В. А. СМИРНОВ

ВИСЯЧИЕ МОСТЫ
БОЛЬШИХ ПРОЛЕТОВ

Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов транспортных
и строительных
высших учебных заведений

4* # h

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
МОСКВА—1970
6С6.5

С50

УДК 624.5

Смирнов В. А. Висячие мосты больших пролетов.
Изд-во «Высшая школа», Г970 г.

С50	В книге кратко изложена история строитель-

ства висячих мостов, приводятся интересные дан-
ные о современных мостах больших пролетов.
Подробно рассматриваются различные типы вися-
чих мостов и их расчетные схемы. Некоторые за-
дачи, рассмотренные в книге, связаны с решением
сложных нелинейных дифференциальных уравне-
ний. Все решения проводятся с применением мат-
ричного исчисления и с использованием ЭЦВМ.
Каждая конкретная задача в книге иллюстрирует-
ся числовым примером.

В пособии много внимания уделено висячим
мостам с многошарнирными балками жесткости,
что представляет особый интерес для научных
работников, занятых исследованиями в этой об-
ласти.

Книга предназначается в качестве учебного
пособия для студентов инженерно-строительных
вузов и факультетов, а также может быть исполь-
зована инженерно-техническими и научными ра-
ботниками.

В книге 173 рис., 38 табл., 196 библ.

С6

125-69
ПРЕДИСЛОВИЕ

О висячих мостах написано большое количество работ как
отечественными, так "и зарубежными авторами. Обзор современ-
ного состояния теории по этому вопросу приводится в гл. I. Из
обзора видно, что в настоящее время расчет висячих мостов, как
правило, проводится с учетом геометрической нелинейности си-
стемы.

Однако было бы неправильно считать, что в этом вопросе все
уже сделано и что нет таких задач, которые нуждаются в даль-
нейших исследованиях. Так, например, в большинстве работ
дается решение для мостов с балкой жесткости постоянного се-
чения, тогда как на практике очень часто сечение балок бывает
переменным.

При определении частот собственных колебаний, как прави-
ло, не учитывается динамическая добавка к распору за счет сил
инерции. Вместе с тем она может оказать существенное влияние
на частоты и формы симметричных колебаний. Таким образом
можно отметить целый ряд задач, требующих дальнейшего изу-
чения.

В настоящей книге излагаются методы расчета висячих мос-
тов с учетом геометрической нелинейности, приспособленные к
использованию современных вычислительных машин.

Работа состоит из восьми глав. В гл. I дается краткая истори-
ческая справка по развитию висячих мостов, приводится описа-
ние крупнейших мостов мира и обзор литературы по современно-
му состоянию теории и развитию методов расчета.

В гл. II приводится классификация основных типов висячих
мостов и дается анализ их расчетных схем.

Гл. III посвящена некоторым специальным вопросам, связан-
ным с расчетом гибкой нити. Эта глава, с одной стороны, являет-
ся подготовительной и используется при изложении вопросов,
изучаемых в последующих главах, и с другой — она содержит но-
вые задачи, как, например, расчет гибкой нити при больших про-
гибах с учетом наклона подвесок. Эта задача связана с решени-
ем сложных нелинейных дифференциальных уравнений, которое
проводится с применением матричного исчисления и использо-
ванием вычислительных машин.'

Гл. IV содержит аналитический расчет трехпролетного вися-
чего моста. В ней проводится непосредственное интегрирование
дифференциальных уравнений изгиба балки жесткости, выводят-
ся специальные функции, для которых в приложении помещены
таблицы.

В гл. V излагаются специальные методы расчета как одно-
пролетных, так и многопролетных мостов с учетом геометриче-
ской нелинейности. Предлагаемый метод имеет широкий диапа-
зон применения и является общим для обширного класса задач.
Так, например, по этому методу без труда учитывается произ-
вольный закон изменения жесткости пролетного строения, подат-
ливость подвесок и некоторые другие вопросы, к числу которых
относятся, например, учет жесткого закрепления кабеля к балке
в середине пролета и т. д.

В гл. VI рассматриваются однопролетные системы с шарнира-
ми в балке жесткости. Они как самостоятельные конструкции не
имеют распространения, однако вопросы, изучаемые в этой гла-
ве, могут представить интерес для исследования работы мостов
в процессе их сборки или после их повреждения, когда в отдель-
ных сечениях балки могут образоваться шарниры. Такая комби-
нированная система может быть также принята в качестве ос-
новной системы при расчете мостов, в особенности при исследо-
вании за пределами упругих деформаций.

Расчету балочно-вантовых мостов посвящена гл. VII. В ней
излагаются два метода. Один обладает большой универсально-
стью и удобен при использовании электронных машин. Второй
метод рекомендуется в случае применения малых средств меха-
низации вычислений, например при использовании клавишных
машин или арифмометра.

Гл. VIII посвящена собственным колебаниям висячих мостов.
В этой главе производится учет изменения распора в кабеле в
процессе колебаний (учет динамической добавки к распору от
сил инерции). Решение этой задачи проводится двумя методами:
в первом — используется вариационный метод Бубнова —
Галёркина, а во втором — матричный метод, построенный по об-
щей методике, разработанной в гл. V. По методу Галёркина
дается решение как для изгибных, так и для крутильных коле-
баний, а второй метод применяется только для изгибных коле-
баний. Хорошее совпадение результатов при определении спект-
ра частот и форм изгибных колебаний позволяет высказать уве-
ренность о высокой точности обоих методов.

В этой главе демонстрируется ряд примеров, в которых рас-
сматриваются мосты с переменной балкой жесткости, произво-
дится анализ влияния различных параметров на частоты и фор-
мы колебаний. Показано, что учет динамической добавки к рас-
пору в значительной степени изменяет частоты и формы
симметричных колебаний. В конце главы выводятся приближен-
ные формулы для определения частот изгибных и крутильных ко-
лебаний. В эти формулы входят параметры, учитывающие закон
изменения изгибной и крутильной жесткостей, а также динами-
ческой добавки к распору.

В книге главное внимание уделено расчету висячих мостов.
Данные о конструктивных решениях, приведенные в гл. 1, автор
поместил с целью ознакомления читателя лишь с самыми общими
вопросами, связанными с проектированием и строительством ви-
сячих мостов. Эти данные не претендуют на полноту и не могут
заменить книг, специально посвященных этим вопросам. Вместе
с тем автор считает, что изучающим теорию расчета висячих мос-
тов будет полезно ознакомиться с материалами, изложенными в
этой главе.

В работе широко используются методы линейной алгебры,
которые оказались весьма удобными для решения нелинейных за-
дач. В книге дано значительное количество примеров расчета
висячих мостов, которые могут послужить пособием при реше-
нии аналогичных задач.

Автор пользуется возможностью выразить благодарность
проф.|н. И. Безухову|, проф. К. Г. Протасову и доц. Ю. С. Силь-
ницкому, давшим ценные советы при рецензировании рукописи.

ГЛABA I

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ
ВИСЯЧИХ МОСТОВ

§ 1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О СТРОИТЕЛЬСТВЕ
висячих мостов

Висячие мосты занимают видное место в истории мостострое-
ния. Они появились на заре развития человеческого общества и
в ранний период имели весьма примитивные конструктивные
формы. Основные несущие элементы—канаты в первых висячих
мостах непосредственно покрывались легким настилом, по кото-
рому происходило движение пешеходов и животных. Такого ти-
па мосты встречались в Южной Америке, Японии, Тибете, на
Кавказе и в других местах. Они были весьма несовершенны, об-
ладали малой грузоподъемностью, плохо сопротивлялись ветро-
вым нагрузкам и сильно раскачивались даже от тяжести одного
человека.

Первый висячий мост, описанный в литературе, конструктив-
ная схема которого близка к современным схемам висячих мос-
тов, был построен в 1741 г. в Англии через реку Тиз. Характер-
ной особенностью этого моста являлось наличие самостоятель-
ной проезжей части, соединенной с цепью подвесками. Этот мост
имел пролет 21 м и служил для прохода горнорабочих.

За истекшие 228 лет с момента открытия указанного выше
моста во всех странах мира было построено большое количество
висячих мостов, конструкция которых постоянно совершенствова-
лась, а пролеты увеличивались.

В первом периоде, продолжавшемся примерно до 1810 г„
строились, как правило, цепные мосты небольших пролетов. Они
обладали значительным собственным весом и сравнительно
небольшой грузоподъемностью. Основным несущим элементом
таких мостов являлась цепь, составленная из колец или отдель-
ных жестких элементов, соединенных между собой болтами
(шарнирами).
В начале XIX века уже выявились экономические преимуще-
ства висячих мостов по сравнению с каменными мостами, кото-
рые имели в то время широкое распространение. Так, например,
построенный в 1820 г. в Англии висячий мост через реку Твид
пролетом 110 м стоил примерно в 4 раза дешевле каменного мос-
та такой же длины.

В 1826 г. в Англии был открыт Менейский цепной мост, кото-
рый прослужил около ста лет, имел пролет 177 м при отноше-
нии стрелы к пролету 1/12.

В этот же период был построен еще ряд мостов во Франции,
США и других странах, пролеты которых не превышали 150 м.
Таким образом, Менейский мост по величине пролета являлся
рекордным до 1834 г.

Вторая четверть XIX века ознаменовалась широким примене-
нием кабельных висячих мостов, в которых основной несущий
элемент (цепь) был заменен тросом (проволочным кабелем).
Это привело к значительному прогрессу, так как кабель обладал
более высокой прочностью по сравнению с цепью.

В этот период был построен целый ряд кабельных мостов во
Франции, Англии, Америке и других странах.

Открытый в 1834 г. висячий мост в Швейцарии близ Фрай-
бурга уже имел пролет 265 м и оказался в то время уникальным
по своим размерам. »

Последующий примерно столетний период характерен массо-
вым строительством висячих мостов во многих странах мира.

Конструкции висячих мостов быстро совершенствовались.
Стали применяться высокопрочные материалы, а пролеты мос-
тов постоянно увеличивались и к началу нашего столетия при-
ближались к 500 м. Так, например, в 1883 г. был построен зна-
менитый Бруклинский мост в Нью-Йорке с грандиозным для то-
го времени пролетом — 486 м.

В 1903 г. был сдан в эксплуатацию Вильямсбургский мост в
Нью-Йорке с пролетом 488 м, а в 1924 г. — мост через реку Гуд-
зон (Bear Monntain) с пролетом 497 м, в 1926 г. — мост в Фи-
ладельфии через реку Делавар с пролетом 533 м и, наконец, в
1929 г. — Детройтский мост с пролетом 563 м. Таким образом, с
начала нашего века обозначился этап современного мосто-
строения.

В начале тридцатых годов произошел скачок, характерный
резким увеличеним размеров пролета. Так, например, в 1931 г.
в Нью-Йорке был построен мост через реку Гудзон с пролетом
1067 м, в 1937 г. — в Сан-Франциско открыт знаменитый мост
через залив Золотые Ворота (Golden Gate Bridge) с пролетом
1280 м и, наконец, совсем недавно в 1965 г. закончено строитель-
ство моста в Нью-Йорке (Verrazano—Narrows) с пролетом
1298 м.
Подробный перечень построенных висячих мостов в различ-
ных странах мира, начиная с 1741 г., дается в книге Д. Б. Штейн-
мана [165]. В этой книге приводится таблица с указанием раз-
меров и года постройки 243 наиболее значительных висячих
мостов.

Интересные данные приводятся в книге Г. П. Передерия
[26], где дается таблица (стр. 258) наиболее значительных 27 ви-
сячих мостов.

Как у Д. Б. Штейнмана, так и у Г. П. Передерия перечень
заканчивается 1932 г. Более поздние данные содержатся в кни-
ге Н. Shirley — Smith [157], в которой приводятся материалы по
новейшим мостам, в том числе строящимся в настоящее время.

За указанный период строительства висячих мостов можно
отметить мосты «рекордсмены», каждый из которых в свое время
являлся рекордным по величине наибольшего пролета. Список
мостов «рекордсменов», составленный автором на основании раз-
личных источников, приведен в табл. 1. По данным этой табли-
цы построен наглядный схематический график роста пролетов
висячих мостов (рис. 1), начиная с 1741 г. и кончая 1965 г.

Таблица 1

№	Дата за- вершения строитель- ства	Место расположения моста	Страна	Тип (цеп- ной или кабельный)	Наиболь- ший пролет, м
1	1741	р. Тисс	Англия	п	21
2	1785	Лаан	Германия	ц	38
3	1807	р. Потомак	США	ц	40
4	1809	Филадельфия	США	ц	47
5	1809	Массачузетс	США	ц	74
6	1816	Филадельфия	США	к	124
7	1819	р. Твид	Англия	и	137
8	1826	Пролив Менэй	Англия	ц	177
9	1834	Фрайбург	Швейцария	к	265
10	1848	Вирджиния	США	к	308
11	1850	Вирджиния	США	к	317
12	1867	р. Огайо	США	к	322
13	1883	Бруклин Нью-Йорк	США	к	486
14	1903	Вильямсбургский	США	к	488
15	1926	р. Делавар	США	к	533
16	1929	Детройт	США	к	563
17	1931	р. Гудзон	США	к	1067
18	1937	Золотые Ворота	США	к	1280
19	1965	Верразано Нерроуз	США	к	1298

В нашей стране висячие мосты не получили такого большого
развития, как в США, Англии, Франции, Японии и других стра-
нах. Во-первых, они появились у нас значительно позже.
Г. П. Передерий считает, что первый висячий мост в России был
построен в 1823 г. в Петербурге в Екатерингофском парке и имел
пролет 15,2 л. Отставание в этой области объясняется многими
причинами, одна из которых заключается в отсутствии сравни-
тельно больших водных преград, которые требовали бы строи-
тельства столь больших пролетов.

В настоящее время проблема строительства висячих мостов
стала привлекать внимание наших наиболее крупных проектных
организаций. Особенно большие работы проводятся в Гипро-
трансмосте под руководством Е. И. Крыльцова, где разрабаты-
ваются новые типы экономичных вантовых и предварительно на-
пряженных висячих систем. Необходимо также отметить боль-
шие исследования, проведенные в Киеве под руководством
В. И. Киреенко, о чем более подробно сказано в следующем па-
раграфе.
Рис. 2. Бруклинский мост в Нью-Йорке. Построен
в 1883 г. Средний пролет 486 м

Нет сомнения в том, что в современных условиях в нашей
стране висячие мосты найдут широкое применение в особенности
в связи с появлением искусственных морей, возникающих в
результате строительства крупных гидротехнических сооружений.

§ 2.	КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О ВИСЯЧИХ МОСТАХ
БОЛЬШИХ ПРОЛЕТОВ

Приведенный в предыдущем параграфе обзор показывает,
что к концу прошлого века в строительстве висячих мостов были
достигнуты большие успехи. В период с 1883 по 1930 гг. пролеты
наиболее выдающихся мостов достигали 500 м и более.

В 30-х годах нашего века прогресс в области мостостроения
достиг небывалого уровня. За короткий период максимальная
длина пролета возросла в два раза и превысила километровый
размер. Для того чтобы составить достаточное представление о
типах наиболее крупных висячих мостов, рассмотрим несколько
примеров.

В 1870 г. в Нью-Йорке по проекту Г. Линденталя было нача-
то строительство Бруклинского висячего моста. Оно продолжа-
лось 13 лет, и сооружение было введено В' эксплуатацию только
в 1883 г. Общий вид этого моста показан на рис. 2. Средний про-
лет его равен 486 м, а боковые — по 287 м. Проезжая часть под-
держивается четырьмя кабелями диаметром 39,4 см каждый.
Кабель состоит из 5282 параллельных проволок диаметром по
3 мм. В плоскости каждого кабеля размещено по 40 наклонных
Рис. 3.

Рис. 4. Вид пилона Бруклин-
ского моста со средней пеше-
ходной полосы

вант с обеих сторон пилонов.
Главная балка состоит из 6 про-
дольных решетчатых ферм,
соединенных поперечными бал-
ками. Фермы имеют высоту
5,2 м. Отношение высоты балки
жесткости к пролету 1 :94.
Мост предназначен для желез-
нодорожного и автомобильного
движения. В первый период
эксплуатации моста в крайних
полосах проезжей части осу-
ществлялось автомобильное
движение, в двух соседних —
движение поездов, а в средней
части—пешеходное движение.
Поперечный разрез этого мос-
та показан на рис. 3.

После реконструкции по
мосту проложены четыре колеи
железной дороги. На рис. 4 по-
казана фотография моста, сде-
ланная со средней пешеходной
полосы в непосредственной
близости от пилона. На рисун-
ке хорошо видны наклонные
ванты.

В 1929 г. был построен Амбасадорский мост через реку Дет-
ройт. Мост соединил две соседние страны — Канаду и США.
Строительство продолжалось два года. Средний пролет моста ра-
вен 563 м. Высота стальной решетчатой балки жесткости 6,7 м.
Отношение высоты балки жесткости к пролету 1 : 84. Ширина
проезжей части 14,1 м, тротуаров — 2,4 м. Мост поддерживает-
ся двумя кабелями, состоящими из параллельных проволок.
Диаметр каждого кабеля равен 48,9 см.
Рис. 5. Мост Г. Вашингтона через р. Гудзон в Нью-Йорке
с наибольшим пролетом 1067 м.. Построен в 1931 г.

32,29
I
I

Следующим ш|агом впе-
ред было сооружение моста
Г. Вашингтона ^ерез реку
Гудзон в Ныо-Йорке в
1931 году (рис. 5). Мост
имеет стальные решетчатые
пилоны высотой 181 м. Про-
лет его равен 10б7 м. Попе-
речное сечение моста пока-
зано на рис. 6. Расстояние
между двумя балками жест-
кости равно 32,29 м. Проез-
жая часть поддерживается
четырьмя кабелями диамет-
ром 91,4 см. Кабели этого
моста состоят из 61 пряди.
Каждая прядь изготовлена
из 434 проволок диамет-
ром 4,9 мм. Временное
сопротивление проволоки
15500 кГ/см2, а услов-
ный предел	текучести —-

10500 кГ/см2. Подвески,
между которыми располо-
жены тротуары имеют диа-
метр 78 мм- Каждая попе-
речная балка подвешена че-
тырьмя подвесками. Всего в
одном кабеле содержится
26474 параллельных прово-
лок. Общая длина проволок
в кабеле составляет
171 000 км. Мост был спроек-
тирован двухъярусным. В
1929 г. был сооружен толь-
ко верхний ярус для восьми
полос автомобильного дви-

Рис. 7. Сдвоенный шестипролетный
висячий мост в Сан-Франциско с наи-
большим пролетом 704 м. Построен
в 1936 г.

Рис. 8. Центральная анкерная опора
сдвоенного шестипролетного висячего
моста в Сан-Франциско
жения. В; середине — проезд шириной 12,2 м—предназначен для
грузового транспорта, а по бокам полосы для легковых авто-
мобилей.

В период с 1959 по 1962 гг. был пристроен нижний ярус, что
позволило справиться с возросшим транспортным потоком.
В результате пристройки образовалась ферма жесткости высо-
той 9,14 м.

Проблема перекрытия больших водных преград приводит к
необходимости устройства висячих мостов с большим числом
пролетов. Остроумное решение было найдено при строительстве
так называемого сдвоенного моста «Сан-Франциско—Окленд-
Бэй-Бридж» (рис. 7). Он состоит по существу из двух трехпро-
летных мостов, соединенных на массивной средней опоре. Таким
образом, в целом этот мост имеет шесть пролетов. Длина каж-
дого из главных пролетов 704 м. Высота балок жесткости 9,14 м.
Диаметр кабеля 72,2 см. Основная трудность при строительстве
этого моста состояла в соединении двух мостов на промежуточ-
ной опоре. Иначе говоря, основной проблемой являлось устрой-
ство анкерных закреплений кабелей двух мостов. Решение этой
задачи легко понять из рис. 8. Из него видно как устройство
самой опоры, так и анкерные устройства для кабелей двух
стыкующихся мостов. Теперь будет понятен общий вид моста
(рис. 7), имеющего посредине длины массивную промежу-
точную опору. Массивная средняя опора находится под воз-
действием двух горизонтальных сил — распоров от двух
прилегающих мостов, направленных в разные стороны. При раз-
личных загружениях этих мостов распоры от временной нагруз-
ки различны, поэтому при расчете опоры необходимо было учесть
горизонтальную силу, равную разности распоров и приложен-
ную на уровне примыкания кабелей.

В 1937 г. после четырехлетнего строительства в Сан-Фран-
циско был открыт для движения величайший в мире мост, побив-
ший потому времени все рекорды—мост «Золотые Ворота».
Длина главного пролета этого моста равняется 1280 м (рис. 9).
Он пересекает залив Тихого океана и соединяет город Сан-Фран-
циско с северными предместьями его. Пилоны, несущие нагрузку
в 22 000 т, имеют высоту 227,5 м над водой. Стальная решетча-
тая фэрма жесткости высотой 7,6 м поддерживается двумя ка-
белями из параллельных проволок диаметром 92,7 см.

В 1953 г. после катастрофы с висячим мостом в Такомской
долине (1940 г.), мост «Золотые Ворота» был усилен горизон-
тальными удерживающими кабелями.

В 1940 г. через пролив Бюджет Саунд был построен трехпро-
летный Такомский мост, который, просуществовав всего четыре
месяца, обрушился от колебаний, вызванных действием ветра.
Конструкция этого моста и причины его катастрофы неоднократ-
но описывались в различных журналах и книгах, поэтому на
Рис. 9. Висячий мост «Золотые ворота» в Сан-Франциско
с главным пролетом 1287 м. Построен в 1937 г.

Рис. 10. Новый Такомский мост с главным проле-
том 853 м. Построен в 1950 г. на месте обрушив-
шегося в 1940 г. старого Такомского моста


Рис. II. Новый висячий мост в Будапеште, построенный на
старого Елизаветинского моста, разрушенного во время
в 1945 г.

месте
войны

Рис. 12.

Рис. 13

ФУШМШ'А-ЯЬНАЯ

Л/
этих вопросах мы останавливаться не будем. В октябре 1950 г.
было открыто движение по новому Такомскому мосту, построен-
ному на том же месте с использованием старых фундаментов
опор (рис. 10). Длина главного пролета равна 853 м. Новый
мост отличается от старого балкой жесткости, выполненной в
виде стальной решетчатой фермы высотой 10 м. Балка жест-
кости поддерживается двумя кабелями диаметром 50,8 см
каждый.

В 1945 г. нацистская армия разрушила хорошо известный ин-
женерам-строителям Елизаветинский висячий мост в Будапеш-
те. Вскоре на этом месте вновь был построен висячий мост совре-
менного типа по схеме 57 + 290-1-57. Общий вид моста показан на
рис. 11. Ширина моста 27,6 м. Характерной особенностью этого
моста являются качающиеся пилоны, шарнирно прикрепленные
к опорам. Проезжая часть выполнена в виде стальной ортотроп-
ной плиты, на которую непосредственно уложен слой асфальта в
7 см. Стальные листы под асфальтом покрыты антикоррозийным
защитным слоем (оцинковка стальных листов, битумная смаз-
ка и небольшой слой специальной мастики).

Кабель состоит из 61 пряди с поперечным сечением, показан-
ным на рис. 12. Каждая прядь состоит из проволочной сердцеви-
ны и трех рядов фасонной проволоки, плотно прилегающей друг
к другу. Общий вид одной пряди кабеля показан на рис. 13.

Большой научный, интерес представляет собой Танкервиль-
ский мост, построенный в 1959 г. во Франции. Он отличается от
других мостов не только конструктивными особенностями, но и
той глубиной инженерных расчетов, которые были проведены в
процессе его проектирования и строительства. Описание конст-
рукции этого моста и способов производства строительных работ
выделено в отдельный параграф.

Из сооруженных висячих .мостов последнего времени следует
отметить грандиозный мост «Верразано Нерроуз», построенный
в 1965 г. на подходе к Нью-Йоркскому порту (рис. 14). Этот
мост имеет в настоящее время наибольший в мире пролет длиной
1298 м. Мост введен в эксплуатацию осенью 1965 г. Ширина про-
езжей части обеспечивает двенадцатиполосное движение тран-
спорта. Поперечное сечение моста показано на рис. 15. Ширина
моста между осями спаренных кабелей равна 31,4 м. Ширина
проезжей части верхнего яруса 23,8 м. Расстояние между осями
ферм жесткости 30,63 м. В нижнем ярусе каждая из двух раз-
дельных полос проезжих частей имеет ширину 11,3 м. Каждый
из четырех кабелей имеет диаметр 915 мм. Он состоит из 61 пря-
ди, которые в свою очередь состоят из 428 параллельных прово-
лок. Временное сопротивление проволоки равно 15 800 кГ1смА.
Разрывное усилие кабеля около 100 000 т. Вес стальных конст-
рукций 150 000 т. Балка жесткости выполнена в виде стальной
решетчатой фермы высотой 7,3 м. Полная длина моста 4175 м.
Рис. 14. Общий вид моста «Верразано-Нерроуз» около Нью-Йорка (по-
строен в 1965 г.). Вес стальных конструкций 150 000 т

Рис. 15.

Продольный уклон проезжей части от середины моста к анкерам
равен 2%.

В 1964 г. в Великобритании через залив Forth построен трех-
пролетный висячий мост под автомобильную дорогу (рис. 16).
Величина главного пролета равна 1006 м. Два крайних пролета
этого моста имеют длину по 408,4 м. Пилоны высотой 154 м с
Рис. 16. Трехпролетный висячий мост через Фортский залив в Великобри-
тании под автомобильную дорогу. Главный пролет 1006 м (построен
в 1964 г.)

коробчатым сечением изготовлены из высокопрочной стали. Рас-
стояние между пилонами (по ширине моста) равно 23,5 м. Для
каждого направления движения устроены две полосы автопроез-
да, велодорожка и тротуар. Кабели моста общим диаметром
59,7 см состоят из 37 прядей по 314 проволок в каждой. Всего в
кабеле 11 618 параллельных проволок диаметром 4,8 мм. Шири-
на проезжей части моста 23,7 м, а высота балок жесткости
9,15 м. Вертикальные подвески расположены в местах прикреп-
ления поперечных балок. Неразрезные балки жесткости, связан-
ные между собой поперечными балками, создают необходимую
жесткость пролетного строения.

В сентябре 1966 г. в Англии построен новый висячий мост
через р. Северен (Severen Bridge). Этот мост между берегами
Юго-западной Англии и Южного Уэллса имеет общую длину с
подходами 1800 м. Его центральная часть представляет собой
трехпролетную висячую систему с главным пролетом 988 м и
двумя боковыми пролетами по 305 м. Общий вид моста показан
на рис. 17. Характерной особенностью моста является наличие
наклонных подвесок, как показано на схеме (рис. 18). Наклон-
ные подвески обеспечили повышенную жесткость моста. Попе-
речное сечение моста изображено на рис. 19. Проезжая часть
имеет две полосы для движения автомобилей по 7,3 м и разде-
лительную среднюю полосу около 2,5 м ширины. На консолях
расположены пешеходные и велосипедные дорожки шириной по
3,6 м. Благодаря применению высокопрочных сталей мост имеет
наименьший вес по сравнению с осуществленными мостами та-
кой же длины и при такой же расчетной нагрузке. Пилоны с ко-
Рис. 17. Висячий мост в Англии через р. Северен с главным пролетом 988 м
(построен в 1966 г.)

Рис. 18.

1,53

Ось
кабеля

9,90	,

Раздельные лолЬски	I

9,90

/,53

№

7,31

0Д1.2ШМ

г, 7,31
Автомобильная

ОДО

Ось
кабеля

Автомобильная
дорога

0,00

3,65 Х\

4,56

елосилед
ная дорож-
ка



дорога

“™3,6%

Пешеход-
чая^дораж-

4,56

4,50

6,87

7,43

6,87 т

11,43

0,50
Рис. 20. Висячий мост через р. Тахо в Лиссабоне с главным пролетом 1012,4 м
(построен в 1966 г.)

Рис. 21.
робчатым сечением изготовлены из высокопрочной стали. Общий
расход стали 17 тыс. т, стоимость моста 28 млн. долларов. Кон-
фигурация балки жесткости обладает хорошей обтекаемостью,
что обеспечивает надежную аэродинамическую устойчивость
моста.

В августе 1966 г. был сдан в эксплуатацию крупнейший в
Европе висячий мост, который пересекает р. Тахо у входа в порт
в Лиссабоне, шириной 2 км (рис. 20). Общая длина моста 3218 м.
Висячая часть моста имеет главный пролет 1012,4 м и два боко-
вых пролета по 482,6 м каждый. Семидесятиметровая высота
подмостового габарита обеспечивает проход в порт самых круп-
ных океанских судов. Отметка верха пилонов относительно уров-
ня воды равна 190 м. В настоящее время мост предназначен для '
пропуска автотранспорта в верхнем ярусе (рис. 21), проезжая 
часть — четырехполосная. Проектом предусмотрено дальнейшее
сооружение двухколейной железной дороги на нижнем ярусе (
(рис. 22).

На рис. 23 показана общая схема мостового перехода. На
левой части рисунка изображена схема построенного моста, по
которому в настоящее время открыто автомобильное движение.
На правой части показана схема моста в том варианте, в каком
он будет выполнен после завершения 2-й очереди строительства.
На этом рисунке видны ванты и дополнительный кабель. Ванты
и дополнительный кабель увеличивают грузоподъемность моста
и тем самым обеспечивают пропуск железнодорожного транспор-
та по нижнему^ ярусу. Дополнительный кабель состоит из 20 ка-
натов диаметром 75 мм, предварительно свитых из стальной
проволоки. Короткие ванты состоят из 8 предварительно свитых
стальных канатов, каждый диаметром 67 мм. Длинные ванты
состоят из 12 канатов того же диаметра. Фермы пролетного
строения выполнены неразрезными на протяжении 6 пролетов
(главного пролета, двух боковых и трех береговых пролетов).
Общая длина ферм 2275 м. Таким образом этот мост имеет са-
мые длинные в мире неразрезные фермы жесткости. Высота
фермы между осями поясов равна 10,6 м, что составляет 1/95
главного пролета. Ферма жесткости поддерживается двумя глав-
ными кабелями. Диаметр каждого равен 700 мм.

Кабель состоит из 37 прядей по 304 проволоки в каждой, т. е.
всего 11248 оцинкованных проволок диаметром 4 мм. Площадь
поперечного сечения кабеля равна 2190 см2. На изготовление
главных кабелей потребовалось 54 тыс. км проволоки. Стрела
провисания главных кабелей равна 106 м или 1/9,5 главного про-
лета.

Фермы жесткости поддерживаются подвесками из стальных
канатов, расположенных на расстоянии 22,8 м. Каждая подвес-
ка диаметром 57 м выполнена из троса, состоящего из оцинко-
ванной проволоки.
Рис. 22.

В центре ыавного пролета основные кабели присоединены
непосредственно к поясам ферм жесткости при помощи специ-
альных муфт, выполненных из литой стали, длиной 2,6 м, при-
крепленных к кабелю высокопрочными болтами. Такое жесткое
закрепление кабеля к ферме жесткости уменьшает продольные
смещения пролетного строения от воздействия продольных сил и
увеличивает жесткость системы в целом.

Рис. 23(a).
В табл. 2 содержится перечень наиболее крупных висячих ка-
бельных мостов, построенных за последние 85 лет.------—-

^З^пбследние годы появилась тенденция широкого примене-
ния балочно-вантовых мостов. Большие успехи в этом направле-
нии достигнуты советскими инженерами. На рис. 24 показан об-
щий вид такого висячего моста в Киеве через гавань р. Днепр.
Проектные и исследовательские работы, связанные с создани-
ем этого сооружения, проведены под руководством В. И. Кире-
енко. Строительство моста закончено в 1963 г. Общая длина
моста 474 м. Главный пролет висячей части моста 144 м, а два
прилегающих пролета имеют длину по 65,85 м. Схема моста по-
казана на рис. 25. Мост предназначен для автомобильного и го-
родского транспорта. Ширина проезжей части 7 м. Два тротуара
имеют ширину по 1,5 м. Пролетное строение выполнено из же-
лезобетона. Расстояние между осями двух главных балок
П-образной формы 9,6 м. Высота балок 1,5 м, что составляет
примерно 1/100 пролета. Подробные данные об этом мосте мож-
но найти в недавно вышедшей книге [16].

В 1959 г. был введен в эксплуатацию новый вантовый город-
ской мост в Кёльне. Общая длина неразрезного металлического
пролетного строения около 690 м. Шестипролетная неразрезная
балка с пролетами 49,14-89,1+47,8 + 3024-150,7 + 52,5 м в двух
судоходных пролетах поддержана вантами, опирающимися на
А-образный пилон. Общий вид моста показан на рис. 26, а часть
расчетной схемы — на рис. 27.

Единственный металлический пилон с радиально располо-
женными вантами изображен на рис. 28. Ширина проезжей час-
ти для четырехполосного автомобильного транспорта' и двух
трамвайных путей равна 19 м. Вместе с тротуарами по 5,25 м
общая ширина между перилами составляет 29,5 м.

Мостовая	Мостовая

опора N в	Мостовая опора Nв

Рис. 23(6).
Название моста	Место размещения моста	Дата возведе- ния	Размер глав- ного пролета, м	Ширина меж- ду кабелями, м	Высота балки жесткости, м	Отношение ширины балки жесткости к пролету,м	Отношение высоты балки жесткости к пролету,	Количество кабелей, шг	Диаметр ка- беля, см
‘•Бруклинский	Нью-Йорк	1883	486	25,9	5,18	1:19	1:94	4	39,4
Амбассадорский	Детройт—Мичиган	1929	563	18,1	6,71	1:31	1:84	2	48,9
Г. Вашингтона	Нью-Йорк	1931	1067	32,3	9,14	1:33	1:117	4	91,4
Трансбайский	Сан-Франциско	1936	704	20,1	9,14	1:33	1:85	2	72,7
Золотые Ворота	. Сан-Франциско	1937	1280	27,4	7,62	1:47	1:168	2	92,7
Такомский (старый)	Такома—Вашингтон	1940	853	11,9	2,44	1:72	1:350	2	45,8
Такомский (новый)	Такома—Вашингтон	1950	853	'18,3	10,10	1:47	1:85	2	50,8
Маккинакский	Мичиган	1957	1158	27,0	11,58	1:56	1:100	2	61,6
Танкервильский	Франция	1959	608	16,0	6,0	1:38	1:101	2	60,0
Фортский	Великобритания	1964	1006	23,5	9,15	1:43	1:109	2	59,7
Верразано Нерроуз	Нью-Йорк	1965	1298	51,4	7,31	1:41	1:177	4	91,4
Северенский	Великобритания	1966	988	22,9	3,04	1:43	1:324	2	53,3
Мост через р. Тахо	Лиссабон	1966	1012	23,5	10^66	1:43	1:95	2	70,0

Рис. 26. Городские мосты через р. Рейн в Кёльне. На переднем
плане вантовый мост, построенный в 1959 г.
Рис. 27.

Рис. 28. Пилон вантового моста через
р. Рейн в Кёльне

Рис. 29. Подходы к Кёльнскому вантовому мосту
Рис. 30. Вантовый мост в Дюссельдорфе с главным пролетом
260 м (построен в 1957 г.)

Ванты выполнены из пучков канатов с временным сопро-
тивлением проволоки 14 000 кГ/см2. Расстояние между осями
двух главных балок 22,3 м. Коробчатое сечение этих балок при-
нято с учетом размещения коммуникаций. Ноги пилона решены в
виде коробчатой стальной конструкции с толщиной стенок от
12 до 30 мм. Высота моста над высшим навигационным уровнем
9,1 м. Подходы к мосту выполнены в нескольких уровнях, как
видно из рис. 29.

В отличие от двух описанных выше мостов применяются
мосты с вантами, расположенными параллельно друг другу.
Примером такого сооружения может служить мост через р. Рейн
в Дюссельдорфе, построенный по проекту проф. Таммса в
1957 г. Общий вид этого моста, представляющего собой трех-
пролетную неразрезную железобетонную балку, поддержанную
системой параллельных вант (система «арфа»), показан на
рис. 30.

Главный пролет равен 260 м, а два боковых пролета — по
# 108 м каждый. Ширина проезжей части моста 15 м. На консолях
расположены два тротуара по 5,8 м. Расстояние между центра-
ми двух продольных балок коробчатого сечения 17,6 м. Высота
с сечения балок 3,12 м, что составляет примерно 1/80 от длины
среднего пролета.

':,.Л

&
Верхние и нижние ванты! оперты на пилоне с помощью опор-
ных частей, а средние — жёстко соединены с пилоном. Подроб-
ное описание этого интересного сооружения приводится в книге
В. И. Киреенко [16].

В заключение отметим, что в настоящий краткий обзор
включена лишь небольшая часть осуществленных висячих мос-
тов. Обзор предусматривал ознакомить читателя с висячими мо-
стами лишь в самых общих чертах.

§ 3.	КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ ТАНКЕРВИЛЬСКОГО
ВИСЯЧЕГО МОСТА

Танкервил'ьский мост построен во Франции через залив в
устье р. Сены в 1959 г. Он расположен между Гавром и Руаном
и является как бы граничным пунктом, разделяющим Норман-
дию на две части.

Сена в низовьи имеет значительную ширину. Большая длина
моста, огромное водное пространство и особенности рельефа
местности поставили перед инженерами и архитекторами слож-
ную композиционную задачу, которая была успешно решена. Об-
щий вид моста показан на рис. 31.

В строительстве моста принимали участие двенадцать круп-
ных фирм, в которые входили фактически все мостостроительные
организации Франции. Расчеты моста в процессе его проектиро-
вания проводились с использованием самых современных элек-
тронных вычислительных машин. При этом, кроме основного
расчета, проводились расчеты системы для всех промежуточных
состояний, которые могли возникнуть в процессе сборки конст-
рукции.

Параллельно с аналитическим расчетом в большом масштабе
были проведены экспериментальные исследования. Для всех ос-
новных узлов моста изготовлялись модели, которые подверга-
лись испытаниям в лабораториях с использованием современной
измерительной аппаратуры и методов фотоупругости.

Самым опасным врагом современных крупных висячих мос-
тов является ветер. За последнее время особенно большое вни-
мание при проектировании мостов стали уделять аэродинамиче-
ским расчетам. Слишком большим уроком для строителей яви-
лось крушение Такомского моста. Авторы Танкервилнекого мос-
та проявили заботу о повышении сопротивляемости конструкции
ураганному ветру. С этой целью для проведения теоретических
расчетов были привлечены два крупных специалиста в этой об-
ласти: проф. Парижского университета (Сорбонны) И. Рокар и
президент Societe Baundin—Chateauneuf М. Шадансон. Были
проведены тщательные аналитические расчеты по выявлению
аэродинамической устойчивости моста. Расчеты показали, что-
Рис. 31. Общий вид Танкервильского висячего моста, построенного
во Франции через залив в устье р. Сены в 1959 г. Общая длина
моста 1400 м

мост при любых ветровых воздействиях представляет собой ус-
тойчивую систему. Несмотря на это, были проведены серьезные
экспериментальные проверки устойчивости системы путем про-
дувки модели в аэродинамической трубе. Эти эксперименты сви-
детельствовали о правильности проведенных расчетов.

Аналогичный подход применялся при проверке прочности раз-
личных деталей или частей моста. Каждый раз производился
двойной контроль, основанный, с одной стороны, на точных рас-
четах и, с другой—на тщательных испытаниях. Таким образом,
'при проектировании моста были использованы все достижения
современной науки в области расчетов и экспериментальных ис-
следований строительных конструкций.

Ч, Аналогичный серьезный подход проявлялся к вопросам орга-
йнизации строительных работ. Большое внимание было уделено
подбору квалифицированных инженерно-технических кадров и
@ рабочих. В особенности это касалось лиц, связанных с выполне-
#Нием монтажных работ. Достаточно сказать, что во время по-
дстройки моста потребовалось около трех с половиной миллионов
Жчасов на акробатические работы опытных верхолазов. Тщатель-
жйой подготовкой всех видов работ можно объяснить то, что за
Jpce время строительства не было ни одного несчастного случая.

5,1
Рис. 32.

Окончание строительства было осуществлено на 15 дней раньше
намеченного срока, несмотря на небывалые для тех мест небла-
гоприятные метеорологические условия, которые наблюдались в
период строительства в начале 1956 г., и некоторое возрастание
объема работ по возведению фундаментов на левобережной
пойме (из-за того что строители встретились с плохими грун-
тами) .

Таким образом, Танкервильский мост во всех отношениях
являлся интересным объектом. Тщательное изучение проблемы
перехода в сложных условиях, научный подход к вопросам про-
ектирования и организации работ, безукоризненное выполнение
деталей конструкции, а также высокие эстетические достоинст-
ва позволяют отнести этот мост к наиболее замечательным ин-
женерным сооружениям современности. Указанное обстоятель-
ство послужило причиной выбора этого моста в качестве приме-
ра, который помещен в эту книгу.

Танкервильский мост расположен в живописной местности
Нормандии. Высокий правый берег Сены состоит из сплошного'
скального массива, а на левом берегу имеется широкая пойма.
Общая схема моста показана на рис. 32, а. Из нее видно, что
Танкервильский мост состоит из двух частей. Первая часть пред-
ставляет собой трехпролетный висячий мост с пролетами:
176+608+ 176 эи, а вторая — эстакаду балочного типа, состоя-
щую из восьми пролетов по 50 м каждый. На стыке двух систем
расположен массивный устой длиной.40,2 м. Общая длина моста
равна Д400,2 м. Балка жесткости моста поддерживается двумя
кабелями, каждый из которых состоит из 56 тросов, соединен-
ных в шестиугольное сечение, имеющее наименьший размер
0,58 м и наибольший (по диагонали) 0,65 м. Поперечное сечение
моста показано на рис. 32, б, на котором показаны основные
размеры.

Судоходный подмостовой габарит обеспечивается высотой
50,85 м и позволяет пропускать суда без каких-либо ограниче-
ний. На протяжении моста проезжая часть имеет уклон 0,3%.
Стрела провисания кабеля в главном пролете равна 67,4 м, что
составляет 1/9 от величины пролета.

Основной отличительной особенностью висячей части этого
моста является жесткое скрепление кабеля с фермой в средине
пролета. На рис. 33 показана упрощенная схема моста с точкой
О, в которой осуществлено это крепление. Исследование, прове-
денное в § 11 гл. V, где излагается метод расчета такой системы,
показывает, что скрепление кабеля с балкой жесткости в значи-
тельной степени увеличивает жесткость всей системы в целом.
За счет указанного скрепления распор в левой и правой частях
кабеля от временной нагрузки, расположенной на половине про-
лета, различен, поэтому на ферму жесткости и в средине моста
Передается значительная горизонтальная сила. Однако она не
вызывает существенной перегрузки фермы, так как последняя
икГеет мощные пояса.

Таким образом схема Танкервильского моста является суще-
ственно новой по сравнению со схемами других висячих мостов
больших пролетов.

Для передачи усилия от кабеля на землю обычно применя-
йся две разновидности анкеровки кабеля. Если в местах необ-
ходимого закрепления кабеля имеются слабые грунты, то соору-
2—3802	33
Рис. 33.

каются массивные устои, в тело которых производится анкеров-
ка кабеля. При наличии скальных пород анкеровка кабеля
производится непосредственно в скалу. В Танкервильском мосте
крепление кабеля на левом берегу осуществлено по первому, а на
правом берегу — по второму способу.

На рис. 34 показан общий вид устоя левого берега, в котором
произведена анкеровка кабеля. Схематическое изображение рас-
положения анкерного устройства дано на рис. 35. На этом же
рисунке показаны генеральные размеры устоя. Данный устой
контрфорсного типа был тщательно обследован французскими
инженерами. Армирование устоя было назначено в соответствии
с законом распределения силовых потоков, передающихся от ка-
беля на устой. Для этой цели был изучен закон распределения
траекторий главных напряжений (рис. 36). Пунктирными линия-
ми изображены траектории сжимающих, а жирными линиями —
растягивающих напряжений. Детальное изучение напряженного
состояния позволило назначить наивыгодное армирование устоя,
обеспечившее его высокую прочность.

Анкеровка кабеля на правом берегу произведена в тоннеле,
проложенном в скале под углом 25°34' к горизонту (рис. 37).
Сила натяжения кабеля передается на скальные породы. Для
опирания конца фермы жесткости устраивается маленький устой
3, работающий в основном на восприятие вертикального давле-
ния. Два наклонных туннеля, в которых проходят кабели, соеди-
нены с поверхностью земли двумя колодцами 1, которые позво-
ляют производить осмотр и облегчают монтажные работы. Глу-
бина заложения анкера должна рассчитываться на условия
выкалывания скального массива 2, которое может оказаться ве-
роятным при выдергивании кабеля. Закрепление кабеля в скале
приводит к более экономичному решению, чем устройство мас-
сивного устоя, описанного выше. Кроме того, при закреплении
кабеля в скале улучшается внешний вид сооружения, как это
видно из рис. 38, на котором показан правый берег со стороны
примыкающей к мосту эстакады. Отсутствие массивного устоя
придает сооружению вид легкой конструкции.

Железобетонные пилоны моста выполнены в виде плоской
рамы с наклонными стойками переменного сечения (рис. 39).
Высота пилона от уступа фундамента до верха равна 123,4 м.
Расстояние между осями стоек внизу равно 24,7 м, а вверху —
16,00 м. Глубина заложения фундамента с квадратным сечением
12,0X12,0 м под каждой стойкой составляет 18,0 м. В нижней
Рис. 34. Общий вид левобережного устоя Тан-
кервильского моста, в котором произведена
анкеровка кабелей
Рис. 37.
tac. 38. Пилон Танкервильского
юста на правом берегу р. Сены

39. Общий вид пилона Тан-
моста в период
строительства
части стойки соединены сплошной стенкой шириной 18,15 м и
толщиной 0,6 м. Фундаменты с кессонным основанием соединены
вверху плитой, как показано на рис. 40. При расчете фундамен-
тов нога пилона считалась жестко заделанной в тело фундамен-
та. При проектировании было проведено тщательное исследова-
ние напряженного состояния в месте уступа фундамента. С этой
целью был проведен точный расчет для случаев, когда момент
равен 0 и действует только сжимающая сила, а также для слу-
чая действия максимального момента. На рис. 41 слева от верти-
кальной оси показаны изоклины (линии, соединяющие точки с
одинаковыми напряжениями), а справа—траектории главных,
напряжений для первого случая.

При действии максимального момента симметрия в распре-
делении напряжений нарушается. На рис. 42 показаны изоклины,
а на рис. 43 — траектории главных напряжений при действии
максимального момента. На всех трех фигурах, изображающих,
изоклины и траектории главных напряжений, показаны точки А
и В, разграничивающие существенно отличные зоны напряже-
ний, по линии сопряжения этих зон действуют наибольшие каса-
тельные напряжения.

Такой подробный расчет следует считать оправданным, так
как он позволяет установить оптимальную схему армирования
системы, позволяющую предотвратить трещинообразование и
выявить опасные зоны с точки зрения возможного откалывания
тела опоры.

При проектировании Танкервильского моста расчету пилона
уделено большое внимание. Помимо обычного расчета на дейст-
вие вертикальных нагрузок и ветра производился расчет пилона
по деформированной схеме (с учетом продольно-поперечного из-
гиба).

На линии опирания пролетного строения ноги пилона соеди-
нены мощной распоркой. Пролетное строение проходит в среди-
не между колоннами. Общий вид пилона с частью пролетного
строения, кабелями и подвесками показан на рис. 44.

Пролетное строение висячей части моста состоит из двух не-
разрезных трехпролетных ферм с треугольной решеткой. Конст-
рукция ферм чрезвычайно проста. На рис. 45 показан фрагмент
пролетного строения, из которого видны основные конструктив-
ные решения узлов и элементов фермы. В уровне поясов постав-
лены обычные ветровые связи.

Большой интерес представляет собой узел крепления кабеля
к пролетному строению в средине моста. С помощью литого
стального ствола, состоящего из двух половин, кабель зажимает-
ся как бы в обойму. Две половины ствола соединяются болтами
в единое целое с помощью 68 высокопрочных болтов по 45 мм в
диаметре, а затем весь ствол жестко скрепляется с поясом фер-
мы с помощью 192 болтов диаметром 40 мм. Длина этого ствола
00'81
Рис. 42.

- ,7

Рис. 43.

равна 6 м. Силы трения не позволяют кабелю проскальзывать
внутри канала ствола. Общий вид описанного узла показан на
рис. 46.^/^.

Остановимся в общих чертах на производстве строительных
работ при сооружении Танкервильского моста. При сооружении
фундаментов для пилонов Танкервильского моста применялись
кессонные основания. На рис. 47 показаны два квадратных кес-
сонных фундамента в процессе их возведения. На этом рисунке
видны 9 цилиндрических пустот, которые предусмотрены по про-
екту. Схемы фундаментов были показаны на рис. 40.

Большое значение при кессонных работах имеет точность
посадки кессона. Для высоких пилонов малое отклонение опоры
от вертикальной оси приведет к большому отклонению верха пи-
лона. Этим объясняются высокие требования к производству
кессонных работ.

При сооружении пилонов Танкервильского моста пришлось
решать сложную задачу о выправлении одного из пилонов. На
рис. 48 показана схема, объясняющая отклонение пилона в двух
направлениях, а на рис. 49 показан план расположения домкра-
Рис. 44. Общий вид пилона
Танкервильского моста в
начале сборки балки жест-
кости

1

i

I

Рис. 45. Момент сборки
пролетного строения
Рис. 46. Общий вид узла крепления кабеля к бал-
ке жесткости

тов и, кроме того, они показаны в разрезе. Всего для выправле-
ния пилона было установлено три группы домкратов: группа
В — 28 домкратов по 300 т, группа С — 8 домкратов по 550 т и
группа Д — 4 домкрата по 500 т. Все домкраты вместе развива-
ли суммарную силу 14 800 т. С помощью указанных домкратов-
удалось выправить пилон и привести его в вертикальное поло-
жение.

Рассмотрим последовательность работ при строительстве пи-
лона Танкервильского моста. На рис. 50 схематически показаны
стадии сооружения пилона. На схеме а мы видим готовый фун-
дамент с выпущенной арматурой для стоек и стенки пилона. На
схеме в показана стадия, на которой понадобилось впервые ус-
тановить лифты по боковым граням. С помощью этих лифтов по-
давались арматурные каркасы и бетон. Наверху непрерывно ра—

Рис. 47. Кессонные фундаменты в процессе возведения опор
«ботали два крана, кото-
рые по мере увеличения
высоты пилона постепен-
но поднимались вверх.
-Стадия в соответствует
-случаю, когда высота опо-
ры превысила уровень
расположения опорных
'частей пролетного строе-
ния. Дальнейшая сборка
каждой колонны пилона
производилась по отдель-
ности. По мере возвыше-
ния колонн их гибкость
возрастает, поэтому появ-
ляется опасность больших
колебаний. С целью устра-
нения этих колебаний де-

Рис. 48.

-дались временные распор-

Ви, соединяющие колонны в единую раму. На стадии г стрелками
оказаны направления возможных перемещений при колебаниях.

;В верхней части колонны видны маленькие треугольные консоли
шля первой временной распорки. На стадии д показан выход на
Ягровень второй временной распорки. Стадия г соответствует от-
метке низа постоянной верхней распорки. В последней стадии з
«оказан готовый пилон.

,74.45
Рис. 50.


Рис. 51.

в)
Рис. 52. Общий вид пилона в период завер-
шения его строительства

На рис. 51 с обеих сторон пилона показаны лифты. Они
поставлены с наружных сторон, как видно на рис. 51, а и 51, б.
Более полное представление о лифтах можно получить из
рис. 51, в. На этом же рисунке можно видеть конструктивное ре-
шение системы передвижных кранов и деталь временной распор-
ки. Фотография пилона в момент последней завершающей ста-
дии работы показана на рис. 52.

Все работы по сооружению пилона (кроме фундамента) про-
изводились в течение 7,5 месяцев. На рис. 53 показан график
производства работ по сооружению пилона. На этом графике
жирной линией показан план выполнения работ, намеченный по
контракту, а пунктирной линией—фактическое выполнение
плана. Сравнение двух кривых свидетельствует о четкости в ор-
ганизации работ.

На рис. 54 показаны стадии работ по устройству анкерного
закрепления кабеля в скале. Первая начальная стадия, показан-
ная на схеме а, состоит в проходке вертикальной шахты до наи-
низшей точки на глубину 34,13 м. При рытье шахты применяют-
ся обычные приемы производства работ, оправдавшие себя в тон-
нелестроении.

Вторая стадия, изображенная на схеме б, соответствует
первому периоду проходки наклонного тоннеля. Вначале тоннель
вырабатывается малого диаметра. Удаление породы производит-
ся через вертикальную шахту. На схеме в мы видим работы по
Рис. 53.
Рис. 54.
ID а кт о
Метшическая
диафрагма
расширению диаметра
наклонного тоннеля.
Одновременно произво-
дится бетонирование
устоя эстакады. Даль-
нейшее развитие фрон-
та работ показано на
схемах г и д. Этим за-
вершается первый пе-
риод работ.

Во втором периоде,

начиная со схемы е, развертываются работы по устройству анке-
ра. Вначале производится установка частей металлоконструкций
в нижней части тоннеля. Внизу устраивается помещение ввиду
шарового объема ж, где расширяются концы анкерных стержней.
После окончания сборки всех анкерных тяжей, как показано на
схеме з, производится бетонировка тоннеля. На схеме и показан
забетонированный массив. Из этого массива выпущены анкер-
ные тяжи, к которым при монтаже прикрепляются пряди кабеля.
Более подробно эта часть показана на рис. 55, где дана схема
соединения анкерных стержней, забетонированных в тоннель, и
, дрядей распущенного кабеля. Описанное анкерное устройство,
; примененное на Танкервильском мосту, является наиболее совер-
f шенным и надежным.

Для осуществления работ по прядению кабеля вначале были

сооружены пешеходные рабочие мостики, на которые в процессе
работ укладывались проволоки будущего кабеля. Сам рабочий

мостик должен иметь такую кривую провисания, которая позво-
лит собрать кабель заданного очертания и заданной длины. Ра-
бочий мостик укреплялся на вспомогательный трос. По тросу
укладывается настил, образующий пол для ходьбы и для ложа
будущего кабеля. Для придания устойчивости на кручение мо-
стики через определенное расстояние соединялись между собой
как бы распорками, которые одновременно служили маленькими
соединительными поперечными мостиками для прохода с одного
рабочего мостика на другой. Одной из важных операций являет-
ся придание рабочему мостику необходимых стрел провисания в
каждом пролете. Начальное положение может быть определено
исходя из длины кабеля. Для уточнения положения мостика на
Танкервильском мосту применялись оптические приборы, с помо-
щью которых положение поддерживающего мостик троса регу-
лировалось путем подтяжки его концов, а также передвижки то-
чек крепления на пилонах. Самой трудной задачей является
установка и выверка первого троса, остальные тросы укладыва-
ются параллельно первому тросу и затем передвигаются в попе-
речном направлении в нужное положение. Когда рабочие тросы
установлены и выверены, с помощью специальных вагонеток
производятся работы по устройству настила. По окончании всех
работ, связанных с устройством рабочих мостиков, завершается
подготовительный период, после чего приступают к сооружению
кабеля.

Для плетения кабеля еще в конце прошлого столетия амери-
канским инженером Реблингом была разработана удачная тех-
нология, которая с небольшими изменениями применяется по
настоящее время. Существо этого метода заключается в следу-
ющем. По тросам, протянутым над рабочим мостиком, параллель-
но настилу на высоте 5—6 м движутся свивочные колеса. Для
перемещения сбивочного колеса к нему прикреплены тянущие
канаты, передвигающие колесо в ту или другую сторону. Таким
образом два свивочных колеса движутся навстречу друг к другу.
Каждое колесо тянет проволоку, которая перекинута через него.

Схема движения колеса с проволокой показана на рис. 56.
Колесо а, прикрепленное к бесконечному движущемуся канату в.
Таких колес на канате два. Когда одно колесо прибудет на
левый устой, второе окажется на правом устое. Колесо а, как
видно из схемы, тянет через реку две линии проволок: 1 и 2.
Ветвь проволоки 1 является неподвижной, а ветвь 2 — подвижной.
Если колесо а движется в сторону, указанную стрелкой, со ско-
ростью v, то проволока сматывается с барабана А со скоростью
2 V. Когда колесо прибудет на устой, то канат в останавливает-
ся. Петля из двух проволок снимается с колеса а и одевается на
башмак анкерного устройства. Такая же операция производится
на противоположном устое. После этого колеса захватывают
следующие ветви проволоки и включается мотор, движущий бес-
конечный канат в. Оба колеса пойдут навстречу друг к другу.
В средине моста они пройдут мимо друг друга (одно на левой,
другое на правой ветви бесконечного каната в) и затем по при-
бытии на устой остановятся. Затем все операции повторяются
вновь.

Скорость движения навивочных колес при постройке каждого
нового моста постепенно возрастает. По мере того как колесо
удаляется от какого-либо сечения кабеля, проволока 1 подтяги-
вается к направляющей проволоке и присоединяется к форми-
рующемуся пучку кабеля. Вторая ветвь выравнивается и присое-
диняется к пучку в момент стоянки колес на устоях.

По описанной выше схеме производилось плетение кабеля
Танкервильского моста.

После окончания укладки проволоки одной пряди произво-
дилось выравнивание всех проволок этой пряди. Окончательная
компоновка каждой пряди обычно проводится ночью. Это де-
лается потому, что температура всех проволок в ночное время по
всей их длине одинаковая. Днем при нагреве пряди солнцем тем-
пература освещенных проволок большая, чем затемненных от
солнца. Пряди, сформированные при солнце, после остывания
Рис. 57. Общий вид Танкервильского моста в период сборки
Рис. 58. Расположение крана установ-
ленного на балке жесткости в период
сборки

Рис. 59. Присоединение секции фермы в период
сборки Танкервильского моста

будут иметь неравно-
мерное натяжение про-
волок. Таким образом,
изготовление кабеля
связано с работой в
ночных условиях, что
требует большой ква-
лификации мастеров и
рабочих, а также раз-
работки системы осве-
щения.

Навесная сборка
балки жесткости начи-
нается после того, как
все работы по возведе-
нию кабеля и его за-
креплению на опорах
завершены. При навес-
ной сборке вначале на
специально оборудо-
ванной площадке про-
изводится сборка укру-
пненных элементов.
Эти элементы достав-
ляются к мосту с по-
мощью наплавных
средств и поднимаются
затем в проектное по-
ложение. Сборка обыч-
но начинается от пило-
нов и проводится в обе
стороны — как внутрь
главного пролета, так и
в боковой пролет. В
первую очередь уста-
навливаются секции,
непосредственно опи-
рающиеся на пилон, ко-
торые ставятся на опор-
ные части. Одновре-
менно концы элементов
подвешиваются к ка-
белю. Постепенное на-
ращивание балки жест-
кости производится
симметрично относи-
тельно обоих пилонов.
Рис. 60. Общий вид металлических
листов верхнего пояса с шипами
до момента бетонирования плиты
проезжей части

После того как длины со-
бранных участков увеличатся
на столько, что перемещения
кабеля достигнут ощутимых
величин, начинают подвеши-
вать части балки в средине
пролета. Таким образом про-
исходит постепенная сборка от
средины пролета к пилонам.
Соблюдение симметричного на-
ращивания балок обеспечивает
сравнительно малое формоиз-
менение кабеля. Таким спосо-
бом происходила сборка ферм
жесткости Танкервильского мо-
ста. На рис. 57 показан общий
вид моста в одном из промежу-
точных состояний сборки. Для
подъема с наплавных средств
частей балки жесткости поль-

зуются кранами, установленными на собранных балках жестко-
сти (рис. 58).

На рис. 59 показан момент присоединения одной секции фер-
мы. Из этого рисунка видно, что работа при стыковании узлов
требует большого мастерства, специально обученных сборщиков-
верхолазов.

Балка жесткости в современных мостах работает совместно
с плитой проезжей части, что значительно увеличивает ее жест-
кость. Для осуществления совместной работы плиты с металли-
ческой конструкцией необходимо создать их соединение и устра-
нить возможный сдвиг плиты по металлической конструкции.
С этой целью прибегают к различным средствам. Так, например,
в конструкции Танкервильского моста были приварены к метал-
лическим листам верхнего пояса шипы, которые показаны на
рис. 60. Забетонированная железобетонная плита благодаря
многочисленным шипам соединялась с пролетным строением в
единое целое.

Бетонирование плиты, производилось, начиная от пилонов и
средины моста, с соблюдением строгой симметрии. Работы ве-
лись строго по установленному графику.

Танкервильский висячий мост является интересным инженер-
ным сооружением, при создании которого были использованы
современные достижения науки в области строительства.
§ 4.	РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ РАСЧЕТА ВИСЯЧИХ МОСТОВ

Первое математическое исследование, посвященное расчету
висячих мостов с учетом влияния собственного веса цепи и про-
езжей части, принадлежит известному французскому инженеру
и ученому, члену Парижской Академии наук, профессору школы
мостов и дорог, знаменитому математику Луи Мари Анри Навье.

Задача о равновесии цепной линии к этому времени была уже
•известна. Изучение кривой равновесия цепи, подвешенной в двух
точках, было проведено еще Эйлером примерно за сто лет до
работ Навье. Навье первый в 1823 г. вывел уравнение кривой,
которую занимает цепь под действием любой сплошной нерав-
номерной нагрузки. Рассмотрев гибкую нить под действием
•собственного веса постоянной нагрузки и частичного загру-
жения временной нагрузкой, Навье определил изменение фор-
мы кривой кабеля и нашел величину опускания полотна
моста.

Учитывая только геометрическое изменение формы цепи (без
учета растяжения кабеля), он вывел формулу для определения
прогиба средины моста под действием нагрузки, приложенной
в средней части пролета, и показал, что при одинаковом отно-
шении стрелы подъема нити к пролету прогиб не зависит от
длины, а зависит только от интенсивности постоянной нагрузки
на погонный метр моста.

Навье рассмотрел ряд вариантов однопролетных висячих
мостов, определил силы, действующие на опоры мостов, и по-
лучил формулу для определения предельного значения пролета
моста исходя из допускаемого напряжения и объемного веса
материала.

В своем исследовании Навье рассматривал примитивные
системы висячих мостов, не имеющих балки жесткости. Под-
робный анализ результатов, полученных Навье для висячих
мостов, можно найти в книге Г. П. Передерия [26].

В последующем чисто практическим путем строители приш-
ли к необходимости применения балки жесткости, подвешенной
к цепи. Однако рассчитывать такие системы они не умели.
Опыты, проведенные П. Барлоу, показали, что сравнительно
легкие балки придают висячим мостам значительную жест-
кость.

Первое аналитическое решение о распределении нагрузки
между цепью и балкой жесткости было проведено Ренкином.
Задаваясь некоторой формой кривой прогиба, Ренкин дал при-
ближенное решение, устанавливающее закон распределения на-
грузки между кабелем и балкой. Основной вывод заключается
в том, что на балку жесткости приходится примерно 4/27 от пол-
ной нагрузки, действующей на мост. Первые исследования Рен-
кина хотя и не отвечали истинной работе висячего моста, одна-
.56
ко сыграли значительную роль в развитии теории расчета этих
мостов.

В 1877 и 1883 гг. Риттер дал более точное решение указанной
задачи, а в 1886 г. М. Леви предложил рассматривать совмест-
ные деформации балки и кабеля и указал вполне научный под-
ход к решению задачи о прочности висячего моста.

В дальнейшем, после работ О. Мора по теории перемеще-
ний, расчет висячих мостов проводился методом сил как стати-
чески неопределимой системы. Нашли широкое применение
общие методы учета подвижной нагрузки с помощью линии
влияния. Однако и такой подход, как выяснилось в последующем,
давал приближенное решение, которое для кабельных мостов в-
настоящее время, как правило, не применяется.

Долгое время расчет висячих мостов проводился по линей-
ной теории. Однако в конце прошлого века появились первые-
работы, в которых предлагалось учитывать изменение очерта-
ния кабеля под действием нагрузки.

Число работ, посвященных этому новому направлению, стало
быстро расти, и в настоящее время все крупные висячие мосты,
рассчитываются с учетом изменения формы кабеля.

В приводимом ниже обзоре мы не будем касаться тех работ,
в которых расчет производится как обычной статически неопре-
делимой системы, так как в настоящее время они потеряли науч-
ную ценность.

Первое новое предложение по учету «деформированной» схе-
мы висячего моста было высказано Мюллером-Бреслау {139] в
1881 г. Более подробно развил эту теорию в 1888 г. Мелан [130].

В 1904 г. эта теория была применена в расчетах Манхаттан-
ского моста Моисеевым, который несколько дополнил труды Ме-
лана.

В 1909 г. Д. Б. Штейнман опубликовал работу, в которой дал
дальнейшее развитие теории Мелана. Эта работа вошла в после-
дующем в монографию [165], которая рассматривается ниже.

Уже в то время Меланом и Штейнманом было показано, что
максимальные изгибающие моменты в балке жесткости при бо-
лее точном расчете по деформированной схеме значительно
меньше, чем найденные по линейной теории с применением ме-
тода сил.

Позднее, в 1928 г., С. П. Тимошенко предложил приближен-
ный метод расчета [182], основанный на применении тригономет-
рических рядов. Он показал, что расчет по деформированной
теории позволяет более точно установить силы взаимодействия
между балкой жесткости и кабелем, которые в старой теории
принимались равномерно распределенными по всей длине моста.

Профессор И. Я. Штаерман в своей работе [60] показал, как
проводить расчет при наличии переменного момента инерции
балки жесткости.
В 1929 г. была опубликована монография Д. Б. Штейнмана
[165], в которой для расчета висячих мостов по деформированной
схеме применен энергетический метод. Интересно отметить, что
в этой монографии большая часть отводится старой линейной
теории и лишь небольшая часть посвящена расчету с учетом де-
формативности кабеля. Вместе с тем эта небольшая часть книги
содержит весьма убедительные доказательства необходимости
нового подхода к расчету висячих мостов.

Д. Б. Штейнман показал, что изгибающие моменты, найденные
по новой теории, на 30—40% меньше тех, которые определяются
по обычному методу. Работа Д. Б. Штейнмана оказала большое
влияние на развитие теории висячих мостов. Несколько забегая
вперед, отметим, что Д. Б. Штейнман написал в последующие
годы большое количество работ [162, 163, 164, 165, 166, 167], по-
священных расчету висячих мостов при действии статической и
динамической нагрузок. Особое внимание заслуживают работы
по устойчивости мостов от действия ветра.

Однако вернемся к начальному периоду развития теории,
учитывающей изменение очертания кабеля висячих мостов.
В 1931 г. опубликован русский перевод замечательной книги
Ф. Блейха [1], который провел непосредственное интегрирование
дифференциального уравнения изгиба однопролетной балки
жесткости и получил трансцендентное характеристическое урав-
нение для определения распора в кабеле. Решение этого уравне-
ния с последующим вычислением изгибающих моментов в бал-
ке показывает, что они меньше, чем при расчете по методу
сил.

Аткинсон и Саусвел [65] в 1939 г. для расчета однопролетных
мостов предложили релаксационный метод. Они используют ря-
ды Фурье и делают попытку учесть горизонтальные перемещения
кабеля.

Следует отметить, что в 30-х и 40-х годах опубликовано боль-
шое количество работ, посвященных теории висячих мостов.
Среди них большое место занимают работы по уточнению мето-
дов расчета с учетом изменения формы кабеля [71, 72, 95, 109,
117, 128, 138, 140, 141, 148, 162, 179].

В ряде работ рассматривались отдельные вопросы, например,
связанные с выяснением влияния деформации подвесок на рас-
пределение нагрузки между балкой и кабелем [99], обсуждением
различных условий опорных закреплений и их влияния на рабо-
ту мостов [116], построением методов расчета мостов, имеющих
шарниры в балке жесткости [96] и т. д.

В работе [74] обсуждались вопросы строительства мостов
больших пролетов, а в работе [81] — мосты для особенно больших
нагрузок.

Многих инженеров привлекли вопросы общенаучного харак-
тера, связанные с историей развития висячих мостов [114], с
58
принципиальным обсуждением методов расчета [98, 108] и сов-
ременным состоянием теории и методов конструирования [67].

В 1947 г. вышла книга Кроссвайта [79] — «Уточненная теория
балочных висячих мостов». В своей работе он также применяет
метод релаксации. Все крупные висячие мосты в США проана-
лизированы по этому методу.

В последующие годы появилось большое количество работ, в
которых вновь рассматривались общие вопросы расчета висячих
мостов по деформированной схеме [9—-11, 17, 48, 84—86, 90, 93,
100, 113, 132, 142—145, 153, 159, 174]. В этих работах даются
дальнейшие уточнения методов расчета как однопролетных, так
и многопролетных систем. Так, например, при определении де-
формации балок жесткости все чаще стали применяться общие
методы расчета тонкостенных стержней открытого и закрытого
профиля. По этому вопросу можно рекомендовать книги
[4, 5, 53].

Отметим далее некоторые специфические работы, характер-
ные для последнего периода начиная с 1950 г.

В 1955 г. А. Хайден [112] проводит расчет по деформированно-
му состоянию висячих мостов с трехпролетными неразрезными
балками жесткости. Его метод сводится к замене балки жестко-
сти фиктивной балкой, которая рассчитывается на действие вре-
менной вертикальной нагрузки и давление ветра.

В статье Е. Эгервари [87], опубликованной в этом же году,
применяется матричный метод для определения прогибов балки
жесткости цепных мостов от временной нагрузки, при этом ис-
пользуются ряды Фурье.

Сильверман [158] проводит анализ поперечной жесткости ви-
сячих мостов. Он отмечает, что поперечная жесткость моста
обусловлена отношением жесткости ветровой фермы к жестко-
сти кабеля. Распределение нагрузки между кабелем и фермой
'.-определяется приближенно из условия равенства перемещений
кабеля и фермы в средине пролета.

Практическое решение задач о расчете висячего моста с пе-
ременным по длине пролета моментом инерции при помощи ли-
нии влияния дает И. Зидаровский в работах (175, 176]. Он учи-
тывает изменение жесткости и собственного веса, при этом счи-
тает, что балка жесткости в непосредственной близости от
пилонов не подвешена к кабелю.

В работе Лейнекюгеля [126], опубликованной в 1959 г., приво-
дится расчет висячего моста со статически определимой несущей
конструкцией для очень больших пролетов. Висячая система, к
узлам которой подвешены элементы проезжей части в виде
разрезных алюминиевых балочных ферм длиной 150—100 м, по
его расчетам может достигать длины 300 м.

Заслуживает внимания работа М. Еслингера [84], в которой
изложен приближенный метод расчета на прочность висячих
59
мостов при действии горизонтальных сил, вызванных ветровой
нагрузкой, и крутящих моментов, возникающих вследствие эк-
сцентричного действия временной нагрузки.

В предлагаемом методе деформации кручения вокруг про-
дольной оси и изгиб в горизонтальной плоскости представляют-
ся независимыми друг от друга. Вычисления производятся на
электронной машине. Приведены примеры расчета на кручение
трехпролетного неразрезного симметричного висячего моста об-
щей длиной 2080 м со средним пролетом 1040 м и пример на дей-
ствие горизонтальных сил такого же моста общей длиной 2000 м
•со средним пролетом 1000 м. Построены линии влияния для
опорных реакций М и Q.

В работе [85] того же автора описывается приближенный ме-
тод расчета трехпролетного висячего моста с вертикальными
подвесками и дополнительными наклонными вантами на действие
горизонтальной распределенной нагрузки поперек моста и крутя-
щих моментов.

Разработке практических методов расчета висячих мостов
посвящены также работы С. Асплунда [62, 63, 64]. В работах
этого автора рассматриваются однопролетные и трехпролетные
висячие мосты с разрезной балкой жесткости. Расчет проводит-
ся с учетом изменения формы кабеля. В матричном виде выра-
жается зависимость между изгибающими моментами М, проги-
бами балки W, усилиями в подвесках S и грузами Р, приложен-
ными в конечном числе узлов прикрепления подвесок к балке.
Эти зависимости используются затем для построения линий
влияния и «загружения» последних временной нагрузкой.

Значение распора определяется из условия неизменности рас-
стояния между опорами. В расчете учитывается также измене-
ние температуры. При выводах даны ссылки автора на его курс
Structurae mechanics II Gothenburg 1963 г. В связи с перемен-
ностью Н решение ведется итерационным путем на ЭЦВМ, либо
с помощью таблиц, которые содержат безразмерные коэффициен-
ты влияния (с шагом в 1/16 пролета). Сечение балки постоянно
Jo или усилено (до 7=1,25 /о) на двух участках с каждой сторо-
ны между 1/16 и 5/16 пролета. Даны примеры расчета.

В ряде других работ также рассмотрены методы расчета мос-
тов с неразрезной балкой жесткости [1, 18, 42, 137, 185].

За последнее время начали разрабатываться численные ме-
тоды расчета висячих мостов с применением теории матриц [45,
63, 76, 86, 87]. Эти работы в сильной степени способствовали при-
менению ЭЦВМ [75, 124].

Матричному расчету висячих мостов посвящена статья авто-
ров F. J. Borges, L. С. Silva, Е. R. Arantese [76]. Для гибкого
нерастяжимого кабеля с неподвижными концами, несущего
сплошную равномерную нагрузку интенсивностью р и один про-
извольно расположенный груз Pj в безразмерной форме, уста-
навливается нелинейная зависимость вертикального перемеще-
ния произвольной точки Wi и коэффициента увеличения распора
значений Pj. Затем зависимость Wi от Pj линеари-

зуется с оценкой погрешности.

Аналогично исследуется влияние Pj на горизонтальное про-
дольное перемещение средней точки кабеля Wo и влияние гори-
зонтальной продольной силы Ро на прогибы W, а также влияние
поперечной нагрузки на поперечные прогибы.

Указаны приемы, позволяющие дополнительно учесть не
только упругость кабеля, но и податливость опор, неразрывность
трехпролетной системы, изменение температуры. По этой мето-
дике рассчитан строящийся сейчас трехпролетный висячий мост
в Лиссабоне под автодорогу с последующим усилением его под
железную дорогу путем постановки дополнительных наклонных
вант. Расчет выполнен на ЭЦВМ — «Stantes — Zebra». В указан-
ной работе дается описание методики и результаты испытания
модели в 1/500 натуральной величины.

Несколько позднее появились работы по изучению колебаний
висячих мостов. Значительное внимание уделялось собственным
колебаниям (25, 70, 88, 118, 178, 190, 194, 195, 161], аэродинамиче-
ской устойчивости и определению усилий от действия ветра [12,
69, 80, 82, 91, 102—104, 115, 134, 136, 150—152, 155, 164, 183, 184,
186—189, 191—194 и ряд других.

Проблема колебаний висячих мостов особенно привлекла к
себе внимание научных работников после крушения Такомского
моста. Отметим наиболее интересные работы, посвященные этому
вопросу.

В 1948 г. вышла в свет монография И. И. Гольденблата [7],
в которой исследуется устойчивость висячих мостов с балкой
жесткости. При изучении этого вопроса автором сделаны следую-
щие допущения: 1) при изгибно-крутильных колебаниях контур
поперечного сечения балки жесткости не деформируется; 2) под-
вески моста приняты нерастяжимыми; 3) распор принимается
постоянным, т. е. динамическая добавка к распору, возникающая
от сил инерции, не учитывается. В работе И. И. Гольденблата
получены основные уравнения связанных нелинейных колебаний
висячих мостов. Теоретические предпосылки проверены на моде-
ли. В работе отмечена роль ферм жесткости висячих мостов.

В работе В. В. Болотина (2] рассмотрена важная задача ус-
тойчивости колебаний висячих мостов от действия ветра.

В работах С. Scruton [150—152] рассмотрены колебания вися-
чих мостов под ветровой нагрузкой. Исследованы изгибные и
крутильные колебания балки жесткости и соответствующие пе-
ремещения кабеля.

Вопросу динамической устойчивости висячих мостов посвяще-
на работа А. Н. Размадзе [35]. В работе [34] того же автора рас-

А
смотрена динамическая устойчивость однопролетных мостов с
балкой жесткости при обратно симметричных колебаниях.

В статье Н. Moppert [134] проводится статический и динами-
ческий расчет висячих мостов при помощи интегральных уравне-
ний. Первый раздел посвящен решению статической задачи. Во
втором разделе приведены интегральные уравнения для изгиб-
ных и крутильных колебаний.

Исследованию динамических характеристик висячих мостов
посвящена работа К- К- Якобсона [61].

J. Emmen [88] рассматривает колебания висячих мостов при
прохождении по ним поездов и при действии ветра. Вычисляется
энергия, сообщаемая мосту быстро движущимся поездом, а так-
же рассматривается динамический эффект, вызванный ветровой
нагрузкой.

Значению аэродинамических проблем при проектировании со-
временных висячих мостов посвящена работа L. Chadenson [77].

Работа японских авторов J. Konishi, J. Jamada [120] посвяще-
на исследованию реакций на землетрясения большепролетного
висячего моста. Для упрощения анализа была принята система
с конечным числом степеней свободы. Предполагается, что воз-
мущения земной коры имеют простую форму, поэтому прини-
мается линейная теория деформации висячего моста.

В работах [121, 122] этих же авторов исследуются колебания
висячего моста с балкой жесткости, вызванные землетрясением.
Система рассматривается как дискретная: балка жесткости и пи-
лоны предполагаются состоящими из элементарных жестких
участков, соединенных в узлах упругими связями, имитирующи-
ми общую жесткость этих элементов. Цепь и подвески приняты
нерастяжимыми, импульсы передаются через опоры. Составлены
дифференциальные уравнения колебаний пилонов и балки жест-
кости с учетом связанности через подвески и цепь. Определены
собственные частоты и формы колебаний, а также колеба-
ния под действием передаваемого через опоры простейшего
импульса.

В работе А. Хираи, М. Ито [107] описываются эксперименталь-
ные исследования ударного действия на висячие железнодорож-
ные мосты. Для оценки динамического эффекта для прогибов и
моментов в большепролетных мостах (500—1400 м) испытано
большое количество моделей, выполненных с учетом законов по-
добия.

Проблемы асейсмичности висячих мостов при продольном
возбуждении колебаний рассмотрены в работе К. Kubo [123].
Экспериментально и теоретически исследуются вертикальные
колебания висячих мостов, вызванные сейсмическими толчками,
направленными вдоль оси моста. Толчки представлены как гори-
зонтальные смещения опор, происходящие по закону синуса. До-
пускается возможность резонанса. Из сопоставления энергий,
подведенной и рассеянной, за один цикл колебаний определяется
амплитуда вынужденных изгибных колебаний балки жесткости.

Работа A. Hirai, Т. Okumura, М. Ito, N. Nurita [104] посвяще-
на поперечной устойчивости висячего моста при колебаниях ос-
нования. Ставится проблема исследования динамического пове-
дения висячего моста при сейсмических воздействиях, направ-
ленных перпендикулярно к оси моста. Составлена система диф-
ференциальных уравнений малых поперечных колебаний парабо-
лического кабеля («) и балки жесткости (и), связь между кото-
рыми обусловлена возникающими при отклонении подвесок
горизонтальными составляющими усилий, пропорциональными
(и — и) : h. Длина подвесок h переменна, что приводит к пере-
менным коэффициентам, входящих в систему уравнений. Исходя
из синусоидальной формы отклонений с п полуволнами, на осно-
вании принципа возможных перемещений получается выражение
для собственных частот.

Используя этот результат, авторы далее исследуют вынуж-
денные колебания при заданных движениях опор балки и кабеля
и получают формулу для динамических коэффициентов.

Собственные колебания висячих мостов с наклонными ван-
тами рассмотрены в работе В. Goschy [94]. Применяя метод Рит-
ца, автор определяет частоты и формы колебаний, названные
автором арфообразными и пучкообразными, в зависимости от
•схемы расположения вант. Исследуются изгибные и крутильные
колебания указанной конструкции. Рассмотренная задача связа-
на с динамической устойчивостью мостов такого типа.

Связанные колебания висячего моста изучаются в статье
N. Shiraishi [156]. В этой работе исследуются колебания моста,
состоящего из двух параллельных гибких упруго-растяжимых
кабелей, вертикальных нерастяжимых подвесок и балки с жест-
ким профилем. Движение проезжей части описывается двумя
линейными компонентами Vq, ьу0 и углом закручивания 0. Дви-
жение каждого кабеля— тремя параметрами vi\ Wt, (i=l,2).

Вариационным методом получена система из девяти диффе-
ренциальных уравнений движения, включающих, помимо указан-
ных функций, интенсивности сил взаимодействия кабелей и про-
езжей части. Два дополнительных условия выводятся из допу-
щения нерастяжимости подвесок. Недостатком этой работы
является то, что сопротивление проезжей части скручиванию оп-
ределено по Навье (закон плоских сечений), т. е. без учета депла-
нации сечения. Автор указывает на необходимость последующе-
го уточнения за счет изгибного кручения. Выделяются изгибные
колебания, симметричные относительно продольной плоскости.

Из соответствующей системы трех дифференциальных урав-
нений движения для перемещений со, w и и и одного дополни-
тельного условия нерастяжимости подвесок выведена система
трех обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих
форму колебаний и частоту как параметр. Показано, что жесткое
соединение кабеля и балки жесткости в средине пролета приво-
дит к появлению в дифференциальных уравнениях особой точки.

Решения представляются в виде ряда	—.

С развитием теории расчета висячих мостов тесно связано
развитие расчета гибких нитей [14, 15, 36, 43, 51, 57], ферм из тро-
сов [21, 27—29, 32, 56], висячих покрытий [22, 30, 31, 33, 47, 54],
которым в настоящее время уделяется большое внимание.

Среди многочисленных работ по расчету висячих мостов сле-
дует особенно выделить упомянутые ранее работы Л. Б. Штейн-
мана, С. П. Тимошенко [52, 180—182], Ф. Штюсси [168—172],
И. И. Гольденблата [8], В. В. Болотина [2], С. О. Асплунда
[62-64].

Сведения о расчете висячих мостов можно найти также в
монографиях и учебниках [1, 6, 13, 16, 19, 20, 23, 24, 26, 49, 50,
58, 59, 62, 68, 73, 97, 129, 130, 131, 146, 147, 149, 154].

Следует отметить работы, посвященные некоторым специфи-
ческим задачам, как, например, расчету косых висячих мостов
[160], мостов с тяжелым настилом [106], мостов с несовершенно
упругой балкой жесткости [101] и балкой Гербера [173], предва-
рительно напряженным висячим мостам [177], созданию специ-
альных правил (технических условий) [125] и некоторые другие.

Заслуживают внимания интересующихся проектированием и
конструированием висячих мостов работы [55, 66, 78, 89, ПО, 127,
129, 196].

Настоящий обзор не претендует на исчерпывающую полноту.
В него главным образом вошли книги и статьи, посвященные рас-
чету кабельных висячих мостов с учетом геометрической нели-
нейности системы.
ГЛАВА II
ТИПЫ висячих мостов
И ИХ РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ

§ 1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В современной практике мостостроения применяются различ-
ные типы висячих мостов. Среди них особое место занимают ка-
бельные мосты, у- которых главными несущими элементами
являются гибкие кабели, изготовленные из высокопрочной про-
волоки и балки жесткости. Мосты такой конструкции обладают
большой грузоподъемностью и позволяют перекрывать очень
большие пролеты. Они успешно применяются для пропуска как
автомобильного, так и железнодорожного транспорта.

За последние годы нашли широкое применение так называе-
мые балочно-вантовые мосты, у которых балочные пролетные
строения работают совместно с вантами. Общие сведения по ука-
занным типам висячих мостов были приведены в гл. I.

В настоящей книге основное внимание уделяется кабельным
мостам, получившим большое распространение в мировой прак-
тике мостостроения. В отдельной главе рассматриваются также
балочно-вантовые мосты, которым в нашей стране уделяется
большое внимание.

§ 2.	ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ КАБЕЛЬНЫХ МОСТОВ

Основными элементами висячего кабельного моста (рис. 61)
являются:

1)	кабель, состоящий из большого количества высокопрочных
проволочных пучков, объединенных вместе в гибкий элемент,
работающий на растяжение как гибкая нить и обладающий спо-
собностью воспринимать большие вертикальные силы;

2)	балка жесткости, работающая на изгиб. Основное ее на-
значение—создавать всей системе в целом необходимую жест-
кость. Балка придает прогибам моста плавную кривую и тем
самым устраняет резкие перепады в перемещениях отдельных
точек. Термин «балка жесткости» употребляется в обобщенном
Рис. 61.

смысле. В действительности она представляет собой пролетное
строение, состоящее из главных и поперечных балок, соединен-
ных с проезжим полотном. Во многих случаях роль главных ба-
лок выполняют сквозные фермы с большим числом панелей и с
малой высотой по сравнению с пролетом. Жесткость на изгиб
такого пролетного строения невелика и поэтому без кабеля оно
самостоятельно существовать не может;

3)	подвески, соединяющие кабель с балкой жесткости, обес-
печивают их совместную работу и передают значительную часть
нагрузки на кабель;

4)	пилоны, на которые в верхних точках опираются кабели.
Основное назначение пилонов состоит в передаче нагрузки от
кабеля на фундаменты. Вместе с тем пилоны играют роль пор-
тальных рам, создающих в какой-то степени поперечную жест-
кость висячей системы;

5)	анкерные устройства — неподвижно закрепляющие конце-
вые сечения кабеля.

Довольно часто на практике применяются трехпролстные ви-
сячие мосты. Основными генеральными размерами трехпролетно-
го моста являются: пролеты 1\ и /2, стрелы провисания кабеля
Л и f2, длины оттяжек Si и s2, ширина моста В и высота пило-
нов Н.

Величинами, характеризующими жесткость системы, будут:
жесткость кабеля на растяжение E'F, изгибная жесткость балки
EJ, изгибно-крутильная жесткость балки ЕВЫ и жесткость балки
при чистом кручении GJ^-

На практике встречаются разновидности висячих мостов,
связанные с закреплением кабеля: мосты с кабелем, передаю-
щим усилие на землю, и с кабелем, прикрепленным непосредст-
венно к балке жесткости. Последние условно называются моста-
ми с воспринятым распором. На рис. 61 показан мост первого
типа, а на рис. 62 — второго типа.

Мосты больших пролетов с распором, воспринимаемым бал-
кой, встречаются редко. Объясняется это тем, что при большой
длине балки жесткости в сильной степени сказывается влияние
продольного изгиба. Сечения главных балок увеличиваются, за
счет этого мосты больших пролетов с воспринятым распором с

экономической точки зрения
невыгодны, поэтому мы их
рассматривать не будем.

Таким образом .все даль-
нейшие рассуждения будут
относиться к мостам, имею-
щим кабель, закрепленный
в землю. Такие мосты могут
быть однопролетные (рис
63, а), двухпролетные (рис.
63, б), а также трехпро-

летные, показанные на
Рис. 65.	рис. 64.

Трехпролетные мосты мо-
гут иметь различные схемы.
На рис. 64, а показан трехпролетный мост с разрезной балкой
жесткости. Такую схему имеют известные Бруклинский и Ман-
хаттанский мосты. На рис. 64, б показан трехпролетный мост
с неразрезной балкой жесткости, при этом все три пролета
подвешены к кабелю. Этот тип имеет довольно широкое распро-
странение.

В трехпролетных мостах часто подвесным является только
средний пролет, а два крайних пролета не соединяются с кабе-
лем (рис. 64, в). К такому типу относится, например, висячий
мост в Будапеште, показанный на рис. 11.

На рис. 64, г показан трехпролетный мост, у которого кабель
в середине пролета жестко соединен с балкой. Такие мосты об-
ладают повышенной жесткостью и поэтому являются целесооб-
разными. В качестве примера можно указать на Танкервильский
мост во Франции (см. рис. 31), краткое описание которого при-
ведено в § 3 гл. I.

Расчет моста с кабелем, закрепленным в балку в средине про-
лета, сложнее, чем обычного кабельного моста. Усилия в кабеле
в левой и правой половинах моста при несимметричном загруже-
нии различны между собой, что вносит существенное изменение
в методику расчета. Теория расчета таких мостов с числовыми
примерами приводится в § 11 гл. V.

За последнее время стали появляться мосты с наклонными
подвесками (рис. 64, д). Подвески образуют как бы ферму с
треугольной решеткой. Такие мосты обладают более высокой
жесткостью, чем мосты с параллельными подвесками.

При расчете кабельных мостов применяются два основных
метода: первый, приближенный метод, основанный на примене-
нии принципа независимости действия сил,, по существу метод
сил в самой обычной линейной постановке. По этому методу
строятся’Слинии влияния и по ним определяются расчетные уси-
лия. На рис. 65, а показана расчетная схема (основная система)
для однопролетного моста, соответствующая этому методу. Сис-
тема рассматривается как однажды статически неопределимая.
Основной особенностью указанного метода является то, что ка-
бель при любой нагрузке, приложенной к балке, в том числе и
несимметричной, испытывает симметричное загружение со сто-
роны подвесок. Следует отметить, что этот метод в настоящее
время применяется редко. Его можно использовать только для
мостов малых пролетов с балкой, обладающей значительной
жесткостью.

Для мостов больших пролетов он не обеспечивает необходи-
мую точность и приводит к утяжелению конструкции. В насто-
ящей книге этот метод рассматриваться не будет.

Второй метод основан на более точных предпосылках. В нем
учитывается изменение очертания кабеля в процессе загружения
моста временной нагрузкой. Закон независимости действия сил
в этом случае применять нельзя, приходится проводить расчет с
учетом геометрической нелинейности системы. Расчет по этому
методу иногда условно называется расчетом «по деформирован-
ной схеме».

За неизвестные при расчете с учетом геометрической нели-
нейности принимаются или перемещения балки по вертикали,
или усилия в подвесках. В первом случае для отыскания проги-
бов составляются дифференциальные уравнения изгиба балки, а
но втором — система совместных уравнений, описывающих де-
формации балки и кабеля.

4

§ 3.	О РАЦИОНАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИЯХ ОСНОВНЫХ
РАЗМЕРОВ КАБЕЛЬНЫХ МОСТОВ

Г

•Зр Оптимальное проектирование висячих мостов представляет
особой сложную проблему. В настоящее время пока еще отсутст-
вуют объективные научные критерии, позволяющие оценить тот
Йли другой проект и выбрать при сравнении вариантов наилуч-
дций из них. Однако на основании накопленного опыта проектиро-
вания установились наиболее выгодные соотношения генераль-
\ ных размеров для отдельных типов мостов, которые получили
^широкое распространение в инженерном проектировании. Так,
^Например, по данным, собранным и обобщенным Д. Б. Штейн-
JjMaHOM [165] для трехиролетных мостов с неразрезной балкой
' л жесткости, в случае когда подвешенным является только средний
'^Оролет (см. рис. 64, в), целесообразно назначить длину крайне-
го пролета равной около 1/4 длины среднего пролета. Для случая
йкэгда все три пролета подвешены к кабелю (см. рис. 64, б), от-
(^мошение длин указанных пролетов обычно принимается око-
|ло‘/2.
Отношение стрелы провисания нити в среднем пролете к дли-
не пролета в большинстве осуществленных мостов больших про-
летов колеблется в пределах от Vs до 1/ю-

Для автодорожных и пешеходных мостов при сравнительно
малой временной нагрузке это отношение несколько меньше.
Оно колеблется в пределах от 7ю до 712.

Для назначения высоты балки жесткости каких-либо строго
установленных рекомендаций не имеется. Отношение высоты
балки к пролету зависит от ряда факторов. Так, например, чем
больше пролет моста, тем меньше это отношение. Для наиболее
крупных осуществленных мостов это отношение колеблется в
пределах от 1/80 до 1/120. Исключение представляют два моста:
Северенский мост, построенный в 1966 г., у которого отношение
высоты балки к пролету составляет 1/324, и старый Такомский
мост с отношением 1/350.

Высота балок жесткости в сильной степени зависит от требо-
ваний, предъявляемых к жесткости моста в целом. Для желез-
нодорожных мостов допускаемый прогиб меньше, а следова-
тельно, требуется повышенная жесткость мостов, что заставляет
делать балку более высокой.

Анализ построенных мостов показывает, что в каждом новом
мосту применяется все более смелое решение в сторону умень-
шения относительной высоты балки жесткости. Применение вы-
сокопрочных сталей позволяет обеспечить прочность балки при
малых размерах ее поперечного сечения. Однако с уменьшением
высоты балки возникает проблема обеспечения жесткости систе-
мы. При малой высоте балки жесткость системы в целом сильно
снижается, что ухудшает эксплуатационные характеристики
сооружения.

Колебания моста при малой жесткости балки приведут к
ограничениям скоростей движения. Однако решающим в этих
случаях является сильное снижение сопротивляемости системы
действию ветровых нагрузок.

Наряду с проблемой минимальной жесткости системы воз-
никает задача создания необходимых аэродинамических харак-
теристик пролетного строения. Необходимо стремиться выбирать
удобообтекаемые формы, при которых завихрения потока ветра
будут минимальными.

Весьма неудачное решение в этом отношении было принято
в старом Такомском мосту, имевшем малое отношение высоты
балки жесткости к пролету (1/350), а также неудачную плохо
обтекаемую форму поперечного сечения.

При назначении генеральных размеров висячего моста мож-
но, в некоторой степени, использовать табл. 2, помещенную в
гл. I, в которой приводятся конкретные данные тринадцати круп-
нейших построенных мостов.
§ 4.	ОСОБЕННОСТИ КАБЕЛЬНЫХ ВИСЯЧИХ МОСТОВ
ПО СРАВНЕНИЮ С ДРУГИМИ МОСТАМИ

Висячие мосты по сравнению с другими типами мостов обла-
дают рядом особенностей. В первую очередь необходимо отме-
тить рациональное использование материала в основном несу-
щем элементе — кабеле. Во всех точках поперечного сечения
кабеля (во всех проволоках) напряжение одинаковое. Таким об-
разом, все проволоки работают на полную грузоподъемность.
Так как на кабель падает около 80% всей нагрузки, то можно
считать висячую систему приближающейся к системе наимень-
шего объема.

Так как кабель всегда растянут, то по сравнению с арочным
мостом здесь отсутствуют коэффициенты увеличения площади
сечения, вызванные опасением продольного изгиба. Кроме того,
в кабеле отсутствуют концентраторы напряжений, которые обыч-
но утяжеляют конструкцию.

С экономической точки зрения, как указывает Д. Б. Штейн-
ман {165], висячие мосты под автомобильные дороги становятся
выгодными по сравнению с другими типами мостов, начиная с
пролета примерно 130 м и более, а для железнодорожных мос-
тов — начиная с пролета 480—500 м. Чем больше пролет моста
превышает указанные значения, тем большей становится эконо-
мическая выгода в применении висячего моста по сравнению с
другими типами мостов.

.Естественно, что на указанные цифры необходимо смотреть
как на ориентировочные, так как в реальных условиях проекти-
рования необходимо учитывать местные условия. Так, например,
многопролетные эстакады на суходолах или подходах моста яв-
j ляются самыми выгодными.

Поэтому приведенные цифры верны для случая, когда вслед-
ствие большой высоты опор необходимо применять пролеты
V большой величины.

I. Еще одним огромным преимуществом висячего моста являет-
ся его «живучесть» по отношению к повреждениям балки жестко-
сти. В обычной балочной ферме выход из строя элемента фермы
((например, нижнего пояса) приведет к разрушению моста. Вися-
1«чий же мост можно продолжать эксплуатировать при поврежде-
нии не одного, а ряда элементов балки жесткости.

* Если по каким-либо причинам в балке появился целый ряд
шарниров, то, как показали расчеты, приведенные в гл. VI, полу-
ченная при этом система продолжает обладать достаточно вы-
j.coKoft грузоподъемностью. При повреждении балки жесткости
& можно осуществлять ремонт без перерыва движения.

' К числу достоинств висячих мостов относится также просто-
'*'-та их возведения. Навесная сборка (без подмостей) позволяет
,Л .осуществлять строительство в короткие сроки.
Недостатком висячих мостов является их меньшая жесткость
по сравнению с другими типами мостов и повышенная чувстви-
тельность к ветровым нагрузкам.

§ 5. ОСНОВНЫЕ СХЕМЫ БАЛОЧНО-ВАНТОВЫХ МОСТОВ

р.

В настоящем параграфе рассматриваются расчетные схемы
одной из разновидностей вантовых мостов. Имеются в виду ба-
лочно-вантовые мосты, которые за последние годы получили
широкое распространение. На рис. 66 показана схема, в которой
ванты сходятся на- вершине пилона в одну точку, образуя ради-
альный пучок. На этой схеме пилон представляет собой колонну,
заделанную одним концом. На рис. 67, а показан качающийся
пилон, который, вращаясь относительно точки А, может слегка
наклоняться. Так как по концам имеются шарниры, то он всегда
испытывает только центральное сжатие.

Если в схеме, изображенной на рис. 66, ванты в узле А при-
крепляются к подвижной опорной части, поставленной на верши-
не пилона, как это схематически изображено на рис. 67, в, то
пилон будет работать на/сжатие или на внецентренное сжатие,
когда подвижная опорная часть передвинется в какую-либо сто-
рону от оси пилона.

С высокой степенью приближения две схемы, показанные на
рис. 67, а и б, с точки зрения расчета можно считать одинаковы-
ми. В первом случае можно прене-
бречь малым наклоном качающегося
пилона, который будет происходить
при деформации всей системы от
временной нагрузки, а во втором —
наклоном плоскости, по которой бу-
дет перекатываться подвижная опор-
ная часть. Тогда для обоих случаев
сумма проекций усилий в вантах,
сходящихся в узле В, на горизон-
тальную ось равна 0.

Если в схеме, изображенной на
рис. 66, ванты жестко скреплены с
пилоном, то последний, кроме верти-
Рис. 68.

калькой силы, будет воспринимать также горизонтальную силу,
а поэтому он будет работать на сжатие с изгибом, что вносит су-
щественные изменения в методику расчета таких мостов. Изло-
жение методов расчета балочно-вантовых мостов приводится в
гл. VII.

На рис. 68 показана схема с параллельными вантами. Расчет-
ная схема таких мостов зависит от способов прикрепления вант.
Так, например, на рис. 69 показан пилон, на котором в точках А,
В и С ванты прикреплены к подвижным
опорным частям.

Наряду с таким случаем возможны и
другие варианты прикрепления вант, на-
пример, во всех трех узлах ванты могут
иметь жесткое скрепление с пилоном. В
каждом отдельном случае будет своя рас-
четная схема и свое количество лишних не-
известных. Однако это не вызовет принци-
пиальных затруднений.
ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
РАСЧЕТА ГИБКОМ НИТИ

§ 1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В настоящее время по расчету гибких нитей имеется обшир-
ная литература. В отдельных статьях и монографиях решены
многочисленные задачи о равновесии гибких нитей при различ-
ных нагрузках, действии температуры, а также вопросы колеба-
ний нитей или составленных из них различных систем.

В зависимости от целей, которые ставятся в том или ином
исследовании, можно выделить два типа задач по статическому
расчету гибкой нити. Одна из наиболее распространенных задач
состоит в отыскании очертаний нити при действии ее собствен-
ного веса, а также той полезной нагрузки, которую воспринимает
гибкая нить. Эта задача исследована более детально, в ней ос-
новные принципиальные вопросы выяснены с достаточной пол-
нотой.

Вторая задача состоит в определении перемещений отдельных
точек гибкой нити при изменении действующей на нее нагрузки.
Эта задача типична для кабеля висячего моста. При загружении
моста временной нагрузкой усилия в подвесках изменяются и
точки оси кабеля перемещаются как по вертикали, так и по гори-
зонтали. Отыскание указанных перемещений в отдельных слу-
чаях представляет собой весьма сложную задачу, которая тре-
бует разработки специальных методов решения и применения вы-
числительных машин.

К числу таких задач относится, например, задача об опреде-
лении перемещений точек нити, несущей вертикальную нагрузку
при дополнительном одновременном действии на нее вертикаль-
ных и горизонтальных сил. Еще более сложным является расчет
гибкой нити с учетом наклона подвесок. Для больших перемеще-
ний при решении этой задачи приходится иметь дело со сложны-
ми нелинейными дифференциальными уравнениями.

Подобного рода задачи рассматриваются в настоящей главе..
Методика, применяемая для решения указанных задач, исполь-
зуется в дальнейшем при расчете висячих мостов.
§ 2.	ИЗМЕНЕНИЕ ОЧЕРТАНИЯ ОСИ ГИБКОЙ НИТИ
ПРИ ЗАГРУЖЕНИИ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКОЙ

Предположим, что гибкая нить переменного сечения загруже-
на постоянной нагрузкой gT/м. В эту нагрузку включается вес
самой нити и вес поддерживаемой ею конструкции, прикреплен-
ной с помощью подвесок. Вес нити мал по сравнению с весом
конструкции. Нагрузку g будем считать равномерно распреде-
ленной по горизонтальной проекции нити. Очертание нити от
нагрузки g будем считать заданным y=f(x). Допустим, что под-

держиваемая конструкция передает нагрузку на нить и не пре-
пятствует свободному перемещению точек гибкой нити.

При загружении системы дополнительной (временной) на-
грузкой q изменяется очертание нити и изменяются нормальные
усилия в ее элементах, что влечет за собой упругое удлинение
нити. Основная задача будет состоять в определении вектора
вертикальных перемещений точек нити

^2

Чп

В этом параграфе рассматриваются пологие нити, для кото-
рых при определении вертикальных перемещений горизонталь-
ными можно пренебречь.

Допустим, что на нить с опорами, расположенными на од-
ном уровне, нагрузка передается только в п узловых точках, рас-
стояния между которыми по горизонтали примем одинаковыми
и равными величине d. Собственный вес нити будем считать
сосредоточенным в узлах. В этом случае между узловыми точ-
ками нить будет очерчена по прямым линиям (рис. 70,а). Сосре-
доточенную силу, приложенную к произвольному узлу, предста-
вим в виде

VK=vgK+VqK,	(а)

где VgK— узловая сила от постоянной нагрузки;

V9K— то же, от временной нагрузки.

На рис. 70, а сплошными линиями показана нить под действи-
ем постоянной нагрузки, а пунктиром — нить после деформации
от временной нагрузки.

j Узловые силы Vi, V2, ..., Vn представляют собой суммарные
силы, определяемые равенством (а).

L Длины участков нити между узлами до деформации соответ-
 ственно обозначены Si, S2, S3....

ft Усилия в соответствующих элементах нити будем обозначать
к N2, ..., Nn+i. Таким образом, значок у длины участка S и уси-
Рис. 70.

лия N будет совпадать с номером узла, расположенного на пра-
вом конце соответствующего участка.

После деформации длины участков соответственно будут

St+A.$i; 52 + д52...

На рис. 70, б показан к-й узел, вырезанный из системы после
деформации. К нему приложены силы NKuN K+i- Длины, примы-
кающие к этому узлу элементов,	Sk+i + ASk+i.

Горизонтальные проекции усилий N к и NK+i равны между
собой и равны распору Н.

Между узловыми силами и ординатами узловых точек нити
после деформации существует следующая зависимость:

где

__ (ук ~Г	— (Ук—Х +	1) .

“ d

_ (.Ук+А + т1к+1) — (Ук + Чк) .
--	7

(Ъ>

(с)

(d>

Н — распор в гибкой нити от постоянной и временной на-
грузок;

и — углы наклона элементов нити к горизонту слева и
справа от узла к (рис. 70, б).
Подставив выражения (с) и (d) в равенство (Ь), получим
зависимость сил V от ординат у+г]

V к—~~ [~(#к-14"7м-1) + 2й/к+i“kWi)]»	(е)

а.

где т]к— вертикальное перемещение узла к нити.

Написав выражение (е) для п узловых точек, получаем:

Vi =~ [2 (уг + Th)—(У2 + Л
d

^2 ~~ I ~(i/i-l_7ii)'4"2(//2-t-Tj2)—(г/зД-^з)],
а

Vn—~т [ — (Уп—1 4-т]п_1)4-2(г/п-|-т]я)].
d

В матричной форме эта система уравнений запишется в сле-
дующем виде:

V=HL2(y + ^,	(1ПЛ)

где V — вектор суммарных узловых сил от постоянной и вре-
менной нагрузок;

у— вектор начальных ординат узловых точек;

т]— вектор вертикальных перемещений узлов.
Матрица L2 имеет вид

2

(III.2)

Из уравнения (III. 1) получаем

ri = -~L'2У-

(III.3)

В уравнении (III.3) содержатся два неизвестных т) и Н. Сле-
довательно, необходимо составить дополнительное уравнение.
Для этой цели используем принцип Лагранжа, по которому вир-
туальная работа внешних и внутренних сил кабеля от постоян-
ной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна 0.
К=1

где U — работа внутренних сил Ng (от постоянной нагрузки)
на перемещениях AS (удлинениях элементов нити S
от временной нагрузки);

Л

2 ^gK^K—работа внешних сил (от постоянной нагрузки) на
Л=1

перемещениях т] (от временной нагрузки q).

Работу внутренних сил можно определить следующим об-
разом:

<Ш-5>

К=1

где

NaKSK

(III.6)
к

ак	’

COS

где EFK—жесткость нити в элементе к (между узлами к и
и к—1);

NgK и — нормальные силы в элементе к от постоянной и
временной нагрузок;

Hg и Нч— составляющие полного распора И от постоянной
и временной нагрузок.

Подставляя выражения (III.6) в равенство (III.5) и обозна-
чая через Fo площадь нити в средине пролета, получаем

U —	d

FFQ jZj FK cos3 <?IC

K= 1

Обозначим

Л+1

---7----= is-	(1Ч-7)

FK cos3?K

K=1

При большом числе узлов суммирование в формуле (Ш.7), с
достаточной для практики точностью, можно заменить интегри-
78
рованием. Приняв ось нити за непрерывную кривую и положив

р___

cos у
находим:

для нити с переменной жесткостью

о

dx

cos2 <р

для нити постоянного сечения

i

____f	dx
s — \	;

.) COS3 <Р
о

Таким образом,

efq s

Учитывая далее, что

v=vg+vq 

(III.8)

(III.9)

(ШЛО)

(IILll)

вместо уравнений (Ш.З) и (III.4) окончательно получаем два
совместных уравнения

К = 1

(Ш.12)

Эти уравнения можно представить также в другом, более
удобном виде. Для этого на основании равенства (III.1), поло-
жив в нем т) = 0 и Н=НВ, находим:

Подставляя найденное значение в уравнения (III.12), а также
введя новое обозначение

Не

(111.13)

Г1

после несложных преобразований получим

(Ш.14)
«=1

EF0

(III. 15)

Рассмотрим более подробно частный случай, когда узлы нити
до загружении временной нагрузкой лежат на квадратной пара-
боле с уравнением

У=~-х(1 — х).	(III.16)

В этом случае собственный вес g и узловые силы

Vz=8d

величины постоянные. На основании этого вместо выражения
(III.15) получаем

H-gLs
gdEF0

(III. 17)

Сумму ординат прогибов можно определить с помощью ра-
венства

п

Л-1

где mi — матрица-строка, все элементы которой равны единице,
а ее порядок совпадает с порядком вектора т].

Учитывая равенство (III.14), получаем:

W]£2	—(1—

(III. 18)



X

Приравняв правые части равенств (III.17) и (III.18) и про-
изведя преобразования, получим квадратное уравнение для опре-
деления величины X:

\2_ Xmi-/n2=O,	(III. 19)

где



taiy — а .

gdEFQ

(HI. 20а)
(III.20)

Величину Ls можно выразить через пролет нити /:

s— р/.

(III .21)

Для нити с постоянным сечением

I	I	3_

р. =— —— = — f [ 1 4- (V)2] 2 dx.

I J cos3<p / J 1	• w ' 1

о	0

Величину p для случая, когда опоры нити расположены на
разных уровнях (рис. 71), можно определить приближенно, раз-
ложив в ряд выражение

и +(</')2Г=1+4^'’’+4 (»'>*+• • •
Z	о

Учитывая, что

У = ~-х(1-х)-\-х\^ у0

и сохранив три члена ряда после всех преобразований, получим:

Если опоры нити расположены на одном уровне (уо = О), то
для р можно получить точную формулу, которая имеет вид

/ i + i6Zl_p_L_Lx

\ 8 1	/2 ) у 1	/2	32 f

X in 4 —+ 1/ И 16

\ I 1 у 11

(III.23)
Для
Л,

нити с переменным сечением, меняющимся по закону

cos у

I

1 f dx

U. — --- \ --------

I J cos2 <p
0

4-^1

0

или после интегрирования при

параболическом очертании нити

(III.24)

о Z2

Полученные формулы позволяют определить перемещения то-
чек деформируемой нити от любой временной нагрузки. Для
этого необходимо по формулам (III.20а) вычислить коэффициен-
ты Ш] и /и2, затем из уравнения (III. 19) определить X, по равен-
ству (III.13) найти полный распор Н и по формуле (III.14) —
вектор перемещений тр

Рассмотрим примеры применения описанной методики.

Пример 1. Нить пролетом / = 200 м нагружена постоянной
нагрузкой £=0,5 Т/м. Стрела провисания f = 20 м. Площадь сече-
ния постоянна по длине и равна Fo = O,01 м2, EFo=O,18333-106 Т.
Нить загружена временной нагрузкой q=\ Т/м, равномерно рас-
пределенной по всей длине пролета. Определить перемещения ц,
если первоначальное очертание нити определяется уравнением
(III.16).

Разобьем пролет на шесть равных частей. Длина панели
а=— м. По уравнению (III.16) находим вектор:

11,11111

17,77778

20,00000

17,77778

11,11111

Матрица L2 Для нашего случая имеет вид
Обратная матрица L2-1, как известно, равна матрице влияния
моментов. Для данного случая

5

4

3

2

1

4 3 2 1

8 6 4 2

6 9 6 3

4 6 8 4

2 3 4 5

Матрица-строка coi будет также пятого порядка
^i = ll 1 1 1 1 1||.

Находим произведения матриц:

0^7’ = —1| 15 24 27 24 15||;

6

(0^=77,77778.

Вектор Vq имеет вид

Следовательно,

-lTt 200	105rf	1750

2 V а —----------  ------- —----------

Q 6	6

По табл. 3, приведенной в приложении, при-у-= 0,1
ц= 1,08189. По формуле (III.21) определяем

Z.s = pZ = 216,378 м.

Далее определяем коэффициенты по формулам

III.20):

находим

(III.20а,

= Д5Д№ = 125 7-
g 8-20

«=-------12*-216'378	= 1,106499

200

0,5- — -0,18333-106

200

р = — -	-ф 77,77778 = 233,33333.

125	3
Коэффициенты т} и т?:

т} —

77,77778-.,10850

233,33333

/П2

1.1QR499

233,33333

— 0,0047421.

Таким образом получаем квадратное уравнение
X2 — 0,328591 л — 0,0047421 = О,

которое имеет следующие корни:

X, —0,342439,	Х2=-0,013848.

Естественно, что учету подлежит только положительный корень.
По соотношению (III.13) находим полный распор от постоянной
и временной нагрузок:

125

0,342439

365,029 Т.

По формуле (III.14) находим перемещения т]

-	0,342439-2002

125-6-6-6

1

1

1

1

1

-0,657561

5

4

3

2

1

4 3 2

8 6 4

6 9 6

4 6 8

2 3 4

11,11111

17,77778

20,00000

17,77778

11,11111

1

2

3

4

5

0,304
0,486

0,546
0,486
0,304

Из рассмотренного примера видно, что все вычисления сво-
дятся к простым арифметическим действиям. В данном примере
нагрузка была симметричной, однако вычисления нисколько не
усложняются и при любой другой нагрузке. Прежде чем перехо-
дить к более сложному загружению, вернемся к нашему примеру
и рассмотрим один частный случай. Положим EFo = °°- Тогда

а = 0; т2 — 0,

77,77778 —0	1

233,33333 ~ Т ’
Рис. 72.

3

Суммарный распор Н = -^ = 375 Т.

Если теперь подставить Х= — в формулу (III.14), то получим
3

т) = 0. Полученный результат будет понятен, если рассмотреть
недеформируемую нить под действием суммарной нагрузки
g + <7 = 1,5 Г, для которой

Н =	+ W =: 375 т.

8/

Пример 2. Та же самая нить, что и в примере 1, загружена
временной равномерно распределенной нагрузкой q= 1 Т/м на
половине пролета (рис. 72). Вектор сосредоточенных сил от вре-
менной нагрузки в этом случае имеет вид

200

6

1,0
1,0
0,5
0,0
0,0

Произведение матриц <01Л2-1 останется
ходим:

прежним. Далее на-

^L?Vq= А . ~~Н15 24 27 24 15 || X

1

1
0,5
0
0

1750
Величины р, Ls, Hg, a — останутся прежними, а именно:

♦*=1,08189, 7.^ = 216,378, 77^=125 T, a= 1,10650.

Найдем величину 0:

200

8 = — . -^1 + 77,77778 = 155,55555.

'	125	6

Коэффициенты и т2 будут:

тх —

’77,77778 — 1,10650

155,55555

0,492887,

1,106499

/По =----—-

155,55555

0,0071132.

Квадратное уравнение для определения X принимает вид
X2-0,492887 X — 0,0071132 = 0,

откуда

>. = 0,506920.

Далее находим распор и прогибы:

125

0,506920

246,587 Т,

	5 4 3 2 1		1,0
	4 8 6 4 2		1 0
*	 0,506920-2002	3 6 9 6 3		
Т‘~	125-6-5-6		X	0,5
	2 4 6 8 4		0,0
	1 2 3 4 5		0,0

-0,493080

11,11111

17,77778

20,00000

17,77778

11,11111

2,407

2,499

0,277

-2,007
— 2,099

На рис. 72 показана рассмотренная нить с нагрузкой на по-
лупролете. Жирной линией изображена нить под действием
только постоянной нагрузки, а пунктиром — после загружения
временной нагрузкой.

Пример 3. В третьем примере рассмотрим ту же нить, что и в
предыдущих примерах, но с временной нагрузкой, распределен-
ной по закону треугольника (рис. 73). В этом случае вектор со-
......... .. Л ...

„ ТТТпх^-L

1.0т/м \ IТГГГГГГПТтт-г-r^—
i

Рис. 73.

средоточенных сил, заменяющий треугольную нагрузку, подсчи-
тывается элементарно просто:

•200

Вычисляем значение

0,83333

0,66667

0,50000

0,33333

0,16667

0,83333

0,66667

0,50000

0,33333

0,16667

24 27 24 15||Х

= 291,66667.

При тех же значениях ц, Ls, Hg, а находим величину 0:
р =	- 291,66667 4- 77,77778 = 155,55555.

Коэффициенты тг и т2 будут:

=. 77,77778—1,10650 =
155,55555

1,105499

/По = —---------—

155,55555

0,0071132.

Квадратное уравнение будет таким же, как и в примере 2.
Следовательно, Л=0,506920.
Суммарный распор от постоянной и временной нагрузок будет

/7=246,587 Т.

Находим прогибы:

	5 4 3 2 1		0,83333		
0,506920-2002	4 8 6 4 2		0,66667		
'' '	125-6-6-6	3 6 9 6 3		0,50000		’—
	2 4 6 8 4		0,33333		
	1 2 3 4 5		0,16667		
	11,11111	1,405			
	17,77778	1,247			
-0,493080	20,00000 =	0,277			
	17,77778	-0,755			
	11,11111	-1,098			

На рис. 73 показана нить до и после деформации. Пунктирная
линия изображает нить после загружения временной нагрузкой.

Интересно отметить, что все коэффициенты и распор оказа-
лись такими же, как и в предыдущем примере. Однако прогибы
резко отличаются друг от друга.

§ 3. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПРИ РАСЧЕТЕ ГИБКОЙ НИТИ

Под действием температуры все элементы нити меняиот свои
размеры, что влечет за собой изменение первоначального» очерта-
ния ее оси. При изменении очертания в свою очередь возникает
изменение натяжения гибкой нити. Ввиду того что задачга о рас-
чете нити является нелинейной, нельзя расчет на температуру
отделить от расчета на действие временной нагрузки.

Целью расчета является определение прогибов и изменения
натяжения нити от одновременного действия нагрузки q и темпе-
ратурного нагрева на tc.

В основу расчета положены те же предпосылки и допущения,
которые были приняты в предыдущем параграфе. Основное урав-
нение для определения прогибов остается таким же, как и при
расчете на действие нагрузки. Оно было выведено в предыдущем
параграфе под номером (III.14). Приведем его без изменения



При составлении второго уравнения, так же как и ранее, бу-
дем исходить из принципа Лагранжа, по которому теперь необ-
ходимо приравнять нулю виртуальную работу внешних и внут-
ренних сил от постоянной нагрузки на перемещениях, вызванных
одновременным действием временной нагрузки и температуры.
Это уравнение имеет вид

£ ^-(l/.+l^-O.	(Ш.25)

«=1

Согласно равенству (III.12)

’Viz	,	,пт

----£F0----L‘‘	( L26)

Л = 1

По выражению (III.10) получим

Uq = -^-Ls.	(III.27)

С.Г0

Работа внутренних сил на перемещениях от температуры t°
п+1	л+1

и, =	У	—f—	^tS^H^tL,,	(III.28)

Л = 1	К = 1

где at — коэффициент температурного расширения.

При большом числе делений выражение суммы, с достаточной
для практических расчетов точностью, можно представить в виде

л + 1	I

Lt = V —( —d_x__=	(П1 29)

cos	J cos2 Cf>

л=1	О

Значение р/ совпадает с выражением, найденным в предыду-
щем параграфе (III.24). Таким образом,

. , 16 У2 . . 2
н=1+— 

о I6

(III .30)

Учитывая, что Hq = H—Hg, и подставляя выражения (III.26),
(III.27) и (III.28) в равенство (III.25), получим:

У	Ls+H^L,.

EFn s s 1 1

K = 1

Так как и ранее, используем обозначение (III.13) Х= .

Таким образом получим два уравнения

(Ш.31)

Пег
и	L

У'* ^еЛ~(~~---0----—\-Н dxdLt.

La gK iK \ X / EFq 1 g ' e

(III.32)

Для случая когда постоянная нагрузка равномерно распреде-
лена по всему пролету, первоначальное очертание нити будет
по квадратной параболе. Для этого, согласно равенства (III.32),
имеем:

gdEFQ

Нк

—

(III.33)

п

Далее заменим в равенстве (Ш.ЗЗ) величину найденным
«=1

ранее значением (III.18). Произведя все преобразования так же
как в предыдущем параграфе, получим квадратное уравнение

л2 — mp. — т2 = 0,

где

1

1

“1/7 - а 4-



—J—«1£2	+

Hg

Не	&Г>-

н=—
gd ' " g 8/

(111.34)

(III.35)

Сравнивая формулы (III.20) и (Ш.Зб), заметим, что отЛИЧИе
состоит только в коэффициенте в который входит величина
уг. При / = 0 формулы (III.35) превращаются в (111.20).

Пример. За основу возьмем пример 2 из предыдущего пара-
графа и дополнительно примем, что нить одновременно с прило-
жением временной нагрузки нагревается на 20° С.

По формулам (Ш.ЗО) и (111.29) находим:

Ь = 1+—•— = 1,05333,
3 Г-

4 = 1,05333-200== 210,66667 м.

Из примера 2 предыдущего параграфа имеем:

Hg=\‘25 Г, а = 1,10650, т2=0,0071132, <»^=77,77778,

р = 155,55555.
I

|	По равенствам (111.35), приняв коэффициент температурного

I расширения at =0,000011, находим:

yt=— 0,000011 • 20 • 210,66667 = 0,34760,

*	200

0,5- —

6

77,77778-1,10650 + 0.34750 =Q 4g5121

155,55555

Квадратное уравнение для определения X

X2 — 0,495121X - 0,0071132 = 0

имеет решение

Х=0,509093.

Далее находим распор и прогибы:

125 =245,535 Т,
0,509093

-	0.509093-2002

71 =----------------

125-6-6-6

-0,490907

5

4

3

2

1

4

8

6

4

2

11,11111

17,77778

20,00000

17,77778

11,11111

2,465

2,586

0,364

— 1,939

— 2,061

Сравнивая полученные результаты с соответствующими ре-
зультатами примера 2, рассмотренного в предыдущем парагра-
фе, замечаем, что распор уменьшился, а перемещения увеличи-
лись. При остывании нити картина изменится в обратную сторо-
ну: распор увеличится, а перемещения уменьшатся.

§ 4. ГИБКАЯ НИТЬ С ПОДВИЖНОЙ ОПОРОЙ

В дальнейших расчетах мы встретимся с необходимостью
определять усилия и перемещения в гибкой нити, у которой одна
опора может свободно перемещаться по вертикали (рис. 74).
Рис. 74.

При действии постоянной рав-
номерно распределенной нагруз-
ки q ось нити провисает по пара-
боле с уравнением

=	(111.36)

Если в основу расчета такой
нити положить предпосылки и до-
пущения, которые были приняты
в предыдущих параграфах, то
выведенные ранее формулы с не-
которыми небольшими измене-

рассматриваемрго случая. Эти

ниями можно применять и для
изменения состоят в следующем:

1)	вместо I необходимо подставлять величину 1\,

2)	при разделении пролета на п равных частей сосредоточен-
ная постоянная нагрузка во всех узлах будет равна gd, а в узлеп
на подвижной опоре она будет равна Вследствие этого

Для подсчета суммы, стоящей в скобках, уже нельзя пользо-
ваться матрицей Ш]. Ее необходимо заменить матрицей coi^, у
которой все ординаты равны единице, кроме последней, которая
заменяется величиной 0,5;

3)	матрица 12 будет иметь несколько измененную структуру.
Вместо матрицы (III.2) будем иметь следующую матрицу:

-1	2 -1

-1	2 -1

(III.37)

Эта матрица отличается от матрицы (Ш.2) только тем, что
в ней последний элемент последней строки равен не двум, а
единице. Данное отличие резко изменяет обратную матри-
цу L2 

Для матрицы (III.2) обратная матрица была равна матрице
влияния моментов простой двухопорной балки. Для рассматри-
ваемой матрицы (III.37) обратная матрица будет равна матрице
влияния моментов балки, заделанной одним концом. Так, на-
пример, для матрицы шестого порядка матрица £*—1 будет:

	111111	
	1 2 2 2 2 2	
7.2	= d	1 2 3 3 3 3  12 3 4 4 4	(III.38)
	1 2 3 4 5 5	
	1 2 3 4 5 6	

Интересно отметить, что при изменении только одного эле-
мента матрицы £2* (в данном случае последнего элемента по-
следней строки) обратная матрица изменяется очень сильно. Так,
если заменить в матрице (Ш.37) последний элемент с единицы на
два,

	6	5	4	3	2	1
	5	10	8	6	4	2
/У1- —	4	8	12	9	6	3
2	7	3	6	9	12	8	4
	2	4	6	8	10	5
	1	2	3	4	5	6

Рассматриваемая в настоящем параграфе гибкая нить с под-
вижной опорой как бы представляет собой половину симметрич-
ной нити с двумя неподвижными опорами, расположенными на
одном уровне. Это замечание справедливо только в том случае,
когда на симметричную нить действует симметричная нагрузка.
Таким образом, несимметричную нить можно дополнить до сим-
метричной и рассчитывать как обычную нить, рассмотренную в
предыдущих параграфах. Однако такой прием рекомендовать
нельзя прежде всего потому, что он потребует значительно
больше времени, а в тех случаях, когда расчет несимметричной
нити составляет часть в более общей задаче, то такая замена на-
рушит алгоритм и затруднит использование вычислительной

машины.

Пример. Рассмотрим пример
(рис. 75), в котором: /1=100 м,
/1 = 20 м, ££0 = 0,18333- 106 Т. Равно-
мерно распределенная постоянная
нагрузка £ = 0,5 Т/м. Нить загружена
временной равномерной нагрузкой
q= 1,0. Требуется определить проги-
бы и распор.
Разобьем пролет на три равные части, длина панели будет
100 п	„

. От постоянной нагрузки нить провисает по квадратной

О

параболе с ординатами

11,11111

17,77778

20,00000

Матрица Ь2* и ее обратная матрица:

-1

2

-1

L^=^d

1

1

1

1 1

2 2

2 3

Матрица-строка wig также третьего порядка, которая в соот- 1
ветствии с замечанием 2 теперь имеет вид

^=11 1 1 0,51|.

।

Находим произведения матриц:	4

с%Д.Г1 = бП|2,5	4	4,51|.	I

<»lgy=38,88889.	°

Вектор сосредоточенных сил от временной нагрузки

v,.

3 0,5

Следовательно,

со^АГ1 = — -8,75J = 291,66667J.
е 1	3

Для определения величины р необходимо воспользоваться

табл. 1 (приложение), но при пологости=0,1. Для этого

2/j
случая

Р = 1,08189.

По формуле (III.21) находим:

Ls= 1,08189*100= 108,189 м.

По равенствам (1П.20а, III.20) определяем:

» =^ML=I257-. а=-------------------------о,553249,

8	8/,	100

0,5* — *0,18333.105
р = -121 - 291,66667 + 38,88889 = 116,66667,

38.88889 — 0,55325

116,66667

0,328591

т,>

__ 0,553249

~ 116,66667

0,0047421.

Квадратное уравнение

X2 —0,32859IX —0,0047421 =0

имеет корень

Распор

X = 0,342439.

125
0,342439

= 365,029 7’.

По формуле (III. 14)

находим перемещения rj:

-*	0,342439-100

X =-------------

125-3

ИЮ

3

0,657561

0,5

11,11111

17,77778

20,00000

0,304

0,486

0,546

Полученный результат полностью совпал с тем, который мы
имели в примере 1 § 2. Это обстоятельство легко объяснить тем,
что нить, рассмотренная в примере 1 § 2, а также действующая
нагрузка симметричны. Такую нить можно рассматривать как
систему, состоящую из двух одинаковых половин. Учитывая, что
длина нити /], рассмотренной в настоящем параграфе, в два раза
меньше длины нити I, помещенной в § 2, стрелы провисания нитей
и интенсивность нагрузки в обоих случаях одинаковы, можно за-
ключить, что две'сравниваемые системы идентичны, поэтому про-
гибы в соответствующих точках совпали.

§ 5. ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ
И ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАГРУЗОК

Расчет гибкой нити, подверженной одновременному действию
вертикальной и горизонтальной нагрузок, представляет собой
более сложную задачу по сравнению с обычной задачей равно-
весия нити, загруженной только вертикальной нагрузкой.
I H H НI н н н ш
гшгЛггПТЛТГк

Рис. 76.

При наличии горизонталь-
ной нагрузки распор в нити из-
меняется по длине пролета, что
сильно усложняет расчет.

Рассмотрим случай загру-
жения гибкой нити (рис. 76)
следующими нагрузками:

1)	постоянной распределен-
ной по горизонтальной проек-
ции нагрузкой g Т{м\

2)	временной вертикаль-
ной нагрузкой qy, распределен-
ной также по горизонтальной
проекции и изменяющейся по

произвольному закону;

3)	временной горизонтальной нагрузкой qx, действующей в
плоскости гибкой нити, распределенной по вертикальной проек-
ции и изменяющейся по произвольному закону.

За исходное состояние нити будем принимать ее очертание
от постоянной нагрузки, при которой она будет иметь пролет I и
стрелу f. Затем прикладываются нагрузки qy и qx, под действием
которых нить займет новое положение.

Задача заключается в определении вертикальных и горизон-
тальных перемещений точек оси нити и возникающих в ней уси-
лий. При решении этой задачи будем учитывать удлинения нити
от указанных временных нагрузок. Жесткость по всей ее длине
примем постоянной и равной EF. Таким образом, задача ре-
шается в общей постановке, при этом легко рассмотреть частные
случаи, полагая равным нулю ту или другую нагрузку. На рис. 76
изображена гибкая нить и эпюры перечисленных выше нагрузок.
Жирной линией показано очертание нити от постоянной нагрузки
g, а пунктиром — искомое положение, которое займет нить после

приложения нагрузок qy и qx.

Предположим, что опорные точки расположены на одном
уровне и постоянная нагрузка равномерно распределена по всему
пролету. В этом случае нить будет очерчена по квадратной пара-
боле с уравнением (III.16) и распор от постоянной нагрузки

 = gP

g 8/

Для вывода основных уравнений рассмотрим элемент нити,
вырезанной в произвольном сечении и находящийся в деформи-
рованном состоянии, как показано на рис. 77.

Силы, действующие на этот элемент, кроме Н (х) и Н(х) +
+ dH(x), будут определяться равенствами:

Vy={g + <]y)dx,

96

1
Vx=Qx\dy\,

dx

Q (x) -f- dQ (x) = (H lx)UH (x)) [ rf^-+-71)-
I dx

14y+X>dx\
dx^ J

Во втором уравнении величина dy взята по абсолютной вели-
чине. Объясняется это тем, что направление горизонтальной
нагрузки задается в начале расчета и в процессе расчета ее на-
правление не должно изменяться, величина же dy по длине нити
меняет свой знак. Этим объясняется то, что во втором уравнении
вместо dy принята величина | dy |.

Учитывая полученные значения сил, действующих на элемент
нити, и составляя уравнения проекций на вертикальную и гори-
зонтальную оси, получим:

- н (х)	7?). + [н (х) + dH (х)]	4.dx} 4-

dx	dx	dx

dH (x)-\-qx\dy\ = Q>.

Пренебрегая произведениями dH(x)dy\ и dH (x) — ^y +	dx,

dx^

после несложных преобразований получим:

н (jc) VT+" W -г<-+• 4+te+ 9>)=0' <ш-39)

dx1	dx^ dx dx	

— Ях dy .	(1Й140)

Подставляя выражение (III.40) в уравнение (III.39), получим
Горизонтальные и вертикальные перемещения связаны между
собой. Они не могут развиваться независимо друг от друга. Для
установления этой зависимости ‘условимся вертикальные переме-
щения т] считать положительными, если они направлены вниз, а
горизонтальные перемещения и принимать положительными,
если они направлены вправо. Обратимся к рис. 78, на котором
изображен элемент в исходном и смещенном состояниях.

Составим выражение разности квадратов длин отрезков а^Ь\
и ab:

(ds -f- Ads)2 — (ds)2= (dx-\- du)2 Д- (dy Д- d-ц)—(dx)2 — (dy)2.

Пренебрегая выражениями (Ads)2, (du)2 и (dr])2, получим:

ds& ds— dxdu-\-dydi\.	(III.42)

Величина Ads представляет собой удлинение элемента ds от
временных нагрузок qy и qx.

Учитывая, что усилие в нити от временных нагрузок можно
определить равенством

N- ,

4	COS <f>

получим:

A ds

H(x)~Hg
—--------— as

EF cos <p

где <p — угол наклона касательной к оси нити после деформации.
При малых перемещениях его можно принять для пер-
воначальной оси нити.

Подставляя значение Ads в выражение (III.42), получим:

du   dy d-q । 7/ (•* *) Z/g- / у
dx	dx dx Ef cos<f> \ dx )

Производя интегрирование по частям и учитывая, что

И	f ^L^Lax^-dX-\n-^-dx,

J dx dx	dx J rfx2

получим *
X	X

dy' i C d2y , . C 7/ (x) Hg Г 1 . / du X213/2
\—dx-
' dx J dx2	J EF [	\ dx /

о	0

- <	(III.43)

-----

*-При интегрировании следовало бы добавить произвольную постоян-
ную, но в нашем случае она равна нулю, так как при л=0 а=0.
Таким образом мы получили два уравнения (III.41) и (Ш.43)
для определения перемещений. Однако этих уравнений недоста-
точно для решения задачи, так как, кроме неизвестных т] и и,
необходимо определить также распор //(%), изменяющийся по
длине пролета. Для составления третьего уравнения используем
граничное условие, которое при х=1, и=0 и rj = 0 дает:

J Н(х) — Hg

? EF

о

7jd%=0. (III.44)

Совместное решение уравнений (Ш.41) и (Ш.44) позволит
определить величину распора Н(х) и вертикальные перемещения
т), а уравнение (Ш.43) даст возможность определить горизон-
тальные перемещения и.

Для решения полученных уравнений проведем некоторые пре-
образования. Преобразуем вначале уравнения (Ш.41) и (Ш.44).
Представим распор в произвольном сечении в следующем виде:

Я(л)=Я0 + дЛ/(л),

(III.45)

где Но — распор в начале координат (в нашем случае на левой
опоре). Величина АН (х) находится на основании ра-
венства (111.40) в виде

I dx.
dx [

(III.46)

Подставляя выражение (Ш.45) в равенства (Ш.44) и (Ш.41)
и произведя необходимые преобразования, получим:

3/2

dx -f-

с1

EF 3
о

d^ _ _ d^y __ Чу	FIp

dx ~~ dx* Ho ' Ho + кН (x)

4x
g+ Чу

dy 1 dy'
dx dx
Обозначим

ЧЭД=-^^- Г 1 +	,	(Ш.47)

/7^ L \ dx / J

Ф(х) =--------[1-----(Ш.48)

7/о + Д7/ (х) [	g + qy dx dx j

Заметим, что

1+/^.yp«rfx=z
\ <fx2 ) J

Величина p. определяется равенством (III.22) или (Ш.23), а
также по табл. 3 (приложение).

Произведя подстановку и учитывая, что для квадратной па-
раболы

— const =

_____

/2	’

получим

W(x)dx-----i]rfx=O, (III.49)

б	о

_ Лу-------g + Qy. ф (х).	(III.-50)

dx2 dx2

Применим для решения задачи численное интегрирование с
помощью интегральной матрицы, описанной в книге (38]. Разобь-
ем пролет нити на п равных частей. В соответствии с [38] (см.
стр. 127, уравнение V.22) получим:

= от]0 4- 2aij0 22т;".

Учтя, что т]о=О, получим:

Tj =	4~ S2^'.

(III.51)

Для определения величины 'По' используем условие: при х — 1
-т]=0. Выписывая последнюю координату вектора т) и приравни-
вая ее нулю, а такж.е учтя, что последняя координата вектора
Йо равна п, и обозначив последнюю строчку матрицы й2через о>2,
найдеад:	,	•
Следовательно,

^0=---------- (U2/,•

п

Подставляя это выражение в формулу (III.51), получим

где

(Ш-52)

Z. = -L.2<Z»0-22.

п

(Ш.53)

Запишем уравнение (III.50) в векторной форме
л-£_бФ.

Hg

(III.54)

В этом выражении



(Ш.55)

Диагональная матрица G имеет вид

f g + Чу \

\ g /1

G =

S+Чу \

g Л

( g + Чу

\ g

(III.56)

п

а вектор Ф имеет элементы, определяемые по формуле

ф=____

Н0 + ^/(х)

1--------р—1У1/1.

g + Чу J

(III.57)

£ _ 8/

Применяя равенство (III.52) и учитывая, что

получим:



I



(III.58)

.Вместе с тем с помощью последней строки интегральной матри-
цы 79, которую обозначим со, найдем:

i

dx = СОТ] = СО

О

J 0.' ' '	 ' I :

'-Й)1
Подставив этот интеграл в основное уравнение (III.44) и про-
изведя все преобразования, получим квадратное уравнение для X:

— тп2=0.	(III.59)

Интересующий нас корень этого уравнения

Х =	,	(III-60)

где

и2 А	9

△ [Л — V

△ = -^-ш£0Ф,
12ыу

v) »

&fEFu>y

I

.(Ш-61)

Hg

Из этих формул видно, что при определении Л используются
величины, зависящие от искомого значения распора, входящего
в вектор Ф.

Для определения X применим метод последовательных при-
ближений. В первом приближении положим все координаты век-
тора Ф равными единице. Найдя Л .и затем распор /70= вы-
числяем новый вектор Ф, и затем весь процесс повторяется снова
' до тех пор, когда величина А, а также координаты вектора Ф в
двух последних приближениях полностью совпадут. Решение кон-
кретных примеров показало, что приходится делать от 6 до 10
приближений.

После того как найдено значение распора по формуле (III.58),
находится вектор вертикальных перемещений. При определении
вектора и интегралы, входящие в формулу (III.43), будем опре-
делять численным методом. При наших граничных условиях по-
лучаем:

---—---Y«~ —

(Ш.62)

где YM=[1+(/)2F/2-

102
Ч=1,0т/м

Ч'утах ~Ып11м

Пример. Рассмотрим числен-
ный пример для нити, изображен-
ной на рис. 79. Пусть / = 160 м,
/ = 20 м. Горизонтальная нагрузка
z/x = 0,09 Т/м равномерно распре-
делена по всей высоте и действует
на обе половины нити. Вертикаль-
ная нагрузка распределена по
закону треугольника. Интенсив-
ность этой нагрузки на правой
опоре принята равной qy—1,2 Т/м,
EF=2-\№ Т, g=\T/M. Разобьем
пролет на 6 равных частей. Инте-
гральная матрица для этого слу-
чая будет (подробное объяснение построения этой матрицы будет

Рис. 79.

дано в § 7):							
	0	0	0	0	0	0	0
	1351	2034	—336	90	-24	6	-1
_	л	1198	3732	1452	— 180	48	-12	2
Q	а  3120	1239	3486	3216	1590	-216	54	-9
	1228	3552	2952	3360	1548	-192	32
	1231	3534	3024	3090	3336	1506	-121
	1230	3540	3000	3180	3000	3540	1230

Опуская все вычисления, приводим матрицу L (III.53)

	0  2330	0  12 252	0  13548	0  8922	0  6456	0  2910	0  382	
	1318	12 468	22746	19 236	12396	5988	728	
L — г’'	3-6240	1179	8604	19638	25 398	19638	8604	1179	•
	728	5988	12396	19236	22746	12468	1318	
	382	2910	6456	8922	13548	12 252	2330	
*/ '	0	0	0	0	0	0	0	

4 Для этой задачи была составлена программа и проведено рс-
шение на электронной машине «Сетунь». Приведем окончатель-
ный результат, который выдала машина:

S	X = 0,624366,

ж		0,97750		256,260		
		0,99555		255,260		
	—-> ф=	1,00449		254г660		
		1,00707		254,460	9	
		1,00927		254,260		
К		1,01530		253,660		
		1,02462		252,660		
						103
—►	0,00000  -0,90634  -0,65874		0,00000  0,40529  0,37143
1} =	0,12693	, « =	0,32137
	0,88553		0,39399
	1,05138		0,43417
	0,00000		0,00009

Последняя координата вектора и должна быть равна нулю.
В нашем случае она равна 0,00009. Это говорит о высокой точ-
ности вычислений.

Интересно отметить, что если положить qx = 0, EF—oo, то
распор #0=256 Т. При наличии горизонтальной нагрузки и при
EF= со #0—257,8 Т.

Таким образом, от горизонтальной нагрузки распор почти
поровну передался на обе опоры. Однако нельзя утверждать,
что такое распределение будет во всех случаях загружения.

§ 6. РАСЧЕТ НИТИ, ЗАГРУЖЕННОЙ ВЕРТИКАЛЬНЫМИ
И ГОРИЗОНТАЛЬНЫМИ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ СИЛАМИ

Вернемся к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе,
и заменим в ней распределенные нагрузки сосредоточенными си-
лами. Такая замена приблизит нас к условиям равновесия кабеля
висячего моста и вместе с тем приведет к изменению метода
решения, так как вместо дифференциальных уравнений мы по-
лучим системы алгебраических уравнений.

Предположим, что под действием сосредоточенных сил Vg
нить заняла положение, показанное на рис. 80 жирной .линией.
После дополнительного воздействия на нить сил VQ и W она
перешла в новое положение (показано пунктиром). Наша задача
состоит в том, чтобы определить вертикальные перемещения т] и
горизонтальные перемещения и всех узлов нити.

Расстояние по горизонтали между соседними точками к будем
принимать одинаковыми и равными d. Координаты точек к отме-
ряются от линии, соединяющей
опорные шарниры О и п+1.
Узел к с двумя прилегающими
к нему элементами и <S\+1
переместится в новое положе-
ние (см. рис. 81). Горизонталь-
ные проекции усилий (распо-
ры) в элементах S,. и 5\+i обо-
значим соответственно #. и
/Д+д-
Рис. 81.

Приложенные к узлу силы: от постоянной нагрузки от
временной нагрузки VqK и W к, также переместятся вместе с
узлом. Узловые точки получат перемещения ц и и, а длины S —
приращения AS.

Пусть номера у величин S и Н совпадают с номерами пра-
вого узла соответствующей панели. Проекции элементов S, при-
мыкающих к узлу до и после деформации, показаны на рис. 81.
Углы наклона элементов нити после деформации обозначим и
<p\+i. Рассмотрим равновесие узла к в смещенном состоянии.
Приравнивая нулю сумму проекций всех сил на вертикальную
ось, получаем:

VgK + VqK =	— Нк+1 tg <р’+1.

Но так как связь между распорами в соседних панелях опреде-
ляется равенством

HK^ = HK-WK,
то

VgK ' I- VqK = Нк (tg <?'* — tg Тк +1) +	tg +1.

Или иначе

„Г &Ук +

/7 I-----------------------------—

[ d + &ик d + AuK+1

~t~ А^к+1
d + Дпл+1

(а)
Так как величины Ди малы по сравнению с длиной панели, то
можно воспользоваться приближенным равенством

1	1	1	_ 1 /1 ч	/кх

d + Д« d ' 1 -+• е d 6 ’

где

Подставляя (Ь) в (а) и учтя также, что

ЬУк=Ук~Ук-г △7J«=7J« — V-р
получим:

VSK+v qK= н А1 — е«) ~ (у к—ук_\ + ^—v-i)+

-№(1 -£к+1) ~ (Ук~ Ук+1+ tJk-^+1)-
или

VgK~WQK= Нк	I ~{yK-A + ^_1) + 2 (Ук~\- Т]х) —

- (Ук+1 + Чс+1)] - е« — I - (Ук-1 + ^-1) + (ук+ ^)1 -

~ел+1	[(//« +^)-(^+1+^+1)1	{--[(^+13к)-



Если теперь индексу к дать значения 1, 2, 3, ..., п, то получим
систему из п уравнений. Записав эту систему в матричной фор-
ме, получим:

Vg+Vq = lGH ^2- Gi^2 -G&Z2n)- Gw	- G2eZ2n)] (J-H),

или сокращенно

Vg + Vq = (GHLl - GWL\) Су -H)•	(П1.64)

Матрицы, входящие в это уравнение, определяются равенствами

Г2= Z2 - GuL2 - G^Ll	(III .65)

Ll = Ln2-G2eL2,	(Ш.66)
где матрица L2 совпадает с матрицей (Ш.2), а остальные матри
цы имеют вид

(III.67)

(III.68)

(IIL70)

(III.71)

(III.72)

Величины, входящие в матрицы (Ш.69) и (III. 70), в соответ-
ствии с (Ш.63) определяются равенствами

“к-1 (к=1, 2...............п).	(III.73)
Так как элементы матрицы GH, определяемой равенством
(III.71):

н2=н.-ьнх,

где

дЯж=0-|-1Г1 + UZ2-]--ЦГк(/с=1,

(III.74)

то эту матрицу можно представить в виде

(III.75)

где

Подставляя (III.75) в (III.64), получим:

q—(7/iZ<2	— GWL^) (г/-)*7])-

(III.76)

(Ш.77)

Решая это уравнение, найдем вертикальные перемещения:

;=(^ + ХЯ/2)-’

(III.78)

где

/? = —GWL%— DwL-i

Hg

(Ш.79)

2,..., «),

Для выяснения зависимости между вертикальными и гори-
зонтальными перемещениями воспользуемся методикой, изло-
женной в предыдущем параграфе. Теперь мы будем рассматри-
вать не бесконечно малый элемент ds, показанный на рис. 78, а
конечный элемент 5^, равный длине звена нити между узлами
к—1 и к. Воспользуемся уравнением (Ш.42), заменив в нем dx,
dy, du и dr[ соответственно на d, by, bu и Дтр

SK^SK = d^uK-i- byK^K.	(III.80)

Учтя, что
из уравнения (III.80) найдем:

л	К I .1 Н* — Нg

^UK =-------------------------

d	EF cos <рк

2

НО

^=tg?K И
d

к>

поэтому

UK~ UK_y = — tg (т]к - Т]к_1) -I-

(Нк — Hg) d sec3 <рл.

EF

(III.81)

Здесь — угол наклона элемента S* к горизонту в первичном
ее положении. Уравнение (III.81) справедливо для каждого узла.
Положив к=1, 2, 3, ...» п, будем иметь:

«1= ~ tg <FPJi 4

EF

d sec3 <f>i,

H2 — Hg

«1 = — tg Cf2(7)2 — 7)1) + -	d sec3 cp2,

EF k

«3 — «2 = " ~ tg ?3 (^3 — %)

EF

d sec3 a>3.

Если во второе уравнение вместо щ подставить его значение
из первого уравнения, а в третье — вместо м2 его значение из вто-
рого и т. д., то получим:

«^-tg'PiT'n + Yi,

м2	— Д tg <Р17) 1 — tg <р2Т)2 4- Ъ

=	17 Т,7)1 — △ tg %Т)2 — tg ?37)3 4- Уз-

Переходя к матричной записи, получаем:

и = — Дпт)-|-у,

где

tg?i

Д t^cpitg ?2

△ t I Д tg % tg %

(III.82)

(Ш.83)

4tg?rMg?2A tg%. . .tg?„
Здесь

△tg^=tgcpK — tg<pK+1

2 (Hi — ^sec3^
H^sec^i
i=l

n................

^g-) sec3 ср,-
i=l

(111.84)

Остается теперь преобразовать уравнение (111.44). Заменив

интегрирование суммированием по

Но так как

к=1

EF

-d sec3<pk-

всем элементам, получим:

п

8/d

F

K = 1



НК=НХ-ЬН„

то

EF

л + 1

sec3?

к=1

_^Sw«sec3<f«

~ J] ^=0.(111.85)

«=1

к

к = 1

п

Входящая в уравнение (III.85) величина ДНК определяется
равенством (III.74). Введем обозначения:

л + 1

« = 2 sec3?K’

К=1

ь =2 A//«sec3^>

«=1

,___Ь □ bfEF

аНg '	aFHg '

тогда из уравнения (III.85) получим:

п

т]«-
к = \

Таким образом мы получим три совместных уравнения
(III.78), (III.87) и (III.82). Решение этих уравнений вызывает
большие трудности, которые связаны с тем, что матрицы Gle и
G2e, входящие в уравнение для определения прогибов (III.78),
зависят от перемещений и, которые, однако, нельзя найти, не зная
величин т). В свою очередь, имеется взаимная сложная связь
между т] и A [(III.78), (II 1.87)]. Полученные уравнения возможно
решить только методом последовательных приближений на ЭВМ.

ПО
В дальнейшем нас будут интересовать главным образом по-
логие нити, для которых полученные уравнения можно сущест-
венно упростить. Для пологих нитей величины е, определяемые
равенством (III.73), весьма малы по сравнению с единицей и
поэтому без ущерба можно положить е=0. Это вносит большие
упрощения. Матрицы Gle и G2e в этом случае будут нулевыми и
вместо (III.65) и (Ш.66) получим:

aUz.2,

L*3=Ln2.

Основное уравнение (Ш.78) теперь будет связано только с
уравнением (III.87), а уравнение (Ш.82) для определения и вы-
деляется в самостоятельное уравнение.

Таким образом, для пологих нитей мы получаем два совмест-
ных уравнения (III.78) и (Ш.87) для определения прогибов и
величины А, через которую находится распор. Эти уравнения
могут быть решены методом последовательных приближений по
той схеме, которая описана ниже в гл. V в § 4 и 6. После того как
найдены т] и А, по уравнению (Ш.82) легко определить горизон-
тальные перемещения и.

Пример. Рассмотрим пример, близкий, к примеру, решенному
в предыдущем параграфе. Сохраняя основные размеры, заменим
ось нити ломаной линией и приложим в ее узлах сосредоточенные
силы, заменяющие распределенные нагрузки. Применим прибли-
женный метод, положив е=0. Величины действующих сил пока-
заны на рис. 82. В табл. 3 приведены геометрические данные,
которые будут использованы в дальнейшем решении. В этой таб-
лице величины <5^ и седаны для элемента, примыкающего к точ-
ке к с левой стороны.

^6)TV92^)r^)rVs^ Vg=2B,f6)r

V4r5,(3yrVif1O,(6)TV^16T Уи=2ЦЗ)гV^26,(B)t

Рис. 82.
Таблица 3

		SK		secs<p^
0	0	0	0	0
1	11,1111	28,8889	0,416667	1,27141
2	17,7778	27,4874	0,250000	1,09520
3	20,0000	26,7591	0,083333	1,01043
4	17,7778	26,7591	—0,083333	1,01043
5	11,1111	27,4874	—0,250000	1,09520
6	0	28,8889	—0,416667	1,27141

32,0000

37,3333

42,6667

48,0000

53,3333

0,8

—

0,8

0,4

0,2

0,4

0,416667

0,166667

0,166667

0,166667

0,166667

0,250000

0,166667

0,166667

0,166667

0,083333

0,166667

0,166667

-0,083333

0,166667

— 0,250900

2 -1

-1	2

— 1

-1

2 -1

-1	2

-1
ж

1

Г * Г П	1

L'i — Li — —
d

-1

1

— 1

1

-1

-1

1

По формуле (III.79) находим:

В = -
d

Далее находим

-0,8
0,8

О
О
О

0,8

2

0,4

0

0

О
1,2
— 1
0,2

О

О

О
0,6
-0,8
0,4

// =-^- = 160

е 8/

LH =

О
0,8
1,2
1,4
1,8
2,6

По формулам (III.86)

«4-1

находим:

а =	sec3 ук =6,75408,

а = 1

к = 1

b
aHg

2J A/Zsec3^ 8,780304, p
«=i

8fEF
al2Hg

Таким образом имеем два уравнения:

= — X160Z2)—1

32,0

37,3

42,6

48,0

53,3

О

О
О

0,6
- 1,6

1,008125,

11,56708.

/ (X) = 1,008125 ф! 1,56708	V

к— \
Эти уравнения были решены на электронной машине «Се-
тунь» методом, описанным в § 4 и 6 гл. V.

Приведем окончательные результаты, полученные для данно-
го примера:

Х= 1,602743,

Нг = 256,439 Т.

Вектор распора в звеньях нити будет

256,44

255,64

255,24

255,04

254,64

253,84

Векторы горизонтальных й вертикальных перемещений имеют вид

О

— 0,93977

-0,74135

0,01185

0,76453

0,95627

О

0

0,39321
0,34499

0,28350
0,34744
0,39416

0

Сравнение приведенных результатов с аналогичными резуль-
татами, полученными в предыдущем параграфе, свидетельствует
об их близости. Как и следовало ожидать, перемещение узлов
нити, очерченной по ломаной линии, несколько меньше.

§ 7. ОБ ОДНОМ ВАРИАНТЕ ПОСТРОЕНИЯ
интегральной матрицы*

В задачах строительной механики и многих других чисто ма-
тематических задачах для интерполирования функций можно
применить функции, представляющие собой формы изгиба тонкой
упругой линейки. Рассмотрим систему функций vx(x), v2(x), ко-
торые представляют собой ось изогнутого неразрезного стержня,
закрепленного в п точках при смещении на единицу соответствен-
но 1-й, 2-й и т. д. опоры. На рис. 83 показаны эти функции иг-(х)
(i = 0, 1, 2, 3).

* Интегральная матрица понимается в таком же смысле, как она изло-
жена в § 32 работы [38].
Обычно для построе-
ния интегральных матриц
используются "ПОЛИНОМЫ
Лагранжа. Данные кри-
вые, используемые как
координатные функции,
имеют перед полиномами
Лагранжа то преимущест-
во, что они быстро зату-
хают с удалением от мес-
та смещенной точки.

На рис. 84 для срав-
нения показаны две кри-
*	вые при делении интер-

‘I	вала на 6 равных частей,

имеющие единичные зна-
| чения ординат в точке 2.
М Кривая, отвечающая изги-
бу неразрезного стержня,
имеет затухающий харак-
J	тер, в то время как соот-

В	ветствующий полином

?;.	Лагранжа, наоборот, не

отличается этой особен-
ностью. Опыт применения

:	функций и(х)= S yiVi(x), получаемых из условия деформации

, 1=1

тонкой линейки, как интерполяционных кривых показал, что
;> точность приближения в этом случае при большом количестве
участков деления довольно высока. Это положение легко понять
* с чисто физической точки зрения. Представим себе, что необхо-
димо провести кривую через заданное количество точек. Изог-
% нув тонкую линейку так, чтобы она имела заданные ординаты,
£ V можно добиться сколь угодно большой точности приближения
|	упругой линии к заданной кривой, если увеличивать число

%	заданных ординат. Наоборот, при увеличении числа делений

кривая, полученная с помощью полиномов Лагранжа, может
|Р существенно отклониться от заданной кривой в промежуточных
точках, особенно в крайних панелях.

Итак, назначим уравнение аппроксимирующей функции в виде
£ ряда
'	Л

Ж	0(x)=^ylvl(x).	(Ш.88)

Яж	i=1

Для построения интегральной матрицы выводить аналитиче-
jJEL ское выражение функций иДх), вообще говоря, не нужно. Опре-
Рис. 85.

деление площадей этих функций на отдельных участках легко
произвести н’а основании теоремы о взаимности работ. Рассмот-
рим два состояния неразрезной балки, показанной на рис. 85.
В первом состоянии опора к получила смещение, равное единице.
Ось изогнутой балки представляет собой функцию оЛ. (х). Тре-
буется определить площадь этой кривой на участке di. Зададим
второе состояние в виде балки, загруженной нагрузкой # = 1,
расположенной в пролете di. По теореме взаимности работ имеем:

— Ч‘л1к Ч- A i • 1 = 0.

Так как q= 1, то

Таким образом, площадь функции vK (х) на участке di равна
опорной реакции Ак1 от равномерной нагрузки q= 1 на указанном
участке. Для определения площадей кривой v к(х) достаточно
рассмотреть последовательное загружение пролетов неразрезной
балки на жестких опорах распределенной нагрузкой q=\. Так
как нам потребуется вычислить все площади (*=1, 2, ..., л;
к=1, 2, ..., п), то практически необходимо решить задачу об
определении всех опорных реакций от загружения по очереди
всех пролетов. На первый взгляд эта задача трудоемка. Однако
быстро выясняется рекуррентная зависимость, по которой без
труда находятся все элементы интегральных матриц любого по-
рядка.

Ниже приводятся эти матрицы от третьего до девятого поряд-
ков (при ;г = 2—8):

0 0	0

7 10 -1 ,

6 20	6

п = 2
П:  -'if.  0			n = 3  о — d		0	0	0	0  26	39	— 6	1  23	72	27	—2	’  24	66	66	24  0	0	0	0  146	—24	6	-1  268	104	-12	2	,  250	232	110	-9  256	208	256	88  0	0	0	0	0  5	-90	24	—6	1  0	389	— 48	12	—2  4	869	49K	.54	Q	’
			11 =  2 =  = 5  d	60  4	0  97  d 86  224 89  88  0  362 54  321 100  QQ9 QQ	
-,Z  i.  !  ж  г  •Ду*	1	 '•   FO	=	Ю	»	FO	s	= 6  .. d 3120  = 7 •  d  ”11644  = 8  d	836  0 1351 1198 1239 1228 1231 1230  0 5042 4471 4624 4583 4594 4591 4592  0 18817 16686 17257 171П4	329	952	790	904	401	-32  330	946	814	814	946	330  0	0	0	0	0	0  2034	- 336	so	— 24	6	— 1  3732	1452	-180	48	—12	2  3486	3216	1590	- 216	54	— 9	,  3552	2952	3360	1548	-192	32  3534	3024	3090	3336	1506	—121  3540	3000	3180	3000	3540	1230  0	0	0 0	0	0	0  7591	-1254	336 -90	24	-6	1  13928	5419	-672 180	-48	12	—2  13010	12 002	5935 - 810	216	— 54	9  13256	11 018	12536 5791	—768	192	— 32 ’  13190	11 282	11546 12398	5815	—726	121  13 208	11 210	11816 11390	12488	5611	-450  13 202	11 234	11 726 11 726	11 234	13 202	4592  000000	00  28330	— 4680	1254	— 336	90	-24	6	—1  51980	20224	—2508	672	—180	48	—12	2  48554	44792	22150	—3024	810	—216	54	—9  40479	Д119П	4R7R4	91 KIR	9RRR	7RR	109	R9	
		43456	17145 49226	42104	43094	46256	21754	—2904	726	—121  17134 49292	41840	44084	42560	46412	21664	—2700	450  17137 49274	41912	43814	43568	42650	46568	20950	—1681  17136 49280	41888	43904	43232	43904	41888	49280	17136  117		
Рис. 86.

В этих матрицах все элементы
определены в целых числах. Впере-
ди каждой матрицы стоит множи-
тель, вынесенный за скобку. Таким
образом, все элементы даны без
округлений и имеют точные значе-
ния. Легко проверить, что построч-
ная сумма для каждой матрицы со-
ответственно равна 1, 2, 3, ..., п.

Заметим, что при использовании

интегральных матриц, полученных
в настоящем параграфе, для установления связи между функ-
цией и ее производными можно применять только формулы
(II 1.51). Для случая, когда интегральная матрица построена
с помощью полиномов Лагранжа, указанная связь может быть
записана в двух вариантах. Второй вариант приведен, например,
в книге [38] в виде равенства (V.25), которым в нашем случае

пользоваться нельзя.

§ 8. РАСЧЕТ ГИБКОЙ НИТИ С УЧЕТОМ
НАКЛОНА ПОДВЕСОК

Во многих конструкциях несущие гибкие нити загружены
через подвески, горизонтальное перемещение которых на уровне
действия нагрузки резко отличается от горизонтальных переме-
щений гибкой нити. В результате этого подвески наклоняются на
некоторые углы и гибкая нить будет загружаться своеобразной
«следящей» нагрузкой, как показано на рис. 86. Тако£ явление
имеется, например, в висячих мостах и, как правило, в расчетах
мостов не учитывается. Для очень пологих нитей горизонтальные
перемещения обычно не вычисляют, так как они малы по срав-
нению с вертикальными перемещениями. Однако величина угла
наклона подвесок, влияющая на результат расчета, зависит также
от их длины и поэтому для коротких подвесок учет горизонталь-
ных перемещений может дать ощутимые результаты даже для
пологой нити.

В настоящем параграфе рассматривается задача о переме-
щениях гибкой нити, находящейся под действием постоянной
нагрузки и затем дополнительно загруженной временной нагруз-
кой. Предполагается, что при отсутствии временной нагрузки все
подвески находятся в вертикальном положении, а после загру-
жения временной нагрузкой они наклоняются, в результате чего
возникают горизонтальные составляющие силы, которые благо-
приятно действуют на гибкую нить, препятствуя развитию пере-
мещений. Чем короче подвески, тем большее удерживающее
влияние они оказывают на гибкую нить. Предполагается, что
полотно АВ не работа-
ет на изгиб (рис. 87).
Такой случай возмо-
жен, например, тогда,
когда на линии АВ
расположена шарнир-
ная цепь из жестких
дисков, удерживающих
нижние точки подвесок
от горизонтальных сме-
щений.

За последнее время
по расчету гибких ви-
сячих конструкций поя-
вилось много работ.
В сборнике статей
под редакцией проф.
И. М. Рабиновича [30]
рассмотрено много ин-

Рис. 87.

тересных задач. Большой интерес представляют работы
канд. техн, наук Г. Э. Райнуса [31—33].

Теперь познакомимся с выводами основных уравнений. На
рис. 87 показана гибкая нить, закрепленная в точках к ко-
торой с помощью подвесок приложена постоянная распределен-
ная нагрузка g. При действии только постоянной нагрузки ось
гибкой нити очерчена по веревочной кривой (на рис. 87 она пока-
зана пунктиром).

Сделаем предположение, что подвески нерастяжимы и непре-
рывно распределены по всей длине АВ. Приложим к подвескам
дополнительную нагрузку q, распределенную по произвольному
закону. Гибкая нить займет новое положение, показанное на ри-
сунке жирной линией.

Выведем дифференциальные уравнения равновесия растяжи-
мой нити. Произвольная точка оси нити к переместится как по
вертикали, так и по горизонтали. Обозначим вертикальные и го-

Рис. 88.

ризонтальные перемещения точек
оси гибкой нити через г] и и. Вер-
тикальные перемещения точек
шарнирной цепи при нерастяжи-
мых подвесках также будут рав-
ны т], а горизонтальные переме-
щения этих точек обозначим и.

Рассмотрим равновесие бес-
конечно малого элемента нити,
показанного на рис. 88. Проекти-
руя все силы, действующие на
этот элемент, на вертикальную
ось получаем:

(g + q)dx-H -(y + + (// + dH) d(f/+T?) 4-dx] = 0.
dx	[ dx d^x J

Пренебрегая произведениями dHdy и dH -2<y + dx, находим:
rfjC2

H	^-=-(gVq).	(III.89)

cfx2 dx dx dx?

Приравнивая нулю сумму проекций на горизонтальную ось, по-

лучаем:

dH

dx

— Qx-

(а)

Относительное смещение концов подвески будет равно разности
горизонтальных перемещений:

и — и*,

при этом

X
^'fdx.
о

(Ъ)

(III.90)

Нагрузка qx, образующаяся вследствие наклона подвесок,
связана с горизонтальным перемещением и зависимостью

Qx=-^^(g + ^	(С)

И—У

Из выражений (а) и (с) получаем:

--------^-(£ + 7).	(Ш.91)
dx j\ — y

Произведя подстановку этого выражения в уравнение

(III. 89), будем иметь для т] и и дифференциальное уравнение

н	4т+<«+?)=°- <ш-92>

Jx2	— у	dx	dx2

Перемещения и и т] зависят друг от друга. Для выяснения
этой зависимости рассмотрим произвольный элемент нити ds
(рис. 89).

После деформации нити элемент тп перейдет в новое положе-
ние тщь Перемещение и считаем положительным, если оно
произошло влево. Длина элемента изменится на величину Ads:

На ds	Н п ds

&ds —----------------------- ..

EFcos (<р-р d<p) EFcos у

(III.93)
Как и раньше, используем для элемента тп следующее оче-
видное равенство:

(ds)2= (dx)2 -4- (dy)2.	(111.94}

Для элемента /И1П1 соответственно получаем:

(rfs-J- д ds)2=(dx—du)2-\-(dy 4-dy)2.

Раскрывая скобки и пренебрегая величиной (/ids)2, найдем
(ds)2-f- 2dsД ds = (dx)2— 2dx du-\-(du)2-\-(dy^-\-2dy dy-\- (dy)2.

Учитывая равенство (III.94), получим:

2dsi ds= — 2dx du-\-2dy dy-\-(dn)2J[-(dy)2,
откуда

( du \2 2 -^--{-2— • dr‘ | fУ 2 ds HqdS — Q

\ dx / dx dx dx \ dx ) dx dxEF cos <p

Поскольку

2 ds Hgds 2 Нч 2 Hq ] । /12
dx dxEF cos <p	EF cos3 tp	EF ' \ dx / j

то придем к следующему дифференциальному уравнению:

(Ш.95)
Совместное решение в замкнутом виде основных уравнений
(III.92) и (III.95) не представляется возможным, поэтому будем
в дальнейшем применять численный метод их решения.

Предварительно проделаем некоторые упрощения. Будем пре-
небрегать перемещениями и * по сравнению с и. Далее примем
постоянную нагрузку g равномерно распределенной, тогда ось
нити при действии только постоянной нагрузки будет очерчена
по квадратной параболе с уравнением (III. 16). Временную на-
грузку q будем считать непрерывной функцией от х, а ее значе-
ние на левой опоре обозначим через qG.

Горизонтальную составляющую усилия в нити на левой опо-
ре обозначим Но, а в произвольной точке — Н. Соответственно
для площади нити примем обозначения Го и F.

На основе принятых допущений и обозначений преобразуем
уравнения (III.92) и (III.95) к следующему виду:

/	dy

d2^ _ d^y g+ Яо g + q Ho I _ dx
dx^ dx^ Ho g + qo H V f\—У

(III.96)

du __ dy	di;	Н g .	r0	Н — г  К 1 -Г	dy \21	—1 2	-J-
dx dx	dx	EFq	F '	Но - Hg L 1 Ч	rfx /		
. 1 Г/-^\2  2 dx / и введем обозначения:			। (du УЧ Ч dx ) ]  <	dy_ >			(III.97)
	£4-?o  F0(H-  		Hp  H '  не)  нБ)	i dx 1	и  < fl— У > 3 н+тт.  L \ dx ] J			(III .98)  (III.99)
	. . И ?(-*)=-у	/ di]  \ dx	\2 / du \2| / \ dx ) J			(III. 100)

Условимся в дальнейшем производные по х обозначать штри-
хами.

Интегрируя два раза уравнение (III.96) и учитывая обозна-
чение (III. 98), получаем:

X

i =	\V(x)dx, (Ш.101)

ПО •’

о

= Т/Х — У-----Ф (*) dx dx'

о о

(III.102)
Далее из уравнения (III.97), интегрируя первое слагаемое по
частям и учитывая обозначения (Ш.99) и (III.100), а также то,
что н0=0, найдем:

х н —Н е	г

и= у'-ц — у" \~ydx-------- \ Ф (x}dx-\-1 v(x)dx. (III. 103)

J	EFq J	j

0	0	0

Продифференцировав это равенство один раз, получим:

и'=М-Н°"е ЪЮ+чМ- (Ш.104)
£F0

Для определения величины rjo', входящей в уравнения
(III. 101) и (III. 102), используем граничные условия при х=/;
т] = 0. По уравнению (III. 102) получаем:

I X

---s j* ф (х) dx dx.

о о

Определив отсюда т)о' и подставив его в равенства (III. 101) и
(III. 102), получим:

т]= — у +	ty(x)dx dx—	^(x)dx dxj, (III.105)

\ о о	о о’	'

т/ = -- у' ф Г-у- ф (х) dx dx — ф (х) iZx'j. (III. 106)
\ б о	б '

Для вычисления интегралов, входящих в равенства (Щ.105,
III.106 и III.103), применим численный методе использованием
интегральной матрицы, описанной в § 7. Для этой цели разобьем
интервал 0 — / на п равных частей и будем вычислять значения
всех неизвестных функций только в точках деления. Уравнения
(III.105, III.106, III.103 и III.104) будем в дальнейшем записы-
вать в векторной форме. Введем следующие обозначения:
и выразим векторы соответствующих интегралов через эти век-
торы с помощью интегральной матрицы

ф(л) dx—

d

j* <р(х) dx

о

2d

f ty(x)dx
о

I

j* ' (л) dx

6

J j* (л) dxdx = 22<p,
о 6

z Л

J j ty(x)dx dx~a= ою2ф,
о о

~r\ W dx~	ф(х) dx dx = (|ю2 — Й2)

0 0	0 0

Здесь o)i — последняя строка матрицы Q;
о)2 — последняя строка матрицы Q2;

О

Введем также следующие обозначения для матриц:

£^^2-о2, ,	.	(III.107)

= ~ оо>2-2.	4	(III.108)
Подстановка этих матриц и векторов в формулы (III. 103—
III.106) дает:

Ч = — у 4- -^+-g0- Ад	(III. 109)

Но

(III.ПО)

Hq

->	/ - Но + Н„ ->

«=»'Ч-В Л+-гг£®-О,	(Ш.11О

\	EF0	J

-	— Но —Не-^

и' = у'^--—5-®+?.	(Ш.112)

Таким образом задача свелась к решению нелинейных урав-
нений (III.109—III.12). Нелинейность видна из формул
(111.98—III. 100). При решении этих уравнений будем применять
метод последовательных приближений. Для определения Но ис-
пользуем граничное условие: при х = 1 и (0 =0. Для этой цели
применяем выражение (III.103). Учитывая, чтотД/) =0, получим:

— у" \ ^dx--------- Ф (х) dx 4- 'i ф (х) ах.

J	EFo ->	J

О	0	0

Переходя к вертикальной форме, находим:

- Hq + Н„

У”^-\---дд—^1ф	=•' 0.

EFo

Подставляя в это выражение вместо т] его значение по
(III.109), получим:

— У"Ш1У+ у" ё jq-	~	= 0-

Но	EFo

Отсюда получаем квадратное уравнение для определения

Но — 2тх-\-т?=0,

где

"zi — I	-------------

2а>1Ф

7/^2 — У	j L» — •

(III. 113)

(III.114)
Коэффициенты тх и т2 зависят от неизвестных пока векто-
ров функций Фи ф.

Для определения величины распора Н в любом сечении ис-
пользуем (Ш.91),из которого при и* = 0 легко определить

H =	(III.115)

где

A//=(g_]-^0) ^edx	(Hi.116)

о

и

е=----------------и.	(in. 117)

(g +	— У)

При численном решении вектор величины Д77 будет опреде-
ляться с помощью равенства

(III.118)

Рассмотрим теперь метод решения основных уравнений. Для
этой цели, как уже говорилось выше, применим метод последо-
вательных приближений. В первом приближении будем прене-
брегать величинами (т/)2 и (ы,)2и ПРИ определении прогибов ц
не будем учитывать горизонтальные перемещения и. Тогда
ДЯ = 0 и поэтому функции V, Ф и <р для первого приближения
будут следующими:

Ф1 (Х)= g--- ,

?i (х) = 0.



Вычислив по этим формулам векторы Ti и Ф] и подставляя
их в (III.113) и (III.114), найдем коэффициенты тх и т2 и за-

Рис. 90.

тем, решая квадратное уравне-
ние, находим распор Но. Далее
по уравнениям (III. 109—
III. 112) определяем т), т/, и и
и'. Второе приближение начи-
нается с вычисления вектора
Д// по формуле (III. 118) и
вектора Н по формуле (III. 115).
Затем по формулам (III.98—
III.100) находим векторы
функций W, Ф и ф второго
приближения.
Далее вычисления повторяются в том же порядке, как и в
первом приближении.

Пример. Рассмотрим гибкую нить параболического очерта-
ния, показанную на рис. 90 при следующих исходных данных:
/ = 400 м, /1 = 120 м, EF=2- 104=const-g = 0,5 т/лц /=100 м, q0=
= 1 т/м.

Разобьем пролет на 6 равных частей, тогда d=—-—. В пер-

вую очередь вычислим операторы, не зависящие от степени при-
ближения. Без вычисления приведем интегральную матрицу
седьмого порядка (см. § 7).

	0	0	0	0	0	0	0
	1351	2034	-336	90	-24	6	— 1
	1198	3732	1452	-180	48	— 12	2
о — "	1239	3486	3216	1590	-216	54	— 9
3120							
	1228	3552	2952	3360	1548	— 192	32
	1231	3534	3024	3090	3336	1506	-121
	1230	3540	3000	3180	3000	3540	1230

(III.107 и III.108)

По формулам
лучим матрицы:

после всех вычислений по-

		0	0	0	0	0	0	0	
		2330	12252	13548	8922	6456	2910	382	
	И2	1318	12468	22746	19236	12396	5988	728	
—	1R790	1179	8604	19638	25398	19638	8604	1179	
		728	5988	12396	19236	22746	12468	1318	
		382	2910	6456	8922	13548	12252	2330	
		0	0	0	0	0	0	0	
		7010	18270	11745	9540	6255	2970	370	
		—1096	6066	13761	9000	6399	2934	376	
г ,	d	-178-	-4122	3033	10520	5967	3042	358	
Lrl —	18720	—424	—2646 -	—7551	0	7551	2646	424	
		—358 -	—3042 -	-5967	—10620	—3033	4122	178	
		—376	—2934 -	-6399	—9000	—13761	— 6066	1096	
		—370	—2970 -	-6255	—9540	—11745	—18270	—7010	

Решение этой задачи требует огромных вычислений. Была
сделана попытка решить ее на клавишной машине Рейнметалл,
с помощью которой было получено 6 приближений. На одно при-
ближение уходило около 12 часов непрерывной работы. Шестое
приближение от пятого существенно отличалось по перемещени-
ям т] и и, при этом величина распора отличалась только на 2 Т.
По составленной программе машина «Урал 2» за 4,5 мин де-
лала по 52—54 приближения. Начиная примерно с 50-го прибли-
жения распор и перемещения оставались практически неизмен-
ными (совпадалидо восьмого знака).

Программа, составленная для рассматриваемой задачи, поз-
воляла изменять с пульта основные параметры и провести
анализ их влияния на величины распора и перемещений, найден-
ных с учетом наклона подвесок.

Приведем вначале окончательные результаты для перемеще-
ний т] и м, а также распора в элементах цепи (перепечатано с.
ленты, которую выдала машина) для / = 120 м:

4 00 000 000 4- 00
4- 49840 5694-01
4-46244 960+01
417469 214 4-01
— 18563 326+01
-37399 092 4 01
4- оо ооо ооо 4 оо

4-оо 000000400
439324419401
433 534712401
4 26415922 4 01
4 30 366 555 4 01
4 34 600337 4 01
-51965004 — 07

421 201 270 403

4 20 916 262 4 03

420 205682403
4-19 315 754 4 03

418 587 918 403

4 18 090116 403

Распор на левой опоре

Но = 212,013 Т.

Распор на правой опоре составляет 180, 901 Т. Таким образом,
общая горизонтальная сила, образовавшаяся за счет наклона
подвесок и удерживающая нить, равна 31,112 Т. Естественно,
что такая огромная удерживающая сила намного уменьшает
как вертикальные, так и горизонтальные перемещения.

Если провести расчет без учета наклона подвесок, то распор
будет постоянным по длине нити и равным 195,58 Т. Векторы
вертикальных и горизонтальных перемещений для этого случая
составят:

	0		0
	7,65300		5,81942
	7,08328		5,29162
	2,25993		4,20500
	— 3,06505		4,72880
	-5,14171		5,14190
	0	.*•	0

Рис. 94.

На рис. 91 показана рассмотрен-
ная выше система. Пунктирная ли-
ния изображает систему в задан-
ном состоянии, а жирной линией —
в деформированном состоянии пос-
ле приложения временной нагруз-
ки. Высота подвесок очень сильно
влияет на прогибы системы. С уве-
личением разницы fi—f как верти-
кальные, так и горизонтальные пе-
ремещения увеличиваются, а рас-
пор уменьшается.

На рис. 92 показана также си-
стема, но при /4 = 160 л*. Из этого
рис. 92 видно, как увеличились пе-
ремещения и уменьшился распор.
При fi =200 м наблюдается еще

большее увеличение перемещений и
падения распора, что можно видеть на рис. 93.

В пределе, когда подвески имеют бесконечно большую длину,
влияние их наклона сказываться не будет. Выше приводились

данные для этого случая.

На рис. 94 показан график изменения распора при изменении
высоты fi для рассмотренной системы. Все остальные парамет-
ры оставались неизменными.

В заключение отметим, что такое сильное влияние наклона
подвесок на перемещения и распор в гибкой нити наблюдается
при малой пологости. При большой пологости это влияние не
столь существенно.

Таким образом, при расчете висячих мостов с большим про-
висанием кабеля учет наклона подвесок должен проводиться в
„ / 1
обязательном порядке. Для мостов, у которых ——* влия'
ние наклона подвесок необходимо учитывать только в тех случа-
ях, когда по условиям эксплуатации могут быть допущены боль-
шие прогибы. В каждом отдельном случае необходимо этот
вопрос рассматривать отдельно.

§ 9. РАСЧЕТ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ ДВУХ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЕННЫХ

ГИБКИХ НИТЕЙ

Систему, состоящую из двух предварительно напряженных
гибких нитей, лежащих в одной плоскости и связанных между
собой растянутыми подвесками (рис. 95), назовем двухпоясной
системой. В такой системе можно создать предварительное натя-
жение нитей и тем самым обес-
печить довольно высокую жест-
кость всей конструкции и за-
ставить ее работать как стерж-
невую систему.

Расчет двухпоясной пред-
варительно напряженной си-
стемы связан с учетом геомет-
рической нелинейности и поэто-

му представляет определенные

трудности. В настоящем параграфе излагается метод расчета
рассматриваемой системы и устанавливается влияние предвари-
тельного напряжения на деформативность системы.

Предположим, что размеры всех подвесок и очертание обеих
нитей подобраны так, что после предварительного напряжения
обе нити будут иметь параболическое очертание. При этих усло-
виях усилия во всех подвесках будут одинаковыми. Если обе ни-
ти будут очерчены по одной и той же кривой, то распор как в
верхней, так и в нижней нитях будет один и тот же.

Загрузим предварительно напряженную систему временной
нагрузкой, представляющей собой систему вертикальных сосре-

доточенных сил,заданную в виде вектора

Пусть сосредоточенные силы приложены в верхних узлах
системы. Расчетная схема представляет собой систему, в которой
разрезаны все подвески, как показано на рис. 96.

Усилия в подвесках от предварительного напряжения обозна-
чим через В процессе загружения системы временной нагруз-
кой усилия в подвесках уменьшатся на величины хг(/=1, 2,...,
п), которые образуют искомый вектор

Распор в верхней нити уве-
личится до Н\, а в нижней —
уменьшится до Н2.

Будем рассматривать' '-''си-
стемы, состоящие из пологих
нитей, для которых горизон-
тальными перемещениями будем пренебрегать. Подвески, соеди-
няющие между собой нити, будем считать нерастяжимыми, поэто-
му перемещения т] для нижней и верхней нитей будут одинако-
выми. Условия равновесия нитей можно записать в следующем
виде:

для верхней нити

5 4-Р - х=НхЬ2 Су, + "J),	(Ш. 119)

для нижней нити

5-x = //2Z.2(J2-^),	(III.120)

где г] — вектор перемещений узловых точек;

L2— матрица, определяемая равенством (III.2).

Пролеты обеих нитей будем считать одинаковыми, поэтому в
обоих уравнениях матрица будет одна и та же.

В уравнениях (III.119 и III. 120) содержатся четыре неиз-
вестные величины: х, Hh Н2, тр Необходимо составить еще два
уравнения. Для этого воспользуемся, как и во всех предыдущих
задачах, принципом Лагранжа. Запишем его для каждой нити в
отдельности. В нашем случае роль постоянной нагрузки в рас-
четной схеме будет играть предварительное натяжение.

Таким образом, приходим к следующим уравнениям:

п + 1	П

у	»',	. " —у ДМ. н]Л==0,

ZJ	cos7;	cos2T»e,f	Li	p

1=1	T‘	i = l

п+1	л

У	H o,

Li	COS»!	COS2»"£^	Li	r-

i = l	T1	1=1

где Ни и H2s — величины распоров в верхней и нижней нитях от
предварительного натяжения.

После некоторых преобразований эти уравнения можно за-
писать в следующем виде:

Hi - Hls yf 1	= 8/1 у

EKF	cos3 <pB /2	*’

1 = 1	1=1

H9s — H> yf 1	_ 8/? у

EKF	cos3 /2 Zj h

1=1	i=i

или иначе:

и

/Л = М + ?,2^	(Ш.121)

1=1
л

^2 = ^25—^2^’
i = l

где

(III Л 22)

*PEKF

1___

COS3 <PB

p2=- *f?E,iF------ .	(IllЛ 23)

/2 V --------

cos3 <рн

Подставляя в уравнение (III. 119) вместо вектора s — х его
значение из уравнения (I11.120) и решая относительно т), по-
лучим:

?= <П,Л24>

/71 “1 ** 2	171 \ 2	17 i । ** 2

Как было выяснено ранее, обратная матрица L~' равна мат-
рице влияния моментов в двухопорной балке L71 =Lm. В свою
очередь, произведение LmP дает вектор балочных моментов от
заданной временной нагрузки:

LmP = M.	(III.125)

Следовательно, вместо уравнения (III.124) получим:

=--------М-------— J, -|------L. (IIIЛ26)

Л1 + Л2 Л1+Л2	Н1+Н2

Далее находим:

п

У =	моУ + 77-^Ъ - моУ2

111 -j- ti^	1^1 i 1^2	+ 112

где coo — матрица-строка, все ординаты которой равны единице,
а порядок ее равен числу подвесок.
Но так как

®о!/ = 2 У1'

i=i

о>0л?=2 м>.

1=1
то

п	п	п	п

X =лГТТГ Е Л1‘ - 7ГГ7Г X »' + ~7гНг Е

П j + /79 ihJ	/7] ~г	"1 “Г / /° 1шЛ

1 = 1	1=1	1=1	‘1=1

п

Подставляя значение^Лг в уравнения (III.121 и III.122), по-
4=1

лучим два уравнения с двумя неизвестными:
п	п

н' = н'~ -7ГПГ ₽1 S у'‘ + 7ГПГfl Е »’< +

/7 J + /7-9	ЛУ1 + /7 2 ЬшА

1=1	/ = 1

п

! 7ГХ7Г'1зЕЛ''’	(Ш127)

/7 1 + П2

1=1

п	п

Н2=Н7 + ——— р. У уГ1----------— ро У y2i -

2	25 1 нх + я2 г~ и	Lii

1=1	“	4=1

1

+ н.

п

1=1

(III. 128)

Совместное решение этих уравнений позволяет найти Н\ и
Н2. Отыскание вектора т] по уравнению (III. 126) не составит
особенных трудностей. Так как распоры Нг и Н2 зависят от HSr
т. е. от величины предварительного натяжения, то, следовательно,
и дополнительные прогибы т) также зависят от Hs.

Если Hs принять равным нулю, то мы выключаем из работы
нижнюю нить. Для частного случая, когда обе гибкие нити имеют
одинаковые f и I и, следовательно, H\s=H2s, уравнения (III.126,
II 1.127 и III. 128) примут вид

//1=яя

ij —------------М

Н1 + Н2

(III. 129)

Нг~Н2

Hx + Н2

п	п

(III. 130)

Нг + Н2

//2=я5

п	п

(III. 131)
В дальнейшем эти уравнения будем называть основными
уравнениями. Рассмотрим теперь вопрос решения основных урав-
нений. Для удобства введем следующие обозначения:

Нх— H2=z2

(Ш.132)

°И’	Щ — ^12

.	(ш.133)

Рг 2	Рз	^< = 022

i=l	i=l

Используя эти обозначения, вместо уравнений (III. 130) и
(II 1.131) получим:

^ги+±812,
Zi	г,

И, = "Л— 62! ~ 822-
*1	г2

Складывая эти уравнения и вычитая второе из первого, по-
лучим:

z, = 2/7s-^ (8„ —821)+-L(5к-ад,	(Ш.134)

21	ZX

22—	- (Оц -*-321)4"  (^12 4~ $22)'

21	Z\

Далее из уравнения (III.135) найдем величину z2:

__ Cl? + $99 )
г1 + ($11 + $21)
Подставив 22 в уравнение (III.134), получим:

(Ш.135)

(III.136)

		L (812 _ s22), 21 + ($11 + $21)	2j	Zx

что дает нам кубическое уравнение для определения zx:

	(III .137)
-где	^i = [(Sn + 321)-2//J  mi— —[27/s (on-|-821)4-(3j2 — 322)] .	(III.138)  $22^11	$21^12
Для анализа полученных результатов интересно рассмотреть
частный случай, когда 01 = р2 (обе нити имеют одинаковые разме-
ры и жесткости). В этом случае

<>	«Л

JJ   $21 И	12 “ $99*

Коэффициенты шь т2 и т3 будут иметь следующие значения:

/^ = 2^-/^

zn2 =

7713 = 0

(III.139)

Тогда уравнение (III. 137) после сокращения на величину Z\
запишется в следующем виде:

zi-j-mIz1-f-m2=0.	(III.140)

Решая это уравнение, найдем:

Подставляя Zi в уравнение (III. 136), вычислим г2:  О' 	 	—	>		
	$11 +	
Следовательно,		(III.141)
	Hr-H2=	.  $11 + Н s	(III.142)
Отсюда находим:	Н^НА		Л  5 2(Вц + Hs)	(III.143)
	= 	.	(III.144)

Рассмотрим теперь такой случай, когда натяжение нижней
нити при загружении верхней нити падает до заданной величины
//2 = ДД тогда по уравнению (III.141) имеем:

//1 = 2Л/5-д7/.

Подставляя это значение в уравнение (III.143), получим квад-
ратное уравнение для определения предварительного натяжения
Hs, обеспечивающее остаточное натяжение А//, которое сохра-
нится после приложения временной нагрузки,

^4- (^п-АЯ)/75-^-|-ВпА//) = 0.	(III.145)
Определив из этого уравнения Hs, по уравнениям (III.143) и
(III.144) находим Hi и Hz и затем по уравнению (III.129) проги-
—►	—>

<5ы т). Если после загружения системы нагрузкой Р нижняя нить
полностью потеряет натяжение, то распор в верхней гибкой нити,
•согласно уравнению (III.141), будет равен удвоенному значению
начального натяжения

//1=2/У6..

Следует отметить, чтс чем выше начальное натяжение Hs, тем

меньшими будут прогибы системы от временной нагрузки. По-

добные системы можно

Рис. 97.

рекомендовать для сооружения легких
висячих мостов с гибкой балкой, так
как устройство второго кабеля намно-
го увеличивает жесткость всей систе-
мы в целом.

Можно также применять подобную
систему для устройства легких пере-
крытий кругового очертания в плане
(рис. 97). Расчет такого перекрытия

Рис. 98.

можно производить, разбив систему на отдельные плоские фер-
мы. Такое допущение для пологих нитей вполне возможно. Вре-
менная нагрузка в этом случае будет собираться с площади,
приходящейся на одну двухкабельную ферму. Если нагрузка
равномерно распределена по всему перекрытию, то эпюра на-
грузки, приходящейся на ферму, будет иметь вид треугольни-
ков, как показано на рис. 97, в.

Пример. Рассмотрим пример со следующими данными: /j =
=/2==/=360 м, fi = f2=f=36 м, EKF=\-106 Т, d=60 м. Так как
обе нити одинаковые, то

Р1-?2—Р---

8fEKF

V 1

iti cos3<pz
л+1

Величина V----------определяется из геометрических размеров

COS3

системы рис. 98:

п

----L_ = 6,47692; В = 0,34310 • 103.

COS3

1=1

Зададим временную нагрузку в виде треугольника с наиболь-
шей интенсивностью <7тах = 4 Т/м. Вектор узловых сил в этом
случае будет:

200

160

120

80

40

Вектор ординат осей нитей определяется по уравнению пара-
болы (III. 16):

t—>  У=		20  32  36  32  20	п  ; 2 «=140-  1 = 1				
Далее по уравнег	[ИЮ  5  4	(III.125) опр  4 3 2 1  8 6 4 2		ед	еляем  200  160		2200  3200
М = LmP- —  m 36	3  2  1	6  4  2	9 6 3  3 8 4  3 4 5	•	120  80  40	= 10	3240  2560  1400

у М= 126 000 Тм.

/=1

По уравнению (III.133) находим:

, = й21 = р 2 У = 48,0340 • 103,

S22 = г12 = р 2 44 = 43,2306  103.
Зададимся величиной остаточного распора
д/7 = 50 Т.
По уравнению (III.145) составляем квадратное уравнение:
•И2 + (48034 - 50) Hs - (21,61530 • 106 -ф 48,034 • 50 • 103) = 0.
Решив это уравнение, получим:

495,42 Т.

Далее по уравнению (III. 143) и (III. 144) находим:
//, = 940,83 Т,

//2=50,01—50 Г,

//, 4//2 = 990,83 Т, Нх — Я2 = 890,83 Т.

В формуле (III. 129) найдем вектор прогибов системы:



4,222

3,526

0,334

-2,933

-3,852

В табл. 4 приведены значения распоров в верхней и нижней
нитях и прогибы в зависимости от величины остаточного распора.

Из приведенной таблицы видно, что чем выше остаточный
распор ЛЯ, т. е. чем больше остаточное натяжение, тем меньше
прогибы системы.
А Н	0	50	500	1000	2000
На  н2  HS	,  Ч	1	891,66 0  446,83  4,67  3,89  0,34  —3,29  —4,30	940,83  50  495,42  4,22  3,53  0,33  —2,93  —3,85	1382,70 500  941,35  2,31  1,96  0.33  —1,43 —1,94	1873,85 1000  1436,93  1,57  1,40  0,33  —0,82  —1,20	2856,70 2000 2428,35  1,00 0,94 0,32  —0,37  —0,65

На рис. 99 представлен график изменения Я], Н2 и rj в зави-
симости от величины А/7. Этот график наглядно показывает
эффективность первоначального натяжения на увеличение жест-
кости системы.

•з
ГЛАВА IV

РАСЧЕТ ВИСЯЧИХ МОСТОВ
ПУТЕМ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО
ИНТЕГРИРОВАНИЯ
УРАВНЕНИЙ

§ 1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

л	Применение метода непосредственного интегрирования диф-

ференциальных уравнений изгиба балки жесткости висячего
моста позволяет произвести расчет с учетом геометрической не-
линейности и получить при этом высокую точность. Этот метод
неоднократно применялся различными авторами. Особенное раз-
витие этого метода принадлежит Ф. Блейху [69] и Н. Блейху [68].
В последующем появились работы, в которых указанный метод
доведен до удобной формы (см., например, Хавранек [97]), до-
ступной для проектировщиков.

Вместе с тем следует указать на ограниченность метода,
обусловленную главным образом постоянством сечений балки по
длине пролета. Для случая когда балка жесткости имеет пере-
’ч.' менное сечение и в особенности для многопролетных мостов, ре-
X шение сильно усложняется и уступает численным методам, изло-
женным в последующих главах.

В настоящей главе дается методика расчета для мостов с бал-
кой жесткости постоянного сечения и приводятся примеры.

Расчет по указанной методике можно проводить с применением
клавишных автоматов, однако применение электронных машин
позволяет получить более высокую точность и определять невы-
годное загружение, при котором изгибающий момент в заданном
сечении имеет максимальное значение.

§ 2.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В процессе деформации пролетного строения висячего моста
отдельные точки оси кабеля будут перемещаться как по верти-
кали, так и по горизонтали. Величины горизонтальных перем еще-
ний в сильной степени зависят от пологости кабеля. Для случаев
когда	, горизонтальными перемещениями можно пре-

небречь и считать, что все подвески будут перемещаться только
по вертикали.

Предположим, что расстояние между подвесками по сравне-
нию с длиной пролета невелико, поэтому будем считать, что они
сплошь заполняют пространство между балкой и цепью. Примем
гипотезу о нерастяжимости подвесок. На основании сделанных

допущений можно считать, что в каждом сечении вертикальные
перемещения оси кабеля и балки будут одинаковыми. Обозначим
эти перемещения через т], интенсивность временной нагрузки —
q т/м, постоянной — g т/м, распор в кабеле от постоянной нагруз-
ки Hg, а от полной (постоянной и временной нагрузок)—Н.

Рассмотрим вначале систему, изображенную на рис, 100, на
котором пунктиром показана балка, подвешенная к кабелю, очер-
ченному по квадратной параболе, а сплошной линией изображена
та же балка и кабель после деформации от временной нагрузки.
До загружения нагрузкой q балка не прогибается и имеет место
равенство

(а)

Суммарная интенсивная нагрузка в произвольном сечении
балки, которую обозначим qn, после загружения временной на-
грузкой q будет определяться выражением

— н [*/О)-И (*)]"-(£+?)•

Дифференциальное уравнение для прогиба балки в соответ-
ствии с осями координат, показанными на рис. 100, будет:

(х)]" = - qn= Н [у (х) 4- 71(х)]" +(? + g).
Для случая £7 = const с учетом равенства (а) получим диф-
ференциальное уравнение прогибов

>llv	. (IV.1)

EI	EI

где	___

“=1/ 4?'	CV.2)

Если учесть, что

М{х)=-Е1^(х\	(IV .3)

то вместо уравнения (IV. 1) можно записать дифференциальное
уравнение моментов

М" (х) — aW (х) = - (//- Hg) у" (л) - q.	(IV.4)

В уравнение (IV.1), кроме искомой величины ц, входит также
неизвестная величина Н. То же самое можно сказать и в отно-
шении уравнения (IV.4), в которое, кроме М, входит неизвест-
ное Н. Таким образом необходимо составить еще одно дополни-
тельное уравнение.

Так же как и в § 3 гл. III, используем для этой цели принцип
Лагранжа, по которому виртуальная работа внешних и внутрен-
них сил кабеля от постоянной нагрузки на перемещениях от
временной нагрузки (и температуры) равна нулю

HqdS

4- ds)	\ gi\ (х) dx — 0.

Здесь интегрирование должно распространяться на всю длину
нити.

Учтя, что

, dx
ds =------- ;

COS <?

g=~Hgy"(xY

После всех преобразований получим:

- р* Л+ М^4" У"И) \ Ч (*)dx = 0,	(IV.5)

где

Zs=|iZ-]-*S1 sec2 4-52 sec2 т2,	(IV.6)

Lt — M + sec Ti sec T2-	(IV.7)
Величина р определяется формулой (Ш.22) или для симмет-
ричной нити формулой (III.23). Для определения щ служит фор-
мула (II 1.24).

§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ ОДНОПРОЛЕТНОГО ВИСЯЧЕГО МОСТА

В настоящем параграфе решается задача об определении
прогибов, углов поворота, моментов и поперечных сил в любом
сечении балки жесткости при частичном загружении моста равно-
мерной нагрузкой, как показано на рис. 101. При таком загруже-

нии для величин тр rf, Л1 и Q необходимо получить уравнения для
трех участков. Если исходить из уравнения (IV.1) и написать три
дифференциальных уравнения для трех участков, то при интег-
рировании возникнет необходимость определить 12 произвольных
постоянных. Для упрощения решения будем пользоваться не
уравнением (IV. 1), а уравнением (IV.4). Будем считать жест-
кость балки EI постоянной, нагрузку от собственного веса рав-
номерной, поэтому примем очертание кабеля по квадратной па-
раболе.

Учтем, что

</'W	•	(b)

/2

Введя обозначение

,	(IV.8)

после преобразований уравнения (IV.4) запишем его для трех
участков балки:

Mi(x)—a2Mi (х) =	(с)

А
Ahi(x)-a2;Mn(x) =

1_)

Mn I (x) — а27Иш (x)=——— g;

Непосредственное интегрирование уравнений (c, d, е) также
вызывает трудности в связи с необходимостью определения шести
произвольных постоянных, поэтому мы сделаем еще одно упро-



Рис. 102.

щение. Предположим, что функции Alj, Л4ц и Л41П графически
изображаются кривыми 0—1, 1—2 и 2—3 (рис. 102). Продлим
кривую Mj от точки 1 до точки 5, а кривую Л4п до точки 4. Рас-
стояние по вертикали между кривыми и А4П обозначим AAh,
а между Л4П и Alni — соответственно АМц. Из рис. 102 видно, что
ординаты функций Л1ц и ТИш можно определить как разность
соответствующих ординат:

Ali](x) = Ali (х) —— дАЛ (х);

(f)

Мщ (x)=Ah (х) —[дЛ/i (x)-j-AAfn (х)].	(g)

Значения ординат функций AAlj и АЛ4П определяются более
просто, чем функции Л4П и Л1П1.

Вычитая уравнение (d) из уравнения (с), а также уравнение
(е) из уравнения (d), получим дифференциальные уравнения для
функций

A?Wi(х)—oc2a7Wi (х)=#;	(i)

△/Иц (х) —-а^Мц (х) = д.	(])

Теперь мы будем интегрировать три уравнения (с), (i) и (j).
Решаем уравнения (с):

Mi (х) = Ло ch ах -4- Во sh ах— -—

Ха2

Так как при х=0 Ah = 0, то
поэтому

Af i (х) = ~ g (ch ах — 1) 4-	sh ах.	(к)

Ла2

Интеграл уравнения (i) можно записать в виде следующего
уравнения:

дЛЛ (х)= Aj cha(x — a)4-Bjsha(x— а)----— -

a2

Из условия, что при х=а; Mf = G и AMi'=O, найдем

А = —; ^1 = 0,
а2 1

поэтому

△Afi (х) = — [ch а (х — а) — 1].	(ш>

д2

Аналогично найдем решение уравнения (j):
дЛ7ц(х)=------------------— [ch a(x — b) — 1].	(n)

a2

Из полученных решений (к), (ш) и (п), согласно равенствам
(f) и (g), найдем уравнения моментов для второго и третьего
участков:

Мц(л)--=—[ch ax— 1 ] -|- Во sh ax—— (cha(x — а)— 1], (u)

Xa2	a2

Л4щ (x) — —~ — [chax — 1]-|- Z?oshax —
Aa2

------—[ch a (x — a) — ch a(x— /?)].	(v)
a2

Остается определить постоянную Bo. Для этой цели исполь-
зуем условие Afin(/)=O. Положив в последнем уравнении х=1
и приравняв его нулю, получим:

р  	(1 —~К) g	ch al—1 [ q cha(Z — a) — cha(l-b)

°	Xa2	sh al 1 a2	sh al

Подставляя найденное значение Bq в выражения (к), (и) и
(v), после несложных преобразований получим:

М\ (х)=<//2Ф1 (х)--1 ~~Х gp Ф0(х); 0 <х <С

X

/И,! (х) = qP Ф11 (х)-gP Фо (х); а < х < b- (IV.9)

Л

А1ш (х)=?/2Фш (х)-----1 Х gP Фо (х); 6<х</.

К
Значения функций ФДх); Фц(х); Фщ(х) и Фо(х) приведены
ниже равенствами (IV.13) и (IV.15).

Путем дифференцирования выражений (IV.9) найдем для
поперечных сил:

Qi (x)=^ZOi (х) —	}	^фо(х); 0<	x
Qii (x)=tf/<X>L(x) —	-l=^-g/a>*0(x); a< К	C x ;
Qin (х) = ^/Фц1	}	^фо(х);	x i.

(IV.10)

Для определения прогибов ц необходимо дважды проинте-
грировать выражение моментов

г е Af. (х)

т].(х)=\\------dxdxA-Ci (x)-|-£)i ;

J J EI

c (x)

7]n(x)= \\ ———dxdx-\-Cw (x)-|-£)ii;

J J El

Ч1П(^)=\^ 71411dxdx±Cw\ (х)-|-Дп.

Из условий 73i(O)=t)iii (Z)=0; ij,	(л); vJn (&) = т]И1 (&);

•jjj (a) =»][! (a); iJu/Z?)можно определить постоянные C hD.

Опуская все преобразования, приведем окончательный ре-
зультат:

—Ц--х
п	к

Х~- PoW — фо(*)]; 0<х<а;

Г7

7>п(х)=-?-1/?"(Л)—ф"	— х

п	к

X-^-L^oW —Ф0(х)];
/7

7ini(A:) = -“lFiii (х)-Фп1 (X)]-Ц^-Х

/7	К

х^Ро(х)—Фои)];

Г1
Углы поворота соответственно составят:

(х)]
ri

-	? [Fo(x)—Фо(х)];

Л

11;1(x)=-g-[F;1(x)-(х)] —ЦД- [/=•; (х)- ®; wi;
п	К

a<^x<^b\	(IV.12)

[^ш—Фш(х)]-----Ц^-[Ло(х) — Фо(х)]; 6<x<Z.

/7	К

Входящие в уравнения (IV.9), (IV.10), (IV.11) и (IV.12)
функции при обозначении

(IV.13>

определяются следующими равенствами:
§ 4. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ
ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСПОРА

Для того чтобы воспользоваться формулами, полученными в
предыдущем параграфе, необходимо предварительно определить
величину г, входящую в выражения функции Ф(х) и Ф*(х), свя-
занную с величиной распора Н соотношением (IV.13). Для этой
цели воспользуемся уравнением (IV.5), которое преобразуем к
более удобному виду. В первую очередь вычислим значение ин-
теграла

lab	I

j* 4i(x)dx~ J	j* 7]п (x) dx-\- J 7]ш (x)dx.

0	0	a	b
Пользуясь выражениями (IV.ll), (IV. 13), (IV. 15), (IV.17) и
(IV. 19) находим:

а	а

Tjj (х) dx = U-g2 [Л! (х)- ФI х]- J—-L	X

•'	V /7	к Г1

о	о

I	I

\ r,,„ (x)rfx=\ Ж^,,, (х)-Фш(х)]-Ж^Д X
b	ь

X [/=„ (X) -Ф„ (х)]1 dx=-^- Г-Д. (Р - а’) (t-ьу +
1 -X g/2	/2—£2	/3—^3

A H 4/	6/2

1

Z2

l-b—l

Z

sh — 4 sh z

z

*chT

Складывая полученные интегралы, получим:

£ 7] (X) dx= d, (z) Ц ^- -gL -i2 (z),

1Z/7	Л 1Z/7

0

(IV .20)

где

M*)=3^/~2

/>3 — cfi

12

(IV.21)

(IV.22)

Подставляя (IV.20) в уравнение (IV.5), получим следующее
характеристическое уравнение относительно X:

X 1

(IV.23)

где

1q

— Ф1 (г) 4- ф2 U)
g

т^<2 (?) — т] 4 azA/ • Lt
-	_	,

Г q	1

^2 — Ф1 (г) + ф2 (z)

(IV ^4)

Необходимо отметить, что уравнение (IV.23) имеет несколько
условный характер. Дело в том, что входящие в это уравнение
коэффициенты А и В сами являются функциями величины рас-
пора, так как они зависят от г, а следовательно, и от Н. Возни-
кает также вопрос, почему уравнение (IV.23) приведено не к виду
квадратного уравнения, а к такому своеобразному виду? Объяс-
няется это удобством решения уравнения, что подробно пока-
зано в следующем параграфе.

§ 5.	РЕШЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Наиболее сложной задачей в расчете моста является решение
характеристического уравнения (IV.23). Его можно решить
только путем подбора. Левую часть этого уравнения обозначим
через

/(Х)=-у-ф-5-Х.	(IV.25)

Прежде всего выясним, в каких пределах может изменяться
величина к при изменении нагрузки. Согласно (IV.8)

Х = —«'
н

Из этого равенства видим, что X может меняться в пределах

1.

В самом деле, только в случае отсутствия нагрузки величина
H = Hg, а во всех остальных случаях H>HS. Еслидавать величи-
не к значения от 0 до 1 и вычис-
лять значения f(X), то примерный
график этой функции будет иметь
вид, показанный на рис. 103 жир-
ной линией. Характерной осо-
бенностью линии f(X) является
то, что на довольно значительном
протяжении она близка к прямой
линии. Это обстоятельство силь-
но облегчает решение задачи.

Из графика видно, что урав-
нение (IV.23) удовлетворится
тогда, когда X примет значение X*.
Если определить значение f(k)
для двух каких-либо величин Xi
и 7,2, отложить ординаты f(Xi) и
f(X2) и соединить их прямой, то
она пересечет ось X в точке, которая будет весьма близка к ис-
тинной нулевой точке кривой f (X).
Если вместо функции /(X) взять не выражение (IV.25), а дру-
гое, например, Е(Х) =Л 4-Вл—X2, то функция F (X) будет
иметь вид, показанный пунктиром. Эта кривая не обладает
описанными выше преимуществами, что и послужило причиной,,
заставившей привести характеристическое уравнение к виду
(IV.23).

Близость кривой f(Z) к прямой линии позволяет эффективно
проводить метод последовательных приближений. Запишем урав-
нение (IV.23) в виде

X=-A_j_£.	(IV.26)

Предположим, что мы назначили Х = Хг-, и находим правую
часть равенства (IV.26), тогда для следующего приближения
имеем:

xitl=4+B

или

Х/Ц-дХ/ — — В,
откуда находим:

=	(IV.27)

Из равенства (IV.27) ясна схема проведения последователь-
ных приближений. Задав произвольное значение Хг- по (IV.27),
находим ДХг- и затем Xi+i=Xi + f (Хг-). Процесс приближения про-
должается до тех пор, пока f (X) не будет меньше желаемой ве-
личины.

Описанный здесь метод обеспечивает быстро сходящийся про-
цесс. Он эффективно использовался при решении задачи на элек-
тронной машине. Этот же метод можно применить и при решении
задачи с помощью клавишной машины или арифмометра. Однако
при ручном счете большое значение имеет выбор начального при-
ближения. Для этой цели за начальное значение целесообразно
взять величину Ло, соответствующую обычному решению по ме-
тоду сил. Если линию влияния распора принять за квадратную
параболу и определить наибольшую ординату по приближенной
формуле, а затем по ней найти распор Hq от временной нагруз-
ки, то

Проделав все эти вычисления, получим:

,	(1V.28)

g + кд
где

25 &—а2	2	*3—й3ч	/	is	CFi,. '

K~ —------------. ----- :	1 4---.----1-

8 \ /2	3	/3 /	\	8	ExFp

Определив к и затем Ло, находим f (Ло) и по (IV.27) ДЛЬ а за-
тем Л1=Ло+ЛЛь Повторяя процесс, находим Л2, Л3, ... В процессе
вычислений видно, когда следует закончить процесс приближе-
ний. Необходимо отметить, что значение Л надо определять с до-
статочно высокой точностью, так как при сравнительно малом
изменении величины Л довольно значительно меняются моменты
в балке.

Пример. Пусть: / = 200 м, / = %) м, S] = 35,3 м, -г=45°, Е1 =
= 0,44-108 Тм2, E}F=Q, 183(3) 107 th, £=12 т/м, q = 6 т/м, =
= 3000 т.

Рассмотрим случай, когда нагрузкой q загружен весь пролет.
По формулам (III.22), (IV.6), (IV.24), (IV.13) находим:

,.=1<)’+ад=

1,08192;

Ls=\d-j-2Si sec2 т= 357,584 ж;

m = H2Ls =0,585139; m2=-^=- = 10,6667;

1 EF	3,1

По (IV.28),учитывая, что п = 0, b=l, получим кя\

0,712000.

Вычисленные коэффициенты не зависят от Л, поэтому опреде-
ляются один раз. Теперь начинаем последовательные прибли-
жения.

Первое приближение:

по формуле (IV. 13) имеем:

z = -^ = 1,95716.

В нашем примере при а = 0 Ь — 1 ф1(г) =ip2(z); пользуясь форму-
лой (IV.22), находим:

12

<!ч (z) =ф2 (z) — 1-----------------

7	,2V 7	1,957162

1-

th 0,978580
0,978580

=0,276264.
По (IV.24) получим:

0,132377;

__ /По’Ф (г) ~ т1

(а	\

— + 1 Ф2(О
g	I

0,534289.

Теперь по (IV.27) находим:

А*-!

0,132377

0,712000

0,534289 — 0,712000=0,008212.



Следовательно,

к,= к0-1- дк1 = 0,720212.

Второе приближение:

z=—^—= 1,94597г

Ф2(^) = 1

12

1,045972

th 0,972985
0,972985

=0,273974;

1

А = 0,132038; В = 0,534629;

△X °.132038	0,534629 - 0,720212 = - 0,002251:

0,720212

л2 = 0,720212 - 0,002251 = 0,717961.

Решение, полученное на электронной машине, дало

7 = 0,718837.

Как видим, л2 отличается от точного значения весьма незначи-
тельно.

Ограничиваясь вторым приближением, принимаем Х=Хг=
= 0,717961. Найдем теперь момент в середине пролета. Вначале
определяем величину ги функции Фц(х); Ф0(х):

z = -%-= 1,94901.

1Л

При а = 0, Ь = 1 и х = — Фп(х) =Ф0(х), поэтому, пользуясь
более простой формулой для Ф0(х) (IV.16), получим:

Ф п (х) =----------( 1-----------------'I=0,089330.

4	1,949012 \ ch 0,974505 J
По (IV.9) вычисляем момент

1 — X

X

ТМ.

Решение, полученное на электронной машине, для этого слу-
чая дало М i =4670 тм.

2

Из полученных результатов видно, что весьма малая погреш-
ность в величине X привела к более значительной погрешности в
величине момента. Это еще раз свидетельствует о необходимости
определять X с высокой точностью.

§ 6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОГО МОМЕНТА
В ПРОИЗВОЛЬНОМ СЕЧЕНИИ
ОДНОПРОЛЕТНОГО МОСТА

Наиболее трудной задачей является определение максималь-
ного значения изгибающего момента в произвольном сечении.
Дело в том, что при расчете по нелинейной теории трудно опреде-
лить длину загружения, при которой момент в соответствующем
сечении становится наибольшим. Иначе говоря, требуется опре-
делять такие значения а=а* и b = b*, при которых момент при-
обретает максимальное значение. С математической точки зрения
необходимо дополнительно к основным уравнениям присовоку-
пить еще два уравнения

дМк q

да

дМК __ Q

дЬ ~~

(а)

Однако функция момента Мк (IV.9) по отношению к а и b
является неявной функцией, так как величины а и b в свою оче-
редь зависят от z и X. Таким образом, воспользоваться равенст-
вами (а) практически невозможно.

Для решения задачи можно использовать два пути. Пер-
вый — можно осуществить только на ЭЦВМ. Для этого также
используется метод последовательных приближений. Положив
вначале а = 0 и Ь = 1, т. е. решив задачу при загружении всего
пролета, мы потом полагаем Ь = 1, а величину а начинаем посте-
пенно увеличивать от нуля, полагая на каждом шаге, что:

a—ai-i	(Ь)

Для каждого значения а, полностью решается задача, начи-
ная от определения величины X и кончая определением момента
ЛД.
При переходе от аг_1 к щ машина определяет величину AA4K
.Если &М1( положительно, то по формуле (а) определяется новое
значение аг-+1 и все решение повторяется вновь. Вначале величина
Да берется, например, 0,1 I, азатем после первого грубого опре-
деления а0* берется более мелкий шаг, например Ad = 0,01 I.
Отправляясь от а0*, находим более точное значение Ci* и т. д.
Определив а\*, начинаем делать то же самое по отношению к 6,
при этом полагается, что а = а,\*. Оказывается, что затем необхо-
димо повторять процесс решения, но теперь при отыскании но-
вого значения а2* принимаем вместо b не Z, как в первом решении,
а величину Ь\*. Повторяя процесс несколько раз, находим окон-
чательно а* иЬ*. После этого вычисляется 7Итах для интересую-
щей нас точки. Для решения задачи этим методом необходимо
проделать огромные вычисления, что посильно только электрон-
ной машине.

Второй способ решения заключается в том, что величины а*
и Ь* находятся по приближенным формулам, которые выводятся,
исходя из обычной линейной теории, как расстояния до нулевых
точек линии влияния Мк.

Воспользовавшись решением Блейха, приведем готовые фор-
мулы значений а0* и Ьо*, при которых момент в точке к имеет
наибольшее значение:

—5-=1 —-—— ,	(VI.29)

I	3vxA.

b* _ I
~~ 3v(Z-xK) ’

тде

8 EJ'f'l

здесь EI и ЕЕ— жесткость балки на изгиб и жесткость кабеля
на растяжение;

Ls=[il; ц— значение коэффициента, определяемого по
(Ш.22).

Интересно отметить, что применение приближенных формул
“(IV.29) не приводит к большой погрешности в величине Л1тах.
Это легко объяснить, если исходить из линий влияния момента
при расчете по линейной теории. Так, например, при загружении
линии влияния момента в точке к на длине, несколько меньшей
требуемой длины, мы пренебрегаем частью Йлощади линии влия-
ния, которая по сравнению с общей положительной площадью ни-
чтожно мала, поэтому момент Мк при загружении, показанном на
рис. 104, мало отличается от максимального момента. Эти сооб-
ражения подтверждаются вычислениями на ЭЦВМ.
Если точка к расположена на небольшом расстоянии от опоры,
то для получения максимального значения момента временная
нагрузка q должна простираться до соответствующей опоры. Так,
например, если точка к близка к правой опоре, то Ь*=1 (или
а = 0, если точка к близка к

левой опоре).

Исходя из формулы
(IV.29) можно установить,
на каком предельном рас-
стоянии должна лежать точ-
ка к от той или другой опо-
ры, для которой необходимо
определять только один из
отрезков а* или Ь*. Так, на-

пример, для случая, когда точка к лежит правее середины из
второй формулы (IV.29) при условии, что Ь*=1, находим:

откуда

поэтому, если

3v (Z хк)

(VI.31)

то мы должны положить — = 1 и определять только отрезок а*.

Пример. Рассмотрим висячий мост с теми же размерами, ко-
торые были приведены в § 4:

а) определение наибольшего момента в середине пролета
-у-=0,5. Решение на электронной машине «Сетунь» дало следу-
ющие результаты:-у-=0,1597, b* = O,8403; Х= 0,744600. Полный
распор 77=4029 т. Максимальный момент Л4тах=4737 тл.

Найдем теперь приближенные значения а0* и Ьо* по форму-
лам (IV.29). По (IV.30) получаем:

_________________1______________

—	15	0,44-108	357,584

+ 8 ’ 0,183333 • 1 О’ ’ 202 200

Далее по (II 1.29) находим

0,832542.

— =1------------=0,199;

I	З^А^

—1— =0,801.
3vrK

/
Как видим, полученные значения очень отличаются от тех,
которые определила электронная машина.

В результате решения получилось:

X= 0,759115;

Н=3952 Т;

1/2=4716 тм.

Момент не очень отличается от максимального. Таким образом,
можно пользоваться приближенными формулами (IV.29) без
серьезных опасений за потерю точности в определении макси-
мальных моментов;

в) определение наибольшего момента в правой четверти про-
лета -у- =0,75. Применяя формулу (IV.31), находим:

= 1 —- = 0,59968.

Так как хк >хк*, полагаем, что Ь = 1.

Таким образом, необходимо определить только одну величи-
ну а0*. Пользуясь формулой (IV.29), определяем:

По составленной программе для случая, когда «=0,534 I и

Ь = 1, на электронной машине «Сетунь» было получено:

ТИо,75/=52О5 тм.

Интересно отметить, что точное решение этой задачи на ма-
шине привело к следующему результату:

=0,4915 м-

(Мо.75/)™х = 5255 ТМ.

Сравнение показывает, что несмотря на ощутимую разность
в отрезках а0* и а* разница в моментах незначительна. Это еще
раз показывает, что для определения длины загружения, т. е.
отрезков а* и Ь*, можно пользоваться приближенными формула-
ми (IV.29).
§ 7.	ЗАМЕЧАНИЕ О РАБОТЕ БАЛКИ
ЖЕСТКОСТИ ОДНОПРОЛЕТНОГО МОСТА

Применяя электронную машину, легко определить максималь-
ные изгибающие моменты в ряде сечений балки. Для конкретной
задачи на рис. 105 показана такая эпюра для моста с размерами,
приведенными в § 4. Для наглядности показаны не абсолютные,
а относительные значения мо-
—%.	РТ\ ментов, при этом за единицу

д	'л	|\ взят момент в середине проле-

/  _______ 1 I__________X	та. Как видно из рисунка, мак-

I 8 ц 5 6 т 8 9 Ю н 12 симальные изгибающие момен-
ты в четверти пролета больше,
Рис. Ю5.	чем в середине пролета. Это

свидетельствует о том, что бал-
ка постоянного сечения для однопролетного висячего моста
является не вполне рациональной. Закон распределения жест-
костей должен быть определен с учетом закона распределения
максимальных моментов.

Если принять балку переменного сечения с распределением
жесткостей в соответствии с эпюрой, .показанной на рис. 105, то
эпюра значений Mmax изменится и поэтому необходимо менять
закон распределения жесткостей.

Таким образом, можно путем последовательных приближений
прийти к национальной системе. Однако такую задачу нельзя
решить методом, изложенным в настоящей главе, так как все вы-
воды этой главы верны только для балки с постоянной жестко-
стью.

Таким образом, возникает необходимость создания простого
численного метода, позволяющего провести решение как для
моста с балкой постоянного сечения, так и для случая, когда
жесткость балки изменяется по произвольному закону. Этот во-
прос решается в гл. IV.

§ 8.	РАСЧЕТ ТРЕХПРОЛЕТНОГО ВИСЯЧЕГО
МОСТА С РАЗРЕЗНОЙ БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ

Рассмотрим симметричный трехпролетный висячий мост с
разрезной балкой жесткости, как показано на рис. 106. В общем
случае полагаем, что в каждом пролете имеется нагрузка, рас-
положенная на части балки. При расчете такого моста можно
использовать формулы, выведенные в предыдущем параграфе.

Для каждого пролета примем свои оси координат с началом
на левой опоре. Расстояния от левой опоры до произвольного
сечения в первом, втором и третьем пролетах соответственно обо-
значим: Xi, х2 «и х3. Точно так же обозначим «i&i, а2Ь2 и а3Ь3
отрезки, определяющие начало и конец загруженного интервала в
каждом пролете. Симметрия моста понимается только в геомет-
рическом смысле. Нагрузка может быть расположена несим-
метрично.

Для всех функций, которые были введены в предыдущем па-
раграфе, будем принимать прежние обозначения, но к каждой

из них будем добавлять по второму индексу, указывающему
номер пролета. Так, например, функция Фг(г) согласно (IV.14)
будет для каждого пролета иметь свое значение, а именно:

ch zi fl — —1 — ch^]fl —

Фц(г1) =---------------------------— sh z}

z^ sh z\	h

f do \	7	\

ch z3 I 1 ——- I — ch z3 I 1 —— j

Ф13 (23) =----------Цsh z,

Z3 sh z3	h

Здесь

(а)

Между значениями Zi и z2 существует зависимость
/i

(IV.32)

Для значений ц, т/, Л1 и Q сохраняются все формулы, которые
были получены в предыдущем параграфе, только для каждого
6-3802	161
пролета должны быть взяты свои значения функций Ф и F. Суще-
ственное отличие будет содержаться в характеристическом урав-
нении. При составлении этого уравнения также будем исходить
из основного равенства (IV.5), однако в нем суммирование де-
формаций должно распространяться на все три пролета. Таким
образом, величины Ls и Lt теперь надо определять по формулам

L s—Р-1А +	4- р-з4 4* 1sec2 xi 4~ *$2sec2 г2

^'/ = fxl/14- Н2/^24~	4"‘$1 sec хгЬ^2 SeCT2

(IV.33)

Значения щ, ц2 и ц3 вычисляются по формуле (III.22), а
рп, p2i и p3t по формуле (IIL24). Вместо третьего слагаемого в
уравнении (IV.5) необходимо взять выражение для трех про-
летов:

Л	Ц	Zs

С = у\ jpi (х) Jx4- у'2 Tj2 (х) dx 4- уг J % (х) dx =

ООО

8/?

/2

Z2

М2 Л

71) /2

Z1	zs	I»

\ 7П(Х)^Х -| Д т;2(х)	А V 7J3(X) dx

J	J	\	/ Ji J

0	0	0

Используя теперь выражение (IV.20), получим:

8/о

glj

12//

— hi (^1) —Фш (*i) 1 +
S	к	\

4- [—Ф12 (^) -	— h12 (г2)1 + 7“ [ V •13 ~ 1-Т ,?нз (гз) 1| •

L g	Л	J hfi L g	'	JJ

(b)

Подстановка в (IV.5) приводит нас к характеристическому
уравнению, которое по форме совпадает с уравнением (IV.23):

~ д_£_)ч = о.

X 1

Однако, коэффициенты А и В теперь будем определять по фор-
мулам:

N

—/П] + atLtLt

~~	N

где
== /?/.2 («2 -|- АгД

7" ^111 (^1)+Фц2 (^2)4-(—-)-у Фнз (^з).
\ «2 / J1	\ 11 / /2
(у-) v-  ~	(г')+— ’’«<**’+(т)т" "7 '»(г’);

\ 12 / /2 g	g	\b / h g

„ Д-dl;	(1V.34)

1 EF

m2 =

16/1

3/2

Необходимо отметить, что мосты с разрезной балкой жестко-
сти встречаются реже, чем с неразрезной балкой жесткости.

§ 9. РАСЧЕТ ТРЕХПРОЛЕТНОГО МОСТА
С НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ
ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ

В настоящем параграфе излагается метод расчета трехпро-
летного висячего моста с неразрезной балкой жесткости постоян-
ного сечения по нелинейной теории. Все допущения, принятые
ранее для однопролетного моста, распространим также на дан-
ную задачу.

На рис. 107, а показан симметричный трехпролетный мост.
Основная система изображена на рис. 107, б. По сравнению с

Рис. 107.

предыдущей задачей мы имеем дополнительно еще два неизвест-
ных: All и М2. Для их определения служат условия неразрыв-
ности деформации балки над опорами. На каждом из трех про-
летов приложим временные нагрузки, распределенные на части
пролета, интенсивностью соответственно q\, q2 и qa.

Если мы получим решение для такого загружения, то будет
легко рассмотреть любые частные случаи, которые могут встре-
титься на практике.

В каждом пролете мы' будем иметь три участка, для которых
уравнения прогибов, моментов или поперечных сил будут разные.
Условимся, так же как в предыдущем параграфе, сопровождать
каждую из величин т], т/, М и Q двумя индексами. Первый индекс
будет относиться к участку I, II или III одного пролета, а второй
будет обозначать номер пролета. В дополнение к тому, что мы
имеем в 'Предыдущем параграфе, необходимо учесть влияние мо-
ментов Mi и М2 для каждого пролета. Для этой цели необходимо
вернуться к дифференциальным уравнениям однопролетного
моста и учесть, что на концах балки приложены моменты. Если
исходить из уравнения (IV.4), то оно хотя и не изменится, но из-
менятся граничные условия. При х=0 и х~1 теперь мы будем
иметь Л1(0)=Л4леВ; Af(Q=7Wnp. Здесь Л4лев и А4пр моменты, прило-
женные на левой и правой опорах соответствующего пролета.

Если проделать все выкладки, то к выражениям прогибов,
углов поворота, моментов и поперечных сил добавятся слагаемые,
зависящие от /Илев и Л1пр.

В табл. 5 приведены эти дополнительные слагаемые для
отвлеченного пролета.

Таблица 5
В этой же таблице в последней строке записаны выражения,
«определяющие изменение площади Асом упругой линии балки,
вызванное моментами Млсв и Л1пр. Эти выражения будут исполь-
зованы в дальнейшем при составлении характеристического
уравнения.

Пользуясь табл. 5, легко учесть влияние моментов Afi и М2
для каждого пролета. Так, например, для первого пролета Л1пр =
—Мг, а А1лев=0. По данным последней колонки таблицы можно
написать дополнительные слагаемые к формулам (IV.9—IV.12),
учитывающим влияние момента Mi. Для среднего пролета
Afup = 7W2, а 7ИЛев=А11. Применяя обе колонки табл. 5, мы получим
два дополнительных слагаемых для величин q, т/, М и Q.

Введем обозначения функций для к-го пролета:

ЪЛхк)=

. (л Х“ \
sh гк (1 — — I
______\______1к /

sh zK



, хк
sh гк~—
_____чс_
sh zK



ZK Ch zK

sh zK

(IV.35)

, XK
zK ch zK ——

----——
sh zK

/(*«)= 1----—

Zk

2

В дальнейшем, для прогибов углов поворота, моментов и по-
перечных сил, определяемых без учета концевых моментов М\
и М2, будем применять обозначения т]°, (т)0]1, М° и Q0. Для всех
трех участков каждого пролета удобно применять единые обо-
значения (без разделения на участки).

о



П шк(Хк

О 4 хк$ ак
ак $ хц < Ьк
Ьк хк 1К

Таким образом, т]° (xK) представляет собой выражение про-
гиба в любом из участков пролета к, подсчитанного без учета
влияния Mi и М2.
Совершенно аналогичные обозначения будут и для других
факторов (моментов, поперечных сил, углов поворота). Для опре-
деления величин т>°, [П0]', М° и Q0 необходимо соответственно
применять формулы (IV.ll), (IV.12), (IV.9) и (IV.10), приведен-
ные в § 3.

Пользуясь новыми обозначениями, мы можем теперь записать
выражения интересующих нас факторов для неразрезного моста
в упрощенной форме. Применяя табл. 5 и обозначения (IV.35),
будем иметь следующие формулы:

а) для прогибов в трех пролетах

rh(xi) = т,°(Х1) + ~1 [77-----------<?21 (Х1)1 »

Н 11	J

^2	= Ъ°2 М +	[ 1 — "7^-------Т12 (хг)1 +

п [	/2	J

(IV.36)

। Afo Г	.

“I ~ 7	?22(хг) 5

П [ /о

т1з (хз) — (хз) Ч ~ГГ 1	— ^13 (Хз)] ’

77 L *з	J

б) для углов поворота в трех пролетах

tjiUi)—hi (Х1)Г	+ -^ Н-М*!)]  /7/1	
Ъ (хг)=1112х21,+	+ ^11-«22 W1  it Iе)	п 12	; (IV.37)
(хз)Г	+-^ie.8U3)-n	

в) для моментов в трех пролетах

Мх (xj = М\(xj 4- TMj<p21 (xj

ТИ2 (х2) М°2 (х2) -4-	(х2) ТИ2<р22 (х2)

(IV.38)

7И3 (х3) .= М(х3) М/Р13 (х3)

г) для поперечных сил в трех пролетах

Qi (xi)=Qi (xi) Ч~ -^1^21 (xi)

Q? (хг) — Р2 (-^г) Ч- ^1^12 (хг) 4"-^2®22 (хг)

Q3 (Хз) ~Рт(-Уз) Ч"'^2®13 (хз)

(IV.39)
Составим уравнения для определения моментов и М2. Для
этой цели используем условия равенства углов поворота под
промежуточными опорами

(zi) = Ti2(°)'>

т12 (Z2) — т13 (°)-

Используя формулы (IV.37), получим:

М (ОГ+-£- [1 -«21 Ю]=К(°)Г+~ Р>2 (0) -11+
iil\

+ -^Ч1-М<>)1;

К (4)1'+Iе, г (4) -11 + ~ 11 - ою (4)1 =

/742	47^2

=K(0)l' + -^ie„(0)-i|.

nl-л

Произведя преобразования и сократив все члены на величину
----, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Н12

8ц(^)^14-812(г)ЛТ2 + д1р(г)=0, |

М*) ^1+МгУИ2 + д2р(г)==0, )	1

где

8„(г)=Л[1-е2,(/,)]-|-[1-01г(О));
ч

812 (г) = «21 (г) = - [ 1 - еи (0))=[ в12 (У - 1 ];

8^ (г) = [1 - 6,2 (OJ + i 11 - е,з (0)];

*3

△1р(^)=///2{[^(/1)Г-ЬО2(0)П;

△2р (Z)=H12 {|Т)2 (/2)]' — Из (0)']}.

Подставляя значения функций 0 и [т)0]', получим следующие
выражения для коэффициентов канонических уравнений (IV.40):

*11

(г)=-тГ1

ч L

*12

(*)= 82j (^)=

zj ch г] I ,

sh ?! J 1

г2 ch z2 j

sh z2

z2 ch z2
sh г2



(IV.41)

*22

(z)=l—£2£L£2__|_A
Shz2 Z3

]. z3 ch z3
sh z3
△ip

1 by 4 Qi

bl — ay

#1	b\

chzy — — chzi —
______bi__________£i_

Zy sh zj

1 — X l\h

X 2

zi

th ~2

Z\

2 J

(a^ \	/

1 — — I — ch Zol —
______hl \	/2

z2 sh z2

г	*2

1 - X ^2	1 th 2

X 2	z->

~2	-

1	£^2 “I” <®2

2	/2

b2 — «2

___ 1 b^ -j- a2

2 1ч )

(IV .42)

&2p(z') —

a2	b2

ch z2 •— — ch z2 —

"2 — a2____________h____________h

/2	^2 sh ^2

/	^3 \	/	^3

ch z3 (1 —	— ch z3 1 — —-

______2____h /_________\ Is
z3sh z3

(IV.43)

Теперь осталось получить характеристическое уравнение. Для
этой цели необходимо повторить выводы, приведенные в § 4.
Также будем исходить из уравнения (IV.5). Для определения
величины С (см. формулу (Ь) § 8) необходимо дополнительно
учесть влияние моментов Mi и М2. Представим эту величину в.
виде двух слагаемых:

С=С04"С1,

где Со — определяется равенством (а), приведенным в § 8;

Ci — будет зависеть только от моментов ЛЦ и М2.

Если учесть, что дополнительная площадь линии прогибов от
опорных моментов определяется выражениями, приведенными в
168
последней строке табл. 1, а также использовать обозначение
(IV.35), то можно получить следующее выражение:



8/1

'1

*fo

/2

'2

(АТ; +	1%

2Н

X. (*2) —

8/3
/2

2Н

Х(*з),

ЧН

х(^1)~

или иначе

8^f2 |Г /^

12/7 (I fob

6Л4]
gfy

Х(^1)+Х(^2)]

~ Xfe’
/2*3

6-М2
g%

Если теперь подставить C0+Ci в уравнение (IV.5) и повто-
рить выводы, приведенные в § 8, то окончательно получим харак-
теристическое уравнение (IV.23):

X

Здесь по-прежнему

ту

N

т^К\ — /И] +



N

(IV.44).

N=-m7 (тг2+«1)

К\ ~ Ф21 (Zl) 4" 4*22 (гг) -F	~“Ф2з(гз)

\ *2 / /2	\ *2 / /2

Разница будет только в величине к2- Теперь для этого коэф-
фициента получим формулу:

*2 = (v)	~ ^12 (^) +

Л h f fog	g

+ (т^2	Фи(^з) 4—\ {[77-х(^1)4-х (22)1 Afj +

\1ч) fog	gr2 IL fofo	J

+ [ X(^) + 4т- X te)l Л44 . (IV.45)

L	/2*<3 J J
§ 10. ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
ДЛЯ ТРЕХПРОЛЕТНОГО МОСТА

Расчет трехпролетного моста состоит из двух частей: 1) реше-
ние характеристического уравнения; 2) определение моментов
поперечных сил и прогибов.

Первая и наиболее сложная часть состоит в определении
величины X, при которой удовлетворяется характеристическое
уравнение (IV.23). Решение, так же как и для однопролетного
моста, проводится путем последовательных приближений.

Задаем Х = Хь Определив по (IV.41, IV.42, IV.43) коэффици-
енты 6ц (г), 612(2), 622(2), Aip(z) и A2p(z), решаем систему кано-
нических уравнений и находим Af> и Л12. Далее по (IV.44) с уче-
том (IV.45) находим А и В. После этого по (IV.27) определяем
АХ] и затем новое значение Х2 = Х1+АХ]. Процесс повторяется до
тех пор, пока АХ не будет меньше заранее заданной величины,
предусмотренной желаемой точностью.

Найдя X, решаем вторую часть задачи, которая сводится по
существу к вычислениям по известным формулам. Применение
электронной машины позволяет решать задачу по отысканию
максимальных моментов и соответствующих им способов загру-
жения моста.
ГЛАВА V

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД
РАСЧЕТА ВИСЯЧИХ МОСТОВ

§ 1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В главе IV был изложен аналитический расчет висячих хвостов
с учетом геометрической нелинейности. Из содержания этой
главы видно, что непосредственное интегрирование дифференци-
альных уравнений приводит к весьма громоздким выводам и
поэтому затрудняет расчет.

Применение геометрических рядов, предложенное С. П. Тимо-
шенко [181], также содержит значительное количество вычисле-
ний, в особенности при действии прерывистых нагрузок.

Энергетический метод, разработанный Д. Б. Штейнманом
[162], позволил ее автору решить большое количество различных
задач, однако этот метод не удобен для механизации вычисли-
тельных работ.

В настоящее время возникла необходимость в развитии чис-
ленных методов, которые позволили бы широко использовать
современную вычислительную технику. В этом отношении заслу-
живают внимание работы Ф. Штюсси [168], в которых в основном
применяются численные приемы, позволяющие решать разнооб-
разные задачи. Идеи Ф. Штюсси получили дальнейшее развитие.
В связи с этим следует отметить работы Е. Эгервари [86, 87],
который предложил простую методику расчета висячих мостов
численным методом.

В настоящей главе излагается практически удобный числен-
ный метод, который в свою очередь является дальнейшим раз-
витием метода Е. Эгервари. Этот метод пригоден для расчета как
однопролетных, так и многопролетных висячих мостов при дей-
ствии любой, в том .числе и прерывистой нагрузки.

В главе указываются приемы расчета с применением настоль-
ных клавишных машин. Однако основным, по мнению автора,
является полностью механизированный расчет с помощью ЭЦВМ.
Использование матричного исчисления позволило в большой
степени сократить выводы, сделать их «наглядными» и вместе
с тем удобными для составления алгоритмов и программирования
для современных вычислительных машин.

§ 2.	ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим вначале однопролетный висячий мост с балкой,
жесткость которой меняется по произвольному закону. В даль-
нейшем будет показано, что предлагаемый метод может быть
легко распространен на случай неразрезных многопролетных ви-
сячих мостов. Основные размеры и обозначения показаны на
рис. 108.

Рис. 108.

Сделаем следующие допущения:

1.	Постоянная нагрузка g Т 1м равномерно распределена по
длине пролета. Учитывая, что вес несущей балки составляет не-
большую долю от общего веса пролетного строения моста, ука-
занное допущение может быть принято, как для балок жесткости
постоянного, так и переменного сечений.

2.	Ось кабеля очерчена по квадратной параболе и поэтому
при условии замоноличивания балок, после того как ее части
подвешены к кабелю, изгибающие моменты в балке от постоян-
ной нагрузки равны нулю.

3.	Будем рассматривать случаи, когда кабель можно отнести
к пологим гибким нитям и поэтому горизонтальными перемеще-
ниями точек оси кабеля пренебрегаем.

4.	Подвески будем считать нерастяжимыми. Учет растяжи-
мости подвесок, как будет показано в дальнейшем, не внесет
никаких дополнительных трудностей в решение задачи. В данном
случае это допущение принято исключительно из соображений
простоты и наглядности выводов основных уравнений.
Распор и усилия в подвесках от постоянной нагрузки

. g& .

g 8/ ’

(V.I)



(V.2)

где d — расстояние между подвесками.

В процессе загружения моста временной нагрузкой усилия в
подвесках изменяются. Обозначим дополнительные усилия в под-
весках от временной нагрузки через хк(к — 1, 2, ..., и).

Рис. 109.

На рис. 109 показана расчетная схема, которая получена из
заданной системы путем одновременного разрезания всех под-
весок. В этом случае балка и кабель могут рассматриваться как
отдельные системы, у которых, однако, должны быть совместные
деформации.

При загружении балки временной нагрузкой на нее будут
действовать следующие силы, которые будем считать сосредото-
ченными в узлах: силы, действующие вниз — от собственного
веса vg и от временной нагрузки vq; силы, приложенные кверху
в виде натяжения подвесок vg и х. Таким образом, суммарные
силы, приложенные к балке, следующие:

'V^'Vg—x.	(а)

На кабель будут действовать силы от собственного веса vg и
от временной нагрузки х. Они направлены в одну сторону и по-
этому суммарные силы, приложенные к кабелю вниз, будут:

.	(Ь)

Обозначим прогибы балки жесткости в точках прикрепления
подвесок через тр Тогда вектор этих перемещений будет сле-
дующий:



^2

Чп
Вектор прогибов балки можно определить с помощью следу-
ющего равенства:

(V.3)

где Lx — матрица влияния прогибов, которую можно построить
любым из известных способов.

Между усилиями в подвесках и ординатами оси кабеля после
деформации существует следующая зависимость;

+ Л = н (fc ?«)»

где Н—полный распор от постоянной и временной нагрузок;
ср* и ср"—углы наклона элементов кабеля слева и справа от
соответствующей подвески в деформированном со-
стоянии.

Из рис. НО видно:

Рис. 110.

поэтому

, I V ti ( Ук Ук—\ Ук^\—Ук. \

—7-----------~d---J +

+ -у-(-Ч<-1+2’>« —Vu) (*=>• 2... «)•

Выражение в первой скобке представляет собой разность
тангенсов углов наклона <рко элементов цепи в узле к до загруже-
ния временной нагрузкой. Обозначим вектор этих величин
Atg<pKo.
Переходя к векторной записи, получим:

(^4-х) =//△ tgcp0-b/7Z2Tb

(V.4)

где

Д tg ср0 =

△ tg <рю
A tg <р20

A tg ?я0

2	-1

(V.5)

Для кабеля, ось которого до деформации очерчена по квад-
Л	А 4.	$fd

ратной параболе, величина Д tg (рЛ.о постоянная и равна -- .

/2

Поэтому вектор Д tg д>0 может быть представлен в
виде:

следующем

8fd -*
△ ^<р0=-^о,

где

1

1

1

1

Определив из (V.4) вектор х и подставив его в формулу
(V.3), получим

•	(Ь)

\	№ J

Как будет видно из дальнейших выводов, удобно ввести сле-

дующее обозначение:	л =	.	(V.6)  («+!)£/ ’

Разрешив уравнение (Ь) относительно т], получим:
^=(£-+ХАГ‘	(V.7)

175
где

Д = .<” + 1)£/ ££

rf2

72*=л1(^4-^)

(V.8)

-%	8/£/	, -*

и —--------------LjO

(n + l)d3

Уравнение (V.7) недостаточно для решения задачи, так как
в пего, кроме искомого вектора прогибов балки т], входит еще
неизвестный параметр X.

Необходимо составить одно дополнительное уравнение дефор-
мации оси кабеля. Для этой цели воспользуемся так же как и
при расчете гибкой нити, описанным в гл. III принципом Лаг-
ранжа (работа внешних и внутренних сил для кабеля от постоян-
ной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки равна
нулю). Для нашего случая с учетом двух оттяжек кабеля So
(рис. 108) получим:

.^=0. (V.9)

е I cos г cos iEF cos2 <pK EF I

к=1	x	«=1	/

Величины Sqht показаны на рис. 108.

S —длина элемента кабеля между точками к и к-1,

Подставляя в это выражение вместо vg его значение (V.2),
после сокращения на Hg и замены Hq=H—Hg получим:

Н~Не	Sfd

—~ (is+2S„ sec’t)=— £	(с)

«=1

где EF — жесткость кабеля на растяжение;

Ls — приведенная длина, о которой подробно рассказыва-
лось в.Гл. Ш((Ш.7) и (III.21)].

(d)

Уравнение (с) с учетом обозначений (d) и формулы (V.6)
после всех преобразований может быть приведено к виду

п

Х=а4-р V

«=1

где

«>;"2
а=-------------- ;

(л -f 1) Е1

_____________8/££____________

/	2S0

' (л + J )4 EI / (л 4- —-— sec2 т

(V.10)

(V.11)

(V.12)
Совместное решение уравнений (V.7) и (V.10), которые в
дальнейшем будем называть основными уравнениями, дает воз-
можность определить вектор ц и параметр X, после чего по урав-
нению (V.4) легко определить усилия в подвесках и затем все
остальные усилия, необходимые для расчета моста.

Полученные уравнения нельзя решить в замкнутом виде, так
как они являются нелинейными по отношению к искомой величи-
не X, что характерно для расчета висячего моста по деформиро-
ванной схеме. Методы решения этих уравнений специально об-
суждаются в § 4 и 6.

§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ МАТРИЦЫ А

Для того чтобы составить матрицу А, входящую в основное
уравнение (V.7), необходимо вначале построить матрицу пере-
мещений £ь Для этой цели можно применить различные методы.
Один из наиболее удобных численных методов изложен в книге
коллектива авторов [38]. По этому методу матрица Lt опреде-
ляется произведением трех матриц:

i	Lx = L*mBwLm,	(V.13)

| где Lm— матрица влияния моментов в простой балке;

Bw — матрица упругих грузов;

[}т—матрица влияния моментов в фиктивной балке.

’	Формула (V.13) справедлива как для балки постоянного, так

и переменного сечений. Учет перемен-
ности сечения производится матрицей
упругих грузов.

Рассмотрим более подробно случай
однопролетного моста с балкой посто-
янного сечения. Задача заключается

'В'том, чтобы выразить вектор прогибов	Рис. 111.

т) от сил Рк (к— 1, 2, ..., п) приложен-

ных к балке, показанной на рис. 111. Для рассматриваемого
случая имеет место равенство

'	/ — I* —1	/

т т (п + 1)2

где 1п представляет собой матрицу, каждая строка которой со-
стоит из ординат линий влияния моментов в точках 1, 2, ..., п,

1	I

взятых в масштабе ------ .

О I


Так, например, для балки,

получаем:

5

п

4

3

2

1

разбитой на шесть частей (п = 5),

4 3 2 1

8 6 4 2

6 9 6 3-

4 6 8 4

2 3 4 5

Матрица упругих грузов будет:

р  d

в„

(а)

где В] для случая п = 5 будет:

1

4 1

1 4 1

1 4 1

1 4

(Ъ)

Произведение двух матриц В\
цию от матрицы 1п (см. (38]):

и 1п представляет собой функ-

в\1п= (bKK + 2^к) In - biK (п + 1) Е.

В этом выражении Ькк^4 (диагональный элемент), a biK = 1 —
побочный элемент матрицы Вь Е — единичная матрица.

Следовательно,

Естественно, что

пВ\!п = п — (л+1) /„,
поэтому

(VJ4)

Учитывая, что матрица L2 (V.5) также является модулирован-
ной якобиевой матрицей с элементами 2 и — 1, найдем:

/A=-7([2+2(-l)]/„-(-D(<»-|-l)£)=-24-LF.

а	' а

На основании равенств (V.8) и (V.14) устанавливаем:

4 = /„

(V.15)
По этой формуле легко составить матрицу А для любого чис-
ла делений балки. Так, например, для случая п = 5:

4

4

3

2

1

4 3

7 6

6 8

4 6

2 3

2 1

4 2

6 3

7 4

4 4

(V.16)

Аналогично можно построить матрицу А для балки перемен-
ного сечения.

§ 4. РЕШЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ НАСТОЛЬНЫХ КЛАВИШНЫХ МАШИН

Наиболее трудоемкую задачу представляет решение основных
уравнений (V.7) и (V.10), полученных в § 2:

п

К=1

Основная задача заключается в определении параметра X,
через который определяется распор Н. Легко заметить, что ре-
шение задачи в замкнутом виде невозможно, так как уравнение
(V.7) по отношению к X является нелинейным.

Кажущийся на первый взгляд заманчивым метод последова-
тельных приближений применить непосредственно к уравнениям
(V.7) и (V.10) нельзя, так как процесс итерации является в дан-
ном случае плохо сходящимся. Единственная возможность со-
стоит в разложении матрицы (Е + ХА)_| в степенной ряд. Однако
для сходимости ряда необходимо (вначале провести специальные
преобразования. Для выяснения смысла намечаемых преобразо-
ваний приведем сначала элементарный пример. Предположим,
что необходимо вычислить с помощью ряда функцию

f(x) = —= 1 - х-ф х2 — л3-!------

При |х|>1 этот ряд является расходящимся. Пусть, напри-
мер, требуется найти разложение функции f(x) в окрестности
точки х=х0. Произведем замену х = Хо-ЬЛх,
тогда

/(»)=-- 1 —=/ .

1 + Xq + Дх	1 + Е
где	t

Ar
e =-----.

1 +-vo

Искомое разложение будет иметь вид

/(х)=/(х0)(1-б + ^-Н-|-...).

Полученный ряд является сходящимся при

Н<1.

Проведем аналогичное преобразование с матричной функцией

Положим, что

Х=Х0-|-ДХ.	(V.17>

Найдем сначала матрицу

(^+ХА)=С0(Е+дХА*),
где

Со=(£+М);	(V.18)

Д' —С^'А.	(V.19)

Далее находим обратную матрицу:

(Е + ХА)-1 =- (£ + ДХА

Подставляя это выражение в основные уравнения, получим
новую систему:

(F-b ДХА)-1 (V ~ ДХ?*),	(V.20)

Д1=«' + ₽2’1«.	(V.21)

Л = 1
где

= Г = СГ' (tf->.„/);	(V.22)

=	(V.23)

Следовательно

(Е+ДХА *)-1 - Е -ДХА * + ДХ2А *2 -...

Следует отметить, что величину Хо всегда можно задать до-
статочно близкой к искомой величине. Так, например, определив
распор Н из условия, что вся нагрузка передается на кабель
(балка жесткости не способна работать на изгиб), можно вычис-
лить приближенное значение Хо-
Для решения уравнений (V.20) и (V.21) можно эффективно
воспользоваться быстро сходящимся рядом

^=(£- ДХЛ*+ Д ХМ*2-----) Й** - дХ^* *).

Далее введем матрицу-строку:

«0=111 1

Произведение юоЛ Дает сумму значений т), следовательно,

" -

V riK== (“о —	+ АХ2(Ъ2 + • • •) ѻà — &У**),

К = 1

где

(i)1=:(o0^*; w2—о13 = <о2Д*.	(V.24)

Подстановка в формулу (V.21) даст:

Д X=а* + ₽ (<оо- дХ^ + дХ$о>2 4-...) Й** — ДХу**).

После преобразований получим уравнение для определения АХ:

с0 — ДXcjАХ2с2... =0,

(V.25>

где

с0=а* + ₽«>оН**

C2-P(<o2TJ**4-w1y**)
^3=P(0)37i**4-w2/*)

(V.26)

После решения уравнения (V.25) по формуле (V.17) находит-
ся величина X, затем по уравнению (V.7) — вектор прогибов т]
и, далее, по (V.6) — распор И. Изгибающие моменты в сечении
балки можно определить равенством

Перед этим величина х находится из уравнения (V.4).

§ 5. ПРИМЕР РАСЧЕТА ОДНОПРОЛЕТНОГО МОСТА

Рассмотрим численный пример расчета моста равномерно за-
груженного по всему пролету имеющего следующие размеры:
/=200 м; / = 20м; So=35,3 м; т=45°; F=0,l м2; Е = 2,2-107 Т/м2;

Ек=~ ;g=12 Т/м; q=6 Т/м; 7=2,0 м*; р,= 1,08189.

1 tz
где	t

Ar
e =-----.

1 +-vo

Искомое разложение будет иметь вид

Полученный ряд является сходящимся при

Н<1.

Проведем аналогичное преобразование с матричной функцией

Положим, что

Х=Х0_|_ДХ.	(V.17>

Найдем сначала матрицу

(^+ХА)=С0(Е+дХА*),
где

с0=(£+М);	(V.18)

Д' —С^'А.	(V.19)

Далее находим обратную матрицу:

(Е + ХА)-1 =- (£ + ДХА

Подставляя это выражение в основные уравнения, получим
новую систему:

(£-Ь ДХА)-1 (V - ДХ?*),	(V.20)

Д1=«' + ₽2’1«.	(V.21)

Л = 1
где

=	Г = СГ' (tf->.„?);	(V.22)

=	(V.23)

Следовательно

(Е+ДХА *)-1 - Е - АХА * + АХ2А *2 -...

Следует отметить, что величину Хо всегда можно задать до-
статочно близкой к искомой величине. Так, например, определив
распор Н из условия, что вся нагрузка передается на кабель
(балка жесткости не способна работать на изгиб), можно вычис-
лить приближенное значение Хо-
Для решения уравнений (V.20) и (V.21) можно эффективно
воспользоваться быстро сходящимся рядом

Ч=(£- ДХД*ф- д ХМ*2-------) Й** - ДХ?*).

Далее введем матрицу-строку:

«0=111 1 1...1Ц.

Произведение юот) Дает сумму значений т), следовательно,
« -

2	=“о1?=(“о— д>ао1 + дХ2“2 + • - ) (V* — &у*),

К = 1

где

о)1;=(о0Д*;	oi3 —<о2Д*.	(V.24)

Подстановка в формулу (V.21) даст:

АX=а* + ₽ (<оо- дХо)! + дХ2о>2 4 . . .) (V — ДХ/*).

После преобразований получим уравнение для определения АХ:

I

%

с0 — AXfjАХ2с2... =0,

(V.25>

где

с0—а* -ф- Р%ТГ*

Г1 = 1 4 Р (“i1!** 4“ шоУ**)
с2-Р(ю212**4ш1/*)

<?3 = P(°Vi**4-w2/*)

(V.26)

После решения уравнения (V.25) по формуле (V.17) находит-
ся величина X, затем по уравнению (V.7) — вектор прогибов т]
и, далее, по (V.6) — распор Н. Изгибающие моменты в сечении
балки можно определить равенством

Перед этим величина х находится из уравнения (V.4).

§ 5.	ПРИМЕР РАСЧЕТА ОДНОПРОЛЕТНОГО МОСТА

Рассмотрим численный пример расчета моста равномерно за-
груженного по всему пролету имеющего следующие размеры:
/=200 м; f = 20 м; So=35,3 м; т=45°; F=0,l м2; Е = 2,2-107 Т/м2;

Ек=~ ;^=12 Т/м; q=6 Т/м; 7=2,0 jw4; р,= 1,08189.

1 tz
По этим данным находим:

£7=44-10е Тм\ EKF = 1,83333-1()6 Т.

Разобьем балку жесткости на шесть равных частей:

200

В этом случае все матрицы будут пятого порядка (п = 5).
Матрица А для п = 5 дана равенством (V.16). По (V.6) находим:

611

(V.27)

Далее по формулам (V. 11) и (V.12) находим:

а = _3^£_ = ] 26263.10-2
4/£/

fEKF

(2S

и + —— sec2 т
I

— =0,28772-10-2.

EI

Применяя формулу (V.14), найдем матрицу:

		25 38		39  69	31  56	17  31
		38	64			
I-		3Q	69	81	69	39
	18£/	31	56	69	64	38
		17	31	39	38	25

По (V.8) определяем векторы

т]* и у*, учтя при этом,

что

^=12flf; vq = Sd:



102

23.76

1

1,72

1,98

1,72

1

104

45

1 1 ’
1,72
Л, 98
Л,72
| 1
После подстановки найденных значений в основные уравне-
ния (V.7) и (V.10) получим:

4 3 2 1

7 6 4 2

6 8 6 3

4 6 7 4

2 3 4 4

4,20875		222,(2)
7,23906		382,(2)
8,33333	— X	440,0
7,23906		382,(2)
4,20875		222,(2)

(V.28)

1 = 0,0126263 + 0,0028772 j?	(V.29)

К=1

Из этих уравнений видно, что величина X лежит в пределах
0,0126 <Х< 0,0189.

В самом деле, если предположить, что прогиб в середине про-
лета отсутствует, то из уравнения (V.28) получим:

Х	0,0189,

1	440

а из (V.29) при 2т) = 0 Х2 = 0,0126.

Зададим Хо=0,0175. Тогда из (V.18) получаем:

	1,0700 0,0700 0,0525 0,0350 0,0175	
	0,0700 1,1225 0,1050 0,0700 0,0350	
	0,0525 0,1050 1,1400 0,1050 0,0525	•
	0,0350 0,0700 0,1050 1,1225 0,0700	
	0,0175 0,0350 0,0525 0,0700 1,0700	

Обратная матрица:

0,94074 - 0,05361 -0,03588 - 0,02198 - 0,01043
— 0,05361	0,90486 - 0,07560 — 0,04631 —0,02198

-0,03588 —0,07559	0,89442 —0,07559 —0,03588

—,0,02198 — 0,04631 -0,07560	0,90486 — 0,05361

— 0,01043 —0,02198 -0,03588 —0,05361	0,94074
Далее находим:

	3,38646 3,06358 2,05030 1,25613 0,59621	
	3,06359 5,43676 4,31971 2,64650 1,25613	
Л* = СГМ =	2,05030 4,31971 5,43676 4,31971 2,05030	
	1,25613 2,64650 4,31971 5,43676 3,06358	
	0,59621 1,25613 2,05030 3,06358 3,38646	

	0,31986		0,23326
	0,55017		0,40030
			
Т)**=С-1(Т1*-ХО/)=С“1-	0,63333	=	0,46032
	0,55017		0,40030
	0,31986		0,23326

J**=Co1i/* = lO2

1,62056

2,78099

3,19806

2,78099

1,62056

а* = а - Хо - — 0,0048737.

По выражению (V.24) находим значения матриц-строк со:
-о=Н 1 1 1 1.111-

^=<0^*= || 10,35286 16,72268 18,77299 16,72268 10,35268||,
«2=®^*= ||151,959	260,989	300,184	260,989	151,9591(.

Коэффициенты характеристического уравнения будут:
с0=a* -f-	=0,0000965,

q = 1 + ₽ (<-y< *+-о?*) =4,53026,
с2 = Р	+ -1?*) = 54,89214.

Подстановка дает:

54,89214дХ2 — 4,53026ДХ 4-0,0000965=0.

Наименьший корень этого уравнения

ЛХ= 0,0000213.

Таким образом,

Х=Х0 4- дХ=0,0175213.
Практически можно взять с округлением

-0,0175.

По формуле (V.7) находим:

0,233

0,400

0,460

0,400

0,233

Наибольший прогиб составляет — I.
Е	435

Из формулы (V.27) имеем:

/7=Л^£1=4158 т.

d?

По уравнению (V.4) находим:

562,66

576,75

569,34

576,75

562,66

Суммарная узловая нагрузка, действующая на балку,

(^-х)= (^4- vj -

37,34

32,25

30,63

32,25

37,34

Вектор изгибающих моментов в сечениях балки жесткости

		509,43		2830	
— 1.	г) —	1	794,82 886J1 794,82 509,43		4416  4926	Тм.
^m\uq л/	36			4416  2830	

При расчете этой же системы по методу сил максимальный
изгибающий момент составляет 5600 Тм. Расхождение—11%.
При увеличении временной нагрузки, процент расхождения бы-
стро нарастает. Процент погрешности в некоторой степени связан
с максимальным прогибом системы. Так при—, Разни-
ца для данного примера достигает 50%.

В данном примере пролет делится на шесть частей. При уве-
личении числа делений изгибающий момент Л4тах и максималь-
ный прогиб несколько уменьшаются. Аналогичная картина полу-
чается и при расчете по методу сил. Однако разница между
результатами расчетов по деформированной схеме и по методу
сил при любом числе подвесок остается неизменной.

Отметим, что наличие балки переменного сечения ни в какой
степени не усложняет расчета. Различие будет в составлении
матрицы Lb которая также определяется по формуле (V.13), но
в ней матрица упругих грузов изменяется.

§ 6.	О РЕШЕНИИ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ

Из примера, приведенного в предыдущем параграфе, видно,
что основная трудность в расчете моста по деформированной
схеме состоит в решении основных уравнений. При высоком по-
рядке матрицы описанный в § 4 метод становится трудоемким
и поэтому требует применения более мощных вычислительных
средств.

При использовании электронных вычислительных машин изло-
женный ранее метод применять не целесообразно, так как более
простой алгоритм, хотя и более трудоемкий, легче программи-
руется, более экономно расходует оперативную память машины
и поэтому заслуживает большого внимания.

Запишем вновь основные уравнения (V.7) и (V.10):

И

71к-

К=1

Второе уравнение перепишем в виде

п

/(л)=-К+«+₽2ъ.	(V.30)

«=1

Теперь решим систему уравнений (V.7) и (V.30) методом
последовательных приближений. Задавая величину

kz+1=A.-}-Ak, (/=1, 2,..., п)

и подставляя каждое из этих значений в уравнение (V.7), полу-
чим векторы прогибов и соответственно суммы Етр После подста-
новки этой суммы и соответствующего значения X в уравнение
(V.30) получим ряд значений функций fi(X); [2 (к).

Необходимо отыскать такое значение X*, при котором функции
f(Z) обращаются в ноль. На рис. 112 показано примерное изобра-

жение этой функции. По программе, которую автор составил для
машины «Урал 2» значение X* отыскивает сама машина. Подоб-
ным путем можно вычислить значение %* с любой, наперед задан-

ной точностью. Признаком, по которо-
му машина заканчивает процесс итера-
ции, служит величина е, заложенная
в программе, с которой производится
сравнение функции f(X). Задачу по
отысканию X* машина заканчивает
тогда, когда будет в первый раз выпол-
нено неравенство

Рис. 112.

/(**)<*•

Такой метод был неоднократно применен при решении задач,
приведенных в настоящей работе, в том числе рассмотренной
в следующем параграфе.

§ 7.	РАСЧЕТ ТРЕХПРОЛЕТНОГО МОСТА
С НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ

Расчет трехпролетного моста по деформированной схеме пред-
ставляет собой сложную задачу, которая усугубляется необхо-
димостью рассмотрения большого количества загружений. При-
менение электронной машины позволяет преодолеть эти труд-
ности.

Методика расчета и основные уравнения для трехпролетного
моста мало чем отличаются от таковых для однопролетного мо-
ста, однако имеются свои особенности, которые требуют специ-
альных пояснений.

Расчетная схема и основная система для трехпролетного
моста такие же, как и для однопролетного (рис. 113).

Исходное уравнение для определения прогибов совпадает с
выражением (V.3):

(V.31)

Также не меняется и уравнение (V.4):

Д tg^о-|-ЯЛ271,

(V.32>
здесь

Atg%=

△tg?10

△tg<p20

△tg<f„o

(V.33)

где A tg(p0 — разность тангенсов углов наклона элементов кабе-
ля в начальном состоянии до приложения времен-
ной нагрузки.

Рис. 113.

Необходимо иметь ввиду, что нумерация точек должна начи-
наться с первого пролета и идти подряд до конца третьего про-
лета. Ввиду того, что в разных пролетах размеры Inf могут быть
различными, замена вектора (V.33) через единичный вектор о,
как это было сделано ранее, будет уже неправомерной.

Рис. 114.

Матрица L2 должна быть построена для всего моста в целом.
Она будет представлять собой квазидиагональную матрицу сле-
дующего вида:

(V.34)

Каждая из матриц £2.ь £2,2, £2,3 строится для своего пролета.
Для симметричного трехпролетного моста с отношением про-
летов /2=2 /1 при нумерации точек, как показано на рис. 114, мат-
рица £2 будет иметь следующий вид:

Определив из равенства (V.31) вектор х, подставив его в
уравнение (V.32), и разрешив относительно т), получим для век-
тора прогибов следующее уравнение:

+ ХА )-1 • (7)* - \у *),	(V.35)

где

\=НН

А =—£х£2

^* = £i(^ + ^)

/ = V Л1А %
h

(V.36)

Величина h представляет собой некоторый числовой коэффи-
циент, который выбирается исходя из удобства расчета. Дело в
том, что при составлении матриц L\ и Ъ2, а следовательно, и мат-
рицы А некоторые числовые значения, как, например, длина
панели, жесткость и т. д., могут быть вынесены за скобку. Все
это в совокупности и составит множитель А. Такой прием оказы-
вается удобным при использовании ЭЦВМ, так как при хранении
величины h в какой-либо ячейке можно с пульта изменить те или
другие параметры.

Перейдем теперь к составлению уравнения деформации кабе-
ля. Так же как и ранее, используем для этого принцип Лагранжа,
приравнивая нулю работу внешних и внутренних сил кабеля от
постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки.

В отличие от полученного ранее выражения (г) теперь полу-
чим:
_ V । 8/^2 V	, B/3rf3 уч

(2Z,)2 Zj ГТ /2	Zj (2/3)2 U

/1	12	ig

(V.37)

Входящие в это выражение коэффиценты ць ц2 и щ опреде-
ляются по формуле (III.23), но для каждого из них должны учи-
тываться свои значения I и f.

Индексы, стоящие под знаком S в равенстве (V.37), показы-
вают, что суммирование прогибов производится в пределах ука-
занного пролета.

Из уравнения (V.37) находим:

Н = Н -|------------------Г V т] +

(ЛН1 + ^Р-2 +/зМз)	(2Zi)2 jtaJ

+-^S ’I •	(V38)

2 Z2	Zs

Умножая все члены этого равенства на h и учитывая обозна-
чение (V.36) (Х = /г/7), получим второе расчетное уравнение:

где a=hHg\

х= а 4- ₽1	*1+₽2 2 + Рз 2

Zi	Z2	/3

_ h	EkF	8/иЛ

Д1Л	+ Р-2^2 + НзАз	(2/1)2

__д 8fad?

Д1Л	4- Р2^2 +|азЛ-5	/2

__	W	8/grf3

Д1Л	+ Р-2^2 + Ц.зЛз	(2/з)2

(V.39)

(V.40)

Уравнения (V.35) и (V.39) являются основными уравнениями,
из которых необходимо определять величину X и вектор q.

Теперь вычислим матрицу перемещений L], которая должна
быть подсчитана для неразрезной трехпролетной балки. Естест-
венно, что этот процесс должен быть максимально механизиро-
ван. Наиболее удобным является методика, разработанная
Б. Я. Лащениковым [38], которую мы и примем. По этой методике
матрица перемещений определяется матричным равенством

Lx = {L^BL^-(LP)'BLX (L'x BL^~XLXBL°. (V.41)

Формула (V.41), хотя и является довольно сложной, но в нее
входят всего только три матрицы Lx, В, L°, которые вводятся в
память машины. Приведенная выше формула Б. Я. Лащеникова
получена на основании общего решения статически неопредели-
мой системы. Входящие в равенство (V.41) матрицы имеют зна-
чения:

В — матрица упругих грузов для основной системы;

L0 — матрица влияния моментов для основной системы;

Lx — матрица, столбцы которой состоят из изгибающих
моментов, возникающих в основной системе от
единичных неизвестных;

(L°Y и L/— матрицы, транспонированные по отношению к L0
и Lx.

Найдем матрицу Ц для случая, когда средний пролет в сим-
метричной трехпролетной балке в два раза больше крайних про-
летов. Разобьем балку на 12 участков, так как показано на
рис. 114. Для этого случая матрицы, входящие в формулы (V.41),
определяют равенствами:

О О

5 4

1 2

О О

d

6EF

41

141

141

141

141

141

141

141

14

Ах= —
х 6

2

4
6

5
4

3
2

1
О
О
О

О
о
о
1
2
3
4
5
6
4
2
ггавляя эти матрицы в формулу (V.41), после всех вы-
й получим матрицу перемещений

5-72£/

960

768

-520

—704

-648

—448

-200

80

64

768 —520 —704 —648 —448 —200	80	64
852 —650 -880 —810 —560 - 250	100	80
—650 1375 2072 1971 1384 623	—250	—200
—880 2072 3904 4104 3008 1384	—560	—448
—810 1971 4104 5103 4104 1971	—810	—648
—560 1384 3008 4104 3904 2072	-880	—704
—250	623 1384 1971 2072 1375	—650	—520
100 —250 -560 —810 —880 -650	852	768
80 —200 -448 —648 —704 -520	768	960

«ер. Рассмотрим численный пример трехпролетного моста
>езной балкой жесткости, показанного на рис. 115. Поло-
= 2 /1=500 м, f=50 м, EI = 80- 106 Тм, EKF=6- 106 7,
/м. Нагрузка q варьируется. По табл. 4 (приложение)
: р= 1,08189.

Рис. 115.

«энные представляют собой исходный материал, вместе
IM в машину вводились матрицы Lx и Т2, приведенные

ица Lm вычислялась машиной по соответствующей про-
Программа занимает около 600 ячеек. В ней широко
ются стандартные матричные подпрограммы матричной
Ниже показано, как выглядят результаты, выдаваемые
: на печать при каждом загружении. Так, например, при
ши среднего пролета нагрузкой <у = 0,5 g получены сде-
ланные (этот пример служил контрольным примером
раммы):

/(Х)= — 23203938 - 0,7;

Х= +29882 904+00;

//=+89229873+04.
Далее приводятся три вектора—прогибов, изгибающих мо-
ментов и суммарной нагрузки на балку:

-12 348 221 + 01
-12 074481+01
+ 11 905866 + 01
+ 19 526021 + 01
+ 22128 482+ 01
+ 19 526 021+01
+ 11 905 866 + 01
-12 074 481+01
-12 348 221 + 01

— 17613 382 + 05
— 16789466+05
+32045235 + 04
+ 51368 423 + 04
+ 58847997 + 04
+ 60596 734 + 04
+ 58 847 997+04
4-51368 423+04
+ 32 045235 + 04
-16 789466 + 05
-17613382+05

<7

-22 124759 + 03
-23004087 + 03
+ 14378 758 + 02
+65 441 622 + 01
+45 298114+01
-4-65 441 622 + 01
+ 14 378 757 + 02
— 23 004087 + 03

— 22 124 759 + 03

В программе предусмотрены поиски величины интенсивности на-

грузки (при каком-либо определенном загружении), при которой

максимальный прогиб будет равен допускаемой величине, напри-

1 ,
мер — I.
к 200

При этой нагрузке вычисляются и выдаются на печать

те же три вектора. Так, например, при загружении среднего про-
лета и при допускаемом прогибе 2,50 м машина выдала на пе-

чать следующие данные:

= 2,5000041 м,

а искомая величина интенсивности нагрузки

<7 = 0,57171 g.

Остальные данные (перепечатанные с ленты) выглядят так:
/(Х)=—47779395 - 07;

+31116 269 +00;

Н= +95912 681 + 04.
-138607644-01
-13 5638214-01
4-13434309 4-01
4-22 053 9894-01
4-25 000 0414-01
4-22 0539894-01
4-13 434 309 4-01
-13 563 8214-01
— 13 860 7644-01

v— х=

-24765 0744-03
-25 758 3094-03
4-17 241 770 4-02
4-76 643 786-j-01
4-52 2844744-01
4-76 643 7864-01
4-17 241 7704-02
— 25 758 3094-03
— 24 765 0744-03

-19 749 2734-05

-18 860985 + 05
4-34925 611+04
4-57859 220 + 04
4-66590 985 + 04
+-68 603 207 + 04
4-66590 986 + 04
4-57859 219 + 04
4-34925 611+04
— 18 860 985 + 05
— 19749 273+05т

С помощью зычислитсльной машины легко исследовать влия-
ние различных факторов на изменение усилий и деформаций в
висячей системе. Так, например, на рис. 116 показан график из-
менения распора, наибольшего изгибающего момента и макси-
мального прогиба при загружении среднего пролета нагрузкой
/у = 0,5 g в зависимости от жесткости балки.

Рис. 116.
Аналогичный график показан на рис. 117 при том же загру-
жении в зависимости от изменения жесткости кабеля.

Как уже указывалось ранее, при расчете висячих мостов по
деформированной схеме закон независимости действия сил не
соблюдается, поэтому нельзя пользоваться линиями влияния,
полученными по методу сил. Это в сильной степени затрудняет

Рис. 117.

учет подвижной нагрузки. При изменении характера загружения
весь расчет приходится производить заново. Таким образом,
объем работ при расчете по деформированной схеме намного
больше, чем при обычном расчете по линейной теории.

Рис. 118.

Программа, составленная для рассмотренного примера, позво-
лила изменять характер загружения и проводить расчет при мно-
гократных комбинациях нагрузки. На рис. 118 показана схема
загружений, для которых проведены расчеты трехпролетного
моста.

Приводить все числовые данные, полученные для указанных
загружений, не целесообразно, так как от этого сильно возраста-
ет объем настоящей работы. Ограничимся лишь приведением
двух графиков. На рис; 119 показан график изменения опорных
моментов Ма и Мь, а также момента в середине пролета в зави-
симости от загружения. На рис. 120 изображен график прогиба
в середине второго пролета при тех же загружениях.

Рис. 119.

Рис. 1ZU.

§ 8. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА
ТРЕХПРОЛЕТНОГО МОСТА
ПО ДВУМ МЕТОДАМ

При расчете трехпролстного висячего моста с неразрезной
балкой жесткости как трижды статически неопределимой си-
стемы Ф. Блейх [1] получил формулы для ординат линии влияния
распора.

При движении единичного груза в пределах среднего пролета
эта формула приводилась в § 8 гл. IV. Пользуясь формулами
этого параграфа, для нашего случая находим:

w.= /№+4>.).= 9. f.

2(21,+31,)	16

г=а, й+24'|+/41+84')=2/Ф+84'1 

\ J \ Z2 )	\ Я)

Значение распора при единичном грузе в среднем пролете,
расположенном на расстоянии от опоры:

- 2бз -ь 6) -	(£ - $2)

f~[ = 3_________________-_______—

17	4 (от')2	EI L,

30' 12 . 3/2 EKFl\

27

^-263 + 6)-—(S-е2)

=------------------32--------.	(а)

139 f

--- *	I | 1 “T" О 9 I _ _

. 320 l2 fl2\ l2)EKF
Загрузив средний пролет равномерной нагрузкой q, найдем
распор от временной нагрузки. Для, этой цели произведем инте-
грирование выражения (а) в пределах среднего пролета, поло-
жив q = 0,5g. Выполнив интегрирование, (получим

19
, ,	320 'ql

— • — +— 1 + 8— -----------

320 I fl \ Р J EKF

19	/2

_____________ а —
_____________139-/___________

1920 /	/2	\ Е1

1 +------ 1 + 8 — -----

139/2	/2	/ EKF

Подставив в эту формулу наши размеры: /2 = 500 м = 2 l\f =
,= 50 м, q=5 Т/м, Е F=6- 106 Т и сохранив EI в общем виде,
после всех преобразований получим окончательно:

Я —	3417.266

q~ 1 + 0,009453-10-8 EI

Давая значения изгибной жесткости:

£/ = 0,1-108, 0,2-108, 0,3-108,..., 1,0 10е,
получим значения распора от временной нагрузки, которые при-
ведены в табл. 6. Там же приведены значения полного распора
Н= ННq, при этом учтено, что распор от постоянной нагрузки

= -^- = 6250 Т.

g 8/

В этой же таблице приведен распор Н*, полученный с по-
мощью электронной машины при расчете по деформированной
схеме. В третьем столбце указано расхождение между двумя
распорами в процентах:

Таблица 6

EI	и			
108	ч	н	н*	л//, %
0.1	3383,62	9633,62	8789,68	9.7
0,2	3350,62	9300,62	8843,29	8,6
0.3	3318,26	9568,26	8880,56	7,7
0,4	3286,52	9536,52	8903,49	7,1
0.5	3255,39	9505,39	8916,82	6,6
0.6	3224,83	9474,83	8923,39	6.1
0,7	3194,85	9444,85	8925,03	5,8
0,8	3165,42	9415,42	8922,99	5,5
0,9	3136,52	9386,52	8918,12	5.3
1,0	3108,15	9358,15	8911,08	5,0
Проведем теперь сравнение изгибающих моментов, найденных
двумя способами. Найдем вначале момент по линейной теории.
Для этого используем формулу

AlZ/2=Al?/2-Afz/2f/?,	(б)

П 175
где	Мц2 =-----момент в середине пролетает еди-

8

ничного распора;

М°ц2=—= 78 1257м—момент в середине пролета нераз-
16

резной балки от нагрузки q.

Учитывая значения распора по табл. 6 и значения моментов
по формуле (б), найдены моменты Mt/2 и приведены в табл. 7.
В этой же таблице приведены моменты, полученные с помощью
электронной машины «Урал 2», при расчете по деформированной
схеме. В третьей колонке дается процент расхождения моментов,
найденных двумя способами.

Таблица 7

EI  10®	W 1! 2	м*  ift	дм. %
0,1	4108,3	1079,1	73,7 )
0,2	4830,2	1928,1	60,1 1 В
0,3	5538,1	2687,1	51,5 J
0,4	6232,3	3402,5	45,4 х
0,5	6913,3	4091,7	40,8
0,6	7581,8	4762,1	37,2
0,7	8237,7	5417,4	34,2	А
0,8	8881.4	6059,7	31,8
0,9	9513,6	6690,1	29,7
1,0	10134,6	7309,6	27,9

Произведем теперь сравнение опорного момента, для которого

78 125;

поэтому

М,„ = -78125+ —Н,.

О

Найденные по этой формуле моменты приведены в табл. 8,
в которой даны также моменты при расчете по деформированной
схеме, полученные с помощью машины.
10»		7И* оп	EI 10’	^оп	оп
0,1	1703.9	2048,9	0.6	1257,3	3677,0
0,2	1611,1	3037,1	0,7	1173,0	3475,7
0,3	1520,1	3541,9	0,8	1090,2	3204,5
0.4	1430,8	3707.6	0,9	1009,0	2880,9
0,5	1343.3	3783,3	1.0	929,2	2517,5

Из табл. 6 видно, что величина распора при изменении жест-
кости балки изменяется незначительно — от 5 до 10%, в то время
как изгибающие моменты как в середине пролета, так и на опоре
(табл. 7 и 8) меняются очень сильно.

Так, например, момент в середине пролета при расчете по
нелинейной теории уменьшается по сравнению с моментом при
обычном расчете на 28—74%. Чем меньше жесткость балки, тем
значительнее уменьшается изгибающий момент. Физически это
положение легко объясняется. При исчезающе малых прогибах
балки оба метода расчета дадут совпадающие результаты. При
весьма гибкой балке, наоборот, перераспределения усилий в под-
весках при расчете по нелинейной теории будут весьма значи-
тельными. Кабель будет воспринимать на себя большую нагрузку
и при стремлении жесткости балки к нулю моменты в ней падают
до нуля.

Необходимо, однако, отметить, что в реальных мостах проги-
бы ограничиваются допускаемыми по техническим условиям
величинами, поэтому эффект снижения максимальных моментов
при расчете по нелинейной теории также ограничен.

Для приведенных в табл. 7 значений моментов можно выде-
лить ту область, отмеченную буквой А, для которой максималь-
ные прогибы не выходят за пределы возможных допускаемых
величин. Так, например, если допустимый прогиб ограничить ве-
личиной^/, то наибольший процент снижения максимального
момента в середине пролета ограничивается величиной 45%.

Опорный момент при расчете по нелинейной теории оказы-
вается большим, чем при обычном расчете. Но так как он по
абсолютной величине для реальных систем не является макси-
мальным, то он не является лимитирующим. Интересно отме-
тить, что он при расчетах по обоим методам оказался положи-
тельным. Объясняется это тем, что в крайних пролетах появля-
ются значительные усилия в подвесках, которые направлены
вверх.

Естественно, что приведенный анализ относится только к рас-
смотренному примеру и не является общим для висячих мостов.
Достаточно изменить соотношение пролетов или сделать балку
переменного сечения, как изменится и картина перераспределе-
ния моментов. Поэтому задача о рациональном назначении раз-
меров висячих мостов чрезвычайно сложна. Однако автор не
ставил перед собой эту задачу.

§ 9. ЗАМЕЧАНИЕ О РАСЧЕТЕ МНОГОПРОЛЕТНЫХ
МОСТОВ С НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКОЙ ЖЕСТКОСТИ

Многопролетные висячие мосты с неразрезной балкой жестко-
сти применяются очень редко. Объясняется это тем, что они очень
чувствительны к осадке опор и могут применяться только при
наличии скальных оснований.

В настоящем параграфе мы не будем проводить детального
расчета таких систем, а ограничимся только приведением основ-
ных расчетных формул. Они принципиально ничем не отличаются
от полученных ранее для трехпролетных мостов.

Основной задачей является решение двух совместных урав-
нений:

+	(V.42)

т

+	(V.43)

1=1	/,

Последнее уравнение написано по аналогии с уравнением
(V.39) с той только разницей, что здесь суммирование выра-
жений
т

Pf S
i=i

распространяется не на три, а на все пролеты.

Значение р определяется для каждого пролета в отдельности
по формуле
о  EkF	&fjdl

т	.2

2 Mi
1 = 1

Для крайних пролетов вместо Ц необходимо брать 2 Zi или
2 1п- Величина а по-прежнему будет

a. = h.H g,
где h — постоянный множитель, выбираемый из удобства
расчета;

Hg — распор от постоянной нагрузки.
Система уравнений (V.42) и (V.43) по-прежпему является
нелинейной и решается по методу, описанному в § 6.

Матрица А и входящие в нее матрицы L\ и Ь2 имеют такую
(же структуру, как для трехпролетного моста, но в матрицах L] и
£2 число квазиматриц будет не три, а т (т — число пролетов).

Для многопролетного моста все матрицы будут высокого по-
рядка, поэтому расчет можно провести только с применением
электронной машины.

§ 10. РАСЧЕТ ВИСЯЧЕГО МОСТА
С УЧЕТОМ НАКЛОНА ПОДВЕСОК

В процессе деформации висячего моста точки прикрепления
подвесок к кабелю перемещаются как по вертикали, так и по го-
ризонтали. За счет горизонтальных перемещений подвески
наклоняются и поэтому на кабель, кроме вертикальных сил, пере-
даются также и горизонтальные. Эти
силы всегда направлены в сторону,
противоположную горизонтальным -пе-
ремещениям, и поэтому они играют
роль удерживающих сил, делающих
рею систему более жесткой.

Из обзора, приведенного в гл. I
,(§ 3), видно, что в абсолютном боль-
шинстве работ, посвященных расчету
висячих мостов, учет наклона подвесок
не производился. Объясняется это дву-
доя причинами: во-первых, в мостах с
пологим кабелем или в случаях, когда

цодвески имеют значительные длины,
учет наклона подвесок дает малый эффект; во-вторых, такой
учет весьма сильно усложняет расчет. Это можно видеть из
гл. III (§ 5, 6 и 8) настоящей работы, где производится расчет
(гйбкой нити при действии вертикальных и горизонтальных сил,
а также при учете наклона подвесок. Из указанных расчетов
•можно видеть, насколько эта задача сложнее, чем задача рас-
чета нити в обычной постановке.

В дальнейшем можно будет убедиться, что учет наклона под-
весок, как правило, можно производить в том случае, когда в
средней части моста подвески имеют небольшие длины (влияние
(Наклона подвесок ощутимо) .

Н'а рис. 121 показан узел к и наклонившаяся подвеска, пере-
дающая на кабель силы vK и wK.

Условимся перемещения ик, а также горизонтальные силы
считать положительными, если они направлены вправо. При
таком правиле знаков связь между силами vK u.wK будет опре-
деляться равенством

'WK

Uir

hK

(V.44)

Так же как и раньше, в качестве основной примем систему,
в которой все подвески разрезаны сечением I—I, как показано на
рис. 122. Ввиду малости углов наклона подвесок вертикальные
составляющие v можно считать равными самим усилиям в под-
весках.

Связь между перемещениями и усилиями, передающимися на
кабель при действии вертикальных и горизонтальных сил, была
установлена ранее в гл. III (§ 6).

Обозначим, как и раньше, усилия в подвесках от постоянной
нагрузки vg, а изменения этих усилий от действия временной на-
грузки— х. В соответствии с формулой (III.77) получим:

(у+ч).	(а)

Все входящие в это уравнение матрицы были приведены ра-
нее в гл. III (§ 6). Прогибы балки жесткости (V.3) определяются
выражением

^==£1(^—Д	(Ь)

Вектор vq определяет систему приложенных к балке сосредо-
точенных сил от временной нагрузки.

Определив из равенства (а) вектор х и подставив его в урав-
нение (Ь), после всех преобразований получим:

(£1 + //1А1Г2-иЛ1В)	у, (V.45)

где

b=-g,l's-d£

(V.46)
Введем такие же обозначения, как и в § 2 настоящей главы:

л= <п + 1>ет L L.

dP

I

(V.47)

Кроме этого, обозначим:

L^y^Z*.

(V.48)

Величина X, в отличие от (V.6), теперь будет:

(V.49)

Подстановка в уравнение (V.45) и определение из него век-
тора дает:

(Е 4- С + ХА)-1 Й* - Z* - Ху*).

(V.50)

Это уравнение сходно с уравнением (V.7). Если положить
С = 0 и Z* = 0, то оно совпадает с уравнением (V.7).

Для составления второго уравнения воспользуемся результа-
тами, полученными в гл. II (§ 6) для гибкой нити. Будем исходить
из уравнения (III.85). Если дополнительно учесть деформации
оттяжек между пилонами и анкерами, то это уравнение при-
мет вид

л+1

д^8ес3<р--^-^7]-0,

Л'=1

где

+	------|-WK.

(V.51)

(V.52)



Как и в гл. III (§ 2), примем:

i

1 d sec3 ср —	——— =

4	J	cos3 <р

о
Величина g определяется по (III.23) или по табл. 1 (прило-
жение). Далее в соответствии с обозначением (V.49) найдем:

Н1=Х .(” + 9-£-/.

Д2

После подстановки в уравнение (V.51) двух приведенных ве-
личин и решения этого уравнения относительно X будем иметь:

п

4ki
№1

(V.53)

где

a =-------------

(n + 1) EI

n

4//Ksec3<pK

K=1

g	[il + 2Sq sec2 -t

_____________

I	2SO o \

I p. + — - sec2 т I

(V.54)

(V.55)

Сравнивая выражения аире аналогичными выражениями
(V.11) и (V.12), замечаем, что учет наклона подвесок не оказал
влияния на величину р.

Если горизонтальные силы, передающиеся на кабель за счет
наклона подвесок, не учитывать, т. е. положить ЛДК =0 (к=1,
2, ..., п), то выражения (V.54) и (V.11) совпадут.

Для определения горизонтальных перемещений и восполь-
зуемся выводами, приведенными в гл. III (§ 6). Таким образом,

и=—Аи^у.	(V.56)

Матрица Аи и вектор у определяются равенствами (III.83) и
(II 1.84), приведенными в гл. III (§ 6).

Таким образом, решение задачи сводится к совместному ре-
шению трех уравнений (V.50), (V.53) и (V.56). Для висячих
мостов с пологим кабелем можно величины 8 (III.73) принять
равными нулю. Тогда мы получим некоторые упрощения. Однако
и в этом случае все три уравнения продолжают оставаться сов-
местными. Задача должна решаться методом последовательных
приближений. В первом приближении примем горизонтальные
перемещения равными нулю. И в этом случае необходимо про-
водить решение методом последовательных приближений, как
указано в § 6 настоящей главы.

Определив вектор и первого приближения, вычисляем матри-
цы Gw и Dw. Затем весь расчет повторяем заново. Поступая
также и во всех последующих приближениях, продолжаем про-
цесс до тех пор, пока векторы ц и и двух последних приближений
будут одинаковые. По мере уменьшения размера Ло (см. рис. 122)
влияние наклона подвесок будет увеличиваться.

Для того чтобы определить предельный случай, можно поло-
жить Ло=0. Этот случай соответствует жесткому скреплению ка-
беля с балкой в середине пролета. Однако этот предельный слу-
чай удобнее решать в предположении наличия двух кабелей
(левого и правого), поддерживающих балку. Решение этой
задачи дается в следующем параграфе.

§ 11. РАСЧЕТ МОСТА С КАБЕЛЕМ, ЖЕСТКО
ПРИКРЕПЛЕННЫМ К БАЛКЕ

В СЕРЕДИНЕ ПРОЛЕТА

В последнее время в висячих мостах стали применяться такие
системы, в которых кабель жестко соединен с балкой в середине
пролета. Основная идея, породившая эту конструкцию, состоит
в увеличении жесткости системы при несимметричном загруже-
нии временной нагрузкой. Расчет таких систем усложняется в
связи с тем, что появляется еще одно лишнее неизвестное — го-
ризонтальное усилие, передающееся с кабеля на балку жест-
кости.

В указанной конструкции по существу имеется два самостоя-
тельных кабеля, к которым подвешена балка. Основные расчет-
ные уравнения, естественно, усложняются. Однако применение
ЭЦВМ позволяет преодолеть трудности, связанные с расчетом,
и получить решение при различных загружениях моста временной
нагрузкой.

Для вывода основных уравнений в § 4 (гл. III) предваритель-
но была рассмотрена гибкая нить, у которой один конец имеет
подвижную опору в вертикальном направлении.

Рассмотрим однопролетный мост с балкой постоянного се-
чения. При решении системы с балкой переменного сечения не
возникает никаких затруднений. Различие будет состоять только
в построении матрицы упругих грузов. Методика расчета и все
основные допущения остаются прежними. Величины перемещений
и усилий, относящиеся к левой и правой частям, будем обозначать
одинаковыми буквами и снабжать их индексами «л» и «п».

Между усилиями в подвесках и ординатами оси кабеля после
Деформации существует следующая зависимость:

Для левой половины

(^+г,)=Н’«(»+Л	(V.57)
для правой половины

(^+хп) = ЯпЛ2п (J+?1),

(V.58)

где Нл и Нл — величины распоров в левой и правой частях
кабеля;

т]л и т]п — прогибы в левой и правой частях балки от за-
гружения системы временной нагрузкой.

Введем обозначения:

нл + Нп



2

2

откуда найдем:

Ил =
н*=н-ьн\-

Подставив значения (V.59) в уравнения (V.57) и (V.58), по-
лучим:

для левой половины

(^4-хл) = /7^(;+?) + дЖ (Й-Л	(V.60)

для правой половины

<;1Г+х")=«к(!/+ч")-д/7« (у+Ъ-	(v.61)

В этих уравнениях матрицы L* и Л2 имеют следующий вид:

-1	2—1

-1 1

-1

2 -1

-1	2—1

— 1	2-1

— 1	2

Объединив уравнения (V.60) и (V.61), запишем их в виде
одного уравнения. Сняв индексы, получим:

(Vg +	= HL2 (У +1) + △^'△^'2 {У + 71)-

(V.62)
Здесь матрицы £2 и AL2 имеют следующий вид:

Л£2

л ।
I

2 ।

(V.63)

Из выражения (V.63) видно, что матрицы £2 и I" наклады-
ваются друг на друга так, что у них суммарным является один
элемент. Легко заметить, что матрица L2 будет совпадать с обыч-
ной матрицей £2, применявшейся в предыдущих параграфах.
Матрица А£2 является новой матрицей. Она, как нетрудно заме-
тить, будет обладать косой симметрией. Средний ее элемент будет
равняться нулю.

Решая уравнение (V.62) относительно х, получим:

—х = — Я£2 (^ + ^1) — △ д£2 (г/ 4- т]).	(V .64)

Прогибы балки жесткости, как и ранее, определяются урав-
нением

71 = Л(^ — Д	(V.65)

Подставляя уравнение (V.64) в уравнение (V.65), получим:

Ч=А [('Vg+v^ — HL^ (t/4-Ti)—д//д£2(*/-Н)]-

После некоторых преобразований уравнение примет вид

Ц = L!(vg-f-vq) —HL(уЦ-tj) —	(y4-tj). (V.66)

Как видно из дальнейших выводов, удобно ввести следующие
обозначения:

л— hn —h-----

2

2

a^—l^

h 1

 .

Д A = — д£2

(V.67)

(V.68)
^*=^1(^4^)

71/ — Tln-i
&y*i = &Hy*

(V.69)

Подставляя в выражения (V.66) обозначения (V.67), (V.68),
(V.69) и решая полученное равенство относительно т), получим:

Ч=(£Ч-ХЛ-|-8ДД)-’	(V.70)

Одного уравнения (V.70) для решения задачи недостаточно,
так как в него, кроме искомого вектора прогибов rj, входят еще
неизвестные параметры X и 6. Поэтому необходимо составить два
дополнительных уравнения деформаций кабеля. Для этого, как
и ранее, воспользуемся принципом Лагранжа. Теперь придется
этот принцип использовать для каждой половины кабеля в от-
дельности. Приравнивая работу внешних и внутренних сил кабеля
от постоянной нагрузки на перемещениях от временной нагрузки
нулю, получим:

для левой половины

л

COS ср

(V.71)

для правой половины

dx

COS ср

(V.72)

Но так как

и

11 П Г/II IJ

I / q — П Г1 gt

ТО

4 dx

EKF J cos3 ю
о
и

п



Hg(Hn — Hg) / dx

\к+1	/

На основании § 2 (гл. III) получаем:

EKF	cos3 <р

Z/2

Z/2	I

С	dx	С	dx	I

\ ---------= \ -----------— р- — ,

J	cos3	J cos3 tp	2

О	1/2

где ц—-имеет прежнее значение (III.23).
Учтя, что



получим два уравнения:

Н" =

8fdEKF

Z3p

к— 1

1

2

/7П =

8fdEKF
Z3b

п

Складывая эти уравнения, а затем вычитая уравнение
из уравнения (V.73), получим два уравнения:

H!l-\rHn=2Hg^‘2

8fdEKF у

Z3p Zj
i = l

8fdEKF
/Зр.

п

Учитывая обозначения (V.67), получим:

1=1

(V.73)

(V.74).

(V.74)

(V.75)

(V.76)

(V.77)

1=1

яде

а - hH g,
\8hfdEKF

/Зр.
Совместное решение уравнений (V.70), (V.76) и (V.77), кото-
рые будем называть основными, дает возможность определить ц,
л, 6, после чего по уравнению (V.62) найти усилия в подвесках
и все остальные величины, необходимые для расчета висячего
моста. Из уравнений (V.70), (V.76) и (V.77) видно, что задача
является, как и в случаях рассмотренных ранее, весьма трудо-
емкой. Решение ее «вручную» не представляется возможным. Она
решалась на электронной машине «Урал 2».

Программа была составлена так, что можно было с пульта
менять характер загружения, интенсивность нагрузки и другие
данные по размерам и жесткости системы. Каждый раз на печать
выдавались четыре столбца данных: первый столбец содержал —
X, б, е, Н, /\Н, //л, Нп. Здесь величина е характеризует точность
решения уравнений.

Остальные три столбца содержали векторы прогибов, момен-
тов и суммарной нагрузки на балку.

В качестве примера ниже приводится результат расчета на
машине «Урал 2» (перепечатан с ленты) при загружении поло-
вины пролета ^ременной нагрузкой 7 = 0,5 g.

Предположим: / = 200 м, [=20 м, £7 = 44* 106 Т/м2, EKF =
।	200

= 1,83333- 106 Т, d=— м.

6

тэ	- 1	.	,	6Д2

В дальнейшем выбрано h = —	.

Для сравнения справа помещены аналогичные результаты для
той же системы, но при отсутствии жесткого закрепления сред-
него узла.

Х= 4-54336 8794-00;
8=4-21 791 232 - 01;
е=—72 250259-08;
Н= 4- 35 862 3414-04;
дН= 4-143822144-03;
Нл = 4-37 300 5624-04;
Нп = 4- 34 424 119 + 04;

+54340886 + 00;
8=+00 000 000 + 00;
е= —24490873 —07;
/7—+35864985 + 04;
= 4-00000000 + 00;
Нл= 4-35864985 4-04;
Я" =+35 864985-|-04;

+ 16 833091 + 00
+ 25 1 31 969 + 00
+ 22 861 709 + 00
+ 14 613 301+00

+ 63136 137-01

+ 18 104 073 + 00
4-26 403464+00
+ 22 866 614 + 00
+ 13358 807 + 00
+ 50594175-01
+ 38968 217 + 04
+ 46900018+04
+ 24554 444+04J
-30769 954+ 03,
-11028 059 + 04

+ 93109 246 + 02
+ 90832127+02
+ 15857 594+02
— 59041 216 + 02
— 56937 189+02

+ 45007148 + 04
+ 52 930576 + 04
+ 24 499201+04
-90575266+03
-16 981054 + 04

+ 11 125 086 + 03

+ 10 906 501 + 03

+ 15 375 757 + 02

— 76 899 600+ 02

— 74713 745 + 02

Из приведенных данных видно, что система с жестко закреп-
ленным кабелем в середине пролета обладает большей жестко-
стью по сравнению с обычной системой. Правда, уменьшение про-
гибов оказалось не столь зна-
чительным, но зато изгиба- а) ____________

югцие моменты уменьшились
СИЛЬНО.	1-----1---1----

Рассмотренный случай яв-
ляется как бы предельной	___

оценкой влияния наклона под-	------

весок при расчете висячих мос-
тов. Жесткое закрепление ка- f ,	।	,	,

беля в середине пролета рав-
несильно случаю, при котором
высота средней подвески стре-	Рис. 123.

мится к нулю.

На рис. 123 показаны эпюры прогибов и моментов в двух рас-
смотренных системах. Сплошной линией показаны значения для
моста с закрепленным кабелем, а пунктирной линией — для обыч-
ного моста.

Анализ данных показывает, что система с закрепленным ка-
белем является более совершенной и ее можно рекомендовать для
широкого применения.

§ 12. УЧЕТ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕННОГО
СЕЧЕНИЯ БАЛКИ ЖЕСТКОСТИ

Выше неоднократно упоминалось о том, что переменность
сечения балки жесткости не вносит существенных изменений в
технику расчета висячего моста по предлагаемой методике. Если
применять метод непосредственного интегрирования дифферен-
 Циальных уравнений, то трудности в интегрировании будут зави-
сеть от закона изменения Момента инерции. Во многих случаях
они будут непреодолимо велики. Применение численного метода,
как будет видно из дальнейшего изложения, позволяет без ка-
ких-либо ограничений практически решить любую задачу не
только на прочность, но и на колебание моста.

Для случая когда балка имеет переменное сечение, весь алго-
ритм и основные уравнения остаются неизменными. Изменяется
только одна матрица Д, в которую входит матрица упругих гру-
зов Bw.

L\ = LmB wLm.	(а}

Наиболее просто задача решается для случая, когда, момент
инерции балки изменяется скачкообразно. При большом числе
панелей любой закон изменения жесткости может быть апрокси-
мирован кусочно-непрерывной функцией, которую мы и рассмот-
рим в первую очередь.

Применяя известную формулу для упругого груза

W.=~ (24+4-1)+(24+4+1).	(Ь>

6£ZK	6£/к+1

легко построить матрицу упругих грузов. В общем виде она мо-
жет быть записана так:

а11а12

а21а22а23

а32а33а34	. .

а43а44а45

» _ d

w 6EI0

ал(л—1) ап

Элементы этой матрицы определяются равенствами

®л(к-1) ~Рк»
аЛК=2(рк+р,<+1);

Хк(к+1) ~Рк+1’

где

Подставляя эту матрицу в формулу (а), находим матрицу L<
и затем проводим весь расчет по стандартной методике.
.Для иллюстрации приведенных рассуждений рассмотрим чис-
ленный пример. На рис. 124 показана расчетная схема, из кото-
рой видно, что в четвертях пролета жесткость балки увеличена.
Пусть /=200 м, f=2Q м, EI=44- 106 Тм2, EKF= 1,8333- 106 Т,
£=12 Т/м, q = 6 Т/м.

Разобьем балку на шесть частей: d= —, So = 35,3 м, т=45°,
6

А = 0,75.

/

Точно такой же пример рассмотрен в § 4, но балка жесткости
там была постоянного сечения. Поэтому интересно сравнить ре-
зультаты решения.

По (с) находим матрицу упругих грузов:

D ___

W~ 6f/0

3,50 0,75

0,75 3,50 1,00

1,00 4,00 1,00

1,00 3,50 0,75

0,75 3,50

Коэффициенты аир будут такие же,
примере, приведенном в § 4,

как и в упомянутом

а = 1,262663;

0 = 0,28772.

Матрицы влияния моментов будут:

L —С— —

L'm—— g

5

4
3

2

1

4 3 2 1

8 6 4 2

6 9 6 3

4 6 8 4

2 3 4 5
Находим матрицу Li = L7nBwLm*.

	266,0	409,0	427,5	338,0	184,0
	409,0	698,0	765,0	616,0	338,0
	 о		427,5	765,0	909,0	765,0	427,5
V) Lsl Q	338,0	616,0	765,0	698,0	409,0
	184,0	338,0	427,5	409,0	266,0
Векторы т]* и у'31	остаются прежними.				

Полученные данные были введены в машину и получено пол-
ное решение задачи. Ниже приводятся результаты решения и па-
раллельно (справа) — аналогичные результаты из § 4.

Параметры:

л=0,017447, л = 0,0175213,
//=4145 Г, // = 4158 Т.

Прогибы:

—»	0,225  0,390	—►	0,233  0,400
	0,454		0,460
	0,390		0,400
	0,225		0,233

Моменты:

—>.	3013  4695	—>	2830  4416
Л4 =	5219	, м=	4926
	4695		4416
	3013		2830

Как и следовало ожидать, для системы с усиленной жесткостью
прогибы слегка уменьшились, а изгибающие моменты возросли.
Ввиду того что изменения в жесткости балки были небольшие,
то и конечные результаты изменились мало.

При более значительных перераспределениях жесткостей бал-
ки по длине пролета изменения в результатах расчета будут
весьма ощутимы. Таким образом, при расчете реальных мостов
переменность момента инерции балки должна учитываться обя-
зательно.

Если момент инерции балки изменяется плавно по какому-
либо закону, то необходимо соответствующим образом построить
матрицу упругих грузов. В настоящее время этот вопрос хорошо
разработан. Можно рекомендовать в этом случае книгу [38].

§ 13. УЧЕТ РАСТЯЖЕНИЯ ПОДВЕСОК
ПРИ РАСЧЕТЕ ВИСЯЧЕГО МОСТА

В § 2, где выводились основные уравнения для расчета вися-
чих мостов по нелинейной теории
Ч=(Е'+ХЛ)-1

п

х =	7j,.,	(а)

1=1

было сделано допущение о нерастяжимости подвесок. Это допу-
щение позволило приравнять прогибы балки вертикальным пере-
мещениям кабеля. Если учесть растяжение подвесок, то прогибы
балки будут больше перемещений кабеля на величины удлине-
ния подвесок. Возникает вопрос, как изменятся уравнения (а)
при учете этих удлинений? Для того чтобы ответить на этот во-
прос, необходимо вновь проследить выводы основных уравнений.

Обозначим длины подвесок Si, S2, ..., Sn. Площадь сечения
подвесок будем считать одинаковой и равной Fn.

Усилия в подвесках от временной нагрузки Xi, х2, хп вызовут
удлинения подвесок

(/= 1, 2,..., п).

В векторной форме получим:

&S=Gsx,	(b)

где Gs—диагональная матрица.

S2

Если перемещения точек кабеля по вертикали обозначим тр
то прогибы балки будут т) + As. Вместо равенства (V.3) получим:
Tj^-Ks^Aj (vq — х).

Учитывая равенство (Ь), получим:

—ZjX,	(с)

где

£i=£i +	(d)

Равенство (V.4) остается без изменения. Из него находим
х= —vg-]-Hbtg<?0+HL^y.