С. П. СТРЕЛКОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
КОЛЕБАНИЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника
для высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУК А>
МОСКВА 19 О 4

531
С 84
УДК 534-0 @75-8)
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
ЧАСТЬ I
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ
СВОБОДЫ
Глава 1. Собственные колебания в линейных системах с одной сте-
степенью свободы 13
§ 1. Определение числа степеней свободы систем 13
§ 2. Собственные колебания в консервативной системе с одной
степенью свободы 14
§ 3. Основные элементы гармонического колебания и колебания
энергии 21
§ 4. Собственные колебания в не консервативной системе с од-
одной степенью свободы 23
§ 5. Изображение колебательных процессов в системе с одной
степенью свободы на «фазовой плоскости» 28
§ 6. Собственные колебания системы с «отрицательным» зату-
затуханием 36
Глава 2. Собственные колебания нелинейной консервативной си-
системы 44
§ 7. Колебания нелинейной консервативной системы 44
§ 8. Колебания физического маятника 48
§ 9. Определение периода колебаний 49
Глава 3. Вынужденные колебания в линейной системе (колебания
под действием внешней силы) 53
§ 10. Предварительные замечания 53
§11. Действие гармонической (синусоидальной) силы на линей-
линейную систему без трения 55
§ 12. Явление резонанса 58
§ 13. Вид колебаний при резонансе 60
§ 14. Вынужденные колебания в системе, обладающей затуха-
затуханием под действием синусоидальной силы 62
§ 15. Анализ резонансных законов 70
§ 16. Резонансные кривые при постоянной частоте и переменном
параметре системы 81
§ 17. Некоторые частные случаи резонанса (резонанс «токов»
и «напряжений») 85
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 18 Основы теории виброизолирующих устройств (аморти-
(амортизация) 91
Глава 4. Элементы теории регистрирующих приборов 95
§ 19. Основные сведения о регистрирующих приборах 95
§ 20. Квазистатические приборы 96
§ 21. Резонансные приборы 105
§ 22. Приборы, работающие по принципу сейсмографа 105
§ 23. Баллистические приборы 107
Глава 5. Спектральные методы 111
§ 24. Спектр периодической функции (ряд Фурье) 111
§ 25. Сплошной спектр ИЗ
§ 26. Сравнение ряда и интеграла Фурье 116
§ 27. Колебания, вызываемые ударом 123
§ 28. Преобразование Лапласа 128
§ 29. Спектры Лапласа некоторых важных функций 139
Глава 6. Некоторые применения теории резонанса в радиотех-
радиотехнике 142
§ 30. Избирательность 142
§ 31. Неискажаемость 145
§ 32. Прием синусоидальных импульсов 148
§ 33. Частотная модуляция 152
Глава 7. Вынужденные колебания в простейших системах с не-
нелинейными элементами 156
§ 34. Колебания «нелинейной» пружины 156
§ 35. «Нелинейный проводник» и выпрямление переменного
тока 157
§ 36. Расчет диодного выпрямителя с Ж?-фильтром 160
§ 37. Детектирование 162
§ 38. Некоторые практические схемы детектирования 166
§ 39. Гетеродин 169
§ 40. Супергетеродин 170
Глава 8. Параметрические колебания 172
§ 41. Раскачивание качелей 172
§ 42. Схематический расчет параметрических колебаний .... 174
§ 43. Области параметрического резонанса 177
§ 44. Некоторые сведения из математической теории параметри-
параметрических колебаний 179
§ 45. Определение областей параметрического резонанса по
Мейснеру 180
§ 46. Примеры параметрических колебаний 185
Глава 9. Автоколебания 187
§ 47. Общие сведения об автоколебаниях 187
§ 48. Генератор электромагнитных колебаний 188
§ 49. Анализ и решение нелинейного уравнения генератора . . . 192
§ 50. Влияние выбора рабочей точки характеристики на автоко-
автоколебания в генераторе 208
§ 51. Анализ генераторных режимов в радиотехнике («квазили-
(«квазилинейный метод») . . 215
§ 52. Разрывные (релаксационные) автоколебания 221

ОГЛАВЛЕНИЕ О
ЧАСТЬ II
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
Глава 1. Колебания в системах с двумя степенями свободы . . . 233
§ 53. Замечания об определении числа степеней свободы .... 233
§ 54. Примеры системы с двумя степенями свободы 235
§ 55. Парциальные системы и полная система 236
§ 56. Собственные колебания в системе двух электрических
индуктивно связанных контуров без затухания 239
§ 57. Зависимость собственных частот системы от расстройки
между контурами 243
§ 58. Теория собственных колебаний в системе с двумя степе-
степенями свободы без трения (общий случай) 246
§ 59. Собственные колебания упруго связанных маятников . . 251
§ 60. Нормальные координаты 253
§ 61. Собственные частоты как экстремальные значения 256
§ 62. Связь и связанность двух систем (взаимодействие двух
систем) 258
§ 63. Колебания при сильной связанности 260
§ 64. Собственные колебания в системе с двумя степенями сво-
свободы при наличии трения 263
§ 65. Комплексные собственные частоты 266
§ 66. Собственные колебания в связанных индуктивно контурах
с небольшим затуханием 267
§ 67. Пример автоколебательной системы с двумя степенями сво-
свободы. Флаттер модели крыла 269
§ 68. Действие внешних гармонических сил на систему с двумя
степенями свободы без затухания 274
§ 69. Вынужденные колебания в системе с двумя степенями сво-
свободы при наличии затухания 280
§ 70. Динамическая жесткость и комплексные параметры си-
системы 282
§ 71. Замечания о резонансной частоте системы 288
§ 72. Расчет фильтра промежуточной частоты в супергетеро-
супергетеродине 290
Глава 2. Колебания в линейных системах со многими степенями
свободы 294
§ 73. Общие свойства линейной колебательной системы со мно-
многими степенями свободы 294
§ 74. Собственные колебания в системе без сил трения .... 299
§ 75. Собственные колебания струны с тремя бусинками .... 303
§ 76. Нормальные координаты 307
§ 77. Ортогональность нормальных координат 308
§ 78. Энергия собственных колебаний и энергия нормального ко-
колебания 311
§ 79. Изменение масштабов нормальных координат 313
§ 80. Примеры нормальных координат «315
§ 81. Случай равенства собственных частот системы 319
§ 82. Равенство нулю одной или нескольких собственных ча-
частот 323
§ 83. Колебания в системе со многими степенями свободы при
наличии затухания 326
§ 84. Вынужденные колебания в системе без затухания .... 328

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 85. Вынужденные колебания в системе со многими степенями
свободы при наличии трения 334
§ 86. Анализ колебаний в системе со многими степенями сво-
свободы с помощью преобразования Лапласа 336
§ 87. «Цепочки» однородных звеньев (элементов) 339
§ 88. Собственные колебания в цепочке однородных элементов 342
§ 89. Вынужденные колебания в цепочке однородных элементов
(фильтры) 348
Глава 3. Применение матриц к теории колебаний в системах со
многими степенями свободы 358
§ 90. Колебания в консервативных системах 358
§ 91. О приближенных методах определения собственных частот
и векторов 362
§ 92. Замечания 364
§ 93. Колебания в неконсервативных системах 366
§ 94. Физический смысл скалярных произведений комплекс-
комплексных векторов сил и смещений 374
§ 95. Метод Бубнова — Галеркина 376
Глава 4. Колебательные системы с распределенными парамет-
параметрами 379
§ 96. Одномерная система с распределенными параметрами . . . 379
§ 97. Собственные продольные колебания однородного стержня
и двухпроводной линии без затухания 386
§ 98. Пример собственных колебаний при неоднородных гра-
граничных условиях 394
§ 99. Ортогональность форм собственных колебаний 395
§ 100. Продольные собственные колебания системы с затуханием 397
§ 101. Вынужденные продольные колебания в однородной си-
системе с распределенными постоянными 398
§ 102. Уравнения изгибных (поперечных) колебаний стержней 406
§ 103. Собственные изгибные колебания стержня 409
§ 104. Поперечные вынужденные колебания стержней 419
§ 105. Представление балки (или стержня) многополюсником
и динамическая жесткость 424
Рекомендуемая литература 430
Алфавитный указатель 431

ПРЕДИСЛОВИЕ
Основным материалом, определяющим содержание книги, были
лекции автора по курсу теории колебаний на физическом факуль-
факультете Московского ордена Ленина Государственного университета
им. М. В. Ломоносова.
Цель курса — введение в изучение специальных разделов
теории колебаний. В курсе не только излагаются основные законы
колебательных процессов в физике и технике, но и делается по-
попытка научить слушателей методам теоретического исследования
и расчета простейших колебательных систем.
Выбор материала, характер изложения принципиальных воп-
вопросов в значительной мере определяется теми научными тради-
традициями, которые сложились на кафедре теории колебаний физи-
физического факультета под влиянием лекций академика Л. И. Ман-
Мандельштама, основавшего эту кафедру в 1931 году.
Иногда предмет теории колебаний относят к математическим
курсам. Однако это не совсем правильно; теория колебаний
представляет самостоятельную дисциплину, так как разнообразные
применения ее настолько тесно связаны друг с другом, что их
необходимо изучать с единой точки зрения: не только математи-
математической, а главным образом физической. Изучение колебаний в
различных системах с единой физической точки зрения в значи-
значительной степени облегчает анализ и исследование тех колебатель-
колебательных процессов, в которых имеет место закономерная связь коле-
колебаний различных физических величин, например: электрических
и механических. В технике и физике такие устройства встречаются
все чаще и чаще. Кроме того, изучение колебательных процессов
с единой точки зрения развивает у учащихся способность к ана-
анализу явления посредством сравнений и аналогий, которые в свою
очередь чрезвычайно полезны при исследовании новых неизу-
неизученных процессов.
Во втором издании были исправлены все замеченные ошибки
и опечатки, сокращены и переделаны некоторые разделы, так как
со времени первого издания прошло уже больше десяти лет. Кроме
того, естественно, был сделан целый ряд дополнений, содержание

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
которых в основном входило в различные вспомогательные курсы
по теории колебаний, читавшиеся автором за это время. Главные
дополнения: метод Лапласа и спектральные методы, матричное
изложение теории колебаний в линейных системах со многими сте-
степенями свободы, особенно для неконсервативных и активных
систем, и теория поперечных колебаний балок.
Всем товарищам, указавшим на погрешности первого издания,
приношу самую глубокую благодарность. При подготовке этого
издания мне много помогали Р. А. Силин и Н. К. Михеева, большое
спасибо им.
С. Стрелков

ВВЕДЕНИЕ
Нет такой области техники, нет такого раздела физики, в ко-
которых мы не встречались бы в той или иной степени с явлениями,
в которых имеют место колебания. Радиотехника, электротехника
переменных токов и некоторые другие отрасли техники целиком
основаны на исследованиях колебательных процессов. В физи-
физических науках: в оптике, акустике, механике, электричестве, в
теории атома — всюду мы встречаемся с колебаниями.
Физическая сущность тех процессов, в которых имеют место
колебания, различна: например, колебания железнодорожного
моста и колебания тока в электрическом контуре — совершенно
различные явления. Но даже беглое знакомство с законами коле-
колебаний в том и другом случае показывает много общего между
этими колебательными процессами, как мы их называем. Деталь-
Детальный анализ колебательных процессов, встречающихся в физике
и технике, показывает, что основные законы колебаний во всех
случаях одинаковы. Такая, в известном смысле, универсальность
законов колебательных процессов заставляет выделить изучение
их в отдельную дисциплину, которая и носит название теории
колебаний. Таким образом, задачей курса теории колебаний яв-
является изучение с единой точки зрения колебательных процессов,
встречающихся в разнообразных физических явлениях и техни-
технических устройствах.
Все колебательные процессы, с которыми нам приходится
встречаться, можно классифицировать по внешним признакам —
по характеру, по форме того закона, по которому некоторая
величина, участвующая в процессе, изменяется со временем. Та-
Такую классификацию можно назвать кинематической в широком
смысле этого слова-
Прежде всего все колебательные процессы, практически встре-
встречающиеся в физике и технике, разделяются на два класса: перио-
периодические и непериодические, В теории существенное значение
имеет и промежуточный класс — почти периодические движения.
Периодическим называется такой процесс, при котором ко-
колеблющаяся величина, взятая в любой момент времени, через

10
ВВЕДЕНИЕ
определенный отрезок времени Т имеет то же самое значение.
Математическое определение периодической функции таково:
функция 1A) называется периодической с периодом Г, если
при любом значении переменной I. Непериодическими можно
назвать все остальные функции, не удовлетворяющие сформули-
сформулированному условию периодичности.
Среди класса периодических колебаний огромную роль играют
гармонические колебания, или синусоидальные колебания, при
которых изменение физической
величины со временем происхо-
происходит подобно изменению одной
из двух первых тригонометри-
тригонометрических функций: синуса или ко-
косинуса при линейной зависи-
зависимости аргумента от времени.
Непериодические колебания
гораздо разнообразнее периоди-
периодических. Мы отметим сейчас
только такие, с которыми нам
чаще всего придется встре-
встречаться в теории колебаний.
«Затухающая»(илн «нараста-
«нарастающая») «синусоида» и лимита-
ционные движения. Колебания по
закону «затухающей синусоиды»
или, как они иногда называются,
«затухающие гармонические»,
колебания, показаны на рис. 1, а
и математически представляют-
представляются выражением:
Ае~ы со8(сог + ф),
1-
ччч где А, ф, б и со — постоянные
величины, а I — время. «Нара-
стающие гармонические» колеба-
колебания показаны на рис. 1, б и ма-
математически они отличаются только знаком у величины б. Строго
говоря, о таких колебаниях следовало бы сказать так: затухаю-
затухающие (или нарастающие) колебания, близкие к гармоническим при
достаточно малом значении б. Поэтому выражение «затухающая
синусоида», или «затухающие гармонические колебания», не сов-
совсем логично, гармонические колебания не могут затухать. Но
название это обычно принято, и мы также примем его. Лучше было

ВВЕДЕНИЕ
И
бы говорить, что затухающее колебание представляется произве-
произведением двух сомножителей, гармонического соз (со* + ф)
и экспоненциального е~61.
Характерные примеры лимитационных движений показаны
на рис. 2. Они представляют собой такие изменения величины,
при которых переменная величина с течением времени стремится
6)
Рис. 2.
6>
к некоторому предельному постоянному значению; математически
лимитационные движения можно представить, например, так:
где А, В, а и X — действительные числа, причем X ^> а.
Перечисленные чисто внешние признаки колебательных про-
процессов совершенно недостаточны для систематизации их. Поэтому
мы будем классифицировать колебания по основным физическим
признакам тех систем, колебательных систем, как мы их будем
называть, в которых совершаются колебания.
В связи с этим весь материал курса разделен по сложности
систем, в которых происходят колебания, на две части:
1) колебания в системах с одной степенью свободы;
2) колебания в системах со многими степенями свободы и в
системах с бесконечным числом степеней свободы.
В первой части речь идет о простейших, элементарных и вместе
с тем основных, фундаментальных процессах всей теории колеба-
колебаний, поэтому она занимает значительную часть книги. Во второй
части рассматриваются более сложные процессы, но принципиаль-
принципиально, по существу мало отличающиеся друг от друга.
В каждой части следовало бы рассматривать четыре типа
колебательных явлений:
1) собственные колебания,
2) вынужденные колебания,
3) параметрические колебания,
4) автоколебания.
Собственные колебания происходят в изолированной системе
после внешнего возмущения («толчка»). Характер колебательного
процесса в основном определяется только внутренними силами

12 ВВЕДЕНИЕ
системы, зависящими от физического строения системы, необхо-
необходимая энергия доставляется извне при возбуждении колебаний.
Вынужденные колебания происходят под действием заданных
внешних периодических сил, которые действуют независимо
от колебаний в системе. Характер процесса определяется не
только свойствами системы, но и существенно зависит от внешней
силы. Энергия колебаний доставляется источником, дающим внеш-
внешнюю силу.
Параметрические колебания отличаются от вынужденных ро-
родом внешнего воздействия. При вынужденных колебаниях извне
задана сила или какая-либо другая величина, совершающая коле-
колебания, а параметры самой системы остаются при этом постоянными.
Параметрические колебания вызываются периодическим изме-
изменением какого-либо физического параметра системы (например,
массы).
Автоколебания — периодические движения, которые возникают
в системе в отсутствие внешнего периодического воздействия. Ха-
Характер колебаний определяется устройством системы. Источник
энергии, покрывающий потери энергии на тепло при колебаниях,
обычно составляет неотъемлемую часть системы.
С другой стороны, все колебательные процессы можно разделить
еще и таким образом на две части: колебания, совершающиеся в
линейных и в нелинейных системах. Линейными системами называют
такие системы, в которых основной закон колебаний выражается
линейным дифференциальным уравнением. Очевидно, что нелиней-
нелинейные системы — такие, для которых основной закон выражается
нелинейным дифференциальным уравнением. Анализ нелинейных
колебательных систем очень усложняется отсутствием регулярных
методов решения нелинейных дифференциальных уравнений.
Разница между процессами в линейных и нелинейных колеба-
колебательных системах сводится к тому, что при анализе колебаний в
линейных системах по частным процессам можно сделать вполне
определенное заключение о всех возможных в данной системе
процессах, а для процессов в нелинейных системах вообще этого
сделать нельзя. Поэтому теория колебаний для нелинейных систем
довольно сложна, и обычно решаю!ся задачи, относящиеся только
к определенному виду нелинейных систем. Для нас существенна
теория колебаний в нелинейных системах потому, что все авто-
автоколебательные системы являются принципиально нелинейными
системами.

ЧАСТЬ I
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
ГЛАВА 1
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
§ 1. Определение числа степеней свободы систем
Число степеней свободы есть число независимых переменных
(величин), необходимых для полного описания процессов в системе.
Однако при рассмотрении конкретной физической системы опре-
определение этих переменных представляет иногда довольно ^ ^/^
сложную задачу, так как, строго говоря, мы всегда
имеем дело с системой обладающей бесконечным чи-
числом степеней свободы. Поясним это простым примером.
Тело подвешено на нити (рис. 3). Сколько степеней
свободы имеет эта «простейшая» колебательная система?
Ответ зависит и от физических свойств системы и от
того, какие процессы мы собираемся исследовать в ней.
Если мы будем рассматривать только те движения,
при которых нить не деформируется, т. е. остается
прямой и сохраняет постоянную длину; если размеры
тела очень малы по сравнению с длиной нити, так что
движение тела относительно нити не играет существен-
существенной роли, если движение одних точек тела относительно Рис. 3.
других так же несущественно, — тогда можно рассмат-
рассматривать такую систему как математический маятник, как систему
с двумя степенями свободы.
Тело в этом случае можно заменить точкой, обладающей конеч-
конечной массой, а нить — недеформируемым стержнем, не обладающим
массой. Точка может двигаться по сфере, и для однозначного
определения положения ее достаточно знать две независимые
координаты. С помощью такой схемы мы изучаем только опреде-
определенные колебания тела на нити.
Если, кроме этого, будут заданы еще такие начальные усло-
условия, при которых нить во время колебаний будет находиться в

14 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ 1
определенной плоскости, то такая схема явится схемой системы
с одной степенью свободы.
Таким образом, для анализа определенного процесса в реаль-
реальной физической системе мы выбрали некоторую его схему, заранее
ограничив исследование рядом условий. Не следует забывать,
что хотя схема отражает явление только в определенных границах,
только при определенных условиях, она дает правильное и полное
описание тех движений системы, которые характеризуются коор-
координатами, вошедшими в схему.
Но здесь возникают такие вопросы. Как выбрать нужную
координату? Как убедиться в том, что в данном случае можно
выделить движение, описываемое выбранной координатой?
Только опыт, сравнение результатов математического анализа
данной схемы с результатами опыта, физические наблюдения
могут нас убедить в правильности выбранных координат, выбран-
выбранной схемы. Подробный физический анализ и критическое отноше-
отношение к схемам, исследование процессов, происходящих в системе, —
могут дать уверенность в правильности выбора координат.
Для уяснения затронутых здесь вопросов приведем такой
пример. Выбирая схему математического маятника, как изложено
выше, мы без особых замечаний пренебрегли растяжением нити
при колебаниях, а ведь оно всегда есть. Но оно мало и поэтому
не окажет существенного влияния на колебания тела. Однако,
как известно, есть такой случай, при котором этим малым растя-
растяжением нельзя пренебрегать. В этом случае, если даже и будут
сообщены маятнику такие начальные условия, при которых он
«должен» колебаться только в плоскости и тело «должно» дви-
двигаться почти по дуге окружности, колебания будут в действитель-
действительности совсем не такими. Колебания растяжения нити будут нара-
нарастать, и энергия этих колебаний через некоторое время сравняется
по величине с энергией маятниковых колебаний тела, и даже весь
первоначальный запас энергии перейдет в колебания растяжения
нити. Таким образом, в данном случае избранная схема системы
с одной степенью свободы не годится.
Но тогда как же поступать в таких случаях и как эти случаи
отличить? — На эти вопросы дает ответ только опытное и тео-
теоретическое исследование процесса колебаний и свойств системы.
§ 2. Собственные колебания в консервативной системе
с одной степенью свободы
В механических и электрических изолированных системах
процесс движения всегда сопровождается рассеянием энергии,
переходом энергии движения в тепловую. Если системе в какой-то
момент времени будет сообщен запас энергии, то через некоторое

§ 2] КОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
15
о
время весь этот запас в изолированной системе перейдет в тепло,
и процесс движения, которым мы интересуемся, прекратится.
Таким образом, собственные колебания могут существовать в
системе после внешнего возмущения; они всегда будут постепенно
ослабляться или, как говорят, затухать.
Но вначале важно рассмотреть теорию колебаний в консерва-
консервативных системах, в таких идеализированных системах, в которых
запас механической энергии (или электромаг-
электромагнитной, или той и другой вместе) остается
постоянным. Реальные системы, в которых
колебания будут сопровождаться переходом
энергии в тепловую, будем называть неконсер-
неконсервативными.
Рассмотрение процессов в консервативной
системе важно с двух точек зрения: во-первых,
реальные процессы с очень небольшим затуха-
затуханием близки к процессам в консервативной
системе; во-вторых, исследование их позволит
нам выяснить роль различных параметров
реальных систем. Пока будем отвлекаться от
сил трения в механике и от сопротивления
проводников в электричестве. Приведем про-
простейший пример собственных колебаний.
Пусть на пружине, имеющей длину / в ненагруженном со-
состоянии, подвешено тело массы т (рис. 4).
Рассмотрим вертикальные движения тела, которые будут иметь
место после толчка под действием силы пружины и силы тяжести.
Закон движения можно записать так:
тх х = — /пр -)- /тр — Ру
где /Пр — сила пружины, Р — постоянная сила веса, /тр — сила
трения. Условие консервативности /тр = 0. Предполагаем массу
пружины настолько малой, что ею можно пренебречь при колеба-
колебаниях; это только в определенных случаях близко к действитель-
действительности. Поэтому будем считать, что во время процесса /пр зависит
только от ее деформации, только от координаты х±.
Если сила /пр есть однозначная функция хг, то пружина будет
идеально упругой. Тогда можно закон зависимости силы пружины
от координаты разложить в ряд Тейлора
/пР = /
пр
—х0J Ь
около значения, соответствующего координате х0, которую тело
имеет в положении равновесия; к и Ъ — величины постоянные.
Экспериментальные данные показывают, что для небольших
колебаний всегда можно ограничиться первыми членами раз-

16 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ 1
ложения в ряд. Если зависимость /Пр(#1) около точки х0 в об-
области возможных колебаний можно представить прямой линией,
тогда и при любых колебаниях можно считать
/—— Т (/У 1 | 1п (/у» /у» \
ир — /пр \^0) ~Т~ ^ \^1 ^0/?
или между силой и деформацией пружины около равновесного
состояния существует линейная зависимость — закон Гука.
Выберем новую координату х = х^ — х0, это означает, что мы
переместили начало отсчета системы координат в положение рав-
равновесия, где /пр(^о) = Р- Тогда уравнение движения запишется
так:
тх +кх = 0 B.1)
или
где «2 = |-.
Таким образом, со2 — единственный физический параметр,
характеризующий колебательные свойства системы.
Как известно, решение дифференциального уравнения B.2)
имеет вид:
X = А СО5 (д1 -\- В 81П СО^, B.3)
где А и В — постоянные величины, зависящие от начальных ус-
условий. Отклонение от положения равновесия будет совершать
со временем синусоидальные, или гармонические, колебания с ча-
частотой со. Эти колебания и называются собственными колебаниями.
Период колебаний Т = — или
^. B.4)
Величину
называют круговой собственной частотой системы в отличие от
обычной частоты п, равной числу периодов колебаний за единицу
времени. Частота п равна 1/71, и если Т измеряется в секундах,
то п измеряется в герцах.
Величину к называют жесткостью пружины или коэффициен-
коэффициентом жесткости; размерность ее: н/м, дин/см, кГ/см и т. п. Чис-
Численно к равно силе, которую нужно приложить к пружине, чтобы
изменить ее деформацию на единицу длины.
Следовательно, период собственных колебаний зависит от от-
отношения массы и жесткости системы.

§ 2] КОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
17
В простых линейных системах с одной степенью свободы (без
трения), в которых уравнение движения имеет вид B.2), собствен-
собственные колебания будут гармоническими. Частота колебаний опре-
определяется параметрами системы. Расчет собственной частоты сво-
сводится к определению величин, соответствующих к и т в рассмот-
рассмотренном примере.
Полезно познакомиться с определением собственной частоты
для малых колебаний на следующих простых примерах.
Рис. 5.
Рис. 6.
Рис. 7.
1. Колебания «математического» маятника в плоскости (рис. 5).
Уравнение для малых колебаний около положения равновесия:
где ф — угол отклонения,
вательно:
— ускорение силы тяжести. Следо-
Следосо* =
I -
2. «Физический» маятник — тело, свободно вращающееся около
горизонтальной оси О (рис. 6). Тело имеет момент инерции /
относительно оси вращения, массу т, расстояние до центра массы
от оси вращения а. Уравнение малых колебаний около поло-
положения равновесия:
и поэтому
от =
3. Маятник карманных часов (рис. 7). Крутильный маятник —
симметричное тело, совершающее колебания около вертикальной
оси вследствие упругости спиральной пружины. Если момент

18
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
[ГЛ 1
инерции тела около оси — /, а угловая жесткость пружины — с,
то со2 = с/1.
Угловая жесткость пружины определяется из равенства М =
= —сф, где М — момент, с которым действует пружина на тело,
если оно повернется на угол ф. Размерность [с] будет нм/рад,
дин см/рад или кГсм/рад.
4. Электрический колебательный контур состоит из последо-
последовательно соединенных конденсатора и катушки, обладающей
индуктивностью (рис. 8). Если обозначить через / ток в контуре,
Рис. 8.
Рис. 9.
а через 1иС — индуктивность и емкость соответственно, то урав-
уравнение напряжений для контура будет
или
или
и+ ±1 = о,
B.6)
Это — уравнение гармонических колебаний с частотой со =
При вычислении со надо брать Ь и С в одной системе мер: если,
например, Ь — в генри, то С — в фарадах и т. п.
5. Резонатор Гельмгольца — акустический резонатор (рис. 9).
Колебания воздуха происходят в сосуде с широким горлышком.
Приближенно можно рассматривать воздух в горле сосуда как
пробку с массой ж = р<57, где р — плотность воздуха, 5 — пло-
площадь сечения горла, / — длина его. Если представим себе эту
массу воздуха смещенной из положения равновесия на величину
х, то давление в сосуде объемом V изменится от атмосферного р
на величину Ар =—хрАУ/У, гдеДУ равно 8х. При расчете изме-
изменения давления мы полагали, что давление и объем связаны

§ 2] КОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 19
адиабатическим законом рУх = соп81 и >с — показатель адиабаты.
Тогда уравнение движения массы воздуха в горлышке при коле-
колебаниях можно записать так:
шх = Др • 5,
или
р31х + жр-^-х = О,
или
И в данном случае имеем уравнение гармонических колебаний.
Если напомним, что скорость звука с = >/х/?/р, то собствен-
собственная круговая частота резонатора будет
© = с|/ ~. B.7)
Следует иметь в виду, что эта схема очень приближенна, но
поучительна. Воздух в горле мы считаем за «массу», а воздух в
сосуде — за «пружину». При гармонических колебаниях все ча-
частицы в горле так же, как и в сосуде, движутся, но скорости и
смещения различны. В горле происходят большие смещения частиц,
чем в сосуде, поэтому, пренебрегая массой воздуха в сосуде, мы
отбросили кинетическую энергию, приходящуюся на долю воз-
воздуха в сосуде, а учли только его энергию сжатия. Для воздуха в
горле, наоборот, пренебрегли энергией сжатия, а учли только ки-
кинетическую энергию движения.
Величину ошибки можно определить только с помощью точ-
точного теоретического расчета колебаний воздуха в сосуде как
в системе с бесконечным чи- ^
слом степеней свободы. щ <Э
Полезен анализ следующих
простых систем, который реко-
рекомендуем учащимся произвести са-
мостоятельно. I Щр
1. Бусинка на невесомой I 1ЛИ
струне с постоянным натяжением; Рис. 10.
струна закреплена и переброшена
через блок («невесомый»); на ко- Ц /^ Щ
нец ее подвешен груз (рис. 10). ж ^ Ц
Поперечные колебания настолько
малы, что движением груза можно Рис- И«
пренебречь.
2. Бусинка на натянутой и закрепленной на концах струне (рис. 11).
Рассмотреть малые продольные колебания, полагая, что сила натяжения
струны пропорциональна ее деформации.
3. Колебания в сообщающихся сосудах.

20
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
[ГЛ 1
Рассмотреть вертикальные колебания столба жидкости в сообщающихся
сосудах, полагая поперечное сечение обоих сосудов одинаковым. Затем ре-
решить ту же задачу, полагая сечения различными.
N
Рис. 12.
Рис. 13.
4. Колебания магнитной стрелки, подвешенной за середину на нити
(рис. 12). Внешнее магнитное поле горизонтально, нить «невесома», но
упруга.
5. Рассмотреть малые горизонтальные крутильные колебания однород-
однородной палочки (рис. 13), подвешенной за концы на «невесомых» и «нерастяжи-
«нерастяжимых» нитях.
6. Определить период малых вертикальных колебаний системы, пока-
показанной на рис. 14.
Рис. 14.
Рис. 15.
Стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через точку А, и подвешен горизонтально на двух пружинах с жесткостями
кг и къ. На стержне укреплены массы тг и т2.
7. Малые боковые колебания судна на спокойной воде (рис. 15).
Разберите условия устойчивости однородного тела, плавающего в воде
и имеющего форму призмы. Найдите восстанавливающий момент, если ли-
линия ОА, связанная с судном, будет составлять с вертикалью в плоскости
чертежа угол ф.

§ 3] ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ 21
§ 3. Основные элементы гармонического колебания
и колебания энергии
Собственная частота, со = \^ к/т — для механической системы
и 1/|/ ЬС — для электрической, зависит только от физических па-
параметров системы. Период колебаний Т связан с частотой форму-
формулой Т = 2я/со.
Движение в системе (колебания) зависит от начальных условий.
В общем случае смещение хA) из положения равновесия зависит от
времени так:
X (I) = А СОЗ (й1 + В 5Н1 СОг. C-1)
Если в начальный момент при I = 0 х@) = х0 и х @) = ж0, то
легко получить, что движение будет:
х (I) = #0 соз 0I + — зш Ы, C.2)
или
хA) = И соз (со* — а), C.3)
где
Величина О называется амплитудой смещения, а — началь-
начальной фазой. Амплитуда и начальная фаза зависят от начальных
условий, а частота — только от устройства системы. Величина,
стоящая в аргументе (сог — а), называется фазой.
Смещение хA) совершает гармонические колебания, то же
можно сказать о скорости х{1) и об ускорении хA). Если х =
= .Осоз (со^ — а), то х = —саОзт (со/ — а) их = —со22)со8 (со^ —
— а). Колебания скорости сдвинуты по фазе на я/2 относительно
колебаний смещения, и амплитуда скорости равна со/). Колебания
ускорения происходят в противофазе к колебаниям смещения, и
амплитуда ускорения равна со2/}. Эти формулы полезно помнить.
Так, например, при частоте колебаний в 100 гц со я^ 628, если
амплитуда смещения ~1 мм, то амплитуда скорости ~628 мм/сек =
= 0,628 м/сек и амплитуда ускорения ^628-628 мм/сек2 я^ 40 #,
где § — ускорение силы аяжести. По ускорению легко определить
силу, которая действует на тело определенной массы, совершающее
колебания.
В консервативной системе энергия остается при колебаниях
постоянной, но она переходит из одного вида в другой; например,
в механических системах — из кинетической в потенциальную и
обратно.

22 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 1
Кинетическая энергия
!-, тх2 тпсо2!J . о , л ч /о /ч
#кин = ~2~ = 2 8Ш (®1 ~ а) C'4)
будет изменяться с течением-времени с частотой 2со.
Потенциальная энергия будет изменяться примерно так же:
ЕП
= к Г х их = -|- = -у-
соз2
— а).
C.5)
Легко видеть, что энергия остается постоянной, в самом деле,
^1 р I р 1 1.П2 _
¦'-'кин г ¦'-'пот — ~2 ^и —
C.6)
так как к = тсо2.
Постоянство энергии
можно доказать и из урав-
уравнения движения. Действи-
Действительно, если уравнение
7 B.1) умножим на х и
преобразуем, то получим:
Рис. 16.
йг \ 2
отсюда
кх2 __
I 2~ —
_
т~ ¦С'пот —•
Рис. 17.
C.7)
Полезно рассмотреть
графики, которые наглядно
показывают изменение раз-
различных величин во вре-
времени (рис. 16 и 17).
Иногда бывает очень
удобно для вычисления соб-
собственной частоты использовать условие постоянства энергии,
а именно равенство максимального значения кинетической энер-
энергии максимальному значению потенциальной энергии.
Подсчитаем собственную частоту в примере 6 § 2.
Предположим, что угол отклонения стержня ф = ф0соу Ы\
тогда при ф = О, Ф = ф0 вся энергия будет потенциальной и
величина ее

§ 4] НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 23
При ф = 0, ф = @ф0 вся энергия будет кинетической и величина
ее будет равна
кин = 2 • 2 ^ #
Максимум кинетической энергии равен максимуму потенци-
потенциальной энергии и из этого равенства следует:
Вычисления таким путем значительно проще, чем составление
уравнения движения. Такой способ часто применяется при прак-
практических расчетах.
Упражнения
1) Определить этим методом частоту в примере 3 предыдущего пара-
параграфа.
2) Определить частоту собственных колебаний в сообщающихся сосу-
сосудах, если поперечное сечение плавно меняется вдоль сосуда.
§ 4. Собственные колебания в неконсервативной системе
с одной степенью свободы
При собственных колебаниях в механической системе энергия
во время колебаний уменьшается, работа сил трения равна меха-
механической энергии, переходящей в тепло.
Силы трения в механике при скольжении тел относительно
друг друга или при движении тела в жидкости или газе (называ-
(называемые в этом случае силами сопротивления) зависят от скорости
гтр
Рис. 18.
Рис. 19.
и вообще направлены против скорости. График зависимости сил
трения от скорости для общего случая изображен на рис. 18;
заметьте, что элементарная работа /трс?ж = /тржбй <^ 0 (всегда
отрицательна).
Даже в «простейшем» случае, в случае трения сухих поверх-
поверхностей твердых тел, сила трения зависит от скорости, как показано

24 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ 1
на рис. 19. Сила трения в этом случае имеет неопределенное значе-
значение при х = 0 («сила трения покоя»). При теоретическом анализе
колебаний в системах, где имеют место силы трения сухих поверх-
поверхностей, возникают существенные трудности из-за наличия скачка
силы трения при х = 0.
Сила трения или, лучше, сила сопротивления телу, движуще-
движущемуся в среде, зависит от скорости, от формы и размеров тела и от
свойств среды. При малых значениях числа Рейнольдса можно
считать, что сила трения пропорциональна первой степени скорости.
С увеличением скорости (с увеличением числа Рейнольдса) закон
силы сопротивления тел изменяется; далее с увеличением скорости
можно считать силу трения пропорциональной квадрату скорости.
При механических колебаниях почти всегда можно считать силу
трения пропорциональной первой степени скорости. Кроме этого,
в реальных упругих телах имеет место сила «внутреннего» трения.
При маленьких деформациях силу трения можно считать пропор-
пропорциональной скорости деформации, следовательно, наличие такой
силы трения внесет только некоторые изменения в величину ко-
коэффициента силы трения, но не изменит ее закона. Для некоторых
тел будет существенным влияние «упругого гистерезиса», или
неоднозначной зависимости упругой силы от деформации. В про-
процессе увеличения деформации упругая сила больше, чем в про-
процессе уменьшения, при том же значении деформации. Наличие
упругого гистерезиса также вызывает потери энергии, но теория
собственных колебаний при упругом гистерезисе становится
¦г сложной и выходит за рамки нашего
курса.
Уравнение для колебаний груза
„ на пружинке (рис. 4), уравнение
- B.1) при наличии силы трения, зави-
" сящей линейно от скорости, примет
такой вид:
тх-\- кх + кх = 0, D.1)
Рис. 20. щекх — силатрения,/г — коэффициент
силы трения, имеющий размерность
н-сек/м или кГ-сек/см или дин- сек/см. В электрическом контуре
(рис. 20), содержащем индуктивностьЬ и емкость С, омическое сопро-
сопротивление В будет аналогом коэффициента силы трения в механике.
Действительно, если за переменную выберем не ток /, а д —
заряд на конденсаторе, причем д = /, по определению, то уравне-
уравнение напряжений для контура, соответствующее уравнению B.6),
будет иметь вид:
Ц + Вд + ~д = 0. D.2)

§ 4] НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 25
Очевидно, что с точки зрения математики уравнение D.1) ничем
не отличается от уравнения D.2). Полезно провести аналогию
между этими двумя системами: если смещение х аналогично заряду
д, то масса т аналогична самоиндукции Ь, коэффициент сопротив-
сопротивления к — омическому сопротивлению К, жесткость к — обратной
величине емкости 1/С.
Для анализа колебательного процесса уравнения D.1), D.2)
можно представить в одном виде:
юяж = 0, D.3)
где под х понимаем или смещение или заряд, а
D.4)
6 = Ъп ИЛИ ТЬ
о к 1
(О* = — ИЛИ тГ^Г.
т ЬС
Физический процесс собственных колебаний в системе опреде-
определяют две величины со и б, которые в силу D.4) связаны с пара-
параметрами системы. Размерность [б] — 1/сек.
Уравнение D.3) есть уравнение затухающих колебаний и его
общее решение имеет вид:
х = Ое~ы соз (@x1 — а), D.5)
В и а — константы, зависящие от начальных условий, а
(о^со2 —б2. D.6)
Ясно, что при б -> 0D.5) стремится к выражению, которое было
получено для собственных колебаний в консервативной системе.
Напомним ход решения уравнения D.3). Всякое дифференци-
дифференциальное линейное уравнение имеет частное решение вида Аеи.
Подставляем его в D.3) и, сокращая на Аеи, получаем уравнение
для определения X:
А* + 26^ + со2 = 0.
Решения этого уравнения:
Лм = б ± I У (О2 — б2 = — б ± 1(О{,
где г = |/~1.
Можно записать общее решение D.3) в таком виде:
х (I) == АеЫ + Ве*** = е-** (Ае1^1 + Ве~^1)у D.7)
где А и В — константы, зависящие от начальных условий.
Так как хA) — действительное число, то А и В комплексно-
сопряженные величины, поэтому А и В можно заменить через

26 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ 1
новые действительные константы Оиас помощью равенств 2А =
= Ое~1а, 2В = Ое1а. Сделав это, получим D.5).
Решение D.5) представляет затухающие колебания (рис. 21).
Величина б называется коэффициентом затухания: она характе-
характеризует время, в течение которого продолжаются собственные
колебания.
Иногда употребляют другую величину:
_ 1 = 2^ _ 2Ь (, 8)
называемую «постоянной времени» системы.
Из формулы D.5) можно видеть, что через время т0 величина
максимальных отклонений от положения равновесия уменьшится
в е раз (примерно в 3 раза) *).
Обычно говорят, что колебания по формуле D.5) представляют
«затухающую синусоиду»; этот термин допустим при небольшом
затухании, так как такое колебание на небольшом отрезке времени
похоже на синусоиду. Однако следует иметь в виду нелогичность
этого названия и ясно понимать, что D.5), строго говоря, совсем
не синусоида. Мы также говорим, что «амплитуды» колебаний
убывают в затухающем колебании, но амплитуда — это понятие,
неразрывно связанное с си-
синусоидой, для которой ампли-
амплитуда — постоянная величина.
В силу общепринятости мы
будем пользоваться такими
выражениями, понимая их
нелогичность.
Кривая, представленная
на рис. 21, по уравнению D.5)
совсем не периодическая.
Однако говорят о величине
Рис- 21- Тх = 2Я/0)!, которую можно
назвать условным периодом.
Условный период это — время между двумя последовательными
прохождениями положения равновесия в одну сторону или между
двумя крайними отклонениями в одну сторону. Правильнее вели-
величину Тг называть периодом гармонического сомножителя затухаю-
затухающего колебания.
Часто пользуются для характеристики затухания не величинами
б (или т0), а безразмерной величиной
<&= б7\ = 2я-, D.9)
называемой декрементом.
*) е = 2,71828... основание натуральных логарифмов.

§ 4] НЕКОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 27
Легко видеть, что если в данный момент I отклонение (смещение)
имеет величину х = Ме~ы, то через Тг оно будет:
хх = ЛГе- *0+Т1>; отсюда ^ =
это можно записать так: 67\ = 1п( -), или по D.9)
D-10)
Выражение D.10) можно понимать как определение декремента.
Так как D.10) справедливо для любого момента I, то лучше
взять значение х в тот момент, когда оно достигает наибольшего
значения; тогда натуральный логарифм отношения двух последо-
последовательных «амплитуд» (в одну сторону) равен декременту. Значит,
декремент характеризует убывание размахов колебаний. Легко
видеть, что целая часть числа 1/д равна числу колебаний, после
которого «амплитуда» уменьшается в е раз (примерно в 3 раза).
Таким образом, б (или т0) определяет время затухания, продол-
продолжительность процесса, Ф (или 1/Ф) — число колебаний при зату-
затухании, число колебаний во время процесса. Например, если
т0 = 0,01 сек., это значит, что через 0,03 сек. «амплитуда» умень-
уменьшится в е3 (~25) раз. Если й = 0,01, то это значит, что через
100 колебаний «амплитуда» уменьшится в 2,7 (~3) раза.
Укажем обычные величины средних значений декрементов
некоторых систем:
1) акустические колебательные системы ~ 10%
2) электрические контуры ~ 2—5%
3) камертон ~ 0,1%
4) кварцевая пластинка ~ 10~2—10~3%.
Отсюда видно, что камертон совершает почти 1000 колебаний,
пока колебания уменьшатся в три раза.
В дальнейшем будут выяснены различные способы определения
декремента системы. Но его можно определить из опытов, по записи
собственных колебаний. Обычно строят график, где по оси ординат
откладывается натуральный логарифм «амплитуд», а по оси абс-
абсцисс — в том же масштабе число колебаний. Наклон прямой,
вернее — тангенс наклона, дает величину декремента.
Часто такой способ применяют и для выяснения закона тре-
трения; если точки, соответствующие логарифмам «амплитуд», не
лежат на прямой, то, следовательно, трение по крайней мере не
пропорционально скорости.
В заключение этого параграфа приведем вид собственных за-
затухающих колебаний в самой общей форме. Пусть при 1 = 0

28 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 1
колеблющаяся система имеет начальные значения х@) — х0 и х@) =
= х0. Подставляя эти значения в D.5) и в производную от хA),
получаем:
И соз а = х0, —6х0 + (ОуБ 81П а — #0,
откуда
а =
.го6
подставляя значения а и/) в D.5), опять получаем общее выражение
для собственных колебаний при заданных начальных условиях:
х (I) = Л[х\ + (*°6 + ^)а <г« соз |"/^^6^- < - агсЬ§ ^±^ 1.
D.11)
Проследим, как будет изменяться характер колебаний при
увеличении трения. Если в системе непрерывно увеличивать
трение, увеличивать б, то ясно, что при б = со (и далее при б ^> со)
такой вид выражения D.11) для х{1) будет не совсем удобен. Лучше
записать хA) просто в экспоненциальных функциях времени как
в формуле D.7). Значение б = со называется критическим значе-
значением коэффициента затухания. Как можно видеть из D.6), шг в
этом случае обращается в нуль и, следовательно, условный период
и декремент # D.9) обращаются в бесконечность. При б ^> со (при
затухании, большем критического) значения ш1 и $ будут мнимы.
Движение в этом случае будет иметь уже неколебательный
характер; система, выведенная из положения равновесия, по-
постепенно все уменьшая скорость, стремится к нему или, пройдя
только один раз через положение равновесия, также постепенно
возвращается к нему. Такое движение называют лимитацион-
ным; подробнее мы рассмотрим его в следующем параграфе.
Следовательно, критическое значение коэффициента затухания
определяет границу между колебательным D.11) и лимитационным
движением в системе.
§ 5. Изображение колебательных процессов в системе
с одной степенью свободы на «фазовой плоскости»
Для анализа всех возможных движений (собственных колеба-
колебаний) в системе с одной степенью свободы пользуются «фазовой
плоскостью». В механике и статистической физике вводится поня-
понятие «фазового пространства»; в данном случае это пространство
вырождается в плоскость.

§ 5] ИЗОБРАЖЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ 29
Анализ движений в линейной колебательной системе с помощью
фазовой плоскости имеет перед изложенными выше обычными
способами только преимущество наглядности, в то время как для
нелинейной системы он является мощным средством исследования,
как это было показано А. А. Андроновым и А. А. Виттом. Поэтому
на примере собственных колебаний в линейной системе подробнее
познакомимся с этим методом.
Динамическое состояние системы (описываемой дифференци-
дифференциальным уравнением второго порядка) однозначно определено
двумя переменными: координатой и скоростью. Действительно,
задание любых произвольных начальных значений этих двух ве-
величин однозначно определяет весь дальнейший процесс; решение
дифференциального уравнения — единственное для данных на-
начальных значений *).
Представим себе декартову плоскость (х, у); по оси абсцисс
откладывается координата х движения массы, а по оси ординат —
соответствующая этой координате скорость х — у. Точка с коор-
координатами хA), уA) называется изображающей точкой. Из диффе-
дифференциального уравнения движения, например D.3), можно полу-
получить уравнение, связывающее непосредственно х и у; это будет
уравнение интегральной кривой на фазовой плоскости, — кривой,
по которой движется со временем изображающая точка. Инте-
Интегральную кривую иногда называют фазовой траекторией.
Так, для линейной колебательной системы, представляемой
уравнением D.3), можно записать два дифференциальных урав-
уравнения первого порядка:
E.1)
Система двух уравнений E.1) совершенно эквивалентна D.3).
От системы двух дифференциальных уравнений можно перейти
к уравнению, не содержащему времени. Разделим в E.1) второе
уравнение на первое и получим дифференциальное уравнение
интегральной кривой на фазовой плоскости:
йу 26у + ы2х .- ох
— =ОА)
их у V '
Решение этого уравнения у = 1(х, С) дает семейство интегральных
кривых, которое представляет все возможные процессы в данной
системе.
*) Если, конечно, функции, входящие в уравнение, удовлетворяют опре-
определенным условиям в данной точке (условиям Коши—Липшица).

30 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. I
В общем случае для любой системы с одной степенью свободы
оба уравнения, аналогичные E.1), можно записать так:
йу с12х Гк/ ч
1 р<хУ)
где Р ж() — известные функции от х и у. Тогда уравнение кривых
на фазовой плоскости будет:
-их "<?(*, у)' V-6*
Если функция Р1() ограничена и однозначна в определенной об-
области плоскости (х, г/), то по теореме Коши при данных х и у есть
только одно единственное решение этого уравнения. Это значит,
что через данную точку проходит одна и только одна интегральная
кривая и что интегральные кривые нигде не могут пересекаться.
В тех же точках, где эти условия не выполняются, интегральные
кривые могут и пересекаться. Такие точки очень важны при изу-
изучении движения системы, они называются особыми точками.
Состояние равновесия соответствует нулевым значениям скоро-
скорости и ускорения, т.е. состояния равновесия системы будут в точках
х0 и г/0, где у = 0, х = 0, или
р (#о> Уо) = 0 и <2 (*о, Уо) = 0.
Очевидно по E.3), что в точке х0, у0
В этих точках функция Р/(?, входящая в уравнение E.3), имеет
неопределенное значение и, значит, эти точки — особые точки
дифференциального уравнения.
Следовательно, состояния равновесия системы соответствуют
особым точкам дифференциального уравнения фазовых траекторий.
Рассмотрим состояние равновесия для системы E.2). Оно соот-
соответствует х0 = 0 и г/0 = 0. Действительно, х = 0 вследствие вы-
выбора начала координат, и в состоянии равновесия скорость дол-
должна быть равна нулю, т. е. у — 0. Тогда уравнение E.2) в этой
точке имеет вид E.4). Точка х0 = 0, у0 = 0 является особой точкой;
через нее могут проходить несколько интегральных кривых, или
интегральные кривые могут пересекаться в точках, соответствую-
соответствующих состоянию равновесия. Из E.4) прямо видно, что направление
касательной к интегральной кривой в особой точке, соответствую-
соответствующей положению равновесия, неопределенно] интегральная кривая

8 5]
ИЗОБРАЖЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
31
может «проходить» через особую точку, вообще говоря, по различ-
различным направлениям.
Отметим некоторые очевидные условия движения изображаю-
изображающей точки по интегральным кривым, которые облегчают анализ
картины кривых. В верхней полуплоскости (при у ^> 0) изобра-
изображающая точка движется всегда вправо, в сторону увеличения х,
здесь проекция скорости движения по фазовой траектории на ось х
всегда положительна. В нижней полуплоскости (у <^ 0), наоборот,
точка движется только влево. Интегральная кривая пересекает
ось абсцисс (у — 0) всегда под прямым углом, и точка пересече-
пересечения интегральной кривой с осью абсцисс не может быть точкой
перегиба.
1. «Фазовый портрет» гармонических колебаний
(семейство интегральных кривых для линейной консервативной
колебательной системы на фазовой плоскости)
При 6 = 0 уравнение интегральных кривых E.2) будет
Его легко проинтегрировать. Действительно, у йу + (й2хс1х = 0,
и поэтому уравнение семейства интегральных кривых
у2 + <й*%* = сопз1 = С.
Это есть семейство эллипсов
с общим центром в начале
координат — в особой точке
(рис. 22). Например, если
х@) = 0, г/@) = V, то уравне-
уравнение эллипса, соответствую-
соответствующего данным начальным усло-
условиям, будет иметь такой вид:
а —— а * X А «
V2 ' V2
Рис. 22.
Задавая константе С все
возможные значения, полу-
получим фазовую плоскость, заполненную подобными эллипсами, вло-
вложенными один в другой. Изображающая процесс точка движется
оо одному из эллипсов со скоростью хю:
ад есть скорость движения изображающей точки по фазовой плос-
плоскости; ее не следует путать с действительной скоростью, с орди-
ординатой изображающей точки.

32 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ {ГЛ. 1
Время, за которое изображающая точка обходит эллипс, равно
периоду колебаний 2я/со и одинаково для всех эллипсов.
Состояние равновесия имеет место при х0 — 0, у0 = 0, соот-
соответствующая ему особая точка содержит целую интегральную
кривую — эллипс, «свернувшийся» в точку. Такая особая точка
называется центром.
2. «Ф азовый портрет» затухающих
колебаний
Уравнение интегральных кривых в этом случае имеет вид
йу _ 2бг/+ <о2з? /г 9ч
Чх у ' <5-2)
Его можно решить непосредственно. Однако предпочтем иной
путь, не решая уравнения, определить хотя бы качественно ход
1 нгегральных кривых. Этот прием особенно полезен в том случае,
когда нужно решить не уравнение E.2), а нелинейное уравнение
вида E.3), которое общими методами решить вообще нельзя, но
«фазовый портрет» в этом случае многое дает для понимания
процессов в системе.
Для этой цели можно воспользоваться методом изоклин.
Метод заключается в том, что на фазовой плоскости наносятся
кривые, которые пересекают интегральные кривые только под
одним определенным углом. Рассматривая ряд изоклин, можно
«сообразить», каков будет ход интегральных кривых. Если по
изоклинам нельзя установить ход интегральных кривых, то
можно еще рассмотреть, как будут пересекаться интегральными
кривыми определенные заданные кривые на плоскости.
Уравнение изоклин легко получить из уравнения E.2). Поло-
Положим
йу
= а
а — определенная постоянная величина; тогда, подставляя в E.2)
вместо с1у/с1х величину а, получим уравнение изоклины:
E.5)
При различных а это будет пучок прямых, проходящих через
начало координат.
Попробуем еще узнать, нет ли среди изоклин этого семейства
интегральной кривой. Иначе говоря, попробуем найти такое зна-
значение а, при котором у = ах будет и интегральной кривой и изо-
изоклиной.

§ 5] ИЗОБРАЖЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
Подставляя у = ах в E.5), получаем:
а =
или
33
E.6)
При колебательном движении, когда со ^> б таких изоклин
(или таких интегральных кривых) нет. При лимитационном
движении (§ 4), когда со <^ б, есть две интегральные кривые в виде
прямых, проходящих через начало.
©
®
Рис. 23.
Зададим величине а различные значения и построим ряд изо-
изоклин для случая колебательного движения в рассматриваемой
системе (со ^> б) (рис. 23):
= -^я; 3) а =
У= —
1 + 26
х\
2) а = оо, у = 0;
со2
/ \ Л ш
4) а- —1, г/^-г^г
26
х.
При ж = 0, т. е. на оси ординат, [¦—-) = —26.
Начертив достаточное количество изоклин, легко провести
интегральную кривую. Совершенно очевидно, что в этом случае
она будет иметь вид спирали, скручивающейся к началу коорди-
координат. Из любого начального положения изображающая точка
с течением времени приближается к началу координат, система
стремится к положению равновесия. Если начертим на фазовой
плоскости одну спираль, то все остальные спирали, например,
2 С. П. Стрелков

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
ГГЛ 1
начинающиеся на отрезке тп, будут, не пересекаясь, «вливаться»
в начало, оставаясь все время в промежутке между двумя со-
соседними витками одной и той же
спирали (рис. 24).
Особая точка, соответствующая
положению равновесия в данном
случае, называется устойчивым фо-
фокусом. Все интегральные кривые
асимптотически приближаются к
началу координат (к особой точке),
не пересекаясь, а «спиралеобразно
накручиваясь» друг на друга.
Полезно сравнить картину фа-
фазовых кривых затухающих коле-
колебаний (рис. 23) с картиной коле-
колебаний х во времени (рис. 21).
Если 6 ^> со, то движение будет неколебательным или лимита-
ционным (его называют, не совсем правильно, «апериодическим»)*).
«Фазовый портрет» в этом ф у.
случае принципиально из- \
меняется: появляются две
прямые, интегральные кри-
кривые — изоклины, угловой
коэффициент которых опре-
определяется по формуле E.6),
Рис. 24.
©
2) у = (а — 6)х,
где
Все интегральные кри-
кривые, лежащие между этими
прямыми, должны, не пе-
пересекаясь, пройти в начало
координат, не выходя из
угла между ними (рис. 25).
Легко убедиться, что кри-
кривые в первой четверти «па-
«падают» вниз, уходя вправо
Рис
и пересекая ось под прямым углом,
поворачивают к началу координат, достигая низшей точки на
*) Так как рассмотренное колебательное затухающее движение уже
является непериодическим.

§ 5]
ИЗОБРАЖЕНИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
35
Рис. 26.
«со
прямой у — — 2*.х' гДекасательные имеют нулевой угол наклона,
и уходят в начало координат.
Принимая во внимание, что интегральные кривые нигде не
должны пересекаться, легко можно качественно начертить сово-
совокупность интегральных кривых на
фазовой плоскости. (Из точных рас-
расчетов известно, что интегральные
кривые, подходя к началу коорди-
координат, касаются прямых у = (а — 6)х
и у = —(а + 6)х.)
Особая точка в начале координат
в этом случае носит название устой-
устойчивого узла.
Полезно отметить, что изоклины —
интегральные кривые — и оси коор-
координат разделяют всю фазовую пло-
плоскость на шесть различных областей
(рис. 26); движения, начинающиеся
из этих областей, имеют характерный вид. Изменение х в зави-
зависимости от времени будет иметь различный вид, если в началь-
начальный момент изображающая точка лежит в одной из следующих
областей фазовой плоскости, обозначенных
на рис. 26.
Из областей 1 и 2, соответствующих на-
начальным условиям: отклонение массы от по-
положения равновесия и толчок от положения
равновесия, движение имеет вид, изображен-
изображенный на рис. 27, а. Если изображающая точка
начинает движение из областей 3 и 4} то на-
начальные условия будут: отклонение от положе-
положения равновесия и значительный толчок к по-
положению равновесия. Толчок таков, что масса
один раз переходит через положение равно-
равновесия, движение показано на рис.27, б. Дви-
Движение из областей 5 и 6 соответствует началь-
начальным условиям: отклонение от положения
равновесия и небольшой толчок к положению
равновесия; движение показано на рис. 27, в.
Следует отметить, что хотя картины на
фазовой плоскости принципиально отли-
отличаются друг от друга в случаях 6 ^> со и 6 <^ со, однако
практически кривые при 6 ^ со на фазовой плоскости очень
похожи друг на друга вне зависимости от того, что 6 ^> со
а>
Рис. 27.
или со
2*
6.

36 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 1
При изменении б картина интегральных кривых на фазовой
плоскости («фазовый портрет») изменяется следующим образом.
Фокус в начале координат переходит в узел. Именно: с увеличе-
увеличением 6 (при постоянном со) спирали все увеличивают свой шаг,
быстро стремясь (без заворотов) к началу, при 6 = со появляется
прямая — интегральная кривая — у = —6ж, пересекать которую
«спирали» уже не могут, далее (с увеличением 6) из одной пря-
прямой — интегральной кривой — появляются две, и угол между
ними растет.
Рассмотрение трансформации фазовой картины с изменением
параметров системы очень поучительно для физического понима-
понимания процессов в системе. Смотря на «фазовый портрет» при опре-
определенных заданных значениях параметров, можно представить
все возможные движения в данной системе при любых начальных
значениях. Отмечая изменение картины с изменением парамет-
параметров, вы представляете все движения, которые может иметь дан-
данная физическая система при всевозможных значениях парамет-
параметров. Например, расположение и характер особых точек на
фазовой плоскости дают возможность сделать ряд заключений
о процессах в данной системе, правда, чисто качественного ха-
характера.
Однако иногда на основе фазовой картины можно сделать
и количественные расчеты; это особенно ценно при анализе коле-
колебаний в нелинейных системах.
В линейной колебательной системе с затуханием имеются
только два параметра 6 и со. В зависимости от соотношения между
Центр ш $
Устойчивый фокус Устойчивый узел
Рис. 28.
ними можно коротко изобразить характер процессов в данной
системе (рис. 28). На рис. 28 полагаем, что 6 — переменная,
а со — постоянная величина, вдоль оси отложено 6, и области
значений 6 соответствуют определенным видам фазовой картины.
§ 6. Собственные колебания системы
с «отрицательным» затуханием
Сила трения или падение напряжения на омическом сопроти-
сопротивлении электрического контура играют особую роль, так как они
связаны с переходом энергии в тепло, с уменьшением запаса
механической или электромагнитной энергии системы.

6]
СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ» ЗАТУХАНИЕМ
37
Действительно, из основного уравнения для механических
колебаний
тх + кх = — Ы
получаем, умножив его на х и преобразовав:
й /и
кх2\
F.1)
или для электрического контура
<?2\_
2С)
Следовательно, колебания затухают, так как все системы
обладают трением (или сопротивлением).
Однако это не всегда так. Есть такие реальные системы, в ко-
которых имеет место сила, пропорциональная скорости х или д,
но обратная по знаку силе трения, или напряжение, обратное по
знаку падению напряжения на сопротивлении. Об этих системах
говорят, что они обладают «отрицательным трением», или «отри-
«отрицательным сопротивлением». Сила «отрицательного трения» или
«отрицательное сопротивление» — формальные названия и особого
физического смысла в них искать не следует. Физически это зна-
значит, что в системе имеются источники энергии, которые дают
силы (или напряжения)
такого типа. Как это проис-
происходит, лучше всего видеть
на конкретном примере,
которым может служить
регенеративный приемник.
1. Регенеративный
приемник
Схема регенеративного
приемника показана на
рис. 29. В цепь сетки
электронной лампы вклю-
включен колебательный контур
(Ь, С, /?), а в цепь анода включена катушка Ья, индуктивно
связанная с катушкой контура («катушка обратной связи»).
Прежде чем анализировать данную схему, сделаем несколько
замечаний о свойствах электронной лампы. Анодный ток га через
лампу является функцией сеточного и анодного напряжений,
или функцией разности потенциалов между катодом и сеткой г;с
и разности потенциалов между катодом и анодом г?а. Вообще
Рис. 29.

38
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
[ГЛ. 1
ток га есть функция Vс + ^V.Л, где О — постоянная величина,
называемая проницаемостью лампы. Если изменять г;с, то будет
изменяться ток га, а так как в цепи анода есть нагрузка, то уа
зависит от га. Однако величина В очень мала A/100 или 1/10), по-
поэтому и влияние изменений г;а на га
обычно очень мало. В первом при-
приближении можно считать га функцией
только сеточного напряжения. Зави-
Зависимость га ОТ Ус (при ПОСТОЯННОМ V<л)
имеет вид, показанный на рис. 30;
существенно, что зависимость эта
нелинейная.
Выберем напряжение батарей Еа
и Ес так, чтобы при колебаниях
около равновесия потенциал сетки был отрицателен относительно
катода. Это всегда можно сделать. В таком случае величина се-
сеточного тока будет ничтожно мала, и можно считать, что ток
в цепи катод—сетка равен нулю.
Обозначим заряд на конденсаторе через #, и тогда уравнение
для колебательного контура запишем так:
Рис. 30.
Ц + Пд+-с-д = ±М-др
F.2)
катушками
катушках.
где знак коэффициента индуктивной связи между
зависит от относительного направления витков в
Очевидно, что перемена концов
в любой из катушек (при неиз-
неизменном их расположении) ведет
к изменению знака М, поэтому
мы и поставили ±.
Далее подберем Е& и Ес так,
чтобы «рабочая точка» была
примерно на середине харак-
характеристики (рис. 31). Рабочая
точка (гао) (г?со) — значения то-
тока и напряжений в состоянии
равновесия при отсутствии ко-
колебаний анодного тока в лам-
пе. Тогда при небольших коле-
колебаниях можно приближенно представить характеристику лампы
прямой линией:
Рис 31.
где 5 — достоянная величина, называемая {{крутизной».

СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ» ЗАТУХАНИЕМ
39
Легко видеть по схеме, что ус — г;Со — ц/С равно напряжению
на конденсаторе; тогда уравнение характеристики лампы примет
вид:
Подставляя это значение га в уравнение F.2), получаем:
F.3)
ИЛИ
ц-
Обозначив, как обычно, со2 = 1/ЬС и 26 = К1Ь =р М81ЬС, мы
формально приходим к уравнению затухающих колебаний D.3)
в его стандартной форме. Но теперь коэффициент затухания б
зависит от коэффициента связи М и крутизны характеристики 5.
Обычно величину М подбираем так, чтобы уменьшить затуха-
затухание б; это, как узнаем далее, необходимо для улучшения приема
сигнала, и тогда собственные колебания в контуре затухают
значительно слабее, чем без обратной связи.
Изменяя расстояние между катушками, увеличивая М, можно
сделать б = 0 и затем отрицательной. Тогда контур будет иметь
отрицательное затухание. По-
Поэтому вообще колебательную си-
систему, движение в которой опи-
описывается уравнением D.3) при
б <^ О, можно назвать системой
с отрицательным затуханием.
Колебания в такой системе
будут нарастать по экспоненци-
экспоненциальному закону (рис. 32):
== Аеы соз
а).
Рис. 32.
От сколь угодно маленького на-
начального толчка колебания бу-
будут нарастать до бесконечности.
Теория дает бесконечные колебания, которых в действительности
никогда не бывает. Почему так? Дело в том, что основное урав-
уравнение F.3) составлено нами в предположении линейной зависи-
зависимости между ^ и 1а; это справедливо только в линейной части
характеристики лампы между пунктирными линиями на рис. 31.
*) Очевидно: осо = Ес, если током сетки можно пренебречь, и оао =

40
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
[ГЛ. 1
Как только ^ возрастает до таких значений, что ус — г\.о = д/С
будет заходить за пунктирные линии, то уравнение F.3) станет
неверным. Для решения вопроса о том, что будет с колебаниями
далее, нужно решать нелиней-
нелинейное уравнение.
На фазовой плоскости (д, (/)
колебания в контуре предста-
представятся для линейной области
раскручивающейся спиралью
(рис. 33). Особая точка, соот-
соответствующая состоянию равно-
равновесия, в этом случае называется
неустойчивым фокусом. Далее,
в разделе автоколебаний (гла-
(глава 9) будут указаны методы ре-
Рис зз шения нелинейной задачи. Там
мы увидим, что нарастание ко-
колебаний прекратится и в системе установятся периодические ста-
стационарные колебания (автоколебания).
2. Маятник с отрицательным
затуханием
На гладкий вращающийся вал Л плотно насажена муфта В,
соединенная в одно целое со стержнем маятника С (рис. 34). Если
вал вращается с постоянной угловой скоростью Й, то момент силы
трения вала о муфту при определенной зависимости его от скорости
скольжения будет причиной возникновения отрицательного зату-
затухания в системе. Сила трения скольжения зависит от скорости
скольжения со; следовательно, момент силы трения зависит от от-
относительной скорости вращения вала и муфты. Можно так подо-
подобрать давление и материал муфты и вала, что момент силы трения,
действующий на маятник в зависимости от угловой скорости
скольжения со, будет иметь вид, показанный на рис. 35. При не-
небольшой скорости вращения момент остается постоянным, а далее
начинает падать до некоторой величины, после чего опять начи-
начинает возрастать.
Вал вращается со скоростью ^, и относительная угловая ско-
скорость скольжения равна со = ^ — ф, где ф — угловая скорость
вращения маятника при колебаниях.
Уравнение вращательных колебаний маятника можно записать
для малых колебаний так:
/ф + Ьф +
ф),
F.4)

6]
СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ» ЗАТУХАНИЕМ
41
где ф — угол отклонения маятника от вертикали, Ьц> — момент
силы трения (кроме сил трения о вал), Ма@Ц) — момент силы
тяжести (М — масса маятника, а — расстояние от центра
массы маятника до оси, § — ускорение силы тяжести), /(О —ф)—
момент силы трения о вал, / — момент инерции маятника.
Рассмотрим такие небольшие колеба-
ния, что | ф
; тогда момент сил тре-
тре| ф | ^
ния можно разложить в ряд Тейлора:
( д?\
где с = —-
Если ограничимся линейными члена-
членами этого ряда и подставим в уравнение
Рис. 34.
F.4), то получим уравнение колебаний маятника
/ф + &ф + М§ац) = / (й) — сф.
Переменим начало отсчета угла отклонения ф или введем новую
координату гр = ф — \\ ; тогда уравнение колебаний маятника
(Ь + с) ф +
= О,
F.5)
очевидно, вполне эквивалентно F.3). Величина коэффициента
затухания
Если с = 0, то подвес является «идеальным»; это значит, что
сила трения о вал не вносит затухания в колебания маятника.
Равенство с = 0 означает, что «рабочая точка» выбрана в том месте
характеристики, где сила трения не зависит от скорости. Н. Е. Жу-
Жуковский указал на возможность осуществления «идеального под-
подвеса» в этом случае.

42 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 1
Если скорость вращения вала ^ подобрана так, что с = (^— ] <^
< 0', как показано на рис. 35, или «рабочая точка» выбрана на
падающей части характеристики момента трения, то трение о вал
будет «отрицательным» и затухание колебаний уменьшится отно-
относительно затухания колебаний этого же маятника на идеальном
подвесе.
При отрицательном значении с, которое по модулю больше Ь,
система имеет отрицательное затухание, и от любого небольшого
толчка в ней начинаются нарастающие колебания.
Полезно заметить, что можно и без сложных рассуждений
убедиться в том, что вращение вала будет раскачивать маятник
при наличии падающей характеристики момента трения. Действи-
Действительно, при колебаниях маятника на вращающемся валу за один
полупериод колебаний, за который вал и маятник идут в одну сто-
сторону, момент трения вала о муфту помогает колебаниям маятника,
работа сил трения увеличивает энергию колебаний маятника. За
следующий полупериод, когда вал и маятник движутся в разные
стороны, скорость скольжения больше, а момент трения меньше,
чем в предыдущем случае, и работа момента трения, отнимающая
энергию у маятника, будет меньше. Следовательно, за целый
период вал передает энергию маятнику и увеличивает амплитуду
колебаний.
С течением времени амплитуда колебаний будет возрастать,
если процесс происходит в линейной области характеристики
момента сил трения (рис. 35). Но как только колебания достигнут
таких значений, что момент трения будет выходить за пределы
линейного участка, колебания, как и в предыдущем случае, будут
определяться нелинейным уравнением. При некотором значении
амплитуды колебаний возрастание прекратится, и в системе воз-
возникнут устойчивые периодические колебания (автоколебания) *).
Следует отметить, что примеры с отрицательным затуханием
не так редки, как может показаться на первый взгляд.
Итак, рассматривая собственные колебания, мы встречаем
два различных класса явлений, различие которых заключается
в знаке сил трения: 1) затухающие колебания и 2) нарастающие
колебания. Существенно, что для первых линейная теория дает
полное описание процесса, пренебрежение нелинейными членами
во многих случаях не ведет к принципиальному расхождению
теории с опытом. Для второго класса это не так; здесь ли-
линейная теория приводит к противоречию с опытом. Линейная
теория в состоянии описать правильно только начальную стадию
*) На возможность возникновения таких колебаний указал Фроуд
(см. [11]).

§ 6] СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ» ЗАТУХАНИЕМ 43
процесса, а в дальнейшем течении процесса небольшая нелиней-
нелинейность играет принципиальную роль.
Однако линейная теория в этом случае вполне надежно
определяет условие, при котором могут в системе возникнуть
нарастающие колебания; это условие 6 <^ 0, которое называют
условием самовозбуждения системы. Для практических задач
определение условий самовозбуждения часто очень существенно.
В заключение заметим следующее. Формально можно утвер-
утверждать, что при 6 = 0 рассмотренные нами системы будут совер-
совершать незатухающие колебания с любой амплитудой, конечно,
в области линейности. В действительности, в реальной системе
невозможно осуществить точное равенство 6 = 0; физические
параметры всегда будут с течением времени немного изменяться
и 6 будет больше или меньше нуля, оставаясь все же очень малень-
маленькой величиной. Изменение же знака поведет к принципиальному
изменению характера движений в системе, и в этом случае будут
иметь место неустойчивые колебания, то нарастающие, то зату-
затухающие.

ГЛАВА 2
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ
КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
§ 7. Колебания нелинейной консервативной системы
До сих пор мы рассматривали собственные колебания линей-
линейных систем. Теперь рассмотрим колебания нелинейных систем,
движение в которых описывается нелинейным дифференциальным
уравнением. Решение нелинейных уравне-
уравнений представляет почти непреодолимые
трудности, поэтому для физического ана-
анализа нелинейных колебаний в каждом
частном случае приходится применять
свой специальный прием.
В механике встречаются примеры, в ко-
которых зависимость между силой (упругой)
и деформацией нелинейна. Закон прямой
пропорциональности (закон Гука) вообще
справедлив только для малых деформа-
деформаций; с увеличением деформации величина
силы начинает обычно нарастать медлен-
медленнее, чем деформация. При колебаниях
сложных конструкций бывает иногда, что
с изменением деформаций вступают в
«работу» новые упругие элементы или, наоборот, выключаются
некоторые из «работавших».
Пример такой системы показан на рис. 36. В направляющих
колеблется тело массы т на пружине к. С увеличением колебаний
будут вступать в работу пружины к1у к2, так что если даже считать
пружины линейными, характеристика упругих сил будет нели-
нелинейной. Примерный вид такой характеристики показан на рис. 37.
В механике нелинейность в инерционном члене встречается
редко. В электричестве могут быть нелинейными как «упругие»,
так и «инерционные» члены. Например, колебательный контур,
'///////////////////Л
Рис. 36.

§ 7]
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
45
катушка которого содержит железо, будет описываться уравне-
уравнением такого вида:
где Ф — поток индукции через катушку, ^ _ заряд на конден-
конденсаторе, п — число витков катушки и С — емкость конденсатора.
Если можно пренебречь явлением гистерезиса, то характе-
характеристика зависимости Ф от тока д будет иметь примерно такой
Силщ
Ф\
/V"
1а'
х
1да'к
Рис. 37.
Рис. 38.
вид, как показано на рис. 38. Соответствующим подбором коэф-
коэффициентов а и у в области около д = О можно приближенно пред-
представить характеристику потока индукции полиномом третьей
степени:
ф = а() — "
Примерный ход этой кривой показан на рис. 38 пунктиром. На
рисунке видно, что аналитическая формула только в опре-
определенных пределах отражает реальную характеристику. Можно
расширить область, в которой аналитическая характеристика
близка к реальной, если взять аналитическое выражение ее в виде
полинома более высокой степени.
Рассмотрим пример механических колебаний с нелинейной
характеристикой упругой силы.
Уравнение собственных колебаний массы т на пружине с не-
нелинейной характеристикой можно записать так:
тх + /(ж) = 0, G.1)
где 1(х) —- сила пружины.
В консервативной системе энергия остается постоянной, по-
поэтому очень удобно вести рассмотрение колебаний с помощью
фазовой плоскости. Так как каждая фазовая траектория соответ-
соответствует определенной величине энергии, то закон сохранения

46
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
ГГЛ 2
энергии дает уравнение фазовой траектории. Действительно,
из G.1) после умножения на х и интегрирования следует:
G.2)
где Ео — начальный запас кинетической энергии при х = х0.
Уравнение энергии G.2) дает зависимость у от х, т. е. уравнение
траектории на фазовой плоскости. Если обозначим величину
потенциальной энергии пружины через II (х), по определению
х
_ I] (#0) = \](х)Aх, то уравнение фазовой траектории G.2)
хо
можно переписать так:
У —
2[Е-Ц(х)Г
где Е = Ео + V {х0) — начальный запас полной энергии. Если
зависимость II(х) для данной системы дана графически, то по ней
Рис. 39.
уже легко построить траекторию на фазовой плоскости, пользуясь
уравнением G.3).
Пусть 11(х) имеет такой вид, как показано на рис. 39, а. От-
Отложим по оси ординат величину Е, точки пересечения кривой
II(х) и Е соответствуют у — 0, или пересечению оси х фазовой
кривой. На рис. 39, б в том же масштабе по осия начерчена фазо-

§ 7]
КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ
47
вая траектория. Ясно, что она имеет место при С/(х) <^ Е и сим-
симметрична относительно оси х. Задавая Е различные значения, полу-
получим поле кривых на фазовой плоскости.
Минимум потенциальной энергии будет соответствовать устой-
устойчивому положению равновесия, вблизи минимума (за исключением
особых случаев) выражение для энергии 17(х) можно (на небольшом
участке) заменить куском параболы. Это соответствует линейной
характеристике силы пружины, следовательно, фазовые кривые
вблизи точек равновесия
будут похожи на эллипсы.
Около минимума фазовые
кривые будут замкнуты-
замкнутыми кривыми, вложенными
одна в другую.
Около максимумов по-
потенциальной энергии, ко-
которые соответствуют не-
неустойчивому положению
равновесия, картина дви-
движения принципиально бу-
будет другой. Особенности
этой картины можно ви-
видеть на рис. 40, где пока-
у
Е2, Е3
Ч
8)
заны отрезки четырех фа-
фазовых кривых, соответ-
соответствующих энергиям Е19
3 и Я4.
Через положение рав-
равновесия (рис. 40, б) прохо-
проходят две кривые (Ег). Они
отделяют области, в кото- Рис. 40.
рых фазовые кривые имеют
принципиально различный вид. Такие кривые называют сепарат-
сепаратрисами. Кривые Ег, Е2 соответствуют движениям, не доходящим
до положения равновесия; энергия этих движений недостаточна
для того, чтобы масса перешла через положение равновесия. Уве-
Увеличивая энергию движения выше значения 2?3, переходим к новому
виду движения, при котором масса переходит через положение
равновесия и двигается далее в том же направлении.
При рассмотрении движений важно знать сепаратрисы, ибо
небольшое изменение начального запаса энергии ведет к принци-
принципиальному изменению характера движения, если движение соот-
соответствует траектории, лежащей вблизи сепаратрисы.
Движения около точки х0 представляют движения около
неустойчивого состояния равновесия. Все изображающие точки

48 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
уходят от положения равновесия (за исключением тех, которые
движутся по двум ветвям сепаратрисы).
Если вблизи максимума потенциальную энергию можно пред-
представить параболой, то упругая сила будет линейна и направлена
от положения равновесия. В этом случае, как легко убедиться,
интегральные кривые около особой точки будут гиперболами,
а сепаратрисы их асимптотами. Особая точка, соответствующая
неустойчивому положению равновесия в этом случае, называется
седлом, по аналогии с топографическими линиями равной высоты
горной седловины.
§ 8. Колебания физического маятника
В качестве примера фазовой картины движений (и колебаний)
консервативной системы рассмотрим колебания физического ма-
маятника.
Если х — угол отклонения маятника от положения равнове-
равновесия, а Р — его вес, то потенциальная энергия
17(х) = РаA — созя), (8.1)
где а — расстояние точки подвеса до центра массы маятника.
Кинетическая энергия -~ 1х2, где / — момент инерции маятника
относительно точки подвеса. Уравнение баланса энергии:
Е — Ра A — созя) = ~ Iх\
Обозначая х = г/, как обычно, получаем уравнение фазовой траек-
траектории:
у1 . (8.2)
Вид этих траекторий и построение их показаны на рис. 41. Соб-
Собственно колебательное движение (кривые Ег, Е2) имеет место только
в том случае, если начальная кинетическая энергия (при х0 =
= 0, 2я, ...) меньше 2Ра, в противном случае происходит враще-
вращение маятника в одну сторону с прохождением через верхнюю
точку х = я, Зя, ... с конечной скоростью. Правда, при этом
движении скорость колеблется, принимая максимальное значение
в нижней точке, а минимальное — в верхней.
Кривые, проходящие через точки я, Зя, ... (соответствующие
2?3 = 2Ра), — сепаратрисы. Очевидно, движение не будет синусо-
синусоидальным, ибо фазовые траектории не являются эллипсами, од-
однако они будут очень близки к эллипсам в областях, близких

§ 9]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ
49
к точкам у = 0, х0 = О, 2я, ... Эти точки соответствуют нижнему
положению равновесия, и движение вблизи него, как известно,
-л
Рис. 41.
будет почти гармоническим. В этом легко убедиться, если раз-
разложить соз х, стоящий в уравнении фазовой траектории (8.2),
в ряд около х0 и ограничиться квадратичным членом разложения.
§ 9, Определение периода колебаний
Из уравнения G.3) в случае периодического колебательного
движения можно определрггь величину половины периода или от-
отрезка времени, за которое масса проходит от х0 — наибольшего
отклонения в одну сторону — до максимального отклонения х1
в другую сторону.
Уравнение G.3) можно написать так:
д,х
или
(9.1)
Если Е — кинетическая энергия в положении устойчивого
равновесия (где у имеет максимальное значение), а х0 и хг — крайние
значения отклонения массы от положения равновесия (в этих

50
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ 2
точках у = 0), тогда, интегрируя (9,1), получим:
(9.2)
где Т — полный период колебаний. Величины х0 и хх получим из
G.3) для данного Е, положив в нем у = 0. Из формулы (9.2) видно,
что период колебаний зависит от начальной энергии, от величины
размахов колебаний. Поэтому понятие собственной частоты си-
системы как свойства данной системы теряет свой смысл, ибо система
может иметь различные периоды колебаний. Формулу для периода
физического маятника легко можно получить из (9.2), подставив
в нее 17(х) = Ра{\ — соз х). Из этой формулы видно, что период
колебаний маятника Т может изменяться в зависимости от началь-
начальных условий
от То =
~ до сю.
Период будет равен бесконечности при движении изображающей
точки по сепаратрисе (Е = Ра), рис. 41.
Обычно зависимость периода колебаний нелинейной консерва-
консервативной системы от начальных условий называется неизохронностью
собственных колебаний системы в отличие от изохронности
собственных колебаний линейных систем (гармонических ко-
колебаний).
Практически часто не удается взять интеграл (9.2), определяю-
определяющий период колебаний, обычными приемами. Решение этой задачи
для физического маятника
привело к открытию новых
функций (эллиптических),
определением которых и
является интеграл (9.2)
после подстановки в него
выражения для потенци-
У\
Рис. 43.
я см альной энергии маятника
(8.1). Поэтому приходится
прибегать к приближен-
приближенным методам интегрирования. В тех случаях, когда не требуется
большой точности, можно интеграл (9.2) взять графически по
схеме, которая показана на рис. 42.
Применяя обозначения, смысл которых виден на рис. 42,
можно (9.1) записать так:
.-VI
~2Ь ,
- см/сек;

9]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА КОЛЕБАНИЙ
51
тогда часть интеграла (9.2) можно записать так:
6х
^аx
т
сек.
Построим график величины 1/у как функцию х и, определяя по
масштабу величину заштрихованной области, получим прибли-
приближенное значение искомой величины (рис. 43).
Практически обращение 1/у при х = хх в бесконечность не
вызывает никаких затруднений.
Рассмотрим еще один пример: собственные колебания массы
на пружинах с зазором («люфтом») (рис. 44, а). Масса т совершает
горизонтальные колебания в на-
направляющих без трения, но пру-
пружины, прикрепленные к стенкам,
коротки, и есть некоторый про-
промежуток («люфт»), на котором
сила пружины не действует на
массу. Характеристика упру-
упругой силы / (х) дана на рис. 44, б,
Рис. 44.
Рис. 45
причем мы полагаем, что характеристика каждой пружины ли-
линейна и жесткости их равны кг и к2. На участке х2 — хх («люфт»)
движение массы будет происходить по инерции, и здесь фазо-
фазовая траектория параллельна оси х. На участке, где х<^хх,
куски фазовых кривых представляют половинки эллипсов, соот-
соответствующих гармоническим колебаниям с частотою \[кх1т, по
которым изображающая точка движется до того момента, пока
масса не вступит в область зазора хх <: х ^ х2. При х^> х2 изо-
изображающая точка пойдет по половине эллипса, соответствующего
гармоническому колебанию с частотой Ук21т (рис. 44, в).
Совершенно очевидно, что период колебаний Т будет равен:
" _ 2[ ^ ~]/Г^= -+я V"?
где г?0 — максимальная скорость и / — величина люфта.

52 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
Очевидно, что с увеличением г;0 период стремится к
УК ' УК
а с уменьшением г>0 до нуля Т -> оо. Толчок пружины будет
настолько мал, что масса будет как угодно долго идти в зазоре.
Здесь уместно заметить, что в предельном случае, при у0 -> О,
наша схема, схема консервативной системы, очень далека от дей-
действительности.
Упражнение
Придумать механическую систему, характеристика упругих сил кото-
которой имеет вид, изображенный на рис. 45, проанализировать собственные
колебания в этой системе на фазовой плоскости и определить период коле-
колебаний.

ГЛАВА 3
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
(КОЛЕБАНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ)
§ 10. Предварительные замечания
До сих пор мы рассматривали собственные колебания. Во время
таких колебаний система изолирована от всяких внешних воздей-
воздействий. Колебания в изолированных системах возникают только
после внешнего возмущения *). Внешнее возмущение опреде-
определяет начальное отклонение и начальную скорость — начальные
условия, а начальные условия однозначно определяют амплитуду
и начальную фазу колебаний. Частота колебаний со и коэффициент
затухания б определяются устройством системы. Наоборот, коле-
колебания в системе под действием внешней периодической силы, или,
как будем их называть, вынужденные колебания, определяются
не только физическим устройством системы, не только парамет-
параметрами системы (со и б), но и внешней силой.
Уравнение колебаний в линейной механической колебатель-
колебательной системе под действием внешней силы 1A) запишется так:
тж + йж + Аж = /(*), (ЮЛ)
где 1A) — заданная функция времени, не зависящая от параметров
системы и от процессов в ней.
Заметим, что в механическом случае не так просто «задать»
внешнюю силу. Часто говорят: возьмите электромагнит, задайте
ток через электромагнит, и магнитная сила, действующая на тело
(если оно состоит из магнитного вещества), будет изменяться
пропорционально силе тока. Это верно только в том случае, если
колебания массы происходят в однородном магнитном поле, а это
не всегда просто осуществить.
*) Даже и в случае нарастающих колебаний!

54
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ 3
Одним из простейших способов внешнего воздействия на
механическую колебательную систему механическим путем яв-
является задание смещения некоторой определенной точки, напри-
например так, как это показано на рис. 46. От специального ме-
механизма задается определенное смещение и (I) точки А. Пусть
х — отклонение массы т вниз от положения равновесия; тогда
уравнение движения массы без учета силы трения
можно записать так:
тх-\г кх = к' (и — х),
или
тх
Значит, на систему с частотой Л
Рис. 46.
дей-
ствует сила к'и (I). Если мы желаем таким обра-
образом задать внешнюю силу, действующую на мас-
массу, висящую на пружине с жесткостью к, т. е. на
систему с частотой |/ к/т, то необходимо подо-
подобрать жесткость пружины так, чтобы к'<^к, а иA)
так, чтобы к'и (/) имело достаточную величину.
При электрических колебаниях внешнее воздей-
воздействие чаще всего задается как электродвижущая
сила индукции в электрическом контуре. Если нет
обратного влияния колебаний тока в системе на
величину внешнего потока индукции, то такую
силу можно считать заданной функцией времени.
Отметим, что бывают и другие способы воздей-
воздействия на колебательную систему, например: внеш-
внешнее воздействие может изменять параметры системы (со и 6).
Это — принципиально другой вид внешнего воздействия, пара-
параметрический, который далее будет рассмотрен особо.
Анализ вынужденных колебаний в линейной системе значи-
значительно облегчается благодаря суперпозиции колебаний. Супер-
Суперпозиция, или принцип суперпозиции, заключается в том, что
колебания, вызываемые различными внешними силами, независимы
друг от друга.
Пусть внешняя сила ^A) вызывает колебание ххA), а внешняя
сила /2@ колебание х2A). Тогда колебание, вызываемое в этой же
системе силой / = {{A) + М0> будет ххA) + х2A). Колебания,
вызываемые различными внешними силами, складываются друг
с другом, так же как и внешние силы,если они действуют одновре-
одновременно на систему. Доказательство можно получить непосредствен-
непосредственной подстановкой в уравнение, например, A0.1).
Далее рассмотрим колебания под действием периодической
силы. Но, как известно, любую периодическую силу с периодом Т

§ 111 ДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛЫ 55
можно представить в виде суммы гармонических *) сил, причем
частота каждой из этих сил равна 2лп/Т, где п — целое поло-
положительное число. Поэтому для решения задачи о действии пе-
периодической силы на линейную систему достаточно знать в силу
принципа суперпозиции результат действия на систему синусои-
синусоидальной (гармонической) силы определенной частоты.
§ 11. Действие гармонической (синусоидальной) силы
на линейную систему без трения
Одна «чистая» гармоническая внешняя сила редко встречается
на практике. Однако имеется много случаев, в которых прибли-
приближенно можно принимать действующей одну гармоническую силу,
например, при колебаниях, вызываемых небалансированным ро-
ротором машины при его равномерном вращении. Здесь можно счи-
считать, что центробежная сила дает чисто гармоническую силу в
заданном направлении с частотою оборотов машины.
Точно так же и в электротехнике гармоническая внешняя
э. д. с. возникает в плоском витке (или катушке), если он вра-
вращается равномерно в однородном магнитном поле. А так как
практически однородное поле трудно осуществить, то всегда внеш-
внешняя э. д. с. не «чисто» гармоническая, или, вернее, состоит из не-
нескольких гармонических сил.
Сначала рассмотрим действие гармонической силы на систему
без трения. Уравнение движения для механической системы в
этом случае будет:
т'х + кх = Р0 сов р1, A1.1)
где Ро — амплитуда внешней силы (постоянная величина), р —
круговая частота внешней силы. Уравнение удобнее переписать
так:
х + (о2х=^созр1, A1.2)
где со2 = к/т.
Математически задача заключается в отыскании х (I) при за-
заданных х @) и х @). Как известно, общее решение х (I) будет суммой
частного решения неоднородного уравнения A1.2) и общего реше-
решения однородного уравнения, которое получим из A1.2), если по-
положим Ро — 0.
Найдем частное решение. Допустим, что оно гармоническое
с частотою р. Пусть хA) = Хо соз (р1 + <р); подставим это
*) Напомним, что мы всюду гармонической или синусоидальной функ-
функцией называем функцию, зависящую от времени так, как синус или косинус
вависят от своего аргумента.

56 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ 3
выражение в A1.2) и найдем такие постоянные значения Хо и <р,
при которых оно будет удовлетворяться при любом I:
Хо (со2 — р2) соз (р1 + Ф) = 5 созр*. A1.3)
Из A1.3) очевидно, что оно удовлетворяется, если <р = 0 и
л
Следовательно, при данных условиях существует частное
решение гармонического вида с частотой /?, частотой внешней
силы. Таким образом, общее решение, или колебания в системе
в общем случае, будет иметь вид:
созр1-\- А созсог + 5 81псо^, (И.5)
где А и В — постоянные величины, определяемые из начальных
условий.
Первый член A1.5) представляет вынужденные колебания, по-
последующие — собственные колебания. Вынужденные происходят
с частотой внешней силы, амплитуда их определяется амплитудой
и частотою внешней силы и параметрами системы. Собственные
происходят с частотой со, а амплитуда и фаза их зависят от внешней
силы и от начальных условий, как и ранее в случае изолированной
системы. Следовательно, колебания будут происходить с двумя
частотами р и со, и результирующее колебание не будет гармони-
гармоническим.
В том случае, когда р немного отличается от со, то сложные
колебания A1.5) в системе называются биениями, которые имеют
вид то возрастающих, то ослабляющихся колебаний. Для примера
допустим, что х @) = х@) = 0. Тогда, подставляя это в A1.5)
и в производную от х (I), получаем при I = 0:
х @) = (оВ = 0.

ДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛЫ
57
Таким образом, при этих начальных условиях общее решение^
*(«) = •
(СО5 р1 —
или после тригонометрических преобразований:
A1.6)
1 —
- 51П
р — СО
• 51П
СО
A1.7)
График таких колебаний дан на рис. 47.
При р я«? со выражение A1.7) и график можно приближенно
* Р + &
рассматривать как гармоническое колебание частоты соя^—^—
с переменной «амплитудой», период изменения амплитуды
1
т_ 2л
1 со-р
Рис. 47.
% = —-—. Иначе говоря, «частота биений» — = а>—р равна
разности собственной частоты и частоты внешней силы.
Заметим, что в отсутствие трения F = 0) колебания, вообще
говоря, всегда будут состоять из гармонических колебаний двух
частот. Только при некоторых определенных начальных значениях
х @) и х @) колебания в системе будут гармоническими с частотой р.
Например, в случае
Р
X 4- (О2Х = —° 5Ш р1
при начальных условиях х @) = 0 и х @) = рХ0 общее решение
будет иметь вид:
7
2" 31Пр1.

58
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ 3
Следует иметь в виду, что как бы мала ни была величина зату-
затухания, всегда по прошествии достаточного времени собственные
колебания затухают и в системе остаются только вынужденные
колебания с частотою р. Однако в начальный момент, при неболь-
небольшом затухании, процесс в системе близок к идеализированному,
который был рассмотрен в этом параграфе.
§ 12. Явление резонанса
Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты
внешней силы представлена формулой A1.4). Обозначим ~ = а,
к
а есть «статическое смещение» пружины под действием постоянной
силы, величина которой Ро. Отноше-
Отношение частот р/ы обозначим у. Тогда
формулу A1.4) можно записать так:
A2.1)
Рис. 48.
"«— 1 —у» '
амплитуда колебаний зависит от «ста-
«статического смещения» а и от отноше-
отношения частот у. График A2.1) показан
на рис. 48.
При низких частотах, у <^ 1, ам-
амплитуда колебаний почти равна ста-
статическому смещению; колебания
происходят в фазе с колебаниями
внешней силы; влияние массы мало;
пружина деформируется так, как
если бы массы не было. С увеличе-
увеличением частоты амплитуда колебаний
начинает возрастать, и при прибли-
приближении у к единице возрастание амплитуды становится очень боль-
большим, так что при у -> 1 амплитуда Хо->* оо. Это явление носит
название резонанса.
Теория дает бесконечно большое значение амплитуды когда
частота внешней силы равна частоте собственных колебаний
системы. Конечно, в реальной системе немыслимы колебания бес-
бесконечной амплитуды. Это значит, что при у -> \ наша схема (от-
(отсутствие трения) принципиально не отражает явления в действи-
действительной системе.
При у ^> 1 амплитуда колебаний уменьшается и при у —> оо
она стремится к нулю. Сдвиг по фазе между колебаниями х и
колебаниями силы изменяется при переходе через резонанс скач-
скачком на величину я. До резонанса сила и смещение находятся в

§ 12]
ЯВЛЕНИЕ РЕЗОНАНСА
59
фазе так же, как при очень малых частотах, после резонанса сила
и смещение — в противофазе.
Полезно рассмотреть подробнее механизм вынужденных коле-
колебаний и проследить за изменением во времени всех сил при ко-
колебаниях. Величину тх можно назвать силой инерции; тогда
уравнение движения A1.1) можно толковать так: внешняя сила
равна сумме силы инерции и силы упругости пружины.
При вынужденных колебаниях хх = Хо соз р1\ сила инерции
тх1=— Хо тр2 соз р1 —— тр2х1 всегда в противофазе со смеще-
смещением, сила пружины кХ0 соз р1 = кхг всегда в фазе со смещением.
До резонанса Хо ^> 0, внешняя сила в фазе со смещением, после
резонанса — в противофазе.
Сила инериии
(падение напряжения
на индуктивности)
Внешняя сила
(внешняя лЗс]
Сила пружины,
такая же фирма
колебаний смещении
(падения напряжения
на конЯенса/ларе)
Рис. 49.
График изменения сил во времени для случая, когда р <^ со,
показан на рис. 49. Сила пружины в фазе с внешней силой, сила
инерции — в противофазе, разность этих сил равна внешней силе.
До резонанса сила пружины всегда по абсолютной величине
больше внешней силы, к ^> тр2, только при маленьких частотах
р -> 0 разность между ними очень мала (сила инерции мала).
График изменения сил во времени после резонанса при р ^> со
представлен на рис. 50. Сила инерции в фазе с внешней силой и
всегда больше внешней силы, так как тр2 ^> к] при очень больших
частотах разность между ними очень мала, сила инерции почти
равна внешней силе. Так как смещение всегда в фазе с силой
пружины, то до резонанса внешняя сила и смещение находятся
в фазе, а после резонанса — наоборот. При р -> 0 масса не играет
роли, ускорение мало, и внешняя сила почти равна силе пружины;
при больших частотах р -^оосила пружины очень мала, внешняя
сила равна силе инерции.
При установившихся вынужденных колебаниях внешняя сила
уравновешивается разностью силы инерции и упругой силы. При

60
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
приближении к резонансу к -> тр2, и поэтому сила инерции будет
почти равна упругой силе. Для того чтобы уравновесить опреде-
определенную конечную внешнюю силу, необходима очень большая ампли-
амплитуда колебаний смещений, только тогда две близкие большие
величины дадут нужную конечную разность.
При вынужденных колебаниях в электрическом контуре без
затухания имеет место та же самая картина, если считать, что
Сила пруЖины
~-^ч (падение напряжения
на конденсатере)
ч\ внешняя сила/ /
Сила инерции ^1""™** №/
(падение напряжения
на индуктивнасти] ^
Рис. 50.
заряд на конденсаторе ^ аналогичен смещению хг. Тогда сила
инерции аналогична падению напряжения на индуктивности
A/^), сила пружины аналогична напряжению на конденсаторе
(¦-) и внешняя сила — внешней э. д. с. Напряжение на индуктив-
индуктивности всегда противоположно по фазе напряжению на конденса-
конденсаторе. До резонанса напряжение на конденсаторе больше напря-
напряжения на индуктивности, и внешняя э. д. с. — в фазе с напряже-
напряжением на конденсаторе, а после резонанса наоборот, напряжение
на индуктивности в фазе с внешней э. д. с. (см. рис. 49 и 50).
§ 13. Вид колебаний при резонансе
Как уже было сказано, при резонансе (при у = 1) амплитуда
вынужденных колебаний обращается в бесконечность. Но каков
будет характер колебаний после включения внешней силы? Ведь
они не могут стать сразу бесконечными. Колебания будут возра-
возрастать постепенно, но как? Для решения этого вопроса нужно иначе
представить общее решение уравнения A1.2). Общий прием мы
рассмотрим далее (§ 27), а пока на примере, который был разобран
выше (§ 11), посмотрим, что будет с решением A1.7) в пределе при
у —> 1 или р -> со.
При определенных начальных условиях, х @) = х@) = 0,
общее решение полного уравнения A1.2) выразилось формулой

§ 13] ВИД КОЛЕБАНИЙ ПРИ РЕЗОНАНСЕ
A1.7), которую теперь запишем в следующем виде:
61
х =
51П
т (со2 — р2) 2
Это решение можно переписать так:
I 51П
X =
•Р) со-.
2
и в этом выражении перейти к пределу при р
чаем, что при любом конечном I
X =
2@ т
I 81П СО1.
со. Тогда полу-
полуA3.1)
Значит, при резонансе не будет установившихся гармонических коле-
колебаний. Колебания будут расти пропорционально времени (рис. 51).
Физически это решение не представ-
представляет такой бессмыслицы, как решение
в прежнем виде с бесконечной ампли-
амплитудой. Во всяком случае (при малень-
маленьком затухании) в начале процесса дело
обстоит в реальной системе почти так,
как мы получили в теории. Но, очевид-
очевидно, что с увеличением размахов коле-
колебаний в любой физической системе на-
наступят условия, при которых исходное
уравнение A1.1) не будет верным. Ли-
Линейный закон силы упругости справед-
справедлив только на определенном интервале
изменения х, затем скорость движения
этому силой трения
нельзя пренебрегать.
Рис. 51.
будет возрастать, и по-
как бы ни мал был коэффициент трения,
Заметим, что вид решения при резонансе будет почти такой же
и при х @) 9^ 0 и х@) Ф 0. Можно показать, что если подставить
эти начальные условия в A1.5) и перейти к пределу р -> со, то
получим выражение A3.1) плюс еще два члена:
х @) соз со1 ~\ х @) 31П сог,
представляющие собственные колебания, наличие которых не из-
изменяет выводов, сделанных ранее из формулы A3.1).
Все приведенные результаты справедливы и для электриче-
электрических колебаний. В этом случае вместоРо надо поставить амплитуду

62 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ 3
внешней э. д. с. —Шо, вместо х — заряд на конденсаторе дит. д.,
как было показано в § 4. Тогда уравнение
совершенно эквивалентно уравнению A1.2). Только не следует
забывать, что обычно в электротехнике при написании законов
колебаний в контуре берут другие величины — ток или потенциал.
§ 14. Вынужденные колебания в системе, обладающей
затуханием под действием синусоидальной силы
Уравнение вынужденных колебаний для механической системы
при наличии силы трения будет:
тх+кх+ кх = Рцсоз р1у A4.1)
для электрической, где д — заряд на конденсаторе:
Ьд + Кд + о~д = ё0созр1. A4.2)
Эти оба уравнения можно написать в виде одного уравнения:
х + 26 х + (о*х — /о соз р1, A4.3)
где х — или смещение, или заряд; б = Н12т или К/2Ь,
оУ2 = к/т или 1/ХС, /0 = Р0/т или %0/Ь>
соответственно для каждого случая.
Если в A4.3) через х обозначим ток в колебательном контуре,
то /0 = ёор/Ь и величины б и со, конечно, не изменяются. Во всех
случаях, когда под х понимают различные физические величины,
следует обращать внимание на правильную запись /0.
Решение A4.3), как известно из математики, можно записать
так:
х (I) = хг (I) + Ае~ы соз (щ1 + <р), A4.4)
где хг (I) есть частное решение неоднородного уравнения A4.3)
(вынужденные колебания), и второй член представляет общее ре-
решение однородного уравнения D.3) (собственные колебания); А
и ф — постоянные величины, определяемые из начальных условий.
Вследствие трения в системе собственные колебания с тече-
течением времени исчезнут и останутся только вынужденные коле-
колебания. Поэтому в большинстве (конечно, не всегда) приложений
теории нас интересует именно эта часть решения.

§ 14] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ЗАТУХАНИЕМ 63
1. Метод комплексных амплитуд
Далее займемся анализом вынужденных колебаний. При оты-
отыскании вынужденных колебаний часто пользуются методом ком-
комплексных амплитуд. Он представляет ряд удобств, с его помощью
просто, коротко и наглядно устанавливается физическая связь
между величинами, характеризующими колебательный процесс.
Суть метода заключается в следующем: вместо уравнения
A4.3) рассматриваем частное решение уравнения
(д*у = ие1р1, A4.5)
где все параметры имеют то же значение, что и в уравнении A4.3),
но у — комплексная функция времени, а I = / — 1. Очевидно,
вследствие линейности A4.3) и A4.5) реальная часть у будет
решением A4.3). Или если у — и -\~ IV есть решение при }ое1р1, то
и есть решение того же уравнения при /0 соя р1, а V — при
/0 зтр1.
Найти решение A4.5) математически значительно проще, чем
A4.3). Действительно, пусть частное решение A4.5) есть ух =
= Хе1р1. Подставляя его в A4.5) и сокращая на е1р1, получаем:
или
Х ЙГ^ОА- A4'6)
со2 — р2 + 126р к '
Обозначая комплексную величину X = Хое{ч>, легко вычислить
обычным способом модуль:
/о
X
°
/(со2 —
и аргумент A4.7)
2&
Ф =
Следовательно, частное решение A4.3) — вынужденные коле-
колебания — имеет следующий вид:
хх = Не (Хе1?1) = Не (Хое1№ + ч>>) = Хо соз (р1 + ф). A4.8)
Формулы A4.6) и A4.7) дают амплитуду вынужденных коле-
колебаний Хо и сдвиг фаз между колебаниями смещения и силы;
они показывают зависимость этих величин от частоты р, от ам-
амплитуды силы /0 и параметров системы. С точки зрения математики
на этом и заканчивается вся теория вынужденных колебаний;
например, формула A4.6) дает исчерпывающие ответы на все воп-
вопросы. Но нам необходимо дать подробный анализ этой формулы и

64
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ. 3
выяснить ряд физических свойств системы, которые определяют
характер вынужденных колебаний.
Прежде всего заметим, что комплексными величинами удобно
пользоваться для сложения (и вычитания) гармонических коле-
колебаний одной частоты. Действительно, комплексная величина
#ег(р* + Ф) может быть представлена вектором, проведенным из
начала координат, имеющим абсолютную величину В и совер-
совершающим вращение со временем около начала с угловой скоростью р.
Очевидно, проекция этого вектора в момент времени I на действи-
действительную ось есть В соз (р1 + ф). Следовательно, сумма двух
Мнимая
ось
Выпе
Дшствителб-
в сове
Рис. 52.
колебаний Вх соз (р1 + фх) и В2 соз (р( + ф2) есть проекция на
действительную ось суммы двух векторов Вхе{ № Н- фЛ и В2е1 № + ф«) .
Так как оба вектора вращаются с одной скоростью, то они сохра-
сохраняют неизменное положение относительно друг друга, поэтому
достаточно начертить положение векторов для какого-либо момента
времени, например 1 = 0, как это и показано на рис. 52.
Из последнего отчетливо видна связь между амплитудами и фа-
фазами различных колебаний. Если Хг = В^1, Х2 = В2е1ч>* и
X = Ве{е, то, очевидно, X — Х1 + Х2; таким образом коротко
записывается связь между амплитудами и фазами.
В обычной форме мы имеем громоздкие формулы
В = УВ\ + В1
! зт <
. соз с
I СОЗ (ф2
В2 зт ф2
В2 соз ф2

§ 14] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ЗАТУХАНИЕМ 65
С этими формулами неудобно работать, особенно если необходимо
складывать и вычитать большое количество колебаний. Поэтому
гораздо проще производить все эти вычисления с помощью чер-
чертежа, на котором комплексные амплитуды вычерчены в соответ-
соответствующем масштабе, как на рис. 52. По-видимому, этим отчасти
и объясняется широкое распространение метода комплексных
амплитуд.
По определению, комплексной амплитудой гармонического
колебания Хо соз (р1 + ф) будем называть величину X = Хое^,
которая дает амплитуду Хо и фазу колебания ф. Если умножим
комплексную амплитуду на е{р{ и возьмем действительную (или
мнимую) часть, то получим гармоническое колебание, которое
представляет данная комплексная амплитуда.
Следовательно, при сложении и вычитании большого числа
гармонических колебаний одной частоты будем заменять их
комплексными амплитудами и производить все действия с ними
графически или аналитически, как с комплексными величинами.
И только в окончательном результате переходим от комплексных
амплитуд к гармоническим колебаниям.
При вынужденных колебаниях, возбуждаемых гармонической
силой, все величины, участвующие в данном процессе, изменяются
с одной и той же частотой, с частотой внешней силы р. Если X
есть комплексная амплитуда смещения, то X — комплексная
амплитуда скорости — будет:
I = 1РХ,
а комплексная амплитуда ускорения:
I = (р1 = _ р*Х.
Эти формулы можно получить, дифференцируя выражение для сме-
смещения у ~ Хе1рг и полагая у = Хе1рг и у = Хе{рг. Из приведен-
приведенных формул видно, что колебания скорости опережают по фазе на
я/2 колебания смещения *) и амплитуда их в р раз больше. Коле-
Колебания ускорения в противофазе с колебаниями смещения и ампли-
амплитуда ускорения в р2 раз больше амплитуды смещения.
2. Комплексные параметры
Уравнение колебаний дает связь между комплексными ампли-
амплитудами. Так, например, для механических колебаний из основного
уравнения
тх +Нх + кх = Р0соар1, A4.9)
*) Здесь нужно вспомнить, что * = У — 1 = егл/2.
3 С. П. Стрелков

66 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
заменяя Р0со$р1 через Рое{р( и подставляя Хе1*** вместо х, полу-
получаем:
X (— тр* + грк + к) = Р0 A4.10)
— формулу, связывающую комплексные амплитуды смещения
и силы.
При таком рассмотрении обычно вводят комплексные пара-
параметры системы. Комплексную величину, стоящую в скобках,
называют комплексной (или динамической) жесткостью системы.
Обозначим ее через К; тогда равенство A4.10) можно записать
так:
Х-К = Р0 или Х = й-. A4.11)
К
Величина комплексной амплитуды смещения X равна амплитуде
силы Ро, деленной на динамическую жесткость системы К.
Для комплексных амплитуд получается соотношение, анало-
аналогичное соотношению между статическими величинами. Если на
систему действует постоянная сила Р, которая вызывает смещение
х, то смещение равно силе, деленной на жесткость
_ Р_
Эта формула совершенно аналогична A4.11), только в A4.11)
вместо постоянных величин приняты комплексные амплитуды
этих же величин и вместо обычной жесткости — динамическая
жесткость:
К = к — тр* + 1рк = К&Ъ, A4.12)
Рассматривая формулы A4.11) и A4.12), сразу можно сказать:
колебания смещения отстают по фазе от колебаний силы на ф,
а амплитуда смещений равна амплитуде силы, деленной на Ко.
Таким образом, зная динамическую жесткость системы, мы знаем
величину колебаний смещения и сдвиг фаз вынужденных коле-
колебаний смещения относительно силы. Динамическая жесткость
зависит от параметров системы и частоты.
Переход от A4.9) к A4.10) можно мыслить как другой вид
записи дифференциального уравнения, как введение операторных
символов. Но для физики колебаний введение комплексных пара-
параметров имеет особый смысл. Введение комплексных величин
позволяет просто, точно и коротко характеризовать колебатель-
колебательные свойства системы с точки зрения вынужденных колебаний *).
*) Вообще, комплекспыми параметрами можно пользоваться и для
неустановившихся колебаний.

§ 14]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ЗАТУХАНИЕМ
67
Не следует забывать, что эти методы применимы только для ли-
линейных систем. В нелинейных же системах, как будет ясно из
дальнейшего, мы встретимся с частотами, отличными от частоты
внешней силы р, и поэтому там нельзя ввести комплексные вели-
величины в качестве характеристики физических свойств системы.
Динамическую жесткость К можно представить как сумму
трех жесткостей: динамической жесткости массы — тр2, жест-
жесткости пружины к, динамической жесткости трения Игр. Каждую
из них можно понимать следующим образом.
Пусть на массу т действует сила Ро соз р1, масса изолирована
{к = 0, к = 0); тогда, очевидно, колебания х будут в противофазе
с силой и амплитуда их равна Р0/тр2. Динамическая жесткость
массы растет с увеличением частоты; совершенно ясно, что при
большой частоте сила конечной амплитуды вызовет ничтожное
смещение массы, «масса плохо передает колебания большой ча-
частоты».
Пружина — это элемент системы, для которого статическая
и динамическая жесткости одинаковы и равны к. Динамическая
жесткость пружины постоянна и не зависит от частоты.Физически
такая идеализация допустима только для таких частот, при кото-
которых еще можно пренебречь массой и трением пружины при ко-
колебаниях.
Элемент линейного трения, под которым мы понимаем часть
устройства системы, определяющую силу трения кх, имеет дина-
динамическую жесткость 1рк. Дина-
Динамическая жесткость элемента тре-
трения мнима; это значит, что в си-
системе, в которой преобладает сила
трения (к = 0, т = 0), внешняя
сила будет опережать по фазе на
90° колебания смещения. Динами-
Динамическая жесткость элемента трения
растет по модулю с увеличением
частоты, влияние сил трения с
увеличением частоты возрастает.
Механическую колебательную
систему (рис. 53,а), где элемент к
обозначает элемент линейного тре-
трения с коэффициентом к, можно
схематически изобразить в виде,
представленном на рис. 53, б. Элемент А, допускающий только
горизонтальное перемещение, находится под действием силы Ро
и «подпирается» тремя «упругими» элементами, жесткость которых
записана на них. Эту схему можно рассматривать формально
как статическую систему, в которой все «упругие» элементы
а)
Рис. 53.

68
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ ГГЛ. 3
«работают» впараллель, и, следовательно, жесткости отдельных
элементов складываются при определении жесткости всей систе-
системы, т. е. справедлива формула A4.12).
Такие «статические» схемы колебательных систем могут быть
построены и в более сложных случаях.
Выражение A4.12) можно представить графически (рис. 54).
По действительной оси откладываем к — т/?2, по мнимой кр,
К представится вектором, повернутым на угол <р относительно
действительной оси. Заметим, что все величины имеют размер-
размерность [н/м], [кГ/см] и [дин/см].
Мнимая
ось
Рис. 54.
Если за переменную величину, характеризующую колеба-
колебательный процесс, взять не смещение, а скорость, то связь между
комплексной амплитудой скорости X и амплитудой силы выразится
через другую комплексную величину, называемую комплексным
коэффициентом трения (или механическим импеданцем).
По определению, комплексный коэффициент трения Й должен
удовлетворять следующему равенству:
ЯЙ = Г0. A4.13)
Из этого равенства легко установить связь между комплексным
коэффициентом трения и динамической жесткостью. Действи-
Действительно, X = 1рХ; подставив это в A4.13), получим:
сравним с A4.11) и получим:
1Р
A4.14)
Комплексный коэффициент трения равен динамической жесткости,
деленной на 1р. Для механической колебательной системы с одной

§ 14] ВЫНУЖДЕНЙЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ С ЗАТУХАНИЕМ
69
степенью свободы комплексный коэффициент трения равен по
A4.12)
{ ±у A4.15)
Комплексные параметры и комплексные амплитуды были
введены электротехниками главным образом для расчета цепей
переменного тока и широко применяются как в электротехнике,
так и в радиотехнике. В электротехнике обычно вводят комплексное
сопротивление цепи. Комплексное сопротивление связывает ком-
комплексные амплитуды тока и э. д. с.
в цепи, так же как сила тока и э. д. с.
связаны через сопротивление в цепи
постоянного тока. В электрическом
Рис. 55.
Рис. 56.
колебательном контуре с омическим сопротивлением Н (рис. 55)
уравнение напряжений для тока / запишется так:
I,/+ Я/+ 4Д/* = !>*.
Положим, что ток равен 1егр1; тогда подстановка этого выражения
в уравнение дает:
-7^1 = 3; A4.16)
A4.17)
отсюда комплексное сопротивление
|-= Я
Величина 20 имеет размерность сопротивления и в практиче-
практической системе единиц измеряется в омах. Модуль комплексного
сопротивления 20 дает отношение амплитуд колебаний э. д. с. и
тока. Аргумент комплексного сопротивления дает сдвиг фаз
между колебаниями э. д. с. и тока в замкнутой цепи, э. д. с. опе-
опережает ток на угол ф. Для вычисления удобно комплексное сопро-
сопротивление 2 представить графически так, как показано на рис. 56.

70 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
Модуль комплексного сопротивления
аргумент комплексного сопротивления, или сдвиг по фазе между
током и э. д. с,
Е
Понятие комплексного сопротивления цепи можно применить
к любой электрической цепи. Пусть в сложной электрической цепи
действует гармоническая э. д. с. Комплексным сопротивлением
цепи, приключенной к зажимам источника э. д. с, называют ком-
комплексную величину, на которую следует умножить комплексную
амплитуду тока, чтобы получить амплитуду э. д. с. Забегая
вперед, скажем, что в этом случае в цепи будет установившийся
режим вынужденных колебаний с частотою внешней э. д. с; через
источник э. д. с. будет идти ток, совершающий гармонические
колебания с частотою р. Способы определения комплексного
сопротивления сложной цепи будут рассмотрены далее.
§ 15. Анализ резонансных законов
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты, от
амплитуды внешней силы и от параметров системы. Фаза — от
частоты и параметров системы.
В теории мы считаем физические параметры К, Ь и С (и к, т,
к) величинами постоянными, практически же это условие вы-
выполняется только в определенном интервале частот для каждой
данной системы. Например, в механике при больших частотах
нельзя пренебрегать массой пружины, влияние даже неболь-
небольшой массы будет существенно при больших частотах. Точно
так же нельзя пренебрегать упругостью массы, которая при
больших частотах будет двигаться не как абсолютно твердое
тело, а будет деформироваться. В электричестве сопротивление
В благодаря скин-эффекту и излучению зависит от частоты *),
сказывается индуктивность подводящих проводов при больших
частотах и т. д.
Более точно можно определить границы приложения теории
только после того, как познакомимся с колебаниями в распреде-
распределенных системах, а пока, рассматривая постоянные параметры,
*) В этом случае Я не следует называть омическим, поэтому иногда
называют его ваттным, ибо Я связано с потерей энергии.

§ 15] АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАКОНОВ 71
надо иметь в виду ограниченность применения такой схемы при
увеличении частоты внешнего воздействия.
Как при собственных колебаниях, так и при вынужденных
весь процесс характеризуют два параметра системы: собственная
частота
1 -./"Т
и декремент
а _ 2яб _ _ пВ
A5.1)
величину которого при небольшом затухании, (Н/2ЬJ <^ 1/ЬС,
можно вычислять по следующей формуле:
Л/ С
ИЛИ V >^>— ( 10.
В теории вынужденных колебаний часто вместо декремента
вводят другую величину, называемую «добротностью» (> колеба-
колебательной системы, которая по определению равна:
тк ты со //| с: о\
Добротность — безразмерная величина, как и декремент, физиче-
физический смысл которой будет выяснен далее. Пока же, подставляя
A5.3) в A5.1), установим связь между добротностью и декрементом:
• A5-4)
1 -| Г Ь ($Ь
При маленьких декрементах системы добротность — величина,
обратная декременту, а именно:
При больших декрементах соотношение между добротностью
и декрементом определяется формулой A5.4). Очевидно, что при
<2 = ~2 декремент равен бесконечности. Это, как мы знаем (§ 4),
имеет место на границе колебательного режима. При^^у со^~
ственные движения в системе, возникающие после толчка, будут
неколебательными, лимитационными.

72 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
1. Амплитуда тока (или скорости)
При сравнении теории с опытом удобно выражать результаты
опыта и теории в безразмерном виде. Поэтому рассмотрим отно-
отношение амплитуды тока при вынужденных колебаниях в контуре
к максимальной амплитуде, предполагая, что амплитуда внешней
э. д. с. остается постоянной, изменяется только ее частота р от
О до оо.
Если обозначим комплексную амплитуду тока / = 10е1(Р, то
из формулы A4.16) определим величину амплитуды колебаний
тока:
'•—г *,' I ¦'• A5'6)
где Шо — амплитуда внешней э. д. с. Легко убедиться, что при
р = = о ток /0 будет максимальным. Когда частота внешней
силы будет равна собственной частоте системы, амплитуда тока
будет максимальна и равна
д
Отношение квадратов амплитуд тока Р9/11М обозначим через г?2.
По формуле A5.6)
Напишем правую часть формулы A5.7) в безразмерных вели-
величинах, обозначив р/ы = уи <оЬ/Н = (?:
-в- A5-8)
Эта формула представляет резонансную кривую для квадратов
амплитуд тока (или скорости) в безразмерном виде. Точно такое
выражение мы получим, например, при помощи A4.13), A4.14) и
A4.5), для отношения квадратов амплитуд колебаний скорости
(или амплитуд кинетической энергии) в механической системе, где
1.. A5.9)
График функции V2 A5.8) для различных значений () дан
на рис. 57. С увеличением <? острота резонансной кривой вблизи

15]
АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАКОНОВ
73
максимума увеличивается. При больших значениях добротности
величина г?2 в области, далекой от резонанса, очень мала и круто
нарастает до единицы вблизи у = 1. Наоборот, резонансная кривая
при маленьких (? становится расплывчатой, амплитуда тода
в значительной области (около у = 1) не изменяется.
Когда график, соответствующий формуле A5.8), получают
на основании экспериментальных данных, то им часто пользуются
для определения добротности системы. Действительно, если для
О (О Р
Й1С. 57.
заданного значения ух найдем из опыта величину р1у то по фор-
формуле A5.8) находим (?. Для определения ух обязательно еще экспе-
экспериментально определить значение со, т. е. частоты, при которой
амплитуда будет максимальной. Практически обычно поступаем
так: строим график г?2 в зависимости от р, находим со и отмечаем
масштаб у, затем определяем величину у1, соответствующую г?| =
= 1/2; тогда из формулы A5.8) получаем:
отсюда
знак выбирается так, что
A5.10)

74
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ. 3
Следовательно, A5.10) представляет простую формулу, по кото-
которой можно определить (), зная величину уг, соответствующую
значению V] = 1/2- Очевидно, при двух значениях ух по обе сто-
стороны от резонанса ^2 будет равно 1/2 (рис. 57). По формуле A5.8)
можно убедиться, что при любом значении у' = 1/у величина V
будет та же самая. Следовательно, если линия V2 = г/2 пересекает
резонансную кривую в двух точках ух и у[ то <у1'у1 = 1. Подста-
Подставляя это в формулу A5.10), по-
"Т* лучаем:
4 У^т^- A5Л1>
6 У1 Г1
Значит, добротность системы
равна обратной величине отрез-
отрезка у1 — у[, который называют
относительной шириной резо-
резонансной кривой. Если значения
VI и V,, соответствующие грани-
^ цам относительной ширины ре-
резонансной кривой, выразим
^ через обычные единицы частоты
Р1 и р[ (рис. 58), разность кото-
которых р[ — рг называют шири-
шириной резонансной кривой, то фор-
формулу для определения добротности A5.11) можно записать так:
A = ^- A5.12)
Добротность системы равна собственной частоте, деленной на
ширину резонансной кривой.
Ширина резонансной кривой есть мера избирательности коле-
колебательного контура (или колебательной системы). Она указывает
область тех частот, для которых энергия вынужденных колебаний
будет больше 50% энергии колебаний при резонансе для той же
амплитуды силы. Ширина резонансной кривой связана формулами
A5.11) и A5.12) с добротностью, поэтому добротность системы
характеризует ее избирательность. При больших значениях <?
можно приближенно считать резонансную кривую рис. 57 сим-
симметричной относительно резонанса для значений V2 от 1 до х/2.
В этом случае при отклонении частоты в любую сторону от резо-
резонансной на половину ширины резонансной кривой энергия вы-
вынужденных колебаний будет равна примерно 50% энергии коле-
колебаний при резонансе.
Например, пусть () — 100; это значит, что если частота внешней
силы отличается от резонансной на величину, меньшую 0,5%,
Рис. 58.

§ 151 АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАКОНОВ 75
то энергия колебаний в системе больше половины энергии при
резонансе. Хорошие электрические контуры обычно имеют доб-
добротность от 30 до 50, если не принимать особенных мер к повыше-
повышению ее. Камертон (и вообще механические системы) имеет гораздо
более высокую добротность () я^> 3000. Это значит, что достаточно
отойти от собственной частоты на величину ~ 0,06%, как энергия
вынужденных, колебаний уменьшится более чем вдвое.
2. Амплитуда смещений
(или амплитуда заряда на конденсаторе)
Амплитуду вынужденных колебаний смещения в механиче-
механической колебательной системе находим из формул A4.10) и A4.12):
¦Хо = Р° ; A5.13)
разделив на А; и вводя обычные обозначения, получим:
где «статическое смещение» а = Р0/к, как было принято ранее в A2.1).
Комплексная амплитуда V колебаний потенциала на конден-
конденсаторе будет связана с комплексной амплитудой тока в контуре
/ следующим равенством: V = Т/1рС, которое следует из V =
= ^Ы1/С. Тогда для амплитуд гармонических колебаний имеет
место следующее равенство:
У. = ^. A5-15)
Вводя обычные обозначения и подставляя /0 из A5.6), получаем
амплитуду потенциала на конденсаторе:
A5.16)
Комплексная амплитуда заряда на конденсаторе # отличается
от амплитуды потенциала V только постоянным множителем С
(емкость конденсатора).
Очевидно, что формулы A5.14) и A5.16) можно переписать
в безразмерном виде:
„ _ ^0 __ ^0 _ _Яо 1 /Л С ЛП\
и — — = -^р- — 'пГгг~ ~ г — * AЭ.1/)

76
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ 3
Формула A5.17) дает в безразмерном виде амплитуду коле-
колебаний смещения и потенциала на конденсаторе. Семейство кри-
кривых и для различных значений () показано на рис. 59.
С увеличением у при постоянном и достаточно большом (?
величина амплитуды резко возрастает вблизи у == 1; это возра-
возрастание амплитуды и называется резонансом.
Все кривые на рис. 59 начинаются при и = 1. Значит, при
небольших частотах амплитуда колебаний смещения равна ста-
425 0%5 0,75 1
Рис. 59.
тическому смещению при любом @, или потенциал на конденса-
конденсаторе равен э. д. с. пр^ любом (). С увеличением у величина и воз-
возрастает особенно резко при больших значениях (); подходя к у = 1,
она достигает максимума при значении -уо, меньшем единицы, и
затем плавно уменьшается до нуля при у->оо. Кривая, соответ-
соответствующая BХ, лежит всюду выше кривой, соответствующей (?2,
еслр1 (>! ^>(?2- Напомним, что () обратно по величине декременту
при больших значениях добротности ((? ^> 1).
Из формулы A5.17) видно, что при резонансе при у = 1 вели-
величина и равна (). Это может служить определением добротности.
Например, добротностью контура называют отношение амплитуды
колебаний на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешней
силы. На этом принципе построены приборы для определения (?.

§ 15] АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАКОНОВ 77
Однако здесь нужно уточнить, что будем называть резонансом.
Или резонанс имеет место тогда, когда частота внешней силы
равна собственной частоте системы без затухания (у = 1), или
резонансным будем считать то значение у0, при котором ампли-
амплитуда колебаний смещения достигает максгшума. В случае резо-
резонансной кривой для амплитуды тока A5.8) максимальное значение
амплитуды тока будет при у — 1, а для амплитуды смещений
это не так. Действительно, дифференцируя знаменатель A5.17),
найдем, что он будет мршимальным при
~2^". A5Л8)
Таким образом, только при больших значениях добротности
у0 ->1. На рис. 59 пунктиром отмечена кривая максимумов резо-
резонансных кривых.
Максимальное значение и получим, подставив A5.18) в A5.17),
ИМакс = г , A5.19)
1/ 1 —^~
Из A5.18) и A5.19) видно, что при больших () максимальное
значение и близко к (^, & у0 близко к единице. Поэтому при боль-
больших значениях добротности () практически нет существенной
разницы между обоими определениями резонансной частоты.
При малых значениях ф различные определения резонансной
частоты дадут различные значения. Поэтому условимся называть
резонансом тот случай, когда у = 1, т. е. резонанс имеет место при
совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы
(без затухания). Но будем помнить, что амплитуда вынужденных
колебаний тока (или скорости) максимальна при резонансе, ам-
амплитуда же вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе
(заряда на конденсаторе, смещения) совсем не будет максимальной
при резонансе. Только при больших () приближенно максимум
амплитуды будет при резонансе.
Как видно из A5.18), с уменьшением добротности () макси-
максимальное значение амплитуды смещения передвигается к у = 0.
При (> = 1/^2^0,7 максимум амплитуды будет при нулевой
частоте, у0 = 0, и значение иМакс= 1- Трение в системе настолько
велико, что амплитуда колебаний смещения при всех частотах
будет меньше статического смещения. Для () <^ 1/|^2 кривые и
пойдут еще ниже (рис. 59).
Напомним, что по A5.3)
^ == 26" •

78
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ. 3
Для собственных колебаний при со = б переходим к неколеба-
неколебательному процессу, к лимитационному движению; поэтому зна-
значение () = 1/2 называют критическим, так же как и соответствую-
соответствующее ему затухание (§ 4).
3. Амплитуда ускорений
(или напряжения на индуктивности)
В практических приложениях теории колебаний резонансная
кривая для амплитуды ускорений встречается реже, однако для
некоторых задач очень важен вид этой кривой.
Комплексная амплитуда ускорения X —— р2Х\ или Хо =
= р2Х0; тогда по A5.14) легко получим нужную формулу для
IV Г
определения резонансной кривой амплитуды ускорений. Ком-
Комплексная амплитуда напряжения на индуктивности Уь = грЫ или
Т^ло — рЫо', воспользовавшись этим соотношением и A5.6), по-
получим резонансную кривую для амплитуды напряжений на ин-
индуктивности. Резонансная кривая для ускорений в безразмерном
виде выражается формулой:
хю =
A5.20)
График ю дан на рис. 60.
Резонансные кривые имеют совсем другой вид: при у = 0
= 0. При у — 1 (резонанс) и> = () *). Амплитуда достигает
*) Так же, как для резонансной кривой смещения.

§ 15] АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНЫХ ЗАКОНОВ 79
максимума при значении у0 ^> 1, затем она падает при увеличе-
увеличении у и стремится к 1 при у ->оо. Из формулы A5.20) легко найти
значение максимума и убедиться, что при больших значениях
добротности (? он будет при у ^ 1. Из элементарных физических
рассуждений очевидно, что при больших частотах амплитуда
колебаний напряжения на индуктивности будет почти равна ам-
амплитуде внешней э. д. с.
В колебательном контуре можно измерить амплитуду тока
или же, если потери в конденсаторе малы, амплитуду напряжения
на конденсаторе, амплитуду же напряжения на индуктивности
практически измерить нельзя, так как омическое сопротивление
катушки нельзя отделить от ее индуктивности; обычно главную
часть омического сопротивления контура представляет сопроти-
сопротивление провода, которым намотана катушка.
В механических системах чаще всего регистрируется ампли-
амплитуда смещений, иногда (например, при электромагнитной записи)—
амплитуда скорости колебаний. Для определения сил инерции,
действующих на части колеблющейся массы, очень важно знать
также и амплитуду ускорения.
4. Фаза вынужденных колебаний
Когда речь идет о фазе, то следует иметь в виду, по край-
крайней мере, два колебания одной частоты, о сдвиге фаз между
которыми только и можно говорить. Когда имеется несколько
гармонических колебаний одной и той же частоты, то фазу одного
колебания можно принять за начальную и все колебания рас-
рассматривать относительно этой начальной фазы. До сих пор мы
считали фазу внешней силы начальной и поэтому полагали ее
равной нулю.
Сдвиг по фазе между колебаниями смещения и силы можно
определить по A4.7). Считая, что сила опережает смещение на
угол ф, и приведя к принятым нами безразмерным величинам
(? и у, этот сдвиг по фазе, согласно A4.12), можно записать так:
A1у8). A5.21)
График зависимости ф от у показан на рис. 61а.
Для () -> оо (отсутствие затухания) при у = 1 происходит ска-
скачок фазы на я. Для больших (? изменение фаз главным образом
происходит вблизи резонанса, вблизи у = 1. При резонансе
у = 1 (для всех (?) <р = я/2 сдвиг по фазе между смещением и
силой — 90°, смещение отстает по фазе на я/2 от силы *). Также
*) Отметим, что можно считать резонансной такую частоту, при которой
сдвиг по фазе между силой и смещением равен 90°.

80
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
отстает по фазе от внешней э. д. с. на ту же самую величину ф ко-
колебание напряжения на конденсаторе (или заряда конденсатора д).
О 0Д50,25 0,5 0,75 1
Рис. 61а.
2у
Сдвиг фаз остальных величин (тока, скорости и т. д.) легко
получить из формулы A5.21) прибавлением или вычитанием я/2
в соответствии со следующи-
следующими формулами для комплекс-
комплексных амплитуд:
Тон
= гр 1 = — Р*Х, A5.22)
или
т емкости
Уь = грЬ I = —р2Ьд. A5.23)
Отсюда следует, что скорость
опережает внешнюю силу на
я/2—ф, ускорение опережает
силу на я — ф. Ток опере-
опережает э. д. с. на я/2 — ф; при
резонансе (у — 1) ток (ско-
(скорость) в фазе с внешней э. д. с.
(силой) (рис. 616). Колебания
цапряжения на индуктивности опережают колебания тока в ка-
Ускорение
Смещение
Рис. 616.

§ 16] РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ 81
тушке на я/2, а напряжение на конденсаторе отстает от колебаний
тока на я/2. Если примем за нуль фазы фазу тока, то фаза э. д. с.
будет ф — ¦?-.
§ 16. Резонансные кривые при постоянной частоте
и переменном параметре системы
Анализ резонансных кривых для амплитуд и фаз вынужден-
вынужденных колебаний сделан нами в предположении, что частота внеш-
внешней силы переменная, а параметры системы остаются неизмен-
неизменными. Между тем в ряде практических приложений рассматри-
рассматривают резонансные кривые, которые получаются при изменении
какого-либо параметра системы (например, жесткости или ем-
емкости) при постоянной частоте внешней силы. Следует иметь в виду,
что резонансные зависимости в этом случае отличаются от рас-
рассмотренных нами: здесь изменяется не только отношение соб-
собственной частоты к частоте внешней силы, но и строение колеба-
колебательной системы, например добротность системы уже не является
постоянной величиной. В этом случае одна резонансная кривая
представляет колебания в непрерывном ряде различных колеба-
колебательных систем.
Отметим существенные особенности этих резонансных зависи-
зависимостей, которые можно получить из анализа основных формул
A5.6) и A5.13). Прежде всего заметим, что резонансные явления
можно наблюдать в системе только при изменении параметров
жесткости (емкости) или массы (индуктивности), которые можно
назвать основными параметрами колебательной системы.
Из формулы A5.13) видно, что при изменении какого-либо
основного параметра резонанс наступит при к ~ тр2, и макси-
максимальная амплитуда колебаний смещения будет равна
Хт = §• A6.1)
Обозначим резонансное значение переменного параметра и зна-
значение постоянного параметра индексом нуль; тогда
ЩР* = *о, A6.2)
что можно толковать как условие резонанса. В данном случае
резонанс наступает при точном совпадении частоты внешней силы
с собственной частотой системы без затухания.
Будем рассматривать резонансные зависимости так- же, как
и выше, в безразмерном виде, и обозначим отношение амплитуды
колебаний смещения к резонансному ее значению через у; тогда

82 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
из A5.13) и A6.1) следует
[ГЛ. 3
A6.3)
Обозначим у- = х при переменной жесткости (или — = х при
переменной массе) и введем добротность системы при резонансе
тогда формула для резонансной кривой квадратов амплитуд сме-
смещения A6.3) в безразмерном виде будет
Резонансные кривые, соответствующие A6.5), показаны на рис. 62.
Отметим, что резонансные кривые в данном случае совершенно
симметричны относительно резонансной точки.
1
О.д
{/,6
0,5
0,1
о о,2 ач о,б
Ш Ц 18 ЕМ Ц 2,4 2,6
Рис. 62.
Хотя добротность системы и переменна вдоль резонансной
кривой, но значение добротности при резонансе (H является
параметром резонансной кривой и определяет ее характер. Ши-
Ширина резонансной кривой здесь также просто связана с доброт-
добротностью (H.
Так как кривая симметрична, то можно назвать половиной
относительной ширины резонансной кривой величину изменения

§ 16] РЕЗОНАНСНЫЕ КРИВЫЕ 83
л АЛ / А Дт\
переменного параметра ах = -г- (или ах = -— , при которой
энергия колебаний (квадрат амплитуды) уменьшится в два раза
против резонансного значения. Тогда из A6.5) следует уравнение
для определения Ах
.1— 1
2 ~ (\х)*B* + 1 '
отсюда
т. е. добротность системы при резонансе равна обратной величине
половины относительной ширины резонансной кривой для квадра-
квадратов амплитуд в отличие от резонансной кривой при переменной
частоте, где добротность обратна относительной ширине резонанс-
резонансной кривой для квадратов амплитуд.
При определении резонансной кривой вида A6.5) частота ко-
колебаний остается постоянной, поэтому отношение амплитуд сме-
смещений будет равно отношению амплитуд скорости и амплитуд
ускорений, т. е.
Из этого следует существенная особенность резонансных зависи-
зависимостей при переменных параметрах системы — форма резонансных
кривых для амплитуд смещения, скорости и ускорения одинакова,
в отличие от того, что мы видели при переменной частоте внеш-
внешней силы.
Для электрического контура, как это можно получить из A5.6),
резонансная кривая, представляющая отношения квадратов ампли-
амплитуд токов, будет
<167>
Если обозначим х = Со/С при переменной емкости и х =
при переменной индуктивности, где значение индекса нуль то же,
что и раньше, то для отношения амплитуд токов в электрическом
контуре
У — /—,
1 ом
так же как и для механической системы имеет место формула A6.5)
и резонансные кривые, показанные на рис. 62. Условие резо-
резонанса теперь запишется так:

84
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
и добротность контура при резонансе
которая таким же образом связана с шириной резонансной кри-
кривой A6.6).
Очевидно, что для амплитуды колебаний заряда на конден-
конденсаторе — будут те же самые резонансные кривые рис. 62, потому
что частота колебаний остается постоянной.
Для амплитуд колебаний потенциала на конденсаторе, рав-
равных -~у при переменной индуктивности и для амплитуд ко-
колебаний напряжения на индуктивности 10рЬ0 — при переменной
Рис. 63.
емкости — форма резонансных кривых будет такая же, как это
следует из формулы A6.5), так как эти амплитуды колебаний
пропорциональны амплитуде колебаний тока. Амплитуды колеба-
колебаний потенциала на конденсаторе при переменной емкости и ампли-
амплитуды напряжений на индуктивности при переменной индуктив-
индуктивности уже не будут пропорциональны амплитудам тока, и поэтому
для них форма резонансной кривой будет иной; ее легко получить
из A5.6); максимум амплитуды здесь будет иметь место не точно
при резонансе, а при большем значении х, вблизи 1 при боль-
большом (H. Практически резонансные кривые для амплитуд напря-
напряжений на индуктивности не встречаются, так как невозможно от-
отделить индуктивность катушки от ее омического сопротивления.
Кривая, показывающая сдвиг по фазе между колебаниями силы
и смещения в зависимости от изменения основного параметра си-
системы, будет иметь несколько иной вид, она будет антисиммет-

§ 17]
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕЗОНАНСА
85
рична относительно резонанса. Уравнение этой кривой можно
получить из формулы A4.12), пользуясь обозначениями A6.2)
и A6.4); в случае изменения жесткости х = г- оно будет иметь
Ал
такой вид:
A6.8)
Зависимость сдвига фаз от х при различных значениях доброт-
добротности (?о показана на рис. 63.
§ 17. Некоторые частные случаи резонанса
(резонанс « токов » и « напряжений »)
Возможны различные способы внешнего воздействия на коле-
колебательную систему. В электротехнике и радиотехнике имеют
существенное значение два случая включения э. д. с, которые
можно назвать, как обычно, последовательным и параллельным
включением э. д. с. в колебательный
контур.
До сих пор мы рассматривали
последовательное включение источ-
источника э. д. с. в контур (рис. 64, а).
Но можно включить источник внеш-
внешней силы параллельно (рис. 64, б).
X
Рис. 64.
Рис. 65.
Полезно сейчас же рассмотреть механические аналоги этих
электрических схем. Аналог первой схемы нам хорошо известен
(рис. 65, а); внешняя сила действует на массу т, укрепленную
на пружине жесткости к, обладающей трением, коэффициент ко-
которого равен к.
Аналог второй схемы показан на рис. 65, б. Внешняя сила Р
действует на массу т через пружину жесткости к; при движении
массы возникает сила трения с коэффициентом /г.

86 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ 3
Пусть х1 и х2 — смещения из положения равновесия массы
и конца пружины, соответственно (рис. 65, б). Тогда уравнение
движения тела массы т можно записать так:
р = к(хъ — хх) = тх1 + ЬЗ]. A7.1)
Обозначим через д2 — количество электричества, прошедшее
ко времени I через сечение провода у источника в направлении,
показанном стрелкой, а ^ — количество электричества, прошед-
прошедшее через сечение провода в катушке (рис. 64, б). Тогда уравнения
напряжений для схемы параллельного включения э. д. с. будут
« = ^(й-?1)=^1+Д?1, A7.2)
если в момент I = О количество электричества на обкладках кон-
конденсатора равно нулю. Легко видеть, что уравнения A7.1) и
A7.2) совершенно одинаковы, поэтому можно рассмотреть любое
из них.
Перепишем A7.1) в комплексных амплитудах
р = к (Х2 _ хг) = ~ХХ (— тр* + гкр).
Исключаем Хг и получаем:
+
По этой формуле определим динамическую жесткость системы
таким образом:
Записывая A7.2) в комплексных амплитудах, исключая дг и заме-
замечая, что комплексная амплитуда тока /2 = 1рд2^ получим комплекс-
комплексное сопротивление контура:
•ту __ Ё = 1
2 В + 1рЬ + 1рС
выражение для X несравненно более сложное, чем при последо-
последовательном включении э. д. с. A4.17).
Для выяснения физического различия между параллельным
и последовательным включением э. д. с. рассмотрим вначале нашу
задачу в отсутствии омического сопротивления (или трения).

§ 17]
НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕЗОНАНСА
87
Положим пока в A7.3) и A7.4) К = О и к = 0. Тогда динамиче-
динамическая жесткость механической системы (рис. 65, б) будет
^ ктр2 = & у2
тр2 ~к у2 — [
= /СХ.
A7.5)
Комплексное сопротивление электрического параллельного кон-
контура также равно
1? грЬ 1 у2 %
1рС у2 —
A7.6)
где, очевидно, х = 2_ безразмерная величина, зависящая
только от отношения частот у = р/а>.
График зависимости безразмерной величины х от у дан на
рис. 66. При у -> 0, при низких частотах, динамическая жесткость
Рис. 66.
(или комплексное сопротивление) равна нулю. Физически это
очевидно: под действием постоянной силы смещение тела с массой
т будет бесконечно большим, или источник с постоянной э.д.с.
дает бесконечно большой ток через цепь с индуктивностью, так
как омическое сопротивление ветви равно нулю. При у —>оо дина-
динамическая жесткость -> к, тело «стоит» на месте и не совершает
колебаний, внешняя сила уравновешивается деформацией пру-
пружины, а комплексное сопротивление контура равно комплексному
сопротивлению емкостной ветви ШрС, сопротивление индуктив-
индуктивной цепи бесконечно.
При у = 1 динамическая жесткость и комплексное сопроти-
сопротивление стремятся к бесконечности. Физически это означает, что
точка х2 «стоит» на месте и не совершает колебаний, масса т

88 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
совершает колебания на пружине с собственной частотой со = р,
и амплитуда и фаза колебаний таковы, что действие внешней силы
уравновешивается силой деформации пружины при колебаниях.
В электрическом случае при у = 1 точно так же происходят
колебания в контуре с частотой со = 1/\/ ЬС. Ток в обеих ветвях
равен и противоположен по фазе, следовательно, ток в общей цепи
д2 = 0, а это значит, что сопротивление контура бесконечно велико.
С помощью графика, показанного на рис. 66, можно найти
зависимость изменения динамической жесткости (или комплекс-
комплексного сопротивления) от частоты внешней силы. Фаза колебаний
определяется знаком х, при р <^ со точка х2 колеблется в про-
тивофазе с силой, при р ^> со — в фазе с силой.
В электрическом контуре ток в общей цепи при р <^ со отстает
по фазе от э. д. с. на я/2, при р ^> со опережает по фазе на я/2.
При р = со происходит скачок фазы на я, как и в случае механи-
механической системы.
Легко видеть из основных уравнений A7.1) и A7.2), что ам-
амплитуды колебаний (х1} х2, д±, д2 и др.) никогда, ни при каких
значениях частоты р не становятся бесконечными. Например,
амплитуда тока через ветвь с индуктивностью будет монотонно
падать с увеличением р, а амплитуда тока через емкостную ветвь,
наоборот, будет возрастать монотонно с увеличением /?. Следова-
Следовательно, этот случай можно назвать резонансом сопротивления
(или резонансом динамической жесткости), потому что ни ток,
ни напряжение не обращаются в бесконечность, а сопротивление
(или жесткость) обращается в бесконечность при у = 1.
Но если задавать внешнее воздействие другим способом,
а именно, если осуществить такое устройство, при котором ам-
амплитуда силы тока во внешней цепи при любой частоте будет
оставаться постоянной, или же если задано смещение точки х2,
то картина процессов в системе будет совсем иная. «Заданы»
колебания тока через контур, приключенный параллельно, «за-
«задано» смещение конца пружины, а как это осуществлено, какие
нужны для этого э. д. с. и силы — это пока не существенно.
В этом случае уравнения будут иметь совсем другой вид.
Действительно, если х2 — а соз р1 (или д2 = Ь соз р1), то уравне-
уравнение A7.1) можно записать так:
тхг + Нхх + &#1 = ка соз р1. A7.7)
Уравнение A7.7) совершенно одинаково с уравнением A4.1)
при действии внешней силы на массу т. Дифференцируя A7.2)
и обозначая дх = /х, а д2 = Ь соз р1, получим:

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ РЕЗОНАНСА
такое же уравнение для тока, как A4.2) для заряда. Теперь ко-
колебания в контуре (или колебания массы т) будут иметь такой же
характер, как и при последовательном включении э. д. с. в кон-
контур. Здесь будет резонанс (при Н = О и к — О можно «получить»
а)
5)
Задано хг
Задана 12
Рис. 67.
бесконечные амплитуды токов, напряжений, смещений и т. д.).
Поэтому и называют этот случай «резонансом токов». При таком
названии имеют в виду не только электрическую цепь (или меха-
механическую систему), а и способ воздействия. Схематически пред-
представлять «резонанс токов»
лучше так, как показано на
рис. 67. Таков же принцип
устройства известного при-
прибора Поля для демонстра-
демонстрации вынужденных колебаний.
Схема прибора показана на
рис. 68: А—спиральная пру-
пружина, один конец которой
соединен с маховиком на оси,
другой же совершает задан-
заданное гармоническое колеба-
колебательное движение.
Для параллельного кон-
контура вынужденные колебания
при включении э. д. с. имеют совсем другую картину, поэтому этот
случай естественно называть резонансом сопротивлений. Модуль
комплексного сопротивления параллельного контура по A7.4) будет
Рис.
A - У2J + к
A7.9)

90
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ
[ГЛ. 3
График зависимости 20 от частоты (или от у) показан на
рис. 69.
Максимум сопротивления будет при у0 <^ 1, приближенно для
больших значений ()
^1^ +
Очевидно, с увеличением (? максимальное сопротивление будет
к
0=5
примерно при у = 1. При увеличении частоты (у —ххэ) сопроти-
сопротивление стремится к нулю. При резонансе (у = 1)
для больших значений () приближенно
A7.10)
VI
И
(вспоминая, что () =
Сопротивление контура при резонансе резко возрастает и про-
пропорционально квадрату добротности. Параллельно включенный
контур при резонансе практически эквивалентен омическому со-
сопротивлению. Формула A7.10) часто применяется при расчетах
в радиотехнике.

18]
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРОИЗОЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ
91
Полезно записать и точную формулу для полного значения
комплексного сопротивления при резонансе (у = 1):
«? —О A7.11)
как это легко получить из A7.4), положив у = 1.
При большом (? мнимой компонентой 1 можно пренебречь,
и поэтому приближенно можно считать сопротивление чисто ватт-
ваттным A7.10).
§ 18. Основы теории виброизолирующих устройств
(амортизация)
Периодические вибрации, например те, которые возникают
вследствие работы машин, вызывают ряд нежелательных послед-
последствий. Электрические машины, турбины и т. д. из-за несбалан-
несбалансированности вращающихся частей становятся источником ви-
вибраций. Моторы внутреннего сгорания из-за наличия возвратно-
поступательных движений некоторых частей и выхлопа газов
являются источником периодических возмущений (сил). Обычно
силы возмущения увеличиваются с ростом числа оборотов машины.
Поэтому задача ослабления вибраций является актуальной тех-
технической задачей. Она решается или спе-
специальным конструированием упругого
фундамента, или устройством упругой под-
подвески работающей машины. Если машина
жестко укреплена, то сила возмущения,
действующая на машину, почти целиком
передается на фундамент и далее — на
прилегающие к нему тела.
Упругое крепление при определенных
условиях будет ослаблять силу возмуще-
возмущения, передаваемую на фундамент.
Схематически упругая подвеска (упру-
(упругий фундамент) представлена на рис. 70. Ма-
Машина и соединенные с ней части фундамента
показаны массой т, фундамент изображен пружиной жесткости к,
обладающей трением с коэффициентом/г. Допустим, что на машину
действует периодическая сила Р = Ро соз р1. Эта сила вызывает
колебания машины. Подсчитаем силу Р', которая будет действо-
действовать на основание фундамента при колебаниях; она состоит из
силы деформации пружины и силы трения.
Обозначим через х вертикальное смещение массы из положения
равновесия; тогда сила
Р' = кх + кх, A8.1)
Рис. 70.

92 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
или в комплексных амплитудах
где X — комплексная амплитуда смещения массы х.
Возмущающая сила Р в комплексном виде будет связана по
A4.10) с амплитудой смещения следующим образом:
р = (— тр2 + к + Игр) X.
A8.2)
В данном случае для нас не важно соотношение фаз между
/ 1/2
г
Рис. 71.
силами Р' и Р, а необходимо только отношение амплитуд этих
сил Р'ц и Ро.
Из A8.1) и A8.2) следует
Обозначим через а отношение амплитуд. Величина а называется
коэффициентом демпфирования. Тогда
а~ Р,- V {к-
тр") + уч-1 |/ ц 2\2 I X.
Зависимость а от колебательных параметров системы
A8.3)
> и у)

§ 18] ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВИБРОИЗОЛИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ 93
дает полный ответ на интересующие нас вопросы. График этой
зависимости дан на рис. 71.
Все кривые (для любого ()) проходят через точки (ОД) и (]/2Д),
следовательно, только при у^>>/2 выгодна амортизирующая
подвеска (а <^ 1). Собственная частота колебаний машины на
упругом фундаменте (или подвеске) должна быть значительно
меньше частоты возмущающих сил: со <^ р1\г2. Чем меньше соб-
собственная частота колебаний машины на упругости амортизирую-
амортизирующего устройства, тем лучше его качество.
Если на машину действует несколько сил с различными ча-
частотами, то надо обеспечить достаточно малое значение а для
силы с меньшей частотой. Для сил более высоких частот аморти-
амортизирующее действие будет еще лучше.
Наличие затухания или увеличение его (уменьшение (?) ухуд-
ухудшает амортизирующее действие подвески, следовательно, следует
по возможности увеличивать (). Однако это практически полезно
делать для стационарных установок, у которых возмущающая сила
состоит только из совокупности гармонических сил:
как это мы полагали в теории. Но, например, для мотора,
работающего на самолете, возмущающие силы состоят не только
из гармонических компонент. Самолет, даже на прямолиней-
прямолинейном курсе, всегда подвержен нерегулярным толчкам, которые
вызывают собственные колебания (не учитываемые этой тео-
теорией).
Собственные колебания машины на упругой подвеске при
большом () долго не будут затухать и поэтому, в свою очередь,
станут источником нежелательных вибраций. При расчете амор-
амортизации в этих случаях идут на некоторое уменьшение (? подвески
даже за счет увеличения а в области высоких частот периодиче-
периодических возмущающих сил.
Действие амортизатора можно представлять себе так: тело
некоторой массы на упругой подвеске колеблется под действием
возмущающей силы с некоторой амплитудой, но подвеска настолько
«мягка» (малая жесткость), что переменная сила деформации
подвески мала. Силы возмущения в значительной части уравно-
уравновешиваются силой инерции массы, как говорят, «масса демпфи-
демпфирует».
Теория амортизации так проста только при линейных силах
упругости и трения и в том случае, если основание фундамента
(или упругой подвески) можно считать, как это мы делали, аб-
абсолютно жесткими. В действительности силы упругости и трения

94 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЕ [ГЛ. 3
часто бывают нелинейными (иногда даже принципиально, а не
в силу ошибок при конструировании) и это значительно услож-
усложняет теорию. Общей теории в этом случае нет и для каждого
частного случая приходится различными путями решать
задачу.
Амортизация приборов и других устройств, для которых не-
нежелательны вибрации, но которые размещаются на таких телах,
как самолет, вагон, корабль, автомобиль и т. п., практически осу-
осуществляется также с помощью упругой подвески с затуханием.
Теорию амортизации приборов (в рамках линейной схемы) разбе-
разберем в следующей главе, в разделе сейсмических приборов.

ГЛАВА 4
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ
§ 19. Основные сведения о регистрирующих приборах
Из большого многообразия различных приборов, показываю-
показывающих значение какой-то определенной физической величины, рас-
рассмотрим здесь принципы устройства только некоторых типов при-
приборов, действующих на основе изложенных выше резонансных
законов и предназначенных для регистрации быстропеременных
во времени величин. Будем называть такие приборы регист-
регистрирующими.
Почти все приборы или, по крайней мере, те, о которых идет
здесь речь, построены на основе определенной закономерной связи
между измеряемой величиной и силой. Например, в магнитоэлек-
магнитоэлектрическом приборе, показывающем силу тока, момент магнитных
сил, действующих на катушку, пропорционален току. А момент
сил измеряется обычно по величине деформации пружины, кото-
которая вызывается этим моментом (принцип динамометра). Поэтому
одним из основных элементов прибора является пружина, которая
иногда называется «восстанавливаю-
«восстанавливающей».
В том же магнитоэлектрическом
приборе момент магнитных сил по-
поворачивает катушку (и стрелку),
пока он не будет равен моменту силы,
действующей на катушку со стороны
«восстанавливающей» пружины.
Простейшая схема регистрирую-
регистрирующего прибора дана на рис. 72.
Р — сила, вызываемая измеряемой величиной у, х — показания
прибора, пропорциональные деформации пружины под действием
силы Р. Тарировка прибора: х =/ (у). Основные характеристики
прибора: 1) диапазон изменения измеряемой величины, 2) чув-
чувствительность ~ дх/ду, 3) точность Ау/у, Ау — величина, которую

96 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ [ГЛ. 4
может отметить прибор. Качество прибора оценивается еще и
постоянством его показаний и т. п. Все это относится как к при-
приборам, показывающим статические величины, так и к регистри-
регистрирующим приборам.
Сейчас нас интересует основное требование к регистрирую-
регистрирующему прибору. Его можно сформулировать так: запись показаний
прибора представляется в виде х({); насколько эта функция
похожа на функцию у (I)? Можно ли записать равенство у (I) =
= ВхA), где В — постоянная величина?
Забегая вперед, следует отметить, что нет таких приборов,
которые были бы предназначены для регистрации любых про-
процессов. Каждый прибор дает искажения, причем эти искажения
можно сделать малыми только для определенного класса процес-
процессов. Поэтому качество прибора можно оценивать по регистрации
процессов такого класса, на который он рассчитан. Здесь — про-
противоречие: мы должны знать процесс, для регистрации (по ней мы
только и узнаем его) которого нам необходимо построить прибор.
Это противоречие решается путем последовательного приближения;
поэтому часто при изучении новых явлений возникают недора-
недоразумения. Для устранения этих недоразумений необходимо точно
знать рамки применимости данного прибора и его ошибки при
регистрации им процессов иного вида. Здесь существенную по-
помощь оказывает знание основ теории регистрирующих приборов.
Разделим все интересующие нас приборы на четыре типа:
1) квазистатические, 2) резонансные, 3) сейсмические и 4) бал-
баллистические.
§ 20. Квазистатические приборы
Квазистатическими приборами мы называем такие приборы,
которые регистрируют переменные величины так же, как и ста-
статические. Идеалом приборов такого рода была бы пружина со
стрелкой без массы. В дей-
действительности, при измерении
переменных величин пружина
и стрелка (и некоторые до-
дополнительные части) обязатель-
обязательно движутся, поэтому нельзя
пренебрегать силами инерции и
трением.
Схема прибора такого рода
показана на рис. 73. Все эле-
элементы схемы считаем линейными. Нелинейность в регистрирую-
регистрирующих приборах вообще крайне нежелательна, но, к сожалению,
иногда приходится с ней мириться.

§ 20] КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 97
Статическая чувствительность *) прибора, построенного по
схеме рис. 73, обратно пропорциональна жесткости пружины
\'дР==~к)' Переменные процессы прибор будет регистрировать,
как статические, только приближенно и только при следующих
условиях:
\тх\^\кх\, |йя|<|Ля|. B0.1)
Очевидно, чем больше эти неравенства, тем меньше будут
ошибки прибора при регистрации переменных сил Р (I). Но вообще
в таком виде пользоваться условием B0.1) невозможно, так как
надо заранее знать весь процесс, который предполагается реги-
регистрировать. Для периодических же процессов, благодаря линей-
линейности, условие B0.1) приобретает определенный вид. Для одной
синусоиды частоты р условие малых искажений B0.1) можно за-
записать в таком виде:
или, употребляя обычные обозначения,
р<© или ?<1, У<<3- B0.2)
Следовательно, если собственная частота прибора много больше
частоты записываемых колебаний и добротность много больше
у = р/со, то синусоидальное колебание будет записано прибли-
приближенно правильно. И периодическое колебание, наивысшая гар-
гармоника которого равна р, также будет записано правильно.
Однако условия B0.2) не всегда можно выполнить. Первое
условие обычно ведет к чрезмерному падению чувствительности
прибора, так как для квазистатических приборов динамическая
и статическая чувствительности одинаковы. Поэтому жела-
желательно сделать более точную оценку границы высших частот,
которые прибор может регистрировать без больших иска-
искажений.
Для процессов, которые можно представлять суммой синусоид,
такую оценку легко сделать. Пусть на прибор действует сила
п=0
*) Чувствительность прибора при измерении постоянных величин.
4 С. П, Стрелков

98 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ [ГЛ 4
Тогда, применяя к каждому члену A5.14) и учитывая собствен-
собственные колебания, показания прибора можно записать так:
А" . X
где
Начальный участок регистрации искажен собственными колеба-
колебаниями. Через некоторое время $т0 = «/б, собственные колебания
уменьшаются в е8 раз. Достаточно взять 5^ 5, и тогда собствен-
собственные колебания будут менее 1% первоначальной величины.
Для точного воспроизведения процесса необходимо, чтобы для
всех частот рп величины ап = A—УпУ + т^* как и величины
Рп = пм^ 2. , были примерно одинаковыми. Так как при у -> О
VII Уп)
а —> 1 и р -> 0, то следует подбирать так () прибора, чтобы при
возможно больших значениях уп величина ап мало отличалась от
единицы, а рп от нуля.
Кривая 1/Уо, представляет уже известную нам зависимость,
показанную на рис. 59. Из кривых для и = 1/[/~<х и ф= агс1§ Р
(рис. 61, а) при различных значениях () видно, что сформулирован-
сформулированные выше требования противоречивы. Для того чтобы а было
ближе к 1, необходимо выбирать небольшое (?, примерно порядка 1.
Но при этом (? (рис. 61, а) возникнут большие искажения по фазе,
так как при ф я^ 1, ф ~ агс1д Р заметно нарастает с увеличе-
увеличением у.
Пример.^ 0,9. Значение у0, при котором можно ожидать
(в области у ^ 1) наибольшего отклонения а от единицы, по фор-
формуле A5.18) равно
У 1 "" 2^а ~ У 1 2 • 0,8 ~ 4 *
Значение У^а при -у0 будет
_6 \2 6 15
1б] "•" 16-0,8 ^16'

20]
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
99
Рис. 74.
Ход 1/]/а при (? = 0,9 показан на рис. 74; на этом графике
видно, что наибольшее искажение по амплитуде до у — 1 до-
достигает 10%. В этом случае казалось бы можно увеличить макси-
максимальное значение рп до собственной частоты прибора. Но макси-
максимальное значение сдвига фаз ф = агс1#р будет достигать 90°,
а это недопустимо, если мы желаем регистрировать процесс
без искажений. Даже при уп = г/о максимальная величина
рп == 20/27. Сдвиг по фа-
фазе, который прибор дает
для высшей гармоники,
будет ^ 35-40э.
В некоторых случаях
можно допустить такие
искажения, но их следует
иметь в виду. Следователь-
Следовательно, прибор, (? которого рав-
равно 0,9, имеет ограниченное
применение даже в области
частот около уПмакс ^ 1/2-
Практически, при кон-
конструировании прибора
приходится идти на ком-
промисс между искажения-
ми по фазе и искажениями
по амплитуде. Вот результаты примерных расчетов. Если выбрать
Уп макс ^ х/2 и допустить небольшие искажения по фазе (не больше
6'), то при максимальных частотах прибор будет давать 25%
искажения по амплитуде; добротность () этого прибора ^ 7. Если
же диапазон регистрируемых частот сократить до уп макс ^ ги
и допустить искажения по фазе в 6°, то искажение по амплитуде
будет составлять я^ 7% ((? прибора ^ 4).
Из этих примерных расчетов и из кривых рис. 59 и 61, а видно,
что для получения хорошего прибора нужно стремиться к умень-
уменьшению диапазона измеряемых частот. Например,при упышс = 0,1
добротность дочти не влияет на амплитуду и немного больше влияет
на фазу.
Изложенные результаты показывают, что (? нужно выбирать
как можно больше. Однако этого делать нельзя по следующим,
практически очень важным соображениям. При большом () в при-
приборе долго не будут затухать собственные колебания, которые
совершенно исказят запись процесса. Поэтому следует выбрать
малое () (близкое к 1).
Практически очень трудно построить механический прибор,
работающий в диапазоне до 10% собственной частоты, если необ-
необходимо записывать без искажений частоты выше 500—1000 гц*
4*

100
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ
[ГЛ. 4
Наиболее совершенными с этой точки зрения являются пьезо-
пьезоэлектрические и емкостные приемники давления. Для пьезоэлек-
пьезоэлектрических приемников легко получить собственную частоту
в диапазоне радиочастот, так что для звукового диапазона (уп макс <^
<^ 1) такие приемники являются в этом смысле вполне совер-
совершенными и очень часто используются в качестве микрофонов.
Но запись колебаний низкой частоты с помощью пьезоэлектриче-
пьезоэлектрических приемников очень затруднительна из-за высоких требований
к изоляции входной цепи усилительной лампы.
Небольшая чувствительность емкостных приемников давления,
имеющих высокую собственную частоту, заставляет идти на умень-
уменьшение их собственной частоты; если прибор
предназначен для регистрации низких частот,
до 100—200 гц, то обычно частота выби-
выбирается я^ 1000 гц.
Самым важным и распространенным прибо-
прибором этого типа является шлейфовый осцилло-
осциллограф. Шлейфовый осциллограф предназначен
для оптической записи колебаний тока. Этот
прибор сконструирован следующим образом:
в магнитном поле натянута на изоляторах
петля из тонкой прочной проволоки, к прово-
проволочкам приклеено небольшое зеркальце А
(рис. 75). При пропускании тока через петлю
одна из проволочек отклоняется вперед, а вто-
вторая — назад, зеркальце поворачивается. Угол
поворота пропорционален силе тока. На зеркальце А падает
световой луч, отклонение которого фиксируется на движущейся
фотобумаге или на экране.
Собственная частота регистрирующего элемента прибора опре-
определяется толщиной нитей, допустимым напряжением материала
нитей, массой и размерами зеркальца. Можно сделать собственную
частоту порядка 10 000 гц. Но чувствительность такого шлейфа
невелика. Поэтому обычно собственные частоты шлейфа лежат
в диапазоне 2000—5000 гц. Для подбора соответствующей вели-
величины затухания колебаний зеркальца петлю с зеркальцем по-
помещают в прозрачное масло, обладающее определенным коэффи-
коэффициентом вязкости.
Если при записи периодического процесса на движущуюся
фотобумагу интересуются только формой кривой, показывающей
протекание процесса, то можно снизить требования к повышению
собственной частоты, о которых было сказано выше. Но при
этом вся кривая будет сдвинута во времени на некоторый отрезок.
Прежде всего отметим еще раз следующее: если сдвиг по фазе для
всех частот будет равен нулю, то не будет искажений при записи
Рис. 75.

§ 20]
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
101
на бумагу, конечно, в случае отсутствия искажений по амплитуде.
Форма записи и движение зеркальца во времени будут в точности
соответствовать действительному процессу.
Если же сдвиг по фазе для всех частот одинаков, то будут
искажения в форме записи процесса на фотобумаге и в движении
,1 гармоника
/Процесс
О
Рис. 76.
зеркальца. Это можно легко понять, если разобрать простой
пример.
Пусть процесс состоит из двух синусоид, из которых одна имеет
частоту в два раза более другой (рис. 76, а).
Допустим, что обе синусоиды сдвинуты по фазе на ф = я/4;
тогда запись и движение зеркальца во времени изобразятся на

ф
2я
т
ф
2я
4
Т
~2
л
•2я
=
-т
Гб7
1
8
102 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ |ТЛ 4
рис. 76, б. Действительно, первая гармоника отстает по времени на
а вторая на
и форма кривой, которую описывает отражение от зеркальца во
времени, будет искажена.
Если же свойства прибора таковы, что в нем происходит сдвиг
по фазе пропорционально частоте фп = сопзЪ /?п,то не будет иска-
искажения в форме кривой. Действительно, запаздывание по времени
каждой составляющей будет одинаково для всех частот
Фп гр фп 2я
На рис. 76, в показана запись того же процесса при условии, что
сдвиг по фазе равен
Т
Фп = в" Рп-
Сдвиг по фазе первой гармоники
_ Т 2я _ л
ф1 ~ 8 Т - 4 '
сдвиг по фазе второй гармоники
ибо р\ = у, а /?2 = -=г. Следовательно, смещение во времени
первой гармоники
второй гармоники
Т* = 2я У = "8 Т*
Смещения будут одинаковы, и форма кривой будет неизменна,
но сдвинута во времени на 1/871. При записи и сравнении различ-
различных процессов, состоящих из гармонических колебаний, это сме-
смещение не имеет никакого значения, если, конечно, все шлейфы
имеют одинаковые со и ().
Уменьшая (), можно среди семейства кривых зависимости ф
от у при различных 0> подобрать такую, которая на некотором,

5 20]
КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ
103
а)
достаточно большом, начальном участке будет близка к прямой
(рис. 61, а).
Для процессов, закон изменения которых во времени не может
быть представлен синусоидами, нельзя дать в общем случае
оценки качества воспроизведения процесса данным прибором.
Но в каждом частном случае, зная примерно характер
изменения величины, можно сделать такую оценку с помощью
простых вычислений B0.1).
Обычно для анализа ка-
качества прибора пользуются
рассмотрением кривой записи
скачкообразного изменения
измеряемой величины.
Допустим, сила *) (рис.
77, а) делает мгновенный ска-
скачок. Каковы будут отклоне-
отклонения х, если перед этим мас-
масса т была в покое (рис. 77, б)?
Вычисление показаний х (I)
в этом случае не предста-
представляет затруднений. На рис.
77 показаны две кривые;
одна — для системы без тре-
трения (при <? ->оо). Эта кривая
отчетливо показывает необхо-
необходимость трения в приборе.
Без трения стрелка прибора
будет совершать колебания
с периодом 2л;/со = 2л\/т/к и первый взмах будет в два раза
больше предельного отклонения Р/к.
Элементарные вычисления показывают, что
х \Ч = х
где, как обычно,
@=1/ —
т
Первое максимальное отклонение прибора наступит через отрезок
времени 1г после скачка силы
я
*1 "~~ 7Г»
Рис. 77.
*) Например, сила тока в шлейфовом осциллографе.

104
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ
[ГЛ. 4
а максимальное превышение над отклонением Р/к в процентах
будет
яб я
Л = 100е т % = 100е %
На границе колебательного режима (при@ = 1/2) т| = 0и^ = оо,
так как о^ ->- 0. Отклонение прибора в этом случае только через
очень большое время достигнет значения Р/к.
Заметим, что при (? = 1 г) я^ 55% и только при (? = 5/8
ц я^ 27%. Так что если нежелательно превышение над предельным
значением Р/к, то трение в приборе практически должно быть
совсем немного меньше критического (соответствующего @ = 0,5).
Но быстрота отклонения прибора, характеризуемая временем
Ьх ——, при этом сильно возрастает. Анализ искажений пока-
заний прибора при толчке измеряемой величины помогает опре-
определить искажения при записи непериодических процессов.
Источник
Вращаю-
Вращающийся
барабан
Рис. 78.
В заключение отметим некоторые, часто встречающиеся ква-
квазистатические приборы.
1) Шлейфовый осциллограф.
2) Оптические и приставные вибрографы (схема которых по-
показана на рис. 78); запись в приставных вибрографах иногда
происходит прямо царапаньем стрелки на движущейся восковой
бумаге.
3) Конденсаторные микрофоны.
4) Индикаторы давления — пьезокварцевые, емкостные и мем-
мембранные.
5) Акселерометры — приборы для измерения ускорений.
Схематически принцип действия акселерометра состоит в сле-
следующем. В приборе имеется масса, закрепленная на пружине,
свободный конец пружины присоединяется жестко к телу, уско-
ускорение которого желают измерить. Деформация пружины показы-
показывает ускорение, которое испытывает тело в направлении дефор-
деформации пружины.

§ 22] ПРИБОРЫ, РАБОТАЮЩИЕ ПО ПРИНЦИПУ СЕЙСМОГРАФА 105
§ 21. Резонансные приборы
Резонансные приборы предназначены для определения ампли-
амплитуды или частоты одного гармонического колебания, входящего
в состав сложного колебания. Примерами приборов такого типа
являются вибрационный гальванометр, волномер и т. п.
Показания вибрационного гальванометра пропорциональны
амплитуде колебаний тока определенной частоты, на которую
настроен прибор. В принципе каждый прибор этого типа пред-
представляется колебательной системой с большим значением (),
с острой резонансной кривой. Прибор совсем не «отвечает» на
колебания других частот, на которые он не настроен.
Чувствительность такого прибора пропорциональна (?. Вибра-
Вибрационный гальванометр устроен примерно так же, как и шлейфо-
вый осциллограф, только собственная частота крутильных коле-
колебаний зеркальца на нитях равна частоте измеряемого тока. При-
Применение приборов такого типа пригодно для установившихся
процессов.
Волномер представляет электрический колебательный контур
с достаточно большим значением (), имеющий конденсатор перемен-
переменной емкости. Обычно угол поворота ручки конденсатора отсчиты-
вается по лимбу; на шкале лимба указана частота, на которую
настроен контур при данном положении ручки. Точность опреде-
определения частоты зависит от ширины резонансной кривой. Так как
половина ширины резонансной кривой Ах= 1/(), то точность опре-
определения частоты волномера тем выше, чем больше добротность
контура.
§ 22. Приборы, работающие по принципу сейсмографа
Для измерения вибраций в железнодорожных вагонах, на
кораблях, на самолетах и т. п. необходимы особые приборы,
которые называют «сейсмическими». Они все построены по тому
же принципу, что и сейсмограф — прибор, регистрирующий ко-
колебания почвы.
В таких случаях требуется измерить колебания точки тела
относительно «неподвижной» системы отсчета, не имея возмож-
возможности «опираться» на нее. Поэтому задача прибора прежде всего
заключается в том, чтобы создать тело, покоящееся относи-
относительно «неподвижной» системы отсчета, а затем уже измерить
колебания какой-либо точки колеблющегося тела относительно
него.
Эта задача принципиально решается «массой, подвешенной
на пружине». Действительно, рассмотрим колебания груза массы

106
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ
[ГЛ. 4
т на пружинке, прикрепленной к вибрирующему вертикально
телу (рис. 79).
Пусть хг — координата точки вибрирующего тела относительно
неподвижной системы отсчета, х2 — координата отклонения массы
т относительно вибрирующего тела. Точка
подвески пружины и шкала, на которой
отмечается х2, совершают движение, как и
точка с координатой х±. Уравнение движе-
движения массы т относительно системы отсчета,
связанной с хг, будет
+
—шхи
B2.1)
где к силам, действующим на массу, прибав-
прибавлена сила инерции — тх1.
Если колебания тела и точки подвески
пружины совершаются по синусоидальному
закону хг = А соз р1, то уравнение движе-
движения B2.1) примет вид
тх% -\- кх% -{- кх% = тАр1 соз р1.
Колебания массы т по формулам A4.4) и A5.14) состоят из соб-
собственных и вынужденных:
соз
а)
Ау2
B2.2)
Собственные колебания затухают через некоторое время после
включения прибора. Амплитуда вынужденных колебаний равна
~ V2J
B2.3)
Отношение амплитуды колебаний к величине А в зависимости
от у было представлено на рис. 60.
При-у ^> 1 амплитуда колебаний Х20 B2.3) будет почти равна А,
и фаза ф близка к я. Если частота колебаний вибрирующего
тела р много больше собственной частоты со = ^к/т, то запись
колебаний х2 будет с точностью до знака равна колебаниям хг.

§ 23] БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 107
Колебания в этом случае можно представить себе так. Конец
пружины, присоединенный к вибрирующему телу, движется
с очень большой частотой, так что груз остается практически не-
неподвижным и представляет собой «неподвижную систему отсчета»,
относительно которой мы и определяем колебания тела, смещения
которого равны хг.
Для приборов сейсмического типа соотношение между соб-
собственной частотой и частотами записываемых колебаний
обратно тому, которое имеет место для квазистатических при-
приборов.
Вопрос о выборе () решается почти так же, как и для квази-
квазистатических приборов. Для понижения границы записываемых
без искажения частот желательно уменьшать (?, как видно по
амплитудной кривой (см. рис. 60), а искажения по фазе умень-
уменьшаются при увеличении (). Если записываемые процессы строго
периодичны, то лучше увеличивать (). Если же на процесс коле-
колебаний накладываются нерегулярные возмущения от толчков,
как это всегда имеет место при записи вибраций, например на
летящем самолете, то необходимо идти на искажение по фазе
в нижней части диапазона записываемых частот и уменьшать ()
до величин ~ 1. В противном случае медленно затухающие соб-
собственные колебания груза т сильно исказят запись вибраций.
Амортизирующая подвеска приборов и других агрегатов
к вибрирующему основанию, как это имеет место, например, на
самолете, обычно конструируется на принципе сейсмографа.
Прибор прикрепляется при помощи упругих прокладок так,
чтобы собственная частота колебаний массы прибора на про-
прокладках была мала по сравнению с частотами вибраций основания.
§ 23. Баллистические приборы
Баллистические приборы предназначены для определения им-
импульса кратковременно действующих сил. Конечно, таким об-
образом можно измерять не только силы, но и величины, законо-
закономерно связанные с импульсом, например, баллистический гальвано-
гальванометр измеряет количество заряда, прошедшего через сечение
проводника.
На систему (рис. 80, а) действует внешняя сила Р, изменение
которой со временем показано на рис. 80, б. Если известно Р (/),
то легко найти х (I). Но во многих случаях нам не известен закон
Р (I), да нам его и не нужно знать, нужно определить только им-
импульс, равный заштрихованной площади рис. 80, б, или

108
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ
[ГЛ. 4
Если бы сила Р действовала на свободную массу т, то
I
импульс был бы равен скорости тела с точностью до некоторого
постоянного коэффициента. Но
в нашей схеме на массу дей-
действуют еще силы пружины и
трения. Однако если время дей-
действия силы х очень мало по
сравнению с собственным пе-
периодом Т, периодом колебаний
массы на пружине, а кроме
того, т так же мало по сравне-
сравнению с «собственным временем»
т0 = 1/6, то можно приближен-
приближенно считать, что в момент т мас-
мас, = - \Р(Н
Рис. 80.
са имеет скорость
и смещение х я^ 0. После этого,
уже в отсутствии внешних сил,
масса та совершает колебания
на пружине, которые и наблю-
наблюдают. Зная параметры системы, по этим колебаниям и опреде-
определяют г?0, а следовательно, и измеряемый импульс.
Величину максимальной ошибки, которую мы делаем, прини-
принимая начальную скорость г;0 пропорциональной импульсу, можно
просто оценить. Пусть в течение вре-
времени т (время удара) действует по-
постоянная сила/7 (рис. 81). Определим
движение массы без учета пружины
и трения, а затем, зная движе-
движение, определим величину неучтен-
неучтенных нами силы пружины и силы
трения.
Действительно, во время действия
силы Р в интервале 0 <^ I <С т скорость
Ох
Рис. 81.
V = Р11ш, смещение х = Р12/2т. Сила пружины при этом движении
^3
B3.1)
следовательно, во время удара сила пружины меньше

§ 23] БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ ПРИБОРЫ 109
Сила трения Ну — ~ Рь = 2ЬР1 — 2Р~У поэтому она меньше
ш х
B3.2)
2Р-;
вспомним, что (^ = 2^ = я ~, следовательно, сила трения меньше
Т т„
, т я
B3.3)
Например, при ^ = 0,01 \\() — 10 мы совершаем ошибку не более
2я2 @,01 J я« 0,002, отбрасывая силу пружины, и не более
2 • 0,01 я/<? я^ 0,006, отбрасывая силу
трения.
Таким образом, ошибка в опре-
определении у0 в этом случае при
х/Т =- 0,01 и <? = 10 на будет пре-
превышать 1%. Необходимо иметь в ви-
виду, что вычисленная таким способом
ошибка будет больше, чем в действи-
действительности.
Величину ь'о обычно определяют
по величине первого отклонения
массы тп от положения равновесия, т. е. по величине В (рис. 82).
По формуле D.11) смещение массы после удара будет равно
Рис. 82.
где
СО2 — б2.
B3.4)
Момент времени 1г, в который масса дойдет до крайнего положе-
положения х = В у будет
где мы учитывали, что по формулам A5.3) и B3.4)
Величина
_6а
= -2-е й1зта,
B3.5)
где а = агсЦ -^,

110 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РЕГИСТРИРУЮЩИХ ПРИБОРОВ [ГЛ 4
Все величины в этой формуле, кроме р0 и В, являются постоян-
постоянными, поэтому все это входит в константу прибора Р, и рабочая
формула имеет простой вид:
^рЯ, B3.6)
0
где по B3.5)
6а
6= (°1 'в*1.
г &т а .
Таким образом, первое отклонение пропорционально импульсу.
Константу Р (или т§) обычно определяют соответствующей гра-
градуировкой прибора, но теоретические формулы необходимы при
выборе и расчете прибора.

ГЛАВА 5
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
При анализе собственных и вынужденных колебаний часто
применяют спектральные методы. Сущность этих методов заклю-
заключается в том, что переменные физические величины заменяются
их спектрами. И законы, связывающие изменения различных
величин, представляются закономерными связями между спект-
спектрами этих же величин.
§ 24. Спектр периодической функции (ряд Фурье)
Любая периодическая функция / (^), представляющая колеба-
колебания силы или другой величины, может быть разложена в тригоно-
тригонометрический ряд Фурье, т. е. представлена суммой гармонических
колебаний с частотами, кратными /? = —-, где Т — период функции.
Допустим, что внешняя сила, действующая на систему, равна
/ (*), тогда
у % ЪпБтпр1, B4.1)
п = 0
где
Т/2
ап = |- ( / (*) С03 пр* М, B^-2)
— $72
Т/2
К = |- ^ / (О 31П пр* &. B4.3)
-Т/2
ао/2 — постоянная составляющая силы или среднее значение
/ (I) за период.
Совокупность величин ап и Ьп — представляет спектр 1A),
а совокупность величин ]/а\ + Ьп — амплитудный спектр 1A).

112 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
В соответствии с принципом суперпозиции вынужденные коле-
колебания смещений в механической системе по A5.14) и A5.21) будут
оо
Ъ. ап СО5 (ПР1 — фп) + Ьп 51П (прг — фп)
2/с "^ ^^
где уп = -^ , фп = агс1^ ^A^ а> и со0 — собственная частота
системы без затухания.
Конечно, такое выражение можно записать и для колебаний
заряда на конденсаторе контура, если / (I) — э. д. с, последо-
последовательно включенная в контур, и к в B4.4), заменить на 1/С, где
С — емкость конденсатора контура.
Для удобства вычислений лучше перейти к записи ряда Фурье
в комплексной форме. Напомним, как делается этот переход.
Подставляя в каждый член ряда B4.1)
соз пр1 == ~ (е{п*>1 + е~гп^)
81П пр1 == ~г
получим:
где
Т/2
п = |- К - Яп) = 5г ^ / @ е""Р( й«- B4-6)
-Т/2
Выражение для коэффициентов сп B4.6) можно получить
непосредственно из B4.5), умножая обе половины равенства
на е~1прг и интегрируя почленно за период Т.
Совокупность величин 12 сп | представляет амплитудный
спектр 1A), а совокупность аргументов сп — фазовый спектр.
Выражение B4.4) для вынужденных колебаний смещения пред-
представится еще проще в комплексной форме, в таком виде:
B4-7)

§ 25] СПЛОШНОЙ СПЕКТР 113
где сп — комплексные коэффициенты ряда Фурье внешней силы
/ (I), а К (тр) = к — тп2р2 + Игпр — динамическая жесткость
системы для частоты пр. При написании формулы B4.7) учи-
учитывались A4.11) и A4.12).
Таким образом, спектр I
вынужденных колебаний I I | I I I I I I I I I I
х (I) можно найти деле- л/ з 5 7 9 77 73 75 77 79
нием каждой комплексной
амплитуды спектра внеш- Рис. 83.
ней силы сп на соответ-
соответствующее ее частоте значе-
значение динамической жестко-
жесткости системы К (тр). Не-
Несколько условно можно
сказать так: спектр вынуж- •
денных колебаний «равен» о 7 3 5* 7—# ' // ' 73 /5 /7 79
спектру внешней силы,
«деленному» на динамиче- Рис. 84.
скую жесткость системы.
Например, если действует сила с амплитудным спектром, по-
показанным на рис. 83, на систему, собственная частота которой
совпадает с частотой четвертой гармоники силы, то спектр вынуж-
вынужденных колебаний х (I) будет иметь вид, показанный на рис. 84.
§ 25. Сплошной спектр
При изучении колебаний, вызываемых в системе любой внеш-
внешней непериодической силой, можно воспользоваться представле-
представлением ее в виде интеграла Фурье. Как мы видели, возможность
разложения периодической функции в ряд Фурье дает простые
способы отыскания вынужденных колебаний под действием любой
периодической силы. Применяя ряд Фурье, мы описывали только
установившиеся вынужденные колебания и совсем не могли в таком
виде представить непериодические силы и так называемые пере-
переходные процессы, или процессы установления.
Все эти процессы имеют сплошной спектр, в отличие от дискрет-
дискретного спектра периодических процессов.
В математике доказывается, что любое ограниченное по вели-
величине воздействие, начавшееся в момент 1г и кончившееся в момент
12, может быть представлено интегралом Фурье в виде совокуп-
совокупности бесконечного числа гармонических колебаний с бесконечно
малыми амплитудами. Точнее, любая функция / (I), удовлетворяю-
удовлетворяющая условию оо
$/«(«) А = 4, B5.1)

114 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
где А — определенное число, может быть представлена так:
B5.2)
Функцию частоты О (ш) называют плотностью комплексного
спектра (спектр Фурье) функции / (г). Комплексная функция
С (ш) вычисляется по формуле
-**йг B5.3)
— оо
и может быть записана так:
С(ш) = СоИе*ф(в)); B5.4)
тогда гармоническая составляющая интеграла B5.2) с частотой о>
примет следующий вид:
— Со (©) йю соз [ю* + ф (©)].
Это гармоническое колебание с амплитудой — С0(<ю) и фазой
ф (со). О0 (со) — функция частоты или плотность амплитудного
спектра, ф (со) — спектр фаз. Важно отметить, что спектр непе-
непериодической функции — сплошной, в отличие от дискретного
(линейчатого) спектра (ряд Фурье).
Теперь поступим обычным путем. Если на механическую си-
систему с одной степенью свободы действует гармоническая сила
2~ С (т)еш о?(о, то в результате она вызовет такие колебания
смещения:
где К (ш) = к — теп2 + Игы — динамическая жесткость системы
для колебаний частоты со.
Согласно принципу суперпозиции колебания смещения х (I)
под действием силы / (I) по B5.2) и B5.5) можно записать так:
Такое представление колебаний будет вполне точным, если до
момента 1г (до включения силы / (I)) система была в покое.
Выражение B5.6) в свою очередь естественно рассматривать
как представление х (/) в виде интеграла Фурье, а функцию

§ 25] СПЛОШНОЙ СПЕКТР 115
— как спектральную плотность колебаний смещения х (I), вызван-
вызванных силой / (I). Формулу B5.7) можно толковать так: спектр
колебаний В (ш) смещения равен спектру внешней силы О (ш),
деленному на динамическую жесткость системы К (ш). Фактически
соотношение между спектрами внешней силы и смещения такое же,
как и между комплексными амплитудами этих величин A4.11),
или же аналогично соотношению между их статическими значе-
значениями.
Последнее утверждение обобщается еще далее: можно пока-
показать, что при любых процессах в линейной системе соотношение
между спектрами различных величин такое же, как между их
комплексными амплитудами при вынужденных гармонических
колебаниях. Колебательные (динамические) свойства системы
представлены ее динамической жесткостью К (ш) или другой
аналогичной характеристикой системы *) (динамической массой,
комплексным сопротивлением электрической цепи и т. п.).
Напомним, что все эти выводы (без особых оговорок) приме-
применяются для таких процессов, о которых известно, что при I —> ± сю
они обращаются в нуль.
Представляя непериодическую силу и колебания спектрами,
мы уже не разделяем колебания на вынужденные и собственные:
в формуле B5.6) х (I) представляет весь неустановившийся (пере-
(переходный) процесс целиком.
Применение спектров, комплексных амплитуд и частотных
характеристик позволяет значительно упростить аппарат анализа
колебаний. Так, например, можно сим-
символически записать обычную нашу за-
задачу в виде блок-схемы, показанной '
на рис. 85. «Вход» / ({) — внешняя сила,
«выход» х (I) — колебания смещения в
системе, которая представлена частот- Рис. 85.
ной характеристикой 1/К (ш). То, что
спектр С (ш) однозначно представляет (или отображает) / [I) и
наоборот, далее будем обозначать следующим образом:
Поэтому рис. 85 следует понимать так: если / (I) -*- С (ко) и
х (I) -ь В (ш), то между спектрами имеет место соотношение
B5.7), или спектр выхода равен спектру входа, умноженному на
частотную характеристику системы. Сложная физическая связь
между величинами х (I) и / (I) представляется простым произведе-
произведением.
*) Все эти характеристики называют частотными характеристиками
системы, поскольку они существенно зависят от частоты.

116 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
К составлению уравнения B5.7) можно подойти несколько иным, более
общим путем, если нам известно дифференциальное уравнение системы.
Предполагаем, что интересующие нас величины являются ограничен-
ограниченными функциями I и их производные по времени обращаются в нуль при
г -> ± оо. В практических задачах эти условия почти всегда соблюдаются.
Все процессы колебаний начинаются в определенный момент и продолжаются
конечное время.
Прежде всего отмегим, что если В (гсо) — спектральная плотность хA),
то произведение шВ (/со) — спектральная плотность производной по вре-
времени от х (I). Умножение спектра на /со превращает его в спектр производной.
оо
Действительно, по определению -т- -^ \ -тг е~~ш1 йь.
—оо
Возьмем по частям интеграл
оо оо
^ах - • / °° с •
аг ' -оо 3
— оо —оо
так как по условию Нт х (I) =0. Следовательно,
I —> + оо
ах
10MA@L-^. B5.8)
Если же все производные до « — 1 включительно также обращаются
в нуль при I -> ± оо, то, очевидно:
(ко)п#(коL-^. B5.9)
Тогда можно истолковать задачу об отыскании колебаний в системе с одной
степенью свободы под действием силы / (I) следующим образом. Соответст-
Соответствующее уравнение
тх + кх + кх = / (I) B5.10)
умножаем почленно на е~~ ™* и интегрируем по I от —оо до ^- оо, в результате
получаем:
[(коJ т + Шк + к] В (ко) = С (ко), B5.11)
или уже известное нам соотношение B5.7) между спектрами В (но) и G (ко),
так как выражение в квадратных скобках есть динамическая жесткость
К (ко).
Переход от B5.10) к B5.11) можно описать так: заменяем величины их
ап
спектральными плотностями, а -р^ через (ко) , и тогда дифференциальное
уравнение задачи превращается в соотношение между спектрами.
§ 26. Сравнение ряда и интеграла Фурье
Для выяснения разницы и сходства между рядом и интегралом
Фурье рассмотрим на одном частном случае переход от ряда
к интегралу, от линейного спектра к сплошному. Проследим
изменения спектра периодически следующих друг за другом оди-
одинаковых импульсов синусоидальных колебаний при увеличении
периода.

26]
СРАВНЕНИЕ РЯДА И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
117
Допустим, что число колебаний в каждом импульсе равно N
и период каждого колебания т. Такая последовательность импуль-
импульсов представляется периодической функцией / (I) с периодом 27*,
показанной на рис. 86, а. Эта функция может быть разложена в
ряд по синусам
/@=
B6.1)
где
ъ„ =
п=1
Т/2
~ 1 81П/^8Н1
(II,
-Т/2
й = -=г— основная частота функции /(/)и р=- частота ко-
колебаний в импульсе.
Н=в -* 37 ^
б;
о
-т+т,-
«чиимг
-Т-^^-Т,
Рис. 86.
Далее будем рассматривать спектры других периодических
функций /х (I), которые имеют интервалы Тх между теми же сину-
синусоидальными импульсами (рис. 86, б). Проследим за изменением
спектра при увеличении интервала 7\ между импульсами. Разло-
Разложение в ряд будет иметь тот же вид B6.1), но
Т/2
2| [
ь —
5И1Р1
B6.2)
1 |
Х—Т/2

118
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 5
гл 2Я у -,
причем ъ2) — гр , гр и 6П будут уменьшаться до нуля с увеличе-
нием 7\ до оо. При Тг -> оо мы будем иметь дело с одним
импульсом продолжительности Т, т. е. с непериодической функ-
функцией /н @ (рис. 86, в).
Допустим, что на рис. 87, а показан амплитудный спектр после-
последовательности импульсов рис. 86, а, а на рис. 87, б — спектр
]1A), при Тл = 37\ Действительно, по формуле B6.2) видно, что
Й2я я
1 = /±гр = о>^-, расстояние между линиями уменьшилось вдвое:
амплитуда на рис. 87, б
вдвое меньше для тех
составляющих, которые
имеют одинаковую частоту
в «старом» и «новом» спект-
спектрах, так как в формуле
III | , B6.2) интеграл для них
_
гт
2"
141
7 3 5 7 9
77
\]
2 6 Ю 14
78 222426 30 34
б]
Рис. 87.
38
будет иметь одно и то же
значение, а множителем
в первом случае (рис. 87, а)
будет \/Т 9 и во втором —
1/2Г. Те составляющие на
рис. 87, б, которых не было
на рис. 87, а, тоже будут
иметь соответствующие
амплитуды. Рассуждая
аналогично, можно вычер-
вычертить спектр при Тг = ЬТ,
при 7\ = 1Т и т. д. Спект-
Спектральные линии будут сгу-
сгущаться в три, четыре,... раза относительно спектра на рис. 87, а,
и величина амплитуд уменьшится в три, четыре, ... и т. д. раза.
В пределе при 7\ -> оо спектральные линии сольются, и величина
амплитуд будет стремиться к нулю.
Поэтому при сравнении спектров импульсов с различными
интервалами удобней было бы сразу вычислить интеграл
Т/2 Т/2
Ъп (Т -\- Ту) = 2§0 \ 81П рг 81П пйуг (И = 2с?0 ^ 81П р( 81П @^ (И, B6.3)
-Т/2 -Т/2
где п&! = со для всех значений йх. Простые вычисления показы-
показывают, что
. соТ
ЗН1-^ рг-" 8111 " ' „ / | Р31П -к~
2
р — со
Р +10
B6.4)

26]
СРАВНЕНИЕ РЯДА И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
119
является функцией со, при вычислении учитывали, что рТ =
= 2я/У. При р = со величина Ьп (Т + Тг) = &0Т. Вид кри-
кривой, представляющей зависимость Ьп (Т + 7\) от со, показан
на рис. 88. Заметим, что при со = р ± 2пт1Т выражение B6.4)
обращается в нуль, где пг — целое число. С помощью кривой
на рис. 88 можно легко вычислить искомые спектры *) рассмотрен-
рассмотренных ранее периодических функций Д (I). Для этого отмечаем на
л/=0
V
оси со точки, соответствующие целому кратному основной частоты
йх = 7 множим ординаты этих точек на величину у
и получаем спектр данной периодической функции Д (I).
Так как кривая Ьп (Т + Тг) явно не зависит от Тг, то она
имеет смысл и при 7\ -> оо, т. е. для непериодической функции,
представляющей один синусоидальный импульс продолжитель-
продолжительности Т. В действительности Ъп (Т + Тг) и представляет с точ-
точностью до множителя спектральную плотность этого импульса.
В этом можно убедиться, непосредственно вычисляя спектральную
плотность С (гсо) одиночного синусоидального импульса по формуле B6.3).
Запишем функцию спектральной плотности для одиночного импульса /н (I)
(рис. 86, в):
Т/2
О (ш) = ё0 \ ып р1е~ ш Л. B6.5)
- Т/2
*) Не только амплитуды гармонических составляющих, но и их I
или я.
азы: О

120 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
С другой стороны, выпишем комплексную амплитуду п-й составляющей
спектра периодической функции /х (I):
<*, Т/2
- С 8трге"Ып1г(И B6.6)
-Т/2
Сравнивая B6.5) и B6.6) видим, что
= сп(Т + Т1) B6.7)
при условии со = п&х, т. е. по спектральной плотности одиночного импульса
синусоидальных колебаний (функции /н (*)) всегда найдем спектр любой
периодической функции /х (г).
Разделяя интеграл B6.6) на действительную и мнимую части, получаем:
сп(Т + Т1) = -1^(Т+Т1). B6.8)
Непосредственным вычислением интеграла B6.5), учитывая соотношение
рТ = 2я7У, можно показать, что
<х>Т
*2 . B6.9)
Это вполне согласуется с B6.4), B6.7) и B6.8).
2
На рис. 88 фактически и вычерчена кривая -~^СA(й), которая
представляет спектральную плотность одиночного импульса, ум-
умноженную на 2/г.
Добавим, что полученные результаты можно применить для
импульса я|) (I) любого вида продолжительности Т. Сначала
найдем его спектральную плотность С (ш) и по ней, пользуясь
формулой B6.7), построим амплитудный спектр 2 \сп\ для каждой
периодической функции % (I), представляющей повторение через
Тг данного импульса *). Действительно, по B6.3)
+ Т/2
С(ш)= ^ Ф(*)е~ыЛ> B6.10)
- Т/2
а по B6.6),для периодической функции /ф1@ с периодом Т-\-Т1 = ТГ,
+ Т/2
п тТт7 I
— Т/2
Иными словами, формула B6.7) справедлива для импульса любой
формы.
*) При этом построении находится и фазовый спектр, ибо агдсп равен
сдвигу фаз п-й гармоники.

26]
СРАВНЕНИЕ РЯДА И ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
121
Например, для П-образного импульса (рис. 89, б) продолжи-
продолжительности Т спектральная плотность
Т/2
B6.12)
-Т/2
она показана на рис. 89, а. На этом же рисунке вертикаль-
вертикальными линиями отложены величины спектральных компонент
периодической функции г|)х (I), показанной на рис. 89, в. Легко
ау
т «
п гтт1 п п ,,
Рис. 89.
убедиться, что в этом случае все Ьп = 0, поэтому амплитуды гар-
гармоник ряда будут:
сп или а0 = ©о» а1 ^ д I
2е0 2 в 0
= -^, а5--^ит. д.
Таким образом, следует еще раз подчеркнуть, что спектральные
линии периодических функций г|?х (I) с увеличением Тг распола-
располагаются все гуще и уменьшаются, но, если так можно выразиться,
форма «обводов» спектра остается неизменной, она задается спект-
спектральной плотностью одного импульса О (ш) ч- "ф (I). Зная С (ш),
легко находить спектральные составляющие ряда любой периоди-
периодической функции г|?х (I).
Теперь можно наглядно показать, как ряд Фурье переходит
в интеграл. Формулу B6.7) лучше переписать так:
B6.13)
при п = 0, 1, 2, 3, ..., где
2л;
С увеличением Тх
оо , очевидно,
> О и Ит
> 0.

122 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
Поэтому ряд Фурье для грх (I) запишем следующим образом:
п = оо п ==• оо
ЪA) = 2 с"е1па>' = ^ 2 Й1С(»пО1)в'»°1'. B6.14)
п = — оо п = — со
Обозначим Йх = Дсо и пЙх = со и перейдем к пределу Тх -> оо:
п — оо
•ф (I) = 1нп г|?! (I) = ^- Нщ ^ ЛсоС (гс
1 "^ ^"^ п = — оо
B6.15)
Конечно, это не строгий вывод формулы интеграла Фурье, но он
очень наглядно показывает трансформацию ряда в интеграл,
подтверждая ранее сказанное.
Укажем на важную общую связь между продолжительностью
импульса Т и «шириной» его спектра. Ширину сплошного спектра,
как и ширину резонансной кривой, определяют условно. Напри-
Например, для спектра прямоугольного импульса (на рис. 89, а) при-
принимают за меру ширины спектра расстояние Асе от максимума до
ближайшего нуля, то же принимают и для спектра синусоидаль-
синусоидального импульса (рис. 88).
И в первом и во втором случае
ДсоГ = 2я. B6.16)
Если взять интервал частот Дсо в герцах, или Дсо = 2яДV, то
формула B6.16) примет простой запоминающийся вид:
ДV71 = 1. B6.17)
Оказывается, что это общее соотношение имеет место для спектров
любых функций: короткие импульсы во времени имеют более
расплывчатые спектры, и наоборот. Принимая во внимание услов-
условное определение ширины спектра, соотношение B6.17) формули-
формулируют так:
ДVГ^1. B6.18)
Эта формула представляет один из основных законов квантовой
механики: соотношение неопределенности, так как колебания и их
спектры имеют первостепенное значение в явлениях, изучаемых
в волновой или квантовой механике.

§ 27] КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ УДАРОМ 123
§ 27. Колебания, вызываемые ударом
Действие удара на колебательную систему при измерении
импульса действующей силы мы рассматривали в § 23. Однако
колебания, вызванные резким ударом по системе, очень удобно
использовать и для отыскания движений, возникающих под дей-
действием любой силы. Об этом скажем далее, а предварительно
уточним понятие «мгновенная» сила или «ударная» сила.
Часто называют импульсом «мгновенно» действующую силу,
«мгновенно» означает, что время действия силы очень мало по
сравнению с характерным для данной задачи интервалом времени.
Поскольку в механике принято для силы / (I) определять ее
импульс как ^ / (|) <$¦, то будем называть кратковременно дей-
— оо
ствующую силу ударной, а интеграл от этой силы за время ее
действия — импульсом. Функ-
цию времени, описывающую по-
ведение ударной силы, будем
называть ударной функцией.
В теории колебаний (и в фи-
физике) обычно употребляют пре-
предельную ударную силу, имеющую
постоянный импульс Р. Пусть ""
ударная сила продолжительно-
продолжительности т имеет вид, показанный Рис. 90.
на рис. 90, и обозначается
Рд (I — г0); до момента I — то/2 сила равна нулю, при
10 — т/2 ^ I ^ 10 + т/2 сила равна Р/т, далее при 1^> 10 + т/2
сила равна нулю. Очевидно, что импульс этой силы
при любом т. Теперь представим себе последовательность функ-
функций Р б (I — 10) при все уменьшающейся величине т. Назовем
предельной ударной силой с импульсом Р, действующей в момент
10, величину
РЬ (I — 10) = ПтРЪA — д, B7.1)
очевидно, что величина силы -> оо, а продолжительность дей-
действия —>- 0. Если время действия силы т достаточно мало по срав-
сравнению с соответствующим задаче интервалом времени, то при
теоретическом анализе ее удобно представлять с помощью функ-
функции б (I — 10).
1
р/т

124 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
Функцию б (I — 10), представляющую предельную ударную
силу единичного импульса в математике, называют «дельта-
функцией». Она определяется так: при I Ф 10
д(* —*о) = О B7.2)
6 (г — *0)Л = 1.
Из этого определения следует
I B7.3)
00
— оо
где / (I) — любая непрерывная в окрестности 10 функция *).
Заметим, что, по определению, д (I — 10) = д A0 — I).
Для теории очень важно, что амплитудный спектр предельной
ударной силы Рд (I — 10) имеет постоянную плотность Р. Дей-
Действительно, по определению спектра Фурье B5.3) и B7.3)
оо
Р С А // / \ />— ш1 /7/ Р/>— ш1л /97 Л^
— оо
Фазовый спектр равен — со^о. Если ударная сила действует в мо-
момент 10 = 0, то фаза всех составляющих спектра равна нулю.
Все компоненты спектра имеют одинаковую амплитуду йыР для
всех частот **).
Поэтому, если на находящуюся в состоянии равновесия си-
систему подействует сила Рд (I — г0), или уравнение движения
будет
т'х + Нх + кх = Рд (I —10), B7.5)
при х A0 — 0) = х A0 — 0) = 0***), то движение после удара,
которое обозначим через Рхх (I— ^0), будет иметь по B7.7)
и B7.4) следующий спектр:
*) Из общего определения дельта-функции видно, что она может быть
представлена пределом последовательности различных функций, одним
частным видом таких функций является б (I — г0).
**) Заметим, что данное изложение недостаточно строгое, нужно дока-
доказать и обратное положение, что спектр с плотностью Ре-^о представляет
функцию Рд (I — г0). Ограничимся только указанием на то, что это доказано.
***) х (г0 — 0) означает х A0 — в), где е > 0 и е -> 0.

27]
КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ УДАРОМ
125
Иными словами, предельная ударная сила единичного импульса
(Р = 1), действующая в момент 10 — О, вызывает движение
хг (I), спектр которого представляется частотной характеристикой
системы ПК (гсо), или обратной величиной динамической жест-
жесткости. Заметим, что плотность амплитудного спектра Рх1 (I — 10)
не зависит от момента удара 10. Только фазовый спектр зависит
от 10. Таким образом, знание динамической жесткости (или частот-
частотной характеристики системы) позволяет без всяких вычислений
определить плотность амплитудного спектра движений, возникаю-
возникающих в системе после удара.
Точно так же в электрическом контуре после действия ударной
э. д. с. Рд (I - 10)
_ц^_ = РЬA_к) B77)
возникнут колебания тока, плотность спектра которых будет:
А A@) = —^ г— B7.о)
^ ' Ъ (ш) ' ч
где Ъ (ш) = К -\-11(йЬ ^) — комплексное сопротивление
контура. И аналогичным путем находится спектральная плот-
плотность для различных величин, колеблющихся после удара.
Рис. 91.
Рис. 92.
Возможны задачи и с ударным током. Например, колебания в кон-
контуре (рис. 91). Ток /06 (I — г0) задан. Спектральная плотность
тока / будет:
гт р— ио'о
где
Движение х± ((—^0), которое возникает после удара предель-
предельной силой с единичным импульсом, иногда называемое «откликом»,

126 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
является также определенной (временной) характеристикой
свойств системы. С помощью «отклика» можно представить резуль-
результат действия любой силы / (I) на систему, если рассматривать
эту силу как последовательность следующих друг за другом ударов.
Пусть в момент /0 действует ударная сила, импульс которой
равен / A0) с110 (рис. 92), очевидно, движение после этого удара
будет:
Л *о)- B7.9)
Следовательно, если в момент ( — 1г, после которого сила
/ (I) начала действовать, система была в состоянии х Aг) и х Aг),
то движение х (I) можно записать по принципу суперпозиции и
B7.9) так:
г
хA) = щA — 11) + ]1Aъ)х1A — 1ъ)A10, B7.10)
и
где х0 (( — 1Л) — собственные колебания, определенные началь-
начальными условиями х Aг) и х Aг).
Для нашего примера линейной системы с трением «отклик»
по формуле D.11) имеет вид:
*(*-*) = ^е'^^'^ппщУ-Ь), B7.11)
где, как обычно, со^ = т~~2> так как скорость после удара
силой единичного импульса равна —. Поэтому колебания под
действием любой силы / (() по B7.10) можно записать так:
хA) = хоA — 11) + —е ~*™ \1(и)е*™ ътщA — 1ъ)й1ъ. B7.12)
Гц ки ^ «у
Эта формула представляет колебания в системе в виде суммы
бесконечного числа бесконечно малых «откликов» (интеграла)
и часто очень удобна для вычислений.
Полезно проследить, каким образом получено выражение
B7.11) для «откликов» хх (I — 10) в нашем примере. Допустим, что
на покоящуюся систему действует ударная сила Рд (I — ^0) (см.
рис. 90). Проинтегрируем уравнение движения за время т
/о+т/2
1 = Р С ЬA — 1о)(И B7.13)
^о —т/2 (о— т/2
и получаем
тпАт (ж) + й^срт + ЛжсрТ = Р, B7.14)

§ 27] КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ УДАРОМ 127
где Ат (х) — приращение скорости за время т, хср и #ср — средние
значения скорости и координаты за это же время. Перейдем
в B7.14) к пределу т -> 0, считая, что #Ср и #ср имеют конечные
значения, и получим:
Д,(а) = -^. B7.15)
Теперь покажем, что смещение х после удара не изменится или
х A0 + 0) = 0. Действительно, замечая, что за время т ускорение
не может быть больше Р/тх, можем записать:
Е- B7Л6)
Переходя в B7.16) к пределу т -> 0, получаем х A0 + 0) = 0.
Следовательно, после удара возникнут собственные колебания,
определяемые начальными условиями хA0 + 0) = 0 и хA0 -\- 0) =
= Р/т. Эти колебания записываем по формуле D.11) и при Р = 1
получаем B7.11).
В качестве примера по формуле B7.12) можно получить выра-
выражение для колебаний при резонансе в системе без затухания при
к = 0. Действительно, пусть / (/) — В 8т сог при I ^ 0; тогда
Х = Х1 + ^
3 ^
где х± — собственные колебания и
/@ = 0 при
Интересно отметить, что, как мы видели в B7.4), спектр дельта-функции
представляется комплексной гармонической функцией частоты
Ъ(* — *о) + е~Шо, B7.17)
так и наоборот,
е*°°' -Ь 2яб (со — со0) B7.18)
плотность спектра комплексной гармонической функции времени ег@°'пред-
ег@°'представляется дельта-функцией частоты со, умноженной на 2л. Действительно,
по формуле B7.3) и определению интеграла Фурье
2яб(со— ®0)ешс1(х). B7.19)
Используя это свойство дельта-функции, выражение для спектров интег-
интеграла и ряда Фурье удобно записывать одной формулой. Например, если

128 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
имеем непериодическую функцию / (I) -Ь С (т) и тригонометрический ряд
^съ,ешк1 у плотность спектра функции
/(о+2 <*«**' <27-20)
к
можно записать так:
С (ш) + 2я ^ скЬ (со — а>к). B7.21)
к
Это единое выражение представляет непрерывный и дискретный спектр,
каждой компоненте дискретного спектра соответствует спектральная плот-
плотность в виде дельта-функции частоты. Рекомендуем убедиться, .что
СО5 (йо1 Ч- Л [б @) — 0H) + б (О) + 0H)]
и
5Н1 (йо1 ~ Ы [б ((О + 0H) — б (@ — 0H)].
§ 28. Преобразование Лапласа
При анализе колебаний методом Фурье мы все колебания
разлагали на гармонические составляющие. Поэтому, представляя
колебания интегралом Фурье, мы не отделяем вынужденных от
собственных, они сливаются в один единый процесс.
Иногда колебания разделяют на установившиеся и переходные,
с другой стороны, их можно разделять на собственные и вынужден-
вынужденные. Обычно при гармоническом воздействии вынужденные коле-
колебания совпадают с установившимися, а переходные процессы
представляют сумму вынужденных и собственных колебаний.
Однако при анализе колебаний в активных системах приходится
рассматривать нарастающие колебания и не только периодические
внешние воздействия. Если воздействия будут иметь форму зату-
затухающих или нарастающих колебаний, то так же можно говорить
о вынужденных колебаниях, но они в этом случае уже не будут
установившимися.
Можно обобщить понятие вынужденных колебаний на более
широкий класс воздействий, это очень удобно сделать методом
Лапласа, который в связи с теорией активных систем (усилителей,
систем автоматического регулирования и т. п.) получил большое
распространение в теории колебаний. При этом методе собствен-
собственные и вынужденные колебания автоматически разделяются во
всех случаях. Мы полагаем, что математические основы метода
известны читателю, поэтому только кратко повторим необходимые
для дальнейшего основы метода, без строгих доказательств.
Преобразование Лапласа применимо для относительно более
широкого класса функций I, а именно функций, тождественно
равных нулю при / <^ 0 и нарастающих вообще по модулю со
временем не быстрее какой-то определенной функции Сеуг, где С

28]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
129
и V — известные постоянные действительные числа, например,
как показано на рис. 93. Это можно записать так:
РA) =
при
при
B8.1)
причем \Р (*)| ^ Сё*.
Очевидно, что ограничения, накладываемые на Р (I), практи-
практически не существенны, функциями вида Р (I) можно представить
все возможные в линейных си-
системах процессы.
Спектром Лапласа или пре-
преобразованием Лапласа данной
функции/1 (I) называют, по опре-
определению,
Ф(Р) =
«-* Л, B8.2)
где р — комплексное число с
условием
*-/
Преобразование B8.2) обозначают кратко так: ф (р) = Ь [Р (I)]
или, так же как для преобразования Фурье,
у(р)-*-РA). B8.3)
Мы будем пользоваться и тем и другим обозначением. В выкладках
можно писать и так:
ф (р) = X/ [/ (I)] или ф (р) -
имея в виду определение B8.1). Обратное преобразование Лапласа,
определение функции Р (I) по заданному спектру, имеет вид
а + г|3
B8.4)
где интеграл берется по прямой, параллельной мнимой оси и имею-
имеющей абсциссу а. Выражение B8.4) записывается кратко так:
или / (I) = Ь~г [ф (р)]. B8.5)
Преобразование Лапласа может быть объяснено некоторым
изменением преобразования Фурье, но мы этим заниматься не
5 С. П. Стрелков

130 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
будем, отсылаем читателя к специальным курсам *). Но простое,
наглядное толкование формулы B8.4) считаем очень полезным:
фактически она представляет разложение любой функции Р (I)
на бесконечную сумму бесконечно малых затухающих (или нара-
нарастающих) колебаний. Действительно, пусть
Ф (р) = и (б, ©) + и>(8, со), B8.6)
причем р = — б + ш, полагая, что затухание б и частота со—
действительные величины, р можно называть комплексной часто-
частотой **). Тогда подынтегральное выражение для интервалов от
со до о + йш и от — о) до — (со + йсо) можно представить так:
[(и + IV) е(~ б + *©)' + (в — IV) е<~ б ~ *»>'] г йсо, B8.7)
ведь на пути интегрирования Ар = м&о, — б = а = сопзЪ,
Ф (Р*) = Ф* (р)> если / (I) — действительная величина.
Теперь интеграл B8.4) после очевидных преобразований можно
переписать так:
оо
— \ (ггсозсо^ — г;з1п со^йсо, B8.8)
иными словами, элементом этого интеграла будет затухающее
(или нарастающее) колебание с показателем а, «амплитудой»
— ]/ц2 + V1 йсо и {<фазойь е (со) = агс!^ —. Заметим, кстати, что
Ф (Р) = Фо (в, со) ^8F'(°), где фо= У и2 + V2. Следует отме-
отметить, что а — до известной степени произвольная величина, на
нее наложено только одно условие а ^ у, а не меньше чем пока-
показатель нарастания у. Этим произволом можно воспользоваться
и вести разложение при подходящем значении а, в частности,
оно может быть равно нулю (а = 0). В этом случае преобразова-
преобразование Лапласа совпадает с преобразованием Фурье. (Только не
следует забывать при сравнении, что имеются в виду преобразо-
преобразование функций, равных нулю при /<^0 и стремящихся соответ-
соответствующим образом к нулю при I -> оо.)
Для приложений важно следующее: если
то
(р B8.9)
*) Например, А. И. Лурье, Операционное исчисление и его прило-
приложения к задачам механики, Гостехиздат, 1951. М. Гарден и Дж. Б а р-
н е с, Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными по-
постоянными, Физматгиз, 1961. Г. Д ё ч, Руководство к практическому при-
применению преобразования Лапласа, Физматгиз, 1958.
**) Мы ради сокращения будем далее вместо комплексной частоты р =
= —6 4* *<° писать «частота».

§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 131
где / (+ 0) представляет Нт / (е) при е ^> 0 или предел функции
/ (I) в нуле «сверху». Доказательство формулы B8.9) получается
интегрированием по частям:
учитывая, что / (I) е~ & при I ->- оо стремится к нулю, так как
Ее (р) = а > у.
Спектр производной равен спектру функции, умноженному
на р минус значение функции при нуле с полюсом. Отличие от
аналогичной формулы для спектра Фурье в том, что спектр произ-
производной явно зависит от начального значения самой функции.
Путем многократного применения формулы B8.9) можно
показать, что
— . . . — р^п-'2) (+ 0) — / (п~1} (+ 0), B8.10)
спектр п-й производной зависит от начальных значений всех
производных / (I) до п — 1 включительно *).
Теперь стандартная задача о колебаниях в простейшей линей-
линейной системе под действием любой силы / (I) при начальных усло-
условиях ж @) и ж @), описываемая уравнением
тх + Нх + кх =
может быть представлена таким соотношением между спектрами:
(тр* +кр + к)у(р) = Ц (р) + (тр + к)х @) + тх @),
где ф (р) = Ь (х) и г|) (р) = Ь (/). Это равенство получается пре-
преобразованием Лапласа обеих сторон основного дифференциаль-
дифференциального уравнения с учетом формулы B8.10) и начальных условий
для х и х. Следовательно, спектр движений в системе можно пред-
представить так:
гп/„ч У(Р) , (тр + к) х @) + тх @)
Ф (Р) - тр*+кР + к + тр*
*) При применении этой формулы естественно предполагается, что / (I)
и все производные п — 1 непрерывны при I >0. Далее, ради сокращения
формул мы будем писать для начальных значений функции и производных
0 в аргументе вместо -|- 0, подразумевая предельное значение при нуле с
плюсом»
5*

132 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ 5
Далее требуется по спектру определить движение в системе
х (I), или произвести обратное преобразование Лапласа. В некото-
некоторых проблемах достаточно ограничиться рассмотрением только
спектра B8.11).
Напомним основы общей теории определения функции х (I)
по ее спектру ф (р). Применяя теорию вычетов для вычисления
интеграла B8.4) можно показать *), что
где сумма берется по всем полюсам функции спектра ф (р). Формула
написана в предположении, что полюс ф (р) в точке р3- имеет
порядок т$.
Если спектр ф (р) имеет полюсы только первого порядка, то
B8.12) примет простой вид:
х @ = 2 [ф (Р) (Р - РД, _ „ Н • B8.13)
з
Это выражение означает, что колебание х (I) состоит из суммы
постоянных (по времени) членов, каждый из которых умножен на
е?$. Физически полюсы спектра ф (р) есть «частоты» колебаний х (I).
Практически часто встречается случай, когда ф (р) может
быть разложена на сумму простых дробей
по B8.13) тогда
Движение х (I) есть сумма «колебаний» с комплексными частотами
Рз и «амплитудами» а^. Иначе, х (I) состоит из суммы членов,
содержащих «колебательные множители»: е&зг соз (со^ + фу),
где р ] = 6] + 1@] при б; = 0 гармонические, при со^ = 0 экспо-
экспоненциальные.
Если спектр ф (р) имеет полюсы более высокого порядка, то
в решении по B8.12) будут? иметь место полиномы по I, умноженные
на в**1. Например, если в точке ри спектр ф (р) имеет полюс третьего
порядка, а остальные полюсы р^ — первого порядка. Тогда
7^ + 7^Г+(^ + га' B8Л4)
*) См., например, И. И. Привалов, Введение в теорию функций
комплексного переменного, Физматгиз, 1960.

§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 133
и в точке ръ вторая производная по р от ф (р) (р — РкKерг будет:
= 2Ь1еРкг +1Ь2еРк( + Р
Следовательно, по формуле B8.12)
* @=Е а^}1 +B61+**'+Ъ^)еРк' • B8-15)
3
Последний член в формуле для х AI соответствующий полюсу
высокого порядка ф (/?), имеет более сложный вид: произведение
«колебательного» множителя еРк на полином от ^, порядок кото-
которого на единицу меньше порядка полюса.
Можно еще и так записать общую формулу, например, для полюса тре-
третьего порядка. Пусть ф (р) (р — рь)* = Б (р); тогда член, соответствующий
этому полюсу, будет иметь вид:
-±- ер"' {в" (Рк) + гну ^ + 1Ю (Рк)},
где
Вернемся к основной задаче. Допустим, что спектр внешней
силы г|) (р) имеет только простые полюсы в точках р$ и /?*; это
означает, что сила
соз
B8
где р) — — б,- + 1®э и щ = а^е{е]. Не следует забывать, что
/ (I) ^ 0 при г <^ 0, нет воздействия до момента 1 = 0. После
1=0 при I ^ 0 внешняя сила / (г) представляет сумму затухаю-
щих или нарастающих (и в частном случае при б^ — 0 незату-
незатухающих) колебаний, гармонический множитель которых имеет
частоту о);.
Таким образом, широкий класс воздействий, состоящих из
суммы «затухающих» колебаний, представляется спектром с про-
простыми полюсами в комплексно-сопряженных точках плоскости р,
абсциссой которых является коэффициент «затухания» (—6^) и
1 ординатой — частота со3. Полюсы, представляющие затухающие

134 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
колебания (б ^> 0), лежат в левой половине плоскости р, пред-
представляющие нарастающие колебания (б <^ 0) — в правой, а чисто
гармонические колебания (б = 0)— на мнимой оси.
Здесь уместно заметить, что полюсы спектра Лапласа, лежащие на мни-
мнимой оси, представляют не строго гармонический процесс, но процесс, который
при I ~^> 0 имеет вид гармонической функции, а при I <с 0 тождественно равен
нулю. Так же нужно подчеркнуть, что прямая, параллельная мнимой оси,
вдоль которой мы суммируем а|? (р) е^йр — спектральные составляющие / (I),
всегда лежит справа от полюсов спектра г|) (/?), справа от точек, представляю-
представляющих комплексные частоты компонент / (I). Поэтому любые затухающие коле-
колебания можно разложить в спектр, составляющими которого будут незату-
незатухающие колебания, таким же образом гармонические колебания можно
разложить в спектр, составляющими которого будут нарастающие колеба-
колебания, но не наоборот, нельзя разложить незатухающие колебания в спектр,
составляющими которого будут затухающие колебания. А затухающие коле-
колебания могут быть разложены в спектр с нарастающими со временем составляю-
составляющими.
Спектр внешней силы имеет такой вид:
ф(р) = У _?*_-, B8.17)
^КИ/ А*Р — Ро у '
3
подставляя его в B8.11), получаем спектр х (I):
<Р № = 2. {р-Р!)(тр* + кр + к) +
з
Полином в знаменателях разложим на множители:
X*) = т[р* — (к + X*) р
Очевидно, что Х + Х*= , АА * = —. Величину К= — б0 + ш0
называют комплексной собственной частотой, 2б0 = — и
Общее решение х (I), или обращение спектра B8.18), будет
иметь по формуле B8.13) такую, на первый взгляд громоздкую,
форму:
е
(X — X*
Первая сумма в х (I) представляет «вынужденные колебания»,
.каждый член этой суммы изменяется со временем по закону е?/>

§ 28] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 135
так же как соответствующий член во внешней силе, только «ампли-
«амплитуда» колебаний равна «амплитуде» внешней силы а^, умножен-
умноженной на соответствующий «резонансный» множитель
к—к' B8*20)
который представляет значение величины А (р) или спектральной
характеристики системы в точке р^.
Следующие члены представляют собственные колебания с ча-
частотами X и X* — собственными комплексными частотами. Если
величина / ~^~— — Ве1®, то второй и третий члены B8.19)
АшА Л/ р$
3
можно записать так:
— Ве~6о( 8ш (со0г + ф), B8.21)
тсо0
амплитуда этих собственных колебаний В зависит и от внешней
силы — эти колебания можно назвать «сопровождающими» соб-
собственными колебаниями, вызванными включением внешней силы
при I = 0.
Остальные четыре члена представляют обычные собственные
колебания, возникающие вследствие того, что при / = 0 наша
система не находилась в состоянии равновесия. Если х @) = 0
и х @) = 0, то эти собственные колебания равны нулю, остаются
только собственные колебания вида B8.21).
Таким образом, можно подвести итог- полюсы спектра коле-
колебаний ф (р) B8.18) являются либо «частотами» внешней силы /?;-,
либо собственными «частотами» X и А,*, и решения, соответствую-
соответствующие первой группе полюсов ф (р) (в точках р7-), представляют
вынужденные колебания, соответствующие второй группе полюсов
(в точках X и А,*) — собственные. Заметим, что термин «устано-
«установившиеся» вместо «вынужденные» здесь уже, очевидно, нецеле-
нецелесообразно применять, ибо движения затухающих или нарастаю-
нарастающих колебаний, соответствующие р^ (при р$ комплексном или
действительном), нельзя назвать установившимися. Применяя
метод Лапласа, мы имеем возможность «автоматически» отделить
вынужденные колебания от собственных.
В том же случае, когда все р$ чисто мнимые, внешняя сила
(при I ^> 0) представляет сумму гармонических колебаний —
представляет установившийся, процесс; тогда вынужденные коле-
колебания [первая сумма в B8.19)] будут установившимися, а весь
процесс приО<^<^-т- будет переходным, где п — некоторое
число. Собственные колебания, затухающие по закону е~6°',
будут иметь заметную величину только при I, близком к нулю;

136 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
так, например, при г = —они уменьшатся в еп раз и при гс^> 1
"о
будут ничтожно малы по сравнению с вынужденными, и далее
весь процесс х (I) можно считать установившимся. Практически
часто достаточно считать п = 3.
з
4 4 4^4 4
Рис. 94.
При указанном разделении собственных и вынужденных
колебаний, возникающих под действием силы вида
/ (/) = а/У + а)е$ = 2 а}0е61 соз (со* + в),
где о,- = #30 ^8 и /?з[ = б + ш, можно несколько обобщить
и уточнить обычное определение резонанса. До сих пор в курсе
шла речь о резонансе только в случае гармонического воздействия,
теперь уже можно говорить о резонансе при силах любого вида —
затухающих и нарастающих. Ради сокращения будем далее условно
называть а#Р$ «силой», помня при этом, что действительная сила
представляется суммой а#Р} + а* ер*1.
Пользуясь обозначениями формул B8.19) и B8.20), вынужден-
вынужденное колебание, вызванное «силой» а^/» можно записать так:
где
А (р) = Ао (б, соN*1®. б>8 B8.22)

281
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
137
Поэтому резонансную зависимость «амплитуды» колебаний дает
величина
Л (б, со)*), B8.23)
которая является функцией двух переменных и ее можно пред-
представить поверхностью над плоскостью б, со, или можно считать,
Рис. У5.
что б параметр, а со — независимое переменное @ ^ со ^ оо),
тогда А0 (б, со) представляется целым семейством кривых, которые
можно назвать «резонансными кривыми», но лучше было бы назы-
называть кривыми резонансных множителей.
На рис. 94 показано несколько таких резонансных кривых
для системы, имеющей собственные частоты X = — б0 + ш0 ц
X* = —б0 — ш0. На рис. 95 схематически изображена поверх-
поверхность ^40 F, со) для этой же системы. Кривая б^, показанная на
рис. 94, совпадает с обычной резонансной кривой смещений
(рис. 59) для системы без затухания, здесь же эта кривая показьх-
вает аависимость амплитуды вынужденных колебдний от частоты
при возбуждении силой, имеющей затухание, равное собственному
затуханию б0. Увеличение амплитуды Ао до бесконечности при
приближении со к соо не представляет колебаний с очень большими
амплитудами при больших значениях I, так как действительное
*) Так как колебания вообще негармонические, то название «амплитуда»
для B8.23) следует понимать условно.

138 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
движение в этом случае имеет отклонение Аое~6<>(, которое со
временем затухает и стремится к нулю при любом Ао. При точном
резонансе (при со = соо) движение системы также будет ограничено
и стремиться к нулю при I —>¦ оо.
Действительно, в этом случае р$ = К и ф (р) B8.18) имеет
два полюса второго порядка в первой сумме и соответствующее
им решение по B8.12) примет такой вид:
(М + Ъх) & + {ЬЬ + Ы)е **', B8.24)
это выражение можно переписать так:
е- бо( (аг + Ъ) 81п (со0г ¦+¦ и)< B8.25)
Естественно, что, какое бы значение ни принимали константы а
и Ъ, выражение B8.25) не будет стремиться к оо при I -> оо,
множитель е~б°' всегда будет достаточно мал.
Кривая резонансного множителя, обозначенная б2 на рис. 94,
соответствует затухающим колебаниям с коэффициентами затуха-
затухания: соо/11 и Зсоо11. Кривые б3 и б4 на рис. 94 представляют резо-
резонансные множители для затухающих и нарастающих вынужденных
колебаний, нарастающие колебания имеют коэффициенты нара-
нарастания 2соо/11 и соо, а затухающие — коэффициенты затуха-
затухания 6соо/11 и 15соо/11, соответственно кривым б3 и б4. На рис. 94
и 95 отмечено положение тех сечений комплексной плоскости р
по оси б, для которых вычислены резонансные кривые б2, б3, б4.
Очевидно, что резонансные кривые одинаковы для сечений, нахо-
находящихся на одинаковых расстояниях от прямой, проходящей через
полюсы Я, Я*. Как можно видеть, все колебательные свойства си-
системы определяет функция А (/?), являющаяся обратной величиной
динамической жесткости системы К (р) A4.12). Поэтому А (р)
-называют спектральной характеристикой системы: полюсы ее —
собственные частоты, модуль — «амплитуды» вынужденных коле-
колебаний.
Заметим, что семейство резонансных кривых (резонансных
множителей), обозначенных на рис. 94, похоже на семейство
обычных резонансных кривых для смещения в системах с различ-
различным затуханием (рис. 59) и одинаковым к/т. Каждое из этих
двух семейств представляет различные сечения поверхности
Ао (б, со), показанной на рис. 95, и физически различные случаи:
в первом показаны резонансные множители по со при различных
затуханиях воздействия для одной системы (б0, со0), во втором —
резонансные кривые по со при гармоническом воздействии на
различные системы, имеющие различное затухание б0 и соо, при
к
условии до + соо = —.

29]
СПЕКТРЫ ЛАПЛАСА НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ ФУНКЦИЙ
139
Все рассмотренные кривые только множителем отличаются от
различных сечений поверхности спектра Лапласа для функции
Действительно,
А (р) = з—г-г—г-т- -\
чг/ тр2 + кр + /с
-\ е
81п
ще к = т («>1 + 61) и 2бот = А (см. далее B9.7)).
§ 29. Спектры Лапласа некоторых важных функций
Сначала отметим одну, практически важную особенность спектров.
Если / @ -^ Ф (р)у т0 спектр / (I — т) «смещенной» на т той же функции равен
ф (р) е~~рт- Определение функции / (I — т) можно пояснить рис. 96.
/а)
/а-г)
I
Рис. 96.
О
Рис. 97.
Ро*
Для вычисления основных спектров, нужных нам в теории колебаний,
желательно знать преобразования следующих функций: Аер°1, А1п и А1пеР(>1,
где А — число.
Спектр АеР
с учетом, что
таким образом,
А
¦Ро
Ае?*1 ч- -
B9.1)
Р — Ро
Спектром экспоненциальной функции еРог является простейшая дробная
функция р, имеющая простой полюс в точке р0.
Спектр Аьп вычисляется интегрированием по частям:
00
, (А1п) = А Г 1пе~ Р' <И = — А —

140 СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ [ГЛ. 5
ИЛИ
B9.2)
Спектр 1п имеет полюс п + 1 порядка в нуле.
Здесь укажем на одну интересную функцию, которая при I > 0 имеет
значение А, а при I <с 0 равна нулю (функцию Хевисайда); обозначим ее
Ли (I) (рис. 97). Можно написать Аи (I) = Нт А1п при I > 0; тогда по пре-
п—0
дыдущей формуле
АиA)Л- — B9.3)
— функция, имеющая простой полюс в нуле, — представляет спектр функции
Хевисайда.
И еще полезно знать спектр А1пеРо*, который также легко получить
интегрированием по частям:
Ь (А1пер°1) ~А\ 1пе{р ~ Ро) 1 й1 =
О
) е * +
Ро—Р
V
ИЛИ
А1пеРо* -* /29 4)
* (Т) — Т) ^^•"^1 * *
При выводе, конечно, считалось, что Ке р > Ке р0.
Представим себе спектры функций, равных нулю при КО и равных
81п соо I и соз щ1 при ^>0. Запишем зт соо^ по формуле Эйлера и, учитывая
B9.1), получим
8111 (йо1 Ч- -тгт- ( : —-
0 21 \р — 1(д0 р + 1
ИЛИ
8Ш0HН 2~11—Г> B9.5)
аналогично
или
^ B9.6)
Спектры з!п <ао{ и соз соо< имеют простые полюсы в точках гш0, —г'ш0.
Спектр затухающих колебаний
е~ ы 81п (оо« = ^- [е<- б + *»о) < _ в- (в + Ь..)«]
будет, очевидно,
1« ] «о
1 Г
2П

§ 29] СПЕКТРЫ ЛАПЛАСА НЕКОТОРЫХ ВАЖНЫХ ФУНКЦИЙ 141
также и для
1 1
(/> + бJ + соЛ •
B9.8)
Эти же формулы пригодны и для нарастающих колебаний — они будут
отличаться только знаком у 6.
Сравнивая формулы для затухающих и гармонических колебаний, мы
видим, что их спектры отличаются друг от друга только сдвигом на 6 парал-
параллельно действительной оси.
Разлагать данную функцию на бесконечную совокупность нарастающих
гармонических или затухающих колебаний можно по любой прямой парал-
параллельной мнимой оси, проходящей справа от полюсов ее спектра или, в край-
крайнем случае, прямой, проходящей через полюс, лежащий правее всех.
В этом случае коэффициент затухания (нарастания) у всех элементар-
элементарных бесконечно малых колебаний один и тот же. Однако теоретически воз-
возможно разложение по любому пути, проходящему справа от полюсов и ухо-
уходящему в 1+юо параллельно мнимой оси. Здесь уже элементарные колебания
будут иметь и различные 6.

ГЛАВА 6
НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА
В РАДИОТЕХНИКЕ
§ 30. Избирательность
Первая задача каждого радиоприемного устройства заклю-
заключается в том, чтобы выделить из совокупности электромагнитных
возмущений, посылаемых в данное место всеми радиостанциями
мира, электромагнитные сигналы только одной определенной
станции, программу которой желают прослушать, записать и т. д.
Свойство выделять сигналы только одной станции и не прини-
принимать сигналов других станций называется избирательностью
радиоприемника. Каждая радиотелефонная станция посылает
электромагнитную волну определенной частоты («несущую»),
I модулированную звуковой
частотой.
Пока предположим, что
9 . | ^ каждая станция излу-
О Р, Р2 Р3 Р„ чает синусоидальную вол-
волну определенной частоты.
Рис- 98- Частота обычных радио-
радиостанций простирается от
сотен кгц до 20—30 Мгц. Пусть все станции работают одновре-
одновременно; тогда в антенне приемника будет сложная совокупность
электромагнитных колебаний различной частоты. Спектр этих
колебаний можно представить так, как показано на рис. 98.
Ток, наводимый сигналом в катушке антенны, можно пред-
представить так:
'@= 2 4гС08(рп/ + е;). C0.1)
71=1
Б ам нужно выделить колебания только одной станции с часто-
частотой рг и не пропустить колебаний остальных в приемник. Для
решения этой задачи пользуются резонансными свойствами элек-

30]
ИЗБИРАТЕЛЬНОСТЬ
143
трического контура. Сигнал подают на электрический контур
(рис. 99), обычно включенный в цепь сетки первой лампы. Тогда
напряжение на конденсаторе контура Ус, как известно по A5, 16),
будет иметь такой вид:
N
2
Шоп
C0.2)
где ёоп — амплитуда э. д. с. частоты рПу наводимой из антенны
в контур, уп = Рп1® и (? — добротность контура. Сдвиг по фазе фп
определится по формуле A5.21).
Но сдвиг по фазе в данной за-
задаче не представляет интереса.
Для того чтобы выделить
сигнал с частотой р{, необхо-
необходимо изменить собственную ча-
частоту контура приемника и сде-
сделать ее равной р{ (как говорят,
«настроить» контур на часто-
частоту рг). Тогда в контуре будут
такие колебания частоты рс
Рис. 99.
Если (^ достаточно велико (() ^> 10), то колебания частоты р{
будут преобладать над остальными колебаниями, которые будут
значительно меньше.
Резонансные свойства электрического колебательного контура
позволяют выделить сигнал определенной станции. Таким обра-
образом, видно, что избирательные свойства контура определяются
добротностью контура. Чем больше добротность, тем больше
избирательность.
Но практически для определения достаточной избирательности
приемника необходимо знать частоты и относительную силу
сигналов ближайших по частоте станций. Ясно, что для выделе-
выделения слабого сигнала некоторой станции, среди близких по частоте
сильных сигналов других станций, нужна значительно большая
добротность контура, чем для выделения сильного сигнала среди
слабых сигналов ближайших (по частоте) станций. Рассмотрен-
Рассмотренные ранее (§ 15) резонансные зависимости дают все необходимые
данные для расчета достаточной добротности контура, если из-
известны силы сигналов и частоты принимаемой и соседних («ме-
(«мешающих») станций.

144 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ [ГЛ. 6
Пример. Работают две станции с частотами
^ = 700 кгц и -^ = 720 кгц,
причем сигнал одной из них в два раза сильнее сигнала другой.
Какое необходимо () приемного контура, чтобы выделить слабую
станцию?
Будем считать, что прием будет удовлетворительным, если
принимаемый сигнал будет в 4 раза сильней сигнала соседней
станции («помехи»). Пусть Ш — сигнал слабой станции, а 2Ш —
сигнал второй.
Расстройка между частотами станций в относительных вели-
величинах Дт = 2/70 = 1/35, амплитуда сигнала в контуре от слабой
станции, на которую настроен приемник:
Уи = Щ
Амплитуда сигнала от второй станции по C0.2) будет
Подставим в эту формулу у = 1 + Ау или у2 я« 1 + 2Ду; тогда
* /
пренебрегая малыми членами под радикалом, получим;
Следовательно,
у 20
ИЛИ
Это очень большое значение (?, такое значение практически
трудно осуществить в обычном контуре с сосредоточенными посто-
постоянными. Прием нужной станции при заданных условиях нельзя
осуществить с помощью одного контура. Поэтому для получения
необходимой избирательности приемника сигнал пропускают
после первого контура еще через один (или два) контур, настро-
настроенный на частоту слабой станции.
Сформулируем теперь условие достаточной избирательности
контура. Напомним, что половина ширины резонансной кривой
$ ртцосительцых единицах равна 1/2^ A5.11).

§ ЗЦ
НЕИСКАЖАЕМОСТЬ
145
Если расстояние по частоте между двумя ближайшими стан-
станциями Ар, а р — частота принимаемой станции, то Ар/р должно
быть больше половины ширины резонансной кривой, или
т>щ- <30-3)
Отсюда добротность контура должна быть больше Л—, или
<?><& C0-4)
есть условие, определяющее нижнюю границу допустимых зна-
значений (? контура, применение которого может обеспечить нужную
избирательность, конечно, предполагая, что сигналы ближайших
по частоте станций примерно одинаковы.
§ 31. Неискажаемость
Рассматривая задачу об избирательности, мы пришли к вы-
выводу: чем больше (? приемного контура, тем лучше. Однако это
не совсем правильно, если необходимо получить неискаженное
воспроизведение в контуре приемника модулированных сигналов,
Рис. 100.
посылаемых радиостанцией. Допустим, что станция посылает
сигнал частоты р, модулированный по амплитуде низкой (звуко-
(звуковой) частотой й (рис. 100). Выражение для сигнала, изобра-
изображенного на рис. 100 можно записать так:
% (/) = §0 A + /с соз Ш) соз р/,
C1.1)
где к — величина коэффициента модуляции, к <^ 1.
Необходимо, чтобы колебания в контуре имели такой же вид,
и сигнал, или, по крайней мере, мало отличались от него.

146 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ [ГЛ. 6
В данном случае на приемный контур действует негармони-
негармоническая э. д. с. (несинусоидальная), а теория резонанса разрабо-
разработана для синусоидальных воздействий, поэтому необходимо сна-
сначала разложить сигнал B6.1) на сумму гармонических колебаний.
Это очень просто сделать, ибо, как следует из простых тригоно-
тригонометрических преобразований:
^ -^-соа(р —О)/. C1.2)
Формула B6.2) показывает, что модулированный по амплитуде
сигнал B6.1) есть сумма трех гармонических колебаний с часто-
частотами р, /? + й и р — й. Следовательно, сигнал имеет сложный
спектр, который показан на рис. 101. Частота р называется «не-
«несущей», а частоты р + & и
р — ^ — «боковыми».
Для неискаженного воспроиз-
I ведения сигнала контуром необ-
необходимо, чтобы спектр колебаний
ъ~ в контуре был подобен спектру
Р Р р*™ сигнала, и начальная фаза отдель-
Рис. 101. ных компонент колебаний не изме-
изменилась. Значит, амплитуда коле-
колебаний каждой гармонической составляющей в контуре должна
быть пропорциональна амплитудам этих же составляющих в сиг-
сигнале и притом не должно возникать заметных дополнительных
сдвигов по фазе в каждой компоненте.
При каких условиях это можно осуществить, принимая во
внимание, что контур настроен на несущую частоту?
Это возможно только тогда, когда ширина резонансной кривой
много больше, чем —. В этом случае все три колебания будут
располагаться по частоте где-то около вершины резонансной
кривой, и амплитуды их будут изменены почти в одинаковое число
раз. В противном случае, если ширина резонансной кривой доста-
достаточно мала, то можно выделить любую из трех компонент модули-
модулированного сигнала, и в контуре будут иметь место почти синусо-
синусоидальные колебания, колебания одной частоты. Контур «выделил»
одну спектральную компоненту и тем самым совершенно исказил
сигнал, передаваемый станцией. Ведь практически нас интересует
в приемнике низкая частота (звуковая), а в данном случае никаких
следов звуковой частоты в приемном контуре не будет.
Следовательно, условие неискажаемости
1 -V. с.Ы /ол о\

§ 31] НЕИСКАЖАЕМОСТЬ 147
или ширина резонансной кривой должна быть больше ширины
спектра сигнала. Это условие можно записать и так:
Условие C1.4) дает верхнюю границу величины (). Таким обра-
образом, чем больше (?, тем лучше избирательность и хуже неиска-
неискажаемость. Практически приходится выбирать компромиссное ре-
решение между двумя противоречивыми требованиями, между
C1.4) и C0.4).
Заметим, что при передаче речи или музыки сигнал радиостан-
радиостанции модулирован не одной частотой Й, поэтому в спектре сигнала
не две боковые частоты, а «боковые полосы» частот спектра, соот-
соответствующие диапазону звуковых частот примерно от 16 гц до
10 кгц.
Все наши рассуждения останутся в силе, если за п примем
наивысшую звуковую частоту. Действительно, если наивысшая
частота передается без больших искажений, то более низкие ча-
частоты будут воспроизводиться контуром еще с меньшими иска-
искажениями.
Условие неискажаемости C1.4) легко выполнить в области
высоких радиочастот, например, в диапазоне коротких волн.
Максимальное значение й для звуковых сигналов — порядка
2я • 104 сек'1; поэтому при 15 Мгц (длина волны 20 м)
Р _ 15-10° _7.0
20 - 2-10* —/ои*
Условию (? <^ 750 легко удовлетворить. Но в телевизионном
приемнике высокого качества необходимо без искажения передать
боковую полосу частот, простирающуюся до 75 кгц от несущей
частоты. Передача такой широкой полосы частот без искажения
возможна только при очень высоких частотах в ультракоротко-
ультракоротковолновом диапазоне радиоволн (менее 10 м).
Требование неискажаемости можно получить и другим, менее
строгим, путем. Модулированный сигнал C1.1), если й<^/? и к<^1,
можно представлять как «почти синусоидальное» колебание
с «переменной амплитудой». Необходимо, чтобы колебания в кон-
контуре приемника изменяли свою «амплитуду» в соответствии
с изменениями «амплитуды» внешнего -сигнала. Такие измене-
изменения возможны тогда, когда «амплитуда» будет изменяться на-
настолько медленно, что в каждый момент процесс в контуре можно
считать почти «установившимся» и колебания в контуре прибли-
приближенно рассматривать как вынужденные колебания. Как известно,
это будет в том случае, если
го<~, C1.5)

148 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ [ГЛ. 6
где т0 = 1/6 — «постоянная времени» приемного контура. Или
время установления колебаний в контуре, имеющее величину
примерно т0, будет значительно меньше периода изменения «ам-
«амплитуды» — 2я/й.
Вспомним по формулам D.8) и A5.3), что
1 _ 2Ь _ 2 угуЬС _ 2<2
Р '
Так как контур полагаем настроенным на частоту р, то
р = со = 1/УЬС. Подставляя выражение т0 в условие неискажае-
неискажаемости C1.5), получим почти ту же формулу, как и ранее C1.4),
<?<*-§-. C1.7)
Отличие в постоянном множителе не существенно для такой фор-
формулы.
§ 32. Прием синусоидальных импульсов
Для отчетливого представления тех искажений, которые воз-
возникают в контуре, разберем еще один пример — прием идеальных
синусоидальных импульсов контуром, настроенным на частоту
колебаний в импульсе.
Рис. 102.
Рассмотрим колебания в контуре под действием «синусоидаль-
«синусоидальных импульсов». Импульсы — идеальные: некоторое время Т
э. д. с, действующая в контуре, представляется в виде отрезка
синусоиды, затем в промежутке Т воздействия нет, э. д. с. равна
нулю, и т. д. (рис. 102).
Заметим, что практически нельзя получить сигнал точно тако-
такого вида, поэтому мы и называем его идеальным.
Прежде всего посмотрим, какие были бы колебания в контуре,
если бы контур был также идеальным, т. е. (? -> оо. Пусть в кон-
контуре, собственная частота которого со = р, нет колебаний, и в не-
некоторый момент действует импульс. Тогда картина колебаний
будет примерно такой, как показано на рис. 103.
За время Т колебания в контуре будут нарастать «линейно»,
затем в период отсутствия внешнего импульса колебания будут

§ 32] ПРИЕМ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОЁ 149
продолжаться с постоянной амплитудой. Далее, с началом следу-
следующего импульса начнется опять «линейное» нарастание. Ясно,
что такой процесс в контуре совершенно не подобен сигналу
(рис. 102), а колебания в контуре совсем не воспроизводят сиг-
сигнала. Контур с небольшим затуханием, близкий к идеальному
контуру, не пригоден для радиоприемника: очень большое 0 кон-
контура ведет к большим искажениям.
Рис. 103.
Теперь рассчитаем колебания в контуре 6 определенным @
при включении импульса сигнала. Определим величину потен-
потенциала на конденсаторе Ус (I), полагая, что внешняя э. д. с.
Ш = #0зт р1, и в начальный момент Ус @) = 0 и Ус @) =0.
Уравнение для потенциала на конденсаторе контура
Если контур «настроен в резонанс», то р2 = \1ЬС и по A4.4.),
A4.7) и A4.8) получаем общее решение
= %& [~ соз р1 + е- * У 1 + ^ сов (оз^ -
или приближенно при большом (?
V, ъ* - #О0 A — е- 60 сов р1. C2.2)
Следовательно, колебания в контуре будут иметь вид, изобра-
изображенный на рис. 104.
После включения сигнала, колебания в контуре будут нара-
нарастать по показательному закону 1 — е~ы, и после I = Т, за время
отсутствия сигнала, колебания затухают по закону е~~ы. Если
постоянная времени контура т0 будет мала по сравнению с про-
продолжительностью импульса Т, т. е.
то колебания контура будут почти точно воспроизводить сигнал,
за исключением начального и конечного участка импульса.

150
ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ
[ГЛ. б
Условие C2.3) — это почти прежнее условие неискажаемости
C1.5), которое было получено из качественных рассуждений.
Только теперь можно дать и количественную оценку искажению.
Например, пусть то^-у-У; тогда амплитуда колебаний в кон-
контуре в конце импульса только на е ^ 0,001 долю будет отли-
отличаться от установившегося значения или к началу следующего
импульса колебания затухнут до 0,1% от амплитуды, которая
имеет место в конце действия импульса. Практически можно
считать, что колебаний в контуре не будет к началу следующего
импульса и под действием следующего импульса повторится та же
Рис. 104.
самая картина. Если же т0 я« Т, то будут большие искажения,
колебания за время отсутствия сигнала не затухнут, и поэтому
решение необходимо повторять для каждого следующего импульса.
Приведем решение этой же задачи спектральным методом.
Ради простоты вычислений положим, что сигнал имеет четное
число N периодов синусоиды; тогда 2Т = -^ 2/У = -5— будет
периодом сигнала и & — П/Т — основной частотой (рис. 86, а).
Сигнал будет периодической функцией времени, которую можно
разложить в ряд Фурье. Ради упрощения выкладок положим, что
сигнал представлен функцией
при
2л +1 т ^
| г 1 ^ 2 1 •
где
Т
2
ть
1, 2,
0, ... \

§ 32] ПРИЕМ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ
а для остальных интервалов времени I
151
Иначе наш сигнал представляется периодической функцией / (I),
разложение которой в ряд мы рассматривали в § 26, стр. 117.
Тогда
/(') = 2 ЬпзтпО/,
C2.4)
где по формуле B6.4), учитывая, что Т = 7\, оо=л-у и
рТ=2лN^ вычисляем
. пл
2 8Ш~2~
п ттдг
2N
— 1
C2.5)
Из этой формулы ясно, что четные гармоники равны нулю, за
исключением случая п = 27У, так как при п четном зш-тг ~ О-
При п = 2N частота гармоники пО, — 27УЙ = 27У —- = р. Это и
ж1-кч
, 1
4
г
л 1
_1
р-зя р-я р р+а р+л?
I I I
1
0 1
гм-з
!
Рис. 105.
есть составляющая ряда Фурье, имеющая частоту р, и амплитуда
этой составляющей равна
Спектр сигнала представлен на рис. 105.
Рассматривая спектр, видим, что никакой контур не может
точно воспроизвести сигнал, искажения обязательны, спектр про-
простирается в широком интервале частот. Однако если (? таково, что

152 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ [ГЛ. 6
ширина резонансной кривой больше 2Й, т. е. по крайней мере
три основные спектральные линии укладываются у вершины
резонансной кривой, то колебания в контуре уже будут воспроиз-
воспроизводить характерные черты сигнала. Опять это приводит к условию
или
<?<4-7Г- C2-6)
На величину добротности контура накладывается ограничение
такого же порядка, как и ранее C1.4) и C1.7). При заданном ()
и р это является ограничением на величину й или на скорость
передачи следующих друг за другом импульсов.
На первый взгляд кажется, что колебания в контуре будут
похожи на колебания, модулированные частотой й, которые
были показаны ранее на рис. 100. Однако это совсем не так, резо-
резонансная кривая имеет «хвосты», простирающиеся по частоте
от 0 до оо; поэтому все спектральные составляющие сигнала,
хотя в ослабленном виде, будут иметь место в контуре. И так как
таких составляющих много, то пренебрегать ими нельзя. Если бы
мы просуммировали все члены C2.4) (а не три!), то получили бы
такую же кривую, которая показана на рис. 104.
Поэтому при точном расчете колебаний в контуре необходимо
каждую составляющую C2.4) умножить на соответствующий
резонансный множителе по B4.4), ввести изменение фазы и взять
сумму всех гармонических составляющих.
§ 33. Частотная модуляция
Кроме амплитудной модуляции, возможна еще фазовая и
частотная модуляции. Сигнал, модулированный по частоте, можно
рассматривать как сигнал, модулированный по фазе. Но эти поня-
понятия можно различать, ибо они характеризуются различными
величинами для одного и того же сигнала.
Сигнал, синусоидально модулированный по фазе, имеет вид:
Ш @ = *в соз (р/ + а вш Ш), C3.1)
фаза изменяется по линейному (р1) и гармоническому закону
(а 31П Ш), а частота этого сигнала изменяется следующим образом:
р -\- аи соз Ш. C3.2),
Действительно, для сигнала Шо соз ф (I) частотой следует назы-
называть д^/81, производную от фазы ф по времени. Частоту сигнала

§ 33] ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ 153
C3.1) модулирована и, как видно из C3.2), глубина модуляции
частоты определяется безразмерным коэффициентом
^<1. C3.3)
Коэффициент а определяет величину модуляции фазы, он изме-
измеряется в радианах и может принимать любые значения.
Интересно отметить, что после первых предложений приме-
применить частотную модуляцию некоторые видели в ней возможность
устранения противоречия между избирательностью и неискажае-
неискажаемостью. Рассуждали примерно так: если взять контур с очень
большим (?, с острой резо-
резонансной кривой (рис. 106) и
настроить его так, чтобы
средняя частота р приходи-
приходилась на крутом спаде резо-
резонансной кривой, то при очень
небольшом изменении часто-
частоты сигнала получатся боль-
большие изменения амплитуды
колебаний в контуре.
Это, конечно, ошибка. ^
Ведь резонансная кривая Рис. 106.
имеет смысл только для уста-
установившихся колебаний. Применять ее для неустановившихся
колебаний приближенно можно тогда, когда частота изменений
сигнала относительно мала, а именно тогда, когда постоянная
времени контура т0 мала по сравнению с периодом модуляции,
или, так же как и при амплитудной модуляции, учитывая C1.6),
можем записать:
Опять, для того чтобы колебания в контуре следовали за изме-
изменением частоты сигнала, приходится брать контур с маленьким (?,
с пологой резонансной кривой, и избирательность контура не мо-
может быть очень высокой.
К такому же выводу можно придти на основе спектрального
анализа сигнала, модулированного по частоте (или по фазе).
Сигнал, модулированный по фазе C3.1), очевидно, можно
записать так:
Ш (/) = &0 соз р1 соз (а 31п й/) — ^0 8*п р{ 8*п (а зт Ш). C3.5)
Его можно разложить на гармонические составляющие. Действи-
Действительно, разложение соз (а зш ф) и зш (а зш ф) в ряд Фурье,

154 ПРИМЕНЕНИЯ ТЕОРИИ РЕЗОНАНСА В РАДИОТЕХНИКЕ
как известно из теории, имеет такой вид:
соз (а 8Ш ф) = /0 (а) + 2/2 (а) соз 2ф + 2/4 (а) соз 4ф + . • •
81п (а зт ф) = 21 х (а) зш ф + 2/3 (а) зт Зф +
[ГЛ. 6
C3.6)
где 1п (а) есть бесселева функция первого рода порядка п. Тогда
% (/) = ё0 [10 (а) соз р/ + 2/2( а) соз р/ соз 2Ш + . ..
«.. — г/^^зшр/зшЙ/- 2/3(а)зтр/зтЗЙ/ —. . . ] ==
= ^0 [/0 (а) соз р/ — 1Х (а) соз (р — й) / +
+ /1(а)соз(р + Й)/ + /2(а)соз(р —2Й)/ +
+ /2 (а) соз (р + 20) / — .. .]. C3.7)
Таким образом, сигнал, модулированный по частоте, содержит
целый ряд боковых частот р ± пЙ, и воспроизведение частотно-
модулированного сигнала — еще
более трудная задача, чем ампли-
а-01 тудно-модулированного. Сиг-
Сигнал, модулированный по часто-
частоте, вообще имеет значительно
более широкий спектр. Но при
малых а далекие компоненты
(большое п) будут очень малы
и искажения их в воспроизве-
воспроизведении мало будут влиять на вид
сигнала.
Спектры сигналов, модули-
модулированных по частоте при раз-
различных значениях а, показаны
на рис. 107.
При маленьких значениях а
можно приближенно, простым
тригонометрическим преобразо-
преобразованием, получить спектраль-
спектральный состав (триплет). Спектр
в этом случае будет похож на
спектр амплитудно-модулиро-
ванного сигнала, но боковые
компоненты будут иметь про-
противоположные фазы, в отличие от спектра модулированного по
амплитуде сигнала ¦
<
Частота
модуляции
рЧ
1
1
1
¦
1
1
1
' 1
I
1
1
Р
|
!
1
1
1
{
щ \
\
| ;
• 1
I 1
1 1
1 1
I |
!
\\ Т 1
Рис.
ос-
\
Максималь-
иие гатят/
107.

§ 33] ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ 155
На рис. 107 видно, что, например, при а = 4 необходима го-
гораздо меньшая добротность контура — по крайней мере в четыре
раза, — чем при амплитудной модуляции. Следовательно, с точки
зрения уменьшения «тесноты в эфире» частотная модуляция значи-
значительно менее выгодна, чем амплитудная. Однако за последнее
время на очень высоких частотах предпочитают частотную моду-
модуляцию. Это делают ради уменьшения влияния посторонних слу-
случайных помех при радиоприеме, которое можно осуществить
в схемах с частотной модуляцией.

«271
ГЛАВА 7
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМАХ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 34. Колебания «нелинейной» пружины
Задача о вынужденных колебаниях в системах, которые содер-
содержат нелинейные элементы, — одна из сложных задач теории коле-
колебаний. В этой главе мы рассмотрим простейшие нелинейные си-
системы, содержащие только один нелинейный элемент. Такие «про-
«простейшие» нелинейные системы имеют
большое практическое значение.
Разберем вначале простой при-
пример. Представим себе пружину, де-
деформация которой не пропорцио-
пропорциональна действующей силе. Пусть
Г характеристика сила — деформация
для данной пружины будет иметь
вид, представленный на рис. 108.
В некотором интервале можно ха-
характеристику, зависимость деформа-
деформации пружины х от действующей силы Р, представить аналити-
аналитически, например, в таком виде:
х = аР + РЯ + УР3. C4.1)
Теперь допустим, что сила Р изменяется со временем по закону
синуса. Каковы будут колебания деформации х?
Пусть Р = Ро 81П р1. Колебания х будут, конечно, периоди-
периодическими, но не будут синусоидальными. Действительно, подстав-
подставляя синусоидальную силу в C4.1), получаем:
Рис 108.
= а^0 81П р1
8111*
+ -4
зтр/ - ф соз2р1 + Ур- зш Зр/. C4.2)

35]
«НЕЛИНЕЙНЫЙ ПРОВОДНИК» И ВЫПРЯМЛЕНИЕ ТОКА
157
„Фильтр*
Колебания совершаются около смещенного положения равно-
равновесия у р^о; колебания состоят из суммы гармонических с часто-
частотами: р, 2р, Зр. В результате действия гармонической силы сме-
сместилось положение равновесия и появились новые частоты 2р,
Зр, которых нет в воздействующей на пружину силе.
Заметим, что если бы каким-либо способом задали синусо-
синусоидальное изменение х, то получили бы несинусоидальную, иска-
искаженную нелинейностью форму изменения
силы Р во времени. Кстати, практически
очень трудно задать синусоидальную силу,
действующую на пружину: задать же
синусоидальное смещение конца пружины
значительно проще, например, от криво-
кривошипа, вращающегося с постоянной ско-
скоростью.
Каким образом можно заметить, что
колебания конца пружины происходят
около смещенного положения равновесия?
Для этого к концу пружины нужно при-
присоединить «фильтр высоких частот». В дан-
данном случае «фильтром» может быть масса
на пружинке, собственная частота колеба-
колебаний которой много меньше р (рис. 109).
На пружину А действует гармоническая
сила, пружина совершает негармонические
колебания х. Груз т на пружине к не
может совершать колебаний высокой частоты р, но передвигается
в другое положение при колебаниях конца пружины А, смеще-
смещение у показывает «постоянную составляющую» этих колебаний.
Принцип устройства этого «указателя смещений» аналогичен
сейсмическому прибору, описанному в § 22.
Рассмотренные механические колебания сравнительно редко
встречаются на практике, но в электронике и радиотехнике довольно
часто приходится иметь дело с аналогичными явлениями (выпрям-
(выпрямление и детектирование), которые имеют очень важное значение.
Рис. 109.
§ 35. «Нелинейный проводник» и выпрямление переменного тока
«Линейным» проводником называют такой проводник, для
которого падение напряжения пропорционально току, идущему
по нему. Сопротивление проводника в этом случае не зависит
от величины тока и напряжения.
«Нелинейным» называется проводник, для которого график
зависимости между напряжением и током представляется непрямой

158
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
C5.1)
а]
линией. Типичным примером проводников такого рода является
электронная лампа, которая обладает односторонней проводи-
проводимостью. Характеристика анодного тока лампы, зависимость
анодного тока лампы /а от напряжения между анодом и катодом,
представлена на рис. 110а. Сопротивление лампы определяют так:
Л а/а *
Это означает, что при достаточно малых изменениях напряжения
(и тока) около некоторого постоянного значения Уа электронная
лампа эквивалентна «линей-
«линейному» проводнику с сопротивле-
сопротивлением /?л. То же самое можно
сказать и о том случае, когда
имеют место большие изме-
изменения анодного напряжения
(и тока), но лежащие в преде-
пределах почти прямолинейной части
у характеристики лампы.
а Сопротивление /?л C5.1) на-
называют дифференциальным со-
сопротивлением нелинейного про-
проводника. Сопротивление элек-
электронной лампы изменяется от
очень больших значений до не-
некоторого конечного значения Ко
в середине подъема характери-
характеристики, рис. 1106.
> Рассмотрим колебания тока
а в диоде, в электронной лампе,
содержащей только два электро-
электрода: катод и анод. Предположим,
что анодное напряжение изменяется по гармоническому закону;
как будет изменяться ток? Определим рабочий участок на харак-
характеристике *): выбираем постоянное напряжение на аноде лампы Уао
и интервал изменения напряжения.
Для удобства расчета колебаний представляют приближенно
зависимость между изменениями тока и напряжения на рабочем
участке в виде полинома некоторой степени. Число членов поли-
полинома, или порядок этого полинома, определяется необходимой
степенью цриближения и видом характеристики на рабочем участке.
V У
Рис. 110.
*) Полагаем, что колебания происходят около некоторого постоянного
значения напряжения (и тока) и не выходят за пределы некоторого участка
напряжения (и тока) вблизи этого значения. Такой участок характеристики
называют рабочим.

35]
«НЕЛИНЕЙНЫЙ ПРОВОДНИК» И ВЫПРЯМЛЕНИЕ ТОКА
159
Положим, что участок характеристики может быть апроксимиро-
ван таким многочленом третьей степени:
/а == /а0 + аУ + Р72 + уУ\ C5.2)
где V — переменная часть анодного напряжения, /ао — ток покоя,
или ток при 7 = 0.
Если задано V = 70 соз р1, или на аноде диода имеется гармо-
гармоническое напряжение кроме постоянного 7а, то ток через лампу
будет несинусоидальным и постоянная составляющая тока изме-
изменится; она будет равна
Т _1_ ДТ/2 /^^ *}"\
•*а0 ~|—о~Р^о> уОЭ.О)
как легко видеть из сравнения формул C5.2) с C4.1) и C4.2).
Кроме колебаний с частотой р, возникнут колебания (гармо-
(гармоники) с частотой 2р и Зр. Величина амплитуд различных гармо-
гармоник зависит от вида характеристики на рабочем участке и ампли-
амплитуды 70.
/.
АЛЛА
Рис. 111.
Односторонняя проводимость диода или нелинейность характе-
характеристики используется в выпрямителе, назначение которого —
превращать переменный ток в постоянный. Если подадим на диод
только переменное напряжение (рис. 111), то в цепи диода через
сопротивление/?цпойдет пульсирующий ток одного направления.

160
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
Для превращения этого пульсирующего тока в постоянный необ-
необходим «фильтр», устраняющий переменную составляющую. Обычно
для этой цели ставят в цепь дроссель, т. е. катушку с достаточно
большой индуктивностью, или параллельно нагрузке конденсатор
Рис. 112.
(рис. 112); тогда на сопротивлении Дн будет почти постоянное
напряжение, так как переменный ток встречает большое со-
сопротивление Ьр в последовательной нагрузке цепи и малое
сопротивление II Ср в параллельной цепи. Для этого необхо-
необходимо, чтобы Ьр ^> IIСр и Яи^>1/Ср *).
§ 36. Расчет диодного выпрямителя с ДС-фильтром
Предположим, что характеристику диода на рабочем участке
можно представить отрезками прямой линии (рис. 113). Такую
нелинейную характеристику можно назвать кусочно-линейной.
Рис. ИЗ.
Рис. 114.
При положительном напряжении на аноде сопротивление лампы
имеет определенную постоянную величину Ло. При отрицатель-
отрицательном напряжении сопротивление диода бесконечно.
Рассчитаем выпрямитель по схеме, показанной на рис. 114.
*) Сопротивление конденсатора переменному току \/Ср много меньше
сопротивления нагрузки /?и.

36]
РАСЧЕТ ДИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С КС-ФИЛЬТРОМ
161
Если условие рСНа ^> 1 соблюдается, то падением переменного
напряжения на нагрузке можно пренебречь, но постоянным напря-
напряжением Ун на нагрузке пренебречь нельзя, его следует учитывать.
Рис. 115.
Допустим, что через сопротивление Ян течет постоянный ток /0,
тогда Ун = /0/?н и напряжение на диоде будет
у^&-Ун = &-10Я^ C6.1)
На аноде лампы будет плюс только в те моменты, когда поло-
положительное Ш больше Ун, осталь-
остальное время диод будет заперт
(рис. 115).
Часть положительного по-
полупериода подводимого на-
напряжения будет «отсечена»,
а поэтому в расчет вводят
«угол отсечки». Определение
«угла отсечки» й видно на Рис. 116.
рис. 116. Угол отсечки Ф оди-
одинаков для напряжения и тока и этим следует воспользоваться.
Действительно,
^оС08# = Ун = /оЛн, C6-2)
это видно из C6.1), затем
=И жй (р/) ^ 4 \(со8рг~со8
C6<3)
так как
Щ уи _ у —
6 С. П. Стрелков
— соз

162 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
Взяв интеграл C6.3), получаем:
/0 = % (81п * — * соз *). C6.4)
Формула C6.4) дает зависимость между углом отсечки Ф и по-
постоянной составляющей тока /0. Сравнивая C6.4) с /0 из C6.2),
находим формулу для определения угла отсечки по параметрам
схемы
^ = 180_О. C6.5)
Расчет идет так: по данным Яо и Яп определяем Ф, а затем /0
и Ун. Для небольших углов отсечки Ф можно пользоваться простой
приближенной формулой. Полагая в C6.5)
з " ' •'•'
после очевидных преобразований получим формулу
C6.6)
которой обычно и пользуются в радиотехнических расчетах.
§ 37. Детектирование
Детектированием в радиотехнике называется процесс полу-
получения колебаний низкой (звуковой) частоты из модулированного
сигнала высокой частоты.
Как мы видели ранее (§ 31), модулированный по амплитуде
сигнал высокой частоты представляет совокупность трех высоких
частот р, р -\- &, р—Й, где р — «несущая» высокая частота, Й —
звуковая частота. В сигнале нет колебаний звуковой частоты й;
чтобы получить их, необходимо детектирование, которое представ-
представляет собой трансформацию частот сигнала. Такую трансформацию
можно осуществить только с помощью нелинейного проводника.
Вначале посмотрим, что произойдет с сигналом, если пропустим
его через диод; характеристику диода для простоты анализа
будем считать «кусочно-линейной» (рис. 117).
Через диод пройдет пульсирующий ток. Если одновременно
с диодом включен фильтрЯС, то при условиях/?Ср ^> 1 пЯСп ^1
через сопротивление Я пройдет ток /0, который совершает колеба-
колебания с частотой И. Действительно, при условии ЯСп <; 1 «сред-
«средняя» составляющая импульсов ведет себя как «постоянная» со-
составляющая в случае выпрямителя, так как сопротивление кон-

§ 37]
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ
163
денсатора 1/Сп для колебаний с частотой О больше сопротивле-
сопротивления Я (или имеет тот же порядок). Ток в цепи диода представлен
Рис. 117
схематически на рис. 118; кроме колебаний звуковой частоты и
колебаний высокой «несущей» частоты р, будут присутствовать и
гармонические составляющие с частотами 2р, Зр и т. д.
Постоянная составляющая
а колебания частоты Я
+¦
Коледаная частоты р
Коледания частоты 2р
Колебания высшая частот
Рис. 118.
Высокие частоты не дадут заметных напряжений на конден-
конденсаторе и, следовательно, на/?. Колебания «среднего» напряжения
на К вызовут изменение угла отсечки и, следовательно, умень-
6*

164
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
шение амплитуды тока звуковой частоты. Но если /?<^/?0, то
этим изменением можно пренебречь и считать, что амплитуда тока
пропорциональна глубине модуляции. В этом приближении до-
допустимо считать, что «кусочно-линейный» детектор воспроизводит
без искажений колебания звуковой частоты, которой модулиро-
модулировали сигнал на радиопередаточной станции.
Значительно большие искажения получаются, если прихо-
приходится пользоваться «квадратичным» детектором или нелинейным
проводником, у которого зависимость между током и напряжением
выражается на рабочем участке квадратичным законом. Заметим,
что один и тот же диод можем рассматривать и как «квадратич-
«квадратичный» и как «кусочно-линейный» детектор, в зависимости от рас-
расположения и величины рабочего
участка или величины поступающего
сигнала (рис. 119).
Например, на участке А (рис. 119)
данный диод имеет характеристику
примерно такого вида:
= /0
C7.1)
Рис. 119.
Его можно рассматривать как «квад-
«квадратичный» детектор, а при работе
на участке В его можно считать
«кусочно-линейным» детектором.
Если напряжение, подаваемое на
квадратичный детектор C7.1), будет
иметь вид модулированного по амплитуде сигнала, как предста-
представлено формулой C1.2) и показано на рис. 100, то колебания тока
будут сложными. Подставив C1.2) вместо V в C7.1), получим
колебания тока /. Линейный член характеристики аУ с точ-
точностью до множителя воспроизведет напряжение V. Квад-
Квадб
ратичный же член
стотами:
2р,
р р д
(ЗУ2 даст колебания со следующими ча-
ча, ЙиО. C7.2)
Эти частоты получаются из квадратов каждого члена, входящего
в V, и из попарных произведений тех же членов, дающих суммы
и разности частот.
Расчет показывает, что сравнительно простой спектр сигнала
(рис. 120, а) дает сложный спектр колебаний тока (рис. 120, б).
Из сложного спектра «фильтр» отсеивает все частоты, за исклю-
исключением низкой частоты й. Если V = Шо A + к соз 0.1) соз р1у
то после фильтрации должны остаться колебания частоты й с ам-
амплитудой Р§&

37]
ДЕТЕКТИР ОВАНИВ
165
Трудно устранить фильтром «помеху» — колебания с частотой 2Й
и амплитудой -г §<&1№. Но при небольшом значении коэффи-
коэффициента глубины модуляции к амплитуда «помехи» будет незна-
незначительна и ею можно пренебречь.
Таким образом, пропуская сигнал через нелинейный провод-
проводник при детектировании, трансформируют («искажают») прихо-
приходящий сигнал так, чтобы среди составляющих колебаний имело
6)
1*
¦ 1 I I ¦
о я гя р-я р р+я гр-я 2$+я
Рис. 120.
место колебание звуковой частоты, той частоты, которой был
модулирован сигнал.
Отметим, что линейные проводники (или система линейных
проводников, включающих емкость, индуктивность, сопротивле-
сопротивление) могут изменить амплитуду и фагу колебаний различных
частот, но не могут изменить частоты.
Нелинейным проводником можно воспользоваться для полу-
получения удвоенной, утроенной и т. д. частоты. Например, такие
Стадильнь/й
генератор.
Часто/пар
Нелинейный
проводник
(кваЗраяшчньгк
детектор)
Фильтр
Выделяет
гармонику
Усилитель
Колебания
частоты
Рис. 121.
умножители частоты применяются в генераторах высокой частоты
для получения более стабильных по частоте колебаний, так как
для низких частот легче обеспечить постоянство частоты.
Блок-схема такого генератора показана на рис. 121. Можно
также представить себе схему, которая дает утроение частоты.
Для этого необходим проводник с «кубической» характеристикой,
например, такого вида:

166
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
Ток в таком проводнике при синусоидальном напряжении V =
= Уо соз р1 будет содержать третью гармонику частоты Зр,
колебания которой и отфильтровываются от остальных частот.
§ 38. Некоторые практические схемы детектирования
Расчет детектирования при помощи диода был изложен в § 32. Диодное
детектирование обычно применяется при сильных сигналах, когда можно
считать характеристику диода «кусочно-
линейной». Для слабых сигналов диод
не выгоден, и поэтому можно детекти-
детектировать такие сигналы на сгибе харак-
характеристики электронной лампы с сеткой,
выполняющей одновременно роль уси-
усилителя.
Схема анодного детектирования по-
показана на рис. 122. Сигнал Щ подается
на сетку лампы, фильтр ЕС находится
в анодной цепи. Рабочую точку можно
выбрать на нижнем сгибе анодной ха-
характеристики или на верхнем (рис. 123).
Конечно, одновременно с детектиро-
усиление сигнала. В этом отношении осо-
Рис. 122.
ванием здесь происходит и
бенно выгодна схема сеточного детектирования.
Рис. 123.
Схема сеточного детектирования показана на рис. 124.
В этом случае рабочую точку выбирают на середине анодной характери-
характеристики (анодный ток — как функция сеточного напряжения) и на нижнем

38]
ПРАКТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ ДЕТЕКТИРОВАНИЯ
167
сгибе характеристики сеточного тока (ток сетки — как функция напряже-
напряжения на сетке). Теперь цепь сетки действует как диодный детектор, на сопро-
сопротивлении Кс возникает напряжение частоты п, которое и изменяет анодный
8г =4 шр1
А
Рис. 124.
ток с этой же частотой. Необходимо подобрать сопротивления и емкости так,
чтобы удовлетворялись условия:
C8Л)
График изменения токов и напряжений можно видеть на рис. 125.
Действие <§с — §0 соз р1 вызовет постоянное падение напряжения на Яс?
равное АУС — Д/с0/?с; это напряжение в свою очередь вызовет изменение
Рис. 125.
анодного тока А/а = *УДКС и, наконец, изменение напряжения на аноде
дк, = л/да.
с) А а
Полезное действие детектора и усилителя можно оценивать отношением

168 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
Произведем приближенный расчет сеточного детектора, полагая сеточ-
сеточную характеристику лампы в общем виде
/с = /(^с)> C8-2)
где 1/с — напряжение сетка — катод.
Тогда колебания напряжения на сетке при наличии сигнала ёс —
= <§0 соз р1 приближенно будут равны
Дг/с = ^с-Д^с = ^с-ДсД/со. C8-3)
Аппроксимируем сеточную характеристику C8.2) около Ис = 0 полиномом
второй степени:
А/с = /' @) А11С + ~ Г @) (АС/СJ. C8.4)
Подставим сюда значение C8.3)
д/с = /' @) (80 - лсд/с0) + 1 г @) ($с - ^?сд^с0J = г @) шс - ясд/с0) +
+ у /" (°) №1 ~ 2^Ад/со + Щ (А/с»И- C8-5)
а затем усредним это выражение по времени. Заметим, что средние значе-
значения по времени
Ср(§с) = О, Ср (&•) = §, Ср(Д/с) = Д/СО(
и поэтому для средних значений из формулы C8.5) получим:
АЛ» = Г @) (-Дсд/со) + у 1"<°>Т• C86)
если квадратом А/с0 можно пренебречь.
Из C8.6) окончательно получим среднее значение сеточного тока:
Выражение C8.7) дает величину изменения среднего значения сеточного
тока в зависимости от амплитуды напряжения, подводимого к входу катод —
сетка. Если характеристика сеточного тока может быть представлена на
рабочем участке кривой второго порядка
ТО
или
Следовательно, амплитуда напряжения звуковой частоты в анодной пепи
будет пропорциональна
ДУ.-СТ.ДУе-2[^Л^]Я. C8.8)
Амплитуда сигнала на выходе детектора пропорциональна кривизне Р
сеточной характеристики и крутизне /51 характеристики анодного тока в ра-
рабочей точке.

§ 39]
ГЕТЕРОДИН
§ 39. Гетеродин
169
Гетеродин применяется для приема телеграфных сигналов
(рис. 126). Телеграфный сигнал в грубом приближении предста-
представляет «синусоидальный импульс», отрезок синусоидальной волны
с частотою р (см. рис. 102). В приемнике на колебания частоты р
Рис. 126.
накладываются колебания от местного генератора (гетеродина)
частоты /?! *), затем получившиеся биения подаются на детектор,
который выделяет звуковую частоту
Рг — р.
Колебания звуковой частоты воспринимает телефон в анодной
цепи лампы. Спектр колебаний во входном контуре приемника
и
V Р,
п
А \
О р-ц
V Ц
Рис. 127.
показан на рис. 127, а и спектр после квадратичного детектора —
на рис. 127, б. Следовательно, гетеродин с детектором трансфор-
трансформирует радиочастоту в звуковую. Очевидно, что в таком виде
гетеродин может быть применен для трансформации частоты коле-
колебаний вообще, как, например, в супергетеродине.
*) Частота местного генератора рх отличается от р на величину звуко-
звуковой частоты.

170 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. 7
§ 40. Супергетеродин
Супергетеродин — одна из распространенных схем современ-
современного радиоприемника, предназначенного для надежного приема
слабых радиосигналов.
В отличие от приемника прямого усиления, в котором проис-
происходит усиление сигналов высокой частоты до детектирования,
в супергетеродине основное усиление происходит на постоянной
частоте, не зависящей от частоты принимаемой станции, на так
называемой «промежуточной частоте». Усиление колебаний очень
I ) (Фильтр и
\Сл!еситель и II усилитель
] ее/лектор \\лрожЖут
) {частоты
^ Усилитель
звуковой
частоты
Рис. 128.
высоких частот представляет значительные трудности из-за пара-
паразитных емкостей, наличие которых ведет или к понижению коэф-
коэффициента усиления, или к генерации. Поэтому в супергетеродине
на принятый сигнал частоты, близкой к р, может быть немного
усиленный, накладывают колебания от местного генератора (ге-
(гетеродина) частоты рг.
Разность несущей частоты р и частоты гетеродина рх всегда
остается определенной (тоже высокой) частотой. Оба сигнала
поступают на детектор, а затем в фильтр, который выделяет коле-
колебания, близкие к разностной (рх — р) «промежуточной» частоте.
Далее стоит резонансный усилитель — усилитель «промежу-
«промежуточной» частоты, настроенный на частоту рх — р. Так как один
из двух сигналов, подаваемых на детектор, модулирован зву-
звуковой частотой, то, как легко понять, будут модулированы этой же
звуковой частотой и колебания промежуточной частоты, частоты

5 40] СУПЕРГЕТЕРОДИН 171
Рх—р- После усилителя промежуточной частоты колебания посту-
поступают на второй детектор, который уже выделяет колебания звуко-
звуковой частоты. В свою очередь, колебания звуковой частоты посту-
поступают на усилитель низкой частоты, если в этом есть необходи-
необходимость. Настройка приемного контура на частоту принимаемой
станции происходит одновременно с изменением частоты гетеро-
гетеродина, так как подвижные пластины конденсаторов обоих конту-
контуров (приемного и гетеродина) укреплены на одной оси («блок
конденсаторов»).
Спектр сигнала
О \р\
Спектр на еходе смесителя \ \
4*
о \р\ ц
Спектр после кеадратишео детектора \ \ ,
I ! (Высокие часто-
.¦ а|а || | | ты не показаны]
оагя ц-р р рг
Спектр в усилителе промежуточной частоты
, * \ * ^
о [щ-р-аг^ ц-рУр,-р+я)
Спектр после еторозо детектора в усилителе низ/сои частоты
»!¦
о а га
Рис. 129.
Схема основных элементов супергетеродина показана на
рис. 128. Над каждым элементом даны чертежи, поясняющие ха-
характер колебаний в каждом из каскадов. Последовательная транс-
трансформация спектра колебаний показана на рис. 129.
Основное усиление происходит на промежуточной частоте
(в обычных радиоприемниках она равна 460—480 кгц). Подавае-
Подаваемый на второй детектор сигнал имеет амплитуду порядка несколь-
нескольких вольт, и поэтому здесь обычно ставят в качестве детектора
диод. В специальных приемниках ультравысоких частот, например
для телевидения, иногда производят последовательно несколько
раз трансформацию частоты.

ГЛАВА 8
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
В предыдущих главах рассматривались только собственные
и вынужденные колебания. При собственных колебаниях система,
совершающая колебания, изолирована от всяких внешних воз-
воздействий. При вынужденных колебаниях, имеющих место наряду
с собственными, на систему действует переменная внешняя сила;
математически это выражается в том, что в уравнение входит
член, зависящий явно от времени.
Но возможно внешнее воздействие на колебательную систему
совсем иного вида: непосредственно на систему не действует внеш-
внешняя сила, но параметры системы (входящие в коэффициенты урав-
уравнения) явно зависят от времени. Внешнее воздействие по опре-
определенному закону изменяет параметры системы.
Колебания, имеющие место в системе, при этих условиях на-
называются параметрическимиу они могут быть затухающими и
нарастаюгцими со временем. Главный интерес при изучении этих
колебаний представляют нарастающие колебания и определение
условий их возникновения. Явление возникновения нарастаю-
нарастающих колебаний при параметрическом воздействии обычно назы-
называют параметрическим возбуждением колебаний (или параметри-
параметрическим резонансом).
Основные законы параметрического резонанса и будут рассмот-
рассмотрены в этой главе.
§ 41. Раскачивание качелей
Простейшим примером параметрического возбуждения коле-
колебаний является раскачивание качелей. Качели в данном случае
можно представить в виде маятника («математического») с пере-
переменной длиной.
Пусть длина / маятника изменяется по гармоническому закону
(рис. 130), точка А совершает колебания с частотой р и амплиту-
амплитудой а.

§ 41]
РАСКАЧИВАНИЕ КАЧЕЛЕЙ
173
Тогда уравнение вращения около оси, проходящей через
точку О, можно записать так:
-~ (т/2ф) = — т§1 51
или
2т/ф -т- + пг§1 зт ф = 0.
Положим, что
I = I И
\
~ соз рг].
D1.1)
D1.2)
Будем рассматривать задачу о колебаниях маятника при следую-
следующих предположениях: а/10 <^ 1, т. е. длина маятника мало изме-
изменяется по сравнению со средней длиной маятника 10, амплитуды
0
У/////////,
1
\
\
\
\
\
Ф \
\
\
Рис. 130.
колебаний маятника малы: 81п ф^ф. Тогда уравнение движения
D1.1) можно записать в таком виде:
10 -\- а соз р1
или в общем виде
D1.3)
D1.4)
Уравнение D1.4) представляет уравнение колебаний почти
«гармонической» системы, «частота» которой зависит явно от вре-
времени — это и есть простейший вид уравнения системы, в которой
могут возникнуть нарастающие параметрические колебания. О ре-
решении уравнения D1.3) скажем далее, а теперь простыми спосо-
способами проанализируем явления, которые могут иметь место при
периодическом изменении длины маятника.

174 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ $
Допустим, что по какой-то внешней причине (от случайного
толчка) маятник совершает собственные колебания с частотой,
соответствующей примерно
-VI-
где # — ускорение силы тяжести. В это же время изменяется и
длина маятника. Пусть частота изменений длины маятника в два
раза больше частоты соб-
собственных колебаний и фаза
такова, как показано на
рис. 131 и 132.
Груз т совершает дви-
движение так: от точки 1 до
точки 2 груз поднимается,
Рис. 132. от точки 2 до точки 4 опус-
опускается и т. д., как обозна-
обозначено стрелками на рис. 131. Колебания точки подвеса у (I) и ко-
колебания маятника ф (I) изображены на рис. 132.
Можно заметить, что когда маятник имеет малую скорость
(находится близко к крайнему положению), груз опускается,
а когда маятник имеет наибольшую скорость колебаний (проходит
около положения равновесия), груз поднимается. Отсюда можно
заключить, что натяжение нити при поднимании груза больше,
чем при опускании. А это значит: внешняя система, которая изме-
изменяет длину маятника, совершает положительную работу, пере-
передает энергию маятнику. Амплитуда колебаний маятника в этом
случае должна возрастать, если нет трения при движении
маятника. При наличии трения, если работа внешней системы
будет больше потерь энергии на трение при колебаниях, то
амплитуда колебаний будет также возрастать. Это явление
называется параметрическим резонансом. Таким способом рас-
раскачиваются на качелях, приседая и поднимаясь в такт с кача-
качаниями качелей.
§ 42. Схематический расчет параметрических колебаний
Ради простоты выкладок и выяснения физической сущности
явления рассмотрим схематическую модель системы, совершаю-
совершающей параметрические колебания, в которой длина маятника изме-
изменяется скачком. Как и ранее, положим, что период изменения
длины I в два раза менее периода собственных колебаний маят-
маятника, а фаза изменения такова, что подъем происходит в тот
момент, когда маятник проходит через равновесное положение

§ 421 СХЕМАТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 175
(рис. 133). Работа внешней силы при подъеме массы т будет
™1а, D2.1)
где V = /оФо03 — скорость маятника в среднем положении, а —
величина подъема, ф0 — амплитуда колебаний. К силе тяжести
прибавляется еще центробежная сила ту2/10. Работа D2.1) совер-
совершена извне внешней системой при поднимании груза маятника т.
1_
Рис. 133.
При опускании маятника в крайней точке, где скорость равна
нулю (г; = 0), работа, совершенная маятником над внешней си-
системой, равна
или, при малом ф0,
т§а[1 — -у с
D2.2)
Это — энергия, отданная маятником внешней системе при опуска-
опускании груза т. Таким образом, за период колебаний Т маятник
получит энергию
Полагая, что т <^ 1 и ф0 <^ 1, можно по закону сохранения энер-
энергии приближенно считать:
77Ш2 1
Тогда
или, обозначая полную энергию колебаний Е = —7г-, можем так
записать:
АЕ^б^Е. D2.3)

176 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 8
Через период энергия колебаний увеличивается на величину,
пропорциональную всей энергии колебаний. Можно показать, что
в этом случае энергия колебаний возрастает по показательному
закону, а именно, если в некоторое время энергия колебаний была
Ео, то через п периодов она будет
Еп = Еов^} D2.4)
где
Важно, что с увеличением времени рост энергии будет увеличи-
увеличиваться, амплитуда колебаний будет быстрей нарастать.
Если в системе есть трение, то нарастание колебаний имеет
место только в том случае, когда работа внешних сил больше
потерь энергии на трение за период. Потери на трение можно
приближенно определить следующим образом. Пусть коэффициент
трения равен к, тогда работа момента сил трения кф за период,
при условии, что фя^ф0 31п оо0г, будет
т т
о "~<°0 о С°8 ^ " 2
Вспоминая, что полная энергия Ь = —=- = ——^ и декремент
г гр
затухания D.9) Ф^о—Т1> получаем
ДТУя^ФЕ. D2.6)
Убыль энергии за период вследствие трения при почти синусои-
синусоидальных колебаниях пропорциональна энергии колебаний.
Таким образом, условие возрастания колебаний или условие
параметрического возбуждения колебаний получим, сравнивая
D2.3) и D2.6), в следующем виде:
~>#. D2.7)
Заметим, что при За/10 = д теоретически должны существовать
незатухающие колебания с любой амплитудой, при За/10 <^ О
колебания будут затухать. Режим колебаний, соответствующий
точке За/10 = Ф, не может физически осуществиться, так как при
любом, даже очень небольшом изменении параметров система
перейдет или в область нарастающих, или в область затухающих
колебаний.
Параметрический резонанс существенно отличается от обыч-
обычного резонанса тем, что колебания теоретически должны бы

§ 43] ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 177
нарастать до бесконечной амплитуды даже при наличии трения
в системе, в отличие от обычного резонанса. В действительности же
наблюдаются периодические колебания при параметрическом
резонансе, как, например, в случае раскачивания качелей, а изло-
изложенные рассуждения не объясняют существования таких колеба-
колебаний. Фактически только при малых амплитудах, когда система
линейна, происходит такое нарастание энергии, о котором шла
речь в теории. С увеличением амплитуды колебаний существенную
роль будут играть нелинейные члены уравнения, которые не учи-
учитывались, поэтому амплитуда колебаний будет ограниченной.
Таким образом, вопрос о существовании устойчивых периоди-
периодических движений в системе с периодическими коэффициентами
относится к нелинейной теории колебаний.
Если же условия параметрического резонанса, например D2.7),
не соблюдаются, то в системе будут иметь место после толчка в любой
момент времени только затухающие параметрические колебания.
§ 43. Области параметрического резонанса
Анализируя параметрический резонанс, мы считали, что
период изменения параметра точно в два раза меньше периода
собственных колебаний. Примерно такая же картина будет на-
наблюдаться, если период изменения параметра будет близок по
величине к половине собственного периода. Только здесь будет
наблюдаться влияние сдвига фаз между колебаниями маятника
Закон изме-
изменения длины
Рис. 134.
и изменением длины и параметрические колебания (затухающие
и нарастающие) будут иметь характер биений.
Такое простое рассмотрение приводит к мысли, что параметри-
параметрический резонанс возможен и при других соотношениях периодов
изменения параметра и собственных колебаний. Например,
возрастающие параметрические колебания возможны, если пе-
периоды совпадают, т. е. за полупериод собственных колебаний
маятник так же поднимается и опускается, как и ранее, а в сле-
следующий полупериод длица остается неизменцой и т. д. (рис. 134).

178
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 8
Вспоминая условие D2.7), приходим к выводу, что в этом слу-
случае условие параметрического резонанса будет
D3.1)
так как только за полупериод энергия передается маятнику. При
том же затухании для возбуждения колебаний нужна большая
глубина модуляции параметра, чем в предыдущем случае (§ 42),
когда период изменения параметра был равен половине периода
собственных колебаний.
Возможно возбуждение колебаний и в том случае, когда
период изменения параметра т равен 3/2 Т, т. е. полутора перио-
периодам собственных колебаний, например, если поднимают и
Изменение
длины
маятника
и пи такое изменше
длины маятника
Рис. 135.
опускают груз маятника по одному разу за три полупериода
собственных колебаний (рис. 135). В этом случае условие пара-
параметрического резонанса примет вид
D3.2)
Рассуждая так же, можно показать, что при определенном
соотношении фаз возможен параметрический резонанс, если
период изменения параметра т удовлетворяет следующему равен-
равенству:
гр
т^^2' где л = 1> 2» 3>--- D3.3)
Как показывают более точные расчеты (§ 45) и опыты, явления
параметрического резонанса будут иметь место, если условия
D0.3) выполняются приближенно, или, что существуют опреде-
определенные области по частоте модуляции параметра, в которых
возможно наличие параметрического резонанса.

§ 44] ИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ 179
Изложенный анализ параметрических колебаний был слишком
упрощен, мы полагали скачкообразную форму изменения пара-
параметра и определенную фазу по отношению к собственным колеба-
колебаниям. Предположение о скачкообразном изменении параметра
должно сказаться только на формулах для условий возбуждения
и не должно иметь принципиального значения. Характер явления
будет оставаться таким же и при плавном изменении параметра.
Но «фаза» имеет принципиальное значение. Действительно,
если переменить фазу модуляции относительно собственных коле-
колебаний, то получим не нарастание колебаний, а, наоборот, затуха-
затухание их. Таким образом, для нарастающих колебаний, при пара-
параметрическом резонансе необходима «правильная фаза» модуляции
параметра относительно собственных колебаний.
Однако в действительности маленькие собственные колебания
возникают в системе под действием случайных причин, могут
иметь место всевозможные начальные фазы собственных колеба-
колебаний. Когда период модуляции и глубина ее будут удовлетворять
условиям нарастающих колебаний, всегда будут иметь место нара-
нарастающие колебания потому, что среди случайно возникающих
собственных колебаний всегда найдется такое, фаза которого
«правильна», и оно будет нарастать.
Теперь посмотрим качественно, что следует ожидать, если
частота модуляции параметра будет немного отлична от частоты
параметрического резонанса D3.3).
В этом случае на некотором участке времени «фаза» колеба-
колебаний параметра будет содействовать нарастанию колебаний в си-
системе и колебания будут нарастать. Далее «расстройка» по фазе
между колебаниями и модуляцией параметра будет увеличиваться,
и колебания перестанут нарастать, работа внешних сил будет
равна нулю. Затем будет время, в течение которого фаза колеба-
колебаний и модуляций параметра примет такие значения, при которых
внешняя сила будет совершать вредную работу, и колебания,
уменьшаясь, затухнут. В системе возникнут колебания, похожие
на «биения». Но что будет преобладать, возрастание или затуха-
затухание, таким простым рассуждением нельзя установить, мы слишком
схематизирс вали явление. Этот вопрос окончательно может ре-
решить только математическая теория явления.
§ 44. Некоторые сведения из математической теории
параметрических колебаний
Мы здесь не можем входить во все подробности теории, отме-
отметим только некоторые сведения из математической теории и ука-
укажем в следующем параграфе простейший способ определения гра-
границ (или областей) параметрического резонанса.

180 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ 8
В общем виде уравнение параметрических колебаний в системе
с одной степенью свободы имеет такой вид:
х+^A)х +фа@ж = 0, D4.1)
где х — искомая функция, а г^ (I) и 1|J (I) — заданные периоди-
периодические функции с периодом т.
С помощью подстановки
- -И Ч>1 <«
х = ие А •)
можно преобразовать D4.1) к такому уравнению:
й + Ф(*)и = 0, D4.2)
где
Ф @ = ^
Таким образом, анализ в системе с затуханием (даже с перио-
периодически изменяющимся) всегда принципиально можно провести,
зная решение уравнения с периодическими коэффициентами в си-
системе без затухания.
Для уравнения
и + Ф (I) и = 0, D4.2)
как следует из математической теории, имеет место общее решение
в таком виде:
и@=^'ф1@+бх«'фв@» D4.3)
где ^ и^2 — некоторые постоянные, так называемые «характери-
«характеристические показатели» уравнения, а ф] (I) и ф2 (I)—периоди-
(I)—периодические функции с периодом т.
Для физического анализа часто бывает достаточно определе-
определения А,х и А,2 или даже только действительных частей этих характе-
характеристических показателей: если определены только знаки дей-
действительных частей Хг и Х2, то известны условия, при которых
возникает параметрический резонанс.
§ 45. Определение областей параметрического резонанса
по Мейснеру
Положим, что длина маятника изменяется скачкообразно
с периодом т, как мы полагали в предыдущих параграфах, напри-
например так, как показано на рис. 131. Тогда по D4.3) можно составить
общее решение из элементов такого вида:
иA + х) = еХхиA). D5.1)

§ 45] ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 181
В самом деле по D4.3):
и (() = емф @, где <р (/ + т) = <р (/),
тогда
и {I + т) = вх'вх> (< + т) = вХхвх'ф @ = еии {I).
Следовательно, решение вида D5.1) через период т изменяется
в а раз, где
а = ех\ D5.2)
Очевидно, что если |а| ^> 1, то колебания будут возрастать с тече-
течением времени.
Уравнение движения маятника при скачкообразном изменении
длины (рис. 133) можно записать так:
при
г»- D5.3)
при |</<т Ф
и т. д.
Если обозначим
со! =—^—, D5.4)
то можем записать решение на каждом участке времени так:
при 0<^<^-2-т
ф! = А СО8 @^ + В 8111 СО^,
при |<*<т D5.5)
ф2 = А1 СО8 Щг + Вх 81П 0J/.
Совокупность этих двух решений линейных уравнений можно
рассматривать как решение уравнения с периодическим измене-
изменением параметра. Для этого необходимо, чтобы эти решения удов-
удовлетворяли следующим условиям:
Ф1 [\] = ф2 (у), аф!(О)=фа(т),
Кг1 Кг} D5.6)
*» A)=*2 A)» аф1 @)=*2 ^*
Условия D5.6) требуют непрерывности решения и его производной
и «увеличения» решения через период на множитель а D5.2).

182 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 8
Интересно знать возможные величины а в зависимости от пара-
параметров системы. Если это будет найдено, то будут установлены
условия возникновения параметрического резонанса.
Подставив фх и ф2 в условия D5.6), получим следующие равен-
равенства:
А СО8 -ту (й\Х + В 81П -к- ОС^Т — А х СОЗ тг Щ* — Вг 8111 -~- ЩХ = О,
<и и I* и
— АЩ 81П у ОС^Т + Вщ СО8 у 0)^ + ^1^2 ЗШ у Ю2Т —
у со2т = 0, D5.7)
Аа — Ах соз со2т — Вх зт со2т = О,
В(д{а + ^!@2 81П ЩХ — ВХЩ СОЗ @2Т = 0.
Система D5.7) — система четырех однородных уравнений относи-
относительно постоянных А, В, Ах и Вх\ она будет иметь нетривиаль-
нетривиальные решения только в том случае, если определитель системы равен
нулю:
1 .1 1 .1
СОЗ -к ЩХ 81П у (ОхТ — СОЗ у 0JТ — 81П у 0JТ
.1 1
— О)! 81П -к &\Х (О1 СОЗ у
1 .1 1
(ОХ @ 81П @Т @ СОЗ
1 1 .1 1
-к &\Х (О1 СОЗ у (ОХХ @2 81П -^ @2Т — @2 СОЗ у ЩХ
__ 0.
а 0 — СОЗ @2Т — 81П 0JТ
0 а»! @2 81П @2Т — 0J СОЗ @2Т
D5.8)
Определитель D5.8) есть квадратное уравнение относительно а,
его можно записать так:
а2 — 2 Ах+ 1=0, D5.9)
где
1 1 со2 -4- со2 1 1
Р = соз -2 щх соз у со2т^2 ^ 0)
Решение D5.9) будет
Заметим, что аха2 = 1 и а] + а2 = 2Р.
При Р ^> 1 корни действительны и положительны, один из
них больше единицы. Следовательно, при Р ^> 1 в системе воз-
возможны нарастающие решения. При Р <^— 1 корни действительны,
причем один из них отрицателен и по модулю больше единицы.
В этом случае решения также будут нарастающими, но отклонение
при колебаниях через период т меняет свой знак.

§ «З ОБЛАСТИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕЗОНАНСА 183
При — 1 <^ Р <^ + 1 решения для а будут комплексны, причем
1а11 = I а21 ^ 1- Действительно, в данном случае
И, следовательно, |ах| = |а2| = 1. Это значит, что решения в дан-
данном случае не будут возрастающими.
Следовательно, при Р = 1 а2 = а2 = 1 и при Р = — 1
а1 = а2 = — 1; или при \Р\ = 1 решения будут чисто периоди-
периодическими, причем при Р — 1 решение будет иметь период т, а при
Р = — 1 период будет равен 2т.
Таким образом, условие |Р| = 1 представляет те значения пара-
параметров, при которых система находится на границе области нара-
нарастающих решений, на границе области параметрического резо-
резонанса.
Обозначим:
со2 = $/10 — квадрат средней собственной частоты маятника;
е = а/210 — глубина модуляции длины маятника;
-у = х/Т = сот/2л; — отношение периода модуляции параметра к
периоду собственных колебаний маятника при длине его, равной /0.
Вспомним определения собственных частот <»! и со2 D5.4) и за-
запишем в новых обозначениях:
(ОТ
со,т = -== =
у\— е2'
Выражение D5.10) для Р можно теперь записать так:
^ лу пу 1 . лу . яу
Р = СО8 - У СО5 - Г 81П Г 5П1 - , У
/1 — 8 /1+8 /1-е2 /1-е /1 + 8
D5.11)
Границы области параметрического резонанса определятся из
условия | Р | = 1.
Легко убедиться, что при е ->¦ 0 условие для границ примет
такой вид:
±1, D5.12)
это условие выполняется при
у = ±, 1, |, 2,...
Поэтому кривые ва плоскости (е, 'у), соответствующие периоди-
периодическим решениям, будут пересекать ось у в точках х/2, 1, 3/а»--*

184
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 8
(рис. 136). Заштрихованные области на рис. 136 соответствуют
тем значениям е и у, при которых \Р\^>1, или при которых
будет иметь место параметрический резонанс. Границы этих
областей, соответствующие | Р\ = 1, дают те значения еиу, при
которых будут периодические решения. Границы области пара-
параметрического резонанса около точек у = г/2, у = 3/2, V = 5/2 и т. д.
соответствуют значению Р = — 1 и, следовательно, период дви-
движений, относящихся к точкам этих границ, будет равен 2т, двум
периодам изменения параметра. Границы областей параметри-
Рис. 136.
ческого резонанса около точек у=1, 2, 3,... соответствуют
Р = 1, т. е. периодическим решениям с периодом изменения пара-
параметра т.
Вычисления показывают, что с увеличением е области пара-
параметрического резонанса расширяются, резонанс возможен не
только при точном совпадении частот, но и вблизи этих частот.
С увеличением у области параметрического резонанса сужаются;
это легко видеть, если приближенно определить границы области
параметрического резонанса при малых значениях е вблизи то-
точек •у = 1/2, 1, ... и т. д., разлагая D5.11) в ряд по малой вели-
величине е. На рис. 136 пунктиром показаны эти границы: вблизи
у = 1/2 они представляют пересекающиеся прямые, а вбли-
вблизи -у = 1 — отрезки соприкасающихся в точке •у = 1 парабол.
Уравнения границ записаны на рис. 136.
Наличие затухания в системе сократит области параметри-
параметрического резонанса.
Следует заметить, что все математические вычисления для
скачкообразного изменения параметра сделаны без всяких при-
приближений и поэтому выражение, полученное из D5.11) при Р = 1,
определяет границу параметрического резонанса при любом зна-
значении е. В случае синусоидального изменения параметра при
малом е можно приближенно определить границы областей пара-
параметрического резонанса методом последовательных приближений.

46]
ПРИМЕРЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
185
о
о
I
§ 46. Примеры параметрических колебаний
Параметрические колебания довольно часто встречаются в тех-
технике. В радиотехнике есть ряд устройств, связанных с явлением
параметрического резонанса в электрических контурах.
В электротехнике известна параметрическая машина Мандель-
Мандельштама— Папалекси. Машина может служить генератором перемен-
переменного электрического тока. Принцип ее
устройства показан на рис. 137.
В катушку электрического контура
вносят алюминиевый стержень В, затем
периодически изменяют глубину погру-
погружения стержня с частотой, соответству- СЧ
ющей у = х/2, которая близка к удвоен-
удвоенной собственной частоте контура, омиче-
омическое сопротивление В представляет на-
нагрузку. Конечно, в образцах опытных ма- Я
шин модуляция индуктивности контура Рис. 137.
осуществляется более удобным техниче-
технически способом, например вращением зубчатого алюминиевого диска.
Колебания тока в такой машине — периодические с постоянной
амплитудой. Нелинейные закономерности, которые мы не рас-
рассматривали, допускают существование установившихся периоди-
периодических колебаний при параметрическом резонансе.
М(якорь
мотора)
V///////////////
Ось колес
вагона
/
'Ось мотора
Рис. 138.
Валмотора
Можно привести еще пример: колебания в спарниках электро-
электровозов. Схема устройства, передающего движения от мотора к ко-
колесу вагона, показана на рис. 138. Вал мотора через кривошипы,
имеющиеся на его концах, и водила соединен с колесами
вагона. Во время хода точка А совершает круговое движение

186 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ 8
(относительно вагона). Рассмотрим крутильные колебания якоря М',
обусловленные упругостью вала, кривошипа и водила и моментом
инерции якоря. Можно показать, что коэффициент жесткости
якоря на кручение зависит от положения точки А на окружности
колеса и, следовательно, частота крутильных колебаний якоря
будет изменяться периодически во время хода вагона.
При скорости вагона, соответствующей области параметри-
параметрического резонанса, возникали очень большие вибрации, которые
приводили к авариям. Исследование законов параметрических
колебаний позволило устранить поломки и аварии в описываемой
системе.
За последние годы явление параметрических колебаний нашло
большое применение в радиотехнике сверхвысоких частот в виде
параметрических усилителей, так как ранее применявшиеся
ламповые усилители практически непригодны для усиления очень
слабых сигналов высоких частот из-за собственных шумов. Основ-
Основным элементом таких усилителей является электрический контур
с периодически изменяемой емкостью (или индуктивностью). Часто
в качестве переменной емкости употребляют полупроводниковый
диод, емкость которого зависит от напряжения и поэтому ее очень
просто изменять. Выбирают частоту и величину изменения ем-
емкости так, чтобы вся система была близка к границе параметри-
параметрического резонанса. При этих условиях слабые внешние сигналы
определенной частоты вызывают в контуре вынужденные колеба-
колебания значительной амплитуды. Этот эффект и позволяет применять
такой контур в качестве усилителя. Собственные шумы контура
с переменной емкостью (особенно при наличии охлаждения) отно-
относительно очень малы. Только квантовые усилители могут конку-
конкурировать с параметрическими усилителями при приеме слабых
сигналов сверхвысоких частот.

ГЛАВА 9
АВТОКОЛЕБАНИЯ
§ 47. Общие сведения об автоколебаниях
В главе 1, § 6 были рассмотрены системы, в которых
возможны почти синусоидальные колебания с нарастающей
амплитудой. В таких системах возможны автоколебательные про-
процессы.
Автоколебания принципиально отличаются от остальных коле-
колебательных процессов тем, что для поддержания стационарного
режима в таких системах не нужно периодических воздействий
извне. Колебания скрипичной струны при равномерном движении
смычка, колебания в генераторе радиоволн, колебания в орган-
органной трубе, колебания маятника часов и т. д. являются типичными
примерами автоколебательных процессов.
Во всякой реальной системе при стационарном колебательном
процессе энергия переходит в тепло или передается другим телам.
Поэтому каждая автоколебательная система должна иметь источ-
источник энергии, который покрывал бы ее расход. Обычно источник
энергии устроен так, что он дает постоянное .во времени воздей-
воздействие. Устройство автоколебательной системы таково, что при
колебаниях в ней источник производит переменное действие,
которое и поддерживает стационарный колебательный процесс.
Переменное воздействие обеспечивает необходимый приток энер-
энергии, покрывающий потери при колебаниях.
При анализе автоколебательных систем (правда, не для всех
случаев) полезно различать следующие основные элементы: 1) ос-
основную колебательную систему и 2) звено «обратной связи», упра-
управляющее источником энергии. Основная колебательная система
в изолированном виде способна совершать затухающие собствен-
собственные колебания. Обратная связь связывает основную колебатель-
колебательную систему с источником. Колебания в основной системе так
влияют на источи л к энергии, что он дает переменную силу, дей-
действующую через обратную связь на основную систему.

188
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Рассмотрим для примера простую схему генератора электро-
электромагнитных колебаний — схему лампового генератора (рис. 139).
Колебательный контур, состоящий из Ь, В и С и находящийся
в анодной цепи лампы, представляет основную колебательную
систему. Катушка Ь' и катодная
лампа составляют цепь обратной
связи.
Механизм возникновения ко-
колебаний можно представить себе
так: от какого-то небольшого
случайного толчка в контуре ЬС
возникли собственные колеба-
колебания, которые через катушку Ь'
воздействуют на сетку лампы и
Рис. 139.
тем самым изменяют ток га, иду-
идущий через лампу и контур: коле-
колебания тока га, проходя через кон-
контур, усиливают колебания в нем. Амплитуда колебаний в контуре
начинает возрастать, пока колебания анодного тока не достигнут
наибольшей возможной величины. Процесс нарастания колеба-
колебаний называется самовозбуждением. При установившемся автоко-
автоколебательном процессе все потери энергии при колебаниях воспол-
восполняет анодная батарея.
Основные характерные особенности автоколебательного про-
процесса:
1) «самовозбуждение» колебаний,
2) зависимость частоты и амплитуды установившихся автоко-
автоколебаний только от параметров системы,
3) произвольность фазы автоколебаний.
Здесь уместно вспомнить, что при собственных колебаниях
частота определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза —
начальными условиями; при вынужденных колебаниях частота
определяется внешней силой, а амплитуда и фаза определяются
системой и внешней силой.
§ 48. Генератор электромагнитных колебаний
Схема генератора показана на рис. 139 и условия само-
самовозбуждения автоколебаний были выведены в § 6. Теперь
более подробно рассмотрим теорию колебаний в генера-
генераторе.
Пусть в контуре по какой-либо причине возникли колебания;
тогда они будут иметь место во всех цепях системы. Обозначим:
/с — ток через конденсатор, 1ь — ток через катушку контура
и и — анодный ток лампы. Параметры катушки связи и контура

§ 48]
ГЕНЕРАТОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ
189
указаны на рис. 139. Запишем уравнение для напряжений в кон-
контуре:
Ыи + Щи — ^ § 1с (И = 0, D8.1)
и условие равенства токов в разветвлении:
1а = /ь + /с. D8.2)
Обозначив, как обычно, со2 = IIЬС и 26 = К1Ь и исключая 1с из
D8.1) и D8.2), получим основное уравнение генератора
и + 261 и + (о*1и = со2га. D8.3)
Анодный ток лампы га зависит от разности потенциалов между
сеткой и катодом Ус и разности потенциалов 7а между анодом и
катодом: г& есть функция
Величину
где В — константа.
D8.4)
называют управляющим напря-
напряжением, а О «проницаемостью».
Зависимость га от Уу — обыч-
обычно нелинейная и имеет примерно
вид, показанный жирной ли-
линией на рис. 140*). Точка А на
характеристике лампы, соответ- Рис. 140.
ствующая режиму лампы в от-
отсутствие колебаний, называется «рабочей точкой». Если омиче-
омическим сопротивлением контура можно пренебречь, то управляющее
напряжение в рабочей точке определяется постоянным напря-
напряжением батарей:
7у0 = Ес + Я2га, D8.5)
где Ес — постоянное напряжение сеточной батареи, а Еа — анодной.
В том случае, когда рабочая точка выбрана на середине ха-
характеристики, для математического анализа генератора можно
приближенно представить характеристику лампы на рабочем
участке полиномом третьей степени такого вида:
D8.6)
*) Характеристики анодного тока современных электронных ламп
обычно не имеют верхнего изгиба, но фактически анодный ток ограничен
по величине вследствие других причин. Это приводит к непринципиальному
усложпению теории. Поэтому в начале изучения электронных генераторов
целесообразно рассмотреть более простой случай характеристики, указан-
указанной на рис. 140.

190 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
где ДУ = Уу — Т^уо есть отклонение управляющего напряжения
от постоянного Ууо — равновесного. Теоретическая кривая D8.6)
отмечена на рис. 140 пунктиром.
Постоянные величины 8 и К определяются свойствами лампы:
5 — крутизна характеристики, измеряемая обычно в ма/в, пред-
представляет производную тока по напряжению в рабочей точке А;
К — «напряжение насыщения», которое, как можно видеть из
формулы D8.6), равно такому значению А V, при котором
<йа/вг(ДУ) = 0.
Заметим, что теоретическая кривая по формуле D8.6) только
на некотором участке вблизи точки А будет близка к действи-
действительной зависимости, примерно на участке величиной 2К. Если
при колебаниях напряжение ДУ будет значительно выходить
из пределов этого участка, то теория, учитывающая закон, пред-
представленный D8.6), не будет уже количественно отражать процес-
процессов в генераторе. Однако такое «грубое приближение», учитываю-
учитывающее нелинейную зависимость анодного тока от управляющего
напряжения, будет гораздо точнее и вернее отображать реальный
процесс, чем теория, предполагающая линейную зависимость
между га и Уу, которую рассматривали выше (§ 6).
Если бы рабочая точка была выбрана не на середине харак-
характеристики, то для аппроксимации характеристики (рис. 140) поли-
полиномом надо было бы взять в D8.6) еще члены, содержащие вторую
и другие степени А V.
Установим связь между управляющим напряжением и коле-
колебаниями в контуре. По схеме рис. 139 видно, что напряжение
на аноде лампы 7а равно:
УЛ = ЕЛ-Ь^-НП. D8.7)
Полагаем, что во время процесса ток в цепи сетки равен нулю;
тогда напряжение на сетке лампы
У0 = Е0±М*^. D8.8)
В формуле D8.8) перед коэффициентом связи М поставлено
два знака, так как перемена концов одной из катушек при не-
неизменном расположении их ведет к изменению знака коэффи-
коэффициента М.
Подставив D8.7) и D8.8) в формулу для управляющего напря-
напряжения D8.4), получим:
(± М — ЭЬ) в11: —2)/?/:, D8.9)
с1с

§ 48] ГЕНЕРАТОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ КОЛЕБАНИЙ 191
Вспоминая D8.5), изменение управляющего напряжения можно
записать так:
й1 D8.10)
1±
Предполагаем, что в генераторе будут иметь место почти сину-
синусоидальные процессы с частотой, близкой к собственной частоте со.
Тогда при достаточно большой добротности контура можно пре-
пренебречь последним членом в D8.10). Действительно, ВЬй1ь1й1
имеет амплитуду ОЬсо1ь0, где 1ь0 — амплитуда тока; последний
член имеет амплитуду ДВ//,0, которая при (^ = -^- будет в () раз
меньше амплитуды предыдущего члена (() ^> 1).
Введем новую переменную х = Д — 1-А0; тогда уравнение гене-
генератора D8.3), учитывая характеристику лампы D8.6) и D8.10),
можно после преобразования записать так:
х + со2# = (а — ух*)х, D8.11)
где для сокращения приняты следующие обозначения:
а = со2 (±МЗ—ЬЗИ —
у==^^ D8.12)
Уравнение D8.11) — нелинейное дифференциальное уравнение,
содержащее третью степень от х. Таким образом, анализ процес-
процессов в генераторе сведется к решению и исследованию нелиней-
нелинейного дифференциального уравнения D8Л1).
Прежде чем перейти к этому вопросу, отметим, что важный
практический вопрос о возбуждении колебаний в генераторе,
или, как говорят, о «самовозбуждении колебаний», можно решить
(в данном случае) рассмотрением линейного приближения уравне-
уравнения D8.11), полагая в нем у — 0. Это физически значит, что мы
пока рассматриваем только малые колебания около состояния
равновесия, при которых характеристику лампы D8.6) можно
считать линейной (см. рис. 140).
Тогда вместо D8.11) можем записать:
х— ах + аЛс = 0. D8.13)
Из этого уравнения видно, что колебания будут нарастать, если
а>0, или по D8.12)
М8 — ЬИ8 — КС > 0. D8.14)
Обычно член ЬВ8 очень мал; тогда, как и ранее (§ 6), получаем
«условие самовозбуждения»
или 8>П°. D8.15)

192
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 9
В том случае, когда генератор имеет колебательный контур
в цепи катод — сетка, а катушку обратной связи в анодной цепи
(рис. 141), уравнение генератора при тех же предположениях
будет иметь несколько иной вид. Если возьмем такую характери-
характеристику лампы, которая показана
на рис. 140 и представлена
D8.6), то уравнение генератора
будет
х + <оая = (а — ух*)х, D8.16)
где х — напряжение на конден-
конденсаторе контура, а
-г> D8.17)
Отличие D8.16) от D8.11),
если не обращать внимания на
величину параметров а и у, только в виде нелинейного члена:
ранее в D8.11) было ух3, теперь в D8.16) — ух2х. Рекомендуем чита-
читателю в качестве упражнения проделать вывод уравнения D8.16).
Отметим, что при анализе уравнений D8.11) и D8.16) не будет
принципиальной разницы между ними, кроме некоторого разли-
различия в окончательном результате, о котором будет сказано ниже.
§ 49. Анализ и решение нелинейного уравнения генератора
В математике нет регулярных методов решения нелинейных
уравнений. Поэтому приходится пользоваться приближенными
методами.
Многие методы приближенного решения нелинейного уравне-
уравнения генератора разработаны советскими учеными и инженерами.
Технические методы расчета электронных генераторов были
созданы М. В. Шулейкиным, А. И. Бергом, М. А. Бонч-Бруевичем
и др.; на основе этих методов Ю. Б. Кобзаревым и др. разрабо-
разработана «квазилинейная» теория генератора. Н. М. Крыловым и
Н. Н. Боголюбовым около 30 лет назад предложен символиче-
символический метод решения нелинейных задач и, в частности, задачи об
электронном генераторе. Примерно в то же время физиками и
радиотехниками школы Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси
на основе работ знаменитого русского математика А. М. Ляпунова и
французского ученого А. Пуанкаре были предложены специальные
методы анализа нелинейных уравнений автоколебательных систем.
Изложение всех этих методов выходит за пределы нашей книги,
поэтому мы ограничимся изложением только некоторых из них.

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 193
1. Метод переменной амплитуды
(метод Ван дер Поля)
Этот метод является простейшим способом приближенного
решения уравнения генератора для случая, когда колебания в нем
близки к синусоидальным. Математическое обоснование метода
было дано Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси.
Допустим, что решение уравнения D8.11) имеет такой вид:
ж (*) = 4 @ «юз о*, D9.1)
где А (I) — «медленно меняющаяся» функция времени I, Или при
изменении I на несколько периодов То = 2я/со величину А (I)
можно считать почти постоянной.
Справедливость представления решения в таком виде можно
легко объяснить, если величины а и у достаточно малы. Действи-
Действительно, при а —>- 0, -у -> 0 решение D8.11) будет чисто гармониче-
гармоническим; если а и у достаточно малы, решение должно быть близко
к гармоническому, по крайней мере на некотором участке вре-
времени. При больших значениях а и -у предположения D9.1) сделать
нельзя.
Но в случае генератора почти гармонических колебаний вели-
величины а и у действительно являются малыми величинами и поэтому
предположение D9.1) имеет определенные основания.
Математически условия медленности изменения А (I) можно
записать так:
Подставив D9.1) в уравнение генератора D8.11), получим:
д,А с12А Г / ЗА \2~|
— 2 -т- СО 81П (й1 + -^ СО5 СО/ = СЬ — ^ ( — Со4 51П Ы + ~зт СО8 СОМ X
X (— (О А 81П СО/ + ^ СО8 (х)А . D9.3)
Принимая во внимание условия «медленности» D9.2), после неко-
некоторых простых тригонометрических преобразований можем напи-
написать уравнения D9.3) так:
2 ^ — а А + -| усоМ3) 81П со* =
81П Зсо/ + малые члены. D9.4)
Далее предполагается, что функция А (I) будет представлять
приближенное решение уравнения генератора и тогда, когда
7 С, П. Стрелков

194
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
имеет место следующее дифференциальное уравнение для А (/),
так называемое «уравнение амплитуды»:
А
D9.5)
Уравнение D9.5) можно понимать как следствие D9.4), если
допустимо пренебречь в нем малыми членами и членом с часто-
частотой 3@. Математически справедливость такого пренебрежения
здесь не обоснована, это сде-
сделано Мандельштамом и Папа-
лекси, о чем скажем ниже.
Теперь задача сводится к ин-
интегрированию линейного урав-
уравнения D9.5) для «амплитуды»
А (I), которое можно записать
так:
Рис. 142.
Выполняя интегрирование и преобразуя, получаем зависимость
«амплитуды» А (I) от времени:
л /а /«
4
~Т*]е~
D9.6)
где а — начальная «амплитуда». При I -> оо А (I) стремится к пре-
пределу
Аа = - V ^-
D9.7)
это — амплитуда стационарного автоколебательного режима.
График А (I) показан на рис. 142. Амплитуда колебаний от
некоторого начального значения а нарастает почти по показатель-
ному законуаехру, затем нарастание постепенно прекращается,
и амплитуда становится постоянной. Колебания принимают ста-
стационарный характер, в генераторе имеет место стационарный
автоколебательный режим.
Отметим, что только приближенно стационарный режим можно
представлять себе как гармоническое колебание с частотой со
и амплитудой Ао. В действительности стационарный автоколеба-
автоколебательный режим всегда негармонический, но достаточно близок
по виду к тому гармоническому режиму, который найден теорети-
теоретическим путем.

§ 49]
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА
195
Картину возбуждения колебаний можно представлять теперь
так. От некоторого начального толчка возникли колебания с «ам-
«амплитудой» а, которые через некоторое время, «время установле-
установления», практически очень небольшое, превратятся в стационарные
автоколебания.
Для того чтобы убедиться в том, что стационарный периоди-
периодический режим, который теоретически будет осуществлен при 1-±оо,
будет существовать и в реальной системе, необходимо исследовать
(определить) устойчивость полученного стационарного режима.
Это исследование можно сделать, анализируя D9.6) или, еще про-
проще, прямо уравнение D9.5).
Действительно, пусть
А (I) ^> Ао, т. е. «амплитуда»
больше стационарной; тогда,
Следовательно, «амплитуда»
убывает с течением времени
и режим колебаний стремится
к стационарному. Так же
при А (I) < Ао всегда
«Амплитуда» колебаний
А (I) от любых начальных
значений стремится к стацио- Рис. 143.
нарному значению Ао. Сле-
Следовательно, после переходного режима в генераторе, свободном
от всяких внешних воздействий, возникает устойчивый стацио-
стационарный периодический процесс.
Автоколебания на фазовой плоскости представляются так
называемым предельным циклом (рис. 143). Предельный цикл есть
замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе,
при I -+ оо стремятся все интегральные кривые. Изображающая
точка внутри цикла движется по раскручивающейся спирали и
приближается к циклу, а вне цикла движение происходит по скру-
скручивающейся спирали и точка также приближается к циклу.
Предельный цикл представляет стационарный режим с опре-
определенной амплитудой, не зависящей от начальных условий;
а определяющейся только устройством системы. Существование
предельного цикла на фазовой плоскости есть основной признак
автоколебательной системы вообще. Очевидно, что при автоколеба-
автоколебательном процессе фаза колебаний может быть любой.

196 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
Действительные автоколебания в системе будут отличаться от
синусоидальных, предельный цикл будет не эллипсом, но близкой
к нему кривой. Стационарный гармонический режим с амплиту-
амплитудой Ао очень близок к действительным автоколебаниям.
Таким образом, сравнительно простой приближенный метод
правильно дает основные, существенные элементы физической
картины процессов, возникающих в генераторе, и практически
достаточно точно определяет величину колебаний.
Отметим для справок, что если генератор имеет контур в цепи
сетка — катод (рис. 139), уравнение которого дано ранее D8.16),
то амплитуда стационарного режима будет
Л = 2у^-, D9.8)
а уравнение для амплитуды
Рекомендуем в качестве упражнения произвести проверку фор-
формул D9.8) и D9.9).
2. Обоснование метода медленно
меняющихся амплитуд
Хотя приближенное решение уравнений автоколебательных
систем, изложенное в предыдущем разделе этого параграфа, вполне
правильно, однако такое утверждение можно было сделать только
после работы Л. И. Мандельштама и Н. Д. Папалекси, посвящен-
посвященной этому вопросу. Действительно, получение основного «урав-
«уравнения амплитуд» D9.5) из D9.4) после пренебрежения третьей
гармоникой совершенно не очевидно. Так как методом перемен-
переменной амплитуды пользуются при исследовании автоколебаний, то
рассмотрим более строгий способ получения приближенных «урав-
«уравнений амплитуд», предложенный Мандельштамом и Папалекси
в более общей форме.
Уравнение автоколебательной системы, например D8.11) или
D8.16), можно в общем виде записать так:
х + оЛс = ц/(я, х), D9.10)
где / (х, х) — некоторый полином от х и х, а \х — «малый пара-
параметр», некоторая малая величина, характеризующая относитель-
относительную величину правой части. Очевидно, что при \х -> 0 система
обращается в гармоническую: если [х Ф 0, но достаточно мало, то
система близка к гармонической. Здесь рассматриваются только

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 197
такие нелинейные уравнения. Предположим, что решение уравне-
уравнения D9.10) можно записать так:
х{г) = иB)81П(о* —г?@со8(о*, D9.11)
где и (I) и V (I) — некоторые функции времени. Очевидно, что это
всегда можно сделать. Так как введено две функции и и V, то
можно на них наложить еще одно дополнительное условие, кото-
которое и выберем в таком виде:
ггзшсо^ — Ь соз со/ = 0. D9.12)
Подставляя D9.11) в уравнение D9.10) и учитывая D9.12), полу-
получаем:
и СОЗ (О/ + V 51П О)/ =
= ^ / { изшсо/ — г; соз со/, со (гг созсог + г?зт со/)}. D9.13)
Если умножим D9.13) на со8 @1, а D9.12) на зш со1 и сложим,
то получим:
и = ^/со8а>*, D9.14)
где в функцию / вставлены значения ж и ж по формуле D9.11)
с условием D9.12).
Точно таким же образом, умножая D9.13) на зт <о1, а D9.12)
на соз со1 и вычитая, получаем второе уравнение:
Ь = Ь/31П@^ D9.15)
/ (х, х) — по условию полином, поэтому правьте части уравнений
D9.14) и D9.15) можно представить всегда в виде функций от и
и V, умноженных на 81П пЫ и соз п(й1, где п = 0, 1Г 2, 3,..., к,
к равно показателю старшей степени полинома /. Следовательно,
уравнения D9.14) и D9.15) можно записать так:
|эп(и, г?) 31п па>1 + фп (и, V) соз пЫ \,
D9.16)
Уравнения D9.16) являются точными уравнениями для опреде-
определения функций и ж V.
Пока сделана только замена переменных; вместо уравнения
D9.10) имеются два уравнения первого порядка для функций и
и V D9.16), которые связаны условием D9.12).

198 АВТОКОЛЕБАНИЯ ГГЛ 9
Однако, если иметь в виду решения, близкие к гармоническим,
при малом |л, то следует ожидать, что и (I) и V (I) будут очень мало
изменяться в течение периода То = 2тс/со, так как при \х = О
и и V будут постоянными величинами. Поэтому можно при при-
приближенном определении и и V отбросить в уравнениях D9.16)
члены, содержащие 8ш пш1 и со8 пЫ, и решать так называемые
«укороченные» уравнения:
<49Л7>
которые несравненно более просты, чем уравнения D9.16).
Авторами метода было строго доказано, что решения D9.17)
на определенном участке времени, тем большем, чем меньше [г,
близки к решениям D9.16). Доказательство простое, но требует
значительного места, поэтому мы его опустим *).
Метод составления «укороченных» уравнений D9.17) здесь
вполне ясен, и им часто пользуются при решении автоколебатель-
автоколебательных задач. Необходимо в правую часть уравнения D9.10) под-
подставить
X = и 8Ш СО^ — V СО8 СО^,
X = СО (и СО8 СО/ + V 8111 СО/),
умножить на соз со/ (или на зт со/), выделить член, не содержа-
содержащий синусов и косинусов, и подставить его в правую часть D9.17)
вместо [х/х (и0, у0) (или вместо \х{2 (м0, г;0)).
При таком способе получения «укороченных» уравнений для
приближенного определения амплитуд и0 (I) и г;0 (I) можно уяснить
вопрос, почему в уравнении D9.16) члены с сое пы и 8П1 пы1
не играют существенной роли. Так как функции и ж V меняются
очень мало за достаточно большое число периодов То, то влия-
влияние в D9.16) членов с синусами и косинусами будет с течением
времени компенсироваться, ибо среднее значение от гармониче-
гармонической функции равняется нулю.
Укороченные уравнения для генератора с контуром в цепи
анода (уравнение D8.11)), будут иметь следующий вид:
й0 = у [сшо — -|- усоЧ (и20 + VI
1Г 3
V о = ^ [Щ — т
(и\ + гф^,
*) См. А. А. Андронов, А. А. В и т т иС. Э. X а й к и н, Теория
колебаний, Физматгиз, 1959,

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 199
которые подстановкой А2 = и\ -\- у\ могут быть сведены к урав-
уравнению
**^(|) D9.19)
совершенно совпадающему с D9.5). Из системы уравнений D9.18)
видно, что
Поэтому функции и0 и г;0 отличаются только на произвольный
постоянный множитель и, следовательно, решение D9.19) дает
все необходимое. Произвольный множитель определяет только
начальную фазу автоколебаний, которая может быть какой угодно.
3. Метод Андронова и Витта
(метод малого параметра)
А. А. Андронов и А. А. Витт разработали метод определения и
исследования периодических решений уравнения генератора (не-
(нелинейного уравнения вида D9.10)) при помощи рядов. Этот метод
подробно изложен его авторами в книге «Теория колебаний»
Андронова, Витта и Хайкина. Здесь мы не имеем места для пол-
полного описания этого метода, поэтому ограничимся кратким изло-
изложением его основ.
Введем в уравнение D8.11) некоторый безразмерный пара-
параметр \1 следующим образом:
а = ца, ^ = №',
тогда D8.11) можно записать так:
х + сЛс = (х (а — Vх*) х, D9.20)
или в общем виде:
х + аЛс = ц,/(я, х). D9.21)
Если [г -> 0, то решения уравнения D9.21) стремятся к гармо-
гармоническим. При |Л = 0 решения уравнения D9.21) на фазовой
плоскости будут представлены совокупностью концентрических
эллипсов. Предполагаем, что D9.21) имеет какое-то определенное
периодическое решение; тогда, в силу непрерывности изменения
решения уравнения при изменении параметра, периодическое
решение уравнения будет при малом \1 ф 0 представляться неко-
некоторой замкнутой кривой, расположенной вблизи одного из эллип-
эллипсов системы при \1 = 0. Если будет найден этот эллипс, то будет
уже многое известно о периодическом решения уравнения D9.21),

200
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Пусть таким эллипсом, соответствующим приближенному ре-
решению
х0 A) = А соз (со^ + ф), D9.22)
будет эллипс В на фазовой плоскости (рис. 144). Предельный
цикл, соответствующий точному периодическому решению, распо-
расположится как-то вблизи этого эллипса, цикл обозначен кривой С.
Выберем начало отсчета времени так: изображающая точка при-
приближенного решения х0 при I = 0 находится в точке 1 {А, 0),
а изображающая точка для истинного периодического решения
находится в точке 2 (А A + Р), 0), причем р <^ 1. Ясно, что распо-
расположение начальных точек на оси абсцисс не имеет принципиаль-
принципиального значения. Тогда истин-
истинное периодическое решение
х (I) можно представить раз-
разложенным в такой ряд:
D9.23)
Это решение имеет период
Рис. 144.
где т — маленькая величина
при достаточно малом \1. Оче-
Очевидно, что начальные значе-
значения приближенного решения D9.22) и точного решения D9.23)
при 1 = 0 для движений, начинающихся из точек 1 и 2 (рис. 144),
можно записать так:
D9.24)
где Р <^ 1, так как цикл прилегает близко к эллипсу. Заметим,
что
V / 0 V / "~1— М*!. 1 \ / I г 2\ / I г^ 3 V / —I— • • • \~хО• Сак))
и поэтому начальные условия для остальных функций, входящих
в D9.23), будут:
х» @) = А,
D9.26)

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 201
Подставляя D9.23) в уравнение D9.20) и приравнивая члены
при одинаковых степенях [г, при Р, [гр и т. д., получаем следую-
следующую систему уравнений для последовательного определения
функций хх (I), х2 (I), ...:
хх -\-<й*хх = (а— ух$)х0,
х2 + со2#2 = 0,
хи D9.27)
Уравнения D9.27) при начальных условиях D9.26) и D9.24)
можно последовательно решить и получить с любой степенью
точности решение х (I) D9.23). Очевидно, решения уравнений
D9.27) будут:
х0 = А соз со^,
1
х1 = \(а— ух20) ^о зт со (г — I) ЛЬ,
0 D9.28)
х% = А соз со/,
Таким образом, на некотором отрезке времени можно пред-
представить любое решение уравнений D9.20), но мы ищем периоди-
периодическое решение, поэтому D9.23) должно еще удовлетворять сле-
следующим условиям периодичности:
х(Т) = х@), х(Т) = х@). D9.29)
где Т = То + ти То = 2 л/со —период нулевого приближения х0 (I).
Очевидно, что х (Т) можно разложить в ряд
х (Т) = х (Го) + хх (То) + 1 хЧ (Го) + ..., D9.30)
который, учитывая D9.23) и D9.25), можно записать так:
х (Т) = хй (Го) + рая (Г„) + рж, (Г„) + ...
... + т [х0 (Го) + ^1G10) + р*2(Г„) + ...] + ...
Подставляя это выражение в первое условие D9.29) и принимая
во внимание D9.28) и D9.24), получаем:
х(Т) = А+ рх1(Т0) + $А + ... + х[рх1(Т<))+ ...] + ...
...= ж@) = А + Лр. D9.31)

202 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
Следовательно, для того чтобы удовлетворить условиям периодич-
периодичности с точностью до членов первого порядка [г, необходимо
подобрать величину А так, чтобы
хг(Т0)=0,
или по D9.28):
То
^ (а — со2у А2 51п2 <х>%) А з1п2 со^ ЛЬ = 0. D9.32)
о
Выполняя выкладки в D9.32), получаем условие для опреде-
определения амплитуды А в следующем виде:
отсюда амплитуда нулевого приближения х0 периодического
решения:
Д = 2 л/Ж = А1/^. D9.33)
3-у со г З^у со г Зу ч ;
А
со
Следовательно, амплитуда нулевого приближения имеет такое же
значение, как и полученная ранее, по методу переменной ампли-
амплитуды D9.7). А — амплитуда того гармонического колебания си-
системы при (л = 0, которое близко к действительному автоколеба-
автоколебательному движению. Эллипс гармонического колебания с ампли-
амплитудой А лежит вблизи предельного цикла (рис. 144). Форма авто-
автоколебаний определена пока только в нулевом приближении: ее
можно определить точнее, если есть необходимость, пользуясь
формулами D9.28).
Практически часто нет необходимости определять точно форму
автоколебаний, важнее знать изменение периода т.
Если выписать условия периодичности для производной х {I)
D9.29) и использовать D9.30), то можно определить и величину т.
Действительно, второе условие D9.29):
х (Г) = х @) = 0 = х (Го) + хх (То) + ...
Го) + §Хъ (Го) + . . . + XX, (Го) + Х^'Х, (Го) +
№2 (Го) + ... = 1**1 (Го) + гх0 (То) + ... D9.34)
Удовлетворяя условию D9.34) для членов первого порядка,
получаем:
или по D9.28):
г = ^хг(То). D9,36)

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 203
Отметим, что в общем случае, когда уравнение типа D9.21)
записано в виде D9.10), формула для определения стационарной
амплитуды нулевого приближения, аналогичная D9.32), будет
иметь такой вид:
То
\ I {А СО5 0)^, — (дА 51П 0)|) 5И1 0)| С^ = 0. D9.37)
о
В этом легко убедиться, если провести все рассуждения для
нелинейного уравнения с малым параметром в общем виде D9.21).
Формула D9.37) представляет амплитуду при 81П со/ в разложении
функции / {х, х) в тригонометрический ряд после подстановки
х = А сое со/.
Уравнение для определения стационарной амплитуды D9.37) можно
получить значительно проще следующим путем. Для уравнения генератора
в виде D9.10) всегда можно при достаточно малом \1 записать любое решение
так:
х (I) = х0 (*) + ^ @ + |х«яг, @ + ... D9.38)
Подставляя выражение D9.38) в уравнение D9.20) и приравнивая нулю
члены с одинаковыми степенями \х, получим следующую систему уравнений
для последовательного определения функций х0, хъ х2, ...:
а? о + со2#0 = 0,
х! + (й2хх = (а — у х 2) х01
* 2 + со2*2 = (а - Зух I) х19 D9.39)
Решением уравнения нулевого приближения, первого уравнения из D9.39)
являются гармонические колебания
х0 = А соз (со/ + ф). D9.40)
Для функции хг (I) имеем такое уравнение:
х\ + ы2х1 = — [а — у (а2А2 зт2 (со/ + ф)] Лео вш (©*+ <р). D9.41)
Уравнение D9.41) есть уравнение с правой частью, как при вынужденных
колебаниях без затухания, при этом в правой части есть члены с частотой со.
.Следовательно, в решении будут члены, содержащие множителем время г, —
резонансные члены. Значит, хх (I) будет с течением времени неограниченно
возрастать. Поэтому, вообще говоря, при любом I нулевое приближение х0
(гармоническое колебание) будет как угодно отличаться от решения х.
Если предположим, что при малом \х периодическое решение уравнения
D9.20) остается всегда близким к какому-то гармоническому колебанию вида
D9.40) с амплитудой Ао, т. е. периодическое решение при малом \х при лю-
любом I близко к Ао соз (со/ + ф), то в правой части D9.41) должны отсутство-
отсутствовать члены с частотой со — резонансные члены. Тогда при I —* оо решение
для хх (I) будет ограниченным и, следовательно, при малом \1 искомое перио-
периодическое решение х (I) будет близко к х0 = Ао соз (со/ + ф).
Для определения Ао необходимо приравнять нулю в D9.41) амплитуду
у членов с частотой со, или, как говорят, «уничтожить резонансные члены»

204 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
в D9.41). Выполняя выкладки, которые мы уже делали ранее, получаем изве-
известное выражение D9.33).
Однако следует отметить, что на этом простом пути это все, что мы можем
получить. Так можно делать, когда необходимо только знание амплитуды
периодического решения в нулевом приближении. Для вычисления периоди-
периодического решения с любой степенью точности и для определения периода
этого решения также с любой степенью точности, при малом значении \х,
необходимо прибегать к более строгим методам.
4. Устойчивость периодического решения
Найдя тем или иным путем периодическое решение уравнения
генератора, еще нельзя сказать, что генератор будет совершать
колебания, соответствующие этому решению. Необходимо еще
решить вопрос об устойчивости полученного периодического ре-
решения.
Допустим, что система совершает определенные периодиче-
периодические колебания и в какой-то момент времени внешнее возмуще-
возмущение, которое всегда может иметь место в реальной системе, выво-
выводит систему из периодического режима. Что будет далее?
Если система через некоторое время вернется к прежнему
периодическому режиму, следовательно, он устойчив и будет
продолжаться далее. Если нет, то периодический режим неустой-
неустойчив и фактически не может существовать в системе в течение
какого-либо заметного времени.
Пусть уравнение генератора
х + аАс = ц/(я, х) D9.42)
имеет периодическое решение хп (г), устойчивость которого необ-
необходимо определить. В некоторый момент решение имеет вид
яп@+ *(/), D9.43)
где 2 (I) — результат возмущения. Полагая, что г мало по срав-
сравнению с хп и подставляя D9.43) в D9.42), получим:
хп + ъ + соХ + со22 = |л/ (хп + ъ, хп + ъ ) =
Отсюда, пренебрегая членами высших порядков, получим для %
уравнение с периодическими коэффициентами
1 D9.44)
Пусть 2>х и я2 — фундаментальная система решений уравнения
D9.44). Можно утверждать, что одно из фундаментальных ре-
решений — чисто периодическое, потому что основное уравнение

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 205
D9.42) не зависит явно от I. Действительно, в этом случае реше-
решение уравнения D9.42) обязательно содержит одну константу,
аддитивную времени I, т. е. если хп (I) есть решение, то и хп (I + С)
также есть решение, где С — любая константа.
Тогда можно представить себе такое возмущение, которое
изменит только константу С на величину АС; возмущенное пе-
периодическое решение имеет вид: хп (I, С + АС). Результат воз-
возмущения в данном случае можно принять за одно из фундамен-
фундаментальных решений D9.44) и записать так:
*! = *„(*, С + АС)-хп(^ С).
Это решение будет чисто периодическим, ибо разность двух пе-
периодических функций с одним и тем же периодом есть периоди-
периодическая функция.
Если запишем уравнение D9.44) в таком виде:
2+р(/)*+д(/)г = 0, D9.45)
/а/\
где, очевидно, Р = — \х[-)
то по теореме Лиувилля
г^-М^й"^*, D9.46)
где В — постоянная величина. В этом случае, когда
$/><Й>0 D9.47)
и возрастает со временем, то по D9.46) при I -> оо
2>\2>Ч — 2>\Ъ I = 0.
Отсюда, интегрируя, получаем:
1п %х = 1п я2 + 1п С или 22 = Сги
где С — константа. Следовательно, в этом случае и я2 будет пе-
периодической ограниченной функцией. Таким образом, условием
устойчивости является условие D9.47).
Условие устойчивости D9.47) для удобства практического
применения лучше всего сформулировать в таком виде. Функ-
Функция р{г)= — И'(я^) • — периодическая, поэтому ее можно
п п
разложить в ряд Фурье, или р (/) = — [X ( ^4 ) . = а0 -[- сумма

206 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
синусов и косинусов с частотами, кратными основной; а0 — посто-
* 1д1\
янныи член в разложении функции — р, [-— I . в тригономет-
тригонометрический ряд.
Если
а0>0, D9.48)
то условие D9.47) удовлетворяется, и решение хп (I) устойчиво.
Наоборот, при а0 <^ 0 решение хп (I) может быть неустойчиво.
Таким образом, для определения устойчивости решения нужно
взять производную от правой части основного нелинейного урав-
уравнения D9.42) по х, подставить в нее исследуемое периодическое
решение, разложить ее в тригонометрический ряд и определить
только знак постоянного члена. Если знак постоянного члена —
минус, то решение устойчиво.
В нашем случае для уравнения генератора D9.20)
а/ д
Подставляя сюда нулевое приближение периодического решения
х0 = Ао соз Ы, получаем:
р, (-4 ]. = а — -7Г- А^у — т> У&РА1 соз 2Ы.
Постоянный член, если по D9.7) Ао — ?_ I/ А равен:
4 а
а — положительная величина, следовательно, решение, нулевое
приближение которого равно х0 = Ао соз а>1, устойчиво.
Из изложенного видно, что теоретический анализ автоколе-
автоколебаний довольно сложен и громоздок. Пока мы ограничились
случаем, когда рабочая точка (рис. 140) находится в середине
характеристики; а если это не так, то число членов полинома,
представляющего характеристику на рабочем участке D8.6), уве-
увеличивается и вычисления становятся еще более громоздкими.
Поэтому чаще всего употребляется метод «укороченных уравне-
уравнений» D9.17), он быстрее и сравнительно простыми способами
ведет к цели.
Существуют и другие методы анализа автоколебательных
систем, например, упомянутый выше метод Крылова и Боголю-
Боголюбова. К сожалению, здесь мы не можем рассмотреть его, так как
это требует значительного места. Укажем только на один простой
метод анализа автоколебательных систем, правда не очень стро-
строгий, энергетический метод К. Ф. Теодорчика. Этот метод по срав-
сравнению с вышеописанными имеет сравнительно простой аппарат.

§ 49] АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕНЕРАТОРА 207
5. Энергетический метод Теодорчика
Проще всего показать основную идею энергетического метода
анализа автоколебаний на примере. Поэтому рассмотрим при-
применение этого метода к решению задачи об автоколебаниях в ге-
генераторе с контуром в цепи катод — сетка (рис. 141). Уравнение
генератора D8.16)
V + о27 = (а — уУ*) V, D9.49)
где V — напряжение на конденсаторе контура. Помножив D9.49)
на V и вспомнив, что о2 = 1/ЬС, можем преобразовать его так:
= ЬС*{а - уУ*) У\ D9.50)
_
где член —~— представляет магнитную энергию тока, ибо ток
контура I — СУ. Следовательно, в D9.50) справа стоит производ-
производная от полной электромагнитной энергии контура:
Если в контуре генератора имеется какой-либо процесс V (I),
то
УУ @ = ЬС* \ (а — ^У2) Р ей D9.51)
о
представляет изменение электромагнитной энергии колебаний за
время I. Если этот процесс стационарный и периодический, то
интеграл D9.51) равен нулю, или
\(а-уУ1)У№ = 0, D9.52)
0
где Т — период колебаний. Таким образом, всякий периодиче-
периодический процесс Уо (I) должен удовлетворять условию D9.52), и
наоборот, это условие может оказать существенную помощь при
отыскании возможных периодических режимов.
Однако из условия D9.52) нельзя определить форму колеба-
колебаний, вид функции Уо (I). На основе опыта или сравнения можно
предположить, что колебания имеют почти синусоидальную форму
с частотой со, и по условию D9.52) легко найти амплитуду ста-
стационарных колебаний. С помощью условия D9.51) можно также
исследовать устойчивость стационарных колебаний; если при уве-
увеличении амплитуды колебаний интеграл D9.51) становится

208 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ. 9
отрицательным, а при уменьшении — положительным, то данное
стационарное колебание устойчиво.
В методе Теодорчика необходимо задать форму, и тогда реше-
решение находится очень просто. В следующем параграфе покажем
применение этого метода для анализа режимов генератора с кон-
контуром в цепи катод — сетка.
§ 50. Влияние выбора рабочей точки характеристики
на автоколебания в генераторе
Энергетическим методом можно очень просто установить зави-
зависимость автоколебательного режима генератора от места рабочей
точки на характеристике лампы. Ранее предполагалось, что рабо-
рабочая точка, точка, соответствующая режиму лампы в отсутствие
колебаний, лежит на середине характеристики (рис. 140). При
разрыве цепи конденсатора в схеме (рис. 141) ток через лампу
будет *ао, а управляющее напряжение
Ууо = Ес + ОЕ&.
Точка гао и Ууо (рис. 138) — середина характеристики, место
максимальной крутизны *$0. По формуле D8.6) крутизна 5 в любой
точке будет
5 = ЩЩ = 5° Г #Н
Следовательно, крутизна убывает симметрично по обе стороны от
рабочей точки, что видно и на рис. 138.
Режим автоколебаний, который возникает в данном случае,
называется мягким режимом. Для возникновения этого режима
нужны маленькие начальные толчки, теоретически сколь угодно
малые, как это видно из D9.6). При плавном изменении пара-
параметров схемы плавно изменяется величина амплитуды стационар-
стационарных колебаний.
Действительно, по формулам D9.8) и D8.17) амплитуда напря-
напряжения на конденсаторе при стационарных колебаниях
-^. E0.2)
Также и амплитуда колебаний тока в генераторе с контуром анод-
анодной цепи (рис. 139) по D9.7) и D8.12) будет
2К-! /" М8 — КС - Ь8Р
У

§ 50] ВЛИЯНИЕ ВЫБОРА РАБОЧЕЙ ТОЧКИ НА АВТОКОЛЕБАНИЯ
209
Формула E0.3) может быть упрощена, если пренебречь членом
ЬИ, малым по сравнению с М\ тогда амплитуда колебаний тока
в генераторе
2К
соМ
ПС
' М8'
Рис. 145.
Из формул для амплитуды стационарных автоколебаний E0.2)
и E0.4) видно, что с плавным увеличением К амплитуда колеба-
колебаний будет плавно умень-
уменьшаться; с увеличением 6/г*
К амплитуда возрастает
и т. д.
Когда выбирают рабо-
рабочую точку не в середине
характеристики, тогда уже ч
нельзя представлять ее чч^
полиномом третьей степе- ^
ни. Например, если рабо-
рабочая точка сдвинута немного
вниз, как показано на
рис. 145, то необходимо, по крайней мере, учесть еще квадра-
квадратичный член и выражение характеристики будет иметь вид:
;а = гао + 5Д V + Р! (ДКJ — р2 (Д7K. E0.5)
Характеристика может быть составлена из трех кривых: пря-
прямой 5 • КУ, параболы Рх (АУJ и кубической параболы Р2 (Д VK
(рис. 146). Тогда теоретическая кривая E0.5) при соответствую-
соответствующем подборе коэффициентов будет близка к действительной
характеристике (рис. 145) только на некотором участке.
Если же рабочая точка будет еще более опускаться вниз,
например в точку А и ниже (рис. 145), то для более правильного
представления ее полиномом необходимо взять в полиноме,
по крайней мере, еще члены четвертой и пятой степени: р3 (Д VL
и Р4 (Д7M. Вычисления в этом случае усложняются, но, как
можно убедиться далее, для определения амплитуды нулевого
приближения члены характеристики с четными степенями (с р2
и Р3) не имеют никакого значения: амплитуда автоколебаний в ну-
нулевом приближении не зависит от них. Это видно из рассмотре-
рассмотрения формулы D9.37).
Действительно, формула D9.37) показывает, что при разло-
разложении / (,х0, х0) — правой части уравнения D9.10) — в тригономе-
тригонометрический ряд, если в нее вместо х0 подставить А соз Ш, ампли-
амплитуда при 81П ы1 будет равна нулю. Четные члены характери-
характеристики, входящие слагаемыми в / (х0, х0), в правую часть уравне-
уравнения D9.10), определяют постоянную составляющую и члены

210
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
с частотами 2ю, 4ю, ..., следовательно, они не войдут в формулу
для определения амплитуды, полученную из D9.37).
Почему величина четных членов характеристик не влияет на
амплитуду, можно просто усмотреть с помощью энергетического
Рис. 146.
метода. Запишем уравнения генератора с контуром в цепи сетки
D8.16) в следующем виде:
Е . И Л"
E0.6)
где V — напряжение на конденсаторе контура, Е — сопротивле-
сопротивление, Ь — индуктивность контура.
Если обозначим через 5 = -^ крутизну характеристики, то
уравнение E0.6) можно переписать так:
— — I/
М I У >
так как

§ 50] ВЛИЯНИЕ ВЫБОРА РАБОЧЕЙ ТОЧКИ НА АВТОКОЛЕБАНИЯ 211
Тогда энергетическое условие для амплитуды, соответствующее
формуле D9.52), можно представить так:
где Уо — колебания напряжения на конденсаторе при стационар-
стационарном процессе.
Если характеристика анодного тока в общем случае записана
так:
то крутизна
5 = 50 + 2$гУ + Зр21/2 + 4р31/3 + 5р474. E0.8)
Подставив E0.8) в формулу E0.7), видим, что члены с рх, Р3 всегда
будут равны нулю, если приближенно Уо = А соз сог. Физически
это значит: энергия, доставляемая в контур за период, завися-
зависящая от четных членов характеристики, равна нулю при любом
значении А.
Можно наглядно подтвердить этот вывод, если брать интеграл
E0.7) графическим способом следующим путем. Пусть Уо =
= А соз а>1] тогда
— VI E0.9)
Учитывая, что Уос11 = о?7о, подставляем E0.9) в E0.7) и полу-
получаем:
-1/^У0. E0.10)
Интеграл E0.10) следует представлять как интеграл по кон-
контуру. Величину его можно определить графически. На рис. 147, а
дана характеристика лампы, а на рис. 147, б — крутизна этой
характеристики *$, на рис. 147, в — кривая -51 -^ и эллипс,
соответствующий сомножителю ]/гА2 — Уо; все кривые начер-
начерчены в одном масштабе по оси Уо. Интеграл E0.10) мы берем
вдоль оси Уо от —А до +А, умножая значение кривой /51 — -^г
на значения верхней части эллипса, а затем от +^4 до —А,
умножая значение кривой на значения нижней ветви эл-
эллипса.

212
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Очевидно, что элементы интеграла E0.10), соответствующие
значениям Уо, лежащим между линиями а и Ъ (рис. 147, в), будут
положительными, и наоборот, лежащие вне этого участка будут
отрицательными. Следовательно, необходимо изменять значение А
до тех пор, пока положитель-
положительная часть интеграла E0.10)
не будет равна отрицатель-
отрицательной. То значение А, при кото-
котором IV± — 0, и будет амплиту-
амплитудой стационарного режима,
который приближенно пред-
представлен синусоидой. Преиму-
Преимущество такого способа в том,
что его можно применять при
любом виде характеристи-
характеристики г'а- Например, легко видеть,
что антисимметричная часть
крутизны*?, соответствующая
четным членам характеристи-
характеристики, всегда дает в интеграле
E0.10) величину, равную ну-
нулю. Действительно, одинако-
одинаковые элементы интеграла слева
и справа от нуля (рис. 148)
будут давать одинаковые ве-
величины различных знаков при
антисимметричной характе-
характеристике *?. Следовательно,
кривую для крутизны харак-
характеристики можно разбить на
две части: симметричную *?с и
несимметричную 5Н, и отбро-
отбросить несимметричную часть.
По определению
Рис. 147.
_ Л (Уо) - .У (- Уо)
[ 2
Отсюда видно, что если рабочая точка выбрана на характери-
характеристике выше точки В и ниже В' (рис. 149), то симметричная часть
крутизны характеристики в рабочей точке (Уо = 0) будет иметь
максимум. Точки и В и В' соответствуют значению 1/2 5макс.
Если рабочая точка лежит вне пределов интервала ВВ\ то сим-
симметричная часть крутизны имеет минимум в рабочей точке.

§ 50] ВЛИЯНИЕ ВЫБОРА РАБОЧЕЙ ТОЧКИ НА АВТОКОЛЕБАНИЯ
213
На рис. 150 показаны симметричная и несимметричная части
характеристики, когда рабочая точка лежит в интервале ВВ'
(рис.149,а) и вне его.Случай, когда рабочая точка лежит вне интерва-
интервала ВВ', соответствует жесткому
режиму автоколебаний. В этом
случае графическое вычисление
интеграла энергии E0.10) сле-
следует производить при помощи
кривых, показанных на рис. 151.
а)
Я
8;
К
7"макс
Рис. 148.
Рис. 149.
Из рис. 151 видно, что если амплитуда колебаний напряжений
на конденсаторе контура А лежит в интервале Оа\ то интеграл
энергии будет отрицателен. Это значит, что колебания с такой
а)
Рис. 150.
амплитудой должны затухать. Если А лежит в интервале ОЪ',
то интеграл при некотором значении Ао станет равен нулю и при
дальнейшем увеличении А будет положительной величиной.
Стационарный режим с амплитудой Ао будет неустойчивым.

214
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Небольшое уменьшение А поведет к тому, что интеграл энергии
станет отрицательным, и колебания будут затухать; увеличение А
ведет к положительным значениям интеграла энергии и к возра-
возрастанию амплитуды колебаний. И совершенно очевидно, что при
Рис. 151.
каком-то значении А > ОЬ' будет второй стационарный режим,
и этот режим будет устойчивым.
Обращаясь к формуле E0.8), видим, что
Членов с коэффициентами рх и Р3 не следует учитывать, и если
крутизна в рабочей точке больше 1/2 б'манс то отбрасывание
члена с коэффициентом р4 существенно не изменит решения;
вернее, отбрасывание этого члена не ведет к принципиальной
ошибке.
Если же крутизна в рабочей точке меньше половины макси-
максимального ее значения, то режим может быть жестким и для ана-
анализа необходимо учесть пятый член в полиноме, которым была
аппроксимирована характеристика лампы на рабочем участке.
Заметим, что коэффициенты /З^, Р1? Р2, р3, ... зависят от выбора
рабочей точки. Следует также иметь в виду, что нечетные члены
характеристики не влияют на автоколебательный режим только
при приближенном рассмотрении, в котором мы полагаем авто-
автоколебания синусоидальными; точнее, так будет всегда, если коле-
колебания во взятом приближении будут симметричны относительно
нуля.
Из рассмотрения рис. 151 можно убедиться, что картина
интегральных кривых на фазовой плоскости будет иметь в случае
жесткого режима примерно такой вид, как это показано на рис. 152.
Если начальные значения лежат внутри неустойчивого предель-

§ 51]
АНАЛИЗ ГЕНЕРАТОРНЫХ РЕЖИМОВ В РАДИОТЕХНИКЕ
215
ного цикла а', то колебания затухают. Если начальные условия
таковы, что изображающая точка лежит вне устойчивого цикла,
то эта точка с течением времени придет на устойчивый предель-
Рис. 152.
ный цикл а, в системе будет иметь место стационарный периоди-
периодический автоколебательный режим.
Картину на фазовой плоскости,можно легко получить и рас-
рассмотренными ранее методами: методом переменной амплитуды и
методом малого параметра.
§ 51. Анализ генераторных режимов в радиотехнике
(« квазилинейный метод »)
Изложенная выше физическая теория автоколебательных про-
процессов дает вполне правильное описание их. Но в радиотехнике
пользуются более простым, так называемым «квазилинейным ме-
методом». Суть его заключается в следующем: вначале задачу о ге-
генераторе решают так же, как о колебаниях в линейной системе,
а затем в решение вносят поправки, отражающие нелинейные
свойства системы. Очевидно, что такой метод не всегда может
дать верные ответы на не изученные еще вопросы, возникающие
при исследовании новых автоколебательных систем.
Однако благодаря наглядности и простоте «квазилинейный
метод» оказывает существенную помощь при эксперименте с ра-
радиотехническими генераторами и при техническом их расчете.
Основную цель этого метода можно показать на примере.
Возьмем генератор с контуром в цепи анода и представим его
в виде усилителя (или четырехполюсника), как это показано на

216
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Рис. 153.
рис. 153. Ради простоты считаем, что в режиме генерации (при
стационарных колебаниях) ток сетки равен нулю *). Задаем на
сетке гармоническое напряжение Уо соз со^ и ведем расчет напря-
напряжения на выходе Ув; оно, конечно, в силу нелинейности харак-
характеристики лампы будет несинусоидальным. Разлагаем напряже-
напряжение Ув в ряд Фурье, берем первую гармонику и подбираем так
величины Уо и со, чтобы первая гармоника колебания напряжения
на выходе была равна
Уо сое со г. Тогда очевидно,
что при соединении нако-
накоротко выхода со входом
Уо сое со/ представляет ста-
стационарный режим лампо-
лампового генератора незатуха-
незатухающих колебаний.
Физически такой под-
подход оправдывается относи-
относительной малостью высших
гармоник на выходе вследствие фильтрующего действия контура.
Несмотря на то, что в анодном токе лампы высшие гармони-
гармоники совсем не малы.
Для упрощения расчетов употребляют различные приемы.
Один из них это способ осредненной или средней крутизны харак-
характеристики лампы, иногда ее называют крутизной колебательной
характеристики лампы. Мы изложим его только для того случая,
когда можно считать, что анодный ток определяется только сеточ-
сеточным напряжением (тетрод, пентод). В этом случае, если подадим
на сетку лампы переменное синусоидальное напряжение с ампли-
амплитудой 70, то возникнут колебания анодного тока с той же частотой,
но, вообще говоря, совсем не гармонические. Разложим периоди-
периодические колебания анодного тока в ряд Фурье и возьмем только
основную гармонику. Пусть амплитуда колебаний анодного тока
основной частоты, частоты колебаний сеточного напряжения,
будет равна /а. Тогда средняя крутизна по определению будет
5 = {г. E1.1)
Это определение средней крутизны можно распространить и на
триод, но там Уо представляет амплитуду управляющего напря-
напряжения.
Очевидно, что $ зависит от величины амплитуды 70, и эта за-
зависимость различна для различного положения рабочей точки.
*) В общем случае это предположение совсем не обязательно.

§ 51]
АНАЛИЗ ГЕНЕРАТОРНЫХ РЕЖИМОВ В РАДИОТЕХНИКЕ
217
О
Напряжение
на сетке
8
о
Рис. 154.
и>
Легко убедиться в том, что если рабочая точка выбрана в се-
середине характеристики (рис. 154, а), то средняя крутизна будет
зависеть от амплитуды на
сетке так, как показано
на рис. 154, б. Средняя
крутизна 5 падает с увели-
увеличением амплитуды, при
Уо = О средняя крутизна
5 = а^, крутизне характе-
характеристики анодного тока в
рабочей точке. Если ра-
рабочая точка выбрана в
нижней части характери-
характеристики (рис. 155, а), то
средняя крутизна будет
иметь вид, показанный на
рис. 155, б. В этом случае
средняя крутизна с увели-
увеличением Уо нарастает, до-
достигает максимума и затем
опять спадает.
Рассмотрим колебания
в генераторе с контуром в
цепи анода (рис. 139) и пред-
предположим, что в контуре
имеют место периодические
колебания с частотой со,
близкой к собственной ча-
частоте контура. Тогда на сет-
сетку лампы подается сину-
синусоидальное напряжение
этой же частоты, но через
лампу проходит несинусои-
несинусоидальный ток. Однако бла-
благодаря резонансным свой-
свойствам контура ток частоты
2 со, 3 со и т. д. не окажет
почти никакого влияния на
колебания в контуре, ко- Рис. 155.
торые практически опреде-
определяются только колебаниями анодного тока основной частоты со.
Пусть амплитуда колебаний тока в катушке контура 1ьо
(рис, 139); тогда амплитуда напряжения на сетке
E1.2)

218 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
Амплитуда напряжения на контуре
^к - 1Ь0 (К + шЦ ^ шЫш E1.3)
так как можно пренебречь величиной Я по сравнению с шЬ при
большом значении добротности контура.
С другой стороны, по формуле A7.10) амплитуда напряже-
напряжения на контуре 7К0 и амплитуда анодного тока, тока через кон-
контур /а, будут связаны следующим соотношением:
уко~5д/а- E1.4)
Подставляя E1.2) в E1.1), получим:
затем подставим это значение амплитуды тока в E1.4) и, сравни-
сравнивая с формулой E1.3), получим окончательное выражение, уста-
навливающее зависимость
между средней крутизной и
параметрами системы при
стационарном режиме в таком
виде:
3 = ^. E1.5)
I Следовательно, в генераторе
^будут периодические колеба-
1/д пия с частотой со, если сред-
Ц?с няя крутизна, зависящая от
Рис. 156. амплитуды колебаний, будет
удовлетворять условию E1.5).
Обычно для определения стационарного режима берут график сред-
средней крутизны (рис. 156) и находят пересечение средней крутизны
с линией ВС/М, и таким путем определяют амплитуду колеба-
колебаний на сетке Уос. Зная Уос и найдя из формул E1.2) и E1.3)
определяют амплитуду напряжения на контуре в стационарном
режиме:
V ~ ^ Уп
кс ^ "м
Из рис. 156 видно, что если ЯС1М ^> ^макс, то колебания в гене-
генераторе невозможны. С плавным уменьшением Н или с плавным
увеличением М амплитуда колебаний будет плавно возрастать,
следовательно, в генераторе будет мягкий режим колебаний.

§ 51] АНАЛИЗ ГЕНЕРАТОРНЫХ РЕЖИМОВ В РАДИОТЕХНИКЕ 219
Условие устойчивости стационарного режима E1.5) можно выяс-
выяснить таким образом. Если гармонические (вернее, очень близкие к
гармоническим) колебания, имеющие место в контуре, таковы, что
амплитуда колебаний на сетке Уо меньше амплитуды стационар-
стационарных колебаний 70С, то, как показано на рис. 156, это означает,
что соответствующая данному Уо средняя крутизна лампы больше
ЯС/М или
Это условие означает: амплитуда колебаний анодного тока, созда-
создаваемая колебаниями на сетке, настолько велика, что колебания
анодного тока будут увеличивать колебания в контуре. Таким же
путем можно прийти к выводу, что при амплитуде колебаний Уо,
для которой
3(У0)<^, E1.6)
колебания в контуре будут убывать. Такие рассуждения под-
подтверждают, что режим, соответствующий условию E1.5), будет
устойчивым.
Условие стационарного режима E1.5) в данном случае имеет
такой же простой вид, как и условие самовозбуждения D8.15),
но только ранее крутизна $ была постоянной величиной, не за-
зависящей от амплитуды колебаний, теперь же средняя крутизна
6* — величина переменная, зависящая от амплитуды колебаний
на сетке. Переменная средняя крутизна учитывает нелинейность
характеристики лампы.
Аналогичными рассуждениями можно установить, что для
случая смещенной от среднего положения рабочей точки, когда
кривая средней крутизны имеет вид, показанный на рис. 157,
режим автоколебаний будет жестким. Проведем на этом графике
прямую КС1М и получим два возможных стационарных режима
Р^ос и 7ос, если /З'макс ^> ЯС1М. Легко видеть: если колебания
в контуре таковы, что Уо <^ Уос то они должны затухать, ибо
соответствующая им средняя крутизна меньше НС/М; если
Кос <С ^о <С ^ос то колебания должны возрастать, так как
в этом случае средняя крутизна больше ЕС/М. Следовательно,
стационарный режим, соответствующий амплитуде 7ос, будет
неустойчивым. Такие же рассуждения показывают, что стацио-
стационарный режим, соответствующий 7ос, будет устойчивым.
На рис. 157 можно проследить изменение режима колебаний
при изменении параметров. Например, если из состояния, кото-
которое изображено на чертеже, будем переходить к другим режимам

220
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
генератора, плавно увеличивая В — сопротивление контура,
то амплитуда колебаний будет плавно падать до некоторого зна-
значения Кос которое соответствует максимуму средней крутизны;
затем, при дальнейшем увеличении В колебания в генераторе
совсем прекратятся — прекратятся скачком. При обратном умень-
уменьшении В колебания не возникнут при Во = М/СЗШкс> ПРИ кото-
котором они исчезли, а начнут-
начнутся при значении В1 <^ /?0,
которое соответствует опу-
опусканию прямой ВС1М поч-
почти до точки В у причем коле-
колебания возникнут скачком,
с амплитудой, соответст-
соответствующей точке В' (рис. 157),
и амплитуда колебаний
будет больше, чем та, ко-
которая соответствует Во.
Зависимость амплитуды
С
Рис. 157.
колебаний от сопротивле-
сопротивления В будет иметь вид, примерно изображенный на рис. 158.
Такая же картина будет наблюдаться и при плавном изме-
изменении М.
Наличие скачков к нулю, возникновение колебаний скачком,
«гистерезисная» зависимость амплитуды от параметра — харак-
характерные признаки жесткого
режима.
В заключение заметим,
что «квазилинейный метод»,
очень близкий в некотором
отношении к энергетическо-
энергетическому методу, значительно проще
и удобнее, чем изложенные
ранее более точные методы
анализа нелинейных урав-
уравнений автоколебательных си-
систем. Действительно, про- Рис* 158*
стота здесь достигается тем,
что постулируют синусоидальный закон колебаний, пренебрегают
в первом приближении всеми гармониками и т. д.
Однако следует иметь в виду, что допустимость всего этого
доказывается только строгой теорией: зная результаты этой
теории, можно уверенно в каждом частном случае пользоваться
квазилинейными методами. Целый ряд новых явлений открыт
и исследован с помощью точной теории. Поэтому при исследова-
исследовании неизученных колебательных систем следует обращаться

52]
РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИЯ
221
к строгим методам анализа нелинейных уравнений. После того
как такой анализ сделан для определенного класса автоколеба-
автоколебательных систем, можно и даже следует пользоваться простыми
методами — квазилинейным и энергетическим.
§ 52. Разрывные (релаксационные) автоколебания
Рассмотренные нами в предыдущих параграфах автоколеба-
автоколебательные системы с почти гармоническими колебаниями всегда
имели в своем составе в качестве основного элемента линейную
колебательную систему (контур) с большим значением доброт-
добротности. Без обратной связи в основной колебательной системе
могли совершаться слабо затухающие собственные колебания,
близкие к гармоническим. В автоколебательной системе при «об-
«обратной связи» основной элемент опреде-
определяет частоту и форму автоколебаний.
Однако это не всегда так бывает. На-
Например, если добротность контура сильно
уменьшить, а «обратную связь» увеличить,
то в генераторе может быть автоколеба-
автоколебательный режим, при котором колебания
будут сильно отличаться от гармонических.
При определенных условиях характер
автоколебаний настолько сильно отли-
отличается от гармонических, что колебания
имеют вид почти «разрывных» колебаний.
Разрывными (или релаксационными) назы-
называют такие автоколебания, при которых
имеет место скачкообразное изменение во
времени некоторых колеблющихся вели-
величин. Конечно, строго говоря, таких колебаний не может быть, но
изменения происходят настолько быстро, что приближенно их пра-
правильнее рассматривать как «скачкообразные» изменения, как это,
например, делается при рассмотрении удара. В действительности
удар не происходит мгновенно, скорость ударяющихся тел ме-
меняется не скачком, но настолько быстро, что для очень многих
явлений достаточно правильно изменение скорости считать скач-
скачкообразным. Так же обстоит дело и при разрывных колебаниях.
Простейшим примером системы, в которой совершаются разрыв-
разрывные колебания, может служить известное еще в древности устрой-
устройство перемежающегося источника, схема которого показана на
рис. 159.
В пробку воронки А вделана изогнутая трубка В (сифон).
Вода из крана С заполняет воронку; как только уровень воды
Достигнет определенной высоты, начнет действовать сифон и вода
Рис. 159.

222
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 9
Рис. 160.
будет выливаться из воронки. Если расход воды через сифон
значительно больше притекающей воды из крана С, то уровень
воды опустится через некоторое время настолько, что сифон
перестанет действовать и начнется опять наполнение воронки.
Процесс колебаний количе-
количества воды в воронке д пока-
показан на графике рис. 160, а,
а колебания расхода воды о
показаны на рис. 160, б.
Количество воды в во-
воронке совершает «пилообраз-
«пилообразные» колебания, изменяясь
непрерывно, а расход воды
а совершает колебания со
«скачками». Конечно, только
пренебрегая инерцией воды,
устремляющейся в сифон в
момент его включения, можно
приближенно считать коле-
колебания расхода скачкообраз-
скачкообразными и автоколебания разрывными. Период колебаний опре-
определяется емкостью воронки, притоком воды через кран и рас-
расходом ее через сифон.
На таком же простом принципе устроен ряд электрических
систем, предназначенных для генерации пилообразных колебаний,
необходимых для самых разнообразных целей, прежде всего для
развертки в катодном осцил-
осциллографе. Например, колеба-
колебания в схеме с неоновой лам-
лампой, с тиратроном и т. д.
имеют тот же характер. Схема
системы с тиратроном пока-
показана на рис. 161. От источ-
источника постоянного напряже-
напряжения через диод заряжается
конденсатор С, параллельно
конденсатору включен тира-
тиратрон, газовая лампа с управ-
управляющей сеткой. Процесс
колебаний происходит так: перед включением конденсатор
не заряжен и тиратрон не проводит тока, по включении на-
напряжения конденсатор заряжается через диод; диод работает
в режиме насыщения, и ток через него практически во время
зарядки остается постоянным, поэтому напряжение на конден-
конденсаторе (и заряд д) растет пропорционально времени. Как только
Рис. 161.

52]
РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИЯ
223
напряжение на конденсаторе достигнет определенной величины
(заряд при этом равен д2), тиратрон вспыхивает и конден-
конденсатор разряжается через него. Ток тиратрона много больше тока
диода, поэтому напряжение на конденсаторе быстро падает до
такой величины (заряд ^1), при которой тиратрон гаснет, и снова
начинается процесс зарядки конденсатора. Очевидно, что здесь
полная аналогия с перемежающимся источником: заряд на кон-
конденсаторе аналогичен количеству воды в воронке, ток через кон-
конденсатор аналогичен расходу воды, емкость конденсатора — емко-
емкости воронки. Роль сифона выполняет тиратрон, роль крана, на-
наполняющего воронку, — диод и т. д. Колебания заряда # и тока
через конденсатор д будут иметь такой же вид, как и колебания
количества воды и расхода ее, которые были показаны на рис. 160.
Расчет периода колебаний, если известны емкость конденсатора
и характеристики диода и тиратрона, не представляет затруд-
затруднений.
Рассмотрим более сложную систему, в которой возможны
разрывные колебания, упрощенный генератор НС. Эта система
интересна еще тем, что изменением параметров в ней просто
—\лг
Рис. 162.
получить и близкие к гармоническим автоколебания и разрывные,
и, конечно, все промежуточные колебания. Принципиальная
схема такого генератора показана на рис. 162, где, как обычно,
опущены некоторые несущественные детали. Лампа Л1 входит
в состав колебательной системы и является основной, Л2 пред-
предназначена для изменения фазы колебаний и рассчитана так, что
работает только в линейном участке своей характеристики, по-
поэтому переменное напряжение на сетке первой лампы УС1 равно
кУС2, где к — коэффициент усиления лампы Л2 и 7С2 — пере-
переменное напряжение на сетке второй лампы. Принимая во внима-
внимание обозначения рис. 162, можно написать следующие уравнения,

224 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
пренебрегая сеточными токами:
= / + /с,
1сК + A + 1а)г = 0, E2.1)
С2 = — ЫЦ,
где все переменные величины представляют отклонение от рав-
равновесных значений. Исключая в E2.1) все величины, кроме /,
получим уравнение колебаний тока /
гЯС,1 + [г + Д A + Щ / + г! (- ЫЯ) + 1 ^ / Л = 0. E2.2)
Анализируя уравнение E2.2), отметим, что на линейном уча-
участке характеристики лампы Лх, где можно положить
/(— ЛД/) = — кЗВ1,
уравнение E2.2) представляет линейное уравнение некоторого
эквивалентного колебательного контура. Параметры этого экви-
эквивалентного колебательного контура таковы:
индуктивность 1,эк — гВСц,
сопротивление Пт = г + Я (\ + ^) — к8гЯу E2.3)
емкость Сэк = С.
Очевидно, что соответствующим подбором величины, в первую
очередь к — коэффициента усиления второй лампы и 6" — кру-
крутизны первой лампы, можно сделать сопротивление эквивалент-
эквивалентного контура достаточно малым, при котором собственные коле-
колебания тока / будут почти гармоническими затухающими колеба-
колебаниями.
Увеличивая к (или $), можно сделать сопротивление /?ок
отрицательным; при этом состояние равновесия в системе будет
уже неустойчивым и возникнут нарастающие колебания. Иначе
говоря, условие
йэк<0, или Н8>± + Ц\+% E2.4)
представляет условие самовозбуждения колебаний в генераторе ЯС
(рис. 162). Если при самовозбуждении абсолютное значение /?ои
достаточно мало и рабочая точка лампы Лх находится примерно

52]
РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИЯ
225
на середине характеристики, то в системе будут нарастать коле-
колебания, близкие к гармоническим, и установится, как и в обыч-
обычных рассмотренных ранее генераторах, режим автоколебаний
почти синусоидальной формы. Частота автоколебаний будет близка
к частоте эквивалентного контура, и, как легко получить из
E2.3), она приблизительно равна:
1 E2.5)
В этом случае система, показанная на рис. 162, представляет
генератор типа КС практически гармонических колебаний. Такие
генераторы в некоторых отношениях представляют ряд преиму-
преимуществ и находят широкое применение.
Подчеркнем существенное отличие роли электронной лампы
в генераторе типа НС от той, которую она имеет в генераторе
С
т
1
1
1
й
| /
| /
_у
В
Рис. 163.
Рис. 164.
с колебательным контуром. Хотя исследуемая система при вы-
выключенной первой лампе (разорвана цепь накала катода) и пред-
представляет систему с двумя степенями свободы, составленную из
двух контуров с сопротивлениями и емкостями (рис. 163), и коле-
колебания тока в этой системе управляются дифференциальным урав-
уравнением второго порядка, однако изменения тока / всегда будут
«лимитационными», или эквивалентный колебательный контур
будет «апериодическим»! () контура <С о )• Включение только пер-
первой лампы при соединении сопротивления Я прямо на ее сетку
увеличит сопротивление эквивалентного контура. Приключение
второй лампы, перевертывая фазу, дает возможность уменьшить
сопротивление эквивалентного контура (как видно по E2.3)) так,
что он станет колебательным контуром с большим значением доб-
добротности.
Следовательно, схема генератора ВС в результате ничем не
отличается от известных схем с колебательным контуром. Но
в этой схеме очень легко перейти к разрывным автоколебаниям,
например, уменьшением емкости конденсатора Ст0. Рассмотрим
8 С. П. Стрелков

226
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
колебания в схеме, показанной на рис. 162, при Со = 0. Уравне-
Уравнение колебаний тока / получим из E2.2), положив в нем Со = 0;
это означает, что индуктивность эквивалентного контура стре-
стремится к нулю. Уравнение для / имеет вид:
(г
= 0.
E2.6)
Обозначим заряд, создаваемый током / на конденсаторе С, через д,
или
д = \1<И, д=1. E2.7)
Тогда уравнение E2.6) можно переписать так:
С (г + Я) д + гС} (- кКд) г д = 0; E2.8)
оно дает связь между д и д\ это уравнение фазовой траектории
возможных колебаний заряда д.
Траекторию на фазовой плоскости (д, д) можно легко вычис-
вычислить, зная график характеристики / GС1) = / (—кКд). Предпо-
Предположим, для простоты черте-
чертежа, что характеристика со-
VI стоит из трех прямых линий
^- (рис. 164). Тогда, если усло-
условие самовозбуждения E2.4)
0
N
Траектория по
уравнению E2.3)
Рис. 165.
В
выполняется, траектория E2.8) на фазовой плоскости имеет вид,
показанный на рис. 165, а, движение изображающей точки
показано стрелками. Таким образом, колебания в системе будут
происходить так, что изображающая точка может двигаться по

§ 52] РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИЯ 227
ломаной линии СЛОВО. А что же происходит в остальных точках
фазовой плоскости? Об этом мы ничего из уравнения E2.8) узнать
не можем, ибо это уравнение первого порядка и содержит только
одну произвольную постоянную, фазовая плоскость вырождается
в кривую, которая и начерчена жирно на рис. 165, а. Поэтому
обратимся к уравнению второго порядка E2.2) и рассмотрим, как
из него получено уравнение первого порядка E2.6) при Со —>- 0.
На кривой САОВЪ, по уравнениям E2.6) и E2.2), при Со-> 0
ток I = с[ может иметь некоторое конечное значение, которое
получим из решения уравнения E2.6). В других точках фазовой
плоскости (д, с[) из уравнения E2.2) при Со ->- 0 следует, что
/ = д -> оо, так как в этих точках уравнение E2.6) не имеет
места и первый член E2.2) должен быть при Со -> 0 конечной ве-
величиной. Следовательно, в других точках фазовой плоскости будут
в пределе движения с бесконечными значениями —г- (б/),с бесконеч-
бесконечной скоростью изменения тока, «скачки шока». Другими словами,
фазовые траектории уравнения E2.2) при Со -> 0 вырождаются
в прямые линии, параллельные оси д, по которым изображающая
точка «движется мгновенно». Легко убедиться, сравнивая E2.2)
и E2.6), что справа от кривой САОВЪ «скачки» происходят вниз
(д = — оо), а слева от этой кривой «скачки» происходят вверх
(Я =.+ оо).
Теперь можно представить себе возможные движения изобра-
изображающей точки из начала, из положения равновесия, и вместе
с этим — процесс колебаний. Изображающая точка могла бы
выйти из начала по линии О А, или по линии ОВ, но так как дви-
движения по обеим этим линиям неустойчивы, то изображающая
точка совершит скачок при сколь угодно малом отклонении на
ветвь С А (или на ветвь ВГ>)\ движение точки по этой ветви устой-
устойчиво и точка будет двигаться к точке А (или к точке В); дойдя до
точки А, изображающая точка подойдет к неустойчивой области
и должна совершить скачок на ветвь ВБ, по которой она будет
двигаться до скачка в точке В, и т. д. Таким образом, в системе
возникнет периодическое движение, которое соответствует «циклу»
САБВС, состоящее из плавных изменений # и # на участках С А
и ВВ и скачков из точки А в точку О и из точки В в С
(рис. 165, б).
Зная «цикл» на фазовой плоскости, можно определить изме-
изменение заряда д на конденсаторе и тока д = /. Так как участки С А
и ОВ представляют прямые, на которых д = —тд + п, где т
и п — определенные постоянные величины, то при движении изо-
изображающей точки по этим участкам заряд д будет изменяться
по показательному закону; например, д = д2е~тг + #3 A —е~ш);
Для участка, начинающегося от точки С, значения величин д2
8*

228
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ. 9
и #3 видны на рис. 165, а. Кривые изменения заряда и тока, най-
найденные таким путем, показаны на рис. 166, а и б.
Рассматривая эти кривые и цикл на фазовой плоскости, видим,
что колебания происходят таким образом, что конденсатор С раз-
разряжается или заряжается, когда лампа Лх или полностью
Рис. 166^
заперта — при движении от С к А, или работает в режиме насы-
насыщения — при движении от В к В (рис. 164). По включении начи-
начинается зарядка конденсатора (движение по а А) после скачка тока,
ток зарядки падает и, следовательно, падает вместе с ним напря-
напряжение на сетке лампы Л2 и анодный ток этой лампы, поэтому на-
напряжение на аноде Л2 возрастает и возрастает Ус1 — напряжение
на сетке Лг. Дойдя до точки нижнего сгиба характеристики
(точка А), ток заряда конденсатора меняется скачком (^4 -> О),
напряжение на сетке Л2 становится отрицательным, конденсатор
начинает разряжаться, причем ток разряда падает, отрицательное
напряжение на сетке Л2 уменьшается, следовательно, анодное
напряжение второй лампы УС1 падает (движение по О В), затем
ток скачком изменяется (В -> С) и начинается опять зарядка кон-

§ 52] РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИЯ 229
денсатора. Анодное напряжение и ток лампы меняются скачками;
после скачков тока вверх при зарядке конденсатора С анодное
напряжение первой лампы Е& — 1г возрастает; при разрядке
конденсатора анодное напряжение Е& — 1аг + //• падает, так как
ток / имеет противоположное направление. Следовательно, и
в этой системе, как и в простейшей (рис. 161), происходит попе-
попеременно зарядка и разрядка конденсатора С в зависимости от
того, «заперта» или «открыта» лампа Лъ но процесс зарядки «ве-
«ведет» через лампу Л2 к «открытию» лампы Лг и наоборот, что и
вызывает скачки. Эта сложная система принципиально ведет
себя так же, как и перемежающийся источник с сифоном; так же
дело обстоит и в других системах, совершающих разрывные коле-
колебания.
В заключение отметим, что разрывные колебания предста-
представляют лишь схематически картину действительного процесса;
в действительности скачки тока происходят не мгновенно, а очень
быстро, малая емкость во время скачка имеет существенное зна-
значение, и потому путь изображающей точки на фазовой плоско-
плоскости не будет параллелен оси д, а будет иметь изгиб наружу, но
изгиб этот очень мал, поэтому приближенно его можно принять
за прямую, и скачки тока, показанные на рис. 166, не мгновен-
мгновенные, а относительно быстрые изменения тока, занимающие неко-
некоторое время. Подчеркнем еще, что для правильного анализа
разрывных колебаний необходимо было рассматривать предельный
переход от уравнения E2.2) к уравнению E2.6), только тогда мы
могли понять явления, происходящие при скачке.
Можно было бы очень наглядно представить себе все возмож-
возможные движения в рассмотренной системе, если разобрать довольно
сложное изменение картины^ на фазовой плоскости при плавном
изменении Со до нуля. Однако всегда следует иметь в виду суще-
существенные преимущества схематизации автоколебаний разобран-
разобранного типа как разрывных колебаний: теория разрывных колеба-
колебаний значительно проще, чем точная теория непрерывных колеба-
колебаний, и в то же время эта теория дает достаточно точные резуль-
результаты для практических расчетов генераторов пилообразных коле-
колебаний.
Необходимо отметить, что рассмотренная система в том виде,
как она показана на рис. 162, практически не употребляется для
генерации синусоидальных и релаксационных колебаний. Во-
первых, сейчас почти нет ламп с током насыщения, во-вторых,
использование батареи Бк явно нерационально. Поэтому для
генерации разрывных колебаний употребляются мультивибра-
мультивибраторы, схема которых показана на рис. 167. Это симметричная си-
система, и каждая лампа выполняет такую же роль, как первая
лампа в схеме на рис. 162.

230
АВТОКОЛЕБАНИЯ
[ГЛ 9
Здесь при соблюдении условий возбуждения происходит по-
поочередная (в «противофазе») зарядка и разрядка двух конденса-
конденсаторов, поочередное открытие и запирание ламп. Процесс проис-
происходит так: когда первая лампа заперта, то ее конденсатор заря-
заряжается и напряжение на сетке
второй лампы падает. В это же
время ток идет через вторую
лампу, ее конденсатор разря-
разряжается и напряжение на сет-
сетке первой лампы повышается.
Как только оно достигает ниж-
нижнего загиба характеристики,
то происходит скачок тока во
всех цепях — через первую лам-
лампу пойдет ток и конденсатор Сг
начинает разряжаться через нее;
этот скачок тока запирает вто-
вторую лампу и ее конденсатор
начинает заряжаться — лампы
поменялись ролями. И таким же
Рис. 167.
образом процесс продолжается
далее. Каждая лампа здесь поочередно «работает» почти также,
как и первая лампа в схеме рис. 162, с тем отличием, что во время
разрядки конденсатора ток лампы теперь изменяется, а там он
был постоянным (ток насыщения).
Мы не имеем возможности останавливаться на теории колеба-
колебаний в мультивибраторе, но для пояснения сказанного покажем
на рис. 168 «картину» колебаний в обеих лампах. На рис. 168, а
изображен ток через первую лампу в зависимости от /2 — тока
через второй конденсатор; тонкими стрелками показаны скачки,
а жирными — плавное изменение тока. Под этим графиком пока-
показана зависимость /2 (I), ось I направлена вертикально вниз. На
рис. 168, 6 показаны аналогичные зависимости для второй
лампы и тока 1г (I), только положительное направление 1г
влево.
Если в системе мультивибратора закоротить конденсаторы, то
получится не колебательная, но практически очень интерес-
интересная система — триггер. Легко показать, что для этой схемы
«естественное» состояние равновесия (токи через лампы одина-
одинаковы) будет неустойчивым, и система придет к устойчивому рав-
равновесию, когда одна лампа будет заперта, а другая открыта.
В силу симметрии схемы открытой может быть любая лампа. Си-
Система будет иметь два различных возможных устойчивых поло-
положения равновесия. Соответствующим возмущением можно пере-
перевести ее из одного положения равновесия в другое. Это обстоя-

¦ 52]
РАЗРЫВНЫЕ (РЕЛАКСАЦИОННЫЕ) АВТОКОЛЕБАНИИ
231
тельство и делает возможным применение триггера в качестве
основного элемента электронных счетно-решающих устройств.
Очевидно, что триггером может быть и мультивибратор (рис. 167),
если в нем не удовлетворяются условия самовозбуждения.
Плавное \ от а к б
изменение 1 от в /г г
Скачки \
Разряду
Заряде,
Разряду
Рис. 168,
Условие неустойчивого состояния равновесия для мульти-
мультивибратора и «естественно- с с с
го» состояния равновесия и п п
триггера одинаково. Его |» 1~~] || ] || | ||
можно записать в таком
виде: / | 1 #\
если помнить, что анод- рис 169
ный ток определяется
только сеточным напряжением. Здесь 5—крутизна лампы в рабочей
точке, г — анодное сопротивление и Л — сопротивление в цепи
сетки.

232 АВТОКОЛЕБАНИЯ [ГЛ 9
Для генерации синусоидальных колебаний с помощью
схем, содержащих только /? и С (генераторы КС), употребляются
также более простые, чем показано на рис. 162, практические
системы.
Одна из таких систем показана на рис. 169. Здесь одна лам-
лампа и все три «ячейки» НС имеют одинаковые параметры. Усло-
Условия самовозбуждения и амплитуду колебаний в этом генераторе
легко получить «квазилинейным методом», пренебрегая сеточным
током и полагая, что анодный ток определяется только сеточным
напряжением.

ЧАСТЬ II
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
У/////////А
У////////А
ГЛАВА 1
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ
СВОБОДЫ
§ 53. Замечания об определении числа степеней свободы
При определении числа степеней свободы колеблющейся си-
системы следует иметь в виду те оговорки, которые были сделаны
нами ранее, в § 1, при анализе систем с одной степенью свободы.
Обычный пример колебатель-
колебательной системы с одной сте-
степенью свободы (груз на пру-
пружине) можно рассматривать
как систему с двумя степе-
степенями свободы (рис. 170),
если иметь в виду и маятни-
кообразные колебания в вер-
вертикальной плоскости. Если
могут иметь место и колеба-
колебания груза в другой верти-
вертикальной плоскости, то коле-
колебания будут происходить,
как в системе с тремя сте-
степенями свободы. А если за-
зададим такие начальные усло-
условия, что возникнут колебания
отдельных колец пружины,
например в том виде, как
это показано на рис. 171, то такие колебания следует рассмат-
рассматривать как колебания в системе с бесконечным числом степеней
свободы.
Если тело имеет начальное смещение и скорость, лежащие
в одной вертикальной плоскости, то колебания аналогичны коле-
колебаниям в системе с двумя степенями свободы и т. д.
1
Рис. 170.
Рис. 171.

234 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ГГЛ 1
Но рассуждать так не всегда правильно. Например, если
частота маятниковых колебаний тела на пружине будет близка
к собственной частоте вертикальных колебаний того же тела,
или частота вертикальных колебаний будет в два раза более
частоты маятниковых колебаний, то при возбуждении вертикаль-
вертикальных колебаний возникнут маятниковые и наоборот. Здесь имеют
место сложные движения, но представить себе основную картину
этих сложных колебаний можно. Отведя груз вертикально вниз
и отпустив его, мы возбудим вертикальные колебания маятника,
но при этом от нашего толчка или от других случайных толчков
возникнут небольшие маятникообразные колебания. Система в
этом состоянии приближенно будет вести себя, как маятник
с переменной длиной. Длина маятника меняется с такой ча-
частотой, что возможен параметрический резонанс, и, следо-
следовательно, маятниковые колебания начнут усиливаться, конечно,
за счет уменьшения энергии вертикальных колебаний. Таким
образом, можно считать вертикальные колебания груза, под-
подвешенного на пружине, при определенных начальных усло-
условиях, движением с одной степенью свободы, если собственная
частота маятниковых колебаний не близка к собственной ча-
частоте вертикальных колебаний (или не близка к половине
частоты собственных вертикальных колебаний). Движения массы
в таком случае будут близки к вертикальным; «незаметные»
маятниковые колебания не изменяют принципиально движения
системы.
Как будет выяснено в этой части, всякая система имеет столько
собственных частот, сколько она имеет степеней свободы, и поэтому
вообще пренебрежение некоторыми степенями свободы допустимо
только в тех случаях, когда эти степени свободы связаны с часто-
частотами, значительно отличающимися по величине от тех частот,
с которыми колеблется система при данных начальных условиях.
Например, если частота колебаний пружины маятника в такой
форме, как это показано на рис. 171, будет очень велика по срав-
сравнению с частотой вертикальных колебаний массы на пружине,
то боковые колебания пружины очень высокой частоты хотя и
возникнут от некоторого случайного толчка, но совсем не бу-
будут заметны при вертикальных колебаниях от вертикального на-
начальною толчка. Поэтому допустимо считать пружину «безынер-
«безынерционной» и не обращать внимания на небольшое дрожание
колец пружины, которое имеет место при вертикальных
колебаниях.
Таким образом, возможность приближенного рассмотрения ко-
колебаний в сложной системе, как и в более простой, определяется
относительной величиной частот, связанных с неучитываемыми
координатами.

§ 54] ПРИМЕРЫ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 235
§ 54. Примеры системы с двумя степенями свободы
1) Двойной физический маятник (рис. 172). Тело А может
совершать малые колебания около горизонтальной оси О, тело В
Рис. 172.
Рис. 173.
совершает также малые колебания вокруг оси О', параллельной
оси О и неподвижно связанной с телом А.
Задача о колебаниях будет решена, если известно расстояние
между осями О ж О', расстояния от осей до центров массы этих
тел и моменты инерции тел.
2) Два груза, подвешенные
на пружинах (рис. 173). Здесь
имеются в виду вертикаль-
вертикальные колебания двух грузов
массы т1 и т2. Пример, пока-
показанный на рис. 173, б, принци-
принципиально ничем не отличает-
отличается от примера рис. 173, а.
3) Колебания балки, под-
подвешенной на двух пружинах
(рис. 174). В этом случае речь
идет о небольших колебаниях в вертикальной плоскости балки,
подвешенной на двух пружинах с коэффициентами жесткости ку и /с2.
Рис. 174.

236 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
Если известно положение центра массы балки, величина массы
балки и момент инерции вокруг горизонтальной оси, то задача
о колебаниях может быть решена.
4) Колебания в системе, состоящей из двух связанных электри-
электрических контуров.
Примеры таких систем можно видеть на рис. 175, а, б, в, г, д.
Связь между электрическими колебаниями в двух контурах может
г)
о
* II
Ц
II ?
II II
II
^ II
о
о
Ц
О
5о
щ
г
\\
Рис. 175.
быть осуществлена довольно разнообразным способом. Например,
на рис. 175, а показана индуктивная связь, на рис. 175, б — ем-
емкостная, на рис. 175, в — смешанная, на рис. 175, г — связь
также емкостная, но система отлична от системы, показанной
на рис. 175, б. На рис. 175, д показан пример гальванической
связи, связи через омическое сопротивление г в общей цепи.
§ 55. Парциальные системы и полная система
Из приведенных в предыдущем параграфе примеров видно,
что сложную систему можно рассматривать как систему, состоя-
состоящую из двух отдельных систем с одной степенью свободы, связан-
связанных друг с другом. Слово «связанные» здесь означает, что коле-
колебания в одной системе влияют на колебания в другой и наоборот.
Для физического анализа явления в сложной системе необхо-
необходимо знать характер колебаний в отдельных, как мы их будем
называть, парциальных системах, из которых составлена сложная
полная система. Прежде всего нужно знать, из каких парциальных

§ 55]
ПАРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ И ПОЛНАЯ СИСТЕМА
237
систем, систем с одной степенью свободы, составлена сложная
система; каким образом осуществлена связь,'взаимодействие между
колебаниями в парциальных системах, и как характер парциаль-
парциальных систем и связь между ними определяют процесс в полной
системе. Все это необходимо для того, чтобы выяснить картину
взаимодействия между двумя системами; выяснить, чем опре-
определяется взаимодействие между двумя контурами, от чего оно
зависит и когда практически им можно пренебречь и рассматри-
рассматривать колебания в каждой парциальной системе как в независи-
независимой. Обычно отвечают на эти вопросы так: когда связь малень-
маленькая, то можно рассматривать
каждую систему как отдельную.
Это правильно вообще. Но по
сравнению с чем связь должна
быть малая? И какую связь
следует считать достаточно боль-
большой? При какой величине связи
необходимо анализировать про-
процесс в данной системе, как
в сложной системе? — На все
эти вопросы можно дать ответ
только на основе анализа зако-
законов взаимодействия парциаль-
парциальных систем, составляющих слож-
сложную полную систему.
Отдельные или парциальные
системы, из которых составлена
полная система, вообще не
всегда можно определить одно- Рис*
значно. Например, в случае си-
системы, представленной на рис. 175, а, ясно, из каких контуров
состоит полная система, а в случае рис. 175, г и других это
совершенно не очевидно. Действительно, систему, показанную
на рис. 176, а, можно рассматривать как составленную из двух
таких контуров, которые приведены на рис. 176, б, или двух
контуров, показанных на рис. 176, в.
В дальнейшем будем связывать парциальные системы с неза-
независимыми координатами следующим правилом: парциальная си-
система, соответствующая данной координате, это такая система,
которая получится из полной системы в том случае, когда все
координаты системы, кроме данной, равны нулю тождественно.
Так как впредь всегда будем выбирать нуль каждой координаты
в положении равновесия, то тождественное равенство нулю коор-
координаты равносильно «жесткому закреплению», невозможности
движения по данной координате. Например, система, изображенная

238 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
на рис. 177, имеет две координаты хх и х2, соответствующие
деформациям пружины из положения равновесия; следовательно,
она состоит из двух парциальных систем: 1) соответствует вра-
вращению балки в вертикальной плоскости около точки прикрепле-
прикрепления к ней пружины к2, парциальные колебания совершаются
б/
Рис. 177.
на пружине с координатой хх (рис. 177, а), 2) соответствует вра-
вращению балки около точки прикрепления пружины кх (рис. 177, б).
Каждая парциальная система обладает определенной собствен-
собственной частотой, как система с одной степенью свободы. Будем обо-
обозначать парциальные частоты
через пх и п2.
В случае электрических
цепей тождественное равен-
равенство нулю какой-то коорди-
координаты соответствует разрыву
того элемента цепи, ток в ко-
которой мы приняли за незави-
независимую координату. Напри-
Например, в случае системы, изобра-
изображенной на рис. 178, примем
токи 1г и /2 за независимые координаты, тогда полная система
состоит из двух парциальных систем (рис. 179, а и рис. 179, б).
Из этих примеров видно, что разбиение полной системы на
парциальные может быть сделано различным способом, в зависи-
зависимости от выбора независимых координат. Например, для колеба-
колебаний балки на пружинах (рис. 174 и рис. 177) можно выбрать
другие координаты, именно: | — отклонение центра массы балки
Рис. 178.

§ 56] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ КОНТУРОВ
239
в вертикальном положении и \|) — поворот балки вокруг горизон-
горизонтальной оси, проходящей через центр массы. Тогда парциальные
системы будут совсем другими, чем изображенные на рис. 177,
одна система соответствует плоскопараллельному вертикальному
движению балки, вторая — вращательному движению вокруг оси,
проходящей через центр масс. Точно так же и для электрического
Рис. 179.
Рис. 180.
контура; например, для контура, показанного на рис. 178, можно
взять за координаты токи, идущие через катушки, и тогда пар-
парциальные системы будут другие; на рис. 180 изображены
контуры, соответствующие этим парциальным системам.
Вообще, в одной полной системе можно выбрать независимые
координаты самыми различными способами, следовательно, и раз-
разбить на парциальные системы можно также различными спосо-
способами. Движение в основной системе при данных начальных усло-
условиях будет одно и то же, но вид его в различных координатах
будет иным.
§ 56. Собственные колебания в системе двух электрических
индуктивно связанных контуров без затухания
Рассмотрим электрические колебания в двух контурах, свя-
связанных индуктивно; параметры контуров обозначены на
рис. 181. Если выберем за независимые координаты токи в кон-
контурах 1Х и /2, то уравнения для потенциалов в каждом контуре

240 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
можно записать так:
1x11+к $7* *
Парциальные частоты контуров будут
1 . 1
=°- E6Л)
E6.2)
Продифференцируем E6.1), воспользуемся обозначением E6.2) и
получим систему дифференциальных уравнений для определения
токов:
А + п\1х + -^- 7, = 0,
/
п11,+ ~ /, = 0. E6.3)
^2
Предположим, что система уравнений E6.3) имеет такое частное
решение:
Д = Лсоз(со/+ф),
о/+ф) ( ' ;
где А, В, ф и со — некоторые постоянные величины. Подставим
E6.4) в E6.3) и получим два обыкновенных уравнения для опре-
определения неизвестных величин:
(п\ — ^)А — ~ оЛВ = 0, — -~
+ (п\ — со2) В = 0. E6.5)
В уравнения E6.5) входят только три величины А, В и со, следо-
следовательно, фаза ф в E6.4) может быть пока произвольна. Уравне-
Уравнения E6.5) представляют систему двух однородных уравнений
для амплитуд А и В] поэтому из E6.5) определяется только отно-
отношение между амплитудами, А и В будут иметь определенные

§ 56] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ДВУХ КОНТУРОВ 241
значения только при условии, что детерминант системы E6.5)
равен нулю. Или
2 М
п; — со4 — г— I
М а о а
-у- ОТ П\ ОТ
ь2
м*
= (п\ - со2) {п\ — со*) - -=^- со4 = 0.
Это — уравнение, из которого определяется частота колебаний со.
Обозначим: к2 = у^-; величину х называют коэффициентом
связи двух контуров; тогда уравнение для частоты можно пере-
переписать так:
A — х2) со4 — (п] + п\) со2 + п\п\ = 0. E6.6)
Решение биквадратного уравнения E6.6) дает два значения
частоты возможных гармонических колебаний системы — о^ и со2:
СО
'-» = 2 A - у?) \
Следовательно, гармонические колебания в системе возможны
с частотой со! или со2, которые отличны от частот парциальных
систем п1 и п2 и только стремятся к ним, когда
Определив о^ из E6.7) и подставив в систему E6.5), получим
отношение между Аг и В1У соответствующими частоте со^ Уравне-
Уравнения E6.5) в этом случае запишутся так:
^и\Аг -(п\ -@1)^ =
Отсюда
Г. /се О\
~" ь (оо.о;
где ^2 — отношение двух амплитуд частоты сох — величина по-
постоянная, определяющаяся параметрами системы. Следовательно,
амплитуда колебаний частоты о^ в одном контуре может быть
произвольной величиной, но амплитуда колебаний этой же ча-
частоты в другом контуре будет всегда находиться в определенном
отношении E6.8) к амплитуде в первом контуре. Величину кг
называют коэффициентом распределения амплитуд частоты сох
по координатам.

242 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
Точно так же для колебаний частоты со2 найдем другое отно-
отношение амплитуд к2, равное
Ъ— со!
Общее решение уравнения E6.3) или колебания токов в системе
контуров в общем случае будет иметь вид:
1Х = А1 соз (ю^ + фО + Л, соз (со2/ + ф2),
/2 = Л^! СОЗ (@^ + ф]) + 42&2 СОЗ (@2/ + ф2),
где Аг, А2, Ф1 и ф2 — постоянные, зависящие от начальных условий.
Колебания в каждом контуре состоят из двух гармонических
колебаний с частотами ыл и со2, причем колебания одинаковой
частоты имеют одну и ту же фазу в обоих контурах. Отношение
амплитуд (коэффициент распределения) колебаний одной частоты
зависит от устройства системы и не зависит от начальных условий.
Частоты о)! и со2 называются собственными частотами системы
двух контуров. Колебания в системе (формула E6.10)) можно
представлять и так: колебания состоят из двух собственных гар-
гармонических колебаний частоты й^ оо2, каждое колебание имеет
место одновременно в обоих контурах. Если связь между копту-
рами не равна нулю, то кг и к2 не могут обратиться в нуль
(см. E6.9), E6.8) и E6.7)), следовательно, каждое собственное
колебание вообще имеет место в обоих контурах. Нельзя подо-
подобрать так начальные условия в связанных контурах, чтобы коле-
колебания в одном контуре имели частоту со^ а в другом со2. Следо-
Следовательно, вообще говоря, колебания в каждом контуре будут
негармоническими; если частоты (о^ оJ близки друг к другу, то
колебания носят характер биений, это значит, что колебания по-
похожи на гармонические, у которых амплитуда изменяется перио-
периодически, колебания то нарастают, то затухают.
Однако легко подобрать таким образом начальные условия,
что колебания в обоих контурах будут происходить с одной ча-
частотой, или со1? или со2, т. е. будут гармоническими.
Например, если в начальный момент при I — О 1Х = а,
/2 = кха, /х ~ 0, /2 = 0, то, подставляя это в E6.10), получавхМ
следующие уравнения:
а = А) созфх + А2 созф2,
к& = А1к1 созф] + АОмк2 созф2,
0 = СО^! 31П ф! + 0).2 А2 31П ф2,
0 = аIк1

§ 57] ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ ОТ РАССТРОЙКИ 243
Решение этих уравнений дает срх = 0, ф2 = 0, Л2 = 0, Аг = а.
Таким образом, колебания в контурах будут иметь следующий вид:
Iу — а соз о)^, /2 = ак± соз со^.
Заметим, что это обстоятельство иногда используют для опыт-
опытного определения собственных частот. Если из каких-либо
соображений, например из соображений симметрии в двух оди-
одинаковых связанных контурах, можно указать такие начальные
условия, при которых колебания в контурах должны быть гармо-
гармоническими, то частота этих колебаний
есть собственная частота.
Особенно ясно применение этого пра-
правила для механических систем, напри-
например для двух одинаковых связанных
пружинкой маятников (рис. 182), если
колебания маятников происходят в пло-
плоскости, проходящей через точки подвеса.
При одинаковых начальных отклоне-
отклонениях маятников в одну сторону каж-
каждый из них будет совершать гармониче-
гармонические колебания; частота этих колебаний ' ~н
и есть одна из собственных частот систе- Рис. 182.
мы, например (ох. Если же в начальный
момент маятники будут отклонены на одинаковый угол в различ-
различные стороны, то колебания будут гармоническими, частота этих
колебаний и будет вторая собственная частота со2. Легко сообра-
сообразить, по колебаниям длины пружины, что частота аJ^>а>1. Пар-
Парциальные частоты в этом случае одинаковы, и парциальная частота
соответствует колебаниям одного маятника при условии, что вто-
второй закреплен в положении покоя. Очевидно, что парциальная
частота будет больше сох, но меньше со2. Действительно, при колеба-
колебаниях с частотой о)х пружинка не изменяет длины и ее жесткость
не влияет на частоту колебаний; при колебаниях с парциальной
частотой жесткость пружинки увеличивает частоту колебаний
маятника; при колебаниях с частотой <х>2 средняя точка пружинки
находится в покоен, следовательно, на каждый маятник действует
более жесткая пружина, чем при парциальных колебаниях.
§ 57. Зависимость собственных частот системы
от расстройки между контурами
Посмотрим, каким образом будут изменяться собственные
частоты системы при изменении одной из парциальных частот,
например п2. Пусть частота п1 остается постоянной, а п2 изме-
изменяется от 0 до оо. Удобно ввести в рассмотрение отношение п21пъ

244
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
отношение между парциальными частотами. Отношение п\1п\ = |
характеризует расстройку контуров; следует иметь в виду, что
расстройка минимальна при \ = 1, максимальная расстройка
при | = 0 и | = оо . Если собственные частоты «! и (о2 будем
также относить к частоте пъ то получим частотную зависимость
в безразмерном виде. Пусть т,х = со;|/гс2, 22 = ®\1п\ и 2 = <й21п\\
тогда уравнение E6.6) можно переписать так:
оно при заданном коэффициенте связи х дает %г и я2 как функцию \.
Легко убедиться, что E7.1) представляет уравнение гиперболы
(рис. 183).
Рис. 183.
При \ = 0 2,1 = 0, 22 = -. ч ;при I -^ оо гх -^ 1, 22 ^- оо.
1 — X
Асимптотой ветви 2Х при \ -> оо будет 2 = 1, асимптота второй
ветви я2 имеет уравнение
1-х2
1-х2
она нанесена пунктиром на рис. 183.
Прямую ъ = 1 на рис. 183 можно рассматривать как кривую,
соответствующую парциальной частоте тгА, эта частота не изме-
изменяется; прямая 2 = | соответствует парциальной частоте п2,
22 — частоте сох, г2 — частоте со2. Следовательно, из графика
рис. 183 видно, что
! ИЛИ СОз^П^ Пз^ХО!, E7.2)

§ 57] ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ ОТ РАССТРОЙКИ 245
парциальные частоты всегда лежат между собственными. При
уменьшении связи а^ стремится к ближайшей парциальной ча-
частоте: к п2 при | <^ 1 или к пг при | ^> 1; а со2 при \ <^ 1 стре-
стремится к п1 и при %^> 1 к п2. При заданном х вблизи совпадения
парциальных частот E = 1) собственные частоты заметно отли-
отличаются от парциальной. При большой расстройке между конту-
контурами (| -> 0 или | -> оо) собственные частоты близки к парциаль-
парциальным. При | -* О
22 == ^ ""* 1 - х2 ' 21=г|""^0> E7*3)
ИЛИ
Собственная частота (йх при п2 —^ 0 стремится к нулю, а вторая
собственная частота щ-+—?===• будет больше частоты второго
У 1 —х2
контура. Таким образом, если конденсатор второго контура будет
замкнут, то собственная частота первого контура возрастет.
Иными словами, короткозамкнутая катушка индуктивности, нахо-
находящаяся вблизи колебательного контура, увеличивает его частоту.
со2
При | -> оо 22 = —!-->- оо; но лучше взять в этом случае
СО о %2 1 / г т / \
—г = -г->1 г E7.4)
п% % 1 — х2 ч '
или
п2 со? л
со., -> г , а 21 = -—*- -> 1 или со, -> пл.
- /1-х2' п\ х
Собственная частота а)г при п2 -^ оо стремится к п^ а (о2 — к
лг2/1/1 — х2.
При | = 1 при равенстве парциальных частот из E7.1) следует:
1 1
«- 1 „ _^ /^7 ^\
1 —I— х 1 —~ х
ИЛИ
/г п
У 1 +х - У 1-х
С увеличением связи собственные частоты все более удаляются
от парциальных; это удаление имеет место и при большой рас-
расстройке, но не в такой степени; действительно, в E7.3) и E7.4)
в знаменателе стоит х2, а здесь в E7.5) первая степень х. Так
как х<^1, то, следовательно, при настройке контуров на одну
парциальную частоту | = 1, влияние связи х на разницу между
собственными и парциальными частотами наибольшее.

246 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
§ 58. Теория собственных колебаний в системе
с двумя степенями свободы без трения (общий случай)
Две независимые координаты системы обозначим через х± и х2;
тогда потенциальная энергия системы может быть записана в та-
таком виде:
II (хи х%) = апх\ + 2апххх.2 + а22#|. E8.1)
В положении равновесия хх = 0 и х2 = 0, возвращающие
в положение равновесия силы линейно зависят от координат.
Поэтому в положении равновесия II (О, 0) = 0 и II (хг, х2)^>0,
это есть условие того, что положение равновесия устойчиво или
потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум.
Известно, что при любых х1 и х2 II (хъ х2) будет больше нуля,
если выполняются следующие условия:
аи > 0, <хи>0 и аиам>а|а. E8.2)
Собственные колебания представляют движение около устойчиво-
устойчивого положения равновесия, поэтому в нашем случае для коэффи-
коэффициентов потенциальной энергии соблюдаются неравенства E8.2).
Кинетическую энергию системы можно записать в общем случае
так:
Т = $пх\ + 2$1%хгх% + рия|. E8.3)
Кинетическая энергия — величина положительная, поэтому коэф-
коэффициенты в выражении энергии должны удовлетворять усло-
условиям, аналогичным E8.2), т. е.
Рп>0, Р22>0 и рпР22>р?2. E8.4)
Уравнения движения системы проще всего составить с помощью
уравнений Лагранжа, которые для каждой координаты записы-
записываются следующим образом:
где (?х — обобщенная сила координаты х, она в нашем случае
равна:
Поэтому уравнения движения системы в принятых обозначениях
будут:
Рп#1 + Рн^а + апхг + апх2 = 0,
(^о.Ь)
а12^1 + аижа = 0.

§ 58] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ БЕЗ ТРЕНИЯ 247
Члены с а12 и р12 характеризуют связь между системами,
поэтому можно ввести безразмерные коэффициенты связи:
РпР22 СЬиа22
Из условий E8.2) и E8.4) следует, что
Коэффициент ^1 иногда называют коэффициентом инерционной
связи, а у2 — коэффициентом упругой связи. Если Ч\ ~ 4% = О,
то парциальные системы изолированы, и процесс в каждой из них
происходит независимо от процессов в другой. Из уравнений
E8.6) видно, что парциальные частоты равны
Предполагаем, что существует частное решение системы урав-
уравнений E8.6) в таком виде:
х1 = Аеш, х% = Веш,
подставляем его в E8.6) и получаем уравнения для определения
А, В и со:
(<хи - со*ри) А + (аи - ©»рм) В = О, ^ д)
Система двух однородных уравнений относительно А и В имеет
решение, если:
а„-©«Вм а„-^_ =а E810)
Это и есть уравнение для определения собственных частот (о2
и со2, которое можно переписать так:
11г22 г12/ ^" \*М1г22 ~Г ^22гП ^^12Р12/ ^ 1~ ^11^22 ""'^ ^12 == ^*
E8.11)
Для правильной записи общего решения E8.6) следует иметь
в виду, что E8.10) имеет четыре решения: +со3, —со1? +со2, —со2,
каждому из которых вообще будет соответствовать своя система
значений А и В, определяемая E8.9).
Легко доказать, что корни уравнения E8.11) ос*! и со2 всегда действи-
действительны, и притом парциальные частоты E8.8) всегда лежат между со1 и со2.
Пусть
Ф (У) = (Р11Р22 — Р!3) У2 — (аиРаа + РпСЬаз — 2а12р12) у + апаа8 — «1а;

248
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ ГГЛ 1
тогда Ф (у) = 0 есть уравнение для собственных частот. Посмотрим, как Ф
зависит от у. Легко убедиться, что по E8.2)
Ф @) = аааа8 - а?, > 0,
Ф (± со) > 0.
Следовательно, кривая Ф (у), представляющая параболу, пройдет так, как
показано на рис. 184.
Ф
\
У
Рис. 184.
Поэтому со2 и о| всегда положительны, п\ и п\ всегда лежат между со?
и со|. Подчеркнем, этот вывод есть следствие того, что потенциальная и кине-
кинетическая энергии системы — величины существенно положительные. Физи-
Физически это значит, что только около устойчивого положения равновесия будут
гармонические колебания.
Условие — парциальные частоты лежат между собствен-
собственными — означает, что при наличии связи высшая собственная
частота системы выше большей парциальной, а низшая собственная
частота ниже меньшей парциальной частоты, или возникновение
связи между двумя изолированными системами ведет к повыше-
повышению высшей частоты и к понижению низшей частоты. Это простое
правило очень полезно при анализе сложной системы.
Из уравнений E8.9) можно найти значение коэффициентов
распределения:
а12 —
а19 —<
а22 —
11- = а12 —
E8.12)
Коэффициент кг соответствует колебаниям частоты со^ к2 — коле-
колебаниям частоты со2.

§ 58] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ БЕЗ ТРЕНИЯ 249
Собственные колебания в любой системе с двумя степенями
свободы представляются общим решением E8.6) и могут быть
записаны так:
где Л* есть сопряженная величина А, Ах, А2 — комплексные
величины, зависящие от начальных условий: хг @), х2 @), хх @)
и х2 @).
Можно записать собственные колебания в сложной системе
в тригонометрическом виде. Пусть 2Ах = Ахе1^у 2А2 = А2е1^\
тогда
хх = Ах соз (со^ + с?,) + А* соз (со^ + ф2),
х2 = к{Ах соз (со^ + фг) + /с2^42 соз (щ( + ф2),
где Аг, А2, фх, ф2 — амплитуды и фазы колебаний, которые опре-
определяются из начальных условий.
Вспоминая, что парциальные частоты лежат между собствен-
собственными, можем по формулам E8.12) для коэффициентов распреде-
распределения установить, что при инерционной связи (Р12 ф 0, а12 = 0)
и при упругой связи (Р12 = 0, а^Ф 0) знаки коэффициентов
кг и к2 различны. Это значит, колебания одной частоты в раз-
различных координатах происходят в фазе, а колебания второй
частоты — в противофазе.
Для выяснения влияния характера связи на собственные ча-
частоты необходимо было бы использовать в общем случае кривую,
аналогичную E7.1). Но теперь зависимость между расстройкой
и частотой представляется более сложной кривой четвертого
порядка, поэтому не будем делать исследования в общем виде,
а посмотрим только зависимость собственных частот от коэффи-
коэффициентов связи при равенстве парциальных частот. Если подста-
подставим в E8.11)
„2 аИ а22
и = о— = о—
РИ Р22
и учтем обозначения коэффициентов связи E8.7), то получим:
Отсюда видно, что изменение инерционной (уг) и упругой (у2)
связи различно влияет на собственные частоты системы. Увели-
Увеличение у3 ведет к понижению сох и к увеличению со2, увеличение у2
производит обратное действие. Для правильного понимания
влияния характера связи необходимо каждый раз учитывать,

250 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
какая из собственных частот (аI или со2) больше. Действительно,
при у1 <^ у2 — преобладание упругой связи, о^ ^> со2; при
VI ^> У2 — преобладание инерционной связи, о^ <^ со2. Поэтому
увеличение инерционной (индуктивной) связи ведет к сближению
собственных частот при преобладании упругой (емкостной) связи,
при ух <^у2; и наоборот, при преобладании инерционной связи —
к удалению собственных частот. Следовательно, при оценке
влияния связи на собственные частоты важно знать, которая
из них преобладает, упругая или инерционная (индуктивная
или емкостная), увеличение преобладающей связи ведет к удале-
удалению друг от друга собственных частот, уменьшение — к сближе-
сближению их.
Отметим интересный частный случай, когда коэффициенты
инерционной и упругой связи равны, VI ~ 7г> ПРИ равенстве пар-
парциальных частот. В этом случае, как видно из E8.14), собственные
частоты равны парциальным. Налргчие связи не изменяет частоты
колебаний сложной системы, инерционная (индуктивная) связь
компенсирует упругую (емкостную) связь. Из равенства коэффи-
коэффициентов связи следует:
VI =У* =
отсюда, учитывая равенство парциальных частот, получим:
22 СЬП С1о8
/РпР
E8.15)
Подставляя E8.15) в формулы для коэффициентов распределе-
распределения E8.12), получаем:
*! = -§-, ^2 = |. E8.16)
Значит, в такой системе будут гармонические колебания одной
частоты <ог = со2 = п7 причем колебания в одной координате
совершенно не связаны с колебаниямР1 в другой, отношение ампли-
амплитуд может принимать любые значения. Это можно было ожидать,
ибо упругая сила связи в точности компенсируется инерционной
силой связи. Следовательно, если выполняются условия E8.15),
то полная система состоит из двух отдельных несвязанных систем,
хотя члены связи имеют место и в выражении энергии и в урав-
уравнениях. Простейший пример такой системы с двумя степенями
свободы показан на рис. 185.
Если обозначим через дх (I) и д2 (I) заряды, прошедшие через
сечения соответствующих проводников к моменту времени I,

§ 59] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГО СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ 251
и выберем их за координаты, то легко убедиться, что парциаль-
парциальные частоты одинаковы и равны
п =
!
уьс '
Магнитная энергия системы Т = -к-(Ьд\ -{- Ьд\-
E8.17)
-Ьд{д%). Элек-
тт 1/1 о , 1 1 \ лч
У = -у I тг д\ + -тг д:2 — тт Я\Яг • Очевидно, что,
трическая энергия ^ — -^ > „
какие бы колебания ни возни-
возникали в первом контуре с часто-
частотой п E8.17), разность потен-
потенциалов между точками а и Ь
(рис. 185) будет равна нулю и,
следовательно, они не окажут
никакого влияния на процесс
во втором контуре, и наоборот.
Простейшим механическим
примером сложной системы с
двумя одинаковыми частотами
является конический маятник.
Действительно, малые колеба-
колебания такого маятника (при лю-
любых начальных условиях) представляют в проекщш на горизон-
горизонтальную плоскость движение по эллршсу, такое, что проекция
///////^ У/////Л его на любую линию в этой плоскости
Ъ
Рис. 185.
Т"
I
является гармоническим движением
с одной и той же частотой (о == 1/ ~-,
где / — длина маятника.
§ 59. Собственные колебания
упруго связанных маятников
Применим общую теорию для ана-
анализа малых собственных колебаний
двух маятников, связанных пружинкой
(рис. 186).
Считаем, что стержни маятников и
Ряс. 186. пружина невесомы. Величины парамет-
параметров системы и координаты обозначены
на чертеже. Выражения для кинетической и потенциальной энер-
энергии маятников при малых колебаниях имеют следующий вид:
I
_ .1
Ы2
-~2 (Фа —
E9.1)

252 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
Сравним E9.1) с E8.1) и E8.3) и получим значения коэффициентов
энергии:
аи = 4 A\т\8 + ^2)> а22 = у Aъ*п*8 + №*),
ам ~Ыв, Ри = 0, E9.2)
1 1
Рп = у т11и Р22 = -^-
Следовательно, парциальные частоты системы:
+ — 4- —
/21 _ . ? ^ = _ # (ЪУ.З)
Заметим, что парциальные частоты зависят от жесткости пру-
пружины, так как парциальная частота есть частота колебаний
одного маятника при втором неподвижном маятнике.
Коэффициенты связи имеют следующие значения:
/с2/4
7 0 у1
Подставляя E9.2), E9.3) и E9.4) в E8.11), получаем уравнение
для определения собственных частот:
(п\ — со2) (п1 — а>*)—у*п1п1 = 0. E9.5)
Такой же вид имеет уравнение собственных частот двух емкостно
связанных электрических контуров.
Можно построить график зависимости собственных частот от
отношения парциальных частот | = — , аналогичный тому, кото-
рый показан на рис. 183. Вид его будет такой же, за отличием
некоторых деталей, например, при | -* 0, о)! -> 0, со2 -> 1 и т. д.
Интересно заметить, что когда одинаковые маятники связаны
пружиной или лгх = лг2 = п, то собственные частоты
©г.9 = /г2 A =р ^о) E9.6)
и коэффициенты распределения по E8.12)
1$1 = —р 1) л)о == — I.
Это означает, что при колебаниях только с первой частотой оба
маятника совершают колебания в фазе. После того как оба маят-
маятника отклонены на одинаковые углы в одну сторону и отпущены
без толчка, они будут совершать гармонические колебания с пер-
первой частотой с одинаковыми амплитудами и в фазе друг с другом
(кл = -}-1). В этом случае не возникает колебаний со второй

§ 60] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 253
частотой из-за симметрии системы, как уже указывалось в § 56.
Частота колебаний о^ равна п\ \—^ = 1/ -~.
Если отведем маятники в разные стороны на одинаковые углы
и отпустим без толчка, то колебания маятников будут происходить
со второй собственной частотой со2. В этом случае маятники совер-
совершают колебания в противофазе и с одинаковой амплитудой
(*; = - !)•
§ 60. Нормальные координаты
Рассматривая общее выражение для собственных колебаний
в системе с двумя степенями свободы E8.13) и замечая, что коле-
колебания координаты х2 состоят из тех же членов, что и колебания
координаты х1у только каждый из членов умножен на постоянный
коэффициент (коэффициент распределения), можно представить
гармонические члены как некоторые новые координаты системы.
Действительно, если обозначим
| = А соз (со^ + ФО, Ц = В соз (со2/ + фз), F0.1)
то выражение для колебаний E8.13) примет такой вид:
* = * + "' F0.2)
Равенства F0.2) можно истолковать как формулы линейного пре-
преобразования от координат хг и х2 к новым координатам | и г).
Если вместо координат хг и х2 выберем новые | и г), то, очевидно,
по F0.1), каждая из этих координат совершает гармоническое
колебание с частотою а)г (или со2) при любых начальных условиях.
Координаты ^ и г) называются нормальными координатами си-
системы. Каждая нормальная координата совершает гармоническое
колебание с собственной, или, как иногда называют, с нормальной
частотой.
Можно было бы поставить вопрос иначе: нельзя ли линейным
преобразованием координат перейти к таким координатам, в кото-
которых каждая координата при собственных колебаниях совершает
чисто гармоническое колебание; или можно ли найти такие коор-
координаты, в которых выражения потенциальной и кинетической
энергий будут иметь равными нулю коэффициенты при произве-
произведениях координат, т. е.
р19 = 0, а12 =р 0. F0.3)
После соответствующих выкладок можно доказать, что искомое
преобразование имеет вид F0.2).

254 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
Однако проще показать, что при преобразовании F0.2) усло-
условие F0.3) выполняется, и члены с произведением координат и
скоростей исчезают в выражении для энергии.
Действительно, потенциальная энергия системы
II = апх\ + 2а12х{хом + а,лх] = ап (I + г]J +
+ 2а12 (кЛ + М) (I + Л) + ам (*1Б + МJ = «пГ + <4л2, F0.4)
где
а11 ~ аИ + а22^1 + 2«12^Ь ,г»/ч гч
а22 = пц -)- а22^2 ~Ь 2а12/с2.
Коэффициент
«12 = СЬИ + а.22&1&2 + «12 (^1 + К) F0.6)
равен нулю, как будет показано ниже. Таким же образом кине-
кинетическая энергия примет вид:
Т = Рп12 + &М\ F0.7)
где
Рп = Ри + Рм*1 + 2рмйь р22 - Ри + Рмй? + 2р12/с2. F0.8)
Теперь покажем, что коэффициенты
Р12 = Рп + РйМ* + Р12 № + йа) F0.9)
и а'12 F0.6) равны нулю.
Из формулы для коэффициента распределения кг E8.12)
получаем:
&1 (ЩРм ™ а12) = «И — ©1р1Ь
&1 (со^Роо — а22) = а12 — со|р12
или
©1 (Р12&1 + Ри) = «И + «12^Ь F0 1().
°>1 (Р22&1 + Р12) = «12
Умножим второе равенство на к2 и сложим с первым; получим:
о)? [Рп + РмйЛ + рм (Й! + &,,)] - аХ1 + а22М2 + а12 (к, + к2).F0.11)
Точно таким же путем из формулы для к2 E8.12) получим, что
0I [рц + рийЛ + Ри № + К)] = «и + амйЛ + а12 (к, + /с2).F0.12)
Вычитаем F0.11) из F0.12)
(<*>«— ©1 (Рп + Р22^2 + Р12 № + Л«)] - 0.
Так как (йг Ф со2, то, следовательно, равенства р'12 =0и а 12 = 0
справедливы.

§ 60] НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 255
Уравнения движения в координатах ^ и г], уравнения Ла-
гранжа E8.5) будут
Следовательно, собственные колебания в нормальных координа-
координатах будут гармоническими колебаниями F0.1) с частотами ос*!
и оJ. Формулы для определения собственных частот теперь можно
записать, учитывая F0.5) и F0.8), в таком виде:
„2 „ «И = <*11 + «22*? + 2<*12*1
1~К Ри + М! + 2р4А ' F0Л4)
О2 _ «к _ «и + сх22/с§ + 2а1а&а
2 "" Р« "" Рп + РаавА| + 2Р, А •
Нормальное колебание можно наблюдать непосредственно. Если спе-
специальным устройством осуществить преобразование к нормальной коорди-
координате, то при собственных колебаниях с любыми начальными условиями
нормальная координата будет совершать только гармоническое колебание
с одной частотой. Формулы преобразования к нормальным координатам
F0.2) можно записать так:
С _ ^2 *2^1 „ __
К К
9 — 1
Следовательно, если сделать такое приспособление, которое изменит вели-
величину координаты хх в к2 раз и вычтет эту величину из величины координаты^,
то оно в результате представит нам гармоническое колебание с частотой (оь
или координату, пропорциональную нормальной координате |.
Например, для двух связанных пружинкой маятников можно осущест-
осуществить такое приспособление, схема которого показана на рис. 187. При по-
помощи этого приспособления можно демонстрировать нормальные колебания
и нормальные координаты. Подвесы двух маятников длиною Ьг и Ь2 нахо-
находятся в точках Ог и О2. Колебания маятников вызывают вращение двух зеркал
Зх и 32, укрепленных над точками подвеса на параллельных осях, перпенди-
перпендикулярных к плоскости качания маятников. Вращения зеркал вызываются
посредством двух легких рычагов Вх и В2, прикрепленных к осям зеркал и
соединенных шарнирно с маятниками на расстояниях 1\ и Г2 ниже точек Ох
и О2 соответственно. Углы поворота зеркал, разумеется, небольшие, будут
пропорциональны отклонениям маятников хх и х2. Луч света от источника Л
падает последовательно на зеркала Зх и 32, а затем на барабан Б. Если ра-
рабочая длина рычагов Вг и В2 равна 1г и /2 соответственно, то отклонение луча
на барабане будет пропорционально:
Ь21[12
Следовательно, если длины рычагов подобраны так, что
К= 44г, F0.15)

256
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
то отклонение луча на барабане Б в определенном масштабе равно нор-
нормальной координате §. Вращая барабан Б, можно записать на фотобумаге
чисто гармонические колебания при любом способе возбуждения собственных
колебаний маятников.
б
Рис. 187.
Очевидно, что можно выделить таким же образом и вторую' нормальную
координату. Для связанных электрических контуров тоже принципиально
просто осуществить аналогичное устройство, позволяющее наблюдать нор-
нормальные колебания.
§ 61. Собственные частоты как экстремальные значения
Для анализа, а иногда и для расчета собственных частот
можно пользоваться формулами F0.14), которые связывают соб-
собственные частоты с коэффициентами распределения кг и к2.
Заметим, что формулы F0.14) можно вывести из закона сохранения
энергии. Пусть начальные условия выбраны таким образом, что колебания
совершаются только с частотой соь т. е.
Х1 = А СО8 @^, Х2 = /г1Л СО5 @^.

§ 61] СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КАК ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 257
Тогда потенциальная и кинетическая энергии
& = («И + «22*1 + 2«1 А) Л2 СО82 ©Л
^ = (Рп + Р22^? + 2Р12/с1) Л2со? вш" @^.
Очевидно, что полная энергия Е при * = 0 равна только потенциальной
энергии
Е = А2 (<ха + а22/с? + 2а12/с1), F1.1)
потому что кинетическая энергия Т в этот момент равна нулю. Через чет-
четверть периода, при I = ~—, вся энергия превратится в кинетическую, а по-
потенциальная будет равна нулю; тогда
Е = (ри + Р22&? + 2р12/сх) 0)?Л2. F1.2)
Приравнивая F1.1) и F1.2), получаем формулу F0.14). Таким же образом
можно получить формулу и для со§.
Если из каких-либо соображений известны, хотя бы прибли-
приближенно, коэффициенты распределения к1 и &2, то формулами F0.14)
можно воспользоваться для определения собственной частоты.
Практически важно, что формулы F0.14) нечувствительны к не-
небольшим изменениям величин кг и к2, потому что величины со^ и
со* — экстремальные значения следующей функции:
Экстремумы функции F1.3) будут при у = кг и у = к2, и, следо-
следовательно, сравнивая с F0.14), можем записать со2 = / (А^), со2 =
Докажем, что / (у) при у = кг имеет экстремум. Заметим, что
Ри
так как по E8.4)
Производная от / (у) будет равна
_ Фи + Рггг/2 + 2р1гу) Bаиу + 2а„) - (а„ + а^у
(Р..
F1.4)
Из формул F0.10) следует:
Подставляя в F1.4) у == кг и учитывая F1.5), получаем:
/'(*,) = 0,
следовательно, / (?/) при кг имеет экстремум. Точно таким же
путем можно доказать, что /' (к2) = 0. Следовательно, небольшие
9 С. П. Стрелков

258 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
изменения величины кл почти не изменят / (А^). Поэтому, если
приближенно известны коэффициенты распределения, то можно
по формуле F0.14) определить частоты практически с достаточной
степенью точности.
Например, при п1 = п2 из соображений симметрии легко опре-
определить кг и к2 и затем по формуле F0.14) —собственные частоты.
Если п1 ф п2, но очень мало отличаются друг от друга, то можно
для вычисления частот подставить в формулы F0.14) известные
для случая п1 = п2 значения к1 и к2.
§ 62. Связь и связанность двух систем
(взаимодействие двух систем)
Колебания в двух связанных контурах мы рассматривали как
колебания в единой системе, имеющей две степени свободы. Это
безусловно правильно. Однако в физических задачах часто при-
приходится решать вопрос: насколько существенно сказывается на
процессах в данном контуре (в данной парциальной системе)
наличие второго контура и процессы в нем. Вообще всегда два
контура связаны друг с другом хоть и очень слабо. Спрашивается,
при каких условиях можно пренебречь связью и процесс в каждом
контуре рассматривать как в изолированной системе с одной
степенью свободы? Обычно ответ таков: когда связь очень мала.
Но по сравнению с чем связь должна быть мала?
Ответ на этот вопрос в общем виде довольно сложен, хотя бы
потому, что, как мы видели в § 60, упругие силы связи отчасти
компенсируют действие инерционных сил связи. Но если в системе
имеется связь одного вида, то можно установить общие условия,
при которых связь мало влияет на колебания в отдельных пар-
парциальных системах, частота колебаний остается почти равной
парциалы ой. Особенно простой вид имеют эти условия для систем
с упругой связью.
Собственные частоты колебаний в этом случае по уравнению
E9.5) определяются так:
< [щ + п1± /(л» + п1)а
или лучше записать эту формулу в таком виде:
\ У . F2.
Очевидно, что если у2 -> 0, то а^ ->- пъ а со2 ->¦ п2. Но при каких
значениях у2 величины собственных частот будут мало отличаться
от парциальных? Легко видеть в F2.1), что это будет только
при таких значениях у2, которые удовлетворяют условию
F2.2)

§ 62] СВЯЗЬ И СВЯЗАННОСТЬ ДВУХ СИСТЕМ 259
Л. И. Мандельштам, анализируя этот вопрос, ввел понятие
связанности систем и предложил следующую величину — коэф-
коэффициент связанности:
Смысл понятия связанности двух систем заключается в том,что
не только величина сил связи (у2) определяет характер взаимодей-
взаимодействия между системами, но и близость парциальных частот друг
к другу. Если величина о <^ 1 (а не у2)> то взаимодействие между
системами мало, связанность мала. Очевидно, что при приближении
к равенству парциальных частот *), при п1 —»- /г2, коэффициент
связанности F2.3) значительно возрастает даже при небольших
значениях связи (у2). Маленькие силы связи оказывают сущест-
существенное влияние на процессы, если парциальные частоты близки
друг к другу. Наоборот, при большой расстройке, при значитель-
значительной разнице в парциальных частотах, даже относительно большие
силы связи не сказываются на колебаниях каждой отдельной
системы.
Это особенно ясно видно из формул для коэффициентов рас-
распределения амплитуд кг и к2, выраженных через коэффициент
связанности. Если в формулы E8.12) подставим значение частоты
в виде F2.1) и учтем обозначения E8.7) и F2.3), то после простых
преобразований получаем:
к
25 ' *« р;;
Из F2.4) видно, что при малой связанности, при а -> 0, кг ->- О,
а к2 -> оо. Это означает: когда в первом контуре колебания ча-
частоты о)! имеют конечную амплитуду, то во втором контуре коле-
колебания этой же частоты равны нулю; когда во втором контуре
имеют место колебания частоты ю2, то в первом контуре колебания
этой частоты равны нулю. Следовательно, в первом контуре
имеют место только колебания частоты <ог (очень близкой к /г3),
а во втором контуре — колебания частоты со2 (близкой к п2),
или колебания можно считать разделенными, можно пренебречь
связью между системами, если связанность [но не связь (у2)]
очень мала (о —> 0).
Так, например, при п2 —> п1 связанность а не будет мала даже
при очень малой связи у2.
Коэффициент связанности можно ввести и для инерционной
(или индуктивной) связи, но в этом случае будет некоторое не-
небольшое отличие в определении коэффициента, ничего не изме-
изменяющее в принципе.
*) «К резонансу», как иногда говорят.

260 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
§ 63. Колебания при сильной связанности
При одинаковых парциальных частотах (п1 = п2) при сколь
угодно малой связи связанность огромна (а -> оо). В этом случае
получается парадоксальный на первый взгляд вывод: две одина-
одинаковые системы, как бы слабо они ни были связаны, всегда сильно
взаимодействуют. Два контура, как бы далеко они ни были уда-
удалены, всегда действуют друг на друга. Для того чтобы разобраться
в этом очевидном противоречии известным фактам, рассмотрим
подробнее колебания в двух связанных пружинкой маятниках
«при резонансе».
Собственные частоты в этом случае по E8.14), или по E9.6),
<о1,2 = п*A:±'Уа),
и коэффициенты распределения:
Следовательно, собственные колебания можно записать в таком
виде:
ф! = А СОЗ (О)!* + 8,) + В СО8 (ю9/ + 82),
ф2 = А СОЗ (О)^ + 81) — В СОЗ (@2/ + 82).
Если в начальный момент было некоторое смещение только
одного маятника фг = а, фх = 0, ф2 =0, ф2 = 0, то каким обра-
образом будут колебаться маятники далее? Для решения этого под-
подставим начальные условия в F3.1) и получим:
а = А соз &г + В соз е2,
0 = А соз 8! — В соз е2,
0 = СО! Л 81П 8Х + ЩВ 81П 82,
0 = СО] А 8111 г1 — ЩВ 81П 82.
Из последних двух уравнений следует:
8! = 82 = 0.
Тогда из первых двух
следовательно, колебания будут иметь такой вид:
ф1 = -^ а (соз со^ + соз со2^),
ф2 = - а (соз со^ — соз со20>

§ 63]
или
КОЛЕБАНИЯ ПРИ СИЛЬНОЙ СВЯЗАННОСТИ
261
(
= п СО8
. (Оо
= а 81П ^~2
СО8
81П
(Оо + СО,
Вид колебаний схематически представлен на рис. 188. Колеба-
Колебания первого маятника будут ослабляться, а второго постепенно
<9
Рис. 188.
увеличиваться; энергия будет перекачиваться от одного маятника
к другому. Через время
F3.2)
х С02 — 0I
вся энергия колебаний целиком перейдет ко второму маятнику и
далее начнется переход энергии в обратном направлении. Энергия,
которой обладает только первая система, нацело перекачивается
в другую через время 1г, собственно это и характеризует физи-
физически сильное взаимодействие двух систем при резонансе, как
бы ни мала была связь между ними. Заметим, что при «расстройке»
контуров энергия, имеющаяся у одного контура вначале, никогда
не будет целиком передана второму контуру.
Однако время полной перекачки энергии от одного маятника
к другому зависит от величины связи. Действительно, по E9.6)
—У^п), (бз.з)
оJ — 0I я^ пу%* F3.4")
или при малой связи, при у2 <^ 1,

262
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
Подставляем F3.4) в F3.2), получаем время перекачки
и
пу2
F3.5)
которое будет обратно пропорционально величине коэффициента
связи у2. Следовательно, при очень малой связи время перекачки
становится очень большим.
Поэтому полученными результатами нужно осторожно поль-
пользоваться при анализе собственных колебаний в обычных реаль-
реальных системах с затуханием. Наличие хотя бы и очень малого
затухания при сильной связанности и малой связи радикально
Колебания с затуханием
Огибающие колебаний
е системе без трения
Рис. 139.
изменяет картину колебаний потому, что колебания первого маят-
маятника затухнут значительно ранее того, когда они могли бы сколько-
нибудь заметно раскачать второй маятник. Колебания маятников
примерно показаны на рис. 189. Таким образом, только в том
случае, когда время перекачки 1г много меньше постоянной вре-
времени т0 парциальных систем, можно применять результаты изло-
изложенной выше теории связанности двух систем без затухания.
Рассмотрим условие, накладываемое на величину связи двух
маятников, которое получается из
Учитывая F3.5), это условие можно записать в таком виде:
2т ,. я
F3.6)

§ 64] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 263
По E9.3) и E9.4)
к?
+ к?) '
при малой связи
где к — жесткость пружинки связи, 1Х — длина маятника, / —
расстояние до пружинки от точек подвеса, ш — масса маятника,
к — коэффициент силы трения груза маятника при движении
в окружающей среде; трением стержней и трением в подвесах
пренебрегаем.
Подставляя F3.7) в F3.6), получаем:
Следовательно, при данном малом трении к мы не можем умень-
уменьшать связь, которая пропорциональна к и /, настолько, чтобы
нарушилось условие F3.8). При данном, хотя и очень малом тре-
трении в системе, связь должна быть достаточно велика для того,
чтобы картина процессов в реальной системе была близка к той,
которую мы получаем пренебрегая силой трения. Иначе, близость
теоретических выводов к действительности определяется в данном
случае не только величиной сил трения, которыми пренебрегают,
но и соотношением между силами трения и силами связи.
Однако нужно заметить, что в теориях строения вещества
иногда приходится иметь дело с колебаниями систем без затуха-
затухания; там результаты теории связанных систем без затухания
имеют принципиальное значение. Там приходится считаться с очень
малыми связями при наличии разонанса.
§ 64. Собственные колебания в системе с двумя степенями свободы
при наличии трения
Наличие силы трения (или омического сопротивления в кон-
контуре) при колебаниях принципиально изменит картину процесса.
При очень маленьком трении и достаточной связи картина коле-
колебаний будет очень близка к той, которую мы рассматривали
в предыдущих параграфах, но колебания уже не будут пред-
представлять сумму гармонических колебаний, а сумму слабо затухаю-
затухающих колебаний, которые с течением времени прекращаются.
При большой величине трения колебания совсем не будут похожи
на сумму гармонических.
В дальнейшем предполагаем, что силы трения в системе про-
пропорциональны скорости движения; в этом случае энергию,

264 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. I
переходящую в тепло благодаря силам трения, можно представить
функцией рассеяния, вид которой аналогичен виду кинетической
и потенциальной энергии. Функция рассеяния определяется таким
образом:
Р = ъпх\ + &Ы&1 + 2е12#1#2, F4.1)
причем коэффициенты е11, е22 и е12 подобраны так, что
_^1 и ^ F4.2)
д^! дх2 ч '
представляют собой силы трения, действующие вдоль координаты
хх и х2 соответственно. Например, для одной степени свободы,
в которой сила трения равна — кх, функция рассеяния Р — -^кх*
будет пропорциональна производной от энергии, переходящей
в тепло вследствие работы силы трения, или мощности. Так же
можно показать, что Р 6Й — количество энергии, переходящей
в тепло за время вХ.
Уравнения колебаний в системе с двумя степенями свободы
в общем виде получим из уравнений Лагранжа, если кинетиче-
кинетическую и потенциальную энергию будем представлять в виде E8.3)
и E8.1), а силы трения F4.2) прибавим к обобщенным силам
<?х E8.5). Тогда
^ + аХ + «Л + е ^ + 8^ = О,
будут уравнениями колебаний в системе с двумя степенями сво-
свободы при наличии трения.
Предположим, что частное решение системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений F4.3) имеет вид
хх = Ае**, х2 = кАе**. F4.4)
где А, к и X — некоторые постоянные величины. Подставляя
F4.4) в F4.3), получаем два уравнения относительно к:
а12) к = О,
= 0.
Отсюда очевидно
Р«Я» + е18А, + а1Ш ~ Р2Д2 +
Из последнего равенства F4.5) следует, что X должно удовлетво-
удовлетворять следующему уравнению:
(РхЛ2 + еиХ + аи) (Р,Л2 + еиЯ + а22) - (р12Г-|-812Х-1-а12J= 0, F4.6)

§ 64] СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ 265
которое представляет уравнение четвертой степени относительно X
и имеет, в общем случае, четыре корня:
Поскольку коэффициенты уравнения F4.6) действительны, то
возможны следующие комбинации корней: или имеются две пары
комплексно-сопряженных корней, у которых действительные
части обозначены через — бх и — б2 и мнимые — через «! и оJ,
или — пара действительных корней и пара комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженных, или все корни действительные.
Разберем наиболее общий случай: две пары комплексно-сопря-
комплексно-сопряженных корней. Найдя значения Ху подставим их в F4.5) и полу-
получим четыре значения к, которые также представляют две пары
комплексно-сопряженных величин:
кх для Х{, &2 Для Хг, .вд эд
Й* ДЛЯ Х2, &2 ДЛЯ ^4-
«Звездочкой» обозначаем комплексно-сопряженную величину.
Теперь можно записать общее решение системы F4.3) в таком
виде:
Х\ ==- АО-
+ В*й*е(-б2"-|@2)/. F4.9)
Выражения F4.9) представляют затухающие колебания в системе,
которые можно записать в обычном виде.
Действительно, если обозначить:
2В = Ве1щ , \ = V
то формулы F4.9) примут такой вид:
= Ае~ б^ соз (со^ + ф^ + Ве~ 6*г соз (со<^ + ф2),
6^ соз (о){( + ф1 + п{) + Вк2е~6*1 соз (со2
Четыре величины 4, В, ф! и ф2 определяются из начальных усло-
условий. Величины 61? б2, ©!, со2, к1у к2, х1? х2 определяются парамет-
параметрами системы.
Колебания в системе являются затухающими колебаниями:
каждая координата совершает затухающие колебания с двумя
частотами со1 и со2 и с двумя коэффициентами затухания бх и б2
соответственно. Коэффициенты распределения к1 и к2 F4.8) —

266
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
величины комплексные; это значит, что начальная фаза колеба-
колебаний одной и той же частоты в различных координатах — различ-
различная, фазы сдвинуты на величины хх и х2, которые зависят от пара-
параметров системы.
§ 65. Комплексные собственные частоты
Так как в системе с трением имеют место затухающие собст-
собственные колебания, которые не состоят из гармонических, то гово-
говорить о собственных частотах, строго говоря, нельзя. Однако
есть смысл называть собственными частотами комплексные вели-
величины, указанные в формулах F4.7).
Можно ввести понятие комплексной частоты, которая соот-
соответствует затухающему колебанию: действительная часть комп-
Мнимая
' ОСЬ
Действитель -
ная ось
Ш
Рис. 190.
лексной частоты равна коэффициенту затухания, мнимая часть —
частоте гармонического сомножителя затухающего колебания.
Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что для чисто
гармонического колебания действительная часть соответствующей
ему комплексной частоты равна нулю. Частоту колебаний можно
представить точками на плоскости комплексного переменного
(рис. 190). Точки на мнимой оси соответствуют гармоническому
колебанию с частотой соо, точки I и II представляют затухающие
колебания, точки /// — нарастающие колебания с коэффициентом
нарастания б3. Таким образом, введя понятие комплексной ча-
частоты, можно утверждать, что собственные частоты системы
с трением являются комплексными частотами. Для системы без
трения комплексные собственные частоты будут чисто мнимые.

§ 66] КОЛЕБАНИЯ В СВЯЗАННЫХ ИНДУКТИВНО КОНТУРАХ 267
Заметим еще, что уравнение для определения собственных
частот F4.6) может иметь все действительные корни. Это будет со-
соответствовать очень большой величине трения, при которой в систе-
системе не будет колебаний, а чисто лимитационное движение стремится
к нулю: движение каждой координаты составлено из суммы пока-
показательных функций, стремящихся к нулю. Все собственные ком-
комплексные частоты — действительны. Возможен также случай,
когда два корня действительные, а два комплексные (комплексно-
сопряженные). Движение состоит из суммы затухающих колебаний
и движений по показательному закону к нулю.
Определение собственных частот в общем случае (системы
с затуханием) или решение уравнения F4.6) представляет до-
довольно трудную задачу, поэтому практически часто решают ее
приближенными приемами. В следующем параграфе приведем
пример такого решения.
§ 66. Собственные колебания в связанных индуктивно контурах
с небольшим затуханием
Имеем два индуктивно связанных электрических контура (рис. 191)
с большой добротностью. Для каждого отдельного контура
~- или (?> 1. F6.1)
V
Если обозначим /х — ток в первом контуре, /2 — ток во вторОхМ контуре, то
из уравнений напряжений для каждой цепи
следует:
С ' F6.2)
М1, + Ь212 + П212 + -- /2 = 0.
°2
#1 л #2 1
Обозначим &! = кт > ^2 == 2Ь ' х == ТГС~'
п\ = Т-7Г и ух = —- Тогда уравнение
-Ц°2 у Ь^2
F4.6) собственных частот принимает такой
вид:
(А,2 + 2ДД + п\) (I2 + 2АД + п1) — у??.4 = 0.
F6.3)
При Ах -+ 0, А2 -> 0 решение уравнения F6.3) ри " .д.
где соЪ2 есть собственные частоты системы из этих же контуров, но без зату-
затухания.
Из условия F6.1) следует, что

268 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
Предположим, что частное решение уравнения F6.3) можно приближенно
записать так:
Я, = ш> - б, F6.4)
где 6 < со; тогда к2 = —• со2 — 2гсо6, пренебрегая б2. Подставляем это в урав-
уравнение F6.3)
[— со2 — 2цо6 + 2^ (т — 6) + п\] [— со2 — 2гсо6 + 2А2 (ко — 6) + п%] —
— у2 (со4 + 4гсо36 — 4со2б2) = 0 F6.5)
или, пренебрегая членами, содержащими малые сомножители б2, 6АЬ 6А2,
получаем:
[П2 _ оJ + 2/со (А2 — 6)] [п% — со2 + 2ко (А2 — 6)] — у?со4 — у\Ы<ь*Ь = 0. F6.6)
Для системы без затухания F=0)
(п\ - со2) («1 — со2) - у?со4 = 0, F6.7)
поэтому из F6.6) получаем следующее уравнение для определения 6:
(п\ — со2) Аг + (л! — со2) А2 — [/г2 + /г! — 2со2 A — у?)] 6 = 0. F6.8)
Подставляя сюда собственные частоты со! и со2> которые мы найдем, решая
F6.7), получаем:
л} + >г§ — 2со2 A —
1 х у
F6.9)
Вспоминая условие (О! < п1 < п2 < со2 и уравнение для определения собствен-
собственных частот F4.6), легко доказать, что бх > 0 и 62 >>0.
Таким же путем можно приближенно определить значение коэффициен-
коэффициентов распределения по F4.5):
сх 8 11
так как ^- = п\, д— = 2А1? Р11=-тГЬ1, $22 = -ъ^2> Р12 = ^.
Подставляя F6.4) в F6.10), получаем:
у- п\ — со2 — 2гсоб + 2А! (гсо — 6) + б2 -, ГТ^
У1 (—@ —^гсоб + О") У Ь1
пренебрегая малыми членами, в которых есть множители б2, 6АЬ у|6, нахо-
находим приближенно величину коэффициентов распределения
*? —в>?,8 —г2(х)и2 (бЬ2 — Ах)
*) Заметим, что если в F6.4) напишем Я = —гсо — 6, то получим эти же
формулы для 6Х и 62.

§ 671 ФЛАТТЕР МОДЕЛИ КРЫЛА 269
Коэффициенты распределения можно записать еще и так:
К* = *1,*е**Ь8> F6Л1)
где
1
г
Тогда колебания в связанных контурах будут иметь следующий вид:
^ А~б1(соз (со^ + фх) + Ве~ь^ соз (со2* + ф2),
'~б1/соз(аIг + <рг + и^ + Вк2е~ь*1 соз (ш2г +
Собственные колебания в связанных контурах при очень небольшом зату-
затухании состоят из двух затухающих колебаний, гармонические сомножители
которых имеют частоты (ох и со2 — собственные частоты связанных контуров,
начальные фазы гармонических сомножителей одной частоты в различных
координатах различны; они отличаются на величины хх и х2 F6.11); коэффи-
коэффициенты затухания 6Х и 62 различных частот различны, и колебания одной и
той же частоты затухают одинаково в обоих контурах. Из формул F6.9)
видно, что коэффициенты затухания зависят от обоих коэффициентов зату-
затухания отдельных контуров Ах и А2; если бы только один контур имел зату-
затухание, то собственные колебания все равно были бы затухающими. Если
парциальные частоты сильно отличаются друг от друга, то
п\ — со?>/г| — со?
и, следовательно, по F6.9) 6Х в основном зависит от Ах и очень мало от А2,
также и 62 зависит от А2 и мало от Ах. При малой связи (и связанности)
бх -> Ах и 62 -> А2 или затухание данного контура определяет затухание
частоты, близкой к его парциальной. И коэффициенты распределения в этом
случае будут таковы, что в каждом контуре будет преобладать колебание
частоты, близкой к его собственной.
Исследование собственных затухающих колебаний в системе с двумя
степенями свободы имеет важное значение при изучении неустановившихся
движений.
§ 67. Пример автоколебательной системы с двумя
степенями свободы. Флаттер модели крыла
Автоколебательные системы с двумя (и многими) степенями
свободы представляют некоторые особенности. Но большей частью
возбуждаются колебания с частотой, близкой к одной из собствен-
собственных, и в этих режимах система ведет себя как система с одной
степенью свободы. При плавном изменении параметров возможны
скачкообразные переходы с режима одной частоты на режим
с другой частотой (и вообще с разными амплитудами), возможна
гистерезисная зависимость величин, характеризующих эти ре-
режимы, от параметров. Иногда в узкой области значений параметров
возможны режимы с несколькими частотами (бигармонические и
полигармонические) — все это уже слишком частные случаи
теории, и рассмотрение их выходит за рамки книги.

270
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
Поэтому остановимся только на расчете условий самовозбу-
самовозбуждения некоторой практически очень интересной автоколебатель-
автоколебательной системы—модели крыла самолета в потоке. Эти автоколеба-
автоколебания можно представить схематически, как колебания в системе
с двумя степенями свободы, причем интересно, что каждая пар-
парциальная система отдельно не может возбудиться, только наличие
связи между системами делает ее автоколебательной. В этом прин-
принципиальная особенность такой системы. Укажем, что аналогичная
особенность может иметь место и в других активных системах,
например в системах с усилителями и системах автоматического
регулирования.
Во всех этих случаях автоколебания являются крайне нежела-
нежелательным явлением, обычно приводящим к порче и разрушению
Рис. 192.
Рис. 193.
той системы, в которой они возникли. Поэтому практически очень
важно определить только условия самовозбуждения для устранения
возможности возникновения автоколебаний.
Крыло самолета при флаттере совершает сложные гармониче-
гармонические колебания, но для того чтобы представить себе физическую
сущность этого явления, достаточно рассмотреть плоские колеба-
колебания в потоке воздуха жесткой модели крыла, закрепленной на
пружинах, как показано схематически на рис. 192.
Опыт с такой системой легко осуществить в аэродинамической
трубе, и, как показывают наблюдения, конец крыла самолета
в полете совершает примерно такие колебания, как и рассматри-
рассматриваемая модель. Предполагаем, что система имеет две степени сво-
свободы хЛ и х2, пружины обеспечивают только вертикальные пере-
перемещения точек крепления. В пустоте, без аэродинамических сил,
такое крыло будет совершать колебания, как жесткая балка,
показанная на рис. 177.
Будем рассматривать движение в удобных для расчета аэро-
аэродинамических сил координатах: к — смещение вниз точки, назы-
называемой «центром жесткости» (ц. ж.), и й — угол поворота крыла
(угол атаки) (рис. 193).

§ 67] ФЛАТТЕР МОДЕЛИ КРЫЛА 271
Если в центре жесткости приложим вертикальную силу, то
вызовем только параллельное смещение крыла. Координата центра
жесткости х0 получается из уравнения *)
где к1 и к2 — жесткости пружин. Если масса крыла т и момент
инерции относительно оси жесткости /, то уравнения колебаний
крыла можно записать так:
т'к + таб + (К + К) к = —Ра, ток + /Й + сд = Ма, F7.1)
где Ра и Ма — аэродинамические силы и момент соответственно,
с — жесткость крыла на вращение с = к-^х] + к2 (Ь — хоJу о —
расстояние между центром тяжести крыла и центром жесткости.
Аэродинамическая сила Ра направлена вверх. Первое уравнение
F7.1) — уравнение поступательных движений крыла, второе —
вращательных вокруг оси, проходящей через ц. ж. (оси жест-
жесткости) .
Парциальные частоты консервативной системы — сои и сок,
к -\- к
сод = 1 "*" 2 соответствует частоте изгибных колебаний крыла
С
в пустоте, а (Ок = у — частоте вращательных (крутильных)
колебаний. Связь между системами инерционная, если центр
тяжести лежит на оси жесткости (а = 0), то связи нет.
Аэродинамические силы, действующие на колеблющееся крыло
в потоке, определяются теоретически из уравнений аэродинамики
для малых возмущений. Для малых колебаний в потоке идеальной
жидкости в определенной области частот, с достаточной степенью
приближения, сила и момент будут иметь вид:
Ра = д8 (М + М + VI*), Ма - д8Ь (а2* + М + У*Ь), F7.2)
где <7 = ^ динамический напор, р —плотность воздуха,
V — скорость потока, 5 — площадь крыла. Постоянные коэффи-
коэффициенты:
о о 2я /36 \ 2л
а 2я
(?
*) х0 отсчитывается от передней кромки крыла.
**) Вычислено по приближенной теории обтекания бесконечного кры-
крыла, совершающего малые колебания в потоке идеальной несжимаемой
жидкости.

272
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ. 1
Подставляя F7.2) в F7.1), видим, что получилась система
с двумя степенями с «затуханием», причем во всех практически
интересных случаях-ух^>0, а Р2 <С^0, т. е. колебания в парциальных
системах с сопротивлением всегда затухают. Обратим внимание на
следующее: если члены инерционной связи тв$ в первом и так
в > втором уравнениях имеют одинаковые коэффициенты («Ьза-
имны»), то члены связи из-за аэродинамических сил не взаимны, ибо
§хфЪу2, а члену с^Ф нет соответствующего во втором уравнении,
так как аэродинамические силы не зависят от к. Это существенное
обстоятельство — оно определяется тем, что силы со стороны потока
являются «внешними» по отношению к нашей системе и действие
их не всегда поведет к затуханию. Член с а2 будет изменять только
жесткость крыла на закручивание.
После некоторого возмущения при данной скорости в системе
возбудятся собственные «затухающие колебания» с двумя ча-
частотами:
к = Схе
соз
ф2),
F7.3)
где Сх, С2, фх и ф2 определяются начальными условиями, а хь
х2, ех и е2 — системой. При малых У всегда бх и б2 больше нуля
и собственные колебания действи-
действительно затухают. Величины бх, б2,
сог и со2 зависят от скорости потока V.
При некотором значении У = УК9
которое называют критической ско-
скоростью флаттера, один из коэффи-
коэффициентов бх или б2 может сделаться
равным нулю, и следовательно, в дан-
данных условиях крыло может совер-
совершать гармонические колебания. А
при скорости У ^> УИ этот коэффи-
коэффициент будет отрицательным и в си-
системе возникнут нарастающие по
^ экспоненциальному закону со време-
временем колебания. Следовательно, при
У ^> Ук будет самовозбужден ие, могут
возникнуть автоколебания, ампли-
амплитуда которых определяется нелиней-
нелинейными членами, не учитываемыми в излагаемой теории. Пример-
Примерную зависимость коэффициентов затухания и частот от скоро-
скорости потока У можно видеть на рис. 194. Здесь показан случай,
когда сок ^> сои. Скорость потока У (или #) выбирается в ка-
качестве параметра, по вертикали отложена со, по горизонтали б.
Рис. 194.

§ 67] ФЛАТТЕР МОДЕЛИ КРЫЛА 273
Частота высшего тона (кручения) с увеличением скорости V умень-
уменьшается, а затухание сначала растет, а затем падает до нуля (при
Уи) и становится отрицательным (при V ^> Ув) в зоне флаттера.
Частота низшего тона (изгиб) немного возрастает, и затухание
с ростом скорости непрерывно возрастает.
Практически, конечно, важно только определить условия
самовозбуждения (определить Ук для данного крыла), ибо полет
при наличии автоколебаний недопустим, так как эти колебания
приводят к катастрофам.
Значение критической скорости флаттера в нашем случае опре-
определить очень просто. Допустим, что система F7.1) после подста-
подстановки F7.2) имеет при V = Ук частное решение:
к = Аеш, Ъ = Вешу F7.4)
где В может быть и комплексной величиной. Подставляя это
в получившуюся систему уравнений, получим, как обычно, сле-
следующую систему однородных алгебраических уравнений для А и В:
где
П! = &! + &2
— /жтсо2
П3 = —тасо2— гЗЬу
П4 = с — /со2 — д5Ъа2 — 1д5Ъ$2(й.
Из условия существования нетривиальных решений для А и В
следует уравнение, в котором две неизвестные величины д и со:
ПА — П2П3 = 0. F7.7)
Разделяя действительную и мнимую части этого уравнения,
получим два уравнения с двумя неизвестными. Найденное отсюда
д будет равно д^ — ^Р^^, таким образом будет определена
граница опасных колебаний. Само уравнение для дкр и частоты
флаттера соф и частное решение F7.4) мы выписывать не будем —
это легко сделает читатель.
Отметим, что выражения для #кр и частоты на границе флат-
флаттера (Оф можно получить в явном виде в зависимости от параметров
системы. Практически важно исследовать зависимость #кр от пар-
парциальных частот сои и сок, от положения оси жесткости х0
и от положения центра тяжести а. Эти исследования показывают,
какими путями можно поднять критическую скорость флаттера.

274 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ [ГЛ 1
В заключение отметим, что совершенно аналогичные задачи
возникнут в теории систем автоматического регулирования. Там,
как правило, автоколебания являются крайне нежелательными и
все исследование ведется с целью устранения возможности их
возникновения в рабочих условиях. Принципиально таким же.
путем идет исследование систем с большим числом степеней сво-
свободы, только уравнение для определения комплексных частот
(или критической скорости) будет соответственно более высокого
порядка.
§ 68. Действие внешних гармонических сил
на систему с двумя степенями свободы без затухания
Рассмотрим действие гармонических внешних сил с одной
частотой на систему с двумя степенями свободы. Так как система
линейна, то для ее колебаний будет справедлив принцип супер-
суперпозиции. Следовательно, зна^ колебания, возникающие под
действием гармонических сил, можно изучить к�