/
Author: Петкевич В.В.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел теоретическая механика
Year: 1981
Text
В. В. ПЕТКЕВИЧ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов университетов
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1981
22.21
П 29
УДК 531
ПЕТКЕВИЧ В. В. Теоретическая механика: Учебное пособие. — М.* Наука«
Главная редакция физико-математической литературы, 1981. —496 с.
В книге изложены кинематика, динамика материальной точки и матери-
материальных систем. Дается подробное изложение аналитической механики, механи-
механики абсолютно твердого тела, теории устойчивости движения и малых колебаний.
При изложении обращается внимание на основные понятия механики, на
модели реальных тел и реального физического пространства. Подробно осве-
освещается качественное исследование движения. Приводится много примеров и
дается решение ряда задач. Изложение некоторых разделов отличается от
обычного: кинематика абсолютного твердого тела строится на основе кинема-
кинематики сплошной среды, формулы канонического преобразования выводятся из
второй формы принципа Гамильтона с измененными краевыми условиями и
т. п. Впервые указана магнитно-кинематическая аналогия.
Книга предназначена для студентов и аспирантов физических и механико-
математических факультетов университетов, а также для преподавателей тео«
ретической механики.
Илл. 112, библ. 39 назв.
Вячеслав Витольдович Петкевич
Теоретическая механика
Редактор Н. Н. Тимофеев
Техн. редактор И, Ш. Аксельрод Корректор Е. А. Велицкая
ИБ № 11806
Сдано в набор 22.09.80. Подписано к печати 12.06.81. Формат 60Х901Дв. Бумага тип. № 2.
Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 30,83.
Тираж 20 000 экз. Заказ № 1244. Цена 1 р. 20 к.
Издательство «Наука>
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 головном предприятии ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга> им. Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский
проспект, 29 с матриц ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского производственно-технического объединения «Печатный Двор>
имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136,
Чкаловский пр., 15,
^20302—079 17папоплпл ® Издательство «Наука»
** лкотоГяГ ^ *# 1703020000 Главная редакция
uoo\uz/*01 физико-математической
литературы, 1981
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 6
Введение , 9
Глава I. Кинематика 13
§ 1. Кинематика точки. Декартовы и полярные координаты 13
§ 2. Кинематика точки. Естественные координаты 18
§ 3. Основы кинематики сплошной деформируемой среды. Перемен-
Переменные Эйлера и переменные Лагранжа 22
§ 4. Вывод формулы Коши-—Гельмгольца 28
§ 5. Неизменяемая среда. Вывод формулы Эйлера из формулы
Коши — Гельмгольца 33
§ 6. Мгновенная угловая скорость. Переход к сопутствующим
(«собственным») координатам 35
§ 7. Число координат, определяющих положение абсолютно твердого
тела 38
§ 8. Прямой вывод формулы Эйлера для распределения скоростей
точек абсолютно твердого тела 40
§ 9. Распределение ускорений точек абсолютно твердого тела , . . , 45
§ 10. Частные виды движения абсолютно твердого тела 46
§ 11. Подвижные системы отсчета в кинематике точки , 52
§ 12. Сложение движений абсолютно твердого тела , 56
§ 13. Векторы 59
§ 14. Момент вектора относительно точки и относительно оси 65
Глава II. Динамика материальной точки 69
§ 1. Законы Ньютона. Правило сложения сил 69
§ 2. Дифференциальные уравнения ?. ижения свободной материальной
точки 75
§ 3. Качественное исследование движения 80
§ 4. Центральные силы 86
§ 5. Динамика несвободной материальной точки 90
§ 6. Сферический маятник. Качественное исследование движения ... 93
§ 7. О преобразовании Галилея. Неинерциальные системы отсчета . , 100
§ 8. Относительное равновесие. Зависимость веса тела от широты
места ....•• 104
§ 9. Задачи ...,.••.,. 107
Глава III. Системы свободных материальных точек «¦•••*.*••*, 115
§ 1. Основные меры движения 115
§ 2. Уравнения движения системы свободных материальных точек.
Интегралы .,¦¦••. , , 1}6
§ 3. Системы отсчета с началом в центре масс. Формулы Кёнига 120
§ 4. Замкнутые (изолированные) системы материальных точек.
Законы сохранения 122
§ 5. Задача двух тел 127
§ 6. Вывод формулы для силы тяготения из законов Кеплера « . , ЬЗО
1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Пространственная задача Кеплера. Интеграл Лапласа ,,..., 133
§ 8. Задача Кеплера. Качественное исследование плоского движения 140
§ 9. Задача Кеплера. Интегрирование уравнений плоского движения 143
§ 10. Смещение перигелия планеты (качественное исследование) . , . 148
§ 11. Основы теории рассеяния частиц 152
§ 12. О задаче трех тел 160
Глава IV. Механика Лагранжа. Система со связями. Вариационные
принципы механики 171
§ 1. Виды связей 171
§ 2. Виртуальные (возможные) перемещения. Число степеней сво-
свободы системы 175
§ 3. Независимые и зависимые координаты. Обобщенные координаты- 179
§ 4. Статический принцип виртуальных перемещений. Применение
обобщенных координат 184
§ 5. Динамический принцип виртуальных перемещений —принцип
Даламбера—Лагранжа 194
§ 6. Основные теоремы динамики систем со связями , 196
§ 7. Уравнения Лагранжа 1-го рода. Множители Лагранжа 206
§ 8. Уравнения Лагранжа 2-го рода (вывод из динамического прин-
принципа виртуальных перемещений) 209
§ 9. Зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей.
Теорема Эйлера об однородных функциях 215
§ 10. Функция Лагранжа. Функция Лагранжа для релятивистской
частицы , 220
§ 11. Явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода и их ковариантность 224
§ 12. Интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Э. Нётер 227
§ 13. Обобщенный потенциал. Гироскопические силы 239
§ 14. Функция Лагранжа для заряженной частицы в электромагнит-
электромагнитном поле 241
§ 15. Диссипативные силы. Функция Рэлея , 242
§ 16. Интегральный вариационный принцип Гамильтона (первая
форма) 246
§ 17. Принцип наименьшего действия Мопертюи—Эйлера — Лагранжа 251
§ 18. Принцип Якоби 257
§ 19. Принцип Гаусса 264
Глава V. Механика Гамильтона , 278
§ 1. Оптико-механическая аналогия Гамильтона , 278
§ 2. Теорема Донкина. Уравнения Гамильтона , , . , 282
§ 3. Скобки Пуассона. Коммутатор 287
§ 4. Интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Пуассона 290
§ 5. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве (вторая форма) 297
§ 6. Вывод канонических уравнений из принципа Гамильтона . . , 303
§ 7. Канонические преобразования. Необходимое и достаточное усло-
условие каноничности преобразования , 304
§ 8. Условие каноничности преобразования, выраженное через скобки
Лагранжа и скобки Пуассона , # , . . . 312
§ 9. Производящая функция для заданного вида уравнений в новых
переменных , 319
§ 10. Теорема Гамильтона — Якоби 323
§11. Действие с переменным пределом. Теорема Лиувилля 327
§ 12. Задачи на применение метода Гамильтона — Якоби 330
§ 13. Переменные действие —угол 348
§ 14. Вариация канонических постоянных 356
§ 15. Уравнения Рауса ,.,,,, 358
ОГЛАВЛЕНИЕ б
Глава VI. Механика абсолютно твердого тела # , 362
§ 1. Тензор инерции •...,,,.»,.• 362
§ 2. Внешние силы (массовые и поверхностные). Уравнения движе-
движения свободного тела ,..,... 369
§ 3, Кинематические и динамические уравнения Эйлера для тела
с одной неподвижной точкой. Кинематические уравнения Пуас-
Пуассона. Уравнения Лагранжа 2-го рода • . . . 377
§ 4. Случай Эйлера. Регулярная прецессия (применение метода
Гамильтона —Я коби) ,..,,... 388
§ 5. Постановка задачи о движении абсолютно твердого тела с одной
неподвижной точкой в однородном поле тяжести • . . » 402
§ 6. Случай Лагранжа (качественное исследование движения). Быст-
Быстрый волчок 404
§ 7. Некоторые сведения о гироскопах ,,...,,,,,,,,,,.• 415
§ 8. Магнито-кинематическая аналогия •,.#.•• 425
Глава VII. Устойчивость движения. Малые колебания , . 427
§ 1. Предварительные сведения ..,...,, 427
§ 2. Основы второго метода Ляпунова .,...,..., , 429
§ 3. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия . . . 437
§ 4. Теорема Четаева о неустойчивости. Обращение теоремы
Лагранжа •...,.....•,••• 439
§ 5. О первом приближении • # 442
§ 6. Уравнения малых колебаний консервативной системы 446
§ 7. Интегрирование уравнений малых колебаний ,...,,.,,,¦ 451
§ 8, Влияние диссипативных, гироскопических и вынуждающих сил 467
§ 9. Равновесие системы свободных материальных точек относительно
вращающейся системы отсчета ..,.,,,,,,,.,,,,.,. 477
§ 10. Малые колебания системы материальных точек около положе-
положения относительного равновесия , . 482
Литература ...••... • 485
Именной указатель » # 487
Предметный указатель .•.•••...•....,,..,.,,...,,. 489
ОТ АВТОРА
Книга написана на основе курса лекций, который читается
мною с 1953 года по настоящее время на физическом факуль-
факультете Московского государственного университета для физиков и
астрономов. Кроме лекционного материала, в книгу включено
изложение ряда дополнительных разделов механики.
Введение содержит общую характеристику механики, описа*
ние моделей реальных тел и реального физического пространст-
пространства и, кроме того, определение инерциальных систем отсчета.
В главе I дается краткое изложение кинематики точки, основ
кинематики сплошной деформируемой среды и абсолютно твер-
твердого тела. Абсолютно твердое тело рассматривается как сплош*
ная недеформируемая среда. Выводится формула Коши —
Гельмгольца, выражающая закон распределения скоростей то*
чек элемента объема сплошной среды. Показывается, что при
отсутствии деформаций можно совершить переход от элемента
объема к конечному объему и, соответственно, от формулы
Коши — Гельмгольца к основной формуле кинематики абсо-
абсолютно твердого тела — формуле Эйлера. В § 8 главы I дается,
кроме того, прямой вывод формулы Эйлера *).
В главе II кратко изложена механика материальной точки
(свободной и несвободной). Дается один из методов качествен-
качественного исследования движения.
Механика систем свободных точек изложена в главе III. До-
Довольно подробно рассматривается «задача двух тел». Кроме
того, даются основные сведения о «задаче трех тел».
Глава IV содержит изложение механики систем со связями
и основ так называемой аналитической механики. Под аналити-
аналитической механикой понимается часть механики, в которой изуча-
изучаются общие принципы механики — вариационные, дифференци-
дифференциальные и интегральные принципы, обобщаются основные поня-
понятия механики, а движение различных систем описывается
с помощью уравнений, сохраняющих свой вид при переходе от
одних переменных к другим. Основное содержание главы IV —
это механика Лагранжа.
*) Читатели, которые по какой-либо причине не захотят знакомиться с
основами кинематика .сплошной деформируемой среды, могут пропустить
§§ 3-6 гл. U '
ОТ АВТОРА 7
В главе V продолжается изложение аналитической меха-
механики— рассматривается механика Гамильтона. Глава содержит
оптико-механическую аналогию, канонические уравнения, вто-
вторую форму принципа Гамильтона, канонические преобразова-
преобразования, метод интегрирования канонических уравнений, известный
под названием метода Гамильтона — Якоби, и ряд других во-
вопросов.
Глава VI содержит главные вопросы механики абсолютно
твердого тела. Излагается наиболее трудная часть механики
абсолютно твердого тела — пространственное вращательное дви-
движение тела, одна из точек которого неподвижна в некоторой
системе отсчета. Выводятся кинематические и динамические
уравнения Эйлера и кинематические уравнения Пуассона. Рас-
Рассматриваются случаи Эйлера и Лагранжа. Кроме того, кратко
изложена магнито-кинематическая аналогия, позволяющая кине-
кинематические уравнения представить в виде уравнений Гамиль-
Гамильтона.
Глава VII содержит изложение основ теории устойчивости
движения и малых колебаний систем с конечным числом степе-
степеней свободы.
В книге нет так называемой геометрической статики*) и,
кроме того, весьма сжато изложена теория уравнений Лагранжа
1-го рода.
В списке литературы указаны лишь те источники, которые
в той или иной мере были использованы при написании книги —
я не ставил своей целью дать критический обзор существующих
учебников и пособий.
До 1953 года лекции по теоретической механике для студен-
студентов-физиков читал профессор Алексей Лаврентьевич Лавренть-
Лаврентьев. С чувством признательности я вспоминаю совместную работу
с А. Л. Лаврентьевым, который был одним из моих учителей
(я вел упражнения в студенческих группах).
В 1953 году Алексей Лаврентьевич не мог продолжать чте-
чтение лекций из-за болезни и по его просьбе академик Александр
Иванович Некрасов, который в те годы возглавлял кафедру
теоретической механики на механико-математическом факуль-
факультете Московского университета, поручил чтение курса лекций
мне. Мудрые советы А. И. Некрасова очень помогли мне на этом
трудном пути.
С благодарностью я вспоминаю многих талантливых и пыт-
пытливых студентов, вопросы и суждения которых были подчас
настолько глубокими и неожиданными, что ответы на них тре-
требовали серьезного размышления. К сожалению, фамилии всех
*) Основы аналитической статики входят в раздел аналитической ме-
механики,
8 ОТ АВТОРА
выдающихся студентов я не помню, а называть только некото-
некоторых несправедливо.
Многим я обязан моим товарищам Ю. С. Владимирову,
В. Ч. Жуковскому, О. С. Павловой, Д. А. Славнову и Г. А. Чи-
жову, которые в разное время вели упражнения в студенческих
группах. Общение с ними в течение многих лет было очень
полезным. Ю. С. Владимирову и В. Ч. Жуковскому я выражаю
благодарность, кроме того, за полезные советы, которые они мне
дали, прочитав рукопись книги.
Я очень признателен В. Д. Кривченкову за внимание к моей
работе. Плодотворные беседы с Владимиром Дмитриевичем ча-
часто наталкивали на размышления и способствовали пониманию
многих вопросов.
Считаю своим долгом выразить благодарность профессору
Ю. А. Архангельскому, профессору Н. В. Бутенину и профессору
Е. А. Гребеникову за весьма ценные замечания и пожелания, ко*
торые они мне сообщили, внимательно ознакомившись с ру-
рукописью книги.
Большой труд в подготовку и оформление рукописи вложила
Н, В, Луцкая.
ВВЕДЕНИЕ
В теоретической механике изучается движение тел (так на-
называемых макроскопических объектов) относительно других
тел, представляющих собою физические системы отсчета.
Механика позволяет не только описывать, но и предсказы-
предсказывать поведение тел, устанавливая причинные связи в опреде-
определенном, весьма широком, круге явлений.
За долгие годы развития в механике были созданы собст-
собственные мощные и гибкие методы исследования и выработаны
абстрактные модели реальных тел.
Основные модели — это:
1) материальная точка — модель, имеющая массу, но не
имеющая размеров;
2) абсолютно твердое тело — объем конечных размеров,
сплошь заполненный веществом, причем расстояния между лю-
любыми двумя точками среды, заполняющей объем, не изменяются
во время движения;
3) сплошная деформируемая среда, заполняющая конечный
объем или неограниченное пространство; расстояния между точ-
точками такой среды могут меняться.
Основные модели часто соединяются в системы: системы сво-
свободных точек, системы со связями, абсолютно твердое тело с по-
полостью, заполненной жидкостью и т. п. Кроме того, часто рас-
рассматриваются некоторые «вырожденные» модели: бесконечно
тонкие стержни, бесконечно тонкие пластины, невесомые стерж-
стержни и нити, связывающие между собой материальные точки, и т. д.
Громадный опыт, многочисленные наблюдения за движе-
движениями различных тел привели к выяснению границ области, в
которой справедливы законы механики, и к построению модели
реального физического пространства.
Опыт показывает, что различным физическим системам от-
отсчета присуще одно общее свойство: механические явления про-
протекают неодинаково в разных местах физической системы от-
отсчета. Это свойство можно охарактеризовать как своего рода
неоднородность пространства, определяемого физической систе-
системой отсчета. Разумеется, мера такой неоднородности в различ-
различных системах отсчета будет разной. Под неоднородностью здесь
понимается зависимость характера протекания явления от ме«
ста, в котором мы наблюдаем это явление,
10 ВВЕДЕНИЕ
Кроме того, пространству, определяемому физической систе-
системой отсчета, свойственна, вообще говоря, и неизотропность: дви-
движение тела (относительно физической системы отсчета) может
быть различным в зависимости от направления.
Если иметь в виду системы отсчета, жестко связанные с Зем-
Землей, то неоднородность и неизотропность обнаруживаются, на-
например, в опытах с маятником Фуко, при измерении отклонения
к востоку камня, падающего в глубокой шахте, в движении сна-
снаряда дальнобойного орудия и т. п.
В системах отсчета, движущихся ускоренно и вращающихся
относительно Земли, подобная неоднородность и неизотропность
проявляются еще сильнее. Например, если систему отсчета свя-
связать с вращающейся каруселью или поместить на корабле во
время качки.
Указанные свойства физических систем отсчета — их неодно-
неоднородность и неизотропность — затрудняют наблюдения над дви-
движениями тел и с этой точки зрения их можно рассматривать
как своего рода недостаток. Практически свободна от этого
недостатка система отсчета, движущаяся вместе с центром Зем-
Земли и не вращающаяся относительно «неподвижных» звезд,— гео-
геоцентрическая система.
Для небесной механики — механики тел, образующих Сол-
Солнечную систему,— наиболее удобна так называемая гелиоцент*
рическая система отсчета. Гелиоцентрическая система отсчета
движется вместе с центром масс Солнечной системы и не вра-
вращается относительно «неподвижных» звезд. Неоднородность
пространства, определяемого гелиоцентрической системой, по
отношению к явлениям механики пока не обнаружена. Прост-
Пространство, определяемое гелиоцентрической системой отсчета,
изотропно относительно механических движений — все направле-
направления равноправны.
Таким образом, на основе опыта постепенно пришли к идеа-
идеализированной абстрактной системе отсчета, которая была наз-
названа инерциальной. Пространство, определяемое такой системой,
однородно и изотропно по отношению к явлениям механики —
протекание их не зависит ни от места в системе, ни от направ-
направления. Кроме того, одно и то же явление в одном и том же
месте, но в разные моменты времени протекает одинаково.
Следовательно, инерциальной системой отсчета можно на-
назвать такую систему, собственное движение которой не может
быть обнаружено никаким механическим опытом. В частности,
мысленный эксперимент—наблюдение за движением изолиро-
изолированной материальной точки (точки, «одинокой во всем мире»),—
покажет, что такая точка будет либо покоиться относительно
инерциальной системы, либо двигаться прямолинейно и равно*
мерно,
ВВЕДЕНИЕ 11
Законы механики таковы, что если мы допустим существо-
существование одной инерциальной системы отсчета, то тем самым до-
допустим существование бесконечного множества таких систем.
Все системы отсчета, движущиеся относительно исходной пря-
прямолинейно, равномерно и без вращения, будут инерциальными.
Однородность и изотропность пространства, определяемого инер-
инерциальной системой отсчета*), позволяет ввести единую декар-
тову систему координат.
В нашем курсе мы будем пользоваться только правой систе-
системой декартовых координат — это условное соглашение, однако,
важно о нем не забывать, так как с ним связано определение
положительного направления вращения, направление вектор-
векторного произведения двух векторов и т. п.
В классической (нерелятивистской) механике время счита-
считается абсолютным, единым для всех систем отсчета. Поэтому
выбор начала отсчета времени («начального момента» времени)
может быть произвольным. С этим связано и то, что события мо-
могут считаться одновременными, независимо от систем отсчета,
в которых происходят эти события.
Будем понимать под совокупностью переменных, определяю-
определяющих состояние движения некоторой системы в момент времени tt
совокупность координат и скоростей точек в этот момент вре-
времени. Состояние движения систем реальных тел меняется с те-
течением времени благодаря их взаимодействию между собой.
В результате такого взаимодействия возникают силы. Мы будем
говорить, что силы меняют состояние движения системы.
Опыт преподавания показывает, что удобно и полезно пред-
предварительно рассмотреть движение систем не вводя силы, т. е.
не устанавливая причинные связи. Часть механики, в которой
изучаются зависимости между переменными, характеризующими
состояние движения систем, законы распределения скоростей и
ускорений точек сплошных тел и т. д., но не рассматриваются
причины, вызывающие изменение состояния движения, назы-
называется кинематикой. Кинематика выделена в самостоятельную
часть механики по предложению Ампера. В силу того, что в ки-
кинематике не рассматриваются причины, изменяющие состояние
движения механических объектов, мы можем любую систему
отсчета полагать неподвижной. В кинематике можно исследо-
исследовать движение не только моделей реальных тел, но и нематери-
нематериальных объектов: движение светового «зайчика» по стене, дви-
движение тени и т. п. В кинематике важны лишь геометрические
свойства объекта, его форма и положение относительно избран-
избранной системы отсчета.
¦} Такое пространство называется евклидовым.
12 ВВЕДЕНИЕ
Часть механики, в которой рассматривается влияние сил на
состояние движения систем материальных объектов, включает
учение о равновесии совокупности тел относительно некоторой
системы отсчета, так называемую статику, и учение о движении
систем тел под действием сил — динамику *).
В основе этой части механики лежит система аксиом — поло-
положений, принимаемых без доказательств (без выводов). Аксиомы
механики (и любой другой точной науки) —это выраженные в
сжатой форме основные законы, устанавливающие причинные
связи. Система аксиом добыта на основе опыта; здесь «опыт»
понимается не как отдельный эксперимент, а как результат
многочисленных наблюдений над явлениями природы и над чело-
человеческой практикой. Аксиомы механики мы рассмотрим в главе,
посвященной динамике материальной точки.
После установления основных моделей и системы аксиом
вступает в силу закон внутренней логики — проявляется так на-
называемая «относительная независимость» теории. Теория начи-
начинает развиваться по законам собственной внутренней логики.
Разумеется, делается это под безжалостным контролем прак-
практики. Результаты, полученные теоретическим путем, проверя-
проверяются и прямыми экспериментами, и при помощи наблюдений
над различными явлениями природы, наблюдениями над движе-
движениями небесных тел, спутников, управляемых станций и т. п.
Всякий курс, в котором излагаются основы точной науки,
должен отражать эту внутреннюю логику развития науки, в
противном случае он превратится в сборник рецептов, не связан-
связанных между собой общей идеей. Насколько это было в наших си-
силах, мы старались, соблюдая разумную меру, следовать этому
принципу и строить курс, советуясь в первую очередь с самой
механикой.
*) Иногда эти разделы объединяют под общим названием «кинетика»*
ГЛАВА I
КИНЕМАТИКА
§ 1. Кинематика точки. Декартовы и полярные координаты
С неподвижной системой отсчета свяжем декартову ортогональ-
ортогональную систему координат (выбираем правую систему). Положение
точки М определяем тремя координатами х, yt z. Если точка
движется относительно системы отсчета, то ее координаты будут
функциями времени:
х=Ш, y=h(t), *=/,(<). (l.i)
Введем радиус-вектор точки М:
(Ш = г = ix+jy + kz,
где /, / к —единичные векторы (орты), направленные вдоль осей
координат (рис. 1.1). Функции ft(t) непрерывны и дважды диф-
дифференцируемы по времени. Будем
предполагать, что вторые произ-
производные функции ft (t) по времени
тоже непрерывны.
Точка М движется относитель-
относительно системы х, у, z. Это значит,
что она по очереди совпадает с
различными точками «среды» или
пространства, определяемого си-
стемой отсчета. Непрерывная по-
последовательность таких точек сре-
среды называется траекторией точки М. Формулы A.1) можно
рассматривать как параметрические уравнения траектории. Ис-
Исключая параметр время, мы можем записать уравнения траекто-
траектории в виде
y = Fx(x)9 z=Ft(x). A.2)
Уравнения A.2) определяют траекторию как линию пересечения
двух цилиндрических поверхностей. Если уравнения траектории
в виде A.2) записать нельзя (нельзя записать уравнения, раз-
разрешенные относительно у и г), то представляют траекторию
в виде линии пересечения двух поверхностей более общего вида:
Фх (*,*/, г) = О, Ф2(*, у9 г) = 0. A.3)
14 ГЛ. 1. КИНЕМАТИКА
Рассматривая радиус-вектор точки М как векторную функцию
времени, введем понятия скорости и ускорения точки в некото-
некоторый момент времени (рис- 1.2).
Пусть М и М' — положения точки в моменты времени / и
* + Д/, где At есть приращение времени (конечное). В момент
времени / положение точки М определяется радиусом-вектором
г, в момент f + Af — радиусом-вектором г+кг. Очевидно, что
Дг = ЛШ'. Средняя за время Д< скорость точки М равна г>ср =
= ~. Направлена эта средняя скорость по секущей ММ'. Ско-
Скорость точки в момент времени t най-
найдем, переходя к пределу при Д?, стре-
стремящемся к нулю:
Af dr
Вектор v направлен по касательной к
траектории точки *). Очевидно, что
Рис. 1.2. ^ = tf==/^4-/^ + ?~ A4)
OX OX CLt OX
Следовательно, проекции v на оси координат будут равны
dx _ . dy . dz . (\ к\
Кроме того,
1*М = ]Лх2 + 1/2 + 22. A.6)
Итак, скорость точки М в момент времени t равна производной
по времени от радиуса-вектора точки и направлена по касатель-
касательной к траектории.
Подобным же образом найдем ускорение точки М в момент
времени t (рис. 1.3). Рассмотрим скорости точки М в моменты
времени t и t + At. Совмещая начало векторов v(f) и v(t + At)
в точке Му найдем приращение скорости за время Д*. Разделив
это приращение на Д/, получим среднее ускорение за время Д?
направленное в сторону вогнутости траектории.
Переходя к пределу при Д/, стремящемся к нулю, найдем
ускорение точки в момент времени t:
*) В курсе, после того как будет накоплен некоторый багаж, мы выясним
условия, при которых направленный отрезок может называться вектором и,
кроме того, рассмотрим главные типы векторов (см. гл. I* § 13).
§ 1. ДЕКАРТОВЫ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ 15
Очевидно, что
la I
Следовательно, ускорение точки в некоторый момент времени
равно производной по времени от вектора скорости, или второй
производной по времени от радиуса-вектора точки в этот момент
времени. Ускорение точки можно представить вектором, направ-
направленным в сторону вогнутости траектории.
В некоторых задачах представляют интерес производные более
высоких порядков, но здесь мы не будем вычислять эти произ-
производные.
В механике применяются не только декартовы координаты —
часто применяют так называемые обобщенные (криволинейные)
координаты. Обобщенные ко-
координаты представляют со- u(t).
бой однозначные (иногда при
некоторых условиях) функ-
функции декартовых координат,
позволяющие определить кон-
конфигурацию рассматриваемой
системы. Такие координаты Рис> 1#3*
часто называют позиционны-
позиционными. Криволинейными они называются потому, что линии, вдоль
которых меняется только одна координата, обычно бывают кри-
кривыми. Криволинейные позиционные координаты и декартовы коор-
координаты в основной («неподвижной») системе отсчета связаны между
собой формулами точечного преобразования, т. е. формулы преоб-
преобразования содержат лишь сами координаты («старые» и «новые»).
Если в формулы преобразования, кроме того, явно входит время
(например, в коэффициенты линейного преобразования), то это
означает, что мы переходим к подвижной системе отсчета (подви-
(подвижному базису).
Применение криволинейных координат общего вида мы рас-
рассмотрим в части курса, посвященной аналитической механике:
в аналитической статике и в главах, содержащих уравнения
Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. В этой главе
рассмотрим лишь полярные координаты точки на плоскости,
координаты весьма удобные для решения многих задач динамики
точки, например, задач о движении точки в центральных силовых
полях.
Будем определять положение точки на плоскости (х, у) по-
полярными координатами г% фэ отсчитывая полярный угол q> от
16 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
оси Ох*) (рис. 1.4). Формулы преобразования имеют вид
x~rcosq>> y~rsin<p.
Здесь
A.9)
Возможны, конечно, случаи, когда полярный угол неограни-
неограниченно возрастает. В этих случаях последнее ограничение надо
снять, при этом, если |r| = const, точка М будет многократно
проходить через одно и то же положение на плоскости. Коорди-
Координатными линиями г = const здесь будут концентрические окруж-
окружности с центром в точке О, а линиями ф = const — прямолинейные
лучи, выходящие из начала координат. Эта система координат,
очевидно, ортогональна.
У
Рис. 1.4.
Рис. 1.5.
Введем два орта: ?г —радиального направления и ?ф — транс-
версального направления,
er _L ?Ф.
Найдем производные орта ег по углу ф (рис. 1.5). Очевидно, что
ег = / cos ф +у sin ф.
de / я \
Таким образом, ^-г = — ^81Пф+Усо8ф = ^г(ф + -^-), т. е.
A.10)
Далее,
d4r
Следовательно,
A.11)
*) Напомним, что положительное направление вращения в правой системе
координат —против движения часовой стрелки,
§ 1. ДЕКАРТОВЫ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ
17
Перейдем к выводу формул для проекций скорости и уско-
ускорения точки М на направления касательных к координатным
линиям в полярных координатах. Положим r = e,r. Отсюда
^ = Ш == **г Ш ' ~df г*
но
Следовательно,
dt
dt
dtm
dr
(Ы2)
Проекции скорости на радиальное и трансверсальное направ-
направления будут равны
dr d(p /i i ov
dt ™ dt
Далее,
dv
d2r der dr
dr
dq>
Поэтому
- гф2) + ^ф (гф + 2Лр).
(Ы4)
Проекции ускорения на радиальное и трансверсальное направ-
направления будут иметь вид
аг =» Г — гф2, аф = гф + 2/ф.
Трансверсальное ускорение можно пред- *
ставить в ином виде:
В формуле A.15) под знаком производной
находится удвоенная секторная скорость—
производная по времени от удвоенной сек-
секторной площади (рис. 1.6). Секторной пло-
площадью называется площадь криволинейного рис. 1.6.
треугольника ОМ0М\ обозначим ее через а.
Найдем связь между дифференциалом секторной площади и
дифференциалами координат точки М. С этой целью рассмотрим
положение точки в момент t + dt. Дифференциал секторной пло-
площади будет равен главной линейной части приращения площади
криволинейного треугольника Вычислим da по формуле ана-
аналитической геометрии как площадь треугольника, используя
18 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
ортогональность координат:
* у
x+dx y+dy
11 х
11
2\dx dy
где x+dx, y + dy —координаты точки М в момент t-\-dt. В поляр-
полярных координатах найдем
л 1 г О
Следовательно,
do = -2-(xdy-ydx), do~±r*dq>. A.16)
Мы видим, что правые части полученных формул не являются
полными дифференциалами. Поэтому мы не можем получить для
любого движения формулы, связывающие саму секторную пло-
площадь с координатами точки М. Это связано с тем, что величина
секторной площади зависит от вида кривой, по которой точка М
пришла в данное положение.
Очень важны случаи, в которых секторная скорость постоянна.
В этих случаях, полагая и=\/г и рассматривая и как функцию
полярного угла ср, можно вывести формулы Бинё (Binet):
первую формулу для квадрата скорости
и вторую —для радиального ускорения
Здесь время исключено с помощью соотношения
+ ll-o. A.19)
где с есть удвоенная секторная скорость. Трансверсальное уско-
ускорение, очевидно, равно нулю.
Формулы Бинё, как мы увидим дальше, очень полезны при
исслеловании различных случаев движения материальной точки
в центральном силовом поле.
§ 2. Кинематика точки. Естественные координаты
Кратко рассмотрим систему координатных осей, определяемую
траекторией точки (рис. 1.7).
Обозначим, как обычно, радиус-вектор точки М через п
ОМ = r—ix
§ 2. ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ
19
Как известно, единичный вектор касательной к траектории —
вектор т —равен производной от г по дуге:
т==аг
A.20)
где
Через s обозначена длина дуги ^М0М, отсчитываемая вдоль
траектории в определенном направлении, не связанном с направ-
направлением движения точки.
В механике свободной точки, когда траектория заранее не-
неизвестна, мы можем связать между собой лишь дифференциалы
s и декартовых координат:
\М0
Причина кроется в том, что ве-
величина дуги зависит от траекто-
траектории, по которой точка пришла в
данное положение.
Дифференцируя вектор т по s,
запишем
?-к A.2D
к,
ГТ
Рис. 1.7.
-у
где единичный вектор главной
нормали v ортогонален к т и на-
направлен в сторону вогнутости траектории, а множитель &, назы-
называемый кривизной, неотрицателен. Множитель k равен нулю, если
траектория есть прямая. Плоскость, определяемая векторами т
и v, называется соприкасающейся плоскостью. Если рассмотреть
смещение первого порядка малости вдоль траектории, то укло-
уклонение пространственной траектории от соприкасающейся плоскости
будет не ниже третьего порядка малости.
Единичный вектор бинормали р определяем с помощью век-
векторного умножения т и v:
P«[tv].
A.22)
Векторы т, v, р, образующие правую тройку ортогональных
единичных векторов, определяют направления естественных (на-
(натуральных) осей в том месте траектории, где находится движу-
движущаяся точка. Плоскости: соприкасающаяся (т, v), нормальная
(v, Р) и спрямляющая (Р, т) образуют трехгранник Френё [25].
Рассмотрим окружность радиуса р (рис. 1.8). Положим
pep,
20
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
где ег — орт радиального направления, / — длина дуги окружно-
окружности. Радиус-вектор р точки А на окружности будет функцией
дуги /.
Рис 1.8.
Рис. 1.9.
м г
Найдем формулы для производных от р по /, аналогичные
формулам A.10) и A.11):
dl —dl
Перенесем векторы еф и ег в точку А. Очевидно, они совпа-
совпадут с единичными векторами касательной т и главной нормали v
в точке А:
A.23)
Теперь вернемся к естественным координатам точки М, дви-
движущейся по некоторой траектории. В соприкасающейся плоскости
построим окружность радиуса р, имеющую касание второго
порядка с траекторией в точке М (рис. 1.9). Радиус-вектор
точки на окружности обозначим через R и будем считать его
функцией длины дуги окружности /, радиус-вектор точки на кри-
кривой обозначим по-прежнему через г, а длину дуги вдоль кривой
через s. Точка С —центр окружности.
Если в точке М кривая и окружность имеют касание второго
порядка, то:
m dR\ dr
2) ж\м=ш
м
ds*
м
A.24)
Равенства 1) и 2) означают, что у кривой и у окружности общая
точка и общая касательная. Из равенства 3), замечая, что
dR
d?R
dl
p
dl*'
где
§ 2, ЕСТЕСТВЕННЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ
, найдем
2]
р
м
Отсюда для кривизны k получаем формулу
A.25)
Окружность, лежащая в соприкасающейся плоскости и имеющая
с кривой в точке М касание второго порядка, называется кру-
кругом кривизны, а ее радиус — радиусом кривизны.
Можно доказать всюду, кроме особых точек, единственность
круга кривизны.
Нетрудно получить вычислительные формулы для кривизны
в декартовых координатах. Будем исходить из формулы:
или
t-i
dx dy dz
ds ds ds
ds* ds* di
Взяв абсолютную величину левой и правой частей, получим
k = Ydj'z" - г'уУ + (г V - x'z"J + (х'у" - у VJ, A.26)
где / = ^ и т. д. Если независимой переменной является время,
то кривизна будет определяться формулой
Следовательно,
i
- xzf + (xy -
A.27)
здесь точкой обозначена производная по времени. Кривизна
траектории есть мера уклонения траектории от прямой. Мерой
уклонения траектории от плоской кривой является так называе-
называемое кручение. В нашем курсе кручение мы рассматривать не будем.
Найдем проекции скорости и ускорения точки на естествен-
естественные оси. Вектор скорости точки, равный -~% можно представить
в виде
•W. A.28)
122
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Проекция скорости на касательную к траектории будет равна
= v = -тг (-it может иметь различные знакиJ. Далее,
' dt
Используя формулы A.21) и A.25), получим 5- = ^^ = v-
Следовательно,
a = x^ + v~- + P0. A.29)
Проекции ускорения на естест-
естественные оси равны:
проекция на касательную
do
Рис. 1.10.
проекция на главную нормаль
п Ф
где р —радиус кривизны в рассматриваемой точке. Проекция
ускорения на направление бинормали всегда равна нулю —уско-
—ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 1.10).
§ 3. Основы кинематики сплошной деформируемой среды.
Переменные Эйлера и переменные Лагранжа
Объединение в одной главе кинематики деформируемой среды
и абсолютно твердого тела продиктовано существенными при-
причинами.
Во-первых, абсолютно твердое тело есть идеализированная
модель физически твердого тела и, следовательно, должно рас-
рассматриваться как сплошная среда. Во-вторых, при таком под-
подходе выясняется близкое родство основных формул, дающих
законы распределения скоростей точек среды: формулы Коши—•
Гельмгольца для деформируемой среды и формулы Эйлера для
абсолютно твердого тела.
Прежде всего установим понятие характерной длины (харак-
(характерного размера). Характерной длиной будем называть длину,
на протяжении которой существенно меняется состояние движе-
движения среды, или состояние самой среды •). В каждом конкретном
случае характерная длина выбирается произвольно (разумеется,
*) Меняются параметры, характеризующие состояние среды,
? 3. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ 23
в разумных пределах). Например, в задачах о движении жид-
кости в трубе в качестве характерной длины берется диаметр
трубы, при изучении обтекания крыла самолета воздухом харак-
характерной длиной является, чаще всего, так называемая хорда
крыла и т. п. Важно, выбрав характерный размер, в дальнейшем
его не менять.
Основным, простейшим объектом в механике сплошной дефор-
деформируемой среды является элемент объема *). Качественно элемент
объема можно характеризовать следующим образом: отношение
наибольшего размера элемента объема к характерной длине
много меньше единицы; с другой стороны, его размеры весьма
велики сравнительно с расстояниями между молекулами. Таким
образом, элемент объема есть малая частица среды, сплошь запол-
заполненная веществом.
Малость размеров элемента объема по сравнению с характер-
характерной длиной позволяет в пределах этого объема пользоваться
главными линейными частями разложения различных функций
по степеням приращения координат.
В механике сплошной среды есть два подхода к описанию
движения среды. Один из подходов связан с именем Лагранжа
и заключается в том, что описывается движение каждого эле-
элемента объема — каждой частицы среды. Пусть х1у х2, ^ — декар-
декартовы координаты некоторой средней точки элемента объема.
Пусть, кроме того, числа ?ь ?2, |3 — параметры Лагранжа, отме-
отмечающие рассматриваемый элемент объема. Тогда
Xi=ft(t, Еь Ез, Ее). (ЬЗО)
Заметим, что в качестве параметров Лагранжа часто берут
начальные координаты частицы (мы для краткости часто будем
говорить «координаты частицы» вместо «координаты некоторой
средней точки частицы»). Следовательно, вместо A.30) можно
написать
Xi—fiit* ХЮу *20э %))» A.31)
где xJO = Xj(to).
Радиус-вектор частицы может быть представлен в виде
з
г =21 *i*t=r(U Бь Е», Ез). A.32)
где ег~-орты, направленные по осям координат.
Рассматривая некоторую точку среды (точка Ро на рис. 1.11)
и проводя через эту точку линии, состоящие всегда из одних
и тех же частиц среды («жидкие» линии), вдоль каждой из
которых меняется лишь один параметр Лагранжа, получим так
*} С точки зрения математики это есть дифференциал объема»
124
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
называемую сопутствующую систему криволинейных координат*).
Частные производные от радиуса-вектора по параметрам Ла-
гранжа представляют собой векторы, касательные к координат-
координатным линиям:
A.33)
Векторы эа, — базисные векторы, — вообще не являются единич-
единичными векторами.
Рис. 1.11.
Если в качестве параметров ?а взяты начальные координаты
#ао» то в момент времени tQ базисные векторы были ортогональны
между собой и длина каждого из них была равна единице.
В дальнейшем, в результате деформации среды, углы между
векторами эа и их длины могут меняться [26].
Обычно, когда пользуются переменными Лагранжа, то для
вычисления скорости и ускорения пользуются символом частной
производной от координат по времени, подчеркивая этим то
обстоятельство, что производная вычисляется для рассматривае-
рассматриваемой частицы среды при фиксированных значениях параметров |у:
а
к» и. и*
A.34)
Производные A.34) носят название субстанциальных, или
материальных. В нашем курсе, вс избежание недоразумений**),
*) Мы здесь не будем обсуждать вопрос о том, долго ли просуществуют
эти линии —когда они будут размыты.
**) Дальше, рассматривая метод Эйлера, мы увидимА что частные произ*
водные по времени будут иметь другой смысл»
fi 3. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ 25
мы не будем пользоваться такими обозначениями, а будем при-
применять выразительное обозначение Стокса [18], положив
где символ -gr означает, что дифференцируется величина, связан-
связанная с частицей среды. Таким образом,
Второй подход к исследованию движения сплошной деформи-
деформируемой среды связан с именем Эйлера. Метод Эйлера заключа-
заключается в том, что рассматриваются точки пространства — множество
«наблюдательных пунктов» —и в этих точках изучаются величины,
характеризующие состояние движения среды и состояние самой
среды: скорость, плотность, давление, температура и т. п., т. е.
изучаются векторные и скалярные поля.
В этой главе мы будем говорить только о кинематических
величинах и прежде всего о скорости.
Итак, будем в точке пространства — «наблюдательном пункте» —
с координатами хъ х2, хг рассматривать скорости разных частиц
среды, проходящих через эту точку *). Очевидно, что скорости
будут функциями координат наблюдательного пункта и времени,
поскольку разные частицы в одну и ту же точку пространства
могут приходить с разными скоростями. Следовательно,
v = v(tt хъ *ъ *з). A.36)
Очевидно, что если система отсчета неподвижна, то \Xi = const.
Координаты Xi и время t называются переменными Эйлера.
Выведем выражение субстанциальной производной в перемен-
переменных Эйлера от какой-либо функции, например, от скорости.
С этой целью, выбрав произвольно две точки пространства, Рг
и Ръ рассмотрим в этих точках векторы скорости частиц среды
в различные моменты времени, tx и t2. Обозначая скорости через
U) и v^\ найдем их разность
Если точки Pi и Р2, и моменты времени tx и t2 достаточно близки
друг к другу, то мы можем записать приближенное равенство
3
to a , dv А,
*) Здесь, как и в других местах, выражение «частица среды проходит
через точку пространства» означает, что некоторая средняя точка элемента
объема проходит через точку пространства.
26 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
где
(xiv — координаты точки Ръ хТ — координаты точки Р2). Очевидно,
что величины Да:/ произвольны и не зависят от Д*.
Теперь предположим, что точки Рг и Р2 выбраны на праек*
тории некоторой частицы среды, a tt и /2 — моменты времени, в
которые частица проходит через эти точки. Тогда очевидно, что
Д^я^^Д^, где vt есть проекция скорости частицы на ось xi9
Разделив обе части выражения для Д© на Д/ и переходя к пре-
пределу при Д?->0, мы получим выражение субстанциальной произ-
производной по времени от вектора скорости:
«. Av Dv __ \ji dv dv
At _^ 0 At Dt ^mi oxi dt
i = i
з
Сумма У y/g^" характеризует изменение скорости, вызванное
переменой места, т. е. течением среды, и поэтому называется
конвективной производной (конвекция — перенос). Конвективную
производную часто записывают сокращенно в следующем виде:
t=! /
Частная производная по времени ~ характеризует изменение
скорости в точке пространства и называется локальной (местной)
производной. Если v = v(xu x2t х3), т. е. -^ = 0, то движение
среды называется установившимся, или стационарным. В этих
случаях разные частицы среды приходят в одну и ту же точку
пространства с одинаковой скоростью.
Найдем еще субстанциальную производную по времени от
з
радиуса-вектора частицы среды. Так как г= 2^'*' и ¦^"==^»то
3 3 ~~
Часто говорят о существовании «точек зрения» Эйлера и Ла-
гранжа. Это можно пояснить, вернувшись к формуле
1ъ
На формулу, связывающую х^ t, %h можно смотреть с двух
точек зрения:
§ 3. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ 2?
1) если считать переменными х-ь и фиксировать ?,-, т. е. фик-
фиксировать частицу среды, то мы будем смотреть с точки зрения
Лагранжа;
2) зафиксировав xi$ мы должны считать переменными |у и»
следовательно, рассматривать разные частицы, проходящие через
избранный наблюдательный пункт. Тем самым, мы станем на
точку зрения Эйлера (см. [26], т. I).
Возможность рассматривать одно и то же выражение с двух
разных точек зрения позволяет переходить от одних переменных
к другим. Будем исходить из формулы A.36). Очевидно, что
Vi = Fi(t, xlt *2, х3),
или
^=Fi(/, xu хъ *3). A.37)
Если считать xt функциями времени, т. е. посмотреть на формулы
A.37) с точки зрения Лагранжа, то мы придем к системе обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрируя которую, най-
найдем
*i = <Pi(*, Cv С2, Cs).
Если теперь су мы выразим через какие-либо параметры, позво-
позволяющие выделить частицу (ими могут быть начальные значения
координат, или некоторые функции этих начальных значений),
то мы придем к представлению Лагранжа
Xl ==s fi (^» #10» *20» #зо)>
или
*i — fi (*» ?l> I2» ?з)>
где If можно найти из уравнений
Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера
основан на той же смене точек зрения. Пусть
*<=/*('. Ь, &, У. A.30)
Берем производную по времени от левой и правой частей A.30)
фиксируя l/i
Из соотношения A.30) найдем
28
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
и подставим эти выражения в правые части A.38). Очевидно,
что, исключая ?/, мы придем к формулам A.37)
mfss^i(^ Х * #з)
ИЛИ
29 xs).
Здесь уже на xi мы будем смотреть с точки зрения Эйлера, как
на координаты «наблюдательного пункта».
§ 4. Вывод формулы Коши — Гельмгольца
Найдем закон распределения скоростей точек элемента объема
среды, используя переменные Эйлера.
Рис. 1.12.
Рассмотрим две любые точки элемента объема, О9 и Р
(рис. 1.12). С точкой О' свяжем начало декартовой системы
координат yh оси которой всегда параллельны неподвижным
осям X/. Малый вектор б7? обозначим через бг*).
Координаты точки Р относительно системы у/ равны разностям
координат точек Р и О' относительно системы х/. Поэтому вектор
з
Ьг мы можем представить либо в виде У\ ef 8y/f либо в более удоб*
ном для последующих выкладок виде 2 efixt (очевидно, что
*) Здесь и далее обозначения бг, блу, б*> и т, д. применены с целью под-
подчеркнуть, что точки О\ Р и др. рассматриваются в один и тот же момент
времени.
§ 4. ФОРМУЛА КОШИ—ГЕЛЬМГОЛЬЦА 29
Сравним скорости точек среды О' и Р. Для этого, обозначая
б(У через /?' а ОР через /?, запишем
/? = /?' + бг (вг = 2 */в*Д A -39)
Возьмем от левой и правой частей субстанциальную производную
DR DR' D
Из полученного равенства находим разность скоростей точек среды
Запишем бг в виде ег6г, где ег — единичный вектор. Тогда 8v
мы сможем разложить на радиальную и трансверсальную состав-
составляющие:
в—?(вг)-вг?*+*,5?>. A.40)
Из них лишь радиальная составляющая изменяет длину век-
вектора бг, так как
D$r i р
W ±'вп
Формулу A.40), выражающую разность скоростей точек О' и Р
в один и тот же момент времени, удобно записать в переменных
Эйлера, рассматривая разложение 8v по степеням 6xj при б/ = 0
и удерживая только линейную часть:
Проекция 6v на ось ^ будет равна
«* A-42)
Покажем, что правую часть полученной формулы можно пред-
представить в виде суммы членов разной природы с симметричными
и антисимметричными коэффициентами. Для этого сделаем тож-
тождественное преобразование
#=1
30
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Введем обозначения
1 fdvt . dvj\ n 1 (dvi dvj\ ~ Л ,, .„ч
тщ + щг*»-*» тщ-ЪъГ0*-"-0* (М4)
@,7-0).
Тогда для 8vt получим выражение
з з
Чтобы выяснить природу двух сумм в правой части A.45), умно-
умножим обе части на 6*ь просуммируем по t и воспользуемся тем,
что
Но
3 3
3 3
2 л* ш (^
Следовательно,
т ет
A.46)
и мы видим, что совокупность членов с антисимметричными коэф-
коэффициентами Oij не влияет на изменение длины Ьг (на деформа-
деформацию), тогда как квадратичная функция переменных Sxi с симмет-
симметричными коэффициентами, равная половине производной от квад-
квадрата длины 6г, непосредственно связана с деформацией среды.
Введем вектор G> = yrot© — так называемый вектор вихря.
Запишем выражение <о в декартовых координатах:
Очевидно, что
1
2
ег е2
д д
дхг дх2
е3
д
дх3
v3
dv3
A.47)
§ 4. ФОРМУЛА КОШИ-ГЕЛЬМГОЛЬЦА
31
Полагая в формуле A.45) последовательно /== 1, 2, 3 и исполь-
используя выражения для проекций вектора вихря, запишем
2
/===1
= 2 82/
! — coi блг3,
A.48)
Суммы вида
условимся обозначать через 6и,-. Если, кроме того, обозначить
двойную сумму
3 3
2 2 e?/6*,6*,
через 2Ф(бл:1, 6лг2, б^з), то очевидно, что Ьщ мы сможем запи-
записать в следующем виде:
Введем вектор б» =
/, или
Вектор б», порождаемый квадратичной функцией 2Ф, называется
скоростью деформации (часто говорят: скорость чистой дефор-
деформации).
Обратимся к вектору 8v. Умножая обе части каждой из фор-
формул A.48) на соответствующий орт и геометрически складывая
полученные векторы, мы сможем записать
Вспоминая, что
С\ #2 ^3
COj ©a ©3
6*j 6*2 6*a
= г> — v\ окончательно найдем
32 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Формула A.49) и есть формула Коши — Гельмгольца, прочи-
прочитав которую, мы сформулируем теорему Коши — Гельмгольца:
скорость любой точки Р элемента объема геометрически склады-
складывается из скорости другой точки О', в которой помещено начало
осей координат yj, движущихся без вращения (поступательно),
скорости «вращательного» движения, равной [собг], и скорости
чистой деформации Ьи.
Приведем дополнительно нестрогое качественное истолкова-
истолкование коэффициентов гь].
Обратимся сперва к коэффициентам с одинаковыми индексами.
Рассмотрим, например, точку Рг с координатами Ьхъ О, 0. Пусть
для определенности дх!>0. Из формулы A,46) получим
откуда
1 D
8
Следовательно, коэффициент гп равен скорости удлинения от-
резка, параллельного оси уи отнесенной к длине отрезка.
Обратимся теперь к коэффициентам со смешанными индексами.
Рассмотрим, кроме точки Ръ еще точку Р2 с координатами 0,
блг2, 0, предположив, что блг2>0. В точке Рг возьмем проекцию
скорости чистой деформации на ось у2:
Ьи2 = е21 |Pl бль
а в точке Р2 —проекцию скорости чистой деформации на ось уг:
Ьих = е12 \Рш 6x2.
В силу малости элемента объема и непрерывности поля скоро-
скоростей е21 \Pt мало отличается от е12 |pl, поэтому мы можем написать
приближенное равенство
Проекцию скорости чистой деформации 8иг можно рассматривать
как трансверсальную скорость конца отрезка ОР2. Следовательно,
отношение g~ есть угловая скорость вращения этого отрезка.
Аналогично, отношение J^- равно угловой скорости вращения от-
отрезка 6?i. Поэтому коэффициент еи пропорционален скорости
изменения прямого угла между отрезками ОРг и ОР% (скорости
скашивания прямого угла или скорости сдвига)*
f, 5. НЕИЗМЕНЯЕМАЯ СРЕДА. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 33
§ 5. Неизменяемая среда. Вывод формулы Эйлера
из формулы Коши — Гельмгольца
Будем рассматривать конечный объем сплошной среды, пред-
предполагая, что расстояние между любыми двумя точками среды не
изменяется. Это может быть и абсолютно твердое тело, и дефор-
деформируемая среда, движущаяся как абсолютно твердое тело. Усло-
Условия, позволяющие отличить среду, которая может деформиро-
деформироваться, от абсолютно неизменяемой среды, в рамках кинематики
рассматриваться не могут.
При отсутствии деформации все гу равны нулю. Отсюда не-
немедленно следует, что вектор вихря не зависит от координат *).
В самом деле, так как
°V - 2 \дх/
то
dxk\dxf ^a^
Отсюда
д (дил д /до
+
Но при sif
Поэтому
= 0
д
Аналогично
Так как ^
Щ\рх~и
Напомним,
дх,- [дх/ "¦ (
дх/ ' dxi
/dv[ диЛ
Щ / f дх/
10 дх1[дх7)~~
). Следовательно,
д /dvj dvi \ __
ЧТО
@ =
YT0tv = Y
,dxj) -
дх,
\дх/) '
' дх/ \dxil*
= 0. А так как ^1 «= — g2L, то и
д О
ех е2
д д
dxi дх2
*) Однородность поля rot v имеет место и при
но в нашем курсе мы этого касаться не будем.
2 в. в.
Петкевич
-0
*3
д
Щ
более слабых требованиях.
34
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Пусть индексы ?, /, k принимают значения 1, 2, 3, или полу-
получающиеся из них круговой перестановкой. Тогда
дхг
-ov.
Мы нашли, что, во-первых,
и, во-вторых,
22*»,
дОи
О, или g-0.
= 0, или **
Подобным же способом можно показать, что и —^- = 0. Следова-
Следовательно, вектор (о не зависит от координат и может быть только
функцией времени.
Рис. 1ЛЗ.
Вернемся к формуле A.49), полагая
Ьи = 0, к~- = 0 и бг
Получим
A.50)
Используя независимость вектора <о от координат, mbi можем,
интегрируя по г (при фиксированном времени), найти скорость
в любой точке Q, находящейся на конечном расстоянии от точ-
точки О' (рис. 1.13). Итак,
г /
$6©-[©*,]$ «Г.
о о
Отсюда
Окончательно найдем, обозначая v^q через v% a v\0 через v9\
©«г>' + [(ог]. A.51)
§ 6. МГНОВЕННАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ
35
Мы пришли к основной формуле кинематики неизменяемой
системы — формуле Эйлера, которая выражает закон распределе-
распределения скоростей точек абсолютно твердого тела.
§ 6. Мгновенная угловая скорость. Переход
к сопутствующим («собственным») координатам
Пусть Аг и Л2 —две произвольно выбранные точки абсолютно
твердого тела (рис. 1.14). Вектор АгА2 обозначим через р12 =
= ?i2Pi2, а координаты выбранных точек —через xtl и xi2. Запи-
Запишем условие постоянства расстояния между точками в геометри-
геометрической форме:
S te-*nJ = (Pi2J. A.52)
Покажем, что условию неизменяемости расстояний между точ-
точками можно придать другую (кинематическую) форму. С этой
Рис. 1.14.
целью, дифференцируя по времени тождество A.52), запишем*):
з
Разделив на р12 и обозначив через af направляющие косинусы
вектора #i2, получим
5 3
Следовательно, проекции скоростей концов неизменяемого отрезка
на направление самого отрезка равны друг другу:
A-53)
*) В механике абсолютно твердого тела будем пользоваться обычным
обозначением производной, так как здесь полевое описание движения,— ме-
метод Эйлера,—не применяется.
2*
36 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Таким образом, мы пришли к кинематической форме условия
неизменяемости расстояний между любыми двумя точками тела *).
Заметим, что если одна из точек неподвижна (например, точка
Ai), то скорость другой точки будет ортогональна к вектору АХА2.
С целью дать истолкование вектора со, рассмотрим движение
тела относительно системы координат yf — вращательное движение,
обозначая скорости точек тела в этом движении через w (см.
рис. 1.13). Из формулы Эйлера A.51) найдем
ш-[о)г]. A.54)
Заметим, что если г = >ю>, то w = 0 — скорости точек, лежащих
на прямой, вдоль которой расположен в этот момент времени
вектор со, равны нулю.
Напомним, кроме того, формулу Стокса: циркуляция скоро-
скорости точек любой сплошной среды по контуру С равна пото-
потоку ротора скорости через поверх-
поверхность, опирающуюся на контур С:
С "а"
При вычислении интегралов в
формуле A.55) все точки контура
и поверхности рассматриваются в
один и тот же момент времени.
Теперь, чтобы решить постав-
поставленную задачу — дать истолкова-
истолкование вектора о>, — выполним вспомо-
вспомогательное построение (рис. 1.15).
Проведем через некоторую точку тела О" плоскость 5, перпен-
перпендикулярную к вектору со. В плоскости построим окружность
радиуса р с центром в точке О". Скорости всех точек, лежащих
на окружности, будут располагаться в плоскости S, и в силу
A.53) их величины будут равны между собой. В каждый момент
времени мы можем величину скорости записать в виде р~ как
db
для точки, движущейся по окружности, где -г. есть угловая ско-
скорость вращения радиусов О"'Ль О"Л2, ...
К точкам, лежащим на окружности радиуса р, применим фор-
формулу Стокса:
5б8= f {(rot*)*6a,
*) С помощью A.53) можно построить кинематику абсолютно твердого
тела и, в частности, вывести формулу Эйлера.
§ 6S МГНОВЕННАЯ УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ
37
«ЛИ
Отсюда
1 Hf\
~2 (rot v)n = со = -p.
Таким образом, величина вектора со в каждый момент вре-
времени равна угловой скорости вращения радиусов O"Ai в этот
Момент времени, т. е. угловой скорости тела. Поэтому вектор со
называется вектором мгновенной угловой скорости тела, а прямая,
вдоль которой он расположен, — осью мгновенного вращения.
Отметим, что вектор со может изменяться и по величине и по
направлению, но в каждый момент времени распределение ско-
скоростей точек абсолютно твердого тела такое же, как во враща-
вращательном движении вокруг оси, проходящей через точку О', т. е.
аналогично изображенному на рис. 1.15.
До сих пор все описание мы вели в переменных Эйлера. Если
отсутствует деформация, то вектор со не зависит от координат
Эйлера. Очевидно, что со не будет зависеть и от параметров
Лагранжа:
з
д(о VI до дх/ ^
Если, кроме того, для неизменяемой системы в качестве пара-
параметров Лагранжа мы возьмем начальные значения декартовых
координат, то сопутствующие координаты будут ортогональными
декартовыми координатами, оси сопутствующей координатной
системы будут жестко связаны с телом («вморожены» в тело).
Переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа будет
представлять собой обычное ортогональное преобразование коор-
координат. Нетрудно проверить, что при таком преобразовании со-
сохранится вид формулы для вычисления вихря:
JL JL JL
дх1 дх2 дх3
к к
д д
дх10
Здесь /ь /2, /3 — орты, направленные по осям, жестко связанным
с телом, vX{ — проекции скорости на неподвижные оси, vx.Q — про-
проекции скорости на оси, жестко связанные с телом. Следовательно,
векторное равенство A.51) мы можем проектировать как на не-
неподвижные оси, так и на подвижные. Подвижные оси, жестко свя-
связанные с телом («собственные» оси), удобны тем, что координаты
точек тела относительно таких осей не зависят от времени.
38
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
§ 7. Число координат, определяющих положение
абсолютно твердого тела
Уметь определить положение тела в любой момент времени —
значит, уметь определить координаты каждой его точки относи-
относительно некоторой системы отсчета. Так как координаты точек
тела относительно собственных осей не зависят от времени, то
задача сводится к определению положения координатных осей,
жестко связанных с телом, относительно неподвижных осей. Здесь
мы будем пользоваться декартовыми системами координат
(рис. 1.16).
Пусть #i, лг2, х3 — неподвижные оси, ?lf |2, ?з — оси, жестко
связанные с телом *). Составим таблицу косинусов углов, обра-
образуемых осями xi и !/¦ Обозначим через ац косинус угла между
осью Oxi и осью O'lji
= cos (et,
Таблица косинусов будет иметь вид
х2
Ei
аи
Ei
«12
«22
«32
Is
«13
«23
азз
A.56)
Так как системы координат xt и |/ ортогональны, то
3
1=
где символ Кронекера 6/# равен нулю при \
A.57)
и единице при
/
Число соотношений вида A.57) равно шести. Следовательно, три
из косинусов а/у, не расположенные в одном столбце, или в одной
строке, могут быть приняты за независимые, остальные шесть
найдем из A.57). Кроме того, три координаты определяют поло-
положение точки О' — начала системы, жестко связанной с телом.
*) Очевидно, что оси \ъ \ъ ?3 представляют собой координатные лини»
сопутствующей системы координат Лагранжа, и мы пока сохраним соответст*
вующее обозначение,
f, 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
39
Итак, всего шесть величин определяют положение системы ?lf g2,
?з, а следовательно, и абсолютно твердого тела относительно
неподвижной системы отсчета. В главе, посвященной механике
абсолютно твердого тела, будут рассмотрены углы Эйлера —очень
удобные обобщенные координаты, которыми чаще всего пользуются
для определения положения осей, жестко связанных с телом.
Рис. 1.16.
Заметим, что положение системы ?ь ?2, h можно определить,
задав положение трех точек тела, не лежащих на одной прямой.
В самом деле, три точки позволят определить, например, плос-
плоскость (?iO'|2)> т. е. орты Эх и э2 Тогда третий орт э3 найдем
с помощью векторного умножения Э\ и э2:
Пусть точками, определяющими положение плоскости (liO'|2),
будут точки As (s = l, 2, 3). Координаты этих точек xis удовлет-
удовлетворяют соотношениям вида A.52):
3 3 3
где Рл5 — постоянные. Следовательно, из девяти координат xfs%
удовлетворяющих трем условиям неизменяемости, шесть коор-
координат независимы. Остальные три могут быть выражены через
независимые с помощью условий неизменяемости расстояний
между точками.
Результаты этих двух подсчетов дают, разумеется, одно и
то же число независимых координат, которые нужно задать (или
найти из уравнений движения), чтобы определить положение
абсолютно твердого тела. Ясно, что задавать независимые коор*
динаты нужно так, чтобы не терялся их смысл и смысл соотно-
соотношений, связывающих зависимые и независимые координаты.
40 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
§ 8. Прямой вывод формулы Эйлера для распределения
скоростей точек абсолютно твердого тела
Приведем вывод формулы Эйлера, предполагая, что тело
абсолютно твердое, и что, следовательно, справедливы уравне-
уравнения A.52), связывающие координаты любых двух точек тела.
Формулу Эйлера выведем для тела конечных размеров, минуя
формулу Коши — Гельмгольца.
Предположим, что тело движется относительно неподвижных
осей хъ х2у х3 и жестко свяжем с телом оси ?ь ?2, ?з, начала
которых помещено в произвольной точке тела О' (см. рис. 1.16).
Воспользуемся таблицей косинусов углов между подвижными в
неподвижными осями координат A.56) и соотношением A.57).
Обозначая некоторую точку тела буквой Q, положим OQ — R*
Щ^г. Тогда
dR'
Очевидно, что -g- есть скорость точки О'. Обозначим ее через v\
Производная ~, которую мы условимся обозначать через wt
выражает скорость точки Q во вращательном движении тела,,
относительно движущейся системы уъ у2у у3 с началом в точке О9
(оси координат y-t всегда параллельны осям xi).
Так как координаты ?у постоянны, то удобно радиус-вектор г
точки Q представить в виде
з
*•=» 2 9,Ь. A.58)
Тогда
где -ft = 0, -^ JLBj (|Э/| = 1). Скорость точки Q будет равна
A.60)
Далее, выразим векторы 9j и их производные через направ-
направляющие косинусы подвижных осей координат:
6
§ 8. ПРЯМОЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 41
Таким образом, для вектора w мы сможем записать следующее
выражение:
Найдем проекцию вектора w на ось |$ (& = 1, 2, 3):
3 3 3 3
wk - (wak) = 22 {ei9k) * 1ST = 2 & 2 a<*d^ A '63)
Полученные формулы выражают закон распределения скоростей
точек тела во вращательном движении в виде линейных функций
координат точек.
Поставим следующую задачу: представить закон распределе-
распределения скоростей в более простой и наглядной форме, используя
свойства функций а^(/). С этой целью продифференцируем по
времени тождества A.57)
Полагая / = &, найдем
S«iA/=o. A.64)
i= I
При \Фк результат дифференцирования запишем в следующем
виде:
з з
21 aiAik = — Л а1№ц. A.65)
Для сумм A.64) и A.65) введем сокращенные обозначения:
з з
2 Щ&ц = 0jh 2 aifdik ее= 0jk. A.66)
i = 1 i = 1
Очевидно, что
О/А = — 0,у, Оуу = 0.
Величины О/,/ имеют размерность f-1, т. е. размерность угловой
скорости, при условии, что углы измеряются в радианной мере.
Формулы A.63) примут вид
«>*= Z °k& (*-l. 2, 3).
Из равенств A.65) следует, что среди шести величин 0Jk различ-
различными будут только три. Полагая последовательно & = 1, 2, 3 и
42 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
выбирая в качестве основных коэффициентов О13, О2ь Оз2, запи-
запишем*)
Wt = O13%3 — 021^2,
A.67)
Заметим, что можно было бы за основные коэффициенты при-
принять О12, О2з, Оз1, но тогда в правых частях формул A.67) изме-
изменились бы знаки.
Введем сокращенные обозначения, полагая
Оз2 === ©Ь ^13 == 0J> O21 = СО3»
Тогда
или
где 9j единичные векторы, направленные по осям координат,
жестко связанным с телом.
з
Если мы теперь положим ш = 2 ®&i и будем рассматри-
вать (о как вектор (в § 13 будет доказано, что <о действительна
вектор), то получим
w = [ar]. A.69)
Формула, к которой мы пришли, решает поставленную задачу:
она описывает распределение скоростей точек проще и нагляднее
по сравнению с формулой A.62).
Рассмотрим некоторые следствия из полученной формулы**).
Во-первых, мы замечаем, что
т. е., что w ±_г, а во-вторых, что если г = Я<*>, где Я — скалярный
множитель, то
w = [юЯсо] = 0.
Это означает, что равны нулю во вращательном движении ско-
скорости точек, лежащих на прямой, вдоль которой расположен
*) Перестановка индексов круговая.
**) Здесь мы повторяем ряд положений кинематики для тех читателей,
которые пропустили §§3 — 6 гл. I и не знакомились с выводом формулы Эйлера
на основе формулы Коши — Гельмгольца.
§ 8. ПРЯМОЙ ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА 43
в рассматриваемый момент времени вектор ю. Скорости этих
точек равны скорости начала подвижной системы координат,
т. е. вектору v\
Далее, так как
з
2
то и gr^- = 0. Следовательно, вектор со не зависит от координат
Очевидно, что о не зависит и от координат хг% так как
3
д(д
l
Будем называть <о вектором мгновенной угловой скорости, а пря-
прямую, на которой располагается этот вектор в рассматриваемый
момент времени, проходящую через точку О', осью мгновенного
вращения, или, короче, мгновенной осью. В общем случае эта ось
перемещается относительно системы координат ?lt ?2> ?з, жестко
Связанной с телом. Это следует из того, что уравнение мгновен-
мгновенной оси в этой системе будет иметь вид
где ?*, It* It — координаты любой точки, лежащей на оси мгно-
мгновенного вращения, а коэффициенты со/ могут зависеть от времени *).
Совокупность прямых, проходящих через точку О' и описываемых
уравнением A.70), называется подвижным аксоидом.
Таким образом, формулу A.60), выражающую закон распре-
распределения скоростей точек абсолютно твердого тела в любом дви-
движении, мы можем теперь записать в следующем виде:
v = v' + [mr]. A.71)
Это и есть формула Эйлера в краткой векторной записи.
Важно обратить внимание на то, что точка О' выбрана про-
произвольно. При ином выборе точки О' — начала подвижной системы
координат уъ y2t y3i оси которой всегда параллельны неподвиж-
неподвижным осям, — изменяется скорость v't изменяется также и относи-
относительный радиус-вектор г, но вектор о в силу независимости его
проекций от координат окажется перенесенным без изменения его
величины и направления в новое начало. Разумеется, вектор v
*) Ось мгновенного вращения можно рассматривать как геометрическое
место таких точек тела, скорости которых относительно системы координат уг%
Уъ Уз равны нулю в рассматриваемый момент времени.
44 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
измениться не может — распределение скоростей точек тела не
может зависеть от способа описания.
Принимая в качестве подвижной системы координат систему гх>
г2, г3, с началом в точке О" (см. рис. 1.16) и повторяя все рас-
рассуждения, найдем ^
[] AJ2>
где v" есть скорость нового начала подвижной системы координат
относительно системы хъ #2» #з, 0"<f— относительный радиус-
вектор в новой системе. Точка О" есть одна из точек тела, поэтому
применяя формулу A.71), мы получим
г^я' + ^О7^']. A.73>
Отметим важное следствие из формулы A.73): проекция ско-
скорости начала подвижной системы отсчета на направление век*
тора со не зависит от выбора точки О'. Доказательство очень
простое: из A.73) следует, что
А так как величина и направление вектора о также не зависят
от выбора точки О', то
где 0^-г^-г. Следовательно,
Iю I
Если мы разложим скорость начала подвижной системы на две
составляющих v\ и v'L% из которых первая направлена вдоль
мгновенной оси, а вторая перпендикулярна к ней, то очевидно,
что v\ не будет зависеть от выбора точки О'. Составляющая же
v'L будет изменяться при переходе к новому началу О", и под-
подходящим выбором начала О* подвижной системы координат мы
сможем обратить эту составляющую в нуль. Тогда распределение
скоростей точек тела в каждый момент времени будет соответ-
соответствовать мгновенному винтовому движению: скорость каждой точки
тела будет геометрически складываться из скорости скольжения
вдоль оси, проходящей через точку О* (теперь это — мгновенная
винтовая ось), и скорости вращательного движения вокруг этой
оси *).
При выводе формулы Эйлера из формулы Коши — Гельмгольца
(см. § 4 настоящей главы) мы пришли к выражениям A.47) для
проекций вектора ш. Покажем, что, дифференцируя обе части
*) Предлагается построением найти точку 0* и мгновенную винтовую ось,,
исходя из того, что fjf — tfjji f^=0.
fi 9. УСКОРЕНИЕ ТОЧЕК АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 45
каждого из равенств A.68) по координатам ls, мы получим для
проекций со/ выражения того же вида. Вычисляя частные произ-
производные, находим
dw3 dwx dw2
^1 === i?— > С02 ~~" ~3?— * 0)Я """^ ~Л i
уГп С»ЦЯ ^^1
дщ дщ ___ dwx
Отсюда
0I == 2^ (dF ~ Ж^)* а>2 == 2^ (ж^ ~" Туг)9 ®3 == ~9* \5^ ""^Г/' ^'^)
или, короче,
A.76)
Мы пришли к формулам, совпадающим с формулами A.47) с той
разницей, что формулы A.47) изображают проекции вектора о>
на неподвижные оси, тогда как формулы A.75) дают выражения
проекций со на подвижные оси. Но в § 6 было замечено, что
выражение rot v в различных ортогональных координатах имеет
один и тот же вид. Кроме того, в формулах A.75) фигурируют
частные производные по координатам от проекций скорости w —
скорости точки тела во вращательном движении относительно
системы уг, у2, Уз, а в формулах A.47) —производные от проек-
проекций скорости v относительно системы хъ х2, х3. Скорость v равна
сумме скоростей w и скорости подвижного начала v\ но ско-
скорость vf в каждый момент времени одинакова для всех точек
тела, поэтому частные производные от v' по координатам (и по
координатам xh и по координатам Еу) равны нулю.
§ 9, Распределение ускорений точек абсолютно твердого тела
Найдем закон распределения ускорений точек произвольно
движущегося абсолютно твердого тела. С этой целью продиффе-
продифференцируем по времени обе части формулы Эйлера A.51) или A.71):
dv (to' , [did
Преобразуем последний член правой части, используя формулу
dr г л
где е<ь есть единичный вектор, направленный по мгновенной
оси вращения. Далее, по известной формуле,
46
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Вектор / направлен от точки Р, ускорение которой мы вычис-
вычисляем, к мгновенной оси под прямым углом (рис. 1.17). Так как
dv' i
-?• = а — ускорение начала подвиж-
подвижной системы координат, то
w
О1
О'Р=г
Формула A.78) — формула Риваль-
са — дает закон распределения уско-
ускорений точек произвольно движуще-
движущегося твердого тела. Вектор ИзтИ
часто называют вращательным ускорением, а вектор со2/ — осе»
•стремительным.
Рис. 1.17.
§ 10. Частные виды движения абсолютно твердого тела
1. Поступательное движение. Поступательным дви-
движением абсолютно твердого тела будем называть такое движение,
при котором отрезок прямой, соединяющий две любые точки тела,
остается параллельным неподвижной прямой.
Покажем, что в поступательном движении все точки тела
в каждый момент времени
имеют одну и ту же скорость
и одно и то же ускорение.
Пусть Ах и Л2 —две любые
точки тела (рис. 1.18). Обо-
Обозначим ОАХ через Rtf OAZ че-
через /?2; тогда q
Положим
*з
Рис. 1.18.
Если отрезок АХА2 перемещается, оставаясь параллельным своему
первоначальному направлению, то
Значит,
ИЛИ
§ 10. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 47
Заметим, что этот же результат мы получим из формулы
Эйлера —формулы A.51), полагая <о = 0.
Дифференцируя по времени радиусы-векторы точек Ах и А2
еще раз, найдем
d*Rx _ d*R2
dP ~ dt* f
или
ал = а2.
Таким образом, ясно, что при поступательном движении тела
производные всех порядков по времени от радиусов-векторов точек
тела равны между собой. Очевидно, и наоборот, если скорости
всех точек тела равны между собой в каждый момент времени,
то дело движется поступательно.
Несколько труднее показать, что если равны между собой
производные более высоких порядков от радиусов-векторов всех
точек по времени, то тело движется поступательно.
Пусть
dt ~"~ dJt f
где /?i и /?2 радиусы-векторы двух произвольно выбранных точек
тела. Тогда /?1 = Л2 + Сь Здесь Сг есть вектор постоянной длины,
неизменно направленный относительно неподвижной системы от-
отсчета. А так как Съ кроме того, есть вектор, соединяющий любые
две точки тела, то отсюда следует, что тело движется поступа-
поступательно.
Пусть теперь
&RX _ d*R2
dt2 ~~ dt* *
Интегрируя по времени, найдем
<ШХ ___ dR2
или
Умножим скалярно обе части последнего равенства на
единичный вектор, направленный от точки Ах к точке Л2:
Из условия неизменяемости расстояния | АХА21 следует, что
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
48
Поэтому
Постоянный вектор С2 либо равен нулю, либо ортогонален к еп.
Допустим, что СъфО. Интегрируя по времени еще раз, найдем
Ясно, что последнее равенство будет справедливо только при
Сг = 0, так как Сг = (Rx — /?2)/-о> и если С2 =7^ 0, то длина вектора
(/?!•—/?2) при />0 будет возрастать вместе со временем.
2. Вращение вокруг неподвижной оси. Предполо-
Предположим, что две точки тела, Ла и Л2, неподвижны. Тогда, очевидно,
скорости всех точек тела, лежащих на прямой АХАЪ равны нулю.
Введем неподвижную систе-
систему координат хъ х2, #з» со-
совмещая ось х3 с прямой АуАъ
(рис. 1.19). Если в качестве
трех точек, определяющих
положение тела, взять две
неподвижные точки Ах и А%
и, кроме того, точку Р, то
найдем, что из трех коорди-
координат точки Р лишь одна бу-
будет независимой, так как
имеются два уравнения свя-
связи. Следовательно, положе-
положение тела с двумя неподвиж-
неподвижными точками определяется
одним параметром, например,
углом поворота плоскости, проходящей через точки Ах и Л2 и
неизменно связанной с телом, относительно неподвижной плоско-
плоскости (хг, х2). Траектория каждой точки будет представлять собой
окружность с центром на прямой А±А2. Вектор скорости точки Р9
направленный по касательной к траектории, будет ортогонален
к оси 0х3 и по величине равен р-gp. Очевидно, что вектор мгно-
мгновенной угловой скорости тела © следует расположить на оси
Ох3 — оси вращения тела. Если положить со = со?з> где е3 есть
единичный вектор, направленный вдоль оси 0#3» а со —проекция
вектора со на ось Ох3, то знак со будет совпадать со знаком
направления вращения *). Поясним это утверждение. Введем
систему осей, связанных с телом, так, чтобы ось О'|3 совпадала
с осью Ох3 (см. рис. 1.19), а угол между осями хх и ^ был бы
Рис. 1.19.
*) Напомним, что в правой системе координат положительному направ-
направлению вращения вокруг оси Ох3 отвечает поворот от оси Охх к оси Ох2 на
наименьший угол (против вращения часовой стрелки).
§ 10. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
49
равен углу б. Тогда таблица A.56) будет в этом частном случае
иметь вид
Поэтому
o>i = О32 = 0, со2 = О13 = 0,
Следовательно,
ч
h
cos б
sin б
0
— sin6
COS0
0
и
0
0
1
j = O2i = б sin2 8 + 8 cos2 8 = 6.
Таким образом, распределение скоростей точек тела, вращаю-
вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить следующей
формулой:
о о
dt
где г есть радиус-вектор точки тела. Заметим, что формулу для
скорости можно записать, используя оси, жестко связанные
с телом, т, е.
V-
0 о
Si 6=
Здесь э^ — единичные векторы, направленные по осям координат,
жестко связанным с телом. Последняя формула удобна тем, что
координаты It — постоянные.
Заметим, что вектор о> можно перемещать вдоль оси вращения
тела, не изменив вектора v. Поэтому вектор со часто называют
скользящим вектором *).
3. Плоскопараллельное движение абсолютно
твердого тела. Плоскопараллельным называется такое движе-
движение абсолютно твердого тела, при котором скорости всех его
*) Может быть, точнее сказать «передвигаемый» вектор, так как вектор <о
не сам скользит, а мы можем его передвинуть вдоль оси вращения, не нару-
нарушая закона распределения скоростей точек тела.
50
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
точек параллельны некоторой неподвижной плоскости я (рис. 1.20).
Свяжем с точкой О' поступательно движущуюся систему координат
Уъ Уъ Уз, направляя ось уа перпендикулярно к плоскости я.
Запишем формулу Эйлера:
По условию,
Тогда (?8 [юг]) = 0, или
9\ У2
0 0
= 0.
Отсюда cait/2 — ЩУ1 + со30 = 0 (уъ у2 — координаты точки Р). В силу
произвольности координат
Л точки Р найдем
0)х = 0J == О
Итак, вектор мгновенной уг-
угловой скорости расположен
на оси О'у3.
Обычно вместо самого те-
тела рассматривают его пло-
плоское сечение, параллельное
плоскости я,—фигуру S
(рис. 1.21). Положение фи-
фигуры S в плоскости (хи О, х%)
определяется тремя парамет-
параметрами. В качестве таких па-
параметров можно взять, например, две координаты точки О' и
угол поворота осей \и О', |2, жестко связанных с телом (на
рис. 1.21 это угол 9). v
Скорость точки Р, лежащей в плоскости (glf ?2), будет равна
п
Рис. 1 20.
Для того чтобы получить проекции этой скорости на оси х,
запишем формулу Эйлера в виде
Отсюда
О о со
*, х2 о
V1 — @*2. V2 = V2 + (ИХг.
A.79)
A.80)
В силу ортогональности векторов <о и v' должна существовать
в каждый момент времени такая точка тела, скорость которой
§ 10. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
51
в этот момент времени равна нулю *). Обозначим эту точку
через О*, а ее координаты в неподвижной системе — через х*, х%.
Тогда
A.81)
Вычитая почленно A.81) из A.80), найдем
Pj = со (Jtf — л:2), V2=*(o(X\ — Xi). A.82)
Из A.81) следует, что при условии (о=^0 существует единствен-
единственная точка на конечном расстоянии, скорость которой равна нулю.
А из формул A.82) мы видим, что если в эту точку поместить
начало координат в тот момент времени, когда ее скорость равна
нулю, то распределение скоро-
скоростей точек тела будет такое же,
как во вращательном движении
вокруг неподвижной оси. Точка
О* называется центром мгно-
мгновенного вращения, или мгновен-
мгновенным центром скоростей.
Очевидно, что координаты
точки О*
х2
О
Рис. 1.21.
( )
будут зависеть от времени, т. е.
в разные моменты времени раз-
разные точки тела будут совпадать
с центром мгновенного враще-
вращения. Передача этого свойства от точки к точке происходит со ско-
скоростью, называемой скоростью смены мгновенных центров. Гео-
Геометрическое место точек плоскости (хъ О, х2), с которыми сов-
совпадает точка О*, называется неподвижной центроидой (или непод-
неподвижной полодией). Координаты точки О* в системе |ь О', ?2>
жестко связанной с телом, определяются формулами, аналогич-
аналогичными формулам A.81):
@
(О
A.83)
здесь v'i, и О|, — проекции скорости точки О' на оси & и ?2*
Проекции вектора со на оси х3 и ?3 совпадают.
С помощью формул A.83) можно найти геометрическое место
точек тела**), с которыми по очереди совпадает точка О*. Эта
кривая называется подвижной центроидой.
Центр мгновенного вращения может быть найден простым
геометрическим способом, если известно направление скоростей
*) Точнее, точка принадлежащая плоскости (?i, О, |2)«
**) Лучше говорить «геометрическое место точек системы
O\
Г2
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
двух точек тела. Поясним этот прием на примере. Пусть абсо-
абсолютно твердый стержень АВ длины / скользит своими концами
по прямым Ох и Оу (рис. 1.22). Скорости точек А и В равны
vA и Vb соответственно. Проекции скоростей точек Л и В на
направление стержня должны быть
равны друг другу. Точка О* будет
лежать на пересечении перпендику-
перпендикуляров к векторам vA и vB> восстав-
восставленных в точках А и В, так как,
если допустить, что скорость точ-
точки О* отлична от нуля, то окажется,
что она должна быть перпендику-
перпендикулярна к двум непараллельным пря-
прямым.
Неподвижной центроидой в этом
случае будет окружность радиуса /
с центром в начале координат, а подвижной —окружность, диа-
диаметр которой равен /, с центром в точке С (АС = СВ).
Используя формулу Ривальса, можно найти распределение
ускорений точек тела. Подобно тому как мы нашли центр мгно-
мгновенного вращения тела, можно найти центр ускорений, т. е.
такую точку тела, ускорение которой равно нулю в некоторый
момент времени. Интересно, кроме того, вычислить ускорение
центра мгновенного вращения [7].
У
Б
«V
О
1
/
V?*
1 \ х
Рис. 1.22.
§ 11. Подвижные системы отсчета в кинематике точки
Рассмотрим движение точки М относительно подвижной
системы отсчета, с которой свяжем декартовы координаты ?1э ?а>
Ь (рис. 1.23).
Рис. 1.23.
Положение точки относительно подвижной системы опреде-
определяется ее относительными координатами ?, или относительным
§ 11. ПОДВИЖНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 53
радиусом-вектором г, который можно представить в виде
где 4 —орты, направленные по подвижным осям.
Положение точки М относительно неподвижных осей x-t мы
сможем определить, если в каждый момент времени будут из-
известны ее относительные координаты и, кроме того, известно
положение осей \s относительно неподвижных осей, т. е. движе-
движение системы \s должно быть задано.
Обозначая, по-прежнему, ОА1 через/?, а 66' через /?', запишем
A.84)
(здесь положение подвижных осей определяется вектором /?' и
ортами /,).
Найдем скорость точки М относительно неподвижных осей,
определяя ее положение указанным способом. Дифференцируя
обе части равенства A.84) по времени, получим
dR dR' dr
dt ~~ dt *~ dt '
Очевидно, что -jt — v есть искомая скорость точки М относи-
относительно неподвижной системы, а —^- = v' — скорость начала под-
подвижной системы. Последнее слагаемое, т. е. -?-, мы рассмотрим
подробнее.
Относительные координаты точки и орты is в общем случае
зависят от времени, следовательно,
dt ~~ Zj -s dt "*" Zd s dt '
Преобразуем первую сумму, принимая во внимание, что по фор-
формуле Эйлера ~^f"==[@4] (<*> ^сть мгновенная угловая скорость
вращения подвижных осей):
з з
2 ^-w-e 2
з
Вторую сумму У is'dt' °бозначим через -?¦ и назовем относи-
s = l
тельной производной. Таким образом, для производной от г
54 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
по времени получим следующее выражение:
7-М + |. A.85)
Скорость точки М относительно неподвижной системы отсчета
будет равна
*e*'+[er]+-f- A.86)
Если относительные координаты точки ?$. постоянны (если нет
относительного движения), то
dt ~и*
Поэтому относительная производная называется относительной
скоростью и обозначается через г>отн:
A.87)
s=l
Первые два члена в правой части формулы A.86) представ-
представляют собой ту часть скорости, которая навязывается точке
движением системы. Эта часть скорости называется переносной
скоростью и обозначается через vnep:
«пеР= «' + [©/•]. A.88)
Переносную скорость будем определять как скорость того места *)
в подвижной системе отсчета, в котором точка М находится
в рассматриваемый момент времени. Вычисляется переносная
скорость по формуле Эйлера.
Итак, скорость точки М относительно неподвижной системы
отсчета может быть представлена в виде
« = *пер + «>отн- A.89)
Найдем ускорение точки относительно неподвижной системы
отсчета в том случае, когда положение точки определяется ее
относительными координатами ?*@- Дифференцируем обе части
A.89) по времени:
Вычислим производную по времени от ©пер:
dv' I dm "I Г dr~\
4r + [-drr\+[(d-dtj'
dt
*) В определений переносно?! скорости слово «место» употребляется для
гого. чтобы избежать повторения слова «точка».
§ 11. ПОДВИЖНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА 55
где -gr —#' есть ускорение точки О'. Используя A.85), найдем
§
[а [©/•]]+[«¦§¦]
здесь через / обозначен вектор, направленный от точки к мгно-
мгновенной оси под прямым углом (см. формулу Ривальса).
Дифференцируем теперь по времени относительную скорость:
3 3 3
dVnm d
dt dt Ad s™'Li dt
s=l s=l s
Используя формулы -^- = [<о/у], найдем
3
Очевидно, что сумма 2 '*!* есть относительная произвол-
s=l
ная v0TB по времени, исчезающая в том случае, когда относи-
относительное движение точки М прямолинейно и равномерно. Назовем
эту сумму относительным ускорением и обозначим через аотн:
з
__ аРртн __ у/5 л on
^отн— ^ ~ J^ ls<ss' V1-^1/
Вернемся к формуле A.90):
а = 4F в а' + ["Ж г] + w2/ + 21 ^^тн] + аотн. A.92)
В правой части формулы A.92) первые три члена составляют
переносное ускорение, которое определяется как ускорение того
места в подвижной системе отсчета, в котором точка М находится
в рассматриваемый момент времени. Переносное ускорение вычис-
вычисляется по формуле Ривальса:
[^] <*4. A.93)
Следующий член правой части формулы A.92) называется
ускорением Кориолиса*). Будем обозначать его через акор:
акор = 2[сог>отн]. A.94)
Отметим, что, как это следует из вывода, ровно половина уско-
ускорения Кориолиса получена при дифференцировании по времени
*) В литературе можно встретить и другие названия: «поворотное»,
«добавочное)),
58
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
переносной скорости, вторая половина — при дифференцировании
относительной скорости. Последнее обстоятельство помогает при
решении задач находить направление ако?: нужно лишь обратить
внимание на то, в какую сторону поворачивается вектор относи-
относительной скорости под влиянием переносного вращения.
Окончательно найдем
= #пер + #кор + Я
A.95)
гДе Япер определяется формулой A.93), акор — формулой A.94) и
яотн —формулой" A.91). Формула A.95) носит название формулы
Кориолиса.
Итак, если положение точки М определяется ее координатами
относительно подвижной системы отсчета, то абсолютное ускоре-
ускорение точки можно вычислить с помощью формулы Кориолиса.
§ 12. Сложение движений абсолютно твердого тела
Покажем, что если положение абсолютно твердого тела опре-
определяется относительно подвижной системы отсчета, то распреде-
распределение скоростей точек тела относительно неподвижной системы
отсчета дается так же формулой Эйлера. При этом могут сущест-
существовать еще движущиеся одна относительно другой промежуточные*
системы отсчета.
Рис 1.24.
На рис. 1.24 изображены две подвижные системы отсчета —
системы // и ///, начала которых движутся со скоростями v2 и
vz, мгновенные угловые скорости этих систем равны со2 и о>3
соответственно. Система IV неподвижна. Система / с началом
в точке тела 0х на рисунке не изображена.
fi 12. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 57
Пусть ©отнц есть скорость точки Р, принадлежащей телу,
относительно системы //:
(Ь96)
где г = 67?, ^ — скорость начала системы отсчета, движущейся
поступательно относительно системы //, щ — мгновенная угловая
скорость тела относительно этой системы.
Для того чтобы найти скорость точки Р относительно
системы ///, вычислим по формуле Эйлера переносную скорость,
«навязанную» точкам тела движением системы //:
Но, так как О2Р — О^Ох + г, то
бД A.97)
Складывая геометрически A.96) и A.97), найдем скорость точки Р
относительно системы ///:
Оотн П 1 = *1 + ^2 + [©2 ОА] + [(©1 + ©2) Г]. ( 1.98)
В последнем слагаемом формул A.97) и A.98) вектор со2 надо
считать перенесенным в точку Ог.
Аналогично найдем переносную скорость, «навязанную» точке Р
движением системы ///:
©пер III = «8 + [©8 <Щ = *>3 + [©з ОА] + [<V]. ( 1.99)
При вычислении [co3r] следует вектор <о3 перенести в точку Ох.
Найдем скорость точки Р относительно неподвижной системы
отсчета IV:
*>огн 1V = ©отн Ш + ©пер 111 = ©1 + ©2 + ©3 +
+ [©2 070l] + [©3 ОА] + [(©1 + ©2 + ©3) Г]. A . 100)
В формуле A.100) сумма
©1 + Щ + ©з +1©2 ОА] + [©з ОД]
представляет собой скорость точки Ох относительно системы IV.
Обозначим ее через Vv Обозначим, кроме того, сумму ©i + ©2 + ©3
через Й. Тогда
V V + [Q] A.101)
Результат может быть сформулирован так: если абсолютно
твердое тело движется относительно подвижной системы отсчета,
которая сама движется относительно другой подвижной системы,
и т. д. (очевидно, что промежуточных систем может быть
сколько угодно), то распределение скоростей точек тела в таком
сложном», или «составном» движении дается формулой Эйлера
**> ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
A.101). Векторы Vi и Q не зависит от порядка слагаемых (это
легко проверить), следовательно, сложение производится по пра-
правилу параллелограмма. Последнее обстоятельство оправдывает
то, что направленные отрезки <о, мы называли векторами. Фор-
Формула A.101) говорит о том, что движения абсолютно твердого
тела образуют группу *).
Из формулы A.101) следует, что сложение поступательных
движений дает снова поступательное. В самом деле. Пусть щ =
= ш2 = ... = 0. Тогда й = 0 и V = Vi — скорости всех точек тела
в каждый момент времени одинаковы.
Если же ©1 = ©2 = ... = 0, и начала всех систем совпадают, то
где Q=
Следовательно, сложение вращений вокруг пересекающихся осей
приводит к вращательному движению с мгновенной угловой ско-
скоростью й.
III
Рис. 1.25.
Особый интерес представляет собой пара вращений (рис. 1.25).
Пусть тело вращается относительно системы // с угловой ско-
скоростью «! (о)! может быть мгновенной угловой скоростью, т. е.
речь может идти о мгновенном распределении скоростей).
Система // вращается относительно неподвижной системы ///
с угловой скоростью оJ=—(Ох (оси вращения параллельны, но
не совпадают). Обратимся к формуле A.101). Очевидно, что
$2 = ^ + 0J = 0. Следовательно, скорость любой точки тела отно-
относительно неподвижной системы /// будет равна скорости точки Ог:
©о™ п= V= Vb где Vx = [со2ОЛ]. A.102)
*) Приведенный в тексте вывод формулы A,101] предложен Д, А. Слав-
новым.
§ 13. ВЕКТОРЫ 59
Значит, результирующее движение поступательное. Нетрудно
показать, что и наоборот, любое поступательное движение можно
представить в виде пары вращений, вводя подходящие подвижные
системы отсчета. Что подвижные системы могут быть выбраны
различными способами, видно из формулы A.102). Важно, чтобы
векторное произведение [<о2 O26i]y так называемый момент пары, —>
имело определенное значение.
Подобно тому как мы в результате сложения скоростей полу-
получили формулу A.101) —формулу Эйлера, можно ускорение в ре-
результирующем движении вычислить по формуле Ривальса. Для
этого нужно складывать ускорения по формуле Кориолиса.
Предлагаем читателю проделать такой вывод в виде полезного
упражнения.
В заключение заметим, что довольно распространенное выра-
выражение «точка участвует в двух (нескольких) движениях», или
«тело участвует в двух (нескольких) движениях» без указания
подвижных и неподвижной систем отсчета не имеет смысла.
Проблема сложения скоростей или ускорений точки возникает
только тогда, когда имеются по меньшей мере две системы
отсчета —одна подвижная и одна неподвижная.
§ 13. Векторы
В кинематике при описании движения различных объектов мы
уже встретились с понятием вектора и применяли некоторые
операции векторной алгебры (сложение, скалярное и векторное
умножение) и, частично, векторного анализа — вычисление гра-
градиента скалярной функции. Относительно этих операций мы
предполагали, что они известны из курса математики.
В следующих главах, в связи с изучением динамики, мы
столкнемся с необходимостью расширить область применения
понятия вектора *), но новые разновидности векторов нам не встре-
встретятся — все основные виды были уже в кинематике.
Как мы видим, существуют некоторые кинематические (вообще
физические) объекты, обладающие такими свойствами, что их
удобно представлять направленными отрезками. При выполнении
некоторых условий такие направленные отрезки называются век-
векторами. После того как накоплен некоторый запас конкретных
сведений, полезно снова обратиться к основным понятиям теории
векторов и, главное, к выяснению вопроса о тех условиях, при
которых направленные отрезки можно называть векторами.
Физические объекты, математическими образами которых
являются векторы, могут зависеть от выбора системы отсчета.
*) Придется ввести и один из простых видов тензоров —тензор инерции.
60 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Мы будем говорить, что от выбора системы отсчета могут зави-
зависеть сами векторы —их величина и направление.
Поясним это утверждение примерами из кинематики.
Пусть точка движется относительно подвижной системы отсчета.
Тогда, как это следует из формул A.88) и A.93), векторы пере-
переносной скорости и переносного ускорения точки будут сущест-
существенно зависеть от характера движения системы отсчета.
Предположим еще, что точка совершает заданное движение
относительно неподвижной системы отсчета. Вводя затем различ-
различные подвижные системы, мы увидим, что от выбора этих систем
будут зависеть векторы относительной скорости и относительного
ускорения. В частности, если точка принадлежит абсолютно
твердому телу, то ее скорость и ускорение относительно системы,
жестко связанной с телом, будут равны нулю.
Важно подчеркнуть, что коль скоро мы выбрали систему
отсчета (тело отсчета), вектор не будет зависеть от того или
иного выбора координат. От частного выбора координат (прямо-
(прямоугольных декартовых, или криволинейных) будут зависеть состав-
составляющие вектора, например, ортогональные проекции на декар-
декартовы оси, но не сам вектор. В этом смысле вектор инвариантен.
Из этого правила есть некоторые исключения, о которых мы
скажем дальше.
Физические, в частности, кинематические объекты, изображае-
изображаемые векторами, могут быть различной природы. С этим связано
различие в свойствах самих векторов. Различаются векторы
полярные и аксиальные (осевые) *).
Полярный вектор не изменяется при переходе от правой
системы декартовых координат к левой системе; сохраняется
не только его величина, но и ориентация в пространстве. В силу
этого, если мы, переходя от координат х, у, z к координатам
х\ у\ z\ положим
х'= — ху у'= — у, г' = —г,
то проекции полярного вектора на новые координатные оси будут
отличаться знаками от проекций на старые оси. Примером поляр-
полярного вектора является вектор скорости точки — вектор v.
Особенность аксиального вектора заключается в том, что его
ориентация изменится на противоположную, если мы перейдем
от правой системы координат к левой, следовательно, указанное
выше преобразование координат не изменит знаков проекций
этого вектора. В качестве примера аксиального вектора можно
указать вектор угловой скорости тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси, либо вектор мгновенной угловой скорости со.
*) Аксиальные векторы часто называют шсевдовекторалод,
§ 13. ВЕКТОРЫ
61
Допустим, что имеется совокупность п направленных отрез-
отрезков Ray изображающих физические объекты одной природы.
Совместив начала рассматриваемых отрезков в одной точке, обра-
образуем их геометрическую сумму. Направленные отрезки /?а будем
п
называть векторами, если их сумма
изображает физиче-
скую величину той же природы и не зависит от порядка
слагаемых.
2.
ОА+ОВ+ОС ФОА+ОС+ОВ
Рис 1.26.
Заметим, что не всякие направленные отрезки обладают этим
свойством. Например, направленный отрезок, изображающий
поворот абсолютно твердого тела на конечный угол (рис. 1.26).
Выполним последовательно три положительных поворота на 90°
прямоугольного параллелепипеда вокруг осей х, у, z (положе-
(положения /, 2, 3 и 4). Затем повернем тело на такие же углы вокруг
осей х, z, у (положения 2, «?', 4'). Как мы видим, конечные по-
положения будут разные (можно следить за какой-либо отмеченной
гранью).
62 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Среди векторов различают свободные, определяемые (в трех-
трехмерном пространстве) тремя составляющими, скользящие («пере-
(«передвигаемые»), для определения которых нужно пять величин и,
наконец, приложенные векторы, определяемые шестью величинами.
Скользящий вектор можно определить, задавая три составляющие
вектора и, например, две координаты точки на какой-нибудь
координатной плоскости, через которую проходит ось-носитель
вектора. Вектор приложенный определяется тремя составляющими
и тремя координатами точки приложения.
Примером свободного вектора является скорость точек посту-
поступательно движущегося абсолютно твердого тела, все точки кото-
которого в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость.
Пример скользящего вектора — мгновенная угловая скорость
абсолютно твердого тела. Описание движения не зависит от того,
в каком месте оси расположен этот вектор (глава I, §§6, 8, 10).
Приложенный вектор —это, например, скорость или ускоре-
ускорение изолированной точки. Приложенным вектором следует счи-
считать и радиус-вектор точки.
Для того, чтобы рассмотреть различные виды координат
какого-либо вектора /?, введем косоугольную декартову систему
координат с началом в точке О, обозначив оси через хи *2, a:3.
Координатные (базисные) векторы обозначим через еь е2, е3.
Заметим, что если в качестве координатных векторов выбраны
три некомпланарных вектора в* произвольной длины,
то в этом случае система декартовых координат называется
обобщенной. Вектор R может быть представлен в виде геометри-
геометрической суммы
3 3
где /^ — составляющие вектора /?, направленные по осям xh
X,— координаты вектора. Составляющие вектора R и его коор-
координаты связаны соотношениями вида
Х^. A.104)
Очевидно, что в данной системе координат величины Xt полностью
определяют вектор R*
Вектор R можно определить иным способом, обобщая выра-
выражение координат вектора в прямоугольной системе декартовых
координат. С этой целью положим
Xf . (8,7?)» i в| 11 ? | cos (?k). A.105)
Очевидно, что
ХТ=*\ей\приН9
где n$x.R есть ортогональная проекция вектора R на ось Oxi.
§ 13. ВЕКТОРЫ 63
Отметим, что если декартовы оси ортогональны, то вели-
величины Xi и X* совпадают.
Предположим, что от выбранной системы координат мы пере-
переходим к другой косоугольной обобщенной декартовой системе,
сохраняя начало координат. Обозначим оси новой системы через yif
а координатные (базисные) векторы через &. Пусть координаты
векторов & относительно исходной системы будут aif (а^фа^.
Тогда
&=Z «v*h 0.106)
где
Рассмотрим теперь преобразование координат X*. Обозначая
новые координаты через Yf, найдем
Следовательно,
Z A.107)
Сравнивая полученную формулу с формулой A.106), замечаем,
что координаты X* преобразуются по такому же закону, что и
базисные векторы. Поэтому координаты Xf называются кова-
риантными (сопреобразующимися).
Обратимся к преобразованию координат Xt. Исходя из ра-
равенства
и применяя формулу A.106), получим
2 A.108)
Преобразование координат Xfi выражаемое формулой AЛ08),
обратно преобразованию базисных векторов (и преобразованию
1.107)). Поэтому координаты Xf называются контравариантными
координатами вектора /?.
Нетрудно найти зависимость между ковариантными и контра-
контравариантными координатами вектора /?. Введем скалярные произ-
произведения
64 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Используя формулу
/?- 21 Xfih
i в )
находим искомую зависимость в следующем виде*
i^ A.109)
Очевидно, что в прямоугольных декартовых координатах будет
Xf — Xf в силу того, что
Нетрудно убедиться в том, что координаты геометрической
3
суммы векторов /?а= ^] EiXai равны алгебраическим суммам
i: = 1
координат слагаемых и не зависят от их порядка. Обозначая
сумму векторов через /?, найдем
Мы видим, что координатами вектора R являются суммы коор-
координат векторов /?а, т. е.
Выше мы рассматривали косоугольные декартовы коорди-
координаты — координатная сетка состояла из прямых линий. Обратимся
теперь к криволинейным координатам, которые мы ввели в § 3
(рис. 1.11). Полагая, что вектор г есть функция параметров \i%
найдем малое приращение бг:
щ
где ж~ = Э* представляют собой базисные векторы, направленные
по касательным к соответствующим координатным линиям (в общем
случае | э* | Ф 1).
Перейдем к другой сопутствующей сиетеме криволинейных
координат, положив
§ 14. МОМЕНТ ВЕКТОРА 65
Приращение вектора г найдем по формуле
Очевидно, что
1*Щ' <U13>
Щ1Щ
Определителем преобразования будет здесь якобиан
д _ d(gi, ?2» gs) /1 1144
*~д(Ц1, гJ> т,з)' (iAiV
значение которого зависит от координат точки. Величины, кото-
которые преобразуются по закону A.113), будем называть, как и
в случае декартовых косоугольных координат, ковариантными>
т. е. преобразующимися аналогично базисным векторам.
Ковариантными величинами являются, например, составляю-
составляющие градиента некоторой скалярной функции F AЪ ?2, Ы» т- е*
частные производные ^-. Переходя к координатам rj/ по фор-
формуле A.111), мы получим
з
i?L— Ч1 dF д&
dx\j ~~ Zd dlt dx\j *
Величины, для которых при переходе от координат & к коор-
координатам \\i справедлив закон обратного преобразования, будем
называть контравариантными. Покажем, что контравариантными
величинами являются вариации (или дифференциалы) координат.
В самом деле, записывая выражение вариаций новых координат
через вариации старых, находим
Здесь коэффициентами являются элементы якобиана обратного
преобразования.
§ 14. Момент вектора относительно точки и относительно оси
Для изучения свойств ряда физических объектов, математи-
математическими образами которых являются векторы, удобно и полезно
применять так называемые моменты этих векторов. С моментами
некоторых векторов мы уже встретились в кинематике. Понятие
момента вектора очень важно для построения динамики мате-
материальных систем.
3 В. В. Петкевич
66
ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Рассмотрим вектор АВ=ру изображающий какую-либо физи-
физическую величину, и будем определять его положение относительно
системы координат х, у, г. Проекции вектора р на оси коорди-
координат равны рХу руу pz.
Моментом вектора р относительно точки С будем называть
вектор WI (рис. 1.27), определяя его следующим образом:
1) вектор 201 приложен в точке С перпендикулярно к пло-
плоскости треугольника САВ\
2) величина вектора 5К№ равна удвоенной площади треуголь-
треугольника CAB (равна произведению модуля вектора р на «плечо»—.
длину перпендикуляра \CD\t опущенного из точки С на пря-
прямую АВ)\
3) вектор WI вместе с векторами С А и АВ образует пра-
правую тройку векторов (в правой системе координат).
Вектор, удовлетворяющий перечисленным условиям, можно
найти, вычисляя векторное произведение векторов СА и АВ:
Мотср
[СА АВ].
A.115)
Очевидно, что вектор fflt не изменится ни по величине, ни по
направлению, если мы передвинем вектор АВ в любое место
прямой, на которой он расположен.
Если точка С совпадает с началом координат, то вектор С А
можно рассматривать как радиус-вектор точки А и положить
СА=г. Тогда
Ш = [гр]. A.116)
Записав г и р в виде
г = ix +Jy + kz, p== ipx +jpy + kp29
/, у, к — орты, направленные по осям координат, представим
§ 14t МОМЕНТ ВЕКТОРА
67
момент в виде определителя:
/ / к
х у z
Рх Ру Рг
Моментом вектора р относительно какой-либо оси будем назы-
называть проекцию момента относительно начала координат на эту
ось. Моменты вектора 501 относительно осей х% у, z будут иметь
вид
урх. A.117)
В кинематике мы встречались с понятиями аксиального век-
вектора («псевдовектора») и полярного вектора. При переходе от
правой системы координат к левой аксиальный вектор изменяет
свое направление, тогда как полярный вектор остается неизмен-
неизменным. Если мы преобразуем [декартовы координаты, положив
**= — *, */'= — */, г'= — г, A.118)
то перейдем от правой системы координат к левой. При этом
все проекции полярного вектора, например, вектора скорости
точки, изменят свои знаки на противоположные, а знаки проек-
проекций аксиального вектора, например, вектора угловой скорости,
сохранятся. Что касается момента, то закон преобразования его
проекций будет зависеть от свойств вектора р: если р есть век-
вектор полярный, то вектор 501 будет вести себя при преобразова-
преобразовании A.118) как аксиальный вектор, если же р аксиальный век-
вектор, то знаки проекций вектора Wt изменятся на противополож-
противоположные—501 будет полярным вектором.
Поясним это утверждение примером из кинематики. В § 1
главы I мы ввели понятие секторной площади, дифференциалы
которой определяются формулами A.16). Выражение секторной
скорости в декартовых координатах имеет вид
dx
Если мы введем вектор
i
X
X
/
У
У
и
0
0
2 — k-
dt
представляющий собой момент вектора скорости относительно
начала координат, то заметим, что 2д есть проекция момента
скорости на ось OZ. Преобразование A.118) изменит знаки век-
векторных сомножителей г и v. Поэтому знак проекции вектора 2ак
сохранится. Следовательно, момент вектора скорости точки есть
вектор аксиальный.
з*
68 ГЛ. I. КИНЕМАТИКА
Обратимся теперь к случаю вращения абсолютно твердого
тела вокруг неподвижной оси, разобранному в § 10. Вектор ско-
скорости точки Р (см. рис. 1.19) можно представить в виде момента
вектора со относительно самой точки Р:
A.119)
что, очевидно, согласуется с формулой Эйлера, так как
Рд=—ОР= — Г И t>p= — [Г(О] = [@Г].
Отсюда следует, во-первых, что, действительно, вектор <о можно
помещать в любом месте оси вращения, т. е. что <о есть вектор
«скользящий». Во-вторых, что если мы перейдем к левой системе
координат, преобразуя координаты по формулам A.118), то
поскольку знаки проекций вектора г изменятся, а знаки проек-
проекций со сохранятся, у проекций вектора vP знаки изменятся на
противоположные. В этом случае момент вектора со есть поляр-
полярный вектор.
Рассмотрим множество векторов/?а одной природы (а =» 1, 2,...
... , п). Вычисляя момент каждого из них относительно начала
координат, затем суммируя все моменты, мы получим суммарный
(главный) момент
Ж = j] 9». = ? [г*ра), A.120)
где га есть радиус-вектор начала вектора ра.
Очевидно, что если линии действия всех векторов ра («носи-
(«носители» векторов) пересекаются в одной точке А (или все векторы
приложены в этой точке), то можно положить га = гА. Тогда
сумма моментов будет равна моменту суммы векторов (моменту
главного вектора):
\ jl A.121)
Если же линии действия векторов ра не пересекаются в одной
точке, то равенство A.121) не будет выполняться. Характерным
примером является пара векторов, т. е. совокупность двух рав-
равных по величине, противоположно направленных и не лежащих
на одной прямой векторов.
В § 12 главы I мы рассмотрели пару вращений (пару векто-
векторов сох и со2 = — <«>i) и обнаружили, что в этом случае тело дви-
движется поступательно, причем скорость поступательного движения,
одинаковая для всех точек тела, равна моменту пары (см. фор-
формулу A.102)), тогда как сумма векторов щ и оJ в этом случае
равна нулю.
ГЛАВА II
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Законы Ньютона. Правило сложения сил
Рассмотрим простейшую модель реального тела — материаль-
материальную точку, движущуюся относительно некоторой системы отсчета.
С системой отсчета свяжем систему координат и будем определять
состояние движения точки ее координатами и проекциями ско-
скорости на координатные оси. Причину, вызывающую изменение
состояния движения материальной точки (или более сложной
модели реальных тел), назовем силой.
Вначале рассмотрим движение материальной точки относи-
относительно инерциальной системы отсчета *). Если состояние движе-
движения материальной точки относительно инерциальной системы
отсчета с течением времени изменяется, то, как показывает опыт,
это происходит только в результате взаимодействия материаль-
материальной точки с другими точками и телами, т. е. силы, изменяющие
состояние движения, возникают в результате взаимодействия
материальных объектов**).
Уравнения, с помощью которых описывается изменение состоя-
состояния движения материальной точки, — уравнения движения, —
составляются на основе законов Ньютона, которые часто назы-
называют аксиомами, так как они принимаются без доказательств,
без каких-либо математических выводов —они «вводятся», а не
«выводятся». Законы Ньютона изложены в его трактате «Philosop-
hiae naturalis Principia Mathematica» («Математические начала
натуральной философии»), который вышел в свет в 1687 г. Поэтому,
несмотря на то, что у Ньютона были великие предшественники,
год опубликования трактата Ньютона считается годом возникно-
возникновения теоретической механики, основы или «начала» которой
даны Ньютоном в чрезвычайно простой, сжатой и ясной форме.
Законы природы предстают здесь в идеализированном, абстракт-
абстрактном виде, поскольку они относятся к идеализированным моделям
реальных тел и к идеализированной модели реального физического
*) См. «Введение» —определение инерциальной системы отсчета.
**) Дальше мы рассмотрим движение материальной точки относительно
неинерциальной системы отсчета (гл. II, § 7) и увидим, что изменение состоя-
состояния относительного движения частично будет определяться движением самой
системы отсчета.
7С ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
пространства — рассматриваются материальные точки, движущиеся
относительно инерциальной системы отсчета. Однако опыт пока-
показывает, что подобная идеализация допустима в очень широких
пределах — решение многих задач механики позволяет с большой
точностью описывать движение реальных тел и надежно предска-
предсказывать их поведение *).
Для составления уравнений движения материальной точки
введем простейшие меры движения. В качестве основной простей-
простейшей меры движения примем импульс (количество движения), рав-
равный произведению массы т на вектор скорости точки,
p = mv, B.1)
где масса — постоянный положительный множитель т —есть мера
инертности материи **). Простейшими мерами движения являются,
кроме того, момент импульса относительно начала координат
B.2)
и скалярная мера движения — кинетическая энергия материаль-
материальной точки
1 =~^-. A.6)
Как мы увидим дальше, уравнения, описывающие изменение
момента импульса либо кинетической энергии, позволяют в ряде
случаев проще и в более наглядной форме выявить характер
движения материальной точки.
Приведем формулировку законов Ньютона, условившись обо-
обозначать силу взаимодействия между точками Ма и Мр через /ар,
а суммарную силу, приложенную к точке М, взаимодействующей
со многими другими точками,—через F.
Первый закон Ньютона: материальная точка пребывает
в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения
относительно инерциальной системы отсчета до тех пору пока
действующие на нее силы не изменят это состояние. Иначе говоря,
изолированная материальная точка (точка, «одинокая во всем
мире») либо покоится, либо движется прямолинейно и равномерно
относительно инерциальной системы отсчета — причина изменения
состояния движения находится вне самой точки***).
*) Заметим, что для построения механики непрерывных сред, в том
числе и механики абсолютно твердого тела, необходимо постулировать некото-
некоторое расширение понятий и аксиом механики материальных точек.
**) Дальше мы увидим, что множитель т фигурирует и в законе тяготе-
тяготения Ньютона, но уже в другом качестве.
*¦*) Для того чтобы рассматривать изолированную материальную точку,
необходимо допустить, что тела, образующие систему отсчета, находятся на
достаточно большом расстоянии (на «бесконечно» большом расстоянии). Если
состояние движения материальной точки, находящейся в окружении других
материальных объектов, не изменяется, то это означает равенство нулю суммы
всех сил, приложенных к точке,
1. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ СИЛ
71
Второй закон Ньютона: производная по времени от
импульса материальной точки геометрически равна*) силе, при-
приложенной к точке. Или, при постоянной массе, произведение массы
точки на ее абсолютное ускорение геометрически равно приложен-
приложенной к материальной точке силе, т. е.
^(nw) = F, или m^r = F. B.4)
at v ' at
Третий закон Ньютона: две любые материальные точки
взаимодействуют друг с другом с силами, направленными по пря-
прямой , соединяющей эти точки, равными по величине и противопо-
противоположно направленными. Пусть это
будут точки Ма и Мр. Тогда
= — /р<х-
B.5)
МА
fia.
Рис. 2.1.
Здесь /ар есть сила, действую-
действующая на точку Ма со стороны
точки УИр, /ра~сила, действую-
действующая на точку УИр со стороны
точки Ма (рис. 2.1).
Для того чтобы на основе законов Ньютона можно было
составлять уравнения движения и решать задачи, необходимо
дополнить их правилом, с помощью
которого находится вектор силы F в
уравнении B.4), если материальная
точка взаимодействует со многими
другими точками. Кроме того, нужно
указать, от каких величин может
зависеть сила F.
Принцип независимости
действия сил; правило па-
параллелограмма. Пусть имеется
совокупность материальных точек,
взаимодействующих друг с другом
с некоторыми силами fij. Число то-
точек равно п. Выделим одну из них и, рассматривая взаимодейст-
взаимодействие этой точки с каждой из оставшихся, запишем выражения для
ускорений аи, создаваемых силами взаимодействия (рис. 2.2).
= fi
in*
*) «Геометрически равна* означает, что равны абсолютные величины век-
векторов и совпадают их направления.
72 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Принцип независимости действия сил, основанный на опыте,
заключается в том, что ускорение alh вызываемое силой fxh опре-
определяется только этой силой и не зависит от остальных сил.
Складывая геометрически левые и правые части в B.6), найдем
i = о = 2
Очевидно, что результат не зависит от порядка, в котором скла-
п п
дываются векторы. Обозначая ^а« через ах и 2/и чеРез ^и
получим
тхп\ = F\.
Итак, геометрическая сумма ускорений axh вызываемых силами
взаимодействия точки М{ с остальными точками, пропорцио-
пропорциональна геометрической сумме сил взаимодействия, В этом и состоит
правило сложения сил —правило параллелограмма, основанное
на принципе независимости действия сил.
Покажем, что если нарушается принцип независимости дей-
действия сил, то нарушается и правило сложения сил. Допустим,
что
^12/12 + ^13 Аз» ЩЩз = Hi2 А* + П13 Аз»
т. е. что а12 и а13 линейно зависят от fu и Аз- Складывая
геометрически, найдем
Щ (oci2 + а13) = (Яг2 + Hi2) /12 + (Кз + Цлз) Аз- B.7)
Очевидно, что правая часть полученного равенства может быть
не коллинеарна сумме fu + Аз и что, допустив простую линейную
зависимость ускорения аи не только от силы fxu но и от других
сил, мы нарушили правило сложения сил*).
Сила /% приложенная к материальной точке, может зависеть,
как показывает опыт, от многих величин и от многих обстоя-
обстоятельств: она может зависеть от мгновенных значений переменных,
определяющих состояние движения точки, от того, каким было
движение точки и каким было состояние окружающей среды
в прошлом, и может, кроме того, зависеть явно от времени.
Рассмотрим, например, вертикальные колебания тела, подве-
подвешенного на пружине в реальных условиях. Если тело колеблется
долго, то сила, с которой действует пружина на тело в некото-
некоторый момент времени, будет зависеть не только от удлинения
пружины в этот момент времени, но и от продолжительности
и размаха предшествующих колебаний, от температуры окру-
*; Предполагается, чт® если Д^О, то mia12~fi2, и, если /12 = 0* то
/13
§i I. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ СИЛ ?3
жающей среды и т. д. Зависимость силы от предыстории возникает
в результате старения материала пружины и связанного с этим
изменения ее упругих свойств. Указанные обстоятельства и,
кроме того, сопротивление среды приведут к тому, что спустя
некоторое время колебания прекратятся. В идеализированной
же постановке задачи, если полагать, что пружина есть идеально
упругое тело и пренебречь сопротивлением среды, мы найдем,
что колебания с постоянным размахом будут продолжаться вечно.
Ближе к реальным условиям такая постановка задачи, в которой
приближенно учитывается сопротивление окружающей среды—¦
сила сопротивления среды полагается пропорциональной ско-
скорости точки. В этом случае мы обнаружим, что колебания будут
затухать —их амплитуда с течением времени будет асимптоти-
асимптотически стремиться к нулю. Дальнейшее приближение к реальным
условиям, связанное с усложнением постановки задачи, приводит,
как правило, к повышению математической трудности решения
задачи.
Поскольку в механике обычно рассматривается движение тел
в течение ограниченного времени, допускаются разумные упро-
упрощения в постановке задач и, в частности, допускается та или
иная степень идеализации сил. В дальнейшем мы ограничимся
силами, зависящими от координат точки приложения, от их
первых производных по времени и явно от времени. Кроме того,
в некоторых задачах будем рассматривать силы трения, выраже-
выражения которых содержат экспериментально определяемый коэффи-
коэффициент трения. Практика свидетельствует о том, что подобная
идеализация допустима в весьма широких пределах.
Силы могут зависеть и от производных более высоких поряд-
порядков, но в нашем курсе мы такие силы рассматривать не будем.
Укажем лишь, что, например, силы сопротивления, пропорцио-
пропорциональные ускорению, действуют на тела, движущиеся ускоренно
в жидкости. Влияние подобных сил учитывается введением так
называемых присоединенных масс. Здесь в самом простом случае
можно обнаружить нарушение принципа независимости действия
сил. Пусть, например, тело с массой /л, к которому приложена
сила F, движется в жидкости поступательно и прямолинейно.
Обозначая ускорение через а, запишем уравнение движения как
для материальной точки:
где ja — коэффициент сопротивления *)• Очевидно, что если отсут*
ствует сила F, то будет равно нулю и ускорение а. Следова-
*) Коэффициент \х называется также присоединенной массой в силу того,
что уравнение движения можно записать в виде
74 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
тельно, сила — \ха обязана своим происхождением силе F— налицо
нарушение принципа независимости действия сил.
Покажем, что силы, приложенные к материальной точке и
зависящие от ускорения, но направленные не по одной прямой,
могут не подчиняться правилу сложения сил — правилу паралле-
параллелограмма. Рассмотрим материальную точку М{ с массой шх.
Пусть на точку действуют две силы, /i2 —|^2«i2 и f13 — |л,3«1з,
направленные не по одной прямой. Здесь &ц — ускорения, созда-
создаваемые силами fu — [XjOCib \Xi — постоянные коэффициенты. Запи-
Запишем уравнения:
=/12 —
=/i3 —
Обозначим через аг сумму ос12 + а13. Если считать справедливым
правило сложения сил, то, так как силы ^ац- зависят от уско-
ускорения точки в данный момент времени, мы найдем
^i«i =/i2+/13 — ^201 — \*>*аъ
или
B.9)
Векторы «12 и сс13 найдем из уравнений B.8) и подставим их
выражения в B.9). При этом окажется, что силы /12 и /13 должны
быть связаны соотношением
^Й-0' BЛ0)
или, при fx2 = H<3, /i2 = s— /13. Если B.10) не выполняется, то
неприменимо и обычное правило сложения сил *).
Второй закон Ньютона связывает кинематическую величину—*
ускорение с динамической величиной — силой. Коэффициентом
пропорциональности является масса.
Неоднократно высказывались суждения о том, какие величины
считать основными и какие — производными (т. е. выраженными
через основные)**). Поэтому поводу можно заметить, что основ-
основные величины нельзя назначать умозрительно. Выбор таких вели-
величин связан с возможностью многократного и надежного измерения
этих величин в реальных условиях. Одна и та же величина
будет доступной для прямого измерения в одних условиях и
недоступной в других, например, массы земных объектов и массы
небесных тел.
*) Вопрос о силах, зависящих от ускорения, в несколько иной форме
рассматривал Л. Парс [21].
**) См. речь Н. Е. Жуковского на собрании, посвященном памяти Нью-
Ньютона, — «Ньютон как основатель теоретической механики» (см, [\2]3 т. VII),
§ 2. СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА 7S
С момента выхода в свет «Philosophiae naturalis Principia
Mathematica» Ньютона прошло без малого три века. За это время
было много попыток изменить системы аксиом Ньютона, заменить
аксиомы Ньютона другими, считать, например, второй закон
Ньютона лишь определением силы, т. е. заменить закон услов-
условным соглашением: «сила есть произведение массы точки на ее
ускорение» и так далее *). Но из всех этих попыток ничего не
вышло. Законы Ньютона выдержали беспощадную проверку вре-
временем и всей человеческой практикой.
Развитие физики привело лишь к изменению некоторых уста-
устаревших представлений и к выяснению границ области, в пределах
которой справедлива механика Ньютона: ньютоново понятие
абсолютного пространства заменено теперь понятием инерциаль-
ной системы отсчета (см. Введение); установлено, что механика
Ньютона — классическая механика — неприменима, если относи-
относительные скорости точек сравнимы со скоростью света. Неприме-
Неприменима механика Ньютона и к изучению явлений микромира —это
область квантовой механики, хотя для построения аппарата
квантовой механики используется аналогия с аппаратом класси-
классической механики. Но в своей, очень широкой, области механика
Ньютона дает поразительные по точности результаты. Достаточно
указать хотя бы на расчеты движения искусственных небесных
тел, целиком основанных на законах классической механики**).
§ 2. Дифференциальные уравнения движения
свободной материальной точки
Рассмотрим движение свободной материальной точки относи-
относительно инерциальной системы отсчета; положение точки будем
определять декартовыми координатами.
Второй закон Ньютона совместно с правилом сложения сил
позволяет составить дифференциальные уравнения движения точки.
Исходя из B.4), найдем
mF m3L/v mSF BЛ1>
причем Fxt Fy$ Fz — проекции силы F на оси координат — могут
зависеть от координат, их первых производных и времени. Урав-
Уравнения B.11) образуют систему из трех дифференциальных урав-
уравнений второго порядка.
*) Об этих попытках можно прочесть в упомянутой речи Н. Е. Жуков-»
ского.
**) И в наше время есть попытки «опровержения» законов Ньютона, но
теперь это удел дилетантов-недоучек.
76 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Если известен закон движения, т. е. если заданы координаты
материальной точки в виде функций времени
*-Ы0. У-hit), г = /3@,
то из уравнений B.11) мы легко найдем зависимость проекций
силы от времени, но установить зависимость силы от координат
и скорости точки вообще не просто.
Решение задач, в которых требуется исследовать движение
материальной точки, если известна сила, связано с интегриро-
интегрированием системы дифференциальных уравнений. Для получения
частного решения необходимо задать координаты точки и проекции
ее скорости в некоторый (начальный) момент времени.
Уравнение B.4) описывает изменение во времени импульса
точки. Во многих случаях удобнее пользоваться другими фор-
формами уравнений движения. Мы рассмотрим здесь еще две формы:
уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии.
Умножим обе части B.4) векторно слева на радиус-вектор
точки М:
В левой части, после очевидного преобразования, получим
-^[rmv], и уравнение момента импульса будет иметь вид
?[rmv] = [rF]. B.12)
Следовательно, производная по времени от момента импульса
геометрически равна моменту силы (моменты векторов берутся
относительно неподвижного начала). Очевидно, что уравнение
B.12) не сводится к B.4)*).
Уравнение момента импульса можно записать подробнее:
d i i k ijk
-пхуг=хуг; B.13)
mx my mi Fx Fy Fz
здесь /f у, Л —единичные векторы, направленные по осям коор-
координат.
Уравнение кинетической энергии получим, умножая скалярно
обе части B.4) на элементарное перемещение dr = vdt. В левой
части получим \m~vdt\ —df^jj-j. Уравнение кинетической энер-
энергии запишем в виде
B.14)
*) В частности, может быть [/74 = 0, но
§ 2. СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА 77
Дифференциал кинетической энергии тонки равен элементарной
работе суммы сил, приложенных к точке, на действительном
перемещении.
В теории дифференциальных уравнений первым интегралом
системы уравнений называется функция координат, их производ-
производных и времени, которая обращается в постоянную в силу урав-
уравнений. Иначе говоря, полная производная этой функции по вре-
времени обращается в нуль в силу уравнений (заметим, что второе
определение удобнее).
Если fj (*, у, z\ х, у, z; t) есть первый интеграл B.4), то
dff
в силу уравнений /у = Су и ^- =* 0.
Например, если F* = 0, то тх = const или, еслр xFy — yFx=*0r
то т (ху — ух)¦*const и т. д. Это простейшие интегралы импульса
и момента импульса, которые часто называют законами сохране-
сохранения.
Интеграл энергии мы получим из B.14), если правая часть
есть полный дифференциал некоторой скалярной функции — потен-
потенциала силового поля *).
Силовой потенциал может быть функцией координат точки и
времени. Обозначим его через П(л;, у, г\ t). Проекции силы на
оси координат будут равны
F*e3F' F" = ?' Fz=z~df <2Л5>
Очевидно, что элементарная работа силы Т7, которую теперь
можно записать в виде
B.16)
будет полным дифференциалом функции П, если, во-первых, суще-
существует эта функция, и, во-вторых, силовое поле стационар :о —
вектор F, и, следовательно, функция П не зависят явно от вре-
времени. Условия существования функции П —условия, которым
должны удовлетворять проекции силы F, —известны из матема-
математического анализа. Их можно записать в виде
ду дг дгду' дгдх дх дг* дхду ду дх*
ИЛИ
dFz^dFy Wx^dF, dj^ ^ dF*
ду дг * дг дх * дх ду'
*) Понятие силового поля должно быть знакомо читателю из курса физики.
78 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Три последних равенства эквивалентны векторному равенству
volF=
дх ~ду дг
= 0. B.17)
Итак, если rot/7=0 и ¦§г = 0, то
и уравнение B.14) будет уравнением в полных дифференциалах
?)-<ffl. B.18)
Следовательно, из уравнения B.18) найдем
^- = П(*, */, г) + const. B.19)
Часто вместо потенциала силового поля вводят потенциальную
энергию материальной точки, отличающуюся от потенциала
знаком. Потенциальную энергию обозначим через (/, полагая
U(x, у, г) = — U(x, у, г)*). Вместо B.19) получим
^ + V (*, у, г) = const = Ео. B.20)
Мы пришли к так называемому интегралу энергии (закону сохра-
сохранения механической энергии): если силовое поле потенциально
и стационарно, то сумма кинетической и потенциальной энергий
свободной материальной точки равна постоянной. Сумма кинетичес-
кинетической и потенциальной энергий называется механической энергией,
ее постоянное значение обозначено через Ео. Чтобы вычислить ?0,
надо задать начальные значения координат точки и ее скорость.
Если силовое поле потенциально и стационарно и, следовательно,
если сохраняется (консервируется) механическая энергия свобод-
свободной материальной точки, то такое поле называется консервативным.
Нетрудно показать, что работа сил консервативного поля при
конечных перемещениях точки не зависит от вида траектории,
а равна разности значений функции П в конце и в начале пере-
перемещения. Отсюда следует, что работа сил консервативного поля
на замкнутом перемещении равна нулю **). В самом деле, пусть
*) Очевидно, что функции (/ иП могут быть определены с точностью
цо постоянного слагаемого.
**) Это следует непосредственно и из теоремы Стокса:
(rot F)ndat
где С —замкнутый контур, а —поверхность, опирающаяся на контур С.
§ 2. СВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА 79
Р1 и Р2 — начальное и конечное положения точки. Вычисляя
работу сил поля найдем
$ Jdn-IIIp.-IIta. B.21)
Заметим, что можно рассматривать движение точки и в неста-
нестационарных силовых полях. Если в каждый момент времени
rotF = 0, то функция П будет существовать, но она будет явно
зависеть от времени, и при вычислении интегралов вида B.21)
или интегралов по замкнутому контуру — циркуляции вектора
F — время нужно рассматривать как фиксированный параметр.
Выбор метода интегрирования уравнений движения свободной
материальной точки определяется характером силового поля.
Укажем на некоторые, важные для приложений, частные виды
силовых полей.
Если сила зависит только от времени —поле однородное, но
нестационарное, — то из B.11) имеем
d2x г, ,,ч
Отсюда
dx
B.22)
Аналогичные выражения получим для у и г.
Если проекции силы на оси координат зависят только от соот-
соответствующих координат, то, умножая на dx обе части уравнения
m —= F (х)
и интегрируя по х, получим
(dx\*
W.
Положим
Тогда
Знак перед корнем нужцо выбирать так, чтобы решение отвечало
начальному состоянию. Разделяя переменные, найдем
80 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Если проекция силы на какую-либо ось зависит лишь от
проекции скорости на эту ось, то, обозначив в уравнении
т
1ТОГЮО 11 ПП П\1Л11ЛАЛ
dt
dx
~гг через и% получим
d2x F /dx\
dt*^ x\dt)
du J_
dt^ m
Разделяя переменные, найдем время как функцию и:
«о
Обращая решение (что далеко не всегда просто), получим
Отсюда
i . B.24)
§ 3. Качественное исследование движения
Качественное исследование движения представляет собой при-
применение различных способов и приемов, позволяющих судить о
свойствах движения материальной точки, или системы точек, или
какого-либо более сложного объекта, не интегрируя до конца систе-
систему дифференциальных уравнений движения. Часто это делается при
помощи первых интегралов уравнений движения — используются
функции интегралов, которые, как известно, являются также
интегралами.
Мы рассмотрим здесь один из таких методов. Обозначим
через q некоторую координату — это может быть полярный радиус,
либо угол отклонения маятника, либо декартова координата точки.
Координата q может быть и одним из углов Эйлера —углом
нутации — в задаче о движении абсолютно твердого тела с одной
неподвижной точкой (см. динамику абсолютно твердого тела).
Короче говоря, q = f(t) есть так называемая обобщенная коорди-
координата, зависящая от времени.
Допустим, что в силу уравнений движения координата q
удовлетворяет дифференциальному уравнению вида
^Я), B.25)
в котором правая часть, F(q), есть известная, однозначная и
дифференцируемая функция координаты q, зависящая еще, быть
5. 3. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ 81
может, от констант интегрирования. Переменные в уравнении
B.25) разделяются, интегрирование завершается вычислением
интеграла и мы находим
\
здесь qo~q(to). Знак перед радикалом выбирается так, чтобы
/ dq \
решение отвечало начальному состоянию (нужно знать -^ __ 1.
В простых случаях интеграл в B.26) вычисляется, и мы находим
время как функцию верхнего предела — координаты q. Обращение
интеграла позволит нам найти координату в виде функции вре-
времени, что, как известно, далеко не всегда просто. Качественное
исследование здесь приходится применять потому, что интеграл
в B.26) либо не может быть выражен в известных функциях,
либо его вычисление приводит к сложным, трудно обозримым
формулам.
Выведем выражение второй производной от q по времени,
которое нам понадобится в дальнейшем. Дифференцируя обе части
уравнения B.25) по времени, получим
9 dq d2q __ dF dq
di~d^~"dqW
Полагая, что
приходим к искомой формуле
1_L
2 dq'
Покажем, что характер изменения координаты q определяется
поведением функции F (q) и, главным образом, зависит от корней
уравнения F(q) = 0.
Предположим, что уравнение F(q) = 0 имеет два простых
корня, #1 и q2, между которыми находится начальное значение
координаты q(to) = qo, и что график функции F (q) в окрестности
q0 имеет вид, указанный на рис. 2.3, а*). Области изменения
координаты q в действительном движении отвечают неотрицатель-
неотрицательные значения ординат. Пусть, для определенности, ~-.\ <0,
тогда в формуле B.26) выбираем нижний знак перед интегралом.
Функцию F(q) представим в виде (q — qi)(q2 — q)^(q), где W(q)>Q
*) Разумеется, уравнение F(q) = 0 может иметь и другие корни, кроме qx и
82
ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
при qi^q^qi- Время tx достижения левой границы конечное,
так как конечным будет предел интеграла
Интеграл сходится, и мы найдем
В момент времени h q = qlt -? = 0, но
B.27)
, так как ^ — ¦j'SS'
F(q)
J- и.
hi /
5)
Рис. 2.З.
Я, Яо Я
6)
Следовательно, если
времени, то
есть малое положительное приращение
\
Координата q(t) будет возрастать до значения q2, при котором
скорость q снова обратится в нуль. Время достижения правой
границы также будет конечным. Изменяя знак перед радикалом,
найдем
\Ш' B'28)
я%
Вслед за остановкой координата начнет уменьшаться, так как
^тгт" <0. Найдем время возвращения в начальное
/2 ¦*» o>q я = Qi
состояние:
Здесь
B.29)
§ 3. КАЧЕСТВЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ 83
Складывая выражения B.27) —B.29) и меняя пределы интегри-
интегрирования, получим
?Йг B>30)
Очевидно, что, каково бы ни было значение q, принадлежащее
замкнутому интервалу [ql9 q2],
Итак, если уравнение F(q) = 0 имеет два простых корня, qx и q2,
между которыми находится начальное значение q0> то координата
q(t) меняется периодически, колеблясь между qx и q2, и период
колебаний выражается формулой B.30).
Пусть теперь один из корней (или оба) кратный. Например,
пусть q2 есть двукратный корень уравнения F(q) = 0. Положим
где ф(<7)>0 при qi^q^q2 (рис. 2.3, б). Рассмотрим движение
при тех же начальных условиях и найдем время движения от
левой до правой границы:
В этом случае интеграл расходится и стремление к правой гра-
границе будет асимптотическим:
если q-*q2i то f-^ + oo.
Изменение координаты q в случаях а и б (см. рис. 2.3) назы-
называется финитным (ограниченным). В случае а оно периодическое,
в случае б апериодическое.
Если уравнение F (q) = 0 имеет один простой корень (случай в
рис. 2.3), или корней нет вовсе *), то очевидно, что изменение
координаты q(t) будет инфинитным (неограниченным):
Заметим, что если уравнение F(q) = 0 не имеет вовсе корней, то
очень важен знак начальной скорости (при колебательном дви-
движении этот знак не так важен).
В случаях а и б полезно рассмотреть другой подход к иссле-
исследованию изменения координаты ^(О- Из уравнения B.25) получим,
выбирая для определенности нижний знак перед радикалом
B.31)
*) Речь идет о вещественных корнях.
84 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Заменим уравнение B.31) системой из двух уравнений, вводя
вспомогательную переменную w:
-?), B.32)
dw 1/тг./..л, ^2.33)
В правой части B.33) координата q выражена через w при
помощи B.32). Если положить
то из B.32) найдем
Следовательно,
w = arccos S + const.
Постоянную в этой формуле можно отбросить, так как w — вспо-
вспомогательная переменная. Тогда
q = b±Si + tzzSi cos w. B.34)
Значит, q есть периодическая функция w с периодом 2jc.
Обратимся теперь к уравнению B.33). В силу того, что ? (q)
положительна при qi^q^q^ «; есть монотонно возрастающая
функция времени. Имеем
I dw
Найдем приращение времени, отвечающее изменению w на вели-
величину 2зх:
С dw
Из двух последних выражений исключим время t:
dw
;= f
Замечая, что однозначная функция Ч, являясь сложной функ-
функцией до, имеет период 2я, и что график ее симметричен относи-
относительно оси ординат, запишем:
*" - B.35)
§ 3. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ 85
Величина х не зависит от q. Возвращаясь к переменной q, и^
B.34) найдем q @) = q^ q (я) = qx. Выражая dw через dq с помощью*
B.32), получим, изменив пределы интегрирования,
Мы снова пришли к формуле B.30) для периода координаты q*.
Подобным же способом рассмотрим случай двукратного корня,
уравнения F(q) = 0. В этом случае
F (q) = (?2 -
где ф(<7) >0 при 9i<?<92. Вместо уравнений B.32) и B.33>
запишем
^ y^lt B.36)
§ B.37)-
Буквой ц здесь обозначена вспомогательная переменная, являю-
являющаяся возрастающей монотонной функцией времени.
Найдем зависимость rj от q, полагая, что q увеличивается,
от значения qx до q2. Из B.36) имеем
Положим q — qi = y2, qz — qi — b2. Тогда
Отсюда
l
Г'-i
c11 + i/h?l
Я2-Я1
где с есть постоянная интегрирования. Можно положить c=
Очевидно, что т]-> + °° при q*—**q2- Из B.37) следует
ибо ф(?)>0 при ?i9?
Случай корней любой кратности рассмотрел К. Шарлье [37]»
об ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 4. Центральные силы
Силовое поле называется центральным, если линия действия
силы, приложенной к материальной точке, неизменно проходит
через некоторый центр. Силовой центр может быть подвижным,
либо неподвижным относительно системы отсчета. Если начало
координат инерциальной системы отсчета помещено в силовом
центре, то из B.12) получим
~[rmv] = 0.
Следовательно,
[rmv] = const, B.38)
и мы имеем интеграл момента импульса. В этом случае траектория
точки будет лежать в неподвижной плоскости, проходящей через
силовой центр. В самом деле, из B.38) находим
yz — zy = Cx, гх—:хг = с2, ху — ух = с3. B.39)
Умножая обе части первого уравнения на х, второго на у,
третьего на г и складывая почленно, получим
CtX + Czy + CsZ^O. B.40)
Это и есть уравнение той плоскости, в которой будет двигаться
точка. Очевидно, что плоскость B.40) ортогональна к моменту
импульса точки.
В приложениях часто встречаются центральные силовые поля,
в которых силы зависят только от расстояния точки до силового
центра. Поля такого рода обладают сферической симметрией.
Покажем, что сферически-симметричное стационарное силовое поле
консервативно. Пусть центральная сила зависит только от рас-
расстояния точки до силового центра:
F=erF{r\ \er\=*\. B.41)
Тогда, обозначая -yF(r) через /(г), запишем
Далее,
Следовательно,
Аналогично покажем, что
yzdf
г dr
W
^dFy
и ж
yzdf
Td7'
dFx
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ
Значит, rot F= 0. Элементарная работа силы будет равна
(F dr) = (erF (г) d (err)) = F (r) dr = dU. B.42>
Отсюда, с точностью до постоянного слагаемого,
Здесь П (г) — потенциал силового поля, U (г) — потенциальная^
энергия точки. Через F (г) обозначена проекция силы на радиус-
вектор точки. Если сила притягивающая, то F(r)<C.O, если от-
отталкивающая, то F(r)>0.
Интеграл энергии свободной материальной точки будет иметь
вид
??- + U (г) = const в ?0, B.43>
где постоянная интегрирования Ео определяется начальными'
условиями.
Рассмотрим задачу о движении материальной точки М под;
действием центральной силы, притягивающей точку к неподвиж-
неподвижному силовому центру, предполагая, что величина силы пропор-
пропорциональна расстоянию от силового центра до точки,— задачу
о пространственном осцилляторе. Уравнение движения будет
иметь вид
dv
m
или
f =-***, B.44).
где г есть расстояние от силового центра до точки, k2 = k\/m.
Запишем интегралы уравнения B.44): интеграл момента ско-
скорости
[rv] = с, B.45>
и интеграл энергии
— -j--— —?0, BЛЬ)
В задаче о пространственном осцилляторе удобны декартовы-
ортогональные координаты. Запишем B.44) в проекциях на оси х>
Мы видим, что система дифференциальных уравнений распадается
на три независимых уравнения, общее решение которых будет
иметь вид
х = аг cos (kt) + a2 sin (kt),
у = а3 cos (kt) + а4 sin (kt), B.48)>
z = ab cos (kt) + aQ sin (kt),
38 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
где а{ — постоянные интегрирования. Исключая cos(kt) и sin(kt)
из выражений для хну, найдем проекцию траектории точки на
плоскость ху:
Ахх2 + Brf - 2Dxxy = 1, B.49)
где
Аналогично, для проекции на плоскость yz:
В2у* + C2z2 - 2D2yz = 1. B.50)
где
И, наконец, для проекции на плоскость где:
1, {2.51)
где
А3 = йфь —
Сравнивая различные выражения cos (kt) и sin(kt) через коорди-
координаты х, у, г, полученные из B.48), приходим к равенствам
Л1 = Лз^Л, Bi = В2^ В, С2 = Сз^С.
Таким образом, эллипсы B.49) —B.51) мы можем рассматривать
как кривые, полученные пересечением эллипсоида
Ах* + By* + Сг2 - 2 (Dxxy + D2yz + D3zx) = 1 B.52)
координатными плоскостями. Центр эллипсоида находится в на-
начале координат (в силовом центре), направления главных осей
и длины его полуосей определяются начальными условиями.
Если начальная скорость точки отлична от нуля и не направ-
направлена по радиусу-вектору, то траекторией точки будет эллипс,
который получается пересечением эллипсоида B.52) и плоскости
B.40), проходящей через начало координат. В тех случаях, когда
начальная скорость равна нулю либо направлена в ту или иную
сторону по радиусу-вектору, движение точки будет прямолиней-
прямолинейным—это будет гармоническое колебание вдоль прямой, прохо-
проходящей через силовой центр.
Уравнения B.49) —B.51) можно рассматривать как уравнения
эллиптических цилиндров с образующими, параллельными соот-
соответственно осям г, х и у. Тогда возможно иное представление
§ 4. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ
траектории: траекторией точки М будет эллипс, получаемый пе-
пересечением, например, цилиндра B.49) с плоскостью B.40)
(рис. 2.4). Если в уравнении B.40)
то можно выбрать любой из указанных выше эллиптических ци-
цилиндров.
Бертран [2J рассмотрел обратную задачу, в которой требуется
определить центральное силовое поле при условии, что сила,
приложенная к точке, зависит только от расстояния точки до
силового центра, а траекторией точки при любых начальных
условиях является коническое сечение — эллипс, парабола или
гипербола. Решение этой задачи показало, что возможны лишь два
вида силовых полей, удовлетво-
удовлетворяющих поставленным условиям:
I) поле с потенциалом П =
2) поле с потенциалом П =
Г
Первый случай отвечает про-
пространственному осциллятору. В
этом случае, как мы видели выше,
траекториями будут эллипсы, цент-
центры которых совпадут с силовым
центром.
Во втором случае при П =
= +ki/r траекториями будут кони-
конические сечения, внутренний фокус которых совпадает с силовым
центром, и финитные движения происходят по замкнутым траек-
траекториям (эллипсы). Если же П = — kl/r, то при любых начальных
условиях траекторией будет гипербола, внешний фокус которой
совпадает с силовым центром. Потенциал + k\/r отвечает ньюто-
ньютоновскому полю тяготения либо полю притягивающих кулонов-
кулоновских сил. Поле отталкивающих кулоновских сил определяется
потенциалом
п —а.
Задачу о движении материальной точки в поле тяготения,—
задачу Кеплера,— мы подробно рассмотрим в главе III. Задачу
о движении в поле отталкивающих кулоновских сил рассмотрим
в связи с теорией рассеяния частиц. Кроме того, к задачам о дви-
движении точки в центральном силовом поле мы вернемся в пара-
параграфе, посвященном методу Гамильтона — Якоби,
Рис. 2.4.
90 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 5. Динамика несвободной материальной точки
Пусть материальная точка движется по поверхности некото-
некоторого тела, или по некоторой материальной кривой, относительно
которых предположим, что они либо неподвижны, либо движутся
по заданному закону. Рассматриваемая точка может быть связана
с телом нерастяжимой нитью, невесомым жестким стержнем
и т. п. *).
Такого рода тела, или материальные кривые, препятствующие
свободному перемещению точки, называются связями.
Координаты несвободной точки должны, кроме уравнений дви-
движения, удовлетворять дополнительным уравнениям — уравнениям
связей. Если в уравнение связи явно входит время, то такая
связь называется зависящей от времени (нестационарной). В про-
противном случае связь будем называть независящей от времени
Стационарной).
Взаимодействие материальной точки и связи приводит к воз-
возникновению сил. Сила, с которой связь действует на материаль-
материальную точку, называется реакцией связи, или, в отличие от силы F
(активной силы),— пассивной силой и является неизвестной функ-
функцией координат точки, ее скорости и, может быть, времени. За-
Заранее, до интегрирования уравнений движения, известно лишь
место приложения этой силы.
Рассмотрим движение материальной точки М по поверхности,
уравнение которой имеет вид
/(*, у. г, 0 = 0. B.53)
Обозначая реакцию связи через /?, запишем уравнение движения
точки:
m§ = F+R, B.54)
где F, как обычно, есть обозначение активной силы. Допустим,
что ставится задача об исследовании движения точки М, если
известны сила F и уравнение связи B.53). Прежде всего под-
подсчитаем число неизвестных функций и число уравнений. Неиз-
Неизвестными функциями времени, число которых здесь равно шести,
будут координаты точки М и проекции реакции связи на оси
координат. Уравнений же, из которых эти функции могут быть
найдены, всего четыре: три уравнения движения и одно уравнение
связи. Следовательно, задачу о движении точки по поверхности,
если задано только уравнение поверхности, ставить нельзя. Не-
Необходимы дополнительные сведения о физических свойствах самой
поверхности.
*) Мы предполагаем, что несвободная материальная ючка не влияет на
состояние движения связи.
§ 5. ДИНАМИКА НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ 91
Реакцию связи представим в виде суммы двух сил, Rn и RXf
из которых сила Rn направлена по нормали к поверхности,
а сила /?т, возникающая за счет трения, лежит в касательной
плоскости. Силу Rn можно, очевидно, представить в виде век-
вектора, пропорционального градиенту функции f(x, у, г, /):
Rn = Xgradf, B.55)
где А,—-скалярная функция, которая может зависеть от коорди-
координат точки, проекций ее скорости и времени. Для вычисления
силы трения необходимо привлечь закон трения —например, за-
закон Кулона, по которому сила трения пропорциональна вели-
величине нормальной реакции и направлена противоположно скоро-
скорости точки:
Rx = -kj^\Rn\. B.56)
Коэффициент трения k находится экспериментально. Существенно,
что сила трения не может быть определена только на основании
законов механики.
В случаях, когда силой трения можно пренебречь и, идеали-
идеализируя, читать поверхность абсолютно гладкой, проекции урав-
уравнения B.54) на оси координат можно записать в виде
d2x п . л df
d4 Р , л df
тШ = Р' + кЯГ
Присоединяя к системе B.57) уравнение связи B.53), получим
четыре уравнения для четырех неизвестных функций х, у, z и Я,
Если пренебрежение силой трения заметно исказит характер
движения точки, то в правые части уравнений B.57) нужно вве-
ввести проекции вектора Rx. Система уравнений замыкается с по-
помощью закона трения B.56).
При решении конкретных задач удобными могут быть урав-
уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии. Тем
же способом, как и в механике свободной точки, из уравнения
B.54) получим уравнение момента импульса
jj B.58)
и уравнение кинетической энергии
t^f B.59)
*92 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Отметим, что если точка движется по неподвижной абсолютно
гладкой поверхности вращения, то момент реакции связи отно-
относительно оси вращения поверхности равен нулю. В самом деле,
пусть уравнение поверхности имеет вид
тогда
где
Очевидно, что
Рассмотрим выражение элементарной работы реакции абсо-
абсолютно гладкой нестационарной связи, полагая Rn^Xgradf. Эле-
Элементарная работа будет равна
но в силу уравнения связи d/ = 0, поэтому
Следовательно, для получения интеграла энергии несвободной
точки помимо консервативности силового поля необходимо, чтобы
связь была абсолютно гладкой и стационарной.
Перейдем к задаче о движении точки по кривой. Теоре-
Теоретически, для подсчета числа неизвестных функций и числа
уравнений, кривую удобно рассматривать как пересечение двух
поверхностей, которые можно выбирать различными способами.
В этом случае будут два уравнения связи и соответственно два
множителя, Ях и Я2. Нормальная реакция связи будет равна гео-
геометрической сумме двух векторов, Rnl и Rn2, ортогональных
к поверхностям, пересечение которых образует заданную кри-
кривую. Однако при решении задач о движении материальной точки
по заданной кривой удобнее воспользоваться естественными ко-
координатами, поскольку геометрия кривой известна. Предполагая,
что кривая абсолютно гладкая, запишем уравнение B.54) в про-
проекциях на естественные оси:
проекция на касательную
на главную нормаль
на направление бинормали
B.60)
§ 6. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 93
Если силой трения пренебречь нельзя, то, используя формулу
<2.56) и замечая, что проекция силы трения на направления нор-
нормалей будет равна нулю, запишем уравнения движения матери-
материальной точки вдоль шероховатой кривой:
mg-Ft-ft-^l/U m? = Fv + /?v, 0 = Fp+fy. B.61)
Заметим, что у^у = ±1, в зависимости от направления дви-
движения точки. Кроме того,
Естественные координаты удобны, в частности, тем, что в слу-
случае движения материальной точки по гладкой кривой реакция
связи не входит в первое уравнение. Если же кривая шерохо-
шероховатая, то сила трения не входит во второе и третье уравнения.
Нетрудно проверить, что число неизвестных функций и число
уравнений совпадают.
§ 6. Сферический маятник. Качественное исследование
движения
Рассмотрим материальную точку, которая движется без тре-
трения в однородном поле тяжести по сфере радиуса г; запишем
уравнение связи
/(*, у, z) = x2 + y* + z*-r* = 0 B.62)
и уравнение движения в векторной форме
m-^mg+Kgradf. B.63)
Если требуется исследовать только движение маятника,
то нужно выбирать такие формы уравнений движения, которые
исключают реакцию связи *). Такими уравнениями, очевидно,
будут, во-первых, уравнения кинетической энергии
B.64)
и, во-вторых, уравнения момента импульса относительно центра
сферы
^[rmv\ = [rmg\ B.65)
Положение точки на сфере определяется двумя координа-
координатами—здесь удобны сферические (рис. 2.5). Следовательно, мы
*) В задаче о движении маятника реакция связи будет лишней неиз-
неизвестной функцией,
94
ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
должны составить два уравнения для двух неизвестных функций
времени, ф@ и 6 (/). Из B.64) получим интеграл энергии
или
mv-
-z mgr cos ф = Eo.
B.66)
Проектируя B.65) на ось Ог, найдем, кроме того, интеграл мо-
момента импульса
т (ху — ух) = тг2с.
Сокращая на т, будем иметь интеграл площадей для проекции
точки на плоскость ху:
2
или, в сферических координатах,
B.67)
Здесь Ео и с —постоянные, определяемые начальными условиями,
1 U
Рис. 2.5.
В B.66) подставим выражение скорости в сферических коорди-
координатах. Исключая -гт с помощью B.67), получим
Положим cos ф = w\ тогда
B.68)
§i 6. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
W
dw
t
-'•=4
Wq
Vf и '
95
B.69)
где
F (w) = A - w2) (h + Ц-w} -A
знак перед радикалами выбирается в соответствии с начальными
условиями.
F(w)
Рис. 2.6.
Так как решение свелось к вычислению эллиптического ин-
интеграла B.69). применим метод качественного исследования (см.
§ 3). График функции F (w) есть кубическая парабола (рис. 2.6),
точки пересечения которой с осью w определяют корни уравне-
уравнения F (w) = 0, причем w3 есть «обязательный» вещественный корень
кубического уравнения. Корни wt и w2 могут быть вещественные
различные, или совпадающие, либо комплексные сопряженные.
Можно показать, что действительному движению отвечают лишь
вещественные корни. Заметим, что график на рис. 2.6 построен
формально, без учета неравенства |до|«^1. Через w0 обозначено
начальное значение переменной w. Если w2<.w0<.wu то w(t)
есть периодическая функция времени, меняющаяся в пределах хюъ
wx с периодом
B.70)
Следовательно, угол <р
в пределах <рх и ф2:
меняется периодически, колеблясь
Ф @ < Фг.
Период изменения угла ф вычисляется по формуле B.70). На
рис. 2.5 изображены две отвечающие углам фх и ф2 параллели,
которых по очереди касается траектория маятника. Если вели-
величина т соизмерима с 2я, то траектория будет замкнутой, если
же х и 2л несоизмеримы, то с течением времени точки траекто*
96 ГЛ. И. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
рии всюду плотно заполнят область между параллелями. Движе-
Движение сферического маятника есть условно-периодическое: оно будет
периодическим в пространстве при условии соизмеримости перио-
периодов изменения ф и 0.
Случай, когда корни дох и до2 равны между собой и равны w0,
отвечает коническому движению маятника.
Нетрудно показать, что нижняя параллель, отвечающая углу
Фь не может быть выше экватора. Для этого вычислим произ-
производную от функции F (до) по до. Имеем
?__*.._».+».
Найдем значение до, при котором ^, = 0:
Очевидно, что максимум F (w) будет при
/iV2
а так как до5>0, то и дох>0. Значит, 0<ф1<зт/2 (при
не может быть ф = 0).
Исследуем более детально вид траектории сферического маят-
маятника, полагая, что обе параллели расположены в нижнем полу-
полушарии. Рассмотрим проекцию траектории на плоскость (х, О, у)
(см. рис. 2.5). Покажем, что угол W между направлениями ра-
радиусов, отвечающих двум последовательным касаниям траектории
с нижней и верхней параллелями, больше я/2. С этой целью
вернемся к функции F (до):
где дох, до2, до3 —корни уравнения F(w) = 0. Используя соотноше-
соотношения между корнями кубического уравнения, найдем
6 wt + w ^
Так как 0<ДОх<+1 и |ДО1ДО2|<1, то ДОх + ^гХ). Выразим по-
постоянную с через другие величины, полагая ф = 0, или до = +1«
Здесь использована формула для w3. Следовательно,
с— Аи I/ , B.72)
§ 6. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 97
где
A=V(l-wt)(l-wt), B = V(l+wt)(l+wt).
Дифференциальное уравнение траектории сферического маят-
маятника мы получим, исключая dt из интеграла энергии B.68) при
помощи интеграла площадей B.67) и заменяя постоянную с ее
выражением B.72):
ло АВ dw
d8= /о 73>
(l2)V)()[
Отсюда, интегрируя в пределах от до2 до о>1э находим искомый
угол W:
?ABdw
J A—
A
а>2
Полученный интеграл можно оценить сверху и снизу, замечая,
что
А2 < 1 + w
Здесь использованы неравенства
Таким образом, мы находим, что угол *Р будет заключен в сле-
следующих границах:
Wt Wf
Adw ^ иг ^ Г В dw
f^
(Wi — W) (W — W2)
Интеграл, входящий в левую и правую части неравенства,
вычислить нетрудно, так как теперь под знаком радикала нахо-
находится многочлен второй степени.
Используя тождество
1 ¦ ^).
вычисляем неопределенный интеграл:
dw
— оу)(ш — о;
С
J A—
=== JL С dw k i f
2 J A + w) V(wi — w)(w — w2) 2 J (l~
(Wx —o>a)(l—и»)
4 Ь. В. Пешевич
98 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Подставляя пределы, найдем, что
Следовательно,
Если в правой части уравнения B.68) постоянная с равна
нулю, т. е. равен нулю момент импульса относительно вертикали,
то материальная точка будет двигаться по окружности в верти-
вертикальной плоскости. В этом случае удобнее воспользоваться инте-
интегралом энергии в виде
\dt j ~т~ г
B.74)
Заметим, что так же записывается интеграл энергии в случае,
если точка движется по абсолютно гладкой, жесткой окружности
в вертикальной плоскости.
а)
Обозначая правую часть B.74) через F(cp) и построив график
этой функции (рис. 2.7), найдем, что в случае а) маятник будет
колебаться в пределах от щ до ср2, в случае б) маятник будет
асимптотически стремиться к верхней точке (ф2=180°), в слу-
случае в) изменение угла отклонения будет инфинитным — угол будет
расти неограниченно.
Период конечных колебаний плоского маятника, зависящий,
очевидно, от размаха, в случае а) вычисляется с помощью эллип-
эллиптического интеграла:
B.75)
-^СОЭф
Выражая h через фа и делая замену переменной интегрирования,
f, в. СФЕРИЧЕСКИЙ МАЯТНИК 99
положив sin y = ft sin а, где & = sin~, найдем
Если отклонения маятника от положения равновесия малы,
то в выражении периода колебаний можно разложить подынте-
подынтегральную функцию в ряд по степеням малой величины fe2sin2a:
(l-&2sin2a) 2 - l+^2sin2a + ...
Вычислим интеграл, сохраняя два члена разложения. Прибли-
Приближенное значение периода малых колебаний будет выражено сле-
следующей формулой:
П/'2
В случае 6) ф2 = зт и h— + 2g/r. Поэтому эллиптический
интеграл, выражающий зависимость времени / от угла ф,
Фо
может быть выражен в элементарных функциях. Вычисляя, по-
получим
Ц
Так как в этом случае ф2 = л, то cp(tf) необходимо стремится к зх,
а следовательно, время t неограниченно растет.
В заключение заметим, что в ряде задач приходится вычис-
вычислять реакцию связи, например, когда нужно узнать, покинет ли
точка связь и где это произойдет. (Такая связь, которую точка
может покинуть, называется односторонней, или освобождающей;
в противном случае — связь двусторонняя, или неосвобождающая.)
Обратимся к плоскому маятнику. Уравнение движения, записан-
записанное в векторной форме
проектируем на главную нормаль:
22f = -» mg cos ф -f /?Л. B.77)
100
ГЛ. И. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Из интеграла энергии имеем
cos
где
?о = -^ — rng cos ф0.
Следовательно, нормальную реакцию гладкой окружности можно
вычислять по формуле
l B.78)
Здесь фо — начальный угол отклонения, и0 —начальная скорость.
Напомним, что в формуле B.78) Rn есть проекция реакции связи
на внутреннюю нормаль. Поэтому если связь освобождающая,
то /?«^0, ибо реакция такой связи может быть направлена
лишь в сторону схода точки. Место схода будет там, где /?л = 0.
Весьма полное изложение задачи о движении маятника можно
найти в [8].
§ 7. О преобразовании Галилея. Неинерциальные системы
отсчета
Часто мы вынуждены исследовать движение каких-либо
объектов относительно подвижной системы отсчета — такой системы,
собственное движение ко-
которой может быть обнару-
обнаружено механическим опы-
опытом. Мы условились тако-
такого рода системы называть
неинерциальными. Иногда
такие системы отсчета вво-
вводятся намеренно для удоб-
удобства исследования.
При перехоле от одной
инерциальной системы к
другой инерциальной си-
системе переменные, харак-
характеризующие состояние дви-
Рис, 2.8
жения точки—ее коорди-
координаты и проекции скоро-
скорости, — преобразуются на
основе принципа Галилея. Переходя от инерциальной системы
отсчета к системе, движущейся произвольно, мы должны пользо-
пользоваться общими формулами преобразования коонрдиат. Здесь
имеются в виду декартовы ортогональные координаты, поэтому
преобразование координат будет линейным и ортогональным.
§ 7. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
101
На рис. B.8) изображены две системы отсчета: инерциальная
система хъ хъ х2 и подвижная ?lf ?2» ?з- Кроме того, приведем
таблицу косинусов углов между направлениями координатных
осей:
ч
ч
\х
аи
«21
а31
h
а12
а22
а32
а23
азз
а,у = cos
'* \0, \фк.
Обозначая, как обычно, ОМ через R, 00' через R' и О'Л?
через г, запишем
или
B.79)
Здесь X/ и ау; — некоторые, чаще всего заданные, функции времени.
Если система ?ъ ?2, ^з движется относительно системы хъ х2, х3
поступательно, а ее начало — точка О' — прямолинейно и равно-
равномерно, то единичные векторы is удобно выбрать параллельными
ортам eSi тогда аи = а22 = ос3з = 1, oty = O при 1Ф] и, кроме того,
x'j = v'jt + x'j(t0). Ha основе B.79) мы получим формулы преобра-
преобразования Галилея
. B.80)
Так как в классической механике время не зависит от выбора
системы отсчета, то мы должны к B.80) присоединить равенство
t = t'.
Преобразование Галилея не изменяет выражения законов
механики — законы механики инвариантны относительно преобра-
преобразования Галилея. В этом состоит классический принцип относи*
тельности *).
*) Мы не затрагиваем здесь вопроса о распространении фронта световой
волны, уравнение распространения которой меняет свой вид в резуль^Й!
преобразования Галилея,
102 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Перейдем к механике относительного движения материальной
точки и выясним, как меняются уравнения движения точки, если
определять ее положение координатами &, связанными с коорди-
координатами X] формулами B.79). С этой целью напомним формулу
сложения скоростей (гл. I, § 11)
«> = Яотн + *>пер> B.81)
где
3
s= ]
и формулу сложения ускорений
а = аош + апер + акор9 B.82)
в которой
Яотн = 2 iJL, Япер = а' + [^ г] + со2/, акор» 2 [<ояотн].
Через со, как обычно, обозначена мгновенная угловая скорость
вращения системы ?lf g2» 1з» вектор / направлен под прямым
углом от точки М к мгновенной оси, проходящей через начало
подвижной системы отсчета.
Запишем сначала уравнение движения точки М относительно
инерциальной системы отсчета:
m? = F, B.83)
или
mJ = /^+/?, B.84)
если точка несвободна. Через R обозначена реакция связи. Вместо
того, чтобы использовать уравнения B.79) и затем преобразовы-
преобразовывать уравнение движения точки, мы применим формулу Корио-
лиса B.82). Подставив B.82) в B.84), запишем
т (Яотн + Якор + «пер) = /"+/?•
^равнение относительного движения получим, перенося такор
U fnanep в правую часть:
таош = F+ R - такор - тапер. B.85)
Р правой части уравнения относительного движения B.85)
наряду с активной силой F и реакцией связи R появляются
векторы — тако? и — manep, которые называются силами инерции.
«Силами» они называются по той причине, что наблюдатель,
увязанный с неинерциальной системой ?ь ?2» 1з, ощущает их как
обычные силы; он может измерить величину сил инерции; эти
§ 7. НЕИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА ЮЗ
силы могут вызвать деформации тел, могут произвести разруше-
разрушения ... Мы не можем лишь указать другое тело (точку), к кото-
которому была бы приложена равная и противоположно направлен-
направленная сила (так сказать, «источник» силы инерции).
Разумеется, для наблюдателя, связанного с инерциальной
системой отсчета, силы инерции не существуют —те же
явления, которые первый наблюдатель объясняет наличием сил
инерции, второй, в соответствии с законами механики, должен
объяснить как результат проявления свойства инерции материи *).
Итак, в механике относительного движения — такор и — тапер —
это силы, приложенные к рассматриваемой точке и обязанные
своим происхождением свойству инерции материи,— силы инер-
инерции, которые изменяют состояние относительного движения мате-
материальной точки.
Уравнение B.85), как и B.84), содержит в левой части уско-
ускорение точки относительно выбранной системы отсчета, и при
переходе к другим неинерциальным системам отсчета вид урав-
уравнения относительного движения может изменяться.
Наряду с уравнением B.85) рассмотрим другие формы урав-
уравнений относительного движения: уравнение момента импульса и
уравнение кинетической энергии.
Умножая обе части уравнения B.85) слева векторно на отно-
относительный радиус-вектор г и замечая, что
(значок «~»э тильда, означает относительное дифференцирование—
гл. I, § 11), получим уравнение момента относительного импульса
в виде
J- [rmv0TH] = \Г (F+ R - такор - тапер)]. B.86)
Относительная производная момента импульса геометрически равна
моменту всех сил, включая силы инерции, относительно начала
подвижной системы координат. Заметим, что так как все силы
приложены в одной точке, то сумма моментов сил равна моменту
суммы сил.
Уравнение кинетической энергии в относительном движении
получим из B,85), умножая обе части скалярно на vota dt = 3r —
*) Многочисленные примеры такой двойственности встречаются в быту:
пассажиру резко остановившегося автобуса кажется, что какая-то сила толк-
толкнула его вперед, тогда как наблюдатель, стоящий на тротуаре, усматривает
в поведении пассажира стремление его массы сохранить импульс.
104 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
относительное элементарное перемещение. Так как
ТО
pf) = {(F+ R - manep) dr). B.87)
Дифференциал кинетической энергии в относительном движении
равен сумме элементарных работ на относительном перемещении
активной силы Fy реакции связи R и силы инерции (—/иапер).
Сила инерции Кориолиса ортогональна к относительному пере-
перемещению — ее работа равна нулю.
В левой части уравнения B.87) значок «~» над символом d
отброшен, так как под знаком дифференциала скалярная функ-
функция mVom/2.
Если работа реакции связи на относительном перемещении
равна нулю, а силы F и (—тапер) консервативны, то из B.87)
мы получим интеграл энергии в относительном движении. Не-
Нетрудно проверить, что если, например, переносное движение есть
равномерное вращение вокруг неподвижной оси, то поле сил
инерции,— центробежных сил,—будет консервативно.
§ 8. Относительное равновесие. Зависимость веса тела
от широты места
Предположим, что материальная точка покоится относительно
подвижной системы отсчета, т. е. что v0JU = 0. Тогда в силу B.85)
B.88)
Наоборот, если справедливо B.88), го из B,85) получим
^ B.89)
V*fr
Умножив скалярно обе части B.89) на ©отн, найдем, что
|fif) = 0 или i ©ото! = const.
Значит, если ^ОТнк=о = 0, то и при t>to volH = 0.
Итак, уравнение B.88) есть уравнение относительного равно-
равновесия, частное решение которого отвечает состоянию относитель-
относительного покоя материальной точки.
В частности, взвешивая какие-либо тела, мы наблюдаем их
в состоянии покоя относительно вращающейся Земли. Если при-
принимать во внимание только суточное вращение Земли, считая
его равномерным, то в уравнении B.88) символом F будет обозна-
§ 8. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ
105
чена сила тяготения Земли, символом (—тапер) — центробежная
сила, равная ш/со2, где / — расстояние от точки до оси вращения
Земли. В уравнение входит еще реакция связи (чашки весов,
или пружины динамометра), обозначенная через /?. При взвеши-
взвешивании измеряется величина именно силы R и определяется ее
направление. Взвешивание на пружинных весах, как известно,
показывает, что на экваторе тела несколько легче, чем на по-
полюсе—на экваторе центробежная сила максимальна по величине
и направлена противоположно силе тяготения Земли. Численно
это расхождение невелико, так как в выражение центробежной
силы входит квадрат угловой скорости вращения Земли.
Рассмотрим вывод формулы, приближенно выражающей зави-
зависимость веса тела от широты места. Землю будем представлять
в виде шара, состоящего из од-
однородных концентрических слоев.
Такая модель Земли позволяет
с приемлемой точностью решать
многие практически важные за-
задачи, так как отклонения от сфе-
сферической формы вследствие по-
полярного сжатия Земли и отклоне-
отклонения, вызванные наличием гор,
весьма малы по сравнению с радиу-
радиусом Земли. Примем без вывода,
что результирующая сила тяго-
тяготения, действующая на матери-
материальную точку М с массой т,
находящуюся на поверхности Зем-
Земли либо вне Земли, равна силе,
с которой притягивала бы точку вся масса Земли, сосредоточен-
сосредоточенная в центре сферы. На рис. 2.9 точка М находится в северном
полушарии. Через Р обозначен вес тела, g* — ускорение силы
тяжести, Л —реакция связи, а —широта места, / — вектор, на-
направленный от точки М к оси вращения Земли под прямым
углом. Вектор Р лежит в плоскости меридиана, проходящего
через точку /И. Направление вектора Р, которое можно на прак-
практике определить с помощью отвеса, не проходит через центр
сферы, если 0<а<я/2. Это направление, образующее с пло-
плоскостью экватора угол р, назовем местной вертикалью. Разность
углов (Р — а) представляет собой отклонение местной вертикали
от направления радиуса Земли.
Из треугольника 00'М найдем
mg cos p = F cos a — mco2/, mg sin P = F sin a,
где / = p cos a (p - радиус Земли). Обозначая F/m через /, запишем
g cos p = (/ — co2p) cos af g sin p = / sin a. B.90)
Рис. 2.9.
106 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
На экваторе, при а = р = 0, ускорение g будет равно
?* = /-со2р,
отсюда
/ = gs + co2p = g9(l+e),
где g9 есть ускорение силы тяжести на экваторе,
Тогда для проекций ускорения силы тяжести на широте а полу-
получим выражения
gcosp=g9cosa, gsinp = g9(l+e)sina. B.91)
Из B.91) следует
Отсюда с точностью до г в первой степени
g^gsO+esin2a). B.92)
Полученная формула позволяет с приемлемой точностью вычис-
вычислять величину g в зависимости от широты места, если положить
g9 = 978,03 м/с2, е = 0,005302.
Выразим величину отклонения местной вертикали от направ-
направления радиуса Земли через угол а. Умножим обе части первого
из равенств B.91) на sin P, а обе части второго —на cosp и
вычтем почленно из первого равенства второе. Тогда
g9 sin P cos a=g9 A+8) cos P sin a.
Сокращая на общий множитель g9, найдем
sin (P — a) = е cos p sina.
Обозначим малый угол (Р—ос) через 6у. Тогда, полагая
sin F7) я** 8у>
найдем приближенную зависимость угла 8у от широты места
6v^|-sin2a. B.93)
Из полученной формулы следует, что наибольшее отклонение
местной вертикали от направления радиуса Земли, равное 8/2
(в радианной мере) будет при a = 45°. В градусах наибольшее
отклонение составит -^- е, т. е. около 10'.
§ 9. ЗАДАЧИ 107
Мы предположили, что Земля есть шар, состоящий из одно-
однородных концентрических слоев. На самом деле фигура Земли не
является шаром, строение ее гораздо сложнее, и поле тяготения
Земли несколько отличается от поля, создаваемого точечной мас-
массой, помещенной в центре Земли. Отклонения реального поля
тяготения Земли от сферически-симметричного поля, создаваемого
точечной массой, изучается при помощи тонких методов, разра-
разработанных современной гравиметрией *).
Уравнение B.88) описывает и такое состояние материальной
точки, которое можно охарактеризовать как состояние невесо-
невесомости. Состояние невесомости наступает при
F-maue? = 0. B.94)
Если на точку наложена связь, то при невесомости /? = 0.
Простой пример поясняет сказанное выше. Предположим, что
в однородном поле тяжести падает ящик. Тогда предмет, нахо-
находящийся в ящике, падает вместе с ящиком и давление дна ящика
на предмет исчезает.
Разумеется, в состоянии невесомости не исчезают внутренние
напряжения в телах, например, силы взаимодействия между
гвоздями и досками, из которых сколочен ящик.
В неоднородном поле сил F строгое выполнение условия неве-
невесомости возможно лишь в точке, где F=manep. В окрестности
такой точки условие невесомости будет удовлетворяться прибли-
приближенно (см. гл. III, § 9).
§ 9, Задачи
Рассмотрим в приближенной постановке задачу о падении
свободной материальной точки на вращающуюся Землю и задачу
о движении маятника Фуко. Выделим частные решения, которые
наиболее просто показывают влияние вращения Земли на пове-
поведение материальной точки — влияние неинерциальности земных
систем отсчета. В рассматриваемых здесь задачах мы не будем
принимать во внимание центробежную силу инерции, а следова-
следовательно, можем считать, что местная вертикаль направлена по
радиусу Земли. Кроме того, имея в виду, что перемещения мате-
материальной точки малы по сравнению с радиусом Земли, допустим,
что ее вес постоянен.
1. Задача о падении материальной точки на вра-
вращающуюся Землю. Поле тяжести будем считать однородным,
так как расстояние, на которое переместится точка, мало по
*) Исследования поля тяготения Луны с помощью искусственных спутни-
спутников показали, что в поле тяготения Луны имеются заметные отклонения от
сферической симметрии.
108
ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
сравнению с радиусом Земли. Сопротивление среды учитывать
не будем, начало координат Ох поместим в северном полушарии,
а оси выберем так, как указано на рис. 2.10: ось Ог1 направим
по касательной к меридиану на юг, ось Охц — по касательной
к параллели на восток, ось О^ —вертикально вверх (Землю
будем считать однородным шаром). Составим уравнение относи-
относительного движения, заменяя в B.85) сумму векторов/7 и —пшпер
через mg (вектор g обозначает ускоре-
jr ^ ние свободного падения материальной
точки на широте а):
/ / k
; B.95)
Л
здесь о)? = — со cos а, сол = 0, а в
/, /, k — единичные векторы, направлен-
направленные по осям координат. Таким образом,
члены, содержащие квадрат угловой
скорости вращения Земли, не входят
рис. 2.Ю. в уравнение B.95), и влияние центро-
центробежных сил сказывается лишь на вели-
величине вектора g. Основанием для этого является, во-первых, то,
что угловая скорость вращения Земли мала (со я«0,00007 с1), и
во-вторых, что рассматриваемая точка движется не слишком долго.
Из B.95) получаем:
Систему B.96) интегрируем, полагая, что при /0 =
dr\
Из первого и третьего уравнений найдем
§ -§- = — gt -
Очевидно, что сг=*0у бз = 0. Подставив выражения первых про-
производных от | и ? по времени во второе уравнение, мы получим
дифференциальное уравнение для координаты т\:
^ + 4(o2ri = 2gvt cos a.
Интегрируя B.97), получим
ц = с2 sin B©0 + 64 cos B(оО
B.97)
U
§ 9. ЗАДАЧИ
109
Частное решение будет иметь вил
B.98)
2 t
Формула B,98) дает точное решение уравнения B.97), однако
сами исходные уравнения составлены приближенно —отброшены
члены, в которые входит малый множитель со2. Поэтому точность
решения нужно привести в соответствие с точностью уравнений.
С этой целью решение разложим в ряд по степеням со/ —угла,
на который повернется Земля за время t% и удержим два члена
разложения:
4 *** 4ш2
Величина уклонения материальной точки к востоку может быть
представлена в виде
\\&&—-—Ы. B.99)
Вычисленное значение q, пропорциональное ю?, хорошо согласуется
с измеренным на опыте.
В решении этой задачи формула B.99) дает главный резуль-
результат—она выражает одно из проявлений неоднородности прост-
пространства, определяемого земной
системой отсчета: величина от-
отклонения явно зависит от ши-
широты а. Интегрируя дальше си-
систему B.96), можно было бы
найти уклонение точки к югу и
поправку к закону свободного
падения точки по вертикали.
Однако обнаружить эти поправ-
поправки гораздо труднее, так как они х
второго порядка малости — про-
пропорциональны (соО2- Для их вы-
вычисления в уравнениях нужно
сохранить проекции центробеж-
центробежной силы.
2. Маятник '!> у к 6. В Рис. 2.11.
1851 г. Фуко, наблюдая в Па-
Парижском Пантеоне за движением сферического маятника, обнару-
обнаружил влияние суточного вращения Земли. С тех пор маятник на
достаточно длинной подвеске носит имя Фуко (в опыте Фуко
длина подвески равнялась 67 м).
Прежде чем исследовать движение маятника Фуко, мы рас-
рассмотрим более простую задачу. Пусть система отсчета ?, г), g
вращается равномерно с произвольной угловой скоростью вокруг
вертикальной оси. Относительно этой системы движется в одно*
110
ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
родном поле тяжести без трения сферический маятник, точка
подвеса которого находится в начале координат (рис. 2.11).
Система X, У, Z — неподвижна. Положение точки М на сфере
будем определять углами \f> и ф.
Уравнение связи имеет вид
-гз = 0. B.100)
BЛ01)
Составим уравнение относительного движения точки М:
Здесь
/ / к
о о ©
i n t
Запишем уравнение момента импульса относительно оси О?:
f B.102)
или
Переходя к сферическим координатам, найдем
sin2
— со sin2 ф + съ
B.103)
где сг = с[1г2. Очевидно, что, заменяя yp + ®t через 8, мы получим
интеграл B.67) для обычного сферического маятника. Постоян-
Постоянная Cj определяется из начальных условий:
Если потребовать, чтобы в начальный момент было ф0 — — со,
ф0 Ф 0, либо ф0 = 0, но | voin @) | Ф 0, то сг = 0 — маятник будет
колебаться в плоскости, вращающейся относительно системы ?f
t|, S с угловой скоростью ф = — со. Относительно инерциальной
системы отсчета X, У, Z плоскость качаний будет неподвижна.
Обратимся к уравнению кинетической энергии. Умножая ска-
лярно обе части уравнения B.101) на dr = «0THd<, найдем
Отсюда
(то2
-fS-
- m
i m^ coj, tf +
mco2 (f dl + i,
+ .,«> + ?c
§ 9. ЗАДАЧИ
Переходя к сферическим координатам, получим
111
B.104)
где ft—^
Если заменить ~ через -^ — со и использовать интеграл B.67),
то мы вернемся к интегралу энергии для обычного сферического
маятника. Изменится лишь постоянная Л. При сх =
так как
-А= —о, имеем
— интеграл энергии принимает такой же вид, как для плоского
кругового маятника. Следовательно, на период колебаний маят-
маятника вращение системы отсчета не влияет.
Рис. 2.12.
Вернемся к маятнику Фуко, расположенному на широте a*)f
и приближенно рассмотрим его движение, не принимая во вни-
внимание трение и сопротивление среды. Оси координат, связанные
с Землей, выберем так же, как и в предыдущей задаче, помещая
начало координат в точке подвеса маятника (см. рис. 2.12, на
котором в преувеличенном виде изображен маятник и отдельно
указаны сферические координаты \|з и ср).
Уравнение связи имеет вид B.100).
*) Маятник, движение которого рассматривалось выше, есть, очевидно,
маятник Фуко при а=»л/2 (на полюсе).
112 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Полагая, что г</? (/? — радиус Земли), запишем уравнение
относительного движения маятника Фуко:
*± = mg-2m[wvm] + kffadf. B.105)
Здесь, как и в первой задаче, положено
F— manep
Из B.105) следует интеграл энергии
^|™ B.106)
Запишем, кроме того, уравнение для момента импульса отно-
относительно точки О":
w [гтг>отн]= [rmg] - 2m [r [<ояотн]] + Цг grad /].
Очевидно, что [rgrad/]=0.
Проектируя уравнение момента импульса на ось О"?, получим
|(^-л1) = -|Ка2 + т|2)} + 2о)^. B.107)
Уравнение B.107) отличается от B.102) наличием в правой
части члена 2щ1?, который при малых (и медленных) колебаниях
маятника будет величиной третьего порядка малости. Чтобы это
показать, перейдем к сферическим координатам:
g== /• sin (pcosip, r) = rsin(pcosi|), ? = — rcoscp.
Уравнения B.106) и B.107) примут следующий вид:
+ sin* «р (?)"} = mgr cos Ф + Е0 B.108)
sin4f- B.109)
Из B.108) видно, что при малом начальном значении угла ф0
и малой начальной скорости значения угла отклонения маят-
маятника ф и скорости его движения во все время будут малыми *).
Следовательно, произведение sin^~ в приближенном исследо-
исследовании можно отбросить. Тогда получим
B.110)
*) Приведенные здесь нестрогие рассуждения будут обоснованы в главе VII,
посвященной изложению теории устойчивости движения.
§ 9. ЗАДАЧИ 113
Отсюда
Очевидно, что Ci = sin29o0h> + cos) и, если в начальный момент
положить фо = О, но \ъО1а@)\ф0, тосх==0. Тогда, так как угол <р
не равен тождественно нулю, то
5--ИС- B.П2)
Мы приближенно нашли частное решение, из которого сле-
следует, что плоскость качаний маятника вращается относительно
Земли вокруг местной вертикали с угловой скоростью, равной
— со sin а, с востока через юг на запад. Это и есть еще одно из
проявлений неоднородности пространства, определяемого земной
системой отсчета.
Вернемся к интегралу B.108) и найдем период малых коле-
колебаний маятника Фуко. Имеем
т+т -• Ф-4г
где
В рассматриваемом частном решении ~ = — со?, поэтому
BЛ13)
В соответствии с принятой точностью в правой части уравнения
B.113) нужно отбросить член — cofsin2 ф. Тогда период малых
колебаний маятника Фуко будет совпадать с периодом малых
колебаний обычного плоского маятника и будет равен
B.114)
Если же в уравнении B.113) сохранить член (—со^ 8т2ф), то для
периода конечных колебаний получим выражение
л/2
л <* da
тт = 4
I — &2sin2al/ j
в котором
114 ГЛ. II. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Формула для Тф получена так же, как формула B.75) для периода
конечных колебаний обычного маятника. Полагая к величиной
малой, найдем первый член разложения интеграла по параметру к.
2л
Получена ошибочная формула для периода малых (линейных)
колебаний маятника, из которой следует, что наибольшее влия-
влияние вращения Земли на период малых колебаний маятника Фуко
будет на полюсе, где со; = со *). Выше, рассматривая колебания
маятника, точка подвеса которого находится на оси вращения
Земли, мы нашли, что вращение системы отсчета вовсе не влияет
на период колебаний маятника.
*) См., например, [13].
ГЛАВА 111
СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 1. Основные меры движения
Рассмотрим движение п свободных материальных точек отно-
относительно инерциальной системы отсчета (рис. 3.1). Положение
каждой точки Ма будем определять декартовыми координатами ха,
Уа> *а- Массу точки Ма обозначим через та. Масса всей системы
точек будет равна
Центром масс системы назовем
точку С, радиус-вектор которой равен
C.1)
М
а — радиус-вектор точки
Рис. 3.1.
где га =
Ма.
Под основными мерами движения системы материальных точек
мы будем понимать суммарный импульс системы (геометрическую
сумму импульсов материальных точек), кинетический момент
системы (геометрическую сумму моментов импульсов материальных
точек) и кинетическую энергию системы (сумму кинетических энер-
энергий материальных точек).
1. Суммарный импульс системы. Суммируя импульсы
материальных точек, запишем
п
где ©a — скорость точки /Wa.
Мы рассматриваем системы точек с постоянными массами,
поэтому, дифференцируя по времени C.1), получим
2йГъ
1
dt
М
116 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
ИЛИ
п
= 2] rnava. C.3>
Здесь vc — скорость центра масс. Следовательно, суммарный
импульс системы (мы будем называть его просто «импульс системы»)
может быть представлен в виде
P=*Mvc. C.4>
Импульс системы материальных точек равен импульсу массы всей
системы, сосредоточенной в центре масс.
2. Сумма моментов импульсов, или кинетиче-
кинетический момент системы. Суммируя геометрически моменты
импульсов каждой точки, получим кинетический момент системы
в виде
п
G=2 l*VHa«cJ. C.5>
Вектор О не всегда может быть представлен в виде одночлена
подобно вектору Р. Представить вектор О в виде одночлена
можно, если скорости всех точек систем одинаковы (см. формулы
Кёнига в § 3).
Заметим, что перед суммированием нужно совместить начала
векторов mava и [ramaz>a]. Для этого удобно выполнить парал-
параллельный перенос этих векторов в центр масс.
3. Кинетическая энергия системы равна сумме
кинетических энергий отдельных точек
&. C.6)
Кинетическая энергия также не всегда может быть представлена
в одночленной форме.
§ 2. Уравнения движения свободных материальных точек.
Интегралы
Силы, приложенные к точкам, разделим на внешние и внут-
внутренние. Внешние силы действуют со стороны масс, не входящих
в систему. Внутренние силы — это силы взаимодействия между
точками, образующими систему. Обозначим суммарную внешнюю
силу, приложенною к точке Ма, через Ft, а суммарную силу
взаимодействия ючки /Ла с остальными точками системы — через
§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ
117
Очевидно, что деление всех сил на внешние и внутренние
условно и зависит от того, какие точки мы включаем в систему,
а какие считаем внешними.
Рассмотрим некоторые свойства совокупности внутренних сил.
Пусть точки Ма и Мр принадлежат системе свободных мате-
материальных точек. Для определенности предположим, что точки
взаимно притягиваются. Обозначим силы взаимодействия между
этими точками через faP и /ра (рис. 3.2). На основании третьего
закона Ньютона
Внутренняя сила, приложенная к точке Л4а, будет равна
= У\ /аА. Очевидно, что
*} = 0,
C.7)
C.8)
а=1
Рис. 3.2.
Следовательно, сумма внут-
ренних сил и сумма моментов
внутренних сил равны нулю. Заметим, что нулю будет равна
сумма моментов внутренних сил относительно любой точки (и,,
конечно, любой оси).
Обратимся теперь к сумме элементарных работ внутренних
сил и покажем, что она обращается в нуль только при некоторых
условиях. С этой целью подсчитаем работу на элементарных
действительных перемещениях сил взаимодействия двух точек Ма
и Мр, обозначив вектор МаЩ через eappap, где |eap|=l, а
Рсф — расстояние между точками Ма и Мр. Получим
= + /ра Фар = — /ар Фар-
Здесь /ар есть проекция силы /ар на направление еа$. Обозначая
сумму элементарных работ внутренних сил через A{J\ найдем *):
==2 И /Pa Фар-
C.9)
*) Символ «Ady> означает, что рассматривается работа каких-либо сил на
элементарных перемещениях точек приложения этих сил Элементарная
работа выражается линейной дифференциальной формой, но не всегда есть пол-
полный дифференциал.
118 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Из формулы C.9) следует, что сумма работ сил взаимодействия
равна нулю, если система точек неизменяема или движется как
абсолютно твердое тело. Это достаточные условия обращения
в нуль Аа\ так как в указанных случаях все фар = 0.
Можно, конечно, представить себе и такой случай, когда
система состоит, например, из одного отрицательного и двух
положительных зарядов, расположенных в вершинах треугольника.
Тогда, в зависимости от того, как меняются взаимные расстояния,
суммарная работа сил взаимодействия может обратиться в нуль.
Если силы взаимодействия между точками Ма и Мр зависят
только от рар — расстояния между этими точками —то существует
потенциал внутренних сил (см. динамику точки — центральное
силовое поле). В этом случае, если /ра = /(рра)» то
Следовательно,
п
Af=* S 2 dn^ = dU^\ C.10)
где П(/) — потенциал внутренних сил.
Выведем уравнения движения системы свободных материальных
точек — дифференциальные уравнения, описывающие изменения со
временем основных мер движения. Эти уравнения известны под
названием основных (общих) теорем динамики систем свободных
материальных точек. Запишем уравнение движения точки Ма —
относительно инерциальной системы отсчета:
mj%-& + !$. C.11)
Перенесем все векторы, не изменяя их направления, в центр
масс и сложим геометрически. Тогда
^>! (ЗЛ2)
Производная по времени от импульса системы свободных мате-
риальных точек равна геометрической сумме внешних сил *). Так
как 2j ma^a== Mvc, то уравнение C.12) может быть записано
в виде
а=1
*) Здесь мы, как и в динамике точки, полагаем, что силы могут зависеть
от координат точек, первых производных от координат по времени и явно от
времени»
§ 2. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ 119
Следовательно, уравнение движения центра масс системы мате-
материальных точек совпадает с уравнением движения материальной
точки с массой, равной массе всей системы, к которой приложена
сумма всех внешних сил (главный вектор внешних сил).
Уравнения C.12) и C.13) представляют собой запись теоремы
об изменении импульса системы или теоремы о движении центра
масс. По существу, обе записи эквивалентны.
Умножим обе части уравнения C.11) слева векторно на га и
геометрически сложим полученные векторы для всех точек, пере-
перенося эти векторы в центр масс. Получим
2 2 <ЗЛ4>
а=1 а
Мы получили запись теоремы об изменении кинетического момента
системы: производная по времени от кинетического момента
системы свободных материальных точек равна сумме моментов
всех внешних сил (главному моменту внешних сил).
Здесь существенно, что моменты импульсов и моменты сил
берутся относительно общего неподвижного начала.
Умножая скалярно обе части C.11) на dra = vadt и суммируя
почленно, получим
^ 2 т*- 2 »*•¦)+ 2 ^^
\ 1 1
ИЛИ
Это запись теоремы об изменении кинетической энергии системы:
дифференциал кинетической энергии системы свободных мате-
материальных точек равен сумме элементарных работ всех внешних
и внутренних сил.
Уравнения C.13)—C.15) при некоторых условиях допускают
интегралы.
Если равен нулю главный вектор внешних сил, то из C.13)
следует vc = const — центр масс системы свободных материальных
точек движется равномерно и прямолинейно.
Если главный момент внешних сил равен нулю, то сохраняется
кинетический момент системы свободных материальных точек:
п
G= 2 [ramat>a] = consl.
a—1
120
ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Наконец, если и внешние, и внутренние силы консервативны,
то из уравнения C.15) найдем интеграл энергии:
!2|рввШ'> + Ш'> + const,
или
C.16)
Здесь Ше) — потенциал внешнего силового поля, Ш^ — потенциал
взаимодействия точек, ?Ае) = — Ше) — потенциальная энергия
системы точек во внешнем поле, ?/<*)=—Ш^ — потенциальная
энергия взаимодействующих точек.
§ 3. Системы отсчета с началом в центре масс.
Формулы Кёнига
Поместим в центре масс системы материальных точек начало
поступательно движущихся осей координат х'у у\ г' (рис. 3.3).
Обозначим относительный радиус-вектор точки Ма через /•«,
относительную скорость
через v'a. Очевидно, что
C.17)
Так как
то
м
= 0,
Рис. 3.3.
av'a = 0. C.18)
Преобразуем формулу для кинетического момента, используя
<3.17). Имеем
О -
¦В силу C.18)
] [{гс + г'*) та (vc + К)].
C.19)
а==1
Кинетический момент системы материальных точек равен сумме
момента импульса всей мааы, сосредоточенной в центре масс, и
кинетического момента относительно центра масс.
§ 3. СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА С НАЧАЛОМ В ЦЕНТРЕ МАСО . 121
Преобразуем формулу для кинетической энергии:
Используя C.17) и C.18), получим
т1! rna(v'a)\ C.20)
Кинетическая энергия системы материальных точек равна кине-
кинетической энергии всей массы, сосредоточенной в центре масс, сло-
сложенной с кинетической энергией движения относительно центра
масс. Формулы C.19) и C.20) будем называть формулами Кёнига.
Слова «движение относительно центра масс» будем понимать как
«движение относительно поступательно движущихся осей с нача-
началом в центре масс». Такие оси для краткости назовем осями
Кёнига*). Если центр масс движется ускоренно, то система
отсчета, определяемая осями Кёнига, будет неинерциальной.
Выведем уравнение кинетического момента для движения
системы свободных материальных точек относительно осей Кёнига.
Запишем уравнение относительного движения точки Ма:
пер-
C.21>
Здесь аа пер = ас — ускорение центра масс. Поэтому, умножая
C.21) слева векторно на г('х, суммируя и производя простые
выкладки, найдем
| 2 2 C.22>
а = 1 а = 1
в силу того, что
-1
Ш*/-а =0.
J
Производная по времени кинетического момента в относительном
движении равна сумме моментов внешних сил относительно центра
масс.
Подобным же способом выведем уравнение кинетической энер-
энергии относительного движения. Умножим обе части C.21) на
*) Поступательно движущаяся система координат с началом в центре масс
в небесной механике называется «барицентрической», а координаты х^} у'а, г'а—
«барлцентраческими координатами».
122 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
v'adt^dr'a. Суммируя, найдем
^F - 2 w dr«) + 2 (/7«'dr'^ C-23)
а—1
в силу того, что
- 2] ma(acv'y,dt)= —
Следовательно, дифференциал кинетической энергии относитель-
относительного движения равен сумме работ на относительных элементар-
элементарных перемещениях всех внешних и внутренних сил. Заметим, что
сумма работ сил взаимодействия не меняется при переходе к осям
Кёнига; таким образом
fa) = 2 (F* dr«) - 2 2
Уравнения вида C.22) и C.23) для систем материальных
точек со связями могут быть получены тем же способом.
§ 4. Замкнутые (изолированные) системы материальных точек.
Законы сохранения
Систему свободных материальных точек будем называть
замкнутой (изолированной), если нет внешних сил —точки дви-
движутся только под влиянием сил взаимодействия *).
Замкнутые системы представляют собой абстрактные модели,
родственные изолированной точке, к которой относится первый
закон Ньютона. Примеры замкнутых систем можно найти в небес-
небесной механике и в физике.
Если рассматривать все тела Солнечной системы как матери-
материальные точки (включая и само Солнце), то всю Солнечную систему
можно приближенно представлять в виде замкнутой системы
свободных точек. В небесной механике рассматривают и более
простые замкнутые системы, состоящие либо из двух, либо из
трех тел Солнечной системы, изображая их в виде свободных
материальных точек, взаимодействующих по закону тяготения
Ньютона. Это так называемые «задача двух тел» и «задача трех
тел».
*) Систему свободных точек, движущуюся в среде с сопрсдиьлением,
нельзя считать замкнутой.
§ 4. ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 123-
Задачу двух тел, которую можно свести к задаче о движении-
одной точки с измененной массой, мы рассмотрим в следующем
параграфе.
Задача трех тел, несмотря на кажущуюся простоту —три
свободные материальные точки, внешних сил нет, внутренние
силы консервативны, я — представляет собой одну из труднейших
проблем механики и математики и является предметом специаль-
специальных курсов по небесной механике. Краткие сведения о задаче
трех тел будут даны в § 12 настоящей главы.
В теоретической физике, рассматривая совокупность частиц
в случаях, когда можно пренебречь внешним полем, представ-
представляют эти совокупности в виде замкнутых систем материальных
точек, например, совокупность атомов, образующих изолирован-
изолированную молекулу.
Замкнутые системы материальных точек являются удобными
моделями для выявления свойств пространства, точнее, той
модели реального пространства, с которой имеет дело механика.
Известно философское определение пространства и времени
как форм бытия материи — всего объективно существующего.
Механика использует идеализированные, абстрактные модели
реальных тел и реального пространства (см. введение). Поэтому
можно сказать, что те модели реального физического простран-
пространства и времени, которые используются в механике, являются
формами существования моделей реальных тел.
Базисом для построения основной модели реального прост-
пространства, — евклидова пространства, — является инерциальная
система отсчета. Во введении было указано на то, что это про-
пространство однородно и изотропно в том смысле, что характер
механических явлений не зависит ни от места, ни от направле-
направления. Если в качестве объекта взять замкнутую систему матери-
материальных точек, то эти свойства пространства проявляются с боль-
большей наглядностью.
Рассмотрим изолированную систему, состоящую из п свободных
материальных точек. Предположим, что силы взаимодействия
между любыми двумя точками зависят только от расстояния
между этими точками. Положение точек относительно инерциаль-
ной системы отсчета будем определять декартовыми координа-
координатами ха, уа, za, где а есть номер точки *). Совокупность 2п пере-
переменных (л:а, уа, га, ха> Уа> ^а) определяет состояние движения
системы в момент времени /.
На основе законов Ньютона мы вывели общие теоремы дина-
динамики для систем свободных материальных точек, записанные
в виде дифференциальных уравнений C.13), C.14) и C.15).
*) Здесь предполагается, что сама система отсчета (тело отсчета) удалена
от материальных точек на достаточно большое расстояние,
124 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Если система замкнутая, то дифференциальные уравнения движе-
движения приведут к интегралам
п
¦¦ Ро, C.24)
• Go, C.25)
C.26)
а=1
Для определения постоянных Ро> О0 и Ео нужно знать состояние
движения в некоторый (начальный) момент времени.
Вместо C.24) мы можем записать Vc = Vc(to), где vc есть
скорость центра масс системы. Следовательно, система отсчета,
движущаяся поступательно вместе с центром масс, будет инер-
циальной — можно в центре масс поместить начало декартовой
системы координат, оси которой (оси Кёнига) всегда параллельны
осям исходной системы.
Интегралы импульса, кинетического момента и энергии, запи-
записанные в виде C.24), C.25) и C.26), выражают основные законы
механики —законы сохранения ео времени импульса, кинетического
момента и энергии замкнутой системы материальных точек.
Начало отсчета времени может быть выбрано произвольно — в этом
проявляется однородность времени. Заметим еще, что интеграл
энергии допускает обращение движения во времени: функции
Т и U не изменяются при замене dt на ( — dt)*).
Обратимся к законам сохранения импульса и кинетического
момента в пространстве. Примем какую-либо инерциальную
систему за основную («неподвижную») и рассмотрим различные
положения замкнутой системы материальных точек в один и тот
же момент времени, предполагая, что расстояния между точками
не изменяются. Очевидно, что это будет равносильно такому
преобразованию, при котором изменяются координаты точек, но
время не преобразуется. Ограничимся здесь ортогональными пре-
преобразованиями с сохранением масштаба, записывая их в вектор-
векторной форме.
Прежде всего обратимся к преобразованию координат вида
C.27)
*) Законы сохранения импульса и кинетического момента замкнутой
системы материальных точек во времени могут быть приняты в качестве основ-
основных аксиом механики,
§ 4. ЗАМКНУТЫЕ СИСТЕМЫ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ 125
тде Га есть радиус-вектор точки Ма в новом положении и,
кроме того, др = 0, Указанное преобразование отвечает посту-
поступательному переносу декартовой системы координат.
Очевидно, что
dt ~~ dt
21 m*v'a = 2 т*О(*.
Следовательно, Р1 = Р (АР = 0) — преобразование сохраняет неиз-
неизменным импульс системы материальных точек.
Рассмотрим теперь поворот всей системы на малый угол 8у
вокруг произвольно выбранной оси, направление которой опре-
определяется единичным вектором е. Приращения радиусов-векторов
материальных точек системы мы найдем, подобно тому как нахо-
находили дифференциалы радиусов-векторов точек абсолютно твердого
тела в случае вращения вокруг мгновенной оси. Введем вектор
е8у, изображающий поворот системы как абсолютно твердого
тела («жесткий» поворот) и применим формулу Эйлера *). Получим
Гх-га = 6га = 1*6Тга], C.28)
где ri есть радиус-вектор точки Ма в новом положении. Пола-
Полагая, что
еайдем приращение скорости:
% . C.29)
Приращение кинетического момента с точностью до 8у в первой
степени будет равно
*G= 2 [(/¦a + i/'a)ma№e + 4)]- S ка/ЯсЛ*] = \? 8У <?]• C-30)
Умножив скалярно обе части полученного равенства на вектор е,
«айдем
Единичный вектор е выбран произвольно, следовательно, мы
можем заключить, что 6(? = 0. Таким образом, преобразование
*) Формулу Эйлера применить здесь можно, так как рассматривается
поворот на малый («бесконечно» малый) угол ду<
126 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
поворота системы координат (или поворот всей замкнутой сис-
системы как абсолютно твердого тела вокруг любой оси) оставляет
неизменным кинетический момент.
Несколько сложнее показать, что кинетический момент замк-
замкнутой системы материальных точек сохраняется и при жестком
повороте всей системы на конечный угол. Мы ограничимся пово-
поворотом системы вокруг одной из координатных осей, например,
вокруг оси Ог. Выразим декартовы координаты точки Ма через
сферические координаты га, фа и ба:
а COS 8а,
га = ra sin фа,
где угол фа отсчитывается от плоскости (я, у), угол 0а — от оси Ох
до проекции радиуса-вектора на плоскость (х, у). Перейдем
к системе координат х\ у\ г' и к новой системе сферических
координат г'а> фа, 8а, положив
г'а = Га> Фа = Фа, ба = ^а — б»
где б есть конечный угол поворота всей системы. Получим
Ха = Га COS фа COS (8а — 8) = Ха COS 8 + уа sin б,
уа = ra cos фа sin Fа — 8) = — ха sin б + уа cos 8,
Если ^7 = 0» то проекции скорости точки Ма на оси х\ у\ г9
примут вид
^a = ^aCOS8+^aSin8,
Уи -» — Ха Sin 8 4- У a COS 8,
Нетрудно проверить, что жесткий поворот всей системы вокруг
оси Ог не изменяет проекцию кинетического момента на эту ось,
т. е. что
п П
2 ma (*a& — Ух*'а) = 2 «** (*аУа - Уа**)*
= 1 a = 1
Система координат х, у, г выбрана произвольно. Следовательно,
мы можем утверждать, что поворот системы материальных точек
вокруг любой оси на некоторый конечный угол не изменит про-
проекцию кинетического момента на эту ось. Отсюда заключаем,
что преобразование поворота на конечный угол не изменит и
вектор кинетического момента.
§ 5. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 127
Все системы координат, которые получаются из основной
при помощи преобразований C.27) и C.28), равноправны между
собой. Поэтому мы можем говорить о том, что характер механи-
механических движений не зависит ни от места, ни от направления,
т. е. об однородности и изотропности модели пространства. Одно-
Однородность проявляется в том, что преобразование C.27) сохраняет
импульс системы, изотропность — в сохранении кинетического
момента при преобразовании C.28).
Законы сохранения обязаны своим существованием свойствам
принятой в механике модели пространства — его однородности и
изотропности и, кроме того, однородности времени.
Мы уже видели на примере механики материальной точки и
увидим в последующих главах, что дифференциальные уравнения
движения незамкнутых систем и систем со связями при некото-
некоторых условиях допускают интегралы, часто называемые законами
сохранения. Наличие таких интегралов связано с характером
внешнего поля —важна симметрия функций, описывающих поле,
относительно координат. Если рассматриваемая система есть сис-
система со связями, то существование интегралов в сильной степени
зависит от характера связей (часто влияние связей бывает решаю-
решающим). Как мы увидим в главе IV, важны не только физические
свойства связей —их идеальность, но и геометрические свойства —
симметрия уравнений связей относительно координат. Можно
сказать, что при наличии связей однородность и изотропность
пространства проявляются в ограниченном и, может быть, нес-
несколько искаженном виде *).
Некоторые задачи, относящиеся к механике замкнутых систем,
мы рассмотрим в главе V, применяя метод Гамильтона —Якоби.
§ 5. Задача двух тел
Рассмотрим простейшую замкнутую систему, состоящую из
двух взаимодействующих свободных материальных точек, пола-
полагая, что внешних сил нет. Введем следующие системы декарто-
декартовых координат: систему х, у, г, связанную с инерциальной систе-
системой отсчета (в дальнейшем будем ее считать неподвижной),
систему Кёнига х\ у\ г1 и, кроме того, систему ?, т), ?, начало
которой помещено в одной из двух материальных точек**). Оси
Кёнига и оси системы \% х\у ? всегда параллельны неподвижным
осям (рис. 3.4).
*) Например, может сохраняться лишь одна проекция импульса или
кинетического момента.
**) Система g, r\, f понадобится нам дальше при составлении уравнения
относительного движения,
128
ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Очевидно, что поступательно движущаяся система отсчета с
началом в центре масс (оси Кёнига) будет инерциальной, так
как скорость центра масс постоянна по величине и направлению.
2'
Рис. 3.4
Покажем, что обе точки Мг и М2 движутся в одной пло-
плоскости, проходящей через центр масс С и неподвижной относи-
относительно осей Кёнига. Так как внешних сил нет, то
[r'm^i] + [^2/^2^2] = const ss 6r0, C.31)
где г'а = СМа, я» —скорость относительно осей Кёнига, а=1, 2.
Очевидно, кроме того, что
= 0, /Л101 + m2vf2 = 0. C.32)
Из C.31) исключаем г2 и
Если исключить г\ и ©1, то получим
Итак, моменты импульсов каждой точки относительно центра
масс представляют собой постоянные коллинеарные векторы.
Следовательно, точки движутся в одной и той же плоскости, про-
проходящей через центр масс и неподвижной относительно осей
Кёнига.
Обозначим для краткости вектор МХМ2 через р = ?р, где |#|= 1.
Тогда, если силы взаимодействия fl2 и f2X зависят только от р,
мы сможем записать интеграл энергии
)) = #). C.33)
Здесь U(p) — потенциальная энергия взаимодействующих точек,
Е'о — постоянная.
§ 5. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ 129
Обратимся к выводу важного для приложений уравнения
движения точки М2 относительно системы g, rj, ?• Система ?, Л» S
имеет начало в точке /Их, движется поступательно и является,
очевидно, неинерциальной системой отсчета. Обозначим скорость
точки М2 относительно этой системы просто через v. Тогда
dv r
m2-jf = /21 — /n2a2nep-
Так как система Е, т|э ? движется поступательно, то а2пер = аи
где аг есть абсолютное ускорение первой точки, равное f
Используя третий закон Ньютона, выразим а2пер через f
Уравнение относительного движения точки /И2 примет вид
- C-34)
Таким образом, неинерциальность системы отсчета с началом
в точке Mi приводит к увеличению силы, действующей на точку М2.
Обычно обе части уравнения C.34) делят на (l + —] и, обозначая
через ц дробь ^хТ*т > записывают уравнение относительного
движения, сохраняя величину силы:
И- ~с[Г=?п- C.35)
Множитель ц, заменяющий в уравнении инертную массу, назы-
называется приведенной массой.
Очевидно, что
_ гпхт2 _ т2
Iх — mi _j_ m2 1 + mjnit ^ 2#
Теоретически безразлично, с какой из точек совместить начало
системы g, г), ?. На практике же обычно выбирают в качестве
начала, — подвижного силового центра,—ту точку, масса которой
больше. И, если т2/т!<^1, то, полагая ц,я^т2, рассматривают
движение точки М2 в поле, центр которого неподвижен.
Точка /И2 движется под действием центральной силы fn
в плоскости, которая неподвижна относительно системы J-, т), ?.
Если, к тому же, сила /21 зависит только от расстояния р, то
мы имеем интеграл энергии в относительном движении. Умножая
скалярно обе части C.35) на dp = vdt, получим
5 В. В. Петкевич
130 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
ИЛИ
if lit/2
-hi dp, C.36)
где /2i есть проекция силы /21 на направление вектора е. В слу-
случае притяжения /2i<;0, если же точки отталкиваются, то /2i>0.
Если /2i = /2i(p), то
2 J 21 ~ 2
¦ ?0. C.37)
Ро
или
§ 6. Вывод формулы для силы тяготения
из законов Кеплера
В 1609 г. закончилось печатание сочинения Кеплера «Новая
астрономия», над которой Кеплер работал с 1600 по 1606 г.
В «Новой астрономии» Кеплер, обработав многочисленные наблю-
наблюдения Тихо Браге над движениями небесных тел, дал вывод
двух знаменитых законов движения планет. Эти законы мы
формулируем следующим образом.
I. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов
которых (общем для всех планет) находится Солнце.
II. Площади, описываемые радиусами-векторами планет, про-
пропорциональны времени.
Третий закон был опубликован Кеплером позже, в 1619 г.,
в книге «Гармония мира». Формулировка третьего закона такова:
III. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы
больших полуосей их орбит *).
Законы Кеплера подготовили почву для открытия Ньютоном
закона всемирного тяготения.
Рассмотрим вывод формулы для силы тяготения из законов
Кеплера. Из первого закона следует, что уравнение траектории
планеты в полярных координатах имеет вид (рис. 3.5)
' = 7+?^Г' <3-38>
[де г и ф —полярные координаты точки М в системе хОу,
р —параметр эллипса, е — его эксцентриситет (для эллипса 0^
^8<1). Начало координат помещено в фокусе эллипса, угол ф
отсчитывается от направления, отвечающего перигелию, точка Oj—
*) Представить себе величие научного подвига Кеплера можно, ознако-
ознакомившись с книгой [4].
§ 6. ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА. СИЛА ТЯГОТЕНИЯ
131
центр эллипса. Второй закон Кеплера означает постоянство
секторной скорости:
и, следовательно, равенство нулю трансверсального ускорения
(§ 1 гл. I).
Для решения поставленной задачи запишем радиальное уско-
ускорение, воспользовавшись второй формулой Бинё:
AЛ8)
где переменная и, равная 1/г, рассматривается как функция
полярного угла <р. Используя затем уравнение траектории C.38),
найдем
C-39)
d4 e
_=_-coscp.
Таким образом, подставляя
выражения C.39) функции и (ф)
и ее второй производной в фор-
формулу Бинё, получим искомое
выражение радиального уско-
ускорения:
X
Мы видим, что ускорение точки М обратно пропорционально
квадрату расстояния от точки до фокуса ее эллиптической орбиты
и направлено к фокусу. Силу, действующую на материальную
точку М, найдем, умножая аг на массу этой точки. Обозначая
с2/р через у, получим
F= — er3pr9 C.41)
где ег — единичный вектор радиального направления.
Итак, точка М, — модель планеты, — движется под действием
центральной притягивающей силы, обратно пропорциональной
квадрату расстояния от точки до силового центра.
Силовым центром является Солнце, находящееся в фокусе
эллиптической орбиты. Масса Солнца много больше массы всех
планет, поэтому можно считать его с достаточным приближением
неподвижным.
Покажем, что множитель у одинаков для всех планет, дви-
движущихся в поле тяготения общего неподвижного силового центра.
132 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Взаимодействие между планетами принимать во внимание не будем.
Рассмотрим две планеты, М\ и /И2« Пусть aif fr^ —длины полу-
полуосей, т*—-время обращения планеты /И,- (/=1, 2). Тогда
2naibi bf
Следовательно,
На основании третьего закона Кеплера
Значит, действительно, Yi = Ya — множители у одинаковы для веет
планет.
Чтобы получить окончательное выражение для силы тяготе-
тяготения, мы вернемся к задаче двух тел, считая силовой центр
подвижным, а следовательно, массу его конечной. Обозначим
расстояние между точками Mi и М2 через р, массы точек через
тх и та. Тогда, если за силовой центр принять точку Ми
иолучим
Помещая силовой центр в точке М2, найдем
Здесь Yi и ?2 — множители, характеризующие силовые поля,
создаваемые силовыми центрами Мх и М2 *).
На основании третьего закона Ньютона
отсюда
угт2
или
Обозначая эти равные отношения через /, получим
•) Очевидно, что у численно равняется силе, действующей на точку
единичной массы, помещенную на расстоянии р»1.
§ 7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 133
Следовательно, выражение силы тяготения примет вид
/и—-*^р. C.42)
Здесь мы полагаем, что силовым центром является точка Mv
Множитель f есть универсальная постоянная в законе тяготения.
Размышления над следствиями из законов Кеплера и, в част-
частности, над характером движения Луны привели Ньютона к от-
открытию закона всемирного тяготения, опубликованного им вместе
с основными законами механики в 1687 г. Закон всемирного
тяготения гласит, что любые два тела притягивают друг друга
с силами, пропорциональными произведению масс и обратно про-
пропорциональными квадрату расстояния между телами.
Приведенная формулировка, хотя в ней и фигурирует слово
«тело», применима лишь к точечным моделям реальных тел.
Формула C.42) выражает силу тяготения, приложенную к точке М2.
Масса точки т2, которая входит в выражение силы, называется
тяготеющей («гравитирующей») массой. Инертная и тяготеющая
массы точки равны между собой. Это —одно из фундаментальных
положений теории тяготения — с точки зрения теоретической
механики есть просто совпадение двух величин.
Закон всемирного тяготения Ньютона подвергался многократ-
многократной косвенной проверке — предсказание поведения естественных
небесных тел, проверка на опыте расчетов движения искусствен-
искусственных небесных тел и т. д. Прямая проверка производилась
в лаборатории (знаменитые опыты Кавендиша), где измерялась
и величина универсальной постоянной тяготения. В результате
все опыты и вся практика показали, что теория Ньютона дает
поразительные по точности результаты. Теория Ньютона не смогла
объяснить лишь малую долю смещения перигелия планеты Мер-
Меркурий, которая составляет 42 угловые секунды за сто лет (см. § 10).
§ 7. Пространственная задача Кеплера. Интеграл Лапласа
Обратимся к задаче двух тел —двух взаимодействующих
материальных точек, полагая, что сила определяется формулой
C.42). Для краткости вместо /2i будем писать F. Рассмотрим
движение точки М2 относительно системы ?, т), ?, начало которой
помещено в точку Mj (см. рис. 3.4), и запишем уравнение отно-
относительного движения:
.. dv
Р dt~~
где [I a mm^L^ есть приведенная масса, © — скорость точки М2
относительно системы gf ц, ?э е — единичный вектор радиального
,направления.
134 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Так как сила F= — е ^2 центральная и консервативная,
то мы получим интегралы момента импульса
[pmv] я тс,
или момента скорости
[pv] = с C.44)
и энергии
_ ±— = /:о- (о. 4о)
Векторный интеграл C.44) представим в следующем виде:
/ k
I ц
где /, у, Л —орты, направленные по координатным осям. Обозна-
Обозначая левые части скалярных интегралов через //, а проекции век-
вектора с через Ci (/=1, 2, 3), запишем три скалярных интеграла:
Напомним, что при постоянном моменте импульса (моменте
скорости), траектория материальной точки лежит в плоскости,
проходящей через силовой центр и ортогональной к постоянному
вектору с (гл. I, § 4).
Интеграл момента импульса C.44) и интеграл энергии C.45)
существуют при любой зависимости центральной силы от рас-
расстояния р.
Если свободная материальная точка движется в центральном
силовом поле с потенциалом вида П = а/р, то уравнения движения
допускают еще три скалярных интеграла — интегралы Лапласа.
Потенциал П=а/р характеризует либо поле тяготения (а>0),
либо кулоновское поле (а>0 —притяжение, а<0 — отталкивание).
Прежде чем переходить к выводу интегралов Лапласа, мы
рассмотрим вспомогательную функцию расстояния р, определяемую
формулой
4 {x(pp) C.46)
производные по времени которой, вычисляемые в силу уравнений
движения, войдут в интегралы Лапласа *).
*) Функция / (р) представляет собой частный вид функции
§ 7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА, ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 135
Покажем, что вторая производная функции /(р) по времени
отличается от кинетической энергии точки М2 на постоянную.
С этой целью дифференцируем /(р) по времени:
^ = [*РР = (л(ря). C.47)
Находим теперь вторую производную, используя уравнение
движения:
Таким образом,
Последнее уравнение можно записать, принимая во внимание
интеграл энергии C.45), в следующем виде:
| C.48)
Введем обозначение
J=yw=W- C-49)
Дифференцируя У по времени, получим
Используя затем уравнение движения C.43), запишем производ-
производную от J по времени в следующем виде:
ir=»2-f <3-50>
где k f( + )
f( )
Покажем, что переменная J удовлетворяет такому же диф-
дифференциальному уравнению, что и координаты точки М2. Для
этого исключим из C.50) и2 с помощью интеграла энергии:
*+? C.51)
введенной Якоби для системы п материальных точен, притягивающихся по
закону Ньютона. Здесь р^у обозначает расстояние между точками.
Функция Ф удовлетворяет уравнению
где Т есть кинетическая энергия системы, (/-—потенциальная энергия C3],
136 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Дифференцируя еще раз по времени, получим
dt2
Принимая во внимание, что
dV k dp
dt2 ~~~ p2 dt '
dp _ l .
мы придем к искомому уравнению:
Переходим к выводу интегралов Лапласа *). Для этого запишем
проекции уравнения движения точки М2 (уравнения C.43))
на оси ?, tj, ?:
"^""""з* "Ж"~"""^з~' "d^-~~~* w-M>
Нетрудно проверить, что, комбинируя уравнение C.52) и первое
из уравнений C.53), мы получим
ИЛИ
dJ
Мы видим, что под знаком производной находится интеграл
уравнений движения. Комбинируя затем уравнение C.52) со вто-
вторым и третьим уравнениями движения, мы придем к системе
трех интегралов — интегралов Лапласа:
C.54)
Отметим, что примененная здесь нумерация интегралов площа-
площадей и интегралов Лапласа будет использована в главе V, где мы
рассмотрим некоторые вопросы общей теории.
Обратимся теперь к вектору Лапласа. Умножим каждый иа
интегралов C.54) на соответствующий орт, сложим геометриче-
*) В первом томе своего грандиозного труда «Трактат о небесной
механике», пять томов которого были опубликованы в 1798—1825 гг., Лаплас,
рассматривая задачу Кеплера, вывел три интеграла, справедливые для поля
тяготения. Лаплас впервые определил содержание науки о движениях небесных
тел —твердых, жидких или газообразных, находящихся под действием различ»
ных сил природы и дал ей имя —«Небесная механика» (см, [11]).
§ 7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 137
ски полученные векторы и, обозначив сумму через А, запишем
^ f C.55)
Вектор А носит название вектора Лапласа.
Вектор Лапласа можно представить в ином виде, если вос-
воспользоваться формулами C.49) и C.50):
~ т)р -{pv) v=[v [pv]] - ?¦• C-56)
Из формулы C.55) следует, что вектор А лежит в плоскости
движения точки М2 (в плоскости Лапласа) и, следовательно, орто-
ортогонален к моменту скорости, определяемому формулой C.44).
Ортогональность этих векторов можно обнаружить, вычисляя
скалярное произведение
(A [pv]) = (t;2 - А) (р [Ргф - (р*,) (* [PV]) e о,
или
Cih + cJb + Csfs^O. C.57)
Отсюда заключаем, что между шестью интегралами есть зависи-
зависимость C.57). Можно указать еще одну зависимость между интег-
интегралами Лапласа, момента импульса и энергии. Возводя А в квад-
квадрат, привлекая затем C.51) и C.44), найдем
C.58)
Таким образом, семь интегралов — три интеграла Лапласа, три
интеграла момента импульса и интеграл энергии — связаны двумя
соотношениями, C.57) и C.58). Следовательно, независимых ин-
интегралов не больше пяти. Что независимых интегралов ровно
пять, мы покажем в главе V, где рассмотрим аналитическое реше-
решение пространственной задачи Кеплера.
Для качественного исследования вида траекторий в простран-
пространственной задаче Кеплера мы с помощью интеграла Лапласа выве-
выведем уравнение семейства поверхностей, на которых располагаются
искомые траектории. Поставленную задачу можно решить, если
мы найдем зависимость расстояния р между материальными точ-
точками Мг и М2 от координат точки Л42. С этой целью вычислим
скалярное произведение векторов р и А:
(РА) = р2-^—А C.59)
Зависимость производной -^- от р дана полученной ранее фор-
формулой
4
133 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Вычисляя с2 с помощью формулы
с2 = (И] [ptF]) = (p [v [9v]]) = р V - (р*>J - Р V - Л
и привлекая интеграл энергии C.45), найдем зависимость Р от р:
Л C.60)
Мы можем теперь выразить скалярное произведение (рА) через р,
подставив C.51) и C.60) в правую часть уравнения C.59):
Отсюда находим искомое уравнение семейства поверхностей, на
которых располагаются траектории точки М2:
или, подробнее,
где
Мы получили уравнение семейства поверхностей второго
порядка, которые, как мы увидим дальше, представляют собой
поверхности вращения с осью вращения, направленной по век-
вектору Лапласа.
Уравнение C.61) инвариантно относительно ортогональных
преобразований координат в силу того, что оно связывает рас-
расстояние р и скалярное произведение векторов р и Л.
Используем инвариантность уравнения C.61) и произведем,
не выписывая формул, ортогональное преобразование коорди-
координат—поворот вокруг начала координат. Потребуем, чтобы одна
из новых осей была направлена по вектору Л. Обозначая новые
координаты через xlt yl9 zx и направляя ось хг по вектору Л,
получим
Р-Т-*Т' C'62)
где
P = Vxt+y\ + zl.
Введем обозначения
k ~р> k -8»
и запишем уравнение семейства поверхностей в следующем виде:
р = р - zxv C.63)
§ 7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 139
Очевидно, что поворот осей координат вокруг оси хг не изме-
изменит уравнения C.63). Следовательно, мы получили уравнение
семейства поверхностей вращения, ось симметрии которых направ-
направлена по вектору А. Каждая из поверхностей этого семейства
получается вращением кривой второго порядка вокруг оси хг
(вокруг вектора А).
Расстояние р есть линейная функция координат точки на
поверхности. Отсюда мы заключаем, что р представляет собой
расстояние точки М2 до фокуса поверхности, т. е., что силовой
центр находится в фокусе поверхности второго порядка *).
Для того чтобы выяснить смысл величины р, проведем через
силовой центр плоскость, ортогональную к вектору А. Плоскость
пересечет каждую из поверхностей семейства по окружности,
радиусом которой и будет линейная величина р% т. е. p=p\Xi=sQ.
Величина р называется параметром.
Уравнение C.63) приведем к канонической форме. Для этого
перенесем начало координат вдоль оси хг (вдоль вектора А).
Обозначим новые координаты через л:2, у2у z2 и постараемся
исключить из уравнения первые степени координат. Положим
Из уравнения C.63) находим квадрат расстояния р, выразив его
через новые координаты:
A-е2) {х\ + 2 Ахх2 + (АхJ} + у\ + z\ - р2-2ргх2-2ре Ах. C.64)
Допустим, что гф\. Если начало координат перенести на рас-
расстояние
Л* = -Т^> C.65)
то, производя простые выкладки, найдем
A - е2) xl + yl + zl = p2 j^. C.66)
Мы получили уравнение семейства центральных поверхностей
второго порядка, в геометрическом центре которых находится
начало координат. Величина е называется эксцентриситетом
поверхностей. При е < 1 поверхности представляют собой эллип-
эллипсоиды вращения, при е >> 1 — гиперболоиды вращения.
Найдем, например, Да: для эллипсоида вращения. Как изве-
известно из аналитической геометрии,
р е1
*) Из аналитической геометрии известно, что расстояния точек кривых
второго порядка до их фокусов могут быть выражены в виде линейных функ-
функций координат этих точек (на основании определения фокуса).
НО ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
где а —длина большой полуоси, Ь — длина малой полуоси. Под-
ставив выражения параметра и эксцентриситета в формулу C.65),
найдем Дл: = — га. Уравнение эллипсоида вращения, отнесенное
к координатам х2> у2, г2 с началом в центре поверхности, мы
получим в виде
ф "Г Ь2 -Г Ь2 — *•
Если 8=1, то в уравнении C.64) нельзя исключить первую
степень х2. В этом случае из уравнения C.63) находим
y\ + z\ = p*-2pxl. C.67)
Мы получили уравнение семейства параболоидов вращения,,
общий фокус которых находится в силовом центре.
Траектории точки М2 будут представлять собой линии пере-
пересечения плоскости B.40) с поверхностью второго порядка C.66)
или C.67), т. е. конические сечения.
Если е<1, то траекториями будут финитные кривые— эл-
эллипсы, в частности, окружности.
Если е > 1 — инфинитные кривые — гиперболы, внутренний
фокус которых совпадает с силовым центром.
При е=1 траекторией будет парабола, являющаяся также
инфинитной кривой.
Если с = 0, то и р = 0. В этом случае траектории будут пря-
прямые, проходящие через силовой центр *).
§ 8. Задача Кеплера. Качественное исследование
плоского движения
В плоскости, перпендикулярной к постоянному моменту
импульса, расположим оси координат ?, г) с началом в точке Мг.
Положение точки М2 будет определяться полярными координа-
координатами р и ф (см. дальше рис. 3.9). Запишем интегралы энергии
и площадей:
*?-¦**?*¦ + ?•. C.68>
P2iJ = c. C.69)
Для исследования траекторий точки воспользуемся первой
формулой Бинё
{(?I4 где u==h AЛ7>
*) Применение интеграла Лапласа в квантовой механике см. в [28].
§ 8. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
141
Обозначим —- через ft,
через k. Дифференциальное урав-
уравнение траекторий будет иметь вид
C.70)
Мы пришли к уравнению с разделяющимися переменными,
в котором и рассматривается как функция полярного угла ф.
В силу C.69) полярный угол есть монотонная функция времени,
которая может быть выбрана в качестве независимой перемен-
переменной, изменяющейся подобно
времени. ^и' -
Обозначим правую часть
C.70) через W (и) и приме-
применим способ качественного
исследования решения урав-
уравнения (гл. II, § 3). Для это-
этого построим график функции
C.71)
Рис. 3.6.
при различних знаках по-
постоянной h (рис. 3.6).
Если ft<0 и н2<Ио<«ь то и(ф) меняется периодически
между крайними значениями; период функции а(ф) будет равен
du
"*
Г
C.72)
Соответственно, р будет периодически колебаться между значе-
значениями р! и р2 с периодом Ф:
Если ft = 0, или ft>0, то и будет принимать нулевое значение,
следовательно, изменение р будет инфинитным.
Те же качественные результаты можно получить, построив
график так называемой эффективной потенциальной энергии. Для
этого вернемся к интегралу энергии C.68). Исключая -~ при
помощи C.69), придем к уравнению
<373'
Следовательно,
142 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Представим функцию F(p) в виде
Замечая, что функция (—— j пропорциональна потенциальной
энергии материальной точки в поле тяготения, назовем (~ — —)
\Р Р /
эффективной потенциальной энергией и обозначим через UB(p).
Построим график функции ?/9(р) (рис. 3.7).
Область изменения р в действительном движении определяется
неравенством
Следовательно, при ft<0 мы имеем финитное периодическое
изменение р:
Pi
j
Здесь важно, чтобы начальное значение р0 принадлежало интер-
интервалу (рь р2), в частности, р0 может совпадать с одним из край-
крайних значений.
Далее, при h = 0 или h > 0 мы будем иметь инфинитное изме-
изменение р (на рис. 3.7 через рх обозначено наименьшее значение р
при различных К). Следует обратить внимание на то, что орди-
ординаты кривой U9(p) и h не являются независимыми: если при
ft<0 увеличивать |А|, то ординаты кривой U9(p) будут меняться
в том же направлении (штриховая кривая на рис. 3.7). Если
их = и2 или pi = p2 (прямая при Л<0 касается графика t/»(p))t
то орбита точки будет круговой.
§ 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 143
§ 9. Задача Кеплера. Интегрирование уравнений
плоского движения
Обратимся к дифференциальному уравнению траекторий мате-
материальной точки в полярных координатах C.70), интегрируя кото-
которое, мы найдем различные траектории точки в зависимости of
знака полной энергии *).
Разделяя переменные, запишем:
Ар«=t * =—-. C.75)
Мы уже сталкивались с выбором того или иного знака перед
корнем: нужно, чтобы решение отвечало начальному состоянию.
Если решение колеблющееся, то выбор знака не существенен.
Для определенности выберем минус.
Решая квадратное уравнение
найдем
В уравнении C.75) сделаем замену, положив
тогда
Отсюда
Ф = ф0 -j- arccos S.
Таким образом, уравнение траекторий в полярных координа-
координатах мы получим в виде
~-
Полагая фо = О и возвращаясь к полярному радиусу р, запишем
уравнение траекторий как уравнение конических сечений,
в полярных координатах,
C.77)
l+ecosq> '
*) Решение с помощью второй формулы Бинё A.18) получается несколько
короче, однако при использовании первой формулы важные постоянные вхо-
входят в решение в более удобной форме.
144
ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
где
C.78)
Полярный угол ф отсчитывается от направления, отвечающего
перицентру (перигелию, если силовым центром является Солнце) *).
Вид траектории определяется знаком постоянной h (или ?"<>):
1) если /i<0, то эксцентриситет 8<1 и траектория представ-
представляет собой эллипс (при е = 0 —окружность);
2) если /i = 0, то е = 1 — траектория есть парабола;
3) если, наконец, й>0, то е>1, и траекторией будет гипер-
гипербола. Силовой центр во всех случаях находится в фокусе кони-
конического сечения (рис. 3.8).
Пренебрежение подвижностью силового центра может приве-
привести к качественному изменению вида траектории. Допустим, что,
решая задачу о движении
материальной точки в поле
неподвижного силового цент-
центра при ц, = т2, мы нашли
траекторию в виде параболы
(А=0). Если, при тех же на-
начальных значениях р0 и vOf
мы будем решать задачу
двух тел, то, так как \i < m2,
а следовательно, Л<0, тра-
траектория окажется эллипсом.
Решим задачу о прибли-
приближенном вычислении первой и
второй космических скорос-
скоростей спутника Земли. За не-
неподвижный силовой центр примем центр Земли. Пусть начальная
скорость спутника v0 перпендикулярна к радиусу Земли. Вос-
Воспользуемся формулой C.78), в которой положим ся^у0/?, k = y,
h = vl ^-(начальное расстояние спутника от центра Земли при-
приблизительно равно радиусу Земли /?). Множитель у найдем из
Рис. 3.8.
условия
g— величина ускорения, вызываемого си-
силой тяжести. Таким образом,
Первую космическую скорость найдем из условия е = 0 — (траек-
(траектория спутника окружность):
-l<P м/с.
•) Перицентр — ближайшая к силовому центру точка орбиты. Апоцентр —
наиболее удаленная точка.
§ 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
145
Вторую космическую скорость найдем, потребовав, чтобы траек-
траекторией была парабола, т. е. 8=1:
(иоJ= \^2gR f=& 11 • 103 м/с.
Рассмотрим вывод уравнения, с помощью которого опреде-
определяется положение планеты на ее эллиптической орбите в зависи-
зависимости от времени. Впервые это уравнение было получено Кепле-
Кеплером в 1605 г. Мы знаем зависимость полярного радиуса р
от полярного угла <р. Поэтому можно было бы, используя прямо
интеграл площадей C.69), разделить переменные и искать зави-
зависимость полярного угла ф от времени. Однако удобнее другой
способ: а качестве искомой функции взять эксцентрическую ано-
аномалию 8, сделав в интеграле
площадей замену переменных (рис.
3.9). Как известно, уравнение
эллипса можно записать либо в
каноническом виде
либо, вводя параметр 8, в , пара-
параметрической форме:
lx sb a cos 8, % = Ь sin 8,
где а —большая полуось эллипса, рис# з.о.
А —малая полуось.
Расстояние ОХМХ равно га. Записав интеграл площадей в виде
перейдем к координатам ?ь гц. Очевидно, ? = ?i —еа, т) = тц,
1 = 1ъ ^ = 'П1« Интеграл площадей примет вид
db fi db с
dt di oh
Интегрируя по времени, найдем
Если положить, что 80 = 0 при ?о = О, то ^ = 0. Удвоенная сек-
секторная скорость с равна 2яа6/т, где т —период обращения пла-
планеты. Обозначим 2я/т через л — это средняя угловая скорость
вращения радиуса-вектора планеты*).
¦) В небесной механике величина п называется «средним движением».
146 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Окончательно уравнение Кеплера можно записать в виде
б — е sinG =nt. C.79)
Мы нашли время в виде простой функции угла б. По отношению
к б уравнение Кеплера есть трансцендентное уравнение, поэтому
аналитическое решение этого уравнения либо вычисление б при
заданных численных значениях 8 и п требуют применения спе-
специальных приемов, выходящих за рамки нашего курса *).
В главе II, в связи с изложением теории относительного дви-
движения материальной точки (§ 8), было упомянуто о состоянии
невесомости и было указано, что для материальной точки это
состояние наступает в.том слу-
случае, когда переносное ускоре-
ускорение равно активной силе, ум-
умноженной на массу B.94). Рас-
Рассмотрим теперь состояние не-
невесомости материальной точки,
полагая, что поле внешних сил
неоднородно.
Пусть в поле тяготения Зем-
Земли движется кабина, внутри
Рис. ЗЛО. которой помещен предмет (ма-
(материальная точка <J?). Рассмот-
Рассмотрим движение точки <Л относительно кабины. Упрощая задачу,
будем полагать, что центр Земли неподвижен и что центр масс
кабины движется по круговой орбите, а сама кабина движется
поступательно относительно неподвижной системы отсчета хОу,
связанной с центром Земли. С кабиной свяжем поступательно
движущуюся систему отсчета |О'т] (рис. 3.10) и запишем урав-
уравнение относительного движения точки <Jt\
где М есть масса Земли, га — масса рассматриваемой точки, / —
постоянная тяготения, рер = 00' — радиус-вектор центра масс
кабины (| е9 | = 1, р = const), rer = ОМ — радиус-вектор точки
а? (\er\=l), R — реакция связи (если точка <Л «плавает» в кабине,
не касаясь стенок и других предметов, то /? = 0). Заметим, что
силы взаимного притяжения точки <ЛУ кабины и других предме-
предметов, находящихся в кабине, мы не принимаем во внимание. Еще
следует обратить внимание на то, что сила инерции переносного
движения, равная ~^-в^ одинакова для всех точек системы
*) Детальное изложение невозмущениого кеплеровского движения см, \\\\ч
§ 9. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ 147
?0'г], так как эта система движется поступательно. По этой же
причине относительное ускорение записано в виде ?.тн, а не
%* (см. гл. I, § И).
Пусть /? = О — материальная точка не связана с кабиной.
Предположим, что точка <Л находится на прямой 00' (ег = ер).
Сокращая на общий множитель т, запишем уравнение относи-
относительного движения в виде
J
dt р
Положим r = p + Дг = p A + Я), где % = Аг/р. Тогда
dt ^ 92 Q\
Если |А,|<<1, то приближенно получим
1 - (Г ^ 2А
Отсюда
«отн
Если точка <JC находится между Землей и точкой О' (поло-
(положение сЛ\ на рис. 3.10), то г<р и Х<0. Следовательно, отно-
относительное ускорение направлено к центру Земли. Если же г>р,
Я>0 (положение <^2)» то относительное ускорение будет направ-
направлено от центра Земли. При совпадении точек <JC и О', т. е. при
А = 0, относительное ускорение точки <JC будет равно нулю —
налицо точное выполнение условия невесомости. Рассматривая
движение точки <JC (свободной точки) относительно системы хОу,
имеющей начало в центре Земли, т. е. решая задачу Кеплера,
мы обнаружим, что при ХфО траектория точки будет эллип
тической, несколько отличающейся от круговой траектории
точки О'.
Предположим, что материальная точка (JC покоится относи-
относительно кабины, т. е. что ?>отн=0. В этом случае может быть,
что реакция связи R отлична от нуля. Мы можем найти величину
реакции связи в зависимости от Я, подобно тому как мы нашли
относительное ускорение свободной точки. Нетрудно показать,
что если точка <JC покоится относительно кабины, находясь в точке
О1 (г = р), то реакция связи будет равна нулю — точка qS будет
в состоянии невесомости.
Н8 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
§ 10. Смещение перигелия планеты
(качественное исследование)
В § 6 было упомянуто о том, что в рамках теории Ньютона
мы не можем объяснить малую долю смещения перигелия Мер-
Меркурия, равную приблизительно 42 угловым секундам за 100 лет»
Хорошее совпадение с данными наблюдений дает применение
теории тяготения (общей теории относительности). Решение задачи
о движении точечной массы найдено Шварцшильдом. Перевод
решения Шварцшильда на язык механики Ньютона будет означать,
что, кроме силы тяготения, обратно пропорциональной квадрату
расстояния, действует еще притягивающая сила, обратно про-
пропорциональная четвертой степени расстояния от планеты до сило-
вого центра. В выражение этой дополнительной силы введем
малый множитель б (см. [34], [22]).
Допустим, что масса силового центра много больше массы
материальной точки М2у т. е. что силовой центр можно считать
неподвижным. Приведенную массу, определяемую формулой
заменим истинной массой точки, равной ш2, обозначив ее через т+
Силу тяготения запишем, пользуясь формулой
F~«,3r. C.41)
где ?г — единичный вектор радиального направления. Добавочную
малую силу представим в виде
Збт
e
где S есть упомянутый выше малый множитель, а множитель 3/2
введен для удобства.
Запишем дифференциальное уравнение движения материальной
точки:
dtf fym , 36m\ /o on.
где г — расстояние материальной точки (планеты) до неподвижного
силового центра.
Уравнение движения допускает следующие интегралы: интеграл
площадей
г dt "~С|
§ 10. СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТЫ
И9*4
где с — удвоенная секторная скорость; интеграл энергии
тог ту . тЬ . ^
-^=Т + 2гз + ?°-
Положим 1/г = о воспользуемся первой формулой Бинё A.17).
Тогда, исходя из интегралов уравнения движения, мы обычным спо-
способом получим дифференциальное уравнение траекторий в поляр-
полярных координатах:
(?)'-*<«>• C-81)*
Функция W(u) представляет собой многочлен третьей степени-
Мы получили уравнение с разделяющимися переменными,
решение которого приводится к вычислению эллиптического инте-
интеграла. Применим метод ка-
качественного исследования
решения и с этой целью
построим график функции
? (и)у предположив, что
ft<0. Точки ии м2, и9
ft<0. и 9
изображают корни кубиче-
кубического уравнения Т (и) = 0.
Квадратичная парабола,
отвечающая задаче Кепле-
ра (при 6 = 0), изображена
на графике штриховой ли-
линией (рис. 3.11). Если и2<Щ<иъ то и(ф) будет периодической,
функцией полярного угла ср, колеблющейся в пределах от и2 до их.
Если ио^и3, то при ф-^оо будет и-*оо, а значит г->0. В этом
случае траектория имеет вид спирали, стягивающейся к центру.
Если же иг=и3 (штрихпунктирная кривая на рис. 3.11) и и2<
<iuo<itiu то u->Ui при ф->оо. Это случай захвата точки на
круговую орбиту—траектория будет навиваться на окружность-
радиуса rv
Остановимся на случае финитного периодического движения,
полагая, что u2<u0<Ui. Представим функцию ?(«) в виде
Обозначая период функции и (у) через Ф, запишем
и*
150 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Применим теорему о среднем:
где я есть некоторое среднее значение и(ф). Очевидно, что
Как известно,
du a Яя
Покажем, что Ф>2я. Для этого оценим множитель
C.83)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и в двух
различных выражениях функции У (и) C.81) и C.82), мы най-
найдем, что
с2
Так как
f «2>0, то и3<тг и «з — й<
с2
Заменяя в C.83) разность и3 — п через у, получим неравенство
с с
Y4
Таким образом, можно заключить, что период функции u(q>)
больше чем 2я:
«1
Приравнивая ^ нулю, найдем что minY(«) будет при
9б2 36*
Следовательно, w8>|c, т. е. чем меньше параметр б, тем больше и8.
§ 10. СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ ПЛАНЕТЫ 15f
Найдем приближенное решение дифференциального уравнения
траекторий C.81), полагая и3^7Г (нетрудно проверить, что раз-
мерности «з и х совпаДают)« Уравнение C.81) запишем в виде*
Разделяя переменные и интегрируя, получим
и
с С du
CD = фп —— /-—: 1 _г
Вынесем среднее значение г за знак интеграла *):
У ttg — И'
в-в'>и.
Как и в задаче Кеплера, выбираем перед корнем знак минус-
(решение финитное, колеблющееся). Положим фо = 0 и заменим
щ через с2/8. Кроме того, заметим, что при малом 6 корни их
и и2 уравнения третьей степени Ч?(и) = 0 близки к корням*
квадратного уравнения
т. е.
(это нетрудно заметить на рис. 3.11). Допустив, что орбита мало
отличается от круговой, положим
/ иг + и2 у
Уравнение траектории примет вид
1 С du
l
V(ux-u)(u-u2)
Обозначим l/ 1— ^б через v. Вычисляя интеграл, найдем
*) Разумеется, это среднее значение отлично от того, которое мы выносиш
при вычислении периода (п' ф п).
152 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
ИЛИ
Г==1+8С^(Уф)' C'84>
где
Следовательно, траекторию планеты можно приближенно пред-
представить в виде вращающегося эллипса. Когда планета, совершив
обход орбиты, возвращается в исходную точку, полуоси эллипса
поворачиваются в направлении движения планеты на угол
При малом б можно положить
(•-*«Г
Тогда
В [34] показано, что (—— I а|, где р, как и в нашем реше-
решении, есть параметр эллипса, а — гравитационный радиус, опреде-
определяемый формулой
f
(скорость светаJ '
в которой f —универсальная постоянная тяготения.
Разумеется, в рамках механики Ньютона этот результат полу-
получить нельзя. Можно лишь показать, как введенный нами параметр б
зависит от гравитационного радиуса:
где с есть удвоенная секторная скорость. Полученная формула
применима при малых значениях б.
§11. Основы теории рассеяния частиц
Для познания строения материи очень важно изучение так
называемого рассеяния частиц какого-либо вещества на силовых
центрах. В упрощенной постановке задачи о рассеянии частиц
мы предположим, что на единичный и достаточно массивный
силовой центр набегает поток частиц*), которые не взаимо-
•) Может рассматриваться и единовременно выпущенная порция частиц.
§ 11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ 153
действуют друг с другом («пылевидная» материя). В результате
взаимодействия с силовым центром траектории частиц искривля-
искривляются и происходит рассеяние («разбрасывание») частиц, по резуль-
результатам которого судят о характере взаимодействия частиц с силовым
центром.
Обычно сравниваются только направления начальной и конеч-
конечной скоростей частиц, т. е. изменение направления траекторий
частиц вдали от силового центра. Поэтому часто говорят об
изучении поведения пучка траекторий частиц.
Поскольку принимается во внимание только взаимодействие
каждой частицы с силовым центром (подвижным или неподвижным),
задача о рассеянии частиц сводится к задаче двух тел. Относи-
Относительно сил взаимодействия предполагается, что они зависят лишь
от расстояния между частицей и силовым центром.
Обратимся к относительному движению в задаче двух тел и
рассмотрим случаи инфинитного изменения расстояния между
точками. Запишем уравнение относительного движения
игв/«ь C-35>
где и = т1"*2 есть приведенная масса, v — относительная скорость
\ Т 2
материальной точки А12 (рис. 3.4) *).
Сила /2i — центральная и зависит только от расстояния между
точками. Поэтому движение точки М2 будет плоским; кроме того,
будет сохраняться момент импульса и энергия в относительном
движении. Обозначая полярные координаты точки М2 через (у
и ф, запишем:
= с (с —удвоенная секторная скорость), A.19>
^ + ?/(р) = ?0. C.37)
Используя первую формулу Бинё, получим дифференциальное
уравнение траекторий:
(|У_*=??0 _*«*(„), C.85)
где
Решение задачи о рассеянии, как и решение задачи Кеплера,,
удобно начать с качественного исследования траектории. С этой
*) Материальная точка М2 изображает здесь одну из частиц потока.
154
ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
целью построим график функции У (м), предполагая изменение р
инфинитным, т. е. предполагая, что и обращается в нуль. На
рис. 3.12 изображены три графика. График / соответствует рас-
рассеянию: точка М2, приходя из
бесконечности *), сближается с
силовым центром на расстояние
= pi =-тп, где щ есть от-
отличный от нуля корень урав-
уравнения W(u) = 0, и снова удаля-
удаляется в бесконечность, но уже
Рис. 3.12. по другому направлению. Гра-
График 2 изображает захват точки
на круговую орбиту (и асимптотически стремится к и[2}). Наконец,
график 3 — захват силовым центром (здесь при ср->оо и w-voo).
На рисунке 3.13 для тех же случаев изображен примерный
вид траекторий точки М2 в плоскости (?tj).
Рис. 3.13.
Точка М2, двигаясь по траектории A), имеющей вид гипер-
гиперболы, приходит из бесконечности с начальной скоростью v0,
сближается с силовым центром и снова уходит в бесконечность
со скоростью <ок (дальше мы увидим, что |tfo| = |0Kj). Расстояние
между параллельными прямыми, на одной из которых располо-
расположен вектор начальной скорости, а вторая проходит через сило-
силовой центр, называется прицельным расстоянием (на рис. 3.13 оно
обозначено через /). Угол 6 между направлениями начальной и
конечной скоростей называется углом отклонения, если рассмат-
рассматривается одна материальная точка, или углом рассеяния, если
речь идет о потоке частиц. Траектория на схеме A) соответствует
силам отталкивания, но рассеяние возможно и в случае притя-
притяжения (см., например, инфинитное движение в задаче Кеплера).
*) Словом «бесконечность* мы здесь заменяем слова «достаточно большое
расстояние»,
§ 11. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ 155
Вид траекторий точки М2 в случаях захвата на круговую^
орбиту и захвата силовым центром также показан на рис. 3.13
(случаи B) и C)).
Опираясь на задачу двух тел, рассмотрим основы теории рас-
рассеяния частиц (материальных точек). Главное в теории рассея-
рассеяния—нахождение зависимости угла отклонения 8 от прицельного*
расстояния и определение плотности пучка отклоненных траекто-
траекторий многих частиц как функции угла рассеяния, начальной ско-
скорости и параметров, характеризующих силовое поле. Дело в том,
что эксперимент дает возможность установить зависимость числа
траекторий от угла рассеяния, поэтому результаты теории должны
быть сопоставимы с результатами опыта *).
Угол 8 может быть найден из решения задачи о движении
точки М2 относительно системы Н, ц. Из C.85) имеем
и
ф = Фо + J
«о
du
Vх? (и) '
Если угол ф будем отсчитывать от линии апсид, то ф0 = 0, и0 =
Из графика / (рис. 3.13) мы видим, что
где фоо —угол между осью I и асимптотой траектории. Следова-
Следовательно,
• ?* C.86)
U
В ряде случаев интеграл \ , может быть вычислен и мы
можем получить конечную формулу, связывающую м = — и угол
Ф — уравнение траектории точки.
Полагая, что р->оо, находим ф^, и угол 8. Отметим, что из
интеграла энергии следует равенство !яо| = |як| в силу того, что
?/(р)-*0 при р->оо.
Угол рассеяния находится из решения задачи об относитель-
относительном движении точки М2, а измерения производятся в лаборато-
лаборатории—относительно «лабораторной» системы отсчета. Поэтому нам
нужно найти связь между углами рассеяния в разных системах
отсчета. Воспользуемся еще раз рис. 3,4, на котором изображены
три системы: неподвижная х, у, г (здесь мы будем ее считать
лабораторной), система, связанная с центром масс (система
*) См^ например, [5],
156 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Кёнига) х\ у', г\ и система ?, т], ?» связанная с точкой Mt.
Оси всех систем параллельны между собой. Первые две системы
отсчета инерциальные, система ?, г), ? — неинерциальная.
Допустим, что мы знаем угол рассеяния в системе |, г), ?.
Сохраняя все обозначения, примененные в задаче двух тел,
запишем:
Я i = *>2 отн + Я 2 nept НО *> 2ота = *>» *>2 пер = * !•
-Следовательно
©. C.87)
Запишем импульс системы двух точек:
т{о[ + пцо1=*0. C.88)
Умножая обе части C.87) на ть исключим v[:
(тх + пц) V* =
или
Из полученного равенства следует, что углы рассеяния
в системах ?, т|э ? и л:', у', г' совпадают.
Обратимся к вычислению угла рассеяния в лабораторной
системе. Запишем соотношение между скоростями и закон сохра-
сохранения импульса:
C.89)
C.90)
Здесь vu v2 и г>с —скорости точек Мь М2 и центра масс отно-
относительно системы ху у, г.
Из C.89) и C.90) исключаем юг:
(тг + т2) v2 = (тх + m2)
«ли
C.91)
Из C.91) видно, что углы рассеяния будут различными, если
1)Сф0. Предположим, что в начальный момент времени ^10 = 0,
тогда v2o=svo. Скорость центра масс будет равна
» <3'92>
Начальные импульсы точки УИ2 в лабораторной системе и в системе
?» yj, ^ будут связаны соотношением вида
§ П. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ
Для конечных импульсов будем иметь:
m2v2K
Щ + тг
167
C.94)
Угол рассеяния в лабораторной системе обозначим через 8Л и
построим углы 8 и бл графически (рис. 3.14). Из треуголь-
треугольника ABC находим:
m2v2K sin бл = \ivK sin 0,
m2v2K cos 8л =
v0 + \ivK cos 8.
те
Разделив почленно, получим
\kvK sin 6
- v0 + \ivK cos б
Окончательно, используя равенство | v0 \ = | vK |f запишем фор-
формулу, связывающую угол рассеяния бл в лабораторной системе
с углом рассеяния 8 в следующем виде:
C.95)
2 + cos6
Заметим, что при т21тг
8Л « 8.
Рассмотрим рассеяние однородного потока частиц на непод-
неподвижном силовом центре (масса силового центра велика по срав-
сравнению с массой частицы). Допустим, что силовой центр, поме-
помещенный в точке О, действует с отталкивающей силой, исчезающей
*
g+dB
Рис- 3.15.
на бесконечности (дальнодействие) (рис. ЗЛ5), массы частиц оди-
одинаковы, начальные скорости равны по величине и параллельны-
Различны лишь прицельные расстояния /. Обозначим через а
158 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
число частиц, пролетающих в единицу времени через еди-
единицу площади контрольной плоскости, перпендикулярной
к прямой О# —оси пучка траекторий —и расположенной на боль-
большом расстоянии от силового центра. Предположим, что п по-
постоянно.
В контрольной плоскости построим элементарное кольцо,
образованное двумя концентрическими окружностями радиусов I
и l + dl. Площадь кольца будет равна do=2nldl. Назовем do
дифференциальным поперечным сечением. Обозначим через dN
число частиц, пролетающих через площадь do в единицу вре-
времени. Очевидно, что dN = ndo. Отсюда
da=~. C.96>
Формула C.96) позволяет истолковать do как число частиц,
пролетающих через элементарное кольцо в единицу времени при
п= 1.
Траектории частиц, имеющих различные прицельные расстоя-
расстояния, отклоняются на различные углы. Если угол отклонения В
рассматривать как функцию прицельного расстояния /, то в слу-
случае дальнодействия
§<0, б->0 при /-*оо.
Кроме того, если / = 0, то 8 = п (прямое соударение).
Предположим, что распределение траекторий симметрично
относительно оси пучка траекторий. Чтобы представить распре-
распределение отклоненных траекторий в зависимости от угла 6, удобно
совместить геометрические центры траекторий (точки Оъ О2, ...)
с центром сферы единичного радиуса —точкой А (см. рис. 3.15)
[27]. Тогда множество направлений конечных скоростей, соответ-
соответствующих прицельному расстоянию /, образует конус с углом 29
при вершине. Направления, соответствующие / + d/, расположатся
на конусе с углом 2F + d6) при вершине. Очевидно, что направ-
направления конечных скоростей частиц, прошедших через площадь do,
пройдут через шаровой пояс, площадь которого равна dQ =
= 2ttsin8d6. Таким образом, мы получаем отображение элемен-
элементарного кольца на шаровой пояс.
Если неотклоненный поток был однородным, то распределение
конечных скоростей на сфере не будет однородным. Зависимость
плотности пучка траекторий от угла отклонения мы можем уста-
установить, приравнивая число частиц, пролетевших через do и через
шаровой пояс:
n2nl dl = — np (б) 2л sin 6 db%
§ И. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ЧАСТИЦ 159
где /7р F) есть плотность пучка отклоненных траекторий. Для
функции распределения получим формулу
р<в>--ж*§- <3-97>
Здесь прицельное расстояние есть функция угла рассеяния.
Если выразить do через угол рассеяния с помощью формулы
do = — pF)dQ, то do можно истолковать как число частиц (при
я=1), траектории которых отклонены на углы от б до 6 + d0.
В этом случае говорят об «эффективном» дифференциальном сече-
сечении. Нетрудно проверить, что полное поперечное сечение — число
всех частиц, траектории которых отклонены на угол от я до 0, —
равно бесконечности (при дальнодействии и неограниченном
потоке).
В заключение рассмотрим рассеяние частиц неподвижным
силовым центром, действующим с отталкивающей силой, опреде-
определяемой формулой F=erytn/r2 (взаимодействие по закону Кулона).
Сохраним обозначения, примененные в задаче Кеплера (§ 9).
В уравнении C.70) изменим лишь коэффициент при и: вместо
+ 2k/c2 напишем (— 2у/с2). Дифференциальное уравнение траек-
траектории будет иметь вид
Здесь А>0 при любых начальных условиях.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
и
du
Wo
где
Положим фо~О; тогда
—1+есозф'
где
Если (?^=0, то при любых начальных условиях е>1. Траекто-
Траектории—гиперболы, обращенные выпуклостью к силовому центру
(см. рис. 3,13, схема A)).
Применяя формулу C.86), получим
ctg (j) =
160 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Постоянные с и h найдем из условий на бесконечности:
с = lvQf h = vl.
Используя выражение для е, найдем зависимость прицельного
расстояния от угла рассеяния:
dl у 1
, 2")9 dB 2v\ sin2 F/2)"
Подставляя найденные выражения в формулу C.97), получим
Формула C.99) была получена Резерфордом A911 г.) при
изучении рассеяния а-частиц (атомов гелия) рассеивающим слоем.
Эти исследования привели Резерфорда к мысли о наличии атом-
атомного ядра, в котором сосредоточен весь положительный заряд
атома, а также почти вся его масса. Последующие эксперименты
подтвердили гипотезу Резерфорда, и на этой основе была создана
модель атома, предложенная Бором.
§ 12. О задаче трех тел
Одна из основных задач небесной механики, в которой рас-
рассматриваются три свободные материальные точки, взаимодействую-
взаимодействующие по закону тяготения Ньютона, носит название «задача трех
тел» *). Система, состоящая из трех свободных материальных
точек, представляет собой замкнутую (изолированную) систему,
поскольку внешние силы не принимаются во внимание. Анали-
Аналитическое исследование движения каждой точки в задаче трех
тел, несмотря на очень простую структуру самой системы, свя-
связано с огромными математическими трудностями и общее реше-
решение в приемлемом виде еще не найдено**). Со времен Эйлера,
Лагранжа, Лапласа и до наших дней задача трех тел привлекает
внимание многих исследователей, среди которых немало крупней-
крупнейших математиков и механиков. Задаче трех тел посвящено много
сотен работ и монографий.
*) Слово «тело» применяется здесь не только потому, что материальная
точка есть модель реального тела, но и по той причине, что шарообразные
тела со сферически-симметричным распределением масс притягивают друг друга
как материальные точки.
**) В 1912 г. финский математик Зундман нашел в результате глубоких
исследований аналитическое решение задачи трех тел в виде бесконечных
рядов, но впоследствии выяснилось, что для вычисления с современной точ-
точностью координат точек по формулам Зундмана необходимо брать сумму огром-
огромного числа членов ряда —ряды крайне медленно сходятся. В силу этого
исследования Зундмана представляют чисто теоретический интерес.
§ 12. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 161
Большой прогресс в решении многих задач механики иг
в частности, в решении задачи трех тел связан с развитием
современных методов вычислительной математики. Применение
электронно-вычислительных машин позволило находить численные
решения дифференциальных уравнений с большой точностью,
превосходящей точность аналитического решения, причем числен-
численное решение задачи трех тел отличается от решения задачи двух
тел главным образом объемом вычислительной работы. В точно-
точности и быстроте вычислений заключается большое преимущество
численных методов перед аналитическими. Однако численные
методы в настоящее время еще не позволяют выявлять общие
свойства движения и устанавливать функциональные зависимости
между переменными, характеризующими состояние движения той
или иной механической системы. Поэтому аналитические методы
исследования движения, несмотря на успехи вычислительной
математики, не утратили своей ведущей роли. Кроме того, чрезвы-
чрезвычайно полезные качественные способы исследования целиком
относятся к области аналитических методов.
Обратимся к задаче трех тел. Рассмотрим движение трех сво-
свободных материальных точек, <ЛЪ <ЛЪ ок3, относительно инер-
циальной системы отсчета, с которой свяжем декартовы оси
координат х, у, г. Массы точек обозначим через тъ ш2, и тг
соответственно. С центром масс системы (точка С) свяжем оси
Кёнига х\ {/', zr (барицентрическая система координат). Радиус-
вектор центра масс находится по формуле C.1):
2
a==1
3
где М = 2 т« есть масса всей системы. Радиусы-векторы точек
можно представить в виде га = Гс-\-Га, где ri — относительный
радиус-вектор точки <Ла. Кинетическая энергия системы равна
сс=1
Применяя формулу Кёнига C.20), представим кинетическую энер-
энергию в виде
з
Выражению кинетической энергии можно придать другую форму,
удобную для некоторых приложений. С этой целью запишем
6 В. В. Петкевич
162 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
формулу Кёнига в виде
Воспользуемся, кроме того, тем, что
3 \2 3 3
2 т**>'*} = 22
и составим разность
аз зз
2 Ш& 2 та(^аJ~ 2 2 т*Г
Замечая, что все члены вида (maVaJ взаимно сократятся, мы
придем к формуле
3 3 9
^/д /Пр 2_i Я1а (ра) == JJj 2л ttlafi
Таким образом, кинетическая энергия системы трех материаль-
материальных точек может быть записана в следующем виде:
44
Разность (vfc — Va) можно рассматривать как скорость точки <Ла
относительно системы, имеющей начало в точке <Jt§ и движу-
движущейся поступательно. Заметим еще, что формула C.100) может
быть применена к системе, состоящей из любого числа материаль-
материальных точек (обычно эта формула получается на основании тож-
тождества Лагранжа).
Запишем выражение потенциальной энергии системы трех
материальных точек:
BИй !МЬ !Ий\ C.101)
2Э Р31 Pl2
Через / обозначена универсальная постоянная тяготения, pif есть
расстояние между точками <Лг и oSf% вычисляемое по формуле
Pi, - (х, - *,)* + {у, - Уд2 + (г/ - г,)" -
- (*'/ - *У + (У*, - y'i? + (г/ - гО2 (t Ф /). C.102)
Дифференциальные уравнения движения относительно инер-
циальной системы дс, (/, г каждой материальной точки будут
иметь вид
ma ~a - - grad(,a, ,a, te) I/ (a - 1 f 2, 3). C.103)
§ 12. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 163
В такой же форме мы можем записать уравнения движения отно-
относительно системы Кёнига:
/no^ = -gradD> ^ zk)U' (а= 1, 2, 3), C.104)
где Va есть относительная скорость точки <*#а, производная от
которой по времени равна абсолютному ускорению; символом V
обозначена потенциальная энергия, выраженная через разности
относительных координат (очевидно, что ?/' = ?/).
Система дифференциальных уравнений C.103) содержит девять
уравнений второго порядка. Следовательно, порядок системы
равен восемнадцати. Наличие первых интегралов, допускаемых
уравнениями, позволяет понизить порядок системы уравнений.
Если рассматривать движение трех точек относительно системы
координат х, г/, г, т. е. исходить из уравнений C.103), то прежде
всего следует отметить сохранение импульса системы:
ИЛИ
Mvc = си
что позволяет записать три первых интеграла в виде
cu. (ЗЛ05)
Следовательно, центр масс движется относительно системы xf у, г
равномерно и прямолинейно. Если же исходить из системы урав-
уравнений C.104), то необходимо положить с\> =ci^«=ci2«0. Кроме
того, еще три интеграла мы получим, используя сохранение кине-
кинетического момента системы относительно начала координат:
з
ИЛИ
GOy, C.106)
Уа - УМ - Goz.
Вместо последних интегралов мы можем записать три интеграла
для движения относительно системы Кёнига, исходя из векторного
6*
164 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
3
выражения 2 [r>amaVa] == Q'c'-
C.107)
Кроме того, система уравнений C.103) допускает интеграл энергии
Е<>. C.108)
Разумеется, интеграл энергии допускает и система дифферен-
дифференциальных уравнений C.104). В относительном движении получим
Г+ (/' = ?;, C.109)
где
з
В выражениях C.108) и C.109) постоянные интегрирования будут
отличаться на величину ll2Mvh.
В задаче трех тел обычно исходными являются уравнения
движения относительно осей Кёнига (уравнения C.104) в бари-
барицентрических координатах). Так как относительные координаты
удовлетворяют трем соотношениям вида
3 Я 6
а для проекций относительной скорости справедливы три соотно-
соотношения такого же вида
io система C.104) будет иметь двенадцатый порядок. Три инте-
интеграла кинетического момента и интеграл энергии позволят пони-
понизить порядок системы уравнений еще на четыре единицы.
Укажем еще на два способа понижения порядка системы
>равнений. Первый способ основан на использовании уравнений
движения двух точек относительно поступагельно движущейся
§ 12. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
165
системы координат, начало которой находится в третьей точке
(система ?, rj, ? на рис. 3.16). Эта система неинерциальная,
поэтому в уравнения относительного движения нужно ввести
силу инерции переносного движения, подобно тому как это было
z'
Рис. 3.16.
сделано в задаче двух тел. Помещая начало координат в точке
запишем
= 2, 3, fe = 2,
C.110)
Переносное ускорение равно абсолютному ускорению точки
Следовательно,
/a fk\
Уравнение относительного движения точки
в следующем виде:
запишем теперь
т,
Разделив обе части на
тх
получим
тх + т2
х + та
dt
Введем векторы
Р31>
166 ГЛ. 111. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
и запишем подробно выражения для сил взаимодействия:
ТК~ Pl2 р8 » /31 Pl3 рз » /23 — + Р23 р|з
Введем, кроме того, приведенные массы
и представим уравнения относительного движения в виде
/о 1 i i\
где / есть универсальная постоянная тяготения, а расстояния
между точками pif выражены формулами
Таким образом, мы пришли к системе и)ести уравнений для шести
неизвестных функций времени E/t t\h Ci 0'= 2, 3). Найдя какое-
либо решение системы уравнений C.111), мы сможем с помощью
простого преобразования координат (перенос начала в центр масс)
перейти к барицентрическим координатам.
Второй способ понижения порядка системы дифференциальных
уравнений в задаче трех тел связан с именем Якоби. Способ этот
состоит в том, что рассматривается движение точки aS2 относи-
относительно системы, имеющей начало в точке <ЖХ как и в предыду-
предыдущем способе, а движение точки <ЛВ — относительно система
с началом в центре масс двух точек <JCX и <^2 (система ?', т}', ?'
с началом С12 на рис. 3.16). Обе вспомогательные системы дви-
движутся поступательно и являются неинерциальными. Уравнения
относительного движения точки <Ж^ мы уже получили. Запишем
теперь уравнение движения точки <Лг:
где tfJoTH есть скорость точки cSs относительно системы ?', ц'9 gf,
ainCp — абсолютное ускорение начала этой системы (точки С12).
Ускорение центра масс двух точек <ЛХ и <Л% пропорционально
сумме всех сил, приложенных к этим точкам. Поэтому
§ 12. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
167
Следовательно, уравнение относительного движения точки <^3 мы
запишем следующим образом:
^ C.112)
те приведенная масса определяется формулой
Переменными Якоби являются |2, щ, ?2 (координаты точки <Л%
в системе ?, т], ?) и ?Jf г)з, ?з (координаты точки <^3 в системе
?'» л'» ?')• Покажем, что координаты точек <ЛХ и <Л% относительно
системы ?', т)\ ?' могут быть выражены через ?2, %» ?2. В самом
деле, координаты точки С12 в системе ?, т), С будут равны
Следовательно, мы легко найдем координаты точки <JCX в системе
6'. Л', С:
Координаты точки <^2 относительно системы §', ц!, ? найдем из
соотношений
K + ?S Ot и т. д.,
Поэтому расстояния между точками oSt и
зить через переменные Якоби по формулам:
мы сможем выра-
выраPl3s
P23 =
Движение трех точек будет плоским, если в некоторый (на-
(начальный) момент времени вектор скорости каждой точки лежит
в плоскости треугольника <Лх<ЛуЛъ. В этом случае материальные
точки будут двигаться в плоскости, неподвижной относительно
осей Кёнига, проходящей через центр масс и ортогональной
к вектору кинетического момента системы.
Частные решения задачи трех тел были найдены Эйлером,
Лагранжем и Лапласом. Мы здесь кратко рассмотрим частное
i решение Лагранжа — так называемое треугольное решение. Лагранж
168
ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
показал, что три материальные точки с различными массами
могут двигаться, находясь в вершинах равностороннего треуголь-
треугольника, который, изменяясь, всегда остается подобным начальному
треугольнику. Движение точек совершается при этом в плоскости,
неизменно связанной с системой Кёнига. Так как движение точек
плоское, то мы можем оси Кёнига выбрать так, чтобы треуголь-
треугольник <JCx<JtvJLz всегда находился в плоскости (х', у'). Вспомога-
Вспомогательную систему координат, начало которой в точке оЖ1у распо-
расположим так, чтобы плоскость (?, rj) совпала с плоскостью (хг, у')
и рассмотрим относительное движение точек <^2 и <^з> восполь-
воспользовавшись уравнениями C.111).
На рис. 3.17 показано расположе-
расположение точек в некоторый момент вре-
времени. Положение каждой точки
будем определять ее полярными
координатами. Углы при вершинах
треугольника обозначим через б,-.
Ищем частное решение системы
C.111) в следующем виде:
р,/ = р (*)*</, C.113)
Рис- 317. где р (/) есть одинаковая для
всех точек переменная, имеющая
размерность длины, х/;-— безразмерный постоянный множитель.
Начальная длина стороны треугольника равна
9ij (U) = Р (to) ну.
Если длины сторон треугольника определяются соотношением
C.113), то очевидно, что углы б,- при вершинах <Jtt не будут
изменяться со временем.
Запишем уравнения C.111) в полярных координатах:
!-pl2<P!)= —
.to cose»-tea сове*
Pi3 Раз
- ^f sin e»+
e2,
Цз (Pis — i
Pi3
COS в!-™COS 63,
Раз
Pis
Заменим р# по формуле C.113) и примем во внимание известные
соотношения между сторонами и углами треугольника;
sin 6a
sin
sin 0a*
§ 12. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ 169
Замечая, что ф2 = ф3 = ф, запишем уравнения движения в виде
(р — рф2) = — j
sine!
Р2
sin 0а
^зХ13(р~рф2) = -^
/ sin 6t sin 63\
§ (Р2Ф) - ftW Х?2 *Ь Л
Если треугольник <ЖХ<Л%<ЖЪ всегда остается равносторонним, то
*12 = Х23 = Кз1 = К И 01 = 82 = бз = б
Правые части проекций уравнений движения точек оМ2 и <*^3 на
трансверсали при этом обратятся в нуль. Следовательно, уравне-
уравнения относительного движения точек <JC^ и е^3 допускают инте-
интеграл площадей:
Проекции уравнений движения на радиальные направления при-
мут простой вид р-рф2 = -/т1+у/Пз.
Таким образом, движение точек о^2 и о^3 относительно системы
координат ?, г) будет описываться уравнениями такого же вида,
как и одной точки, движущейся в поле тяготения неподвижного
силового центра. Значит, точки <^2 и <ЛЪ будут описывать кони-
конические сечения с общим фокусом в точке <ЛХ. Если же угол 61
и один из остальных углов, например, 03, равны нулю (угол В%
при этом равен я), то материальные точки располагаются на
одной прямой, вращающейся вокруг оси <^г1 с угловой ско-
скоростью ф. Точки е^2 и <ЛЪу так же как и в треугольном реше-
решении Лагранжа, описывают конические сечения с общим фокусом
в точке <JCX. В этом случае множители х// не равны друг другу.
Если точка qS% лежит между точками <ЖХ и <ЖЪ (угол 02 равен я),
то будем иметь Pi3 = Pia + P23» следовательно, и13 = и12 + и23. Обо-
Обозначим через Я отношение и23 к и12, положив х23 = Ях12; тогда
^13 = A+Я)х12. Дальше мы покажем, что величина Я, зависящая
от масс точек, является решением алгебраического уравнения
пятой степени.
Частное решение задачи трех тел, в котором точки <ЛЪ оЖ%
и е?3, двигаясь по коническим сечениям, всегда располагаются
на одной прямой, было найдено Эйлером,
170 ГЛ. III. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Положим 8j = 83 = 0, 02 в п> тогда трансверсальные составляю-
составляющие ускорения точек *?* и е^3 обратятся в нуль. Если мы по-
потребуем, чтобы отношение радиальных ускорений этих точек было
равно отношению радиальных проекций сил, то получим нужное
уравнение для Я. Уравнения движения точек <^2 и <ЛЪ относи-
относительно системы координат \% х\ можно записать в следующем виде:
*M1+*)(p-p<p2)=-j
Здесь приведенные массы ц2 и ц3 заменены их выражениями
через mt. Приравнивая отношения левых и правых частей этих
уравнений и сокращая на общие, заведомо отличные от нуля,
множители, мы после простых выкладок придем к алгебраиче-
алгебраическому уравнению относительно Я:
(mj + m2) Я5 + (Зтг + 2т2) Я4 + (Зтг + т2) Я3 -
-(т2 + Зт3)Х2-(:2т2 + Зт6)Х-(т2 + т3) = 0.
Исследуя перемены знаков левой части, можно показать, что это
уравнение имеет только один положительный корень.
Возвращаясь к барицентрической системе координат, мы обна-
обнаружим, что и в случае треугольного решения Лагранжа, и
в решении Эйлера все три точки будут описывать конические
сечения с общим фокусом в центре масс.
Расстояния между точками при некоторых условиях могут
оставаться неизменными, т. е. точки могут покоиться относительно
некоторой равномерно вращающейся системы координат. Относи-
Относительное равновесие точек мы рассмотрим с несколько иной точки
зрения в последнем параграфе седьмой главы.
Если масса одной из точек весьма мала по сравнению с мас-
массой других точек, то можно пренебречь ее воздействием на точки
с большей массой и рассматривать движение этой точки в поле
тяготения двух подвижных силовых центров. Движение точек
с большими массами находится из решения задачи двух тел и
дальше считается известным. Задача трех тел в такой прибли-
приближенной постановке называется ограниченной задачей трех тел.
Первоначально она возникла при исследовании движения малой
планеты в поле тяготения двух гигантов — Солнца и Юпитера,
Впоследствии, в эпоху развития космонавтики, решение ограни-
ограниченной задачи трех тел было применено, например, при иссле-
исследовании движения искусственного спутника, запущенного в сто-
сторону Луны, в поле тяготения Земли и Луны.
Подробное изложение классической задачи трех тел (ограни-
(ограниченной и неограниченной) можно найти в [11].
ГЛАВА IV
МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ.
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
Мы переходим к изучению так называемой аналитической
механики, основы которой были заложены Лагранжем в его трак-
трактате «Аналитическая механика», опубликованном в 1788 г. в виде
двух сравнительно небольших томов [17]. В первом томе Лагранж,
подытожив все достижения механики того времени, вывел общие
уравнения аналитической механики и дал методы решения кон-
конкретных задач. Назначение своего труда сам Лагранж характе-
характеризует такими словами: «Я поставил себе целью свести теорию
механики и методы решения связанных с нею задач к общим
формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необ-
необходимые для решения каждой задачи».
Наиболее удобным объектом для постижения идей и методов
Лагранжа являются системы со связями, к которым мы теперь
и обратимся. С другой стороны, рассматривая равновесие и дви-
движение систем со связями, мы увидим, насколько гибки, остроумны
и удобны для изучения таких систем методы Лагранжа *). В состав
рассматриваемых систем войдут материальные точки и абсолютно
твердые тела, но в силу того, что механика абсолютно твердого
тела будет изложена в главе VI, мы ограничимся здесь лишь
примерами плоского движения тела. От читателя потребуется
знание простейших мер движения тела, которые должны быть
ему знакомы из курса физики.
Составляя уравнения движения, мы будем пока записывать
их как для систем материальных точек, применяя конечные суммы.
Системы материальных точек и тел условимся называть иногла
для краткости просто «материальными системами».
§ 1. Виды связей
Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек,
или материальную систему, положение которой определяется п
точками. Положение каждой материальной точки определяется
тремя координатами; положение абсолютно твердого тела — тремя
точками, не лежащими на одной прямой, или шестью парамет-
*) Методы Лагранжа применимы, разумеется, и к системам свободных
материальных точек.
172 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
рами (см. Кинематику). Если на систему наложены связи, то
координаты материальных точек и точек, определяющих положе-
положение абсолютно твердого тела, должны удовлетворять дополнитель-
дополнительным уравнениям — уравнениям связей. Число параметров, опре-
определяющих положение абсолютно твердого тела, на которое нало-
наложены связи, уменьшается. Например, положение тела с одной
неподвижной точкой определяется тремя углами; если у тела
закреплены две точки, то его положение определяется одним
углом и т. д.
Связи, наложенные на материальную систему, представляют
собой некоторые материальные тела, состояние движения которых
считается известным, заданным. Тела могут быть абсолютно твер-
твердыми, либо деформирующимися с известным законом изменения
формы. Во всех случаях будем считать, что движение рассматри-
рассматриваемой материальной системы не влияет на поведение связей.
Если физическая природа связей такова, что координаты точек,
определяющих положение материальной системы, подчинены урав-
уравнениям вида
/,(*ъ Уи *и ..., хп, уп, ?п) = 0 (/=1, 2, ...ц), D.1)
то такие связи мы будем называть голономными и стационарными
(не зависящими от времени); если же в левые части уравнений
явно входит время, то — голономными и нестационарными (зави-
(зависящими от времени). Уравнения голономных нестационарных
связей имеют вид
fi(X\, Уи ги •••» хп% уя, zn\ 0 = 0 О'=1, 2, ...,|i). D.2)
Число уравнений связей равно ц. Если система движется, то
очевидно, что fx<3n. В случаях, когда |и = 3я, система закреп-
закреплена и координаты точек можно вычислить из уравнений связей.
При }х>3/г имеются избыточные закрепления; заметим, что
в подобных случаях нельзя найти реакции связей методами только
теоретической механики (например, балка, лежащая на трех
опорах).
Связи могут быть односторонними и двусторонними. Односто-
Односторонние связи называют еще освобождающими — материальные точки
могут покилать такие связи. Реакции односторонних связей
направлены в сторону возможного схода материальных точек.
Двусторонние связи — неосвобождающие, их реакции могут быть
направлены в любую сторону. Если связи односторонние, то
вместо D.1) и D.2) часто пишут неравенства, указывающие направ-
направление возможного схода материальных точек. Мы будем пользо-
пользоваться только уравнениями вида D.1) или D.2), а возможность
схода материальных точек с односторонней связи выяснять по
смыслу задачи. Заметим, что в уравнения связей не обязательна
входят все координаты точек системы.
§ 1. ВИДЫ СВЯЗЕЙ
Приведем простой пример голономных связей (рис. 4.1).
Система состоит из двух точек, Мг и М2. Точка Мг может сколь-
скользить по стержню, который вращается с заданной угловой ско-
скоростью -jjp Точка М2 соединяется с,точкой Мг нерастяжимой
нитью длины /. Рассматриваемая система движется в плоскости,
следовательно, положение каждой точки определяется двумя коор-
координатами. Обозначим координаты точки Мг через xl9 уъ а точки
М2 — через #2, #2- Уравнения связей „
запишем, исходя из условий, в сле-
следующем виде:
хг sin [а (*)] - уг cos [а (/)] = О,
Мы видим, что коэффициенты перво- 2
го уравнения зависят от времени, ис' 4Л#
т. е., что эта связь нестационарная.
Существует класс связей, непосредственно влияющих на рас-
распределение скоростей точек; уравнения таких связей представ-
представляют собой систему дифференциальных уравнений вида
ИЛИ
ia dxa + Bia dya + Cia dza
0,
D.3)
где Aia, S/a, Cia, &i зависят от координат и времени. Такие связи
носят название линейных неголономных. Термины «голономные»
и «неголономные» были введены в механику Герцем.
Ясно, что голономные связи так же накладывают ограничения
на скорости точек: дифференцируя D.2) по времени, получим
D-4>
Существенное отличие D.4) от D.3) заключается в том, что
систему D.3) нельзя свести к системе конечных уравнений
вида D.2), иначе говоря, система D.3) не может быть получена
дифференцированием конечных соотношений между координатами.
Уравнения связей записаны в декартовых координатах, однако
в дальнейшем мы будем пользоваться ие только декартовыми,
но и другими, — обобщенными координатами.
174
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
В нашем курсе мы будем рассматривать, главным образом,
системы с голономными связями — голономные системы, но для
того чтобы почувствовать различие в характере голономных и
неголономных связей, приведем простой пример (рис. 4.2).
По плоскости (X, Y) движется без скольжения плоский диск
радиуса г (диск катится и вертится вокруг вертикальной оси).
Плоскость диска всегда перпендикулярна к плоскости (X, Y)
(вообразим, что диск поддерживается двумя маленькими колеси-
колесиками как в детском велосипеде). Положение диска определяется
Рис. 4.2.
координатами точки О', X', Y1\ и углами фи ?. Оси ?, ? рас-
расположены в плоскости диска, причем ось О'? параллельна OZ.
Ось О*Хц параллельна оси ОХ. Скорость любой точки обода диска
определяется формулой Эйлера:
где со — мгновенная угловая скорость диска, которая может быть
представлена в виде суммы щ + щ.
Если диск катится и вертится- без скольжения, то скорость
точки О* (точки диска, совпадающей с точкой касания) равна
нулю — здесь проходит ось мгновенного вращения. Применяя
формулу Эйлера, получим
Выразим все векторы через их проекций на оси X, К, Z:
§ 2. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 175
Подставим в формулу Эйлера:
' 4
—г
= 0.
Проектируя полученное векторное уравнение на декартовы оси,
запишем уравнения неголономной связи в следующем виде:
D.5)
Угол "V есть неизвестная заранее (до решения динамической
задачи) функция времени, поэтому система D.5) не может быть
проинтегрирована. Если диск катится в плоскости W = const s== Ч^,
то из D.5) найдем
X' + фг cos lF0 = съ Y' + фг sin "?0 = с2.
В этом случае, определив постоянные сг и с2» мы увидим, что
положение диска может быть определено одним параметром,
например, углом ф. Связи, дифференциальные уравнения которых
могут быть проинтегрированы, часто называют полуголономными.
Движение точек и тел, образующих материальную систему,
могут стеснять также и внутренние связи. Части системы могут
быть связаны шарнирами, «невесомыми» стержнями и нитями,
и т. д. Иногда внутренняя связь может выражаться в том, что
будут равны скорости точек соприкосновения частей системы
(например, качение без скольжения шестерен так называемого
планетарного механизма). Внутренняя связь может быть неста-
нестационарной, если задано движение одной части системы относи-
относительно другой, т. е. относительные координаты заданы в виде
функций времени.
§ 2. Виртуальные (возможные) перемещения.
Число степеней свободы системы
Основная, — ведущая, — идея той части теоретической меха
ники, которую принято называть аналитической, состоит в том
что действительное состояние движения системы сравнивается
с близкими ему состояниями, называемыми по терминологии
Гаусса мыслимыми. Непрерывные последовательности мыслимых
положений точек системы образуют так называемые окольные пути.
Отбор истинного состояния из всех мыслимых совершается
при помощи принципов механики; некоторые из них мы рассмо-
рассмотрим в IV и V главах.
176 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Разности координат —декартовых, полярных и так называемых
обобщенных, разности радиусов-векторов в смежных, близких *)
конфигурациях в один и тот же момент времени будем называть
виртуальными, или возможными перемещениями. Важно еше раз
подчеркнуть требование того, чтобы смежная, близкая конфигу-
конфигурация системы допускалась связями в рассматриваемый момент
времени.
В нашем курсе термины «возможные» и «виртуальные» пере-
перемещения означают одно и то же**). С точки зрения математики
виртуальные перемещения — это изохронные вариации координат
точек, подчиненных уравнениям связей. Условимся вместо того,
чтобы говорить «рассматриваем смежные, бесконечно близкие
конфигурации системы, допускаемые связями, и вычисляем раз-
гости координат точек при фиксированном времени», применять
чраткое выражение: «даем системе виртуальное перемещение» —
это будет наше рабочее выражение.
Так как слово «перемещение» ассоциируется с «передвижением»,
то, может быть, для понимания существа метода было бы лучше
термин «виртуальные перемещения»' заменить всюду термином
«изохронные вариации» — ведь когда мы даем виртуальное пере-
перемещение, никакого передвижения не происходит. Но термин
«виртуальные перемещения» принят во всей литературе, поэтому
и мы будем применять главным образом этот термин, понимая
его в указанном смысле.
Если материальной системе дано виртуальное перемещение,
то, сравнивая скорости некоторой точки в один и тот же момент
времени, мы назовем разность скоростей «изохронной вариацией
скорости». Кроме того, дальше термин «изохронная вариация» мы
будем применять, вычисляя главную линейную часть прираще-
приращения какой-либо функции координат и скоростей точек при вир-
виртуальном перемещении системы.
Состояние движения материальной системы определяется
в каждый момент времени координатами материальных точек,
либо точек, определяющих положение тел и их производными
по времени. Сравнивать истинное состояние со всевозможными
мыслимыми состояниями можно различными способами —в лите-
литературе известно много приемов варьирования. Кроме изохронного
варьирования, т. е. сравнения состояний движения в один и
тот же момент времени, применяется, например, изоэнергепшческое
варьирование — сравнение состояний движения с одинаковой энер-
энергией, применяется также полное варьирование, включающее варьи-
варьирование времени (неизохронное варьирование) и т. д. Совокупность
всех способов варьирования можно рассматривать как совокуп-
*) бесконечно» близких, а лучше сказать «дифференциально» близких.
**) virtuel — потенциальный, возможный.
§ 2. ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ 177
ность («набор») инструментов, предназначенных для исследования
движения механических (и не только механических) систем. Ясно,
что набор этих инструментов должен быть минимальным — в набор
нужно включить только те инструменты, которые необходимы
для построения курса.
Потребности нашего курса в основном покрываются примене-
применением способа изохронного варьирования, и лишь в отдельных
местах мы, в виде исключения, будем варьировать и время, т. е.
применим способ полного варьирования.
Виртуальные перемещения будем обозначать символом S:
6*/, 8/\ бф, ...
Сравнивая скорости точки в близких, допускаемых связями,
состояниях в один и тот же момент времени, запишем:
bVi = ibXi -\-№i + kbit.
Пусть имеется некоторая функция переменных, определяющих
состояние движения системы п точек
F (Х1> Уъ %Ъ • • • » *пу Упу 2п'> %и Уъ ^1, ... Хпу упу Zn\ /),
которую условимся для краткости записывать так:
Г v^a> Уа» 2а> -^а» У а» ^а» О*
Обозначив значение функции F в некотором мыслимом состоянии
через F, представим его в следующем виде:
ха, уа + буа, га + 8га\ t)
Найдем главную линейную часть приращения этой функции,
предполагая существование частных производных по всем пере-
переменным:
л'-е-')-2 (?•«¦+?«*+?*¦+
1
dF
Главную линейную часть приращения функции F будем назы-
называть изохронной вариацией функции F и обозначать через 8F.
Пусть на систему п точек наложены jx голономных связей,
уравнения которых имеют вид
/; (*а, Уос» г*> 0 = 0. D.2)
178 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Если мы дадим системе виртуальное перемещение, то
; 0 = 0. D.6)
Разложим левую часть D.6) в ряд по степеням бха, буа, бга,
предполагая, что /у дифференцируема по всем переменным. При-
Принимая во внимание D.2) и сохраняя только линейные относи-
относительно приращений координат члены, получим
fi
Система D.7) есть система линейных однородных уравнений,
связывающих изохронные вариации координат,— система уравне-
уравнений связей для виртуальных перемещений. Число вариаций коор-
координат равно 3/г, число уравнений — \iy следовательно, 3/г —ц = /
вариаций координат мы можем считать независимыми, а осталь-
остальные fi —зависимыми. Это означает, что / вариаций мы можем
задать (разумеется, в разумных пределах). Затем, используя D.7),
вычислить остальные.
Число независимых изохронных вариаций координат — число
независимых виртуальных перемещений — называется числом сте-
степеней свободы системы.
Нетрудно заметить, что число независимых координат, опре-
определяющих конфигурацию голономной системы, и число степеней
свободы этой системы совпадают. Если же система неголономная,
то благодаря дополнительным соотношениям между приращениями
координат число степеней свободы меньше, чем число координат,
определяющих конфигурацию системы.
Поясним это на разобранном выше примере (рис. 4.2). Физи-
. ческая природа связи (плоскости, по которой катится диск) такова,
что скольжение невозможно — перемещение точки диска, совпа-
совпадающей с точкой касания, с точностью до малых первого порядка
равно нулю. Очевидно, что связь допускает поворот вокруг
оси 0*? на угол 64я. Поворот диска вокруг оси О'ц на угол бф
вызовет изменение координат точки О'. Элементарное перемеще-
перемещение точки О' в плоскости диска будет равно (—гбф). Отсюда
находим вариации координат точки О':
6Х* = — г cos Тбф, 67' = — г sin
Таким образом, рассматриваемый диск имеет две степени свободы
и за независимые виртуальные перемещения можно принять
вариации углов б^Р и бф.
Полученные уравнения неголономной связи для виртуальных
перемещений совпадут с уравнениями D.5), если в последних
заменить дифференциалы через вариации. Дальше мы увидим,
§ 3. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ 179
что это не случайно, ибэ рассматриваемая неголономная связь
не зависит от времени.
Перемещения точек системы за время dt в действительном
движении будем называть действительными элементарными пере-
перемещениями (короче действительными перемещениями). Найдем
уравнения голономных связей для действительных перемещений.
В момент времени t + dt будет
Ь (х* + dxa, ya + dya, za + dza\ t + dt) = 0. D.8)
Уравнения связей получим, вычисляя главную линейную часть
разности левых частей D.8) и D.2). Для этого предварительно
левую часть D.8) разложим в ряд по степеням всех дифферен-
дифференциалов. Уравнения связей для действительных перемещений будут
иметь вид *
(/==1, 2, ..., ii).
Система уравнений D.9), линейных относительно дифференци-
дифференциалов, и есть система уравнений связей для действительных пере-
перемещений. Уравнения для действительных перемещений совпадут
с точностью до обозначений неизвестных с уравнениями D.7) для
виртуальных перемещений, если связи стационарные, т. е. если
¦Jr = O. В этом случае мы будем говорить, что действительное
перемещение каждой точки геометрически *) совпадает с вирту-
виртуальным. Короче: действительные перемещения принадлежат мно-
множеству виртуальных (dra e бга), если связи не зависят от вре-
времени.
Виртуальные перемещения удовлетворяют только уравне-
уравнениям связей, тогда как действительные, помимо уравнений свя-
связей, должны удовлетворять уравнениям движения и начальным
условиям. Кроме того, нужно подчеркнуть, что, в отличие от
виртуальных, действительные перемещения — на самом деле пере-
перемещения точек системы.
§ 3. Независимые и зависимые координаты.
Обобщенные координаты
Рассмотрим систему, состоящую из п материальных точек
(или систему, положение которой определяется п точками). Пусть
на точки наложены \i голономных связей. Уравнения связей
имеют вид D.2) —мы предполагаем, что связи могут зависеть от
*) Но не по смыслу.
180
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
времени. Изменим обозначение и нумерацию декартовых коорди-
координат, положив
Система уравнений примет вид
//(*!, *2, АГз, ..., Xsn'f 0 = 0
Уп
(/=1, 2, ..., fi). D.10)
Все декартовы координаты разделим на две части: / = 3/г — [it ко-
координат будем считать независимыми, а оставшиеся ja —зависи-
—зависимыми. Это значит, что / координат мы можем задать (разумеется,
в разумных пределах), a [i = 3n — l найти из уравнений связей.
Допустим, что координаты хъ лг2, ..., хг мы можем принять
за независимые (в противном случае изменим нумерацию коор-
координат). Допустим, кроме того, что выполняется условие разре-
разрешимости систему D.10) относительно координат х/+1, я/+2,...,
т. е. определитель Якоби не равен нулю:
• ••. х3п)
д*зп
дх
7+2'
Ф0.
D.11)
Тогда г.з D.10) мы найдем
*1 = ф*(*ь •••» Xt\ t)
(i = l+L 1 + 2 3n). D.12)
Выделение зависимых и независимых декартовых координат
поясним на примере системы, изображенной на рис. 4.1. Запи-
Запишем уравнения связей, изменив обозначение координат:
М*ь *2'» t) = x1sm[a{t)]-x2cos[a(t)] = Qt
Примем за независимые координаты хх и лг3. Разумные пределы
задания независимых координат в этом случае будут, очевидно,
выражены неравенством
Хотя условие разрешимости уравнений связей относительно хг
и х4 очевидно, мы Есе же выпишем его в общем виде:
dh dh
дк
дхг
Ф 0, или
— cos a 0
—1
1
Следовательно, должно быть
cosa^O (а^я/2), х4фх%.
§ 3. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ Ш
Тогда
х2 = хл tg а, х4 = х2 ± К'2 - (*з - *iJ •
Несравненно удобнее, однако, вводить новые переменные, пе-
переходя от декартовых координат к другим — обобщенным (криво-
(криволинейным) координатам, с помощью которых проще и выразитель-
выразительнее можно описать движение рассматриваемой системы. Новые
координаты называются обобщенными, так как они представляют
собой некоторые функции декартовых координат; размерность*
обобщенных координат может отличаться от размерности декар-
декартовых. Формулы преобразования должны быть конечными (не
дифференциальными), а само преобразование должно быть вза-
взаимно однозначным (может быть, в некоторых пределах) *). Если
же окажется, что по какой-либо причине формулы преобразова-
преобразования будут дифференциальными, то они должны быть интегри-
интегрируемы—новые координаты должны быть голономными. Число*
новых координат равно числу независимых декартовых коорди-
координат, а для систем свободных точек —числу всех декартовых ко-
координат. Обычное обозначение обобщенной координаты — буква qS4
где s—номер координаты**).
В аналитической механике часто пользуются очень удобным*
геометрическим языком: вводится понятие конфигурационного*
пространства —многомерного метрического пространства, в кото-
котором положение точки определяется координатами qs. Размерность
этого пространства равна числу независимых координат. Движе-
Движению механической системы (или иного объекта) отвечает движе-
движение изображающей точки в пространстве конфигураций. Иногда*
применяется расширенное конфигурационное пространство, в ко-
котором время рассматривается как дополнительная координата..
Размерность такого пространства равна /+1.
В трехмерном евклидовом пространстве, в котором движется
система материальных точек и тел (в пространстве, являющемся
моделью реального физического пространства), линии, вдоль
каждой из которых меняется лишь одна обобщенная координата,
бывают обычно кривыми. Поэтому обобщенные координаты назы-
называют еще криволинейными. Иногда в качестве обобщенной коор-
координаты может быть выбрана декартова.
Запишем формулы преобразования координат:
*у = Ч\,(<7ь •••• Qf> О (V=SL 2, 3, ..., /), D.13>
*) Такого рода преобразования называют точечными.
**) Обобщенные координаты —контравариантные величины. Поэтому,,
строго говоря, нужно писать qs (индекс вверху), но в нашем курсе это несу-
несущественно и мы будем пользоваться привычной записью.
182 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
еде xv — независимые декартовы координаты. Очевидно, что опре-
определитель Якоби этого преобразования не должен быть равен нулю:
Z:,Z :::
Обращаясь к формуле D.12), найдем*)
*r = <Pr[Yi(f. /)....• Viti, t)\ t]. D.15)
Вместо D.13) и D.15) мы можем записать
Ъ = Ъ(9и ft, ..., qi\ t) (r=l, 2, ...f Зл), D.16)
«ли
ra = ra(qu ..., qt\ t).
Таким образом, все декартовы координаты будут выражены через
новые переменные qs так, что уравнения связей тождественно
удовлетворятся. Заметим, что если уравнения связей не содер-
содержат явно времени, то преобразование можно выбрать так, чтобы
формулы D.13), а значит, и D.16), не содержали бы явно времени.
Обобщенные координаты могут быть выбраны удачно —реше-
—решение конкретной задачи благодаря такому выбору может быть
получено проще и форма его может быть более наглядной. В иных
случаях выбор координат qs не будет таким удачным. Общего
правила, как выбирать обобщенные координаты, не существует.
Дальше мы увидим, что можно высказать лишь некоторые наво-
наводящие соображения, связанные со структурой системы и с харак-
характером силовых полей. Главное здесь —это личный опыт, приоб-
приобретаемый при решении задач.
Выразив все декартовы координаты с помощью формул D.16)
через новые переменные qst мы удовлетворили уравнениям свя-
связей. Следовательно, вариации обобщенных координат не должны
подчиняться уравнениям связей —они будут независимы между
собой.
Дадим материальной системе виртуальное перемещение, обо-
обозначив обобщенные координаты в новой «мыслимой» конфигура-
конфигурации через ц9% Очевидно, что & = ft + 6ftf где 8qs есть символ
виртуального перемещения или изохронной вариации обобщенной
координаты qs. Изменившиеся значения декартовых координат
точек системы отметим тем же значком «~».
В новой конфигурации системы декартовы и обобщенные ко-
координаты будут связаны теми же формулами, что и в старой.
Поэтому, используя формулу D.16), запишем
Ъ=»ЗЬ(Л. .... U t). D.17)
*) Условимся для краткости вместо ^v(^i» 42* •••* Я1% 0 иногда писать
0
§ 3. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ 18$
Найдем главную линейную (относительно 6qs) часть прираще-
приращения х§:
t
л. ч. <*, - xt) - e«i - 2 S;bq*- DЛ8>
В действительном движении системы обобщенные координаты*
меняются с течением времени, т. е. qs = Fs(t), следовательно, де-
декартовы координаты будут сложными функциями времени, и
проекцию действительного перемещения на ось хи т. е. dxt мы»
найдем, вычисляя полный дифференциал от функции %i(q, <):
- DЛ9>
Обобщенные координаты qs и их вариации не подчиняются
уравнениям связей —в этом и заключается их независимость. Но*
и сами координаты и их дифференциалы могут быть связаны
динамически — посредством уравнений движения. Обобщенные ко-
координаты, каждая из которых определяется «своим» уравнением
движения, будут рассмотрены в главе VII.
Поясним переход к обобщенным координатам на разобранном^
выше примере (см. рис. 4.1). Четыре координаты двух точек-
удовлетворяют двум уравнениям связей, следовательно, / = 2.
В качестве обобщенных координат выберем <7i = ОМг = г и q2 = <р-
Формулы преобразования будут такие:
хг = г cos а, х2 = г sin а,
х3 = г cos а + / sin ф, х4 = г sin а — / cos ср.
Нетрудно проверить, что уравнения связей удовлетворяются.
Разумеется, на практике описанная выше процедура приме-
применяется в тех случаях, когда возникают затруднения. Обычно,,
определив число степеней свободы, сразу вводят обобщенные ко-
координаты, сообразуясь с характером задачи.
В механике мы встречаемся с переменными, дифференциалы*
которых связаны с дифференциалами декартовых координат неин-
тегрируемыми соотношениями. Например, дифференциал сектор-
секторной площади
дифференциал дуги траектории свободной точки
и т. д.
Ш ГЛ. TV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Подобные величины называют квазикоординатами (иногда гово-
говорят «неголономные координаты»), а их производные по времени—•
квазискоростями. В качестве координат, определяющих конфигу-
конфигурацию системы, они не пригодны*).
§ 4. Статический принцип виртуальных перемещений.
Применение обобщенных координат
Обратимся к основам аналитической статики — части аналити-
аналитической механики, в которой рассматривается равновесие механи-
механических систем. Фундамент аналитической статики был заложен
Лагранжем в первом томе «Аналитической механики», вышедшей
первым изданием в 1788 г. [17]. Раздел «Статика» начинается
с глубокого анализа всего, что было
создано до Лагранжа. В статье «О
различных принципах статики» Ла-
гранж называет многих своих пред-
предшественников, среди которых были
такие, как Галилей, Торричелли,
И. Бернулли. Далее, в первой части
первого тома, Лагранж формулирует
У общий принцип аналитической ста-
статики, рассматривает вывод уравне-
Рис. 4.3. ний равновесия механических систем
из общего принципа и применение
их в различных конкретных случаях. Разумеется, форма записи
и в значительной степени терминология были у Лагранжа иными
по сравнению с принятыми в настоящее время.
Рассмотрим систему с голономными связями. Положение точек
относительно инерциальной системы отсчета будем определять
декартовыми координатами (рис. 4.3). Пусть к точке Ма прило-
приложена сила Fa. Введем понятие виртуальной работы. Виртуаль-
Виртуальной работой силы Fa, или элементарной работой силы Fa на
виртуальном перемещении, будем называть скалярное произве-
произведение
(Fa Ьга) = Fax бХа + Fay Ьуа + Faz 6za,
где
При виртуальном перемещении материальной системы мы сме-
смещаем точки вместе с приложенными к ним силами. Поэтому если
*) Величина квазикоординаты в данном положении системы может зави-
зависеть от предыстории движения —от того, по каким траекториям точки пришли
¦в рассматриваемое положение,
§ 4. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИИ 185
сила зависит от координат*), то при виртуальном перемещении
ее величина и направление могут измениться. Следовательно,
чтобы получить выражение виртуальной работы в виде линей-
линейной функции вариаций координат, мы должны брать неиз-
неизменное значение силы **).
Суммарная виртуальная работа представляет собой линейную
однородную функцию вариаций координат точек, но не всегда
есть полная вариация. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство,
мы обозначим суммарную виртуальную работу символом А^ За-
Запишем равенство:
лб= 2 (*"« «*¦«)• (
Если существует функция П(ха, уа> za\ f) такая, что
F an F an P an
т. е. если силовое поле потенциально (но, может быть, нестацио-
нестационарно), то
= 2 (?^+SS+SS)-ra—
Следовательно, виртуальная работа потенциальных сил равна
изохронной вариации силового потенциала, или со знаком минус
вариации потенциальной энергии системы материальных точек
и тел.
К точкам системы со связями приложены реакции связей,,
виртуальная работа которых вычисляется по формуле вида D.20).
Будем называть связи идеальными, если сумма работ реакций
таких связей на любом виртуальном перемещении равна нулю.
Обозначая реакцию связи, приложенную к точке Ма, через /?аг
для идеальных связей запишем
J] (Яав/а) = 0. D.22).
а=1
Здесь уместно напомнить, что виртуальные перемещения должны
быть совместимы со связями и что время фиксировано F/«=0).
Само название «идеальные связи» говорит о том, что связи,
подчиненные условию D.22), представляют собой идеализацию
реальных связей. К идеальным связям относятся, например, абсо-
*) Предположим, что силы — непрерывные функции координат.
**) В противном случае выражение виртуальной работы станет нелиней-
нелинейным относительно вариаций координат.
i86 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
лютно гладкие поверхности, «идеальные подшипники» — подшип-
подшипники без трения, в которых закреплены оси вращающихся тел.
Кроме того, к идеальным связям относятся и абсолютно шерохо-
шероховатые поверхности, по которым тела не могут скользить, а лишь
катиться и вертеться. Если скольжение невозможно, то переме-
перемещение точки тела, совпадающей с точкой касания, с точностью
до малых первого порядка равно нулю (см. пример неголоном-
ной связи), а значит, равна нулю и виртуальная работа реакции
<:вязи, приложенной в этой точке.
В некоторых случаях будет обращаться в нуль именно сумма
виртуальных работ реакций связей, но работа каждой реакции
«может быть отлична от нуля. Поясним это на примере (рис. 4.4).
Система состоит из двух одина-
одинаковых катков, на которые поло-
положена доска. Катки могут катить-
катиться без скольжения по неподвиж-
неподвижной плоскости. Скольжение дос-
доски по каткам так же невозмож-
невозможно—перемещение точек D и К,
принадлежащих соответственно
доске и катку, с точностью до
Рис- 4-4- малых первого порядка, одина-
одинаково. Доска и каток взаимодей-
взаимодействуют с силами RD и RKf равными по величине и противопо-
противоположно направленными (реакции внутренних связей). Следова-
Следовательно, сумма виртуальных работ реакций будет равна нулю.
Если бы под идеальными связями понимались только связи,
у которых равна нулю сумма работ реакций на действительных
перемещениях, то в стороне остались бы нестационарные связи.
Определение, основанное на равенстве D.22), позволяет включить
а класс идеальных и связи, зависящие от времени, например,
меняющие свою форму абсолютно гладкие кривые, движущиеся
абсолютно гладкие, или абсолютно шероховатые поверхности
« т. д.
Статический принцип виртуальных перемеще-
перемещений*). Общий принцип аналитической статики — принцип вирту-
виртуальных перемещений — заключается в том, что необходимым и до-
статочным условием равновесия системы материальных точек и
тел с идеальными и стационарными связями**) является равен-
ство нулю виртуальной работы всех активных сил:
= 0. D.23)
а=1
*) Principium — основа, первоначало (лат.).
•*) СреДи связей могут быть и односторонние (см. § I),
§ 4. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 187"
Необходимость немедленно следует из равенства нулю ускорений
точек, находящихся в покое относительно инерциальной системы
отсчета. В самом деле: сумма сил, приложенных к каждой точке,
равна нулю:
F + R = 0. D.24>
Дадим системе виртуальное перемещение. Виртуальная работа
всех сил будет равна нулю:
? (ГаЬГа) + |] (Ла6Га) =0.
Если связи идеальные, то в силу D.22) мы получим выражение
статического принципа виртуальных перемещений:
Достаточность докажем в § 6.
Статический принцип виртуальных перемещений мы сформу-
сформулировали как теорему потому, что строим механику на основе
законов Ньютона. Возможно, однако, и другое построение, когда
в основу кладется тот или иной принцип аналитической механики.
Две простые операции — скалярное умножение на Ьга и сум-
суммирование—привели нас от D.24) к записи общего уравнения
статики. Но выполняя эти операции, мы совершили качественный
скачок, ибо в общем уравнении статики содержится вся статика
систем с идеальными связями: из D.23) мы можем вывести урав-
уравнения равновесия любых систем, в том числе и систем дефор-
деформируемых.
Существенная особенность метода виртуальных перемещений
состоит в том, что из общего уравнения статики исключаются
все неработающие силы.
Если среди связей встретятся неидеальные (например, связи
с трением скольжения), то, привлекая закон трения, касатель-
касательную составляющую реакции такой связи мы включим в числа
активных сил. При этом, чтобы вычислить нормальную состав-
составляющую, мы должны будем искусственно увеличить число степе-
степеней свободы, допуская виртуальное перемещение, запрещенное
связью. Виртуальная работа нормальной составляющей реакции
связи на таком перемещении будет отлична от нуля. Мы как бы
освобождаемся от связи, вводя силу —реакцию связи, т. е. при-
применяя так называемый принцип освобождения от связи. Рассмот-
Рассмотрим пример (рис. 4.5).
Однородный стержень длины 2/ и массы М может двигаться
в вертикальной плоскости, скользя концами Л и В по верти-
вертикальной абсолютно гладкой стене и по горизонтальному шерохо-
188
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
ватому полу. Коэффициент трения равен k. Найдем угол а в по-
положении равновесия, применяя статический принцип виртуальных
перемещений.
Если точки Л и Б не отрываются от связей, то у стержня
будет одна степень свободы. Положение его можно определить
углом а. Выразим координаты точек
приложения сил через угол а:
ус = / cos а, хв = 21 sin а.
Дадим виртуальное перемещение, со-
совместимое со связями, и запишем
равенство нулю суммы виртуальных
работ:
- Mg 8ус - Rbx Ьхв = 0, D.25)
где
fy/c = — / sin а ба, Ьхв = 21 cos а 6а.
На основании закона трения RBx^kRBn. Для того чтобы вы-
вычислить RBny введем дополнительную степень свободы, разрешив
поступательное виртуальное перемещение вдоль оси у:
Mg
В
х
Рис. 4.5.
, ба = 0.
Тогда
Отсюда
Подставив найденные значения в D.25), получим
I Mgl sin а ба | < | 2kMgl cos а ба |.
Вариация угла а может быть выбрана не равной нулю, следова-
следовательно, tga<;2&. Простота приведенного примера позволяет про-
проверить решение другими, более привычными способами.
Рассмотрим применение в аналитической статике обобщенных
независимых координат. Предположим, что связи, наложенные
на систему, голономные, идеальные и стационарные. Пусть число
степеней свободы равно I. Вводим обобщенные координаты qs
таким способом, чтобы формулы преобразования не содержали
время (выше отмечалось, что если связи стационарные, то такая
замена переменных всегда возможна). Вариация радиуса-вектора
точки Ма будет равна
D.26)
§ 4. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 189
Подставив D.26) в общее уравнение статики и меняя порядок
суммирования, получим
2>2(*>й)-°- <4-27)
Введем обозначение
2М&)-«" D-28)
Величины Qs входят в D.27) так же, как проекции сил в выра-
выражение виртуальной работы:
поэтому Qs называют обобщенными силами.
Итак, статический принцип виртуальных перемещений может
быть записан в виде равенства нулю суммы произведений обоб-
обобщенных сил на вариации обобщенных координат
SQ,&fc-0. D.29)
Вариации 8qs независимы — они не подчиняются уравнениям свя-
связей, поэтому из D.29) следует
Qi-0, Q2 = 0, ..., Q,-0. D.30)
Следовательно, необходимое и достаточное условие равновесия
голономной системы с идеальными и стационарными связями
может быть представлено в виде равенства нулю всех обобщен-
обобщенных сил, и мы приходим к системе уравнений равновесия, число
которых равно числу степеней свободы системы.
Укажем на простой способ вычисления обобщенной силы,
полезный при решении задач. Обратимся к выражению виртуаль*
ной работы активных сил
в котором заменим 6га через У ^-б^. Выражение виртуальной
работы примет вид
Af%Q*&ls. D.31)
190 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Независимость вариаций обобщенных координат позволяет вы-
выбрать
полагая
Тогда
и
D.32)
Символом (Ab)k мы обозначили работу активных сил на избран-
избранном виртуальном перемещении, при котором изменяется только
одна обобщенная координата qk. Преимущество этого способа
вычисления обобщенных сил заключается в том, что не требуется
явно выписывать формулы преобразования координат и, кроме
того, работа активных сил вычисляется непосредственно как ска-
скалярное произведение векторов силы и виртуального перемещения.
По существу же, оба способа —и основанный на применении
формулы D.28), и основанный на применении формулы D.32) —
эквивалентны.
Сумма виртуальных работ внутренних сил изменяемой системы
отлична от нуля при виртуальном изменении конфигурации.
Если активные силы потенциальны, то .
tax-d^> tay~~d^' ta*-"d^>
где П есть функция координат и, может быть, времени. Найдем
выражения обобщенных сил:
П дха дП дуа дЪ д
Функцию П, выраженную в обобщенных координатах, обозначим
через П:
П(ха(?Ь ••¦¦ ЯЛ *), уа(Яи ..-, ЯЛ 0t *а(<?1. ...f ЯЛ 0] = П.
Тогда, очевидно, обобщенную силу мы сможем представить в виде
частной производной функции П по обобщенной координате:
Уравнения равновесия примут вид
Щ1~°> w>=Q>-'dir°> D#34)
§ 4. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 191
или
8П = 0.
Итак, если система находится под действием потенциальных
сил, то в положениях равновесия (положений равновесия может
быть много) силовой потенциал, а значит, и потенциальная энер-
энергия, принимают стационарное значение — минимум, максимум,
или мини-максимум.
Предположим, что поле внешних сил есть однородное поле
тяжести. Рассмотрим задачу о равновесии системы материальных
точек и тел с идеальными связями. Положение точек будем опре-
определять координатами ха, уа, га, считая, что ось г направлена
вертикально вверх. Из D.23) следует
Сократим обе части на g и вынесем символ б за знак суммы.
Получим
п
«21 ma*a=0. D.35)
Координата Zq центра масс системы определяется формулой
п п
гс=тй 2 maZa9 где м = 2 Ша'
Из D.35) следует
6гс = 0. D.36)
Таким образом, система материальных точек и тел с идеальными
и стационарными связями будет покоиться тогда и только тогда,
когда центр масс этой системы (центр тяжести) занимает наивыс-
наивысшее, либо наинизшее положение среди всех мыслимых положений
в некоторой конечной окрестности. Впервые этот принцип в более
простой форме был сформулирован Торричелли в 1644 г.
Заметим, что в равновесии центр тяжести может занимать не
только наивысшее, либо наинизшее положение: его положение
будет вообще «стационарным». Поясним это на примере. Пусть
материальная точка может скользить без трения по кривой, рас-
расположенной в вертикальной плоскости. Уравнение кривой имеет
вид
2 = a sin3 х (a>0).
Ось z направлена вертикально вверх. Так как 62*=3asin2xcosjt6jc,
то положения равновесия в однородном поле тяжести будут при
192
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Очевидно, что положения равновесия при х = хъ х~х3... отли-
отличаются от всех остальных тем, что в этих положениях
г = О = гтштахг.
Рассмотрим пример (рис. 4.6). Двойной маятник состоит из
двух однородных стержней О А и АВ, длины которых равны 1Х
у и /2, а массы т1 и т2 со-
соответственно. Маятник удер-
удерживается в положении рав-
равновесия силой У7, направ-
направленной под углом у к го-
горизонту. Маятник может
двигаться только в верти-
вертикальной плоскости, поэтому
число степеней свободы рав-
равно двум. Введем обобщен-
рис> 4.6. ные координаты, полагая
Задавая виртуальное перемещение 8а = О, бр>0 и применяя
формулу D.32), найдем обобщенную силу Q2:
- РЛ sin
Qi
Задавая 6а > 0, 80 = 0, получим
— Рг ~ sin а ба — P2lv sin а бос + Flx cos (а — у) Ьа
Z
- (Y +
(Y ) sin « + Fh cos (а - у).
Трение не учитываем.
Если известны F и у, то углы а и Р найдем, полагая Qj =
Q8 = 0:
Т
Если же задана конфигурация системы (углы а и р) и тре-
требуется подобрать силу, удерживающую систему в заданной кон-
конфигурации, то
Рассмотрим абсолютно твердое тело, которое удерживается
в положении равновесия внешними силами *). Предположим, что
*) О силах, действующих на абсолютно твердое тело, подробнее сказано
в гл. VI.
§ 4 СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
193
тело свободно, значит, его положение определяется шестью па-
параметрами, а так как уравнения внутренних связей конечные,
то и число степеней свободы равно шести. Уравнения внутренних
связей не содержат времени, поэтому вариации координат точек
тела можно вычислять по формулам для действительных переме-
перемещений—по формулам Эйлера.
Пусть /?а —радиус-вектор точки Ма с началом в неподвижной
О R'
точке О системы координат
тела 0\ в которой поме-
помещено начало поступатель-
поступательно движущейся системы
координат УхУчУг (рис.4.7).
Тогда
R'— радиус-вектор точки
где еЬу есть вектор, изо-
изображающий виртуальный
поворот вокруг произволь-
произвольно направленной оси, про- Рис. 4.7.
ходящей через точку О'.
Запишем равенство нулю суммы виртуальных работ актив-
активных сил:
ИЛИ
а=1
а=1
В смешанном произведении изменим порядок сомножителей и,
Замечая, что е8у и б/?' не зависят от номера точки, получим
06=1
a=l
В силу независимости б/?' и ебу мы приходим к условиям равно-
равновесия одного свободного абсолютно твердого тела:
a=l
D.37)
Для равновесия абсолютно твердого тела необходимо и доста-
достаточно *), чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил отно-
относительно любой точки были равны нулю.
*) При условии, что в некоторый момент времени тело покоится.
7 В. В. Петкевич;
194 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Заметим, что условия D.37) получены для дискретного распре-
распределения сил. Если силы распределены непрерывно, то вместо
конечных сумм в D.37) войдут интегралы по поверхности и по
объему тела.
§ 5. Динамический принцип виртуальных перемещений —
принцип Даламбера —Лагранжа
Пусть система материальных точек и тел движется относи-
относительно инерциального базиса (инерциальной системы отсчета).
Положение точек пока будем определять декартовыми координат
тами. Запишем уравнение движения точки Ма как несвободной
точки:
^| = Fa+«a, D.38)
где
Га —Га "Т Га » Ка — *<а "Г *<а •
Здесь индексом «е» отмечены внешние (активные и пассивные)
силы, индексом «/» —внутренние (гл. III, § 2). Уравнение D.38)
перепишем в виде уравнения равновесия:
Fa + Ra-mad-^ = 0. D.39)
Векторы (—*т*~ж) назовем силами Даламбера (часто их назы-
называют «силы инерции Даламбера»). Уравнение D.39) можно про-
прочесть так: при движении системы материальных точек относи-
относительно инерциального базиса активные силы и реакции связей
в каждый момент времени уравновешиваются силами Даламбера *).
В этом состоит принцип Даламбера A743 г.). Ценность принципа
Даламбера в том, что уравнениям динамики придается вид урав-
уравнений статики и, следовательно, в динамике может быть приме-
применен хорошо разработанный аппарат статики.
Предположим, что связи, наложенные на точки системы,
идеальные, но, может быть, зависящие от времени. Дадим системе
виртуальное перемещение. Тогда, при условии
*) Система отсчета здесь инерциальная, следовательно, состояние движе*
ния материальной системы изменяется только под влиянием сил Fa и свя-
связей. «Силы Даламбера» не являются силами, изменяющими состояние движе*
ния Поэтому, в отличие от сил инерции, которые были введены в динамике
относительного движения, «силы инерции Даламбера» — силы фиктивные, В фор-*
мулировке самого Даламбера термина «силы инерции» нет.
§ б. ДИНАМИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
суммируя скалярные произведения, из D.39) мы получим
ИЛИ
D.40)
2 ay - mja) 6r/a + (Fa2 - ma2a) 8za} = 0.
D.41)
Уравнение D.40) носит название общего уравнения динамики и
представляет собой запись одного из самых общих принципов
механики — динамического принципа виртуальных перемещений.
Динамический принцип виртуальных перемещений, называемый
еще принципом Даламбера — Лагранжа, может быть сформули-
сформулирован так: пусть система материальных точек и тел с идеаль-
идеальными связями движется под действием активных сил. Тогда
в каждый момент времени обращается в нуль сумма виртуальных
работ активных сил и сил Даламбера. Этим истинное движение
отличается от всех мыслимых, совместимых со связями и близких
к истинному.
Динамический принцип виртуальных перемещений был поло-
положен Лагранжем в основу построения всей динамики ([17], т. I),
С тех пор идеи Лагранжа, его подход к выводу уравнений дви-
движения и многие методы исследования характера движения вошли
во все лучшие руководства по механике. Лагранжева механика
пополнилась новыми идеями и новыми методами, но первооснова
ее сохранилась, изменились лишь термины и форма записи *).
Мы увидим, что все основные виды уравнений движения могут
быть получены из динамического принципа виртуальных переме-
перемещений, который является как бы хранилищем этих уравнений.
В этом смысле можно утверждать, что динамический принцип
виртуальных перемещений охватывает всю механику систем
с идеальными связями**). Из динамического принципа виртуаль-
виртуальных перемещений не могут быть выведены лишь уравнения дви-
движения систем с нелинейными неголономными связями, которые
в настоящем курсе не рассматриваются.
*) Например, Лагранж применял понятие «виртуальная скорость» от
которого в настоящее время почти отказались.
**) Если имеется неидеальная связь (есть, например, трение скольжения)
то нужно применить прием, разобранный в аналитической статике: искусственно
увеличивается число степеней свободы и сила трения, выраженная о помощью
вакона трения через нормальную реакцию, включается в число активных вил.
7*
196 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 6. Основные теоремы динамики систем со связями
Обратимся к выводу уравнений движения систем материальных
точек и тел. Движение отнесем к инерциальной системе отсчета
я, отправляясь от уравнения движения точки Ма D.38), выведем
дифференциальные уравнения, описывающие изменение во вре-
времени импульса системы, кинетического момента и кинетической
энергии.
Вначале рассмотрим вывод, примененный в § 2 главы III
к системе свободных точек. Запишем уравнение движения точки Ма:
mad^=Fa + Ra. D.38)
Перенося параллельно все векторы в центр масс и складывая
геометрически, получим векторное уравнение для импульса
системы:
I2 mava= 2 **»+ 2 *- <4-42>
<х= 1 а= 1 а= 1
Производная по времени от импульса системы геометрически
равна сумме всех внешних активных и пассивных сил. Уравнение
D.42) можно записать в виде уравнения движения центра масс
Уравнение движения центра масс совпадает с уравнением движе-
движения материальной точки массы М, к которой приложены все
внешние силы.
Умножив обе части D.38) слева векторно на бМа^га и сло-
сложив геометрически, после простых преобразований получим
i 2 i>w«]= 2 [rjv)+ 2 мп D-44>
1 1
=1 а» 1
Производная по времени от кинетического момента системы гео-
метрически равна сумме моментов всех внешних активных и пас-
пассивных сил *).
Умножая обе части D.38) скалярно на dra = vadt и суммируя,
найдем
п 2 п
п 2 п п
d 2 Ц2- 2 (F*dr*)+ 2 (ЯаЛ-о). D.45)
1 1
2 2 2
а==1 а=1 а=1
*) Моменты импульсов и сил берутся относительно одного и того же
неподвижного центра.
§ 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 197
Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элемен-
элементарных работ на действительном перемещении всех внешних и
внутренних активных и пассивных сил.
Уравнения D.42), D.44) и D.45) представляют собой запись
общих теорем динамики систем с любыми связями. Применение
этих уравнений к решению задач, в которых нужно исследовать
движение при заданных силах и связях, приводит часто к боль-
большим трудностям из-за того, что в уравнения входят реакции
связей — «лишние неизвестные».
Лангранж показал, как и при каких условиях можно исклю-
исключить из уравнений лишние неизвестные и получить дифферен-
дифференциальные уравнения движения, не содержащие реакции связей.
Ограничимся идеальными связями (см. конец § 5) и, исходя
из динамического принципа виртуальных перемещений, выведем
дифференциальные уравнения движения в виде основных теорем
динамики систем с идеальными связями.
I. Теорема об изменении импульса системы. Если
среди виртуальных перемещений есть поступательное перемещение
системы как целого вдоль некоторой неподвижной прямой, то про-
производная по времени от проекции импульса системы на эту пря-
прямую равна проекции суммы всех внешних сил на эту же прямую.
По условию, 6га = ?б|, где # —единичный вектор, направлен-
направленный вдоль прямой, 6? не зависит от номера точки. Подставим
выражение 8га в D.40):
п
2
Связи допускают выбрать 6? не равной нулю. Кроме того, ^=0.
Сокращая на 6?, получим
т*юЛ = \е ^ №\ D.46)
/ \ а=1 /
Если, в частности, ? = / (прямая направлена вдоль оси Ох,
8ха = б|, 8уа = бга = 0), то
п п
± У тпхп= У F{*1 D 47*
а=1 а=>1
п
В случае равенства нулю 2 Fax мы получим интеграл — проек-
проекция импульса системы на ось Ох будет постоянной:
п
2 ma^a = const.
198 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Если вектор е может быть направлен произвольно, то из D.46)
получим векторное уравнение
12«.«.-2/*'- <4-48>
а=1 а=1
Так будет, например, для сиаемы свободных материальных точек.
II. Теорема об изменении кинетического момента.
Если среди виртуальных перемещений есть поворот системы как
целого вокруг неподвижной оси, то производная по времени от
проекции кинетического момента на эту ось равна проекции на
эту же ось суммы моментов всех внешних сил.
Здесь 8га мы выразим через малый угол поворота 8у по фор-
формуле Эйлера: 6ra = [^6vra], где ? —единичный вектор, направ-
направленный вдоль оси, 6y не зависит от номера точки. Выражение бг0
подставим в D.40):
Переставив сомножители в смешанном произведении, используя
независимость е от времени и сокращая на 8у, получим искомое
уравнение для проекции кинетического момента на направление е:
? 2 D.49)
Полезно непосредственно рассмотреть случай, когда осью
виртуального поворота является координатная ось, например,
ось Ог. Введем временно для точки Ма сферические координаты:
Ха = 'a COS фа COS 0а, уа = Га COS фа sin 8a, Za = Га sin фа.
По условию бга = О, бфа = 0, б8а = б'у. Вариации координат
точки Ма будут равны
Ьха = ** Га COS фа sin 0a6v = — t/a6V» $Уа = Г a COS фа COS бабу = Ха8у>
Подставив значения вариаций координат в D.41) и сокращая
на 6у> получим:
a=l
§ 64 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 199
ИЛИ
п п
а = 1 а = 1
Равенство нулю проекции на ось Ог суммы моментов внешних
сил приводит к интегралу кинетического момента:
п
2 та (*аУа — Уа^а) = COnst.
Если «жесткий» *) виртуальный поворот системы можно совер-
совершить вокруг любой оси, проходящей через начало координат, —
направление вектора е произвольно,— то мы получим векторное
уравнение кинетического момента. Используя произвольность и
независимость вектора е от времени, из D.49) найдем
2
а=1 а=1
В таком виде, как мы знаем, уравнение кинетического момента
получается для системы свободных материальных точек. Вектор-
Векторное уравнение кинетического момента описывает также движение
абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой; при этом
конечные суммы переходят в интегралы (гл. VI).
III. Теорема об изменении кинетической энергии.
Если идеальные связи, наложенные на систему, не зависят от ере*
мени, то дифференциал кинетической энергии системы равен сумме
элементарных работ на действительных перемещениях всех внеш-
внешних и внутренних сил.
В этом случае действительные перемещения геометрически
совпадают с одним из виртуальных. Поэтому в уравнении D.40),
где 8га есть символ любого виртуального перемещения, допу-
допускаемого связями, мы можем бга заменить через dra = vadt:
После простого преобразования получим
^*4- D-52>
Если все активные силы консервативны, то 2 (JFadra)*m—dU и
а=»1
*) «Абсолютно жесткие», или, короче, «жесткие» перемещения не изменяют
расстояний между ючками системы.
200 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
мы приходим к интегралу энергии
?г + и = const — ?°> <4-53>
2
а=1
где U — потенциальная энергия системы.
Условия, позволяющие исключить реакции идеальных связей*
являются, очевидно, достаточными.
Способ, который мы, следуя Лагранжу, изложили выше*
доставляет во многих случаях нужное число уравнений движе-
движения. Возможность вывести то или иное уравнение зависит, как
мы видели, от характера связей. Полезно поэтому рассмотреть
вывод уравнений движения с несколько иной точки зрения.
Отойдем на время от принятого нами способа изохронного
варьирования и рассмотрим полную вариацию, сравнивая раз-
различные близкие положения точки в различные, но тоже близкие
моменты времени. С этой целью введем не зависящий от времени
параметр а и будем считать координаты точек функциями времени
и параметра а, полагая
га = га(а, /). D.54)
Обозначая полную вариацию через А, запишем
^ ^, D.55)
где -4^ 6а есть изохронная вариация, равная 6га, — изменение
параметра а переводит точку с одной траектории на другую*
близкую к исходной. Частная производная -~ вычисляется при
фиксированном значении параметра а, т. е. вдоль действительной
траектории *). Следовательно, вычисляя (Ага)ба_0 = /"аб*, мы сравни-
сравниваем два близких положения точки Ма на траектории в моменты t
и / + б^, где б/ есть произвольно выбранное малое приращение
времени.
Обе части уравнения D.38) скалярно умножим на Дга, затем
просуммируем по а и, принимая во внимание условие идеальности
связей, получим
Ы. D.56)
Если связи стационарные, то векторы (-д-р) 6/ геометрически
*) Частную производную (-gr) не следует смешивать с частной произ-
производной от га по времени, явно входящему в формулы преобразования коор-
координат, т. е. в формулы га = га(^1, ...2 qt\ t).
§ 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 201
совпадают с некоторыми из множества 8га *) и тогда
п
L^ \ a dt )a
Левые части уравнений стационарных связей не содержат вре-
времени, следовательно, эти уравнения не изменят своего вида, если
положить l = t-\-8t, 8a = 0 (см. D.1)). Частные производные 1-е)
\ 01 /а
здесь можно заменить через va. Независимость связей от времени
позволяет считать 6^=^=0. Из D.56) следует
Умножая обе части на dt, получим
а=1
Пусть левые части уравнений голономных связей D.2) не
содержат координат хъ х2, .... хпу либо зависят, кроме уау za и
/, только от разностей вида
(#а — *&)• Очевидно, эти урав- У Ог
нения не изменятся, если
положить %i = Xi + 6?, 8tfi =
=.-. bzt = 0, 8t = 0. Такой си-
системе вариаций координат
отвечает поступательное «же-
«жесткое» виртуальное переме-
перемещение вдоль оси х. Из ди-
динамического принципа вир-
виртуальных перемещений мы
получаем уравнение D.47).
Приведем простой пример (рис. 4.8). Вдоль горизонтальной
оси может скользить брусок массы тх. С бруском связана стойка,
на которой подвешен точечный маятник (масса т2). Высота точки
подвеса Ох равна h, длина нерастяжимой и невесомой нити равна /,
координаты центра масс бруска равны яь Ь. Уравнения связей
для этой системы имеют вид
Рис. 4.8.
*) То есть перемещение вдоль траектории принадлежит множеству вир-
виртуальных переметений (см, действительные перемещения при стационарных
связях— гл. IV, § 2).
202
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Положение всей системы можно определить двумя обобщенными
координатами, хг и <р. Уравнения связей сохраняют свой вид,
если положить
бх, = 6х2 = б|, 6уг = 8у2« 0.
Предполагая, что система движется в однородном поле тяжести
без трения, запишем проекцию уравнения движения центра масс
системы на ось Ох:
Отсюда
или
(mt + m2) %i + m2l cos фф = сг.
Записав уравнение кинетической энергии (связи не зависят
от времени), получим второе диф-
дифференциальное уравнение движе-
движения:
из которого следует интеграл энер»
гии
Ео.
+ 2Ы{ф cos ф) —
Допустим теперь, что в левые
части уравнений связей D.1) или
Рис. 4.9. D.2) координаты ха и уа входят
только в виде (Xa + yi). Уравне-
Уравнения связей не изменяются (с точностью до малых первого по-
порядка), еСЛИ ПОЛОЖИТЬ 6лга = — Уа$У> &Уа = Ха&\> бга = 0, 6/ = О,
что соответствует «жесткому» виртуальному повороту вокруг оси
Ог на угол &у.
Пример (рис, 4.9): система состоит из трех точек, Ml9 M2f
М3> с массами тх = тъ т3, расположенных в вершинах ромба
ОМхМъМг и соединенных жесткими невесомыми стержнями длины /.
В вершинах ромба идеальные шарниры. Точка О неподвижна,
точка М3 может скользить вдоль оси Ог.
Запишем уравнения связей:
§ 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 203
Кроме записанных шести уравнений нужно еще записать усло-
условие того, что точки лежат в одной плоскости:
*\Уг ~ ХъУг = 0 или бх = б2.
Положение системы определяется двумя независимыми коорди-
координатами, следовательно, для описания движения нужно составить
два уравнения без «лишних неизвестных».
Симметрия уравнений связей относительно координат xiy yi
указывает на то, что мы можем записать уравнение для проекции
кинетического момента на ось Oz. Если система движется без тре-
трения в однородном поле тяжести, то моменты сил тяжести относи-
относительно оси Oz будут равны нулю и мы получим интеграл кине-
кинетического момента. В уравнении D.50) выразим декартовы коор-
координаты через углы ф и 0 (см. рис. 4.9) и запишем уравнение
кинетического момента в следующем виде:
Отсюда, интегрируя, найдем
sin2(p-^ = const.
Стационарность связей позволяет в качестве второго уравнения
взять уравнение кинетической энергии, а так как трения нет
и силы консервативны, мы сразу можем записать интеграл
энергии:
тг12 (ф2 + sin2 ф82) + 2/2m3 sin2 фф2 - 2gl (тх + т3) cos ф = Ео.
Исключая dQ/dt из интеграла энергии, мы получим дифферен-
дифференциальное уравнение для угла ф, решение которого можно иссле-
исследовать качественным методом (гл. II, § 3).
Изложенный способ вывода дифференциальных уравнений дви-
движения очень удобен и прост: прежде всего надо выяснить число
уравнений, описывающих движение системы, затем определить,
какие «жесткие» виртуальные перемещения допускают связи.
Конечно, при решении задач не всегда нужно явно выписывать
уравнения связей, как это было сделано в разобранных примерах
(хотя это и очень полезно для понимания). Независимые «жесткие»
виртуальные перемещения при некотором опыте легко определя-
определяются и без подробной записи.
Возможны, однако, случаи, в которых не удается вывести
нужное число уравнений движения, рассматривая лишь виртуаль-
виртуальные перемещения системы как целого. В этих случаях нужно
либо расчленять систему, вводя реакции внутренних связей, либо
применять другие методы (см. § 8),
204
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Рассмотрим пример (рис. 4.10). Система состоит из двух мате-
риальных точек, Мг и УИ2, с массами тх и т2, соединенных
невесомой гибкой нитью, которая пропущена через отверстие О.
Длина нити /. Точка М2 может двигаться по горизонтальной
плоскости хОу\ точка Мг находится под плоскостью. Шесть декар-
декартовых координат связаны следующими уравнениями:
Следовательно, положение системы определяется четырьмя коорди-
координатами. В качестве обобщенных независимых координат удобны
полярные координаты точки М2 и сферические — точки Mv Из.
уравнений связей следует, что существует лишь одно «жесткое»
виртуальное перемещение — поворот вокруг оси Ог на угол ду-
Рис. 4.10.
Кроме того, связи не зависят от времени, значит, мы сможем
получить всего два уравнения движения: уравнение кинетического
момента и уравнение кинетической энергии. Если трения нет
и система движется в однородном поле тяжести, то мы будем
иметь два интеграла. Недостающие два уравнения указанным
способом вывести нельзя.
Рассмотрим движение системы материальных точек и тел с
идеальными связями относительно центра масс, точнее, относитель-
относительно поступательно движущихся осей с началом в центре масс
(осей Кёнига). Будем исходить из динамического принципа вир-
виртуальных перемещений:
D.40)
здесь 6га — изохронные вариации координат. Сделаем замену
§ 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 205
где г с и vc — радиус-вектор и скорость центра масс. Тогда
п j ,
Ad \\ а *\dt ^ dt )
ИЛИ
а=1 а=1
Допустим, что Ьгс и б/*а независимы. Если, кроме того, бгс
можно выбрать произвольно, то, так как -^ У/па^ = 0, мы
а
получим уравнение движения центра масс относительно системы
xyz:
п
Выделим из оставшихся членов сумму
-2 "-№«4
а=1
dvr
Так как -? не зависит от номера точки и 6та = 0, то
-2
(
a=l a=l
Общее уравнение динамики для относительного движения будет
иметь вид, отличающийся от D.40) лишь тем, что вместо абсолют-
абсолютных ускорений входят относительные и вместо 6ra входят Ьг'а\
Итак, если бгс и бг» независимы, а бгс, кроме того, произвольна,
то исследовать движение систем относительно осей Кёнига можно
рассмотренным выше способом.
В заключение докажем достаточность статического принципа
виртуальных перемещений, применяя теорему об изменении кине-
кинетической энергии D.52). Покажем, что если сумма виртуальных
работ всех активных сил равна нулю и в некоторый момент
времени t0 система покоилась (яа(*о) = О)> то и при t>t0 система
останется в покое.
206 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Связи идеальные и стационарные, следовательно dra геометри-
геометрически совпадают с одним из виртуальных перемещений и из
2 (/Ъ«г*)-0
а = 1
будет следовать
Из уравнения D.52) получим
что приведет нас к интегралу энергии
Определяем постоянную Ео из начальных условий: так как va(t0) =
= 0, то Ео = 0. Множители та положительны, поэтому v\ (t) = 0
при />/ои система останется в покое.
§ 7. Уравнения Лагранжа 1-го рода. Множители Лагранжа
Рассмотрим систему п материальных точек с идеальными го-
лономными связями, уравнения которых имеют вид
Уъ гъ ..., хп, уп, *п\ 0 = 0 (/=1, ..., (г). D.2)
Запишем уравнения связей для виртуальных перемещений
0 О-!.-.») D-7)
и динамический принцип виртуальных перемещений в виде D.41):
п
2 Wf a* — та ^а) б^а + (Fay - /Па J/a) 6уа + (F^ - Wa Za) бга} = 0.
ct—1
Временно будем рассматривать D.41) как линейное однородное
уравнение относительно 8ха, 6t/a, 6za. Так как виртуальные
перемещения определяются только наложенными на систему свя-
связями, т. е. уравнениями D.7), то уравнение D.41) должно быть
следствием уравнений D.7)— между коэффициентами этих урав-
уравнений существует линейная зависимость. Коэффициентами в урав-
§ 7. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 1-ГО РОДА 207
нении D.41) являются скобки (Fax — maXa), (Fay — maya), (Faz~
— waza). Вводя множители Xj (множители Лагранжа), линейную
зависимость между коэффициентами уравнений D.7) и D.41)
представим в виде системы уравнений:
kyg>. = 0, D.57)
м-
Мы получили Зп уравнений движения- в форме уравнений Ла-
Лагранжа 1-го рода [17]. Присоединяя к системе D.57) уравнения
связей D.2), мы получим 3n + \i уравнений, в которых неизве-
неизвестными функциями времени будут Зп декартовых координат точек
системы и [л множителей Лагранжа Яу. Суммы
представляют собой проекции реакций голономных связей на
координатные оси. Если рассматривается система свободных точек,
то указанные суммы исчезают.
В динамике одной материальной точки мы уже встретились
с выражением нормальной реакции идеальной связи в виде
произведения /?w = A,grad/. В таком виде реакция была записана
непосредственно на основании гипотезы об идеальности связи.
Отметим, что уравнения Лагранжа 1-го рода могут быть
применены и к описанию движения системы с неголономными
связями. В уравнения D.57) войдут проекции реакций неголоном-
ных связей, а система уравнений дополнится уравнениями вида
D.3).
Очевидно, что число неизвестных функций и число уравнений
увеличивается с увеличением числа связей (с уменьшением числа
степеней свободы). Это затрудняет интегрирование системы урав-
уравнений и поэтому для решения задач уравнения Лагранжа 1-го
рода применяются сравнительно редко.
Проиллюстрируем применение уравнений Лагранжа 1-го рода
на примере, рассматривая систему двух материальных точек,
изображенную на рис. 4.10, и несколько упрощая условия задачи.
Упрощение заключается в том, что на точку Мх наложим допол-
i нительную связь в виде абсолютно гладкой вертикальной тру-
208 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
бочки —точка Мг сможет передвигаться лишь вдоль оси г.
Положения точек Мг и М2 определяются шестью декартовыми
координатами хъ уъ гх и хъ у2, г2, подчиненных следующим
уравнениям связей:
х1==о, г/1==о, V<+yl~zi-i=Q, 22=о,
где / — длина нити. Уравнения Лагранжа 1-го рода будут иметь
вид
тгХг — К = 0, тгуг — Х2 = 0, т^ + т^ + К3 = 0,
здесь
Принимая во внимание уравнения связей, находим ^ = 0,
Я2 = 0, X^ = m2g. Уравнения движения точки М2 приводят к
интегралу площадей:
Для множителя Я3 получаем следующее выражение:
т2
и, кроме того,
Здесь удобно ввести полярные координаты точки М2: г% и б2.
Тогда
/182 = с2; ^ = r2-?i + ^=f2-r26l.
Исключая f2 и 6, найдем множитель Х3:
7Г
Уравнения для ^2, уъ гх приводят к интегралу энергии:
Записав интеграл энергии в полярных координатах, затем
исключая 62, мы сможем получить уравнение первого порядка
для га- Применяя метод качественного исследования, можно
установить, что г2 будет меняться периодически, колеблясь
в некоторых пределах, и точка М2 не выйдет из кольца между
двумя концентрическими окружностями.
§ 8. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА 2(Р
§ 8. Уравнения Лагранжа 2-го рода (вывод
из динамического принципа виртуальных перемещений)
Рассмотрим системы материальных точек и тел с идеатьными
голономными связями и, следуя Лагранжу, выведем уравн. ния
движения таких систем в обобщенных координатах — уравнения
Лагранжа 2-го рода. Как станет ясно из самого вывода уравне-
уравнений, предположение относительно голономности связей здесь
очень существенно. Кроме того, существенно также, чтобы переход
от декартовых координат, определяющих положение материальных
точек и тел относительно инерциальной системы отсчета, к обоб-
обобщенным независимым координатам совершался с помощью конеч-
конечных формул точечного преобразования (см. § 4).
Будем исходить из динамического принципа виртуальных
перемещений:
2 ((^)) D.40)
Уравнения связей запишем в таком виде:
// (*и Уъ *ъ ..., хя, ynt zn\ 0 = 0 (/ = 1, 2, ..., (а). D.2)
Вариации декартовых координат подчинены уравнениям
а=1
Связи голономные, следовательно, число степеней свободы сов-
совпадает с числом независимых координат.
Переходим к независимым обобщенным координатам, полагая
ra = ra(qu ..-. 4i\ t). D.16
Изохронные вариации радиуса-вектора га вычисляем по формуле
1^- <4-26>
s=l
Рассматривая га как сложную функцию времени и вычисляя
полную производную, находим выражение вектора скорости:
Wqi+~sru D-58)
Производные ^ = -^- называются обобщенными скоростями.
210 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Подставим D.26) в общее уравнение динамики D.40). Изменяя
порядок суммирования, получим
Первые суммы в фигурных скобках представляют собой обобщен-
обобщенные силы
1{'.%)-Ь D-28)
ос=1
Для того чтобы преобразовать суммы
X (т dv« д
а=1
обратимся к формуле D.58), из которой следует, что вектор
скорости каждой точки будет зависеть от qSy qs и, может быть,
от времени t, т. е. от переменных, определяющих состояние
движения рассматриваемой системы:
0а = «>а(<7ь • •> 4i> 4ь ..., Яь t) D.59)
(не обязательно все переменные qS9 qs, 1 войдут в формулу D.59)).
Условимся при частном дифференцировании каких-либо функций
по любой из B/+1)-й переменной qSi qs и t, остальные считать
постоянными. Из D.58) получим
dflg __ дга
Ж
D-6°)
Рассмотрим теперь частную производную -р*-. Очевидно, что
эта частная производная может зависеть лишь от обобщенных
координат и времени. Тогда, дифференцируя по времени, получим
d
С другой стороны, дифференцируя D.58) частным образом по qs>
найдем
Предположим, что частные производные > г* и > Гад непре-
непрерывны; тогда
dva __ d (dra
7--ЗГ\Т7
§ 8. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА 211
Используя D.60) и D.63), продолжим преобразование левой
части общего уравнения динамики. Запишем:
п п п
\Л ( dva дга \ d VI / дга \ . VI / d (дга'
iU \ at oqs ) at &d \ oqs } ^ы \ си \ oqs
2(^)
а=1 а=1
Очевидно, что скалярное произведение (яа-дтЧ равно
д
Аналогично,
dva\ щ дха
Множители та постоянные, поэтому
п
dqs Lu
maPl
а=1
Под знаком частных производных по qs и qs находится кинети-
кинетическая энергия системы. Скорости точек системы выражены
формулами D.58). Следовательно, кинетическая энергия системы
будет функцией qst qs и, может быть, времени t. Кроме того,
в выражение кинетической энергии войдут массы точек, или
иные инертные множители. Ранее мы обозначили кинетическую
энергию через Т. Сохраним это обозначение и при переходе
к обобщенным координатам, понимая, что вообще вид функции Г
будет иным.
Таким образом, из равенства D.64) следует формула
выражающая обобщенные силы Даламбера.
Полученные выражения обобщенных активных сил D.28) и
сил Даламбера D.65) позволяют записать динамический принцип
212 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
виртуальных перемещений в следующем виде:
s=l
Уравнения Лагранжа 2-го рода — уравнения движения системы
материальных точек и тел с идеальными, голономными связями —
мы получим из D.66), опираясь на независимость изохронных
вариаций обобщенных координат. Приравнивая нулю коэффици-
коэффициенты при 8qSi придем к системе дифференциальных уравнений:
Ж-Цг-^Г-^й <s=1' 2 О. D.67)
Число уравнений в системе D.67) равно числу степеней свободы
системы. Как мы видели, эго тесно связано с независимостью
вариаций 8qSJ т. е., в конце концов, с голономностью системы.
Система уравнений Лагранжа 2-го рода представляет собой
систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго
порядка, в которой неизвестными функциями времени являются
обобщенные координаты qs. Число неизвестных функций —в силу
голономности системы — равно числу уравнений.
Отличительная особенность вывода уравнений Лагранжа
заключалась в том, что были исключены «неработающие» силы,—-
силы, сумма виртуальных работ которых равна нулю. Такими
силами, в частности, являются реакции идеальных связей.
Покажем, что если связи идеальные, то обращается в нуль
каждая обобщенная реакция. Запишем условие идеальности
связей D.22) в обобщенных координатах:
2 2
s=l a=l
По определению обобщенных сил коэффициенты при 8qs пред-
представляют собой обобщенные реакции идеальных связей. В силу
независимости б^
п
? \"а dqs ) ~~~
Переход от декартовых координат к обобщенным связан
с введением многих обобщенных понятий. Мы уже встретились
с обобщенной скоростью -if-* с обобщенной силой Qs =*
г°^ или Qs = ±jr^. Частная производная -^т- назьь
а=1
§ 8. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА
213
вается обобщенным импульсом. В последующем встретятся и неко-
некоторые другие обобщенные понятия. Далеко не всегда эти обоб-
обобщенные понятия можно истолковать на языке элементарной
физики.
Таким образом, движение голономной материальной системы
можно описать, составляя систему уравнений Лагранжа 2-го рода
в виде D.67). Специфическая (очень удобная!) форма этих урав-
уравнений при первом знакомстве с ними как бы скрызает их струк-
структуру, и мы не видим, как в уравнения входят производные
по времени от обобщенных координат, к какому виду дифферен-
дифференциальных уравнений мо-
могут быть отнесены уравне-
уравнения Лагранжа в каждом
конкретном случае.
Чтобы ответить на эти
вопросы, дальше, в § 11,
мы рассмотрим так назы-
называемый явный вид урав-
уравнений Лагранжа в общем
случае. Здесь же заметим,
что для понимания суще-
существа и особенностей мет о- Рис. 4.11.
да Лагранжа недостаточно
изучения одной теории: необходимо рассматривать много при-
примеров и задач. Изучение уравнений Лагранжа должно быть
предметным.
В нашем курсе мы приведем некоторые примеры на со-
составление и применение уравнений Лагранжа 2-го рода, но
число их в силу ограниченности объема невелико и, конечно,
недостаточно для освоения одной из самых важных глав меха-
механики.
Проиллюстрируем составление уравнений Лагранжа 2-го рода
на следующем простом примере (рис. 4.11). Система состоит из*
повозки массы т2, которая может перемещаться на двух одинако-
одинаковых катках, по горизонтальной плоскости. Массы катков равны /г<,
радиусы —Гз, моменты инерции относительно оси вращения — /3
(мы уже указывали на то, что понадобится знание простейших
характеристик и мер движения абсолютно твердого тела). К по-
повозке прикреплен точечный маятник массы тъ подвешенный
на нерастяжимой и невесомой нити длины /. Предположим, чта
катки не могут скользить по плоскости и что трение в точке
подвеса маятника и в осях катков отсутствует. Система находится
в однородном поле тяжести.
При подсчете числа степеней свободы предположим, что
маятник колеблется в вертикальной плоскости (хОу), а повозка
движется в этой же плоскости вдоль прямой Ох, не отрываясь
214 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
от нее *). Число степеней свободы системы, как нетрудно под-
подсчитать, будет равно двум. Система голономная (точнее, «полу-
голономная»), поэтому и число координат, определяющих ее кон-
конфигурацию, также равно двум. В качестве обобщенных координат
выберем <7i = epi, ^2 = ^2 (координата центра масс повозки). Обо-
Обозначая угол поворота катка через б3 и используя условие
отсутствия скольжения, найдем:
в3 =— —
гз
(величины, знак которых заранее неизвестен, удобно записывать
как положительные — их часто называют «алгебраическими»).
Составим выражение кинетической энергии. Кинетическая
энергия маятника
кинетическая энергия повозки и катков
Следовательно, кинетическая энергия всей системы будет равна
Т = \ [щ + пг2 + 2пгя+Щ-) х\ + ^ (/2Ф! + 2/фА cos ф1).
Задавая виртуальные перемещения 6q>i>0, 6jc2 = 0, найдем
обобщенную силу Qx:
Q1== — nixgl sin щ.
Если дать виртуальное перемещение 6cpi = O, 6jc2>0, to очевидно,
получим
Q2 = 0.
Для составления уравнений Лагранжа 2-го рода вычислим
обобщенные импульсы:
дТ ( 2/ \
_ = \tnk+ т2 + 2т3 + -рг) х2 + mtl фх cos ф1.
Отметим попутно, что первый обобщенный импульс имеет размер-
размерность (и смысл) момента импульса маятника относительно оси
подвеса. Что касается второго обобщенного импульса, то, хотя
*) Если маятник достаточно массивен по сравнению с повозкой, и если
ему сообщена достаточно большая угловая скорость, то вся система может
двигаться «подпрыгивая», т. е. отрываясь от плоскости. Это будет, когда при
вертикальные реакции плоскости изменят знак.
§ 9. ВЫРАЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 215
он имеет размерность обычного импульса (количества движения),
2/
смысл его, благодаря члену —~х2, иной: он частично порожде»
вращательным движением катков.
Частные производные от кинетической энергии по фх и %
будут равны соответственно
Составим уравнения Лагранжа:
Щ (Щ\ +1*2 cos фх)= — ntxgl sin фх,
t + пц + 2m3 + Щх2+± {тгЩ, cos ф1) - 0.
Первое уравнение, разрешив его относительно фь можно рас-
рассматривать как уравнение движения маятника относительно неинер-
циальной системы отсчета, связанной с повозкой. Скорость дви-
движения этой системы, равная х2, не задана. Проекция силы инер-
инерции на касательную к траектории маятника равна — тх1х2 cos ф1#
Второе уравнение представляет собой проекцию уравнения
движения центра масс системы на ось Ох и допускает интеграл:
[тх + т2 + 2/Лз + -—^ х2 + тхЩг cos фг = cv
Мы видим, что сохраняется обобщенный импульс -^-. Интегрируя
еще раз, найдем закон движения центра масс системы вдоль оси Ох:
г + т2 + 2т3 + Щ-^ х2 + тг1 sin фх = cxt + с2>
где С\ и с2 — постоянные интегрирования.
Дальше, в § 12, мы подробно рассмотрим интегралы уравнений
Лагранжа, а здесь только заметим, что, кроме интеграла обобщен-
обобщенного импульса, система допускает еще интеграл энергии. Комби-
Комбинируя два интеграла, мы сможем применить метод качественного
исследования движения системы (гл. И, § 3).
§ 9. Зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей.
Теорема Эйлера об однородных функциях
Мы уже убедились в том значении, которое имеет кинетиче-
кинетическая энергия системы при составлении уравнений Лагранжа 2-го
рода. В каждой задаче, решаемой с помощью уравнений Лаг-
Лагранжа, после подсчета числа степеней свободы системы и выбора
обобщенных координат, нужно составлять выражение кинетической*
энергии. Поэтому очень важно знать характер зависимости кине-
216 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
тической энергии от обобщенных координат и, главным образом,
ют обобщенных скоростей.
Обратимся к выводу формулы для кинетической энергии.
Возведем в квадрат правую часть D.58):
D.68)
Очевидно, что
Квадрат скорости zia, выраженный через $s, подставим в фор-
формулу кинетической энергии:
-т 2 *¦*-¦* 2 «-(Ё ?
а=1
Используя D.68) и D.69) и меняя порядок суммирования, получим
/ / п
' = — X У У (т дГа дГ(Х\ ••
/=1/=1 а=1
/ п
Введем обозначения
D.73)
Формула D.71) примет вид
/ / / п
D.74)
Коэффициенты Aif и Bs могут зависеть от qlt q2, ..., ^ и ^.
.Квадратичную функцию обобщенных скоростей ^ У У
§ 9. ВЫРАЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
217
обозначим через Т2, функцию первой степени
— через
s=l
и, наконец, сумму -^ ^ m*\w) f в КОТОРУЮ 4s не входят, —•
1
а1
через То.
Таким образом, кинетическая энергия системы с конечным
числом степеней свободы может быть представлена в виде суммы
трех функций:
Т ^Т2 + Т, + То. D.75>
Заметим, что если —^~- = 0, то Т1 = Т0 = 0.
Докажем, что квадратичная форма Т2 — знакоопределенная
положительная (определенно положительная), т. е. что Т2 обра-
обращается в нуль тогда и только тогда, когда все qs равны нулю.
Если же хоть одна из обобщенных скоростей отлична от нуля,
то Т2 положительна. Для доказательства запишем Т2 в виде
D.76)
Допустим, что Т2 = 0, но что среди qs есть отличные от нуля.
Тогда должны быть равны нулю суммы
s=l
Мы приходим к системе линейных однородных уравнений отно-
относительно qs, имеющей ненулевое решение (число уравнений может
быть больше числа неизвестных). Перенумеруем декартовы коор-
координаты так, как это было сделано в § 3, и воспользуемся формулой
** = */(?ь Яъ ...» qi> 0. D.16)
где ;=1, 2, 3, ..., 3/1.
Систему уравнений D.77) запишем подробнее:
s=l
Матрица из коэффициентов системы D.78) будет иметь такой вид:
дх2 дх2
дх2
дд2 '" dqt
D.79>
18
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Из D.78) следует, что если не все ?у = 0, то между столбцами
матрицы D.79) существует линейная зависимость, и ранг матрицы г
меньше /, следовательно, число независимых декартовых коорди-
координат будет меньше, чем /, а это противоречит условию (/ = Ъп — jx,
где ц,—-число уравнений связей).
Так же точно, опираясь на ранг матрицы D.79), можно дока-
доказать, что определитель, составленный из коэффициентов квадра-
квадратичной формы Т2 (дискриминант формы), отличен от нуля.
Если
А12 ... Аи
{ О,
Ап At2
то система уравнений
D.80)
имеет ненулевое решение. Умножая каждое уравнение на
суммируя по i% получим
Заменим Ay по формуле D.72):
2 2 2 -(&$)»*-«¦
i= I /=xi а=1
ИЛИ
2*2 Ш
Отсюда получаем уравнения вида
i
2дГа^ =0
dgs s
s = 1
совпадающие с D.77). Повторяя приведенное выше доказательст-
доказательство, приходим к заключению о том, что
т. е. что квадратичная форма Т2 определенно положительная
(неособенная). Как известно из алгебры, дискриминант этой формы
положителен *). Положительны и все его главные миноры Ли >0,
*) Это можно показать, приводя форму Т2 к виду суммы квадратов с неко
торыми коэффициентами (к «каноническому» виду).
§ 9. ВЫРАЖЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ
219
AuA22 — (^i2J>0, ... Эти свойства формы Т% очень важны для
многих последующих выводов.
Приведем пример системы, кинетическая энергия которой
состоит из всех трех частей (рис. 4.12). Свободная точка М
с массой m притягивается к неподвижному центру О с силой
F=-^5» где '= |ОЛ?1- По-
Положение точки будем опреде-
определять координатами дг = |, q2 = л»
q3 == ? относительно системы,
вращающейся вокруг оси Ог с
постоянной угловой скоростью
со. Требуется составить уравне-
уравнения Лагранжа 2-го рода. Заме-
Заметим, что в формулы преобразо-
преобразования координат — поворот во-
вокруг оси Ог на угол Ы — явно
войдет время. Значит, кинети-
кинетическая энергия в этом случае
будет определяться формулой
D.75). Не выписывая явно формулы преобразования координат,
составим выражение для скорости точки М относительно си-
системы хуг:
Следовательно,
Рис. 4.12.
i
0
1
i
0
ц
к
со
Кинетическая энергия точки будет иметь вид
= | {I2
+ 2со (gf! -
со2
+ гJ)}.
Здесь
Запишем частные производные от кинетической энергии:
дТ
Обобщенные силы будут равны проекциям силы F на оси ?, r\9 \
220 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Запишем теперь уравнения Лагранжа 2-го рода, разрешив их
относительно вторых производных:
т| = _ Hi + 2/Г2СОТ) +
тх\ = — %р - 2т©| +
«с—9-
В правые части полученных уравнений входят, кроме проекций
силы /% проекции силы Кориолиса и центробежной силы. Как
мы видим, метод Лагранжа позволяет вывести уравнения отно-
относительного движения, не вводя силы инерции: для этого нужно
в качестве обобщенных координат взять относительные координаты,
а скорости точек вычислять по формуле сложения скоростей.
Теорема Эйлера об однородных функциях. Функ-
Функцию FAЪ ?а» •••, In) будем называть однородной степени т
{порядка /я), если при умножении каждого переменного & на
отличный от нуля множитель X мы получим первоначальное
значение функции, умноженное на Хт.
Докажем, что сумма произведений частных производных ^
на 1( равна самой функции F (|), умноженной на степень одно-
однородности т. Исходя из определения, запишем тождество
F№u Я&, ..., Mn) = bMF{ll9 ..., У. D.81)
Продифференцируем обе части по X:
Положив Л. = 1, мы придем к формуле Эйлера
i|. = mF(|b .... Ы, D.82)
*= 1
которую будем неоднократно применять, например, при выводе
обобщенного интеграла энергии.
§ 10. Функция Лагранжа. Функция Лагранжа
для релятивистской частицы
В первом томе «Аналитической механики» Лагранж, излагая
приближенный метод решения задач динамики — метод вариаций
произвольных постоянных и приложение его в теории возмуще-
аий — для упрощения записи уравнений движения ввел функцию Z,
§ 10. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА 221
полагая Z = T —V. В обозначениях Лагранжа Т есть кинетиче-
кинетическая энергия, а V — потенциальная (термины эти у Лагранжа
еще не встречаются). Далее Лагранж записывает дифференциаль-
дифференциальные уравнения движения с равными нулю правыми частями *).
Лагранж, вводя функцию Z, не мог, видимо, предполагать,
насколько популярной со временем станет эта функция, которую
впоследствии стали называть функцией Лагранжа и обозначать
через L. Иногда функцию Лагранжа называют еще свободной
энергией, либо кинетическим потенциалом.
Как мы увидим дальше, функция Лагранжа чрезвычайно удобна
для описания движения механических систем с голономными
связями при условии потенциальности активных сил,— удобна
тем, что доставляет основную информацию о характере движения
системы. Но не только в этом состоит значение функции Лагранжа.
Благодаря тому месту, которое функция Лагранжа и ее обобщения
занимают в теории интегральных вариационных принципов, функ-
функция Лагранжа широко используется во многих, — уже немеха-
немеханических,—разделах теоретической физики. В квантовой теории
на основе функции Лагранжа строится оператор, называемый
лагранжианом **).
Обратимся к уравнениям Лагранжа 2-го рода:
^^^^Ls=sqs (s=l, 2, ..., /). D.67)
Предположим, что все активные силы потенциальны (но не обя-
обязательно консервативны). Тогда, как мы видели (см. § 4), обоб-
обобщенные силы можно представить в виде частных производных
от потенциала по соответствующим обобщенным координатам:
Qs = |5. D.33)
Символ П означает, что потенциал II выражен через обобщенные
координаты. Условимся в дальнейшем, для упрощения записи,
потенциал обозначать через П, а потенциальную энергию системы
через ?/, независимо от выбора координат. Обобщенные силы будем
записывать в виде
Функции П и U могут зависеть только от обобщенных координат
и времени, поэтому
*) См, [17], т. 1, отдел пятый, § 1, п. 3.
**} Часто саму функцию Лагранжа также называют лагранжианом»
С22 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Заменяя в уравнениях Лагранжа D.67) Qs через — ^—, получимг
±дТ__дТ_ дЦ
dtdqs dqs ~~ dqs%
Используя независимость функции U от обобщенных скоростей,
перепишем систему уравнений в виде
dd(T-U) d(T-U) = Q
dt dqs dqs
Разность кинетической и потенциальной энергий обозначим через L
и будем называть функцией Лагранжа:
T-U = L\ L = L(qu ..., q» fc, ¦-., <?/*> t).
Система уравнений Лагранжа 2-го рода примет вид
ik-0 (—1.2..-..0. D.83)
Если формулы перехода от декартовых координат к обобщен-
обобщенным содержат явно время, т. е. если га = га(<7ь ..., qt\ t), то
Т = Т2 + Тг + Т0. D.75)
Следовательно, функция Лагранжа в этих случаях будет состоять
из четырех частей:
ЬТ + Т + То-и. D.84)
Условимся системы, функция Лагранжа которых определяется
формулой D.84), называть классическими и саму функцию Лаг-
Лагранжа — классической функцией или, короче, просто функцией
Лагранжа. Системы, у которых функция Лагранжа имеет иной
вид (главное отличие — отсутствие в составе функции L квадра-
квадратичной формы Т2), мы будем называть неклассическими, а функции
Лагранжа неклассическими, или обобщенными *).
В качестве примера неклассической системы рассмотрим части-
частицу, скорость которой сравнима со скоростью света — релятивист-
релятивистскую частицу. Положение частицы определим декартовыми коор-
координатами, полагая <7i = x, #2 = У* q3 = z. Функция Лагранжа**)
будет иметь вид
L —/л* /l-^+;+^-C/(x, у, г), D.85)
*) В литературе есть термин «натуральные системы», которым противо-
противопоставляются «ненатуральные». Термины эти не вполне установившиеся, к тому
же их надо признать не очень удачными, ибо «ненатуральный» означает «не
соответствующий природе».
**) См., например [22]. В нашем курсе мы не можем касаться вопроса
о том, как получить функцию Лагранжа в виде D.85).
§ 10. ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА 223
где т0 —масса покоя, с —скорость света в пустоте. В формуле
D.85) содержится допущение, что потенциальная энергия реляти-
релятивистской частицы может быть представлена в виде функции
декартовых координат самой частицы (материальной точки).
Если предположить, что |ю|/с<1, то
1 02
и, с точностью до постоянного слагаемого, функция Лагранжа
приближенно будет равна
Мы видим, что при \v\lc^\ функция Лагранжа частицы в первом
приближении может быть выражена классической формулой.
Составим уравнения движения релятивистской частицы, вычис-
вычислив обобщенные импульсы
и частные производные от L по координатам
dL _ 6U
дх~~ дх >'••»•••
Первое уравнение будет иметь вид
Аналогично получим и два других уравнения. Множитель . т° ¦¦.
У 1 — v2/c2
представляет собой переменную массу. Время t, по которому
производится дифференцирование, есть так называемое «коорди-
«координатное время». Дальше в курсе будут приведены задачи и примеры,
в которых мы встретимся с классической функцией Лагранжа.
Ёудет также рассмотрено и некоторое иное обобщение функции
Лагранжа, связанное с построением обобщенного потенциала.
Функция Лагранжа (классическая и неклассическая — обобщен-
обобщенная) определяется с точностью до полной производной по времени
от произвольной функции обобщенных координат и времени,
имеющей непрерывные частные производные второго порядка по
всем переменным. Это означает, что если положить
224 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
где
L = L(ql9 ..., qt\ qu ..., qt\ t), / = /(<7ъ .... 4i\ 0»
то левые части уравнений Лагранжа, составленные с помощью
функций U и L, совпадут. Для доказательства этого утверждения
покажем, что
d д (df\ д (df\_0 4Ш
Вычислим полную производную по времени от функции f(q, t):
s = l
Находим, далее,
d2f a i d2t
\dt) dqi* dqi\dt) i_j dqidqs
dt [qj Zj
s= 1
Опираясь на непрерывность вторых частных производных функции
f(q, /), мы и докажем справедливость тождества D.86). Следова-
Следовательно,
d дУ дУ _ d dL dL
dt dqs dqs dt dqs dqs'
Указанное свойство функции Лагранжа полезно иметь в виду при
составлении уравнений движения: если, составляя функцию Лаг-
Лагранжа для какой-либо системы, мы придем к выражению вида
L + -j-t или, в частности, к L + F{t), то слагаемые такого рода
нужно просто отбросить.
§ 11. Явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода
и их ковариантность
Уравнения Лагранжа 2-го рода в виде
d дТ дТ П /л стч
или, если активные силы потенциальны, то в виде
Wr0 (s=1'2 ^ D-83>
§ И. ЯВНЫЙ ВИД УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА 225
были выведены из динамического принципа виртуальных переме-
перемещений. При этом все декартовы координаты были выражены через
независимые обобщенные координаты цъ q2y ..., qi. Из самого
вывода следует, что вид уравнений Лагранжа не зависит от того
или иного частного выбора обобщенных координат *). Важно лишь,
чтобы соблюдалось непременное условие голономности обобщенных
координат, чтобы формулы преобразования были конечными или
могли быть приведены к конечному (недифференциальному) виду.
Отсюда можно заключить, что если мы совершим переход от
одной системы обобщенных координат к другой, используя фор-
формулы точечного преобразования, в которые может войти явно
время, то вид уравнений Лагранжа сохранится. Преобразование
должно быть взаимно однозначным (может быть, в некоторых
пределах) и должно сохранять непрерывность вторых частных
производных по всем новым переменным от преобразованной
функции Лагранжа. Значит, если вместо координат qs мы введем
новые обобщенные координаты |,-, число которых равно /, затем
найдем выражение функции Лагранжа в новых переменных,
обозначив ее через Л, то уравнения в новых переменных будут
иметь вид
AJ* gUo (s^l.2 О- D.87>
dt dls d?s
Здесь
•-.. flW 0. Л-Л(бь Et. • •¦ hi ii».... I/'» 0-
(Независимая переменная,— время f, — не подвергалась преобра-
преобразованию.)
Благодаря этому замечательному свойству уравнения Лаг-
Лагранжа 2-го рода называются ковариантными (сопреобразующимися).
Заметим, что ковариантность уравнений Лагранжа 2-го рода можно
проверить прямыми выкладками.
Чрезвычайно удобная и выразительная, ковариантная форма
уравнений движения D.83) как бы вуалирует структуру левых
частей уравнений движения: не видно, как входят в уравнения
первые и вторые производные от обобщенных координат по вре-
времени. Поэтому, ограничиваясь классическими системами, мы рас*
смотрим явный вид уравнений Лагранжа 2-го рода.
Пусть дана функция Лагранжа:
L-4 2
где
2 2
i
*) Имеется в виду запись уравнений в виде D,67) или V4.83).
8 В, В. Петкевич*
226 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Найдем обобщенные импульсы
затем вычислим частные производные от функции Лагранжа по
координатам:
dL 1
а^вт2 2*72
i « 1 / = ! i =ss I
Далее находим
i ii i i
Подставляя найденные производные в D.83), мы придем к явной
записи уравнений Лагранжа 2-го рода:
dB
2{S
Систему уравнений D.88) можно разрешить относительно qs и
представить в виде
4Г#-Ф#(?ъ .-•» W 4ь ...» 4/5 О»
так как определитель из коэффициентов при вторых производных
от обобщенных координат по времени больше нуля:
Уравнения Лагранжа в виде D.88) будут тоже ковариантными
относительно точечного преобразования обобщенных координат
(они получены из D.83)). Поэтому, записав уравнения Лагранжа
в виде D.87), мы можем представить их в явном виде, изменив
лишь обозначения в уравнениях D.88):
§ 12. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР * 227
где an, Pi — коэффициенты в новом выражении кинетической энер-
энергии. Разумеется, точечное преобразование не меняет число урав-
уравнений. Сохраняется и общий вид системы D.89) —могут исчезнуть
лишь некоторые частные производные от aih J3? no ?, и t.
§ 12. Интегралы уравнений Лагранжа. Теорема Э. Нётер
Будем рассматривать системы материальных точек и тел
с идеальными голономными связями, полагая, что активные силы
потенциальны. Движение такого рода систем может быть описано
уравнениями Лагранжа 2-го рода
-Ws = ° («-». 2..-0. D-83)
Первыми интегралами системы дифференциальных уравнений D.83)
будем называть такие функции обобщенных координат, обобщен-
обобщенных скоростей и времени, которые обращаются в постоянные
в силу этой системы уравнений:
FdQu ....W Qu ... fo 0— я*. D.90)
Постоянные сг определяются из начальных условий.
Предполагая, что функция Лагранжа задана, выведем неко-
некоторые основные интегралы непосредственно из уравнений.
Обобщенный интеграл энергии. Обе части каждого
уравнения системы D.83) умножим на qS9 а затем просуммируем
по всем степеням свободы:
d dL vi x dL ^
2. d dL
ИЛИ
dL XI (м dL . . dL
С другой стороны, вычисляя полную производную от функции
Лагранжа по времени, получим
dL \i {„ dL . . dL\ . dL
Следовательно, мы можем записать, что
d
tA
228 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Предположим, что функция Лагранжа не зависит явно от
времени, т. е.
Тогда из D,91) будет следовать
d_
dt
— L =0. D.92)
Выражение в скобках представляет собой функцию обобщенных
координат и обобщенных скоростей, которую мы будем называть
обобщенной анергией и обозначать через ?*¦ Таким образом, если
функция Лагранжа не зависит явно от времени, то сохраняется
обобщенная энергия:
i
& ЗЕ - L -const s Eo- D.93)
Обратимся к примеру, рассмотренному в § 10. Функция Ла-
Лагранжа для релятивистской частицы имела вид
Очевидно, что здесь ^ = 0. Обобщенная энергия будет равна
г.* .dL..dLt.dL т
E* x + y+zL
Находим обобщенные импульсы:
д*
V с*
Подставляя D.95) в D.94), мы придем к обобщенному интегралу
энергии
-2*4^+ </(*. у. *)=?.*. D<96)
В левую часть D.96) входит релятивистская кинетическая энер*
гия материальной точки, выраженная формулой Эйнштейна:
Т— тос2
§ 12. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР 229
Интеграл Якоб и. Если рассматриваемая система класси-
классическая и функция Лагранжа имеет вид
-и, D.84)
то обобщенный интеграл энергии D.93) превращается в интеграл
Якоби *). По теореме Эйлера об однородных функциях (см. § 9)
2 ''и - 2 «'й+ 2 4$. - 2Г«+Т«- D-97)
Подставляя в D.93) найдем
Т2 _ Го + (/ = const. D.98)
Обратимся к примеру (рис. 4.12, § 9), в котором рассматри-
рассматривалось движение свободной материальной точки под действием
силы тяготения. Было найдено
Потенциальная энергия точки в поле тяготения равна
Функция Лагранжа явно от времени не зависит (со = const), поэтому
можно записать интеграл Якоби
т (
Отметим, что в этом случае все функции, входящие в D.99),
имеют простой смысл. Мы видим, что Г2 есть кинетическая энер-
энергия относительного движения точки, Го — потенциал поля центро-
центробежных сил. Интеграл Якоби здесь представляет собой интеграл
энергии в относительном движении. Отсутствие 7\ в интеграле
объясняется тем, что функция Тг порождает силы Кориолиса,
работа которых на относительном перемещении равна нулю.
Интеграл энергии (закон сохранения механи-
механической энергии). Предположим, что формулы преобразования
координат не содержат явно времени, т. е.
ra=ra{qu ft. .... Яд (ж
Тогда Т! = 0, Т0 = 0. Следовательно, функция Лагранжа будет
иметь вид
L-Ti-t/. D.100)
*) Якоби вывел обобщенный интеграл энергии, решая ограниченную задачу
трех тел A836 г.),
230 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
В этом случае мы приходим к обычному интегралу энергии (закону
сохранения механической энергии)
Т2 + и=const ssjEo,
или, так как Г = Т2,
и Е0. D.101)
Обратимся к примеру § 6 (рис. 4.10). Система из двух точек,
соединенных нитью, имеет четыре степени свободы и движется
без трения в однородном поле тяжести. Составим функцию
Лагранжа. Положим
тогда
т=f (п+/1<й+Л б; sin2 ф1) + J {п+(I - /-iJ ei},
(/ = m1gz1 = — m^rj cos <p3
(ось г направлена вертикально вверх),
L^l{(mi + m2) t\ + mxr\ (ф? + б? sin2 ф1) +
+ т2 (/ - гО2 б^} + mi^x cos «ft. D.102)
Очевидно, что g^-^O- Кроме того, здесь 71==7|0:=0. Поэтому
интеграл энергии будет иметь вид
U^ + m) Я + тл1 (ф? + 6? sin2 ф1) + т, (/ - г^2 6j} -
Циклические координаты и циклические инте-
интегралы. Обобщенная координата называется циклической (термин
Гельмгольца), если в выражение функции Лагранжа входит только
производная этой координаты по времени. Иными словами, коор-
координата qr есть циклическая, если
^- = 0, но ^фО.
Отметим, что если в выражение функции Лагранжа не входит ф,
то, как это следует из уравнения, §гг = 0, т. е. функция Лагранжа
не зависит и от самой координаты.
Йусть qr есть циклическая координата. Тогда из D.83) сле-
следует, что
d dL
Отсюда
J^ = const = cv. D.103)
§ 12. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР 231
Таким образом, каждой циклической координате отвечает инте-
интеграл вида D.103) — циклический интеграл. В силу уравнения дви-
движения сохраняется обобщенный импульс, соответствующий цикли-
циклической координате.
Обратимся к приведенному выше примеру (рис. 4.10) и вос-
воспользуемся уже построенной функцией Лагранжа D.102). Цикли-
Циклическими координатами здесь будут углы 0i и 02. Следовательно,
wrCl и жгс*
или
mxr\ Sxsin2 фх я съ пцA — гх)* 6а = с2. D.104)
Смысл найденных циклических интегралов заключается, как мы
видим, в сохранении моментов импульсов относительно вертикали
для каждой точки. Обратим внимание на то, что интегралы D.104)
не могли быть получены при помощи «жесткого» виртуального
поворота системы вокруг оси Ог — так мог быть получен лишь
интеграл для суммы моментов.
Выведем недостающие в этой задаче уравнения. Найдем обоб-
обобщенные импульсы и частные производные от функции Лагранжа
по Гх и фх:
51 = (mi+m2) flt j± = тхгфь
an 0ф!
~~- = тггг (ф? + б? sin2 фх)-- т2 (/ - гх) б| + т^ cos фь
— = гпхг\ 6? sin фх cos фх — rriigri sin фх.
Уравнения Лагранжа запишем в следующем виде:
— тхг\ (ф? + б? sin2 фх) + т% (I — г) б| — m^g cos фх == 0,
D.105)
) — тхг\ 6f sin фх cos фх + ^lg^i sin фх = 0. D.106)
Исключив с помощью D.104) 0х и б2, получим систему двух
нелинейных уравнений второго порядка относительно гх и фх.
Отметим, что благодаря выбору обобщенных координат мы неявно
произвели расчленение системы на две части — получились как бы
две точки, прикрепленные к нитям переменной длины. Метод
Лагранжа автоматически выполнил это разделение.
Рассмотрим еще пример (рис. 4.13). Материальная точка М
массы т может двигаться без трения по внутренней поверхности
круглого конуса, ось которого вертикальна. Угол при вершине
конуса равен 2а. Точка движется в однородном поле тяжести.
232
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Положение точки определяем двумя обобщенными координатами —
углом 0 и декартовой координатой г. Функция Лагранжа будет
иметь вид
Так как
dL
О, то существует интеграл энергии
Угол б является циклической координатой, поэтому
— == cm или г2 6 tg2 a « с
дЬ
С помощью найденных интегралов можно качественно иссле-
исследовать характер движения точки. Исключая б, найдем
где
т
График функции F (г) изображен на рис. D.14). Очевидно,
что координата z меняется периодически, колеблясь в пределах
dF
от zx до г2. Из условия -j = 0 можно найти
го==
Следовательно, если начальная скорость г0 равна нулю, а началь-
начальная высота равна г0, то точка будет двигаться по круговой траек-
траектории, лежащей в горизонтальной пло-
плоскости. При этом постоянные могут
быть подобраны так, что будет равна
Рис 4.13.
Рис. 4.14.
нулю функция Лагранжа (частный вид интеграла энергии). Оче-
Очевидно, что такого вида интеграл, когда функция Лагранжа равна
йостоянной (в частности, нулю), может быть получен, например,
§ t2. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР 233
в тех задачах, в которых рассматривается движение материаль-
материальной точки по гладкой и неподвижной поверхности вращения
с вертикальной осью в однородном поле тяжести.
Получение интегралов уравнений Лагранжа 2-го рода зависит
не только от структуры системы и характера силового поля *),
но и от выбора обобщенных координат. Разумеется, сохранение
импульса (или момента импульса), хотя бы частичное, как это
может быть для систем со связями, либо сохранение энергии, не
может зависеть от того или иного выбора обобщенных координат,
но при неудачном выборе для получения интегралов приходится
формально составлять интегрируемые комбинации дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Вопросы, связанные с интегралами уравнений движения, будут
полнее рассмотрены в следующей главе —для этой цели удобнее
записывать уравнения в канонической форме. Здесь же, в заклю-
заключение, мы рассмотрим способ получения интегралов, основанный
на инвариантности функций Лагранжа относительно бесконечно
малых преобразований переменных.
Предварительно докажем переместительность операций диффе-
дифференцирования по времени и изохронного варьирования, предпо-
предполагая, что координаты qs и их вариации bqs независимы.
Обозначим через q8 измененное значение координаты
где
По определению производной,
%-2«Ш0''(' + *»~''(в- D.107)
Аналогично,
Из D.108) почленно вычитаем D.107), полагая, что приращение
времени А/ в этих выражениях одинаковое:
Так как
*) Имеются в виду незамкнутые (неизолированные) системы, в частности,
системы со связями.
234 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
а с другой стороны,
то
/ Ап \ А
D.109)
или, при изохронном варьировании,
6 (d?,)-*(«?,). D.110)
В изложенном выводе существенна независимость &</&*)•
Если бы вариации координат были связаны неинтегрируемыми
соотношениями, то для зависимых вариаций переместительность
символов d и б не всегда была бы допустима.
Рассмотрим, к примеру, дифференциал секторной площади
da «ш ~ г2 dq>, где г и <р — полярные координаты точки, движущейся
в некоторой плоскости. Очевидно, что для вариации о будет
справедлива такая же формула:
ба = у
где 6г и 6ф независимы в указанном смысле. Вариация 6а уже
не является независимой — она выражена через 6<р.
Составим разность
6 (do) - d Fа) = 1 {6 (г2 dq>) - d (г2 6ф)} -
= гбг dq> - г dr 6ф + -у {6 (йф) - d Fф)}.
В силу того, что 6ф не зависит от других вариаций и может
быть выбрана произвольно,
ф ^
Мы видим, что
6 (da) - d фа) = г (8г dф - dr 6ф).
Билинейная форма 6/^ф — d/'бф может быть не равна нулю**).
Поэтому
6 (da) Ф d Fa).
*) Независимость 6q$ здесь понимается в том смысле, что вариации 6^lf
6q2t ...» &qi не связаны между собой и не зависят от вариаций других пере-
переменных.
**) Можно записать б (do) — d (до) = /• d(p6(p(-^ Т""г ^сли °Рбита КРУ"
\ Оф аф/
di or
говая, ю — =0, тогда как -д— может принимать любое значение.
§ 12. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР 235
Обратимся к динамическому принципу виртуальных переме-
перемещений D.66). Если все активные силы потенциальны, то дина-
динамический принцип виртуальных перемещений можно, вводя
обобщенные координаты, записать в виде
s«=l
Преобразуем левую часть:
или
Очевидно, что
i(fe«fc+i«o,)-ei.
Итак, динамический принцип виртуальных перемещений для
голономных систем, движущихся под действием потенциальных
сил, может быть представлен в следующей, очень удобной и
выразительной форме:
Наша цель — установить условия, при которых могут быть
получены интегралы уравнений Лагранжа, и, кроме того, вид
самих интегралов. Так как в число интегралов может войти инте-
интеграл энергии, то мы, как и в § 6, рассмотрим полные вариации
координат, скоростей и функции Лагранжа, вводя не зависящий
от времени параметр а и рассматривая qst qs и L как функции
параметра а и времени t. Параметр а сохраняет свое значение
на каждой действительной траектории.
Полные вариации запишем в виде
Жба + %6'- D.113)
Аналогично,
dl dlf6t, D.114)
236 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
И
U D.115)
Очевидно, что изохронные вариации будут иметь вид
|Ь ^а, 8L = §6a. D.116)
Заметим, что здесь -4^- есть производная по времени от qs при
фиксированном значении параметра я, т. е. — производная, вычис-
вычисленная вдоль траектории *). Поэтому мы можем положить
Выведем выражение полной вариации функции Лагранжа.
С этой целью обе части каждого уравнения Лагранжа умножим
на Ags и просуммируем по всем значениям s:
или
I I
5=1 5=1
Производя простые преобразования, получим
Изменению параметра а и времени / на независимые между собой
величины 8а и Ы соответствует бесконечно малое преобразование
переменных, характеризующих состояние движения системы.
Частная производная -~^% входящая в выражение D.117), берется
по явно входящему в функцию Лагранжа времени t (при фикси-
* \ dL
рованных qi и ф), тогда как полная производная -гт вычислена
вдоль траектории (при фиксированном значении параметра а).
*) В расширенном конфигурационном пространстве положение изображаю-
изображающей точки определяется координатами (glt q2, ..., qt\ t). Здесь, при частном
дифференцировании,
§ 12. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА. ТЕОРЕМА НЁТЕР 237
Поэтому можно положить
dL __ (dL\
dt ~ \dt fa
Таким образом, из выражения D.117) находим полную вариацию
функции Лагранжа в следующем виде:
dL » \ ct , / vj-. \ л,
. or.
Полная вариация функции Лагранжа вычислена в силу уравне-
уравнений движения. Заметим, однако, что для приложений удобнее
выражение D.117).
Свойства той модели реального физического пространства,
которую использует механика (однородность и изотропность),
а также однородность времени, с наибольшей отчетливостью обна-
обнаруживаются на примере замкнутой (изолированной) системы мате-
материальных точек (гл. ТИ, § 4). Однородность пространства при-
приводит к сохранению импульса системы, изотропность — к сохра-
сохранению кинетического момента; однородность времени связана
с сохранением энергии. Свойства, присущие пространству и вре-
времени, позволяют совершать такие преобразования координат и
времени, при которых сохраняют свои значения — остаются инва-
инвариантными — основные меры движения.
Обобщение и значительное расширение наших представлений
о глубокой связи между преобразованиями переменных, опреде-
определяющих состояние движения материальной системы и инвариант-
инвариантностью обобщенных мер движения принадлежит выдающейся
женщине-математику Эмми Нётер. Для распределенных систем —
в области теории поля—Э. Нётер в 1918 г. установила, что
каждой группе преобразований, сохраняющей функцию Лагранжа
инвариантной, соответствует определенный закон сохранения *)»
Докажем теорему Нётер применительно к механическим систе-
системам с конечным числом степеней свободы.
Теорема Нётер. Каждому бесконечно малому преобразова-
преобразованию, сохраняющему неизменной функцию Лагранжа, отвечает
интеграл уравнений движения.
Обратимся к выражению D.117) и положим 8а Ф 0$ 6t = 0-
Если при этом
*) Сведения о самой Нётер и о ее замечательных исследованиях можно
найти в [23].
238 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
ТО
? у dL dqs _ ft
dt Ldqs да "^
Отсюда приходим к интегралу
Допустим, что среди обобщенных координат есть циклические,
например, qf. Пользуясь независимостью изохронных вариаций
обобщенных координат, положим бду = 6а, bqx =... = 8qj-x =
= б^/+1 = ... = б^ = О, F* = 0). Изменению параметра а будет
отвечать виртуальное перемещение системы вдоль координатной
линии qj. Это перемещение не всегда совпадает с перемещением
вдоль траектории. Тогда, поскольку
ы,-вв-о и !=б
мы найдем
d(dL\ n dL
Предположим теперь, что функция Лагранжа не зависит явно
от времени. Положим 6а = О, 6/ =5^0. Так как -^- = 0, то из урав-
уравнения D.117) получим
0. D.119)
Отсюда следует обобщенный интеграл энергий
i
-^ = const шш El D.120)
Мы видим, что инвариантность функции Лагранжа при варьиро-
варьировании циклической координаты связана с сохранением соответст-
соответствующего обобщенного импульса; инвариантность при варьирова-
варьировании времени —с сохранением обобщенной энергии. Таким образом,
показано, что инвариантность функции Лагранжа относительно
некоторого преобразования переменных есть достаточное условие
существования интеграла уравнений Лагранжа 2-го рода.
§ 13. ОБОБЩЕННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 239
Наоборот, если некоторая функция от qs, Qs и времени /,
которую можно представить в виде У Щ~~Ш~* есть интеграл урав-
s=l
нений движения, то ее полная производная по времени будет
равна нулю в силу уравнений. Отсюда мы заключаем, что инте-
интегралу вида D.118) отвечает бесконечно малое преобразование,
сохраняющее неизменной функцию Лагранжа. Здесь важно доба-
добавить, что от параметра а должны фактически зависеть перемен-
переменные, определяющие состояние движения системы. В качестве
примера приведем опять циклическую координату, от которой
не зависит функция Лагранжа, но которая входит в число коор-
координат, определяющих конфигурацию системы. Подобным же обра-
образом можно показать, что наличие обобщенного интеграла энергии
свидетельствует о том, что функция Лагранжа не изменяется при
преобразовании времени.
Относительно так называемых «бесконечно малых» преобразо-
преобразований переменных заметим, что термин «бесконечно малые» нельзя
понимать буквально как «исчезающе малые». Координатам, их
производным по времени и самому времени при таком преобра-
преобразовании даются приращения, достаточно малые для того, чтобы
можно было сохранять только главные линейные части прира-
приращений всех функций от этих переменных. Это последнее обстоя-
обстоятельство определяется точностью постановки и решения задачи.
Важно, что преобразование переменных допустимо в любой
момент времени из рассматриваемого конечного интервала.
§ 13. Обобщенный потенциал. Гироскопические силы
Обратимся к записи уравнений Лагранжа 2-го рода в явном
виде (см. § 11). В левую ^асть каждого уравнения D.88) входят
суммы вида
2 (?-?)*• «121>
Коэффициенты при q( антисимметричны относительно индексов.
Если мы, изменив знаки, перенесем указанные суммы в правые
части уравнений, то сможем рассматривать их как некие обобщен-
обобщенные силы, в частности, как обобщенные силы Кориолиса. Мы видели,
что в тех случаях, когда формулы преобразования не содержат
явно времени, коэффициенты Bs исчезают и, следовательно, ука-
указанные обобщенные силы не войдут в уравнения.
То обстоятельство, что суммы вида D.121) порождаются функ-
функцией Лагранжа — именно, дифференцированием функции Тхш
240 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
= 2 ?*<kt -" позволяет построить одно из обобщений функции
s= 1
Лагранжа уже независимо от характера преобразования коорди-
координат. С этой целью мы будем рассматривать так называемый
обобщенный потенциал
W=% Witu D.122)
в виде линейной функции <?*, коэффициенты которой могут зави-
зависеть от обобщенных координат и времени.
Положим
, D.123)
где L=T — U есть обычная функция Лагранжа (кинетическая
энергия может включать функции 7\ и То). Дифференцируем L*
по $s и по qs:
dL* dl , w dL* dl
Далее,
Система уравнений Лагранжа будет иметь вид
или
%&№%)* <s-'-2 »¦ <
Введем обозначения:
dWs\._r ,. „..
?rJ<7'""r- DЛ25)
dWs ,. ,п„.
ty^ D.126)
Очевидно, что
Y/, Y*. D.127)
Обобщенные силы
§ 14. ЗАРЯЖЕННАЯ ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 241
будем называть гироскопическими силами. Нетрудно проверить,
что сумма работ гироскопических сил на действительных пере-
перемещениях равна нулю. В самом деле, в силу D.127)
22 2
s = 1 s = 1 i » 1
Упомянутые выше обобщенные силы Кориолиса представляют
собой частный вид гироскопических сил. Что касается самого
термина «гироскопические», то он будет разъяснен в главе VI.
§ 14. Функция Лагранжа для заряженной частицы
в электромагнитном поле
Рассмотрим заряженную частицу, движущуюся в электромаг-
электромагнитном поле, предполагая, что скорость частицы мала по сравне-
сравнению со скоростью света и что влияние частицы на напряженность
поля пренебрежимо мало. Частицу будем представлять в виде
свободной материальной точки и положение ее определять декар-
декартовыми координатами. Как известно, на частицу будет действо-
действовать сила Лоренца
(±) D.128)
где я— скорость точки, в —заряд, с —скорость света в пустоте,
? —напряженность электрического поля, /f— напряженность маг-
магнитного поля.
Вводя скалярный потенциал ф и векторный потенциал Л,
запишем
? = — gradcp--^-, #=roti4, D.129)
где ф и вектор А могут зависеть от координат и времени. В каче-
качестве обобщенных координат мы взяли декартовы координаты х, у, г.
Следовательно, обобщенные силы будут равны проекциям F на
координатные оси:
е С/дАу дАх\ (дАх дАЛ\
Аналогично можно записать Q2 и Q3.
Так как ?, у, г — обобщенные скорости, то
дк п д* л д* л
1* ^ W = 0> ~д? = ° И Т* Д
В правую часть выражения D.130) добавим
е (дАх дАх \ .
с \ дх дх )х-
242 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Тогда
или
а-—Й-*
здесь
dAx дАх дАх дА
+ х +
Нетрудно проверить, что уравнения движения частицы можно
записать, если функция Лагранжа будет иметь вид
i = y(i4y2 + z2)-^+7M), D.131)
где
±(vA) = ±(*Ax + dA9 + tA.) D.132)
есть обобщенный потенциал, порождающий гироскопические силы»
Вычислим, например, обобщенный импульс -^ и частную про-
производную от функции Лагранжа по координате х:
dL d<p . e д
Уравнение Лагранжа для заряженной частицы в электромагнит-
электромагнитном поле будет иметь вид
Аналогично получим остальные уравнения.
§ 15. Диссипативные силы. Функция Рэлея
Силы сопротивления реальных сред, в которых движутся тела,
представляют собой главным образом силы трения. Наличие таких
сил приводит к тому, что механическая энергия движущихся тел
переходит в другие виды энергии — тела нагреваются, может
возникнуть свечение тела, а при больших скоростях тела могут
сгореть. Механическая энергия системы, как говорят, рассеи-
рассеивается. Поэтому силы сопротивления часто называют диссипатив*
§ 16. ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ. ФУНКЦИЯ РЕЛЕЯ 243
ными *). Силы сопротивления среды могут быть сложными функ-
функциями скоростей точек системы и, кроме того, могут зависеть
от параметров, характеризующих среду и форму тела.
Мы ограничимся силами сопротивления, представляющими
собой линейные функции скоростей точек приложения этих сил.
Очевидно, что и обобщенные силы будут линейными функциями
обобщенных скоростей. Обозначая обобщенную диссипативную
силу через Rst запишем
Я,— 2 Р«Ль DЛЗЗ)
где коэффициенты pis могут зависеть от координат, времени и
некоторых постоянных параметров.
Работа диссипативных сил на действительных перемещениях
должна быть неположительна. Следовательно,
1 i
В формуле D.133) коэффициенты р^ будем считать симметричными
относительно индексов**), так как если РиФр$и то мы можем
положить pis + Psi^Zfis и тогца будет ris = rsi.
Обобщенные силы сопротивления можно представить в виде
частных производных по qs от некоторой квадратичной функции
обобщенных скоростей. Положим
42 2 <4Л34>
Очевидно, что
^2 <4ЛЗб>
Функция Ф G, Q\ t) была введена в мехнику Рэлеем и поэтому
называется функцией Рэлея. Мы ввели эту функцию формально
для того, чтобы записать обобщенные силы сопротивления в виде
D.135). Покажем, что функция Рэлея имеет простой физический
смысл.
Рассмотрим систему, к точкам которой приложены потенци-
потенциальные и диссипативные силы. Запишем уравнения Лагранжа
*) dissipare—рассеивать (лат.).
**) При pjjss—> psi сумма работ Суде! равна нулю ^см. гироскодические
силы, § 13),
244 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
2-го рода:
d dL dL dQ>
Умножим обе части каждого уравнения на ijsdt и просуммируем
по s. Производя затем выкладки, которые мы делали при выводе
обобщенного интеграла энергии (§ 12) и полагая, что -^ = 0,
получим
d \\ dL x
Из теоремы Эйлера об однородных функциях следует:
У Й5^ = 2Ф.
^d d$s
Таким образом,
Если рассматриваемая система классическая и формулы перехода
к обобщенным координатам явно не содержат времени, то
где Т есть кинетическая энергия, а (/ — потенциальная энергия
системы. Тогда
| (T + U) = 2Ф. D.137)
Из полученного уравнения D.137) мы находим, что
т. е., что производная от механической энергии системы по вре-
времени неположительна. При полной диссипации будет -u(T-\-U) <0.
Следовательно, полная механическая энергия системы убывает
со скоростью, равной удвоенной функции Рэлея.
Полезно непосредственно вычислить обобщенные диссипатив-
ные силы, предполагая, что к точкам системы приложены силы
сопротивления, пропорциональные скоростям точек.
Положим Fa = — kava9 где ka есть коэффициент сопротивле-
сопротивления, который может зависеть от координат точки и времени.
§ 15. ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ. ФУНКЦИЯ РЕЛЕЯ 245
Обобщенная сила сопротивления будет равна
п
«•-.2>fe)
(п — число точек системы). Используя D.60), запишем
Здесь векторы va выражены через Qs. После этого выражение
обобщенной диссипативной силы можно представить в виде
а ~ и -я
Допустим, что формулы перехода к обобщенным координатам:
не содержат времени. Тогда
Квадрат скорости можно представить в виде двойной суммы
Формулу для обобщенной диссипативной силы получим, изменив
порядок суммирования:
(дг*дгА
Hs dqs L L
/=1 /=,!«=!
Введем обозначение:
ka\dUW,
a~l
Тогда
Очевидно, что
ф—i
246 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
€сть функция Рэлея. Коэффициенты ру симметричны относительно
индексов —они похожи на коэффициенты Aif в выражении кине-
кинетической энергии D.72). Отличие заключается в том, что Т2
всегда есть знакоопределенная положительная функция, тогда
как функция Рэлея Ф иногда может быть лишь знакопостоянной,
т. е., несмотря на то, что не все qs равны нулю, функция Рэлея
может обращаться в нуль. Если записать функцию Рэлея в виде
ф=-т
то отсюда можно заключить, что равенство нулю функции Ф
возможно, когда равны нулю некоторые коэффициенты ka, но
среди c\i есть величины, отличные от нуля. Функция Рэлея будет
знакоопределенной отрицательной лишь при полной диссипации.
§ 16. Интегральный вариационный принцип Гамильтона
(первая форма)
Особое место в ряду всех известных принципов механики
занимает интегральный вариационный принцип Гамильтона,
опубликованный им в первоначальной форме в 1834 г. Принцип
Гамильтона позволяет выразить в простой, компактной и удобной
фэрме законы механики — механики голономных систем, движу-
движущихся под действием потенциальных сил.
В 1848 г. были опубликованы исследования М. В. Остроград-
Остроградского, содержащие некоторые обобщения принципа Гамильтона,
в частности, распространение принципа Гамильтона на системы,
функция Лагранжа которых может зависеть не только от коор-
координат, скоростей и времени, но и от ускорений любого порядка*).
Однако в настоящем курсе мы не будем рассматривать обобще-
обобщения М. В. Остроградского.
Принцип Гамильтона важен не только для самой механики —
его особое значение заключается еще и в том, что путем обоб-
обобщения функции Лагранжа удается перенести методы аналити-
аналитической механики в другие, — немеханические, — разделы физики.
Когда мы имеем дело с различными принципами механики,
то, в первую очередь, нас интересует сравнение их общности,
сравнение, так сказать, размеров «подведомственных» этим прин-
принципам областей. С этой целью мы, отправляясь от принципа
Даламбера — Лагранжа (динамического принципа виртуальных
перемещений), выведем интегральный вариационный принцип
Гамильтона.
¦) См,, например, [23],
§ 16. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА (ПЕРВАЯ ФОРМА) 247
Предполагая, что система голономна и что все активные силы1
потенциальны, запишем динамический принцип виртуальных пере-
перемещений в виде
D.112>
Рассмотрим конечный промежуток времени, ограниченный
произвольно выбранными моментами tt и <2- Обобщенные коорди-
координаты, обобщенные скорости и обобщенные импульсы представляют
собой в действительном движении некоторые функции времени.
Будем задавать в каждый момент времени изохронные вариации
этих функций так, чтобы получить дифференцируемые и, следо-
следовательно, непрерывные функции времени 6qs(t), b{js(t). Тогда w
6L будет дифференцируемой функцией времени.
Умножим обе части D.112) на dt и проинтегрируем в преде-
пределах от tx до t2:
if
Так как система голономная и, кроме того, пределы интегриро-
интегрирования не варьируются, то мы можем поменять местами операции*
варьирования и интегрирования по времени. Правая часть содер-
содержит интеграл от полной производной по времени. Поэтому
D.138)
Определенный интеграл от функции Лагранжа по времени носит
название действие по Гамильтону. Размерность действия для
механических систем равна произведению размерностей энергии
и времени. Действие по Гамильтону будем обозначать через S;
\ D.139>
и
Определенный интеграл D.139) есть функционал, т. е. число,
величина которого зависит от вида функции L(q, q\ t).
Полагая, что все «окольные» пути пересекаются в моменты.
<! и U с действительным, следовательно, что
8^1/=/, = 0, 6fr|,e/i-0,
мы придем к выражению принципа Гамильтона:
q\ 0^ = 0. D.140>
^48
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Действие по Гамильтону в действительном движении голоном-
ной системы принимает стационарное значение, если все актив-
ные силы потенциальны, а вариации обобщенных координат равны
нулю на концах промежутка интегрирования.
В формулировке принципа Гамильтона говорится о стацио-
стационарном значении функционала S, во-первых, потому, что уста-
устанавливается лишь равенство нулю
первой вариации, а, во-вторых, по-
потому, что функция Лагранжа может
иметь любой знак *).
Полезно выражение D.140) по-
получить иначе, непосредственно, более
простым способом. На рис. 4.15
сплошной линией условно показана
траектория изображающей точки в
расширенном конфигурационном про-
пространстве, штриховой линией —один
из окольных путей. Точки Рг и Р2 и моменты времени tu
42 — общие для всех окольных путей и для действительного пути.
Положим
Риг» 4. \
Тогда
Вычислим действие для истинного и окольного путей:
S =
и
\
,Ldt9 S-lLdt.
Найдем главную линейную часть приращения действия, обозначая
ее через 6S:
л. 4.{l-L)dt.
$=1
eS-л. 4.{S
Очевидно, что
л.
Отсюда
*) Принцип Гамильтона иногда называют принципом наименьшего действий.
Ясно, что выражение D.140) не оправдывает такое название. Минимальность
действия можно показать, потребовав, чтобы разность t^ — t\ была ограничена
достаточно малым числом, и рассматривая знак второй вариации»
§ 16. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА (ПЕРВАЯ ФОРМА) 24$
Так как bqs независимы, то
&(&!*).
Интегрируя по частям, получим
J
tt
а так как
и в силу уравнений Лагранжа
d Ы dL
то в действительном движении
65 «0.
Если мы будем сравнивать значения функционала S, вычис-
вычисленные для различных окольных путей, то не обязательно полу-
получим равенство нулю первой вариации действия. Следовательно,
обращение в нуль 6S есть отличительная особенность истинного
движения.
Рассмотрим теперь вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из-
принципа Гамильтона. Предварительно напомним, что если
\/@ф@Л = 0,
и
где <p(f) есть произвольная функция времени, а пределы
интегрирования выбраны также произвольно, то/(/) = 0 —
функция /(/) равна нулю в каждый момент времени.
Для доказательства достаточно положить ср (/) = / (/). Если же
где ц (t) — любая функция времени с непрерывной производной,
обращающаяся в нуль при t = tx и /=/2> то равенство нулю
функции /(/) можно доказать на основе леммы Лагранжа *). (Если
i)(t1) = 0, т](/2)=0, то может возникнуть опасение, что равенство
нулю интеграла вызвано этими краевыми условиями; поэтому-то
и нужно доказывать лемму Лагранжа.)
*} См. любой курс вариационного исчисления, например, [16].
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Итак, пусть
6 j
еде L = L(q, tf; t) и, кроме того,
.Меняя порядок интегрирования по времени и изохронного варьи-
варьирования, получим
Далее возможны два подхода. Первый состоит в том, что,
используя независимость 6^, заменяем 6qs через -^ (bqs)% интегри-
интегрируем по частям и в силу краевых условий получаем
Опираясь на лемму Лагранжа и на естественное для механики
и физики предположение о существовании вторых производных
от обобщенных координат по времени, приходим к системе диф-
дифференциальных уравнений Лагранжа 2-го рода:
Второй подход основан на лемме Дю-Буа-Реймонда и не тре-
требует предположения о существовании qs- Выделим один член:
Изменив выражение подынтегральной функции, интегрируем по
частям
и
M в виде
Затем, представив щ-Ms в виде ^^(8qs) и принимая во вни-
внимание краевые условия, получим
§ 17. ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ — ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА 25 >
На основании леммы Дю-Буа-Реймонда (см. упомянутый курс
вариационного исчисления) приходим к системе уравнений
Лагранжа в интегральной форме:
где ^ — произвольные постоянные, верхний предел интеграла
переменный.
Система уравнений Лагранжа представляет собой систему диф-
дифференциальных уравнений кривых в расширенном (/+1)-мерном
пространстве, вдоль которых действие принимает экстремальное
(точнее, стационарное) значение. Эти кривые, дифференциальные
уравнения которых впервые были получены Эйлером, называются
экстремалями.
§ 17. Принцип наименьшего действия
Мопертюи — Эйлера — Лагранжа
Интегральный вариационный принцип, о котором пойдет речь,
возник значительно раньше принципа Гамильтона: в 1744 г.,
почти одновременно и независимо, появились работы Мопертюи
и Эйлера, содержащие в зародыше изложение этого принципа.
Мопертюи, формулировка которого была весьма не ясной, при-
придавал высказанному им принципу некий всеобщий телеологиче-
телеологический смысл — принцип выражал будто бы «целенаправленность»
действий природы. Эйлеру принадлежит первая отчетливая фор-
формулировка математического содержания, которое следует вложить
в понятие принципа: принцип наименьшего действия есть инте-
интегральный вариационный принцип, позволяющий вывести диффе-
дифференциальные уравнения движения — уравнения экстремалей. В ра-
работах, посвященных принципу наименьшего действия, Эйлером
были созданы основы вариационного исчисления и показано зна-
значение интегрального вариационного принципа в механике. Но
несмотря на это, сам Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мо-
Мопертюи. Можно предполагать, что выступления Эйлера на стороне
Мопертюи в спорах того времени по поводу философского смысла
и научно-познавательного значения принципа привели к тому,
что имя Мопертюи удержалось в названии принципа. Отметим,
кстати, что само название «принцип наименьшего действия»,,
сохранившееся до наших дней, принадлежит Мопертюи.
Принцип наименьшего действия был сформулирован Эйлером
применительно к одной материальной точке. Распространение
принципа на системы материальных точек и тел со связями при-
принадлежит Лагранжу, который в своих ранних работах, посвя-
посвященных принципу наименьшего действия, применил развитый им
52 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
метод вариационного исчисления к решению ряда задач земной
и небесной механики A760—1761 гг.). Известные нам высказы-
высказывания Лагранжа свидетельствуют о том, что он не разделял
телеологических воззрений на принцип; ему было чуждо исполь-
использование всевозможных метафизических предпосылок *). Высказы-
Высказывания Лагранжа против телеологического подхода в науке о при-
природе были подчас довольно резкими.
Принцип наименьшего действия Лагранж понимал не как
некий метафизический принцип, имеющий всеобщее значение,
г как простой и общий вывод из законов механики консерватив-
консервативных систем**). Что касается названия принципа, развитого
Лагранжем,-—«принцип наименьшего действия», то, по словам
самого Лагранжа, это название дано им по аналогии с названием
принципа Мопертюи.
Перейдем к изложению принципа наименьшего действия.
Рассмотрим движение материальной системы с конечным чис-
числом степеней свободы относительно инерциальной системы отсчета.
Предположим, что связи голономные, идеальные и стационарные,
активные силы потенциальные, и что функция Лагранжа, по-
построенная для системы, не зависит явно от времени. Следова-
Следовательно, рассматриваемая система консервативная (может быть,
обобщенно-консервативная). Требование консервативности системы
свидетельствует о том, что область применимости принципа наи-
наименьшего действия значительно уже области, в пределах которой
справедлив принцип Гамильтона.
Предположим, что кинетическая энергия системы есть одно-
однородная квадратичная функция обобщенных скоростей, т. е. Т = Г2.
В § 9 настоящей главы было показано, что Г2 есть знакоопре-
деленная положительная функция. В действительном движении
кинетическая энергия есть некоторая (сложная) функция вре-
времени. Образуем интеграл
\TdU A.141)
и назовем его действием по Лагранжу. Докажем, что в действи-
действительном движении действие принимает экстремальное значение
по сравнению с его значениями при движении системы по «околь-
«окольным» путям. В силу того, что Т = Г2 ^ть положительно опре-
определенная функция, это экстремальное значение будет представ-
представлять собой минимум функционала. Наложим следующие условия:
*) «Метафизические предпосылки» —предпосылки, не основанные на опыте.
**) В эпоху Лагранжа термина «консервативные системы» не было: Лагранж
ограничивал область применимости принципа наименьшего действия теми
«границами, в пределах которых справедлив закон «живых сил>>
§ 17. ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ — ЭЙЛЕРА — ЛАГРАНЖА
253
1) начальная и конечная конфигурации системы одинаковы
для действительного движения и для всех движений по «околь-
«окольным» путям;
2) время движения по «окольным» путям не равно времени
действительного движения (они различаются на малую величину);
3) движение по всем сравниваемым путям совершается с одной
и той же энергией.
Таким образом, мы приходим к исследованию условного
Бкстремума функционала: нужно доказать, что
D.142)
если
D.143)
D.144)
где U есть потенциальная энергия системы, Ео — постоянная пол»
ная энергия,
8?о = 0. D.145)
Символом «6» изображается, как обычно, изохронная вариация.
Заметим, что неравенство 8qs\t^0 есть следствие того, что
время движения по «окольным» путям не равно времени действи-
действительного движения.
Рис, 4.16.
Предположим, что нам известна зависимость координат от
времени, и что мы можем построить график функции qi^fi{t)
{рис. 4.16). На том же графике изобразим аналогичную зависи-
зависимость для движения по «окольному» пути в виде функции q-t =*
= ft (t) (штриховая линия). Через Ки мы обозначили разность
времен движения по истинному и по «окольному» пути. Мы видим,
что, если <7ik>Ot то при Д/2>0 8#|*2<0, и наоборот, если
Д<2<0, то б^|/2>0. При построении графика мы исходили из
того, что
D Л 46)
254 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Переходим к безусловному экстремуму, вводя неопределенный
множитель А,. Положим
D.147)
и приравняем нулю первую вариацию интеграла от функции F:
и
в jFctf-O. D.148)
ti
Так как при варьировании изменяется верхний предел, то
s=\
Полагая &qs = -?(8qs), затем интегрируя по частям, получим
J
+ 1 frfcC+'l»*.-* <4.H9>
Из условий на концах промежутка интегрирования находим
ЬЯш \и = 0, bqs \u = -qs \h A/t. D.150)
Заметим, что это условие при t = t2 есть частный вид так назы-
называемого условия трансверсальности.
Внеинтегральные члены мы можем представить в виде
- 2 «
Мы предположили, что Т = Г2, поэтому, исходя из выражения
функции F D.147) и применяя формулу Эйлера, получим
2|? D.151)
Отсюда
Мы сравниваем движения с одной и той же постоянной энергией»
Поэтому
Следовательно, внеинтегральный член обратится в нуль, если
положить Я = =—1/2. При таком значении множителя Я функция Р
§ 17. ПРИНЦИП МОПЕРТЮИ - ЭЙЛЕРА - ЛАГРАНЖА 255
будет равна
f?0, D.152)
или
p L i jl. JL f« ix i w\
Отбрасывая множитель 1/2, запишем выражение принципа наи-
наименьшего действия в форме, удобной для вывода дифференциаль-
дифференциальных уравнений экстремалей:
Не следует думать, что мы пришли к выражению принципа
Гамильтона: в принципе Лагранжа иные краевые условия и,
кроме того, сравниваются движения с одной и той же постоян-
постоянной энергией *).
Теперь мы легко докажем, что первая вариация функцио-
функционала D.154) обращается в нуль в действительном движении
системы. Варьируя функционал, найдем
J Ld \dqs
Затем, используя равенство
интегрируем по частям:
При варьировании мы приняли во внимание различное время
движения по действительному и «окольным» путям. Покажем,
что сумма внеинтегральных членов обращается в нуль. Для этого
используем выражение DЛ50):
*) Следует подчеркнуть, что в выражении подынтегральной функции
аельзя отбрасывать постоянное слагаемое Ео.
256 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Следовательно,
2 (||s4+(L+?o)A'2==(- 2 ws)
В силу уравнений действительного движения, — уравнений Ла-
гранжа 2-рода, — обратится в нуль оставшийся интеграл:
Таким образом, доказано, что действие по Лагранжу принимает
экстремальное значение (здесь — минимальное значение) в дей-
действительном движении голономной консервативной системы.
Предположим теперь, что выражение кинетической энергии
имеет более общий вид, т. е.
т 2 Чт?
где
Покажем, что если в этом случае -*т = 0, то интегральный вариа-
вариационный принцип Лагранжа будет справедлив при тех же усло-
условиях. Отличие будет в выражении подынтегральной функции:
вместо полной кинетической энергии в качестве подынтегральной
функции нужно будет взять функцию
Запишем равенство нулю первой вариации функционала
и
6 ^ BГ2 + 7\) dt = 0, D.155)
и
при условиях
fys I*, = 0, 8?5 \t2 = — qs \u Ыъ
= 0). D.156)
Мы записали интеграл энергии в виде интеграла Якоби (см. § 12).
Вводя неопределенный множитель Я, приходим к безусловному
экстремуму
б
§ 18. ПРИНЦИП ЯКОБИ 257
где
F = B + А) Т2 + Тг - ХТо + W - ХЕ0.
Далее обычным способом находим
2 (w,-iw)^d'+ 2 |>
1 S=l
Привлекая интеграл Якоби и краевое условие при t=t2i потре-
потребовав затем, чтобы сумма внеинтегральных членов обратилась
в нуль, мы найдем, что
Л = -1.
Функция F примет при Я =—1 следующий вид:
I
Следовательно, выражение принципа Лагранжа не будет отли-
отличаться от ранее рассмотренного (при Т = Т2); так же мы дока-
докажем, что первая вариация функционала обращается в нуль, но
теперь для доказательства минимальности интеграла нужно будет
исследовать знак второй вариации, так как подынтегральная
функция, равная 2Т2 + ТЪ может не быть знакоопределенной
положительной.
§ 18. Принцип Якоби
Обращаясь к принципу наименьшего действия Мопертюи —
Эйлера — Лагранжа (см. § 17, гл. IV), Якоби замечает, что «почти
во всех учебниках, даже и в лучших, как Пуассона, Лагранжа
и Лапласа, этот принцип представлен так, что, по моему мнению,
его нельзя понять» ([38], шестая лекция). Упрек Якоби отно-
относится, главным образом, к тому, что в изложении того времени
была неясной связь принципа наименьшего действия с «теоремой
живых сил» (с интегралом энергии). Кроме того, Якоби указы-
указывает на неудачное название самого принципа и связанное с этим
неправильное понимание его сущности.
Все это побудило Якоби видоизменить принцип, исключив
время с помощью интеграла энергии. Принцип наименьшего дей-
действия стал в руках Якоби чисто геометрическим принципом,
приобретя при этом необыкновенную ясиосгь и прозрачность.
Поэтому принцип наименьшего действия в форме Якоби обычно
называют принципом Якоби.
Движению механической (или иной) системы с конечным чис-
числом степеней свободы в реальном пространстве можно поставить
в соответствие движение изображающей точки в многомерном
пространстве, например, в пространстве конфигураций, число
измерений которого равно числу степеней свободы голономной
системы. Якоби перенес исследование движения системы в конфи-
9 В. В. Петкевич
2-8 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
гурационное пространство, показав, что экстремалями — линиями,
вдоль которых функционал принимает экстремальное значение, —
будут обобщенно-геодезические линии, а при отсутствии силового
поля — обычные геодезические линии *).
Рассмотрим движение голономной консервативной системы,
предположив, что кинетическая энергия есть однородная квадра-
квадратичная функция обобщенных скоростей, и задишем выражение
принципа Лагранжа, изложенного в § 17:
в B7 Л-0, D.142)
(под знаком интеграла для удобства записана удвоенная кинети-
кинетическая энергия). Кинетическая энергия была выражена форму-
формулой D.74):
где Aii — известные функции обобщенных координат.
Умножив обе части выражения кинетической энергии на (dtJ
и разделив на 27\ найдем
Введем элемент дуги траектории изображающей точки, положив
(АI-2 5] Andqidq,. D.1S7)
Дифференциал времени будет равен
Таким образом, подынтегральную функцию в выражении прин-
принципа Лагранжа мы можем теперь представить в следующем виде!
или, используя интеграл энергии, таким образом:
2Гdt - V2(E0-U)ds D,168)
(мы предположили, что ^-
*) Геодезическая линия —кратчайшая среди всех линий, соединяющих два
достаточно близкие друг к другу точки (при заданном выражении ds).
§ 18. ПРИНЦИП ЯКОБИ
259»
Пусть в конфигурационном пространстве начальная и конеч-
конечная конфигурации системы изображаются точками Рг и Р2 соот-
соответственно (см. рис. 4.17, где условно изображена система коор-
координат в конфигурационном пространстве в виде прямоугольной
декартовой системы). Сплошная линия, соединяющая точки Рь
и Р2, есть отрезок траектории изображающей точки в действи-
действительном движении; штриховые
линии изображают «окольные)
пути. Введем параметр а так,
чтобы каждому положению изо-
изображающей точки отвечало не-
некоторое значение а. В точке Рх
параметр а равен оь в точке Р2
равен а2. Пусть аг <C а2. Таким
образом, параметр а, непрерыв-
непрерывно возрастая от значения ах до
значения а2, однозначно опреде-
определяет положение изображающей
точки как на действительном пу-
пути, так и на любом «окольном».
Следовательно, мы можем рассматривать обобщенные координаты
как функции параметра а. Производные -^ обозначим через q's и
предположим, что они непрерывны.
Запишем интеграл от кинетической энергии в геометрической
форме
D.159)
Рис 4.17.
или, вводя параметр а, в виде определенного интеграла
do (<Ji^a^;<72). D.160>
]' V 2 (?0 - U) \/~ 2 S AM
Ci f i i
Принцип Якоби. В действительном движении еолономной
консервативной системы с конечным числом степеней свободы
функционал
V2(E0-U)
ttf do
a, * i i
принимает экстремальное значение *), если
*) Если точки Pt и Р2 достаточно близки друг к другу то функционал
принимает минимальное значение.
9*
260 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Выведем дифференциальные уравнения экстремалей, обозначив
для краткости подынтегральную функцию через J:
V2(E0- ?/)]/"? 2 AifqWi - / (<7, Я% D.161)
Обычным способом варьируем функционал, заменив изохронную
вариацию вариацией «изопараметрической», т. е, сравнивая зна-
значения обобщенных координат qt и производных q\ в действитель-
действительном движении и в движении по «окольным» путям при одном и
том же значении параметра а.
Итак, обозначая, как обычно, вариации через б, найдем
\ $ 2 [щ^
В силу независимости вариаций б^ мы можем поменять местами
варьирование и дифференцирование по параметру а *):
8*'
Затем, интегрируя по частям, найдем:
о3 I
(dJ d dJ'
Вариации 8qt при о = о1 и о = о2 равны нулю. Опираясь на
лемму Лагранжа, получим систему дифференциальных уравнений
экстремалей в виде системы уравнений второго порядка:
d dJ dJ ,_ , л
d
или, подробнее:
V2(Eo-U) У'
do - ¦ 2
dU
(s==l, 2, ,.., /). D.162)
Двойную сумму 2] 2] мы для краткости обозначили через 2].
? - 1 / — 1 „
*) Мы предполагаем, что вариации 6^ независимы и что производные
v-F^) непрерывны.
§ 48. ПРИНЦИП ЯКОБИ 261
Предположим, что силовое поле отсутствует, т. е. что ?/ = 0.
Тогда, сокращая обе части на общий множитель |^2?0, мы при-
придем к следующей системе дифференциальных уравнений:
= 0 (s=l,2 I). D.163)
В этом случае интеграл D.159) пропорционален длине дуги, эле-
элемент которой равен ds, а решение системы дифференциальных
уравнений D.163) будет описывать геодезические линии в про-
пространстве конфигураций. Следовательно,-если силовое поле отсут-
отсутствует, то механическая система движется так, что траекторией
изображающей точки в пространстве конфигураций будет геоде-
геодезическая линия.
Если силовое поле отсутствует, то кинетическая энергия кон-
консервативной системы постоянна. Следовательно, изображающая
точка в этом случае будет двигаться по геодезической линии
с постоянной скоростью. Величина скорости изображающей точки
находится из интеграла энергии jD.158):
Если функция U не равна нулю (или постоянной), то инте-
интегральные кривые системы дифференциальных уравнений D.162)
мы будем называть обобщенно-геодезическими линиями. При этом
обобщенная метрика (длина элемента дуги) будет определяться
следующей формулой:
V
Допустим теперь, что параметр а есть некоторая функция
времени с непрерывной первой производной. Положим o = /(tf) и
допустим, что ^7>0. Тогда
dqt dqt dt .1 V V л n>n> l V \? л • • 2T
Преобразуем систему D.162), переходя к независимой перемен-
переменной U
1-TJ3*
f V2(EQ-U)
262 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Теперь мы имеем право воспользоваться интегралом энергии и
записать
Затем, сократив на общий не равный нулю множитель f-\ мы
придем к системе уравнений Лагранжа 2-го рода
ddT дт #;
Подчеркнем, что мы перешли к независимой переменной t после
варьирования функционала, когда уже не имеет значения раз-
разница во времени действительного движения и движения по
«окольным» путям*
В заключение применим принцип Якоби в случае движения
свободной материальной точки, предполагая, что силовое поле
консервативно:
р
8$
р
D.164)
Здесь U есть потенциальная энергия точки, Ео — полная механи-
механическая энергия, ds — элемент дуги траектории (ds = vdt). Выра-
Выражение принципа Якоби совпадает с выражением известного инте-
интегрального вариационного принципа Ферма, относящегося к лучевой
оптике и устанавливающего связь между формой лучей и време-
временем распространения света. Форма лучей (траекторий), по которым
распространяется свет в оптически неоднородной среде, должна
быть такой, чтобы время распространения света было наимень-
наименьшим. Поэтому принцип Ферма называют часто принципом ско-
скорейшего прибытия.
Если обозначить через л = п(л;, у, г) показатель преломления
и считать, что скорость распространения света в пустоте равна
единице, то скорость распространения света в среде будет
равна гг1, а дифференциал времени определится формулой dt =¦
ее п dst где ds есть элемент дуги луча. Следовательно, принцип
Ферма может быть записан в таком виде:
р*
6 $ nds = O. D,165)
Pt
Сравнивая выражение принципа Якоби и принципа Ферма, мы
заключаем, что форма лучей света в среде с показателем прелом-
преломления п и форма траекторий свободной материальной точки, дви-
движущейся в силовом поле с потенциалом П = — (/ис полной энер-
энергией, равной Ео, должны совпадать при условии
где к есть размерный постоянный множитель.
§ 18. ПРИНЦИП ЯКОБИ
263
Это есть одно из проявлений оптико-механической аналогии,
развитой Гамильтоном (см. гл. V, § 1).
Проиллюстрируем аналогию на простом примере.
Допустим, что в некотором слое земной атмосферы показатель
преломления изменяется по следующему закону:
D.166)
п = Ы 1 + —
где е есть малое положительное число, г —расстояние от неко-
некоторой точки до центра Земли. Обозначив через р радиус Земли
и через Ар —толщину слоя, в пределах которого справедлива
формула D.166), мы запишем неравенство
D.167)
Используя аналогию между принципом Ферма и принципом
Якоби, найдем форму лучей света в среде с таким показателем
преломления. Положим п,
п
Отсюда
Находим функцию U:
U = E°-§z-W- <4Л68>
Рис. 4Л8.
Мы видим, что потенциальная
энергия точки, определяемая
формулой D.168), имеет такой же вид, как потенциальная энергия
свободной материальной точки в поле тяготения, еали положить
пЫ
Постоянное слагаемое E0 — nl/Bk2) можно во внимание не при-
принимать, так как потенциальная энергия определяется с точностью
до постоянного слагаемого. Следовательно, свет в среде с пока-
показателем преломления п = поA +г/г) будет распространяться по
кривым, совпадающим по форме с траекториями материальной
точки в поле тяготения, т. е. по коническим сечениям (эллипсам,
в частности) с фокусом в центре Земли (см. решение задачи
Кеплера в гл. III). Наблюдатель, находящийся в точке Р2, уви-
увидит скрытый от него предмет Р, в положении Р\ (рис. 4.18).
Таким образом, опираясь на оптико-механическую аналогию, мы
можем объяснить явление миража.
264 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
§ 19. Принцип Гаусса
В 1829 г. Гаусс опубликовал открытый им принцип наимень-
наименьшего принуждения — один из самых общих дифференциальных
вариационных принципов.
Принцип Гаусса охватывает механику систем с идеальными
связями; связи могут быть как голономными, так и неголоном-
ными. Общность принципа Гаусса проявляется еще и в том, что
при выводе уравнений движения этот принцип разрешает исполь-
использовать в качестве переменных так называемые квазикоординаты
(неголономные координаты).
Связи, наложенные на материальную систему, изменяют дви-
движение точек, заставляя (принуждая) их отклоняться от свобод-
свободного движения — от движения под действием тех же активных
сил, но без связей. Принцип Гаусса утверждает, что принужде-
принуждение, оказываемое связями в действительном движении, меньше
принуждения в движении по любому «окольному» пути —в любом
«мыслимом» движении. В качестве меры принуждения Гаусс ввел
сумму произведений масс материальных точек на квадраты от-
отклонений их радиусов-векторов (разностей радиусов-векторов точек
в движении со связями и в свободном движении).
Принцип Гаусса не связан с вычислением интегралов по вре-
времени—это принцип дифференциальный. Истинное движение си-
системы и ее движение по «окольному» пути сравниваются со сво-
свободным движением в каждый момент времени, причем
координаты точек и их скорости во всех сравниваемых движе-
движениях считаются совпадающими. Ускорения точек будут различ-
различными—в свободном движении отсутствуют реакции связей.
Обозначив радиус-вектор точки Ма в свободном движении
через га0, в действительном движении — через га, а в движении
по «окольному пути» —через га, найдем их приращения за время
Д/, полагая, что приращение времени мало и сохраняя члены
второго порядка малости:
Гао (t + At) - Га0 (t) = Гa0 It At +1 Га0 \t (A/J,
ra (t + At) - ra (t) = ra\tAt + ± ra |, (At)\
ra (t + At) - f a (t) = ha \t At + 1 ?a I, (ДО2.
Здесь /*а есть скорость, а ^—ускорение точки Ма в ее движе-
движении по «окольному» пути.
Введем обозначения Дга = га—¦ га0, Дга = га — га0, Ara = fa—.
•—га0, Ara = ra — fa0, Затем, принимая во внимание равенства
Га (t) - Гао @ = Га @, Га (/) = Га0 (/) = Га (О,
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 265
вычислим отклонения в момент времени t + Д/ радиусов-векторов
точек в истинном движении и в движении по «окольному» пути
от их значений в свободном движении. Получим следующие
формулы:
1 D.169)
D.170)
Обозначим принуждение символом Zw (Zwang) и запишем не-
неравенство, выражающее принцип Гаусса:
Zw = J] та (ДгаJ < J] та (ДгаJ D.171)
а=1 а=1
<я —число материальных точек системы).
Для доказательства принципа Гаусса представим принуждение
в виде функции ускорений материальных точек и приложенных
к ним активных сил. С этой целью рассмотрим движение меха-
механической системы относительно инерциального базиса и запишем
в векторной форме уравнение действительного движения точки
Ма — «представительницы» системы:
maaa^Fa + Ra, D.172)
где аа есть абсолютное ускорение точки, та —ее масса, Fa—>
сумма активных сил, /?а —реакция связи. Если движение системы
будет свободным, то в уравнение не войдет реакция связи. Обо-
Обозначая через аао ускорение точки Ма в свободном движении,
запишем
fnaaao = Fa. D.173)
Сумма активных сил Fa имеет одно и то же значение как в дви-
движении со связями, так и в свободном движении. Здесь сущест-
существенно предположение о независимости активных сил
от ускорений.
Принуждение выражено формулой D.171), в которой прира-
приращения радиусов-векторов точек мы можем, при достаточно ма-
малом Д/, заменить приращениями ускорений. Но так как ускоре-
ускорения точек в свободном движении пропорциональны активным
силам, то
Отбрасывая положительный множитель, содержащий (ДО2, пред-
представим принуждение в следующем виде:
D.174)
266 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Принцип Гаусса докажем, опираясь на динамический принцип
виртуальных перемещений и привлекая уравнения связей *).
Предположим, что на систему, состоящую из п материальных
точек, наложено \х голономных связей (дальше мы увидим, что
связи могут быть и неголономные). Определяя положение точек
декартовыми координатами (хх, #2, х3, ..., х3п)9 запишем урав-
уравнения связей:
//(*!, х2> х3, ..., х3п\ 0 = 0 (/=1, 2, ..., \х). D.175)
Дифференцируя дважды обе части каждого уравнения связи по
времени и полагая, что вторые производные от функций // по
всем переменным непрерывны, получим
3/1
Зп Зп An Зп
В «мыслимых» движениях, с которыми сравнивается действи-
действительное движение, координаты и скорости материальных точек
принимают в каждый момент времени такие же значения, как и
в действительном движении, но ускорения отличаются от дейст-
действительных. Поэтому, обозначая через хг проекции ускорения то-
точек в их движении по «окольному» пути, запишем
Зп Зп Зп
||,. = 0. D.177)
I
Заметим, что скорости и ускорения, входящие в уравнения D.176)
и D.177), подчиняются только уравнениям связей, но могут и
не удовлетворять динамическим уравнениям движения **). Обозна-
Обозначив через Mi разность (if —й) и вычитая почленно D.176) из
D.177), получим
Зп
^Дй = 0. D.178)
*) Исходя из динамического принципа виртуальных перемещений, мы,
строго говоря, сможем доказать справедливость принципа Гаусса в пределах
той части механики, которая охватывается принципом виртуальных пере-
перемещений. Но в процессе доказательства и, кроме того, при выводе уравнений
движения мы убедимся в том, что принцип Гаусса отличается большей общ-
общностью.
**) Скорости и ускорения, удовлетворяющие только уравнения1М связей,
обычно называют кинематически *озможнымил
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 267
Мы видим, что приращения вторых производных от коорди-
координат точек по времени удовлетворяют уравнениям того же вида,
как и виртуальные перемещения — изохронные вариации коорди-
координат (см. уравнения D.7)). Следовательно, в выражении динами-
динамического принципа виртуальных перемещений (уравнение D.41))
мы можем заменить изохронные вариации координат величинами
Дх* — приращениями вторых производных от координат по вре-
времени и вместо уравнения
записать
D.179)
Если с действительным движением сравниваются близкие к нему
движения по «окольным» путям, то в уравнении D.179) заменим
Mi через 8xt (8 есть символ малого приращения). Заметим, что
здесь
mi = п%2 = tn^ m4 = гпь = /л6, т7 = т8~тд и т. д.
Сравнивая действительное движение с близкими движениями
по «окольным» путям, запишем уравнение D.179) в векторной
форме:
S ((/"« - тааа) баа) - 0. D.180)
В силу того, что Ы =» 0, 8га = 0, 8va = 0 и, следовательно, 6Fa = 0,
мы можем, изменив знак и отбрасывая множитель 1/2, предста-
представить уравнение D.180) в виде
^)а = 0. D.181)
Равенство нулю первой вариации принуждения означает, что при-
принуждение принимает экстремальное значение, но так как при-
принуждение состоит из суммы положительных слагаемых, то
мы можем утверждать, что действительному движению отвечает
минимум принуждения. Принцип Гаусса доказан *).
•) С изложением принципа Гаусса можно ознакомиться по статье Берт-
Бертрана, перевод которой на русский язык приведен в дополнениях ко второму
тому «Аналитической механики» Лагранжа [17].
Идеи Гаусса были развиты в конце XIX века Герцем, которому принад-
принадлежит истолкование принципа Гаусса как принципа наименьшей кривизны
(наименьшей кривизны траектории изображающей точки).
268 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Для того чтобы пояснить смысл замены вариаций координат
в выражении динамического принципа виртуальных перемещений
вариациями ускорений, обратимся к уравнениям Лагранжа 1-го
рода (см. гл. IV, § 7). Реакции идеальных голономных связей
в уравнениях Лагранжа 1-го рода выражены суммами вида
/Я i
Легко показать, что сумма виртуальных работ реакций равна
нулю. В самом деле, вычисляя сумму виртуальных работ, по-
получим
3/1 Ц д Зл
2
;
(«1 /«1 /=») 1=1
так как
Зл
Следовательно, если мы заменим 8xi через 8xt (или Axt)t то обна-
обнаружим, что сумма «работ» реакций идеальных связей на таких
«перемещениях» также будет равна нулю:
Зл ц ц Зл
Это и дает нам право заменить в выражении динамического прин-
принципа виртуальных перемещений 8х( через 6Jt,-.
Допустим, что среди связей имеются линейные неголономные
связи, уравнения которых имеют вид D.3):
S Ам?1 + Ок^0 (*=1, 2, ..., v).
Уравнения таких связей можно представить в виде равенства
нулю линейных дифференциальных форм:
Зл
Изохронные вариации координат будут связаны уравнениями вида
Зл
21 Ам$ъ = 0 (б/ = 0).
i
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 269
Дифференцируя по времени обе части каждого уравнения
связи, найдем
Зл Зл Зл 5п Ъп
Т5г«<+№<++
l
Уравнения связей, которым подчиняются приращения ускорений,
аналогичные уравнениям D.178), мы запишем теперь в следую-
следующем виде:
2 Ли А*-О,
или
Зл
О (А-1, 2, ...t v).
Покажем, что сумма работ реакций идеальных линейных не-
голономных связей равна нулю. Уравнения Лагранжа 1-го рода
могут быть записаны таким образом:
где щ — множители Лагранжа. Обычным способом вычисляем
сумму виртуальных работ реакций связей и убеждаемся в том,
что она равна нулю:
Зл v v 6п
2 Ьхг 2 щAki = 2 *u 2 Аы bxt« 0.
Следовательно, будет равна нулю и сумма «работ» реакций свя-
связей на «перемещениях» bxt:
что позволяет распространить принцип Гаусса на системы с ли-
линейными неголономными связями.
Проблемы систем с неголономными связями не входят в наш
курс; мы ограничиваемся лишь краткими упоминаниями о неко-
некоторых свойствах этих систем.
Обратимся к выводу уравнений движения в обобщенных ко-
координатах. Допустим, что материальная система имеет / степеней
свободы и введем обобщенные координаты qXf q2, ,.., qu полагая
270 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
Дифференцируя по времени, находим
dt "" dt ^ L dqs qst
II I
^г V ar« Я (А.
Из формулы, определяющей скорость, находим известное соот-
соотношение
Взяв частную производную от ускорения аа по qs$ получим
Отсюда заключаем, что обобщенная сила может быть представ
лена в следующем виде:
«¦-2 ('•$)-2 ('•*)• <
1 1
Вариацию ускорения выразим через вариации вторых производ-
производных от обобщенных координат по времени:
DЛ85)
Здесь мы приняли во внимание, что 6/ = 0, 6^ = 0, 8qs = 0. Вы-
Выражение вариации ускорения подставим в уравнение D.180):
5=1
Изменив порядок суммирования и знак левой части, найдем
*. 2-МЙ
s==i la=l
n
Сумму /¦ ша aa4^ можно представить в виде
2*. 2-МЙ-2 ('•
i ll l
V ^^ tVgug
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 271
Функция
п
S = l У та<& D.186)
2 Ad v '
известна под названием функции Гиббса —Аппеля, или энергии
ускорений. Вторая сумма в фигурных скобках есть обобщенная
сила. Таким образом, исходя из принципа Гаусса, мы приходим
к следующему уравнению:
в котором вариации обобщенных ускорений независимы •). При-
Приравнивая нулю коэффициенты при bqs, мы получим систему урав-
уравнений движения:
щ-^Qs E=1, 2, ..., /)• D.188)
Полученные уравнения известны под названием уравнений
Гиббса —Аппеля. Впервые эти уравнения были опубликованы
в 1878 г. Гиббсом, но в то время не привлекли к себе внимания.
Спустя двадцать лет к уравнениям такого же вида пришел
Аплель, решая задачу о движении неголономной системы.
Уравнения Гиббса — Аппеля отличаются необычайно простой
формой и большой общностью —- они приложимы не только к го-
лономным системам, но и к системам с неголономными связями.
Можно, кроме того, показать, что при выводе уравнений дви-
движения в качестве переменных могут быть использованы и так
называемые квазикоординаты (лучше говорить о квазискоростях,
т. е. о некоторых линейных функциях от qi9 которые не являются
полными производными функций от q и t).
Теория квазикоординат и квазискоростей не входит в наш
курс, однако для более полной характеристики принципа Гаусса
и уравнений Гиббса — Аппеля мы кратко изложим некоторые све-
сведения о квазикоординатах**).
Рассмотрим движение системы с идеальными и голономным»
связями и введем линейную дифференциальную форму обобщен*
ных скоростей с коэффициентами, зависящими от дъ ..., qt и tr
*) Независимость $qs следует из того, что при переходе к обобщенным-
координатам уравнения связей D.178) или аналогичные уравнения неголоном-
ных связей тождественно удовлетворяются.
**) См., например, книгу Гантмахера [9], где применяется термин «псев-
«псевдокоординаты». Квазикоординаты, часто называемые «неголономными коорди-
координатами», в последнее время находят применение в некоторых исследованиях
по теоретической физике.
272 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
обозначая эту форму через щ:
ftf-jjM, (fu-futi, 0). D.189)
Предположим, что
т. е., что система уравнений D.189) разрешима относительно #у.
Функцию щ можно рассматривать как производную по времени
от некоторой переменной я,-, однако сама переменная не может
быть вообще представлена в виде функции от qu ..., qt и t.
Переменная щ называется квазикоординатой, а щ — квазиско-
квазискоростью *).
Разрешая уравнения D.189) относительно qs> получим
4,-И Kihi + hs, D.190)
где fty/, ft^ —функции от ?i» •••»?/ и *• Изохронные вариации
переменных G и я связаны следующими формулами:
в^, = 2 his Ьщ (Ы = 0). D.192)
Найдем обобщенные силы, вычисляя виртуальную работу актив-
активных сил:
Аь = 2 Qs 8qs == 2 2 QA* «я, = 2 П, fin,,
где
n, = 2 л*& =22л- (fe/:<a)" D-193)
s=l s = l a=l
Через П/ здесь обозначена обобщенная сила, соответствующая
квазикоординате щ.
Выразим скорости и ускорения точек через квазискорости и
квазиускорения:
z
Л«^Л'-+ 2 %ь+ж=2 -^+•-
l i\
*) щ не существует как функция обобщенных координат и времени.
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 273
Отсюда
Следовательно,
п
2 m«(a«J==S^ *• й; 0. D.194)
Обе части каждого уравнения D.188) умножим на hsi и про-
просуммируем по s:
s = l s=»l
Исходя из равенств
находим
'w — -. • — «•• •
^jx,- дщ
Следовательно
Уравнения Гиббса —Аппеля, записанные в квазикоординатах,
будут иметь такой же вид, как и в обычных обобщенных коор-
координатах:
Ц. = П(, D.195)
Однако теперь уравнения Гиббса — Аппеля нужно рассматривать
совместно с уравнениями
Л*=2 М„ D.189)
s = l
которые являются как бы уравнениями неголономных связей.
Система уравнений будет состоять из 2/ уравнений; число неиз-
неизвестных функций также равно 2/ —это функции qs и щ.
Квазискорости удобно применять при исследовании движения
систем с неголономными связями.
Заметим, что с некоторыми квазискоростями мы уже встреча-
встречались при изучении уравнений Лагранжа второго рода: при неко-
некоторых условиях квазискоростями являются обобщенные импульсы,
274 ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
определяемые формулой
где L есть функция Лагранжа. Если функция Лагранжа имеет
вид
/ i
1=1 /a
2 в&
то обобщенный импульс есть линейная функция от обобщенных
скоростей:
Pi = %Ais4s + Bh D.196)
s = l
где Ais и Bi могут зависеть от? и t. Очевидно, что если Ais
и Bi переменные, то правая часть формулы D.196) далеко не
всегда будет полной производной по времени от какой-либо функ-
функции обобщенных координат и времени. Это значит, что обобщен-
обобщенные импульсы pi мы можем рассматривать как некоторые квази-
квазискорости. Выражая векторы va через pit а ускорения аа через pi9
мы увидим, что функция Гиббса — Аппеля будет квадратичной
функцией от pi.
Запишем уравнения Гиббса —Аппеля, принимая за перемен-
переменные обобщенные импульсы. Для этого разрешим систему уравне-
уравнений D.196) относительно qs (в §9 доказано, что для классических
систем detMi/jly-i^O). Находим
2
где Hsi — известные функции q и t (здесь выписаны только члены,
содержащие pi). Затем, дифференцируя по времени обобщенные
скорости, получим
h=i]HSifii + ... D.197)
(отброшены члены, не содержащие /)).
Составим теперь комбинацию уравнений системы D.188), умно-
умножая каждое из них на Hsi и суммируя по s:
Далее, исходя из того, что
2?-2? = #-. DЛ98>
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 275
и, следовательно,
ds d$s ds
запишем систему уравнений Гиббса — Аппеля в следующем виде:
Ц = Р< (f-1, 2, ..., /). D.199)
Здесь Pi = 2 QsHsi есть обобщенная сила. Систему уравнений
s = l
D.199) нужно рассматривать совместно с системой D.196); неиз-
неизвестными функциями здесь являются обобщенные координаты qs
и обобщенные импульсы ph Применение квазискоростей pt осо-
особенно удобно в тех случаях, когда имеются циклические коор-
координаты, — когда функция S не зависит от некоторых обобщенных
координат, а соответствующие обобщенные силы равны нулю (см.
пример в конце параграфа).
Уравнения Гиббса — Аппеля, несмотря на целый ряд досто-
достоинств, сравнительно мало изучены и довольно редко применяются
для решения задач. Можно указать, например, на книгу Парса
[21], где, кроме основных сведений об уравнениях Гиббса —Аппе-
—Аппеля, рассмотрено применение этих уравнений к решению ряда
задач.
Выведем формулу, аналогичную формуле Кёнига для кинети-
кинетической энергии. Исходя из равенства га = гс + Га, где гс есть
радиус-вектор центра масс, а г'а — относительный радиус-вектор
точки Ма1 мы найдем
dP ~~ dt* + dP •
или
Подставив в формулу D.186), получим
п
S - { МаЬ + \ 2 т
так как
I п \
«С Ц ГПааа) = 0.
\ /
Здесь а« есть ускорение точки Ма относительно осей Кёнига.
Заметим еще, что, исходя из принципа Гаусса, можно выво-
выводить уравнения движения свободных систем. Для свободной си-
системы принуждение равно нулю: в уравнении D.180) обращаются
276
ГЛ. IV. МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
в нуль все разности (Fa — maaa). Это означает, что кинемати-
кинематически возможны любые вариации ускорений.
Приведем в виде иллюстрации два примера.
1. Свободная материальная точка М с массой т движется
в плоскости под действием центральной силы F. Начало коорди-
координат расположим в центре силы и примем в качестве переменных
полярный радиус г и секторную площадь а. Из кинематики точки
мы знаем, что
где г и ф —полярные координаты точки. Секторная скорость
определяется формулой
do 1
Рис. 4.U.
dt ~~ 2 r
Отсюда
2 da
dt
Находим квадрат ускорения
Функция Гиббса — Аппеля будет
равна
-
(здесь отброшено слагаемое 8mf~j J. Обобщенные силы находим
б
обычным способом:
Уравнения движения получим, дифференцируя S по ? и по а;
Из второго уравнения находим 6 = const. Возвращаясь в первом
уравнении к полярному углу, получим известное уравнение дви-
движения точки в полярных координатах.
2. Материальная точка, масса которой равна т, может дви-
двигаться под действием силы тяжести без трения относительно вра-
вращающейся плоскости. Плоскость равномерно вращается вокруг
вертикальной оси с угловой скоростью со. Введем две системы
координат: неподвижную хуг и подвижную ??, жестко свя-
связанную с вращающейся плоскостью (рис. 4.19). Положим 9i = L
§ 19. ПРИНЦИП ГАУССА 27Г
<72 = ? и составим уравнения Гиббса —Аппеля. Выразим декар-
декартовы координаты точки в неподвижной системе через ?¦ и ?:
х = g cos (со/), y = |sin((o/), z = ?.
Дважды дифференцируя по времени, получим
*• = | cos (со/) — 2(о| sin (со/) — (o2i cos (ю/)»
у = | sin (о/) + 2(о| cos (©/) — (o2i sin (ш/),
Отбрасывая члены, в которые не входят вторые производные^
составим выражение функции S:
Далее находим обобщенные силы и частные производные от функ-
функции S по | и ?:
Сокращая на множитель m, запишем уравнения Гиббса —Аппеляг
ГЛАВА V
МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
§ 1. Оптико-механическая аналогия Гамильтона
В своих знаменитых работах 1824—1828 гг., представленных
Ирландской Академии наук, Гамильтон, решая проблему оптики
о распространении света в оптически неоднородных и неизотроп-
неизотропных средах, пришел к уравнениям, впоследствии получившим
название уравнений Гамильтона, или, по предложению Якоби,
канонических уравнений. Удивительна судьба этих уравнений.
Сам Гамильтон показал, что канонические уравнения могут быть
с успехом использованы и в аналитической механике. Позже
уравнения Гамильтона были применены в электронной оптике
для описания движения заряженных частиц в электромагнитных
полях. Развитие квантовой механики привело к созданию урав-
уравнений, совпадающих по форме с классическими уравнениями Га-
мпльтона (Гайзенберг). Уравнения Гамильтона используются
в различных областях механики и математики: в небесной меха-
механике, в теории управления, в теории устойчивости движения,
в теории нелинейных колебаний и т. д.
В своих исследованиях по оптике Гамильтон установил тес-
тесную связь между интегралами системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений и решением двух уравнений в частных
производных первого порядка. Эта идея Гамильтона была развита
Якоби, который, обратив ход рассуждений Гамильтона, показал,
что если известно решение (полный интеграл) одного уравне-
уравнения в частных производных, то интегралы системы канонических
уравнений можно получить дифференцированием известного пол-
полного интеграла по координатам и постоянным. Так возник метод
Гамильтона — Якоби, который мы подробно рассмотрим в § 10
настоящей главы.
Кратко изложим основы оптико-механической аналогии Га-
Гамильтона и рассмотрим нестрогий вывод канонических уравнений
в оптике. Будем исходить из принципа Гюйгенса A690 г.), ко-
который заключается в следующем.
Волновой фронт, или геометрическое место возмущений в опти-
оптической среде, представляет собой в момент времени t некоторую
поверхность 2. Каждая точка этой поверхности является источ-
источником возбуждения элементарных волн а (рис. 5.1).
Геометрическое место возмущений в момент времени F, по
принципу Гюйгенса, будет поверхностью 2', огибающей все эле-
§ 1. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
279
ментарные волны, исходящие из первоначального фронта. Если
среда оптически изотропна, то световой луч ортогонален к вол-
волновому фронту.
С точки зрения математики переход поверхности 2 в поверх-
поверхность 2' есть некоторое преобразование, причем преобразование-
контактное, или касательное (С. Ли), т. е.
сохраняющее свойство прикосновения по-
поверхностей.
Точка А' поверхности 2' называется
соответствующей точке А поверхности 2,
если волна, выходящая в момент времени t
из точки А(хъ х2, #з), касается поверхно-
поверхности 2' в момент /' в точке А'(х'и х'ъ х'г).
И если две поверхности касаются в какой-
либо точке, то в соответствующей точке
будут касаться и преобразованные поверх-
поверхности.
В изотропной среде время распростра-
распространения света из произвольной точки А
в соответствующую точку А' есть функция лишь шести коорди-
координат этих точек *):
f — г = У(хъ *2, х3; х'и х'ъ 4). E.1)
Обозначим через аь а2, аз направляющие косинусы нормали
к поверхности V = const. Тогда
Рис. 5.1.
где бд:,-— проекции смещения в касательной плоскости. Кроме-
0V
того, в силу пропорциональности а,- и ^ мы можем записать
равенства
ду ау ау
Аналогично, в точках поверхности 2',
a
Световой луч, выходящий в момент времени t из точки А в на-
направлении v(ab a2, a3), в момент V проходит через точку А'
в направлении vf (aj, a^, <x'z). Следовательно, если известна функ-
*) Гамильтон рассматривал и аеизо грешные—кристаллические — среды_
280 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
ция V — характеристическая функция Гамильтона, то мы можем
описать поведение лучей в изотропной среде.
Из E.2) и E.3) получаем
3 3
dK=df-d* = A/j[] aJdJcf + A.2 щйхи E.4)
где dxi — проекции смещения вдоль луча.
Обозначим через п показатель преломления среды. Тогда ско-
скорость света в некоторой точке будет равна cjny где с есть ско-
скорость света в пустоте. В дальнейшем все величины отнесем к ско-
скорости света *). Время, в течение которого свет пройдет расстоя-
расстояние dS, будет, очевидно, равно
Следовательно, дифференциал характеристической функции будет
равен
3 3
Сравнивая с E.4), найдем, что
Положим
Тогда
3 3
Величины li и Ц были названы Гамильтоном компонентами нор-
нормальной медлительности**) распространения волн в точках А
и Л'.
Обратимся теперь к бесконечно малому преобразованию по-
поверхностей, полагая, что разность t' — t есть малая величина,
которую мы обозначим через А?. С точностью до малых первого
порядка получим
J? ' E-6>
*) С формальной точки зрения это означает, что в уравнениях мы поло-
положим с=1 (единица, разумеется, имеет размерность скорости).
**) Дальше мы увидим, что место величин |,- в соответствующих уравне^
яиях механики займут обобщенные импульсы.
§ 1. ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 28*
Кроме того, введем функцию W> которую можно истолковать
как «безразмерное время», положив dV ~dW kt. Таким образом*
отбрасывая член, содержащий (А/J» мы найдем
aw д*= 2 (^+wAi){dx'+d(w)^}- 2
Отсюда
Меняя знак и прибавляя в левой и правой частях дифференциал
суммы
d S
придем к выражению вида
з
= 1
Будем считать, что все производные dxt/dt выражены через хи х2г
хв и через компоненты нормальной медлительности ?ь |2» 1з»
Введем функцию Гамильтона Н (хъ хъ х3\ 1ъ 1г» Ы» полагая
~l-W = H. E.8)
Если обе части E.8) выражены через одни и те же переменные,
то, подставив Н в левую часть E.7) и сравнивая коэффициенты
при одинаковых дифференциалах, найдем
<h4-dJL *i _ _М /* о\
dt ~~ д&9 dt ~~ dxi' \°'J)
Таким образом, аналитическое описание бесконечно малого
преобразования волнового фронта приводит к системе обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений E.9), в которой неизвестными
функциями являются координаты точки волновой поверхности и
компоненты нормальной медлительности. Система E.9) есть система
канонических уравнений, в которой правые части получены частным
дифференцированием по x-t и 5,- функции Гамильтона И *).
*) О возникновении теории Гамильтона можно прочесть в следующих кни-
книгах: [14], [23J, [33].
282 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Некоторая нестрогость приведенного выше вывода системы
уравнений E.9) будет устранена при полном выводе канонических
уравнений механики.
Исследования Гамильтона в области оптико-механической ана-
аналогии продолжил Н. Г. Четаев. В работе «Об оптико-механической
аналогии» Н. Г. Четаев рассматривал вопросы развития аналогии
динамики с после-гюйгенсовыми теориями света, опираясь на
методы теории групп [36].
В этой работе им было высказано глубокое суждение о том,
что «выражение аналогии состоит в совпадении группы преобразо-
преобразований одного явления с группой преобразований другого явления».
§ 2. Теорема Донкина. Уравнения Гамильтона
Будем рассматривать голономную систему с / степенями сво-
свободы, движущуюся под действием потенциальных сил. В главе IV
?ыло показано, что движение таких систем можно описать систе-
системой уравнений Лагранжа 2-го рода:
шщ-.-ъ-0 (s==1'2 ° D>83)
где неизвестными функциями времени являются обобщенные коор-
координаты, L — известная функция переменных qf q и времени / —
функция Лагранжа *).
От системы / уравнений второго порядка D.83) мы можем
перейти к системе 2/ уравнений первого порядка, если введем
^формально) новые неизвестные функции i\s = qs. Система урав-
уравнений будет иметь вид
dqs d dL dL /tT 1/Лч
¦ff-1^ dtd^^bTs' EЛ0)
Формальный переход от системы D.83) к системе E.10) связан
с переходом от /-мерного конфигурационного пространства к 2/-мер-
ному пространству состояний, в котором координатами изобра-
изображающей точки будут величины q и т). В некоторых случаях удобно
вводить расширенное пространство состояний, взяв время t в виде
дополнительной координаты.
От переменных Лагранжа q и if (или г\) перейдем к перемен-
переменным Гамильтона — каноническим переменным.
Каноническими переменными будем называть совокупность
обобщенных координат q, обобщенных импульсов р и времени tf
причем пары переменных qs и р9 с одинаковыми индексами будем
*) Условимся иногда не писать индексы, если подразумеваются все
.переменные.
$ 2. ТЕОРЕМА ДОНКИНА. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 28$
называть канонически сопряженными *). Обобщенные импульсы
определяются соотношениями
Соотношения E.11), если рассматривать их как уравнения
относительно qS9 как формулы обратимого преобразования пере-
переменных, должны удовлетворять условию разрешимости, т. е.
определитель Гессе
должен быть отличным от нуля. Это условие разрешимости всегда
выполняется для классических систем, так как классическая
функция Лагранжа имеет вид
и9 D.84)
а следовательно, обобщенный импульс будет линейной функцией
обобщенных скоростей (вообще неоднородной):
_ E.13).
Таким образом,
Ап Л12 ... Аи
А п Л/2 ... Ац
в силу того, что Г2 есть знакоопределенная положительная функ-
функция q (гл. IV, § 9). Поэтому из уравнений E.11) всегда можно-
найти ф:
Ръ • • •» Ph 0- E.14)*
Условимся для краткости обозначать qi9 выраженные по фор-
формулам E.14) через канонические переменные, символом ф. Функ-
Функцию Лагранжа и другие функции, в которых все qt заменены по,
формулам E.14), будем отмечать тем же символом:
Переменные q и q описывают состояние движения неко-
некоторой системы; точка, изображающая движение системы, движется-
в пространстве состояний. Но состояние движения мы можем
описывать и при помощи канонических переменных q и р, Уело-
*) Как мы увидим дальше, переменной, канонически сопряженной со-
временем t, будет обобщенная энергия, ьзятая с обратным знаком и выражен-
выраженная в канонических переменных.
284 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
вимся пространство состояний, в котором координатами изобра-
изображающей точки будут q и р, называть фазовым (фаза —стадия,
состояние). Число измерений этих пространств одинаково — оно
равно удвоенному числу степеней свободы системы.
Система E.10) при переходе к каноническим переменным при-
примет вид
(бл5)
Чтобы записать выражения (¦=— ], нужно продифференцировать
функцию Лагракжа по qs% а затем в полученную* производную
подставить E.14). Значит, (-г-) — это частные производные, вычис-
\ocls}
ленные по явно входящим в функцию Лагранжа координатам, т. е.
Система E.15) есть система дифференциальных уравнений
первого порядка в канонических переменных, но сама она еще
не является канонической. Для придания системе E.15) канони-
канонического вида нужно преобразовать правые части уравнений.
С этой целью воспользуемся теоремой Донкина *).
Пусть X есть некоторая функция переменных хъ ..., хп и пара-
параметров аъ ..., ат (может быть тфп), имеющая непрерывные
частные производные второго порядка по всем аргументам. Тео-
Теорема Донкина утверждает, что если с помощью формул
»-i <5Л6>
совершается переход от переменных х к переменным t/, то
1) формулы обратного преобразования, выражающие х через у
и а, будут иметь вид
где функция Y(уи ..., у„; аъ ..., ат) определяется формулой
Y=?xsys-X E.18)
S= 1
(символом xs мы обозначили xs% выраженные через у и а; анало-
аналогично,
Х = Х(хъ ..., хп\ аь ..., ат))\
*) Теорема Донкина позволяет в удобной форме совершить преобразование
Лежащира.
§ 2. ТЕОРЕМА ДОНКИНА, УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА 285
2) частные производные по параметрам а от функций Y и
X связаны соотношениями
(дХ\_(дХ\ dY ,- 1Q.
Доказательство заключается в дифференцировании неявных
функций. Дифференцируем обе части E.18), выраженные через у
и а, сначала по yt:
dY - , vi dis X dXsdxs
Так как, очевидно,
|?™&' E'20>
мы получим
Для проверки соотношения E.19) дифференцируем обе части
E.18) по af:
п ^ п ^ _
да/ "" Ad^ Уз да, ^ fXs да, [&*/)#
В силу E.20) обе суммы взаимно сокращаются. Что касается
последнего члена, то это есть производная от функции X по
явно входящему параметру ah выраженная затем через у:
(дХ\ (дХ\
\да,1
Следовательно,
\ = _ (дХ\
,) \д)
да,~~ \да,) \да,)х-+х'
Теорема Донкина доказана. Уравнения E.16) должны быть
разрешимы относительно х. Поэтому должно выполняться условие
.разрешимости:
Вернемся к выводу уравнений Гамильтона и преобразуем пра-
правые части уравнений в системе E.15). Сопоставим переменные х
с обобщенными скоростями q, у с обобщенными импульсами р
(теперь я = /, где / есть число степеней свободы системы). Один
из параметров а будет соответствовать времени t, остальные I
параметров — обобщенным координатам q (m = /+l). Что касается
«функций X и У\ то функция X будет соответствовать функции
286 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Лагранжа L (qf q\ t)f а функция Y —функции Гамильтона Н (q, p\ /)»
определяемой по формуле
W- 23 Ър.-1. E.21)
Тогда по теореме Донкина правые части уравнений системы
E.15) будут равны
1 = ~. E.22)
Системы уравнений E.15) мы можем теперь записать в виде
канонической*) системы уравнений:
W~" dps* dt ~~ ~~ dq; @'zq'
Функция Гамильтона Н (q, p\ t) есть функция канонических
переменных, имеющая простой смысл **). Обратимся к формуле
D.93). В эту формулу входит обобщенная энергия
«•-2,*$-'-
Сравнивая функции Е* (q, q\ t) и Н (q, p\ t)y убеждаемся в том,
что Н представляет собой обобщенную энергию, выраженную
в канонических переменных.
Для классических систем
и функция Гамильтона будет иметь вид
H = T2-T0 + U. E.25)
Если, кроме того, формулы, с помощью которых вводятся
обобщенные координаты, не содержат явно времени, то
E.26)
т. е. функция Гамильтона для таких систем есть полная механи-
механическая энергия, выраженная в канонических переменных. Символы
Т2, f означают, что все q выражены по формулам E.14).
При частном дифференцировании по любой канонической пере-
переменной все остальные надо считать постоянными.
*) «Каноническая» система —в некотором смысле образцовая.
**) В квантовой механике на основе функции Гамильтона строится опера*
тор, называемый гамильтонианом. Часто гамильтонианом называют и саму
функцию Гамильтона.
§ 3. СКОБКИ ПУАССОНА. КОММУТАТОР
§ 3. Скобки Пуассона. Коммутатор
287
Рассмотрим произвольные дважды дифференцируемые функции
канонических переменных
и(<7ъ •••! <7/» Pi» •••» Р*> Ot v(Яъ »••» ?/» Pi» ••»» Р/> О»
w(q\, ...,<?/¦ Рь ...» Р*"» О-
Дифференцируя а и v по переменным 9 и Р» составим суммы
определителей вида
dw du t
l)qi dpi V^ / du dv du dv \
dv dv La \dqi dpt dpt dqj*
dqi dpi ' "*"
Суммы определителей будем кратко обозначать символом \ut v}
и называть скобками Пуассона:
{«.«*-2
du du
Wi Wi
dv dv
E.27)
dqt dpi
Отметим некоторые очевидные свойства скобок Пуассона:
2)
3)
4)
5)
и, и)&вО\
и, о} = — {t», «};
и, с} =
си, у} =
u + v),
{ы, v} (с —постоянная);
} { } {v, w\\
{}{}
Запишем, кроме того, тождество Пуассона — Якоби
{{и, v\ w\ + {{v9 w] и) + {{w, и] v} в» 0,
E.28)
которое мы докажем.
Введем понятие дифференциальных операторов первого порядка,
действующих на некоторую функцию f(xu ..., хп):
где Xh Yi~известные функции переменных х. Образуем так
называемый коммутатор
или
Zf~X(Yf)-Y(Xf)%
Zf**(XY-YX)f.
288 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Нетрудно проверить, что Z/ будет также линейным оператором,
т. е. что все члены, содержащие вторые производные от функции /,
взаимно сократятся. В самом деле,
Следовательно,
Скобку Пуассона {и, v} можно рассматривать как дифферен-
дифференциальный оператор первого порядка, действующий на функцию и,
ди ди ,
если считать частные производные ^— и ^— заданными функциями
канонических переменных.
Таким образом, мы запишем
{и, v}=Uv.
Обратимся к доказательству тождества Пуассона —Якоби.
Сумму двойных скобок
{{v, w}u} + {{w, u}v}
можно записать в виде
{v {и, w}} — {и [v, w}}.
Очевидно, это есть коммутатор
(VU-UV)w>
представляющий собой дифференциальный оператор первого по-
порядка, действующий на функцию w. Следовательно, левая часть
тождества Пуассона E.28) не содержит вторых производных от
функции w. Подобным же способом можно обнаружить, что в E.28)
не входят вторые производные от и и v.
Рассмотрим теперь первую скобку Пуассона в левой части
E.28):
it 11 V4 Г д г л dw д ( 1 d
{{и, *}*}-2[aft{«. ^-фтК "}
I I
2^1 Г д I ди ди ди dv \ dw д f ди dv ди dv \ dwl
i / 1
§ 3. СКОБКИ ПУАССОНА. КОММУТАТОР 289
Меняя порядок суммирования и дифференцирования, найдем, что
1 Г 1
ди д VI I dv dw dv dw
i i
du d vi / dv dw dv dw \ . dv d Vl / da dw du dw\
~d}d]Z [djd~ ~~ Wi Wil ^WjWj Zd [dgi Wi "~ Wi Wil ~~
dp}dq]Zi [dqjdp~i ~~ Wi Wil WjWj
dv_ _^_ V4 ldu_ dw_ __ du_ dw\
dq/dpjZd [dqidpt dfi Wi) Г
Следовательно, {{и, v} w} = (UV — VU) w. Подставляя найденные
выражения в E.28), приходим к доказательству тождества Пуас-
Пуассона — Якоби:
{{и, v} w) + {{v, w} и} + {{w, и} v) = (UV - VU) w + (VU -UV)w = 0.
Скобки Пуассона позволяют записать канонические уравнения
в симметричной форме. Для этого выберем функции канонических
переменных и и v следующим способом:
и=*Ч*> v = H(q, p; /).
Тогда, принимая во внимание равенства
^" я""|0, s Ф i. ^ ~~
и вычисляя скобку Пуассона, найдем
{qs, Я} = Ц. E.29)
Если теперь положить
« = Р*, v — H(q, p\ 0»
то в силу того, что
0,
получим
{Ps, Я} = -^. E.30)
Используя E.29) и E.30), мы запишем уравнения Гамильтона
E.24) в симметричной форме:
ty~\i.. Щ. ^~{Л. Я}. E.31)
Такая запись канонических уравнений (аналога классических
уравнений) применяется, в частности, в квантовой механике.
1Q В. В. Петкевич
290 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Отметим еще, что если даны п функций канонических пере-
переменных щ(д, р; t) таких, что скобка Пуассона от любой пары
из этих функций равна нулю, то говорят, что система функций
находится в инволюции *).
§ 4. Интегралы уравнений Гамильтона. Теорема Пуассона
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого
порядка, приведенную к нормальному виду, — систему уравнений,
разрешенных относительно производных:
$-Х,<*. 0 (*-1. 2, •••, п)9 E.32)
где ** —неизвестные функции времени, а X/ —заданные функции
от хъ ..., хп и времени ***).
Первым интегралом системы E,32) называется функция /(jc, t),
обращающаяся в постоянную в силу рассматриваемой системы
уравнений:
/(*, 0-с. E.33)
Иногда первым интегралом называют само соотношение E.33),
Для приложений гораздо удобнее другое определение первого
интеграла, которое по существу эквивалентно приведенному выше.
Именно, первым интегралом системы дифференциальных уравнений
E.32) называется функция f(x$ t), полная производная которой
по времени равна нулю в силу данной системы дифференциальных
уравнений:
Из теории дифференциальных уравнений известно, что E.34) есть
необходимое и достаточное условие существования первого инте-
интеграла системы дифференциальных уравнений E.32)***). Поэтому
на E.34) мы можем смотреть как на линейное уравнение в частных
производных первого порядка, п независимых решений которого
представляют собой совокупность независимых первых интегралов
системы E.32). Обозначим какой-нибудь из этих интегралов через
//(*, 0. E.35)
*) Инволюция—-соответствие между элементами некоторого множества,
сохраняющееся при каких-либо повторных преобразованиях этих элементов
(см § 7—-канонические преобразования).
**, Если в правые части дифференциальных уравнений системы E.32)
время t явно не входит, то такие системы часто называют автономными.
***) См. любой курс дифференциальных уравнений.
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА
291
Условие независимости (функциональной независимости), как
известно из математического анализа, записывается в виде нера-
неравенства нулю определителя Якоби:
дхг дхх '" дхх
дхп дхп '"
'д(хх
E.36)
Если выполняется условие E.36), то это означает, что между
функциями // (х, t) не существуют зависимости вида
справедливые при любых значениях переменных хи ...t хп, t.
Предположим, что интегралы /(*, t) известны и независимы
в указанном смысле. Тогда систему конечных уравнений
/,(*, *)«?/ (/-1, ..., п) E.37)
мы сможем разрешить относительно xs и, таким образом, получим
общее решение системы дифференциальных уравнений E.32) *),
Это решение будет иметь вид
Xi =» ф; (/, Ci, . •., сп). E.38)
Обратимся к системе канонических уравнений Гамильтона
dqs дН dps дН
U 2, ,..f О-
E.24)
Обозначим через f(qf p\ t) первый интеграл системы E.24). Оче-
Очевидно, что теперь уравнение E.34) в частных производных первого
порядка будет иметь вид
df , ^П / df дН df дН \ л
ИЛИ
E.39)
где {/, Н} есть скобка Пуассона. Любое решение уравнения
в частных производных первого порядка E.39) есть первый инте-
интеграл системы уравнений Гамильтона E.24), и, наоборот, если нам
известен какой-либо интеграл, то, подставив его производные
в левую часть E.39), мы получим тождество. Следовательно, E.39)
*) Предполагаем» что все функции, с которыми мы здесь встречаемся,
имеют нужные производные по всем переменным.
10*
292 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
выражает необходимое и достаточное условие того, что функция
/Ч?э р\ t) есть первый интеграл канонической системы дифферен-
дифференциальных уравнений E.24).
Рассмотрим некоторые простые примеры.
Пусть функция Гамильтона некоторой системы явно не зависит
от времени, т. е.
// = #(<?, р) и Щ = 0.
Но
{Я, Я}-0,
следовательно, функция Гамильтона сама будет интегралом
системы Eв.24) *) — это будет обобщенный интеграл энергии, выра-
выраженный в канонических переменных:
#= 2 Ps4s-L=* const. E.40)
Очевидно и наоборот, если функция Гамильтона представляет
собой интеграл канонической системы дифференциальных урав-
нений, то -^=0.
Найдем условие, при котором первый интеграл будет иметь вид
Так как -J^ = 0, то должно быть
{ph //НО, или ^ = 0.
Следовательно, обобщенный импульс pf будет сохраняться во все
время движения системы, если qj есть циклическая координата
[в силу теоремы Донкина ^- = — (g-j). Заметим, что это следует
сразу и из уравнения -^ = — ^-.
В некоторых случаях, зная два независимых интеграла кано-
канонической системы дифференциальных уравнений, мы сможем найти
третий интеграл, огличный от известных.
Докажем теорему Пуассона.
Пусть функции канонических переменных
р\ t) и г|)(9, р; 0
*) Заметим, что из равенства нулю скобки Пуассона {Я, Н) следует,
dti дН
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА 293
представляют собой независимые интегралы системы уравнений
Гамильтона E.24). Тогда скобка Пуассона от ф и г|) будет
постоянной.
Образуем скобку Пуассона
ХН<Р. М E.41)
и, применяя E.39), докажем, что полная производная по времени
от функции х(<7, р\ t) обращается в нуль в силу системы E.24).
Запишем
J+fo. "}=4{<Р. *Ж{Ф. Ч>№ F-42)
Используя свойства скобок Пуассона и тождество E.28), преобра-
преобразуем правую часть E.42):
По условию функции ф и -ф — интегралы системы E.24), сле-
следовательно,
| + {ф, WHO и *? + ft, Я}=0. E.44)
Подставим E.43) и E.44) в E.42). Тогда
Таким образом,
и теорема Пуассона доказана.
Теорема Пуассона далеко не всегда позволяет получить новый
инаеграл. В частности, если функции <р и -ф находятся в инво-
инволюции, то
Х = {ф, ^} = в. E.45)
В подобных случаях функция х будет сохранять в силу уравне-
уравнений определенное численное значение и равенство E.45) мы
отнесем к категории так называемых инвариантных соотношений.
Может оказаться, что функция % = {фэ -ф} связана с функ-
функциями ф и ф уравнением вида
Ф(Ф, ¦• Х)=*О, E.46)
т. е. что между тремя функциями, ф, г|з и х» имеется зависимость
при любых значениях канонических переменных. В этом случае
мы также не получим новый интеграл.
294 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Если консервативная система имеет интеграл, не зависящий
явно от времени, <р(?, р) = с, то, так как ^ = 0 и -^- = 0, новый
интеграл мы не получим в силу того, что
Если же при -дт = 0 мы найдем интеграл, зависящий от времени,
ф(<7> Р» f) = c, то п0 теореме Пуассона получим новый интеграл
х = {ф, Щ—g.
Рассмотрим в качестве примера пространственную задачу
Кеплера (см. задачу Кеплера в § 7 гл. III). Силовой центр будем
считать достаточно массивным и, следовательно, неподвижным.
За обобщенные координаты примем прямоугольные декартовы
координаты хъ хъ хд (разумеется, в задаче Кеплера это не лучший
выбор координат).
Кинетическая энергия будет иметь вид
Потенциальная энергия материальной точки в поле тяготения
будет равна
где г = 1 / 2j x* » V — постоянная *).
Находим обобщенные импульсы
дТ
Функция Гамильтона будет равна полной механической энергии,
выраженной в канонических переменных:
>* — - E.47)
Полагая т=1, запишем систему канонических уравнений:
dxi dpi yxi .- ЛОъ
•) бее последующие рассуждения в равной мере относятся и к задаче
р движении заряда в кулоновском поле (только в случае отталкивающих сил
нужно изменить знак у множителя у).
§ 4. ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ГАМИЛЬТОНА 295
Уравнение E.39) примет следующий вид:
где f(xx, #2, х3\ ръ р2» Рз» 0 есть некоторый интеграл системы
E.48). Так как здесь -^=0, то одним из интегралов будет
интеграл энергии
Нетрудно, кроме того, проверить, что независящими от времени
решениями уравнения E.49) будут проекции на декартовы оси
момента импульса и вектора Лапласа (см. § 7 гл. III):
E.50)
Bf E.51)
где t, /, k принимают значения 1, 2, 3 или получающиеся из них
круговой перестановкой.
Таким образом, кроме интеграла энергии мы имеем еще шесть
интегралов, причем ни один из этих семи интегралов не содержит
явно времени. Рассматривая задачу Кеплера, мы нашли между
семью интегралами две зависимости, тем самым показав, что число
независимых интегралов, не содержащих времени, не больше
пяти. Теперь мы рассмотрим якобиан
dffi» /2* /з. h> h> Ы)
д(хъ «2, х3, ръ /?2, р3)
и докажем, что ранг матрицы, составленной из элементов этого
якобиана, равен четырем (мы не включаем сюда интеграл энергии).
Вычисляем минор четвертого порядка:
/a, /i» /4)
d(xv x
и
2> *3» Pi)
0
— P{J
Pa
Рз
0
—Pi
(—PiPa +
Мы видим, что так как fx не равняется тождественно нулю,
то действительно ранг матрицы Якоби не ниже четырех, т. е.
296 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
что среди шести интегралов /ь /2, ..., /в мы можем выбрать четыре
независимых. То, что ранг матрицы не выше четырех, следует
из того, что независимых интегралов, кроме /У = const, может
быть только четыре.
Отметим еще, что рассматриваемый случай дает хороший пример
применения 1еоремы Пуассона. Покажем, что, выбрав из шести
интегралов три:
h — *Ф* - ЧРъ
/2
/в
мы, используя теорему Пуассона, можем получить все интегралы.
Найдем прежде всего интеграл /8:
Далее,
\fu /в} - -
Аналогично,
{/а, /в} - *i (pi + Рз) - Pi
Часть скобок Пуассона обращается в нуль. Например,
Обращаются в нуль и все скобки Пуассона вида \fh Я}, как
это следует из общей теории.
Составим теперь скобку Пуассона из интегралов Лапласа,
например {/5, /в}. Опуская простые, но несколько громоздкие
выкладки, найдем
Следовательно,
if f i швт of и
t/5» /в)в — Ч\Пш
Как мы видим, скобка Пуассона от двух интегралов Лапласа
равна произведению двух других интегралов на постоянный мно-
множитель, т. е. интегралу, отличному от интегралов Лапласа.
И заключение укажем на интересный пример, приведенный
б книге Уиттекера [33].
Система уравнений
м^А* (tft P' 0.
fib-fi •< 6-1 / E#53>
$ 5. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА (ВТОРАЯ ФОРМА) 297
обладает тем свойством, что скобка Пуассона {ср, г|э}, образован-
образованная из двух любых (независимых) интегралов <р и г|), является
также интегралом. Показать, что уравнения E.53) имеют форму
уравнений Гамильтона.
По условию х = {<р, ^\ есть интеграл системы E.53). Поэтому
отсюда
Используя тождества
1
вычислим скобки Пуассона. Далее, опираясь на независимость
интегралов <р и \|\ получим равенства вида
Поэтому мы сможем положить
л дн д
и записать систему E.53) в виде канонической системы:
dqs_^dH__ dps дН
dt dps * dt dqs'
§ 5. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве
(вторая форма)
Мы уже познакомились с так называемой первой формой
принципа Гамильтона (гл. IV, § 16). Движению механической
системы с / степенями свободы там отвечало движение изобра-
изображающей точки в конфигурационном пространстве, число измере-
измерений которого равно числу степеней свободы системы.
При переходе к фазовому пространству, в котором положение
изображающей точки определяется каноническими переменными
и число измерений которого в два раза больше, мы сталкиваемся
с необходимостью видоизменить выражение принципа Гамильтона,
построив «новую» функцию Лагранжа. Причина заключается в том,
что «старая» функция Лагранжа после перехода к каноническим
переменным не будет содержать производных по времени от коор-
дина-i изображающей точки.
298 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Предварительно, в виде промежуточного этапа, совершим пере-
переход от конфигурационного пространства к 2/-мерному простран-
пространству состояний, в котором положение изображающей точки опре-
определяется координатами (qu ..., qt\ Цъ ..., (ji). Такому переходу
отвечает замена уравнений Лагранжа 2-го рода системой 2/ урав-
уравнений первого порядка E.10).
Новыми неизвестными функциями времени являются ф, кото-
которые мы при выводе канонических уравнений обозначили через r\i
(см. § 2). Следовательно, действие по Гамильтону мы должны
записать в виде
и
S = \ L (ft, ..., qi\ "Ль ..., х\г\ f) dt. E.54)
и
Функция Лагранжа теперь не зависит от производных ^~ и -J^t
поэтому мы не сможем получить дифференциальные уравнения
экстремалей *). Построить
новую функцию Лагранжа
мы сможем, если обратим
внимание на то, что вдоль
экстремалей в пространстве
состояний должно быть
На рис. 5.2 условно изо-
изображено расширенное про-
Рис. 5.2. странство состояний. Кри-
Кривая А'В'С — траектория
изображающей точки. Кривая ABC —ее «проекция» на расширен-
расширенное конфигурационное пространство **).
Таким образом, мы приходим к условному экстремуму:
и
ц\ 0^ = 0, E.55)
х-% E.56)
), 8qt \и = 0. E.57)
•) В главе IV мы обращали внимание на то, что если
dL
'{*}'
= 0, то и з— =
dqt
**) Кривой ABC можно поставить в соответствие множество кривых в про-
dQi
странстве (q, т), /)> лежащих на «цилиндре», но условие 4i — ~rr будет выпол-
выполняться только на одной из них.
§ б. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА (ВТОРАЯ ФОРМА) 299
Первая вариация функционала S обращается в нуль для дейст-
действительного движения при условиях E.56) и E.57) *).
Новую функцию Лагранжа составляем по известному правилу
вариационного исчисления. Положим
Вариации переменных q, r\, -~, X будем считать независимыми.
При частном дифференцировании функции Л по любой из указан-
указанных переменных все остальные рассматриваем как постоянные.
Первая вариация интеграла от Л обращается в нуль при
соблюдении лишь краевых условий E.57):
6
Замечаем, что так как -т- = 0, то — = 0. Отсюда находим
*< = Ц- E-60)
Новая функция Лагранжа будет иметь вид
I ( I
Заменяя x\i через ф и воспользовавшись выражением обобщен-
обобщенной энергии (см. гл. IV, § 12), получим выражение новой функ-
функции Лагранжа в виде
Вместо E.59) запишем
\L h )at^ (б.б2)
*) Вариации 6rj,- не равны нулю при
300 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Перехолим к выводу дифференциальных уравнений экстремалей:
и
Внеинтегральные члены обратятся в нуль в силу E.57). Так как
все вариации независимы и произвольны *), то мы можем положить
(|т) , 6?,= 0
Тогда
\ d dL дЕ*\
и
На основании леммы Лагранжа получаем / уравнений вида
Остальные / уравнений получим, полагая все bq = 0, б (^т-) Ф 0,
из
где б (а"=-) произвольны и не обращаются в нуль при t=ti, t=t2.
Вторая группа уравнений будет иметь вид
dq, дЕ*
Нетрудно проверить, что система уравнений первого порядка E.63)
и E.64) совпадает с E.10).
Перейдем теперь от переменных q, q к переменным #, Р, т. е.
от пространства состояний к фазовому пространству **). Условно
изобразим расширенное фазовое пространство (рис. 5.3). Траек-
Траектория изображающей точки в расширенном конфигурационном
*) Если предположить, что существует зависимость между б (-^), то мы
Dp идем к зависимости между 6^ и 6q.
**) См. пояснение к формуле E.14).
§ 5. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА (ВТОРАЯ ФОРМА)
301
пространстве будет такая же, как и на рис. 5.2. Что касается
траектории изображающей точки в расширенном фазовом прост-
пространстве, то она может быть иной (в частности, не обязательно
будет р = 0, если -^- = 0)« Напомним (см. § 3), что
Следовательно, мы можем записать вариацию функционала
при условиях
dt
E.65)
E.66)
E.57)
Подынтегральная функция в E.65) зависит от канонических
переменных, но не зависит
dqt
Р И
от
dt *
Составим функцию Лаг-
ранжа для безусловного
экстремума, обозначая ее
опять через Л:
Мы видим, что Л есть функция переменных f<7, -~f ^, Л; t) *).
Вариации этих переменных будем считать независимыми.
Замечая, что Л не зависит от^-(^), запишем
дА _ dL л
Отсюда
(см. в § 2 теорему Донкина).
*) Здесь удобнее в качестве новых переменных рассматривать ^, а не р~
302 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Для новой функции Лагранжа получим выражение
E-68)
в которое входит функция Гамильтона
?. E.21)
Окончательно новую функцию Лагранжа запишем в следующем
виде:
A-J *§¦-#(?, р; 0. E.69)
Здесь производные -Q не выражены через канонические пере-
переменные.
Следовательно, действие по Гамильтону в фазовом простран-
пространстве представляет собой интеграл от функции Л по времени
(функционал), вычисленный в пределах от tx до f8:
1-%Й* E-7°)
Теперь мы можем сформулировать вторую форму принципа
Гамильтона, Пусть голономная материальная система движется
в потенциальном силовом поле и состояние движения системы
определяется каноническими переменными; тогда в действительном
движении обращается в нуль первая вариация функционала E.70)
при краевых условиях E.57):
E.71)
Изложенный здесь вывод второй формы принципа Гамильтона
был предложен Ливенсом [21].
§ 6. ВЫВОД УРАВНЕНИИ ИЗ ПРИНЦИПА ГАМИЛЬТОНА 303
§ 6. Вывод канонических уравнений из принципа Гамильтона
Рассмотрим изохронную вариацию интеграла E.70), полагая,
что вариации всех канонических переменных независимы между
собой:
Здесь мы воспользовались равенством
(с
см. гл. IV, § 12) и применили интегрирование по частям,
силу E.71) получим
Ш1
<5-73»
Вариации 6ft и бр* независимы и произвольны. Мы можем
положить
На основе леммы Лагранжа (см. гл. IV, § 16) получим канони-
канонические уравнения для обобщенных импульсов:
Вариации обобщенных импульсов не обращаются в нуль при
tz=t1 и t = t2. Поэтому вторую группу канонических уравнений
выведем, полагая 6^ = 0 и рассматривая интеграл вида
"
/«1
Так как 6р,- независимы и произвольны, то
dqi дН /е --
Таким образом, исходя из второй формы принципа Гамильтона,
мы вывели систему канонических уравнений E.74) и E.75).
304 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
§ 7. Канонические преобразования. Необходимое
и достаточное условие каноничности преобразования
Уравнения Гамильтона обладают замечательными свойствами:
они сохраняют свой вид при таких преобразованиях переменных,
которые уже не являются точечными. В этом заключается одно
из существенных отличий уравнений Гамильтона от уравнений
Лагранжа 2-го рода.
Уравнения Лагранжа сохраняют свой вид (ковариантны) при
точечных преобразованиях переменных, тогда как уравнения
Гамильтона допускают значительно более широкий класс преоб-
преобразований — канонические преобразования.
Формулы канонического преобразования были впервые полу-
получены Якоби: он вывел эти формулы попутно, применяя метод
вариации канонических постоянных при выводе канонических
уравнений для возмущений *). В последующее время теория
канонических преобразований была широко развита в работах
многих авторов.
Пусть движение некоторой системы описывается уравнениями
Гамильтона E.24):
dqs __ дН dps __ __ дН /, _i о А
dt ~~ dps% dt ~~ dqs I*—1» z> •••» lh
где Н (<7, р; 0 есть известная функция канонических переменных.
Введем новые переменные Qh Piy полагая
Qi = <bt(q, p; t), Pi = %(q9 p\ t) E.76)
{время не подвергается преобразованию).
Относительно функций Фь Y/ предположим, что они одно-
однозначные (может быть, в некоторых пределах) и имеют непрерыв-
непрерывные частные производные второго порядка по всем переменным.
Преобразование, определяемое формулами E.76), будем называть
каноническим^ если новые переменные удовлетворяют уравнениям
вида
dt — dPt • dt ~" dQi I*-1' Z' •••» ')• ^•//>
где /С == /С (Q, P\ t) есть новая функция Гамильтона. Число
уравнений сохраняется.
Заметим, что производные по времени от Qt входят в уравне-
уравнения E.77), так же как обобщенные скорости в исходные уравне-
уравнения, однако в силу формул E.76) Qt уже не являются обобщен-
обобщенными координатами: Q,- утрачивают смысл переменных, опреде-
определяющих конфигурацию системы (позиционных координат), так
как зависят не только от q, но и от р.
*) См. [38] тридцать шестая лекция, стр 256.
7. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Якобиан преобразования E.76) должен быть отличен от нуля.
Обозначим этот якобиан через Д и запишем в виде
Ql\ Pi*
.. Pi)
dQx
~dqx~ '"
. . . (A3)
dQi
dPx
dqx
. . . (A.)
Ж -
dQx
'dqi
. . .
dQi
dP,
. . .
~dq7
dQi
• •
dQi
"ЗрГ
дРх
~др[
...
. (Ai)
. <А4)
...
dp/
. . .
dQi
dp,
d?i
~Wi
~dPt~
E.78)
Через Дь ^2t Дз» Д4 обозначены миноры определителя Д. Если
все Л/ отличны от нуля, то преобразование будем называть
свободным. При свободном преобразовании за независимые пере-
переменные—переменные, от которых будет зависеть так называемая
производящая функция, — могут быть взяты переменные q и Q
либо q и Р, либо р и Q или, наконец, р и Р. Заметим, что
в совокупность независимых переменных обязательно должны
входить и «новые» и «старые» переменные *). Точечное преобразо-
преобразование, при котором Qi = Fi(q, t), не является, очевидно, свобод-
свободным — переменные q и Q связаны между собой и, кроме того, Лх = 0.
Каноническое преобразование общего вида мы получим, если
в качестве независимых переменных возьмем совокупность пере-
переменных в виде
{Яъ -> Яь Pi+ъ ...» Ph Qu ...» Q/t Pf+u ...» ЛЬ
где /</, /</ (может быть 1ф\). Подобную совокупность можно
выбрать так, чтобы среди всех переменных не было ни одной
пары сопряженных, и, следовательно, тогда нумеровать эти пере-
переменные можно в любом порядке [9]. Очевидно, что преобразование
такого вида может не быть свободным.
Несвободные канонические преобразования, в которых на пере-
переменные наложены дополнительные связи, например, связаны
между собой q и Q, рассмотрены в [33]. В настоящем курсе мы
ограничимся лишь свободными каноническими преобразованиями.
Выведем выражение для производящей функции и сформули-
сформулируем необходимое и достаточное условие каноничности преобра-
преобразования.
*) При переходе от (/ и р к Q и Р выражения «новые» и «старые» пере-
переменные еще имеют смысл. Но при повторном применении канонических пре-
преобразований выражения «новые» и «старые» переменные будут иметь условное
значение так как Qt утрачивают смысл обобщенных координат.
306 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Исходные канонические переменные удовлетворяют уравнениям
движения, поэтому
q* = q*(U af P), p,~p,(t, а, Р), E.79)
а так как Q и Р зависят от qt р, то
Qs = Qs(t, a, P). PS = PS(U а, р). E.80)
Здесь а и Р — постоянные интегрирования.
Образуем комбинацию подынтегральных выражений второй
формы принципа Гамильтона в новых и старых переменных вида
предполагая, что Q и Р выражены через qy p. Умножим на dl
и проинтегрируем от t = t0 (можно положить /0 = 0) до перемен-
переменного t. В силу E.79) и E.80) получим
а« *; с>- <5-82>
Через с обозначена отличная от нуля постоянная, определяющая
так называемую валентность преобразования. Если с=1, то
преобразование называется унивалентным.
Предположим, что Ai^O. Исключая из E.82) постоянные
а и р, выразив их через q, Q и t9 получим
Функция V (t, q, Q, с) представляет собой некоторое обобщение
двухточечной функции Гамильтона и, как мы увидим, играет
решающую роль в канонических преобразованиях. Называется
эта функция производящей (т. е. функцией, которая производит
преобразование) — это значит, что, задавая произвольно функ-
функцию У, мы получаем формулы канонического преобразования.
Наоборот, задавая желаемое преобразование, можно найти функ-
функцию V (последнее гораздо труднее).
В § 5 настоящей главы мы рассмотрели вторую форму прин-
принципа Гамильтона в фазовом пространстве. Было показано, что
в действительном движении функционал E.70) принимает стацио-
стационарное значение при условиях E.57) и что уравнения Гамильтона
могут быть выведены из второй формы принципа Гамильтона.
При этом изохронные вариации 8q и бр рассматривались как
независимые. Новые переменные Qt и Pi% вариации которых также
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
307
независимы, удовлетворяют уравнениям E.77). Следовательно,
в новых переменных будет справедлив интегральный вариацион-
вариационный принцип, аналогичный второй форме принципа Гамильтона
с той разницей, что 6Q* не будут обращаться в нуль на концах
промежутка интегрирования. Поэтому мы должны несколько
видоизменить выражение принципа, полагая
E.84)
что позволит обратить в нуль внеинтегральные члены.
Имея в виду последовательности канонических преобразований,
мы откажемся от требования обращения в нуль 8? на концах
промежутка интегрирования, установив тем самым некоторое
равноправие между координатами q и новыми переменными Q:
1
f B *¦&-
i
8=1
1=о.
E.85)
Если система уравнений Гамильтона E.24) переходит в систему
E.77), то этому отвечает переход от E.85) к E.84) и, наоборот,
переход от E.85) к E.84) влечет за собой преобразование урав-
уравнений Гамильтона. В силу этого мы можем написать
Ut г
1 B P'Q - к )dt - 2
U \s=l / s*=l
E-86)
где ц есть отличный от нуля множитель. Левая и правая части
E.86) будут иметь одинаковый вид («равноправие» переменных),
если множитель \\ можно внести под знак вариации и под знак
интеграла, т. е. если ja = const н== с. Тогда
Очевидно, что
<5-87)
E.88)
308 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Подставляя E.88) в E.87), получим
I i i \ / l l
«V \п - W \и = [с ^ рАЯш - 2 РМЛ - к 2 РА, - 2 р)
E.89)
Здесь
моменты времени tx и /2 произвольны, а вариации 6<7 и 6Q неза-
независимы *). Поэтому, приравнивая коэффициенты при независимых
вариациях, получим
wrcp» тк—р* E-90)
Мы пришли к формулам свободного канонического преобразо-
преобразования, которые нужно дополнить условием разрешимости
/=1
Условие каноничности преобразования запишем, используя E.89),
в виде
E.92)
S=l
Для того чтобы найти функцию /С, обратимся к E.83). Диффе-
Дифференцируя обе части по времени, получим
, Z v / I ч /
C\Zi Ps dt П\ \Zd s dt ^J^dt^Zi \dqs dt + dQs~df}'
E.93)
Привлекая формулы канонического преобразования E.90), найдем
p-Q.p' E-94)
Условие каноничности преобразования, записанное в форме
E.92), не содержит новой и старой функции Гамильтона, поэтому
его можно назвать универсальным. Если иметь в виду систему
с заданной функцией Гамильтона, то условие каноничности пре-
преобразования можно записать и в виде E.93).
*) Если допустить зависимоегь между 6Q, то мы придем к зависимости
между 6<7 и 6р.
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 309;
Функция V (<7, Q, /; с) действительно является производящей
функцией. Это означает, что, задавая произвольно функцию V,
мы с помощью формул E.90) найдем, если выполняется условие
E.91), связь между новыми и старыми переменными. Если про-
производящая функция не зависит явно от времени, то в этом случае-
преобразование называется вполне каноническим. При таком пре-
преобразовании
K (cH)Qt p-+Qi p.
Условие каноничности преобразования E.92) или E.93) мы»
получили, предположив, что сохраняется форма канонических
уравнений, т. е. доказали его необходимость. Покажем теперь,,
что это условие достаточно (здесь удобна форма E.93)).
Интегрируем E.93) по времени в пределах от tt до t2:
vl"~V]i" E>95)
От левой и правой частей E.95) берем изохронную вариацию и>.
производя обычные выкладки, находим
s=l s=l
/ /
2 г» es\ 1* Y^ / &V с i dV Ci
В силу формул канонического преобразования E.90) все внеин-
тегральные члены взаимно сокращаются. Если исходные перемен-
переменные удовлетворяют уравнениям Гамильтона, то мы приходим
к равенству вида
Здесь 6Q и 6Р независимы и произвольны. Поэтому из E.97>
получим
йО^___д_К_ dPs _ ^ дК
di "" dPs • dt ~ dQs '
Достаточность условия каноничности преобразования доказана.
Заметим, что так как условие каноничности преобразованиж
в виде E.92) не содержит функции Гамильтона, то это означает*
310 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
что при выполнении условия E.92) существуют производящая
функция V и постоянная с, т. е. реально существуют формулы
канонического преобразования, применимые к системам Гамиль-
Гамильтона с любой функцией Н.
Покажем, что можно указать еще три вида формул канониче-
канонического преобразования.
Производящую функцию, вариация которой определяется
формулой E.92), будем обозначать через УA). Тогда
2 срАЧш - 2 PsWs - вК<1>. E.98)
Представим левую часть E.98) в виде
6 53 Ш* - PsQs) - 2 cqjbp, + 2 QsbPs
Положим
l
Тогда
- 2 ^e/>*
s
Формулы канонического преобразования будут иметь вид
Предполагая, что
Р2, .... Рд
мы сможем выразить q через р и Р и рассматривать V(a) как
функцию от р, Р и rf.
Представим теперь левую часть E.98) в виде
(
Отсюда
2 cq>bp> + 2 /J,6Q, = 6(
Положим
s-l
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 31V
Функция V^8> должна зависеть от р, Q и t, что возможно при*
условии
'&й <5Л02>-
Формулы преобразования получим из выражения
приравнивая коэффициенты при одинаковых вариациях:
Наконец, преобразуя левую часть E.98):
и полагая
запишем
S S E.104>
Отсюда получим формулы преобразования
Очевидно, что функция Vi4) должна зависеть от д$ Р и /. Эта
возможно, если
y&S^ <БЛ06>
номера миноров Д^ и функций V^> совпадают).
Из приведенных выше четырех форм свободных канонических
преобразований чаще всего используется первая, которую мьь
будем считать основной.
В виде иллюстрации приведем простой пример системы с одной*
степенью свободы — гармонический осциллятор. Полагая массу
равной единице, запишем функцию Гамильтона
где со есть заданная постоянная частота. Вводим новые перемен-
переменные Р и Q, положив
> cosQ, q=
312 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Проверяем, выполняется ли условие каноничности, и находим
производящую функцию как функцию q и Q.
Так как -— Ф О, то
Следовательно,
Преобразование унивалентное, вполне каноническое с производя-
производящей функцией
Новая функция Гамильтона принимает простой вид
Следовательно, Q будет циклической координатой.
Просто находится, например, функция V43* (здесь
Для этого выразим q и Р через р и Q. Получим
я-^-teQ Р- 1 р2
Отсюда
Аналогично найдем
У2<»Р-Р%-Р arccos
2со
/(о<оУ + Р arcsin
§ 8. Условие каноничности преобразования,
выраженное через скобки Лагранжа и скобки Пуассона
Рассмотрим 21 дифференцируемых функций qh ph зависящих
ют переменных и, v и, может быть, от некоторых других пере-
переменных. Составим определитель Якоби
E.107)
ди
dpi
ди
dv
dpi
dv
8. УСЛОВИЕ КАНОНИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
313
Сумму определителей E.107) по i от 1 до / назовем скобкой
Лагранжа и обозначим символом [и, v]:
1
— 1
dqt
Ж
dpi
ди
dgi
dv
dpi
dv
i[u, v).
E.108)
Покажем, что необходимые и достаточные условия каноничности
преобразования можно записать с помощью скобок Лагранжа.
Обратимся к условию каноничности свободного преобразования
в форме E.92):
i
где производящая функция зависит от q% Q и / (индексы сумми-
суммирования обозначены для удобства разными буквами).
Условие каноничности преобразования есть условие существо-
существования производящей функции, полная изохронная вариация кото-
которой определяется формулой E.92). Будем рассматривать q и р
как функции Q, Р и выразим bqt через bQs и SPS:
Подставим выражение 6<ft в E.92):
/ / i ч ii
ял/ \t \л V1 uQl п «л I V ^
ОК аз / \0 / 17; -57Г- — Рс I ОС/* + 7 С 7
ж
.109)
Обозначая коэффициент при 6QS через Ms, а коэффициент при
через NS9 получим
61/= 2
Условия существования полной вариации будут иметь вид
dMs _ dNk
Вычисляем частные производные и, полагая, что вторые произ-
производные
dfy ^ д%
dQsdQr> dPsdPr* dPsdQ,
непрерывны и что, в силу независимости Р и Q,
14 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
«находим
i
VI / dqi dpi dqi dpi \
L\dp-sdPi^drkdrs)"
f=i
Ь\ЩдГ8~др;щ~5):=*т-
Следовательно, необходимые и достаточные условия каноничности
преобразования можно выразить с помощью скобок Лагранжа
в виде
[Qs, Qk] - 0, [Рп Pk] = О, [Q,, Pk) -1 8sk. E.111)
Скобки E.111) называются фундаментальными скобками Лагранжа.
Равенства E.111) выражают условия каноничности преобразова-
преобразования при любой функции Гамильтона (напомним, что независимая
переменная t не преобразуется).
Рассмотрим два ряда различных, независимых изохронных
вариаций, обозначая их через б' и б". Так как в формуле E.92)
вариации произвольны, то мы можем записать
i i
б'К«б- 2 Р&Яш—Ль PsVQs, E.92')
6Т -'•• 2 p&q,- 2 р№* E-92">
В силу независимости вариаций б' и б" мы придем к равен-
«ствам
б'6'q, - 6*6'?, - О, 6#6U - WQS = 0.
Следовательно,
с Е Ф'Ч&Рш-й'Я&Рм)- 2 WWPs-VQjb'P,). E.112)
§ 8. УСЛОВИЕ КАНОНИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 31$
Если преобразование унивалентное (с=1), то сохраняется сумма
определителей вида
которая называется билинейным ковариантом формы E.92) *).
При помощи равенства EЛ12) нетрудно установить полезные
соотношения между частными производными при каноническом,
преобразовании — их «взаимность» (см. [21]).
Так как преобразование свободное, то мы можем принять за
независимые переменные q и Q. Пусть, далее, б' есть символ
вариации q, а б" —вариации Q. Тогда из E.112) получим
с 2 Ь'я&Рш- ? Ь'Р&О* <в*?»0, fi'Q-0).
s=l s = l
Выразим 6"ps и 6'Я, через вариации независимых переменных:.
Отсюда
В силу независимости можно положить
Сокращая обе части на произведение 6'<?*6"Q,., найдем
Принимая за независимые переменные р и Q и полагая б'рА ^ о,
6* 0 (^*) S"Q^O, 6"Q, = 0 (s^k), получим
E-115).
Пусть теперь независимыми переменными будут ? и Р; положим.
«'?*=? 0. «W.-0 (s=^&), б"Яг=^0, 6вР, = 0 (s^r). Тогда
*) Вид определителей и величина их суммы не изменяются при унивалент*-
ном каноническом преобразовании.
316 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Наконец, если независимые переменные р и Р, то при
,6'р, = 0 ($фк), ЬпРгф0% 6"Р, = 0 (эфг) найдем
<5Л17>
Формулы E.114)— EЛ17) устанавливают взаимность частных про-
производных при каноническом преобразовании. Если обе части
каждого из полученных равенств выразить через одни и те же
переменные («новые» или «старые»), то мы получим тождества.
Необходимые и достаточные условия каноничности преобразо-
преобразования можно выразить через скобки Пуассона (см. § 3). С этой
целью частные производные, входящие в фундаментальные скобки
Лагранжа, заменим по формулам E.114) —E.117):
jL [dpi
dqi dpt\
dpi да,- I c2 Wk* г$]щ
t = i l
Используя формулы E.111), получим
{Р*. РЛ = а> {0*. Qxl-0, {Q*f ЯЛ-=^ь E.118)
тде bsk —символ Кронекера.
Формулы E.118) дают выражение необходимых и достаточных
условий каноничности преобразования с помощью фундаменталь-
фундаментальных скобок Пуассона.
Выясним, как изменяются скобки Пуассона от каких-либо
функций и и v при каноническом преобразовании.
Пусть дана скобка Пуассона
. . __ VI / ди dv Ou dv \
§ 8. УСЛОВИЕ КАНОНИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Требуется вычислить скобку *)
la. »UD- \4J« *_- *L*V
317
Используя свойства определителя Якоби, мы запишем
а (и, и) у у [ д {и, у) д {Qkt Qs) д(и, v) d(Pk, Ps)
fh Pi) LdZd\d(Qk,Qs) d(qitpi) ^diPb.Ps) d(qhPi) "r
к s
d(ut y) d(Qkt Ps)
В силу E.118)
у & (Ok, Qs)
Поэтому
Pi)
> L d(qhPi) -0* L
2д(и, у) =с у д(и, у)
д (qb Pt) *** & (Qs> Ps)'
ИЛИ
E.119)
{и, v}99P~c{u9 v\QtP.
Если преобразование унивалентное и с=1, то
{и. ^.р-{". ^}q.p- E.120)
Следовательно, скобка Пуассона от любых двух функций кано-
канонических переменных есть один из инвариантов канонического
преобразования.
Формулы E.114) — E.117) позволяют легко вычислить якобиан
канонического преобразования E.78). С этой целью запишем
якобиан обратного преобразования:
Д-1
ш ¦
dqt
'" dQx
dqi
- dQ,
- w;
\dQi "
\ dpi
Щ ¦¦
¦ Ш
dPi '•' dPl\dPl •"
E.121)
*) Мы сохраняем обозначение функций и и с/ при переходе к новым пере-
переменным, несмотря на то, что вид этих функций может измениться.
ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
В силу формул E.114) —E.117) определитель Д-1 можно пред-
представить в виде
E.122)
Ж '"
dpi
dpi '"
dQ,
dQ,
dp,
dpi
El
dpi
~~din
~ ~Ь~р7
\-El
dqi
dQt
dqt
-El
uQ j
uQi
или, в краткой символической записи,
1
Д-1
E.123)
Л4 (— \I L
(-\I At Л3
где Дь Д2, Дз и Д4 — миноры определителя Д.
На основании теоремы Лапласа *) запишем выражения опре-
определителей Д и Д-1:
Д = Д3Д4 + (-1)'ДгД2,
А-1 -^ (Д3Д4 + (-1)' А,
А так как
!, то
E.124)
= ^-Д. E.125)
E.126)
Если преобразование унивалентное, то Д = ±1 **).
Рассмотрим в виде примера систему с одной степенью свободы
и применим линейное преобразование канонических переменных:
Г21
др
Р = ^21^7 + «22р.
: ап Ф 0, то мы можем выбрать в качестве независимых
Если
переменных q и Q. Тогда
а12
Найдем вариацию производящей функции
6V
*) См., например, [6].
**) Можно показать, что определитель, элементами которого служат
скобки Пуассона, и определитель, составленный из скобок Лагранжа, взаимно
обратны (см,, например, [20]).
318
$ 9. ОТЫСКАНИЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ
Следовательно, производящая функция будет равна
V -—-gj- (fau<72 + 2c?Q + ^Q2).
Здесь
с = — (аг1^2 — an(hi) = — Д.
§ 9. Производящая функция для заданного вида уравнений
в новых переменных
Пусть свободное каноническое преобразование переводит систему
уравнений Гамильтона E.24) в новую систему E.77). Вид новой
системы определяется функцией К (Q, P; t), которая связана
с исходной функцией Гамильтона формулой E.94):
, P-Q, Р*
Будем считать V функцией qy Q и /. Тогда в силу формул
канонического преобразования E.90) мы можем записать
= 0. E.127)
dV
Здесь Н есть известная функция от q, -j- и t. Если мы зададим
dV
зависимость функции К от Q, -^ и t4 то придем к уравнению
в частных производных первого порядка, решением которого
будет функция V, производящая нужное преобразование. При
этом необходимо, чтобы определитель, составленный из вторых
смешанных производных по старым и новым переменным, — гес-
гессиан—не был тождественно равен нулю, т. е.
Уравнение E.127) есть нелинейное дифференциальное уравнение
в частных производных первого порядка. Известно, что уравне-
уравнения типа EЛ27) имеют решения трех и только трех видов:
1) общий интеграл — решение, зависящее от произвольных
функций;
2) полный интеграл — решение, зависящее от B/+1) произ-
произвольных постоянных;
3) особый интеграл — решение, не содержащее ни произволь-
произвольных функций, ни произвольных постоянных [30].
Решение уравнения E.127) может быть получено методом
разделения переменных, что приводит к вычислению квадратур.
Конечно, далеко не всегда удается фактически найти это реше*
ние и записать его с помощью известных функций. Решение
320 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
в виде полного интеграла, содержащее нужное число постоянных,
мы будем рассматривать в связи с применением метода Гамиль-
Гамильтона — Якоби в следующем параграфе. Там же укажем некоторые
приемы разделения переменных. Для решения задачи, связанной
с получением нужных формул канонического преобразования,
нам достаточно найти решение любого вида (в том числе и особый
интеграл) —важно, чтобы выполнялось условие E.128).
Отыскание производящей функции определенного вида очень
важно для приложений, однако, насколько известно, в литера-
литературе этот вопрос почти не затрагивался*).
Мы покажем на простых примерах, каким образом, задавая
функцию /С, можно фактически найти производящую функцию.
В качестве исходной примем систему с одной степенью свободы —
гармонический осциллятор, к которому мы уже обращались в § 7.
Полагая инертный множитель (массу либо момент инерции) рав-
равным единице, запишем
где со — постоянная частота.
Начнем со случая, где новая функция Гамильтона равна шР
(см. § 7). Составим дифференциальное уравнение E.127) и найдем
производящую функцию. Преобразование в этом случае унива-
лентное и вполне каноническое, поэтому уравнение E.127) при-
примет вид
—<
Полагая
V{q,Q)=f(q)F(Q), E.130)
находим частные производные
Подставим в E.129):
Если положить
то переменные разделяются:
¦) На возможность найти производящую функцию указано в [1].
§ 9. ОТЫСКАНИЕ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ 321
Неопределенную постоянную а примем равной со. Тогда для
функции F найдем простое дифференциальное уравнение
Разделяя переменные и интегрируя, получим
(постоянная интегрирования отброшена).
Таким образом, для производящей функции мы находим то же
выражение, которое было получено в § 7:
V=*f-</2ctgQ, E.131)
Очевидно, что E.131) представляет собой особый интеграл
уравнения E.129) (ниже мы это доказываем). Определитель E.128)
состоит здесь из одного члена
д*У ^ щ
dQdq в sin2Q'
который, очевидно, не равен тождественно нулю.
Переменные в уравнении E.127) можно разделить и другим
способом, положив
E,132)
Подставляя E.132) в уравнение, приравниваем обе части одной
и той же постоянной:
-<о^ = -у- F.133)
(левая часть не зависит от Q, а правая —от q). Отсюда находим
O = a2~||Q, E.134)
где постоянную а2 можно отбросить. Кроме того,
—Й<Л E.136)
Выбирая верхний знак и интегрируя, находим
L) E.136)
Решение уравнения E.127) будет иметь вид
11 6. В. Петкеаач
322 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Полученное решение есть полный интеграл *). Но в качестве
производящей функции это решение непригодно, так как
Нетрудно показать, что производящая функция E.131) есть
действительно особый интеграл. Для этого из E.137) исключаем
постоянную <хъ положив
да, ~и'
Вычисляя частную производную, находим
Отсюда
(
Подставив найденное значение аг в E.137), получим
Рассмотрим еще пример. Пусть исходная функция Гамильтона
имеет прежний вид
4
Потребуем, чтобы новая функция была равна
/< = fcoQP, E.138)
где i2 = — 1.
Применим неунивалентное, вполне каноническое преобразо-
преобразование:
OV dV n
Запишем уравнение в частных производных:
|)'+»V}--«|. C5-.39,
Решение ищем в виде
где Л, fi, D — неопределенные постоянные.
1 ж
*) Если извещен полный интеграл V~Vn, то, исключая <Xi из -г-^ и
oq
, можно восстановить исходное уравнение E.127).
§ 10. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 323
Вычисляем производные:
Щ-АЧ + BQ. %-Bq + DQ.
Подставляя в уравнение и полагая с = цо, найдем
Следовательно,
V^lfaV-Q^ + toV^fQ. E.140)
Очевидно, что
4^
Выпишем формулы канонического преобразования:
=
Нетрудно проверить, что новая функция Гамильтона будет
иметь требуемый вид:
Отметим, что новые переменные будут независимы не только
кинематически, но и динамически. В самом деле, каж-
дая из новых переменных будет описываться «своим» уравнением:
Интегрируя эти уравнения, найдем
где сг и са — произвольные постоянные интегрирования,
§ 10. Теорема Гамильтона—Якоби
В § 1 главы V была упомянута идея Гамильтона, заключаю-
заключающаяся в установлении родства между общим решением канони-
канонической системы дифференциальных уравнений и решением двух
уравнений в частных производных первого порядка. Якоби, раз-
развивая эту глубокую идею Гамильтона, создал метод интегриро-
интегрирования канонической системы уравнений, показав, что если известно
решение (именно, полный интеграл) одного уравнения в частных
производных первого порядка, то общее решение канонической
системы находится дифференцированием полного интеграла по
и*
324 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
обобщенным координатам и по каноническим постоянным *). Так
возник плодотворный и гибкий метод интегрирования канониче-
канонических уравнений, позволяющий найти общее решение в удобной
форме при одном лишь условии: уравнение в частных производ-
производных должно допускать разделение переменных.
Пусть голономная система движется под действием потен-
потенциальных сил. Определяя состояние движения системы канони-
каноническими переменными, запишем уравнения движения в канони-
канонической форме:
*-?¦ T=-f, «-«.« 0. E.24)
где Н (9, р\ 0 есть известная функция канонических переменных.
Составим уравнение в частных производных первого порядка:
?+*(**•• *)-0' EЛ41)
dV
где V есть неизвестная функция, а частные производные ^~ вхо-
входят в функцию Гамильтона вместо импульсов. Уравнение E.141)
будем называть уравнением Гамильтона — Якоби. Функция
V V( f) + E.142)
есть полный интеграл уравнения E.141), т. е. решение, завися-
зависящее от произвольных постоянных а, число которых равно (/+1),
и удовлетворяющее условию
Так как в уравнение E.141) входят лишь производные от функ-
функции V по qs -и /, то одна из постоянных будет аддитивной — ее
можно отбросить.
Сформулируем и докажем теорему Гамильтона — Якоби.
Общее решение системы канонических уравнений E.24) в про-
проинтегрированной форме дается формулами
еде V есть полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби,
a $s —произвольные постоянные, отличные от постоянных as.
Мы рассмотрим два доказательства теоремы Гамильтона —
Якоби. Первое основано на непосредственной проверке того, что
функции E.144) при условии E.143) представляют собой незави-
независимые интегралы системы E.24), записанные в виде, неразре-
неразрешенном относительно всех постоянных.
*) К. Якоби ([38], девятнадцатая и двадцатая лекции) показал, что одно
из уравнений в частных производных Гамильтона есть следствие другого.
§ 10. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА —ЯКОБИ 325
Необходимое и достаточное условие того, что некоторая функ-
функция канонических переменных f(q, p\ t) есть интеграл системы
<5.24), имеет вид
!+{/, Я} = 0. E.39)
Положим
тогда, так как
найдем
dW дН , дН
i=\
Функция У (^, а; ?) есть решение уравнения E.141), поэтому
выражение в квадратных скобках обращается в нуль и тем самым
удовлетворяется условие
Положим теперь/ = g^-. Подставив в E.39), получим
^1 П/
d*v 4j a^ ая
Следовательно,
Теорема доказана: функции E.144) представляют собой интегралы
системы E.24). Если, кроме того, выполняется условие E.143),
то эти интегралы независимы — они дают общее решение системы
{5.24) в проинтегрированном виде. Заметим, что решение системы
E.24) дано в неявной форме, но выполнение условия E.143)
позволит из E.144) найти
Qi = Qi(t, a, P), Pi = Pi(U а. Р)«
Постоянные аир называются каноническими постоянными.
Обратимся к другому доказательству, основанному на при-
применении свободного, унивалентного канонического преобразования.
326 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Пусть канонические переменные q, р преобразуются в пере-
переменные Q, Р с помощью формул
?-*. Z — P. E.90)
где производящая функция V зависит от qt Q9 t и удовлетворяет
условию
Новая функция Гамильтона К определяется формулой
,-* р- E-94)
Для доказательства теоремы Гамильтона — Якоби применим
каноническое преобразование частного специального вида, поло-
положив К = 0. Тогда из уравнений
dt "" dPg* dt dQs
найдем
Qs = const s a^, P, == const н р^.
Функция V (^, a; <), производящая такое преобразование, будет
решением уравнения в частных производных первого порядка,
которое получается из E.94) при К = 0, — уравнения Гамильтона—.
Яко<5и:
Условие E.91) переходит в
^L=^°- EЛ43>
Следовательно, производящая функция будет полным инте-
интегралом уравнения E.141). Формулы канонического преобразо-
преобразования E.90) переходят в
*г.-р» S--p- EЛ44)
Канонические переменные q и р в силу канонического пре-
преобразования должны удовлетворять исходной системе E.24), а так
как они зависят от времени и 2/ произвольных постоянных а и
Р, то решение будет общим.
Второй вывод, как мы увидим дальше, позволяет более наглядно
выявить важные свойства фазового пространства.
Что касается приемов интегрирования уравнения в частных
производных Гамильтона —Якоби, то о них пойдет речь в § 12
в связи с решением некоторых задач.
fi 11. ДЕЙСТВИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ 327
§ И. Действие с переменным пределом. Теорема Лиувилля
Рассмотрим унивалентное свободное каноническое преобразо-
преобразование и обратимся к выражению E.83), полагая с=1:
f, U=l I)
Заметим, что можно считать U = 0.
Положим К = 0. Тогда
dt ~u' dt u'
Qs = const = Qs (t0), Ps = const = Ps (t0).
Выражение E.83) переходит в
E.145)
Предположим, что известно общее решение системы канони-
канонических уравнений в виде
4i = 4i(ty Яоу Ро), Pi = Pi(t, Яо, /?о). E.146)
Здесь ро = Р при t0 = 0, <7о = Я ПРИ U = 0 — начальные данные Коши.
Так как Qo зависят от <7о и р0, то вместо E.145) запишем
(т?
f 2 P'W -H)dt = V(t,q, Qo).
о Wi /
2
2Ps т?" я)d^=^(/> ?> ?о> Ро)- E-147)
Допустим, что определитель Якоби
д^ — <*\ E.148)
не равен нулю. Тогда из первой группы уравнений E.146) мы
можем выразить р0 через t, q, q0:
pio = Pio(t, q, qo). E.149)
Подставляя E.149) в E.147), представим интеграл в виде функ-
функции времени, начальных и текущих значений координат:
| B Ps^df - Н) dt я S <'• ^ Qoh E.150)
Функция S называется главной функцией Гамильтона. При фик-
фиксированном верхнем пределе главная функция превращается
в характеристическую двухточечную функцию, упомянутую в § 1.
328 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Итак, действие с переменным пределом, вычисленное вдоль
интегральной кривой (экстремали), можно рассматривать как функ-
функцию времени t, начальных и текущих значений обобщенных коор-
координат.
Между начальным состоянием движения системы и состоянием
ее движения в момент времени t должно быть взаимно однозначное
соответствие — соответствие между изображающими точками в рас-
расширенном фазовом пространстве. Поэтому на траектории изобра-
изображающей точки в расширенном пространстве конфигураций накла-
накладываются определенные требования: поле траекторий (поле
экстремалей) должно быть таким, чтобы через каждую точку поля
проходила одна и только одна траектория, и если есть точка,
через которую проходит пучок траекторий (общее значение qQ и
различные q0), то, по крайней мере в некоторой конечной области,
эта точка должна быть единственной — поле должно быть цент-
центральным [16].
Покажем, что
1) переход от начальных значений канонических переменных q^
и ро к их значениям в любой момент времени есть каноническое
преобразование (унивалентное, свободное);
2) главная функция Гамильтона есть полный интеграл урав-
уравнения Гамильтона —Я коби.
Берем изохронную вариацию от левой и правой частей E.150);
I
Затем, пользуясь тем, что
интегрируем по частям:
t i i
dS
Переменные q и р удовлетворяют каноническим уравнениям»
Поэтому
i i i
2 рм.- 2 р-в*.- 2 {й
ft П. ДЕЙСТВИЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ПРЕДЕЛОМ 329
Приравнивая коэффициенты при независимых вариациях, находим
формулы преобразования канонических переменных
dS dS ... - - « ч
Формулы E.146), представляющие общее решение системы кано-
канонических уравнений, должны быть разрешимы относительно
постоянных </о и р0. Поэтому, в частности, должно быть
d(Pi> ¦¦¦, Pi) _^q
или
я / dS dS\
E.152)
Следовательно, переход от q0, р0 к q(t)f p (t) действительно пред-
представляет собой каноническое преобразование (унивалентное, сво-
свободное), производящая функция которого равна S.
Дифференцируем теперь обе части E.150) по времени:
*Я* _ Т4-Ё$ -1_ \^ dS d(ls
\ г) ^За _ я = — 4- \ —
s=l
Используя первую группу формул E.151), получим уравнение
в частных производных для функции S:
Как мы видим, это есть уравнение Гамильтона —Якоби,
а функция S (t, <7, ^о) —полный интеграл (в силу E.152)).
Итак, движению голономной системы в потенциальном поле
сил отвечает каноническое преобразование переменных q и р:
переход от qOt p0 к q(t), p{t).
Функцией, производящей такое преобразование, является дей-
действие с переменным пределом — один из полных интегралов урав-
уравнения EЛ53). Заметим, что если бы мы рассматривали не функ-
функцию S(t, q, qo)9 а функцию V {t, q, а), где a = Q0, то, так как
мы не смогли бы получить формулы E.151).
Постоянные as и $S1 фигурирующие в методе Гамильтона —
Якоби, называются каноническими. Очевидно, что и постоянные qiOy
pi0 — начальные данные Коши —также нужно отнести к канони-
каноническим постоянным.
330 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Полученный результат позволяет доказать теорему Лиувилля,
важную для приложений, в частности для статистической фи-
физики.
Формулы E.151) определяют унивалентное каноническое пре-
преобразование, якобиан которого равен единице:
4s^l^^=1> E.154)
Рассмотрим элемент объема фазового пространства, сплошь запол-
заполненный изображающими точками. Так как якобиан преобразо-
преобразования равен единице, то величина объема с течением времени не
изменится — может измениться лишь его форма.
Читатели, знакомые с гидродинамикой, могут вообразить себе
непрерывную деформируемую среду, заполняющую фазовое про-
пространство (или некоторую его часть), — «фазовую жидкость».
Начальные значения канонических переменных можно принять
за параметры Лагранжа (см. гл. I, § 3). При таком представлении
уравнение E.154) можно истолковать как уравнение неразрыв-
неразрывности (условие несжимаемости) в переменных Лагранжа. Для
реальной несжимаемой жидкости уравнение неразрывности, запи-
записанное в декартовых координатах, имеет вид
д(х, у, г) , ,,
W1 V
о{х0, у0, z0)
Следовательно, «фазовая жидкость» несжимаема.
Переходим к конечному объему. Пусть непрерывная совокуп-
совокупность изображающих точек заполняет конечный объем фазового
пространства т. Из-за того, что координаты точек меняются со
временем, объем т будет деформироваться и перемещаться, но
величина его не изменится. Это следует из того, что на основа-
основании E.154) мы можем записать равенство интегралов
$ ... $ 6ft ... 6<7/ 8pi ... 8/>/ = $ ... $ 6<7ю ... 6G/о бр10 . -. 8р1Оу E.156)
(Т) (То)
где т0 —область интегрирования в начальный момент времени.
Равенство E.156) есть запись теоремы Лиувилля: объем любой
части фазового пространства является инвариантом — он сохра-
сохраняется при преобразовании координат в силу канонических урав-
уравнений.
-I; 12. Задачи на применение метода Гамильтона — Якоби
Рассмотрим решение некоторых простых задач методом Гамиль-
Гамильтона — Якоби. Ограничимся обобщенно-консервативными систе-
системами—системами, функция Гамильтона которых не зависит явно
от времени и, следовательно, уравнения движения допускают
обобщенный интеграл энергии.
§ 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 331
Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на раз-
разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона — Якоби,
что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур.
Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу
Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбие-
разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений,
каждое из которых содержит только одну независимую перемен-
переменную и производную искомого полного интеграла по этой перемен-
переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил
метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби
методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем
можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод
разбиения Якоби является и до настоящего времени основным
для интегрирования уравнений в частных производных первого
порядка.
Уравнение Гамильтона — Якоби обобщенно-консервативных
систем имеет вид
? ( Э°. <5Л57>
и, следовательно, мы можем ввести новую неизвестную функцию,
положив
V{q, t) = — aMt + W(q).
Тогда
dV dV dW
a
Поэтому уравнение для функции W (q) можно записать в виде
E.158)
где каноническая постоянная а/+1 имеет смысл обобщенной энер-
энергии *). Уравнение E.158) называют укороченным уравнением. Успех
в решении конкретных задач методом Гамильтона — Якоби связан
с разделением переменных в уравнении E.158)**). Решающее
значение при этом имеют структура функции Н и подходящий
выбор обобщенных координат.
Обратимся к решению задач.
1. Пространственный осциллятор — свободная материальная
точка, притягиваемая неподвижным центром с силой, пропорцио-
пропорциональной расстоянию от центра до точки.
*) Канонически сопряженной парой будут (—а/+1) и t.
**) Как известно из теории дифференциальных уравнений в частных произ-
производных первого порядка, решение уравнений E.157) или E.158) можно свести
к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений характеристик.
Но здесь уравнениями характеристик будут канонические уравнения.
332 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Число степеней свободы здесь равно трем. В качестве обоб-
обобщенных координат примем декартовы, полагая <7* = #* (*= 1» 2, 3).
Массу точки положим равной единице (т=1).
Функция Лагранжа будет иметь вид
Следовательно, функция Гамильтона равна полной энергии, выра-
выраженной в канонических переменных:
Запишем укороченное уравнение Гамильтона — Якоби *):
Ищем решение в виде суммы
Подставляя E.161) в E.160), получим
8
E.161)
Введем постоянные щ и запишем уравнение для каждой функ-
функции Wt:
В уравнениях E.162) переменные разделяются, и мы находим
Wt = \ Уа?-со24 Же,. E.163)
По поводу интегралов E.163) заметим, что верхний предел
у них переменный, равный xh тогда как нижний — постоянный
и не зависящий от at. Еще заметим, что вычислять интегралы
E.163) на этом этапе нецелесообразно.
Дальнейший ход решения зависит от того, какие из четырех
постоянных мы будем считать независимыми — число независимых
постоянных здесь равно трем.
*) Сокращенные обозначения для постоянных (например, 2а4~а?) можно
вводить только после дифференцирования полного интеграла.
§•12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 333
Допустим, что независимыми будут alf Оа и а8. Тогда для
зависимой постоянной получим формулу
Полный интеграл запишем в виде
3
V = — а4* + 2 $ ]/"а? - оJ4 dxh E.164)
Отсюда на основании теоремы Гамильтона — Якоби находим общее
решение канонических уравнений в неявной форме:
dxi == Р*' da/ "''
ИЛИ
E.165)
= -Р/. E.166)
Вычисляя интеграл и замечая, что
запишем
Отсюда находим л:,- как функции времени:
E.167)
Подставив E.167) в E.165), получим зависимость обобщенных
импульсов от времени
^^ E.168)
Формулы E.167) и E.168) представляют собой общее решение
канонических уравнений, содержащее шесть произвольных посто-
постоянных, в явной форме (сами уравнения мы не выписывали).
Покажем, что E.164) есть действительно полный интеграл*
Для этого вычислим определитель
334
Находим
ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
д*У
д*У
Следовательно, гессиан в рассматриваемом случае не равен тож-
тождественно нулю, так как он имеет вид
/се?-со2*?
О
а2
О
а3
E.169)
Если мы хотим получить отдельно пространственные интегралы,
не содержащие времени, то а4 нужно считать независимой посто-
постоянной, а одну из постоянных аь а2» а3 — зависимой.
Пусть, например,
a3 = l/2a4-af~a|. E.170)
Тогда найдем в неявной форме интеграл, содержащий время,
полагая
ИЛИ
азё J 7Щ=
Интегрируя и используя E.170), получим
СО
Постоянная р4 имеет размерность времени (при
Сравнивая с E.167), находим
E.171)
E.172)
¦Р4. -«3 = 0).
Геометрические интегралы получим из соотношений
— = — В — = -6
Так как
аа
§ 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 335
ТО
2 J /al-co^l 2 J /af-co^f ™-
Интегрируя, находим явную форму геометрических интегралов
/со \ . /со N BiCO
arcsm (- *,) - arcsin (- «,) - - Ь-,
arcsm (|,,)-arcsta(?
Отсюда получаем уравнения для проекций траектории точки на
плоскости (х3х{) и (х2х3) в виде
E.,74,
Переменные разделились бы и в случае, когда частоты колебаний
разных координат были бы различные, но в качестве траекторий
мы получили бы фигуры Лиссажу.
2. Задача Кеплера (сферические координаты). Предположим,
что силовой центр неподвижен, и введем сферические координаты,
положив
хг = г cos cpcos б, x2 = r cos cpsin8, x3=r sincp.
Массу точки будем считать равной единице, тогда функция
Лагранжа может быть записана в виде
L = ^ (/* + г2ф2 + г2 82cos2 Ф) + i.
Находим обобщенные импульсы
Рг = Л Рф = /-2Ф, Pe^
и составляем функцию Гамильтона
Заметим, что задача о движении электрона в кулоновском
поле решается так же, как и задача Кеплера. Отличие заключа-
заключается в том, что в задаче о движении электрона множитель у
может быть не только положительным/
336 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Составим уравнение Гамильтона — Якоби
Положив
г» ф, б),
переходим к укороченному уравнению
+ 7^ V3) + T^E
Воспользуемся тем, что угол В есть циклическая (игнори-
(игнорируемая) координата, и положим
W{r, q>, e) = a38 + W\(r, <p).
Тогда
Умножая обе части на г2, запишем
Функцию Wi{r, ф) представим в виде суммы двух функций:
Следовательно,
E.177)
В уравнении E.177) левая часть не зависит от ф, а правая не
зависит от г. Поэтому обе части равны одной и той же постоянной:
-2су> — а!, E.178)
Запишем выражение для полного интеграла:
V <М
(относительно пределов интегрирования см. замечание по поводу
предыдущей задачи).
Если вычислить гессиан, то можно показать, что E.180) есть
действительно полный интеграл.
f. 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ 337
На основании теоремы Гамильтона — Якоби запишем общее
решение канонических уравнений в неявной форме:
dV dV dV
дГ^Р" Зф^Д* Ж^Р*'
dV о dV ft dV R
Отсюда
Y*% Vh р*=а» EЛ81)
dr =t-h, EЛ82)
?9
o.f ^ d<p 2 -o.f ^ з=-Ра> E.183)
COS2 ф
а
р> =8Ч-Рз- E.184)
Интеграл E.182) позволяет найти зависимость полярного радиуса г
от времени. Интегралы E.183) и E.184) времени не содержат —
это пространственные, или геометрические, интегралы. Обратимся
к исследованию этих интегралов.
В левой части E.184) введем новую переменную, положив
Интегрируя, находим
Отсюда
tg9==]/"|^Tsin(8 + p3). E.185)
Нетрудно проверить, что E.185) представляет собой уравнение
семейства плоскостей, проходящих через начало координат (через
силовой центр). Уравнение вида E.185) получается во всех слу-
случаях движения под действием любой центральной силы.
Рассмотрим теперь интеграл E.183). Легко находим
^ф = = arcsin [лГ аа sin
Для вычисления второго интеграла положим и = 1/г. Обозначая
через ии «а корни уравнения
338 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
и делая замену
найдем
и-
+ Ux-—Un q,
Таким образом,
|. E.187)
Находим полусумму и полуразность корней уравнения E.186):
Очевидно, что E.187) представляет собой уравнение конических
сечений, вид которых определяется эксцентриситетом, т. е.
величиной
E.189)
Величина эксцентриситета, как известно, зависит в первую очередь
от постоянной энергии а4: если а4<0, то 8<1 и траекториями
будут эллипсы; если а4>0, то
8 > 1 — траектории гиперболы; на-
наконец, при а4 = 0 траекторией бу-
будет парабола.
Обратимся к выяснению смыс-
смысла канонических постоянных в
геометрических интегралах. На
рис. 5.4 изображена эллиптиче-
эллиптическая орбита (для определенности).
Буквой М отмечена движущаяся
материальная точка, отрезок
ОМ = г есть полярный радиус,
углы 0 и ф определяют положе-
положение проекции точки М на сфере
единичного радиуса.
Линия ОК есть линия узлов
(если угол 0 возрастает, то К—»
восходящий узел). Дуги KNL и
KN'L лежат на пересечении сферы единичного радиуса с пло-
плоскостью орбиты и с координатной плоскостью (хъ х2) соответст-
соответственно. Запишем уравнение плоскости орбиты в декартовых коор-
координатах:
Рис. 5.4.
+^ =
E.190)
f( 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 339
Подставив выражения декартовых координат через сферические
и сокращая на множитель г, получим уравнение вида
E.191)
Если теперь положить
и, кроме того,
cos* =?*, E.192)
то полученное уравнение E.191) совпадет с уравнением E.185),
которое примет вид
tgq>=tgtsin(8 + p3). E.193)
Очевидно, угол i есть угол наклона плоскости орбиты к плоскости
(хъ х2). Постоянная а2, пропорциональная величине У c\-\-c\-\-cly
равна полному моменту импульса (вектор момента импульса
перпендикулярен плоскости орбиты). Постоянная а3 — проекции
момента импульса на ось х3. Так как при 9= — рз угол ф равен
нулю, то (—Рз) есть долгота восходящего узла. Из формулы E.187)
видно, что (—р2) есть долгота перигелия*).
Задача Кеплера относится к такого рода задачам, где разде-
разделение переменных можно выполнить не только в сферических
координатах, но и в параболических. Это связано с так назы-
называемым вырождением движения — пространственное дзижение
вырождается в движение по коническому сечению. Первая степень
вырождения свойственна всем случаям движения под действием
центральных сил —все они плоские.
Введем в качестве обобщенных координат две параболические
координаты и долготу 0. С этой целью рассмотрим семейство
софокусных параболоидов вращения, уравнение которого имеет
вид
E Л 94)
Осью вращения является ось хг (рис. 5.5). Корни уравнения
E 194) будут равны
За новые обобщенные координаты примем величины и, и, положив
E 195)
*) Знак минус перед Р2 и Рз появляется в результате того, что производи
ные полного интеграла по а$ мы приравниваем (—($,),
340
ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Корню Sx соответствуют параболоиды, обращенные вершинам»
в сторону отрицательных значений х3, корню s2 — b сторону по-
положительных. Пересечение параболоидов плоскостью 8= const
дает два семейства софокусных парабол, гГричем параболические
координаты Si и s2 представляют собой значение параметров
парабол, пересекающихся в рассматриваемой точке плоскости.
Рис. 5.5.
Три независимые обобщенные координаты и\ v, 6 позволят
нам определить положение точки М. Из формул E.195) следует,
что
#g = —-(w-- v), г = тг(и + р), р = У х\+х\ ¦» Y~uv. E.196)
Переменные и, v изменяются от нуля до бесконечности,
угол б —от нуля до 2я.
Составим выражение функции Лагранжа в новых переменных»
Находим квадрат скорости:
1 uv + vii
Функция Лагранжа будет иметь вид
где
E.197)
U ± = -
Г
(масса точки равна единице).
§ 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 34Г1
Вычисляем обобщенные импульсы
dL I u + v . dL I u+v . dL
Обобщенные скорости выражаем через импульсы и параболиче-
параболические координаты:
Записываем функцию Гамильтона
Z ^l E.199).
Составим уравнение Гамильтона — Якоби
dv\2L,JdV\2]X l (dv\2 2У О
Представив функцию V в виде
(«, v),
где аз есть постоянный импульс ре. получим укороченное урав-
уравнение
2 Ш
„ «90П
а*' (б>201)"
Переменные можно разделить, умножив обе части E.201) на.
( )
Положим
Ц7(«, о)-/!(«) + /, (о).
Тогда
\d«/ 4 и 2 2 E.202)-
Запишем выражение полного интеграла
342 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Находим обобщенные импульсы
Ре = ^ = ссз. E.206)
Вычисляя гессиан, можно убедиться в том, что функция V
есть полный интеграл. Интеграл, содержащий время, найдем,
дифференцируя V по а4:
Дифференцируя полный интеграл по а2 и а3, получим геометри-
геометрические интегралы
av^ = g dV_ g
или
du
i/ «1 1
=_9Р
• -4-
--of
Можно показать, что каноническая постоянная а2 пропорцио-
пропорциональна проекции вектора Лапласа на ось х3 (см. гл. III, § 7;
гл. V, § 4). Проекция вектора Лапласа на ось х3 для точки еди-
единичной массы, движущейся в поле тяготения неподвижного сило-
силового центра, будет равна
(Я + xl) Хз - *з (ХгХг + х2х2) - Зй. (г = Л/ ^ х\ 1
Переходя к цилиндрическим координатам, запишем выражение
проекции вектора Лапласа на ось х3 в следующем виде:
Рр (Рр*з - РзР) + $хш~
fi 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 343
Здесь
Рр = Р, Рз = *з, Ре = Р29 = аз.
Воспользовавшись выражениями обобщенных импульсов в пара-
параболических координатах E.204) и E.205), исключаем постоян-
постоянную а4:
Переходя к цилиндрическим координатам, находим
а
3. Релятивистский электрон в поле кулоновских сил. Рассмот-
Рассмотрим плоскую задачу, определяя положение электрона полярными
координатами. Функцию Лагранжа берем в виде
-(^.J-U
Здесь буквой с обозначена скорость света в пустоте (см. гл. IV,
§ 10). Вводя полярные координаты, запишем *)
E.207)
Находим обобщенные импульсы
Далее находим
(fi
Отсюда
Следовательно,
]/
Символы L, f и т. д. означают, как обычно, переход к канони-
каноническим переменным.
*) В выражении потенциальной энергии мы сохраним обозначение постоян-
постоянной такое же, как в задаче Кеплера.
44 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Функцию Гамильтона находим по формуле
«ли, подробнее,
Я = с Y*W + P*'+TtP% - ^?-гпос\ E.209)
Запишем уравнение Гамильтона— Якоби
Обозначим постоянную энергию через аз, постоянный импульс рф
через 0&2 и обычным способом разделим переменные. Положим
V= —
Тогда
Отсюда
Полный интеграл будет иметь вид
^^^^ E.210)
Ло теореме Гамильтона — Якоби находим
Обратимся к геометрическому интегралу
а2
г
Вычислим интеграл, допуская, что
moY2 2 ^- Л ^- А
-—о OCjj <d U, СХз <С и.
Положим
еде мх, и2 — корни уравнения
fi 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 345
Интегрируя, найдем
^Ц^71§? } F.211)
Здесь с есть скорость света в пустоте, поэтому
Находим приближенное выражение для периода г (в задаче
Кеплера период г(ср) был равен 2л):
(дробь ~~~ есть величина безразмерная].
Мы видим, что
Траекторию электрона можно приближенно представить в виде
вращающегося эллипса (напомним, что постоянная энергия Оз
отрицательна).
4. Заряженная частица в электромагнитном поле. Предполо-
Предположим, что скорость частицы мала по сравнению со скоростью
света в пустоте. Положение частицы будем временно определять
декартовыми координатами*^ Обозначая через Ф(х, у, z) потен-
потенциал электрического поля, через AXi Ay, Аг проекции векторного
потенциала, запишем функцию Лагранжа
L = % (*2 + у2 + г2)-еФ + ^(Мх + уАу + гАг), E.212)
где е — величина заряда, с —скорость света в пустоте (см. гл. IV,
§ Н).
Вычисляем обобщенные импульсы (т==1)
Р* — дх — ' ~с Ху
0L . . е Л
Ру = дд=У+ТАУ'
Функция Гамильтона будет иметь вид
Л E-213)
Предположим, что магнитное поле постоянной напряженно-
напряженности hz направлено вдоль оси г, а электрическое поле создается
346 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
неподвижным точечным зарядом е\ в котором мы помещаем
начало координат, и определяется потенциалом Ф = ее'/г. В этом
случае *)
Выражение функции Гамильтона запишем в виде
В рассматриваемом случае удобнее выбрать сферические коорди-
координаты. Обращаясь к формуле E.175) в задаче Кеплера, мы видим,
что отличие функций Гамильтона заключается в членах
cos4; E.214)
кроме того, множитель (—у) в выражении потенциальной энер-
энергии заменяется через ее'.
Задачу решаем приближенно, предполагая, что электрон дви-
движется в слабом магнитном поле, и отбрасывая член, содержа-
содержащий /if.
Составим уравнение Гамильтона — Якоби
) ehz dv] ее'
ф с дЬ J + r
Полный интеграл ищем в виде
Тогда
ш
Соа урне
6V 1 \(дУ\> 1 /аг\» (Ж)
где k = ehz/c, ii = ee'. Положим W(r, (p) = f1(r) + f2(^). Затем,
умножив обе части уравнения E.216) на г2, разделяем переменные;
- »v—ш' -j?—«*
Находим полный интеграл
-2ц i--5j-
*) Обозначения Ф для потенциала скалярного поля и hz для напряжен-
напряженности магнитного поля взяты для того, чтобы избежать путаницы. Векторный
потенциал определяется с точностью до grad %t где у — произвольная функция.
Это, не изменяя ви^а траектории, влияет на импульсы.
§ 12. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА - ЯКОВИ 347
Отсюда
dV
-т- = Рв = аз,
dV - R dV R dV R E.219)
Запишем подробнее интегралы E.219), используя формулы
E.218):
С a3dr ,
77+
E-220)
Подставив V — = t — p4 во второе из равенств E.220), получим
J Рг
E.221)
Сравнивая формулы E.221) и E.184), заключаем, что наложение
слабого магнитного поля на центральное кулоновское поле меняет
долготу узла: она становится равной
К@=—P.—g-C-b)
(мы удерживаем знак минус перед р3)^ Так как для электрона
то долгота узла возрастает. Следовательно, плоскость орбиты
вращается вокруг вектора hz в положительном направлении
с угловой скоростью —k/2. Обращая внимание на первое иа
равенств E.218) или E.220) и сравнивая с E.183), заключаем,
что наличие магнитного поля меняет эксцентриситет орбиты. Обо-
Обозначая эксцентриситет через е', найдем
Что касается наклона плоскости орбиты к плоскости (х, у) или
(#1. #г)э то очевидно, что магнитное поле на него не влияет.
348 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Мы видим, что во многих случаях метод Гамильтона — Якоби
весьма удобен для решения конкретных задач (в главе VI мы
покажем еще применение этого метода в динамике абсолютно
твердого тела). Можно, разумеется, указать и такие примеры,
в которых решение обычными элементарными методами получается
проще, но в нашу задачу входило лишь дать простые и по воз-
возможности наглядные иллюстрации теоремы Гамильтона —Якоби.
Метод интегрирования канонических уравнений, основанный
на теореме Гамильтона —Якоби, применяли в решении различных
задач многие авторы. Можно указать на [35], [5], [29], [15].
§ 13. Переменные действие — угол
Рассматривая задачу трех тел (Земля, Луна, Солнце), Делоне
ввел замечательные по своим свойствам канонические перемен-
переменные — переменные Делоне, или, как их стали называть позже,
переменные действие — угол. Эти переменные весьма удобны для
исследования малых возмущений в движениях небесных тел.
Переменные действие — угол были с успехом применены в кван-
квантовой теории, созданной Бором и Зоммерфельдом (имеется
в виду старая форма квантовой теории). Одно из основных
положений старой формы квантовой механики состояло в том,
что каждая переменная «действие» равна постоянной Планка hf
умноженной на целое число. Называются они «действием» потому,
что вычисляются с помощью интегралов, размерность которых
совпадает с размерностью действия Гамильтона, и для консерва-
консервативных систем представляют собой канонические постоянные *).
Переменные действие — угол удобны также для решения тех
задач физики, в которых рассматриваются периодические измене-
изменения координат и где в первую очередь нужно вычислять частоты
колебаний.
Будем рассматривать обобщенно-консервативные системы, т. е.
такие системы, у которых функция Гамильтона не зависит явно
от времени и, следовательно, существует обобщенный (или обыч-
обычный) интеграл энергии**). Кроме того, предположим, что суще-
существует хотя бы одна система обобщенных координат, при которой
переменные в уравнении Гамильтона — Якоби разделяются. Отно-
Относительно движения самой системы материальных точек и тел
предположим, что оно условно-периодическое. Это означает, что
при финитном изменении координат каждая пара канонически
сопряженных переменных git pt изменяется периодически с одним
и тем же периодом, следовательно, траектория изображающей
точки в каждой плоскости (qh pt) будет замкнутой кривой. И если
*) См. [13] (задача Кеплера в классическом и квантовом рассмотрении).
**) Системы не обязательно замкнутые.
f, 13. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 349
^периоды у разных пар равны или соизмеримы, то траектория
изображающей точки в фазовом пространстве будет замкнутой.
Движение системы в реальном пространстве будет периодическим
при условии соизмеримости периодов всех пар канонически сопря-
сопряженных переменных. Если же периоды разных пар несоизмеримы,
то траектория изображающей точки в фазовом пространстве не
замкнется и с течением времени заполнит всюду плотно некото-
некоторую конечную область. Движение реальной системы уже не будет
периодическим *).
Если какие-либо обобщенные координаты изменяются неогра-
неограниченно, то обобщенные импульсы должны быть периодическими
функциями канонически сопряженных координат. Постоянным
импульсам, соответствующим циклическим (игнорируемым) коор-
координатам, приписывается период, равный 2я**).
Случай равенства периодов всех пар канонических перемен-
переменных называют случаем полного вырождения — пространственное
движение вырождае1ся в движение по замкнутой кривой линии
в фазовом пространстве. В случае вырождения возможны раз-
различные системы разделяющихся переменных.
Рассмотрим простые примеры.
1. Система с одной степенью свободы — гармонический осцил-
осциллятор. Функция Гамильтона имеет вид
//—g-^ + eoV). E.222)
где, как обычно, q есть обобщенная координата, р —обобщенный
импульс, со — постоянная частота, масса точки равна единице.
Изменение обобщенной координа-
координаты q при любых начальных усло-
условиях финитно. Так как -^— = 0, то
Н = const и траектория изобра-
изображающей точки на фазовой плоско-
плоскости представляет собой эллипс
(рис. 5.6).
2. Система с одной степенью
свободы — неоднородный каток
<рис. 5.7). Рассмотрим цилинд- Рис. 5.6.
рический каток, который может
катиться без скольжения по горизонтальной абсолютно шерохо-
шероховатой плоскости. Масса катка равна т, центральный момент
инерции***) равен /с, радиус равен г, расстояние от геометр иче-
*) Движение реальной системы может оказаться близким к периодическому.
**) Постоянной величине можно приписать любой период.
***) Момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через
центр масс.
350
ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
ской оси до оси, проходящей через центр масс С, равно а.
Каток движется под действием постоянной силы тяжести'. Поло-
Положение катка будем определять углом 6.
Рв
Рис. 5.8.
Через точку касания О* проходит ось мгновенного вращения-
Поэтому скорость центра масс будет равна
где
На основании теоремы Кёнига запишем выражение кинети-
кинетической энергии
Т = y (г2 + а2 — 2ar cos б) 02 + -у-62.
Потенциальная энергия катка равна
U = — mgacosb.
Находим обобщенный импульс
где положено
Запишем функцию Гамильтона
дн
Замечая, чю -5г = 0 и, следовательно, Н = const, запишем урав-
уравнение траектории изображающей точки на фазовой плоскости
ре = V2 A - 2ar cos б) (mga cos б + Я).
Замечая, что р>0 при a<r, построим качественно фазовую
траекторию изображающей точки (рис. 5.8). Кривая / отвечает
13. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
351
финитному изменению угла б: угол периодически колеблется
в пределах (—8lf +6х). С тем же периодом колеблется и обоб-
обобщенный импульс ре — каток переваливается с боку на бок. При
достаточно большой начальной скорости каток покатится по пло-
плоскости — изменение угла б станет инфинитным, обобщенный импульс
будет периодической функцией угла б с периодом, равным 2я.
Случай 2 отвечает асимптотическому стремлению угла б к я
(стремлению центра тяжести С к наивыэгпему, неустойчивому
положению) *).
3. Задача Кеплера— система с тремя степенями свободы.
Формулы E.181) выражают зависимость обобщенных импульсов
от координат:
COS2 ф *
Ре =
E.181)
Предположим, что о&4<0, и будем рассматривать эллиптиче-
эллиптическое движение. Вводя для удобства переменную Бинёи=1//\
запишем рг в виде
Так как при а4<0г периодически изменяется в пределах
от гх до гъ то на фазовой плоскости (prt и) получим замкнутую
траекторию (рис. 5.9).
U, U
Рис. 5.9.
Что касается изменения угла ф, то, приравнивая рф нулю,
найдем
^ COS ф ^ -|-
а2
а2
Следовательно, угол ф изменяется в пределах (—1% +0» гДе *
есть угол наклона плоскости орбиты к плоскости (хи х2) (см.
рис. 5.4). Фазовая траектория изображающей точки на плоскости
(рФ, ф) представлена также на рис. 5.9. Фазовая траектория на
*) См. § 3 гл. II, где рассмотрено качественное исследование движения
с помощью квадратичного интеграла. Финитное периодическое изменение коор-
координаты часто называют либрацией.
352 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
плоскости (ре, 6) будет прямой, параллельной оси абсцисс,
а углу б мы припишем период, равный 2я.
Приведенные примеры в достаточной степени характеризуют
свойства рассматриваемых систем, поэтому мы обратимся к пере-
переменным действие —угол.
Запишем укороченное уравнение Гамильтона —Я коби
E.223)
где ат есть постоянная энергия. Полный интеграл ищем в виде
суммы
И? = 2] HMft)- E.224)
На основании теоремы Гамильтона —Я коби запишем
Р.-^«Й^-/.<*.«>. E-225)
В выражение обобщенного импульса ps входят, кроме qs, неза-
независимые канонические постоянные а (может быть, лишь некото-
некоторые из них).
Вместо канонических постоянных щ вводим новые канони-
канонические постоянные — «действия» У, —при помощи интегралов вида
J, = $PM* E.226)
где пределы интегрирования определяются областью изменения
координаты qs. При инфинитном изменении координаты действие
вычисляется по формуле
+
где xs есть период обобщенного импульса, т. е.
Если qs есть циклическая координата, то
Очевидно, что
/, - $ Ш^' а) 8qs - F. (а). E.227)
Следовательно, действия JSf выраженные через независимые ка-
канонические постоянные аь можно считать новыми независимыми
каноническими постоянными.
f, 13. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ 353
Из E.227) находим
; j() F.228)
Тогда
W(q, a)-+W(q9 f(J))wmW'(q9 J).
Так как в силу консервативности
Н = const = am,
где a/4-i есть одна из старых канонических постоянных, то, пе-
переходя к переменным действие — угол (к новым каноническим
постоянным), мы найдем
K = H{JU ..-, Ji)i E.229)
К есть функция Гамильтона, выраженная в переменных дей-
действие—угол.
Рассматривая W (<7, J) как производящую функцию, запи-
запишем формулы канонического преобразования, которое переводит
переменные qf p в новые переменные *) а\ /:
ю'в77» Лв^57' E#230)
Предполагаем, что
Канонические уравнения в новых переменных будут иметь вид
Очевидно, что координаты ws — циклические. Из формулы E.229)
следует
|~ = const = v,(/).
Поэтому
t + E.232)
Выясним смысл постоянных v5. Пусть обобщенная коорди-
координата qj изменяется на величину ту (ту есть период изменения
координаты <jy» в частности, ту = 2я). Найдем соответствующее
приращение ws:
Но
*) Преобразование унивалентное, свободное. Производящая функция за-
зависит от новых импульсов и старых координат (см. формулу E.106)). Пере-
Переменные ws в небесной механике получили название угловых,
12 В. В. Петкееич
354
Поэтому
Из E.232)
Отсюда
ГЛ. V, МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
(л и
a dJb с Hi /с = Sf
s dJs ks \0, k^s.
находим
_ i
E.233)
E.234)
E.235)
Следовательно, постоянные v5 равны частотам изменения коор-
координат qs.
Рассмотрим снова в качестве примера одномерный гармони-
гармонический осциллятор. В § 7 мы, рассматривая осциллятор, приме-
применили каноническое преобразование, в котором старые и новые
переменные были связаны следующими формулами:
^ sinQ
(со — частота колебаний осциллятора). Функция Гамильтона,
имевшая в старых переменных вид
в результате преобразования становилась равной
Нетрудно убедиться в том, что введенные в § 7 переменные
Qt P пропорциональны переменным угол — действие w9 J. С этой
целью, используя интеграл энергии # = а, найдем действие
(а есть постоянная энергия). Для вычисления интеграла положим
Я = ^У*>< sinY>
тогда
Отсюда получим выражение новой функции Гамильтона
Запишем теперь канонические уравнения в новых перемен-
переменных:
dw_ _ дК_ dJ_ OK
di "" dj • dt "" dm %
ft 13. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ — УГОЛ 355
ИЛИ
dw (о dJ ~
dt "" 2л ' dt "" '
Ишегрируя, находим
Напомним, что в § 7 переменные Q и Р имели вид
Мы видим, что действительно переменные Q, Я пропорцио-
пропорциональны переменным угол — действие:
Q = 2nw% P—^Л
Переменные до называются «угловыми». Поясним происхож-
происхождение этого названия. Введем на фазовой плоскости ортогональ-
ортогональные координаты q1% рь положив
Нетрудно проверить, что в системе qu px величины
i и Q
будут полярными координатами изображающей точки. Исполь-
Используя формулы, связывающие q, p, Q и Р, находим дх и рх:
cos Q.
Полученные формулы говорят о том, что изображающая
точка на плоскости (qu px) движется равномерно по окружности
радиуса У~Р с центром в начале координат. Полярный угол
Q=2nw отсчитывается от оси р,.
Из приведенного примера ясно, почему переменные w назы-
называются угловыми.
Подобным же образом можно интерпретировать переменные
ws в многомерных случаях как угловые координаты точки на
некотором многомерном торе.
В случае вырождения частоты системы связаны между собой
некоторыми линейными соотношениями с целыми коэффициен-
коэффициентами. В частности, если постоянная энергия аш есть функция
12*
356 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
от суммы действий, то частоты колебаний всех переменных qi
равны и траектория изображающей точки будет замкнутой. Так
будет, например, для пространственного осциллятора, интеграл
энергии для которого имеет вид
Полагая
найдем
Следовательно,
ttas
—
§14. Вариация канонических постоянных
Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием
потенциальных сил. Уравнения движения запишем в форме
уравнений Гамильтона:
ЧГ dPs> dt ~ dgs Is *¦ Zf •••• l)t ^°^4>
Здесь Н (q% p\ i) есть известная функция канонических пере-
переменных и времени.
Предположим, что, как это часто бывает, проинтегрировать
систему E.24) мы не можем. Разделим функцию Н на две части,
положив
H(q9 р; 0=*tfi (9. PI 0+ #*(<?¦ Р\ 0.
и составим уравнения Гамильтона, правые части которых полу-
получены дифференцированием функции Нх:
4^ ^^ »-Ь2 О- E.236)
Единственное условие, которому подчиняется операция разделе-
разделения функции Я, состоит в том, чтобы система E.236) была
интегрируема.
Находим общее решение методом Гамильтона — Якоби;
Ям-Чш& a. P)> Ps=*Ps(t> а, р), E.237)
где а и р — канонические постоянные.
Покажем, что мы можем найти такие функции времени и
постоянных а, 6, подставив которые в E.237) вместо a$ P, по-
получим искомое общее решение системы E.24).
§ 14. ВАРИАЦИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПОСТОЯННЫХ 357
Составим уравнение Гамильтона — Якоби
+ tf^lh'bo. E-238)
Запишем полный интеграл этого уравнения:
Общее решение системы E.236) находим о помощью формул
»- жг-t" E-239)
которые мы можем рассматривать как формулы канонического
преобразования. Новая функция Гамильтона, определяемая фор-
формулой
«.-?+*.(»• ?; «)¦
здесь равна нулю.
Если теперь мы будем рассматривать аир как новые кано-
канонические переменные, связанные со старыми переменными
<7, р формулами E.237) или E.239), то очевидно, что характер
зависимости производящей функции от q и а не изменится
(формулы E.239) не содержат производных по времени). Потре-
Потребовав, чтобы уравнения E.24) удовлетворялись при переменных
а и р, мы должны будем положить (в соответствии с теорией
канонических преобразований)
или
Круглые скобки означают здесь, что правые части выражены
через новые переменные.
Уравнение E.238) содержит производную по явно входящему
в функцию V времени. Следовательно, так как виц функции V
не изменяется, то в силу E.238)
dV , о п
Отсюда находим выражение для функции К\
/С = (Яа). E.240)
В выражение функции Н% мы подставили
Я. - Я, Р. «@. Р (<)]. А - Ps Р, «@. Р @1' F.241)
где а@, Р@ — новые неизвестные функции.
358 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Формулы E.241) представляют собой формулы канонического
преобразования, йто позволяет нам сразу записать систему
уравнений для переменных a{t), p(f) в виде системы канони-
канонических уравнений:
das _ d(ff2) dps
Если мы сможем (любым способом) найти общее решение системы
E-242) в виде
«,«<*,(*, а, Ь), р,-Р,(*. а, 6), E.243>
где а, Ь — новые постоянные (не обязательно канонические), то
общее решение системы E.24) будет иметь вид
ft-ftP. «(*. о. 6). Р<*. о, &)],
р,-р,р, а(*. а, ft), P(f, а, ft)]. E.244)
Чаще всего, однако, это не удается. Тогда решение системы
E.242) ищут каким-либо приближенным способом.
Изложенный здесь метод вариации канонических постоянных
был развит Якоби в связи с исследованиями по теории возму-
возмущений на основе метода вариации произвольных постоянных
Лагранжа.
Суть дела заключается в том, что во многих задачах мы
можем разделить силы на две категории: основные («большие»)
и возмущающие («малые»). Как правило, в выражение возму-
возмущающих сил входят малые параметры (один или несколько).
Тогда разделение функции Гамильтона нужно производить так*
чтобы возмущения порождались функцией Я2. Наличие малых
параметров в правых частях уравнений для возмущений позво-
позволит решать эту систему каким-либо приближенным способом.
В частности, если в системе E.236) ввести переменные дей~
ствие —угол, то при переходе к системе E.242) постоянные Js
и vs станут медленно меняющимися переменными (разумеется,
при наличии малых параметров).
В этом заключается большое преимущество переменных дей-
действие—угол перед другими переменными в теории возмущений*).
§ 15. Уравнения Рауса
В 1876 г. Рауо опубликовал открытые им уравнения движе-
движения еистем с конечным числом степеней свободы. Эти уравне-
уравнения, названные впоследствии уравнениями Рауса, имеют весьма
своеобразную форму и занимают промежуточное положение
*) Медленно изменяющиеся «действия* называют адиабатическими нива*
риантами системы.
§ 15. УРАВНЕНИЯ РАУСА 35Э
между уравнениями Лагранжа 2-го рода и уравнениями Гамиль-
Гамильтона *).
Уравнения Рауса, как мы увидим дальше, удобны при опи-
описании движения систем с циклическими координатами.
Предположим, что рассматривается движение системы с ко-
конечным числом степеней свободы под действием потенциальных
¦сил и что связи, наложенные на систему, идеальные и голоном-
ные. Разделим все обобщенные координаты на две части: к пер-
первой отнесем координаты ql9 q2, ..., qm> а ко второй qm+l9 qm+2,---
«.., qi (/ — число степеней свободы, m</). В число переменных
включим обобщенные импульсы, соответствующие второй группе
координат, определяя их формулами
trm+U ..., О- E.245)
Рассматривая формулы, определяющие обобщенные импульсы
как формулы преобразования переменных, и предполагая, что
определитель преобразования отличен от нуля, т. е. что
E-246)
яа основании теоремы Донкина (гл. V, § 2) запишем формулы
обратного преобразования **)
1, .... /). E.247)
Здесь R есть функция Рауса, определяемая формулой
i
Я- 2 Prkr-U F.248)
г=т-\-\
где
4г«М<7„ <Ь; Яп РА 0, E.249)
Яг, fA t). E.250)
Совокупность переменных
(Яз, Ц,\ Яг, Рг) F.251)
(s—1, 2, ..., т\ r = m+l, m+2, ..., О
будем называть переменными Рауса.
*) В 1884 г. уравнения Рауса были использованы Гельмгольцем в его
исследованиях по проблемам термодинамики.
**) Определитель преобразования для любой классической системы будет
одним из главных миноров определителя, составленного й& коэффициентов
Положительно определенной квадратичной функции Га.
860 ГЛ. V. МЕХАНИКА ГАМИЛЬТОНА
Уравнения движения мы также представим в виде двух си-
систем: т уравнений второго порядка для координат qs и 2(/ — т)
уравнений первого порядка для переменных qr и рг.
Запишем первую систему —это будет система уравнений Лаг-
ранжа 2-го рода
О (s»l, ..., т), E.252)
, dL dL
в которой частные производные *x и ¦*- выражены через пере-
переменные Рауса.
Для того чтобы записать вторую систему, мы поступим так
же, как и при выводе уравнений Гамильтона: запишем проме-
промежуточную систему уравнений первого порядка, вводя в каче-
качестве новых неизвестных функций 0,:
-а \г = ш -р 1, • • • | *;.
Затем перейдем к переменным Рауса. Система уравнений примет
следующий вид:
^(^) E.253)
Обратимся снова к теореме Донкина, рассматривая перемен-
переменные
qs, Us (s-1, 2 m), qr(r~m+lt .... /), t
в качестве параметров.
В силу теоремы Донкина
OR /dL\ dR /dL\ _
{5-254>
8—
Вводя частные производные от функции Рауса по? и р в урав-
уравнения E.252) и E.253), приходим к уравнениям Рауса, т. е. к
двум системам уравнений:
1) система уравнений второго порядка
S 19. УРАВНЕНИЯ РАУСА 861
2) система уравнений первого порядка
dqr dR_
dt = 0pr'
F.258)
IT Wr C"m+1'-» 0. E.259)
Мы видим, что уравнения второго порядка имеют вид урав-
уравнений Лагранжа 2-го рода и функция Рауса в этих уравнениях
представляет собой функцию Лагранжа с измененным знаком.
Вторая система уравнений первого порядка есть система кано-
канонических уравнений, в которой функция Рауса исполняет обя-
обязанность функции Гамильтона.
Обратимся к системам с циклическими координатами. Пусть
обобщенные координаты qr {г = т +1, ..., /) — циклические *).
Тогда из второй системы уравнений Рауса мы найдем
%-<>¦
Следовательно,
рг« const = сп E.260)
Подставив Рг — сг в функцию Рауса, заметим, что она будет зави-
зависеть от gS9 <?*, cr и t. Йоэтому первую систему уравнений Рауса
iwrwr* <s-1-2 m)
мы сможем интегрировать отдельно и найдем все нециклические
координаты как функции времени и 2т произвольных постоянных
(предполагается, что интегрирование первой системы выполнимо).
Подставив найденные выражения нециклических координат в
функцию Рауса, мы снова обратимся к уравнениям второй системы.
Уравнения для циклических координат запишем в виде
dq^ _ dR
dt ~ дсг '
а сами циклические координаты найдем при помощи квадратур:
E.261)
•) Если координата 7г""^иклическаяэ то
dgr dqr dqr
ГЛАВА VI
МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Тензор инерции
Абсолютно твердое тело представляет собой идеализированную
модель реального тела: конечный объем, заполненный неизменя-
емой сплошной средой *).
Для составления динамических уравнений движения тела**>
важно знать закон распределения плотности вещества и устано-
установить количественные характеристики меры инертности для про-
пространственного движения тела.
Рассмотрим тело, объем которого равен т. Пусть нам известен
закон распределения плотности вещества p(xi, #2, #з)> где Х(—*¦
координаты некоторой средней точки элемента объема бт. Функ-
Функция р может иметь конечные разрывы.
Масса тела определяется при помощи интеграла
М = Щрбт. F.1)
f
Радиус-вектор центра масс С вычисляется по формуле, анало-
аналогичной формуле для радиуса-вектора центра масс 6 механике*
систем материальных точек:
где г — радиус-вектор некоторой точки элемента объема.
Мерой инертности тела, кроме массы, является тензор инерции-—
шесть моментов инерции, которые входят в качестве коэффициентов
в выражение кинетической энергии и в выражения проекций кине-
кинетического момента тела. Как мы увидим дальше, моменты инерции
зависят от выбора начала и направления осей координат, относи-
относительно которых они вычисляются (мы ограничиваемся прямоуголь-
*) Возможность пренебречь деформациями и считать тело абсолютно»
твердым определяется физическими условиями в каждом конкретном случае-
Ь разных условиях одно и то же вещество может вести себя по-разномуг
металл течет под большим давлением, летящий в воздухе резиновый мяч можнф
считать абсолютно твердым и т. д.
**) В настоящей главе рассматривается только абсолютно твердое тело^.
поэтому дальше мы для сокращения будем опускать слова «абсолютно твердое*.
ft 1, ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ
363
яыми декартовыми координатами). Распределение моментов инер-
инерции относительно пучка осей, проходящих через какую-либо точку
тела, можно охарактеризовать при помощи тензорной поверх-
поверхности — эллипсоида инерции.
Обратимся к выводу закона распределения моментов инерции.
Пусть дано тело с известным распределением плотности. Объем
тела обозначим через т. В некоторой точке тела О поместим
начало координат, обозначив оси через хъ Хь #з (рис. 6.1).
Через точку О проведем прямую Д, направление которой
характеризуется единичным вектором е о направляющими коси-
косинусами аъ а2, а3. Моментом
инерции тела относительно
оси Д назовем величину, вы-
вычисляемую при помощи ин-
интеграла
Рис. 6.1.
F.3)
где плотность вещества р есть
известная функция коорди-
координат, которая может иметь
конечные разрывы, / — длина
перпендикуляра MN, опущенного из некоторой средней точки М
элемента объема бт на ось Д. Очевидно, что для невырожденной
модели реального тела /дд>0#
Если тело движется относительно осей хъ лг2, х3 — координаты
точек зависят от времени, то время t войдет в интеграл F.3)
в качестве параметра. Следовательно, моменты инерции будут
функциями времени. Если же тело неподвижно относительно
системы х1$ лг2, х3, то «/дд будет величиной постоянной, хотя
сами оси координат могут быть подвижными — в этом случае оси
«вморожены» в тело и движутся вместе с ним*).
Выразим /2 через xt vl а^:
или
3 3
а - 2 2
F.4)
F.5)
Умножим обе части F.5) на
р6т, где fim есть масса
*) Оси, «вмороженные» в тело или жестко связанные о ним, часто назы«
««от собственными осями.
364 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
элемента объема и проинтегрируем по объему т*):
з зз
Введем обозначения
Величина /0 есть момент инерции тела относительно точки (?¦
Момент инерции тела относительно оси А будет равен
Следовательно, момент инерции тела относительно оси Д есть
квадратичная функция направляющих косинусов вектора е.
Воспользовавшись тождеством
и вводя другие обозначения
F.7)
представим /дд в виде однородной квадратичной функции:
з з
S U F.8)
^десь /ii» ^22» ^зз — осевые моменты инерции, Jkj (кф j)~ центро-
центробежные моменты инерции, или произведения инерции**).
Закону распределения моментов инерции, выражаемому фор-
формулой F.8), можно придать наглядную геометрическую форму.
Для этого величину момента инерции относительно каждой оси
Д будем характеризовать точкой Р, лежащей на этой же оси и
Йыбранной пока произвольно (дальше мы подчиним выбор точек
Р некоторому условию). Выразим направляющие косинусы а*
*) Для краткости интеграл по объему т будем обозначать символом
$ / (хг, х2, х3) бт.
т
**) Моменты инерции ./#, «/#/ не зависят от выбора прямой А,
f, I, ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 365
через координаты точки Р, обозначая их для краткости через
с-а,
где R есть расстояние точки Р от начала координат. Подставив
эти выражения а* в F.8), получим
з з
Коэффициенты квадратичной функции F зависят от выбора осей
координат. Сама же функция F, равная произведению ЯУдд,
не может зависеть от выбора координат — это есть инвариант,
т. е. величина, не изменяющаяся при переходе от одной системы
координат к другой. Следовательно, функция F(xl9 x2, х3) есть
инвариантная квадратичная функция координат, а значит, сово-
совокупность коэффициентов этой функции представляет собой сим-
симметричный тензор второго ранга (по числу индексов) — тензор
инерции *)
F.10)
Если мы рассмотрим ортогональные преобразования декар-
декартовых координат —преобразования поворота, то, исходя из инва-
инвариантности функции F.9), мы можем найти формулы преобразо-
преобразования величин Д/. Пусть координаты хъ х2, х3 и ?1э 12> ?3 связаны
формулами
**
*/
F.1
)- Составим таблицу
*%
h
аи
a21
«81
и
а12
«22
а32
ь
а23
«33
Ы
, / =
*) Слово tension означает напряжение, натяжение. Термин «тензор» поя*
вился в теории упругости. С течением времени, однако, понятие тензора утра-
утратило первоначальный смысл и тензор стал математическим образом различных
физических объектов, обладающих общими свойствами.
366 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В силу инвариантности функции F.9) мы можем написать
равенство
2 2 AW-5J 2 KsUs. F.12)
Здесь J'is — компоненты тензора инерции в новой системе коор-
координат.
Подставляя F.11) в F.12) и меняя порядок суммирования,
найдем
2 2 *^2 2 V***a/*=2 J] Л.ЬЬ.
Формулы преобразования моментов инерции получим, сравнивая
коэффициенты при одинаковых произведениях координат &?,:
з з
Л = 2 2 Л/а«а„. F.13)
л=1/«1
Если мы теперь разрешим уравнения F.11) относительно ?/, ?s$
то для преобразования самих произведений координат найдем
формулы, совпадающие с F.13):
Компоненты симметричного тензора второго ранга при орто-
ортогональных преобразованиях декартовых координат преобразуются
по тем же формулам, что и произведения координат.
Поставим задачу: выразить величину момента инерции тела
относительно оси Д через расстояние точки Р от начала коорди-
координат. Для этого, обращаясь к формуле F.9), положим
F(xu хъ x3) = k\ F.14)
Уравнение F.14) есть уравнение центральной поверхности вто-
второго порядка — тензорной поверхности — и вместе с тем уравне-
уравнение геометрического места точек Р, расположенных на различных
осях, проходящих через начало координат*). Очевидно, что
уравнение F.14) определяет поверхность с точностью до преоб-
преобразования подобия.
Из F.9) следует, что
па» F.15)
*) Уравнение F.14) выражает условие, которому подчиняется выбор точек
Л лежащих на различных осях Д.
fj I, ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 367
Момент инерции относительно оси А обратно пропорциона-
пропорционален квадрату расстояния от центра до поверхности F.14).
Очевидно, что если рассматриваемая модель реального тела
невырожденная, то для всех направлений Удд>0, следовательно,
все точки поверхности находятся на конечном расстоянии от
центра. Поэтому тензорной поверхностью будет эллипсоид. В зави-
зависимости от распределения плотности и от формы тела эллипсоид
будет либо трехосным, либо эллипсоидом вращения, либо сферой.
Если рассматривать* вырожденную модель реального тела,
например бесконечно тонкий стержень длины /, то момент
инерции относительно оси, совпадающей со стержнем, будет равен
нулю и расстояние до соответствующей точки тензорной поверх-
поверхности обратится в бесконечность. В этом случае тензорная поверх-
поверхность представляет собой круглый цилиндр с осью, направленной
по стержню.
Итак, распределение моментов инерции относительно пучка
осей, проходящих через некоторую точку тела, в которой поме-
помещено начало координат, геометрически характеризуется тензор-
тензорной поверхностью — эллипсоидом инерции, уравнение которого
имеет вид
S S k\ F.16)
Для составления динамических уравнений удобнее выбирать
оси хъ х2> х3 жестко связанными с телом («вмороженными» в тело).
Компоненты тензора инерции Jkf при таком выборе будут посто-
постоянными.
Среди множества осей координат, связанных с телом, самыми
удобными являются главные оси инерции. Как известно из ана-
аналитической геометрии, существуют три (в случае трехосного
эллипсоида только три) взаимно перпендикулярные прямые,
ортогональные к поверхности второго порядка в точках пересе-
пересечения с ней. Направления этих прямых называются главными
направлениями. Если путем поворота придать осям координат
главные направления, т. е. перейти к главным осям инерции, то
уравнение F.16) упрощается —обратятся в нуль все коэффици-
коэффициенты с различными индексами.
Оси координат, имеющие главные направления,— главные оси
инерции — обозначим через х9 у, г. Уравнение F.16), отнесенное
к главным осям, будет иметь вид
Jxxtf + Jyytf + J «** = &, F.17)
где Jxx> Jyyy Jzz —главные {осевые) моменты инерции.
Отметим, что сумма любых двух осевых моментов инерции
(не обязательно главных) для невырожденной модели больше
368 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
третьего. В самом деле,
X
Отсюда
8т + 2 $
Ясли модель реального тела есть бесконечно тонкая плас-
пластинка (вырожденная модель), расположенная в плоскости (х, у),
то для всех точек г=*0 и мы получим
•» хх г
уу =3= • zz •
Часто для моментов инерции применяют простые обозначения,
полагая
Уравнение F.17) запишется так:
Ax2 + By2 + Cz2==k\ F.18)
Длины полуосей а, Ь, с эллипсоида инерции найдем, полагая
по очереди {/ = г = 0, г = х = 0, х = у = 0:
k u k k
a=71' b=Vb' С=П'
Уравнение F.18) можно представить в каноническом виде:
у-2 у2 ?Ъ
+ Ъ + Ъ1 F19)
Напомним без вывода теорему Гюйгенса— Штейнера.
Пусть известен момент инерции тела /дд относительно оси Д,
проходящей через центр масс. Тогда момент инерции относи-
относительно оси А', параллельной оси Д, будет равен моменту инерции
относительно оси Д, сложенному с произведением массы на квад-
квадрат расстояния между осями, т. е.
/д/д/= /дд +
где М —масса тела, d — расстояние между осями.
§ 2. ВНЕШНИЕ СИЛЫ (МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ) 369
§ 2. Внешние силы (массовые и поверхностные).
Уравнения движения свободного тела
Абсолютно твердое тело мы рассматриваем как сплошную
недеформируемую среду. Поэтому, так же как в механике сплош-
сплошной деформируемой среды, разделим все активные силы на мас-
массовые и поверхностные с тем отличием, что будем иметь дело
только с внешними силами. Принимая гипотезу неизме-
неизменяемости тела, мы тем самым теряем право рассматривать силы
взаимодействия между частицами тела. Мы предпологаем только,
что силы взаимодействия — внутренние силы — достаточны для
того, чтобы деформации были пренебрежимо малыми *). Если в
каких-либо конкретных условиях деформации становятся замет-
заметными и пренебрежение ими исказит описание явления, то надо
обращаться к более совершенной модели —к сплошной деформи-
деформируемой среде.
Массовые силы действуют на каждый элемент объема тела,
поэтому удобно вводить плотность массовой силы, обозначая ее
через /. Тогда сила, действующая на элемент объема 8т, может
быть представлена в виде
6Ят> =/р 6т=/6т. F.20)
Вектор / имеет размерность ускорения и может зависеть от коор-
координат точки, от проекций скорости и от времени. Примерами
массовых сил являются силы тяготения, силы инерции в случаях,
когда рассматривается движение тела относительно неинерциаль-
ной системы отсчета и силы электромагнитного происхождения.
Интегрируя F.20) по объему тела, найдем суммарную массо-
массовую силу
fw-J/бт. F.21)
X
Интегрирование распределенных по объему векторов, как и вычис-
вычисление конечных сумм в механике материальных точек, основано
на принципе независимости действия сил и, следовательно, на
сложении сил по правилу параллелограмма.
В некоторых задачах возникает необходимость указать точку
тела, в которую следует поместить вектор F(m\ чтобы действие
его было эквивалентным действию всей совокупности элементарных
сил /6т, распределенных по объему. Очевидно, что координаты
такой точки зависят от закона распределения плотности массовых
сил, от плотности вещества и формы тела. Дальше, рассматривая
*) Имеется в виду изменение расстояний между точками тела с течением
времени.
370 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
уравнения движения и равновесия тела, мы обратимся к этому
вопросу *).
Поверхностные силы распределены по внешней поверхности
тела и обязаны своим происхождением взаимодействию тела
с внешней средой. Например, аэродинамические силы, приложен-
приложенные к поверхности самолета, силы, действующие на корпус
корабля со стороны воды, и т. д. Поверхностные силы удобно
относить к элементу площади, записывая их в виде
6Яа> = Ря6а. F.22)
Здесь Рп — напряжение (индекс п указывает направление нормали,
внешней по отношению к объему т), 8а —элемент поверхности.
Угол между вектором Рп и внешней нормалью к поверхности
может быть любым.
Суммарная поверхностная сила будет равна интегралу по
замкнутой поверхности тела а:
$лда. F.23)
Среди сил, приложенных к поверхности абсолютно твер-
твердого тела, могут быть и сосредоточенные силы — силы, приложен-
приложенные в точке.
По отношению к поверхностным силам также можно ставить
вопрос о месте приложения равнодействующей, например, можно
определить центр аэродинамического давления на крыло самолета.
Перенесем силы F{m) и F{o) в некоторую точку и геометри-
геометрически сложим. Сумму векторов F(m) и Ма) обозначим через F
и будем называть главным вектором внешних сил:
Главный вектор может быть или не быть равнодействующей всех
внешних сил в зависимости от того, где он приложен.
При составлении уравнений движения тела мы столкнемся
с необходимостью вычислять суммарный момент всех массовых
и поверхностных сил относительно какого-либо центра.
Выражение момента элементарной массовой силы получим
из F.20):
8Ж^> = [/-/] 8т, F.24)
где г есть радиус-вектор точек тела. Интегрируя по объему х%
найдем
\. F.25)
*) В механике сплошной деформируемой среды заменять распределении»
силы одной силой нельзя.
§ 2. ВНЕШНИЕ СИЛЫ (МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ) 371
Аналогично, для поверхностных сил,
6Я№(°> = [гРп] 6а, S»w = (Н) [гРл] ба. F.26)
Сумму моментов всех внешних сил будем называть главным
моментом и обозначать через Wt:
Обозначим элементарную работу сил на действительных пере-
перемещениях символом «Л,/», как и в предыдущих главах. Тогда
элементарная работа массовых сил на действительном перемеще-
перемещении будет равна
Aw = \{fdr)bm. F.27)
X
Для элементарной работы поверхностных сил получим выражение
o. F.28)
Действительное перемещение точки приложения силы dr — vdt
вычисляется по формуле Эйлера (см. кинематику абсолютно
твердого тела).
Виртуальная работа массовых и поверхностных сил вычисля-
вычисляется по формулам F.27) и F.28), только вместо dr нужно под-
подставить 6/\
Если тело не свободное — движение его стесняется связями,
то будут действовать реакции связей, представляющие собой
неизвестные функции координат, скоростей точек и времени.
Известны лишь места приложения этих сил: они могут быть при-
приложены в отдельных точках (например, реакции шарниров) либо
распределены по некоторым участкам внешней поверхности тела
(реакция плоскости, по которой скользит брусок) и т. д. Зависи-
Зависимость же реакций от координат, их производных и времени
заранее, до решения задачи, указать нельзя.
Так же, как в механике систем несвободных материальных
точек, мы можем выделить класс идеальных связей, определяя их
как такие связи, сумма виртуальных работ реакций которых равна
нулю на любом виртуальном перемещении.
При решении конкретных задач, если не нужно специально
вычислять реакции связей, уравнения движения тела надо сос-
составлять так, чтобы исключить лишние неизвестные — реакции
связей. Конечно, это не всегда возможно.
Положение свободного тела определяется шестью координа-
координатами, которые можно выбрать различными способами. Обычно,
рассматривая движение тела относительно инерциальной системы
372
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
отсчета, вводят еще оси Кёнига и в качестве обобщенных коор-
координат выбирают три координаты центра масс и три координаты,
определяющие ориентацию тела относительно осей Кёнига. Чаще
всего применяют углы Эйлера, которые мы рассмотрим в следу-
следующем параграфе.
Шесть уравнений движения тела мы получим, постулируя
обобщение основных теорем динамики систем материальных точек:
теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кине-
кинетического момента (см. гл. IV). В некоторых случаях удобно
применять обобщение теоремы об изменении кинетической энер-
энергии. В случаях, когда рассматривается движение свободного тела
или тела с голономными связями, удобны уравнения Лагранжа
2-го рода или уравнения Гамильтона *).
Итак, пусть свободное тело движется относительно инерци-
альной системы отсчета, с которой связаны оси хъ хъ х3 (рис. 6.2).
Штрихами отмечены оси Кёнига. Основными мерами движения
тела будут:
импульс (количество движения)
-~
кинетический момент
F.29)
F.30)
где Vq есть скорость центра масс, г —радиус-вектор точки тела
относительно центра масс, ©' — скорость точки тела относительно
осей Кёнига.
Обобщение основных теорем динамики систем материальных
точек связано с переходом от дискретного распределения масс
*) По существу мы имеем здесь дело с обобщением основных понятий
механики Ньютона. Необходимость обобщения вызвана тем, что абсолютно
твердое тело есть сплошная среда, а не совокупность материальных точек.
§ 2. ВНЕШНИЕ СИЛЫ (МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ) 37$
к сплошной среде и выражается в замене конечных сумм инте-
интегралами по объему т и по поверхности а.
Запишем для свободного тела общие теоремы динамики в век-
векторной форме.
Производная по времени от импульса тела равняется сумме
всех внешних массовых и поверхностных сил, или произведение
массы тела на ускорение центра масс равно сумме всех внешних
массовых и поверхностных сил:
или
Л*^-Л F.32>
Производная по времени от кинетического момента тела равна
сумме моментов всех внешних массовых и поверхностных сил.
Кинетический момент и моменты сил вычисляются либо отно-
относительно начала координат, связанного с инерциальной системой
отсчета, либо относительно центра масс*).
Следовательно, уравнение движения тела относительно осе»
Кёнига запишется в виде
или
тг = тас. F-33>
Шесть дифференциальных уравнений F.32) и F.33) образуют
связанную систему и должны интегрироваться совместно. В сравни-
сравнительно простых случаях система распадается на две группы, по
три уравнения в каждой. В небесной механике движение тела,
описываемое системой F.32) и F.33), называется поступательно-
вращательным.
Решение системы дифференциальных уравнений F.32) и F.33)
вместе с начальными условиями определяет состояние движения
тела в каждый момент времени. Значит, если мы можем заменить
распределенные силы одной силой, приложив ее так, чтобы не
изменились правые части уравнений, т. е. чтобы действие этой
силы было эквивалентно ^действию распределенных сил, то мы
найдем равнодействующую силу.
*) При исследовании движения свободного тела удобнее пользоваться"
осями Кёнига,
874 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Очевидно, что главный вектор внешних сил будет представ-
представлять собой равнодействующую силу, если момент главного вектора
относительно начала равен главному моменту, т. е. суммарному
моменту всех внешних сил относительно того же начала.
Абсолютно твердое тело будет находиться в покое при следую-
следующих условиях: сумма всех внешних сил равна нулю, сумма
моментов всех внешних сил относительно центра масс (или дру-
другого начала) равна нулю и, кроме того, скорости точек тела
равны нулю в некоторый (начальный) момент времени *).
Выведем условия равновесия тела, исходя из статического
принципа виртуальных перемещений (см. гл. IV, § 4), сформули-
сформулировав его применительно к телу (или системе тел), на которое
действуют распределенные силы.
Необходимое и достаточное условие равновесия тела (свобод-
(свободного или подчиненного идеальным связям) заключается в равен-
равенстве нулю виртуальной работы внешних активных сил:
$ (/8г) 8т + ?| (Рп 8г) 8а = 0, F.34)
т о
где 8г есть виртуальное перемещение точки тела. Применяя фор-
формулу Эйлера, запишем
Через гс обозначен радиус-вектор центра масс, г' — относитель-
относительный радиус-вектор, бу —угол виртуального поворота вокруг оси,
проходящей через центр масс в направлении вектора е. Таким
образом, вариация радиуса-вектора точки выражена через вариа-
вариации 8гс и е8у, которые не зависят от координат точки
(см. рис. 6.2). Преобразуем левую часть уравнения F.34):
$ (f8r) 8т = (8гс\/8т\ + $ (f[e8yr'\) 8т = (бгс /*»>) + (е 8уШ{ст\
(Рп8г) 8о = (8гс Q Рп8о\ + (Ц) (Рп [е 8уг'])8в =
/
(в смешанном произведении векторов применена циклическая
перестановка сомножителей). Подставив в F.34), получим
В силу независимости и произвольности вариаций бгс и еду
•) Здесь рассматривается свободное тело.
§ 2. ВНЕШНИЕ СИЛЫ (МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ)
375
Таким образом, необходимым и достаточным условием равнове-
равновесия свободного абсолютно твердого тела будет равенство нулю
суммы всех внешних сил и суммы моментов внешних сил относи-
относительно центра масс (или любой другой точки).
Если у тела неподвижны две его точки и единственным вир-
виртуальным перемещением будет виртуальный поворот тела вокруг
оси, проходящей через неподвижные точки, то условием равно-
равновесия тела будет равенство нулю суммарного момента внешних
сил относительно оси.
Если неподвижна одна точка, то виртуальный поворот возмо-
возможен вокруг любой оси, проходящей через неподвижную точку.
Условием равновесия будет равенство нулю главного момента
(вектора) всех внешних сил относи-
относительно неподвижной точки*).
Записав динамический принцип
виртуальных перемещений (гл. IV,
§ 5) в виде
F.35)
Рис. 6.3.
и выражая виртуальное перемеще-
перемещение 6г по формуле Эйлера, мы смо-
сможем вывести уравнения движения тела в различных формах,
в частности, получить обобщение основных теорем динамики для
свободного тела.
Рассмотрим некоторые частные виды массовых сил и найдем
место приложения равнодействующей.
Пусть тело движется в однородном поле тяжести (рис. 6.3)
относительно системы осей х, у, z (ось z направлена вертикально
вверх). Очевидно, что здесь /=g\ где g* есть ускорение свобод-
свободного падения.
Находим сумму массовых сил
Приравняем момент силы F^m) относительно точки О полному
моменту всех массовых сил:
*) Предполагается, что трения в «подшипниках» нет»
376
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
где R есть неизвестный радиус-вектор точки приложения равно-
равнодействующей, г — радиус-вектор точки тела. Обозначая координаты
точки приложения равнодействующей через Х% Y, Z, запишем
М
i
X
0
У
Y
0
к
z
—s
j
х
1
X
0
1
У
0
к
г
6m,
где /, у, Л— единичные векторы, направленные по осям х% у, г.
Проектируя векторное равенство на оси координат, убеждаемся
в том, что X и Y равны координатам центра масс!
Координата Z остается неопределенной. Мы видим, что суммарная
массовая сила — сила тяжести — может быть приложена в любой
точке вертикальной прямой, проходящей через центр масс (в пре-
пределах тела), и тогда ее действие на тело будет эквивалентно
действию распределенных элементарных
сил тяжести *).
Неопределенность координаты Z не
случайна. Дело в том, что если тело
абсолютно твердое, то силу, действую-
действующую на тело, можно приложить в лю-
любой точке линии действия этой силы,
так как при передвижении вектора силы
вдоль линии действия не изменяется
момент силы. Следовательно, матема-
математическим образом силы, приложенной
к абсолютно твердому телу, является
«скользящий» (передвигаемый) вектор.
Рассмотрим еще пример (рис. 6.4).
Пусть однородный стержень длины /
покоится относительно неинерциальной
системы отсчета — равномерно враща-
вращается вместе с системой х, у, z вокруг оси 0? (оси Ог и ОС сов-
совпадают). Система ?, tj, ? неподвижна. Стержень находится в пло-
плоскости (а:, г) и образует угол а с осью z. Суммарная сила инер-
инерции будет равна
Рис. 6.4.
с°2
*) Позернув тело, мы можем, определяя точку пересечения линий действия
равнодействующей, построением найти центр масс, совпадающий с центром
'Тяжести.
f, 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 37?
где р есть линейная плотность, 6s —элемент длины стержня»
Вычисляя интеграл и положив р = Л1//, где Л1 — масса стержня,
находим
F(m) <О2 Ml sin а Ыт) Ыт) л
л == 2 » ^* "в г eUe
Сравниваем моменты сил относительно оси Оу, обозначая через
Z неизвестную координату точки приложения равнодействующей:
о
Отсюда
Z == ~ cos a.
Мы видим, что линия действия равнодействующей центробежной
силы инерции не проходит через центр масс стержня. Точку,
через которую проходит равнодействующая сила инерции, можно
назвать центром инерции. Поэтому замена термина «центр масс»
термином «центр инерции» неудачна.
§ 3. Кинематические и динамические уравнения Эйлера
для тела с одной неподвижной точкой. Кинематические
уравнения Пуассона. Уравнения Лагранжа 2-го рода
Во многих задачах механики абсолютно твердого тела рас-
рассматривается вращательное движение тела, одна из точек которого
неподвижна относительно некоторой системы отсчета. К такого
рода задачам приводит, например, теория гироскопа. И в механике
свободного тела в случаях, когда можно отделить вращательное
движение относительно осей Кёнига от движения центра масс»
мы приходим к задаче о движении тела с одной неподвижной
точкой —центр масс неподвижен относительно осей Кёнига. На-
Например, в задаче, связанной с ориентацией в пространстве искус-
искусственного небесного тела.
Проблема вращательного движения тела с одной неподвижной
точкой представляет собой одну из наиболее сложных проблем
механики. И даже задача о движении абсолютно твердого тела
с неподвижной точкой в однородном поле тяжести (без трения) —
это труднейшая проблема, занимавшая умы многих великих
ученых.
В 1749 р. были опубликованы исследования Даламбера, где,
в частности, рассматривалось равновесие свободного тела *).
Создателем же механики абсолютно твердого тела (кинематики
•J См. ^
378
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Уг
Ъ динамики) по праву считается Эйлер — ему принадлежит вывод
бсновных кинематических и динамических уравнений движения
^ела. Эйлером дано также полное аналитическое решение задачи
О движении тела с любым распределением масс в случае, когда
момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю.
Результаты Эйлера опублико-
опубликованы в 1758 г.
Рассмотрим углы Эйлера, ко-
которые являются удобными обоб-
обобщенными координатами, и выве-
выведем кинематические уравнения
Эйлера.
Пусть тело движется отно-
относительно осей уъ у2, у3. Начало
системы координат совпадает
с неподвижной точкой тела
(рис 6.5, где само тело не изо-
изображено). Оси хъ хъ х3 жестко
скреплены с телом («вмороже-
Рис 6.5. ны» в тело) и в наших рассуж-
рассуждениях являются как бы «пред-
«представителями» тела. Линия пересечения плоскостей (уъ у2) и
(хъ х2) — прямая ОК — называется линией узлов. Линию пересече-
пересечения плоскости (х3, у3) с плоскостью (#!, х2) обозначим через ОМ§
а с плоскостью (уъ у2) — через ON. Очевидно, что
ОМ±ОК, ON±OK.
Введем орты е^ Э/. Орт х направлен по линии узлов.
Если одна из точек тела неподвижна, то такое тело представ-
представляет собой голономную систему с тремя степенями свободы.
Введем три обобщенные координаты —три угла Эйлера:
угол собственного вращения
угол нутации
угол прецессии
На рис. 6.5 все углы положительны.
Положение тела относительно системы уи у2, уъ будет известно
В каждый момент времени t, если мы сможем вычислить коорди-
координаты yt{t) любой точки тела. Так как координаты точек тела
относительно осей хъ х2, х3 постоянны, то координаты y((f) мы
сможем найти, если будут известны углы Эйлера как функции
времени. Для этого нужно выразить косинусы углов мену$
ft 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
879
реями Xi и yj через тригонометрические функции углов Эйлера *)•
Тогда координаты yj(t) могут быть выражены через координаты
Xi с помощью формул
3
У/ @ = 2 ап @ *ь F-36>
где ^^
ct/i = cos(Oi//, Oxi) = cos (?/, Э|).
Проектируя единичные векторы (например, векторы э* на
оси #/), составим таблицу косинусов aJU выраженных через углы
Эйлера:
F.37)
Мы видим, что углы Эйлера действительно могут быть выбраны
в качестве обобщенных координат**).
Обратимся к выводу кинематических уравнений Эйлера, выра-
выражающих проекции мгновенной угловой скорости тела на оси xi
ч
х2
Хз
Ух
an=cos(pcos\|)—
— sin ф cos 6 sin tf
a^»— sin9cos\|) —
—cos ф cos 6 sin \|)
а!з=8т 8 sin\|)
У2
a21 = cos9 sint|?+
+ sin9cos6cos\p
a22 = — sin ф sin я|? +
+ СО8фСО8бСО8г|)
а2з=— sin 6cos\|)
Уз
a31 = sin 6 sin ф
a32 = sin б cos ф
a33 = cos6
Рис. 6.6.
(или yj) через производные от углов Эйлера по времени, приме-
применив для этого сложение вращений.
На рис. 6.6 изображены три системы осей, из которых система
Уъ Уъ Уз неподвижна. Положение тела относительно первой
*) В § 7 гл. I приведены таблица косинусов и соотношения A.57) (соотно-
(соотношения ортонормированности) о иными обозначениями осей координат,
**) В механике абсолютно твердого. тела с одной неподвижной точкой
используются и другие обобщенные координаты (см., например, [31, [33]).
380 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
системы KMxs определяется углом ср, относительная угловая ско-
скорость равна со' =э3ф. Положение первой системы относительно вто-
второй системы KNy3 определяется углом 0. Первая система вра-
вращается вокруг линии узлов с угловой скоростью <о" = иб. Наконец,
положение второй системы относительно неподвижной системы
определяется углом прецессии г|?. Вторая система вращается с угло-
угловой скоростью (д"'=*ез$.
Векторы со" и о)'" удобно выразить через составляющие по
осям хи хъ х3:
со" =s и8 = эх0 cos ф — э2о sin cp, F.38)
Фт ss е$$ = эхф sin б sin ф + э2ф s*n 9 cos Ф + Ззф cos 0. F.39)
Предполагается, что все вращения положительные *).
Оси вращения тела и двух вспомогательных систем пересе-
пересекаются в одной точке. Следовательно, результирующее движение
тела относительно системы уи у%9 ув будет вращение с мгновен-
мгновенной угловой скоростью ©, равной сумме ©', со", ©w (см. гл. I, § 11):
F.40)
Обе части равенства F.40) проектируем на оси jci, Хъ ^з*
о)х аа i|)sin 0 sin ф + б cos ф,
оJ аа ф sin 0 cos ф — 6 sin ф, F.41)
Часто вводят следующие обозначения:
Тогда уравнения F.41) примут вид
р «я ф sin 0 sin ф -f 6 cos ф,
q в ф sin 0 cos ф — 0 sin ф, F.42)
Мы пришли к системе кинематических уравнений Эйлера,
связывающих проекции мгновенной угловой скорости на декар-
декартовы оси с углами Эйлера и их производными по времени. Суще-
Существенно, что левые части этих уравнений мы не можем рассматри-
рассматривать как производные от некоторых углов по времени —мы не
можем найти связь между углами поворота тела вокруг декар-
декартовых осей и углами Эйлера. Система F.42) не может быть про-
проинтегрирована заранее (до решения конкретной задачи). Поэтому
проекции мгновенной угловой скорости на ортогональные оси
•} Неизвестные векторы удобно представлять направленными положительно»
fi 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ .УРАВНЕНИЯ 381
называют квазискоростями *). Причина здесь в том, что резуль-
результирующее положение тела при сложении вращений вокруг орто-
ортогональных осей зависит от «предыстории» — от того, в какой
последовательности производятся повороты. Углы поворота тела
вокруг ортогональных осей не могут быть выбраны в качестве
обобщенных координат**).
Рассмотрим вывод кинематических уравнений Пуассона, обо-
обозначив для краткости
<%3i = sin 8 sin ф а= Yi,
0С32 = sin 8 cos <p ass y2,
осзз = cos 8 = Yd.
Очевидно, что
ев = 3iYi + 32Y2 + ЭзТз- F.43)
Дифференцируем ед по времени:
?-0-2*$+j>$. F.44)
1=1 1—1
По формуле Эйлера
Поэтому
Формула F.43) дает выражение неподвижного вектора е3 через
его проекции на подвижные оси. Поэтому сумму
мы можем рассматривать как относительную производную век-
вектора еа по времени (относительную скорость). Сумма
з
2 Yi ?-[«*•] F.46)
дает выражение переносной скорости конца вектора е* Запишем
F.44) в виде
$ F.47)
•) См. [201.
**} См, гл, 1, § 1 (секторная скорость}, § 12 (сложение вращений).
882 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Проектируя F.47) на оси хъ х2, *з» мы получим систему кине-
кинематических дифференциальных уравнений Пуассона:
2&
В других обозначениях будет
F.48)
F.49)
Отметим, что в систему уравнений Пуассона не входит угол пре-
прецессии \|).
Очевидно, что yt не независимы, так как
Yi+Yi + Yi™ Ь F.50)
Равенство F.50) есть одно из равенств A.57) (соотношений
ортонормированности). Поэтому его надо рассматривать как уравне-
уравнение связи: три функции Yb Y2, Y3 выражены через две незави-
независимые координаты. Однако равенство F,50) может быть получено
и как следствие системы F.49): в силу F.49) найдем
з
2, dYi rv
V* dt e '
отсюда
3
V?-
Поэтому соотношение F.50) часто рассматривают как интеграл
системы F.49) («тривиальный» интеграл).
В своей теории поверхностей Дарбу показал, что от F.49)
можно перейти к одному дифференциальному уравнению, если
рассматривать уи у29 у9 как координаты точек сферы единичного
радиуса, выразив их через две независимые переменные — через
параметры, определяющие прямолинейные образующие сферы.
Эти параметры, являясь комплексными функциями yh будут
fi 3, КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 883
удовлетворять уравнению Риккати вида
—^—|
где
i« — —i; рэ ^ г —проекции вектора ю. Уравнения Риккати, как
известно, в квадратурах не интегрируются. Общее решение можно
получить двумя квадратурами, если известно одно частное реше-
решение. Следовательно, и уравнения Пуассона в общем случае (при
любых р, <7, г) не интегрируются (см., например, [10], т. II,
ч 2, гл. XIX).
Обратимся к выводу выражений для основных мер движения
тела с одной неподвижной точкой, используя оси #i, x2, лг3.
Кинетический момент определяем формулой
F.52)
X
где
*0 = [СОЛ*] = (Oi 0J (
Удобно найти какую-либо проекцию вектора G, например Gi:
6m =
= coi 5 D + xl) 8m — со 2 J *i*2 S/n — co3 J ад^ 6m.
T XT
Используя формулы F.7), запишем
з
Gi== 2
Следовательно, вектор (? можно представить в виде
з з
^2 F.53)
Переходя к главным осям инерции х, у, г и обозначая единичные
векторы, направленные по главным осям, через /, /, к, получим
О y
или
О = iAp +jBq + кСг. F.54)
384 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Найдем выражение кинетической энергии
Т в 1
Преобразуем скалярное произведение (ггс>), используя формулу
Эйлера:
Подставим в F.55):
Т = 1U j [rz>] 6m\ - 1 (*>(?). F.56)
Следовательно, кинетическая энергия тела с одной неподвижной
точкой может быть представлена в виде половины скалярного
произведения мгновенной угловой скорости тела на вектор кине-
кинетического момента.
Используя выражение кинетического момента F.53), предста-
представим кинетическую энергию тела в виде квадратичной функции
проекций мгновенной угловой скорости:
з з
*- F-57)
2
Если в качестве осей координат выбрать главные оси инерции,
то выражение кинетической энергии примет вид
или
Т = ^ (Ар2 + Bq2 + Cr2). F.58)
Уравнения движения тела с одной неподвижной точкой проще
всего можно вывести, используя обобщение теоремы об изменении
кинетического момента относительно неподвижной точки. Внешняя
связь допускает виртуальный поворот вокруг любой оси, прохо-
проходящей через неподвижную точку; поэтому мы можем записать
уравнение кинетического момента в векторной форме (момент
реакции, приложенной в неподвижной точке, равен нулю).
Производная по времени от кинетического момента равна сумме
моментов всех внешних (массовых и поверхностных) сил относи-
относительно неподвижной точки:
§ - ТО. F.59)
Выразив вектор О при помощи формулы F.54), получим
§ 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
385
Очевидно, что первые три члена в левой части представляют собой
относительную производную вектора О:
Так как по формуле Эйлера
di dj
dk
то
di
di
dk
i i к
P q r
Ap Bq Cr
dQ
Если -г? рассматривать как скорость конца вектора О относи-
относительно неподвижной системы отсчета, то -^ будет скоростью
относительно подвижной системы, а [<об] — переносной скоростью.
Эти «скорости» имеют ту же размерность, что и момент сил.
Следовательно, уравнение кинетического момента можно запи-
записать в виде
$ + [•0]-ТО.
Проектируя векторное уравнение на главные оси инерции, полу-
получим три скалярных уравнения:
F.60)
Система F.60) представляет собой систему динамических уравне-
уравнений Эйлера, правые части которых (проекции главного момента
внешних сил) могут зависеть от углов Эйлера, от проекций мгно-
мгновенной угловой скорости и явно от времени.
Система дифференциальных уравнений F.60) вместе с системой
кинематических уравнений F.42) образуют систему из шести
совместных дифференциальных уравнений первого порядка.
В общем случае все шесть уравнений нужно интегрировать сов-
совместно. Иногда системы F.60) и F.42) удается интегрировать
раздельно.
t3 В. В. Печкевич
386 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для того чтобы получить частное решение, нужно задать
в начальный момент времени шесть величин:
фо, 0о, "Фо, Фо, бо, Фо-
Вместо начальных значений производных от углов Эйлера можно
задать р0, <7о, >V
Выведем уравнение кинетической энергии тела с одной непод-
неподвижной точкой. Это уравнение при консервативных силах и при
отсутствии трения допускает интеграл энергии. Уравнение кине-
кинетической энергии можно получить из F.60), умножая обе части
первого уравнения на р, второго на q, третьего на г и складывая
их почленно. Мы же выведем его, обобщая теорему об изменении
кинетической энергии системы материальных точек.
Если нет трения в «шаровом подшипнике», то связь — непод-
неподвижная точка —будет идеальной и стационарной. Следовательно,
дифференциал кинетической энергии будет равен сумме элемен-
элементарных работ всех внешних (массовых и поверхностных) сил на
действительном перемещении. Используя формулы F.27) и F.28),
запишем
dT = J (/ dr) 6m + U (Pn dr) 8а. F.61)
т
Выразим dr по формуле Эйлера:
dr
Тогда
\ (fdr) 8т = J (/[со dt г]) 8т = /со dt\ [rf] 8m) = (со dt 3DK»>).
Т X \ Т /
Аналогично,
"' ~ (Рп dr) 8о
Следовательно, сумма элементарных работ внешних сил, прило-
приложенных к телу с одной неподвижной точкой, равна скалярному
произведению вектора &dt на главный момент всех сил относи-
относительно неподвижной точки.
Уравнение кинетической энергии будет иметь вид
()f
тетес+ялю F'62)
Выведем еще уравнения Лагранжа 2-го рода, принимая за
обобщенные координаты углы Эйлера. Заметим, что при вывода
уравнений Лагранжа удобнее рассматривать кинетическую энер-
$ 3. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 387
гию как сложную функцию углов Эйлера и их производных, не
подставляя выражения р, q, r в формулу F.58).
Находим частные производные кинетической энергии:
g- = Лр (ф sin 6 cos ф — б sin ф)+Bq (— ф sin 6 sin <p — 6 cos cp) =
=*(A-B)pq,
— = Лрф cos б sin ф + Bq -ф cos б cos cp — Cnj? sin б,
дТ дТ дТ
0 С AAi
— = Ар sin б sin q>+B<7sin 0 cos ф + Cr cos б = Аруг + Bqy2 + Сгу3.
Очевидно, что
дТ г
G
где Gy3 есть проекция кинетического момента на неподвижную
ось у3.
Обобщенные силы будут равны: Q<p = Wlz — моменту внешних
сил относительно оси собственного вращения, Q0 = ЗЭТН — моменту
внешних сил относительно линии узлов, Q^ = Т1Уз — моменту
внешних сил относительно неподвижной оси прецессии у3.
Запишем уравнения Лагранжа 2-го рода:
= тх cos ф - дЯу sin ф, F.63)
Первое из уравнений Лагранжа совпало с третьим динамическим
уравнением Эйлера. Второе представляет собой комбинацию
с переменными коэффициентами первых двух уравнений Эйлера.
Третье уравнение Лагранжа есть уравнение для проекции ки-
кинетического момента на неподвижную ось у3 — ось прецессии.
Динамические уравнения Эйлера в виде F.60) не являются
уравнениями Лагранжа 2-го рода, так как углы поворота тела
вокруг ортогональных осей не могут быть выбраны в качестве
обобщенных координат. Но, разумеется, уравнения F.63) могут
быть получены из F,60) и, наоборот, от F.63) можно перейти
к симметричной записи уравнений в виде F.60).
13*
888 ГЛ. VT МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 4. Случай Эйлера. Регулярная прецессия
(применение метода Гамильтона—Якоби)
Рассмотрим движение тела с одной неподвижной точкой,
предполагая, что распределение плотности по объему и форма
тела могут быть любыми. Следовательно, эллипсоид инерции,
центр которого совпадает с неподвижной точкой, трехосный.
Эйлер дал полное аналитическое решение задачи в случае,
когда момент всех внешних сил относительно неподвижной точки
равен нулю. В этом случае динамические уравнения Эйлера
будут однородными и могут быть проинтегрированы независимо
от кинематических.
Предположим, что A>B>Cf и запишем динамические урав-
уравнения
Л^ + (С-В)<7г = 0,
В^ + (А-С)гр = 09 F.64)
C~- + (B-A)pq-0.
В случае Эйлера будут сохраняться постоянными вектор
кинетического момента и кинетическая энергия. Из уравнения
следует
О = const S3 Go, F.66)
а из уравнения
находим
Т = const вв А. F.66)
Следовательно, мы имеем четыре интеграла, которые могут быть
получены и из уравнений F.64),
Задачу можно свести к вычислению эллиптических квадратур,
если, используя главные оси инерции, записать интегралы кине-
кинетического момента и кинетической энергии в виде
А*рг + В V + CV* - G*, F.67)
Ар* + Вф + Сг*«. А. F.68)
Из F.67) и F.68) мы можем выразить, например, риг через q.
Исключая г, найдем
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 389
Затем исключим р:
Введем две вспомогательные величины D и s, положив
Очевидно, что D имеет размерность момента инерции, s—угловой
скорости. Смысл этих величин мы выясним несколько позже
Постоянные Go и h можно теперь выразить через s и D:
G0 = sD, h = sW. F.69)
Таким образом, мы запишем уравнения в следующем виде:
Так как А>В>С и ?>>0, то
A>D>0.
Далее находим
Ш^)^-^' F-70)
рде
Вычислим разность л2 —т2:
B(A~-B) В(В-С)]Ь "" В (Л-В)(Я-СИ •
Следовательно, знаки (п2 —та) и (B — D) совпадают. Предполо-
Предположим, что B>D\ тогда «2>т2. Отсюда
Обратимся ко второму динамическому уравнению Эйлера:
do А — С tn n А.
Подставим выражения р и г из F.70) и F.71):
Г^). F.72)
Из F.71) видно, что г (t) не обращается в нуль и, следовательно,
сохраняет начальный знак. Уравнение FJ2) позволяет судить
390 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
о характере изменения q(t): q(t) изменяется периодически в пре-
пределах от (.—т) до (+ш). Период колебаний q(f) вычисляется
с помощью эллиптического интеграла
ЛС ? *>
(Я —С) (А — В) J V(m2—q2)(n2—q2)
— т
(см. гл. И, § 3).
Из F.70) следует, что с тем же периодом колеблется p(t)
(при q = ±m9 р = 0). Из первого динамического уравнения Эйлера
F.64) можно заключить, что при q>0
-g~>0 ((В-С)>0, г>0).
Из второго динамического уравнения видно, что при -J->0
р<0*). Поэтому перед радикалом в уравнении F.72) выбран
знак «плюс».
Положим q = mwt m2/n2 = v2 (v2 < 1),
s/
Тогда, разделяя переменные в уравнении F.72), приходим
к эллиптическому интегралу первого рода
w
Q (*-<„)-С . *° F_73)
где v есть модуль эллиптического интеграла.
Обращение интеграла позволит выразить р, <?, г через эллип-
эллиптические функции Якоби. Далее, из кинематических уравнений
Эйлера можно найти углы Эйлера и получить полное аналитиче-
аналитическое решение. Для того чтобы найти определенное частное реше-
решение, нужно задать шесть постоянных: cp0, б0, я|>о, ро, 9о> ^о (вместо
последних трех можно задать ф0, 60, *фо) * *)- Вычисление углов
Эйлера мы детально рассмотрим в более простом случае регуляр-
регулярной прецессии.
В прекрасном курсе Суслова [31] приведен другой прием
разделения переменных в случае Эйлера.
Обратимся к качественному исследованию движения тела
с одной неподвижной точкой в случае Эйлера. Качественное
исследование (геометрическая картина) дано в работе Пуансо***).
*) Это можно увидеть^ если качественно построить графики периодических
функций q(t) и р (/).
**) См., например, [2].
***) Исследования Пуансо были опубликованы спустя сто лет после публи*
кадии Эйлера.
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 391
Пуансо остроумно предложил следить не за движением самого
тела, а за движением эллипсоида инерции с центром в непод-
неподвижной точке — поверхности, уравнение которой, отнесенное
к главным осям инерции, имеет простой вид
Ax* + By2 + Cz2 = k2. F.18)
На рис. 6.7 изображены эллипсоид инерции и плоскость я,
касающаяся эллипсоида в точке пересечения его поверхности
с мгновенной осью —в точке О*, называемой полюсом. Исследо-
Исследование Пуансо опирается на три вспомогательные теоремы.
I. Кинетическая энергия тела равна у-ъа"» где R — 00
*
Докажем это предложение. Пусть координаты точки О* будут
х, у, z. Тогда
JL ~ 1L 1- я 1. —=== —
Я ~~ О) * R <д> /?~(D#
F.74) \ К \^^ у ооуя
Здесь о) = |о)|. Подставив в Ч \Ч 1 / OO^d
F.18), найдем
Отсюда
f& Рис-6-7'
П. Плоскость я, касающаяся эллипсоида инерции в точке О*9
перпендикулярна в каждый момент времени к вектору кинетиче-
кинетического момента О.
Уравнение плоскости, касающейся эллипсоида в точке О*,
имеет вид
^k\ F.76)
где X, F, Z — координаты какой-либо точки плоскости, х% #, г—•
координаты точки касания.
Подставив F.74) в F.76), получим
АХр + BYq + CZr « fe2 -J-. F.77)
Очевидно, что F.77) есть уравнение плоскости, ортогональной
к вектору О, проекции которого на главные оси инерции тела
равны Ар, Bq и Сг.
III. Расстояние d = 00f от центра эллипсоида до плоскости п
определяется формулой
V2T
й
392 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Очевидно, что d = Z? cos а, но так как
— (в>0) 2Т
и, кроме того,
R ^ к
|о>: в VTr '
то
D ОТ 1/ ОТ*
Три теоремы Пуансо относятся к любому случаю движения
тела с одной неподвижной точкой. В случае Эйлера, когда
Э№ = 0 и, следовательно, постоянны кинетический момент О и
кинетическая энергия 7\ плоскость я будет неподвижной в про-
пространстве. В самом деле, плоскость я перпендикулярна к непод-
неподвижному вектору О0 и ее расстояние до неподвижной точки
постоянно:
d-*- <6-79)
Покажем, что величина угловой скорости пропорциональна
расстоянию R от неподвижной точки до полюса.
Из F*76) находим
]а>1
R e
Следовательно,
Если ввести величину s, то с помощью формулы F.69) получим
|ш|--Ц^/?-?/?. F.80)
Покажем, что проекция мгновенной угловой скорости на направ-
направление вектора О0 равна s:
(Dq = I ш I cos a s
Итак, в случае Эйлера эллипсоид инерции катится (и вертится)
без скольжения по неподвижной плоскости п% перпендикулярной
к постоянному вектору кинетического момента. Величина мгно-
мгновенной угловой скорости пропорциональна расстоянию от непод-
неподвижной точки до полюса, а проекция ее на направление кинети-
кинетического момента постоянна*).
*) Плоскость л есть аналог неподвижной плоскости в задачах о движении
материальной точки в центральном силовом поле.
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 393
Проекции мгновенной угловой скорости на главные оси инер-
инерции /?, q, r зависят от времени. Значит, вектор о перемещается
относительно осей, жестко связанных с телом. Нетрудно показать,
что вектор о движется и относительно неподвижных осей коор-
координат. Находим
dm dm . . 1 dm
Таким образом, скорость конца вектора <о относительно непод-
неподвижных осей координат геометрически равна скорости относи*
тельно подвижных осей, скрепленных с телом. Следовательно,
в разные моменты времени разные точки поверхности эллипсоида
инерции совпадают с полюсом.
Геометрическое место точек О* на поверхности эллипсоида
инерции называется полодией (путь полюса). Геометрическое место
точек плоскости я, с которыми совпадает точка О*, — герполо-
дией *). Геометрическое место мгновенных осей, образованное
из отрезков прямых, принадлежащих телу, представляет собой
конус с вершиной в неподвижной точке и называется подвижным
аксоидом («акс» — ось).
Линия пересечения подвижного аксоида g поверхностью
эллипсоида инерции и есть полодия.
Геометрическое место неподвижных прямых, с которыми по
очереди совпадает мгновенная ось, есть также конус с вершиной
в неподвижной точке, называемый неподвижным аксоидом. Гер-
полодия есть линия пересечения этого конуса с плоскостью я.
В каждый момент времени подвижный и неподвижный аксоиды
касаются друг друга по образующей, с которой совпадает мгно-
мгновенная ось. Следовательно, подвижный аксоид катится без сколь-
скольжения по неподвижному.
Запишем уравнение эллипсоида инерции, отнесенное к главным
осям инерции,
A2 B2 C2==k\ F.18)
В интеграле F.67) выразим р9 q% r через координаты полюса:
АН2 + В*у2 + С2г2 = GE -§- = kW.
Умножим обе части F.18) на D и вычтем почленно:
D)z2=*Q. F.81)
Мы получили уравнение семейства конических поверхностей
(подвижных аксоидов) с общей вершиной в неподвижной точкд.
*) Это название означает «змеевидная» и отражает первоначальное непра-
неправильное представление об этой кривой как о кривой с ючками перегиба.
В нашем курсе мы не будем исследовать гер полодии.
394
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Для уяснения вида полодий удобно рассмотреть пересечение
конусов F.81) с плоскостями, перпендикулярными к главным
осям инерции (рис. 6.8).
Пусть B>D>C\ тогда, положив z = zl9 рассмотрим пересе-
пересечение конусов плоскостью, перпендикулярной к оси г. В плоско-
плоскости г = гг мы получим семейство эллипсов
A(A-D)x2 + B(B-D)y2 = C(D-C)zl F.82)
Если Л>О>В, то положим х = хг. В плоскости, перпенди-
перпендикулярной к оси ху семейство эллипсов будет описываться урав-
уравнением
В (D - В) у* + С (D -С) z* = А(А- D) xl F.83)
Если же, наконец, D = 5, то из F.68) найдем, что конические
поверхности распадутся на две плоскости, пересекающиеся по оси у:
Sp F.84)
Эти плоскости пересекут эллипсоид по двум эллипсам, / и 2
(см. рис. 6.8).
Рис. 6.8.
Эллипсы в плоскостях х = хг и z = zx представляют собой
конические проекции полодий. Поэтому мы можем утверждать,
что полодии — это замкнутые непересекающиеся кривые, окру-
окружающие соответственно концы малой и большой осей эллипсоида.
Два семейства полодий, разделяемые эллипсами 1 и 2% всюду
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 395
плотно заполняют поверхность эллипсоида. От начальных условий
зависит, по какой из полодий будет перемещаться полюс — точка О*.
Рассмотрим так называемые перманентные (постоянные) враще-
вращения в случае Эйлера. Уравнения F.64) имеют три системы
очевидных решений:
1) р=const = р<ь G = г = 0;
2) <7 = const = <7o, г = р = 0; F.85)
3) г = const = г0, р = q = 0.
Постоянные р0, <7о» >о могут быть любыми и по величине, и
по знаку. Так как
3
то очевидно, что в каждом из трех указанных случаев тело
вращается относительно неподвижной системы отсчета с постоян-
постоянной по величине и направлению угловой скоростью.
Можно показать, что по своим свойствам перманентные враще-
вращения 1) и 3) резко отличаются от вращения 2).
Допустим, что, стремясь задать перманентное вращение вокруг
оси z, мы ошиблись и в начальный момент времени мгновенная
ось не совпала с осью г. Полюс попадет на одну из полодий,
окружающих ось г, и будет перемещаться по этой полодии. Ясно,
что чем меньше будет ошибка в начальный момент времени, тем
ближе окажется движение тела к перманентному вращению вокруг
оси z. То же можно сказать и про перманентное вращение вокруг
оси х. Перманентные вращения вокруг наименьшей и вокруг
наибольшей осей эллипсоида инерции устойчивы*).
Если же мы ошибемся, стремясь задать вращение вокруг
средней оси, то попадем на одну из полодий либо из семейства,
окружающего ось #, либо из семейства, окружающего ось г.
Начнется движение, резко отличающееся от перманентного вра-
вращения вокруг оси у. Перманентное вращение вокруг средней оси
эллипсоида инерции неустойчиво.
Если в начальный момент времени мгновенная ось пересечет
один из эллипсов, 1 или 2, то тело начнет переваливаться на
другой бок и полюс будет асимптотически стремиться к противо-
противоположному концу средней оси. В этом случае D = B, следова-
следовательно, т = п и v2=l. Интеграл F.73) будет иметь вид
*) Определение устойчивости движения дано в следующей главе.
396 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
где
Очевидно, что
Вычисляя интеграл, находим
w
При <7» стремящемся к m=^s, переменная w будет стремиться
к +1. Следовательно, время будет неограниченно расти (t-+-\-oo),
а из F.70) и F.71) мы найдем, что риг устремятся к нулю.
Значит, действительно полюс будет асимптотически приближаться
к противоположному концу средней оси *).
Обратимся к регулярной прецессии в случае Эйлера, пола-
полагая, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. Пусть
А = 5, следовательно, ось вращения эллипсоида совпадает
с осью г. Решение можно получить из общих формул — эллипти-
эллиптический интеграл F.73) может быть выражен через обратные три-
тригонометрические функции. Однако полезно найти решение непо-
непосредственно.
Положим А = В и запишем динамические уравнения Эйлера
F.64):
= 0, F.86)
dr о
и
Из третьего уравнения находим
г = const =s r0. F.87)
Обозначим (С — А)/А через к. Тогда система уравнений F.86)
может быть записана в следующем виде:
F.88)
*) Имеется в виду конец средней оси, противоположный тому, вблизи
которого в начальный момент времени мгновенная ось пересекла поверхность
эллипсоида,
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 397
Умножая обе части второго уравнения F.88) на / и склады-
складывая почленно, придем к одному уравнению
Введем комплексную функцию o~p + iq, где i2^—1. Дифферен-
Дифференциальное уравнение для функции a(t) будет иметь вид
~: =* аг0о. F.89)
Отсюда находим
или
р + iq = (р0 + iq0) [cos (Xrot) + isin (%rot)].
Отделяя действительную и мнимую части, находим общее реше-
решение динамических уравнений Эйлера в виде
р = ро cos (КгQt) - <7o sin (ЯгоО,
Очевидно, что
Мы видим, что вектор мгновенной угловой скорости движется
равномерно относительно системы х> у, z по круглому конусу
(подвижный аксоид есть конус вращения). Период обращения
полюса равен
2
Приведем пример. Булем рассматривать движение Земли от-
относительно осей Кёнига, предполагая, что Земля есть абсолютно
твердое, слегка сплюснутое тело вращения (сфероид или геоид).
Известно, что для Земли С> А и К^1/300. Угол между осью
геоида и мгновенной осью вращения мал, поэтому можно счи-
считать, что
г = ~ = 2я
Следовательно, период обращения полюса Земли будет равен
Т(оя^—'-—24 ч. ^300 сут.
Период обращения полюса Земли (точки пересечения мгновен-
мгновенной оси с поверхностью геоида) носит название периода Эйлера.
398
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Переходим к вычислению углов Эйлера. Наиболее простая
форма решения получается, если направить неподвижную ось у3
(ось прецессии) по постоянному вектору О0 (рис. 6.9). Оси уг
и #2 будут расположены в плоскости я. Проекция вектора О0 на
ось г равна Сг0. С другой стороны, GZ = GO cos 8. Отсюда находим
cos б = -^ = const » cos 6e.
F.91)
Для того чтобы найти скорость прецессии, выразим проекцию
вектора О0 на ось у3 через его про-
проекции на главные оси инерции:
(О0е3) = Go = Аруг + Aqy2 + Cry3 =*
= Лф sin2 80 + Cr0 cos 80.
Отсюда
, Gn—Cr0 cos 0О , ,
гр = л gJ2 Q—- = const = ф0.
F.92)
Угол прецессии будет линейной
функцией времени:
Рис. 6.9.
Из третьего кинематического урав-
уравнения Эйлера находим ф:
ф = г о — ф0 cos 80 = const == ф0.
F.93)
Угол собственного вращения будет также линейной функцией
времени:
Постоянные ф0 и фо могут иметь любое значение.
Итак, если момент внешних сил относительно неподвижной
точки равен нулю и эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения,
то движение тела при любых начальных условиях есть регулярная
прецессия. Угол нутации, отсчитываемый от неподвижного век-
вектора (?0, будет постоянным. Тело равномерно вращается вокруг
оси собственного вращения г. Ось собственного вращения равно-
равномерно прецессирует вокруг вектора О0. Регулярная прецессия есть
общее решение уравнений движения.
В зависимости от знака Я=(С — А)/А прецессия будет либо
прямой, либо обратной (рис. 6.10). Если эллипсоид инерции вы-
вытянут (А>С), то Я<0; если сплюснут (А<С)У то А,>0*).
*) Отметим, что если Л<С (я>с), то из неравенства Л + В>С или
2А > С следует, что А < С < 2А. Значит, полуоси эллипсоида в этом случае
должны удовлетворять неравенству а < с У2 — эллипсоид инерции не
может быть как угодно сплюснутым.
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА
399
Для того чтобы выяснить характер прецессии, построим по-
подвижный и неподвижный аксоиды, представляющие собой в слу-
случае регулярной прецессии круглые конусы. Ось непод&ижного
аксоида направлена по вектору О0, а ось подвижного — по век-
вектору Эз. Вектор мгновенной угловой скорости направлен по общей
образующей аксоидов и определяется формулой
О) = ?3ф -|- ^ф F = 0).
На рис. 6.10, а изображен вытянутый эллипсоид инерции, и
мы видим, что знак проекции скорости собственного вращения
К<0
К>0
Рис. 6.10.
на направление вектора О0 совпадает со знаком скорости пре-
прецессии. Движение тела представляет собой прямую прецессию.
На рис. 6.10, б —сплюснутый эллипсоид инерции —знак проекции
скорости собственного вращения на направление вектора (?0 про-
противоположен знаку ф. В этом случае прецессия обратная.
Если неподвижная система выбрана произвольно (не связана
с начальными условиями), то удобно решать задачу методом Га-
Гамильтона — Якоби.
Принимая углы Эйлера за обобщенные координаты, составим
функцию Лагранжа
Подставим выражения р, q, r из F.42):
L - 5- И (Фа sin2 9 4-ва) + С(-ф cos 8 + фJ}.
F.94)
400 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Находим обобщенные импульсы
Р с
Щ F.95)
Л «^«48, F.96)
рф = ^ ж Аф sin2 8 + С (ф cos 8 + ф) cos 8 =*
= Лф sin2 8 + рф cos 8. F.97)
Запишем функцию Гамильтона
Рфсо8бJ pi рц
F-98)
Составим уравнение Гамильтона — Якоби
/dv dv
Система консервативная, углы ф и ф — циклические координаты;
поэтому полный интеграл ищем в виде
Подставляем в F.99) и разделяем переменные:
Находим полный интеграл
V - — а4; + а1ф + а3г|)+ J ]/2Ла4 -^ aj~ (a*~?™ 6^d8. F.100)
На основании теоремы Гамильтона—Якоби (гл. V, § 10) запи-
запишем общее решение канонических уравнений в неявной форме *)
dV n dV R dV
dV dV
Найдем, например, зависимость угла нутации от времени, диф-
дифференцируя полный интеграл по а4:
А { . dd = <-P4> F.101)
*) Канонические уравнения мы не выписывали.
§ 4. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА 401
Интеграл в левой части F.101) вычисляем, положив cos 8 = яг.
dw
у BЛа4 - ~ а| ) A - «/«) - (а3 -
Введем обозначения
Тогда интеграл можно записать в виде
С dw
-*1
Положим
где
— корни уравнения
Уравнение примет вид
-
Отсюда
s-«o.[i=b].
Следовательно,
Выразим постоянные через кинетический момент и его проекции:
Т >4—г (Т^ —7Гсо *
6 гДс^-^-^а! °J °°
где б есть угол между вектором Со и осью у9,
g sin26 —G| Gl—
402 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Таким образом, окончательно находим cos 0 как функцию времени:
^6 + ]/ I j i в ^ (/ р) ] F102)
I — gj sin в cos^ (/ — р4) ]. F.
где Gz есть проекция кинетического момента на ось собственного
вращения (Gg = Cr0), Go — величина полного кинетического мо-
момента. Если угол 6 = 0 (ось у3 направлена по вектору Go), то
cose = ^ = ^~° = const.
§ 5. Постановка задачи о движении абсолютно твердого тела
с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести
Предположим, что абсолютно твердое тело движется без тре-
трения в однородном поле тяжести таким образом, что одна из его
точек неподвижна относительно инерциальной системы отсчета.
С неподвижной точкой совмещаем начала двух систем декартовых
осей координат: «неподвижной» системы уъ уъ у3 и системы глав-
главных осей инерции тела х, у, z. Ось Оу3 направляем вертикально
вверх. Положение тела будем определять углами Эйлера, пола-
полагая, что ось z есть ось собственного вращения, а ось г/3 — ось
прецессии. Далее предположим, что главные моменты инерции
удовлетворяют неравенству А>В>С. Центр тяжести тела от-
отметим буквой Ц *), а координаты его относительно главных осей
инерции буквами X, F, Z.
Составим выражение момента силы тяжести относительно не-
неподвижной точки и найдем его проекции на главные оси инерции:
X
Yi
/
Y
Y2
k
Z
ъ
где
уг = a3i = sin б sin
== а32 = sin б cos q>, y3 = а33 = cos б
— косинусы углов между осями х, у, z и осью у3 (см. таблицу
F.37)), М —масса тела, g— ускорение силы тяжести.
Уравнения движения тела мы составил^ применяя динамиче-
динамические уравнения Эйлера F.60) и дополняя их либо кинематиче-
кинематическими уравнениями Эйлера F.42), либо кинематическими урав-
уравнениями Пуассона F.49).
*) См. рис. 6.11 § 6. Обычное обозначение центра тяжести — букву С —
заменяем здесь буквой Ц, так как через С обозначен один из главных мо*
ментов инерции тела.
% 5. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ТЯЖЕЛОГО ТЕЛА 403
Подставляя в правые части динамических уравнений Эйлера
выражения проекций момента силы тяжести, запишем
% + (A-C)rp = Mg (Xys - Zyi), F.103)
Мы видим, что в правые части входят в качестве неизвестных
функций Y/- Поэтому к динамическим уравнениям удобно при-
присоединить систему кинематических уравнений Пуассона:
dyx
ш
^=рТз-гТ1, F.49)
(XI
dt ЧУг
Таким образом, движение тела описывается системой шести диф-
дифференциальных уравнений первого порядка, в которой неизвест-
неизвестными функциями являются шесть функций: р, q, г, Yi> Y2, Ys-
Функции y* связаны, как мы уже отмечали, соотношением
3
2 Y? ===== 1, которое иногда удобно рассматривать как первый ин-
интеграл системы F.49) (так называемый «тривиальный» интеграл).
Следовательно, для того чтобы получить общее решение, нам
нужно найти пять функций времени.
Системы уравнений F.103) и F.49) можем представить в сле-
следующем виде:
Р П D Г. Т\ Г_ ^*»
где знаменатели зависят от р, q, r, yu у2» Тз» но не зависят от
времени. Это позволяет интегрировать отдельно пять уравнений,
не содержащих времени, после чего найти время при помощи
квадратуры, например, таким образом:
где Р' есть функция только р.
Для интегрирования системы пяти уравнений, не содержащих
времени, нужно найти пять независимых интегралов. Если со-
соотношение между Y/ рассматривать как интеграл, то решение
задачи сведется к отысканию четырех интегралов. Один интег-
404 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
рал мы найдем, применяя теорему об изменении кинетической
энергии (см. уравнение F.62)):
Записывая подробно и интегрируя, найдем
1 (А р* + Bq* + О2) + Mg (Хуг + Yy, + Zy3) = Ео. F.105)
Еще один интеграл найдем, проектируя уравнение кинетического
момента F.69) на вертикальную ось у3 и принимая во внимание
равенство нулю момента силы тяжести относительно этой оси:
А руг + Bqy% + Cry3 = const = G3. F.106)
Остается найти два интеграла. Однако рассматриваемая система
уравнений обладает такими свойствами, которые позволяют сни-
снизить число искомых интегралов до одного*).
Недостающий интеграл легко находится в важном для прак-
практики случае Лагранжа — Пуассона, который мы рассмотрим в сле-
следующем параграфе.
Еще один случай движения абсолютно твердого тела с непод-
неподвижной точкой в однородном поле тяжести, в котором удалось
найти недостающий интеграл и получить общее решение, был
открыт С. В. Ковалевской, но описание этого случая не входит
в наш курс.
Задача о движении тела с неподвижной точкой в однородном
поле тяжести привлекла внимание многих исследователей. Был
найден ряд частных решений, но, как выяснилось впоследствии,
общее решение задачи — решение при любых начальных
данных — могло быть получено только в случаях Лагранжа — Пу-
Пуассона и Ковалевской**) (см., например, [3], [31]).
§ 6. Случай Лагранжа (качественное исследование
движения). Быстрый волчок
Рассмотрим движение абсолютно твердого тела с одной непо-
неподвижной точкой в однородном поле тяжести, не принимая во
внимание трение в «подшипнике» и сопротивление среды. Пред-
Предположим, что эллипсоид инерции с центром в неподвижной точке
*) Это связано с тем, что
дР dQ dR dTt n
op oq dr oyi
Доказательство основано на теории множителя Якоби (в нашем курсе эта
теория не рассматривается).
**) Общее решение находится и в случае Эйлера, но этот случай зани-
занимает особое положение в силу того, что момент внешних сил относительно
неподвижной точки равен нулю.
§ 6. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
405
есть эллипсоид вращения и что центр масс лежит на оси дина-
динамической симметрии.
Лагранж впервые исследовал движение тяжелого тела с одной
неподвижной точкой при любом распределении плотности и пока-
показал, что если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то
решение задачи сводится к вычислению эллиптических квадратур
(к «спрямлению конических сечений» по словам самого Лагран-
жа) *). Поэтому случай, который мы будем рассматривать, назы-
Уз
вается случаем Лагранжа или Лаг-
Лагранжа — Пуассона **).
На рис. 6.11 изображен эллип-
эллипсоид инерции, центр которого совпа-
совпадает с неподвижной точкой, а вдоль
оси динамической симметрии направ-
направлена ось собственного вращения те-
тела Oz. Центр масс тела (в однород-
однородном поле тяжести — центр тяжести)
отмечен буквой Д.
Оси ху у, z — главные силы инер-
инерции. Относительно главных моментов
инерции предположим, что они удо-
удовлетворяют условию А = ВфС. Неподвижная ось у3 направлена
вертикально вверх. Расстояние ОЦ обозначим через /, массу
тела —через М. В качестве обобщенных координат выберем углы
Эйлера.
Задачу удобно решать, построив функцию Лагранжа L:
Г Ti 7 7 *¦
Рис. 6.11.
Выразим р, <?, г через производные от углов Эйлера по, времени,
используя для этого кинематические уравнения Эйлера (см. § 3
настоящей главы). Функция Лагранжа будет иметь вид
L = — [А (ф2 sin2 б + 82) + С (<ф cos 6 + ФJ] - Mgl cos 8. F.107)
Мы видим, что функция Лагранжа не зависит явно от времени
и, кроме того, имеются две циклические координаты — углы q>
и i|). Следовательно, уравнения движения допускают три интег-
интеграла — интеграл энергии и два циклических:
T + lf = const = ?„,
dL dL
С с
*) См. [17], т. И.
**) В 1815 г. было опубликовано решение этой же задачи Пуассоном,
который в своей работе не ссылался на опубликованное ранее решение Ла-
Лагранжа.
406 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Запишем эти интегралы подробнее:
у [Л (ф2 sin2 9 + 82) + С (ф cos 9 + фJ] + Mgl cos в = ?0, F.108)
C0j>cos9 + cp) = ?i, F.109)
A \J?sin2 9 + С(ф cos 9 + ф) cos 9 =?3. F.110)
Используя третье кинематическое уравнение Эйлера, найдем
ф cos 9 +ф = const = г0, F.111)
А ф sin2 9 + Оо cos 9 =с3, F.112)
где с3 есть, очевидно, проекция кинетического момента на ось
т. е.
Из интеграла F.112) находим скорость прецессии в виде функ-
функции угла нутации:
¦- л sin* е * FЛ13>
Зависимость скорости собственного вращения от угла нутации
найдем из F.111):
С^Т9 FЛ14>
Подставив F.111) и F.113) в F.108), исключаем ф и ф и прихо-
приходим к уравнению с разделяющимися переменными
I cos 8 =:
л sin*1 о ' w '
отсюда
_ 2E0- Cr% 2Mgl fl (c3-Cr0 cos 6)a
~dtj "" A A COb0 A2sin20 #
Введем обозначения
Отметим, что всегда п>0. Кроме того, будем предполагать, что
г0>0. Сделаем обычную замену искомой функции, положив
cos 9 =
Тогда правая часть уравнения будет представлять собой поли-
полином третьей степени, а само уравнение примет вид
= (m _ nw) A - ш2) - 0* - vi^)a. F.115)
§ 6. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА 40Т
Правую часть уравнения F.115) обозначим через F(w):
F (w) = (m — nw) A — w*) — (in — vwJ.
Переменные в уравнении разделяются. Интегрируя, найдем вре-
время t как функцию от w:
W
t-to= {-*!=. F.11
Время t выражено с помощью эллиптического интеграла с пере-
переменным верхним пределом. Обращение интеграла позволит найти
r?j = cos0 в виде эллиптической функции времени. Затем, зная
w{t), из F.113) и F.114) находим скорость прецессии ф и ско-
скорость собственного вращения ф, а значит, можем вычислить и
сами углы ф и г|). Такова схема решения задачи.
Решение задачи в случае Лагранжа находится в эллиптиче-
эллиптических функциях, и поэтому характер движения тела представить
себе довольно трудно. Поскольку в силу уравнений движения
мы получили дифференциальное уравнение первого порядка
F.115), то к исследованию движения тела в случае Лагранжа
сможем применить метод качественного исследования (см, гл. II,
§3).
Построим график функции F (w) — кубическую параболу, забыв
на время, что до = cos6 и, следовательно, |до|^1. Старший член
полинома равен гшъ (n>0). Поэтому при до-> — оо ординаты
будут отрицательны. Далее,
и, наконец, при до-> + оо F (w)-*-\-oo. Следовательно, график
функции F (w) будет иметь вид, показанный на рис. 6.12.
ш3 ш
Рис. 6.12.
Три точки пересечения кривой с осью абсцисс отвечают трем
корням кубического уравнения F(w)=*0. Очевидно, чтопу3>1
есть вещественный корень, который имеет всякое кубическое
уравнение, коэффициенты которого вещественны. Корни w1 и w%
по абсолютной величине меньше единицы —они определяют об-
область действительного движения, так как при
Щ ^ w ^ ку2 F{w)^ 0.
408 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Если точки wx и до2 сливаются (уравнение F(w) = 0 имеет крат-
кратный корень), то мы будем иметь регулярную прецессию в случае
Лагранжа. Дальше мы покажем, что регулярная прецессия в слу-
случае Лагранжа представляет собой частное решение уравнений
движения. В этом случае, очевидно, Wx — w% = w0.
Аналогичный график был построен для сферического маятника
(см. рис. 2.6 гл. II, § 6). Отличия заключаются в обозначении
и отсчете углов и, кроме того, в том, что уравнение F.115)
несколько сложнее по сравнению с аналогичным уравнением для
сферического маятника B.68).
На основании общей теории можно утверждать, что, так как
Wx и ш2 —простые корни уравнения р(до) = 0 и Wt<CtWo<Zw2 *),
то w(t) изменяется периодически в пределах от wt до w2. Как
было показано, период колебаний функции w (t) равен интегралу
г _" ? dw
Следовательно, и угол нутации изменяется периодически в пре-
пределах
причем
Для более детального выяснения характера движения тела
в случае Лагранжа рассмотрим траекторию точки пересечения
оси собственного вращения г с поверхностью сферы единичного
радиуса, центр которой в неподвижной точке. Обозначим точку
пересечения оси z с поверхностью сферы через Р, ее сферические
координаты будут углы 0 и г|) (напомним, что угол 0 мы здесь
отсчитываем от положительного направления оси у3). Запишем
уравнение F.115) в виде
а уравнение F.113) в виде
Исключая dt, мы придем к дифференциальному уравнению сфе-
сферической траектории точки Р:
Й- Р-7 . F.119)
*) Может оказаться, что один из корней wx или oi/a Равен начальному
значению ш0.
§ 6. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
409
При ojsssojj и до = ш2 обращается в нуль дифференциал dw. Об-
Область, в которой движется точка Р, есть шаровой пояс, вырезан-
вырезанный из сферы двумя конусами, у которых углы при вершине
равны 28, и 282, а общая вершина совпадает с неподвижной точ-
точкой тела. Если при к?! ^ w (Q ^ од ^ф#0, то траектория точ-
точки Р касается по очереди верхней и нижней параллелей, а сама
точка движется все время в одну сторону. Траектория точки Р
может коснуться меридиана, если di}) = 0 (если [д,— vw = 0). Обо-
Обозначим соответствующее значение w через w° (до° = jut/v). Нетрудно
показать, что скорость прецессии не может обратиться в нуль
на нижней параллели, т. е. что од < иу° «^ од. Для этого удобно
несколько иначе построить график функции F(w). Обозначим
Рис. 6.13.
(m — лдо)A — w2) через Fi(w) и —(ц —ш>)а через F%(w). Таким
образом,
Построим график функций Ft(w) и F^(w) на одном чертеже
(рис. 6.13). Выразив Ео через начальные значения проекций
угловой скорости и через ш0, найдем
Предположим, что в начальный момент времени угол нутации
был острым. Тогда, так как я>0, найдем, что т>0. Выше мы
предположили, что го>О, следовательно, v>0. Если с3>0, то
и ц>0.
График функции Ft (w) есть кубическая парабола, проходящая
через точки до = —1, ш=+1 и через точку ш4»т//г. Очевидно,
что
График функции Fa (w) — квадратичная парабола, касающаяся
оси абсцисс в точке ^ = oy° = }i/v. При сделанных выше предпо-
410
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
ложениях иуо>0. Точка хюг всегда располагается левее точки wQ
(при любом знаке р,) — она лежит там, где ординаты графиков
функций Ft и F2 равны по величине. Что касается точки ш2 —
второго корня уравнения F (w) = 0, то она может оказаться пра-
правее точки w° и тогда скорость прецессии обращается в нуль
внутри шарового пояса. Если точка w2 окажется левее точки w°$
то в этом случае скорость прецессии в нуль не обращается. Если
же второй корень совпадает с величиной w°4 что возможно лишь
при совпадении трех точек w°$ w2 и до4» то скорость прецессии
будет обращаться в нуль на верхней параллели. Одновременно
со скоростью прецессии на верхней параллели будет обращаться
в нуль и скорость нутации (dw\w^Wk = (S). Поэтому траектория
точки Р будет иметь точки возврата. В этом случае
т
~п
что, впрочем, нетрудно усмотреть непосредственно из уравнения
Для того чтобы представление о характере траектории точ-
точки Р было полным, нам остается выяснить, как меняется угол
прецессии. Очевидно, что если скорость
прецессии нигде не обращается в нуль
или обращается в нуль лишь на верх-
верхней параллели, то угол прецессии все
время возрастает.
Можно показать, что и в том слу-
случае, когда скорость прецессии меняет
знак, обращаясь в нуль на некоторой
средней параллели, при o> = o>9 = fVv,
приращение угла прецессии за полный
период изменения угла нутации будет
положительным.
С этой целью проследим за поведе-
поведением вектора кинетического момента О
Рис. 6.14. (рис. 6Л 4), Прежде всего заметим, что
на основании теоремы об изменении
кинетического момента скорость конца вектора О равна моменту
силы тяжести относительно неподвижной точки:
Вектор ЯЯ, перпендикулярный к плоскости (y3i z)> направлен
по линии узлов. Значит, вектор О вращается всегда в одном
направлении вокруг оси О#3 (при 8<jx/2 направление вращения
§ 6. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА 411
положительное). Вектор О можно представить в виде геометри-
геометрической суммы
где О' есть составляющая вектора О в плоскости (у3, г), хЛ0 —
составляющая вдоль линии узлов, периодически изменяющая
свое направление. В крайних положениях точки Р при w = wx
и ау = до2 6 = 0, следовательно, кинетический момент будет равен
вектору (?'. При w~w° обращается в нуль скорость прецессии
и проекция G3 (постоянная) может быть записана в виде
Отсюда мы заключаем, что
Обе проекции Gz и G3 положительные, поэтому угол |5 во все
время движения меньше, чем угол а (углы аир переменные).
а)
Расположение вектора G1 в плоскости (у3у г) говорит о том, что
угол между вертикальными плоскостями (у3> г) и (у3, О) не
может быть больше прямого. Следовательно, несмотря на то, что
угловая скорость вращения плоскости (у3у г) (скорость прецес-
прецессии) в некоторые моменты времени обращается в нуль и меняет
знак, эта плоскость за полный период изменения cos 0 = w пово-
поворачивается на такой же угол, как и плоскость (у3у G) (см. [7]).
На рис. 6.15 изображены три вида траекторий точки*):
б) ~ = 0 При W = 1029
в) Sr = ° ПРИ w = wQ.
*) Траектория точки Р на сфере будет замкнутой, если период изменения
угла нутации соизмерим с 2я. В противном случае точки траектории с те-
течением времени всюду плотно заполнят шаровой пояс —движение тела в слу-
случае Лагранжа условно-периодическое.
412 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
В частном случае, когда корни W\ и w2 уравнения F (w) = О
совпадают, движение тела будет представлять собой регулярную
прецессию. Для того чтобы выяснить условие, при котором будет
осуществляться такое движение, составим уравнение Лагранжа
для угла нутации. Находим частные производные от функции
Лагранжа:
од дЬ
Уравнение Лагранжа будет иметь вид
§ —sin 8 (ф2со8б-гф) -^-sin0 = O, F.120)
где v = Cro/i4, n=*2Mgl/A. Если угол нутации не будет изме-
изменяться, то постоянными будут скорости прецессии и собственного
вращения. Положив 6 = 0, из F.120) находим
ф§ cos 60 — v^0 + 4"n = °- F.121)
Рассматривая регулярную прецессию, удобно постоянную г0
выразить через угловые скорости прецессии и собственного вра-
вращения. Умножив обе части уравнения F.121) на А и подставляя
г = ф cos б + ф, F.122)
мы получим
(ЛО+ЦвСф Л^/О. F.123)
Если параметры тела заданы — известны величины М, /, А, С и
тело с одной неподвижной точкой совершает регулярную пре-
прецессию под действием силы тяжести вокруг вертикали, то постоян-
постоянные 80, Фо и ф0 связаны условием F.123). Мы видим, что регу-
регулярная прецессия в случае Лагранжа описывается частным
решением уравнений движения. (В случае Эйлера, при усло-
условии Л = В, регулярная прецессия представляла собой общее
решение — ось прецессии определял произвольно направленный
вектор кинетического момента.)
Более подробно регулярную прецессию осесимметричного тела
при отличном от нуля моменте внешних сил мы рассмотрим
в следующем параграфе.
Рассмотрим движение так называемого быстрого волчка *).
Предположим, что в начальный момент времени (to = 0) даны
следующие условия: фо = 0, &0 = 0, Ф>0 (скорость собственного
*) Волчок (веретено, детский кубарь и пр.) при большой скорости собст-
собственного вращения совершает движение, близкое к движению тела в случае
Лагранжа. Если пол не слишком гладкий, то перемещением опоры волчка
можно пренебречь, считая ее неподвижной.
§ б. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА
вращения большая), 0<60<я/2. Следовательно,
413
Функция F(w) будет иметь вид
F (w) = (w0 - w) [п A - w%) - v2 (wo - w)].
F.124)
График функции F(w) изображен на рис. 6.16. Значения wx и
находим, решая квадратное уравнение
Получим
F.125)
V2
V4
V2
Нетрудно проверить, что ш3> + 1, W!<w0. Из уравнения F.126)
находим
J^-wf). F.126)
Очевидно, что при достаточно большой скорости собственного
вращения (большое г0) раз-
разность Wq — w1 будет сколь
угодно малой величиной.
Обратимся к оценке ско-
скорости прецессии. Подставим
в формулу F.113) выраже-
выражение постоянной \х:
dif> и- — vw w0--w
Величина скорости прецес-
прецессии колеблется от нуля при
при
maYf
ШаХ 1 j,
Рис 616
ДО наибольшего значения
An
O0
Мы видим, что при большом значении г0 ось волчка медленно
процессирует вокруг вертикали.
Покажем, что скорость собственного вращения мало отличается
от г0. Из уравнения F.114) имеем
ebb
w
Следовательно,
w=*w0
An
414 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Таким образом, при больших значениях г0 движение быстрого
волчка будет близким к регулярной прецессии в случае Лагранжа.
Ось собственного вращения, совершая малые колебания, будет
медленно прецессировать вокруг вертикали. Из уравнения F.121),
отбрасывая ф<|, приближенно находим
или
СфоФо *
Мы пришли к известной формуле приближенной теории быстро
вращающегося гироскопа, который движется в однородном поле
тяжести без трения (см. следующий параграф).
В заключение приведем пояснение термина «гироскопическая
сила». Для этого представим выражение кинетического момента
в виде
[k] F.129)
где к — единичный вектор, направленный по оси собственного
вращения. Производная по времени от кинетического момента
геометрически равна главному моменту внешних сил. Следова-
Следовательно,
Crok+ A[kk] = [klMg]9 F.130)
где 1 = ОЦ есть расстояние от неподвижной точки до центра
тяжести тела. Умножим обе части уравнения F.130) справа век-
торно на вектор к. Вводя еще вектор /? = #/, получим
^ F.131)
Уравнение F.131) можно рассматривать как уравнение движения
изображающей точки, масса которой равна А/12. Левая часть
уравнения содержит составляющую ускорения, ортогональную
к радиусу-вектору точки /?. В правой части — ортогональная к R
составляющая вектора Mg и «сила» -p[W?It ортогональная
к вектору скорости точки, называемая гироскопической. Если
го = О, то тело движется как физический (в общем случае сфери-
сферический) маятник — гироскопической силы нет. Если же г0 Ф 0, то,
как мы видели выше, тело не падает—-ось собственного враще-
вращения начинает прецессировать вокруг вертикали — возникает, как
говорят, гироскопический эффект, а в уравнении движения изо-
изображающей точки появляется гироскопическая сила. Возникно-
Возникновение гироскопического эффекта есть простое следствие из тео-
теоремы об изменении кинетического момента.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ 415
§ 7. Некоторые сведения о гироскопах
Своеобразное поведение быстро вращающихся тел издавна
привлекало к себе внимание не только теоретиков — исследовате-
исследователей, но и практиков — инженеров и конструкторов.
Быстро вращающиеся тела входят в состав многих машин:
винт самолета, турбина судового или турбореактивного двигателя
и т. п. Управление движением таких машин связано с некото-
некоторыми специфическими трудностями. Например, при изменении
положения в пространстве самолета с работающим двигателем
пилот должен преодолевать дополнительное сопротивление, свя-
связанное с наличием «гироскопической жесткости»: пилот ощущает
влияние «гироскопического момента».
Гироскопы или роторы иногда намеренно вводятся в некото-
некоторые сооружения: с помощью гироскопа удалось добиться умень-
уменьшения качки небольших судов (успокоитель Шлика), гироскоп
применялся для придания устойчивости вагону однорельсовой
железной дороги и т. д. Эти весьма интересные с точки зрения
механики приложения теории гироскопов имели главным образом
экспериментальный характер и широкого распространения не
получили.
С помощью гироскопа можно обнаружить собственное враще-
вращение Земли. Напомним, что в случае Эйлера частными решениями
являются постоянные (перманентные) вращения тела вокруг глав-
главных осей инерции, при которых ось вращения сохраняет свое
положение относительно инерциальной системы отсчета. Если
прибор, совершающий такое вращение, установлен на Земле, то
ось вращения гироскопа все время будет направлена на одну и
ту же «неподвижную» звезду. Относительно окружающих земных
предметов ось гироскопа, перемещаясь, опишет конус. На то
обстоятельство, что с помощью гироскопа можно обнаружить
суточное вращение Земли, одним из первых обратил внимание
Фуко. В 1852 г.—спустя год после демонстрации своего знаме-
знаменитого маятника —Фуко сообщил об этом Парижской Академии
наук. Почти одновременно с Фуко эту идею высказали и неко-
некоторые другие исследователи — идея «носилась в воздухе».
В том же 1852 г. Фуко доложил Парижской Академии наук
об изобретенном им приборе, с помощью которого можно в любом
месте Земли определить направление линии Юг —Север. Прибор
Фуко был прообразом современных навигационных приборов —
гирокомпасов, причем само название «гироскоп», образованное
из двух греческих слов, означающих «вращение» и «наблюдение»,
принадлежит также Фуко *).
*) Первая попытка построить гироскопический навигационный прибор
относится к 1752 г. Создатель первого гироскопического прибора Серсон погиб
вместе с кораблем, на котором был установлен его прибор.
416
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Идея Фуко состоит в том, что если гироскоп лишить одной
степени свободы, разрешив, например, оси собственного враще-
вращения перемещаться только в горизонтальной плоскости, то ось
вращения будет подобно магнитной стрелке компаса указывать
направление на Север (дальше мы рассмотрим эту задачу). Однако
техника во времена Фуко не'была еще достаточно развита и его
идеи не могли быть реализованы. Лишь в начале нашего века
появились совершенные гироскопические приборы, получившие
широкое распространение в морской навигации, причем перво-
первоначальная идея Фуко подверглась значительным изменениям.
В настоящее время бурного развития всех видов навигации —
морской, воздушной и, главное, космической — необычайно воз-
возросло значение навигационных гироскопических приборов, воз-
возросли требования к точности и надежности этих приборов.
Конструкция приборов стала весьма сложной и достигла большого
совершенства. Однако главной частью всех гироскопических
навигационных приборов остается быстро вращающееся вокруг
своей оси осесимметричное тело — гироскоп и работа этих при-
приборов основана на свойствах движения гироскопа.
Мы рассмотрим здесь только некоторые простейшие положения
теории гироскопов, несколько видоизменяя полученные раньше
уравнения движения осесиммет-
Уз ричного тела. Обозначим, как
обычно, главные оси инерции
тела через х, у, z и положим
А=ВфС. Предположим, кро-
кроме того, что центр масс гиро-
гироскопа либо совпадает с непо-
неподвижной точкой, либо находится
на оси Oz (см. регулярную пре-
прецессию в случае Эйлера и слу-
случай Лагранжа).
Для описания движения ги-
гироскопа введем подвижную си-
систему осей, не участвующих
в собственном вращении тела:
ось (Ж, направленную по ли-
линии узлов, ось ОМ, перпендикулярную линии узлов и лежащую
в плоскости (я, */), и ось Oz. Три указанные оси носят название
осей Резаля] их положение относительно неподвижных осей уъ
у2, уз определяется двумя углами Эйлера*) — углом прецессии -ф
и углом нутации 6 (рис. 6.17).
Рис. 6.17.
*) Часто применяют углы Резаля \\>х и 0Х, связанные с углами Эйлера
соотношениями <ф1 = 'ф — я/2, дг = п/2 — 0, но мы сохраним углы Эйлера.
(\ 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ 417
Оси Резаля вращаются с мгновенной угловой скоростью соь
которая складывается из угловой скорости вращения вокруг
линии узлов ОК и угловой скорости вращения вокруг оси пре-
прецессии у3. Следовательно,
Щ ss хб + ^зф,
где х —единичный вектор, направленный по линии узлов, ?3 —еди-
—единичный вектор, направленный по оси уа. Проекции вектора <ой
на оси Резаля будут равны
а>цл = (a>!jui) = -ф sin в,
0)]г = (<*>!#) = if) COS 9.
Здесь jut — единичный вектор, направленный по оси ОМ, й-еди-
й-единичный вектор, направленный по оси г.
Оси Резаля ОК и ОМ, расположенные в плоскости (х, у),
будут главными осями инерции осесимметричного тела. Поэтому
кинетический момент тела может быть представлен в виде
G = хЛ б + [хЛф sin 9 + kC (ф cos в + ф). F.132)
Уравнения движения гироскопа запишем, применяя теорему
об изменении кинетического момента:
или
dt
ё
ли
м-
ф sin 0
Aty sin 0
С
k
ф cose
(\f> cos 8 -
F.133)
где -7т — символ относительной производной, SSJt —сумма момен-
моментов внешних сил относительно неподвижной точки. Проектируя
векторное уравнение на оси Резаля, запишем динамические урав-
уравнения в виде
Л§ + Оф sin G — Лф2 sin 9 cos б = ЭЭТК,
А ~ (ф sin 0) + Лбф cos 9 - Об = Щ,9 F.134)
dt г ^
Здесь 9ЛК, Ш^ и Ш2 — суммы моментов внешних сил относительно
осей Резаля. Пользуясь тем, что оси Резаля не участвуют
в собственном вращении тела, мы можем выделить слагаемые,
14 В. В, Пе1кевич '
418 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
содержащие угловую скорость собственного вращения. Перенеся
эти слагаемые в правые части уравнений, запишем
— А) ф2 sin 0 cos 0 = Ш„ — Сфф sin 0,
А ~ (ф sin 0) - (С - Л) ф9 cos 0 = % -f Сбф, F.135)
Последнее уравнение оставляем без изменения, имея в виду, что
обычно ЗЙЖ = О и, следовательно, r = const = r0. Это достигается
тем, что влияние сил трения в подшипниках компенсируется
дополнительной подкруткой. Левые части первых двух уравнений
не содержат скорости собственного вращения; слагаемые — Офф sin б
и С8ф, входящие в правые части этих уравнений, обычно рас-
рассматривают как проекции гироскопического момента.
Поставим следующую задачу: каков должен быть момент
внешних сил относительно неподвижной точки, если движение
гироскопа представляет собой регулярную прецессию вокруг
оси у3? Регулярная прецессия характеризуется тем, что 0 = const =
= 0О, ф = const = фо, ф = const в ф0. Из уравнений движения нахо-
находим
ЗЯХ = (С — А) фо sin 0O cos 0O + ОфоФо sin 0O,
ЗЯ^-О, ЯЯ, = О. FЛ36)
Следовательно, постоянный по величине момент внешних сил
должен быть направлен по линии узлов. Из формулы F.132)
следует, что в случае регулярной прецессии вектор О находится
в плоскости (у3, z), величина его постоянна; скорость конца век-
вектора О, равная моменту внешних сил 9Ю, параллельна линии
узлов.
Найдем зависимость угловой скорости собственного вращения
от скорости прецессии и от величины угла нутации. Для этого
воспользуемся выражением момента внешних сил относительно
линии узлов F.136). Разрешая относительно ф0, находим
(Л-Qi!^^
Y0 Cx|>0sm60 \с / С sin 60 гро
Предположим, что О<0о<я/2, ЯЯх>0, и построим график
зависимости ф0 от -ф0 при заданном значении отношения Л/С»
момента ЗЭТ* и угла нутации 0О (рис. 6.18). Будем, кроме того,
для определенности предполагать, что ф0 > 0. Пусть А/С > 1
(эллипсоид инерции вытянут вдоль оси Ог). Регулярная прецес-
прецессия возможна только при достаточно большой скорости собствен-
собственного вращения, удовлетворяющей неравенству
§ 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ
419
Каждому значению ф0, которое превосходит ф*, отвечают два
значения скорости прецессии: ф01 (медленная прецессия) и фО2
(быстрая прецессия), знак которых совпадает со знаком скорости
собственного вращения. Следовательно, как и в случае Эйлера,
при Л/С>1 наблюдается прямая прецессия. Наименьшей ско-
скорости собственного вращения соответствует одно значение ско-
скорости прецессии, равное фо- Величину фо можно вычислить,
Рис. 6.18.
если выражение для момента Ш^ {6.136) рассматривать как квад-
квадратное уравнение относительно $0, и найти условие равенства
корней. Можно также ф* и Фо найти, приравнивая нулю произ-
производную —-ш Выполнив простые вычисления, находим
(А —С) sin 20О*
Следовательно,
Здесь 0<60<я/2, 2)Zx>0; знаки скорости собственного враще-
вращения и скорости прецессии совпадают.
Рассмотрим регулярную прецессию гироскопа, у которого
эллипсоид инерции сжат (Л/С<1). Здесь каждому значению
скорости собственного вращения отвечают два значения скорости
прецессии: $оъ знак которой совпадает со знаком ф0, и фО2 про-
противоположного знака. По абсолютной величине ^oi меньше, чем фог*
Следовательно, в этом случае возможна быстрая обратная пре-
прецессия. Заметим, что если фо = О, то
(С -A) sin 0O cos 60
14*
420
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Из формулы F.137), предполагая, что скорость собственного
вращения гироскопа весьма велика, мы можем получить прибли-
приближенные выражения скорости прецессии
-^ F.138)
Найденные приближенные выражения скорости прецессии могут
быть получены в виде приближенных значений корней упомяну-
упомянутого квадратного уравнения для г|*0.
Если гироскоп движется в поле тяжести (случай Лагранжа),
то проекция момента силы тяжести на линию узлов будет равна
Mg/sin80. Для скорости медленной прецессии мы получим приб-
приближенное выражение, совпадающее с найденным ранее при иссле-
исследовании движения волчка.
Сокращая на sin 80, найдем
Заметим, что в задаче о дви-
движении волчка не могло быть
быстрой прецессии в силу
того, что в начальный мо-
момент времени при большой
скорости собственного враще-
вращения начальная скорость пре-
прецессии была равна нулю.
В любом случае, когда воз-
возможны различные скорости
прецессии, характер действи-
действительного движения определя-
определяется начальными условиями.
Для того чтобы па прак-
практике получить тело с одной
неподвижной точкой, приме-
применяется остроумное устройство, называемое по имени матема-
математика Кардано (Италия, XVI век) кардановым подвесом. Карда-
Карданов подвес состоит из двух колец (рис. 6.19). Внешнее коль-
кольцо / может вращаться вокруг оси, неподвижной относительно
некоторой системы отсчета (обычно относительно Земли). Внутрен-
Внутреннее кольцо 2 может вращаться относительно диаметра внешнего
кольца, перпендикулярного неподвижной оси. Наконец, диаметр
внутреннего кольца, перпендикулярный оси вращения этого
кольца, служит осью собственного вращения гироскопа. Система
имеет три степени свободы. Направив неподвижную ось у3 по
оси вращения внешнего кольца, линию узлов ОК по оси вращения
Рнс. 6.19.
f, 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ 421
внутреннего кольца и, как обычно, ось Ог по оси собственного
вращения гироскопа, положение системы определим углами Эйлера
или углами Резаля. Если указанные оси пересекаются в одной
точке, то эта точка и будет неподвижной относительно основной
системы отсчета. Если, кроме того, центр масс гироскопа и центры
масс каждого кольца совпадают с неподвижной точкой, то моменты
сил тяжести относительно неподвижной точки будут равны нулю.
Для описания движения гироскопа в кардановом подвесе
удобно применить уравнения Лагранжа 2-го рода, приняв в каче-
качестве обобщенных координат углы ф, i|> и 8.
Обозначим через Л и С главные моменты инерции гироскопа,
через Сх —момент инерции внешнего кольца относительно оси у3,
через Л2, Въ С2 — моменты инерции внутреннего кольца относи-
относительно осей О/С, ОМ и Ог соответственно (Л2 = С2). Найдем
выражение кинетической энергии гироскопа и колец
= у {Л2 (ф2 cos2 0 + б2) + В2ф2 sin2 8}.
Здесь мы воспользовались тем, что оси Резаля — главные оси
инерции гироскопа и внутреннего кольца, а ось у3 — главная ось
инерции внешнего кольца. Полная кинетическая энергия системы
будет равна
}.
Обычным способом, вычисляя виртуальную работу, находим
обобщенные силы
где ЗЯ8 — момент внешних сил, приложенных к кольцу У, отно-
относительно оси уг\ Шк — момент сил, приложенных к кольцу 2,
относительно оси О/С; Ш? — момент сил, приложенных к гироскопу,
относительно оси Ог.
Уравнения движения гироскопа в кардановом подвесе запишем
в виде
(Л + Л2) В - ф2 (Л + В2 - Л2) sin б cos 8 + С (ф cos 6 + ф) ф sin 8 = 9ЛХ,
¦^ {[{А + В2) sinH + А2cosH+ C1]$ + Cr cos В} ==ЖВ, F.139)
С|-ЗИ, (г-фсовО + ф).
422
ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Второе уравнение можно записать иначе:
[(А + Да) sin2 б + Л2 cos2 е + CJ ф +
+ (Л + В2 - Л2)фб sin 28 - Cr б sin 8 = Wl3 - 3I, cos 6.
F.140)
Отметим, что систему отсчета, с которой связаны оси уъ уъ y3t
мы при выводе уравнений Лагранжа считали инерциальной.
Обратимся к задаче Фуко и рассмотрим один из вариантов
гирокомпаса, предложенных Фуко, именно тот, идея которого
лежит в основе многих современных приборов.
Внешнее карданово кольцо расположено в вертикальной пло-
плоскости и может свободно вращаться вокруг вертикальной оси у3.
Внутреннее кольцо перпендикулярно внешнему и составляет с ним
Рис. 6.20.
одно целое. Ось гироскопа при этом сможет перемещаться в гори-
горизонтальной плоскости. Ось уг направим к Северу, а ось у2 —
к Западу *). Направление оси ух может не совпасть с направлением
линии Юг —Север: на эту неточность укажет сам прибор. На
рис. 6.20 показано направление осей уъ у2» J/з» причем неизвест-
неизвестный заранее угол между осью ух и линией Юг— Север (линия ON)
обозначен через е. На том же рисунке отдельно показан сам
гироскоп (кардановы кольца не изображены).
Из всех движений, совершаемых Землей, примем во внимание
только ее суточное вращение, считая его равномерным. Угловую
скорость вращения Земли обозначим через й. Обозначая через еь
орты, направленные по осям */,-, запишем
Q = (ег cos г + е2 sin e) Q cos a + e3 Q sin а; F.141)
а —широта места, где находится гироскоп.
*) Здесь удобно иное расположение осей по сравнению с их расположением
в задаче о маятнике Фуко.
§ 7. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГИРОСКОПАХ 423
Для решения задачи используем оси Резаля. Угловая скорость
вращения осей Резаля относительно поступательно движущихся
осей будет равна
где ш1 = н0 + ^зФ есть угловая скорость вращения осей Резаля
относительно осей уъ г/2, у3.
Применим теорему об изменении кинетического момента гиро-
гироскопа в кардановом подвесе. Число степеней свободы системы
сократим после составления уравнений движения.
Кинетический момент самого гироскопа выражен формулой
F.132). Кинетический момент первого кольца будет равен
О[1) = еъС$ = 1хСг$ sin 0 + кСг$ cos 6.
Кинетический момент второго кольца
sin б + кЛ2ф cos 8.
Следовательно, кинетический момент системы может быть записан
в следующем виде:
+ k[Cr + (Л2 + Сг) ф cos в]. F.142)
На основании теоремы об изменении кинетического момента
^ F.143)
где Wt{e) есть сумма моментов внешних сил относительно непод-
неподвижной точки. Второе слагаемое левой части запишем подробнее:
k
¦0H] =
Обозначим для краткости А + В2 + Сх через /33 и рассмотрим
проекцию векторного уравнения F.143) на ось ОМ. Получим
Теперь положим 0 = я/2. Тогда
8 = 0, sinQ = l, cos0 = O, (Oi = e3tj>,
Кроме того,
(л у\ — рf\Q л\") (л i%#\ —— С1П ill I ?) l\j\ —¦• С\
С^^Л! — LUJ II/, \*^2"/ ""*" ЬШ II/, 1с?аЛ1 звз ^/ф
Уравнение F.144) примет вид
/33ф - СфЙн = %, F.145)
где QH = Q cos a cos (г|) — е).
424 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Допустим, что в начальный момент времени ось гироскопа Ог
совпадает с осью уг (или расположена близко к этой оси). Тогда
\|?оя^я/2. Поэтому здесь удобно угол прецессии заменить углом
Резал я, положив
Уравнение F.145) примет следующий вид:
/33^i + CU ф cos a sin (ifo - е) = 5»V F.146)
Предположим, что момент ЭЛ^, совпадающий здесь с моментом
внешних сил относительно оси у3, равен нулю (центр масс системы
совпадает с неподвижной точкой, силы трения весьма малы).
Предположим, кроме того, что скорость собственного вращения
гироскопа постоянна и что
Qcpocosa>0.
При указанных условиях уравнение F.146) совпадает с уравнением
свободных колебаний маятника и будет иметь следующий вид:
/ss$i + Сй Фо cos a sin (ih - e) = 0. F.147)
Если начальные значения *фх Со) —е и Ф1С0) малы, то ось гиро-
гироскопа будет совершать малые колебания около направления Юг—
Север; приближенное значение периода этих колебаний будет равно
Для того чтобы период колебаний оси гироскопа был не слишком
велик, необходима достаточно большая угловая скорость собст-
собственного вращения *).
Если в начальный момент времени tyi(tQ)=*B и ф1(/0) = 0, то
частным решением уравнения F.147) будет ij^sse-- ось гироскопа
будет покоиться относительно Земли, указывая подобно магнитной
стрелке на Север. Заметим, что в реальных условиях наличие
трения приводит к некоторому искажению показаний гироскопа.
Предположим, что Qcosowp0<0. В этом случае уравнение
движения можно записать так:
/33$i — С | Q фо cos a I sin (ifr — e) = 0.
Угол i|)! будет теперь колебаться около значения (—я + е). В этом
можно убедиться, положив г^х — е = %~ я. Уравнение движения
оси гироскопа примет вид
/8зй + С | Q фо cos a | sin х == 0.
*) Колебания с большим периодом трудно наблюдать.
§ 8. МАГНИТО-КИНЕМАТИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ 425
Линейным приближением для угла ^ теперь пользоваться нельзя,
так как оно приведет к расходящемуся решению. Здесь можно
отметить аналогию с колебаниями маятника в однородном поле
тяжести при условии, что направление силы тяжести изменено
на противоположное.
§ 8. Магнито-кинематическая аналогия
Укажем на аналогию между уравнением, описывающим дви-
движение магнитного момента в магнитном поле, и кинематическим
уравнением F.47), из которого мы вывели уравнения Пуассона.
Уравнение движения магнитного момента имеет вид
^=-r|[AM], F.149)
где М есть магнитный момент, А — напряженность магнитного
поля, п—о—» ? —величина заряда, с — скорость света, ш — масса
заряда (см. [32])*). Из уравнения F.149) следует, что |M|=const.
Крамере [39] показал, что скалярные уравнения движения маг-
магнитного момента можно записать в виде уравнений Гамильтона,
принимая за обобщенные координаты угол собственного враще-
вращения ф подвижной системы, с которой жестко связан вектор М
и угол i|). В качестве обобщенного импульса р^ нужно взять
постоянную величину, а импульс рф следует положить равным
G. Функция Гамильтона определяется формулой
Н = г) (ЛУИ). F.150)
Кинематические уравнения Пуассона мы выводили, исходя из
векторного уравнения
7? = [*з«]. F.47)
имеющего такой же вид, как и уравнение F.149) (см. § 3 настоя-
настоящей главы).
Сопоставим постоянный по величине вектор е6 с вектором М,
вектор о) с вектором А. Вектор М неподвижен относительно
вращающейся системы, а вектор е3 — относительно неподвижной.
Поэтому в уравнение F.149) входит полная производная от век-
вектора М по времени, а в уравнение F.47) — относительная. Но
в кинематике мы можем обратить движение и тогда отличия
в системах отсчета и в производных не будет. Покажем, что если
*) Напряженность магнитного поля мы обозначили через h для того, чтобы
ме смешивать с функцией Гамильтона.
426 ГЛ. VI. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
МЫ ПОЛОЖИМ
<7i = <P, 4г = ^ Рф = о3 = const, p<p = c3cose,
а функцию Гамильтона запишем в виде
Н = съ (<*ед) = (р sin ф + Q cos ф) Vp%-Pv + rpq>, F.151)
то кинематические уравнения можно будет представить в виде
канонических уравнений Гамильтона. Запишем в общем виде
dy __дН_ dty __ дН
dt-дру' dt~~dp^
dP(p _ дН dpy __ дН
Правые части уравнений вычислим, используя формулу F.151):
^ = - (р cos ф - q sin Ф)У Р|~
Рф = const.
Нетрудно проверить, что первое из уравнений F.152) совпадает
с третьим кинематическим уравнением Эйлера, третье из урав-
уравнений F.152) —с третьим уравнением Пуассона, а второе кано-
dd
ническое уравнение есть результат исключения ^ из первых
двух кинематических уравнений Эйлера.
Функцию Я, определяемую формулой F.151), можно назвать
кинематической функцией Гамильтона.
Возможность записать кинематические уравнения в виде урав-
уравнений Гамильтона интересна в тех случаях, когда динамические
уравнения Эйлера можно проинтегрировать независимо от кинема-
кинематических. Проекции мгновенной угловой скорости р, qy r будут
известными коэффициентами в уравнениях FЛ52). Записав кине-
кинематические уравнения в виде уравнений Гамильтона, мы можем
применить некоторые методы аналитической механики, например
метод Гамильтона — Якоби. Для приближенного интегрирования
кинематических уравнений может оказаться полезным метод теории
возмущений, основанный на вариации канонических постоянных.
ГЛАВА VI!
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 1. Предварительные сведения
Опыт лежит в основании законов механики; решения конкрет-
конкретных задач прямо или косвенно проверяются опытным путем. Но
опыт, кроме того, во многих случаях позволяет сформулировать
постановку задачи и внести в нее разумные упрощения. В резуль-
результате наблюдений над каким-нибудь явлением (движением какого-
либо объекта) мы можем получить предварительные сведения
(«предварительную информацию»). Это дает нам возможность уяс-
уяснить себе в общих чертах характер движения. Так, например,
наблюдения над движениями небесных тел показывают, что их
движения не вполне точно согласуются с законами Кеплера:
налицо малые отклонения от основного «кеплеровского» движения.
Движение какой-либо системы может оказаться наложением коле-
колебательного, близкого к периодическому, движения на некоторое
среднее движение. Амплитуды колебаний могут либо сохранять
свою величину в течение достаточно продолжительного времени,
либо заметно затухать. Наблюдение за движением волчка указы-
указывает нам на стабилизирующее значение быстрого собственного
вращения и т. п. Подобная предварительная информация позволяет
в ряде случаев сравнить величины членов в уравнениях движения
и, отбрасывая второстепенное, выделить главное. Таким образом,
выделяется основное — невозмущенное — состояние движения (это
может быть, в частности, состояние покоя), на которое наклады-
накладываются возмущения. Подобное выделение имеет смысл, если сами
возмущения (приращения координат точек и приращения скоростей)
численно малы *).
Возмущенное движение может возникнуть в результате малых
изменений начальных условий либо под действием кратковременных
импульсов. Возмущения могут вызвать также постоянно действую-
действующие малые внешние силы.
Приближенное исследование возмущенного движения допу-
допустимо, если основное — невозмущенное — устойчиво (определение
*) С целью избежать субъективности в оценках величины членов в уравне-
уравнениях движения полезно перейти к безразмерным переменным и тогда сравнивать
все с безразмерной единицей, не зависящей от того или иного выбора системы
единиц.
428 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
устойчивости дано в § 2). Поэтому на первый план выдвигается
исследование устойчивости невозмущенного движения. Строгое
(соответствующее принятой модели) доказательство устойчивости
невозмущенного движения дает основание для приближенного
вычисления возмущений. При соблюдении некоторых условий мы
будем иметь гарантию того, что отклонения переменных в возму-
возмущенном движении от их значений в невозмущенном не выйдут
за некоторые предписанные малые пределы, по крайней мере
в течение достаточно большого промежутка времени.
Исследование устойчивости невозмущенного движения в тех
случаях, когда мы знаем решение дифференциальных уравнений,
основывается на анализе самого решения. Если же решение не
может быть представлено в замкнутом виде (не может быть
выражено через известные функции времени или иной независимой
переменной), то применяются те или иные методы качественного
исследования движения.
Приведем два примера, которые мы рассмотрели в главе VI.
В § 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что
перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей
эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что при малой
погрешности в начальных условиях —при малом отклонении оси
вращения от оси эллипсоида —мы получим движение, мало отли-
отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение
вокруг средней оси неустойчиво. Здесь невозмущенным движением
является перманентное вращение, а возмущенным —то движение,
которое возникнет в результате малой ошибки в начальный
момент времени.
В § б мы рассмотрели частног решение уравнений движения
в случае Лагранжа — регулярную прецессию. Затем, предполагая,
что величина г0 (проекция мгновенной угловой скорости тела на
ось собственного вращения) большая, мы, качественно исследуя
нелинейные уравнения движения, оценили (строго) размах коле-
колебаний оси собственного вращения и отклонение величины ско-
скорости собственного вращения от постоянной. Оценки показали,
что, назначая достаточно большое г0, мы можем сделать сколь
угодно малым размах колебаний оси волчка, а скорость собствен-
собственного вращения— сколь угодно близкой к постоянной. В этом
смысле можно говорить об устойчивости (при большом значении г0)
регулярной прецессии в случае Лагранжа.
Решение системы дифференциальных уравнений возмущенного
движения можно искать в виде рядов, расположенных по степе-
степеням некоторых малых параметров, которые либо естественно
входят в уравнения движения, либо вводятся искусственным
путем. Описание этих методов не включено в книгу.
В следующих параграфах будут рассмотрены основы теории
устойчивости движения и равновесия и малые линейные колебания
I 2. ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 429
материальных точек и тел около устойчивого невозмущенного
состояния. Малые линейные колебания (малые возмущения) опи-
описываются системами линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами. Впервые такие системы диффе-
дифференциальных уравнений были составлены и проинтегрированы
Лагранжем при изучении малых колебаний тел около положения
равновесия (см. [17], т. I, Динамика, отдел шестой).
Исследование устойчивости движения и равновесия имеет боль-
большое значение в технических приложениях: проектируемый режим
работы машины должен быть устойчивым по отношению к возму-
возмущениям, если они, разумеется, ограничены и не достигают ката-
катастрофических значений. В литературе известен выразительный
термин «прочность» движения — устойчивое движение обладает
как бы запасом прочности *).
§ 2. Основы второго метода Ляпунова
Общая теория устойчивости движения, созданная А. М. Ляпу-
Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации **). А. М. Ляпу-
Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения.
К первому он отнес совокупность всех способов исследования
устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих или
частных решений дифференциальных уравнений возмущенного
движения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были
отнесены все те способы, которые основываются на построении
некоторых функций времени и переменных, определяющих состоя-
состояние движения системы, и не требуют разыскания решений диф-
дифференциальных уравнений возмущенного движения. Функции,
применяемые во втором методе, получили название функций
Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят —прямого) метода
Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения инте-
интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возму-
возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям,
которые могут либо меняться с течением времени, либо являются
неподвижными интегральными поверхностями.
По сравнению с первым второй метод Ляпунова проще и
удобнее: он не требует громоздких выкладок и доказательства
сходимости рядов; поэтому второй метод применяется гораздо
чаще. Мы ограничимся кратким изложением основ второго
метода***).
*) См. [12], «О прочности движения», докторская диссертация, т. I.
**) Докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчи-
устойчивости движения» была напечатана в 1892 г.
***) Дальнейшее развитие теория устойчивости движения получила в рабо-
работах Г. Н. Дубошиыа [11], Н. Г. Четаева [36] и других авторов.
430 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Все последующее относится к исследованию движения голо-
номных систем с конечным числом степеней свободы, т. е. к таким
системам, движение которых может быть описано уравнениями
Лагранжа 2-го рода (см. гл. IV)
iws-ws=Qs (s=u 2--'/)- D-67)
Как мы видели, систему D.67) можно заменить системой 2/ урав-
уравнений первого порядка следующего вида:
^ = 4,, ?*Laar+Qt. D.б7')
Если все активные силы потенциальны, то, вводя функцию
Лагранжа L(q, q\ t)t мы можем записать систему уравнений пер-
первого порядка в виде (см. гл. V)
йЯз _ п d dL _ dL {T. im
либо в канонической форме
dqs дН dps дН
ИГ ~~ dpi' ~ЗГ~-~&/7:
E.24)
где p5 = gj- есть обобщенный импульс, Н (q, p\ f)— функция
Гамильтона.
Рассматривая уравнения Лагранжа 2-го рода, мы показали,
что эти уравнения всегда (во всяком случае, для всяких класси-
классических систем) могут быть разрешены относительно вторых про-
производных от координат по времени. Поэтому систему D.67') или
систему E.10) мы можем представить в нормальной форме
d(ls _ у, dr)s __ 7 In п- Л П \\
Каждой системе начальных значений ^0» ^о или qs0, цз0 соот-
соответствует некоторое частное решение системы G.1)*). Выберем
из множества частных решений одно, которое будем считать
невозмущенным. Обычно этот выбор основывается на той
предварительной информации, о которой шла речь в § 1 настоя-
настоящей главы.
Пусть q% и q% — начальные значения переменных в избранном
невозмущенном движении, а
G.2)
*) Предполагается, что, во-первых, удовлетворяются условия существо-
существования и единственности решения системы G.1), а во-вторых, начальные зна-
значения с/$о и qsii определяют имеющее смысл частное решение..
§ 2. ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 431
— соответствующее частное решение (все величины здесь веще-
вещественные). При / = *0 = 0
Любое другое частное решение системы G.1) будем, следуя
А. М. Ляпунову, называть возмущенным. Начальные значения
переменных в возмущенном движении представим в виде
qs @) га qs0 = q% + es, qs @) = qs0 = q% + es'. G.3)
Вещественные постоянные е^ и е$ назовем начальными возмуще-
возмущениями. Разности <7Л0~Ф*@ и Qs(t) — %(t) (t^U) — последую-
последующими возмущениями или просто возмущениями обобщенных коор-
координат и обобщенных скоростей. В силу единственности решения
системы дифференциальных уравнений возмущения обращаются
в нуль, если равны нулю начальные возмущения г3 и 8§. Если же
г$ и 8s не равны нулю, то будут отличны от нуля и последую-
последующие возмущения. Поведение возмущений, зависящих от времени t
и от величин г$ и 8s, определяется свойствами невозмущенного
движения.
Если при достаточно малых г3 и es' *) возмущения при t^t0
не выйдут за некоторые заданные, численно малые пределы, то
невозмущенное движение будем называть устойчивым. В против-
противном случае — неустойчивым.
Прежде чем дать строгое определение устойчивости невозму-
невозмущенного движения, запишем уравнения движения в нормальной
форме, вводя для переменных, определяющих состояние движения,
единообразное обозначение хг **). Положим
в,@-ч>#@-*#@. 4#@-Ф#@***Л0 (*=1. 2 /)•
G.4)
При подстановке функций ys(t) и \|^(/) в систему GЛ) получим
тождества
^%. ф-2#(Ф.Ч«0. G-5)
Вычитая почленно G.5) из G.1), мы придем к следующей системе
дифференциальных уравнений для возмущений:
§-X,(*f 0 (/ = 1, 2 21). G.6)
*) Имеются в виду численно малые величины, а не бесконечно
малые, т. е. стремящиеся к нулю.
**) Неизвестными функциями в уравнениях движения являются обобщен-
обобщенные координаты и обобщенные скорости, т. е. переменные, определяющие
состояние движения системы. Поэтому, строго говоря, исследуется устойчи-
устойчивость состояния движения или состояния покоя некоторой
системы.
432 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Относительно невозмущенного движения заметим, что
Поэтому неизвестные возмущения будут зависеть от времени t и
от начальных значений переменных в невозмущенном движении.
Предположим, что функции X* для всякого t конечны, одно-
однозначны и непрерывны вместе со своими частными производными
первого порядка в области \xt\^A. Так как Х;@, /) = 0, то
невозмущенному движению отвечает нулевое решение системы G.6).
Дадим определение устойчивости.
Невозмущенное состояние движения (будем говорить короче:
«невозмущенное движение»), т. е. нулевое решение системы G.6),
называется устойчивым, если всякому положительному числу е ^ Д
соответствует такое положительное число 8 < е, что при началь-
начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям
|*л|<в (s-l, 2, ...,2/),
будут справедливы неравенства
\Xs(t)\<8
для всякого t^t0.
Через xs0 мы обозначили *,(*0). Положительное число А не
превосходит числа А.
Если при выполнении указанных условий
Нтх,(/)*=0, когда /->-оо,
то устойчивость невозмущенного движения называется асимпто-
асимптотической.
Всякое невозмущенное движение, не удовлетворяющее опре-
определению устойчивости, называется неустойчивым.
Дадим самостоятельное определение неустойчивости.
Невозмущенное движение называется неустойчивым, если всякой
паре положительных чисел б и е, задаваемых произвольно, подчи-
подчиненных лишь условию 8 < 8 ^ Д, соответствует такое число х > /0,
что всегда можно найти вещественные значения xs0, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенствам \xso\^8 и приводящие при t¦= т по крайней
мере к одному из равенств
1*,(т)|-в. G.7)
Заметим, однако, что можно найти такое Тх>/0» что при
fo^t^%i будет \xs(t)\<s (s=l, 2, ..., 21). Следовательно,
в течение некоторого конечного времени возмущения будут огра-
ограничены и при неустойчивости невозмущенного движения *).
*) Для неустойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы наш-
нашлась хотя бы одна система начальных возмущений xs0 (| л:50 | ^ б), приводя-
приводящая к равенству G.7). Если любая система начальных значений приводит
к равенствам вида G.7), то говорят, что невозмущенное движение абсолютно
неустойчиво.
§ 2. ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 433
Сформулируем определение условной устойчивости.
Невозмущенное движение называется условно устойчивым, если
всякому положительному е соответствует такое б @<б<е), что
при всех xs0, удовлетворяющих условиям
где fj есть функция начальных возмущений, обращающаяся в нуль,
когда все хго равны нулю, неравенства
будут выполняться для всякого 0
Если начальные значения не удовлетворяют условиям fj(xs0)^:0t
то налицо будет неустойчивость. Значит, условная устойчивость
представляет собой неустойчивость (но не абсолютную).
Рассмотрим простой пример. Пусть материальная точка дви-
движется в однородном поле тяжести по абсолютно гладкой поверх-
поверхности, имеющей вид седла. Уравнение поверхности запишем
в декартовых координатах, направив ось z вертикально вверх:
z = Ах2 - By2,
где Л>0, В>0. В качестве невозмущешюго состояния рас-
рассмотрим состояние покоя (положение равновесия в начале коор-
координат). Очевидно, что малые колебания около положения равно-
равновесия возможны, если начальные возмущения подчинены следующим
условиям:
|А *| О О
где б и (х — численно малые положительные величины.
Приведем еще один пример. Рассмотрим систему с двумя сте-
степенями свободы (см. гл. IV, рис. 4.8). Положение системы опре-
определяется двумя координатами: углом отклонения маятника <р и
координатой центра масс бруска х\ (*i — циклическая координата).
Пусть невозмущенное состояние опять будет состоянием покоя
(ф = 0, ф = 0, хх = const). Очевидно, что это состояние будет устой-
устойчивым, если | ф01 < б, | фо | < \i, хг = 0. Следовательно, при наличии
циклической координаты возможна условная устойчивость состоя-
состояния равновесия.
Отметим, что в суждениях относительно устойчивости невоз-
невозмущенного состояния мы пока опираемся, во-первых, на опреде-
определение устойчивости, а во-вторых, на интуитивное представление
о том действительном (возмущенном) движении, которое возникает
в результате малых начальных возмущений.
В своей диссертации «Общая задача об устойчивости движения»
А. М. Ляпунов указывает на то, что невозмущенное движение
может быть устойчиво по отношению к одним функциям пере-
переменных, определяющих состояние движения, и неустойчиво по
J5 В. В. Петкевич — 1565
434 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
отношению к другим. Он приводит следующий пример. Движение
материальной точки, притягиваемой неподвижным центром по
закону тяготения, в случае круговой орбиты устойчиво по отно-
отношению к ее радиусу-вектору и по отношению к ее скорости,
но неустойчиво по отношению к прямоугольным координатам.
Эллиптическое движение неустойчиво и по отношению к радиусу-
вектору, но устойчиво по отношению к величине
г —
1 + 8 COS ф '
где г есть радиус-вектор точки в возмущенном движении, а все
остальные величины — параметр р, эксцентриситет е и полярный
угол ф —относятся к невозмущенному движению. Эллиптическое
движение точки устойчиво по отношению к ее прямоугольным
координатам или каким-либо другим координатам, если началь-
начальные возмущения не изменяют полной энергии (условная устой-
устойчивость при консервативных возмущениях).
Часто поэтому вместо самих переменных, определяющих состоя-
состояние движения системы, вводят некоторые функции от qy q и t и
рассматривают разности значений этих функций в возмущенном
и невозмущенном движениях. Выбор функций связан с возмож-
возможностью опытного измерения их величин. Число таких функций
может быть любым.
Отметим еще, что во многих случаях рассматриваемая задача,
а следовательно, и уравнения G.6) имеют смысл в течение огра-
ограниченного времени. Функции Xs(x, t) будут определены лишь
при to^t^f. Поэтому в подобных случаях определение устой-
устойчивости следует формулировать так: невозмущенное движение
называется устойчивым, если всякому положительному числу г
соответствует такое положительное число б < е, что при началь-
начальных возмущениях, удовлетворяющих условиям
будут справедливы неравенства
для всех значений t в промежутке (/<>, 0- Аналогичное изменение
нужно внести и в определение неустойчивости [11].
Рассмотрим функцию Ляпунова и введем некоторые опреде-
определения.
Функция Ляпунова V (я, t)y определенная при t ^ t0, | х8 (/) | < А
(Д>0), представляет собой вещественную, непрерывную и одно-
однозначную функцию всех переменных, имеющую непрерывные частные
производные первого порядка по всем переменным.
§ 2. ОСНОВЫ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА 435
Функцию V (л:, /) будем называть знакопостоянной, если при
любых значениях переменных в указанной области она сохраняет
знак, принимая, в частности, и нулевое значение.
Функцию V (#), не зависящую от ty будем называть знакоопре-
деленной, если она при любых допустимых значениях переменных
принимает значения одного знака и обращается в нуль тогда и
только тогда, когда все л^О. Если функция V (х) принимает
только положительные значения, то будем говорить, что она
знакоопределенная положительная', если только отрицательные, то
знакоопределенная отрицательная *).
Если функция V зависит от х и t, то знакоопределенной будем
называть ее при условии, что можно найти такую определенно
положительную функцию W (х), не зависящую от времени, чтобы
выполнялось одно из двух неравенств:
V^W или — V^W.
Далее, если функция Ляпунова V не зависит от времени,
то в силу ее непрерывности мы всегда сможем, задавая сколь
угодно малое положительное число Я, поставить ему в соответствие
такое малое положительное число h, что при \xs\^h будет
|1/|<Я.
Функции Ляпунова V (х, t)t зависящие от времени, подчиним
такому же требованию; функция V {х, t) должна быть такой,
чтобы при любом t^U мы могли, задавая сколь угодно малое
положительное число Л, поставить ему в соответствие такое число hy
что при \xs\^h будет | V (хч t)\^X.
Приведем пример. Функцию V (х, t) положим равной
у = A 4- sin21) 2 х\ B1 — число переменных xs). G.8)
2/
Функцию W (х) выберем в виде 2 *J- Тогда V ^W\
s=l
Если, задавая число Я, мы положим ^ = l/ if1 то нетРУДН0
проверить, что
(l+sin4) f] xl<X.
s=l
Г 2/ "I
Заметим, что, например, функция sin \t ? х\ , будучи ограничен-
L s=i J
ной, последнему требованию не удовлетворяет.
*) Часто говорят короче; либо «определенно положительная», либо «опре-
«определенно отрицательная».
16*
436
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Потребуем, кроме того, чтобы функция V (х, t) удовлетворяла
при любом t следующему требованию: всякому положительному
числу Л можно поставить в соответствие такое число /У, что
при \V\^A будет max\xs\^H*).
Если снова обратиться к примеру G.8), то, задавая Л, найдем
Прибегнем к иллюстрации. На рис. 7.1 условно изображены
две поверхности, уравнения которых имеют вид V = V (я, tx)
и W = W (х). Время рассматривается как параметр. Ординаты
поверхности V (xf t) в любой момент времени не ниже, чем
ординаты поверхности W (х) (на
рис. 7.1 изображен вид поверх-
поверхности V (х% t) в момент времени
/ = tx **). Поверхности могут быть
несимметричными относительно оси
ординат.
Обратимся к теореме Ляпуно-
Ляпунова, которая дает достаточное
условие устойчивости невозмущен-
невозмущенного движения.
Теорема Ляпунова. Если
дифференциальные уравнения воз-
возмущенного движения таковы, что
можно найти знакоопределенную функцию V (х, t), производная
которой по времени в силу этих уравнений была бы или знако*
постоянной функцией противоположного знака с V, или тожде-
тождественно равной нулю***), то невозмущенное движение устойчиво.
dV
Пусть V (х, t) есть знакоопределенная функция, a -i/—отри-
-i/—отрицательная или тождественно равная нулю; тогда найдется такая,
не зависящая от t определенно положительная функция W (х),
что при t^tOt |*,|<Д будет
Vlx t)>W(x) ^<0
Покажем, что для всякого положительного е<Д можно найти
такое 6(б)>0, что при |^0|^6 будет
Рис. 7.1.
*) Это означает, что в области \xs\^A функция V (х, t) при любом /
возрастает при удалении от начала координат.
**) Буквально подобную иллюстрацию можно понимать, только если число
степеней свободы системы равно единице.
***) В этом случае функция V (xt t) есть интеграл системы дифференциала
еых уравнений возмущенного движения.
§ 3. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 437
Точки, координаты которых удовлетворяют условию [я[=е, обра-
образуют замкнутое множество. Непрерывная функция W на этом
замкнутом множестве достигает минимума W* (наименьшее из
^наибольших значений функции W в области 0^|^|^е). Началь-
Начальные возмущения подчинены условию
Vo^V(xOf to)<W*.
По свойству функции V найдется такое б>0, что при |xs01<б
«будет \V0\<.W*. Запишем равенство
Так как
то
V(x9 t)^V0<W*.
Значит, |xs(t)|<e — изображающая точка на «плоскости» (хи xs) —
•не выйдет за пределы е-границы. Теорема доказана.
§ 3. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия
Обратимся теперь к теореме Лагранжа, в которой содержится
достаточное условие устойчивости положения равновесия. Сами
положения равновесия (их может быть несколько) мы найдем,
применяя статический принцип виртуальных перемещений (см.
гл. IV). Из найденных положений выберем то, которое нао
интересует, и перенесем в это положение начало координат:
ъ положении равновесия все обобщенные координаты будут равны
•нулю. В качестве невозмущенного состояния примем состояние
равновесия (состояние покоя), в котором все обобщенные скорости
также равны нулю. Таким образом, мы, исследуя устойчивость
«евозмущенного состояния равновесия, должны будем выяснить,
устойчиво ли нулевое решение системы
т^-л* $-*,<?. ч; 0. G-1)
Следовательно, с формальной стороны задача об устойчивости
равновесия и задача об устойчивости движения совпадают.
Теорема Лагранжа. Положение равновесия консерватив-
консервативной голономной системы устойчиво, если в положении равновесия
потенциальная энергия системы имеет изолированный минимум*
438
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Система консервативна, поэтому обобщенные координаты мо-
могут быть выбраны так, чтобы формулы преобразования не со-
содержали время f-gjp. = ОJ. Значит, кинетическая энергия си-
системы будет представлять собой однородную квадратичную функ-
функцию обобщенных скоростей с коэффициентами, зависящими от
q, но не зависящими от времени:
/ г
Мы знаем, что 7^ = 0 тогда и только тогда, когда все q = 0,
В некоторой окрестности точки, изображающей состояние покоя
(|<7|<;Д, |fl|<A), кинетическая энергия будет возрастать вме-
вместе с \q\.
Потенциальная энергия определяется с точностью до посто-
постоянной. Выберем эту постоянную так, чтобы в положении равно-
равновесия потенциальная энергия
равнялась нулю. Следователь-
Следовательно, так как в положении рав-
равновесия потенциальная энергия
имеет изолированный минимум
и ?/@) = 0, то в некоторой ко-
конечной окрестности этого поло-
положения
В качестве функции Ляпуно-
Ляпунова выберем функцию Е = Т + U>
Рис. 7.2. равную полной энергии сиае-
мы, зависящую от? и <? — пере-
переменных, определяющих состояние движения системы. Очевидно*
что E(q, q) есть знакоопределенная положительная функция,
равная нулю в состоянии равновесия и удовлетворяющая всем
требованиям, которые предъявляются к функциям Ляпунова*).
Так как система консервативна, то в силу уравнений возму-
возмущенного движения — = 0. Следовательно, по теореме Ляпунова
невозмущенное состояние — состояние покоя — устойчиво.
Проиллюстрируем это доказательство, представив условна
движение изображающей точки в пространстве q% q, E (рис. 7.2).
Пусть в области, где |<7|<Д, |#|<Д, функция E(q, q) воз-
возрастает по мере удаления от начала координат (от точки, отве-
*) В окрестности А функция U (д) монотонно возрастает по мере удале*
ния от положения равновесия.
§ 4. ТЕОРЕМА ЧЕТАЕВА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ 439
чающей невозмущенному состоянию покоя) *). Зададим 0 < г << Д.
На замкнутом множестве точек е-границы непрерывная функция
Е(Я* Я) достигает наименьшего значения min?'|e = ?*. Зададим
начальные возмущения q0 и q0 (точка Ро) так, чтобы |?о|<б,
jl6, где 0 < б < е. Очевидно, что будет справедливо неравенство
Изображающая точка начнет двигаться по поверхности, и ее
ордината будет постоянной (Е=*Е0). Следовательно, проекция
траектории изображающей точки на «плоскость» (q, q) не вый-
выйдет за пределы е-границы.
При наличии полной диссипации —тг < 0. Поэтому ордината
изображающей точки будет с течением времени убывать, вели-
величины q и q будут стремиться к нулю. Устойчивость состояния
равновесия в этом случае будет асимптотической**).
§ 4. Теорема Четаева о неустойчивости. Обращение
теоремы Лагранжа
А. М. Ляпунов в своей диссертации «Общая задача об устой-
устойчивости движения» исследовал также и неустойчивость невозму-
невозмущенного состояния. Им, в частности, была поставлена задача
обращения теоремы Лагранжа и доказана теорема, содержащая
достаточные условия неустойчивости положения равновесия при
некоторых предположениях относительно вида силового потен-
потенциала.
Н. Г. Четаев обобщил результаты Ляпунова, доказав тео-
теорему о неустойчивости, в которой даны достаточные условия
неустойчивости невозмущенного состояния системы при более
общих предположениях [36].
Пусть возмущенное движение описывается уравнениями G.6)
я в начальный момент заданы величины */(*0) = */<>. Нулевое
решение системы G.6) отвечает невозмущенному состоянию си-
системы. Выделим малую окрестность начала координат при по-
помощи неравенства
\\h G.9)
и рассмотрим функцию V (xlf х29 ...» x2i\ 0» принимающую по-
положительные значения в некоторой части выделенной окрест-
*) Излагая теорию Ляпунова, мы все переменные обозначали через xs
(формулы G.4)); соответственно, границы их абсолютных величин обозначали
одинаковыми символами. Так же и здесь будем писать | q | < А, | q \ < А
ВТ, Д.
**) Подобные иллюстративные рассуждения нельзя рассматривать как
доказательство.
440 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
ности и за ее пределами. Область положительных значений фун-
функции V, которую мы будем называть областью У>0, ограни-
ограничена кривой К=0. Предположим, кроме того, что в этой обла-
области имеется множество точек, сколь угодно близких к началу
координат. Перечислим свойства функции V.
1) Область У>0 существует при сколь угодно больших,
значениях t.
2) В области V >0 функция ограничена.
3) В области V>0 производная -^-, составленная в силу
уравнений возмущенного движения, принимает положительные
значения и для всех значений xs, t, удовлетворяющих нера-
неравенству
V(xl9 ..., х%1\ /)^Л>0, G.10)
выполняется следующее неравенство:
Заметим, что при указанных условиях кривая 1/=0 не мо-
может быть замкнутой в пределах области, определяемой неравен-
неравенствами G.9).
Теорема Четаева. Если для дифференциальных уравне-
уравнений возмуирнного движения можно найти функцию, удовлетво-
удовлетворяющую условиям 1), 2) и 3), то невозмущенное движение не-
неустойчиво.
Доказательство. Зададим численно малые начальные
значения л^о = -М*о) и допустим, что
V(xsOi to) = Vo>0.
При t>U функция V будет возрастать, так как в облает»
У >0, которой принадлежит начальное значение Ко, производ-
dV
ная -^т-, составленная в силу уравнении возмущенного движе-
движения, положительна. Умножая обе части G.11) на dt и интегри^
руя, найдем
V(xs, 0-Кв>$5Л-В(/-/0). G.12>
to
Очевидно, что при t->oo и К->оо. Но в облает»
V > 0 функция V по условию ограничена. Следова-
Следовательно, неравенство G.9) будет нарушено — изображающая точка
выйдет за пределы указанной области, несмотря на то, что на-
начальные значения переменных были весьма малы по абсолютно»
величине. Невозмущенное движение (состояние) неустойчиво.
§ 4. ТЕОРЕМА ЧЕТАЕВА О НЕУСТОЙЧИВОСТИ
441
Если обратиться к геометрической иллюстрации (понимая
условность подобного приема), то неустойчивость невозмущен-
«ого состояния при условиях, указанных в теореме Четаева,
-станет очевидной. На рис. 7.3 изображен в некоторый момент
времени кусок поверхности, уравнение которой имеет вид
= V(xu ..., *2/;
(У @, 0 0; 0 =
Функция V не является знакопеременной —поверхность пере-
пересекает «плоскость» (хи ..., x2i) по «линии», проходящей через
начало координат.
Допустим, что начальное положение системы изображается
точкой Ро, которая может быть расположена сколь угодно
близко к началу координат. В силу уравнений движения
-тг>®$ поэтому изображающая точка будет двигаться в сто-
сторону возрастания функции V. В области |^|^А функция V
ограничена, следовательно,
изображающая точка достиг-
достигнет границы этой области.
Отсюда и следует заключе-
заключение относительно неустойчи-
неустойчивости невозмущенного состо-
состояния.
Заметим, что функция
V (Хс, 0 может быть знако-
определеиной, т. е. поверх-
поверхность может иметь вид, изо-
изображенный на рис. 7.1. Если
в силу уравнений движения
У-~>0, то изображающая
точка, выходя из начального положения, сколь угодно близкого
к началу координат, будет от него удаляться. Невозмущенное
состояние и в этом случае неустойчиво.
Обращение теоремы Лагранжа об устойчивости положения
равновесия консервативной системы интересовало многих иссле-
исследователей, однако задача эта до сих пор полностью не решена.
Приведем без вывода две теоремы, содержащие достаточные
условия неустойчивости положения равновесия.
Теорема Ляпунова. Если в положении равновесия кон-
консервативной системы потенциальная энергия имеет максимум и
это определяется совокупностью членов наинизшего порядка
<в разложении этой функции, то равновесие неустойчиво.
Обобщения теоремы Ляпунова были даны Н. Г. Четаевым
в ряде его работ [36]. Приведем формулировку основной тео-
теоремы Четаева.
7.3.
442
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Пусть в положении равновесия ?i = 0, ^2==0, ..., qi = 0. Если
потенциальная энергия U консервативной системы является одно-
однородной функцией отклонений qs от положения равновесия и &
положении равновесия не имеет ми-
минимума, то это положение равнове-
равновесия неустойчиво*).
Если мы снова обратимся к гео-
геометрической иллюстрации и положим
?/@, 0, ..., 0) = 0, то обнаружим,,
что в окрестности положения рав-
равновесия — там, где U < 0, — будут
«ямы», которые должна обойти изо-
изображающая точка. Следовательно,,
мы не сможем назначить сколь угод-
угодно малые пределы для последующих
отклонений — налицо неустойчивость
Рис. 7.4. положения равновесия. На рис. 7.4
изображен вид такой поверхности.
Изображающая точка должна двигаться в «плоскости» (q, q) так,,
чтобы «ордината» точки на поверхности была постоянной — это к
вынудит изображающую точку пересечь е-границу.
§ б. О первом приближении
Обратимся к случаям установившегося (автономного) движе-
вия, когда правые части уравнений G.6) не зависят явно от
времени. Разложив функцию Xs(x) по степеням xSf запишем
уравнение в виде
2/
где все psi — вещественные постоянные, a %.s — не зависящие от
времени голоморфные функции л:, разложения которых начина-
начинаются с членов не ниже второго порядка**).
Отбросив в уравнениях все члены, порядок которых выше пер-
вого, мы получим систему линейных уравнений с постоянным»
*) Доказательство теорем Ляпунова и Четаева можно найти в литера-
литературе по устойчивости.
**) Функция Xs(x) называется голоморфной в некоторой области, если?
она может быть разложена в этой области в абсолютно сходящийся ряд, рас-
расположенный по целым положительным степеням переменных xs. Если коэф-
коэффициенты разложения функции Xs зависят не только от х, но и от t, a ps^
постоянны, то движение называется установившимся в первом приближении.
§ 5. О ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 443
коэффициентами:
i=\
которые Ляпунов называл уравнениями первого приближения.
Системы уравнений вида G.14) с постоянными либо с пере-
переменными коэффициентами удобно для сокращения записывать
й матричной форме. Обозначим через Р матрицу, составленную
из коэффициентов системы G.14):
Р=*\рЛ G.15)
Очевидно, что это будет квадратная матрица. Через х обозна-
обозначим матрицу-столбец («вектор»), элементами которой будут хъ
*1
G.16)
Тогда систему G.14) мы сможем записать, применяя сокращен-
сокращенное обозначение, в виде «векторного» уравнения
Интегральной матрицей будем называть матрицу, столбцами
которой являются 2/ линейно независимых частных решений
системы G.14). Обозначим интегральную матрицу через X(t).
Каждый столбец матрицы удовлетворяет уравнению G.13), сле-
следовательно, матрица X(t) удовлетворяет уравнению вида
4г = РХ, G.18)
которое называется матричным. Если известна матрица X(t), то
общее решение запишем в виде х = Ххо> где лго(#кь #20>"«* #2/0)
— начальный вектор, компоненты которого можно выразить
через заданные постоянные. Следовательно, общее решение
системы линейных однородных уравнений с постоянными
коэффициентами, записанное выше в матричной форме, пред-
представляет собой линейную комбинацию с постоянными коэффи-
коэффициентами частных линейно независимых решений —их «нало-
.жение».
Обратимся к фактическому нахождению частных решений
системы G.14). Будем искать частные решения в виде функций,
подобных своим производным, именно в виде
444 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ, МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
где постоянные К/ и х могут быть либо вещественными, либо
комплексными. Дифференцируя д* по времени и подставляя дг* и
xt в уравнения системы G.14), сокращая затем на общий мно-
множитель е"*% мы получим систему однородных алгебраических
уравнений:
2> 0, G.20>
где
бл=< ' / (символ Кронекера).
\ О, s=5=t
Будем в первую очередь рассматривать множители Ki в качестве
неизвестных. Ненулевое решение мы найдем, если будет равен;
нулю определитель системы:
det (л,-б,|ХM! ,.1-0. G.21>
Мы получили уравнение степени 2/ относительно и, которое
обычно называется .характеристическим. Ляпунов называл era
определяющим — такое название, как мы увидим дальше, связана
с тем, что корни этого уравнения определяют характер движения
системы. В случаях колебательного движения системы уравнение
G.21) называют частотным — его корнями будут квадраты соб-
собственных частот колебаний системы. Характеристическое урав-
уравнение G.21) может иметь кратные корни. Мы покажем дальше,,
что в этом случае будет либо просто совпадение нескольких соб-
собственных частот колебаний, либо появятся расходящиеся решения..
Если каким-либо способом мы докажем устойчивость невозму-
невозмущенного состояния системы, то для приближенного описания
возмущенного движения сможем применить уравнения первого
приближения. Но при исследовании устойчивости, например,,
методом Ляпунова нужно строить в явном виде функции Ляпу-
Ляпунова, а это очень трудная задача. Поэтому большую ценность
имеют приемы, позволяющие судить об устойчивости невозмущен-
невозмущенного состояния без построения функции Ляпунова, в частности*
по первому приближению.
Приведем без доказательства теоремы Ляпунова об устойчи-
устойчивости установившегося движения.
Теорема 1. Если определяющее {характеристическое) урав-
уравнение имеет корни только с отрицательными вещественными
частями, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво^
каковы бы ни были функции %s в уравнениях возмущенного дви-
движения.
Теорема 2. Если между корнями характеристического урав-
уравнения находятся такие% вещественные части которых положи*
§ 5. О ПЕРВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 445
тельны, то невозмущенное движение неустойчиво, каковы бы ни
были функции Xs в уравнениях возмущенного движения*)
Следовательно, в указанных случаях, пользуясь лишь первым
приближением, можно судить о свойствах невозмущенного дви-
движения (эти случаи называются обыкновенными).
Особенные случаи характеризуются тем, что характеристическое
уравнение не имеет корней с положительными вещественными
частями, но среди его корней есть чисто мнимые, вещественные
части которых равны нулю. В этих случаях первое приближение
недостаточно — требуется принимать во внимание члены высших
порядков в разложениях функций Х<. (или строить функцию
Ляпунова).
Приведем еще теорему Ляпунова, относящуюся к особенным
случаям.
Теорема 3. Если характеристическое (определяющее) урав-
уравнение G.21), не имея корней с положительными вещественными
частями, имеет корни, вещественные части которых равны нулю,
то функции Xs, входяш/ле в уравнения G.13), всегда можно подо-
подобрать так, чтобы невозмущенное движение было устойчивым или
неустойчивым, по желанию [11].
Отметим, что для систем с большим числом степеней свободы
разыскание корней уравнения G.21)-—весьма трудная задача, их
можно вычислить в общем случае лишь приближенно**). Поэтому
очень полезны способы, позволяющие установить знаки веще-
вещественных частей корней. Необходимые и достаточные условия
отрицательности вещественных частей всех корней были найдены
Раусом и Гурвицем. Приведем без вывода условия Гурвица,
Пусть дан полином с вещественными коэффициентами
f(z) = aQzn + axzn-l+ ... +ап
Из коэффициентов а* составим матрицу
ах а0 О О О О О
#5 о>4 <ц а% cii Oq О
On пя Оц Ол Ол Ол О\
на главной диагонали которой расположены последовательно коэф-
коэффициенты аи сиг, ..., ад. Обозначим главные диагональные миноры
*) Если все корни имеют положительные вещественные части, то невоз-
невозмущенное движение абсолютно неустойчиво.
**) Трудно найти аналитическое решение уравнения G,21). Численное
решение находится просто при помощи современных вычислительных методов*
если заданы числовые значения коэффициентов.
446 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
построенной матрицы через Dt\
Dk
#1 #0
а3 а2
• °3==
аг «о 0 .
а3 а2 ах .
пл пл
аъ а4
.. 0
.. 0
a2k-\
пи
0
аг
а3
>
«2
а2П-\ <*2П-2 ••• ^
Элементы aj определителя Dk заменяются нулями, если
Теорема Гурвица. Необходимым и достаточным условием
того, чтобы полином f (z) имел все корни с отрицательными веще-
вещественными частями, являются неравенства Dt>0, D2>0, ...
), ап>0.
§ 6. Уравнения малых колебаний консервативной системы
Рассмотрим голономную систему материальных точек и тел,
число степеней свободы которой равно / и которая движется под
действием консервативных сил.
Для описания движения такой системы удобно применить
уравнения Лагранжа 2-го рода (см. гл. IV)
dt d<js dqs
l, 2 0,
D.83)
где L(q, q) = T — U есть классическая функция Лагранжа.
Предположим, что, применяя статический принцип виртуаль-
виртуальных перемещений (или какой-либо другой способ), мы нашли
несколько положений равновесия. Выберем из них то, которое
нас интересует, и перенесем в него начало координат, т. е. поло-
положим, что в положении равновесия все обобщенные координаты
равны нулю. Предположим, кроме того, что потенциальная энер-
энергия системы в положении равновесия имеет изолированный мини-
минимум, т. е. что избранное положение равновесия устойчиво. Это
дает нам право на приближенное описание возмущенного движе-
движения, если, разумеется, начальные возмущения численно малы.
Если на точки и тела, образующие систему, наложены связи,
то они должны быть идеальными и стационарными (система кон-
консервативна). Поэтому обобщенные координаты могут быть выбраны
так, что в формулы преобразования координат не войдет время
§ б. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 447
и, следовательно, кинетическая энергия будет однородной квадра-
квадратичной функцией обобщенных скоростей:
где Aij (q) = Ац (q) — непрерывные функции обобщенных коорди-
координат. В главе IV было показано, что
Ап ... Аи
>0,...,
Ап
>о
(Т2 есть определенно положительная функция dj).
Потенциальная энергия системы представляет собой однознач-
однозначную непрерывную функцию координат q, имеющую непрерывные
частные производные по всем координатам по меньшей мере до
второго порядка включительно *). Определяется потенциальная
энергия с точностью до постоянного слагаемого, которое можно выб-
выбрать так, чтобы в положении равновесия было ?/@, 0,..., 0) = 0.
Следовательно, в некоторой конечной Д-окрестности положения
равновесия потенциальная энергия будет положительной функцией
координат q, возрастающей при удалении от положения равно-
равновесия (см. доказательство теоремы Лагранжа об устойчивости
положения равновесия).
Важно, чтобы среди обобщенных координат не было цикли-
циклических.
Возмущенное движение системы мы будем описывать в пер-
первом приближении, для чего систему дифференциальных уравнений
возмущенного движения запишем в виде системы линейных урав-
уравнений с постоянными коэффициентами.
Для построения теории малых колебаний удобно заменить
функцию Лагранжа ее приближенным выражением. Разложим
коэффициенты Aij(q) в выражении кинетической энергии по сте-
степеням q и удержим первые члены разложения. В разложении,
функции U (q) сохраним члены второго порядка.
Обратимся к функции Т (qt q). Функция Т обращается в нуль
тогда и только тогда, когда все q равны нулю, в частности,
когда система покоится. Если же система проходит положение
равновесия, то кинетическая энергия не равна нулю**). Заменим
*) Это следует хотя бы из того, что rotFa = 0, где Fa есть активная сила*
приложенная к точке Ма.
**) Если хоть одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, например ^,
п
то 71 = 712==~ Ац$>0} где 41=:: У % г5 >0 (в положении равно»
весия ~ ф
448 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
функцию Т приближенным выражением, положив
где
а// = Л//@).
Запишем разложение потенциальной энергии по степеням q:
i
.... <?,) = </(О, 0, .... 0)
2
1= 1
422*
«*+-
Постоянная в выражении потенциальной энергии выбрана так,
что (/@) = 0. Кроме того, в положении равновесия
dU
Положим
Тогда
= 0.
dqt dq/
= C(j = Сц.
I I
U
G.24)
Приближенное выражение кинетической энергии G.22) в области
|4|<Д есть знакоопределенная положительная функция обоб-
обобщенных скоростей. Следовательно,
аи ... аи
ап а12
I «21 «22
G.25)
Квадратичная функция G.24) есть также знакоопределенная поло-
положительная функция координат (в области |^|<А). Поэтому
с12
с22
сц
G.26)
Условимся в дальнейшем не пользоваться символом приближен-
приближенного равенства, так как вся теория малых колебаний использует
приближенные уравнения.
Приближенное выражение функции Лагранжа будет иметь вид
2" 2 2 (М<4/-с^чу)-
l /1
G.27)
§ 6. УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 440
Из G.27) находим
i i
2 *Л" Щ9 - - 2 **'• G.28)
Запишем теперь систему уравнений возмущенного движения:
2 (о*?* + <Ый) = ° (s = 1, 2, ...,/). G,29)
6L
Ws
Система G.29) есть система линейных однородных дифферен-
дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Если от системы G.29) перейти к системе 2/ уравнений
первого порядка, где неизвестными функциями будут q и q, затем
привести ее к нормальному виду, то мы придем к уравнениям
типа G.14).
Систему уравнений G.29) удобно записать в сокращенном
виде. С этой целью введем две симметричные определенно поло-
положительные матрицы *)
аи
си
и матрицу-столбец («вектор»)
G.30)
G.31)
Тогда систему G.29) мы сможем записать в сокращенной векторно-
матричной форме
A C0. G.32)
Кроме уравнений Лагранжа 2-го рода применяются уравнения
Гамильтона (см. гл. V)
Ж/s __ dtf dps^_^L /«_ 1 9 А /7^
I, — -j ) <» —- -\ 1ь> —— 1 • ^'«••••('1. I/ «ОС/1
Система материальных точек и тел консервативна, следовательно,
H = H(qt p)
Отметим, что здесь
91 ж' - ^ G.34)
*) Симметричная матрица Л = |а//(| называется определенно положительной,
если квадратичная форма 22^/*'*/ опРеДеленно положительная,
i I
22
i I
450
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Очевидно, что если все | qt | будут численно малы, то и \ps\ будут*
малыми. Поэтому мы можем перейти к приближенной записи
канонических уравнений, разложив правые части их по степеням
дари удерживая главные линейные части этих разложений *).
Канонические уравнения будут иметь вид
dt
1=1
dqt dps
dpi dps
Pi),
d?s
dt ~
i—l
dqt dqs
dp-dq!
Pi
-)¦
G.35)
Система G.35) есть система уравнений в вариациях Пуанкаре
(вариациями переменных q и р Пуанкаре называл то, что мы
называем возмущениями).
Отметим, что из G.27) следует
я=4
т 2 2 с»м>* <7-
где iii есть qiy выраженная через канонические переменные. Поэтому
qt dq/ |0
dqt dp/
0,
dpi dq/
= 0,
dpi dpi
где А = det (#*/)! /= 1, A*y — алгебраическое дополнение элемента ay.
Система уравнений G.35) будет иметь вид
dp,
= 2 hisPi> it= "• 2Cisqi-
Или, если ввести две квадратные матрицы
_ \\hn ... Ml \\cn
сц\\
и матрицы-столбцы («векторы»)
qil
II Pi II
I PiII
G.37)
G.38)
то систему G.35) можно записать в сокращенной форме
*) В состоянии покоя все # = 0 и все р* = 0 (последнее видно из G,34)).
§ 7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 451
§ 7. Интегрирование уравнений малых колебаний
Обратимся к системе дифференциальных уравнений G.29):
0 (s = l, 2, ..., I).
Частное решение этой -системы ищем в виде функций, подобных
своим вторым производным по времени. Например, в виде
qs^Kssin((ot + a) (s=l, 2, ..., /), G.40)
где со есть неизвестная, одинаковая для всех координат частота
гармонических колебаний, а —одинаковая для всех координат
постоянная, j Ks \ — амплитуда колебаний. Постоянные а и Ks
зависят от начальных условий, постоянная со— от свойств самой
системы. Частное решение мы ищем в указанном виде потому,
что, во-первых, положение равновесия по условию устойчиво,
а во-вторых, система уравнений первого приближения записана
в виде системы уравнений второго порядка.
Схема интегрирования системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами была изложена в на-
начале § 5: дифференцируя частное решение по времени (здесь
дважды), подставляя в уравнения и сокращая на общий множи-
множитель sin (со/+ ос), мы получим систему уравнений для амплитуд:
i
. Z (tois-cis)Kt = 0 (s=l, 2 t), G.41)
t = i
где Я = со2. Затем, потребовав, чтобы существовало ненулевое
решение, мы придем к характеристическому (определяющему)
уравнению
C/y)! ,-,=*(>. G.42)
Характеристическое уравнение, представляющее собой алгебраи-
алгебраическое уравнение степени / относительно Я, здесь будет уравне-
уравнением частот.
Если мы введем матрицу-столбец («амплитудный вектор»)
[I /Ci II
К= : . G.43)
Ik/ II
то частное решение системы дифференциальных уравнений возму-
возмущенного движения можно будет представить в виде
G.44)
452
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Тогда систему алгебраических уравнений для амплитуд и урав-
уравнение частот запишем следующим образом:
G.45)
G.46)
det (Ы - С) = О (К = о2).
Пусть Хи Х2, ..., Я/ —корни уравнения частот (среди них
могут быть кратные —это не изменит вида частного решения)*).
Каждому корню Kf соответствует амплитудный вектор с компо-
компонентами К{/\ определяемый из системы G.41) с точностью до
постоянного множителя. В силу линейности системы дифферен-
дифференциальных уравнений общее решение будет линейной комбинацией
с постоянными коэффициентами частных линейно независимых
решений:
q =
о,/ + а,) (со, = VT).
G.47)
Число произвольных постоянных равно 2/, т. е. порядку системы—*
это постоянные су и ау. Мы видим, что решение будет веществен-
вещественным, если вещественными будут частоты coy, т. е. если kf > 0.
Приведем доказательство теоремы Сильвестра о вещественности
корней характеристического уравнения (о положительности Я/)„
данное Нансоном, несколько видоизменив изложение [33].
Обозначим временно (#*уА,—-С;у) через а#. Рассмотрим симмет-
симметричный определитель
Д(а) =
«11 «12
«21 «22
Обозначим через Д^ определитель, полученный из А (а) вычерки-
вычеркиванием первых k строк и первых k столбцов:
«33
«3/
Легко проверить, что
G.48)
Это равенство применимо к любому из определителей Дл. Оче-
Очевидно, что
*) Дальше мы рассмотрим зависимость вида частного решения ох
тера кратных корней характеристического уравнения.
$ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 453
Поэтому, если Ai(A)s*0, то при том же значении Я знаки опре-
определителей А и Д2 будут различны. Определитель А (Я) есть поли-
полином от Я степени /. Определитель Дл —полином степени (l — k).
Коэффициент при старшем члене в полиноме А (Я) равен дискри-
дискриминанту функции 7\ Коэффициенты при старших членах во всех
определителях А*(Я) равны главным минорам определителя det(afy).
Следовательно, все коэффициенты при старших членах полиномов
ДЛ(Я) положительны. Далее, при Я = 0 мы получим
где det(fy) есть дискриминант определенно положительной квад-
квадратичной функции U (q). Величины ДА @) равны соответствующим
главным минорам этого определителя, умноженным на (— \)l~k.
При Я-> + оо все функции
А (Я), Дх(Я), ..., ДМ(Я)
положительны и возрастают.
Доказательство теоремы Сильвестра основывается на равен-
равенстве G.48) и на свойствах функций А (Я), Д^Я), «.., А/_1(Я).
Заключается оно в подсчете числа перемен знаков этих функций
при изменении Я от нуля до некоторого большого положитель-
положительного значения W, при котором Д(Л0>0.
Из того, что Д/ = 1 и А^1(Я^1)) = 0, где Я^1>=^->0,
следует
А из неравенств
Дм@)>0, Дм(Л0>0
заключаем, что корень Я^-1* расположен между корнями уравне-
уравнения
ДМ(Л) = О.
Обозначим эти вещественные положительные корни через Я(/~2)
и Я^~2). Если
то
Д
Кроме того,
Д/-з@)<0, Дм(Л0>0.
Значит, уравнение
Д/-з(Я) = 0
имеет три вещественных положительных корня, между которыми
лежат корни уравнения Д,_2(Я) = 0:
^2)яГ3) и т. д.
454
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ, МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Мы имеем последовательность уравнений
Д/-1(Я) - 0, ..., Дw-x (Я) = О, A w (Я)» О, А|Ч+1 (Я)
0, ...
Корни уравнения Дм(Я) = 0, разделенные корнями предшест-
предшествующего уравнения, лежат между корнями последующего. Гра-
Графики всех функций &S(X) пересекают ось абсцисс при 0<Я<Л^,
следовательно, все корни вещественные и положительные.
Таким образом, отправляясь от единственного положительного
корня уравнения Д^х(Я)=О, мы найдем, что уравнение Д(Я) = О
имеет / вещественных и, что очень важно, положительных
корней.
A(K)t
Рис. 7.5.
Рассмотрим иллюстрацию доказательства, положив ¦
шем Д(Я):
ЯцЛ — Сц Cti2A — С\2 п\%к — Сц
Д (Я) = a2i\ — с21 а22%—с22 о^зЯ—сг
#3lA — ^31 ^32^* — ^32 ^33^* —"' ^3!
Составим определители As (Я):
3. Запи-
ЗапиЗдесь
О> 32^* ~" ^32 ^33^* — ^
1 •
Д@)<0, Дх(О)>О, Д3@)<0.
На рис. 7.5 изображены графики функций
Д(Я), ДХ(Я), Д2(Я)
и указаны корни соответствующих уравнений.
Если уравнение Д(Я) имеет два равных корня, то совпадут
точки Яь Я2, ЯГ, Яг1' и Я<2). Если кратность корней равна трем,
то с перечисленными точками совпадет и точка Я3.
Как мы видим, все корни уравнения Д(Я)=О положительны
потому, что Д@) = (— l)z det (сД где det(ty)>0. Необходимым
§ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 455
условием положительности корней является совпадение знаков
Д@) и Д(—М), где М есть достаточно большое положительное
число. В рассматриваемом случае так и будет: старший член
полинома есть A/det(a;y), который при А, = — М<0 будет равен
(—l)/M/det(aiy), где det(al7)>0.
Если функция -п-УУо/W/ не является определенно поло-
i /
жительной, то корни уравнения Д(Я) = 0 могут расположиться
в промежутке — М ^ А, ^ N (доказательство вещественности оста-
остается прежним). Среди корней могут быть отрицательные и нуле-
нулевые. В этом случае частное решение нельзя искать в виде G.40).
Частными решениями будут функции вида
а нулевым корням будут отвечать частные решения
Очевидно, что в этом случае нельзя пользоваться уравнениями
первого приближения — метод малых линейных колебаний теряет
силу.
Обратимся к выражению потенциальной энергии.
Точное выражение потенциальной энергии в некоторой окре-
окрестности положения равновесия имеет вид
и (?) - i 2 2 с"W' + F (ft. • • •, fi), G.49)
i t
где бесконечный ряд^(^) содержит члены не ниже третьего порядка
относительно координат q.
Приведем квадратичную функцию
22
i /
к виду суммы квадратов. Для этого представим себе в /-мерном
евклидовом пространстве центральную поверхность второго
порядка («квадрику»), уравнение которой имеет вид
ТОвЦЦш-8*1' G-50>
i f
Перейдем к новым координатным осям, совпадающим с главными
направлениями,—главным осям. Главные оси проходят череа
центр поверхности и ее вершины, их направления коллинеарны
с направлениями нормалей к поверхности.
Условие коллинеарности имеет вид
Щ.-Ш (*«1, 2 /),
456 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
или
Отличное от нуля решение найдем, если
Очевидно, что
— ^21» (V — С22) ... — С,
—сп —с12 ... (V—с
= 0.
G.51)
G.52)
и если положительны det(c;/) и все его главные миноры, то на
основании теоремы Сильвестра можно утверждать, что все корни
характеристического уравнения G.52) вещественны и положи-
положительны. Выясним их геометрический смысл. Обе части каждого
уравнения G.51) умножим на qh а затем сложим их почленно:
ИЛИ
Если все
G.53)
T0
есть квадрат главной полуоси (при у<0 полуось будет мнимой).
С помощью линейного преобразования *) переходим к новым
переменным, обозначив их через g/f выбрав в качестве осей коор-
координат главные оси.
Уравнение поверхности примет вид
G.55)
Обозначая длины полуосей через as, найдем
Корни ys Пуанкаре назвал коэффициентами устойчивости,
а число отрицательных корней —степенью неустойчивости. Если
все у* положительны, то f(q), а значит, и U (q) определенно поло-
положительны в некоторой конечной окрестности начала координат,
*) Формулы преобразования не выписываем.
$ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИИ 457
а в положении равновесия имеют изолированный минимум — поло-
положение равновесия устойчиво. Если среди корней ys найдется
хотя бы один отрицательный, то положение равновесия неустой-
неустойчиво [36].
Обратимся к уравнениям возмущенного движения G.29). Как
мы видели, характеристическое уравнение G.42) имеет / веще-
вещественных положительных корней, среди которых могут быть и
равные. Следовательно, это уравнение может быть записано в виде
Очевидно, что соответствующая Л-матрица имеет диагональную
форму
(к—XJ 0 ... О и
^.,(^7.Х?.Г..Л ¦ G-56>
О 0 ... (Я, — *,/)!
Такая форма А,-матрицы получится, если система уравнений воз-
возмущенного движения распадется на / дифференциальных уравне-
уравнений вида __
K G.57)
где переменные хи х%, ..., Xi связаны с переменными qu • • •» Яг
формулами линейного преобразования с постоянными коэффи-
коэффициентами.
Нетрудно проверить, что уравнения G.57) мы получим, если
функция Лагранжа дается следующей формулой:
i
где ja>0 есть некоторый размерный множитель.
Заменим временно в выражении кинетической энергии (\ через
q (для алгебраических операций это несущественно). Тогда мы
получим две определенно положительные квадратичные функции
переменных q: T (q) и U (q).
На основании сказанного выше можно утверждать, что суще-
существует такое линейное неособое преобразование координат qt = <7,(х),
которое одновременно приводит две квадратичные формы Т(q)
и U (q) к каноническому виду *)
= 1
*) Мы сохраняем обозначения Т и U. Обычно полагают ц = 1. Заметим,
что )ц не всегда совпадают с коэффициентами устойчивости у* по величине»
так как здесь преобразование включает еще изменение масштаба»
458 гл. vii. устойчивость движения, малые колебания
Действительно, в теории квадратичных форм есть замечатель-
замечательная теорема, в которой доказывается, что если имеются две веще-
вещественные квадратичные формы от одних и тех же переменных,
из которых одна знако-определенная, то существует линейное
неособое преобразование, которое приводит одновременно обе
формы к каноническому виду [6].
Координаты Xi называются нормальными, или главными.
Рассмотрим переход от некоторых обобщенных координат qt
к нормальным координатам хЛ с иной точки зрения. Идея такого
подхода указана Лагранжем в «Аналитической механике» и заклю-
заключается в преобразовании системы уравнений возмущенного дви-
движения к виду системы отдельных уравнений гармонических коле-
колебаний G.57).
Умножим обе части каждого уравнения системы G.29) на
неопределенный постоянный множитель ms и сложим их почленно.
Получим
2 2 /MMfi + *irfi) = O. G.59)
Теперь положим
i i
2ft 2 ms<iis=x9 G.60)
i=l s=l
/ /
2 ft 2 msCis=-hc. G.61)
1=1 S=l
Формулы G.60) являются формулами линейного преобразования
координат, где у новых переменных х пока не указаны индексы
(их будет столько же, сколько различных систем множителей ms).
Сравнивая G.60) и G.61), найдем
ii ii
* 2 и 22 mA# = 2 ft 2 m^- G.62)
(si S=l *=1 S=l
Коэффициенты при одинаковых qt должны быть равны, поэтому
i
2 m*(bau-Cu) = 0. G.63)
s= 1
Система уравнений G.63) совпадает с системой G.41). В силу
однородности уравнений множители ms пропорциональны компо-
компонентам амплитудного вектора Ks. Отличное от нуля решение
получим, если
dt(Acv){i/i.I-0. G.42)
Корни характериаического уравнения вещественны и доложи-
§ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 459
тельны, если возмущенное движение происходит в окрестности
устойчивого положения равновесия.
Полагая Я = Яу, где Яу есть корень характеристического урав-
уравнения, мы найдем из G.63) величины т{р (с точностью до про-
произвольных постоянных множителей су, число которых равно /) и»
следовательно, из формул G.60) нормальные координаты xf.
Уравнения возмущенного движения будут иметь вид
*/ + V/ = 0 (/=1, 2, ..., /). G.64)
Если Ху>0, то, положив Я/ = @/, запишем общее решение каж-
каждого уравнения G.64) в виде
Xf = A/sin ((ujt + GCj).
Если Я;<0, то, положив Я/= —vj, получим
x/^AfeV + Bje-V.
При Я/==0 будет
x,
Очевидно, что в двух последних случаях, как это уже было
отмечено выше, метод малых линейных колебаний применять
нельзя.
Общее решение системы дифференциальных уравнений возму-
возмущенного движения G.47) есть наложение (суперпозиция) нор-
нормальных колебаний, частоты которых называются собственными
частотами колебаний консервативной системы.
Отметим, что нормальные координаты представляют собой
некоторые обобщенные координаты. Отличительная особенность
нормальных координат заключается в том, что они независимы
не только кинематически, но и динамически — в каж-
каждое динамическое уравнение входят только одна координата и ее
вторая производная по времени.
Вернемся к системе уравнений для амплитуд:
(ЛЛ-ОДГ = 0 G.45)
и к такой же системе для множителей ms:
04Я-С)т = 0, G.65)
где
• 1.
тА
Эти системы линейных однородных уравнений имеют ненулевые
решения, если
AеЦЛЯ-С) = 0. G.46)
460 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В случае, когда все корни характеристического уравнения
G.46) различны, ранг матрицы
(АХ,-С)
равен (/—1) (Я/ —один из простых корней). Значит, по крайней
мере один из миноров первого порядка определителя Д (X/) отли-
отличен от нуля *). Следовательно, системы G.45) и G.63) определяют
Ks или ms с точностью до произвольного множителя. Иными
словами, подставив Я = Л/ в G.45), мы находим (/ — 1) отноше-
отношений, например,
кр кр9 "'• ~кр
которые между собой независимы. Таким образом, система урав-
уравнений возмущенного движения в этом случае имеет / незави-
независимых частных решений.
Рассматривая в первом приближении возмущенное движение
консервативной системы, мы предполагали, что невозмущенное
состояние — состояние покоя — устойчиво. Это позволило нам
искать частное решение системы дифференциальных уравнений
возмущенного движения в виде тригонометрических функций
времени. Если заранее мы не знаем, устойчиво или неустойчиво
положение равновесия, то частное решение следует искать в виде
Ке*. В таком же виде нужно искать частное решение и в тех
случаях, когда в уравнения входят производные первого и вто-
второго порядков.
Обратимся теперь к случаям кратных корней характеристиче-
характеристического уравнения. Допустим, что Xk (или х|) есть |х-кратный корень.
В зависимости от структуры Я-матрицы мы найдем либо частные
решения рассмотренного выше вида, которым отвечают нормаль-
нормальные колебания с совпадающими частотами, либо частные решения
вида
где К и* * — постоянные, /и = [г--1. Доказательство этого утвер-
утверждения можно найти в курсах дифференциальных уравнений
([10], т. II, ч. 2, [24], [30]). Мы же здесь ограничимся примером
системы с тремя степенями свободы.
•) Минор первого порядка получается вычеркиванием из определителя
одной строки и одного столбца. Простой корень не обращает в нуль все миноры
первого порядка, так как здесь
§ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 46!
Запишем уравнения первого приближения
0 (*=1, 2, 3).
Частное решение ищем в виде
Обычным способом получаем уравнения для множителей Ks\
ZKs(n*aks + cks) = 0. G.66)
Далее составляем характеристическое уравнение
|*2Д** + ^| = 0 G.67)
(чтобы записать характеристическое уравнение в виде G.42),
нужно положить и2 = — X).
Обозначим через Д1?- миноры первого порядка, соответствую-
соответствующие элементам первой строки (можно - взять миноры, соответ-
соответствующие элементам любой строки). Положив
где к) есть корень характеристического уравнения, мы удовлет-
удовлетворим системе уравнений G.66), если, разумеется, Дц(ху)^0.
Первое уравнение удовлетворяется потому, что сумма произведе-
произведений элементов первой строки на соответствующие им миноры
равна определителю. Второе и третье— в силу того, что сумма
произведений элементов любой строки на миноры, соответствую-
соответствующие другой строке, тождественно обращается в нуль. Следова-
Следовательно, функции
fc = Au(x})eV G.68)
являются частными решениями рассматриваемой системы.
Предположим теперь, что характеристическое уравнение имеет
два близких корня. Каждому из них отвечает система частных
решений вида G.68). Очевидно, что функции
(г =1,2,3)
будут также решениями. Пусть х2 стремится к щ (характеристи-
(характеристическое уравнение имеет двукратный корень х! = х|). Переходя
к пределу, мы найдем частное решение в виде функций
462 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Функции G.68) и G.69) линейно независимы и при условии
Air (к!) Ф О
образуют две системы линейно независимых частных решений.
Если характеристическое уравнение кроме двойного корня имеет
еще простой корень х§, то этому корню будет соответствовать
третья система частных решений, линейно независимая от первых
двух.
Допустим, что характеристическое уравнение имеет тройной
корень *). Применяя описанный выше прием, мы получим систему
частных решений:
bSl G-70)
независимую от решений G.68) и G.69). Дважды дифференцируя
по к, мы увидим, что решения G.70) будут содержать в виде
множителей вторую степень времени t.
Если же двойной корень обращает в нуль все миноры пер-
первого порядка, то частных решений, содержащих вековые множи-
множители вида G.69), мы не получим. Ранг матрицы (Я-матрицы)
в этом случае будет равен единице, следовательно, система трех
уравнений G.66) для множителей К сведется к одному, например
к первому:
= 0,
где х| есть двойной корень характеристического уравнения.
Если xfal3 + Ci3=7^0, то постоянные Kil) и К** можно выбрать
произвольно и выразить через них К(г1). Это позволит получить
две системы различных частных решений. Третий корень, рав-
равный х|, дает систему частных решений, которые будут линейно
независимы от первых двух.
Как мы видели, характер частных решении определяется
структурой Я-матрицы. Структура Я-матрицы в свою очередь
определяется так называемыми элементарными делителями, вве-
введенными Вейерштрассом [6]. Характеристический определитель
представляет собой полином степени I от % (или степени 2/ от к).
Полином степени / можно представить в виде произведения
линейных множителей (А, — Я*), где lk есть корень характеристи-
характеристического уравнения. Обозначим через gt показатель наивысшей
степени (Я — Xk)y которая является множителем всех определителей
/-го порядка (*</). Обозначим, кроме того, через е% (?;^0)
целые числа, определяемые равенствами et = gt — g^x (i = 1, 2, ...,/).
Те из выражений
*) В нашем случае характеристическое уравнение есть уравнение третьей
степени относительно и2 (или относительно Л=--и2).
§ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ 463
которые не равны постоянной, называются элементарными дели-
делителями ^-матрицы (характеристической матрицы). Если е* = 1,
то соответствующий элементарный делитель называется простым
(линейным).
Приведем без доказательства важную теорему алгебры.
Необходимое и достаточное условие того, что две квадратич-
ные формы, ф и г|), из которых ty —неособенная*), можно одновре*
менно преобразовать в формы, содержащие только квадраты пере-
переменных, состоит в том, что элементарные делители Х-матрицы
пары этих форм должны быть линейными (все ег = \). Это будет,
в частности, если все корни характеристического уравнения
различны.
Выше мы видели, что переходу к нормальным координатам
соответствует одновременное преобразование двух квадратичных
функций, Т и U, к виду суммы квадратов (при алгебраическом
преобразовании можно временно заменить q через q). Из этих
двух функций кинетическая энергия всегда знакоопределенная
положительная. Значит, если рассматривается в первом прибли-
приближении движение консервативной системы, то всегда возможно при-
привести кинетическую энергию и потенциальную энергию к виду
суммы квадратов.
Проиллюстрируем на примере связь между элементарными
делителями и характером частных решений системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Допустим, что характеристическое уравнение есть уравнение
третьей степени и что оно имеет двукратный корень Хг. Если все
элементарные делители Я-матрицы линейны, то она может быть
приведена к диагональной форме
-A»i)
0
0
1 0
0
0
I 0
Легко проверить, что кратный корень обращает в нуль все миноры
первого порядка — частные решения вида G.69), содержащие
вековые множители, мы не получим. Если же кратному корню
отвечает непростой элементарный делитель, например, Х-матрица
имеет такой вид:
F=^=0),
О О (%-%2Ц
то
— Я1J
0
0
0
b
0 (
b
0 (>
0
0
0
*) Определитель, составленный из коэффициентов формы, не равен нулю.
464 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
и одна система частных решений будет содержать вековые мно-
множители.
В заключение приведем несколько примеров.
1. Рассматривается консервативная система с двумя степенями
свободы. Положение ее определяется двумя обобщенными коор-
координатами, qx и q2- Найти qx{t) и q2(/)» если в устойчивом поло-
положении равновесия qi=^q2 = 0.
Запишем функцию Лагранжа
2 2
Уравнения Лагранжа будут иметь вид
=0,
l # '
Подставив частные решения
<7i = /Ci sin (со/ + a), q2 = /C2 sin (со* + а)
в уравнения G.71), мы придем к уравнениям для амплитуд:
Кх (Хаи -си) + К* (Аа12 - с12) - 0,
где Л = (оа.
Уравнение частот будет представлять собой квадратное урав-
уравнение относительно X:
— c22) — (^12 — c12f = 0. G.73)
Предположим, что корни уравнения G.73) А,х и Я2 различные.
Взяв одно из уравнений G.72) и подставив Ау, мы найдем ампли-
амплитуды K\j) и Кг} с точностью до общего произвольного множителя.
Подставим, например, %f в первое уравнение:
Отсюда
Заметим, что теоретически можно отбросить любое из уравнений
G.72).
Общее решение системы G.71) запишем в виде
qx = d (M12 — Схг) sin (coi/ + a^ + C2 (X2a12 — ^12) sin
?2 = Cx (cu — Mu) sin (cox/ + ax) + C2 (cu - X2au) sin
где С1э C2l ai, a2 — произвольные постоянные*
§ 7, ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ
465
2. Рассмотрим материальную точку М массы т, подвешенную
на упругой нити так, что расстояние точки от начала координат
равно удлинению нити, второй конец которой закрепленв точке Ог
(рис. 7.6). Точка М движется без трения в однородном поле
тяжести. На точку действует
еще сила F2, пропорциональ-
пропорциональная |г|, с которой плоскость
(я, у) отталкивает точку. Обо-
Обозначая через Yi и 7г коэффи-
коэффициенты пропорциональности,
запишем выражение потенци-
потенциальной энергии
Рис. 7.6.
предполагая, что Yi>Y2>0. Положение равновесия определяется
следующими значениями координат:
v_o и — О у— mg
Полагая
составим функцию Лагранжа
Запишем уравнения Лагранжа
0, mj; + угу = 0, тЗг + (уг -
2Й-. Частное решение ищем в виде
х = Кх sin (со/ + «), у = /С2 sin (co^ + а),
где
^ 3
Отсюда
/d(m(D2-7i) = 0, /C2(moJ~Vi) = O, /С3 (тша - 7з) - 0 (Ta-Ti-Ti)-
Обозначим со2 через Я и запишем характеристическое уравнение
о
о
(х-Ь)
(х~т
= 0.
16 В. В. Петкевич
466
ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Характеристическое уравнение имеет двукратный корень Хг =*
= ^2 = Yi/m и один простой корень Я3 = (vi — y?)lm. Нетрудно
проверить, что двукратный корень обращает в нуль все миноры
первого порядка. Общее решение находим в виде
где Съ С2, С3, «1, а2, а3 — вещественные произвольные постоянные.
3. Свободная материальная точка М с массой т движется
под действием силы F, пропорциональной координате г и при-
притягивающей точку к плоскости (я, у) (рис. 7.7). Введем систему
отсчета, вращающуюся с постоянной угловой скоростью со отно-
относительно оси Ог, и свяжем с ней
оси |, г], I (ось С совпадает с
осью z). В качестве обобщенных
координат выберем относительные
координаты точки, полагая
Я\
= Л»
Обычным способом строим функ-
функцию Лагранжа
Рис. 7.7.
где Yi есть коэффициент пропор-
пропорциональности в выражении притягивающей силы. Записываем
уравнения движения
Частное решение ищем в следующем виде:
Находим уравнения для множителей /Q:
§ 8. СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ. ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ, ВЫНУЖДАЮЩИЕ 467
Записываем характеристическое уравнение
(х2 —со2) (—2©х) О
= 0,
0 (x2+v2)
или, раскрывая определитель,
Bсох) (х2—©2) О
О 0 (x2+v2)
Корни характеристического уравнения будут равны
х| = х| = —со2, х1= — у2.
Нетрудно проверить, что при подстановке кратного корня не все
миноры первого порядка обращаются в нуль. Следовательно,
кратному корню будут отвечать две системы частных решений,
которые можно получить, положив, например, Ks = &и (и!)» где
Д15 —миноры первого порядка, соответствующие элементам пер-
первой строки характеристического определителя. Частные решения
найдем в следующем виде:
#1> = Аи (х?) **»', п*1» = А12 (х!) *м, ?A) = 0,
Очевидно, что полученные частные решения линейно независимы.
Подставив корни кг и х3, запишем общее решение в комплек-
комплексной форме
g = {С^со2 (со2 - v2) + С2 [2/со (у2 - Зсо2) + 2со2 (со2 - у2) *]} еш%
т) = \Сг2ш* (со2 - у2) + С2 [2со (Зсо2 - v2) + 2tco2 (со2 - V2) *]} ё"*,
Здесь Cs = As + iBs, где Л^, В5 — вещественные постоянные, i2 ==—1.
§ 8. Влияние диссипативных, гироскопических
и вынуждающих сил
Рассмотрим голономную систему, движущуюся под действием
консервативных и диссипативных сил. Предположим, что мы нашли
положение системы, в котором ее потенциальная энергия имеет
изолированный минимум и которое, следовательно, является
устойчивым положением равновесия при наличии одних только
консервативных сил. Перенесем в это положение начало координат
/-мерной системы координат и рассмотрим возмущенное движение
в малой окрестности начала координат.
16*
468 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Диссипативная функция Рэлея определяется формулой
2Ф —23 !>/*<*/¦ D.134)
i i
где Pij — непрерывные функции координат. В главе IV было
показано, что при наличии диссипации
--
Следовательно, если диссипация неполная —функция Ф знако-
знакопостоянная, то по теореме Ляпунова устойчивость состояния
равновесия сохраняется. Если же диссипация полная и функция
Рэлея знакоопределенная отрицательная, то устойчивость станет
асимптотической.
Для составления уравнений первого приближения нужно
заменить коэффициенты р# (q) их значениями в начале координат.
Тогда функция Рэлея будет приближенно представлена в виде
квадратичной функции с постоянными коэффициентами. Обозначив
р,у@) через &//, запишем
2Ф--22МА- G-74)
i !
Полезно рассмотреть пример, приведенный в книге Уиттекера
«Аналитическая динамика», в котором рассматривается влияние
слабого сопротивления среды на нормальные колебания системы
с двумя степенями свободы. Заметим, что выбор именно двух
степеней свободы позволяет выявить все главные особенности
движений систем с большим числом степеней свободы и вместе
с тем делает само решение достаточно прозрачным и не очень
громоздким.
Предположим, что 9i и Я% — нормальные координаты. Тогда
где сох и @2 — частоты нормальных колебаний без диссипации.
К каноническому виду могут быть приведены одновременно
две квадратичные функции, поэтому функция Рэлея будет
иметь вид
2Ф {bnq\ + 2MA + MS). G.75)
Запишем уравнения Лагранжа
7i - 0, 7
Mi + М2 + <ol<?2 = 0. Kimi0)
Частные решения системы G,76) ищем в виде функций, подобных
всем своим производным по времени, положив
G.77)
§ 8. СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ, ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ, ВЫНУЖДАЮЩИЕ 469
Подставляя в G.76) и сокращая на в1*, придем к системе урав-
уравнений для амплитуд:
Кг (ха + 6их + со!) + Кфи*. = О,
2 (х2 + 622х + col) = 0. V j
Характеристическое уравнение будет уравнением четвертой степени:
Х + 0)?) (И* + &22Х + С01) - Ь?2*2 - 0.
Предположим, что 6# малы (малы силы сопротивления), и отбросим
член —бЬх2. Тогда характеристическое уравнение распадется
на два уравнения:
и2 + Ьпк + со! = 0, ха + Ь22х + col = 0. G.79)
Находим четыре решения:
~ * ' ' р _ coi. G.80)
Используя предположение о малости коэффициентов Ь/у, запишем
x,= -^-l + ia>lf x2 = ~^-3 + tcoat G.81)
где i2==—1.
Заметим, что корни
не дадут новых частных решений. Обратимся к системе G.78),
Подставляя корень иь мы должны будем взять второе уравнение,
а для того чтобы подставить ха — первое *). Итак,
КПпЩ + К? (х? + &22xx + со!) = 0.
Отсюда
г + iBb
где Ль Bi — вещественные постоянные. Аналогично,
К!2' Kg»
7— в 7— — ^
л\ в 7h \ъ i—h ^
- f + Kb) (- ^ + Ц2 + 6U (- ^ + Ш2) + CD?
*) Нумерация A, 3} и B, 4) корней характеристического уравнения удобна
для дальнейшего.
470 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Отбрасывая квадраты и произведения коэффициентов by, запишем
общее решение
Яг = (Аг + iBx) [cof - со? + шх (Ь22 - Ьп)
- (А2 + iB2) (/fe12(o2)
ЯШ - - (А г + i i
cof
Общее решение содержит четыре вещественные произвольные
постоянные: Лх, Въ А29 В2. При желании можно, использу»
формулу Эйлера
еш** = cos (со,0 + / sin (cos/),
представить решение в вещественной форме, вводя другие вещест-
вещественные постоянные: Съ С2> ах, а2, где С,- — множители, входящие
в амплитуды, а,-— начальные фазы.
Мы видим, что малое сопротивление приводит к асимптотиче-
асимптотическому затуханию колебаний и в первом приближении не влияет
на частоты нормальных колебаний системы. Из формул G.82) мы
видим, что изменение координаты qs (t) представляет собой коле-
колебание конечной амплитуды с частотой со,у, на которое накладывается
колебание с частотой соА и с малой амплитудой, пропорциональ-
пропорциональной Ькя (?=1, 2; s = l, 2)*).
Рассмотрим теперь абсолютно неустойчивое положени i равно-
равновесия, положив
{ G.83)
где \хг и ^ — вещественные величины. Если система движется
в окрестности такого положения при слабой диссипации, то из
формул G.80) следует, что неустойчивость не устраняется при
помощи сопротивления (вместо со! надо подставить —fxf). Если
диссипацию нельзя считать малой, то, записав характеристическое
уравнение в виде
(х - щ) (х - х2) (х - х3) (х - х4) = 0, G.84)
находим
*} Предполагаем, что разность (й)?— со|) не мала.
§ 8. СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ, ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ. ВЫНУЖДАЮЩИЕ 471
Допустим, что ks комплексные. Обозначим через ks комплексно
сопряженную величину. Умножив и разделив 1/ks на ks, найдем
т _
/7 85)
Предположим, что нулевых корней нет. Так как ksks>0 и вся
сумма положительна, то заключаем, что по крайней мере один
из корней ks имеет положительную вещественную часть. Следо-
Следовательно, диссипативные силы не устраняют неустойчивость поло-
положения равновесия.
Предположим, что наряду с консервативными силами на
систему действуют гироскопические силы, которые могут быть
выражены с помощью обобщенного потенциала (гл. IV)
Обобщенная гироскопическая сила равна
1=1
где
dW dWs
Особенность гироскопических сил заключается в том, что работа
их на действительных перемещениях равна нулю. Следовательно,
силы не изменяют величину полной энергии и поэтому не нару-
нарушают устойчивость положения равновесия.
В некоторых случаях, когда положение равновесия неустойчиво,
гироскопические силы могут стабилизировать это положение
{сообщить ему устойчивость) *).
Рассмотрим быстрый волчок, вращающийся вокруг вертикали
{«спящий» волчок). Если нет собственного вращения, то положение
равновесия, в котором центр тяжести выше опоры, абсолютно
неустойчиво. Но мы знаем из опыта, что, сообщив волчку доста-
достаточно большую угловую скорость собственного вращения, мы
можем заставить его некоторое время сохранять положение,
близкое к вертикальному.
*) Если неустойчивость изолированного положения равновесия имеет нечет-
нечетную степень (см. § 7), то гироскопическая стабилизация невозможна. При
четной степени возможна, но она носит временный характер (диссипация, даже
слабая, с течением времени парализует действие гироскопических сил) [36].
472 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В главе VI, где рассматривался случай Лагранжа, было выве-
дено уравнение движения изображающей точки, масса которой
равна А/12:
~{R-k(kR)} = Mg-k(kMg) + ^[kR]. FЛ31)
Будем определять положение изображающей точки ее декартовыми
координатами в неподвижной системе х1у хъ х3 и спроектируем
уравнение F.131) на горизонтальную плоскость (дгь х2). Получим
два уравнения:
з
G.86)
Предполагая, что угол нутации 8 мал, следовательно, малы
хх и лс2, а л*3 мало отличается от /, так как
jd/V_*i \ Х.Л- Щзм _ Сто .
12\ г I2 UA I— I2 ** /2
3
3 \
Л (.. х2 \ .. \ х2х3 м , Сг0 .
*3 = /cos6^1-^],
запишем уравнения первого приближения
где 27 = -тГ0, futa = —^~ • Положим г = хг + 1х2, где i2=—1. Систе-
Систему G.87) запишем в виде одного уравнения
2-2/у;г-|л2г = 0. G.88)
Решение ищем в виде
Подставив в уравнение G.88), получим
х2 — 2iy — jii2 = 0.
Отсюда
При достаточно быстром собственном вращении справедливо
неравенство
Ц2<72.
Следовательно, оба корня будут чисто мнимыми:
§ 8. СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ, ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ, ВЫНУЖДАЮЩИЕ 473
Общее решение уравнений первого приближения запишем
в комплексной форме
г = х1 + 1^ = (Л1 + Ш1)*'<* + *г'^
G.89)
Заметим, что если \12>у29 то один из корней характеристического
уравнения будет иметь положительную вещественную часть.
Следовательно, гироскопическая стабилизация недостаточна —
неустойчивость сохраняется. При fx2<v2 мы получим решение
в виде комбинации гармонических колебаний. Казалось бы, тем
самым доказана возможность гироскопической стабилизации. Но
так как результат получен в первом приближении (в первом
приближении равны нулю вещественные части корней характери-
характеристического уравнения), то об устойчивости невозмущенного дви-
движения судить нельзя *).
Однако устойчивость быстрого вращения волчка вокруг верти-
вертикальной оси может быть доказана строго (при отсутствии дис-
диссипации) либо построением функции Ляпунова, либо— и это
проще —тем способом качественного исследования, который был
применен в случае Лагранжа. Ехли мы построим график функции
F(w), где oy = cos8 (см. гл. VI, рис. 6.12), полагая, что угол 0О
численно мал, а проекция угловой скорости г0 достаточно велика,
то увидим, что два корня уравнения
F {w) = О
будут близки к единице (a>i<a>a< 1) и расстояние между ними
будет мало. Значит, если мы, желая совместить ось собственного
вращения е вертикалью, допустим малую ошибку, то при достаточно
большом значении г0 получим движение, близкое к желаемому.
Предположим, что действуют еще диссипативные силы, и запи-
запишем уравнения G.87) с добавлением проекций этих сил:
+ bi2x2 - уРхг = О,
ц2л: = 0 ^ ' '
Частные решения ищем в виде
Характеристическое уравнение будет уравнением четвертой степени:
(х2 + Ьих - jx2) (х2 + b22x ~ fi2) + Dv2 - bh) x2 - а.
Записав это уравнение в виде
(х - хх) (х - х2) (х - х3) (х - х4) = О
*) См. теоремы Ляпунова, относящиеся к устойчивости по первому при-
приближению.
474 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
и принимая во внимание знаки свободного члена и коэффициента
при х в первой степени, мы придем к неравенству G.85), которое
указывает на то, что хотя бы у одного корня имеется положи-
положительная вещественная часть, т. е. что равновесие неустойчиво.
Следовательно, диссипативные силы разрушают гироскопическую
стабилизацию.
Обратимся теперь к постоянно действующим силам (часто их
называют вынуждающими силами или постоянно действующим»
возмущениями). Подобные силы возникают в результате взаимо-
взаимодействия рассматриваемой системы с какими-либо другими систе-
системами, причем взаимодействие это рассматривается «односторонне»—
данная система считается пассивной, а возмущающие силы — внеш-
внешними *). Заметим, что если возмущающие силы никак не ограничены^,
то применение уравнений первого приближения недопустимо —
результат будет весьма далек от истины.
Запишем уравнения возмущенного движения в виде системы 21
уравнений первого порядка, обозначая неизвестные через л^:
? s(X> 0.
где Xs(х) — известные функции хъ ..., хп такие, что
Х,@) = 0.
Через Ys(x, t) мы обозначили возмущающие силы, причем
YA0.
Условимся под невозмущенным движением понимать нулевое
решение системы
d-W-Xs(x) G.92>
(правые части могут явно зависеть от времени).
Дадим определение устойчивости при постоянно действующих
возмущениях.
Невозмущенное движение называется устойчивым при постоянно-
действующих возмущениях, если всякому произвольному положи-
положительному числу г^А соответствуют такие положительные числа &
и В (б^е), зависящие от е, что из неравенств
следуют неравенства
*) В виде примера можно привести ограниченные задачи небесной меха»
ники; можно также указать на взаимодействие сейсмографа и Земли.
S 8. СИЛЫ ДИССИПАТИВНЫЕ, ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ, ВЫНУЖДАЮЩИЕ 475
еде xs(t) есть любое решение системы G.91). В противном случае
нулевое решение системы G.92) называется неустойчивым, как бы
ни были малы числа В *).
Рассмотрим теперь малые линейные колебания при наличии
возмущающих сил.
Пусть известно устойчивое положение равновесия некоторой
-системы. Совместим с ним начало координат и запишем уравнения
первого приближения в виде
*, + ©!*, = О (s=l, 2, ..., /), G.93)
где ;Су — нормальные координаты. Нулевое решение этой системы
примем в качестве невозмущенного состояния. Уравнения возму-
возмущенного движения запишем, добавив возмущающие силы:
= УЛ*. О- G-94)
Интересны возмущающие силы, представляющие собой периоди-
периодические функции времени, которые мы запишем в комплексной
форме, положив
Y MJ# G.95)
Где /2 = —1, р есть вещественная постоянная частота, не зави-
зависящая от номера координаты, Ms — амплитуда возмущающей силы,
которая может быть комплексной.
Запишем уравнения возмущенного движения в первом приб-
приближении:
G.96)
Общее решение системы дифференциальных уравнений G.96)
складывается из общего решения соответствующей однородной
системы и частного решения неоднородной. Общее решение одно-
однородной системы описывает свободные колебания консервативной
системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Част-
Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравне-
уравнений—вынужденные колебания, навязанные возмущающим дей-
действием активной системы.
Таким образом, возмущенное движение будет представлять
собой наложение вынужденных колебаний на собственные коле-
колебания.
Общее решение системы однородных дифференциальных урав-
уравнений мы уже рассматривали, поэтому ограничимся отысканием
частного решения системы G.96). Положим
G.97)
*) См. [11], где рассматривается устойчивость при постоянно действующих
возмущениях и доказана теорема Дубошина — Малкина о достаточных условиях
устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Заметим, что на вид
Самих функций Ys(xt t) никаких ограничений не накладывается.
476 гл. vii. устойчивость движения, малые колебания
Подставив G.97) в G.96) и сократив на ёрь% получим
Ns((ol-p*) = Ms.
Отсюда
Ns = Ms(to2s-p*)-K G.98)
Решение имеет смысл, если частота возмущающей силы р не
совпадает ни с одной из собственных частот системы. При сбли-
сближении частот р и coy амплитуда вынужденных колебаний неогра-
неограниченно растет и наступает явление резонанса, для описания
которого метод малых колебаний непригоден*).
Положим число степеней свободы равным двум и рассмотрим
вынужденные колебания при наличии слабой диссипации, которая
всегда имеется в реальных условиях. Уравнения запишем в нор-
нормальных координатах:
ii + b22x2 + (о1*2 =
(частота возмущающей силы не зависит от номера координаты).
Частное решение ищем в виде
G.100)
Подставив G.100) в G.99), получим два уравнения для амплитуд;
n) + N2 (со! - p2 + ipbn) = M2. {
Мы пришли к системе неоднородных уравнений, поэтому опре-
определитель системы Д должен быть отличным от нуля.
Находим Nx и N2:
) — M2ipbl2
iVl = j ,
\r M% (cof— P^~b*P^ii)— Miipb2\
M2 = д :
здесь
Д = (cof - p2 + Ipbn) (ai - Pa + ipb22)
Положим
Ns = nse-llsy G.102)
где ns и а,у — вещественные числа, и запишем частные решения
в комплексной форме
у #7 pi (Р* ~~as) A 1 [Y\\
*) Метод малых колебаний подает лишь сигнал о том, что возможна
резонанс и связанное с ним опасное увеличение амплитуды.
§ 9. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 477
Очевидно, что числа as выражают сдвиг фазы вынужденного
колебания по отношению к фазе возмущающей силы.
Отметим, что невозмущенное состояние будет неустойчивым
при постоянно действующих возмущениях, если частота возму-
возмущающей силы близка к одной из частот собственных нормальных
колебаний системы.
§ 9. Равновесие системы свободных материальных точек
относительно вращающейся системы отсчета
Рассмотрим систему, состоящую из п свободных материаль-
материальных точек. Допустим, что внешних сил нет и что силы взлимо-
дейстсия между любыми двумя точками зависят только от рас-
расстояния между этими точками.
Такие замкнутые системы служат упрощенными моделями
систем небесных тел (задача п тел) и, с некоторой натяжкой,
сильно идеализированными механическими моделями многоатом-
многоатомных молекул*).
Если между материальными точками действуют силы взаим-
взаимного притяжения, то пространственная конфигурация может
существовать при условии, что радиусы-векторы точек враща-
вращаются в пространстве, но так как у такой системы нет твердого
скелета, то угловые скорости у различных радиусов-векторов
чаще всего не будут совпадать. Радиусы-векторы всех точек мо-
могут вращаться с общей угловой скоростью лишь при соблюде-
соблюдении некоторых условий. Прежде всего мы выясним, что пред-
представляют собой так называемые «вращательные степени свободы»
системы точек, а затем выясним условия, при которых возможны
действительные «жесткие» вращения.
Положения точек относительно неподвижной системы будем
определять декартовыми координатами ?,-, г),-, ?,-. Число коорди-
координат равно Зп. В силу голономности число-независимых вариа-
вариаций—число степеней свободы—также равно Зп.
Среди всех совокупностей вариаций координат (виртуальных
перемещений) можно выделить шесть таких, при которых не
изменяются расстояния между точками — «жесткие» виртуальные
перемещения. Это, во-первых, три поступательных перемещения,
при которых
б? б2 6 бЯ 6b 6Z
или поступательное виртуальное перемещение вдоль произволь-
произвольной прямой. Во-вторых, три вращательных виртуальных пере-
перемещения вокруг координатных осей — повороты всех радиусов-
*) Задачу о колебаниях молекул предложил рассмотреть В, Д. Крив-
ченков,
478 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
векторов точек на углы ба, бр, бу. Эти три поворота эквива-
эквивалентны одному повороту вокруг произвольной оси, проходящей
через начало координат, на произвольный угол б%. В этом смы-
смысле можно говорить о трех поступательных и трех вращатель-
вращательных степенях свободы п точек. Все остальные (З/г — 6) комби-
комбинации виртуальных перемещений будут связаны с изменением
расстояний между точками, т. е. с изменением конфигурации
системы.
Предположим, что центр масс системы неподвижен, и введем
две системы декартовых координат с общим началом в центре
масс. Одна система g, rj, ? неподвижна, а вторая х, у, z вра-
вращается с произвольной угловой скоростью со(/) вокруг
оси, проходящей через центр масс. Обозначив проекции вектора
<о(/) на оси х, у, z через р, д, г, запишем выражение «абсо-
«абсолютной» скорости точки М^.
р я г, G.104)
где /, /, Л —единичные векторы, направленные по осям л;, у, г.
Запишем функцию Лагранжа, принимая за обобщенные ко-
координаты xh уи г(*):
L = i 2 > ^t+gty,) + (jr\rp)+(r\pygr}
G.105)
где рг; = V(x/ - xtf + (yj - yt)* + (г, - г,J, V (р,7) - потенциальная
энергия системы.
Уравнения Лагранжа будут иметь вид
,щ [X, + 2qi, - 2ry, + ztq - у/ - (?2 + г*)х{ + гргг + pqyi] + -^- - 0,
Щ Wi + 2r*t ~ Zpzt + х/ - ztp - (г* + p*)yt + qrzt + pgXi] + -^ = 0,
yi - 2qxt + уф - xrf - (p2 + q^ + qryt + rpxt] +-Щ-=0
G.106)
(t = l, 2, .... ri).
Для того чтобы выяснить условия, при которых возможны
«жесткие» действительные вращения системы материальных то-
точек, предположим, что точки покоятся относительно вращаю-
*) Декартовы координаты не всегда являются самыми удобными, но здесь
это не имеет значения.
§ 9. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 479
щейся системы координат. Тогда ^ = ^==^ = 0. Система урав-
уравнений G.106) примет вид
ztf - у^ - (q2 + r2)xt + rpzt + pqyt] + Щ- = 0,
milxS-Zifi-irt + p^yi + pqXi + qrZil+^L-O, G.107)
m Ш - *A ~ (p2+<!2)zi+ят + rPxi] if-o.
Запишем для системы точек интеграл энергии
п
~ 2 тр\ + U (р) = const яв ?<>, G.108)
где vt есть скорость точки Mt относительно неподвижной си-
системы отсчета. Если точки системы не движутся относительно
вращающихся осей, то «абсолютные» скорости точек совпадут
с переносными и интеграл энергии G.108) примет вид
п
G.109)
При относительном равновесии координаты xit yiy zt не зависят
от времени. Постоянны и р^. Следовательно, проекции угловой
скорости вращения системы не могут зависеть от времени —ве-
—величины р, q, r должны быть постоянными. Отсюда мы заклю-
заключаем, что вектор ш неподвижен и относительно осей g, т), ^*).
Следовательно, в уравнениях G.107) надо положить p~q—r —
= 0. Координаты точек в относительном равновесии найдем,
решив систему уравнений:
mi [- (<72 + r*)Xi + rpZi + pqyt] + -g = 0,
mi [- (г2 + p*)yt + pqxt + qrzt] + ^ = 0, G.110)
Щ [- (P2 + <P)Zi + qryi + грхг] + Щ- = 0
(^ = 1, 2, 3),
где р, <7, г —постоянные**).
*) Это следует из того, что —— =-^-4-Гюю1 ==-~^-
dt at x dt '
**) Рассматриваемая задача родственна с задачами о фигурах равновесия-
жидкой вращающейся массы [18].
480 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Запишем теперь уравнение кинетического момента
dt
ИЛИ
где О есть кинетический момент относительно неподвижных
осей, -jg- — относительная производная. Так как р, q9 rt х„ Уи
^• — постоянные, то
Следовательно,
отсюда
При «жестком» движении системы свободных материальных то-
точек кинетический момент имеет вид кинетического момента абсо-
абсолютно твердого тела. Следовательно,
Gy = JyxP + Jyyq -1,- Jygr9 G.112)
Gz = Jzxp + Jzy
где все моменты инерции постоянные. Пропорция G.111)
приводит к системе уравнений:
G.113)
Отсюда
{J хх — ^) J хи J xz
G.114)
Кубическое уравнение G.114) имеет три вещественных корня,
Ах, А2, А3, представляющие собой главные моменты инерции си-
системы точек. Подставив поочередно корни Az- в систему G.113),
найдем отношения (—] и (— J , определяющие направления
главных осей.
J-
{Jxx-
J ух
«*zx
JxP "f* К** У У
гхР + Jzyq +
К) JXy
Ууу ~" А)
Jzy
Jxz
J yz
(J2Z — Я
' = 0,
A> = 0.
)
==0.
§ 9. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 4^1
Следовательно, «жесткие» вращения возможны только во-
вокруг главных осей инерции — они родственны перманентным вра-
вращениям абсолютно твердого тела в случае Эйлера (см. гл. VI).
Однако имеется и существенное различие, которое состоит в том,
что абсолютно твердое тело может вращаться (в действительном
движении) относительно любой оси, тогда как система свобод-
свободных точек может вращаться g сохранением конфигурации только
вокруг главных осей инерции. Здесь не имеет смысла поста-
постановка вопроса об устойчивости перманентных вращений неиз-
неизменной конфигурации. В задаче п точек прежде всего возникает
вопрос об устойчивости самой конфигурации *).
Обратимся к задаче трех точек и, не снижая общности, по-
положим г;=0. Так как теперь -^- = 0, то из третьего уравнения
системы G.110) найдем
r(pXi + qyi)=0 (*=l, 2, 3). G.115)
Покажем, что р = <7 = 0, гфО. Допустим, что, наоборот,
а>г = г = 0, (юг,)=с,#0, G.116)
т. е. что ось вращения треугольника, проходящая через центр
масс, лежит в его плоскости . ,
(рис. 7.8). , \-гп2шЧ2
Если сторона треуголь-
треугольника MiMf пересекает ось
вращения и не перпендику-
лярна к ней, то сумма сил,
приложенных к каждой
точке, не может обратиться
в нуль, так как силы взаи-
взаимодействия направлены по \-тшг1
сторонам треугольника, а ли- ' '
ния действия центробежной Рис. 7.8.
силы инерции перпенди-
перпендикулярна к оси вращения. Если же сторона MiMj перпендику-
перпендикулярна к оси вращения, то заведомо не может обратиться в нуль
сумма сил, приложенных к точке Mk. Относительное равновесие
невозможно. Поэтому ((ог() = 0 и со*; = р = 0, (oy = q=*0.
Итак, фигура равновесия — треугольник — вращается с посто-
постоянной угловой скоростью ыг = г вокруг неподвижной оси, про-
проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости тре-
треугольника. Координаты вершин мы найдем из уравнений G.110),
*) Упрощенно можно сказать, что при изменении оси вращения центро-
центробежные силы будут «растаскивать» материальные точки, увеличивая их рас-
расстояния от оси и тем самым изменяя конфигурацию.
482 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
положив Zi = О, р = <7 = 0:
|?_т^ = 0, Ц_т^ = 0 (* = 1, 2, 3). G.117)
Полученный результат известен из решения задачи трех тел в
небесной механике — это треугольные решения Лагранжа.
§ 10. Малые колебания системы материальных точек
около положения относительного равновесия
В качестве невозмущенного состояния системы трех свобод-
свободных точек будем рассматривать равновесие относительно враща-
вращающихся осей, предполагая, что вращение происходит вокруг
одной из главных осей инерции. В этом состоянии на точки
действуют внутренние силы и центробежные силы инерции.
Состояние относительного равновесия можно рассматривать
как установившееся движение системы точек относительно не-
неподвижных осей, но такой подход не всегда удобен.
Под влиянием мгновенных возмущений начнется возмущенное
движение. Если невозмущенное движение устойчиво, то при над-
надлежащем выборе переменных возмущенное движение можно опи-
описывать уравнениями первого приближения. Возмущенное дви-
движение есть движение точек относительно вращающейся системы
отсчета, поэтому кроме центробежных сил появятся силы Кори-
олиса. Силы Кориолиса — частный вид гироскопических сил —
мы будем рассматривать как возмущающие силы.
Назовем функцию
з
V (*, у, z) = U (Pij) -1 J '2 D + У1)пц G.118)
приведенной потенциальной энергией и предположим, что в поло-
положении относительного равновесия функция V (х, у, z) имеет
изолированный минимум. Следовательно, положение относитель-
относительного равновесия устойчиво. Действие возмущающих гироскопи-
гироскопических сил не нарушит устойчивости невозмущенного состояния.
Важно подчеркнуть, что возмущения изменят лишь относи-
относительное движение системы точек. Вращение подвижной системы
отсчета не изменится под влиянием возмущений.
Обозначим координаты точек в положении относительного рав-
равновесия через #*, у* и сделаем замену переменных, положив
Xi = xf + uh yt = yf + vh Zi = wh
Xi = uh yi = Vi, U = ibh G.119)
где uh vh wt, uh vh xbi — малые возмущения*).
*) Для изучения малых линейных колебаний не нужно фактически ре*
шать систему уравнений G.117).
§ 10. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
483
Запишем функцию Лагранжа, подставив G.119) в формулу
G.105) и положив /? = <7 = 0, г = const:
- r
G.120)
Под (/(и, и, до) здесь понимается квадратичная функция пере-
переменных щ% vh До| с постоянными коэффициентами.
Уравнения Лагранжа будут иметь вид
G.121)
В состав -g^-, -g^-, ^7 войдут слагаемые вида
ди
дщ
которые в силу уравнений G.117) взаимно сократятся с чле-
членами
—/п/2х?, —т(г2у*.
Предположим, что зависимость всех внутренних сил от рас-
расстояний между точками одинакова. В уравнения G.121) внесем
выражения проекций сил, минуя явное выписывание разложения
потенциальной энергии, и разделим обе части каждого уравне-
уравнения на тг\
ils — 2rvs — r2us
crs (ur — us),
G.122)
где crs — постоянные, зависящие от (ог = г. Составим комплексную
комбинацию первых двух уравнений, вводя
где ? = —1. Уравнение для os(t) будет иметь вид
о, + ЫЬ9 - r*os = 2 crs (Or -os) (s = 1, 2, 3). GЛ23)
484 ГЛ. VII. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В уравнениях G.123) сделаем замену искомой функции, положив
а, = М0^г'. G.124)
Получим уравнения для вещественного множителя jx:
Й*вЕс«0*г-|1,), G.125)
rz?s
совпадающие с уравнениями для функции wt(t). Система G.125)
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
коэффициентами, описывающая возмущенное движение в первом при*
ближении, интегрируется обычным способом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айзерман М. А. Классическая механика.—М.: Наука, 1974.
2. А п п е л ь П. Теоретическая механика. —М.: Физматгиз, I960, тт. I и IL
3. Архангельский Ю. А. Аналитическая механика твердого тела. — М.г
Наука, 1977.
4. Белый Ю. А. Иоганн Кеплер.-—М.: Наука, 1971.
5. Богуславский С. А. Избранные труды по физике. — М.: Физматгиз.,.
1961.
6. Б о хер М. Введение в высшую алгебру. — М.— Л.: ГТТИ, 1933.
7. Балле Пуссен. Лекции по теоретической механике. —М.: ИЛ, 1948 —
1949, тт. I и II.
8. Вебстер А. Г. Механика материальных точек, твердых, упругих я
жидких тел.—М.— Л.: ГТТИ, 1933.
9. Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. — М.: Физмат-
Физматгиз, 1960.
10. Гурса Э. Курс математического анализа. —М.—Л.: ГТТИ, 1933, т. IL
11. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. —М.г
Наука. 1975; Небесная механика. Аналитические и качественные методы.-
— М.: Наука, 1978.
12. Жуковский Н. Е. Собр. соч.— М.— Л.: Гостехиздат, 1948—1950,.
тт. I, V, VII.
13. Зоммерфельд А. Механика.—М.: Госиздат ИЛ, 1947.
14. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии.— М. — Л.:.
ОНТИ, 1937, часть 1.
15. Коткин Г. Л., Сербо В. Г. Сборник задач по классической меха-
механике.—М.: Наука, 1977.
16. Лаврентьев М. А., ЛюстерникЛ. А. Курс вариационного исчис-
исчисления. — М. — Л.: Гостехиздат, 1950.
17. Л а г р а н ж Ж. Аналитическая механика. —М. —Л.: Гостехиздат, 195V
тт. I и II.
18. Ламб Г. Гидродинамика.— М. — Л.: Гостехиздат 1947.
19. Л е в и - Ч и в и т а Т., А м а л ь д и У. Курс теоретической механики. — М.*
Госиздат ИЛ, 1952, тт. I и II.
20. Лурье А. И. Аналитическая механика. —М.: Физматгиз, 1961.
21. П а р с Л. Аналитическая динамика. —М.: Наука, 1971.
22. Паули В. Теория относительности. —М. — Л.: Гостехиздат, 1947.
23. По лак Л. С. Вариационные принципы механики, их развитие и приме-
нение в физике. — М.: Физматгиз, 1960.
24. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.:
Наука, 1974.
25. Р а ш е в с к и и П. К. Курс дифференциальной геометрии. — М.: Гостех-
Гостехиздат, 1956.
26. Седов Л. И. Механика сплошной среды. —М.: Наука, 1976, тт. I и П.
27. Синг Дж. Л. Классическая динамика. — М.: Физматгиз, 1963.
28. Соколов А. А., Тернов И. М., Жуковский В. Ч. Квантовав
механика.—М.: Наука, 1979.
29. С о к о л о в А. А., Т е р н о в И. М. Релятивистский электрон. —М.: На-
Наука, 1974=
486 ЛИТЕРАТУРА
30. С т е п а н о в В. В. Курс дифференциальных уравнений. —М. —Д.: Физ-
матгиз; 1959.
31. Суслов Г. К Теоретическая механика.—М.—Л.: Гостехиздат, 1946.
32. Тамм И. Е. Основы теории электричества. —М.: Гостехиздат, 1954.
33. Уиттекер Е. Т. Аналитическая динамика.—М.—Л.: ОНТИ, 1937.
34. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. —М.: Гостех-
Гостехиздат, 1955.
35. Чаплыгин С. А. Собр. соч. — М.— Л.: Гостехиздат, 1948, т. I.
36. Ч е т а е в Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической ме-
механике.—М.: Изд. АН СССР, 1962.
37. Шар лье К. Небесная механика.— М.: Наука, 1966.
38. Я к об и К. Лекции по динамике. —М. — Л.: ОНТИ, 1936.
39. Kramers H. A. Theorien des Aufbaues der Materie. — Leipzig, 1933,
tt. I, II.
Айзерман М. А. 320, 485
Амальди У. (Amaldi U.) 331, 485
Ампер A. (Ampere A. M.) 11
Аппель П. (Appell P.) 271, 377, 390,
391, 485
Архангельский Ю. А. 8, 379, 485
Кардано Д. (Cardano G.) 420
Кеплер И. (Kepler J.) 130
Клейн Ф. (Klein F.) 281, 485
Коткин Г. Л. 485
Крамере (Kramers H. А.) 425, 486
Кривченков В. Д. 477
Белый Ю. А. 485
Бернулли И. (Bernoulli I.) 184
Бертран Ж. (Bertrand J.) 89, 267
Богуславский С. А. 155, 348, 485
Бор Н. (Bohr N. Н. D.) 160
Бохер М. (Bocher M.) 318, 426, 458, 485
Балле Пуссен (La Vallee Poussin) 485
Вебстер А. Г. (Webster A. G.) 100, 485
Вейерштрасс К. (Weierstrass К. F. W.)
426
Галилей Г. (Galilei G.) 184
Гамильтон У. (Hamilton W. R.) 246,
278, 323
Гантмахер Ф. Р. 271, 485
Гельмгольц Г. (Helmholtz H.) 359
Герц Г. (Hertz H. Р.) 173, 267
Гиббс Д. (Gibbs J. W.) 271
Гурса Э. (Goursat E.) 460
Даламбер Ж. (D'Alembert J. L. R.)
377
Делоне (Delaunay С.) 348
Дубошин Г. Н. 146, 170, 429, 475, 485
Жуковский В. Ч. 485
Жуковский Н. Е. 74, 75, 429, 485
Зоммерфельд A. (Sommerfeld A.) 114,
f 48, 485
Зундман К. (Sundman К.) 160
Лаврентьев М. А. 7, 249, 485
Лагранж Ж. (Largrange J. L.) 23, 160,
167, 171, 184, 195, 220, 221, 251, 267,
405, 429, 485
Ламб Г. (Lamb H.) 25, 479, 485
Лаплас П. (Laplace P. S.) 160, 167
Леви-Чивита Т. (Levi-Civita Т.) 331,
485
Ливенс (Livens G. Н.) 402
Лурье А. И. 318, 381, 485
Люстерник Л. А. 249, 485
Ляпунов А. М. 429, 433, 439
Некрасов А. И. 7
Нётер Э. (Noether E.) 237
Ньютон И. (Newton I.) 69, 75, 133
Остроградский М. В. 246
Парс Л. (Pars L. А.) 74, 275, 402, 485
Паули В. (Pauli W.) 148, 485
Полак Л. С. 237, 281, 485
Понтрягин Л. С. 460, 485
Пуанкаре A. (Poincare H.) 456
Пуансо Л. (Poinsot L.) 390, 391
Пуассон С. (Poisson S. D.) 405
Раус Э. (Routh E. J.) 358
Рашевский П. К. 485
Резерфорд Э. (Rutherford E.) 16C
Седов Л. И. 24, 27, 485
Сербо В. Г. 485
Серсон (Serson) 415
Синг Дж. (Synge J. L.) 158, 485
Славнов Д. А. 58
Соколов А. А. 485
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
488 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Степанов В. В. 460, 486 Чаплыгин С. А. 348, 486
Суслов Г. К. 390, 486 Четаев Н. Г. 282, 429, 439, 441, 457,
486
Тамм И. Е. 486
Тернов И. М. 485 Шарлье К. (Charlier С. L.) 331, 486
Торричелли Э. (Torricelli E.) 184 Шварцшильд К. (Schwarzschild К.) 148
Уиттекер Э. Т. (Whittaker E. Т.) Эйлер Л. (Euler L.) 25, 160, 167, 169,
281, 296, 379, 468, 486 251, 378
hDok В. А. 148, 152, 486 Якоби К. (Jacobi К.) 166, 257, 278,
«Фуко Л. (Foucault L.) 109 304, 323, 324, 331, 486
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно твердое тело 9, 22, 38, 362,
369, 372
Абсолютность времени в классической
механике 11
Автономные системы 290
Аксиомы механики 12, 69
Аксоид подвижный 43, 393
Аналогия магнито-кинематическая 425
— оптико-механическая 263
Аномалия эксцентрическая 145
Бинё формулы 18, 131, 140, 149, 153
Бинормаль 19
Валентность преобразования 306
Вариация изохронная координат 176
силового потенциала 185
¦* скорости 176
функции 177
— полная 185
функции Лагранжа 237
Варьирование изоэнергетическое 176
— неизохронное 176
— полное 176
Вектор вихря 30, 37, 45
— Лапласа 136, 137
— мгновенной угловой скорости 37,
43, 48, 50, 62
— осестремительного ускорения 46
Векторы 59, 61
— аксиальные (осевые) 60, 67
— единичные (орты) 13
— полярные 60
— приложенные 62
-— свободные 62
— скользящие («передвигаемые») 49,
62, 476
Вертикаль местная 105
Вес тела, зависимость от широты места
104—107
Виртуальная работа силы 184
Виртуальные перемещения 175, 176
Виртуальных перемещений принцип
динамический 194, 246, 266
•=»<=>» статический 186
Возмущения 427
— начальные 431
Волчок быстрый 404, 412—414
Вращательное ускорение 46
Вращение вокруг неподвижной оси 48Г
49, 68
— перманентное 395
Вырождение движения 339
— полное 349
Галилея преобразование 100, 101
Гамильтона принцип интегральный ва-
вариационный (вторая форма) 297
(первая форма) 246—248'
— уравнения 282, 304
— функция в случае Эйлера 400
в фазовсм пространстве 286
кинематическая 426
, оптико-механическая аналоги»
281
характеристическая 280
Гамильтона—Якоби метод 278, 426
теорема 323, 324
уравнение 324
укороченное 331
Гамильтониан 286
Гармонический осциллятор 311, 320,.
349
Гаусса принцип 264
Гелиоцентрическая система отсчета 10*
Геодезическая линия 258
Геоцентрическая система отсчета 10
Герполодия 393
Гессе определитель 283
Гиббса—Аппеля уравнения 271, 273—
275
функция 271
Гироскоп 415
Гироскопические силы 239, 241, 414
Гироскопический эффект 414
Главная нормаль 19
Главные моменты инерции 367
*— направления 367
— оси инерции 367
Главный вектор внешних сил 370
490
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Главный момент 68
•— — внешних сил 371
Гурвица теорема 446
Даламбера сила 194
Даламбера—Лагранжа принцип 194
Движение вращательное 36
— невозмущенное абсолютно неустой-
неустойчивое 432
неустойчивое 431, 432
устойчивое 431, 432, 434
— несвободной материальной точки 90
— плоское системы двух свободных
материальных точек 140—147
— плоскопараллельное абсолютно
твердого тела 49—52
— поступательно-вращательное 373
— поступательное абсолютно твердого
тела 46
— свободной материальной точки 75
— среды установившееся (стационар-
(стационарное) 26
— тела с одной неподвижной точкой
388
f случай Лагранжа
404—412
— условно-периодическое 348, 349
— установившееся (автономное) 442
— финитное периодическое 149
Действие по Гамильтону 247, 298
— с переменным пределом 327, 328
Декартова система координат 63
косоугольная 63
обобщенная 62
Декартовы координаты 13
Делоне переменные 348
Динамика 12
Диссипативные силы 242, 243
Дифференциальное поперечное сечение
158
Длина характерная 22
Дубошина—Малкина теорема 475
Евклидово пространство И, 123, 181
Единичные векторы (орты) 13
Единичный вектор бинормали 19
— — главной нормали 19
— — касательной к траектории 19
Естественные координаты 18, 20
Задача двух тел 6, 122, 123, 127—130,
133, 153
— Кеплера 140—147, 335, 351
— трех тел 6, 122, 123, 160-^170
— _ «. ограниченная 170
Закон всемирного тяготения 130, 133
— Кулона 91, 159
•— Ньютона второй 71, 74
• первый 70
« третий 71, 132
— распределения моментов инерции
364, 365
• скоростей точек тела во враща-
вращательном движении 41, 42, 44
* ускорений точек произвольно
движущегося твердого тела 46
~- сохранения механической энергии
78, 229
Законы Кеплера 130
*— сохранения 77
Изотропность пространства 1A 11, 123
Изохронная вариация 176, 185, 267
Импульс 70
— абсолютно твердого тела 372
— суммарный системы свободных ма*
териальных точек 115, 116
Инволюция 290
Инерциальная система отсчета 10, 11,
69, 123
Инерции тензор 362
Интеграл момента импульса сфериче-
сферического маятника 94
скорости 87
«— площадей 148
— циклический 231
— энергии 77, 87, 148, 164, 229
¦ обобщенный 227
сферического маятника 94
« точки в центральном силовом
поле 87
— Якоби 229
Интегралы Лапласа 136
Интегральный вариационный прин-
принцип Гамильтона 246—248, 251
— — — Мопертюи—Эйлера «•Ла-
«•Лагранжа 251
Ферма 262
Кавендиша опыты 133
Канонические переменные 280, 282
— постоянные 329
— преобразования 304
Карданов подвес 420
Квазикоординаты 184, 271, 272
Квазискорости 381
Кеплера задача 140—147, 335, 351
— законы 130
Кен ига оси 121
— формулы 120, 121
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
49]
Кинематика 11, 13
— сплошной деформируемой среды
22—28
— точки 12—22
Кинетическая энергия гироскопа 421
— — материальной точки 70
— — системы с конечным числом сте-
степеней свободы 217
«— свободных материальных то-
точек 116
«— -— тела о одной неподвижной точ-
точкой 384
Кинетический момент системы свобод-
свободных материальных точек 115, 116
— потенциал 221
Ковариантные величины 65
— координаты 63
Количество движения 70
Коммутатор 287
Компоненты нормальной медлительно-
медлительности 280
Конвективная производная 26
Консервативное поле 78
Контравариантные величины 65
— координаты 63
Конфигурационное пространство 181
Координаты декартовы 13
— — зависимые 180
«— — независимые 180
«~ естественные 18, 20, 92
— ковариантные 63
— контравариантные 63
— неголономные 271
-» нормальные 458
-=- обобщенные (криволинейные) 15,
64, 181, 339, 378, 379
— позиционные 15
—- полярные 15, 16
— сферические 93, 94, 110, 335
— циклические 230
Кориолиса сила инерции 104
обобщенная 239
— ускорение 55
— формула 56, 59
Коши—Гельмгольца формулы для
деформируемой среды 22, 28, 31, 32
Коэффициент трения 91, 188
— устойчивости 456
Кривизна траектории 19, 21
Кривизны круг 21
— радиуо 21
Кронекера символ 38, 316
Кручение траектории 21
Кулона закон 91, 159
Лагранжа переменные (параметры) 22,
37
Лагранжа подход к описанию движе-
движения сплошной среды 23—28
— скобки 313
¦ фундаментальные 314
— теорема об устойчивости положе-
положения равновесия консервативной го-
лономной системы 437, 438
— уравнения 1-го рода 206, 208
— — 2-го рода 209, 212
— функция 221, 222
в фазовом пространстве («но-
(«новая») 297—302
4 для абсолютно твердого тела
(случай Лагранжа) 405
(случай Эйлера)
399
обобщенная 222
Лагранжиан 221
Лапласа вектор 136, 137
— интегралы 136
— плоскость 137
— теорема 318
Лежандра преобразования 284
Либрация 351
Линия геодезическая 258
— узлов 378
Лиувилля теорема 330
Локальная производная 26
Ляпунова методы исследования устой-
устойчивости движения 429
— георема о неустойчивости положе-
положения равновесия консервативной си*
стемы 441
об устойчивости невозмущенного
движения 436
установившегося движе-
движения 444, 445
— функция 434
знакоопределенная 435
— — знакопеременная 435
знакопостоянная 435
Магнитокинематическая аналогия 425
Масса приведенная 129
— тела 362
Массы присоединенные 73
Материальная точка 9
Матрица интегральная 443
Маятник двойной 192
— Фуко 109—114
Мгновенная угловая скорость 62
Мгновенный центр скоростей 51
Метод вариации канонических постоян-
постоянных 358
— Гамильтона—Якоби 278, 330, 426
Методы Ляпунова исследования устой-»
чивости движения 429
-492
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Механика небесная 10
— Ньютона 75
Модели реальных гел 9
Момент вектора относительно оси 67
точки 66
— гироскопический 415, 418
— импульса 70
— инерции абсолютно твердого тела
относительно оси 363, 364
— пары 59
— поверхностных сил 371
— элементарных массовых сил 370
Моменты инерции главные 367
— — осевые 364
*— ~- центробежные 364
Наименьшего действия принцип 248
Направления главные 367
Невесомость 107, 147
Неизотропность пространства 10
Неоднородность пространства 9
Неподвижная центроида 51, 52
Нётер теорема 227, 237
Нормальные координаты 458
Ньютона закон второй 71, 74
— — первый 70
третий 71
Ньютона механика 75
Обобщенная диссипативная сила 243,
245
— энергия 228
Обобщенные (криволинейные) коорди-
координаты 15, 64 181, 339, 378, 379
— силы 189, 210, 212
Даламбера 211
— скорости 209, 212
Обобщенный импульс 212, 213
— интеграл энергии 227
— потенциал 239, 240
Общее уравнение динамики 195
Однородность пространства 10, И, 123
Определитель Гессе 283
— Якоби 180, 182, 291
Опыты Кавендиша 133
Орты 13, 16
Осестремительный вектор 46
Оси инерции главные 367
— Кёнига 121, 161, 204
— Резаля 416, 423"
— собственные 37, 362
Осциллятор гармонический 311, 320,
349, 354
— пространственный 87, 331, 356
Ось мгновенного вращения 37, 43
Относительная производная 53
— скорость 54
Относительное равновесие 104
— ускорение 55
Относительности принцип 101
Падение материальной точки на вра-
вращающуюся Землю 107—108
Пара векторов 68
— вращений 58, 68
Параметр 139, 434
Пары момент 59
Первый интеграл системы уравнений
77, 290
Переменные действие — угол 348
*~ Делоне 348
*— канонические 282
«~ Рауса 359
— угловые 353, 355
— Эйлера 25
Перемещения виртуальные 175, 176
— действительные 179
Переносная скорость 54
Перигелий планеты 148
Период Эйлера 397
Плоскость Лапласа 137
— нормальная 19
— соприкасающаяся 19
— спрямляющая 19
Плотность массовой силы 369
Поверхность тензорная 366, 367
Подвижная система отсчета 52, 56
— центроида 51, 52
Подвижный аксоид 43
Позиционные координаты 15
Поле консервативное 77
— силовое 77
— — нестационарное 79
¦ потенциальное 78
• стационарное 78
« центральное 86
Полный дифференциал функции 77
Полодия 393
Полюс 391
Полярные координаты 15, 16
Постоянная тяготения 152
Постоянные канонические 329
Поступательно-вращательное движение
373
Потенциал внутренних сил 118
*- обобщенный 239, 240
•- силового поля 77
— силовой 191
Потенциальная энергия материальной
точки 78
*— — приведенная 482
*— — системы 478
*=- •— — свободных материальных то-
точек 120
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
493
Потенциальная энергия системы трех
материальных точек 162
Правило параллелограмма 71, 72
Преобразование Галилея 100, 101
*- координат 63
*- Лежандра 284
— обратное 65
— свободное 305
— унивалентное свободное 306
Преобразования вполне канонические
309
«— канонические 304
— точечные 181
Прецессия регулярная 388, 396, 419
Приведенная масса 129
Принцип виртуальных перемещений
динамический 194, 246
•— статический 184, 186
— Гамильтона интегральный вариа-
вариационный (вторая форма) 297
(первая форма) 246—248
— Гаусса 264
— Гюйгенса 278
<— наименьшего действия 248, 251
, в форме Якоби 257
. Мопертюи—Эйлера—Лагран-
жа 251
— независимости действия сил 71, 72
*— относительности 101
— скорейшего прибытия 262
— Якоби 257, 259
Присоединенные массы 73
Прицельное расстояние J54
Пространственный осциллятор 87, 331,
356
Пространство евклидово 11, 123, 181
«— конфигурационное 181
Псевдовекторы 60
Пуанкаре система уравнений в вариа-
вариациях 450
Пуаисо теоремы 391, 392
Пуассона система кинематических диф*
ференциальных уравнений 382
— скобки 288, 289, 316
— теорема 290, 292, 293
Пуассона—Якоби тождество 288, 289
Работа сил консервативного поля 78
«¦ силы на виртуальном перемещении
184
Равновесие абсолютно твердого гела
193
«— относительное 104
Радиальное ускорение 17
Радиус гравитационный 152
— кривизны 21
Радиус-вектор точки 13
* как векторная функция времени
14
центра масс 115, 161, 362
Распределение скоростей точек тела во
вращательном движении 41, 42, 44
, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси 49
— ускорений точек абсолютно твердого
тела 45, 46
Рассеяние однородного потока частиц
на силовом центре 157—160
— частиц на силовых центрах 152—157
Расстояние прицельное 154, 160
Рауса переменные 359
— уравнения 358, 359
Реакция связи 90
Резал я оси 416, 423
— углы 416
Резонанс 476
Решение возмущенное 431
Ривальса формула 46, 52, 55, 59
Риккати уравнение 383
Рэлея функция 243, 245, 246
диссипативная 468
Свободная энергия 221
Связей уравнения 90
Связи 90
— голономные нестационарные 172
стационарные 172
— двусторонние 99, 172
— идеальные 185
— линейные неголономные 173
— односторонние 99, 172
— освобождающие 172
Связь нестационарная 90
— стационарная 90
Секторная площадь 17
— скорость 17
Сечение поперечное дифференциальное
158
эффективное 159
полное 159
Сила 69
— активная 90
— гироскопическая 414
— — обобщенная 471
—' Даламбера 194
— диссипативная 243, 245
— инерции 476
*• — Кориолиса 104
— пассивная 90
— трения 91
— тяготения 148
Силовое поле 77
— — нестационарное 79
494
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Силовое поле потенциальное 78
стационарное 78
—* — центральное 86
Силовой центр 86, 148, 157
Силы 11
— аэродинамические 570
— внешние 116
— внутренние 116
— гироскопические 239, 241
— Даламбера обобщенные 211
— диссипативные 242, 243
— инерции 102
— Кориолиса обобщенные 239
— массовые 369
— обобщенные 189, 210
— поверхностные 369, 370
— сопротивления 73
— сосредоточенные 370
— центральные 86—89
Сильвестра теорема 456
Символ Кронекера 38, 316
Система динамических уравнений Эй-
Эйлера 385
— кинематических дифференциальных
уравнений Пуассона 382
уравнений Эйлера 380
— координат барицентрическая 161
— отсчета гелиоцентрическая 10
— — геоцентрическая 10
— — инерциальная 10
неинерциальная 100
подвижная 52, 56
с началом в центре масс 120—
122
— с двумя степенями свободы консер-
консервативная 464
тремя степенями свободы 460—
463
— свободных материальных точек зам-
замкнутая (изолированная) 122
— сопутствующая криволинейных ко-
координат 24, 38, 64
Системы автономные 290
— классические 222
Скобки Лагранжа 313
фундаментальные 314
— Пуассона 288, 289, 316
Скользящий вектор 49
Скорости кинематически возможные
266
— обобщенные 209, 212
Скорость деформации 31
— космическая вторая 145
— — первая 144
— мгновенная угловая 35
—«¦ относительная 54
—- переносная 54
Скорость прецессии 420
— сдвига 32
— секторная 17
— смены мгновенных центров 51
— точки 14
в естественных координатах 21
Сложение движений абсолютно твер-
твердого тела 56—59
Собственные частоты 458
Соотношения инвариантные 293
Сохранения законы 77
Сплошная деформируемая среда 9
Стабилизация гироскопическая 473
Статика 12
— аналитическая 184
Степень неустойчивости 456
Стокса формула 36
Субстациальные (материальные) про-
производные 24, 26
Суммарный (главный) момент 68
Сферический маятник 93—100
Тензор инерции 362, 365
Теорема Гамильтона—Якоби 323, 324
— Гурвица 446
— Гюйгенса—Штейнера 368
— Донкина 282—286, 292
—* Коши—Гельмгольца для деформи-
деформируемой среды 32
— Лагранжа об устойчивости положе-
положения равновесия консервативной го-
лономной системы 437, 438
— Лапласа 318
— Лиувилля 330
— Ляпунова о неустойчивости положе-
положения равновесия консервативной си-
системы 441
об устойчивости невозмущенного
движения 436
— Нётер 227, 237
— о среднем 150
— об изменении импульса системы со
связями 197
кинетического момента си-
системы свободных материальных точек
119
со связями 198
кинетической энергии систе-
системы свободных материальных точек
119
со связями 198
— Пуассона 290, 292, 293
— Сильвестра 452
— Четаева о неустойчивости ^возму-
^возмущенного движения 439, 440
— положения равновесия
консервативной системы 441
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
493
Теорема Эйлера об однородных функ-
функциях 220
Теоремы динамики основные 118—120
— Ляпунова об устойчивости устано-
установившегося движения 444, 445,
— Пуансо 391, 392
Точка материальная 9
Траектория точки 13
Трансверсальное ускорение 17
Трансверсальности условие 254
Трехгранник Френё 19
Углы Резаля 416
— Эйлера 39, 378
Угол нутации 378, 398
— отклонения 154
— полярный 15, 16, 434
— прецессии 378, 398
— рассеяния 154, 157, 160
— собственного вращения 378, 398
Уравнение в полных дифференциалах
78
«— Гамильтона—Якоби 324
•— динамики общее 195
*— кинетической энергии в относитель-
относительном движении 103
* несвободной материальной
точки 91
* свободной материальной точ-
точки 76
. сферического маятника 93
-- конических сечений 338
«— матричное 443
— момента импульса несвободной ма-
материальной точки 91
• относительного 103
* свободной материальной точ-
точки 76
« сферического маятника 93
*-* относительного равновесия 104
— Риккати 383
Уравнения Гамильтона 282, 304
~ Гиббса—Аппеля 271, 273—275
— движения гироскопа 417, 421, 422
* системы свободных материаль-
материальных точек 118—120
— Лагранжа 1-го рода 206, 208
« 2-го рода 209, 212
« ковариантные 225
•— малых колебаний 446—466
— Рауса 358, 359
*^- связей 90
«— траектории параметрические
Ускорение вращательное 46
*- Кориолиса 55
*=~ осестремительное 46
•* относительное 55
Ускорение переносное 55
— радиальное 17, 18, 131
— точки 14
в естественных координатах 22
— трансверсальное 17
— центра мгновенного вращения 52
Условие трансверсальности 254
Условия равновесия абсолютно твер-
твердого тела 374, 375
Устойчивость движения 427
невозмущенного 432, 436
условная 433
Устойчивость при постоянно действу-
действующих возмущениях 474
Ферма принцип интегральный вари-
вариационный 262
Формула Кориолиса 56, 59
— Ривальса 46, 52, 55, 59
— Стокса 36
— Эйлера 474
для абсолютно твердого тела 2%
33—45, 47, 50, 125
Формулы Бинё 18
— Кёнига 120, 121
— Коши-Гельмгольца для деформи-
деформируемой среды 22, 28, 31, 32
Френё трехгранник 19
Фуко маятник 10, 109—114
Функция Гамильтона главная 327,
328
• кинематическая 426
— Гиббса—Аппеля 271, 273—275
'— голоморфная 442
— Лагранжа 221, 222
— — для заряженной частицы в элек-
электромагнитном поле 241, 242
обобщенная 222
— Ляпунова 434
знакоопределенная 435
знакопеременная 435
знакопостоянная 435
¦ отрицательная 435
• положительная 435
— производящая 306, 310, 311, 319,
326
— Рэлея 243, 245, 246
диссипативная 468
Характерная длина 22
Центр инерции 377
«— масс системы материальных точек
с идеальными и стационарными свя-
связями 191
— свободных материальных то*
чек 115
496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Центр мгновенного вращения 51
— силовой 86, 131, 148
— ускорений 52
Центральное силовое поле 86
Центральные силы 86—89
Центроида неподвижная 51, 52
— подвижная 51, 52
Циклические координаты 230
Циклический интеграл 231
Частоты собственные 459
Четаева теорема о неустойчивости не-
невозмущенного движения 439, 440
_ — — _ положения равновесия
консервативной системы 441
Число степеней свободы системы 178
Эйлера переменные 22, 37
— период 397
— подход к исследованию движения
деформируемой среды 25—28
— система динамических уравнений
385
кинематических уравнений 380
— теорема об однородных функциях
220, 244
— углы 378
— формула для комплексной функции
125, 198, 470
распределения скоростей то-
точек абсолютно твердого тела 33—35
9 примене-
применение 47, 50
Эйлера формула для распределения
скоростей точек абсолютно твердого
тела, прямой вывод 40—45
Экстремалей уравнения 251
Экстремали 251
Эксцентриситет 139, 338, 434
Элемент объема 23
Элементарный делитель матрицы 462,
463
Эллипсоид инерции 367, 393, 394,
399
Энергия кинетическая гироскопа 421
. материальной точки 70
системы с конечным числом сте-
пеней свободы 217
, свободных материальных то-
точек 116
• тела с одной неподвижной точ-
точкой 384
— механическая 78
— обобщенная 228
— потенциальная материальной точки
78
< приведенная 482
системы 478
свободных материальных то-
точек 120
«— — — трех материальных точек
162
— свободная 221
Эффект гироскопический 414
Эффективная потенциальная энергия
142
Якоби определитель 180, 182, 291,
317
— принцип 257, 259