Самостоятельные и контрольные работы по алгебре для 8-летней школы - Муравин К.С.

Author: Муравин К.С.
Tags: математика алгебра задачи по алгебре пособие для учителей контрольные работы
Year: 1971
Similar
Алгебра. Самостоятельные работы. 8 класс
Алгебра. 7 класс. Самостоятельные и контрольные работы
Самостоятельные и контрольные работы по математике для начальной школы.
Математика 6 класс. Самостоятельные и контрольные работы
Text
                    к. С. му РАВ и н
' i
Самостоятельные
и контрольные
раьоты по алгебре
ДЛЯ ВОСЬМИЛЕТИЕМ ШКОЛЫ
К. С. МУРАВИН
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ
РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
ДЛЯ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
ИЗДАНИЕ 2-е
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
.Москва 1971
512(07)
М91
и/и/и/.Ши0Ш2.С0М
Муравнн К. С.
М91 Самостоятельные и контрольные работы по алгеб-
ре для восьмилетней школы. Пособие для учителя.
Изд. 2-е. 14., «Просвещение», 1971.
200 с.
6-5
512 (07)
ПРЕДИСЛОВИЕ
Воспитать у ученика интерес к математике, добиться
прочных знаний предмета, содействовать развитию его
творческих способностей, умений и навыков — задача, по-
ставленная перед учителем математики жизнью.
Для решения этой задачи необходимы:
1) усиление внимания к методам обучения: максимальное
развитие должны получить методы, стимулирующие актив-
ность учащихся, воспитывающие у них навыки самостоя-
тельной работы,
2) пересмотр системы упражнений в направлении уси-
ления ее содержательности, устранения шаблона, укрепле-
ния внутрипредметных связей и установления связей
математики с другими предметами.
По нашему мнению, система упражнений, способству-
ющая активному овладению курсом алгебры, должна пре-
дусматривать три основных этапа:
I этап. Первоначальное знакомство с понятием.
II этап. Раскрытие связей и отношений данного понятия
с другими понятиями, входящими в данную
систему.
Ill этап. Активное оперирование материалом с исполь-
зованием его в других разделах курса и в
смежных дисциплинах.
На первом этапе выполняются однотипные упражнения,
главным образом в одно действие, включающие существен-
ные признаки и свойства данного понятия или правила.
При этом разнообразие достигается широким варьирова-
• нием несущественных признаков и форм задания. Однако
изучение какого-либо понятия или правила изолированно
от других понятий и правил не может обеспечить его усвое-
ния. В лучшем случае оно сможет способствовать выработ-
ке механического навыка. Поэтому проведение на первом
3
этапе контрольных работ нецелесообразно. Каждый опытный
учитель знает, что иллюзия усвоения учащимися материа-
ла, возникающая при проведении контрольных работ по
изолированно изученным правилам, немедленно исчезает,
как только дается упражнение, в котором эти правила пе-
реплетаются. Ученик либо перестает ориентироваться в си-
туации и не видит возможности применить изученные пра-
вила, либо начинает смешивать различные понятия и пра-
вила. Отсюда очевидна необходимость упражнений второго
этапа, с помощью которых устанавливаются сходства и раз-
личия между понятиями, находятся те отношения между
ними, которые связывают понятия в единую систему.
Выполнение упражнений второго этапа, в которых от
ученика потребуется комбинированное применение различ-
ных правил, будет содействовать развитию логического
мышления: способностей к анализу и синтезу, абстраги-
рованию и обобщению, а это в свою очередь позволит еще
более широко использовать сформированные понятия и
применять их в других разделах курса, смежных дисцип-
линах, практических задачах, что и составит содержание
упражнений третьего этапа.
Осуществление ’Такой системы упражнений позволит
добиться прочных знаний по всему курсу алгебры 8-летней
школы, в котором учащиеся смогут проследить общие идеи
и методы, а не набор разрозненных определений и рецеп-
тов для выполнения формальных операций.
Одновременно будет решена и проблема повторения, так
как осуществляемый в данной системе принцип непрерыв-
ного повторения материала сделает излишним выделение
в течение учебного года значительного времени для повто-
рения отдельных тем курса.
Совершенно очевидно, что реализация предлагаемой
нами системы будет возможна только при использовании
активных методов обучения и, в первую очередь, при зна-
чительном усилении элемента самостоятельности в работе
учащихся. ,
Существуют различные виды самостоятельных работ.
В данном сборнике мы рассмотрим только письменные
классные работы, к’ числу которых можно отнести лабо-
раторно-практические работы, исследовательские работы,
тренировочные работы и, наконец, контрольные работы
(последние могут содержать элементы всех предыдущих
работ).
4
I
Остановимся вначале на контрольных работах, кото-
рым в данном сборнике уделено главное внимание. 57 конт-
рольных работ сборника составлены по всему курсу алгеб-
ры 8-летней школы, в них входят, главным образом, упраж-
нения, соответствующие уровню подготовки учащихся по
^першении второго этапа обучения.
Упражнения несмешанного типа, в одно действие, ха-
рактеризующие этап первоначального знакомства с поня-
тием, по нашему мнению, более целесообразно рассматри-
вать на уроке при фронтальном опросе и при проведении
небольших (5—10 минут) самостоятельных работ.
Все контрольные работы составлены в 8 вариантах,
расположенных в порядке возрастания трудности: I—IV—
более простые, а V—VIII — несколько сложнее. Большое
число, вариантов дано автором для того, чтобы учитель в
зависимости от подготовленности класса имел возможность
выбрать варианты для всего класса (как правило, из вариан-
тов I—IV, соответствующих среднему уровню подготовки
учащихся), используя более сложные варианты как конт-
рольные работы для отдельных сильных учащихся. Мы
хотели бы с самого начала подчеркнуть, что сборник не со-
держит ни работ, рассчитанных на отстающих учащихся,
ни работ олимпиадного типа, По нашему мнению, состав-
ление текстов контрольных работ для отстающих учащихся
целесообразнее предоставить самому учителю, который,
проводя индивидуальную работу с каждым из отстающих,
всКрбет пробелы и недоработки в их знаниях и сам соста-
ВИТ для них соответствующие контрольные вари-
анты.
Очевидна также нецелесообразность составления отдель-
ных вариантов олимпиадного типа для учета знаний уча-
щихся по данной теме ввиду того, что такие варианты бу-
дут проверять в первую очередь математическую смекалку
ученика и только во вторую — знание конкретного мате-
риала. Учитывая, что в стабильном задачнике по алгебре
очень мало упражнений, необходимых на II и III этапах
Обучения, мы полагаем, что часть вариантов может быть
использована учителем на уроке как тренировочный ма-
териал. '
В системе контрольных работ данного сборника замет-
^у^-'роль играют упражнения в форме вопросов, предназ-
5
каченных, в первую очередь, для проверки математическо-
го развития учащихся.
i Хотелось бы обратить внимание на форму вопросов.
На вопросы типа: «Может ли сумма двух чисел быть мень-
ше каждого слагаемого?» — достаточно одного подтвержда-
ющего примера. Возможный ответ: «Да, например: (—5) |-
-|_ (—2) = — 7, так как — 7 < — 5 и —7 < — 2». Если же
ответ на вопрос данного типа отрицательный, то в нем долж-
но содержаться обобщение, например: «Может ли сумма
двух отрицательных чисел быть больше их произведения?»
Ответ: «Нет, так как сумма двух (любых) отрицательных
чисел — число отрицательное, их произведение — число
положительное, а любое отрицательное число меньше лю-
бого положительного числа».
Для вопросов типа: «Можно ли утверждать, что если
а > Ь, то — <	— достаточно одного опровергающего
примера. Ответ: «Нет, например: при а = 2, Ь = — 4 име-
Л 1^1
ем: 2 > — 4, но -н- >----т*-
В случае же положительного ответа на вопрос данного
типа необходимо обоснование, связанное с обобщением,
например: «Можно ли утверждать, что если а > &, то а3 >
> 63?» Рассматривая последовательно три случая (а > О,
Ь > 0; а > 0, Ь < 0; а < 0, b < 0), ученик должен прийти
к выводу, что это утверждение справедливо. При этом от
учащихся VI—VII классов не требуется никакого фор-
мального доказательства: они должны подойти к обобще-
нию путем рассмотрения однотипных примеров. Основным
методом в этот период должна быть индукция.
Несколько слов о форме задания упражнений на тож-
дественные преобразования и уравнения. Стремясь усилить
функциональную направленность этих видов упражнений,
мы постепенно освобождались от привычного, но малосодер-
жательного требования: «Выполнить действия», предпо-
читая давать задание в форме: «Упростить выражение»,
«Доказать, что выражение при всех (допустимых) значе-
ниях букв есть величина постоянная», «Доказать, что вы-
ражение не зависит от а» и т. д. Аналогично в ряде слу-
чаев вместо требования решить уравнение, мы часто пред-
лагаем установить, существует ли такое значение буквы,
при котором выполняется равенство двух выражений.
Мы хотели бы предостеречь лиц, проверяющих школу.
6
от использования отдельных текстов данного сборника в
качестве эталонов уровня знаний, так как в сборнике дана
логически связная система контрольных работ и необходи-
мым условием для получения успешных результатов являет-
ся последовательное проведение всех работ, начиная с первой
работы по курсу VI класса.
II.
30 лабораторных и других самостоятельных работ мож-
но в зависимости от поставленной цели разбить на 3 группы.
1.	Работы исследовательского характера, в большинстве
которых используется индуктивный метод (№ 2, 3, 4, 5,
9, 10, 12, 13, 14, 20, 24, 25, 29, 30).
2.	Работы пропедевтического характера, подготавляю-
щие введение нового понятия (№ 1, 6, 11).
3.	Практические работы, в том числе работы по состав-
лению задач (№ 7, 8, 15, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 26, 27, 28).
Автор не ставил перед собой задачи охватить лаборатор-
ными работами весь курс алгебры. Некоторые упражнения
исследовательского характера имеются в контрольных ра-
ботах, и их, конечно, йе было смысла дублировать, дру-
гие же упражнения по аналогии с приведенными автором
легко может составить сам учитель.
Как правило, работы, с результатами которых целесооб-
разно ознакомить весь класс, составлены в двух вариантах;
зто, главным образом, работы исследовательского харак-
тера, где полученный результат имеет известную теорети-
ческую ценность.
Работы лабораторно-практического характера в целях
усиления фактора самостоятельности составлены в основ-
ном в 4 вариантах.
Остановимся подробнее на некоторых работах.
Работа №1. Работа проводится в самом начале
курса, когда тождественные преобразования еще неизвест-
ны учащимся. Непосредственным вычислением учащиеся
убеждаются, что числовые значения данных' выражений не
зависят от выбора исходных данных.
Цель работы: подготовка понятия тождества и
функциональная пропедевтика.
Работа №2. Цель работы: добиться понима-
ния формул четного и нечетного чисел, которые иначе
усваиваются чисто формально.
7
Работа № 3. Проверка справедливости правил вы-
читания суммы и разности для рациональных чисел, помимо
образовательного значения, может быть использована для
совершенствования навыков письменных и устных вычис-
лений.
Работа №4. Важно приучать учащихся, обрабаты-
вая результаты эксперимента, самостоятельно приходить
к обобщениям и выводам.
Работы №9; 10; 24; 29. К формулам приближенных
вычислений целесообразнее подвести учащихся путем эк-
сперимента.
Работы № 12;
 Гн
20. Метод неопределенных коэ
циентов, помимо большого образовательного значения,
может быть использован (при систематической и целенап-
равленной работе учителя) для самостоятельного состав-
ления учащимися различных упражнений.
Работы № 15; 16; 21; 23. Самостоятельное состав-
ление учащимися задач — творческая работа, характери-
зующая активное усвоение курса. На первой стадии сле-
дует дать готовый текст, оставляя учащимся подбор пара-
метров, на следующем этапе можно ограничиться сообще-
нием сюжета задачи, предоставляя учащимся варьировать
текст. Очень полезно сочетать эту работу с чтением графи-
ков, что делает подбор параметров значительно более опре-
деленным.
Работа №30. Сделана попытка подвести учащихся
к методу отыскания уравнения касательной к данной кри-
вой, параллельной данной прямой. Для ответа на вопрос
учащийся, помимо эмпирического, должен применить и ана-
литический способ: подставляя значение одного из неиз-
вестных из второго уравнения в первое, приравнять дискри-
минант полученного квадратного уравнения нулю.
Замечания и пожелания об улучшении данной работы
просим направлять по адресу: Москва, 3-й проезд Марьи-
ной рощи, 41, издательство «Просвещение», редакция мате-
матики.
Муравин С.
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
F/ НАЛСС
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Работа № 1 (20 минут)*
I
Записать словами следующие выражения:
1)^; 2)а+^; 3)
, Записать формулой:
4)	Произведение чисел а и b больше их суммы на 13.
5)	При делении х на у в частном получается 5 и в
остатке 2.
II
Записать словами следующие выражения:
i) т +	2) (« + х)2> 3) ас+-?-•
ч	ъ
Записать формулой:
4) Полусумма чисел с и d на 5 больше их частного.
5) При делении суммы чисел а и b на их разность в част-
ном получается 4 и в остатке 1»
III
Записать словами следующие выражения:
| 1) а +26; 2)^fc; 3)+ 1.
>	* Работы, рассчитанные на пол-урока, лучше всего проводить во
второй половине урока«
9
Записать формулой:
4) Разность чисел т и п в 3 раза меньше их произведения.
5) При делении числа t на 7 в частном получается k
и в остатке 4.
IV
Записать словами следующие выражения:
1) р-3<?; 2) (c — d)y, 3) ^-2-.
Записать формулой:
4) Число 24 больше произведения чисел а и Ь на х.
5) При делении 150 на а в частном получается 8 и
в остатке с.
V
Записать словами следующие формулы:
1) а — b = 2с; 2)х4-а = —4-1; 3) т—п — ^тп.
а
Записать формулой:
4) Полусумма чисел Ь и d в 2 раза больше их разности.
5) При делении произведения чисел х и у на их сумму
в частном получается 3 и в остатке 2.
VI
Записать словами следующие формулы:
1) а 4- п = 4г т; 2) ху — 9 = х — у, 3)	= 3.
Записать формулой:
4) Произведение суммы чисел р и q на их разность
в 10 раз больше их частного.
5) При делении удвоенной суммы чисел а и b на их
разность в частном получается 25 и в остатке 2.
VII
Записать словами следующие формулы:
1) а 4- b = ab\ 2} d = -^-1; 3)	= 25г.
10
Записать формулой:
4) Произведение разности чисел b и с на уменьшаемое
больше вычитаемого в 20 раз.
5) При делении числа а на 13 в частном получается b
и в остатке 8.
VIII
Записать словами следующие формулы:
1
3 ’
а + b
1)
2) с — — + 1; 3) тх — 5 — т 4- х.
€
Записать формулой:
4) Полуразность чисел х и у на 1 больше их частного.
5) При делении 133 на а в частном получается 12 и
в остатке 6.
Работа № 2 (25 минут)
I
1) Написать формулу решения задачи:
За 5 м сукна и b м шелка заплатили 100 руб.
Сколько стоит метр сукна, если метр шелка стоит k руб.?
~	100 — bk к
Ответ: -----g--- руб.
2) Найти числовое значение выражения F =
(х — а) Ь
х— ab
при х?х 1,2; а 0,40; 6^0,70.
Ответ: ^0,6.
II
1) Написать формулу решения задачи:
Мастер за 10 дней зарабатывает а руб., а его ученик
за 12 дней — b руб. На сколько больше ученика зараба-
тывает мастер за Т дней?
Ответ:	— руб.
И
2) Найти числовое значение выражения F =
при х « 1,8; а « 0,30; у 0,80.
(х — 2а) у
х — 2ау
Ответ: «0,73.
III
I) Написать формулу решения задачи:
Через одну трубу в бассейн вливается v гл воды за
6 ч, а через другую — w гл за 8 ч. Сколько воды
вольется в бассейн за 11 ч совместной работы обеих
труб?
v , w \
Г + ~8j гЛ‘
2) Найти числовое значение выражения F — (%,—/>)«—а
при а ~ 3,0; b х 2,9.
IV
1) Написать формулу решения задачи:
Площадь прямоугольника 28 кв. м, а одна из его сто-
рон равна а м. Чему равен периметр прямоугольника?
л	о/28	,	\
Ответ:	2-----к	а)	м.
\ а	'	I
2) Найти числовое значение выражения F =
при х«6,3; «/«1,6.
(х + 5у)х—у
2х — у
Ответ: «8,0.
V
1) Написать формулу решения задачи:
Из города А со скоростью 60 км/ч отправился авто-
мобиль, а через час со скоростью 50 км/ч вслед за ним
выехал другой автомобиль. Какое расстояние будет между
автомобилями через t ч?
Ответ: (60+ 10?) км.
12
2) Найти числовое значение выражения
при а ~ 1,3; t^0,86; х ~ 2,06.
(о ч- х) (х — Ь)
Ответ: ж 0,43.
VI
1) Написать формулу решения задачи:
Пешеход отправился из пункта Л в В со скоростью
5 км/ч, а спустя t ч вслед за ним из А выехал велосипедист,
проезжавший в час 12 км. Через сколько часов велосипе-
дист догонит пешехода?
Ответ: -у ч.
2) Найти числовое значение выражения F =	*
при л»2,5; у^О,72; г ^1,04.
Ответ: ж 3,3.
VII
1) Написать формулу решения задачи:
Из городов А и В, расстояние между которыми S км,
одновременно навстречу друг другу выехали два автомо-
биля: один со скоростью v км/ч, другой со скоростью
w км/ч. Через сколько часов автомобили встретятся?
Ответ:
S
V + W
2) Найти числовое значение выражения F —
при Ь = 4-; с = 0,25; а = •
О	Ю
ftc -|- а (ft — с)
(ftc + a) (ft — с)
О
VIII
1) Написать формулу решения задачи:
Лодка, развивающая в стоячей воде скорость и км/ч
Прошла £ км против течения реки за / ч. Чему равна
скорость течения реки?
Ответ: 1и----р] км/ч.
13
2) Найти числовое значение выражения F =
2
гри а = 2,5; х = с — 3,5«
о
(ах—х) (с—а)
(ах — х) с — а
Ответ: 1.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Работа № 3 (25 минут)
I
1)	Отметить на числовой оси точки, изображающие наи-
меньшее положительное двузначное число и наименьшее
отрицательное однозначное число.
2)	Выполнить действия:
0,05 — {2 + [(- 2,45) - (— 0,55)]}.
Ответ: —0,05.
3)	Как изменится разность двух чисел, если к вычи-
таемому прибавить (—3), а к уменьшаемому (4-3)?
II
1)	Отметить на числовой оси точки, изображающие
наибольшее целое отрицательное число и наименьшее чет-
ное однозначное отрицательное число.
2)	Выполнить действия:
-1,9-{[(4- 1,25) 4-(- 0,35)1-1}.
Ответ: —1,8.
3)	Как изменится сумма двух положительных чисел,
если к одному слагаемому прибавить (4- 10), -а к друго-
му (_ 13)?
III
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
целые числа, абсолютная величина которых меньше 10.
14
2)	Выполнить действия:
1,4 - {[(- 0,59) - (- 0,39)] + [(+ 0.37) +
+ (-0,71)-(-0,94)]}.
Ответ: 1.
3)	Как изменится сумма двух чисел, если к каждому
слагаемому прибавить по (—5)?
IV
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
нечетные числа, абсолютная величина которых меньше 19.
2)	Выполнить действия:
0,29 — {](— 0,23) — (— 0,06) + (+ 0,37)1 —
-[(-0,47)-(-0,37)]}.
Ответ: —0,01.
3)	Как изменится разность двух чисел, если к умень-
шаемому прибавить (— 10), а к вычитаемому (—20)?
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
целые числа, абсолютная величина которых меньше 8,
но больше 3.
2)	Выполнить действия:
(_ 19	j 35\]|
\	24/	1 48/Jr
Ответ: I.
3)	Как изменится разность двух чисел, если к умень-
шаемому прибавить (—3), а к вычитаемому (—2)?
VI
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
нечетные числа, абсолютная величина которых больше 8,
но меньше 13.
15
2)	Выполнить действия:
I ~ ([(+ Э ~ (~ Й +	°’85)] + К-°-73) - (—0.97)]).
3)	Как изменится сумма двух чисел, если к одному
слагаемому прибавить (—5), а из другого вычесть (—7)?
VII
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
четные числа, абсолютная величина которых больше 7,
но меньше 13.
2)	Выполнить действия:
!-{((+ 0,46) - (+ 0,16)1+[(+ 0,35) - (- Й - (+ Л)]}
Ответ:
3)	Как изменится разность двух чисел, если к умень-
шаемому прибавить (4- 10), а к вычитаемому (—7)?
VIII
1)	Отметить на числовой оси все точки, изображающие
числа, кратные 3, абсолютная величина которых .меньше
20, но больше 11.
2)	Выполнить действия:
-гё-{«+ 0.73)-(-0,37)1-[(+
Ответ: —1.
3)	Как изменится сумма двух чисел, если к одному
слагаемому прибавить (—7), а из другого вычесть 3?
ЧЕТЫРЕ ДЕЙСТВИЯ НАД РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ЧИСЛАМИ
Рабоза № 4 (25 минут)
I
1)	Выполнить действия:
(((— 1,75) — (— 3,25)1 • 0,48 + (— 0,3)) : 0,028.
Ответ: 15.
16
2)	Как изменится произведение двух положительных
чисел, если каждый сомножитель разделить на — 10?
3)	Может ли сумма двух отрицательных чисел быть
больше их частного?
II
1)	Выполнить действия:
{[(+ 3,28) - (- 1,52)1: (- 24) + (- 1,3)) • (- 0,04).
Ответ: 0,06.
2)	Как изменится частное двух положительных чисел,
если делимое разделить на —10, а делитель разделить на
— 20?
3)	Один из двух сомножителей увеличили на единицу.
Можно ли утверждать, что произведение увеличилось?
III
1)	Выполнить действия:
{(+ 0,45) + (-3,6).	+ (_^]}:(_0,01).
Ответ: 10.
2)	Как изменится частное двух
если делимое разделить на —2,
на —2?
3)	Может ли сумма двух чисел
слагаемого?
положительных чисел,
а делитель умножить
быть меньше каждого
IV
1)	Выполнить действия:
й)]:<-°.°|5>+ 18'5i  <- '2>-
Ответ: 3.
2)	Как изменится произведение двух положительных
(Чисел, если один из сомножителей умножить на (—5), а
Другой разделить на (— 10)?
3)	Можно ли утверждать, что если а < 1, то — > 1?
44
17
V
1) Выполнить действия:
(-3 4)+ 0,25 :(-1 ,25).
Ответ: 0,2.
2) Как изменится произведение двух положительных
чисел, если один из сомножителей умножить на —6, а
другой разделить на —3?
3) При каком условии разность двух чисел больше их
суммы?
VI
' 1) Выполнить действия:
- 3.25: (- 5 4)+ 6,75 •[£-(+ 2	- (-1,65)
Ответ. 1.
2) Как изменится частное двух положительных чисел,
если делимое разделить на — 12, а делитель умножить
на —5?
3) Может ли разность двух чисел быть больше умень-
шаемого, но меньше нуля?
VII
1)	Выполнить действия:
<-3.96):5-1--2,4.[(-А)-(+	1 «)
Ответ: — 1.
2)	Как изменится произведение двух положительных
чисел, если один из сомножителей разделить на —5, а
другой на —4?
3)	Может ли разность двух чисел быть больше их сум-
мы, но меньше нуля?
18
VIII
1)	Выполнить действия:
(-0,96) • (- 15)- (- 1,52)
79 \
ПО/
Ответ: 3.
2)	Как изменится частное двух положительных чисел,
если делимое умножить на —20, а делитель разделить
на — 5?
3)	Можно ли утверждать, что если а > Ь, и ab 0,
то всегда — < -г-?
а о
ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ
Работа № 5 (25 минут)
1
1)	Найти числовое значение выражения:
при а = 3; Ь — — 2.
За8 —fe*
За — Ь (а + 46)
Ответ: — 35.
2)	Записать в виде формулы:
Квадрат суммы двух чисел больше разности их квадра-
тов в 2 раза.
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
/ 1
возрастания следующие числа: (—0,4)3; (—1,5)2; (+у)»
(-7)3
II
1)	Найти числовое значение выражения: ——- -
при 6 = — 3; х — 5.
Ответ: — 28.
2)	Записать в виде формулы:
Разность кубов двух чисел меньше куба их разности
на 60,
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
/	1 \3	/	3 \3
убывания следующие числа: I— 1-^-1 ; (— 1>8)2; I--=-1;
(+ 2,1)а.
19
Ill
1)	Найти числовое значение выражения:
при х = 5; у = — 4.
(х—2у) • у*
2х2 — Зу2
Ответ: -у.
2)	Записать в виде формулы:
Квадрат разности двух чисел меньше суммы кубов тех
же чисел на 56.
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
возрастания следующие числа: (— 1,5)2; (-|- 0,8)а; (— 1,1)®;
/	2 \э
\	37
IV
1)	Наити числовое значение выражения: ---у л.а»—~
при а = — 3; Ь = — 2.
Ответ. — 7.
2)	Записать в виде формулы:
Куб разности двух чисел больше суммы квадратов тех
же чисел на 38.
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке'
(3	/	2
----------------------------------4/ ’ (-----Б/ ’ О’З2’
(- 1,2)’.
V
1)	Найти числовое значение выражения:
а* — 2аЬ (а — Ь) — Ь»
а* + Ъ(Ъ — а)
1	,	2
при а --------2*; Ъ ------у.
Ответ:
2)	Записать в виде формулы:
Разность между кубом суммы двух чисел и произведе-
нием их квадратов больше суммы абсолютных величин тех
же чисел на 84.
20
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
убывания следующие числа: (— 1,2)3; I-------5-); (—0,6)2;
\ /
/	> \а
VI
1)	Найти числовое значение выражения:
1 1
при х = —д-;	у —
х*—у(3х—у)
х3—2ху(х+у)+у*
Ответ: 6.
2)	Записать в виде формулы:
Произведение разности кубов двух чисел на квадрат их
суммы больше разности абсолютных величин тех же чисел
на Л
О А
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
убывания следующие числа: I — -x-l; I —	; I — -»);
VII
1)	Найти числовое значение выражения:
при. т = —л =1,5.
(т — 2л)«/и 4- л*
т2—п (2/л+л) + т3
Ответ: —6,4.
2)	Записать в виде формулы:
Произведение куба суммы двух чисел на разность их
квадратов больше суммы абсолютных величин тех же чисел
в 125 раз.
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
(2 2 /	3	/	1
— 1 •=-) ; I-д-1 ; I— 1	;
21
VIII
1)	Найти числовое значение выражения:
при
Ответ: —2,4.
2)	Записать в виде формулы:
Частное от деления суммы квадратов двух чисел на куб
их суммы меньше абсолютной величины разности этих чи-
сел на 0,896.
3)	Не выполняя вычислений, расположить в порядке
/	5 \2 /	2	/ з
возрастания следующие числа: I— 1	; I —	; I— I;
/___3_\4
\ 4 / ’
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
Работа № б (25 минут)*
I
1)	Выполнить действия:
12,5х2 + у2 — {8х2 — 5у2 — I— 10л2 + (5,5х2 — 6г/2)]}.
Ответ: 0.
2)	Представить многочлен и4 — 2п3 — 4п2 + 7п — 9 в ви-
де разности между каким-либо двучленом и трехчленом.
3)	Решить уравнение (17 — Зх) — (5 + 2х) = — 3.
Ответ: х = 3.
4)	Доказать, что сумма четырех последовательных це-
лых чисел не делится на 4.
II
1)	Выполнить действия:
1,7а2 — 1 Об2 — (а2 — 3fe2 — 14,3а2 — (2а2 — 7Ь2)]}.
Ответ: За2.
* В примерах 2) достаточно привести одно какое-либо решение.
22
2)	Представить многочлен —kb 4- 8я4 4- 6fe3 — 5&1 2 +
+ Зй — 1 в виде разности двух каких-либо трехчленов.
3)	Решить уравнение 31 + (25 — 7х) — (11 — 2х) = 0.
Ответ: х —9.
4)	Доказать, что сумма пяти последовательных четных
чисел делится на 10.
III
1)	Выполнить действия:
0,баб2 + {2а3 + б3 - [Заб2 — (а3 + 2,4аб2 — б3)]).
Ответ: За3.
2)	Представить многочлен х5 — 2х* — 5х3 + 7х2 — Зх +
+ 6 в виде разности двух каких-либо трехчленов.
3)	Решить уравнение: (5х — 7) — (8 — 2х) = 6.
Ответ: х — 3.
4)	Доказать, что сумма четырех последовательных не-
четных чисел делится на 8.
IV
1)	Выполнить действия:
а2 — б2 — {Заб — 2б2 — [а2 4- 2аЬ — (б2 — аб)]}.
Ответ: 2а2.
2)	Представить многочлен 4- 5#3 4- 4у2 4- 3t/ — 2
в виде разности между каким-либо трехчленом и двучле-
ном.
3)	Решить уравнение (14— 14х) —(8х— 13) = 16.
Ответ: х = 4-
4)	Доказать, что сумма пяти последовательных нечет-
ных чисел делится на 5.
1) Выполнить действия:
6,35х2 —{2t/2 —[1,55хг/—(1,15х24- 0,36х!/)] 4-
+ (5,2х24- l^xy-y2)}.
Ответ: —
23
2)	Представить многочлен а* — 2а8 4- За* — 5а3 4- 6а2 —
— 7а — 9 в виде суммы какого-либо трехчлена и разности
двух двучленов.
3)	Решить уравнение (у2—1,81/4- 17,7) — (t/2 — 3,5у—
—19,3) = 20.
Ответ: у = — 10.
4)	Делится ли на 9 разность между двузначным числом
и суммой его цифр?
Ответ: да*.
VI
1)	Выполнить действия:
3,2Ал — {1,9/г2 — 1— 3,7п2 4- (2.9А2 — 1,8Ал) —
— (1,3п24- 1,4Ли)1).
Ответ: 5п2— А2.
2)	Представить многочлен 2 а8 4- 8а* — 7а8 — 9а2 — 5а 4-
4- 3 в виде разности между каким-либо двучленом и сум-
мой двух других двучленов.
3)	Решить уравнение (l,5z— 27,8) — (14-*4-7,2)=—31.
Ответ: z = 24.
4)	Может ли делиться на 11 число, полученное от
сложения двузначного числа и суммы его цифр?
Ответ: только в том случае, если
число единиц двузначного числа рав-
но нулю.
VII
1)	Выполнить действия:
(3,45а2 — О.бЗах) — {5а2 — 1,13ах 4- [2,8х® —
— (1,55а2 —0,бах 4- 1,8х2))).
Ответ: — х2.
2)	Представить многочлен с6-]- 2с* — Зс8—с2 — 6с4- 2
в виде разности между одночленом и суммой трехчлена
и двучлена.
* Учащиеся должны обосновать свой ответ.
24
3)	Решить уравнение (1,6x4-31,7)— (0,9х -|- 26,3) =
= -0,9.
Ответ: х = — 9.
4)	Делится ли на 99 разность между двумя трехзнач-
ными числами, если второе имеет те же цифры, что и пер-
вое, но записанные в обратном порядке?
Ответ: да.
VIII
1)	Выполнить действия:
1,28а’ 4- 2,5аЬ 4- {3,66а — [8аЬ — (0,82а2 4- 5,5а5 —1.662)]}.
Ответ: 2аг+2Ь2.
2)	Представить многочлен Р 4- 3t* — 2/8 4- 5/2 —«11/ —
— 1 в виде суммы одночлена и разности трехчлена и дву-
3)	Решить уравнение (23,7 — 0,6х) — (12,2 — 0,8х) =
•> 12,9.
Ответ: х = 7.
4)	Доказать, что разнрсть между трехзначным числом
И суммой его цифр делится на 9. При каком условии эта
разность делится на 11?
Ответ: только в том случае, если
число десятков трехзначного числа
равно нулю.
УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Работа № 7. (45 минут)
I
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Один комбайнер убирал в день на 2,5 га кукурузы больше,
чем другой, и, проработав 8 дней, убрал на 2 га больше, чем
второй комбайнер за 10 дней. Сколько гектаров кукурузы
убирал каждый комбайнер за день?
Ответ: 11,5 га и 9 га.
2)	Решить уравнение 5	"---2“ 14,5.
Ответ: х = 13.
3)	Выполнить действия:
ау (2а — у) — {а3 — \у2 (а — Зу) — с? (а + 2у)1}.
Ответ: — Зу3.
II
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Два поля прямоугольной формы имеют общую площадь
6,8 га. Длина первого поля 190 лс, длина второго поля
250 м. Найти площадь каждого поля, если известно, что
ширина первого поля на 80 м больше ширины второго.
Ответ: 3,8 га\ 3 га.
2)	Решить уравнение 10 Ч——— = 14,2.
Ответ: х — 4.
3)	Выполнить действия:
а2(с — За) — {с2 (а + Зс) — [с (За + ас — а2) 4- 2а3]]
Ответ: —а3.
III
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Куплено для пионерлагеря 250 кг риса и пшена. За 1 кг
риса платили 75 коп., а за 1 кг пшена — 30 коп., причем
за весь купленный рис было уплачено на 9 руб. больше,
чем за все пшено. Сколько килограммов риса и сколько
пшена было куплено для пионерлагеря?
Ответ: 80 кг\ 170 кг.
ох о	5(37 — Зх) — 26 о
2)	Решить уравнение: —1---------------= 3.
Ответ: х = 9.
26
3)	Выполнить действия:
2т (Ют — Зп) — 5 • {п (5т 4~ Зп) — [Зп2 — т (4т — 6/2)1}.
Ответ: —тп.
IV
1)	Решить задачу составлением уравнения:
За 38 м ткани двух сортов уплатили 104 руб. Сколько
ткани каждого сорта было куплено, если ткань первого сорта
стоила 3 руб. за метр, а ткань второго сорта — 2 руб. 50 коп.
за метр?
Ответ: 18 м и 20 м.
ох п	Л	29 —2(3х—11)
2)	Решить уравнение: ----------- = 1,5.
Ответ: х — 7.
3)	Выполнить действия:
— ху(х+ y) — y[l3yz—x(5y+ 2х)] — у(3у — 4х)}.
Ответ: х2у.
V
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Турист прошел расстояние АВ, равное ПО км, за 3 дня.
Во второй день пути он прошел на 5 км меньше, чем в пер-
з
вый день, а в третий день — расстояния, пройденного за
два первых дня. Сколько километров проходил турист за
каждый день пути?
Ответ: 41 км; 36 км; 33 км.
2)	Решить уравнение: 9------ --35	1.
Ответ: х — 1.
3)	Выполнить действия:
ab (а + b) — a {b (ЗЬ — 2а) — [а2 — b (За — 2Ь)]}.
Ответ: а3.
27
VI
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Три бригады рабочих изготовили за смену 104 детали.
Первая бригада изготовила на 12 деталей меньше, чем вто-
рая, а третья того количества деталей, которое изго-
товили первая и вторая бригады.
Сколько деталей изготовила каждая бригада?
Ответ: 26; 38; 40.
2)	Решить уравнение: 0,5—7<8"~~ = — 10.
Ответ: х =— 5,5.
3)	Выполнить действия:
(2у + а)у— (2у2 — а[5(За4- 7у) — 4(9^ + 4а)]}.
Ответ: —аа.
VII
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Из М в N вышел пассажирский поезд, проходящий в
час 66 км. Через 30 мин, навстречу ему из W вышел курь-
ерский поезд, проходящий в час 92 км. Через сколько ча-
сов после выхода из N курьерский поезд встретится с пас-
сажирским, если расстояние MN равно 507 км?
Ответ: через 3 ч.
2)	Решить уравнение: х—7	— 60.
Ответ: х = 11.
3)	Выполнить действия:
24 (Р + 4<7) - {7р* + 2 [р (Зр- 84) + 4 (44 - 7р)]}.
Ответ: —р2.
VIII
1)	Решить задачу составлением уравнения: *
Из А в В выехал мотоциклист, проезжавший в час 48 км.
Через 45 мин из В в Л выехал другой мотоциклист, ско-
28
рость которого была 50 км/ч. Зная, что расстояние АВ
равно 330 км, найти, на каком расстоянии от В мотоцик-
листы встретятся.
Ответ: 150 км.
2)	Решить уравнение:	"—2х — 13.
Ответ: х = 6.
3)	Выполнить действия:
а® (с — За) — {с® (а + Зс) — [с (Зс + ас — а®) + 2а3]}.
Ответ: — а8.
УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН
Работа № 8 (45 минут)
I
1) Решить задачу составлением уравнения:
Найти 4 последовательных натуральных числа, если
известно, что разность между произведением двух больших
чисел и произведением двух меньших чисел равна 58.
Ответ: 13; 14; 15; 16.
2) Упростить выражение Ьс(11с— 7Ь) — [(Ь — 2с) (Ь® —
— 5&с + с®) + с3] и вычислить результат при b =---;
с =1,5.’
Ответ: 3,5.
II
1) Решить задачу составлением уравнения:
Найти три последовательных четных числа, если извест-
но, что разность между произведением двух больших чисел
и квадратом меньшего числа равна 188.
Ответ: 30; 32; 34.
2) Упростить выражение (р — 5п) (Зр® -J- 2рп — 7п2) —
— [13п(3п® — р®)—17рл®] и вычислить результат при
р = — 3; п = — 2.
Ответ: —49.
29
HI
1) Решить задачу составлением уравнения:
Длина прямоугольника на 18 м больше его ширины.
Если длину прямоугольника уменьшить на 8 м, а ширину
увеличить на 7 м, то его площадь увеличится на 40 м1 2.
Найти площадь прямоугольника.
Ответ: 1440 м2.
2) Упростить выражение (т2 — 2тп— Зп2) (2щ + 5п)—
— [тп (т —	— 14n3J и вычислить результат при
т = — 3; п = — 4.
Ответ: 10.
IV
1) Решить задачу составлением уравнения:
Длина прямоугольника в два раза больше его ширины.
Если ширину прямоугольника увеличить на 8 дм, а длину
уменьшить на 10 дм, то площадь прямоугольника увели-
чится на 220 дм2. Найти первоначальную площадь прямо-
угольника.
Ответ: 50 м2.
2) Упростить выражение (р — 4q} (Зр2 + 2pq — 5q2) —
— I12pq2 — 10q (p2 — 2q2)] и вычислить результат при р = 2;
3
9 —	5 •
Ответ: 6.
1) Решить задачу составлением уравнения:
Периметр прямоугольника равен 60 см. Если длину
прямоугольника увеличить на 10 см, а ширину уменьшить
на 6 см, то площадь прямоугольника уменьшится на 32 см2.
Найти площадь прямоугольника.
Ответ: 221 см2.
2) Упростить выражение:
(3k — 2n) (Зп2 + 2nk + 7£2) — k [5 (п2 + 4£2) + Я
и вычислить результат при k = — 2,5; п — — 2.
Ответ: 148.
30
vr
1) Решить задачу составлением уравнения:
Два прямоугольника имеют периметры по 122 см. Ос-
нование первого прямоугольника больше, чем основание
второго, на 5 см, а площадь второго прямоугольника на
120 см2 больше площади первого. Найти площадь каждого
прямоугольника.
Ответ: 720 см2; 840 см2.
2) Упростить выражение:
(“5х2+ 4xi/— 3j/2)(2x— у)—х[ху— 10(х3^- £/2)]
и вычислить результат при х -----g-; у = о.
Ответ: 82.
VII
1)	Решить задачу составлением уравнения:
Длина прямоугольной картины на 20 см больше ее вы-
соты. Картина вставлена в рамку, имеющую всюду одина-
ковую ширину 5 см и площадь 13 дм2. Чему равна пло-
щадь картины без рамки?
Ответ: 35 дм2.
2)	Упростить выражение:
(a2 _ 3ab + 4fr2) (2а — ЗЬ) — [Ы2 (За — 2b) — ab2l
1 и 1
и вычислить результат при а -----g-; b =---
Ответ: 0.
VIII
1)	Решить задачу составлением уравнения:
На огороженном участке прямоугольной формы, длина
которого на 27 м больше его ширины, разбит прямоуголь-
ный газон, отстоящий от ограды всюду на 10 м. Найти
площадь газона, если известно, что она меньше площади
огороженного участка на 1940 Л12.
Ответ: 1300 м2.
2)	Упростить выражение (2г2 — 5yz — Зу2) • (z + 2у) —
— [2tf— y2z — yz(z+ 12 г/)] и вычислить результат при
3-; у= g-.
Ответ: —
31
ВОЗВЕДЕНИЕ ОДНОЧЛЕНОВ
В СТЕПЕНЬ
Работа № 9 (25 минут)
<
I
1) (— ба3*2)2 • (------L
\
Выполнить действия:
\3
а2х2]; 2) (—х"-1)4 5 • (хв)18~«.
3)	Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)2. (?)’ = 4aW.
Ответ: (± 26с)2 • (ас)*.
4)	Можно ли утверждать, что если а — отрицательное
число, то а6<а2?
Ответ: да, так как а8 <0; а2>0.
II
Выполнить действия:
1) (— 4m3ns)2 • (-------~m2n); 2) (— р11-”)3 • (р3)я~2.
\	&	j
3)
Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэ
циентами так, чтобы получилось тождество:
jijij
(?)3 . (?)2 = _ 27{Му*.	Ответ: (— Зр)3 . (± х2у)9.
4) Можно ли утверждать,
число, то х > х3?
Ответ:
что если х — отрицательное
1
нет, например при х -----s-
1 1
имеем-------------
III
Выполнить действия:
/	1	\2
1)-----L (ftt) . (_ ЗЛ2)5; 2) (о3)2"-15 • (—а33-’")3.
3) Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)3 • (?)2 = — 49as62c7.
Ответ: (—ас)9 • (± 76с2)2.
32
4) При каких значениях у выполняется неравенство
У>&
Ответ: при положительных у, меньших единицы.
IV
Выполнить действия:
/ Q \4 [ П \3
1) —~а3Ь2 • —; 2) (z4"”17)8 • (—z18-3'1)4.
3)	Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)* . (?)з = 8сМ13л3.
•	Ответ: (+ cd)4 • (2d3n)3.
4)	При каких значениях х выполняется неравенство
х8 > х8?
Ответ, при х, меньших едини-
цы, но не равных нулю.
Выполнить действия:
I 1	\2
1) (1262«/8)3 •	; 2) (—X4)4»-10 • (—х4)8®-*",
3) Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)3 . (?)» = _ ЮООрУг13.
Ответ: (4- Юр3!/2)8 • (—^г2)8,
(— Юр3!/2)3 • (+ qr2/.
4) Может ли сумма квадратов двух чисел быть меньше
разности квадратов тех же чисел?
Ответ: нет, а2 + Ь2 >• а2 — Ь2
при любых а и Ь, так как Ь2 > 0.
VI
Выполнить действия:
/	1	\8 / ч \2
1) — 2~а^\ . (-----------^-а’х4 ; 2) (—z5)12*-10^—г3*-16)4.
\ / \ • /
е Зак. 433
33
3) Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)Ь.(?)2 = —81613Л5/4.
Ответ: (— brip • (± 9Ь4/2)2.
4) Может ли сумма кубов чисел а и b быть меньше
разности кубов тех же чисел?
Ответ: да, если Ь отрицательно.
VII
Выполнить действия:
/	1	\4	/	о	\а
1) _ l-LaV • — -±-а5Ь6 ; 2) (— р3)2^1. (рв)1<’-'>.
\	~	/	\	V	/
3) Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)5. (?)2 = _ 28&вЛ/и.
Ответ: (— 2гу)6 • ( + 3/®у3)8.
4) Существуют ли такие значения х, при которых х*Х
Ххв = (х4)в? Если существуют, то укажите эти значения.
Ответ: да, х —— 1;х = 0;х=1.
VIII
Выполнить действия;
/	1	\8	/ о \а
1) _ 2-А- а*2?) ------; 2) (—/«)*»-». (/3)»-2\
\ / \ /
3) Заменить знаки «?» одночленами с целыми коэффи-
циентами так, чтобы получилось тождество:
(?)4 . (?)» = 648A/7i13.
Ответ: (± 3c2d/i)4 • (2dA3)3.
4) Существуют ли такие значения а, при которых
(— а)3 • (— а8) = (— а3)8? Если существуют, то укажите
эти значения.
Ответ: да, а =— Г, а = 0.
34
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Работа № 10 (25 минут)*
I
Выполнить действия:
1) (10х2 — 3xt/®)2; 2) (0,5а4 — 9b8) (0,5а4 4-9b8).
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(6ав + ?)а = ? + ? + 25х2;
4)	(? _ ?)« = six2 — ? 4- 100xV;
5)	(?_ 15а) (?4-?) = 4с2 — ?.
fl
Выполнить действия:
1) (8р84-5р2#; 2) (4-а34-6Ь2)(4-а8— 6Ь2).
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(? _ 4х7)2 = 25JC4»2 — ? 4- ?;
4)	(? + ?)2 = ? + 70Ь8с4- 49с2;
5)	(? 4- ?) (? — 11с) = 81а2 — ?.
III
Выполнить действия:
1) (0,6b3 — 5Ь2с4)2; 2) [ly Q2 + О.Зх) (о,3х — 1 ~ а2).
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(10m8 4- ?)2 •== ? 4- ? 4- 36т4п8;
4)	(5Ь2 — ?)2 = ? — 30а2Ь3 4- ?;
5)	(?----1- х3) (? 4- ?) = 0,25у4 - ?.
* В примерах» имеющих несколько ответов, достаточно дать
один ответ.
2*	35
IV
Выполнить действия:
1) (3z7 + 0,5г8/)2; 2) (2-J-x*+ О.ОвуДг^-х8 — 0,08#).
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
' 3) (8а3 — ?)8 = ? — ? + 49а«6в;
4) (? 4- 4d4)8 = ? + 24Л/6 + ?;
5) (?—?)(? 4- 0,4n8) =• 100m9 — ?.
V
Выполнить действия:
) ; 2) (о,О5х8—|-л»)(о,Обл»+4-^).
1) (
6а8---L-ab
и
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(?—8а4)’ = 81ав68 —?4-?;
4)	(? — Юг8) (? 4- ?) = 0,49х*—?;
5)	(? 4- ?Г = ? 4-70xV 4-?•
VI
Выполнить действия:
J) п8 4- 4/nn8)S; 2) (-у- а* 4- О.ОЗЬ8) (о.ОЗЬ8—у-Л
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(9г3 — ?)2 = ? — ?+25^;
4)	(?+?)(7р«-?) = ?—
5)	(? _ ?)2 = ? _ 48АР 4-?.
VII
Выполнить действия:
1) (0,15А4л8— 10п4)8; 2) (1-|-а9—0,7fe8) (1а24- 0,7ft8).
36
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(4/Л?а + ?)а = ? + ? + 0,01<?8;
4)	(1^-х7 —?}(?+?) =? —64y4zw;
5)	(? — ?)г = ? — бОйЛс8 + ?.
via
Выполнить действия:
1) (20х3г — 0,03г2)2; 2) (о, 12^*-4- -J-) (-|-0,12/4
Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получились
тождества:
3)	(&74/3 — ?)а = ? — ? + 0,16/4;
4)	(?-?).(l-La8+?) = ?_-L-VW;
5)	(? +?)2 = ?+72xV+?-
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Работа № 11 (25 минут)
I
1) Показать, что выражение 5ах(а-(5х)— Эх3—
— [4дх® — (а 4- х) (5а — Зх)а] после упрощения не содер-
жит .х, и вычислить результат при а =
„ 1
Ответ: -g-.
2) К многочлену 9ха + ЗОх + 11 прибавить такое число,
чтобы полученное выражение было тождественно равно
квадрату двучлена.
II
1) Показать, что выражение (с — 2л) (4с — Зл)а —
— [57сиа — 2п (28с® 4- 9л2)] после упрощения не содержит п,
и вычислить результат при с =
£
Ответ: 2.
37
2) К многочлену 9z1 2 — 60z 4- 49 прибавить такое число,
чтобы полученное выражение было тождественно равно
квадрату двучлена.
III
1) Показать, что выражение (За — 2х)2 • (4а 4- х) —
— а [4 (За — х)2—15ах] после упрощения не содержит а,
и вычислить результат при х яг 2,3.
Ответ: яг49.
2) Какое число нужно прибавить к выражению 81а®6®—
— ЗбаЬ 4- 3, чтобы полученное выражение было тождест-
венно равно квадрату двучлена?
Ответ: 1.
IV
1) Показать, что выражение (5а 4-36)2 • (4а— 6)—
— 6 [96а2— (ЗЬ — а)2] после упрощения не содержит Ь, и
вычислить результат при а яг 0,73.
Ответ: х, 39.
2} Какое число нужно вычесть из выражения 100х*4-
4- 140х2 4- 50, чтобы полученное выражение было тождест-
венно равно квадрату двучлена?
Ответ: 1.
1) Показать, что выражение (76 — 5п)2 • (6 4- 2п) —
— 6 [(76 4- 2п)® — 119бп2] после упрощения не содержит 6,
и вычислить результат при п яг 0,37.
Ответ: яг2,5.
2) Какое число нужно вычесть из выражения (10х —
— З)2 — (8х — 7) • (8х 4- 7), чтобы полученное выражение
было тождественно равно квадрату двучлена?
Ответ: 33.
VI
1) Показать, что выражение (За — 26)2 • (а 4- 36) —
— [(а — 6) (а2 4- 16а6—166®) — 463] после упрощения не
содержит 6, и вычислить результат при а яг 0,67.
Ответ: яг2,4.
38
2) Какое число нужно вычесть из выражения
(6а — 7)2 + (8а 4- 9)2, чтобы полученное выражение было
тождественно равно квадрату двучлена?
Ответ: 121.
VII
1)	Показать, что выражение z (8z 4- 3<)2 — l(8z — /)2 X
X (z 4-1) 4- 24zta] после упрощения не содержит z, и вы-
числить результат при /«4,1.
Ответ: ш— 69.
2)	Какой одночлен первой степени относительно а надо
прибавить к выражению (За 4- 5)а 4- (4а 4- 12)3, чтобы по-
лученное выражение было тождественно равно квадрату
двучлена?
Ответ: 4а или —256а.
VIII
1)	Показать, что выражение (х 4- с) (5х—2с)а — [20х84-
4- (5л* 4* 10сх—6с2) (х—с)1 после упрощения не содер-
жит х, и вычислить результат при с«— 0,78.
Ответ: «0,95.
2)	Какой одночлен первой степени относительно х надо
прибавить к выражению (17х— 5)2 — (15х— 4)2, чтобы по-
лученное выражение было тождественно равно квадрату
двучлена?
Ответ: 2х или 98х.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Работа № 12 (25 минут)
I
/ I	\э
1) Выполнить действие: l-x-aba4-as .
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(5а4 + ?)3 = ? + ? + ? + 8612.
3) Показать, что выражение (х—2)3—{х[3+(х—3)21—10}
при всех значениях х равно 2.
39
II
1
/	2 Y*
1)	Выполнить действие: [b2 3-ё-йс8
2)	Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(? — 2х)я = ?" — ? + ? — ?.
3)	Показать, что выражение (4 — с)3 — {65 — с ((6 — с)84-
-I- 12]} при всех значениях с равно — 1.
Ill
1)	Выполнить действие: (4-ай4 4- а3
\-
2)	Заменить знаки «?» одночленами, так, чтобы получи-
лось тождество:
(4л5 + ?)8 = ?+?+? + 125лЛ
3)	Показать, что выражение (2п—I)3 — л((3л—1)а—
— (л + З)2 + 14] равно— 1 при любых значениях л,
IV
1)	Выполнить действие: (л2 — 0,4/л3л)2.
2)	Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(? —6а®)3 = 10006® — ?+? — ?,
3)	Показать, что выражение а 14 — (6а — I)2 + (10а —
— З)2]— (4а—I)3 равно 1 при любых значениях а.
V
(2 г
0,бай8--ал).
2) Заменить знаки <?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(? 4- 4)3 = ? + ? + 240а* 4- ?.
3) Показать, что выражение (5а — 2)8—{а ((10а — 7)84-
4- (5а— I)8]— 10(1 —а)} равно 2 при любых значениях а.
40
VI
(1	'8
0,2л* — 1 ~ xtfj .
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(3 —?)3 = ?—108^ + ? —?.
3) Показать, что выражение (4х + 3z)s — [х (8х + 9z)2 4-
+ 27z® (х + z)] равно нулю при любых значениях х и z.
VIJ
/ 1	\8
1)	Выполнить действие: 1-х-cd8— 0,Id).
У ЛЛ	f
2)	Заменить знаки <?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(5 +?)’ = ? + 150а4 + ? + ?.
3)	Показать, что выражение t [6 — (3/ — 2)а] —
— ((6/ — I)3 — t (15/ — 4)21 равно 1 при любом значении t.
VIII
1) Выполнить действие: 1
0,2а&2--а2).
2)	Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
(? — 4с)3 = ? — 144с 4-? — ?.
3)	Показать, что выражение 37 (2z—1)—|z[(z-|-6)2 —
— (3z—4)2J -I- (2z— З)3} при любых значениях z равно — 10.
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО
УМНОЖЕНИЯ
Работа № 13 (25 минут)
I
1) Решить уравнение:
(У + 4)»-(у2 + 1)(у + 12)- 1 Q
10	—
Ответ: у = — 3.
41
2) К многочлену t3 — 4 I/1 2 4- 300/ — 1000 прибавить та-
кой одночлен, чтобы полученное выражение было тожде-
ственно равно кубу двучлена.
II
1) Решить уравнение:
(х + 6)» — х (х -f- 9)«
27
Ответ: х —— 7.
2) Из многочлена вр3 4~ 60р2<? 4" 200р<?а 4- 125</8 вычесть
такой одночлен, чтобы полученное выражение было тож-
дественно равно кубу двучлена.
III
1) Решить уравнение:
(х-3)»-(х-5)*(х4-П , 1 _п
4	’
Ответ: х = 4.
2) К многочлену 27г3 — 54z2 4- 36z прибавить такое
число, чтобы полученное выражение было тождественно
равно кубу двучлена.
IV
1) Решить уравнение:
(х-4Р-(х-7)Чх4-2)	1 _ п
27
Ответ: х = 7.
2) Из многочлена 8р® 4- бОр2^ 4- 200р72 4- 125</3 вычесть
такой одночлен, чтобы полученное выражение было тож-
дественно равно кубу двучлена.
V
1) Решить уравнение:
(^2).- И, + ЗГ. + g _ ю
0)0
Ответ: у = —5.
42
2) К многочлену х3— 12х2 + 48х— 100 прибавить такое
число, чтобы полученное выражение было тождественно
равно кубу двучлена.
VI
1) Решить уравнение:
(2х —5)з + * (х — З)2 — х (Зх — 11 )2
Ответ: х = 1.
2) Из многочлена 64/® — 240/а + 300/ вычесть такое
число, чтобы полученное выражение было тождественно
равно кубу двучлена.
VII
1) Решить уравнение:
у (у — 7)2 — (у — 2)з 4-2 (2у-р I)2
3,5
Ответ: у = — 1.
2) Какое число нужно прибавить к выражению 2а (2а—
— З)2 — (6а — 11)2, чтобы полученное выражение было тож-
дественно равно кубу двучлена?
Ответ: —4.
VIII
1) Решить уравнение:
(Зу - 5)2 - (у + 5) (у -1)2 + (у - 2)з __ 50 _ w
0*35
Ответ: у — — 1.
2) Какое число надо прибавить к выражению х(8х—
— 6)2 + (12х—I)2, чтобы полученное выражение было
тождественно равно кубу двучлена?
Ответ: 0.
43
ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА,
НА ОДНОЧЛЕН
Работа № 14 (25 минут)*
I
1) Упростить выражение:
[(2а — 3d)3 4- 9d (4а2 4- 3d2)!: 8а — 6 ~ Ьа.
Ответ: а*.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи
лось тождество:
15a4t> — ? 4- 24a2t>9
5а2Ь
= ? — lab 4- ?♦
II
1) Упростить выражение:
[5х (25х2 4- 12у2) — (5х — 2t/)sJ: бу — 1 /Л
О
Ответ: 25х*.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи
лось тождество:
? — 100а2&4 + 75а6в
25а6»
= 36а2 — ?4-?.
III
1) Упростить выражение:
[р (9у — 8р)2 4- (Зу — 4р)3]: 27q2 4- р.
Ответ: д.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
?~^4аУ- = 7а2 — 8ах®.
* К примерам 2) надо дать подробное решение (по действиям).
44
IV
I) Упростить выражение:
[(2ab — b2)3 + (ЗаЬ2 — b3)2]: 2a2b3 + 1,5&.
Ответ: 4а.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
57сМ» — 38AZ2
?
= 3rd2 — ?.
1) Упростить выражение:
1(4а2 — 5аЬ)3 — (8а3 — 15a2i)2]: 25с№ + 5Ь.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
42а2х« — 21<Лс3 + 72а*х*	. |о »
VI
1) Упростить выражение:
[5ху (5ху — 3i/2)2 — (5ху — 2у2)3!: t/8 4- 15х.
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
30А*р*—175fe2p4 —? = ЗАЯ_?_ 14ра.
VII
1) Упростить выражение:
"	л
(т + п)8 —(3/я 4- 2п)2 :3/п2 —
V	-
ЛЛ	tn
Ответ: -к-.
О
45
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтооы получи
лось тождество:
45cl«d3 * + 64c»+8<F —?  = ? + 3>6cn+3d5 _ 2cSd\
VIII
1) Упростить выражение:
Цх — 4хг)8 + 12x3z (2z — 1)а]: (— 2х®) — 8г3.
Ответ: —
2) Заменить знаки «?» одночленами так, чтобы получи-
лось тождество:
? — ?4-бЗалх»
?
= 2asx® — За’х8 4- 4,5ая-8х.
ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ
VI КЛАССА
I
Работа № 15 (1 урок)
1) Упростить выражение:
[(1 От — п)3 — 10m (1 От — 1,5п)2]: 0,5я2 + 2п.
Ответ: 15/и.
1 2) Найти числовое значение выражения
г» — 0,77; b ж 1,3; с ~ — 0,20.
при
3) Выполнить действия:
(— Юл8!/5)6
(— 4л2!/8)8 • (— 5л W
Ответ: 5x2j/.
46
II
1)	Упростить выражение:
[/ (/ — 9z)2 — (/ — 6г)3]: 27z3 — 16z.
Ответ: — t.
2)	Найти числовое значение выражения
при xzz—1,1; Ьха,— 0,45; d«0,80.
х + b (<Р + х)
(х + Ь)^—Ь
Ответ: « 1,6.
3)	Выполнить действия:
(— 2а3х8)4 • (— 9а3х6)я
(— ба4х’)6
Ответ: 1,5а
III
1)	Упростить выражение:
[(4х — Зу)3 —’х (8х — 9у)а]: 27у® 4- У-
. т „	о2 — 5а (Ь — а)
2)	Наити числовое значение выражения
при а«— 0,67; 6«— 2,0.
0,58.
3)	Выполнить действия:
(— 16а»х»)»
(4а8х4)» . (— Чах3)3’
IV
1)	Упростить выражение:
[6 (15а — 86)а + (5а — 46)3]: 25а2—5а.
Ответ: —36.
2)	Найти числовое значение выражения
при х х. 1,6; у х — 3,0.
(х — у*)х — у
(х — у3) (х — у)
Ответ: «0,26.
47
3)	Выполнить действия:
(— 9а«6’)« . (27а»6»)«
(— За263)’
Ответ: 27.
V
1)	Упростить выражение (2а — 9/)3 (а 4- t) — [/ (9/ 4-
4- 2,5а)2 4- а® (4а 4- 1,75/)] и вычислить результат при
а ~ 0,55; /~— 0,32.
Ответ: —40а2/х 3,9.
ох г»	4 (3z — 2)2 — (6z + 5)2 оп
2)	Решить уравнение 7,2-----—-----—--------- = 20,
находя корень с точностью до 0,01.
Ответ: zss0,51-
3)	Выполнить действия:
(—8x3t/4)4
(—16x3t/2)a (4%V)3 •
„ 1
Ответ: -г-.
VI
1)	Упростить выражение (4р — Зр)2(</— р) — [9<т®—
— р(4р — 5<?)2] и вычислить результат при — 0,47;
9^ —0,84.
Ответ: — 8р<?3 « 2,7.
2)	Решить уравнение
17 _ 4 (6х — 5)а + (11 — 12х) (11 4- 12х) _ 13
находя корень с точностью до 0,01.
Ответ: х«0,85.
3)	Выполнить действия:
(21с№? • (— 3o*fc)3
(— 9а4Ь’)3
Ответ: 27.
48
VII
1)	Упростить выражение I (12а1 — 15а®6 — 10а2А8): 6а2 4-
2	2	I
+	—0,25а2 (2а — 56)2 и вычислить результат при
О
аягЗ,8; Ь^ — 0,73.
Ответ: За4 — 5а3Уяг420.
(5у - 7) (7 + 5у)-1(10//-2)«
2)	Решить уравнение --------------5---------------Ь
+ Ну = 40, находя корень с точностью до 0,01.
Ответ: уяг3,85.
3)	Выполнить действия:
— (ва»"-1)*  (—32ая+2)2
(— 16а2")6
Ответ: — 4.
VIII
1)	Упростить выражение 9z2 (х— 0,5г)2 — [1,75х2—
— (42x3z2 4- 48x2zs — Збхг1): 24хг2]2 и вычислить результат
при хяг0,31; гяг— 0,19.
Ответ: 5x2z® — Зхг® ss 0,024.
* (9F _ 6)2 - (зу 4- 8)2
2)	Решить уравнение -----:™--------------Ь 8у= 19,
находя корень с точностью до 0,01.
Ответ: у яг 2,86.
3)	Выполнить действия:
(— За2П+8)» • (— 81а2я-*)*
(— 27а»я~9«
Ответ: —27.
VII КЛАСС
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Работа № 16 (25 минут)*
I
Решить следующие уравнения:
1X	1	+ 1	1 Q	Cl п л ft- v 7
1)	—g------g— = —g-----о.	Ответ: х = (.
2)	(3 — i/)a = 20 — (2 — у)3.
Ответ: у — — 4.
3)	Можно ли утверждать, что если а2 = 6а, то а = 6?
Ответ: нет, так как может быть а = — Ь.
II
Решить следующие уравнения:
]) 5^+1—=	+ Ответ: у ~ 10.
2) 4 — х(х — б)2 = (4 — х)3
Ответ: х = 5.
^3) Можно ли утверждать, что если х3 = у3, то х = у?
Ответ: да.
* В этой работе целесообразно предложить учащимся сделать про
верку корня одного из уравнений.
50
Ill
Решить следующие уравнения:
1)	^4^— 50~2*	1. Ответ: х —7.
2)	(1 —х)3 4- х(х — 1,5)2 = 4.
Ответ: х — —4.
3)	Можно ли утверждать, что если аа > £2, то [а| > |&|?
Ответ: да.
IV
Решить следующие уравнения:
~7х х | 30 х 1 ______л	z-\	____л
1)—g-----------------—= о. Ответ: х =—У.
2) (х + 2)3 = х(х + З)2 + 23.
Ответ: х=5.
3) Можно ли утверждать, что если | х | < | у |, то
Ответ: Нет, например: х«1; у ——2.
V
Решить следующие уравнения:
Ответ: х = 13.
2) (х — 2)3 = (х — 5)3 (х + 4).	О т в е т: х = 4.
3) При каких значениях х выполняется равенство:
-2| = х —2?
Ответ: при любом х, не меньшем 2.
VI
Решить следующие уравнения:
I)
4х + 1 Зх — 1	* г- 25 — х
—------------Е— = -------------А—.
3	5	4
= 17.
2) (2{/-Ь I)3 = (2у- 1)2(2у + 5).
51
3)' При каких значениях х выполняется равенство:
|х-г5| = х + 5?
Ответ: При любом х, не меньшем, чем —5.
VII
Решить следующие уравнения:
1)	12 = ?Ц^—^=1. Ответ: х= 19.
2)	(у-1)3 = (у-4)1 2(у 4-5).
Ответ: у = 3.
3)	При каком условии выполняется равенство: |а| 4-
4-1Ь | = | а + b |?
Ответ: при условии, что a mb имеют одинако-
вые знаки или по крайней мере одно из чисел
равно нулю.
VIII
Решить следующие уравнения:
io 6 — Ьу___ 3j/+11	। 11—2у
"	7	—	4	'	5
2) (< + 2)«. (7-0 =(!-/)’•
Ответ: у— —17.
Ответ: t = — 1.
3) При каком условии |х— у\~у— х?
Ответ: при условии, что у не меньше х.
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Работа № 17 (1 урок)
1) Задача. На одном складе было 880 т торфа, а на
другом*— 816т. С первого склада ежедневно вывозили по
120 m, а на второй ежедневно привозили по 96 m торфа.
Через сколько дней на втором складе оказалось в 3 раза
больше торфа, чем на первом?
Ответ: через 4 дня.
52
2) Чему равно значение выражения: (718 — 712): 711 —
— 276 : 274?	'
Ответ 15.
II
1) Задача. В одном баке 940л воды, а в другом —
480 л. Из первого выливают в час в 3 раза больше воды,
чем из второго. Через 5 ч в первом баке остается на
40 л меньше воды, чем во втором. Сколько литров воды
выливают в час из каждого бака?
Ответ: 150л и 50л.
2) Чему равно значение выражения: (З8 — З7 — 3е):
: 3* — 1528 : 1527?
Ответ: 0.
Ill
1) Задача. В одном резервуаре 190 гл воды, а в дру-
гом 750 гл. В первый ежеминутно поступает по 40 гл во-
ды, а из второго за каждую минуту выкачивают по 30 гл.
Через сколько минут в резервуарах будут равные коли-
чества воды?
Ответ: 8 мин.
2) Чему равно значение выражения: 247: 24е — (510 —
— 5*): 58?
Ответ: 4.
IV
1) 3 а д а ч а. В одной цистерне 32 т бензина, а в дру-
гой 36 т. Из первой выкачивают за каждую минуту по
0,2 m, а из второй — по 0,3 m бензина. Через сколько ми-
нут в цистернах останутся равные количества бензина?
Ответ: 40 мин.
2) Чему равно значение выражения: (8й — 89): 89 —
— 6012: 6011?
Ответ: 3.
V
1) Задача. Два катера отходят одновременно от при-
стани А по направлению к пристани В, расстояние до ко-
торой 100 км. Проходя в час на Зкм больше второго ка-
тера, первый катер через 4 ч пути был вдвое ближе к
53
пристани В, чем второй катер. Найти скорость каждого
катера.
Ответ: 22 км/ч и 19 км/ч.
2) Чему равно значение выражения (5я+1— 5Л-1):5Я~2—
— 10я-2 ; 10я~4, где п — натуральное число, большее, чем 4?
Ответ: 20.
VI
1) Задача. Два мотоциклиста выезжают одновремен-
но из пунктов М и N, расстояние между которыми 96 км,
и встречаются через час. С какой скоростью ехал каждый
мотоциклист, если через 20 мин после встречи первому
оставался до N путь, втрое меньший, чем второму до А4?
Ответ: 60км и 36 км.
Л
2) Чему равно значение выражения 122я+2:122я—
— (11я-1 + 2 • 1 Iя-*): 1Iя-8, где п — натуральное число,
большее, чем 3?
Ответ: 1.
VII
1) Задача. В одной котельной было 25m угля, а в
другой — 22 т. Первая котельная расходовала в день на
75% больше угля, чем вторая, и через 30 дней во второй
котельной осталось в 2,5 раза больше угля, чем в первой.
Сколько угля расходовала каждая котельная в день?
Ответ: 0,7 т и 0,4 пг.
2) Чему равно значение выражения (2Я+2Н- 2я) : 2я-1—
— 2710 : 914, где п — натуральное число, большее, чем 1?
Ответ: 1.
VIII
1) Задача. В одном овощехранилище было 55m кар-
тофеля, а в другом — 49 т. В первое ежедневно подвози-
ли по 22,6 m, а во второе—no 14,2m картофеля. Через
сколько дней в первом овощехранилище стало на 40%
больше картофеля, чем во втором?
Ответ: 5 дней.
54
2) Чему равно значение выражения 3613: 6м—(4"'1—
— 4Л+1): 4Л-1, где п—натуральное число, большее, чем 1?
Ответ 21.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 18 (25 минут)
I
Разложить на множители:
1)	72а^ — 54я36® + 36а26в;
2)	х16 —2х».
3)	Вычислить наиболее простым способом:
0,756’ —0,241 • 0,756 — 0,415 • 0,756.
Ответ: 0,0756.
4)	Решить уравнение: |2х—13| = 23.
Ответ: = 18; ха = —5.
II
Разложить на множители:
1)	—56с7 х10 + 42с6х16 — 70с4х20;
2)	Зам —о4.
3)	Вычислить наиболее простым способом:
2,49 • 1,63 — 2,12 • 1,63+ 1,63’.
Ответ: 3,26.
4)	Решить уравнение: 15х + 181 = 48.
Ответ: хг = 6;х8 =—13,2.
Ill
*
Разложить на множители:
1)	132х6г7 + leSxV — 99xV;
2)	а12 — а2Ь.
55
3)	Вычислить наиболее простым способом:
0,25а • 2,4 4- 0,25 - 2,42 — 0,25 • 2,4 • 0,65.
Ответ: 1,2.
4)	Решить уравнение: [15 — 4х| —4 = 1.
Ответ: хх = 2,5; ха=5.
IV
Разложить на множители:
1)	135а12^ + 90а106и — 36а*й18;
2)	5а* Ч- а18.
3)	Вычислить наиболее простым способом:
0,16.6,41- 1,25 - 0,16- 1,25а —0,16а- 1,25.
Ответ: 1.
4)	Решить уравнение: 108 — [ 10х + 731 = 25.
Ответ: Xj = 1; ха = — 15,6.
V
Разложить на множители:
I)	195pV — 9 IpV + 221 р3?10;
2)	atn~11? + ап+а blt (где га >4).
3)	Вычислить наиболее простым способом:
3,24 - 26,3 + 3,24 - 7,6— 1,62 - 47,8.
Ответ: 32,4.
4)	Решить уравнение*: |2х— 9|=х.
Ответ: ха = 9; ха = 3.
VI
Разложить на множители:
1)	288сих* — 126Л8 — 198с7х10;
* При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величи-
ны, исходить из определения абсолютной величины числа. Найденные
значения х проверять по первоначальному уравнению.
56
п—1 < /15
3) Вычислить наиболее простым способом:
8,1 . 75 — 37,5 • 21,4 — 37,5 • 4,8.
Ответ: —375.
4) Решить уравнение: 115 — х | = — 4х.
VII
Разложить на множители:
1)	— 399№10 — 1146V6 + 95й’с»;
2)	88л+1 —82я~1.
3)	Вычислить наиболее простым способом:
12,6® + 12,6 • 17,3 —6,3 • 39,8.
Ответ: 126.
\| 4) Решить уравнение: | х — 81 — 2х — 4.
Ответ: х = 4.
VIII
Разложить на множители:
1)	621аих»+ 135а1®*12 4- Ю8а8х«
2)	92л+1_9л-1.
3)	Вычислить наиболее простым способом:
6,48 • 9,28 4- 3,24 . 14,4 — 6,48®.
Ответ: 64,8.
4)	Решить уравнение: 12х — 111 = 1 — х.
Ответ: корней нет.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 19 (25 минут)
I
Разложить на множители:
\1) 6а2(а— 5) — (а — 5)8.
Ответ: 5 (а— 5)(а’4-2о — 5).
57
• 2) 21a2b — 4b — 12a+7atfl.
Ответ: (7ab— 4)(3a-|-6).
3) Вычислить наиболее простым способом:
23- 17,8 —3 * 7,2 4-23 • 7,2—17,8 • 3.
Ответ: 500.
II
Разложить на множители:
1) (х 4- 7)3 — 8х2 (х + 7).
Ответ: 7(х4-7)(—х®4-2х4-7).
• 2) 20а2с 4- 9с — 15а — 12ас®.
Ответ: (5а — Зс)(4ас— 3).
3) Вычислить наиболее простым способом:
77,3 .134-8- 37,3 — 77,3 • 8 — 13 - 37,3.
Ответ: 200.
ш
Разложить на множители:
Ч) п (Зп — 4)® 4-(Зп — 4)8.
Ответ: 4(3п— 4)®(п — 1).
2) 14а2с 4- 25Z>2 d — lOabd — 35abc.
Ответ: (2а — 5Ь)(7ас— 5bd).
3) Вычислить наиболее простым способом:
56,2 • 29 4- 60,3 - 41 4- 43,8 • 29 4- 39,7.41.
Ответ; 7000.
IV
Разложить на множители:
1)	4/(4/— 1)®_(4/—I)3.
Ответ: (4/ — I)2.
2)	18x2z — 10dxy 4- 20d?y — 36dxz.
Ответ: 2 (9xz — 5dy) (x — 2d).
58
3)	Вычислить наиболее простым способом:
54,4 • 43,2 — 25,6 • 18,2 — 54,4 • 18,2 + 25,6 • 43,2.
Ответ: 2000.
V
Разложить на множители:
1)	6а2 (2а — 5)2 — 12а (2а — 5) (а + 5)2.
Ответ: —150а(a + 2)(2а — 5).
2)	2x2zt — 15z/ — 3jtf2 4- 10xz2.
Ответ: (2xz — 3/) (xt -J- 5z).
3)	Вычислить наиболее простым способом:
109 • 9,17 — 5,37 • 72 — 37.9,17 + 1,2.72.
Ответа 360.
VI
Разложить на множители:
1)	х2(х — 3)(2х+ З)2 — 4х3(х — З)2.
Ответ: Зх2(х— 3)(8х + 3).
2) 30а2 62 + 5ас® — 256с2 — 6а36с.
Ответ; (6а26— 5с2) (56— ас).
3) Вычислить наиболее простым способом:
123 • 1,32 — 28 • 0,148—123 • 0,468+ 151 • 0,148.
Ответ: 123.
VII
Разложить на множители:
1) /2(/+ 12)3 — /(/+ 12)2 (/ — 6)2.
Ответ: 12/ (t + 12)2 (2/ — 3).
2) 15а362с — 286c2d3 + 35absd- — \2a№d.
Ответ: (5а62 — 4c2d) (За2с + 76d2).
59
' 3) Вычислить наиболее простым способом:
68,7 • 1,1 + 48 • 1,25—16,7.1,1—48 • 0,15.
♦	Ответ: НО.
VIII
Разложить на множители:
1)	23 (3z — 2)3 — 3z2 (3z — 2)2 (z — 2)2.
Ответ: 2z2 (3z — 2)2 (5z — 6).
2)	8р3лгл — Зрлг2л2 — 15/л3л2 + 40р2лг2л2.
Ответ: тп (вр2 — Злгл) (р 4- 5л1л).
3)	Вычислить наиболее простым способом:
24	,3 • 6,78 4- 45,7.11,7 4- 30 • 6,78 — 4,92 • 45,7.
Ответ: 678.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 20 (25 минут)
I
1)	Разложить на множители: (2с 4- I)3 — 27.
2)	Какое число нужно вычесть из выражения х[(8х—
— З)2 4- 3], чтобы получить куб двучлена?
Ответ: 1.
3)	Вычислить, не возводя чисел в квадрат: 1652 — 652.
II
I)	Разложить на множители: (2р — З)3 4- 1.
2)	Какое число нужно вычесть из выражения z[12 4-
4* (6 — z)2], чтобы получить куб двучлена?
Ответ: 64.
3)	Вычислить, не возводя чисел в квадрат: 2573—143®.
(60
Ill
1)	Разложить на множители: (р—2)3 4- 27.
2)	Какое число надо прибавить к выражению 18(3—с)®—
— с®, чтобы получить куб двучлена?
Ответ: 54.
3)	Вычислить, не возводя чисел в квадрат: 73,6®—
— 26,4®.
IV
1)	Разложить на множители: 8 — (3 — kf.
2)	Какое число надо прибавить к выражению (6 п— 5)® 4-
4-	2 п (3 — 4 л®), чтобы получить куб двучлена?
Ответ: 2.
3)	Вычислить, не возводя чисел в квадрат: 72,5®—47,52.
V
1)	Разложить на множители: (За 4- 5)а — 8.
/1 \®
2)	Доказать, что выражение: 2 а I-т- а 4- 6х 1 —
— х (За 4* 8х)2 тождественно равно кубу двучлена.
3)	Доказать, используя разложение на множители, что
значение выражения (7л 4- 8,5)® — (4л 4- 2,5)® при целых
значениях л делится на 66.
VI
1)	Разложить на множители: 274-(2 — 5л)®.
(Ь \®	4	/
2)	Доказать, что выражение 4Ь 1-х- — 2г 1 4- т 2 I 3& — 4
4 \®
—x-z) тождественно равно кубу двучлена.
3) Доказать, используя разложение на множители, что
значение выражения (7л 4-6,5)?— (2л 4-11,5)® при целых
значениях л делится на 90.
VII
1) Разложить на множители: 8х®— (5х— 3)*.
2) Доказать, что выражение 18л 14- — kJ 4- 9А12л — -д-
тождественно равно кубу двучлена.
61
3)	Доказать, используя разложение на множители,
что значение выражения (6п4- 17)а — (п — 3)а при четных
значениях п делится на 280,
" 1
VIII
1)	Разложить на множители: (Зх -|- 2у)’— 125tf.
2)	Доказать, что выражение 27/(/4-2о)а— 2v(9/-f-
4- 2о)а есть куб двучлена.
3)	Доказать, используя разложение на множители, что
значение выражения (5л4-2)а— (2«4-5)а при нечетных
значениях п делится на 168.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 21 (1 урок)
I
Разложить на множители следующие многочлены:
1) аз_4^ + 20а — 125.
Ответ: {а — 5)(аа4-а4- 25).
2)	(ха 4-4х)а — (х—9)а.
Ответ: (ха4-бх — 9) (ха 4-Зх 4-9).
3)	Доказать, что значение выражения (х — 7)а 4-2(х —7) X
X (1 —х)4~ (1 —х)а при любых значениях х равно 36.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
738 — 2-73-23 4-232
262 — 242
Ответ: 25.
II
Разложить на множители следующие многочлены:
1)	27А8 — 3b2 4- 2b — 8.
Ответ: (ЗА — 2) (96а -f- 5Ь 4- 4).
2)	(9уа 4- 2)а - (бу 4- 7)а.
Ответ: 3 (Зу2 4-2у 4-3) (9уа— бу — 5).
62
3)	Доказать, что значение выражения (2х + 7)2 — 2 (2х+
+ 7) (2х—3) + (2х—З)2 при любых значениях х равно
100.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
488 — 12»
89»+ 2-89-31+31» ‘
л	3
Ответ:
III
Разложить на множители:
1)	81х® —9х—10z/ —ЮОу2.
Ответ: (9х + 10:/) (9х — 10z/ —1).
2)	10 000а4 —(60а—9)2.
Ответ: (10а — 3)2(100аа + 60а — 9).
3)	(5р - 7# - 2 (5р - 7q) (4р - 3q) + (3q - 4pf.
Ответ: (р— 403.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
(532 + 222 — 472 —162): (652 — 2 • 65 • 59 + 5Э2).
Ответ: 23.
IV
Разложить на множители:
1)	8^-26^-131/+ 1.
Ответ: (2z/ + 1) (4у2 — 15z/ + 1).
2)	900/2 — (25/2 + 9)2. О т в е т: — (5/ + З)2 (5/ — З)2.
3)	(6а + 7&)2 — 2 (а — ЗЬ) (6а + 7Ь) + (а — ЗЬ)2.
Ответ: 25(а + 2Ь)2.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
(1092 — 2 - 109 • 61 + 612): (792 4- 732 — 492 — S52).
Ответ: -тг.
63
V
Разложить на множители следующие многочлены:
1)	16и2 — 20у 4-35/— 49/2.
Ответ; (4и — 7/)(4»4-7/— 5).
2)	(х3 + 8)2 — 36х2 (х 4- 2)2.
Ответ: (х -|- 2)* (х2 — 8х 4- 4).
3)	Доказать, что значение выражения (За-)- 5)8 —
— 3 (За 4-5)2 (За — 1) 4-3 (За 4-5) (За — I)2 —(За— I)3 при
всех значениях а равно 216.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
‘	( В73. ~.-5-3-+ 97.53): (152,52 — 27,52).
Ответ: 1.
VI
Разложить на множители следующие многочлены:
1)	18а2—9а— 156 —5062.
Ответ: (За4-56) (6а— 106 — 3).
2)	(х8 — 27)2 — 81х2 (х — З)2.
О т в е т: (х — З)4 (х2 4- 12х 4- 9).
3)	Доказать, что значение выражения (7 — 2х)3 4-
4-3 (7— 2х)2 (2х4-3) 4-3 (7 — 2х) (2х 4- З)2 4- (2х 4- 3)а при
всех значениях х равно 1000.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
(36,52 — 27,б2): (—— 57 • Зз\
Ответ 1.
VII
Разложить на множители:
1)	а4 — 6а8 4- 54а— 81.
Ответ: (а — 3)8(а-|-3).
64
2)	9/2(/— I)2 — (/s—I)2.
Ответ:
— (t — I)4 (/2 +4/4- 1).
3)	Доказать, что значение выражения (8 — 5х)3 +
+ 3(8 — 5х)2 (5х _ 7) + 3 (8 — 5х) (5х — 7)8 + (5х — 7)’ при
всех значениях х равно 1.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
—+ 79 • 41) : (133,52 — 58.S2).
Ответ: 1.
VIII
Разложить на множители:
1)	+ —44<+ 1бг_ 1б
Ответ: (г — 2)3 (г + 2).
2)	9a2fe8 (а + &)2 — (а3 + Ь3)8.
Ответ: (а + b)* (4аЬ — а2 — Ь2).
3)	Доказать, что значение выражения (11 — 2а)3 +
+ 3 (6 — 2а)8 (11 — 2а) — 3 (6 — 2а) (11 — 2а)2—(6 — 2g)3 при
всех значениях а равно 125.
4)	Вычислить наиболее простым способом:
(94,52 — 30,52): /693 +_293 _ 69  2э).
Ответ: 5.
ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
СОДЕРЖАНИЯ
Работа № 22 (1 урок)
I
1) Задача. Из точки вне прямой проведены к этой
прямой две наклонные и перпендикуляр. Сумма наклон-
ных — 56 дм, а их проекции равны соответственно 8 дм и
36 дм. Чему равна длина перпендикуляра?
Ответ: 15 дм.
2) Разложить на множители:
(2х2 + 9g2)2 — 4х2 (х — бу)8.
Ответ: Зу (4х + Зу) (2х — Зу)2.
3 Зак. 433
65
II
1) Задача. Из точки вне прямой проведены к этой
прямой две наклонные и перпендикуляр. Длина одной
наклонной — 89 см, длина другой—82 см, а разность их
проекций равна 21 см. Чему равна длина перпендикуляра?
Ответ: 80 см.
2) Разложить на множители:
64и1 2 (5/ + и)2 — (25/2 + 8и2)2.
Ответ: 5t (8и — 5/) (5/ + 4н)2-
III
1) Задача. Высота треугольника делит его основа-
ние на отрезки в 21 см и 48 см, а разность боковых сторон
равна 23 см. Найти площадь треугольника.
Ответ: 690 см2.
2) Разложить на множители:
&2	_ 9) _ 66 (9 _	+ 9 (£2 _ д)
Ответ: 0+3) 0—3).
IV
1) Задача. Боковые стороны остроугольного треу-
гольника содержат 61 см и 65 см, а разность их проек-
ций на основание равна 14 см. Найти площадь треуголь-
ника.
Ответ: 1080 см2.
2) Разложить на множители:
сЗ_ 2С03 —8) + с2 (с3 — 8) — 8.
Ответ: (с—1)2(с— 2) (с2+2с+4).
1) Задача. Сумма катетов прямоугольного треуголь-
ника равна 89 см. Если один из катетов увеличить на 6 см,
другой уменьшить на 4 см, а гипотенузу оставить без изме-
нения, то снова получится прямоугольный треугольник.
Определить, как изменится при этом площадь треуголь-
ника.
Ответ: Увеличится на 90 см2.
66
2) Разложить на множители:
(а2 _ а — 3ab + 36)2 — (ЗаЬ — а + ЗЬ — 9&2)2,
Ответ: (а — ЗЬ)3 (а + ЗЬ — 2),
VI
1) Задача. Разность катетов прямоугольного тре-
угольника равна 17 дм. Если больший катет увеличить на
7 дм, а другой катет уменьшить на 11 дм, то в получен-
ном прямоугольном треугольнике гипотенуза будет иметь
ту же длину, что и в первоначальном. Определить, как из-
менится при этом площадь треугольника.
Ответ: уменьшится на 234 дм2.
2) Разложить на множители:
(2а3 — За2х 4- Зал2 — 2л3)2 — 9а2х2 (а — л)2.
Ответ: 4 (а — х)4 (а2 4- ах 4- х2).
VII
1) Задача. Катеты прямоугольного треугольника
относятся, как 8 : 15. Если больший катет увеличить на
9 см, а другой катет уменьшить на 27 см, то полученный
прямоугольный треугольник будет иметь ту же гипотенузу,
что и первоначальный. Определить, как изменится при этом
площадь треугольника.
Ответ: уменьшится на 954 см2.
2) Разложить на множители:
4&2 _ (х2 — Ь2 — I)2.
Ответ: (х4- Ь 4- 1)(х + Ь— 1)(х4- 1 —b)(b+ 1 —х).
VIII
1) Задача. Гипотенуза прямоугольного треуголь-
ника относится к меньшему катету, как 17 : 8. Если гипо-
тенузу уменьшить на 7 дм, меньший катет — на 21 дм, а
больший катет оставить без изменения, то снова получится
прямоугольный треугольник. Определить, как изменится
при этом площадь прямоугольного треугольника.
Ответ: уменьшится на 630 дм2.
з*
67
2)' Разложить на множители:
(2а3 — 4а2 — а + I)2 — (За — 1)а.
О т в е т: 4а (а 4- 1) (а — I)2 (а2 — За + 1)«
СОКРАЩЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ДРОБЕЙ
Работа № 23 (25 минут)
Сократить дроби:
, ч аг — ab — Ьс — с2
_ в2 _ 2дс — с2 * *
9.	27s + 274
*) де 4. 92 _]_ де ’
О	и -I- ь
твет:----5—г.
с — а — о
4
Ответ:
3) При каких значениях у дробь
у-7
15 4-51/
не имеет смысла?
- II
Сократить дроби:
п 25 — а2 — 2аЬ — Ь*
a2 + ab + 5b — 25 *
16?— 16*
8Ю _ go _|_ 88 •
Ответ:
18л 4-9
13п—26" РЭВН0
3) При каких п значение дроби
нулю?
Ш
Сократить дроби:
.. ь2—186 —с2 + 81
й2 + 2дс-Ьс2— 9Ь — 9с ‘
•	811 — 8’° — 88
4) 415_414_413 *
О	и — и —
твет: —г-:---.
b-j-c
Ответ: 10.
3) При каких значениях и дробь
311 — 30
10и 4- 2
не имеет
смысла?
68
IV
Сократить дроби:
П /» —А/ 4~ ЗА —9
' p — 2fk + k^ + 3f — ЗА*
923 _|_ 922 4.921
27li — 27ls "
Ответ: 94,5.
3) При каких v значение дроби
16с + 4
5t> —15
равно нулю?
Сократить дроби:
а2 — 25b2 + 106с — с2
а 4- ЬЪ — с
Ответ: ——-------.
а — с
гх	3
Ответ:
64
3) При каких х значение
смысла?
__49
дроби —5—не имеет
г	ха — 36
VI
Сократить дроби:
.. 36х2 4~ §ХУ + Уг — г2
' Збх2 — у2 + 2yz — z2 '
(9л-1 + 9«)»
z' (3.27я-2 Ч-27— *)2 *
Ответ: 810.
3) При каких х значение дроби
равно нулю?
VII
Сократить дроби:
п 2а (62 4-9) + 36 (а2 + 4)
" 2а (62 — 9) 4-36 (а2 — 4) *
(27я — 3.27я—*)2
4	(9я 11 — 9Я)Я
О тв е т:
ab 4- 6
ab — 6’
648'
3) При каких значениях t дробь
смысла?
не имеет
69
Сократить дроби:
и х2 (а — Ь) ~ а2 (х— Ь)
' х(а — Ь)2 — а(х — Ь)2'
(1бп —16*-1)3
ах — Ь2
27
80 *
4д2_54
3) При каких а значение дроби ч равно нулю?
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Работа № 24 (1 урок)
I
1) Задача. Из Л в В со скоростью 66 км/ч от-
правился товарный поезд, а спустя 20 мин от станции В
в направлении станции А вышел скорый поезд, проходя-
щий в час 90 км. На каком расстоянии от А встретились
поезда, если длина перегона АВ равна 256 км?
Ответ: 121 км.
5s__ 4
2) Определить, при каких s значение дроби —.	:
1) равно нулю; 2) равно 1; 3) равно—5; 4) дробь не
имеет смысла.
II
1) Задача. Из М в N со скоростью 60 км/ч
отправился пассажирский поезд, а спустя 10 мин вслед
за ним из М вышел электропоезд, проходящий в час 85 км.
На каком расстоянии от станции N второй поезд догонит
первый, если длина перегона MN равна 40 км?
Ответ: 6 км.
2) Определить, при каких k значение дроби	:
ч	о/с — /
3
1) равно 1; 2) равно нулю; 3) равно -у-; 4) дробь не имеет
смысла.
70
Ill
1) Задача. Из М в N со скоростью 15 км/ч вы-
ехал велосипедист, а через 16 мин вслед за ним выехал
другой велосипедист, проезжавший в час 18 км. Узнать,
чему равно расстояние MN, если известно, что второй ве-
лосипедист прибыл в N одновременно с первым.
Ответ: 24 км.
2) Определить, при каких у значение дроби
о t/ — о
1) не существует; 2) равно нулю; 3) равно—1; 4) равно 4.
IV
1) Задача. Из Л в В со скоростью 3,6 км/ч вы-
шел пешеход; через 1 ч 15 мин навстречу ему из В вы-
ходит другой пешеход, проходящий в час 4,8 км. Узнать,
чему равно расстояние -ЛВ, если известно, что второй
пешеход прибыл в А одновременно с приходом первого в В.
Ответ: 18 км.
2) Определить, при каких t значение дроби	•
1) равно —I; 2) равно----3) равно нулю; 4) не сущест-
вует.
V
1) Задача. Теплоход вышел из порта N в порт L со
скоростью 32 км/ч. Однако на расстоянии 216 км от
порта N он попал в шторм и должен был снизить скорость
на 5 км/ч. В результате теплоход прибыл в порт L
с опозданием на 25 мин. Сколько километров между N и L?
Ответ: 288 км.
2) Определить, при каких г значение дроби
7г—14 ‘
1) равно 1; 2) равно нулю; 3) равно 4) не существует.
71
VI
I) Задача. Турист, плывя на байдарке, обычно раз-
вивал в» стоячей воде скорость 6,5 км/ч. Однажды он
решил проплыть по реке расстояние CD в оба конца за
определенное время, но при этом не учел скорости тече-
ния, равной 1,5 км/ч, и затратил на весь маршрут
на 27 мин больше, чем предполагал. Чему равно рассто-
яние СО?
Ответ: 26 км.
4Г_з
2) Определить, при каких г значение дроби	<
1) равно 2; 2) равно 1-у; 3) равно нулю; 4) не суще-
ствует.
VII
1) Задача. Мотоциклист выехал из М в N со ско-
ростью 48 км/ч. Через 50 мин после отправления из
М вследствие неисправности пути он должен был снизить
скорость на 8 км/ч и потому прибыл в N на 20 мин
позже, чем предполагал. Найти расстояние MN.
Ответ: 120 км.
2д_5
2) Определить, при каких а значение дроби	——75-:
оа Ч- 12
2
1) равно нулю; 2). равно 1; 3) равно 4) не существует.
VIII
1) Задача. Турист отправился из Л к железнодо-
рожной станции В. Пройдя 40 мин со скоростью 4,5 км/ч,
он рассчитал, что если будет продолжать идти с той
же скоростью, то опоздает к поезду на 15 мин> поэтому
он увеличивает скорость на 0,5 км/ч и приходит на стан-
цию В за 5 мин до отправления поезда. Сколько кило*
метров между Л и В?
Ответ: 18 км.
2) Определить, при каких г значение дроби -	
1) равно 2,5; 2) равно — 2,5; 3) равно нулю; 4) дробь не су-
ществует.
72
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Работа № 25 (25 минут)
I
1) Представить выражение в виде дроби:
___6	2	с	4 4-е
4с — с2	с2 + 4с с2—16’	Ответ: 4с_сЯ •
2) Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1 1 1
’ 60а3&л~3 ’ 40а216«-з •
3) Что больше:
II
1) Представить выражение в виде дроби:
х — 2	. х 4- 2	. 4х	~	2
ха 4- 2х	ха — 2х	х2 — 4	х
2) Привести к простейшему общему знаменателю:
1 1.1-
. 35Ь9х1<’-я’	5661вх,а“"л * 40Ьвх11—л ’
3) Что больше:
или
—7
in
1)	Представить выражение в виде дроби:
х4-2	. 2 — х . бх3 4- 8	л 1 — 5х
о т- + ъ 1 - о—г бл—Ответ: —т—.
2х — 4	6 + Зх '24 — 6ха	6
2)	Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1 . 1 . 1
252а12 (5х — I)2 * 96а» (25х8 — 1) 5 56а7 (5х 4-	'
/ О \“3
3)	Что больше: I—g-)	или (—О, I)4?
73
1)	Представить выражение в виде дроби:
12с	, 2с —3 . 2с+3	_____ Юс+15
4с2 —9 + 4с + 6 +6с-9*	Отве . 12с_18'
2)	Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1
1 75/,Б (t — 5)3’
3)	Что больше:
245/1® (/ + 5)2 •
'	3 \-2
-----7-1 ИЛИ
L 4 /
1)	Представить выражение в виде дроби:
1_________1_________2	~	. д —2х
да — 2ах 2ах + 4ха	4ха — а2 '	Т В е Т.	%ху
2)	Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1.1. 1
48а"-1 (27л?—8) ’ 60дл+1 (Зх — 2) ’ 42д« (9ха + 6х + 4) *
3)	Существуют ли такие значения а, при которых
(а + I)”1 больше, чем аг1?
Ответ: да, все отри-
цательные значения а, большие, чем — L
VI
1) Представить выражение в виде дроби:
1	2	4	гч . 1
2г«+5г	25—Юг 4г« —25’	Ответ.
2) Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1 1	1
ббх2"-8 (64г3 +27)'	11 Ох2" (4г + 3)5 ЭОх2" +»(16г2 — 12г + 9)’
3) Существуют ли такие значения х, при которых
(х2+ I)-1 больше, чем х-2?
Ответ: нет.
74
VII
1)	Представить выражение в виде дроби:
1	.	2	I п . х —2
х* 2 + 3xi/ "Т” 9г/2 — х2 2х— бу* твет. — Зу)*
2)	Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1 1 1
80^+2(m2 —р2)’ 72kn+*(m + p)2' 135ЛЛ—А(р — /п)2‘
3)	Существуют ли такие значения а, при которых
(а2 + I)”1 меньше, чем (а + 1)—а ?
Ответ: да, все отрицательные значения а.
VIII
1)	Представить выражение в виде дроби:
2	1.1	~	/—5
25 — t2 /2 + 5/ + 5/ —25 • Ответ:
2) Привести дроби к простейшему общему знаменателю:
1 1 1
63ул~4 (Z2 — 16)’ 56ул“2 (I — 4)2 ’ 60ил~3 (t + 4)2 *
3) Существуют ли такие значения bJ при которых
больше, чем Ь2.
Ответ: да, все значения b по абсолютной
величине меньшие, чем 1.
УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ
И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ДРОБЕЙ
Работа № 26 (I урок)
I
1) Упростить выражение —
7----Х2---5 й
(а —п)2 — 9
наити его числовое значение при а
а(а — 3)
п(а — п — 3)
Ответ:
2) Упростить частное:
/	5k6 \Б
\	Зс4 )
/ 10fe8 \3
\	9с7 / ‘
Ответ:
75Л<?
II
1) Упростить выражение
16 — (а + х)2 t а2 4~ 4а — х2 —4^
а2 + ах * 4а + 4х
и найти его числовое значение при — 3,6; х^З.
Ответ:
4(4— а —х)
а(а — х)
2) Упростить произведение:
/_ ба4 у	/	25b4 \3
\	563 )	\	9ав / ’
От вет:
400а
9 *
III
1) Упростить
выражение
Зх2 — х — z —Зга
х2 — хг
z2 — х2
1—9(х —z)2
и найти его числовое значение при хт— 1,7; z^—0,3.
Ответ:
(х + г)2
х (Зх — Зг + 1)
2) Упростить произведение:
/ 15р7\3 I 4^ \4
\ 8(?4 / \ 5рв /
Ответ: —2,7 р.
IV
Упростить выражение
па — 10п -|- 25 -7-12 *t2 — 5/ -|- 5л—л2
л2	‘ л2 + nt
и найти его числовое значение при пж0,7;	— 0,47.
° тает:	~2-
2)	Упростить частное:
(	10аЛ4
I 9«/’/
(	5а^\8
\ 271/»/ ‘
Ответ: —240а.
76
V
- т	4х2 —	— Ьа — 1 1 2х + 5а
1) Упростить выражение -----------------------:25a*-l(to4-l
в найти его числовое значение при xss0,68;	— 0,4.
От вет:
2) Упростить произведение:
/eio4"-1^8 /	56’
к 25d5 I ’ к	27азп~1
а
25b*
VI
9__4р2
1) Упростить выражение . _ _
I l~ W fJ С
t3 4- 2pt 4- 2р — I
4р2 — 12р + 9
найти его числовое значение при
От вет:
— 3,5; t ~ 0,8.
(' + 1) (2р + 3) ~ 0 7
2р — 3	~
2) Упростить частное:
16х4П+’ \3
9у« /
/ 8хзл+ь \4
к ЗУ2 Г
Ответ:----Л-.
9у
VII
9m2 — 6m& + 2£— 1 16m3—24m£-J-9&3
1) Упростить выражение-----gp,-^-----------2k-3m-l
и найти его числовое значение при tn «0,25; k « — 0,3.
(3m — 1) (4m — ЗЛг) с
Ответ: 1\--л-------------- — 5*
or -j- 4m
2) Упростить частное:
За* 12
25г8Л~а /
16Z»
5гал~»
Ответ:—
VIII
,ч.,	25иа —9га	9z3 — 30zu 4-25иа
1) Упростить выражение 2гУ_6у^ : 25уа -ю/г-4г-у
и найти его числовое значение при угх — 0,8; zm—1,5.
Ответ*	2) —^зо
3z — 5у
2) Упростить произведение:
64с4 V /	9а2Л-3 \5
27d3rt-6/	\	16с3 )
Ответ:
3dn
4с3 *
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
Работа № 27 (1 урок)
I
1) Задача. На строительстве ГЭС укладчики бетона
не только выполнили 10-дневное задание, но, перевыпол-
няя норму на 450 м3 в день, уже за 1 день до срока
уложили на 800 м3 бетона больше, чем предполагалось по
плану. Сколько кубометров бетона уложат строители ГЭС
за 10 дней?
Ответ: 37 000 м3.
fa___ у
2) Значение алгебраической дроби 3 равно 1 при х,
равном 10. При каком х значение этой дроби равно 3?
Ответ: при х = 53.
II
1) Задача. Колхоз должен был провести сев за 14
дней. Перевыполняя план, колхозники засевали в день на
30 га больше, чем предполагалось по плану, и уже за 4
дня до срока им оставалось засеять только 20 га. Сколь-
ко гектаров должен был засеять колхоз?
Ответ: 1120 га.
2) Значение алгебраической дроби равно 3 при
х, равном 8. При каком х значение этой дроби будет рав-
но 5?
Ответ: при х = — 30.
III
1) Задача. Чтобы закончить сев в срок, колхоз дол-
жен был засевать в день 73 га. Перевыполняя план, кол-
78
хозники засевали в день на 14 га больше, чем предполага-
лось по плану, и уже за 2 дня до срока им оставалось
засеять только 6 га. Сколько гектаров должен был заев’
ять колхоз?
Ответ: 876 га.
__2
2) Значение алгебраической дроби —-—равно 6 при
у, равном 16. При каком у значение этой дроби будет рав-
но 1?
Ответ: при у = 3.
IV
1) Задача. Чтобы выполнить плановое задание в срок,
токарь должен был изготовлять за рабочий день по 24 де-
тали. Однако, применив новый вид резца, он повысил
дневную производительность на 15 деталей и уже за 6
дней до срока изготовил 21 деталь сверх плана. Сколько
деталей изготовил токарь?
Ответ: 429 деталей.
2) Значение алгебраической дроби Р26™ 4 ПРИ
у, равном 4.
При каком у значение этой дроби будет равно 1?
Ответ: при у = — 1.
V
1) Задача. В двух совхозах было занято под гречи-
хой 96,0 га. Первый совхоз получил средний урожай в
21,0 ц гречихи с гектара, а второй — в 26,0 ц с гектара.
В итоге второй совхоз собрал на 146 ц гречихи больше,
чем первый совхоз. Сколько всего центнеров гречихи со-
брали оба совхоза?
Ответ: ^2250 ц,
2) Алгебраическая дробь ^-^Зд У / не имеет смысла
при х, равном 1. При каком х значение этой дроби равно
нулю?
Ответ: при % —----
79
VI
1) Задача. Звено кукурузоводов получило с каждо-
го гектара закрепленного за ним участка в среднем по
130 ц кукурузы в початках. Другое звено, соревнуясь с
первым, собирало с каждого гектара в среднем на 20,0 ц
початков больше, чем первое, и, несмотря на то что его
участок был на 2,0 га меньше, получило с него на 100 ц
початков больше, чем первое звено. Сколько всего центне-
ров кукурузы собрали оба звена?
Ответ:^5,3 тыс. центнеров.
О	АЛ 19x4-56-^16 Л Л
2) Значение алгебраической дроби 5Х __ 26 +1— Р38110
нулю при х, равном 4. При каком значении х эта дробь
потеряет смысл?
Ответ: при х == — 5.
VII
1) Задача. Завод получил заказ к определенному
сроку изготовить 960 станков. Через 15 дней после нача-
ла работы заводу удалось повысить выпуск станков на
25% в день и выполнить заказ за 5 дней до срока. Сколь-
ко станков изготовил завод за первые 15 дней работы?
Ответ: 360 станков.
2) При у, равном 55, алгебраические дроби ~ + и
У 4* 2k	У
•*_принимают равные значения. При каких у значе-
ние каждой из дробей равно 1?
Ответ: 1) при у = 15; 2) ни при каком.
VIII
1) Задача. Бригада коммунистического труда должна
была к определенному сроку изготовить 720 деталей. В те-
чение первых 8 дней бригада перевыполняла дневную нор-
му на 20%, а в последующие дни —на 25% и к сроку
80
не только выполнила задание, но и изготовила 164 дета*
ли сверх плана. Сколько дней работала бригада?
Ответ: 18 дней.
2) При z, равном 4, сумма значений алгебраических
дробей и равна 32. При каких г значение
каждой из дробей равно 3?
Ответ: 1) при Z — 16,5; 2) ни при каком.
ВСЕ ДЕЙСТВИЯ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ
ДРОБЯМИ
Работа № 28 (1 урок)
I
1) Упростить выражение:
2) Доказать, что выражение
g — а . / 1 \2 / а 4- 2	2 — а 4а2 4- 2а 4- 1 \
5	\1—2а/ ' \4а8— 4а24-а	1—8а8	2а2-{-а /
при любых допустимых значениях а есть постоянное число.
II
1) Упростить выражение:
( у— 3___у —3\ 7у — 4 у1 2— 14
\7р —4 у — 4/ 9у — Зу2 ' 4 — у
Ответ: — у — 4.
2) Доказать, что выражение
I х2 — 2х 4- 4	2ха 4-х _ х 4- 2	\	4	•*4'4
4х2 — 1	ж8 4- 8	2ха — х	/	ха4-2ж	3 — 6х
при любых допустимых значениях к есть постоянное число.
III
1) Упростить выражение:
/ 1	. Зрд — 4 \ /______1______2 — 2<? \
\5р — q' 27р3 * * * * — q3/ \9р2+Зрр4-<?2 д9 —27р3/'
Ответ: Зр 4- Я + 2.
81
2) Доказать, что выражение
Зга + 14  / га —4 \а . / га+ 21
п -|- 4	\ п -|- 6 /	\ 16 — 8п 4~ я2
п 4- 3 \
16 —/
при любых допустимых значениях п есть постоянное
число.
IV
1) Упростить выражение:
( 1 + бас_____1	\ . (	1____________1	\
\ а3 — 8с3 а — 2с / \ а3 — 8с3	а2 4~ 2ас + 4с2 /
Ответ: а — 2с + L
2) Доказать, что выражение
/ л 5	. х + 7	\ , / х 3 \2 . 7 4- х
\ х2— 81 ‘ х2—18x4-81 / ’ \х— 9/ ' 9 + х
при любых допустимых значениях х есть постоянное число.
1) Упростить выражение:
1	.	2	1	\ . f с —4 \2 4с + 16
с2 *— 4с 16 — с2 ’ 4с 4- 16 } ‘ \ 2с + 8 /	4с2 — с3
Ос 4- 4
твет: —4—
с2
2) Доказать, что выражение
при любых допустимых значениях а есть постоянное число.
VI
1) Упростить выражение:
9у —27 / 3i/ + 9 \2 / 1	2	1 \
3^»—уз-ГД 0 — 3 / * \ 30 — 9 ' 9 — 0» 0» + 30/"
г\ - 3i/4-9
Ответ: —^-4—.
У2
82
2) Доказать, что выражение
126 — 462	1	. (	4 6Ь — 9 \
2&4-3 + 26 — 3	\ 462 — 9	863 + 27 ]
при любых допустимых значениях b есть постоянное число.
VII
1) Упростить выражение:
9а ]•[ а I ^а2 —	1	\
“(3 —а)3	1 *’ \ а —3~	27 —а3 а2 4- За + 9 /
Ответ: — 1.
2) Доказать, что выражение
/ 1 — 2?	. п Л 1 4- 2z , 6z2 — 1
\ 32 + б22	/	1 — 22	32
при любых допустимых значениях г есть постоянное число.
VIII
I) Упростить выражение:
х— 4	( 80х	. 2х	х—16 \	6х 4~ 4
х — 2	\ х3 — 8	'	хъ 4- 2х 4~ 4	2 — х /	(4 — х)2
Ответ: —
х —4
2) Доказать, что выражение
при любых допустимых значениях t есть постоянное число.
ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 29 (1 урок)
I
1) Решить уравнение:
1	2х—5_______1	0
4х — 6	* 18 — 8х2	2х2 4- Зх
Ответ: корней нет.
83
2) Существует ли такое значение а, при котором про-
изведение значений дробей и Равн0 1?
Ответ: да, а = 3.
II
1) Решить уравнение:
Зх—1______1_____х
6л — 3	1 — 4ха 2х + 1
Ответ: корней нет.
ч
2) Существует ли такое значение и, при котором отнсь
шение значений дробей
12и— 7	6(2— 3
ТоГТГ и 5Й+Т Равн0 1?
Ответ: да, и = 4.
III
1) Решить уравнение:
2Z— 2_____х— 2______х— 1  л
х2 — 36	х2 — 6х х2 + 6х
Ответ: корней нет.
2) Существует ли такое значение а, при котором раз-
v gf о 18о -|*~ 2	"4“ 1
ность значении дробей —-и 	 равна 3?
Ответ: а =-----
£
IV
1) Решить уравнение:
' х + 6	4
х2 — 1х (7 — х)2
1
Ответ: х = 21.
2) Существует ли такое значение у, при котором сум-
- „	1	4
ма значении дробей и —5—г равна их произведем
нию?
Ответ: не существует.
84
V
1) Решить уравнение:
ю
= 0.
2) Существует ли
ма значений дробей
дению?
Ответ: корней нет.
такое значение t, при котором сум-
t — 5 t — 1
5—ЗГ и 4/-1- Г равна их произве-
VI
1) Решить уравнение:
3	.	2
и равна их произ-
2) Существует ли такое значение v, при котором раз-
ность значений дробей f
ведению?
Ответ: не существует.
VII
ма значений дробей
1) Решить уравнение:
1	1	_	2
1 — 8x4- 16х2	1 4-8x4- 16х2	64х» — 16ха — 4х 4-1 ’
Ответ: корней нет.
2) Существует ли такое значение а, при котором сум-
равна 1?
Ответ: да, а — 7.
и
VIII
1) Решить уравнение:
з	7	_ з
Эх2—1 + 27х* — 9ха —3x4-1	Эх2 —6x4-1 ’
Ответ: корней нет.
85
2) Существует ли такое значение d, при котором раз-
ность значений дробей 1- и	равна 1?
ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 30 (1 урок)
I
1) Задача. Из Л в В вышел пешеход, а через 2 ч
из В в Л выехал велосипедист. Двигаясь со скоростью, пре-
вышающей скорость пешехода в 3,4 раза, велосипедист при-
был в А на 1 ч 36 мин раньше, чем пешеход в В. Зная, что
расстояние АВ равно 25,5 км, найти скорости пешехода и
велосипедистах.
Ответ: .5 км/ч и 17 км/ч.
2) Вычислить корень уравнения
11	| _ 6	। _____4_____=()
х2 — 5х * х2 + 4х * (х + 4) (5 — х)
с точностью до 0,01.
Ответ: х^— 1,08,
II
1) Задача. Из М в N выехал велосипедист, а через
2 ч 40 мин в том же направлении из М выехал мото-
циклист. Двигаясь со скоростью, превышающей скорость
велосипедиста в 2,5 раза, мотоциклист все же прибыл в
N на 25 мин позже, чем велосипедист. Зная, что расстоя-
ние MN равно 67,5 км, найти скорости велосипедиста
и мотоциклиста.
Ответ: 18 км/ч", 45 км/ч.
2) Вычислить корень уравнения
5	. .....2____________У______о
2х2 — 7х	(* + 6)(7 — 2х)	ха + 6х ~
С ТОЧНОСТЬЮ до 0,01.
Ответ: х^5,63
86
ш
1)	Задача. От станции Л к станции В отправился
поезд. Пройдя -у расстояния АВ, поезд был задержан у
семафора на 15 мин и поэтому, чтобы прийти в В по распи-
санию, последующий путь проходил со скоростью, в 1,2 ра-
за большей, чем первоначальная. Зная, что расстояние АВ
равно 168 км, найти первоначальную скорость поезда.
Ответ: 80 км/ч.
2)	Вычислить корень уравнения
5___________!_ + _J_ = o
18*4-81 х1 2 + 9х	81—х2
С ТОЧНОСТЬЮ до 0,01.
Ответ: х«0,82.
IV
1.	За да ча. Из М в N вышел товарный поезд, а через
10 мин из N в М отправился пассажирский поезд. Двига-
ясь со скоростью, превышающей скорость товарного поезда
в 1,5 раза, пассажирский поезд встретился с товарным,
у
пройдя расстояния NM. Зная, что расстояние MN рав-
но 360 км, найти скорость каждого поезда.
Ответ: 60 км/ч и 90 км/ч.
2)	Вычислить корень уравнения
1 * _ 1
х2 — 36 х2 + 12* + 36 “ 6 —х
с точностью до 0,01.
Ответ:	— 2,21
V
1) Задача. Два самосвала, из которых второй начал
работу на 3 дня раньше первого, могут перевезти строй-
материалы за 8 дней. Сколько дней понадобилось бы для
выполнения всей работы каждому самосвалу, если известно,
что грузоподъемность первого самосвала на 60% больше
грузоподъемности второго?
Ответ: 10 дней и 16 дней.
87
2) Найти корень уравнения
5__________________ _7	_.7 _ =
(6х — I)3	(1 — 6х)2	36х2 — 1
С точностью до 0,01.
Ответ: хдг0,35.
VI
2) Задача. Две машинистки, из которых первая на-
чала работу на 2 ч 10 мин раньше другой, закончили
перепечатку рукописи за 3 ч. За сколько часов перепе-
чатала бы рукопись каждая машинистка, работая отдель-
но, если известно, что вторая работает в 1,2 раза скорее, чем
первая?
Ответ: 4 ч и 3 ч 20 мин.
2) Вычислить корень уравнения
12	2U п
49х2 — 4 + (2 — 7х)а	(7х — 2)3 “ U
с точностью до 0,001.
Ответ: хд?— 0,057.
VII
1) Задача. Велосипедист выехал из Л в В, расстоя-
ние до которого 60 км. Через 2 ч после отправления
вследствие аварии он задержался на 50 мин и поэтому
остальной путь проезжал со скоростью, большей, чем пер-
воначальная, в 1,5 раза, и прибыл в В на 10 мин раньше,
чем предполагал. С какой скоростью двигался велосипедист
первоначально?
Ответ: 12 км[ч.
2) Вычислить корень уравнения
7	_	11_______________4
9х2 — 1	9х2 + 6х + 1	9х2 — 6х + 1
с точностью до 0’,01.
Ответ: xst;0,16.
88
VIII
1) Задача. Токарь должен был изготовить в опреде-
ленный срок 160 деталей. Проработав над выполнением за-
дания 3 дня, он применил новый вид резца, вследствие чего
повысил производительность своего труда на 25% и уже
за 1 день до срока выполнил плановое задание. Сколько
деталей стал изготовлять токарь в день?
Ответ: 25 деталей.
2) Вычислить корень уравнения
10х___________________7	_	3
х3 — 27 ха — 6х + 9 х2 + Зх + 9
с ТОЧНОСТЬЮ до 0,1.
Ответ: х»—2,8.
УРАВНЕНИЯ С БУКВЕННЫМИ КОЭФ-
ФИЦИЕНТАМИ
Работа № 31 (25 минут)
I
1) Решить уравнение относительно х*;
+____!__+ _Л_ = о
х2 — Зах х2 + Зах 9а2 — х2
Ответ: х = а.
2) Из формулы с == * найти п.
II
1) Решить уравнение относительно у\
b + i	ь — 1	_ Зу
5by + 2b2	2b* — bby “ 25</2 — 4Ь* ’
Ответ: у = 2.
* Не следует в VII классе требовать исследования уравнений,
содержащих параметры, однако необходимо проверять, что найден-
ные значения неизвестного не обращают в нуль ни один из знаме-
нателей.
89
2) Из формулы k =
z— rt
найти Л
Отвегт:
III
2) Из формулы T = 'аЬ_гг
Решить уравнение относительно z:
5л — 1_________ п .___________12#
Зл2 — nz — 3nk + kz	z(n — k) ' z(z — 3n)
~ л — 2#
Ответ: z ——~—
найти a.
7 4-1
Ответ: a — -7-^
IV
1) Решить уравнение относительно у:
8п	251	12л + 10/
у (I — у) (5/ — 2п) у ' 5ly + 2nl — 5Р — 2пу
Ответ:
У~
5/ — 4 л
3
2) Из формулы k = m
найти и.
Ответ: и =
у (km + 1)
mk — 1	*
V
1) Решить уравнение относительно у:
_________а — 8Ь_________ а . * 8Ь
ау — 2Ьу — а2 + 2ab (2Ь — а) у (а — у) у'
2) Из формулы d2 = 2Rh (1 4- -+) найти R.
Л2
Ответ: R = ——
90
VI
I) Решить уравнение относительно г:
d t 12с	d 4- 6c	__q
(3c — d)z 1 (z 4- a) z 6cz — 2dz 4- 6ccf — 2d2
Ответ: z=I2c — 2d.
*
2) Из формулы k = Д найти e.
p — k
Ответ: e = ~r
1 —pk
VII
1) Решить уравнение относительно
16/72 Г (5-л)	п	।	16m — Зп		р. t (4m 4* я)	4mn — 20т/ 4-д2 — 5п/ . 8m 4-« Ответ: t =	— *
2) Из формулы k =
найти а.
Ответ: а = —г-
VIII
1) Решить уравнение относительно х:
Юр — 8р	.____20р	____ д
’Ърх + 5рд — Здх — bq2 х (Зх 4~ ЭД	х (д — р) ’
Ответ: х = д — 2р.
2) Из формулы s = —найти Ь.
О. a (s — т)
т в е т: о = —Н——.
s 4~ т
91
КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ
ГРАФИКИ
Работа № 32 (25 минут)
I
1) Построить треугольник АВС по координатам его вер-
шин: Д(3;—4); В(—5; 12); С (0; 8) — и указать координа-
ты вершин треугольника, симметричного данному относи-
тельно оси абсцисс.
2
2) Построить график зависимости у = — -5-3 и оп-
ределить, при каких значениях х у принимает отрицатель-
ные значения.
II
1) Построить треугольник АВС по координатам его вер-
шин: А (6; 0); В (2; —7); С (—4; 5) — и указать координа-
ты вершин треугольника, симметричного данному отно-
сительно оси ординат.
2) Построить график зависимости у = -у х — 5 и опре-
делить, при каких значениях х у принимает положитель-
ные значения.
III
1) Построить треугольник АВС по координатам его вер-
шин: А (—7; 3); В(—3; —5); С (5; —1) — и найти коорди-
наты середины его большей стороны.
Ответ: D(—1; 1).
2) Построить график зависимости у = — 1,5x4- 6 и оп-
ределить, при каких значениях х у принимает положитель-
ные значения.
IV
I) Построить треугольник АВС по координатам его вер-
шин: А (8; —2); В (3; 5); С (—4; —6) — и найти координаты
(середины его меньшей стороны.
Ответ: Z>(5,5; 1,5)»
.92
V
1) Найти координаты вершин С и D квадрата ABCD,
зная А (3; 1) и В (3; —4).
2) Построить график зависимости у = 0,5х— 3 и оп-
ределить, как изменяется у с возрастанием х.
VI
1) Длина стороны квадрата ABCD равна 6, а координаты
одной из вершин равны (—2; 3). Найти координаты осталь-
ных вершин, зная, что сторона АВ квадрата парал-
лельна оси ординат и что начало координат лежит внутри
квадрата.
2) Построить график зависимости у = —0,8л: + 2 и оп-
ределить, как изменяется у с возрастанием х.
VII
1) Координаты двух противоположных вершин квад-
рата ABCD\ А (3; 4); С (—5; 4). Найти координаты двух
других вершин.
2) Построить график зависимости х + у = 10. Где на
координатной плоскости находятся все точки, у которых
сумма абсциссы и ординаты меньше 10?*
VIII
1) Координаты двух противоположных вершин квад-
рата ABCD*, А (1; —6); С (1; 2). Найти координаты двух
других вершин.
2) Построить график зависимости у — х = 5. Где на
координатной плоскости находятся все точки, у которых
разность между ординатой и абсциссой больше 5?*
* Для ответа на вопрос достаточно заштриховать на координат-
ной плоскости соответствующие области.
93
КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ
ГРАФИКИ
Работа № 33 (25 минут*)
1) Построить -график зависимости ху — 10. Найти по
графику абсциссу той точки, ордината которой равна 7.
2) Какие отрезки отсекает прямая 1х— Зу=21 на
осях координат?
I) Построить график зависимости ху = — 12. Найти по
графику абсциссу той точки, ордината которой равна —7.
2) Какие отрезки отсекает прямая 5х + бу = 30 на
осях координат?
1) Построить график зависимости: у =--------и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
2) Вычислить площадь треугольника, ограниченного
прямой у = — 1,2х	6 и отрезками осей координат.
IV
1) Построить график зависимости у =-----------и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
2) Вычислить площадь треугольника, ограниченного
прямой у = 0,5х — би отрезками осей координат.
• В вариантах VII и VIII желательно построение графиков
..б о 8
у 1 -|----и у — 2-------выполнить путем смещения соответствую-
6	8
щих графиков у = — и у = — — в направлении оси ординат. При
вычислении периметров треугольников во вторых задачах тех же ва-
риантов использовать теорему Пифагора.
94
1) Построить график зависимости у =------— и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
2) Вычислить площадь треугольника, ограниченного
прямой у = 2х + 1 и отрезками осей координат.
VI
1)	Построить график зависимости ху = 20 и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
2)	Вычислить площадь треугольника, ограниченного
прямой у = — 0,08х — 1 и отрезками осей координат.
VII
1)	Построить график зависимости у = 1 4- у и указать,
при каких значениях х у отрицателен.
2)	Вычислить периметр треугольника, ограниченного
прямой 8х— 15у = 120 и отрезками осей координат.
VIII
$
1)	Построить график зависимости у — 2 — — и указать,
при каких значениях х у отрицателен.
2)	Вычислить периметр треугольника, ограниченного
прямой 5х + 12г/ — 60 и отрезками осей координат.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Работа № 34 (1 урок)
I
1) Задача. Для клуба решили приобрести 4 баяна
и 3 аккордеона на сумму 1470 руб. Однако вследствие
снижения цен на баяны на 20%, а на аккордеоны на 30%
за ту же покупку уплатили 1101 руб. Найти новые цены
баяна и аккордеона.
Ответ: 144 руб. и 175 руб.
95
2) Решить графически систему:
I 2х — у = 11,
1 Зх + 2</ = 19.
Ответ:
5,9,
0,7.
II
1) Задача. За 5 м шерсти с лавсаном и 4 м шелка
было уплачено 50 руб. После снижения цен на ткани с
лавсаном на 25%, а на шелк на 15% за б м шерсти с
лавсаном и 5 м шелка уплатили 48 руб. 25 коп. Сколько
стоил метр шерсти и метр шелка до снижения цен?
Ответ; 6 руб. и 5 руб.
2) Решить графически систему:
Зх— 5у = 15,	Ответ: х^5,5,
2х4-3у=12.	- у ^0,3.
III
1) Задача. Два колхозных звена пропололи за день
1,2 га моркови. На следующий день одно звено повысило
производительность своего труда на 18,75%, а другое —
на 12,5%. В итоге за 2 дня второе звено пропололо на 0,48 га
моркови больше, чем первое звено. Сколько аров прополо-
ло каждое звено в первый день?
Ответ: 48 а и 72 а.
2) Решить графически систему:
I 4x4-3»/ = 12,
I 5х—2у = — 20.
Ответ:
IV
1) Задача. Два фрезеровщика, из которых один
работал 5 дней, а другой 8 дней, изготовили 280 деталей.
Применив новую фрезу, первый повысил производитель-
ность своего труда на 62,5%, а второй — на 50%, и уже
за 4 дня совместной работы они изготовили 276 деталей.
Сколько деталей стал изготовлять каждый фрезеровщик за
один день?
Ответ: 39 деталей и 30 деталей.
96
2) Решить графически систему:
:бх — 4у = 20,
4x4- 5# = Ю.
Ответ: ( х«3,4,
(	— 0,7.
X
V
1) Задача. Смесь, состоящая из двух веществ, ве-
сит 900 г. После того как из нее выделили первого веще-
ства и 70% второго, в ней осталось первого вещества на 18 г
меньше, чем второго. Сколько каждого вещества осталось
в смеси?
Ответ: 90 г и 108 г.
'2) Решить графически систему:
— Зх 4- 7у = 21,
х + 2с/ — — 6
Ответ:
VI
1) Задача. Сплав меди и цинка содержал меди па
640 г больше, чем цинка. После того как из сплава выделили
-=-содержащейся в нем меди и 60% цинка, вес сплава ока-
зался равным 200 а. Сколько весил сплав первоначально?
Ответ: 1040 г.
2) Решить графически систему:
I 2у—х = 4,
( 5у -|- Зх = 15.
Ответ.
VII
1) Задача. В двух сосудах содержится некоторое
количество воды. Если из первого сосуда перелить во вто-
рой 25% имеющегося в нем количества воды, то во втором
сосуде окажется вдвое больше воды, чем в первом. Если
же из второго сосуда перелить в первый 11 л воды, то в пер-
вом будет втрое* больше воды, чем во втором сосуде. Сколь-
ко воды в каждом сосуде?
Ответ: 16 л и 20 д
'/И. Зак. 433
97
2) Решить графически систему:
( Зх+ 7у= 10,
I 2%— 5у = — 13.
Ответ:
У~ 2,0.
VIII
1) Задача. В двух баках содержится 64 л бензина.
Если из первого бака перелить во второй 20% имеющегося
в нем бензина, а затем из второго обратно в первый 20%
оказавшегося в .нем бензина, то в обоих баках будет бен-
зина поровну. Сколько бензина в каждом баке?
Ответ: 30 л и 34 л.
2) Решить графически систему:
I 5х — 8у — — 19,
I Зх + 5у = 23.
Ответ:

#~3,5.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Работа № 35 (1 урок)
I
1) Решить систему уравнений:
|х -[- 3	х— 1 .	16	__q
У — 4 у+ 4 "г уа—16 ~
Их — Зу = 1.	Ответ: решения нет.
2) Значение алгебраической дроби Т f равно 2 при
к = 2 и равно 3 при х = 3. При каком х значение этой
дроби равно 4?
Ответ: при х = 5,
П
1) Решить систему уравнений:
( у —5	у —3________1
J 4х — 2	4х + 2	4х2 — 1 *
[ 6х — Зу ~ 1.
Ответ: решения нет.
98
2) Значение алгебраической дроби равно 4 при
х = 4 и равно — 2 при х = — 2. При каком х значение
этой дроби равно 3?
Ответ: при х = 18.
III
1) Решить систему уравнений:
2ху + 4	__ у	х
t ху -f-2x — 5у — 10 у -р 2	5 — х ’
Зх — 4у = — 1.
Ответ: решения нет.
GX ~~~~ 12
2) Значение алгебраической дроби —bx__g- равно 2 при
х = 2, а при х = 3 равно 3. Какое числовое значение бу-
дет иметь эта алгебраическая дробь при х = 7,5?
Ответ: 2,55
IV
1)	Решить систему уравнений:
2x2 ~ 5 । Х~~У I х + у _ о	'
16 — х2 *' х — 4-	x-i-4	*
7х— 10у = 3.
Ответ: решения нет.
2)	Значение алгебраической дроби k-x^J~ равно 1 при
х== 1, а при х = — 5 числовое значение дроби равно — 29.
При каком х значение этой Дроби будет равно 91?
Ответ: при х =>—8.
V
1) Решить систему уравнений:
х + 2 . у — 2 ।___х2 4~ у2 4- 20	_q
у — 2 * *4“2	4 4- 2х — 2у — ху ’
7*—17у=1.
Ответ: решения нет.

99
kx-l- 12
2) Значение алгебраической дроби 	4 равно 4 при
х = 4 и равно —3 при х = — 3. При каком х значение
этой дроби будет равно 6?
Ответ: при х — — 12.
VI
1) Решить систему уравнений:
13у -|- 1   г— 5_____9у2 — гг — 21
z—5	Зу-f-l 3yz—l5y-]-z—5’
— 15у+ 16г == 13.
ч	_	Ответ: решения нет.
2) Значение алгебраической дроби	равно 4 при
х = — 4 и равно —5 при х = 5. При каком х значение
этой дроби будет равно 10?
Ответ: при х = 8.
VII
1) Решить систему уравнений*.
5у—2уа	у________у— 4
х* — 2ху + 6у — 9	х — 3 х — 2у + 3 ’
2) Значение алгебраической дроби	равно 5 при
I — 5 и равно 27 при t = — 6. При каком t значение этой
дроби будет равно 7?
Ответ: ни при каком.
VIII
1) Решить систему уравнений:
5у —4уа_______	5	2у —1	__ п
Ъху — Зх — (2у	1)й	1 — 2у **" Зх — 2^ + 1	9
7х + 4у — 30.
100
2) Значение алгебраической дроби равно 5 при
и = 5 и равно 6 при и = 6. При каком и значение этой
дроби будет равно 4?
Ответ! ни при каком.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Работа № 36 (1 урок)
I
1) Задача. Два туриста отправились одновременно
из пунктов М и N, расстояние между которыми 33 км,
навстречу друг другу. Через 3 ч 12 мин расстояние меж-
ду ними сократилось до 1 км, а еще через 2 ч 18 мин
первому оставалось пройти до N втрое большее расстояние,
чем второму до М. Найти скорости туристов.
Ответ: 4,5 км/ч и 5,5 км/ч.
2) Имеет ли решение система:
2х— у = 5,	Ответ: да, i х = 7,
Зх— 2у — 3,	1^ = 9.
, x-f- у = 16?
П
1) Задача. Из А в В вышел пешеход. Спустя
1ч 24лш« в том же направлении из А выехал велосипедист
и через час был. на расстоянии 1 км позади пешехода,
а еще через час велосипедисту оставалось до В вдвое
меньшее расстояние, чем пешеходу. Найти скорости пеше-
хода и велосипедиста, если известно, что расстояние АВ
равно 27 хл<.
Ответ: 5 км/ч и 11 км/ч.
2) Имеет ли решение система:
Ответ: нет.
4 Зак. 433
101
HI
1)	Задача, Два автобуса, выходящие из А и В на-
встречу друг другу по расписанию в 7 ч 30 мин, обыч-
но встречаются в 8 ч 45 мин. Однажды автобус из А
отправился в рейс с опозданием на 28 мин и встретился
с автобусом, вышедшим из В, в 8 ч 58 мин. Зная, что
расстояние АВ равно 105 км, найти скорость каждого
автобуса.
Ответ: 39 км/ч и 45 км/ч.
2)	Имеет ли решение система:
1	1 о
2	X 3 у — 2,
Зх 4- 2у = 48,
х — у=^ 1?
Ответ: да
х = 10,
Ь = 9.
IV
1) Задача. Из М в N в 6 ч утра вышел автобус,
а через 20 мин вслед за ним с той же скоростью вышел
другой автобус. Пешеход, выйдя из N в М в 6 ч 40 мин,
встретил первый автобус в 6 ч 49 мин, а через 18 мин
встретил и второй автобус. Зная, что расстояние MN рав-
но 30 км, найти скорости автобусов и пешехода.
Ответ: 36 км/ч и 4 км/ч.
2) Имеет ли решение система:
4х — Зу = 1.
х-\-2у — 25,	Ответ: нет.
L 5у — 4х = 16?
1) Задача. Из города А в город В, отстоящий от А
на 189 км, вышел автобус, а через 45 мин в том же направ-
лении выехал автомобиль, который обогнал автобус через
час после своего отправления. Прибыв в В, автомобиль
после 35-минутной стоянки отправился обратно в Л и встре-
тил автобус через 2 ч 55 мин после первой встречи.
Найти скорость автобуса и автомобиля.
Ответ: 36 км/ч и 63 км/ч.
102
2) Имеет ли решение система:
х_____у_ _ ।
2 з ’
I х + у = 5,
| 2х —Зу = 0?
Ответ: не имеет.
VI
1) Задача. Из городов М и N, расстояние между
которыми 70 км, одновременно выехали навстречу друг дру-
гу автобус и велосипедист и встретились через 1 ч 24 мин.
Продолжая движение с той же скоростью, автобус
прибыл в N и после 20-минутной стоянки отправился в
обратный рейс. Найти скорости автобуса и велосипедиста,
зная, что автобус обогнал велосипедиста через 2 ч 41 мин
после первой встречи.
Ответ: 35 км/ч и 15 км/ч.
2) Имеет ли решение система:
| 2х 4- 5у = 15,
| — х+ Зу = — 2,
I Зх— Пу = 4?
.1
Ответ: да,
. У = t
VII
1) Задача. Из пункта А в пункт В отправился ту-
рист. Через 1 ч 20 мин из Л в том же направлении вы-
ехал велосипедист, который обогнал туриста через 30 мин.
Прибыв в В, велосипедист, не останавливаясь, повернул
назад и встретил туриста через полтора часа после первой
встречи. Найти скорости туриста и велосипедиста, зная,
что расстояние АВ равно 24 км.
Ответ: 4,5 км/ч и 16,5 км/ч.
2) При каком значении k система
2х — у = 5,
Зх — 2у = 3,
kx + у = 16
имеет решение?	Ответ: при k = 1.
103
VIII
1) Задача. Из М в N выехал велосипедист, а через
20 мин навстречу ему из V выехал мотоциклист, который
встретил велосипедиста через час после отправления из N.
Прибыв в Л4, мотоциклист, не останавливаясь, повернул
назад и обогнал велосипедиста через 1 ч 20 мин после
первой встречи. Найти скорости велосипедиста и мотоцик-
листа, зная, что расстояние MN равно 65 км.
Ответ: 15 км/ч и 45 км/ч.
2) При каком значении п система
(5х — пу = 0,
2х+ у == 15,
х — 4у = — 6
имеет решение?
Ответ: при п = 10.
ПОВТОРЕНИЕ КУРСА VII КЛАССА
Работа № 37 (2 урока)
1
1)	Задача. Если основание прямоугольника умень-
шить на 6 м, а высоту увеличить на 5 м, то его площадь
увеличится на 25 м2. Если же основание прямоугольника
увеличить на 2 м, а высоту уменьшить на 1 м, то его
площадь уменьшится на 1 jk2. Найти площадь прямоуголь-
ника.
Ответ: 435
2)	Упростить выражение:
г За +	. ( 6g + 1 _	. Л______1
к За-2х	9аа — 4ха ^7 За + 2х + 1 *
Ответ: За4-2х— 1.
3)	Прямые у— х — 3; у = — Зх + 4 и у = kx
пересекаются в одной точке. Чему равно fe? Проверить
правильность вычисления построением всех трех прямых.
Ответ: k = — 1.
104
II
1)	Задача. Турист рассчитывал попасть из Л в В
за определенное время; однако он проходил в час на 0,5 км
меньше, чем предполагал, и поэтому прибыл в В с опоз-
данием на 40 мин. Возвращаясь обратно, турист проходил
в час на 1,5 км больше, чем на пути из А в В, и затратил
на обратный путь на 1 ч 40 мин меньше, чем на путь
из Л в В. Сколько километров между Л и В?
Ответ: 30 км.
2)	Упростить выражение:
1	/г	5х— у	\ (л Юх—1 \
-г------i--5х —=—г-2-----у : 11---------=- .
5х — у — 1	\ 5х + у	v] \	25х2 — у* }
Ответ: у — 5х—1.
3)	Прямые у — -у х + 4; у = 1,5х + 11 и у = kx пере-
секаются в одной точке. Чему равно £? Проверить правиль-
ность вычисления построением всех трех прямых.
Ответ: Z? =----g-.
III
1)	Задача. Если некоторое двузначное число раз-
делить на сумму его цифр, то в частном получится 7 и в
остатке 3. Если же к этому двузначному числу приписать
слева цифру 5, то полученное трехзначное число будет в
33 раза больше суммы своих цифр. Найти двузначное
число.
Ответ: 94.
2)	Упростить выражение:
х + 2 2х — у — 1
У~ 1 + (* — 1)(лг — у)
3)	Построить график зависимости Эх— 4у — 10 и най-
ти координаты той точки графика, абсцисса и ордината
которой равны между собой.
105
IV
1)	Задача. Если двузначное число сложить с утроен-
ной суммой его цифр, то получится 127. Если же между
цифрами этого двузначного числа вписать цифру 2 и полу-
ченное трехзначное число разделить на искомое двузнач-
ное, то в частном получится 9 и в остатке 18. Найти дву-
значное число.
Ответ: 79.
2)	Упростить выражение:
2а + с	2а + 1
4а1 2 — 2ас — с — 1
4а2 — 2а — с — с2
2а — 2
2а — с — 1
Ответ: — 1.
3)	Построить график зависимости 7x4-5//== 12 и най-
ти координаты той точки графика, абсцисса и ордината
которой — противоположные числа.
1) Задача. В два бассейна, один из которых содер-
жал 30 м3 воды, а другой— 140 л3, поступало равномерно
различное количество воды. Через 25 мин в первом бас-
сейне было только на 10 л3 воды меньше, чем во втором,
а еще через 1 ч 35 мин в нем было уже в полтора раза
больше воды, чем во втором бассейне. Сколько кубометров
воды поступало в каждый бассейн за 1 лпн?
Ответ: 9 л3 и 5 ж3.
2) Упростить выражение:
/	4______За 32 \ а — 8	4
\ 2а2 — 4а а3 — 64 / а3 4*4а2 4- 16а	4 — а*
Ответ: 1
3) Построить график зависимости у = — и указать ко-
ординаты тех точек графика, абсциссы которых равны их
ординатам.
106
VI
1)	Задача. Два автомобиля выехали одновременно
навстречу друг другу из городов М и N, расстояние между
которыми 150 км. Через 54 мин после отправления им оста-
валось до встречи 24 км, а еще через 36 мин первому оста-
вался до города N путь, вдвое меньший, чем второму до М.
Найти скорости автомобилей.
Ответ: 80 км/ч и 60 км/ч.
2)	Упростить выражение:
9 х* + Зх3 + 9х2
х2 —9 (х +
Ответ: —1.
g
3)	Построить график зависимости у =--и указать
X
координаты тех точек графика, абсциссы и ординаты кото-
рых — противоположные числа.
VII
1)	Задача. Поезд, выйдя от станции А по направле-
нию к станции В, расстояние до которой 140 км, был задер-
жан на 16 мин у разъезда С, отстоящего от А на 50 км.
Проходя последующий путь со скоростью, на 20% боль-
шей, чем первоначальная, поезд прибыл на станцию В,
опоздав только на 4 мин. Какую скорость развил поезд
на участке ВС?
Ответ: 90 км/ч.
2)	Упростить выражение:
5	3<7 —4р+ю Г 3^4-5
4р + 3<7 + \2pq- 15<74-20р — 25 ' |_(4р — 5)2 + 3?(4р — 5)
4р — 5
12р? 4- 9<?2 + 20р — 25
Ответ: 1.
107
3)	Решить графически систему*
ху = — 12,
х 4- 2у = 1.
х,» —4,4,
Ответ:
ха « 5,4,
i/a 2,2.
<
►
VIII
1)	Задача. Бригада лесорубов должна была заго-
товить 1080 кубометров древесины к некоторому сроку.
Через 4 дня после начала работы бригада, повысив про-
изводительность труда, стала перевыполнять дневную нор-
му на 37,5% и в результате выполнила плановое задание
на 3 дня раньше срока, Сколько кубометров древесины бу-
дет заготовлено бригадой к сроку?
Ответ: 1377 м3.
2)	Упростить выражение:
2т — 5	2m — Зп — 51 ,	Зп2
4та + бггт + 15п — 25 '	25 — 4та J ’ (2т — 5)24-Зп (2т — 5) ”
6 (т 4- 3)
2т 4- 5
Ответ: —3.
3)	Решить графически систему:
ху — 10,
2х — у = 6.
Ответ, f ~ 4,2,
I У1~2>4;
ха^-1,2,
— 8,4.
* Хотя в программе нет указания на графическое решение систе-
мы вида | Т м (варианты VII—VIII), однако мы считаем
целесообразным изучение этих вопросов в VII классе, так как построе-
ние графиков обоих уравнений известно учащимся; с принципом гра-
фического решения системы они знакомы, но вряд ли понимают, за-
чем линейную систему решать графически, когда быстрее, проще и
точнее решать ее аналитическим методом. Поэтому весьма важно
реабилитировать графический метод в глазах учащихся, предложив
им системы, которые они могут решить только графически.
VHI КЛАСС
СЧЕТНАЯ ЛИНЕЙКА
Работа № 38 (25 минут)
о	28,7 • 516
1) Вычислить: 	0<754
2) Произвести упрощения и найти
abc 4- а2с	« , о <
выражения •	‘ ПРИ а~ 14,3; bz
Ответ: «395.
числовое значение
5,08; с «0,68.
Ответ: «0,208.
II
1)
Вычислить:
348.20,9
72,6 • 0,512 ‘
2) Произвести упрощения и найти
выражения а	при х х 6,28;
у ~ Ху I У
Ответ: «196.
числовое значение
у « 0,564.
Ответ: «63,3.
III
D	223 • 0,745
1) Вычислить:	1>57
Ответ: «1,16.
109
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
выражения 0 г , -г- при х 8,24;
у ^12,3;	0,824.
Ответ: 0,0340.
IV
1) Вычислить:
0,0716 • 62,8
42,4 • 0,0243 ’
Ответ: ^4,37.
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
СрЬ ““ аЬ^ Ч- Ь&	, С О f *7 О Л
выражения—, ~Ьз——при а15,2; о^7,24.
Ответ: ~0,0216.
V
о •	15,6-0,955.263
1) Вычислить:------‘
Ответ:	13,7.
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
выражения	 при а а; 18,3;	Ьл;5,24;
r	abc — aba — b2c + Ьга г	’	* ’
сях. 2,41.
Ответ: 0,0414.
VI
Вычислить:
19,7 • 81,2
0,735 • 142 • 7,03 '
Ответ: 2,18.
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
ах2 + а2х — аху — а2у	л	t t
выражения —_ ах±ау ' ПРИ а~°,42; х»14,1.
Ответ:	7,2.
VII
1) Вычислить:
0,0852 • 1450
0,0925  5,32 • 83,2 *
Ответ: х 3,02.
110
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
выражения  а2 + ап_тп__-2 ПРИ т~ 36,6; п~ 29,7;
а—47,9.
Ответ: ^35,4.
VIII
1) Вычислить:
0,0542 . 16,3 . 271
87,2 * 0,915
Ответ: ^3,00.
2) Произвести упрощения и найти числовое значение
выражения	при р^3,2б;	1,54;
/^0,814.
Ответ: ж0,342.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Работа № 39 (25 минут)
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
/19,1 • 0,758
0,465
2) Определить, что больше:
Ответ: ж 8,18.
8,52* 2 —}<2430 или /178,2 + ]Л109.
II
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
3,79
V0,608 • 134 *	Ответ: ^0,420.
2) Определить, что больше:
/6230 —7,Об2 или /153 4- /149Д
111
Ill
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
У8920.0.05.1,	Ответ: =>1,32.
10,7
2) Определить, что больше:
12,92—/5440 или /2675 + /1830.
IV
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
13,9
/0,0872 • 91660 •	Ответ.
2) Определить, что больше;
/212^8-/60^3 или /3140 — 6,92®.
«0,155.
V
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
/ 8527 • 0,256
6,58»
Ответ:
«1,08.
2) Определить, что больше:
/385-/126^5 или /508 — 3,76®.
VI
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
4,87»
/ 692 • 0,904 ’	Ответ:
2) Определить, что больше:
' /7560 — 9,12® или /333 —/204Д
VII
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
27,5»
/583 - 0,416 '	Отве'
2) Определить, что больше:
/П472 — 9,75® или /5^2 4- /40Д
« 0,948.
« 48,6.
112
VIII
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
$Tfe*0’317 '	Ответ: «0,616,
2) Определить, что больше:
87,22 — / 90260 или 83,72 + /28802.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ *
Работа № 40 (25 минут)
I
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
]/ 1,8452 —0.4052.	Ответ: 1,8.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
V 648а668, где а > 0; Ь > 0.
Ответ: 18а2Ь4 У 2а.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
10	где а>0; Ь>0; х>0.
От ве т:	У AOabx.
4)	Расположить в порядке возрастания / 72; У29;
7 1/ -с помощью внесения множителей под знаки квад-
ратных корней.
Ответ: /29 <	/72< 7
* При выполнении данной работы таблицы и счетная линейка
не используются. Предполагается знание квадратов чисел натураль-
ного ряда др 202.
113
II
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
]/44,052 — 18,452.	Ответ: 40.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
}/Л768х10у7, где х > 0; у > 0.
Ответ: 16х6у3 |ЛЗу.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
12ас -^2-, где а > 0; b > 0; с > 0.
Ответ:
ь2 т
4)	Расположить в порядке убывания 5	1/17;
У 62 с помощью внесения множителей под знаки квад-
ратных корней.
Ответ:	5	> 4-/62^
9	11	W
III
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
У260.52— 139,58.	Ответ: 220.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
У 288/п*п\ где т > 0; п > 0.
Ответ: 12т4п4 У 2m:
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
гДе а>0; Ь>0; с > 0; d>0.
Ответ: -42-1/ 15abcd.
сай г
4)	С помощью внесения множителей под знаки квадрат-
ных корней расположить в порядке возрастания: 8^0,7;
/4Г; —/240-
О
Ответ: 4-/240 </41 <8/0,7.
О
114
IV
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
]/562,5а — 337,51 2.
Ответ: 450.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
"/ 392о3/>°с10, где а > 0; b > 0; с > 0.
Ответ: 14abics * * * *}^2ab.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
32 Vгде х > 0; у > °’ 2 > °-
Ответ:
1
2t/z2
У lOxyz.
4)	С помощью внесения множителей под знаки квадрат-
ных корней расположить в порядке убывания: 12/0,6;
У 89; 4/130-
Ответ: ~У^>У^> 12У^
1) Вычислить наиболее рациональным способом:
/37,32 — 49 • 3,62.	Ответ: 27,5.
2) Вынести множитель за знак квадратного корня:
У 108ри<Д где р>0; <?<0. Ответ: бр^/Зр.
3) Привести подкоренное выражение к целому виду:
Зп	где m < 0, и < 0. Ответ: ^/42/лп.
4) С помощью внесения множителя под знаки квадрат-
ных корней расположить в порядке убывания: 4~/ 246;
О
2/7; 4]/ 14-
Ответ: 2 )/7> 4/246 > 4 1/14-
О	г	Л
115
VI
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
V81 • 5,3’ —25,2’	Ответ: 40,5.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
У675c®d7, где с<0; d>0. Ответ: —15Ai3}/3d.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
5а5 ]/* где а < 0; Ь > 0; п > 0.
Ответ:	V ЗОп.
Mb '
4)	С помощью внесения множителей под знаки квадрат-
ных корней расположить в порядке возрастания:
Ответ: У 150 <
VII
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
1/74,5’ — 74,5’ • 69,5 — 74,5 • 69,5’ + 69,53.
Ответ: 60.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
]/1575а1459, где а < 0; b > 0.
Ответ: — 15а764 У 7Ь.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
0,6x0 ]/ где х < 0; у < 0.
Юж г ” *
4)	С помощью внесения множителей под знаки квадрат-
ных корней расположить в порядке возрастания: -4-J/ 980;
У173Г 10/2Д
Ответ: УТ73 <-|~]/980 < 10/2Д
116
VIII
1)	Вычислить наиболее рациональным способом:
/51,5» 4-51,52.26,5 — 51,5.26,52 — 26,5»'
Ответ: 390.
2)	Вынести множитель за знак квадратного корня:
/972х18г/4, где х<0; у<0.
Ответ: —18x*i/2/3.
3)	Привести подкоренное выражение к целому виду:
0,7а»6	где а < 0; Ъ < 0.
О т в е т: 0,05 / 35а&.
4)	С помощью внесения множителей под знаки квадрат-
ных корней, расположить в порядке убывания: V 313;
4-/1620; 5/13.
Ответ: 5/13>-J-/1620>/ПЗ?
ДЕЙСТВИЯ С КВАДРАТНЫМИ КОРНЯМИ
Работа № 41 (1 урок)
I
1)	Упростить выражение:
2 /245 4- 4- / 582 — 222 — 30 /ТЛ
Ответ: 0.
2)	Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
(/2Т4-/Т4 —2/35) • 4-/7 4-/20.
Ответ: ^3,15.
3)	Найти числовое значение выражения л2 — 8x 7 при
л = 4 — /ТГ.
Ответ: 2.
117
1
6 — 2у'~х
4)	При каких значениях х выражение у =
не имеет смысла?
Ответ: при х < 0 и при х = 9.
5)	Чему равно значение выражения у — У'(х — I)2 + х
при х< 1?
Ответ: у = 1.
II
1)	Упростить выражение:
3 /363 — 3,8 V 422 — ЗЗ2 + 24 У 1 -Jg-•
Ответ: —10/3.
2)	Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
1 — 0,1}/К- (1/15+ у 20 — /55).
Ответ: ^0,79.
3)	Найти числовое значение выражения а2—10а-у 8
при а — 5 + 3 2.
Ответ: h
4)	При каких значениях х выражение у = х —
у х — 4 — 6
не имеет смысла?
Ответ: при х < 4 и при х — 40.
5)	Чему равно значение выражения у = х + ]^(х + 2)2
при х < — 2?
Ответ: у = — 2.
III
1) Упростить выражение:
Ответ: 0.
2) Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
(/5 + /3 — /15) (/7> — /7)+ /75.
Ответ: ж8,71.
118
- 3) Найти числовое значение выражения Зх2 — 2х— 26
1—4/5'
при х —-----51---
Ответ: -1-,
х ' I 2
4) При каких значениях х выражение у = —т г~ не
3 — у х
имеет смысла?
Ответ: при х < 0 и при х = 9.
5) Чему равно значение выражения у =
Зх —2
/ (Зх — 2)а
при
Ответ: у — — 1.
IV
1)	Упростить выражение:
Ответ: 0.
2)	Выполнить действия:
(/б — /б) (/30 — /6 — /"5) -I- /150 и вычислить
результат с точностью до 0,01.
Ответ: ~ 12,42.
3)	Найти числовое значение выражения 5х2 — 4х— 12
2 —3/Т
при Х =f--------
Ответ:-----
о
х - 5
4)	При каких значениях х выражение у — —=—не
имеет смысла?
Ответ: при х < 0 и при х = 64.
5)	Чему равно значение выражения
4Х2------- 1	Г"ч
и = —===== при х = — 7,5?
*	У(2х(-1)а F
Ответ: 16.
119
1)	Упростить выражение:
-®-И34"-62"+ 4-	/252.
Ответ: 0.
2)	Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
(4-/39--1-/26 4-4-/65) :4-/13 4- /Ж
V О	л»	0/0
Ответ: «5,70.
3)	Найти числовое значение выражения 9у®— ЗОу — 8
5_4j/"2
при у 	-----к----
Ответ: — 1.
4)	При каких значениях х выражение у =
имеет смысла?
1
2/Т— 1
не
Ответ: при х<0 и при х =
5)	Существуют ли такие значения х, при которых зна-
чение выражения у = /(х—5)а—х равно 25?
Ответ: да, х = — 10.
VI
1)	Упростить выражение:
4-/232’-57=+ -//567- 1
Ответ: /7?
2)	Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
/45 — 4-/ПО - (/334- 1,5 /22 — 0,8 /55).
Ответ: «0,18#
120
3)	Найти числовое значение выражения 16у2—16у — 71
2 — 5/3"
приу =---------- Ответ: 0.
1“I	"г X 1
4)	При каких значениях к выражение у — -^т=—— не
У X — 5
имеет смысла?	Ответ: при х< 10 и при х = 25.
5)	Существуют ли такие значения х, при которых зна-
чение выражения у = х — /(х — I)2 равно — 17?
Ответ: да, х = — 8.
VII
1)	Упростить выражение:
54,6 l/fk- + 0,05 /468 —	/2662 — 58а.
Ответ: /13.
2)	Выполнить действия и вычислить результат с точ-
ностью до 0,01:
(10/42 — 2/105 — 3/7) • -^-/21 + /0J5?
Ответ: ж4,83.
3)	Найти числовое _значение выражения 25/а + 70/ +
+ 3 при t = —-J-g---
Ответ: 2.
4)	При каких значениях х выражение у — -===—- не
имеет смысла?
Ответ: при х < — 1 и при х = 24.
5)	Существуют ли такие значения х, при которых зна-
чение выражения у = /х2+ / (х — 2)2 равно 10?
О т в е т: да, хг = 6; хг = — 4.
VIII
1)	Упростить выражение:
+1/192 - 2,5 /+ -	/SS^TTK
Ответ: О.
121
2)	Выполнить действия:
(2 /38 — 1/57--• 4V19+ V12:
Ответ: ^3,42.
3)	Найти числовое значение выражения 25х2—ЗОх— 18
3 — 2 V?
при х —	5	Ответ: 1.
п	V х
4)	При каких значениях х выражение у —	не
имеет смысла?
Ответ: при х<0 и при х = 4.
5)	Существуют ли такие значения х, при которых зна-
чение выражения у = ]/ (х — 4)2 — )/(х + 4)2 равно 6?
Ответ: да, х — 3.
НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 42 (25 минут)
I
1) Решить уравнение:
_____1	+ —J_______— = 0
х2—10х + 25_______________25 — х2 х + 5
Ответ: хг — 0; х2 = 13.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
15,2х2 == 408.
Ответ: хЬ2^ + 5,18.
II
1) Решить уравнение:
__5___________!___+—L— = о
7х — 21 х2 — 6х + 9	х2 — 9
Ответ: Xi>2 = ± 4.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
2,57х2 + 0,832х = 0.
Ответ: хг = 0; х2^ — 0,324.
122
Ill
1) Решить уравнение:
z + 5	3	35z4-25
z2 —25	2z+10 “2z» —50z'
Ответ: нет корней.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
107х« — 89 = 0.
Ответ: a'i,2~± 0,912.
IV
I) Решить уравнение:
4у — 1	1 — 1бх/в + “12г/4-3 ~Ответ: j/ = 0.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
7,42х1 2 —71 = 0.
Ответ: х1,2^ + 3,09.
1) Решить уравнение:
х + 56	.	1	18	Ila
vrv—те +	> а-- Ответ: х1г2=±12
9х2—16 ’ 8 — 6х Зха4-4х	’
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
1,54х2 = 0,926х.	Ответ: хх = 0; х2 6t01.
VI
1) Решить уравнение:
х -|- 5	х + 4	9	_«
25х2 — 10х + 20х2 + 8х 25х2 — 4 “* U'
Ответ: нет корней.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
х2 = 21,8.	Ответ: Xit2~±4,67.
123
VII
1)	Решить уравнение:
*4-1	4* 4-1_________10 _х л
2х2 — 3*	4х2 4- 6*	4хг — 9 =
Ответ: нет корней.
V Я»
2)	С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
0,0734ха = 4,52х.	Ответ: xt = 0; х2 т 61,7.
VIII
1) Решить уравнение:
У 4-2	[	2	, у 4-1	_ л
6у»4-20у "г 100 —9у2 Зу2 —10у
Ответ: у — — 2
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
29ха — 123 = 0.	Ответ: Xi,2 ~ ± 2,06.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 43 (25 минут)
I
1) Решить уравнение:
________?	L 1	4_______*______— о
8л* 4" 4л2— 2х— 1_______________________1 — 4х2 ~ 4л2 4- 4л 4" 1_*
Ответ: х= 1.
2) С помощью счетНой линейки найти корни уравнения:
10ха — 7х — 1—0.	О т в е т: Xj« 0,82; х2 ss— 0,12.
II
1) Решить уравнение:
1	л 4~ 1	.	Зх
(Зл —2)2 — 9л8 —4л + 27л* — 18л2 — 12л 4-8 ‘
Ответ: х — 1.
124
2) С помощью счетной линейки
5х2 4*11х + 4 = 0.
найти корни уравнения:
Ответ: XjS»— 0,46;
хаяа— 1,74.
Ш
1) Решить уравнение:
5	1	1 2	—	1
ха + 2х2 — 9х — 18 + 4 — х2 ~ *2 —9 '
Ответ: х = — 1
□
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
Их2— 23x4-5 = 0.	Ответ: Xj»0,45;
ха 1,84.
IV
1) Решить уравнение:
6 I_______1—+ —_л_________________0
4х2—1	25 —х2 т 4х3 — 20х2 — х4-5
Ответ, х = 2,2.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
9х2— 14х— 13= 0.* Ответ: х1^— 0,65; ха«2,21.
V
1) Решить уравнение:
1	9* < 6 _ л
Xs 4-8х2 4-32х 4-64 х3 —64 + х*—16 а
Ответ: х = —7-В-.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
5х2 — 13х4- 7 = 0. Отв ет. хд^0,76; xa» 1,84.
125
VI
1) Решить уравнение:
2	. 11х + 4	х	__Р
х2 —9 + х3 4- 27	х3 —6х2-(- 18х —27 “ U‘
Ответ: х = -4-.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
4х2 — 23х— 5 = 0, Ответ:	— 0,75; х2^5,95.
VII
1) Решить уравнение:
4__________I ______________10_______
х2—16 л2 4-8х+16 х3—16х — 4х2 + 64
Ответ: xt = 6 х2 = — 6.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
7х2 4- 25х 4- 2 = 0.
Ответ: хгх— 3,49;
х2~— 0,09.
VIII
1) Решить уравнение:
-------?-----------------!______।__?— = о
8х34- 12х2— 18х — 27	4х2—12x4-9	4х2—9
Ответ: хх = 3; х2 = — 4,5.
2) С помощью счетной линейки найти корни уравнения:
5х2 — 47х 4-6 = 0.
Ответ: х^О,16; х2^9,24.
126
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 44 (1 урок)
1) Задача. Теплоход прошел 9 км по озеру и 20 км
по течению реки за 1 ч. Найти собственную скорость теп-
лохода, если скорость течения реки равна 3 км!ч.
Ответ: 27 км/ч.
2) Существует ли такое значение /, при котором сум-
1________________3 I____34
ма значений дробей - 9- и • • —? равна 1?
Ответ: да, = — 1; t* =* 43.
II
1) Задача. Турист проплыл на лодке 6 /си против
течения реки и 15 км по озеру, затратив на путь по озе-
ру на 1 ч меньше, чем на путь по реке. Зная, что ско-
рость течения реки равна 2 км/ч, найти скорость лод-
ки в стоячей воде.
Ответ: 5 км1ч или 6 км!ч.
2) Существует ли такое значение х, при котором раз-
х I 38 х I 1
ность значений дробей 9-—f и Q- равна 1?
£х 1 х о
Ответ: да, = 4; х2 = 9-^-.
О
III
1) Задача. Моторная лодка прошла 45 км по течению
реки и 22 км против течения, затратив на весь путь 5 ч.
Найти скорость лодки в стоячей воде, зная, что скорость
течения равна 2 км)ч.
Ответ: 13 км/ч.
2) Существует ли такое значение х, при котором сумма
и
равна их
значений дробей
произведению?
Ответ: да, х = — 1.
127
IV
I) Задача. Катер, развивающий в стоячей воде ско-
рость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км
по течению реки за 3 ч. Найти скорость течения реки.
Ответ: 2 км/ч.
2) Существует ли такое значение у,
Л » Зу — 1	11 у 4- 5
ность значении дрооеи о > и
г 2у 4- 5 5у — 10
при котором раз-
равна их произве-
дению.
Ответ: да, у =—0,1.
V
1) Задача» Рыболов отправился на лодке от пункта
А вверх по течению реки. Проплыв 9 км, он бросил весла,
и через 8 ч после отправления из А течение снова от-
несло его к пункту Л. Зная, что скорость лодки в стоячей
воде равна 6 км/ч, найти скорость течения реки.
Ответ: 1,5 км/ч или 4,5 км/ч.
2) При каких значениях р сумма значений дробей
2	п
и 5 равна их отношению?
Ответ: при Pi = 4; р2 = 11.
VI
1) Задача. От пристани В вниз по течению реки ото-
шла лодка, имеющая в стоячей воде скорость 6 км/ч.
Через час от пристани С, отстоящей от В на 61 км, вверх
по течению отправился катер, развивающий в стоячей
воде скорость 20 км/ч. Пройдя 34 км, катер встретился
с лодкой. Найти скорость течения реки.
Ответ: 3 км/ч.
2) При каких значениях п разность значений дробей
и —равна их отношению?
2п — 12 п 2 г
Ответ: при пг = — 3;
2
«2 — <р
128
VII*
1) Задача. От причала W вниз по течению реки ото-
шел плот. Через 3 ч от пристани М, отстоящей от N на
60 км, вверх по течению отправился теплоход, кото-
рый прибыл в N через час после встречи с плотом. Найти
скорость течения реки, если известно, что скорость тепло-
хода в стоячей воде равна 24 км/ч.
Ответ: 4 км/ч.
2) Существует ли такое значение х, при котором сумма
1	8
у и равна их произведению?
значений дробей
х+ Р
Ответ: да, х = 1,6.
VIII
1) Задача. От речного причала А в направлении при-
чала В, находящегося в 45 км ниже по течению реки, от-
правили плот. Через 4 часа от А в том же направлении
отошел катер, курсирующий между Л и В. Вскоре катер
обогнал плот и через 2 ч после этого прибыл в В. Най-
ти скорость катера в стоячей воде, если известно, что ско-
рость течения реки равна 2 км/ч.
Ответ: 16 км/ч.
♦ Для подготовки учащихся к решению некоторых осложненных
задач на движение (№ 44 VII, VIII; № 53 V, VI, VII VIII и др.) по-
лезно еще в VI классе разобрать две элементарные задачи на состав-
ление формул:
Из пунктов А и В, расстояние между которыми $ км, одновремен-
но навстречу друг другу (в одном направлении) начинают движение
два тела, имеющие скорости t/j и v2 км в час. Через сколько часов
тела встретятся (одно тело догонит другое)? Формулы решения этих
задач: t =	(ч) и t =	(ч) —* могут быть использова-
ны в указанных выше задачах, например в задаче № 44 VII.
Пусть х км/ч — скорость течения реки, тогда за 3 ч плот
проплывает Зх км. Расстояние между плотом и теплоходом в момент
отправления последнего будет равно (60 — Зх) км, следовательно, дви-
гаясь против течения со скоростью (24 — х) км/ч, теплоход
60 — Зх
идти до встречи с плотом 7сп----ч 1 ч, а
будет
затра-
всего теплоход
тит на прохождение расстояния в 6) км 12? ~
ч.
Отсюда получаем уравнение: I ——?£
\	24
129
2) Существует ли такое значение х, при котором про-
изведение значений дробей и Равно их сРеДне“
му арифметическому?
Ответ: да, хх = 1; х2 = 2.
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Работа № 45 (1 урок)
I
1) Задача. Два комбайнера, из которых второй начал
работу на 4 ч позже первого, убрали урожай с участка
за 12 ч. За сколько часов мог бы убрать урожай с участ-
ка каждый комбайнер, работая один, если известно, что
первому на это понадобилось бы на 8 ч больше, чем вто-
рому?
Ответ: 24 ч и 16 ч.
2) Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели*:
х3 —7х2 — 21x4-27 = 0.
Ответ: х£ = — 3; х2 = 1; х3 — 9.
П
1) Задача. Две машинистки получили для перепечат-
ки рукопись. После 2 ч совместной работы одна из ма-
шинисток получила другое задание, и вторая, оставшись
одна, закончила работу через 1 ч 20 мин. За сколько
часов могла бы отпечатать рукопись каждая машинистка,
если второй на это понадобилось бы на 1 ч 10 мин
больше, чем первой?
Ответ: 4 ч 40 мин\ 5 ч. 50 мин.
2) Решить уравнение разлагая левую часть на множи-
тели:
вх3 — 4х2 — 2х 4- 1=0.
* Весьма важно показать учащимся, что разложением на множи-
тели левой части в ряде частных случаев можно решить уравнения
высших степеней.
130
Ill
1) Задача. Два трактора могут вспахать зябь на 18 ч
быстрее, чем один первый трактор, и на 32 ч быстрее,
чем один второй трактор. За сколько часов может вспахать
зябь каждый трактор, работая один?
Ответ: 42 ч и 56 ч.
2) Решить уравнение разлагая левую часть на множи-
тели:
вх3 — 14х2+7х—1 = 0.
1 1
Ответ: хг=—; х2 =
х3 — 1,
IV
1) Задача. Два подъемных крана разгрузили баржу
за 40 ч совместной работы. Если бы половину баржи
разгрузил один кран, а затем другую половину — второй
кран, то на разгрузку баржи ушел бы 81 ч. За сколько
часов может разгрузить баржу каждый кран, работая один?
Ответ: 90 ч и 72 ч.
2) Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели:
х3 — Зх2 — 6х+8 = 0.
Ответ: хх = — 2; хг = 1; х3 = 4.
V
1) Задача. Одна труба может наполнить бассейн
на 36 мин быстрее, чем другая. Если сначала половину
бассейна наполнит первая труба, а затем половину бассей-
на— другая, то на наполнение бассейна уйдет на полчаса
больше, чем при одновременном действии- обеих труб. За
сколько минут может наполнить бассейн каждая труба,
действуя отдельно?
Ответ: за 36 мин\ за 72 мин.
2) Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели:
х4—Юх’+ЭОх —81 =0.
Ответ: xt — — 3; х2 — 1; ха = 3; х4 -- 9.
131
VI
1) Задача. Один самосвал может перевезти стройма-
териалы на 24 ч скорее, чем второй. Если сначала две
трети всех материалов перевезет первый самосвал, а затем
оставшуюся часть — второй, то понадобится на 33 ч
больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов.
За сколько часов может перевезти стройматериалы каж-
дый самосвал?
Ответ: за 60 ч; за 84 ч.
2) Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели:
9х* — ЗОх3 + 25х® — 4 = 0.
Ответ: =--------х2 =х,= 1; х4==2.
О	О
VII
1)	Задача. Мастер и его ученик должны были вы-
полнить работу к определенному сроку. Однако, когда бы-
ла выполнена половина работы, ученик заболел, и мастер,
оставшись один, закончил работу с опозданием на 2 дня.
За сколько дней мог бы выполнить всю работу каждый из
них, работая отдельно, если известно, что ученику на это
потребовалось бы на 5 дней больше, чем мастеру?
Ответ: 10 дней; 15 дней.
2)	Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели:
х* — 25х® + 60х — 36 = 0.
Ответ: хх = —6; хг=1; х3 = 2; х4 = 3.
VIII
1)	Задача. Бригада сельскохозяйственных рабочих
должна была убрать урожай картофеля в- определенный
срок. После того как было убрано 60% всего картофеля,
в помощь бригаде был направлен комбайн, что сократило
срок уборки на 5 дней. Узнать сколько дней понадобилось
132
бы на уборку картофеля бригаде без помощи комбайна,
рели известно, что комбайн выполнил бы всю работу на
8 дней скорее, чем бригада рабочих.
Ответ: 20 дней.
2)	Решить уравнение, разлагая левую часть на множи-
тели:
х4 + 10х» + 25л2 — 36 = 0.
Ответ: хг = — 6; ха — — 3; х8 = — 2; хл == 1.
СВОЙСТВА КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО
УРАВНЕНИЯ *
Работа № 46 (25 минут)
I
1) Разность корней уравнения 25х2 —30х + с = 0
равна 2. Найти с.
Ответ: с = — 16.
2) Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы больше соответствующих корней уравнения Зх2 —
— 1 \х + 2 0 на 1.
Ответ: Зх2—18*+ 16 = 0.
II
1)	Отношение корней уравнения 32х2 + Ьх + 75 = 0
равно 6. Найти 6.
Ответ: b = + 140.
2)	Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы меньше соответствующих корней уравнения 2л2—
— 13х + 3 = 0 в два раза.
Ответ: 8х2— 26х + 3 = 0
III
1)	В уравнении 24х2 + 6х+ 25 = 0 х8 = l,5xv
Найти Ь.
Ответ: b = + 50.
* Для выполнения упражнений 2) не целесообразно находить кор-
ни данного уравнения.
133
2)	Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы равны соответственно сумме и произведению кор-
ней уравнения
Зх24- 2х — 15 = 0.
Ответ: Зх2 4- 17х 4- 10 — 0.
IV
1)	В уравнении 6х24- bx-\~ 1 =0 один из корней боль-
ше другого на ~. Найти Ь.	Ответ: 6 = + 5.
2)	Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы равны соответственно квадрату суммы и квадрату
произведения корней уравнения 2х2 — Зх — 1 = 0.
Ответ: 16х2 — 40x4-9 = 0.
V
X.
1)	Разность квадратов корней уравнения 2х2 + 7х 4-
4-с=0 равна 1,75. Найти с.
Ответ: с = 6.
2)	Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы на 0,2 меньше соответствующих корней уравнения
5х® — х— 2 = 0.
Ответ: 5х2 4-х — 2 =0.
VI
1)	Отношение корней уравнения 16Х2 — 78x4- с = 0
равно 12. Найти с.
Ответ: с = 27.
2)	Составить квадратное уравнение, корни которого бы-
ли бы на 1 больше соответствующих удвоенных корней
уравнения 5х2 4-х — 3 = 0.
Ответ: 5х2 — 8х — 9 = 0.
VII
1)	Один из корней уравнения Зх2 4- Ъх 4- с 0 равен
— 1-4-, а другой — второму коэффициенту уравнения. Най-
ти коэффициенты этого уравнения.
Ответ: Ь — 1\с = —4.
134
2)	Составить квадратные уравнения с корнями yt и уг
так, чтобы уг ~ у- + 2; у2 =	+ 2, где хг и х2 — корни
уравнения 5х® — 2х — 1 — О
Ответ: 5у* — бу — 3 = 0
VIII
1) Один из корней уравнения
а > 0 и с #= 0, равен а, другой с.
этого уравнения.
ах2 — 5х + с = 0, где
Найти коэффициенты
Ответ: а — 1;с = 4.
2) Составить квадратное уравнение с корнями уг и у2
так, чтобы уг = —, Уъ — где х, и х2— корни уравне-
ния 2х2 — 5х— 4 = 0.
О тв е т: 16^® + 245у — 32 = 0-
РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО
ТРЕХЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 47 (1 урок)
1'4
-----------
а+1 1 . 15а—12	2
— a yf ПРИ всех допустимых значе-
9 (5а —4)] '
ниях а постоянно.
2) Существуют ли такие значения /, при которых квад-
ратный трехчлен 4/2— Ш+ 16 принимает значение, рав-
ное 10?
Ответ: да, при =	^ = 2-
135
1) Доказать, что значение выражения -
(2а — 7)2
За2 + а — 4
а постоянно.
при всех допустимых значениях
2) Существуют ли такие значения х, при которых квад-
ратный трехчлен 16 — 8х— 5х2 принимает значение,
равное 20?
Ответ: не существуют.
Ш
1) Доказать, что значение выражения
8 \ &+4	1
9^—4/VO»—4	/ + 1
при всех допустимых значениях t
постоянно.
2) Существуют ли такие значения х, при которых квад-
ратные трехчлены 2х® —- 7х — 54 и ха — 8х — 24 прини-
мают равные значения?
Ответ: да, х, = — 6; х8 = 5.
IV
21 г®______25
1) Доказать, что значение выражения 4—
6	.	Z \
X \25 — г2 * 2z=— 7г — 15/ ПРИ ВСех Л°ПУСТИМЫХ значениях z
постоянно.
2) Существуют ли такие значения г, при которых квад-
ратные трехчлены 4za—Hz—15 и —5z2+7z + 12 при-
нимают равные значения?
Ответ: да, Zj = 1; г, = 3.
V
.4 п	11—2/1*
1) Доказать, что значение выражения я---
п24- 19л 4-60	(	81 л 4- 6 \
-----W : ^+77=30-2^-5^ ПР« WCTH-
мых значениях п постоянно.
136
2) Существуют ли такие значения х, при которых квад-
ратные трехчлены 5л?—11*— Зи 4х2— 5*4-11 прини-
мают противоположные значения?
Ответ: не существуют.
VI
1) Доказать, что значение выражения	—
5х — 2 \	Их — 2	28х — ха
“Т+з/: х*15--------------гаг ПРИ всех Допустимых зна-
чениях X постоянно.
2) Существуют ли такие значения при которых квад-
ратные трехчлены /2 + 11/ — 60 и 2t2 4- It + 5 принима-
ют равные значения?
Ответ: не существуют.
VII
1) Доказать, что значение выражения —*—4-
L У У
9(п _ з) 1	4у* — 17у 4-15	7
+ 1С	------TTjlV ПРИ ИССЯ допусти-
15—7у—4y’J	у—'2	у + 3	J
мых значениях у постоянно.
2) Квадратные трехчлены х® — 5х + q и х2 + рх + 40
имеют общий корень, равный 8. Существуют ли такие зна-
чения х, при которых значения, принимаемые квадратными
трехчленами, были бы выражены противоположными чис-
лами?
Ответ: да, хх = 1; хг — 8.
VIII
1) Доказать, что значение выражения ~аТ2—
5а — 30 Г 4(а 4- 4) За + 2
~ За*—10а—8 : [заа—Юа—8 ~	ПРИ ВСеХ ДОПУСТИ-
МЫХ значениях а постоянно.
2) Квадратные трехчлены х2 — 11х 4- д и ах® — 7х—20
имеют общий корень, равный 4. Существуют ли такие зна-
чения х, при которых значение, принимаемое первым трех-
членом, было бы на 50 больше значения, принимаемого
вторым трехчленом?
Ответ: да, х — — 1.
137
5 Зак. 433
ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО
СОДЕРЖАНИЯ
Работа № 48 (1 урок)
1) Задача. Периметр
равен 80 см, а гипотенуза
угольника.
прямоугольного треугольника
34 см. Найти площадь тре-
Ответ: 240 см*.
2) Сократить дробь:
5а* 1 2 — 13а —6
(а —2)3—1 *
Ответ:
II
1) Задача. Гипотенуза прямоугольного треуголь-
ника больше одного из катетов на 32 дм и больше другого
катета на 9 дм. Найти площадь треугольника.
Ответ: 924 дм*.
2) Сократить дробь:
27 —(ft +1)3
7b2 — 96— 10 *
Ответ:
t>s | 5$ | 13
7ft 4- 5 *
III
1) Задача. Периметр прямоугольника равен 148 см.
Прямая, параллельная меньшей стороне и отстоящая от
нее на 18 см, делит прямоугольник на два подобных
прямоугольника. Найти площади полученных частей.
Ответ: 432 см* и 768 см*.
2) Сократить дробь:
27а3—(а—1)3'	Ответ:
138
IV
1) Задача. Большая сторона прямоугольника
ABCD равна 32 см. Прямая, параллельная меньшей сто-
роне, отсекает от прямоугольника подобный ему прямо-
угольник с периметром, равным 84 см. Найти длину
диагонали ЛС.
Ответ: 40 см.
2) Сократить дробь:
Зс* 1 2 — Пс+10
(5 —с)3 —8с3 ‘
Ответ:
2 — с
Зс2 + 25 ’
V
1) Задача. В треугольник, основание которого на
7 дм больше его высоты, вписан квадрат так, что две его вер-
шины находятся на боковых сторонах треугольника, а две
другие — на его основании. Найти площадь треугольника,
если сторона вписанного квадрата равна 12 дм.
Ответ: 294 дм2.
2) Сократить дробь:
5л2 — 7л — 24
24а — 9 — 7а2
Ответ:
5а + 8
3 — 7а’
VI
1) Задача. В равнобедренный треугольник, пери-
метр которого 14 дм, вписан ромб так, что одна сторона ром-
ба лежит на основании треугольника, другая — на его бо-
ковой стороне. Найти стороны треугольника, если сторона
ромба равна 24 см.
Ответ: 1) 40 см; 40 см и 60 см; 2) 42 см; 42 см и 56 см.
2) Сократить дробь:
4— lift — зь2	~	36—1
7&2 + 236 — 20’	О твет: 5_7&.
VII
1. Задача. Две вершины прямоугольника находят-
ся на основании треугольника, а две другие — на продол-
5*
139
жениях боковых сторон. Высота прямоугольника равна
10 дм, а его основание — 2 дм. Найти основание и высо-
ту треугольника, если его площадь равна 81 дм2
Ответ: 18 дм и 9дл«.
2) Сократить дробь:
5х2 + 6х — 8
О т в е т: —5
5х3 — 19х2 — 38х	40*
VIII
1) Задача. Основание треугольника равно 30 см,
а его высота — 20 см. В этот треугольник вписан прямо-
угольник так, что две его вершины лежат на основании
треугольника, а две — на боковых сторонах. Найти измере-
ния прямоугольника, если его площадь равна 144 сл?.
Ответ: 12 см и 12 см или
18 см (основание) и 8 см (высота).
2) Сократить дробь:
27л3 + 21х2 — 7х — 1
27х2 — Gx — 1
Ответ: х + 1.
СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ,
ИЗ КОТОРЫХ ОДНО ПЕРВОЙ,
А ДРУГОЕ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Работа № 49 (1 урок)
1) Решить систему уравнений:
2) Найти коэффициент b в уравнении 5х? + Ьх — 28 = 0,
если известно, что корни уравнения находятся в зависи-
мости: 5х, 4- 2ха = 1.
Ответ: b — 9,5 или b = — 13.
II
1) Решить систему уравнений:
1Х~1~ у । ty _ о	f 7» v = 2 ——
5	“’“ж—1	Ответ:],. _ о. 2 *	4 ’
Ъу — х = 2.	Уъ = * ~i2'
2) Найти коэффициент b в уравнении 2л2 + Ьх — 15 = О,
если известно, что корни уравнения находятся в зависимости:
(•*»+“5") (xi — В — —12. Ответ: b = 1 или Ь = 7.
\ ~ /
III
1) Решить систему уравнений:
1х — у , х 4- 5_ 4
у— 1у + 1 ~ у* — 1’
х — 2у — 1.
2) В уравнении х8 4- рх 4- 45 = О
р, если корни уравнения находятся в
найти коэффициент
зависимости:
Ответ: р = 14 или р = — 14,5.
IV
1) Решить систему уравнений:
2у-|- з____*4- у _ 12
*4-2	* — 2	4 —"'**’
Ответ:
х = 12,
У = 21.
2) Найти коэффициент с в уравнении Зх8 — 7х 4- с = О,
если известно, что корни уравнения находятся в зависи-
мости:
Ответ: е= 2.
141
V
1) Решить систему уравнений:
2________1 _	2
х + у х — 3 Зх — хг>
2х + у = 3.
Ответ:
2) Разность квадратов корней уравнения х2—17x4-
4-^ = 0 равно 85. Найти коэффициент q.
Ответ: q = 66.
VI
1) Решить систему уравнений:
'	1	2_______1____
. у2 4- У + У + 1	2 — х““ 9
X — у = 3.
2) Найти коэффициент с в уравнении 16х2 — 24х 4- с = 0,
если известно, что сумма квадратов корней этого уравне-
ния равна 3-|-.
Ответ: с = — 7
VII
1) Решить систему уравнений:
2.1	48
х — 3 у 4- 3 х2у 4- Зл2 — 9у — 27’
х— 2у = 1.
Ответ:
142
2) В уравнении 27х2 + 6х + с = 0 один из корней равен
квадрату другого корня. Найти коэффициент с.
Ответ: с — — 1 или с = —8.
VIII
1)	Решить систему уравнений:
I _!_______2_. _________<8_______=0
< х — у	у — 5	ху* — 25х + 25р — у9	*
I 2х + у = 3.
I	х = — 3,5,
Ответ:	л
У = — 4-
2)	В уравнении 4х2 — 8х + с = 0 сумма кубов его корней
равна 3,5. Найти коэффициент с.
Ответ: с = 3.
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ *
Работа № 50 (1 урок)
1) Задача. Моторная лодка проходит расстояние АВ,
равное 28 км, в оба конца за 5 ч 50 мин. Однажды,
выйдя из В в пункт А, находящийся выше по течению
реки, лодка через 2 ч встретила плот, отправленный из А
за 4 ч до выхода лодки из В. Найти скорость течения
реки и собственную скорость моторной лодки.
Ответ: 2 км/ч; 10 км/ч.
2) Доказать, что частное ^ 9^6Д+Д , где п — натураль-
ное число не зависит от п.
Ответ: —81.
♦ Если учащийся решит задачу, не вводя второго неизвестного,
то это, конечнд, не следует считать недочетом работы.
143
II
1) Задача. От пристани А по течению реки отпра-
вился плот. Через 2 ч от пристани В, находящейся на
4 км выше пристани Л, по течению отплыла лодка, кото-
рая обогнала плот через полтора часа.
Пройдя по течению 10 км, лодка повернула назад и
подошла к пристани А, затратив на весь путь 4 ч.
Найти скорость течения и собственную скорость лодки.
Ответ: 1 км/ч; 4 км/ч.
2) Доказать, что частное	> где п — натураль-
ное число, не зависит от п.
~ 1
Ответ:------g-.
Ill
1) Задача. Из Л и В, расстояние между которыми
80 км, одновременно навстречу друг другу выезжают два
велосипедиста, и один прибывает в В через 1 ч 20 мин,
а другой в А через 3 ч после встречи. Найти скорость
каждого велосипедиста.
Ответ: 24 км/ч и 16 км/ч.
(_25р2л—2
2) Доказать, что частное 125)*л-д> где л—натураль-
ное число, не зависит от л.
~	I
►	Ответ:------
IV
1) Задача. Два поезда выходят одновременно из М
и N, расстояние между которыми 45 км, навстречу друг
другу и встречаются через 20 мин. Найти скорость каж-
дого поезда, если известно, что поезд, вышедший из М,
прибывает в N на 9 мин раньше, чем другой поезд в М.
Ответ: 75 км/ч и 60 км/ч.
144
(__32)8Л—2
2) Доказать, что частное: ^юд-з > ГДО п — натураль-
ное число, не зависит от п.
1) Задача. Через полчаса после выхода автобуса из А
навстречу ему из В выехал мотоциклист, который прибыл
в А через час после встречи с автобусом и на полчаса
раньше, чем автобус прибыл в В. Зная, что расстояние АВ
равно 90 км, найти скорости автобуса и мотоциклиста.
Ответ: 30 км/ч; 45 км/ч.
2) Решить систему уравнений:
/
fx1 — — 12, ( х2 =	7,
Ответ: {	< о
l!/i----3,	( уа — 2.
VI
1) Задача. Через час после выхода туриста из М на-
встречу ему из N вышел другой турист. До встречи вто-
рой турист прошел на 2 км меньше первого, но пришел
в М на 6 мин раньше, чем первый в N. Зная, что первый
турист шел после встречи 2 ч 30 мин, найти скорость
каждого туриста и расстояние MN.
Ответ: 4 км/ч; 5 км/ч; AW = 22 км.
2) Решить систему уравнений:
. У = 5,
. уй—х = 7.
Ответ:
VII
Xj ——	3, х4 —	6,
Уз =	=	1 -
I) Задача, Два пешехода одновременно выходят на-
встречу друг другу из М. и N и встречаются через 56 мин.
Продолжая движение, пешеход, вышедший из М, приходит
145
в N на четверть часа раньше, чем второй пешеход в М.
За сколько времени прошел расстояние MN каждый пе-
шеход?	Ответ: за 1 ч 45 мин; за 2 ч.
2) Квадратный трехчлен х2 4- рх 4- q при х, равном 5,
и при х, равном —8, принимает значение, равное 12. Най-
ти р и q и разложить трехчлен на множители.
Ответ: р==3; «у = —28; (х4-7)(х— 4).
VIII
1) Задача. Два всадника выезжают одновременно из
А и В навстречу друг другу, и один прибывает в В че-
рез 27 мин, а другой в А через 12 мин после встречи.
За сколько минут проехал каждый всадник путь АВ?
Ответ: за 45 мин; за 30 мин.
2) Квадратный трехчлен ах24~ Ьх— 15 при х, равном 5,
и при х, равном —4,5, принимает значение, равное 30.
Найти а и b и разложить трехчлен на множители.
Ответ: а = 2; 6 = — 1; (2х4-5)(х — 3).
ЗАДАЧИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКОГО
СОДЕРЖАНИЯ *
Работа 51 (1 урок)
I
1) Задача. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг
цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание
меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначальным
на 30%. Какова была первоначальная масса сплава?
Ответ: 10 кг или 25 кг.
♦ В ряде задач работы № 51 второй корень не пригоден по при-
чинам, не относящимся к алгебре (например, в задачах вариантов
III, V, VI, VIII). Не следует снижать оценку ученику, давшему в этих
вариантах два ответа на вопрос задачи. Однако при анализе работы
надо разъяснить причину непригодности соответствующих корней.
146
2) Для функции у = -3-2 +
допустимых значений аргумента х.
указать множество
Ответ: все значения х,
2
кроме х = — 3-у и х=2.
II
1) Задача. Сплав золота с серебром, содержащий 80 г
золота, сплавлен с 100 г чистого золота: В результате со-
держание золота в сплаве повысилось по сравнению с пер-
воначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?
Ответ: 120 г.
2) Для функции у = 1S —4х2 Указать
допустимых значений аргумента х.
множество
Ответ: все значения х, кроме
л	3
х = — 4 и х = -7-.
4
III
1) Задача. Сплав меди и олова, содержащий меди
на 12 кг больше, чем олова, сплавили с 4 кг чистой меди.
В результате содержание олова в сплаве понизилось на
*2,5%. Сколько олова содержится в сплаве?
Ответ: 2 кг или 24 хг*.
т/ __ 2
2) Для функции у = х2 __ 2% — 80 Указать множество
допустимых значений аргумента х.
Ответ: все неотрицатель-
ные значения х, кроме х=10.
IV
1) Задача. Сплав магния и алюминия, содержащий
магния на 16 хг меньше, чем алюминия, сплавлен с 5 хг
алюминия. В результате содержание алюминия в сплаве
повысилось на 2%. Сколько алюминия было в сплаве пер-
воначально?
Ответ: 18 хг или 58 хг.
* Сплавы меди и олова (бронзы) с содержанием олова свыше 38%
из-за большой хрупкости в технике не применяются. Поэтому реальный
смысл имеет только первый ответ.
147
2) Для функции у == —g j_x_72- указать множество до-
пустимых значений аргумента х.
Ответ: все значения х, не меньшие
чем 5, кроме х = 8.
V
1) Задача. В цистерне находилась концентрирован-
ная серная кислота, содержащая 2 т воды. После того
как эту кислоту смешали с 10 т воды, концентрация ее
понизилась на 16%. Сколько концентрированной серной
кислоты содержалось в цистерне?
Ответ: 50 т (второй корень не пригоден, так как по-
лучается кислота низкой концентрации, не пригодная для
перевозки в цистерне).
у х__2
2) Для функции у = x2_^qx', g- указать множество до-
пустимых значений аргумента х.
Ответ: все значения х, не меньшие
чем 2, за исключением х = 5.
VI
1) Задача. Для получения соляной кислоты в неко-
тором количестве воды, налитой в реторту, растворили
20-«г хлористого водорода. Затем, чтобы повысить кон-
центрацию полученной кислоты на 25%, в ней растворили
еще 90 кг хлористого водорода. Сколько соляной кислоты
получилось в реторте?
Ответ: 330 кг (второй корень не
пригоден, так как соляная
кислота столь высокой кон-
центрации не существует).
2) Для функции у =	— t указать множество до-
пустимых значений аргумента х.
Ответ: все значения х, не большие
чем 5, за исключением х—3 и х=—1.
148
VII
1) Задача. В некотором количестве воды, налитой
В бочку, растворено 10,0 кг калийной селитры. Для повы-
шения концентрации раствора на 4,0% к нему добавляют
40,0 кг 25-процентного раствора селитры. Какую концент-
рацию имел первоначальный раствор?
Ответ: ~ 13,7% или »7,3%.
2) Для функции у —	—ха Указать множество до-
пустимых значений аргумента х.
Ответ: все неположительные значе-
ния х, кроме х = — 3.
VIII
1) Задача. В 100 кг воды растворено некоторое ко-
личество поваренной соли. Для понижения концентрации
раствора на 10% его смешивают с 200 кг 5,0-процентного
раствора поваренной соли. Найти концентрацию получен-
ной смеси.
Ответ: х 11 % (второй корень не пригоден, так как
растворимость поваренной соли не превышает 40%).
т/  2 х
2) Для функции у =	—35 " Указать множество
допустимых значений аргумента х.
Отт. все значения х, не большие
чем — 2, кроме х = — 5.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Работа № 52 (1 урок)*
1)	Построить график функции у = 0,4х— 6 и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
2)	Построить график функции у == 5 + 1*1-
* Для выполнения упражнения 4 достаточно заштриховать на
координатной плоскости соответствующие области.
149
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 1.	4
4)	Показать на координатной плоскости положение всех
точек, у. которых абсцисса равна 2, а ордината по абсо-
лютной величине меньше 5.
II
1)	Построить график
функции у = 5 — 0,5х и ука-
зать, как изменяется у с воз-
растанием х.
2)	Построить график
функции у = 10 — | х |.
3)	Написать уравнение
прямой, изображенной на
чертеже 2.
4)	Показать на координат-
ной плоскости положение
всех точек, у которых абс-
цисса по абсолютной величи-
не меньше 6, а ордината
равна 4.
150
Ill
1)	Построить график функции у = 1,2х— 6 и указать:
а) при каком значении х у = 2; б) при каком значении х
У = —2.	__
2)	Построить график функции у — ух\
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 3.
Ответ: Зх — 7у=21.
4)	Показать на координатной плоскости положение всех
точек, абсциссы которых отрицательны, а ординаты по
абсолютной величине меньше 1.
IV
1)	Построить график функции у — — 1,6х + 6 и ука-
зать: а) при каком значении х у = 4; б) при каком значе-
нии х у = — 4.
2)	Построить график функции у = 2 * 2.
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 4.
Ответ: бу—х = £>.
151
У
4)	Показать на координатной плоскости положение всех
точек, абсциссы которых по абсолютной величине меньше 2,
а ординаты отрицательны.
V
1)	Построить график функ-
ции у = —д-х — 1 и указать,
при каких значениях х значения
функции положительны.
2)	Построить график функ-
ции у — |х — 2|.
3)	Написать уравнение пря-
мой, изображенной на чер-
теже 5.
Ответ: 5x4-20=10.
4)	Показать на координат-
ной плоскости положение всех
точек, абсциссы которых мень-
ше 2, а ординаты боль-
ше 1.
VI
11
1)	Построить график функции у = -=-х 4- и ука-
вать, при каких значениях х значения функции отрица-
тельны.
152
2)	Построить график функции у — | х | — 2.
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 6.
Ответ: 4х-|-5у =— 20.
4)	Показать на координатной плоскости положение всех
точек, абсциссы которых больше —3, а ординаты меньше —2.
VI!
1)	Построить график функции у = О,Зх— 4 и указать,
как изменяется у с возрастанием х.
у
153
2)	Построить график у — | х | — х.
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 7.
Ответ: х — Зу = 6.
4)	Показать на координатной плоскости положение всех
точек, ординаты которых меньше их абсцисс.
VIII
1)	Построить график функции у = — 0,2х 4- 6 и ука-
зать, как изменяется у с возрастанием х.
2)	Построить график функции у —	-f- х.
I X I
Черт. 8.
3)	Написать уравнение прямой, изображенной на чер-
теже 8.
Ответ: 4#— Зх=12..
4)	Показать на координатной плоскости положение
всех точек, у которых сумма абсциссы и ординаты — число
положительное.
154
L
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Работа № 53 (1 урок)*
I
1) Задача. Автомобиль, пройдя путь от А до В,
равный 300 км, повернул назад и через 1 ч 12 мин после
выхода из В увеличил скорость на 16 км/ч. В результате
на обратный путь он затратил на 48 мин меньше, чем на
путь из А в В. Найти первоначальную скорость автомо-
биля.
Ответ: 60 км/ч.
2) Построить график функции у = 4—х2 и указать,
при каких значениях х значения функции положительны.
II
1) Задача. Через 1 ч 24 мин после отправления
из города К автобус был задержан на 36 мин, поэтому,
чтобы прийти в город /V по расписанию, он должен был
увеличить скорость на 10 км/ч. Зная, что расстояние
между К и N равно 250 км, узнать, с какой скоростью
стал двигаться автобус.
Ответ: 60 км/ч.
2) Построить график функции у — х2 — 9 и указать,
при каких значениях х значения функции положительны.
III
1) Задача. Из А в В со скоростью 5 км/ч вышел
турист. Велосипедист, отправившийся из В в А одновре-
менно с туристом, встретился с ним через 1 ч 12 мин.
Прибыв в А, велосипедист, не останавливаясь, повернул
назад и догнал туриста в 20 км от В. Найти расстояние АВ
и скорость велосипедиста.
,	О т в е т: 30 км\ 20 км/ч.
* При построении графика в упражнении 2 использовать шаблоны
парабол.
155
2) Построить график функции у = 3 — хя и найти по
графику те значения х, при которых у= — 5.
Ответ: xi2 ss + 2,8.
IV
1) Задача. Из М в N одновременно отправились
автобус и автомобиль. Прибыв в Л\ автомобиль повернул
назад и встретил автобус через 3 ч после отправления
из М. Продолжая движение, автомобиль прибыл в М
на 1 ч 15 мин позже, чем автобус в N. Зная, что ско-
рость автобуса равна 48 кл/ч, найти расстояние MN
и скорость автомобиля.
Ответ: 180 км‘, 72 км/ч.
2) Построить график функции у — х2— 7 и найти по
графику те значения х, при которых у = 3.
Ответ: xi,2 ~ ± 3,2.
V
1) Задача. Из Л в В, расстояние до которого 20 км,
выехал велосипедист, а через 15 мин вслед за ним ср ско-
ростью 15 км1ч отправился другой велосипедист, ко-
торый, догнав первого, повернул назад и возвратился в А
за 45 мин до прибытия первого велосипедиста в В. Найти
скорость первого велосипедиста.
Ответ: 10 км!ч.
2) Построить график функции у = -~(х — 3)а и найти
по графику те значения х, при которых у = 5.
Ответ: х 0,2; х 6,2.
VI
1) Задача. От пристани М к пристани N, располо-
женной на 16 км ниже по течению, чем пристань М, ото-
шла лодка, развивающая в стоячей воде скорость 5 км/ч.
Спустя час вслед за лодкой отправился катер, который,
догнав лодку, повернул назад и прибыл обратно в М на
10 мин позже, чем лодка в N. Зная, что скорость течения
на участке MN равна 3 км/ч, найти скорость катера
в стоячей воде.
Ответ: 21 км1ч.
156
2) Построить график функции у= 1,5 (х 4-4)® и найти
по графику те значения х, при которых у — 9.
Ответ: хх^— 6,4;
хг=5—1,6.
VII
•
1) Задача. Из А в В со скоростью 18 км/ч выехал
велосипедист, а через полчаса в том же направлении из
А выехал другой велосипедист, проезжавший в час 20 км.
Автобус, вышедший из В в А через час после отправления
второго велосипедиста из А встретил его на 8 мин позже,
чем первого. Найти скорость автобуса, если известно, что
расстояние АВ равно 35 км.
Ответ: 30 км/ч.
2) Построить график функции у = 7--1-х® и найти по
графику те значения х, при которых у = 0.
Ответ: x?s + 3,7.
VIII
1) Задача. Из М в N выехал всадник со скоростью
14 км/ч, а через час из М. в том же направлении со
скоростью 52 км/ч выехал мотоциклист. Пешеход вы-
шедший в N одновременно со всадником из пункта К, на-
ходящегося между М и N, заметил, что мотоциклист обог-
нал его на полчаса раньше, чем всадник. Зная, что рас-
стояние МК равно 20 км, найти скорость пешехода.
Ответ: 4 км/ч.
2) Построить график функций у = 2х® — 11 и найти по
графику те значения х, при которых у =— 4.
Ответ: хх + 1,9.
157
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Работа № 54 (25 минут)
I
1) Построить график функции у = х2 — 6х — 7 и оп-
ределить: а) при каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны; б) при каких значениях аргумента функ-
ция убывает; в) какое наименьшее значение принимает
функция.
2) Построить график у — х ] х |.
II
1) Построить график функции у = 6 — 7х — х2 и опре-
делить: а) при каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны; б) при каких значениях аргумента функ-
ция возрастает; в) какое наибольшее значение принимает
функция.
I jg 1Э
2) Построить график у = J—
X
ш
1)	Построить график функции у = х2 — Зх 4- 2 и опре-
делить: а) при каких значениях аргумента значения функ-
ции отрицательны; б) при каких значениях аргумента функ-
ция убывает; в) существуют ли такие значения аргумента,
которым соответствует значение функции, равное —12;
г) могут ли значения функции равняться соответствующим
им значениям аргумента.
2)	Построить график # = |х2— 9|.
г
IV
1)	Построить график функции у = 4— Зх — х2 и опре-
делить: а) при каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны; б) при каких значениях аргумента
функция убывает; в) существуют ли такие значения аргу-
мента, которым соответствует значение функции, равное
158
— 2; г) могут ли значения функции и соответствующие им
значения аргумента выражаться противоположными числами.
2)	Построить график у = | х2 4- 2х|.
V
1)	Построить график функции у = 1,5х2 + 7х + 4 и
определить: а) координаты точек пересечения кривой с ося-
ми координат; б) значения аргумента, при которых функ-
ция принимает положительные значения; в) существуют ли
такие значения аргумента, при которых значение функции
равно —: 5.
2)	Построить график у = х2— |х|.
VI
2
1)	Построить график функции у —-------х2 + 2х 4- 12
и определить по графику: а) при каких значениях аргумен-
та значения функции отрицательны; б) при каких значе-
ниях аргумента значения функции равны 10; в) какое на-
ибольшее значение принимает функция.
2)	Построить график у х | х | — ха.
VII
1)	Построить график функции у = 0,5х2 — Зх 4- 4 и
определить: а) при каких значениях аргумента значения
функции отрицательны; б) при каких значениях аргумента
функция возрастает; в) какое наименьшее значение прини-
мает функция.
2)	Построить график | у | = х2 — 4.
VIII
1)	Построить график функции у = 3— 2х — х2 и опре-
делить: а) при каких значениях аргумента значения функ-
ции положительны; б) при каких значениях аргумента
функция убывает; в) какое наибольшее значение принимает
функция.
2)	Построить график | у | = 9 — х2.
159
ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В КУБ
И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО КОРНЯ
Работа № 55 (25 минут)
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
0,835т’	Ответ: 4020.
2) Объем шара равен 61,2 дм3, найти радиус шара.
Ответ: ss 2,45 дм.
II
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
3,78»
"17W-	Ответ: —4,31.
2) Радиус шара равен 0,812 м, найти объем шара.
Ответ: ss2,24 м3.
1)	Вычислить с помощью счетной линейки:
37418
-ggjs-.	Ответ: » 1470.
2)	Найти высоту равностороннего цилиндра*, если его
объем равен 9,25 ма.
Ответ: ^2,31 м.
IV
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
15,4»
|/~82659300 •
Ответ: язв,38.
* Цилиндр, высота которого равна диаметру его основания, на-
зывается равносторонним,
160
2) Высота конуса равна радиусу его основания. Найти
объем конуса, если диаметр основания 76,2 дм.
Ответ:«57,9 лЛ
V
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
1,65з. 5 73
—.	Ответ: «3,40.
2) Поверхность шара равна 85,4 дм*, найти объем шара.
Ответ: «74,5 cbt3.
VI
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
/5240
4,13s • 0,167 ‘
Ответ: «4,12.
2) Объем шара равен 179 дм3, найти поверхность шара.
Ответ: «153 дм*.
VII
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
/17290
2,573/652 ‘
Ответ: «0,894.
2) Найти объем равностороннего цилиндра, если его бо-
ковая поверхность равна 34,2 м*.
Ответ: «28,5 Л13.
VIII
1) Вычислить с помощью счетной линейки:
/452870
1,89s/471
Ответ: «0,524.
2) Найти площадь осевого сечения конуса, высота ко-
торого равна диаметру основания, если его объем равен
15,7 м3.
Ответ: «7,66 м*.
161
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Работа № 56 (1 урок)
I
1)	Решить графически уравнение х® — 7х 4- 6 = 0, исполь-
зуя шаблон параболы у — х®.
Ответ: хг^— 3,0;
1,0; х3^^ 2,0.
2)	Решить графически систему:
( ху — 12,	Ответ: ( х1^ — 2,0,
(х2 —j/=10.	[{/i^—6,0;
f	Xg 3,6,	J Xg 1 ,6,
1	7,5.
3)	Построить график: у — ух — 1.
П
1)	Решить графически уравнение х® — 5х = 12, исполь-
зуя шаблон параболы у = х®.
Ответ: х^З,0.
2)	Решить графически систему:
( ху = — 6,	Ответ: Г х^а— 2,0,
I х2 — у = 1.	\у ~3,0.
3)	Построить график: у = (х -j- 1)®.
Ill
1)	Решить графически уравнение:
х®— 13x4-12 = 0.
Ответ: x>sa — 4,0; х2яг 1,0; x3ss3,0.
2)	Решить графически систему:
/ Xi/= 10,	Ответ: х — — 2,0; у = — 5,0
I х2+ У = — 1-
3)	Построить график: у = -i- х®.
162
IV
1)	Решить графически уравнение:
х3 — 7х — 6 = 0.
Ответ: Xi — 2,0; х2 — 1,0;
х9ях 3,0.
2)	Решить графически систему:
J ху = — 8,	Ответ: ( х»2,0,
| х2— 2у = 12.	11/~ — 4,0.
3)	Построить график: у = — 2 У х.
V
1)	Решить графически уравнение х3 — 2х2 + Зх — 6 = 0,
используя шаблоны у =х3 и у = 2х2. Проверить правиль-
ность решения, находя корни уравнения с помощью разло-
жения его левой части на множители.
2)	Решить графически систему:
f х2-у = 7,
t tf — x = 1.
3)	Построить график: у — х3 — 8.
Ответ: х = 2.
Ответ: f х^=3,0,
1У«2,0.
VI
1) Решить графически уравнение х3 — 1,5х2 — 4х +6 — 0,
используя шаблоны у — х3 и у = 1,5х2. Проверить правиль-
ность решения, находя корни уравнения с помощью разло-
жения его левой части на множители.
Ответ: х, = — 2; х2 — 1,5;х3 = 2.
2) Решить графически систему:
( ха — у = 14,	Ответ: |xss4,0,
If/» —2,0.
3) Построить график: у = 8 4-
163
VII
1) Решить графически уравнение х® 4- № 4- 2х 4- 8 = О,
используя шаблоны у = х® и у — х2*. Проверить правиль-
ность решения, находя корни уравнения с помощью разло-
жения его левой части на множители.
Ответ: хх =— 2; х2«—1,6; х3«2,6.
2) Решить графически систему:
х® — 5х + 6 = у,
X = yi.
3) Построить график: у — | х®1.
Ответ:
х«4,0,
. у ~ 2,0.
VIII
1) Решить графически уравнение х® 4-4х®—12х —
— 27 = 0, используя шаблоны у = х® и у = 4х®. Проверить
правильность решения, находя корни уравнения с помощью
разложения его левой части на множители.
Ответ: х(«— 5,3; х2«—1,7; х8 = 3.
2) Решить графически систему:
у = х® — Зх— 10,
От вет: ( х«4,0,
I у « — 6,0.
3) Построить график: у = У | х |.
* Можно применить и другой способ. Разделив обе части уравне-
ния х9 + рха + qx + г = 0 на х (если г ф 0» то х ф 0), получим
х2 + рх + q в . Таким образом решение уравнения можно свести
к решению системы:
164
ПОВТОРЕНИЕ ВСЕГО КУРСА
АЛГЕБРЫ 8-ЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ
Работа № 57 (2 урока)"
1) Задача. Колхозники убрали картофель с двух
полей, имевших общую площадь в 20 га. С первого поля
получили 550 т картофеля, а со второго — 540 tn, причем
с 1 м2 второго поля собирали на 1 кг картофеля больше,
чем с 1 я2 первого поля. Сколько тонн картофеля собира-
ли с 1 га каждого поля?
Ответ: 50 т и 60 tn.
2) Упростить выражение:
I 2х 4- 9____х + 6	\ . / 4	12 \
\ х2 — х — 42	2х2 — 5х — 63 / ’ \x4-5' х 4- 3 /
гч	24
Ответ: —«-------
х2 — х — 42
3) Вычислить:
9,4 г- 5	• (0,51 4- 3,234 : 3,08)
io
169	37	11 \
360 “ 63	70 /
1,16 — 0,425
Ответ: 2.
II
1)	Задача. Одна бригада рабочих должна была за
смену изготовить 126 деталей, другая бригада — 80 дета-
лей. Изготовляя в час на 5 деталей больше, чем вторая
бригада, первая закончила выполнение задания всего на
1 час позже второй бригады. Сколько деталей изготовляла
каждая бригада за 1 час?
Ответ: 30 деталей и 25 деталей или
21 деталь и 16 деталей.
2)	Упростить выражение:
х2 + 24	,	8 1	1	__ 2	1	1
(2х — 5)2 + 5—2xJ :[(2х— 5)2 2х2 + х — 15 + (x4-3)2J‘
Ответ: (х + 3)а.
165
3)	Вычислить:
(R4	170\
1,295~ 180~Йю) ' 2,8~ 1,528
(75.5 : 1.25 — 59.24) • I -1.475
оо
Ответ: 10.
III
1)	3 а д а ч а. Из прямоугольного листа жести площадью
1,2 м2 делают открытую коробку. Для этого по углам листа
вырезают квадраты со сторонами, равными 2 дм, а в остав-
шейся части загибают края. Найти измерения коробки,
если ее объем равен 96 дм\
Ответ: 8 дм\ 6 дм\ 2 дм.
2)	Решить уравнение:
з
= 0.
71_____3_
88	80
3)	Вычислить: —~
2	: (25,344 : 3,6 — 5,24) — 1,24
Ответ: 4.
IV
1)	Задача. На огороженном участке прямоугольной
формы имеется волейбольная площадка с измерениями
18 м и 9 м, одинаково отстоящая от ограды. Найти из-
мерения всего участка, если его площадь 286 м2.
Ответ: 22 м и 13 м.
2)	Решить уравнение:
13	1 i 6	— О
2х2 + х — 21 + 2x4-7 + 9— х2 ~ V‘
Ответ: х —— 4.
3)	Вычислить:
0,12 + 2-U- • (6,342 : 10,5 + 0,076)
/2А_21_1 21^.25_______L
\ 125	45	36 / ’	200
Ответ: 1,5.
166
1)	Задача. По плану колхоз должен был убрать
пшеницу с 560 га к определенному сроку. В течение пер-
вых 4 дней колхозники перевыполняли дневную норму на
5 га, а в последующие — на 7 га, и уже за 2 дня до срока
им оставалось убрать всего 4 га. Сколько гектаров пше-
ницы было убрано колхозом за первые 10 дней уборки?
Ответ: 462 га.
2)	Построить график: у = 18 — 2х — х21.
3)	Вычислить:
(2 72	1 180 + 25 ) ’ 1,6	0,8424
4 4- -1 -иг: (°*9522: °-46 -14-
о oU \	о /
Ответ: 0,72.
VI
1)	Задача. Отправляясь в путешествие, турист рас-
считывал истратить в дороге 72 руб. В течение первых
5 дней его расходы совпадали с расчетными; затем он стал
расходовать в день в среднем на 1 рубль больше, чем
предполагал, й, задержавшись в пути на 1 день, вернулся
домой, истратив на все путешествие на 23 руб. больше,
чем намечал первоначально. Сколько дней продолжалось
путешествие?
Ответ: 25 дней.
2)	Построить график: у = | х2 — 2х — 31.
3)	Вычислить:
Л 53	103	14 \ Л
V 520	312	195/ : 0, 4	0,12
(20,35 — 19,602 : 3,24) • А — 0,12
Ответ: 12,2.
167
VII
1)	Задача. Бригада рабочих должна была в опреде-
ленный срок изготовить 272 детали. Через 10 дней после
начала выполнения задания бригада стала перевыполнять
дневную норму на 4 детали и уже за один день до срока
изготовила 280 деталей. Сколько деталей будет изготовле-
но бригадой к сроку?
Ответ: 300 деталей.
2)	Доказать, что выражение	+ 5—
при всех допустимых зна-
чениях b не зависит от Ь.
t 8b \	2b* ±b 10
+ 46е—1 / ‘ 26 — 9	6 — 5
3)	Вычислить:
4 + 1 -Е . (18,26 — 14,168 : 2,8)
мО
VIII
Ответ: 25.
1)	Задача. Артель рыбаков должна была по плану
выловить 1200 ц рыбы в определенный срок. Однако вслед-
ствие штормовой погоды, продолжавшейся в течение 7 дней,
артель ежедневно недовыполняла плановое задание на 30 ц.
В последующие дни вылавливалось ежедневно на 20 ц рыбы
сверх дневной нормы, и, задержавшись в море на ! день
сверх установленного срока, артель выловила 1250 ц рыбы.
Сколько дней продолжался лов рыбы?
Ответ: 16 дней.
п\ тт «	2а + 13 ( 2а .
2)	Доказать, что выражение а —	+
8	3	\
-|- а8—16 — 2а*— 13д +~20~/ ПРИ всех Д°ПУСТИМЬ1Х значениях а
не зависит от а.
3)	Вычислить:
~'П') ’	+ 7,2842 : 0,605
оу 1 i “
-era + го
Ответ: 2.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Работа ЛЬ 1 (15 минут)
I
Проверить, взяв любые числовые значения а, Ь, с(а^>Ь),
что значение выражения
д(» + с)-б(а + с)
с (а — Ь) равно 1.
II
Проверить, взяв любые числовые значения х, у и г
(х >2), что значение выражения
*(</ + *)
(х + у) z + </(х — г)
равно 1.
III
Проверить, взяв любые числовые значения а, Ь и с(&>с),
что значение выражения
(а + с) 6 — Ьс
а(Ь — с) + а (Ь + с)
равно 4-.
IV
Проверить, взяв любые числовые значения до, v, t (до>у),
t (w 4- u) — t (w — t’)	л
что выражение —*—t -----------— равно 2.
6 Зак. 433
169
ЗАПОЛНЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТАБЛИЦ
Работа № 2 (10 минут)
I
Заполнить таблицу:
* п	0	1	2	3	4	5	6	7	17	39	?
2п	•										122
Могут ли при целых значениях п во второй строке таб-
лицы получиться нечетные числа? Существует ли такое
значение /г, которому во второй строке соответствует чис-
ло 122? Можно ли утверждать, что каждому целому зна-
чению и соответствует определенное четное число и, на-
оборот, каждому четному числу соответствует определен-
ное значение л?
II
Заполнить таблицу:
	п	0	1	2	3	4	5	6	18	39	
	2«+ 1										151
Могут ли при целых значениях п во второй строке таб-
лицы получиться четные числа? Существует ли такое зна-
чение и, которому во второй строке соответствует число
151? Можно ли утверждать, что каждому целому значению
п соответствует определенное нечетное число и, наоборот,
каждому нечетному числу соответствует определенное зна-
чение и?
ВЫЧИТАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Работа № 3 (25 минут)
I
Заполнить таблицу: *
* Несколько упрощая данные, учитель может предложить уча’
щимся заполнить таблицы в данной и последующих работах с помощью
устных вычислений.
170
№	а	ь	С	а — (Ь 4- с)	а — b—с
1	— 6,25	+ 4,5	+ 1,75		
2	СЛ	1 to S5H	11 + 45		
3	4- 0,265	+ 0,875	— 1,24		
4	17 “40	— 0,575	2 3		
Исходя из результатов, полученных в таблице, сформули-
ровать правило вычитания суммы и записать его с по-
мощью букв.
II
Заполнить таблицу:
№	X	У	г	X — (у — г)	х — у-\-г
1	— 5,75	+ 2,3	+ 8,15		
2	11 2 12	7 4 45	1^- 1 18		
3	— 0,712	— 1,218	— 0,506		
1 4	19 ~ 24	+ 0,375	7 “75		
Исходя из результатов, полученных в таблице, сформу-
лировать правило вычитания разности и записать его с
помощью букв.
6*
171
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Работа № 4 (25 минут)
Заполнить таблицу:
№	а	Ъ	а -Ь b	|а + *|	к>1 +1*1
1	7,24	11,46			
2	— 17,5	23,5			
3	2,38	— 7,48			
4	со [оо 1	1 - 6 5			
5	— 9,71	0			
Исходя из полученных результатов, какой вывод меж
но сделать о соответственных значениях выражений | а + b
и | а | + | b |?
II
Заполнить таблицу: '
№	X	У	л —у	1 х — У 1	I •* I — I У 1
1	10,2	7,35			
2	16,5	27,4			
3	8,27	— 5,16	«		
4	— 3,51	-7,5			
5	— 40,8	— 20,5			
6	0	— 32,2			
172
Исходя из полученных результатов, какой вывод можно
сделать о соответственных значениях выражений | х — у | и
*1 — 1 У I?
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Работа № 5 (25 минут)
I
Заполнить таблицу:
№	а	b	с	ab + ас	Ь + с	а (Ь + с)
1	3 ~ 8	0.2	7 15			
2	40	— 0,65	— 0,35			
3	1 *1-	4 ~ 25	0,36			
4	— 14	0	-0,9			
Подтверждают, ли .результаты, полученные в таблице,
справедливость для рациональных чисел распределительно-
го закона: а (Ь + с) = ab + ас?
II
Заполнить таблицу:
№	а	b	с	ab —ас	b— с	а (Ь — с)
1	5 — 8	2 15	0,3			
2	250	— 0,73	— 1,43			
3	-4	— 0,33	11 75			
4	— 0,85	16	0			
173
Подтверждают ли результаты, полученные в таблице,
справедливость для рациональных чисел правила умноже-
ния: а (6 — с) =• ab — ас?
ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В СТЕПЕНЬ
Работа № 6 (25 минут)
Проверить, взяв любые неравные по абсолютной величи-
не значения букв а и Ь, что значение выражения
а2 — b (а — Ь) 4- ЗаЬ
(а + Ь)2
равно 1.
II
Проверить, взяв любые неравные значения букв х и у9
(х — у)2	•
что значение выражения 4-----------------г- равно— 1.
г	Зху — х2 — у (х — у) г
III
Проверить, взяв любые отличные от нуля и неравные
по абсолютной величине значения букв тип, что значе-
ния выражения
т2п -4- тп2	1
(т + П)« _ т3 — п3 Равно V
IV
Проверить, взяв любые отличные от нуля и неравные
/и — — и2 fl
значения букв v и /, что значение выражения -—J—
равно — 3.
ГРАФИКИ РАВНОМЕРНОГО
ДВИЖЕНИЯ И ТЕМПЕРАТУРЫ
Работа № 7 (25 минут)
I
Дорога из Л в В сначала идёт в гору, затем под гору и
на последнем участке горизонтально. Велосипедист выехал
из Л в В и после кратковременной стоянки в В вернулся
174
обратно в 4, Определить по графику: 1) скорость велоси-
педиста на каждом участке дороги; 2) среднюю скорость
при движении из А в В; 3) среднюю скорость на обрат-
ном пути.
II
Дорога из М в N сначала иде! под уклон, затем в
гору и на последнем участке горизонтально. Пешеход вы-
шел из М в N. и после кратковременного пребывания в N
вернулся обратно в М. Определить по графику: 1) скорость
пешехода на каждом участке дороги; 2) среднюю скорость
при движении из М в N и 3) среднюю скорость на обрат-
ном пути.
175
Черт. 10
III
На чертеже 11 изображен график изменения температу*
ры воздуха в течение суток. Определить по графику
176
1) наибольшую и наименьшую температуру, наблюдавшую-
ся в течение суток} 2) промежуток времени, в течение ко-
торого температура воздуха была выше нуля; 3) проме-
жуток времени, в течение которого температура воздуха
повышалась; 4) в котором часу температура воздуха была
равна 4- 2°С.
IV
На чертеже 12 изображен график изменения темпера-
туры воздуха в течение суток. Определить по графику:
Т) промежутки времени, в течение которых температура
воздуха понижалась; 2) какая наибольшая и наименьшая
температура была зарегистрирована в течение суток; 3) про-
межуток времени, в течение которого температура воз-
духа была ниже нуля; 4) в котором часу температура воз-
духа была равна + 1° С.
Черт. 12
УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА
НА ОДНОЧЛЕН
Работа № 8 (25 минут)
Написать формулу площади фигуры, изображенной на
чертеже 13 (I, II, III, IV), разбивая фигуру на прямоуголь-
177
Черт. 13
ники: 1) горизонтальными прямыми; 2) вертикальными пря-
мыми. Приравнивая результаты, доказать полученные
тождества алгебраически. Вычислить площадь фигуры, про-
изведя необходимые измерения. (Работа проводится в 4 ва-
риантах.)
178
ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Работа № 9 (25 минут)*
I
Заполнить таблицу:
X	0	0,001	0,005	0,01	0,1
(1 + х)а					
1 + 2х					
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и тре-
тьей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
(1 4- х)2 sa 1 + 2х квадратов чисел, мало отличающихся
от 1.
II
Заполнить таблицу:
X	0	0,001	0,005	0,01	0.1
(1 - *)2					
1 — 2х					
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и тре-
тьей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
(1 — х)2да! — 2х квадратов чисел, мало отличающихся
от 1.
* Относительную погрешность достаточно найти для одного из
значений х.
179
ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЙ
Работа № 10 (25 минут)*
I
Заполнить таблицу:
X	0	0,01	0,05	0,1
(!+*)’				
1 -|~ Зх				
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и. тре-
тьей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
(1 + х)’л; 1 + Зх кубов чисел, мало отличающихся от 1.
II
Заполнить таблицу:
X ф	0	0,01	0,05	0,1
(1-х)’				
I— Зх				
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и тре-
тьей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
(1-х)’ ^1 — Зх кубов чисел, мало отличающихся от 1.
* Относительную погрешность достаточно найти только для одно-
го из значений х
180
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Работа № 11 (15 минут).
I
Заполнить таблицу:
X	— 1	0	1	2	5	6
2х — 7						
23 —Зх						
Исходя из результатов, полученных во второй и тре-
тьей строках таблицы, найти корень уравнения 2х — 7 =
= 23 — Зх.
II
Заполнить таблицу;
X	— 5	— 4	— 3	0	2	3
3x4-25						
1 -бл						
Исходя из результатов, полученных во второй и треть-
ей строках таблицы, найти корень уравнения Зх 4- 25 =
= 1 — 5х.
УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Работа № 12 (15 минут)
I
Существуют ли такие р и q, чтобы при перемножении
трехчленов х2 4- рх 4- q и х® — 5x4-7 в произведении по-
лучился многочлен, не содержащий ни х3, ни х2?
Ответ: да, р = 5; q = 18.
181
II
Существуют ли такие а и Ь, чтобы при перемножении
трехчленов ах2 4- Ьх — 4 и х2 — х — 2 в произведении полу-
чился многочлен, не содержащий ни х2, ни х1?
О т в е т: да, а = — 3: Ь — 2.
III
Существуют ли такие Ь и с, чтобы при перемножении
трехчленов 2х2 4- Ьх 4- с и х2 4- 4х — 9 в произведении по-
лучился многочлен, не содержащий нечетных степеней х?
Ответ: да, Ь — —8; с = —18
IV
Существуют ли такие тип, чтобы при перемноже-
нии трехчленов /пх2 4- пх 4- 36 и х2 — 2х — 3 в произведе-
нии получился многочлен, не содержащий ни х2, ни х1?
Ответ: да, т = 28; п = — 24
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
Работа № 13 (25 минут)*
Заполнить таблицу:
п	1	2	3	9	10
п3 — п					
Можно ли утверждать, что при всяком натуральном
значении п числа, получающиеся во второй строке табли-
цы, делятся на 6?
* В данной работе необходимо привести доказательства
182
II
Заполнить таблицу:
п	1	3	5	11	15
п2 — 1					
Можно ли утверждать, что при всяком нечетном зна-
чении п числа, получающиеся во второй строке таблицы,
делятся на 8?
III
Заполнить таблицу:
п	1	3	5	7	9	11
'З д 5? 4^ to						
Можно ли утверждать, что при всяком нечетном зна-
чении п числа, получающиеся во второй строке таблицы,
делятся на 120?
IV
Заполнить таблицу:
п	0	2	4	6	8
(5n + 10)2 — (2п + 4)2					
Можно ли утверждать, что при всяком четном п числа,
получающиеся во второй строке таблицы, делятся на 84?
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Работа № 14 (25 минут)
I
Как будет изменяться правильная дробь, если к ее чис-
лителю и знаменателю прибавлять по одному и тому же пс-
183
ложительному числу? Рассмотреть на примере дроби *g-, за-
полнив следующую таблицу:
а	0	1	2	3	10	100
а лз СО 00						
II
Как будет изменяться неправильная дробь, если к ее
числителю и знаменателю прибавлять по одному и тому
же положительному числу? Рассмотреть на примере дроби
заполнив следующую таблицу:
ь	0	1	2	3	10	100
«с «с Ю Г-						
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПО
УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ
Работа № 15 (1 урок)*
I
В одной цистерне Р т бензина, а в другой — Q tn.
Из первой выкачивают в каждую минуту по а т, а из вто-
рой — по b т бензина. Через сколько минут в цистернах оста-
* Очевидно, что данные, полученные из графика, являются при-
ближенными, поэтому при решении уравнений следует пользоваться
правилами действий с приближенными значениями Чисел*
184
Черт. 14
нутся равные количества бензина? Решить задачу, предва-
рительно заменив буквенные данные числовыми, взятыми
из графика, изображенного на чертеже 14. Проверить по
лученный ответ по графику.
II
В одном резервуаре v гл. воды, а в другом — w гл В
первый ежеминутно поступает по т гл воды, а из второго
за каждую минуту выкачивают по п гл. Через сколько ми-
нут в резервуарах будут равные количества воды? Решить
185
задачу, предварительно заменив буквенные данные число-
выми, взятыми из графика, изображенного на чертеже 15.
Проверить полученный ответ по графику,
СОСТАВЛЕНИЕ ЗАДАЧ ПО УСЛОВИЮ,
ВЗЯТОМУ ИЗ ГРАФИКА
Работа № 16 (1 урок)
I
Два туриста вышли из городов А и В навстречу друг
другу. Используя данные, взятые из графика, составить
186
Черт. 16
задачу, принимая за искомую величину расстояние от мес-
та встречи до А. Решить составленную задачу и проверить
полученный результат по графику, изображенному на чер-
теже 16.
II
Два велосипедиста выехали из М. и N в одном направ-
лении. Используя данные, взятые из графика, составить за-
дачу, принимая за искомую величину время, которое пона-
добилось велосипедисту, выехавшему из /И, чтобы догнать
второго велосипедиста. Решить составленную задачу и про--
верить полученный результат по графику, изображенному
на чертеже 17.
187
МЕТОД КООРДИНАТ
Работа № 17 (25 минут)
Построить четырехугольник по координатам его вершин
и вычислить его площадь: 1) по миллиметровой сетке;
2) разбивая на треугольники с последующим построением
высот; 3) методом описанного прямоугольника*. Найти
* Проведя через вершины четырехугольника прямые, параллельные
осям координат, но не пересекающие этого четырехугольника, найти
площадь четырехугольника как разность между площадью построенно-
го прямоугольника и площадями соответствующих треугольников и
трапеций.
188
абсолютную и относительную погрешность вычисления пло-
щади четырехугольника первым и вторым способом.
I.	А Н 3; 8); В (5; 4); D (- 2; - 4); D 5; 2).
II.	Л (— 9; — 6); В (— 5; 3); С (1; 4); D (5; — 2).
III.	А (— 7; — 5); В (- 3; 5); С (3; 7); D (8; - 2).
IV.	А (- 6; — 7); В (- 2; 6); С (2; 2); D (8; 3).
ПРЯМАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ
Работа № 18 (25 минут)
I
Одна морская миля соответствует (приближенно) 1,85 км.
Сколько километров (у) в к морских миль? Построить гра-
фик зависимости у от х. Найти по графику: 1) скольким
километрам соответствуют: а) 3 мили, б) 5,2 мили,
в) 45 миль; 2) скольким милям соответствуют: a) Юки,
б) 5,8 км, в) 550 км.
II
Один пуд соответствует (приближенно) 0,164 ц. Сколь-
ко центнеров (у)' в х пудах? Построить график зависимос-
ти у от х. Найти по графику: 1) скольким центнерам соот-
ветствуют: а) 8 пудов; б) 13 пудов; в) 75 пудов; 2) сколь-
ким пудам соответствует: а) 0,04 ц, б) 1,3 ц в) 150 ц.
III
Один фут соответствует (приближенно) 0,305 м. Сколь-
ко метров (у) в х футах? Построить график зависимости у
от х. Найти по графику: 1) скольким метрам соответству-
ют: а) 8 футов, б) 75 футов, в) 640 футов; 2) скольким
футам соответствуют: а) 0,8 м, б) 3,4 м, в) 65 м.
IV
Один фунт соответствует (приближенно) 0,410 кг. Сколь-
ко килограммов (у) в х фунтах? Построить график зави-
симости у от х. Найти по графику: 1) скольким килограм-
мам соответствуют: а) 7 фунтов, б) 23 фунта, в) 150 фун-
тов; 2) скольким фунтам соответствуют: а) 0,9 кг, б) 3,7 кг,
в) 85 кг.
189
ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ
Работа № 19 (15 минут)
На чертежах 18 (I, II, III, IV) изображены графики
обратной пропорциональной зависимости. Написать уравне-
ния зависимостей между х и у, соответствующие этим гра-
фикам. (Работа проводится в 4 вариантах.)
Черт. 18
190
СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
Работа № 20 (25 минут)
1
..	- 16х+ 18
Можно ли представить дробь —rzry в виДе суммы двух
дробей вида —^-я- и - —-я-, где а и b — какие-либо це-
лые числа?
II
12х 4- 23
Можно ли представить дробь у6 . в виде разности
двух дробей вида 471ГТ и 4х+Т г^е т и п — какие-либо
целые числа?
III
Можно ли представить дробь
двух дробей вида и
целые числа?
40д + 10
4а2 — 25
в виде суммы
где х и у — какие-либо
IV
..	35п—75
Можно ли представить дробь яя-=—й в виде разности
двух дробей в да 5^-373 и где р и q — какие-либо
целые числа?
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ
Работа № 21 (1 урок)
I
Решить следующую задачу, предварительно заменив
буквенные данные числовыми, взятыми из графика, изоб-
раженного на чертеже 19. Из Mb N вышел пешеход, а че-
рез t ч вслед за ним выехал велосипедист. Прибыв в N,
велосипедист, не останавливаясь, повернул назад и встре-
тил пешехода через b ч после отправления из М. Зная,
191
что. расстояние MN равно S км, найти скорости велосипе-
диста и пешехода. Проверить полученный ответ по графику.

Время б часах
Черт. 19
Черт. 20
II
Решить следующую задачу, предварительно заменив
буквенные данные числовыми, взятыми из графика, изобра-
женного на чертеже 20. Из Л в В вышел турист, а через
t ч навстречу ему из В выехал велосипедист, который
встретил туриста через t ч, Прибыв в Л, велосипедист,
не останавливаясь, повернул назад и обогнал туриста че-
рез п ч после отправления из В. Зная, что расстояние АВ
192
равно S км, найти скорости велосипедиста и туриста. Про-
верить полученный ответ по графику.
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Работа № 22 (25 минут)
Составить задачу на движение по течению реки и в
обратном направлении, решение которой приведет к урав-
нению:
Решить составленную задачу и выполнить проверку.
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
Работа № 23 (1 урок)
I
Периметр прямоугольника равен Р м, а его площадь
содержит S л»2. Найти измерения (х и у) прямоугольника.
193
Решить задачу, предварительно заменив буквенные данные,
числовыми, взятыми из графика, изображенного на черте-
же 21. Проверить полученный результат по графику.
II
Разность катетов прямоугольного треугольника равна
d м9 а его площадь содержит Q м*. Найти катеты, (х и у)
прямоугольного треугольника. Решить задачу, предваритель-
но заменив буквенные данные числовыми, взятыми из
графика, изображенного на чертеже 22. Проверить полу-
ченный ответ по графику»
Черт. 22
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ЧИСЕЛ *
Работа № 24 (25 минут)
Заполнить таблицу, выполняя вычисления с помощью
счетной линейки:
* Относительную погрешность достаточно найти только для одно-
го из значений х.
194
X	0	0,01	0,05	0,08	0,1	0,2
} 1 т х						
1 4- — * + 2						
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и треть-
ей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
У 1 + х 14- -у квадратных корней из чисел, мало от-
личающихся от 1.
II
Заполнить таблицу, выполняя вычисления с помощью
счетной линейки:
X	0	0,01*	0,05	0,08	0,1	0,2
У1 —х						
‘-V						
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и тре-
тьей строках таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
У 1 — х 1-----квадратных корней из чисел, мало от-
личающихся от 1.
195
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
ИЗ ЧИСЕЛ
Работа № 25 (25 минут)
I
Заполнить следующую таблицу, выполняя вычисления
на счетной линейке:
а	b	/я	УЬ	V.a +Vb	а -	Кб	Уа-j- b
5,48	2,17						
0,667	- 0,848						
349	71,8						
50,6	9,25	-					
Исходя из результатов, полученных в таблице, какую
гипотезу можно высказать о соответственных значениях
выражений J/a-f-b и У a -f-j/tv где а и Ь—положи-
тельные числа?
II
Заполнить следующую таблицу, выполняя вычисления
на счетной линейке:
а	ь	Уа	Уь	УТ — Уь	а — Ь	Уа — b
7,43	5,61					
0,906	0,824					
17,3	10,7					
632	294					
196
Исходя из результатов, полученных в таблице, какую
гипотезу можно высказать о соответственных значениях
выражений )/а — Ь и У а — У Ъ, где а и b — положитель-
ные числа, причем а> Ь?
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Работа № 26 (25 минут)
Вычислить площадь треугольника, образованного пере-
сечением прямых:
I,	x-|-j/ = 5, 2х— у=1 и 2у— х — 7.
II.	х — у = 5, 2х + у = 7 и 2у — х = 6.
III.	у — х = 4, х + 5у = — 16 и 2х у = 13.
IV х — 2у =s I, 2х — 31/ = 4их-|~у = — 8.
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Работа № 27 (25 минут)
Установить графически, а затем и аналитически, име-
ют ли общую точку графики следующих функций:
1.	у = 2х— 5, у — 7 — 2х и у =
II.	у = ~х + 5, у = ~х* и у = 7 + х.
III	у  --------i-xa, у = 2 — 2,5х и у = х— 12.
IV у — — 0,8ха, у — 2х — 10, у = 2 — Зх.
ВОЗВЕДЕНИЕ ЧИСЕЛ В КУБ
Работа № 28 (25 минут)
I
Объем шара можно найти по приближенной формуле
У» 4,197?’, где R — радиус шара. Заполнить следующую
таблицу, выполняя вычисления на счетной линейке:
197
R	0,845	2,37	12,9	32,6	174
V		।			
II
Объем равностороннего конуса* можно найти по при-
ближенной формуле Vzz 1,81 /?3, где 7? — радиус основа-
ния конуса.
Заполнить следующую таблицу, выполняя вычисления
на счетной линейке:
Я	0,514	3,27	15,9	72,4	208
V					
ИЗВЛЕЧЕНИЕ ИЗ ЧИСЕЛ КУБИЧЕСКОГО
КОРНЯ
Работа № 29 (25 минут)
1
Заполнить таблицу, произведя вычисления на счетной
линейке:
X	0	0,01	0,05	0,1	0,2
					
+-Т					
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и треть-
ей строках таблицы, найти абсолютную и относительную**
погрешность при вычислении по приближенному равенству
1 + х 1 + -кубических корней из чисел, мало от-
личающихся от 1.
* Равносторонним конусом называется конус, образующая кото-
рого равна диаметру его основания.
** Относительную погрешность достаточно вычислить для одного
из значений х.
198
Il
Заполнить таблицу, произведя вычисления на счетной
линейке:
X	.0	0,01	0,05	0,1	0,2
з у 1 — X					
'-1					
Сравнивая результаты, получившиеся во второй и треть-
ей строка^ таблицы, найти абсолютную и относительную
погрешность при вычислении по приближенному равенству
у/ 1 — х х 1 —кубических корней из чисел, мало от-
личающихся • от L
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ
УРАВНЕНИЙ
Работа № 30 (25 минут)
I
Решить графически следующую систему уравнений:
х2 — у = 4,
, 2х + у = а,
выбирая значения а так, чтобы: 1) система не имела ре-
шения, 2) имела два решения*. Существует ли такое зна-
чение а, при котором система имеет одно решение?
II
Решить графически следующую систему уравнений:
х2 — у = с,
. х + # = 6,
выбирая значения с так, чтобы: 1) система не имела реше-
ния, 2) имела два решения. Существует ли такое значение с,
при котором система имеет одно решение?
* При построении графиков использовать шаблон параболы у =
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...........................................    •	3
Контрольные работы • • . ..................................... 9
VI класс ...».............•	• ........................ —
VII класс............................................   50
VII класс . . .........................................     109
Самостоятельные работы........................................ 169
Константин Соломонович Муравин
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ
РАБОТЫ ПО АЛГЕБРЕ
Редактор И. С. Комиссарова
Технические редактор Н. П, Цирульницкий
Корректор О. С, Захарова
Сдано в набор 12/Х 1970 г. Подписано к печати 25/И! 1971 г. 84х1081/Г|1. Типо»
графе к. № 3. Печ. л. 6,26. Условн. л. 10,5. Уч.-изд. л. 7,87. Тираж 300 тыс. экз.
Пл. 1971 г. № 82.
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров РСФСР,
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Полиграфкомбинат им. Я. Коласа Государственного комитета совета Министров
БССР по печати. Минск, Красная, 23, Зак. № 433.
Цена без переплета 21 коп., переплет 10 коп.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу