ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ

I, , Д.И. ПЕРЕПЕЛКИН
ЙЙ IB .....
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
I Il'nOCT РОЕНИЯ '
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
ш:
। !
к-
!
 .11111111,1111 u ' i ии:ч11 ini: iMiiiiuimiiiiiii i. .uiiii.'iiii ii ill till к
Li ifl 'ir iitil-i
!•:» 1 ф|
ИЗДАТЕЛЬСТВО
АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
МОСКВА-4947 -ЛЕНИНГРАД.
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
Д. И. ПЕРЕПЕЛКИН
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОСТРОЕНИЯ
В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
Москва 1947 Ленинград
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Введение ................................................... 3
Глава 1. Общие понятия.
§ 1.	Геометрические задачи на построение, их значение и место
в курсе геометрии .	. .	.	................... 5
§ 2.	Сущность решения геометрической задачи на построение. Гео-
метрические инструменты ...................................  7
§ 3.	Угольник н его кестов геометрических построениях...... 11
§ 4.	Так называемые „основные построения" и их роль........ 12
§ 5.	Общая схема решения задачи на построение.............. 16
§ 6.	Исследование задачи на построение . . ...........	26
§ 7.	О различных'г. етодах решения задачи на построение.... 30
§ 8.	Замечание относительно разрешимости и неразрешимости задач
с помощью циркуля и линейки...............................  32
Глава II. Геометрические места.
§ 1.	Понятие геометрического места точек................... 35
§ 2.	Основные геометрические места в курсе VI -VII классов ....	40
§ 3.	Дальнейшие геометрические места в курсе VI—VII классов . .	44
§ 4.	Метод геометрических мест .	........................ 49
§ 5.	Отбор и составление задач иа метод геометрических мест ...	51
§ 6	Задача Потенота .	.......... .	. . . • •.......... 58
§ 7.	Геометрические места в курсе VIII класса.............. 63
Глава III. Методы, связанные с учением
о пропорциональности отрезков.
§ 1.	Метод подобия	......................................  .69
§ 2.	Построение отрезков, заданных формулами.....’..........76
§ 3.	Алгебраический	метод...............................    80
Библиография........................................... 84
Тираж 15С60. Формат 84X168. Заказ 1744
Тип. №2 Управления издательств и полиграфии Ленгориеоолкома
ВВЕДЕНИЕ.
Геометрические построения являются весьма существен-
ным элементом изучения геометрии. Однако эта сторона пре-
подавания геометрии не всегда еще пользуемся должным вни-
манием учителя. Одной из причин такого положения вещей
является, как нам кажется, недостаточная разработка эюго
вопроса в нашей методической литературе. Настоящая рабо-
та не ставит своей целью научить читателя решению геомет-
рических задач на построение и не излагает методов их ре-
шения. Она обращается к читателю, уже владеющему этим
материалом, хотя бы в минимальном объеме. Мы поставили
Себе задачей рассмотреть здесь основные методические
вопросы, связанные с данной темой: вопрос о роли геометри-
ческих построений и их месте в систематическом курсе гео-
метрии, вопрос о содержании того материала, который дол-
жен быть сообщен учащимся в этой области, о распределе-
нии этого материала в пределах курса геометрии, о характе*
ре и типах тех задач, которые должны предлагаться учащим-
ся в различных местах курса, об основных трудностях,
встречающихся при изучении соответствующих разделов. Во-
просы собственно теории геометрических построений затронуты
здесь в самом минимальном объеме, лишь постольку, поскольку
это казалось нам безусловно необходимым для правильного
решения рассматриваемых нами вопросов. Изложение же соб-
ственно теории геометрических построений представляем собой
особую задачу, выходящую за рамки настоящей работы.
Исходя из тех целей, которые мы перед собой ставили,
мы сосредоточили свое внимание лишь на основных во-
просах темы, оставив в стороне те методы, которые, хотя
и рассматриваются обычно в школе, но не играют там боль-
шой роли. Так, мы совершенно не останавливались, скажем,
на применении симметрии, параллельного перенесения, на по-
строении правильных многоугольников и некоторых других
вопросах.
Иногда приходится слышать пожелания о выработке неко-
торого стандартного, стабильного списка задач на построение,
1*
3
обязательных для средней школы. Наша основная установка
идет до известной степени в разрез с такого рода устрем-
лениями. Мы полагаем, что изучение тех или иных геометри-
ческих задач на построение не должно становиться самоцелью,
что геометрические посароения должны быть не столько
объектом изучения в геометрии (к чему могло бы повести
установление какого-либо списка), сколько методом изучения
самих геометрических фактов. С этой точки зрения следует
говорить (за отдельными исключениями) не об отдельных
задачах как таковых, а только о типах задач, наиболее
подходящих в том или ином месте курса, а также о выборе
из числа имеющ 1хся или о составлении вновь соответствую-
щих задач. Пытаться же фиксировать список решаемых
задач —с нашей точки зрения поати то же, что пытаться,
скажем, фиксировать перечень задач на составление квадрат-
ны* уравнений с одним неизвестным. Дело не в том, чтобы
учащийся умел решить ту или дру,ую определенную
задачу, а в том, чтобы он научился решать типичные
задачи на построение надлежащей степени трудности.
Настоящая работа состоит из трех глав. Первая глава
охватывает общие вопросы темы ^геометрические инстру-
менты и их роль, общая логическая схема решения задачи
на построение), вторая глава целиком отведена понятию гео-
метрического места и его применению, третья—тем постро-
ениям, которые так или иначе связаны с учением о пропор-
циональности отрезков (метод подоб 1я, алгебраический метод).
Мы старались сделать эти три главы по возможности само-
стоятельными, не боясь иногда даже некоторых небольших
повторений.
Приложенный к работе список литературы не ставит своей
целью ни перечислить всю литературу, которую имел в своем
распоряжении автор, ни тем более дать сколько-нибудь исчер-
пывающую библиографию. Здесь приведены лишь важнейшие
книги и журнальные статьи на русском языке, вышедшие за
последние годы.
Глава I. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
§1	. Геометрические задачи иа построение, их
значение и место в курсе геометрии.
Большое значение геометрических построений в изучении
геометрии является, как нам кажется, общепризнанным.
Попытаемся кратко охарактеризовать, в чем же заключается
это значение. Ценность вопросов, связанных с геометрическими
построениями, заключается прежде всего в том, что выполне-
ние тех или иных построений позволяет конкретизировать
в сознании учащегося отдельные геометрические факты,
заставляет учащегося перенести свое внимание со словесной
формулировки геометрического предложения на те реальные
геометрические соотношения, которые за этим предложением
скрываются. Так, например, положение „радиус, перпендику-
лярный к хорде, делит хорду пополам" несомненно будет яснее
представляться сознанию ученика, если вслгд за изучением
доказательства он выполнит самое простое относящееся сюда
упражнение: „через данную внутри окружности точку провести
хорду, которая делилась бы этой точкой пополам". Здесь
нельзя просто повторить, что „радиус, перпендикулярнь й..
а надо ясно осознать, что и хорда при этом перпендикулярна
к радиусу. Итак, первая ценная сторона геометрических
построений заключается, на наш взгляд, в том, что они
являются важным средством создания у учащихся конкретных
геометрических представлений, важным орудием борьбы
с чист§ словесным запоминанием тех или иных положений
геометрии.
Вторая, также немаловажная, сторона геометрических
построений состоит в том, что они дают материал для
приложения изученных теорем к каким-то проблемам, задачам
и т. д. При этом они применимы почти во всех разделах
курса геометрии, в частности там, где нет возможности
решать задачи других типов. Вместе с тем решение задач на
построение всегда требует от ученика в той или иной мере
инициативы, самостоятельности, дает ему позможяость попро-
5
бовать свои силы. Итак, второй ценной стороной геометрических
построений является то, что они дают материал для упраж-
нений почти по всем разделам курса элементарной геометрии.
Далее, изучение геометрических построений играет значи-
тельную роль и как теоретическая основа для курса черчения.
На уроках черчения учащийся применяет те или иные способы
построений очень часто в готовом, законченном виде. Дело
преподавателя математики—дать своевременно ученикам не-
обходимый геометрический материал. Но этим дело не огра-
ничивается, Преподаватель м .тематики должен связать изучае-
мы l им геометрический материал с постановкой соответствую-
щих задач в курсе черчения. Поясним эту последнюю мысль
примером. На уроке черчения в VII классе выполняется
„сопряжение двух наклоненных одна к другой прямых дугой
.окружности данного радиуса". В параллель с этим (а по вре-
мени даже раньше этого) на уроке геометрии следует разо-
брать задачу „построить окружность данного радиуса, каса-
ющуюся двух данных пересекающихся прямых". Но следует
це только разобрать эту задачу—надо на самом уроке геоме-
трии показать, какое практическое значение имеет эта задача.
Надо, скажем, и на чертеже, выполняемом в геометрической
тетради ученика, выделить так или иначе сопрягающую дугу
и сопрягаемые ею части (лучи) данных прямых. Конечно, для
осуществления в возможно большей мере .этой цели — исполь-
зования геометрических построений в занятиях по черчению —
необходима согласованная работа преподавателей обоих
предметов, в частности, взаимное ознакомление их с рабо-
чими планами. Само собой разумеется, что многое в этом
вопросе зависит и от построения программ по геометрии
и по черчению. Возможно, что полной согласованности достичь
и нельзя. Так, например, построение правильных многоу.оль-
ников является сравнительно простой задачей в смысле чертеж-
ной техники; в то же время изуч низ этих вопросов в курсе
геометрии относится естественным образом в конец курса
планиметрии.
Наконец, четвертой и последней в нашем перечне* (но не
последней по ее важности) ценной стороной задач на построе-
ние является применение в них ряда довольно сложных форм
логического мышления. Это находит свое конкретное выраже-
ние в тех терминах, которыми мы характеризуем отдельные
этапы решения задач на построение — „анализ", „исследо-
вание".
Какое же место должны занять геометрические построения
в школьном курсе геометрии? На учение о геометрических
6
построениях можно было бы смотреть, как на один из разде-
лов, одну из частей этого курса.Такой взгляд подтверждается
традицией, по которой в очень многих курсах и руководствах
по геометрии, особенно более старых, выделяются достаточно
обособленные главы, посвященные геометрическим построени-
ям. Это положение, оправдываемое отчасти соображениями
систематичности, удобства отыскания нужного материала
и т. п., нельзя признать правильным при прохождении гео-
метрии в школе. Мы полагаем, что сформулированные выше
положения о ценных сторонах изучен :я геометрических по-
строений приводят к следующему выводу. Геометрические
построения не являются просто частью курса геометрии. Оки
являются, напротив, одним из методов элементарной гео-
метрии, применимым почти ко всем ее вопросам. Исходя из
этого положения, м я считали бы необходимым стремиться
к возможно более тесному слиянию задач на построение
с другими частями курса. Каждое разбираемое построение,
каждое геометрическое место и т. д. должно быть поставлено
возможно ближе к уем теоремам курса, на которых оно
основывается. Не следует создавать, скажем, сколько-нибудь
длительных промежутков, сплошь занимаемых геометрическими
построениями. Это наше общее положение мы стремимся
конкретизировать в дальнейших частях настоящей работы.
Из него мы исходим в своих предложениях о расположении
отдельных вопросов в школьном курсе геометрии.
§	2. Сущность решения геометрической задачи на
построение. Геометрические инструменты.
Во всякой геометрической задаче на построение требуется
по -тем или иным данным найти некоторые геометрические
элементы (точку, прямую, окружность, треугольник и т. д.),
удовлетворяющие тем или иным условиям. Однако сущность
геометрической задачи на построение не исчерпывается указа-
нием данных и формулировкой того, что требуется найти.
Столь же важное значение имеет и указание (формулируемое
явно или, большей частью, подразумевающееся) на те
средства, с помощью которых задача должна быть решена,
на те инструменты, при помощи которых построение
должно быть выполнено. В зависимости от того, какие инст-
рументы имеются в виду, смысл одной и той же задачи корен-
ным образом меняется. Приведем хотя бы два примера:
Пример 1. Построить, треугольник по двум сторонам
а и Ь, зная, что угол, заключённый между ними, равен 72°.
7
Если предположить, что в числе допустимых инструментов
имеется транспортир, то задача разрешается весьма просто.
Если же потребовать, как это обычно делается, чтобы построе-
ние было выполнено с помощью циркуля и линей .и, то мы
получим достаточно сложную задачу: построение угла в 72
связано с построением правильного десятиугольника.
р' Пример 2. Построить при данной точке от данной пря-
мой угол в 20°.
Задача, весьма просто разрешаемая с помощью транспортира
оказывается неразрешимой с помощью циркуля и линейки;
доказано совершенно строго, что угол в 20° не может быть
построен с помощью циркуля и линейки.
Как известно, мы всегда предполагаем в школе, что тре-
буемые построения должны быть выполнены с помощью цир-
куля и линейки. Необходимо прежде всего отдать себе ясный
отчёт в том, что значит решить задачу с помощью циркуля
и линейки. Это выражение не обозначает, конечно, физиче-
ского использования соответственных инструментов, так как
задачу можно решать с помощью циркуля и линейки, напри-
мер, „в уме“ или делая чертеж „от руки". С другой стороны,
не всякое выполнение чертежа на бумаге, при котором мы
употребляем только циркуль и линейку, будет и „построением
с помощью циркуля и линейки". Так, построение с помощью
ряда последовательных попыток правильного семиугольника,
вписанного в данную окружность, можно осуществить на прак-
тике, пользуясь циркулем и линейкой, технически весьма
удачно. Но это все же не будет построением с помощью
циркуля и линейки: действительно, здесь никогда нельзя быть
уверенным, что мы получим точное построение, и для по-
лучения этого точного решения никакого пути не указывается.
Здесь, после некоторого числа попыток (какого именно,также
не определяется), получается некоторый вписанный много-
угольник, который мы без заметной погрешности можем при-
нять за правильный семиугольник.
Итак, что же значит в геометрии „решить задачу с помощью
циркуля и линейки?" Проще всего ответить на этот вопрос
следующим образом. Решить задачу с помощью цир-
куля и линейки — значит свести ее к выполнению точно
определенного конечного числа следующих построений:
а)	проведение прямой линии через две известные точки;
Ь)	определение точки пересечения двух известных прямых;
с)	проведение окружности с известным центром и изве-
стным радиусом;
8
d)	определение точек пересечения известной прямой и из-
вестной окружности;
ё) определение точек пересечения двух известных окруж-
ностей.
Эти пять построений можно было бы назвать элементар-
ными операциями.
При решении задачи с помощью циркуля и линейки мы
в рамках геометрической части решения не задаемся вопро-
сом о том, как именно выаолняется каждая из операций а—е;
мы просто считаем, что эти операции мы умеем выполнить.
При фактическом выполнении чертежа мы и осуществляем эти
именно операции с помощью чертежных инструментов.
Данная выше формулировка определения элементарных
операций требует еще пояснения. В эту формулировку входит
термин „известный" (известная точка, известная прямая,
известная окружность). Под слоьом „известный" понимаются
здесь такие элементы, которые либо даны в условии задачи,
либо уже определены в результате предыдущих операций;
либо, наконец, выбираются произвольно. 11ри этом на „произ-
вольно выбираемые" элементы мы вправе налагать еще неко-
торые ограничения (такого типа: „берем произвольную точку,
не лежащую на данной прямой"; „описываем окруж-
ность произвольным радиусом, большим расстояния от
данной точки до данной прямой" и т.п.). На более
точном анализе такого рода ограничений нам нет необходи-
мости останавливаться.
Покажем теперь на одном простом примере, как построение
с помощью циркуля и линейки разлагается на элементарные
операции Л—е. Пусть требуется построить угол, равный углу
ВАС и имеющий своей вершиной данную точку А', а одной
из сторон данный луч А!X (черт. 1,. Проследим за обычным
решением этой задачи. Проводим окружность с центром А
и гроизвольным радиусом (операция С) и определяем точки
ее пересечения В и С со сторонами угла (две операции d)\
2
тем же радиусом строим окружность с центром Д' (опера-
ция С) и определяем точку ее пересечения В' с лучом Д'Л
(операцля d); строим окружность с центром В' и радиусом
ВС (операция с) и определяем точку ее пересечения С' с
построенной ранее окружностью (операция е); накоцец, про-
водим прямую через точки А' и С (операция а). Итак, реше-
ние поставленной задачи свелось к следующей последователь-
ности элементарных операций: cddcdcea. Само собой разумеет-
ся, что этот пример приведен нами только для иллюстрации
сформулированного выше положения. Вряд ли упражнения в
такого рода разложении имеют какую-либо цену.
Все сказанное выше, естественно, не может найти себе
места в школьном изложении. Однако мы остановились на этом
вопросе не только потому, что учитель должен иметь здесь
весьма четкую и правильную принципиальную точку зрения.
Есть отдельные моменты в преподавании геометрии, когда
эта идея должна быть (в более простой форме) доведена до
сознания учащихся. Приведем в качестве примера такой слу-
чай. Учащийся VIII класса, ознакомившись с построениями
правильного шестиугольника и правильного восьмиугольника,
поставит вопр ас о построе :ии правильного семиугольника
и получит от преподавателя геометрии ответ, что такого рода
„построение" невозможно. В то же время весьма вероятно,
что к этому времени он уже научился на уроках черчения
„строить" правильный семиу:ольник. Во всех таких случаях
необходимо элементарное разъяснение учащимся различия
между двумя пониманиями термина „построения" в том и дру;
гом случае. В этом разъяснении следует подчеркнуть разли-
чие между точным и приближенным построением. Надо далее
указать на то, что в приближенном построении нельзя наперед
определить число потребных операций, в то время как в точ-
ных геометрических построениях эго число операций всегда
известно.
Сказанное выше относительно точного смысла понятие
„с помощью циркуля и линейки" имеет, однако, очень важное
значение и в другом отношении. Дело в том, что эту точку
зрения можно высказать в значительно более общей форме.
Решить некоторую геометрическую задачу на построение
с помощью тех или иных данных инструментов значит свести
ее к конечному числу наперед данных простейших задач,
„элементарных операций" над уже известными элементами.
Перечень-этих элементарных операций и характеризует тот
или иной комплекс геометрических инструментов.
Так, например, циркуль и линейка характеризуются на*
’О
званными выше элементарными операциями а — е; одна ли-
нейка характеризуется названными выше элементарными опе-
рациями а и 6; один циркуль — операциями с, d и е, и т. д.
Развитие этой идеи приводит к весьма обширной и хо-
рошо разработанной теории геометрических построений с по-
мощью различных инструментов. Ограничиваясь рамками соб-
ственно школьного преподавания, мы рассмотрим с точки зре-
ния сказанного место и роль угольника в геометрических по-
строениях.
§ 3. Угольник и его место в геометрических построениях.
Большая роль, которую при выполнении чертежей играет
чертежный треугольник, или короче угольник, общеизвестна.
Какова же роль угольника в геометрических построениях?
Ответить на этот вопрос весьма нетрудно, если стать на
ту же точку зрения, что и в предыдущем параграфе.
Решить задачу на построение с помощью циркуля, линей-
ки и угольника — значит свести ее к выполнению конечного,
вполне определенного числа элементарных операций а-е, рас-
смотренных в §, 2, и следующих построений:
f) Провести через известную точку прямую, перпендику-
лярную к известной прямой.
g) Провести через известную точку прямую, параллель-
ную известной прямой.
При этом термин „известный" имеет здесь то же значе-
ние, что и ранее (§ 2).
Что касается до построения f, то его можно было бы,
если угодно подразделить на два отдельных случая — восста-
вление и опускание перпендикуляра. Можно было бы ска-
зать, что при условии пользовани i циркулем, линейкой и уголь-
ником элементарными операциями будут уже все построения
a—g.
Обращаясь к построениям J и g, мы видим, что эти по-
строения выполнимы и без помощи угольника, пользуясь только
циркулем и линейкой. Отсюда прямо следует, что всякая
задача, разрешимая циркулем, линейкой и угольником, раз-
решима и при помощи только циркуля и линейки. В этом
смысле можно сказать, что присоединение к циркулю и ли-
нейке еще и угольника не вносит в дело геометрических по-
строений ничего принципиально нового. Однако это вносит
большое упрощение в практическое выполнение построений.
С математической стороны это упрощение состоит в том,
что построения / и g, требующие при пользовании только
П
циркулем и линейкой ряда операций, выполняются при при-
соединении угольника уже непосредственно.
Таким образом, требование решать задачи с помощью
циркуля и линейки не будет по существу дела нарушено,
если к выполнению построений будет фактически привлекаться
и угольник. Мы полагаем, что на уроках геометрии угольник
может и должен использоваться столь же систематически
как и циркуль и линейка. При этом несомненно устанавливает-
ся более тесный контакт между геометрическими построе-
ниями и черчением, решение задач на построение становится
более простым в смысле техники выполнения чертежа (отсю-
да можно получить и выигрыш во времени).
При таком подходе к делу несколько особое положение зани-
мают 1.остроения перпендикуляров и параллельных прямых с по-
мощью циркуля и линейки, обычно рассматриваемые в школь-
ном курсе. Если оставить эти построения в ряду основных
построений, то неудивительно, что мы можем столкнуться,
скажем, на занятиях по физике с затруднением ученика —
как ему опускать перпендикуляр, то ли с помощью угольни-
ка, то ли с помощью циркуля и линейки- Мы полагаем, что
задачи восставления и опускания перпендикуляра и прове-
дения параллельных прямых с помощью циркуля и линейки
должны рассматриваться отдельно от других основных по-
строений, с определенной установкой — показать, что при
восставлении и опускании перпендикуляра и при проведении
параллельной прямой 'можно обойтись .и без угольника. Иначе
эти построения приобретают в глазах учащегося схоласти-
ческий характер; всегда остается недоумение,—зачем делать
более сложно то, что можно сделать много проще?
§ 4. Так называемые „основные построения"
н нх роль.
В § 2—3 было выяснено, что с принципиальной точки зре
ния решение какой-либо задачи на построение с помощью цир-
куля и линейки обозначает, по существу дела, сведение этой
задачи к конечному числу элементарных операций а — е, a pt ше
ние с помощью циркуля, линейки и угольника — сведение ее к
конечному числу операций а — g. Однако такого рода разложе-
ние решения мало - мальски сложной задачи на элементарные
операции практически бесполезно, так как число этих элемен-
тарных операций оказывается столь большим, что описание
•построений теряет уже всякую наглядность. Те же, если не
большие трудности, встретили бы мы, если бы пожелали не
описать готовое построение, а найти решение той или иной
задачи, опираясь лишь на элементарные операции.
Поэтому практически при решении задачи на построение
мы сводим ее решение не к самим элементарным операциям,
а к некоторым типичным, часто встречающимся сочетаниям
этих элементарных операций, к некоторым хорошо известным
задачам на построение. Эти задачи мы рассматриваем, каж-
дую в свое время и в своем месте, в самом курсе геометрии.
Их-то обычно и имеют в виду, когда говорят об основ-
ных геометрических построениях.
Из сказанного следует, что, в зависимости от тех или иных
причин не принципиального, не математического характера,
а именно структуры- программы, расположения материала
в ней и т. д. , список такого рода основных построений мо-
жет в известной мере видоизменяться, и точные границы
понятия „основное построение" не могут • быть установ-
лены.
Приводим в качестве примера список тех из построений,
подробно рассмотренных в тексте стабильного учебника
геометрии, которые следовало бы считать основными:
1)	Построение треугольника по трем сторонам (§ 62).
2)	Построение угла, равного данному (§ 63).
3)	Деление угла пополам (§ 64).
4)	Деление отрезка пополам (и одновременно построение
перпендикуля; а к данному отрезку в его середине); (§ 67),
5)	Деление отрезка на равные части (§ 100).
6)	Построение касательной к окружности, параллельной
данн 'й прямой (§ 115),
7)	Проведение касательной к окружности через данную
точку (§ 1L8).
8)	Построение общих касательных к двум окружностям
(§ 12*).
9)	Построение многоугольника, подобного данному, если
известна сторона, соответствующая одной из сторон данного
(§ 169).
10)	Деление отрезка прямой на части, пропорциональные
данным отрезкам (§ 184).
11)	Построение четвёртого пропорционального к трем
данным отрезкам (§ 185).
12)	Построение среднего пропорционального между двумя
отрезками (§ 190).
13	— 14) Построение отрезка, квадрат которого был бы ра-
вен сумме или разности квадратов двух данных отрезков
13
. (иначе говоря, построение квадрата, площадь которого равня-
лась бы сумме или разности площадей двух данных квадра-
тов; § 258).
15) Построение треугольника, равновеликого данному мно-
гоугольнику (§ 254).
Читатель несомненно заметит, что некоторые из построе-
ний, списанных в стабильном учебнике достаточно подробно,
мы не включили в настоящий список, хотя они и имеют иногда
очень существенное значение. Так, в список не включены за-
дачи на восставление и опускание перпендикуляра и прове-
дение прямой, параллельной данной. Мы полагаем, что эти за-
дачи играют в преподавании особую роль, поскольку мы до-
пускаем пользование угольником. Об этих задачах мы уже
говорили в § 3. Далее мы не включили сюда построения
окружности, проходящей через три точки (описанной око/о
треугольника), и окружности, вписанной в треугольник. Конеч-
но, эти две задачи весьма существенны, и их м^жао было бы
отнести к числу основных построений. Однако мы считаем
более правильным всегда трактовать эти задачи как примене
ние метода геометрических мест; желая подчеркнуть эту точ-
ку зрения, мы и опускаем здесь эти задачи. Далее мы опу-
стили, конечно, те задачи, которые приводятся в тексте учеб-
ника в качестве примеров, хотя бы весьма показательных
и типичных.
Отметим еще одну особенность задачи 15, принципиально
отличающую ее от всех остальных перечисленных задач. В то
время как остальные задачи—определенные (то-есть,
имеющие одно или же несколько, во всяком случае конечное
число, решений) задача 15 является неопределенной:
существует бесконечное множество различных треугольников,
равновеликих данному многоугольнику, и речь идет о постро-
ении лишь какого-либо о/ного из них.
Заметим, что к числу основных построений мы бы
считали необходимым отнести еще три задачи на построение
треугольников. Две из этих задач всегда рассматриваются
в школе и имеют большое значение. Это — следующие зада-
чи: построить треугольник по двум сторонам и заключенному
между ними углу; построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к ней углам. Далее мы отнесли бы к числу ос-
новных, и тем самым обязательных, еще и следующую зада-
чу: построить треугольник по двум сторонам и углу против
одной из них. Эта задача представляет прекрасный случай
для исследования. Кроме того, мы считаем неестественным,
чтобы этот случай построения треугольника откладывался,
14
как это иногда делается, до X класса, где он часто рассмат-
ривается только с точки зрения тригонометрии.
Далее мы пола1аем, что геометрическое построение, при-
веденное выше под № 10, следовало бы излагать в несколько
иной редакции, а именно: „разделить данный отрезок внут-
ренним или внешним образом в данном отношении". При этом
под словами „данное отношение" надо понимать отношение
двух данных отрезков. Решая задачу в такой формулировке,
необходимо, конечно, разъяснить, что следует понимать под
внешним делением отрезка в данном отношении.
Понятие деления отрезка внешним образом существенно для-
геометрии (взять хотя бы свойство внешней биссектрисы тре-
угольника, учение о центре подобия) и должно быть в этом
месте рассмотрено.
Само построение может быть выполнено при такой по-
становке вопроса следующим образом: пусть отрезок АВ тре-
буется разделить на части, пропорциональные данным отрез-
кам т и п. На произвольной прямой, проходящей через А,
откладываем отрезок AM = т (черт. 2); от точки М на той же
прямой откладываем в обе стороны отрезки MN = MN' — п.
Проведя прямую BN и через точк^ М прямую, параллель-
ную BN, получим точку С, делящую отрезок АВ внутренним
образом в данном отношен> и. Проводя далее прямую В№
и через точку М прямую, параллельную BN', получим точку С',
леляцую отрезок АВ внешним образом в данном отношении..
Точка С может лежать как на продолжении отрезка АВ за
точку В (при tn > п), так и на продолжении отрезка АВ за
точку А (при т<^п). Целесообразно взять один раз т^>п,
а второй раз (скажем, когда построение повторяет один из
учеников) т < и.
• Что касается до места, на котором каждое из перечислен-
ных построений должно быть поставлено в школьном курсе,
то оно естественным образом определяется самим содержа-
15'
нием построения, и мы ограничимся здесь лишь несколькими
замечаниями.
Прежде всего остановимся на первых построениях, пере-
численной выше. Мы полагаем, что они должны даваться воз-
можно раньше. В соответствии с высказанной нами точкой
зрения (§ 1) нет основания ждать до тех пор, пока появится
возможность рассмо1реть сравнительно большую группу по-
строений. Рассмотрение трех основных признаков равенства
треугольников уже дает возможность приступить к ряду
простых задач на построение (построения 1—3; построение
треугольника по двум сторонам и углу между ними, по сто-
роне и двум прилежащим углам).
Задачу построения треугольника по стороне и двум при-
лежащим углам можно и должно связать с вопросом о (гра-
фическом) определении расстояния до недоступного пред-
мета С, наблюдаемого из двух точек .4 и В на местности.
Зная расстояние между точками АВ и оба угла ВАС и АВС,
мы можем построить на бумаге (в определенном масштабе,) тре-
уюльник АВС и пЬ нему определить расстояние' АС Необхо-
димо р .ссказать учащимся о большом значении этого метода
для практики.
Самые попытки построения треугольника по трем сторо-
нам должны стимулировать постановку вопроса о неравен-
ствах, связывающих стороны треугольника. Несомненно, что
такого рода порядок представится более естественным для
ученика VI класса, чем обратная последовательность, когда
теорема о сумме двух сторон треугольника находит свое при-
менение лишь значительно позднее того времени, когда она
изучается.
Второе наше замечание касается построений 13— 14. Мы
полагаем, что в настоящее время, когда квадрат отрезка
рассматривается нами в школе как квадрат его длины, нет
оснований откладывать, как это делается в стабильном учеб-
нике, построение корня квадратного из суммы или разности
квадратов до прохождения главы о площадях.
§ 5. Общая схема решения задачи на построение.
Как известно, полное решение всякой задачи на построе-
ние расчленяется обычно на четыре части: 1) анализ; 2; по-
строение; 3) доказательство (или синтез); 4) исследование.
В настоящем и в следующем параграфах мы имеем в
виду остановиться особо на каждой из этих стадий ре-
шения.
16
1)	Анализ. Суть этой стадии решения состоит в том»
что устанавливаются те геометрические связи, которые суще-
ствуют между элементами, данными в задаче, и элементами
искомыми. При этом такие связи во многих случаях удается
установить лишь при посредстве некоторых новых элементов,
которые затем и фигурируют в- решении в качестве вспомо-
гательных. Установленных связей должно быть достаточно
для того, чтобы осуществить потом самое построение. Итак»
можно сказать, что анализ задачи е сть, н е что иное,
как отыскание способа ее решения.
Практически при выполнении анализа рекомендуется на-
бросать на бумаге от руки (или, по крайней мере, ясно пред-
ставить себе) искомую фигуру.
При осуществлении анализа несомненно существенную роль
играет субъективный момент. Дело, конечно, не только в том,
что лицо, имеющее большой опыт и знания в области реше-
ния задач на построение, скорее и легче выполнит анализ
задачи, но еще и в том, что одна и та же задача может быть
разрешена весьма разнообразными, по самому существу дела,
приемами. Субъективность анализа скажется в том отношении,
что мысль анализирующих может пойти по различным путям
и придти к совсем непохожим один на другой способам ре-
шения. Примеры так<то рода мы приводим hi же в § 7.
Однако, принципиально говоря, цель ана иза задачи не
ограничивается toaiko нахождением пути к решению задачи.
Анализ может преследовать и вторую цель—установить пол-
ную общность найденного решения. Правильно проведен-
ный анализ гарантирует нам, что в случае наличия у задачи не-
скольких решений все они будут найдены на том пути реше-
ния, который мы избираем. В результате анализа мы прихо-
дим к формулировке следующего типа: если некоторый эле-
мент или фигура (скажем, точка, прямая, треугольник и т. д.,
смотря по условию задачи) удовлетворяет всем условиям за-
дачи, то он может быть построен таким-то и таким-то путем.
Ошибка в анализе может приводить к потере части решений.
Пусть, например, требуется построить окружность ради-
кса г с центром нт данной прямой, которая касалась бы дан-
ной окружности радиуса R.
Допустим, что, анализируя задачу, мы в рассуждении до-
пустили бы, такую неточность: так как искомая окруж-
ность радиуса г касается данной окружности радиуса R, то
ее центр должен лежать, сказали бы. мы, на окруж-
ности радиуса R-\-r, концентрической с данной, и т. д.
Основываясь на этом, мы описали бы некоторое построение,
2 Заказ 1744	1 7
могли бы доказать его правильность (в том смысле, что по-
строенные нами окружности удовлетворяют требованиям за-
дачи), провести исследование и придти к следующим заключе-
ниям: так как построенная нами окружность радиуса R 4~ г
может пересекать данную прямую самое большее в двух точ-
ках, то задача имеет не более двух решений.
В этом решении допущена, однако, существенная ошибка,
и именно в анализе. Ошибочное место выделено выше раз-
рядкой и в точной формулировке должно выглядеть так: центр
искомой окружности должен лежать на одной из двух
окружностей радиусов R-)-r и \R—г\, концентрических
с данной. При этом наибольшее возможное число решений
оказывается уже равным четырем, что и соответствует
действительно^ ти.
Надо, впрочем, оговориться, что первая цель анализа —
найти способ решения —играет в школьном курсе при отно-
сительной простоте рассматриваемых там задач главную роль
по сравнению со второй целью анализа.
2)	Построение представляет собой наиболее простую
как по существу дела, так и в методическом отношении часть
решения задачи. Под „построением" в этом смысле слова
понимается перечисление в последовательном порядке всех
тех операций, которые надо выполнить для решения задачи.
В перечень этот могут входить как отдельные элементарные
операции (в смысле §§ 1 и 2), так и те или другие „основ-
ные" построения, уже знакомые учащимся. При этом в от-
дельных случаях необходимо проверять, знает ли учащийся,
как выполняется то или другое из упоминаемых им основных
построений.
Построение как часть решения задачи должно сопрово-
ждаться и фактическим выполнением соответствующего чер-
тежа (на бумаге, на доске) при помощи чертежных инстру-
ментов. Лишь в тех случаях, когда преподаватель уже не сом-
невается в том, что его класс сумеет выполнить чертеж, можно
ограничиваться тем, чем математик в большинстве случаев
довольствуется, решая задачи для себя, то-есть словесным
описанием построений.
3)	Доказательство представляет собой часть решения
задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу.
Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовле-
творяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-
то и таким-то ьутем, то в этой, третьей части решения дока-
зывается обратное Положение. Это обратное положение
в общем виде может быть сформулировано так: ,,если неко-
18
торая фигура получена г.з данных элементов таким-то по-
строением, то оаа действительно удовлетворяет поставлен-
ным условиям".
Так обстоит дело с доказательством с принципиальной
точки зрения. Практически же во многих случаях надобности
в особом доказательстве и нет. В особенности это относится
к простейшим задачам, где условия задачи используются при
построении непосредственно. Напротив, доказательство пра-
вильности построения становится особенно необходимым в тех.
случаях, когда условия задачи не используются прямо в са-
мом построении.
4)	Наконец, четвертой частью изложения решения задачи?
на построение является ее исследование. Ввиду большого
числа относящихся сюда вопросов рассмотрение исследования,
задачи будет сделано отдельно в следующем параграфе.
Остановимся еще на том, как и в каком месте курса гео-'
метрии следует знакомить учащихся с этой общей схемой ре-
шения задач на построение. Здесь возникает два различных:
методических вопроса. Первый из них—это вопрос о том, с ка-
кого времени в преподавании геометрии при решении задач
должны фактически производиться анализ, „построение" (в том-,
смысле, как это здесь понимается), доказательство, исследо-
вание? Второй вопрос, отличный от первого, — это вопрос, ко-
гда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой
решения задачи, скажем, в той, примерно, форме, в какой она.
приведена в стабильном учебнике (§ 69)?
Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым ио-
времени вводимым элементом является „построение" в смысле
перечисления и описания тех или иных операций. Здесь
имеется в виду самое описание процесса употребления
инструмента („прикладываем два острия ножек циркуля к точкам
М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями,
помещаем одно из них в точку 0“ и т. д. или „прикладываем
угольник одним катетом к прямой АВ, затем переме-
щаем его так, чтобы второй его катет проходил через
точку С“ и т. д.). На более высокой ступени отдельные
операции просто называются („описываем из точки О ок-
ружность радиусом MNa или „опускаем из точки С перпен-
дикуляр на прямую АВа). Наконец, последней ступенью можно
было бы считать ту, когда в качестве элементов построения
могут называться и довольно сложные по своему выполнению,
но хорошо известные учащимся задачи („строим треугольник.
2»
19
по гипотенузе и катету", „проводим из точки М касательную
к окружности" и т. п.).
Вторым моментом по времени появления в школьном курсе,
мы бы считали исследование задачи. Первый элемент иссле-
дования появляется, скажем, при решении задачи о построе-
нии треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том,
можно ли выбрать все три стороны произвольно. К этому
должео/, по нашему мнению, сравнигелью скоро прибавиться
знакомство с возможностью существования нескольких реше-
ний одной задачи. Этому моиенту мы придаем весьма боль-
шую принципиальную значимость. Дело в том, что слова
„найти точку"... обозначают в современной математике тре-
бование „найти все точки, которые... (а не просто „какую-
либо точку, которая..."). Аналогично „решить уравнение"
значит" найти все числа, которые удовлетворяют уравнению"
(а не просто „какое-либо число, которое..."). „Построить
Окружность...—это' построить все окружности, кото-
рые..." (а не просто „пос(роить какую-либо окружность, ко-
торая. ..") и т. д. Задачи на геометрические построения
с двумя решениями (или более) — первый случай, когда уча-
щийся встречается с такого рода выражениями в математике,
и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с са-
мого начала, с VI —VII класса. Иначе совершенно неизбежно
возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как „за-
чем при извлечении корня брать оба знака?" Б лее подробно
об исследовании задач мы будем говорить в следующем пара-
графе. Заметим только, что самый термин „исследование"
должен, как нам кажется, появиться много раньше чем, ска-
жем, термин „анализ".
Третьим моментом, появляющимся, примерно, в одно время
с элементами исследования, является доказательство правиль-
ности выполнения построения. Уже такие задачи в VI классе
как построение угла, равного данному, построенче перпенди-
куляров с помощью циркуля и линейки и т. д. ставят на оче-
редь вопрос о том, будет ли построенный угол действитель-
но равен данному, будет ли построенная прямая перпенди-
кулярна к данной? Однако и на этой стадии работы и на
(последующих нет надобности только для соблюдения формаль-
ного однообразия изложения требовать проведения доказатель-
ства в тех задачах, где правильность построения усматривает-
ся непосредственно. Некоторые, даже сравнительно сложные,
задачи на построение, могут, как нам кажется, оставляться
без особого доказательства. Приведем хотя бы такую задачу,
решаемую методом геометрических мест: построить треуголь-
20
дик по основанию, противолежащему углу и медиане, прове*
денной к основанию.
Наконец, последним по времени элементом решения, на
котором фиксируется внимание учащихся, является анализ;
Началом этого вида работы следует считать ооращение к уче-
никам, „придумавшим** i о или иное решение задачи, с вопросом;
„А как ты это' решение нашел?** Лишь посте) енно на, о под-
вести учащихся к мысли о том, чтобы фиксировать свое
внимание на самом процессе отыскания метода решения; этот
прецесс и получает название анализа.
Из сказанного следует, что в деле введения понятий ана-
лиза, 1 сстроен)я, доказательства и исследования следует
соблюдать с одн-й стороны, постепенность, а е другой
стороны,— настойчивость в смысле многократного
систематического обращения к одним и тем же вопросам.
Переходим теперь ко второму вопросу— о 1 веден) и в курс©
геометрии самой схемы деления решения задачи на построе-
ние на четыре части. Несомненно, что изучение этого во-
проса на том месте, на котором он поставлен в стабильном
учебнике, следует считать несвоевременным и не достигаю-
щим цели. Тем не менее, схема решения должна быть сооб-
щена учащимся, но лишь значительно позднее. Мы полагаем,
что в промежуток времени, равный примерно учебному году,
с начала систематического курса геометрии в VI классе до
середины курса VII класса, или даже несколько дольше, долж-
на идти та систематическая, иногда даже незаметная для уча-
щихся работа учителя по ознакомлению учеников с элемента-
ми общей схемы решения, о которой говорилось выше. Лишь
в VII классе учитель на примере специально подобранной
задачи полностью излагает учащимся всю схему решения
Задачу следует, конечно, подобрать так, чтобы она допуска-
ла один наиболее естественный ход решения (при анализе
задачи мысль учащихся должна легко пойти по вполне опре-
деленному пути), чтобы она требовала исследования, и в тс
же время, чтобы это исследование не было слишком слож -
ным. Вместе с тем задача не должна быть слишком простой,
так как в этом случае способ решения может оказаться оче-
видным для учащихся, и тогда анализ задачи покажется им
чем-то исскузтвенным. Наиболее подходящими для этой цели
являются задачи, решаемые методом геометрических мест
(заметим, что метод геометрических мест полезно, по нашему
мнению, применять в школе раньше, чем это предусмот-
рено программой, — см. главу II). После того как схема ре-
шения задачи на построение объяснена учащимся, этой схемы
следует придерживаться при решении всех дальнейших задай
на построение.
Приводим здесь примеры задач на построение различной
степени сложности вместе с полным изложением их решений
по общей схеме.
Задача 1. Построить окружность данного радиуса, про-
ходящую через данную точку А и делящуюся пополам данной
прямой XY.
Анализ. Так как окружность должна прямой XY делиться
пополам, то ее центр О д м же : лежать на этой прямой. Далее
щадиус окружности должен равняться г, а самая окружность
должна проходить через точку А. Отсюда следует, что центр
окружности должен лежать на окружности с центром А и ра-
диусом г.
По строение. Строим окружность радиуса г с центром
в данной точке А. Каждую из точек пересечения этой окруж-
ности с прямой XY принимаем за центр окружности радиуса г.
Эти последние окружности и будут искомыми.
Доказательство. Каждая из построенных окружно-
стей делится прямой XY пополам, так как ее центр лежит на
прямой XY. Каждая из построенных окружностей проходит
через точку А, так как расстояние ее цен:ра от точки А
равно радиусу окружности г.
Исследование. Окружность радиуса г с центром в
точке А может: 1) пересекать прямую XY в двух точках; 2) ка-
саться прямой XY в одной точке; 3) не иметь общих точек с пря-
мой XY. Задача имеет два решения в первом случае, одно
решение — во втором и не имеет решений — в третьем.
Задача 2. Построить треугольник по одной из сторон,
медиане, проведенной к этой стороне, и высоте, опущенной
на одну из двух других сторон. ,
Анализ. Пусть АВС — искомый треугольник (черт. 3), в
котором известны сторона АВ = с, медиана CD — m и высота
АН = h. Не имея возможности построить непосредственно
треугольник АВС, мы можем однако построить прямоуголь-
ный треугольник АВН по гипотенузе А В и катету АН. Третья
вершина С искомого треугольника должна лежать на прямой/?//.
Ее расстояние CD ст точки D — середины стороны АВ —
должно равняться т. Отсюда получается такое построе-
ние.
Построение. Строим прямоугольный треугольник .4ВН
по гипотенузе АВ~ с и катету АН= h (способ построения счи-
_'2
таем известным). Далее делим гипотенузу АВ пополам и из
точки D — середины гипотенузы — описываем как из центра
окружность радиуса т. Точки пересечения этой окружности
с прямой ВН определяют третью вершину С искомого тре-
угольника.
Доказательство. Вытекает из самого построения
и сводится к констатации того, что все требования задачи
выполнены.
Исследование. Построение прямоугольного треуголь-
ника возможно лишь при h<Zc, Однако высота АН треугольника
может совпадать с его
стороной. При этом 7i= с,
и приведенное выше по-
строение требует видоиз-
менения.
Возвратимся к случаю
Й<с. Окружность с цен-
тром D и радиусом т,
которую всегда можно по-
строить, может иметь (а
может и не иметь) общие
точки с прямой ВН. Рас-
стояние точки D от пря-
мой ВН равно средней
линии треугольника АВН, то-есть
l,2h. Таким образом, полу -
чаем три возможности:
1)	т 1/2Л. Окружность не имеет общих точек с прямой ВН,
Задача не имеет решений.
2)	т = 1/.h. Окружность имеет с прямой ВН одну общую
точку. Задача имеет одно решение.
3)	m>42h. Окружность имеет с прямой ВН две общие
точки. Однако такая общая точка может и не давать треуголь-
ника; это будет, если эта общая точка сопадает с В. По-
этому задача имеет два решения при	и одно решение
при т — 1lic. На черт. 3 показан случай, когда имеются два
решения — треугольники АВС и АВС.
Наконец, надо еще вернуться к слу 1аю, когда h=c При
этом точки В и Н совпадают, и построение видоизменяется.
Вместо построения, треугольника АВН строим отрез, к АВ — с
и в точке В перпендикулярную к нему прямую. Затем из
точки D — середины АВ — описываем окружность радиусом tn.
Задача не имеет решений при	При	получаем
две точки пересечения, но только одно решение, так как оба
получающиеся треугольника равны между собой.
23
Задача 3. Построить окружность данного радиуса г,
проходящую через данную точку А и отсекающую на данной
прямой XY хорду, равную данному отрезку /.
Анализ. Так как радиус искомой окружности известен, то
достаточно определить । оложение ее центра. По условию
окружность должна проходить через точку А. Следовательно,
ее центр должен быть удален от точки А на расстояние л
Таким образом центр О искомой окружности должен лежать
на окружности радиуса г с центром в точке А (черт. 4).
Далее требуется, чтобы хорда, отсекаемая искомой окруж-
ностью на прямой XY, равнялась I. Как известно, длина
хорды окружности данного радиуса зависит от расстояния
эюй хорды от центра. На каком же расстоянии от центра
круга радиуса г проходит хорда, равная /? (Припомним что
в одной окружности или в равных окружностях радиуса г
все хорды, равные I, равноудалены от центра.) Чтобы от-
ветить на этот вопрос, строим какую-либо окружность ради-
уса г и в ней какую-либо хорду, равную I (черт. 5). Опустив
из центра этой окружности на хорду перпендикуляр, получим
расстояние k хорды от центра. Итак, расстояние центра
искомой окружности от прямой XY должно равняться k.
Но геометрическое место точек, отстоящих от' прямой XY
на расстоянии k, есть пара прямых X'Y и X"Y", параллель-
ных этой прямой.
По строение. Строим произвольную окружность радиуса
г (черт. 5); из произвольной точки М этой окружности делаем
засечку радиусом /, чтобы получить хорду MN, равную I.
24
На эту хорду опускаем из центра С окружности перпендику-
ляр и обозначаем его через к.
Проводим прямые X'Y' и X"Y” параллельные XY и от-
стоящие от нее на расстоянии к (черт. 4).
Строим окружность радиуса г с центром А. Точки пере-
сечения этой окружности с прямыми X'Y' и X"Y" и будут
центрами искомых окружностей. Описываем из каждой иг
этих точек окружность радиуса г.
Доказательств j. 1 встроенная окружность имеет ра-
диус г и проходит через точку А, так как расстояние ее центра О
от точки А равно г по построе-
нию. Далее, если построенная
окружность пересекает прямую
XY в точках К и £, то хор-
да KL — 1, так как в равных
окружностях с центрами С и О
хорды MN и KLt равноудален-
ные от центров, равны, а хорда
MN = I i.o построению. Дока-
зательство применимо к каждой
из построенных окружностей.
(Здесь мог бы еще возник-
нуть вопрос, пересекает ли во-
обще построенная окружность
прямую XY или нет? Утверди-
тельный ответ на этот вопрос следует из того, что расстоя -
ние k точки О от прямой XY меньше г.)
Исследование. Построение окружности с центром в про-
извольной точке С и радиусом г всегда возможно. Точно так
же возможно и построение окружности радиуса I с центром
в произвольной точке М этой окружности. Однако, так как
хорда окружности не может быть больше диаметра, то вторая
точка пересечения W существует только при /<2г. Итак
задача имеет решение только при условии, что /<2г.
Если это последнее условие выполнено, то все дальнейшие
этапы построения всегда выполнимы вплоть до нахождения
точек пересечения прямых X' Y' и X" Y" с окружностью ра-
диуса г, имеющей своим центром точку А. Эта последняя
окружнэсть может занимать по отношению к прямым X' Y'
и X"Y” различное положение.
1)	Окружность может не иметь с этими прямыми ни одной
общей точки. Задача не имеет решений.
2)	Окэужность может касаться одной из этих прямых и не
иметь ни одной общей точки и другой. Задача имеет одно решение
3)	Окружность может пересекать одну из этих прямых в
двух точках и не иметь общих точек с другой прямой. Зада-
ча имеет два решения (черт. 4).
4)	Окружность может пересекать одну из этих прямых в двух
точках и касаться другой прямой. Задача имеет три решения.
5)	Окружность может пересекать каждую из этих прямых
в двух точках. Задача имеет четыре решения.
Итак, чтобы задача имела решения, должно соблюдаться
условие I < 2г,: если это условие соблюдено, то задача все же
может не иметь решений, или иметь от одного до четырех
решений в зависимости от расположения точки А по отно-
шению к прямой XY.
Из самого хода построения видно, что решение задачи упро-
щается, если 1 = 2г. При этом хорда MN проходит через центр
С вспомогательной окружности, отпадает надобность во мно-
гих из перечисленных выше построениях и т. д. (Мы не
останавливаемся подробно на этом частном случае, так как
мы приходим по существу дела к разобранной выше задаче!.)
§ 6. Исследование задачи на построение.
Как известно, в состав исследования должны входить от-
веты на вопросы о том, при всяком ли выборе данных зада-
ча имеет решения,— а если не при всяком, то при каком вы-
боре данных задача имеет решения и при каком не имеет;
далее имеется в виду ответ на вопрос о том, при каких ус-
ловиях задача имеет то или другое число различных решений.
Наконец, при исследовании ьозникают иногда и некоторые
добавочные вопросы, о которых речь пойдет ниже.
Остановимся прежде всего на некоторых терминах, упо-
требляющихся в преподавании геометрии. Так задачу, не имею-
щую решений, обычно называют „невозможной" (говоря, что
при таких-то и таких-то условиях задача невозможна). Мы бы
считали, что выражение „не имеет решений" следует предпо-
честь менее яркому термину „задача невозможна". Первое
выражение лучше выяс1яет суть дела; в самом деле, поста-
новка задачи возможна при любых данных. Кроме того, не-
возможность задачи в смысле отсутствия у нее решений
при некотором выборе данных может иногда смешиваться с
невозможностью решения задачи с помощью данных инстру-
ментов. Читатель вероятно заметил, что в изложении тех
примеров, которые были приведены в § 5, мы ни разу не
употребляли выражения „задача невозможна". Эго было сде-
лано преднамеренно.
26
Обратим еще внимание на понятие „различных" решений.
Дело в том, что в зависимости от характера задачи термин
„различный1* имеет здесь неодинаковое содержание.
В одной группе задач требуется определить положение
искомой точки, прямой, окружности и т. д. на плоскости.
В задачах этого типа две фигуры, отличающиеся своим поло-
жением на плоскости, должны считаться различными, хотя бы
фигуры и были равными. Примерами могут служить хотя бы
задачи 1 и 3 из § 5.
В других задачах требуется определить только форму и
размеры искомой фигуры; положение последней на плоскости
роли не играет. В этом случае все равные фигуры, отличаю <
щиеся только своим положением на плоскости, образуют
одно* решение. Примером может служить хотя бы задача
2 из § 5. Другой пример такого рода представ хяет следую-
щая задача: построить треугольник по одной из сторон, про-
тиволежащему углу и высоте, опущенной на данную сторону.
Выбрав произвольно отрезок, равный данной стороне, мы
строим два геометрических места. Одно из них состоит из
двух дуг (геометрическое место точек, из которых данный от-
резок виден под данным углом), другое — из двух параллель-
ных прямых (геометрическое место точек, расстояние которых
от данной прямой равно данной высоте). Эти два геометри-
ческих места могут пересекаться в четырех точках. Однако
мы говорим, что задача имеет самое большее одно решение,
так как все получающиеся при решении треугольники между
собой равны.
При решении задач с учащимися необходимо, не входя,
конечно, ни в какие рассуждения, предлагать им задачи того
и другого типа и на каждая отдельной задаче пояснять смысл
указания числа решений. Так, наряду с построением треуголь-
ника по трем сторонам (самое большее — одно решение), сле-
дует рассмотреть и задачу: найти точку, находящуюся от
точки А на расстоянии а, а от точки В на расстоянии Ь
(самое большее — два решения), и т. д.
Переходим теперь к одному из самых существенных в ме-
тодическом отношении вопросов исследования задачи на по-
строение. Как установить и перечислить все те случаи, кото-
рые имеют существенное значение для решения данной зада-
чи? Известно, что очень часто решающие ту или иную за-
дачу, особенно на первых порах, пытаются исследовать
ее, исходя из вопроса; „А что будет, если . . приду-
мывая те или иные „если" более или менее произв >льно
Мы полагаем, что необходимо приучать учащихся вести ис-
27
следование по самому ходу построения. Желая иссле-
довать задачу, надо в последовательном порядке перебрать
еще раз те операции, из которых слагается построение, и для
каждой из этих операций определить, всегда ли она возможна,
какое число точек, отрезков и т. д. эта операция может да-
вать. Таким путем удается сравнительно легко научиться ис-
следованию задачи. Относительно большою принципиального
значения, которое имеет указание всех (а не только некото-
рых) решений, д «пускаемых задачей, мы уже говорили в пре-
дыдущем параграф1.
Здесь уместно еще остановиться на той форме, в которой
выражаются условия, при которых задача не имеют реш ний,
или имеет то или иное число решений. В простейшем случае
дело сводится к указанию на наличие и, далее, на число общих
точек, скажем, у прямой и окружности. В такой форме мы
дали условия возможности, например, в задаче 3, § 5. В других
случаях условия существования того или иного числа решений
могут быть даны в виде неравенств (или равенств), связываю-
щих данные элементы (или данные вспомогательные элементы)»
В этой последней форме условия были даны при исследова-
нии задачи 2 в § 5. Мы считаем, что в школьной практике
достаточно устанавливать те или иные условия в той более
простой формулировке, какую мы выбрали для задачи 3 в § 5,
Однако для самого преподавателя было бы полезным выра-
жать условия и в форме тех или иных неравенств. При этом
часто пришлось бы опираться и на сведения из таких разделов
геометрии, которые и не требуются для самого решения. Так,
при исследовании той же задачи 3 из § 5 можно было бы
поставить такое требование: выразить условия, при которых
задача имеет 0,1,2,3 или 4 решения с помощью неравенств,
связывающих радиус окружности г, длину хорды I и расстоя-
ние d точки А от прямой ХУ. При такой постановке вопроса
об исследовании задачи потребовалась бы теорема Пифагора,
чтобы выразить отрезок к через г и I.
Наконец, в некоторых случаях результат исследования
может быть выражен в виде ссылки на некоторую другую
задачу на построение, решение и исследование которой хорошо
известно. В качестве примера приведем такую очень простую
задачу: построить треугольник по основанию а, боковой
стороне b и медиане тп, проведенной к основанию. Результат
исследования можно выразить в такой форме: задача имеет
одно решение, если можно построить треугольник со сторо-
нами 1/2а, и т- Аналогичные формулировки используются
и во многих других задачах, в том числе и достаточно сложных.
28
Мы рассмотрели те основные вопросы, которые включа-
ются в исследовании всякой задачи на построение. Однако
при решении некоторых задач в исследовании приходится
обращать внимание и на другие, более частные обстоятельства.
Так может случиться, что при реше ши задачи в некоторых
частных случаях требуется видоизменить, иногда довольно
существенным образом, указанный для общего случая путь
решения; иногда решение задачи становится более простым
при тех или иных предположениях относительно данных. Все
такие случаи и оговариваются при исследовании.
Примером опять может служить задача 2 из § 5. В случае
h—c построение видоизменяется, и нам пришлось особо рас-
смотреть этот случай 1 ри исследовании. При исследовании
задачи 3 в том же параграфе мы отметили частный случай,
когда хорда равна диаметру; построение было при этом более
простым, чем в сб^ем случае. Наконец, хорошим примером
может служить задача построения окружности, проходящей
через две точки и к сающейся данной прямой. При исследо-
вании надо было бы оговорить особо два частных случая:
когда одна из данных точек лежит на данной прямой и когда
прямая, соединяющая две данные точки, параллельна данной
прямой.
В заключение обратимся еще к о тому методическому
приему, который целесообразно практиковать в тех случаях,
когда задача представляется подходящей и ценной по своему
содержанию, но может затруднить громоздкостью своего иссле-
дования. В таких случаях целесообразно внести ограничения
в самую формулировку задачи, решая задачу в тех или иных
более узких пред юложениях. Иногда п. и этом задача распа-
дается на несколько отдельных задач. Так, в задаче 2, рас-
смотренной в § 5, можно было выделить специально (более
простую) задачу: „пост оить прямоугольный треугольник по
катету и медиане, проведенной к этому катету", а общую
задачу сформулировать так: „п строить косоугольный треу-
гольник по одной из сторон, медиане, проведенной к этой
стороне, и высоте, опущенной на эту сторону". Если, скажем,
исследование затруднено в случае, когда данный угол — тупой,
то можно внести в задачу условие, что дан острый угол.
В дальнейшем изложении мы еще встретимся с примерами
такого рода ограничений. Здесь, конечно, нельзя установить
какого-либо общего правила. Дело преподавателя > айти в каж-
дом случае должную степень общности формулировки, помня,
что более узкие формулировки облегчают работу по решению
задачи, но в то же время могут снижать образовательную
29
ценность данной задачи, ограничивая работу мысли учащегося,
делая решение более шаблонным.
§ 7. О различных методах решения задачи на построение.
Как изв'стно, для решения геометрических задач на построе-
ние рекомендуется ряд различных методов. Разбор этих мето-
дов и случаев их применения в сколько-нибудь систематической
форме не входит в рамки настоящей работы. Тем из этих мето-
дов, которые имеют существенное значение в школьной работе,
мы посвящаем далее специальные разделы. Здесь же мы огра-
ничиваемся лишь несколькими замечаниями общего харак-
тера.
Первое замечание относится к оценке значения этих методов.
Мы полагаем, что их значение не следует переоценивать. По
самому существу дела это, собственно говоря, скорее не ме-
тоды, а только приемы, облегчающие отыскание решения
задачи. При решении задач в школе внимание должно быть
направлено не столько на изучение этих отдельных приемов,
сколько на развитие инициативы учащихся, привитие им вкуса
и навыков к решению конструктивных задач. Мы бы сделали
исключение лишь для метода геометрическох мест и отчасти
для метода подобия.
В связи с этим необходимо обратить внимание на такие за-
дачи, которые вообще не относятся к какому-либо определен-
ному методу. Сюда относится целый ряд задач на построение
треугольников, четырехугольников,’ на построение отрезков,
заданных той или иной формулой, и т. д. Все эти задачи
решаются просто путем комбинации тех основных построений,
которые были перечислены в§ 4. Неслучайно то обстоятель-
ство, что в книгах, посвященных обзору методов геометри-
ческих построений, всегда приходится выделять разделы „задач,
разрешаемых непосредственно", „простейших задач" и т. п.
Второе замечание мы хотели бы сделать по вопросу о при-
менении этих методов к отдельным задачам. Было бы непра-
вильно думать, что методы построений могут служить основой
для классификации самих задач. Существенным, а не случай-
ным следует признавать то обстоятельство, что целый ряд
задач на построение может одинаково успешно разрешаться
весьма различными методами. Мы ограничимся в этом отно-
шении двумя хотя и не оригинальными, но весьма мало изве-
стными примерами.
Задача 1. Построить окружность, проходящую через две
данные точки и касающуюся данной прямой.
30
Обычное решение этой задачи с помощью построения сред-
ней пропорциональной можно считать общеизвестным. Мы при-
водим п.этому только одйо решение этой,задачи, основанное
на понятиях симметрии и геометрического места точек.
Пусть А и В— данные точки, MN — данная прямая, С —
точка пересечения прямых АВ и MN, Р u Q — точки касания
искомых окружностей прямой MN, А' — точка, симметричная
с точкой А относительно 7WV (черт. 6). Каждый из углов
QBC и AQC измеряется половиной дуги AQ; следователы:оЕ
эти два угла равны. Рассматривая теперь внешний угол ВСР
треугольника BCQ, будем иметь: / ВСР = /_ BQC-\- / QBC —
/ BQC-\- / AQC—2 BQC -J- j/CQA' = / BQA'. Аналогично.
найдем:/_ЙСР = / ЬРА'. Итак, отрезок А'В виден из точки,
Q под углом, равным углу BCN, а из точки Р — под углом,
равным углу ВСЛ1,
Отсюда вытекает такое построение. Строим точку А', сим-
метричную с А относительно прямой MN. Далее строим окруж-
ность A'BPQ,№ точек которой отрезок А'В виден под углами,
равными углу ВСМ или BCN (построение дуги, опирающейся
на данный отрезок и вмещающий данный угол). Точки пересе-
чения этой окружности с прямой Л1М и будут искомыми точками
касания.
Задача 2. Построить окружность) касающуюся двух
данных прямых и проходящую через данную точку.
Решение этой задачи с помощью метода подобия хорсшо
известно. Приводим поэтому только одно решение этой задачи,
отличное от обычного и основанное на понятиях симметрии и
геометрического места точек.
Пусть А Ви А С—данные прямые, М— данная точка (черт. 7).
Так как центр искомой окружности лежит на биссектрисе АО
угла ВАС, т> эта окружность проходит через точку М, сим-
метричную с Мотносительно этой биссектрисы. Таким образом
задача сводится к только-что решенной задаче 1: достаточно
яровести окружность через точки М и М' так, чтобы она
касалась прямой АВ.
Само собой разумеется, что мы привели здесь эти два ре-
шения общеизвестных задач отнюдь не для замены ими обыч-
ных решений. Для такой замены нет решительно никаких осно-
ваний. Мы только хотели по-
казать, насколько различны
могут быть приемы решения
одних и тех же задач. С этой
точки зрения интересно за-
метить, что в приведенных
только-что решениях вовсе
не фигурируют про юрцио-
нальнос!ь и подобие.
Мя остан вились на этом
вопросе потому, что в прак-
тике работы учителя воз-
можны случаи, когда учени-
ки, хотя бы отдельные, пой-
дут не по тому пути, кото-
рый предусматривал сам
преподаватель. Особенно легко это может случиться при
выполнении домашних за дани Ч Ко всем таким решениям (кнк
и вообще ко всем аналогичным случаям) учитель обязан отне-
стись с бохьшим вниманием, отнюдь не подавляя инициативы
ученика и не втискивая работы по решению задач в рамки
определенного „ме i ода“ Конечно, если это требуется, учитель
обязан остановиться на недостатках предлагаемых решений
(например, на большей сложности построения).
~ § 8. Замечание относительно разрешимости и неразре-
шимости задач с помощью циркуля и линейки.
Как известно, далеко не все задачи на построение, форму-
лируемые в терминах элементарной геометрии, разрешимы
с помощгю циркуля и линейки. Известно также, что установ-
ленле неразрешимости той или иной задачи с помощью цир-
куля и линейки представляет собой достаточно трудную ра-
боту, требующую привлечения сравнительно тонких методов
32
высшей алгебры. Между тем преподаватель может иногда
оказаться в затруднительном положении в тех случаях, когда
учащиеся «приносят" в класс извне ту или иную новую для
преподавателя задачу. Так после решения задачи о построе-
нии треугольника по трем высотам (задача вместе с указанием
на ход решения имеется в стабильном учебнике) в умах уча-
щихся может возникнуть мысль и о двух других аналогич-
ных задачах для медиан и биссектрис. Задача построения
треугольника по трем медианам решается сравнительно просто,
если использовать тог факт, чго медианы делятся в точке
пересечения в отношении 2: 1. Однако задача построения
треугольника по трем биссектрисам неразрешима с помощью
циркуля и линейки.
При таком положении вещей известную ценность для пре-
подавателя представляли бы работы справочного характера,
в которых указывалась бы разрешимость или неразрешимость
отдетьных задач. Одной из немногих работ такого рода, изве-
стных автору, является статья Фурсенко, приведенная в спис-
ке литературы в конце настоящей работы. Здесь рассматри-
ваются в извест-юй последовательности задачи на построение
треугольника по тем или иным элементам, выделяются задачи
неразрешимые и указывается вкратце на ход решения осталь-
ных-
Воспользуемся случаем, чтобы отметить некоторые оши-
бочные утверждения в этой работе относительно неразреши-
мости отдельных задач. Задачи, приводимые Фурсенко в ка-
честве неразрешимых под №№ 236, 237, 238, 239 и № 303,
в действительности являются разрешимыми; их разрешимость
бэ!ла, в частности, отмечена Корсельтом еще в 1899—1900 го-
дах1 . Конечно, задачи эти носят слишком частный характер,
а их решения достаточно сложны, чтобы здесь можно было их
рассмотреть.
Кроме задач на построение треугольников, остановимся
еще на разрешимости с помощью циркуля и линейки задач
на построение, в которых искомой фигурой является окруж-
ность. Отметим здесь, что разрешимыми являются все задачи,
в которых требуется построить окружность по трем условиям,
принадлежащим к следующим типам: окружность должна про-
ходить через данную точку, должна иметь данный радиус,
должна касаться данной прямой или данной окружности или
1 К о г s е 11 A., Uber die trigonometrische Lssung merkwtirdiger Dreiecks-
aufgaben, Arch, der Math. u. Physik (2), Bd. 17, 1899—1900, S. 275-317. Cm.
в частности задачи, приведенные там под № 56Ь, 57с, 57d, 57е, 22с.
3 Заказ 1744
33
пересекать их под данным углом, должна делить данную
окружность пополам. Напротив, можно было бы указать и ряд
задач на построение окружностей, неразрешимых с помощью
циркуля и линейки. К числу этих последних относятся, в част-
ности, многие задачи, в которых в число условии входят тре-
бования такого типа: центр искомой окружности должен ле-
жать на данной окружности; искомая окружность должна де-
литься данной окружностью пополам.
Глава II. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА
§ 1. Понятие геометрического места точек.
Понятие геометрического места точек, несомненно, имеет
большое методическое значение. Оно играет роль не только
в таких вопросах как геометрические задачи на построение.
Не меньшее значение имеет оно, скажем, в курсе аналитичес-
кой геометрии (уже в высшей школе), где применение этого
понятия позволяет простым и доступным способом полу-
чить первое и наглядное представление о различных кри-
вых.
При всем том понятие геометрического места точек стра-
дает с чисто логической точки зрения некоторой неопределен-
ностью. В самом деле, геометрическое место точек опреде-
ляется обычно так:
Геометрическим местом точек называется
совокупность всех точек, обладающих некото-
рым свойством, и только этих точек.
Или несколько иначе:
Геометрическим местом точек называется
фигура, состоящая из всех точек, обладающих
некоторым свойством, и только из этих точек.
Вторая из этих формулировок обладает лишь тем преиму-
ществом, что заменяет понятие „совокупности", достаточно
трудное для учащихся данного возраста, более наглядным
понятием „фигуры". В учебной литературе можно встретить
и другие формулировки определения понятия геометрического
места точек, направленные на облегчение создания у учаще-
гося правильных представлений. Все эти различия не затра-
гивают существа дела. Суть же всегда остается в том, что
к геометрическому месту должны принадлежать все точки»
обладающие тем или другим свойством, и только эти точки.
Читатель, несомненно знакомый с общим понятием множества»
заметит, что понятие геометрического места то-
чек по своему содержанию не отличается от
понятия множества точек: приводимые определения
3*
35
геометрического места точек представляют собой не более
как пересказ в той или иной форме обычного описания того,
что называется множеством.
Однако, несомненно, что понятие геометрического места
точек, как оно обычно употребляется, уже общего понятия
множества. Вряд ли кто-либо применит термин „геометричес-
кое место" в таком, скажем, выражении: „Геометрическое ме-
<сто точек плоскости, имеющих рациональные координаты".
.Дело в том, что мы практически употребляем термин „гео-
метрическое место точек" лишь на такой стадии обучения,
когда введение и использование более абстрактного понятия
множества было бы еще преждевременным. Поэтому бы \о бы,
яа наш взгляд, бесполезной затеей пытаться создать некую
формально-логическую границу между теми случаями, когда
к множеству точек применяется понятие геометрического
места точе<, и когда — нет. Вопрос этот решается просто
традицией. В этом и состоит некоторая неопределенность
понятия геометрического места, о которой мы сказали выше.
Чтобы быть правильно понятыми, мы подчеркнем, что эта
особенность понятия геометрического места не снижает его
образовательной ценности. Эту образовательную ценность
следует, пожалуй, видеть в том, что в наглядной форме учащийся
впервые сталкивается здесь с общим понятием множества.
Наглядность и образность выражения „геометрическое место"
мы видим прежде всего в том, что оно дает ответ на вопрос,
где „помещаются" те или иные точки.
Отметим теперь несколько моментов, имеющих существен-
ное значение при самом введении понятия геометрического
места.
Прежде всего мы считаем важным создать у уча-
щихся правихьное представление о разнообразии типов тех
множеств точек, которые подпадают под понятие геометри-
ческого места. Геометрическое место может быть линией,
состоять из нескольких линий, представлять собою часть
линии (отрезок, дугу) или состоять из нескольких таких час-
тей и т. д. Конечно, никакие словесные разъяснения общего
характера здесь неуместны Вопрос должен быть доведен до
сознания учащихся разбором подходящих примеров. Приводим
здесь несколько примеров такого рода:
1)	Геометрическое место точек, одинаково удаленных от
.данной точки (окружность — линия).
2)	Геометрическое место вершин С прямоугольных тре-
угольников, у которых вершина прямого угла находится
is точке А, вершина острого угла — в точке В (прямая линия).
36
3)	Геометрическое место вершин С прямоугольных трех-
угольников, с общим катетом АВ (пара прямых линий).
4)	Геометрическое место вершин С треугольников с общим?
основанием АВ, у которых угол при вершине А имеет данную»
величину (пара лучей, выходящих из точки А)-
5)	Геометрическое место вершин С равносторонних тре-
угольников, у которых вершиной А служит данная точка,,
а вершина В лежит на данной прямой АХ, выходящей из»
точки А (пара прямых, проходящих через точку А).
Значение этой идеи о том, что геометрическое место точек
может состоять, скажем, из нескольких частей различных линий,
достаточно велико. Не преувеличивая можно сказать, что мы
имеем здесь дело в элементарной форме с тем же ходом мысли,
который заставляет нас на более высокой ступени говорить
о различии между функцией и формулой, рассматривать функ-
ции, определяемые при различных значениях аргумента раз-
личными формулами, отличать понятие графика функции от
понятия кривой и т. д. Вопросами, сюда относящимися,
нельзя пренебрегать и в дальнейшем изложении курса.
С этой точки зрения представляют интерес, например, такие
геометрические места: геометрическое место середин хорд
данной окружности, параллельных данной прямой (отрезок);-
геометрическое место центров окружностей данного радиуса?
отсекающих от двух данных прямых равные хорды (два от-
резка, имеющих общую середину и пересекающихся под пря-
мым углом). Существенно подчеркнуть в надлежащем месте
курса, что геометрическое место точек, из которых данный
отрезок виден под данным углом состоит из двух дуг, при-
надлежащих, вообще говоря, различным окружностям. И т.д..
Заметим еще в связи с этим, что термин „геометрическое
место" иногда применяется и в тех случаях, когда рассматри-
ваемое множество точек двумерно, то есть заполняет некото-
рую часть плоскости. Так, можно говорить о „геометрическом
месте точек, расстояние которых от данной точки меньше дан-
ного отрезка" (внутренность окружности), о „геометрическом
месте точек, из которых к данной окружности можно прове-
сти две касательные" (область, внешняя по отношению к ок-
ружности).
Те же примеры 1—5, которые были приведены выше, могут
принести пользу и в другом отношении. Необходимо, чтобы
учащийся уже при первом знакомстве с понятием геометри-
ческого места, получил достаточное ч и с л о геометрических
мест, хотя бы и тривиальных. Мы должны избегать такого
положения вещей, когда в сознании учащегося возникают слиш-
37
ком односторонние ассоциации, вроде следующей: „Геомет-
рическое место? Знаю! Это —перпендикуляр в середине от-
резка!"
Следующий важный в методическом отношении момент
связи со словами „все точки и только эти точки". Несо-
мненно, что эта сторона определения представляет трудность
дхя учащихся. По существу дело здесь заключается в том,
что утверждение „фигура /' есть геометрическое место точек,
обладающих таким-то свойством" обозначает два утвержде-
ния: 1) „если некоторая точка обладает этим свойством, то
она принадлежит фигуре F" ; 2) „если некоторая точка при-
надлежит фигуре F, то она обладает этим свойством". В неко-
торых случаях самому введению понятия геометрического ме-
ста предшествуют две теоремы соответствующего содержа-
ния. Так, например, можно указать на известные теоремы
о перпендикуляре, восставленном в середине отрезка: на
этих теоремах и основывается наше заключение о геометри-
ческом месте точек, равноудаленных от двух данных.
Однако такого рода парами теорем (кстати сказать, весьма
немногочисленными) не ограничивается та работа, которая долж-
на быть, по нашему мнению, проделана в этом отношении.
Ошибки такого типа, когда в состав геометрического места
включаются лишние точки, или, наоборот, указывается лишь
часть геометрического места, встречаются в ответах учеников
нередко. Погрешности такого рода должны устраняться не
простой заменой плохой формулировки хорошей, а обяза-
тельной постановкой вопроса, скажем, такого типа: „Все ли
точки ты указал?" или: „Не назвал ли ты здесь лишних то-
чек?" и т. д. Аналогичные вопросы могут, конечно, ставиться
и при правильных ответах.
Рассмотрим теперь несколько примеров ошибок рассматри-
ваемого типа. При разборе примера 3, приведенного выше,
возможен ошибочный ответ: „геометрическим местом будет
прямая линия";при разборе примера 4 возможны неправиль-
ные указания на „две прямые" (в состав геометрического
места включены лишние точки); вместо „двух лучей" на „луч,
составляющий с—AF данный угол", .и т. д. Весьма распростра-
ненной ошибкой этого типа являются формулировки: „геомет-
рическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть
прямая линия" (вместо „пара прямых линий"); „геометриче-
ское место точек, из которых данный отрезок виден под дан-
ным углом, есть дуга окружности".
Несомненно, что перечисленные только что ошибки весьма
тривиальны. Одчако здесь возможны и более глубоко скры-
3S
тые ошибки. Пусть требуется найти геометрическое место
середин тех хорд, которые данная окружность отсекает на
прямых линиях, проходящих через данную точку А. Основы-
ваясь на том, что радиус, делящий хорду пополам, перпенди-
кулярен к хорде, легко при недостаточном внимании сделать
вывод, что искомым геометрическим местом будет окружность,
диаметром которой служит отрезок, соединяющий точку А
с центром О данной окружности. Однако это заключение
будет верным только при условии, что точка А лежит внутри
окружности; если точка Л лежит вне окружности, то геомет-
рическим местом будет не вс я окружность с диаметром АО,
а только дуга этой окружности, лежащая внутри данной
окружности.
Отметим в заключение, что требование, чтобы геометри-
ческое место включало „все точки и только эти точки"
не только может служить источником затруднений и ошибок,
но может вызывать недоумения и более тонкого порядка.
Поясним их опять-таки примером. Пусть требуется найти гео-
метрическое место вершин С треугольников с общим основа-
нием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию, равна
данному отрезку. Ответ очень прост: „ искомое геометриче-
ское место есть окружность с центром в середине отрезка
АВ и радиусом, равным данному отрезку". Здесь возникает
однако следующий вопрос: а как же быть с точками пересе-
чения' этой окружности с прямой АВ? (Число аналогичных
примеров можно было бы значительно увеличить.)
Могло бы показаться весьма заманчивым рассматривать
тот случай, когда конец медианы попадает на прямую АВ,
как предельный по отношению к общему случай. Однако
мы полагаем, что в школьном преподавании такого интуитив-
ного использования понятия предельного перехода в VI - VII
классах следует всячески избегать: для школьника в его пред-
ставлении три точки, лежащие на одной прямой, — это не
треугольник. И нет надобности приводить его к мысли
о том, что это предельный случай треугольника. Такого
рода обобщения должны приходить, по нашему мнению, зна-
чительно позднее, и вот по каким соображениям. Известно, что
создание правильных представлений, скажем, о пересекаю-
щихся окружностях в отличие от касающихся окруж-
ностей или о плоскости, проходящей через пря-
мую, в отличие от плоскост и, пересекающей прямую,
даже в более зрелом возрасте требует значительного внима-
ния. Иногда ошибки в этом отношении наблюдаются и у окон-
чивших среднюю школу.
39
Возвращаясь к приведенному примеру, мы считали бы более
правильным говорить о том, что „геометрическое место вер-
шин С треугольников с общим основанием, у которых медиана
равна данному отрезку, есть окружность, имеющая своим цент-
ром-..., за исключением точек пересечения этой
окружности с прямой АВ“, чем рассматривать на данной
стадии обучения те или другие предельные случаи.
§ 2.	Основные геометрические места в курсе
VI—VII классов.
Одно из первых применений понятие геометрического места
находит в геометрических построениях. При решении даже
сравнительно несложных задач на построение- приходится
использовать сравнительно большое чи^ло раз хинного рода гео-
метрических мест. В связи с этим естественно возникает во-
прос о перечне тех геометрических мест, которых следовало
бы считать обязательным (или, по крайней мере, желательным)
в школьном курсе.
При внимательном рассмотрении встречающихся в школьном
курсе геометрических мест можно убедиться, что почти все
они так или иначе, в большинстве случаев, достаточно-
просто, сводятся к одному из следующих.
I.	Геометрическое место точек, одинаково удаленных
от данной точки (окружность).
II.	Геометрическое место точек, одинаково удаленных
от данной прямой (пара параллельных прямых).
III.	Геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных точек (перпендикуляр, восставленный в середине
отрезка).
IV.	Геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных а) пересекающихся, б) параллельных прямых (пара
перпендикулярных прямых в первом случае, прямая линия —
во втором).
V.	Геометрическое место точек, из которых данный от-
резок виден под данным углом (две дуги, имеющие своими
концами концы данного отрезка, — в общем случае; окруж-
ность, построенная на данном отрезке, как на диаметре, в ча-
стном случае).
Эти геометрические места естественно считать основны-
ми в школьном курсе планиметрии.
Мы полагаем, что в результате изучения планиметрии в VI —
VII классах учащиеся должны твердо усвоить эти геометри-
ческие места.
40
Остановимся на каждом из этих геометрических мест в от-
дельности и рассмотрим вопрос о том, как и в какой связи
каждое из них должно быть введено в курс геометрии.
I.	С понятием окружности учащийся знакомится ранее, чем
с понятием геометрического места точек. Поэтому геометри-
ческое место I обычно используется в качестве одного из первых
примеров при самом знакомстве с понятием геометрического
места точек.
II.	Геометрическое место точек, одинаково удаленных от'
данной прямой, вполне естественно рассмотреть после изуче-
ния свойств прямоугольника.
III.	В основе рассмотрения геометрического места точек,
равноудаленных от двух данных, лежат две хорошо известные
теоремы — прямая и обратная — о перпендикуляре, восставлен-
ном в середине отрезка. Само рассмотрение этих двух тео-
рем обычно и служит в курсе элементарной геометрии поводом
для введения понятия о геометрическом месте вообще.
Следует только помнить, что введение
необходимо связывать с несколькими
из них, весьма важным и ценным, и
является геометрическое место III.
IV.	Это геометрическое место охва-
тывает в том виде, как оно сформули-
ровано выше, два отдельных геометри-
ческих места.
(а)	Геометрическое место точек,
равноудаленных от двух данных пере-
секающихся прямых.
Здесь мы считаем совершенно необходимым отступить от-
установившихся традиций (и в частности, от изложения н ста-
бильном учебнике).
Дело в том, что обычно рассматривается:
{а') геометрическое место точек, равноудаленных от сто-
рон данного угла,
мы же предлагаем рассматривать вместо этого геометри-
ческое место (а). Какие мотивы заставляют нас расширить
традиционную формулировку (а'), заменяя ее более общей
формулировкой (а)? Можно было бы указать на несколько
относящихся сюда моментов: 1) формулировка (а'} основывает-
ся неявно на понятии о „расстоянии точки от стороны угла".
Между тем остается невыясненным, что следовало бы пони-
мать на черт. 8 под расстоянием от точки Р до стороны
АВ угла ВАС, или что понимать под расстоянием точки Q
до сторон АВ и АС угла ВАС? Попытка внести полную яс-
последнего понятия
примерами. Одним
с'. Г
\
Черт. 8
41
ность в этот вопрос значительно усложнила бы изложение.
Попытка улучшить положение рассмотрением только точек,
лежащих внутри угла1, решает дело только В случае острого
угла, так как в этом случае для всякой точки, лежащей внутри
угла можно непосредственно говорить об ее расстояниях от
обеих сторон. В случае тупого угла, как было показано выше,
затруднение остается и при условии, что рассматриваются
только внутренние точки. В противоположность этому, форму-
лировка (а) опирается на вполне четкое понятие расстояния
от точки до прямой; 2) формулировка (а) представляется более
естественной при рассмотрении задач на построение и предо-
храняет от ошибок при решении более сложных задач этого
рода. Так, более естественным становится рассмотрение
вневписанных окружностей. Наконец, 3) формулировка (а) по-
зволяет нам привлечь внимание учащегося к конфигурации,
состоящей из двух пересекающихся прямых и биссектрис углов;,
образованных этими прямыми.
Что же касается до вывода геометрического места точек,
равноудаленных от двух пересекающихся прямых, то он ни-
чем не отличается по существу от обычного вывода геомет-
рического места (а'). Надо только предварительно показать,
что биссектрисы смежных углов перпендикулярны, затем,, что
биссектрисы вертикальных углов образуют одну прямую. При
рассмотрении свойств точек, лежащих на биссектрисе, при-
дется лишь упомянуть, что все сказанное относится к биссек-
трисе любого из четырех углов.
Переходим теперь к другому геометрическому месту, охва-
тываемому нашей формулировкой IV:
(б)	Геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных параллельных прямых.
Это геометрическое место приходится рассмотреть вслед
за геометрическим местом II, с которым естественно связы-
вается представление о расстоянии между двумя параллель-
ными прямыми.
Если некоторая точка равноудалена от двух данных парал-.
лельных прямых, то расстояние ее от одной из этих прямых
равно 1/2а, где а — расстояние между данными прямыми (но
не обратно!). Геометрическое место точек, удаленных от одной
из данных прямых на расстояние 1/2а, есть пара прямых, па-
раллельных данной. Из этих двух прямых только одна обла-
дает искомым свойством. Таков ход мысли, приводящий к уста-
новлению геометрического места (б).
3 Ср, например, А д а м а р, Элемент'.риая геометрия, ч. I, 1936, стр. 44.
-42
V- Геометрическое место точек, из которых данный отре-
зок виден под данным углом, естественно рассматривать, как
это обычно и делается, после изучения свойстеа вписанного
угла. При этом существенно обратить внимание на то обсто-
ятельство, что это геометрическое место состоит из двух
.дуг окружности (сравнить сказанное по этому поводу в § 1).
Впрочем, возможно выделить особо изучение более простого
геометрического места, а именно, рассмотреть отдельно.
V*. Геометрическое место точек, из которых данный
отрезок виден под прямым углом.
Такое выделение позволяет, с одной стороны, подготовить
учащихся к рассмотрению общего случая, представляющего
.для них значительные трудности; с другой стороны, при таком
порядке изложения весьма важный частный случай геометриче-
ского места V прочнее фиксируется в сознании учащихся.
Изучение этого частного случая возможно провести после
изучения параллелограмов и прямоугольников следующим об-
разом. Из того факта, что диагонали прямоугольника (как
и всякого параллелограма) делятся в точке пересечения попо-
лам, делаем вывод, что „медиана прямоугольного треугольника
равна половине его’ гипотенузы". Отсюда прямо следует,
что „если отрезок АВ виден из точки М под прямым углом,
то точка М лежит на окр/жности, построенной на отрезке
АВ как на диаметре". Действительно, пусть О—середина
отрезка АВ. В таком случае ОМ есть медиана прямоуголь-
ного треугольника МАВ, и потому 0М= О А == ОВ.
Обратная теорема „если точка Л1 лежит на окружности,
построенной на отрезке АВ как на диаметре, то угол АМВ—
прямой" может быть доказана следующим образом: откла-
дываем на продолжении отрезка ОМ за точку О отрезок
ON—ОМ. Четырехугольник AMBN—параллелограм, так как
его диагонали делятся пополам; более того, этот четырехуголь-
ник— прямоугольник, так как его диагонали равны. Отсюда'
н следует, что угол АМВ—прямой.
Из двух доказанных теорем и вытекает, что „геометриче-
ское место точек, из которых данный отрезок виден под пря-
мым угл< м, есть окружность, построенная на данном отрезке
как на диаметре".
Из сказанного в настоящем параграфе следует, что изучение
основных геометрических мест в VI—VII классах целесообразно
провести в три приема:
1)	После изучения свойств перпендикуляра и наклонных
и признаков равенства прямоугольных треугольников рас-
сматривается свойство перпендикуляра, проведенного к отрезку
43
п 5ямой через его середину, вводится понятие геометрического*
места точек, рассматриваются геометрические места I и
наконец рассматривается, как было указано выше геометриче-
ское места точек, равноудаленных от двух пересекающихся
прямых (IVa).
2)	После изучения свойств параллелограмов и прямоуголь-
ников рассматривается геометрическое место Пу. и i еометри-
ческое место точек, равноудаленных от двух данных парал-
лельных прямых (1V6). Здесь же можно рассмотреть гео-
метрическое место точек, из которых данный отрезок виден
под прямым углом (V*).
3)	После изучения углов в окружности рассматривается
геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден
под данным углом, в общем случае; тут же естественно дать
и общий перечень всех изученных геометрических мест, при-
мерно по той схеме, которая приведена в начале пара-
графа.
§ 3.	Дальнейшие геометрические места в курсе
VI—VII классов
В предыдущем параграфе мы разобрали те геометри-
ческие места, которые должны быть основательно разобраны
с учащимися и твердо усвоены последними в качестве
основных (в порядке изучения „теории"). Однако ограни-
чиваться этими основными геометрическими местами было
бы, на наш взгляд, недостаточным. Изучение дальнейших
геометрических мест необходимо в школьном курсе по сле-
дующим соображениям:
а)	так как изучение большинства этих новых геометриче-
ских мест сводится к одному из основных, то таким образом
легко осуществляется повторение и закрепление знания основ-
ных геометрических мест;
Ь)	изучение этих геометрических мест должно содействовать
развитию у учащихся „творческого" отношения к геометри-
ческим фактам: запас предложений, даваемые в учебнике (или
в изложении преподавателя) не является каким-то исчерпываю-
щим, раз навсегда установленным, перечнем фактов; новые
факты, новые теоремы, новые геометрические места, новые
построения могут „придумывать" и „открывать" и сами
учащиеся;
с)	рассмотрение этих дальнейшие геометрических мест
облегчит учащемуся работу по решению задач на построение,
так как в этих задачах одно и то же геометрическое место
44
эиожет фигурировать в разнообразных формулировках. Ряд
таких формулировок дается ниже.
Приводим теперь примерный перечень таких геометри-
ческих мест. Для удобства обозрения мы группируем эти
геометрические места по тем основным геометрическим местам
1—V (§ 2), к которым приводимые геометрические места
•сводятся.
I
1)	Геометрическое место вершин С треугольников, имею-
щих общее основание АВ, у которых боковая сторона АС
равна данному отрезку.
2)	Геометрическое место вершин С треугольников с общим
•основанием АВ, у которых медиана, проведенная к основанию,
равна данному отрезку.
3)	Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса, проходящих через данную точку.
4)	Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса, касающихся данной окружности (внешним образом,
внутренним образом).
5)	Геометрическое место точек, обладающих тем свойством,
что отрезок касательной, проведенной из какой-либо из этих
точек к данной окружности, равен данному отрезку.
6)	Геометрическое место середин хорд данной окружно-
сти, равных данному отрезку.
7)	Геометрическое место точек, из которых данная окруж-
ность видна под данным углом. (Примечание. Углом, под ко-
торым окружность видна из некоторой точки, называется угол
между касательными к окружности, проведенными через эту
точку )
8)	Геометрическое место точек, расстояние которых от
данного круга равно данному отрезку. (Примечание.
Под кругом здесь понимается совокупность всех точек окруж-
ности и всех точек, лежащих внутри окружности; под рас-
стоянием от точки А до круга — наименьшее расстояние от
точки А до одной из точек круга.)
II
9)	Геометрическое место вершин треугольников с общим
основанием, у которых высота, опущенная на это основание,
равна данному отрезку.
10)	Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса, касающихся данной прямой.
45
11)	Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса,отсекающих на данной прямой хорду данной длины.
12)	Геометрическое место середин отрезков, соединяющих
данную точку со всеми точками дайной прямой.
III
13)	Геометрическое место вершин равнобедренных треуголь-
ников с общим основанием.
14)	Геометрическое место центров окружностей, проходя-
щих через две данные точки.
15)	Геометрическое место центров окружностей, описан-
ных около всех треугольников с общим основанием.
16)	Геометрическое место центров окружностей, касающих-
ся внешним образом (внутренним образом) двух равных окруж-
ностей.
IV
17)	Геометрическое место центров окружностей, касающих-
ся двух данных (пересекающихся, параллельных) прямых.
18)	Геометрическое место центров окружностей, отсекаю-
щих на каждой из двух данных (пересекающихся, параллель-
ных) прямых хорду, равную данному отрезку.
19)	Геометрическое место центров окружностей данного
радиуса, отсекающих на двух данных (пересекающихся, па-
раллельных) прямых равные хорды.
V
20)	Геометрическое место вершин прямоугольных треуголь-
ников с общей гипотенузой.
21)	Геометрическое место середин всех хорд, отсекаемых
данной окружностью на прямых, проходящих через данную-
точку (лежащую внутри данной окружности, вне данной ок-
ружности).
22)	Геометрическое место оснований перпендикуляров,
опущенных из данной точки на прямые, проходящие через
другую данную точку.
23)	Геометрическое место вершин треугольников с общим
основанием, в которых угол, противолежащий основанию, ра-
вен данному углу.
24)	Геометрическое место точек пересечения двух пря-
мых, пересекающихся под углом, равным данному углу, приг
46
условии, что одна из них проходит через данную точку А,
другая — через данную точку В.
Наконец, можно было бы привести еще два геометриче-
ских места, полезных для решения задач, не представляющих
никакого труда для усвоения, но не сводящихся ни к одному
из пяти основных:
25)	Геометрическое место центров окружностей, касаю-
щихся данной прямой в данной точке.
26)	Геометрическое место центров окружностей, касаю-
щихся данной окружности в данной точке.
Как читатель несомненно заметил, в этот список включе-
но довольно большое число геометрических мест, которые
отличаются от одного из основных лишь своей формулиров-
кой и чрезвычайно просто к нему сводятся (например, № 1,
2, 3, 9, 13, 14, 20). Такого рода вопросы мы считаем весьма
полезными для избежания чисто внешнего запоминания сло-
весных формулировок. Так учащийся, правильно формулирую-
щий положение „геометрическое место точек, равноудален-
ных от концов данного отрезка, есть перпендикуляр, восста-
вленный в середине этого отрезка", но ие умеющий найти,
скажем, геометрическое место 13 или 14 из предложенного
списка, несомненно не уяснил себе сущности приводимой им
формулировки.
Наряду с этим в настоящий список включено и некоторое
число вопросов, более трудных по своему содержанию (на-
пример, № 7, 8, 24). Нельзя считать разбор этих вопросов
или других, им аналогичных, обязательным в каждом
VII классе при всяком составе учащихся. Мы поместили их-
в иаш список, именно желая дать в нем материал различной
степени трудности.
Надо заметить, что приводимые в списке вопросы явля-
ются лишь примерными. Каждый преподаватель в зависимо-
сти от уровня подготовки своего класса, от личных вкусов,
может, конечно, этот список сокращать, дополнять, видоизме-
нять. Подбор и проверка на практике ряда других аналогич-
ных вопросов на отыскание геометрических мест представляют
собой интересное поле деятельности для учителя.
Само собой разумеется, что группировка по основным гео-
метрическим местам I—V, положенная в основу списка-, дана
лишь для удобства обозрения и не должна находить прямо-
го отражения в преподавании. Наоборот, именно выбор того
из знакомых учащимся геометрических мест, к которому ис-
комое геометрическое место можно свести, представляет
собой ценную часть самостоятельной работы учащихся
47
и в большинстве случаев должен быть им предостав-
лен.
Особое место по своему содержанию представляют во-
просы № 7 и 8. Обратимся сначала к вопросу № 8. Учащий-
ся хорошо знаком с понятием расстояния от одной точки до
другой, ог точки до прямой. При решении этого вопроса № 8
(о геометрическом месте точек, расстояние которых от данного
круга равно дачному отрезку) вводится весьма интересное и
ценное расширение этого понятия — рассматривается расстоя-
ние от точки до круга. С теоретической, да и с практической
точки зрения было бы интересным рассмотреть и в несколько
более общей форме расстояние от точки до фигуры. Анало-
гично в связи с содержанием вопроса № 7 возникает и более
общий вопрос — об угле, под которым из данной точки видна
некоторая фигура. Однако эти вопросы несомненно не могут
быть затронуты в курсе VII класса, так как они потребовали
бы относительно большого количества времени, а между тем
приобретенные идеи стояли бы все же особняком в курсе
геометрии.
Особо необходимо остановиться на тех из перечисленных
задач, текст которых содержит два варианта. Рассмотрим
в качестве примера задачу № 4: „Найги геометрическое ме-
сто центров окружностей данного радиуса, касающихся данной
окружности (внешним образом, внутренним образом)". Такие
задачи необходимо расчленять на две, особенно на первых
стадиях работы. Так, в данном случае должны быть рассмот-
рены отдельно две самостоятельные задачи: а) Най.и геомет-
рическое место центров окружностей данного радиуса, касаю-
щихся данной окружности внешним образом; 6) та же задача
с заменой слов „внешним образом" словами „внутренним об-
разом". После того, как обе задачи будут в отдельности ре-
шены и поняты учащимися, возможно поставить перед уча-
щимися и синтезирующий вопрос, скажем, в такой форме:
„Что бы мы сказали, если бы потребовалось найти геомет-
рическое место центров окружностей данного радиуса, касаю-
щихся данной окружности, и не было бы указано, о каком
касании идет речь — о внутреннем или о внешнем?" Выясняет-
ся, что при такой постановке вопроса надо принять во вни-
мание обе возможности, и что геометрическое место будет
представлять собой при такой постановке вопроса пару окруж-
ностей. Аналогично обстоит дело и с другими задачами, со-
держащими два варианта (№ 17, 18, 19, 21). Нам кажется,
что несколько таких задач, включенных в приведенный спи-
сок, 1 ме;от ту ценность, что в наглядной форме могут воспи-
48
тывать в учащихся идею математического обобщения (конеч-
но, без какой-либо фиксации внимания на этой идее).
Возникает вопрос о том, где и когда должны быть по-
ставлены задачи иа отыскание геометрических мест в школь-
ном курсе. Очевидно, что по своему содержанию лишь не-
многие из этих задач (например, № 1, 2, 3, 13, 14), могли
бы быть разобраны в VI классе, так как большинство из них
требует знаний, относящихся к программе VII класса. В VI—
VII классах следует стремиться прежде всего к возможно
равномерному распределению этого материала в пределах всего
учебного года: с этой целью часть задач можно использовать
в самом начале года при повторении материала VI класса,
часть задач должна быть разобрана в конце темы „Четырех-
угольники" в связи с изучением тех геометрических мест, о ко-
торых говорилось в § 2. Наконец, большое число этих задач
весьма тесно связывается с отдельными вопросами темы „Ок-
ружность". Так, например, после рассмотрения свойства пер-
пендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду,
и свойств равных хорд, могут быть рассмотрены задачи
№6, 11, 18; пэ-ле изучения основного свойства касатель-
ной— задачи № 10, 17, 25; после рассмотрения взаимного
расположения двух окружностей— задачи № 4, 16, 26. Про-
ведение касательной к окружности из внешней точки дает по-
вод рассмотреть задачи № 5 и 7, и т. д. Возможно и це-
лесообразно выделить часть этих вопросов для повторения
материала в конце учебного года.
•
§ 4.	Метод геометрических мест.
Математическая сущность метода геометрических мест
весьма проста. Она состоит в том, что искомая точка опреде-
ляется как точка пересечения некоторых двух геометрических
мест (или иногда как точка пеоесечения некоторого геомет-
рического места с данной прямой или окружностью); при этом
те условия 31дачи, которые определяют положение искомой
точки, расчленяются мысленно на два условия, и каждое из
них дает некоторое геометрическое место, построение кото-
рого оказывается возможным (иногда одно из этих геометри-
ческих мест заменяется непосредственно данной прямой или
окружностью).
Метод геометрических мест является одним из важнейших
приемов решения геометрических задач на построение вооб-
ще и должен занимать большое место в решении задач на
построение, по преимуществу в VII классе.
4 Заказ 1744
49
При изложении этого метода в школе дело, конечно, за-
ключается не в том, чтобы учащиеся умели описать суть ме-
тода словами (я думаю, что в этом нет никакой надобности),
а в том, чтобы учащиеся умели сознательно пользоваться
этим методом.
Уже в VI классе встречаются некоторые задачи, решение
которых можно было бы рассматривать как использование ме-
тода геометрических мест (в качестве примера укажем на за-
дачу построения треугольника по трем сторонам, о чем речь
пойдет ниже). Однако самое упоминание о методе и его изу-
чение должно быть отнесено к VII классу.
В каком же месте курса VII класса следует знакомить уча-
щихся с методом геоме! рических мест? Несомненно, что это
должно быть сделано по возможности ранее1. При том распре-
делении материала, отн.>сящегося к геометрическим местам,
который был предложен в § 2, Наиболее подходящим для
этого временем был бы тот момент, когда учащиеся в конце
темы „Четырехугольники" ознакомились с достаточным чис-
лом геометрических мест.
Учитель начинает с того, что показывает учащимся, какое
значение имеет идея геометрического места при решении хо-
рошо известной им задачи, скажем при построении треуголь-
ника по трем сторонам. Пусть основание треугольника АВ
уже построено; остается определить положение третей вер-
шины С. Выясняется, что для определения положения точки
С в задаче остаются два условия: длина сторон АС и ВС. Про-
водя дугу окружности с центром в точке А и радиусом bt мы
строим геометрическое место точек, расстояние которых от
точки А ра но Ь; аналогично для второй дуги, и т. д. Вслед
за этим м-эжет быть предложен как в классе, так и для ре-
шения дома, ряд других несложных задач, близких по содер-
жанию к предыдущей, например:
1)	По троить т еугольник по основанию, медиане, прове-
денной к основанию и боковой стороне.
2)	Построить треугольник по основанию, высоте, опущен-
ной на основание, и боковой стороне.
Решение этих и других аналогичных задач несомненно бу-
дет весьма облегчено, если учащиеся знакомы с некоторыми
1 В действующей программе по математике (изд. 1944 г.) вопрос „Реше-
ние геометрических задач на построение методом геометрических мест' по-
ставлен в программе VII класса весьма близко к концу. Однако это не
следует понимать как указание на целесообразность первого ознакомлении
с этим вопросом почти в конце года, когда остается 'мало времени для ре-
шения задач.
50
из вопросов, разобранных в § 3 (для задачи № 1 — вопро-
сы № 1 и 2, для задачи № 2—вопросы № 1 и 9).
Целесообразно в качестве одной из первых задач на ме-
тод геометрических мест дать и такую задачу, где искомая
фигура определялась бы не только по своей форме и разме-
рам, но и по положению на плоскости. Примером может слу-
жить следующая задача:
3)	Построить равнобедренный треугольник, у которого
основанием служит данный отрезок АВ, а вершина лежит на
данной окружности.
Решение этой задачи может быть облегчено и подготов-
лено вопросом № 13 (§ 3).
В дальнейшей работе по геометрии в VII классе задачи
на метод геометрических мест должны предлагаться система-
тически до конца года вместе с задачами на вычисление. На-
ряду с этим применение метода геометрических мест должно
быть отчетливо выяснено учащимся и в тех вопросах теоре-
тического курса, где это уместно. Сюда относятся такие во-
просы, как проведение окружности через три точки, построе-
ние касательной к окружности из данной точки, построение
вписанных и вневпис иных окружностей. Заметим по этому
поводу, что при решении последней задачи особенно полез-
ным оказывается рассмотрение геометрического места точек,
равноудаленных от двух пересекающихся прямых, вместо гео-
метрического места точек, равноудаленных от сторон данного
угла.
§ 5. Отбор и составление задач на метод
геометрических мест.
Задачи на построение, решаемые методом геометрических
мест, могут быть весьма разнобразными. В настоящем пара-
графе мы и хотели бы остановиться на обозрении такого
рода задач. При этом мы не будем ставить себе целью дать
какую-либо формальную их классификацию — он i не имела
бы большой ценности ни с научной, ни с методической сто-
роны. Точно также мы не ставим себе целью указать некий
стандартный список задач этого рода для средней школы.
Мы просто хотим помочь преподавателю в подборе, а также
и в составлении вновь задач такого рода, указав те точки
зрения, которых при этом можно было бы придерживаться.
Различные задачи на построение, разрешаемые методов
геометрических мест, отличаются одна от другой прежде
всего характером тех геометрических мест, с помощью
которых определяется положение искомой точки. Если для
4*
51
определенности принять за основу тот перечень геометриче-
ских мест, который был приведен в § 2, то отдельные за-
дачи можно будет охарактеризовать прежде всего теми гео-
метрическими местами из числа геометрических мест I—V,
которые в задаче используются. Отбирая задачи иа построе-
ние для решения с каждым классом, следует подумать о том,
чтобы в этих задачах встречались, по возможности, разнооб-
разные сочетания этих оснрвных геометрических мест. Тем
самым будет обеспечено достаточное разнообразие разрешае-
мых задач по существу, по той идее, которая лежит в их
основе.
Однако две задачи на построение, в основе каждой из ко-
торых лежат по существу дела одни и те же два геометри-
ческих места, могут весьма значительно различаться между
собой по своей методической трудности. Приведем в качестве
примера следующие две задачи:
1) Среди всех точек, равноудаленных от двух данных
пересекающихся прямых, найти точку, находящуюся на рав-
ных расстояниях от двух данных точек.
2) Построить окружность, проходящую через две данные
точки и отсекающую на двух данных пересекающихся прямых
равные хорды.
Внимательный анализ показывает, что эти две задачи, по
существу, ничем не отличаются одна от другой. Действи-
тельно, будем во второй задаче строить центр искомой ок-
ружности. В таком случае искомая точка будет определяться
8 обеих задачах двумя геометрическими местами. Одним из
этих геометрических мест будет геометрическое место точек,
равноудаленных от двух данных — в первой задаче, и совпа-
дающее с ним по существу геометрическое место центров
•окружностей, проходящих через две данные точки, — во вто-
рой. Если мы примем во внимание, что равные хорды окруж-
ности равноудалены от ее центра, то мы увидим, что вторым
геометрическим местом в обоих приведенных выше примерах
будет геометрическое место точек, равноудаленных от двух
данных пересекающихся прямых.
Между тем, две приведенные выше задачи далеко ие равны
аю своей трудности для учащихся. Различие между обеими
задачами, несущественное с чисто геометрической точки
зрения, но имеющее несомненное методическое значение, со-
стоит в том, в какой мере текст задачи дает прямое указа-
ние на те геометрические места, с помощью которых данная
задача может быть разрешена. Сравнительная легкость пер-
вой задачи объясняется тем, что в самом тексте задачи со-
52
держится указание на путь решения в тех выражениях („точкаг
равноудаленная от двух данных пересекающихся прямых",
„точка, находящаяся на равных расстояниях от двух данных
точек"), которые легко ассоциируются с известными учащимся
геометрическими местами. Относительная трудность второй
задачи заключается именно в необходимости установления
логической связи между формулировками задачи и известными
уже геометрическими фактами.
Итак, разнообразие в формулировках и степени трудности
задачи достигаются выбором той формы, в которой необхо-
димые для решения задачи геометрические места опреде-
ляются самым текстом задачи. В этом отношении пере-
чень геометрических мест, аналогичный приведенному в § 3,
может оказаться весьма полезным. Этот список геометриче-
ских мест дает во можнссть самому преподавателю соста-
влять различные задачи на построение. С другой стороны,,
знакомство с этими геометрическими местами (и другими, им
аналогичными) весьма облегчает подход к решению задачг
имеющихся в учебниках.
Говоря о различных формулировках одной и той же по
идее и методу решения задачи на построение, обратим еще
внимание на следующее частное обстоятельство. Несколько
задач на построение окружностей, решаемых методом геоме-
трических мест, учащийся встретит в курсе черчения в форме
задач на „сопряжение" прямых линий и окружностей. Мы
полагаем, нто при решении такого рода задач преподаватель
геометрии обязан ознакомить учащихся с соответствующей
терминологией, принятой в чертежной практике, и показать
как здесь применяется метод геометрических мест. (Сравнить
сказанное по этому поводу в гл. I, § 1, стр. 6.) Из задач,
помещенных в прилагаемом списке, для этой цели следует
использовать задачи № 11, 6 и 16.
Пользуясь сказанным выше, можно составить список за-
дач на построение, достаточно разнообразных по своему содер-
жанию, основываясь на следующих двух соображениях: 1) сле-
дить за тем, чтобы в эти задачи входили по возможности
разнообразные комбинации основных геометрических мест’
I—V (§ 2); использовать эти геометрические места в форму-
лировках задач в тех разнообразных формах, какие были им
приданы в § 3.
Приводим для примера перечень задач, составленных ис-
ходя из этих принципов. Для удобства обозрения мы груп-
пируем эти задачи по основным геометрическим местам. Сам»
собой разумеется, что такого рода группировка, весьма по-
53
лезная для преподавателя, не имеет применения в препода-
вании. После текста каждой задачи указаны в скобках два
номера; они обозначают номера вопросов, приведенных в § 3,
имеющих прямое отношение к данной задаче.
Геометрические места I и I.
1) Построить треугольник по трем сторонам (№ 1 и № 1).
2) Построить равнобедренный треугольник по основанию
я боковой стороне (№ 1 и № 1).
13) Построить треугольник по основанию, боковой стороне
и медиане, проведенной к основанию (№ 1 и № 2).
4)	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки (№ 3 и № 3).
5)	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и касающуюся данной окружности (№ 3
и № 4).
6)	Построить окружность данного радиуса, касающуюся
двух данных окружностей (№ 4 и № 4).
Геометрические места I и II.
7)	Построить треугольник по данному основанию, боковой
стороне и высэте, опущенной на основание (№ 1 и № 9).
8)	Построить параллелограм, зная одну из сторон, опущен-
ную на эту сторону высоту и одну из диагоналей (№ 1 и № 9).
9)	Построить треугольник по данному основанию*, медиане,
про”"ден1ой к основанию, и высоте, опущенной на основание
(№ 2 и № 9).
10)	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через дачную точку и касающуюся данной прямой (№3и№ 10).
11)	Настроить окружность данного радиуса, касающуюся
данной окружности и данной прямой (№ 4 и № 10).
12)	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и отсекающую от данной прямой хорду
данной длины (№ 3 и № 11).
13)	Построить окружность данного радиуса, касающуюся
данной окружности и отсекающую от данной прямой хорду
Ланнай длины (№ 4 и № 11).
Геометрические места II и И.
14)	Построить треугольник, зная угол и две высоты,
опущенные на стороны, которые образуют данный угол
(№ 9 и № 9).
-51
15)	Построить параллелограм по углу и двум высотам
(Хв 9 и № 9).
16)	Построить окружность данного радиуса, касающуюся
двух данных пересекающихся прямых (№ 10 и № 10).
	17) Построить окружность данного радиуса, касающуюся
одной из двух данных пересекающихся прямых и отсекающую
от другой прямой хорду, равную данному отрезку (№ 10
и № 11).
18)	Даны две пересекающиеся прямые и два отрезка;
построить окружность данного радиуса, отсекающею от пер-
вой из данных прямых хорду, равную первому из данных
отрезков, а от второй прямой — хорду, равную другому данному
отрезку (№ 11 и № 11).
<
Геометрическое место III в соединении с од-
ним из геометрических мест I—III.
19)	Построить равнобедренный треугольник, у которого
основанием сложит данный отрезок АВ, а вершина С нахо-
дится на данном расстоянии от данной точки (№ 1 и № 13).
20)	Найти точку, равноудаленную от трех данных
точек.
21)	Построить окружность, касающуюся внешним (внут-
ренним) образом трех данных равных окружностей (№ 16 и
№ 16).
Геометрическое место IV в соединении с одним
из геометрических мест I или II.
23)	Построить окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и проходящую через данную точку (№ 3
и № 17).
24)	Построить окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и данной окружности (№4 и № 17).
25)	Построить окружность данного радиуса, проходящую
через данную точку и отсекающую на двух данных прямых
равные хорды (№ 3 и № 19).
26)	Построить окружность данного радиуса, касающуюся
данной окружности и отсекающую на двух данных прямых
равные хорды (№ 4 и № 19).
27)	Построить окружность данного радиуса, касающуюся
данной прямой и отсекающую на двух других данных прямых
равные хорды (№ 10 и № 19).
55
Геометрическое место IV в соединении
с одним из геометрических мест III или IV.
28)	Построить окружность, проходящую через две данные
точки и отсекающую на двух данных прямых равные хорды
(№ 14 и № 19).
29)	Построить окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и третьей прямой, их пересекающей
(№17 и № 17).
30)	Построить окружность, касающуюся трех данных пря-
мых, образующих треугольник (№ 17 и № 17).
31)	Построить окружность данного радиуса, отсекающую
равные хорды на трех данных прямых (№ 19 и № 19).
Геометрическое место V всоединении
с одним из геометрических мест I—IV.
32)	Построить треугольник по основанию, противолежа-
щему углу и медиане, опущенной на основание (№ 2 и № 2J).
33)	Построить треугольник по основанию, противолежа-
щему углу и высоте, опущенной на основание (№ 9 и № 23).
По поводу задач, помещенных в этом списке, можно бы-
ло бы повторить многое из того, что было сказано в § 3 по
поводу приводимых там геометрических мест. Задачи, приве-
денные здесь, весьма разнообразны по своей трудности. Мы
не сомневаемся, что часть из них окажется слишком труд-
ной для учеников VII класса. Дело такта преподавателя — оста-
новиться на задачах той или иной степени трудности в зави-
симости от сил и возможностей того или иного состава уча-
щихся. Конечно, задачи, помещенные в этом списке, являют-
ся лишь примерными, и ни в какой мере не могут носить
обязательного характера. Приводя здесь этот список, мы име-
ли в виду лишь проиллюстрировать указ <нные выше принци-
пы отбора или составления вновь задач на метод геометри-
ческих мест и облегчить учителю анализ тех задач, с кото-
рыми ему придется встречаться.
Вместе с тем мы хотели охарактеризовать здесь один из
типов задач на метод геометрических мест. К нему следо-
вало бы присоединить некоторое число задач двух других
типов.
Прежде всего является полезным решить, особенно в са-
мом начале, для уяснения метода несколько задач, примерно,
следующего содержания:
56
Найти тачку, расстояние которой от первой из двух дан-
ных точек равно одному из двух данных отрезков, а рассто-
яние от другой из данных точек — второму из данных отрез-
ков; найти точку, расстояние которой от данной прямой рав-
нялось бы данному отрезку и которая была бы равноудале-
на от двух данных точек и т. д.
Совершенно очевидно, что можно легко составить ряд
таких задач, просто комбинируя два из известных геометри-
ческих мест.
Далее необходимо включить в число рассматриваемых за-
дач некоторое число таких задач, в которых одним из гео-
метрических мест являлась бы непосредственно данная пря-
мая или окружность, а другое принадлежало бы к числу уже
рассмотренных геометрических мест. Мы имеем в виду зада-
чи, примерно, следующего типа:
34)	Найти на данной прямой (на данной окружности) точ-
ку, равно отстоящую от двух данных точек (от двух данных
прямых).
35)	Найти на данной прямой (на данной окружности) точ-
ку, из которых данный отрезок виден под данным углом.
36)	Провести через две данные точки окружность, имею-
щую данную прямую своим диаметром.
37)	Построить окружность, касающуюся двух данных пря-
мых, причем одной из них в данной точке. И т. д.
Подчеркнем еще раз, что сказанное здесь ни в какой ме-
ре не преследует целей какой-либо классификации задач на
построение по существу. Можно было бы найти ряд задач,
решаемых методом геометрических мест как сравниФельно
простых, так и более сложных, мало похожих по своему со-
держанию на разобранные выше. Мы имели в виду обрисо-
вать лишь наиболее типичные из задач такого рода.
По поводу формулировки задач, решаемых методом гео-
метрических мест, сделаем еще одно, последнее замечание
не принципиального характера, но несомненно полезное на
практике. Иногда бывает, что задача достаточно простая по
своему содержанию может представить для учащегося зна-
чительную трудность в смысле исследования. В этом случае
бывает полезно ограничить задачу, включин в ее формули-
ровку то или иное дополнительное условие, сужающее выбор
данных (сравнить гл. I, § 6). Приведем несколько примеров.
Задачу, приведенную выше под № 24, можно было бы
предложить в одной из следующих формулировок:
24а) Построить окружность, касающуюся двух данных па
раллельных прямых и данной окружности, лежащей между ними
24b) Построить окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и данной окружности, пересекающей од-
ну из них.
24с) Построить окружность, касающуюся двух данных па-
раллельных прямых и данной окружности, пересекающей обе
данные прямые.
Аналогично задачу № 6 можно было бы заменить одной
из следующих задач:
ба) П встроить окружность данного радиуса, касающуюся
внешним образом двух дачных окружностей.
6Ь) Построить окружность данного радиуса, касающуюся
внутренним образом двух данных окружностей.
6с) Построить окружность данного радиуса, касающеюся
двух данных окружностей, причем одной из них — внешним
образом, другой — внутренним образом.
6d) Построить окружность данного радиуса,- касающуюся
первой из двух данных окр/жностей внешним образом, вто-
рой данной окружности — внутренним образом.
' Задачу № 27 целесообразно разбить на две отдельные
задачи:
27а) Построить окружность данного радиуса, касающую-
ся данной прямой и отсекающую равные хорды на двух
других данных параллельных прямых.
27b) Построить окружность данного радиуса, касающуюся
данной прямой и отсекающую равные хорды на двух других
данных пересекающихся прямых.
Аналогичные ограничения можно внести и во многие дру-
гие из перечисленных задач. Конечно, приведенные выше
общие формулировки имеют определенную ценность: они
приучают учащихся к общности рассуждения, к исследованию
отдельных частных случаев, на которые подразделяется то
или иное общее предположение. Однако несомненно является
предпочтительным детальный разбор более узкой задачи, дове-
денный до конца, чем рассмотрение „в общих чертах" более
широкой задачи.
§ б. Задача Потеиота.
В настоящем параграфе мы рассмотрим специально одну
задачу на построение, имеющую большое практическое и, в част-
ности, оборонное значение и известную в литературе под
именем задачи Потенота. Прикладная ценность этой задачи
столь высока, что мы считали бы совершенно обязательным
Знакомство с данным вопросом всех учащихся средней и
неполной средней школы.
58
Начнем с рассмотрения следующей задачи на построение:
построить точку, из которой данный отрезок АВ был бы
зиден под данным углом а, а другой данный отрезок CD —
под другим данным углом р.
По своему содержанию и методу решения задача не пред-
ставляет особых затруднений. Она целиком входит в круг
тех задач, о которых только что шла речь (§ 5).
Решение ее сводится к следующему. Строим геометри-
ческое место точек, из которых первый данный отрезок АВ
виден под углом а; это геометрическое место представляет
собой совокупность двух дуг окружности, имеющих своими
концами точки А и В. Далее строим геометрическое место
точек, из которых второй данный отрезок CD виден под дан-
ным углом ₽. Искомыми точками будут точки пересечения
обоих геометрических мест.
Обращаясь к исследованию задачи, замечаем, что задача
может допускать до,8 решений. Всхмом деле, каждое из двух
геометрических мест, определяющих искомую точку, состоит
из двух дуг окружности. Каждая из двух дуг, входящих в состав
одного геометрического места, может пересекато кажд\ю из
двух дуг, входящих в состав другого, в двух точках. Таким
образом и получается наибольшее мыслимое число точек пере-
сечения— 8. Что все эти 8 точек пересечения могут суще-
ствовать, видно из черт. 9.
В зависимости от взаимного расположения отрезков АВ
и CD и от величин углов а и р число решений, которое может
иметь задача, может колебаться от 0 (когда задача не имеет
решения) до 8. Нет смысла перечислять все представляющиеся
здесь случаи.
59
Заметим еще, что задача, о которой идет речь, может стано-
виться и неопределенной, то-есть иметь бесконечное множество
решений. Это будет в том случае, когда оба геометрические
места, с помощью которых определяется положение искомой
точки, будут не пересекаться в отдельных точках, а совпа-
дать в некоторой своей части. Такой случай изображен, напри
мер, на черт. 10, где любая точка дуги АМВ дает решение
задачи, и, кроме того, решением задачи служат точки MY и М2
Переходим теперь к самой задаче Потенота, которую можно
сформулировать следующим образом:
Наблюдатель, имеющий в своем распоряжении карту
того участка местности, на котором он находится, видит
три заметных предмета А, В и С (скажем железнодорож-
ную ставцию, фабрику и силосную башню совхоза), поме и. ен-
ные на карте Кроме того, наблюдатель имеет возможность,
измерять углы между направлениями, по которым он видит
эти предметы. Требуется нанести на карту ту точку,
где находится наблюдатель.
При решении этой задачи естественно предположить, что
местность является плоской (неровностями почвы можно пре-
небречь). В таком случае мы имеем на плоскости (на карте)
три точки А,В и С, и требуется построить такую четвертую
точку О (точку, где находится наблюдатель), чтобы ^/АОВ = л
и £ВОС = р (углы а и ₽ наблюдатель определяет путем изме-
рения).
Мы видим, что по существу дела задача Потенота не отли-
чается от задачи, разобранной выше, и решается тем же мето-
дом. Однако в данном случае решение оказывается более
простым, чем выше разобранное, по следующим соображениям.
Прежде всего наблюдатель, находящийся в точке О, не только
может измерить угол а, но и может сказать, видит ли он
точку В справа от точки А или слева от точки А. Из
черт. 10 видно, что если из точки О точка В видна справа
от точки А, то точка О лежит на дуге АН В, а если из точки О
точка В видна слева от точки А, то точка О ле кит на дуге АМВ.
Поэтому при решении задачи Потенота нет надобности стро-
ить обе дуги, образующие геометрическое место точек, из
которых отрезок виден под углом а, и достаточно построить
одну из этих дуг; так это и сделано на черт. 11. То же самое
относится и к точкам В и С. Итак, при фактическом решении
задачи Потенота достаточно построить одну из двух дуг,
имеющую своими концами точки А гл В гл одну из дуг, име-
ющих своими концами точки В и С. В этом и состоит одно
из упрощений.
60
Далее две построенные дуги АМВ и BNC имеют точку В
своим общим концом. Так как две различные окружности
могут пересекаться самое большее в двух точках, то дуги
АМВ и BNC, имеющие общий конец В, имеют еще самое
большее одну общую точку (если только обе дуги не принад-
лежат одной и той же окружности). Поэтому задача Потенста
имеет в общем случае не более одного решения. Она стано-
вится неопределенной только в том случае, когда все четыре
точки А, В, С и О лежат на одной окружности. При втом искомой
точкой является любая точка О' дуги АОС. Практически
этот последний случай весьма мало вероятен. Если его отбро-
сить, то задача Потеиота не может иметь более
одного решения. Это обстоятельство весьма существен-
но на практике; оно показывает, что углы а и Р, вообще говоря,
вполне определяют положение наблюдателя на местности.
Наконец, отметим еще одно существенное обстоятельство.
Если при заданных отрезках АВ и ВС выбрать углы аир
произвольно, то задача Потеиота может и не иметь решения
(ср. черт. 12). Однако если углы а и р не заданы произвольно,
а определены путем измерения на местности, то самая поста-
новка задачи гарантирует нам существование решения. Точка,
из которой отрезки АВ и ВС видны под углами аир, заве-
домо существует. Это та точка, в которой фактически нахо-
дится наблюдатель.
Итак, задача Потеиота всегда имеет решение
и, как общее правило, только одно. Лишь в
61
исключительных случаях она становится не-
определенной.
Практическое значение задачи Потенота очевидно. Оиа
является основой того метода ориентировки на местности
и съемки карт, который носит название „метода обратной
засечки" и играет существенную роль в геодезии и то югра-
фии. Название „обратная засечка” объясняется тем, что при
этом, как было разъяснено выше, „засекаются", т. е. фикси-
руются, направления „назад", а не вперед, то-есть направ-
ления из точки, положение которой требуется определить
на точки, положение которых уже
Приведенное выше реше-
ние задачи Потенота вызывает,
однако, следующ е недоумение.
Неужели при практическом
определении положения точки О
по трем точкам А, В и С
приходится строить геометри-
ческие места точек, из которых

установлено.
Черт. 12	Черт. 13
данные отрезки видны под данным углом? Возможно ли выпол-
нять такие построения в полевых условиях, особенно в воен-
ное время, в боевой обстановке? Это недоумение легко устра-
няется'следующим образом. Дело в том, что придумано весьма
большое число методов для определения положения точки О,
при которых возможно избежать самого построения тех гео-
метрических мест, о которых говорилось выше. Эти методы,
иногда более сложные с теоретической стороны, оказываются
более удобными на практике
Для учителя, который заинтересовался бы этим вопросом,
приведем одно из таких решений. Проводим через искомую
точку О и две крайние из данных точек А и С окружность
(черт. 13) и обозначим через D точку пересечения прямой
ОВ с этой окружностью. При этом будем иметь следующие
равенства вписанных углов: /^DAC — £DOC— DCA =
62
= £DOA = а.;^/САО — /^CDO=^. Отсюда вытекает следую-
щее построение точки О, особенно просто осуществляемое на
практике приближенным образом с помощью линейки и транс-
портира. При точке С откладываем от прямой СА угол ACD,
равный измеренному углу а; при точке А откладываем от
прямой АС угол CAD, равный другому измеренному углу Р;
пересечение вторых сторон этих углов определяет точку D.
Точки В и D соединяем между собой. Измеряем угол f =
= /_CDX и откладываем его при точке А от прямой АС.
Пересечение второй стороны этого угла с прямой DX и опре-
деляет искомую точку О.
§ 7. Геометрические места в курсе VIII класса.
Геометрический материал, относимый действующей програм-
мой к VIII классу (учение о пропорциональности, о подобии,
метрические соотношения, учение о площадях) дает уже мень-
ше поводов к развитию и использованию идеи и метода гео-
метрических мест. Как уже было отмечено, основное значение
имеет в этом вопросе VII класс.
Тем не менее, можно и в курсе VIII класса найти некото-
рый материал для развития идеи геометрического места. Мы
не думаем, чтобы приводимые ниже вопросы можно было счи-
тать обязательными для школьного курса. Польза, приносимая
изучением приво имого ниже материала, заключается в том,
что он дает возможность вернуться к усвоенным ранее во-
просам, дает возможность повторения на новом материале зна-
комой уже учащимся идеи. Такого рода повторение мы счи-
тали бы полезным, в частности, с точки, зрения требования,
чтобы основной материал младших классов не забывался уча-
щимися старших классов. Это требование приобретает сейчас
особую актуальность в связи с введением экзаменов на атте-
стат зрелости.
Прежде, чем привести примеры геометрических мест, свя-
занных с программой VIII класса, сделаем одно замечание.
В ряде построений, сюда относящихся, фигурирует „д а н н ое
отношение" (разделить в данном отношении; построить
треугольник, если даио отношение сторон...). Во всех таких
формулировках мы должны подразумевать, что отно шение
определяется заданием некоторой пары отрез-
ков, имеющих это отношение. Не исключена, конечно,
возможность, что отношение определяется и заданием "
двух чисел. Однако этот второй способ следует признать
63
с точки зрения геометрического построения лишь весьма ча-
стным способом определения отношения. В самом деле, при
таком задании отношение отрезков будет по необходимости
либо рациональным числом, либо числом, выражающимся через
квадратные радикалы из целых чисел („квадратичной иррацио-
яальностью")- Действительно, иррациональности более сложной
природы не могут быть построены с помощью циркуля и ли-
нейки.
Вот почему при решении задач на построение в VIII клас-
се следует, не входя, конечно, ни в какие подробности, приучить
учащихся к мысли, что задать отношение значит дать
пару отрезков, имеющих это отношение (а не про-
сто пару чисел, как это иногда хотелось бы мыслить уча-
щимся).
Приводим теперь примеры таких геометрических мест,
которые можно было бы разобрать с учащимися VIII класса.
Пример!. Найти геометриче-
л	ское место точек, делящих (вну-
/ \	тренним образом, внешним образом)
/	\м-	отрезки, соединяющие данную точку
—f----X. ---	со всеми точками данной прямой
/	\	в данном отношении.
в/	\в’ Решен и е. Рассмотрим длЯопре-
— деленности случай внутреннего де-
'	* ления. Пусть А—данная точка,
Черт. 14	XY—данная прямая (черт. 14).
Соединим точку А с одной из точек В
данной прямой и разделим отрезок АВ точкой М в данном
отношении.
Пусть теперь В'—какая-либо точка данной прямой, и точкаМ
делит отрезок АВ' в данном отношении. В таком случае мы
имеем пропорцию AM: МВ ~АМ': М'В'. Отсюда следует, что
ММ’ || ВВ'.
Итак, если какая-либо точка М' делит отрезок
АВ' в данном отношении, то она лежит на пря-
мой, проходящей через точку М и параллельной
X Y,
Обратно, пусть М’ — одна из точек прямой, проходящей
через точку М и параллельной XY. Соединим точки А и М'
и обозначим через В' ту точку, где прямая AM' пересекает
XY. Так как ММ' Ц XY, то AM’: МВ'— AM: МВ, то-есть точ-
ка М' делит отрезок АВ' в данном отношении.
Итак, всякая точка М1 прямой, проходящей че-
рез точку М и параллельной^К, делит в данном
64
отношении отрезок, соединяющий точку А с
одной из точек данной прямой.
Из двух положений, которые выделены разрядкой, следует,
что искомое геометрическое место есть пр я-
мая линия, параллельная данной прямой.
Что касается до двойной формулировки — „внутренним об-
разом, внешним образом"—то здесь можно было бы повто-
рить сказанное по это -у поводу, в § 3 Заметим ещ , что
геометрическое место 12 в § 3 является лишь частным слу-
чаем только что рассмотренного.
Пример 2. Найти геометрическое место точек, делящих
(внутренним образом, внешним образом) отрезки, соединяю-
щие данную точку со все-
ми точками данной окруж-
ности, в данном отноше-
нии.
Решение вполне ана-
логично предыдущему.
Пример 3. Найти
геометрическое место то-
чек, разность квадратов
расстояний которых от
двух данных точек равна
квадрату данного отрезка.
Решение. Пусть А и В — данные точки, к—данный
отрезок (черт. 15). Обозначим через М любую точку, удо-
влетворяющую условию МА2— МВ2 = к2... (1). Из этого
равенства следует, что МА > МВ. Угол при вершине А тре-
угольника АМВ будет обязательно острым. По теореме
о квадрате стороны, лежащей против острого угла, имеем
МВ2 — МА2 -f- АЬ2— 2АВ- АН.. .(2), где Н—проекция точки
М на прямую АВ. Заменяя здесь МА2—МВ2 через к2, най-
.	о ли	А&- + & ,оч
дем после несложных преобразовании Ап ———•. (о).
Итак, если точка М удовлетворяет поставленному условию (1),
то ее проекция Н на прямую АВ удовлетворяет условию (3).
Кроме того, точка Н лежит по ту же сторону от точки А,
что и точка В, так как угол МАВ будет обязательно острым.
Итак, если точка М удовлетворяет условию (1),
то ее проекция на прямую АВ есть вполне опре-
деленная точка Н.
Обратно, если некоторая точка М плоскости проектируется
в точку Н, о которой шла речь, то .имеют место соотноше
ния (3) и (2), из которых вытекает равенство (1),
5 Зака» 1744
45
Из сказанного следует, что искомое геометриче-
ское место есть прямая линия, перпендикуляр-
ная к прямой АВ.
Решение этой задачи можно было бы изложить и несколько иначе.
Однако мы полагаем, что п введенное выше изложение наиболее есте-
ственным образом примыкает к теореме о квадрате стороны треугольника,
лежащей против острого угла.
Возникает еще вопрос, каким же образом построить иско-
мую прямую. Для этого можно было бы следующим образом
построить отрезок, определяемый равенством (3). Перепишем
это равенство в виде АН = ([/АВ2 к- )2: 2АВ, или
2АН: |/Д53	= VAB^+k* : АВ... (4). Отрезок Г2
есть гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами
АВ и к.
Поэтому последнее равенство приводит к такому построе-
нию отрезка АН.
На перпендикуляре к прямой АВ в точке В откладываем от-
резок ВС = к (черт. 15), и строим прямую CD, перпендику-
лярную к АС. Так как в прямоугольном треугольнике ACD
катет АС есть средняя пропорциональная между гипотенузой
и своей проекцией на гипотенузу, то мы имеем AD: АС =
— АС: АВ. Так как по построению АС — \/АВ'1 к2, то из
сравнения последней пропорции с пропорцией (4) следует,
что AD — 2АН, так что точка ТУ есть середи на от-
резка AD.
Можно было бы привести и более простое построение искомого геомет-
рического места. А именно, построим два каких-либо отрезка х и у, удо-
влетворяющих условию х2—у3 = к2. Для этого достаточно построить какой-
либо Прямоугольный треугольник, имеющий отрезок к од-им из катетов,
и принить за отрезки х и у гипотенузу и другой катет этого треугольника.
Далее, из точек А и В, как из центров, описываем окружности радиусами,
соответственно равными х и у. Прямая, соединяющая точки пересечения
обеих окружностей, и будет искомым геометрическим местом.
Однако это на первый взгляд более простое построение обладает
существенным недостатком: при произвольном выборе прямоугольного
треугольника с катетами к и у построенные окружности могут и не пере-
секаться (хотя геометрическое место существует). Действительно, из черт 15
видно, что обе окружности пересекаются только при условий у > ВН,
то-есть у>(АВ— АН), откуда у>	~ Итак, чтобы обе окружно-
«/to
ста пересекались, катет у должен быть выбран достаточно большим.
Пример 4. Найти геометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний которых от двух данных точек рав-
няется квадрату данного отрезка.
Решение. Пусть А и В — данные точки, к — данный отре-
зок (черт. 16). Обозначим через М любую точку, удовлетво-
66
Черт. 16
ряющую условию МА2 h МВ == к2... (1), и через О—сере-
дину отрезка АВ. Рассмотрим треугольник МАВ и его меди-
ану МО. По теореме о квадрате медианы треугольника
имеем ОМ2 = i-(MA2 -р МВ')—АВ-... (2). Заменяя здесь
МА2-\-МВ2 через k2, получим ОМ1 =-^к2 — ^АВ?...(3).
Итак, если некоторая точка плоскости удовле-
творяет условию (1), то ее расстояние ОМ от
точки О—середины отрезка
АВ — определяется равен-
ством (3). Обратно, если рас-
стояние некоторой точки М
плоскости от точки О опре-
деляется формулой (3), то
п силу равенства (2) т о ч к а М
будет удов летворять и
условию fl).
При этом имеет место следую-
щее существенное обстоятельство.
Если	4	то равен-
ство (3) дает возможность опреде-
лить ОМ, и точки М образуют ок-
ружность с центром в точке О—сере-
дине отрезка АВ. Если же ту к2 —
--.-Л2?3 = 0, то и ОМ—О, и единственной точкой плоскости,
удовлетворяющей поставленному условию (1), является сама
точка О—-середина отрезка АВ. Наконец, при %к2 —^АВ2<.0
не существует ни одной точки М, так как для квадрата рас-
стояния ОМ получается отрицательная величина.
Из сказанного следует такой окончательный вывод: гео-
метрическое место точек, сумма квадратов расстояний кото-
рых от двух данных точек А и В равна квадрату данного
отрезка к, есть окружность с центром в точке О—середине
отрезка АВ, если -U2 >--лАВ\ если же Г.кг — .АВг,^о ис-
£	4	£	4
комое геометрическое место обращается в одну точку. При
^к2 < ^АВ2 геометрическое место не существует вовсе.
Для построения искомого геометрического места построим
сначала, как указано на черт. 17, отрезок х ——= .	Далее
5*
67
перепишем равенство (3) в виде ОМ“ = х2—	• Радиус
ОМ искомой окружности можно построить как катет ON пря-
моугольного треугольника AON, в котором гипотенуза AN
равна построенному отрезку х, а катет АО =^АВ. Вместо
построения прямоугольного треугольника A ON можно было бы
строить равнобедренный треугольник ABN. При этом наше
построение принимает следующий окончательный вид: строим,
как показано на черт. 17,
как из центров, описываем
сечения N и 2V соединяем
£
отрезок х — --; из точек А и В,
окружности радиуса х; точки пере-
прямой линией; из точки пересе-
чения О прямой NN' с отрез-
ком АВ описываем радиусом ON
окружность; она и будет иско-
мым геометрическим местом.
Геометрическое место не су-
ществует, если две построен-
ные окружности не пересека-
ются, и обращается в точку,
если они касаются одна другой.
Мы видим таким образом,
. что при решении примера 4 мы
сталкиваемся с принципиально новым обстоятельством: иско-
мое геометрическое место существует не при всяком выборе
точек А и В и отрезка к.
Заметим еще, что геометрическое место течек, из кото-
рых данный отрезок виден под прямым углом, есть частный
случай только что рассмотре :ного. Этот частный случай полу-
чается, если АВ — к. В самом деле при этом условие (1)
обращается в равенство МА~ -j- МБ1 — АВ2, выражающее тео-
рему Пифагора.	•
Наконец, в качестве последнего примера приведем обще-
известное и весьма простое геометрическое место, относя-
щееся к главе о площадях.
Пример 5. Найти геометрическое место вершин равно-
великих треугольников с общим основанием.
Глава III. МЕТОДЫ, СВЯЗАННЫЕ С УЧЕНИЕМ
О ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ ОТРЕЗКОВ.
§ 1. Метод подобия.
В предыдущем параграфе мы уже отметили, что при изу-
чении „второй части" курса планиметрии — учения о пропор-
циональности отрезков, о подобии, о метрических соотно;
шениях — метод геометрических мест отходит на второй план
и должен уступить место другим методам решения задач на
построение. Важнейшим из этих последних является метод
подобия.
Как известно, суть этого метода весьма проста. Метод со-
стоит в том, что сначала строится некоторая фигура, подобная
искомой, но удовлетворяющая не всем поставленным в задаче
условиям; чтобы удовлетворить и остальным условиям задачи,
построенную вспомогательную фигуру, заменяем фигурой, ей
подобной и удовлетворяющей уже всем требуемым условиям.
В настоящем параграфе мы имеем ввиду обрисовать круг
тех простейших типичнейших задач на метод подобия, кото-
рые находят и должны находить себе место В средней школе.
Наиболее простыми являются здесь те задачи, в которых
искомая фигура определяется по своей форме и размерам,
но не по положению на плоскости (ср. сказанное по этому
поводу в гл. I, § 6). Пусть для определенности речь идет
о построении треугольника. Как известно, треугольник опре-
деляется (по форме и размерам) тремя условиями. Метод
подобия применяется в тех случаях, когда два из этих условий
определяют форму треугольника, а третье устанавливает его
размеры. В числе тех условий, которые определяют форму
треугольника, наиболее простыми являются следующие пары
условий: а) даны два угла треугольника;
Ь) дан угол треугольника и отношение прилежащих сторон;
с) в равнобедренном треугольнике дан угол при основании
(или угол при вершине);
6?) ₽ равнобедренном треугольнике дано отношение основа-
ния к боковой стороне;
69
е) в прямоугольном треугольнике дано отношение катетов
(или катета к гипотенузе);
f) указано, что треугольник — равносторонний, и т. д.
Перехода теперь к элементам, определяющим размеры
треугольника, укажем, что в качестве такозых можно задать
любой линейный элемент треугольника: сторону, сумму двух
сторон, разность двух сторон, периметр, высоту, медиану,
биссектрису, радиус описанного или вписанного круга и т. д.
Действительно, в подобных треугольниках отношение пери-
метров, сходственных высот, сходственных медиан и т. д.
равно отношению сходственных сторон. Комбинируя теперь
одно из условий а—f с заданием одного из линейных элемен-
тов, мы и получаем ряд задач на построение, аналогичных
по своей структуре и по методу решения. Полученным таким
образом задачам можно, конечно, предъявить принципиальный
упрек в идейном однообразии. Однако с методической сто-
роны эти задачи, значительно отличаясь своей формулиров-
кой, все же дадут достаточный материал для упражнений.
Чтобы продемонстрировать разнообразие форм получаю-
щихся здесь задач, приводим только несколько примеров:
1)	Построить треугольник по двум углам и сумме (разно-
сг..) противолежащих сторон, по двум углам и периметру и т. д.
2)	Построить треугольник по основанию, противолежа-
щему углу и отношению боковых сторон.
3)	Построить равнобедренный треугольник по углу при
вершине и медиане угла при основании.
4)	Построить прямоугольный треугольник, зная отношение
катета к гипотенузе и медиану, проведенную к другому ка-
тету.
5)	Построить равносторонний' треугольник, зная радиус
в (евписанной окружности.
6)	Вписать в данную окружность равнобедренный треу-
гольник, зная отношение основания к боковой стороне.
Существенно здесь то, что преподаватель всегда может
иметь в своем распоряжении достаточный выбор несложных
З1дач. Против некоторого однообразия этих задач можно гово-
рить ровно столько же, сколько, скажем, против ряда сход-
ных между собой задач на решение квадратных уравнений
в задачнике по алгебре.
Описанные выше задачи на метод подобия можно несколько
усложнить и в та же время разнообразить, основываясь на
известных свойствах производных пропорций. В силу этих
свойств отношение сумм и\и разностей с одственных линей-
ных элементов двух подобных треугольников равно отношению
70
сходственных сторон. На этом основании можно за элемент
определяющий размеры треугольника, принять, скажем, сумму
высот, разность двух медиан, сумму радиусов описанной и
вписанной окружностей и любую другую аналогичную ком-
бинацию.
Конечно, при решении задач описанного типа надо, как,
и в других аналогичных случаях, соблюдать постепеннее;ь,
и здесь естественной была бы следующая последовательность.
Основнойявляется задача: „построить треугольник ЛВС,подоб-
ный данному треугольнику А'В'С, зная сторону ВС, сход-
ственную стороне В'С данного треугольника*' и аналогичная
задача для многоугольника.
При решении этой основной задачи необходимо проверить
наличие у учащихся конкретных представлений о подобных
фигурах, о масштабе и т. п. Полезно дать задачу на построе-
ние подобного многоугольника, хотя бы, в такой форме: „Имеется
план земельного участка в масштабе 1 : 25000. Вычертить план
того же участка в масштабе 1 : 10 000“. План участка следует
тут же схематически дать в виде произвольной формы четы-
рехугольника, внутри которого нанесена какая-либо точка
(„сторожка", „колодец"). Естественно, что эта задача может
оказаться очень легкой (а может быть и слишком простой)
для учащихся. Тем не менее такого рода вопросов совсем
избегать не следует.
Вслед за решением основной задачи о построении подоб-
ного треугольника и многоугольника следует решить 2—3 за-
дачи, в которых требуется построг ть треугольник, подобный
данному треугольнику, зная какой-либо другой линейный эле-
мент (не сторону). В Этих наиболее про.тых задачах форма
искомого треугольника определяется прямым указанием: „тре-
угольник, подобный данному треугольнику". В следующих
задачах форма искомого треугол:ника задается уже не столь
непосредственно, а в виде одного из требований а—f, приве-
денных выше. Постепенное усложнение ложет итти по двум
направлениям: усложняется и характер тех условий, которые
определяют форму треугольника, и характер задаваемого
линейного элемента (сторона, медиана, высота, сумма двух
сторон, периметр, сумма медиан...).
Все сказанное о решении задач на построение треуголь-
ников с помощью метода подобия можно распространить и на
построение простейших четырехугольников (прямоугольник,
ромб, квадрат), не внося тем никаких принципиальных ослож-
нений, но достигая большого разнообразия в формулировках.
В качестве условий, определяй щих форму прямоугольника,
71
можно взять, скажем, отношение сторон, отношение стороны
к диагонали, угол между диагоналями; форма ромба опреде-
ляется отношением диагоналей или углом; для построения
кв1драта достаточно задать только один линейный Элемент
(например, сумму стороны и диагонали), и т.д.
Отметим теперь две существенных, на наш взгляд, мето-
дических особенности описываемых задач. Первая их особен-
ность—это сравнительная простота исследования. Дело здесь
заключается в следующем. Условия, определяющие форму
фигуры, определяют ее как правило однозначно. Условия,
при которых существует фигура, имеющая данную форму,
очень часто являются почти тривиальными („сумма двух дан-
ных углов треугольника должна быть меньше двух прямых
углов", „отношение катета к гипотенузе должно быть меньше
единицы"). После того, как форма фигуры определена, размеры
фигуры вполне определяются по заданному линейному элемен-
ту, и задача по большей части имеет одно решение.
Вторая особенность рассматриваемой группы задач заклю-
чается в том, что многие из них допускают решение и другими
методами, отличными по существу от метода подобия. Здесь
преподавателю, пожалуй, особенно часто приходится учитывать
сказанное нами в гл. I, § 7. Так, например, задавая следующую
задачу: „построить треугольник по двум углам и радиусу
описанной окружности", учитель может ожидать, что сначала
будет построен произвольный треугольник, имеющий данные
углы, а затем уже построенный вспомогательный треугольник
будет заменен подобным ему треугольником, имеющим дан-
ный радиус описанной окружности. Между тем, эта задача
может быть решена и иначе: так как центральный угол вдвое
более вписанного, опирающегося на ту же дугу, то достаточно
построить окружность данного радиуса и провести в ней
радиусы ОА, ОВ и ОС так, чтобы угол ВОС равнялся удвоен-
ному углу А, угол АОС—удвоенному углу В; треугольник
АВС и будет искомым.
Встречаясь в классе с такого рода решениями, иногда
даже и „непредвиденными", учитель обязан отнестись к ним
с должным вниманием. Было бы неправильным подавить в таких
случаях инициативу учащегося простым указанием на то, что
„задачу требовалось решить методом подобия" или другим
аналогичным аргументом. При отборе задаваемых задач учи-
тель, с одной стороны, может преднамеренно брать задачи,
допускающие различные пути решения. С другой сто-
роны, было бы правильным давать и такие задачи, где
обойтись-без метода подобия нельзя или по крайней мере
72
весьма затруднительно, чтобы таким образом „заставить"
учащихся использовать этот метод.
До сих пор мы говорили только о тех задачах на построе-
ние, разрешимых методом подобия, в которых искомая фигура,
по преимуществу треугольник или четырехугольник, опреде-
лялась лишь по своим форме и размерам. Переходим теперь
к таким задачам, в которых требуется определить не только
форму и размеры искомой фигу’ры, но и положение последней
на плоскости. Задачи этого рода представляются, как правило,
более трудными для решения и потому займут в школе не-
сомненно меньшее место, чем выше рассмотренные.
Типичным примером такой задачи является следующая:
Черт. 18
Задача 1. Построить окружность, касающуюся сторон
данного угла (или, лучше сказать, касающуюся двух данных
пересекающихся прямых) и проходящую через данную точку.
Решение этой общеизвестной задачи приведено в стабиль-
ном учебнике.
Приводим еще несколько задач такого типа, ограничи-
ваясь в большинстве случаев лишь краткими указаниями на
метод решения.
Задача 2. Вписать в данный треугольник квадрат так,
чтобы две вершины лежали на основании, а две другие — на
боковых сторонах треугольника.
Решение. Пусть АВС — данный треугольник (черт. 18), и
KLMN—искомый квадрат, у которого вершины К и L лежат
на основании ВС, а вершины М и М—соответственно на бо-
ковых сторонах АВ и АС треугольника. Построим какой-либо
квадрат K'L’M'N', подобный искомому квадрату, приняв за
73
центр подобия вершину В данного треугольника. Такой ква-
драт построить нетрудно. Заметим теперь, что точки /V и ЛЛ
лежат на одной прямой с точкой В. Из ьтого анализа выте-
кает следующее построение.
Из произвольной точки М' стороны АВ опускаем на осно-
вание ВС перпендикуляр М'К' и на отрезке М'К’, как на
стороне, строим квадрат K'L'M'N’. Точка пересечения W
прямой AN' со стороной АС и будет вершиной искомого
квадрата, и т. д.
Если требовать, чтобы вершины К и L лежали на самом
основании, а вершины М и М на самых боковой сторонах,
то задача не будет иметь решения, если один из углов В и С
данного треугольника — тупой, и будет иметь одно решение
в остальных случаях (углы В и С оба острые или один из
них — острый, другой — прямой). Однако задача становится
всегда возможной и допускает уже несколько решений, если
понимать задачу более широко, а именно так: вершины К и L
должны лежать на прямой ВС (на стороне ВС или на ее
продолжении), а вершины М и ЛА— на прямых АВ и АС.
Обобщением или видоизменением этой задачи являются
следующие задачи.
Задача 3. Вписать в данный треугольник прямоугольник,
подобный данному прямоугольнику так, чтобы две его вершины,
прилежащие к большей стороне (к меньшей стороне), лежали
на основании, а две другие — на боковых сторонах треуголь-
ника.
Задача 4. Вписать в данный сектор круга квадрат.
Задача 5. Вписать в данный сегмент круга квадрат.
Задача б. Вписать в данный сектор круга прямоуголь
ник, подобный данному прямоугольнику, так, чтобы две его
вершины, прилежащие к большей стороне (к меньшей стороне),
лежали на радиусах, ограничивающих сектор.
Задача 7. Вписать в данный сегмент круга прямоуголь-
ник, подобный данному прямоугольнику, так, чтобы его боль-
шая сторона (меньшая сторона) лежала на хорде сегмента.
Все задачи этой группы решаются аналогично рассмотрен-
ной выше задаче 2. В задачах 3, б и 7 вместо вспомогатель-
ного к адрата приходится строить вспомогательный прямо-
угольник, подобный данному. Основная методическая трудность
этих и аналогичных задач заключается в выборе соответству-
ющего центра подобия. В задачах 2, 3 центром подобия
служит один из концов основания; в задачах 4, б — центр
данного круга; в задачах 5,7—середина хорды, ограничивающей
данный сегмент.
74
Наконец, типичной для метода подобия является и следу-
ющая задача.
Задача 8. Даны две пересекающиеся прямые и точка.
Провести через эту точку такую прямую, чтобы отрезок ее,
заключенный между двумя данными прямыми, делился в этой
точке (внутренним образом, внешним образом) в данном от-
ношении.
Решение. Пусть для определенности отрезок MN, концы
которого лежат на данных прямых АВ и АС, делится в дан-
ной точке О внутренним образом в данном отношении МО: ON
(черт. 19). Соединим точку О с произвольной точкой М' пря-
мой АВ и построим такую точку N', чтобы отношение МО ’• ON'
также имело данное значение. В таком случае треугольники
МОМ и NON' будут подобны (в билу равенства углов МОМ
и NON' и пропорциональности сторон МО : CN — М'О : O'N)
и потому прямая M'N' будет параллельна АВ.
Отсюда вытекает такое построение.
Соединяем данную точку О с произвольной точкой М'
прямой АВ и строим на прямей ОМ' такую точку N', чтобы
отношение М'О’. ON' имело данное значение. Через точку N'
проводим прямую, параллельную АВ. Точка ее пересечения
N с прямой АС и будет одним из концоз искомого отрезка.
Задача всегда возможна и имеет одно решение (если,
конечно, точка О не лежит ни на одной из давных прямых)
Совершенно так же решается следующая задача.
Задача 9. Даны окружность, прямая линия и точка.
Провести через эту точку такую прямую, чтобы отрезок
ее, заключенный между данной прямой и данной окружностью,
делился в данной точке (внутренним образом, внешним обра-
зом) в данном отношении.
Сказанное в этом параграфе достаточно обрисовывает те
типы задач, которые можно и следует рассматривать в VIII
классе в связи с методом подобия.
75
§ 2. -Построение отрезков, заданных формулами.
Следующей группой задач на построение, разрешаемых
главным образом с помощью теорем о пропорциональных
отрезках, являются те задачи, где требуется построить отре-
зок, знтя алгебраическое выражение этого отрезка через
некоторые данные отрезки.
Усюзимся обозначать во всем дальнейшем буквами а, Ь,
£, ... данные отрезки, буквами т, п —натуральные числа,
буквой х -искомый отрезок, буквами у, z, ...—вспомога-
тельные отрезки, построение которых необходимо для по-
строения искомого отрезка.
В основу решения всех задач рассматриваемого типа
полагаются построения отрезков, определяемых следующими
основными формулами:
«
х = а+ Ь .. . (а); №= ^-а ... (Ь); л — ~ • (с); л == V аЬ... (d);
х = V+ь'г • • • (е); х = (а > 6) . ., (f).
Формула (а) дает элементарное построение суммы или
разности отрезков, формула (Ь) — деление отрезка на п рав-
ных частей, формула (с) — построение четвертого пропорцио-
нального, формула (d) — построение среднего пропорциональ-
ного, формула (е) — построение гипотенузы по двум катетам,
формула (f)—построение катета по гипотенузе и другому
катету. Эти построения общеизвестны.
Комбинируя эти построения между собой, можно получить
большое число выражений более сложной структуры, кото-
рые строятся с помощью циркуля и линейки. Дальнейшего
разнообразия можно достичь, пола,ая некоторые из входя-
щих в данное выражение отрезков равными между собой.
Приводим теперь ряд примеров не на построение готовых
уже выражений, а на составление таких комбинаций из основ-
ных формул (а) — (f). Несмотря на то, что учащимся мы
должны, конечно, давать эти выражения в готовом виде, для
преподавателя представляет смысл и работа по составлению
подходящих выражений. Это дает возможность и самостоя-
тельного составления новых примеров и позволяет лучше
анализировать выражения, предлагаемые для построения
а готовом виде.
Пример 1. Комбинируя два, три, . . . построения (с),
мы приходим к следующим построениям.
76
„	ay	cd
Ьсли даны два построения	У = ~, то их сочета-
йся/ —
нце дает Х — ~^. Объединяя три построения X —
ef	асеГ
получаем выражение % = и т- Д-
ченных выражениях некоторые из отрезков
собой, получаем следующие задачи:
a"	acd	ас*	ас<1
г', х~~г',
b	be	be	b‘
as	acef
X = -p; X = . , - и т. д.
o-’ bag
ау	а
Полагая в полу-
равными между
ас2
ab
X \
с ’
Пример 2. Комбинируя выражения вида (с) и (d), можно
получить примеры следующего типа:
х — ~ дС~' > х~а\/с (получается из предыдущего при Л—с)'-
/ abc (	/ Ьс\
х~\/ ~~d (строится как Х — l/
Пример 3. Комбинируя два построения вида (d), можно
получить, беря X — \!йу; у = |/ Ьс, следующее выражение
X^xjay/bc ~ }/а2Ьс~. Аналогично, беря X = ]/yz; У = / ab‘,
z—\/cd, получим х = abed.
Пример 4. Построение Х ~ а\/п в общем случае можно
осуществить как X а-па. В частных случаял возможно ис-
пользовать тесремуПифагора. Например, X а]'5=|/(2а)2-|-й!2;
Х — а |/ 24 = |/(5й)2—а2. В этой связи необходимо отметить
построения X = а]/2 (гипотенуза равнобедренного прямоуголь-
ного треугольника со стороной а) и х—ау'З (удвоенная вы-
сота равностороннего треугольника со стороной а).
Остановимся еще на некоторых построениях, отличающих-
ся от основных по своему выполнению. Некоторые из приво-
димых ниже построений не имеют практического значения,
поскольку они не проще общепринятых. Они могут пригодить-
ся только в качестве домашних самостоятельных упражне-
ний учащихся, давая повод для повторения и использования
тех или иных теорем. Примерами могут служить построения
1—З'из числа приводимых ниже. Другие могут служить прак-
тически при построении более‘сложных выражений, приводя
• 77
иногда к более простым решениям, чем комбинация основных
построений (a)—(f). Примерами служат построения 4—б.
Построение 1. Использовать для деления отрезка «а
три равные части теорему о точке пересечения медиан тре-
угольника.
Решение. Принимаем данный отрезок АВ за одну из ме-
диан некоторого вспомогательного треугольника. Чтобы по-
строить такой треугольник AMN, проводим через точку В про-
извольную прямую и откладываем на ней в обе стороны от
точки В равные отрезки ВМ— BN. Точка пересечения медиан
треугольника AMN отсекает от отрезка АВ одну треть.
По строение 2. Использовать для построения четвертой
пропорциональной теорему об отрезках хорд, пересекающихся
внутри окружности (секущих, пересекающихся вне окружности).
Решение. Пусть требуется построить отрезок х=—с .
Строим две произвольные прямые, пересекающиеся в некоторой
точке Р. Откладываем на одной из этих прямых в обе сто-
роны от точки Р отрезки РА — а и РВ = Ь. На другой из
прямых откладываем от точки Р отрезок PC = с. Вторая точ-
ка пересечения X окружности, проходящей через точки А, В и С,
с прямой СХ и определит искомый отрезок.
78
Желая воспользоваться теоремой о секущих, пересекаю-
щихся вне окружности, мы должны были бы отложить отрезки
РА —а пРВ—b не в противоположные стороны, а в одну
и ту же сторону.
Построение 3. Использозать для построения среднего
пропорционального теорему о касательной и секущей-
Ре шение. Пусть требуется построить х = \/ ab. На про-
извольной прямой откладываем от любой ее точки в одну сто-
рону отрезки РА — а н РВ = Ь. Через точки А и В проводим
произвольную окружность. Отрезок касательной, проведенной
к этой окружности из точки Р, и будет искомым отрез-
ком.
Пост роение 4. Построить два отрезка, отношение ко-
торых равнялось бы отношению квадратов данных отрезков.
Решение. Пусть требуется построить какие-либо два от-
резка х и у, удовлетворяющие условию х у — а- '.Ъ“. Строим
прямоугольный треугольник с катетами а и Ь. Проекции X и у
этих катетов на гипотенузу построенного треугольника и можно
принять за искомые отрезки. Действительно, если с — гипоте-
нуза построенного треугольника, то сх = а2, су — Ь~, откуда
х : у = а2: Ь2.
Построение 5- Построить два отрезка, отношение ко-
торых равнялось бы отношению квадратных корней из данных
отрезков.
Решение. Пусть требуется построить какие-либо два
отрезка хну, удовлетворяющие условию х : у — |/ а : \'Ь.
Так как отсюда вытекает, что а:Ь=х2:у\ то построение в
известном смысле обратно предыдущему. Строим прямоуголь-
ный треугольник, в котором а и Ь являются проекциями
катетов на гипотенузу. Катеты этого треугольника и будут
искомыми отрезками.
Построение 6. Построить пары отрезков, отношение
которых равнялось бы отношению квадратов, кубов, четвертых
степеней,... данных отрезков.
Решение. Пусть требуется построить два отрезка, отноше-
ние которых равнялось бы а2: Ь2, далее — два отрезку отноше-
ние которых равнялось бы а"‘: Ь\ и т. д. Строим две
перпендикулярные прямые XX' и YY (черт.20), пересекаю-
щиеся в точке О. На луче ОХ откладываем отрезок ОК — Ь,
на луче OY—отрезок OL=a. Соединяем точки /Си Ln через
точку L проводим прямую LM, перпендикулярную к KL.
Чер’ез точку пересечения М построенной прямой с лучрм ОХ
проводим прямую MN, к ней перпендикулярную и т. д.
79
Из подобия прямоугольных треугольников OKL, OLM,
OMN,.имеем а : b =-OL'. ОК = ОМ : 0L = ON : ОМ ....
Отсюда OL:OK=a:b; ОМ : ОК~(ОМ : OL) . (0L : ОК) =
= d,-'.b'-'-, ONОК = (ON'.ОМ). (ОМ'.ОК) = а?& и т. д.
После всего того, что уже несколько раз говорилось выше
о месте тех или других задач иа построение в школьном курсе,
вряд ли следует подробно говорить о том, что задачи того
типа, которые мы здесь рассматривали, не должны принимать
в школьном курсе самодовлеющего значения и выделяться
в особый раздел („Приложение алгебры к геометрии” или
что-либо в этом роде). Упражнения на построение отрезков,
заданных формулами, должны .непосредственно сопровождать
изучение тех теорем курса, на которых эти построения осно-
ваны (скажем на тех же правах, что и относящиеся сюда
задачи на вычисление).
§ 3. Алгебраический метод
Сущность алгебраического метода решения алгебраических
задач на построение состоит в следующем. Прежде всего
представляем задачу в таком виде, чтобы искомой величиной
был некоторый отрезок. Далее, пользуясь теоремами о метри-
ческих соотношениях, выражаем искомый о резок алгебраи-
чески через данные отрезки. Если удается получить такое
выражение искомого отрезка через данные, которое можно
построить, как было указано в § 2, то выполняем это построе-
ние. Таким путем искомый отрезок будет построен.
Алгебраический метод решения занимает совершенно раз-
личное место в принципи-льном отношении и в методическом
отношении. С точки зрения теоретической алгебраический
метод имеет весьма большее значение. Дело в том, что, как
доказывается в теории геометрических построений, с помощью
циркуля и линейки могут быть построены те и только те
отрезки, которые выражаются через данные отрезки с помо-
щью рациональных операций и квадратных радикалов; при
этом в качестве коэффиц 1ентов должны фигурировать лишь
рациональные числа. Таким образом именно алгебраический
метод лежит в основе решения вопроса о возможности
выполнить то или иное построение с помощью циркуля и
линейки, и в этом его первое значение.
Далее алгебраический метод имеет принципиальное значе-
ние еще и в другом отн.шении. Дело в том, что самый вид
алгебраического выражения подсказывает путь для его построе-
ния. Таким образом алгебраический метод не только уста-
?0
навливает разрешимость определенной задачи, но и подска-
зывает (более или менее автоматически) способ ее решения.
В противоположность этому методическое значение алге-
браического метода в преподавании геометрии в школе пред-
ставляется нам весьма ограниченным. Основным его недо-
статком следует считать его малую геометричность. Давая
возможность так или иначе, часто в результате довольно
сложных построений, получить искомую фигуру, алгебраический
метод не раскрывает геометрической сущности решения задачи.
Вот почему при решении задач на построение в школе мы
всегда должны отдавать предпочтение другим методам перед
алгебраическим.
Желая сделать наглядными эти особенности алгебраического
метода, приведем два решения одной и той же задачи, исполь-
зуя алгебраический метод в первом решении и чисто геомет-
рические соображения во втором.
Задача. Провести через данную точку, лежащую внутри
данной окружности, хорду, равную данному отрезку I.
Первое решение. Задача будет решена, если будут вычис-
лены, а затем построены, те два отрезка х — Д7И и у—AN,
на которые данная точка А делит искомый отрезок MN.
За данные отрезки естественно принять кроме давного от-
резка I радиус данной окружности г и расстояние d данной
точки от центра окружности. Чтобы вычислить отрезки X
и у, примем во внимание прежде всего очевидное равенство
х-~у — 1..... (1). Далее, проводя через точку А диаметр KL,
получим AM. AN — АК-AL или ху = (r-\-d)(r—d)..........(2).
Из равенств (1) и (2) .видно, что отрезки X и у будут корнями
квадратного уравнения z~ — lz -}- (г1 — d1) — 0. Решая это квад-
ратное уравнение и обозначая для определенности через Л
больший из двух отрезков, получим л‘	(2) —r2-\~d‘
и у —	2-~f2~i~d2. По этим двум формулам мы
и строим отрезки X и у, пользуясь теми приемами, которые
изложены в § 2.
Второе решение. Так как все хорды данной окружности,
равные I, равноудалены от центра, то расстояние искомой
хорды от центра можно определить, построив в данной окруж-
ности любую хорду, равную I. Далее примем во внимание,
что все прямые, равноудаленные от центра данной окружно-
сти, касаются одной и той же окружности, концентрическо ,
с данной. В результате мы приходим к такому построению.
с	81
О Заказ 1744
проводим в данной окружности к^кую-либо хорду, равную I.
Из центра окружности опускаем на эту хорду перпендикуляр.
Строим окружность, концентрическую с данной и имеющую
построенный перпендикуляр своим радиусом. Наконец, из
данной точки приводим к этой окружности касательные. Эги
касательные и дают искомые хорды.
На исследовании задачи останавливаться не будем.
По поводу приведенного примера можно было бы, конечно,
и возражать. Могло бы показаться, что выбрана именно та-
кая задача, где алгебраический метод мало пригоден, и т. д.
Однако, мы полагаем, что положение вещей, имеющее место
в только-что решенной задаче, является типичным для очень
многих задач на построение: их алгебраическое решение
представляется более „неуклюжим", чем построения, найден-
ные из геометрических соображений.
Но есть, конечно, и такие задачи, где алгебраический
метод представляется наиболее простым и естественным.
В качестве хорошо известного примера приведем хотя бы
алгебраическое решение такой задачи.
Задача. Провести через две данные точки окружность,
касающуюся данной прямой.
Решение. Пусть А и В—данные точки, С—точка пересе-
чения прямой АВ с данной прямой. Отрезок касательной
к искомой окружности, прозеденной из точки С, равен сред-
нему пропорциональному между СА и СВ. Построив отрезок,
разный ]/СА . СВ, откладываем его от данной прямой в обе
стороны от точки С и получаем искомые точки касания. Центр
искомой окружности лежит как на перпендикуляре к отрезку
АВ, восставленн< м в его середине, так и на перпендикуляре
к данной прямой, восставленном в найденной точке касания.
Задача имеет два решения, если точки А и В лежат по
одну сторону от данной прямой, одно решение, если одна
из аочек лежит на данной прямой, и не имеет решений, если
точки А полежат по разные стороны отданной прямой или если
обе они лежат на данной прямой. Построение, описанное выше,
заменяется более простым, если прямая АВ параллельна дан-
ной прямой, или если одна из точек лежит на данной прямой.
Мы показали выше (гл. I, § 7), что и эта задача может
быть решена иначе—с помощью понятий симметрии и геомет-
рического места. Однако в данном случае несомненное пре-
имущество оказывается на стороне алгебраического решения.
Переходим к вопросу о месте алгебраического метода
в школе. Мы считаем, что задачи, разрешаемые этим мето-
дом, должны составлять просто один из видов упражнений,
82
которые предлагаются учащимся по соответствующим разде-
лам курса Нет, по нашему мнению, никакой надобности вы-
делять эти задачи в какой-то особый раздел. В самом деле,
такое выделение имело бы смысл и интерес лишь с той
принципиальной точки зрения (вопросы разрешимости и т. д.),
о которой мы кратко упоминали в начале параграфа. Дело
должно обстоять так, что наряду с задачами на построение
алгебраических выражений, заданных в готовом виде, пред-
лагаются иногда и такие задачи, где соответствующее алгеб-
раическое выражение надо еще сначала составить.
Самые задачи должны выбираться так, чтобы алгебраиче-
ский подход к их решению представлялся наиболее естествен-
ным. Кроме того, следует ограничиваться лишь такими зада-
чами, где получающееся алгебраическое выражение не требует
бо ьшого числа построений. Ведь если для математика до-
статочно констатировать самую возможность построить полу-
ченное выражение, то учащийся пожелает, и совершенно
законно, осуществить и самое построение на бумаге. Мы
должны позаботиться о том, чтобы длинная цепь построений
Не заслонила от ученика самой сути дела.
Те главы курса геометрии — метрические соотношения в
окружности и учение о площадях, которые изучаются в тот
момент, когда разобраны построения важнейших алгебраиче-
ских выражений ()/ab, V а2 + Ьг ) должны давать и действи-
тельно дают здесь подходящий материал для упражнений.
Рассмотренная выше задача о построении окружности,
проходящей через две точки и касающейся данной прямой,
может служить примером. Укажем еще на следующие задачи,
которые могли бы быть, по нашему мнению, рекомендованы
для школы:
1)	Провести через данную точку, лежащую вне данной
окружности, такую секущую, чтобы она делилась второй точ-
кой пересечения с окружностью в данном отношении.
2)	Построить прямоугольник сданным основанием, равно-
великий данному прямоугольнику (данному параллелограму,
данному треугольнику, данной трапеции, данному произволь-
ному четырехугольнику).
3)	Построить квадрат (равносторонний треугольник), рав-
новеликий данному треугольнику, прямоугольнику и т. д.
4)	Разделить площадь данного треугольника пополам (в от-
ношении 1:2 и т. д.) прямой, параллельной основанию.
5)	Разделить площадь данною прямоугольника в данном
отношении (1:3, 1:4, т'.п и т. д.‘) прямой, параллел
его диагонали.
6*
Наконец, -в качестве более сложной задачи, рекомендует-
ся задача о делении отрезка в крайнем к среднем отношении.
Эта задача имеет, как известно, большое общеобразователь-
ное значение („золотое деление41)*
БИБЛИОГРАФИЯ.
1. Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений, М., 1938.
2. Александров И. И, Геометрические задачи на построение и методы
их решения, М, 1934 (Предыдущие издания под заглавием „Сборник
задач на построение".)
,3 Адлер А., Теория геометрических построений, М, 1940. (Есть и более
ранние издания )
•4, Браун И., Задачи на построение в средней школе, «Математика
и физика в школе", 1936, Кв 4.
5.	Майергойз Д,, Алгебраический метод решения задач на построение,
„Математика в школе", 1939, № 5 и № 6.
6.	Фу рсенко В. Б.. Лексикографическое изложение конструктивных
задач геометрия Tpeyi ольника, „Математика в школе", 1937, № 5
и № б (содержит подробную библиографию).
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
Б. Г. ЯНЯНЬЕВ, проф., Воспитание внимания школьника.
52 стр., ц. 1 р. 50 к.
Б. В. ГНЕДЕНКО, проф.. Краткие беседы о зарождении
и развитии математики. 40 стр., ц. 1 р. 20 к.
В. В. ГОЛУБКОВ, проф.. Преподавание литературы в до-
революционной средней школе. Выпуск I—„Из прош-
лого литературного чтения". 176 стр., ц. 5 р. 40 к.
В. Я. ДОБРОМЫСЛОВ,. Изложения и сочинения в семи-
летней школе.
Е. С- КОНДЯХЧЯН, Рисование в начальной школе.
52 стр., ц. 1 р. 35 к.
С. К. КУНИН, Воспитание здорового школьника и до-
школьника. 56 стр., ц. 1 р. 75 к.
Я. В. ПЕРЫШКИН, Повторение курса физики, 28 стр.
ц. I р.
Г. В. ПОЛЯК, Устный счет в начальной школе. 125 стр.,
ц. 4 руб.
И. П. ПОНОМЯРЬКОВ, Хоровое пение в школе.
«Вопросы методики преподавания биологии*, сборник
под редакцией Л. Я. Яхонтова.
НАХОДИТСЯ В ПЕЧАТИ
Г. К. БОЧАРОВ, Живое слово преподавателя литера-
туры.