (левое и правое крылья
симметричные), то второй член равен нулю и
1з 4;r 2 (1+ ) //[Ф(]dЕd 471' 3 // Е[ф(]dЕd .
w w
в окрестности вихревоrо следа при R 1 и малом r нельзя более раскладывать
у2 + (Z t)2. В результате
у !! [ф ] у /!
13 '" 271' (2 )2 + !? dE d 871'х 2 [Ф(] dEd ....
w w
у / r( ) у /
'" 271' !? + (2 )2 d 871'х 2 r( ) d ·
w w
Обратимся, наконец, к изучению асимптотических свойств /1. Поскольку область
интеrрирования оrраничена, получаем
S х
""W 41r RЗ ·
С друrой стороны, для неоrраниченной области интеrрирования справедлива оценка
(на основе 12, 1з)
1
Ф О( R2 ) ·
Следовательно,
х 1+ 1 //! 2
[1 ""W 41r RЗ 2К Ф d€ df] d ·
Окончательно находим
ф == ф О.С + 471' 3 ( / / [F] dE d + 'Y2 1 / / / Ф: dE df1 d ) ,
W D
(4.3.24)
Трансзвуковое дальнее поле
215
rде
Ф п . с
'"
== l з ""
у ( % ) У zy ( 2 ( % ) Х )
1 + L M + 1 + + М ж если
,2 R НЗ 11 ,2,2 R RЗ '}
f r( ) d f r( ) d если
211" у2 + (z )2 811"%2 ,
W W
'»1,
(4.3.25)
R oo
,« 1,
и
L == 4 ff[Ф ]d(,d ,
w
М ж == 4 f f [ф ] d(, d ,
w
МfI == 4 f f (,[ф ] d(, d
w
r == f [ф ] d(, ·
w
Как и в двумерной теории (Мао < 1), в разложении, описывающем дальнее поле,
rлавные члены связанные с подъемной силой. В этом случае при r 1 основной
член обусловлен элементарным подковообразным вихрем, расположенным в начале
координат. Члены более BbIcoKoro порядка, также дающие вклад в подъемную силу,
состоят из диполя в начале координат и для несимметричноrо по Z крыла из распре..
деленных вдоль оси квадруполей.
4.3.4. Нестационарное двумерное течение
Для колеблющеrося двумерноrо трансзвуковоrо про филя (К > О) дальнее поле мо"
жет быть найдено в предположении, что в формировании течения, как и в стацио..
нарном случае (К > О), преобладает циркуляция [4.3.5]. Это означает, что течен е
на больших расстояниях подобно течению от сконцентрированноrо в начале коорди"
нат вихря.
Нестационарное трансзвуковое уравнение (3.11.13) имеет вид
(к (, + 1)фж)фжж + ф" 2Фжi == О ·
в линейном приближении, коrда Фх О при :r == (.r + Ку2)1/2 00, оно переходит
в более простое
к Фжж + фflfl 2Фжi == О ·
(4.3.26)
Таким образом, наша цель решить систему
КU ж + Vfi == 2ui ,
иfI v ж == fб(х)о(у)е iОt ,
(4.3.27а)
(4.3.27б)
в которой u == Фх, v == Фу. Предполаrается, что вынужденная частота колебаний яв"
ляется доминирующей, т. е. индуцированные rармонические колебания затухают
быстрее. Если решить систему, то
216
rла8а 4
r(l) == ! udx + t.dy == !!(и у vж)dхdу == rе Юt .
А
Мы приняли комплексную форму записи, позже действительная часть 6удет выделе
на в соответствии с rраничным условием (3.11.14).
Сначала удо6но исключить время из уравнения (4.3.27а). Положим для этоrо
.., 2
t. == t +- К Х, х. == х .
в результате система (4.3.27) принимает вид
к иж. "1 V y == О ,
2 ""'..., int.
и у V ж . К Vt. == rБ(х )Б(у)е
(4.3.28а)
(4.3.286)
Теперь можно определить функцию тока 1/;
и == Фу, V == К1jJж. .
После дополнительной замены переменной
у. == ,fК y
уравнение (4.3.28) принимает вид
..,
Ф,,",," + Фж"ж" + Фж"t" == h(Х.)h(у.)JКеЮt"
(4.3.29)
Наконец, отделяя временнУю переменную таким 06разом, что
Ф == Ф(х*, y*)e int - ,
получаем
'V'.2ф + 2in ф " == h ( х* ) б ( . )
К ж JК у,
(4.3.30)
rде
V* == д
дх. ' д *
у .
Положив далее
ф е"'(Ж А
,
rде
in
'==к'
получаем
2 ...
'V'.2 А + 2 А == Jк b(X.)b(Y.) .
При х. О, у. о уравнение (4.3.31) является уравнением rельмrольца. Ero реше
.
ние симметрично относительно начала координат и, следовательно, А == А(, ).
Поэтому 1 02 f б(r.)
A r - r - + Ar- + A == (4.3.32)
r* К2 vк 21rr* ,
(4.3.31)
Трансзвуковое дальнее поле
217
rде r* == (х*2 + у*2)1/2.
Для стационарноrо потока О == О и решением (4.3.32) является А == clogr*. Если
О О, то решением будет
А == вн(2) ( nr* )
о К .
(4.3.33)
Здесь т 2 ) == Ja i Уа, а второе решение т 1 ) исключается условием излучения, а
именно, волны не должны приходить из бесконечности. Для больших r* имеем
H 2) (nr. / К) ..... ( J ... . )e ':((nr' / K) (.../ 4),
так что
.1. B{!f; K Шж+iПt. i ( Пr. .!t )
y; е к к .
1rOr * ,
или в первоначальных координатах
ф B V 2К е+,:t+iOi ': (r ж) .
1rOr
Отметим, что фаза обращается в нуль, если
Kt == r ж ,
или
к? + 2tж == у2 .
Последнее выражение совпадает с уравнением характеристической поверхности
(3.11.22), поскольку к* ---+ К при r...... 00. Таким образом, асимптотически волны pac
пространяются вдоль поверхности характеристическоrо конуса.
При определении В заметим, что решение уравнения (4.3.31) относительно А
обусловлено источником, помещенным в начало координат r* == О, так что
..,
А log r*
vк 21r ·
Из (4.3.33) следует
( 2; ( nr* ))
A B log К '
следовательно,
Таким образом,
..,
в == ri
4Vf( .
А = il' н(2) ( nr* )
4Vf( о К
и
.1. ir in(i+ :r ) Н (2) ( Or* )
у; 4vк e а К ·
218
rлава 5
Поскольку найденное решение рассматриваемой задачи справедливо при больших
r, для нас представляет интерес только ero асимптотическое поведение
rv ir {l;; iП ( i *+* ) iL
ф '"-J e е 4..
00 4 1rnr
Для определения потенциала Ф воспользуемся равенством Фх == фу. Отсюда Ф ==
х
== J оофуdх. Следовательно, имеем
ir (f у iП ( i f+ к ) i.!t+...
Фж == зе е 4
4 1rr r1
и далее
Ф if а .., iпi i Jt f Ж .., 1 +i R K ( r. +ж) d
'"-J уе е. r 2 е ж ,
4 1r{} oo
или
.., а 1
r 2 у(lжl)2 .., n 1r
Ф '"-J K cos ( nt (r + Iжl) ) .
00 4 1rO r(lжl + r) К 4
(4.3.34)
Обратим внимание на то, что потенциал дальнеrо поля является запазды
вающим.
ЛИТЕРАТУРА
[4.3.1] R. Finn, and Gilberg, D., Asymptotic Behavior and Uniqueness of Plane
Subsonk Flows, СоПШl. Pure and Аррl. Math., 10, 1957, рр. 2 63.
[4.3.2] G. S. S. Ludford, ТЬе Behavior at Infinity о! the Potential Function of а
Тwo Dimensional Subsonic Compresible Flow, J. Math. and РЬув., 26,
(1951), рр. 117 130.
[4.3.3] Klunker, Е. В., Contribution to Methods for Calculating the Flow about
Thin Lifting Wings at Тransonic Speeds Analytic Expressions for the
Far Field, NASA TMD 6530, Nov. 1971.
[4.3.4] Murman, Е. (частное сообщение).
[4.3.5] Krupp, J. А: and J. D. Cole, Unsteady Тransonic Flow, Studies in Тran
sonic Flow IV; UCLA School о! Engineering and Applied Science Re--
port, UCLA ENG 76104, October 1976.
5. ТРАНСЗВУКОВАЯ ТЕОРИЯ
TOHKOrO ПРОФИЛЯ
в данной rлаве изучается трансзвуковое обтекание тонких профилей. В первую оче..
редь рассматриваются некоторые специальные вопросы теории малых возмущений,
такие как течение вблизи носка и ударные волны вблизи стенки. Затем обсуждается
численный метод для дозвуковоrо обтекания в физической плоскости (разд. 5.4) и
для обтекания со звуковой скоростью в плоскости rодоrрафа (разд. 5.5). Наконец,
приводится трансзвуковой закон стабилизации, позволяюЩИЙ описать течение в
окрестности Мао = 1, коrда известно течение при Мао = 1.
5.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Метод разложения (разд. 3.1) приводит к математической постановке для потенциа..
ла возмущения ф( п, которая состоит в следующем:
(к (, + l)фж)фжж + ф,;, == О, уравнение K. r. ,
(5.1.1а)
или
( к Фж ..,; 1 Ф ) ж + (ФIi)1i == О, консервативная форма. (5.1.16)
1. rраничное условие непротекания ставится при j = О в плоскости трансзвуко..
вых переменных ( 1/2 Х 1/2).
фу ( х, O:I:) == F , l ( х) == :I: t' ( х) + С' ( х) А , (5.1.2)
rде Р и , I(X) уравнения контура верхней и нижней поверхностей профиля соответ..
ственно (рис. 5.1.1); в друrих случаях форма заданноrо профиля выражается через
распределение толщины t(X) , среднюю линию с(х) и отношение А = 0./0 = const,
rде о. уrол атаки.
2. Условие Кутта Жуковскоrо должно выполняться на задней кромке. По..
скольку давления на задней кромке сверху и снизу должны быть равными и
2
С р == 26 зфж,
условие Кутта Жуковскоrо принимает вид
[Фж]з.. ==Фж( +,О+) Фж( +,О ) ==0.
(5.1.3)
3. в первом приближении rраничное условие в дальнем поле состоит в том, что
возмущения на бесконечности (вверх по потоку) обращаются в нуль (Фх, Фу О).
220
rлава 5
9
Участок конечн азностной сетки
ф Дальнее поле
i I
j
"'
*,Oq.J
,.., .
I
[фх] = О,К. Ж.
[ф ]спе.а = r
)(
1
2
1
2
фу = F/ (х)
Рис. 5.1.1.
Типичная задача дозвуковоrо обтекания профиля. Плоскость трансзвуковых переменных.
Более детальный анализ (разд. 4.3.1) показывает, что в дальнем поле справедливо
разложение вида (4.3.8)
r ( r ) 2 '1 + 110g r ( r ) 2 '1 + 1 cos 38 D cos 8 I Е sin 8 I
Ф == 8 4... cos 8 +"1 + . . . ,
21r I .21r 4 r 21f 16 К r 21fT 21rr
(5.1.4)
rде r == vr + Ку ]. , 8 == arctg УКу/х. Здесь r циркуляция скорости по контуру,
охватывающему профиль
r == f Фж dx + Фу dy == [Ф] 3.К . (5.1.5)
Из (5.1.5) следует, что существует разрыв потенциала на следе, Т. е. поперек линии
j == О, х > 1/2
[ф] след == ф(х, 0+) ф(х, o ) == r .
(5.1.6)
Далее 6ыли получены выражения для интенсивностей диполей D и Е (сравни
(4.3.15) и (4.3.16»; они включают в себя интеrралы от решения и интеrралы по
профилю. Эти выражения 60лее полезны в течениях 6ез подъемной силы.
4. Условия на разрыве должны 6ыть выполнены на каждой ударной волне, воз..
никающей в потоке. Как показано в разд. 3.6.2, соотношения на ударной волне со--
держатся в консервативной форме (5.1.16) OCHOBHoro уравнения теории малых
ВОЗМУЩtний. Интеrрирование поперек ударной волны приводит к формулам
f [к ж . "{ ; 1 Ф ] dy. + [ф у] dx. == О } ,
1 [Ф II ] dy. + [Фж] dx. О
(5.1.7)
Трансзвуковая теория тOHKOZO профu.ля
221
rде
[ ] == ( )ь ( )а,'
эквивалентны соотношениям (3.6.21). Кроме Toro, допускаются ЛИIIIЪ скачки
сжатия
[Фz] < о.
Основное уравнение вместе с условиями (1) (4), по"видимому, определяет
единственноеl) решение задачи обтекания заданноrо профиля. Условие Кутта су..
щественно для определения циркуляции течений, имеющих дозвуковую скорость в
окрестности задней кромки, так же как и для полностью дозвуковых течений.
В случае коrда течение является сверхзвуковым в окрестности задней кромки, это
условие выполняется автоматически с помощью системы волн, развивающейся на
задней кромке.
Постановка задачи для сверхзвуковоrо набеrающеrо потока в основном та же
самая, за исключением Toro, что условия в дальнем поле имеют иной вид, однако
они теперь не столь существенны для получения решения. Все, что требуется те..
перь, это однородный поток перед отошедшей или присоединенной rоловной
ударной волной.
5.2. ОСОБЕННОСТЬ В НОСКЕ
В любых численных расчетах желательно знать природу особенностей, встречаю..
щихся в решении. В теории малых возмущений точка торможения в носовой части
профиля является особой. Природа этой особенности может быть раскрыта ло..
кальным анализом течения; она имеет форму автомодельноrо решения в широком
классе случаев. В дозвуковой линейной теории в задачах о несущем профиле синrу..
лярность в носке имеет характер сосредоточенной силы; в задачах о толстом про..
филе синrулярность зависит от формы передней кромки. В трансзвуковом случае
для определения природы особенности существенна нелинейность. Здесь нельзя от..
делить задачи о несущем и толстом профилях.
В данном разделе рассматривается лишь случай конечноrо радиуса кривизны в
носке, хотя аналоrичные рассуждения применимы и в некотором диапазоне конту..
ров степенной формы. Для параболическоrо носка имеем
Fu,t(X) == :I:ayX{ 1 + . · .} ; == у2Нс ,
(5.2.1)
rде Rc безразмерный радиус кривизны. rраничное условие непротекания вблизи
носка имеет вид (сравни (5.1.2»
Фii(х,О::l:) == ::1: 2:1х {l + .. .} для х > О. (5.2.2)
Основное уравнение (сравни (5.1.1а» можно записать следующим образом:
(')' + 1 )ф:r,Фжж фуу == к Фжж .
(5.2.3)
1) Недавние расчеты показали возможность неединственности решения для узкоrо диапазона дозву
ковых чисел Маха.
222
rлава 5
у
х
а
Ф9 = 2li
х
1
У =оа ух+...
.0
8
(j
Рис. 5.2.1.
Q физическая плоскость; б плоскость трансзвуковых переменных.
Поскольку в носке существует особенность, rлавными членами являются нелиней..
вые члены и ФУУ. Влияние правой части уравнения (5.2.3) должно быть малым.
Итак, следует искать автомодельное решение вида, paccMoTpeHHoro в rл. 4 в
представленноrо там формулами (4.1.10), (4.1.11)
(, + l)ф(ж, у) == уЗk 2 f(€) + уа fl(€) + ... ,
ж
€ == .....k
У
(5.2.4)
(рис. 5.2.1).
Здесь рассматривается лишь первый член решения (5.2.4). Заметим, что
(, + l)фж == y2k 2 f'(€), (, + l)фжж == yk 2 f"(€),
(/+ I)ФIi = уЗk З{ (3k 2)/ kU'}'
(/ + I)ФIiIi = iiЗk 4{ k 2 e /" + 5k(1 k)€!' 3(1 k){3k 2)/} .
(5.2.5)
Отсюда при у....... о и фиксированном получим для уравнения (5.2.3)
л евая часть ,.., j3k 4,
Правая часть ,.., r 2,
так что левая часть при k < 1 является преобладающей; в первом приближении
чение вблизи носка не зависит от параметра подобия К. Функция f( ) определяета
как решение уравнения (4.1.14).
Рассмотрим вначале верхнюю полуплоскость. Здесь ....... 00 при j ....... о, х > о. Из
уравнения (4.1.14) получаем разложение
(/ + l)ф = iiЗk 2 {ьoe + ble +...} , (5.2.6)
( l)ф ..... зk з ь 3 .1 ,
,+ i ==у l Ic +...
Ь з J. ..... О О
== lЖ Ic + . .., у , х > .
(5.2.7)
Сравнивая с rраничным условием (5.2.2), получаем
3 1
3 k == 2'
Трансзвуковая теория mОНКО20 профuля
223
или
6
k== <l.
7
(5.2.8)
Затем определяется константа b 1
ао
b 1 == (1' + 1) 2 ·
Величина ьо произвольна, иначе rоворя, не определяется локальными условиями.
Таким образом, решение вблизи носка имеет следующую общую форму:
(, + l)ф(х, у) = yt f(€),
х
€== ::т.
ут
(5.2.9)
Теперь решение следует продолжить к оси впереди тела ( ' 00), а затем на ниж"
нюю полуплоскость. В общем случае полное решение rораздо проще выразить в
переменных rодоrрафа через функции и решения, которые в простом виде связыва..
ют верхнюю и нижнюю поверхности. Кривые == const в физической плоскости пе..
реходят в кривые W/{}2/3 == const в плоскости rодоrрафа (сравни разд. 4.1). Это
видно из формул (5.2.5) при W == (1' + l)фх, {} == (1' + l)фv, если учесть, что
w f'
а == 2 == fn( €) · (5.2.10)
{j 3 ((Зk 2)/ kU') з
Получается также, что вдоль кривой == const имеем у ....., W 1 / 2k 2. Для особенности
в носке имеем у ....., W 7/2. Автомодельные решения в переменных rодоrрафа выра..
жаются уравнением (4.1.57). Переменные таковы
Р = J tЭ2 wз, расстояние-в канонических эллиптических
9 переменных
,
(5.2.11)
и
. {J
Sln Q == .
р
(5.2.12)
Очевидно, что переменная а служит переменной подобия. Для особенности в носке
у""" p 7/3, так что в формуле (4.1.57) имеем {3 == 13/6. Итак,
T ( 7 1 2 ) T ( 7. 2 )
У J == Р т F 6' 1; 2; sin а. == Р 3 1 3 Sln о ,
"" T . ( 5 1 3 . 2 )
ун == Р 3 Sln oF з' 2; 2; Sln о · (5.2.14)
Особое решение ун вблизи носка, эквивалентное решению в дальнем поле (w 00)
в плоскости rодоrрафа, можно представить в следующем виде:
"" T { ( 7. 2 ) . ( 5 1 3 . 2 ) }
YN =CIP 3 С2 1 З SШ о. +sшоF З' 2; 2;SШ о ,
(5.2.13)
( 5 .2.1 5)
с 1, С2 == const.
На rраничных кривых, представляющих верхнюю и нижнюю поверхности про..
филя, имеем у O:i:, Х > о, а на оси впереди профиля у о, х < о. При задан..
224
rлава 5
с, 1 9 р7/З
Рис. 5.2.2.
Общий вид двух rиперrеометрических функций, составляющих решение для Ун.
д
д ( w)ЗI2
т
д
"
"-
'-о.... ",,-
....-.., .............. ..........
w
а
9
а 2
а.= а 2
а = аз
8
Фf = 2JX
)(
а = а,
8
Ф9 = 2rX
б
Рис. 5.2.3.
Течения в окрестности носка.
а в плоскости rодоrрафа; б в плоскости трансзвуковых переменных.
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
225
ном значении постоянной с2 можно найти а, при котором YN == о. Если имеются
три корня аз > а2 > аl, то структура решения правильно отражает течение в
окрестности носка, причем аз и .аl соответствуют образу верхней и нижней стенок
профиля, а а2 образу разделяющей линии тока. Характер изменения rипер
rеометрических фунКЦИЙ показан на рис. 5.2.2, а схема решения в канонических
перемеlПlЫХ rодоrpафа (r == 2w2/ З /3, д) и в IШОСКОСТИ трансзвуковых перемеlПlЫХ пока
зана на рис. 5.2.3. Асимметрия соответствует течению около носка несущеrо профиля.
На rраничных кривых и разделяющей линии тока YN == О имеем а == const, т. е.
2 1
f) == r tg С. а , т == 3 ( w ) 2 ,
д == ( ( ю)! tg а).
(5.2.16)
rраничные кривые и разделяющая линия тока являются прямыми линиями В плос
кости д, т и полукубическими параболами в обычных переменных rодоrрафа
(д, w). Для профилей без подъемной силы с симметричным по у потенциалом
ф(х j) константа С2 в решении для окрестности носка УН (5.2.15) равна нулю. Тоrда
а2 == О и rраничные линии тока вблизи w == ..... 00 соответствуют значениям
аз == 80,50, аl == 80,50 .
Константа Сl, разумеется, фиксирует масштаб решения в окрестности носка. Для
несущих профилей а2 > О и с2 < о. Кроме Toro, должны удовлетворяться условия
аl > ..... 900, аз < 900, поэтому ..... 0,2629 < С2 < о; 80,5 о < аз < 900, ..... 68,3 о > аl >
> ..... 80,5 о .
В трансзвуковой теории малых возмущений сила в окрестности носка имеет KO
нечное значение. Например, сопротивление носка (на единицу размаха) до координа
ты х == Е равно
DN == РОО 2 С l' {CP..OF (x) CptoFt(X) } dx,
rде С характерная длина, т. е. хорда профиля, а С р == .....20 2 / з фх коэффициент
давления.
Из (5.2.9) следует, что
(5.2.17)
(, + l)фж(х, у) == y ; f'(€).
(5.2.18)
Поэтому (сравни (5.2.6»
t ')' + 1) Ф ж ( х, 0+) ...... ь о ( ) х ! .
(5.2.19)
Эта формула показывает
Р и , 1 (х) ....., х'" 1/2 И
характер особенности
для давления в носке,
DN (' d (1 .
10 Х6
Подъемная сила в области носка также конечна и обращается в нуль при Е о.
Эти результаты можно обобщить на класс степенных форм носка
(5.2.20)
F..Ax) == :l:ax" { 1 + ...}, J.l < 1.
(5.2.21 )
15 1084
226
rлава 5
По аналоrии с (5.2.8)
з
З =Il l,
k
з
k= .
4 1l
(5.2.22)
Автомодельное решение в общем виде записывается следующим образом:
х.
(/+l)ф==У4 1i f( ), == ........L.. .
У 4 1i
и соответственно особенность для давления определяется формулой
(')' + 1) Ф ж ( х, 0+) ....... Ь О ( 1 + 2: ) х 2( 1з") +... .
По аналоrии с (5.2.20) имеем
(5.2.23)
1 ( .2
D #"O.J з (l #L) (l #L) d
NI"'>oJ ж Х Ж)
о
1 ( dж
DN ·
о жз(l l')
(5.2.24)
Таким образом, сопротивление носка конечно для 2/5 < J.L < 1, и это неравенство
определяет форму затупления, для которой применима трансзвуковая теория малых
возмущений.
Природу этой особенности часто можно не учитывать при проведении расчетов
конечно..разностным методом в переменных (х, j) (разд. 5.4), однако ее структура
существенна при построении решения для про филя в плоскости rодоrрафа
(разд. 5.5).
5.3. УДАРНАЯ ВОЛНА
НА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
в данном разделе определяются некоторые особенности течения в окрестности
сильной ударной волны (при переходе через которую течение из сверхзвуковоrо ста..
новится дозвуковым) в том месте, rде ударная волна пересекает криволинейную по..
верхность. Рассматривается плоское течение. Поскольку уравнение является
эллиптическим в дозвуковой области за ударной волной, можно ожидать появления
особенности решения в yrловой области, образованной ударной волной и pToroHa..
ль но пересекаемой ею поверхностью, rде происходит изменение типа rраничных
условий. На поверхности ставится условие непротекания, а на ударной волне
два условия на разрыве, связывающие поток за ударной волной с потоком впереди
нее. Характер особенности впервые изучался raддoM [5.3.1] для идеальноrо rаза
в той же самой постановке, как и здесь. Некоторые новые особенности формы
ударной волны были описаны в работе Осватича и Цирепа [5.3.2]. Эммонс показал,
что эта особенность той же природы, что и особенность при разрыве кривизны
в сжимаемой жидкости. Приведенные ниже рассуждения показывают, что это дей..
ствительно так и что это приводит К ускорению, возрастающему по лоrарифмиче..
скому закону до бесконечности вдоль поверхности в точке за ударной волной.
Трансзвуковая теория тoHKOZO профиля
227
Ниже дано несколько более общее исследование, чем в работе [5.3.2]. Рассмат"
ривается нормальная к стенке ударная волна с условиями W == W a перед ней и
W == Wa за ней в соответствии с ударной полярой (разд. 3.6). Отыскиваются под..
ходящие представления в виде рядов для параметров перед волной и за ней по сте..
пеням расстояния от ударной волны. Показано, как эти ряды MorYT локально
удовлетворять условию непротекания и условиям на разрыве.
Течение в окрестности ударной волны удобно описать функцией l,O(x, п, удовлет..
воряющей уравнению (разд. 5.1)
<Рж<Ржж <Pjj == о,
(5.3.1)
rде
<Рж == w == (, + l)фж К ,
lpj == д == (, + l)фj .
Здесь W мера отклонения скорости от скорости звука, а д yrол наклона векто..
ра скорости. Рассмотрим смешанное течение (рис. 5.3.1), rде ударная волна замыка..
ет сверхзвуковую область в .точке Хо.
В трансзвуковой плоскости (х, j) (рис. 5.3.2) ударная волна подходит к точке
х == хо при j == о. rраничное условие непротекания при j == о можно разложить в
ряд около х == хо
ф;,(х, О) = Р'(х) = Р'(Хо) + (х хо)Р"(Хо) + (х 0)2 Р"'(Хо) + . .., (5.3.2)
или
д(х, О) = до + (х хо)(,. + 1)Р"(хо) + (х 0)2 (,. + 1)Р"'(хо) + ... ,
rде до == ('У + 1)F' (Хо).
Вследствие инвариантности исходной системы уравнений относительно переноса
начала отсчета переменных х и (J можно записать
(5.3.3)
д до ----+ {) ,
(5.3.4)
х ХО ----+ Х
и рассмотреть ударную волну в начале координат над стенкой, которая при х == О
имеет rоризонтальное направление (рис. 5.3.3). rлавный член в rраничном условии
у
у
/
,/' м > 1
х
W = W.
м < 1
1
I
W = W a
Х
Ха
Ха
Рис. 5.3.1.
Ударная волна вблизи криволинейной
стенки, физическая плоскость.
Рис. 5.3.2.
Ударная волна вблизи криволинейной
стенки, плоскость трансзвуковых пере..
менных.
15*
228
rлава 5
Y= 9
W. W.
х
Ф9 = t1 (х , О) = ь 2 Х
Рис. 5.3.3.
Ударная волна вблизи стенки.
""""""',
имеет вид
д(ж, О) == <Pfi(X, О) == Ь2ж, ь2 == (1 + l)F"(жо), (5.3.5)
rде Ь 2 > О для выпуклой поверхности. Далее уравнение (5.3.1) преобразуется к COOT
ветствующему виду для областей впереди и позади ударной волны, чтобы отличие
от состояний W == ж W a можно было представить в явном виде. Пусть
<р( ж, у) == W a { Ж + Ф( ж, У)} впереди,
<р(ж, у) == W a { ж + Ф(ж, У)} позади,
(5.3.6)
rде У == ..JW; у.
Тоrда
<Рж == W o {l + фж} впереди,
rpж==wо{ l+Фж} позади,
3
<Pi == W! Фу впереди,
3
<Р; == W! Фу позади.
Окончательные уравнения имеют вид
Ф жж Фуу == ФжФжж впереди, (5.3.7)
Фжж + Фуу == ФжФжж позади. (5.3.8)
Решения перед ударной волной и за ней представляются в следующем виде:
Ф == Ф w + Ф р , (5.3.9)
Ф == Фh + Фр, (5.3.10)
rде Ф w решение для волновоrо оператора в левой части уравнения (5.3.7),
а Ф р частное решение, обусловленное нелинейной правой частью (вычисленной
на решении Ф w ). Такая процедура имеет смысл при Х, У..... о. Аналоrично Фh ra}r
моническая функция, удовлетворяющая оператору Лапласа в левой части уравнения
(5.3.8), а Фр частное решение, обусловленное нелинейной правой частью этоrо
уравнения. Оба решения должны удовлетворять условию непротекания
ь 2
Фу(х,о) = Фу(х,о):= K2x,K2 = :J
(5.3.11)
и условиям на разрыве. Эти последние условия можно записать следующим обра
зом. Обозначим криволинейную ударную волну через
ж == ж.(У) кривизна ударной волны,
(5.3.12)
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
229
rде Xs(O) == О, dXs/dY 10 == О (в начале координат ударная волна ортоrональна стен..
ке). Поскольку потенциал q; непрерывен на ударной волне, можно записать
x.(Y + Ф(х., У) x.(Y) + Ф(х., У),
или
х.(У) == {Ф(х., У) Ф(х., У) } .
(5.3.13)
Второе условие вытекает из уравнения (3.6.24) для уrла наклона ударной волны
( dx ) rc:\ для [д] < О,
d TV (w) ,
у . + для [д] > о.
Итак, в координатах (х, у) имеем
dx.
dY т
Фж(х., У) + Фж(х., У)
2
(5.3.14)
Соотношения (5.3.13) и (5.3.14) задают необходимые условия на разрыве вдоль зара..
нее неизвестной ударной волны Xs( У). Предположим теперь, что решение перед
ударной волной является rладким. Для Ф w имеем
Фw I(x У) + g(x + У),
rде J, g произвольные функции. Функции f и g должны начинаться с квадратич"
ных членов, поскольку возмущения скорости Ф х , Фу должны обращаться в нуль
при (х, У) о. rраничное условие непротекания должно удовлетворяться при х < о.
Итак,
Ф W == а(х у)2 + {j(x + у)2 .
(5.3.1 )
Удовлетворяя rраничному условию, получим
Ф W == Il У 2 ,,2 Х У + Ilx 2, Jl Q + /3 .
(5.3.16)
Отсюда Ф wх == K2y + 2рХ, Фw.u == 2р. безразмерное ускорение потока. Можно
ожидать, что в окрестности ударной волны х! < < У, поэтому rлавным членом пра..
вой части будет
2
Ф Ф 21l." У+....
W Z W zz r
Отсюда получаем частное решение в виде
1 2 3 ( 2 )
Ф р == p." у +0 хУ .
3
Итак, для течения перед ударной волной имеем
Ф(х, У) == lly 2 к 2 ху llк2уз + Ilx 2 + о(ху2),
Фж;(Х, У) == ,,2y + 2р.х + 0(у 2 ) ,
Фу (х, У) == 21l Y ,,2х 1l,,2y2 + О(хУ) .
(5.3.17)
(5.3.18)
(5.3.19)
23()
rла8а 5
Отметим, что rраничное условие (5.3.11) удовлетворяется. Для области ниже по
потоку от ударной волны можно записать, используя комплексный потенциал
Ф,.(х, У) + iФ,.(х, У) = Az 2 10g z + (в + i 2 ) z2 + Сz З log2 z +
+ (D+iD.)z 3 1 ogz + (Е+iE.)z3 + ...
(5.3.20)
для х > xs( У), rде
z == ж + iY == re i ' ,
а константы А, Д G Д D*, Е, Е* действительные числа. rлавная часть rранич..
Horo условия непротекания удовлетворяется слаrаемым iK 2/2; члены более высоко..
ro порядка D*, Е* MorYT компенсировать добавки, обусловленные Ф р и членами
О(х2) в rраничном условии (здесь не рассматриваются). Заметим, что
Фh z iФ hу == 2Az log z + (А + 2В + iK 2 )Z + 3Cz 2 10g 2 Z +
+ (2С + 3D + iЗD.)z 2 1 0g z +
+ (D + iD. + 2Е + i2E.)z2 + ... .
(5.3.21)
Отсюда при У == О, х > О имеем
Ф hу (х, О) == K2x + 0(x 2 1og х).
(5.3.22)
Природа наиболее сильной особенности в (5.3.20) это разрыв кривизны; две про..
изводные изменяются как 10g z, а величина 1(log z) терпит разрыв, коrда (J == argz
изменяется от О до 1r. Чтобы завершить рассуждения, необходимо определить пове..
дение rлавноrо члена решения Фр. Заметим, что
Фh z = !Rl{ 2Ar(cos 8 + i sin8)(log r + i8) +
+ (А + 2В + i IC 2) r ( cos 8 + i sin 8) + · · · } ==
== 2Ат log r cos (} + О(т),
Ф h zz = !Rl { 2А log z + · .. } = 2А log r + 0(1) ·
Поэтому
Фh z Ф hzz == 4A 2 r 2 1og 2 r cos (} + О(т log т) .
Итак, представляя уравнение (5.3.8) в следующем виде:
1 1
Ф Рrr + ФРr + 2 ФР " == Фh z Фh zz + · ..
r r
== 4A 2 r 2 1og 2 r cos (J + 0(r 2 1og т) ,
найдем частное решение, имеющее следующие rлавные члены:
А 2
Ф р == r31og2 r cos (} + О(т 3 log r) ,
2
А 2
Ф р == x(x2 + у2) log2 У х2 + у2 + ... .
2
(5.3.23)
(5.3.24)
Трансзsуксвая теория тoHKOZO профUЛJI
231
в итоrе имеем
Ф ==!Rl {А(х + iy)21og(x + iY) + (в + i 2 ) (х + iy)2 +
+ С(х + iY) 21og2 (х + iY) + (D + iD*)) (х + iУ)З log(x + iY) +
+ (Е + iE*)(x + iУ)З + ...} +
А2
+ x(x2 + у2) log2 J х 2 + У2 + ... . (5.3.25)
2
Чтобы определить поведение этой функции вблизи ударной волны, заметим, что
xs( у) < < У, фактически как О( у2) (см. ниже). Итак,
log(x + iY) == logiY + log( 1 i ; ) == logY + i( ; ; ) + 0( ;: ) ,
log2(x+iY) ==log2y +2i( ; ; ) logY ( ; ; )2 +...,
Ф; == !Rl{ 2А(х + iY) log(x + iY) + (А + 2В + iIC 2 )(x + iY) +
+ ЗС(х + iy)21og2(x + t.Y) + (2С + 3D + i3D*)(x + iy)21og(x + iY) +
+ (D + iD* + 2Е + 2E*i)(x + iy)2 + ...} +
А 2
+ {зх2 + у2} log2 J х 2 + У2 + ... . (5.3.26)
2
После этоrо первое условие на ударной волне (5.3.13) с помощью (5.3.18) и (5.3.26)
принимает вид
х.(У) == { Ay21ogY ву 2 +... lly 2 + О(х.У)},
или
(5.3.27)
1 1
хв(У) == Ay21ogY (B+Il)y2 +О(УЗlоgУ).
2 2
Заметим, что если А < О, то xs( у) < о при У о. Отсюда
dx. == AYlogY ( !A+B+Il ) Y+O(y2 1 0g Y )
dY 2
и
( :;: ) 2 == A2y 2 1og2 У (А 2 + 2АВ + 2AIl)(y21og У) + 0(у 2 ).
Друrое выражение для этой величины можно получить из BToporo условия на удар"
ной волне (5.3.14). Из (5.3.26) получим
Ф Ж == !Rl{ 2А(х + iY) (log У + i( ; + ; ) ) + (А + 2В + iIC 2 )(x + iY) +
(5.3.28)
232
rлава 5
+ зо(х 2 у 2 + i2xY) (log2 У + 2i( ; ; ) log У)
(20+3D+i3D.)( Y210gy+...)} + 2 Y210g2Y+...,
(5.3.29)
или
А2
Ф Ж == (1r А + к, 2 у) + 2Ах log}J' зсу 2 10g 2 У + y 2 1og2 У + О(У logY) .
2
(5.3.30)
Таким образом,
Фж(х., У) + Фж(х., У) =
== (1I'A + 1C 2 )у + 2Ax.logY + ( 30 )Y 2 10g 2 У + O(y 2 IogY) +
+ ( к,2y + 2Jlx. + ...)::
== (11' А + 21C 2 )у + 2Ax.log У + ( 2 30) y 2 log2 У + O(y 2 log У). (5.3.31)
Условие (5.3.14) имеет вид
"" ( dx. )
Фж(х., У) + Ф(х., У) == 2 dY 2
Сравнивая (5.3.31) и (5.3.28), видим, что решение существует лишь при условии
тА + 2/(2 == О
2
А == к,2 .
11'
(5.3.32)
Тоrда
2A2y 2 1og2 У 2(А 2 + 2АВ + 2AIl)y 2 1og У + о(у2)
( 1 2 1 2 )
=2А 2AY logY 2(B+Jl)Y +... logY +
+ ( 2 30 )Y 2 10g 2 У + o(y 2 10gY).
Приравнивание коэффициентов при слаrаемых типа О( y 2 1og2Y) позволяет опреде
лить значение константы с:
с = A2 . (5.3.33)
6
Члены вида О( y 2 1 og Y) MorYT быть взаимно уничтожены соответствующим выбо
ром констант D и др.; величина В в этом решении не определяется и должна быть
найдена из решения задачи в целом. Для выпуклой стенки константа А отрицатель
на и пропорциональна кривизне к 2. На выпуклой стенке ударная волна изrибается
в направлении вверх по потоку; на воrнутой стенке в обратном направлении
(рис. 5.3.4). Заметим, что кривизна ударной волны удовлетворяет соотношению
d 2 x
lo g У -----+ 00
dy2 ·
Трансзвуковая теория тOHKOZO профиля
233
Ударная
волна
х
. х
Ударная
волна
Рис. 5.3.4.
Форма ударной волны вблизи стенки.
Вниз ПО потоку от ударной волны при х ---+ 0+, У == О справедливы следующие соот..
ношения для ускорения: <Рхх ....., к 2 log х ---+ + 00 (выпуклая стенка) и коэффициента дав..
ления: С р ....., <РХ ....., к 2х log х; это показывает, что вниз ПО потоку от ударной волны
имеет место разрежение. Эти особенности были выявлены при проведении тща..
тельных численных расчетов и анализе ранних экспериментов Аккерета.
ЛИТЕРАТУРА
[5.3.1] Gadd, George Е., ТЬе Possibility of Normal Shock Waves оп а body
with convex surfaces in Inviscid Тransonic Flow, Zejt. Aпg. Math. and
Phys. 11, 1960, рр 51..55.
[5.3.2] Oswatitsch, К. and Zierep, J., Das Problem des Senkrechten Stosses an
einer gekriimmten Wand. Zejt. Aпg. Math. and МесЬ., 1960, Suppl
ment, рр 143..144.
5.4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ, ФИЗИЧЕСКАЯ ПЛОСКОСТЬ,
СТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ
Из..за невозможности получения достаточно общих аналитических решений нели..
нейной задачи смешанноrо типа (5.1.1) наилучшим способом изучения обтекания
профилей и трехмерных крыльев считаются конечно..разностные методы. В ранних
работах Иосихара и MarHYc рассматривали (псевдо)нестационарный вариант урав..
нения для полноrо потенциала (3.1.1), и тационарное решение получалось при
t---+ 00. В их работе использовалась важная идея ПРШlадлежащая Лаксу и Вендроффу;
она состояла в применении искусственной вязкости для сrлаживания разрывов на
ударных волнах. С целью уменьшить расчетное время и увеличить возможности
численноrо подхода использовались релаксационные методы для стационарноrо по..
тока [5.4.1]. Ударные волны вновь учитывались автоматически с помощью конеч..
но..разностной схемы.
Релаксационные схемы хорошо приспособлены для расчета дозвуковой, или эл..
липтической, области поля течения, поскольку они существенно зависят от тенден"
ции эллиптическоrо оператора к усреднению. Коrда же аналоrичные конечные
разности применяются для точек сверхзвуковой, или rиперболической, области, ло..
кальная область зависимости искажается и возникает неустойчивость численной
234
rлава 5
схемы. Например, если оператор центральной разности по х применить в rипербо..
лической области, то при этом учитывается локальное влияние вверх по потоку
точки, расположенной вниз по потоку. Если это случается даже в одной точке rи..
перболической области, релаксационная схема расходится. Таким образом, требу..
ются разности, чувствительные к типу уравнения, т. е. типично rиперболическая
схема для точек сверхзвуковой области и типично эллиптическая схема для точек
дозвуковой области. Поскольку природа течения (сверхзвуковое или до звуковое) в
различных точках неизвестна до решения задачи, применялась итерационная проце..
дура. Следовало разработать тест, позволяющий решать, лежит ли расчетная точ"
ка в эллиптической области, и использовать соответствующую схему на каждой
итерации. Дальнейший анализ Taкoro рода показывает, что существуют два допол..
нительных типа точек разностной сетки: звуковые точки, обычно лежащие на зву"
ков ой линии, И точки на ударной волне, находящиеся в зоне (расчетной) структуры
ударной волны [5.4.2].
В следующих разделах прежде Bcero проведем анализ конечно разностной схемы,
а затем обсудим ее применимость для решения задачи разд. 5.1. После этоrо будут
приведены примеры расчета поля течения, сопротивления и подъемной силы.
Следует использовать полностью консервативную разностную схему; в этом
случае разностные уравнения содержат условия на ударной волне. Уравнение в KOH
сервативной форме (5.1.1 б) записывается в следующих переменных:
( w 2 ) д..==O
2 11'
ж
(5.4.1)
rде w == <РХ == (1' + l)фх К, {} == <Ру = (1' + l)фу. Рассмотрим произвольную ячейку
(4х", ду> равномерной разностной сетки, построенной в плоскости (х, у>; узлы сетки
обозначены индексами (i j). Результаты леrко обобщаются на случай переменноrо
шаrа сетки. Уравнение (5.4.1) можно записать в консервативной потоковой форме
для площадки с центром в узле сетки (i, j), как показано на рис. 5.4.1.
Получим
{ ( 2 ). 1. ( 2 ) . . } Ду (t9 i ,i+! t9i,i !) Дх == О,
1+ 2'3 1 ! ,3
(5.4.2)
i, i + 1
.
, j+1/2
i+1/2,i+1/2
i
. 9
i 1, j 1
4
. .
i, J I + 1, J
w
/ + 1/2,1
X .
.
i, i 1
Рис. 5.4.1.
Контрольная ячейка.
'ljJQнсзвуковая теория тoHKOZO профUЛJI
235
или
{Wi+ !,; + Wi ! ,j}{ Wi+!,j Wi !,j} Ду {дi,н! дi,j !} Дж == о.
(5.4.3)
ВеЛИЧШIа {}i, j + 1/2 всеrда рассчитывается в результате аппроксимации производ
НОЙ по у центральной разностью; если же использовать такую же аппроксимацию
для расчета Wi:!: 1/2, j, то будет получена разностная форма дифференциальноrо
уравнения, удобная для расчета точек эллиптической области, точное определение
которых дается ниже. Разностные формулы имеют вид
аа ( ) <Pi,; + 1 'Pi,; {) 'Pi,; 'Pi,; 1
Vi,;+! == ipj i,;+i y , i,; t y ,
(5.4.4)
(с) == ( ) ipi+l,; 'Pi,; (с) 'Pi,; 'Pi 1,;
W' + 1' 'Рж i+1 J ' А ,W. 1.' А Х
' 2') 2' X . 2 ,)
(5.4.5)
Уравнение (5.4.3) запишется так
( lpi+1. :i l,j ) ( lpi+1,j ( ;)2 + lpi l.j ) ( lpi,j+1 ( )2 + 1pi,j 1 ) == о.
(5.4.6)
Разностная схема для эллиптической (дозвуковой) области.
Этот разностный оператор является центральным и имеет второй порядок ап
проксимации; он имеет консервативную форму и применим для записи эллиптиче
cKoro оператора. Разностное уравнение является уравнением эллиптическоrо типа;
ero решение устоЙЧИВо к звуковым возмущениям, если центральная аппроксимация
q;l c ), выраженная первым множителем в скобках в левой части (5.4.6), отрицательна
(с) == 'Pi+ 1,; 'Pi 1 ,;
'Р ж 2 x '
ip c) < о
для устойчивости в эллиптической области.
(5.4.7)
Расчетный шаблон, задаваемый оператором (5.4.6), показан на рис. 5.4.2; значения
в центральной точке (i, j) нужно вычислить по значениям в соседних точках.
Этот расчетный шаблон неудобен для точки rиперболической области, посколь
ку в нем присутствует локальное влияние вверх по потоку точки (; + 1, j) на точку
(i, j), однако точки можно переобозначить путем замены i + 1 ..-.+ i. Точку, располо..
женную вниз по потоку, можно явно рассчитать через четыре точки, расположен..
ные вверх по потоку. Вместе с тем широко известный критерий устойчивости
. i, j + 1
/9
. х .
i 1, j i,j i + 1, j
.
i, j 1
I1x
Рис. 5.4.2.
Эллиптический расчетный
шаблон.
236
rлава 5
Куранта Фридрихса Леви (КФЛ) дЛЯ явных rиперболических схем требует,
чтобы расчетная область зависимости включала в себя физическую область зависи
мости, получаемую из дифференциальных уравнений
Ду ( d Y ) 1
ДХ > dx Вдоль xapaKT e .
ристики
(5.4.8)
Вблизи звуковой линии, rде <Рх == О, рассматриваемая схема становится неприrод
ной, поскольку при заданном шаrе i1j величина шаrа J1x вынужденно становится
очень малой. Неявные rиперболические схемы, однако, безусловно устойчивы и xo
рошо сочетаются с методом ЛlПlейной релаксации. Такие схемы можно получить
путем перемеrцения разностноrо оператора по координате х вверх по потоку на
один шаr, так что три точки с неизвестными параметрами (i, j + 1), (i, j), (i, j 1)
оказываются связанными с двумя точками, расположенными выше по потоку. Для
этоrо надо использовать аппроксимацию назад (вверх по потоку) для х компонент
потоков.
(Ь) <l'i,j <l'i 1,;
w. 1. . .
1+ 2 ,3 Дж
(Ь) <l'i l,j <l'i 2,j
Wi !,j ж ·
(5.4.9)
Тоrда (5.4.3) принимает вид
( Ipi,; ;:: 2,; ) ( Ipi,j 2(:l )2 + lpi 2'; ) ( lpi,j+l ( ;)2 + Ipi,j l ) == О.
(5.4.10)
Разностная схема для rиперболической (сверхзвуковой) области.
Расчетный шаблон, использованный в операторе (5.4.10), показан на рис. 5.4.3. Все
точки с фиксированным i содержат неизвестные параметры. Эта схема обладает
безусловной линейной устойчивостью, если величина <pl b ) , определяемая первым
множителем левой части (5.4.10), является положительной
(Ь) <l'i,; <Pi 2,;
<l'ж 2дж '
<I' Ь) > о
для устойчивости в rиперболической области
(5.4.11)
Пока выражения для <pl C ) , <pl b ) соrласованы, ясно, какую из формуЛ, (5.4.6) или
(5.4.10), нужно использовать. Однако MorYT существовать точки (i, J), rде течение
ускоряется с переход ом через скорость звука (звуковые точки), либо тормозится
с переходом через скорость звука (точки на ударной волне). Для этих точек вводят
ся два друrих оператора в конечных разностях (табл. 5.4.1).
Х i, j + 1
. .
i 2, j i 1, j
Х i,j
fY
Х i, j 1
41х -+i
Рис. 5.4.3.
rиперболический расчетный шаблон.
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
237
Таблица 5.4.1
",lC) ",lb) Оператор
<О <О эллиптический (5.4.6)
>0 >0 rиперболический (5.4.10)
>0 <О в звytcовой точке (5.4.13)
<О >0 на ударной волне (5.4.14)
в точке (i, j), для которой выполняются неравенства оператора в звуковой точ
ке, ни оператор (5.4.6), ни оператор (5.4.10) не являются формально устойчивыми.
Целесообразно использовать разность назад для нижней по потоку rрани контроль..
ной площадки и центральную разность для верхней по потоку rрани
(Ь) 'Pi,j 'Pi l,j
w. 1 . л ,
1+2'3 Ж
(с) 'Pi,j <Pi l,j
w. 1 . ·
I 2'3 Дж
(5.4.12)
Тоrда эти члены в (5.4.3) взаимно уничтожаются и результат имеет вид
</'.,;+1 ( )2+ </'Ц+1 == О . (5.4.13)
Разностная схема для звуковой точки.
Расчетный шаблон для звуковой точки (i, j) показан на рис. 5.4.4. Очевидно, что
с уменьшением шаrа сетки данный разностный оператор сходится к выражению
<Руу == О, которое служит хорошим приближением уравнения <Рх<Рхх <Руу == О вблизи
звуковой линии, rде величина <Рх близка к нулю. Разумеется, <р является непрерыв"
ной функцией; ее дискретная аппроксимация в окрестности звуковой точки схемати"
чески показана на рис. 5.4.5.
С друrой стороны, оператор в точке на ударной волне должен описывать TOp
можение от сверхзвуковой скорости до дозвуковой. Поэтому поток В точке i 1/2
можно аппроксимировать разностью назад, а поток в точке; + 1/2 центральной
разностью
(Ь) 'Pi l,j <Pi 2,j
w. .l . л ,
2f3 Ж
(с) 'Pi+l,j 'Pi,j
w. .1 .
1+ 2 ,3 Дж
Соответствующий разностный оператор, полученный из (5.4.3), имеет вид
ф
Х i, j + 1
}9
Х i,j
Х i, j 1
i 2 i 1
i + 1
Рис. 5.4.4.
Расчетный шаблон
для оператора в
звуковой точке.
Рис. 5.4.5.
Качественное поведение в окрестности
звуковой точки (i, j).
238
rла8а 5
( rpi+1,; 'pO,;;:xo ц 'PO 2.; ) ( rpi+1,; rpЦ( l.;+ 'PO 2.; ) х
Х ( rpi,;+1 ( ;);2 + rpi.; l ) -= о . (5.4.14)
Разностная схема для ударной волны.
Ero можно рассматривать как дополнение к эллиптическому и rиперболическому
операторам (5.4.6) и (5.4.10) в части аппроксимации по координате х. Это становит
ся очевидным, если потоки выразить в форме
( 2 ) ::1.;
( 2 )::1';
( W 2 ) (e) + ( W 2 ) «(:)
2 '1.' 2,.1'
I 2" ' 2"
( 2 ) «(:) ( 2 ) (Ь)
' 1,; + Н1.;
( W2 ) (b)
2 . 1. '
I 2 "
( w 2 ) (Ь)
2 '1.'
I 2 "
поскольку
( 2 ) (Ь)
" + 1.'
· 2 "
( W 2 ) «(:)
2 '1.'
I 2 "
Первая часть соответствует эллиптическому потоку, а вторая rиперболическому
потоку. Расчетный шаблон для точки на ударной волне показан на рис. 5.4.6.
Изменение функции <р в окрестности точки на ударной волне (i, j) показано на
рис. 5.4.7.
Если в (5.4.14) подставить дифференциальные приближения, например
i,i == (x, у) ,
'рНЦ. == 'Р(х + ДОХ, У) == 'р(Х, у) + D-хrpж(х, У) + ДО;2 rpжж(х, у) + ... ,
то предельная форма этоrо оператора в точке на ударной волне получается в виде
2so ж so жж 'Pii == О .
(5.4.15)
Этот оператор адекватно отражает уравнение
SOж жж 'Pjj == О (Уравнение теории малых возмущений.)
"
i, j + 1 Х ]А9
о о Х о
i 2, j i 1,; i,j i + 1,j
/, j 1 Х
I1x ; 2 i 1 i + 1
Рис. 5.4.6.
Расчетный шаблон для оператора в точке на
ударной волне (;, j)
Рис. 5.4.7.
Качественное поведение I(J в окрестности точки
на ударной волне
ТраНС38УКовая meорuя moHKOZO профUЛJI
239
если <Рх достаточно малая величина, а именно <Рх == О(4х). Проверки показыва
ют, что оператор для точек ударной волны можно также использовать в случае
'плавноrо торможения. Более важным, однако, является процесс получения CTpYКTY
ры волны С помощью этоrо оператора. Исследование данноrо вопроса дается ниже.
Решение для прямой волны Wb == W a получается из оператора на ударной волне
в следующем виде:
( w 2 ) (e) == ( w 2 ) (b)
2. J.' 2.1.'
1+ 2 " , 2 "
(5.4.16)
Для rиперболическоrо оператора подобное решение получается в точке (; 1, j),
а для эллиптическоrо оператора в точке (; + 1, j).
( w 2 ) (b)
2 . 1 .
, 2" "
( 2 ) (с)
i+ ! "
( w 2 ) (b)
rиперболический оператор,
2 . а .
, 2'"
( 2 ) (е) эллиптический оператор.
i+ ! .'
Решение имеет вид (с использованием центральных разностей)
W b == W' + . == w. + 1. == w . J. == W i ! == w а ·
'2 '2 '2 2
(5.4.17)
Ударная волна здесь «размазывается» на три расчетные точки. Если же paCCMOT
реть косую ударную волну, то полученный в решении разрыв параметров можно
проверить с помощью свойств сохранения, присущих разностной схеме. Для прямо
линейной косой ударной волны (рис. 5.4.8) получим разностные аппроксимации на
специальной сетке, задаваемой соотношением
N(t:..j/ t:..x) = tg 8" 8, yrол наклона ударной волны, N целое число.
Таким образом, <р является периодической функцией <р(Х + 4х, j + Ni1j) == <р(х, п.
Достаточно рассмотреть течение в полосе j == 1 ... N, как показано на рисунке, из за
принятой периодичности, которую можно использовать в виде rраничноrо условия
........
.......
........
о:
1 1/2 ф
1 3/2 I f
I I
I I 1 1 lo О
1 1 1 --+ +
w 1 1 1 I 1 '. N
81 @ I @ 1 @ I I о о ..А W b J
I I I .10 о.,. :
I I I I
I I 0 I 1. I о о .,. "ь j = 1
"8L L 1
I 1 1 I 1
. о I о о
1 1 i = 11 1 + 1 i = D
I
Рис. 5.4.8.
Косая ударная волна.
О эллиптические точки; . точки на ударной волне; (8) rиперболические точки.
240
rлава 5
<Pi,;+! == <Pi+l,;+!+N ·
(5.4.18)
Течение выше по потоку является сверхзвуковым <рl с ) , <рl Ь ) > О, И поэтому для про
движения вниз по потоку к ударной волне можно использовать rиперболичесКИЙ
оператор (5.4.10) до достижения точек, в которых <р1 Ь ) > о, но <р1 с ) < о. Эти точки
принадлежат ударной волне; для типичноrо случая они показаны на рис. 5.4.8.
В этих точках применяется оператор для точек ударной волны (5.4.14). Ниже по
потоку от них течение дозвуковое; в этой области применяется эллиптический опе
ратор (5.4.6).
Рассмотрим все rиперболические точки в полосе j == 1 ... N и просуммируем все
потоки; получим
I 1 N { }
1 2(Ь) 1 2(Ь) ,.,
?:?= 2wi+ .i 2Wi !.i y (t?i.i+ дц ) x == О,
1=1,=1
(5.4.19)
или
I 1 N { }
1 2(С) 1 2(С) ,.,
LL 2Wi t.i 2wi !.i y {t?i.i+1 t?i,j -t} x == о.
i=1 ;=1
(5.4.20)
Здесь i == 1 относится к точкам, которые представляют набеrающий поток. Заме
тим, что
1 1 1 2 1 1
L( 2 2 ) L 2 L 2 2
Ю. I " ю. . Ю. I . + W .1. Ю. . W . 2
' 2" , !" ' 2" 1 2" , t" t" Юl !,; W L;
i=1 i=1 i=2 2 '
и
N N 1 N
(д i , . + 1 д i ' , ' 1 ) == '" д i , . + .1. '" д i , . 1.. + д , . N + L д. 1 == д, N + 1 д. 1 .
L.J , 2 '2 L.J, 2 , 2 ' '2 " 2 " 2 " "2
;=1 ;=1 ;=2
Теорема о дискретной диверrенции для rиперболических точек (5.4.20) имеет вид
N 2 1 1
L {w: .i Y} N a Y L {t?i.N+ t?i. } x == О.
;=1 i=1
Используя свойство периодичности (5.4.18), получим
N 1 1 1 2
"' { iJ i N + 1. ---:-- iJ i 1. } == '" {Ji rv + l. '" {Ji 1. + tЭi, N+1. iJl l 1. == д а д l 1' 2 1 .
, 2 '2 ,.. 2 '2 ' 2 '2
i=1 i=2 i=1
Итак, сумма в rиперболических точках приводится к виду
N
L {W: i.i Y} Nw y (да t?I 1.! ) x == О.
;=1
Рассмотрим далее все эллиптические точки между j == 1 и j == N, т. е. от i == 1 + 1
до i == D; последняя точка соответствует бесконечности вниз по потоку. Имеем
N D
'" '" ! { Ю + 1. . Ю 1. " } Ду { iJi, , " + 1. {Ji, , . 1. } ДХ == о.
2 I 2 " I 2 " , 2 ' 2
;=1 i=1+1
(5.4.21 )
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
241
Действуя аналоrично предыдущему, находим
N
NW .:lY L {w:+!.;.:lY} (11/+1.N+! 11 ь ).:lх == о.
;=1
(5.4.22)
Операторы в точках на ударной волне на слое i == 1 также суммируются и дают
результат
N
L { Ш: + .; :-- Ш: !.; }.!lY { д 1,;+! 11 ц ! }.!lx == о,
;=1
или
N
L {w:+t.; Ш/ ;.; }.!lY (d/. N +! d/.!).!lx == О.
;=1
При суммировании потоковых уравнений (5.4.21) (5.4.23) внутренние слаrаемые
взаимно уничтожаются и получается соотношение между параметрами состояний
вверх и вниз по потоку
(5.4.23)
N( Ш 1L' ).!ly + (11 ь d..).!lx == О.
Соотношение (5.4.24) является разностным аналоrом ударной поляры (сравни
(5.1. 7», поскольку имеет место
(5.4.24)
(J ( d Y ) N fj
tg . .
dx. x
Можно провести аналоrичный анализ с использованием только rиперболических
операторов, если все точки относятся к сверхзвуковому течению. Снова получится
правильная ударная поляра.
Представленные ниже расчеты показывают, что ударные волны с переход ом че..
рез скорость звука «размазываются» лишь на 3 4 узла сетки. Вместе с тем удар..
ные волны, по обе стороны которых поток сверхзвуковой, выrлядят как результат
диффузии от HeKoToporo исходноrо положения и MorYT занимать 6 10 узлов сетки.
Если в расчете требуется получить узкие ударные волны Taкoro типа, необходимо
ввести некоторую модификацию используемоrо метода.
Кратко обсудим теперь численную постановку краевой задачи разд. 5.1 и вычис"
лительный алrоритм. В качестве простоrо способа постановки rраничных условий
предлаrается поместить первый ряд узлов сетки на половине шаrа над профилем
(j == О) (рис. 5.4.9). Для типичной площадки, такой как (i, 1) на профиле, уравнение
для потоков (5.4.2) имеет вид
{( w 2 ) ( w2 ) } ДУ {дi,l дi,t}дх==о. (5.4.25)
2 ' 1. 1 2 ' ...l l 2
1'2' 12'
Здесь {}i, 1/2 значение {J на верхней стороне профиля; оно задается rраничным
условием непротекания
д i ,!- == д(х,о+) == дu(х) == (1' + l)F (x).
(5.4.26)
16 1084
242
rлова 5
rраничное условие дальнеrо пол"
. . . . -. . . . . . .
. ф .... Jn 8 +... ..
. .
. . .
.
.
.
. .
. .
.
.
. . .
..... .......... T....."Т.....-т '
.1.1.,.,.,.,
1.1 1/2 ;
L ...J ..
.....
от r- ..... r ..... т ..... т .....
1. I . I . 1 . I . ...... J = 1, r = [Ф]
1/21 . 1 . х
L J
.
.
.
- -
.........
.
. .
. .
Рис. 5.4.9.
Конечно..разностная сетка.
Аналоrичные соотношения выписываются для нижней стороны профиля. Из этих
формул вначале определяются значения Ф в узлах ряда, расположенноrо на полови..
не шаrа над профилем. Простая экстраполяция дает значения ф, фх на поверхности
профиля. Для вертикальных рядов перед профилем существует простая связь между
точками в верхней полуплоскости и точками в нижней полуплоскости. Для верти..
кальных рядов за профилем нужно учесть разрыв функции ф, равный циркуляции
r; при этом величина д, естественно, остается непрерывной. На боковых сторонах
расчетной области применяется rраничное условие дальнеrо поля (5.1.4).
Наиболее эффективным оказался итерационный алrоритм линейной релакса..
ции, дающий решение (прямым исключением) для всех точек вдоль вертикальной
линии. Эллиптический и rеперболический операторы (5.4.6) и (5.4.10) связывают се..
точные функции на соседних вертикальных линиях, например i 1, i, i + 1 или
i 2, i 1, i. Оператор в звуковой точке относится только к одной вертикальной
линии, а оператор для точек ударной волны относится к четырем соседним линиям:
i 2, i 1, i, i + 1. Итерации начинаются от начальноrо приближения. В качестве
начальноrо приближения Ф на сетке принимается, например, решение для друrоrо
значения К. Имеется соответствующая начальная циркуляция для дальнеrо поля.
Проверка неравенств (5.4.7) и (5.4.11) дЛЯ 'P C), 'P b) производится В каждом узле
сетки, после чеrо выбирается соответствующая разностная схема. Значения 'Р на
каждой вертикальной линии определяются путем прямоrо исключения (с использо..
ванием метода квазилинеаризации). Решение на линиях х == const находится после..
довательным интеrрированием в направлении вниз по потоку. Например, в
операторе (5.4.10) «коэффициент» сохраняется с предыдущей итерации. Для п..й ите..
рации на линии имеет место
( (п l) (п I» ) ( ,,(п) 2 ,,(п) + ,,(п) ) ( ,,(п) 2 ,,(п) + ,,(п) )
'Pi,j <Pi 2,j <Pi,j 'Pi 1,з' 'Pi 2,j 'Pi,j+l <Pi,j 'Pi,j 1 О
,
2 x ( x)2 ( y)2
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
243
однако всюду, rде это возможно, используются значения в текущей итерации. Это
означает, что проверка типа точек происходит на каждой линии. Матрица, которую
нужно обратить, является трехдиаrональной. Новые значения находятся по мето..
дом верхней релаксации в эллиптических точках или методом нижней релаксации
либо без нее в rиперболических точках. Расчет начинается на верхней rранице и
продолжается вниз по потоку до достижения задней кромки. Затем в дальнем поле
и в следе корректируется циркуляция r по мере продвижения расчетов в направле..
нии вниз по потоку. Расчеты от исходных узлов на верхней rранице повторяются
до сходимости. Метод является устойчивым и позволяет четко проработать сверх..
звуковые зоны и ударные волны. В данном алrоритме условие Кутта [Фх] == О на
задней кромке удовлетворяется автоматически. По существу тот же самый метод
используется для сверхзвуковоrо набеrающеrо потока, причем в дальнем поле ста..
вится rраничное условие нулевоrо возмущения.
Рассмотрим теперь несколько численных примеров, иллюстрирующих особен..
ности метода. Вначале приведем результаты расчетов [5.4.2] сверхзвуковоrо обтека..
ния 6OJO"Horo профиля, образованноrо дуrами параболы, при Моо == 1,15, чтобы
показать, каким образом появляются ударные волны с применением и без примене..
ния оператора точки на ударной волне. Картина отсоединенной rоловной ударной
волны (физические координаты), построенная тремя различными методами, показа..
на на рис. 5.4.10. ПКР означает полностью консервативную схему релаксации с ис..
пользованием оператора в точке на ударной волне, как описано выше. Обозначение
НКР относится к результатам, полученным с использованием эллиптическоrо оп е..
ратора в точках на ударной волне. Расчеты, учитывающие зависимость от (псев..
до)времени, заимствованы из работы MarHyca [5.4.3].
Все эти расчеты были проведены для одних и тех же уравнений, rраничных усло..
вий и размеров шаrа (4х == y == 0,025), ( 0,2875 х 1,125, О У 3,0). Весьма
близкие результаты получены по схеме ПКР и методом Marнyca. Метод НКР дает
неверные результаты в случае слабых ударных волн. Ударная волна определяется
здесь по максимуму величины f(Jxx (на дискретном множестве узлов). Картина дис..
KpeтHoro решения в окрестности ударной волны показана на обычной ударной по..
ляре, построенной в относительных координатах (рис. 5.4.11).
Из данных, представленных на rрафиках, следует, что схема ПКР и метод Mar..
нуса обеспечивают тре6уемый разрыв на ударной волне на не60ЛЬШОМ числе узлов
2,0
1..:
Ь
3,0
у
Рис. 5.4.10.
Сравнение численных методов на примере 6o/0 Horo про
филя, образованноrо дуrами параболы,с отошедшей ro
ловной ударной волной; Моо == 1,15.
Решения методом релаксации: полностью KOHcepBa
тивная схема (ПКР); . не полностью консервативная
схема (НКР). Установление по времени: MarHYC.
1,0
.
/
/
,
I
,
о
0,5
о 0,5 1,0
х
"/////////////'
16*
244 rлава 5
d
с 1,00
\
0,50 I
Ь
о.......
"о........
80..... 0,00
2,00 1,50
.й
а
е
1,00
ь
о........
.......0
0,50 I
80
2,00
1,50
1,00
0,50
0,00
0,00
б
'а
е
1,00
0,50 I
0,00
1,00
0,50
0,00
и
в
Рис. 5.4.11.
Образ отошедшей ударной волны в плоскости rодоrрафа.
сетки; схема икр этому требованию не удовлетворяет. Решение по схеме ПКР
вблизи оси у фактически улучшено путем измельчения шаrа. Обтекание профиля
с местной сверхзвуковой зоной и внутренней ударной волной было рассчитано для
параболическоrо профиля под нулевым уrлом атаки при К = 1,8. Основное ypaвHe
ние использовалось в форме (5.1.1б). Результаты показаны на рис. 5.4.12. В носке
существует точка торможения (типа особенности на клине с отошедшей ударной
волной); далее поток расширяется, достиrая звуковой скорости в кормовой части,
примерно на трети хорды от задней кромки. Затем поток продолжает ускоряться
уже при сверхзвуковой скорости; эта область замыкается сильной ударной волной.
В решении по схеме ПКР ударная волна располаrается ближе к кормовой части,
чем в решении по схеме ИКР, и условия на прямой ударной волне удовлетворяются
правильно. Далее особенность (разрежение) в месте пересечения ударной волны с
поверхностью тела, обсуждавшаяся в разд. 5.3, правильно раскрывается в решении
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
245
4,0
Рис. 5.4.12.
Распределение давления на профиле, 06..
разованном дyrами параболы, К == 1,8.
Решения методом релаксации: пол..
ностью консервативная схема (ПКР),
fa == 0,02; . полностью консерватив..
ная схема (ПКР), fa == 0,001; не
полностью консервативная схема (НКР),
fa == 0,002; . . . не полностью консерва"
тивная схема (НКР), fa == 0,005.
о
С. р
3,0
2,0
ер = 2ф.
1,0
I
С р2
Теория
1,0
9=0
2,0
О
0,5
1,0
х
0,4
О,З
у Звуковая
0,2 линия
0,1
а о
0,2 0,4 0,6 0,8
х
0,20
0,14
Звуковая линия
0,18
0,16
у
Форма lL
ячейки tt
Рис. 5.4.13.
Структура области в окрестности внутрен"
ней ударной волны; параболический про..
фШIЪ, К == 1,8.
а общий вид; волна разреже..
ния; волна сжатия; б особенности
течения вблизи Bepxнero окончания ударной
волны.
0,12 Волны сжатия
6
0,10
0,68 0,70 0,72 0,74
х
246
rла8а 5
ь
1,0
I
а j 1 j = 0,0005
Ь j 10 j = 0,0095
с j 13 j 0,0275
d j = 26 j = 0,0475
е j 36 j 0,0725
f j 43 j 0,1025
g j 54 j 0,1175
h j 60 j = 0,1325
; j 62 j 0,1375
j j 64 j 0,1425
0,5
а
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
0,0
и
Рис. 5.4.14.
Образ внутренней ударной волны в плоскости
rодоrрафа; параболический профиль, К 1,8.
по схеме пкр. После прохождения ударной волны поток плавно тормозится до
хвостовой кромки. Некоторые особенности течения показаны на рис. 5.4.13. Пред
ставлены форма сверхзвуковой зоны, характеристики, или волны Маха, и замыкаю
щая ударная волна. Оказалось, что ударная волна формируется как оrибающая
волн сжатия, отраженных от звуковой линии. Структура течения, полученная в чис
ленном решении, соrласуется с предложенной rудерлеем [5.4.4]. Локальная область
вблизи Bepxнero окончания ударной волны на рис. 5.4.14 показывает, что имеется
плавное сжатие при у > 0,14. Интенсивность ударной волны непрерывно возрастает
по мере движения вдоль нее в сторону поверхности профиля. На рис. 5.4.14 показа
на дискретная структура ударной волны в этом течении, построенная на ударной
поляре в относительных переменных при различных значениях j. Ударная волна
проходит все состояния от прямой ударной волны до слабоrо скачка, имеющеrо
сверхзвуковой поток по обе стороны. Вблизи поверхности весь разрыв эффективно
размещается в четырех расчетных узлах. Однако слабые участки скачка «размаза
ны» сильнее.
Можно построить семейство профилей, имеющих сверхзвуковую область без
ударной волны. Это можно сделать с помощью методов rодоrрафа или путем по
следовательной численной модификации профилей с ударными волнами в физиче
ской плоскости. С физической точки зрения такие про фили отвечают
блаrоприятному взаимодействию волн Маха, происхоДЯIЦИX от тела и отражаю
щихся от звуковой линии; при этом не образуются ни оrибающие, ни ударные вол
ны. Течение без ударных волн для данноrо контура и ero положения может
существовать лишь при определенном числе Маха (или параметра подобия К).
В друrих условиях, т. е. как для большеrо, так и для меньшеrо числа Маха, появля
ются ударные волны.
При уменьшении значения К (например, МОО стремится к единице, о фиксировано)
ударная волна движется к задней кромке; при дальнейшем уменьшении К на задней
кромке образуется косая ударная волна (сверхзвуковое течение с обеих ее сторон)
с последующей ударной волной ниже по потоку в области следа. Соответствующая
конфиrурация течения показана на рис. 5.4.15. Ударная волна в области следа и
хвостовая ударная волна пересекаются с образованием новой ударной волны, KOTO
рая вначале является косой, затем становится прямой и далее снова косой. Перед
ударной волной в области следа образуется небольшая сверхзвуковая область сжа
Трансзвуковая теорШl тоНКО20 профuля
247
Рис. 5.4.15.
Особенности поля течения, параболический
профиль.
2
.". .....
// '\ Ударная волна
/
9 /
/
1 I
М < 1 / М> 1 М < 1
/
/
/ I Хвостовая
/ ударная
волна
О 1 2 3
х
тия. При дальнейшем уменьшении К ударная волна в области следа будет передви..
rаться по направлению к корме, а хвостовая ударная волна удлиняться и
искривляться. Ряд примеров для несущих профилей с использованием Toro же само..
ro метода был рассчитан Смоллом [5.4.5]. Некоторые более ранние результаты с
использованием схемы НКР приведены в работе Круппа и Мурмена [5.4.6]. Приме..
нялась неравномерная сетка, содержащая 90 слоев по х и 60 слоев по у. Сравнение
с результатами Селса [5.4.7], которые можно считать точными, приведено на
рис. 5.4.16. Серия расчетов для профилей NACA..OOXX при различных числах Маха
и уrлах атаки приведена на рис. 5.4.17a д. Распределения давления на поверхности
показывают, что при движении ударной волны вниз по потоку с увеличением Мао
И уменьшением К коэффициент подъемной силы увеличивается.
Распределения давления по поверхности сравниваются на рис. 5.4.18 с более ран..
ними расчетами MarHyca и Иосихары [5.4.8] и экспериментами Стиверса [5.4.9] для
профиля 64А410. Имеется хорошее соответствие, за исключением положения удар..
ной волны. Расчеты соответствуют свободному полету, а эксперименты проводи..
лись в аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью. Вероятно, имели место
заметное взаимодействие со стенками и влияние вязкости, поскольку число Рей..
нольдса в испытаниях было относительно 'низким ( 2. 106).
С р
1,2
с ·
р
0,4
в долях хорды
Рис. 5.4.16.
Распределение давления, про
филь NACA OOI2, Моо= 0,63,
а=2 0 ; настоящие pe
зультаты.
0,8
248
С р
1,5O
1 ,00
0,50
0,0
0,50
1,00
C L = 0,371
К == 2,995
Ср. = 0,793
1,50
Рис. 5.4.17а.
Распределение давления,
профиль NАСА4Ю12, МОО = 0,70, а = 20.
С р
1,50
1,00
0,50
С.
р
0,0
0,50
в долях хорды
C L = 0,489
К = 1,850
С р . == 0,443
1,00
1,50
Рис. 5.4.178.
Распределение давления,
профиль NACA 12, Моо = 0,80, а == 20.
С р
1,50
1,00
С ·
р
.
0,50
0,0
в долях хорды
C L = 0,767
К = 2,995
Ср. = 0,793
0,20
0,40
0,60
0,50
1,00
1,50
rла8а 5
С р
1,50
1,00
С ·
р
0,50
0,0
0,50
в долях хорды
1,00
C L == 0,439
К = 2,398
С р . = 0,603
1,50
Рис. 5.4.17б.
Распределение давления,
профиль NACA 12, МОО == 0,75, а == 20.
С р
1,50
1,00
С ·
р
0,50
0,0
0,50
в долях хорды
1,00
Рис. 5.4.171'.
Распределение давления,
профиль NACA 12, МОО = 0,85, а == 20.
Рис. 5.4.17д. Распределение давления,
профиль NACA 12, МОО == 0,7, а == 40.
ТраНСЗ8уковая теория тОНКО20 профuля
249
Рис. 5.4.18.
Сравнение с расчетами MarHyca и Иосихары [5.4.8]
и экспериментальными данными Стиверса [5.4.9],
профиль 64А410. настоящие результаты;
теория; О эксперимент, + С; == 0,713.
1
Давление в
1
С р о
о
0,50
В долях хорды
1,00
С р
1,50
1,00
0,0
в ДОЛЯХ ХОРДЫ
0,50
Рис. 5.4.19&.
Распределение давления, безударный
профиль, () = 0,151, а == 00. МОО ==
== 0,750 (расчетное значение); К == 2,057;
. '
С р == 0,603; Моо == 0,755;
. . . . МОО = О, 760; . МОО == 0,765.
0,50
1,00
1,50
С р
1,50
0,0
С ·
р
1,00
0,50
Рис. 5.4.196.
Распределение давления, безудар
ный профиль, () = 0,118, а == 00.
МОО == 0,750 (расчетное значе
.
ние); К == 2,425; С р == 0,603;
МОО = 0,755; . . . .
МОО == О, 760; . Моо == 0,765.
0,50
в ДОЛЯХ ХОРДЫ
1,00
1,50
250
rлава 5
Было также проведено сопоставление результатов для безударных профилей,
предложеlПlЫХ Корном, rарабедяном и др. Первый профиль имеет относительную
толщину о == 0,151 [5.4.10], а второй о == 0,118 [5.4.11]. Рассчитанные распределе..
ния давления для безударных профилей показаны на рис. 5.4.19а, б. Эти результа..
ты достаточно хорошо соrласуются с результатами расчетов в переменных
rодоrрафа, ОДlJако при дрyrом числе Маха. Для каждоrо из профилей обтекание
без образования ударных волн соответствует условиям Мао == 0,750, а == 00. в обоих
случаях наилучшее соrласие получается при номинальном числе Маха, Мао == 0,765.
Наконец, в данном разделе приведем некоторые численные результаты, связан..
ные с исследованием сопротивления, рассчитанноrо по теории малых возмущений.
Эти данные взяты из сообщения Мурмена и Коула [5.4.12]. Сопротивление профиля
трудно определить с помощью линейной теории, поскольку оно является малой ве..
ЛИЧIШой. Здесь обсуждаются различные способы расчета сопротивления с помощью
теорем разд. 3.10.
5.4.1. Вопновое сопротивпение в трансзвуковом потоке
С целью сравнения с решениями в переменных rодоrрафа и для определения с; ни..
же принимаются следующие эмпирические масштабы параметров, переменных и ис..
комых величин:
1 M2
К== ,
Мооб}
2
б3
С р == Cp ,
МОО
(y,.i) == б М!(у, z) ,
2 5
бз б J
G L = jGL' GD = t GD
Мао Моо
Для Мао > 1 используются законы подобия Спрейтера [5.4.13].
Интеrрал сопротивления, полученный в разд. 3.10, переписывается здесь с уче..
том вклада контрольной поверхности, показанной на рис. 5.4.20.
(5.4.27)
ОD(б,Моо,Ь) == БJёD(К,В)==
= {2 / L ( ( V 2 w 2 1; 1 иЗ К 2 ) N Ж иУТ . nт ) dA
1: 1 / lJC [и J: dfJdZ} , (5.4.28)
rде VT == (v, w). Это делается с целью показать возможности расчета сопротивления
с использованием различных контрольных поверхностей.
Вывод разд. 3.10 состоит в том, что сопротивление можно вычислить аналити"
чески путем интеrрирования вдоль любоrо подходящеrо контура и расположенных
внутри ero ударных волн. Естественно возникает вопрос: можно ли реализовать
эту процедуру в численном решении конечно..разностных уравнений? Сопротивление
обычно является малой величиной и потому чувствительно к ошибкам anпроксима..
Трансзвуковая тJ!ОрUЯ тоНКО20 профuля
25]
у
х
Рис. 5.4.20.
Контур С, содержащий в себе объ
ем У, ударные волны S, крыло W
и вихревой след.
ции. Основной момент при выводе формулы (5.4.28) состоит в использовании Teo
ремы о диверrенции. Аналоrичные теоремы о диверrенции можно сформулировать
для конечно разностных уравнений, если их записать в консервативной форме. При
нимается, что влияние ошибок аппроксимации при вычислении велИЧШIЫ (5.4.28)
вдоль различных контуров будет минимальным, если использовать консервативную
форму конеqно разностных уравнений. Чтобы проиллюстрировать это, сформули
руем теорему о диверrенции для разностных уравнений, аппроксимирующих ypaвHe
ния теории малых возмущений (5.1.1) и соответствующие уравнения трехмерной
задачи.
Рассмотрим вначале ситуацию, коrда течение полностью дозвуковое, так что
основное уравнение является уравнением эллиптическоrо типа во всей области. Tor
да с использованием стандартных конечно разностных обозначений разностное
уравнение эллиптическоrо типа BToporo порядка точности, аппроксимирующее
уравнение (5.1.16), можно записать в следующем виде:
и " + 1 и" 1 v " + 1 V" 1 W 1 W 1
I 2 А Х ....2 + ' 2 A y ''''2 + k+2 A Z k"'2 ( )
L.\ L.\ == V. 1/1 ii k == R О ,
(5.4.29)
rде
1/1 == (и, v, w) ,
== Кф l' + 1 Ф 2 .
и ж ж'
2
v = Фi ;
z = Фi
(5.4.30)
(5.4.31)
252
rлава 5
и
К ( Фi+l,;,k Фi,'-,k )
ui+l == dx
l' + 1 ( Фi+l,;,k Фi,,-,k ) 2
2 dx '
Фi,,- + 1,k Фi,,-,k
V,-+! = dy
Фi,,-,k+ 1 Фi,,-,k
Wk+! = dz
(5.4.32)
Выражения для и; 1/2, Vj 1/2 И Wk 1/2 аналоrичны. Член Re выражает невязку,
или точность, с которой разностные уравнения решаются на вычислительной ма..
шине. Предполаrается, что Re меньше любой ошибки аппроксимации и всюду да..
лее полаrается равным нулю. Уравнение (5.4.29) следует умножить на 4yM,
чтобы придать ему форму уравнения для потоков:
(Ui+! Ui l)dYdZ + (v,-+! V'- l)dХdZ +
+ (Wk+l Wk !)dXdY == (v. Ф)i,-kdХdУdZ == о.
(5.4.33)
Рассмотрим теперь контур, охватывающий некоторую rруппу узлов сетки
(рис. 5.4.21) для двумерноrо случая. Суммируя разностные уравнения, записанные
для этих узлов, получим
LdYLdZL(Ui+l Ui 2) + LdX LdZL(v'-+l v'- l) +
, k i i k ,-
+ E X LdYL(Wk+t wk 1) =
i ,- k
= LLL(V. Ф)iikD.хD.уD.z.
i ,- k
(5.4.34)
. . . . . .
. . . . . . . . '1
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . . 'о
9
Lx . . . . .
'1
Рис. 5.4.21.
Обозначения узлов сетки в формулах
суммирования.
Трансзвуковая тJ!ОрUЯ mОНКО20 профuля
253
Однако вследствие консервативной формы разностных уравнений имеет место
'" ( й ' + .1 й. 1 ) = й, + 1 й. 1 ,
L..J '2 , 2' '1 2 'о 1:
,
( v " + 1 V. 1 ) = v. + 1 v. 1,
L..J '2 ' 2 '1 2 ,О 2
,.
2:(Wk+! Wk !) = Wk 1 +t Wko '
k
(5.4.35)
и все внутренние потоки вместе с ошибками их аппроксимации взаимно уничтожа..
ются в левой и правой частях уравнения (5.4.34). В результате получается
2:2:(Ui 1 +I + Uio t) y z + 2: 2: (v;1+1 v;o 1) x z +
,. k i k
+ 2: 2: (Wkl+f Wko t) X y = 2:2:2:(V' Ф)i;k Х У Z = О. (5.4.36)
i ,. i ,. k
Различие между истинным контурным интеrралом и фермупой с конечной суммой
в левой части (5.4.36) обусловлено ошибками аппроксимации на контуре, которые
имеют порядок o[( )2, (4п2, (4z1 2 ]. Все внутренние потоки взаимно уничтожают..
ся, так что при расширении контура увеличения ошибок, имеющих вид источников
или стоков, не происходит. Это является основным свойством консервативных раз..
ностных формул. Уравнение (5.4.36) выражает теорему о диверrенции для разност..
Horo уравнения. Формула суммирования инвариантна к выбору контура.
Если контур С полностью включает в себя области с узлами, в которых СКО"
рость потока сверхзвуковая, то вывод об инвариантности справедлив. Разностные
уравнения по схеме ПКР строятся таким образом, что все внутренние члены с по..
токами взаимно уничтожаются. Если, однако, уравнение является rиперболическим
в одном или более узлах на сечении контура С плоскостью х == const, последнюю
формулу следует модифицировать, чтобы получить инвариантное выражение. На..
пример, пусть поток будет сверхзвуковым во всех точках ;1, j, k; тоrда первое сла..
raeMoe в (5.4.36) следует заменить на
2:2:(Йil l Йiо )dуdZ, (5.4.37)
,. k
чтобы учесть разностную формулу с разностями назад для rиперболических точек.
Формула суммирования остается инвариантной, однако теперь представляет собой
интеrрал вдоль линии с поrрешностью O[ , (4п2, (4z1 2 ] по крайней мере для
сверхзвуковых участков контура.
Желательно получить конечно..разностную теорему о диверrенции в том же по..
рядке, как и (5.4.36), но для уравнения (3.10.6), однако этоrо еще не сделано. Приво..
димые ниже численные примеры показывают, OДHaкo что, коrда разностные
уравнения записываются в консервативной форме, сопротивление можно рассчи..
тать для любоrо удобноrо контура и полученный результат будет по существу ин..
вариантным для заданноrо решения, если удается аккуратно вычислить величину
[u]3.
Для представленных здесь численных решений двумерных задач интеrралы
вдоль контура и заключенных в нем ударных волн рассчитывались численно с по..
254
rла8а 5
мощью правила трапеций. Скорости и и v выислялисьъ по формулам центральных
разностей, за исключением rиперболических узловых точек на линии х == const.
В этих точках для расчета и использовались разности назад, как предписывается
теоремой о диверrенции для разностных уравнений. Расчет с использованием прави
ла интеrрирования Симпсона приводит к тем же самым результатам.
Сопротивление можно также рассчитать с помощью интеrральноrо уравнеНИJI
для распределения давления по поверхности (3.10.23). Здесь снова используется пра
вило трапеций, rде и задается формулами центральных разностей, а v определяется
rраничным условием р' (х). В расчетной схеме передняя и задняя кромки лежат п
середине шаrа сетки между узлами в направлении х. Следовательно, интервал инт
rрирования простирается от узла io 1, расположенноrо впереди передней кроМICИ,
до узла ;1 + 1, расположенноrо позади задней кромки (рис. 5.4.22).
Окончательная формула для интеrрала от давления по поверхности имеет вид
(для симметричноrо двумерноrо профиля без подъемной силы)
il+l { ( F' F ' ) }
ё == 2 2 Ui i + Ui 1 i 1 ( . . )
D 2 Х, X, l ,
'0
(5.4.38)
rде
Ui ( Ui+t+Ui ! ) ! ( Фi+l Фi + Фi Фi l ) .
2 ,,==0 2 Xi + 1 Xi Xi Х! 1 ,,==0
(5.4.39)
Поскольку первые j узлов располаrаются на половине шаrа над телом, значеНИJI
Ф при у == о получаются по экстраполяционной формуле
3 1
(Фi),,==о == 2 Фi ,1 2Фi,2.
(5.4.40)
После простых преобразований соотношение (5.4.38) записывается в виде
ё D =: 2 t ( 2UiF:( ХОН ; Xi l ) ) ,
'0
(5.4.41)
поскольку p 1 == Fh + 1 == о. При вычислении интеrрала от давления по поверхнос
ти также использовалось правило Симпсона, однако результаты вычислений стали
менее точными. Кроме Toro, оба метода численноrо интеrрирования применялись
на интервале от io до ;1, а вклад передней и задней кромок учитывался аналитиче
.
о I
Х = Х = 1
j= 2
j = 1
10 1
10
10 + 1 ..
11
'1 + 1
Рис. 5.4.22.
Обозначения узлов сетки вблизи
тела.
Трансзвуковая теория тoHKOZO профuля
255
r I
I I
I I
: :
L J
с
r-- I
I I
I в L
I r
I I
t
r
I
I
I s
I
I
I
, .....,
\ I
. I
L
r
, I
I I
, .....J
Рис. 5.4.23.
Типичные контуры С, предназначенные для расчета интеrрала сопротивления, включающие
среднюю поверхность тела В и ударные волны s.
скими формулами ДЛЯ особеlПlостей в точках торможения. Результаты по cpaвHe
нию с полученными с использованием описанной выше процедуры оказались менее
точными.
Разрыв скорости и на ударной волне леrко определить в большинстве случаев,
коrда скорость за ударной волной дозвуковая. ДЛЯ ударных волн, за которыми CKO
рость сверхзвуковая, как положение ударной волны, так и разрыв определить TPYД
но из за диссипации первоrо порядка в rиперболических разностных уравнениях.
Полезно выбирать контуры, не создающие таких ударных волн. Примеры KOHTY
ров, использованных в вычислительных проrраммах, показаны на рис. 5.4.23, a в.
5.4.2. Сравнение интеrралов вдоль ударн й волны
и вдоль тела
Ранее в качестве примера в теоретических исследованиях часто использовалСЯ про
филь, образованный дуrами параболы. Распределение давления в случае сверхкри
тическоrо дозвуковоrо течения показано на рис. 5.4.24. Соответствующая функция,
которую следует проинтеrрировать вдоль поверхности тела, чтобы получить вол
новое сопротивление, показана на рис. 5.4.25. Вклады, соответствующие тяrе Т,
нужно вычесть из вкладов, соответствующих сопротивлению D, тобы получить
малый остаток, обозначенный на рисунке средним значением (1/2)CD. Такая проце
дура чувствительна к ошибкам численноrо интеrрирования, в частности, в носовой
и хвостовой областях и вблизи ударной волны. Как отмечалось ранее, наиболее точ
ные результаты в этих областях дает правило трапеЦИЙ. Функция, которую нужно
интеrрировать вдоль ударной волны, показана на рис. 5.4.26 ДЛЯ трех различных
значений шаrа интеrрирования. В этом случае сопротивление равно площади под
256
4
3
2
1
о
1
2
rлава 5
с:.
р
--5
--3
2
.. 1
)(
.1)
ц:: о
З.
Q,
1
Т
2
3
4
5
О 0,5 1,0
х
о
0,5
1,0
х
Рис. 5.4.24.
Распределение давления на профиле, образ о..
ванном дyrами параболы, К = 1,8.
0,10
9
0,05
о
о
2 3
[('У + 1)/48 Je:
Рис. 5.4.25.
Распределение сопротивления D и тяrи Т
вдоль дуrи параболы; CD == 0,319.
4
Рис. 5.4.26.
Распределение сопротивления вдоль ударной волны ДтI
профИЛJI, 06разованноrо дyrами параболы, К == 1,8.
rрубая сетка, CD == 0,263; средняя сетка, CD == 0,293;
мелкая сетка, CD == 0,297.
Трансзвуковая теория тoHKOZO профиля 257
1,5 /..... \
I \
/ о
/
I
I
1,0 I
I
Рис. 5.4.27. I Ударна"
ВнутреНIUUI сверхзвуковая об у I волна
I
ласть, ударная волна и распреде.. I
ление сопротивлеllШl вдоль удар.. 0,5 I
ной волны для профиля, образ о.. I
I
Baннoro дyrами параболы, I
М == 0,909. Результат интеrриро.. I
I
вания давлеllШl по поверхности: I
CD == 0,0315; результат интеrри.. О
рования вдоль ударной воJПIЫ: О 0,5 1,0 О 0,1 0,2
CD == 0,0320. х [(оу + 1)148J.C:
кривой; ero величина нечувствительна к методу численноrо интеrрирования. Для
6OJO Horo профиля (т == 0,06) значение К == 1,8 соответствует Моо == 0,87 и
CD == 0,0028. На рис. 5.4.27 показан друrой пример для Toro ?f{e профиля при более
высоком числе Маха.
5.4.3. Влияние консервативных разностныx формул
Был выполнен ряд расчетов для исследования важности записи разностных ypaвHe
ний в консервативной форме. Рассмотрены два типа течений: течения без ударных
волн и течения с ударными волнами. Для первых конечно разностные уравнения
в неконсервативной форме, соrласующиеся с дифференциальными уравнениями, co
rласуются также с уравнениями в интеrральной форме. Однако внутреlПlие потоки
между ячейками сетки тождественно не уничтожаются; остаются ошибки аппрокси
мации. Таким образом, выражение (5.4.36) не равно нулю, а равно суммарной
ошибке аппроксимации, которая становится меньше с уменьшением шаrа сетки или
с повышением точности разностных уравнений. В этом случае сопротивление MO
жет стать зависимым от выбора контура. Это проверяется расчетами для (почти)
безударноrо профиля (рис. 5.4.28, 5.4.29). Три серии расчетов соответствуют раз
ностным уравнениям в полностью консервативной форме (ПКР) [5.4.1], в не пол
ностью консервативной форме (НКР) [5.4.2] (rде уравнения внеконсервативной
форме применяются к области ниже по потоку от звуковой линии), а также резуль
татам, полученным по методу rарабедяна и Корна [5.4.14] и Джемсона [5.4.15]
(rкд) , rде первые производные аппроксимируются центральными разностями в rи
перболических областях (неконсервативная форма уравнений). Все методы формаль
но соответствуют первому порядку аппроксимации в сверхзвуковом потоке.
Коэффициент C DB рассчитывался путем интеrрирования давления вдоль поверхнос
ти, C Dc1 был получен из интеrрала по контуру, проходящему на две ячейки сетки
над телом и достаточно далеко впереди и позади тела, а C Dc2 соответствовал KOH
туру, достаточно удаленному от тела и расположенному в сверхзвуковой зоне.
Для течений с ударными волнами расчет разрывов на ударных волнах нужно
производить по уравнениям, записанным в консервативной форме. Ошибка вычис
лений на ударных волнах в правой части выражения (5.4.36), обусловлеlПlая исполъ
17 1084
.... .....
о
С р
о
пкр НКР
НКР r со. 0,0023 0,0026
пкр
Со 0,0007 0,0008 0,0024 0,5 Со 0,0022 0,0022 0,0026
. с,
СО 0,0007 0,0007 0,0019 Со 0,0019 1,001 О 0,0008
ct
Со 0,0006 0,0007 0,0005 1,0
С =::::> С
I I J
0,2 0,8 0,8 1,0 О 0,2 0,4 0,8 0,8 1,0
О 0,4
х х
258
1,0
0,5
о
о
С р
о
0,5
1,0
rлава 5
1,0
0,5
о
Рис. 5.4.29.
РаспределеllШl давлеllШl и коэффициенты сопро-
тивлеllШl ДЛJI профиля Корна при нерасчетиых yc
ловиях: М == O,8l, а == 00, с использованием
различных конеЧllО Разностных уравнений.
Рис. 5.4.28.
Распределения давления и коэффициенты сопро
тивления ДтI профиля Корна при расчетных yc
ловиях: М == 0,80, а == 00, точное
решение, CD == о; численное решение с ис
пользованием различных конеЧllо разностных
уравнений.
зованием неконсервативных уравнений, не является ошибкой аппроксим аl{JIИ ,
поскольку она не исчезает с уменьшением шаrа сетки. Результаты вычислеНИЙ в
нерасчетных условиях для одноrо и Toro же профиля иллюстрируют этот эффект
на примере сопротивления (рис. 5.4.29). Заметное сопротивление на профиле возни..
кает уже при величине нерасчетности порядка 0,01 в числе Маха.
5.4.4. Точность
Ряд факторов в дополнение к у,же упомянутым влияют на точность вычислеНИJI
сопротивления. Что касается представлеlПlЫХ здесь результатов, то сопротивление
вычислялось как путем интеrрирования распределения давления по поверхности (ве..
личина C DB ), так и путем интеrрирования вдоль HeKoToporo контура в поле теч
ния (величина С пс ). Оба способа дают результаты, соrласующиеся в общем случае
с поrреlШlОСТЬЮ J1CD 0,0005. Для докритических течений коэффициент сопротив..
ления С NC равен нулю с точностью до четырех значащих цифр, в то время как C[h
может составлять величину около 0,0005. Таким образом, расчет сопротивлеНИJI
Трансзвуковая теорUJI тoHKOZO профuля
259
Таблица 5.4.2
Сетка 1 Сетка 2 Сетка 3
1,60 1,60 1,70
. . .
. . .
. . .
O,OIS 0,006 О,ООЗ
0,005 0,002 0,001
0,005 0,002 0,001
O,OIS 0,006 О,ООЗ
0,025 0,010 0,005
О,ОЗS 0,015 0,007
O,04S О,О2() 0,010
0,055 0,025 0,014
0,065 0,030 0,018
0,075 О,ОЗ5 0,022
0,085 0,0425 0,026
0,095 0,050 О,ОЗО
0,105 0,0575 О,ОЗ5
. 0,065 0,040
. 0,075 0,045
. 0,085 0,050
. 0,095 0,055
. 0,105 О, ()60
. . 0,065
. . 0,070
. . 0,0775
. . O,08S
дх 0,01 вблизи ударной волны 0,095
и 4х 0,02 0,04 в остальной части 0,105
.
окрестности тела
0,01 0,002 0,002
0,03 0,006 0,006
0,05 0,010 0,010
0,07 0,014 0,014
. . .
. . .
. . .
двумя различными способами представляет собой полезный метод BНYTpeHHero кон..
троля точности получаемоrо реlUения.
Источником ошибок является расчет величины [и]3 поперек ударной волны. для
получения надежных результатов, возможно, достаточно иметь lUar сетки
== 0,01 + 0,02 в месте пересечения ударной волны с поверхностью тела. Иноrда
коэффициенты C DB и C Dc различаются на величину, преВЫlUающую O,OOOS, вероят"
но, в результате недостаточноrо пространственноrо разреlUения перехода через
ударную волну rде..либо в поле течения. Это, однако, не вызывает серьезных труд"
ностей. В ряде случаев различие между C DB и C Dc становится болыIIим; как прави..
17*
260
1,0
..... ............... ..... С;
&
0,5
С р
о
СОВ СОС
6. О О
Сетка 1 0,0004 0,0000
Сетка 2........... 0,0005 0,0000
Сетка 3 ..... 0,0002 0,0000
0,5
о
0,5
х
Рис. 5.4.30.
Влияние шаrа сетки на коэффициент со против..
ления и' распределение давления; профиль
NACA..OOI2, а = 00; докритический поток при
М == 0,72.
rлава 5
1,0
0,5
С р
..... I .....C;
,
.
,
.
,
.
о
I
С О Со
в с
Сетка 1 0,0202 0,0198
Ce Ka 2 . 0,0223 0,0.221
Се!ка 3 o,O 40 0,0230
0,5
I
1,0
I
О
I
0,5
I
1,0
х
Рис. 5.4.31.
ВЛИJlние шarа сетки на коэффициент сопротив..
ления и распределение давления; профиль
NASA..OOI2, а == 00; закритический поток при
М = 0,825.
ло, это связано с ПОJlВлением необычной ударно"волновой системы (например, двух
близко расположеlПlЫХ ударных волн).
Правильный выбор шarа сетки вблизи носка весьма важен, в особеlПlОСТИ для
затуплеlПlЫХ тел с сильными ударными волнами. В данном исследовании (табл.
5.4.2) были выбраны три существенно различных шаrа. В случае профиля, заданно--
ro дyrами параболы и представлеlПlоrо на рис. 5.4. 5.4.26, не отмечал ось значи..
тельных изменений в C D при уменьшении шаrов по х или у. Для профиля Корна
на рис. 5.4.28 (ПКР) сопротивление изменялось примерно на 0,0003 при переходе
от сетки 1 к сетке 2 при очень малом изменении распределения давления. Результа..
ты расчетов докритическоrо обтекания про филя NASA..OOI2, полученные Локком
для стандартных контрольных условий, представлены на рис. 5.4.30. Вновь измене..
ние C D при замене сетки оказалось малым. Вместе с тем для Toro же caмoro профи..
ля при сверхкритических условиях с относительно сильной ударной волной
изменение шarа сетки оказывает более значительное влияние на величину C D (рис.
5.4.31). в большинстве представленных здесь расчетов использовалась сетка 1. С
измельчением шarа при переход е от сетки 1 к сетке 3 сопротивление увеличивается
максимум на 10........15%. В общем случае rлавным фактором этоrо изменения являет..
ся размер шаrа по х вблизи носовой части. Размер шаrа по у вблизи тела имеет
второстепенное значение.
Трансзвуковая теория тонкосо профuля
261
5.4.5. Сопротивление в результате влияния стенок канала
Одно интересное приложение OCHoBHoro интеrрала сопротивления (5.4.28) состоит
в определении сопротивления интерференции вследствие потока количества движе..
ния к стенкам аэродинамической трубы. Рассмотрим модель, размещенную внутри
трубы бесконечной протяженности в направлениях вверх и вниз по потоку. Если
контрольный контур, охватывающий тело, вытяrивается возможно дальше от мо"
дели, получается ситуация, представленная на рис. 5.4.32. Вклады в интеrрал на
участках контура вдоль стенок канала не MorYT быть равными нулю, как это было
бы в неоrраниченном потоке воздуха. Эти вклады представляют собой чистый пе..
ренос количества движения от стенок канала, и сила сопротивления, действующая
на модель, существенно отличается от волновоrо сопротивления. Для rраничных
условий на стенке, соответствующих каналу с прямолинейными непроницаемыми
стенками (v == О), свободной струе (и == О) и идеальному щелевому каналу (и av/ax),
сопротивление равно нулю. Однако в случае rраничноrо условия на перфорирован..
ной стенке, при и v, комбинация uv положительно определена и сопротивление
отлично от нуля. При более сложных rраничных условиях, моделирующих стенки
реальных каналов, в общем случае сопротивление может быть не равно нулю. По..
добный результат получается из дозвуковой линейной теории [5.4.16], rде СО против..
ление связано с выталкивающей (подъемной) силой, обусловленной rрадиентом
давления по длине модели. Развиваемая ниже теория позволя учесть сопротивле..
ние, связанное с выталкивающими силами при трансзвуковых скоростях течения.
Однако различие волновоrо сопротивления в свободном потоке и в канале может
появляться и по друrим причинам.
Влияние интерференции было продемонстрировано на испытательной установке,
использованной в ONERA (Понтезьер и Бернар..rель [5.4.17]). Три профиля
NACA..OOI2 с различными длинами хорд были испытаны в трубе с перфорирован..
ными стенками при разных значениях просвета u (а отношение суммарной пло
щади отверстий к площади стенок трубы) для чисел Маха 0,4 0,95. Было найдено,
что в случае нулевой подъемной силы положение ударной волны для всех трех мо"
делей было одинаковым при u == 12,50/0, заданном числе Маха и при условии, что
число Рейнольдса превышало 3 · 106. Оказалось, при значении u == 12,50/0 интерфе..
ренция отсутствует (т. е. заrромождение потока или поправка к числу Маха равны
нулю); в дрyrих условиях (а == о; 3,1; 5,50/0) интерференция имела место. Для этих
условий был разработан метод введения поправок, основанный на коррекции поло..
жения ударной волны; параметры порозности были получены для трех ненулевых
значений а.
В данном исследовании были проведены расчеты с помощью метода Мурмена
[5.4.18] с учетом упомянутоrо выше параметра порозности, соответствующеrо
Рис. 5.4.32.
Контрольный контур С, охватываю
щий тело В и ударную волну S в Ka
нале аэродинамической трубы.
///////////////////////////////////////////////////
r 1
I I
I I
I I
OD +--1 J.....+ ао
I S I
I I
I I
L
////////////////////////////////////////////////
262
rла8а 5
1,0
0,5
Xs
0,70
0,75
0,80
0,85
.
м
0,05
А
С /.
о nOnH /
./
/'
/' ",
....,'" .,."
...., .,." С
...... ...-. ..., о IOnн
Со
о
_._-
Сй_ /
./.)Р....
./ '
"'../
.......... - ... -"""""
Рис. 5.4.33.
Расчеты для профиля NACA-0012,
а == ()О, размещенноrо в перфорирован..
ной аэродинамической трубе.
о = 12,5070; . о == 5,5070;
в неоrраниченном потоке. а по-
ложение ударной волны в сравнении с
результатами дрyrих работ: xONERA,
Re == 3,6 . 1()6, Н RAE, Re == 3,6 . 106,
дNАСА (Эймский центр), Re = 4 . 1()6;
б коэффициенты сопротивления для
0== 12,5070; 8 коэффициенты сопротив..
ления для о = 5,5070.
о
tJ
0,05
СО
8
и == 5,5 и i2,5OJo. Был выбран профиль промежуточноrо размера (С == 80 ММ), тах
что отношение полymирины канала трубы к хорде было равно 1,25 (заrромождение
потока 4,8070). Результаты по казаны на рис. 5.4.33 и 5.4.34. На рис. 5.4.33, а пред..
ставлены рассчитанные положения ударной волны для двух каналов и условий не..
оrраниченноrо потока, там же приведены некоторые дрyrие результаты. Расчеты
показывают, что положение ударной волны при и == 12,5070 качественно со ответ..
ствует случаю обтекания про филя неоrраниченным потоком, в то время ках при
и == 5,5070 происходит смещение ударной волны вниз по потоку. Существует, одна..
ко, значительное расхождение в измеренном и теоретически определенном положе..
ниях ударной волны. Представлены также две дрyrие независимые rруппы данных
(Осборн, 1971, и Стиверс, частное сообщение, май 1974), относящиеся примерно
к тем же числам Рейнольдса. Расхождение явно связано не только с двумерными
эффектами, наличием ударной волны и поrраничноrо слоя.
Сопротивление, рассчитанное через давление при и == 12,5070, сравнивается с ве..
личиной, соответствующей неоrраниченному потоку (рис. 5.4.33, 6). для течения
в канале трубы полное сопротивление и волновое сопротивление показаны отдель..
но; различие соответствует «трансзвуковым выталкивающим силам», или сопро..
тивлению за счет влияния стенок. Эти значения представлены также в табл. 5.4.3
вместе с поправками на выталкивающие силы, которые рассчитываются в дозвуко..
вой линейной теории [5.4.16}.
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
263
1,0
о
С р
1,0
0,5
Рис. 5.4.34.
Распределение давления, внутренняя сверх..
звуковая область и потери на ударной вол..
не для профиля NACA 0012, а = 00,
м = 0,81.
в неоrраниченном потоке; в
перфорированной аэродинамической трубе,
(1 = 12,5070.
у
о
о 0,03
С D (у)
о
0,5
1,0
х
Некоторые расхождения очевидны. Во..первых, хотя ударные волны расположе..
ны одинаково как в канале, так и в неоrраниченном потоке, значения волновоrо
сопротивления различаются, и это различие заметно возрастает с числом Маха. На
рис. 5.4.34 показано распределение давления при наличии сверхзвуковой области,
а также распределение сопротивления вдоль ударной волны при М == 0,81. Во"вто"
рых, при докритических условИJIX сопротивление, обусловленное влиянием стенок,
равно сопротивлению, обусловленному выталкивающими силами, которое рассчи..
тывается в линейной теории. В"третьих, чтобы исключить влияние канала, недоста..
точно просто вычесть сопротивление за счет влияния стенок из полноrо
сопротивления. Нелинейность потока не позволяет использовать подобный принцип
суперпозиции. Данные по сопротивлению, рассчитанные при (J == 5,5070, показаны
Таблица 5.4.3. Значения CD для профиля NACA-- 0012 в перфорированном канале
аэродинамической трубы «(1 = 12,5070) и в неоrраниченном воздушном потоке
ТравсэвукоВ8JI теорШl
М Неоrpавиченвый Аэродинамическая труба ДозвукоВ8JI
ПОТОК воздуха теорШl
CD СD попв CD CD
ВOJIН ст ВOJIН
0,706 О 0,0022 0,0022 О 0,0022
0,763 О, ()()() 1 0,0032 0,0032 < О, ()()() 1 0,0031
0,780 0,0010 0,0049 0,0043 0,0006 0,0036
0,804 0,0069 0,0124 0,0072 0,0052 0,0044
0,810 0,0099 0,0155 0,0084 0,0071 0,0046
0,827 0,0215 0,0273 0,0131 0,0142 0,0055
0,840 0,0390 0,0185 0,0205 0,0063
0,850 0,0482 0,0482 0,0211 0,0249 0,0071
264
rлава 5
на рис. 5.4.33, в; обсуждавшиеся особенности здесь еще более заметны. Все резуЛJr
таты, представленные на рис. 5.4.33, б и в, относятся к случаям, коrда ударные
волны не достиrают стенок канала. Отметим, наконец, что в некоторых вариантах,
показанных на рис. 5.4.33 и 5.4.34 и представленных в табл. 5.4.3, размер шara
сетки вблизи ударной волны превышает == 0,01, Т. е. значеJlие, требуемое ДJllI
достижения достаточной точности, как указывалось выше. Следовательно, рассчи
танные значения волновоrо сопротивления MorYT быть на 10 15OJo ниже действи
тельноrо значения; это обстоятельство не сказывается существенно на
сопротивлении, обусловленном влиянием стенок, на положении ударной волны, а
также на любом из общих выводов.
5.4.6. Профили невязкоrо следа
Была выполнена серия расчетов для профиля 64АОI0 как в неоrраниченном потоке,
так и в канале аэродинамической трубы с идеально щелевыми стенками. Под
ные экспериментальные данные для этоrо профиля были получены Стиверсом
(частное сообщение, май 1974) в аэродинамической трубе (с сечением рабочей части
61 х 61 см) Эймскоrо исследовательскоrо центра. В экспериментах по распределе
нию давления использовалась модель с размером хорды 15,25 см, закрепленная в
рабочей части. Детальные измерения полноrо и статическоrо давления были прове-
дены в следе на расстоянии 1,8 хорды позади модели. Коэффициенты сопротивле-
ния получены обычным интеrрированием данных по следу. Число Рейнольдса,
вычисленное по хорде, в экспериментах составило (3 + 4) · 106; течение в поrранич
ном слое было безотрывным. Верхняя и нижняя стенки аэродинамической трубы
имели продольные щели, заполненные треyrольными вставками. При ИСПЫТаниях
профилей боковые стенки канала были сплошными.
Зависимости коэффициента сопротивления от числа Маха, полученные в экспери
ментах и трех теоретических расчетах, представлены на рис. 5.4.35. Для докритиче-
ских условий в экспериментах получено почти постоянное по сечению значение
коэффициента сопротивления профиля C Do == 0,0080. Это значение вычиталось из
всех экспериментальных данных, которые оказались неправильными с точки зреНШI
0,08
о
0,7
t:.
0,06
м
Рис. 5.4.35.
Теоретические зависимости и эксперимен
тальные данные для трансзвуковоrо вол
HOBoro сопротивления: профиль 64АОI0,
а = 00.
д данные Стиверса, CD == 0,0080; Tpaнc
звуковая теория, CD = о: неоrрани
ченный поток; толстая стенка
1,0 со щелями; . тонкая стенка со
щелями.
о
CJ 0,04
I
Q
(.)
0,02
1.4s == 1,3
0,8
0,9
м
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
265
учета влияния стенок. Рост сопротивления правильно предсказывается расчетами
сопротивления невязкоrо следа вплоть до точки, rде число Маха ударной волны
достиrает примерно 1,3. За этой точкой теория и эксперимент расходятся из..за ро..
ста вязко"невязкоrо взаимодействия, увеличения энтропии на ударной волне и влия"
ния стенок. Истинные rраничные условия на стенках канала трубы сформулировать
очень трудно; две модели идеальной щелевой стенки (roTepT [5.4.19]) MorYT дать
ЛИIIIЬ общее представление о действительном влиянии стенок канала.
На рис. 5.4.36 показаны распределения давления по поверхности для некоторых
чисел Маха. Проведено сравнение с теорией обтекания неоrраниченным потоком
воздуха и с теорией обтекания в канале аэродинамической трубы с использованием
Toro rраничноrо условия, которое дает наилучшее соrласие с рассмотренными вы..
ше данными по сопротивлению. С ростом числа Маха отчетливо наблюдается одна
особенность. В зоне перед ударной волной теория хорошо соrласуется с эксперимен..
том. С увеличением интенсивности ударной волны влияние интерференции в аэро..
динамической трубе и вязкоrо взаимодействия приводят к изменению положения
ударной волны. При наибольшем числе Маха (рис. 5.4.36) в зоне за ударной волной
соrласование расчета и эксперимента по давлению плохое. Ни в одном из случаев
нет указаний на отрыв поrраничноrо слоя вследствие взаимодействия с ударной
волной.
Полные потери давления на ударной волне или локальный невязкий коэффици..
ент сопротивления CD(y) можно определить, зная скачок энтропии в следе. Как сле..
дует из уравнения (3.10.15), сопротивление связано с ростом энтропии поперек
ударных волн. Распределение энтропии, порожденной ударной волной, остается не..
изменным в области вниз по потоку, так что энтропийный след при х 00 в соот..
ветствии с трансзвуковой теорией малых возмущений можно представить в виде
S(oo,y,z) = L [S(y,z)Js.
Ударные волны
(5.4.42)
Эти данные нужно сопоставить с результатами для следа, показанными на рис.
5.4.37. Потери на ударных волнах отчетливо проявляются в следе и хорошо пред"
сказываются теорией. Интересно отметить, что даже при более высоких числах
Маха, коrда распределение давления по поверхности плохо соrласуется с теорией,
профили потерь полноrо давления на ударных волнах над поверхностью крыла
вполне соответствуют теоретическим данным. Это показывает, что вязкость влия"
ет в основном лишь на положение и интенсивность ударной волны у ее подножия.
Верхняя ж часть ударной волны, формируемая схождением волн сжатия, rенериру..
емых передней частью профиля, по"видимому, не зависит от взаимодействия удар..
ной волны с поrраничным слоем. Эта картина, однако, разрушается, коrда ударная
волна порождает значительный отрыв поrраничноrо слоя. Кроме Toro, в случае
несущих профилей изменение распределения давления в области вниз по потоку от
ударной волны существенно изменяет циркуляцию. Иначе rоворя, трудно ожидать
отмеченноrо выше хорошеrо соrласия, если не делать сопоставления при одинако..
вых значениях CL.
В завершение отметим, что профиль параметров в вязком следе существенно
не изменяется с ростом числа Маха. Основные изменения относятся к невязкому
следу, порожденному потерями в ударной волне. Это обстоятельство хорошо соот..
266 rла8а 5
O': м = 0,70
0,8 У о се u
0.3
0,4 C; 0,5
М = 0,82
О У
С р
0,04
0,12
о
у
о
о
о
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
х
м = 0,84
м = 0,854
0,08
С о (у)
Рис. 5.4.36.
Распределение давления по поверхности
профиля 64АОI0, а = 00.
д данные Стиверса; теория обтека..
ния неоrраниченным потоком; тео..
рия канала с идеальными щелевыми
стенками (тонкая стенка).
Рис. 5.4.37.
Картины течения в следе за профилем
64АОI0, а = 00.
о данные Стиверса; теория обтека..
ния неоrраниченным потоком; тео..
рия канала с идеальными щелевыми
стенками (тонкая стенка).
ветствует кривым роста сопротивления на рис. 5.4.35. Очевидно, что потери на
ударной волне можно достаточно точно вычислить по теории малых возмущений,
если ударные волны не слишком сильные. Сопротивление, вычисляемое из распре
деления давления по телу, однозначно выражается через волновое сопротивление,
индуктивное сопротивление и сопротивление за счет влияния стенок. Нелинейность
трансзвуковых уравнений и, как следствие, решения для разрывов на ударной
не позволяют рассчитать правильное первое приближение для роста энтропии
на основе теории первоrо приближения. Кроме Toro, профили с умеренно затуплен
ными носовыми частями можно рассматривать без привлечения сосредоточенной
силы сопротивления на передней кромке. Влияние стенок аэродинамической трубы
может сказаться на измеренном сопротивлении тела совершенно иным образом,
чем можно было бы ожидать в рамках классической теории интерференции на CTeH
Трансзвуковая теория тoHKOZO профuля
267
ках. Далее при подходящем выборе конечно..разностных уравнений и дрyrих числен..
ных процедур можно рассчитать сопротивление тела с точностью, приемлемой в
аэродинамических приложениях. Важным элементом расчета служит использование
консервативных разностных формул не только для правильноrо определения разры..
вов на ударных волнах, но и для выполнения теоремы о диверrенции применитель..
но к разностным уравнениям. По"видимому, ошибки аппроксимации при расчете
сопротивления и вычислении [u]3, не выходят за рамки точНости теории малых воз..
мущений.
Материалы настоящеrо раздела основаны rлавным образом на результатах, по..
лучеиных авторами книrи и их СОТРУДllИl(ами. Из..за оrраниченноrо объема книrи
здесь не удалось привести подробный обзор новых данных, хотя расчеты трансзву"
ковых течений в последнее десятилетие проводятся весьма интенсивно.
Описанные в данном разделе методы в последнее время были усовершенствова..
ны блarодаря введению более эффективных вычислительных алrоритмов, rибких
адаптивных сеток, простейшеrо учета вязкоrо взаимодействия, более сложных
уравнений. Используются теории схем, чувствительных к типу уравнений, и специ..
альные операторы на ударных волнах. Разрабатываются подходы к трансзвуковым
уравнениям Эйлера BToporo порядка (по большей части несовместным) для полноrо
потенциала. Тем не менее теория малых возмущений остается полезным инстру"
ментом исследования из..за ее простоты и внутренней соrласованности.
ЛИТЕРАТУРА
[5.4.1] Murman, Е. М. and Cole, J. D., Calculation of Plane Steady Тransonic
Flows, A:IAAJ. 9, 1971, рр 11 121.
[5.4.2] Murman, Е. М. Analysis of Embedded Shock Waves Calculated Ьу R
laxation Methods, AIAAJ, 12, 1974, рр 626--632.
[5.4.3] Magnus, R. М. ТЬе Direct Comparison of the Relaxation Method and
the Pseudo-- Unsteady Finite..Difference Method for Calculating Steady
Planar Тransonic Flow, TN.. 73..SP03, General Dynamics, Convair Aero--
space Division, San Diego, СА, 1973.
[5.4.4] Guderley, К. G., ТЬе Theory оЕ 1raпsonjc Flow, Pergamon Press, Lon..
don, 1962.
[5.4.5] Small, R. D. Numerical Solutions for Тransonic Flow. Part 1. Plane
Steady Flow over Lifting Airfoils, ТАЕ Report No. 273, Technical Dept.
of Aeronautical Engineering, Haifa, Isreal, 1976.
[5.4.6] Krupp, J. А. and Murman, Е. М. Computation of Тransonic Flows pa.st
Lifting Airfoils and Slender Bodies, AIAAJ 10, 1972, рр880..886.
[5.4.7] Sells, С. С. L., Plane Subcritical Flow pa.st а Lifting Airfoil, RAE TR
67146, Royal Aircraft Establishment, England, 1967.
[5.4.8] Magnus, R. and Yoshihara, Н., Inviscid Flow Over Airfoils, AIAA Paper
7(),,47, N.Y., Jan. 1970.
268
Тлава 5
[5.4.9] Stivers, L., Effects of Subsonic Mach Number оп the Forces and Pressure
Distribution of Four NAC,A. 64А series Airfoil Sections, NACA TN 3162,
1954.
[5.4.10] Korn, D. Computations of Shock Free Тransonic Flows for Airfoil De
sign, NYU Rept. 148 125, NYU, NY, NY, 1969.
[5.4.11] Bauer, F., Garabedian, Р., and Korn, D. Supercritical "'iпg Sectioпs,
Springer Verlag, 1972.
[5.4.12] Murman, Е. М. and Cole, J. D. Inviscid Drag at Тransonic Speeds,
Studies iп Тraпsoпic Flow 111. UCLA Eng. 7603, School of Engineering
and Applied Science, Univ. of California, Los Angeles, 1975.
[5.4.13] Spreiter, J. R. Оп the Application of Тransonic Rules to Wings of Finite
Span NACA TR 1153, 1953.
[5.4.14] Garabedian, Р. R. and Korn, D. G. Analysis of Тransonic Airfoils,
Оошm. Pure and Аррl. Math 24:, 1971, pp841 8751.
[5.4.15] Jameson, А. Тransonic Flow Calculations for Airfoils and Bodies of Rev
olution, Grumman Aerodynamics Rept. 390 71 1, Dec., 1971.
[5.4.16] Pindzola, М. and Lo, С. F. Boundary Interference at Subsonic Speeds
in Wind Тunnels with Venti1ated Walls, AEDC TR 69 47, 1969.
[5.4.17] Ponteziere, J. and Bernard Guelle, R., А Critique of Тransonic Airfoil
Testing Techniques, Pt. 11, Experimental Study of Wall Corrections in
R1Ch, L'Aeroпautique et l'Astronautique, 22, 1971, рр 9--20.
[5.4.18] Murman, Е. М. Computation of Wall Effects in Ventilated Тransonic
Wind Тunnels, AIAA paper 72 1007, 1972.
[5.4.19] Gothert, В. Тransonic Wind Тunnel Testing, AGARD, 49, 1961.
Имеются на русском языке
[5.4.1] Мурмен, Коул. Расчет плоских установившихся трансзвуковых
течений. Ракетная техника и космонавтика, 1971, т. 9, N2 1,
с. 137.
[5.4.2] Мёрмен. Анализ присоединенных скачков уплотнения с исполь..
зованием релаксационных методов. Ракетная техника и кос..
монавтика, 1974, т. 12, N2 5, с. 64 73.
[5.4.4] rудерлей K.r. Теории околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960.
[5.4.6] Крупп, Мэрмен. Расчет обтекания околозвуковым потоком не..
сущих профилей и тонких тел. Ракетная техника и KOCMOHa
втика, 1972, т. 10, N2 7, с. 39.
Трансзвуковая теория тОНКО20 профuля
269
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Обзор методов численноrо расчета трансзвуковоrо обтекания
профиля дан в работе: Лифшиц Ю.Б. и др. Методы расчета обтекания
элементов летательных аппаратов при трансзвуковых скоростях.
Обзор ЦАrи, 1980, N2 585, с. 244.
Численному расчету трансзвуковоrо обтекания тел посвящены сле
дующие работы советских авторов:
Чушкин п.и. Расчет некоторых звуковых течений rаза. ПММ,
1957, т. 21, ](2 3, с. 353.
Лифшиц Ю.Б. О расчете трансзвуковоrо обтекания симметричноrо
профиля в свободной струе. Изв. АН СССР, мжr, 1969, .N2 1,
с. 52.
Липницкий Ю.М., Лифшиц Ю.Б. О расчете обтекания тел вращения
трансзвуковым потоком. ПММ, 1970, т. 34, вып. 3, с. 508.
Фонарев А.С. Расчет обтекания осесимметричных тел и несущих KpЫ
ловых профилей трансзвуковым потоком rаза. Ученые записки
ЦАrи, 1973, т. 4, ](2 3, с. 1.
Лифшиц Ю.Б. К теории трансзвуковых течений около профиля.
Ученые записки ЦАrи, 1973, т. 4, .N2 5.
Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в rазо
вой динамике. М.: Наука, 1985, rл. VI, с. 142.
5.5. ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
Полет со скоростью звука определяет четкую rраницу между дозвуковыми и CBepx
звуковыми скоростями. Для этоrо режима известно очень мало решений. В каче
стве точноrо решения можно отметить обтекание клина, а также решения для
некоторых специальных профилей, построенные rудерлеем [5.5.1]. Некоторые пред
варительные расчеты были выполнены Тзе [5.5.2] в переменных rодоrрафа с целью
определения звуковоrо ПОТQка около конкретных реальных профилей. Некоторые
детали метода были уточнены Зиrлером [5.5.3] и Римби [5.5.4]. Основная идея co
стоит в выборе rранltчной кривой в плоскости rодоrрафа и численном построении
в этой плоскости течения и результирующеrо профиля. Таким образом, использует
ся обратный метод. rраница в плоскости rодоrрафа для смешанных дозвуковых
сверхзвуковых течений заранее известна лишь для профилей специальной формы,
например для клина, rде поток имеет заранее заданное направление. В данном 'раз
деле содержится общее описание метода rодоrрафа и приводятся некоторые pe
зультаты.
Число Маха набеrающеrо потока Мао равно единице, а форма профиля задается
обычным путем:
у == БFu,t(Х) , О < х < 1.
(5.5.1)
Качественные особенности течения при Мао == 1 показаны на рис. 5.5.1. При подходе
к профилю поток вначале замедляется, а затем ускоряется снова и достиrает CKO
рости звука над профилем. Далее поток расширяется при сверхзвуковой скорости
до задней кромки, rде образуется хвостовая ударная волна такой формы, что поток
rладко сходит с хвостовой кромки. Звуковая линия, начинаясь на контуре, уходит
на бесконечность. Такая структура течения представляет собой предельное состоя
ние, возникающее при увеличении сверхзвуковой зоны конечных размеров на про
филе при Мао 1 . Расчеты, приведенные в предыдущем разделе, показывают TaK
270
rла8а 5
о
у
It
1/
с::.
1/
i.
c'j
М. =1
х
\
Рис. 5.5.1.
Типичная картина обтекания профиля звуковым
потоком.
же, что ударная волна достиrает задней кромки профиля, вообще rоворя, еще при
Мао < 1. Течение за хвостовой ударной волной оказывается сверхзвуковым, а затем
плавно тормозится до значения Мао == 1.
Волны разрежения (характеристики), исходящие от поверхности профиля вблизи
звуковой линии, приходят на звуковую линию и отражаются к поверхности в виде
волн сжатия (рис. 5.5.1).
Волны разрежения, которые исходят из окрестности задней кромки, приходят
на хвостовую ударную волну. Имеется одна отличительная линия Маха, или пре
дельная линия Маха, которая разделяет эти два семейства и уходит на бесконеч
ность. Она служит асимптотой как звуковой линии, так и хвостовой ударной волны
на бесконечности. Структура Taкoro дальнеrо поля обсуждалась в разд. 4.1. Обла
сти зависимости можно определить, изучая взаимное влияние.
Некоторое изменение на rранице впереди предельной волны Маха передается на
звуковую линию и влияет на всю область вверх по потоку. Любое изменение ниже
по потоку от предельной линии Маха не может повлиять на область вверх по пото
ку. Иначе rоворя, все течение перед хвостовым скачком эффективно разделяется
на две области. Область выше по потоку от предельной линии Маха можно рассчи
тать с использованием уравнений эллиптическоrо типа, так как возможно взаимное
влияние ее участков; эта область должна рассчитываться целиком. Области ниже
по потоку от предельной, линии Маха можно рассчитывать последовательно марше
вым методом в направлении вниз по потоку, если только течение в области выше
по потоку известно. Однако, поскольку задача в физической плоскости н елин еЙ8 а ,
положение предельной линии Маха в физической плоскости до решения задачи неиз
вестно. Как показано в l'азl1. 3.5, образы характеристик в физической плоскости
являются характеристиками в плоскости rодоrрафа. Иначе rоворя, предельная ли
ния Маха в плоскости rодоrрафа известна заранее; это является одним из apryмeH
тов в пользу рассмотрения задачи в переменных rодоrрафа. Рассмотрим теперь
Трансзвуковая теория тoHKOZO профuля
271
задачу в физической плоскости и в плоскости rодоrрафа. Уравнение теории малых
возмущений нужно решить в переменных (х, j) при значении параметра подобия
к==о
(, + l)фжфжж Фiiii == О
(5.5.2)
и при условии
Фi(Х' 0:1:) == F ,t(X) , О < Х < 1,
(5.5.3)
которое выражает условие непротекания. Возмущения должны затухать на беско..
нечности. Кроме Toro, решение в дальнем поле может иметь следуюЩИЙ вид, как
показано в разд. 4.1,
ф(х, у) = 1з yi f(A€) , (5.5.4)
rде == х/р 4/5 автомодельная переменная, А параметр подобия, отражающий
свойства профиля. Эта форма асимптотики rодится для решения, в котором функ..
ция Ф симметрична по У, т. е. ф(х, j) == ф(х, п. В разд. 4.1 показано, что эта
форма подходит и для несущих профилей. В том же разделе показано, что для
(5.5.4) существует выражение в замкнутом параметрическом виде вместе с со ответ..
ствующим преобразованием в переменных rодоrрафа.
Задача решается в плоскости rодоrрафа, поскольку в этой плоскости известны
природа особенностей и расчетная область, если форму профиля требуется опреде..
лить как часть решения. Уравнения в переменных rодоrрафа линейны. Далее реше..
ние для передней области можно леrко продолжить в заднюю область, если
рассмотреть отдельно два листа в плоскости rодоrрафа, покрывающие верхнюю
и нижнюю стороны сверхзвуковой области. Продолжая расчет течения на этих лис..
тах, искомый профиль можно сделать замкнутым.
Приведем некоторые подробности. Уравнения в плоскости rодоrрафа инекото..
рые общие свойства обсуждались в разд. 3.5. Основные уравнения в плоскости ro..
доrрафа для неизвестных функций (х , j) относительно переменных W == ('У + l)фх,
{J == ('У + l)фу, имеют вид
{ шу" '" О } .
Х" Yw О
(5.5.5)
Иначе rоворя, для линий j == const (приближенные линии тока) нужно построить
решение уравнения Трикоми
wy"" YWtD == о. (5.5.6)
Схема областей течения в плоскости rодоrрафа и в физической плоскости трансзвуко..
вых переменных показана на рис. 5.5.2а, 5.5.2б. В плоскости rодоrрафа все линии
j == const приходят в особую точку, которая соответствует набеrающему потоку, rде
возмущения отсутствуют, т. е. w == {J == о. Линия тока j == О проходит из особой точ"
ки в носовую точку профиля. Как показано в разд. 5.2, область торможения в
окрестности носка профиля (х о) соответствует в рамках теории малых возмуще..
ний пределу w 00. Характер течения в носке в плоскости rодоrрафа рассматри"
вался также в разд. 5.2. В носке линия тока j == О разделяется и проходит по верхней
и нижней поверхностям профиля Стрелки на линиях j == const на рис. 5.5.2б указы..
вают направление возрастания х. Образ верхней поверхности пересекает звуковую ли..
нию (w == о) и проходит в область более высоких сверхзвуковых скоростей по мере
приближения к хвостовой точке Т. Звуковая линия (w == о) проходит от особенности,
272
rлава 5
о
I
/
!
Q.
:;
pj
9
х
\
Рис. 5.5.2а.
Физическая плоскость трансзвуковых
переменных.
Носок
Сверхзвуковой поток
9>0
O x
Область
9<0
w
Особенность,
соответствующая
набеrающему потоку, У Э
Рис. 5.5.2б.
Плоскость rодоrрафа.
соответствующей набеrающему потоку, к поверхности тела. Предельные xapaкT
ристики на верхней и нижней сторонах соответственно определяются по формуле
2 3
.,э == :f: W2 . (5.5.7)
3
Эти формулы связывают особенности в набеrающем потоке с особенностями на
верхней и нижней поверхностях профиля. Предельная Л,иния Маха пересекает верх..
нюю и нижнюю поверхности при значениях Хи. /. Друrие характеристики идут от
тела к звуковой линии, отражаются от нее и затем идут к предельной характери..
стике. Образ линии тока j := О, приходящей на тело, должен удовлетворять некото--
рым о rраничен иям , которые будут выписаны в явном виде несколько ниже. Далее
образ верхней поверхности после прохождения предельной линии Маха продолжает..
ся в область отрицательных значений д. Аналоrично образ нижней поверхности
продолжается к положительным значениям д, так что в плоскости rодоrрафа нуж"
7jюНС3t1)'1t08ll11 meoРUJI тoHKtRO профUЛJI
273
ны два листа, чтобы представить течение ниже по потоку от предельных линий
Маха. Для j > о yrол д меньше, чем ero значение на предельной линии Маха
д == (2/з) /2 вдоль j == const, а для j < о уrол д превышает свое значение на линии
д == ( 2/з) /2 вдоль j == const. Поскольку оба листа рассчитываются отдельно,
выполнить такое построение не представляет труда.
Как только rраничная кривая
fJ == fJb(W)
(5.5.8)
выбрана, область для решения уравнения Трикоми определена. Дозвуковая область
между rраничными поверхностями и частью сверхзвуковой области до предельной
характеристики должна быть рассчитана в первую очередь. rраничное условие име..
ет вид
у==о
на
fJ == д ь ,
(5.5.9)
а rраничное условие на предельной характеристике не ставится. Схема обеих обла..
стей на двух листах показана на рис. 5.5.З и 5.5.4.
Решение не сводится просто к выражению j == О, поскольку в начале координат
имеется особенность типа источника. Пусть ero интенсивность равна Q. После Toro
как решение для j определяется в передней части потока, оно определяет парамет..
ры вдоль предельной линии Маха, которые служат начальными условиями на ха..
рактеристике. Решение в rиперболической области вниз по потоку от предельной
характеристики можно рассчитать методом характеристик. Удобно провести эти
вычисления в переменных rодоrрафа. Рассматриваемая область (для j > О) оrрани..
чена также последней волной сжатия AJ, которая проходит от предельной линии
Маха к задней кромке. Вдоль волны сжатия ALT не ставится никаких условий; эту
линию нельзя построить, пока не известна точка Т на задней кромке. Вместе с тем
rраничное условие j == о на поверхности и задание величины j на предельной харак..
теристике позволяют определить решение в области вплоть до линии д ==
== ( 2/з)w3/2 для j > о. Это становится ясным из детальноrо описания rранич..
Horo контура, приводимоrо ниже.
8
1&\\
01"' Ц&/
('9 ,,""
"...
9. 01";-.......
"ь, 1J6,;::-
"""Ч
w
......
"""'........
.........
.......
.......
,
........
"
"
"
"-
"
"
e
w
9::::0
Рис. 5.5.3.
Область расчета передней части потока.
Рис. 5.5.4.
Область расчета задней части потока.
18 1084
274
rлава 5
Как только функция y(W, д) определена, ФУНIЩИю x(w, д) можно найти путем
интеrрирования одноrо из уравнений (5.5.5). Выбор «интенсивности источника» Q,
соответствующеrо особенности набеrающеrо потока, определяет масштаб решени-
в физической плоскости. Однако в силу линейности задачи величина Q не влииет
на качественные свойства решении.
Отметим некоторые нужные нам свойства rраничной кривой дь(W). Как показа
но в разд. 5.2, решение ун (уравнение (5.2.15» описывает течение в окрестности
скруrленноrо носка с конечным радиусом кривизны:
,., ( д) ...Т { ( 7. 2 ) · F ( 5 1 3 · 2 ) }
у N Ю, == с 1 Р 3 С2 1 3 Sln Q + Sln Q з' 2; 2; Sln Q ,
(5.5.10)
rде
4
р2 == д2 wЗ
9
. {J
Sln Q == .
р
Это означает, что rраничная кривая дь(W), на которой у == о, появляется на лИlUu..
а == const, т. е. дЬ""" (..... W)3/2. ЭТО же замечание относится к разделяющей л инии
тока у == о. В разд. 5.2 установлено, что справедливо неравенство ..... 0,2621 < с2 < о,
поэтому существуют три действительных корня al, 2, 3 (рис. 5.2.3). Для симметрич
Horo течения вблизи носка с2 == о. Вдоль про филя поток должен ускоряться вплоть
до задней кромки. Поскольку справедливы формулы
dx == Xw dw + х" d", ,
dy == Yw dw + Уд d", == О на ", == дь( ю) ,
(5.5.11)
можно записать одно выражение для изменения х вдоль rраницы (скажем, вдоль
верхней поверхности)
dx == (xw + x,,{J (w))dw == (wy" + Yw{Jb(w))dw.
В соответствии со схемой течения (рис. 5.5.5) имеем Yw < о, у" > о на rранице. По-
этому dx> О при dw > о, Коrда д6(w) < о. Рассмотрим формы верхней поверхнос
ти, обладающие этим свойством. Иначе rоворя, наклон потока вдоль верхнel
поверхности профиля является монотонно убывающей ФУНIЩИей длины дуrи; анало-
rично вдоль нижней поверхности, что соответствует достаточно широкому мае..
су течений. Далее при переходе в сверхзвуковую область течение должно оставать--
ся завихренным. Если это так, образ линии тока у == О в плоскости rодоrрафа не
касается характеристики, а предельная линия в физической плоскости отсутствует
-д
/
",
,.,
..,"""" /
.....><",
-=.. '
"
w
Рис. 5.5.5.
Течение вблизи rраницы.
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
275
J< О
",
/'
"",/ ./
"",,'" /"
/
...... -<.'" ",
"'" /
""" .>с.......... ,/
"",:.<..
",
w
Рис. 5.5.6.
Завихренное течение.
(разд. 3.6 и 3.7). Это означает, что характеристики, идущие от тела к звуковои
линии, являются волнами разрежения, а отраженные от звуковой линии волнами
сжатия. Далее максимальная скорость потока достиrается на rранице. В приня:тых
обозначениях для завихренноrо потока получим
1" (w)1 1 1 dд 1 1 < dд
dw у=О du' хар'
Тоrда из (5.5.11) следует формула (рис. 5.5.6)
( : ) == JШ.
хар
...,
Yw
< ,IW.
у"
Для сверхзвуковой области якобиан J оказывается отрицательным (J < О)
J a(w,d) ... .....2..2
== д( "" ) == Yw X " xwy" == wYw уд ·
у,х
Разумеется, в ДО звуковой области J < о. Итак, завихренностъ потока обеспечивает
условие J < О во всем течении; полное отображение является обращающим.
Два произвольно выбранных примера верхней rраничной кривой взяты из рабо
ты [5.5.2].
Пример 1
2 3
Ob(w) == зСw(W с w)1" + ОС) w < Шl < Ш С < О,
-l7 b ( w) == а.ю + Ь. ,
юl < w < w2 ,
(5.5.12)
"6(W) == a p w 2 + bpw + d p , w > W2.
rраничная кривая состоит из полукубической параболы, переходящей в параболу
через прямолинейный участок. Требование непрерывности дь, D6(w) на стыках
участков выполнено. Имеются четыре соотношения, связывающие десять констант,
так что получается шестипараметрическое семейство как верхних контуров, так и
нижних. Отметим, что верхний и нижний контуры не являются независимыми. Как
18*
276
rЛQ8Il 5
отмечено в разд. 5.1, для обеспечения требуемоrо течения в окрестности носка дол
жны быть выполнены некоторые соотношения между параметрами.
Прuмер 2
rраничная кривая задается параметрическими соотношениями
b1t
w ( t )
ь (1 + t)2 '
д ( t ) := а2 + b 2 t + C2 t2 Ь 1 > О , 1 < t < 1 .
ь (1 + t)З '
(5.5.13)
Для Bepxнero контура 02 > о, 112, с2 < о, для нижнеrо контура 02 < о, 112, С2 > о. Диа
пазон параметров выбран таким образом, чтобы выполнить описанные выше orpa
ничения.
После Toro как определены rраничные кривые, можно приступить к описанию
решения и численноrо метода. Поскольку уравнение в плоскости rодоrрафа и ypaв
нение Трикоми линейны, воспользуемся суперпозицией решений. Для описания п
тока вдали от профиля используем особенность, соответствующую набеrающему
потоку (уравнения (4.1.71), (4.1.72». Здесь эти особые решения умножаются на ин
енсивность источника Q. Рассматриваемая особенность находится в начале KOO
динат (w == д == о),
( У. == Qp 3 {(р +- д)1 (3д р) + (р d)t(3d + р) }, )
(5.5.14)
х. == Qw2 p 3 { (р + д) i (3д + 2р) + (р д) ! (3д 2р) } ·
Особое решение (5.5.14) можно прибавить к дрyrим решениям, численным или aнa
литическим. Как показано в разд. 4.1, при р ..... 00 и заданном а имеем
..., .
Ув ""'J Р З.
(5.5.15)
По сравнению с решением в носке (5.5.10) это затухание слишком медленное, поэто
му для обеспечения быстроrо затухания при р...... 00 вне расчетной области из полу
ченноrо отображения вычитались две функции. Аналитическая часть решения Уа
определяется в виде
Уа == Q{ ii.(w, д) i-fi.(w, д до) fi.(w, д + до) } .
(5.5.16)
Тоrда при р...... 00 имеем
8
Уа "-J p ] .
(5 .5 .17)
Уrол до лежит выше точки пересечения верхней rраничной кривой и звуковой ли
нии, а yrол до ниже такой же точки для нижней кривой. Полное решение пред
ставляется в виде суммы аналитическоrо (Уа) и численноrо (Ус) решений
у == Уа + Ус . (5.5.18)
rраничное условие для численноrо решения имеет вид
"'" ...,
ус == Ya
на rраницах
iJb(W) .
7jюНС3t1уковtl1l теорUJI тoHKOZO профUЛJI
277
(как показано на рис. 5.3.3). Расчетная область оканчивается при w == Wo (отрица
тельное значение) на достаточно большом расстоянии от начала координат, чтобы
можно было применить решения в области носка. На этой rранице имеем
УС == Ya + YN
(см. уравнение (5.5.10».
В эллиптической области для построения конечно разностноrо решения ypaвHe
ния Трикоми (5.5.6) для Yc(W, д) удо.бно использовать прямоyrольную сетку. В этой
области конечно разностное уравнение строится с использованием простой схемы
с центральными разностями. В rиперболической области решение для передней ча
сти потока нужно продолжить вплоть до предельных характеристик. Предельные
характеристики являются открытыми rраницами, на которых rраничные условия
не ставятся. В rиперболической области естественно использовать характеристиче
скую систему координат ( , .,,). Решение можно получить маршевым методом вдоль
BToporo семейства характеристик в направлении предельной характеристики. Здесь
2 з
== д+ w'! 5
3
2 з
'7=={J+ W2 J
3
и уравнение Трикоми принимает вид
УЕ., t 6( '1) (УЕ + У.,) == о.
(5.5.19)
Это уравнение является частным случаем общеrо уравнения Эйлера Пуассона
Дарбу, изучаемоrо в классической теории дифференциальных уравнений с частными
производными. В сверхзвуковой области следует использовать разности назад
вдоль линий тока у == const, чтобы учесть свойства локальной области влияния. Си
туация аналоrична рассмотренной в разд. 5.4, за исключением Toro, что здесь rи
перболическая и эллиптическая области известны заранее, вследствие линейности
уравнения.
На рис. 5.5.7 показаны расчетные шаблоны, использованные при реализации
разностных схем. Здесь 1 центрированный шаблон для эллиптической области,
4 шеститочечный шаблон с использованием разностей назад для rиперболической
области. Шаблоны 2 и 3 используются для точек вблизи звуковой линии. Детали
здесь опущены (см. работу [5.5.2]). Недавно в работе [5.5.4] бъmо показано, что более
простая четырехточечная схема в rШ1ерболической области несколько эффективней, по
крайней мере для стрУЙНых течений. Как и в разд. 5.4, здесь использоваласъ линей
ная релаксация в переменных направлениях для определения веизвестных значений
ус В узлах сетки. rоризонталъные линии (рис. 5.5.7) в эллиптической области про
должаются характеристиками == const для верхней полуплоскости и характеристи
ками ." == const в нижней полуплоскости. Все точки на каждой из этих линий
рассчитываются одновременно через предыдущие значения. Расчеты выполняются
в направлении, показанном на рис. 5.5.8. Чтобы связать решения в верхней и ниж
ней плоскостях, релаксация проводилась также на вертикальных линиях в перемен
ных направлениях. Последние расчеты включают только до звуковые точки.
Как только ус определяется вплоть до предельной характеристики, у становится
278
rла8а 5
-д
о
Рис. 5.5.7.
Различные схемы, используемые в расчетах.
w
.......",
......,
"
.
Рис. 5.5.8.
Направление линейной релаксации.
известным и решение можно продолжить в кормовую часть профиля. Верхняя и
нижняя кормовые части рассчитываются одинаково и независимо одна от дрyrой.
Для верхней части решения j известно на предельной характеристике = о; кроме
Toro, j = О на rранице дь(W) (рис. 5.5.9а). Используя четырехточечную схему и учи..
тывая данные на rранице, можно построить решение маршевым методом на харах..
теристической сетке. Эта процедура продолжается до достижения больших
отрицательных значений д. Коrда полное решение для j(w, д) известно, COOTBeт
ствующая функция х( w, д) определяется путем интеrрирования. В эллиптической
области используются уравнения (5.5.5); их можно проинтеrрировать, например, на
мелкой сетке вблизи rраницы. В rиперболической области имеем
{ x = JW } .
х" = JWy'1
Пример фактически использованной сетки показан на рис. 5.5.9б.
Чтобы восстановить форму профиля, используем соотношение
(5.5.20)
1 2: 1 1 2:
Fu,t(x) == фj(х',О:f:) dx' == 1 Du,t(x') dx'.
о 1+ о
Задняя кромка располаrается в точке х= Xt, rде справедливо равенство
(5.5.21)
Fu(Xt) = Ft(Xt) .
(5.5.22)
При таком способе расчета хорда профиля с = Xt не задается заранее, а получаетcs
в зависимости от интенсивности Q особенности, соответствующей набеrающему
потоку, и формы профиля. Коэффициенты давления, подъемной силы и сопротив
ления определяются по формулам
Трансзвуковая теория тоНК020 профиля
279
"
е
....;
о
м
о
N
.
\
\ У\ I
\ 0.0 1.0 2.0
w "
\
\
\
\
,
\
i\
,
,
"
,
w
О
Рис. 5.5.98.
Область расчета функции j в задней
части потока.
Рис. 5.5.96.
Простая сетка (фактическая сетка имеет вдвое меньшие
ячейки) .
с; = ff = 1: 1 w на tЭ ь ,
С 2 { 1 l С 1 l С }
Ci = ; = wudxu. WtdXt,
Б"J '1 + 1 с о с о
С . CD 2 { l 1 С , l 1 С , }
D = == '1 wuFudxu WtFtdXt.
Бз 'Ii С О С О
rеометрический уrол атаки определяется так
а: = Б F(Xt) .
Xt
(5.5.23)
(5.5.24)
(5.5.25)
(5.5.26)
Рассчитанные решения можно пронормировать следующим образом. Любому
решению
у == у (w, д) ,
х==Х(ш,19)
можно поставить в соответствие нормированное решение
у == у + ( W + , 19+) , Х == х+ ( W + , 19+) ,
rде
и
, а 2
Ш ""Т" и .
"
Ь 2
х+ == aX(w+ ,д+)
аЗ
19+ = Ь З д .
у+ = b}r(w+,19+),
280
r IUltJII 5
Если Р(х) ....... контур, полученный при построении исходноrо решения, то нормиP<r
ванное решение порождает подобный контур в соответствии с преобразованием
1 l X 4 1 l Х 4
F+(X+) == o+dX+ = fJdX == P(X).
'1 + 1 о Ь З '1 + 1 о ЬЗ
Пусть а 1 и длина хорды равна единице, тоrда
1
F + ( х) == ЬЗ F ( х) .
Если вычисленный контур Ри(х) F,(x) имеет толщину t, то решение
(5.5.27)
х+ == X(w+, д+),
у+ == tty( w+, 19+)
определяет контур Р+ (х) единичной толщины.
Приведем теперь некоторые численные результаты. rудерлей и Иосихара рас..
считали звуковое обтекание клина [5.5.5]. Поскольку {)ь const, rраничная крив3JI
в плоскости rодоrрафа известна. Звуковая точка появляется в точке излома контура
(рис. 5.5.10). В расчете используются разложение по собственным функциям и чис..
ленный метод, позволяющие удовлетворять rраничным условиям в сверхзвуковой
части. Звуковое течение рассчитывалось с помощью только что описанноrо метода.
Полученные распределения давления сравниваются на рис. 5.5.11.
Было рассчитано несколько профилей при Q 1 для параметрической формы
rраничной кривой (5.5.13). Типичный контур профиля и распределение давления по--
казаны на рис. 5.5.12. Случай использования rраничной кривой (5.5.12) представлен
на рис. 5.5.13. Различие в давлении на верхней и нижней поверхностях дает подъем..
(5.5.28)
1=
, I!!
"
11 \ /
'I \ / I
, 1 \/
1/1 Л
// /
l"' J \/ /
Pjlll\ / ф
, 1/ )(
11; /
J / \
'V \
\
t
в
/
/Ьткрытаи
/ раница
w
б
Рис. 5.5.10.
Обтекание клина потоком со звуковой
скоростью.
а физическая плоскость; б плос
кость rодоrрафа.
1j:юНС3tlУКОВQJI теорWl тoHKlRO профUЛJI
3,0
С р 8-213
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
О
0,2
0,6
0,8
Рис. 5.5.11.
Распределение давления на клине.
настоящие расчеты; О расчеты ry..
дерлея .
Рис. 5.5.14.
Сравнение CL по порядку ве..
личины.
Эксперимент Винсенти:
О а =: 0,30; О а =: 1,20;
трансзвуковая теория ма..
лых возмущений (а =: О);
линейная теория.
С(а 0,08
1,0
0,00 0,25
2,oo
1,00
С р A
0,00 )с
1,00
2,00
С
281
)(
0,50
0,75
1,00
C L = 0,0000
С о = 0,0806
СМ = 0,0000
Рис. 5.5.12.
Распределение С р по верхней и нижней по..
верхностям профиля и форма профиля В..l.
0,00
2,00
х
0,25
0,50
0,75
1,00
1,oo
0,00
С р
1,00
2,00
t = 0,11
cr = 2,90
C L = 0,3186
Со = 0,0936
СМ = 0,2217
Рис. 5.5.13.
Распределение С р и форма профиля С..9.
0,16
0,12
C 11
C 9
B 3
0,04
О
1,0 1,1
о
D О В
.....
.................. а
о ............Q....
о ...-....-.
Q... ..... ...-.
о
о о ......
о
1,2
1,3
1,4
М Ф
282
rла8а 5
0,08
0,04
С й
о
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
Рис. 5.5.15.
Сравнение CD по порядку ВeJIlf1IИIIЫ.
О эксперимент Винсенти; Tpaвc
звуковая теория малых возмущеНRЙ;
линейная теория.
0,02
М.
ную силу. Сравнение коэффициентов сопротивления с некоторыми результатами
расчетов rудерлея для клина и OCTpoHocoro профиля с кормовой частью МИНИМaJIlr
Horo сопротивления [5.5.5] показывает, что эти rладкие профили имеют несколько
меньшее волновое сопротивление. Сравнение порядков величины CD и CL/ а с экс"
периментальными данными Винсенти и др. [5.5.6] для двойноrо клина толщиной
0,07 представлено на рис. 5.5.14 и 5.5.15. Эти rладкие профили в общем случае
имеют б6льmyю подъемную силу и меньшее сопротивление. Более точные расчеты
можно провести, используя улучшенную разностную схему. Такую схему можно
применить и для точноrо уравнения Чаплыrина. (Некоторые предварительные ре-
зультаты уже получены.) Время расчета с использованием этой схемы минимально
(несколько секунд на IBM 91/360). Таким образом, при некоторых теоретических
оrраничениях можно определить оптимальный профиль с максимальным CL при за..
данном CD. ДЛЯ закона стабилизации (разд. 5.6) рассмотренные выше звуковые те-
чения весьма важны с точки зрения понимания структуры течений, близких к эву..
ковым.
ЛИТЕРАТУРА
[5.5.1] Guderley, К. G. Theory оЕ Тransonic Flo",., Addison Wesley 1962.
[5.5.2] Тве, Egbert, Airfoi1s at Soпic velocit)/', PhD. Thesis, 5chool of Engineer
ing and Applied 5cience, University of California, Los Angeles 1980.
[5.5.Зj Ziegler, Frederick J., Finite Sрал ",1ings at Sonic Speed, PhD. Thesis,
Department of Matematics, University of California Los Angeles 1981.
[5.5.4] Rimbey, 5., частное сообщение.
[5.5.5] Guderley, 1\. G. and Yoshihara, Н., Flow оп а \Vedge Profile at МасЬ
Number One, J. Aero. Sci., 17 по. 11, Nov. 1950 рр. 723..735.
[5.5.6] Vincenti, Vt.7. G., Dugan, D. W. and Phelps" Е. R., .. n Experimental
Study of the Lift and Pressure Distribution оп а Double Wedge Profile
at МасЬ Number near Shock .A,ttachment, NACA TN 3325, 1954.
Трансзвуковая теория тOHKOZO профиля
283
Имеется на русском языке
[5.5.1] rудерлей К. Теория околозвуковых течений. М.: ИЛ, 1960.
5.6. ЗАКОН СТАБИЛИЗАЦИИ
в этом разделе анализируется зависимость слабо возмущенноrо трансзвуковоrо те..
чения от числа Маха набеrающеrо потока в окрестности единицы (Моо...... 1, К...... О).
Особый интерес представляет «закон стабилизации» или «замораживание» местно..
ro числа Маха в окрестности тела перед фронтом ударной волны при стремлении
числа Маха набеrающеrо потока МОО к единице. Основная цель этоrо раздела заклю
чается в определении порядка поправочноrо члена в решении, описывающем звуко..
вое течение при изменении числа Маха, и в формулировке соответствующей краевой
задачи.
Полная краевая задача (разд. 3.1) состоит из уравнения малых возмущений
(.К' (, + l)фж)фжж + фgg == о
(5.6.1)
в плоскости с разрезом вдоль у == О, х > О и rраничных условий:
непротекания
Фgli=О == F ,l(X) , О < Х < 1,
(5.6.2)
отсутствия возмущений вверх по потоку
Фж о,
непрерывности давления при переходе через след
(5.6.3)
[ Фж ] У=О '
Х > 1,
(5.6.4)
услов й на ударной волне
[КФж (/; 1) Ф ]. [Фж]. + [Фу]: == о,
(5.6.5)
[Ф]. == О,
(5.6.6)
условия Кутта при МОО < 1
[Ф J ж=1 == о.
(5.6.7)
Здесь предполаrается, что в координатах теории малых возмущений профиль распо..
ложен вдоль у == О, О х 1.
Эта краевая задача уже исследовалась дЛЯ К, CTporo большеrо нуля (Моо < 1),
дЛЯ К, точно paвHoro нулю (Моо == 1), и дЛЯ К, c poro меньшеrо нуля (Моо> 1).
Однако полученные результаты не являются равномерно приrодными при переходе
МОО через единицу. Это ясно видно как из поведения дальних полей, так и из типа
уравнения. При К > О уравнение всюду эллиптическоrо типа. При переходе К через
нуль тип уравнения в дальнем поле изменяется с эллиптическоrо на rиперболиче..
ский. При К < О уравнение всюду rиперболическоrо типа. Таким образом, при
К ...... О краевая задача является задачей синrулярно возмущенноrо типа.
284
rЛQвQ 5
Неоднородность ясно видна из разложения (4.3.14) в дальнем поле при Мое < 1
Ф '" r8 + (/, + 1) ( ) 2 log r cos 8 /' + 1 ( ) 2 сов 38 + D сов 8 + Е sin 8 + .. .
r oo 21Т 411" 211" r 16К 21Т r 21ТТ 21rr '
rде r == (r + Kj2)1/2, 8 == arctg({j(j/X), как в (4.3.1). Это разложение перестает быть
справедливым, коrда К ---+ О, если только r не стремится к 00 с такой же скоростью.
Кроме Toro, в разложении rлавным является несимметричный член, обусловленный
циркуляцией, в то время как дальнее поле звуковоrо течения описывается разложе..
нием (4.1.102)
... '(a ) y l fl(a )
(1 + 1) Ф .. '" у 5 + СО + с 1 + . .. ,
, oo аЗ аЗ
rде == х/у 4/5, Со, Cl, а были определены в разд. 4.1.1. Коrда Мое ---+ 1: влияние подъ..
емной силы на дальнее поле становится более слабым, чем влияние толщины
профиля.
Ч!обы получить представление о трудности, возникающей при переходе К через
нуль, и найти приrодные для описания предельные процедуры, ниже приводится
картина различных схем течения (рис. 5.6.1).
Заметим, что ударные волны движутся к задней кромке профиля, коrда Мое при..
ближается к единице снизу. В то же самое время сверхзвуковая зона растет до тех
пор, пока она не расширится до бесконечности при Мое == 1. В действительности
ударная волна достиrает задней кромки при некотором значении Мое, меньшем еди..
ницы. Начиная с этоrо момента формируется еще одна ударная волна и образуется
конфиrурация, напоминающая хвост рыбы. Коrда Мое достиrает единицы, эта вто"
рая ударная волна уходит на бесконечность. При дальнейшем увеличении числа Ма..
ха набеrающеrо потока вверх по потоку от тела образуется rоловная ударная
волна, которая движется по направлению к телу.
Случай К ---+ 0+
Коrда К приближается к нулю сверху (К ---+ 0+), сверхзвуковая зона растет. При
К == О она расширяется до бесконечности. Таким образом, анализ течения сводится
к двум предельным процедурам: отысканию BHYTpeHHero предела, при котором
К ---+ О И Х, j фиксированы, и внешнеrо предела, при котором Х, j растяrиваются
при К ---+ о. Во внутреннем пределе течение имеет вид звуковоrо в первом приближе..
нии, так как сверхзвуковая зона растет до бесконечности и проходит любое фикси..
рованное значение у. Во внешнем пределе течение имеет вид дозвуковоrо с
,/
/
/'
,
/
М IID :z: М 1 < 1
М IID = М2'
М 1 < М 2 < 1
М IID = 1 М IID = М з > 1
М IID = М4
М З < М4
Рис. 5.6.1.
Картины течения при прохождении
МОО через единицу.
1}:юНС3fJУКОВQJI теорШl тoHKOZO профUЛJI
285
включенной в Hero сверхзвуковой зоной, поскольку координаты Х, j растяrиваются
до бесконечности столь же быстро, как и rраница сверхзвуковой зоны. Теперь сле
дует построить разложения для этих областей и срастить их. Посредством этоrо
сращивания находится поправка к звуковому течению во внутренней области.
rде
Внутреннее разложение. (х, j фиксированы, К..... о.)
Во внутренней области разложение имеет вид
ф == фо(х,у) + КФl(Х'У) + Jl2(К)Ф2(Х,У) +... ,
1J2(K) « К .
Поправка порядка О(К) возникает из уравнения (5.6.1), а сращивание rарантиру
ет невозможность введения в разложение членов друrих порядков. Как будет видно,
этот член представляет только однородный сдвиr по скорости и, следовательно,
не дает вклада в подъемную силу. Наша цель определить JL2 и сформулировать
краевую задачу для Ф2.
Подстановка разложения (5.6.8) в краевую задачу (5.6.1) (5.6.7) дает краевые
задачи для определения Фi. В области перед ударной волной они имеют вид
(I + l)фожфожж + ФОii == О, (5.6.9)
(5.6.8)
Фоtilti=о == F ,l(X)'
(5.6.10)
l
У5 У 6
( l' + 1) Фо -"J 3 f ( а ) + со + с 1 f 1 ( а ) + . .. ,
,, OO а а
(5.6.11)
rде == х/у 4/5, а течение в дальнем поле было изучено в разд. 4.1.1. Имеем
(, + l)(ФОжФlж)ж + Фlfli == ФОжж,
Фli 'у=о == О,
и
(I + 1)(ФОжФ2ж)ж + Ф2ii == О,
Ф2iIJi=О == О,
rде дальние поля потенциалов Фl, ф2 определяются путем сращивания с внешним
разложением. Отметим, что задача о нахождении фо является задачей о звуковом
течении. Частным решением задачи для Фl является
р Х
Фl = ·
1+1
С помощью сращивания устанавливается, что Фf дает полное решение Фl, и это
определяет фактически форму уравнения для Ф2. Сращивание также позволяет опре
делить JL2 и дальнее поле потенциала Ф2. Заметим, что уравнение для ф2 на самом
деле имеет правую часть, если JL2 == к 2 , но, поскольку Фlхх == о, уравнение, как мы
увидим, является однородным при всех JL2 »к 2 или JL2 == к 2 .
286
rлава 5
Внешнее разложение. (х == а(К)х, j == {3(К)у фиксированы при К ---+ О, а, (3 «1.)
Во внешней области х, j растяrиваются таким образом, что переменные
х == а(К)х, у == (K)y (5.6.12)
остаются фиксированными при К ---+ о. Параметры а и (3 должны быть определены.
Внешнее разложение имеет вид
ф == lIo(K)<po(x,p) + 111(K)<P1(X, у) + 112(K)<P2(X, у) +... ,
(5.6.13)
rде необходимо найти Jlo и Jll И Jll « Jlo.
Для определения а, (3 потребуем, чтобы кривые == const не изменялись в растя
нутых координатах. Это позволяет произвести сращивание с внутренним разложе
нием. Таким образом,
х а(К)х х
Е == y == P(K) y == y '
или
..
а(К) == {J(K) i .
(5.6.14)
Потребуем также, чтобы уравнение (5.6.1), переписанное во внешних переменных,
(к (7 + 1)lIo(K)a(K)<po )02(K)<po + {J2<pOfifi == О,
(5.6.15)
осталось бы полным при К ---+ О, так чтобы сохранилась дозвуковая природа тече
ния, хотя в то же самое время сращивание можно было бы осуществить со звуко
вым (внутренним) течением. Следовательно,
02 К == {12 == IIOQ3 . (5.6.16)
Из (5.6.14) и (5.6.16) получаем
(3 == К , Q == к 2 ,
1
110 == ·
К
Подстановка этих величин в разложение (5.6.13), а затем подстановка последне
ro в (5.6.1) и (5.6.3) дает краевые задачи, которые удовлетворяются q;i:
(1 (7 + 1) <Рож) <Рожж + <POjj == О ,
yf '(a ) х С 1у !
Оj:о аз(,+1) + ,+1 + аЗ gl(a )+".,
<Рож ,-..,; О
_ oo
и
((1 (, + 1) o ) a) + ljj == О,
p
<Р1 ,-..,; D1 h (a )+...,
, o а 3 р
<р 1 ,...., о
j oo
и
(( ) ) { О, если 112 » KII ,
1 (7+ l)<рож <P2 + 'P2jj ==
ж (')' + 1)<Р1Ж<Р1Ж если 112 == К IIf ,
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
287
tp2 . D2 У 3 h (a€) ,
' O а
<P2 о.
i oo
Заметим, что первоначальное сращивание BHYTpeHHero и внеIШIеrо разложений
уже было проведено, чтобы определить первый член в ближнем поле 'РО. СледylO
щий член х/('У + 1) в разложении ближнеrо поля 'РО является вынужденным, по
скольку при х, У ---+ О, q;0i:» 1, и уравнение ведет себя как звуковое с малой
правой частью
('1 + 1) tpожtpо ж + tpOjy == <ро ж .
Оставшиеся члены в разложении ближнеrо поля 'РО, а также первый член q;1 яв
ляются однородными автомодельными решениями звуковоrо уравнения в вариаци
их. Вид этих решений yag( ) найден в разд. (4.1.1.), rде а принимает значения
2п/5, 2(1 + Зп)/5, (2п + 1)/5, (6п + 5)/5 (п целое).
Величина показателя р (или п) в первом члене разложения ближнеrо поля q;1
определяется посредством сращивания. Член q;O с уl В разложении ближнеrо поля
отсутствует, так как предполarается, что решение является четным по у. В этом
приближении не может появиться циркуляция, поскольку это означало бы, что
r == 0(1/ К).
Сращивание
Суммируя сказанное дО CJIX пор, имеем
Внутреннее разложение
Ф фо(ж, у) + к Фl (ж, у) + Jl2 (К)Ф2 (ж, у) + .. · ,
rде
2
ys Y 6
(")' + 1) фо _ "v 3 f (а €) + Со + Сl З f 1 ( а €) + . .. ,
11' ..... 00 а а
х
Фl = 1 + 1 '
..,.
у
Ф2 .. d 2 l( a ) + · .. .
'.....00 аЗ
(5 .6.1 7)
Здесь мы предполаrаем, что решение звуковоrо уравнения в вариациях для дальнеrо
поля Ф2 и степень s должны быть определены из условия сращивания.
Внешнее разложение
1
Ф "'-1 К tpо(ж, у) + 1.11 (K)tpl (ж, у) + Jl2(К)tp2(Ж, у) + .. · ,
(5.6.19)
rде
К 2 K ..,
ж== ж, у== 2у
(5.6.20)
и
2
y'i '(a ) х C1yf
/Ро"" з ( + 1) + 1 + з 91 (a ) + ... ,
'.....0 а '1 ")' + а
у"
tpl '" Dl hp(a ) + · ..
'.....0 аЗ '
(5.6.21)
(5.6.22)
288
r JlQtlIl 5
.л
у
l{)2 D 2 h.л(а ) + · .. ·
,---+0 аЗ
(5.6.23)
Сращивание можно провести, переписав оба разложения в промежуточных перt:
менных или, проще, переписав члены ближнеrо поля внешнеrо разложения во BHYT
ренних переменных и приравняв их членам дальнеrо поля BHYTpeHHero разложения.
В результате сращивания в этом порядке получаем
D со О ( К ) 1 D С1 Л ! V 2 ( К ) == К l
1 == (1 + 1) , Р , V1 ==, 2 (1 + 1)' 5'
и
К З
J.L2 ,
d 2 == 01 ,
8
s== .
5
Краевая задача, которую необходимо решить для определения поправки О(К 3 ) в
решении, описывающем звуковое течение, имеет вид
(')"+ 1)(ФОЖФ2Ж)Ж + Ф2;'i == О,
Ф2j 1;'=0 == О ,
...1
У6
Ф2 .. 01 -з- 91 (a ) ·
Y OO а
(5.6.24)
(5.6.25)
(5.6.26)
Постоянная Сl здесь определяется из решения внешней краевой задачи:
(1 (')' + 1) 'PO ) 'Рожж + 'РОуу == О,
'Рож == о ,
ii..... 00
2 8
уб f(a ) х yi С
rpo..... з(. 1) + 1 + С 1 3 l (a.,,) ·
v.....o а ')'Т ')'+ а
..... фиксировано
(5.6.27)
(5.6.28)
(5.6.29)
Отметим, что в ближнем поле q;o имеется ударная волна, так как производная f'
испытывает разрыв при s. Постоянная Q определяется из задачи для Фо, описывае
мой формулами (5.6.1) (5.6.11) так же, как и в разд. 4.1.1. Постоянная С 1 может
быть определена, как и константа а, с использованием законов сохранения.
После определения С 1 , используя численные методы, можно найти решение Kpa
евой задачи (5.6.24) (5.6.26). Фактически краевая задача, определяющая Ф2, явля
ется той же самой, что и задача определения поправки теории несущей линии в
звуковом двумерном течении (разд. 6.3). Следовательно, численные результаты
приrодны для специально спроектированных профилей.
Поскольку подъемная сила может быть найдена как , телоФх, то В случае распо
ложения ударной волны на задней кромке, поправка к подъемной силе будет О(К 3 ).
Если ударная волна расположена перед задней кромкой, то поправка О(К 3 ) описы
вает течение только перед ударной волной и, следовательно, не определяет всю
подъемную силу. Необходимо провести дальнейший анализ, чтобы определить по
рядок поправки за ударной волной. Это и есть Зf'.кон стабилизации. Течения, близ
кие к звуковому, слабо отклоняются от Hero (О(К 3 » на теле перед ударной волной
(рис. 5.6.2).
Эти результаты соrласуются по порядку величин с результатами, полученными
Трансзвуковая теория тоНКО20 профиля
289
4 C L
1(
Рис. 5.6.2.
Стабвnиэ8ЦIIJI: отличие коэффициеита ПОДЫМНОЙ сипы
от ero звуковоrо зиачеllllJl.
ранее в работах [5.6.1.........5.6.5] при К < о. ПОДХОД, представленный здесь, является
более простым и более систематическим. Кроме Toro, четко формулируется краевая
задача для добавочных членов в разложении потенциала!).
Случай К..-+ О
Поведение Ф при К О'" леrко проследить в плоскости rодоrрафа. Это течение
ках в физической плоскости, тах и В плоскости rодоrpафа схематически изображено
на рис. 5.6.3. Вторая ударная волна в течении с К> О перемещаетСJl в х == + 00 при
К о, а затем снова ПОJlВJIJlется перед профипем при К < о. Перед этой ударной
волной поток является однородным. За ударной волной течение дозвуховое, затем
Ф, = о
Ф. = о А
I
/
/
/
/
о
x o
о
х .... О
,
w
.
1(
б
а
Рис. 5.6.3.
Схема течеНВJI при М. > 1.
а в физичесКОЙ плосхости при малых травсзвуковых возмущeRllJlX; 6 в плоскости rодоrрафа.
1) Результаты работ [5.6.1, 5.6.2] справедливы также и при К > о. По сути дела в раэд. 5.6 и в
работе [5.6.6] в терминах сращиваемых асимптотических раэложеllИЙ приведеиы результаты работ
[5.6.1, S .6.2]. В основе полученных реэУJlЬтатов лежат закои подобu и представление решеНИJI в нехото-
роЙ окрестиости тела в виде (5.6.21). Прим. перев.
19 1084
290
rла8а 5
оно снова разrоняется до сверхзвуковоrо. Сначала определим течение в области
между ударной волной и характеристикой СВ Затем шаr за шarом продолжим най..
денное решение от СВ в чисто rиперболическую область.
В плоскости rодоrрафа ударная поляра окружает начало координат. Отображ
ние тела, DC, заранее неизвестно. Краевая задача задается уравнением (3.6)
юу"" Ушш = О (5.6.30)
с rраничными условиями на теле
у == о на юь (t?) ,
(5.6.31)
и на ударной поляре
,., 7ю К у ю к ...,
1/", f: 5w ЗК v'2 1/" == О,
(5.6.32)
имеющей вид
{J (ю+К) у ю К
== :1: v'2 ·
(S .6.33)
Кроме Toro, на теле Wb(D) задано
х == хь(д).
(5.6.34)
После Toro как величина у найдена, величина х определяется из соотношеНИЙ
...,
юу" == х., ,
(5.6.35)
х" == У. .
Заметим, что положение КРИВОЙ в плоскости rодоrрафа, дающей отображение
тела, зависит от К, т. е. Wь(o; К), или, дрyrими словами, Фх на теле изменяется
с изменени м К. Эту величину мы хотим найти. Однако ХЬ(О) не зависит от К,
т. е. Ф, задается при у == о.
При К ...... О ударная поляра стяrивается в особую точку, течение слабо изменяет..
ся в окрестности rраницы и rораздо сильнее в окрестности ударной поляры. Таким
образом, решение можно изучать с помощью двух предельных процедур внут"
реннеrо предела (справедливоrо в окрестности тела или rраницы w,,(D» , в котором
w, D фпсированы при К...... О, и внешнеrо предела (справедливоrо в окрестности
ударной поляры), в котором w, D растяrиваются при К...... о. Следовательно, во
внутреннем пределе ударная поляра стяrивается в особую точку, во внешнем преде..
ле ударная поляра остается 0(1), но тело удаляется в бесконечность.
Внутреннее разложение. (w, D фиксированы, К...... о.)
Во внутреннем пределе х, у имеют разложения
У '" Уо ( д, ю) + 111 ( К) Уl ( д, ю) + · .. ,
х", хо(д, ю) + 111 (К)Жl(д, ю) +... ,
rде 'l « 1 должна быть определена. Разложение для кривой,
ло, представим в виде
юь(д; К) '" юо(д) + vl(K)Wl(D) +... .
(5.6.36)
(5.6.37)
изображающей T
(5.6.38)
Можно предположить дрyryю порядковую функцию для Wь, однако подстановка
разложеНИJI в rраничное условие подтверждает, что она должна быть Jll(К).
ТраНСЗ8уковая теория moНКО20 профиля
291
Подставляя (5.6.36), (5.6.37) в основное уравнение (5.6.30) и приравниваи КОЭффИ-
циенты при соответствующих порядковых функциях, получаем уравнеНИJl, которым
удовлетворяют Уо, Уl, Хо, Хl:
ЮУо"" YOww == О,
WYl"" Ylww == О
(5.6.39)
и
"" "'"
Хо" == YOw, Xl" == Ylw )
(5.6.40)
"" ""
XO w = wyo" , Xl w == WYl" .
Подставляя (5.6.38) в (5.6.31) и (5.6.34) и разлаrая в ряды Тейлора относительно
Wo(t'J) , вдоль rраницы Wь(д) будем иметь
у(д,юь(д)) == уо(д,wо(д)) +
+ &11 (К) { Уl(д,шо(д)) + Шl(д) : (д,шо(д))} + ... == о,
х(д, wь(д)) == хо(д, юо(д)) +
+ &11 (К) {2:1 (д, шо( д)) + шl (д) <;;; (д, шо(д)) } + ... == 2:ь(д) .
Приравнивая коэффициенты ПрИ соответствующих порядковых функциях,
лучаем
по-
уо{д, юо(д)) == О,
Уl (д, шо(д)) +Wl(д) : (д,wо(д)) ==0
(5.6.41)
(5.6.42)
и
Хо (д, юо( д)) == хь( д) , (5.6.43)
2:1 (д, шо( д)) + Шl (д) : (д, шо (д)) == о. (5.6.44)
Неиэвестную функцию Wl(t'J) можно исключить из (5.6.42) с помощью формулы
(5.6.44), а затем из полученных формул можно исключить величину Хl с помощью
соотношений (5.6.40) и дифференцирования. Таким образом,
( УI Yow ) == О,
XOw (I,wo('»)
или
( "" ) ( "" "" )
%1 (В, юо(В)) == X WYl == W!O"Yl .
Yow (I,шо(I») УО. (8,Шо(8»)
Следовательно,
( 1 ) d { ( ЮОУО"Уl ) }
Xl" + Xlw W o I ( I,Шо(I) ) == dд "" ,
Уо. ш=шо(")
или
( "" 1"" )1 d ( ''''' )
Уl", +ЮОЮОУ1" (I,шо(I») == d{J ЮоЮо!ll ,
поскольку из (5.6.41) имеем уо,,(8, wo(8» + w6Yow(8, wo(8» == о.
19*
292
Тла8а 5
Собирая все члены вместе, получаем, что rраничные условия для Уl можно зa.iIИсать
при w = wo( ") как
Ylw (1 + w(w')2) + Yl,,2ww' + Уl ((w')2 + ww") == о.
(5.6.45)
В этом приближении ударная поляра стянута в особую точку. Синryлярные ре..
шения уравнения Трикоми были изучены в разд. 4.1.1 и, следовательно, поведение
Уо известно.
Суммируя, получаем следующие rраничные задачи ДЛЯ Уо, Уl:
wYo"" + Уош., == о,
Уо (8, wo(O») == о,
(5.6.46)
(5.6.47)
1 1
Уо , o .% Р f { (1 + ) 3 (з 1) + (1 ) 3 (з + 1) } + b1p f 1 ( ) + ,
! фпсироваво (5.6.48)
р
rде Ji известная rиперrеометрическая ФУНIЩИJI (4.1.104), р2 = ,,2 ..... (4/9)w 3 И
WYl"" + Ylw. == о,
Ylw (1 + w(w')2) + Yl,,2ww' + Уl ((w')2 + ww") == о на w == wo(11),
Уl I'OW eop).l go ( 11 ) + elP). gl ( 11 ) + ... .
'....0 р р
! фИlCсироваво
Р
Заметим, что задача для Уо в точности является задачей ДЛЯ звуковоrо течения.
ПОСТОJlННые а, Ь 1 , ь,. определяются так же, как и в разд. 4.1. Неизвестные ео, Лl
находятся при сращивании.
Внешнее разложение. (W = w / ( ..... к), е == {} / ( ..... К)3/2, К --+ о.)
Во внеUПIем пределе переменные w, {} растянуты таким образом, что параметр
К выпадает из краевой задачи (5.6.30), (5.6.32), (5.6.33). В новых переменных урав..
нение (5.6.30) записывается следующим образом:
W Уее YWW == О . (5.6.49)
УсловИJI на ударной волне (5.6.32) и ударн ой поляре (5.6.33) принимают вид
:1: 7W+ly'W+C o
Yw 5W + 3 v'2 Уе ,
(5.6.50)
(W l)v'W + 1
6==:1: v2 ·
(5.6.51)
ВнеUПIее разложение будем искать в форме
у( 11, w) == Jlo(K)Yo(W, е) + Рl (К)У 1 (W, е) + · .. ·
(5.6.52)
rраничные условИJI на теле Wь(") в пределе не используются и заменяются усло..
вием сращивания с внутренним разложением.
Трансзвуковая теория тоНКО20 профuля
293
Подстановка (5.6.52) в (5.6.49) и (5.6.50) дает различные краевые задачи для на..
хождения Yi. Все они удовлетворяют уравнению Трикоми и полным условиям на
ударной волне.
Сначала сращивание позволяет определить, что
У О . oo % P } { (1 + ) ( 3 1) + (1 ) ( 3 + 1 ) } + · .. ,
" фиксировано
rде
р2 == 82 W2 .
9
Заметим, что W 3/2 /{} == W 3/2 /(J (поэтому значение автомодельной переменной не
меняется в растянутых координатах при К --+ О) И
Jlo (К) == ( K) .
(5.6.53)
Отсюда
..... ( K) l.v
у""" 2 o,
и мы получаем то же самое растяжение У, которое было найдено в случае Мое < 1
при рассмотрении закона стабилизации.
Объединяя все уравнения и условия, которым удовлетворяют УО, Y 1 , получаем
у;..., ( K) Yo(e, W) + Jll(K)Yl(8, W) +... ,
rде
7W + 1 !pi+l
Yow :i: 5W + 3 V Уое == О
а (W l)V W + 1
на '1:7 = 1: v'2
(5.6.54)
(5.6.55)
WYoee Yoww = О,
и
Уо . oo .жР !f ( ) + B1P 1f F 1 ( ) +... , (5.6.56)
i фиксирова НО
rде Р 1 является rиперrеометрической функцией, Р1 = Р(7/3; 7/6; 312; е 2 /р2)
(см. 4.1.57).
Отметим, что второй член в дальнем поле У О был выбран таким образом, что..
бы степень, в которую возводится Р, была равна .....11/3. Проверка решений уравне..
ния (5.5.54) показывает, что имеется также решение со степенью .....8/3 (см.
(4.1.103), (4.1.57». Однако краевая задача «5.6.54), (5.6.55) и первые члены (5.6.56»
ясно определяет нечетную функцию У, и, следовательно, член с p 8/3 опускается.
Далее дЛЯ Y 1 имеем
WY 1ee Y 1 ww == О ,
У 1: 7W + 1 v'W + l у О (W l) v W + 1
1W 5W + 3 J2 18 на е 1: v'2 '
У 1 ..... Е 1 Р" 1 G о ( ) + · .. .
294
rлава 5
Сращивание
Сращивание выполняется с помощью промежуточных пределов, однако проще
записать ближнее поле внешнеrо разложения во внутренних переменных и сравнить
ero с дальним полем BHYTpeHHero разложения.
Внешнее разложение
y ( K) tyo + JL1 Y l &:00 ЛР !! ( : ) + BIP 1f F 1 ( 8 ) .
i o р
Внутреннее разложение
у "-J Уо + 111 (К)Уl
V 1 f ( {J ) Ь f ( д )
"'J .Л Р '3 + 1 Р 3 1 +. · .
e oo р р
i фиксировано
l ( д )
+ 111 ео р 90 Р +. .. ·
Величины р,1, Во, 0'1, "1, ео, Лl неизвестны. Отсюда
2
<11 == з' JLl == ( K) I,
Ео == Ь 1 , 111 == ( K) з ,
11
Лl == , ео == Вl ·
3
Суммируя, имеем
..., ..., К З ...,
У == Уо Уl + · .. ,
(5.6.57)
5
У '" ( K) 2Yo K IYl +... . (5.6.58)
Здесь Уо удовлетв ряет звуковой краевой задаче (5.6.46) (5.6.48) (разд. 4.1), а Уl
удовлетворяет краевой задаче (см. рис. 5.6.4):
WY1"" + Ylww == О,
Ylw (1 + w( w')2) + Yl,,(2ww') + Уl ( w')2 + ww") = О оп w == wo( {J) ,
,., В и ( fJ )
Уl lР 3 F 1 +...
e oo р'
'" фиксировано
rде
F 1 == Fa, , , :: ) ·
Функция WO( д) известна, а постоянная Вl должна быть найдена из законов co
хранения.
После определения Уl(д, w) может быть вычислена Wl(д) из (5.6.42)
(Уl + WIYOtD)w= tD o(") == о.
Затем
wb( д) == wo( {J) К+ З Wl (д) + ... .
(5.6.59)
Это и есть закон стабилизации. В окрестности звуковоrо режима течение на теле
слабо отклоняется (О(К 3 ) от звуковоrо.
Чтобы определить точные решения, необходимо найти величину Вl. Это можно
Трансзвуковая теория moHKO O профuЛJI
295
w 91'" 9 1WW =: О
'''' ..,.
'1. ",е'р'" "
O(IIJ C
, о
91 С 1 р1113 F 1 (8/р)
/
w
Рис. 5.6.4.
Краевая задача ДЛJI .11.
сделать, используя законы сохранения так же, как и в разд. 4.1.1. Закон сохранения
для этоrо случая получается, если подставить {3 == 7/2 в семейство законов сохране..
ния (4.1.108). В результате имеем
у == 2 4{ (Р e)t(7p 3 + 45р 2 е 27ре 2 81е 3 )
(Р + e)t(7 р 3 45р 2 е 27 ре 2 + 81е 3 ) }
(5.6.60)
и
х == 2 130 З 11 l {(Р + е) ( 64p3 + 171р 2 е + 270Ре 2 405е 3 ) +
+ (Р е) 1 ( 64p3 171р 2 е + 270Ре 2 + 4О5е 3 ) } , (5.6.61)
rде р2 == 82 (4/9) w 3 . В этом случае интеrрирование в плоскости rодоrрафа произ..
водится вдоль пути, показанном на рис. 5.6.5. Этот путь начинается от точки, в
которой поляра пересекается с характеристикой Р == о в своей нижней части, прохо..
дит по часовой стрелке вдоль ударной поляры, затем вдоль верхней предельной
характеристики, бесконечно удаленноrо участка дyrи soo и нижней предельной xapaк
теристики.
е
w
\
Рис. 5.6.5.
Контур ИIIтеrрироВ8НИJI ДJ1JI опреде
ления Вl.
296
rлава 5
'\. t e
Уо ,..,р &13 '(6/Р) + С. p 1113 F 1 (6/Р) I
I
J
I
/
/
/
,/"
,/
I
J
I
I
/
/
/
/
,/
1
w
/
7w + 1 J\i + 1
Y o w уов=о
5W ... 3 /2
Wyoвe yoww= О
Рис. 5.6.6.
Kpaeвu задача ДЛJI УО.
Окончательный результат, полученный Зиrлером [5.6.6], имеет следуюЩИЙ вид:
Bl == (0,0260) 1 (У Xow + .XYow)dW + (У Х ов + XY oe )d8,
Sp
(5.6.62)
rде X(W: е), Y(W: е) даются формулами (5.6.60) и (5.6.61), функция Yo(W, е) ЯВЛJI..
ется решением краевой задачи (5.6.54)........(5.6.56) (рис. 5.6.6), а функция ХО связана
с Функцией У О соотношениями ТРИJ(оми. Тахим образом, с помощью В 1 осущест..
вляется связь ближнеrо поля внешнеrо разложения с течением в окрестности уда}r
ной поляры. Постоянная Вl вычисляется, если известны компоненты скорости на
ударной поляре.
Заметим, что анализ задачи в плоскости rодоrрафа имеет следующее преимуще..
ство перед ее анализом в физической плоскости. Как уравнение нулевоrо приближе-
ния для уа (звуковое течение), так и уравнение первоrо приближения для Уl, которое
дает поправку в окрестности профИШI, являются уравненИJIМИ Трикоми. В физиче-
ской плоскости уравнение для потенциала в нулевом приближении (Фо) в окрестное..
ти профиля отличается от уравнения для потенциала в первом приближении (Фl).
ЛИТЕРАТУРА
[5.6.1] Diesperov, V. N., Lifschitz, Yu. В., Ryzhov, о. 5., ТЬе 5tabilization
Law for Тransonic Flows, ArcЬjves о! Mechanjc8 (Archwum Mechanjkj
Staso\'/anej) 26. No. З, Warsaw 1974, рр. 511..521.
[5.6.2] Diesperov, V. N., Lipschitz" Yu. В., Rhyzov, о. 5., Stabilization and
Drag in Тransonic Range of Velocities, Symposium 7raпssoпicum, ed.
Oswatitch and Rues, Springer, N.Y. 1976.
[5.6.3] Guderley, Gottfried, Тw dimensional flow patterns with а fre stream
Mach number close to one. AF Tech. Rpt. #6343, Мау 1951, Wrigh
Patterson Air Force Вазе, Dayton, Ohio.
Трансзвуковая теория тOHKOZO профuля
297
[5.6.4] Lipschitz, Yu. В. and Ryzhov, о. 5., Тransonic Flow around а Carrying
Profile, English Тranslation, Flujd DyDa.rrUCS, V. 13, #1, 1978, рр. 78..84.
[5.6.5] Guderley, Gottfried, Тw Dimensional Bodies at Slightly Supersonic
МасЬ Numbers, WADO ТесЬ. Rpt. 53...454, Nov. 1953, Wright-.Patterson
Air Force Вазе, Dayton, Ohio.
[5.6.6] Cook, L. Pamela and Fred Ziegler, ТЬе Stabilization Law for Тransonic
Flow, to аррем in SIAМ J. Appl. Math.
Имеется на русском языlеe
[5.6.4]Лифшиц Ю.Б., Рыжов о.с. О трансзвуковых течеНШIX около
несущеrо крыловоrо профиля. Изв. АН СССР, мжr, 1978,
.м 1.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Диесперов В.Н., Лифшиц Ю.Б., Рыжов о.с. Об обосновании
закона стабилизации для крьшовых профилей. Ученые запис...
кв ЦАrи, 1974, т. У, N2 5, с. 3 38.
Диесперов В.Н., Лифшиц Ю.Б., Рыжов о.с. Закон стабилиза...
ции для трансзвуковых течений около тел вращения. Изв.
АН СССР, мжr, 1974, N2 5, с. 5 54.
Ryzhov O.S., Asymptotic Methods in 1hшsоniс Flow Theory,
Symposium 1hшssоniсum 111, eds Zierep, Oertel, Springer, Berlin,
1989.
6. TPEXMEP ibIE крыьяя
в данном разделе для описания течения около несущих крыльев большоrо удлине..
ния при трансзвуковых скоростях (МОО < 1 и МОО == 1) применяется теория несущей
линии. Эта теория позволяет обобщить результаты для двумерных течений на слу..
чай трех измерений.
Классическая теория несущей линии ДЛJI несжимаемой жидкости по Прандтлю
дает поправки на относительное удлинение к результатам для двумерных потоков
в каждом поперечном сечении, ортоrональном к направлению размаха крыла. Эти
поправки вычисляются через индуцированную вихревую пелену. В результате полу..
чается интеrральное уравнение относительно циркуляции. Позднее было обнаруже..
но [6.1], что задачу расчета несжимаемоrо течения около нестреловидноrо крыла
можно свести к проблеме синrулярных возмущений, в которой обратная величина
удлинения служит малым параметром. Асимптотические разложения строятся от..
дельно в разных областях, а затем сращиваются. Преимущество TaKoro подхода
состоит в том, что поправки на удлинение получаются явно, без обращения к инте..
rральным уравнениям.
Чтобы применить методы сращиваемых асимптотических разложений к трех..
мерным трансзвуковым течениям, рассмотрим зависимость решения Ф (х, Z-. к,
А, В) от приведенноrо параметра относительноrо удлинения В == ьо 1 / 3 при В --+ о()
[6.2]. Существуют два четко различимых предела краевой задачи; один справедлив
вблизи профиля, друrой вдали от профиля. Предельные переходы в случаях
Мао < 1 (К О) и Мао == 1 (К == О) различны. Действительно, течение при Мао = 1
нельзя получить предельным переходом при Мао --+ 1 в решении, соответствующем
МОО < 1. В этом пределе разложения неоднородны. Этоrо следовало ожидать, по..
скольку при Мао < 1 сверхзвуковая (rиперболическая) зона имеет вид пузыря конеч..
Horo размера. Поэтому течение в кормовой части крыла или за крылом влияет на
течение вверх по потоку. При Мао == 1 предельная поверхность Маха простирается
до бесконечности, так что течение в кормовой части крыла или за ним не влияет
на течение вверх по потоку. Переднюю часть потока при Мао = 1 можно рассчитать
независимо от ero задней части.
Краевые задачи, описывающие течения во внутренней (вблизи профиля) и во
внешней (вдали от профиля) областях, формулируются полностью через условия
сращивания. Получаемый результат состоит в явном представлении краевой задачи,
описывающей в первом приближении поправку на удлинение к решению для дву"
MepHoro течения. Уравнение для этой поправки является линейным, однако ero
коэффициенты зависят от решения нелинейной двумерной трансзвуковой задачи.
Из..за этоrо линейное уравнение приходится решать численно.
,ые крылья
299
Обсудим вначале теорию несущей линии дЛЯ МОО < 1. В этом случае уравнения
для внешнеrо течения линейны и по существу совпадают с соответствующими урав..
нениями для несжимаемой жидкости. Поэтому внешнее решение можно найти в за..
мкнутой форме. Простейшим случаем является нестреловидное крыло, которое
и рассмотрим в первую очередь. Решение для стреловидноrо крьша аналоrично реше
нию для нестреловидноrо крыла, за исключением Toro, что в асимптотических раз..
ложениях появляются несколько новых членов более ВЫСОI(оrо порядка,
обусловленных скосом потока. Этот случай первым исследовал Тербер [6.3], а позд..
нее независимо и более полно........ Ченr.и MeHr [6.4], а также Кук [6.5]. После рас..
смотрения стреловидноrо крыла (Моо < 1) обратимся к нестреловидному крылу в
звуковом потоке (Моо == 1). Эти течения описываются с учетом эффектов сжимае..
мости (нелинейных) даже вдали от профиля. Решение нельзя найти в явной замкну..
той форме даже для внепmей области [6.6].
Результаты теории несущей линии позволяют сформулировать краевую задачу
для поправки на относительное удлинение в каждом сечении, поперечном размаху.
ЭТd приводит к качественным результатам по влиянию конечноrо размаха, однако
неэффективно с точки зрения численноrо подхода, поскольку краевую задачу нужно
решать в каждом сечении (Z), ортоrональном размаху. В частном случае, коrда кры"
ло имеет подобные сечения, краевая задача (за исключением крыла под уrлом ско"
са) может быть поставлена в переменных, не содержащих координаты вдоль
размаха, и в этом случае достаточно провести Bcero один расчет. Подобное преоб..
разование рассматривается в соответствующих разделах.
Наконец, приводится обсуждение единственности решений вновь сформулиро
ванных краевых задач. В частности, дано доказательство единственности поправки
в первом приближении на относительное удлинение для Моо < 1 в том случае, коrда
поток в поперечном сечении не содержит ударных волн.
ЛИТЕРАТУРА
[6.1] Van Dyke, М. D., Perturbatjoп Methods iп Flujd Mechanjcs, Parabolic
Press, Stanford, Са, 1975.
[6.2] Cook, L. Pamela and Julian D. Cole, Lifting Line Theory for Тransonic
Flow, SIAM J Appl. Math. 36 (2) 1978, рр 20 228.
[6.3] Thurber, James К., An asymptotic Method for Determining the Lift
Distribution of а Swept..Back Wing of Finite Span, Оошm. Pure and
Appl. Math., 18, 1965, рр7ЗЗ.. 756.
[6.4] Cheng, Н. К. and S. У. Meng, ТЬе Oblique Wing as а Lifting..Line
Problem in Тransonic Flow, J. F. М. 91, #З, (1980), рр 5Зl 566; also
Univ. of Southern Са. Dept of Aerospace Eng. Rept. #136.
[6.5] Cook, L. Pamela, Lifting Line 'Theory for а Swept Wing at 'Itansonic
Speeds, Q. Appl. Math., 37, #2, 1979 рр 177 202.
[6.6] Cole, J. D., L. Pamela Cook, F. Ziegler, Finite Span \\Tings at Sonic
Speed, МесЬ. Rsch. СопШ1., 1, #4, (1980), рр 25З 260.
300
rлава 6
Имеется на русском языке
[6.11 Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.:
Мир, 1967.
8.1. НЕСТРЕЛОВИДНЫЕ КРЫЛЬЯ, Моо < 1
Краевая задача, ОlDlСЫвающая трансзвуковое (Моо < 1) течение с малыми возмущени
JIМИ около несущеrо хрьша с конечным значением относительноrо УДЛШIеНИJl, бьша
сформулирована в разд. 3.1. КООРДШIата по размаху обозначается Z. Уравнение имеет
вид
(к (, + l)фж)фжж + Фii + Фii == о.
(6.1.1)
В этом приближеНIПI поверхность крьша и вихревая пелена лежат в IDIОСКОСТИ j == о
при ....В < i < В. Поверхнocrь крыла определяется при хп.к(i/В) < х < Хз.к(Z/В), rде
Х П . К (1) == Х П . К ( .... 1) = Х З . К (1) == Х З . К ( .... 1) = О, т. е. крыло нестреловидное. Вихревая П
лена определена при х> Хэ.к(Z/В)' ....В < i < В (рис. 6.1.1).
IPаничные условия на этих поверхнocrях имеют вид
условие непроте:кания на теле
( _ ) aF.,t ( z ) ( z ) ( z )
фj ж,О:f:, z == дж ж, В при Х п . к < Ж < Х,.к '
lil < В,
(6.1.2)
условие Кутта...... ЖyICовскоrо о rлaдICОМ сходе потока с задней кромки
[ Фж] З.К == О ,
(6.1.3)
условие непрерывнocrи давления поперек следа
[ Фж ] == о .
В.п
(6.1.4)
В набеrающем потоке возмущения отсутствуют
Фж, Фi, Ф j ----+ О при ж........ 00 ,
(6.1.5)
'f
х
х
и
1
z
Рис. 6.1.18.
Трехмерное несущее крыло в физичесICИX
переменных.
Рис. 6.1.16.
Трехмерное несущее крыло в транСЗВyI<овых
переменных
Трехмерные крылья
301
а возмущения давления затухают вниз по потоку
Фz о при ж....... +00 ·
(6.1.6)
Постановка задачи завершается добавлением условий на ударной воJПIе. Условия на
ударной воJПIе, поверхность которой задается уравнением
8(ж, у, z) == ж g(y, z) == о
(6.1.7)
имеют следуюЩИЙ вид:
непрерывность касательной скорости поперек ударной ВОJПIы
[ф] = О,
(6.1.8а)
условие сохранения массы
[КФs i;l ф ]. [Фi].9i [Ф.].9i==О.
Из (6.1.8а, б) можно получить уравнение ударной поляры
(6.1.8б)
[КФs i; 1 Ф ] )Фs]. + [Фi]: + [Ф.]: == о.
(6.1.9)
Имеются два основных предельных перехода, соответствующие двум различным
пределам краевой задачи (6.1.1) (6.1.9). Во внутреннем пределе х, y z. = i/B оста..
ются фиксированными при В..... 00. Иначе rоворя, коорДИНаты х и у измеряются в
единицах хорды, а КООРДlПlата i в единицах размаха. При фиксированном х.
i..... 00 при В..... 00, тах что по форме крыло приближается к крылу бесконечноrо
размаха и краевая задача по существу становится двумерной. Во внешнем пределе
х. = х/Д у. == у/д z. == i/B остаются ФИlCсированными при В..... 00. Иначе rоворя,
все координаты измеряются в единицах размаха. В этом пределе при ФИlCсирован..
ном химеем х. ..... О, так что образ крыла стяrивается в линию. Нелинейность тече..
нмя в первом приближении пропадает в соответствии с тем, что данный предел
описывает течение вдали от профиля, однако трехмерность течеНШI сохраняется.
Внутреннее разложение. (х, y z. = i/B фиксированы при В..... 00.)
Разложение имеет вид
ф(ж, у, z; В) == фо(ж, У; ZO) + Фl (ж, У; z.) + ... ·
(6.1.10)
Соответствующие приближенные формы OCHOBHoro трансзвуковоrо уравнении
(6.1.1), получаемые путем подстановки ряда (6.1.10) в (6.1.1) и приравнивания коэф"
фициентов при соответствующих степеНJIX В, имеют вид
(к {, + l)фоz)фоzz + ФОii = О,
(к (, + l)ФОZ)ФIZZ (, + l)ФlzФоzz + Фlij == о.
(6.1.11)
(6.1.12)
В этих уравнениях координата вдоль размаха z. появляется лишь как параметр.
IPаничное условие непротекания на Iz.' < 1, хп.к(z.) < х < хз.к(z.) из (6.1.2) прини..
3()2
rлава
мает вид
Ф .. ( Х O . ) == дF.,t(Ж, z.)
О" , , z дж'
Фli( ж, O:t:, z.) = О.
(6.{.13)
(6.1.14)
Условие Кутта Жуковскоrо должно удовлетворяться для каждоrо члена BНYTpeв
Hero разложения
[ ФОж] З.К == О ,
[ФIЖ]" З.К == О.
(6.1.1 5)
(6.1.16)
Условия на бесконечности следует понимать в смысле асимптотическоrо сращива
НШI с ближним полем BHemнero разложения. Условия на ударных волнах получают
ся путем подстановки (6.1.10) в (6.1.8) и (6.1.9) и разложения около положеНИJI
ударной волны в нулевом приближении. Положение ударной волны (6.1. 7) пред
ставЛJIется в виде
х 9(У, z/ В; В) = х (90(у; z") + 91(Y; z") + ...) = о.
Тоrда для любой величины f(x, у, Z, В) имеем
[л. = (/( (90 + 91 + ...) + ,y,Z;B) I( (90 + 91 + ...) ,y,Zj В)) ,
rде + ( ) означает предельное по х значение величины сверху (снизу) COOTBeтCТBeн
но. Разлarая f в ряды по /; для больших В, а затем /; в их ряды Тейлора около
go слева и справа, получим
1/1. = [/0].0 + {I/l].о + 91[/oz].0 } + ... ,
rде
80 : ж 90 (у) = о.
Применяя эту процедуру к уравнениям (6.1.8) и (6.1.9), получим
[КФоz ,;l фоz ] [ФОZ].о + [ФО;]:о =0,
.0
(6.1.17)
а в первом приближении
[к Фоz '; 1 Ф z ] .о[ ФIZ] + [Фоz].J к Фlz (, + 1 )ФОZФIZ].о + 2 [ФОi].J Ф1ti].0 ==
= 91 { [ФОZZ].о [к ФОz '; 1 ф z].о + [ФОZ].о' (6.1.19)
[к Фоzz (, + l)фоzфоzz].о + 2 [ФО;].о [Фоzti].о } ,
[Фl].о = gl [Фож].о.
[ Фо ].0 = о,
(6.1.18)
(6.1.20)
Трехмерные крылья
303
Условия в нулевом приближении (6.1.17), (6.1.18) представляют собой обычные ус..
ловия для плоскоrо потока на ударной ВОJПIе (3.1.23), (3.1.24). Условия в первом
приближении содержат три неизвестных [ФIХ]sо, [Фlj]sо, gl (9). Дополнительно об
этом будет сказано ниже.
Действи'rельно, задача для Фо (6.1.11), (6.1.13), (6.1.15), (6.1.17), (6.1.18) сводится
к плоской трансзвуковой задаче обтекания несущеrо профиля в заданном сечении
крыла. По"видимому, задача для Фl должна иметь нулевое реmение, однако мы еще
не поставили условия, которые должны удовлетворяться на бесконечности. Речь
идет об условии в дальнем поле, которое будет определено из условия ср ЯЩJm aниJl,
определяющеrо задачу для Фl, т. е. для первой поправки на относительное удлине..
ние к решению для двумерноrо течеНWI в поперечном сечении.
Внешнее разложение. (х. == х/Д у. == у/Д z. == f/B ФИl(сированы при В --+ 00.)
В этом пределе все длины измеряются в единицах размаха. ВЛИJIНие крыла, кото..
рое стяrивается в линию, представляется линейным вихрем, стекающим вниз по по..
току (рис. 6.1.2), и особеlПlОСТ более высокоrо порядка.
Внешнее разложение имеет вид
Ф( ...... ) ( ... ) 10g В ( . . . ) 1
ж, у, z; В == <РО z , у , z + в 1 Z ,!L , Z + в <Р2(Ж., у., z.) + ... .
(6.1.21)
Как будет видно, для обеспечеНWI сращивания должен присутствовать член вида
10g В/В. Подстановка ряда в (6.1.1) дает уравнения для определения Фi, справедли..
вые на некотором расстоянии от крыла
{ К <Ро,1ж. z. + <PO.l,.,. + <pO.l...... О, }
к <Р2,.,. + <Р2,.,. + <р2...... (1 + 1) <РОж. <РОж. ж. ·
Произведя дополнительную замену переменной
(6.1.22)
r .
р при у > о
у. ,
получим
tpo = 4 { 100 h 1 (у. р)/(р) dp + 100 h2(Y. р)/(р) d P } 1
у.
х.
z.
Рис. 6.1.2.
Конечная ВИХревая ЛИИИJI и ВиxpeвaJI пелена, СХОДJIЩ8JI с задней кромки.
304
rлава б
rде
hl,2(Y. р) == 10(z. т у. p)H(l :i: z. у. р) ,
f(p)== 1:р2 (1+ УЕ:р2 )'
Здесь Н единичная ФУНIЩИЯ Хевисайда, значения А == х.2 /у., Е.== К + х.2/у.2
фиксированы в пределе у. --+ о.
ПоследНИЙ иитеrрал записан в форме, ДЛJI которой можно найти асимптотиче..
ское разложение при у. --+ О С помощью преобразований Меллииа [6.1.1]. Иначе ro..
воря, если через М обозначить преобразование Меллииа, то с учетом формул
h j (!/" р) ,," p o+ "Уо( z") =F !/" P"Y (z") + о ((у" р)2) ,
f(p) ,... !,
p oo р
получим, что интеrрал
I + .
M[h j ; 8] == l"""-р. l"Уо(l =F у" p)dp
JIВЛJIется аналитической функцией ДЛJI Re s > О, а ero аналитическое продолжение
на область Re s > 2 является аналитическим, за исключением полюсов при непо..
ложительных целых значениях переменной. Далее иитеrрал
1 00 . 1 ( А )
М[! : 8] == : 2 1 + dp
о + Р у Е + р2
JIВЛJIется аналитическим для О < Re s < 2, и ero продолжение на область Re s < О
является аналитическим, за исключением полюса при s == 2. Итах,
M[hj: 1 ..... 8]М[I : 8] ----+ 00 при Iln 81...... 00.
IPаничное условие на поверхности профиля замеНJIется условием сращивания. Реше..
ине fJO лииеаризова.виых уравнений описывает течение, соответствующее линейному
распределению особенностей, порождающих подъемную силу. Соrласно результа..
там, известным ДЛJI случая малых скоростей потока [6.З], истинное решение отвеча..
ет оrpаниченному вихрю вдоль оси z., который переходит в вихревую пелену вниз
по потоку. Детальное рассмотрение сращивания с внутренним разложением позво..
ЛJlет определить тип особенностей, необходимых для построения 'Pl,2. Существен..
ные трансзвуковые нелинейные члены впервые появляются во внешнем разложении
в правой части уравнения для qJ2. Сращивание про водится здесь кв во внешнем
разложении (х., у. --+ О, z. фиксировано), т. е. на линии особенностей, так и во внут..
реннем разложении (х., у. --+ 00, z. фпсировано), т. е. в дальнем поле течения около
профиля. Находим
у. / 1 jo( )d { ж. }
== 1+ d ,
<Ро 4", 1 у.2 + (z. )2 у ж. 2 + Ку.2 + K(z. ..... )2
(6.1.23)
Трехмерные крылья
305
ж. д j l Dl( )v'К(Z. ) d
<Рl ,
41['r. 2 az. 1 v ж . 2 + Ку.2 +K(z. )2
ж. д j l D2( )v'К(Z. ) d +
<P2
41['r. 2 az. 1 V X . 2 + Ку.2 + K(z. )2
+ у. j 1 t2( )v'К(Z. ) d +
41rr. 2 az. 1 V X.2 + Ку.2 + K(z. )2
+1t j l 12( ) { 1...J.... х. } d + р
41[' 1 у.2 + (z. )2 I v x.2 + Ку.2 + K(z. )2 <Р2'
(6.1.25)
rде частное решение уравнения (6.1.22); здесь используется ero асимптотика
при (х*, у*) о.
Разложения интеrралов в (6.1.23), (6.1.24), (6.1.25) при r* О можно найти путем
интеrрирования по частям либо методами преобразования МеллШlа. Приведем эти
методы здесь, поскольку они понадобятся позже при рассмотрении стреловидноrо
крыла.
Начнем с функции q;o. Заменяя переменную
(6.1.24)
.
T Z ,
получим
1 f Z. +1 y.,o(z. т) ( х. )
<Ро 1 + dT .
41r a. 1 у.2+т2 v ж. 2 -t К у.2+ т 2
Таким образом,
1 2
11'0 = 4,.. Е h;(y. p)f(p) dp ==
;=1
1 2 l v + iOO
== Е 211"i M[h; : 1 s]M[[f : s] ds
411" . v ioo
3=1
2
II'O= 4 E Вычет {M[h;jl s]M[!:s]}+O(y.2lnY.) при y. O
;=1 .=1,2
при О < lJ < 1,
(см. [6.1.1]) .
Далее,
M[f; s] == Ь + O(s 1) при s ----+ 1,
. 1
M[f;. s] + а + о (s 2) при s ----+ 2,
s 2
rде
1 00 1 ( А )
Ь == 1 + dp ,
о 1 + р2 V Е + р2
а== (ОО { р ( 1+ А ) !H(P l) } dP
J о 1 + р2 V Е + р2 Р
20 l084
306
rлава б
и
M[h;; 1 8] = /O(Z.) + 0(1) при 8 -----+ 1 ,
s 1
M[hj; 1 51 = ::I::y. / (Z.) + е. + 0(8 1) при 8 -----+ 2,
s 2 '
rде
е; = fo w p 2 {/o(z. 1= у. р) /o(z.) :f: у. P1 (z.) } dp
( . ) ( у. ) ., ( . ) 1 ( 1 ::i: z. )
,0 z 1 ::i: z. =F У ,о z n у. '
. i z. + 1 ')' ( z. s)
ej == у ds путем интеrрирования по частям .
z. 1 S
Аналоrичные преобразования проводятся для у* < о. Собирая все члены,
получим
1 i Z.+l " (z. в)
'Ро == + lryo(z.) + у. o ds + 0(y.21n у.) ==
21[' z. l S
= /o(z.) O+y. Р Ы8) +0(y.21ny.).
211' J lZ э
Асимптотическое поведение <Рl и <Р2 q;f можно найти аналоrичным путем. Под
робные расчеты содержатся в разд. 6.2.
Результаты имеют вид
Ipo = /oz. О J l /Ы€) d€ +..., при r. -----+ О,
211' 211' 1 z. Е
(6.1.26)
,...
'Pl == .&, 2 Dl (z.) + O(r. log ,.) ,
21rr.
1 { х. VJ(y. } ,2Z.
'Р2 == 'Р Р + D 2 + f:2 8 + · .. ,
2 21['VJ( ,. 2 ,. 2 211'
(6.1.27)
(6.1.28)
rде 8 == arctg(v'К у*/х*) == arctg(v'К у/х), а ,* == -v x* Z + Ky* Z . Чтобы определить
асимптотическое поведение q;f при ,* о, отметим, что q;f представляет собой част
ное решение уравнения (6.1.22), которое с учетом (6.1.26) можно записать в виде
,2 х. у.2
К 'Р2ж. ж. + 'P2".1I. + <;>2z. z. == (, + 1) к + · .. ,
211'2 ,.6
при ,* о. Непосредственная проверка показывает, что q;f имеет вид
р , + 1 ( ,0 (z.) ) 2 log ,. 8 ' + 1 ( ,0 (z.) ) 2 cos 38 О ( · 1 . )
'Р == cos + r og r .
2 411'2 К 2 ,. 1611'2 К 2 ,. .
(6.1.29)
Обратим внимание на член вида (log ,*)/,* в выражении для q;f; именно наличием
этоrо члена объясняется необходимость введения члена (log В)/В во внешнее разло
жение для сращивания.
Трехмерные крылья
307
Сращивание
Сращивание можно провести с помощью промежуточноrо предела в каждой плос..
кости поперечноrо сечения z* == const, Iz*1 < 1. В классе пределов, промежуточных
по отношению к внутреннему и внешнему пределам, имеем
r
rf3 == (B)
фиксировано при В ...... 00
)
rде r == r + К у 2 == Br* и 1 {3 В. Итак, в промежуточном пределе
r == (B)r f3 ------+ 00 ,
. ( B )
r == rf3 о.
В
Вычисления упрощаются, если дальнее поле BHYTpeHHero разложения просто запи..
сывается через внешние (.)* координаты и внутреннее разложение (r* (0) непо..
средственно сопоставляется с внешним (r* О) разложением.
Для дозвуковоrо обтекания двумерным потоком несущеrо профиля разложение
в дальнем поле было получено в разд. 4.3. Итак, поведение в дальнем поле решения
краевой задачи, определяемой нелинейным трансзвуковым уравнением (6.1.11) и со..
ответствующим rраничным условием, имеет вид
ro 1/+I ( ro ) 210gr 1 { Do Ео.
Фо == (} + cos (} + 1 cos (} + 1 SlD (J
211' 4 К 211' r r 211' К"2 211' К 2
1 I"V + 1 ( r о ) } ( log r )
2 cos 38 + О 2 , Т....... 00 ,
16 К 211' r
rде r == х 2 + К у 2 ro (z*) циркуляция в сечении z* == const, Do (z*), Ео (z*) ин..
тенсивности диполей в том же сечении.
Поведение Фl (x у) при ,* 00 составляет один из ОСНОВНЫХ результатов сращи..
вания. Ожидается следующий общий вид решения:
(6.1.30)
Ф ( ... . ) А ( . ) В ( . ) ... rl(Z.) (J
1 х, У : Z == 1 Z Х + 1 Z У + + · · · ,
211'
(х, у ------+ 00) .
(6.1.31)
rлавные члены представляют возможное однородное течение на бесконечности, а
следующий член течение, обусловленное индуцированной циркуляцией rt. Источ..
никовые члены в разложении для дальнеrо поля не появляются.
Итак, если записать r == Br* в (6.1.30) и (6.1.31), то разложения (6.1.10) и (6.1.21)
с учетом (6.1.26) (6.1.29) запишутся в виде
Внутреннее разложение
ф == r о (J + ! / + 1 ( r о ) 2 log В + log Т. cos 8 +
21Т 4 К 211' Br.
I { DO Ео. 1/+1 ( r o ) 2 }
+ B ; J. cos(J+ J. SID(} 6 К 2 соsЗ(} +
r 211' К 2 211' К 2 1 1т
1 {А В . В В . r1(z.) (J }
+ в 1 Х + 1 у + 211' + · · · +. .. ·
(6.1.32)
20.
308
rлава 6
Внешнее разложение
Ф == 10(z.) (J 11 1 ( ) d + log в { х. D 1 (z.) } +
2,.. 41r ' 1 z* в 2,..r*2
+ { 1 + 1 ( 10 ) 2 log r* сos fJ 1 + 1 ( 10 ) 2 сos ЗfJ +
В 4К 2,.. r* 16К .2,.. r*
1 D cosfJ 1 t' sinfJ 12(Z*) fJ}
+ 2 + 2 ,
2,..Vf( r. 2,..Vf( r 2,..
х* == r* сos е, vii у* == ,* sin fJ .
(6.1.33)
Сращивание осуществляется для всех выписанных членов, если положить
10(z.) == ro(z.), о == А 1 ,
f 1 1 ( ) dt==B ( z* )
4 . 1 ,
1[' l Z
D1(Z.) == :; r (z.), D2(Z.) == Do(z.),
Е 2 ( Z *) == Ео ( z.) , 12 ( z.) == r 1 (z *) ·
(6.1.34)
Существенным моментом в решении краевой задачи для BToporo внутреннеrо
. потенциала Фl служит определение Bl (z*) через распределение внутренней циркуля..
ции ro (z*). Член Bl (z*)y в дальнем поле функции Фl соответствует сходу вихревой
пелены, как и в классической теории несущей линии.
В результате подобноrо асимптотическоrо сращивания формулируются полные
краевые задачи для внутренних потенциалов Фо, Фl. Подведем итоrи. Задача для
Фо соответствует двумерному течению около профиля той же формы и под тем
же yrлом атаки, как и реальное крыло в сечении z* = const. Поправка Фl соответ..
ствует возмущенному двумерному течению около плоской пластины с индуцирован..
ным течением в следе на бесконечности, обусловленным сходом вихревой пелены.
Имеется также ряд специальных условий на ударной волне, влияющих на Фl.
Для определения Фо имеем (см. (6.1.11), (6.1.13), (6.1.15), (6.1.17), (6.1.18»
(к (, + l)фож)фожж + ФОii == О (6.1.35)
в плоскости (х, .9) с rраничными условиями на бесконечности и на разрезе
Х п . к (z*) < Х < Х Э . К (z*)
Фож ....... о на бесконечности , (6.1.36)
фо. (х, 0::1::, z.) == a::,t (х, z.) (условие иепротек8НИJI). (6.1.37)
Кроме Toro, соотношения на ударной волне представляют собой интеrральную фор..
му уравнения (6.1.35), записанноrо в консервативной форме
[к Фо", 1; 1 ф ",] [Фо",] + [Фо.] 2 = О, [Фо] == О. (6.1.38)
rеометрия ударной волны описывается соотношением
, ( ""' ) [ ФОj ]
90 У [ ] .
Фож
(6.1.39)
Трехмерные крылья
309
Эти условия на разрывах нужно применять в локальном смысле на каждой ударной
волне, которая появляется в сверхзвуковой области решения. Положение ударной
волны go (j) в общем случае заранее не известно и должно быть получено в ходе
решения. Наконец, на задней кромке должно быть удовлетворено условие Кут та ..........
Жуковскоrо
[ Фож ] == о.
Отсюда имеем [ФО]след == const == ro(z.). Краевая задача показана на рис. 6.1.3.
Для заданной формы профиля поставленную выше краевую задачу в общем слу
чае нельзя решить аналитически. Нужно применить один из стандартных численных
методов, позволяющих выстраивать ударные волны, как это было сделано В
разд. 5.4.
Для нахождения поправочноrо члена Фl в разложении потенциала нужно решить
краевую задачу HOBoro типа; при этом предполаrается, что Фо, go известны. OCHOB
ное уравнение имеет вид
(к ('1 + l)фож) Фlжж ('1 + l)ФlжФlжж + Фlii == о.
(6.1.40)
Ero консервативная форма запишется так
(к Фlж ('1 + l)ФОжФlж) ж + (Фl;); == о.
(6.1.41)
rраничное условие на разрезе хп.к(z.) < х < Хз.к(Z.) совпадает с условием на пло
ской шiастине
Фl; (х, O:i:, z.) == о .
(6.1.42)
Кроме Toro, имеется скос потока на бесконечности относительно этой пластlПlЫ;
он определяется проведенной выше процедурой сращивания (см. (6.1.31), (6.1.34».
Имеем
Ф1(Х' У; z.) = у 1 1 r ( ) d r 1 (z.) (1 +... .
2п" 1 z. 27r
(6.1.43)
Следует определить индуцированную циркуляцию r 1 (z.). Условия на задней кромке
и в следе аналоrичны соответствующим условиям для Фо:
[ФIХ]з.к == О, условие Кутта Жуковскоrо,
[Фl]след == const == rl (z.).
(6.1.44)
ФOl' ФOl 0;:-0
9
Ф aF и
дх
[ФOlJ '= о
[фoJ = ro
х
.Х П.К (z.)
Ф aF,
дх
Z.
Х 1.1(
Рис. 6.1.3.
Краевая задача для Фо.
310
rлава 6
Условия на ударной волне для линейноrо уравнения (6.1.40) требуют специальноrо
рассмотрения. Разрывы параметров не выражаются непосредственно с помощью
интеrральной записи. Положение ударной волны go (У) находится в решении для Фо.
Разложение ТОЧНЫХ условий на ударной волне делается относительно положения
go (У), чтобы Учесть как возмущения переменных течения Фо, так и сдвиr положения
ударной волны. Результаты имеют вид
[КФож '; 1 Ф ж] [ФIЖ] + [Фож] [КФIж (, + l)ФОжФIЖ] + [Фо,;] [Фl';] ==
== 91 (у) { -[ ФОжж] [к Фож '; 1 Ф ж] +
+ [Фож] [к Фожж (, + l)фожфожж] + 2 [Фо,;] [Фож';] } , (6.1.45)
[Фl] == 91 [Фож] , (6.1.46)
rде положение ударной волны дается в виде
( "" . ) 1 ( "" * )
х == 90 У; z + B 91 У; z +...,
а все разрывы параметров в (6.1.45), (6.1.46) нужно брать на исходном положении
ударной волны So, задаваемой уравнением х == go (У). Можно получить и полную
теорему сохранения в качестве дополнительноrо условия на ударной волне. Это yc
ловие возникает в результате применения теоремы rрина к уравнению для Фl, запи
санному в диверrентной форме. Имеем
0== ! 10 v. ( WФlЖ'КФlii)dхdfJ == ! ( WФlж,КФlii)' тн1l,
rде , == vk у, v == (:х ' :,) , w == к + (у + 1)Фох, а D область, оrраничен-
ная телом В, ударной волной в нулевом приближении So, следом W и линией SR,
задаваемой уравнением х'- + у2 == R 2 . Итак,
0== ( Кф 1j dх+ ( Кф 1j dх+ ( WФlЖ,КФlj),ndl + ( ( WФlжХ+КФljfJ)d8.
J B J w J s J SR
(6.1.47)
Интеrрал по телу равен нулю, поскольку Фl у lВ == о. Интеrрал по следу равен нулю,
поскольку [Фlу]w == о. Далее
Ф "J y f r (€) d +r В+О ( ! )
1 21rVК z. € 1 т'
А VК А f r (€) ( 1 )
WФlж Х + КФljУ "" 211" У z. € + о r2 ·
(6.1.48)
Поэтому интеrрал по SR имеет порядок O(I/r). Если положить R 00, выражение
(6.1.47) принимает вид
Трехмерные крылья
311
I
-у I rO(E) d
ФJ '" 2r на OD
Z8 Положение ударНоА
I
. ........ волны Х = g о (9) с
/ УСЛОВИJlММ на раз pbIl!e
/'
Ф'9 = О .
[Ф,J = r,
х
Х П.К (z 8) Ф'9 = О х 3.К (z 8)
Рис. 6.1.4.
Краевая задача для Фl.
f WФlz dy + к Фljj dx = О.
J5 0
Учитывая, что
получим
dfJ [ФОЖ].о
dx [ Ф 1 i ] '
lo { [ФIZ] ::: [Ф1ii] } dy = о.
(6.1.49)
Это условие обеспечивает отсутствие источниковых членов на бесконечности в pe
шении только что сформулированной краевой задачи. Схематически краевая задача
показана на рис. 6.1.4.
Задача для Фl является задачей смешанноrо типа, как и задача для Фо, и если
решение для Фо известно, то положение эллиптической и rиперболической областей
для Фl известно до решения задачи. Далее, если обтекание профиля, представляемое
решением Фо, является безударным, то течение, соответствующее Фl, также являет
ся безударным. Единственность решения для Фl, при условии что решение для Фо
получено для безударноrо течения, будет доказана ниже.
6.1.1. Подобные сечения
Крыло с подобными поперечными сечениями особенно удобно для анализа Meтo
дом несущей линии, поскольку путем соответствующеrо преобразования задачи для
Фо, Фl сводятся К виду, не зависящему от z*. Тоrда численные решения для Фо, Фl
*
нужно получить лишь в одном сечении Z == const.
Рассмотрим поверхность крыла (разд. 6.1), форма в плане KOToporo имеет хорду
c(z*). Предположим также, что
F",t{x,zO) = C(zO)H",t C(:oJ ·
Тоrда, заменяя переменные Фо, х и j с использованием хорды в качестве масштаба
Фо = с(z*)фо(Х, у) ,
х i (XL + ХТ)
х= ,
с( z *)
..,
11
у= ,
c(z*)
312
rлава 6
ПрИХОДИМ к постановке задачи для Фо в виде
(к (, + l)фох)фохх + Фоуу == О,
Фоуlу=о == Нх(Х),
1 1
< Х <
2 2'
["'ox]x= =0.
у=о
Условие Кутта.
Эта задача для 1/10 не зависит явно от z*. Циркуляция rO(Z*), соответствующая pe
шению Фо, дается соотношением
f o(z.) = c(z.) ["'о] х=+ ·
у=о
Аналоrичная замена переменных проводится для Фl. Например, выражение для
скоса потока получим в виде
11 ( ro ( ) ) J 1 ( с' ( ) ) [ ] *
' 1 (z. Е) dE = ["'о] :! 1 (z. Е) dE = "'о :! d(z ).
Если положить Фl == d(z*)c(z*)1/Il( У), rде У введены ранее, то задача для
Фl, выраженная соотношениями (6.1.40), (6.1.42), (6.1.43), (6.1.44), в НОВЫХ перемен
ных запишется так
(к (')' + 1) "'ох ) "'IХХ (')' + l)"'ОХХ"'IХ + "'IУУ = 01
1 1
Фlуlу=о==О, 2 < X < 2'
["'IХ] x=j = о,
у=о
"'1 ,.., ["'о] х=! при J Х 2 + у2 ....... 00.
2 у=о
Задача для 1/11 не зависит от z*. Циркуляция rl(Z*), соответствующая решению Фl,
выражается формулой
fl(Z.) = c(z.)d(z.) ["'1] х=! ·
у=о
Заметим, что автомодельность имеет место, коrда поперечные сечения профиля JIВ
ляются подобными как результат линейности задачи для Фl. Кроме Toro, если KpЫ
ло я вляется э ллиптическим в плане, т. е. (2х П . К З.К 1)2 + Z*2 == 1, так чтО" c(z*) ==
== 2 .v 1 z* z , то скос потока в задаче для Фl не зависит от z*. Иначе rоворя,
имеем
J l ( rri(€) ) J l ( c 1 (z*) ) J l ( )
1 (z. E) dE ["'o] :! 1 (z. E) dЕ 2[Фо] :! 1 (z. )J1 E2 dE.
Трехмерные крылья
313
Обозначим v 1 t Z == sin (J, тоrда
[11 ( ( E ) ) dE == [Фо] :! 12. ( (z. OSC 8) ) d8 == 27r [Фо] :! '
так что d == 211". Тоrда циркуляция rl(Z.), соответствующая решению Фl, имеет вид
rl(Z.) == c(z.)27r [Фl] Х=! .
у=о
ЛИТЕРАТУРА
[6.1.1] Bleistein, Norman and Richard А. Handelsman, Asymptotic Expa.nsioпs
оЕ Iпtegrals, Holt, Rinehart and Winston, N.Y., 1975.
6.2. СТРЕЛОВИДНЫЕ КРЫЛЬЯ, Мое < 1
Краевая задача, описывающая трансзвуковое (Мое < 1) течение с малыми возмуще..
ниями около несущеrо крыла с коне чным от носительным удлинением, расположен..
Horo под малым уrлом O( v 1 М; ) к оси Z, аналоrична задаче,
сформулированной в разд. 3.1 для нестреловидноrо крыла. Центральная линия кры"
ла задается формулами
1
х == zo з tg (3, ь cos (3 < z < Ь cos (3 ,
так что координата
(1 == х zo t tg (3 == х z tg (3,
(6.2.1)
является мерой расстояния в направлении х от центральной линии крыла. Здесь
i == ZOl/3, j == yol/3, а К == (1 M )/02/3 остается фиксированной величиной, коrда
толщина О, как и ранее, стремится к нулю. Предполаrается, что yrол стреловиднос..
ти настолько мал, что он не влияет на основные выводы теории малых возмуще..
ний, полученные ранее. Схема течения показана на рис. 6.2.1. ПоверхносТь крыла
описывается следующим уравнением:
w(x, у, z) == О == у 8F...t (х zc5! tg {3, Л '
(6.2.2)
так что rраничное условие непротекания на крыле в координатах теории малых воз..
мущений имеет вид
( #W ) aFu t ( #W 'IJ Z ) В IJ #W В IJ .1 6 2 3)
Фi x,O:f:,z == дх' х z tg fJ, Ь при cOSfJ < z < COSfJ. \..
При построении теории несущей линии для крыльев, имеющих большое удлине..
ние (В 1), важная роль отводится координате вдоль потока, измеренной от цент..
ральной линии крыла. Поэтому удобно записать всю задачу в координатах (1, YJ
i вместо координат Х, jJ [. В этих координатах краевая задача (6.1.1), (6.2.3),
314
rлаво б
у
а
б
Рис. 6.2.1.
Стреловидное крыло в физических
переменных (о) и в трансзвуковых
переменных (6).
Х з . к = С з . к (l/{З) + itg{З
(6.1.3) (6.1.9) принимает вид
(К. (1 + l)Ф")ф",, + Фуj 2tаП Ф"i + Фij == О,
(6.2.4)
rде
к. == к + tg. 2
(6.2.5)
при следующих условиях:
непротекание на поверхности тела
Ф1i((Т,о:!:, )== д U (и, ) для Bcos/3<z<Bcos/3,
(6.2.6)
условие Кутта Жуковскоrо на задней кромке
[Фа] 3.К == О,
(6.2.7)
непрерывность давления поперек следа
[ф" ] В.О == О ,
отсутствие возмущений в набеrающем потоке
(6.2.8)
Фа, Фу, Фi О,
,, oo
(6.2.9)
затухание возмущений давления вниз по потоку
Ф (1 ------+ О .
,, OO
(6.2.10)
Отметим, что в переменных и, jJ i обтекаемое тело (рис. 6.2.2) определяется
Трехмерные крылья
9
315
ф", Ф,. Ф 1 --+ О при а --+ ао
r. У.
a F и ,
Ф = а;; (о, Z. В)
1
(К. (')' + 1 )Фа) Ф"" + Ф уу + Фи 2tg (3Ф ot = О
Рис. 6.2.2.
Краевая задача в координатах (1, y z.
соотношениями
и п . к == из.к' < и < и З.К' У == О, в cos {3 < z < В cos {3 ,
а вихревая пелена представляется в виде
и > и З.К, У == О, В cos {3 < z < В cos (3 ·
Постановка задачи завершается добавлением условий на ударных волнах (6.1.8а),
(6.1.8б). В координатах и, YJ i ударная волна имеет вид
[К. Ф.. 1 Ф; ] [Ф..]. + [фj] + [Фi]2 2 tg [Фi]. [Ф..]. == о,
(6.2.11)
а положение ударной волны задается формулой
и == G(y, z; В) .
Заметим, что основное уравнение (6.2.4) изменит свой тип при условии
(6.2.12)
(,+l)фж = (,+l)Фа==К* = К+ tg 2 {3.
Таким образом, эффект стреловидности состоит в уменьшении компоненты скорос..
ти, перпендикулярной к крылу.
Чтобы определить поведение функции Ф(Х J .х z; В) при В 00, рассмотрим
внешнее и внутреннее (как в разд. 6.1) разложения для ф. Во внешнем пределе все
длины измеряются в едирицах размаха, так что х* == х/В(и* == и/В), у* == у/Д z* ==
= i/B остаются фиксированными при В 00. в этом пределе, как и ранее (разд.
6.1), крыло стяrивается в линию (состоящую из особенностей). В координатах и*,
* * * * * *
у ,z эта линия расположена вдоль оси z , а в координатах х , у ,z наклонена
под уrлом (3. Во внутреннем пределе все длины измеряются в единицах хорды, за
исключением координаты вдоль размаха, которая по..прежнему измеряется в едини..
цах размаха. Поэтому во внутреннем пределе величины и = Х z*tg(3, у, z* = i/B
316
rлава б
остаются фиксированными при В 00. В этом пределе течение в (скошенном) попе
речном сечении крыла является существенно двумерным.
Внутреннее разложение. (и == х z.tg{j, YJ z. == i/B фиксированы при В ---+ 00.)
Внутреннее разложение имеет вид
ф( х, у, Zj В) = Фо( 0', у; z.) + lo В Фl (О', iiZ.) + Ф2( 0', й; z.) + ... . (6.2.13)
Поправочный член фI вида O(logВ/B) не появлялся в случае нестреловидноrо крыла
(разд. 6.1); поскольку в нем не было необходимости. Однако, как мы увидим, этот
член необходим для сращивания с внешним потоком. Подстановка (6.2.13) в Kpa
вую задачу (6.2.4) (6.2.10) и приравнивание коэффициентов при одинаковых степ
нях В приводят К краевым задачам для определения ф;. Недостающие УСЛОВIIJI
задаются поведением ф; на бесконечности, которое определяется сращиванием с
внешним потоком.
Уравнения для ф; имеют вид
(К. (1 + l)Фоа) Фаа + Фii == О,
(К. (1 + l)ФОа)Фlаа (1 + l)ФОааФlа + Фlii = О,
(К. (1 + 1)ФОа)Ф2аа (1 + 1)ФОааФ2а + Ф2jj == 2 tg {3ФОаz. ·
rраничные условия непротекания (6.2.6) принимают вид
(6.2.14)
(6.2.15)
(6.2.16)
( . ) aFu { ( . )
Фо; 0', O:t:; z == дО" 0', Z ,
(6.2.17)
Фlj(О', 01:; z.) == О, Ф2,(0', 01:; z*) == О
(6.2.18)
при cos{3 < z. < cos{3, uп.к(z.) < u < uз.к(z.). Условию Кутта Жуковскоrо дол
жен удовлетворять каждый член BHYTpeHHero разложения
[ФОа] 3.К. == О , [Фlа] 3.К. == О, [ Ф2а] 3.К. == О,
(6.2.19)
а задняя кромка задается соотношениями: cos{3 < z. < cos{3, u == uз.к(z.). УСЛОВIIJI
на бесконечности получаются путем сращивания с ближним полем BHemнero раз
ложения.
Отметим, что задача для фо имеет вид обычной двумерной трансзвуковой зада
чи обтекания несущеrо профиля. На этом этапе влияние уrла стреловидности отсут"
ствует. Поправки на конечное удлинение появляются и в решении для фI, И В
решении для Ф2. Поправка в решении дЛЯ Ф2 более важна, поскольку некоторая ее
часть остается, даже если yrол стреловидности стремится к нулю.
Внешнее разложение. (и. == и/ В == (х itg(3)/ В, у. == у/Д z. == i/B фиксированы
при В 00.)
Внешнее разложение имеет ту же исходную форму, как и в случае нестреловид"
Horo крыла
Ф( . B) ( * . * )+ (log в) 2 ( . . . )+ log в ( . * . )+ 1 ( * * . )
O',y,z. tpo O',y,z В tpl O',y,z В tp2 O',y,z в tpз O',y,z 1...
(6.2.20)
Трехмерные КрblЛbJI
317
Уравнения для Фi получаются после подстановки в (6.2.4)
к. r.pia. а. + <Piy. у. + r.piz. z. 2 tg {3r.pia. z. == о
(6.2.21 )
при i == О, 1, 2 и
к. r.pЗа. а. + r.pЗv. у. + ФЗz. z. 2 tg {3r.pЗа. z. = (, + 1 )<РОа. <Роо.о. .
(6.2.22)
Заметим, что, если эти уравнения переписать в переменных х*, у*, z*, получим в
точности уравнения (6.1.21), (6.1.22). Нелинейность впервые проявляется в члене
О(I/В), зависимость от rраничных условий возникает из условия сращивания при
и* (а не х*) о.
Коrда u фиксировано, и* О при В 00, поэтому образ крыла стяrивается в ли..
НИЮ. Влияние этоrо перехода на внешнее течение можно представить в координатах
х*, у*, z* в виде наклонной вихревой нити, завихренность которой стекает вниз по
потоку, с добавлением особенностей более BbIcoKoro порядка. rраничные условия
для q;; имеют вид
r.pia. . --+ О ,
r. oo
[ f.Pia ] В.О == О ,
rде использованы обобщенные полярные координаты
,* == (17*2 + К.у.2)!, (J == arctg J K; . == arctg ( J к; У ) .
Итак, получим
<РО == / 1 у.,(в) Х
4п- 1 у*2 + (z. всos (3)2
( ж. s sin (3 ) d
х 1+ в==
V (ж. ssin(3)2 + Ку.2 + K(z. s сos (3)2
1 / 1 у.,(в)
== 4", 1 у. 2 + (z. s сos (3) 2 Х
Х ( 1 + (1. + (z* s сos (3) tg (3 ) ds. (6.2.23)
V K*(z. s сos (3)2 + 2q. (z. s сos {3) tg {3 + к у.2 + (1*2
Эта Формула представляет собой суперпозицию элементарных подковообразных ви"
хрей, распределенных вдоль линии х* == z*tg(3, cos(3 < z* < cos(3 и стекающих па..
раллельно оси и*. Функции
1 / 1 ( (1. tg (3 . / к ) ds
11'1 == 71' 1)(1 ..;к; + z. + i8Y к. (К.у.2 + 17. 2 ) vl 82 '
(1. к / 1 [)2
<Р2 41(' к. 3 ds +
1 (К. ( z. 8 COS .8) 2 + 217. ( z. s cos.8) - tg .8 + к у. 2 + 17. 2 ) 2
у. / 1 ,2(S)
+ х
41(' 1 у.2 + (z. s COS ,8)2
(6.2.24)
318
rлава б
{ и. + (z. 8 COS 13) tg 13 } d
х 1+ 8 +
V K. (z. s COS 13)2 + 2u.{z. s соэ 13) tg 13 + Ку. + и 2
1 / 1 92(S) d
+ s
41r 1 V к. ( z. 8 СОЭ 13) 2 + 2и. ( z. 8 COS 13) tg 13 + к у. 2 + и. 2
1 / 1 ( (1. t 13 / к ) ds
+ }/2 z...;к; + is y (K.y.2 + и. 2 )
7r 1 уК. К. V l s2
+
(6.2.25)
представляют собой потенциал распределения двойных вихрей вдоль несущей Л инии
* * * Н
в координатах u , у , Z. аконец, имеем решение для qJз:
'Р3 = (1. к /1 Р3(8) J. d8 +
411' к. 1 (k. (z. s cos.8)2 + 2(1. (z. s cos.8) tg.8 + к у.2 + (1.2) 2
у. К / 1 . 3
+ .4" к. -t ds
11' 1 (К. (z. 8 cos.8P + 2(1. (z. s cos.8) tg t3 + к у.2 + (1.2)
+ / 1 13(8) Х
47r 1 у.2 + (z. s СOS (8)2
Х ( 1 + (1. + (z. 8 COS (8) 19 (3 ) ds +
v к · ( z. 8 cos (8) 2 + 2и. (z. s cos (3) . 19 (3 + К у. 2 + 0'. 2
1 r;:;: / 1 93(8) ds +
+ v к. cos .8
41r 1 V к. (z. 8 COS (3)2 + 2и. (z. s соэ(8) tg.8 + к у.2 + (1.2
1 / 1 ( 19 .8 . / к ) ds
+ 11' 1)(3 z. + (1. ..,rк; + isy к. (К.у.2 + (1.2) уl 82 + 'P ,
+
(6.2.26)
rде ........ частное решение уравнения (6.2.22) с заданной асимптотикой при
(а*, у*)...... о (и* /у* фиксировано).
Разложения интеrралов в (6.2.23)........(6.2.26) для фиксированных значений и* /у.
при r*...... О можно найти с помощью преобразований Меллина [6.2.1].
Начиная с qJo (уравнение (6.2.23», заменим переменную интеrрирования на Т, rде
.. {.l
r == z s cos ,.., .
Получим
1 f z.+cos{j ( z. Т ) у.
<Ро == 1 .2 2 Х
47r COS (3 z. CO' {J cos {3 у + r
( и. + т tg (3 )
х 1 + 1. dT ==
( к · т 2 + 2(1. т tg ,8 + К у. 2 + и. 2) 2
1 { {СО' {J+z. ( . ) .
= 411'COS.8 10 1 zcos ; у.2 У + т 2 Х
( 1 и. + т 19. (3 ) d
х + 1. Т+
(К.т 2 + 2и. т tg (3 + к у.2 + (1.2) 2
Трехмерные крылья
319
+ {co.(J z. 1 ( Z. + т ) у. х
J o cos (3 у.2 + т 2
Х (1 + (К.т 2 2и.:. : T J3 : ;у.2 + (Т. 2 )! ) dT } ·
Заменим переменные еще раз, чтобы выделить малые части решения q;o. Положим
р == т/у. для у. > О, тоrда
<Ро == 4-1r:оsJ3 {lОО hl(y.p)fl(P)dp+ lOO h 2 (Y.P)f2(P)d P },
(6.2.27)
( * =F * )
rде hl.2(Y.P) == 'у z : Р H(cos{J ж z. у.р), н единичная функция Хевисай
cos
да, а /1,2 имеет вид
f () 1 ( 1+ A:f:Cp )
'т Р 1 + р2 ( к. р2 :1: D р + Е) '
rде А == и* /у*, С == tg{3, D == (2и* /y*)tg{3, Е == К + (а*2/у*2); все эти величины в пре..
деле а*, у*....... о остаются постоянными.
Теперь решение (6.2.27) имеет вид, для KOToporo асимптотическое разложение
при у*....... о можно найти с помощью преобразований Меллина [6.2.1]. Пусть М
означает преобразование Меллина, тоrда с учетом формул
h;(y. р) + "1 ( z. 13 ) у. PI' ( z.J3 ) + О((у. р)2) ,
,. p o cos СОВ
';(р) >O.J ( 1 :1: ) + 0(1/ р3) ,
p oo Р к.
rде ( )' означает d( )/dz", получим, что выражение
1 (С08 {j z. )/,. ( z. у. Р )
M[h. : s] == p. ll dp
'о cos {3
является аналитической функцией для Re s > О, а ero аналитическое продолжение
на Re s > 2 является аналитическим, за исключением полюсов при целых неполо..
жительных значениях apryмeHTa. Далее выражение
1 00 p. l ( А:1:С )
Mh..s 1+ Р d
[ ,. ] о 1 + р2 (К · р2 :1: D р + Е) Р
является аналитической функцией для О < Re s < 2, а ero аналитическое продолже..
ние для Re s < 3 является аналитическим, за исключением полюса при s == 2. Итак,
M[h; : 1 в]М[/; : s] О при Ilmsl 00.
Таким образом,
320
rлава 6
1 2 1 00
O == 4 /3 h;(y.p)/;(p)dp =
1rCOS О
;=1
1 2 j V+ioo
== '" 21ri M [ h.. 1 8 ] M [f .. 8 ] d8
41r COS IJ . , , , ,
,., ;=1 v ,oo
при О < ." < 1. Кроме Toro,
1 2
L В . Ь Ч 1 ет ,2 (M[h;; 1 8]М[/;; 8] + 0(y.2ln у.)
о == 41[' СOS f3
;=1
(6.2.28)
при у. ..... о. Доказательство можно найти в работе [6.2.1].
Чтобы члены разложения выписать в явном виде, заметим, что
М[/;; 8] == (00 { :: 12 ( 1 + ( 2 А I ер ) ) р. З ( 1 I ) Н(р 1) } dp +
10 р К.р j:Dp+E 2 К.
+ lOO p. 3(1I )H(P 1)dP,
поэтому
М[/;; 8] == Ь; + 0(8 1) при 8 1,
M [f .. 8 ] == ( 1 j: С ) 1 + d. + 0 ( 8 2 ) при s 2,
" v'к* 8 2 '
(6.2.29)
rде
Ь 1 00 1 (1 А j: С р ) d
. + р
, о 1 + р2 (К. р2 j: D р + Е) ! '
d. {ОО Р ( 1 + A:t: С р ) ! ( 1Х С ) Н( 1) d
, J о 1 + р2 (К. р2 :f: D р + Е) р JК* р р .
Аналоrично
M[h;; 1 s] ==
r cos{j ::1: z. { ( . . ) ( . ) ( . ) }
10 ,р. p ., z c: р , с:/3 :!: у.Р'У' с:/3 dp +
+ ( z. ) ( СOS f3 :f: z. ) 1 . 1 +
'1 cos f3 у. 1 s
j: у. I ( z. ) ( СOS (3 j: z. ) 2 . 1 ,
'"1 COS f3 у. 2 s
поэтому
( z. ) 1
M[h;; 1 s] == , /3 + 0(1) при s....... 1,
сов s 1
( z. ) 1
M[h;; 1 s] == :!:у.,' /3 + е; + O(s 2) при
сов s 2
(6.2.30)
s 2,
Трехмерные крылья
321
rде
r cos(J '; z' { ( z. =F у. Р ) ( z. ) ( z. ) }
е; == 10 .у р 2 "'f cos "'f сов ::!:: у. п' cos dp
( . ) ( . ) ( . ) ( tJ. :f: . )
Z У :f: ., z ln COS fJ Z
I COS f3 СО! :f: z. У I COS у..
(6.2.31)
Итак, на основании (6.2.28) (6.2.30) имеем
O == 47r:OS t { Ьп с:: ) ::!:: D;y."'f' c:' ) (l::!:: )е; } +
,=1
+ O(y.2ln у.) при у. ----+ о.
Интеrрируя один раз по частям (6.2.31) с использованием Toro факта, что
'Y(::I: 1) == О, и комбинируя члены, получим
1 { ( z. ) 2 tg {3 , ( z. ) · 1 . +
lпo Co, I У n У
r 41r cos f3 cos f3 cos f3
z. + cos{:J , ( z. ". Р )
+ у. f / СО" /J dp +
z · cos{:J р
JI ·
· tg {3 ( ( z. ) ( z. )
+ У..;ко 2/' + /' """"""""Q ln(cos 2 z.2) +
к. cos COSfJ
+ у. j CO"/J /' ( ). /' ( ) dS ) + У.Сl,' ( ) } + O(y.21n у.),
cos {J I z s I cos {3
rде
СО == Ь 1 + Ь 2 , Сl == d 1 d 2 .
Константы со и Сl можно вычислить В явном виде
( ..;ко У. )
С О == 2 arctg р. '
С} == ln
tg ..;кo tg {3 { ln ( K. + и. 2 ) ln 4К.2 } .
tg {3 + ..;ко..;ко у.2 К
Наконец, получим
/ ( ) t1 + tg /' с:: ) у. ln Т.
'Ро 21r COS 21r..;кo 21r COS f3
· tg f3 { ( . ) 1 j СО8 fJ ( s )
у /' z + sgn(z. 8)'Y" lnI8 Z.ld8+
21r..;кo COS f3 COS 2 cos fJ COS
+ , ( z. ) ln 2К. } Y./'(c ) ln ( ..;ко tg fЗ ) +О(у.lnу.)
I сов ..;кo 21r COS {3 ..;ко + tg f3
у. jCo"/J /,( ) d8
41r COS ' СО8 fJ z. s
21 1084
322
rлава б
и в более простом виде
( * ) ( * ) ( )
z I Z Q I S
, (J , tg fJ . сов (J'
'Ро == cos + cos y*ln ,' у f COS ds у. J8(Z.)+ ... ,
2", COS 2"'& cos f3 4п- cos f3 соа {J z* 8
(6.2.32)
rде
J с ( * ) tg {3 { ' ( z. ) ( 1 1 2 К. )
о z == 21rff cOS I COS + n JК +
1 / СОВ {J ( 8 ) }
+ sgn(z. 8)," ln '8 z., d8
2 сов (J cos f3
'Y'( ) ln ( ff tg fЗ )
4", cos f3 ff + tg f3 .
(6.2.33)
Прочие интеrралы в формулах (6.2.24 ) (6.2.26) имею т вид
1/10 == ! / 1 f. ( q. tg + z.& + is I K K (К.у.2 + и.2) ) v' ds ,
'" 1 К. V · 1 82
(6.2.34)
либо имеют в качестве сомножителей
.1.1 / 1 l( 8)
'f' .1 d8
1 (0'.2 + Ку.2 + K.(z. 8cos(3)2 + 2u.(z. 8СOSfЗ) tg 13) 2
(6.2.35)
или
.1.2 == / 1 (( S ) d
'f' 3 8.
1 (О'. 2 + к у. 2 + К. ( z. 8 cos fЗ) 2 + 2и. ( z. 8 cos fЗ) tg Р)"2
(6.2.36)
Поскольку l rладкая функция, то с помощью разложения в ряды Тейлора около
· * О
точки (J == у == леrко установить, что
фО '"'"' l(&z*) + 0(,.).
(6.2.37)
Два последних интеrрала, (6.2.35) и (6.2.36), можно рассмотреть аналоrично ин..
теrралу для <Ро. Принимая, что т == z. scos{3, р == т/у. и что D и Е имеют выпи..
санные ранее значения, получим
( z. + cos{3 l ( z. У.Р ) dp cos{3 z. l ( z. + У.Р ) dp
1/. 1 1 {у. cos {3 (у. cos f3 )
, COS 10 (К.р2 + пр + E)t + 10 (К.р2 пр + E)t ==
1 2 {ОО
== соs L1п H;(y.p)l/(p)dp, (6.2.38)
,=1 о
( z. У.Р ) ( z. У.Р )
. 2 ( z. + cos{3 l dp cos{3 .z. l dp )
.1 2 У У . cos {3 . cos {3
""' + у
cOS (К.р2 + пр + Е)1 (К.р2 + пр + Е);
Трехмерные крылья
323
. 2 2 1 00
== L Hl(y.p)F;(p)dp,
cos fJ О 2
;=1
(6.2.39)
rде
Н (у. р) == l ( z.c: . р ) H(cos Р:!: z. у..р) .
11 (р) == (К. р2 :f: Dp + E) t ,
2
J
Рl (р) == (К. р2 Dp + E) 2 .
2
Тоrда
Н;(у.р) l ( Z.p ) +О(у.р),
11- p O+ cos
1;(р) (yК;p) 1+0(p 2),
р..... 00
F;(p) .(уК; р) з + O(p 4)
p oo
и Функция
1:01 tl ..
М[Н;; 8] == r _- p. ll ( z. =f у. р ) dp
10 cos
является аналитической при Re s > О, а ее аналитическое продолжение в отрицатель
ной полуплоскости является аналитическим, за исключением полюсов при целых OT
рицательных значениях apryмeHTa. Функция
1 00 . 1
Р
М 1,.. s d
[,. ] о (К.р2:!: Dp+ E)t р
является аналитической в интервале О < Re s < 1, а ее аналитическое продолжение
на плоскость имеет полюса в точках, соответствующих целым числам. Далее
Функция
1 00 . 1
lvl р. · s р d
[ ,. ] о (К. р2 :!: Dp + E) Р
является аналитической в интервале О < Re s < 3, а ее аналитическое продолжение
на плоскость имеет полюса в точках, соответствующих целым числам. Наконец,
Итак,
фl == c Р (t,1°O Н;(у. р) 1; (р) d P ) == c Р t, 27ri i : oo М[Н;; 1 8]М[1;; 8] d8
при О < 11 < 1, и
2
фl 1 "Вычет М[Н;; 1 8]М[1;; 8] + О(у.ln у.) (6.2.40)
COS .=1
;=1
М[Н;: 1 э]М[ .; в] О,
IIm.I O
.лl[Н;; 1 s]M[F;; s] о.
IIm.I O
21*
324
rлава 6
при у. --+ о. Аналоrично
* 2 2
ф2 == У L Вычет М[Н,.; 1 s]M[F,.; в] + O(y*ln у.).
сos {3 8=1,2
"=1
(6.2.41)
Поскольку
cos{:J % z.
М[Н;; 1 8] == ( у. p 8f. ( Z. у. р ) dp,
10 cos р
то
1. ( с:: IJ )
M[Hj; 1 в] == + gj + 0(1) при s ----+ 1,
1 B
Y"f.( z" )
М[Н;; 1 8] == 1= 2 / + 0(1) при 8....... 2,
(6.2.42)
(6.2.43)
rде
cos{:J % z.
{ у.
9,. == J o
1 { ( z* =f у. Р ) ( z* ) } ( Z* ) ( у* )
f. f. dp f. ln
р cos р . cos f3 cos f3 cos {3 :r z * .
(6.2.44)
Кроме Toro,
{ОО { 1 1 } 1
M[Jj;8]==J o p8 1 (K"p2:J::Dp+E) ffp H(p l) dp+ ff(I S)
l'
ff + >.; + 0(1) при 8....... 1 ,
К* (l в)
М[Р - 4уК*Ет 2D О( )
;; 81 == уЕ(4 К" Е D2) + 1 при а....... 1,
- 4 у К* Е-т 2D
М[Р;; 8] == ff + 0(1) при 8....... 2,
К*(4К* Е D2)
(6.2.45)
(6.2.46)
(6.2.47)
rде
>.;== (OO { J 1 H(P I) } dP== { ln(2 YK.E :t:D)+ln4K* } .
J o K.p 2 :t:Dp+E К*р К*
(6.2.48)
Итак, из (6.2.40), (6.2.42), (6.2.44) и (6.2.45) получаем
фl == ..;коl { fl+f2+ f. ( Z"a ) (.A 1 +.A 2 ) } +O(Y*ln Y *)==
". o К * cos {3 COS fJ
1 {f COB ( S ) ( z* )
== ff sgn(z" 8)ln(Z. 8)1.1 d8 2f. {j lny. +
к сos р СОВ COS fJ cos
Трехмерные крылья 325
+ l C p ) ( 2lnr. + 2lnу. + 2ln :; ) } + О(у.ln у.) ==
= ,;ко! {j COlfJ Sgn(z. 8)ln(8 Z.)l' ( ) d8
К COS f3 со. {j , COS jJ
( z* ) ( Z* ) К* }
21 cos Р ln r. + 21 cos р ln ...;к + О(у.ln у.)
2l ( z* ) ln r*
= JL ( z* ) COS f3 + О ( *ln * ) ( 6.2.49 )
1 ,;ко cos f3 У у,
rде
Jt(z.) = ,;ко1 {j COIP sgn(z. 8)10 18 z.ll' ( ) ds + 2l ( c . Q ) ln К * },
К* СOS {3 со. {j COS {3 jJ у.n.
(6.2.50)
а из (6.2.41) (6.2.43), (6.2.46) и (6.2.47) следует
ф2 = 2& 1 l ( ) + (1 t8 в /.' ( ) + O(ln у.).
к cos f3 r*2 COS f3 к,;ко r*2 COS {3 COS {3
Подставляя эти результаты в выражения (6.2.23) (6.2.26), находим следующие
асимптотические выражения для потенциалов при ,. --+ О И фиксированном значении
х. /у.:
( z. )
o= 'Y: COS 8+ ( 2 'Y p ) Y*lnr. Jo(z*)Y.+O(Y*lnr.), (6.2.52)
СOS * СOS
<,01 = }{1 (УК; z*) + O(r*), (6.2.53)
( * ) ( z* ) ( z. )
(1.[)2 '2 12 8
'Р2 == cos {3 сos f3 1n r. cos f3 + J92 (z.) +
2 &r.2 cos f3 2 & COS {3 2 cos {3 4 1
tg {3(cos 28 + l)DJ ( z. Q )
COS jJ О ( · 1 * ) (6 2 54)
+ }{'2 ( \1 К * Z *) + :r + у n r , · .
411' (К.)'! COS f3
(1.Dз( ) + у.ез( ) 9з( ) lnr. 'УзС р)8 +
<,оз 27r,;кor*2 cos f3 27r,;кor*2 COS (3 2 ,;кo cos f3 2 cos f3
r. tg 8( cos 28 + 1) D ( z. Q )
J {? ( z. ) . COS jJ
+ 1 +}(з( z*)+ 3 +
411' 411'(K*)J COS {3
( z. )
tg f3 sin 2 o,
+ t cos Р + ф + О(у.ln r.) , (6.2.55)
47r( К.) cos {3
(6.2.51)
326
rлава б
rде
cos{J ,Ь ( )
Jo(z") = 1 1 " со. (J ds + J8(z") ,
41r соз {3 ! СОВ (J Z S
(6.2.56)
а интеrралы ./8(;"), .l{(z") представлены в (6.2.33) и (6.2.50) соответственно; ( )'
означает d( )/ dz и справедлива формула
р ,+ 1 ( ,о ) 2 { log ,* 8 cos 38 } , + 1 ( ( ,о ) 'J. ) ,
\0з 4К. 21r COS /3 Т. cos 4т" + tg /3 4К. 21r cos /3 х
{ + (cos 20 + 1) 1 * (log r * ) 2 cos 28 cos 48 }
х O g r + +
2 2 8 8.
(6.2.57)
Отметим, что, хотя весь анализ проведен для у* > О, аналоrичные результаты полу..
чаются и для у* < О, так что соотношения (6.2.52) (6.2.55) выполняются для всех
значений у*.
Сращивание
Краевая задача для нелинейноrо уравнения с rраничными условиями (6.2.17),
(6.2.19) имеет вид краевой задачи для двумерноrо трансзвуковоrо обтекания несуще..
ro профиля. В частности, дальнее поле задается соотношением
r o 8 (,+1) ( ro ) 210gr 11 { Do Ео.
Фо 2 + 4К 2 cose т ,fК* cose + ,fК* sше
1r * 1r r r 21r К* 21r К*
(, + 1) ( ro ) 2 соsзе } + 0 ( log т ) П р и
16 К * 21r , 2 r 00,
(6.2.58)
rде r == Br* == + К*у2, а ro(z*) циркуляция в сечении z* == const, поперечном
размаху; Do(Z*) и Eo(z*) интенсивности диполей в сечении z* == const.
Поведение функций Фl, Ф2 при ,* --+ ею является одним из rлавных результатов
сращивания. В частности, можно ожидать, что
Ф А ( * ) В ( * ) '" ro А 1 . r 1
1 == 1 Z l1 + 1 Z У + Sln 8 8 + . · · .
21r 4 21r
Первые члены соответствуют однородному потоку, а последующие учитывают цир..
куляцию. В потенциале Фl источниковый член отсутствует. Находим также, что
(6.2.59)
, tg r #w '" r 2 8 i + 1 r6.
Ф2 = 2 У log r + В 2 У + А 2 и + С 2 log r + А 2 Sln 28 +
к. 1r 21r 4 21r
+ tg r.l { ( , + 1 ( ( ro ) 2 ) ' ) ( log r(cos 28 + 1) (log т)2 cos 28 cos 48 )
fJ 4К * 21r 2 + 2 + 8 8 +
D сов 28 + 1 E sin 28 } ( 1 )
+ 21r(K.) ! 2 + 21r(K") t 2 +0 ;logT (6.2.60)
при , --+ 00.
Трехмерные крылья
327
Члены вида O(j logr) возникает за счет свободноrо члена уравнения (6.2.16),
пропорциональноrо ФОаz.. При сращивании этот член комбинируется с членом В 1 у
в Фl. Члены с А2, Ih представляют возможный однородный поток; член с С2 необ
ходим для исключения источниковых членов в <,02; r2 представляет собой циркуля
ЦИЮ, а члены порядка 0(1), умноженные на tg{3, происходят от членов более
высокоrо порядка в ФОаz., а также от слаrаемых вида ФОаФ2аа И Ф2аФОаа.
Сращивание производится в каждой плоскости (J поперечноrо сечения (z* фикси
ровано, Iz*1 < cos(3). Ero можно выполнить с помощью промежуточных пределов,
как и в случае нестреловидноrо крыла; расчеты можно упростить также путем запи '
си дальнеrо поля BHYTpeHHero разложения во внешних ( ) * координатах. После этоrо
можно провести прямое сопоставление BHYTpeHHero (r* ---+ (0) И внешнеrо (r* ---+ О)
разложений.
Подстановка r = Br* в формулах (6.2.13), (6.2.58), (6.2.59) и (6.2.60) дает резуль
таты, представленные ниже.
Внутреннее разложение
ф == ro (J + tg fЗ r - 10 r- + в - + А (1- + (log в)2 f.l l + 1 ( ( ro ) 2 ) I
211' ..;к; 211' У g 2У 2 В tg,.., 8К-2 211' +
1 0gB { /+ 1 ( ro ) 2 coS8 + Ig Q I+l (( ro ) 2 ) 'lOgr.
+ в 4К. 211' r- ,.., 4К-2 211'
I
r 1 8 1 + 1 ( ( r о ) 2 ) I COS 2(J + 1 }
211' + 02 + tg {3 4К- 211' 2 +
1 { 1 + 1 ( r о ) 2 log r - (J О 1 _ 1 + 1 ( r о ) 2 COS З(J +
+ соэ + 2 og r
в 4К- 211' r. 4К. 211' 4r.
по cos(J Ео sin(J r 2 (J 1 + l А r · 2(J + f.l (( 1 + 1 )( r O ) 2 ) ' x
+ + + 2 Sln tg,.., 4К - 2
211'& r- 211'& r- 211' 4 211' 11'
( 10g r- (cos 2(J + 1) (log r-)2 cos 2(J cos 4(J )
х 2 + 2 + 8 8 +
по cos 2(J + 1 E sin 28 }
+ 3 + (6.2.61)
211'(K-)I 2 211'(К.) 2 ·
Положим В 1 = (tg{3/.JI{*)(ro /27r), чтобы разложение оставалось справедливым
при исключении членов вида O(logВ). Здесь также принято, что Аl = о; оправдани..
ем этоrо служит сама возможность осуществления сращивания.
Внешнее разложение
ф == ( 10 ) (J + tg {3 ( I ) y. ln r. Joy. + (log:)2 '}I,;к; z. +
, 211' COS {3 211' COS {3 к.
10gB { D2 cos(J ( 12 ) (J 92 1nr - +
+ в 211'& cos {3 7 211' соэ (3 211'& cos fЗ
J .9 2 ( Z - ) f) I tg {3 }
+ JI + 1 + 2 ( cos 2(J + 1) +
2 411' 411'(K-)I cos{3
328
rлава б
..!-. D3 cos 8 + '3 sin 8 1з +
I 21r cos {3 r* 21r cos {3 r* 21r cos {3
( D (cos 28 + 1) , sin 28 ) 9з 1 * + 'н + J 9з (6 2 62)
4.- tg {3 1. + .1 r;:;; og r 1f 3 l' · ·
I . 41r ( К * ) 2 41r ( К * ) 2 21r V К * cos {3
как это следует из (6.2.52) (6.2.55).
Сращивание двух разложений до всех представленных здесь порядков завершает
ся, если положить
'/0 С::.в ) . [)2 '/ + 1 (ro(z.)) 2 '3
== ro(z ), == Ео,
cos {3 cos {3 4 К* 21r cos {3
В 2 == Jo(z.) , '/2,8 == r 1 (z.) , /3,8 == r 2 (z.) , А 2 == О, [)3,8 == Do,
соз cos cos
..!-. 1 ( ( r ) 2 ) , I 1 ( ( r ) 2 ) '
}ll == tg ,8 .2 2; , 92 = 27r.;к; cos,8 tg ,8 ;.2 2; ,
J9 2 J98
}l2 == С 2 4 1 7r ' 9з == 27r сos ,8С2 , }lз == ;7r · (6.2.63)
В данном процесс е сраЩивания члены Аl (z*), A2(Z*), В 1 (z*), определяющие даль
нее поле потенциалов Фl, Ф2, выражались через внутреннюю циркуляцию ro(z*).
Краевые задачи, определяющие ф;, завершаются теперь добавлением условий на
ударных волнах и определением С2. Заметим, что при 13 == о получаем В 1 == О,
1 ' ( s )
В2 == 4 ':0 ds; эти данные в точности совпадают с результатом, полученным
1с' Z S
в разд. 6.1 для нестреловидноrо крыла. Чтобы записать полные краевые задачи
для Фо, Фl, Ф2, следует рассмотреть некоторые особенности условий на ударных
волнах. Эти условия в координатах и, у, Z имеют вид
[К. ф" '/; 1 ф ] [ф,,] + [Фri] 2 tg ,8 [Фi].[ ф" ]. == О,
[Ф]. == О,
(6.2.64)
(6.2.65)
а положение ударной волны задается формулой
t1 = G (у, ; в) == z tg ,8 + 9 (у, ; в) .
При В ---+ 00 имеем
(6.2.66)
G ( AW Z В ) G ( AW * ) log В G ( AW . ) 1 ( Aw . )
у, в ' == о у; z + в 1 у; Z 7 в G 2 У; z + · .. ,
Ф Ф ( Aw * ) log В Ф ( Aw . ) 1 ( "'" * )
== о (1, у; z + В 1 (1, У; z + в Ф2 (1, У; z +. .. ·
Кроме Toro, как и в разд. 6.1, для любой функции f, имеющей разложение вида
(6.2.68), справедливо разложение
(6.2.67)
(6.2.68)
log В { } 1
[1]. == [/0].0 + в G 1 [/0" ].0 + [/1].0 Т в {G 2 [/0" ].0 + [/2].0} + · .' ,
(6.2.69)
Трехмерные крылЫl
329
rде 50 определяется соотношением
l1 Go(Y;z*) == о.
Подстановка (6.2.69) вместе с (6.2.66)........(6.2.68) в (6.2.64) и (6.2.65) дает
{ [ * , + 1 2 ] log В [ * ( ) ]
к Фо" 2 Фо" .0 + в к Фl" , + 1 ФО"Фl" .0 +
+ [К.Ф2" (, + 1)ФО"Ф2"].0 +
( log В 1 ) [ . ] }
+ в 91 + в 92 к ФО"и (, + l)ФО"ФОи. о х
{ log В 1 ( log В 1 ) }
х [Фо,,].о + в [Фl"] + в [Ф2"].0 + в 91 + в 92 [Фо",,].о +
2 2 gB 1
+ [Фо;].о + в [ФО;].О [Фl;].о + 2 в [Ф2;].0 [ФО;].О +
( log В 1 ) 2 tg f3 ( ( log В ) 2 )
+ в 91 + в 92 2[фо,,].0 [Фо..,,].о в [Фо.... ].0 [Фо" ].0 + о в == о
(6.2.70)
и
[Фо,,].о + lo B [Фl].о + [Ф2].0 + CO B 91 + 92) [Фо,,].о + о( CO B )) == о.
(6.2.71)
Собирая члены с одинаковыми степенями, получим условия на ударной волне для
каждоrо потенциала Фi. Это сделано ниже при обсуждении соответствующей Kpae
вой задачи.
Как и в случае нестреловидноrо крыла, нужно выполнить еще одно условие на
ударной волне, которое возникает из применения теоремы rрина к уравнениям для
Фl, Ф2, записанным в диверrентной форме. Для Фl имеем
0== /h V'( VJ.Фl.'К.Фlii)dtтdу ==
== r К. Фlii dи + r К. Фlii dtт + r ( VJФl'" к. Фlii) · ndl + r ( VJФl"и + К. ФliiУ) d8 ,
J B J w J. o JS R
rде SR задается уравнением + у2 == R 2 . Интеrрал по телу равен нулю, так как
Фljlв == о; интеrрал по следу равен нулю, так как [Фljl]w == о. Поскольку
Фl '" В 1 У ; 8 + · .. ,
то
r ( VJ. Фl"и + к. ФliiУ) d8 == о.
J R
Итак,
о { [VJ. Фо,,] f ::: [К. Ф 1 у] } d У == о.
(6.2.72)
22 1084
33()
rла8а б
Для Ф2 имеем
0= ! h V. (( W.Ф26 2(tan {З)Фо".), К.Ф2 j ) dtтdfJ
= r К.Ф 2ij dtт + r К.Ф 2j dtт + r ( W.Ф2" 2 tg' {ЗФо"., К.Ф2j)' ndf +
J в J UJ J 50
+ r ( w. Ф2" 2 tg {зФо".)О' + К. Ф2jfJ) dD.
J5 R
Вновь интеrралы по телу и следу равны нулю. Поскольку асимптотическая форма
дЛЯ Ф2 задается формулой (6.2.60), находим
r (( w. Ф2" 2 tg {зФо".)О' + К. Ф2jfJ) dD ==
J 5R
2 К.С D '{3 (( ro ) 2 ) ' (,+1)
R'=::"" 7r 2 УКО tg 27r 16( K.)' tg {3.
Чтобы исключить источниковые члены, положим
D' (( ro ) 2 ) ' ,+1
с 2 == О 3 tg {3 + 3 tg (3.
211"(К*)! 211" 16(К*)2'
(6.2.73)
Далее ВИДНО, что
lo { [w. Ф2" + 2 tg {ЗФо".] f ;:: [К.Ф2j] } dfJ = О.
(6.2.74)
Полные краевые задачи для фо, Фl, Ф2 можно теперь выписать в явном виде.
Задача для' Фо представляет собой задачу о двумерном течении около про филя
той же формы и под тем же уrлом атаки, что и действительное (скошенное) крыло
в сечении z. == const. Задача определяется соотношениями (6.2.14), (6.2.17), (6.2.19),
(6.2.58), (6.2.70), (6.2.71), т. е. уравнением
( (К. ('У + 1) )Фо" ) Фо"" + Фо;;; = о
с rраничными условиями
Фои о на 6.есконечности,
( О * ) aFu t ( * )
ФОj (1, :f:, z =: д(1' (1, z ,
[ФОи] 3.1(, == О
и условиями на ударной волне, KOTopь e фактически соответствуют интеrральным
формам консервативноrо уравнения
[К.Фо" 'У; 1 Ф ,,] + [фо;]2 = О, [Фо] = о.
Эти условия должны выполняться на ударной волне, определенной в нулевом при
ближении
80 : (1 == Go(y) ·
Трехмерные крылья
331
Форма ударной волны задается соотношением
G' ( ""' ) == [Фоg]
о У [ ФОа ] .
Эти условия на ударной волне применяются локально к любым ударным волнам,
появляющимся в сверхзвуковых областях течения. Положение ударной волны Oo(j)
заранее не известно и должно быть найдено в ходе решения. Краевая задача для
Фо показана на рис. 6.2.3,0. Как в разд. 6.1, эту краевую задачу следует решать
численно.
Члены порядка O(logВ/B) с потенциалом Фl удовлетворяют линейной краевой
задаче при условии, что величины Фо, 00 считаются известными. Решение для Фl
соответствует потенциалу возмущенноrо двумерноrо течения около плоской пласти..
ны с индуцированным скосом потока на бесконечности. Краевая задача описывается
соотношениями (6.2.15), (6.2.18), (6.2.19), (6.2.59), (6.2.63), (6.2. 70) (6.2. 72), т. е.
уравнением
(К. (1' + l)ФОа )ФlаD (1' + l)ФIDФОDа + Фlуу == О
с rраничными условиями
Фlу(О',О:f:,z.) == О, У == О, О'П.К(Z.) < о' < О'З.К.(Z.),
Фl == y tg (3 r r (z.) 8 + о ( ln т ) ,
r.......oo 21r& 21r r
[ФID] З.К. == О
и условиями на ударной волне, которые теперь уже не соответствуют интеrральным
формам OCHoBHoro уравнения
[К.Фо.. '; 1 Ф ..] [Фl"] + [фо..][К. Фl.. (, + l)ФОФl..] + 2 [ФО;][Фl;] ==
== gl (у) { [Фо..] [Фо.... ,..; 1 Ф ..] + [Фо..][ К. Фо.... + (, + 1) Фо.. Фо.... ] + 2 [Фо..;] },
[Фl] == gl [ФОD] ,
а также условием сохранения
l3 [ . Фl"] f::: [Ф2;] } dfj == О.
На рис. 6.2.3,6 иллюстрируется краевая задача для Фl. Поправка к циркуляции
r 1 (z*) дается величиной [Фl ]в.п.
Члены порядка О(I/В), в частности Ф2, представляют собой решение HOBoro ти"
па. Оно соответствует течению около плоской пластины, описываемому решением
с асимптотикой типа O(j 10 у) на бесконечности. Краевая задача дЛЯ Ф2 также ли..
нейна; для ее решения функции Фо, Фl должны быть известны. Из уравнений
(6.2.16), (6.2.18), (6.2.19), (6.2.60), (6.2.63), (6.2.70), (6.2.71), (6.2.73) получим
22*
332
rЛ080 6
у
ФОа O
aF и
ФNJ= А
"Т да
[ФОа] = о
an.K(Z *)
ф"" = aF, А
"Т да
аэ.к(z*)
а
(К * ("У + 1 )ФОа)ФОаа + Ф О99 = О
а
( ro \' r1tI
Фl00 "7 2rJr) tg y 2т + 000
y. .
[Ф1а] = о
/
Ф 19 = о
Ф19 = о
[Фl]= rl
(1
(j
(К* ("У + 1)ФОа)Фlаа ("У + 1)ФluФОаа + Ф199 = О
r6 rz8
Ф 2с ...... 2 rJ K* 9tg logr J 09 2... ... 000
9
/-
,/-
- .,
.
\
.
Ф 29 = о
Ф 29 = О
[ФzCJ] = о
[Фz] = rz
а
(К. ('У + 1)Фо.,)фzCJа ('У + 1)ФОоcrФ2а + Ф 299 = 2tg ФОа .
в
Рис. 6.2.3.
Краевые задачи для фо (О), Фl (6) И ф2 (8).
( к. (, + 1) ФОа ) Ф2аа (, + 1) ФОаа Ф2а + Ф2ii :;: 2 tg /3ФОа z.
при условиях
Ф2ti (О', O:f:, z.) == О на у == О, о' П.К (z.) < о' < о' 3.К (z.) ,
Ф2 ...., tg (3 У log т JO(z")y + C 2 10g т + tg (3 Х
r oo 21r к.
Х { ( ' + 1 ) ( ( ro ) 2 ) ' ( (log r)(cos 28 + 1) (log т)2 cos 28 cos 48 )
4К 21r 2 + 2 + 8 8 +
D' Е' } r (z.) ( log Т )
+ о J (cos 28 + 1) + о 3 sin 28 22 8 + О ,
41r(K.)I 47r(K.)2 1r r
Трехмерные крылья
333
rде индуцированная циркуляция r2(Z.) подлежит определению; кроме Toro,
1 [ СОВ {j r' (8) tg /3 { ( ( 2К. ) )
Jo(z.) == + 4 .O d8 & +r 1 +ln rr; +
1r СОВ {j Z 8 21r К V К
+ ! f COB(J sgn(z. 8)," ( 8 fЭ ) ln(8 z.) d8 } 4 r fЭ ln ( tg ; )
2 СОВ (j COS 1r COS к. + tg
и
[Ф2и] З.К == О ,
[Ф2] В.П == r 2 (z.).
Должны быть выполнены также условия на ударной волне
[ К. ФОа (,; 1) Ф и] [Ф и] + [ФОи] [К. Фоии (, + 1) ФОи Ф2и] + 2 [ФОII. ] [Ф 2 11.] =
== g2(ij) { [К. ФОии (, + l)ФоиФоии ][Фои] + [Фоии] [JC Фои '; 1 Ф ] +
+ 2 [ФОj][ ФОиj] } + 2 tg fЭ [ФОи... ][ Ф.и] ,
[Ф2] == g2 [Фои]
и условие сохранения
fБо { [си. Ф2и + 2 tg {ЗФоz.] f::: [К. Ф2j] } dy == О.
Все разрывы рассчитываются на ударной волне в нулевом приближении и == Go(ji).
На рис. 6.2.3,8 иллюстрируется краевая задача дЛЯ Ф2.
Следует отметить два момента. Во первых, как и в случае нестреловидноrо KpЫ
ла, если задача для Фо является безударной, такими же будут и задачи для Фl и Ф2.
BO BTOPЫX, если крыло имеет подобные сечения в новых координатах, т. е. если
форма крыла задается функцией
F t(O', z.) == Ни, t ( о' ) ,
, , c(z.)
то задачу можно сформулировать так, что решение не буд зависеть от z.. Резуль
таты полностью аналоrичны результатам разд. 6.1. Иначе rоворя, если в качестве
масштаба Фо выбрать хорду
Фо == с(z.)Фо( , У) ,
rде
==
о' (D'З.I(. ип.к.)
2
c(z.)
'""
у
у== ,
c(z.)
то краевая задача для фо не зависит явно от z..
Получим
(К. (, + l)ФОЕ)ФОЕЕ + Фоуу == О,
334
rла8а 6
1 1
У ОУ 'у=о == G ,t(E), 2 < Е < 2'
[ФОЕ] E= == о.
у=о
Циркуляция rO(Z.), соответствующая решению Фо, задается формулой
r о ( Z .) == с ( Z · ) [ Фо] Е = '
у==о
а интенсивность диполя Do дается выражением
Do , + 1 ( r о ) 2 2 ..,
21r == 4К. 21r log С + с Do,
rде 150 соответствующая интенсивность диполя для Фо, не зависящая от z..
алоrично с использованием преобразования
Фl == С'(Z.)С(Z.)Фl
получаем, что краевая задача для Фl не зависит от z.. Она имеет вид
((К. (,+ l)ФОЕ)ФIЕ)Е + ФIУУ == О,
1 1
ФIУ Iy=o == о, 2 < Е < 2 '
[ФIЕ] Е ==1 ==0,
у==о
[Фо]
Фl У tg (3 r;;: ·
R oo 21rV К.
Циркуляция r 1 (z.), соответствующая решению Фl, имеет вид
r1(Z.) == c(z.)c'(z*) [Фl] 1:=! .
у=о
Наконец, для Ф2 запишем
Ф2 == сс'ф + Jф + L
Краевая задача для ф!l, УА выrлядит следующим образом:
(К* (, + l)ФОЕ) ЕЕ (, + l)ФОЕЕФ Е + Ф;уу == 2 tg {3 ЕФОЕЕ ,
(К* (, + l)ФОЕ)Ф ЕЕ (, + l)ФОЕЕФ ЕЕ + Ф уу == о,
Ф } lу=о == о, [Ф ] Е=! == о
у==о
и
р tg fЗ r ..,
Ф2 2 IYlogR+C2IogR +
00 1r .С
Трехмерные крылья
335
+ tg { ( ;. ) (( ; ))' c ' СО;В (СOS20+ 1) + (log2 R )2 + C 20 C 4fJ ) +
:b (cos 28 + 1) I ЕЬ sin 28 } f
+ .,.. 8 + · · ·
21r(K.) ! 2 21r(K.)' 2 21r '
AO h
h r 2
Ф у 8 + · · ·
2 00 21r
плюс условия на ударной волне. Здесь
{ ( . ) tg (3 r }
J := С Jo Z + & 2", lnc ,
{с 2 + \ 1 (( ; )2)' tg logc}
С 2 := , ,
ее
{ D 1+ 1 (( rO ) 2 ) ' }
D 2"'& + 4К. 2; log с
21r& ее'
Е' Ео
о ее' ·
Отметим, что
+1 (( r ) 2 ) '
L = C 2 10ge + "у
8К. 21r
tg ,8 (log е) 2 .
.
Отметим также, что Do и, следовательно, С2 не зависят от z . Следует также выпи
сать условие на ударной волне для подобных сечений. Учитывая равенство
92(У) = ее'аР + Js h
J
получим
[Ф ] 50 := aP [ФОЕ] 50 '
[Ф ] 50 := sh [ФОЕ] 50
и
[К.Ф ; 1; 1 Ф Е] [Ф ;] + [ФОЕ] [К.Ф ; (1 + l)ФОЕФ ;] +
+ 2[ФОЕ] [Ф ;] := 8P.h{ [К.ФОЕЕ (1 + l)ФОЕФОЕЕ] [ФОЕ] +
+ [ФОЕЕ] [К.ФОЕ 1; 1 Ф Е] + 2[Ф2У ] [ФОЕУ] } +
{ 2 tg (3 [ЕФОЕ] [ФОЕ] для 1/7
+ о для Ф
336
rЛQ8Q 6
Циркуляция для Ф2 задается формулой
r 2 == cc'f + Jf .
Указанное правило подобия впервые подмечено Ченrом и MeHroM [6.2.2]. Они
не рассчитали член с Е, который, как оказалось, действительно иrрает второстепен..
ную роль, поскольку не дает вклада в подъемную силу.
ЛИТЕРАТУРА
[6.2.1] Bleistein, Norman and Richard А. Handelsman, Asymptotjc Expansjons
оЕ Iпtegrals, Holt, Rinehart and Winston, N.Y., 1975.
[6.2.2] Cheng, Н. К. and S. У. Meng, ТЬе Oblique Wing as а Lifting..Line
Problem in Тransonic Flow, u. of Southern Са. Aerospace Rpt. #136,
Мау 1979.
6.3. НЕСТРЕЛОВИДНЫЕ КРЫЛЬЯ, Моо == 1
Порядок величины поправки, учитывающей в первом приближении трехмерность
течения, к решению для случая двумерноrо обтекания сечения несущеrо крыла при
cтporo звуковой скорости (Моо == 1), отличается от соответствующей величины при
дозвуковой скорости (Моо < 1) [6.3.1, 6.3.2]. Это в первую очередь связано с отличи..
ем дальнеrо поля решения, описывающеrо двумерное течение при МОО == 1, от даль..
Hero поля решения при Моо < 1 (см. разд. 4.1, 4.3). Разложение в дальнем поле при
МОО < 1 определяется членом с циркуляцией порядка 0(1), в то время как разложе..
ние в дальнем поле при Моо == 1 определяется членами порядка 0(j2/S), описываю..
щими симметричное течение.
Уравнение, описывающее трансзвуковое течение с малыми возмущениями при
Моо == 1, совпадает с уравнением (6.1.1) при К == о:
(7 + l)фжфжж + Фij + Фii = о.
Здесь, как обычно, полный потенциал представлен разложением
( 2
Ф(х,у,z;Ь) == аоо х+бзф(х,уz;В) + ...),
rде у, t в значения, представленные в разд. 3.1, а исходная форма крыла имеет
вид
(6.3.1а)
W(x, у, z) = у hF..,l( х, i) ·
Уравнения упрощаются, если записать
ф == (/,+ l)ф,
так что уравнение (6.3.1а) принимает вид
ФжФжж + фji + Фii == о.
(6.3.1 б)
Трехмерные крылья
337
rраничные условия для Ф имеют следуюЩИЙ вид:
1) отсутствие возмущеНИЙ в набеrающем потоке
Фж, ФfJ, Фi о;
ж оо
(6.3.2)
2) условие непротекания на поверхности тела
Фti(Х, О:!:, z) == ('1 + 1) :х F..,t (х, ) дЛя Х п . к ( ) < х < Х.. к ( ) .
Соотношения (6.3.1б) (6.3.3) составляют полную краевую задачу для определения
передней части потока. При обтекании со звуковой скоростью звуковая поверхность
простирается от тела до бесконечности. Уравнения (6.3.1б) остается уравнением
смешанноrо типа даже вдали от профиля. Совсем иная картина наблюдается в слу
чае течения при Моо < 1, описываемоrо уравнением (6.1.1), которое является полнос
тью дозвуковым вдали от профиля. Кроме Toro, при cтporo звуковой скорости
потока имеется последняя характеристическая поверхность, называемая предельной
поверхностью Маха, которая простирается от тела до бесконечности и касается .в
бесконечности звуковой поверхности. Все характеристические поверхности, располо
женные впереди предельной поверхности Маха, отражаются от звуковой линии. Все
характеристические поверхности, которые начинаются позади предельной поверх
ности Маха, остаются позади нее. Таким образом, течение перед предельной поверх
ностью Маха не зависит от течения за этой поверхностью, и поэтому переднюю
область течения можно рассчитать независимо от ero задней области. После этоrо,
используя решение в передней области, усло ия на ударной волне и условия вниз
по потоку, можно рассчитать течения в задней области. Итак, начнем с paCCMOTpe
ния поправок на трехмерность в реllIении для передней области течения.
Зависимость ф(х y i; В) от параметра относительноrо удлинения В(В 1) полу
чается путем рассмотрения предельных реllIений уравнения (6.3.1б) при В ---+ 00. Во
внутреннем пределе величины X y z. = i./B остаются фиксированными при В ---+ 00,
И задача по существу становится двумерной.' Чтобы найти растяжение координат
для внешнеrо предела, заметим, что должны быть сохранены все члены уравнения.
Положим у. = у/В, чтобы производные по у. были одноrо порядка с производны
ми по z.. Тоrда, принимая, что
(6.3.3)
ф == Jl(B) ,
(6.3.4)
х.==о(В)х, 0«1,
получим из (6.3.1б) следующее уравнение:
(6.3.5)
( ) 3 1 1
Jl В о V'ж. V'ж. ж. + В2 'Р". ". + В2 'Р z. z. == о.
Обтекаемый контур при этом переходит в линию особенностей. Все три слаrаемых
сохраняются при условии
3 1
J.l,о == В2 ·
(6.3.6)
Наконец, заметим, что дальнее поле (BHYTpeHHero) двумерноrо потока выражается
через параметр подобия
338
rла8а 6
х х* х*
==-:!== () ,
уа Q В у*,.Ва у*,.
если
4
o(B)==B 5.
(6.3.7)
Тоrда из (6.3.6) получим
2
J.l(B) == вs .
(6.3.8)
Внутреннее разложение. (х, у, z. == i./B фиксированы, В...... 00.)
Построим внутреннее разложение в следующем виде:
ф(х, у, z; В) == фо(х, у, z*) + 111 (В)Фl(Х' у, z*) + ... ,
rде "1 1 и 6удет определено из условий сращивания с внешним разложением. Дей
ствительно, из условий сращивания оказывается, что
2
ф( х, у z * , В) == -(В 5" СО ( z * )) + Фо + 111 ( В) Ф 1 + · .. .
(6.3.9)
Переменное по размаху индуцированное течение, описываемое членом порядка
о(в 2 / 5 ), не зависит от координат х, j и не влияет на давление, так как С р == 2фх.
Этот член не входит в разложение решения уравнения (6.3.16) до членов порядка
О(В 2/5).
Подставляя (6.3.9) в соотношения (6.3.16) (6.3.3), записанные в переменных
Х, у, z*, и приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях В, получим,
что Фо, Фl удовлетворяют уравнениям
(ФО"'Фl"')'" + Фlii == {
ФожФожж + ФОii == О,
1
если 111 ( В ) « ,
, В2
1
Фоz. z. если 111 (В ) ==
, В2
(6.3.10)
О
(6.3.11)
и rраничным условиям
Фо;( х, 0:1:, z*) == а::,! (х, z*) J
Ф lJi ( х, O:f: , z *) == О,
(6.3.12)
(6.3.13)
при хп.к(z*) < х < хз.к(z*), 'z*' < 1. rраничные условия на 6есконечности возника
ют из условия сращивания с внешним разложением.
Заметим, что задача для фо представляет двумерное течение около несущеrо
профиля (в данном сечении z == const) со звуковой скоростью. Разложение в Д HeM
поле для Фо имеет вид
ys ,., 1 Сl .
фо ... ""-J 3 '(a ) + со + y 5 зfl{а ) +... ,
у""" 00 а а
фиксировано
(6.3.14)
rде
х
== Af! ,
У5
(6.3.15)
Трехмерные крылья
339
а величины а, Со, Сl зависят от z*. Свойства функций f, /1, а также нулевая точка
координаты подобия и параметры а, С были описаны в разд. 4.1.
Разложение дальнеrо поля для Фl служит основным результатом сращивания.
Полаrая
Ф '" а g(a€)
1."" Уз'
, OO а
находим, что функция g удовлетворяет уравнению
(/ ' 16 2 С2 ) " (/ " 4 ( 9 ) ) ,
25 а g + + 5 20 5 a€ g о( о l)g = о .
Решения этоrо уравнения, для которых комбинации уаи являются rладкими функ..
циями переменной, изменяющейся от :=: О (отрицательная часть оси х) до предель..
ной линии Маха :=: l/a(z*), были найдены в разд. 4.1. Значения а, для которых
существуют такие решения, приведены в (4.1.101)
2 2 + 6n 2n 1
о == n,
555
6
1 + n.
5
Можно было бы ожидать, что а == 1 соответствует следующему (после а == 2/5) нан..
более быстро растущему синrулярному решению. В действительности же сращива..
ние показывает, что это решение следует опустить и взять а == 8/5. Таким образом,
Ф ,.., doytho(a€) d O c lyh 1 (a€)
1 "" + +...
j ...... 00 аЗ аЗ '
фиксировано
(6.3 .16)
rде do функция от z*, которую следует определить в процессе сращивания, а
4
ho ( 8) == 8 i (1 68) .
(6.3.17)
Величина сl берется из (4.1.120), а h 1 удовлетворяет неоднородному уравнению
(/' : a2e )h + (1" + 2 a€)h = (J h ).
Относительно переменной s функция hl определяется в явном виде
./9 l
h v За} 6
1 38 + 1 ·
(6.3.18)
Внешнее разложение. (х. == x/Ir/ S , у* == у/Д z* фиксированы, В ---+ 00.)
Внешнее разложение имеет вид
2
ф(х,у,z: В) = B5<pO(X.,y.,z.) + JLl(B)<Pl + JL2(B) 2 + ...
(6.3.19)
с учетом (6.3.4), (6.З.8), rде JL2 JLl B 2 / S при В ---+ 00. Уравнения для ({)о, ({)1, ({)2
имеют вид
ож. SOОж. ж. + o,. o,. ,. + oz. oz. z. = о ,
(6.З .20)
340
rла8а 6
(<РОж.<Рlж. )ж. + <Рllf.lf. + <Plz.z. == О,
(6.3.21)
{ 2
О если J.L B 5 « J.L2,
(<РОж. <Р2ж. )ж. + <Р21f.1f. + <P2z. z. ==' 2
Фlж. Фlж. Ж; если J.Ll В 5 == J.L2 ·
(6.3.22)
Уравнение для (/)0 соответствует полному нелинейному уравнению, уравнение для
(/)1 является линейным (вариационным) уравнением, как и уравнение для (/)2, которое
может иметь также свободный член. rраничными условиями на бесконечности для
(/); будут следующие:
<Рlж., <Pilf.' <Piz. о.
Ж. ОО
(6.3.23)
rраничное условие вблизи поверхности профиля заменяется требованием сращива
ния BHenmero и BHYTpeHHero разложений. Заметим, что если выражение (6.3.14), за
писанное во внеnmих переменных, требуется срастить с (6.3.19), то нужно положить
/L == 1 или /L:' 1 и /L2 == В'" 1/5. В любом случае уравнение для 1(J2 (6.3.22) должно
быть однородным.
Из условия сращивания вытекает, что ближнее поле для <Ро должно иметь вид
.l s /(a€) + . 1 Cl(z.)Fl(a€) +
<1'0 "'w У У... .
аЗ аЗ
(6.3.24)
Подстановка этоrо разложения в (6.3.20) показывает, что в этом разложении CBO
бодные члены, отражающие трехмерность течения (производные по z*), не возника
ют до членов порядка о(у*12/5). Итак, в соответствии с (4.1.101) параметр ЛI может
принимать значения 1; 8/5,... Ес и решение уравнений (6.3.20), (6.3.21) (с осесим
метричным дальним полем) при условии <Ро у*2/5 [f(at)/a 3 ] оказывается единствен
ным, то решение <Ро должно быть четным по У, т. е. ЛI == 8/5. Имеется также
возможность появления слаrаемоrо Co(z*), предшествующеrо слаrаемому с у*2/5 в
(6.3.24). Появится или нет это слаrаемое, соответствующее чисто боковому движе
нию, можно установить лишь путем более тщательноrо анализа задачи для <Ро. Ec
ли это слаrаемое появится, то при сращивании должен присутствовать член вида
в 2 / 5 ео (z*) во внутреннем разложении (6.3.9). Заметим, что синrулярные решения
более высокоrо порядка не допускаются, поскольку они не являются тривиальными
решениями уравнения (6.3.20) и будут влиять на друrие слаrаемые, так что возмож
ность сращивания будет нарушена. Итак,
С ( . ) .1 '(a ) .. C 1 (z.)h o (a€)
<Po.-.w о z + у 6 + у а + · · · .
11......0 аЗ аЗ
(6.3.25)
По аналоrичным причинам, а также вследствие Toro факта, что порядок особеннос
ти <РI при у. 00 ожидается более высоким, чем порядок особенности <Ро, получаем
<Р 1 ,...., Ео + · .. ,
,. ..... О
ер 2 ,....,
у. ..... о
J.'
Do(Z.)Y. 5 'l(a€) C1(z.)Do(Z.)Y. hl(a€)
+ + . .. .
аЗ аЗ
(6.3.26)
Здесь величины C 1 , Во, Do определяются из условия сращивания с внутренним раз
ложением. Суммируем результаты.
Трехмерные крылья
341
Внутреннее разло:ж:енuе
Ф == в j о о ( z.) + Фо ( х, У; z.) + в 1 Ф 1 ( х, У; z.) + · .. ,
(6.3.27)
rде
Фо == y f( ) + co(z") + Сl(z")fj зlhl(а ) + O(fj i),
,, OO а а
(6.3.28)
Ф ...! do(z.)ho(a€) cl(z.)d o (z.)yhl(a€) 0( --'. )
1 ys + + ys.
fi oo аЗ аЗ
(6.3.29)
Внешнее разло:ж:енuе
2
Ф == Bilpo + Pllpl + P2lp2 +... ,
(6.3.30)
rде
== о ( z. ) + · i f(a€) + · t 01 (z.)ho(a ) + 0 (у .2 )
tfJo О о У З УЗ'
II- а а
(6.3.31)
lpl == Eo(z.) + О(у. t) ,
11- O
СР2 == Do(z") Y" !f;(a ) +Cl(z") Do(z")Y;hl(a ) +O(y"t)
II- O а а
(6.3.32)
(6.3.33)
и а все еще является функцией z*.
Сращивание можно завершить построением промежуточноrо предела либо про
сто путем сопоставления ближнеrо поля внешнеrо разложения, записанноrо во
внутренних переменных, с внутренним разложением. Сращивание завершается, если
положить
Eo(z.) == co(z.), Do(z.) == cl(z.), do(z.) == 01(Z.).
Здесь функция Cl(Z*) известна (см. (4.1.120», Cl(Z*) следует определить либо числен
но, либо путем решения задачи для 'Ро.
В итоrе имеем, что функция 'Ро(Х, У, z*) известна, 'Pl задается решением краевой
задачи
(ФОжФIж) + Фlfifi = О,
(6.3.34)
(6.3.35)
(6.3.36)
Фltilti=о == о для Хп.к(z.) < Х < хэ.к(z.),
Ф --'!. о ( . ) ho(a€) Gl(Z.)Сl(z.)hl(а )
I"""У5 1 Z +у +... ,
аЗ аЗ
rде ho, h 1 известные функции (6.3.17), (6.3.18), Cl (z*) известна (4.1.120), а C 1 (z*)
еще следует определить. Отметим, что уравнение для Фl линейно, а rраничное усло-
вие при у. = о однородно, так что Cl(Z*) просто является сомножителем.
Заметим, наконец, что для крыла с подобными сечениями краевые задачи для
Фо [(6.3.10), (6.3.12), (6.3.14)] и Фl [(6.3.34) (6.3.36)] можно сформулировать таким
образом, что решения не будут зависеть от хорды. Напомним, что краевые задачи
"-
для Фо, Фl являются двумерными задачами в каждом сечении, поперечном размаху.
342
rлава 6
Если форма в плане крыла с хордой c(z*) дается формулой
F..,t(x, z*) = C(Z*)G..,t C(:*) ) ,
(6.3.37)
то задачи для Фо, Фl можно сформулировать' так, что они не будут зависеть от
* * Э
z ; тоrда решения достаточно получить лишь в одном сечении z == const. то дела..
ется путем преобразования величин Фо, Х , j С использованием хорды в качестве
масштаба
Фо
Фо = c(z*) ,
Х == х ! ( х П.К + х З.К )
c(z.) ,
"'"
у
у== .
c(z.)
(6.3.38)
Тоrда А == ac 1 / S не зависит от z*, поскольку а t'\J c 1/5 (см. (4.1.115», и задача для
Фо принимает вид
ФохФохх + Фоуу == О,
(6.3.39)
1 1
Фох\у=о == Gx(X), 2 < х < 2'
lf( t )
'Фо у:оо у АЗ
(6.3.40)
(6.3.41)
и не зависит от z.. Далее, замена
11
Ф 1 == С 6" (z.) с 1 ( Z * ) Фl
(6.3.42)
llUЗВОЛЯет привести задачу для Фl к виду
('Фох'ФlХ)Х + ФIУУ == О,
1 1
ФIХ I У =0 == о, 2 < Х < 2'
.1. y ho ( ) Yh ( АХ ) Cl
If/ 1 А З + 1 . ..1 ·
У, С5АЗ
(6.3.43)
(6.3.44)
(6.3.45)
Формулы (6.3.43) (6.3.45) не содержат z., поскольку Сl t'\J с 3 / 5 , как видно из задачи
для Фо.
Отметим, что эти рассуждения применимы лишь к области потока перед удар..
ной волной. Продолжим анализ с целью определения решения за ударной волной.
Перед ударной волной имеем (6.3.27)
2
ф(х, у, i) == Вб Co(z*) + фо(х, у; z*) + B 1 Фl(х,у; z*) + ...
в качестве BHYTpeHHero разложения и (6.3.30)
2
Ф( "'" ""' ) В .. ( . · . ) ( . * · )
х, у, z == 5 SOo Х , у , z + /-ll SO I Х , у , z +. · ·
в качестве внешнеrо разложения. В области за ударной волной решение будем ис..
кать в виде
1):JexмepHble крылья
343
2,.", IW IW IW
ф(х, у, i) == BS со (z*) + фо(х, у; z.) + Лl (В)Фl (х, у; z.) + Л2(В)Ф2(Х' У; z.) +..., (6.3.46)
rде Л2 Лl 1, в качестве BНYTpeHHero разложения и
2
ф(х, у; z ) == Ва o(x., у., z.) + 1rl(B) l(X.' у., z.) +... ,
(6.3.47)
rде 11"1 B 2 / S , В качестве внешнеrо разложения. Величины Л;, 11"; будут определены
в процессе сращивания BHYTpeHHero и внешнеrо разложений.
Подстановка (6.3.46) в исходное уравнение (6.3.16) и rраничные условия (6.3.3)
показывает, что функции Фо, Фl удовлетворяют тому же самому уравнению и rpa..
ничному условию на профиле, что и функции фо, Фl, т. е. (6.3.10) (6.3.12).
Условия на ударной волне можно найти способом, идентичным исполъзованно"
му в разд. 6.1, 6.2. Если поверхность ударной волны задается уравнением
S(x,y,i)==S 9(Y, ,B) =0,
(6.3.48)
то полные условия на ударной волне в трехмерном течении определяются следую..
ЩИМ образом:
непрерывность касательной компоненты скорости на ударной волне
сохранение массы
[Ф.] == О,
[Ф ]. [Фg]gg [Фi]gi = о.
(6.3.49)
(6.3.50)
Из уравнений (6.3.49), (6.3.50) можно получить уравнение ударной поляры
[Ф ].[Фж]. + [Фg] + [Фi] == о.
(6.3.51)
Условия на ударной волне для ф; получаются путем подстановки (6.3.27) в (6.3.49),
(6.3.51) и разложения относительно положения ударной волны в нулевом приближе..
нии. Заметим, что (6.3.48) можно представить в виде
х = 9 (у, ; в) = ga(Yi z") + (Jl(B)gl(Yi z") +... .
(6.3.52)
Тоrда для любой функции ф(х, у, i; В), имеющей разложение вида (6.3.27) и (6.3.46)
перед ударной волной и за ней соответственно, получим
IW IW I
[Ф]. == (фоо. фоь)sо + 8 1 g 1 (Фож Cl фож.)sо + B а (Фlо. ЛIФIЬ) +... , (6.3.53)
rде
80: х == go(y;z.).
и так, с точностью до величин нулевоrо порядка имеем
[Ф ж] [Фаж] 50 + [Фа;] o == О ,
(6.3.54)
[ Фо ] 50 == О,
(6.3.55)
344
rлава 6
rде для краткости использовано обозначение [Фо]sодля
фо(gо(у;z.),у,z.) фо(gо(у;z.),у,z.),
а до величин первоrо порядка
r Фl] == { Gl [Фо", 1 если 81 B 6' (6.3.56)
L О, если 81 » B a,
tФ жJ[Фlж] + [ФОжФIж][Фож] 2[ФО;][Фl;]
== { gl { [Фо%] 2 [ФО"'I/] + [ФОжжФож][ Фож] + 2[ ФОlisi][ Фsi] } если 81 == В 6 '
(6.3.57)
О , если (J 1 » В i .
Итак, Фо двумерный трансзвуковой потенциал. Разложение в дальнем поле Функ
ции Фо (4.1.156) имеет вид
,.., ... t
Фо ..., yi I(a ) + Iyl f 11 (a ) + 1;' (a ) + ... .
j oo аЗ аЗ аЗ
(6.3.58)
После этоrо нужно найти ближнее поле функции 'Ро. Далее путем сращивания следу
ет завершить постановку краевых задач для Фl, l, а также найти Лl(В), 1rl(B).
Подставляя (6.3.30) и (6.3.47) в условия на ударной волне (6.3.49), (6.3.51) с уче
том Toro, что положение ударной волны задается соотношением
х. == G(y., z.; В) == Go(y.; z.) + ... ,
найдем условия для 'Ро
[СРО] == О, (6.3.59)
i [\CI ж' ][ \CIОж'] + [\CI01/'] 2 + [\CIO....] 2 О , (6.3.60)
l'де все разрывы записываются на ударной волне в нулевом приближении,
х* == Оо(у*, z*).
Итак, функция o удовлетворяет уравнению
i>ож. i>ож. ж. + rpo".JI. + i>oz. z. == о .
(6.3.61)
Наша цель состоит в том, чтобы найти ближнее поле функции o.
Перед ударной волной на основании (6.3.31) име м
\CIo '""' Co(z.) + у. f l(aE*) + у. t h(aE*) + ...
аЗ аЗ ,
(6.3.62)
а за ударной волной справедливо разложение
... С ... ( . ) + . 5 '(a .) + .p h(a .) +
СРО "-1 о Z у у... ,
аЗ аЗ
(6.3.63)
rде h == C 1 (z*)ho(a *).
Положение ударной волны в ближнем поле определяется разложением
ах. == y. + + y.q+! ;+ +... ,
Трехмерные крылья
345
rде
q>O
или
t".+ t".+ .9.+
== + у l +. · · ·
(6.3.64)
ПодставJIJIJI (6.3.62) (6.3.64) в уравнение (6.3.61) и условия на ударной волне
(6.3.59), (6.3.60) и используя обычное разложение относительно условия на ударной
волне нулевоrо порядка, имеющее вид
[( )]5 == [ ]0 + [( ) . ]oy.9 ;+ +...,
rде индекс О относится к ; + == +, получаем, что i4J удовлетворяет уравнению
(/' : .+2) h" + (/" + (2 Р c+ ) ) h' р(р l'h = { 'c :::: < :
(6.3.65)
Для р < 8/5, g < 2 условия на ударной волне совпадают с (4.1.131), (4.1.132), если
произвести замену h на h, р на пl, g на тl. Поэтому нетривиальное решение суще..
ствует лишь при условии g + 2/5 == р. Далее для Р < 8/5 условия на ударной волне
тождественны условиям (4.1.137), (4.1.139), или, что эквивалентно, условиям
(4.1.152), (4.1.153). Иначе rоворя, все рассуждения в точности такие, как в двумер..
ном случае. Два последних условия эквивалентны следующим (если в них считать
т == (5V3 8)/8»:
5 5 25 (2 5 ) (1 ) F ( 5P 1 8 5p !. 5v'з 8 )
5 Р Р r + r 2 +, 6 ' 2' 8
( 5 2 5р 1 5v'з 8 )
{(8 65р)r+З(1 5р)}F 2 Р ' 6 '2j 8 =0
(6.3.66)
и
5А== ЗОr { 1 T ) ( 5 1 )( 1 ) F ( 5P+3 11 5p 5v'з 8 ) +
s + 18 Р + р 2' 6 ' 2 ' 8
+ ( 3 ( 4 5 ) I ( 65 7 ) T ) F ( 5P + 1 5(1 р) 5v'з 8 ) == О
+ р"l Р + 2 ' 6 ' 2' 8 ·
(6.3.67)
s А
Леrко проверить, что S и S остаются положительными для Р > 2/5, поскольку
s s
значения всех rиперrеометрических функций близки к единице. Система не имеет ре..
шений при 2/5 < р < 8/5.
Для р == 8/5 из условия непрерывности имеем
;+ = [h] = о, если q =1 '
(6.3.68)
rде [h] == h ;; и
+ 2
€; [f'] [h] == О, если q 5 == Р,
уравнения ударной поляры получим
[h'] = 2 .+ .+ .
(6.3.69)
а из
(6.3.70)
23 1084
346
rлава 6
Отметим, что вследствие непрерывности [Со] == О, а поскольку Со == Co(Z*), то полу..
чим [СО] == [СО'] == о. Эти условия отличаются от (4.1.137) и (4.1.139), поскольку
величина h перед ударной волной не равна нулю. Поэтому (6.3.68) и (6.3.70) отлича..
ются от (4.1.137) и (4.1.139) условиями на h и h' сразу же за ударной волной, вели..
чиной членов h и h " вычисленных перед ударной волной в правой части
соотношения, а также числовыми множителями 2. (12/5) в соотношении (6.3.70)
вместо 8/25 в соотношении (4.1.139). Исключая i+ из (6.3.68) и (6.3.70), получим
соотношение, связывающее h и h',
h' h' + €o+ (h h b )
[f']'
(6.3.71)
или
h' + o+h , 24 +
[/'] == h +sтh.
(6.3.72)
Таким образом, это соотношение представляет собой лишь условие, налаrаемое на
постоянный множитель решения h однородноrо уравнения (6.3.65). Уравнение
(6.3.35), записанное в переменных t (4.1.99), является rиперrеометрическим уравне..
нием с параметрами а == 4, Ь == 1, с == 1/2. Итак, решение имеет вид
"" U, t ( ) U" t ( ) ..L ( 9 1 3 3 )
h==Ol' S т 1 6s +02 s 10F 2' 2'2'4s ·
Первое слаrаемое в этом решении было получено ранее в качестве ho (6.3.17).
Наконец, нужно убедиться в том, что <РОх.' <Роу. непрерывны поперек следа, и,
следовательно, выражения (j8/Sh)y., (j8/sh)x. стремятся к константам при *...... 00.
(6.3.73)
у. t h '"'J у. t (О"" t S f + О u', t S /0 )
........0 1 2 ,
1."" . II 3
у. а h ,....." у. а ( О u', t . т + cu" t . i ) .
........0 1 2
Так что
.""
(у. а h) ж. ,....." О,
11. .......0
2 ( . th ) . "'"J .i { cu.,tc.+J,f + ou.,tc.+i ou,tc.+1j oU"tt".+! }
а у 1/ 1/........0 У 5 1 5 2 5 1 5 2
c и,! ·
5 2 Х ·
Итак, для непрерывности поперек следа требуется равенство Cf == d. Тоrда из усл<r
вия на ударной волне имеем cr == с{ или
"" "" { " "" 3 ( 9 1 3 3 ) } "" ""
h == 01 S i(l 6s) + 02s "iOF 2' 2' 2' 4; s = Olh o ,
rде ё 2 (ё 1 ) определены условием на ударной волне (6.3.72).
В заключение выпишем разложения для области за ударной волной.
Трехмерные крылья
347
Внутреннее разло:ж:ение
ф(ж, У; z) = в' ёо(z.) + 4>0 (ж, У; z.) + Лl (в)4>1 (ж, У; z.) + · .. ,
rде
Ф ... ( .... . ) ... f(a ) 1 ... , 1. il(a ) i2(a )
О ж, у, z "..., у 5 + у 5 + + . .. .
., OO аЗ аЗ аЗ
Внешнее разложение
ф(х, у, z) == Bf СРо(х., у., z*) + 11'1 (B)CPl (ж., у., z.) + · .. ,
rде
o(X., у., z.) ёо(z.) + у. '(аЕ) + у. f ё 1 (z.) ho(aE") + о" .
.,- o аЗ аЗ
Отсюда путем сращивания получим
11'1 (В) == вl ,
Аl(В) == Bs
и
1(X.,y.,Z.) y.t '1(аЕ) + 0.0
11-.........0 аЗ ,
Ф ( ,., . ) .... hl(a )
1 ж, У; z -.." У [) + · .. .
.,-.........00 аЗ
Итак, первая поправка теории несущей линии за ударной волной имеет тот же
порядок, что и перед ударной волной. Поправка за ударной волной Фl является
решением краевой задачи
...
ФlжФlжж + Фljj == О ,
Ф1 ...., yt h1 (a E )
.,.........00 аЗ
с условиями на ударной волне, описываемой формулой go (Y . z*), в виде
[Фl] = 91 [ФОж] ,
[Ф ж] [ФIЖ] + [ФОЖФIЖ] [Фож] 2 [ФОi] [Фl;] ==
=: 91 { [Фо.,] 2 [Фо.,,,] + [Фо.,.,Фо.,] [Фо.,] + 2 [Фо..] [Фо.] } о
Здесь величина (Jl была выбрана равной В 6/5. Внешнее разложение сильнее зависит
от конечноrо относительноrо удлинения за ударной волной, чем перед ней.
Подводя итоr, выпишем разложения.
Внутреннее разложение
ф(х, у, z) == B Co(z.) + фо(х, у; z.) + B Фl (х, у; z.) + .. ·
перед ударной волной и
23*
348
rлава 6
ф(х, у, z) == B Co(z.) + фо(х, У; z.) + B J Фl(Х' У; z.) +...
за ударной волной, rде
Фо . = y '( €) + co(z") + Cl (z" )у: h 1 (a€) + O(y i) ,
.,.......00 а а
Ф ...1 01 (z.)ho(a ) 0( "' )
1..= уа З + у,
.,.......00 а
Ф ... ... il(a ; z.) i2(a ; z.)
о = уа + ,
j.......oo аЗ аЗ
... ...1 01 (z.)ho(a )
Фl == У а + · .. .
j oo аЗ
Внешнее разложение
2 .
ф( ... ... ) В ( . · . ) ( ... ) В 1. ( . · . )
x,y,z == 5<1'0 x,y,z +<1'1 x,y,z + 5<1'2 x,y,z +...
перед ударной волной и
ф( ... ... ) В I... ( . · · ) В 1.... ( . · · ) ... ( . · · )
x,y,z = 5<1'0 x,y,z + 'ерl x,y,z +<1'2 x,y,z +...
за ударной волной, rде
О ( . ) .2 '(a ) .1 Cl(z.)ho(a )
<1'0 == о z + у 5 + у 5 + · .. ,
1/-.......0 аЗ аЗ
<1'1 == co(z.)+O(y.t),
., - ....... о
S02 = Cl(z") y" lfl(a€) +О(у"),
1/- ....... О аЗ
и
... С ... ( . ) .2 '(a ) .1 Gl(z.)ho(a )
<1'0 == о z + у 5 + у 5 + · · · ,
.,-.......0 аЗ аЗ
... I . 1 J.il(a ;z.)
<1'1 == У а . + · · · ,
.,. ....... о аЗ
... i2 ( а ; z. )
<1'2 == + · .. ·
.,-.......0 аЗ
ЛИТЕРАТУРА
[6.З.l] Guderley, G., Оп Тransonic Airfoil Theory, J. Aero. Sci., Oct. 1966, рр.
961 969.
[6.3.2] Cole, J. D., .cook, L. Р., Ziegler, F., Finite Span \Vings at Sonic Speed,
МесЬ. НесЬ. Сотт., 1 (4), 1980, рр. 25З 260.
7. КВАЗИТРАНСЗВУКОВОЕ
ТЕЧЕНИЕ
Такое течение возникает в сверхзвуковом потоке, коrда какая..либо существенная
компонента ero скорости близка к скорости звука. Наиболее типичный случай СООТ..
ветствует сверхзвуковому обтеканию крыла, передняя кромка KOToporo имеет. уrол
стреловидности, близкий к уrлу Маха. Тоrда компонента скорости потока, нормаль..
ная к кромке, близка к скорости звука, и проявляются свойства квазитрансзвуковоrо
течения. Теория таких локальных потоков может быть достаточно rлубоко развита
в некоторых простых случаях. Случай коническоrо течения впервые обсуждался в
работе Франкля и Уотсона [7.1.1].
7.1. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ
Как показано в разд. 2.5, обтекание тонких сверхзвуковых крыльев обычно рассчи..
тывается в рамках линейной теории. Линейная теория для треyrольных в плане
крыльев предсказывает резкий максимум коэффициентов сопротивления при числе
Маха набеrающеrо потока, при котором конус Маха располаrается вдоль передней
кромки (рис. 7.1.1). Экспериментальные кривые по волновому сопротивлению для
симметричных (ненесущих) крыльев не имеют подобноrо максимума (рис. 7.1.2).
Это расхождение может быть следствием квазитрансзвуковых эффектов. В данном
разделе линейная теория разрабатывается для простейшеrо случая. Она позволяет
обнаружить особенность на звуковой передней кромке и построить дальнее поле
для локально квазитрансзвуковоrо течения. Возможные обобщения обсуждаются
ниже.
Рассмотрим треуrольное в плане крыло с клиновидным поперечным сечением
(рис. 7.1.3), передняя кромка KOToporo имеет yrол стреловидности, равный уrлу Ма..
ха е м == arcsin (1 + Мао). Верхняя и нижняя поверхности задаются выражениями
1
у == БFи,t(Х, z) == :t: 2 б(х ,вlzl),
(7 .1 . 1 )
ф
1:.
, :()о
't.
f$)
Конус Маха
Рис. 7.1.1.
Крыло, передняя кромка KOToporo лежит на конусе Маха.
350
rлава 7
0,06
0,04
C d
Рис. 7.1.2.
Наименьшие коэффициенты сопротивле..
IIWI ДЛJI рида тpeyrольных крыльев тол..
щивой 8070 [7.1.1]. линейная тео..
рИJI; О переднu кромка эллиптическоrо
ПрофИЛJI; О передllJUl кромка профИЛJI в
виде клина.
0,02
0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1
tgtltgll
у
{,
и
х
z
Рис. 7.1.3.
Сверхзвуковое крыло со звуковыми кромками.
rде (3 == ..J м;, 1, () относительная толщина; хорда крыла считается равной
еДIПIИце.
В линейной теории определяется потенциал возмущения ф, связанный с «точ..
ным» потенциалом Ф следующим разложением:
ф == и { х + бф( х, у, z; {3) + · · · } .
(7 .1. 2)
Потенциал Ф определяется как решение волновоrо уравнения
{32 Фжж (Ф"" + Фzz) == О
(7.1.3)
с rраничным условием на крыле, которое ставится в плоскости крыла (у == О)
( ) д F u t (7 1 4)
Фу х, O:f:, z == дх' (х, z) · · ·
Решение представляется в виде распределения сверхзвуковых источников в плоскос..
ти крыла у == О
ф( ) 1 /1 Фу (х' , 0+, z') d ' d '
х, у, z х z.
1r rип V (x х')2 {32у2 {32(z z')2
(7 .1. 5)
КваЗUlпрансзвуковое ченuе
351
z
r
х
Рис. 7.1.4.
Область определения решения.
Интеrрал берется по тем точкам в плоскости (х, Z), сиrнал от которых может по
пасть в точку (х, У, Z). ЭТИ точки в плоскости крыла отсекаются обращенным назад
конусом Маха и, следовательно, оrраничены передними кромками и rиперболой.
Итак, интеrpирование проводится по точкам на плоскости крыла, для которых «rи
пер60лическое расстояние» rh от точки (х' , Z') ДО точки ( Я Z) является действи
тельной величиной (рис. 7.1.4):
rh == v (ж ж')2 {32у2 {32(z z')2.
(7 .1.6)
В частном случае крыла с профилем в виде клина имеем
дРа, l 1
,
дж 2 ·
(7 .1. 7)
Интеrрал (7.1.5) принимает вид
1 f!
ф
21С' rип
dx' dz'
v (ж ж')2 {32у2 {32 (z z')2
(7.1.8)
Интеrрирование леrко выполнить с использованием характеристических переменных
r =: ж {3z , s == х + {3z .
(7 .1. 9)
для у > О получаем
1 у {3у
ф == v ж 2 {32 (у2 + z2) + arccos ·
1с' {3 1с' V ж 2 {32 z2
(7 .1.1 О)
Очевидно, что на передней кромке х == {3z, у == О потенциал Ф пропорционален квa
дратному корню из координат; это же справедливо и для Bcero конуса Маха. В част
ноС!и, локальный коэффициент давления С р """ Фх имеет особенность типа
maдpaTHoro корня. Локальная суммарная сила сопротивления на передней кромке
конечна. Вместе с тем нельзя ожидать, что линейная теория даст хорошее прибли
жение в окрестности передней кромки; поправка может привести к заметному изме
нению сопротивления.
В следующем разделе будут получены уравнения, обеспечивающие равномерную
точность.
352
rлава 7
ЛИТЕРАТУРА
[7.1.1] Fraenkel, L. Е. and Watson, R., ТЬе Formulation о! а Uniform Ар-
proximation for Thin Conical Wings with Sonic Leading Edges, Proc.
Symposjum '1raпssonjcum, К. Oswatitsch, ed. Springer Verlag, 1962.
[7.1.2] Love, Eugene 5., Investigations at Supersonic Speeds о! 22 Тriangular
\\Tings Representing Тwo Airfoil Sections for еасЬ of 11 Арех Angles.
NACA Rept. 1238, 1949.
7.2. КВАЗИТРАНСЗВУКОВЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейная теория получается из точноrо уравнения для потенциала в результате npe
дельноrо переход а [)..... о ( я z, Мое фиксированы). Квазитрансзвуковая теория MO
жет быть получена с помощью друrоrо предельноrо перехода [)..... о (Мое
фиксировано), а характерная точка ( Я z) приближается к конусу Маха. OДHOBpe
меняо передняя кромка должна стремиться к конусу Маха.
В данном разделе рассмотрим случай, коrда передняя кромка в точности лежит
на конусе Маха, однако поперечное сечение произвольно. Пусть вблизи передней
кромки справедливо разложение
Fu(x,z) == a(z)(x ,8z)It{1 +...}, z > О, 0< 1\, < 1.
(7.2.1)
Уравнение для полноrо потенциала (разд. 2.4) имеет вид
а 2 {ф жж + Ф,,,, + Ф zz } == Ф Фжж + 2Ф ж Ф"Ф ж " + Ф Ф"" +
+ 2Ф"Ф%Ф,,% + ф ф%% + 2Ф%Ф ж Ф жz ,
(7.2.2)
rде
а 2 I 1 { Ф + Ф: + Ф }
U 2 М2 + 2 1 U2 ·
00
Общая форма разложения вблизи передней кромки выrлядит следующим образом:
ф == и { Х + f( б) ер( €, '1, ) + · · · } ,
(7.2.3)
rде
Х (3z у
€ == /J( Б) , '1 = v( Б) ' т = Z j (, /J, V ---+ О.
Здесь локальная координата, характеризующая расстояние вниз по потоку от
передней кромки; 'У/ локальная координата в вертикальном направлении, т KO
ордината по размаху. Локальные масштабные факторы 8, р" .", следует определить
таким образом, чтобы получить локально невырожденное уравнение, решения KOTO
poro MorYT удовлетворять rраничным условиям на поверхности крыла и сращивать
ся с решениями линейной теории вдали от передней кромки. Для принятой формы
потенциала (7.2.3) имеем
Ф Ж f Ф" { Ф % ,8{
== 1 + cp€., == cp,." == cp + fCPT.
и р. и 11 и р,
Квазumpaнсзвуковое течение
353
rраничное условие на поверхности q · V в == о при В == У оРи(х, z) == о принимает
вид
(1 + ; /РЕ) ( БF...ж) + /р" + f/PT( БF..%) == О при В == О.
ДЛЯ (7.2.1) имеем
F u ж == ка (х (3 z ) 1(, 1 + · · · == ка ( т ) IL It 1 It 1 + . . . ,
F uz == a'(z)(x {3z)1(, к{3а(х {1z)lt l +... == ILl(,a'(z) 1(, K{1a(T)ILI(, l l(, l.
(7.2.4)
rлавным членом в (7.2.4) становится выражение
" ( € , O:I:, т) == ка ( r ) € 1(, 1 ,
(7.2.5)
если положить
1; == б К l 1 .
(7.2.6)
Последняя формула дает одно соотношение для трех масштабов (8, р., ,,). Рассмот..
рим далее уравнения для полноrо потенциала (7.2.2). Имеем
Ф жж ( ФIfIf ( Ф zz ({32 {J
и == 2 /РЕЕ, и == 112 /р"", и == 2 /РЕЕ 2! /РЕТ + f/PTT ,
Ф ЖIf ( ФIfZ ( fJ Ф zж р(
== 'P(", == tp(+... == tp( +...
и ILv и V IL " , и р,2 '
;: == Л: + '; 1 { 1 (1 + 2 ; /РЕ + · · -) } ==
1 (
== М2 (1' 1) tp ( + · .. ,
00 IL
ф2 (
и == 1 + 2 /РЕ + ... ·
(7.2.7)
(7.2.8)
После этоrо уравнение (7.2.2) принимает вид
( (, 1) /РЕ + · .. ) ( /PE + /P + p2 /pH 2f P /P T +.. . ) ==
M J.l IL 2 V 2 "" р, 2 IL
( f ) ( (( (2 2 (
== 1 + 2 tp + ... 'P + 2(1 + .. .) 'P 'P + tp 'P +
, J.l р,2 V "J.lV " v 2 V v 2 ""
+ 2 : /Р" ( P : /РЕ +...) ( /Р"Е) + ( P :2 /P +.:.) ( f: 2 2 /РЕЕ +...) +
+ 2( 1 + · · .) ( Р ; /р Е + · · -) ( :: /р Е Е + · · -), р2 == м;' 1.
rлавные члены порядка О(8/р.2) в этом уравнении уничтожаются. Следующие cтap
шие члены имеют порядок о(в 2 /р.3, в/р., в/,,2). Чтобы получить нетривиальный'пре..
дел, все члены должны быть одноrо порядка; это rарантирует также присутствие
производных по всем переменным ( , 71, Т). Если принять
354
rлава 7
{2
рЗ
l
l
2 '
V
р,
то предыдущее уравнение упрощается и принимает вид
2 1 2(3 2
(I + l)Mooep ep ( + М2 ер"" М2 ep .,. 2ep ep( + 2(3 <p ep( ,
00 00
(7.2.9)
или
1(, + l)M:O ( (( "" + 2{3 (T == О 1 .
(7.2.10)
Уравнение (7.2.1 О) представляет собой основное квазитрансзвуковое уравнение. Со..
отношения (7.2.6), (7.2.9) позволяют определить порядки величин
3
.", == , е == 1L2, IL"Z == OIL" 1 ,
2 1 4
IL == O , .", == O , е == O .
(7.2.11)
Квазитрансзвуковое разложение и координаты можно переписать в следующем виде
(сравни (7.2.3»:
ф == и { х + б 4С1 ер( , '1, т) + · · .} ,
(7.2.12)
rде
х {1z
== б 2С1 '
у
'1 == Б С1 '
T==Z
и
1
(1 == 5 2к ·
rраничные условия на поверхности для потока в окрестности передней кромки име..
ют вид (7.2.5). Возмущения в набеrающем потоке на бесконечности должны обра..
щаться в нуль. Далее решение уравнения (7.2.10) должно сращиваться с решением
по линейной теории вдали от передней кромки при , 11 00 (т фиксировано). Эта
процедура более подробно проиллюстрирована ниже на конкретном примере.
Замечательная аналоrия обнаруживается в уравнении (7.2.10). Это уравнение
формально совпадает с уравнением для двумерноrо нестационарноrо трансзвуково..
ro течения (разд. 3.11). Аналоrия устанавливается, если положить К == О, х ++ ,
j ++ 11, t ++ т и допустить некоторые переобозначени констант. А именно, каждое
поперечное по отношению к размаху сечение соответствует некоторому моменту
времени в процессе движения носовой части тела, внезапно приведенной в движение
со звуковой скоростью из состояния покоя. Ударная волна, образующаяся перед но..
совой частью тела внестационарном потоке, соответствует ударной волне на перед..
ней кромке TpexмepHoro крыла.
Уравнение (7.2.10) имеет диверrентную форму
1+1 4 д 2 д д
2 Мое д и д,., V + 2{3 дт и == О ,
(7.2.13)
rде
и==ер(, v==ep".
Интеrральная форма уравнения (7.2.13) выполняется поперек ударной волны и, ра..
зумеется, справедливо равенство [q;] == о.
Квазитрансзвуковое течение
355
7.3 ПРИМЕНЕНИЕ К ДЕЛЬТАВИДНОМУ КРЫЛУ С ПОПЕРЕЧНЫМ
СЕЧЕНИЕМ В ФОРМЕ КЛИНА
Ниже приводятся некоторые подробности решения для дельтавидноrо крыла с no
перечным сечением в форме клина. Для TaKoro крыла
1
Fu(x, z) == 2(Х ,8lzl),
aFv. 1
дж == 2 == const · (7.3.2)
Чтобы можно было применить квазитрансзвуковую теорию, формула (7.3.1) дол
жна описывать форму крыла вблизи передней кромки; для простоты считается, что
такую форму имеет все крыло.
Тоrда константы в общих формулах (сравни (7.2.12» принимают следующие зна
чения: к · 1, (, == 1/3, а(т) == 1/2, а разложение имеет вид
Ф == и {х + 6i ( , '7, т) + ...} ,
х ,8z у
= б, , ,,= c5t ' т = z.
(7.3.1)
(7.3.3)
rде
Рассматриваемая здесь частная задача имеет коническую симметрию; этот факт
можно использовать для уменьшения числа независимых переменных. Такую задачу
рассматривали Франкль и Уотсон [7.1.1] .
Обсудим кратко проблему сращивания ряда (7.3.3) с линейным решением для
данноrо крыла. Внутренний предел внешнеrо (линейноrо) решения (7.1.1 О) леrко no
пучить путем записи внешнеrо решения во внутренних координатах
2 2 2
Х ,82z2 == (х ,8z)(ж + ,8z) == 03 (2,8z +...) == оз(2,8€т) +... .
Тоrда (7.1.10) принимает вид
1
1 . / 2 2 J '1 ( ,86з '7 )
Ф == v 6 з (2,8 € т) 6 J ,82 7'J 2 + 6 3 arccos .
p7r 7r V 2Рбi т
Асимптотическое сращивание означает, что члены [,ф и tf/3ф должны быть соrласо
ваны в следующей форме ( , 71 00, х (3z, у О):
(7.3.4)
4
Б Ф +---+ Б J . (7.3.5)
Таким образом, порядки величин по [, приrодны для сращивания, а (7.3.4) дает rpa
ничвое условие в дальнем поле для q;:
1 7'J ,8'1
rp ----+ p7r v 2 fЦт Р2,,2 + 7r arccos J2P T . (7.3.6)
Это дальнее поле применяется в области вниз по потоку. Условия на ударной волне
содержатся в (7.2.10); .нужно определить соответствующее положение ударной вол
ны и величину разрывов.
Задача, описываемая уравнением (7.2.10) с rраничным условием (7.3.2) и даль
ним полем (7.3.6), имеет коническую симметрию. Скорость постоянна на лучах,
проходящих через вершину. Эта задача подробно рассмотрена Франклем и YOTCO
ВОМ [7.1.1].
356
rлава 7
Решение для коническоrо течения имеет вид
'р == тФ(Х, У) ·
Здесь ИСПОЛЬЗyJOтся конические координаты
"
X== , Y== .
т т
(7.3.7)
в этом течении
(() := i'x,
1
(() := i' хх ,
т
(()1I := i' у ,
1
(()1I11 := i' уу ,
т
b == Ухх( ;) + УХУ ( ;) .
Tor да уравнение (7.2.1 О) принимает вид
«1' + 1) i'x 2{3X)i'xx 2{3Yi'xy i'yy := О.
(7.3.8)
Условие в дальнем поле запи шется так
1 J 2х 2 У У (3 у 2
i' у + arccos при Х, у 00, Х > 2 . (7.3.9)
(3 2х
Кривая Х == (3(у 2 /2) описывает положение ударной волны (конус Маха) на бесконеч
ности. rраничное условие на поверхности имеет вид
1
i'y(X, О) == 2 ' Х> о. (7.3.10)
Область определения решения по казана на рис. 7.3.1. Решение считается симметрич
ным, так что i'y(X, О) == О, Х < о. Положение ударной волны заранее неизвестно.
Однако условия на ударной волне ставятся вдоль искомой линии. Условия на yдap
ной волне можно получить из соответСТВyJOщей консервативной формы уравнения
(7.3.8). С друrой стороны, выражения для разрывов в нестационарном трансзвук
вом течении, полученные в разд. 7.2, можно преобразовать к коническим координа
там. Этот этап здесь опущен, поскольку удобнее преобразование к координатам,
использованным Франклем и Уотсоном [7.1.1]. Эти координаты получены из КОНИ
ческих КООрДlЩат с центром на оси х. Пусть
[R == : ; у2. t7 == У]
i'(X, У) (З1/;(R, д).
(7 . 3 .11 )
и
Заметим, что i'x := 1/;R, i'y:= (З(1/;" Y1/;R) И т. Д.,
так что основное уравнение для потенциала коническоrо течения (7.3.8) принимает
вид
«1' + 1) 1/;R 2{32R) 1/;RR {321/;88 + (321/;R == о.
(7.3.12)
Запишем это уравнение в консервативной форме
('У + 1) A 2{3 R1/;R + 3{321/;) R (32(1/;"),, == о.
rраничные условия преобразуются соответственно. Они показаны на рис. 7.3.2. Yc
ловия на разрыве, полученные путем интеrрирования уравнения (7.3.13), имеют вид
(7.3.13)
КвозиmpaНСЗ8УКовое течение
357
"
.=0
v2R " "
. + 8I'CCOS
r r(J "'2А + "
у . = о
.,..,..
& fP
.,...,- /
'i ",- ./
./
/
/
/
/
/
/
х = (8/2) у2 I
а
.
!
. Дапttнее попе (7 .3.9)
х
., =1/2
1
.y
2
R
Рис. 7.3.1.
Область определеНШI реmеНШI для ко..
ническоrо течеНШI.
Рис. 7.3.2.
Область определенИJI реmения для коническо"
ro теченИJI впеременных (R, ").
{ ( ' + 1 4 fA 2 ) 2
2 Моо 2 2{3 R.ФR dfJ. + fJ ф" dR. == О
ФR dR. + ф" dfJ. == О
(7.3.14)
при R Rs, {} {}s.
Характеристики уравнения (7.3.1 2) имеют вид
dR J ('У + 1) · А
d{} (Зl. jVl00 фR 2R.
(7.3.15)
Итак, в этом случае отсутствуют действительные характеристики, и уравнение в
дальнем поле является эллиптическим. Исследование условий на ударной волне no
казывает, что уравнение также является эллиптическим за отошедшей ударной вол
ной и В области течения. .
С помощью конечно разностной формы уравнения (7.3.13) (см. [7.3.2]) с прибли
женными условиями на разрыве было найдено решение в rрубом приближении. По
сле нескольких итераций с использованием метода релаксации получается разумное
решение.
С помощью этоrо решения можно найти поправку к сопротивлению, обуслов
ленную квазитрансзвуковыми эффектами. Для верхней поверхности
P:JO u 2 r r о
ЫJ.. == 2 J JПОК (С РКТ cp >idxdz, (7.3.16)
rде С Ркт 202/3q; коэффициент давления в решении для квазитрансзвуковоrо
течения, С Рлин . 20фх коэффициент давления в линейной теории.
J1CD и == ЫJ.. == (,} r dT r"" d [ ! (З Т t q; J .
р"" u 2 (,2 J о J о 1r ...J 2jjf
2
Здесь использована синrулярная часть линеаризованноrо решения. Переходя к кони
358
rлава 7
ческим координатам
LlCD и ==
1
2 Z 1 ( J 2 X + фх(Х, О + »)dX,
или
tJ} С'"' ( 1
!1CD u = 2{3 Jo .,..j 2{32R + ФR(R, О + )dR,
(7 . 3 .17)
и интеrрируя по частям, получим 1
0"'1
LlCD и == 2{3 1/1(0 + ,О + ). (7.3.18)
Численные расчеты дают приближенное значение параметра 1/1 (О + ,О + )
1/1(0 + ,О + ) == 0,14. (7.3.19)
Это значение правильно оценивает порядок величины уменьшения сопротивления
по сравнению с эксперимецтом. Для уточнения необходимы более совершенные
расчеты.
ЛИТЕРАТУРА
[7.3.1] Love, Eugene S., Investigation at Supersonic Speeds о! 22 Тriangular
Wings Representing Тwo Airfoil Sections for еасЬ о! 11 Арех Angles.
NACA Rept. 1238, 1949.
[7.3.2] Rimbey, s. (частное сообшение),
7.4. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рассуждения предыдущих разделов можно обобщить на случаи, коrда уrол наклона передней
кромки достаточно близок к уrлу Маха, а не совпадает с ним в точности. Для клиновидноrо
сечения крыла порядок отличия от уrла Маха, при котором еще справедлива квазитрансзву
ковая теория, составляет 02/3. Хотя детали особенности на передней кромке будут иными,
поведение в области сращивания фактически то же самое.
Заметим, наконец, что квазитрансзвуковую теорию можно применить для крыла в целом,
если оно имеет подходящую форму в плане. Если хорда крыла достаточно мала, размах до--
статочно велик, а уrол стреловидности совпадает с уrлом Маха (или достаточно близок к
нему), квазитрансзвуковая теория применима на всей ero поверхности. Такой случай показан
на рис. 7.3.3.
М.. > 1
1
y ====
Х r
=6
с
о ( 61/3 )
z
I
.1
Рис. 7.4.1.
Квазитрансзвуковое стреловидное
рыло.
ь
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ковечно-разностные схемы 233 звуковой ТОЧICИ 237
Коническая симметрия 356 ударной ВОJПIЫ 238
Консервативная разностная схема 234 ЭJIЛШlтической области 235
Контрольная поверхность 114, 115 Распределение сверхзвуковых источни
КоэффициенТ давления 42 ков 350
Краевая задача синryлярно возмущен- Расчerные шаблоны 235, 236, 237, 277
Horo ТШlа 283 Релахсация 233
Кривизна ударной ВОJПIЫ 232 Ринzлеба решения 85
Крокко теорема о вихрях 29
Kyтmo условие 11, 221
Kyтmo Жуковскоzо условие 33, 40
Автомодельная переменная 143
форма потенциала 180
Автомодельное решение 162
Акустика 10
Вихревая пелена 212
схоДИIIWI с заднсй кромки 303, 308
ВнепОРJIДIовые члены 105
Внешнее разложение 110
Внешний прецел 290, 301
BHemвu область 286
Ввутреивее разложение 106
предел 290, 293, 301, 315
Ввyтpeивu область 285
Возмущения потока массы 45
Волновая зона 193
Волновое сопротивление в трансэвуко-
вом потоке 250
уравнение 12
ВремевИподобное направление 68
Вязкость 11
СДВlП'овая скорость В набеrающем по-
токе 58
Скачок энтропии 27, 39
Сопротивление в результате ВJIИЯНИJI
стенок канала 261
связанное с выталкивающими сила
ми 261
Сращивание 287, 294, 307, 326
Стреловидные крылья 313
Струйные течеНИJI 58
JlшleйRая релаксация 242, 278
теория 14, 34, 349
Лшmи ветвления 85, 91
Лиcrы в плоскocrи rодоrpафа 271
M(J)(Q JIИIIИИ 32
yrол 14
число 7
Мeroд разложения 39, 49, 58, 61
Мшшмальное сечение сопла 85
Течение в сопле 85, 88
от вихря 69
источника 68
НaюIОlПlая вихревая нить 317 Точки rипер60JШЧеской области 233, 235
Неединственность решения 221 звуковые 234, 236
Непрерывное трансэвуковое течение 93 на ударной ВОJПIе 234, 236, 238
Неприrодность JIИlleйRой теории при ЭJШИIIтической облacrи 235
травсэвуковых скоростях 10, 16 Тонхое тело 17, 104
Нестационарное двумерное течение 215 Точные уравнения для ПЛOCICOI'O тeчaвDI 23
трансэвуковое течение 132 1}вкзвуковая 1'eOJDI 'ПIIКOI'O профиля 219
Нестреловидные крыJIьJ 300, 336 Трехмерные крыJIьJ 46, 298
Несущая JIИIIИJI 298, 318 7jJиKOMи уравнение 66
Несущее крьто 300
трехмерное крьто 211
Неявные rипер60лические схемы 236
N ВОJПIа 197
rалилея преобразования 14
lёльмzольЦQ уравнение 216
nШер60лический расчеrный шаблон 236
nШерreoметрическое уравнение 156
rолоВRая ударная волна 193
IPaвичвое условие на ударной поJUJpe 83
rрупповое свойство 145, 148
Дальнее поле 140
IU особая точка 153
осесимметричноrо течеНИJI 180
при Мое < 1 203
Двойные вихри 318
Дельтавидное крьто 355
Диверreнтная форма ДJIJI вычислеНИJI
сопротивления 130
Дпобраз Бузt.МаНQ 84
Д03вуковое обтекание npoфШIJI 220
Еаивственность решений 299
Завихренность 11, 25
Завихренный поток 275
Звон стабилизации 283, 294
Звоны сохранения 24, 114, 168, 294
Запаздывающий потенциал 18
Звуковое обтекание клина 280
Звуковые струи 99
ивдуцировавная вихревая пелена 298, ](ж
Индуцированное сопротивление 132
Ивтеrpaл подъемной силы 11 5, 117, 124
сопротивления 124, 250
Ивтerpaльная теорема ДJIJI сопро-
тивлеиия 126
Интенсивность ДlПIолей 210
ИCТOЧlDlU 13, 120
ИCТOЧВИI 13
и вихрь 71
KapмaНQ /)1дерлея уравнение 43, 48
картина течения в слеце за профилем 266
Квадратичное преобразование 160
Квазитравсэвуковая теория 352
Квазитравсэвуковое течение 349
Кваэитравсэвуковые уравнения 352, 354
клин 81
Конечная вихревая JIИНИЯ 303
Конечное значение относительноrо yд
ливеиия крьта 300
Ударная ВОJПIа на КРИВОJIИllейной по-
верхнocrи 226
поляра 79, 80
B преобразоВЗIПIЫХ переменных 81
Уравнение rипер60лическоrо ТШlа 32
ЭЛJIИПтическоrо ТШlа 32
Уравнения rодоrpaфa 65
ДJIJI первых двух приближений 35
ПОJПIоrо потенциала 39
сохранеllИJl 44
Ускорение до скорости звука 21
Условия на поверхности разрыва 24, 45
Обратный мeroд 269
Обтекание npoфШIJI 32
звуковым потоком 269
Orибающая 77
Однородный звуковой поток 104
Осесимметричное течение 179, 199
при Мое < 1 210
Основные уравнеllИJl 23
Особенность в носке 221
ДJIJI давлеllИJl 225 Фазовая плоскость 181
cooтвercтвующая набеraющему по-
току 271, 276
Отображение обращающее 67
сохраняющее 67
Отошедшие ударные воJпIы 72, 7fJ
Параметр трансэвуковоrо подобия 42 цeнтpaJIыwI разность по х 234
Параметрическое представление 162
Параметры подобия 60, 135 Цевтрироваввая волна 76
Подковообразные вихри 213, 215 ЦиркуJUIПИJI 204
Подобные сечения 311, 333, 341
. Поправа на O'ПIOCIfreЛЬНое удливсниеЗ03 Численные мeroды 233
Правила подобия 60 члены более выжoro порядка 166, 168
Правило площадей 123 описывающие дальнее поле 186
Предельная JIИНИЯ Маха 270
поверхность Маха 298, 337
харахтериcrика 91, 140, 144
Предельные JIИНИИ 85, 95, 96
Промежуточное разложение 105, 108,
110, 112
Промежуточный предел 105
Простые воJпIыI 72
ПРОФШПI невязкоrо следа 264
Разностная схема ДJIJI rипер60лической
области 236 Якобиан 66
ХарактеристИICИ 43, 67
Характеристичеаие поверхности 136
Хвостовая ударная волна 193
Шar сетки 259
Эйри функции 71
Этmптический расчетный шаблон 235
Энталъпия 25
оrЛАВЛЕНИЕ
JJeI]eВ(). .........................5
1.
eIIIIе. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
1.1. ()cнoвIIыIe ПОЛОЖeIIИJI .......................... 8
1.2. М
ettCIIЙ 81П1аpa'I' .... ...... .... ....... 8
1.3. Иcroрическая: CJIpaВa ......................... 9
........................................ ....... 9
2. Нenpиroдность J8ИЙIoA теории в
ЗII
................................ ..... 10
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
УравнeIIИJI акуcrической теории. . . .. ..... 10
ПреобразОВ8JDlе I1шилея .............. ..... 14 5.
Акуcrическая теория тонкоrо тела ..... 17
точиыIe уравнения для IШоскоrо
чения. Ударные ВОJПIЫ и скачок
ЭН'rpOI1IПI ................................... .....23
2.5. JlшlеАная теория тонкоro профиля ..... 34
3. Mero.z-.I
IX paз.IIO'ЖIИA прос-
'IЪJe pewtИtR,
Je COOI1IOWtИIII. ..... 39
3.1. Мeroд Разложения для стационарно--
ro 00reIcaJmя профlfJlЯ. . . . . . . . . . . . . . . .. ..... 39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... 49
3.2.
Пр именение мeroда разложения к
основной сиcreме уравнений. . . . . . . .. ..... 49
Мeroды разложения для струйных
'felleIП{Й ..................................... ..... 58
Правила трансэвуковоrо подобия... . ... 60
3.3.
3.4.
........................................ ..... м
3.5. Уравнения rодоrpaфa для IШоскоrо
'feIIetmЯ ..................................... .....65
........................................ ..... 72
3.6. Простые ВОJПIЫ, ударные ВОJПIЫ,
отошедшие ударные BoJIныI .......... ..... 72
........................................ ..... 84
3.7. Течение в СОIШе, линии вerвления,
lIJ)eцe11ыIьee JППIИИ ....................... ..... 85
........................................ ..... 98
3.8.
3.9.
Дозвуковые и звуковые crpyи.. . ... ..... 99
Тонкие тела в трансэвуковом п
ке. Процедура разложения, правило
IШОIIl3деА: .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .... 1 ()4
............................................ 124
3.10. Интеrралы подъемной силы и
СОlIp011lВJIения ............................ .... 124
3.11. Нестационарное трансэвуковое
'felleIПIе ............................... ,. . . . .. .... 132
Лиrepa'ry'pa ........................................ .... 139
4.
yJ('()В()e,lUlJlllllee ПOJJe.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 «)
4.1. Дальнее поле при мю = 1 (К = О) .... 14)
........................................ .... 191
4.2. Дальнее поле при мю > 1 (К < О) .... 192
4.3. Дальнее поле при МОО < 1 (К > О) .... 2m
Лиrepa'ry'pa ......................................... .... 218
уковая теория 'I'OНICOI"O пpocIнrJи...... 219
5.1. ПостановICa задачи ...................... .... 219
5.2.
ocrь в носке ....................... 221
5.3. Ударная ВОJПIа на кривоmmeйRой
ПОвepxllОС1'И ............................... .... 226
ЛIrrepa'rypa ........................................ .... 233
5.4. численныIe мeroды, физическая
IШОСКOCI'Ъ, стационарное 'feIIение. . . .. .. 233
........................................ ....
5.5. OбreкaIше профилеА: звуковым
потоком ........................ . . . . . . . . . . . .. .... '1НJ
........................................ .... 282
5.6. Закон cra.БИJIIIЗ8I..I;IШ ......................... 283
ЛIrrepa'rypa ........................................ .... 2%
6.
Je ICJ)bUlЬR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., .
ЛIrrepa'rypa ........................................ .... 29'J
6.1. Нестреловидные крылья, Моо < 1 ...... 300
........................................ .... 313
6.2. стреловидныIe крылья, МОО < 1 .... .... 313
........................................ .... 336
6.3. Нестреловидные крылья, МОО = 1 ...... 336
Лиrepa'ry'pa ........................................ .... 348
7.
W1e18te ...................... 349
7.1. JIшIdtl:lая 1'е()рия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 349
Лиrepa'ry'pa ............................................ 352
7.2. Квазитрансэвуковые уравнeIIИJI. . . . . . . . .. 352
7.3. Применение к дельтавидному крьту
с попepeqныIM сечением в форме
lCJ'IIIIIa ............................................ 355
ЛIrrepa'rypa ........................................ .... 358
7.4. заюпочительныIe замечания............... 358
fIJJe
1Й
......... ............. ..... .......: 359