Text
                    А.ВЛ. ГУРЕВИЧ
Р.Г. МИНЦ
А.Л. РАХМАНОВ
ФИЗИКА
КОМПОЗИТНЫХ
СВЕРХПРОВОДНИКОВ
Под редакцией Р.Г. МИНЦА
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 8 7


ББК 22.379 Г95 УДК 539.21 Г у р е в и ч А.Вл., Минц Р.Г., Рахманов АЛ. Физика ком- композитных сверхпровоцников/Под ред. Р.Г. Минца. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 240 с. Изложены современные представления о жестких и композитных сверхпро- сверхпроводниках. Рассмотрены электродинамические, тепловые и механические процессы, в частности проблема устойчивости сверхпроводящего состояния, диссипация энергии в переменных полях, тепловое разрушение сверхпрово- сверхпроводимости током. Общие результаты проиллюстрированы большим числом конкретных примеров. Существенное внимание уделено сопоставлению ре- результатов теории и эксперимента. Для научных сотрудников и инженеров, специализирующихся в области исследования и применения сверхпроводимости, а также студентов и аспиран- аспирантов соответствующих специальностей. Табл. 2. Ил. 118. Библиогр. 257 назв. Рецензент доктор физ.-мат. наук Л.М. Фишер Александр Владимирович Гуревич Роман Германович Мииц Александр Львович Рахманов ФИЗИКА КОМПОЗИТНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ Редактор ГМ.Карасева Художественный редактор Т.Н.Кольченко Технические редакторы С.В.Геворкян, В.Н.Никитина Корректоры ИМ. Круглоеа, Т.В. Обод Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах ИБ № 12773 Сдано в набор 29.10.86. Подписано к печати 2.02.87. T-0S238 Формат 60 х 90 1/16. Бумага офсетная № 1 Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная Усл.печл. 15,0. Усл.кр.-отт. 15,0. Уч.-изд. л. 15,91 Тираж 2275 экз. Тип. зак.4 61. Цена 2 р. 70 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука" Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства "Наука" 630077 г.Новосибирск-77, ул.Станиславского, 25 ©Издательство "Наука" 1704060000-080 Главная редакция Г—^ГТТТггГ^ 95-87 физико-математической U53@2)-87 литературы, 1987
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 5 Введение 7 ГЛАВА 1. ЖЕСТКИЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ 11 §1.1. Вязкое течение магнитного потока, пиннинг 12 §1.2. Критическое состояние жестких сверхпроводников 22 §1.3. Резистивное состояние жестких сверхпроводников 28 ГЛАВА 2 СТРУКТУРА И ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПОЗИТ НЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ 38 § 2.1. Композитные сверхпроводники 38 § 2.2. Физические свойства элементов композитных сверхпроводников ... 43 §2.3. Физические свойства сверхпроводящих композитов 52 ГЛАВА 3. ПОТЕРИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ . ; 59 § 3.1. Качественная теория .... 59 § 3.2. Гистерезисные потери - . 69 § 3.3. Потери в композитных сверхпроводниках (a <R) 77 § 3.4. Потери в композитных сверхпроводниках (а — R) 85 § 3.5. Потери в композитных сверхпроводниках с транспортным током 92 § 3.6. Потери в волокнистых композитных сверхпроводниках 95 ГЛАНД. J. УСТОЙЧИВОСТЬ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ 101 §4.1. Качественная теория скачков магнитного потока 102 § 4.2. Жесткие сверхпроводники (т < 1) 114 § 4.3. Композитные сверхпроводники (т > 1) 126 § 4.4. Ограниченные скачки магнитного потока в жестких сверхпровод- сверхпроводниках 139 § 4.5. Токонесущая способность композитных сверхпроводников 143 § 4.6. Термомеханическая неустойчивость пластического течения композит- композитных сверхпроводников 147 § 47. Термомагнитомеханическая неустойчивость, тренировка сверхпро- сверхпроводников 152 ГЛАВА 5. ТЕПЛОВОЕ РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ 162 § 51. Тепловое равновесие в сверхпроводниках стоком 162 § 5.2. Распространение границы раздела нормальной и сверхпроводящей фаз 169 § 5.3. Резистивные домены 178 ** 3
§5.4. Разрушение сверхпроводимости тепловым импульсом . . . . . 186 § 5.5. Локализация нормальной фазы в неоднородных сверхпровод- сверхпроводниках 197 § 5.6. Динамические явления в сверхпроводниках с резисгивной фазой 209 § 5.7. Разрушение сверхпроводимости в композитных сверхпроводниках с большими переходными сопротивлениями 221 Приложения 231 - П1. Связь между величиной потерь и магнитным моментом проводника . 231 П2. Импеданс сверхпроводника с доменом ... 232 Список литературы 235
ПРЕДИСЛОВИЕ Физика композитных сверхпроводников — относительно молодая, интен- интенсивно развивающаяся область науки. Над созданием, изучением и приме- применением сверхпроводящих композитов, состоящих из жестких сверхпровод- сверхпроводников и нормальных металлов, работает большое число ученых и инжене- инженеров самого широкого профиля. Неизменно высокий интерес к компо- композитным сверхпроводникам обусловлен весьма необычными физическими свойствами таких проводников и заманчивыми перспективами их исполь- использования. Достаточно упомянуть, что современные композиты остаются сверхпроводящими в магнитном поле с индукцией вплоть до нескольких десятков тесла, а плотность сверхпроводящего тока в них достигает вели- величины 109—10' ° А/м2. Кроме того, уже проектируются, создаются и эксплу- эксплуатируются крупные сверхпроводящие магнитные системы для таких уст- устройств, как термоядерные и МГД-установки, накопители энергии, электри- электрические генераторы, ускорители и детекторы элементарных частиц, ЯМР-то- мографы и т.д. Использовать же сверхпроводимость для получения сильных магнитных полей можно лишь с помощью композитных сверхпроводников. Изучению физики сверхпроводящих композитов посвящено большое число оригинальных работ и ряд обзоров, опубликованных в многочислен- многочисленных специализированных и неспециализированных журналах, препринтах и сборниках трудов регулярно собирающихся международных и всесоюз- всесоюзных конференций. Отдельные вопросы детально изложены в нескольких монографиях, некоторые — попутно в монографиях по прикладной сверх- сверхпроводимости. Такая ситуация создает значительные трудности в случае, когда необходимо познакомиться с современным состоянием физики композитных сверхпроводников в целом. Настоящая книга является первой попыткой систематически изложить весь круг вопросов, относящихся к макроскопической физике сверхпро- сверхпроводящих композитов. В ней детально рассмотрены различные электромаг- электромагнитные, тепловые и механические процессы, определяющие устойчивость сверхпроводящего состояния, потери энергии в сверхпроводниках, разру- разрушение сверхпроводимости в присутствии транспортного тока. Рассчи-
тайная на широкий круг читателей книга содержит подробное обсуждение вязкого течения магнитного потока, критического и резистивного состоя- состояний в жестких сверхпроводниках, структуры и физических характеристик композитных сверхпроводников. При изложении материала сначала при- приводится общий подход к рассматриваемому явлению, а затем — его при- применение к решению нескольких конкретных, наиболее типичных задач. Значительное внимание в каждом случае уделяется физической интерпре- интерпретации полученных результатов. Для этого строгому математическому под- подходу, как правило, предпослана качественная теория исследуемого процес- процесса. Много места отведено сопоставлению результатов теории и эксперимен- эксперимента, а также численным оценкам физических величин и параметров, опре- определяющих рассматриваемые явления. При составлении библиографии, в основном, цитировались обзорные статьи и книги. Приведены также ссылки на наиболее существенные из оригинальных работ и на те из них, которые касаются вопросов, не нашед- нашедших своего отражения в обзорах и монографиях. Авторы будут благодарны за критические замечания, высказанные в адрес книги. Сентябрь 1985
ВВЕДЕНИЕ Заманчивая идея использовать сверхпроводники для получения сильных магнитных полей возникла сразу же после открытия сверхпроводимости. Тем не менее реализовать ее долго не удавалось. Оказалось, что критичес- критические магнитные поля для чистых металлов, сверхпроводимость которых исследовалась поначалу, не превышают 0,2 Тл. Ситуация резко изменилась к лучшему в конце 50-х — начале 60-х го- годов, после открытия так называемых жестких сверхпроводников, в част- частности сплавов Nb— Ti и Nb— Zr различного состава, соединения Nb3Sn и других. Изготовленные из них небольшие соленоиды позволили полу- получить магнитные поля с индукцией вплоть до 10 Тл. Одновременно удалось достичь и весьма высокой плотности критического тока. Величина ее была доведена до 109—10'° А/м2 путем специальной термомеханической обра- обработки, при которой в жестком сверхпроводнике создается большое число дефектов кристаллической структуры. Эти результаты вселяли определенный оптимизм, и некоторое время казалось, что основные препятствия на пути практического использования сверхпроводимости преодолены. Однако, изучая жесткие сверхпровод- сверхпроводники с высокими плотностями критического тока, исследователи доволь- довольно быстро столкнулись с термомагнитной неустойчивостью. Она проявляет- проявляется в виде скачкообразного изменения магнитного потока в сверхпроводни- сверхпроводнике с характерным временем 10~6—10~4 с. Такой процесс, естественно, сопровождается интенсивным тепловыделением и, как правило, приводит к переходу в нормальное состояние. Оказалось, что термо магнитная не- неустойчивость инициируется уже малыми возмущениями температуры и магнитного поля. Условия ее возникновения практически не зависят от ха- характера охлаждения, так как жесткие сверхпроводники имеют относи- относительно низкую теплопроводность, препятствующую достаточно эффектив- эффективному теплоотводу. Дальнейшие исследования показали, что термомагнит- термомагнитную неустойчивость можно предотвратить, если поперечный размер провЪд- ника (например радиус провода или толщина слоя) меньше некоторого критического значения, это значение обычно порядка 10~4 м.
Это, как выяснилось, еще не решает проблему стабилизации сверхпрово- сверхпроводящего состояния. Действительно, при температуре выше критической сверхпроводники, о которых идет речь, являются "плохими" металлами. Их тепло- и электропроводность на три — четыре порядка меньше, чем, на- например, у меди. Следовательно, если при плотности тока, примерно равной критической, в сверхпроводнике по случайной причине возникает участок нормальной фазы, то мощность джоулева тепловыделения в нем будет весьма велика; иногда — настолько, что проводник с поперечным размером 10~6 —10~s м может даже расплавиться. Предотвратить зто удается, покрыв жесткий сверхпроводник слоем металла с большими значениями тепло- и электропроводности. Такое покрытие шунтирует участки, на которых произошел переход в нормальное состояние, и одновременно способствует эффективному теплоотводу. В результате уже при равных поперечных раз- размерах сверхпроводника и металла удельная мощность джоулева тепловы- тепловыделения снижается на два четыре порядка. Этого обычно оказывается достаточно, чтобы стабилизировать сверхпроводящее состояние по отно- отношению к действию случайных импульсных источников тепла, приводящих к образованию зародышей нормальной фазы. Таким образом, непосредственно использовать жесткие сверхпровод- сверхпроводники с высокой плотностью тока для получения, например, сильных маг- магнитных полей можно лишь в виде очень тонких жилок или ленточек. Одна- Однако при этом они не обладают необходимой прочностью, а ьо многих слу- случаях, из-за большого числа дефектов кристаллической структуры, и доста- достаточной пластичностью. Естественным и, по существу, единственным выхо- выходом из сложившейся ситуации является создание сверхпроводящих компо- композитов. В них жесткий сверхпроводник и нормальный металл, находящиеся в тепловом и электрическом контакте между собой, объединены в одно целое. Сочетание и взаимное расположение компонент в таких материа- материалах определяется их назначением и может быть весьма сложным и разно- разнообразным. К числу наиболее распространенных конструкций относятся: многожильные композиты, где в матрицу из нормального металла внедрена регулярная структура сверхпроводящих жилок: ленточные, состоящие из чередующихся слоев нормального металла и сверхпроводника; и волокнис- волокнистые, в которых сильно вытянутые сверхпроводящие "иголочки" образуют неупорядоченную сеть в нормальном металле матрицы. Создание композитных сверхпроводников позволяет одновременно решить целый комплекс проблем- Основные из них — подавить термо- термомагнитную неустойчивость, стабилизировать сверхпроводящее состояние относительно сильных импульсных возмущений, уменьшить мощность тепловыделения в нестационарных внешних условиях, обеспечить необхо- необходимые прочность и пластичность. Следует отметить, что оптимальная кон- 8
струкция композитного сверхпроводника должна удовлетворять, как пра- правило, весьма противоречивым требованиям. Действительно, для стабилиза- стабилизации сверхпроводящего состояния необходимо увеличивать относительную концентрацию нормального металла, но при этом средняя по сечению про- провода плотность тока может стать значительно меньше критической; приме- применение матрицы с высокой электропроводностью способствует подавле- подавлению термомагнитной неустойчивости, но приводит к увеличению удельной мощности тепловыделения в переменном внешнем магнитном поле и так далее. По этим причинам конструкция композитного сверхпроводника, учитывающая характер условий, в которых он будет использоваться, всегда представляет собой некий компромисс. Достигается он путем выбора того или иного жесткого сверхпроводника, применением матриц, содержа- содержащих высоко- и низкоомную компоненты, уменьшением диаметра сверхпро- сверхпроводящих жилок и их скруткой относительно продольной оси провода и другими способами. Специфика электромагнитных, тепловых и механических процессов в композитных сверхпроводниках обусловлена их тесной взаимосвязью. В основном она определяется сильной зависимостью вольт-амперной харак- характеристики жестких сверхпроводников от температуры и магнитного поля, а в ряде случаев и от деформации. Теоретическое и экспериментальное изучение электродинамики и низкотемпературной механики столь сложной гетерогенной, анизотропной и нелинейной среды, как сверхпроводящий композит на уровне отдельных элементов его структуры, практически невозможно. Кроме того, интерес обычно представляют лишь средние значения температуры, напряженности электрического поля, плотности тока, индукции магнитного поля, механического напряжения, деформации и других величин. Таким образом, возникает характерная для гетероген- гетерогенных сред ситуация, когда от "микроскопического" описания задачи удобно и естественно перейти к макроскопическому. При этом сверхпроводящий композит рассматривается как однородная анизотропная среда с некими эффективными характеристиками. Определяют их, усредняя физические параметры жесткого сверхпроводника и нормального металла матрицы по областям, содержащим большое число элементов структуры композита (жилок, слоев, волокон,...). Изучение макроскопических свойств композитных сверхпроводников и протекающих в них процессов и составляет предмет интенсиьно разви- развивающейся физики композитных сверхпроводников. В настоящей моно- монографии предпринята попытка описать ее с единых позиций. В гл. 1 дан краткий обзор необходимых для дальнейшего сведений о физике жестких сверхпроводников. Основное внимание уделено крити- критическому состоянию, вязкому течению магнитного потока и нелинейности вольт-амперных характеристик в слабых электрических полях. 9
Гл. 2 во многом носит справочный характер. В ней описаны структуры наиболее распространенных сверхпроводящих композитов и приведены их типичные характеристики. К слову "типичные" следует относиться с из- известной осторожностью, так как в результате совершенствования техноло- технологии изготовления композитных сверхпроводников, а также успехов в ма- материаловедении жестких сверхпроводников параметры сверхпроводящих композитов постоянно улучшаются. Дня удобства в книге Приведены тепловые, электрические и механические характеристики наиболее распро- распространенных сейчас жестких сверхпроводников Nb— Ti и Nb3Sn, а также меди и алюминия. Гл. 3 посвящена диссипативным процессам в композитных сверхпро- сверхпроводниках, находящихся в переменных электромагнитных полях. Рассмот- Рассмотрены гистерезисные потери в жестких сверхпроводниках и потери в скру- скрученных многожильных сверхпроводящих композитах. Обсуждаются осо- особенности диссипативных процессов в волокнистых композитных сверх- сверхпроводниках. В гл. 4 рассматривается устойчивость сверхпроводящего состояния в жестких и композитных сверхпроводниках. Кроме того, обсуждается термомеханическая неустойчивость низкотемпературного пластического течения металлов и связанная с ней проблема тренировки сверхпроводящих композитов. Большое внимание уделено расчету токонесущей способности композитных сверхпроводников. Гл. 5 посвящена нелинейным тепловым явлениям в сверхпроводящих композитах с транспортным током. Рассматриваются распространение и локализация нормальной зоны в сверхпроводниках. Обсуждаются вольт- амперные характеристики сверхпроводящих композитов и гистерезисные явления, обусловленные джоулевым разогревом. Исследуются разру- разрушение сверхпроводящего состояния сильными тепловыми возмущениями и распространение нормальной зоны в композитах с большими переходны- переходными сопротивлениями между собственно сверхпроводником и нормальным металлом матрицы.
ГЛАВА 1 ЖЕСТКИЕ СВЕРХПРОВОДНИКИ В магнитном поле с индукцией В сверхпроводник второго рода находится в смешанном состоянии (или в фазе Шубникова), если Вс1 < В < Вс2 *)¦ Величина Вс\ называется первым (или нижним), а ВС2 — вторым (или верхним) критическим магнитным полем. Совре- Современные представления о микроскопической структуре смешанного состоя- состояния впервые сформулированы в теоретической работе Абрикосова [8]. Рис. 1.1. Структура вихревой нити, а) Силовые линии магнитного поля и линии тока; распределения: б) Bz (r); в) /^(г) Суть их состоит в том, что магнитный поток входит в сверхпроводник вто- второго рода в виде квантовых вихревых нитей (вихрей Абрикосова), вытяну- вытянутых вдоль магнитных силовых линий. Совокупность этих вихревых нитей, каждая из которых несет строго определенный магнитный поток - квант магнитного потока Фо, образует решетку вихревых нитей, пронизывающих весь образец. Величина Фо определяется из микроскопической теории и равна Фо = тгп/е = 21O~IS Вб, где h — постоянная Планка, е - заряд электрона. Теория Абрикосова, развитая на основе уравнений Гинзбурга — Ландау, подтверждена огромным числом прямых и косвенных эксперимен- экспериментов (см., например, [ 1 -6,8-10]). Изолированную вихревую нить можно представить себе следующим образом. Центральная часть вихря (ствол или остов) имеет размер порядка характерного масштаба изменения плотности сверхпроводящих злектро- *) Свойства сверхпроводников второго рода подробно изложены, например, в мо- монографиях [1-6]; впервые экспериментально они были исследованы в работе [7]. 11
нов ? (длина когерентности). Она практически целиком находится в нор- нормальном состоянии. По периферии вихревой нити текут замкнутые сверх- сверхпроводящие токи. Эта область имеет размер порядка глубины проникнове- проникновения магнитного поля в сверхпроводник X (глубина проникновения). На рис. 1.1 изображены линии тока, распределение индукции Bz и плотности сверхпроводящего тока j ^ в зависимости от расстояния г до оси вихря. Дня сверхпроводников второго рода X > ? или даже X > ?, типичные значе- значения ? ~ 10"8 •- 10 м, X ~ 1СГ7 - 1СГ6 м. В состоянии термодинамического равновесия вихревые нити образуют упорядоченную структуру — двумерную решетку с плотностью вихрей и = В/Фо [2, 8—13]. Свойства ее определяют свойства смешанного состоя- состояния. В частности, расчет показывает, что Вс2 = Фо/2тг?2, а в интервале Bci < В < ВС2 магнитная проницаемость сверхпроводника второго рода практически равна единице, т.е. В = ЦОН [2]. § 1.1. Вязкое течение магнитного потока, пиннинг Рассмотрим важную для дальнейшего изложения ситуацию, когда по сверхпроводнику второго рода, находящемуся в критическом состоянии, течет транспортный ток* Проанализируем этот случай, прежде всего, качест- качественно, с помощью простой гидродинамической аналогии. Рис. 1.2. Линии тока от вихревой нити и транспортного тока Движение электронов проводимости в металлах можно рассматривать как движение квазинейтральной несжимаемой жидкости, если характерные масштабы возникающего течения существенно больше межатомных рас- расстояний. В сверхпроводниках оно является еще и сверхтекучим, т.е. лишен- лишенным вязкости. Вихревая нить здесь в буквальном смысле — вихрь в жид- жидкости электронов проводимости. Распределение линий тока для изолированного вихря, находящегося в сверхпроводнике, по которому течет транспортный ток с плотностью /, схе- схематически изображено на рис. 1.2. Видно, что справа от остова вихря сум- суммарная скорость движения электронной жидкости больше, чем слева. В соответствии с законом Бернулли это означает, что давление на вихревую нить слева больше, чем справа. Таким образом, возникает сила fL, которая 12
носит название силы Лоренца и действует на единицу длины вихря в на- направлении, перпендикулярном магнитному полю и транспортному току. Наличие силы Лоренца fL приводит к тому, что вихревые нити приходят в движение при значении плотности транспортного тока, которое опреде- определяется взаимодействием вихрей с кристаллической структурой. В идеаль- идеальных сверхпроводниках второго рода вихревые нити практически не свя- связаны с кристаллической решеткой. Движение вихрей в этом случае начи- начинается при сколь угодно малых значениях /'. В неидеальных сверхпровод- сверхпроводниках второго рода вихревые нити закреплены иа дефектах кристалличе- кристаллической структуры. Это явление называется пиннингом, а сверхпроводники с сильным пиннингом вихревой структуры — жесткими сверхпроводниками. Ясно, что движение вихрей в жестких сверхпроводниках начинается при конечном значении /. Детальный расчет величины fL можно найти, например, в монографиях [2, 3,6]; здесь мы приведем лишь его результат: /i = [/. ФоЬ A-1) где Фо = Фо-- A.2) В Силу, действующую со стороны транспортного тока на единицу объема вихревой решетки, легко тогда представить как FL= nfL = [j,B]. A.3) Движение вихрей в сверхпроводниках второго рода, возникающее под действием силы Лоренца, как будет видно из дальнейшего, приводит к диссипации энергии [14]. Это означает, что для поддержания заданного значения транспортного тока к образцу необходимо приложить разность потенциалов. Таким образом, в идеальных сверхпроводниках второго рода, где вихревая решетка не закреплена на неоднородностях кристаллической структуры, электрическое сопротивление возникает уже при сколь угодно малых значениях плотности транспортного тока. Подчеркнем, что сверх- сверхпроводимость при зтом сохраняется, если, конечно, температура образца не превысит критическую температуру Тс (В) . Обсудим теперь качественно основные физические механизмы, приво- приводящие к диссипации энергии при движении вихрей. Первый из них почти очевиден. Действительно, двигаясь по сверхпроводнику, вихревые нити пересекают линии тока (в силу их непрерывности). Следовательно, через сердцевины вихрей, находящиеся практически в нормальном состоянии, протекает часть транспортного тока. Ясно, что это возможно, лишь если в стволе вихря присутствует электрическое поле, а, следовательно, там отлична от нуля и мощность тепловыделения /Е [14]. Второй механизм диссипации энергии менее очевиден [15]. Его можно понять исходя из следующих физических соображений. Когда вихревая нить проходит через какую-либо точку образца, то в зтом месте происходит фазовый переход из сверхпроводящего состояния (периферическая часть вихря) в нормальное (остов вихря) и наоборот. Из термодинамики известно, что такой процесс 13
является обратимым (т.е. не сопровождается диссипацией энергии), если он происходит бесконечно медленно [16]. Так как скорость вихрей конечна, то часть разности свободных знергий нормальной и сверхпроводящей фаз переходит в тепло. Оценить величину удельной мощности диссипации энергии Q,, обусловленную джоулевым тепловыделением в стволах вихревых нитей, не представляет труда. Действительно, как уже упоминалось, сердцевина вихря практически находится в нормальном состоянии. Удельная мощность тепловыделения в ней порядка р„/2, где р„- удельное сопротивление сверхпроводника в нормальном состоянии. Умножив зту величину на относительный объем, который занимают остовы вихревых нитей (~н?2), находим искомую оценку для Qx в виде d, ~ и$2р„/2. A.4) Воспользовавшись тем, что п- В/Фо, а Всг ~ 0о/?2, выражение A.4) удобно переписать: G РИ/2- A-5) С помощью A.5) легко оценить вклад джоулева тепловыделения в ство- стволах вихревых нитей в величину удельного сопротивления сверхпроводника второго рода Ру. Действительно, удельная мощность тепловыделения равна Q = pfj2. A-6) Сопоставив выражения A.5) и A.6), находим, что Физически этот результат почти очевиден. Действительно, при В = 0 не- несверхпроводящих областей в сверхпроводнике нет и Ру =0: при В = Всг весь образец находится в нормальном состоянии ир, = ри. В интервале значений индукции Ве\ < В < ВС2 нормальная фаза занимает относитель- относительный объем порядка и?2 ~ В/Вс2 и, следовательно, р . ~ Р„?2и ~ ~ РпВ/Вс2. Оценим теперь удельную мощность диссипации энергии Q2, обусловлен- обусловленную необратимостью фазового перехода из сверхпроводящего состояния в нормальное (и наоборот), который происходит в окрестности остовов движущихся вихревых нитей. Пусть тр — характерное время релаксации электронной подсистемы сверхпроводника, а т0 — время, за которое вихрь проходит расстояние ? (интересующий нас фазовый переход происходит именно на этом пространственном масштабе). Величина т0 может быть записана как т0 = % /и, где v — скорость движения вихревой нити. Время релаксации тр определяет характерное время фазового перехода из сверхпроводящего состояния в нормальное (и наоборот). Следователь- 14
но, если Тр/т0 -+ О, то этот фазовый переход обратим и не сопровождается диссипацией энергии. Для реальных значений скорости движения вихревой структуры "макроскопическое" время т0 всегда много больше "микро- "микроскопического" — тр, т.е. тр/т0 <С 1. При конечном, но малом отношении Тр/тц за время порядка т0 в тепло переходит малая часть разности свобод- свободных энергий нормальной и сверхпроводящей фаз AF = Fn~ Fs *), пропор- пропорциональная Тр/т0. Учитывая, что относительный объем, занятый остовом вихрей, в окрестности которых происходит интересующий нас фазовый переход, порядка п%2, удельную мощность тепловыделения можно оце- оценить как Л ~„* — 1>- ~JLJ*?-Il. A.8) Движение магнитного потока (вихревой структуры сверхпроводника второго рода) со скоростью и создает электрическое поле. Среднее значе- значение напряженности этого поля Е определяется известным соотношением Е = -[О,В] [17], откуда v = Е/В. A.9) С помощью A.9) находим,что т0 =%В/Е. Подставив в A.8) выражения для т0 и Вс = Вс2 % IX V 2 , получим 7^- Из микроскопической теории следует, что в сверхпроводниках второго рода [2,4] j. (l.ii) где пе — плотность электронов проводимости, m ~ масса электрона. Вос- Воспользовавшись известной формулой Друде для удельного сопротивления нормального металла [18]: m Рп = — . A12) пее тр находим интересующую нас оценку (?2 в виде Ь~—Е> A.13) РлВ С другой стороны, удельную мощность тепловыделения Q можно предста- представить как Q = E2/pj-. Сопоставив последнее выражение с оценкой для Bг, на- находим вклад в Pf, обусловленный необратимостью фазового перехода при *) Величина AF связана с критическим магнитным полем Вс соотношением /" [2]. IS
25 20 15 10 Рис. 1.3. Вольт-амперная характеристика ниобие- вой фольги во внешнем магнитном поле Ва (Вв = О,ЮООТл (/); 0,1125 Тл B); 0,1250 Тл C); 0,1375 Тл D); 0,1500 Тл E); 0,1750 Тл F); 0,2000 Тл G)) [9] движении вихрей: В р - ВС2 A.14) О 2 е в i,w-'h Таким образом, оба механизма диссипа- диссипации энергии вносят одинаковый по поряд- порядку величины вклад в удельное сопротив- сопротивление сверхпроводника второго рода ру . Точный расчет показывает, что Рг = 7Р„В/Вс2, A15) где 7 — число порядка единицы (см., например, работы [9. 14]). Зависимость A.15) неоднократно проверялась экспериментально, она хорошо описывает данные соответствующих измерений [3, 6, 9]. На рис. 1.3 в качестве примера показаны вольт-амперные характеристики Nb, находящегося в смешанном состоянии. Видно, что в области, где разность потенциалов U не слишком мала, дифференциальное сопротивление образ- образца dif/dl, пропорциональное величине удельного сопротивления pf, не за- зависит от L^. В соответствии с законом A.15) оно линейно растет с ростом индукции магнитного поля. Отметим еще, что при малых U всегда сущест- существует относительно небольшой (по току) нелинейный участок на кри- кривой U(I). (В § 1.3, посвященном резистивному состоянию сверхпровод- сверхпроводников второго рода, мы обсудим его подробнее.) Итак, при наличии транспортного тока вихри под действием силы Лоренца приходят в движение. Оно сопровождается диссипацией энергии и, следовательно, является вязким. Силу трения, действующую на еди- единицу объема вихревой решетки, удобно, как обычно, записать в виде FTp = — Tjv, где т] — коэффициент вязкости. Работа силы трения в единицу времени определяет удельную мошность тепловыделения Q: Q = A.16) Соотношение A.16) позволяет связать коэффициент вязкости т] с удель- удельным сопротивлением сверхпроводника в нормальном состоянии. Действи- Действительно, так как Q = F? \pf, то, воспользовавшись формулой A.15), нетруд- нетрудно получить, что В2 ВВег V = = ¦ A.17) Pf 7 Р„ 16
Следовательно, стационарное движение вихревой решетки в идеальных сверхпроводниках описывается динамическим уравнением: FL + FTp = [/. В]- vv= 0, A.18) где величина г\ связана с р„ соотношением A.17). В неидеальных сверхпроводниках второго рода существенный вклад в движение вихревой структуры вносит ее взаимодействие с дефектами кристаллической структуры. Сила этого взаимодействия Fр, действующая на единицу объема вихревой решетки, называется силой пиннинга. Ясно, что в неидеальных сверхпроводниках динамическое уравнение A.18) заменяется на следующее: Fi+FTp+Fp = [f.B] - vv+Fp = 0. A.19) Проблеме расчета силы пиннинга посвящено большое число оригиналь- оригинальных и обзорных работ (см., например, [6, 9, 10] и цитированную там литературу). В основном в них рассматриваются различные модельные ситуации. Здесь, не вдаваясь в детали, мы поясним лишь физику возникно- возникновения силы пиннинга Fp. С точки зрения термодинамики, пиннинг вихревой структуры в неидеальных сверхпроводниках второго рода означает, что гиббсовская свободная энергия вихрей зависит от их положения в образце. Закрепление вихревых нитей возникает на различных дефектах кристаллической струк- структуры, которые носят названия центров пиннинга. Центры пиннинга связаны, например, с наличием границ зерен в поликристаллах, с дислокациями, с выделениями другой фазы (как сверхпроводящей, так и нормальной) и т.д. [6,10]. Отметим здесь сразу обстоятельство, важное для понимания физики неидеальных сверхпроводников второго рода. Пиннинг вихревой структу- структуры как целого возможен лишь тогда, когда в ней отсутствует дальний поря- порядок, т.е. она не является строго периодической [6]. Действительно, в абсолютно жесткой вихревой решетке все расстояния между вихрями фиксированы и определяются только их взаимодействием. Это приводит к тому, что если одни вихри находятся, в термодинамически выгодных положениях, то одновременно другие вихревые нити находятся в термо- термодинамически невыгодных положениях. Так как дефекты кристаллической структуры, вообще говоря, неупорядочены, то в результате суммарная гиббсовская свободная энергия всей вихревой решетки не зависит от ее положения относительно решетки сверхпроводника. Это и означает, что пиннинг абсолютно жесткой вихревой решетки отсутствует, несмотря на наличие центров пиннинга (выигрыш в гиббсовской свободной энергии одних вихрей компенсируется проигрышем в соответствующей энергии Других). Таким образом, пиннинг вихревой структуры как целого связан с зак- закреплением на центрах пиннинга отдельных, относительно слабо взаимо- взаимодействующих между собой ее фрагментов (связок вихревых нитей). Эксперимента показывают, что такие связки вихревых нитей могут содер- содержать вплоть до Ю2 - 10s вихрей [9,19]. 2. Л.Вл. Гуревич ^
Сильная зависимость физических характеристик сверхпроводящего состояния от температуры приводит к зависимости Fр от Т. Индукция маг- магнитного поля в сверхпроводнике определяет расстояние между вихрями. Отталкивание между ними является одной из основных причин зависимо- зависимости Fp от В [6]. Здесь мы не имеем возможности более подробно остано- остановиться на вопросах, связанных с пиннингом вихрей в неидеальных сверх- сверхпроводниках второго рода. Отметим лишь, что на сегодня не существует достаточно универсальной схемы расчета Fp(T,B), даже если известен механизм действия центров пиннинга. В неидеальных сверхпроводниках второго рода вихревая структура приходит в движение, если сила Лоренца FL достаточно велика, чтобы преодолеть силу пиннинга Fр. Соответственно, и диссипация энергии появ- появляется лишь, когда Fl > Fр. Силу пиннинга Fp по аналогии с выражением для FL удобно переписать в виде Fp = -[jc. В]. A.20) Определенная таким образом величина j c называется плотностью критиче- критического тока. Так как/с. = Fp(Т, В)/В, то /с = /С(Т, В) . В сверхпроводниках второго рода с достаточно большими значе- значениями / с вихревая структура сильно связана с кристаллической решеткой. Такие сверхпроводники, как уже упоминалось, называют жесткими сверх- сверхпроводниками. Все дальнейшее изложение, относящееся к жестким и изго- то"вленным на их основе композитным сверхпроводникам, удобно вести в терминах плотности транспортного тока / и плотности критического тока jс. В частности, диссипация энергии в жестких сверхпроводниках второго рода возникает, лишь если / >/ с. Величина jc в современных сверхпроводящих материалах может дости- достигать значений вплоть до 109 — Ю10 А/м2. Следует, однако, отметмь, что зто еще существенно меньше плотности сверхпроводящих токов, цирку- циркулирующих в периферической части вихря. Зависимость /с от температуры Т и индукции В исследовалась в боль- большом числе работ. В них, в частности, были предложены и аппроксимацион- ные формулы, описывающие плотность критического тока как функцию температуры и индукции магнитного поля. Здесь мы приведем некоторые из них. Плотность критического тока, как правило, монотонно убывает с ростом Т и В (рис. 1.4). Зависимость jc{T,В) для многих жестких сверхпровод- сверхпроводников в широком интервале значений Т и В является линейной и может быть представлена в виде Т В тех случаях, когда В < В с2, хорошим приближением функции jc (Г, В ) служит выражение, предложенное Кимом и Андерсоном [19]: о (Г) fc= —-^— . A.22) В+В0(Т) гщВ0(Т)<Вс2 . 18
LJc,f0sA/n \-Jc,WbA/m 10 Рис. 1.4. Зависимости jc: а) от температу- температуры для сплава Nb-Ti (Ba =0 A); 1,2 Тл B); 3 Тл C); 6 Тл D); 9 Тл E)) [20]; б) от индукции для сплава Nb - 44%Ti (Г0=4,2К(Л; 7 К B)) [20]; Nb - 65%Ti C - То=4,2 К) [20]; соединения Nb3Sn D, 5 - разные образцы при То = = 4,2 К) [21] Рис. 1.5. Зависимость jc (В); кривые 1 и 2 построены по уравнению A.22) [22] На рис. 1.5 показана зависимость jc(B) при Т =4,2 К для образца, из- изготовленного из сверхпроводящего сплава Nb -50% Ti. Кривые построе- построены по формуле A.22) с параметрами а0 = 7,7 ¦ 109 А ¦ Тл/м2, Во = 1,2 Тл (кривая 1) и а0 = 8,1 ¦ 109 А ¦ Тл/м2, Во = 1,5 Тл (кривая 2). Видно, что модель Кима — Андерсона неплохо описывает зкспериментальные данные во всем интервале магнитных полей, где были проведены измерения. При этом кривая 1 удовлетворительно согласуется с экспериментом в об- области значений индукции 0 < В < 0,5 Тл, а кривая 2 практически совпа- совпадает с экспериментом, если 1 Тл < В < 5 Тл. Отметим, что величина Во ~ 1 Тл характерна для сверхпроводящих сплавов Nb—Ti различного состава. Если в формуле A.22) положить A.23) ТС(В)\' то она качественно верно описывает зависимость плотности критическо- критического тока от Т и В как при Т^ Тс. так и при В ^Вс2, поскольку jc(Bc2) =0. ?* 19
Практически, однако, в окрестности В ¦ жением /с =/о(П 1 - ("-—1- L В,.2(Т) 1 'Вс2 удобнее пользоваться выра- A.24) Вс2(Т) Отметим еше, что в ряде случаев в относительно узком интервале Т и В плотность критического тока может возрастать с ростом зтих величин [6,23]. Это явление получило название пик-эффекта. С помошью динамического уравнения A.19) и выражения для Fp в виде A.20) нетрудно получить вольт-амперную характеристику в режиме вяз- вязкого течения магнитного потока, т.е. в ситуации, когда в движение вовле- вовлечена уже вся вихревая структура. Действительно, подставив A.20) и A.9) в A.19),находим i=[Jc(T,B)+ofE]~ , A.25) где проводимость Оу = р. Зависимость плотности тока от напряженности электрического поля A.25) изображена на рис. 1.6, а. Ниже мы подробно обсудим вольт-амперные характеристики жестких сверхпроводников. Здесь упомянем лишь, что при больших плотностях критического тока (/с^108 - 10* ° А/м2) вязкое течение магнитного потока наблюдается, еслиE>Ef, гдеЕ{ ~ 10"" В/м. В нормальном состоянии для жестких сверхпроводников типа сверх- сверхпроводящих сплавов Nb--Ti различного состава и соединений NbsSn и V3Ga величина рп ~ 10 - 10"s Ом ¦ м. Воспользовавшись закономA.15), находим, чтор/ ~ 10~7 - 10~6 Ом ¦ м.еслиЯ ~ 0,1 Вс2. -к oA 0,2 8 ЛТ,К Рис. 1.6. Зависимость /(/Г): а) в режиме вязкого течения магнитного потока; б) в модели критического состояния Рис. 1.7. Зависимостьq{& T) при атмосфер- атмосферном давлении и То = 4,2 К [24] 20
Таким образом, в жестких сверхпроводниках электрическое поле появ- появляется, если плотность тока/ порядка jc(T,B). Одновременно возникает и джоулево тепловыделение с удельной мощностью jE. В такой ситуации сверхпроводимость может сохраниться лишь, если установившаяся в ре- результате теплоотвода в охладитель температура Г сверхпроводника меньше критической Тс. Из этих соображений нетрудно оценить максимально до- допустимое значение напряженности электрического поля Ет и соотношение между плотностью критического тока /с и величиной OfE, которую в лите- литературе часто называют плотностью резистивного тока. Рассмотрим здесь, в качестве примера, наиболее типичный случай, когда образец охлаждается жидким гелием при нормальном давлении и темпе- температуре Го = 4,2 К. В такой ситуации теплоотвод осуществляется в кипящую жидкость. Это, как известно, возможно в двух устойчивых режимах — пу- пузырьковом и пленочном. На рис. 1.7изображена плотность потока тепла q с поверхности образца в охладитель как функция разности температур АТ = = Т - То при кипении жидкого гелия в большом объеме [24, 25]. Участок О А на кривой q(AT) соответствует режиму пузырькового кипения, а учас- участок ВС - пленочного. В магнитном поле с индукцией В ^0,1 Вс2 разность температур Тс — Го не превышает 10 — 20 К даже для жестких сверхпро- сверхпроводников с рекордными значениями критической температуры Тс. Как видно из рис. 1.7, в интервале АТ< 15 К максимальная величина плотнос- плотности потока тепла q m »7 • 103 Вт/м2. Это значение достигается в режиме пузырькового кипения при Д Г ^0,65 К. В стационарном состоянии мощность джоулева тепловыделения в про- проводнике равна потоку тепла в охладитель, r.e.jEA =Pq, где А кР — пло- площадь и периметр поперечного сечения сверхпроводника соответственно. Так как q <qm , a/ >/c, то Е-Ц-<**-.В.. (..26) )А )СА Величина Ет является искомой оценкой максимально допустимого значе- значения напряженности электрического поля в жестких сверхпроводниках. Пусть, например, А\Р = 10~4 м, а/с. = 109 А/м2, тогда с помощью A.26) находим, что Ет *» 10 "' В/м. Воспользовавшись неравенством A.26), можно определить соотношение между jc и OfE. Действительно, путем простой подстановки (с учетом A.15)) имеем OfE ^ ofEm = ofqmP ^ Вс2дтР )с ^ Л ilA BpnilA Пусть, например А/Р = 10~4 м, /с. » Ю9 А/м2, р„ » 10 Ом • м, а В/Вс2 » **>0,1, тогда с помощью A.27) получим, что OfE/jc<^ 10~3 < 1. Таким образом, плотность резистивного тока /„ = OfE в реальных условиях всегда значительно меньше плотности критического тока. 21
§ 1.2. Критическое состояние жестких сверхпроводников Вольт-амперную характеристику жесткого сверхпроводника во всем интервале значений напряженности электрического поля Е<Ет в обшем виде можно записать так: ]=ИЛТ,В)+1„{Т,В,Е)]— , A.28) здесь плотность резистивного тока jn{T,В,Е), вообше говоря, является нелинейной функцией Е. Следует отметить, что разделение плотности тока / на /с и /„ в значительной мере является терминологическим*). При обсуждении реальных зависимостей / от Е мы подробно остановимся на этом вопросе. Здесь для нас будет существенно, что в жестких сверхпро- сверхпроводниках плотность резистивного тока /„ всегда много меньше плотности критического тока/с.. Малость отношения /„//с позволила Бину [26, 27] и Лондону [28] сфор- сформулировать так называемую концепцию критического состояния. Согласно этой концепции в жестком сверхпроводнике в ответ на любое воздейст- воздействие, приводящее к появлению электрического поля, устанавливается кри- критическое состояние, в котором плотность тока (всюду, где она отлична от нуля) можно считать равной j С(Т,В) . Следовательно, в модели критичес- критического состояния связь между / и Е задается в виде j=ic(T,B)— . A.29) Зависимость A-29) изображена нафис. 1.6,6. Концепция критического состояния Бина — Лондона в настоящее время является основой для описания макроскопической электродинамики жест- жестких сверхпроводников. Она всесторонне проверяется экспериментально вот уже более двадцати лет. Сошлемся, например, на ставшие классичес- классическими работы Кима с сотрудниками [29, 30], посвященные изучению дви- движения магнитного потока в сверхпроводниках второго рода, находящихся в смешанном состоянии. Мы не будем здесь обсуждать эксперименты по проверке применимости модели критического состояния. Этот материал достаточно подробно изложен, например, в монографии [6]. Сделаем лишь два замечания. Несмотря на малость плотности резистивного тока /„ по сравнению jC плотностью критического тока j с, в ряде задач электродинамики жестких и композитных сверхпроводников наличие /„ оказывается весьма сущест- существенным. Такая ситуация возникает, например, при анализе устойчивости критического состояния. Она обусловлена тем, что дифференциальная проводимость dfJbE жестких и композитных сверхпроводников в об- области малых значений Е (E<Ej), как правило, оказывается много боль- больше Of и даже больше проводимости о„ таких металлов, как медь и алюминий (рп ~ 10у — 101' Ом • м). В гл. 4 мы остановимся на этом вопросе достаточно подробно. *) Подробно этот вопрос обсуждается в S 1.3. 22
Рис. 1.8. Плоскопараллельная пластинка во внешнем магнитном поле Свойства жестких сверхпроводников существенно зависят от технологии их об- обработки, при которой и создаются центры пиннинга. В результате в ряде случаев плотность критического тока вблизи по- поверхности образца оказывается выше, чем в объеме [6, 31]. Продемонстрируем теперь, как приме- применяется модель критического состояния для описания свойств жестких сверхпроводни- сверхпроводников. Рассмотрим, для начала, процесс на- намагничивания плоскопараллельной пла- пластинки, помещенной во внешнее магнитное поле Ва, параллельное ее поверх- поверхности. Выберем систему координат так, как это показано на рис. 1.8 (Ва || Oz ) и будем считать, что размеры образца LynLz много больше, чем его тол- шина 2Ь, т.е. Ъ < Lу, Lz (впределеLv,L~ -*°°). Пусть в начальный момент магнитное поле равно нулю как вне, так и внутри пластинки. Затем внеш- внешнее магнитное поле начинает увеличиваться, но столь медленно, что темпе- температура образца остается практически неизменной. Как уже упоминалось, при Ва> В С1 магнитный поток входит в пластину. В ней возникает наве- наведенное электрическое поле, которое в соответствии с моделью критичес- критического состояния приводит к появлению электрического тока с плотностью jc(T,B). Этот ток экранирует внешнее магнитное поле и, следовательно, в области | х | < /i (где 1\ = Ъ — /) магнитное поле остается равным нулю (рис. 1.9,д). Предположим сначала, что ]с не зависит от индукции магнитного поля, т.е. jc - jc (Г). В этом приближении модель критического состояния в ли- литературе часто назьшают моделью критического состояния Бина (область ее применимости мы обсудим ниже). Уравнение Максвелла для определе- определения индукции магнитного поля В 2 = В имеет тогда вид b-l<x<b, dB dx О, \x\<b-l, A.30) Граничное условие к уравнению A.30) очевидно: В{± Ь) - Ва\ кроме того, В [± ф - /)] = 0. С помощью A.30) находим, что Ва ~ - X), в= < о, Ъ -Кх<Ь, \х\<Ъ-1, где / = Мо/с A.31) A.32) 23
Рис. 1.9. Распределения:а) ив) В(х) б) иг)/М Оценим исходя из выражения A.32) глубину проникновения магнитного потока /. Пусть, например, Ва = 0,1 Тл, а/с = 109 А/м2, тогда / « 10 4 м. Это значение / примерно на три порядка больше характерной величины глубины проникновения X. Распределение индукции магнитного поля A.31) показано на рис. 1.9,а для различных значений Ва, а соответствующее ему распределение плот- плотности тока — на рис. 1.9,6. В том случае, когда глубина проникновения магнитного потока / равна полутолщине пластинки b(lt = 0), в крити- критическом состоянии находится весь образец. Внешнее магнитное поле, при котором I =Ъ, назьшается полем полного проникновения Вр. С помошью A.32) находим, что в модели критического состояния Бина Bp=Uo)cb. 0-33) Пусть теперь внешнее магнитное поле, достигнув некоторого значения Ва-Вт> начинает убывать. Изменение знака производной dBa\dt, как следует из уравнений Максвелла, приведет к изменению знака напряжен- напряженности электрического поля в образце. В результате, в соответствии с мо- 24
делью критического состояния, всюду, где ЕФО, изменит знак и плотность тока, величина которой останется неизменной и равной /с. На рис. 1.9,в показано распределение индукции магнитного поля в пластинке по мере уменьшения Ва, соответствующее распределение плотности тока изобра- изображено на рис. 1.9,г. Обратим внимание, что при В„=0в образце остается захваченный магнитный поток Фг, равный (например, для В т ¦¦ в1 <S>t=Ly A.34) Величина Фг всего лишь в два раза меньше значения магнитного потока в пластинке приВа =В т(В т<В р): В . A.35) Таким образом, процесс намагничивания жестких сверхпроводников, как и следовало ожидать, сопровождается сильным гистерезисом, т.е. В ¦».«I««1 ром,ю~'гл ^ -? ^ -2 •«^^ к, ч --2 2 "^ I А при увеличении внешнего магнитного поля от Ва = 0 до Ва =В т и после- последующего уменьшения его от Ва=Вт до Ва =0 распределение индукции В (х) в образце не возвращается к исходному. Приведенные рассуждения и проделанные расчеты позволяют найти за- зависимость магнитного момента образца М от напряженности внешнего маг- магнитного поля. Действительно, величина М определяется как [ 17] A.36) где V — объем пластинки. Воспользовавшись распределением индукции магнитного поля A.31), нетрудно рассчитать зависимость М(Ва). Так, например, если Вт =Вр, то функция М(Ва) имеет вид характерной гис- терезисной петли (рис. 1.10) и описывается выражениями 25
где величина М0=Вр/2ц0. A.38) На рис. 1.10 показаны две гистерезисные петли М{Ва) - малая (Вт = = 0,1 Тл) и большая (Вт = 0,5 Тл), полученные экспериментально [27]. Сплошной линией показан расчет, выполненный с помощью формул ти- типа A.37). Видно, что согласие теории и эксперимента является хорошим. Нетрудно видеть, что при Ва = Вр происходит существенное изменение зависимости характеристик жестких сверхпроводников от внешнего маг- магнитного поля Ва- Так, например, если Ва < В р, то магнитный поток в плас- пластинке пропорционален В\: Ф=ЬуЬВЦВр, A.39) аесли?а >Вр,то Ф=ЬуЬBВа-Вр). A.40) Отметим, что для образца произвольной формы величина Вр равна минимальному значению индукции внешнего магнитного поля, при кото- котором критическое состояние установится во всем сверхпроводнике, если вначале оно в нем отсутствовало. Продолжим рассмотрение характерных распределений магнитного поля в жестких сверхпроводниках, остановившись на ситуации, когда по образ- образцу течет транспортный ток /. Пусть, например, в начальный момент маг- -6 Ъ х -Ь Ъ х Рис. а) й 1.11. Распределения В(х) при / * 0: В(ГВр -ь -г, х Рис. 1.12. Распределения В(х) в модели Кима- Андерсона 26
нитное поле отсутствовало и вне, и внутри плоскопараллельной пластинки (геометрию задачи см. на рис. 1.8). Затем в нее вводится транспортный ток, который течет вдоль оси Оу. Распределение индукции магнитного поля по мере увеличения / показано на рис. 1.11, а для ситуации, когда Ва = 0. Зависимость В{х) здесь, очевидно, антисимметрична, т.е. В(х) = -В(-х). а вся пластинка оказывается в критическом состоянии, если/ > 1С = 2bL zjc. Максимальный перепад индукции магнитного поля в образце соответствует / =1С и равен АВ = | В(Ь) —В (—Ь) \ = 2В р. В зависимости от порядка включения тока и внешнего магнитного поля и наличия или отсутствия в пластинке замороженного магнитного потока в ней могут возникать самые разнообразные конфигурации В (х). На рис. 1.11,6 показана одна из таких конфигураций (Ва'ФО). Учтем теперь зависимость плотности критического потока jс от индук-' ции магнитного поля. В качестве примера рассмотрим здесь модель крити- критического состояния Кима — Андерсона A.22). Пусть в начальный момент магнитное поле отсутствовало как вне, так и внутри плоскопараллельной пластинки. Воспользовавшись уравнением Максвелла A.30) и зависи- зависимостью/,, (Я) в виде A.22), нетрудно получить искомое распределение В(х): \-В0 + [(Ва+В0J -2цоао(Ь-х)}112, х>0, \В + [(ВВ)* Щф+)}1'2, х<0. Соотношение A.41) справедливо в области, где В>0. Зависимость В(х) изображена на рис. 1.12 для различных значений В а. С помошью формулы A-41) глубину проникновения магнитного потока / в модели Кима — Андерсона A.22) можно представить в виде 2(Ва+В0) Характерные значения индукции магнитного поля, при которых еше I для жестких сверхпроводников типа сверхпроводящих сплавов Nb-Ti различного состава составляют/?„ » 0,1 —0,5 Тл; в то время какВ0 ~ 1 —2Тл. Врезультате величина / с точностью до малого отношения Ва/2(Ва +В0) < •< 1 совпадает с глубиной проникновения магнитного потока, найденной в модели критического состояния Бина (см. A.32)), где следует положить /с ~)с(Ва) ¦ Нетрудно убедиться также и в том, что с той же точностью поле полного проникновения для модели критического состояния Кима — Ан- Андерсона Вр = -Во +у/в1 +2цоаоЬ A.43) может быть определено из A.33), которое теперь имеет вид Вр=ц0Ь}с(Вр). A.44) Аналогичным образом обстоит дело и с перепадом индукции магнитного поля АВ = Ва - В @). В модели критического состояния Кима — Андерсо- Андерсона АВ зависит от Ва: АВ=Ва +В0 - [(Ва +В0J -2цоаоЬ]1'2. A.45) 27
Однако если АВ <В0 + Ва, то величина АВ может быть записана как АВ = ц0Ь}с(Ва). A.46) Выражение A.46) совпадает с перепадом индукции магнитного поля, вы- вычисленным в модели критического состояния Бина cjc(T,Ba) и справедли- справедливо с точностью до 2мо bjj (Ва + Во) < 1 - Зависимость плотности критического тока от локального значения ин- индукции магнитного поля В существенно усложняет расчет различных физи- физических процессов в жестких сверхпроводниках, находящихся в критичес- критическом состоянии. Практически же в большинстве случаев величина АВ мала по сравнению с характерным масштабом изменения функции /с (В). Это означает, что плотность критического тока в образце меняется незначи- незначительно и при соответствующих расчетах можно пользоваться моделью кри- критического состояния Бина с/с =/с(Т,Ва). Точность таких расчетов поряд- ка отношения АВ Если внешнее магнитное поле достаточно ЪВ велико (?а>?0), то величина | djc/bB\ ~jclBa и условием примени- применимости модели критического состояния Бина является неравенство АВ - = Hobjc{Ba)< Ba. В относительно слабом магнитном поле (Ва< Во) и» следовательно, модель критического состояния Бина 1 о В I применима при АВ < Во- Отметим, что существует ситуация, когда концепция критического сос- состояния неприменима в принципе. В этом случае/ II В, сила Лоренца FL = - [j,B] равна нулю и наличие транспортного тока не приводит к движе- движению вихрей. Пространственные конфигурации/(г) к В (г) с/ IIВ называют бессиловыми [6]. Отсутствие силы Лоренца FL, как показывает экспери- эксперимент (см., например, [32]), приводит к тому, что плотности критическо- критического тока для них могут превышать/с на порядок и даже более. § 1.3. Резистивное состояние жестких сверхпроводников Модель вязкого течения магнитного потока позволяет понять многие характерные особенности резистивного состояния в сверхпроводниках второго рода. Развитые качественные представления оказались весьма плодотворными несмотря на то, что вплоть до настоящего времени последо- последовательное теоретическое описание динамики вихревой решетки в условиях сильного пиннинга отсутствует. Рассмотрим теперь эффекты, которые не могут быть исследованы лишь с помошью модели вязкого течения магнит- магнитного потока. Из них наиболее важным является наличие нелинейных участ- участков на вольт-амперных характеристиках. Многочисленные эксперименты [34-52] показали, что в жестких сверх- сверхпроводниках / =" Е лишь в некоторой области электрических полей ?у <С ¦^?^.ЕС. Вне этого интервала дифференциальная проводимость о(Е) = = dj/dE существенно зависит от Е. Причем если при Е>.ЕС характерные значения о(Е) отличаются от Of в несколько раз, то при E<iEf такое раз- различие достигает уже нескольких порядков. Нелинейность о(Е) в слабых электрических полях была обнаружена уже в первых экспериментах [34, 35] по исследованию резистивного сос- 28
тояния. Эти и последующие эксперименты показали, что вольт-амперные характеристики сверхпроводников второго рода при E<.Ef являются уни- универсальными и с хорошей точностью описываются соотношением XE)=jc+j1ln(ElE0), A-47) где /си/, зависят от Т и В, а Ео = const. Согласно соотношению A.47) дифференциальная проводимость о(Е) возрастает с уменьшением Е: o(E)=ji/E. A-48) Параметры jt и Ео для жестких сверхпроводников обычно порядка 10~2/с и 10~2 -H0~s В/м соответственно. В частности, для сплача Nb--Ti при Го =4,2 К и Е=Ю'е В/м проводимость о(Е) » 1013Ом м Это на три порядка превосходит проводимость технической меди (заме- (заметим для сравнения, что в том же сплаве о^~ 106 — 107 Ом -м). Для жестких сверхпроводников Ef ~ 10 ~3 - 10"s В/м. Величина Ес может определяться не только свойствами самого сверхпроводника, но и внеш- внешними условиями, в которых он находится. Рассмотрим нелинейные участки на вольт-амперных характеристиках более подробно. Начнем с области больших электрических полей Е>,ЕС. Здесь важную роль играет джоулев разогрев сверхпроводника транспорт- транспортным током. В самом деле, говоря в § 1.1 о вязком течении магнитного потока, мы молчаливо предполагали, что температура проводника Т сов- совпадает с температурой охладителя То несмотря на наличие в образце грею- греющего электрического поля Е. Это действительно имеет место при малом тепловыделении (E^iEc). Однако при Е>,ЕС ситуация меняется и темпе- температура Т начинает зависеть от Е. В случае когда перегрев сверхпроводника AT = Т — То составляет заметную долю от разности температур Тс — То, различие между Т(Е) и То становится весьма существенным для анализа вольт-амперные характеристик. В сверхпроводниках с достаточно малыми поперечными размерами температура T(j) постоянна по сечению и определяется из условия равенст- равенства мощности тепловыделения jEA потоку тепла в охладитель И(Т)(Т — — То) Р. Здесь А (Г) — коэффициент теплоотдачи с единицы поверхности, А и Р — плошадь и периметр поперечного сечения образца соответственно. Выражение для Е(Т) дается формулой A.25). Полагая для простоты, что В ^Bc2,pf^pnvih не зависят от Т, а/с (Г ) = [1-(Г-ГО)/(ГС-ГО)]/С, причем/с =}с (То), запишем условие баланса тепла при/ >/с в виде A49) откуда нетрудно получить следующее выражение для Г(/ ): Т°\ A-50) о \ где 0 .-г А а= Рп'с . A.51) (Tc~To)hP l Безразмерная величина а носит название параметра Стекли и является важной характеристикой тепловой стабильности сверхпроводников. Из 29
формулы A.50) видно, что в случае а> 1 температура ГО') уменьшается с ростом тока. Это свидетельствует о неустойчивости. Тем самым режим вязкого течения магнитного потока не может быть реализован при а > 1. Устойчивость критического состояния, а также эффекты саморазогрева в сверхпроводниках будут подробно исследованы в гл. IV и V. Рассмотрим здесь случай а< 1, когда температура Г(/) возрастает по мере увеличения/. Подставляя выражение A.50) в A.25), получаем вольт-амперную характеристику сверхпроводника с учетом джоулева ра- разогрева: /(?)- fc + °"E ¦ A-52) 1 +ао„ЕЦс Из A.52) следует, что тепловые эффекты приводят к уменьшению диф- дифференциальной проводимости о(Е) при?-*0: о@) = A -а)о„ . A-53) В случае а<; 1 это может привести к существенному изменению зависи- зависимости о@) от Г и В по сравнению с законом Of=o,,Bc2/B, предсказывае- предсказываемым моделью вязкого течения магнитного потока. Из формулы A.50) следует, что ТО") = Тс при/ =/,„ =/,.<* ~1/2. Следо- Следовательно, нелинейность в о(Е), связанная с разогревом, становится су- существенной, если Е>,ЕС~ Pnica ~1/2 (в условиях, когда кризис кипения охладителя отсутствует). Такая нелинейность наиболее ярко проявляется в мягких сверхпроводниках с низкими значениями/с. и р„. В жестких сверхпроводниках, обладающих высокими значениями jc и Pf, достижение электрических полей Е ~ Ес весьма затруднительно. Это связано с тем, что уже при Е = Ет < Ес возникает скачкообразный пере- переход в нормальное состояние, обусловленный кризисом кипения охлади- охладителя (см. A.26)). Помимо теплового механизма существуют и другие причины нелиней- нелинейности вольт-амперных характеристик жестких сверхпроводников при Е>,ЕС. Они в той или иной степени связаны с отличием реальной динамики . Е,в/, 10' 10' 1С Iff1 Е,В/п 1,5 1,6 1,Л 20 30 40 50 Рис. 1.13. Вольт-амперные характеристики при Е? Ef.a) сплава Nb-Ti (Ba = 3,07 Тл; То =4,232 К A); 3,864 К BV, 3,673 К C)) [43]; б) соединения Nb3Sn <Г„ =4,2 К; Ва =5Тл G); 4Тл B); 3 Тл C)) [43] 30
вихревой решетки от идеализированной. Детальное обсуждение подобных эффектов выходит за рамки данной монографии. Более подробно они из- изложены, например, в работах [9, 53]. В области слабых электрических полей (E^.Ef), как уже отмечалось, вольт-амперная характеристика описывается зависимостью A.47). Спра- Справедливость ее была многократно подтверждена экспериментами как на жестких сверхпроводниках, так и на. сверхпроводниках со слабым пин- нингом [34—49]. На рис. 1.13 в качестве иллюстрации приведены типич- типичные вольт-амперные характеристики сплавов Nb—Ti и соединения Nb3Sn f Обсудим подробнее физические следствия, вытекающие из зависимости A.47). Прежде всего, из вольт-амперной характеристики вида A.47) следует, что ЕФО для/ </с. Следовательно, движение магнитного потока в жестком сверхпроводнике имеет место при любой конечной плотности тока. Этот процесс сопровождается хотя и малой, но все же отличной от ну- нуля диссипацией энергии. Таким образом, жесткий сверхпроводник, строго говоря, не является "истинным" сверхпроводником, даже при наличии сильного пиннинга вихревой решетки, а понятие критического тока, опреде- определенного как максимально возможный бездиссипативный ток, не имеет своего буквального смысла. Это видно уже из самой формулы A.47), согласно которой физический смысл имеет лишь комбинация /с — /,1пЕ0, но не каждый из параметров /с и Ео по отдельности. В частности, замена Ео произвольной величиной Е'о приводит к переопределению / с -*-jc — -/,In(?о/?оК оставляя неизменной вольr-ампернуюхарактеристику A.47). Таким образом, jc можно рассматривать лишь как условную плот- плотность тока, разделяющую область / >,jL с малой проводимостью {а = of) и область / -^/г с большой проводимостью (о -Ji/E). Обычно при экс- экспериментальном определении величиньг /с принято считать, что /с отве- отвечает напряженности электрического поля Е= 10~4 В/м. Слабая (логарифмическая) зависимость / (?") в области Е <i Ef, а также тот факт, что в жестких сверхпроводниках/1 -€jc, обеспечивают близость плотности тока / к jс в широком интервале значений Е. Действительно, уменьшение напряженности электрического поля, например, на пять поряд- порядков (!) приводит (для/, = 0,01/с) к изменению/(?") всего на 10%. Даже если Е= 10~13 В/м, а это соответствует минимальной величине, при кото- которой, на сегодня, измерялись вольт-амперные характеристики сверхпровод- сверхпроводников [36],то/(/Г) ~ 0,8/с. Здесь, для оценки, мы положили ?"(, = 10В/м, /i =0,01 jc. Таким образом, практически любое электрическое поле наво- наводит в жестком сверхпроводнике ток, плотность которого близка к /с. Тем самым мы вновь приходим к модели критического состояния. Спра- Справедливость ее в области E<.Ef, как видно из предыдущего, связана с ма- малостью отношения/, ljc. Вопрос о пределах применимости формулы A.47) в области сверхниз- сверхнизких напряженностей электрического поля (Е -* 0) остается пока открытым. Принципиально при ?"-»0 возможны два типа зависимостей /(?"): 1) /(?) ->0, т.е. жесткий сверхпроводник в отношении своих электричес- электрических свойств подобен нормальному металлу с экстремально высокой про- проводимостью: 2) величина/ (?) стремится к конечному пределу / с, который 31
в отличие от jc и является "истинной" плотностью критического тока Uc<Jc)- Имеющиеся к настоящему времени экспериментальные данные не позво- позволяют сделать однозначного выбора между этими двумя возможностями. Результаты различных авторов зачастую противоречат друг другу. Во мно- многом это обусловлено экспериментальными трудностями, возникающими при исследовании вольт-амперных характеристик в области E<Ef. Нижняя граница, до которой формула A.47) проверена достаточно надежно для жестких сверхпроводников, составляет величину порядка 10~8 — 100В/м [34.35,37,43,48,49] *). Рассмотрим теперь некоторые физические механизмы, приводящие к нелинейной вольт-амперной характеристике сверхпроводников второго рода в слабых электрических полях (Е ^ Ef). Одним из них является тер- термоактивационный крип (ползучесть) магнитного потока. Он связан с тем, что в результате тепловых флуктуации некоторая часть вихрей срывается с центров пиннинга, даже если / </с [33]. Качественно термоактивационный крип можно описать следующим обра- образом. При / < /с, как было показано в § 1.1, для преодоления пиннинга на вихревую нить необходимо подействовать силой F = (jc — /)Фо- Пусть размер соответствующего центра пиннинга равен а0. В этом случае, чтобы освободить вихрь, необходимо совершить работу порядка Еа0. Следова- Следовательно, если / < /с, то каждая вихревая нить находится в потенциальной яме. Высота соответствующего ей потенциального барьера Ug поряд- порядка Fa0, т.е. 'п,- A.54) Здесь Um ~ д0/,.Ф0 — характерная энергия связи вихря с центром пиннинга. Число вихревых нитей, которые способны преодолеть потенциальный барьер Ug в результате тепловых флуктуации, пропорционально фактору ехр(— Ug/kBT), где кв — константа Больцмана. Под действием силы Ло- Лоренца эти вихри приходят Ъ движение и, следовательно, возникает электри- электрическое поле с напряженностью Здесь Ео — константа, зависящая от параметров вихревой решетки и цент- центров пиннинга (см., например, F. 33]). Из сравнения A.47) и A.55) видно, что термоактивационный крип магнитного потока позволяет не только объяснить логарифмический характер вольт-амперной характеристики, но и получить выражение лля jt: квТ О-56) *) Логарифмический характер зависимости /(?) для сплава PbTl был установлен вплоть до значений F - 10"' 3 В/м 136 ]. 32
ju произв. ед. в Рис. 1.14. Зависимости /,: а) от Ва для сплава РЬ - 10% Т1 (/ - при увеличении Ва; 2 - при уменьшении Ва) [36]; б) от Ва для композита из сплава Nb-Ti и меди (А - при концентрации сверхпроводника 32%, В - 44%) [49]; в) от Г для сплава Nb - 15% Ti при Ва = 0,94 Тл [37] 1,,К 1,0 0,6 аг °- о о Д о ° ои X - 1 7 3 - о °о ° А о 1 Рис. 1.15. Зависимость I1(Ba/Bct) для сплава In-25%Bi (ГО=3,38 К G); 3,61 К B); 3,80 К C)) [46] W 46 4?/*ег Соотношение A.56) позволяет определить температурную зависимость )\{Т). В самом деле, параметры Um и/с определяются микроскопическими характеристиками сверхпроводника, которые слабо зависят от Т при Т^. 0,5 Тс [1-6]. По этой причине величина/, согласно A.56) должна быть прямо пропорциональной Г в области низких температур. Таким образом, термоактивационный крип магнитного потока приводит не только к универсальной связи / с Е в сверхпроводниках второго рода, но и к универсальной зависимости/i от Г в случае Т< Тс [33]. Если первое утверждение в настоящее время является твердо установленным экспери- экспериментальным фактом, то со вторым дело обстоит прямо противоположным образом. Во многих экспериментах [40, 43, 45—49] было обнаружено, что в области низких (Г <; 0,5 Тс) температур /i почти не зависит от Т. Обсудим экспериментально наблюдавшиеся зависимости/i = ji(T, В) подробнее. Рассмотрим сначала изменение параметра /i (В) с ростом В при Т = const. На рис. 1.14 и 1.15 представлены наиболее характерные для сверхпроводящих материалов случаи: 1)пик на кривой j\(B) в окрестности В ^Вс2 (рис. 1.14,д) [36, 38]; 2)постоянство величины/^/?) в широком интервале магнитных полей [43,46] (рис. 115); 3)уменьшение ]\(В) с ростом В [49] (рис. 1.14,6). Столь же разнообразными являются также и функции j\(T) при В = = const. В области низких (Т<^. 0,5Тс) температур, например, были обна- обнаружены три .качественно различных ситуации: 1)параметр ft прямо про- 3. А.Вл. Гуревич 33
порционален Т, что согласуется с термоактивационным механизмом крипа магнитного потока [34-37] (см. рис. 1.14,в); 2)/,(Г) почти не зависит от Т [43, 46-49] (рис. 1.13,д, 1.15); 3)в ряде экспериментов было обнару- обнаружено несистематическое изменение величины/i с уменьшением Т [40, 45]. Таким образом, функция /,(Т, В) в отличие от самой вольт-амперной характеристики A.47), не является универсальной. Это указывает на то, что помимо термоактивационного крипа магнитного потока имеются и дру- другие физические механизмы, приводящие к нелинейности вольт-амперной характеристики сверхпроводников второго рода при Е ^ ?/. Однако в настоящее время не существует последовательного объяснения отмеченно- отмеченному выше разнообразию зависимостей )\{Т, В). Остается, в частности, неяс- неясным и вопрос о механизмах, приводящих к постоянству параметра]\{Т) при Т <i 0,5 Тс. Такая зависимость никак не укладывается в рамки объяс- объяснения, основанного на термоактивационном крипе магнитного потока. Рассмотрим еше один механизм возникновения нелинейной вольт-ам- вольт-амперной характеристики. Он обусловлен неоднородностью сил пиннинга [41, 42, 46, 50-53]. Этот механизм, по-видимому, является одним из наи- наиболее существенных. В жестких сверхпроводниках он всегда вносит свой вклад в формирование зависимости/(?") . Связано это с тем, что достаточно сильный пиннинг вихревой решетки можно обеспечить лишь за счет присут- присутствия большого числа дефектов кристаллической структуры. Однако их плотность и физические свойства в той или иной мере всегда являются слу- случайными. В результате локальные значения силы пиннинга Fp(r) могут су- существенно различаться в разных точках образца. Рассмотрим, как влияет наличие случайных неоднородностей на вид вольт-амперных характеристик сверхпроводников второго рода. При заданном значении плотности тока / все вихри можно условно разделить на связанные (находящиеся в областях, где Fp > FL ) и свободные (нахо- (находящиеся в областях, где Fp < FL). Однако само по себе наличие в образце таких свободных вихрей еще не приводит к макроскопическому движению магнитного потока, а следовательно, и к появлению электросопротивления. Связано это с тем, что вихри могут входить и выходить из сверхпроводни- сверхпроводника только на его боковой поверхности. В результате движение свободных вихревых нитей под действием силы Лоренца возникает при появлении непрерывных каналов, начинающих- начинающихся и кончающихся на боковой по- поверхности образца. На рис. 1.16 в ка- качестве иллюстрации этой ситуации изображена пленка, находящаяся в перпендикулярном магнитном поле. Введем функцию vv(/) - плот- плотность вероятности обнаружить в еди- единице объема сверхпроводника вихри, для которых срыв с центров пин- Рис. 1.16. Сверхпроводящая пленка в поперечном магнитном попе, области дви- движения вихрей (Fp< F/J -заштрихованы 34
нинга происходит при плотности тока/=/'. Очевидно, что l. A.57) о Плотность свободных вихрей nf связана с функцией распределения w(j) следующим образом:, ... щиг '"-Л> ' * ' %\ ~ W-"--"*"' ^ Я/= — fw(j")dj'. ^-¦-'- ^-. •_ 1Л ' A.58) °° С"--С/- f.' = '" ;*'; -'л" "' /;'"*" * В том случае, когда сила пиннинга однородна по образцу, w(у) =6(/ -/с), где 6 (л:) — дельта-функция Дирака. Зависимость vv(/), в принципе, может быть установлена на основе микроскопического расчета. Эта задача являет- является весьма сложной и к настоящему времени она не решена. В работах [42, 46, 52] предлагались различные выражения для vv(/), которые выбирались из наилучшего согласия последующих расчетов с экспериментом. С помощью функции распределения vv(/) можно записать напряженность электрического поля в сверхпроводнике. Полагая, что свободные вихри движутся согласно закону вязкого течения магнитного потока, получаем E = PffV-i')w(j'W- A59) ' о Это соотношение обобщает выражение для вольт-амперной характеристи- характеристики A.25), не учитывающее неоднородность силы пиннинга. При vv(/) = = б(/ — /с) мы возвращаемся к соотношению A.2S). Рассмотрим теперь обратную задачу определения функции vv(/) непо- непосредственно из выражений A.47), A.57) -A.59) . Такой подход позволяет получить некоторую информацию о неоднородности сил пиннинга с по- помощью анализа вольт-амперных характеристик сверхпроводников второго рода, наблюдавшихся экспериментально. Дифференцируя A.58) и A.59) по /, находим 1 ЪгЕ Pf oj В № "f= —. r— - A-61) р/фо Ъ) Подставляя в эти формулы эмпирическую зависимость A.47), получаем выражения для vv(/) ияД/) в области Е<^Е}: A.62) J BE BE0 nf = ——- = —ГТ- е*Р ( —— ) A -63) I j-jc \ ( —-^- ) Из этих формул следует что плотность свободных вихрей прямо пропор- пропорциональна Е и при / ^jc -/i экспоненциально мала. По мере увеличения/ в интервале |/ — jc \ ^ /', значение и/(/) возрастает от нуля до В/Фо. Качест- Качественный вид зависимостей vv(/) и И/0) изображен на рис. 1.17. 3* 35
Из формулы A.62) виден физический смысл параметра ]\ -.он опреде- определяет характерный разброс локальной плотности критического тока, связан- связанный с неоднородностью силы пиннинга. Поскольку сама величина jc(T) стремится к конечному пределу при Т -*¦ О, то в этой области температур должна оставаться конечной и характерная амплитуда ее флуктуации /i ( Т). Таким образом, учет неоднородности силы пиннинга позволяет, по крайней Рис. 1.17. Функция распределения и>(/) и зависи- зависимость плотности свободных вихрей мере качественно, понять наблюдавшуюся зависимость j\(T) при низких температурах. Ранее в этом параграфе уже отмечалось, что в области Е -^ .Ef модель критического состояния справедлива с точностью до \\\}с < 1. Тем не менее нелинейность вольт-амперной характеристики при?"^ Ef оказывается весь- весьма существенной при рассмотрении стабильности критического состояния. Этот факт приводит также и к некоторым другим важным следствиям. Здесь мы остановимся на одном из них, вытекающем из формулы A.47), а именно на медленном затухании во времени наведенного в жестком сверхпроводнике тока [33]. Такое затухание связано с тем, что в сверхпро- сверхпроводнике второго рода движение магнитного потока имеет место при любой плотности транспортного тока, в том числе и в случае /</с- Например, для короткозамкнутого соленоида оно проявляется как медленное "просачива- "просачивание" запасенного в нем магнитного потока через сверхпроводящую обмотку. Рассмотрим этот случай более подроб- АФ,лроизб.ед. но, полагая, что в начальный момент вре- времени электрическое поле равно ?"@) <Ef. Затухание тока / = ]А (А площадь по- поперечного сечения проводника) описывает- описывается уравнением г dj LE(j) at A где ? и <R(/) — индуктивность и сопротив- сопротивление соленоида соответственно, L — пол- полная длина проводника. Воспользовавшись вольт-амперной характеристикой A.47) Рис. 1.18. Зависимость захваченного магнитного потока в сверхпроводящем кольце из сплава Pb-Та от времени [36] / 36 10 100 t.c
преобразуем <R(/) следующим образом: Lp(E) LE0 здесь /(О) — плотность тока в начальный момент времени. С помощью вы- выражения для <R(/) уравнение, описывающее затухание плотности тока, приводится к уравнению tf j + h е>Ф f-Ц^-1 =0, A.64) at L /i j где tf = ?/6l[E@)]. Решение A.64) имеет вид A.65) откуда следует, что затухание тока в сверхпроводнике второго рода (/@) < /с) является весьма медленным (логарифмическим) и, в основ- основном, определяется малой величиной j\. Такой закон был предсказан Андер- Андерсоном [33] и в дальнейшем наблюдался во многих экспериментах [34—36] (рис. 1.18). Выражение A.65) является прямым следствием формулы A.47), поэтому измерение затухания захваченного магнитного потока с помощью, например, сверхпроводящих квантовых интерферометров есть один из методов исследования вольт-амперных характеристик сверхпровод- сверхпроводников второго рода в области E^.Ef [34 - 36, 40]. Воспользовавшись формулами A.47) и A.65), нетрудно получить закон изменения электрического поля E(t): A.66) Если t > tf, то с учетом соотношения tf = ?j\A/E@)L эта формула дает ?)\А E(f)=-~- A.67) Lit Таким образом, при Е ^ Е} электрическое поле затухает обратно пропор- пропорционально t вне зависимости от первоначально наведенного поля Е@). Последнее обстоятельство приводит к тому, что время td, за которое E(t) уменьшится от Е@) до некоторой величины Е, с точностью до tfjta также не будет зависеть от ?"@). Для однослойного соленоида кругового сечения выражение для td имеет вид ^. а.68, где R — радиус сверхпроводящего провода, 35 - диаметр соленоида. Пола- Полагая /, = Ю-%, /, = 3 • Ю9А/м2, R = 10м, 20= 0,1 м, Е = Ю~10В/м, находим td =t 1,5 ¦ Ю6с «* 17 сут. В этих же условиях время tf = tdE/E@) при /Г@) = 10"sB/m составляет около 15 с. 37
ГЛАВА 2 СТРУКТУРА И ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ КОМПОЗИТНЫХ СВЕРХПРОВОДНИКОВ В сверхпроводящем композите в единое целое объединены жесткий сверхпроводник и нормальный металл, находящиеся в электрическом и тепловом контакте между собой. Структура таких проводников опреде- определяется их назначением и может быть весьма сложной. Сверхпроводящие композиты позволяют наиболее эффективно использовать одно из основ- основных достоинств жестких сверхпроводников — высокую плотность крити- критического тока. Именно на их основе создаются проводники с большими критическими токами. Изменяя структуру и применяя жесткие сверхпро- сверхпроводники и нормальные металлы с различными электрическими, тепловы- тепловыми и механическими свойствами, можно влиять на устойчивость сверхпро- сверхпроводящего состояния, потери энергии в переменных магнитных полях, пластичность, прочность и другие важные физические характеристики сверхпроводящих композитов. В этой главе описаны основные типы современных композитных сверх- сверхпроводников и их физические свойства. Кроме того, приведены значения электрических, тепловых и механических характеристик жестких сверх- сверхпроводников и нормальных металлов, чаще всего использующихся при создании сверхпроводящих композитов. § 2.1. Композитные сверхпроводники Современные композитные сверхпроводники по своей структуре можно разделить на три основных типа [23, 54—56]: 1) многожильные композиты, состоящие из матрицы нормального ме- металла с внедренной в нее относительно регулярной структурой сверхпрово- сверхпроводящих жилок; 2) ленточные композиты, представляющие собой сравнительно широкую ленту из чередующихся слоев сверхпроводника и нормального металла; 3) волокнистые композиты, изготовленные по той или иной технологии из неупорядоченной смеси порошков нормального металла и сверхпро- сверхпроводника. В настоящее время наиболее распространены многожильные композит- композитные сверхпроводники. На рис. 2.1 показано несколько простейших конст- конструкций таких проводников. Чаще всего используются композитные сверх- сверхпроводники круглого сечения (рис. 2.1, а). Иногда применяют сверхпрово- сверхпроводящие композиты с прямоугольным сечением (рис. 2.1, б). В ряде случаев 38
e"V** Рис. 2.1. Примеры композитных сверхпроводников простейшей конструкции (сверх- (сверхпроводник зачернен) Рис. 2.2. Сверхпроводящая жилка с ободком ив высокоомного сплава: а) 1 - сверх- сверхпроводник, 2 - сплав, 3 - матрица; б) 1 - ниобий, 2 - соединение Nb3Sn,5 - бронза, 4 — медь в композитном сверхпроводнике делают каналы (рис. 2.1, в), по которым прокачивают охладитель — жидкий гелий. Матрицу многожильных композитных сверхпроводников, как правило, изготавливают из металлов с хорошей электропроводностью (Си, А1). Иногда в композитах с относительно небольшим числом сверхпроводящих жилок, для этой цели используют и высокоомные сплавы (Си—Ni, Cu-Sn и др.). Диаметр провода из композитного сверхпроводника, как правило, составляет от 1(Г4м до B-3) • 10м. Число сверхпроводящих жилок варьируется от нескольких единиц до нескольких тысяч (и даже сотен тысяч), а диаметр жилок - от Юм до 10~4м. Объемное содержание сверхпроводника в многожильных композитах обычно не превышает 60-70%. Структура композитного сверхпроводника, изображенная на рис. 2.1, а, характерна для проводников, изготовленных на основе сверхпроводящих сплавов Nb—Ti различного состава. Часто используют и более сложные конструкции; например, проводники, в которых сверхпроводящие жилки расположены однородно в плоскости поперечного сечения провода (как зто показано на рис. 2.1, а), но каждая из жилок окружена ободком из вы- высокоомного сплава (рис. 2.2). Толщина ободка, как правило, порядка Ю~6м, он служит дополнительным резистивным "барьером" при перете- перетекании тока из сверхпроводника в нормальный металл. В ряде случаев этот "барьер" приводит к снижению потерь энергии в переменном магнитном поле. Примером композитных сверхпроводников с такой структурой 39
a В Рис. 2.3. Поперечный срез трех композитов: а) в центре проводника — медный про- провод, окруженный ободком из тантала, сверхпроводящие жилки из соединения Nb3Sn находятся в матрице из меди [57]; б) проводник из пропаянных сплавом CdZnAg медных и сверхпроводящих композитных проволок, в центре - канал для жидкого гелия [571;в) проводник из композитных сверхпроводящих проволок с жилками из соединения V3Ga и центральной медной проволоки [58] могут служить распространенные в настоящее время проводники, изготов- изготовленные на основе сплавов Nb— Ti и меди, с резистивным ободком из вы- сокоомного сплава Си—Ni [55]. Усложнение конструкции композитов может быть связано и с техноло- технологией производства самого сверхпроводника, как это имеет место для про- проводников с жилками из сверхпроводящего соединения NbsSn (см. рис. 2.2, б). Слой Nb3 Sn с толщиной порядка 10~5 м заключен здесь между слоем бронзы и ниобиевой сердцевиной. Такие сверхпроводящие жилки получаются при изготовлении сверхпроводящего соединения NbsSn по так называемой бронзовой технологии. При этом слой NbsSn возникает в результате диффузии олова в ниобий. Одновременно из-за диффузии олова в медь образуется резистивный ободок из бронзы (Cu-Sn), которая при гелиевых температурах имеет проводимость на 2 — 3 порядка меньше, чем медь. На рис. 2.3 в качестве иллюстрации показана структура еще трех про- промышленных образцов композитных сверхпроводников. Они, как видно, имеют более сложное устройство, чем изображенное на рис. 2.2. Композитные сверхпроводники обычно скручены вдоль своей продоль- продольной оси. Поэтому каждая из сверхпроводящих жилок представляет собой винтовую спираль с некоторым шагом Lp, который принято называть шагом скрутки или твиста. Величина Lp по технологическим причинам всегда больше, чем диаметр проводника. Характерные значения Lp лежат в пределах от B -ь 3) • 10~3м до B -=- 3) ¦ 10~2м. Скрутка композитных сверхпроводников, как будет видно из дальнейшего изложения (см. гл. 3 и 4), приводит к повышению устойчивости сверхпроводящего состояния и к снижению потерь энергии в переменном магнитном поле. Иногда с той же целью применяют транспонированные сверхпроводящие композиты. В этих материалах сверхпроводящие жилки сплетены так, что каждая из них последовательно занимает все допустимые положения в поперечном сечении проводника. Тем самым в транспонированном композите сверхпро- 40
водящие жилки эквивалентны друг другу по своему пространственном! расположению. Ленточные композиты (рис. 2.4) обычно изготовлены на основе сверх проводников с кристаллической структурой, получившей название А15 [23]. Это, например, станид ниобия (Nb3Sn), V3Ga, Nb3Ge и т.д. Крита ческие параметры ЦС(В), Тс(В),Вс2) перечисленных и ряда других сверх- сверхпроводящих соединений из группы А15 существенно превышают крити- критические параметры таких широко распространенных в настоящее время жестких сверхпроводников, как сплавы Nb— Ti различного состава. Однако Рис- 2.4. Структура ленточного композита: / — ниобий, 2 — соеди- соединение Nb3 Sn, 3 - бронза, 4 - медь, 5 - изоляция шшшм при гелиевых температурах они являются весьма хрупкими. Это затрудняет их использование в многожильных композитах. В ленточных композитах вероятность обрыва и растрескивания сверхпроводящих соединений из группы А15 заметно снижается. Концентрация сверхпроводника в ленточных композитах, как правило, порядка 5 — 6%, т.е. сравнительно мала. Токонесущая способность лент обладает ярко выраженной анизотропией — в магнитном поле, перпенди- перпендикулярном плоскости проводника, плотность тока существенно ниже, чем в продольном магнитном поле. Волокнистые композиты — интересный и, по-видимому, перспективный тип композитных сверхпроводников. Их изготавливают по той или иной технологии из неупорядоченной смеси порошков нормального металла и сверхпроводника, а затем сильно вытягивают вдоль оси провода [59—61]. Образовавшаяся в результате структура волокнистого композита опреде- определяется составом, размером частиц, способом и скоростью деформации исходной смеси.- Волокнистые композиты появились в начале 70-х годов, с тех пор интерес к ним неуклонно растет, а технология их произ- производства непрерывно совершенствуется. Отметим, что в литературе такие сверхпроводящие материалы иногда именуют in situ — по назва- названию одного из самых распространенных на сегодня способов их по- получения [60]. На рис. 2.5 схематически изображены продольный и характерные попереч- поперечные срезы волокнистых композитов. Видно, что сверхпроводящие частицы, которые мы будем называть жилками или волокнами, сильно вытянуты вдоль оси проводника (рис. 2.5, а) и неупорядочены в плоскости его по- поперечного сечения (рис. 2.5, б, в). Такая структура достигается соответ- соответствующей деформацией исходно неупорядоченной смеси порошков нор- нормального металла и сверхпроводника. Форма и размер поперечного сече- сечения сверхпроводящих волокон отличаются большим разнообразием. Это могут быть иголочки с почти круглым сечением (см. рис. 2.5,6), либо, например, сложным образом изогнутые ленты с дендритными отростками (см. рис. 2.5, в) и т.д. Таким образом, в волокнистом композите сверх- 41
a 6 в Рис. 2.5. Структура волокнистого композита: а) продольный: б) и в) возможные поперечные срезы проводящая компонента состоит из большого числа перепутанных между собой относительно длинных волокон. Однако длина каждой жилки существенно меньше длины всего проводника. Характерный поперечный размер свехпроводящих волокон лежит в пределах от 10~8м до 1СГ6м. В сечении проводника может содержаться несколько миллионов жилок Обычно объемная концентрация сверхпроводника в волокнистых компо- композитах составляет 5-50%. Отношение характерного продольного размера жилок к поперечному зависит от технологии изготовления образца. Оно может меняться в пределах от 10 до 106. Одно из основных достоинств волокнистых композитов — хорошие механические характеристики. Это позволяет использовать в них в качест- качестве сверхпроводника хрупкие сверхпроводящие соединения из группы А15. В результате удается создавать достаточно пластичные и прочные компо- композитные сверхпроводники, сохраняющие сверхпроводимость в весьма сильных магнитных полях и обладающие сравнительно высокими значения- значениями тепло- и электропроводности в нормальном состоянии. Уже сейчас имеются волокнистые композиты, не уступающие по своей токонесущей способности эквивалентным многожильным композитам, изготовленным на основе таких соединений, как Nb3Sn, V3Ga. В настоящее время рекордными значениями верхнего критического маг- магнитного поля Вс2 обладают жесткие сверхпроводники из нового класса сверхпроводящих соединений — тройные халькогениды молибдена (PbMo6S8, SnMo6S8 и другие) [62,63]. Так, например, у PbMo6S8 величи- величина Вс2 - 60 Тл при Тс = 13-14К [62, 63]. Для соединения PbMo6S8 уже получены высокие значения плотности критического тока (вплоть до/с =s 108 А/м2 во внешнем магнитном поле с индукцией Ва = 14 Тл) [64, 65]. Однако тройные халькогениды молибдена имеют весьма неудовлетвори- неудовлетворительные механические характеристики. Возможно, что в перспективе на основе этих соединений удастся изготовить достаточно пластичные и проч- прочные волокнистые композиты с очень большими значениями Вс2. Композитные сверхпроводники, как правило, покрывают слоем изоля- изоляции. При гелиевых температурах в качестве такой электроизоляции исполь- используют различные органические материалы - лак, эпоксидную смолу, лавсан, тефлон и т.д. Такие покрытия существенно ухудшают теплоотдачу от композитного сверхпроводника в охладитель. 42
§ 2.2. Физические свойства элементов композитных сверхпроводников В этом параграфе кратко описаны электрические, тепловые и механичес- механические свойства материалов, из которых изготовлены наиболее распространен- распространенные композитные сверхпроводники. 1) Критические параметры (Тс, /?С2>/с)- В качестве сверхпроводящей компоненты в современных композитах, обычно, используют различные сплавы и соединения Nb (Nb-Ti, Nb3Sn и др.). Критическая температура чистого ниобия при Ва = 0 относительно велика: Тс@) - 9,5 К [1]. Одна- Однако верхнее критическое магнитное поле для монокристаллического Nb мало: Вс2 ~ 0,26 Тл (если Т = 4,2 К) и Вс2 « 0,41 Тл (если температуру экстраполировать к нулю) [23]. В сильно деформированном ниобии Тс = а 10 К, а величина Вс2, хотя и возрастает вплоть до 2 - 2,5 Тл [23], остает- остается сравнительно небольшой. Сплавы Nb-Ti, образующие непрерывный ряд твердых растворов, яв- являются наиболее распространенными в настоящее время жесткими сверх- сверхпроводниками. Они отличаются относительно большими значениями как критической температуры, так и верхнего критического магнитного поля. Обычно в композитах используются сплавы Nb—Ti с концентрацией титана xTi от 40 до 60 ат.%. Зависимость Гс@) и Вс2 от xTi показана на рис. 2.6. Видно, что вплоть до Xj.j ~ 70 ат.% критическая температура мало меняется при изменении x-ti. Дальнейшее увеличение концентрации титана приводит 12 12 i i i i Всг,Тл 0 20 60 100 0 20 60 100 Рис. 2.6. Зависимости от лсТ!: а) 7^@); б) Всг (при Тв =4,2 К) для сплавов Nb-Ti [66] 0,5 ТС(В) ТЕ (о) 20 16 12 8 4 0,5 10 20 30 8,7я 6 Рис 2.7. Зависимости ТС(В) для: а) сплава Nb - 56%Ti;6) соединения Nb3Sn [54] 4?
к резкому падению Тс. Величина Вс2 имеет ярко выраженный максимум в окрестности xTj = 60 ат.%, положение которого слабо зависит от темпе- температуры. По мере увеличения магнитного поля критическая температура сверх- сверхпроводников падает. На рис. 2.7, а в качестве примера показана зависи- зависимость отношения Тс(В)/Тс@) от В/Вс2@) для сплава Nb - 56% Ti. Здесь Вс2@) — значение верхнего критического магнитного поля, экстраполиро- экстраполированного -к нулевой температуре. При других значениях xTi функция ТС(В) качественно имеет тот же вид. Плотность критического тока j' во многом определяется технологией изготовления жесткого сверхпроводника. Для сплавов Nb-Ti характерны- характерными являются следующие значения: /с ~ 101 ° А/м2 (при Т = 4,2 К и Ва =0) и /с ~ B - 3) • 109 А/м2 (при Т = 4,2 К и Ва = 5 Тл). Если образец был под- подвергнут соответствующей металлургической обработке, то значение /с может быть и существенно (на порядки) меньше. Зависимости/с от Т и В для различных образцов, изготовленных из сплавов Nb—Ti, изображены на рис. 1.4. Сверхпроводящие соединения из группы А15 (Nb3Sn, Nb3G.e, Nb3Al, V3Ga и другие) обладают большими значениями Тс и Вс2, чем сплавы Nb-Ti. В этом параграфе приведены основные физические характеристики станида ниобия. Однако качественно большая часть того, что говорится о Nb3Sn, в равной мере относится и к другому сверхпроводящему соедине- соединению из группы А15 — к соединению V3Ga. Зависимость критической температуры для станида ниобия от индукции магнитного поля показана на рис. 2.1,6 [54]. Видно, что Тс@) «=. 18 К, а ^сг(О) ^ 25 Тл и Вс2 = 23,5 Тл при Т = 4,2 К. Характерные значения плот- плотности критического тока у соединения Nb3Sn в магнитном поле cBfl ^ ^5-6Тлв2-4 раза выше, чем у сплавов Nb-Ti. При Ва > 5 — 6 Тл это различие становится еще больше, и оно быстро нарастает по мере увели- увеличения Ва. В магнитном поле с индукцией Ва ~ 10 Тл типичной для соедине- соединения Nb3Sn является плотность критического тока /с ~ 109 А/м2. Зависи- Зависимость /с от Ва приведена на рис. 1.4, б для не- нескольких образцов из станида ниобия. ¦Ом'м 2) Проводимость. Удельное сопротивление р наиболее распространенных жестких сверх- сверхпроводников Nb—Ti и Nb3Sn при Т^>,ТС (т.е. в нормальном состоянии) порядка B-6) • 10~7 Ом • м. Это гораздо больше, чем у чистых металлов. На рис. 2.8 приве- приведены зависимости удельных сопротивлений сплава Nb - 60% Ti (кривая 1) и соединения Nb3Sn (кривая 2) от температуры при Ва =0. Видно, что увеличение р в интервале oi Т ~ Тс до Т ~ 300 К весьма незначи- незначительно. Рис. 2.8. Зависимости р„(Т): I - сплав Nb-Ti; .2 ~ Т,К соединение Nb3Sn; 3 - медь [54]
Таблица 2.1 Удельное сопротивление высокоомных сплавов Си—Ni и Си—Sn при различных значениях концентрации Xnj и jcSn [67] 0 5 10 20 28 л-5п,ат.% 0 0,1 0,5 1,1 1,5 3,0 Р, 10"" при Т= 4 К 0,013 5,6 11,5 22,4 31,4 0,013 0,3 1,4 3,04 4,05 7,9 Ом • м при Т= 293 К 1,8 7,6 13,6 24,5 33,2 1,8 2,05 3,2 5,1 6,9 10,1 Удельное сопротивление технической меди, которую обычно используют в композитных сверхпроводниках, порядка A — 2) • 100 Ом • м (при Т ~ 4,2 К). Это на 3—4 порядка меньше, чем значение р для жестких сверх- сверхпроводников. Таким образом, даже при большой концентрации сверхпро- сверхпроводника сопротивление композита в нормальном состоянии целиком опре- определяется металлом матрицы. На рис. 2.8 приведена также зависимость р(Т) для технической меди (кривая 3) в случае, когда Ва = 0. Видно, что изме- изменение температуры от 4,2 до 300 К приводит к возрастанию р примерно на два порядка. Следовательно, и при Т ~ 300 К сопротивление компоизта определяется металлом матрицы. Удельное сопротивление технического алюминия, как правило, в 2—3 раза выше, чем у технической меди [54]. Однако в результате совер- совершенствования технологии изготовления композитов в них возможно будет использоваться сверхчистый алюминий. Сопротивление его меньше, чем у технической меди в 10 — 20 и более раз. Во многих многожильных композитах сверхпроводящие жилки окруже- окружены ободком из высокоомного сплава Си—Ni. В области гелиевых темпера- температур величина р для этого сплава (см. табл. 2.1) с хорошей точностью про- пропорциональна xni, изменение же Г от 4 до 293 К сказывается на значении р весьма слабо. Отметим еще, что удельное сопротивление, например, сплава Си — 10% Ni примерно в 2 раза меньше, чем у распространенных жестких сверхпроводников (Nb— Ti, Nb3Sn) в нормальном состоянии, и примерно в 1000 раз больше, чем у технической меди. При изютовлении станица ниобия между ним и медной матрицей, как правило, образуется высокоомный слой из бронзы Си—Sn. Из табл. 2.1 видно, что для этого сплава р слабо зависит от Т, если xSn ~>, 0,5 ат.%. Добав- 45
ление же в техническую медь олова с концентрацией всего в 1,1 ат.% увеличивает ее удельное сопротивление при Т = 4 К примерно в 300 раз. Проводимость жестких сверхпроводников Nb—Ti и Nb3Sn в нормаль- нормальном состоянии слабо зависит от индукции магнитного поля [54, 66]. Так, например, при увеличении Ва от 0 до 7 Тл удельное сопротивление сплава Nb - 50% Ti изменяется не более чем на 1 % [66]. Наличие магнитного поля существенно сказывается на проводимости технической меди. В области гелиевых температур при Ва >, 1 Тл изменение ее удельного сопротивления Ар = р(Ва) - р@) с хорошей точностью описывается формулой [54] Р(О) =2,3- 10 -3 ^ *, Р@) B.1) где р@), рзоо — значения р при Ва = 0 и Т ~ 4,2 К, Т = 300 К соответствен- соответственно, а индукция Ва должна быть выражена в теслах. Из B.1) следует, напри- например, что, если Ва = 5 Тл, а отношение р3оо/р@) = 100, то Др/р(О) = 1,15. 3) Теплопроводность. Из-за большого числа дефектов кристаллической структуры для жестких сверхпроводников теплопроводность к оказы- оказывается существенно меньше, чем для чистых ме!аллов. На рис. 2.9, а изображены зависимости кG) для технических меди и алюминия, соедине- соединения Nb3Sn и сплава Nb — 60% Ti в интервале температур от 2 — 3 до 28 К. Видно, что при всех значениях Т теплопроводность нормальных металлов, использующихся для изготовления композитов, примерно на три порядка к,/0~2Вт/мК Охладитель 0% Матрица понпозигла Рис. 2.9. Зависимости к(Т).а) 1 - медь, 2 - алюминий, 3 — соединение Nb3Sn, 4 - сплав Nb - 60 % Ti [ 54 ]; б) I медь. 2 - алюминий [54] ;е) эпоксидная смола [69] Рис. 2.10. Распределение температуры у поверхности проводника, покрытого сло- слоем изоляции с толщиной df 46
выше, чем у соответствующих жестких сверхпроводников. В связи с изуче- изучением процесса распространения нормальной зоны по композитному сверх- сверхпроводнику представляет интерес зависимость кG) для технических меди и алюминия при температурах вплоть до 100 - 300 К. Эти данные приведе- приведены на рис. 2.9, б. Теплопроводность к,- органических материалов, которые используются для изоляции композитных сверхпроводников (лак, эпоксидная смола, лавсан, тефлон и другие), в области гелиевых температур весьма мала. Характерным является значение к,- ~ 10~'Bt/mK, что в несколько раз меньше, чем для жестких сверхпроводников, и на 3—4 порядка меньше, чем для технических меди и алюминия. На рис. 2.9, в в качестве примера приведена зависимость от температуры теплопроводности эпоксидной смолы. Для других органических материалов зависимость к(Т) имеет качественно подобный вид. Наличие изоляции с плохой теплопроводностью существенно сказывает- сказывается на величине плотности потока тепла q = ЛЭфф(Гк - Го) из композита в охладитель. Здесь Гк — температура внешней поверхности матрицы, Лэфф — эффективный коэффициент теплоотвода. В случае, например, плоской границы охладитель — композитный сверхпроводник, покрытый слоем изоляции с толщиной df (рис. 2.10), простой расчет приводит к вы- выражению для ЛЭфф в виде h ЛЭфф - -—-ггг- ¦ B.2) 1 + MfJK; Из формулы B.2) следует, что если М;/к,- > 1, то ЛЭфф< h. Пусть, для оценок, h = 6 • 103Вт/м2 • К (режим пузырькового кипения при охлажде- охлаждении жидким гелием, см. рис. 1.7), а к,- = 6 • 10~2Вт/м • К. ТогдаОД/к,- = 1, если dj = 10~5м, и, следовательно, при d,- ^ 10~sm величина ЛЭфф = = Ki/di < h. 4) Теплоемкость. При гелиевых температурах теплоемкость единицы объема v жестких сверхпроводников и нормальных металлов порядка 103Дж/м3 • К. Это относительно небольшая величина, что, в частности, не- неблагоприятно сказывается на устойчивости сверхпроводящего состояния. На рис. 2.11 приведены зависимости теплоемкости единицы массы v *) от Т для сплава Nb — 50% Ti, соединения Nb3Sn, технических меди и алюминия.. Немонотонность на кривых v(T), наблюдающаяся у сверхпроводников, связана с переходом через Тс. Отвлекаясь от этой особенности, теплоем- теплоемкость интересующих нас материалов при Т < 50 К можно описать формулой где v\ и v3 — числовые коэффициенты. > При дальнейшем изложении встречается лишь величина v. Экспериментально, как правило, измеряют v. Переход otvylv осуществпяется домножением 1~на удель- удельную плотность, которая для сплавов Nb-Ti примерно равна 5,6 • 103кг/м3, для соеди- соединения Nb3Sn - 3,6 • 103кг/м3, для Си - 8,9 ¦ 103кг/м3, а для А1 - 2,7 ¦ 103кг/м3 [23.54]. 47
ID1 Ч,105&ж1(кг-К) to 12 20 6 28 4 6 8 Т.Ъ 4 а Рис. 2.11. Зависимости v(T) для: а) сплава Nb - 50%Ti [68]; б) / -соединения Nb3 Sn, 2 - алюминия, 3 — меди [54] 5)Механические характеристики. При обсуждении механических харак- характеристик композитных сверхпроводников мы вначале остановимся на величинах, определяющих их пластичность и прочность, а затем — на том, как влияет степень их деформации на основные параметры сверхпроводя- сверхпроводящего состояния. Подчеркнем, что механические свойства весьма существен- существенно зависят от технологии изготовления и последующей обработки образ- образцов. Поэтому приведенные ниже значения соответствующих величин следует рассматривать как наиболее характерные. Сплавы Nb—Ti являются относительно пластичными и прочными жест- жесткими сверхпроводниками. *Так, при концентрации титана от 40 до 60 ат.% и Г*4К они имеют модуль ЮнгаЕ~ ю1' Н/м2, предел упругости а0>2 % ^(l —2)- 109 Н/м2 *) и предел прочности аь, на несколько десятков процентов превышающий величину а02 ¦ В тех же условиях для сплавов Nb—Ti максимальная деформация до начала разрушения eb ~ 2,5—4%. Станид ниобия является существенно более хрупким материалом. В об- области гелиевых темпфатур для соединения Nb3 Sn характерными являются следующие значения: Е~ 10'' Н/м2, о0;2 -3-I08 Н/м2,аь,^5-6 • 108Н/м2, еь~ 1,2-1,3%. Техническая медь, которую обычно используют в сверхпроводящих композитах, при Г~4К имеет значения: iT^lO11 Н/м2, а0 2 ~ ~ A-2) • 108Н/м2, аь ~ D-5) • Ю8Н/м2, еь ~ 10%. Для технического *) Предел упругости <т0 2 равен величине механического напряжения о, после снятия которого остаточная деформация составляет 0,2 %.
алюминия в тех же условиях Е ~ 10' "Н/м2, а0 2 ~ E—6) ¦ 107Н/м;, аь = = 2 ¦ 108Н/м2, а значения еь порядка 10% и выше. Приведенные данные позволяют понять, как происходит деформация композитного сверхпроводника при его механическом нагружении в области гелиевых температур. Действительно, из сопоставления соответ- соответствующих пределов упругости а0 2 видно, что пластическая деформация прежде всего начинается в нормальном металле матрицы. Прочность же композита определяется содержанием в нем сверхпроводника — чем выше концентрация сверхпроводника, тем прочнее композит. При большой деформации разрушаются сначала сверхпроводящие жилки, а затем уже матрица (величина ej, для сверхпроводника существенно меньше, чем для нормального металла). С увеличением температуры модуль Юнга, предел упругости и предел прочности металлов и сплавов обычно снижаются, а максимальная дефор- деформация до начала разрушения возрастает, т.е. зти материалы становятся более пластичными, но менее прочными. Так, например, для технической jc,l08A/n2 Рис. 2.12. Зависимости /с(е) для: о) соединения NbN [71J; б) трех композитов на основе сплава Nb-Ti [72] ;е) соединения Nb3Sti [71] 4. А.Вл. Гуревич 49
меди и сплавов Nb— Ti увеличение Т от 4 до 300 К приводит к уменьше- уменьшению ?, а02 и аь примерно на 10%. Однако в ряде случаев у жестких сверхпроводников (Nb-Ti, Nb3Sn) могут наблюдаться весьма сложные не- немонотонные зависимости Е, а0 2 и аь от температуры, что. по-видимому, связано со структурными переходами [70]. По величине и характеру изменения основных параметоов сверхпрово- сверхпроводящего состояния при механическом нагружении жесткие сверхпроводни- сверхпроводники с высокими значениями Вс 2 и ]с можно разделить на три группы. К первой относятся вещества с кристаллической структурой В1 и С15. Сверхпроводящие свойства этих материалов практически не зависят от величины деформации вплоть до разрушения образца. Типичным предста- представителем таких жестких сверхпроводников является нитрид ниобия - NbN (вещество с кристаллической структурой В1). На рис. 2.12, а в качестве иллюстрации показана зависимость плотности критического тока от полной деформации е для NbN. Измерения проводились в различных магнитных полях с индукцией от 6 до 22 Тл при Т = 4,2 К. Видно, что в пределах точности эксперимента /с не зависит от е вплоть до некоторого значения е = ес * 0,7 %. Величина ес не меняется при изменении магнитного поля. В [71] отмечено, что в области е>ес начинается пластическая деформа- деформация подложки, на которую нанесен сверхпроводник. Увеличение деформа- деформации в диапазоне е > ес приводит к быстрому уменьшению/с. Так, плотность критического тока уменьшается примерно в два раза при изменении дефор- деформации от е ^0,7% до е = 1 %. Аналогичным образом ведут себя зависимости Тс(е) и Вс2(е). Отметим, что деградация сверхпроводящих свойств в об- области е > ес носит необратимый характер. Ко второй группе относятся сплавы Nb-Ti и ряд других жестких сверх- сверхпроводников. Влияние деформации на их сверхпроводящие свойства более заметно, чем для веществ с кристаллической структурой В1 и С15. Однако практически вплоть до разрушения образца оно не слишком велико. На рис. 2.12,6 показаны типичные зависимости плотности критического тока от полной деформации для многожильных композитных сверхпроводни- сверхпроводников, изготовленных на основе сплава Nb—Ti [72]. Величина jc измерялась в [72] для трех различных образцов при Г=4,2КиВа = 7 Тл. Из рис. 2.12,6 видно, что в области е^. 2% изменение jc не превышает 15%. Зависимость плотности критического тока от е носит обратимый характер, если полная деформация не слишком велика. Изменение ]с при заданной величине е растет с ростом индукции магнитного поля. Однако вплоть до Ва ~1 — 8 Тл ие^ 2% для сверхпроводящих сплавов Nb—Ti и композитов, изготовлен- изготовленных на их основе, зависимость jc от е не слишком велика. В том случае, когда полная деформация превышает некоторое критическое значение ес, уменьшение плотности критического тока становится необратимым, т.е. после снятия нагрузки величина jc не восстанавливается до исходного уров- уровня. Характерное значение ес для сплавов Nb-Ti порядка 1,5-2% [72]. Эксперимент показывает, что ес практически не зависит от магнитного поля. По-видимому, так же как и в случае сверхпроводников с кристалли- кристаллической структурой В1 и С15, величина ес определяется началом пласти- пластического течения материала. Действительно, для сверхпроводящих сплавов' Nb -Ti заметная пластическая деформация начинается при е >, 1 %. 50
Таблица 2.2 Основные физические характеристики ряда материалов при Г = 4,2 К / , А/м2 Л Материал Тс, К ВС2, Тл при В - р, Ом ¦ м к, Вт/м • К у, Дж/м3 ' К ctq.2-Н/м2 ст&, Н/м2 ей,'/г = 5 Тл Nb-Ti 9.5 12 3 • 10' 2,4- 10*) 0.15 -103 A-5-2)-10' A.5 •*¦ 2.2) • 10' 2 -;¦ 4 [23] [23] [54] [54] [54] [23] 6- К) [661 Nb,Sn 18.1 23-24 -1010 2,7- Ю*' 0,04 A.1+ ~3 • 10а E*6)--10« 1,2-М [23] [23.54] |54J [54[ [23.54J -Н.2)-103 [23.54] Медь — — — 1.3-Н.6-1О-10 2.5- 10* 0.9- 1СK A+2)-108 D 4- 5) ¦ 108 (техническая) [54 J [54] [23.54] Алюминий 1.2 — — -10-' ~0,6 ¦ 102 0.76-. 103 @.5+ -2 • 10s (техничес- [2HJ [54] [23] |54] + 0.6) • 108 кий) Органичес- — — — — 0.03 — — — кая изоля- [54] ция 0.07 [69] Гелий — • —- — — 2,6- 10 6-Ю5 — (жидкий) [54] [54] Гелий — — — — Ю-3 4,8-10" — (газооб- [23] [23] разный при атм. давлении) 1л *) Измерения проводились при Т > Тс.
Критическая температура и верхнее критическое магнитное поле для сплавов NB—Ti относительно слабо зависят от деформации [72]. Относи- Относительное изменение Тс и Вс2, как правило, не превышает нескольких процен- процентов при е =* ес. К третьей группе относятся жесткие сверхпроводники с кристаллической структурой А15. Сверхпроводящие свойства этих материалов сильно за- зависят от деформации. На рис. 2.12, в показана зависимость плотности кри- критического тока от е при Т = 4,2 К для соединения Nb3Sn, изготовленного по бронзовой технологии [71]. Видно, что величина/с растет вплоть до е = е„, =* 0,32 %, а затем начинает уменьшаться. До тех пор пока е < ес =в 0,8 %, изменение плотности критического тока обратимо. В области е> ес умень- уменьшение /с носит необратимый характер. Величины ет и ес практически не зависят от магнитного поля. В то же время с ростом Ва вид функции /с(е) меняется. Из рис. 2.12, в видно, что чем больше Ва, тем резче зависи- зависимость плотности критического тока от е. В очень сильном магнитном поле (Ва > 19 Тл) интересной особенностью кривой/с(е) является обращение jc в нуль. Оно происходит при е < ес и, следовательно, обратимо. Величины ет и ег, по-видимому, определяются лишь механическими свойствами исследованных сверхпроводников. На это прежде всего ука- указывает отсутствие зависимости ет и ес от магнитного поля. Кроме того, значение ес по порядку близко к деформации, при которой начинается заметное пластическое течение соединения Nb3Sn. Увеличение плотности критического тока в области 0 < е < ет (см. рис. 2.12,в), скорее всего, связано со способом производства исследованного сверхпроводника [71]. Действительно, при получении соединенияNb3Sn по бронзовой технологии, как правило, фактически производится композитный сверхпроводник, состоящий из собственно сверхпроводника (Nb3Sn) и бронзы Си—Sn. Охлаждение такого композита приводит к возникновению механического напряжения между соединением Nb3Sn и бронзой. Это напряжение вызы- вызывает деформацию с е ^ ет. При нагружении образцов сначала снимается возникшая таким образом предварительная упругая деформация. Затем появляется деформация другого знака, увеличение ее, в конечном итоге, и обусловливает деградацию сверхпроводящего тока. Основные характеристики наиболее распространенных жестких сверх- сверхпроводников, технических меди и алюминия, органической изоляции, жидкого и газообразного гелия для удобства сведены в табл. 2.2. § 2.3. Физические свойства сверхпроводящих композитов В последующих главах мы будем изучать тепловые и электромагнитные процессы, приводящие к диссипации энергии, неустойчивости сверхпрово- сверхпроводящего состояния и распространению нормальной зоны в композитных сверхпроводниках. Детальное описание возникающих при этом распределе- распределений температуры, плотности тока, электрического и магнитного полей сопряжено со значительными математическими трудностями. Сложная внутренняя структура композитных сверхпроводников, состоящих из большого числа разнородных по своим физическим характеристикам ма- материалов, делает точное решение задачи практически невозможным. С дру- другой стороны, с экспериментальной точки зрения интерес представляют, 52
как правило, лишь средние значения различных величин (температуры, плотности тока, напряженности электрического и индукции магнитного полей). Таким образом, возникает обычная для гетерогенных сред ситуа- ситуация, когда от "микроскопического" описания процессов удобно и естест- естественно перейти к "макроскопическому". При этом композитный сверхпро- сверхпроводник заменяют эквивалентной ему однородной анизотропной средой [73—80]. Физические свойства такой эффективной среды определяют, ус- усредняя характеристики исходного проводника по областям, содержащим большое число элементов его структуры (жилок, волокон и т.д.) [81]. "Макроскопическое" описание, как обычно, имеет смысл, если рассматри- рассматриваемые процессы являются достаточно медленными. Это означает, что "макроскопические" величины (температура, плотность тока, напряжен- напряженность электрического и индукция магнитного полей) должны мало менять- меняться на расстояниях порядка поперечных размеров элементов структуры композита. Кроме того, характерное время их изменения должно быть больше, чем время релаксации соответствующих "микроскопических" величин. В композитных сверхпроводниках из-за сложной внутренней структуры имеется несколько времен релаксации "микроскопических" распределе- распределений температуры, плотности тока, электрического и магнитного полей. Оценим здесь некоторые из них, представляющие наибольший интерес для дальнейшего изложения. Выделим, прежде всего, два характерных времени диффузии потока тепла tK. Первое (tKi) определяет время релаксации температуры в сверх- сверхпроводящих жилках, второй (гк„) - в нормальном металле матрицы. Воспользовавшись уравнением теплопроводности ЪТ к — = — AT, Ы v находим, что коэффициент термической диффузии Dr = kjv . Тогда выраже- выражеvL? ; где L — характерный размер. Для определения tKS в формулу B.3) в качестве L нужно подставить радиус сверхпроводящей жилки г0, а для определения tKn — расстояние между ними /0, тогда tK, = . tKn = . B.4) ks кп Здесь и ниже индексами sun обозначены величины, относящиеся к сверх- сверхпроводнику и нормальному металлу соответственно. Оценим с помощью B.4) характерные значения tKS и tKn. Пусть /0 ~г0 ~ * 1CTS м, vs ~ vn * 103 Дж/м3 К, ks ~ 10" ' Вт/м • К, к„ ~ 102 Вт/мК, тогда tKS « 10~6 с > tKn » icr9 с. Отметим, что рассмотренный пример со- соответствует ситуации, когда относительные концентрации сверхпроводни- сверхпроводника (Ху) и нормального металла (хп) — одного порядка. Именно в этом случае ги ~ /0. 53
Оценим еще два характерных времени диффузии магнитного потока tm. Первое из них (tms) определяет время релаксации электромагнитных про- процессов в сверхпроводящих жилках, второе {tmn) - в нормальном метал- металле матрицы. Воспользовавшись уравнением Максвелла в форме [17] ЪЕ 1 = АЕ. dt ц0о находим, что коэффициент магнитной диффузии Dm = (juoa) ~х, и выраже- выражение для t m можно записать в виде rm = —- =juoal2. B.5) Подставив в формулу B.5) в качестве L радиус сверхпроводящей жил- жилки г0 и расстояние между ними /0, найдем tms и tmn соответственно: tmS = VoOsrl. tmn=fi0ontf. .B-6) Оценим с помощью B.6) характерные значения tmn и tms. Пусть/0 ~г0 * « 10"s м, а„ =в Ш10 Ом • м~', тогда tmn == 1СГ6 с. Величина tms сущест- существенно зависит от напряженности электрического поля. Так, если сверхпро- сверхпроводник находится в режиме вязкого течения магнитного потока, т.е. ?"-> Ef, то os = Of. Положим, для оценки, Of « 107 Ом • м, тогда tms ^ 10"9 с*^ < tтп. ПриЕ < Ef проводимость os =jxjE и,следовательно, tms -Voiifl/E- Пусть, например, Е = 10~4 В/м < Ef, a/i = 107 А/м2. В этом случае tms ~ 10~s с > tmn, т.е. в зависимости от напряженности электрического поля отношение tmnltms может быть как больше, так и меньше единицы. Таким образом, введение "макроскопических" температуры, плотности тока, напряженности электрического и индукции магнитного полей имеет смысл, если характерное время их изменения больше, чем tKS, tKn, tms и tmn. Кроме того, эти величины должны мало меняться на расстояниях по- порядка г о и/о- Перейдем теперь к обсуждению физических свойств эффективной сре- среды — однородного анизотропного сверхпроводника, которым заменяют композит при "макроскопическом" описании протекающих в нем тепло- тепловых и электромагнитных процессов. В многожильных композитных сверхпроводниках средние значения плотности критического тока/^ продольных проводимости ац и теплопро- теплопроводности кц, а также теплоемкости v равны соответственно: /,=*./с. B-7) o\\=osxs + onxn, B.8) v=xnvn+xsps, кц=хпк„+ххк3. B.9) Из выражений для Кц и ац видно, что Кц = хпк„ > ks> a ац > Of. Действи- Действительно, в малых электрических полях as = / t/E > а„ и ац ^jc^ os = xsji/E ^ P on > Of, в сильных электрических полях as ~ Of <€ ап и ац ~х„оп ^> Of. Весьма сложной математической задачей является определение попе- поперечных проводимости ох и теплопроводности kj . Физически это связано с тем, что ток и поток тепла обтекают включения с низкими значения- значениями о и к. Кроме того, о± и к^ определяются не только параметрами сверх- 54
проводника и нормального металла, но и самим процессом, для которого вычисляются соответствующие средние величины. Пусть, например, рассто- расстояние между жилками /0 ~ r0 (xs ~ хп), а каждая из жилок окружена вы- сскоомным ободком с удельным сопротивлением р,- и толщиной dt < rv (см. рис. 2.2, б). Тогда если ток или поток тепла текут по матрице, то 01 ~ аи. а кх ~ к„. Иная ситуация возникает, например, при изучении процесса перетека- перетекания тока в плоскости поперечного сечения многожильного композита из одной сверхпроводящей жилки в другую. Пусть расстояние между этими жилками L 12, тогда величина Рх определяется суммой сопротивления мат- матрицы (порядка PnLl2) и сопротивления высокоомных ободков (поряд- (порядка P[dj). В результате выражение для Рх можно записать в виде (см. так- также [77]) Pi =TiPn + 7iPt , B.10) где 7i и уп — множители порядка единицы, точное значение которых зави- зависит от деталей структуры композита. Второе слагаемое в B.10) обусловле- обусловлено наличием резистивных "барьеров", окружающих сверхпроводящие жил- жилки. В гом случае, когда d,>Ll2— , B.11) Pi оно носит основной вклад в рх. Перетекание тока из жилки вжилку играет важную роль, например, в целом ряде релаксационных процессов, проте- протекающих в скрученных композитных сверхпроводниках. При этом характер- характерное значение L 12 — порядка радиуса провода R. Примем, для оценок, что Piti>n ~ 103, a L |2 ~ R ~ 10~3 м, тогда высокоомные ободки определяют поперечное удельное сопротивление р±, если dt > 10~6 м. В волокнистом композите сверхпроводящие жилки вытянуты вдоль проводника и неупорядочены в плоскости его поперечного сечения. Они образуют сложную пространственную структуру, содержащую случайно рас- расположенные сверхпроводящие контакты между различными волокнами. Это приводит к образованию своеобразных каналов, по которым ток течет вдоль композита только по сверхпроводнику. Продольный размер их мо- может быть существенно больше, чем характерная длина жилок If. Сверхпро- Сверхпроводящий канал, пронизывающий весь проводник от торца до торца (канал протекания) впервые образуется, если xs достигает некоторого критичес- критического значения хс. Величина хс. называется порогом протекания. Ее значе- значение, как следует из теории неупорядоченных сред [82, 83], определяется конкретной структурой волокнистого композита и лежит в пределах от 0,15 до 0,33. Отметим еще, что из-за случайного расположения сверхпроводя- сверхпроводящих контактов между жилками канал протекания имеет весьма сложную форму. При xs < xc ток в образце течет как по сверхпроводнику, так и по нор- нормальному металлу. Несмотря на зто, удельное сопротивление волокнисто- волокнистого композита Рц <рп, Дале если xs < хс. Вклад в Рц, связанный с сопротив- сопротивлением нормального металла, определяется тем, как ток перетекает по матрице из одних сверхпроводящих жилок в другие. В принципе, для 55
этого процесса (рис. 2.13) существуют две возможности. Во-первых, ток в нормальном металле может течь1 по кратчайшему пути — из торца одного волокна в торец другого (ближайшего к нему). Во-вторых, ток может перетекать через боковые поверхности жилок практически вдоль всей их длины. Оценим вклад в рц, связанный с сопротивлением матрицы, для каждой из этих возможностей, воспользовавшись соотношением Р -U/lfi, B.12) здесь U — разность потенциалов вдоль линии тока на длине порядка If, *— :* э* Л 5 N N _j 1 ¦ 1 —1 s N ¦ N . 5 / Рис. 2.13. Перетекание тока из жилки в -жилку в волокнистом композите а / — плотность тока в проводнике. В первом случае U ~ pnjlb, где 1Ь — характерное расстояние между ближайшими торцами сверхпроводящих волокон. Тогда с помощью B.12) дляр|}'' находим оценку Р\ (D — < Рп- Ч B.13) Во втором случае U ~ Ди/jVo. где ii — плотность тока, текущего по матри- матрице. Величина /j. относится к /' как плошадь поперечного сечения жилки к площади ее боковой поверхности, т.е. j± дляР||2' находим оценку к 'о -т -г 1 If Рп <Рп jrollf. Тогда с помощью B.12) B.14) Р|| и, сле- слеИз сопоставления выражений B.13) и B.14) видно, что р^1' довательно, ток в волокнистых композитах перетекает из жилки в жилку через боковую поверхность (см. рис. 2.13). Положим, для оценки, рп ~ 10""' ° Ом ¦ м, /0 ~ r0, lfjr0 ~ 10s (характерное значение для совре- современных проводников), тогда, как следует из B.14), Р||2' ~ 1СГ20 Ом-м. Определим теперь величину продольной проводимости волокнистого композита Gц. В сильном электрическом поле as ~ Of ¦€ а„. Это означает, что резистивный ток течет по нормальному металлу, а, следовательно, 9> о„. Тогда величина °\\ = х„о„. В слабом электрическом поле os = j JE оц зависит от соотношения между ps =E/j i и pi2' ¦' Так, если ps > p(}2J ¦ ("У -"\V ¦ или B.15) го о„ 56 определяется проводимостью сверхпроводящих жилок, а оц =xsos.
Положим, для оценок, р„ « 10 |0 Ом • м, /, ~ 107 А/м2, тогда B.15) пере- переходит в .2 -г-) В/м. B.16) '/ / Неравенство B.16) удовлетворяется во всем интервале напряженностей электрического поля, где обычно исследуют зависимость as (E) для компо- композитных сверхпроводников [84], если отношение г0///< 10~3. Таким образом, сопротивление волокнистых композитов с достаточ- достаточно длинными волокнами не отличается от сопротивления композитов с непрерывными жилками даже, когда xs < хс. Это, в частности, означает, что продольная составляющая плотности критического тока js = xsjc. Важную роль в понимании свойств волокнистых композитов играет эффект близости [2, 5]. Поясним, прежде всего, в чем он состоит. Пусть на поверхность сверхпроводника нанесен тонкий слой нормального металла. Оказывается, что этот слой становится сверхпроводящим, если его толщи- толщина d меньше некоторой величины ?„. Характерные значения ?„ могут существенно превышать длину когерентности ? в сверхпроводнике. Так, например, для меди при Т = 4,2 К величина ?„ ~ 10 м [5]. Следователь- Следовательно, если /0 -^ ?/,, то эффективная концентрация сверхпроводящей фазы в композите будет заметно больше, чем концентрация собственно жесткого сверхпроводника xs. При /0 <?и зффект близости приводит к появлению поперечной состав- составляющей плотности критического тока jsp [60, 61, 85, 86]. Это, по-видимо- по-видимому, наиболее существенное его проявление как в многожильных, так и в волокнистых композитах. Величина ?„ зависит от температуры, а сверх- сверхпроводящий ток, текущий по нормальному металлу матрицы, — от темпе- температуры и индукции магнитного поля. В результате функционально jsp(Г, В) может сильно отличаться от js (Т, В). Кроме того, при характерных для во- волокнистых композитов значений параметров имеет место неравенство isp "^ is- Плотность тока jsp зависит и от свойств нормального металла. Так, например, присутствие в матрице композита парамагнитных приме- примесей (Ni, Fe и т.д.) подавляет зффект близости. Это приводит к существен- существенному уменьшению или даже к обращению в нуль величины jsp. Эффект близости и большое число случайным образом расположенных сверхпроводящих контактов между жилками приводят к появлению в волокнистых композитах поперечной компоненты плотности критичес- критического тока isi_ [60, 61, 85, 86]. Аналитически исследовать зависимость /si (.xs) удается лишь в приближении эффективной среды [81—83]. Такой подход [86] показал, что существует критическое значение концентрации хс2 > хс, при котором происходит резкое изменение величины/^.i.. Если, например, lf^r0, то плотность тока jsi может быть оценена как хс2 B.17) xs ~ хс2 . - ~ h> xs -> хс2 ¦ 1 Х
Из B.17), с учетом неравенства jsp <€ js, следует, что при увеличении кон- концентрации сверхпроводника в окрестности xs - хс2 происходит существен- существенное увеличение fsl. Физически это связано с образованием в системе сверх- сверхпроводящих жилок поперечного сверхпроводящего канала. Отметим, что величина /sl, вообще говоря, зависит от направления [85]. В частности, такая ситуация может осуществляться, если в поперечном сечении сверх- сверхпроводящие волокна образуют анизотропную структуру. Упомянем в заключение, что в последнее время для снижения потерь энергии, возникающих в нестационарных внешних условиях, все шире используются многожильные сверхпроводящие микрокомпозиты. В них характерные размеры элементов структуры (такие как /о и г0) доведены до уровня микроскопических (длины свободного пробега электронов про- проводимости /р, глубины проникновения X, длины когерентности ? и т.д.). Это приводит к возрастанию роли эффекта близости в формировании сверхпроводящих свойств таких композитов и к появлению различных раз- размерных эффектов [87—91]. Так, например, при l0 ~ 1р в удельное сопро- сопротивление матрицы Рц начинает вносить заметный вклад рассеяние электро- электронов проводимости на границе сверхпроводник — нормальный металл. Зависимость Рц (/0) изучалась экспериментально в работе [87]. При умень- уменьшении /о увеличение рц в несколько раз наблюдалось уже для /0 ~ 10~6 м. Другим примером размерных эффектов является влияние диаметра жилок на сверхпроводящие свойства волокнистых микрокомпозитов. В част- частности, в работах [89—91] изучалась зависимость js от г0. Эксперименталь- Экспериментально было показано, что при уменьшении г0 в диапазоне r0 ~ 10~7 м величи- величина fs растет^а вдшапазоне г0 ~ 2—3 10~8 м — она резко падает. В результате на кривой js (r0) возникает хорошо выраженный максимум. Такое пове- поведение is (го) не имеет пока однозначного объяснения. В целом нужно от- отметить, что сверхпроводящие микрокомпозиты начали исследовать срав- сравнительно недавно и в настоящее время их свойства изучены весьма фраг- фрагментарно.
ГЛАВА 3 ПОТЕРИ В СВЕРХПРОВОДНИКАХ Изменение внешнего магнитного поля или транспортного тока индуци- индуцируют в жестком сверхпроводнике электрическое поле Е и ток с плотностью / =* /с. Возникающее джоулево тепловыделение с удельной мощностью JE приводит к потерям энергии или просто к потерям. Для расчета потерь необходимо найти распределения тока и электрического поля, индуциро- индуцированные заданным внешним воздействием. Решение такой задачи, как пра- правило, сопряжено со значительными математическими трудностями, особен- особенно при рассмотрении композитных сверхпроводников со сложной внутрен- внутренней структурой. В результате во многих случаях потери удается определить лишь с помощью приближенных методов. Дисоипативные процессы в жестких и композитных сверхпроводниках являются в настояшее время предметом интенсивного экспериментального и теоретического исследования. Их изучению посвяшена обширная литера- литература. В этой главе приведены основные, развитые на сегодня, методы рас- расчета потерь в сверхпроводниках и приведено сопоставление результатов теоретического анализа с имеющимися экспериментальными данными. § 3.1. Качественная теория Рассмотрим потери, возникающие в плоскопараллельной пластинке из жесткого сверхпроводника, находящейся в переменном внешнем маг- магнитном поле Ba(t), параллельном поверхности образца (см. рис. 1.8). Пусть, для простоты, плотность критического тока /с не зависит от индук- индукции, т.е. д/'с/дВ = 0. Предположим еще, что. в начальный момент (t = 0) магнитное поле однородно и равно Во. Затем за время tq величина Ва моно- монотонно увеличивается до значения Ва (tq) = Во + В,п со скоростью Ва > 0. Переменное магнитное поле Ва (г) индуцирует в сверхпроводнике электри- электрическое поле с напряженностью Е(х, t). Распределения В (х, t)'nE(x, t) в пластинке описываются уравнениями Максвелла: ЪВ — = ±Мс, дх C.1) дЕ _ ЪВ дх dt Учитывая, что при х - ±Ъ индукция магнитного попяВ(±Ъ) -Ва (г), с по- 59
мошью C.1) находим (в области, где/ Ф 0) : ЪВ Распределение Е(х) зависит от соотношения между разностью АВ = Ba(t) — — В о и полем полного проникновения Вр = Vojcb. Прь АВ < Вр критичес- критическое состояние устанавливается лишь в части образца (см. рис. 1.9) и ?"(+/,) = 0, где /! = Ъ - ДЯ/Мо/с = A - АВ/Вр)Ь. Тогда, как следует из C.1), зависимость Е(х, t) имеет вид C.2) E(x)= 0, |jr; I Bn(xi При АВ > Вр критическое состояние возникает во всем объеме пластинки, а ?"@) > 0. В зтом случае с помощью C.1) находим, что АВ = Вр. C.3) Воспользовавшись C.2) и C.3), среднюю удельную мощность потерь Qh можно записать так: 1 АВгВ„ - / jcEdx=- , Ъ I, 2цЦсЪ 1 ;.„ >сьва — I ]rEdx= b о 2 АВ2Ва АВ<Вр, АВ>В„. C.4) Из C.4) видно, что величина Q/, " Ва и как функция fifl она выходит на насыщение, если Ва> Во + Вр. Проинтегрировав C.4) по времени, находим плотность потерь в жест- жестком сверхпроводнике С/,, возникающих при монотонном изменении внеш- внешнего магнитного поля 6т Ва = Во до Ва = Во + Вт (т.е. на величину Вт) : tя. 1 гя S Qhdt = ——f &B'Badt = 1VB C.5) 60
-2 Ugs* -/ Рис. 3.1. Зависимость Сй(Вт) в'логарифмичес- в'логарифмическом масштабе. Кривой 1 соответствует значе- значение /с, в три раза большее, чем кривой 2; вели- величина Вт = Вр в обоих случаях показана штри- штриховой линией Величина Qh, как следует из выраже- выражений (.5), не зависит от скорости измене- изменения внешнего магнитного поля Ва. Такие потери принято называть гистерезистными. Они возникают в тех случаях, когда мощ- мощность тепловыделения Q«« Е. В модели критического состояния величина Q всегда пропорциональна напряженности электри- электрического поля Е, поскольку Q =jE=jcE. Зависимость плотности потерь Q от Ва в жестких сверхпроводниках обусловлена разогревом образца и наличием резистив- ной компоненты плотности тока fn(E) (см. A.28), A.47)). С учетом/„(?¦) мощность джоулева тепловыделе- тепловыделения Q равна /СЕ + /„ (Е) Е. Так как /„ <*> /,, то относительная величина по- потерь, зависящих от Ва, пропорциональна отношению /, /Д. < 1. При харак- характерных значениях параметров она не превышает нескольких процентов. Подчеркнем, что приведенные рассуждения справедливы для любой за- зависимости/,, (В, Т) и произвольной геометрии задачи. Таким образом, в тех случаях, когда разогрев образца мал, потери в жестких сверхпроводниках (с точностью до отношения/] //с < 1) являются гистерезисными, т.е. не зависящими от скорости изменения внешнего маг- магнитного поля. Характер поведения функции Qh(Bm, Bp) определяется соотношениями между Вт и Вр. Так, величина Qh ""- в\, при2?га <BpviQh '"Bm при2?га >ВР. Кроме того, в области Вт > Вр с уменьшением плотности критического то- тока /с потери растут, а в области Вт > Вр — падают. Зависимость Qh (Bm), рассчитанная с помошью выражений C.5), изображена на рис. 3.1 в лога- логарифмических координатах. Физически гистерезисные потери являются потерями на перемагничи- вание. Это означает, что величина Qh зависит от магнитной предыстории образца, т.е. от исходного распределения магнитного поля. Так, напри- например, если Ва увеличивается от значения Ва =BV до Ва =Bt> + Bm, то <2ь=Вэт/6ц0Вр (Вт <Вр). При последуюшем же уменьшении Ва от Ва = Во + Вт до Ва = Bv Qh=B3j24n0Bp (Bm<Bp). Рассмотрим теперь ситуацию, когда внешнее магнитное поле изменяется периодически. Она является типичной для многих экспериментов, в кото- которых исследуются гистерезисные потери в жестких сверхпроводниках. Пусть, например, Ва меняется от значения Ва = Во — Вт до Ва = Во +Вт. Тогда, действуя аналогично предыдущему, можно найти следующее выра- 61
жение для плотности потерь за период изменения внешнего магнитного поля: C.6) \вт - — вр ), вт >вр. Сопоставление формул C.5) и C.6) показывает, что зависимости Qh (Вт> Вр) при монотонном и периодическом изменении В'а {t) отлича- отличаются лишь числом. Столь простое соотношение между выражениями для Э/с удельных потерь C.5) и C.6) возникает, если = 0. При произвольной ЪВ зависимости плотности критического тока /с от В можно лишь утверждать, что потери в случае периодического изменения внешнего магнитного поля с амплитудой Вт и в случае монотонного увеличения Ва от Во до Во + Вт одного порядка. Для плоскопараллельной пластинки выражения для Ой и Ой имеют до- достаточно простой вид и при произвольной зависимости /с от В. Обсудим зто несколько более подробно. Среднюю удельную мошность потерь • 1 ь " 2b -ь 1с удобно, воспользовавшись уравнением Максвелла ЪВ/Ъх = ±juo/c(B) (см. C.1)), переписать в виде 1 ?й=-—/A'rfa C.7) Интегрирование в формуле C.7) идет по области х > 0. Для определения Е(В) преобразуем второе из уравнений C.1): . ЪЕ ЪН ЪВ ЪЕ в= Т = ^~ Т~ =±iUl)/'c (В) "^ • C-8) Эд; ЪВ Ъх ЪВ Из соотношения C.8) находим: ЪЕ В = ± . C.9) ЪВ Hole (В) С другой стороны, как следует из уравнений Максвелла, распределение магнитного поля в пластинке определяется формулой: в« dB b-x=f .. C.10) в juo/c (В) Продифференцировав C.10) по времени, получаем: В В, 'а C.11) /с (В) jc (Ba) Подставив C.11) в C.9), находим для определения электрического поля 62
Е(В) уравнение ЪВ juo/c (Ba) откуда (Ва) C.12) С помощью C.12) и C.7) для средней удельной мощности потерь легко получить окончательное выражение: (в.-д(|,))»Д, ¦ ( } Определим теперь, воспользовавшись соотношением C.13), величину Qh, например, в случае, когда внешнее магнитное поле за время tq моно- монотонно увеличивается от Во до Во + Вт. Тогда (В-ВоJ (IB ДВ<В C.14) Bo+Bp(B-BoJdB вт + в„[В B@)]2dB в0 2bulic(B) + вр + в„ 2ЬцЦс(В) C.15) гдеВ(О) =В\Х= о- Выражения C.13) — C.15) позволяют проанализировать влияние зави- зависимости jc (В) на величину гистерезисных потерь. Так, например, если /с v В'1, то для АВ < Вр, как следует из C.14), Qh *> В%,. Гистерезисные потери возникают и при изменении текущего по жестко- жесткому сверхпроводнику транспортного тока. Для плоскопараллельной плас- пластинки, находящейся во внешнем продольном магнитном поле, рассчитать их сравнительно несложно. Результат такого расчета зависит от последо- последовательности изменения тока и магнитного поля. Из всего многообразия возможных здесь случаев найдем потери, возникающие в процессе ввода тока. Пусть внешнее магнитное поле постоянно. Предположим, кроме того, что в начальный момент времени транспортный ток в пластинке равен нулю. Затем он увеличивается до неко1орого значения 1-2{Ь — l\)jc < </с = 2bjc. Зависимость В(х) имеет в этом случае вид, изображенный на рис. 1.11. Значение индукции на поверхности пластинки равно ±2?/, а Bj= juo//2 <5p. Возникающее при увеличении транспортного тока электри- электрическое поле описывается выражениями | ?¦(*)= 0, |*1</,, C.16) ( -(х+/,J?7, *<-/,. Видно, что C.16) отличается от распределения C.2) лишь знаком Е(х) в области х < 0. Это, естественно, не сказывается на удельной мощности 63
Bk N S N s \ \ Рис. 3.2. Распределение магнитного поля в нескрученном композите (сплошная ли- линия) и в сверхпроводнике с плотностью критического тока/j -xsjc (штриховая) Рис. 3.3. Распределение электрического поля в поперечном сечении скрученного ком- композита во внешнем магнитном попеВа (О тепловыделения Q = ]'Е. Следовательно, если Ва = const, то удельные поте- потери, возникающие при вводе транспортного тока, можно получить, заменив в формуле C.5) величину Вт на Bj. В результате, находим, что В3 Qh = '— . / < h = 2/cft. C.17) бцовр Оценим теперь величину Qh, воспользовавшись формулой C.17). Пусть, например, полутолщина пластинки Ъ = 10~5 м, / = /с = 2bjc, jc - = ЗЛО9 А/м2, тогда Bi =ВГ = Цobjс\ а Qh ъ 2-102 Дж/м3. Таким образом, как видно из приведенной оценки, гистерезисные потери в жестких сверхпроводниках относительно невелики. Следует, однако, иметь в виду, что даже в самых совершенных криогенных системах доя отвода выделившегося тепла требуется затратить в сотни раз большую энергию. Гистерезисные потери в жестких сверхпроводниках изучались во многих экспериментальных и теоретических работах (см., например, [92] и цити- цитированную там литературу). В них, в частности, показано, что теория и эксперимент находятся в хорошем качественном и количественном согла- согласии [92-94]. Рассмотрим теперь потери в многожильных сверхпроводящих компози- композитах. Здесь нужно выделить два случая, качественно отличающихся друг от друга. В первом — сверхпроводящие жилки не скручены; во втором - скручены вдоль оси проводника с винтовым шагом Lp. В нескрученном композите распределение "макроскопических" плотно- плотности тока, электрического и магнитного полей имеют тот же вид (рис. 3.2), что и в однородном сверхпроводнике *). Следует лишь заменить / с на *) "Макроскопическими" мы здесь называем физические характеристики компо- композита, усредненные по областям, содержащим большое число сверхпроводящих жилок (см. § 2.3). 64
js = xsjс, гДе xs ~ относительная концентрация сверхпроводящей компо- компоненты. Пусть г0 — радиус жилок, а Р и А — периметр и площадь поперечно- поперечного сечения проводника, тогда отличие локальных значений /', Е и В от "макроскопических" мало в меру отношения г0Р/А < 1. В результате гис- терезисные потери в нескрученном композите с точностью до г0Р/А<^ 1 описываются выражениями, полученны.ли для случая жестких сверхпро- сверхпроводников, в которые нужно подставить /s вместо jc. Отметим, что величи- величина Qh, например при Вт > Вр, оказывается пропорциональной характерно- характерному поперечному размеру проводника А/Р. Полные же потери содержат, кроме гистерезисных, еще и слагаемое, обусловленное вихревыми токами, наведенными в нормальном металле матрицы. Для того чтобы устранить "макроскопическую" экранировку внешнего магнитного поля и тем самым снизить потери, композитные сверхпровод- сверхпроводники скручивают [92, 95]. Рассмотрим в качестве примера провод радиуса R из многожильного скрученного композита в поле Ba(t), перпен- перпендикулярном оси образца (ось z). В силу симметрии задачи параллельное жилкам электрическое поле Е\\, индуцированное изменением 2?в@> ПРИ у > 0 и у < 0 направлено в противоположные стороны (рис. 3.3). Сверх- Сверхпроводящие жилки, имея форму винтовых спиралей, попеременно попа- попадают то в область у > О, то в область у < 0. В результате в каждой из них электрическое поле Е\\ и ток меняют свое направление с периодом Lp/2 вдоль оси z. Из уравнения непрерывности div / =0 следует при этом, что ток перетекает из одних сверхпроводящих жилок в другие по нормальному металлу. Такой процесс из-за конечного сопротивления матрицы возможен, лишь если Ва Ф 0. Таким образом, в скрученном композите при Ва Ф 0 кроме Е\\ существует еще и электрическое поле Е± , направленное перпен- перпендикулярно сверхпроводящим жилкам. Если же Ва = 0, то ^ц = Е± =0 и "макроскопические" токи отсутствуют. Следовательно, в скрученных композитах отсутствует "макроскопическая" экранировка постоянного внешнего магнитного поля, т.е.. "макроскопическая" индукция В = Ва. Это утверждение, как будет видно из дальнейшего, остается справедливым, если Ва  Вр/т0- Здесь где о± — поперечная проводимость композита. Положив для оценки о1 =5-109Ом~1-м~1, R = Ю~3 m,Lp= 2-Ю" м, /s = 109А/м2, получим, что т0 «* 3-10 с, а Вр/т0 «* 50 Тл/с. Таким образом, если Ва < Вр/т0, то сверхпроводящие жилки находят- находятся в магнитном поле с индукцией В ^ Ba(t). При этом транспортный ток в каждой из них равен нулю, а распределение электрического поля не зави- сит от наличия других жилок. Следовательно, для малых Ва гистерезисные потери в скрученном композите определяются суммой гистерезисных потерь в отдельных сверхпроводящих жилках. 5. А.Вл; Гуревич ^5
Пусть, например, амплитуда внешнего магнитного поля Вт Тогда с помощью C.6) для плотности гистерезисных потерь за период изменения Ba(t) находим выражение R C.19) Величина Qh в скрученном композите, как видно из C.19), оказывается существенно (в R/r0 > 1 раз) меньше, чем в нескрученном. Однако скрутка не всегда приводит к снижению потерь. Пусть, напри- например, по проводу течет ток / (t). Тогда распределения Е(г ) и/ (г ) зависят от скрутки лишь в меру отношения 2nR/Lp < 1. Следовательно, в этом случае потери можно рассчитать, воспользовавшись выражениями, получен- полученными для жестких сверхпроводников. В них следует лишь заменить fc на /s. Кроме того, при достаточно больших 1а нужно еше учесть и потери, обусловленные токами, наведенными в матрице. Найдем их, ограничив- ограничившись, для простоты, случаем плоско параллельной пластинки толщиной 2 Ъ с транспортным током /, изменяющимся по закону /(О = A-е-")/0. C-2°) Распределение электрического поля описывается тогда формулами C.16), ¦ а средняя удельная мошность потерь в нормальном металле равна Ъ /, 12 Здесь Is = 2bjs, a tm ~ца{\ —xs)anb2 — характерное время затухания тока в матрице. С помощью C.17) и C.21) плотность потерь О, возникаю- возникающих в композите при включении тока по закону C.20), можно записать так: ~ . вр I /<Д3 в2р //оу G = G/.+ /Gm* = T-?-(-r) +7^-(-г) р'»'- C22) 0 6ju0 \/s / 60ju0 \/s/ Подставив в выражение для tm типичные значения xs = 0,5, оп^ 10ю Ом"'-м'' и Ъ « 10~3 м, находим, что tm * 6-10 с. Тогда, как видно из C.22), гис- терезисные потери и потери в матрице оказываются одного порядка, если ток /0 ~ Is включается за время p~l ^ 6-10 с. Рассмотрим распределения электрического поля и плотности тока в про- проводе из скрученного многожильного композита в поперечном магнитном поле Ва (г) подробнее. Если Ва Ф 0, то в сверхпроводящих жилках, нахо- находящихся вблизи поверхности образца, наводится транспортный ток. Величи- на его растет с ростом Ва. Начиная с некоторого значения Ва, ток в жилках приповерхностного слоя становится равным критическому nr0 jc. Этот слой принято называть насыщенной зоной. Максимальная толщина его а (см. рис. 3.3) зависит от разности Ва -Во и скорости изменения внешнего • • • магнитного поля Ва , причем а(Ва, Ва) -*¦ 0, если Ва -*¦ 0. 66
Рис 3.4. Контуры ABCDwA^^A, линии A1Di,BCwDA проходят вдоль сверхпроводящих жилок Перетекание тока по нормальному металлу из од- одной области насыщенной зоны (у < 0) в другую (у > 0) происходит по кратчайшему пути, т.е. в нап- направлении, перпендикулярном жилкам. Так как 2nR ^Lp,io зто направление, а следовательно, и век- вектор Ei лежат в плоскости, близкой к плоскости поперечного сечения провода. Определим электрическое поле ?х в простейшем случае, когда a^R. Скрутка композита приводит к появлению в насыщенной зоне (^-компоненты плот- плотности тока ]ф. Так как сверхпроводящие жил- жилки — винтовые спирали, пересекающие плоскость поперечного сечения провода под углом, тангенс х* которого равен 2nR/Lp, то fv = 2nRjs/Lp. Из рис. 3.3 видно, что ток J^ = 2ajip, текущий в насыщенной зоне, должен компенсироваться током, текущим в нормальном металле. Это приводит к соотношению afv = = (R — а)о1Е1. Отсюда с точностью до a/R < 1 находим электрическое поле Е± в виде 2 па is Ei = - • C.23) Lp ax Для определения зависимости a(t), воспользуемся законом Фарадея, свя- связывающим ЭДС §Edl вдоль замкнутой линии со скоростью изменения ^магнитного потока Ф = / BdS через нее. Рассмотрим контур ABCD, изо- изображенный на рис. 3.4. Кривые ВС и DA проходят по сверхпроводящим жилкам, расположенным симметрично относительно оси провода и касаю- касающимися насыщенной зоны в точках D и С. Прямые АВ и CD лежат на взаимно перпендикулярных диаметрах. Таким образом, весь контур ABCD проходит в'не насыщенной зоны, а следовательно, всюду вдоль него Е\\ = 0. Кроме'того, на участке CD электрическое поле Е± ортогонально направле- направлению обхода контура. В результате ЭДС отлична от нуля лишь на линии АВ и fEdl - — 2{R — a)Ei. Магнитный поток Ф равен произведению индук- индукции В\ внутри контура ABCD на площадь проекции S abcd этого контура на плоскость yz. Величину Bt можно оценить как Bt = Ва — 7Mo/sfl» где 7 — число порядка единицы, a SABCD = (R — a)Lpln. Тогда, с помощью закона Фарадея, находим, с точностью до a/R ^ 1, = (Ва 7 Mo jsa ) —- . 2тт C.24) Подставив C.23) в C.24), получаем уравнение для определения толщины насыщенной зоны: а + 5* C.25) 67
Сходные качественные рассуждения, приведшие к C.25), впервые были развиты в работе [96]. Они носят название модели рамки. Из уравнения C.25) следует, что максимальная толщина насыщенной • • • зоны а,п = 2BaT0lid0js ~ BaT0R/Bp. Отсюда ат <R,еслиВа<Вр1т0. Применив закон Фарадея к замкнутому контуру A XADDX, действуя ана- аналогично предыдущему, получим оценку для /Гц в виде ?| ~Ваа. C.26) С помощью C.24) и C.26) находим тогда, что Е\\/Еу ~ 2-nalLp < 1. От- Отношение же мощности тепловыделения в насыщенной зоне Q\\ ~ /sE\\aR к мощности тепловыделения в нормальном металле Q± ~ oL Ь\ R2 можно, воспользовавшись C.23), C.24) и C.26), оценить как ?>!i/Gi ~ a/R^ 1- Таким образом, при Ва ^ Вр/т0 в скрученном композите /Гц ^ Еу , а поте- потери в матрице существенно превышают потери в насыщенной зоне. Рассмотрим в качестве примера случай, когда внешнее магнитное поле изменяется по закону Ba{t) = A - e~~pt)Bm +B0 . C.27) Тогда, воспользовавшись C.25), находим для a(t) выражение a(t) = —— ~PJ° [ехр(-рО-ехР(-'/2 7Го)]. C.28) Mo/s 1-27рт0 Из C.28) получаем, в частности, зависимость максимальной толщины насыщенной зоны а,п от рт0: в 2рт0, рт0 < 1, C.29) 7 , РТо > I- Так как т0 -j-- L*, то величина а,„ уменьшается пропорционально lA при уменьшении шага скрутки. Плотность потерь в нормальном металле равна оо -2 оо G.L = foLEldt = ^^- ja2{t)dt. C.30) о 2то о Подставив C.28) в C.30), находим выражение для ?>1: Из C.31) видно, что потери убывают при уменьшении рт0 -*> а±Ьгр. В об- области значений параметров, где рт0 «^ 1, величина Qy ^> рт0 v> o±Lp. Таким образом, для снижения потерь в нормальном металле следует умень- уменьшать поперечную проводимость матрицы и шаг скрутки композита. 68
Отметим в заключение, что исследование потерь в волокнистых компо- композитах началось относительно недавно. В настоящее время получены лишь первые экспериментальные [61] и теоретические [97, 98] результаты, изложению которых посвящен § 3.6. § 3.2. Гистерезисные потери В этом параграфе рассмотрены гистерезисные потери в жестких сверх- сверхпроводниках. Предполагается, что плотность критического тока jc не зави- зависит от В. Пусть провод из жесткого сверхпроводника радиусом R находится во внешнем магнитном поле Ba(t), перпендикулярном его оси, а транспорт- транспортный ток отсутствует. Такая ситуация реализуется, в частности, в скручен- скрученных композитах для жилок вне насыщенной зоны. Предположим еще, что при t = 0 магнитное поле однородно во всем пространстве и равно Во. Обозначим АВ (t) = Ba(t) — Во и введем ци- цилиндрическую систему координат (рис. 3.5). В процессе изменения Ba(t) вблизи поверхности сверхпроводника наводится ток с плотностью /=/<.; при .у>0и.у<0он течет в противоположных направлениях. Распределе- Распределение магнитного поля В (г, <р) определяется уравнениями Максвелла: Ъ Ъ (гВг) + — Bv = 0, C.32) О .. ^ г, э -Но rjc sign у, R,{v)<r<R, C.33) О rKRyifp). где В г, Bv - г- и (^-компоненты вектора В; sign у = 1 при у > 0 и sign у = — 1 при у < 0; /?, (у) - граница области, находящейся в кри- критическом состоянии. Граничные условия к C.32), C.33) имеют вид й|,->о„ = Я„('), или В? | г -» - = -Ва sin *р, Вг | г - °° = Ва cos^. C.34) Кривая Rx ((/>) определяется самосогласованно при решении уравнений Ъг Ъ Ъг Br- Рис. 3.5. Распределение тока в поперечном сечении жесткого сверхпроводника, внеш- внешнее магнитное поле Ba(t) перпендикулярно оси образца. Линия /?,(,р) нанесена по результатам численного расчета [101]: с) АВ = 0,25Вр; б) ЛВ = OJSBp;e) АВ = Вр 69
C.32), C.33). Действительно, интересующее нас распределение В (г, у) должно удовлетворять условию В = Во (В^, = -2?0sirup, Br =B0costp) для /•=/?! ((/>). Найти зависимость R i (<р) аналитически удается, лишь если R — Riifp) < R, т.е. АВ < Вр. Результаты численного расчета Rt (i/>), про- проведенного в работах [99 — 101], показаны на рис. 3.5. Распределение магнитного поля вне образца имеет вид Яа+ —Jsin<?, Br=\Ba+—\cosv, C.35) где C(t) — подлежащая определению функция времени. Пусть /?-/?! Op) <R, тогда зависимость C(t) и толщину а(г) слоя, находящегося в критическом состоянии, можно найти, воспользовавшись соотноше- соотношением [17,81] ЛЬ/= kr, (B(R)-B0)], C.36) связывающим магнитное поле на поверхности сверхпроводника В (R) и внутри него Во. Здесь / = — ez (R — R, )jc sign у — плотность поверхност- поверхностного тока, ег и е2 - единичные векторы, направленные по радиусу и вдоль оси z соответственно. В основном приближении по (R - Ri)IR < 1 в сверхпроводнике, как.следует из C.32), C.36), величина Вг не зависит от г (Вг = Виcos <р). Тогда Br (R) = (Ва +C/R2)cos <р = Во cos ф, откуда С@ = -ABR2. C.37) С помощью C.36) находим, что Bv (/?) + Bvs.\ntf = ju0/. Это соотношение, а также выражения C.35) и C.37) позволяют представить разность R - R, (^) в виде R ~Ri(<p) = a(t)\ sin <p |, C.38) где толщина слоя, находящегося в критическом состоянии, равна 2 АВ a(t) = . C.39) Mo ic Таким образом, R~ Rt (у) < R, если а < R или АВ < щ>] CR ~ Вр- Найдем плотность гистерезисных потерь Qh при монотонном изменении Ва от Во До Во + Вт, когда Вт < Вр, т.е. а (г) < R. В этом случае элек- электрическое поле Е = ?"(/¦, <р)е, отлично от нуля в области R, (у) < г </?. В основном приближении по a/R < 1 распределения В<р(г, у) и Е(г, у) описываются системой уравнений (-п <tp <п) Э Г— (rBv) + Во sin у = -|u0 rjc sign <p, C.40) о г ЪЕ Э5 = —*. C.41) Ъг Ът В C.40) учтено, что внутри провода Вг = Во cos <p. Проинтегрировав C.40) 70
по г, и воспользовавшись непрерывностью В^, при г = /?, находим, с точ- точностью до a/R <* 1 включительно: Bv = -Во sin <р - 2 ДВ sin <р + |ио(Д - r)/c sign «p = = - 50 sin у - цо(г -Ri)jc sign <p, C.42) откуда 5^ = -2Ba sin<p. Зная 2?v, можно с помощью C.41) определить электрическое поле E(r,ip), удовлетворяющее граничному условию ?(/?,)= 0: Е = 2(Д, - г)Д, simp. C.43) Средняя удельная мощность гистерезисных потерь Qh тогда равна 1 2п R 32AB2 Ва 0/(=-~ fd* / drrjcE = - —-• C-44) nR „ ЛЫ З К Проинтегрировав зто выражение по времени, имеем C45) Отметим, что для Вт < Вр гистерезисные потери в плоском слое C.5) и в цилиндре C.45) зависят от )с. В,„ и размера образца одинаковым обра- образом. Однако при Ъ = R множитель в C.5) примерно в семь раз меньше, чем в C.45). Физически это связано с тем, что цилиндр сильно искажает магнит- магнитное поле в окружающем пространстве. Так, например, если <р = 0, то раз- разность В (R) — Во в два раза больше величины Ва — Во. При-периодическом изменении Ba(t) с амплитудой В„, гистерезисные потери для случая a(t) < R можно найти аналогично предыдущему [92]. В момент времени, когда Д5(?) = Вт , максимальный размер области, находящейся в критическом состоянии, равен ат = 2ВтIцо;с. При по- последующем уменьшении внешнего магнитного поля вблизи поверхно- поверхности провода появляется слой, в котором ток изменил направление на противоположное. Граница его /?2 (<^) описывается уравнением R2 (</>) = = R - a(r)\ sirup \, где В,„ АВ в(г) = — . C.46) Таким образом, во внешней (R > г > R - a(t)\ sirup| ) и во внутренней (/? — a(t) | simp | > г > R — ат | simpl ) областях насыщенной зоны токи текут во взаимно противоположных направлениях. При этом электрическое поле отлично от нуля лишь во внешнем слое: • Е = —(г — R2) Ba sin у, R-R2<r<R. <3'47> 71
В результате выражение для плотности гистерезисных потерь за период изменения Ba(t) имеет вид 128 Я* 1 ^C-48) Пусть теперь Вт > Вр. Если AB(t) > 2?р, то в критическом состоянии находится весь образец. При'этом граница раздела между областями, отли- отличающимися направлением тока, проходит в плоскости его поперечного сече- сечения по диаметру (см. рис. 3.5,в), а / (г ) = —ez jc sign у. Зная / (г ), распре- распределение магнитного поля можно определить с помощью закона Био и Савара [81]: В(х.у) = fdx'dy sign>> / —- C.49) 2тг (х-х у +(у-у У Интегрирование в C.49) идет по поперечному сечению сверхпроводника, г ех, еу — единичные векторы, направленные вдоль осей х и у соответст- соответственно. Из C.49), в частности, следует, что на оси провода (х = у = 0) маг- магнитное поле В @) = Ва - B juo/7t)/c/?. Так как по определению Д, -В @) = = Вр, то для цилиндра в поперечном магнитном поле 2 ВР = - ц0 h-R- C.50) Из C.49) следует, что дВ/dt = dBa/dt во всем пространстве. Тогда исходя из уравнения C.41), с учетом граничного условия Е\г=0 = 0, находим E(r, <p) = -ezBar sin у. C.51) В результате получаем, что при АВ > Вр средняя удельная мощность гисте- гистерезисных потерь имеет вид: 4 . 2ВрВа Q,, = — jcBaR = -f-Z- . C.52) Зтт 3 Если В,„ ^ Вр, то вкладом в потери, возникающим в те моменты, когда АВ < Вр, можно пренебречь. Тогда, проинтегрировав C.52) по времени, получаем выражение для Qi, в случаях: 4 1ВтВр Qh = —jcRBm = — *- (В,,, > Вр) C.53) in 3jU0 — монотонно, 16 8В,„В„ С» = —icRBvn = ——JL (Btn > Bp) C.54) Зтт 3 — периодически изменяющегося внешнего магнитного поля [92]. 72
При произвольном соотношении между Вт и Вр найти величину гисте- резисных потерь в проводе, находящемся в поперечном поле удается лишь численно [99 — 102]. Используя результаты этих расчетов и выражения для Qi, в предельных случаях Вт < Вр {Qh ~ Вэт/Вр) и В,„ > Вр (Qh K ВтВр), можно из тех или иных соображений выбрать функцию, аппроксимирующую Qh(Bm ) во всем интервале значений Вт/Вр. При мо- монотонном изменении Ba(t) простейшей непрерывной (вместе с первой производной) степенной аппроксимацией является Qh = {вл3! вт UM ^Г Вт < Вр , Вт Вп 2 ' C.55) При периодическом изменении Ba(t) зависимость плотности гистерезис- ных потерь за период от Вт остается той же, а величина их возрастает в четыре раза. Выражение C.55) позволяет рассчитывать Qh(Bm) с точ- точностью до нескольких процентов [99 — 102]. Обсудим теперь влияние транспортного тока на гистерезисные потери. Такая задача (при постоянном внешнем магнитном поле) рассмотрена в § 3.1 для случая, когда в плоскопараллельную пластинку вводится ток. Приведем здесь в качестве примера расчет потерь, возникающих в тех же условиях в проводе радиуса R. Транспортный ток, распределение которого Рис. 3.6. Распределение /С) в проводе из жесткого сверхпроводника показано на рис. 3.6, создает в сверхпроводнике (/?5 < г < R) магнитное поле В = е^В^,, где r2-R28 282 C.56) 52 = 1 - /, / = ///с. Зная В^, с помощью уравнения Максвелла C.41) можно определить электрическое поле Е = е:Е(г), удовлетворяющее условию ?"(/?§) = 0: 2тг /?5 C.57) 73
Тогда средняя удельная мощность гистерезисных потерь равна Gi, =--п?г//'1/+М1-'"М- C-58) Проинтегрировав C.58) по времени, находим Qh в виде При / < 1 величина Qh ^B?l3fjfcjcR (где Bj = М0//27т/?),что сточностью до множителя совпадает с C.17). Найдем теперь гистерезисные потери в жестком сверхпроводнике с по- постоянным транспортным током / при наличии переменного внешнего маг- магнитного поля Ba(t).Пусть,например, 2?а (?) изменяется периодически. Рассмотрим, для начала, изображенную на рис. 1.8 плоскопараллельную пластинку. С помощью модели критического состояния (см. § 1.2) можно показать, что транспортный ток "вытесняется" во внутрь сверхпроводника. При этом распределение электрического поля зависит от соотношения между Вт иВр(/), где Bp(i) = (l-i)Bp. C.60) Если Вт < Bp(i), то изменение магнитного поля в проводнике, а следова- следовательно, электрическое поле и гистерезисные потери сосредоточены в припо- приповерхностном слое \х\ > (Вр — Bm)IHoic (рис. 3.7,а). Так как в этой области транспортный ток отсутствует, то величина Qh не зависит от /. При Вт > Bp(i) ситуация усложняется. Действительно, разделим период изменения внешнего магнитного поля на четыре фазы. В первой фазе раз- разность Ва — В о уменьшается от Вт ДО Вт — 22?р(/), во второй — от Вт —2Др@ до — Вт, в третьей — увеличивается от — Вт до —Bm+2Bp(i), в четвертой — от — Вт + 22?р(/) до Вт . Из рис. 3.7,6 видно, что в первой и третьей фазах магнитное поле изменяется лишь в приповерхностном слое, а во второй и четвертой — во всем сверхпроводнике. Таким образом, если Вт > Bp(i), то электрическое поле возникает и в той области, где течет транспортный ток. Простой, но громоздкий расчет, аналогичный проделан- проделанному при выводе формулы C.5), приводит к выражению для плотности гистерезисных потерь за период в виде 2 Вт Qh = Вр J При Вт > Bp(i ), как видно из рис. 3.8,а, значение Qh растет с увеличе- увеличением транспортного тока. Отметим, что если Вт > Вр, то в большинстве представляющих интерес случаев формула C.61) позволяет достаточно точно оценить величину Qh для любой геометрии задачи. 74
-«- -b у в-в0 У 0 -b к в-вп Л Рис. З.7. Распределение В Ос) в пластинке с транспортным током: с) неполное; б) пол- полное проникновение магнитного потока в образец. Цифрами 1-8 обозначена последо- последовательность зависимостей В (х) при периодическом изменении Ва (t) 160 120 80 40 О 1 3 Bm/Bp 0 0,2 0,4 Бт,Ь Рис. 3.8. ЗависимостьQh(Bm):а) в пластинке (i = 0 G); 0,25 B); 0,5 C); 0,75 D); 1 E)); б) в проводе (/ = 0,82 G), 0,73 B); 0,6 (J); 0.5 D); 0,4 E); 0,3 F); 0 G)). Расчет - сплошные линии; измерения проводились на образце из сплава Nb-Ti диаметром 2,5 • 10"" м (/с = 109 А,Во =4Тл.Вр = 0,22 Тл) [104] 75
Гистерезисные потери в цилиндрических образцах с постоянным транс- транспортным током подробно исследовались в работах [103, 104]. Аналитиче- Аналитические расчеты наталкиваются здесь на значительные математические трудности. В результате довольно громоздких вычислений аппроксима- ционные выражения для плотности гистерезисных потерь за период удается представить в виде [103,104] Bm<Bp(i), ,2 Qh '- C.62) .lsBm~Bp{i) . Вт BP L 2Bp J ^ ' Вр где ВрG) = A-/2/3)Вр. C.63) Формула C.62) хорошо описывает экспериментальные данные. На рис. 3.8,6 в качестве иллюстрации приведены результаты расчета и измере- измерения гистерезисных потерь в проводе, изготовленном из сверхпроводящего сплава Nb — Ti [104]. Диаметр образца составлял 2,5-10~4 м; экспери- эксперимент проводился при То - 4,2 К и Во = 4 Тл для различных значений / @ < / < 0,82) и Вт @ < Вт < 2,3 Вр) . Обсудим гистерезисные потери, возникающие при одновременном изме- изменении транспортного тока и внешнего магнитного поля. Вычисление их является весьма сложной в математическом отношении задачей. Весь про- процесс изменения тока и поля приходится разбивать на большое число сме- сменяющих друг друга фаз, в каждой из которых нужно найти распределения электрического поля в сверхпроводнике. Аналитическое решение такой задачи, как правило, невозможно. Однако даже в тех случаях, когда удается найти выражения для (?/,, соответствующие формулы оказываются весьма громоздкими, поэтому приводить их здесь не имеет смысла. Под- Подробное экспериментальное и теоретическое исследование гистерезисных потерь, возникающих при одновременном изменении транспортного тока и внешнего магнитного поля, содержится в работах [94,104 _ 106]. Всюду выше предполагалось, что плотность критического тока jc не за- зависит от В. Такое приближение оправдано, если величина /с мало меняется по объему образца в интервале Во - Вт < В < Во + Вт. Эти условия можно записать так: 1с д/с/дВ Вт,Вр. C.64) Обычно для выполнения неравенства C.64) достаточно, чтобы магнитное поле Во было достаточно велико: Во ^ Вт, Вр. Если это не так, то прибли- приближение /с = const, строго говоря, пригодно лишь для оценки величины гистерезисных потерь. 76
§ 3.3. Потери в композитных сверхпроводниках (а < R) В этом параграфе подробно изучены потери в проводе из скрученного многожильного композитного сверхпроводника, находящегося в попереч- поперечном внешнем магнитном поле. Рассмотрен случай, когда толщина насыщен- насыщенной зоны a(t) < R, а транспортный ток равен нулю. При вычислениях используется модель критического состояния Бина, т.е. предполагается, что bjc/дВ = 0 Условие a(t) -^ R позволяет в явном виде найти распределе- распределения тока, электрического и магнитного полей и получить аналитические выражения для расчета потерь [74,75]. При "макроскопическом" описании электродинамики многожильных композитных сверхпроводников (см. § 2.3) необходимо вычислить их маг- магнитную проницаемость ju [76, 77, 107]. Отличие ju от единицы связано С замкнутыми диамагнитными токами, которые наводятся в сверхпрово- сверхпроводящих жилках. Однако, как правило, для амплитуды изменения внешнего магнитного поля выполняется условие Вт > цо}сГо (положим, для оцен- оценки, /с = 3-Ю9 А/м2, г0 = 1СГ5 м, тогда Мо/с^о ^ 0,04Тл). В этом случае замкнутые точки, текущие в жилках, практически не сказываются на рас- распределении "макроскопической" индукции (см. рис. 3.2) и магнитная про- проницаемость композита ц *& 1 [76, 92]. Ниже, для простоты, рассмотрена ситуация, когда Вт > Цо/с^о, т.е. ц = 1. Расчет потерь при В,„ ^ /ио/сго содержится в работах [92,107 - 110]. "Макроскопическая" электропроводность композитных сверхпроводни- сверхпроводников, связывающая между собой "макроскопические" плотности тока / и электрическое поле Е, существенно анизотропна. Ее продольная (вдоль жилок) компонента Оц гораздо больше, чем поперечная — ol ~ о„. Величина Оц , вообще говоря, является функцией напряженности электри- электрического поля, для / <$ is ее значение найдено ниже. Однако, как будет вид- видно из дальнейшего, потери не зависят от Оц, если Оц > а у. Это позволяет упростить все расчеты, положив о(( = const > оу [74]. Пусть, для начала, скорость изменения внешнего магнитного поля Ва мала настолько, что насыщенная зона отсутствует. При этом dB/dt = В а во всем объеме композита. Выберем оси координат так, как показано на рис. 3.3. Тогда для определения электрического поля Е имеем уравнение Максвелла: \о\Е = -ехВа. C.65) Решение C.65) будем искать в виде Е = -e2r sin <pBa + Vx- C.66) Для того чтобы найти потенциал электрического поля х, представим плот- плотность тока у в виде у = оц?|| + OlEi = (оц - ai)?|| + оуЕ C.67) и воспользуемся уравнением непрерывности div у = 0, откуда: = I 1 й\\Е = I 1 - — Jdiv^H. C.68) 77
Здесь Е\\ и Ei — продольная (вдоль жилок) и поперечная компоненты вектора Е. Подставив C.66) в C.68), получим Дх =( 1 - — Jdivif,. C.69) Для дальнейшего необходимо определить связь между электрическим по- полем Е\\ = е\\ (сц Е) и потенциалом х • Единичный вектор ец , направленный по касательной к сверхпроводящим жилкам, можно представить в виде ??ц = ez cos <р0 + е^ sin «a, , C.70) где </>о — угол наклона жилок к плоскости поперечного сечения провода, a tg ip0 = 2-nr/Lp < 1. Так как в силу симметрии задачи величина х не за- зависит от z, то из C.66), C.70) находим / sin v?0 Э х • \ Е\\ = I г sin i/> cos ipo Ва ]ец C.71) \ г Э у I и, следовательно, Э2х nipBfl. C.72) sin2^ Э2х —; r dip2 Подставим C.72) в C.69) и воспользуемся тем, что с точностью до B-nR/LpJ < 1 включительно sin^0 «» 2nr/Lp, costp0 = 1. В результате для определения х в основном по ау /оц < 1 приближении справедливо уравнение 1 Э / Эх\ / 1 1 \Э2Х 2пг оц . [г ) + (-7" + ~Т")—Г = Bacos<p, C.73) г Ъг\ Ъг ) \гг 1)}Ъ*2 Lp oi l J где / ° i На поверхности провода плотность тока /,. = Ох Ег обращается в нуль, отсюда находим граничное условие к C.73) : Эх Ъг = 0. C.75) г = R Кроме того, потенциал х(г,<р) не имеет особенности при г = 0. Решение уравнения C.73), удовлетворяющее перечисленным условиям, имеет вид Lp . Lp . /,(///,) X = - — /-cos^Be + — /,cos^Bfl-r-~-— . C.76) In In I\(R/lt) В C.76) штрих означает дифференцирование по r/lt, & Ix —функция Бес- 78
селя второго рода [111]. С помощью C.71) можно теперь найти электри- электрическое поле Е\ : Е, = -e,ltBadnv ' . C.77) J^K/h) При характерных значениях параметров, входящих в /,, как будет видно из дальнейшего, R > lt. В этом случае для анализа C.77) воспользуемся формулами [111] п 2 7Г/* 2nR которые позволяют представить Е\\ в виде I~R • lrR\ Е\\ » —е« U sin if V — fia exp I I, v\ i, у exp (/•//,), r ^ /,, C.78) ехр(Л//,), C.79) С3-80) Из C.80) видно, что при малых Ва электрическое поле ^ц, а следова- следовательно, и плотность тока у ц = оц ^ц затухают вглубь скрученного компози- композита на длине /,. Таге как /, <$ R, то ток, текущий в направлении вдоль сверх- сверхпроводящих жилок, можно рассматривать как.поверхностный: h = I otE,dr = -e, I -^ ) оуВа sin ^. ) C.81) Наличие тока /ц приводит к потерям, среднее значение удельной мощ- мощности которых Q|| равно Во внутренней @ < r < R — /,) области композита ?"ц «* 0, J? ^Jfj_ , a X = —(Lp/2n)rcos у Ва.С помощью C.66) находим тогда, что Lp , I 2nr \ JSi = - — Bfl «„ + sin <pe2 ). C.83) 2tt \ Lp ) Так как 2nR/Lp < 1, то перпендикулярная сверхпроводящим жилкам компонента электрического поля ?^ направлена вдоль внешнего магнитно- магнитного поля Ва (см. рис. 3.3). Найдем потери, обусловленные током jу .= о±Е± , текущим по нор- нормальному металлу. Их средняя удельная мощность Q± равна 1 2п R I 1 V Gj.=—7 fdyfoyElrdr = оА-1) В\. C.84) ¦nR 0 0 \2тт/ 79
Сравнение C.82) и C.84) показывает, что Q\\ < Qi, т.е. основной вклад в тепловыделение связан с перетеканием тока из одних сверхпроводящих жилок в другие по матрице композита. Поскольку Qi к Ви , то следовательно, потери, возникающие в нормаль- нормальном металле, зависят от формы внешнего сигнала Ba(t). Пусть, например, магнитное поле Ba(t) изменяется по экспоненциальному закону C.27). В этом случае выражение для плотности потерь имеет вид L2 В2 Ql = / Qidt = Bl, poL-^ = ~рт0, C.85) 0 &я Mo где т0 = HuOiLp/Sn2. Отметим, что C.85) совпадает с формулой C.31), найденной в § 3.1 из качественных соображений. Если величина Ba(t) изменяется периодически по закону: Ba(t) = Во +В,„ coswf, C.86) то плотность потерь за период равна 27T/OJ д2 Ql= I Qidt = -~ 27rwr0. C.87) о ^ Определим условие применимости предыдущего рассмотрения. Из C.74) следует, что lt<R, если — • C-88) nR I Оценим продольную проводимость оц в случае, когда насыщенная зона отсутствует. Во внешнем медленно меняющемся магнитном поле Ва - e^Ba{t) рас- распределение электрического поля Е = ezE в отдельной жилке описывается уравнениями Максвелла: ЪЕ ЪЕ — = 0. — = -*„ C.89) ох о у Пусть В,„ >ju0/,../¦(,, т.е. весь сверхпроводник находится в критическом состоянии. Тогда решение C.89) имеет вид Е=(у() ~у)Ва. C.90) Плоскость у =у0 разделяет жилку на две области, отличающиеся направ- направлением тока {f WE), т.е. /, =jcsign(_v0 —у). Величина ,v0 определяется средней по сечению плотностью тока </>: 1 2л </> = —г- / dff /t.sing0-0 -rsign^)rJr. C.91) ¦nrf, о о Приуп <г0 из C.91) находим </>*—/,- C.92) 80
С другой стороны, среднее по сечению электрическое поле (Е)=у0Ва. Выразим /о через <?"> и подставим это соотношение в C.92), откуда 4/е </>= -<?¦>. C.93) пг0Ва В приповерхностном слое скрученного композита в каждой из жилок </> ~/и, а (Е) ~ Е\\. Тогда, как следует из C.93),/и ~ jcE^/г0Ва, т.е. o\\~jclr0Ba. C.94) Подставив C.94) в неравенство C.88), находим, что /, <R, если 2nR ' C.95) /с / 2п, Положим, для оценки, BnR/LpJ =0,1, oi=5-109 Ом ¦ м"', /с = = 3 ¦ 109 А/м2, /"о = 10~s м. Тогда из C.95) следует, что /, <R до тех пор, пока Ва<4 6 ¦ 103 Тл/с. Таким образом, глубина затухания продольного электрического поля /; мала, даже при весьма больших скоростях изме- изменения внешнего магнитного поля. Этот вывод подтверждается и резуль- результатами многочисленных экспериментов по измерению потерь и магнитного момента скрученных сверхпроводящих композитов [92]. С увеличением Ва плотность поверхностного тока у'ц растет. Начиная с некоторого значения Ва =Bh величина y'j достигает критического зна- значения j\\~js и возникает насыщенная зона. В начальный момент толщина ее порядка г0, а /ц ~ys/-0. С другой стороны, поверхностный ток J\\ свя- связан сВа соотношением C.81). Это позволяет оценить В, как У ) LpJ aL т0 Положим, для оценок, Lp = 2- Ю'2 м, г0 - 1(TS м, }s = 109 А/м2, oL = = 5 ¦ 109 Ом м, тогда В, «= 0,2 Тл/с. В случае тонкой насыщенной зоны структура распределения электри- электрического поля остается такой же, как и при Ва < Bh а именно: вблизи поверхности композита Е\ Ф0,г внутри него^ц =0 иЕ =Е± (см. рис. 3.3). Обращение компоненты Е% в нуль происходит в примыкающем к насы- насыщенной зоне переходном слое. Толщина его, как ясно из предыдущего рассмотрения, порядка 1, ^R- Из уравнения C.25) и соотношений C.74), C.94) следует, что при Ва > Bt размер насыщенной зоны а (?) > /,. Найдем электрическое поле и потери в случае, когда lt < a(t) *^R- При этом поверхностный ток, текущий в насыщенной зоне, частично экранирует внешнее магнитное поле. В результате во внутренней области композита нарушается равенство В =Ва. Это необходимо учесть при расчете электри- электрического поля Ei. Пусть, для простоты, глубина скин-слоя в нормальном металле матрицы 5^ >R, т.е. характерное время изменения внешнего магнитного поля tq удовлетворяет условию tq> u0oLR2 [ 17]. Положим, для оценок, aL = 5 ¦ 109 Ом ¦ м, R = \0~3 м, тогда iioOLR2 «= 6 ¦ 10~3 с. При 5СК >/? во внутренней области композита электрическое поле Е «= Ei удовлетворяет уравнению Максвелла: O. C.97) 6. А.Вл. Гуревич 81
Решение C.97) естественно представить в виде, аналогичном C.83): LD Г 2 яг I Я1 = -/(')—Н ех + —- sin<ре2 , C.98) 2я L Lp \ где /(?) — подлежащая определению функция времени. С помощью урав- уравнения Максвелла rotE = — В находим, что f(t) = Bx, r<Rx(v). C.99) Таким образом, выражение C.98) ^ является обобщением зависимости C.83) на случай Ва >Bt, когда В ФВа. При Ва < Bt, как следует из срав- сравнения C.83) и C.98),/(г) =Ва. Так как /(?) ~ВХ, то для определения /(?) проще всего воспользо- воспользоваться соотношениями, связывающими компоненты В^ и Вг вне и внутри композита. Продифференцировав C.35) по времени, получим Вг = (Ва+С/г2) cosy, а с помощью C.99) находим, что Др = -Bxsin<p=-f(t) si p). C.101) Внутри композита, в основном приближении по a (t)/R< 1, величина Вг не зависит от г (см. § 3.2). Тогда B,.(R) = (Ва + C/R2) cos</> =/(r) cos</>, откуда C=[f{t)-Ba]R2. C.102) Подставив соотношение C.102) в C.100), получим, что В^ (R) = [-2Ва + + f(t)] sirup, a B^iR) -B^lR^) =2[/(r) -Ba] sirup. Отличие разности By (R) — By (R j) от нуля обусловлено наличием поверхностного тока /z. Продифференцировав C.36) по времени, находим, что 2[f(t)-Ba] sinv5 = juoiz- C.103) Для определения поверхностного тока / воспользуемся уравнением непрерывности div/ = 0. Из него следует, что суммарный ток, пересе- пересекающий диаметр поперечного сечения провода, равен нулю (см. § 3.1 и рис. 3.3). Таким образом, R R R, Rl / j'dr = f fydr + f oL {e^Ei) dr «= /^ + / aL (e^Ei) dr = 0, C.104) о к, о о откуда в основном приближении по а (?)//?< 1 с помошью C.98) получаем RLP j =-/(?) а, — sin л. C.105) v 2я В насыщенной зоне ток течет, в основном, вдоль сверхпроводящих жилок, поэтому 2 C.106) 2я 82
Подставив C.106) в C.103), находим уравнение дпя/(?) в виде то/+Г=Ва. C.107) Определим максимальный размер насыщенной зоны как а(?) = = |/zl//ilsinip| (см. §3.1). Тогда с помощью C.106) получим, что а(?) и/(О связаны соотношением 4т0 1/@1 а(?) = — R. C.108) п Вр При Ва > 0, как следует из C.107),/(О > 0 и а(?) =4T0Rf(t)/nBp. Под- Подставив это выражение в C.107), находим уравнение для а (?), совпадающее с C.25), найденным из качественных соображений, если положить у =0,5. Решение C.107) имеет вид /(>)= — fBa(t')exp(^^-\ dt'. C.109) То О \ Т0 / Пусть, например, внешнее магнитное поле изменяется на величину В,п за время tq <т0, при этомBa(t)можно представить какBa(t) =Bm5(? — tq). Тогда из C.109) следует, что с точностью до ?ч/т0 <4 1 Вт ехр|- То Подставив зто выражение в C.98), получим BmLJ 2-пг 1 / ? \ Л = -aL -^-Р ех +-— йпуе, expU - . C.110) 2ттт0 L Lp \ \ т0.) Из C.110) видно, что т0 является характерным временем затухания попе- поперечных токов, наведенных в матрице скрученного многожильного ком- композита. Зная Ei, можно найти среднюю удельную мощность потерь в нормаль- нормальном металле Qi. В основном приближении по a/R -4 1 и 2тгR/Lp-4 1 она C.111) ^о • • • Отметим, что если Ва <В,, то, как следует из C.107),/(?) ~В„и выра- выражение C.111) совпадаете C.84). Во внутренней области композита (/¦< /?]((/>)) каждая из сверхпроводя- сверхпроводящих жилок находится в переменном магнитном поле, причем В -exf(t). Следовательно, в них возникают гиртерезисные потери Обозначим их среднюю удельную мощность как Qh. B_ представляющем наибольший интерес случае, когда В > Цо/Сго, величину Qh можно рассчитать с помощью выражения C.52). В результате имеем 2 Вр г о Qh = -\Ht)\-E-*r. C.112) В насыщенной и переходной зонах также ворникают потери. Однако при a(t) <R величина их, как показано в § 3.1, относительно мала. 6* 83
Рис. 3.9. Зависимость Q*(y) в скрученном композите при Вт/Вр = 0,2: 1 - экспонен- экспонен* циальный импульс {Q* = м„е/Д, т 2 - периодический сигнал (g* = n = рт0); Of 3 5 у Таким образом, суммарная величина средней удельной мощности потерь в скрученном композите равна Цо Второе слагаемое в формуле C.113) вносит заметный вклад.лишь при малых скоростях изменения внешнего магнитного поля. В этом случае /(О ^ва и Qi, >Gi, если Ва < Врг0/Зт0Я. При характерных значениях параметров гистерезисные потери оказываются существенными, когда Ва ^ 1 Тл/с. Пусть внешнее магнитное поле меняется по экспоненциальному закону C.27), тогда с помощью C.109), C.113) для плотности потерь находим выражение ^^^^^^ C.114) о ^0 1 +рт0 Зц0 R При этом толщина насыщенной зоны равна C.115) ¦п Вр 1 -рт0 Условием применимости выражения C.114) является неравенство а ( Из C.115) следует, что при рт0 < 1 оно выполняется, если рт0Вт <Вр,а при рт0 > 1 — если Вт -4 В р. BJ р Зависимость Q* = UoQ/BJ,, от у=рто, построенная по формуле C.114), показана на рис. 3.9 (кривая /). Видно, что при рт0 > 1 величина Q выходит на предельное значение Bjn/fio. Пусть внешнее магнитное поле меняется периодически по закону C.86), тогда с помощью C.109) получаем /@ = [со т0 cos cot - sin cot - со тое '/т° ]. C.116) За время / > т0 последнее слагаемое в C.116) затухает, и для плотности потерь за период находим выражение ~ъВ2т со т0 8В„, Вр гъ 1 Но 1 + w2t0 3ju0 R е = - C.117) 84
При этом максимальная толщина насыщенной зоны ат равна 4R Вт со т0 "п,= -f- , —¦ C-118) т ВР у/1+со2то Из C.118) следует, что для cjt0 < 1 формула C.117) справедлива, если р, т р Зависимость Q* = №оО.№Вгт от у - ojto, построенная с помощью C.117), показана на рис. 3.9 (кривая 2), при сото = 1 величина Q максимальна, причем Qmax = nB^nlno. § 3.4. Потерт в композитных сверхпроводниках (а ~ R) Аналитически найти потери в тех случаях, когда максимальный размер насыщенной зоны ат становится сравнимым с радиусом провода, не удает- удается. Для решения задачи приходится прибегать к различным приближенным методам расчета. Точность их, как правило, удается оценить лишь путем сравнения полученных результатов с зкспериментальными данными. Рассмотрим здесь схему приближенного расчета потерь, развитую в работах [101, 102, 112]. Пусть, для начала, транспортный ток в образце равен нулю, a Ba(t) — периодическая функция. Тогда, как показано в Приложении 1 (см. также [81, 113]), плотность потерь Q за период изме- изменения внешнего магнитного поля Ba(t) можно найти с помощью выра- выражения Q = -fMdBa, C.119) где М — магнитный момент единицы объема композита. Отметим, что в приближенных расчетах удобно использовать именно формулу C.119), так как при этом достаточно лишь тем или иным образом аппроксими- аппроксимировать функционал М{Ва} и не требуется выяснять детали довольно слож- сложной картины распределения электрического поля и тока. Выражение C.119) позволяет найти потери в скрученных композитах и в том случае, если внешнее магнитное поле монотонно возрастает или убывает. Рассмотрим для этого следующий периодический процесс. Вна- Вначале за время tq внешнее магнитное поле включается (выключается) с заданной скоростью Ва (t); при этом в проводнике наводятся токи на- намагничивания. Затем в течение промежутка времени ta > т0 величина Ва = 0; при этом токи намагничивания затухают, магнитные поля вне и внутри композита уравниваются и первый полупериод завершается. Второй полупериод начинается с того, что.внешнее магнитное поле вклю- включается (выключается) со скоростью —Ba{t—ta—tq), возвращаясь к исходному значению Ва@) за время tq. При этом в проводнике вновь наводятся токи намагничивания. За время td они затухают и период из- изменения Ba(t) заканчивается. В дальнейшем весь процесс повторяется. Потери в обоих полупериодах в силу симметрии задачи совпадают и сос- составляют половину от потерь за период. Так, если Ba(t) = ехВа (?), то 'я Q = ~f M(t)Ba(t)dt, C.120) о 85
Магнитный момент Ms токов, текущих в насыщенной зоне, можно рассчитать аналитически, если a(t) <R. Действительно, воспользовавшись распределением/z (<р) C.106), находим (см. Приложение 1) : 1 2л R / f dr г2&т^}2{г,ф) = nR о о -2то/@ п о ju0 C.121) Отметим, что если подставить C.121) в C.120) и воспользоваться урав#- нением C.107), то для определения средней удельной мощности потерь Q получим выражение C.111). Токи, текущие в насыщенной зоне, создают на оси провода магнитное поле Bs =exBs. Подставив в закон Био и Савара [81] зависимость/г ((/>) C.106), получим, что при \BS\ <Вр (a(t) <R) Таким образом, как следует из C.121), C.122), в случае тонкой насыщен- насыщенной зоны связь между Ms и Bs имеет вид Ms = - ~BS, \Bs\<Bp. C.123) Максимальное значение \BS\ равно Вр. При \BS\ =Bp насыщенная зона занимает все сечение провода. В этом случае jz = —/5 sign fls sign„v и, дей- действуя аналогично C.121), находим 2В \Bs\=Bp. C.124) Для произвольных значений Bs определить зависимость Ms {Bs) анали- аналитически не удается. В работах [100 102, 104] показано, что простейшая из степенных аппроксимаций .-(.-*!)¦. W<v Ms(Bs) = sign^s \ C.125) Зцо [i, \в,\-вр, совпадающая с C.123) при \BS\ <Bp и с C.124) при \BS\ = flp,описывает результаты численных расчетов и экспериментальные данные с точностью не хуже нескольких процентов. Найдем теперь потери в случае, когда внешнее магнитное поле моно- монотонно возрастает или убывает. Для этого нужно определить зависимость M(t) =M{Ba{t)} и подставить ее в формулу C.120). На начальной стадии монотонного изменения Ва (/) размер возникающей в композите насыщен- насыщенной зоны возрастает, а продольные токи намагничивания текут только в ней. В результате магнитный момент M{t) =MS(BS). 86
Для случая тонкой насыщенной зоны (| Bs \<Вр) уравнение, определяю- определяющее зависимость Bs(t), можно найти с помощью C.122) и C.107), откуда *- +—*- =Ва. C.126) dt т0 Тогда при заданной скорости изменения внешнего магнитного поля имеем ', C.127) О \ То t Bait')expl )dt'\. C.128) Если увеличивается размер насыщенной зоны, то увеличивается и абсолют- абсолютная величина магнитного момента! М(г)|, т.е. d\M\/dt > 0. Из C.128) и C.126) следует, что d\M\/dt « \Ва\ - \Bs\/t0. Таким образом, формула C.128) применима (т.е. размер насыщенной зоны растет), когда \Bs(t)\ < < T0\Balt)\. Определить Bs (?) при \BS\ ~ Bp удается лишь из качественных сообра- соображений. Точность найденной таким образом зависимости Bs{t) оценивается путем сопоставления результатов расчета и экспериментального изучения эволюции M(t) = Ms{Bs(t)) для различных законов изменения Ba{t) [101, 102, 112]. Рассмотрим ситуацию, когда размер насыщенной зоны растет. Тогда с помощью модели критического состояния приращение Bs за бесконечно малый промежуток времени Д? можно представить в виде ABS = АВВ ~ ABJl) =BaAt -AB^ . C.129) Величина АВ^, входящая в C.129), обусловлена затуханием продольных токов намагничивания, возникающим из-за скрутки композита. Предпо- Предположим, что, как и в случае тонкой насыщенной зоны, этот процесс проис- происходит экспоненциально с характерным временем т„, тогда D АВ}1)=— At. C.130) То Подставив C.130) в C.129) и устремив At к нулю, получим уравнение C.126). Таким образом, как следует из приведенных качественных сооб- соображений, зависимость M(t) C.128) справедлива при произвольном соот- соотношении между \BS\ и Внесли \Bs(t)\ <то|Ва(г)|. В работах [101. 102, 112] показано, что в широком диапазоне значений параметров композита для различных внешних условий и законов изменения Ba(t) формула C.128) описывает эволюцию M{t) с точностью не хуже нескольких про- процентов. Начиная с некоторого момента времени t = tr размер насыщенной зоны начинает уменьшаться. Величина ?,. определяется из условия \BsKtr)\=\Ba(tr)\Tb. C.131) Там, где была насыщенная зона, возникает так называемая реликтовая зона*), в которой текут продольные токи намагничивания с плотностью *)Термин "реликтовая зона" был предложен в работах [101, 102, 112]. 87
у и < js. Из-за скрутки композита эти токи, а следовательно, и их магнитный момент М,.(?) затухают за время порядка т0. Однако величина Mr(t), вообще говоря, не мала, что нужно учесть при вычислении Определить Bs (?) и Mr(t) на стадии уменьшения размера насыщенной зоны удается лишь из качественных соображений. Точность найденных таким образом зависимостей Bs(t) и Mr(t) оценивается путем сопоставления результатов расчета и экспериментального изучения эволюции М(?) для различных законов изменения Ва (?) [101,102.112]. Пусть размер насыщенной зоны убывает. Тогда, действуя аналогично предыдущему, с помощью модели критического состояния можно пока- показать, что Воспользовавшись соотношением C.130) и устремив Д? к нулю, получим для определения величины Bs выражение Bs(O = ToBa(t). C.132) Определим теперь магнитный момент Wit). Представим приращение Л/,.(?) в виде АМГ = ДМ,.('> + ДМ,.B) C.133) Величина ДЛ^1*, входящая в C.133), обусловлена затуханием МД?) при заданном распределении продольных токов намагничивания, текущих в насыщенной зоне. Предположим, что этот процесс происходит экспонен- экспоненциально с характерным временем т0, т.е. М, = -М,./г0. C.134) Тогда из C.134) находим выражение для ДМ,.A)= (Мг/т0)Д? C.135) Величина ДЛ^2^ обусловлена увеличением реликтовой зоны за счет умень- уменьшения насыщенной зоны. Это означает, что ДМ/2)= ДМ5.. C.136) Подставив соотношения C.135), C.136) в C.133) и устремив At к нулю, получим dMr]dt = dMJdi - M,.Itv . C.137) С помощью C.137) находим для магнитного момента М(t) = Ms (/) + Mr (/) уравнение (IM = (Л/ Ms)/t(). C.138) dt Таким образом, если насыщенная зона уменьшается, то ) C.139) где зависимость MslBs) определяется формулой C.125). 88
В работах [101, 102, 112] показано, что в широком диапазоне значений параметров композита для различных внешних условий и законов изме- изменения Ba{t) выражение C.139) описывает эволюцию М(t) с точностью не хуже нескольких процентов. Итак, вплоть до момента времени t = tp, когда насыщенная зона зани- занимает весь образец, магнитный момент вычисляется по формуле C.128). Величина tp определяется из условия \Bs(tp)\ = Вр. С помощью соотно- соотношения C.127) его можно записать в виде t' -t\ , т0 / Bp= f Ba(t')exp[ \dt' . C.140) о Затем в интервале tp< t < tr магнитный моментM(t) не меняется. Исходя из C.125) и C.127) его удобно представить как 2 И М=--Т-5- signBa, tp<t<tr. C.141) Момент времени ?,, при котором размер насыщенной зоны начинает умень- уменьшаться, определяется из условия Вр= \Bs(t,)\. Выражение C.132) позво- позволяет записать его в виде \ВМ\то=Вр. C.142) И, наконец, при t>tr магнитный момент M(t) вычисляется по формуле (ЗЛ39), гдеМ(?,) определяется соотношением C.141). В тех случаях, когда насыщенная зона ни в один из моментов времени не занимает весь объем композита, ситуация упрощается. Величина tr находится тогда из условия CЛ 31): (^|' C.143) ( о \ т0 При этом M(t) вычисляется по формуле C.128) для 0 < t < tr и по фор- формуле (ЗЛ39) для t > tr, а M(tr)=Ms[ToBa(tr)]. (ЗЛ44) После того как найден магнитный момент M(t), плотность потерь Q можно определить с помощью выражения C.120). Пусть, например, внеш- внешнее магнитное поле меняется по кусочно-линейному закону, так что В,„ ( 1, 0 < ? < /о, Ba{t)-— I . Ч C.145) tq ( 0, t>tq. | Тогда для всех моментов времени, при которых Ва Ф0, d\M\/dt >0и величина/^ вычисляется по формуле C.127). В результате Bs{t)=Bm—(l-e-4T»), 0<t<tq. C.146) Предположим, для простоты, что Ba(t) включается быстро (гч<т0).В этом случае, как следует из C.146), Bs{t)~Bm -, 0<t<tq. C.147) 89
Воспользуемся для определения М(?) формулами C.125) и C.128), откуда при Вт < Вр \] , C.148) tp \tpj J а при Вт > Bp EE-lf3_J. + (l\] Зц0 tql tp \tpj J 'p. C.149) 1, tp<t<tq, где h '/>='<? Выражения C.148), C.149) и C.120) позволяют рассчитать плотность потерь Q. В результате C.150) 2Bm *и)Л(*)\ЦЦ. вт<Вр, в) з V в) б Vb/ p Из C.150) видно, что величина B™Вгт, если Вт<Вр, и б--"Вт,если вт>вр. 0,8 0,6 Ofi 0.2 0 / г r л с Рис. ЗЛО. Зависимости: с) Q(i>t0) (Bm/Bp = 0,28 (i); 0,67 B); 1,4 E); 2,8 D); 5,6 E)); б) 0(wto) (Вт/Вр = 0,14 (/); 0,35 B); 0,70 C); 1.05 D); 1,4 E): 2,8 F) ; 4,2 G) ). Сплошные линии — расчет; штриховые - потери, вычисленные в преде- пределе Вт <Вр [102, 112]. Измерения проводились для трех скрученных многожильных композитов из сплава Nb-Ti и меди (Го = 4,2 К,Во =4 Тл) 90
Рассмотрим еще один пример. Пусть внешнее магнитное поле меняется по экспоненциальному закону C.27). В этом случае выражение для Q(Bm/Bp, pro) можно найти в явном виде. Однако при произвольных рт0 и Вт/Вр оно оказывается весьма громоздким. На рис. 3.10,а зависи- зависимость плотности потерь Q изображена как функция рт0 для различных значений Вт/Вр. Для малых скоростей изменения внешнего магнитного поля (рВт<^Вр/т0) величина (?«= рт0В^„1{л0 (см. выражение C.114)). Если же рВт>Вр/т0, а Вт>Вр, то, как следует из уравнений C.140) и C.142), tp~Bp/pBm<(T0, р-1), а гг = ЫРт0Вт/Вр)/р > {tp, p). Таким образом, в этом предельном случае большую часть процесса включе- включения внешнего магнитного поля насыщенная зона занимает весь образец и М =* Ms(Bp). С помощью C.125) и C.120) находим тогда выражение для плотности потерь Q в виде C.151) Сравнение формул C.53), C.150) и C.151) показывает, что при быст- быстром (?ч ^т0) включении или выключении сильного (Вт>Вр) внешнего магнитного поля скрутка композита и конкретный вид зависимости Ва (?) не сказываются на величине Q. На рис. 3.10, а приведены результаты измерения плотности потерь в случае экспоненциального изменения Ba(j). Эксперименты проводились для трех различных скрученных многожильных проволок со сверхпрово- сверхпроводящими жилками из сплава Nb-Ti и медной матрицы. Значение Вр вы- вычислялось по измеренной плотности критического тока и известному ра- радиусу композита R. Временная постоянная т0 определялась независимо по данным о затухании тока в образцах. Это позволило сопоставить расчет и эксперимент без использования подгоночных параметров [102,112]. В случае когда внешнее магнитное поле изменяется не монотонно, а периодически, вычисление потерь оказывается более сложной в математи- математическом отношении задачей. Физически зто связано с тем, что на стадии увеличения размеров насьпценной зоны ее граница движется по образовав- образовавшейся в предыдущем полупериоде реликтовой зоне. Сохранившиеся там продольные токи намагничивания существенно сказываются на зависи- зависимости Bs(t). В результате найти M(j) и плотность потерь за период Q удается лишь численно [102, 112]. На рис. 3.10, б приведен пример такого расчета для случая, когда Ba(t) =B0 +Bmcoscot. Если Ba(t) меняется медленно (соВт<^Вр/то), то величина Q ~ 2тгсотоВш/^о (см. формулу C.117)). При быстром (соВт>Вр1то) изменении сильного (В,„>Вр) внешнего магнитного поля плотность потерь за период не зависит от нали- наличия скруткииб* 8ВтВр/Зц0 (см.выражение C.54)). На рис. 3.10,6 приведены результаты измерения величины Q в случае, когда Ba(t) =B0 +Bmcoscot. Эксперименты проводились для трех различ- различных скрученных многожильных проволок со сверхпроводящими жилками из сплава Nb—Ti и медной матрицы. Результаты измерений обрабатывались без использования подгоночных параметров [102.112].
§ 3.5. Потери в композитных сверхпроводниках с транспортным током Рассмотрим потери, возникающие в проводе радиусом/?, изготовленном из скрученного многожильного композитного сверхпроводника, с транс- транспортным током /(?). Пусть, для начала, внешнее магнитное поле постоянно, а величина /(/) монотонно возрастает [74, 92]. В таком случае распределе- распределение тока по сечению провода имеет вид, изображенный на рис. 3.6. Насы- Насыщенная зона (/?i < г < /?) имеет здесь форму кольца, ширина которого /? -/?, = A -5)/?, где /?i =/?5, 52 =1 -/, i=I/Is. При изменении транс- транспортного тока в композите наводится электрическое поле Е(г). В насы- насыщенной зоне оно имеет и продольную, и поперечную компоненты, т.е. Е=Ец +EL. При этом величина Е,(г) определяется соотношением C.57). Во внутренней области провода (/¦ < /?i) продольный резистивный ток от- отсутствует, следовательно. /Гц =0 и Е =Е±. Найдем среднюю удельную мощность потерь в насыщенной зоне: Qs=-ZT / rQs(r)dr. C.152) R2 R, Распределение электрического поля Ez (r) C.57) позволяет, с учетом тока, текущего по нормальному металлу, представить величину Qs (г) как C.153) здесь о — продольная проводимость матрицы. Подставив C.153) в C.152), находим Qs = Qh+Qm, C.154) где , /Jo / v " ' Qn=-—г 2 ['+1п0 -')] C.155) 4п R dt — вклад в Qs гистерезисных потерь, а C.156) — вклад в Qs потерь в нормальном металле. При i<4 1 из C.155),C.156) получаем 32ц0 dt C.157) п2В2 . ( di\2 192/Lto \dt/ Здесь tm= ii0oR2 — характерное время затухания тока в#матрице. Выра- Выражения C.157), C.158) позволяют оценить отношение QmIQh как Qm 1 di — =- tmi —. C.159) 92
Пусть, например, R = 10 3 м, а= 5 -#10у Ом'-м', '=0,3, di/dt = = 310 с, тогда ?„?« 6 • 10 с, a ?>,„/(?„ ~ 10~s « 1. Определим потери во внутренней области провода. Для этого необходи- необходимо определить электрическое поле Е±. Из симметрии задачи следует, что EL можно представить в виде EL=ezEz+elf,Eip, C.160) где величины Ez и Е^ связаны условием (EL ¦ <?ц) =0. Воспользовавшись определением единичного вектора е$, направленного по касательной к сверхпроводящим жилкам (см. формулу C.70)), получаем 2пг Ez=- Еу. C.161) L Таким образом, как следует из C.161), Е2 ^Е^. Электрическое поле Е^ можно найти с помощью уравнения Максвелла: 1 Э --{rEv) = -B2. C.162) г Ъг Во внутренней области композита однородное переменное магнитное поле Bz(j) создается \р-компонентой плотности тока, текущего в насы- насыщенной зоне. Действительно, в результате скрутки сверхпроводящих жилок 2пг /,р = is, Rx<r<R. C.163) Lp Так как вне провода Bz =0, то из уравнения Максвелла rot/? = Hoj можно получить, что Bz(t)=- , 0<r<Rt. C.164) Lp Подставив выражение для Bz(t) в C.162), находим C.165) C.166) Lp В результате в основном приближении по BnR/LpJ <1 для средней удельной мощности потерь во внутренней области композита Q1 имеем 2 R. , п2 ( 2-nR^Bl I di\2 Gi=-^/ roLE%dr = — (-— )-^A-|)го(— . C.167) /Г о v 64 \ Lp ) jL'.o \dt I * • Выражения C.158) и C.167) позволяют оценить отношение Qm/QL как |Х<1. C.168) Q± ± 2TrR При характерных значениях параметров о~ aL, a (Lp/2nR)z >. 10. Тогда, 93
Рис. 3.11. Зависимость QIQ0 от/. Сплошные линии - расчет, измерения проводились для композита из сплава Nb-Ti и меди (То - 4,2 К, Во = 4 Тл), величина т0 - 0,135 с определялась экспериментально. При вычислении Q учитывались гистерезисиые потери в жипках. Кривые: ыг0 =4,2 (/); 1,26 B); 0,42 C); Вт/Вр = 0,35 (а); 1,52 (б) [114] как видно из C.168), соотношение между Qm иB± существенно зависит от величины тока. Таким образом, при постоянном внешнем магнитном поле гистерезис- ные потери в сверхпроводящих жилках насыщенной зоны значительно превышают потери в нормальном металле матрицы. В случае когда провод из скрученного многожильного сверхпроводяще- сверхпроводящего композита с транспортным током I(t) находится в периодически изме- изменяющемся внешнем магнитном поле Ва (г), перпендикулярном оси образца, расчет потерь оказывается весьма сложной задачей. Решить ее удается лишь численно с помощью тех или иных приближенных методов. Точность полу- полученных таким образом результатов можно оценить только путем сравнения их с экспериментальными данными [106, 114]. Пусть, например, /= const, a Ba(t) изменяется периодически. В этом случае, как уже обсуждалось в § 3.2, транспортный ток "вытесняется" вглубь сверхпроводника. Одновременно в приповерхностном слое обра- образуется насыщенная зона. Максимальный размер ее зависит от амплитуды и скорости изменения внешнего магнитного поля. Если насыщенная зона занимает весь образец, то мощность потерь зависит от величины /. В про- противном случае такая зависимость (с точностью до ro/R <^ 1) отсутствует [114], так как в области, где течет транспортный ток, продольная компо- компонента электрического поля равна нулю. Найдем, в качестве примера, выражение для средней удельной мощности потерь б в те моменты времени, когда насыщенная зона занимает весь объем композита. В этом случае распределение электрического поля опи- описывается формулой C.90) и Q = js\Ba\ ——V nR2 - г sin y\ r dr. C.169) 94
Величина у0, входящая в C.169), определяется из условия 2тг R I=jsf dtpf sign(v0 — rtimp)rdr. C.170) о о При/< Is из C.169) и C.170) следует, что tp<t< tr. Цо В моменты времени /р и tr имеет место равенство Bp(I) = \Bs(tp,r)\, где Bs (t) — магнитное поле тока, текущего в приповерхностной насыщенной зоне (см. § 3.4),аВр(/) = A -i2'3)Bp (см. C.63)). На всех остальных стадиях процесса изменения Ва (t) величину Q можно найти так же, как и при / = 0. Результат расчета плотности потерь за период Q(I) [114] показан на рис. 3.11, где Qo =Q A=0). Там же приведены экспериментальные значе- значения отношения Q(I)IQo [114]. Отметим, что сопоставление результатов расчета и эксперимента проводилось без использования подгоночных параметров. § 3.6. Потери в волокнистых композитных сверхпроводниках Исследование потерь в волокнистых сверхпроводящих композитах на- началось относительно недавно. В настоящее время получены лишь первые экспериментальные [61] и теоретические [97,98] результаты. Изложению их и посвящен настоящий параграф. В волокнистых композитах сверхпроводящий тек может течь не только вдоль, но и поперек жилок (см. гл. 2). Это, в основном, и определяет спе- специфику "макроскопической" электродинамики таких материалов. Обычно в волокнистых композитах поперечная компонента плотности критическо- критического тока jsl относительно невелика, т.е. jsl < js. Волокнистые композиты занимают как бы промежуточное положение между жесткими сверхпровод- сверхпроводниками, у которых величина js изотропна, и многожильными, где jsl = 0. Плотность критического тока jsl , вообще говоря, зависит от направле- направления в плоскости сечения, перпендикулярного жилкам. Применительно к исследованию потерь в волокнистых композитах в литературе рассматрива- рассматривались лишь два предельных случая. В первом предполагалось, что вдоль ра- радиуса провода fsl = О [97], а во втором — что величина jsl изотропна[98]. При этом выражения для расчета потерь, полученные в работах [97. 98] оказались весьма схожими. В настоящем параграфе рассмотрен случай, когда поперечная компонента плотности критического тока jsl изотропна. Пусть внешнее магнитное поле Ba(t) перпендикулярно оси провода радиуса R из волокнистого композита. Рассмотрим, для начала, случай, когда Ва > Вр, где Вр - поле полного проникновения. (Величина Вр для волокнистого сверхпроводника будет найдена ниже.) Тогда качественные рассуждения, аналогичные приведенным в § 3.1, и расчет [98] показывают, что распределения тока и электрического поля в волокнистом композите такие же. как и в многожильном (см. рис. 3.3). Физически это связано стем, 95
что при jsl  js основную роль в формировании зависимости Е(г) играет скрутка сверхпроводящих жилок. Таким образом, если jsl< fs, то распределение электрического поля Е(г) в волокнистом композите имеет следующий вид. В насыщенной зоне (Ri(tp) < г < R) поле Е имеет как продольную /Гц, так и поперечную Е± компоненты. Во внутренней области поперечного сечения (г < Ri(v))En = = 0 и Е = EL . Рассмотрим, для простоты, ситуацию, когда максимальный размер насыщенной зоны а мал, т.е.а< R. Тогда из выражения C.83) сле- следует, что с точностью до 2nRlLp < 1 . LP EL=~Ba~-ex, rKR^tp). C.171) В насыщенной зоне ток течет, в основном, вдоль сверхпроводящих жилок. При а < R его можно рассматривать как поверхностный, компоненты которого из-за скрутки композита связаны между собой соотношением ^- (ЗЛ72) Вне насыщенной зоны течет ток с плотностью /=-(/,1 + 0^1)**. '<*i(^)- C.173) Если o1E1<jsl,то J = Jsie*< r<Rl{v). C.174) С помощью C.171) неравенство o1b\<Jsl можно записать в виде sl slp Ва « 2тг = . C.175) o±Lp 4тгт0 Таким образом, как видно из выражения C.174), при выполнении условия C.175) во внутренней области поперечного сечения провода течет сверх- сверхпроводящий, а не резистивный ток. Это является существенным различием между распределениями j(r) в волокнистых и многожильных композитах. Положим, для оценки, jsl = 107А/м2, Ьр=210~эм, о± =5 ¦ 109Ом""' -м**1. Тогда у =jsl (г < Ri) в том случае, когда Ва<6 Тл/с. Найдем теперь поле полного проникновения магнитного потока в волок- волокнистый композит. Воспользовавшись законом Био и Савара [81], предста- представим магнитное поле Bf во внутренней области поперечного сечения прово- провода как Ва+— I J,(fP)sin4=dAex, r<RtQp). C.176) lit о I Отметим, что выражение C.176) записано с точностью до a/R <€ 1 и 2ttR/Lp < <€ 1. С помощью соотношения C.172) его удобно представить в виде 2тг р в'= Ва + ~П7, f W*)sin ч>d*- 47Г R о 96
Величину Jp можно найти из условия, что суммарный ток, пересекающий диаметр поперечного сечения композита, равен нулю (см. рис. 3.3): fMr= f Jipdr- f (e^ex)jsldr = Jv+jslRi(v)sin<p=O. C.178) 0 «,(?>) 0 Из C.178), в основном приближении по a/R ^ 1 получаем Jr?> = -/ii/?sin^- C.179) Подставив выражение C.179) в формулу C.177),имеем 1 j a UoisiLp, 1(ф). C.180) Магнитное поле во внутренней области композита обращается в нуль при Ва = Вр. Таким образом, как следует из C.180), 1 ВР= — UoisLLp. C.181) 4тг Положим, для оценки, /sJL = 107А/м2, Lp = 2 ¦ 10~3м. С помощью C.181) находим тогда, что Вр - 2 • 10~3Тл. Таким образом, поле полного проник- проникновения магнитного потока в волокнистый композит относительно не- невелико. Отметим, что соотношение C.179) позволяет найти выражение для Ri(<p) и величину а. Действительно, так как в насыщенной зоне ток течет, в основном, вдоль сверхпроводящих жилок, то \JZ\ - [R — ^i(<p)]/s. Воспользовавшись формулами C.179) и C.172), находим зависимость /?i(</>) в виде LP hi R1(<p) = R | sin ^ |. C.182) 2tt 4 Отсюда максимальный размер насыщенной зоны а равен а=^-^. C.183) 2-п js Таким образом, a<R, если /si lp а„ = — -— < 1. C.184) h 27jR Параметр а„, как видно из его определения, характеризует соотношение между анизотропией плотности критического тока (JslUs) и анизотропией композита, обусловленной его скруткой BnR/Lp). Положим, для оценки, Uh = 10~2> Lpl2*R = 3. Тогда а„ = 3¦ Ю. Найдем теперь потери, возникающие при изменении Ва (t). Пусть, для начала а^Е^ jsl. Подставив выражение C.181) в неравенство C.175), зто условие можно записать в виде Ва<Вр1т0. C.185) Если Ва удовлетворяет соотношению C.185), то, как уже упоминалось, в 7. А.Вл. Гуревич 97
волокнистом композите текут лишь сверхпроводящие токи. Следователь- Следовательно, возникающие в процессе изменения Ва (г) потери являются гистерезис- ными. Их можно рассчитать, воспользовавшись формулами C.171) и C.174) . В результате с точностью до a/R Ч 1, BirR/Lp)i< 1 и т0Ва/Вр< 1 для определения средней удельной мощности гистерезисных потерь в скру- скрученном волокнистом композите имеем выражение Lp . 2ВрВа Qh=— hLBa = , Ва >Вр. C.186) 2тг Цо Пусть, например, внешнее магнитное поле возрастет на величину В1п. В та- таком случае, проинтегрировав C.186) по времени, находим Lp 2BpBm Qh=~ hx.Bm = . Bm >Bp. C.187) 2-n ц0 Если композит не скручен, то плотность гистерезисных потерь описывает- описывается выражением C.53). В формуле C.53) следует лишь заменить jc на js. Сравнение C53) и C.187) показывает, что если Вт > Вр, то скрутка волокнистого композита приводит к уменьшению плотности гистерезис- гистерезисных потерь в 4/з7ГС*„ раз. При характерных для современных материалов значениях параметров величина аи = 3 - 1СГ2<^ 1. Следовательно, в резуль- результате скрутки плотность гистерезисных потерь в волокнистом композите снижается примерно на порядок. Отметим, что это существенно меньше, чем в случае многожильных композитных сверхпроводников, где ана- аналогичная величина определяется соотношением R/r0 — Ю2 — Ю3 (см. §3.1). С помощью выражений C.171) и C.173) можно найти среднее значение удельной мощности потерь Q с учетом резистивной компоненты плотности тока о1Е1 [98]: . LpBa I oLLp . \ 2ВаВр 2t0BJ е= -г— (и+ -I— ва) = + . ва>вр. 2-п \ 2тг I ц0 ц0 C.188) Отметим, что формула C.188) справедлива, если то< tq, где tq — характер- характерное время изменения внешнего магнитного поля Ba(t). Рассмотрим теперь случай, когда Ва < Вр. При Ва < Вр во внутренней области поперечного сечения провода (г < /?i(</>) < R) магнитное поле равно нулю. Следовательно, в слое Ri (<p) <r < R течет ток, экранирующий Ва (г) . Предположим, по аналогии с предыдущим, что распределения /(г) и Е(г) имеют следующий вид. В приповерхностном слое композита Riiv) < < г < R, (R2(v) >Ri(<p)) возникает насыщенная зона, где Еп Ф 0 и /ц =*/s. К ней примыкает область (/?i(<p) < г < /?2(<р)),в которой/Гц =0, Е = Е± , а у = (jsL + о1Е)е1 , здесь eL = EL/EL . Расчет показывает, что такое рас- распределение электрического поля и тока является единственным, удовлетво- удовлетворяющим уравнениям Максвелла и начальному условию j(r) = 0 при Ва = 0. В аналитическом виде найти j(r), E(r) и В (г) для произвольного значе- значения отношения Ва/Вр не удается. Если же Ва •Щ Вр, то размер области Ri(v) < г < R, в которой происходит экранировка внешнего магнитного поля, мал, т.е. R — /?i(<p) <^ R. Это позволяет рассматривать токи, текущие 98
в проводе, как поверхностные. Тогда, действуя аналогично предыдущему, можно определить j(r), Е(г) и В (г) и вычислить потери, возникающие при изменении Ba(t). He останавливаясь на деталях такого расчета, приведем здесь его результаты. В основном приближении no BjBp<\, 2irR/Lp< I, о1Е1 /jsl < 1 распре- распределения электрического поля и тока имеют вид Е = - 2Ва sin ip[r - R20p)]e«, a VL 2V^J ||. R2(<p)<r<R, C.189) if." E=-2Ba 2irR Кривые R2(!P)-R1(V) = и R2('P) описываются уравнениями I sin ( I = а„ — R I sin <p I, Bp I sin «л I = —- R I sin ip |. Bn C.190) C.191) C.192) При выводе выражений C.189) -C.192) предполагалось, что о1Е1< jsr С помощью соотношения C.190) это неравенство можно представить C.193) Если условие C.193) выполнено, то в композите текут лишь сверхпрово- 10' 10' Рис. 3.12. Результаты измерения зависимости Q(Bm) для волокнистых композитов [611; провод диаметром 0,25-10 м (нескручен- jg- ный - кривая 1, скрученный с шагом Lp - - 2,5-10 м — кривая 2); провод диаметром 0,125-Ю м со средним радиусом сверхпро- сверхпроводящих жилок г„ = 4-10"* м (нескручен- ный — кривая 3, скрученный с шагом Lp = = 1,25-Ю м- кривая 4). Кривая 5 - нависи- / мость Q(Bm), рассчитанная для многожильно- многожильного композита с радиусом сверхпроводящих жилок г„ =4-10-* м 10' 10' 10 7* 99
дящие токи и потери, возникающие при изменении Ва (t), являются гисте- резисными. Положим, для оценки, Вр/Ва = 10, (Lp/2ttRJ = 10, Вр = = 2 ¦ Ю~3 Тл, т0 = 3 ¦ 10~4 с. Тогда а^Ех. ^ /л в том случае, когда Ва < 3 ¦ 102 Тл/с. Выражения C.189)-C.192) позволяют определить среднюю удельную мощность гистерезисных потерь: 32ВаВа2 Г 1 /2itR\2~\ „ ч G,,= 1 + — ( , Вт <Вр. C.194) Отметим, что первое слагаемое в формуле C.194) обусловлено наличием продольных токов, а второе — поперечных. Если внешнее магнитное поле возрастает от Ва = 0 до Ва = Вт< Вр, то, проинтегрировав C.194) по вре- времени, для расчета Qy, находим выражение 32йД Г 1 / 2irR V 1 Qh = ~ т- И + — (— —) . Bm <Bp. C.195) 9irn0jsR L а„ \ Lp I J В нескрученном композите гастерезисные потери описьтаются форму- формулой C.45), в которой лишь следует заменить ]с на js. Сравнение C.45) и C.195) показывает, что при Вт <^Вр скрутка приводит к увеличению по- потерь в волокнистом композите в 1 + a^lBTrR/LpJ раз. Физически этот эффект обусловлен наличием поперечных токов. В нескрученном компози- композите они отсутствуют. При (Lp/2tjRJ = 10 и характерных для современных материалов значениях параметров значение ап «= 3 ¦ Ю. В этом случае, как видно из сопоставления формул C.45) и C.195) , при Вт-€ Вр скрутка увеличивает плотность гистерезисных потерь примерно в четыре раза. На рис. 3.12 приведены результаты измерения плотности потерь за пе- период в скрученных волокнистых композитах в зависимости от амплитуды изменения внешнего магнитного поля Вт [61]. Видно, что в окрестности некоторого значения Вт (обозначим егоВ^,) зависимость Q(Bm) достаточ- достаточно резко изменяется. При этом для Вт < В^, скрутка увеличивает гасте- гастерезисные потери, а для Вт > В^,— уменьшает. Если предположить, что ве- величина В^„ порядка поля полного проникновения магнитного потока Вр, то теория, развитая выше, будет находиться в хорошем качественном согла- согласии с экспериментальными данными, приведенными на рис. 3.12.
ГЛАВА 4 УСТОЙЧИВОСТЬ КРИТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ Бездиссипативное течение тока в жестких сверхпроводниках возможно лишь, если Т < ТС,В< Вс2 и / </с. Однако экспериментальные исследова- исследования показали, что-даже когда эти условия выполнены, критическое значе- значение транспортного тока 1С может быть достигнуто отнюдь не всегда. Причи- Причиной такого снижения токонесущей способности жестких сверхпроводни- сверхпроводников во многих случаях является характерная для критического состояния термомагнитная неустойчивость — скачок магнитного потока. Эта неустой- неустойчивость сверхпроводящего состояния относительно малых возмущений различной физической природы была обнаружена уже в первых экспери- экспериментах по изучению сверхпроводников второго рода с заметным пиннин- гом. В большинстве случаев скачок магнитного потока сопровождается сильным разогревом образца и переходом его в нормальное состояние. Термомагнитная неустойчивость возникает и в композитных сверхпро- сверхпроводниках. В них скачок магнитного потока обусловлен взаимодействием тепловых и электромагнитных флуктуации в системе сверхпроводящих элементов композита, находящихся в матрице нормального металла. Рис. 4.1. Распределение В (х), сплошная линия соответствует Т=Т0, штриховая - Т = Т0+ЬТ Остановимся, прежде всего, на том, как возникает и проявляется термо- термомагнитная неустойчивость. Рассмотрим для этого характерную ситуацию, в которой плоский полубесконечньш сверхпроводник находится во внеш- внешнем магнитном поле, параллельном его поверхности (рис. 4.1). Пусть в начальный момент магнитное поле однородно во всем пространстве, а его индукция равна Во. Затем величина В увеличивается до некоторого значе- значения Ва. По мере роста внешнего магнитного поля магнитный поток входит в сверхпроводник. Возникшее распределение В(х) имеет вид, изображен- изображенный на рис. 4.1 сплошной линией (см. также гл. 1). Для дальнейшего су- существенно, что в области сверхпроводника 0 < х < /, находящейся в крити- критическом состоянии, величина дВ/дх ^fc(T, В). 101
Пусть вследствие того или иного малого возмущения несколько возрос- возросла температура образца. Тогда плотность тока, экранирующего внешнее магнитное поле, падает (так как djJdT < 0). Уменьшение /с приводит к увеличению магнитного потока в сверхпроводнике (соответствующее распределение магнитной индукции В(х) изображено на рис. 4.1 штриховой линией). Возникшее в результате возмущения температуры движение маг- магнитного потока внутрь образца индуцирует возмущение электрического поля. Происходит выделение дополнительного (по отношению к исходно- исходному) тепла, дополнительное увеличение температуры и, следовательно, даль- дальнейшее уменьшение fc. При определенных условиях этот процесс проникно- проникновения магнитного потока в сверхпроводник приобретает лавинообразный характер, т.е. критическое состояние становится неустойчивым по отноше- отношению к малым возмущениям. Развитие такой неустойчивости, Как правило, сопровождается интенсивным разогревом образца и быстрым нарастанием в нем магнитного потока. По этой причине она и получила название скачка магнитного потока. Таким образом, термомагнитная неустойчивость критического состоя- состояния представляет собой развивающиеся связанным образом возмущения температуры и электромагнитного поля. Процессы распространения тепла и магнитного потока характеризуются своими коэффициентами диффузии: термической Dt = к/v и магнитной Dm = 1/Ak>о, обусловленной резистивным током *). Введем важный для дальнейшего изложения безразмерный параметр D.1) Dm v Величина г зависит только от свойств самого сверхпроводника, она опре- определяет соотношение между характерным временем диффузии магнитного потока tm = 12/Dm и характерным временем диффузии потока тепла tK = = l2lDt, а именно: r = tm/tK. § 4.1. Качественная теория скачков магнитного потока Исследовать устойчивость критического состояния сравнительно просто в двух предельных случаях: т<€ 1 и г > 1 [116-118]. Первый из них харак- характерен для жестких сверхпроводников в режиме вязкого течения магнитно- магнитного потока (о = Of), где г < 1 уже в магнитном поле с индукцией Ва ~ВС 1. Действительно, при Т = 4,2 К и Ва >, 0,1 Тл значения параметров, входящих в формулу D.1), порядка к ~ 1(Г2 4- Ю Вт/м • К. v ~ Ю3Дж/м3 К, Of ~ 106 — 108 Ом -м~'. Отсюда нетрудно получить, что D, ~~ -Ю-6 - Ю м2/с, Dm ~1(Г2 - 1 м2/с, а г ~1(Г4 - 1(Г2. Случай т > 1 характерен для композитных сверхпроводников с матрицей из нормаль- *) Резистивный ток jn(T, В, Е), возникающий при скачке магнитного потока, ком- компенсирует уменьшение величины jc, демпфируя развитие термомагнитной неустойчи- неустойчивости. Дополнительное же тепловыделение, обусловленное наличием /„, как будет видно из дальнейшего, относительно мало и, по крайней мере на начальной стадии раз- развития неустойчивости, несущественно. 102
en 6Е\ о L x О a ffT), L x 0 BL 6E\ 0 6L L x Рис. 4.2. Распределения ЬТ(х) и SE(x) в процессе скачка магнитного потока (т < 1): а, б) в адиабатически теплоизолированном образце; в, г) при изотермических гранич- граничных условиях ного металла, обладающего хорошей проводимостью. Здесь к ~ 10 — 102 Вт/м • К, v ~103 Дж/м3 • К, о~109 МО10 Ом1 • м и, соответствен- соответственно,^ ~10~3 - 10"' м2/с, Dm-10-3 -10 м2/с, г ~1-103.Вобласти малых электрических полей из-за нелинейности вольт-амперной характе- характеристики значения о(Е) и значения г могут быть существенно больше, чем приведенные выше. При обсуждении токонесущей способности композит- композитных сверхпроводников мы остановимся на этом более подробно. Получим из наглядных физических соображений критерии устойчивости критического состояния в двух предельных случаях: т-4 1 и г > 1 [П7,П8]. Для дальнейшего анализа существенным является характерный вид пространственных распределений возмущений температуры 6 Г и электри- электрического поля 8Е в процессе развития термомагнитной неустойчивости. На рис. 4.2 схематически изображены зависимости 8Т(х) и 8Е(х) в полубеско- полубесконечном сверхпроводнике, находящемся во внешнем магнитном поле, парал- параллельном его поверхности, в случае, когда г<С 1 [118]. Для произвольной геометрии задачи качественный вид функций 8Т(г) и 8Е(г) остается тем же. При 7^1 (tm <C tK) быстрое распространение магнитного потока сопро- сопровождается адиабатическим разогревом сверхпроводника, т.е. выделив- выделившееся где-либо тепло не успевает оттуда отводиться. Будем рассуждать следующим образом. Пусть в результате флуктуации в некоторой области сверхпроводника температура возросла на величину 8Т0. Следовательно, к этому месту было подведено "затравочное" тепло Qo = v8T0. При разо- разогреве величина jc падает и магнитный поток начинает перемещаться вглубь образца, индуцируя возмущения электрического поля 8Е. В результате выделяется дополнительное тепло Qit равное Qt=fic8Edt, D.2) Здесь мы учли, что плотность наведенного тока / ^]с > о8Е. Следова- Следовательно, жесткие и композитные сверхпроводники являются примером системы, в которой диссипация энергии в основном приближении линейно зависит от электрического поля в широком диапазоне значений параметров. Так как разогрев образца происходит адиабатически, то для определения нового стационарного значения температуры То +6 Г можно записать закон сохранения энергии: Q0 +G, =v8T0 +<2,. D.3) 103
В этом параграфе мы воспользуемся простейшей моделью критического состояния — моделью Бина, т.е. положим ]'С(Т, В) = }'С(Т, Ва). Это прибли- приближение, как будет видно из дальнейшего, представляет наибольший практи- практический интерес. Для оценки величины Bi следует определить напряженность электри- электрического поля 8Е, что можно сделать с помощью уравнения Максвелла: rot rot 8E= — Но — dt Так как / Э/ Эй dt ~ ЪТ то 8T + эд, ва D.4) D.5) Здесь и ниже точка над буквой означает дифференцирование по времени. Учитывая, что мы интересуемся развитием термомагнитной неустойчивости, т.е. процессом, в котором температура и магнитный поток изменяются быстро, вторым слагаемым в D.5), связанным с относительно медленным изменением внешнего магнитного поля, можно пренебречь. Тогда, подстав- подставляя выражение D.5) в D.4) и воспользовавшись оценкой | rot rot ЪЕ | ~ ~8E/L2 (см. рис. 4.2), получим 8Т, D.6) где L — характерный масдитаб изменения электрического поля в образце (например, в случае, изображенном на рис. 4.1, 4.2,6, L = /). С помощью D.6) и D.2) находим, что е, = 1 Ус ЪТ /3 8Т= — v8T, У где 7 — число порядка единицы, точное значение которого зависит от геометрии задачи, а Ус ЪТ D.7) Параметр |3 характеризует спонтанный разогрев сверхпроводника, вызван- вызванный малым внешним возмущением. Он является одной из основных вели- величин, определяющих устойчивость критического состояния в сверхпровод- сверхпроводниках. Подставим выражение для Q\ в уравнение D.3), находим 8Т0 Из D.8) видно, что когда |3 -*у2, величина 8Т неограниченно растет при любой величине "затравочной" флуктуации 8Т0,а для Р>у2 стационарное значение температуры отсутствует. Следовательно, критическое состояние устойчиво, лишь если Ус ЪТ <У D.9) 104
Отсюда, в частности, следует, что Критерий устойчивости D.10) накладывает ограничение на размер области, в которой может течь ток с плотностью /с. Перепишем соотношение D.9) в несколько ином виде. Подставим для этого в D.9) вместо величины L глубину экранировки /. В рассматривае- рассматриваемом случае плоской геометрии в модели критического состояния Бина (имеем (см. A.38)) l=AB/nojc. Тогда из D.9) получим АВ = В„-> 'с ът D.11) Критерий устойчивости критического состояния D.11) накладывает огра- ограничение на максимальную величину перепада индукции магнитного поля в образце. Впервые он был получен из аналогичных качественных соображе- соображений в работе [119] и носит название "адиабатического" критерия устой- устойчивости. Оценим величины L/ и Bj. При характерных для жестких сверхпровод- сверхпроводников значениях параметров: v ~ Ю3 -ь 104 Дж/м3 К, /с ~3 • Ю9 А/м2, Ъ)С1ЪТ~-]С1(ТС - То), Тс - То ~5 Ктаходим с шмощью D.10) и D.11), что Lj ~ 10~5 — 10 м, а В/ ~ A — 3) • 10"' Тл. Несмотря на довольно грубые приближения, сделанные выше, эти оценки величин Lj и В/ хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными данными (см., например [120-124]). Исследуем, исходя их тех же наглядных физических соображений, дина- динамику развития термомагнитной неустойчивости при т<\ [117, 118], т.е. изучим развитие малых возмущений температуры и электромагнитного поля во времени. Будем, как всегда при анализе на устойчивость, искать 8Ти8Е в виде 8T=8Toexp{kt/tK), 8Е = 8Еоехр{\фк}, D.12) где характерное время диффузии потока тепла tK - vL2/k выбрано для обезразмеривания времени. Подлежащая определению функция Х(/3, г) (спектр собственных значений) позволяет найти безразмерную частоту (ImX) и инкремент (ReX) нарастания термомагнитной неустойчивости. Таким образом, характерное время развития возмущений температуры и электрического поля tj, как видно из D.12), порядка tj~tKl\\\ "Адиабатичность" скачка магнитного потока (г -4 1) означает, что tj ^tK или | X | > 1. В частности, при выводе критерия устойчивости D.9) мы, по- существу, полагали I X | = °°. Именно в этом приближении справедливо ло- локальное соотношение D.3), которое учитывает, что выделившееся где-либо тепло не успевает оттуда отводиться. 105
Скачок магнитного потока обусловлен двумя взаимосвязанными про- процессами диффузии — тепла и магнитного потока. Следовательно, он разви- развивается медленнее самого быстрого из них. в данном случае — медленнее диффузии магнитного потока. Таким образом, мы можем предположить выполненным соотношение tj > tm или | X |г < 1. Ниже для "адиабатичес- "адиабатического" скачка магнитного потока неравенства |Х| > 1 и | X |r ^ 1 будут подтверждены точным расчетом. Для анализа развития термомагнитной неустойчивости во времени урав- уравнения баланса тепла D.3) недостаточно. Поэтому воспользуемся уравне- уравнением теплопроводности: р8Т=кА8Т + }с8Е. D.13) Проинтегрировав его по времени и оценив AT как — 8T/L2 (см. рис. 4.2), получаем 8Т X , 8Т -8T0) = -y2i> — +fjc8Edt. - D.14) X Из уравнения Максвелла D.4) для 8Е с учетом вклада от резистивного тока 8jn = 08E находим (| X | г < 1, у2 =* /3): ._ V*>L2 \ Э/„ | / Хг \.^ У 2 ът С помощью D.15) получим тогда, что v8T У D.15) D.16) Из D.14) в результате имеем 8Т0 8Т Отсюда видно, что если знаменатель выражения D.17) обращается в нуль, т.е. Х(/3, г) удовлетворяет дисперсионному уравнению 4-l*J^. DЛ8, У X 7 то величина 67" может быть сколь угодно большой при сколь угодно малом начальном возмущении 8Т0. Таким образом, соотношение D.18) опреде- определяет спектр собственных значений возмущений температуры и электричес- электрического поля вблизи порога термомагнитной неустойчивости в том случае, когда | X I > 1. Отметим, что всюду выше величина параметра г предполагалась постоян- постоянной, т.е. дифференциальная проводимость о считалась не зависящей от электрического поля Е. Это приближение справедливо в области вязкого течения магнитного потока (Е > Ef) где о(Е) = const = Of. Следовательно, предыдущие рассуждения справедливы, если к скачку магнитного потока приводят начальные возмущения с 8Е0 >Ef, или в образце исходно присут- присутствует электрическое поле Е такое, что Е + 8Е0 > Ef. 106
о fi a 6 Рис. 4.3. Характерный вид зависимости Л. (/3): с) Л., =1тЛ.(/3); б) Л.2 =Re\(/3) Характерный вид зависимостей \\ = Im X и Х2 = Re X от /3 изображен на рис. 4.3. Значение /Зс, при котором впервые появляется собственное значе- значение XcXi =0иХ2>0 определяется из условия ЭХ/Э/3 -*°°. Дифференцируя D.18) по /3, находим ЭХ 1 Отсюда, приравнивая знаменатель нулю, получаем Хс = X2(j3c), а с помощью D.18) и /Зс - ^ D.19) Значение j30, при котором Х2 = 0, a \t Ф 0, нетрудно найти, подставив в уравнение D.18) X в виде X = icj0-' D.20) Приравнивая нулю вещественную и мнимую части соотношения D.20), получим, что (Зо =72, соо=Хс = 72/%/^ D-21) Зная зависимость Х(/3) в окрестности /Зс, можно убедиться в справедли- справедливости неравенств |Х| > 1и|Х|г<^1. Действительно, | X I ~ Хс ~т~ 112 > 1, а |Х|г~Хсг~г1/2<€1. При выводе дисперсионного уравнения D.18) предполагалось, что ха- характерный пространственный масштаб изменения возмущений 8Ти ЬЕ не зависит от X. Это справедливо, лишь если образец теплоизолирован. В том случае, когда поверхность сверхпроводника интенсивно охлаждается (в пределе изотермически), следует учесть, что в приповерхностном слое толщиной 8L -4 L возмущение температуры практически отсутствует (см. рис. 4.2,в). Величину 8L можно оценить исходя из уравнения теплопроводности D.13). Действительно, при изотермическом охлажде- охлаждении в области 0 < х <i 8L возникает большой градиент температуры IV8T | ~ 8T/8L > 8T/L. Это позволяет в приповерхностном слое с толши- ной 8L пренебречь тепловыделением jc8E по сравнению с теплоотводом 107
кА8Т. Тогда из D.13) следует уравнение для определения 8Т: 8Т= - 8T = DtAST. Оценивая |Д6Г| как 677ELJ (см. рис. 4.2,в), получим, что 8L Заменив в D.18) L наЬ — 8L = A — X ' /2)L, находим искомое диспер- дисперсионное уравнение для определения X (|3, г) в случае изотермических тепло- тепловых граничных условий: /3 2 Хг > —; • D-22) Зависимости Xi и Х2 от параметра /3 имеют здесь вид, аналогичный изобра- изображенному на рис. 4.3: D.23) ft, = 72 [1 + Bг/72)' /31, соо = 2 > /3ХС. D.24) Полученные результаты приводят к следующей картине развития термо- термомагнитной неустойчивости критического состояния в жестких сверхпровод- сверхпроводниках в режиме вязкого течения магнитного потока [125]. Рассмотрим, например, ситуацию, когда полубесконечный образец находится в увеличи- увеличивающемся внешнем магнитном поле, параллельном его поверхности. Пара- Параметр /3 в этом случае описывается выражением D.9)', куда в качестве харак- характерного пространственного масштаба L следует подставить глубину экра- экранировки /. В результате получим АВ2 /3 = 'с ЪТ D.25) По мере роста перепада индукции магнитного поля АВ величина /3 растет и при АВ = Bj0 достигает значения /30. Дальнейшее увеличение АВ приводит к тому, что параметр /3 попадает в интервал 0О < Р < Рс, где Im X Ф 0, а Re X > 0. Следовательно, если Bj0 <AB<Bj, (Bf\ djcJdT\/nojcv = |3C), то в сверхпроводнике возникают осцилляции температуры, напряженности электрического поля, индукции магнитного поля и т.д. При АВ = В/ экспо- экспоненциальный рост возмущений (Im X = 0, Re X > 0) приводит к возникно- возникновению термомагнитной неустойчивости, т.е. к скачку магнитного потока. Таким образом, критерий устойчивости критического состояния может быть записан в виде /3 < /Зс(г). Отметим, что осцилляции различных физи- физических величин перед скачком магнитного потока наблюдались в большом числе экспериментальных работ (см., например, [120, 126—128]). Обсудим теперь, как сказывается нелинейность вольт-амперной характе- характеристики жесткого сверхпроводника в области Е < Ef на осцилляционных эффектах и устойчивости критического состояния [125]. Величина /Зс уве- увеличивается с ростом г (см., например, D.19) и D.23)) и, следовательно, с ростом о (г v- о). При Е <Ef дифференциальная проводимость о сущест- существенно зависит от Е (о{Е) >оу-). Это приводит к тому, что характер 108
наблюдаемых эффектов в значительной мере определяется величиной электрического поля Еъ, на фоне которого происходит развитие малых возмущений в критическом состоянии. Рассмотрим, для начала, ситуацию, когда Еь = 0. Пусть, кроме того, ис- исходное возмущение 8Ео > Ef, а параметр /3 находится в интервале ft, </3<j3c. Тогда 8Е « cos(X,t/tK) exp(\2t/tK) и за время t ~ 7rrK/2Xi величина электрического поля в сверхпроводнике станет меньше Ef. Так как при ЬЕ < Ef дифференциальная проводимость о тем больше, чем меньше ЬЕ, то по мере уменьшения ЬЕ величина Ро(т) будет расти. Начиная с некоторого значения ЬЕ, параметр /3 попадает в об- область /3 < 0о [т (8Е)], где Х2@, г) < 0 и возмущение затухает. Таким обра- образом, если Еъ = 0, то в результате развития начальной флуктуации (с bEo~>Ef и 0о </3</Зс) магнитный поток в образце изменяется лишь на конечную величину. Экспериментально, следовательно, будут наблюдаться ограниченные скачки магнитного потока с амплитудой, пропорциональной начальному возмущению. При достаточно большой начальной флуктуации такая неустойчивость, естественно, может завершиться переходом сверх- сверхпроводника в нормальное состояние на фазе роста 8E(t), т.е. в момент времени t<tKfKl [125, 129, 130]. Рассмотрим теперь ситуацию, когда ЕЬФО. В этом случае при 0О < <0</Зс в образце могут наблюдаться осцилляции температуры, напряжен- напряженности электрического поля, магнитной индукции и т.д. до тех пор, пока Eb+bE~>Ef. Оценим, в качестве примера, максимальное число осцилля- осцилляции N, предшествующее скачку магнитного потока, если Еь обусловлено монотонным изменением внешнего магнитного поля с заданной ско- скоростью Ва. При г < 1 диапазон значений параметра /3, где Jm X Ф 0 мал фс — 0о ^ /Зс). Это позволяет оценить соответствующий интервал по магнитному полю АВа как (ЭДЭв) 2Ц ' Внешнее магнитное поле Ва находится в интервале АВа в течение времени Д/~ АВа/Ва. Учитывая, что период осцилляции порядка fK/Xi, для числа осцилляции iV получим следующую оценку: At \iABa (/3c0o)#; N~ X, ^—— ~ X, ^с . P°J ' • D.27) Время развития термомагнитной неустойчивости tf в жестких сверхпро- сверхпроводниках определялось в большом числе экспериментов (см., например, [120, 131—135]). В зависимости от свойств образца и внешних условий измеренное значение t/ лежит в диапазоне 10~4 -Н0~6с. По порядку вели- величины это хорошо согласуется с теоретической оценкой ц = tK[kc, выпол- выполненной с помощью формул D.19), D.23). Следует, однако, подчеркнуть, 410 ^С1*к - инкремент нарастания термомагнитной неустойчивости на на- начальном участке, где само возмущение еще мало. Полное же время скачка 109
магнитного потока в значительной мере зависит от различных нелинейных эффектов. Оно может существенно отличаться от величины tj, что следует учитывать при сравнении теории с экспериментом. "Адиабатичность" скачка магнитного потока в жестких сверхпроводни- сверхпроводниках (г < 1) приводит к слабой зависимости критерия устойчивости крити- критического состояния от условий теплоотвода Действительно, из D.19) и D.23) видно, что различие в величинах /Зс (а, следовательно, и в Lj и Bj), относящихся соответственно к адиабатическим и изотермическим тепло- тепловым граничным условиям, не превышает 10 — 15% для реальных значений г ~ 10~4 — 10. Это хорошо коррелирует с имеющимися эксперименталь- экспериментальными данными [124]. Поправка к |3С., связанная с конечностью параметра т, пропорциональ- пропорциональна тр, где р < 1. За счет малости показателя степени р она может вносить вклад в Lj и Bj порядка нескольких десятков процентов. Исследуем возникновение и развитие термомагнитной неустойчивости в композитных сверхпроводниках. Рассмотрим здесь, в качестве примера, те материалы, в которых содержится большое число сверхпроводящих жилок ./V. Электромагнитные и тепловые процессы, протекающие в компо- композитных сверхпроводниках с N> 1, можно изучать, предварительно усреднив их физические характеристики в плоскости поперечного сечения образца [73, 78-80, 92, 136, 137]. При таком подходе гетерогенный проводник со сложной внутренней структурой заменяется гомогенным с некими эффек- эффективными значениями параметров (см. гл. 2). Простые оценки показывают, что в многожильных композитных сверхпроводниках эффективная величи- величина т> 1 [117,118]. Устойчивость критического состояния в значительной мере определяет- определяется характером распределения в образце электрического поля, тока и маг- магнитного поля. В композитных сверхпроводниках эти распределения зависят от внешних условий и "микроструктуры" материала (например, от того, как скручены сверхпроводящие жилки). Здесь выделяются два случая. В первом, наиболее простом, сверхпроводящие жилки экранируют магнит- магнитное поле независимо друг от друга. Такая ситуация осуществляется, в част- частности, в скрученном композитном сверхпроводнике, находящемся в мед- медленно меняющемся внешнем магнитном поле. Тогда критическое состояние в образце будет устойчиво, если сделать сверхпроводящие жилки достаточ- достаточно тонкими. Во втором случае, который мы здесь и рассмотрим, распреде- распределения /, Е и В в сверхпроводящем композите не зависят от того, скручен он или нет. Такая ситуация осуществляется, например, в проводе с транс- транспортным током / ~ /s и в достаточно быстро изменяющемся внешнем магнитном поле. Подробнее влияние скрутки сверхпроводящих жилок на устойчивость критического состояния мы обсудим ниже. Удельная мощность тепловыделения в процессе развития термомагнит- термомагнитной неустойчивости равна js&E. Критическое состояние будет устойчиво, если js8E не превышает удельной мощности теплоотвода в охладитель — кА8Т, обусловленной теплопроводностью композита. Оценим, прежде всего, величину —кА5Т. Зависимости 8Т(х) и 6?"(х) в полубесконечном сверхпроводнике, находящемся во внешнем магнитном поле, параллель- параллельном его поверхности, схематически изображены на рис. 4.4 для случая, 110
1-61 L x г Рис. 4.4. Распределения 8Т(х) и 8Е(х) в процессе скачка магнитного потока (т > 1): с, б) при изотермических граничных условиях; в, г) при Wo < 1 когда т> \ [118]. При произвольной геометрии задачи качественный вид функций 8Т(г) и 8Е{г) остается тем же. Пусть, например, на границе про- проводник — охладитель осуществляются изотермические условия (идеальное охлаждение). Тогда \ А8Т \ можно оценить (см. рис. 4.4,а) как | Д6Г| ~ ~ 8T/L2 и к\ А8Т \ ~ кБТ/L2. Таким образом, критическое состояние в сверхпроводящем композите устойчиво, если js8E<yn8T/L2, D.28) где 7 — число порядка единицы, точное его значение зависит от геометрии задачи. Определим связь между ЬЕ и ЪТ. При быстром разогреве, в случае когда Лс "^ fm (г ^ 1). магнитный поток практически не успевает перераспреде- перераспределиться по сечению образца. Следовательно, начальная стадия развития термо- термомагнитной неустойчивости в композитах происходит на фоне "заморожен- "замороженного" магнитного потока [73, 80, 118]. Если же распределение магнитного поля в проводнике неизменно, то неизменно и распределение плотности тока, т.е. Э//Э/ = 0. Учитывая, что / = j{E, Т, В), а В = 0 (магнитный поток "заморожен"), для определения связи между &Еи5Т находим соотношение э/ э/ . э/ Ы ~ ЪТ ЪЕ Из D.29) следует, что — ЪТ о ЪТ ЬТ. D.29) D.30) Здесь мы воспользовались моделью критического состояния и положили / = js(T, В). Электрическое поле 8Е, возникающее в композитном сверх- сверхпроводнике при развитии термомагнитной неустойчивости, как видно из D.30) , не связано с "глобальным" движением магнитного потока в образ- образце. Происходит лишь локальное перераспределение тока*) между сверх- сверхпроводящей (Js) и резистивной (/„) компонентами. *) В этой связи отметим, что термин "скачок магнитного потока" по отношению к термомагнитной неустойчивости в сверхпроводящих композитах является не совсем удачным; однако в настоящее время он уже устоялся и мы будем им пользоваться. 111
С помощью D.28) и D.30) критерий устойчивости критического сос- состояния в композитном сверхпроводнике можно записать в виде ко ЪТ ¦<у. или KL 7 = V7KO// ЪТ D.31) D.32) Подставив в неравенство D.31) в качестве характерного масштаба L глубину экранировки /, находим максимально допустимую величину перепада магнитной индукции в образце: AB=Ba -B0<Bj = JKOJJ Э/, ЪТ D.33) Критерий устойчивости сверхпроводящего состояния D.31) получен в предположении идеально охлаждаемых границ образца, когда тепло- тепловой поток из композита определяется его теплопроводностью. Если же теплоотвод относительно мал (Wo = hL/K < 1), то выделяющееся при- развитии термомагнитной неустойчивости тепло должно успевать отво- отводиться в охладитель. В этом случае критерий устойчивости сверхпроводя- сверхпроводящего состояния можно записать в виде js8EdA<hP8T\ D.34) где Р — периметр охлаждаемого сечения проводника, 8Т\ Р — значение возмущения температуры 6 Г на поверхности образца. С помощью D.30) неравенство D.34) преобразуется в неравенство hoP ЪТ f 8TdA<8T p. D.35) При слабом внешнем охлаждении (Wo •<€ 1) температура композита в меру Wo •<€ 1 не меняется по его-сечению (см. рис. 4.4,в). Тогда (с точ- точностью до Wo •<€ 1) под интегралом в D.35) можно положить 8 Т = 5 Т \ Р. В результате критерий устойчивости сверхпроводящего состояния в компо- композитных сверхпроводниках приобретает вид D.36) Р oh или А Р ЪТ Lj = ohlis ЪТ = Ва-В0< В/ = Э/, ЪТ D.37) D.38) где 7 — множитель порядка единицы, точное значение которого определяет- определяется геометрией задачи. Подчеркнем еще раз, что выражение D.31) примени- применимо, если W0>\,z D.36) -если Wo<\. 112
В реальных условиях, как правило, осуществляется предельный случай Wo < 1. Действительно, для То = 4,2 К характерные значения интересующих нас параметров порядка к ~ Ю2 Вт/м -К, L ~ 10~3 м, h ~ 104 Вт/м2 • К (при непосредственном контакте проводника с жидким гелием) и h -~ ~ 102 Вт/м2 • К (для проводника, покрытого слоем изоляции). В резуль- результате параметр Wo ~ 10~3 - 10"' < 1 Критерии D.31) и D.36) в литературе часто называют "динамическими" критериями устойчивости. Впервые они были получены в работах [73, 136]. Из неравенств D.31) и D.36) видно, что, в отличие от случая г < 1, устойчивость критического состояния при т > 1 определяется дифферен- дифференциальной проводимостью сверхпроводника о, зависящей от напряженности электрического поля. В простейшей ситуации {E>Ef) а ~ о„ ~ 109 — — 10'° бм~' -м~', в противоположном пределе (Е <?/) o = xsj i/E. Следовательно, при г>1 в области значений параметров, где Е < Ef, ус- устойчивость критического состояния зависит от скорости изменения внеш- внешнего магнитного поля, скорости ввода тока в образец и т.п., т.е. от тех факторов, которые определяют фоновое электрическое поле. Ниже мы под- подробно остановимся на этом вопросе. Оценим с помощью D.37) и D.38) величины Lj и Bj при Е > Ef. Пусть, например, h ~ 10" Вт/м2 • К, к ~ 102 Вт/м- К, js ~ 109А/м2, djJdT ~ ~ -/V {Тс - ?о), ТС-ТО~5К. Тогда Lj ~ 10~3 м, Bj ~ 1 Тл, что хо- хорошо согласуется с соответствующими экспериментальными данными. При использованных значениях параметров величина Wo ~ 0,1 <€ 1, следователь- следовательно, критерии D.37) и D.38) действительно применимы к рассмотренному случаю. Изучим, исходя из наглядных физических соображений, динамику развития термомагнитной неустойчивости для сверхпроводников ст>1 [117,118]. В качестве примера рассмотрим представляющую наибольший практический интерес ситуацию, когда Wo <€ 1. Возмущения температуры 67" и электрического поля 8Е будем, как обычно, искать в виде D.12). При г ^ 1 термомагнитная неустойчивость на начальной фазе развивает- развивается на фоне практически "замороженного" магнитного потока. Следователь- Следовательно, tj =tK/\ X | < tm или | X | г > 1. С другой стороны, тепло, выделяю- выделяющееся из-за наличия электрического поля 8ЕУ успевает отводиться из образ- образца, т.е. tj =tKl | X | >tK , откуда I X | < 1. Отметим, что критерии D.31) и D.36) получены нами в пределе | X | =0. Ниже неравенства | X | «С 1 и I X | г > 1 будут подтверждены точным расчетом. В случае слабого охлаждения (Wo *€ 1) возмущение температуры 8Т (с точностью до Wo <€ 1) постоянно по сечению образца, и для дальнейшего анализа можно воспользоваться уравнением теплового баланса. При этом нужно учесть, что вблизи поверхности х = I, где / обращается в нуль, возмущение электрического поля ЬЕ мало (см. рис. 4.4г). В результате в слое L — 8L <х< L тепловыделение js8E практически отсутствует. Величина 8L зависит от скорости нарастания термомагнитной неустойчи- неустойчивости. Она определяется резистивным током, демпфирующим скачок магнитного потока, и равна характерной длине диффузии магнитного по- потока за время tj или, что одно и то же, глубине скин-слоя [18] на харак- характерной "частоте" tfl, т.е. (8LJ=Dmtj =Dm tK/\ = L2tK/tm\ = L2/Xr, 8. А.Вл. Гуревич 113
откуда 8L =L/VXr~. Таким образом, тепловыделение в процессе развития термомагнитной неустойчивости при г > 1 и Wo < 1 эффективно происхо- происходит в слое толщиной L — 8L-L(\ — 1/\/Хг). В результате уравнение теп- теплового баланса с нужной точностью может быть записано в виде hbT vbT =js8E -=-- . D.39) 1A1ЛДт) Воспользовавшись тем, что | XI т > 1, 5 7"= Х6 TjtK ,г8Е = — о Э/, ът ьт, находим искомое дисперсионное уравнение для X (|3, г, Wo) : хз/2 + xi /2(й,о _ ут) + wo/y/7= 0. D.40) Зависимость X (/J, г, Wo) определяемая с помощью D.40), имеет вид, ана- аналогичный изображенному на рис. 4.3: ft. = Wot[1 + 3/D W^I'3 ], Хс = (W02/4тI'3 D.41) ft, = HV[l+l/BJn>rI/3], aH=(Wl/2TL3. D.42) Дисперсионное уравнение D.40) и соотношения D.41) , D.42) применимы, если г ^> \,W0 <\,\ст~ аHт ~-{\\>отI1ъ> 1 или Wot> 1. Таким образом, полученные нами критерии устойчивости показывают, что в случае г > 1 сверхпроводящее состояние более устойчиво (j3c ~ Wot > 1), чем в случае г •€ 1 @С ~ 1). Физически зто обусловлено соотношением между характерным временем развития неустойчивости tj и характерным временем диффузии потока тепла tK . При г > 1 оно имеет вид fy ^fK и, следовательно, тепло, выделяющееся в процессе эволюции малых возмуще- возмущений 8Т и 8Е, успевает отводиться из образца. В результате критерий устой- устойчивости сверхпроводящего состояния сдвигается в сторону больших зна- значений Lj hBj. Поправка к /Зс, связанная с конечностью WqT^I, пропорциональна (Wot) ~113; она может вносить вклад в L,- и Bj порядка нескольких десятков процентов. § 4.2. Жесткие сверхпроводники (г -^ 1) Изучению скачков магнитного потока в жестких сверхпроводниках пос- посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ (см., например, литературу, цитированную в [118]). В экспериментах, как пра- правило, определялась зависимость от времени одной или нескольких величин (магнитный момент, разность потенциалов, температура, коэффициент поглощения ультразвука и т.д.). При этом сверхпроводник помешается во внешнее магнитное поле, которое монотонно нарастает (убывает), или ос- осциллирует относительно заданного значения Ва. Во многих случаях по об- образцу пропускают постоянный или переменный транспортный ток. В тот момент, когда магнитная индукция вне проводника достигает некоторой величины Baj, в нем возникает термомагнитная неустойчивость, которая сопровождается резким увеличением температуры, разности потенциалов, коэффициента поглощения ультразвука, скачкообразным изменением магнитного момента и т.д. Результаты соответствующих экспериментов представлены на рис. 4.5, где, в частности, отчетливо видны осцилляции 114
Рис. 4.5. Зависимость от времени при наличии осцилляции и скачков магнитного пото- потока: а) коэффициента поглощения ультразвука G), температуры поверхности образ- образца B), магнитного потока, захваченного в сверхпроводнике C) [138]; б) температу- температуры поверхности образца [139] G, 2, 3 - различные условия проведения экспе- эксперимента) Е и Т, предшествующие скачку магнитного потока. Таким образом, воз- возникновение и развитие термомагнитной неустойчивости надежно фикси- фиксируется экспериментально по резкому изменению физических характерис- характеристик сверхпроводника. В серии работ [133, 140—142] скачок магнитного потока исследовался визуально по эффекту Фарадея с помощью скоростной киносъемки. Такой метод позволяет непосредственно увидеть движение магнитного потока в образце, связать фазы этого движения с изменением измеряемых вели- величин, определить скорость и форму фронта магнитного потока. Однако несмотря на значительное число экспериментальных работ, посвященных изучению термомагнитной неустойчивости в жестких сверх- сверхпроводниках, большинство полученных результатов с трудом поддаются количественному сравнению друг с другом и с соответствующей теорией. В основном, это обстоятельство связано с влиянием на устойчивость сверх- сверхпроводящего состояния нелинейной части вольт-амперной характеристики в области Е< Ef. Действительно, при определении, например, величины Bj необходимо каким-либо внешним воздействием перевести значитель- значительную часть объема сверхпроводника в режим вязкого течения магнитного потока. Следовательно, в Процессе эксперимента термомагнитную неустой- неустойчивость нужно специально инициировать [116—118]. Если такого иници- инициирующего воздействия недостаточно для создания электрического поля с напряженностью E>Ef, то условия возникновения скачка магнитного потока будут зависеть от интенсивности воздействия. При эксперименталь- экспериментальном исследовании устойчивости критического состояния вольт-амперная характеристика образца, как правило, не измеряется, не фиксируется обычно и электрическое поле Еь, на фоне которого развивается неус- неустойчивость. Во многих случаях к скачку магнитного потока приводят какие-либо случайные, неконтролируемые возмущения, тем самым вели- величина о(Еь) практически всегда остается неизвестной. Если же Еь < Ef, то о(Е) -¦*> 1/Е и от эксперимента к эксперименту о(Еь) может изменяться на несколько порядков. В результате оказываются различными условия возникновения скачков магнитного потока и их характеристики. Так, например, измеренное значение магнитного поля Baj может отличаться от Вj в меру влияния параметра г =» о(Еь) на устойчивость. 8* 115
При сопоставлении теории и эксперимента существенную трудность представляет и отсутствие, как правило, достаточно полного набора данных о свойствах исследуемых образцов (/c,/i, к ,Of,v и других). Использова- Использование же для расчетов значений параметров, найденных в других работах, не может гарантировать достаточно высокой точности, так как многие фи- физические характеристики жестких сверхпроводников ( и, в первую очередь /с>/1 >к . °f) существенно зависят от их предыстории и обработки. Подроб- Подробное обсуждение затронутых здесь вопросов, анализ имеющихся экспери- экспериментальных данных, относящихся к изучению термомагнитной неустойчи- неустойчивости, и сопоставление их с теорией можно найти в книге [118] и обзо- обзорах [116, 117]. Для теоретического исследования устойчивости сверхпроводящего состояния и динамики развития малых возмущений при зарождении тер- термомагнитной неустойчивости необходимо провести линейный анализ устой- устойчивости решений уравнения теплопроводности и системы уравнений Макс- Максвелла [78, 116-118, 136, 137, 143, 144]. В качестве уравнения критическо- критического состояния jc(T,B) воспользуемся моделью Бина, положив ]С{Т,В) = = ]с(Т,Ва). При произвольной зависимости /с от В устойчивость крити- критического состояния изучалась, например, в [116—118, 145]. Таким образом, интересующие нас распределения температуры Т и электрического поля Е определяются с помощью системы уравнений, ко- которую в рассматриваемом приближении удобно записать в виде ЪТ v{T) — =div[K(r)grad T] +JE, dt \* Э/ rot rot ? = -/х0 , D.43) bt i=~{ ic (т, ва) +/„ (т, ва,Е)). h Для линейного анализа устойчивости решений D.43) запишем их в виде Т(г, г) = Tb(r, t) + Тсе(-р) ехр(— ), U ' Uk ' D.44) Здесь Тъ и Еь — температура и напряженность электрического поля, на фо- фоне которых происходит развитие малых возмущений, в и Ё — безразмер- безразмерные малые возмущения температуры и электрического поля соответст- соответственно. Зависимость Tj, и Еь от времени обусловлена изменением внешних па- параметров (магнитного поля, транспортного тока, температуры охладителя и т.п.). Это изменение в большинстве случаев происходит гораздо медлен- медленнее, чем развитие интересующих нас малых возмущений Ти Е. В резуль- результате при исследовании устойчивости критического состояния практически всегда можно полагать Э Ть/д t = Э ЕЪ\Ъ t - 0, а температуру Тъ считать 116
однородной по сечению образца и равной температуре охладителя То. Рас- Распределение электрического поля определяется тогда с помошью стационар- стационарного уравнения Максвелла: rot rot Еь = 0. D.45) В обшем случае нахождение фоновой температуры Tj, и фонового электри- электрического поля Еъ представляет собой далеко не простую задачу, которая требует отдельного рассмотрения. ¦ Подставив D.44) в D.43), после линеаризации D.43) получим систему уравнений для определения в и ? : Хв = Ав+1, -+ -> D.46) rot rot & = X/?0e-Xr& . Здесь дифференцирование идет по безразмерной координате r/L, е = &/? — единичный вектор, направленный вдоль электрического поля, \ Система D.46), строго говоря, является квазилинейной. Действительно, в соответствии с моделью критического состояния плотность тока/ направ- направлена вдоль суммарного электрического поля Е, причем/Е> 0 (см. D.43)) . Это условие накладывает ограничения на вектор &. Так, если Еь = 0, то электрическое поле & может быть направлено лишь вдоль/ , причем/'? >Q В противном случае, малое изменение исходных параметров приводило б»л к сильной перестройке основного состояния (плотность тока / изменит свое направление сразу на конечный угол). Такая ситуация, естественно, выходит за рамки рассмотрения при линейном анализе на устойчивость. Для определения спектра собственных значений Х(/3, г) и тем самым критериев устойчивости критического состояния к системе уравнений D.46) необходимо поставить тепловые и электродинамические гранич- граничные условия. Первое из них вытекает из непрерывности плотности потока тепла на охлаждаемой поверхности проводника. В линейном по в приближении на границе образец — охладитель должно выполняться соотношение nV6 + Woe=0. D.48) Здесь Wo = (JiL /к ) Го ,ая- единичный вектор, направленный по нормали к охлаждаемой поверхности. Для определения электродинамических граничных условий необходи- необходимо, вообше говоря, найти распределение электрического поля Ea(r,t) вне проводника (считая заданным закон изменения Ba(t) при \ г I -*°°) и сшить его на поверхности образца с распределением E(r, t) внутри про- проводника. Решение такой "внешней" задачи, так же как и "внутренней", разбивается на сумму "фон" плюс "возмущение". Однако во многих случаях, как будет видно из дальнейшего, для нахождения электродинами- электродинамических граничных условий нам, фактически, не потребуется искать электри- электрическое поле вне сверхпроводника. _^ После того как получены уравнения для малых возмущений.В и t и граничные условия к ним, отыскание спектра собственных значений X 117
сводится к стандартным операциям. Решения системы D.46) 0 (r/L) и ? (r/L ) зависят от набора произвольных постоянных С,-. Подставив 0 и & в соответствующие граничные условия, получим для нахождения кон- констант Cj однородную линейную систему уравнений: i где А,¦/ — некоторые функции параметров задачи (Л,т,/3, Wo и т.д.). Ус- Условие сушеств шания нетривиального набора коэффициентов Cj(det ll/4/y 11 = 0) и определяет зависимость Х(|3, г, Wo,.. .) . Критичес- Критическое состояние неустойчиво в области значений параметров, где Re X > 0. Анализируя спектр собственных чисел X @, г, Wo,...), можно не толь- только найти критерий устойчивости сверхпроводящего состояния, но и опреде- определить инкремент нарастания термомагнитной неустойчивости, частоту и чис- число осцилляции, предшествующих скачку магнитного потока и т.д. Однако при этом остаются неопределенными амплитуда развивающихся возму- возмущений, величина разогрева, вошедший в образец магнитный поток и тому подобные характеристики. Для их определения необходимо решить нелинейную систему уравнений D.43) с соответствующими начальными и граничными условиями. Исследуем в качестве примера устойчивость сверхпроводящего состоя- состояния в плоской пластинке из жесткого сверхпроводника (см. рис. 1.12). Пусть внешнее магнитное поле параллельно поверхности образца, а фоно- фоновое электрическое поле Еь, обусловленное каким-либо внешним фактором (например, зависимостью Ва (t)) таково, что г = const < 1. В рассматриваемом случае наиболее "опасными" с точки зрения устой- устойчивости критического состояния являются одномерные возмущения в и ?, зависящие только от координаты х. Из геометрии задачи ясно также, что при В II Oz электрическое & = @, ? (х), 0) . Система D.46) в этом случае приобретает вид 0""-X(l+rH"-X(/J-XrH=O, D49) ?=Х0-0". Характерный размер задачи L положим равным полутолшине пластинки Ъ. Тогда P = lv> tK =vb2/ic, а тепловое граничное условие ЪТ D.48) переходит в соотношения Ц/О0A)+0'(О = О, И/о0(-1)-в'(-1) = О, D.50) где Wo = hb/к . В рассматриваемой геометрии магнитная индукция всюду вне образца равна Ba{t). Это означает, что на поверхности пластинки воз- мушение магнитного поля равно нулю, и. следовательно &' (±1) =0. Та- Таким образом, электродинамическое граничное условие с помощью D.49) можно записать в виде ?'(±D = (*e'-0f")L=±I = °- D-51) Во внешнем магнитном поле в пластинке могут возникать два характер- характерных распределения магнитного поля. В первом случае в критическом 118
состоянии находится весь объем сверхпроводника (см. рис. 1.12). Перепад магнитной индукции при этом максимален и равен АВ = Ва — В@) = = Вр= /J-oicb- Плотность тока на поверхности х= 0 скачком меняет направ- направление на противоположное, одновременно меняет направление и электри- электрическое поле ?.. Это означает, что если АВ = Вр, то систему уравнений D.4^) нужно независимо решать справа и слева от плоскости х = 0, а при х = 0 сшить соответствующие решения по непрерывности температуры, потока тепла и электрического поля: 0(+О) = 0(-О), 0'(+О)= 0'(-О), D.52) ?@) = 0. Во втором случае в критическом состоянии находится часть объема сверх- сверхпроводника (| х\ > 8), причем АВ < Вр (см. рис. 1.12). В области | х\ < 5 плотность тока равна нулю, следовательно, та \ отсутствует электрическое поле и тепловыделение. В результате, если АВ < Вр, то в области | • I < б система D.49) приобретает вид Л0-0" = 0, D53) На поверхности х= ±8 решения уравнений D.49) и D.53) следует сшить по непрерывности температуры, потока тепла и электрического поля: 0(±б+О) = 0(±б-О), в'(±8+0) = в'(±8-0), D.54) ?(±6) = 0. Рассмотрим в качестве примера наиболее простой случай, когда АВ = Вр. Решение уравнения D.49) для 0 (х) имеет вид В(х) = Ciexp(kix)+C2exp(-kix)+C3exp(ik2x)+C4exp(-ik2x), D.55) где к\ 2 = V Т— +Х0 ± —. D.56) ' 4 2 С помощью граничных условий D.50), D.51) и условий непрерывности D.52) можно показать, что нетривиальный набор Ct существует, если Д(А,0,т, W0) = Аа + W0Aj = 0, D.57) где Аа = -кук2(к\ +к\) cosk2 chki [Аг,(X +к\) thfc, - -кг(к\ - A)tg*2], D.58) Д, = 2klk2Ch-k2)(\+kl)-k1k2 cosk2 сЬЛ, [(Л -к2J + + (b+klJ]+(k2l-k2)(\-k2)(\+kl)sink2 shfc,. D.59) 119
20 12 -fie 0 0,2 A, 0,6 Рис. 4.6. Зависимость (Зс(т) A - Wo > 1; 2 Wu = 1; 3 - Wtt = 0) Рис. 4.7. Изменение зависимости Кг (C) по ме- мере увеличения параметра т. a) Wo Ф 0, т < 1; б) Wo = 0, т < 1 МО) Дисперсионное уравнение D.57) для определения зависимости Х(/3,г, Wo) можно решить численно и убедиться в том, что спектр собственных значе- значений Х(|3, г, Wo) имеет вид, показанный на рис. 4.3. Для иллюстрации на рис. 4.6 показана найденная путем численного расчета функция /Зс(г) при т <1 и различных Wo [80]. В области значений параметров, где | \ \ > 1, зависимость А(Х) можно разложить по степеням | X | > 1 и свести трансцендентное уравнение D.57) к алгебраическому [118] : кЗ/2 + — I -г — Woir D.60) В предельных случаях Wo > у/ \ X | ("хорошее" охлаждение) и Wo < 1 ("плохое" охлаждение) соотношение D.60) сводится к D.22) и D.18) соответственно, если положить у = 7г/2. Совпадение результатов точного расчета и качественной теории подтверждает правильность сделанных при выводе D.18) и D.22) предположений и позволяет найти численный мно- множитель 7^1. Подставив в неравенство Wo > \J\~K \ выражение D.23), определяющее \с при Wo > 1, получим критерий применимости приближе- 120
ния изотермически охлаждаемого образца в виде Wo > т из> 1. Пусть, например, т = 10~3, к = 10"' Вт/мК, Ъ ~ 10~4 м, тогда условие Wo ~ т~1/3 соответствует h ~ 104 Вт/м2К. В случае "плохого" охлаждения ( Wo < \J\ X | ) из D.60) следует, что '2 хс = 8W0Y'2 г) • 2 = A+г) Если Wo = 0, то выражения D.61) совпадают с D.19), где следует поло- положить у = 7г/2. Условием применимости соотношений D.61) является нера- неравенство Wo -4. т~, т.е. при Wo < т~ можно считать, что в процессе скачка магнитного потока образец является теплоизолированным. С ростом параметра т, как показывает анализ уравнения D.57), область положительных значений Х2 = Re X (/3) сдвигается в сторону больших /3, т.е. критическое состояние становится устойчивее. Кроме того, кривая Хг (/3) деформируется так, что величина Хс убывает (рис. 4.7). Физически это легко понять, если вспомнить о роли резистивного тока(Э/„/ЭГ v. Хт), который демпфирует возмущения с большими X ("электромагнитная" ветвь спектра), компенсируя уменьшение /с, обусловленное разогревом. Напротив, на возмущения с малыми X ("тепловая" ветвь спектра) величи- величина т влияет слабо, гораздо сильнее на их развитии сказывается теплоотвод. В случае теплоизолированного образца (И^ = 0) на кривой Х2 @) при т <\ существует точка /3@) > /Зс, в которой Х2 = 0 (см. рис. 4.7). Величи- Величина /3@) не зависит от т, и если ДВ = Вр, то /3@) = 3. По мере увеличения параметра т кривая Х2 (/3) деформируется так, что при т > тс = 1/21 вся область положительных значений Х2 оказывается правее точки /3@). После этого /Зс = /3 @) = 3 и порог устойчивости критического состояния перестает зависеть от т [143]. Аналогичные результаты могут быть получены и в случае, когда АВ < Вр. Мы не будем останавливаться на зтой ситуации подробно. Отме- Отметим лишь, что при АВ < Вр величина тс зависит от отношения b/1 = [146]: Тс ~ ~7\~\ ~> ~Г + 1 9Ъ_ _1 б\1) 7 / + 2 При малых т устойчивость критического состояния во всех случаях нарушается "быстрыми" возмущениями (I Хс| > 1). Отличие параметра т от нуля определяет в зтой ситуации лишь поправки к /Зс. Интересуясь ос- основным по т < 1 приближением, можно при расчете величины /Зс полагать т = 0. Это существенно упрощает решение задачи о нахождении критериев устойчивости критического состояния [119,147-149]. Подчеркнем только еще раз, что параметр т определяет динамику развития возмущений темпе- температуры и электромагнитного поля. В частности, в приближении т = Оотсут- 121
ствуют осцилляционные эффекты [125], а инкремент нарастания скачка магнитного потокаобращаетсяв бесконечность [143]. Таким образом, поло- положив т = 0, можно получить критерий устойчивости сверхпроводящего состояния, но нельзя исследовать динамику термомагнитной неустой- неустойчивости [117, 118]. В приближении 7 = 0 скачок магнитного потока, как уже обсуждалось, является "адиабатическим" и при его рассмотрении можно не учитывать перераспределение тепла, т.е. пренебречь теплопроводностью образца. Тогда из уравнения теплопроводности получим, что v8T= jc8E. Подставив это соотношение в соответствующее уравнение Максвелла, находим Ъ8Е 8Е-ц0о . D.62) rot rot б Е = ът Э t Возмущение электрического поля 8Е удобно, как и выше, представить в виде к(Т0)Тс JM (ХЛ D.63) о Е = — Ё I — I exp I — I. Тогда уравнение D.62) переходит в уравнение rot rot & = @ - Хт)?, D.64) где дифференцирование идет по безразмерной переменной r/L. Из качест- качественной теории и результатов точного расчета D.61) следует, что при /3 ~ 1 произведение I X | т < 1, т.е. положив т = 0, мы должны отбросить и послед- последнее слагаемое в D.64). В результате в "адиабатическом" приближении рас- распределение электрического поля Ё описывается уравнением rot rot ? = Р ?. D.65) К D.65) необходимо поставить электродинамические граничные условия D.51). Отметим, что уравнение D.65) можно получить из D.46) предель- предельным переходом т -* 0, | X | -»¦ «>, | X | т -»¦ 0. Приведенный вывод позволяет понять физический смысл сделанных допущений. Таким образом, при т < 1 устойчивость критического состояния теряет- теряется (б Г > 0), если уравнение D.65) для заданных граничных условий имеет нетривиальное решение с Рс ~ 1- В том случае, когда Рс < 1, критерий возникновения скачка магнитного потока может быть рассчитан, лишь исходя из полной системы уравнений D.46). В качестве иллюстрации получим с помощью D.65) критерий устойчи- устойчивости сверхпроводящего состояния в плоскопараллельной пластинке, находящейся в параллельном к ее поверхности внешнем магнитном поле, при АВ < Вр. Граничные условия к D.65), как уже обсуждалось выше, имеют вид (см. D.51) и D.54)) ?(±б) = ?'(±1) = 0. Решение уравнения D.65), удовлетворяющее соотношению ?(±б) = 0, 122
запишем как ?(*) = Ci, 2 sin [ у/Т(х + б)]. Подставив его в граничное условие ё'(± 1) =0, получим Рс = 4A-бJ Учитывая, что ' A -б)Ь = / = АВ Ь2/с критерий устойчивости критического состояния C < рс можно записать в виде АВ < В, = | дТ Полученное таким образом выражение для Вj, естественно, совпадает с определенным ранее как из качественных соображений, так и путем точ- точного расчета в пределе т = 0 ("адиабатическое" приближение). Найдем теперь с помощью D.65) максимальное значение транспортного тока /,„ в сверхпроводящем проводе радиуса R (см. рис. 3.6) [150]. При этом мы будем предполагать, что внешнее магнитное поле Ва (если оно не равно нулю) может входить в задачу только как параметр, определяющий плотность критического тока /с. В интересующей нас геометрии для определения критерия устойчивости критического состояния достаточно рассмотреть лишь возмущения элек- электрического поля, имеющие компоненту вдоль оси провода и не зависящие от полярного угла <р. Уравнение D.65) приобретает тогда вид &"+ — &' + /3? = 0. D.66) Здесь дифференцирование идет по безразмерной переменной г, 0 < г < 1 (см. рис. 3.6), в качестве характерного масштаба длины L выбран радиус проводаR, параметр Р = (R/RoJ, где D.67) Область сверхпроводника б < г < 1 находится в критическом состоянии, причем величина б зависит от транспортного тока и равна б = A -///,)' Г Определим граничные условия к уравнению D.66). Величина транспорт- транспортного тока в рассматриваемой задаче задается внешним источником и, по условию, постоянна. Это означает, что на поверхности проводника магнит- магнитное поле постоянно, т.е. В{1) = 0. Уравнение Максвелла rot E= —В приво- 123
1.0 0,5 Рис. 4.8. Зависимость Im/Ic от R/Ro. Расчет для провода из жесткого сверхпроводника (кри- (кривая 1); Для провода из жесткого сверхпровод- сверхпроводника, покрытого слоем нормального металла с толщиной d > dc (кривая 2) ; точки — резуль- результаты измерений для двух образцов из сплава Nb — Ti, покрытого слоем меди [153] ю дит тогда к условию /Г'A) = 0 или ? A) = 0. В области 0 < г < б электри- электрическое поле равно нулю, отсюда по непрерывности &. (г) находим, что ? (б) = 0. Решением уравнения D.66) является линейная комбинация функций Бесселя и Неймана нулевого порядка: ?(г) = С, .% C,N0(y/J r ). D.68) Подставив D.68) в граничные условия и потребовав обращения в нуль детерминанта соответствующей линейной системы, получим для определе- определения /„, трансцендентное уравнение: R \ ( 8mR\ /8mR\ I R \ Pol^lo B)^i( D.69) R0 I \ Ro ) \R0 ) \rJ R \ С помощью D.69) можно найти зависимость бт = б(/,„) от R/Ro. Разре- Разрешив затем соотношение A — Im/Ic)iJ2 = 6m (R/Ro) относительно 1т , по- получим искомую функцию Im (R/Ro), изображенную на рис. 4.8 (кривая /). В приближении 7=0, как видно из рисунка, ток /„, всегда меньше тока 1С. Этот результат нетрудно объяснить из простых физических сообра- соображений. Действительно, пусть при возникновении какого-либо возмущения скачок магнитного потока не происходит. Тогда температура образца сна- сначала увеличивается, а затем, достигнув максимального значения Ттах > То, начинает уменьшаться. Следовательно, при Т=Ттах в системе должно суще- существовать "квазиравновесное" состояние. В том случае, когда / < 1С(ТО), оно возникает в результате смещения границы области, где течет транспорт- транспортный ток. Максимальному значению температуры соответствует при этом величина Если же / = 1с(То), то положение "равновесия" отсутствует для любого ^тах > То. Это связано с тем, что в критическом состоянии уже исходно находится весь сверхпроводник. Таким образом, в приближении т = 0 при / = 1С (То) система теряет необходимую для обеспечения ее устойчивости 124
степень свободы. Если учесть, что параметр т Ф О, то максимальное значе- значение транспортного тока / может достигать величины критического то- тока /с(То)- Однако зто возможно лишь в сравнительно тонких образцах. Точный расчет, выполненный с помощью полной системы уравнений D.46) при т = const ¦<€ 1, показывает, что 1т = 1С, если [118]: D.70) Малое, но конечное значение Rm обусловлено здесь учетом резистивного тока, который (в меру отличия параметра т от нуля) компенсирует умень- уменьшение критического тока в процессе разогрева сверхпроводника. При I = 1С параметр рс = (Rm/R0J = 8 Wot/D+.W0) < 1. Именно в этой ситуа- ситуации, как уже упоминалось, устойчивость сверхпроводящего состояния мо- может быть исследована лишь с помощью полной системы уравнений D.46). В экспериментах по изучению термомагнитной неустойчивости в жестких сверхпроводниках чаще всего измеряют максимальное значение перепада магнитного поля в образце перед скачком магнитного потока, т.е. величи- величину Bj (см. D.11)). Рассмотрим подробнее зависимость Bj от температу- температуры охладителя То. В "адиабатическом" приближении (т = 0) В/ не ме- меняется при изменении условий охлаждения и, например, в случае плоско- плоскопараллельной пластинки (см. D.11), D.19), D.23), D.61)) равно Э/С D.71) Дпя большинства жестких сверхпроводников зависимости v (Т) и /с G1) с хорошей точностью описываются выражениями = {l - Т/Тс),0 . 0 "" "¦" LlL ¦ 0 2 4 6 8 tOrB,K Рис. 4.9. Зависимость Bj (Т/Т„), построенная к помощью D.72) Рис. 4.10. Экспериментально измеренные в [129) зависимости Bj (кружки) и Вр от 7. Расчет Bj(T) по формуле D.73) - сплошная линия, по формуле D.71) - штриховая 125
При этом В j можно записать в виде В, = \ v^o Tcv(Te)(T0/Tef(l - Т0/Тс). D.72) Зависимость В,(Т0) D.72) имеет характерный куполообразный вид (рис. 4.9), который является типичным для различных жестких сверхпро- сверхпроводников. Максимальная величина перепада магнитного поля в образце АВ опреде- определяется полем полного проникновения ВР(Т), т.е. АВ < ВР(Т) при всех значениях Ва. Следовательно, в области параметров, где Вр < В,-, термо- термомагнитная неустойчивость не возникает. На рис. 4.10 изображены измерен- измеренные в работе [129] зависимости В/ и Вр от температуры охладителя То. Видно, что при достижении равенства В/ = Вр скачки магнитного потока прекращаются. Величины В/ и Вр в [129] измерялись для цилиндров, изготовленных из сверхпроводящего сплава Nb — 70% Ti и помещенных во внешнее магнитное поле, параллельное оси проводников. При АВ •€ Вр в критическом состоянии находится тонкий ободок вблизи поверхности сверхпроводника и ситуация практически не отличается от случая плоского полубесконечного образца. Если же АВ ~ Вр,то для определения В/ необ- необходимо учитывать влияние геометрии эксперимента на величину В,-. В рас- рассматриваемом случае критерий устойчивости сверхпроводящего состояния в "адиабатическом" приближении нетрудно получить, воспользовавшись уравнением D.65). Элементарный расчет приводит тогда к следующему соотношению для определения В,- [ 147]: BjR \ I R \ м ( R \ I B;R \ — Ио( —)-#,[—Ы(— 1 = 0, D.73) BPRO) \R0) \R0J \BpR0/ где Вр =fiojcR; R - радиус цилиндра; Уо, Jlt No, TV, - функции Бесселя и Неймана нулевого и первого порядков соответственно. Зависимость В,(Т0), найденная с помощью уравнения D.73), изображена на рис. 4.10 сплошной линией. Там же штриховой линией показана кривая Bj(T0), пост- построенная по формуле D.71). Согласие теории и эксперимента, как видно из рисунка является здесь вполне удовлетворительным. Зависимость В/ v. vll2(T0) была подтверждена и большим числом экспе- экспериментов, выполненных на пористых образцах, изготовленных из сверхпро- сверхпроводящего соединения N b3 Sn. При затекании гелия в поры эффективная теплоемкость сверхпроводника возрастает вследствие теплообмена между гелием и материалом [119]. § 4.3. Композитные сверхпроводники (т > 1) Исследование устойчивости критического состояния в сверхпроводящих композитах мы начнем с рассмотрения простейшего случая, когда жесткий сверхпроводник покрыт слоем нормального металла толщиной d. Эта ситуация изучалась во многих экспериментальных и теоретических работах (см., например, [134,143,150— 153]). Она представляет значительный ин- 126
терес, так как сверхпроводник, находящийся в тепловом и электрическом контакте с окружающим его нормальным металлом, является основным фрагментом всех сверхпроводящих композитов. Температура и электрическое поле в сверхпроводнике описываются си- системой D.43), а в нормальном металле — уравнением теплопроводности- и уравнениями Максвелла: р„ = к„ДГ+Д, D.74) Ы 3/ rot rot?" = -/u0 — , bt где / = а„Е, индексом и обозначены величины, относящиеся к нормально- нормальному металлу. Для дальнейшего анализа Е и Т удобно представить в ви- де D.44). Тогда в линейном по ? и б приближении распределения ? и б в сверхпроводнике описываются системой D.46), а в нормальном метал- металле — уравнениями к п хе = -^ де, 1 -> D-75) rot rot ? = — Лт„ g, где т„= ЦоОпк/р = то,,/а. При выводе D.75) мы предположили, что в ис- исходном состоянии ток течет только по сверхпроводнику и, следовательно, в покрытии отсутствует линейное по &. тепловыделение. На границе нормальный металл — сверхпроводник решения уравнений D.46) и D.75) должны быть сшиты по непрерывности ?, rot ?. в и потока тепла (k,,V0 — в нормальном металле, «V6 — в сверхпроводнике). Даль- Дальнейшая процедура определения спектра собственных значений X и крите- критериев устойчивости критического состояния остается той же, что и в преды- предыдущем параграфе. Рассмотрим, прежде всего, характер развития скачка магнитного потока в жестком сверхпроводнике, покрытом слоем нормального металла, из ка- качественных соображений [118,134]. При т < 1 и Wo Ф 0, как уже обсужда- обсуждалось в предыдущих параграфах, наиболее опасными являются "быстрые" возмущения. Характерное время их нарастания f,- ~ Гк/Л < tK. С другой стороны, переменное электромагнитное поле с частотой со проникает в нор- нормальный металл лишь на глубину порядка глубины скин-слоя 6СК = = B//к0с7,гсоI/2 [18]. Подставив в зту формулу для оценки со = tjl, получим dc - 6ск(а/~ ) = L/ V^cT«- Если толщина покрытия d >dc, то нормальный металл препятствует входу или выходу магнитного потока из образца со скоростью, соответствующей скорости развития термомагнит- термомагнитной неустойчивости. Это приводит к повышению устойчивости критическо- критического состояния, но лишь до определенного предела [118, 134, 143]. Физи- Физически существование такого предела обусловлено следующим. Во всех 127
предыдущих рассуждениях мы предполагали, что в процессе развития тер- термомагнитной неустойчивости магнитный поток входит или выходит из образца. Однако скачок магнитного потока может быть связан лишь с пере- перераспределением магнитного потока в сверхпроводнике. В этом случае кри- критерий устойчивости сверхпроводящего состояния практически не зависит от толщины покрытия, если d > dc, а термомагнитная неустойчивость раз- развивается в два этапа. Сначала при неизменной величине магнитного потока происходит его "быстрое" перераспределение в сверхпроводнике. Затем Л, ( \d=0 \d2>d, магнитный поток "медленно" Рис. 4.11. Эволюция кривой Л.2 (C) при уве- увеличении d(W0 Ф 0) входит или выходит из образца. Первый процесс происходит за время порядка f/ < tK, а второй — за время, кото- которое определяется временем магнитной диффузии в нормальном металле. Экспериментально такая картина развития термомагнитной неустойчивости была обнаружена в работе [134] путем наблюдения за эволюцией распреде- распределения магнитного поля при скачке магнитного потока. Расчеты частот и инкрементов нарастания малых возмущений температу- температуры и электромагнитного поля, выполненные с помощью уравнений D.46) и D.75), подтверждают приведенные выше качественные соображения о влиянии покрытия из нормального металла на устойчивость критического состояния в жестких сверхпроводниках. Не останавливаясь на деталях вычислений (см. [118] и цитированную там литературу), приведем их основные результаты, полученные для случая плоскопараллельной пластин- пластинки толщиной 2Ь, покрытой слоем нормального металла и находящейся во внешнем магнитном поле, параллельном поверхности образца. Эволюция зависимости Х2 @) по мере увеличения толщины покрытия d при Wu Ф 0 показана на рис. 4.11. Если т <€ 1, 7Г2 т„ = и2 т a,Ja> 1, a Wu ФО, то устойчивость критического состояния нарушается "быстрыми" возмуще- возмущениями. При d > dc и Wa > 1 дисперсионное уравнение, определяющее зави- зависимость X @) в области | X | > 1, имеет вид 2 + тг4 = 0. D.76) Отсюда V Л W Л. Ж Ж. | ' ¦ 'У 00 =7Г2A-—— V \ 7Г2Т„/ Лс - 7Г СОо D.77) D.78) 128
Учитывая, что dc мы определили как dc - SCK(fK/Ас), спомощью D.77) для dc можно найти выражение [150]: Ъ V \Д b dc = — = — : . D.79) 7г"т„ тг" /иоа„к Таким образом, наличие на поверхности жесткого сверхпроводника слоя нормального металла с хорошей проводимостью (тг2т„ > 1) приводит к увеличению значения Рс от 7г2/4 (при d~ 0) до п2 (при d>dc), т.е. в че- четыре раза. Следовательно, максимальные значения перепада магнитного поля' Bj и толщины пластинки Lj возрастают в два раза. Это и есть тот предел для Bj и L, , который определяется термомагнитной неустойчи- неустойчивостью, обусловленной лишь перераспределением магнитного потока в сверхпроводнике. Отметим еще, что характерная толщина покрытия dc относительно невелика. Действительно, так как по предположению 1г2т„> 1, то dc< Ъ. Для получения критерия устойчивости сверхпроводящего состояния при d > dc и Wo Ф 0 можно воспользоваться "адиабатическим" приближением. Физически применимость его обусловлена тем, что в этих условиях термо- термомагнитная неустойчивость развивается "быстро" (Лс > 1). В "адиабатиче- "адиабатическом" приближении распределение электрического поля & (г) в процессе скачка магнитного потока определяется уравнением D.65). Так как термо- термомагнитная неустойчивость при d > dc и Хс >• 1 -связана лишь с перераспре- перераспределением магнитного потока в образце, то на поверхности сверхпроводника & = 0. Это граничное условие к D.65), в соответствии с уравнениями Максвелла, эквивалентно сохранению магнитного потока в сверх- сверхпроводнике. Найдем теперь, в качестве иллюстрации применения "адиабатического" приближения, максимальное значение транспортного тока /,„ в сверхпрово- сверхпроводящем проводе радиуса R, покрытом слоем нормального металла с толщи- толщиной d> dc [150]. Напомним, что в предыдущем параграфе мы определили зависимость /,„ (R/Ro) для случая d = 0. В рассматриваемой геометрии при определении критерия устойчивости сверхпроводящего состояния достаточно рассмотреть возмущения электри- электрического поля, имеющие лишь параллельную оси провода компоненту, кото- которая не зависит от полярного угла </>. Уравнение D.65) имеет тогда вид D.66), его решение можно записать как линейную комбинацию функ- функций Бесселя и Неймана нулевого порядка D.68). Подставив D.68) в гра- граничные условия ?(б) = ?A) = 0, получим для определения зависимости 8m(.R/Ro) трансцендентное уравнение: Зная 6m (R/Ro), с помощью соотношения 6,„ = A — I/Im)in можно найти функцию /,„ (R/Ro), изображенную на рис. 4.8 (кривая 2). Из рис. 4.8 видно, что при / = Ic ud>dc максимально допустимое значе- значение радиуса провода Rm порядка Ro. Предельным переходом б,„ ->¦ 0 9. А.Вл. Гуревич 129
(/m -> /c) из D.80) для определения /?„, нетрудно получить уравнение Jo (RjRo) = 0, откуда [150]: 2,4 До = 2, D.81) Таким образом, критическое состояние в проводе с током / = /с при d>dc устойчиво, если R < Rm ~ 2,4Ro. Сопоставление формул D.70) и D.81) показывает, что Rm (d>dc)>Rm (d = 0). Это обусловлено возникнове- возникновением в нормальном металле тока, компенсирующего уменьшение плотности критического тока при разогреве сверхпроводника в процессе развития со- соответствующих возмущений. В работе [153] экспериментально исследовалась зависимость от темпе- температуры величины /,„. Измерения проводились на проволоках, изготовлен- изготовленных из сверхпроводящего сплава Nb — Ti и покрытых слоем меди. Для ис- исследованных образцов была определена и зависимость критического тока 1С от температуры. Так как скачок магнитного потока при I - 1С впервые происходит, если R = Rm , то результаты, полученные в [153], позволяют найти величину Rm , а, следовательно, с помощью соотношения Rm ~ 2,4R0 и значение Ro. Тем самым отношение 1т/1с в этом случае можно предста- представить как функцию R/Ro без использования каких-либо подгоночных пара- параметров. На рис. 4.8 точками изображена величина /,„ /1С, рассчитанная по результатам измерений, приведенных в работе [153]. Видно, что различие между теорией и экспериментом не превышает 5 %. Перейдем к исследованию устойчивости сверхпроводящего состояния в многожильных композитных сверхпроводниках. Термомагнитные неустойчивости в таких материалах могут возникать на двух "уровнях": первый ("локальный") -- скачки магнитного потока, происходящие в од- одной или нескольких сверхпроводящих жилках одновременно; второй ("глобальный") — термомагнитная неустойчивость, развивающаяся сразу во всем проводнике. В первом случае необходимо исследовать устойчивость критического состояния в сверхпроводящей жилке, окруженной нормальным металлом матрицы. Простая оценка, которую нетрудно выполнить с помощью фор- формулы D.79), показывает, что толщина слоя нормального металла d, окру- окружающего каждую жилку, практически всегда больше dc. При d > dc "адиабатические" ("быстрые") скачки магнитного потока возникают и развиваются в различных жилках независимо друг от друга. В такой ситуа- ситуации критическое состояние в каждой из сверхпроводящих жилок компози- композита устойчиво, когда их радиус R < Rm. Отметим, что неравенство R < Rm является лишь необходимым условием устойчивости сверхпроводящего состояния в композитных сверхпроводниках. Во втором случае "локально", т.е. в каждой из сверхпроводящих жилок, критическое состояние устойчиво. Однако термомагнитная неустойчивость в таком композите может возникнуть сразу во всем образце. При ее изуче- изучении мы будем предполагать, что число сверхпроводящих жилок в попереч- поперечном сечении проводника N достаточно велико. Тогда такие величины как напряженность электрического поля, индукция магнитного поля, темпера- 130
рис. 4.12. Зависимость (Зс(т) (кривые А соответствуют Wo > 1; кривые В - W0 = l). Сплошные линии - результат точного расче- расчета; штриховые, обозначенные А. и В2. достроены с помощью D.83) и D.41); Аъ и В3 - с помощью "динамического" крите- критерия устойчивости *, 10 30 so t тура, механическое напряжение и т.д. мало меняются на расстоянии поряд- порядка расстояния между жилками. Это позволяет изучать электромагнитные, тепловые и механические процессы, протекающие в композитных сверхпро- сверхпроводниках, предварительно усреднив их физические характеристики [73, 78-80, 92]. Следовательно, если N> 1, то при исследовании устойчи- устойчивости сверхпроводящего состояния гетерогенный сверхпроводник можно рассматривать как гомогенный материал с некими эффективными значе- значениями параметров. Определить их, т.е. должным образом усреднить соответствующие физические характеристики, вообще говоря, весьма сложно. В композитных сверхпроводниках эффективные значения прово- проводимости а >, о„ ~ 109 — 10'° Ом"'-м, теплопроводности к ~ к„ ~ ~ 10 - Ю2 Вт/м • К и теплоемкости v ~ vs ~ 103 ± Ю4 Дж/м3 • К. В ре- результате, при любой напряженности фонового электрического поля т>\ [118]. Рассмотрим, для примера, устойчивость критического состояния в плос- плоской пластинке из композитного сверхпроводника (см. рис. 1.12). Пусть внешнее магнитное поле с индукцией Ва параллельно поверхности образца, а фоновое электрическое поле таково, что т = const > 1. В качестве уравне- уравнения критического состояния je(T,B) воспользуемся моделью Бина, т.е. положим jc(T,B) = ic(T,Ba). Тогда для описания термомагнитной не- неустойчивости можно применить математический аппарат, развитый в преды- предыдущем параграфе, с тем лишь отличием, что теперь нас будет интересовать зависимость X (/3) при 7^1. В случае АВ = Вр дисперсионное уравнение для определения Л (/3) имеет вид D.5 7). При произвольных Wo и т его можно решить численно и найти Л (/3) и /3t.(Wo, т) [80]. Полученные в результате таких расчетов зависи- зависимости X (/3) подобны изображенным на рис. 4.3. Соответствующая функция &. (т) показана на рис. 4.12 (кривые А\ иВ|). Видно, что при т > 1 крите- критерий устойчивости сверхпроводящего состояния существенно зависит от интенсивности теплоотвода, зто следует также и из качественных соображе- соображений. В пределе т > 1 решение D.57) можно найти и аналитически [118]. Для этого надо разложить дисперсионное уравнение D.57) по степеням I X I < 1 с учетом того, что | X | т > 1. 131
Пусть Wo > 1, тогда из D.57) находим Л3/2_Х1/27Г/ / М + Л__ = 0 D82) \ г 2/ 2ч/7 С помощью D.82) можно определить Рс, Хс, Ро и со0: „2_ ,_.Ч4/3 рс =^A + 2,2 г"), *о=(^) г"'/3, D-83) 2 C0 =^-—A+0,9т-1/3), со0=(-^) т/3 * 1,26ХС. D.84) 4 i - #- i ¦Сопоставив D.31) и D.83), легко убедиться, что результаты качественной теории и точного расчета совпадают, если положить у = 7Г2 /4. В том случае, когда И^ < 1 (но H^J" > 1), из D.57) имеем уравнение И'о 3/a_xi/a/l_ = о, которое совпадает с D.40), полученным нами из качественных сооб- соображений. Зависимость /Зс(т), построенная с помощью формул D.83) и D.41), показана на рис. 4.12 (кривые Аг и Вг, соответственно). Видно, что разли- различие между точным расчетом и выражениями D.83) и D.41) не превы- превышают 20% уже при 7 = 10* На рис. 4.12 нанесены также значения /Зс(т) в "динамическом" приближении (т > 1, Wot > 1), т.е. @с = тг2т/4 (кри- (кривая А3) и рс = Wot (кривая В3) [136]. Видно, что "динамический" крите- критерий устойчивости отличается от результата точного расчета примерно в два раза, даже если т = 50. При 7^1, как следует из D.&3) и качественной теории, характерное время развития термомагнитной неустойчивости t/ = fK/Xc = tmj\cT<tm. Условие tj < tm означает, что в "динамическом" пределе (т -> °°, Хс -* 0, Хст -* оо) нарастание малых возмущений температуры и электрического поля происходит на фоне "замороженного" магнитного потока. Это позво- позволяет существенно упростить процедуру определения критерия устойчивости сверхпроводящего состояния, если интересоваться лишь основным по т > 1 приближением @С ~ т). Действительно, если магнитный поток "заморо- "заморожен", то локальное значение плотности тока остается постоянным и, следо- следовательно, связь возмущений электрического поля ЪЕ и температуры б Г имеет вид D.30) 1 Э/, ЬЕ = -8Т. а ЪТ Для дальнейшего удобно, как и выше, представить 8Т в форме ^Мтг) D85) 132
Тогда ЬЕ = -—-0(-)ехр(— . D.86) о ЪТ \L) y\tJ Подставив D.86) в уравнение теплопроводности д8Т v = кАЬТ + js8E, dt находим, что Д0 +( - - XJ0 = 0, D.87) где дифференцирование идет по безразмерной координате r/L. В пределе 7 -*¦ оо величина | X | -> О, поэтому последнее слагаемое в D.87) должно быть отброшено. Таким образом, в "динамическом" приближении распре- распределение температуры 6{r/L) при скачке магнитного потока описывается уравнением В Ав + - в = 0. D.88) т Для определения в (r/L) к D.88) следует записать тепловые граничные ус- условия, вытекающие из непрерывности температуры и потока тепла. В част- частности, на поверхности образца должно выполняться соотношение D.48): W06 = 1: В той области композитного сверхпроводника, где нет тока, уравне- уравнение D:88) переходите следующее: Д0 = 0. D.89) Решения D.88) и D.89) должны сшиваться по непрерывности 0 и V0 на поверхности, где плотность тока / обращается в нуль. Отметим, что уравнение D.88) можно получить из системы D.46) пре- предельным переходом | X | ->¦ 0, |Х|т ->¦<», | X 10 -> °о. Приведенный вывод лишь поясняет характер процессов, протекающих при развитии термомаг- термомагнитной неустойчивости в композитных сверхпроводниках с т > 1. Таким образом, при т > 1 устойчивость критического состояния теряет- теряется F Т > 0), если уравнение D.88) для заданных граничных условий имеет нетривиальное решение [118]. В качестве иллюстрации найдем с помощью D.88) критерий устойчиво- устойчивости -сверхпроводящего состояния в плоскопараллельной пластинке компо- композитного сверхпроводника, по которому течет транспортный ток. Пусть в критическом состоянии находится весь образец, а внешнее магнитное по- поле параллельно поверхности проводника (см. рис. 1.12). Подставив реше- решение D.88) в граничные условия WO0(±1)±0*(±1) = 0, находим уравнение для определения вс: = Wo. D.90) 133
Отношение 0/т «: Ъг удобно представить в виде |3/т = b2/Rl, где D.91) Тогда, как следует из D.90), сверхпроводящее состояние устойчиво, если Ъ < bs, где Ьх = RT arctg D.92) a WT =hRTJK. Выражение для bs не зависит от распределения тока в образ- образце. Физически зто обусловлено тем, что устойчивость критического состоя- состояния при т > 1 нарушается "медленными" возмущениями (t,- > tK). Между различными областями композитного сверхпроводника успевает устано- установиться тепловой баланс и термомагнитная неустойчивость синхронно раз- развивается во всем проводнике. В результате в "динамическом" приближении устойчивость сверхпроводящего состояния определяется суммарным размером области, в которой течет ток [117, 118]. Найдем теперь с помощью уравнения D.88) максимальное значение транспортного тока /„, в проводе радиуса R, изготовленном из композит- композитного сверхпроводника с т > 1 (см. рис. 3.6). В этом случае D.88) приоб- приобретает вид в" + -в' + - в = 0, г т D.93) где 0/т = R2/Rl, а дифференцирование идет по безразмерной перемен- переменной г @ < г < 1). Решение уравнения D.93) можно записать как линей- линейную комбинацию функций Бесселя и Неймана нулевого порядка: D.94) Распределение температуры D.94) справедливо там, где / Ф 0, т.е. при г > б. В области г < S тока нет и зависимость в (г ) описывается уравне- 06 0,2 О 10 15 R/RT Рис. 4.1 3. Зависимость Im(R/RT) , рассчитанная с помощью D.96). WT > 1 Рис. 4.14. Зависимость Rm RTI (WT) , рассчитанная с помощью D.97) 134
нием D.89), которое в рассматриваемой геометрии имеет вид . в" + -в' = 0. D.95) Решением D.95), не имеющим особенности при г = 0, является в = const. Подставив D.94) в граничное условие 0'A) + W06(l) = 0 и сшив его по непрерывности б и 0' на поверхности г = б с 6 = const, можно найти уравнение для определения 5m(R/RT) = A— Im/fsI12: Зависимость lm (R/RT), рассчитанная с помощью D.96), изображена на рис. 4.13 [1L8]. Видно, что по проводу с радиусом R < Rnl можно про- пропустить ток, равный fs. Уравнение для определения Rm получается из D.96) предельным переходом Sm ->¦ 0 (/,„ -> Is). При этом следует учесть, что если бт -"О, то .У, (R8m/RT) —0, a N, (R8m/RT) -*¦«>. В ре- результате величина Rm определяется из условия обращения в нуль выраже- выражения в квадратных скобках в левой части D.96). Отсюда находим Зависимость отношения Rm/RT от WT показана на рис. 4.14. При WT > 1 из D.97) следует, что Jo (Rm/RT) = °. т.е-. Rm ^2,4RT. В том же случае, когда WT < 1, отношение Rm/RT < 1 и J, (Rm/RT) ^ Rm/2RT, a ^о (К,п/Кт) * 1- Тогда из D.97) находим, что Во многих представляющих практический интерес ситуациях физические характеристики сверхпроводящих композитов оказываются неоднородны- неоднородными в плоскости их поперечного сечения. Такая неоднородность может быть обусловлена целым рядом причин. Например, зависимостью характеристик композитного сверхпроводника от магнитного поля. Действительно, при характерных значениях радиуса провода R ~ Rm ~ 10~3 м и плотности то- тока / ~ is ~ Ю9 А/м2 собственное магнитное поле В] — n0JsR,n ~ 1 Тл, т.е. весьма велико. При В„ ^ В / оно заметно сказывается на проводи- проводимости матрицы и сверхпроводника, плотности критического тока и тд. и определяет их неоднородность. В переменном внешнем магнитном поле и при вводе транспортного тока в композитном сверхпроводнике возникает 135
неоднородное электрическое поле. Это приводит к сильной неоднородности проводимости композита в той области его поперечного сечения, где Е <; Ef и, следовательно, a v- Е~'. Неоднородность композитного сверх- сверхпроводника может быть обусловлена и его конструкцией. Таким образом, представляет значительный интерес обобщить развитую выше теорию на случай композитных сверхпроводников с неоднородными по сечению физическими характеристиками [ 154]. Для простоты мы огра- ограничимся лишь "динамическим" приближением, когда т (г) > 1 и Условие т i> 1 приводит к тому, что развитие термомагнитной неустойчи- неустойчивости происходит на фоне "замороженного" магнитного потока и, следова- следовательно, плотность тока в каждой точке композита остается постоянной. Тгхим образом, связь возмущений электрического поля 8Е и темпера- температуры б Т D.30): 1 Э/\ 8Е = -8Т, ОЪТ вытекающая из локального соотношения Э/ / Э t = 0, справедлива и в неод- неоднородных по сечению композитных сверхпроводниках. Подставив D.30) в уравнение теплопроводности, получим, что сверхпроводящее состояние становится неустойчивым, если существует нетривиальное решение стацио- стационарного уравнения [154]: ЪТ 8Т = 0. D.98) удовлетворяющее на охлаждаемой поверхности образца тепловому гранич- граничному условию: к(яУбГ) + h8T = 0. D.99) Здесь п — единичный вектор, направленный по нормали к поверхности. Кроме того, мы учли, что при т > 1 скачок магнитного потока развивается медленно. В общем случае входящие в D.98) и D.99) физические характе- характеристики композитного сверхпроводника явным образом зависят от коор- координаты, т.е. к = к (г), o=*o(r), js =/Дг) и h = h(r). Проинтегрируем теперь D.98) в плоскости поперечного сечения провод- проводника. Воспользовавшись теоремой Гаусса, получим, что если решение урав- уравнения D.98) существует, то 8TdA 0 D 100) /¦ ЪТ 8TdA = 0. Здесь в первом слагаемом интегрирование идет по периметру, а во вто- втором — по поверхности поперечного сечения образца. С помощью граничного условия D.99) соотношение D.100) сводится к следующему: / h8TdP = р л f — ° ЪТ 8TdA. D.101) 136
Характер распределения температуры бГ(г) определяется интенсив- интенсивностью теплоотвода в охладитель, т.е. величиной параметра Wo. Практи- Практически во всех представляющих интерес случаях для композитных сверх- сверхпроводников, как уже оценивалось, реализуется ситуация, когда Wo *€ 1. Это означает, что распределение температуры б Т почти однородно по сече- сечению образца и с точностью до Wo < 1 величину 8Т можно вынести из-под интегралов, входящих в соотношение D.101). В результате критерий устойчивости сверхпроводящего состояния в неоднородных композитных сверхпроводниках имеет в "динамическом" приближении вид [154] fhdP > f ьт dA. D.102) Отметим, что если проводник однороден, то D.102) переходит в со- соотношение 1A Is Oh ът 4<1. Применим теперь полученные результаты к анализу ситуации, в которой напряженность электрического поля в образце Е < Ef. Тогда вольта-ампер- вольта-амперная характеристика композитного сверхпроводника описывается выра- выражением A.47): /=7s+xs/iln(.fc7?o), а дифференциальная проводимость равна o=xshlE. Рассмотрим, для начала, в "динамическом" приближении устойчивость сверхпроводящего состояния в проводе радиусом R при однородном заполнении его транспортным током. С учетом вольт-амперной характери- характеристики A.47) величина максимального транспортного тока /,„ будет отли- отличаться от IS(TO) [43]. Однако для характерных значений параметров . различие между /„, и Is (То) при Е = const невелико (в меру малости отно- отношения hlh< О- При постоянной плотности тока электрическое поле в образце однородно и равно . . Е = Еоехр[ ). г \xsji I Пусть также WT< 1. Тогда из D.97) следует, что R-т ~ Таким образом, сверхпроводящее состояние в проводе с током устойчиво, если R < 2 D.103) 137
Неравенство D.103) при заданных R и h накладывает ограничение на вели- величину фонового электрического поля Еь [43]: Eb<E m=2xshhj{R D.104) Найдем еще фоновую температуру ТЬт = Ть(Ет) при которой возникает термомагнитная неустойчивость. Так как WT < 1, то для определения ТЬт можно воспользоваться уравнением теплового баланса ~T0), D.105) где jm -](Тьт<Ет). Подставив в D.105) выражение для электрического поля Ет и положив /„, =в /х нетрудно, с точностью до/i ljs < 1 включитель- включительно, найти величину ТЬт: ьт -То + h ч ът D.106) Из D.106) видно, что отличие Tbm от То мало. Действительно, так как I bjslbT\~jsl(Jc - Го),то ТЬт - То ~(ГС - To)hlh<Tc - То. Зная Еп1 и ТЬт, можно определить различие между предельным значе- значением максимального транспортного тока /,„ и Is (То) - Подставим для этого выражения D.104) и D.106) в вольт-амперную характеристику композитного сверхпроводника A.47),представив предварительноjs(Tbm) в виде аТып) = Js(To) + (Tbm ~To)~ = js(To) ~/,. D.107) 01 В результате, находим, что J ^ |)J D.108) где /, = ixR2ji. Оценим Е,„ и разность/,,, — IS(TO) при характерных для композитных сверхпроводников значениях параметров. Так, если | dfs/dT | = fs/(Tc - То), А = 109А/м2, Тс - То = 5 К,/, /js = 10,xs = 0,5, R = 2 • 10 м, Ео = 10~4 В/м и h= 102 Вт/м2 K, to ?¦„, = 2,5 ¦ 10~s В/м = 0,25 Eo, a /m - IS(TO) = = - 0,024Is(To)<Is(To). Получим критерий устойчивости сверхпроводящего состояния в компо- композитных сверхпроводниках для случая, когда электрическое поле неодно- неоднородно по сечению проводника, а ?"<?/. Такая ситуация осуществляется, например, в переменном внешнем магнитном поле, при вводе и выводе транспортного тока и т.д. Пусть также WT < 1. Подставив тогда в неравенст- неравенство D.102) выражение для дифференциальной проводимости o = xsfl/E, находим критерий устойчивости в "динамическом" приближении: А ЗА ! /?¦— -L d4</AdP. D.109) л xs/i ЭГ I p 138
При постоянных xs,/i ,js и Л условие D.109) переходите [154]: 1 hP (Е)=- fEdA <Em = — D.110) Таким образом, сверхпроводящее состояние в композитном сверхпровод- сверхпроводнике устойчиво, если среднее по его поперечному сечению электрическое поле меньше Ет. Величина Ет, как видно из D.110), определяется физи- физическими характеристиками образца и условиями его охлаждения. Отметим, что критерии D.109) и D.110) применимы к анализу устой- устойчивости критического состояния в композитных сверхпроводниках как со скрученными, так и с транспонированными сверхпроводящими жилками. Действительно, при выводе неравенства D.109), по существу, использова- использовалось лишь локальное соотношение Э//Эг = 0. Условие же Э//ЭГ = 0 при т > 1 справедливо для композитных сверхпроводников с произвольной микро- микроструктурой. Таким образом, скрутка или транспонирование сверхпрово- сверхпроводящих жилок сказываются на устойчивости критического состояния в меру того, насколько они влияют на среднее значение фонового электрического поля. § 4.4. Ограниченные скачки магнитного потока в жестких сверхпроводниках В том случае, когда параметр A попадает в интервал /30 < & < Рс (где ~Kt = lm X Ф 0, Х2 = Re X > 0), а начальное возмущение электрического поля б?о >ЕЬ, в образце могут наблюдаться ограниченные скачки магнитного потока [125]. Тепловыделение в процессе их развития относительно мало и не приводит к переходу сверхпроводника в нормальное состояние. Это позволяет исследовать1 такую ситуацию с помощью линеаризованной систе- системы уравнений Максвелла и теплопроводности D.46), если, конечно, макси- максимальная величина изменения температуры сверхпроводника б Т < Тс — То [130]. Ограниченные скачки магнитного потока, по-видимому, могут быть обусловлены и нелинейными эффектами, проявляющимися при достаточ- достаточно сильном разогреве образца. Однако в настоящее время теоретически этот вопрос не исследовался. Рассмотрим достаточно массивную плоскопараллельную пластинку из жесткого сверхпроводника толщиной 2Ь, помещенную во внешнее магнит- магнитное поле Ba(t), параллельное ее поверхности (см. рис. 1.8). Пусть -Ba(t) меняется столь медленно, что разогрев образца, даже в условиях слабого охлаждения, не существен, а индуцированное движением магнитного потока фоновое электрическое поле Еь — ЪВа меньше ?0 = Ю В/м (](Е0) = jc). Тогда дифференциальная проводимость сверхпроводника о удовлетворяет неравенству a(Eb)>Of. Предположим, для определенности, что начальное возмущение, инициирующее ограниченный скачок магнитного потока, обусловлено резким изменением внешнего магнитного поля на величину бВа в момент времени t0. Пусть также 5Ва <Ba{t), а длительность затра- затравочного импульса бг {ЬВа = Ba(t0 + бf) - Ba(t0)) мала: 8t< tm = nob2of. bBalbt>Ba. 139
В том случае, когда значения 8Ва и 8BJ81 достаточно велики, в образце за время порядка tm устанавливается режим вязкого течения магнитного потока. Это позволяет оценить напряженность электрического поля в сверх- сверхпроводнике как Е ~ SBab/tm. Учитывая, что вязкое течение магнитного по- потока имеет место, если Е > ?у, получим ограничение на величину 8Ва в виде 8Ва> роЪогЕт. D.111) Интересующий нас процесс развития возмущений температуры и элек- электрического поля, инициированных резким изменением внешнего магнитно- магнитного поля, в рамках сделанных предположений описывается линеаризованной системой уравнений Максвелла и теплопроводности. Для их решения необходимо сформулировать тепловые и электродинамические граничные условия на поверхности сверхпроводника. Рассмотрим простейшую ситуа- ситуацию, когда образец теплоизолирован, т.е. Т'(± Ь) = О.'Так как при t <to и t >t0 + fit скорость изменения внешнего магнитного поля Ва мала, а бг < tm < tj < tK, то из уравнения Максвелла гоХЕ = —В с нужной нам точ- точностью следует, что Е'{± b)=8Ba8(t - t0), где б (г) - дельта-функция. Сформулированная таким образом задача позволяет продемонстриро- продемонстрировать все качественные особенности ограниченных скачков магнитного пото- потока, сопровождающихся относительно небольшим разогревом 8Т<ТС. — То- Обобщение ее приводит, в основном, только к возрастанию вычислитель- вычислительных трудностей. Кроме того, такая постановка задачи встречается во мно- многих экспериментах по исследованию устойчивости критического состояния в жестких сверхпроводниках (см., например, [118] и цитированную там литературу). При сформулированных граничных условиях систему уравнений D.46), описывающую развитие малых возмущений температуры и электрического поля, нетрудно решить, воспользовавшись преобразованием Лапласа. Не останавливаясь на деталях достаточно громоздких вычислений, приведем лишь результат соответствующих расчетов для Е{± Ь) и Т(± Ь) [130]: Е(±Ь)= 2ЬВ„8Ва ( Е—-t Batm \ coscor+ 7о an соф1'» / 1'»' со 2Bl8Ba T(±b)=T0+—?— sin cof D.112) D.113) где Jo 4rm\Ba/ \ ВаГ Bi = 7 Э/, 1/2 D.114) D.115) В формулах D. 112), D.113) время отсчитывается от момента t0, а в 149
Е(±Ь),праизВ.сд. Е(Я),лрпизв.ед. 1 г.пратШ 0 25 t,1D 3c а о Рис. 4.15. Зависимость напряженности электрического поля на поверхности образца от времени (Ва = 0.37 Тл G); 0.34 Тл B); 0.32 Тл (i); 0.3 Тл D): 0.275 Тл E)): а) расчет но формуле D112); б) эксперимент [129] D.112) - D.115) Вр=ДрGо), В,=В;(Т0), v=v{T0),tm = tm(T0,of), r = = тGЬ.оу), Ba=Ba(to)¦ Кроме того, при выводе соотношений D.112) и D.113) предполагалось, что Д# = Ва,т.е.В@) = 0. Выражения D.112) и D.113) справедливы, если сверхпроводник нахо- находится в режиме вязкого течения магнитного потока, т.е. в области значений параметров, где E~>Ef. Пусть, для простоты, bBpbBJBatm > Ef, тогда электрическое поле и температура на поверхности образца описываются формулами D.112) и D.113) практически вплоть до обращения Е(± Ь) в нуль. Зависимость величины Е(± Ь) от времени для различных значений #fl изображена на рис. 4.15. С помощью выражения D.112) можно полу- получить, что электрическое поле на поверхности сверхпроводника максималь- максимально при t = 0 (если Ва <Bj) и при (> 0 (если Ва > Bf). В момент времени ti, когда Е{± Ь) обращается в нуль, величина Т(± Ь) достигает своего макси- максимального значения 7*тах. Выпишем здесь выражения для ?, и 7*тах в явном виде: = arctg(co/1 7o I ), 8 ВаЬВа Г |7о1 со 1 = То + ~j~j= ехр arctg- , я"* у/т iiov l со l7olJ со cor, = it — arctg — , 7о 8 ВаЪВа Г7о/ со\1 = То + -г-р ехр — (п - arctg—I . ¦п \1т iiov Leo \ 7о'J D.116) Ba>Bh D.117) 141
Вспомним теперь, что при ?"<?у дифференциальная проводимость сверхпроводника тем больше, чем меньше напряженность электрического поля Е. В результате, по мере уменьшения Е величина ро[т(Е)] растет (т «* Е~1), и начиная с некоторого значения Е параметр 0 попадает в область Р<Ро[т(¦?')]¦ При /?</?о возмущения электрического поля быстро затуха- затухают (за время порядка tm < t/~ ti). Таким образом, в рамках сделанных предположений, скачок магнитного потока остановится при t~tl. В этот момент возмущение электрического поля, инициированное резким изме- изменением внешнего магнитного поля при t = О, обращается в нуль, а темпера- температура образца начинает медленно (за время порядка tK > t/ ~ /4) релаксиро- вать к своему "равновесному" значению Ть. МагнитнЬш поток ДФ, вошедший в сверхпроводник в процессе ограни- ограниченного скачка потока, равен ДФ =Ly fdt fE'(x) dx = 2Ly f* E(b)dt. D.118) о -л '0 Подставив в D.118) выражение D.112) для E(b), нетрудно найти, что при Ba>Bj [130] \6bLy ЬВаВа Г7о/ ол\1 ДФ = -—^ —~- ехр —(я - arctg—) . D.119) В случае полного скачка магнитного потока, когда во всем образце устанавливается постоянное магнитное поле, равное Ва, величина ДФ максимальна: АФтлх=ЬуЬ-*-BВр-Ва). D.120) Вр Зависимости АФ(Ва) и АТ,„(Ва)= Гтах - То, построенные с помощью формул D.119) и D.117), изображены на рис. 4.16 при различных То. Численные значения параметров, входящих в выражения D.119) и D.117), соответствуют эксперименту [129]. В области применимости линейной теории кривые АФ(Ва) и АТт(Ва) нанесены сплошными линиями, штри- штриховые — их экстраполяция в область, где, строго говоря, необходим учет не- нелинейных эффектов. На рис. 4.16.Д штрихпунктиром показана зависимость максимально возможной величины магнитного потока ДФтах от индукции внешнего магнитного поля Ва. В работе [129] изучались ограниченные скачки магнитного потока в цилиндрах, изготовленных из сверхпроводящего сплава Nb - Ti, во внеш- внешнем магнитном поле, параллельном оси образцов. Неустойчивость сверхпро- сверхпроводящего состояния инициировалась резким изменением величины Ва в некоторый момент времени. На рис. 4.15, 4.16 представлены измеренные в [129] зависимости E(R, r), АФ(Ва) и ATm(R, Ba). Видно, что качественно они хорошо коррелируют с аналогичными величинами, рассчитанными теоретически для случая плоскопараллельной пластинки. Найти точное аналитическое решение задачи о развитии ограниченного скачка магнитного потока для цилиндра в продольном внешнем магнитном поле не представ- представляется возможным. В работе [130], однако, показано, что по порядку величины согласие между экспериментом и теорией удается получить, если 142
АФ,произВ.ед. to АФ,произВ.еВ. л-J х-5 4 ?а,Ю-'Ъ А-3 • - ч х- 5 4 Ва,Ю~'Ъ А А Л А.? Д «х Л л • д А • • v А « А . Л А Ва,10~1Ъ * BaJO~1li\ Рис. 4.16. Зависимости ДФ и АТт от Ва. Расчет: а) по формуле D.119); в) по фор- формуле D.117). Эксперимент (биг) [129] при То =1,69 К (/); 2,88 К B); 3,5 К (i); 4,5 К D); 5,16 К E) подставить в выражения D.112), D.117) и D.119) значения частоты со и инкремента нарастания неустойчивости у0, соответствующие геометрии образцов. Последнее обстоятельство является существенным, так как величины-ЁЧ^?, ?), АФ(Ва) и ATm(R, Ba) зависят от со и 7о экспоненциаль- экспоненциально, т.е. весьма сильно. § 4.5. Токонесущая способность композитных сверхпроводников Токонесущая способность композитного сверхпроводника определяется максимальным значением транспортного тока Im, которое может быть достигнуто при вводе тока в проводник. В "динамическом" приближении величину Im нетрудно найти с помощью критерия устойчивости сверхпрово- сверхпроводящего состояния D.110). Рассмотрим простейший случай, когда провод радиусом R из скрученного композитного сверхпроводника находится в постоянном внешнем магнитном поле, перпендикулярном оси образца [154]. Пусть также в начальный момент времени транспортный ток в про- проводнике отсутствует, а затем он начинает нарастать с заданной скоростью /. 143
Из критерия D.110) следует, что для определения /,„ нужно, прежде всего, найти распределение электрического поля в образце. В начальный момент времени магнитное поле в скрученном композитном сверхпровод- сверхпроводнике однородно и равно Ва. Следовательно, при заданном значении / ток течет в области б<г<1 (см. рис. 3.6). Зависимость б(/) определяется тогда с помощью соотношения I(t)=2nR2 fj(r)rdr. D.121) е Так как/ «= js, то из D.121) находим, что б2 = 1 — I/Is. В рассматриваемой геометрии задачи электрическое поле Е имеет только компоненту, направ- направленную вдоль оси провода. Величина Е(г) удовлетворяет уравнению dE iiol I — =—-> 5<г<1. D.122) dr /.nR r Учитывая, что .С(б) = 0, из D.122) находим искомое распределение Е{г): Mo Е(г)= In-, 5<г<1. D.123) 27Г б С помощью D.123) можно определить среднее значение напряженности электрического поля: <?•>=—/rln-dr=-— In5+-(l -б2) . D.124) Подставив в D.124) выражение для б (/), получим окончательно <?¦>=-— [i + ln(l -/)], D.125) iuei = I/ls. Воспользовавшись критерием устойчивости сверхпроводящего состояния D.110), находим уравнение для определения im = Im/Is [154] : /„, + In A - im) + а-э'фф = 0. D.126) Здесь параметр аЭфф есть «эфф: 8nhxsj\ ът D.127) Зависимость /„, (аэ'фф) показана на рис. 4.17 сплошной линией. С помощью уравнения D.126) можно найти явные выражения для 'т(аэфф) в двух предельных случаях: аЭфф> 1 иаэфф^ 1. Действительно, если аэфф > 1 (слабое охлаждение, большие плотности критического тока итд.),то im < 1 и,следовательно, »т=B/вэфф)/2 D.128) При аэфф < 1 величина im = 1 @ < 1 — /„, < 1) и /„, = 1 -ехр(- 1 - о-'фф). D.129) 144
XXX Х- и 1,0 0,9 0,8 0,7i в Д А i Л7 15 6 30 40 Рис. 4.17. Зависимосты'/П(аэфф). Сплошная линия - теория [154]; точки- экспери- эксперимент для различных образцов и внешних условий [49,155] ,Из формулы D.129), в частности, следует, что отличие значения im от 1 не превышает 1 % уже для аэфф < 0,28. Таким образом, в "динамическом" приближении отношение Im/Is для провода из скрученного композитного сверхпроводника является функци- функцией одной переменной аэфф. Оценим параметр аЭфф и максимальный транс- транспортный ток /,„ для характерных значений величин, входящих в D.127). Положим \djslbT\=jsl(Tc-To),js=W9 А/м2,Гс-Г0 = 5К,/i//s = 1(Г2, xs = 0,5, И = 102 Вт/м2 • K,R = 2 • 10 м,/= 102 А/с. Тогда, как следует из D.127) и D.126), аЭфф = °А а 1т " °-97 4- Если же, например, увеличить радиус провода до R =. 5 • 10~* м, то при прежних значениях остальных пара- параметров аЭфф = 1, а 1т = 0,84/j. Приведенные оценки показывают, что в тех случаях, когда устойчивость сверхпроводящего состояния нарушается малыми возмущениями, величина /,„, как правило, порядка Is. 10. А.Вл. Гуревич 145
1,0 0,5 Ь^.тЧЫ2 Рис. 4.18. Зависимость /,„ (Ва)/п R2. Тео- Теория - сплошная и штриховая линии; эксперимент - точки [49] \ •ч о г 4 sa,in В работах [49, 155] проведено детальное экспериментальное исследова- исследование токонесущей способности для большого числа различных композитных сверхпроводников. При этом, кроме /„,, измерялись все величины, необхо- необходимые для расчета параметра аЭфф. Экспериментальные данные, получен- полученные в [49, 155], представлены на рис. 4.17, где значения переменной аЭфф вычислялись без использования подгоночных параметров. Там же сплош- сплошными линиями изображены кривые 'т(а~эфф)> рассчитанные с помощью уравнения D.126). Расхождение между теорией и экспериментом, как видно из рис. 4.17, не превышает 10%. Измерения, выполненные в [49, 155], проводились для композитных сверхпроводников с числом сверх- сверхпроводящих жилок от 6 до 18 000 во внешнем магнитном поле с индукцией вплоть до 6 Тл. При этом в широких пределах изменялись такие величины как скорость ввода тока в проводник, коэффициент теплоотвода, состав и проводимость матрицы нормального металла. Уравнение D.126) получено с помощью критерия устойчивости D.110) и, следовательно, справедливо для однородного композитного сверхпро- сверхпроводника. В частности, это означает, что для количественных расчетов соот- соотношение D.126) можно использовать, если Ва >Bj где Bj = fjL0II2irR — индукция магнитного поля, созданного током / на поверхности провода. Действительно, при Ва KB] магнитное поле заметно меняется по сечению образца и связанная с этим неоднородность физических характеристик композитного сверхпроводника становится существенной. На рис. 4.18 изображена зависимость плотности тока /ш/7г/?2 от Ва, рассчитанная с помощью уравнения D.126). При Ba>Bj~- 0,5 Тл соот- соответствующая кривая показана сплошной линией, а при Ва<. В}— штрихо- штриховой. Точками на рис. 4.18 нанесены экспериментальные данные {49]. Видно, что теория и эксперимент находятся в хорошем согласии вплоть до Ва ~ ВГ1Л совпадают по порядку величины при Ва < Bj. Во многих представляющих практический интерес случаях одновременно с увеличением транспортного тока растет и внешнее магнитное поле, пер- перпендикулярное оси образца. Аналитически рассчитать величину <?> в общем виде в такой ситуации не удается. Однако, это удается сделать, например, для провода из скрученного многожильного композитного сверхпроводни- сверхпроводника, если толщина насыщенной зоны a{t) мала, т.е. а(г)^7? или тоВа <^ Вр (см. главу 3). Пусть также, для простоты, выполняются неравенства то1 <1, т0Ва < В,п и Ui>J<2nRBa. Тогда зависимость /,„(/, Ва) 146
описывается уравнением: &RBa l.5im-l+(l-imK12 im + InA _ im ) - — -j -—— + oQ = o. D.130) Из D.130) видно, что изменение внешнего магнитного поля может сущест- существенно влиять на токонесущую способность сверхпроводящего композита, если Ва ^ ifjLvI/&R. Положим для оценки R = 10~3 м, / = 10 А/с, тогда величина Зцо11Ш *4,7 ¦ 10 Тл/с. § 4.6. Термомеханическая неустойчивость пластического течения композитных сверхпроводников При использовании в различных технических устройствах и при экспе- экспериментальных исследованиях композитных сверхпроводников, в них могут; возникать большие механические напряжения. Рассмотрим, напри- например, виток провода радиусом Rb с током /, находящийся во внешнем магнитном поле Ва, перпендикулярном плоскости витка (рис. 4.19). В этом случае на элемент дуги проводника длиной dl=Rbdy действует пондеромоторная сила dFr=IBaRbdip. Она направлена по радиусу витка и создает растягивающее или сжимающее его усилие F^ = IBaRb. Механи- Механическое напряжение, обусловленное наличием силы F^, равно o=jBaRb, где /' = I/itR2 , R — радиус провода. Для численной оценки а положим / ~ is = Ю9 А/м2 и Ва =5 Тл. Тогда уже при Rb= 0,05 м мы получим, что а=2,5-108 Н/м2. Эта величина превышает предел текучести меди и по порядку близка к пределу текучести сверхпроводящих сплавов Nb— Ti и интерметаллидов из группы А15. Большие механические напряжения возникают в композитных сверхпроводниках не только в результате действия по ндеро моторных сил. Они могут быть связаны, например, с различием в коэффициентах теплового расширения сверхпроводника и нормального металла, наличием изгибов провода и т.п. Таким образом, изучая устойчивость сверхпроводящего состояния, необходимо рассмотреть и такую ситуацию, когда сверхпроводник нахо- находится под действием больших механических напряжений. Возникающее при этом пластическое течение материала в определенных условиях ста- становится неустойчивым и сопровождается скачками пластической дефор- Рис. 4.19. Виток провода с током / во внешнем магнитном поле Ва, перпендикулярном плоскости витка 10* 147 х
5% Рис. 4.20. Зависимость а(е) для двух композитов из сплава Nb — Ti и меди: с) То = = 4,2 К G); 22 К B); 77,3 К C); 300 К D); б) То =4,2 К (/); 77,3 К B); 300 К (i) (концентрация сверхпроводника в этом случае относительно мала) [ 70] мации. Такая неустойчивость может стимулировать переход сверхпровод- сверхпроводника в нормальное состояние. По этой причине рассмотрим условия возник- возникновения скачков пластической деформации. Характерная для низкотемпературного пластического течения металлов термомеханическая неустойчивость впервые была обнаружена эксперимен- экспериментально в работе [156]. Она сопровождается значительным тепловыделе- тепловыделением и скачками пластической деформации. В настоящее врем^ исследо- исследованию термомеханической неустойчивости посвящена обширная литература (см., например, [70, 156-166]). Теоретически устойчивость пластического течения металлов исследовалась как на основе изучения динамики движе- движения дислокаций [157], так и на основе макроскопического описания [158, 160]. Типичные зависимости механического напряжения а от деформации е при наличии термомеханической неустойчивости показаны на рис. 4.20 [70]. Приведенные экспериментальные данные относятся к образцу, пред- представлявшему собой композитный сверхпроводник со сверхпроводящими жилками из сплава Nb—Ti в медной матрице. Видно, что термомеханичес- термомеханическая неустойчивость возникает в области низких температур G*< 10 К) при значительных механических напряжениях и может произойти как сразу после упругого или почти упругого деформирования (рис. 4.20, а), так и после участка устойчивого пластического течения материала (рис. 4.20, б) ¦ Обычно скачки пластической деформации происходят вплоть до разруше- разрушения образца. Однако возможна и ситуация, когда они вновь сменяются устойчивым пластическим течением материала (рис. 4.20, б). Амплитуда скачка механического напряжения при скачке пластической деформации достигает величины порядка 108 Н/м2, а локальный разогрев образца может составлять десятки градусов [156]. С точки зрения устойчивости сверхпроводящего состояния термомехани- термомеханическая неустойчивость представляет собой опасность по целому ряду при- причин. Во-первых, скачок пластической деформации, сопровождаясь сильным 148
тепловыделением, может непосредственно приводить к переходу сверхпро- сверхпроводника в нормальное состояние. Во-вторых, он может послужить затрав- затравкой для возникновения скачка магнитного потока. В-третьих, взаимодейст- взаимодействие скачков магнитного потока и пластической деформации может привес- привести к появлению коллективной неустойчивости [167], когда сверхпровод- сверхпроводник, находящийся в критическом состоянии, подвергается пластическому деформирования. Важно, что такая коллективная термомагнитомеханичес- кая неустойчивость, вообще говоря, существует и в той области парамет- параметров, где каждая из упомянутых тепловых неустойчивостей не возникает. Получим критерий появления термомеханической неустойчивости из качественных соображений [117, 118]. Представив ев виде суммы упругой ее и пластической ер деформаций, можно записать удельную мощ- мощность диссипации энергии при деформировании как D.131) где 7Р — множитель порядка единицы. Скорость пластической деформации ёр будем вычислять с помощью макроскопического уравнения [168, 169] бр=€рG\0,бр). D.132) Величина ер, как правило, растет с увеличением температуры (термическое разупрочнение материалов) и убывает с увеличением ер (деформационное упрочнение материалов), т.е. Эёр/Э7*> 0, а bepjbep < 0. Пусть при наличии пластического течения в некоторой области образца по той или иной причине температура возросла на ЬТ. Это изменение темпе- температуры приводит к увеличению скорости пластической деформации. В ре- результате удельная мощность тепловыделения Q возрастет на величи- величину 5 Q, где ЬО = Ура^гЬТ. D.133) Пластическое течение материала будет устойчиво, если 8Q не превышает отводимого в охладитель потока тепла. Рассмотрим теперь два предельных случая: хорошее (Wo > 1) и плохое (Wo < 1) охлаждение образца. При Wo ^ 1 удельная мощность теплоотвода в охладитель W лимитируется теплопроводностью материала. Величина W= -к AT может быть здесь оцененакак | W\ ~ kST/L2 . Тогда критерий устойчивости пластического течения 5 Q < И7 имеет вид La Эеп ?< <4134) > !? где 7 — число порядка единицы, точное значение которого определяется геометрией задачи. При Wo < 1 поток тепла из образца лимитируется тепло- отводом в охладитель. В этом случае пластическое течение устойчиво, если L5Q< Й57\или La Эб„ В дальнейшем мы будем интересоваться, в основном, термомеханичес- термомеханической и термомагнитной неустойчивостями в композитных сверхпроводни- 149
ках, для которых практически всегда реализуется случай плохого охлажде- охлаждения, т.е. Wv < 1. Оценим с помощью критерия D.135) характерную величи- величину механического напряжения в тот момент, когда возникают скачки пластической деформации при WO<1. Типичное значение производной Эбр/ЭГ порядка 10~2 К с [169]. Положив, для оценки, L ~ 10"' м и Л ~ 103 Вт/м2 -К, находим, что а~ 10к Н/м2, как этой наблюдается в эксперименте. Приступим к точному решению задачи об определении критерия устой- устойчивости пластического течения материала [158. 159]. Дня этого необхо- необходимо провести линейный анализ устойчивости решений системы уравнений теплопроводности и пластического деформирования D.132). Схематичес- Схематически такой подход полностью аналогичен развитому выше при исследовании устойчивости критического состояния. Нелинейная стадия скачка пласти- пластической деформации изучалась, в основном, только путем численных расче- расчетов и лишь в тех ситуациях, когда уравнение теплопроводности можно заменить уравнением теплового баланса [160-162] (соответствующие результаты приведены также в книге [118]). Развитие малых возмущений температуры 57* и пластической деформа- деформации 5бр описывается уравнениями: Эё„ D.136) -JL бе„. Р ЪТ Ъер Р Решение системы D.136) будем искать в стандартном вице: 5Г= T06(rlL)exp(Xt/rK), 5ep=e0(r/Z.)exp(Xf/fK). Исключив из D.136) функцию eo(r/L), находим уравнение для опреде- определения 6(r/L) : ат - X - Хе Д0+Х 0=0, D.138) Х+Хе где # ( Ъер D-140) Величина ат аналогична параметру Р и характеризует спонтанный разо- разогрев материала, вызванный малым внешним воздействием. Для определения спектра собственных значений Х(аг. Хе) к D.138) необходимо поставить тепловые граничные условия D.48) . Найдем с помощью D.138) критерий устойчивости пластического тече- течения и инкремент нарастания скачка пластической деформации, например, для провода радиуса R при Wo <1. В том случае, когда механическое ISO
напряжение а приложено вдоль оси образца, уравнение D.138) имеет вид в" +— в'+к2в = 0, D.141) г где дифференцирование идет по безразмерной координате г @<г< 1), а хе +х В качестве характерного масштаба L мы выбрали здесь радиус провода R. Решением уравнения D.141), не имеющем особенности при г = О, явля- является функция Бесселя нулевого порядка, т.е. в = С-Уо(кг). Подставив это выражение в тепловое граничное условие D.48), находим соотношение для определения спектра собственных значений: Wo Jo(*)-* .У,(*) = 0. D.142) При Wu < 1 величина к < 1 и из D.142) следует, что к2 ^2^ или X2 -Х(аг-А? -2W0) + 2Wo\=0. D.143) Таким образом, зависимость X от Хе, ат и Wv имеет вид А = - (a7- - Xf - 2 Wo) ± У- (а7 - Хг - 2 WvJ - 2ХС W». D.144) 2 4 При И7,, < 1 выражение D.144) позволяет получить критерий устойчивости пластического течения (ReX < 0) в форме <*r<2Wo+Xe, D.145) или в размерном виде Ro Эе" Rv е < 2 + — ЪТ h Ъе р Ъер D.146) Условие D.146) совпадает с аналогичным D.135), найденным из качест- качественных соображений, если положить -у = 2, а Ъер1Ъер = 0. Это и естественно, так как при выводе критерия D.135) мы, для простоты, не учитьюали деформационного упрочнения материала. Неравенство D.146) показывает, что скачки пластической деформации демпфируются двумя механизмами. Первый из них — теплоогвод в охлади- охладитель, а второй - деформационное упрочнение материала. Влияние каждого из этих механизмов на устойчивость пластического течения нетрудно понять из физических соображений. Действительно, чем интенсивнее теплоогвод, тем Меньше разогрев образца и, следовательно, скорость пластической ЪТ I деформации е„( > 0 I. Наличие деформационного упрочнения при- \ЪТ 1 водит к тому же эффекту (так как Эбр/Эбр < 0). В результате оба перечис- перечисленных механизма снижают мощность тепловыделения Q в процессе разви- развития той или иной флуктуации, т.е. демпфируют термомеханическую не- устойчивость. 151
Характерное время развития малых возмущений температуры и пласти- пластической деформации tp = tK/\M определяется величиной -|Х|. На пороге устойчивости пластического течения (aT = 2W0 + Хе)|Х| .x^2W0\e, т.е. tp = tKl\l2W0\e. Оценки показывают, что для интересующих нас композит- композитных материалов величина Хе < 1. Следовательно, если Wo < 1, то tp ^ tK и термомеханическая неустойчивость является медленной тепловой не- неустойчивостью. Вьщелившееся в процессе ее развития тепло успевает пере- перераспределяться по образцу и, таким образом, ск.шок пластической дефор- деформации происходит практически в однородно нагретом материале. В этом случае для определения температуры можно воспользоваться уравнением теплового баланса vT=ypoep--r (Г-Го). D.147) Отсюда, в частности, следует-критерий устойчивости пластического течения при произвольных Р и А : а А Эё„ ' h Р ЪТ § 4.7. Термомагнитомеханическая неустойчивость, тренировка сверхпроводников Рассмотрим термомагнитомеханическую неустойчивость, обусловленную одновременным развитием стимулирующих друг друга скачков магнитного потока и пластической деформации [167]. Взаимодействие этих процессов будет достаточно эффективным, если характерные времена нарастания термомагнитной и термомеханической неустойчивостей /у, /р^?*. Такая ситуация является типичной для сверхпроводящих композитов. Определение критерия устойчивости критического состояния в пласти- пластически деформируемом сверхпроводнике или, что одно и то же, критерия устойчивости пластического течения сверхпроводника, находящегося в критическом состоянии является, вообще говоря, весьма громоздкой в математическом отношении задачей [118, 170-173]. Для краткости, ограничимся рассмотрением термомагнитомеханической неустойчивости в композитных сверхпроводниках в типичной для них ситуации, когда выполнены условия применимости "динамического" приближения (т > 1, Wot > 1) и, кроме того, Хе < Wo[ < — I. Этот пример позволяет \ Ъер vL I понять характер физических процессов, протекающих при совместном развитии "медленных" скачков магнитного потока и пластической де- деформации. С другой стороны, он представляет наибольший интерес с прикладной точки зрения. В "динамическом" приближении связь возмущений электрического поля ЪЕ и температуры 57* имеет вид D.30) : 1 ЬЕ= - а 152 Э/, 5 Г.
Так как по предположению Хе < Wo, то из D.136) следует, что р ът Подставив выражения для ЬЕ и бёр в уравнение теплопроводности: получим для определения температуры 57* уравнение 1 ът Эё, p 5 Т. D.148) В области, где плотность тока/ = 0, величину/s в D.148) следует положить равной нулю. При выводе уравнения D.148) мы воспользовались соотношением между возмущениями ЬЕ и ЪТ, справедливом в "динамическом" прибли- приближении, т.е. в пределе ЙГ=О. Следовательно, с помощью D.148) нельзя исследовать динамику развития термомагнитомеханической неустойчи- неустойчивости, поэтому слагаемое v5 7*в D.148) следует отбросить. Таким образом, критическое состояние в пластически деформируемом композитном сверхпроводнике становится неустойчивым E7*>0), если уравнение 1 div(KV5r)+ - /s а ЭГ 5Г=0 D.149) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее на поверхности образца тепловому граничному условию D.48). При наличии пластического течения сверхпроводник разогрет уже в невозмущенном состоянии. Следовательно, физические характеристики, входящие в уравнение D.149) и в граничное условие, вообще говоря, зависят от координат. Однако в случае И^ < 1 неоднородность темпера- температуры Ть, на-фоне которой развивается термомагнитомеханическая не- неустойчивость, мала. Рассмотрим в качестве примера устойчивость сверхпроводящего состоя- состояния в проводе из композитного сверхпроводника с транспортным током /< Is при наличии механического напряжения, приводящего к пластичес- пластическому течению проводника вдоль его оси. Пусть, для общности, физические характеристики, входящие в уравнение D.149) и в граничное условие, неоднородны в плоскости поперечного сечения образца, a Wo^l.Тогда критерий устойчивости можно найти, воспользовавшись тем, что возму- возмущение температуры 57"однородно в меру малости Wo < 1- Проинтегрируем уравнение D.149) по поперечному сечению провода. Воспользовавшись теоремой Гаусса, получим, что если решение D.149) существует, то +^Е- 6ГА4=О, D.150) Т J ЪТ ЪТ Здесь в первом слагаемом интегрирование идет по периметру, а во вто- 153
ром — по поверхности поперечного сечения образца. С помощью теплового граничного условия D.48) соотношение D.150) сводится к уравнению 6"\8TdA. D.151) fhbTdP^f - р Ala ЪТ ЪТ Учитывая, что температура 57* практически однородна, можно, с точностью до Wo < 1 включительно, вынести величину 57* из-под интегралов, входя- входящих в D.151). В результате, критерий устойчивости сверхпроводящего состояния в пластически деформируемом композитном сверхпроводнике с транспортным током имеет вид [ 167] ЪТ ЪТ D.152) Для однородного проводника условие D.152) переходит в следующее: Ъ а А Ъер ИР ЪТ аИР ЪТ D.153) Левая часть неравенства D.153) содержит ток Л Это связано с тем, что тепловыделение, обусловленное перераспределением магнитного потока, происходит только в той части образца, где течет ток. Условие D.153) при а=0 совпадает с критерием устойчивости крити- критического состояния в композитных сверхпроводниках: / ahP ЪТ а при /= 0 — с критерием устойчивости пластического течения: а А Ъе„ '" hP ЪТ Таким образом, если Wo < 1, то взаимодействие скачков магнитного пото- потока и пластической деформации в композитных сверхпроводниках оказы- оказывается весьма сильным. Из D.153) видно, что чем больше механическое напряжение, тем меньше максимально допустимое значение /. И, наоборот, чем больше транспортный ток в образце, тем меньше величина а, при которой возникают скачки пластической деформации. Критерий D.152) позволяет учесть зависимость дифференциальной проводимости компо- композитного сверхпроводника и от неоднородной напряженности электричес- электрического поля. В этом случае он приобретает вид + 7» о эг dA fh dP. р D.154) Пластическое течение материала происходит, как правило, в окрестности каких-либо "слабых" мест, где величина ер значительно выше, чем в осталь- остальной части образца. Такая ситуация может быть связана, например, с нали- наличием полос скольжения, мест локальной концентрации механических напряжений и т.п. Это обстоятельство может существенно сказаться на развитии термомагнито механической неустойчивости. ''Динамическое" 154
Рис. 4.21. Неоднородно деформируемый об- образец, показана зависимость ip(z) 2R приближение позволяет сравнительно просто найти устойчивости крити- критического состояния в композитном сверхпроводнике с учетом продольной неоднородности его свойств, если Wo < 1 [172]. Рассмотрим, в качестве примера, ситуацию, когда такая неоднородность является локальной и связана только с механическими свойствами образца. Пусть в проводе радиусом R из композитного сверхпроводника пласти- пластическая деформация локализована в небольших "слабых" участках, распо- расположенных вдоль провода (рис. 4.21). Обычно в области \z\ < lH/2R зна- значение ер намного больше, чем в остальной части образца. В таком случае при \z\ > lH/2R величину ер можно положить равной нулю. Вообще говоря, пластическое течение материала одновременно происходит в окрестности нескольких "слабых" мест. Предположим, для простоты, что эти "слабые" участки расположены достаточно далеко друг от друга. Тогда можно пре- пренебречь взаимным влиянием физических процессов, протекающих в окрест- окрестности каждого из них. Рассмотрим устойчивость критического состояния в окрестности участ- участков, где в данный момент локализована пластическая деформация про- проводника. Уравнение, описывающее распределение температуры 6(z) в процессе развития термомагнитомеханической неустойчивости в компо- композитном сверхпроводнике с продольной неоднородностью механических характеристик, получается в результате усреднения D.149) в плоскости поперечного сечения провода. При Wo ^ 1 оно имеет вид Р 1 i~ +aT(z)-2W0 0=0, D.155) t J где дифференцирование идет по координате z, нормированной на радиус провода/?, R2 а Ъер к ЪТ R2js ко / hR ;= и/ - 5T=T06(z)exp(kt/tK). Таким образом, критическое состояние в пластически деформируемом композитном сверхпроводнике при Wo ^ 1 становится неустойчивым 155
EГ>0), если уравнение D.155) имеет нетривиальное решение, удовлет- удовлетворяющее соответствующему условию на бесконечности. При однородном пластическом течении (в" = О, ат = const), как следует из D.155), термо- магнитомеханической неустойчивости не возникает, когда 0 aT+i- <2W0. D.156) т Критерий D.156), естественно, совпадает с эквивалентным ему неравенст- неравенством D.153), если в D.153) перейти к безразмерным параметрам о^, Р, т, i и учесть, что для провода А /Р =R /2. В том случае, когда пластическое течение носит локальный характер (см. рис. 4.21), термомагнитомеханическая неустойчивость впервые возни- возникает в окрестности поперечного сечения z = 0, где тепловыделение, обуслов- обусловленное пластической деформацией, максимально. Это означает, что крите- критерий устойчивости критического состояния определяется условием сущест- существования у уравнения D.155) решения, обращающегося в нуль на беско- бесконечности. Характерный размер L-f изменения температуры в при 0^=0, как видно из D.155), равен R y/2W0-iPlT Взаимодействием тепловых процессов, протекающих в окрестности каждо- каждого из "слабых" мест, можно, следовательно, пренебречь, если значение L-p мало по сравнению с расстоянием между соседними "слабыми" местами. Именно в такой ситуации пластическое течение проводника и носит локаль- локальный характер. В том случае, когда Z.rWH, параметр otT(z) можно представить как aT8(z), D.157) где 1Н/2К ат= f aT(z)dz, D.158) -/„/2R a 5(z) — дельта-функция. В результате уравнение D.155) приобретает вид в" - B Wo - iP/т) в +aT65(z) = 0. D.159) Интересующее нас решение D.155) симметрично относительно плоскости z =0. Проинтегрировав уравнение D.155) от —0 до +0, находим тогда, что 0'|±о= + — 0@). D.160) С другой стороны, решение D.155), обращающееся в нуль на бесконечнос- бесконечности, имеет вид f|z|V2K'o-/-|. D-161) Подставив распределение температуры D.161) в граничное условие D.160), 156
находим критерий устойчивости критического состояния в окрестности "слабого" места, где сосредоточено пластическое течение композитного сверхпроводника [172]: -f + <2W0. 4 т D.162) Из неравенства D.162) следует, что если в окрестности плоскости попереч- поперечного сечения 2=0 производная дёр/дТ достаточно велика, то термомаг- нитомеханическая неустойчивость возникает на неоднородности гораздо раньше, чем во всем образце. При наличии значительных механических напряжений наблюдается одна из характерных особенностей жестких и композитных сверхпроводников и сверхпроводящих магнитных систем — их тренировка. Проявляется она следующим образом. Пусть, например, ток вводится в сверхпроводящую магнитную систему вплоть до перехода ее в нормальное состояние. Затем ток отключается, магнит охлаждается до исходной температуры и весь процесс повторяется. Оказывается, что в нескольких первых циклах вклю- включение — выключение системы ток /т, при котором происходит переход ее в нормальное состояние, увеличивается. Магнит как бы тренируется, пре- предельное магнитное поле в нем становится все больше и больше. После некоторого числа циклов включение — выключение системы тренировка ее прекращается. При этом ток /т достигает максимально возможного для данного устройства значения, которое в той или иной мере опреде- определяется и условиями постановки эксперимента. На рис. 4.22 показана за- зависимость /,„ от числа п циклов включение — выключение системы, де- демонстрирующая процесс тренировки модельной обмотки сверхпроводя- сверхпроводящего магнита [174]. Видно, что тренировка в этом случае продолжалась 200 150 100 X X X X X О W 20 30 л Рис. 4.22. Зависимость Im(ri) в процессе тренировки модельной обмотки сверхпро- сверхпроводящего магнита [ 1741 157
4 80 1тй X I _J l_ W /5л 0 10 20 30 п а 6 Рис. 4.23. Зависимости; а) от (и) ; б) 1т (и) в процессе тренировки короткого сверх- сверхпроводящего композита из сплава Nb — Ti и меди [ 175 ] примерно 10 циклов. В результате ток /,„ увеличился примерно на 100%. Дальнейшие же 20 циклов не привели к заметному изменению величины /„,. Тренировка наблюдается и при исследовании коротких образцов жест- жестких и композитных сверхпроводников, когда присутствуют механические напряжения, вызывающие их пластическую деформацию. В качестве при- примера на рис. 4.23, а показан типичный процесс тренировки многожильного композитного сверхпроводника со сверхпроводящими жилками из сплава Nb—Ti в медной матрице [175]. Эксперимент, результаты которого изобра- изображены на этом рисунке, проводился следующим образом. При фиксирован- фиксированном значении тока в проводнике приложенное к нему механическое напря- напряжение росло вплоть до величины аш, при которой происходит переход сверхпроводника в нормальное состояние. Видно, что в первых 5—7 циклах такого нагружения значение ат возрастает примерно на 35—40%. В качестве еще одной иллюстрации процесса тренировки короткого образца на рис. 4.23, б приведена зависимость /,„(«)> полученная для композитного сверхпроводника со сверхпроводящими жилками из сплава Nb—Ti в медной матрице. Видно, что тренировка продолжалась 16—17 цик- циклов, а ток /,„ увеличился примерно на 100 %. Тренировка сверхпроводящих магнитных систем может быть связана с тренировкой сверхпроводника, из которого она изготовлена, и с различ- различными технологическими причинами. Среди них в литературе в качестве основных выделяются, например, перемещение элементов сверхпроводя- сверхпроводящей обмотки [95], растрескивание органических материалов, используе- используемых для изоляции проводников и компаундирования магнита [176, 177], трение отдельных витков или их частей друг о друга [178, 179] и другие. В реальных условиях тренировка достаточно сложных сверхпроводящих устройств, по-видимому, обусловлена не одним, а сразу несколькими из перечисленных механизмов [175]. Интересуясь физикой композитных сверхпроводников, не будем здесь обсуждать тренировку сверхпроводя- сверхпроводящих магнитных систем, а остановимся лишь на тренировке сверхпроводя- сверхпроводящих материалов. Переход пластически деформируемого сверхпроводника с транспортным током / в нормальное состояние может быть следствием двух различных процессов. В первом случае за счет тепла, выделяющегося при пластичес- пластическом течении материала, температура проводника медленно (за время, которое определяется скоростью изменения внешней нагрузки) возрастает 158
до значения Тг, где Is(Tr) -I. Затем происходит переход сверхпроводника в резистивное, а потом и в нормальное состояние. Во втором случае тем- температура проводника медленно увеличивается до значения Ть < Т,-. Вели- Величина Ть определяется границей устойчивости критического состояния. При достижении температуры Ть в сверхпроводнике развивается гермо- магнитомеханическая неустойчивость, сопровождающаяся интенсивным тепловыделением. В результате, проводник быстро (за время, которое определяется инкрементом нарастания неустойчивости) переходит в нор- нормальное состояние. Пластическое течение материала и связанное с ним тепловыделение возникает, прежде всего, в окрестности какого-либо "слабого" места — участка, отличающегося от остальной части образца меньшим значением предела текучести, большим значением механического напряжения и т.д. Такие "слабые" места, по-видимому, всегда присутствуют в любом про- проводнике, если не предпринимать специальных мер. Следовательно, при механическом нагружении сверхпроводника зародыш нормальной фазы впервые возникает в наиболее "слабом" месте. Существенно, что такой процесс, сопровождаясь интенсивным локальным разогревом, приводит к термическому разупрочнению материала, увеличению гь.-стической деформации и, как следствие, к деформационному упрочнению соот- соответствующего "слабого" места. Поэтому при следующем механическом нагружении образца пластическое течение возникает уже в окрестности другого "слабого" места, и вся картина повторяется. В результате по крайней мере начальный участок на кривой тренировки связан с после- последовательным процессом деформационного упрочнения "слабых" мест проводника [167, 175]. После серии циклов механического нагруже- ния — разгружения возникает ситуация, при которой "слабые" места вы- тренировались и переход образца в нормальное состояние будет происхо- происходить на фоне однородного вдоль оси провода пластического течения ма- материала [167, 175]. В этом случае может наблюдаться тренировка сверх- сверхпроводника, обусловленная деформационным упрочнением проводника как при медленном (разогрев, связанный с увеличивающимся внешним механическим нагружением), так и при быстром (разогрев, связанный с развитием термомагнитомеханической неустойчивости) переходе его в нормальное состояние. Большая неопределенность в параметрах, характеризующих механичес- механические свойства жестких и композитных сверхпроводников, не позволяет в настоящее время сделать какие-либо обоснованные оценки для опреде- определения роли того или иного механизма перехода пластически деформируе- деформируемого проводника в нормальное состояние в условиях различных экспери- экспериментов.-Следовательно, в той же мере, как правило, остается неопределен- неопределенным и конкретный механизм тренировки коротких образцов. Отметим лишь, что в ряде работ переход пластически деформируемого сверхпро- сверхпроводника в нормальное состояние сопровождался скачками пластической деформации и носил характер развивающейся неустойчивости [180—182]. Продемонстрируем, в заключение, ряд особенностей тренировки ком- композитных сверхпроводников, обнаруженных экспериментально в работе [175]. На рис. 4.24 изображена зависимость ат(п), полученная в [175] для композитного сверхпроводника с транспортным током /при различных 159
8 - О - X X ~xx«, x * • ] x xx xx X I- I Д / о г a 3 • 4 у-5 i to W Рис. 4.24. Зависимость о„, (и) в процессе тренировки короткого композита из сплава \lb-Ti и меди при/ =0.98 (/); 0,95 B); 0,92 C); 0,90D); 0,80 E) [175] Рис. 4.25. Влияние предварительного механического нагружения на процессы трени- тренировки короткого композита из сплава Nb-Ti и меди 0 - до предварительного на- нагружения, 2 - после него) для i = 0,95. Нагружение проводилось при Т- 300 К и сос- состояло из пяти циклов, в которых значение а увеличивалось от 3,6 ¦ 10е до 12 - 10е Н/м2 [175] значениях отношения i = ///s. Видно, что чем больше величина /, тем меньше предельное механическое напряжение о„,. Это хорошо коррелирует как с механизмом тренировки, обусловленным наличием термомагнитомехани- термомагнитомеханической неустойчивости (см. критерий D.153)), так и с механизмом трени- тренировки, обусловленным медленным разогревом образца до Тг. Деформа- Деформационное упрочнение материала снижает скорость пластической деформации (при заданной величине о). Уменьшение ёр ведет к увеличению максималь- максимального значения о„, для каждого из обсуждавшихся механизмов тренировки. Это, в частности, подтвер"ждается изображенными на рис. 4.25 зависимос- Uk П=2у n=3y i / / / / У ,/ / у / 7 i i и, 0 /00 300 500 tJ0'6c Рис. 4.26. Зависимость U(t) для двух датчиков, прикрепленных к концам композита из сплава Nb-Ti и меди" для первых пяти циклов тренировки короткого образца; U, - сплошная линия; U2 - штриховая [175] 160
тями ат(п) для композитного сверхпроводника [175], полученными до и после его предварительного нагружения, приводившего к упрочне- упрочнению образца. На кривых от (и) и 1т (п), как правило, имеются две отчетливо выра- выраженные области. При малых п тренировка ведет к быстрому росту от и 1т. Затем этот рост заметно снижается и существенное увеличение от и 1т достигается уже после десятка и более циклов включение—выключение механической нагрузки. Можно предположить, что при малых п тренировка сверхпроводника обусловлена переходом в нормальное состояние "сла- "слабых" мест, а при больших значениях п — переходом в нормальное состояние всего сверхпроводника как целого. Для проверки такой картины тренировки "коротких" образцов в [175] был поставлен следующий эксперимент. На концах сверхпроводника устанавливались датчики, регистрировавшие электрическое напряжение (рис. 4.26). Если весь образец разогревался одновременно, то разность потенциалов одновременно возникала в обоих датчиках. Представим теперь, что переход в нормальное состояние впервые про- произошел на каком-то "слабом" участке. Возникший здесь зародыш нормаль- нормальной фазы, увеличиваясь в размерах, постепенно захватывает весь образец. Если "слабый" участок расположен ближе к одному из концов сверхпро- сверхпроводника, то в датчике, установленном на этом конце, сигнап возникнет первым. Эксперимент показал, что при больших п, где тренировка про- происходит медленно, образец разогревается однородно. И наоборот, для малых п, где тренировка происходит быстро, переход в нормальное состоя- состояние впервые возникает в окрестности каких-то "слабых" участков. На рис. 4.26 показана зависимость от времени электрических напряжений Ui(t) и U2(t), снятых с двух датчиков, установленных на концах пласти- пластически деформируемого композитного сверхпроводника с транспортным током /=0,8 Is, для первых пяти шагов тренировки. Видно, что в этом образце было как минимум два "слабых" места. Резюмируя обсуждение тренировки коротких проводников, на сегодня можно с достаточной достоверностью утверждать лишь следующее. Тре- Тренировка является процессом последовательного деформационного упрочне- упрочнения материала. Он стимулирован термическим разупрочнением, возникаю- возникающим в результате разогрева, связанного с тем или иным механизмом перехода пластически деформируемого сверхпроводника в нормальное состояние. 11. А.Вл. Гуревич 161
ГЛАВА 5 ТЕПЛОВОЕ РАЗРУШЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ В настоящей главе речь пойдет о тепловом разрушении сверхпроводи- сверхпроводимости в присутствии транспортного тока /в условиях, когда критическое состояние устойчиво по отношению к малым возмущениям. В этом случае самопроизвольный переход из сверхпроводящего состояния в резистив- ное *) невозможен. Однако он может быть инициирован достаточно силь- сильным возмущением, приводящим к локальному разогреву сверхпроводника и образованию в нем нормальной области (зоны) (рис. 5.1). При опреде- определенных условиях джоулев нагрев ведет либо к стабилизации возникшей Рис. 5.1. Распределения Т(г) и нормаль- нормальной (N), резистивной (Л) и сверхпро- сверхпроводящей (S) фаз в образце с нормаль- нормальной зоной нормальной зоны, либо к ее распространению на весь образец [24, 25, 183—201]. Такое тепловое разрушение сверхпроводимости становится возможным, если />/р, где 1р носит название минимального тока рас- распространения нормальной зоны. Значение 1р зависит от характеристик сверхпроводника и условий охлаждения и во мнргих случаях оказывается существенно меньшим Is. § 5.1. Тепловое равновесие в сверхпроводниках с током Рассмотрим однородное разрушение сверхпроводимости в присутствии транспортного тока /. Поясним сначала этот процесс качественно. Пусть первоначально сверхпроводящий образец переведен в нормальное состояние тепловым импульсом. Если плотность тока / достаточно мала, то после прекращения действия возмущения сверхпроводимость восстанавливается благодаря отводу тепла в охладитель. Иная ситуация имеет место, если / больше некоторого значения /,„. Здесь мощность джоулева тепловыде- *) Всюду далее под сверхпроводящим, резистивным и нормальным состояниями будут подразумеваться состояния, реализующиеся соответственно при Е < Ef (/с Ф 0), Е >,Ef U с *0)кЕ>0 UC = 0). 162
ления становится достаточной, чтобы после прекращения действия возму- возмущения поддерживать в образце постоянную температуру Т>ТС сколь угодно долго. Таким образом, при / > jm сверхпроводник с транспортным током может находиться в одном из двух устойчивых однородных состояний с темпе- температурой Т= const: сверхпроводящем и нормальном. Оба эти состояния являются метастабильными, так как переход образца из одного в другое происходит под действием достаточно сильных возмущений. Условием существования стационарного нормального состояния явля- является превышение мощности тепловыделения р(Т) /2 над отводом тепла в охладитель h(T)(T-Т0)Р/А при Г= Гс,т.е. p(Tc)j2>h(Te)(Tr Т0)Р1А. Это неравенство можно переписать в виде /' >/„,, где "hjfjP Р(ТС)А (Г,-ГоI'2. E.1) Величина /,„ носит название плотности минимального тока существования нормальной зоны и в зависимости от параметров сверхпроводника и охла- охладителя может быть как больше, так и меньше, чем js. Если /',„ < / < js, то образец может перейти в устойчивое нормальное состояние в результате достаточно сильного возмущения. В обратном случае /,„ >js нормальная зона в сверхпроводнике исчезает после прекращения действия возмуще- возмущения, вызвавшего ее появление. По этой причине проводники с/„, >js назы- называют криостатически стабилизированными. Условие криостатической стабилизации (jm >js) удобно записать в виде (Tc-T0)h(Tc)P AP(Tc-T0)h(Tc) Безразмерная величина а носит название параметра Стекли. Она является отношением характерных мощностей тепловыделения в нормальном сос- состоянии р/2 G Kjs) и теплоотвода в охладитель (Тс - T0)h(Tc)PIA. Из формул E.1) и E.2) следует, что о;=/2//2я. Тем самым параметр Стекли определяет ширину интервала по току, в котором сверхпроводи- сверхпроводимость может быть разрушена джоулевым тепловыделением (fsa.~ll2 < < / < js). Оценим в качестве примера значение а для композитного сверх- сверхпроводника радиусом R = 1СГ3 м. При характерных значениях параметров (fs = l09 А/м2, Тс-Т0=5 К,р = р„ = 310"ю Омм, й = 250 Вт/м2 К) находим а= 120. Откуда jm=isa^2 ^ 0,09/,. Таким образом, тепловое разрушение сверхпроводимости в присутствии тока в данном случае может произойти уже при KIS. Рассмотрим разогрев сверхпроводника транспортным током более под- подробно. Запишем для этого уравнение теплопроводности: ЪТ v(r,T) =й\\[к(Т,г)УТ] +Q(r,T), E.3) dt где Q =jE — мощность джоулева тепловыделения, а ток течет вдоль оси z. И* 163
На поверхности образца выполняется тепловое граничное условие к±(яуГ) \Р = -h(T)(T- Го)If, E.4) здесь к± — теплопроводность композита в поперечном по отношению к /" направлении. Благодаря хорошей теплопроводности нормальной матрицы, темпе- температура композитных сверхпроводников при характерных значениях пара- параметров практически постоянна в поперечном сечении. Это позволяет усред- усреднить уравнение E.3) в плоскости ху, после чего оно приобретает вид ЪТ Ъ ЪТ v =— к +Q-W. E.5) Ъ( Ъг Ъг W{T) = h{T){T-T0)PIA, E.6) где v =xnvn +xsvs и к = к „х„ + кsxs — соответственно теплоемкость и продольная теплопроводность композита, хп и xs — относительные кон- концентрации нормального металла (и) и сверхпроводника (s). Характерный перепад температур по поперечному сечению образца порядка (nVT)A/P, или с учетом E.4) - порядка hA{T — T0)Ih.lP. Уравнение E.5) примени- применимо, если зта величина мала по сравнению с Т — То, т.е. Ah<KLP. E.7) Для провода радиуса R неравенство E.7) имеет вид R <€ 2к L\h. Взяв характерное для композитных сверхпроводников значение к х ~ Ю2Вт/м-К, получим, что E.7) справедливо при R < 0,02 м в режиме пузырькового кипения жидкого гелия (h «* 104 Вт/м2 -К) ий< 0,8 м в режиме пленоч- пленочного кипения (h ~ 250 Вт/м2 - К) . Вернемся к уравнению E.5) и рассмотрим характерные температурные зависимости функций Q (Г) и W(T). Мощность тепловыделения Q- jE зависит от величины электрического поля Е. Для нахождения Е в общем случае необходимо решить соответствующие уравнения Максвелла. Од- Однако если время перераспределения тока между сверхпроводящими жил- жилками и нормальной матрицей tm мало по сравнению со временем th из- изменения температуры образца T(r,t), то распределение тока по сечению композита и, соответственно, величина Q определяются лишь мгновенны- мгновенными значениями T(r,t). Именно этот случай характерен для большинства композитных сверхпроводников. Таким образом, Q =j'E(T,j), гцеЕ(Т,/) = = (/—/ДГ)) р(Г) — квазистационарное значение электрического поля в образце. Всюду в дальнейшем, будут рассматриваться возмущения 5 Т и ЬЕ большой амплитуды, поэтому нелинейным участком на вольт-ампер- вольт-амперной характеристике сверхпроводника (E^.Ef) можно пренебречь. Тогда выражение для Q (.7) принимает вид о. т<тг(п, /(/-/>, T,.(f)<T<Tc, E.8) Р/2 , Т> Тс, 164
где Р = PnPs E.9) Tr(j) - темпфатура перехода композита в резистивное состояние (/' = = is(Tr) = xsjc(Tr)). Соотношение E.8) описывает мощность тепловыде- тепловыделения в композитном сверхпроводнике, когда жилки находятся соот- соответственно в сверхпроводящем (То <Т< Тг), резистивном (Тг <Т< Тс) и нормальном (Т> Тс) состояниях. На рис. 5.2 изображены типичные зависимости Q(T,j) в области темпе- температур Т~ТС. Наиболее существенным для дальнейшего является "сту- "ступенчатый" характер функции Q(T), связанный с резким возрастанием Q(T) от нуля до p/'j в относительно узком интервале: Tr(j) <T<TC. Рассмотрим теперь удельную мощность теплоотвода в охладитель W(T) . На рис. 5.3 показаны характернее зависимости потоков тепла q(T) = = h(T) (T - То) из образца в жидкий гелий как функции разности темпе- температур АТ=Т — Т0 между ними. Особенностью изображенных на рис. 5.3 кривых является резкое падение величины q(AT) при АТ> АТК. Подоб- Подобное поведение обусловлено так называемым кризисом кипения охладите- охладителя, связанным с переходом от режима пузырькового кипения гелия (АТ< <А7ПК) к пленочному (АТ>АТК). При непосредственном контакте образца с жидким гелием АТк ^0,5 -г 1 К [24, 25, 202]. Поверхность композитного сверхпроводника во многих случаях покры- покрывают слоем изоляции толщиной d.. Это приводит к увеличению значения АГк и сглаживанию Лк)бразной зависимости q (AT), обусловленной кризи- кризисом кипения (см. рис. 5.3). Наличие изоляции затрудняет теплообмен об- образца с охладителем. При достаточно большой толщине dt поток тепла q(AT) определяется, в основном, тепловым сопротивлением изоляции, а кризис кипения становится несущественным. Займемся теперь изучением стационарных однородных состояний, в которых может находиться композитный сверхпроводник с транспорт- транспортным током. Температура композита определяется из условия баланса то Тс Рис. 5.2. Характерные зависимости Q(T) в композитных сверхпроводниках (/, </,) Рис. 5.3. Зависимость q (А Т) при То = 4,2 К и атмосферном давлении. Образец покрыт слоем целлюлозы толщиной: a) d, =7-10 м; б) d, =1,3 -10"s м; в) d; = 0) [24] 165
тепла: й(Т.П=ЩТ). E.10) Графическое решение этого уравнения изображено на рис. 5.4, где возмож- возможным однородным состояниям композита T{j) отвечают точки пересечения кривых Q(T) и W(T). Получим критерий устойчивости этих состояний по отношению к малым возмущениям 5 7*=" exp {yt +ikz) при / = const. Линеаризовав уравнение E.5) , находим дисперсионное соотношение Э «»(ГO(*) = —¦ (Q-W)-nk2, ЪТ откуда видно, что для устойчивых G < 0) решений T(j) должно выпол- выполняться неравенство . Э?1 ът ЪТ E.П) ПП Условие E.11) обеспечивает устойчивость состояний T(j) относительно наиболее "опасных" возмущений с к = 0. Поясним физический смысл неравенства E.11). Пусть температура образца, находящегося в одном из однородных стационарных состояний T(j) , увеличилась на малую величину б Т. Это приведет к изменению джоу- . Э?> bW лева тепловыделения на hQ- ЪТ, а теплоотвода — на 8W=—-— б Т. ЪТ ЪТ Если 8Q > 5 W, то нескомпенсированное тепловыделение f>Q — б W вызовет дальнейший разогрев сверхпроводника, что свидетельствует о неустойчивос- неустойчивости рассматриваемого решения T(j). В обратном случае 8W>8Q. т.е. при 3W Ъ() > флуктуация б Т затухает. Из условия E.11) следует, что устойчивым значениям T(j) отвечают точки 0, 1 и 3 на рис. 5.4, соответствующие сверхпроводящему (Т= Го), резистивному (T=Tt) и нормальному (Т= Т3) состояниям. Состояния Ту и Т) могут существовать лишь в случае достаточно сильного джоулева тепловыделения. Это имеет место, если / превышает критическое значе- значение/,,,, при котором происходит слияние точек 2 и 3 на. рис. 5.4,я. Опреде- щц У/ /а а о Рис. 5.4. Графическое решение уравнения теплового баланса при: слабой (а) и силь- сильной (б) зависимостях удельного сопротивления от Т. Кривым I - V отвечают Q(T) при разных значениях плотное™ тока:с) / —/ </'„,; // —/ =im; Ш -im<l <-Js'' IV -js </ <f4; V -/ =jq :6)l-im <j </6; II / =ib 166
ленная таким образом величина /„, является плотностью минимального тока существования нормальной фазы. Чтобы найти /т, необходимо выяснить, как впервые происходит сопри- соприкосновение кривых Q(T) и W(T) по мере роста/ {ТФ То). Здесь возмож- возможны два случая. В первом из них касание кривых Q(T) и W(T) возникает при Т-Тс из-за наличия излома функции Q{T) в точке Т=ТС. (см. рис. 5.4,я). Тогда выражение для/,,, дается формулой E.1), полученной ранее из качественных соображений. В другом случае касание кривых Q(T) и W(T) происходит не в точке Т=ТС, тогда величина/,,, определяется из системы уравнений E12) bQ{T,j) = ЪЩТ) ът ът Рассмотрим процесс однородного разрушения сверхпроводимости в присутствии транспортного тока. Пусть первоначально сверхпроводящий образец находился в условиях, когда сильные возмущения отсутствуют. Тогда при медленном увеличении / он будет оставаться сверхпроводя- сверхпроводящим вплоть до / =}'„*). Дальнейший рост/ приводит к переходу образца в устойчивое резистивное состояние (точка 1 на кривой IV, рис. 5.4,а), если ът Это неравенство можно переписать в виде а(Т0) < 1, где параметр Стекли а определяется формулой E.2]>, в которой р = р(Т0), h =h(T0). В случае когда а(Т0) > 1 условие устойчивости E.11) при Т= То и/ =js не выполняется и резистивное состояние вообще не может быть реализова- реализовано (этот факт уже отмечался в § 1.3). При а(Т0) < 1 решение Т\ (/) существует в интервале js </ <}'ч, где величина ]ц отвечает слиянию точек 1 и 2 на рис. 5.4,а и определяется из системы уравнений E.12) (оценка для/^ была получена в § 1.1 из качест- качественных соображений). Превышение критической плотности тока jq при- приводит к развитию тепловой неустойчивости, так как джоулев нагрев резис- тивного состояния становится настолько сильным, что выделяющееся тепло не успевает отводиться в охладитель. Другое устойчивое решение Г3(/)- уравнения E.10) существует в интервале ] m </ </й, где величина /6 отвечает слиянию точек 3 к 4 на рис. 5.4,6 (возникновение точки 4 связано с ростом р(Т) по мере увели- увеличения Т) . Изменение / может привести к исчезновению состояния Т= Т3: при / < /„, образец становится сверхпроводящим, а при/ >/й, так же как и при / >/v, развивается тепловая неустойчивость. Отметим, что величины im,iq и/й являются различными корнями одной и той же системы урав- уравнений E.12). *) Подчеркнем еще раз, что всюду в этой главе мы имеем пело с ситуацией, когда критическое состояние устойчиво к малым возмущениям. Поэтому, по мере увели- увеличения / термомагнитной неустойчивости не происходит вплоть до/ =fs. 167
6я Рис. 5.5. Зависимость ?/(/) при однородном разрушении сверхпроводимости (bW dQ \ > ]: а) /а >jb; б) !ц <}ь. Цифры соответствуют точкам пере- сечения кривых Q(T) и W(T) на рис. 5.4. Штрихпунктир - вольт-амперная характе- характеристика образца в нормальном состоянии (без учета джоулева разогрева) На рис. 5.5 изображены вольт-амперные характеристики {/(/) сверхпро- сверхпроводника для рассмотренной выше ситуации. Каждая ветвь кривой (/(/) соответствует определенному устойчивому состоянию: То, Т\ или Т3. Многозначность функции (/(/) Приводит к гистерезисным эффектам. Действительно, разрушение сверхпроводимости в отсутствие тепловых возмущений происходит при / = js. В то же время, ее восстановление в слу- случае последующего уменьшения / имеет место начиная с / =fm<fs- На рис. 5.5 стрелками показана последовательность переходов на различные ветви вольт-амперной характеристики по мере увеличения / от нуля до j4 и обратного уменьшения / от jb до /,„ . Критические значения jq и /й соответствуют точкам окончания устойчивых ветвей кривых (/(/), в кото- которых дифференциальная проводимость о(Е) =д]'/'дЕ обращается в нуль. Превышение величин jq или /й, либо только fb ведет к лавинообразному разогреву образца. В случае а(Т0) > 1 резистивная ветвь 1 (рис. 5.5) отсутствует и разру- разрушение сверхпроводящего состояния начинается при/ =js. Соответствую- Соответствующий переход изображен вертикальной штриховой стрелкой, выходяшей из точки js. В зависимости от соотношения между js>jq и fb превышение величины fs может приводить как к лавинообразному росту температуры образца, так и к перескоку на верхнюю ветвь кривой (/(/), т.е. к пере- переходу в состояние Т3. •Неоднозначность рассмотренных вольт-амперных характеристик являет- является следствием метастабильности сверхпроводящего состояния при / >/,„. В этой области токов существенную роль начинают играть предыстория образца, а также характер действующих на него возмущений. Такие воз- возмущения могут, например, приводить к скачкообразному переходу с одной устойчивой ветви вольт-амперной характеристики на другую, т.е. иными словами, переходу из состояния Т = То в состояние Т3 или наоборот. Динамика этого перехода описывается уравнением теплового баланса ЪТ . E.13) at 168
Допустим, что в момент времени t = 0 температура всего образца скачком изменилась до некоторой величины Т@). Дальнейшая эволюция функции T(t) зависит тогда от соотношения между величинами Т@) и Т\, Т2, Т3, TV Если, например, значение Т@) таково, что Т@) <Т2, то ^[Г^)] > > Q [7X0)] и, согласно E.13), температура T(t) всегда релаксирует к 7о- Тем самым сверхпроводимость образца восстанавливается после воздейст- воздействия любого однородного возмущения с Т@) < Т2. Аналогичным образом нормальное состояние Тъ устойчиво по отношению к возмущениям, для которых Т2 < Т@) < 7V Таким образом, для перехода из состояния 7о в Тъ достаточно нагреть сверхпроводник до температуры 7^@), где Т2 < < Т@) < 7V Увеличение Т@) выше Тц приводит к лавинообразному разогреву образца. Зависимость температуры Т(г) от времени находится интегрированием уравнения E.13): ДО) dT 1 ~ Л) HT)[W(T)-Q(T)} Выше был рассмотрен случай, когда сверхпроводник с транспортным током (/ >/т) может находиться в двух устойчивых однородных сос- состояниях Го и Тл или Ту и Т3. Возможна, однако, и более сложная ситуа- ситуация, когда число таких состояний больше двух {25]. Подобные случаи иногда реализуются в композитных сверхпроводниках, покрытых тепло- тепловой изоляцией. Такие возможности могут быть проанализированы графи- графически аналогично ситуации с двумя устойчивыми состояниями. § 5.2. Распространение границы раздела нормальной и сверхпроводящей фаз Рассмотренное в предыдущем параграфе однородное разрушение сверх- сверхпроводимости транспортным током реализуется лишь в достаточно корот- коротких образцах или при наличии однородных возмущений (T(z, 0) = const) . В большинстве же случаев переход сверхпроводника в нормальное состоя- состояние осуществляется в результате локального зарождения и последующего распространения нормальной зоны на весь образец [183-193]. Под терми- термином "нормальная зона" всюду в дальнейшем будет подразумеваться ра- разогретая током до Т>ТГ, область сверхпроводника,длина которой D(t) изменяется со временем. Распределение температуры в сверхпроводнике с нормальной зоной схематически изображено на рис. 5.1. В настоящем параграфе будет рассмотрен процесс стационарного рас- распространения нормальной зоны достаточно большой длины. В этом случае температура в нормальной зоне равна Т3 всюду за исключением относи- относительно узких границ шириной L < D, разделяющих две устойчивые фазы с То и Тъ. Если D> L, то такие границы движутся с постоянной скоростью v независимо друг от друга (см., например, [24, 25, 183-188]). Это поз- позволяет ограничиться рассмотрением равномерного движения одной грани- границы раздела нормальной и сверхпроводящей фаз (N- 5-границы) (рис. 5.6) . Распределение температуры T(z -vt) в N-S-границе, движущейся в бесконечном образце с постоянной скоростью и, описывается уравнением к +vv- +Q(T)-W(T) = 0 E.14) dz dz dz 169
и должно удовлетворять граничным условиям Т(°°) = Т0, Т(-°°)=Т3, =0. E.15) dz ± ^ Для качественного и количественного анализа решения T(z - vt) удоб- удобно воспользоваться наглядной аналогией E.14) с уравнением, описываю- описывающим одномерное движение частицы с массой к под действием внешней Рис. 5.6. Распределение T(z) в N - S- границе 0Dh силы/= W-Q и силы трения vvdT/dz (величины Т и z играют роль со- соответственно "координаты" и "времени"). Умножив E.14) на KdTjdz и интегрируя.по z, получаем "закон сохранения энергии": 1 / dT У - / dT \ 2 -к I -vf vK[ I dz-S(T) = 0. E.16) 2 \ dz I z \ dz I Первое слагаемое в E.16) отвечает кинетической энергии частицы, второе- работе силы трения, а третье - потенциалу —5 (Т) , который соответствует силе / = W - Q : т S(T) = f (W-Q)KdT. E.17) т0 Для обсуждавшихся выше зависимостей Q(T) и W(T) функция S (Т) изображена на рис. 5.7. ./V - S-границе отвечает такая траектория T(z) в по- потенциале —S (Т), когда частица выходит из точки То с бесконечно малой начальной скоростью и затем приходит в точку Т3, имея нулевую конеч- конечную скорость. Для существования такой траектории необходимо, чтобы разность энергии AS = —S(T3) в точности компенсировалась работой силы трения. Это условие однозначно определяет скорость движения N—5-гра- ницы. Воспользовавшись E.15) и E.16),получаем [24,25]: / °° / dT \ 2 v=~S3(nlL VK\7T) dz> E18) где S3(j) = S \T3 (/),/]. Функция S3(j) уменьшается с ростом / , проходя через нуль при некотором значении/ =/р. Из формулы E.18) видно, что скорость N-S -границы v(j) зависит от/, причем знак и противоположен знаку S3(j). В результате, i>(/) увели- увеличивается с ростом /, так что i>(/) <0 при / </р E3>0), 1>(/р) =0 и v(j) >0 при / >jp(S3 <0). На рис. 5.8 в качестве примера приведена типичная зависимость скорости N—S-границы от тока, наблюдавшаяся экспериментально для композитных сверхпроводников [203]. N—S^граница является волной переключения, переводящей сверхпро- сверхпроводник из одного устойчивого состояния То в другое Т3, или наоборот, 170
1,0- -2,0 -3,0 21л 5 7 9 imzk II Рис. 5.7. Зависимость S (T) : /m</ </p(c); / =/р (б); / >/р(в) Рис. 5.8. Зависимостьи (/) для композита из сплава Nb-Ti и меди: эксперимент и рас- расчет (сплошные линии) [203] в зависимости от соотношения между / и /р. Смена знака скорости и(/) при / =/р указывает на метастабильность однородных состояний Т=Т3 в интервале /„,</ </р и Т=Т0 в интервале /р</ <Ь- В самом деле, если сильное возмущение создаст в сверхпроводнике достаточно большую нормальную зону, то она будет расширяться при / >/р и схлопываться при / </р. Аналогичным образом сверхпроводящая область, находящаяся в нормальном образце (Т=Т3), будет расширяться, если / </р, и схлопы- схлопываться, если / >/р. Равновесие границы раздела нормальной и сверхпро- сверхпроводящей фаз имеет место, когда ток / равен минимальному току распрост- распространения нормальной зоны Ip = Ajp, для которого v(Ip) =0 [24]. Величина 1р является важной характеристикой образца, поскольку тепловое разру- разрушение сверхпроводимости током, инициированное локальным возмуше- нием, может происходить лишь в случае / > /р. Из формулы E.18) следует, что ток /р определяется из условия S3(Ip)=0,r.e. ,UP) f K(T)[W(T)-Q(T,Ip)]dT = 0. E.19) Если можно пренебречь зависимостью к от Т, то уравнение E.19) при- принимает вид 3Р f [W(T)-Q(T,Ip)]dT = 0. E.20) 171
Соотношение E.20) составляет содержание так называемой "теоремы равных площадей" [24] (на рис. 5.9 эти площади заштрихованы). Уравнение E.19) определяет величину 1р, если известны соответствую- соответствующие температурные зависимости к (Т), W(T) и Q(T). Эти зависимости, как правило, оказываются довольно сложными, что в обшем случае не позволяет получить аналитического выражения для/р. Рассмотрим простую модель, в которой величина ]'р вычисляется точ- точно. Пусть js (Т) линейно уменьшается с ростом Т, а к , р и h от Т не зави- зависят. Тогда из E.19) следует, что [188] /Р = (VTT8^ - 1)/,/2о , E.21) fm=fs«-42, /,=/,(Г0), E-22) где а — параметр Стекли. В данном случае, как видно из E.21), E.22), Рис. 5.9. Иллюстрация "теоремы равных площадей" E.20) im<jp<is в случае а> 1 и /,„ =jp=js, если а= 1. Таким образом, рас- распространение нормальной зоны (/р</ </$) возможно здесь лишь для а> 1, что совпадает с самим условием ее существования (/m <js). В пре- пределе о>1 формула E.21) дает /р «= B/а) 'l2js. Тем самым с ростом параметра а величина jр уменьшается, а интервал токов )р </ <]'s,b ко- , тором возможно тепловое распространение нормальной зоны, увеличи- увеличивается. Рассмотренная модель при всей своей Простоте и наглядности не учиты- учитывает некоторых важных особенностей зависимостей Q(T), W(T) и к (Т). Это относится, в первую очередь, к кризису кипения охладителя, приво- приводящему к резкому уменьшению теплоотвода W{T) при Т- То > ДТК*) . Обратимся поэтому к модели, учитывающей зто обстоятельство (см., например, [204]). Пусть к и р не зависят от Т, a js (Т) - линейная функция Т, т.е. js(T) = (l-T/Tc)js. Определим безразмерную температуру в как в=(Т-Т0I(Тс-Т0). Тогда зависимость js (в) имеет вид *) Величины к (Т) и р(Г) в области температур дТ~ Тс -То изменяются с рос- ростом Т относительно слабо (см. пп. 2). 172
а мощность джоулева тепловыделения О(в) = pj2sr @,i)i2, где безразмер- безразмерный ток i =jljs. О, 0<1-/, 0 - 1 + г 1-г<0<1, E.23) 1, в >1. Для функции ^(Г) воспользуемся следуюшей кусочно-линейной аппрок- симацией: \—(Т-Т0), Т-ТО<АТК, W(T) = \ E.24) [qo+h2(T-To-ATK)) — , Т~ТО>АТК. А Здесь ht,h2,Qo и ДУК — константы, не зависящие от Т. Обозначим 0К = = АТК/(Тс — То), тогда, воспользовавшись формулами E.23), E.24), а также соотношением E.19), для определения ip =]'pljs получаем а\ ip - 2a2i2p(l + Wm -flK ) + w*m-p6l = -a2 i3p, E.25) P ~ . H'm = , a2 = . E.26) h2 m h2(Tc-T0) Ph2(Tc-T0) Уравнение E.25) в обшем случае можно решать лишь численно. Оно, од- однако, существенно упрощается, если ip< 1. Тогда можно пренебречь чле- членом —си21ър в правой части E.25), после чего уравнение E.25) становится биквадратным, откуда Ь = -ГП{ l +w™ ~ 0к + 1A + Уп, - вк У +Рв1 - *2т]  } 1/2- а*' E.27) Из этой формулы следует, что ip^B/a2) !'2, если max{wm,p6^) < 1, следовательно, условием применимости E.27) является неравенство а2 ^* 1. Отметим, что выражение для ip совпадает здесь с формулой E.21) при замене а = а2. т.е. h=h2. Таким образом, в пределе а2 > 1 и max(wm, рв^) < 1 величина ip малочувствительна к детальной форме кри- кривой w(T) и определяется, в основном, коэффициентом теплоотдачи h2 в режиме пленочного кипения. В обратном случае max(w т , рв ^.) > 1 ток распространения ip сущест- существенно зависит от наличия кризиса кипения. Здесь формула E.27) справед- справедлива во всем интервале 0 < ip < 1, так как поправка 5 г к ip, связанная с отброшенным слагаемым —а2 i% в E.25), является малой: V( mK)plm Оценим характерные значения входящих в E.27) параметров. Полагая h2 =«250 Вт/м2 ¦ К, р= 3 • 10"'° Ом • м, А/Р = 1(Г3 м, Тс - То = 5 К, js = 173
= 109 А/м2, находим: а2 = 240. Так как р^45, АТК =*0,6 К, то вк =«0,12, wm*&l,2 (для образца без тепловой изоляции). Подставляя эти значения в E.27), получаем/р = 0,13 fs, a bijip **>2 ¦ 10 ~2. Таким образом, распрост- распространение нормальной зоны может в данном случае происходить при токах, существенно меньших критического Aр = 0,13 Is < Is). Подобная ситуация характерна для многих композитных сверхпроводящих материалов (см., например, [25, 54, 56]) . Рассмотрим теперь более подробно зависимость скорости движения N—S-границы от тока. Выражение для v (/) дается формулой E.18), которая, однако, не является замкнутой, так как содержит в знаменателе производную dT/dz, зависящую от v. Ситуация существенно упрощается в области | / — ]'р\ < jp, где скорость i>(/) мала. Это позволяет найти dT/dz из уравнения E.16) с v = 0, которое описывает неподвижную Af--!?-границу: 1 тс KdT ' 52) Подставляя соотношение к dT/dz = - BSL2 в E.18) и разлагая вели- величину S3(j) вблизи/р,получаем [24] > = (/-/„)/ ^- [у/2 f' vSl'2dT] , \f-ip\<jp. E.29) Э/ ip Скорость i>(/) изменяет знак при/ =/р, что отвечает расширению нормаль- нормальной зоны при/ >/р (v >0) и ее схлопываниюпри/ <jp(v < 0) . Для произвольных / величина i>(/) в обшем случае может быть найдена лишь численно. В этомслучае E.14) заменой переменной х = к dTjdz удобно преобразовать к виду ds к + - (Q_ W)=-vV. E.30) dT s Решение уравнения E.30), описывающее движущуюся N— 5-границу, удов- удовлетворяет необходимым граничным условиям sGo) = s(T3) ~ 0 лишь при вполне определенном значении и. На фазовой плоскости Т — s соответствую- соответствующая интегральная кривая s(T) является сепаратриссой, соединяющей точ- точки То и Т3 (жирные кривые на рис. 5.10) [205]. Результаты численных расчетов скорости v(j) (см., например, [203, 206]), а также их сопостав- сопоставление с экспериментальными данными изображены на рис. 5.8. Чтобы найти аналитическое выражение для v(f) во всем интервале im^l ^/s. рассмотрим модель, в которой пренебрегается зависимостью величин h,K , р и v от Т. Тогда уравнение теплопроводности для температу- температуры в можно записать в виде в" +ив' ~в+ш2г(в,г) = 0, E.31) где r@,i) = 1-/.5@)//, штрих обозначает дифференцирование по безраз- безразмерной координате z\L, и = v (/) /fj,, v,, = L/t h ,а Ак vA 1 ГкРИ 7 , *h=— , vh=—y/——. E.32) Ph Ph v A 174
Параметры L и th являются соответственно характерными тепловыми длиной и временем: при / =0 на расстоянии порядка L происходит зату- затухание температуры от стационарного источника тепла, а за время порядка ti, — остывание проводника, разогретого импульсным возмущением. В уравнение E.31) входит функция г (в,/) =1 —jsF)lj, которая яв- является отношением сопротивления образца при данной темпераауре в к его сопротивлению в нормальном состоянии (в > 1). Обычно рассматри- рассматриваются две зависимости rF,i) от в. В первой из них величина rF,i) скачком увеличивается от нуля до единицы при температуре перехода г(в,П а в 0 l-l i в о Рис. 5.10. Фазовая плоскость уравнения E.30) (жирные линии - интегральные кри- кривые, отвечающие ./V - S-границе) Рис. 5.11. Зависимость г (в, О: а) для модели со ступенчатым тепловыделением; б) для резистивной модели сверхпроводника в резистивное состояние 0 r(i) = [T,(i) - ТО]/(ТС -То) (рис. 5.11,а). Соответствующую модель мы будем называть моделью со ступенчатым тепловыделением. Другая зависимость rF.i) (рис. 5.11,6) позволяет более последовательно учесть тепловыделение в резистивном состоянии. В этом случае предполагается, что js (в) линейно уменьшается с ростом в, тогда вг = 1 - /, а функция г@,г) определяется формулой E.23). Эта модель всюду в дальнейшем будет называться резистивной моделью. Обе модели предельно упрошают реальную ситуацию, однако, они поз- позволяют аналитически исследовать основные качественные особенности распространения нормальной зоны в сверхпроводниках с транспортным током. Для модели со ступенчатым тепловыделением решение уравне- уравнения E.31), описывающее движущуюся Л^—5-границу в связанной с ней системе координат, имеет вид: k, =-¦ 0,.exp(*_z/L), U/2 + @, -a/2) exp(k+zlL), A2" z>0, z<0, E.33) E.34) E.35) Из этих формул следует, что при малых скоростях ( I и\ ^1) ширина N—S -границы порядка тепловой длины L. По мере увеличения I и I тем- температурный профиль в границе становится более пологим, а при I и | ^f/, ее ширина линейно возрастает с ростом и. 175
Для оценки величин L,tf,, а также характерной тепловой скорости Vi,=Llth, положим Л =250 Вт/м2 - К, Л/Р=10 м, к * 102 Вт/м ¦ К, 1>«Ю3 Дж/м3 -К. Тогда/, ~2см, th ~4- 10 с, а иЛ = 5 м/с. В модели со ступенчатым тепловыделением скорость N— 5-границы с помошью E.31) находится в явном виде [188]: ш2 - ?Л(р и(/)= и" /^тгр^—утгГ ¦ E.36) Из E.36) следует, что скорость v(i) монотонно увеличивается с ростом i (сравните с рис. 5.8). Величина vh определяет характерное значение v@ для не слишком больших а. В пределе а> 1 получаем из E.36), что v =vh iy/ав^1'2 во всем интервале токов 0</ < 1, кроме узкой области вблизи / =0 шириной порядка а'2. Если jS(B) = A ~e)js, то вг =1 —i и выражение для v (г) в случае а > 1 принимает вид и@ = «о i/V I - г . E.37) где характерная скорость и0 = i>/, \/a^равна E.38) Формулы E.37), E.38) справедливы, в частности, для теплоизолирован- теплоизолированного образца (h ->0), когда скорость Л^—5-границы не зависит от коэф- коэффициента теплоотдачи h, а /р ->0. Вернемся к выражению E.36), согласно которому u(i) обращается в нуль приш*2 = 2A — i) и стремится к плюс и минус бесконечности соответ- соответственно, если i -> 1 и ш'2 -> 1 — /, т.е. г -*im. Из условия v(i) =0 получаем формулу для ip в модели со ступенчатым тепловьщелением [ 188]: ip =— (V 1 + 2а - 1). а В пределе E.39) 1 выражение E.39) совпадает с более точным E.21), полу- полученным в рамках резистивной модели, кото- которая учитывает перераспределение тока между сверхпроводящими жилками и нормальной матрицей при 1 - г < в < 1. Вместе с тем. из E.39) следует, что ip < 1 для любого значения параметра а. в том числе и для а < 1. Этот вывод противоречит условию сущест- существования нормальной зоны а > 1 и свидетель- свидетельствует о неприменимости модели со ступенча- ступенчатым тепловыделением в области значений па- параметров, где а ~~ 1. Рассмотрим зависимость и (г) с помошью более последовательной резистивной модели. Рис. 5.12. Зависимость u(f) для резистивной моде- модели [203]
Распределение температуры в движущейся NS -границе описывается здесь уравнением E.31), где функция г(8,i) определяется форму- формулой E.23). Это уравнение является кусочно-линейным и легко ре- решается (см., например, -[25]). В результате скорость u(i) оказывается корнем довольно громоздкого трансцендентного уравнения, которое мо- может быть решено только численно [203]. Соответствующая зависимость u(i) изображена на рис. 5.12 для различных а. Отметим, что в отличие от модели со ступенчатым тепловыделением, скорость и(г) в резистивной модели при i =im и i=l остается конечной [190]: mA) = 2V"o^T, E.40) иAИ1) = -2>/о1/2-1, E.41) а расходятся лишь производные Э ц/Э i [207]. Аналитические выражения для u(i) в промежуточной области токов '#я < i < 1 могут быть получены лишь приближенно. В качестве примера приведем одно из них [203]: = A +0,56a-45) (Y-l)Y-42, E.42) Качественно соотношение E.42) соответствует "эффективной" модели со ступенчатым тепловыделением, в которой наличие резистивного состоя- состояния учтено сдвигом температуры в г -И — f/2. Таким образом, с помощью изложенной выше схемы можно вычислить скорость и (/), если известны все температурные зависимости входящих в уравнение E.14) параметров. Соответствующие численные расчеты и их сопоставление с экспериментальными данными были проведены во многих работах (см., например, [25, 203, 206]). Оказалось, что несмотря на качественное согласие теории с экспериментом, количественное расхож- расхождение между ними может быть довольно существенным. В значительной степени это связано с влиянием нестационарности теплоотвода. Нестационарность W исследовалась во многих экспериментах, где было показано, что при не слишком больших величинах ЪТ/bt для кипящего жидкого гелия имеет место эмпирическое соотношение (см., например, [202,208-210])*) Г ЪТ \ Wr=\h(T)(T-T0)+a(T) — \P/A. E.44) Здесь h(T) - коэффициент теплоотдачи при ЪТ/dt ->0. Второе слагаемое в E.44) описывает добавочное тепло, идущее на увеличение толщины паро- паровой пленки на поверхности образца по мере роста Т. Типичное значение константы а (Т) в режиме пленочного кипения — порядка 1 -г 10 Дж/м2 -К [209,210]. Для ориентированной вертикально плоской медной поверх- поверхности зависимость а от АТ= Т'—То [К] имеет вид [209]: д(ДГ) = 5+0,53(ДГ-0,5J[Дж/м2 К]. E.45) Таким образом, учет нестационарности W приводит в первом приближении *) Формула E.44) была проверена вплоть до Э Т/Ъ t «7500 К/с [210]. 12. А.Вл. Гуревич 177
к появлению в уравнении теплопроводности E.14) дополнительных слагае- слагаемых, пропорциональных dT/dt. Это эквивалентно введению вместо v(T) эффективной теплоемкости "eff(n ="(Г) +а(Т)Р/А, E.46) зависящей от геометрии образца. Формулу E.46) удобно переписать в виде »ett(T)=[l+6w(T)]v(T), E.47) 8w=a(T)PIAv(T), E.48) где безразмерный параметр 5 w характеризует меру нестационарности теп- лоотвода. Полагая а ** 5 Дж/м2 - К, А/Р = 10"~3 м, v ~ 2 ¦ 103 Дж/м3 - К, получаем, что в режиме пленочного кипения 6 w ~ 1. Таким образом, нестационарность IV может оказаться существенной при расчетах скоростей ./V—5-границ в композитных сверхпроводниках [203, 206,211]. На распространение нормальной зоны оказывают влияние также скрытая теплота сверхпроводящего перехода в магнитном поле [212], термоэлект- термоэлектрические эффекты [213], течение охладителя вдоль сверхпроводника, например, в композитах с внутренним охлаждением [25, 54, 214, 215]. Эти эффекты являются относительно малыми, однако два последних из них приводят к асимметрии в скорости движения N—5-границ вдоль (v+) и против (и_) тока (v+?=v_). В § 5.6 мы остановимся на такой асимметрии более подробно. § 5.3. Резистивные домены В этом параграфе будут рассмотрены самоподдерживающиеся стационар- стационарные области, находящиеся в нормальном или резистивном состояниях в результате джоулева нагрева [197,198, 219 - 222]. Распределения темпе- температуры T(z) и электрического поля E(z) в них, в отличие от распростра- распространяющейся нормальной зоны, не изменяются со Временем. Изображенное на рис. 5.1 распределение T(z) отвечает домену электрического поля, на котором происходит падение всей приложенной к сверхпроводнику разнос- разности потенциалов. По этой причине мы будем называть такой стационарный домен резистивным (некоторая его часть может находиться и в нормаль- нормальном состоянии). Рассмотрим решения уравнения теплопроводности E.14), описываю- описывающее резистивный домен в бесконечном образце. Для качественной клас- классификации таких решений удобна аналогия E.14) с уравнением движения частицы в потенциале —S (Т) (см. рис. 5.7). Резистивному домену отве- отвечает такая траектория T(z), когда частица начинает свое движение из точ- точки То с бесконечно малой скоростью, доходит до точки Тт, поворачивает и затем возвращается обратно, имея в точке То нулевую конечную ско- скорость. Такие решения существуют при S3 (/) =S(T3,j) < 0, т.е. / >/р. Необходимо также, чтобы сила трения v v dT/dz всюду на рассматривае- рассматриваемой траектории равнялась нулю, т.е. и = 0*). *) Ситуации, в которых резистивный домен может двигаться вдоль сверхпровод- сверхпроводника, не меняя своей длины, будут рассмотрены в § 5.6. 178
Распределение температуры в резистивном домене получаем, интегрируя E.16) cv = 0, откуда |z|= — Г nS-*dT, E.49) V2 Т(г) где S(Т) определяется формулой E.17), а Тт — максимальная температу- температура в домене. Из E.49) и рис. 5.7 видно, что Т„, удовлетворяет уравнению S(Tm,f) = O. E.50) Для однородного образца физический смысл имеет лишь один корень E.50) с Т1П Ф То. Другому корню Т'т > Т3 не отвечает какое-либо доменное решение T(z, Tm), так какпри/>/р частица не может перейти через точку 3 на рис. 5.7 в силу закона сохранения энергии. Рассмотрим зависимость длины ?>(/) несверхпроводящей части домена от тока. Подставляя T(z) = Тг в E.49), получаем т ?>(/) = л/2/тк5-'/2^. E.51) Ту При / -> /р температура Тт -> Т3, а кривая S (Т) касается оси абсцисс в точке Т3 (см. рис. 5.7). В этом случае основной вклад в интеграп E.51) дает область Т^Т3 вблизи минимума S (Т), где функцию S (Т) можно разло- разложить в ряд: 1 , Э25 S(T) = S3(,)+-(T-T3J — Подстановка этого соотношения в E.51) с учетом того, что S3(j) = . Дает 'р 3)bn-k-, E.52) /-/„ где L(T3) - тепловая длина при Т = Т3 (см. E.32)). Формула E.52) справедлива в области/ — /р </р, когда/)(/)>/,. В промежуточном интер- интервале токов jp^i^ls длина домена D ~?. При ]'-*]\ величина ?)(/)-> 0, если0G^0)> 1- Действительно, для/->/s температура Tm -* Tr(f), тогда из E.51) следует, что?>(/)->0. Таким образом, длина резистивного домена /)(/) возрастает с уменьшением тока и в пределе f-*fp становится много больше ширины его границ (~ L). Здесь по мере уменьшения / возрастает длина нормальной части домена при фиксированной длине (~ L) его рези- стивной части. Рассмотрим теперь вольт-амперную характеристику сверхпроводника, содержащего резистивный домен. Разность потенциалов U на образце с доменом определяется соотношением D/2 ?/(/)= / (/-/>&, E-53) -D/2 12* 179
\ \ Рис. 5.13. Зависимость U(I) для сверхпровод- сверхпроводника с резистивным доменом; иприхпунктир— нагрузочная прямая так как в области 2 \z \>D электрическое поле равно нулю. Переходя в E.53) к интегрированию по Тс помощью E.49), получаем ?/(/) = V2J (j-js)KpS-'/2dT. E.54) Сравнивая формулы E.51)иE.54), находим,что(/(/) ~ [/ - js(Tm)] pD(j). Таким образом, для бесконечного образца величина {/(/) уменьшается с ростом /, т.е. сверхпроводник с резистивным доменом обладает отрица- отрицательным дифференциальным сопротивлением (R(/)= dU/dl. В области токов / — /р <€ /р зависимость U от / аналогична зависимости D от /: U(j)-p(T3)L(T3)jp\n- h E.55) Таким образом, вольт-амперная характеристика сверхпроводника с резистивным доменом (/(/) является падающей (рис. 5.13). Отрицатель- Отрицательность дифференциального сопротивления (R(/) указывает на неустойчи- неустойчивость домена в режиме фиксированного тока. Об этом же свидетельствует и уменьшение температуры Тт с ростом /. Действительно, дифференцируя E.50) по /.получаем ЪТ„ 1 Э/ / к—dT — тг Э/ K[W-Q]T Так как Т2 <Тт <Т3 (см. рис. 5.7), то W(Tm)<Q(Tm), откуда в силу Эе/Э/> 0 и следует, что Э Т„, \Ъ\ < 0. Таким образом, при/>/рв сверхпроводнике может существовать стационарный резистивный домен, неустойчивый в режиме фиксирован- фиксированного тока. Его в некотором смысле можно рассматривать как критический зародыш нормальной фазы, образование которого приводит к переходу из метастабильного при/>/р сверхпроводящего состояния (Т=Т0) в нор- нормальное (Т= Т3). В самом деле, из-за неустойчивости домена, любое малое возмущение, приводящее к охлаждению домена, вызывает его исчезнове- исчезновение. Аналогичным образом, малое возмущение, приводящее к разогреву домена, ведет к его расширению, т.е. к распространению нормальной зоны на весь образец. Энергия, необходимая для образования домена, характери- 180
зует, тем самым, уровень возмущений, инициирующих тепловое разруше- разрушение сверхпроводимости в присутствии транспортного тока [219, 222]. Рассмотрим в качестве примера модель со ступенчатым тепловыделени- тепловыделением. Решение уравнения E.31), описывающее резистивный домен в беско- бесконечном образце, имеет вид E.56) Ctl(IJ/lL) 0(z)=] 0,exp[(/)-2z)/2Z,l, 2z>D, E.57) 0„,(О = а/2 - у/а214 - 2ш2 0,(г) , E.58) а/2 Д@=?1п E.59) ш2 ~20Дг) где бт@ — максимальная температура в домене, D(i) — длина его несверх- несверхпроводящей части. В данной модели вольт-амперная характеристика ?/(/) = = pjD(i),T.e. ш2 U{i) = Lpisi\n E.60) m2 - 2вг(г) Если /j (Г) линейно зависит от Т, то 0Г = 1 — г. Иэ E.58), E.59) следует,что при уменьшении /от единицы до ip длина D(i) возрастает от нуля до бесконечности, а температура веп(г) увеличива- увеличивается от в,. A) = 0 до 2&r(ip). В интервале токов г, < г < 1 величина 0т < 1, тем самым весь домен находится в резистивном состоянии. При/р </</, в центре домена имеется нормальная область. Для рези- стивной модели выражение для it имеет вид г,= а-1/3. E.61) Вольт-амперная характеристика U(i), описываемая формулой E.60), качественно аналогична изображенной на рис. 5.13. Всюду выше предполагалось, что ток через образец фиксирован. Такой режим является предельным случаем, так как сверхпроводник всегда включен в ту или иную электрическую цепь. Соотношение между парамет- параметрами этой цепи может влиять на устойчивость домена и при определенных условиях приводить к его стабилизации. Тогда в сверхпроводнике образу- образуется стационарная нормальная область, не распространяющаяся на весь образец. Рассмотрим устойчивость резистивного домена более подробно. Как обычно, при анализе на устойчивость по отношению к малым возмущениям будем искать решение уравнения E.5) в виде T{z, r)=F T(z) + к f фп(г)е7"'. п = о Здесь T(z) — стационарное распределение температуры в домене, а второе слагаемое описьюает малое возмущение 5 T{z, t) < T{z), имеющее инкре- инкременты у„ (п = 0, 1, 2,...). Начнем с анализа устойчивости домена в режиме фиксированного тока. Тогда, линеаризуя уравнение E.5), получаем для определения ф„{г) сле- 181
дующую задачу на собственные значения уп: \ - *TI Ol E62) dzi к \ ЪТ I *и(±~)=0, E-63) где/= W - B, а зависимость функций f(T), к(Т) и ('(Г) от z определяется распределением r(z), Неустойчивости отвечает наличие хотя бы одного 1 Рис. 5.14. Эффективный потенциал — для домена. Штриховые — положения "энергетических уровней", соответствующих значениям уп собственного значения с Re yn > 0. Заметим, что если отношение v/к не зависит от Т, то уравнение E.62) аналогично одномерному уравнению Шредингера для связанных состояний с энергией Е„ = у„ v(k. Потенциал 1 Э/ — — зависит от конкретного вида T(z), в частности, для домена он пред- к ЪТ ставляет собой две потенциальные ямы (рис. 5.14). Одно из решений уравнения E.62) имеет вид dT(z) *„(?)*к{Т)-—. 7„ = 0. E.64) dz Действительно, подставляя E.64) в E.62), получаем dz' dT dz К. ЪТ dT Ъг d dz f d dT 1 ¦ —к— -ДГ) =0. (dz dz I Последнее равенство выполняется тождественно, поскольку T{z) в домене удовлетворяет стационарному уравнению E.14) с v = 0. Возмущение E.64) соответствует малому сдвигу распределения T(z) как целого вдоль оси z. В однородной среде этот сдвиг не приводит к изменению Г(г), следовательно, такому возмущению отвечает у= 0 (домен находится в состоянии "безразличного равновесия"). Устойчивость распределения T(z) удобно рассматривать с помощью осцилляционной теоремы [223], согласно которой наиболее "опасному" возмущению с максимальным инкрементом -уо отвечает функция #о('). не обращающаяся в нуль на конечном отрезке ( | z | < °°) . В случае TV — S-границы функция фа{г) определяется формулой E.64) (Уо = 0), так как она обращается в нуль лишь при z = ± °°. В силу осцилля- осцилляционной теоремы все остальные возмущения Ф„{г) ел = 1, 2,3,... затуха- 182
ют G„ <0, п = 1, 2, 3, . . .)¦ Следовательно, TV- S-граница устойчива в режиме фиксированного тока. Для резистивного домена функция dT(z)/dz обращается в нуль при г = О, тем самым собственное значение у = 0 не является здесь наибольшим и существует возмущение Фо{г), нарастающее с инкрементом 7о > 0. Оно отвечает расширению или сжатию домена в режиме фиксированного тока. Такого рода неустойчивость аналогична неустойчивости доменов электри- электрического поля в полупроводниках (см., например, [224—226] ). Получим оценку величины -у о для домена при D>L, воспользовавшись отмеченной выше квантовомеханичекой аналогией. В этом случае волновые функции \p(z) локализованы в ямах изображенного на рис. 5.14 потенциала 1 Э/ — — . Каждая такая функция отвечает основному состоянию в изолиро- к ЪТ ванной яме и описывает наиболее "опасные" возмущения с у = О, приводя- приводящие к сдвигу границ домена. Их слабое при D> L взаимодействие приводит к расщеплению уровня у - 0 на два: 7 = 7| = Ои-у = 7о>0 (см., например. [223]), где 7о -Г-Jexp [-Д(/)/?]. E.65) В модели со ступенчатым тепловыделением выражение для -уо может быть получено точно. В это^ случае уравнение для малых возмущений температуры 50 (z/L)exp(Xf/th) имеет вид 50"- 1+Х б( \z\ ~ — J 50 = 0, E.66) где Л = yth — безразмерный инкремент, a D(J) определяется формулой E.59). Решение уравнения E.66) с учетом граничного условия 50(+ °°) = 0 приводит к дисперсионному соотношению для определения Хо = y<jth: jl+thl jj0,Vl+Ao=m2. E.67) В пределе i-> ip, (a/2 -> 20(.) из E.67) получаем Ло = 4ехр(-D/L) = 4(а/2 - 20,.(/))/ш2, E.68) что согласуется с оценкой E.65) . Остановимся теперь на устойчивости резистивного домена при включении сверхпроводника в электрическую цепь, когда изложенный выше анализ следует провести с учетом возмущений, изменяющих ток в образце. Для этого рассмотрим дифференциальный импеданс Z(<J) [81, 224 — 226], определяющий линейный отклик сверхпроводника на малое возмущение тока 5/ =" exp(z'cof) с частотой со*), где , со) dz. E.69) / _<*, 5/(со) *) Использование обозначения i для двух различных величин {i = jljsK i = x/- Г) не приведет к недоразумениям, так как вторая из них всюду будет возникать лишь в комбинации /и>. ¦ 183
Здесь 3E(z, со) — изменение электрического поля в образце за счет флук- флуктуации 5/(со) . Ограничимся случаем домена большой длины (D>L), когда Гй7о "^ 1 (см. E.65) ). Тогда для исследования устойчивости домена можно восполь- воспользоваться выражением для Z(oj) в области низких частот (согй "^ 1) где (см. Приложение П2) : Z(co)= fim(/) + . '"—, E.70) 1 - ltO/Jo , У\ Эр/ЭГ 3aecbfi.(j) = dU/dI - статическое дифференциальное сопротивление, (/(/) Рис. 5.15. Эквивалентная ектрическая схема сверхпроводника с резистивным доменом nD(j) определяются соответственно формулами E.54) и E.51), ауо{П - инкремент E.65) наиболее "опасного" возмущения i^o(z). Эквивалентная электрическая схема сверхпроводника с доменом изображена на рис. 5.15, где fid = <R - fim < 0, a Cd = [(«„, - &)у0]"' > 0. Рассмотрим с помощью соотношения E.70) устойчивость резистивного домена при включении сверхпроводника в электрическую цепь. Пусть, например, образец шунтирован сопротивлением fi0 и индуктивностью ?. Тогда 11 1 Zc(lo) Z(lo) (fio+голС)' где Zc(to) — полный импеданс системы, полюсы которого определяют спектр собственных частот рассматриваемой цепи. Соответствующая зави- зависимость со = со(/, fio, <C) имеет вид гсо = — [?7о - fip + V(JC7o - fipJ + 47оХ(« + «о)], I w | Г„ < 1, E.72) где fip(/)=fio +fim(/), а ток через образец / находится из соотношения E.73) Здесь/0 - ток во внешней цепи, а (/(/) определяется соотношением E.54). Графическое решение уравнения E.73) показано на рис. 5.13, где штрих- пунктиром изображена нагрузочная прямая (/о -/)fio- Резистивный домен устойчив, если Imco > 0. Рассмотрим сначала случай ?=0, тогда условие устойчивости имеет вид fio < I dU/dl | . E.74) Из рис. 5.13 видно, что неравенство E.74) выполняется для состояния, 184
которому соответствует точка 1, тем самым, шунтирование образца приво- приводит к стабилизации резистивного домена. Отметим, что условие устойчиво- устойчивости E.74) справедливо не только в рассмотренном выше случае D^-L, но также и для домена произвольной длины [224 - 226]. Оно имеет простой физический смысл, так как сводится к требованию положительности полного дифференциального сопротивления цепи, состоящей из сверхпро- сверхпроводника с резистивным доменом, подключенного параллельно к сопротив- сопротивлению <R0 т.е. 6Шо >0. E.75) <R+«o Поскольку <R(/)< 0, то неравенство E.75) справедливо, когда <R + <R0 <0, что эквивалентно E.74). Выполнение условия E.74) обеспечивает устойчивость домена лишь при достаточно малых индуктивностях ?<?к. В противном случае домен теряет устойчивость относительно возмущений 5 Т и 5/, осциллирующих с частотой сок. Выражения для ?к и сок можно найти из дисперсионного соотношения E.72): (ftp + <R,,,G) ? ,2к=-. - . E.76) «-к Более подробно неустойчивость домена при<С><СК, приводящая к автоко- автоколебаниям нормальной зоны, будет рассмотрена в § 5.6. Обсудим теперь динамику резистивного домена в шунтированном образце при ?<<R0 th и D>L, когда движение границ домена можно рассматривать независимо друг от друга. Если ток в сверхпроводнике меняется медленно (г,, dl/dt<l), то распределение температуры в домене является квазистационарным, а скорости его границ ±и(/) определяются мгновенным значением I(t) . В результате приходим к следующей системе уравнений (см., например, [25]): dD — =2и(/). E.77) dt ID (/о-/)«о=Р(Гз)~, E.78) А гдеи(/) - скорость движения TV - S-граниЦЫ. Система E.77), E.78) имеет одно устойчивое стационарное решение D = Do, I~Ip, соответствующее точке / на рис. 5.13 в пределе D>L, где E.79) Пусть теперь при t = 0 на сверхпроводник подействовало возмущение, приводящее к зарождению в нем нормальной зоны длиной D@) > L. За время порядка th в образце произойдет релаксация температуры к квази- квазиравновесному распределению Т(г), а тока — к величине /@), определяемой из уравнения E.78) cD = D@). Далее, если D@) <Dv, то /@) >Ip. Это приводит к распространению нормальной зоны и, соответственно, падению 185
Рис. 5.16. Вольт-амперная характеристика шун- шунтированного сверхпроводника с резистивным доменом ¦1, *r h 1„ I вплоть до / = Ip, когда скорости TV—5-границ станут равными нулю, а D = Do. Аналогичным образом, при D@) > Do произойдет увеличение / вплоть до /р и уменьшение длины D от D@) до Д> • Характерное время td, за которое установятся равновесные значения D = ?H и / = 1р можно найти из E.77), E.78): E.80) A Уравнения E.77), E.78) применимы, если td > th, т.е. <Ro/o > <R/,/p. Это же условие необходимо и для выполнения неравенства Do > L. При характер- характерных значениях параметров (р « 3 ¦ 100 Ом • м,/, «0,02 м, А ~ 10~s м2) сопротивление fi/, «6 • 10~7 Ом. Подстановка формулы E.79) в соотношение U(I0) = pID0/A приводит к следующему выражению для вольт-амперной характеристики шунтирован- шунтированного сверхпровЪдника: = (/o-7p)«o*' E.82) Кроме этой ветви имеется и неустойчивая (падающая) ветвь, которой отвечает точка 2 на рис. 5.13. Полная вольт-амперная характеристика шунтированного сверхпроводника изображена на рис. 5.16. Ток восстанов- восстановления сверхпроводимости 1Г отвечает слиянию точек / и 2 на рис. 5.13. § 5.4. Разрушение сверхпроводимости тепловым импульсом При /> /р сверхпроводящее состояние является метаотабильным, т.е. оно устойчиво по отношению к малым возмущениям, но может быть разрушено сильным воздействием, приводящим к зарождению и последую- последующему распространению нормальной зоны. Этот параграф посвящен вычисле- вычислению минимальной энергии Qc возмущения, инициирующего процесс тепло- теплового разрушения сверхпроводимости в присутствии транспортного тока. Возмущения, действующие на композитный сверхпроводник, обычно имеют локальный и импульсный характер. Это могут быть, в частности, прерывистая пластическая деформация, трение сверхпроводника о подлож- подложку, локальный скачок магнитного потока и т.п. В результате, разрушение 186
сверхпроводимости начинается первоначально в каком-либо "слабом" месте образца, отличающимся от остальной его части либо уровнем дейст- действующих возмущений, либо ухудшенными механическими, электрическими или тепловыми характеристиками. Задача об определении критической энергии Qc формулируется следую- следующим образом. При t = 0 на сверхпроводник действует импульсное возму- возмущение с удельной мощностью Qp {z, t) ¦ Оно приводит к локальному разо- разогреву образца и появлению'В нем нормального (или резистивного) зароды- зародыша. Требуется определить минимальную энергию возмущения Qc=fdzfQp(z,t)dt, E.83) превышение которой ведет к неограниченному росту такого зародыша за счет джоулева тепловыделения*). С математической точки зрения речь идет о нахождении соответствующих решений нестационарного уравнения теплопроводности ЪТ Ъ ЪТ . v{T) — = — к (Т) — + Q(T) - W(T) + Qp(z, t), E.84) Ъг Ъг Ъг удовлетворяющих следующим начальным и граничным условиям: = 0. E.85) ЪТ T(z,0)=T0, T(±°°,t)=To, — bz В композитных свехпроводниках зависимости v, Q и (С от Т являются довольно сложными и решение нелинейного уравнения E.84) в частных производных возможно лишь численно. Такие расчеты, выполненные, например, в работах [191, 193, 227 — 229, 234 - 237], позволили опреде- определить величину Qc с учетом конкретных температурных зависимостей параметров сверхпроводника и охладителя. В конце этого параграфа мы обсудим результаты этих расчетов, а также их соответствие эксперимен- экспериментальным данным. Здесь же отметим, что величина Qc зависит от большого числа различных параметров. В общем случае это не позволяет получить достаточно простой связи Qc с такими характеристиками как транспортный ток, параметр Стекли а, длительность tq, протяженность Lq возмущения и тд. Рассмотрим сначала задачу об определении Qc качественно. В § 5.3 уже отмечалось, что метастабильное при / > /р сверхпроводящее состояние можно разрушить, создав в образце критический зародыш нормальной фазы — резистивный домен, образование которого приводит к распростра- распространению нормальной зоны. Энтальпия Qa, необходимая для зарождения такого домена, определяет характерную энергию возмущения, инициирую- инициирующего разрушение сверхпроводимости в присутствии тока [219, 220]. По- Поскольку температура в домене Тт ~ Тс, то величину Qa можно оценить как E.86) •) Всюду в этом параграфе рассматривается образец бесконечной длины. 187
Таким образом, энтальпия Qd зависит от / аналогично D(j) , т.е. монотон- монотонно возрастает от нуля до бесконечности при уменьшении тока от Is до 1р. Рассмотрим функцию QdO) подробнее. Величина Qd равна ГB) Qd=A f dz f v(T')dT', где T(z) — распределение температуры в домене. Переходя в этой формуле от интегрирования по z к интегрированию по Т,находим с помощью E.49) т„, т v{T')dT'. E.87) Здесь S(Т) определяется формулой E.17), а Тт —максимальная темпера- температура в домене. Для модели со ступенчатым тепловыделением формула E.87) дает О, .2| «'" — = ar In— , Qh ш2-20г(/)' E.88) где Qh = vA(Tc — T0)L. Врезистивной модели (см., например, [228]) : 2а/A-/)Г. . 1 /* 1 VI -=Ц ш3>1, JOLlJ J ;СПA-/)Г 1 /7Г d/— I L \Joii - 1 \ 2 + arcsin E.89) + m2ln . E.90) Случаи E.89) и E.90) отвечают отсутствию (гг</<1) и наличию (ip</</r) нормальной области в домене, где ip и it определяются соотношениями E.21) и E.61). Функция Qa{i) для двух рассмотренных моделей при /-> 1 линейно обращается в нуль, а при уменьшении i — монотонно возрастает, стремясь при/->/р к бесконечности. Такая зависимость согласуется с формулой E.86), полученной из качественных соображений, и имеет простой физиче- физический смысл: увеличение тока ведет к уменьшению размера области (~ D), разогрев которой на ДГ~ УД/) — 7Ь вызывает распространение нормаль- нормальной зоны. Возмущение, действующее на сверхпроводник, кроме полной энергии Qp характеризуется также длительностью'^ и распределением удельной мощ- мощности Qp(z, t) вдоль образца. По этой причине критическая энергия зависит как от параметров сверхпроводника и охладителя, так и от вида функции Qp(z, t). В частности, энтальпия Qd является критической энергией для таких возмущений, которые создают в образце начальное распределение температуры, близкое к ДО в домене. Для произвольного возмущения поле температур в сверхпроводнике может существенно отличаться от 188
T(z) в каждый момент времени, поэтому при данном виде Qp(z, t) вели- величина Qc может быть как больше, так и меньше, чем Qd. Тем не менее, энтальпия Qd является величиной того же порядка, что и Qc для наиболее характерных возмущений, поэтому ее часто используют для оценки пре- предельно допустимого уровня внешних воздействий, не вызывающих разру- разрушения сверхпроводимости. Последнее связано еще и с тем, что расчет Qd по формулам E.87) — E.90) оказывается более простой задачей, чем нахождение критической энергии Qc. В общем случае величину Qc можно найти лишь численно. Достаточно простые аналитические выражения для Qc в ряде случаев удается получить в модели со ступенчатым тепловыделением и в резистивной модели. При этом можно исследовать и динамику нормальной зоны после воздействия сильных возмущений. Для дальнейшего уравнение E.84) удобно переписать относительно температуры 6(z, t): в = в" - в + ш2 г{в, /) + q{z, t), E.91) где q(z, t) = Qp(z, t)A/Ph(Tc ~ To) - безразмерная мощность возму- возмущения, г{в, i) — функция, изображенная на рис. 5.11, а точка означает дифференцированию по безразмерному времени т = t/tf,. Рассмотрим для начала динамику нормальной зоны в модели со ступен- ступенчатым тепловыделением. При этом удобно перейти от E.91) к уравнению, непосредственно описывающему D{t), исключив "избыточную" в данном случае информацию о деталях функции в (z/1). Вывести его можно сле- следующим образом. С помощью функции Грина запишем решение уравнения E.91) 6(z, t) , зависящее от длины нормальной зоны?)(г) , и воспользуемся граничным условием 0(z, t) = вг при 2| z | = D{t). Это приводит к интеграль- интегральному уравнению для/)(г) [230]: 26r=]du / dxqlx- l- 23(т),т-J -^expf- — - о L ' 2 J у/ш \ Ли + aJV(T-M)exp(-MHerf I — I о I L 4V" J г\20(т-и)+3)(т)]\ + erf — | du, E.92) где SD(t) = D(t)/L — безразмерная длина нормальной зоны, a erf(x) — интеграл вероятности: 2 х erf(x) =—— / ехр(- t )dt. При выводе E.92) предполагалось, что нормальная зона возникает в момент времени т = 0. Решения уравнения E.92) зависят от энергии возмущения Qp, а также от соотношения между его длительностью tq и протяженностью Lq по сравне- сравнению с тепловыми временем th и длиной L соответственно. Рассмотрим 189
о 0.1 0,2 0.3 4 О 02 0.4 Рис. 5.17. Зависимость 9) (т) после локального импульсного возмущения (С = 0,985 Qc О); 0,999 Qc B); 1,001 Qc C); Q = 1,01 Qc D); 1,3 Qc E); 5 Qc F)) [231] Рис.5.18. Зависимость^) [2311 сначала случай точечного импульсного возмущения {ttj<th, Lq < L), когда ^(z, t) = ^o5(z/IN(t), где q0 - безразмерная энергия возмущения, выраженная в единицах Qh = vAL(Tc - То). Полагая, что / не зависит от т, из E.92) получаем [231] 20, Oil 12у/тгт Г SD\r) 1 ехр -т L 16т J erf 25(т-м)- 25(т) - ц) + Ж (г) ] j du. E.93) На рис. 5.17 изображены результаты численного решения этого уравнения, соответствующие распространению нормальной зоны при Qp > Qc и ее схлопыванию при Qp<Qe. Из E.93) следует, что величина QdQhOLi2 зависит только от одного безразмерного параметра *=¦ вг hAP[Tr(I)-T0) ,,•2 изменяющегося от 0 до 1/2 при уменьшении/ от/5до/р. Таким образом, Qc = Qi^i2 ${?) ¦> где ^E) — универсальная функция % (результат численно- численного расчета </>(?) показан на рис. 5.18). В интервале 0 < \ < 0,475 функция </>(?) аппроксимируется формулой 2,3?3'2A - 25)'2 с точностью не хуже 3% [231]. Это позволяет получить выражение для Qc. при Lq •</-, tq < th в виде Qc = 2,3 шг Qh {pI2-2hAP[Tr{I)-T0])ll2 E.94) 190
Критическая энергия Qc, как видно из E.94), возрастает от нуля до бесконечности, если ток уменьшается от Is до 1р. При / -> Is величина Qc не зависит от интенсивности тегшоотвода и стремится к нулю, как (/5 - /K'2 [175,191, 193]. Физически это связано с тем, что для / « Is и Qp < Qc возмущение (в основном приближении по %<1) демпфируется теплопроводностью. Отметим еще, что при /-> 1р величина Qc'v- (/ - Ip)~112. В случае точечного теплового импульса {tQ <$ гй) критическая энергия может быть найдена и в резистивной модели [227]. Пусть, например, исходное возмущение не приводит к разогреву сверхпроводника выше Тс, тогда при Л = 0 выражение для Qc имеет вид Соотношения E.94) и E.95) можно получить из простых физических соображений. Действительно, если tq < th, то Qc~vAATlc, где ДГ^ГД/) — Го — характерное изменение температуры, необходимое для зарождения нормальной зоны, а 1С — критическая длина этой зоны. Превышение 1С приводит к преобладанию джоулева тепловыделения над теплоотводом в охладитель и теплопроводностью, т.е. кАТ pi1 hP Здесь г (в) фактор E.23), учитывающий уменьшение тепловыделения в резистивном состоянии, у — число порядка единицы. В модели со ступенчатым тепловыделением г(в) = I при Т> Тг и L ~ c yjpp -yhAPAT Подставив эту формулу в оценку для Qc, получим выражение E.94) с точностью до численного коэффициента. При этом следует положить у = 2, что обеспечивает расходимость Qc, когда I'-*¦ 1р. В резистивной модели в интервале Тг < Т < Тс величина г(в) ~ ATIsj{Tc — ТоI. В результате длина , А[(Тс-Т0)кI12 yhAP(Tc - П) не зависит от Д Т{1). Подставив это соотношение в оценку для Qc и поло- положив h = 0, получим формулу E.95). Сравнение E.88) - E.90) и E.94), E.95) показывает, что критическая энергия Qc в случае точечного теплового импульса может быть как больше, так и меньше энтальпии образования резистивного домена Qd. Так, напри- например, при/ ^ Is величина Qc < Си- Это особенно наглядно проявляется, если И ->•(), когда Qd ~vAATL ^ h '2 ->°°, а (^.стремится к конечному пределу. В то же время, при /-> 1р имеет место обратное соотношение: Qc>Qd, поскольку&¦«" (/-/pr1/2,aGd » ln(/-/p). 191
Мы рассмотрели, таким образом, зарождение и распространение нор- нормальной зоны в результате воздействия локального импульсного возмуще- возмущения (Lq <L, tq <th). Увеличение длительности возмущения tq приводит к росту критической энергии Qc, так как за время tq некоторая ее часть отводится в охладитель. По этой причине наиболее "опасными" с точки зрения стабильности сверхпроводящего состояния являются "быстрые" (tq ^ th) возмущения, обладающие минимальными значениями Qc. Остановимся на случае "медленного" локального возмущения, когда tq > th,Lq <L,a его мощность Qa не зависит от времени. Тогда E.96) Нахождение Qc сводится здесь к определению критической мощности Qac, превышение которой ведет к неустойчивости квазистационарного распреде- распределения температуры в сверхпроводнике. Получим общее выражение для Qac, записав вместо E.84) стационарное уравнение теплопроводности, в котором возмущение описывается как точечный источник тепла [232, 233] {Lq<L): d (IT . — к—+G- W + fi,6(z) = 0. E.97) d* dz Рассмотрим симметричные решения этого уравнения (T(z) = Т{— z)), соответствующие ситуации, когда весь образец, кроме некоторой области вблизи возмущения, находится в сверхпроводящем состоянии (Т(± °°) = = То). Проинтегрировав E.97) по z от -0 до +0, находим граничное усло- условие при z = +0. к ат dz Qa +0 E.98) Далее, умножим E-97) на ndT/dz и проинтегрируем по z от +0 до °°. Тогда 1 / dT\2 -["—) =S(Tm), E.99) 2 \ dz I to где 7^,, = 7X0), a S(Г) определяется формулой E.17). Воспользовавшись граничным условием E.98), из E.99) получаем уравнение для Т,„ [233]: S{T,n)=Qia/S. E.100) Если уравнение E.100) имеет решение, то интересующее нас стационарное распределение J(z, Tm) существует-и описывается формулой E.49). Это имеет место при достаточно малых величинах Qa. Превышение критической мощности Qac приводит к такому разогреву метастабильного сверхпро- сверхпроводящего состояния, что тепловое равновесие становится невозможным и нормальная зона начинает распространяться на весь образец. Сказанное иллюстрируется рис. 5.19, на котором показано графическое решение уравнения E.100). Видно, что при малых Qa это уравнение имеет два корня*) , исчезающих, если Qa > Qac. Критическая мощность Qac отвечает *) Анализ на устойчивость, подобный изложенному в § 5.3, показывает, что точка а на рис. 5.19 отвечает устойчивому, а точка Ь - неустойчивому распределениям Т (г, Тт). 192
Qc DM т 0,2 0,6 1.0 Рис. 5.19. Графическое решение уравнения E.100) Рис. 5-20. Зависимость Qc(i) (а = 100 (./); 30 B); 10(i); 2D); tq = 100 t,,/a; Соизмерено в единицах ??/,ц.~ ' - Расчет проведен для резистивной модели [235 ] слиянию точек а и Ъ. Подставляя в E.96) выражение для Qac, найденное с помощью E.100), получаем окончательно: /"),/], E.101) где температура Т2{/') соответствует точке 2 на рис. 5.4. В модели со сту- ступенчатым тепловыделением общая формула E.101) дает: ^- A-0- t E.102) В резистивной модели выражение для Qc несколько усложняется: . = 2AvL{Tc-T0)- A-i ai - 1 E.103) Таким образом, в случае tq'P ttJ, Lq^L критическая энергия Qc прямо пропорциональна tq и уменьшается с ростом тока. Отметим лишь, что при tq&th формулы E.101)—E.103) справедливы во всем интервале /р< /< 1, кроме узкоц окрестности 6/ вблизи ip [235]. Действительно, рассматриваемое возмущение вызывает распространение нормальной зоны, если за время tq ее длина превысит длину неустойчивого резистив- ного домена ?)(/), т.е. llllE. lnJjL i -J E.104) где и(/) — стационарная скорость IV— 5-границы. При фиксированной величине tq {tq^ti,) условие E.104) перестает выполняться, если/ ~*7р, что приводит к резкому возрастанию критической энергии Qc в области /«/р (рис. 5.20). Суммируя изложенные результаты, можно представить зависимость Qc от tq следующим образом. При tq <th величина Qc стремится к конеч- конечному пределу и в области 0< tq ^ th слабо зависит от tq. По мере даль- дальнейшего увеличения tq энергия Qc начинает возрастать, выходя на линейную 13. А. В л. Гуревич 193
40- 10 4 2 1 ec(ts)/Qc(l0~sc) о/ о/ о/ ID5 ID'" W'3 W~2, . tD~' tq,C Рис. 5,21. Зависимость Qc(tq) для локальных возмущений (крестики образец в вакууме, кружки - в жидком гелии). Измерения проводились на компо- композите с диаметром 1,17 • 1(Г3 м; *Cu/*Nb-Ti = 1: Яо = 1 Тл; / =6,33 • 10е А/м2 [191] зависимость от tq при ГЧ>Г/,- Подобное поведение Qc{tq) неоднократно наблюдалось экспериментально (рис. 5.21). Вернемся к наиболее "опасным" возмущениям с tq •< f>, и рассмотрим, как зависит Qc от распределения удельной мощности Qp(z, t) по длине образца. В рамках модели со ступенчатым тепловыделением для этого необходимо исследовать уравнение E.92) с q{z, т) =qf{z) 6(т). В неко- некоторых случаях, например, при Lq >?)(/) выражение для Qc может быть получено в общем виде. При /> /р для разрушения сверхпроводимости в образце следует создать критический зародыш нормальной фазы — резистивный домен длиной D(f). Следовательно, величина D(j) определяет характерный размер возмущения, для которого энергия Qc зависит от деталей распределения Qp(z, t). В том случае, когда Lq >?)(/), фактически имеет место однород- однородный нагрев сверхпроводника. При этом, как показано в § 5.1, для перехода в нормальное состояние {Т = Т3) его следует нагреть до Т>Т2. Таким образом, если tq <th и Lq >D(j), то величина Qc является минимальной энергией, которую необходимо затратить для мгновенного однородного разогрева области длиной Lq от То до Т2, т.е. Qc=ALqf v{T)dT. E.105) То Формулы для Qc в явном виде могут быть получены в модели со ступен- ступенчатым тепловыделением: Qc = А (Тс - Го) vLq A - /), E.106) а также в резистивной модели [234]: Qc=A{Tc-T0)»Lq ai - 1 E.107) 1 формулы E.106) и E.107) практически совпадают. 194
Рассмотрим теперь влияние длительности возмущения tq на величину Qc при Lq >?)(/). Пусть на область сверхпроводника длиной Lq в течение времени tq действует прямоугольный тепловой импульс. Тогда выражение для Qc может быть получено, например, в резистивной модели, где уравне- уравнение теплопроводности E.91) является кусочно-линейным [234]: Qc=A(Tc-T0)vLg ^ C1 — />/{ 1 -ехр[(~ - ») -]}• E-108) Из E.J08) следует, что критическая энергия монотонно возрастает с рос- ростом tq. Причем в области tq <th E.108) переходите E.107),а при tq > th величина Qc растет прямо пропорционально tq. Таким образом, для малых tq и Lq {tq <^th и Lq •</)(/)) величина Qc стремится к конечному пределу, который определяется соотношениями E.94), E.95), а для больших Lq и tq (Lq>D(j), tq>th) она линейно возрастает с увеличением Lq и tq. Сделаем еще одно замечание относительно зависимости Qc от Lq. Начи- Начиная с Lq ~ D(j), критическая энергия Qc зависит от распределенияQp(z, t) вдоль образца. Тогда для определенного класса возмущений значение Qc может оказаться меньше, чем в двух рассмотренных выше предельных случаях Lq •</)(/) и Lq >?)(/). Это означает наличие минимума у функции Qc(Lq) при Lq ~ D{j) (см., например, [234]). Такая ситуация возникает, в частности, для модели со ступенчатым тепловыделением, если Lq <L,a j <*/р. Здесь в интервале 0,45 < ? < 0,5 величина Qc оказывается больше энтальпии образования резистивного домена Qd, что свидетельствует о минимуме у Qc(Lq) npnLq ~D(/) (см. E.88) и E.94)). К такому же выводу приводит и сопоставление формул E.94) и E.106). Действительно, наличие минимума у Qc{Lq) означает, что энер- энергия Qc(Lq =0) (см. E.94)) больше того значения Qc(Lq), которое дает соотношение E.106) на границе своей применимости, Lq~D(j). Это условие выполняется в области ]^]р, где G?.«»(/ ~ipYll2 тя Lq <L и Qc^DU) '-" М/Д/-/р)~'] тя Lq~D(f). Тогда функция Qc{Lq) имеет минимум при Lq ~ D{/~), где величина Qc близка к энтальпии обра- образования резистивного домена Qa. Сказанное выше иллюстрируется рис. 5.22. Обратимся теперь к экспериментальным данным по разрушению сверх- сверхпроводимости тепловыми возмущениями и их сопоставлению с результа- результатами численных расчетов. Типичные для композитного сверхпроводника зависимости Qc(j) приведены на рис. 5.23; видно, что они качественно соответствуют изложенным выше результатам. При оценках Qc следует учитывать температурные зависимости пара- параметров сверхпроводника и охладителя. В рассмотренных выше качествен- качественных моделях с постоянными k,v, ри h это может быть сделано, если взять их значения при Тс — характерной температуре, превышение которой вызывает распространение нормальной зоны. Полагая, например, Те — То ** « 5 К, Те ~ 10 К, А\Р « 10 м, к(Тс) « 2- 102 Вт/м • К, v(Te) « « 8 ¦ 103 Дж/м3 ¦ К, h = 250 Вт/м2 • К, получаем: 1^3- 10~2 м, Qc ~ Qh ~ ~ 10 Дж. Эта оценка применима для а>1 и отвечает промежуточной области токов 1р<1< /, на рис. 5.23. Количественное сравнение теории с экспериментом оказьшается довольно затруднительным, в основном, из-за недостаточной информации о темпе- 195
Ос to 2 6 10 Рис. 5.22 10 5 1 0,5 0,1 0,05 0,01 i i i i а i i 10 Рис. 5.24 20 15 10 fl_L 0,25 0,50 0,75 1 Рис. 5.23 Рис. 5.22. Зависимость Qc(Lq,tq 0); а-2; Qc и Lq измерены в единицах Qha^1!2 и La~ll2. Расчет проводился для резистивной модели [234] Рис 5.23. Зависимости QC{T) для ло- локальных импульсных возмущений (кружки - 3,6 Тл < В < 4,1 Тл; точки- 0,8 Тл < В < 1,2 Тл). Измерения про- проводились на композите A0~3 м х Х6-10-* м); xc/xMb-Ti =1,82 [192] Рис. 5.24. Зависимость QC(I): / - экспе- эксперимент; 2 -расчстдляразличных W (T) ; сплошная линия - Qa(h [236] ратурной зависимости мощности теплоотвода W{T). На рис. 5.24 в качест- качестве иллюстрации показано сопоставление результатов численных расчетов критической энергии Qc с экспериментальйыми данными [236]. Как видно, расчет дает ту же качественную зависимость QC{I), что и эксперимент, однако количественное различие между ними довольно чувствительно к детальной форме кривой W{T). Влияние нестационарности теплоотвода на величину Qc также является довольно существенным, а учет соответ- соответствующих поправок может увеличить расчетные значения Qc в несколько раз [237]. 196
§5.5. Локализация нормальной фазы в неоднородных сверхпроводниках Композитные сверхпроводники в той или иной мере всегда неоднород- неоднородны. Это обусловлено рядом причин и, в частности, технологией их изготов- изготовления. В результате, такие характеристики как/5, р, к, химический состав сверхпроводящих жилок, поперечные размеры и т.п. могут изменяться вдоль проводника. На рис. 5.25 показано, как изменяются сопротивление в нормальном состоянии (fy, и критический ток Is вдоль промышленного сверхпроводящего композита [238] — в данном случае неоднородности Рис. 5.25. Распределения: 1- <rtn(z); 2 - /5(г) вдоль промышленного компози- композита [238] 6 г,Югп в &.„ и Is порядка 10%. Та же величина характерна и для неоднородностей химического состава использующихся обычно сплавов Nb—Ti (см., напри- например, [239]). Помимо "технологических" неоднородностей могут быть неоднородны и внешние условия, в которых находится композитный сверхпроводник (например, распределение магнитного поля, условия охлаждения и т.д.). Наличие тех или иных неоднородностей влияет на характер распростра- распространения нормальной зоны в сверхпроводящих композитах; приводя к лока- локализации в них устойчивых резистивных доменов и Л^ — 5-границ, сущест- существующих в широком интервале токов [233, 240, 241]. В этом параграфе будут рассмотрены свойства таких локализованных доменов и N—S- границ, а также эффекты, обусловленные их возникновением. Статическое распределение нормальной и резистивной фаз в неодно- неоднородном сверхпроводнике описывается уравнением теплопроводности d (IT . — k(T,z)— + Q(T,z)-W(T,z)=0, E.109) dz dz в котором все параметры могут зависеть явно не только от Т, но и от z. Рассмотрим решение этого уравнения, соответствующее резистивному домену или Л^-^-границе, локализованным на изолированной неодно- неоднородности. При произвольных зависимостях параметров от Т и z такие решения можно получить в общем виде в двух предельных случаях: плав- плавной (/„>/,) и точечной (/„</,) неоднородностей, где/„—характерный размер неоднородности вдоль образца*). *)Мы будем рассматривать здесь "макроскопические" неоднородности, размеры которых велики по сравнению с расстояниями между структурными элементами композита в поперечном направлении. 197
Начнем с ситуации, когда ln^*L и, следовательно, параметры сверх- сверхпроводника мало меняются на тепловой длине. При распространении в таком сверхпроводнике N — ^-границы ее скорость и (г) будет медленно меняться, т.е. dX — =v{X). dt E.1 К Здесь X(t) — координата фронта /V-S-границы (Т(Х) =ТС), a v(X) — ее скорость, полученная из уравнения E.18), записанного для каждой точки композита. Положение равновесия TV — 5-границы определяется соотношением Ь(Х) = 0. Его можно переписать в виде [240] E.111) где Ip(z) — локальное значение минимального тока распространения нор- нормальной зоны. Величина /p(z) находится с помощью "теоремы равных площадей" E.19) для каждой точки сверхпроводника. Рассмотрим нормальную зону длиной D> L, возникшую в области образца, где />/p(z). Такая зона будет расширяться до тех пор, пока N — 5-границы не попадут в области с /< /p(z). После этого ее расши- расширение прекращается и образуется статическая нормальная область - ре- зистивный домен, размеры которого определяются из уравнения E.111). В простейшей ситуации, когда зависимость /p(z) имеет один минимум (рис. 5.26,а), длина домена D(l) согласно E.111) монотонн" возрастает -д. 1р@) Рис. 5.26. Локализация резистивного домена на изолированной плавной ('однород- ('однородности: б) графическое решение уравнения E.111); б) зависимостьD(/) а б Рис. 5.27. Локализация резистивного домена при немонотонной зависимости в) графическое решение уравнения E.111): б) зависимость ?)(/) 198
с увеличением / (сплошная линия на рис. 5.26,6). Такой домен является устойчивым. В самом деле, в силу E.110) малое отклонение 3D(t) его границы от положения равновесия удовлетворяет уравнению d dv — 3D = 3D dt bz d? Декремент затухания у возмущения 3D <* exp(yt) равен bv v,, dip у= — bz d± Ip Отсюда, в частности, следует, что для случая, показанного на рис. 5.26, у< 0. Это имеет простой физический смысл. Действительно, превышение равновесных длин D+ и D_ приводит к тому, что границы домена попадают в область с Ip(z) >/, где скорость и(/) отрицательна. В результате, про- происходит уменьшение длины D = D+ +D_ вплоть до равновесной, что сви- свидетельствует об устойчивости домена к малым возмущениям. Наличие немонотонной зависимости Ip=Ip(z) (рис. 5.27,а) приводит к ряду гистерезисных явлений. В самом деле, пусть, например, резистивный домен первоначально возник в центре самой глубокой "ямы". Тогда ею длина по мере увеличения / монотонно возрастает вплоть до 1 = 1+, когда правая граница домена "перескакивает" в соседнюю неоднородность, а длина D скачкообразно увеличивается на величину D2 —D,. Дальнейший рост / приводит к возрастанию ?)(/) вплоть до следующего перескока какой-либо N — ^-границы в соседнюю неоднородность и т.д. В результате, зависимость D(I) имеет ступенчатый характер. На рис. 5.27, бона изобра- изображена стрелками, идущими снизу вверх. Последующее уменьшение тока ведет к монотонному уменьшению длины локализованною резистивного домена (стрелки, идущие сверху вниз на рис. 5.27, б). При / = /+ он делится на два за счет появления внутри него сверхпроводящей "прослойки", а при/=/_ домен, локализованный в области, заключенной между двумя вертикальными штриховыми линия- линиями (рис. 6.27,я), исчезает. Таким образом, в интервале /_ < /< /+ имеет место гистерезис при разрушении и последующем восстановлении сверх- сверхпроводимости в присутствии транспортного тока. Выше рассматривался простейший случай, когда при фиксированном значении / в образце одновременно находятся не более двух локализован- локализованных доменов. Их число может быть и существенно больше, если прямая 1 = 1р пересекает одновременно несколько "ям". Тогда кривая D{I) вообще не будет иметь безгистерезисных участков, поскольку, например, точка 1 на рис. 5.27, б будет лежать выше точки 2. Зависимости (/(/) для сверхпроводников с плавными неоднородностями имеют вид, аналогичный D(I). Они многократно наблюдались и исследова- исследовались как для композитных сверхпроводников [194, 195, 242], так и для тонких пленок [196. 199-201]. Каждый скачок на таких вольт-амперных характеристиках (рис. 5.28) соответствует образованию нового домена или скачкообразному изменению длины одного из уже существующих доменов. Проанализируем изложенное выше на примере модели со ступенчатым тепловыделением. Пусть, для простоты, такие параметры как Л, к и отно- 199
шение А\Р не зависят отz. Тогда 0(z /L ) описывается уравнением в" -e+a(z)i2r)\B -0r(/,z)] =0. E.112) где т? (х) = I при х > 0. т? (х) = 0 при х < 0. Наличие неоднородности проявляется в зависимости от z параметра Стек- Стекли a(z) и локальной температуры перехода в резистивное состояние 0r(z). Решения кусочно-линейного уравнения E.112), описывающие лока- локализованный резистивный домен, могут быть получены при произвольных 10 Рис. 5.28. Ступенчатое разрушение сверхпроводимости транспортным током в композитных сверхпроводни- сверхпроводниках 1195] 100 IiA 125 зависимостях 0,(z) и a(z) [240]. Если 6r(z) =0,(-z), a(z) =a(-z), то уравнение для длины D несверхпроводящей части домена имеет вид SS/2 0r(/.5)) = /2exp(-f)/2) / a(z)chzJz, E.113) о где ?D=DIL. Ограничимся, для простоты, случаем, когда a(z)= [I -s,(z/?J]a0. flr(i.r)= [1 +s2(z/LJ] 6r{i), где s, ~ s2 ~(Ь/1„)г < I; 6r(i) = Br{i, 0); a0 =a@). Эти зависимости соответствуют области с повышенным тепловыделением. Из уравнения E.113) получаем с нужной точностью exp(-3)) + s3J +25@-1 = 0. E.114) Здесь ?@ =0,.(/)/ао/2; 4s =st +s2?- Уравнение E.114) имеет два корня с существенно различными 3): 2), « In , 252 «V- A -25). E.115) 1—25 s Обе ветви функции 25=Ф|,г(/) сливаются при /=/,. «=/р@). В области токов 0 < / - /г < /,. ® 1,2 = 2>,+С\//-/„ E.116) где 2),= ®(/г) ** lnl/s. a C= (| 35/3/|/s25,) |/2. График функции f)(/) подобен изображенному на рис. 5.26, б. Ветвь 3JA) (сплошная линия) соответствует устойчивому локализованному домену. Длина его опреде- определяется из уравнения E.111). Ветвь 2)|(/) (штриховая линия) соответст- соответствует неустойчивому домену в однородном сверхпроводнике с параметра- параметрами а@) и 0,.(/, 0). Физически это связано с тем, что 25|(/) ~ 1- Действи- Действительно, так как ln>L, то для домена с размером Э),(/) ~ I параметры 200
сверхпроводника практически .не изменяются по его длине rf равны а@) и 0r(i, 0). По мере уменьшения/величина 25,G) возрастает иN-S-rpam- цы попадают во все более "холодные" периферические области неодно- неоднородности (s, ~s2 >0). В результате, достигнув критической длины S),~ ~ lnl/s, такой домен скачком исчезает при / = /,-, в отличие от ситуации в однородном образце, где Э5(/) стремится к бесконечности при /~*/р (см/E.5 2)). Вольт-амперные характеристики неоднородного сверхпроводника изобра- изображены на рис- 5.29. В зависимости от соотношения параметров здесь возмож- возможны два случая: /р(°°) </Д0) и /р(°°) >/Д0). В первом из них образец при увеличении тока полностью переходит в нормальное состояние, если I>IS(O). Обратный переход происходит, начиная с /=/р@) < /р(°°) Тем самым в интервале /ДО) < /< /р(°°) в образце находится локализо- локализованный рези став ный домен. Величина /р@) является в данном случае током полного восстановления сверхпроводимости. В ситуации, когда /s@) < /р(°°) при /=/s@) происходит перескок на верхнюю (устойчивую) ветвь вольт-амперной характеристики и в центре неоднородности возникает локализованный резистивный домен. Осталь- Остальная часть образца остается при этом сверхпроводящей, поскольку ls @) < < Ip(°°). Полное восстановление сверхпроводимости наступает, начиная с / = /р@). В обоих случаях процесс разрушения и последующего восстанов- восстановления сверхпроводимости в присутствии транспортного тока сопровождает- сопровождается гистерезисом, связанным с различием величин /р@) и Is @). Наличие в композитном сверхпроводнике нескольких неоднородностей может привести к возникновению серии ступенек на его вольт-амперной характеристике. Это связано с последовательным зарождением резистив- ных доменов внутри каждой из' неоднородностей по мере достижения током соответствующих значений I = IS(X,,), где Хп - координата и-й неоднородности. В результате мы приходим к качественной картине сту- ступенчатого разрушения сверхпроводимости в присутствии транспортного тока, которая уже обсуждалась в связи с рис. 5.27. Отличие заключается лишь в механизме распространения нормальной фазы с ростом /: для случая, соответствующего рис. 5.29,6, сначала происходит зарождение резистивных доменов внутри неоднородностей, а затем их рост и слияние иц. IJ0) I Ic@) Ipf-) 1 6 Рис. 5.29. Вольт-амперные характеристики сверхпроводника с резистивным доменом, локализованным на изолированной плавной неоднородности: а) /р(°°) < Is@); I/O) 1рМ а 201
при увеличении /. Возможна, однако, и рассмотренная ранее ситуация, когда разрушение сверхпроводимости начинается в какой-либо "слабой" точке (z =0, />4@) на рис 5.27,а) и затем осуществляется путем по- последовательных перескоков N — 5-границ в соседние неоднородности, где/,(*„)>/. Обратимся теперь к предельному случаю точечных неоднородностей (/„•</,), который также может быть рассмотрен в общем виде [233, 241]. Вне зависимости от своей конкретной природы локальные {ln<L) неод- неоднородности делятся на две группы. К первой принадлежат неоднородности с пониженным значением критического тока. Они являются "слабыми" точками, на которых впервые начинается зарождение резистивных доменов по мере роста/. Ко второй группе относятся все остальные неоднородности. В рассматриваемой тепловой задаче они являются областями с повышен- повышенным тепловыделением или пониженным теплоотводом. Условие ln^L позволяет переписать уравнение E.109) в виде [233] d dT — к— -/(D+F(rN(z) = 0, E.117) dz dz где f(T)=W(T)—Q(T), неоднородность представлена как точечный источник (сток) тепла F(T)8(z), а все остальные параметры от z явно не зависят. Рассмотрим два типа решения уравнений E.117), описываю- описывающих соответственно локализованные домен и N— 5-границу. Начнем с локализованного домена. В этом случае распределение T{z, Tm) определяется формулой E.49) и существенно зависит от температуры на неоднородности Тт. Уравнение для Тт можно вывести аналогично соотношению E.100): S(Tm)-F2{Tm)l8. E.118) Выражение для мощности теплоеыделения на неоднородности F(T) нахо- находится из условия непрерывности T(z) и KdT/dz при \z\ =ln [241]: 'и F\Tm)=[ f f(Tm,z)dz\1- -8K(Tm)f(Tm)S tZ ff(Tm,z')dz. E.119) о K{Tm,z) о Здесь к(Гт> и f{Tm) - значения к(Г) и /(Г) в однородной часта образца (|г| >/„). Если/ и к не зависят от z, то из E.119) следует, 4ToF(r) =0. Соотношение E.118) сводится тогда к уравнению S{Tm) =0, определяю- определяющему Тт для однородного сверхпроводника (см. § 5.3). Система уравнений E.118), E.119) позволяет рассмотреть все возмож- возможные типы резистивных доменов, которые могут локализоваться на неодно- неоднородности с ln<L. Распределение температуры в каждом из них описывается формулой E.49). Величина Tm(j) является при этом корнем системы E.118), E.119). Из-за существенной зависимости F от Т неоднородность является самосогласованным источником (стоком) тепла, мощность которого F(T) определяется распределением T(z) в цомене. Этим она, в частности, отличается от стационарного микронагревателя, часто исполь- использующегося для диагностики сверхпроводящих композитов [232]. 202
t-i ¦т/в а б В г д Рис. 5.30. Характерные зависимости FOJ@) для неоднородностей в js(z) (кривая 1); в k(z) ир(г) (кривая 2) Рис. 5.31. Графическое решение уравнения E.118) при неоднородности в p(z) для различных /: в)/ </,.; б)/=/г; e)jr<j <jp; г)/=/р; d)j>jp Рассмотрим вид функции F(T) в рамках резистивной модели для некоторых характерных неоднородностей. Пусть на некотором участке сверхпроводника |z| < /„ понижены значения ки/, и повышено р. Такая неоднородность является одновременно и "слабой" точкой и локальным источником тепла. Полагая, для простоты, что все параметры внутри неод- неоднородности не зависят от z, из E.119) получаем 0, (/ \2 ~\ О|8г8,(в-вс)[Fг- 6<6С, в)], 1 -1 E.120) где FU6)=F*{T)AIPKh{Tc-T0J; 6r=p@)/p> 1; 6, =/,@)//, < 1; 0C = 1 - i/6y — температура перехода в резистивное состояние на неодно- неоднородности, р@) и /у @) — значения р и /, внутри неоднородности. Для прос- простоты предполагалось также, что а> 1, а к и р связаны законом Видемана— Франца. Графики функций FlF) изображены на рис. 5.30. Рассмотрим возможные типы резистивных доменов, которые мсгут локализоваться на точечной неоднородности. Их число определяется ко- количеством корней Тт системы уравнений E.118), E.119). На рис. 5.31 показано графическое решение этой системы для неоднородности только в р, когда 6Г = 1, а 6Г> 1. Видно, что число различных типов локализован- локализованных доменов зависит от тока. Так при j>jp на неоднородности может локализоваться один домен, соответствующий точке / на рис. 5.31, при /V < / < jp — два домена (точки / и 2) и, наконец, при / < jr локализо- локализованных доменов вообще не существует. Величина jr определяется из уело- 203
вия касания кривыхS(Г) uF2(T)/8: S(TJr)= j F\T,jr), -^r\s(T,jr)- j F\T,jr^ = 0. E.121) На языке обсуждавшейся в § 5.2, 5.3 механической аналогии локали- локализованному домену отвечает траектория T{z) частицы —S (Г), которая начи- начинает свое движение в точке 7 в потенциале, затем испытывает уп- упругое отражение в одной из точек (/ или 2, на рис. 5.31) и возвращается обратно, имея в точке 7 нулевую конечную скорость. Отсюда, в частности, следует, что при / >/р решение, соответствующее точке 2, не реализуется, так как частица не может попасть в точку 2 в силу закона сохранения энергии. Устойчивость локализованных доменов может быть исследована на основе качественных соображений*). Пусть в домене возникла малая флуктуация температуры и, следовательно, величины Тт. В режиме фик- фиксированного тока домен будет устойчив, если увеличение Тт на ЬТт при- ведет к превышению суммарного теплоотвода / Wdz над суммарным тепловыделением / [Q + F6(z) ] dz в образце, т.е. S^m-|-[./ (W-Q)dz-F(Tm)]>0. Т Тогда условие устойчивости локализованного домена можно записать в виде Э bF\ d dT Так как в силу E.117) /(Г)= к , го dz dz Здесь мы воспользовались соотношениями E.99) и E.118). В результате, получаем условие устойчивости локализованного резистивного домена в режиме фиксированного тока в виде [241 ] F IS- 1 >0. - E.122) Э Т \ 8 / I т,„ Неравенство E.122) означает, что домен устойчив, если при дополнитель- дополнительном теплое ьщелении на неоднородности (Я>0) угол наклона касательной к графику S (Г) в точке Т,„ больше угла наклона касательной к графику F2G")/8. Физический смысл условия E.122) заключается в том, что *)Строгий анализ устойчивости, основанный на изложенной в §5.3 процедуре, проведен в работах [ 218, 241J. 204
ш JrJn Js J Рис. 5.32. Зависимость U(j) для образца с резистивным доменом, локализованным на неоднородности: в) в р(г) и <<z) б) в/Л(г). Штриховая, линия - U(j) для однородно- однородного образца; сплошная - для неоднородного -/$@) </#(Л;/$@) >jB) температура Тт в устойчивом домене увеличивается с ростом тока (на рис. 5.31 ему отвечает точка 2). Обсудим теперь вольт-амперные характеристики сверхпроводников с локализованным резистивным доменом. Выражение для С/(/) находится в данном случае аналогично E.54): тт UU) = у/2 f U-Js Tr E.123) где А(И=А~1 / [p(z, Tm) — р(Тт)] dz - избыточное сопротивление неоднородности, Тт — один из корней уравнения E.118). Вольт-амперная характеристика U(j) является многозначной. Формула E.123) опи- описывает ту ее ветвь, которая соответствует данному доменному решению. Рассмотрим подробнее вольт-амперную характеристику сверхпроводни- сверхпроводника с неоднородностью, обусловленной, например, локальным увеличе- увеличением р (рис. 5.32,а). Растущая (устойчивая) ветвь !/(/) соответствует точке 2 на рис. 5.31, а падающая (неустойчивая) — точке 1. Отметим, что падающая ветвь может быть стабилизирована переходом к режиму фиксированного напряжения. Таким образом, устойчивый резистивный домен локализуется на рассмотренной неоднородности в интервале токов 1Г< К 1р. Величина 1Г является током полного восстановления сверх- сверхпроводимости. Подчеркнем, что /,. меньше минимального тока распростра- распространения нормальной зоны/,,. Выражение для /,. в резистивной модели можно получить из системы уравнений E.121): 1 4a2 1 E.124) где аг= A +Г2)а; ir=Ir/Is; Г =lnAp/Lp — параметр, характеризующий неоднородность, Др = р(О) —р. По порядку величины Г является отно- отношением дополнительного тепловыделения на неоднородности 2/„Др/2 к суммарному тепловыделению в домене Lpf2. 205
Формула для Г содержит малый параметр ln/L, поэтому имеет место неравенство (/р —fr)/fp ~ Г 2 < 1, если только значения Ар/р или А/А @) не являются достаточно большими (Ар/р-~ L/ln^> 1, А/А @) ~ (L/ln)ll2 > ^* 1). Малость параметра Г связана с малым вкладом точечной неоднород- неоднородности в суммарное тепловыделение в резистивном домене. Рассмотрим теперь вольт-амперную характеристику сверхпроводника в случае локализации резистивного домена на "слабой" точке — области с пониженным значением Is (рис. 5.32, б). Здесь также имеются две ветви: устойчивая при fs@) < /< /к и неустойчивая при ft < /< fK. Отметим, что в интервале /< jt локализованных на такой неоднородности доменов вообще не существует. Здесь температура в центре домена превышает Тс, (вт> 1) и F(T) = 0, так как различие в тепловыделении между од- однородной и неоднородной частями сверхпроводника исчезает (см. E.120) с 6Г= 1). В результате вольт-амперная характеристика в интервале /р < / < it имеет тот же вид, что и для однородного образца с доменом (штриховые линии на рис. 5.32, б). В резистивной модели величина ft определяется формулой E.61), а выражение для/к имеет вид aln 1 --^-A-8,)]Л. aln<L. E.125) Увеличение размера неоднородности /„ или параметра а могут привести к исчезновению устойчивой ветви на вольт-амперной характеристике (кривая2 на рис. 5.32,6). Это происходит,если/к < /у@),или afl(O)ln>Lfl E.126) При выполнении неравенства E.126) тепловыделение на неоднородности становится достаточным, чтобы сделать метастабильное сверхпроводящее состояние абсолютно неустойчивым. Из рис. 5.32, б видно, что по мере увеличения 1 разрушение сверхпро- сверхпроводимости впервые начинается на неоднородности: в интервале Is@) < < /< /к на ней локализуется устойчивый резистивный домен (/к =/'кА > >/у@)). С дальнейшим ростом /такой домен теряет устойчивость при токе теплового срыва /, = тах[/Д0),/к], E.127) что приводит к распространению нормальной зоны на весь образец. Таким образом, локализация резистивных доменов на неоднородностях приводит к уменьшению токов разрушения (//) и восстановления (/,.) сверхпроводимости. Уменьшение Ij связано с наличием в образце "сла- "слабых" точек — неоднородностей с пониженными значениями Is. Уменьше- Уменьшение 1Г обусловлено неоднородностями, являющимися локальными источ- источниками тепловыделения. Рассмотрим теперь локализацию 7V — 5-границы на изолированной точеч- точечной неоднородности. Распределения T(z), описывающие такую границу, удобно классифицировать, воспользовавшись аналогией E.117) с урав- уравнением движения в потенциале —S(T) (см. рис. 5.7) частицы, которая в момент времени z = 0 испытывает удар, сообщающий ей дополнитель- дополнительный импульс —F(Tnt). Соответствующие траектории T(z) начинаются 206
Рис. 5.33. Графическое решение урав- уравнения E.130) при F > 0, ^(Т) = = const и различных /. Штриховые линии соответствуют /3 < / < /р (в) ; / = /з (б); А < / < /з (в); / = =/, (г) -5' в точке То и кончаются в точке Т3. При этом импульс —F(Tm) должен сообщаться частице так, чтобы она изменила свою энергию на величину S(T3) —S(T0) и пришла в точку Т3 с нулевой конечной скоростью. По- Поскольку S(T3) > 0 для / < ]'р и S(T3) < 0 для / >/р, то в случае / < /р частицу при ударе необходимо "затормозить", а в случае / >/р — "уско- "ускорить". Таким образом, N — S-граница может локализоваться лишь при выполнении следующих условий: F>0, /</р, или F<0, />/p. Эти условия отражают тот факт, что распространение нормальной фазы (/ >/р) могут предотвратить только "холодные" (F<0) неоднородности, а рас- распространение сверхпроводящей фазы — "горячие" неоднородности (F > 0). Рассмотрим подробнее ситуацию, когда F > 0, / < /р. Тогда при относи- относительно малых F частица в результате удара несколько тормозится, но:не изменяет направления своего движения. Воспользовавшись, законом сохранения энергии и импульса, получаем уравнение, определяющее ве- величину температуры на неоднородности Тп,, E.128) которое имеет решения лишь для F2 < 2 [S1 и Tm< T3 (S3 =S'GI3)). При дальнейшем увеличении F частица в результате удара может испытать "неупругое отражение", т.е. изменить направление движения на проти- противоположное. Здесь удар может происходить как при Т<Т3, так и при Т> Т3, а уравнение для Тт принимает вид >+[5(rm)-53]I/2=F(rm)/4/y. E.129) Это уравнение имеет решение, если F2 > 2|53|. Оба соотношения, E.128) и E.129), удобно переписать в форме [218] 1 Г F(Tm,j) S3(f) V s(Tm,o=<F(Tm,o=-\—K-^- +Td~-| • E-130) 2 L 2 F{Tm,j)\ Графическое решение уравнения E.130) изображено на рис. 5.33, где для простоты считалось, что F(T) = const. Из сказанного выше следует, что для F2 < 2\S3\ интересующим нас решениям T{z, Tm) отвечают точки / и 2, а для F2 > 2 \S3 \ — точки 1, 2 и 3. В этих точках происходит изменение импульса частицы на величину —F(Tm). При F2 < 2 |5з1 устойчивость локализованных N — 5-границ по отноше- отношению к малым возмущениям может быть изучена с помощью тех же качест- 207
венных соображений, что и для резистивного домена*). В результате, критерий устойчивости будет иметь вид F-^(?-S)\Tm>0, F2<2\S3\. E.131) Для рассмотренного примера (F(T) = const), как показано в [218], устойчивым является лишь распределение T(z, Tm), отвечающее точке 2 на рис. 5.33 приF2 < 2\S3\ и точке3 -пщР2 >2|S3|. Таким образом, на неоднородности в данном случае могут локализо- локализоваться два типа N - S -границ в интервале /2 < /< /3 и три типа границ в интервале /3 < / < ]'р. Величины /2 и /з определяются из условия касания кривых S (Т) и ff (Г) и являются соответственно меньшим и большим корнями системы уравнений: S(T,f) = 5"(Г,/), — IS(TJ) - ;f (Г;./)] = 0. E.132) 01 При / =/з происходит слияние точек 2 и 3 на рис. 5.33, а при/ =/2 — точек 1 и 2. JljiRJ < /2 решения уравнения E.130), соответствующие усто' швым распределениям T(z, Tm), пропадают. Физически зто отвечает "срыву" локализованной N — S-границы с неоднородности и ее последующему движению по образцу. Система E.132) для определения /2 и /3 существенно упрощается, когда функция F не зависит от Т. Тогда из второго уравнения E.132) следует, что Т„, = Т2 при / =/2 и Г„, = Тъ при / =/3 (см. рис. 5.33). В ре- результате, мы возвращаемся к соотношению F2(/3) = 2|5з(/I и для опре- определения/г получаем соотношение Ssih) =F{f2)N/252(/2) ^ , E.133) где S2 (/) = S[T20),/]; 53(/) = S[Г3(/),/]. Зависимость 3- от Т может быть рассчитана в результате решения урав- уравнения E.109) вне и внутри неоднородности и сшивки полученных распре- распределений T(z). Эта процедура дает [218] E.134) \Tm,z) m m-\dz, E.135) — ln L К yl т , Zj J где F2(T) определяется выражением E.119). Из сравнения формул E.134), E.135) с уравнением E.130), полученным для точечной неоднородности, видно, что они совпадают, если F = Fx. Это имеет место при сильной не- неоднородности в /(Г, z) и слабой — в k(T,z). Проиллюстрируем теперь полученные общие соотношения на примере мо- модели со ступенчатым тепловыделением. Рассмотрим в качестве примера *)Подробное исследование устойчивости содержится в обзоре [218J. 208
TV — S-границу, локализованную на неоднородности в р. Тогда можно полу- получить следующее уравнение для расстояния/) ь от неоднородности (z =0) до той точки 7V - 5-границы, где Т = Т,. (рис. 5.6) [218]: 20r(O = I2 fec(Lx -Db)e~xdx. E.136) о Так, например, для неоднородности вида a(z) = [1 + Г6 (z/L)]a, Г = = 2l,,Ap/Lp>0 формула E.136) дает Г Db=L\n E.137) 2U0-1 Локализованная N— 5-граница существует, если величины Г и 2? — 1 имеют один и тот же знак, т.е. / < /р, Г > 0. По мере уменьшения тока ве- величина Db{i) уменьшается и при некотором значении /2 становится равной нулю. Дальнейшее уменьшение i приводит к "срыву" локализованной 7V —5-границы с неоднородности, так как тогда неоднородность находит- находится в сверхпроводящем состоянии и тепловыделение на ней отсутствует. 1 Это происходит при 2$@-1>Г. E.138) Из неравенства E.138) следует, что для в,- = 1 — i величина/2 =J2lJs опре- определяется формулой E.39),в которой аг=A+Г)а. E.139) Если си > 1, а Г <^ 1, то /р — /2 = /рГ/2 (для резистивного домена ip — ir ~ ~ T2ip). Таким образом, при Г<^ 1 интервал токов, в котором ./V — S-гра- S-граница оказывается локализованной, является существенна более широким, чем для резистивного домена. По этой причине величина /2 = jiA является здесь максимальным током восстановления сверхпроводимости. При наличии в образце нескольких точечных неоднородностей в нем мо- может существовать неоднородная метастабильная резистивная структура, состоящая из отдельных "фрагментов" — локализованных доменов или 7V—5-границ. Возникновение такой структуры, так же как и для плавных неоднородностей, приводит к ступенчатому разрушению сверхпроводи- сверхпроводимости в присутствии тока [218]. § 5.6. Динамические явления в сверхпроводниках с резистивной фазой В этом параграфе речь пойдет о динамике нормальной фазы, в частности, о движении резистивных доменов, динамике их локализации на неоднород- ностях, устойчивости по отношению к сильным внешним возмущениям, а также об автоколебаниях нормальной зоны, возникающих при включении сверхпроводника в электрическую цепь. Рассмотрим сначала движение резистивного домена как целое. Такое движение обусловлено появлением выделенного направления в сверхпро- сверхпроводнике, т.е. градиентов тепловыделения или теплоотвода. Это может быть связано, например, с термоэлектрическими эффектами, приводящими к 14. А.Вл. Гуревич 209
дополнительному тепловыделению ¦ _ . dT т dz зависящему от направления тока (П — термоэлектрическая константа [81]). Уравнение, описывающее распределение температуры в домене T(z — vdt) имеет тогда вид [221]: d dT dT ¦ — к — +{wd-ju)— +Q-W = O, E.140) dz dz dz где vd - скорость домена. В силу неравенства рп <? ps величина П опреде- определяется, в основном, константой Зеебека нормальной матрицы яп(Т) [213]: E141) В формуле E.141) кроме слагаемого A — j'sIJ)T(dnnldT), отвечающего эффекту Томсона, присутствует также и слагаемое —nnTj'1(djs/dT), учитывающее градиент электрического поля в резистивной фазе при неод- неоднородном распределении T{z), т.е. эффект Пельтье. Скорость домена vd можно найти следующим образом. Уравнение E.140) аналогично уравнению движения частицы в потенциале —S(T) (см. рис.5.7) при наличии силы трения {yvd — j~n.)dT/dz. Домену соответствует траекто- траектория T(z) в этом потенциале, начинающаяся и кончающаяся в точке То. Такая траектория существует, если суммарная работа силы трения на ней равна нулю, т.е. --) dz = 0, E.142) dz I откуда видно, что vd ~/ПД\ Полагая v(Тс) ^ 104Дж/м3 К, / ~ 109А/м2, П ~ 10~7В/К, получаем оценку vd ~ 10~2 м/с. Таким образом, термоэлектри- термоэлектрический эффект приводит к движению резистивного домена со скоростью, зависящей от направления тока. Этот эффект наблюдался эксперименталь- экспериментально в работе [243]. Смена направления движения домена при изменении направления тока связана с тем, что величина QT меняет знак. Это приводит также к тому, что скорости движения jV-5-границ вдоль (и+) и против (и_) тока ока- оказываются различными (для / =/ разность Ди = v+ — v_ равна 2vd [221]). В модели со ступенчатым тепловыделением выражение для Аи может быть получено на всем интервале токов /т </ </у [213]: E.143) здесь П — термоэлектрическая константа при Т > Тг , которая для просто- простоты считалась не зависящей от Т. Подобная асимметрия скоростей N — 5-гра- ниц в композитных сверхпроводниках наблюдалась экспериментально в работах [216,217] (рис. 5.34). Для определения скорости домена vd в общем случае можно вычислить dT/dz с помощью формулы E.49). В результате в первом порядке по 210
QTIQ получаем из E.142) т т =j fnSl'2dT/ f vSl'2dT. E.144) В модели со ступенчатым тепловыделением зависимость vd(i) находится в явном виде где п0 = fsIl(A/PKhI /2. Из E.145) следует, что величина vd возрастает от -v,/0~2n/c Рис. 5.34. Асимметрия в скорости распро- распространения нормальной зоны по отношению к направлению тока. Т„ = 15 К, композит с хСи-&/*1ЧЬ Sn=4-3 находился в вакууме [216.217] 120 СО до 7гоий по мере увеличения / от ip до 1 и, соответственно, умень- уменьшения % от 0,5 до 0. Физически термоэлектрический эффект приводит к движению домена, так как, например, при П > 0 тепло QT поглощается на его левой границе (dT/dz > 0) и выделяется на правой (dT/dz < 0). В результате, происходит смещение распределения T{z) в более нагретую область, т.е. домен движет- движется слева направо. Таким образом, движение резистивного домена связано с появлением градиентов тепловыделения или теплоотрода по его длине. Эти градиенты могут создаваться не только термоэлектрическими эффектами, но и любой неоднородностью длиной /„ > L. Тогда уравнение теплопроводности можно записать в виде d dT dT bf dz dz dz oz = 0, \z\<ln E.146) x где X(t) — координата центра домена, a vd = dX/dt — его скорость (здесь мы для простоты положили П = 0). Последнее слагаемое в E.146), учиты- учитывающее наличие неоднородности является малой поправкой ~DHn •€ 1. Чтобы найти выражение для vd, умножим E.146) на к dT/dz и проинтег- проинтегрируем по z от — °° до +°°. Тогда первое и третье слагаемые в E.146) обращаются в нуль в силу граничных условий Т(± °°) -То, dT/dz \±оо ~0. Действуя аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы E.144), получаем dT/y/2 f vS1/2dT, E.147) где функция z(T) определяется ф' ¦ои E.49). 14* 2\\
Уравнение E.147) описывает медленное (vd<vh) движение резистивно- го домена в сверхпроводнике с плавными неоднородностями. Видно, что домен перемещается в области с повышенным тепловыделением или ухуд- ухудшенным теплоотводом, причем vd~vhD/ln. E.148) Конкретными причинами возникновения неоднородностей, приводящих к движению доменов, могут быть, например, неоднородное магнитное поле, переменное сечение образца и т.д. Аналогичная ситуация возникает в ком- композитных сверхпроводниках с каналами внутреннего охлаждения, по кото- которым прокачивается жидкий гелий [54]. Здесь имеет место неоднородность в ^G", z), так как гелий, текущий в каналах охлаждения, нагревается по мере движения вдоль нормальной зоны, тем самым, ухудшая теплоотвод. Получим оценку скорости домена vd дляэтогослучая. Пусть, для простоты, внешнее охлаждение сверхпроводника отсутствует, тогда уравнение, описывающее распределение температуры T0(z — vdt) вдоль потока охладителя, имеет вид (см., например, [25, 54, 214]) dT0 hPH *н("н - vd) — —Co - T) = 0. E.149) dz AH Здесь Ан и Рц — соответственно площадь и периметр всех каналов охлаж- охлаждения, i>H — теплоемкость гелия, ин — скорость его течения по каналам. Из E.149) следует, что характерная длина /„, на которой происходит изме- изменение температуры охладителя T0(z) вдоль сверхпроводника, равна vн ин — ил А н ln~LH ; : ' ( v vh А ~АН где А — площадь поперечного сечения образца; vh =L н/?н» ^ н =№нк/Ь)! ^'» гн = vdif/h; dH = (А - Ан)/Рн; v и к — средние по сечению теплоемкость и теплопроводность композита без учета каналов охлаждения. Определен- Определенные таким образом величины LH и гн являются характерными тепловой длиной и тепловым временем для сверхпроводника с внутренним охлажде- охлаждением. Отметим, что величина /„ зависит от скорости домена и оказывается много больше LH даже при vd ~vh из-за большой теплоемкости жидкого гелия (*>нD К) * 6 • 10s Дж/м3 • К, [244], v/vH ~ 1(Г3). Подстановка соотношения E.150) в E.148) приводит к следующей оценке для vd, справедливой при vd < vh т.е. /„ ^> D: v* "н Г/ "н \2 vD I А \\ 1/2 Ж !1±/_н_\ / Л\ EЛ51) vh . 2vh [\2vJ PHLH\AH /J График функции va~vd(vH) изображен на рис. 5.35. Ее характерной осо- особенностью является наличие критической скорости охладителя vc, ниже которой движущиеся домены существовать не могут.' Из E.151) следу- следует, что vD ( А \У'2 L vHLH \AH /J 212
Возрастающая ветвь кривой vd(vH) на рис. 5.35 неустойчива даже в режиме фиксированного напряжения. В самом деле, увеличение vH со- сопровождается улучшением теплоотвода и уменьшением его неоднород- неоднородности. Это должно приводить к падению vd. В пределе ин ->-°° температура 7 не зависит от z и мы возвращаемся к рассмотренному в § 5.3 непод- неподвижному домену. Для возрастающей ветви функции vd(vH) это условие не выполняется, что свидетельствует о ее неустойчивости (к такому же выводу приводит и линейный анализ системы уравнений E.146), E.149)). Чг *0 / л vc -Mt) О Д.М Рис. 5.35. Зависимость скорости движения домена vd от скорости движения гелия ин в каналах внутреннего охлаждения Рис. 5.36. Распределение температуры в нормальной зоне в процессе ее локализации на точечной неоднородности Таким образом, величина vc/2 является, согласно E.151), максимально возможной скоростью равномерного движения резистивного домена. Пола- гая для оценок D~LH,A ~AH, vjvH - 10, получаем из E.152), что ис ~ 0,1 vh. Неоднородность в W{T, z) может возникать и при вертикальной ориента- ориентации сверхпроводника. В этом случае тепловыделение в нормальной зоне приводит к появлению конвективных потоков охладителя вдоль образца, которые и вызывают движение домена. Аналогичный эффект наблюдался в нормальных металлах при низких температурах [245]. Движение резистивных доменов в шунтированном сверхпроводнике может приводить к осцилляциям тока и напряжения [221], аналогичным эффекту Ганна [224—226]. В этом режиме домен зарождается на одном конце образца, пробегает весь сверхпроводник и затем исчезает на его другом конце, после чего весь процесс периодически повторяется с частотой ы=[2я?оМ. E153) где Lo — длина образца. Для vd ~A0~2 -ь 10~')ий, vh ~10 м/с, Lo ~0,l м частота таких автоколебаний составляет 10 -^ 102 Гц. Движение резистивных доменов возможно лишь в достаточно однород- однородном сверхпроводнике, в котором не происходит их локализации на неод- нородностях. В § 5.5 были получены условия существования локализован- локализованных доменов. Для того чтобы найти критерии локализации движущихся доменов или N — S-границ, следует рассмотреть соответствующие'решения нестационарного уравнения теплопроводности. В общем случае это можно сделать лишь численно, поэтому ограничимся здесь моделью со ступенча- 213
тым тепловыделением, что позволяет аналитически исследовать основные качественные особенности динамики локализации. Начнем со случая точечной неоднородности, обусловленной увеличе- увеличением р. Уравнения, описывающие движение границ нормальной зоны (рис. 5.36) 55+ = 2)+(т) и %)_ = 3)_(т) (где S) = D/L), можно получить аналогично тому, как было получено соотношение E.92) [230]: ео(л:)ехр \dx+afe "г(т-и)Х x 25±(т-ы)+.25,(т) где 60(z) — начальное распределение температуры, созданное внешним возмущением-. Малость параметра Г (см. § 5.5) позволяет существенно упростить систе- систему нелинейных интегральных уравнений E.154). Действительно, домен локализуется на неоднородности в узком интервале токов 1р — 1Г ~Г 21р •€ < 1р, где скорость движения jV— 5-границ мала по сравнению с vh. Это озна- означает медленность изменения функций 33±(т —и) в E.154) на временах и ~ 1, что позволяет разложить 3)±(т - и) в ряд, положив 3)±(т - и) = = 9)±{т) - иЗ)±(т). Наиболее существенными в E.154) оказываются т ^> 1. В результате, первым слагаемым в правой части E.154), описываю- описывающем переходный процесс, можно пренебречь. Если также /<^/, то E.154) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описы- описывающих медленную динамику домена [230]: _± + —= 0®. +Гехр(~а5+)-ехр[-25+-Ж_], E.155) _^ + ^L = ^L +Г*хр(-2)_)-ехр[- Ж+-2)_], E.156) здесь 3)+ > 0, 3)_ > 0 (см. рис. 5.36); u(i) = v(i)/vh = 2 [1 - 2J(i)] - без- безразмерная скорость TV— S-границы при | / - ip I < ip в однородном образце (см. E.36)). Система E.155), E.156) применима, когда 3)± < 1 или I<I, \I-Ip\<Ip, |ГИ1, ?)++ Й)_>1. Воспользуемся уравнениями E.155), E.156) для описания динамики локализации jV-5-границы. В этом случае 3)_ -*-00, а решение уравнения E.155) при /=0 примет вид =1п{- — + ехр2)+@)+ —] exp(MT)J, E.157) где 25+(О) - положение ./V - S-границы при т = 0. Из E.157) следует, что граница движется равномерно (D+(t) = D@) + vt, v < 0), если J9+(O ^* 214
> Db = L In I 2Г/м |. По мере приближения к неоднородности (D+(t) ~Db) ее скорость начинает экспоненциально затухать и при 2 Г > | и | происходит локализация. Неравенство 2Г > \и | совпадает с полученным в § 5.5 усло- условием существования локализованной N—S-границы E.138). Таким обра- образом, критерий локализации движущейся ./V — S-границы сводится к условию существования на неоднородности устойчивой N— S-границы. Неравенство 2Г > \и | имеет простой физический смысл. Оно означает, что в неоднородном сверхпроводнике N— 5-граница не может двигаться со скоростью меньше критической, ис = 2Г или vc - 4lnAp/ptij. Все TV— S-границы с v < vc захватываются неоднородностями. Условие локали- локализации в общем случае можно записать в виде /г < / < /р- Отсюда следует, что критическая скорость vc определяется соотношением vc = v(j2), где v(j) — скорость N—S -границы в однородном образце. Так как / —/2 ~ ~ Г/р^/р, то и^ vh и для нахождения величины vc можно воспользоваться формулой E.29). Тогда [y/2 fvSl'2dT]. E.158) По порядку величины vc ~ | Г | vh. Критерий локализации для движущегося резистивного домена может быть получен аналогично предыдущему. Наиболее просто он формулирует- формулируется в случае, когда D ^> L и 7V—S-границы взаимодействуют с неоднород- неоднородностью независимо друг от друга. Тогда условие локализации помена, дви- движущегося со скоростью vd совпадает с соответствующим критерием лока- локализации N— 5-границы с v = vd и сводится к неравенству и^ < vc, где vc определяется формулой E.158). Рассмотрим динамику локализации домена более подробно, полагая, что в момент времени t = 0 в окрестности неоднородности возникла нормаль- нормальная зона длиной ?>@) = D+@) + D_@) (рис. 5.36). Ограничимся для | 1 1 \\П I 1 Г Г al М пиши ; J г?КУ i Рис. 5.37. Фазовая плоскость системы уравнений E.155), E.156) Рис. 5.38. Характерные осциллограммы напряжений на сверхпроводнике (нижняя кривая) и шунте (верхняя кривая) в процессе автоколебаний нормальной зоны. На врезке изображена развертка одного импульса напряжения на сверхпроводнике [246,250] 215
простоты случаем vd = 0, тогда дальнейшая эволюция домена будет описы- описываться системой уравнений E.155), E.156), фазовая плоскость которой изображена на рис. 5.37. Особые точки / (седло) и 2 (узел) [205] на рис. 5.37 отвечают соот- соответственно неустойчивому и устойчивому типам доменов, локализующим- локализующимся на неоднородности при jr < / < / (см. § 5.5). Если изображающая точ- точка лежит правее сепаратрисы A IB, то при t -»¦ °° она попадает в точку 2. Это соответствует локализации домена на неоднородности. Если же фазо- фазовая траектория проходит левее кривой AIB, то домен исчезает раньше, чем он успеет локализоваться. Положение начальной точки ?>+@), D_@) определяется характером внешнего возмущения при t = 0. Из рис. 5.37 видно, что локализованный домен устойчив относительно любых возмуще- возмущений, не выводящих изображающую точку левее сепаратрисы A IB. Рассмотрим теперь динамику нормальной зоны при включении сверх- сверхпроводника в электрическую цепь. Остановимся подробнее на ав жоле- баниях нормальной зоны, реализующихся при шунтировании образца сопротивлением <R0 и индуктивностью ?. Такие автоколебания неодно- неоднократно наблюдались экспериментально при исследовании композитных сверхпроводников [25, 246], тонких сверхпроводящих пленок [197, 247, 248] и нитей [249]. Причиной автоколебаний нормальной зоны является падающая вольт- амперная характеристика сверхпроводника (см. рис. 5.13), играющего в данном случае роль активного элемента электрической цепи. На рис. 5.38 в качестве примера приведены осциллограммы напряжений на образце и шунте в процессе автоколебаний. Видно, что они имеют релаксационный характер: в сверхпроводнике на короткое время периодически возникает нормальная зона, что сопровождается всплеском напряжения. В промежут- промежутках между такими всплесками происходит относительно медленная ре- релаксация тока в цепи, в результате чего осциллограмма на шунте приобре- приобретает характерный пилоообразный вид. Рассмотрим автоколебания нормальной зоны подробнее, воспользовав- воспользовавшись уравнениями E.155), E.156), которые в данном случае имеют вид 1 dD 2L dl v(I) dl Г P(T3)D 1 ?— - + (Ro + / = /o<Ro, E.160) * I /1 J где u(/) - 2 [1 — 2% (/) ] vh; Io — ток во внешней цепи. Для простоты всюду далее будет считаться, что образец однороден, т.е. Г = 0. Система уравнений E.159), E.160) имеет одно стационарное решение /=ь/р, D ~ D0(I0) >L (см. 5.79)),описывающее устойчивый резистивный домен в шунтированном сверхпроводнике. В § 5.3 было показано, что при достаточно большой индуктивности ? > ?к такой домен теряет устой- устойчивость относительно возмущений бГ(t) и 6/(г), осциллирующих с частотой cjk (см. E.76)). Этот же вывод следует и из линейного анализа системы E.159), E.160), который приводит к выражениям для ?к и и>к в 216
виде [246] E.161) ь>1 = ?th Э/ /„ р где 6?й ~ pL/A и ?/, = (R/,0, — "тепловые" единицы сопротивления и индук- тив :ости. Формулы E.161) справедливы при ojKth < 1, т.е. ?>?h. Рассмотрим неустойчивость домена качественно. Пусть его# длина ?>(?) увеличилась на величину 8D. При ? = 0 зто приводит к уменьшению тока, демпфирующего флуктуацию 8D (см. § 5.3). Если же ? >0, то флуктуа- флуктуация 8I(t) запаздывает по отношению к 8D(t) на время t? ~?/(<R + (Ro)- В случае когда t^ становится больше времени развития неустойчивости домена -усТ1 в режиме фиксированного тока, стабилизация шунтированием перестает быть эффективной и возникают нарастающие во времени осцил- осцилляции BT(t) и б/(г). Критическая индуктивность ?к определяется из условия 7о tL ~~ 1, что с учетом выражения E.68) для 7о приводит к фор- формуле E.161). Таким образом, при ? > ?к и /0 > Is любое стационарное состояние сверхпроводника неустойчиво. В этом случае возникают автоколебания нормальной зоны, которые можно описать следующим образом. Зародив- Зародившись на "слабой точке" при повышении I(t), нормальная зона начинает расширяться, а ток /(?) — падать, запаздывая по отношению к аналогичной зависимости I(t) для ? = 0 на'времяпорядка t^. В результате, достигнув своей равновесной длины Do(Io), нормальная зона продолжает увеличи- увеличиваться, так как при этом еще I(t)>lp. С другой стороны, ток I(t), уменьшившись до /р, будет падать еще в течение времени tL, поскольку к этому моменту D(t)>/)„(/„). При I(t)<Ip, однако нормальная зона начинает схлопьшаться. Если время такого схлопывания rd < tL, то она исчезнет раньше, чем ток I(t) возрастет до /р, т.е. равновесное состояние /=/р, D=D0 установиться не успеет. Посте исчезновения нормальной зоны ток I(t) начинает экспоненциаль- экспоненциально нарастать с постоянной времени ?/<R0 (см. E.160) cD=0), вплоть до I(t) = /у, когда в образце опять появляется нормальная зона и весь процесс повторяется. Если время существования нормальной зоны ~(td +tj_) мало по сравнению с ?/6\0, частоту таких автоколебаний со можно найти, ин- интегрируя уравнение E.160) с D = 0. Для /0 >1р это дает [246] со = ——- ЬГ1 — ¦ E.162) JC /о-/, Зависимость соAи) изображена на рис. 5.39. Описанные выше автоколебания имеют релаксационный характер: за период происходит чередование быстрых и медленных фаз изменения тока. Быстрая фаза связана с возникновением в сверхпроводнике нормальной зоны, в результате чего ток уменьшается от Is до / -^ 1р за время порядка td + f?. Медленная фаза обусловлена релаксацией тока в образце при отсутствии нормальной зоны. Оценим индуктивность ?с, выше которой становятся возможными ре- релаксационные автоколебания. Время исчезновения нормальной зоны 217
1,2 0,8 0,4 0 Ш'Г1 / I/ О. у f У* -tasb Г i (<R0 = 5,9 • 10Ом, Рис. 5.39. Зависимость ш ? = 2,85-Ю-5 Гн (/); «0 = 10"» Ом, = 2,85 -10-5 Гн B); «0 = 5,9 • 10 Ом, = 8,2-10-» Гн (J); «0 = ю-5 Ом, = 8.2-Ю-5 Гн D) [246] ? = Рис. 5.40. Фазовый портрет системы E.159), E.160) при различных L : a) S. < L с; б) ? с < < L <?к; в) ? > ?к ¦5» td ~ Dm/v, где Dm — максимальная длина нормальной зоны, a v — средняя скорость Л* — 5-границы в интервале Im<KIp (v~vh для а~1 и i7— l>o ~vha ДДЯ o^l (см. E.38)). Время запаздывания тока t^ ~ ~ A?/pDm. Из условия tL~ t$, находим /АП?\Ч2 V р / E.163) откуда следует, что при достаточно больших ? длина Dm может сущест- существенно превышать длину резистивного домена D0(I0). В § 5.3 было показано, что в случае ? = 0 величинаD(t) всегда релакси- рует к D0(I0) и колебаний не возникает. Если ? >0, то колебания начи- начинаются при таких ?, когда Dm ~D0. Полагая в E.163) Dm ~D0, находим с помощью E-79) оценку для ?с: E.164) Автоколебания в образце, первоначально находившемся в сверхпроводя- сверхпроводящем состоянии, возникают при / >IS и ? > ?с. Величина ?с <*>D\ оказывает- оказывается существенно меньше индуктивности ?к ^exp(ZH/L), превышение кото- которой ведет к абсолютной неустойчивости резистивного домена (см. E.161)). 218
Это означает, что в интервале ?с < ? < ?к устойчивый к малым возмуще- возмущениям домен можно перевести в режим автоколебаний достаточно сильным возмущением. Критическая индуктивность ?с, как видно из E.164), возрастает с уве- увеличением /0. В результате, начиная с /0 = /к, реализуется ситуация, когда ¦С<?(Л>) > -С. где ?cUk) = -С- Таким образом, автоколебания имеют место в интервале Is < /0 < /к- При /0 > /к колебания пропадают и образуется статический резистивный домен. Ток /к, соответствующий срыву автоколе- автоколебаний, находится из условия ?с(/к) =?, что с учетом E.164) дает E.165) Особенности режима автоколебаний нормальной зоны наглядно прояв- проявляются на фазовой плоскости системы E.159), E.160), изображенной на рис. 5.40. Так при ? < ?с все фазовые траектории заканчиваются в особой точке О (D = Do, I = Ip), которая является устойчивым фокусом (рис. 5.40,а). В интервале ?с < ? < ?к (рис.5.40,б) на фазовой плоскости имеются два предельных цикла (жирные линии), причем цикл с малой амплитудой неустойчив. Это означает, что статический резистивный домен устойчив по отношению к любым возмущениям, оставляющим изобра- изображающую точку внутри цикла малой амплитуды. Более сильные возмуще- возмущения переводят ее на внешний (устойчивый) предельный цикл, что соответ- соответствует автоколебаниям нормальной зоны. При ? > ?к неустойчивый пре- предельный цикл исчезает, а точка О становится неустойчивым фокусом (рис. 5.40,в). В этом случае нормальная зона может находиться только в автоколебательном режиме. Проиллюстрируем изложенные выше качественные соображения на при- примере модели со ступенчатым тепловыделением. Ограничимся для простоты случаем ? > ?с, когда Dm > Do и можно пренебречь последними слагае- слагаемыми в правых частях E.159), E.160). После этого система E.159), E.160) интегрируется непосредственно, что позволяет получить следующие выражения для фазовых траекторий: 4?А До) V(i) ?>2(/) Я2@)= / -у1 dl, E.166) р I I где D@) и /@) - значения D{t) и I{t) при t = 0. Соотношение E.166), как и сами уравнения E.159), E.160) применимы, если скоростьЛ^-5-грани- dv Э/ цы v(f) медленно меняется за тепловое время </,, т.е. и(/) ^> th Э/ dt Подставляя сюда dl/dt из E.160) и полагая dv/dl ~ v/Is, перепишем усло- условие применимости E.166) в виде Dm?h< L?. Поскольку Dm "= ?I/2 (см. E.163)), то последнее неравенство всегда выполняется при достаточно больших ? во всем интервале токов Im< KIS, кроме узких окрестностей 6/~(?с/?I/2/у вблизи /j и/m, где производная Эи/Э/обращается в беско- бесконечность. Рассмотрим предельный случай а > 1, когда ip ~a1/2 -»¦ 0, а выражение для скорости v(i) дается формулами E.37), E.38). Подстановка E.37) 219
Рис. 5.41. Зависимость Um(Io). На врезке изображены распреде- распределения электрического поля в об- образце для моментов времени: t = = 3.6- Ю-3 с(/);5,6- Ю-3 с B); 7- Ю-3 с C) [250] в E.166) при D@) - 0, /@) = /у приводит к следующему соотношению, описывающему устойчивый предельный цикл на рис. 5.40,б,ев области Ip<J<h Длина нормальной зоны максимальна при I- Ip-€IS, где i ftF. f—t—1 [{Тс~Т0)р J E.167) , . E.168) {Тс-Т0)р* Формула E.168) совпадает с оценкой E,. 163), если v ~v0. Это связано с тем, что в случае а > 1 именно величина t>o = vh \Д* является характерной скоростью N — S-границы (см. E.37)). Максимальная разность потенциа- потенциалов на образце Um достигается в тот момент, когда I(t) = 4/y/5. Подстав- Подставляя это значение в E.167), находим E.169) Отметим, что при ? > ?с величина Um не зависит от тока во внешней цепи /о с точностью ~(?с/?I/2 ~&0I0A/pDmIp< 1 [250]. На рис. 5.41 в качестве примера приведены соответствующие экспериментальные кривые t/m(/o)- Подстановка соотношения E.167) в уравнение E.160) приводит после интегрирования к следующей зависимости I(t): In - 2 arctg(l - iI /4 = t А? E.170) Зависимость D(t) определяется формулой E.170), в которой величина A — i)I/4 выражена через D(t) сошасно E.167). С помощью E.167) и E.170) можно рассчитать зависимость напряжения на сверхпроводнике Щ*) = PJ(t)D(t) от времени. В результате получается кривая U{t), подоб- подобная изображенной на врезке к рис. 5.38. Время существования нормальной 220
зоны tz находим, положив в E.170) i = ip= B1aI /2, откуда >2А? Aп32а-тг). E.171) Эта величина логарифмически слабо зависит от коэффициента теплоотда- теплоотдачи Л и при ? > (HlA/vop оказывается существенно меньше периода авто- автоколебаний (см. E.162)). § 5.7. Разрушение сверхпроводимости н композитных сверхпроводниках с большими переходными сопротивлениями Изложенное выше описание нормальной зоны предполагает однород- однородность температуры и электрического поля по сечению композита. Подобная ситуация характерна для большинства композитных сверхпроводников, благодаря хорошим тепло- и электропроводности нормальной матрицы. Это позволяет игнорировать детали сложной внутренней структуры сверх- сверхпроводящих композитов и использовать лишь их усредненные по попереч- поперечному сечению характеристики. Такой подход, однако, можно применять не всегда; для некоторых композитных сверхпроводников распределения температуры и электрического поля по сечению существенно неоднородны эа счет наличия между сверхпроводником и нормальной матрицей переход- переходных слоев с большим тепловым и электрическим сопротивлением. Разру- Разрушение сверхпроводимости имеет в этих материалах ряд отличительных особенностей [251-257], рассмотрению которых посвящен настоящий параграф. Переходные сопротивления в композитных сверхпроводниках возника- возникают по многим причинам, в частности, из-за наличия на границах нормальный Рис. 5.42. Модель композитного сверхпроводника с переходными сопротивлениями (область занятая резиствиой фазой, заштрихована) металл — сверхпроводник окисных пленок, изменений химического соста- состава и т.д. (см., например, [25, 54, 55]). Переходный слой играет здесь роль теплового и резистивного "барьера", затрудняющего перераспределение тепла и тока по сечению композита. Такой "барьер" в ряде случае!» стремят- стремятся создать искусственно, -поскольку это приводит к снижению потерь. Кроме того аналогичный "барьер" иногда возникает по технологическим причинам, в частности, при создании композитов на основе соединения Nb3Sn по "бронзовой" технологии, использовании алюминиевой матрицы и тд. (см., например, [54, 55]). Рассмотрим разрушение сверхпроводимости в присутствии транспорт- транспортного тока в предельном случае композитов с большими переходными со- 221
противлениями, предполагая для простоты, что он состоит из трех плоских лент равной ширины Ъ, а именно, сверхпроводника (s), переходного слоя (i) и нормального металла (и) с толщинами ds, d/ и dn соответственно (рис. 5.42). Запишем уравнения для распределения температур Tn(z, t) и Ts(z, t) вдоль нормального металла и сверхпроводника. Усредняя урав- уравнение теплопроводности по поперечному сечению образца и полагая, что dnhn<Kn, dshs<Ks, dj<dn,ds, пелучаем [251-255]: дТ„ Э дТп hn -(Tn-Ts) dtdn 2dn ' E-172) л _ д trr< л Ы dz dz ds d/ds E.173) где /п и js —плотности токов, текущих соответственно вдоль нормального металла и сверхпроводника*), Es = (Js —/c)Ps4(/s —/с) ~ продольное электрическое поле в сверхпроводнике, rj(x) = 1 при х > 0 и т?(х) =0 при х < 0. Новыми по сравнению с уравнением E.5) являются два послед- последних слагаемых в правых частях E.172), E.173). Первое из них описывает теплообмен между сверхпроводником и нормальным металлом через пе- переходный слой, а второе - тепловыделение в переходном слое, обусловлен- обусловленное текущим через него поперечным током с плотностью j\ . В случае боль- больших переходных сопротивлений тепловая и электрическая связь между нормальным металлом и сверхпроводником является слабой. Это приводит к тому, что )\-4 /„,/ж, а /и и js практически не зависят от у, но могут изменяться вдоль оси z. Рассмотрим ситуацию, когда в сверхпроводнике возник резистивный домен длиной D. Тогда величины /и и/s связаны соотношением где / — плотность тока в сверхпроводнике на больших расстояниях от до- домена. Получим уравнение для /„.выделив в нормальном металле "пластин- "пластинку" толщиной dz и высотой dn, опирающуюся своим основанием на пе- переходный слой. Ток, втекающий в пластинку через основание, равен/^ bdz, а вытекающий через боковые грани [jn(z +dz) —jn(z)]bdn. Приравнивая эти два тока, находим: Э/и dn — =h E175) oz *) Во избежание недоразумений следует отличать js от использовавшейся выше средней плотности критического тока в композите js(T, В). 222
Рассмотрим далее контур С длиной dz и высотой df, охватывающий пере- переходный слой (см. рис. 5.42). Если время диффузии магнитного потока через композит мало по сравнению с тепловыми временами, то циркуля- циркуляция электрического поля по контуру С равна нулю, т.е. jnpndz - Esdz - dipfr^z + dz) -/i(z)] = 0, откуда diPl^-paja+Et = O. E.176) oz Исключив j\ из E.175), E.176), получаем уравнение для /„: РА<1„ -f ~ jnPn + Es = 0. E.177) oz Уравнения E.172), E.173), E.177) совместно с соотношением E.174) и выражением для электрического поля ES = (JS -jc)psv(js- ic) полностью описывают рассматриваемую ситуацию. Они же применимы и для случая, когда сверхпроводник не имеет непосредственного контакта с охладителем и с двух сторон окружен нормальным металлом. Тогда в E.172), E.173) следует положить hs = 0 a 2ds = ds, ав E.174) —E.177) dn = 2dn. Систему E.172), E.173), E.177) удобно записать в безразмерном виде для в„ = (Т„ - ТоЖТс ~ То). es = (Ts - TO)I(TC - То) . Пусть, для просто- простоты, hn-hs- h, все параметры в E.173), E.174), E.177), кроме Es(Ts,js) не зависят от Т„ и Ts, a ES(TS) — ступенчатая функция, т.е. Es = "PJiVVi-fAT,)]. Полагая /с@) = A ~6)jc, jc=jc(T0), в результате по- получаем ta~ =Я---??--еа+2а1Я+а11*1~) +фвх, E.178) ot oz \ oz I g2. E179) ?2 — -!„ + ?(i - 1„)чA - 1 + Bs - /„) = 0, E.180) 3z2 где /„ = vndn/h0 и ts = vsdslh0 — соответствующие тепловые времена, h0 - h + Kj/di — эффективный коэффициент теплоотдачи от нормального металла или сверхпроводника, /,,-, Ln и Ls — характерные длины, опреде- определенные следующим образом: ' Рп h0 s h0 Безразмерные параметры, входящие в E.178) —E.180): щ= с- , ф= , ?=_?_JL, E.182) 2(TC-To)hodn Ki+hdi dsPn ia = -IlLJL, f,= ^-, i=—, i=in+is. E.183) /A Ic Ic 223
Параметр at аналогичен параметру Стекли и определяется эффективным коэффициентом теплоотдачи h0, учитывающим теплообмен как с охладите- охладителем, так и через переходный слой, Ln и Ls — тепловые длины в нормальном металле и сверхпроводнике соответственно (Ln > Ls), a Lt — характерная длина, на которой происходит перетекание тока из сверхпроводника в нор- нормальный металл. Система E.178) -E.180) содержит еще один пространственный масштаб Lb, определяющий длину перетекания тока из сверхпроводника, находяще- находящегося в нормальном состоянии, в нормальный металл. Выражение для Lb следует из уравнения E.180), если положить в нем rj = 1: Lb= Lily/1 +?. E.184) Согласно E.182), параметр ? ^> 1 (dn ~ds), поэтому L ь = Pid;ds/ps <LJ. Теперь можно в явном виде записать условие /^ /„»/,» обеспечивающее применимость одномерных уравнений E.172), E.173), E.177). Восполь- Воспользовавшись E.174), E.175), перепишем неравенство /^ js для резистив- ной части домена как ds < Lb, или P{di>psds. E.185) Аналогичное условие вне домена (L; > dn, т.е. Pfd,- > pndn) является менее жестким. Таким образом, для применимости системы E.178)- E.180) необходимо, чтобы поперечное электросопротивление композита определялось в основном переходным слоем. Получим теперь выражение для минимального тока существования нор- нормальной фазы im с учетом переходных сопротивлений. Полагая все произ- производные в E.178) —E.180) равными нулю, a 6S = 1 — is, приходим к квад- квадратному уравнению для im: ;w*-- + -b--'-o. E.186) При малом переходном сопротивлении (d, -*0, ф-*1) из E.186) следует полученное в § 5.1 соотношение im = а~1/2. В обратном случае ф<\ фор- формула для im приобретает вид 1„,=Bа,Г1/2>/Г/A+1Ю. E.187) Отсюда следует, что увеличение переходных сопротивлений приводит к росту im. Действительно, при токе 1т сверхпроводящая компонента компо- композита разогревается до температуры 6S = 1 — is и переходит в резистивное состояние. В результате ток практически целиком вытесняется в нормаль- нормальную матрицу, где, в основном, и сосредоточено джоулево тепловыделение. Вместе с тем наличие большого переходного сопротивления ухудшает теп- теплообмен между нормальным металлом и сверхпроводником. В итоге сверх- сверхпроводник разогревается до меньшей температуры, чем нормальная матрица. Увеличение im по мере роста переходных сопротивлений не свидетельст- свидетельствует о том, что тепловое разрушение сверхпроводимости происходит при больших токах, чем при малых переходных сопротивлениях. Из дальнейше- дальнейшего будет видно, что в данном случае изменяется сам характер распростра- 224
кения нормальной фазы: разрушение сверхпроводимости происходит здесь путем зарождения и периодического деления резистивных доменов [255]. Остановимся на свойствах таких доменов более подробной рассмотрим сначала статический резистивный домен, а затем его динамику. Непосред- Непосредственное решение системы E.178) —E.180) с Э0„/Эг = 30s/3r =0 приводит к довольно громоздкому трансцендентному уравнению, определяющему зависимость длины несверхпроводящей части домена D от i. Ограничимся поэтому сначала случаем ?)<^ Ls, допускающим наглядную физическую интерпретацию. Условие ?><^ Ls<^ Ln, Li означает, что джоулево тепловыделение сосре- сосредоточено в области гораздо меньших размеров, чем характерные масштабы изменения температур 6s(z), 6,j(z) и тока i,,(z). Это'позволяет заменить величину r?(|z | -?>/2) в E.179), E.180) на Db(z), тогда L" ~d?~ "в"+ 2<Xii"+ a'L'?("&¦) + фв°= °' EЛ88) в,)LiU0S(z)+ a,Lf[-f-) +фвп=О, E.189) ST 6, а,1 в,)LiU0(z) a,Lf[f dz \ dz L) —~- - /„ + 2LiU08(z) =0, E.190) dz где Uo -d,tUI2dsLiPnjF - безразмерная разность потенциалов на образце, U = Ps)c(fim)D, а вт — максимальная температура в едмене. Решая урав- уравнение E.190), находим распределение тока в нормальном металле: |z|/L,)- E.191) В случае больших переходных сопротивлений (ф-4 Г, L,- > Ls) подстанов- подстановка E.191) в E.188), E.189) приводит к уравнению * L] —-*- -в,+4о,-A -em)L,f/06(z)=0. E.192) dz1 dz1 решение которого имеет вид \z\/Ls), E.193) вт = 2а,-Ь,и0КЬ, + 2а,Ь,-и0). E.194) Еще одно соотношение, связывающее вт и Uo, получим из условия 's(O) + 'п(О) = '• Так как D <$ Ls, то максимальная температура в домене 6т ~* вг, тем самым /ДО) =1 - в,„. В то же время, согласно E.191), 1„@) = Uo, откуда i = fs@) +1„@) =l-em+U0. E.195) Исключая величину вт из E.194), получаем выражение для вольт-ампер- вольт-амперной характеристики образца с доменом [253, 254]: ?/о*(«) = Hi ± s/i2-i2r), E.I96) i?=2L,la,Li. E.197) Зависимость f/o*@ изображена на рис. 5.43. 15. А.Вл. Гуревич 225
t,Or Uo Рис. 5.43. Зависимость {/„(/") для композита с L,ILS = 50, ф = 0,1, ? = 9 • 103 (кривой А соответствует а = I, В — а = 2, С — а = 5, ?>-а = 10) [254] 0,5 1,0 i Таким образом, в композитных сверхпроводниках с большими переход- переходными сопротивлениями могут существовать резистивные домены двух типов, отвечающих соответственно верхней (устойчивой) и нижней (не- (неустойчивой) ветвям кривой Uo(i). Это связано со следующим обстоя- обстоятельством. Образование резистивного домена в сверхпроводнике сопровождается вытеснением в нормальный металл части транспортного тока, обтекающего домен на длине порядка L;. По отношению к сверхпроводнику нормальный металл в этих условиях играет роль шунта с эффективным сопротивлением <R,- = 2pnLjjdnb, не зависящем от D в меру D/Lj<41. Наличие такого "внут- "внутреннего" шунта в композитах с большими переходными сопротивлениями и приводит к появлению устойчивой ветви Uo = f/J (Она их вольт-амперных характеристиках. Ситуация здесь оказывается аналогичной рассмотренному в § 5.3 случаю шунтированного сверхпроводника с тем лишь отличием, что величина <R,- является не параметром внешней цепи, а определяется значе- значениями переходных сопротивлений. Ток ir в E.196) является током полного восстановления сверхпроводи- сверхпроводимости (см. рис. 5.43). При больших переходных сопротивлениях он, как видно из E.197), оказывается существенно меньше минимального тока существования нормальной фазы im E.187). Таким образом, разрушение сверхпроводимости током в этом случае может начаться уже при / ~~ ir ^ Jm B результате образования в образце устойчивых резистивных доменов [253]. Вернемся к соотношению E.196), полученному в предположении, что D<LS. Поскольку U= Dps(l - 6m)jc = 2dsLiPnjcUoldn, то D/Ls ~ ~ U0L;l Z,s(l — 0m)?. Подставляя в зту оценку выражения E.194), E.196), получаем критерий применимости формулы E.196) для описания ветви Uo = t/оЧО: ir2</2 «/'—?• E.198) Остановимся теперь на обратной ситуации, D > Ls (Lt > Lb P- Ls), когда ток fs(z) медленно меняется на расстоянии порядка Ls, а длина до- домена D велика по сравнению с шириной его границ (~is). В этом случае их можно рассматривать независимо друг от друга, что позволяет получить выражение для вольтамперной характеристики аналогично тому, как 226
это было сделано в § 5.3 для шунтированного образца (см. 5.73)). Дейст- Действительно, при больших переходных сопротивлениях тепловая связь между нормальным металлом и сверхпроводником является слабой. Тогда N— 5-границы находятся в равновесии, если через них течет минимальный ток распространения нормальной фазы ips для изолированного сверхпро- сверхпроводящего слоя, охлаждаемого с одной стороны. Длина домена D находится, таким образом, из условия is(±?>/2) = i^. Решив уравнение E.180) с уче- учетом непрерывности is(z) и i's(z) при z= ±?)/2,получаем + {'^"Г— )~~h' 2\z\<D, E.199) ш = 1+Г V* l+U ch(D/2Lb) i + liPs ~ 0 exp [ID - 2z)/2L,], 2z > D, E.200) = 2Lb arth Г —^ =33] ¦ E.201) L //ПТ/VlfJ Величину ips в рассматриваемом приближении (\р = 0) можно найти с по- помощью E.179) , подставив туда зависимость is(z) в виде E.199), E.200). В результате условие равновесия N — 5-границы сводится к уравнению где as = 2a;f = Psil-dsHTc - T0)h — параметр Стекли сверхпроводящего слоя, а слагаемое о://2 учитывает разогрев сверхпроводника, обусловлен- обусловленный тепловыделением в переходном слое. При as > 1 получаем, что Подставляя is (z) в соотношение 1 D'2 dz UolO=— f hlz)—, S -D/2 Lt находим вольт-амперную характеристику образца с доменом: +/-ip,, E.202) Здесь D(i) определяется формулой E.201), из которой следует, что длина домена ?>(/) монотонно возрастает с увеличением /, стремясь к конечному пределу 2Lb. По этой причине первое слагаемое в правой части E.202) является малым в меру Lb/L, <^ 1, а зависимость U* (/) — линейной. В случаеD< L„ (i < а,~1/2) U V) = 2L, рп -г- II-Ipsl E-2°3) а„ Эту формулу можно получить также из следующих качественных со- соображений. При D< Lb ток is (z) постоянен по длине домена и равен ве- величине ips. Разность потенциалов на образце f/=/,,(R/, где (R/ = 2p,,L(ldnb— 15* 227
s 10 20 z/Ls Рис. 5.44. Распределения es(z)nen(z) при i=ij [254] Рис. 5.45. Динамика деления резистивнььх доменов при / > if (время т выражено в единицах ts) |255] 18 I,A Рис. 5.46. Зависимосш //(/) (Li/Ls = 200 G); 100 B); 50 C)) и v(i)/vs {Lj/Ls = = 100D)) [255] Рис. 5.47. Зависимость U(T) для различных Ва [256] сопротивление "внутреннего" шунта, а /„ =jnbdn - ток в нормальном ме- металле. Подставляя сюда/„ = (у — jps) dsldn, приходим к E.203). В случае i >max(iV,as~1/2) выражение E.203) совпадает с формулой E.196), полученной в предположении ?)<С Ls. Таким образом, соотноше- соотношения E.196) и E.202), описывающие кривую U(j) при D< Ls и D>LS соответственно, переходят друг в друга в промежуточной областиD~ Ls. Вольт-амперные характеристики f/0 (i) для рассматриваемой здесь мо- модели изображены на рис. 5.43. Наиболее существенной их особенностью является наличие предельного тока if, превышение которого приводит к исчезновению устойчивой ветви f/0+@- Это связно с тем, что распреде- распределение температуры В s (z) и тока is (z) в домене имеют при z = 0 характер- характерный "провал", увеличивающийся с ростом i (см. E.199), E.201) и рис. 5.44). При i >if температура в точке z =0 становится меньше 0г . Это приводит к появлению там сверхпроводящей "прослойки", т.е. к де- делению домена на две части. Одновременно ток в точке г = 0 падает ниже минимального тока существования нормальной фазы для сверхпроводя- сверхпроводящего слоя ims =as"I/2 = Ba,f)~I/2- Подставляя значение ims в E.199), 228
E.201), находим i>=l/2v^,, E-204) ?>(!/) = Lb In [(VJ+ l)/(v/3 - 1)] - 1,32 JLft. E.205) Таким образом, деление статического резистивного домена начинается при токе порядка минимального тока существования нормальной фазы, вы- вычисленного без учета переходных сопротивлений [254]. Рассмотрим теперь, что происходит, если i > if, следуя работе [255], где было проведено численное моделирование процессов зарождения и распространения нормальной фазы, инициированной начальным тепловым импульсом, локализованным в сверхпроводящем слое. Вначале, как по- показывает расчет, в сверхпроводнике возникает нормальная область, в центре которой через время t ~ ts появляется сверхпроводящая "про- "прослойка". Образовавшиеся таким образом два резистивных домена рас- расходятся, одновременно увеличиваясь в размерах, и на расстоянии поряд- порядка Lt друг от друга опять делятся на два. При этом два крайних домена (лидеры) продолжают свое движение, удаляясь от места первоначального зарождения нормальной фазы. Их длины увеличиваются со временем и на расстоянии порядка L,- от места предыдущего деления каждый из лидеров делится на две части (лидер и аутсайдер). Такой процесс возникновения и последующего деления домена-лидера периодически повторяется (рис. 5.45). В результате, в „композитном сверхпроводнике возникает "самодо- страиваюшаяся" периодическая цепочка реэистивных доменов, длина ко- которой растет с удвоенной средней скоростью домена-лидера v (i). На рис. 5.46 изображены зависимости и (у) и периода образовавшейся струк- структуры //(/) от тока. Величина lf(f) оказывается порядка L(l a »(/) — порядка тепловой скорости vs ~ Ls/ts. Рассмотренные выше эффекты изучались экспериментально [243, 256, 257]. В различных по конструкции композитных сверхпроводниках с боль- 1,0 и,ю Зв ¦ft IOt,c о I to 15 \ \ 20I,A 'rh Рис. 5.48. Зависимость U(t) при делении доменов [256] Рис. 5.49. Зависимость U{I) при локализации в образце нескольких резистивных до- доменов B56J 229
шими переходными сопротивлениями в результате воздействия теплового импульса наблюдалось зарождение устойчивого резистивного домена дли- длиной 5 — 10 мм. На рис. 5.47 приведены типичные вольт-амперные харак- характеристики сверхпроводника с таким доменом. Изображенные на рис. 5.47 кривые обладают всеми качественными особенностями, о которых шла речь выше, а именно практически линейной устойчивой ветвью, наличием избыточного тока Ту (см. E.199)), а также пороговых токов 1Г и If. В области токов 1~>Ц наблюдалась следующая картина. При 0,1 Тл< < В < 2 Тл внешнее возмущение приводит к зарождению и последующему многократному делению возникающих резистивных доменов вплоть до заполнения ими значительной части образца. Образование каждого нового домена сопровождается ступенчатым увеличением напряжения на сверх- сверхпроводнике (рис. 5.48). В магнитных полях 2 Тл < В < 7 Тл при / > If, как правило, происхо- происходит одно-два деления резистивных доменов, которые затем локализуются на неоднородностнх образца. Последующее увеличение тока приводит к делению одного из них. Этот процесс сопровождается появлением ступень- ступеньки на вольт-амперной характеристике (рис. 5.49). При обратном уменьше- уменьшении / возникает существенный гистерезис, связанный с различием токов /, и 1Г. Таким образом, вольт-амперные характеристики композитных сверх- сверхпроводников с большими переходными сопротивлениями имеют ступен- ступенчатый характер и по виду оказываются аналогичными тем, которые рас- рассматривались в § 5.5 (см. рис. 5.27, 5.28). В обоих случаях эти ступеньки обусловлены неоднородностью образца.
ПРИЛОЖЕНИЯ Ш. Связь между величиной потерь и магнитным моментом проводника Удельную мощность джоулева тепловыделения в объеме Vo. в котором текут токи с плотностью/ (г), можно записать в виде [81, 113]: fjEdV = --i—^- ;1в2 + JL\dV-—f[E.B]df, (П1.1) J'o 2/Jo at Fo\ cr ) no f где / — поверхность, ограничивающая объем Vo; df — вектор, направлен- направленный по нормали к / и равный по модулю элементу ее плошади df: с — скорость света. Пусть внешние параметры системы изменяются периодически. В таком случае при вычислении плотности потерь за период Q интеграл по времени от первого слагаемого в правой части формулы (П1.1) равен нулю и / fdt$[E,B]df. И0У о / Здесь со — частота рассматриваемого процесса, V — объем проводника, а величина Fo выбрана так, что Fo > V. Выразим электрическое поле Е через векторный А и скалярный х потен- потенциалы: ^ . ал E = -VX——, (П13) at где А определяется уравнением rotA=B. Подставив выражение (П1.3) в поверхностный интеграл в (П1.2), получим 1 11 Г оА 11 f\E.B\df= — i\[Vx,B\ +\—-,B\\df. VV [ L ot 1) \ \ f [ L Пользуясь известными формулами векторного анализа, преобразуем пер- первое слагаемое в правой части (П1.4) следующим образом: Qi= — f[Vx,B]df=^— fdiv[VX,B]dV=-- SUVx)dV. »»V f VoV v0 V ve (П15) В дальнейшем нас будет интересовать случай длинного провода. Тогда можно пренебречь концевыми эффектами и считать, что плотность тока не зависит от продольной координаты z,a векторы Ухи/ имеют лишь z-компоненты. Следовательно, х=Х(г) и из (П.1.5) находим Qi = l V f Jd V L/2 A f ez -LI2 х — dz, 231
где А — площадь поперечного сечения провода, L — его длина, е z — еди- единичный вектор в направлении оси z. Интеграл от / равен транспортному току /, а интеграл от градиента х - приложенной сторонней разности потен- цилов U. В результате имеем QI = IUIV. (П1.6) Преобразуем теперь второе слагаемое в правой части уравнения (П1.4). Для этого воспользуемся тем, что вдали от провода вектор-потенциал мож- можно представить в виде [17,81] *«-?- s»w+ef^. он.!) 4rrr ve 4rt r где М — магнитный момент единицы объема образца. Если транспортный ток в объеме Vo > V не равен нулю, т.е. / jd V Ф 0, то вектор М не может быть определен однозначно [17] .Действительно, так как [17,81] М=-^- f[r,j]dV. (Ш.8) то перенос начала координат на вектор г i преобразует М в М': f[] [ [ Использовать неоднозначно определенные величины неудобно. Чтобы этого избежать, применим следующий искусственный прием [17,81, 113]. Будем формально считать, что концы длинного провода замыкаются на бесконеч- бесконечности, образуя замкнутый виток с током. Выберем объем Vo в виде шара радиусаR, включающего в себя весь этот виток. Тогда f/dV = O, (П1.9) и магнитный момент провода определен однозначно. С помощью соотношений (П1.7) и (П1.9) второе слагаемое в правой части уравнения (П1.4) можно преобразовать следующим образом: $[а] df= - —!—- f [Ba [MR] ]df = f 4nR3 f ЪМ M ЪМ =B° JT - ЩГ fV-*W=B- 1Г • (nuo) f 1 Подставив (П1.6), (ШЛО) в (П1.2), после интегрирования по t получим 1 2п/и> Q=§MdBa + — f IUdt. о П2. Импеданс сверхпроводника с доменом При выводе выражения для Z (со) мы будем следовать процедуре, при- применяющейся в физике полупроводников [226]. Выразив в E.69) вели- величину 5 Е (z, со) через 5 Т и 5 /, получим Э - Э S7Xz,co) Z(co)=— / U-h)pdz+ f—-r[{j-j1)p] ' dz. ol -« -« oi o/(co) 232
Линеаризовав E.5) по отношению к малым возмущениям 5 Т и 5/, нахо- находим уравнение для входяшей в (П2.1) функции у (z;, со) =к 5 Г/5/ : d2y 1/ Э/\ д?> —— - - ( ioiv + — U = - . (П2.2) dz2 к\ ЪТ I Ы Далее разложим <?>(z, v) по полной системе собственных функций Ф„(г>) уравнения E.62). Коэффициенты этого разложения сп найдем, умножив (П2.2) на Ф„(г), а E.62) — на <?>(z), после чего проинтегрируем оба урав- уравнения по z, а затем вычтем одно из другого. Подставляя полученную таким образом функцию <?>(z) в (П2.1), приходим к следующему выражению для Z (со): Z(co) = ft» + 2 — , (П2.3) и = О 7н — /Ш (П2.4) / К//,)р] d* / f —°° ЭГ к —оо Э/ где <Roo — дифференциальное сопротивление домена при фиксированной величине Тт (высокочастотный (coth > 1) импеданс образца). В случае D> L имеем = ну . (П2.5) А Полюса в Z(co) соответствуют различным модам, изменяющим сопро- сопротивление образца (мода с п = О, например, отвечает однородному расшире- расширению или сжатию домена). Коэффициенты С„ для антисимметричных возму- шений (ф„(г) =— ф„(—z), n= 1,3, 5 .. .) равны нулю в силу симметрии (T(z) =T(—z)). Они не изменяют сопротивление.образца и поэтому не вносят вклада в Z (со)(в частности, мода сп= 1, Gi =0) отвечает малому сдвигу домена как целого) . Обшее выражение (П2.3) для Z (со) существенно упрощается при?>>L, когда инкремент 7o^l7nl ~^л'» « = 2,4, 6 ... (см. E.65)). Для соГЛ < 1 можно тогда положить со = 0 во всех слагаемых с п> 2 в (П2.3), что дает Z(co) = 61т + — , (П2. 6) 7о - iw 6{т = ft» + 2 — . (П2.7) n = 2 In Первое слагаемое в (П2.6) отвечает сопротивлению разогретой до темпе- температуры Т3 (у ) области с фиксированной длиной D, а второе — учитывает движение границ домена. Выражение для <Rm можно получить исходя из соотношения D Ъ D А 61 А Продифференцировав уравнение теплового баланса p(T3)j2 = ЩТ3) по /, 233
находим для определения ЭГ3/Эу: -' ът) ът Исключив из двух последних формул Э T3/dj, получаем Г L 2]1Ър1ЪТ Г 2]1Ър1ЪТ 1 (/) = И + — ; «~ (У )• (П2.8) Для нахождения Со воспользуемся тем, что Z @) = <R (у), где <R(/) =dU\dl- статическое дифференциальное сопротивление образца с доменом. Полагая в (П2.6) Z(to) = <R, со = 0, получаем Со = (<R - <RmOo- В резуль- результате имеем Z(co) = *,(/)* Я(У)^"(/) . (П2.9) 1 - /со/7о Рассмотрим, в качестве иллюстрации, модель со ступенчатым тепловьще- лением. В этом случае f Г Э0Г 1 1 S?- = Jij[ B(z) -er]5i+h6 - — 5fJ5[0(z)-0,] ijp/,, (П2.10) где 5 (д:) — дельта-функция, а 0 (z) — распределение температуры в домене. Подставляя (ШЛО) в E.69), получаем ]) р j} pull, 2//_Г ID \ двг]) р где \р = 50/5i, а ?>(/) определяется формулой E.59) . Линеаризуем E.31) по отношению к малым величинам 5 в и 5/. Тогда D D \ i r ( D\ ^') (П212) Здесь ш0 = w?/j. Решая уравнение (П2.12) и подставляя ip (z, со) в (П2.11), находим окончательно i2 -а11(\+К)Ъвг[Ы\\ р где К- th(flo?)/2L), д0 =Vl +icor,,. Формула (П2.]3) описьшает линей- линейный отклик сверхпроводника с резистивным доменом, являющегося не- нелинейным элементом электрической цепи. Полюсы Z(co) определяют спектр собственных частот домена в режиме фиксированного тока. Полагая X = = i(jOth и приравнивая нулю знаменатель в (П2.13), мы возвращаемся к соотношению E.67).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1.ЛинтонЭ. Сверхпроводимость. М.:Мир, 1971.-262 с. 2.Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. - М.: Мир, 1968. - 280 с. З.Сан-Жам Д., Сарма Н., Томас Е. Сверхпроводимость второго рода. — М.: Мир, 1970.-364 с. 4. БуккелъВ. Сверхпроводимость. — М.: Мир, 1975. — 366 с. 5. ШмидтВ.В Введение в физику сверхпроводников. — М.: Наука, 1982. — 238 с. Ь.Кемпбелл А., Цвете Дж. Критические токи в сверхпроводниках. — М.: Мир, 1975.-332 с. 7.Шубников Л.В., ХоткевичВ.И.,ШепелевЮ.Д. и Ф.//ЖЭТФ. - 1937. -Т. 7,№ 2. 8.АбрикосовА.А. //ЖЭТФ. - 1957. -Т. 32,№6. -С. 1442-1452. Ч.НиеЪепег R.P. // Phys. Rep. - 1974.V.13,№4. - P. 145-189. Ю.ШмидтВ.В., Мкртчян Г.С. //УФН. -1974. -Т. 112,№3. -С. 459-490. 11. TrableH. Essman U. // Phys. Status solidi. - 1966. - V.18,№2. - P. 813-828. 12. Trable H, Essman U. // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39, №9. - P. 4052-4059. 13. Obst B. I/ Phys. Lett. A. - 1969. - V. 28, №9. - P. 662-663. 14. Горькое Л.П., Копнин Н.Б. // УФН. -1975. -Т. 116, № 3. -С. 413-448. 15. Tinkham М. // Phys. Rev. Lett. - 1964. - V. 13,№26. - P. 804-807. 16.Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Статистическая физика. - М.: Наука, 1976. - 583 с. 17. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966. - 662 с. 18. Абрикосов А.А. Введение в теорию нормальных металлов. - М.: Наука, 1972. 19. Anderson РЖ, Kim YBjjRev. Mod. Phys. - 1964. - V. 36,№1. -P.39-43. 20. Hampshire R.G., Sutton J., Taylor M.T. // Supplement au bulletin de l'Institute Intern, du Fioid. - 1969. - №1. - P. 251-257. 21. Larbalestier D.C.I/ IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17, №5.-P. 1668-1686. 22. Андрианов В.В., Баев В.П., Минц РГ., Рахманов А.Л. //Докл. АН СССР. - 1981.- Т. 260,№2. -С. 328-331. 23. Сверхпроводящие материалы. - М.: Металлургия, 1976. - 296 с. 24. Maddok B.I.James G.B., NorrisW.T. //Cryogenics.- 1969. - V.9,№8.-P.261-273. 25. Альтов В.А., Зенкевич В.Б., Кремлев М.Г., Сычев В.В. Стабилизация сверхпрово- сверхпроводящих магнитных систем. - М.: Энергия, 1984. - 312 с. 26. Bean СР. // Phys. Rev. Lett. - 1962. V. 8,№6. - P. 250-253. 27. Bean СР. // Rev. Mod. Phys. - 1964. - V. 36, № 1. - P. 31-39. 28. London H. И Phys. Lett. - 1963. - V. 6,№2. - P. 162-165. 29. Ют Y.B.. Hempstead C.F., Stmad A.R. // Rev. Mod. Phys. - 1964. - V. 36, № 1. 30. Kim Y.B.. Hempstead C.F., Stmad A.R. // Phys. Rev. - 1965.-V.139, №4 A. 31. Evens J. //Phys. Rev. B. - 1970. - V.2,№1. - P.95-96. 32.КарасикВ.Р..ВерещагинВ.Г. //ЖЭТФ. - 1970..-Т.59,№ 1. -С. 36-47. 33. Anderson P. Ж. // Phys. Rev. Lett. - 1962. - V. 9, №7. _ P. 309-311. 34. Kim Y.B., Hempstead C.F., Stmad A.R. 11 Phys. Rev. Lett. - 1962. - V. 9, № 7. 35. Kim Y.B., Hempstead C.F., Stmad A.R. // Phys. Rev. - 1963. - V. 131, №6. 36.Beasley M.R.. Labush R.. Webb W.W. // Phys. Rev. - 1969. - V. 181, №2. - P. 682- 700. n.MiuL.,PopaS. //J. Low Temp. Phys. - 1981. - V.42,№3/4. -P.203-206, 38. Antesberger G., Ullmaier H11 Phil. Mag. - 1974. - V. 29, № 5. - P. 1101 -1124. 235
39. Гончаров ИМ., Дорофеев Г.Л., Пасюк В.В. и др. // Физика низких темпера- температур. - 1980. - Т. 6, № 6. - С. 698 -70S. 40. WadeJM.A. Ц Phil.Mag. - 1969. - V. 20,№168. - P. 1107-1114. 41. Jones R.G., Rhoderick R.H., Rose-Innes A.C. II Phys. Lett. - 1967. - V. A24,№6 - P. 318-319. 42.Baixeras J., Fournet G. I/ J. Phys. Chem. Solids. - 1967. - V. 28, № 8. 43.Polak M., Hlasnik L, Krempasky L. // Cryogenics. - 1973.V.13,№12.-P.702-711. ЛА.Винников Л.Я., Григорьев В.И., Жариков О.В. // ЖЭТФ. - 1976. - Т. 71, № 1. - С. 252-261. 45.Nicholson J.E., Cort B.S., Cort G.P. Ц i. Low Temp. Phys. - 1977. - V. 26.№1/2. - P. 69-72. 46.Красное Ю.К., Шухман В.А., Матюшкина Л.В. // ФНТ. - 1979. - Т. 5, № 2. - С. 109-117. Al.Magaradze О. V., Matyushkina L. V., Shukhtmn V.A. // J. Low Temp. Phys. - 1984. - V.55,№5/6. - P. 475-494. 48. Gentille D., Hassenzahl W., Pollak M. // Cryogenics. - 1980. - V.2O,№1.- P. 37-40. 49. Andrianov V.V., Baev V.P., Ivanov S.S, Mints R.G., Rakhmanov A L. // Cryogenics. - 1982.- V. 22, №2.-P. 81-87. 50.Ларкин AM., Овчинников ЮМ. // ЖЭТФ. - 1973. - Т. 65. № 10. - С. 1704-1714. 51.Ларкин AM., Овчинников ЮМ. Ц ЖЭТФ. - 1981. - Т. 80, № 6. - С. 2334-2345. 52. Dorofeev G.L., Imenitov A.B., Klimenko Е. Yu. 11 Cryogenics - 1980. - V 20, №6.- P. 307-312. 53. Ларкин AM., Овчинников Ю.Н. // ЖЭТФ. - 1975. -Т. 68,№5. -С. 1915 - 1927. 54. Брехна Г. Сверхпроводящие магнитные системы. - М.: Мир, 1976. - 704 с. 55. Свалов ГГ, Белый ДМ. Сверхпроводящие и криорезистивные обмоточные про- провода. - М.: Энергия, 1976. - 168 с- 5 6. Зенкевич В.Б., Сычев В.В. Магнитные системы на сверхпроводниках. - М.: Наука, 1972. -260 с. 57. Gregory Е. // Cryogenics. - 1982. -V. 22, №5. - Р. 203-212. SS.Tanaka Y., Furuto Y., Ikeda M. et. al. // Cryogenics. - 1977. - V. 17, №4. 59. TsueiC.C //IEEE Trans. Magn. - 1975.-V. 11,№2.- P. 272-275. 60.Bevk J, Tinkham M.,Habbal F. et. al. // IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17,№1. 61. Bragmski A. 1. Wagner G.R. // IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17, №1. - P. 243-247. 62.Mathias B.T. , Marezio M., Corenzwit E. et. al. // Science. - 1972.- V 175.- P. 1465-1466. 63.Foner S.,McMffE.J.,Alexander E.J. // IEEE Trans. Magn. - 1975. - V 11 № 1 - P. 155-159. (A.Seeber В., Rossel C. II 1982 Applied superconductivity conference: Abstracts.- Knoxville, Tennesee, 1982. - P. 16. 65.Карасик В.Р., Каряев Е.В., Рикель М.О. и др. // ЖЭТФ. - 1982. - Т. 83, № 4. - С. 1529-1532. 66. Bychkov Yu.E, Herzog R., Khukliarera I.S. // Cryogenics. - 1981. - V. 21, № 12. 67. Fickett F.R. // Cryogenics. - 1982. - V. 22,№3. - P. 135-138. 68. John K., JacketM.,Meyer W. // Cryogenics. - 1983. - V. 23,№3. - P. 160-162. 69. Щеткин И.С.: Автореф. дис. на соискание учен. степ. канд. физ.-мат. наук. - Харьков: Физ.-техн. ин-т низких температур АНУССР, 1971. - 18 с. 70. Веркин Б.И., Пархоменко Т.А., Пустовалое В.В. и др. Низкотемпературная пластичность сверхпроводящих материалов и сплавов ниобий—титан. - ПрепринтФТИНТ АНУССР. - Харьков, 1975. - 13 с. IX.Ekin J.W. Ц 1982 Applied superconductivity conference: Abstracts. - Knoxville, Tennesee, 1982. - P. 37. 72.Koch C.CEastenD.S. II Cryogenics. - 1977. - V. 17,№7. - P. 391-413. 73.Hart H.R. И i. Appl. Phys. - 1969. - V. 40,№5. - P. 2085. 74. Carr W.J. И i. Appl. Phys. - 1974. - V. 45,№2. - P. 929-934. IS.CarrW.J //J. Appl. Phys. - 1974.- V. 45,№2. - P.934-938. 16.Carr W.J. I/ Phys. Rev. B. - 1975.- V. 11,№4. - P. 1547-1554. 77. Carr W. J И J. Appl. Phys. - 1975. - V. 46,№9. - P. 4043-4047. 78. Duchateau J. J, TurkB. II J. Appl. Phys. - 1975. - V. 45,№ 11. - P. 4989-4995. 236
П.Кремлев MS., Минц Р.Г., Рахманов А.Л. // Докп. АН СССР. - 1976. - Т. 228, №1.- С. 85-87. SO.Kremlev M.G., Mints R.G., Rakhimnov A.L. II J. Phys. D. - 1977. - V. 10,№10. 81. Ландау ЛЛ., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики: В 10 т. Т. V III: Электро- Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 623 с. bl.Landauer R. // Proc. AIP conference. - New-York: AIP. - 1978. - V. 40. - P. 1-45. Si.Kirkpatrick S. // Rev. Mod. Phys. - 1973. - V. 45,№4. - P. 574-578. 84. Goodrich L.F.,Fickett F.R. 11 Cryogenics. - 1982.- V. 22, №5.- P. 225-242. 85. Carr W. J. 11 J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54, № 10. - P. 5911-5916. 86. Rakhmanov A. L. //J. Phys. D. - 1985. - V. 18,№5. - P. 919-924. 87. Cavalloni С, Kwasnitza K., Moiiier R., Horrath I. // Appl. Phys. Leu. - 1983. - V.48, №8.-P. 734-736. 88. Oda Y, Fu/ii G., Nazano H. // Jap. Journ. Appl. Phys. - 1982. - V.21,№1.- P. L37-L39. 89.Cline И.Е.. Strauss B.P., Rose R.M. et alj/i. Appl. Phys. -1966.-V. 37, №1.-P. 5-8. 90. Sue J.J., Verhoeven J.D., Gibson E.D. et. al I/ Adv. Cryog. Eng. - V.28. - P. 501-510. 91. Буряк В.П., Еременко Т.М., Миронова О.Н. и др. // ЖТФ. - 1984. - Т S4, № 12. - С. 2376-2379. 92. Carr W.J. AC loss and macroscopic theory of superconductors. - New-York: Gordon and Breech, 1983. - 274 p. 93. Shiiky K.,Kudo M. // J. Appl. Phys. - 1974. - V. 45,№9. - P. 4071 -4078. 94.Zenkevitch V.B.,Zheltov V. V. // Cryogenics. - 1978. - V. 18,№5. - P. 289-295. 95. Wilson M.N.. Walters C.R., Lewin J.D. et. al. // J. Phys. D. - 1970. - V. 3, № 11. 96. Morgan G.H. 11 J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41 ,№ 8. - P. 3673-3679. 97. Carr W.J. //J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54, №11.-P. 6549-6552. 98. Rakhmanov A.L. // J.Phys. D. - 1986. - V. 19,№2. - P.283-290. 99. Ashkin M. /I J. Appl. Phys. - 1979. - V. 50,N* 11. - P. 7060-7066. 100. Зенкевич В.Б., Желтое В.В., Романюк А.С // Докп. АН СССР. - 1980. - Т. 251, №2.-С. 339-342. 101. Zenkevitch V.B., Roinanyuk A.S., Zheltov V.M. //Cryogenics. - 1980. - V. 20, №12.- P. 703-709. 102. Zenkevitch V.B., Roinanvuk A.S., Zheltov V.V. //Cryogenics. - 1981. - V.21,№1.- P. 13-20. 103. Lefranco is С Calcul des pertes dissipees dan un fil supraconducteur rond sous regime magnetique pulse. - Preprint / Saclay. - Saclay, 1971. - CATS/71-40. - 17 p. 104. Зенкевич В.Б., Желтое В.В., Романюк А.С. Гистерезисные потери в обмотках из проводников, содержащих сверхпроводящие жилы круглого сечения, - Препринт/ ИВТАН. - Москва, 1983. -№4-114. - 33 с. 105.Denegri G.,Molinari G., Viviani A. // IEEE Trans. Magn. - 1978. - V. 14, № 5. - P. 620-622. 106.Kawashiina Т., Sumioshi F., Me F. et. al. // Cryogenics. - 1984. - V. 24, № 6. - P. 313-325. 107 .Zenkevitch V.B., Roinanyuk A.S. II Cryogenics. - 1979. - V. 19, №12. - P.725-730. 108. Zenkevitch V.B., Romanyuk A.S. // Cryogenics. - 1980. - V. 20, № 1. - P.I 1-18. 109. Zenkevitch V.В., Romanyuk A.S. //Cryogenics.- 1980.-V.20,№2. -P. 79-86. 110. Carr W.J., Walker MS., Murphy J.H. 11 J. Appl. Phys. - 1975. - V. 46, № 9. - P. 4048-4052. 111. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. - М.: Наука, 1968. - 344 с. 112. Зенкевич В.Б., Романюк А.С, Желтое В.В. Потери в композитных сверхпровод- сверхпроводниках при развитой насыщенной зоне. - Препринт / ИВТАН. - М., 1983. - №4-118.-24 с. 113.Ландау ЛЛ., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики: В 10 т. Т. II: Теория попя. - М.: Наука, 1973. - 504 с. 114. Зенкевич В.Б., Романюк А.С, Желтое В.В. Потери в композитных сверхпровод- сверхпроводниках, несущих постоянный транспортный ток, в переменных магнитных по- полях. - Препринт / ИВТАН. - М., 1983. - № 4-117. - 20 с. US.Ogasawara Т., Takashi Y., Kaubara К. et. al. 11 Cryogenics. - 1980. - V. 20 №4. 116. МинцР.Г., Рахманов А.Л. //УФК _ 1977 _T. 121,№3. -С. 499-524
Л1.Mints R.G.,Rakhmanov A.L. //Rev. Mod. Phys. - 1981. -V. 53,№3.- P. 551-593. 118.Минц Р.Г., Рахманов А.Л. Неустойчивости в сверхпроводниках. - М.: Наука, 1984. - 262 с. 119.НапсохR. //Phys. Lett. - 1965. - V. 16,№3. - Р.208-209. 120.Neuringer J.J.,Shapiro Y. // Phys. Rev. - 1966. - V. 148;№ I. - P.231-246 121. WipfSL.,LubellM.S. /I Phys. Lett. - 1965. - V. 16,№2. - P. 103-105. 122. Watson J.H.P. //J. Appl.Phys. - 1966. -V. 37,№2. - P.516-521. 123. Watson J.H.P И J. Appl. Phys. - 1967. - V. 38,№10. - P. 3813-3817. 124.Me F., Matsushita Т., Takeo M. et. al. // IEEE Trans. Magn. - 1977. - V. 13, № 1. 125. МищР.Г. //Письма ЖЭТФ. - 1978. -Т. 27, №8. -С. 445-448. 126.Zebouni N.H., Venkataram A., Rao G.N. et. al. // Phys. Rev. Lett. - 1964. - V. 13, №21.-P. 606-609. m.Chikaba J. //Cryogenics. - 1970. - V. 10,№4. - P. 306-313, 128.ShimamotoS. //Cryogenics.- 1974. - V. 14,№10. - P.568-573. 129.Akachi Т., Ogasawara Т., Yasukochi К. Ц Jap. Journ AppL Phys. - 1981 - ^ 20 №8.-P. 1559-1571. 130.MintsR.G.,RakhmanovA.L. //J. Phys.D. - 1983. - V. 16,№ Г2. - P. 2495'-2503. 131. Боровик Е.С., Фогель Н.Я., Литвиненко Ю.А. // ЖЭТФ. - 1965. - Т. 49, № 2. 132.S\vartzP.S.,Rosner С.Н // J. Appl. Phys. - 1962. - V. 33,№7. - P. 2292-2300. 133.Harrison R.B., Wright S.L., Wertheimer M.R. // Phys. Rev. B. - 1973. - V. 7, №5. 134. Oiiishi T. I/ Cryogenics. - 1974. - V. 14, №9. - P. 495-498. 135. Coedemoed S.H., Van Kolmenshate CMatselaar J.W. et. al - Physica. - 1965. - V. 31, №4. - P. 573-584. 136. Hart H.R. /I Proc. 1968 summer study on supercond. dev. and ace. BNL. - New-York, 1969.- P. 571-580. 137.Duchateau J.J.,TurkB. //IEEE Trans. Magn. - 1975.-V. 11,№2. - P. 350-353. 138. Claiborne L.T.,Einspmch KG. // J. Appl. Phys. - 1966. - V. 37,№3. - P. 925-927. 139. Del Castillo G., Oswald L.O. // Pioc. 1968 summer study on supeicond. dev. and ace. BNL.-New-York, 1969. - P. 609-611. 140.Harrison R.B., Wright L.S. II Can. J. Phys. -.1974. - V. 52,№ 12. - P. 1107-1109. 141. Harrison R.B.,Pendrys J.P.,Wright L.S. // J. Low Temp. Phys. - 1975. - V. 8,№1/2. 142.Keyston J.R., WertheimerM.R. //Cryogenics. - 1966. - V. 16,№6. - P. 341-344. 143. Кремлев М.Г. // Письма ЖЭТФ. - 1973. - Т. 17, № 6. -С. 350-353. 144.KremlevM.G. //Cryogenics. - 1974. - V. 14,№3. - P. 132-134. 145.Kremlev M.G., Mints R.G., Rakhmanor A.L. // J. Phys. D. - 1976. - V. 9, №2. 146.Maksimov I.L.,Mints R.G. // J. Phys. D. - 1980. - V. 13,№9. - P. 1689-1698. 147.MintsR.G.,RakhmanovA.L. //J. Phys. D. - 1975. -V. 8,№8. - P. 1769-1782. 148. WipfS.L. Phys. Rev. - 1967. - V, 161,№2. - P. 404-416. 149. Swam PS., Bean C.P. 11 J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39, №11. - P. 4991-4998. 150. Минц Р.Г., Рахманов А.Л. //ПисьмаЖТФ. - 1976. -Т.2,№ 11. -С. 502-504. 151. Минц Р.Г., Максимов ЯЛ. // ФНТ. - 1979. -Т. 5, №8. -С. 842-853. 152. Лазарев Б.Г., Горидов СИ // Докп. АН СССР. - 1972. - Т. 206, № 1. - С.85-86: 153. LangeF., Verges P. //Cryogenics. - 1974. - V. 14,№3. - P. 135-138. 154.MintsR.G.,RakhmanovA.L. //J.Phys. D. - 1982. - V. 15,№11. - P. 2297-2306. 155. Andrianov V.V., Baev V.P, Iranor S.S. et al. // IEEE Trans. Magn. - 1983. - V. 19, №3.-P. 240-243. 156. BazinskiZ.S. 11 Proc. Roy. Soc. A. - 1957. - V. 240, №2. - P. 229-242. 157.Малыгин Г.А. // ФММ. - 1975. - Т. 40,№ 1. - С. 21-28. 158. Петухов Б.В., Эстрин Ю.З. // ФТТ. - 1975. - Т. 17, № 7. - С. 2041-2044. 159. Минц Р.Г., Петухов Б.В. //ФТТ. - 1980. -Т.22,№4. -С. 1085-1090. 160.Estrhi Y.,TangryK. Ц Scripta Metallurgica. - 1981. - V. 15,№12. - P. 1323-1328. 161. Estrin Y., Kubin L.P. // Continous models of descrete systems. North-Holland pub- publishing company. - 1981. - V. 4. - P. 13-20. 162. Kubin L.P., Spiesser P.L., Estrin Y. // Acta Metallurgica. - 1982. - V. 30, № 2. 163.Житомирский И.С.,Нечипоренко И.Н. 11 ФНТ. - T. 4, № 8. - С 1053-1062. 164. Ландау А.И., Василенко Т.Л., Кузъменко И.Н. и др. // Металпофизика. - 1980. - Т. 2, №4.-С. 66-74. 165. Кузьменко И.Н. Ц ФНТ.- 1981.-Т. 7, №12. -С. 1558-1561. 166.Доценко В.И., Пустовалов В.В., Сиренко В.А. // ФНТ. - 1981. - Т. 7, № 1. 238
167.Mints R.G. //J. Phys. D. - 1980. - V. 1 3,№4. - P. 847-851. 168.Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. - М.: Мир, 1970. - 443 с. 169. Старцев В.И., Ильичев В.Я., Пустовалов В.В. Прочность и пластичность металлов и сплавов при низких температурах. - М.: Металлургия, 1975. - 328 с. 170.MaksimovI.L.,Mints R.G. //J. Phys. D. - 1981.-V. 14,№2. - P. 267-282. m.Maksimov I.L.,Mints R.G. 11 J. Phys. D. - 1981. - V. 14, №11. - P. 2279-2283. 172.Maksimov I.L.,Mints R.G. //J. Phys. D. - 1981. - V. 14,№4. - P. 697-704. 173.Maksimov I.L.,Mints R.G. //IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17,№1. - P. 228-230. П4.Кейлин В.Е., Ковалев И.А., Круглое С.Л. и др. Тренировка и деградация модельной сверхпроводящей обмотки в зависимости от условий охлаждения. Препринт/ ИАЭ им.И.В.Курчатова. - М., 1981, № 3509/10. - 8 с. llS.Pasztor G.,Schmidt С. // J. Appl. Phys. - 1978. - V. 49,№2. - P. 886-899. Yld.Maeda H.,Iwasa Y. // Cryogenics. - 1982. - V. 22,№9. - P. 473-479. 177. Smith P.F.,Coyler B. //Cryogenics. - 1975.-V. 15,№4. - P.201-205. 178. Maeda H., Tsukamoto O., Iwasa Y. // Cryogenics. - 1982. - V. 22, № 6. - P.287-295. 179. Kinsley R.S., Yoshida K., Tsu/i H., Shimamoto S. II Cryogenics. - 1983. - V. 23, №1.- P. 17-25. 180. Анашкин О.П., Кейлин В.Е., Лыков В.В. // Основы создания сверхпроводящей системы ускорителей. - М.: Атомиздат, 1977. - Т. 2. - С. 42-45. 181.Anashkin O.P., Varkkhin V.A., Keilin V.E. et al. // IEEE Trans. Magn. - 1977 - V. 13,№1.- P. 673-677. \%2.Anashkiii O.P.. Keilin V.E.. Krivikh A. V. // Cryogenics. - 1979. - V. 19,№1. m.Breemet J.W.,Newhouse V.L. //Phys. Rev. Lett. - 1958. - V. 1,№5. - P. 282-284. 184. Cherry W.H.,Gittleman J.I. //Solid State Electron. - 1960. - V. 1,№4. - P.287-305. 185.Broom R.F.,Rhoderick E.K // Brit. J. Appl. Phys. - 1960. - V. 11,№7. - P.292-296. 186. Stekly Z. J. J. /I Adv. Cryog. Eng. - 1965. - V. 8. - P. 585-600. 187. Whetstone CN.-.Ross C.E. // J. Appl. Phys. - 1965. -V. 36,№3. - P. 783-791. 188 Keilin V.E., Klimenko E. Yu., Kremlev M. G. et. al. 11 Les Champs magnetique intenses. - Paris: SNRS, 1967.-P. 231. 189. Shimamoto S.,Desportes H. // J. Appl. Phys. - 1970. - V. 41,№ 8. - P. 3286-3294. 190.Altov V.A.,KremlevM.G., Sytchev V.V. eto/.//Cryogenics.-1973.-V. 13,№7.-P.42O. 191. Schmidt С II Cryogenics. - 1978. - V. 18,№ 10. - P. 605-609. 192. Gall W.,TurowskiP. // Cryogenics. - 1978. - V. 18,№2. - P. 103-107. 193.Amshkin O.P., Keilin V.E, Lyikov V.V. // Cryogenics. - 1979. - V. 19, № 2. - P. 77-80. 194.Cesnak L.,Kokavec J. // Cryogenics. - 1969. - V.9,№5. - P. 376-379. 195.Bindari A.E..BernetR.E. // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39,№6. - P. 2529-2532. 196.Breemer J.W.,Newhouse V.L. // Phys. Rev. - 1959. - V. 116,№2. - P. 309 313. 197.Skocpol W.J.,Beasley M.R., Tinkham M. // J. Appl. Phys. - 1974. - V. 45,№9. 198. Dharmadurai G. 11 Phys. Status Solidi. - 1980. - V. 62a, № 1. - P. 9-33. 199. Иванченко Ю.М., Михеенко П.Н., Жирный В.Ф. // ЖЭТФ. - 1981. - Т. 80,*Р 1. - С. 171-182. 200. Иванченко Ю.М., Михеенко ПЛ. Ц ЖЭТФ. - 1982. - Т. 82, № 3. - С. 488-497. 20l.ShulzeH.J.,KeekK. Ц Z. Phys. -1983. - V. 51В,№3.- Р. 215-221. 202. Григорьев В.А., Павлов ЮМ., Аметистов Е.В. Кипение криогенных жидкостей.- М.: Энергия, 1977. - 288 с. 203. Dresner L. // IEEE Trans. Magn. - 1979. - V. 15, № 1 - P. 328-330. 204. Cesnak L. // Cryogenics. - 1983. - V. 23,№ 12. - P. 662-666. 205. Андронов А.А., Butt А.А., Хайкин С.Э. Теория копебаний. - M.: Наука, 1981. 206. Dresner L. // Cryogenics. - 1976. - V. 16, №11. -P. 674-681. 207. Львовский Ю.М. И ЖТФ. - 1984. - Т. 54, № 9. - С. 1663-1670. 208. Кириченко Ю.А., Русанов КВ. Теплообмен в гелии в условиях свободного дви- движения. - Киев: Наукова думка, 1983. - 156 с. ?09. Iwasa Y.,ApgarB.A. //Cryogenics. - 1978. - V. 18, №5. - P. 267-276. 210. Giarratano P. J.,Frederick N. V. // Adv. Cryog. Eng. - 1980. - V. 25. - P. 455-466. 211.Ishibashi K., Wake M., Kobayashi M. et. al. // Cryogenics. - 1979. - V. 19, №8. - P. 467-471. 212. Overtoil W.C. // J. Low Temp. Phys. - 1971. - V. 5,№4. - P. 397-418. 239
213. Gurevitch A. VI., Mints R.G. //Cryogenics. - 1981. - V. 21,№2. - P. 102-104. 214.HoenigM.O. // Cryogenics. - 1980. - V.20,№7. - P. 375-389. 2lS.Hoffer J.K.,Kerr E.C., Overtoil W.C. Ц IEEE Trans. Magn. - 1977. - V. 13, № 1. - P. 408 -411. 216.Bartlett R.J., Carlson R.V., Ore-ton W.C. // IEEE Trans. Magn. - 1979. - V. 15, №1.- P. 343-346. 217.XJem J.R.,Bartlett R.J. // IEEE Trans. Magn. - 1983. - V. 19, №3. - P. 424-427. 218. Гуревич А.Вл.,Минц Р.Г. // УФН. - 1984. - Т. 142, № 1. - С. 62-98. 219. Wipf S.L. II IEEE Trans. Magn. - 1979. - V. 15,№1. - P. 379-382. 220. Волков А.Ф., Коган ШМ. // Письма ЖЭТФ. - 1974. -Т. 19, № 1. - С. 9-12. 221. Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. // Письма ЖЭТФ. - 1980. -Т. 31, № 1. - С. 52-56. 222. Wilson M.N.Jwasa Y. // Cryogenics. - 1978. - V. 18,№1 .-P. 17-25. 223. Ландау JJJJ., Лифшиц Е.М. Курс теоретической физики: В 10 т. Т. III: Квантовая механика: Нерелятивистская теория. - М.: Наука, 1974. - 752 с. 224. Волков А.Ф.,Коган Ш.М. И УФН. - 1968. - Т. 96, №4. -С. 633-672. 225.Бонч—Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неус- неустойчивость в полупроводниках. - М.: Наука, 1972. - 315 с. 226. Knight B.W., Peterson G.A. 11 Phys. Rev. - 1967. - V. 155, №2. - P. 393-405. 227.Dresner L. // IEEE Trans. Magn. - 1985. - V. 21, N 3.- P. 392-395. 228.Elrod S.A., Lue J.W., Miller J.R., Dresner L. // IEEE Trans. Magn. - 1981. - V. 17. №1.- P. 1083-1086. 229. Anashkin O.P., Keilin V.E., Lyikov V.V. // Cryogenics. - 1981. - V. 21, №3. - P. 169-174. 230.Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 267, № 5. 231.Гуревич А.Вл., Казанцев ИЛ., Париж М.Б. // ЖТФ. - 1983. - Т. 53, №9. - С. 1678-1680. 232. Stekley Z. J. J. // J. Appl. Phys. - 1966. - V. 37,№ 1. - P. 324-332. 233. Минц Р.Г. И Докл. АН СССР. - 1979. - Т. 248, № 2. - С. 352-355. 234. Keilin V.E.,Romanovsky V.R. // Cryogenics. - 1982. - V.22,№6. -P. 313-317. 235. Романовский B.P. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1984. - № 4. - С 115-119. 236. Chen W. Y.,Purcell J.R. // J. Appl. Phys. - 1978. - V. 49,№6. - P. 3546-3553. 237.Nick W.,Krauth M.,Ries G. // IEEE Trans. Magn. - 1979. - V. 15,№1. - P.359-362. 238. Genevey P., Le Bars J., Sangkr A. et. al. 11 IEEE Trans. Magn. - 1983. - V. 19,№ 3. - P. 737-740. 239. West A.W., Warnes W.H., Moffat D.L. et. al. 11 IEEE Trans. Magn. - 1983. - V. 19, №3.- P. 749-753. 240. Гуревич А.Вл. 11 ФТТ. - 1982. - T. 24, № 6. - С 1776-1782. 241. Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. // ФТТ. - 1981. -Т. 23, №1. -С. 103-111. 242.Purcell J.R.,Brooks J.M. // J. Appl. Phys. - 1968. - V. 39,№6. - P. 2529-2532. 243. Ахмеюв АЛ., Баев В.П., Минц Р.Г // Письма ЖТФ. - 1983. - Т. 9, № 19. 244. Мендельсон К. // Физика низких температур. - М.: ИЛ, 1959. — С. 783. 245. Абрамов Г.И., Гуревич А.Вл., Дзугутов В.М. и др. Ц Письма ЖЭТФ. - 1983. - Т. 37,№10. -С.453-456. 246.Баев В.П., Гуревич А.Вл., Минц Р.Г. и др. // ФТТ. - 1982. - Т. 24, № 5. 247. Еру И. И., Песковацкий С.А., Поладич А.В. // ФТТ. - 1973. - Т. 15, № 7. - С. 2228-223р. 248. Huebener R.P. // J. Appl. Phys. - 1975. - V.46,№11. - P. 4982-4985. 249. Богомолов В.Н., Квятковский Б.Е., Колла Е.Б. и др. // ФТТ. - 1981. - Т. 23, №7. -С. 2173-2175. 250.Baev V.P., Gurevich A. VI. Mints R.G. et. al. // IEEE Trans. Magn. - 1983. - V. 19, №3.-P. 236-239. 251.Кешгин В.Е., Ожогина В.К. Сверхпроводимость, М.: Атомиздат, 1977. - Т.4. 252. Кремлев М.Г. //Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1980, №4. -С. 10-16. 253. Ахмеюв А.А., Минц Р.Г. Ц Письма ЖТФ. - 1982. - Т. 8, № 18: - С. 1093-1097. 254. Akhmetov A.A.,Mints R.G. // J.Phys. D. - 1983. - V. 16,№10. - P. 2505-2518. 255. Ахмеюв А.А., Минц Р.Г. // Письма ЖТФ. - 1983. - Т. 9, №21. -С. 1306-1309. 256. Akhmetov A. A., Baev V.P. I/ Cryogenics. - 1984. - V. 24, №2. - P. 67-72. 257.Keilin V.E.,Kruglov S.L. // Cryogenics. - 1984. - V. 24,№9. - P. 525-530. 240