/
Author: Бидерман В.Л.
Tags: колебания акустика механика физика машиностроение теория колебаний
Year: 1980
Text
В. Л. БИДВРМАИ
ТЕОРИЯ
МЕХАНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
ДОПУЩЕНО
МИНИСТЕРСТВОМ ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
В КАЧЕСТВЕ УЧЕБНИКА
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ВУЗОВ,
ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ
«ДИНАМИКА И ПРОЧНОСТЬ МАШИН-
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1980
\№
ББК 22.23
Б59
УДК 534
цт кяЛрпоа «Механика и процессы уп-
Р 6 Ц 6 Нп3Рнинго7дск?го политехнического института
равления» Ленинградсксги
им. М. И. Калинина.
Бидерман В. Л.
Б 59 Теория механических колебаний: Учебник
для вузов. — М.: Высш. школа, 1980.— 408
с, ил.
В пер.: 1р. 20 к.
В книге изложены оснош теории колебаний линейных н нели-
нелинейных механических снстек, а также применение общих методов
к динамическому расчету мшшиостронтельных конструкций, таких,
как роторы турбомашин, системы виброизоляции н др. Рассмотре-
Рассмотрены колебания, вызываемые детерминированными и случайными
"~о*^л»« ЧИП ГТР'
переменными нагрузками, г также ударом или
мененнем параметров системы. Значительное
:ленным методам
Предназначаете
и случайными
периодическим из-
извнимание уделено
менением"" параметров системы. Значительное внимание уд
шслеиным методам расчета с применением ЦВМ.
Предназначается в качестве учебника для машиностроител
специальностей вузов.
ьных
ВАДИМ ЛЬВОВИЧ БИДЕРМАН
ТЕОРИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Зав. редакцией К. И. А ноши и а
Редактор Н. Н. ЕЩенко
Переплет художника В. 3 • К ""г р о в
Художественный редактор Н. е- ? '
Технический редактор Л.А.Муравьева
Корректор Г. И. Кострикова
ИБ № 2108 „ Подп. в печать
Изд. № От-304 Сдано = ,.f б°БРум2тип. № 2. Гарнитура
30 10.79. Т-18561. Формат 60x90/16 iЬум. печ д 22|93
литературная. Печать высокая. Объем [ р ^ к
уч.-изд. л. Тираж 10 000 экз. лгх.- л-
Издательство «Высшая школа»,
Москва, К-51, Неглииная ул., д. » ^ фпрома
й полнграфкомбннат Союзпол ь• v M
150014, Яросла
30106—024
001@1)—80
. Свободы,
531
ББК 22.23
2105000000
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1980
Посвящается
150-летаю Московского
высшего технического училища
имени И. Э. Баумана A830—1980)
Предисловие
Основой настоящей книги послужили лекции, читаемые в МВТУ
им. Н. Э. Баумана студентам специальности «Динамика и прочность
машин». Этим определяется направленность курса: автор стремился не
только познакомить читателей с основными закономерностями теории
механических колебаний, но и вооружить их современными методами
решения практических задач. Автор надеется, что эта особенность кни-
книги сделает ее полезной как для студентов, изучающих предмет, так и
для инженеров и научных работников, встречающихся с расчетом и ана-
анализом колебательных процессов.
В первых трех главах книги рассмотрены колебания линейных и
нелинейных систем с одной степенью свободы, колебания систем с ко-
конечным числом степеней свободы, а также колебания стержней с рас-
распределенной массой. В этих главах задача об определении собственных
частот и форм колебаний решается традиционными приемами, приво-
приводящими к алгебраическому или трансцендентному частотному уравне-
уравнению.
Для сложных систем такой способ расчета связан с большими труд-
трудностями. Пути преодоления этих трудностей освещены в гл. IV кни-
книги. Первый путь, используемый при ориентировочных расчетах, сос-
состоит в предельном упрощении расчетной схемы и применении прибли-
приближенных формул. Второй путь, особенно эффективный при проведении
расчетов на вычислительных машинах, состоит в применении специаль-
специальных численных методов. Рассмотрено несколько таких методов.
В книге также излагаются методы расчета колебаний пластин и
оболочек, теория упругого удара, приведены краткие сведения об
автоколебаниях и аэроупругих колебаниях. Уделено внимание теории
случайных колебаний, которая находит большое применение в практи-
практике расчета конструкций.
Изложение методов теории колебаний сопровождается примера-
примерами их применения к анализу ряда прикладных задач. Более сложные
технические задачи, имеющие самостоятельное значение, объединены
в последней главе книги. Их изучение не требует предварительной про-
проработки книги в целом. Так, теория виброизоляции и принципы вибра-
вибрационного перемещения могут быть изучены сразу вслед за гл.1, коле-
колебания пружин, вращающихся валов и лопаток турбомашин — после
гл- IV, а колебания дисков — после гл. V.
По сравнению с ранее изданной работой автора* в настоящую книгу
^существенные изменения. Развито изложение матричных ме-
внесены существенные конечных элементов. Более полно осве-
щ°еДн ра'счет ДшамГи оболочек, изложен метод осреднения для решения
нелинейных задач. При анализе систем с вязким трением введена дис-
сипативная функция Рэлея.
Автор
. прикладная теория механических колебаний. М., Высшая школа, 1972.
ГЛАВА I
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
Числом степеней свободы механической системы называется число
координат, определяющих ее положение. Все реальные деформируе-
деформируемые тела обладают бесконечным числом степеней свободы, соответст-
соответствующих всевозможным их деформированным состояниям. Однако в
зависимости от характера изучаемого явления и требуемой точности
можно ограничить число учитываемых в расчете степеней свободы, вы-
выбирая в качестве расчетной схемы реальной конструкции систему, об-
обладающую несколькими или даже одной степенью свободы.
Закономерности, устанавливаемые в этой главе, для систем с одной
степенью свободы, имеют большое значение, так как задачу о колеба-
колебаниях системы с произвольным числом степеней свободы часто удается
свести к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы
(см. § 12 и 16).
§ 1. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Ограничение числа учитываемых в расчете степеней свободы может
быть выполнено различными способами. Часто в реальной конструк-
конструкции можно выделить массивные элементы, деформацией которых мож-
можно пренебречь, и упругие эле-
элементы, массу которых можно не
учитывать. В этом случае рас-
расчетная схема представляет собой
ряд жестких массивных тел, со-
соединенных упругими связями.
Так, например, система, пред-
представленная на рис. 1.1,а, может
рассматриваться как система с
одной степенью свободы, если р f f
масса пружины мала по сравне- ис'
нию с массой груза, если нас не
интересует поведение отдельных витков пружины, а груз может пере-
перемещаться только в вертикальном направлении.
Другим примером систем с одной степенью свободы может служить
Диск, закрепленный на упругом валике (рис. 1.1,6). Если масса валика
пренебрежимо мала по сравнению с массой диска, а диск может пере-
перемещаться только поворачиваясь в своей плоскости вокруг оси валика.
то положение этой системы фиксируется единственной координатой -
углом повсоРот2апДИеСдКс^авленЬ1 системы с двумя степенями свободы. По-
Положение грузов (рис. 1.2,а), масса которых значительно больше мас-
сГпружин,УпРи движении в вертикальном направлении определяется
лвумя координатами: х, и х2. Системы, изображенные на рис. 1.2,6,
«могут рассматриваться как системы с двумя степенями свободы,
балки не изменяются. В этом случае принимают, что прогибы балки
определяются равенством
'Рис. 1.2
если собственные массы балки и рамы малы по сравнению с массой ко-
колеблющихся грузов, а размеры грузов невелики, так что массы их мож-
можно считать сосредоточенными.
В случае больших поперечных размеров груза (рис. 1.2,г) положе-
положение его определяется смещением центра массы хх и углом поворота гру-
груза х2. Такая система имеет две степени свободы.
Выше были рассмотрены примеры, в которых ограничение числа ,
степеней свободы достигалось путем пренебрежения массой одних час- j
тей системы (пружин, стержней) и деформируемостью других (грузы,
диски). Другой способ состоит в том, что на основе тех или иных сооб-
соображений заранее задается форма движения системы. ]
Так, например, при изгибе балки ее положение в данный момент, I
как и положение любого деформируемого тела, определяется бесчис- I
ленным множеством координат. Однако уже в сопротивлении материа- \
лов число степеней свободы балки ограничивается благодаря исполь- I
зованию гипотезы плоских сечений. Согласно этой гипотезе, положение
всех точек балки определяется положением точек, лежащих на ее оси.
Благодаря принятию гипотезы плоских сечений задача существенно
упрощается (становится одномерной), но число степеней свободы оста-
остается бесконечным.
Дальнейшее упрощение достигается на основе предположения, что;
в процессе движения соотношения между прогибами различных точек i
Здесь x(t) ¦— неизвестная функция времени, f(z) — заданная функция
абсциссы 2. Так как перемещение любой точки балки определяется те-
теперь единственной переменной x(t), полученная расчетная схема имеет
одну степень свободы (см. § 26 гл. IV).
Необходимо иметь в виду, что возможность схематизировать реаль-
реальную упругую систему и представить ее в виде системы с одной, двумя
и большим числом степеней свободы зависит не только от вида систе-
системы, но и от характера воздействующих на нее сил.
Так, например, если в системе, изображенной на рис. 1.1,а, оття-
оттянуть пружину в сторону, а затем отпустить, то возникнут ее боковые
колебания, при которых нельзя пренебречь собственной массой пру-
пружины, как бы мала она ни была. При исследовании такого рода коле-
колебаний систему уже нельзя рассматривать как имеющую одну степень
свободы.
Таким образом, выбор той или иной расчетной схемы может быть
сделан только в результате изучения физической природы рассматри-
рассматриваемых явлений и в зависимости от требований, предъявляемых к точ-
точности расчета.
Уравнения движения. После того как на основе тех или иных
соображений выбрана расчетная схема системы, имеющей одну, не-
несколько или бесчисленное множество степеней свободы, необходимо
для этой схемы составить уравнения движения. Уравнения движения
составляются на основе методов, рассматриваемых в теоретической
механике. Наиболее общими являются методы, основанные на приме-
применении вариационного принципа Гамильтона или уравнений Лагранжа
II рода.
Для того чтобы воспользоваться этими методами, надо предвари-
предварительно составить выражения для кинетической энергии Т системы,
ее потенциальной энергии U и виртуальной работы &W, воздейству-
воздействующих на систему неконсервативных сил*. Величина U зависит от обоб-
обобщенных координат qt системы, а величина Т — от координат qr и обоб-
обобщенных скоростей qr = dqTldt. Виртуальная работа может быть пред-
представлена в виде
W=^Q,lqn A.1)
причем обобщенные силы Qr могут зависеть от координат, скоростей и
времени.
Согласно принципу Гамильтона [32], наряду с действительным за-
* Неконсервати'вные силы — это силы, работа которых зависит не только
от начального и конечного состояний системы, но и от того, каким образом про-
происходил переход от одного положения к другому. К неконсервативным силам
относятся, в частности, силы трения и внешние возмущающие силы, зависящие
от времени.
вменения обобщенных координат qr(t) в интервале времени
коном H3fнеН" ссматриваеТся варьированный закон qr(t) = qr(t) +
i Й {t), причем на границах интервала t, и U координаты не варьи-
РУЮус?ановлено, 'что при этом выполняется равенство
[ЦТ — U]
= 0.
A.2)
h
Так как величины, входящие в подынтегральное выражение фор-
формулы A-2), зависят от законов изменения во времени обобщенных
координат, оказывается возможным определить эти законы методами
вариационного исчисления. Так, в частности, для каждой из коорди-
координат qr(t) должно выполняться дифференциальное уравнение, аналогич-
аналогичное известному из вариационного исчисления уравнению Эйлера
ir<71-?/)-4[^r(r-y)] + Qr = o.
Учитывая, что потенциальная энергия зависит только от коорди-
координат и не зависит от скоростей, получаем
дЧт
_
dq
{ )
Уравнение A.3) называется уравнением Лагранжа II рода.
Чаще всего для вывода уравнений движения упругих систем исполь-
используют квазистатические способы, основанные на применении принципа
Даламбера. В этом случае рассматривают рав-
равновесие системы с приложенными к ней силами
инерции. При этом для составления уравнений
динамического равновесия линейно-упругих си-
систем естественно применить метод перемещений
или метод сил строительной механики. ';
Рассмотрим некоторые простые примеры со
ставления уравнений движения механически^
колебательных систем.
Пример 1. Составить Дифференциальное уравне
ние свободного движения однородного жесткого стержя
ня, шарнирно закрепленного верхним концом и уде
живаемого в вертикальном положении спиральной пр
жиной(рис. 1.3). Стержень находится в поле сил тяже
ти. Трением пренебречь.
Решение. Воспользуемся уравнением Лагра
жа II рода. Положение стержня в любой момент вр
мени определяется углом ф отклонения его от вертик-
ли (система с одной степенью свободы).
Кинетическая энергия стержня Г = /<р2/2, где /
момент инерции стержня относительно точки подвеса. ,
Потенциальная энергия системы состоит из двух частей — потенциально
энергии деформации пружины l/i и потенциала силы тяжести ?/2: l/i = сер2/!
где с — жесткость пружины; потенциал ?/2 равен произведению веса стерж^
mg на высоту подъема его центра тяжести Н A — costp): .1
U = Ut + U2 = cf2/2 + mgR (I — cos <?).
Рис. 1.3
Находим:
дТ . й
— = /ф; —
dv dt
дТ
= /¦• —-о-
mgR sin <
Подставляя эти величины в уравнение A.3) и учитывая, что Q = 0, получа-
получаем уравнение движения в виде
/<Р -f c-f+ mgRsin<f = 0. A.4)
Это же уравнение легко получить и на основе принципа Даламбера, прирав-
приравнивая нулю сумму моментов относительно точки подвеса сил инерции (—/ф), мо-
момента (—сф), создаваемого пружиной, и момента силы тяжести (—mgRsitwp).
Заметим, что дифференциальное уравнение A.4) является нелинейным;
это затрудняет его решение. Если угол отклонения ф мал, то уравнение A.4)
можно упростить, разлагая вшф в ряд и учитывая только первый член ряда.
Таким образом мы получим приближенное линейное уравнение, описывающее
малые колебания системы:
. , v- ,-mgR)<r = 0. A.5)
Пример 2. Составить уравнение движения несжимаемой жидкости плотно-
стьюр в U-образной трубке постоянного сечения (рис. 1.4). Трением пренебречь.
m
9
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Решение. В состоянии покоя уровень жидкости находится на линии 00.
Если уровень жидкости в правой трубке поднимется на х, то в левой он на столь-
столько же понизится. При этом потенциальная энергия жидкости в поле сил тяжести
увеличится на U = pFgx2, где F — площадь сечения трубки; pFgx — вес жид-
жидкости, перемещаемой из левой трубки в правую.
Кинетическая энергия жидкости, движущейся в трубке со скоростью х, сос-
составляет Т = pFlx2/2.
Используя уравнение Лагранжа, получаем
р№ + 2?F gx = 0.
Пример 3. По жесткой направляющей АВ под действием силы P(t), направ-
направленной параллельно АВ, движется груз массой m (рис. 1.5). Левый конец направ-
направляющей закреплен шарнирно, правый оперт на пружину жесткостью с. Момент
инерции массы направляющей относительно точки А равен /. Составить уравне-
уравнения движения системы. Весовыми нагрузками пренебречь.
Решение. Положение системы в процессе движения определяется двумя
координатами ¦— углом наклона ф направляющей и расстоянием х центра тяжес-
и груза от точки А. Составим выражение для кинетической энергии:
Т = m
ху J]/2
Потенциальная энергия равна энергии деформации пружины U = с(<р/J/2.
(Угол ф предполагается малым.)
Элементарная работа силы P(t) 6№ = P(tMx. Имеем:
дТ
дТ
dU
\ = 0.
Уравнения Лагранжа получают такой вид:
тх — mxf2 = Р @,
(/ + тх*) <р -f- Imxx <f
Эти уравнения легко получить и используя принцип Даламбера.
В примерах 1 и 2 рассмотрены системы с одной степенью свободы, ]
в примере 3 — с двумя степенями свободы. В дальнейшем в пределах |
этой главы рассматриваются колебания систем только с одной степенью
свободы. Эти системы наиболее просты, а закономерности, справедли-
справедливые для них, справедливы и для более сложных систем. Как мы уви-
увидим далее, часто задача о колебаниях сложной системы с п степенями
свободы может быть сведена к п зада-
задачам о колебаниях системы с одной
степенью свободы.
Уравнение движения системы с од-
одной степенью свободы включает в об-
общем случае четыре члена — силу-
инерции, силу трения, силу упругости
и возмущающую силу. ;
Рассмотрим, например, тело мас-|
сой т (рис. 1.6), которое может пере-
перемещаться в заданном направлении и
удерживается упругой связью. Урав-
УравРис.
нение движения этого тела имеет вид
— тх — R — F
где х — ускорение груза; R — сила трения; jF — сила упругости
действующая на тело со стороны упругого элемента; P(t) — возмущаю
щая сила.
Представляет интерес рассмотрение свободных колебаний идеал*!
зированной системы при отсутствии сил трения. В этом случае P(t) =»
= О, R = О, система изолирована от окружающей среды и запас эне{|
гии в ней постоянен. Такие системы называются консервативным^
Для консервативных систем с одной степенью свободы в любой момей
времени силы инерции уравновешиваются силами упругости. ;
Ю
§ 2. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕ-
СИСТЕМЫ
В большинстве упругих систем при достаточно малых перемещени-
перемещениях сила упругости линейно зависит от перемещения х. Если начало
отсчета смещения х выбирать так, что при х = 0 jF = 0, то для ли-
линейной системы jF = сх, где с — коэффициент упругости системы.
Итак, дифференциальное уравнение движения при свободных ко-
колебаниях консервативной линейной системы имеет вид
тх + сх = 0.
B.1)
Вид уравнения не меняется при действии на систему постоянных
сил (например, силы тяжести), если смещение тела отсчитывать от по-
положения его статического равновесия. Действительно, уравнение дви-
движения тела массой т (см. рис. 1.1,а), находящегося под действием
силы тяжести и совершающего свободные колебания, имеет вид
= mg — с
¦/«). B-2)
где /ст = mg/c — удлинение пружины от силы тяжести груза.
Следовательно, слагаемые mg ис/ст в уравнении B.2) взаимно унич-
уничтожаются, и уравнение B.2) совпадает с B.1).
Уравнение движения одкомассовой консервативной линейной сис-
системы, совершающей свободные крутильные колебания (см. рис. 1.1,6),
записывают аналогично:
1х + сх = 0,
где / — момент инерции движущегося тела; х — угол поворота тела;
с — крутильная жесткость упругой связи.
Как известно, решение уравнения B.1) имеет вид
х — Ct cos pt + С2 sin pt,
B.3)
где р = У elm — угловая частота; Сг и С2 — постоянные интегри-
интегрирования, определяемые из начальных условий.
Обозначив смещение и скорость в начальный момент t = 0 соот-
соответственно через х0 и х0, после подстановки в уравнение B.3) найдем:
Q — х0, С2 — хо/р.
Выражение B.3) можно записать в виде
х = A sin (pt -f- <p).
B.4)
B.5)
образом, движение груза при свободных колебаниях консер-
ным чя™ одномассовой линейной системы описывается синусоидаль-
зой © ?"номс амплитудой колебаний Л, периодом т и начальной фа-
н ф (рис. 2А), при этом т
11
A = Vc\ -i- C\ = Vx% ¦+ (*0/p )a , B.6)
tg <p = Cj/Cj = pxo/x0. B.7)
Период колебаний т определяется из условия рх = 2я, откуда
т = 2%/р = 2ъ УтГс . B.8) J
Число колебаний в единицу вре-
времени (техническая частота)
. B.9)
рис 2
Частота в герцах равна числу ко-
колебаний в секунду.
Часто в технической литературе
частоту и период колебаний свя-
связывают со статической деформацией
зывают со статической дефорац
/ст упругой связи, вызванной силой, равной весу груза, /Ст = mglc.
Имеют место следующие формулы:
р = Vgih
Т - 2т.
B.10)
Очевидно, что величина /Ст введена в формулы B.10) формально и
эти формулы справедливы независимо от того, совпадает или не совпа-
совпадает направление силы тяжести с направлением движения груза.
Рассмотрим изменение энергии при свободных колебаниях линей-
линейной консервативной системы.
В любой момент времени система обладает запасом кинетической 1
энергии груза Т и потенциальной энергии деформации упругой связи I
U, которые равны: |
Т = V2mx2 = ЧгтА2р2 cos2 (pt + <?),
U = Vgcxa = Ч2сА2 sin2 (pt + ?).
Так как р2 = с/т, коэффициенты при квадратах синуса и косинуса
в выражениях U и Т одинаковы. Следовательно, полная энергия систе- |
мы П сохраняет постоянное значение: \
11 = U + Т = х/.2сЛ2 B.11)
^ max == I max ¦
Изменение кинетической и потенциальной энергии во времени пред- ]
ставлено на рис. 2.2. !
Весьма удобным является изображение закона движения системы!
на фазовой плоскости (фазовый «портрет»). Фазовым портретом дви-]
жения называется графическое изображение зависимости скорости
движения от смещения. Уравнение движения B.5) вместе с получен-
полученным из этого уравнения выражением для скорости •
= Ар cos {pt
12
представляет собой уравнение фазовой траектории в параметрической
форме. Исключив параметр pt + <p, найдем
х2+х2/ря = А2. B.12)
Уравнение B.12) является уравнением эллипса с полуосями, равны-
равными А и рА (рис. 2.3). Верхняя полуплоскость соответствует возраста-
возрастанию смещения, нижняя — убыванию.
Размеры эллипса зависят от начальных условий, определяющих
амплитуду колебаний А. Все возможные свободные колебания линей-
Рас. 2.2
Рис. 2.3
ной консервативной системы изображаются семейством эллипсов, каж-
каждый из которых соответствует определенному уровню энергии. Чем
больше амплитуда колебаний А, тем больше полная энергия системы.
Если значения энергии откладывать по оси,
перпендикулярной чертежу, получится по-
поверхность (параболоид), нижняя точка кото-
которой соответствует нулевому энергетическому
уровню. Точка, изображающая значения сме-
смещения и скорости в данный момент (изобра-
(изображающая точка), перемещается по горизонтали
этой поверхности.
Заметим, что если изменить масштаб по-
построения фазовой траектории и откладывать
по оси абсцисс х, а по оси ординат — х/р,
то фазовая траектория (рис. 2.4) будет пред-
представлять собой окружность радиусом А, при-
причем изображающая точка будет равномерно
двигаться по этой окружности с угловой скоростью, равной угловой
частоте колебания р.
При наличии рассеяния энергии изображающая точка перемеща-
перемещается по спирали, приближаясь к началу координат.
§ 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕ-
ТРЕНИЯ
В качестве модели системы с одной степенью свободы вновь рассмот-
рассмотрим тело массой т, удерживаемое упругой связью с жесткостью с
(рис. 3.1). На тело действует переменная внешняя сила P{t). В этом
13
Рис. 2.4
случае уравнение движения груза имеет вид
тх + сх — Р (t),
или после деления на т
x + p2x = P(t)/m, C.1) ]
Общее решение линейного неоднородного уравнения C.1) равно
сумме какого-либо частного его решения
х* и общего решения B.3) однородного
Р[ч уравнения B.1):
Cicospt
sinpt.
C.2)
Рис. 3.1
Импульсивная нагрузка. Для вычис-
вычисления частного решения рассмотрим
сначала воздействие на систему (рис. 3.1)
импульсивной нагрузки. Пусть на неподвижную и недеформирован-
ную систему в течение бесконечно малого времени — б< t < 0 дей-
действует бесконечно большая сила, так что импульс силы
о
lim
е-*о _
имеет конечное значение. В соответствии с теоремой импульсов тело по-
получает за время действия импульса скорость v — Jim. Смещение гру-
груза за время действия импульса при б ->- 0 стремится к нулю. Таким
образом, по окончании действия импульса при t = 0 тело имеет нуле-
нулевое смещение и скорость v.
Далее (при t > 0) система совершает свободные колебания в соот-
соответствии с формулой B.3). Начальные условия свободного движения
•
определяются равенствами х0 — 0, х0 — v ~ Лт, и, следовательно
[см. уравнение B.4)], закон движения определяется зависимостью
х = (хо/р) sin pt = [J/(mp)] sin pt.
C.3)
Введем специальное обозначение для закона движения системы под
действием единичного импульса
= [l/(mp))smpt. C.4)
Функцию Y(t) можно назвать реакцией системы на единичный им-
импульс.
Возмущающая сила, изменяющаяся по произвольному закону.
Поскольку рассматриваемая система является линейной, для нее спра-
справедлив принцип суперпозиции. Это означает, что перемещение (в функ-
функции времени), вызываемое несколькими нагрузками, равно сумме пе-
перемещений, вызываемых каждой из нагрузок.
Пусть к системе, изображенной на рис. 3.1, приложена сила P(t),
меняющаяся по произвольному закону. Найдем частное решение урав-
уравнения движения, предполагая, что в начальный момент t = 0 система
14
неподвижна и не деформирована. Произвольную нагрузку представим
в виде суммы следующих один за другим бесконечно малых импульсов
d/ -— P(&)d& (рис. 3.2). Каждый из таких импульсов вызывает в
момент t > Ь смещение
dx* = Р (») d&F (* — »),
где Y — реакция системы на единичный импульс.
Полное смещение в момент t равно сумме смещений, вызываемых
всеми элементарными импульсами, приложен-
приложенными при & < t. Иначе говоря,
**(/)= j>(»)F(^ — &)d&. C.5)
о
Для рассматриваемой системы реакция на
единичный импульс должна быть заменена
ее значением [см. уравнение C.4)] и тогда
t
-0)d&. C.6)
—
тр
Рис. 3.2
Следует отметить, что область применения формулы C.5), называе-
называемой интегралом Дюамеля, значительно шире, чем формулы C.6),
справедливой лишь для рассмотренной простейшей одномассовой сис-
системы. При выводе формулы C.5) использовался только принцип супер-
суперпозиции. Поэтому зависимость C.5) выражает частное решение для
любой линейной системы через ее реакцию на единичный импульс.
Нетрудно проверить подстановкой, что выражение C.6) в самом
деле представляет собой частное решение неоднородного дифферен-
дифференциального уравнения C.1). При дифференцировании выражения C.6)
следует учесть, что t является верхним пределом интеграла и, кроме
того, входит в подынтегральное выражение в качестве параметра. По-
Поэтому производная dx^/dt складывается из производной по верхнему
пределу и производной по параметру:
P{%)smp{t —
тр
— Р (Ъ) cos p(t-
di2
J_
in
m
— | P (b) cosp(t — &)d&,
6
t
m .
о
= -Lp(t)
m
15
Подстановка последнего выражения в уравнение C.1) обращает его в
тождество.
Так как при t = 0 л:#@) = 0, х*@) — 0, то постоянные Сх и С2
в выражении C.2) связаны с начальными условиями движения теми же
зависимостями B.4), как и при свободных колебаниях. Поэтому при
ненулевых начальных условиях перемещение в любой момент времени
определяется выражением
— xosinpt + —
P pm
»)d&.
В заключение отметим, что путем замены переменной интегрирова-
интегрирования на /—ft интеграл Дюамеля C.5) может быть представлен также в
виде
C.7)
C.8)
или после подстановки выражения C.4)
.(*) = — [P(t — fl)sinp»dft.
а)
Р\
6)
2-Хст i >**<
Внезапная нагрузка. Пусть
при t = 0 к неподвижной и
недеформированной системе
прикладывается мгновенно
возрастающая и в дальней-
дальнейшем сохраняющая постоянное
значениеРонагрузка (рис. 3.3
а). Пользуясь выражением
C.7) и вынося постоянную
силу Ро за знак интеграла, на-
находим при / > 0
Г
Здесь введена функция
Рис. 3.3
которую можно назвать реакцией системы па внезапно приложенную
единичную нагрузку. Для системы рис. 3.1
t
y,@ =
— sinp»d& = — (I — cosp/) C.9)
mp mp2
16
И) следовательно, перемещение системы под действием внезапно прило-
приложенной нагрузки составляет
х = [Р01(тр2)](\— cos pt). C.10)
Так как тр2 = с (жесткость упругой связи), то Р0/(тр2) — л-Ст
представляет собой статическую деформацию упругой связи и из фор-
формулы C.10) следует, что максимальное
динамическое перемещение при вне-
внезапном приложении нагрузки вдвое
больше статического. График зависи-
зависимости x(t) приведен на рис. 3.3,6.
Линейно возрастающая нагрузка.
Закон изменения нагрузки (рис. 3.4,а)
задан формулой P(t) — kt. Если эта
нагрузка прикладывается к неподвиж-
неподвижной и недеформированной системе,
то перемещения определяются фор-
формулой C.7)
х= \k(t~
Здесь введено обозначение
Рис. 3.4
для функции, которую можно назвать реакцией системы на линейно
возрастающую нагрузку.
Выполняя интегрирование по частям, нетрудно установить связь
функции Ya(t) с функцией У2(/):
У* @ - j (t - ») У (») d» = \(t - ») \Y (»,) d»,
о L о' _
t ft /
oo 5
на SSI* реакции линейной системы на единичный импульс \У(п\
грузку ГУ т!ПрИЛ°ЖеННуЮ [Yi{t)] И На линейно взрастающую на!
РУ^ку (Г„(^)] связаны зависимостями
nW=jy(»)d&, K2@= I'KiOOd». C 11)
В ч 5 6
астном случае системы, представленной на рис. 3.1,
t
1
sin/7/). C.12)
17
Перемещения, вызываемые силой P(t) = kt, определяются при этом
выражением
х = ?У2 @ = kt/(mp2) [ 1 — sin p*/(pfl] = Р @ с [ 1 — sin pt/{pt)].
Здесь первое слагаемое соответствует статическому перемещению, про-
пропорциональному приложенной в данный момент нагрузке, второе сла-
слагаемое отражает влияние колебаний. График изменения перемещений
показан на рис. 3.4,6.
Выражение частного решения уравнения движения через реакции
системы на внезапно приложенную и линейно возрастающую нагруз-
5)
-/?„]
Рис. 3.5
Рис. 3.6
ки. Наряду с формулами C.5) и C.7), в которые входит реакция сис-
системы на единичный импульс, закон вынужденного движения можно
также выразить через функции Yi(t) или Y2(t). Произвольную нагруз-j
ку P(t) можно представить не только как последовательность импуль-
импульсов, но и как последовательность внезапно приложенных постоянных
нагрузок (рис. 3.5). В момент времени t = 0 прикладывается началь-'
ная нагрузка Р@), а в момент Ь •— бесконечно малая нагрузка dP =
= P(S)d& (P — скорость роста нагрузки). Используя реакцию систе-
системы на внезапно приложенную нагрузку Yx и суммируя эффект всех
ранее приложенных нагрузок, получаем в момент времени t
!
C.13а)|
Нетрудно убедиться в том, что наряду с формулами C.5), C.13а)
справедлива и формула
x(t) = P @) У, @ + Р @) У2 (t) + f Р (») У2 (/ - ») d&, C.136I
6
в которой смещение выражается через реакцию системы на линейно
возрастающую нагрузку.
Формулы C.13а) и C.136) можно получить путем интегрирования
по частям выражений C.5) или C.7) с учетом того, что функции У, Ух
и У2 связаны между собой зависимостями C.11).
18
Приведем два простых примера использования функций Y^t),
Yn(t) для расчета переходных процессов в линейной системе с одной сте-
степенью свободы.
1. Постоянная сила Ра воздействует на систему в
течение времени 0 < / < 9 (рис. 3.6,а).
Закон изменения нагрузки представим как внезапное приложение силы
Ра при t = 0 и внезапное приложение отрицательной силы ¦—Яо при t = 9
(рис. 3.6,6). Первая из этих нагрузок (при t > 0) вызовет перемещение
а вторая (при t >
Xl = P0Y1 (t),
где У\ (t) = с 1 A — cos pt) — реакция системы на единичную нагрузку.
Таким образом, полное перемещение, вызванное обеими нагрузками, соста-
составит: при 0 <: t < 9
при t >¦ 6
х = PoYi (t) = PnC1 A — cos pt),
х = P0Y1 (t) — Р0Уг (t — G) = PcC-i [cos p (t — 6) — cos pt] =
= 2Pt,c~1 sin (pB/2) sin p (t — 6/2).
Из полученных формул видно, что если время приложения нагрузки G пре-
превышает половину периода собственных колебаний (9> п'р), то максимум пере-
перемещения хтах = 2Яо/с = 2хсг достигается
еще во время действия нагрузки; если
время действия нагрузки меньше полу-
полупериода собственных колебаний, то мак-
максимальное перемещение достигается уже
после прекращения действия нагрузки.
В этом случае
«max = ZPoC'1 sin (рЭ/2) --= xCT2sin (рЭ/2).
2. Нагрузка возрастает от
нуля до Ро в течение вре-
времени 6 и затем сохраняет
постоянное значение (рис. 3,7а).
Нагрузку рассматривают как сочета-
сочетание двух линейно возрастающих: Pi =
= Pot/Q, прикладываемой начиная с t = 0,
и P.z = —Po(t — 6)/6, прикладываемой
начиная с t = 9 (рис. 3.7,6).
Соответственно при 0 <: t <: Э
Рис. 3.7
2 @ = Ро (трЦ)-1 (pt _ sin pt),
х = [РаЩ
при t > 6
х = 1Л>/в] [У 2 @ -У At — 9)] = Ро (
Последнюю формулу представим в виде
х = *Ст[1 — 2 cos p [t — 6/2) sin (p8/2)/(p8)].
дом
[р8 - sin pt + sin p (t - 6)].
п?л^е слагаемое в прямых скобках представляет собой отношение разницы
рЦ, еснм и ста™ческим перемещениями к статическому. Максималь-
чсличина этого отношения составляет
[(х — ДгСт)/^ст]тах = 2 sin (p8/2)/(pO);
возрасТания нагРУ3ки в сравнении с перио-
колебни™6
19
В приведенных „рос™ задачах %?<%???%?%?%.
"''ТГГчесТое Г^Г" Поведение линейно- системы без
тренияпри гармонической возмущающе» силе
где о) — угловая частота изменения нагрузки, описывается уравнени-
уравнением движения
х + р2х = (PJm) cos erf. C.14)
Решение этого уравнения можно получить, вычислив интеграл в
формуле C.6) при Р({У) = P0cosco&. Полученное в результате выраже-
выражение представляет собой сумму колебаний с частотами р и со. Слагае-
Слагаемые, изменяющиеся с частотой собственных колебаний р, зависят от
начальных условий.
В реальных системах свободные колебания с частотой р со временем
затухают и через некоторое время устанавливаются не зависящие от
начальных условий стационарные колебания с частотой возмущения со.
Решение уравнения C.14), отвечающее таким стационарным колеба- '
ниям, представим в виде
x = ,4cosGtf. C.15)
Подставляя это выражение в уравнение C.14), получаем
р
— coMcosori + p2Acos(ut = —- coscof,
т
C.16)
откуда амплитуда вынужденных колебаний
А = Р0/[т(р2 — со2)]- Л0Р,
где Ао — PJ{mp2) = Р01с — равновесная амплитуда, равная стати-j
ческой деформации упругой связи амплитудной силой Ро; fl = A —
— со2//;2) — коэффициент усиления колебаний в связи с инерцион-
инерционностью системы (коэффициент динамичности).
Коэффициент р зависит от отношения частоты изменения возмуща-
возмущающей силы к частоте собственных колебаний системы. Эта зависи-
зависимость графически представлена на рис. 3.8. Отрицательные значения |Э
означают, что колебания системы происходят в противофазе с возму-
возмущающей силой, поэтому практическое значение имеют абсолютные зна-j
чения этого коэффициента. ' j
При частоте возмущения, равной частоте собственных колебании
системы, амплитуда вынужденных колебаний стремится к бесконеч|
ности. Это объясняется тем, что если колебания происходят с собст|
венной частотой, то силы упругости уравновешиваются силами инер!
ции при любом значении амплитуды колебаний. Внешняя возмущаю)
щая сила оказывается неуравновешенной.
Таким образом, в случае резонанса сделанное допущение о возмож
20
ности рассматривать стационарные колебания является необоснован-
необоснованным и, чтобы изучить процесс развития колебаний, нужно рассмотреть
решение уравнения движения в форме C.6).
Так как при резонансе в = ри P(t) ~ P0cospt, получим (началь-
(начальные условия предполагаются нулевыми)
Рис. 3.8
Рис. 3.9
— fcosp&sinp^ —
рт j
рт
sinpt Г cos2p9d!>-
¦ cos pt cospO- sin р!Ш
6
2pm
Как видно из полученной формулы, колебания при резонансе не
являются гармоническими, а размахи их растут пропорционально вре-
времени. График движения показан на рис. 3.9. Конечно, безграничное
нарастание колебаний возможно лишь в рассматриваемой идеализиро-
идеализированной линейной системе при отсутствии потерь. В реальных системах
наличие потерь и проявление нелинейности при достаточно больших
размахах колебаний приводит к ограничению амплитуд. Но и в реаль-
реальных механических системах коэффициенты динамичности при резонан-
резонансе оказываются настолько большими, что работа при режимах, близких
к Резонансному, как правило, недопустима.
Негармоническое периодическое возбуждение. Пусть внешняя си-
* а- Действующая на одномассовую систему, изменяется по некоторому
Роизвольному, но периодическому закону (рис. 3.10) с периодом 6.
2)
В этом случае вынужденные установившиеся колебания могут бьщ
рассчитаны двумя способами. Наиболее простой метод расчета состоит
в том, что периодическая внешняя нагрузка представляется в виде ря-
ряда Фурье
P(t) = а 0 + «i cosat + a2 cos 2a>t + • • • +
+ bi sin at + b2 sin 2wt + • • • , C.
t-t
Рис. 3.10
где со — частота, соответствующая
периоду б возмущающей силы,
со = 2и/е.
Коэффициенты разложения опре-
определяются по известным формулам
теории рядов Фурье:
a°= T 1P {i) dt' Gft= T \P {t) cos ЫШ'
о о
Смещение груза от действия силы P(t), представленной в виде ряда
C.17), на основе принципа независимости действия сил равно сумме
смещений, вызванных каждым из членов ряда и определяемых по фор-J
мулам C.15) и C.16):
cosat
. — 4ш2/р2)
• cos 2co/
h
sin Ы -\-
-sin 2a>t
C.18>
— 4oo2/p2)
Амплитуда колебаний стремится к бесконечности при обращении
в нуль знаменателя любого члена ряда, т. е. при оз = р; и — р/2;
и =--- р/3 и т. д.
Таким образом, при негармоническом периодическом возбуждении
резонанс возникает, когда частота любой k-й гармоники совпадает с
собственной частотой колебаний системы:
&в = р(?= 1,2,3,...)- |
Не обязательно, конечно, осуществляются все резонансы. В раз-
разложении силы P(t) в ряд Фурье некоторые коэффициенты могут ока-
оказаться равными нулю; соответствующих гармоник не будет и в выраже-
выражении для х. !
Решение задачи о колебаниях под действием произвольной периоди-
периодической нагрузки с помощью рядов Фурье целесообразно для выявле-
выявления условий резонанса.
В случае, если нас интересует закон стационарного движения, це-
целесообразен другой путь решения. Предположим, что нагрузка, дей-
действующая на систему, меняется по некоторому периодическому закону
(рис. 3.10). Выбрав произвольно начало отсчета времени, рассмотрим
движение в течение одного периода б возмущающей силы. Общее ре-
решение уравнения движения можно записать в форме C.6):
х = х0 cospt -f х0 — sin pt -\ f p (&) sin p (t — &) d&.
p mp J
Смещение х0 и скорость х0 в начале отсчета времени определяются
из условий периодичности движения:
== хо •
Подставляя в эти условия выражение для х, получаем:
где
A—cosp9)—х0 — sinp9 = B1,
Р
xops\npQ -f xo(l —cosp0) = B2,
= — P(»)sinp(9 —
mp J
.19)
C.20)
Решая систему уравнений C.20), определяем х0 и х0:
C.21)
C.22)
x0 = V2 [B2 — Bjp ctg (p9/2)].
Подстановка значений х0 и х0 в общее выражение для х позволяет
определить в замкнутой форме закон движения за период 0 < t <: б.
Как видно из формул C.22), х0 и х0 обращаются в бесконечность при
sin(p6/2) = 0, т. е. если рб = 2Ы.
Таким образом, этот путь решения приводит к тому же условию
резонанса, что и разложение возмущающей силы в ряд Фурье.
В качестве примера рассмотрим поведение упругой одномассовой
системы при действии периодических импульсов. Установив начало
отсчета времени сразу после очередного импульса, так что следующий
импульс величиной J воздействует в самом конце рассматриваемого пе-
Риода при / = б — е (е -> 0), найдем:
1 с
B1 = lim—— P(»)sinp(9 — &)d& = 0,
8
fi2=lim— f P(&)cosp(9 — ft)d&=— lim (*P(&)d&=—.
22
23
По формулам C.22) находим смещение и скорость при t = 0:
х0 = ctg — , х0 = .
0 Imp 5 2 2т
Поскольку на протяжении всего периода 0 < t <: 9 — е возму- ]
щающая сила отсутствует, урав-
уравнение движения имеет вид
в га зв
Рис. 3.11
х = xQ cos pt -\—- sin pt =
- ctg — cos pt + sin,
2 mp I 2
sin p/
@ < t < 9).
C.23)
Движение в другие периоды времени определяется условиями перио-
периодичности. Характер движения при 6 < nip показан на рис. 3.11.
§ 4. ЗАТУХАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Вязкое трение. Рассмотрим свободные колебания системы с одной
степенью свободы с учетом трения. Уравнение движения имеет вид
тх + сх + R = 0.
D.1)
где
x + 2nx + p2x = 0,
n = a/Bm), p2 — c/m.
По правилу решения линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами составляем характеристическое уравне-
уравнение
s2 + 2ns + р2 = 0,
откуда при р2, большем л2 ,
s = —n±i Vp2 — n2 .
Обозначим
24
Vо2 — п2 = р{.
D.3)
Зависимость силы трения R от смещения или скорости движения
определяется физической природой трения. Наиболее простым случаем \
является так называемое вязкое трение, когда сила трения пропор-
пропорциональна скорости движения: R = ах.
Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения, воз-
возникает, например, в гидравлических амортизаторах, работающих при
ламинарном режиме течения жидкости, успокоителях колебаний, ос-
основанных на действии токов Фуко, и других технических устройствах.
В этом случае
D.2)
Тогда решение уравнения D.2) будет определяться формулой
или
где
D.4)
D.5)
л =
с\, tg? = -с2/с1.
Следовательно, при наличии вязкого трения движение груза опи-
описывается непериодическим законом, представленным графически на
рис. 4.1. Однако часто это
движение называют периоди- х 'ч
ческими затухающими коле- Ъ^
баниями, несмотря на неточ- /^ \
ность такого названия. Под i /V
периодом Ti этих колебаний
понимают время между двумя
максимальными смещениями.
0,
~-nt
\
х, = 2r.jр, = 2rJ\/ p* — n2
D.6)
Рис. 4.1
Величину pi называют со-
соответственно угловой часто-
частотой затухающих колебаний. Отношение двух последовательных мак-
максимальных отклонений Аи, Ah+t составляет
Таким образом, последовательные максимальные отклонения сис-
системы от равновесного положения представляют собой члены геомет-
геометрической прогрессии со знаменателем, равным е~пгк Чаще рассматри-
рассматривают не отношение двух последовательных отклонений, а логарифм
этого отношения, который называют логарифмическим декрементом
колебания:
8 = In (Ак/Аы) = nxt. D.8)
В металлоконструкциях, где нет специально введенных элементов
трения, логарифмический декремент составляет обычно от нескольких
сотых до десятых долей единицы.
Если колебания затухают медленно и отношение двух последова-
последовательных отклонений Ak/Ak+i близко к единице, то
8 = In
+i
_ , АЛ- АЛ/2 ^ АА
~ П А — АА/2 ~ А
Аи
[ДЛ = ЛЙ —.
Таким образом, при малом затухании логарифмический декремент
примерно равен отношению изменения амплитуды колебаний за пери-
период т.! к амплитуде А.
25
Так как логарифмический декремент колебания
то
8 = пх± = 2ш/р1 = 2ш/Ур2 — п2,
п2 = р2 (V2 8ЛгJ[ 1 + (Va 8/^JГа.
D.10)
Подставив это значение л2 в формулу D.3), установим связь между
Ри р и 6:
= /уэ2 —п2 = р/]Л
D.11)
Из формулы D.11) видно, что даже при значительном затухании
частота /?i затухающих колебаний мало отличается от частоты р соб-
собственных колебаний соответствующей консервативной системы. Так,
например, при сравнительно большом затухании, когда каждый сле-
следующий размах вдвое меньше предыдущего F = 1п2 = 0,693),
частота pi лишь на 0,6% меньше, чем р. Таким образом, можно считать,
что трение не -влияет на частоту колебаний и р4 да р.
Определим постоянные интегрирования в уравнении затухающих
колебаний D.4). Обозначив смещение и скорость в начальный момент
времени t = 0 соответственно через х0 и х0, найдем
х0 =
хо=—
Итак,
Pi
тх
и выражение для смещения, удовлетворяющее начальным условиям
имеет вид
х = e-"'[*oc°s Д* + (х0 + пх0) p~l sin л*]. D.12)
Заметим, что если движение вызвано импульсом силы J, прило-
приложенным к неподвижной системе при t = 0, то возникает начальная
скорость х0 = Лт и смещения изменяются по закону
х = [Jl(mp^)]e'nt sin pj.
Полагая в этой формуле 7=1, находим реакцию на единичную
импульсную нагрузку системы с трением, пропорциональным скорости:
D.13)
Сухое трение. Рассмотрим движение упруго закрепленного груза
массой т по шероховатой поверхности (рис. 4.2). Сила трения, дейст-
действующая на груз, постоянна по величине и направлена против движе-
движения. Уравнение свободных колебаний такой системы имеет вид
x±Ro = 0, D.14)
где знак плюс соответствует этапу движения, на котором скорость
26
положительна, а знак минус — этапу движения, на котором скорость
отрицательна. Зависимость от х полной действующей на груз силы
р = ex ± Ro показана на рис. 4.3. Запишем уравнение D.14) в форме
тх-\- сх + Ro sgn * = 0.
D.15)
/77
Рис. 4.2
tsgnx
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Функция sgnx (читается: «знакх» или «сигнум х») есть единичная
¦функция, имеющая знак аргумента (рис. 4.4). При x>0sgnx = 1,
при x<0sgnx= — 1. при х = 0 принимают sgn x = 0.
Уравнение D.15) содержит нелинейное слагаемое. Тем не менее мы
легко найдем решение этого уравнения, рассмотрев последовательные
интервалы движения, на каждом из которых знак скорости постоянен.
Отклоним груз в крайнее правое положение на величину А и от-
отпустим его без начальной скорости. В этом случае
хо = Л, хо = 0. D.16)
Под действием натяжения пружины на первом этапе груз двигается
влево (х <с 0) и уравнение движения будет
тх -\-сх — Ro= 0,
27
или с учетом обозначений elm = р2 и Ro /с = а
х -f р2х — рга.
D.1
Коэффициент а представляет собой отклонение груза под действи.
максимально возможной силы трения. При отклонении груза на вед
чину, меньшую или равную
движение не начнется, так
силы упругости пружины
статочно для преодоления си,
трения (полоса —а <х <а
зывается зоной застоя). Поэта
уравнение D.17) имеет место пр
А > а. Общее решение уравщ
ния D.17) имеет вид
Рис. 4.5
х = a-\-Ci cos pt + С г sin pt.
Определяя постоянные и
начальных условий D.16), получаем
х == а +(A —a) cos pt. D.18
Закон движения D.18) справедлив, пока х < 0, Так как
х = — р (А — a) sin pt,
то скорость движения будет отрицательной до момента времени tt
определяемого из условия
pit = я. В этот момент груз
остановится. Смещение его ^
х — а + (А — a) cos тс =
= — (Л — 2а).
Под влиянием трения от-
отклонение груза уменьшилось
по абсолютной величине на 2а.
После остановки груз нач-
начнет двигаться вправо. Повто-
Повторяя приведенные выше расче-
расчеты, можно показать, что дви-
движение слева направо также
продолжается в течение вре-
времени я 1р. Максимальное от-
отклонение вправо равно Л —
— 4а. Процесс движения про-
продолжается до тех пор, пока
груз не остановится в зоне
времени на каждом этапе
застоя,
движения
Рис. 4.6
Зависимость
представляет
смещения от
собой коси-
косинусоиду, смещенную по оси х на величину + а или —а, с амплиту-
амплитудой, уменьшающейся по закону арифметической прогрессии (рис. 4.5).
28
мя между двумя соседними максимумами отклонения, которое ус-
овно можно назвать периодом движения,
". = 2*/р.
Наличие сухого трения не меняет частоту колебаний.
фазовый портрет свободных колебаний системы с сухим трением
оедставлен на рис. 4.6. В координатах х, х/р гармонический закон
пвижеиня изображается дугами окружности. Если в уравнение D.17)
ввести новую переменную (х — а), то получится уравнение гармони-
гармонических колебаний без трения. Это движение на фазовой плоскости изо-
изображается полуокружностью радиусом (Л —а) с центром в точке
На втором этапе движения, когда х > 0, уравнение дви-
(х =- а).
жен и я
р2х = — р2а
может рассматриваться как уравнение гармонических колебаний со
смещением (х + а). На фазовой плоскости на втором этапе движе-
движения получаем полуокружность с центром в точке (х = —а). И так до
тех пор, пока кривая при х = 0 не попадет в зону застоя — а < х <
< а.
Сила трения, пропорциональная смещению (позиционное трение).
Рассмотрим систему, состоящую из груза массой т, закрепленного на
Рис. 4.7
Рис. 4.8
Рессоре, листы которой собраны без предварительного натяга (рис.
4-7). Сила трения листов рессоры друг о друга пропорциональна кон-
контактному давлению, которое в свою очередь пропорционально смеще-
смещению.
Зависимость между реакцией рессоры, действующей на груз, и
смещением груза для рассматриваемой системы представлена на рис.
4.8. Обозначим С\ — жесткость системы при увеличении смещения х
29
по модулю; с2 — жесткость при уменьшении абсолютного значенн
смещения; с0 = 1/2 (с4 + с2) — жесткость упругого элемента cm
темы при отсутствии трения. На каждой четверти периода характерна
тика системы прямолинейна, поэтому движение массы описываете
синусоидой. При переходе через равновесное положение меняется час
тота собственных колебаний от р2 = Ус^Тт Д° Pi = Vcjm- Отклони:
груз в крайнее правое положение на величину А; скорость движени
его в этот момент х0 = 0. Если груз отпустить, то он начнет двигатьс
влево под действием силы упругости, уменьшенной на величину си,
трения. Частота собственных колебаний груза будет р2, а время дви
жения до равновесного положениях/г/4 = я/Bр2). При переходе груз<
в равновесное положение скорость его станет ргА. Дальнейшее движ^
ние влево определяется жесткостью с4. Крайнего левого положенш
груз достигает через время п/4 = n/Bpi). Наибольшее смещение влб
во равно р2А1рх. Продолжая рассуждения, находим, что максимальней
отклонение вправо в конце полного периода движения вычисляется пс
формуле A(p\lp\) и, следовательно, логарифмический декремент
8 = In (рУР1) = In (Cl/c2).
При малом затухании, когда разность жесткостей ct — с2 сущест-
существенно меньше средней жесткости с0, получим
8 = In -^- = In С°+ (С1~ сг)/2
с2 с0 —(с,. —с.2)/2
с, —с,
D.19)
Характер движения показан на рис. 4.9.
Как видно из полученных формул, при силе трения, пропорцио-
пропорциональной смещению, декремент
колебания постоянен и, сле-J
довательно, точно так же,'
как и при вязком трении, по-]
следовательные амплитуды со-]
ставляют геометрическую]
прогрессию. |
Как видно из рис. 4.9, пе-
период затухающих колебаний
т = 2т2/4 + 2т?/4 =
Рис. 4.9
Соответствующая этому
периоду угловая частота
Заметим, что
30
*-l/4-/^A-V) = A/'-Tt-
ле Ро = VcJm —собственная частота консервативной системы.
Тогда
р = 2р0 /1 — 82/4/(j/1+8/2 + Kl —6/2 ).
При небольших декрементах это выражение отличается от р0 на
величину второго порядка малости. Поэтому, подобно вязкому и сухо-
сухому трению, трение, пропорциональное смещению, практически не
влияет на частоту колебаний.
Энергетическая оценка сил сопротивления. Рассмотрим один
k-й период затухающих свободных колебаний системы. В начале
периода отклонение максимально и равно Ак, в конце ¦— также мак-
максимально и равно Ak+i- Поскольку в рассматриваемых положениях
скорость равна нулю, вся энергия системы представляет собой энергию
деформации упругой связи:
f/ft+1 = V2c4+i. D.20)
D.21)
Таким образом, за период рассеивается энергия
Если затухание не очень велико, то движение в течение одного пе-
периода мало отличается от гармонического колебания со средней амп-
амплитудой
А = /2 (Ah -\- Ам),
которому соответствует средняя энергия
U = V2 cA2.
Преобразуя формулу D.21),находим
W = MJ = V2 с (Ah + Ah+i) (Ah — Ak+l) = сЛДЛ = 2UAA/A , D.22)
где АА = Ak — Лй+1 — уменьшение амплитуды колебаний за один
период.
Уменьшение энергии AU, с другой стороны, может быть с высокой
точностью подсчитано как работа сил сопротивления за один период
стационарного колебания с амплитудой А.
Отношение энергии, рассеиваемой за один период гармонического
колебания, к максимальной упругой энергии называется коэффициен-
коэффициентом поглощения или относительным гистерезисом и обозначается
^ = W/U. D.23)
В зависимости от природы сил трения величина ф может тем или
иным способом зависеть от амплитуды и частоты колебаний. Так как
Мы рассматриваем затухание свободных колебаний, ф должно подсчиты-
ваться при частоте со, равной частоте р собственных колебаний. С вве-
31
дением значения ф формула D.22) приобретает вид
ДЛ/Л = V2 т|)ш=р.
Левая часть равенства D.24) приблизительно равна логарифмичео.
кому декременту колебания б 1см. формулу D.9)], поэтому имеется
простая связь между б и коэффициентом поглощения
8
Рис. 4.10
D.25) ,
Если коэффициент погло-
поглощения 6 не зависит от ампли-
амплитуды, то логарифмический
декремент колебания постоя-
постоянен, последовательные ампли-
амплитуды составляют геометриче-
геометрическую прогрессию. В этом слу- i
чае уравнение огибающей A(tj '
(рис. 4.10) имеет вид
D.26)
Уравнение огибающей можно записать и при произвольной зависи-
зависимости Ф (Л). Изменение амплитуды АЛ за один период приближенно
можно выразить в форме
АЛ = — xdAldt. D.27J
Если в этом выражении заменить АЛ его значением из уравнений^
D.24), получим
72 Лт|) (Л) = — xdAldt. D.28)
Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение для,
функции A(t). Переменные здесь разделяются и, интегрируя это урав-
уравнение при начальном условии At=0 --- Ло, находим
А° а л
^ с аА
гистерезисной петли, имеющей форму эллипса. Отношение W к мак-
максимальной энергии U -= сЛ2/2 составляет
яр = ™А2а/(сАУ2) = 2кш'с = 4-па/р". D.31)
Таким образом, при вязком трении коэффициент поглощения не
зависит от амплитуды и прямо пропорционален частоте. Следователь-
Следовательно, энергетический подход, так же как и
точное решение, приводит к выводу, что
амплитуды колебаний при вязком трении
убывают по экспоненте.
По формуле D.25) находим декремент:
8 - V2 т|)ш=Р = 2zn/p . D.32)
Это значение декремента практически
совпадает с точным [см. формулу D.8)], так
как
Tj fa т = 2т:/р .
Заметим, что из формул D.31) и D.32)
следует, что при частоте, отличной от ре-
резонансной ((о Ф р), коэффициент поглоще-
поглощения при вязком трении связан с декремен-
декрементом формулой
Рис. 4.11
D.33)
В качестве второго примера рассмотрим силу сопротивления, про-
пропорциональную смещению (см. рис. 4.8). В этом случае при полном
цикле стационарного колебания с амплитудой А рассеивается энергия,
изображенная заштрихованной на рис. 4.8 гистерезисной петлей,
W = (ci — c2)A2.
Огнося W к максимальной упругой энергии U ~ c0Az/2, получим
' <л А-Ь (А)
В частном случае, если ф не зависит от Л, мы приходим к формуле.]
D.26). .]
Применим выведенные приближенные формулы к случаю вязкого^
трения. При гармоническом колебании х = Лсоэсо^ сила вязкого трем
ния R -- ах совершает за один период работу
2iu/<i> 2-/ш 2я/ш
x2dt =--z
sin2
2 в>Ш = ™
Эта работа изображается площадью заштрихованной на рис
32
Так же как и при вязком трении, коэффициент поглощения не за-
зависит от амплитуды колебаний, но в отличие от вязкого трения ф не
зависит н от частоты.
Значение декремента при небольшом затухании
8 = г[;/2 = (Cj — с2)/с0
совпадает с точным [см. формулу D.19)].
Как при вязком трении, так и при силе сопротивления, пропор-
пропорциональной смещению, относительный гистерезис не зависит от амп-
амплитуды колебаний. Поэтому в обоих случаях декремент колебания
постоянен и последовательные амплитуды составляют геометрическую
прогрессию.
Несмотря на совершенно различную форму гистерезисной петли
(см. рис. 4.8 и 4.11), общий характер затухания колебаний в обоих
случаях одинаков. На этом основании можно установить, что главной
2-318 ' 33
характеристикой трения при колебаниях является коэффициент погл|
щения, форма же петли гистерезиса второстепенна [34].
Применим энергетический метод к изучению затухания колебащ]
при сухом трении. В этом случае площадь петли гистерезиса (см. щ
4.3)
W = 4RA ,
и коэффициент поглощения
tj, = W/U=4RA/(cA2/2) = 8R/(cA) = 8а/А . D.31
В данном случае ф зависит от амплитуды, а следовательно, и лог|
рифмический декремент
8 = i|>/2 = 4а/А
не является постоянным.
По формуле D.29) находим
Ао а л А" ал
t=2i Г i± = 2т (.М. = — (Ло- Л),
откуда
A
A = A
4а
¦о'
Таким образом, и в этом случае результат энергетического расче|
совпадает с точным — амплитуды убывают по линейному закону, пр]
чем за каждый период т амплитуда уменьшается на 4а.
Формула D.28) может быть использована для определения завис
мости коэффициента поглощения от амплитуды опытным путем Щ
этого, построив огибающую записи затухающих колебаний, ее диффЗ
рейдируют и при каждом значении амплитуды определяют <Ь по форм'
ле
¦ф (Л) = — 2хА-ЧА/М. D.3J
Такой способ определения зависимости т|)(Л) не может претендова1
на большую точность, так как включает дифференцирование опытн<]
кривой.
Потери на внутреннее трение в материале. Конструкционный
резис. В связи с несовершенством упругих свойств материала завис]
мости между напряжением и деформацией при его нагрузке и разгр)|
ке несколько отличаются друг от друга. При циклической деформащ
в координатах а, е (или т, у при деформации сдвига) точка, иа
бражающая напряженное и деформированное состояние, описыва]
замкнутую кривую — петлю гистерезиса.
Для металлов при напряжениях, меньших предела пропорционал]
ности, ширина петли гистерезиса столь мала, что непосредственное
наблюдение большей частью невозможно. Однако энергетическая оце|
ка внутреннего трения — относительный гистерезис ф — может ^
определена из опытов по затуханию свободных колебаний [по форму,
D.35)] или другими динамическими методами.
Многочисленные исследования внутреннего трения в металлах св|
детельствуют о том, что ф не зависит от частоты колебаний, но завис]
от амплитуды а изменения напряжений.
34
Зависимости ф(сх) , полученные при однородном напряженном сос-
состоянии (т. е. при постоянных по всему объему детали напряжениях),
могут быть пересчитаны и для деталей, напряженное состояние кото-
рых" неоднородно. Для этого определяют поглощение энергии W за
цикл деформации во всем объеме V детали:
w= \w-zLdv,
где ст — величина напряжения в данной точке детали.
Коэффициент поглощения для детали в целом определяется как от-
отношение W к максимальной упругой энергии:
Приведенные выше формулы записаны для одноосного напряженно-
напряженного состояния. Не представляет труда написать аналогичные формулы
для чистого сдвига, а также обобщить их на случай сложного напря-
напряженного состояния [40]. Следует отметить, что для металлических
конструкций расчеты внутреннего трения в материале имеют неболь-
небольшое значение, так как это трение мало и обычно во много раз перекры-
перекрывается потерями на трение в сочленениях деталей — так называемым
конструкционным гистерезисом.
Даже в специальных установках для изучения внутреннего трения
трудно исключить конструкционный гистерезис так, чтобы он не
влиял на результаты опытов. В этом одна из причин больших расхож-
расхождений в величинах ф(сг), полученных для одинаковых материалов раз-
различными экспериментаторами.
Значительно большее значение, чем для металлов, внутреннее тре-
трение имеет для высокомолекулярных материалов — разного рода пласт-
пластмасс и резины. Для этих материалов ф мало зависит от амплитуды
напряжений, но существенно зависит от температуры и в некоторых
диапазонах — от частоты колебаний.
Величина ф для полимеров много больше, чем для металлов. Так,
например, для наполненных резин 6 имеет порядок 0,1... 1,0, что при-
приблизительно в 100 раз превышает значения ф, характерные для сталей.
Ниже приведены* ориентировочные значения коэффициентов погло-
поглощения ф различных материалов при амплитуде деформации сдвига у —
¦- 0,001:
Сталь различных марок 0,01...0,02
Чугун серый 0,23
Медь 0,33
Латунь 0,01
Никель 0,03
Пробка 0,04
Дерево 0,07...0,14
Бетон .... 0,26
Железобетон 0,25
строительных конструкций „а
35
2*
В качестве простейшего примера конструкционного гистерезиса ра
смотрим знакопеременное кручение вала с напрессованной ,на не|
втулкой (рис. 4.12,а). При повороте втулки на валу возникают сил
трения, интенсивность которых зависит от натяга. Обозначим предел
ный момент сил трения на единицу длины вала через ц. При прилова
нии к валу крутящего момента М на некотором участке z возника(
проскальзывание и на эта
фМ участке между валом и вту(
~а) Шччуччччччччччччччччччччч^^.1^ кой действует равномер!
распределенный момент си
трения интенсивностью
Эпюра моментов по длине в;
ла показана на рис. 4.12
Значение момента kM
участке, где проскальзывай!
отсутствует, можно найти
условия равенства относител:
ных углов закручивания ва,
и втулки на этом участке:
Рис. 4.12
где GJi и GJZ — жесткое!
на кручение соответствен!!
вала и втулки. Отсюда
к = (jJ i/(GJ! -\- UJ.,) .
Величину участка прс
скальзывания г найдем из
ловия
(М — kM)lz =
откуда
Длина этого участка возрастает прямо пропорционально прила
женному моменту. Угол закручивания всего вала определяется равен
ством
GJ1 [
М12 -1
М — kM
М\
GJ± L ""¦' ' "" ' ' 2
где 60 — податливость конструкции при условии жесткого скрепл
ния вала со втулкой,
80 = (ft/, + WiGJ,).
Таким образом, зависимость угла закручивания от момента при пер
вичном нагружении является нелинейной (линия О А на рис. 4.13
Если после приложения момента Мо [при этом z=zo^=(l—k)MJ{}
?о = 8о^о + A - kJ M2Q/B[!.GJi)]
36
уменьшать величину момента, то около края втулки возникает зона г4
обратного проскальзывания. На рис. 4.12,6 показана эпюра крутя-
крутящих моментов при М = Мо, а на рис. 4.12,6 — эпюра моментов при
разгрузке, когда М < Мо- Из условия, что на участке (г0 — zf) ин-
интенсивность момента трения ц, а на участке z4 — и, находим
М
= Ш + [х (z0 —
И
откуда
На основании эпюры рис. 4.12,е
определяем угол закручивания вала:
<? = \М + Ц (?о — 2z\)/{2GJi) =
2ММа —
Рис. 4.13
Зависимость ф, М при изменении М
от Мо до (—Мо) в процессе разгрузки представлена параболой ABC
на рис. 4.13. При полной разгрузке (М = 0) остаточный угол закру-
закручивания
При М = —Мо Zi становится равным г0 и эпюра моментов оказы-
оказывается точно такой же, как и при максимальной нагрузке (см. рис.
4.12,6), но с измененными знаками моментов. Поэтому процесс повтор-
повторной нагрузки не будет, в сущности, отличаться от процесса разгрузки
и на рис. 4.13 изобразится параболой CD А, симметричной с ABC. Пло-
Площадь ограниченной параболами петли гистерезиса, равная рассеянной
за цикл энергии, составляет
W = 2 • 2/3 • 2М0 ¦ Ас? = 2/3A —kf
Отнеся эту величину к максимальной упругой энергии U =
= VH()/2, найдем коэффициент поглощения т|)=4/3A—kfM^diGJ^),
который для рассматриваемой системы оказался пропорциональным
амплитуде.
Как рассмотренная выше, так и другие решенные теоретически за-
задачи конструкционного демпфирования относятся к сильно схемати-
схематизированным системам. Результаты решения этих задач позволяют вы-
выяснить принципиальные особенности явления (зависимость if от ампли-
ТУДЫ и других факторов). Однако рассчитать теоретически потери на
истерезис в реальных конструкциях, как правило, не удается. В этих
лУчаях пользуются статистическими данными о коэффициенте погло-
поглощения.
Цитированной выше работе И. Л. Корчинского приведены ориен-
Ровочные данные о коэффициенте поглощения ^ в строительных кон-
РУкциях из различных материалов:
37
Стальные конструкции О,IB...0,18
Деревянные конструкции 0,30...0,35
Железобетонные конструкции 0,5
Кирпичная кладка 0,25
Эти цифры включают как потери на внутреннее трение в материале]
так и потери на конструкционный гистерезис. Сравнение этих цифр
приведенными выше данными для потерь на внутреннее трение показы;
вает, что для стальных конструкций основную роль играет конструк|
ционный гистерезис, тогда как для деревянных и железобетонных ко»
струкции роль внутреннего трения в материале и потерь в соединен^
ях примерно одинакова.
§ 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ ПРИ ВЯЗКОМ ТРЕНИЙ
Возмущающая сила, изменяющаяся по произвольному закону!
Зная реакцию системы на единичный импульс [см. формулу D.13I]
можно,используя метод наложения, написать выражение для перемер
щений первоначально неподвижной системы при воздействии на ней
произвольной силы P(t):
х = f P(b)Y(t — »)d».
о
Эта формула отличается от формулы C.5) для системы без трениЛ
только видом функции Y(t). Подставив значение этой функции из фор'
мулы D.13), получим
pn
2mp1i
Г
[n
1
— iPi
Po
-(Л
X =
тр1
P (&) enb sin pi (f — i
Формула E.1) соответствует нулевым начальным условиям. ^
надо учесть условия, отличные от нулевых, то к выражению E.1) сле|
дует добавить свободные колебания в соответствии с формулой D.12)i
В качестве примера рассмотрим воздействие на систему с вяз|
ким трением внезапной нагрузки Р (t) = I ( f~~ д . В этом случае
[И0 (I > U)
n-nt
nb .
Интеграл удобно вычислить, перейдя к показательной форм?
записи тригонометрической функции:
X =
тр1
-iPl (*-!>
38
Jo
Учитывая, что m (n2 + pi) = mp2 — c, a P0/c = xCT представляет
собой статическую деформацию системы силой Ро, получаем
х/хсг = 1 — e~ni [cos p±t + (n/pt) sin ptt].
На рис. 5.1 показано изменение х/х„ при различных значениях
затухания в системе, характеризуемого величиной коэффициента nip.
Рассмотренная задача имеет боль-
большое значение в теории регистрирую-
регистрирующих приборов с инерционными эле-
элементами (шлейфовые осциллографы,
индикаторы и т. п.). Пользуясь гра-
графиком на рис. 5.1, можно установить,
что необходимое для таких приборов
демпфирование соответствует nip л?
« 0,75. При меньших значениях демп-
демпфирования максимальное показание
прибора значительно превышает зна-
значение измеряемой величины (при скач-
скачкообразном ее изменении); большее
демпфирование приводит к замедлен-
замедленному установлению показаний при-
прибора.
Гармоническое возбуждение. Пусть возмущающая сила P(t) меня-
меняется по закону
P(t) = P0cosat.
В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид
5 pt
Рас. 5.1
х + 2пх -f Р2х = (Р0/т) cos at.
E.2)
Как и в случае консервативной системы, найдем частное решение
Уравнения E.2), описывающее стационарное периодическое движение
с периодом возмущающей силы. Движение, зависящее от начальных
условий, со временем затухает и не представляет практического инте-
Реса. Для отыскания частного решения используем метод комплексных
амплитуд: введем в рассмотрение комплексную величину х*, действи-
действительная часть которой совпадает с выражением для смещения
Rex,
¦¦ х.
Зависимость возмущающей силы от времени также представим
комплексной форме Р* (t) = PQeimt, так что
39
Действительная часть решения уравнения
х* + 2пх* + Р2х* = Рое /т (I
совпадает с решением уравнения E.2), так как коэффициенты уравн^
ния являются действительными величинами.
Искомое решение запишем в виде
E.
Подставив это выражение в формулу E.3), получим
(— со2 + 2шсо + Р2) А* = Р0/т,
откуда определяется комплексная амплитуда
т
— ш2 + #Ясо) '
или в показательной форме
А* = Ae~i9,
где
А =
т Y(P'* —
<Р = arctg
E.SJ
(&.6J
Подставляя значение Л* в формулу E.4), находим
х% = Ае1 ы~9) = A [cos (со/ — <?) +1 sin (at — о)].
Таким образом, действительное перемещение
х = Re х* = Л cos (at — <р) •
E.7]
Следовательно, величины Л и фв формуле E.5) представляют собой
соответственно амплитуду колебаний и запаздывание по фазе переме!
щения по отношению к возмущающей силе. Комплексная амплитуд!
Л* одновременно характеризует как действительную амплитуду, та)
и фазу колебаний. Поэтому при исследовании колебаний методом ком
плзксных амплитуд обычно не переходят к тригонометрической запиа
[см. формулу E.7)], ограничиваясь равноправной с ней показательной
формой E.5).
Проанализируем формулу E.6) для амплитуды вынужденных коле^
баний. Огношэние Л к так называемой равновесной амплитуде Ло =\
== Р0/с, называемое коэффициентом динамичности C, равно I
(Заметим, что равновесная амплитуда Ао представляет собой статичес-
статическую деформацию упругой связи под действием максимальной силы
Ро.)
Непосредственное определение коэффициента п, характеризующего
силы вязкого трения, затруднительно. Поэтому в формулу E.8) целе-j
сообразно вместо п ввести коэффициент поглощения г|з, используя за-
зависимость D.31). Тогда
Р = 1/1/A—со2/р2J + fVD**). E.9)
Преимуществом формулы E.9) является то, что коэффициент дина-
динамичности ставится в зависимость от энергетической характеристики
Рис. 5.2
трения г|), что позволяет использовать эту формулу не только для вяз-
вязкого трения, но и для других законов трения.
Можно также ввести в формулу для коэффициента динамичности
логарифмический декремент б. Воспользовавшись приближенной зави-
зависимостью D.25), получим
E.10)
Из анализа приведенных выше зависимостей следует, что при при-
приближении частоты возмущения и к частоте собственных колебаний р
коэффициент динамичности возрастает (рис. 5.2). Максимум амплиту-
ДЬ1 колебаний достигается приблизительно при со/р = 1; при этом*
Ртах = 2tz/%^p « гс/8.
40
E.11)
41
По аналогии с электрическими системами эта величина называется'
иногда добротностью механической системы. Чем меньше логарифми-
логарифмический декремент б, тем больше добротность системы и тем больше амп-.
литуда вынужденных колебаний в области резонанса. Вместе с тем при
режимах, далеких от резонанса (со « р или со » р), затуха-
затухание мало влияет на величину коэффициента динамичности. Это дает
возможность расчет таких режимов вести без учета демпфирования.
Проследим за изменением угла сдвига фазы ф в зависимости от час-
а)
J
If0'1
if f=h'2
1
Рис. 5.3
_
2 Р
О 0,2
Рис. 5.4
тоты колебаний и величины логарифмического декремента затухания
(рис. 5.3). В системах с небольшим трением угол сдвига существен
только в области резонанса. При переходе через резонанс ср изменяется
от 0 до л тем быстрее, чем меньше трение. В положении резонанса
независимо от величины затухания сдвиг фазы всегда равен я/2 и энер-
энергия, доставляемая системе возмущающей силой, максимальна.
Проход через резонанс. Большие амплитуды колебаний при резо-
резонансе заставляют избегать резонансных областей. При этом часто при-'
ходится работать при частоте изменения возмущающей силы, большей
собственной частоты колебаний системы. В этом случае система прохо-
проходит через резонанс во время разгона и при выбеге.
При проходе через резонанс развиваются меньшие амплитуды ко-
колебаний, чем при стационарном резонансном режиме, так как
энергия, необходимая для раскачивания системы, доставляется толь-
только в течение короткого промежутка времени.
Для количественного изучения движения рассмотрим колебания!
под действием возмущающей силы P(t) = P0cosht2 (рис. 5.4,а). Cko-j
рость нарастания частоты изменения возмущающей силы зависит от
величины коэффициента h. Мгновенная частота
E.12)
СО = ¦—- [III ) = /,/iZ.
dt
В момент резонанса t* мгновенная частота со равна частоте собст-
собственных колебаний системы р. Поэтому
U = p/Bh).
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
"х + 2пх + р2х = (Р0/т) cos lit2.
Решение этого уравнения можно представить в форме E.1):
A e~nt f cos (/zS2)e"a sin Pl (t — 0) d».
Интеграл выражается через табулированные функции (интеграл
вероятности от комплексного аргумента). Подробности вычислений
приведены в работе [52]. Ниже ограничимся описанием качественной
картины явления и приведем приближенные зависимости, полученные
А. М. Кацом.
На рис. 5.4,6 представлены характерные зависимости смещения х
от времени или пропорциональной ему мгновенной частоты со. Эти зави-
зависимости построены для системы без затухания. Величины q, постав-
поставленные около огибающих кривых, характеризуют темп роста частоты
возмущения. Величина
q = tjx =
E.13)
представляет собой число периодов собственных колебаний, прошед-
прошедших от начала движения до резонанса. Чем больше q, тем меньше ско-
скорость нарастания частоты возмущающей силы. Кривые на рис. 5.4
свидетельствуют о том, что чем быстрее происходит разгон, тем мень-
меньше максимальные размахи колебаний и тем больше мгновенная часто-
частота, при которой они достигаются. Расчет и эксперименты показали,
что как частота, при которой размахи колебаний максимальны, так и
величина этих размахов существенно зависят от демпфирования, ха-
характеризуемого логарифмическим декрементом б.
Частота возмущения со*, при которой достигаются максимальные
отклонения системы, определяется по приближенной формуле
= р[\±
1
0,14В/тс
E.14)
Знак минус в этой формуле относится к движению, происходящему
при убывающей частоте возмущения. В этом случае под q понимается
количество периодов собственных колебаний от момента резонанса до
полной остановки системы. Наибольший коэффициент динамичности
Ртах —
E.15)
Г 1/B^)+ (б/*J
Функция / зависит от ]А1 + r./{2qb2) следующим образом:
^ZZH^z=zr 0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1,0
f
1,46 1,26 1,13 1,05 1,01 1,00 1,00
42
43
В качестве примера возьмем систему, имеющую добротность л/6 = 100, что
соответствует декременту б = 0,0314. При стационарном резонансном режиме
движения такой системы коэффициент динамичности р = 100 [см. формулу E. 10)]
При проходе через резонанс со скоростью разгона, характеризуемой величиной
а = 16,2, по формулам E.14) и E.15) найдем: со „ = 1,21р, ртах = 13,3.
Таким образом, при проходе через резонанс амплитуды колебаний увеличи-
увеличиваются значительно меньше, чем при стационарном движении.
Как видно из рис. 5.4, возрастание амплитуд колебаний происходит
в основном в небольшом диапазоне изменения частоты возмущения,
когда она приближается к собственной частоте. Поэтому приведенные'
зависимости можно приближенно использовать и при законе измене-
изменения частоты, отличном от линейного. В этом случае под q следует по-
понимать величину р2/(яе), где е = (dco/d/)m=p— скорость изменения
частоты возмущения в момент резонанса.
Рассмотренная постановка задачи не всегда соответствует реальным;
условиям. Процесс разгона, как правило, является нерегулируемым.
Закон изменения частоты возмущения задает-
задается уравнением движения машины и зависит
от затрат энергии на колебания, которые тем
больше, чем больше амплитуда колебаний. По
мере увеличения амплитуды колебаний все
меньшая часть мощности двигателя тратится
на разгон, скорость нарастания частоты воз-
возмущения замедляется. Качественная зависи-
зависимость частоты возмущения от времени для
двигателей с ограниченной мощностью пред-
представлена на рис. 5.5.
Проход через резонанс в случае ограниченной мощности двигателя
с учетом влияния колебаний на разгон двигателя представляет собой
сложную нелинейную задачу. Эта задача рассматривается в работах
[16, 31].
§ 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ С ТРЕНИЕМ,
ОТЛИЧНЫМ ОТ ВЯЗКОГО
Гармоническое возбуждение (приближенное решение). При трении, !
не пропорциональном скорости, уравнения движения являются нели- j
нейными и их решение становится затруднительным. При гармоничес- !
ком возбуждении эффективным является приближенный способ рас- |
чета. Уравнение движения при произвольной зависимости силы трения
от смещения и скорости может быть записано в виде i
тх -+-R (х, х) + сх = Ро cos (со/ + <в). F.1) ;
Приближенное решение этого уравнения представим в виде гармо-
гармонического колебания, отстающего по фазе от возмущающей силы на
Рис. 5.5
угол qr
х = A ccsotf.
F.2)
" В данном случае фазовый угол ср включен в выражение возмущающей си-
силы, а не перемещения. Это позволяет несколько упростить выкладки и не влияет
на результат, так как существенна лишь разница между фазами силы и переме-
перемещения.
44
(.корость движения определяется формулой
х = —Аю sin at.
F.3)
где
Очевидно, что сила трения R(Acosa>t, —Acasinat) в этом случае
также является периодической функцией периода т = 2я/со, причем
она обращается в нуль при cosco/ = ±1, когда скорость движения
также обращается в нуль. Поэтому функцию R можно разложить в
ряд Фурье*:
R (х, х) = Яг (Л, со) sin со/ + R2 (А, со) sin 2со/ -\ , F.4)
j (Л, со) = — ( R(A cos cd/, — Лео sin Ы) sin wtdt, F.5)
0
, —^cosinctrf)sin2crfd/,...
Подставляя выражения F.2) и F.4) в левую часть дифференциаль-
дифференциального уравнения F.1), получаем
ф (t) = (с — /жо2) Л cos со/ + Ri sin со/ + R2 sin 2co/ -f
Легко видеть, что ни при каком выборе постоянных А и ф это выра-
выражение, содержащее гармоники с частотами 2со, Зю и последующие,
не может в точности совпадать с правой частью уравнения F.1), не со-
содержащей таких гармоник. Это и понятно, так как выражение F.2)
не является точным решением уравнения F.1). Поэтому мы вынуждены
ограничиться требованием, чтобы совпадали только слагаемые, изме-
изменяющиеся с основной частотой со в левой и правой частях уравнения
F.1). (Этот метод приближенного решения задачи называется методом
гармонического баланса.)
Таким образом, приходим к двум уравнениям:
(с — тш2)А = P0cosc?, RX(A, o>) = — Posin<?. F.6)
Уравнения F.6) позволяют, зная зависимость Ri(A, со), определить
амплитуду стационарных колебаний Л и фазовый угол <о. Как видно из
уравнений F.6), в приближенном решении существенна лишь одна
основная гармоника Ri силы трения.
Рассмотрим физический смысл этой гармоники.
В формуле F.5) учтем зависимость х = —Aasincot, тогда
2-/ш
-А
R(Acos(ot, —Л u)sinco/)xd/.
* Предполагается, что слагаемое, пропорциональное cosoi/, в разложении
(G.4) owvTciiiver. Учет этого слагаемого привел бы к изменению эквивалент-
эквивалентной жесткости с.
45
Интеграл в этом выражении представляет собой работу №7силы cj
противления за цикл (площадь петли гистерезиса). Вводя вновь коэй
фициент поглощения ф = W/U, получаем
R (A cos со/, — A(osmat)xdt=: apt/=
и окончательно
Г
ДУ:
. F.7!
Подставив значение Rt в формулы F.6), приведем их к такому вщ
А{\ — ш2//э2) = Л, cos <в,
Aosin ср.
F.
Здесь дополнительно обозначено: Р0/с = Ао — равновесная амп|
литуда и с/т = р2.
Из уравнений F.8) находим амплитуду колебаний:
и тангенс фазового угла:
tgcp =
F.9J
F.10!
Эти формулы, являющиеся приближенными при любом законе тре]
ния, совпадают с точными формулами E.6) для вязкого трения.
Таким образом, с расчетной точки зрения произвольный закон тре>
ния может быть приближенно заменен эквивалентным вязким трение!^
с таким же коэффициентом поглощения.
Следует отметить важное отличие формулы F.9) от формулы E.6]
для вязкого трения. Тогда как при вязком трении формула E.6) опре-
определяет амплитуду колебаний в явном виде, при невязком трении коэф-
коэффициент поглощения ty также зависит от амплитуды и последняя опре-
определяется формулой F.9) неявно.
В качестве примера рассмотрим вынужденные колебания при сухом трении.
В этом случае [см. формулу D.34)] коэффициент поглощения обратно пропорцио-
пропорционален амплитуде и ^ = 8а/А, где a = Rnlc — полуширина зоны застоя. Под-
Подставив указанное значение ^ в формулу F.9), найдем
А =
А,
Отсюда
У A — ^/р2J+\6а->
VA20-DaM2
A — —— .. - .—
F.11)
Полученная формула позволяет сделать следующие выводы: I
1. Колебания возникают, только если Ло> D/я)а, т. е. если амплитуда воз-]
46
ч-тающей силы Ро достаточно велика по сравнению с силой трения Ro' Ро >
*>D/я)Ло.
2. Если Ро > D/л^о, то наличие сухого трения не ограничивает амплитуду
при резонансе и при ш -*¦ р А -*¦ оо.
Формула (С. 10) для фазового сдвига после подстановки значения ii и ампли-
амплитуды Л принимает вид
tg<p="
sgn 1 —
V Р2
откуда видно, что абсолютная величина фазового угла не зависит от частоты,
но при переходе через резонансную частоту знак tg<p меняется. Таким образом,
при «> < Р перемещение отстает по фазе от возмущающей силы на угол ср, а при
0) > р — на угол я — ср.
Все приведенные выводы основаны на приближенном решении задачи. В
следующем разделе рассмотрено точное решение той же задачи, данное Ден-
Гартогом [21].
Вынужденные колебания при сухом трении (точное решение).
Уравнение движения системы с сухим трением при гармоническом воз-
возбуждении имеет вид
mx + cx + RQ sgnx = P0cos(u)/ + cp). F.12)
Рассмотрим безостановочное стационарное движение системы с
периодом возмущающей силы, причем предположим, что в моменты
t == 0, 2л/о), 4я/м, ... перемещение груза максимально (х = А, х —
= 0). Соответственно при t = я/со, Зя/со, 5я/со, ... х = —Л.Таким
образом, мы определяем угол ср как фазовый сдвиг между максимума-
максимумами силы и перемещения.
Рассмотрим движение в течение одного полупериода 0 < t <
< я/со. Все это время скорость отрицательна и уравнение движения
имеет вид
тх -4- сх —Ro = Ро cos (at + ср).
Решение этого уравнения таково:
х = С, cos pt + С, sin
где
in pt + a-\ —cos (со/+ с?),
1 —¦ (Й2/Р2
: = р2; R0/c=a; Р0/с=Л0.
Условия х@) — А, х@) = 0 приводят к равенствам
Ci + a-i- -—~гг^ cos ср = А,
С,р-
sin ср = 0.
Еще два условия получим при t = тг/со (х = —А; х = 0):
?i cos/. -4- C2sinX ~f- a —
Aa
^oscp = —А;
F.13)
F.14)
F.15)
47
— Сгр sin X + С2р cos X
@2/p2
(sin со = О,
F. id
где А = кр/ш .
Система четырех уравнений F.13)...F.16) определяет четыре неиэ|
вестные: Cit C2, А, ф. Сложив почленно уравнения F.13) и F.15),
также F.14) и F.16), получим систему, содержащую только С( и С.
Сг A + cosX) + С3 sin к + 2а = О,
— Cd sin X 4-С2 A 4-cosX) = О,
откуда d = —а, С2 = —a tg(X/2).
Подставив эти значения постоянных в уравнения F.13) и F.14)
приходим к равенствам
1—ш2/р2 " ' • ° 2@ 1 — ш2/р2
из которых уже легко определить амплитуду:
— • F.17)
Сравнивая эту точную формулу с приближенной формулой F.11I
устанавливаем, что они различаются лишь структурой второго члена!
в подкоренном выражении. Впрочем, вблизи резонанса (т. е. при|
со ->- р) формула F.17) переходит в формулу F.11), так как
Игл (р/со) A — >
Таким образом, для наиболее важной зоны больших амплитуд
колебаний вблизи резонанса приближенная формула F.11) дает на-
надежные результаты.
Формула F.17) справедлива только в том случае, если характер
движения соответствует принятому при ее выводе, т. е. если за полупе-
полупериод 0 < t < я/со скорость х остается отрицательной. Это приводит
к условию
-??- cos pi] — A°ll n sin (orf + <р)< 0 F.18)
ар I sin pt
\
при
Если условие F.18) не выполняется, то на самом деле происходит
не безостановочное движение, а движение с остановками.
Характер одного из возможных режимов такого движения, при ко-
котором за каждый полупериод изменения возмущающей силы имеет
место одна остановка при максимальных перемещениях, показан на
рис. 6.1. В этом случае движение начинается при фазе возмущающей
силы фЬ когда упругая сила становится равной сумме возмущающей
силы и силы трения:
сА — Ро cos <р, 4- ^0.
48
Это движение (с начальными условиями х0 —А, х0 =0) продол-
жается до тех пор, пока скорость не станет равной нулю при смещении
_ —А, т. е. фазе возмущающей силы ф2.
Таким образом, для описания движения рассматриваемого типа
имеются следующие условия: в начале движения (t = 0)
х = А л:„ = 0 Р\
сА = P0cosc14-^(),
в момент остановки (ti =
out
х = —А, х = 0.
Получается система пяти
уравнений с пятью неизвест-
неизвестными (С), С2, А, с?!, <?.,), ре-
решение которой должно удов-
удовлетворять условию o2<;<Pi+i:.
Чрезвычайно трудоемкое
решение этой системы вы-
выполнено Ден-Гартогом [21].
Результаты расчета показаны
на рис. 6.2, где построены
амплитудно-частотные харак-
характеристики системы при различных отношениях силы сухого трения
Ro к амплитуде возмущающей силы Ро. Безостановочные режимы
движения [расчет их выполняется по формуле F.17)] изображаются
точками, лежащими выше штриховой линии. Ниже этой линии
Рис. 6.1
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
Рис. 6.2
1Л
1,6 1,8 со
Р
49
изображены кривые, соответствующие режимам движения с одн<э
остановкой за полупериод. i
Возможны также режимы движения более чем с одной остановке]
за полупериод. Соответствующие этим режимам амплитудно-частой
ные характеристики на рис. 6.2 не показаны —они расположены]
нижнем левом треугольнике рисунка.
Решение задачи о режимах периодического движения с остановку
ми изложенным методом является весьма сложным. Кроме того, пр:
некоторых сочетаниях параметров оказываются возможными (т. (
удовлетворяющими условиям периодичности) различные режимы с од
ной и несколькими остановками. В этих случаях, чтобы установить
какой из возможных режимов реализуется в действительности, над
дополнительно рассмотреть их устойчивость. |
Значительно быстрее ведет к цели решение задачи методом матемей
тического моделирования, ставшим возможным в связи с развитие!
вычислительной техники. Сущность этого метода состоит в том, чт(
нелинейное уравнение движения F.12) интегрируют на ЭВМ при про
извольных начальных условиях*. Так как в уравнении движения учте
но затухание, через некоторое время устанавливается стационарны<
режим. Вычисления прекращают, когда различия между смещениям!
при последовательных периодах становятся меньше наперед заданной
допустимой ошибки. i
Следует еще раз подчеркнуть, что рассмотренный сложный ана
лиз нужен только при большом трении и малых частотах возбуждения
При интенсивных колебаниях (выше штриховой линии на рис. 6.2l
происходит безостановочное движение, при котором достаточно точщ
формула F.11).
§ 7. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ВОЗБУЖДЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
Сущность явления. Колебания механических систем могут вызьн
ваться не только внешними силами, непосредственно совершающими]
работу на основных перемещениях системы, но и внешними воздействия
ми, изменяющими параметры системы (жесткость, массу).
В некоторых случаях при периодически изменяющихся параметрах
возникают нарастающие колебания системы, имеет место так называе-
называемый параметрический резонанс.
Примером параметрических колебаний является раскачивание на(
качелях. В этом случае удается увеличивать размахи колебаний толь-]
ко за счет периодического изменения расстояния центра тяжести сис-j
темы от точки подвеса качелей. Тот же процесс может быть воспроизН
веден на маятнике с переменной длиной. Примером параметрического
возбуждения колебаний является также явление динамической неустойН
чивости стержней (рис. 7.1), когда под действием периодически изме-j
няющейся продольной силы стержень совершает поперечные колебания
* Учитывая возможную неоднозначность решения, следует опробовать раз-J
личные варианты начальных условий.
50
Г
Так же как и при обычном резонансе, при параметрическом резо-
нсе колебания развиваются в связи с непрерывным поступлением
KfeprnH в систему. Проследим этот процесс на примере динамической
неустойчивости стержня.
Пусть стержень (рис. 7.1) совершает собственные поперечные коле-
колебания с частотой р (рис. 7.2,а):
х = f cos pt.
При этом верхний шарнир получает небольшие вертикальные пере-
перемещения I с удвоенной частотой (рис. 7.2,6). Он опускается вниз
<¦)
\
А
\7
А
Рис. 7.2
при отклонениях груза х влево и вправо и занимает наивысшее поло-
положение, когда груз проходит положение статического равновесия. Ес-
Если продольная сила изменяется также с частотой вдвое большей, чем
частота поперечных колебаний груза (рис, 7.2,е), то она при каждом
цикле совершает работу и энергия системы непрерывно нарастает.
Составим уравнение движения груза т, закрепленного на стержне:
c(t)x= 0.
G.1)
В данном случае жесткость стержня с является функцией времени,
так как она зависит от величины продольной силы P(t), приложенной
в данный момент. В соответствии с приближенной формулой*
гДе с0 .— жесткость стержня при отсутствии продольной силы; Рэ —
эйлерова критическая сила для стержня.
1974.
См.: Феодосьев
гл. XIV, § 102.
В. И. Сопротивление материалов. М., Наука,
51
Таким образом, уравнение G.1) может быть записано в ви]
x + p2[l—P(f)/Pa]x = 0 (Р2^
Если P(t) является периодической (с периодом т) функцией врем!
ни, то уравнение G.2) называется уравнением Хилла. \
Сосредоточим внимание на одном периоде -с изменения параметр})
Сконструируем два решения уравнения G.2), удовлетворяющие н|
чальным условиям:
G.1
Очевидно, что построить такие решения можно всегда, хотя щ
путем численного интегрирования уравнения G.2). Тогда общее рещ|
ние уравнения G.2) получит вид
G.
где х@) и х@) — начальные значения скорости и смещения.
Вычислим значения х и х в конце периода при t = т.:
x(x) = x@)Xi(z) + х@)х2(х),
G.U
Если предположить, что выполняются равенства
х(т) = ах@), х(х) = ах@),
(М I
где о — число, большее единицы, то это означает, что в течение перис
да т и смещение и скорость возрастают в сг раз. При следующем период
снова произойдет такое же возрастание размахов и т. д. Таким обрг
зом, при \а\ > 1 уравнения G.6) являются достаточными условиям
неустойчивости процесса и неограниченного нарастания колебаний
Подставив в уравнения G.6) выражения G.5), получим систем
линейных однородных уравнений относительно х@), х@). Условие н^
личия нетривиальных решений этого уравнения приводит к равенств]
xi (т) — сг, х, (т)
= 0,
т. е. к квадратному уравнению относительно а
а2 — [х, (т) + х2 (х)] а + х, (т) х, (т) ~х, (т) х2 (т) = 0 . {7.\
Свободный член уравнения G.7) тождественно равен единице.
52
1СЛ!
! деле,
и х2 являются решениями уравнения G.1):
{ = 0, хг 4- с (t) хг = 0.
на Xi, вычитая
>'^пюжая первое из этих равенств на х2, второе
почленно и интегрируя от нуля до т, находим
т. с-
j ( хгхх — х{хг) At == [ xzXi — ^i^2]0 == 0,
(х) — ху (х) х2 (т) = х, @) х, @) — х, @) х2 @) = 1.
Таким образом, характеристический множитель определяется ра-
денством
о = А± У А2 — 1 ,
где
Очевидно, что если
А
1,
G.8)
то одно из значений \о\ > 1 и движение неустойчиво. Если \А | < 1,
то действительные значения сг отсутствуют и неустойчивое движение,
отвечающее уравнениям G.6), невозможно.
Пограничным является случай \А\ = 1, |ст| = 1. Таким образом,
для того чтобы установить, имеет ли место параметрический резонанс
при данном ^законе изменения параметра, необходимо вычислить реше-
решения Xi(t), x2(t) и проверить соблюдение неравенства G.8).
Вычисление решений xit x2 в общем виде оказывается несложным,
если c(t) меняется по кусочно-постоянному закону (например, если в те-
течение половины периода продольная сила постоянная сжимающая, а в
течение второй половины — постоянная растягивающая). Решение
Для этого случая см. в работе [40].
Практически более важен случай, когда параметр меняется по гар-
гармоническому закону
С (t) = Со -|- Ct COS Vbt .
При этом уравнение G.1) получает вид
х ~\- [сй/т-г- (c1//n)cosarf]x = 0. G.9)
Это уравнение, называемое уравнением Матье, хорошо изучено.
•Характер его решений зависит от двух безразмерных коэффициентов.
В самом деле, введя «безразмерное» время г> = ®t/2, приведем урав-
уравнение G.9) к виду
где
d2x/d&2 + (/ + 2q cos 2&) * = 0,
I = 4c0/(mco2) = 4/72/co2, q = 2cl/{tna2).
G.10)
53
Коэффициенты / (характеризующий отношение собственной част)
ты системы при среднем значении параметра с0 к частоте изменения п
раметра) и q (характеризующий степень изменения параметра) по,
ностью определяют устойчивость движения. Плоскость изменения
и q может быть разделена на области, соответствующие устойчивы
и неустойчивым движениям. \
Такая диаграмма (диаграмма Айнса-Стретта) представлена
рис. 7.3. Области устойчивости на рисунке заштрихованы. Таким обр(
зом, для того чтобы опред<
лить, устойчиво или неу<
тойчиво движение, опись
ваемое уравнением G.9
достаточно вычислить к(
эффициенты /, q, нанест
соответствующую точку
диаграмму и установить
попадает ли она в устой
чивую (заштрихованную
или в неустойчивую
лую) область.
Проследим, как изме
няется устойчивость систе
мы при изменении часто
Г
-2-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I
ты со. В этом случае отно
ис' ' шение qll сохраняет по
стоянное значение и cool
ветствующая точка на диаграмме Айнса-Стретта движется по лучу
проходящему через начало координат. При этом точка после
довательно попадает то в области устойчивости, то в области неустой
чивости. Как легко видеть, при малом изменении параметра (q малб
неустойчивость имеет место при значениях параметра / = 1, 4, 9,
т. е. при отношениях р/со = 1/2; 1; 3/2; 2; 5/2 и т. д.
Приближенное определение границ зон устойчивости. Как уж
указывалось, границам зон устойчивости соответствуют значения |сг| =
— 1. Следовательно, в этом случае возможны периодические решени;
уравнения G.10). При этом период движения должен вдвое превышат:
период изменения параметра.
Такое движение можно разложить в ряд Фурье:
x = a0 + a1cos& + a2cos2»+ ••• + b{ sin S> + b sin 2» -| G.11
Таким образом, границы зон устойчивости соответствуют тем соче
таниям безразмерных коэффициентов, при которых уравнение движе
ния имеет решение вида G.11).
Приведем вычисления для случая, когда в системе имеется вязко]
трение; при этом в уравнение движения входит член, пропорциональ!
ный х, и оно может быть приведено к виду
dVdu2 + ccjdx/d» + (/ + 2q cos 29) x = 0. G.12
Для того чтобы приближенно определить границы первой (наибо
54
важной), области неустойчивости, достаточно в выражении G.11)
Ллеря<ать только слагаемые, пропорциональные cos9- и sinO:
x = acos& + 6sin». G.13)
Подставляя это выражение в левую часть уравнения G.12) и произ-
одя несложные тригонометрические преобразования, получаем
F (&) = а [(/ — 1) cos % — otj sin Ъ + q (cos & + cos ЗЩ +
+ b [(I _ i) sin Ь -f oq cos Ь — q (sin Ь — sin ЗЩ Ф 0.
Применяя метод гармонического баланса, который уже использовал-
использовался в предыдущем параграфе, приравняем нулю коэффициенты при
sini> и cos& [более строгое выполнение равенства F(9) = 0 потребовало
бы учета большего числа слагаемых в выражении G.11)]. Получаем
G.14)
Приравнивая нулю определитель системы G.14), находим условие,
яри котором возможно равенство G.13):
(/— IJ — <72 + а? = 0. G.15)
Эго условие и представляет собой приближенное уравнение границ
первой зоны неустойчивости. При
этом неустойчивости сооответствует
неравенство
(/ — IJ — <?в + ai2< 0. G.16)
На рис. 7.4 показаны рассчитан-
рассчитанные по уравнению G.15) границы
при ai = 0 и ai = 0,2. Для сравне-
сравнения штриховой линией показана так-
также точная граница при ai = 0 по диа-
диаграмме Айнса-Стретта. Формула G.15)
показывает, что при наличии вязкого
трения параметрический резонанс воз-
возможен только при \q\ > ai, т. е. при
Достаточно большом изменении пара-
параметра. При удержании большего числа
слагаемых в выражении G.11) и соот-
соответственно более точном выполнении
Равенства F($) = 0 можно уточнить границы первой области неустой-
неустойчивости и рассчитать границы других областей.
§ 8. КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Вводные замечания. Несмотря на то что все реальные конструкции
являются в той или иной степени нелинейными, большая часть прак-
практических расчетов выполняется на основе линейной теории. Как пра-
55
0,2-
2,0 I
г
Рис. 8.1
i
F
Fr.
Рис. 8.2
i i
56
, такие расчеты приводят к удовлетворительным результатам. Од-
0'иногда возникают явления, которые не могут быть объяснены в
амках линейной теории. К ним относятся, например, наличие не-
нескольких устойчивых режимов вынужденных колебаний, реализация
которых зависит от начальных условий; колебания с частотами, от-
отличными от частоты возмущения, и т. п. Это делает необходимым про-
проведение расчетов на основе нелинейной теории.
Особенно необходимы нелинейные расчеты для существенно нели-
нелинейных систем, таких, как упругие системы с ограничителями хода,
системы с нелинейными муфтами и др.
В настоящем разделе нелинейные колебания рассмотрены лишь
кратко, более полная теория содержится в работах [9, 29, 54].
Примером упругих элементов с нелинейными характеристиками
являются муфты, показанные на рис. 8.1,а, б. В муфте со змеевидной
пружиной (рис. 8.1,а) с увеличением крутящего момента стальная
лента прижимается к зубьям, в связи с чем длина деформируемой части
ее уменьшается и жесткость соответственно повышается. Зависимость
передаваемого момента от угла взаимного поворота половин муфты по-
показана на рис. 8.1,6. Аналогичную характеристику имеет и муфта на
рис. 8.1,6. Здесь увеличение жесткости достигается благодаря тому,
что при увеличении момента пластинчатые рессоры прижимаются к
краям вырезов в полумуфтах.
На рис. 8.2,а показана рессора грузового автомобиля с подрессор-
подрессорником. Зависимость прогиба рессоры от нагрузки на нее показана на
рис. 8.2,6. При нагрузке F,
меньшей Fo, деформирует-
деформируется только основная рессо-
рессора, при F > Fo в работу
включается также подрес-
подрессорник и жесткость соот-
соответственно увеличивается.
Свободные колебания.
Рассмотрим простейшую
нелинейную систему с од-
одной степенью свободы —
груз т на нелинейной пру-
пружине. Упругая характеристика пружины, т. е. зависимость усилия F от
смещения х, может быть задана аналитически или графически. В зави-
зависимости от вида характеристики она называется несимметричной (рис.
8.3,а) или симметричной (рис. 8.3,6). Если жесткость (dF/dx) возрас-
возрастает с увеличением х, как на рис. 8.3,6, характеристика называется
"^сапкой,, в противном случае (рис. 8.3,е) — мягкой.
сравнение свободных колебаний консервативной системы имеет
ВИД
тх + F(x) = 0. (8.1)
Первый интеграл этого уравнения легко может быть вычислен.
Обозначив х ---- у, приведем уравнение (8.1) к виду
mydy/dx 4- F (х) — О,
57
Рис. 8.3
откуда
тУ
F(x)dx =
(8.
и
где С — постоянная.
Равенство (8.2) выражает закон сохранения энергии; первый
левой части представляет собой кинетическую энергию, второй -
тенциальную. Уравнение (8.2) „„,,
I у=х воляет изобразить фазовый портре
движения, т. е. семейство траектс
рий в координатах х, у (рис. 8.4'
Так как уравнение (8.2)четно
относительно у = х, траектори,
симметричны относительно оси д
В случае симметричной упруго;
характеристики F(x) они симмет
ричны также и относительно верти
кальной оси.
Для определения закона „„„
жения требуется выполнить второ|
интегрирование:
Рис. 8.4
dx
(8.
1
В отличие от привычного представления перемещения х в функци!
времени / формула (8.3) дает обратную зависимость. В процессе коли
бания х то возрастает, то убывает, однако отношение dx/x всегда пол]
жительно, поэтому в формулу (8.3) входит абсолютное значение .
Используя формулу (8.3), можно определить период колебаний
как время, затрачиваемое на полный цикл движения, при котором изо!
бражающая точка обходит полностью фазовую траекторию Учитывай
симметрию фазовой траектории, находим
С — F (х) dx
-1/2
dx.
При этом постоянная С определяется формулой
С=
Для системы с симметричной упругой характеристикой xmsx =
(8.5;
А Г 2 А ~]-1>2
-4| -j>(*)d* d*.
о L х
58
Г
1-1з формул (8.4) и (8.5) следует важная особенность нелинейных
истем — зависимость периода свободных колебаний от амплитуды
В качестве примера нелинейной системы рассмотрим систему с кубической
«.ракгерисгикой- F{x) = k*.
Так как характеристика симметричная, используем формулу (8.5):
- = 4 (' [ хЧх dx = 8 I ,
т
~2k
Ах
V А*—.
и L л i
Перейдя к переменной интегрирования ? = х/А, получим
: = 8
/т 1 j' ds
?4
Определенный интеграл (выражающийся через эллиптический) равен
7[Л2 и, следовательно,
х = 7,416 Vmik A*1.
Таким образом, период свободных колебаний рассмотренной системы обрат-
обратно пропорционален амплитуде.
Сзободные колебания нелинейной системы являются периодичес-
периодическими, по не гармоническими; соответствующее перемещение может быть
разложено в ряд Фурье:
х — Ао + Дсобсо^ + B^lnoiJ -f- /42cos2co:(.^ + • • • (8.6)
Здесь @^ = 2^/1 — основная частота колебания, зависящая от
амплитуды.
Среди гармонических коэффициентов особое место занимает Ао;
этог коэффициент характеризует смещение центра колебания от поло-
положения статического равновесия.
Если упругая характеристика системы является симметричной, то,
как следует из симметрии фазовых траекторий относительно оси у,
Ао и все четные коэффициенты разложения равны нулю.
Для представления закона движения в форме разложения в ряд
Фурье (8.6) следует предварительно обратить зависимость (8.3) и найти
x(t). Вычисления оказываются обычно чрезвычайно затруднительными.
Поэтому для приближенного определения периода % колебания (или
основной его частоты), а также нескольких первых коэффициентов раз-
разложения [см. формулу (8.6)] большей частью используются приближен-
приближенные методы. Некоторые из таких методов рассмотрены далее.
Системы с кусочно-линейной характеристикой (метод припасовы-
Еания). Среди нелинейных систем, колебания которых успешно могут
быть изучены точно, следует указать на системы с кусочно-линейными
характеристиками.
В качестве примера рассмотрим систему, изображенную на рис.
°-5,а. Упругая сила F, воздействующая на груз (рис. 8.5,6), определя-
определяйся в зависимости от смещения х следующими формулами:
при
лРн
a F (х) = с{х + с„ ( | х \ — a) sgn x.
59
Здесь sgiu- — знак смещения х (при х > О sgnx = 1, при х
sgnx = —1, sgnO = 0), Сц — жесткость двух пружин 1, с2
кость одной из пружин 2.
Очевидно, что если амплитуда колебаний груза меньше зазора а
груз совершает свободные гармонические колебания с частотой р'
= V cjm, не зависящей от амплитуды. Поэтому рассмотрим случа
когда амплитуда колебаний А больше а.
Рис. 8.5
Пусть груз отведен в крайнее правое положение и отпущен б«
начальной скорости; тогда при х > а будет справедливо уравнение
— a) = О,
(8.
которое следует проинтегрировать при начальных условиях х0 = А
Xq := U.
Соответствующее решение имеет вид
х =
где
с, + с,
а A — cos р4) + A cos pj,
(8.8,
Г
Рч. = V (ct + c2)lm .
Приравнивая х == а, находим значение времени /*, при котором
груз перестанет касаться пружины 2:
а ==
- а A — cos p.J*) + A cos pj#,
откуда
t* = — arccos
с, а
Pi (cx + c2) A — c2a '
Скорость груза в этот момент составит
-^ А) sin p2^ ^ — р2 Ы — а —-
(8.9JJ
с, + с2!
X
X
_Г ^ 12.
L(cj -f с,) А — c2aj
(8.101
60
Начиная с этого момента груз движется только под действием
/ и уравнение движения имеет вид
mx -f CjX = 0. (8.11)
Обозначив Я = /—/*, имеем для интегрирования уравнения
,g Ц) следующие условия: при 0 = Ох — а; х—х*. Следовательно,
х = acospj + (x^/pi) slnpj, (8.12)
где
Pi = j/q/m.
Момент прихода груза в среднее положение fi^ найдем из условия
х —- 0, откуда
Ъ% = arcctg[—**/(/'ia)] ¦
Полное время, затраченное грузом на переход из крайнего правого
в среднее положение, составляет, очевидно, четверть периода колеба-
колебаний и равно т/4 = /* +-&*.
После несложных преобразований
¦г 1 с, /с, .
— = ¦— arccos " !
4 с-
1
Pi
arcsin
V
A -t- сг/с2) Л/а — 1
Ct/C2(l + Cl/C2)
+ Ci.'CjM/a— l]2+ci;'c2
5.13)
Как легко видеть, при Л^а х—>-2т./р{, а при Л->оо т-*-2т./р2.
Таким образом, основная частота колебания со^ = 2т:/т меняется от
Pi до р., с изменением амплитуды. График зависимости со* (Л) (так
называемая скелетная кривая) показан на рис. 8.6.
Метод, которым мы воспользовались в решении этой задачи, сос-
состоял в том, что на каждом участке движения точно решалось соответст-
соответствующее линейное дифференциальное уравнение, причем постоянные
на каждом последующем участке определялись из условий непрерыв-
непрерывности изменения перемещения и скорости. Этот метод называется ме-
методом припасовывания.
Весьма удобной является графоаналитическая интерпретация мето-
метода припасовывания. Она основана на том, что в координатах х, х/р
свободное движение линейной системы изображается дугой окружнос-
ти, по которой изображающая точка движется с угловой скоростью р,
Равной угловой частоте соответствующей линейной системы (см. § 2).
Для рассмотренной выше задачи графическое построение показано
на рис. 8.7. Так же как и при аналитическом решении, полагаем, что
в начальный момент груз отЕеден вправо на величину Л. Этому состоя-
состоянию отвечают точка / на упругой характеристике и точка / на фазовой
Диаграмме (рис. 8.7,а,б). Отложив по оси ординат отношение х/р2 (рг =
~~ }Г(С1 Ч- с2Iт, где ci + с2 — уклон упругой характеристики на
G1
О
со
Рис. 8.6
участке /—//), обнаружим, что фазовь
портрет движения изображается дуГс
окружности 1 2. Центр этой окружное!
лежит в точке О и соответствующей j
ресечению прямой/—//с осью асбци_
Точка 2 соответствует переходу на уча<
ток О—// упругой характеристик!
Чтобы и дальше фазовая траекторн
изображалась дугой окружности, по ос
ординат надо откладывать теперь и
xlp2, a xlpi (pi = YcJtn, где
уклон упругой характеристики на учас
ке О—//). В связи с изменением масштаба начальной точкой
жения будет точка 2' (\Q2r \ == \Q2\p2lpi), а движение изобразите
дугой окружности 2'3. Точка 3 соответствует проходу груза чер
положение равновесия.
Построенная часть фазового портрета изображает четверть перио,
собственных колебаний. При вычислении периода следует учесть, чп
изображающая точка движется по дуге 12с угловой скоростью
а по дуге 2 3 — с угловой
скоростью pi.
Таким образом,
t/4 =
+
Легко проверить, что эта
формула совпадает с форму-
формулой (8.13).
В качестве других приме-
примеров рассмотрим систему с за-
зазором (рис. 8.8,а) и систему
с натягом (рис. 8.8,6).
В первой из этих систем
колебательное движение воз-
возможно, только если амплиту-
амплитуда превышает зазор а. Упру-
Упругие характеристики и графи-
графические построения для этих
систем показаны на рис.
8.9, а,б и 8.10, а,б; они не
нуждаются в дополнитель-
дополнительных пояснениях.
Для первой из этих сис-
систем период определяется из
соотношения
а основная
пия
62
2р р(А- а)
частота колеба-
\й\
, . //////.
5)
Рис. 8.9
6)а[
¦<У
Рис. 8.11
63
r
со.,. --
Для второй системы
1 -+- 2a/[-к (А —а)}
— arccos —
P A-
a —
O —
- a
r.p
2 arccos [а/(Л + а)]
В приведенных формулах р = у elm, где с — уклон упру
характеристики. Скелетные кривые, т. е. зависимости со^Л), для
систем показаны на рис. 8.11,а,б.
Упругие характеристики систем, показанных на рис. 8.5 и 8.8;
относятся к жестким (так как с увеличением х уклон характеристи
возрастает), а системы на рис. 8.8,6 — к мягким. Как видно из о
ветствующих скелетных кривых, для жестких систем с увеличени
амплитуды частота свободных колебаний возрастает, для мягких
уменьшается.
Метод гармонического баланса. Разработано много приближенн:
методов для расчета периодических движений нелинейных си
Остановимся на методе гармонического баланса.
Уравнение движения нелинейной консервативной системы мож!
записать в виде
x-+f(x) =
f(x) = F(x)/m
Искомое периодическое решение может быть представлено в в.
ряда Фурье (8.6)
х = Ло -\- At ccs co^
sin
где «* — неизвестная основная частота колебания.
Подставив это выражение в левую часть уравнения (8.14), получи^
периодическую (периода 2л/со.,.) функцию времени
ф (t) — — а>1 (Л4 cos и^ -f Bj sin a^t) — 4(?? (A2 cos 2co.
-\- В, sin 2a.J) -\ + f(A0 + A{cos(oj + BiJ \
).
Для того чтобы функция Ф(/) тождественно обращалась в нуль, н<А
обходимо, чтобы равнялись нулю все коэффициенты разложения е|
в ряд Фурье. Это требование приводит к серии равенств:
/rttf Д -
/ (х) At = О,
f (x) c
(8.15;
k-m'B,
2п>,
- \ f(x)s\nk(u,.tdt (k=-. I, 2,
6
С4
Аргумент функции f{x) под интегралами должен быть заменен выра-
выражением (8.6).
Таким образом, получается бесконечная система нелинейных урав-
уравнении относительно коэффициентов Л, В.
При приближенном расчете в выражении (8.6) удерживают только
несколько гармоник и приравнивают нулю такое же количество гармо-
гармонических коэффициентов функции Ф(<). Чаще всего ограничиваются
выражением
х = Ло -f- Ai cos co^t 4- Bt sin co^ .
Так как в уравнение движения (8.14) время явно не входит (система
автономна), то, выбирая соответствующим образом начало отсчета вре-
времени, можно добиться, чтобы коэффициент Вг обратился в нуль. Тогда
(8.16)
причем Ао и А определяются из уравнений
(8.17)
д L_ "Г */ (Ло + Л cos©#0 cosajdt = 0.
и
Эти два уравнения позволяют установить связь между Ло, Л и со*,
т. е. построить приближенно скелетную кривую для нелинейной сис-
системы. Для системы с симметричной ха-
характеристикой Ло = 0 и сохраняется
только второе из уравнений (8.17).
В качестве примера рассмотрим систему с
кубической нелинейностью. Пусть упругая
сила F(x) связана со смещением зависи-
зависимостью
F(x) =cx+llXK
При 7i >0 характеристика является г<Q
жесткой, при 7i < 0 — мягкой (рис. 8.12). »' ^
Имеем
1 / /х>0
т
Рис. 8.12
где р--~ус/т —собственная частота линейной
системы (при f 1 = 0), ( = fi/c
R данном случае в связи с симметрией упругой характеристики /10 - 0 и за-
'О 1 О\
Давая
пол\чим по уравнению (8.17)
X ----- ACOS с
3.18)
Л —
' р2 (A cos <"*/ + чА3 cos3 о>„<) cos <»Jdl = 0.
3 -318
65
откуда
Выполняя интегрирование*, находим
А —(р*/«?) (А +
= 0,
Таким образом, мы сразу получаем приближенное уравнение скелетно]
кривой (рис. 8.13). Однако мы не имеем еще информации о форме колебании
так как в выражении (8.18) пренебрегли всеми гармони
ками, кроме первой.
Для того чтобы определить приближенно и треть»
гармонику колебания, примем
х --= Лх cos u>tt + Л3 cos Зс-V ¦ (8.19
При этом полагаем, что Аз « А\.
Подстановка принятого значения х в выражение уп
ругой силы приводит к равенству
0 p
Рис. 8.13
т
+A3 соэЗсо^ + 3-fA\Aя cos2
*/ cos
cos ">*' +
wtt + ¦ ¦ ¦),
где в связи с малостью As опущены слагаемые, содержащие Аз2 и Лз3.
Используя тождества
cos3^ = 3/4 cos <»,./ + 1/i cos 3u>J,
cos2 wmt cos Зсоф t = *¦/<! cos шф; + V2 cos Зш,^ -)- i/4 cos 5ш,<,
находим в соответствии с равенствами (8.15):
Пренебрегая в первом из этих уравнений малым последним членом в пра-
вой части, получаем прежнее уравнение скелетной кривой
и, подставив это значение во второе уравнение, находим
Л3 —
(8.2
Зависимость отношения Л3/Л1 от yAi2 показана на рис. 8.14. Как видно,
отношение не превышает 1/21 = 0,047, что оправдывает сделанное допущение о
его малости.
Величина yAi2 = 71^13/(сЛ1) имеет простой физический смысл — это отно*
шение нелинейной части восстанавливающей силы при отклонении А\ к линейной
(рис. 8.15), которое характеризует эффективную нелинейность системы.
Рассмотренная задача имеет и точное решение (см. [29]), которое выражается
* Заметим, что проведение интегрирования не обязательно. Можно непосред-
непосредственно подставить выражение (8.18) в уравнение х+ р2 (дг+ -рс3) = 0, восполь-
воспользоваться тождеством cos3 w^t = 3/4 cos ш„^ -j- 1/4ros3m^^H приравнять нулю сумму
членов уравнения, содержащих множителем cos со,.;.
66
Г
оез эллиптические функции. Разлагая это решение в ряд Фурье, можно уста-
вить, 11Т0 оно содержит не только первую и третью гармоники, но и все гармо-
"яки нечетных порядков. При приближенном решении для нахождения этих гар-
И ник потребовалось бы учесть большее число членов в выражении (8.6).
М Следует отметить, что найденное выше приближенное значение амплитуды
53
0,W
Рис. 8.14
Рис. 8.15
третьей гармоники Аз весьма близко к точному; так, согласно точному решению,
приЛ1 = °° отношение Аз/Ai стремится к 0,045, а не к 0,047, как получено при-
приближенно.
Вынужденные колебания нелинейной системы при гармоническом
возбуждении. Рассмотрим систему с кубической упругой характерис-
характеристикой и вязким трением. Уравнение движения имеет вид
тх + ах + сх + у{х3 = PQ sin (fttf -f cp).
(8.21)
Здесь т — масса, а — коэффициент вязкого трения, F(x) = сх +
+ yjх3 — упругая восстанавливающая сила, P0sin(co/ + ср) — воз-
возмущающая сила. Фазовый угол ср включен в выражение возмущающей
силы для упрощения вычислений.
Приближенное решение уравнения (8.21) будем искать в форме*
х = A sin at (8.22)
и используем метод гармонического баланса. Подставим выражение
(8.22) в левую часть уравнения (8.21), используем тождество sin3co/ =
¦-- 3/4sinco? — 1/is\n3at и раскроем синус суммы в правой части урав-
уравнения (8.21). Затем приравниваем нулю члены, содержащие sinat и
cost.}/ в отдельности:
(8.23)
(8.24)
(с — та2) А + 3/4тИ3 = Ро
аЛсо = Ро sin ср.
(При этом член 1/4у]Л3 sin Зсо^ остается несбалансированным.)
Считывая, что
с/т
A2 = а? (А)
3*
* Если бы угол ф не был включен в выражение возмущающей силы, следо-
эло бы принять х = Asin((dt— ф), что привело бы к несколько более сложным
икладкам.
67
[ со2 (А)
представляет собой квадрат частоты свободных колебаний (зависяц
от амплитуды), и обозначая aim — 2/?, получаем
•со2] А -= (P0/m)coscp,
2псоЛ -- (Point) sin о.
Исключив отсюда фазовый сдвиг, найдем
{[с/(Л) — co2j2 + 4п2со2}Л2--=(Ро//пJ. (8.2(
Разделив уравнения (8.25) одно на другое почленно, получим зн;
чение фазы колебаний
tg ср = 2лсо/( со^ — со2). (8.27
Уравнение (8.26) дает зависимость между частотой возмущающе
силы и амплитудой вынужденных колебаний. Решив это уравнени
относительно со2, получим
со2 = со^ (А) — 2п2±У [P0/(mA)f — 4п2со^ (А) + 4п4 . (8.2,
При малом демпфировании п2 С со* и формула (8.28) может быт
приведена к виду
со2 = а] (А) ± "|/[Р0/(/пЛ)J —4д2со^(Л) . (8.29J
¦1
Построение зависимости со, А, называемой амплитудно-частотно!
характеристикой, согласно формуле (8.29) показано на рис. 8.16. В ко
ординатах со2, А построена ске|
летная кривая, т. е. зависимое^
coj (А), а затем на каждом уро»
не амплитуды влево и вправо 01
нее по горизонтали отложень
отрезки
малым"
ь ^ У\
— 4п2ь? (А).
Для жесткой системы ампли^
тудно-частотная характеристика
имеет вид, показанный на рис.:
8.16,а, а для мягкой—на рис,
8.16,6.
Существенной особенностью
нелинейных систем является:
возможность реализации не-
нескольких различных периодиче-
периодических режимов при изменении
частоты в определенных преде-
пределах. Так, как видно из ри
8.16,а, при со_ < со < со+ урав-
уравнение (8.29) дает три режима: с
большими амплитудами Аи с
68
амплитудами А2 и с промежуточными амплитудами Аз-
Г1павт.а> как ыы увидим далее, устойчивыми являются только режимы
\ и"Ь, а режим А3 неустойчив и не реализуется практически.
Реализация того или иного устойчивого режима зависит от началь-
ix условий движения. Так, если медленно увеличивать частоту воз^
уща'ющей силы, амплитуды будут изменяться по линии KL (рис. 8.17).
В точке L произойдет срыв колебаний
й при дальнейшем увеличении часто-
частоты амплитуды будут изменяться по
линии MN. При медленном уменьше-
уменьшении частоты амплитуды меняются по
линии NQRK- Следует отметить, что,
поскольку в интервале частот со_<
<юО>+ возможны два устойчивых
периодических режима, система, ко-
колеблющаяся в одном из них, может
перейти на другой при каких-либо
дополнительных внешних воздейст-
воздействиях.
Исследуем зависимость амплитуды колебаний от амплитуды воз-
возмущения. Как видно из формулы (8.29), увеличение Ро приводит к
увеличению отрезков Ь, откладываемых влево и вправо от скелетной
кривой. Таким образом, на рис. 8.16,а штриховая кривая соответству-
соответствует большему значению возмущающей силы, чем сплошная. Обратим
внимание на то, что в режимах At и А2 увеличение силы приводит к
увеличению амплитуды колебаний (ЗА/дР0 > 0), а в режиме А3 —
к уменьшению амплитуды (дА/дР0 < 0). Как мы увидим далее, нера-
неравенство дА/дРо < 0 является признаком неустойчивости режима.
Исследуем устойчивость периодических колебаний системы, рассмот-
рассмотренной выше. Предположим, что выражение х = xo(t) удовлетворяет
уравнению
Рис. 8.17
Ф (х, х, х, t) = тх + ах
— P0sm(<tot + <?)
Рассмотрим выражение
х = х0 + I,
\х3 —
"\\х
(8.30)
(8.31)
где I — малое отклонение смещения х от х0, соответствующего стл-
Ционарному режиму.
Подставляя выражение (8.31) в уравнение (8.30) и учитывая, чго
*о Удовлетворяет ему тождественно, находим
[{дФ/дх) I + (дф1дхI + (дФ/дх) 1]х=Хо = 0. (8.3'-')
Нсли решения этого линейного относительно \ уравнения устойчи-
Вы, то малые отклонения от стационарного режима не возрастают»
Эт°т режим также устойчив. Если решения уравнения (8.32) неустой-
неустойчивы, то и режим также неустойчив.
В нашем случае уравнение (8.32) имеет вид
или после подстановки вместо х0 приближенного решения (8.22),
Л и со связаны равенством (8.26),
ml + ag + [с + 3/27И2 — 3/27И2 cos 2atf] | = 0.
(8.5
Полученное уравнение есть уравнение Матье, рассмотренное в §5
Обозначив at = ф и поделив уравнение (8.33) почленно на т, прнв
дем его к виду G.12):
где точками обозначены производные по ф.
При этом
а, =
тю
с + 3/2тИ2
mm2
Условием неустойчивости является неравенство G.16)
После подстановки значений /, д, at с учетом обозначен^
а/т = 2/1 и со2 = (с + 3/iylA2)/m приведем условие неустойчивое!
к виду
[ со2 (Л) — со2]2 -Н 4«2со2 + [ о/ (Л) - со2] 3ylAVBm) < 0 . (8.J
Продифференцировав уравнение (8.26), вычислим частную
изводную д(Ро)/д(Л2) при со = const:
4^| = m2 ([ о/ (Л) - со2]2 + 4nV + 2 [ cof (Л) - о,2] Л^ ^ 1
01Л J I d (Л2) J
Так как d (co2)/d (Л2) = 3/4Yi//n, то
д (Р20Iд (Л2) = т21 [ со2 (Л) - со2]2 + 4п2со2 +
Это выражение только множителем т2 отличается от левой час
неравенства (8.34). Таким образом, условие неустойчивости (8л
можно записать в виде
dPJdA < 0.
Итак, стационарное движение неустойчиво, если возрастанию сил*
соответствует убывание амплитуды. Как уже указывалось выше, эт^
условие выполняется на участках QL амплитудно-частотных характер
ристик.
70
Г
Энергетическая оценка амплитуд резонансных колебаний нелиней-
Х систем. Часто нет необходимости в построении всей амплитудно-
астотной характеристики системы, а достаточно лишь оценить макси-
4 льНо возможные амплитуды.
Как видно из рис. 8.16, максимальная амплитуда соответствует
точке пересечения амплитудно-частотной характеристики со скелетной
кривой со = ы*(А). При этом, как следует из уравнения (8.26), резо-
резонансная амплитуда определяется равенством
4п2со2(Л)Л2 = (
Это уравнение удобно решать графически, построив в координатах
ф| А (рис. 8.18) кривую 1 со*(Л) (т. е. скелетную кривую) и кривую 2:
2псоЛ = Рй1т. (8.35)
Рис. 8.18
Точка пересечения этих кривых определяет резонансный режим.
Кривая 2 выражает условие энергетического баланса при резонансе,
В самом деле, работа, рассеиваемая за цикл силами вязкого трения,
составляет [см. формулу D.30)]
W = ™Л2со.
Работа же, совершаемая за цикл силой Р (t) = Ро sin (co^ -f- cp) на
перемещении х = A sin at,
2я/ш ф 2т:/ш
L= I" P(t)x(t)dt = aPQA Г sin(ttrf + cp)cosco^ = it/V4sincp. (8.36)
о о
При стационарном режиме L = W или
«Л2со = РйА sin ср. (8.37)
Так как sincp < 1, то энергетически возможны только амплитуды
Л < Р0/(«со). (8.38)
Так как dm = 2n, то ясно, что кривая 2 по формуле (8.35) как раз
определяет уровень максимально возможных по условию энергетичес-
71
кого баланса амплитуд. Этот уровень реализуется только при резо|
се (со = со*), когда фазовый угол равен я/2 [см. формулу (8.27)].
занное построение дает возможность определить вид амплитудной
тотных характеристик без их фактического построения, зная
скелетную кривую и кривую баланса мощности.
Так, например, для системы с мягкой характеристикой воз:
ны два варианта взаимного расположения скелетной кривой / и
вой энергетического баланса. В первом случае (рис. 8.18,а), когда
мущающая сила мала, имеются две точки пересечения кривых. Т
М соответствует резонансная кривая обычной формы. Однако л>
точки N кривая энергетического баланса снова идет выше с:
кривой и здесь имеет место дополнительная ветвь QNR амплиту„
частотной характеристики (нижняя часть этой ветви соответствует
устойчивым режимам). Второй вариант (соответствующий боль:
значению возмущающей силы) изображен на рис. 8.18,6. Здесь кри.
энергетического баланса везде идет выше скелетной кривой, следа
тельно, и в этом случае силы трения не ограничивают амплитуд ю
баний и амплитудно-частотная характеристика имеет две ветви: L
и QR (часть MN соответствует неустойчивым режимам).
Рассмотрим случай, когда амплитуда гармонической возмуща
щей силы пропорциональна квадрату частоты. (Чаще всего это свя:
но с тем, что возмущающая сила — сила инерции неуравновешенна
вращающихся масс.)
Положим
P@ = /Cco2sin(utf+ ?),
где К — постоянная.
Работу силы P(t) найдем, заменив в формуле (8.36) Ро на /(<
Тогда условие энергетического баланса (8.38) принимает вид
Л</Ссо/сс (8.с
и, следовательно, линия энергетического баланса в координатах
А представляет собой прямую, проходящую через начало координа!
Возможны два случая взаимного расположения этой прямой и
летной кривой системы с жесткой кубической упругой характери
кой (кривые 1 и 2, рис. 8.19):
Г
72
1, При большом демпфировании fa > KV Зу i/Dm)] есть одна
чка пересечения (рис. 8.19,а) и амплитудно-частотная характерис-
Т° _...™^ пйыиннй тттта гигтрмы с ВЯЗКИМ ТОеНИеМ ВИД.
тика
имеет обычный для системы с вязким трением вид
2. При малом демпфировании [a < KV 3yi/Dm)\ точек пересечения
еТ В этом случае вязкое трение не ограничивает амплитуды колеба-
колебаний и ПРН л1°бых высоких частотах возможны два устойчивых ре-
ллма колебаний с малыми и большими амплитудами (рис. 8.19,6).
a) Ffx)
-а
Рис. 8.20
Для систем с кубической нелинейностью амплитудно-частотные ха-
характеристики (см. рис. 8.18 и 8.19) можно было бы построить по фор-
формуле (8.29).
Однако использованный здесь прием, предложенный в работе [29],
может быть успешно применен и в таких задачах, где получение даже
приближенного решения затруднительно.
В качестве еще одного примера рассмотрим колебания системы с
упругой характеристикой, имеющей вертикальные асимптоты
(рис. 8.20,а) при возмущающей силе, пропорциональной квадрату час-
частоты. Приблизительно такую характеристику имеют системы с весьма
жесткими упорами, ограничивающими возможные амплитуды колеба-
колебаний. Скелетная кривая этой системы имеет вид кривой / на рис. 8.20,6.
Если демпфирование достаточно велико, то прямая 2, выражающая
Условие энергетического баланса, дважды пересекает скелетную кри-
вУю (при со = со_ и при со =- со+). Соответственно и амплитудно-
частотная характеристика имеет две ветви. Амплитуды, определяемые
первой ветвью /, столь малы, что нелинейность системы заметно не
Появляется. Ветвь // соответствует колебаниям с ударами об ограни-
ограничитель. При частоте, большей со+, возможны как устойчивые колеба-
|1ия с малыми амплитудами, так и колебания с большими амплитудами.
Переход с одного режима на другой может быть следствием случайных
^пульсов, получаемых системой.
Интересно отметить, что если бы мы проводили расчет системы на
°С11ове линейной теории, то получили бы только ветвь / и пришли бы
выводу, что колебания с большими амплитудами не возникают. Та-
^им образом, в данном случае нелинейный анализ позволяет еыяеить
аЧественно новые свойства системы.
73
Субгармонические колебания. Весьма существенной особенност
нелинейных систем является возможность возникновения в них ко,
баний, частота которых отличается от частоты возмущающей сщ
Колебания, частота которых меньше частоты возмущающей силы, \
зываются субгармоническими.
Рассмотрим приближенно субгармонические колебания системы
кубической нелинейностью и вязким трением.
Выше мы видели, что при свободных колебаниях такой системы дв
жение содержит третью, пятую и др. нечетные гармоники Поэтов
если на систему действует возмущающая сила, изменяющаяся таю»
частотой в три, пять и т. д. раз большей, чем частота колебаний, си
оказывается в резонансе с соответствующей гармоникой перемещен!
При этом она совершает работу, достаточную для преодоления сил т|
ния.
Проведем приближенный расчет субгармонического резонанса
третьей гармонике. При этом предположим, что закон движения п
резонансе не отличается от закона свободных колебаний системы (
трения, который приближенно определяется по формуле (8.19)
х = Ау cos со#/ -|- А3 cos Зсо^./,
где
со* = р2 A + 4kyA\), А3 = AiyAVC2 -i- 2\yAi).
Если возмущающая сила изменяется по закону
P(t) = Ро cos (at-\-®) при со = Зсо#, то ее работа за цикл колебан)
составляет
При вычислении работы трения за период колебания
yj7 = f a x2dt
.!
О
можно в выражении х пренебречь третьей гармоникой, которая не пр
вышает 5% от первой. Тогда снова получим формулу D.30)
W = ъаА\а>х = ™Л?со/3.
Условие энергетического баланса приводит к равенству
таЛ!со/3 = ЗкР0А3 sin tp.
Заменив А3 его значением, найдем
sin аз =
9Р0
Колебания энергетически возможны, если правая часть равенс!
не больше единицы:
Н
Г
Область возможных колебательных режимов в координатах со, А,
пределяемая неравенством (8.40), на рис. 8.21 заштрихована. Гра-
Гранича этой области соответствует значению ср = я/2, которое реализу-
реализуется при резонансных режимах. На рис. 8.22,а на один график нанесе-
ны как скелетная кривая для субгармонических колебаний со = Зсо*,
таК и кривая энергетического баланса. Точки М и N пересечения кри-
74
Рис. 8.21
вых отвечают двум резонансным режимам, а амплитудно-частотная
зависимость имеет вид замкнутой фигуры (нижняя граница этой фигу-
фигуры соответствует наустойчивым режимам).
Таким образом, возможные амплитуды субгармонических колеба-
колебаний ограничиваются условием энергетического баланса как сверху,
так и снизу. Амплитуда не может быть больше той, которая соответст-
соответствует точке N, в связи с ростом потерь на трение. Колебания с малыми
амплитудами невозможны, так как при этом система приближается к
линейной и быстро уменьшается амплитуда третьей гармоники, на
которой совершает работу возмущающая сила.
Заметим, что, увеличив демпфирование, можно добиться, чтобы
скелетная кривая и кривая энергетического баланса не пересекались
(рис. 8.22,6). При этом субгармонические колебания в системе вообще
не смогут возникнуть.
§ 9. МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
В предыдущих параграфах основным приближенным методом, ис-
использовавшимся при исследовании систем с нелинейными упругими
характеристиками или нелинейным трением, был метод гармоничес-
гармонического баланса. С помощью этого метода можно было рассчитать стацио-
стационарные режимы движения нелинейных систем. В отличие от метода
гармонического баланса метод осреднения позволяет исследовать и
процесс установления стационарного режима. При этом для самого
стационарного режима метод осреднения приводит к тем же результа-
результатам, что и метод гармонического баланса.
Метод осреднения был первоначально применен Ван-дер-Полем
Для исследования автоколебаний, а впоследствии развит Н. М. Крыло-
75
вым, И. Н. Боголюбовым и Ю. А. Митропольским применительно
большому кругу важных задач. Метод основан на предположении, щ
движение системы настолько мало отличается от гармонического,
в течение одного «периода» этим отличием можно пренебречь, но
периода к периоду амплитуда и фаза колебания медленно меняются
Пусть уравнение движения в виде, разрешенном относительно второ
производной перемещения, представлено в форме
х = F [х, х, t) ,
где правая часть —'Нелинейная, вообще говоря, функция х, х и времени^
Предполагается, что решение уравнения (9.1) мало отличается oi
гармонического колебания с некоторой частотой со. Для этого, очевид.
но, необходимо, чтобы правая часть уравнения (9.1) мало отличалась
от величины —со2*. Следовательно, предположение о близости движе-
движения к гармоническому колебанию с частотой со эквивалентно предпо^
ложению о малости функции:
ф[х, х, t)=F [x, х, t
огх .
(9.2)
Поэтому в дальнейшем вместо уравнения (9.1) будем рассматривать эк-i
Бивалентное ему уравнение
х + а2х = Ф ух, х, t),
(9.3)
правая часть которого предполагается малой.
Решение уравнения (9.3) [а следовательно, и (9.1)] отыскивается в
форме J.
х = a sin (at + ср), (9.4)f
f
где а и ф — медленно изменяющиеся функции времени (т. е. функции//
изменением которых в течение периода 2я/со можно пренебречь, учи-('
тывая лишь их изменение от периода к периоду). Так как вместо одной»
неизвестной функции x(t) мы ввели две (а, ср), их можно связать допол-*'
нительной зависимостью. Положим f
a sin (at + <p) -f- a <p cos (со/ -f- 'f) = 0.
Тогда для производной dx/dt получим
х = — [a sin (со/ + ср)] = «a cos (со/+ со) -\- asm (at -f- <p) +
-f- acpcos(o)Z[ + ср) = coa cos (at -f- <?).
Вычислим
x = — co2a sin (at -\- <?)-{- coa cos (at -j- cp) — coa? sin (at -f- cp)
Подставим значения х, х, х в уравнение (9.3):
/ <) ,„ \
coa cos ft — coacp sin ft = Ф a sin ft, coa cos 0, —).
V o) /
76
(9.5)
(9.6),,
4
(9.7)
Здесь обозначено ft = cat -\- о ив выражении (9.2) функции
ф < х, х, t) величины х, х заменены их значениями (9.4), (9.6) и
t-^ (t) —?)/«.
После такой замены функция Ф представляет собой не что иное,
как погрешность в выполнении исходного дифференциального уравне-
уравнения (9.1) решением вида (9.4) при постоянных во времени а и ср. Решив
совместно уравнения (9.5) и (9.7), найдем:
а = Ф I a sin ft, coa cos ft, ±Zll j COs ft,
CO \ CO J
(9.8)
cp = Ф (a sin ft, coa cos ft, ~? ) sin ft.
Выражения (9.8) — точные; они получены путем замены в исход-
исходном уравнении переменной x(t) переменными а, ср..
'< ; Изменение амплитуды и фазы за один период, в течение которого
{} изменяется ыа 2л, можно подсчитать по формулам
Да =
(9.9)
Так как ft = tttf + «, то d//dft = l/(co + <?)•
При вычислении интегралов (9.9) используем основное предположение
метода осреднения — будем пренебрегать изменяемостью а и ср в
подынтегральных выражениях. Тогда
Аа = — [ Ф (a sin Ь, coa cos ft, ' —<р | cos ftdft,
<D|asin&, coa cos ft,
sin ftdft.
Средние за цикл скорости изменения амплитуды и фазы составляют
I читателя не должно вводить в заблуждение то, что эти осредненные
величины обозначены так же, как и истинные в уравнениях (9.8)]:
г,и
a = (со/2т:) Да = A/со) В (а, ср),
ф = (со/2тс) Дер = — [1/(соа)]С(а,ср),
В (а, с) = — \ Ф a sin ft, coa cos ft, -
2-
C (a, ?) = — Г Ф | a sin ft, coa cos ft, ~~?
2т: J \ to
О ч
(9.10)
cos ftdft,
sinftdft, (9.11)
77
1
причем в подынтегральных выражениях а, ф считаются постоянными.!
Выражения (9.10) представляют собой дифференциальные уравне-|
ния, определяющие «медленное» изменение амплитуды и фазы.
Если нас интересуют такие стационарные процессы, при которых и
амплитуда и фаза остаются постоянными, то следует принять а =0,
Ф = 0 и стационарные значения амплитуды А и фазы ф0 определятся
уравнениями
В (А, сро) = О, С(А,<?0) = 0.
Эти уравнения совпадают с уравнениями, к которым приводит метод
гармонического баланса.
Исследовав поведение интегралов уравнений (9.10) при начальных
условиях, мало отличающихся от А и ф0, можно определить, устойчив
или неустойчив стационарный режим.
Для автономных систем, т. е. для систем, в уравнения движения
которых время явно не входит, Ф(х, х, t) = Ф(х, х). В этом случае
коэффициенты В и С от фазы ф не зависят и уравнения (9.10) получают
вид
а = A/<в)В(д); ? = — [1/(аа)]С (а), (9.12)
где
2-
в (а) = — \ Ф (a sin Ь, аа cos Ь) cos ЫЬ,
С (а) = — Г Ф (a sin 9, аа cos ») sin fld». (9.13)
6
При применении уравнений (9.12) для расчета стационарных режи-
режимов автономной системы возможны два пути. Во-первых, можно из
условий а = 0, ф =0 определить значения амплитуды и частоты ста-
стационарных колебаний (А, со.,.). При этом расчет не отличается от рас-
расчета методом гармонического баланса. Во-вторых, можно принять не-
некоторое фиксированное значение со4 (например, равное частоте колеба-
колебаний порождающей линейной системы) и определить амплитуду А из
условия а = 0 [т. е. В(А) = 0]. Тогда частота стационарных колеба-
колебаний определяется равенством
d
At
со,
С (А).
Рассмотрим примеры применения метода осреднения к некоторым
задачам, которые уже решены выше другими методами.
Пример 1. Свободные колебания системы с сухим трением. Дифференци-
Дифференциальное уравнение движения D.15) представим в форме
2
х + и х
(Ro/m) sgn x,
где wj = Yclm — частота колебаний консервативной системы. В данном случае
78
Ф \х, х ) = —{Ro/m) sgnx; Ф (a sin 9, wa cos 8) = — (Ro/m) sgn (cos 8).
Подстановка этого выражения в формулы (9.13) приводит к значениям
2*
В (а) = -
2 R
sen (cos ») cos 8d& = — ,
2т.
С (а) =-¦
и по формулам (9.12) находим:
2-кт
sgn (cos ft) sin ud& = 0
a= — [2/(*o)i)](K0/m); 9 = 0'
Следовательно, угловая частота затухающих колебаний
d
м* = ~ТГ (Ш1^ + ?) = №1
равна собственной частоте системы без трения, а скорость убывания амплитуды
постоянна, причем за один период 2я/а>1 она уменьшается на величину
Да = {2-1ьЧ)\а\ = 4,
Полученные результаты совпадают с точными.
Пример 2. Вынужденные колебания системы с кубической нелинейностью
и вязким трением.
Решение уравнения движения
тх + а х + сх + Yx*3 = Ро sin mt
ищем в форме х = a sin (Ы + -f). [Заметим, что здесь в отличие от уравнений
(8.22), (8.23) <р—опережение фазы смещения по сравнению с силой.] В этом
случае
Ф \х, х, t) = [(m»2 — с) х— 7i*3 — ах -\- Pgsmut У т.
После подстановки х = a sin &, х = ao> cos Ь, ft = cof -(- <р получим
Ф = [(/лш2 — с) a sin » — -ficz3 sins Ь — ааш cos & + Ро sin (ft — <p)]/m.
Вычислим:
0
По формулам (9.10) находим:
= _ [(mo2 — c) a
costf-
sin
+ P0cos <p]/Bm«a).
(9.14)
79
При стационарном режиме а = А = const, <р = — «ро = const (г0 — отстава- j
ние по фазе перемещения от силы). Отсюда следуют уравнения
.«Л-P. sin*. (9л5)
{с + 3/i1iA2 -- ffi»!) А = Ро cos tpe,
которые не отличаются от уравнений (8.23), полученных методом гармоничес-
гармонического баланса, и приводят к тем же амплитудно-частотным характеристикам.
Исследуем теперь устойчивость стационарных колебаний. С этой целью^по-
ложим
а = А + е«, <? = — то + ev< (9.16)
гдее — бесконечно малый параметр.
Подставляя выражения (9.16) в уравнения (9.14), учитывая, что при'а =
= А, ф = —фо правые части этих уравнений тождественно равны нулю, и
сохраняя только линейно зависящие отк слагаемые, придам к следующей систе-
системе дифференциальных уравнений относительно и и v
U = — (аюи + Ро COS sf0ti)/Bmeo),
Заменис здесь Ро cos'fo и Ро sin c0 их значениями в соотвгтсгвии с формулами
(9.15) и введя обозначения т2 ~ (с + 3/i^1A2)/rr;, а/т = 2п (см. § 8), представим
уравнения в таком виде;
' = 0.
Решение уравнений (9.17) можно записать в виде u—Cxest, v = C2est.
подстановки получим систему алгебраических уравнений
Ci(s + п) +С2(«2 — «2)л/B«) = 0,
@.17)
После
_ Ю2 _ зТ1Л2/Bт)]/BЛо)) + С„ (s + п) --= С .
Приравняв нулю определитель этой системы, придем к квадратному уравне-
уравнению относительно характеристического показателя s
лJ
4со2) -.= 0.
(9.IS)
В зависимости от знака второго слагаемого этого уравнения характеристичес-
характеристические показатели могут быть либо сопряженными комплексными с отрицательной
действительной частью s = — п + i YD (при D = ( f2—со2)[ш2— ы2 -j-
-f- 3fi/l2/Bff2)]/DuJ)> 0), либо действительными s = — п + \г—D (при ?><0).
В последнем случае один из показателей положителен, если — D > /г2. Но
при положительном показателем соответствующее решение уравнений (9.17) е?(
неограниченно растет со временем и, следовательно, стационарный режим дви-
движения неустойчив. Итак, условием неустойчивости является неравенство
1 < 0 ИЛИ Л2 + ((» — м2) [о>2 —• oj2 -f- 3-fj.
Нетрудно установить, что это условие совпадает с полученным ранее условием
(8.34). Интересно, однако, отметить, что при использовании метода осреднения
анализ устойчивости стационарного режима приводит к линейным уравнениям
с постоянными коэффициентами, в то время как в § 8 нужно было исследовать
уравнение с периодическими коэффициентами.
Г
Г
ГЛАВА II
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
Движение системы с а степенями свободы описывается п дифференци-
дифференциальными уравнениями второго порядка. При большом п уравнения
становятся громоздкими. Для линейной системы существенное упроще-
упрощение записи уравнений, их исследования и решения достигается при
использовании матричной символики.
Последовательный вывод основных соотношений теории колебаний
систем с конечным числом степеней свободы в матричной форме дан
в § 12 этой главы. Однако для облегчения усвоения эти соотношения
выведены ниже также и в координатной форме.
§ 10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим колебания системы, положенно всех масс которой оп-
определяют п независимых координат xt (i = 1, 2, ..., л). Предположим,
что эти координаты представляют собой линейные или угловые переме-
перемещения элементов системы от равновесного положения, причем эти пе-
перемещения достаточно малы, так что систему можно считать линейной.
При колебаниях координаты хг являются функциями времени. Пе-
Перемещения Xi, которые имеют место в некоторый фиксированный мо-
момент времени, можно получить и при статическом воздействии на упру-
упругую систему сил Ft (i — 1, 2, ..., п; Ft — сила, соответствующая
перемещению хг). Для линейной упругой системы силы Ft, которые
нужно приложить, чтобы получить перемещения л',-, линейно связаны
с этими перемещениями:
A0.1)
2
/¦=1
\
где Гц — коэффициенты жесткости, аналогичные коэффициентам вли-
влияния метода перемещений в строительной механике.
Наряду с зависимостями A0.1), выражающими силы через переме-
перемещения, можно записать зависимости
п
xl=^btjF}, A0.2)
й которых перемещения выражены через силы, а коэффициенты подат-
81
При стационарном режиме а = А = const, <р = — <f0 = const (<fo — отстава- \
ние по фазе перемещения от силы). Отсюда следуют уравнения
а ыА = Ро sin <f0,
(9.15)
(с + 3/4ТИ3 -- ты") А= Ро cos tf»,
которые не отличаются от уравнений (8.23), полученных методом гармоничес-
гармонического баланса, и приводят к тем же амплитудно-частотным характеристикам.
Исследуем теперь устойчивость стационарных колебаний. С этой целью^по-
ложим
а = А
ей , а = — 'f о
(9.16)
гдее — бесконечно малый параметр.
Подставляя выражения (9.16) в уравнения (9.14), учитывая, что при'а =
= А, ф = —фо правые части этих уравнений тождественно равны нулю, и
сохраняя только линейно зависящие отк слагаемые, придам к следующей систе-
системе дифференциальных уравнений относительно и и v
U = — (аюи + Ро COS !f0v)lBrmo),
у= — [(тшЗ — с — 9
Заменио здесь Ро cos'fo и Ро sin 90 их значениями в соотвэтсгвии с формулами
(9.15) и введя обозначения а>2 = (с -f- 3li-(iA1)lm, а/т — 2п (см. § 8), представим
уравнения в таком виде;
@.17)
[1/BЛм)][ш2 — «2 —Зт!/12/B/к)]н+ v 4- 'Jf = 0.
Решение уравнений (9.17) можно записать в виде u-=C1est, v — C2est. После
подстановки получим систему алгебраических уравнений
^(8+ П) +С2(со2—со2)Л/B«)=0,
d [ш2 — ю2 — 3Т1Л2/Bт)]/BЛо)) i- C2 (s + п) --= С .
Приравняв нулю определитель этой системы, придем к квадратному уравне-
уравнению относительно характеристического показателя s
яJ
со2) -.= 0.
(9.13)
В зависимости от знака второго слагаемого этого уравнения характеристичес-
характеристические показатели могут быть либо сопряженными комплексными с отрицательной
действительной частью s = — п + i }^D (при D = ( <—со2)[<и2— ы2 -)-
+ 3fi/l2/B/n)]/Da.2)> 0), либо действительными s = — п ± \г—D (при?)<0).
В последнем случае один из показателей положителен, если — D > и2. Но
при положительном показателем соответствующее решение уравнений (9.17) е?(
неограниченно растет со временем и, следовательно, стационарный режим дви-
движения неустойчив. Итак, условием неустойчивости является неравенство
я2-4-?><0 или л2 + (oJ_ro2)[ol2_(u2+3Ti/l2/Bm)]/D(..2)-<0.
Нетрудно установить, что это условие совпадает с полученным ранее условием
(8.34). Интересно, однако, отметить, что при использовании метода осреднения
анализ устойчивости стационарного режима приводит к линейным уравнениям
с постоянными коэффициентами, в то время как в § 8 нужно было исследовать
уравнение с периодическими коэффициентами.
Г
ГЛАВА II
КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
Движение системы с и степенями свободы описывается п дифференци-
дифференциальными уравнениями второго порядка. При большом п уравнения
становятся громоздкими. Для линейной системы существенное упроще-
упрощение записи уравнений, их исследования и решения достигается при
использовании матричной символики.
Последовательный вывод основных соотношений теории колебаний
систем с конечным числом степеней свободы в матричной форме дан
в § 12 этой главы. Однако для облегчения усвоения эти соотношения
выведены ниже также и в координатной форме.
§ 10. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим колебания системы, положение всех масс которой оп-
определяют п независимых координат х-ь (i = 1, 2, ..., я). Предположим,
что эти координаты представляют собой линейные или угловые переме-
перемещения элементов системы от равновесного положения, причем эти пе-
перемещения достаточно малы, так что систему можно считать линейной.
При колебаниях координаты хг являются функциями времени. Пе-
Перемещения A'j, которые имеют место в некоторый фиксированный мо-
момент времени, можно получить и при статическом воздействии на упру-
упругую систему сил Ft (i — 1, 2, ..., a; Ft — сила, соответствующая
перемещению xt). Для линейной упругой системы силы Ft, которые
нужно приложить, чтобы получить перемещения х,, линейно связаны
с этими перемещениями:
п
Fi = 2ir"xi' (]0Л>
где Гц — коэффициенты жесткости, аналогичные коэффициентам вли-
влияния метода перемещений в строительной механике.
Наряду с зависимостями A0.1), выражающими силы через переме-
перемещения, можно записать зависимости
A0.2)
/=1
которых перемещения выражены через силы, а коэффициенты
подат-
ливости да аналогичны коэффициентам влияния метода сил в строи»
тельной механике.
Коэффициенты га и 8^ образуют квадратные матрицы пхп:
л _
Матрица жесткости г и матрица податливости S являются симмет-
симметричными и взаимно-обратными гЬ = Е{Е — единичная матрица).
Уравнения малых колебаний системы составим в форме уравнений
Лагранжа II рода (см. § 1), для этого предварительно вычислим потен-
потенциальную и кинетическую энергии системы.
Потенциальную энергию упругой системы можно вычислить как
сумму полупроизведений сил Ft на соответствующие им перемещения:
A0.3)
Кинетическая энергия системы выражается распространенным на
всю ее массу интегралом
Г = —
2
т
где R— радиус-вектор, определяющий положение элементарной мас-
массы dm; R — его производная по времени.
Так как конфигурация системы определяется координатами хг (? =
= 1, 2, ..., п), то
R = R (Xi, х2, ¦••, хп), R = = ^^ — Xj,
М. МЛ гл
где в скобки заключено скалярное произведение векторов.
Таким образом, для кинетической энергии получаем выражение
dR dR
(Ю.4)
Входящие в это выражение инерционные коэффициенты тц образуют
симметричную п X п матрицу т (матрицу масс). При малых колеба-
колебаниях производные dRldxt остаются в процессе движения постоянными
и т —¦ постоянная матрица.
Вид матрицы масс зависит от выбора системы координат xt. В прос-
простейшем случае эти координаты представляют собой перемещения
82
центров массы, входящих в систему жестких тел, в трех взаимно пер-
перпендикулярных напраРлениях и повороты этих тел относительно
главных центральных осей инерции. Тогда кинетическая энергия вы-
выражается формулой
A0.5)
где множителями при квадратах линейных скоростей являются мас-
массы тел, а при квадратах угловых скоростей — соответствующие мо-
моменты инерции. В это.м случае матрица масс является диагональной
/пг1 О
При другом выборе координат матрица масс не диагональная.
Так, например, еслК в качестве координат,
определяющих смещения жесткого тела (рис. 10.1),
которое может перемещаться в плоскости чертежа,
принять горизонтальное (Xl)> вертикальное (х2) пе-
перемещения точки О и угс>1 поворота хз то, так как
точка О не совпадает с центром массы С, кинетиче-
кинетическая энергия тела состав>'т
Т =
К
-bx3f^ (х2 + ах,J] + i/2/ х\
Здесь первое слагаемое соответствует энергии по-
поступательного движения тела вместе с центром его
массы, а второе — энергИ" вращения (/с— момент
инерции массы тела относительно центральной оси,
перпендикулярной плоскости чертежа). Нетрудно
видеть, что в данном слуЧае матрица масс имеет вид
1т 0 ~тЬ\
т = 0 га та ,
\—mb та /0 /
Рис. 10.1
где I —I + т (a- -j- b2)
ходящей через точку О.
момент инерции массы тела относительно оси, про-
проУравнение Лагран>ка И рода, соответствующее варьированию
координаты xi, имеет ВИД (см- § 1)
d
ОТ
дЦ
Пусть на систему действуют внешние возмущающие силы Ри соответ-
соответствующие перемещением xi- Тогда Qt ,= pt. Основываясь на формулах
A0.3) и A0.4), вычислим:
83
дТ
d
dt
dU
Ox,
n n
n
Т ~д^~ 2- 2* п iXiX] =" i ''i]Xj-
В.результате подстановки этих значений уравнения движения получа-
получают вид
A0.6)
Чаще всего координаты х< выбираются так, что матрица т — диа-
диагональная. В этом случае
О при ]ф1,
mt при / = i.
Тогда в первой сумме в уравнении A0.6) остается лишь одно слагаемое
и уравнение упрощается:
r^xj = Pt (i -= 1, 2,..., n).
A0.7)
Физический смысл уравнения A0.7) очевиден — это уравнение дви-
движения массы mi, к которой приложена возмущающая сила Pt, и реак-
реакция упругой системы —Fit выраженная через перемещения по форму-
формулам (ЮЛ).
Систему уравнений A0.7) можно обратить, разрешив ее относитель-
относительно перемещений xt. Воспользовавшись тем, что матрицы жесткости и
податливости являются взаимно-обратными, можно полученные соот-
соотношения записать в виде
\ равнениями A0.6). Прямая и обратная формы уравнений движения
равноправны. В каждом случае предпочтение должно быть отдано той
фирме, в которой уравнения имеют более простой вид и более просто
вычисляются их коэффициенты.
Рассмотрим примеры систем, для которых та или иная форма запи-
:н уравнений движения имеет определенные преимущества.
На рис. 10.2,а изобра-
изображена система, состоящая ц) т-и c?.u- m- ci>iff y^^}
п.. ряда жестких грузов,
соединенных линейно-уп-
линейно-упругими пружинами. Обоз-
Обозначим массы грузов ти
<п2, ..., /пп, их смещения от
положения равновесия х4,
V-, ..., хп, жесткость пру-
пружины между г-м и (/ -\- 1)-м
/пузами С; ;+1 и возмущаю-
возмущающие силы 'Pi(t), P2(t), ...,
Pn(t).
Запишем уравнениедви-
-кення груза nii (i --- 2, 3, ,
///////////.
б)
ГП-
п — 1) (рис. 10.2,6):
miXt -f c{_u . {xt — xt_i) — cir .+1 (xi+i — xt) = Pt (t)- (Ю.9)
Для первого груза уравнение будет отличаться отсутствием х0
(так как левый конец пружины с0I закреплен неподвижно), а для п-го
груза — отсутствием последнего слагаемого в левой части. Таким об-
образом получаем цепочку уравнений:
2)
= Pi
miXi — C.^^Xi^
A0.10)
¦ITli
A0.8)
Физический смысл уравнения A0.8) состоит в том, что перемещение
xt рассматривается как результат воздействия на упругую систему
внешних возмущающих сил Pj и сил инерции масс (—nijXj), причем
перемещения определяются в зависимости от сил по равенствам A0.2).
Форма A0.7) записи уравнений движения, в которой силы выража-
выражаются через перемещения, называется прямой, а форма A0.8), в которой
перемещения выражаются через силы, — обратной. Следует отметить,
что уравнения A0.7) и A0.8) справедливы только при диагональной
матрице масс; в противном случае следует пользоваться более общими
84
Уравнения A0.10) являются уравнениями движения в прямой фор-
форме, причем отличны от нуля только коэффициенты влияния, связываю-
связывающие силы и перемещения соседних грузов:
' 1-1,
— . г
~~ i
— Г
~~ i
^ i
l+l
Поэтому уравнения оказались чрезвычайно простыми по структу-
структуре: в каждое из них входят не более трех неизвестных, а в первое и
последнее ¦—' по два.
Так же выглядят и уравнения крутильных колебаний для системы
массивных дисков, закрепленных на упругом валу (рис. 10.3, а). Обо-
Обозначив углы поворота дисков хи х2, х3, ¦¦-, составим уравнение движе-
85
ния промежуточного г'-го диска (рис. 10.3, б), на который действуют]
крутящие моменты прилежащих участков вала
и внешний Еозмущающий момент Mt (t).
Записывая уравнение движения диска в форме Даламбера, получаем
+ Mi, i+i — Mi-i,
+Mt (t) = 0,
+
где I i — момент инерции
массы диска. Подстановка
выражений упругих момен-
моментов приводит к уравнению
Ci,t+i
)Xt—
+
t(t). A0.11)
Уравнение A0.11) имеет точ-
точно такой же вид, как урав-
ис' ' нение A0.9) для поступатель-
поступательного перемещения грузов.
Если в рассмотренных выше задачах использовать обратную фор-
форму уравнений движения, то в каждое из уравнений войдут все без ис-
исключения неизвестные перемещения. В самом деле, для систем рис.
10.2 и 10.3 ни один из коэффициентов &ц, представляющих собой пере-
перемещение X; под действием единичной силы, направленной по х3>
не обращается в нуль. Системы, показанные на рис. 10.2 и 10.3, — это
так называемые цепные системы, в которых упругие силы зависят толь-
только от разности смещений соседних масс. Таким образом, для цепных
систем прямая форма уравнений движения является предпочтительной.
Для систем, не относящихся к цепным, как правило, не равны ну-
нулю ни коэффициенты 8,7-, ни Гц, поэтому уравнения движения в прямой
и обратной формах имеют примерно одинаковую сложность. Здесь вы-
выбор той или иной формы зависит от того, какие коэффициенты влияния,
Ъц или гц проще определить. Большей частью проще вычисляются
коэффициенты матрицы податливости S, и поэтому применяется об-
обратная форма уравнений движения.
В качестве примера рассмотрим колебания балки с тремя сосредо-
сосредоточенными грузами (рис. 10.4, а). Система уравнений в обратной фор-
форме при отсутствии возмущающих сил имеет вид
xi
х.2
х3
т2л:2812 + m3xsbi3 = 0,
/n2x2822 + т3х3Ь23 = 0,
т2х2Ь32 + т3х3Ь^ =-. 0
кЛ Х3\
и32
Для определения коэффи-
коэффициентов влияния bij следует
рассмотреть нагружение бал-
балки единичными силами в на-
направлениях хи х2, х3 (рис.
10.4,6), что выполняется ме-
методами сопротивления мате-
материалов (интеграл Мора, пра-
правило Верещагина).
Коэффициенты влияния rtj
представляют собой реакции
фиктивных опор, расположен-
расположенных под каждой из масс nij
при прогибе под массой nil,
равном единице; коэффициент
Гц равен силе, которая прило-
приложена при этом к массе т, (рис.
10.5, а). Таким образом, для
непосредственного подсчета
коэффициентов ги для балки с
тремя массами необходимо
трижды решить статически
неопределимую задачу типа
изображенной на рис. 10.5, б.
Конечно, практически проще определить сначала матрицу ко-
коэффициентов S, а затем, обратив ее, найти матрицу г. Однако
в этой операции нет необходимости; для балочных систем следует поль-
пользоваться обратной формой записи уравнений движения.
§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ
При свободных колебаниях возмущающие силы отсутствуют и
уравнения движения A0.6) являются однородными:
I'
Рис. 10.4
ЪШ,
86
Рис. 10.5
A1.1)
Решение этой системы, со-
соответствующее гармониче-
гармоническим колебаниям, можно
представить в виде
*, = и, sin (/>* + ?).
(?= 1,2 л), A1.2)
где «г —постоянные; р —
угловая частота; ф —фаза
87
колебаний. Подставив значения xt в уравнения A1.1) и сократив
общий множитель sin(p/ + ср), получим систему линейных однород-
однородных алгебраических уравнений относительно постоянных ut
= 0 (/=1,2,..., п).
A1.3)
В эту систему в качестве параметра входит квадрат угловой частоты
колебаний.
В случае диагональной матрицы масс система уравнений относи-
относительно амплитудных перемещений ыг может быть записана в виде
или в виде
ui
— p2miui = 0 (t= 1,2,... ,п)
= 0 (i = 1, 2,... , п)
A1.4)
в зависимости от того, исходим ли мы из уравнений движения в прямой
или обратной формах.
Уравнения A1.4) представляют собой уравнения динамического
равновесия масс /пг в положении амплитудных отклонений, когда на
п
НИХ ВОЗДеЙСТВуЮТ СИЛЫ УПРУГОСТИ (—
И СИЛЫ ИнерЦИИ
1=1
1=1
Уравнения A1.5) можно рассматривать как уравнения, связывающие
амплитудные перемещения с вызывающими их инерционными силами в
соответствии с формулами A0.2). Поэтому для составления уравнений,
определяющих формы свободных колебаний ut, нет необходимости обя-
обязательно составлять уравнения движения; можно ограничиться рас-
рассмотрением системы при амплитудных отклонениях.
Система линейных однородных алгебраических уравнений A1.3)
может иметь ненулевые решения только при ее определителе, равном-
нулю:
p2m2i
p2min
= 0. A1.6)
Уравнение A1.6) —алгебраическое п-й степени относительно р2.
Оно называется частотным или вековым уравнением.
Если положение системы, от которого отсчитываются перемещения
Xt, является положением устойчивого статического равновесия, то все
п корней уравнения A1.6) действительны и положительны. Таким об-
образом, система с п степенями свободы имеет п частот собственных ко-
колебаний.
В общем случае все корни уравнения A1.6), а значит и все собст-
собственные частоты, различны. Некоторые особенности расчета в случае
кратных корней рассмотрены в § 13.
При диагональной матрице масс на основе зависимостей A1.4) или
A1.5) частотное уравнение может быть записано в виде
или в виде
rn — рЬщ
Г,, Г,_,
P2/821 /
r12
— p2m2 ...
r
'ill
p2m2liZ ..
Jm2822 — 1 ¦
' r2n
rnn—Pimn
• P2mnbin
.. p2mnbin
= 0
A1.7)
= 0.
A1-8)
Каждой собственной частоте ph соответствует определенная форма
колебания, т. е. определенное соотношение между всеми амплитудны-
амплитудными перемещениями и.%. В самом деле, если р- = p2k, то определитель
уравнений A1.3) равен нулю. В этом случае одно из уравнений являет-
является следствием остальных и имеется лишь п — 1 линейных однород-
однородных уравнений для определения п неизвестных амплитуд. Произволь-
Произвольно задав одно из амплитудных перемещений (например, положив
«1 — 1), из этих уравнений можно найти все остальные. Таким обра-
образом, для каждой собственной частоты рь определяем соответствующую
форму колебаний (собственную форму), характеризуемую амплитудами*
"i/i. и2и, --ч uah- Здесь первый индекс означает номер перемещения,
второй — номер формы колебания.
Обычно частоты и формы собственных колебаний нумеруют в по-
порядке возрастания частот, так что k — 1 соответствует низшей, а
к -- п — высшей собственной частоте. Каждому номеру k отвечает
решение уравнений движения в форме
= (Cihcos,pht-\-C2hs\npht)uik.
A1.9)
Движения в соответствии с уравнением A1.9) называются главны-
главными колебаниями системы.
Так как уравнения движения являются линейными, то линейная
комбинация решений вида A1.9)
X; =
PftO «i
ift
A1.10)
k=\
также является их решением.
В формулу A1.10) входят 2п постоянных Cih и C2h (k = 1, 2, ...,п),
и, следовательно, она выражает общее решение системы уравнений
* Эти амплитуды определены с точностью до произвольного множителя,
одинакового для всех u.?i при данном к.
A1.1). Постоянные могут быть определены из начальных условий дви-
движения (см. § 12); при t = Q должны быть заданы перемещения и ско-
скорости всех масс.
Рассмотрим простейший случай системы с двумя степенями свобо-
свободы, например, балки с двумя массами (рис. 11.1). При свободных ко-
колебаниях уравнения движения в форме A0.8) имеют такой вид:
Рис. 11.1
i — — mibiixi — m2812x2,
После подстановки Xi= ui sin (pt -f-
cp), x% = u2 sin (pt 4- <p) получаем
U2 = p2 (/TZjSfjjWj -|- 7И2822Ы2).
Приравняем нулю определитель этих уравнений:
Р2/л Ai — 1 p2m2bi2
p2trijb2i p2tn2b22 —
Уравнение A1.12) является квадратным относительно р2:
= 0.
A1.11)
A1.12)
т±т2 (8И822 — 8?2) р4
т2Ь22)
= 0
(при записи этого уравнения учтено, что 821 = 312).
Находим два значения квадрата собственной частоты:
т2Ъ22 —
A1.13)
— m2o22J
Соотношение между амплитудными отклонениями грузов можно
найти из любого из уравнений A1.11). Из первого уравнения
Амплитуду одной из масс можно задать произвольно. Примем
«и = «12 = 1. Тогда первая форма собственных колебаний будет
характеризоваться величинами
«и = 1, Wai = A — P\mfiu)l( p\tn2bn),
а вторая —
Ul2 = 1, Ы22 = ( 1 Р2'П1Ъп)/( Р2ГП^12) ,
где pi и р.2 определены формулами A1.13).
90
§ 12. ГЛАВНЫЕ КООРДИНАТЫ. МАТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ
Ортогональность форм собственных колебаний. Пусть двум разным
главным колебаниям с собственными частотами ph и р{ соответствуют
формы uik и пц. Докажем, что при ph ф рх эти формы связаны соотно-
соотношениями ортогональности, которые могут быть записаны в виде
A2.1)
или
A2.2)
Пусть координаты системы соответствуют k-й форме собственных
колебаний х,- = щъ.. Для того чтобы вызвать статически такие переме-
перемещения, к системе нужно приложить силы Ftn, которые связаны с пере-
перемещениями формулой A0.1)
(i= 1,2,
Но величины uju тождественно удовлетворяют уравнениям A1.3)
при р = ph и, следовательно,
ft= 1,2,... л).
Точно так же перемещения иц, соответствующие 1-й форме, можно
рассматривать как результат воздействия статически приложенных
сил
7 = 1
Теперь к двум состояниям статического нагружения системы: 1) пере-
перемещения щи, силы Fik, 2) перемещения uih силы Fn — применим тео-
теорему о взаимности работ
i—1 «=1
После подстановки выражений сил Fih, Ftl получим
п п
1=11=1
п п
1=1 /=1
15 связи с симметрией матрицы масс двойные суммы в левой и пра-
91
вой ч^стях равенства совпадают и мы приходим к равенству
п п
(/>*—/>/) у 2
из которого ПРИ pi ф рк следует соотношение ортогональности A2.1).
ВтоФ°е соотношение ортогональности является следствием первого.
Предел авим Двойную сумму в виде
У, "i
-о.
A2.3)
Но та!< Как Uji Удовлетворяют уравнениям A1.3) при р ^-- рь внутрен-
внутренняя су'мма
v т..,.. L х-ч
и поел'" подстановки этого выражения в A2.3) приходим к соотношению
ортогональности A2.2).
дл^ частного случая системы с диагональной матрицей масс первое
из соотношений ортогональности выглядит следующим образом:
A2.4)
1=1
Соотношение ортогональности форм колебаний распространяется
и на Ы^темы с распределенной массой. В этом случае следует рассмат-
рассматривать бесконечно малые элементы массы dm и условие ортогональнос-
ортогональности прИмет вид
\ uhutum = 0,
т
где no/t интегралом стоит скалярное произведение перемещений эле-
элементарной массы dm при двух формах собственных колебаний, а интег-
интегрирован116 выполняется по всей массе системы.
Разложение движения системы по формам ее собственных колеба-
колебаний. Движение всех масс системы независимо от причин, его вызвав-
вызвавших, можно описать формулами
Xt = Xi(t) (t= I, 2 n).
ВвеДем новые координаты qh(t) так, чтобы
A2.5)
A2.6)
где tim „ амплитуда перемещения х-г при k-й форме собственных ко-
лебани11-
Так как число новых обобщенных координат qh равно числу старых
ль то линейное преобразование A2.6) всегда возможно.
Можно обратить соотношение A2.6), выразив обобщенные коорди-
координаты qh через физические xt. Используем для этого соотношения орто-
ортогональности. Запишем систему A2.6) в развернутом виде:
X, ---= <7i«21+ ?2«23 "Г • • • + qhU2h -f • • • "f Чп112п>
Хп =
Для определения координаты qh умножим первое из уравнений
п п
A2.6) на ? niijUjb, второе — на N] т„мш, ... , последнее — на
/=i /=i
П
У tnnjUjk и сложим уравнения почленно. Таким образом получим
п п
2 2
i=l У=1
22
1=1 /=1
В соответствии с соотношением ортогональности A2.1) все суммы в
правой части полученного равенства, кроме суммы, имеющей множите-
множителем qh, равны нулю, поэтому
A2.7)
i=i/=i
c=i ;=i
Величину Mh можно назвать обобщенной массой системы при /г-н
форме собственных колебаний.
Координаты qj,, связанные с физическими координатами x; форму-
формулами A2.6) и A2.7), называются главными координатами.
Для системы с диагональной матрицей масс формулы A2.7) упроща-
упрощаются. В этом случае
1
1=1
A2.8)
92
93
Выражение кинетической и потенциальной энергии через главные"
координаты. Кинетическая энергия выражается через физические ко-
координаты формулой A0.4)
т =
±y
2 --
Подставляя сюда выражения xt через главные координаты
/г=1
получаем
Изменим порядок суммирования:
В соответствии с соотношением ортогональности A2.1) все слагае-
слагаемые этого выражения при г Ф k обращаются в нули и в результате
= — у
2 >Ы
ftl
A2.9)
где Mh — обобщенная масса системы при k-n форме колебаний, опре-
определяемая формулой A2.7).
Аналогичным образом, заменяя в выражении потенциальной энер-
энергии A0.3) физические координаты разложениями A2.6) и учитывая
соотношения ортогональности A2.2), получаем
гд
-2
/г=1
ft'
A2.10)
ih — потенциальная энергия системы при ее
рц, ествующих k-ik собст
Так как согласно уравнениям A1.3)
k y,y,rij
2 l'='/=i
деформациях, соответствующих k-ik собственной форме.
Так как солсн A13)
справедлива и формула
A2.11)
94
Эта формула позволяет установить связь между k-я собственной
частотой, потенциальной энергией деформации и обобщенной массой,
соответствующими k-я форме колебаний:
pl = 2Uk/Mk. A2.12)
Если форма колебаний известна, то Uh и Шк нетрудно вычислить и
определить частоту pk. В этом случае формула является точной. Чаще,
однако, формулу A2.12) используют для приближенного подсчета низ-
низшей частоты собственных колебаний при приближенном задании их
формы (см. гл. IV). В этом варианте формула A2.12) называется фор-
формулой Рэлея.
Как следует из зависимостей A2.9) и A2.10), благодаря ортого-
ортогональности собственных форм кинетическая и потенциальная энергии
системы выражаются суммами энергий, соответствующих каждой из
главных координат. В формулу для кинетической энергии не входят
произведения qhqt, а в формулу для потенциальной энергии — произ-
произведения qhqh
Так как потенциальная энергия упругой системы выражается через
внутренние силовые факторы, соотношения ортогональности распро-
распространяются и на эти величины.
Рассмотрим, например, стержневую систему, работающую в усло-
условиях плоского изгиба. Потенциальная энергия деформации такой сис-
системы определяется интегралом
U =
АР
2EJ
dz,
вычисляемым по длинам всех стержней.
Так как прогибы представлены через главные координаты формулой
A2.6), которая для любого сечения z имеет вид
дф, *) =
>(')"*(*),
то изгибающий момент
M=EJ ?!? =
дг2
где Mh = EJd2uh/dz2 — момент в сечении при k-я собственной форме.
С учетом этой зависимости потенциальная энергия деформации сос-
составит
АР
2EJ
Ml
2EJ
dz.
k=l 1=1 'J
Так как в выражение потенциальной энергии произведения qhql не
входят, должны выполняться равенства
El
d2 = 0.
95
Таким образом, соотношение ортогональности заключается в toi
что интеграл Мора от произведения силовых факторов при двух ра,
ных собственных формах равен нулю. }
Уравнения движения в главных координатах. Установленные выше!
свойства главных координат приводят к тому, что в этих координатах*
уравнения движения приобретают особенно простой вид.
Из зависимостей A2.9), A2.10) и A2.11) находим:
дТ
дТ
¦ О:
аи
Следовательно, уравнения движения в форме Лагранжа таковы:
mhqk + p\Mkqk = Qh
или
4k 4- P\qh = <ЭЛ (A: = 1, 2, ... , n), A2.13)
Здесь обобщенные силы Qh представляют собой виртуальную рабо-
работу всех внешних сил на единичной вариации qk. Если сами эти силы не
зависят от ql или qlt то уравнения A2.13) для различных координат
qk не связаны между собой. В этом случае каждая из главных коорди-
координат определяется независимым уравнением вида A2.13), которое не
отличается от уравнения колебаний линейной системы с одной сте-
степенью свободы.
Определение свободного движения системы по начальным условиям.
В § 11 было показано, что уравнения, определяющие свободные коле-/
бания системы с п степенями свободы, содержат 2п постоянных, под-
подлежащих определению из начальных условий. Использование главных
координат позволяет упростить определение этих постоянных.
При свободных колебаниях все обобщенные силы Qk равны нулю,
уравнения A2.13) — однородные и их решениями являются Еыраже-
ния
4h ^ СlK cos pht ~ Сih sin pht. A2.14)
Физические координаты xt определяются при этом зависимостя-
п
ми X) = ^] qh'hp- совпадающими в данном случае с полученными
ранее формулами A1.10). Постоянные Cik и C2k связаны со значе-
значениями qk и qh при / = 0. С другой стороны, эти величины можно
выразить через начальные условия для физических координат х-о
воспользовавшись зависимостями A2.7). Таким образом получаем:
A2.15)
96
@) -----
или при диагональной матрице масс:
_(=¦
A2.16)
Qh
iUibXi @)
Таким образом, по уравнениям A2.15) или A2.16) определяются по
стоянные СшСгь в формулах A1.10).
а)
I
Hue. 12.1
Рассмотрим пример. Определить закон движения и максимальный
изгибающий момент в заделке для системы, изображенной на рис. 12.1,а. В на-
начальный момент грузу т сообщается вертикальная скорость х2@) = у. Смещения
груза в начальный момент отсутствуют. Собственной массой стержней пренебречь.
Жесткость обоих стержней EJ постоянна по длине.
Вначале определим частоты и формы собственных колебаний.
Приложив единичные силы в направлениях хъ хг, вычислим коэффициенты
влияния:
rn = I*/CEJ), flt = Ьп = P/BEJ), Ь22 = 4l*/CEJ).
Обозначим амплитудные перемещения в тех же направлениях и\, uv Имеем:
Здесь амплитудные перемещения рассматриваются как результат воздействия на
упругую систему амплитудных сил инерции.
После подстановки значений 6ц
где г = GEJ/(mPp-).
Уравнение частот
2 —г
3
откудч гх = 9,242; г2 = 0,7574.
4-318
3u2,
3
= о,
97
= 0,807
= 2,82
Собственные частоты:
P2 =
Формы колебаний характеризуются соотношениями
«21 = «и (zi — 2)/3 = 2,414ии,
«22 = «12 (г2 — 2)/3 = — 0,4142м1г.
Эти соотношения показывают, что при каждом из главных колебаний груз
движется прямолинейно. Условие ортогональности
ти11и12+ ти21и22 = т A — 2,414 • 0,4142) = 0
свидетельствует о том, что направления движений при двух формах колебаний
взаимно перпендикулярны.
На рис. 12.1,а направления колебаний обозначены 1 и 2.
Свободные колебания груза описываются уравнениями
*1 @ = 9i (t) «и + Яг (t) «i2.
*2 @ = 9l@ «21 + 92 @ «22.
9i = cii cos pjt + C21 sin p^, q2 (t) = C12 cos p.J + C22 sin p.2t.
где
Учитывая, что по условиям задачи хх @) = 0; х2 @) = 0; х1 @) =0; *2@) =
— у, из уравнений A2.16) находим:
Сц = 9i @) = 0; С12 = q2 @) = 0;
PiC2i = 9i @) = [m«iA @) + mti21x2 @)]/^ = m-2,414u/F,828m) = 0,354u,
P2Q2 = 92 (°) = [««Л @) + ra«A @)]/2#2 =
= m(— 0,4142) t»/(l,172/n) = — 0,354u.
Здесь обобщенные массы:
g^i =«( «n+ "li) =m(l + 2.4142) = 6,828 m,
g^2 = m( «?2 + u^2) = m A + 0,41422) = 1,172 m.
Постоянные С21, С22 равны:
C21 = 0,354u/p1; C22 = —0,354 t;/p2 = — O.lOb/Pi.
С учетом вычисленных значений постоянных уравнениям движения можно
придать такой вид:
*i = (f/Pi) @,354 sin p^ — 0, 101 sin p20,
@,853 sin р^ + 0,042 sin p20-
Траектория движения груза в течение половины периода основного (т. е.
имеющего частоту pi) колебания показана на рис. 12.1,6. Точки на кривой отме-
отмечают положение груза через одинаковые промежутки времени At = я/A8р1).
Переходим к определению изгибающих моментов. Сначала строим эпюры мо-
моментов, соответствующие формам собственных колебаний. Для первой формы
определяем силы инерции при амплитудных отклонениях:
mp\uu = m ¦
= 0,65?У//3,
F2 = тр\игг = т ¦ 0,8072?У/(т/з) . 2,414 = 1,57EJ/l*.
Эпюра моментов показана на рис. 12.2,а. Аналогично строим эпюру при второй
форме колебаний (рис. 12.2,6). Легко проверить, что эпюры Mi и М2 ортогональ-
ортогональны. Теперь момент в любом сечении подсчитываем по формуле
AW = 9i (Wh + 92 @ М2-
В частности, в заделке
М„зг = 0,354 (v/Pj) sin pj ¦ 2,22EJIP — 0,101 (u/pj sin p4 ¦ 4,64?//Z2 =
= vEJ/(p1l2) @,785sinPif — 0,469sinp2«).
d)
1.57%
6)
-3,28%
Puc. 12.2
Так как частоты рх и р2 несоизмеримы, возможно совпадение максимальных
значений первого и второго слагаемых в скобках. Тогда
Матричная форма основных уравнений. Для линейной системы
с произвольным числом степеней свободы весьма удобной и компактной
является матричная запись основных уравнений. Составим матрицы-
столбцы (векторы):
х =
A2.17)
Здесь xi — перемещения, определяющие положения всех масс систе-
системы, Ft — силы, которые при статическом действии на систему вызы-
вызывают перемещения xt (сила Ft соответствует перемещению xt).
В линейной системе векторы х и F связаны зависимостями
= rx, х =
A2.18)
где г и S — квадратные (п X п) матрицы жесткости и податливости.
Потенциальная энергия системы определяется половиной скаляр-
скалярного произведения векторов х и F, что можно записать в виде
где хТ = (xt, х.,, ..., хп) — матрица-строка (транспонированный сек-
4* 99
тор х). Подставляя сюда выражение F через х, получаем
U = 4uxTrx. A2.19) 1
| Формула A2.19) представляет собой матричную форму зависимости
A0.3).
Кинетическая энергия системы выражается аналогичной зависи-
зависимостью от скоростей
Т = V, хттх ,
где т — матрица массы системы.
Формула A2.20) соответствует зависимости A0.4).
Уравнения движения A0.6) в матричной форме записываются так:
где Р
тх -f rx = Р,
матрица-столбец возмущающих сил.
A2.21)
A2.22)
Умножая матричное уравнение A2.21) слева на матрицу податли-
податливости S и учитывая, что Ьг = Е (единичная матрица), приведем его к
виду
Ътх 4- л: = ЬР. A2.23)
Уравнение A2.23) соответствует записи уравнений движения в обрат-
обратной форме.
Свободные колебания системы определяются однородными уравне-
уравнениями
тх + rx ~ 0
или
Ьтх + л: = 0.
Решение этих уравнений отыскивается в виде
х = и cos(pt -f- ср),
где
A2.24)
A2.25)
A2.26)
— вектор амплитудных перемещений.
После подстановки в уравнения A2.24) или A2.25) получаем мат-
матричные уравнения, которым должен удовлетворять вектор и:
(г — р2т)и = 0 A2.27)
[8т —A/р2)?]и = 0. A2.28)
100
A2.20)'
Так как эти уравнения линейные и однородные, они могут иметь
нетривиальные решения только в том случае, если их определители
равны нулю. Отсюда получаем две равноправные формы записи час-
частотного уравнения:
det(r — p2m) = 0, det[Sm — [1/р2)Е] = 0.
A2.29)
Последнее уравнение показывает, что обратные квадраты частот
являются собственными числами квадратной (п X п) матрицы А =
= Ьт.
Алгебраические уравнения A2.29) имеют п корней р\. Каждому зна-
значению ри соответствует собственный вектор иь, определяющий k-ю
форму колебаний.
Можно указать следующий общий способ определения векторов
Uh (форм собственных колебаний). Обозначим символом Ai(p2) матри-
матрицу коэффициентов уравнений A2.27) или A2.28):
= r — p2m или
= Ьт — A/р2)Е
и рассмотрим тождество
i А\ '<
= Е,
A2.30)
A2.31)
где Ail (р2) — матрица, обратная Aiip2).
Как известно, обратная матрица определяется формулой
AT1 (р2) = С (р2)/А (р2), {12.32)
где А (р2) — определитель, составленный из элементов матрицы
Ai(pi); С(р2) — присоединенная матрица, получаемая из матрицы
А{(р2) заменой каждого элемента его алгебраическим дополнением
в определителе А (р2) и последующим транспонированием. Так, на-
например, если
то
С = (a3ia23
где показаны только элементы первого столбца.
Подставив значение AT1 (p2) из равенства A2.32) в A2.31), по-
получим
АB)СB)
Если принять в полученном равенстве частоту равной собствен-
собственней частоте pk, получим
АЛр1)С(р1) = 0, A2.33)
так как собственные частоты являются корнями уравнения А(р2) = 0.
101
Справа в равенстве A2.33) стоит нулевая матрица, т. е. матри-
ца, все элементы которой равны нулю. Поэтому произведение мат- -
рицы Аг(р1) на каждый из столбцов матрицы C(pl) равно нулю и, '¦¦
значит, любой из этих столбцов удовлетворяет уравнениям A2.27),
A2.28) при р = pk и может быть принят за столбец uh.
Таким образом, для определения формы собственных колебаний,
соответствующей частоте/^, следует подставить эту частоту в элементы
матрицы Ai(p2) [см. формулы A2.30)] и вычислить один из столбцов
присоединенной к Ai(p2) матрицы. Этот столбец (если он не нулевой)
и может быть принят за и&.
Подстановка р = ph, и = и& обращает уравнения A2.27) и A2.28)
в тождества:
A2.34)
— (l/pl) uh =
Соотношения ортогональности следуют из симметрии матриц жест-
жесткости и массы. На этом основании для двух собственных векторов aft и
И; выполняется равенство
ulrul = u]ruk.
Заменяя здесь в соответствии с первым тождеством A2.34) ги1 =
= р)та1 и rah = plmuk, приводим равенство к виду
p2iulmut = plajmuk.
Но в связи с симметрией матрицы масс и\ти1 = u]muh и при
Pi^Ph получаем условие ортогональности в виде
»бОТи, = 0, A2.35)
что является матричной формулировкой условия A2.1).
Заменяя здесь mul = pT2rut, приходим к формулировке условия
ортогональности
BJEr«, = O {рьфрк), A2.36)
совпадающей с условием A2.2).
Главные координаты вводятся зависимостью
*=i>@«fc- A2.37)
/г=1
Обращение этой зависимости достигается умножением левой и пра-
правой частей на матрицу-строку иуп слева. Тогда в правой части остается
[в связи с условием ортогональности A2.35)] лишь одно слагаемое и,
следовательно,
ukmx = qhmh,
lk = ukmah.
A2.38)
Эти зависимости не отличаются от зависимостей^ 12.7).
Выражения A2.9) и A2.10) кинетической и потенциальной энергии
получаются непосредственно в результате подстановки разложения
A2.37) в формулы A2.19) и A2.20) с учетом соотношений ортогональ-
ортогональности A2.35) и A2.36).
§ 13. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЫЕ СЛУЧАИ РАСЧЕТА
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Учет симметрии. Для систем, имеющих плоскость симметрии,
формы свободных колебаний делятся на симметричные и кососиммет-
ричные относительно этой плоскос-
плоскости. Для сокращения вычислений и
понижения степени характеристи-
характеристического уравнения целесообразно
рассматривать эти виды колебаний
отдельно. Покажем это на числовом
примере.
гп5=т
*т-
Найти частоты и формы собствен-
собственных колебаний балки рис. 13. \,а стремя
одинаковыми грузами (тг = Щ= ms =
= т).
В связи с тем что система является
симметричной, следует отдельно рас-
рассмотреть симметричные и кососиммет-
ричные формы ее колебаний. Рис. 13.1
При симметричных колебаниях (рис.
13. 1,6) амплитудные смещения левой и
правой масс одинаковы — назовем их ult смещение средней массы «2. Соста-
Составим уравнения динамического равновесия системы в положении амплитудных от-
отклонений (в обратной форме):
-f
A3.1)
Определяя коэффициенты
г г 25
11 33 3888
С13 — -
влияния, находим:
I3
- ? ? S
pj • °12 — °21 — °23 —
17 Р 1 Р
3888 EJ ' °22~ 48 EJ
Обозначим для сокращения
Тогда уравнения A3.1)
оооо — г.
ml3p2
можно записать в виде
zux = 42 их -f- 39 и2>
39 /з
3888 EJ '
= 78 «! + 81 щ.
102
A3.2)
103
Приравняв нулю определитель этой системы, получим частотное уравнение W
г2 — 123г+360= 0, ¦';*'
корни которого zt — 120; z** = 3.
Этим значениям z соответствуют частоты:
Р**
=5,693
Щ = 36
Отношения амплитуд находим из первого уравнения A3.2):
(«_,/«!)* = (г* - 42)/39 = 2, (m2/Mi)»» = (г», - 42)/39 = - 1.
Кососимметричная форма колебаний показана на рис. 13.1,е. В этом случае
средняя масса неподвижна и мы имеем только одно уравнение
или после подстановок 2^ = 81^, откуда
колебаний
= 8 и частота кососимметричиых
P*** = / 3888EJ/(8mP) = 22,045 yEJ/(mP) .
Располагая частоты в порядке возрастания, находим:
Pl = р„ = 5,693
Р2 = Р*** = 2
Рз = Р** = 36 VEJ/(ml3) .
Соответствующие формы колебаний (/, 2, 3) показаны на рис. 13.2, а, б, в.
Если бы мы решали эту задачу, не выделяя симметричные и косо-
Рис. 13.2
Рис. 13.3
симметричные формы колебаний, то пришлось бы решать кубическое
уравнение частот.
Особенности расчета систем с нулевыми собственными частотами.
Если система не имеет достаточного количества связей и может переме-
перемещаться без деформаций, то при определении ее частот получаются ну-
нулевые корни. Эти нулевые частоты как раз и соответствуют движению
системы без деформации. Простейшим примером такой системы явля-
является вал с двумя дисками рис. 13.3. Обозначив углы поворота дисков
104
д-., Хг, получим уравнения их движения:
/^i + с (х, — х2) = 0,
/2х2 — с (х4 — х2) = 0,
где с — жесткость вала на кручение.
Отыскивая решение в форме
, хг = u2cospt,
приходим к системе
(с — /jp2) ы, — с«2 = 0,
— cut+ic — /2р2)и2 = 0.
Частотное уравнение
— с с — /гР2
или
Отсюда
Будем формально подходить к нулевой частоте так же, как и к не-
ненулевой. '
Тогда нулевой частоте соответствует «форма колебаний» ui0 =
= «го, т. е. поворот вала без его де- _ у
формаций, а частоте р4 — форма
= "и A — Лр2/с) = —
) «„.
Формы колебаний показаны на
рис. 13.4 (принято Wi = 1). Легко
видеть, что выполняется условие ор-
ортогональности
У/////,
U
Смысл ортогональности колеба-
колебательной формы (tin, «21) и формы
движения системы как жесткой («10 =
= ы2о) состоит в том, что инерцион-
инерционные моменты дисков при колебаниях
уравновешены:
V 2
Рис. 13.4
= 0.
Свободные колебания системы при заданных начальных условиях
удобно и в этом случае рассчитать, используя метод главных коорди-
координат. В соответствии с этим методом полагаем:
xf == <7„ (t) и10 + Qi @ "it = 9о @ + <7i @ «и ,
х2 = q0 (t) uw + <?, @ ии = <7о @ + <7i @ i-
105
Для главной координаты q0 в связи с равенством нулю частоты р0
уравнение A2.13) принимает вид
I
с решением
соответствующим равномерному вращению вала с угловой скоростью
В. Постоянные А и В рассчитываем на основе общих формул A2.15):
в
В данном случае ui0 = 1 (i = 1, 2),
Шо J
— 1± + /2
Координата qt определяется, как и обычно, выражением A2.14)
с постоянными по формулам A2.15).
Таким образом, наличие подвижности системы как жесткой не вно-
вносит существенных изменений в расчет ее свободных колебаний. Труд-
Трудности возникают только при
попытке определить формы и
частоты собственных колеба-
колебаний с использованием уравне-
уравнений движения в обратной фор-
форме. Дело в том, что к под-
подвижной системе нельзя при-
приложить единичные силы для
определения коэффициентов
влияния. Один из путей прео-
преодоления трудностей показан
на следующем примере.
Рис. 13.5
Пример. Определить частоты
и формы собственных поперечных
колебаний стержня с тремя одинаковыми массами mi = m2 = m3 = т, шар-
нирно закрепленного на одном конце (рис. 13.5,а). Силы тяжести не учитывать.
Система имеет три степени свободы, одна из которых соответствует вращению
балки как жесткой вокруг шарнира. Для нахождения двух остальных колеба-
колебательных форм рассмотрим систему в положении амплитудных отклонений
(рис. 13.5,6).
В этом положении к балке приложены силы инерции масс:
Fy = mp2ult F2 = тр2и2, F3 = тр2и3.
Сумма моментов этих сил относительно шарнира должна равняться нулю:
р2т1 C% + 2u2 + tC) = 0. A3.3)
Теперь надосвязать перемещения и. с силами F.. Для этого соединим прямой
линией концы стержня. Тогда прогибы'стержня под силами F2 и F;s {и2 — 2/ЗИ1
и из — 1/3/л) можно рассматривать как прогибы двухопорной балки на
рис. 13.5,в. (Реакция нижней опоры равна Fi.)
Имеем:
и„ — 2/зи1 — Fi'''ii ~т" F3?i;->,
A3.4)
Коэффициенты влияния находим, прикладывая единичные силы по направле-
направлению F2 и ^з (к балке с дополнительной опорой):
S22 = В,з = 4/, 14(EJ), В23 = В42 = 7/и рцд:).
Уравнения A3.4) приведем к такому виду:
За2 — 2их = z (8и2 + 7и3),
Зи3 — иг = z Gu2 + 8u3), | z = mp43/FEJ) | . A3.5)
Сюда следует присоединить уравнение A3.3). Приравнивая нулю определи-
определитель системы, получаем
2 8z — 3 7z '
1 lz 8z — 3 =0,
Зг 2z z
ИЛИ
z A5г2 — 52z+ 14) =0.
Отсюда г„ = 0, z1= 0,2941, z2 = 3,172.
Соответствующие частоты собственных колебаний:
р0 = 0, р1 = 1,33 УЕЛ(тР) , р2 = 4,36 УЕЛ (ml») .
Определим формы колебаний. Решая уравнения A3.5) относительно иг, из,
получаем:
2 —Зг
C-г)A-5г)
«1,
1
2г
C-г)A-5г)
При г = 0 и20 = 2/з«ю. "зо =
что, конечно, соответствует движению жесткого стержня.
При z = г± иа = — 0,874ми, иа1 = — 1,24ип.
При z = z2 u22 = — 2,94и12, а32 = 2,87и12.
Р-Р,
р-р,
Формы движения системы по-
показаны на рис. 13.6. Легко убе-
убедиться, что условия ортогональ-
ортогональности этих форм выполняются.
Рассмотрим более общий
прием расчета системы, обла-
обладающей подвижностью, с ис-
использованием уравнений в
обратной форме. Сконструи-
Сконструируем модифицированную ко-
колебательную систему, отли-
отличающуюся от заданной нали-
наличием дополнительных жест-
костей. Введем эти жесткос-
жесткости таким образом, чтобы формы собственных колебаний модифициро-
модифицированной и заданной систем совпадали, .а квадраты собственных частот
отличались на заданную величину. Для достижения этой цели матрица
дополнительных жесткостей должна быть пропорциональна матрице
масс системы.
Собственные частоты ри и собственные векторы и&. заданной системы
Рис. 13.6
106
107
тождественно удовлетворяют уравнению A2.27)
(plm — r)uk = 0,
где г — матрица жесткости заданной системы.
Пусть модифицированная система имеет матрицу жесткости
>"* = г + )?т,
где X2 — заданная величина.
Тогда собственные частоты р* и собственные векторы и* модифи-
модифицированной системы определятся уравнением
F
(/>> —г,)и, = 0.
Уравнение A3.6) удовлетворяется тождественно при
Рис. 13.7
и затем квадраты частот заданной системы:
которые совпадают с найденными ранее. Совпадают и формы колебаний.
Случай кратных частот. Если частотное уравнение
Д (/>*) = 0
A3.6)
«• = «>,, р!=Рй + >-2. A3.7)
Таким образом, при присоединении к системе дополнительных жест-
костей, пропорциональных массам (коэффициент пропорциональности
X), формы ее колебаний остаются неизменными, а
квадраты частот изменяются на величину К2. Этот
прием называется сдвигом спектра частот системы.
Применим изложенный прием для расчета системы, по-
показанной на рис. 13.5. Модифицированную систему полу-
получим, присоединив к каждому из грузов пружину с жест-
жесткостью с. (i = l, 2, 3), пропорциональной его массе (рис. 13.7):
Ic i = Х*тг.
В данном случае все массы одинаковы и принято с. = с =
=EJfls, что соответствует X2 = EJ/(ml3). l
Теперь можно обычным способом найти коэффициенты
влияния для модифицированной системы (которая является
дважды статически неопределимой):
Вп = 209/з/ B77EJ); 812 = 8^ = 90P/B77EJ);
5iS = 5И = 24/з/B77?/); 822 = 109Р/B77?/);
523 = 5s2 = 66/s/B77?/)j 833 = 73PIB77EJ).
Далее, составляя характеристическое уравнение в форме
A1.8), приведем его к виду
0,01805гЗ —0,429бг2 + 1,4115г — 1=0,
где г= pbnPHEJ).
Решая это уравнение, находим квадраты частот модифицированной системы:
\ l , p:Jt = 20,351-]/(к'")
имеет кратный корень
Рь. =
то после подстановки этого значения р в систему исходных уравне-
уравнений A1.3) относительно амплитуд ut эта система содержит лишь п —
— 2 независимых уравнений.
Таким образом, если задать одну из амплитуд (например, Ui), то
для других п — 1 амплитуд, характеризующих форму колебаний,
получается неопределенная система. Поэтому, чтобы определить форму
колебаний, соответствующую частоте ph, следует задать произвольно
две амплитуды (например, w4 и и2).
Задавая две разные формы комбинаций: ищ, и2и и и.ци+\), и^и+\) полу-
получаем две разные формы колебаний (мгь, «к^п, соответствующие кратной
частоте. Полученные формы колебаний не будут, вообще говоря,
ортогональными.
Так как ортогональность форм собственных колебаний позволяет
существенно упростить расчеты, целесообразно добиться ее искусст-
искусственно. С этой целью одну из форм (например, щк) определяют при про-
произвольном задании двух амплитуд (ищ и u2k), а вторую u\$+i) находят
из п —2 уравнений A1.3) и уравнения
A3.8)
обеспечивающего ортогональность k-ik и (k + 1)-й форм. При этом,
конечно, задают какое-либо численное значение одной из амплитуд
(например, «i(fc+i), определяю-
определяющее масштаб рассчитываемой
формы. В процессе свободных
колебаний системы две формы
ее колебаний, соответствующие
данной частоте, возникают од-
одновременно.
Простейшим примером систе-
системы с двумя одинаковыми часто-
частотами является круглый стер-
стержень с грузом на конце (рис.
13.8). За формы собственных ко- лг'
лебаний могут быть приняты сме- Рис. 13.8
щения груза в двух любых пер-
перпендикулярных оси стержня направлениях.
Для того чтобы принятые формы колебаний были ортогональными,
целесообразно выбрать направления хь х2 взаимно перпендикулярными
(см. рис. 13.8). Тогда х± и х? будут главными координатами и при сво-
свободных колебаниях будут определяться независимыми уравнениями
ху = х4 @) cos pt -f- [ xt (O)/pJ sin pt,
x2 @) cos pt -J- [ x2 {0I p J sin pt.
108
109
Как видно из этих формул, центр груза описывает в процессе
свободных колебаний эллипс.
Следует отметить, что кратные корни частотного уравнения встре-
встречаются практически редко. Значительно чаще приходится сталки-
сталкиваться с ситуацией, когда две частоты близки друг к другу. В этом
случае возникают трудности, связанные с тем, что система п — 1
уравнений для определения форм колебаний оказывается плохо обус-
обусловленной (т. е. ее определитель близок к нулю). При этом не удается
с достаточной точностью определить формы колебаний, соответствую-
соответствующие близким частотам рк и pk+i.
Для преодоления этих трудностей следует из л — 1 уравнений
A1.3) определить лишь одну форму колебаний uik. Для определения
ицк+\) следует воспользоваться лишь п—2 уравнениями системы A1.3)
и дополнительно привлечь условие ортогональности форм и;кяиц
§ 14. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ЧАСТОТ И ФОРМ
СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Пример 1. Определить частоты и формы собственных крутильных колебаний
вала с двумя одинаковыми дисками, имеющими одинаковые моменты инерции
/х = /2 = / (рис. 14.1,а). Также одинаковы
и жесткости с двух участков вала.
а) _1Г _? •? Решение. Обозначая углы поворотов
дисков соответственно хх и хъ и записывая
уравнения движения в прямой форме, по-
получаем:
/ А = — СХХ — С (% — Х2) ,
= С
— Х2).
Рис. 14.1
Предположим, что
Хг = Uj COS (pi + <f), Хг = U2 COS (pt + с?) .
После подстановки этих значений нахо-
находим (с учетом h = /2 = /):
(/р2 — 2с) и±
= О,
A4.1)
сих + (/р2 — с) и2 = 0.
Приравнивая нулю определитель этой системы, приходим к уравнению
г2 — Зг + 1 = 0 (г = /р2/с)
Отсюда
гг = C —/Г)/2 = 0,382, г2 = C +/
Соответственно собственные частоты
Pl =. у7хУс7Г = 0,618 УНТ, р2= УГ2У7
Соотношение между отклонениями иь и2 находим из любого уравнения A4.1).
Из первого уравнения
110
== 2,618.
= 1,618 /с/7".
Подставляя сюда поочередно z\ и z2, находим:
ип = l,618uu, u22 = — 0,618u12.
Приняв «и = 1, u12 —- 1, получим формы колебаний, изображенные на
рис. 14.1, б, в.
Проверим" ортогональность этих форм:
/l"ll«12 + /2«21«22 = / [1 • 1+ 1,618 (—0,618)]=0.
(Несоблюдение условия ортогональ- -\
ности свидетельствовало бы об ' т, = т
ошибке в расчете.)
Пример 2. Определить частоты
и формы собственных колебаний
балки постоянного сечения с двумя
массами: т1 = т, т„ = 2т, (рис.
14.2,0;).
Решение. Перемножая эпю-
эпюры моментов методом Верещагина
(рис. 14.2, б, в), получаем значения
коэффициентов влияния:
3 к
i
^-
г12 = В21 = 7/з/G68?/).
Уравнения A1.5) для амплитуд-
амплитудных прогибов иг, и2 под массами
имеют следующий вид:
-2 • 7u2)/G68EJ),
A4.2)
-2 • 9«2)/G68?/).
Рис. 14.2
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, находим
I9z-1 Hz _ L=t_H^_
7z 18г-1 " V 768?У
Отсюда
частоты:
= 41,031 • 10 3, г2 = 380,78» 10 3 и соответствующие собственные.
=У 768z1EJj(ml3) =5,6117
Р2= / 768z2EJ/{ml3) = 17,101
Находим соотношение между амплитудами из первого равнения A4.2)
щ!щ =A—9z)/A4z).
Принимая и и = «12 = 1, находим
. — 9- 41,031 • 10-з
«21 =
14 • 41,031 • Ю-з
] — 9 • 380,78 • 10
•= 1,098,
= — 0,4553.
"" 14 ¦ 380,78 • 10'
Формы колебаний показаны на рис. 14.3.
Проверяем их ортогональность:
тиии1!; + 2ти21«22 = т [1 • 1 + 2-1,098 (— 0,4553)] = 0.
Пример 3. На упругой балке длины / закреплен жесткий груз массой
111
т, центр тяжести которого расположен в точке С (рис. 14.4,а). Момент инерции
груза относительно перпендикулярной плоскости чертежа оси, проходящей че-
через точку С, равен / (для определенности примем / = /п/2/8). Определить часто-
частоты и формы собственных колебаний.
Решение. Система имеет две степени свободы, соответствующие верти-
/77
2т
—
У
/
/1
1098
\
f _A_
0,4555
/
Рис. 14.3
f
(по условиям задачи д = 1/8).
Частотное уравнение [равенство нулю определителя системы A4.4)] полу а-
ет вид
г2 — z A3 + 128) + 12» = О,
или при ft = 1/8
откуда
Рис. 14.5
г2 — B9/2) г + 3/2 = О,
zt = 14,395, z2 = 0,1042.
Соответствующие собственные частоты:
Р1== yrl2EJl(mPz1) = 0,914
= Ю,72 V~EJ/(ml*)
Формы колебаний характеризуются соотношением
кальному перемещению точки С и повороту груза. Обозначим их и и2
тудные значения перемещений (рис. 14.4,6).
Инерционная сила и момент сил инерции составляют:
— ампли-
амплиУравнения динамического равновесия (в обратной форме) имеют такой вид:
"i =FCn-j-AB12, и, =- FZn + Мо22. A4.3)
Коэффициенты влияния находим, перемножая эпюры, соответствующие
единичным нагрузкам (рис. 14.5):
Ьп = \3P/A2EJ), С12 = ?21 -= l2l(EJ), 622 = II (EJ).
Подстановка этих значений в равенства A4.3) приводит к уравнениям
zut = 13их + 12»/и2, ги2 = \2ujl + 12»и2, A4.4)
где для сокращения обозначено
г = \2EJ/(mPp2); » =
112
При г = гх и21 = 0,93иц//,
при г = г2 и22 = —8,60и12//.
Формы колебаний показаны
на рис. 14.6.
Условие ортогональности в
данном случае имеет вид
+ (т/2/8) @,93/0 (—8,60/0 = 0.
Пример 4. Определить часто-
частоты и формы собственных колеба-
колебаний жесткого груза на упругой
балке рис. ХАЛ,а. Масса груза т,
момент инерции относительно
центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа, /(/ -= Ы2/8).
Решение. В качестве координат, определяющих положение системы,
примем вертикальное перемещение х\ точки А и угол поворота х2 груза относи-
относительно этой точки (рис. 14.7,6). Так как точка А не совпадает с центром массы
груза, матрица масс системы в данном случае не диагональная.
113
Рис. 14.6
Кинетическая энергия груза составляет
l/8 Y + (
хг
Т =
Отсюда следует, что матрица массы имеет вид
17m/2/64)
1/8
Рас.
/и =
ml/8 ^,
j
[ml/8
где /д = / + \7ml2/64 = 25m/2/64.
Коэффициенты податливости найдем, приложив в точке А единичную силу
по направлению х1 и единичный момент по направлению х2:
Ьп = 14CEJ), 8„ = 8И = /2/B?У), 522 =.//(?/).
Следовательно, матрица податливости имеет вид
/ /2/2 3/\
6EJ \31 6 / "
Запишем уравнения, определяющие амплитуды, в матричной форме A2.28).
Вычислим
S =
Ьт =
ml
2/2 3/\ /64 8/
6/ \8/ 25/2
ml* / 152 91Л
384?J {240/1 174J'
Уравнения A2.28) получают вид
A52 — 2)^+91^2 = 0,
240u1//+A74 — г)и2 = 0,
где z = 384EJ/(p2ml3).
Приравняем нулю определитель этих уравнений:
г2 — 3262 + 4608 = 0.
Отсюда г2 =311,2; г, = 14,81 и соответствующие частоты:
TT
/384?
1^
ШЕТ
EJ
ml3
Находим формы колебаний. При первой форме
"п =«и (гх- 152)/(9И) = 1,74Гип//,
114
при второй форме
= «12(z2— 152)/(9H)=—
Принимая иц = u12 = 1, получаем u21 = 1,749//, u22 = — 1,508//.
Для проверки их ортогональности следует вычислить
т т /64 8/ \ / 1 \
«lW«2 = -(l 1,749/0 (8/ 25/2)(_1>508// )=0.
Замечание. В данной задаче, как и в предыдущих, можно было бы по-
получить диагональную матрицу массы. Для этого следовало бы выбрать в ка-
качестве координат вертикальное перемещение точки В (рис. 14.7,6) и поворот груза
относительно этой точки.
§ 15. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ БЕЗ ТРЕНИЯ
Метод главных координат. При возмущающих силах, произволь-
произвольным образом зависящих от времени, непосредственное аналитическое
решение неоднородных дифференциальных уравнений движения сис-
системы становится затруднительным. Существенное упрощение расчета
достигается путем введения главных координат. При этом физические
координаты xt(t) (i = 1, 2, ..., п) связаны с главными qk(t) (k = 1,2,
..., п) зависимостями A2.6)
4h>
A5.1)
2
ft=i
где uik — амплитуда смещения х, при k-й собственной форме.
Обратная зависимость имеет вид A2.7)
A5.2)
или в частном случае диагональной матрицы масс
= 2 miUikXi
liW
A5.3)
При этом каждая из главных координат определяется независимым
дифференциальным уравнением
= QA, A5.4)
115
w
где Qh = V Ptuih — обобщенная сила, соответствующая координа-
<=i
те Qu-
Так как уравнение A5.4) не отличается по форме от уравнения вы-
вынужденных колебаний линейной системы с одной степенью свободы,
при его решении можно использовать методы, изложенные в гл. I.
При этом следует иметь в виду, что начальные условия для главных
координат qk выражаются через начальные условия для физических
координат с помощью зависимостей A5.2) или A5.3).
Пример. К грузу т\ балки, изображенной на рис. 15.1, внезапно приложена
сила P(t) = Яо, сохраняющая в дальнейшем постоянную величину. Определить
законы движения грузов и изгибаю-
I pft) m m _ „ щие моменты в балке.
[ И{г; т, -т2-т,-т Решение. Выше (см. с. 104)
определены частоты и формы соб-
собственных колебаний системы:
р, = 5,693 YEJ
Р2 = 22,045
Рз = 36
Рис. 15.1
12)=2т,
Формы колебаний воспроизве-
воспроизведены на рис. 15.1.
Определяем обобщенные массы,
соответствующие собственным фор-
формам:
12)=3/л.
Обобщенные силы для всех форм колебаний одинаковы и равны Яо (так как
прогиб в точке приложения силы для всех форм равен единице).
Таким образом, уравнения для главных координат таковы:
я\ + Ai = Яо / Fт), q2 + р <7а = Яо/ Bт), q3 + p2qa = Яо / (Зт).
12 3
Решения этих уравнений, соответствующие нулевым начальным условиям*:
Я„
A —
2тр\
A—
Чз— , A — i
Зшрз
Теперь можно подсчитать и перемещения грузов:
з
* Из формул A5.2) рид|;О, что если при/ = 0 все физические координат
х. и скорости х. равны нулю, го также равны нулю и главные координаты qh и
скорости qh.
116
Производя подстановки, получаем:
хх = qt + q2 + 93 = [Я0Р/C888?У)] B5 — 20 cos pj — 4 cos p2t — cos p3t),
x2 = 2q± — q3 = [Я0/з/C888?У)] C9 — 40 cos pj + cos p3t),
x3 = Qi -?2+ 9з = [Я0Р/C888?/)] A7-20 cos p^ + 4 cos p2^ - cos p3t).
Для вычисления изгибающих моментов построим сначала эпюры моментов,
соответствующие формам собственных колебаний. Эти эпюры строятся как эпю-
эпюры моментов от амплитудных инерционных сил F\f, = р^^тм^:
Fu = F31 = 32.AEJ/13, F21 = 6
F13 = — f23 = F33 =
Эпюры показаны на рис. 15.2.
Легко проверить их ортогональ-
ортогональность. Теперь изгибающий момент
в любом сечении можно найти, сум-
суммируя моменты, соответствующие
главным координатам:
L'ik л'гк А
м
(г, 0=2 Mk(z)qh(t).
В частности,
силы Яо
в точке приложения
= (ЯО//36)E — 2 cos Pi/—
—2 cos p4
Ямс. /5.2
В сечении под средним грузом
М = (Яо//36) C — 4 cos pji -f cos p3/).
Аналогично, в сечении под третьим грузом
Л1 = (Я„//36) A — 2 cospj* + 2 cos pV — cos РзО•
Как видно из сравнения формул для прогибов и изгибающих моментов, ко-
колебания с высшими частотами р2 и р-: сравнительно мало сказываются на измене-
изменении перемещений; в изменении моментов роль высокочастотных колебаний
больше.
Случай приложения возмущающей силы в безмассовой точке. В
результате схематизации реальной механической системы, как имею-
имеющей п степеней свободы, может оказаться, что в схематизированной
системе точка приложения возмущающей силы не совпадает с точкой
размещения масс. Простейший пример такой системы показан на рис.
15.3,а. Конечно, непосредственный расчет этой системы не вызывает
никаких затруднений. Но возникает вопрос о применимости для рас-
расчета метода главных координат. Единственная форма собственных ко-
колебаний системы, показанная на рис. 15.3,6, соответствует нагружению
балки силой инерции груза. Если прогиб под грузом принять равным
единице, то прогиб в точке приложения силы Up = 8\Р/8п. Главная
117
координата q (равная в данном случае перемещению х груза) оппеделя
ется уравнением ; ^сделя-
где
A5.5)
а)
S)
\p(t)
Рис. 15.3
Рис. 15.4
Если бы мы непосредственно составляли уравнение движения гру-
груза т, то получили бы точно такой же результат:
Таким образом, при определении перемещений груза метод главных
координат приводит к правильному решению.
Однако эпюра изгибающих моментов при вынужденных колебани-
колебаниях, имеющая излом в точке приложения силы Р, не может быть получе-
получена умножением треугольной эпюры (рис. 15.3,б), соответствующей"
форме собственных колебаний, на координату д.
Рассмотрим этот вопрос в более общей форме. Пусть сила прило-
приложена к безмассовой точке системы с п степенями свободы (на ркс. 15.4,
а с двумя). Введем фиктивную массу тф в точке приложения силы
(рис. 15.4,6). Теперь система имеет п -\- \ степень свободы и к ее рас-
расчету можно полностью применить метод главных координат. Таких
координат, конечно, тоже п + 1, и они соответствуют п + 1 формам
собственных колебаний. Все эти формы взаимно ортогональны.
Пусть масса /лф стремится к нулю. При этом п форм собственных
колебаний будут приближаться к формам заданной n-массовой систе-
системы. Остается выяснить, что будет с (п + 1)-й формой. Так как она ос-
остается при /Лф ->¦ 0 ортогональной ко всем без исключения формам соб-
собственных колебаний заданной системы, то смещения всех масс при этой
форме должны стремиться к нулю. Соответствующая этой форме соб-
собственная частота стремится к бесконечности, и поэтому прогибы в точ-
точке, где размещена масса тф, остаются конечными. Итак, (п + 1)-я
форма колебаний при т^ ->¦ 0 вырождается в форму статического рав-
равновесия системы, все массы которой закреплены, под действием силы
P(t) (рис. 15.4,в).
118
\P(t)
Таким образом, чтобы найти внутренние силовые факторы в систе-
системе, нагрузка на которую приложена в безмассовой точке, нужно к си-
силовым факторам, найденным методом главных координат, добавить
силовые факторы, вызываемые статическим действием силы на систему
с закрепленными массами. То же относится и к перемещениям точек,
не совпадающих с местами крепле-
крепления масс.
Проверим правильность вывода на
примере задачи (см. рис. 15.3).
Согласно указанному выше пра-
правилу, эпюра моментов балки скла-
складывается из умноженной на q эпюры,
соответствующей форме собственных
колебаний (см. рис. 15.3,в), и эпюры,
соответствующей нагружению силой
P(t) балки с закрепленной массой
(рис. 15.5).
Таким образом, например, сум-
суммарный момент в заделке составит
Мо = qmpH + Р (t) (а — /§1Р/§И) (сжа-
(сжатое волокно внизу).
Заменим в соответствии с уравнением A5.5)
I
PSf(l-a)
Рис. 15.5
Тогда
A5.6)
Так как q = x, то второе слагаемое в формуле A5.6) представляет
собой момент силы инерции груза и справедливость равенства A5.6)
очевидна.
Можно проверить, что и для момента в точке приложения силы P(t)
таким способом получается правильное значение
М1 = —mq(l — a).
Конечно, использование указанного приема не является обяза-
обязательным. Можно, определив методом главных координат движение масс
системы, приложить их силы инерции и затем определять внутренние
силовые факторы, вызванные действием сил инерции и возмущающих
сил.
Гармонические возмущающие силы. Если на систему действуют
гармонические возмущающие силы частотой со с различными фазами
Р,(9 = Рг cos (<в* — <р,), A5.7)
то их можно представить как суммы:
Pt(t) = P i^
= Pl sin с
A5.8)
119
Ввиду линейности системы ее движение представляет собой сумму
движений, вызываемых силами, пропорциональными cosco/ и sinat в
отдельности. Рассмотрим движение, вызываемое силами, пропорцио-
пропорциональными cosco^. В этом случае обобщенная сила, соответствующая ко-
координате qk, также пропорциональна
Уравнение
?1° = 2 Pictl ih cos wt-
-У Pic^ik^k COSCOf
имеет стационарное решение
Як =
°sh%
-cos at.
A5.9)
Соответственно движение любой точки системы под действием сил,
пропорциональных cosoj/, определяется выражением
A5.10)
Аналогично, силы, пропорциональные sinco^, вызовут перемещения
xt — sin (at
A5.11)
и полное движение выражается суммой
Xi=x(tc) + xls). A5.12)
Полученные выражения показывают, что при гармоническом воз-
возмущении система колеблется с частотой возмущающей силы, а форма
ее меняется в зависимости от частоты. Если частота возбуждения приб-
приближается к одной из собственных частот системы, величина соответст-
соответствующих членов в выражениях A5.10), A5.11) неограниченно возрас-
возрастает. Таким образом, резонанс возникает при совпадении частоты воз-
возмущения с любой из собственных частот системы*. При резонансе на
* Исключением являются те собственные частоты, при которых и числитель
формул A5.10) и A5.11) обращается в нуль: SP.u;h = 0, т. е. резонанс на час-
частоте ph не возникает, если возмущающие силы ортогональны к k-я форме колеба-
колебаний.
частоте pk форма вынужденных колебаний системы совпадает с k-u
собственной формой [поскольку остальные слагаемые в рядах A5.10),
A5.11) становятся пренебрежимо малыми по сравнению с резонирую-
резонирующими].
Непосредственное решение. При гармоническом возмущении метод
главных координат не является наиболее экономичным способом
решения задачи. Им целесообразно пользоваться только в том случае,
если собственные частоты и формы колебаний уже известны. В против-
противном случае быстрее ведет к цели непосредственное решение задачи.
При действии гармонических возмущающих сил, пропорциональных,
например, cosco^, следует искать решение уравнений движения в форме
xt = Aicoscat. A5.13)
Подставляя эти значения Xi в уравнения движения (записанные в
прямой или обратной форме), получают систему линейных неоднород-
неоднородных уравнений относительно At. Решение этой системы имеет вид
A5.14)
В знаменателе формулы A5.14) стоит определитель системы уравне-
уравнений, в числителе — определитель, t'-й столбец которого заменен столб-
столбцом свободных членов.
Так как частотное уравнение системы имеет вид Д(р) = 0, то кор-
корни знаменателя формулы A5.14) совпадают с собственными частотами
системы.
Динамическая податливость. Антирезонанс. Рассмотрим случай,
когда на систему с п степенями свободы действует одна гармоничес-
гармоническая сила, приложенная в направлении перемещения х,:
Используем метод главных координат. Обобщенная сила, соответ-
соответствующая k-й главной координате, составит
И соответствующее стационарное решение уравнения A5.4) таково:
qk = Ро — cos at.
Ши ( р1~^2)
Перемещение в точке приложения возмущающей силы
п п „2
lih -- P0COSCO/ V
iS
Отношение этого перемещения к действующей силеР0со5Со/ называ-
называется динамической податливостью системы:
п
V
A5.15)
120
121
Рассмотрим характер зависимости динамической податливости Dti
от частоты возбуждения со. Как видно из формулы A5.15), функция
Оц(а>) имеет конечное число разрывов при со = рк, т. е. при частотах
собственных колебаний системы. При этом, если
ли, находим
«> = Ph — I e
О,
если
ТО
ОО.
Рис. 15.6
P0cosat
) =52
ю = Ph + Ie I . e -*
Следовательно, зависимость ?>;г(со) имеет вид, показанный на рис.
15.6, где она приведена для системы с тремя степенями свободы.
Как видно из графика,
имеются частоты (Qj, Q2)r
при которых Dn(a) = О
и, следовательно, точка
приложения возмущающей
силы неподвижна. (Конеч-
(Конечно, все другие точки систе-
системы при этом колеблются с
частотой со = Q .) Указан-
Указанное явление называется
антирезонансом, а частоты
Q —- антирезонансными.
Для системы с п степеня-
степенями свободы число антире-
антирезонансных частот равно
п — 1.
Поясним физический
смысл антирезонанса. По-
Поскольку при антирезонансе
точка приложения силы
неподвижна (рис. 15.7,а),
можно ее закрепить (рис.
15.7,6). Таким образом, мы
обнаруживаем, что антире-
р ;__ зонансные колебания — это
свободные колебания си-
системы с дополнительным
закреплением (в направлении xt). При этом возмущающая
сила P0coso)t оказывается равной реакции дополнительного закрепле-
закрепления. Следовательно, и антирезонансные частотыО можно определять
как частоты собственных колебаний системы с дополнительной связью.
Преобразуем формулу A5.15). Заметим, что после приведения к об-
общему знаменателю слагаемых выражения A5.15) получим значение
Оц((})) как частное от деления многочлена (п — 1)-й степени относи-
относительно со2 на многочлен п-й степени. Корни числителя равны квадратам
частот антирезонансов, а корни знаменателя — квадратам резонансных
частот системы. Разлагая затем числитель и знаменатель на множите-
б)
A5.16)
Здесь П означает произведение, а 8ц равно отношению свободных
членов полиномов.
С другой стороны, би представляет собой значение динамической
податливости системы при со = 0, т. е. ее статическую податливость.
Формула A5.16) позволяет вычислять динамическую податливость
системы, если известны ее статическая податливость, а также резонанс-
резонансные и антирезонансные частоты.
Перемещения других точек системы xj(j ф i) определяются равен-
равенствами
X; =
*=1 fe=l Vk — ш
Отношение этих перемещений к возмущающей силе
— ' —
A5.17)
I
,Mocos<j)t
также может быть названо коэффициентом динамической податливос-
податливости: Du — главный, Dtj — побочный коэффициент. По аналогии с
коэффициентами влияния метода cnnDih В1} иногда называют гармони-
гармоническими коэффициентами влияния.
При со->0 Ои(а)-+ЪИ.
Коэффициенты динамической податливости находят применение
при расчете колебаний сложных систем методом динамических подат-
ливостей (или жесткостей)
(см. гл. IV).
Динамический гаситель
колебаний. В динамическом
гасителе для гашения коле-
колебаний используется явление
антирезонанса.
Пусть имеется простейшая
система с одной степенью
свободы, совершающая вы-
вынужденные гармонические
колебания с частотой со.
На рис. 15.8 эта система
представлена в виде диска с
моментом инерции / на упругом валу с жесткостью на кручение с.
Если дополнительно присоединить к системе гаситель, состоящий
из диска (момент инерции /д), и вал жесткостью сд, причем настроить
гаситель так, чтобы его собственная частота при закрепленном диске
/ равнялась со:
Рис. 15.8
122
123
то частота со станет для двухмассовой системы антирезонансной и дви-
движение основного диска прекратится.
Амплитуда Лд колебаний диска гасителя может быть найдена из
условия, что крутящий момент на валу гасителя уравновешивает воз-
возмущающий момент Мо:
Ал = М0/сд.
Проследим поведение системы с динамическим гасителем при изме-
изменении частоты возбуждения со. Если гаситель отключить, то амплитуда
А основной системы будет определяться формулой
где
А0 = М0/с, pi с! т.
Уравнения движения системы при включенном гасителе:
Ixi + cxt + ся (*, — х2) = Мо cos at,
'д-^2 — сд (•"•! — •"•г) == ^-
A5.18)
Задавая углы поворота основного диска и гасителя в форме
Xi = Acosat, д;3 = Лд cos со/, подставляя эти значения в уравнения
A5.18) и решая полученную систему уравнений относительно А, Лд,
находим:
А =
1 — ю2/ ,
A5.19)
Здесь /7д == У сд//д — частота настройки поглотителя: pit p2
собственные частоты двухмассовой системы,
)
На рис. 15.9 показаны кривые зависимости А/Ао от со, вычисленные
при рп = р0; /д// = 1/20. На тот же график штриховыми линиями
нанесена резонансная кривая для системы без гасителя.
Как и следовало ожидать, благодаря установке гасителя устраня-
устраняются колебания основной системы при частоте со = рл. Однако воз-
возникают резонансные колебания при со — рг и со = р2.
Таким образом, динамический гаситель колебаний эффективен,
только если частота возбуждения со является строго постоянной. Уст-
124
12
0
\
/'
"к
I /
» I
\ /
/ \/
\
/
I
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 V 1,2
Рис. 15.9
СО
J
ранить резонансные колебания с большими амплитудами при частотах
/71; р.2 оказывается возможным, если ввести в конструкцию динамичес-
динамического гасителя трение. Этот вопрос рассмотрен далее в § 16.
В двигателях внутреннего сгорания используются также динами-
динамические гасители, частота настройки которых меняется автоматически с
частотой возбуждения. Устройство этих гасителей основано на том, что
собственная частота маятни-
маятника в поле центробежных сил
пропорциональна скорости
вращения.
Поэтому, подвесив маят-
маятник к диску, закрепленному
на коленчатом валу двигате-
двигателя, и выбрав соответствую-
соответствующим образом радиус качания,
можно добиться, чтобы соб-
собственная частота колебаний
маятника была в 2, 3, ..., п
раз больше, чем угловая ско-
скорость диска. Такой виброга-
виброгаситель устраняет крутиль-
крутильные колебания, вызываемые
2-й, 3-й, ..., п-п гармониками
возмущающих моментов. На
рис. 15.10 изображена конст-
конструкция виброгасителя, в ко-
которой в качестве маятника
используется противовес 1,
укрепленный с помощью ро-
роликов 2 на щеке 3 коленча-
коленчатого вала. Диаметрd роликов
меньше, чем диаметр D свер-
сверлений в щеке. Благодаря
этому масса гасителя может перемещаться относительно коленчатого
вала, причем все ее точки движутся по дугам равных радиусов
1 = D — d.
Частота собственных колебаний гасителя
Рис. 15.10
ря = со
где R — расстояние центра массы гасителя от оси вала; о — угловая
скорость вала.
Для того чтобы гаситель был настроен на v-ю гармонику возмущаю-
возмущающих моментов, необходимо так выбрать его размеры, чтобы
VRHP — d)—\ = v.
Массу гасителя выбирают из условия, чтобы при допустимых амп-
амплитудах качания создаваемый им момент равнялся v-й гармонике воз-
возмущающего момента. Другие конструкции динамических гасителей
125
крутильных колебаний двигателей и их расчет рассмотрены, например
в работах [21, 50].
Кинематическое возбуждение. Если колебания системы вызывают,
ся не заданными силами, а возникают благодаря приведению в движе-
движение по заданному закону одной или нескольких точек системы, то воз-
возбуждение называется кинематическим.
Задачу о кинематическом возбуждении нетрудно свести к задаче о
силовом возбуждении. Пусть задано перемещение какой-либо /-Й точ-
точки системы
Xj = f(t). A5.20)
Если бы система была безмассовой (т. е. при ее движении не возни-
возникали силы инерции), то для смещения точки / к ней следовало бы при-
приложить силу Р/1' = f(t)/8jj, а все остальные точки системы получили бы
перемещения
*S" = /(*)№ A5.21)
Представим теперь перемещения в реальной системе в виде
x^x^+xfK A5.22)
где х'2) — искомые дополнительные перемещения.
Для того чтобы это выражение удовлетворяло условию A5.20),
должно быть
xj2) = 0. A5.23)
Рассмотрим в соответствии с принципом Даламбера динамическое
равновесие системы. Силы, действующие на систему, состоят из силы
Р')' + РB>, приложенной в точке/, движение которой задано (РB)—из-
(РB)—изменение этой силы в связи с инерцией системы), и сил инерции масс
¦mlxi = —
¦¦A)
Эти силы вызывают перемещения x'''-р х^Р .
1ак как перемещения х) вызываются силой Р) , то система пе-
- (9) ( "AМ I "BМ
ремещении х\ вызывается силами инерции I — тх. I, I—mx. I
и силой Р/2), которую можно определить из условия A5.23).
Это позволяет рассматривать движение, характеризуемое переме-
перемещениями х<2), как вынужденные колебания системы с закрепленной
точкой /, вызываемые возмущающими силами (—/пх!1'). При этих коле-
колебаниях в дополнительной опоре в точке / возникает реакция Р(/'.
Итак, при кинематическом возбуждении движение системы может
быть разложено на два: 1) движение (хA>) безмассовой системы; 2) вы-
вынужденное колебание системы с дополнительным закреплением в точ-
точке /, вызванное силами инерции (—тх A)) первого движения.
Рассмотрим два примера расчета колебаний, возбуждаемых кине-
кинематически.
Пример 1. Система на рис. 15.11 состоит из трех грузов одинаковой массы
нц = т% = т3 — т и трех пружин жесткостью с каждая. В начальный мо-
момент система неподвижна и недеформирована. С помощью кулачка грузу т,
сообщается перемещение:
хг = а A — coso^), 0<2«2ic/<o; ^ = 0, t>2r./u>.
Требуется определить закон движения грузов.
Ф „
5)
//\/s' ^
J
Рис. 15.11 Рис. 15.12
Р е ш е н и е. При движении системы как безмассовой
Рассматриваем движение системы с закрепленным грузом шх (рис. 15.12,а)
под действием сил:
Р2 = — тх2 , Я3 = —/п*з ,
0<<<2и/ш, Pi — — 213mn2a cos mi, P3 = — 1/3m«2a cos <»<,
Собственные формы колебаний легко определить, учитывая си?.;метрию сис-
системы (рис. 15.12,6). Соответствующие собственные частоты:
Pi = У elm , р2 = УЗс/ т ,
Находим обобщенные силы, соответствующие главным координатам:
С?1 = Я2 • 1 + Я3 ¦ 1; 0<<<:2я/<о Qx = — т<»~а o.os <»t; t>2~/<-o Q1 = 0;
Q2 = Я2(—1) + Я3 • 1; 0<г<;2тс/о) Q2 = i/3ma>2acos at; t>2r./^ Q., = 0.
Обобщенные массы
W M 12+ Г 2
Уравнения для обобщенных координат
, k=\, 2.
126
127
Так как нам нужно найти решения, удовлетворяющие нулевым начальным
условиям, имеем [см. формулу C.6)]
Як =
M.hPk
При 0 < t < 2л/ш
cos (oS sin pi (t — ft) dS =
ыЧ Г
4рх [
COS[Pi<— (u> + p,) ft] COS [pxt + (m — p,) »] "I/
J
Pi
»] "I/
Jo =
(COSM/ —COS jBj<).
При />2it/m, учитывая, ч-ю при Ь > 2я/ш Q1==0, имеем
f — !>) d» = -^ fcos ro.i
Аналогично, при t <
os wt — cos p.zt),
при / > 2it/d
X,
(X2 = 2rp2,'m).
Пол>!ые перемещения грузов определяются формулами
При 0 < I <
= ~г~ я A — cos mt) -4-
3 2 («•-,?)
— (cos <,,t - cos р^) H
(cos(„/ -
— cos p2<),
^з = —a (I- cos o>/)
3
(cos (
— cos PjO —
(m2 — p'i)
— (COS (,)/ — COS p4) .
1 > .
При t > 2n/o
/., / X, \
•sin—-sin Pit-—\-t-
¦ sin -— sin [Pit - —
-—-smTsin p2<~T
Пример 2. Средняя масса системы
на рис. 15.13 приводится ц движение но
закону х = a cosco/. Определить движе-
движения крайних масс и изгибающий момент
в середине балки при стационарном
режиме движения.
Решение. Определяем закон
движения точек закрепления грузов
при колебаниях безмассовой системы.
По симметрии,
Рис. 15.13
,.A) _ M) _
м = A3/27)
(Значения коэффициентов влияния 6i2, о22 см. па с. 103.)
При этом к середине балки прикладывается сила
Pi = хг/322 = D8EJIP) a cos ьЛ.
Изгибающий момент в середине балки, вызываемый этой силой,
М1 = Р1ЦА = A2EJ/12)
Вычисляем силы инерции, возникающие при движении системы как безмас-
безмассовой:
" С)
Fx = F3 = — mx = 13/27 ffw»2 cosoj<.
Изучаем колебания системы с дополнительным закреплением (рис. 15.14,а),
вызываемые этими силами. Так как система и нагрузка симметричны, возникает
только симметричная форма коле-
¦ч | | бания. Симметричная форма соб-
' * i1 » .? ственпых колебаний показана на
рис. 15.14,6.
^.Принимая смещения грузо s
и = 1, находим соответствующие
амплитудные силы инерции и
строим эпюру изгибающих момен-
моментов (рис. 15. 14,е), для чего при-
приходится . решить статически не-
неопределимую задачу. Приклады-
Прикладываем единичную силу (рис. 15.14,г)
и по правилу Верещагина вычис-
вычисляем прогиб под силой тр2; этот
прогиб приравниваем единице:
\тР
4374
э2/3/(?/)] = 1.
Отсюда находим собственную
частоту системы рис. 15. 14 при
симметричной форме колебания:
Рис. 15.14
р2 = 874,8EJ/(mP).
5—318
129
Главная координата q (в данном случае q = х\2) = хC2), так как их
определяется уравнением
= и3 =
13
27
отсюда
B) B) 13
= xx = x3 = —
pl —
cos
a cos
Следовательно, полные перемещения грузов xi и хз составят
¦ — ,..2
a cos at.
При вычислении изгибающего момента в сечении под средней массой учтем^
что моменты в движении /ив движении 2 имеют разные знаки (рис. 15.14,е),
Следовательно,
М = Мх + М2 =
12?7
acosfw? —
13
27
a cos at ¦ —
27
EJ Г М2 -i
I=—r- a cos о)П 12 — 31,2
1 L ^2—a J
Как видно из приведенного примера, при кинематическом возбуж-
возбуждении резонанс возникает при частоте возбуждения, равной собствен-
собственной частоте системы с дополнительным закреплением. Собственные
частоты свободной системы не являются опасными.
Заметим, что если частота кинематического возбуждения совпадает
с собственной частотой свободной системы, то усилие, необходимое для
возбуждения, уменьшается до нуля (при отсутствии потерь).
При расчете гармонических колебаний, возбуждаемых кинемати-
кинематически, применение метода главных координат отнюдь не является обя-
обязательным. Часто быстрее ведет к цели непосредственное решение.
Так как в этом случае одна из координат (xj) является заданной функци-
функцией времени xj = acosait, то остальные координаты естественно искать
в виде
Если уравнения движения составлены в прямой форме, то для оп-
определения всех А% используют п — 1 уравнение. Уравнение движе-
движения в направлении заданного перемещения X] может быть затем ис-
использовано для вычисления силы, необходимой для движения систе-
системы.
Если уравнения составлены в обратной форме, то решаются все/г
уравнений, но в них кроме (я— 1)-й неизвестной амплитуды At вхо-
входит и неизвестная внешняя сила, приложенная в направлении Xj (эта
сила также пропорциональна costu/).
Рассмотрим в качестве примера непосредственное решение той же-
задачи (см. рис. 15.13), которая выше решалась методом главных ко-
координат.
130
При амплитудных перемещениях (рис. 15.15,а) к грузам прило-
приложены силы инерции, а к грузу т, — также и амплитудное усилие F
привода (рис. 15.15,6). Выражая теперь перемещения через действую-
действующие силы, получаем:
Л, =
/жоЧ3813
jSa, + /жЛ43&23+
А3=А,
-f-
5)
Л3 =
{Значения коэффициентов
влияния см. на с. 103.)
Учитывая симметрию системы, приходим к двум уравнениям с
двумя неизвестными (А1 = Л3 и F):
Ai [/лш2 (8а + 813) — 1 ] + FbiZ = — moJa812,
Л^со2 (821 + 823) -f Fb2i = A — /жо2322) а.
Из этих уравнений определяются амплитуды перемещений и воз-
возмущающей силы F. Затем в соответствии со схемой нагружения на
рис. 15.15,6 можно построить эпюру изгибающих моментов при ампли-
амплитудных перемещениях. Нетрудно убедиться, что получаемые таким
•образом результаты совпадают с результатами расчета методом глав-
главных координат.
$ 16. ВЛИЯНИЕ ТРЕНИЯ НА КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Так же как и для систем с одной степенью свободы, различные по
¦своей физической природе силы трения в большинстве случаев можно
¦без большой погрешности заменять энергетически эквивалентными си-
силами вязкого трения. Поэтому ограничимся рассмотрением вязкого
трения. В случае необходимости учета нелинейного (например, сухого)
трения расчет выполняется численно, как указано.в конце параграфа.
Внешнее и внутреннее вязкое трение. Диссипативная функция
Рэлея. Силы вязкого трения могут быть пропорциональными либо
.абсолютным скоростям движения масс (внешнее трение), либо скорос-
скоростям их относительного перемещения (внутреннее трение). Схемы соот-
соответствующего размещения элементов вязкого трения применительно к
цепной системе показаны на рис. 16.1 и 16.2. В первом случае на мас-
массу mi действует сила трения
131
во втором
*=-2
В общем случае при наличии как внешнего, так и внутреннего трения
силу вязкого трения, соответствующую координате хи можно предста-
представить в виде
п
причем ац = ап .
Удобным является описание вязкого трения с
помощью введенной Рэлеем диссипативной функ-
функции
п п
Тогда сила трения, соответствующая коорди-
координате xi, выражается формулой
Запишем уравнения A0.6) движения системы с
учетом сил трения, определяемыхвыражениемA6.1):
п п
(«= 1,2,... ,п).
Перейдя к матрично-векторной записи, получим
тх+лхЛ-гх = Р. A6.2) ^
Это уравнение отличается от уравнения A2.21)
только наличием произведения матрицы дисси-
пативных коэффициентов с.. _^. , ,
т
т
i
>
>
> —|—
Рис. 16.2
на вектор скоростей х.
Пропорциональное демпфирование. В общем случае вязкого тре-
трения введение главных координат не приводит к независимым диффе-
дифференциальным уравнениям относительно каждой из них. Лишь в случае
так называемого пропорционального демпфирования главные коор-
координаты оказываются не связанными между собой и при наличии тре-
трения. При пропорциональном демпфировании в цепной системе коэффи-
132
циенты внешнего тренпя а, (рис. 16.1) пропорциональны соответству-
соответствующим массам mit а коэффициенты внутреннего трения f\tj (рис. 16.2)
пропорциональны соответствующим жесткостям. В этом случае мат-
матрица диссипативных коэффициентов может быть представлена в виде
суммы двух матриц, одна из которых пропорциональна матрице масс
щ, а другая — матрице жесткости г:
а = 2п„/и + 2Хг A6.3)
(п0 и А, — коэффициенты пропорциональности).
Уравнение движения A6.2) при этом получает форму
т
(х + 2пох
2Хдг) = Р.
Представим физические перемещения в виде разложения по главным
координатам:
Тогда получим
п ¦
/«2Uh \qk+ 2n°qb
k=\
V»h[qk-\-2},qk) = P.
k=i
Умножим это уравнение слева на матрицу-строку и] и учтем, что в со-
соответствии с соотношениями ортогональности A2.35), A2.36) при / Ф
Ф k
а при /= k
u]muh = 0, u]ruk = 0,
almuk = Шк, ulmk = p2fflk.
Таким образом, после умножения на и] в уравнении сохраняются толь-
только те слагаемые, для которых k = I:
qk
(qk + 2lqh) = u\P (k = 1, 2 n).
Учитывая, что uP=
обобщенная сила, соответ-
ствующая k-й собственной форме, приведем полученное уравнение к
виду
+ 2nhqk
= 1, 2, ...,n),
A6.4)
где
nh = nQ-\- %p\.
Следовательно, при пропорциональном демпфировании каждая
из главных координат определяется независимым уравнением A6.4).
Это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение колебании
системы с одной степенью свободы при вязком трении.
133
Из формулы для коэффициента затухания пк следует, что при внеш-
внешнем вязком пропорциональном трении (а = 2п0т) этот коэффициент
для всех главных координат одинаков, а при внутреннем вязком тре-
трении (а = 2лг) коэффициент затухания пропорционален квадрату
собственной частоты.
В первом случае колебания высших форм затухают за то же время
(но за большее число циклов), что и низкочастотные. Во втором случае
высокочастотные колебания затухают существенно быстрее, чем низко-
низкочастотные.
Если условие A6.3) пропорционального демпфирования не выпол-
выполняется, то все уравнения для qk оказываются связанными и переход
к координатам qk вместо xt не упрощает задачи.
Следует, однако, отметить, что в большинстве случаев инженер
не располагает надежной информацией о распределении сил трения в
системе (внутреннее трение в материале, конструкционный гистерезис
см. § 4 ). На основе экспериментов удается оценить лишь интеграль-
интегральные эффекты сил трения (например, логарифмический декремент зату-
затухания или коэффициент поглощения 6). В этих условиях любая ра-
разумная гипотеза о распределении сил трения является одинаково при-
приемлемой. Естественно поэтому для простоты предположить, что силы
трения распределены таким образом, что главные координаты для кон-
консервативной системы являются главными и для системы с трением и
что при вынужденных колебаниях они определяются уравнениями
A6.4).
Коэффициент пк в зависимости от принятой гипотезы о распределе-
распределении сил трения может быть задан в форме
"й = "о + lPk
либо принят тем или иным на основе использования данных экспери-
эксперимента.
Изложенный простой способ учета трения сводит задачу о колеба-
колебаниях системы с п степенями свободы к п задачам о колебаниях систем
с одной степенью свободы при наличии трения. Однако этот метод не
всегда приложим, если в систему специально введены элементы трения
{демпферы колебаний). Большие силы трения, развивающиеся в таких
демпферах при режимах, близких к резонансным, могут заметно иска-
исказить формы колебаний системы. В этих случаях целесообразно про-
проводить точное решение задачи.
Свободные колебания (точное решение). Дифференциальные урав-
уравнения колебаний системы с вязким как внешним, так и внутренним тре-
трением имеют вид*
2а'Л + 2
Здесь ац — коэффициенты вязкого трения.
(!6-5)
ые:
Представим решение системы уравнений A6.5) в комплексной фор-
xt = ы, еы, i
V— 1 •
A6.6)
Здесь и, = «,е ' — комплексные амплитуды; ®=р'+ in' — комплекс-
комплексная частота; «„с?,, р', п'— действительные величины.
Таким образом, принятая форма решения
хг = и/ие (p'+in">' = ufi-4'1 el С (+1гг)
соответствует затухающим по экспоненциальному закону колебани-
колебаниям. Подставив выражение A6.6) в уравнения A6.5) , получим систему
линейных уравнений с комплексными коэффициентами относительно
амплитуд:
Приравняв нулю определитель системы A6.7), получим алгебраи-
алгебраическое уравнение степени In
ф(со) = 0.
Корни этого уравнения Bп корней) определяют комплексные час-
частоты. Имеется п пар корней вида
co±ft= ±Pk+in'k Ф = 1, 2 и).
Каждому корню соответствуют свои соотношения между комплекс-
комплексными амплитудами грузов"п";. В общем случае_эти соотношения комп-
комплексны и, следовательно, при данной частоте &h каждая масса колеб-
колеблется со своей фазой фг. Только при пропорциональномлемпфировании
отношения uikfujk действительны, а форма колебания с частотой coft
со временем не меняется. В этом случае она совпадает с формой коле-
колебаний консервативной системы.
Вынужденные гармонические колебания. Метод комплексных ам-
амплитуд. Пусть на упругую систему действуют гармонические возму-
возмущающие силы частотой со. Уравнения движения можно записать в фор-
форме [см. уравнение A6.5)]
2
A6.8)
7=1
* Далее для обозначения номеров координат использованы индексы /, /;
буква i означает мнимую единицу.
где Pi(t) — возмущающая сила, соответствующая перемещению хг.
Запишем эти силы в виде
р1Ц)=Р1еш. A6.9)
Здесь
134
135
где P°i —амплитуда силы, приложенной к 1-й массе; ср; — ее фаза. Щ
Введение фазовых углов срг имеет смысл только в том случае, ее- , 7
ли имеется разница в фазах сил, приложенных к разным точкам.
Перемещения хь при стационарном режиме также будем искать в
виде
где комплексная амплитуда
х, = и,еш.
и, = и,е
A6.10)
определяет как действительную амплитуду иь так и фазу 6г колеба-
колебаний.
Подставляя значения Pi(t), %\ в уравнение A6.8) , придем к системе
алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Эти урав-
уравнения получаются из исходных дифференциальных путем замены опера-
оператора дифференцирования множителем ш:
Н- ко
^ +
= ?/- (/ = 1 - 2,..., «). A6.11)
Решив эту систему, получим значения ыг (/ = 1, 2, ..., п), т. е. значе-
значения амплитуд и фаз колебаний всех грузов.
Замечание. Может создаться впечатление, что применение
метода комплексных амплитуд неправомерно, так как в этом случае диф-
дифференциальные уравнения A6.5), справедливые для действительных
переменных хь применяются для комплексных xt. В самом деле систе-
система уравнений порядка 2п для комплексных переменных представляет
собой систему порядка 4га для их действительных и мнимых частей.
В данном случае такой прием вполне допустим. Решающим являет-
является то обстоятельство, что коэффициенты уравнения A6.5) действитель-
действительные. Поэтому при всех операциях действительные части остаются дей-
действительными, а мнимые —• мнимыми.
Поэтому при замене х и Р на х и Р уравнение A6.5) полностью
сохраняет свою силу отдельно для действительных, отдельно для мни-
мнимых частей х и Р. Таким образом, если расшифровать записи A6.9) и
A6.10), то можно сказать, что нагрузкам Рг(/) = P;cos(co? + Фг) со-
соответствуют перемещения xt{t) = M;cos(co/ — <!>;)> а нагрузкам Рг(г) =
= P;sin(co/ ~ ф;) — перемещения xi(t) = uisin(cot -- ярг).
Отметим важный частный случай — действие на систему единич-
единичной гармонической силы. Представляя эту силу в форме
Pit) = еш,
обнаружим, что любое комплексное перемещение
— ~ ш
XL = II fi
Таким образом, отношение комплексного перемещения к комплекс-
комплексной силе представляет собой комплексное число, зависящее от со.
Обозначим
xl/P(t) = Fl(m). A6.12)
136
Очевидно, что модуль этого числа |F;(ico)| представляет собой отно-
отношение амплитуды перемещения к амплитуде силы, а аргумент argF(((co)
составляет разницу фаз силы и перемещения.
Функция Fi(idi) называется (комплексной) частотной характерис-
характеристикой системы или комплексной передаточной функцией. Функция
Fi(i(o) определяется решением системы уравнений A6.11) и представ-
представляет собой дробь, знаменатель которой равен определителю системы
A6.11), а числитель — тому же определителю с заменой 1-го столбца
столбцом правых частей, где лишь одна возмущающая сила равна еди-
единице, а остальные — нулю.
Динамический гаситель колебаний с затуханием. В качестве приме-
примера точного решения рассмотрим задачу о динамическом гасителе коле-
колебаний с затуханием. Выше (см. § 15) было установлено, что динамичес-
динамический гаситель колебаний без затухания устраняет колебания основной
системы при частоте настройки. Однако при этом возникают новые ре-
резонансные частоты. Поэтому, если частота
возмущения не является строго определен-
определенной, установка гасителя не достигает цели.
Этого недостатка лишен динамический гаси-
гаситель с затуханием.
Пусть основная система состоит из груза
массой /я 1 и пружины жесткостью с4. На
груз действует гармоническая возмущающая
сила P(t) = Pocosco/. Динамический гаситель
с затуханием представляет собой дополни-
дополнительный груз т2, соединяемый с основным
пружиной жесткостью с2 и демпфером с ко-
коэффициентом вязкого трения а (рис. 16.3).
Целью расчета является выбор оптималь-
оптимальных параметров гасителя.
Приближенное решение этой задачи методом главных координат (в
предположении о пропорциональном демпфировании) привело бы к
выводу, что увеличение коэффициента трения всегда полезно и что при
а -> оо колебания в системе не возникают. Ясно, что на самом деле это
не так. При большом трении грузы т4 и т2 движутся совместно, демп-
демпфер не работает и система имеет неограниченные амплитуды при резо-
резонансной частоте возмущения
A6.13)
т
Рис. 16.3
Л-т.,) .
Для того чтобы получить решение задачи, справедливое при любых
значениях а, следует использовать точный метод. Составим уравнения
движения системы:
т.х.
Л
тгх\ + а ( х
+ с2
4 — х2) = Р @,
— х^ = 0.
A6.14)
Для решения уравнений A6.14) применим метод комплексных амп-
137'
«'итуд. Предположим, что
, xi =
v ,,
Л 2 — II ^y
После подстановки этих значений в уравнения A6.14) приходим к
системе линейных уравнений относительно комплексных амплитуд
и{ и и2:
Отсюда
) + с2
— (с2 -4- atco)
4 — (с2 + осгсо) и2 = Ро,
«2 = 0.
A6.15)
«2 =
А =
— [ (/nt -f- m2)
4с2] со2
Комплексные величины Uj и u2 запишем в форме ut = и^"'*1,
ы2 = и2е~~1'^, где «j и ы2 — действительные амплитуды колебаний
грузов; ip±, яр3 — фазы.
Формулы для амплитуд можно привести к такому виду:
A6.16)
S4
!-f)
Здесь Я0/с = ы0 и введены безразмерные параметры: у ~ и Уmjc —
отношение частоты возбуждения к собственной частоте основной
системы; S = l/"(c2/m2)(/nl/c1) — отношение частоты настройки гаси-
гасителя к собственной частоте основной системы; C = mjtny — отноше-
отношение массы гасителя к массе основной системы.
Интенсивность вязкого трения характеризуется безразмерным па-
параметром
[а = (a/2/n,) Ymjci ¦
Эффективность работы виброгасителя зависит от рационального
выбора параметров |3, б, ц. Этот вопрос детально рассмотрен в книге
[50].
Наибольший интерес представляет исследование зависимости амп-
амплитуды «1 основной массы от параметров системы. Прежде всего рас-
рассмотрим зависимость отношения uJuq от величины вязкого трения ц.
При отсутствии трения ц = 0 получаем
«9
A
(&а — Т2) —
т
Это равенство (с учетом обозначений) совпадает с полученным ра-
ранее для системы без трения. Зависимость uJuq от безразмерной частоты
возбуждения у имеет вид кривых / на рис. 16.4*. Резонансные пики
соответствуют двум собственным частотам системы.
При ^->-оо из формулы A6.16) получаем
Это уравнение резонансной кривой для системы с одной степенью
свободы.
Безразмерная резонансная частота у = V 1/A+ C), откуда а>рез =
= У с J (nil + m2), что соответствует совместному движению грузов
0,6 0,7 0,8 0,9 '1,0 1,1 1,2
mi и тг на пружине с4. Кривая для ц ->оо нанесена на рис. 16.4 штри-
штриховой линией. На рис. 16.4 по уравнению A6.16) построены кривые
для других значений ц. (Расчеты выполнены для случая б = 1, 0 =
= 1/20.)
Все эти кривые пересекаются в двух точках S и Т. Эти точки отве-
отвечают таким значениям у, при которых первые и вторые слагаемые в-
числителе и знаменателе формулы A6.16) пропорциональны:
V2 —S
При этом отношение ujuo не зависит от ц.
Оптимальная работа гасителя при данной его массе т2 достигает-
достигается, если точки S и Т лежат на одной высоте, и коэффициент демпфиро-
демпфирования выбран так, чтобы в одной из этих точек амплитудно-частотная
кривая имела максимум (при этом второй максимум кривой также лишь
весьма незначительно превышает ординаты точек 5, Т).
138
Рисунок заимствован из книги [50].
f
Чтобы выполнить первое из этих условий, необходимо настройку
демпфера выбирать так, чтобы
В =1/A + 13).
При этом ординаты точек S и Т составляют
Определение оптимального значения jj. более сложно. При его вы-
выборе можно руководствоваться рис. 16.5. Здесь по оси абсцисс
и
32
2И
IS
*—
**•
— \-
2
— —
0,32
0,24
0,16
«6 8 10 12 Ш 16 18 Щг
Рис. 16.5
Рис. 16.6
отложено отношение масс т^т2 = 1/C, кривая 2 определяет необхо-
необходимое вязкое сопротивление у., кривая / — максимальное значение
ujuo, а кривая 3 — отношение и/и0, где и — максимальное переме-
перемещение гр уза /п2относительно mi (максимальное растяжение пружины с2).
Данные проведенного анализа могут быть полностью перенесены
и на динамический гаситель крутильных колебаний с вязким тре-
трением (рис. 16.6).
В приведенном расчете окончательные значения амплитуд удалось
представить в формульном виде вследствие простоты рассчитываемой
системы (две степени свободы). При применении точного метода к расче-
расчету систем с вязким трением, имеющих большее число степеней свобо-
свободы, основная трудность заключается в решении уравнений типа A6.15)
с комплексными коэффициентами. Применение вычислительных машин
позволяет реализовать вычислениия и при большом числе степеней
свободы.
Другим способом решения задачи с использованием вычислитель-
вычислительной техники является численное интегрирование дифференциальных
уравнений движения [типа уравнений A6.14)] при произвольных на-
начальных условиях.
Так как в уравнениях учтено демпфирование, свободные колебания
системы, зависящие от начальных условий, через некоторое число цик-
циклов затухают и получаются стационарные решения. Преимуществом
этого метода является возможность учета и невязкого трения (напри-
(например, сухого), а также и других нелинейностей в системе.
Вычисления могут быть реализованы как на цифровых, так и на
аналоговых машинах.
ГЛАВА III
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Общие закономерности упругих колебаний, установленные для сис-
систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и
для систем с распределенной массой. Однако так как системы с распре-
распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бес-
бесконечно и число форм и частот их собственных колебаний. Если все
эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных
колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом,
однако, перемещения отдельных точек представляются уже не конеч-
конечными суммами, а бесконечными рядами вида
k=i
Соответствующие ряды большей частью обладают хорошей сходи-
сходимостью и могут быть успешно использованы для расчетов. Поэтому ос-
основное внимание в настоящей главе уделяется методам определена
форм и частот собственных колебаний стержней. При этом рассматри
ваются в основном сравнительно простые системы, для которых ре
шения могут быть получены элементарными методами.
Методы расчета более сложных стержневых систем рассмотрены i
гл. IV.
В настоящей главе рассмотрены также явления, возникающие :
системах с распределенной массой, которые не имеют аналога в систе
мах с конечным числом степеней свободы. К ним относятся распростра
нение волн деформации и возбуждение стационарных колебаний дви
жущейся нагрузкой.
§ 17. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ,
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
Дифференциальные уравнения движения. Рассматриваемые в это
параграфе различные по своей физической природе явления описывг
ются одним и тем же дифференциальным уравнением, потому один;
ковы и методы их исследования. Приведем краткий вывод основны
уравнений для трех указанных в заголовке параграфа задач.
Продольные колебания стержня постоя?
ного сечения. При выводе уравнения движения основываемо
на гипотезе, плоских сечений. Кроме того, пренебрегаем силами ине]
Чтобы выполнить первое из этих условий, необходимо настройку
дгмпфера выбирать так, чтобы
8=1/A + 13).
При этом ординаты точек S и Т составляют
Определение оптимального значения ц более сложно. При его вы-
выборе можно руководствоваться рис. 16.5. Здесь по оси абсцисс
32
2И
16
U 6
• 1
/
\
^-"
2
-±
S /0 /2
Рис. У6.5
» 16 18 dh
m
Рас. 16.6
отложено отношение масс т^тг = 1/C, кривая 2 определяет необхо-
необходимое вязкое сопротивление ц, кривая / —максимальное значение
ujuo, а кривая 3 — отношение и/и0, где и — максимальное переме-
перемещение груза /^относительно т4 (максимальноерастяжение пружины с2).
Данные проведенного анализа могут быть полностью перенесены
и на динамический гаситель крутильных колебаний с вязким тре-
трением (рис. 16.6).
В приведенном расчете окончательные значения амплитуд удалось
представить в формульном виде вследствие простоты рассчитываемой
системы (две степени свободы). При применении точного метода к расче-
расчету систем с вязким трением, имеющих большее число степеней свобо-
свободы, основная трудность заключается в решении уравнений типа A6.15)
с комплексными коэффициентами. Применение вычислительных машин
позволяет реализовать вычислениия и при большом числе степеней
свободы.
Другим способом решения задачи с использованием вычислитель-
вычислительной техники является численное интегрирование дифференциальных
уравнений движения [типа уравнений A6.14)] при произвольных на-
начальных условиях.
Так как в уравнениях учтено демпфирование, свободные колебания
системы, зависящие от начальных условий, через некоторое число цик-
циклов затухают и получаются стационарные решения. Преимуществом
этого метода является возможность учета и невязкого трения (напри-
(например, сухого), а также и других нелинейностей в системе.
Вычисления могут быть реализованы как на цифровых, так и на
аналоговых машинах.
ГЛАВА III
КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ МАССОЙ
Общие закономерности упругих колебаний, установленные для сис-
систем с конечным числом степеней свободы, остаются справедливыми и
для систем с распределенной массой. Однако так как системы с распре-
распределенной массой обладают бесконечным числом степеней свободы, бес-
бесконечно и число форм и частот их собственных колебаний. Если все
эти формы и частоты определены, то решение задачи о вынужденных
колебаниях может быть получено методом главных координат. При этом,
однако, перемещения отдельных точек представляются уже не конеч-
конечными суммами, а бесконечными рядами вида
Соответствующие ряды большей частью обладают хорошей сходи-
сходимостью и могут быть успешно использованы для расчетов. Поэтому ос-
основное внимание в настоящей главе уделяется методам определения
форм и частот собственных колебаний стержней. При этом рассматри-
рассматриваются в основном сравнительно простые системы, для которых ре-
решения могут быть получены элементарными методами.
Методы расчета более сложных стержневых систем рассмотрены в
гл. IV.
В настоящей главе рассмотрены также явления, возникающие в
системах с распределенной массой, которые не имеют аналога в систе-
системах с конечным числом степеней свободы. К ним относятся распростра-
распространение волн деформации и возбуждение стационарных колебаний дви-
движущейся нагрузкой.
§ 17. ПРОДОЛЬНЫЕ И КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ,
ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУН
Дифференциальные уравнения движения. Рассматриваемые в этом
параграфе различные по своей физической природе явления описыва-
описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, потому одина-
одинаковы и методы их исследования. Приведем краткий вывод основных
уравнений для трех указанных в заголовке параграфа задач.
Продольные колебания стержня постоян-
постоянного сечения. При выводе уравнения движения основываемся
на гипотезе плоских сечений. Кроме того, пренебрегаем силами инер-
141
ции, связанными с поперечными движениями частиц стержня при его
растяжении — сжатии. Тогда положение каждого поперечного сече-
сечения в процессе движения полностью характеризуется его продольным
смещением х, а нормальная сила в сечении N оказывается связанной с
продольной деформацией е = dx/dz законом Гука для одноосного на-
напряженного состояния
N = EFdx/dz, A7Л)
где F — площадь сечения стержня.
Составим уравнение движения элемента dz стержня (рис. 17.1):
modz дН/dt2 = (dN/dz) dz,
N
Рис. 17.1
где т0 — масса единицы длины стержня,
или после подстановки значения N
A7.2)
Для однородного стержня т0 = pF, где р — плотность материа-
материала,
A7.3)
Как видно из вывода, уравнение продольных колебаний A7.2) яв-
является приближенным. Однако его погрешности становятся заметны-
заметными только при исследовании весьма высокочастотных колебаний, ког-
когда длины волн, распространяющихся в стержне, имеют размеры поряд-
порядка размеров поперечного сечения.
Крутильные колебания круглого стержня.
При выводе уравнения движения предположим, что при колебаниях
стержень деформируется так же, как и при статическом кручении: по-
поперечные сечения его остаются плоскими и поворачиваются вокруг оси
стержня, как жесткие диски.
Обозначив угол поворота сечения стержня х, найдем крутящий
момент в сечении:
A7.4)
= GJpdx/dz.
Уравнение движения элемента dz стержня (рис. 17.2) имеет вид
где Эо — момент инерции массы единицы длины стержня.
142
После подстановки значения момента получим уравнение, совпада-
совпадающее по форме с уравнением продольных колебаний:
дъ_ __ 1 JPx _ 0 VGJJ% • A7-5)
dz2 а2л дР т v
Для однородного стержня 90 = pJp и
A7.6)
Заметим, что уравнение A7.5) , выведенное для круглого стержня,
приближенно может быть использовано и для исследования крутиль-
ных колебаний стержней сплошного некруглого сечения. (Конечно, в
этом'случае жесткость на кручение GJ р должна быть заменена величи-
величиной GJh в соответствии с формой поперечного сечения). Приближен-
Приближенность такого подхода'состоит в том, что не учитываются силы инерции,
связанные с депланацией плоскости поперечного сечения стержня.
Для тонкостенных стержней открытого профиля пренебрежение
продольными смещениями недопустимо и к расчету колебаний таких
стержней уравнение A7.5) неприменимо.
Поперечные колебания натянутой струны.
Струну (рис. 17.3,а) считаем абсолютно гибкой, так что в каждом ее
поперечном сечении имеется
только продольная сила.
Предположим также, что по-
поперечные перемещения точек
струны весьма малы и поэто-
поэтому натяжение Тп можно счи-
считать не изменяющимся в про-
процессе движения.
Обозначив поперечные пе-
перемещения х, составим урав-
уравнение движения элемента
струны dz (рис. 17.3,6). К концам этого элемента приложены
продольные усилия Го, составляющие между собой малый угол
dm = dzlR, где R — радиус кривизны изогнутой струны. Проекти-
Проектируя силы на нормаль к элементу и приравнивая их проекцию произве-
произведению его массы на ускорение, находим
m0dzd2x/dt2 = Todz/R.
Здесь m0 — масса единицы длины струны.
143
Полагая в связи с малостью перемещений 1/R = д2х/дг2, приводим
уравнение движения к виду
" х " х —о а = уТ Im A7.7)
Определение частот и форм собственных продольных колебаний
стержней постоянного сечения. Как было показано в предыдущем
параграфе, исследование продольных и крутильных колебаний стерж-
стержня постоянного поперечного сечения и колебаний струны приводит к
одному и тому же дифференциальному уравнению A7.2) в частных про-
производных, так называемому волновому уравнению. Для этих задач
различны лишь смысл перемещения х и числовые значения а. Поэтому
далее рассматриваются решения уравнения только применительно к
продольным колебаниям стержней. Полученные здесь результаты мо-
могут быть полностью приложены к расчету крутильных колебаний и
колебаний струн.
Решение волнового уравнения, соответствующее собственным коле-
колебаниям стержня, может быть представлено в виде
x(z, t) = и (z) cos (pt + <?),
A7.8)
где р — угловая частота колебаний; u(z) — амплитудная функция,
определяющая форму колебания.
Подставив это выражение в уравнение A7.2), получим обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение для амплитудной функции
d2«/dz2 + а2и = 0, а3 = рУа2.
Общее решение уравнения A7.9) имеет вид
с
и (z) =
Амплитудная
A7.9)
A7.10)
функция должна
д-. . I удовлетворять граничным условиям
\pj\f\ 7 z на концах стержня. Эти условия та-
таковы: при заделанных торцах х =
= 0 и, следовательно, и = 0; при
свободных торцах N = 0 и, следова-
следовательно, du/dz = 0.
Если левый торец стержня (z = 0)
упруго закреплен (рис. 17А,а), при-
причем жесткость закрепления с, то N =
= сх, следовательно, EF(duldz) = си.
Если упруго закреплен правый торец
(рис. 17.4,6), граничное условие име-
имеет вид EF(du/dz) = —си.
Рассмотрим случай, когда конец стержня связан с жестким грузом
массой m (рис. 17.5,а). Граничное условие для функции'ы(г) можно"по-
можно"получить, составляя уравнение движения груза т:
т (d2x/dt2) = N = EF (дх/дг)
Рис, 17.4
144
и заменяя в нем х выражением A7.8):
— mp2u = EF (du/dz).
Аналогично, если груз закреплен на правом конце стержня (рис.
17.5,6), имеем
— тр2и = — EF (du/dz).
При любом способе закрепления концов стержня, подставив в гра-
граничные условия общее выражение A7.10) функции u(z), придем к сис-
Рис. 17.5
теме двух линейных алгебраических уравнений относительно С\ и С,.
Равенство нулю определителя системы позволяет найти собственные
частоты стержня. Рассмотрим некоторые примеры.
Стержень, закрепленный по концам. Условия г;@) = 0, иA) =
= 0 приводят к уравнениям
С± = 0; С2 sin X = 0 (а = х1 = plla).
При С2=#=0 необходимо, чтобы sin). — 0. Отсюда ).h =-- kr. (k = 1,
2,3,...).
Частоты собственных колебаний
Ph = \all = k-
=¦ 1,2,3,...)-
Каждой собственной частоте соответствует форма собственных ко-
колебаний (собственная функция)
uk = sin (k-z/l).
(Так как существенна лишь форма зависимости и(г), а не ее масштаб,
принято С2 = 1).
Формы колебаний, соответствующие разным значениям k, показа-
показаны на рис. 17.6.
Стержень со свободными концами. Граничные условия
(du/dz)z=o = 0; (du/dz)z=i = 0 дают C2a = 0; — Ср sin a/ = 0,
откуда a sin л = 0; (X = a/ = pi/a).
145
Это условие удовлетворяется при Хо = 0 и при Xft = Ы. Собствен-
Собственные частоты:
Ро = 0, pk = Xfca// - Ь / ?/(р/2) .
Нулевой частоте соответствует « = const, т. е. движение стержня
как жесткого, а ненулевым частотам —
uk = cos {kr.zlt).
Формы колебаний показаны на рис. 17.7.
И=1
к=2
к=1
к-2
Рис. 17.6
Рис. 17.7
Стержень, заделанный одним концом. Из граничных условий
Wz3> = 0, (du/dz)z==/= 0 следует уравнение частот cosX = 0 (X=pl/a),
откуда
Xfc = (A—1/2)« (&=1,2, 3,...),
uft(z) = sin[(Jfe—1/2) («//)].
/77
Рис. 17.8
Рис. 17.9
Формы колебаний, соответствующие k=\, 2, показаны на
рис. 17.8
Стержень с грузом на конце (рис. 17.9). Граничные услэвия
«г=о=О; EF (du/dz)z=i = mpzuz=i приводят к уравнениям
Cj = 0; EFC2 a cos X = тргСг sin X (X = p//a).
Это уравнение нетрудно привести к виду
x/X, A7.11)
где х = pFl/m — отношение массы стержня к массе груза.
Графическое решение уравнения A7.11) при х = 1/2 представлено
на рис. 17.10.
Если масса стержня мала по сравнению с массой груза, то приближеннее
решение можно получить, раскладывая tgJv в ряд:
и удерживая только первые чле-
члены ряда.
С учетом одного члена имеем
X = УЧ..
Учитывая два члена, находим
Л ^
и приближен-
ное значение частоты
A7.12)
Формы собственных колеба-
колебаний определяются равенством
Рис. 17.10
«ft = sin (Xft2/Z).
A7.13)
Легко проверить, что во всех рассмотренных выше случаях собст-
собственные функции удоЕлетЕоряют условиям ортогональности
J ukurdm = 0 (k-фг).
['A7.14)
Для стержней без присоединенных масс выполнение этого соотно-
соотношения очевидно. Для стержня с массой на кснце получаем
Г uhurdm = Г sin (Xhz//) sin (X,z//) mcdz -f m sin Xk sin Xr
m 0
Вычисляя это выражение, в первом слагаемом которого учтена рас-
распределенная, а во втором — сосредоточенная масса, находим
т
¦ 1 • 1 Г Хь cte Хь — X, cieX.
= т sin Хь sin Xr х ——?— Т 8 т +
В соответствии с уравнением A7.11) ctg Xft = Xft/x; ctg Xf = \/%,
откуда ясно, что соотношение ортогональности A7.14) выполняется.
Колебания ступенчатого стержня. Для стержня, состоящего из
нескольких участков различного сечения, можно составить выражения
A7.10) амплитудной функции на Каждом участке. Эти выражения со-
содержат 2k постоянных Си, Ci2 (k — число участков). Имеется также
2k граничных условий, выражающих 2k — 2 условия сопряжения
участков и два условия закрепления концов стержня. Граничные усло-
146
147
вия приводят к системе 2k линейных однородных уравнений относи-
относительно Сц, Сi2. Приравнивая нулю определитель этих уравнений, по-
получают частотное уравнение.
В качестве примера составим уравнение частот для стержня, сос-
состоящего из двух участков разного сечения (рис. 7.11). Запишем выра-
выражения амплитудной функции на каждом из участков:
ui = Cu cos otZj -j- C12 sin azlt
u2 = C.2l cos <xza -+- C22 sin az2.
(Значение a = pVqlE оди-
одинаково для обоих участков в
связи с тем, что материал их
одинаков.)
Для определения постоян-
постоянных С имеем следующие гра-
граничные условия:
1) (dMj/dz^z^o = "
B)г=0) 4) Е1
.,
Рис. 17.11
2) («2k=/2 = 0, 3) («()*,=/, = (J^
= EF2 (d«2/dz2)z,=o ¦
Равенства 1 и 2 выражают условия закрепления концов стержня,
равенства 3 и 4 — условия сопряжения участков (одинаковость пере-
перемещений и продольных сил в точке сопряжения).
Из граничных условий находим:
С12 = 0, C21cosX2 + C22sinX2 = 0,
Си cos Xj -j- С12 sin Xj = C21,
EF^—аСибтл,^- aCl2cos/1) = EFtiC.i2,
(Xj = a/t; X2 = a/2).
Равенство нулю определителя этих уравнений приводит к выраже-
выражению
0
cosXj
cosX2 sinX2
— 1 0
0 — F2
= 0,
или
2 cos Xt cos X, — Fi sin Xj sin A-2 = 0.
Обозначив a/ = pi!a — X, представим полученное уравнение в
форме
Это трансцендентное уравнение легко в каждом частном случае ре-
решить одним из известных методов приближенного решения уравнений
— итерацией, методом линейных приближений или графически, по-
подобно тому, как с помощью рис. 17.10 решалось уравнение A7.11).
Изложенный выше способ решения, заключающийся в развертыва-
148
нии частотного уравнения и последующем его численном решении,
при большом числе участков становится весьма громоздким. В этом
случае для расчета целесообразно использовать численный вариант
метода начальных параметров, изложенный в гл. IV.
§ 18. ИЗГИБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ
Дифференциальное уравнение движения и его общее решение.
Примем справедливость гипотезы Бернулли и пренебрежем силами
инерции частиц стержня в
их движении вдоль оси (в
связи с поворотом попе-
поперечных сечений). - . .—('>— -- Ш— z
Тогда дифференциаль-
дифференциальное уравнение свободного
движения можно получить,
заменяя интенсивность на-
нагрузки q в уравнении
статического изгиба (рис.
18.1)
Рис. 18.1
дгг )
интенсивностью сил инерции—mo(d2x/dt"):
д2
*'?) + ¦
of-
= 0.
A8.1)
Здесь x(z, t) — поперечное перемещение; EJ — жесткость при из-
изгибе в плоскости колебаний; та — масса единицы длины стержня.
Соответствующее собственным колебаниям решение уравнения
движения A8.1) представляем в форме
х(г, t) = u(z)cos{pt-\-®),
A8.2)
где u(z) — амплитудная функция; р — угловая частота колебаний.
Подставляя выражение A8.2) в уравнение A8.1), получаем обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение
d2
dz2
EJ — т0р2и = 0.
dz2 /
A8.3)
Для балки постоянного сечения EJ можно вынести за знак диффе-
дифференцирования.
Тогда уравнение A8.3) получает вид
dVdz4 — о.Ч = 0 [a4 = p*mJ(EJ)}.
A8.4)
Корни характеристического уравнения, соответствующего уравне-
уравнению A8.4), равны +а и +aV—1. В соответствии с этим решения
однородного уравнения A8.4) выражаются через тригонометрические и
149
показательные функции аргумента аг. Значительное удобство, однако,
представляет использование введенных А. Н. Крыловым комбинаций
этих функций. Обозначая функции Крылова символами Ци К2, К.г, Ki,
можем представить решение уравнения A8.4) в форме
Таблица 18.1
A8.5)
A8.6)
и = С,К, (аг) + С2К2 (аг) + С3К3 (аг) + С4/С4 (аг).
Здесь Си ..., С4— постоянные;
К, (аг) = У2 (ch аг + cos аг);
К2 (az) = У2 (sh аг + sin аг);
К3 (аг) = V2 (ch аг — cos аг);
К^ (аг) = V2 (sh аг — sin аг).
Заметим, что в литературе* функции Крылова часто обозначаются
символами S, T, U, V, однако введенные здесь обозначения представ-
представляют определенное удобство.
Последовательные производные функции Крылова связаны зависи-
зависимостями
i (аг) = «/С4 (аг); А К, (аг) = <*/(, (аг);
j- К3 (аг) = *К2 (аг); Л- Kt (аг) = «tf3 (аг).
A8.7)
Таким образом, при каждом дифференцировании номер функции
понижается на единицу.
При аргументе, равном нулю, ^(О) = 1 , а все остальные функции
равны нулю.
Указанные выше свойства функций Крылова существенно упроща-
упрощают выполнение граничных условий для балок. Так, можно установить,
что постоянные Сь ..., С4 в выражении A8.5) связаны с амплитудными
значениями прогиба и, угла поворота du/dz, изгибающего момента М =
=^ ?7(d2u/dz2) и поперечной силы Q = ?7(d3u/dz3) в начальном сече-
сечении (г = 0) равенствами
-) с = ' м ¦ С — ' о
, dz /z=o' EJa2 z~ ' EJa3 z~
A8.8)
На каждом конце балки имеются два граничных условия, завися-
зависящие от способа закрепления.
Некоторые возможные варианты граничных условий приведены в
табл. 18.1. Следует обратить внимание на то, что при упругих опорах
* Таблицы функций Крылова приведены в кн.: А н а н ь е в И. В., Егор-
ш е в а Н. И. Табулированные значения комбинаций круговых и гиперболи-
гиперболических функций. М., Машиностроение, 1974, а также в работе [1].
1Е0
Упругая в отношении
поперечных смещений и
поворотов опора (с1г с2 —
коэффициенты жесткости)
Конец балки связан с
жестким грузом. Масса
груза т, момент инер-
инерции / массы относительно
центральной оси, перпен-
перпендикулярной плоскости
чертежа
II
-¦-Z
= 0; = 0
¦ dz3
mp2u — EJ
2 d"
17 = -
;
dz3
dM d%
/pa — = EJ
dz dz2
и прикреплении жесткого груза знаки в граничных условиях зависят
от того, совпадает ли внешняя нормаль к сечению с осью г или их
направления противоположны.
При любом способе закрепления концов граничные условия приво-
приводят к системе четырех линейных однородных алгебраических уравне-
уравнений относительно констант Cit ..., С4. Частоты собственных колебаний
определяются из условия равенства нулю определителя этих уравне-
уравнений.
Рассмотрим некоторые примеры определения частот однопролетных
балок.
151
Балка, шарнирно опертая по концам (рис. 18.2,а). Расположим
начало координат на левом конце балки. Тогда имеют место следующие
граничные условия:
«г=0 — U, | = U,
\ с1г2 ;г=о
Из условий на левом конце [г
а).
I
6)
Ф
. dZ2 jz=l
0) вытекает, что постоянные С4 и
С3 в формуле A8.5) равны нулю.
Тогда форма колебаний опреде-
определяется зависимостью
Г4(а2). A8.9)
: / приводят
Условия при z
к равенствам
A8.10)
рис182 -2^4 VV i -4.v2W-« у.-~Ч.
При7 дифференцировании ис-
используются соотношения A8.7).
Приравнивая нулю определитель системы A8.10), приходим к частот-
частотному уравнению
KlQ.)- Я?(л)=0.
Подставляя сюда выражения функций /B, /С4, получаем
shXsinX = 0.
Так как sh X Ф 0, то sin X = 0 и
Отсюда частоты собственных колебаний
EJ
= k- (k= 1,2, 3,.. .).
¦=1,2,3,...). A8.11)
Таким образом, имеется бесчисленное множество форм собственных
колебаний, частоты которых пропорциональны квадратам натурально-
натурального ряда чисел.
Определим вид упругой линии при этих колебаниях. Из первого
уравнения A8.10)
С4 — —
К4 (А)
Но так как lk — k~, то K2Q-k) = KiQk) = ""/г sh/ft и, значит Ск =
= —С2. Следовательно,
и (г) = С2/Са (az) + C4/C4 («z) = Ca [/С2 (аг) — Д'4 М] = С2 sin аг.
Наконец, полагая С2= 1 и учитывая, что afe = Xft// = kv.ll, по-
получаем, что fe-я форма собственных колебаний представляет собой1
синусоиду с k полуволнами (рис. 18.2, б, в):
uh = sin(kv.z/l).
152
Консольная балка (рис. 18.3). Граничные условия таковы:
«-о = О, Ж =0, (^L) =0, №) =0.
Из условий при 2 = 0 устанавливаем, что равны нулю постоян-
постоянные Cj и С2, а условия при z=l приводят к уравнениям
= 0 (л =
Рис. 18.3
Частотное уравнение
с. /S.4
можно привести к виду
cosX = — 1/chX.
Графическое решгние этого уравнения показано на рис. 18.4. Корни
уравнения Х4 — 1,875; },2 = 4,694, при k > 2
2fe— I
'* = -г -
Частоты колебаний определяются по формуле
Рк = )
Амплитудные функции определяются уравнением
nh (z) = К2 Q-u) Кз Q-kZ/l) - К, (>•*) К, Q~kz/l).
A8.12)
В табл. 18.2 приведены формы колебаний и их частоты еще для трех
видов закрепления концов однопролетных балок.
4 Заметим, что балка с незакрепленными концами кроме частот соб-
собственных колебаний*, приведенных в табл. 18.2, имеет также две ну-
нулевые частоты, соответствующие поступательному и вращательному
движениям балки как жесткого тела.
* Эти частоты совпадают с собственными частотами балки, концы которой
заделаны.
153
Таблиц а 18.2
M
6
Расчет балок с несколькими участками. Для расчета колебаний
балки постоянного сечения с несколькими участками удобно исполь-
зоеэть метод А. Н. Крылова, позво-
позволяющий автоматически еыполнять
условия сопряжения участков.
3—z Рассмотрим балку (рис. 18.5), со
вершающую гармонические колебания
по закону
х (г, t) — и (z) cos (<о/ -f <р).
Пусть в сечении z = а к балке
приложены сила и момент, также ме-
меняющиеся по гармоническому закону:
P = P0cosK+cp), M = M0cos(co/+?).
Сечение z = а делит балку на два участка — левый (г <; а и
правый (z > о). На этих участках функция и(г) выражается разными
формулами: u_(z) и и+(г).
Рис. 18.5
154
В сечении z — а эти значения функции должны удовлетворять ус-
условиям сопряжения
и+ (а) = «_(а), и'+ (а) = и'_(а),
и+ (а) = и'_(а) + M0/(EJ), ' и" (а) = и'" (а) + PJ(EJ).
A8.13)
(Штрихами обозначены производные.)
Все эти условия удовлетворяются, если принять при общем для
обоих участков начале отсчета, что
м Aa(z_a)]. A8.14)
э-z
Выполнение условий A8.13) легко проверить, воспользовавшись
правилами дифференцирования A8.7) функций Крылова и учитывая,
что Ki@) = 1, а /B@) = /Сз@) =
= КМ = 0.
В качестве примера рассмотрим
определение частоты собственных ко-
колебаний балки с опорой, располо-
расположенной в пролете (рис. 18.6).
Так как левый конец балки оперт,
то в выражении u(z) для левого
участка {г < а) С\ = С3 = 0 и
b .
I
Puc. 18.6
В сечении г = а приложена опорная реакция, которая при свобод-
свободных колебаниях меняется, конечно, по гармоническому закону. По-
Поэтому в соответствии с формулой A8.14) для правого участка (z > a)
имеем
«+ (г) = С2/Са (аг) + С4/С4
— а)],
где Я = R/(a3EJ), причем R — амплитудное значение реакции.
Для определения трех констант С2, С4, Я имеются три граничных
условия —¦ равенство нулю прогиба на опоре (z = а) и равенства ну-
нулю момента и поперечной силы в сечении z = /.
Таким образом, получаем такие уравнения:
С2К2 (<ш) + CkKi М = 0,
Са/С4 (я0 + С,К, (а/) + Я^2 (аб) = 0,
С2К3 И + С4Я, (а/) - Я/С4 (об) = 0 (b=l—a).
Уравнение частот имеет вид
! К2 Q-all) К4 (ш/l) 0
К3('~)
= 0.
A8.15)
155
Решение уравнения A8.15) и ему подобных удобно проводить под-
подбором* .
Задавшись величиной A = Ai, вычисляют Л(Х). Затем повторяют вы-
вычисления при новом значении >, — }.2. Следующее приближение выби-
выбирают, пользуясь линейной|интерполяцией:
, _ Х1А(Х2)_>.2А(Х1)
- А (к)
A8.16)
Вычисление проводят до тех пор, пока разница между двумя после-
последовательными приближениями не будет достаточно малой.
Если требуется найти несколько частот собственных колебаний,
то целесообразно построить график зависимости А(К) и определить точ-
точки его пересечения с осью абсцисс.
Проведем определение низшей частоты колебаний балки (рис. 18.6) для слу-
случая а = b = 1/2. Уравнение A8.15) получает вид
Д(Х)=
К3 (X) Кг (X)
О
/С2(Х/2)
Ki. (A/2)
= 0.
A8.15а)
При выборе значения X для первого приближения учтем, что если опоры рас-
расположены по концам балки (а = /), то X = тс; если обе опоры расположены у
левого конца (а = 0), то балка превращается в консольную и X = 1,875.В на-
нашем случае, очевидно, X будетиметь промежуточное значение. Принимаем /.i =
= 2,5. По таблицам находим:
Кг B,5) =2,66557, К2 B,5) = 3,32433,
Л:3B,5) =3,96671, /С4 B,5) =2,72586;
Кг A.25) = 1,Ю187, АГ2A,25) = 1,27545,
Ki A,25) = 0,32647.
Подставляем эти данные в уравнение A8.15а) и вычисляем определитель:
АB,5) = 0,7383.
Теперь примем Я2 = 3,0. Повторяя вычисления, находим
ДC,0) = 0,0332.
Следующее приближение принимаем по формуле A8.16):
3 ¦ 0,7383 — 2,5 ¦ 0,0332
Л о ^= ¦""¦-"——^^————————————— ^rz о ,\J,,
0,7383 — 0,0332
Снова вычисляем определитель:
АC,02) = —0,0276.
Таким образом, низший корень уравнения A8.15а) заключен между X =
= 3,0 и X = 3,02. По формуле A8. 16) определяем
А =
3,0 (— 0,0276) — 3,02 ¦ 0,0332
— 0,0276 — 0,0332
= 3 011.
* При расчете на ЦВМ используются стандартные программы решения
трансцендентных уравнений.
156
Полученное таким образом значение ?. можно считать достаточно точным.
Следовательно, низшая частота колебаний балки составляет
= 9,066 /?J/(m0/4) .
р = Г- У EJ!(,
Используя формулу A8.14), легко составить единое выражение-
функции u(z), например для балки постоянного сечения с закреплен-
закрепленным на ней жестким грузом (рис.
18.7). Для левого участка (г < а)
имеем
и_ (г) = Сг/С2 (аг) + С4/С4 (аг).
[Постоянные Сг и С3 в общем выраже-
выражении A8.5) обращаются в нуль в свя-
связи с шарнирным закреплением кон-
конца балки z = 0.] В точке г = а к
балке приложены сила инерции гру-
груза и момент сил его инерции.
Амплитудные значения силы и момента составляют:
Ро = тр2и (а); Мо = — 1р2и' (а).
Знак минус в формуле для Мо связан с тем, что при положительном
значении и' инерционный момент направлен против положительного
направления, принятого на рис. 18.5.
В соответствии с формулой A8.14) получаем при zy-a
Рис. 18,7
u+(z) =
(м) -
W (а) К3 [а(г-а)] +
u(a)Kk[*{z — a)].
Здесь
и (а) = С2/С2 (аа) + С4/D (аа),
и' (а) = aC2/Ci («а) + аС4/С3 (аа).
Таким образом, на правом участке амплитудные прогибы выража-
выражаются через те же постоянные С2, С4, что и на левом.
Граничные условия на правом конце и+ (/) = 0, и (/) = 0 с приво-
приводят к двум уравнениям относительно Ct и С2:
aEJ
(а/)
(«О
К,{о.а)К3{аЬ) +
К3
>К4И)| +
= 0,
aEJ
а?7
з (aa) Ki (a b) — -—^— Д (aa) K-2 (*b) \ = 0.
157
Собственные частоты балки определяются из условия равенства
нулю определителя этих уравнений. Так как искомая частота р входит
в уравнения как в явной форме, так и в выражении коэффициента а,
целесообразно заменить р2 на akEJlm0 и ввести обозначения для без-
безразмерных величин:
//(/п0/3) = &, т/(то1) = (х, X = а.1.
Тогда уравнение частот можно привести к следующему виду:
АВ — CD = 0,
Решить это трансцендентное уравнение можно подбором, так же как
и в предыдущем примере.
Использованный в приведенных примерах метод начальных пара-
параметров, приводящий к трансцендентному частотному уравнению, це-
Рис. 18.8
лесообразно применять только при небольшом числе участков. В более
сложных случаях вычисления, связанные с получением трансцендент-
трансцендентного уравнения и его численным решением, становятся слишком гро-
громоздкими. В этих случаях рационально применять либо метод началь-
начальных параметров в численном варианте, либо другие численные методы
расчета, рассмотренные в гл. IV.
Влияние продольных сил на частоту изгибных колебаний. Про-
Продольные силы, нагружающие колеблющуюся балку, изменяют частоту
ее собственных колебаний. При растяжении собственная частота повы-
повышается, при сжатии — понижается.
Выведем дифференциальное уравнение движения растянутой балки
постоянного сечения (рис. 18.8). Приравняв сумму проекций на верти-
158
A
В
С
D
= К
= к
= /с
2(X)-W
2 (X) — »Х
4 (X) — ах
4 (X) — 0X3
Ki (Ха/0 ^з
3/С3М0А"
з/с3 мо #з
/dMO^Ci
(/.&//) + и
(/.6/0 + j,
(Хб/о + м
(Х6//) + (А
Х/С2 (Ха/0 ^4
iX/C4(Xa/O/C2
Х/С4 (Ха/0 А
Х/С2 (Ха/0 /С2
(Х6/0,
(Х6/0,
(Х6/0,
AЫ1).
каль всех сил, приложенных к элементу dz балки, произведению массы
modz этого элемента на его ускорение дгх/д1г, получим
или
dz
dz 6
dz"-
dz = т0 ',
д2х
С другой стороны, используя уравнение моментов, получаем
дМ/dz = Q.
Как известно, изгибающий момент М и приближенное значение
кривизны дгх/дг2 связаны зависимостью
EJdHldz2 = М.
Исключив из полученных уравнений М и Q, найдем следующее
уравнение движения:
д*х Р_ _д^х_ _т^ &hc_ _
Ite* EJ dz* EJ dt* ~
A8.17)
Отыскивая соответствующее гармоническим колебаниям решение
уравнения A8.17) в форме
х = u(z)cos(pt + ?).
получаем для амплитудной функции u(z) обыкновенное дифференци-
дифференциальное уравнение
Iv P „ Р2т,
и .. и —-
l EJ EJ
A8.18)
где штрихами обозначено дифференцирование по z.
Нетрудно написать общее решение уравнения A8.18), включающее
четыре произвольные постоянные. Граничные условия доставляют
уравнения для определения постоянных, а равенство нулю определи-
определителя этих уравнений представляет собой уравнение частот. Ограни-
Ограничимся только случаем балки, шарнирно опертой [по концам (рис. 18.8).
В этом случае уравнение A8.18) можно выполнить, если принять для
амплитудной функции выражение
u = sin(fo:z/0 (?=1,2,3,...), A8.19)
которое удовлетворяет также граничным условиям.
^Подставляя это выражение в уравнение A8.18), получаем
/г4я« Р fe27t2 р*та _ „
—и . ¦ ¦ ¦ — — и,
И I1 EJ I2 EJ
откуда угловая частота собственных колебаний, соответствующая
k-й форме,
159
Низшая частота соответствует изгибу балки по одной полуволне
синусоиды (k = 1)
р = ~2 УШТШТ VT^TTPT, A8.20)
где P3=TiiEJ Г- — критическая сжимающая сила для балки, соответ-
соответствующая продольному изгибу ее в плоскости колебания.
Сопоставляя формулы A8.20) и A8.11), видим, что влияние растя-
растягивающей силы отражается дополнительным множителем j/l + Р/Рэ.
Если продольная сила Р — сжимающая, то ее вносят в формулу
A8.20) со знаком минус.
Можно показать (см. [40]), что если на балке имеются присоединен-
присоединенные грузы, то частота ее колебаний также может приближенно опре-
определяться по формулам:
при растяжении
при сжатии
где ро —¦ частота, вычисленная без учета продольных сил.
При достижении продольной сжимающей силой критического зна-
значения балка перестает сопротивляться действию поперечной нагрузки,
и частота изгибных колебаний ее обращается в нуль.
Влияние сдвигов и инерции осевого движения элементов балки.
Рассмотренная выше техническая теория колебаний изгиба, базирую-
базирующаяся на гипотезе Бернулли и игнорирующая инерцию продольного
движения частиц балки, имеет ограниченные пределы применения.
При высокочастотных колебаниях, когда длина волны изгиба не очень
велика по сравнению с размерами поперечного сечения, погрешности
технической теории могут быть большими. Они также существенны для
конструкций, выполненных из слоистых материалов, оказывающих
малое сопротивление сдвигу.
Пределы применимости технической теории можно существенно
расширить, если усовершенствовать расчетную схему балки и пред-
предположить, что сечения ее, бывшие до деформации нормальными к оси
балки, остаются при деформации плоскими, но перестают быть перпен-
перпендикулярными изогнутой оси балки. При этом угол между нормалью
к изогнутой оси балки и плоскостью сечения (угол сдвига) считается
пропорциональным поперечной силе*. Такая расчетная схема балки
получила в литературе название балки Тимошенко.
Выведем уравнения движения балки Тимошенко. Для этой балки
положение каждого сечения в процессе движения определяется двумя
координатами — поперечным смещением х центра тяжести и поворо-
поворотом плоскости сечения0 (рис. 18.9). Внухренние силовые факторы М,
* Несколько иные гипотезы, приводящие, однако, к тем же окончательным
результатам, приняты в книге [40]. "
160
М = EJ ,
дг
Q = ^[b-
A8.21)
Q в сечении связаны с перемещениями зависимостями
дх\
Здесь (¦& — дх/дг) — угол сдвига, а — коэффициент, учитывающий
неравномерность распределения касательных напряжений по сечению
и зависящий от его формы. Для прямоугольного сечения а = 1,2.
Составим уравнения движения элемента dz стержня (рис. 18.10).
б4
dz
Рис. 18.9
Рис. 18.10
Приравнивая нулю сумму проекций на вертикаль приложенных к эле-
менту сил (включая силу инерции — pfdz^p-), получаем
^dz
дг
Сумма приложенных к элементу моментов (включая момент сил
инерции при повороте элемента)
Заменим в полученных уравнениях поперечную силу и изгибающий
момент их значениями по формулам A8.21). Тогда, производя простые
преобразования, получаем следующую систему уравнений:
д2х _ _ор_ дЧ_ _ дЬ_
дг2 G dt2 dz '
A8.22)
dt2
GF
aEJ
дх
дг
dz* E
Общее решение уравнений A8.22) является довольно громоздким.
Ограничимся поэтому исследованием колебаний балки Тимошенко,
шарнирно закрепленной на концах. Граничные условия для этого слу-
случая будут выполнены, если принять:
х = A sin {kuz/l) cos (pt -f ш),
A8.23)
& = В cos (къгИ) cos (pt + <f).
G-31S
16 1
Подставив выражения A8.23) в уравнения A8.22) и сократив общие
множители, получим:
A (—kW/P + p2ap/G)+ ВЫ I = О,
A (k-/l) GF/(aEJ) + В {— kW/P + p2p/E—GF/{aEJ)] = 0. A8.24)
Эта система может иметь отличные от нуля решения только в том
случае, если ее определитель равен нулю. Таким образом, получаем
следующее уравнение частот:
kr.
I
GF
a.EJ
GF
= 0. A8.25)
г-
Введем обозначения: IS. = lV Fl J —гибкость балки: р0 = ^2 X
X У EJ/(pFP)—частота основного тона колебаний, вычисленная
без учета сдвигов и инерции вращения; р2 = G/(aE), с учетом кото-
которых уравнение A8.25) примет вид
р0)
= о.
Решая это уравнение, получаем две частоты pkl и pk2, соответству-
соответствующие одному и тому же числу полуволн упругой линии
Рис. 18.11
A8.26)
Низшая из этих частот соответствует такой форме колебаний, при
которой поперечные сечения поворачиваются в ту же сторону, что и
касательные к изогнутой оси
(рис. 18.11,а). Высшая часто-
а' s' та соответствует повороту се-
сечений и касательных к изог-
изогнутой оси в противоположные
стороны (рис. 18.11,6).
Рассмотрим в качестве
примера колебания балки
прямоугольного сечения с отношением длины к высоте поперечного
сечения IIh = 10. В этом случае
Д = / УТТТ = /12/2М2 = 34,6.
Принимая E/G = 2A-)-jj.) = 2,6, a = 1, 2, получаем
Р2 = G/(aE) = 0,32.
Используя эти данные, можно по формуле A8.26) вычислить час-
частоты phl и pk2, соответствующие различному числу полуволн k.
162
Полученные таким способом отношения (pki/po) и (pki/p0) приве-
приведены ниже:
k 1 2 3 4 5
Ры/Рц 0,98 3,74 7,92 13,08 18,77
pkjpo 70,0 73,6 78,2 84,0 91,6
Приведенные числа показывают, что частота pki всегда оказывается
ниже, чем частота, вычисленная без учета сдвигов (напомним, что тео-
теория, не учитывающая сдвигов, дает для частоты колебания, имеющего
k полуволн, значение pk = k2p0). Снижение частоты собственных коле-
колебаний за счет влияния сдвигов тем больше, чем короче волны изгиба.
Для основного тона колебания снижения составляет всего около 2%,
в то время как для пятой гармоники, для которой длина полуволны
равна удвоенной высоте сечения, это снижение составляет уже
[B5 — 18,77)/25] 100 = 25 %.
Частота колебаний второго типа pk2 оказывается очень высокой и
только для весьма коротких волн сравнимой с частотой колебаний пер-
первого типа.
§ 19. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ
Если частоты и формы нормальных колебаний системы с распреде-
распределенной массой определены, то расчет вынужденных колебаний может
быть произведен по методу, изложенному в § 15 предыдущей главы.
Полученное таким образом решение представляет собой разложение
вынужденного движения по собственным функциям системы и выража-
выражается бесконечным рядом. Преимуществом указанного метода является
его общность; однако в ряде случаев более удобными являются другие
методы, позволяющие получить решение в замкнутой форме. Так,
например, при расчете продольных колебаний, если действие возму-
возмущающих сил является кратковременным, значительное преимущество
имеют методы разрывных функций и характеристик, подробно рассмот-
рассмотренные в § 22.
При расчете стационарных колебаний, вызванных гармоническим
возбуждением, наиболее целесообразно записывать решение в виде
гармонической функции времени
того же периода, что и возмущаю-
возмущающая сила. Такой прием позволяет
получить результат в замкнутой
форме.
Для сравнения двух способов
расчета рассмотрим пример. К сред-
средней точке балки, лежащей на двух
опорах (рис. 19.1), приложена возмущающая сила
P(t) = P0 cos at.
Сначала применим метод главных координат, изложенный в § 15.
6* 163
Рис. 19.1
Согласно этому методу [см. формулу A5.1)], смещение любой точки бал-
балки может быть представлено в виде
оо
k=l
где uk(z) — прогиб при k-м нормальном колебании (амплитудная
функция); qh(t) — функция времени (главная координата), определяе-
2
мая из уравнения A5.4): qk -4- phqh ¦-- Qk (t)/Wlk.
Здесь pk — k-я собственная частота, Qk — обобщенная сила, рав-
равная сумме произведений возмущающих сил на перемещения точек их
приложения при k-м нормальном колебании, Шк — обобщенная мас-
масса.
Для балки постоянного сечения на двух опорах (см. § 18) упругая
линия при k-ы колебании представляет собой синусоиду с k полуволна-
полуволнами:
uh = sin (kr.z/l),
а частоты собственных колебаний определяются формулой
Pk==^ Pii
где Pl = ^
Таким образом,
= Г u2modz = т0 f sin2 (kr.zll) dz = l/2m0/,
Qk = P (t) uh A/2) = Po cos at sin (Ы2).
Уравнение, определяющее функции qk(t), принимает форму
i 2Pn sin (feic/2) ,
\qh= -Л~^1—cos at •
Стационарное решение этого уравнения имеет вид
Следовательно, смещения в любом сечении балки при вынужденных
колебаниях определяются формулой
k=\
JEl
cos со/
sin (k,z/l).
В этом выражении присутствуют только слагаемые, соответствую-
соответствующие симметричным формам колебаний балки (т. е. нечетным к). Про-
164
гибы обращаются в бесконечность, если частота возмущения и совпада-
совпадает с одной из частот собственных симметричных колебаний балки.
Полученный ряд'для прогибов сходится очень быстро и удобен для вы-
вычислений. Так, например, прогиб в средней точке балки (z = 1/2)
Хг—1,'2 =
тЛ
cos и/
Вычислим сумму ряда при частоте возмущения в два раза меньшей,
чем низшая частота собственных колебаний балки:
то1р]
cos at
8
COS at I \-
\ 3 323
•=1, 3, 5, ...
1
4/г4— 1
я* EJ \ 3 323 2499
Вполне достаточную точность дает учет одного только первого чле-
члена ряда.
Сходимость ряда для изгибающих моментов
cos со,' "V ¦
к=\
(kr./2)
sin (kr.z/l)
оказывается более медленной. При w = pj2 для вычисления изгиба-
изгибающего момента в среднем сечении балки с достаточной точностью необ-
необходимо учитывать три—пять членов ряда.
Теперь рассмотрим второй метод решения задачи. Решение уравне-
уравнения A8.1) колебаний балки
EJ
дг*
= 0,
где EJ = const записываем в форме, соответствующей характеру из-
изменения возмущающей силы:
x(z, t) = и {z) cos at.
При этом для функции u(z) получается уравнение
dz4
тождественное уравнению A8.4) при значении а4 = a2m0/(EJ).
Решение этого уравнения на участках балки, свободных от нагруз-
нагрузки, можно представить в виде зависимости A8.5), причем постоянные
интегрирования определяются из граничных условий.
В данном случае вследствие симметрии достаточно рассмотреть
левую половину балки. Имеем следующие граничные условия:
= 0; и =
dz
dz2
—
dz3
A9.1)
2EJ
165
Последнее из записанных условий означает, что слева от точки при-
приложения силы P(t) амплитуда поперечной силы равна PJ2.
Условия A9.1) позволяют определить постоянные в общем выраже-
выражении A8.5) функции u(z):
Имеем:
Отсюда
С2 =
1И (Z) =
4- С.2К-г («) +
Cf — С/3 — О, о 2& А 1 (Д)
зл:3 (X) 4- c^Ki (X) = —
*s(X) ~ .
(az) 4- С4/D (az).
:/С3 (X) = О,
(X = <х//2).
Кг (X)
Следовательно, амплитудные перемещения при 0 '
деляются уравнением
1/2 опре-
A9.2)
В частности, в точке приложения силы (г = 112) имеем
Р0Р 1 К3 (X) Кг (X) — /Сг (X) Kj (X)
16CJ "Х^ ^(X)-iC|(X) '
После подстановки выражений A8.6) функций Крылова приведем
эту формулу к виду
I
Zo^-i-(tg>,_thX),
зге/ хз ^ s "
A9.3)
где
). = al/2 = V,
Формулы A9.2), A9.3) представляют прогибы в замкнутой форме,
что является их большим преимуществом.
Не вызывает трудностей и вычисление амплитудных изгибающих
моментов:
EJ
d2»
dz2
(az) - ^3 (X) ^4 («
В частности, в точке приложения силы
Изложенный выше метод может быть с успехом использован также
для расчета вынужденных колебаний при кинематическом возбуждении.
Рассмотрим, например, балку (рис. 19.2), один конец которой шарнирно за-
закреплен, а другой совершает заданное движение по гармоническому закону
ЛГ2=; = / COS at.
Решение уравнения свободных колебаний балки записываем в форме
A' (z, t) — и (z) cos <ut.
Для функции и (г) получаем граничные условия:
при г = 0 и — 0; и" = 0;
при г = I и = /; и" = 0.
Из условий при г — 0 следует, что постоянные СЧ'и Сз в общем решении
A8.5) раины нулю. Условия при г = / приводят к уравнениям
С2/С2 (X) + <VC4 (X) = /,
ОС4 (X) + С,/С2 (X) = 0 (Х = а/),
откуда
¦/>
К, (X)
Таким образом, амплитудные прогибы в любом сечении опре-
определяются равенством
и (z) =
+ Q^(^) = -
(X)
- /С4 (X) ^ («г)
Резонанс имеет место, когда знаменатель этого выражения
обращается в ноль, т. е. когда
К\ (X) —
= shXsinX =
Таким образом, в данном случае резонансными являются
частоты
Put. 19.2
o/4) = №i? VEJI(mol*) ,
соответствующие частотам собственных колебаний балки на двух опорах.
§ 20. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ ВЯЗКОГО ТРЕНИЯ
В § 16 было установлено, что метод главных координат можно ис-
использовать и при наличии вязкого трения, если коэффициенты вязкого
трения пропорциональны массам или жесткостям элементов системы.
Это утверждение справедливо и для систем с распределенной массой.
Покажем это на примере изгибных колебаний балки постоянного
сечения. Поскольку масса балки равномерно распределена по длине,
то и внешнее вязкое трение будем считать равномерно распределенным
по длине, т. е. предположим, что на элемент балки действует сила тре-
трения attriodzidx/dt), пропорциональная скорости его движения.
Внутреннее трение введем, заменив закон Гука а = Ее зависи-
зависимостью
Принимая этот закон и основываясь на гипотезе плоских сечений,
легко установить, что изгибающий момент в сечении зависит не только
167
166
от кривизны оси бруса х, но и от скорости изменения кривизны dx/dt:
М = EJ (х + аг -
Заменяя кривизну ее приближенным значением х = d2x/dz2, полу-
получаем
,, с т I
+ а2
dz2dt
B0.1)
Уравнения движения элемента dz бруса имеют вид (рис. 20.1)
д-х . dx , dQ _ „ дМ __ „
0 dt'1 dt dz ' dz
Из этих уравнений, принимая во
внимание зависимость B0.1), получа-
получаем дифференциальное уравнение дви-
движения бруса с учетом внешнего и
внутреннего трения:
р, / d*x , d-'x \
mn
Рис. 20.1
at2
¦*1-^) = 0. B0.2)
Проверим, что это уравнение
имеет решение вида
B0.3)
где uh(z)-—k-я форма собственных колебаний бруса без трения.
Подставив выражение B0.3) в уравнение B0.2), получим
EJ
qh
= 0.
Учитывая, что функция uk(z) удовлетворяет дифференциальному
уравнению A8.4)
¦4 = 0,
dz*
EJ
где pk — k-я собственная частота консервативной системы, устанавли-
устанавливаем, что решение в форме B0.3) удовлетворяет уравнению B0.2) и что
координата q,,(t) определяется уравнением
В этом случае, так же как и для системы с конечным числом степе-
степеней свободы, логарифмический декремент
3 « 2-nklpk --= т. {ajph + <x2pk).
1С8
При внешнем трении (ai) этот коэффициент с увеличением номера
колебаний уменьшается, при внутреннем (а2) — возрастает.
То обстоятельство, что при некоторых законах распределения сил
трения метод главных координат является точным, позволяет прибли-
приближенно применять его и при других законах трения. При этом полага-
полагают, что перемещения определяются формулой B0.3), а каждая из глав-
главных координат определяется независимым уравнением
Яи + 2nkQk + p\qh = QjMb-
Значения коэффициента nk принимают на основе эксперименталь-
экспериментальных данных. Так, например, при гармоническом возмущении частоты
со, учитывая, что ни потери на внутреннее трение для большинства
материалов, ни конструкционный гистерезис от частоты не зависят,
полагают nk обратно пропорциональным частоте возмущения.
§ 21. КОЛЕБАНИЯ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ
Постоянная по величине нагрузка, если точка ее приложения пере-
перемещается, также вызывает колебания упругой системы; такова, напри-
например, причина колебания мостов при прохождении по ним железнодо-
железнодорожных составов. В настоящем параграфе мы не останавливаемся на
хорошо изученном вопросе о колебаниях балок, лежащих на жестких
опорах, при движении по ним нагрузки (см. [37, 50, 52]). Эти колеба-
колебания являются нестационарными; они возбуждаются в то время, пока
нагрузка движется вдоль балки, а затем постепенно затухают.
Более важное практическое значение в машиностроительной прак-
практике имеют стационарные колебания, возникающие при непрерывном
перемещении нагрузки с постоянной скоростью. Для того чтобы такого
рода движение нагрузки было возможным, либо упругая система долж-
должна быть безграничной (бесконечно длинная балка на упругом основа-
основании), либо движение нагрузки должно происходить по кругу. Именно
последний случай возбуждения колебаний подвижной нагрузкой обыч-
обычно и имеет место, причем, как правило, приходится иметь дело с непод
вижно ориентированной в пространстве нагрузкой и с вращающейся
упругой системой. Таковы, например, нагрузка, обусловливаемая дав-
давлением пара на турбинный диск при парциальном подводе, нагрузка,
воздействующая на катящуюся шину автомобиля, и т. д.
Во всех этих случаях колебания с большими амплитудами возни-
возникают тогда, когда скорость относительного движения нагрузки близ-
близка к скорости распространения бегущей волны при свободных колеба-
колебаниях системы.
Рассмотрим это явление на примере бесконечной балки на упругом
основании, по которой с постоянной скоростью движется сосредото-
сосредоточенная сила. Дифференциальное уравнение упругой линии статически
нагруженной балки постоянного сечения, лежащей на упругом основа-
основании, имеет вид
+ b = /(z), B1.1)
169
где х — прогиб балки; EJ — жесткость поперечного сечения балки
при изгибе; k — так называемый коэффициент постели; f(z) — интен-
интенсивность распределенной нагрузки.
При выводе уравнения B1.1) принято, что интенсивность сил вза-
взаимодействия между балкой и упругим основанием пропорциональна
прогибу балки в данной точке.
Уравнение движения балки можно получить, добавляя к внешней
нагрузке силы инерции собственной массы балки, интенсивность кото-
которых равна —tno(d2x'dt2) (т0 — масса единицы длины балки). Таким
образом, имеем
Обозначим mo/(EJ) = 4v2, k/(EJ) = 4а4. Тогда уравнение движения
примет вид
dz*
dt*
EJ
Определение с помощью уравнения B1.3) частот собственных ко-
колебаний балок на упругом основании не представляет затруднений.
Метод решения здесь совершенно такой же, как и для свободной бал-
балки (см. § 18).
Если нагрузка, сохраняя свою величину, движется вдоль оси балки
со скоростью v, то,*"
-f(z,t)=zf(z — vt). B1.4)
При стационарном движении прогибы перемещаются вдоль оси бал-
балки с той же скоростью, что и нагрузка, т. е.
л — л ус uij. yA 1.0)
Обозначая z — vt = С и подставляя выражения B1.4) и B1.5)
в дифференциальное уравнение B1.3), получаем обыкновенное диффе-
дифференциальное уравнение для функции x(t):
d<x , ,.,.., d*x , 4lJ<4x=_J_f(r). B1.6)
d'J
EJ
При v <jx/v = у 4kEJ/ml корни характеристического уравнения
s4 + 4v Vs2 -I- 4ц4 ^ 0
являются комплексными и имеют вид
Si-4 = ± а ± В /:=
где а = VV—»v. Р = 1V + vW.
Общее решение уравнения B1.6) при o-<|x/v можнэ представить
в виде
х = еа- (С4 cos pg -f C2 sin |3C) + e~*' (C3 cos pg + C4 sin p
где Ф(С) — частное решение неоднородного уравнения.
170
ф (Q,
Рассмотрим частный случай, когда по балке движется сосредото-
сосредоточенная сила, положение которой соответствует 1 = 0 или z = vt.
В этом случае как при ? > 0, так и при Z < 0 внешняя нагрузка
отсутствует и выражение для х(?) дается решением однородного диффе-
дифференциального уравнения. Отбрасывая в этом решении слагаемые, не-
неограниченно возрастающие с удалением от начала координат, получа-
получаем при t < 0 (слева от точки приложения силы)
х. = еЛ {Cl cos PC + Сz sin PQ
и при t > 0 (справа от точки приложения силы)
х+ = е~*' (С3 cos PC + C4 sin pQ.
При t, = 0 должны выполняться условия
v . ' „' . у." " . „'" г'"л. PHFT\
Л— — Л-+, л — л , , л о-, , л л , -j- л i\i~>o /.
Определив из этих условий постоянные С1 — С4, получим окончатель-
окончательно:
при
при С<0
Р аС
е (cos PC — sin fit,
Прогиб под силой (С = 0)
x |c=o =
Fi-Wt*
кр
где
«кр^У7'
B1.7)
Из этого выражения видно, что при возрастании скорости движения
нагрузки прогиб увеличивается и стремится к бесконечности при при-
приближении этой скорости к критическому значению. Одновременно ме-
меняется и вид упругой линии. Формы упругой линии, соответствующие
различным скоростям движения нагрузки, представлены на рис. 21.1.
При скоростях движения, близких к критической, прогибы с удале-
удалением от точки приложения силы затухают медленнее, чем при стати-
статической нагрузке.
Физический смысл критической скорости vKV состоит в том, что она
представляет собой наименьшую фазовую скорость бегущей волны в
балке.
Действительно, выражение для бегущей волны синусоидальной
формы имеет вид
х = С sin [тс (z — ct)/\],
B1.8)
171
где % — длина полуволны, с — фа-
фазовая скорость распространения вол-
волны.
Подставляя выражение B1.8) в
уравнение свободных колебаний
балки:
Т7
дЧ
dt2
= О,
получаем для скорости распростране-
распространения волны выражение
Рис. 21.1
Таким образом, скорость распро-
распространения волны зависит от ее дли-
длины (рис. 21.2) и при длине л ---- п/(цУ2) достигает минимума, рав-
равного икр.
Следовательно, значительное возрастание прогибов имеет место
тогда, когда скорость движения нагрузки приближается к скорости
распространения бегущей волны.
Полученный вывод о безграничном возрастании прогибов явился
следствием того, что мы пренебрегли затуханием. В действительности
при приближении скорости движения нагрузки к критической прогибы
балки резко возрастают, по сохраняют конечное значение. Энергия,
необходимая для того, чтобы поддерживать колебания при наличии
затухания, сообщается системе самой движущейся нагрузкой. Объяс-
Объясняется это тем, что при наличии затухания касательная к упругой ли-
линии балки в месте приложения силы уже не является горизонтальной и
сила получает составляющую, направленную по движению (рис. 21.3).
Следует отметить, что в балках на упругом основании, например в
железнодорожных рельсах, величина критической скорости оказыва-
оказывается обычно очень большой. Надо также иметь в виду условность рас-
рассмотренной расчетной схемы, в которой полностью игнорируются
инерционные и демпфирующие свойства основания.
В других случаях, однако, колебания, возникающие вследствие
совпадения скорости движения нагруз-
нагрузки со скоростью распространения бегу- с
щей волны, представляют реальную V
опасность. Это относится прежде всего к
дискам паровых и газовых турбин, в ко- W
торых опасные вибрации возникают при
совпадении скорости вращения со ско- ю
ростью распространения волн изгиба по
окружности диска. Эти вибрации яв-
являются следствием того, что аксиальное q
давление газа, неравномерно распреде-
распределенное по окружности, представляет
\
V,
I
I
9,5 П 1,0
Рис. 21.2
172
НапраЬление
движения нагрузка
Рис. 21.3
собой по отношению к вращающемуся диску подвижную нагрузку.
Основы расчета на вибрацию дисков турбин изложены в § 49.
Другим важным примером возникновения колебаний при совпаде-
совпадении скорости движения нагрузки со скоростью распространения бегу-
бегущей волны является так называемая критическая скорость качения
пневматической шины.
Сущность явления состо-
состоит в том, что при увели-
увеличении скорости качения
шины до определенной
величины резко меня-
меняется характер ее дефор-
деформации. В то время как
при малых скоростях
качения деформации ло-
локализуются в непосред-
непосредственной близости от
площадки контакта ши-
шины с дорогой, при крити-
критической скорости на бо-
боковой поверхности шин
образуются волны (рис.
21.4).
В связи с расшире-
расширением области деформа-
деформации при приближении
скорости качения к кри-
критической резко возрас-
возрастает сопротивление дви-
движению. Как правило,
при работе на скоростях,
близких к критической, шины очень быстро выходят из строя*.
§ 22. РАСПРОСТРАНЕНИЕ УПРУГИХ ВОЛН В СТЕРЖНЯХ
Из теории упругости известно, что имеются две характерные ско-
скорости, с которыми деформации распространяются в упругом теле, —
это скорость распространения объемной деформации
Рис. 21.4
— (*
A +H.)(i_2(x) р
и скорость распространения деформации сдвига
B2.1)
B2.2)
* См.: Б и д е р м а н В. Л., Б у х и н Б. Л. Расчет критической ско-
скорости пневматической шины. — Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машинострое-
нение, 1961, № 1.
173
Волны обоих этих типов возникают при динамическом воздействии
на стержень. Однако в процессе распространения эти волны многократ-
многократно отражаются от боковых поверхностей стержня и интерферируют.
В результате на некотором расстоянии от источника возмущения фор-
формируются новые волны, распространяющиеся по специфическим
стержневым законам.
Законы распространения этих волн при крутильных и продольных
колебаниях стержней с удовлетворительной точностью описываются
теорией, основанной на сравнительно грубых гипотезах.
Распространение волн продольных деформаций. При рассмотре-
рассмотрении продольных колебаний стержней на основе гипотезы Бернулли
путем пренебрежения поперечными движениями частиц стержня мы
получили уравнение движения (см. §17).
дЧ
1
=.o,
B2.3)
где х — перемещение поперечного сечения, начальное положение ко-
которого характеризуется координатой z. Было рассмотрено решение
уравнения B2.3) в форме Фурье. Однако эта форма решения не являет-
является единственной. Можно указать и другие способы решения волнового
уравнения, которые более приспособлены для исследования нестацио-
нестационарных процессов, — волновой метод Даламбера и метод характерис-
характеристик.
Рассмотрим решение уравнения B2.3) по методу Даламбера. Легко
видеть, что выражение
x-f(at — z) + <?(at+z) B2.4)
всегда является решением уравнения B2.3), каковы бы ни были функ-
функции / и ф. Вычисляя производные от выражения B2.4), находим:
d2x/dz* = f" (at — z) + cp" (at + z),
= a2f (at — z) + аУ (at + z),
B2.5)
где штрихи означают дифференцирование функций / и ср по аргумен-
аргументам.
Подставляя выражения B2.5) в уравнение B2.3), видим, что оно
удовлетворяется тождественно. Таким образом, выражение B2.4)
действительно является решением уравнения B2.3) и притом решени-
решением общим, так как оно содержит две произвольные функции.
Физический смысл выражения B2.4) очевиден. Первое слагаемое
f(at—2) = хх представляет волну деформации, движущуюся вдоль
стержня в направлении оси z со скоростью а. Действительно, при z =
= at + С хх = const, т. е. для наблюдателя, движущегося вдоль
стержня со скоростью а, картина деформаций, соответствующих функ-
функции xlt остается неизменной. Точно так же второе слагаемое представ-
представляет волну деформации, движущуюся с той же скоростью в противопо-
противоположном направлении. Движение стержня можно рассматривать как
результат сложения двух волн деформации, движущихся в противопо-
противоположных направлениях. Задача заключается в выборе вида функций /
174
ис' ~ '
и ср так, чтобы выполнялись начальные и граничные условия. Эта зада-
задача' может быть решена в каждом частном случае.
Рассмотрим сначала случай приложения заданной нагрузки P(t)
к торцу полубесконечного стержня (рис. 22.1), причем предположим,
что при t — 0 стержень неподвижен и ненапряжен. Очевидно, что в
этом случае волны деформа-
деформации распространяются только p(t) .
слева направо от нагружен- -*—г '^ z
ного конца стержня. Поэтому
функция ф (at + г), соответ-
соответствующая волне, распростра-
распространяющейся справа налево, равна нулю. Итак, для рассматриваемой
задачи решение уравнения движения B2.3) имеет вид
x = f{at-z): B2.6)
Вид функции/определим из того условия, что на левом конце
стержня (г = 0) нормальная сила равна внешней нагрузке:
N = EFdx/dz, B2.7)
B2.8)
B2.9)
B2.10)
B2.11)
Частная производная функции B2.6)
где штрих означает производную функции по ее аргументу.
Следовательно,
N (z, t) = EF дх/dz = — EFf (at — z).
Из равенств B2.8) и B2.10) следует
f'(at) = —P(t)/(EF).
В выражении B2.11) аргумент at, который может принимать лю-
любые значения, обозначим ?¦ Тогда
B2.12)
Интегрируя это выражение и учитывая, что /@) = 0, так как в
момент t ^ 0 сечение z = 0 еще не двигалось, находим
B2.13)
Формулы B2.12) и B2.13) определяют функцию /(?), через которую
выражаются перемещения.
Теперь вычислим нормальную силу в произвольном сечении стерж-
стержня. Для этого в общем выражении B2.10) заменим /' ее значением из
выражения B2.12):
N(z,t) = P(t — zla). B2.14)
175
Из формулы B2.14) следует, что нормальная сила в сечении z в
момент t равна нагрузке, которая прикладывалась к концу стержня в
момент / — га. Это пояснено схематически на рис. 22.2.
Итак, сила, а значит, и напряжение и деформация распространяют-
распространяются вдоль оси стержня со скоростью а \^Е!
Д
р
Для стали, полагая Е ---
P,N
N(z,t).
1,96-10иПа, р - 7,85-103 кг/м3, на-
находим скорость распространения де-
деформации:
а =
10п
7,85
= 5000 м/с.
^ д.
Рис. 22.2
Скорость движения сечения г оп-
определяется формулой
дх
Hi
EF
-—). B1.15)
Из сопоставления формул B2.15) и B2.14) видно, что внутренняя
сила и скорость движения сечения связаны зависимостью
v (г, /) = — [a/(EF)] N (г, /). B2.16)
Зависимость B2.16) справедлива и для нагруженного конца стерж-
стержня (г --- 0):
v2=0 = —[a/(EF)]P(t). B2.17)
Конечно, растягивающей силе (см. рис . 22.1) соответствует движение
стержня влево, поэтому в формулах B2.16) и B2.17) стоит знак минус].
В рассмотренном выше полубесконечном стержне распространя-
распространялась только прямая волна деформации, движущаяся слева направо.
Если стержень конечный, то волны отражаются от второго его конца
и в общем решении уравнения B2.4) отличны от нуля обе функции
/ И ф.
В качестве примера того, как конструируются функции / и ф
в этом случае, рассмотрим классическую задачу об ударе жесткого гру-
груза по стержню, конец которого за-
заделан (рис. 22.3). Предполагается,
что после соприкосновения груз и
стержень представляют собой одно
целое до тех пор, пока усилие их
взаимодействия остается сжимаю-
сжимающим. Поместим начало координат
в точку удара. Тогда для закреп-
закрепленного конца стержня (г =- /) по-
получим граничное условие xz=i ~ 0. Подставив сюда вместо х выра-
выражение B2.4), найдем
т
\0
L
Рис. 22.3
Так как в этом равенстве t может принимать любое значение, то
176
где аргумент ? - может принимать произвольные значения.
Если произвести соответствующую замену в выражении B2.4), то
x(z,t) = f(at — z)—f(at + z — 2l). B2.18)
Вид функции / можно определить, рассматривая взаимодействие
стержня с грузом.
Считая, что груз движется вместе с концом стержня (г — 0), нахо-
находим его силу инерции: —tn(d2x/dt2)z=0. Эта сила уравновешивается про-
продольной силой на конце стержня, равной EF(dx/dz)z=0- Таким образом,
уравнение движения груза имеет вид
Г д2х сс дх 1 л
[ dt2 дг Jz=0
или, поскольку Е = агр,
-E!?_y^!i?l =0
dt* I dzjz=o
B2.19)
где к — отношение массы стержня к массе груза, х = pFl/tn.
Подставляя в уравнение B2.19) вместох его значение из выражения
B2.18) и заменяя буквой С величину at, получаем
Г « - Г (; - 2i) + ^ [/' (у + Г (с - 21)] = о,
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу.
Отсюда
Г О + -у- Г (?) = Г G - 2/) - JL /' (? - 21).
B2.20)
Дифференциальное уравнение B2.20) связывает значения функции
f(t,) со значением этой функции для аргумента, меньшего на 21. Исполь-
Используя формулу B2.20) и начальные условия, можно шаг за шагом по-
построить функцию fit,).
До соприкосновения груза т со стержнем (т. е. при /<0) для
всех точек стержня смещение равно нулю. Следовательно, при t, <C 0
fit,) = 0. Поэтому для интервала 0<^ < 21 правая часть уравнения
B2.20) равна нулю:
f (Q + -^r(Q = o.
Интегрируя это уравнение, находим, что при 0-<? ¦< 21
Так как в начальный момент / = 0 скорость конца стержня
z = 0 равна скорости груза v0, то idx/dt)t=,o, г=о = Щ- Подставляя
сюда выражение B2.18), получаем о[/'@) — /'(—21)] = v0, или, так
как /' (— 21) = 0,С = р @) = vja.
Таким образом, при 0<^<2/ функция /'(С) определяется выра-
выражением
/'(С)=-^ е~Л". B2.21)
а
177
Зная функцию /'(?) для значений ? <; 2/, можно исследовать
изменение усилий и скоростей в любом сечении стержня, начиная с
первого момента удара и до тех пор, пока а/<2/ —z, т. е. пока до
данного сечения не дойдет отраженная от опоры волна деформации.
При at<.2l —z функция [(at + z —21) =0 и выражение B2.18)
для перемещения имеет вид
х =f(at — z);
соответственно скорости и деформации в любом сечении равны:
v = -^ = af(at-z), e = ^L = -f{at-z).
Подставляя сюда значение / по формуле B2.21), найдем, что при
z<at<2l — z
v = voe~x {at~z)n , e = - (vo/a) e~'- (а'"г) '. B2.22)
На рис. 22.4 представлены построенные по формулам B2.22) эпю-
эпюры скоростей и деформаций по длине стержня для момента, когда
волна деформации не дошла еще до
_ i закрепленного конца стержня. Эти
эпюры являются разрывными; на фрон-
фронте волны скорость скачкообразно изме-
изменяется от нуля до v0, а деформация —
от нуля до —vo/a.
Пока волна деформации не дошла до
опоры, скорости и деформации в любом
сечении оказываются связанными прос-
простым соотношением
Рис. 22.4
v = —as.
Таким образом, деформация сжатия, возникающая в стержне в
первый момент удара, полностью определяется скоростью удара и не
зависит от массы ударяющего груза. Можно оценить порядок той мак-
максимальной скорости удара и*, при которой уже в первый момент удара
в стержне возникают пластические деформации:
где епц —деформация, соответствующая пределу пропорциональ-
пропорциональности.
Для стали, принимая скорость распространения деформации a =
= 5000 м/с, а деформацию — соответствующей пределу пропорцио-
пропорциональности, например 0,001, находим предельную скорость удара, при
которой может еще не быть пластических деформаций:
= аеп
= 5000 • 0,001 = 5 м/с.
Для легированных сталей, имеющих более высокий предел упру-
упругости, соответственно увеличивается и предельная скорость.
178
Выше рассмотрен лишь первый этап удара, когда имеется только
прямая волна деформации, идущая по стержню слева направо.
Уравнение B2.20) позволяет построить функцию /(?) для следую-
следующего интервала изменения аргумента: 2/<? ¦< 4/. Подставив в пра-
правую часть этого уравнения найденное выше значение функции /(?)
для 0<? <2/, получим для интервала 2/<? < 4/
B2.23)
* и. i
Произвольная постоянная при интегрировании этого уравнения
определяется из условия, что скорость груза, а значит, и скорость
конца стержня (z = 0) не могут изменяться скачкообразно, т. е. что
(дх/д()г=0 = a [f (at) — f(at — 21)]
представляет собой непрерывную функцию. Это условие удовлетворя-
удовлетворяется, если разрывы функции /'(?) будут в точности повторяться при
изменении аргумента на 21. Так как при ? = 0 функция /'(?) скачком
увеличивается на величину vja, то этот же скачок повторяется и при
? =21,1 = 4А I = 6/ и т. д. В частности, при t, =21 функция /'(?>
со значения, определяемого формулой B2.21),
должна увеличиться до
1).
Последнее значение/'(?) и является начальным условием для интег-
интегрирования уравнения B2.23). Интегрируя это уравнение, получаем
для интервала 2/ < ? < М
I = ^- е~г
а
1 — 11 \ -х C-2/J/Z
Аналогично находим при 4/ < С < 6/
¦-!М1-2х
а
3l Г
а [
1— 2х -
-4/
С — А1
-x(C-4Z)/Z
Таким образом, шаг за шагом можно сконструировать функцию/'(?)
для любых значений аргумента.
Далее, можно интегрированием получить функцию /(?), которая
является непрерывной:
при 0<?<2/
179
при 2/<?<4/
при 4/<?<6/
1 4- 2х I e
и т. д.
Зная функцию fit,), можно по формуле B2.18) найти перемещение
х. Продифференцировав по z выражение B2.18), находим деформа-
деформацию е:
е = дх/dz = — [/' iat — z) + f'iat + z — 21)].
На рис. 22.5, а в качестве примера приведены графики функции
fit,) и ее производной для случая, когда отношение собственной массы
стержня к массе груза х = 0,5.
180
На рис. 22.5, б приведены графики зависимости от времени пере-
перемещении различных сечений стержня, а на рис. 22.5, в -деформации
пая6" вТтГГ5?// П°.абс«иссам Рис- 22-5, б, в отложена б^зрТмТр"
ная величина at/I, пропорциональная времени. Из графика на
рис 22.5, б видно, что в момент / .-, 4,81/а деформации, а следова-
мент r'nv УСИЛИ6 М К0НЦ6 СТ6РЖНЯ Z == ° ПЗДаЮТ Д0 НУЛЯ" В эт^ мо-
момент груз отделяется от стержня и процесс удара заканчивается
™ пИДН0/3 РассмотРенн°го примера, расчет процесса удара по
методу Даламбера связан с довольно сложными выкладками Особенно
усложняется расчет, если масса груза значительно больше собствен^
ной массы стержня, так как в этом случае необходимо рассматривать
большое число интервалов изменения переменной С сматривать
Ьолее наглядным является расчет распространения упругих волн
этого ™аМП°Да ХараКтеРистик- 3*ecb мы рассмотримлишь основы
рено в [40]* МШеНИе ЫеТ°Да К ЗЗДаЧаМ ПР°ДОЛЬНОГО УДаРа Рассмот-
Обозначим: v -скорость движения произвольной точки стержня
и е —относительная деформация в этой точке;
v = dx/dt, в = дх/dz.
чаем
Величины из o6u^ero выражения B2.4) для х, полу-
( )
Исключив из этих уравнений сначала ср', а затем/', найдем:
f (at— z),
v~ ae =
s = 2ao'(af-bz). B2.24)
ко ISIJ? ДУеТ' 7° РаЗН°СТЬ {V ~аг^ зависит ™ль-
ко от разности (а/ _2), а сумма (v Н- ае) зависит только от суммы
Если изобразить две системы координат: zt (рис. 22.6, а) и
4?.
ьг
Рис. 22.6
См. также: БидерманВ. Л., Мачюковя Р П
Г^Г^"^"^ УДЗР В Р на РП
И Го.
181
(рис. 22.6, б), то прямым at —z = const в первой системе соответ-
соответствуют прямые V— ae=const во второй системе. Точно так же прямым
at + z = const соответствуют прямые v -'г аг = const.
Таким образом, при at — z = const
v — ae = const B2.25)
и при at + 2 = const
t B2.26)
Рис. 22.7
Семейства прямых линий (характеристик) служат для нахождения
соответствия точек в координатных системах zt и юг.
Если такое соответствие
найдено, то задача решена,
так как известны значения
скорости v и деформации
г в любом сечении z в лю-
любой момент времени t.
Чтобы пояснить изла-
излагаемый метод, рассмотрим
частный пример (рис. 22.7).
Правый конец стержня
(z — I) закреплен непод-
неподвижно, а к левому концу
(г = 0) в момент t = О
прикладывается усилие Р,
которое в дальнейшем не
изменяет своей величины.
Все точки плоскости zt, лежащие ниже оси z, отображаются на
плоскости иг в точку 0 (е = 0, v = 0), так как при t < 0 усилия и ско-
скорости во всех сечениях стержня отсутствуют. Для того чтобы найти
отображение точки 1 (z = 0, t= 0), которая соответствует начальному
моменту приложения силы, проведем на плоскости zt характеристику
0—/, уравнение которой at + z = 0.
Этой характеристике в плоскости и& соответствует линия v + аг =.
= С, которую легко построить, так как известно, что точка 0 пло-
плоскости zt отображается в точку 0 плоскости we.
Отображение точки / лежит на линии v + ae = 0. Так как де-
деформация, соответствующая точке /,. известна: е0 = —P/(EF), то
легко отыскать эту точку на плоскости v&.
Из построения видно, что точка / соответствует скорости
v — v0 = — ae0 = aP/(EF).
Таким образом, при приложении силы Р конец стержня мгновенно
приобретает скорость v0.
Теперь проведем на плоскости zt характеристику положительного
направления /—2. Этой характеристике на плоскости иг соответст-
соответствует прямая v—аг = С, проходящая через точку /. Отображение точ-
точки 2 лежит на этой прямой и в то же время, так как точка 2 соответст-
соответствует закрепленному концу стержня, скорость в ней равна нулю и,
следовательно, ее отображение лежит на оси е.
182
Точка 3 лежит на той же характеристике отрицательного направ-
направления, что и точка 2, и вместе с тем она соответствует концу стержня,
на котором е — е0. Отображение точки 4 совпадает с началом коорди-
координат, отображение точки 5 —с точкой / и т. д.
После того как деформации и скорости в характерных точках най-
найдены, можно определить их значения и при любых значени-
значениях z и t.
Прежде всего устанавливаем, что участок вертикальной линии
2 = /, лежащий ниже точки 2, соответствует нулевым скоростям и уси-
усилиям. Действительно, отображения точек этого участка лежат на
оси v — 0 и, кроме того, любая точка этого участка может быть соеди-
соединена характеристикой положительного направления с точками оси t,
лежащими ниже точки / (^<0), отображающимися, следовательно,
в начало координат. Таким образом, отображение точек участка z =
= /, t < На должно лежать одновременно и на линии v — аг = 0,
и на линии v = 0. Следовательно, весь этот участок отображается в
точку 0 (в ^ 0, v = 0).
В ту же точку отображается и вся заштрихованная площадь, ле-
лежащая ниже характеристики /—2. Действительно, каждая точка этой
площади может быть соединена характеристиками положительного
и отрицательного направлений с точками, в которых, как мы уже
установили, г = 0 и v = 0, значит, и сама эта точка отображается в
точку 0.
Отрезок линии 2=0 между точками 1 я 3 отображается на пло-
плоскости ое в точку /, так как произвольную точку этого участка А мож-
можно соединить характеристикой отрицательного направления А В с
точкой В нулевых скоростей и деформаций.
Отображением этой характеристики на плоскости vг является
прямая 0—1. Вместе с тем усилие в точке А задано, следовательно,
задана и деформация е = г0. Значит, отображение точки А лежит одно-
одновременно на линии 0—/ и на линии s = е0, следовательно, оно совпа-
совпадает с точкой /.
Теперь можно установить, что вся внутренность треугольника
123 отображается на плоскости v& в точку /. П роизвольная точка это-
этого треугольника С находится на пересечении характеристики отрица-
отрицательного направления АВ, проходящей через нулевую точку, и
характеристики положительного направления DC, проходящей через
точку D. Так как на плоскости уе точка D отображается в точку /,
то этим двум характеристикам соответствуют линии 0—/ и 0—2. Точ-
Точка С отображается в точку пересечения этих двух линий, т. е. тоже в
точку /.
Далее, с помощью характеристики АЕ, отображением которой яв-
является линия /—2, можно обнаружить, что произвольная точка от-
отрезка 2—4 отображается в точку 2.
Затем таким же образом устанавливаем, что вся внутренность
треугольника 2, 3, 4 отображается в точку 2, а вся внутренность тре-
треугольника 3, 4, 5 — в точку 3. Внутренность треугольника 4, 5, 6
отображается в точку 0 и т. д.
Характеристики /—2, 2—3, 3—4, 4—5 являются линиями раз-
183
Сечение z=0
рыва: при переходе через них скорости и усилия изменяются скачко-
скачкообразно.
После того как найдены значения v и е для точек плоскости zt, за-
задача, в сущности, решена.
Для большей наглядности можно построить графики изменения
усилий и скоростей в различных сечениях стержня по времени
(рис. 22.8). Из построенных графиков видно, что максимальная ди-
¦ намическая деформация в стержне
вдвое превышает величину е0, соот-
соответствующую статическому действию
силы.
Рассмотренная выше теория
распространения продольных коле-
колебаний полностью пригодна и для
изучения крутильных колебаний
стержней, которые также описывают-
описываются волновым уравнением. При этом
следует иметь в виду, что при кру-
крутильных колебаниях скорость рас-
распространения волн ат ---\'G!p, a
место поступательной скорости сече-
сечения v и относительной деформации е
занимают угловая скорость сечения
и угол закручивания на единицу
длины стержня.
Распространение волн при изгибе.
Дифференциальное уравнение A8.1)
1 11 ?1 11
2а 2а 2а 2 а
Рис. 22.8
гл\ а о у я счсгя i я при изгибе, основанное на гипотезе Бернулли,
д2х
EJ
тп
= 0
Рис. 22.9
не является волновым. Поэтому оно непригодно для изучения рас-
распространения волновых фронтов по длине стержня. Это положение
связано с самой расчетной схемой
бруса, лежащей в основе технической
теории изгиба.
В самом деле, в этой теории пред-
предполагается, что деформация бруса
при изгибе обусловлена только рас-
растяжением и сжатием продольных во-
волокон. Расчетную схему бруса можно представить в виде шарнирной
цепи из жестких звеньев, связанных по верхнему и нижнему поясам
упругими пружинами (рис. 22.9).
В этой схеме движение одного звена при неподвижных соседних
невозможно, а значит невозможно и разрывное распределение скоро-
скоростей, характерное для волновых процессов.
В отличие от уравнения A8.1) уравнения A8.22)
д2х ар д^х д$
dz2 G dt* дг
184
дг2
Е dt2
GF
a.EJ
Ь —
дх
дг
для балки Тимошенко являются волновыми. В этом можно убедиться,
если принять во внимание, что вблизи фронта распространяющейся
волны все переменные (перемещения, повороты) меняются очень быст-
быстро, поэтому их производные велики по сравнению с самими пере-
переменными. Поэтому при изучении законов распространения волновых
фронтов в уравнениях A8.22) можно в первом приближении пренеб-
пренебречь правыми частями. При этом уравнения относительно х и & стано-
становятся независимыми обычными волновыми уравнениями с характер-
характерными скоростями, соответственно clq — \rG/(ap); a = Vjz/p.
Следовательно, в балке Тимошенко имеются две характерные ско-
скорости распространения волн: разрывы поперечной силы распростра-
распространяются со скоростью aq, а разрывы изгибающего момента — со ско-
скоростью а. Таким образом, наибольшая-скорость распространения воз-
возмущений в балке Тимошенко совпадает со скоростью распространения
продольных волн в стержнях. [Заметим, что точное значение макси-
максимальной скорости распространения упругих волн можно получить,
пользуясь формулой B2.1).]
Решения ряда задач распространения волн в балках на основе
схемы Тимошенко приведены в работах [17, 401.
Следует, однако, иметь в виду, что хотя простое дифференциальное
уравнение A8.1) и непригодно для анализа распространения волно-
волновых фронтов, оно дает надежные результаты при исследовании общих
деформаций бруса даже при сравнительно резких (но не мгновенных)
ударных нагрузках. Так, при расчете удара груза о балку (с учетом
местных деформаций) величины прогибов и изгибающих моментов,
вычисленные на основе уравнения A8.1), как правило, не более чем
на 10—15 °о отличаются от величины, вычисленных на основе более
точной модели балки Тимошенко.
§ 23. КОЛЕБАНИЯ КРУГОВЫХ КОЛЕЦ
Колебания в плоскости кольца. Рассмотрим круговой брус ма-
малой кривизны постоянного сечения с радиусом R осевой линии
6)
Рис. 23.1
185
(рис. 23.1, а). Брус считаем нерастяжимым. Перемещение центра
тяжести поперечного сечения, зафиксированного угловой координа-
координатой ср, можно разложить на радиальный (х4) и окружной (х2) компо-
компоненты.
Из условия нерастяжимости оси бруса следует, что перемещения
a'i и х2 связаны зависимостью
дх.
2 + — = 0.
B3.1)
Угол поворота поперечного сечения бруса в процессе движения
определяется формулой
I2.
R
Rdo
B3.2)
(положительный знак ¦О соответствует на рис. 23.1 повороту против
часовой стрелки).
Изменение кривизны бруса х равно производной от{} по дуге
х =
1
R2
дхг
д2хх ^
Изгибающий момент в сечении кольца
B3.3)
B3.4)
Теперь составим уравнение движения элемента Rdy бруса (рис. 23.1, б).
Проектируя приложенные к элементу силы (с учетом силы
д2х
инерции — m0Rd® —i , где т0 — масса единицы длины бруса) на
радиус, получаем
д"-х1
3Q
B3.5)
Равенство нулю суммы проекции сил на направление касательной
приводит к уравнению
m,R
dt2
д®
Наконец, уравнение моментов
w = QR.
B3.6)
B3.7)
Исключим из уравнений B3.5) и B3.6) нормальную силу N, а по-
поперечную силу Q заменим ее значением из уравнения B3.7):
?!
\
B3.8)
Подставив сюда значение М из уравнения B3.4), получим уравне-
уравнение движения в перемещениях xit x2, и, наконец, исключив один из
186
компонентов перемещения, с помощью условия нерастяжимости B3.1),
придем к уравнению, в которое входит единственная переменная х2:
хг
-f „¦ —
EJ dt2
— х2 =0.
B3.9)
Решение уравнения движения, как обычно, представляем в виде
х± = и1(у) cos pt, х., = u.2(f)s'mpt.
При этом для и2 получается обыкновенное дифференциальное уравне-
уравнение
^.-иЛ = 0, B3.10)
d<p* dtp4 d'f2 EJ
Uj = — du2/6.v.
Согласно общим правилам следует найти общее (включающее шесть
постоянных) решение уравнения B3.10) и подчинить его граничным
условиям. На каждом конце бруса должны быть равны нулю либо ком-
компоненты перемещений (xit x2, $), либо соответствующие им внутрен-
внутренние силы. Равенство нулю определителя системы, выражающей гра-
граничные условия, является уравнением частот.
Для замкнутого кольца граничные условия заменяются условиями
периодичности, которые выполняются, если принять:
B3.11)
Подставляя выражение B3.11) в уравнение B3.10), устанавли-
устанавливаем, что последнее удовлетворяется тождественно, если
k(k2—
/:
B3.12)
Формула B3.12) определяет частоты собственных колебаний коль-
кольца в своей плоскости. Значению k = 1 соответствует нулевая частота,
так как при k — 1 формулы B3.11) описывают смещение кольца как
жесткого тела. Формы движения при k = 1, 2, 3 показаны на рис. 23.2.
Колебания, перпендикулярные плоскости кольца. В данном слу-
случае положение поперечного сечения кольца в процессе движения ха-
характеризуется смещением х3 его центра тяжести из плоскости кольца
к=3
Рис. 23.2
187
и углом поворота сечения х4 (рис. 23.3, а). В поперечном сечении
кольца возникают изгибающие и крутящие моменты (рис. 23.3, б)
и поперечная сила, перпендикулярная плоскости кольца.
Установим зависимость моментов от перемещений. Пользуясь ли-
линейностью задачи, рассмотрим сначала силовые факторы, связанные
со смещением х3, а затем — с xt.
Еслихз постоянно подлине окружности, то кольцо смещается как
жесткое и внутренние силы не возникают. Если .^меняется в зависи-
зависимости от центрального угла по
линейному закону (длу'дср =
= const), то ось бруса превра-
превращается в винтовую линию, т. е.
брус деформируется подобно
/^ШШ I (ШШ\ т витку пружины растяжения.
~~\ШШ I \ШшЯ Известно, что в этом случае в
поперечных сечениях возникает
крутящий момент
S)
где GJK —крутильная жест-
жесткость сечения бруса.
Наконец, если отлична от
d-Xo,
нуля и вторая производная—- ,
df
Рис. 23.3
то меняется кривизна бруса и
возникает изгибающий момент
где J\ — момент инерции сечения относительно центральной оси, ле-
лежащей в плоскости кривизны.
Найдем силовые факторы, связанные с поворотом xt. Если х4 по-
постоянно, то происходит осесимметричный изгиб кольца, причем в его
сечениях возникает изгибающий момент
При переменном по длине повороте х4 соседние сечения поворачи-
поворачиваются друг относительно друга и возникает крутящий момент
М"к =GJy,RridxJd^.
Суммируя силовые факторы, связанные с перемещениями х3 и xiy
получаем:
УИ„зг = EJ.
MK = GJK(-^
B3.13)
Составим уравнения движения элемента Rd<.p бруса (рис. 23.4).
При этом пренебрежем инерцией поворота элемента вокруг своей оси.
Условие динамического равновесия в направлении нормали к пло-
плоскости кольца приводит к уравнению
tn0R
dF
= 0.
B3.14)
Сумма моментов отно-
относительно нормали п к оси
элемента
B3.15)
Сумма моментов отно-
относительно касательной к
оси элемента
дм„
И.
юг
УИИЗГ = О. B3.16)
су
Исключив поперечную
силу из уравнений B3.14)
и B3.15) и заменив моменты
в полученном уравнении и
уравнении B3.16) их зна-
значениями из B3.13), придем
к системе, в которую входят
только перемещения х3, х4:
m0R3 д2х3 д4х3
EJ
дГ-
GJK д*х3
EJ,
Рис. 23.4
GJK
дЧ.
¦ EJ,
¦-хА\ = 0.
4 =0,
B3.17)
\ ' EJ, J Rd^ \EJ,
Ограничимся исследованием собственных колебаний замкнутого
кольца. В этом случае решение уравнений B3.17) можно представить
в таком виде:
х3 = A cos&cp cos pt, xi = В cos ko cos pt. B3.18)
Подстановка значений B3.18) в уравнения движения дает
GJK m0R* ..,\ „,,/,, GJ,
[ R Г '
ъч
— А —
R
EJ,
\ Л- В 11 +
EJ,
= 0.
= 0.
Eh) V ' EJ,_
Из равенства нулю определителя этой системы находим собствен-
собственные частоты:
pfr = ( ~ ^ 1 / /к • B3.19)
У k*GJK;(EJ,)+l V moR*
Наименьшая отличная от нуля частота соответствует k = 2.
ГЛАВА IV
ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
КОЛЕБАНИЙ
Методы расчета, рассмотренные в гл. II, III, становятся тем более
громоздкими, чем сложнее структура рассчитываемой системы. По-
Поэтому возникает необходимость в способах, позволяющих успешно
рассчитывать и сложные системы.
Один из возможных путей состоит в применении простых прибли-
приближенных формул (например, формулы Рэлея). В этом случае задают
форму колебаний системы, сводя ее таким образом к системе с одной
степенью свободы. При удачной аппроксимации получают достаточно
точное значение низшей собственной частоты системы, однако другие
ее динамические характеристики остаются не раскрытыми.
Схематизация реальной системы, как имеющей несколько степеней
свободы, достигается в методе Рэлея—Ритца, при использовании ко-
которого форма колебаний системы задается в виде выражения, вклю-
включающего несколько параметров.
Другим приемом, позволяющим свести реальную систему к системе
с конечным числом степеней свободы, является метод прямой дискре-
дискретизации. Чем больше число элементов, на которые разбита система
при применении этого метода, тем ближе расчетная схема к исходной
системе. Вместе с тем, если элементы выбраны однотипными, даже при
большом их числе оказывается возможным реализовать расчет коле-
колебаний, используя матричные методы с применением ЦВМ. Два таких
метода —метод начальных параметров в форме матриц перехода и
метод прогонки — рассмотрены в настоящей главе.
Применяя матрицы перехода к регулярным системам (т. е. к цеп-
цепным системам, составленным из одинаковых элементов), удается по-
получить замкнутые расчетные формулы при произвольном числе эле-
элементов.
При динамических расчетах конструкций сложной конфигурации
в последнее время широко используется метод конечных элементов.
Для реализации этого метода необходимы достаточно мощные вычис-
вычислительные машины.
В том случае, когда сложную колебательную систему можно раз-
разделить на несколько подсистем, динамические характеристики кото-
которых определяются сравнительно просто, полезными являются методы
динамических податливостей и жесткостей. Эти методы представля-
представляют собой обобщение на динамические задачи метода сил и метода пере-
перемещений строительной механики.
В методе последовательных приближений задача об определении
собственных частот и форм колебаний сводится к многократному
190
расчету деформаций системы под действием известной статической на-
нагрузки.
Выбор того или иного метода для динамического расчета сложной
механической системы зависит от структуры этой системы, задач
расчета и вычислительной техники, имеющейся в распоряжении рас-
расчетчика.
§ 24. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИБЛИЖЕННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОЦЕНКИ
НИЗШЕЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ
Вывод формулы Рэлея. Пусть упругая система совершает свобод-
свободные колебания с частотой р, причем смещения Xi, отсчитываемые от
положения равновесия, изменяются по закону
xt = Ui sin pt.
Кинетическая энергия системы меняется пропорционально квад-
квадратам скоростей:
Т = 42p2WLcos2pt, B4.1)
где при диагональной матрице масс обобщенная масса
п
Ж = V miui,
а в общем случае
Потенциальная энергия системы изменяется пропорционально
квадратам перемещений и может быть записана в форме
U = U0sin2pt, B4.2)
где Uo —энергия системы при амплитудных перемещениях xt ---ut.
Из закона сохранения энергии следует
Поэтому должно быть
T + U = const.
V2 рШ = Uo.
Таким образом, частота колебаний может быть определена по формуле
p2 = 2U0/M. B4.3)
Как было показано выше (см. § 12), если при вычислении Uo и Т
задаваться формой k-то собственного колебания системы м* = uih, no
формуле B4.3) будет рассчитана k-я собственная частота:
р\ = 2Ujmk. B4.4)
Однако если задать форму колебаний, не слишком сильно отличаю-
отличающуюся от первой собственной формы, то формула Рэлея B4.3) поз-
191
воляет определить приближенное значение первой частоты собствен-
собственных колебаний системы.
Докажем это. Пусть мы задались приближенно формой колеба-
колебания системы, т. е. совокупностью амплитуд ее точек «,-. Эта форма
может быть разложена по собственным формам системы:
"г =
c2ut., -j- c3ui3 +
Если форма близка к первой собственной форме, то коэффициенты
с2, с3,... малы по сравнению с сх.
Потенциальная энергия системы Uo и ее обобщенная масса Ж, как
показано в § 12, также могут быть разложены по собственным формам:
Uo = c\U
1^01
УХ = cfMt +
где Uoh и Шк — потенциальная энергия и обобщенная масса , соответ-
соответствующие k-i\ форме собственных колебаний.
Подставляя значения Uo и Ш в формулу Рэлея, получаем
¦ 4и02 ¦
с\7Лл + С2^2 + ' ' -
Вынося за скобку в числителе и знаменателе полученного выра-
выражения первые слагаемые и учитывая тождества B4.4), получим
(Рз/PiJ
i +
. B4.5)
Если принятая для расчета форма колебаний мало отличается от
первой собственной формы, отношения c2lcu c3/cit... малы. Формула
B4.5) показывает, что в этом случае отличие частоты, рассчитанной
по формуле Рэлея, от первой собственной частоты имеет второй поря-
порядок малости.
Так как все слагаемые в числителе и знаменателе формулы B4.5)
положительные и каждое слагаемое в числителе больше, чем соот-
соответствующее слагаемое в знаменателе (так как phlp{>\), то формула
Рэлея дает преувеличенное значение первой собственной частоты,
если только принятая форма колебания не совпадает с первой собст-
собственной формой.
Рассмотрим пример применения формулы Рэлея. Требуется рас-
рассчитать частоту собственных колебаний консольной балки постоянно-
постоянного сечения. Обозначая амплитудные прогибы балки u(z), будем иметь
EJ
\
Az, Ш =
где EJ —жесткость; т0 —масса единицы длины балки.
Таким образом, формула Рэлея получает вид
) dz I m0u2dz.
dz2 / J
192
Зададимся параболической формой прогибов и = (z//J. Тогда
EJ dz = EJ — \ dz =
2\>
4EJ
Г m0u2dz = Г m0 (z//L dz = mol/5.
Получаем
= 20?//(m0/4), p = 4,47 ]/?У/(/п0/4) .
Точное значение первой частоты р4 = 3,516]/?7/(/л0/4). Таким
образом, в данном случае формула Рэлея дает весьма большую ошибку,
превышающую 20 %. Нетрудно установить причины этой ошибки.
Функция u{z) = (z//J, которой мы задались, неплохо представляет
общий вид упругой линии балки; однако при вычислении потенци-
потенциальной энергии нам понадобилась вторая производная d2u/dz2 = 2//2,
а эта функция весьма далека от действительной.
Поэтому желательно использовать формулу Рэлея, так, чтобы из-
избежать дифференцирования. Для этого можно принять форму колеба-
колебаний подобной форме статической дефор-
деформации системы какой-либо подходящей
системой сил РГ. Вычислив перемеще-
перемещения, вызываемые этими силами, можно
подсчитать потенциальную энергию де-
деформации системы как работу этих сил:
1
,Ргиг.
Рис. 24.1
Так, например, для консольной балки можно принять за форму
колебаний прогибы ее под действием силы Р, приложенной на конце
(рис. 24.1).
Тогда
и = (Plz2/2 — Pz3/6)/(EJ).
Имеем
II — l/9Pw r — P2/3//fiFA
= tn,
о
u2dz =
(EJ)
J I 2 6
dz =
33
1260 (EJJ
о v "' о
Вычислив теперь частоту по формуле Рэлея B4.3), получим
р = V2UJM= 3,55 ]/"?У/(т0/4), что только на 1% отличается от
точного значения.
Приведение массы. Если форма колебаний системы уподобляет-
уподобляется, как в рассмотренном выше примере, форме статических ее пе-
перемещений под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в
какой-либо точке А системы, формуле Рэлея можно дать следующее
истолкование.
Определим энергию деформации как
Uo = си2А/2,
7-318
193
где с — статическая жесткость системы по отношению к силе Р (пред-
(предполагается, что перемещение иА совпадает по направлению с направ-
направлением силы). Тогда по формуле Рэлея
= У elm
пр >
где
B4.6)
B4.7)
Формула B4.7) совпадает с формулой для частоты колебаний одно-
массовой системы с массой тпР, сосредоточенной в точке А.
Следовательно, для приведения массы системы в какой-либо ее
точке следует каждую массу mt умножить на квадрат отношения ее
перемещения к перемещению точки приведения.
Метод Граммеля. Выше мы видели, что, принимая форму колеба-
колебаний подобной статическим прогибам системы от некоторой подходя-
подходящей нагрузки, можно существенно увеличить точность расчета за
счет исключения операции дифференцирования. Еще большая точ-
точность достигается в методе Граммеля, в котором дифференцирование
заменяется интегрированием. Последовательность операций здесь
такова*.
1. Задают форму колебаний и подсчитывают максимальную кине-
кинетическую энергию движения
2. Определяют максимальные силы инерции масс Ft =
3. Определяют внутренние силы в элементах системы, вызывае-
вызываемые нагрузками Ft.
4. По внутренним силам вычисляют максимальную потенциаль-
потенциальную энергию деформации Uo.
5. Из равенства Ггаах = 00 определяют частоту колебаний.
Применим метод Граммеля для расчета частоты колебаний консоль-
консольной балки. Приняв и = (г//J, найдем
р2т01/Ю.
Интенсивность сил инерции
Поперечная сила в сечении
i
q = p2m0(z//J.
Предполагается, что матрица масс — диагональная.
194
Изгибающий момент
= 1Л*. C/4 _ 4/3г + г4).
Потенциальная энергия деформации
EJ
Приравнивая Ггаах = UQ, находим
13
1620 EJ
1620 EJ
130 то11
= 3,5301
/
EJ
,А
с ошибкой всего 0,42% в сравнении с точным решением.
Таким образом, метод Граммеля путем некоторого усложнения
расчета позволяет существенно повысить точность результатов.
Учет начальных напряжений.
При использовании формулы
Рэлея нетрудно учесть влияние
на частоту колебаний началь-
начальных напряжений, имеющихся в
конструкции.
Пусть, например, требуется
определить частоту собственных
Рис. 24.2
колебаний балки на двух опо-
опорах, растянутой силой Р (рис. 24.2). Если считать балку нерастя-
нерастяжимой, то при прогибе балки u(z) точка приложения силы Р полу-
получит перемещение*
Соответствующее увеличение потенциала силы Р
Up = Рл B4.8)
следует добавить к потенциальной энергии деформации балки, и фор-
формула Рэлея получает вид
p2 = 2(U0 + Up)/M. B4.9)
Сделанное предположение о нерастяжимости стержня в процессе
колебаний отнюдь не является обязательным. К тому же результату
* Величину к можно найти как интеграл от разности между элементом &г
изогнутой оси балки и его проекцией dzcoscp на направление оси :
195
мы придем, предположив, например, что каждая точка оси стержня
движется строго по нормали к оси z. Необходимо учесть, что в этом слу-
случае возникает дополнительная деформация растяжения
ei .. г
, 1
dz
dz у cos <?
dU
dz
и соответственно изменяется потенциальная энергия растяжения
стержня.
В прямолинейном состоянии стержня эта энергия равнялась
dz,
2EF
где N — начальная продольная сила в сечении. В изогнутом стержне
dz.
2EF
Раскрывая это выражение и пренебрегая членом с (s'J, находим
увеличение потенциальной энергии растяжения:
i
откуда
B4.10)
В случае постоянной подлине продольной силы эта формула совпадает
с формулой B4.8).
Нетрудно показать, что при расчете изгибных колебаний стержня
может быть принята произвольная зависимость для продольных
перемещений v(z), сопровождающих изгиб стержня. В этом случае
энергия Up должна подсчитывать^ по формуле
где vp
перемещение точки приложения силы Р;
dv _\_ I Аи
dz 2 [ dz
— продольная деформация оси стержня.
Определим частоту собственных колебаний балки постоянного
сечения, лежащей на двух опорах и растянутой силой Р. Примем
и (г) = sin
196
Тогда
= m0 f u?dz = — mj,
p2__2(Uo+UP)
mBl*
PI*
Полученный результат совпадает с точным (см. § 18).
Формула Донкерлея. Так как метод Рэлея приводит к завышенно-
завышенному значению частоты колебаний, весьма полезным является примене-
применение формулы, дающей зани-
заниженную частоту. Простейшей
из такого рода формул яв-
является формула Донкерлея.
Рассмотрим какую-нибудь
многомассовую систему, на-
например балку (рис. 24.3).
Пусть на рис. 24.3, а изоб-
изображена точная форма соб-
собственных колебаний этой си-
системы. Тогда точное значе-
значение собственной частоты си-
системы выразится формулой
¦Ф-
Рис. 24.3
Р2 =
B4.11)
1=1
Теперь рассмотрим ту же балку, но только с одной массой т;,
(рис. 24.3, б). Частота колебаний в этом случае будет определяться
по формуле
где 8ц — податливость балки при приложении силы в точке закрепле-
закрепления массы я?,.
С другой стороны, приближенное значение pt той же частоты мож-
можно определить по формуле Рэлея, считая, что форма колебания сов-
совпадает с изображенной на рис. 24.3, а:
B4.12)
Здесь Uо и щ имеют те же значения, что и в формуле B4.11).
Так как форма, изображенная на рис. 24.3, а, не является точной
формой колебаний одномассовой системы, выполняется неравенство
Pi > Pi-
Сравнивая формулы B4.11) и B4.12), находим
B4.13)
B4.14)
197
Если в правой части полученного равенства заменить pt меньшими
значениями pt, равенство превратится в неравенство
Таким образом, приближенная формула Донкерлея
B4.15)
всегда дает преуменьшенное значение частоты.
Рассчитав частоту одной и той же системы по методу Рэлея и по
формуле Донкерлея, мы получим вилку, в которой заключена истин-
истинная частота колебаний.
§ 25. МЕТОД РЭЛЕЯ—РИТЦА
Метод Рэлея—Ритца основан на вариационном принципе Гамиль-
Гамильтона. Согласно этому принципу, для консервативной системы «дей-
«действие», т. е.
(T-U)dt,
имеет стационарное значение. Здесь Т — кинетическая, U — потен-
потенциальная энергия системы. Следовательно, вариация
5 <\(T —
B5.1)
При этом на границах интервала интегрирования координаты не
варьируются.
Снова записывая движение при собственных колебаниях в форме
xt — UiS'mpt и подставляя соответствующие значения Т и U [см.
формулы B4.1) и B4.2)], представляем выражение B5.1) в виде
5 j' _Lp2M cosV — ио si
И = О-
В качестве интервала интегрирования возьмем один период
{fi = О, t2 = 2rjp). Эти значения ti и t2 отвечают условиям приме-
применения принципа Гамильтона, так как xt (t^ = xt (t2) = 0. Учитывая,
что
2-lp 2я/р
j J
приходим к уравнению
u0) = о.
В этом выражении частота р не варьируется.
Зададим форму колебаний в виде ряда
,(!)
¦»
B5.2)
B5.3)
где ат — неопределенные параметры; иг — известные линейно неза-
независимые функции координат (координатные функции), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям закрепления системы. Количество слагаемых, учиты-
учитываемых в выражении B5.3), определяется необходимой точностью
расчета*.
Зная форму колебания, можно теперь подсчитать значения Ш1 и Uo',
эти величины будут квадратичными формами относительно парамет-
параметров аг. Тогда условие стационарности B5.2) приводит к системе урав-
уравнений
- = 0 (г = 1,2,..., k). B5.4)
Уравнения B5.4) являются линейными и однородными относи-
относительно параметров ат. Условие равенства нулю определителя системы
B5.4) представляет собой уравнение частот
Это уравнение k-й степени относительно /А
Заметим, что если в выражении B5.3) для формы колебаний со-
сохранить только одно слагаемое, то единственное уравнение системы
B5.4) будет тождественно с фор-
формулой Рэлея.
В качестве примера рассмотрим
определение собственной частоты
балки переменного сечения на
двух опорах (рис. 25.1).
Располагая начало координат
на левой опоре, можем записать
закон изменения массы единицы
длины балки ш0 и момента инер-
инерции поперечного сечения J в виде
Рис. 25.1
/п0 = /пЛ 1-2/B/)], J = yjl—
где m% = p2bh; J* = 2bhs/l2.
Зададимся формой колебания, Еключающей два параметра:
и (г)'= Oj sin (~z/[) ~ a2 sin Br.z/l).
* Для того чтобы при k -*¦ оорешение задачи стремилось к точному, система
координатных функций должна быть полной.
198
199
Вычисляем:
i I 3 2 g 3 \
= mnu2(z) dz = тЛ\ — a -f a,a,4 a2 ,
.) ° w I 8 ! 9*2 8 2 /
1 с с т ( d " \2 л л Е/* / 3 2 . 32 , с ,\
= — EJ dz = т.* —- — а2 -\ а.а., — 6а2 .
2 J \ dz2 / 2/3 \ 8 х 9*2 ' *¦ ' %
Система уравнений B5.4) получает такой вид:
1 „ , / 3 ,8 \ , EJ, I 3 ,32 > п
— p2m*l — at + ¦—¦ а2 — тЛ —i ¦— at-\- ¦—• а%\ = О,
2 I 4 ' 9*2 2J 2Р I 4 ' ' 9г.2 2|
— p2mJ
¦а,
7-4'
32
?-а1+12а2 =0.
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получим час-
частотное уравнение
3
I— (a2-l) -^(a2 — 4)
4 ; 9г.2 v '
= 0 I а2 =
Корни полученного квадратного уравнения составят а2{ = 0,9913,
аН = 16,14. Следовательно, собственные частоты балки:
=0,9957**
= 4,017-2
§ 26. ПРЯМАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
МАССОЙ. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод Рэлея—Ритца поз-
позволяет свести расчет системы с распределенной массой к расчету более
простой системы с конечным числом степеней свободы. Часто, особен-
особенно при численном расчете, такой переход к системе с конечным чис-
числом степеней свободы выполняется заранее —до проведения расчетов.
Имеются различные приемы перехода от систем с распределенной
массой к системам, обладающим конечным числом степеней свободы.
Простейшим является прием замены распределенной массы системы
тем или иным количеством сосредоточенных масс, участвующих лишь
в поступательном движении соответствующих точек, т. е. не обладаю-
обладающих инерцией поворота. Так, например, при расчете балок и рам дли-
длину отдельных элементов разделяют на участки, причем массу каждого
участка длины / либо сосредоточивают в его середине, либо разносят
по концам, как это схематично показано на рис. 26.1 для участка
постоянного сечения.
200
На первый взгляд может показаться, что схема рис. 26.1, в
сложнее, чем схема рис. 26.1, б, так как масса участка за-
заменяется двумя точечными массами, а не одной. Однако это не так.
При объединении участков массы, соответствующие концу одного и
началу соседнего участков, суммируются, так что при разбиении
балки на п участков на ней будет всего п + 1 точечных масс. С уве-
,mo,EJ
a)
I
6) EJ , mol
Рис. 26.1
Рис. 26.2
личением числа точечных масс, которыми заменяется распределенная
масса системы, растет точность расчета низшей частоты системы и уве-
увеличивается число высших форм и частот колебаний, которые могут
быть изучены.
В качестве иллюстрации на рис. 26.2 приведены расчетные схемы,
которые получаются путем схематизации консольной балки постоян-
постоянного сечения в виде одного, двух и трех участков с массами,
размещенными по концам. Справа на рисунке даны значения
отношения низшей собственной частоты данной схемы к низшей
собственной частоте балки с распределенной массой.
Наиболее общим приемом дискретизации системы с распределен-
распределенными параметрами является метод конечных элементов (МКЭ), при
использовании которого дискретизируются не только инерционные,
но и жесткостные характеристики системы. Описанию метода конеч-
конечных элементов и способам реализации расчетов на ЭВМ с его помощью
посвящена обширная литература (см., например, [24, 38]). Поэтому
ниже приводятся лишь простейшие сведения, позволяющие понять
основные идеи МКЭ применительно к исследованию свободных и вы-
вынужденных гармонических колебаний систем.
Суть МКЭ состоит в том, что конструкция разбивается на элемен-
элементы, связанные между собой в отдельных точках (узлах). Перемещения
узлов (каждый узел может иметь несколько степеней свободы) при-
принимаются за обобщенные координаты системы. Предполагается, что
перемещение любой точки, лежащей внутри s-ro элемента, полностью
201
определяется перемещениями узлов, с которыми связан этот элемент:
f(S)
B6.1)
Здесь ?<s> — какая-либо проекция перемещения точки; xsi — пере-
перемещения узлов, с которыми связан элемент; /Vs> —аппроксимирую-
—аппроксимирующие функции, зависящие от координат точки в элементе. Аппрокси-
Аппроксимирующие функции должны быть выбраны так, чтобы перемещения
изменялись непрерывно как внутри элемента, так и на границах со-
соседних элементов.
Далее вычисляются потенциальная и кинетическая энергии эле-
элемента; они выражаются соответственно через перемещения и скорости
узлов, вычисляется также виртуальная работа внешних сил. Полная
энергия системы получается суммированием энергии всех ее элементов.
Так как рассматривается линейная система, то кинетическая энергия
представляется квадратичной формой в зависимости от скоростей, а
потенциальная —• квадратичной формой в зависимости от смещений.
Если ввести в рассмотрение вектор перемещений узлов х, содержа-
содержащий столько компонентов, сколькими степенями свободы обладают
все узлы конструкции, то потенциальная и кинетическая энергии
могут быть записаны в виде (см. § 12)
Т = — хтх,
B6.2)
причем как матрица жесткости г, так и матрица массыт —симметрич-
—симметричные квадратные матрицы. Размер этих матриц равен числу п степеней
свободы всех узлов системы.
С другой стороны, как потенциальная, так и кинетическая энергия
всей системы представляются суммами соответствующих энергий всех
входящих в нее элементов. Энергия же каждого s-ro элемента выра-
выражается по формулам, аналогичным B6.2):
1 ¦ т (s) ¦
= — хт xs,
B6.3)
где xs—вектор, составленный из перемещений узлов, к которым
примыкает s-й элемент, r(s), m(s) —матрицы жесткости и массы эле-
элемента.
Разумеется, количество компонентов вектора xs меньше, чем пол-
полное число степеней свободы системы п. Можно считать, что недостаю-
недостающие компоненты заменены нулями и матрицы r<s), т^> также допол-
дополнены нулями до квадратных размера п X п. Тогда из формул сумми-
суммирования энергии
следует, что матрицы жесткости и массы всей системы равны суммам
соответствующих матриц для составляющих ее конечных элементов:
г — У r(s) •
т —
B6.4)
202
Формулы B6.2), выражающие потенциальную и кинетическую энер-
энергии системы через узловые перемещения, не отличаются от соответст-
соответствующих зависимостей гл. II. Поэтому и уравнения движения имеют
обычный для системы с п степенями свободы вид A0.6) или A2.23):
тх -г гх = Р,
B6.5)
где Р — вектор приведенных узловых нагрузок.
Системы уравнений движения, полученные методом конечных эле-
элементов, имеют высокий порядок, однако их решение облегчается благо-
благодаря тому, что матрицы от, г содержат много нулей, так как в каждой
их строке имеется лишь столько ненулевых элементов, сколько степе-
степеней свободы имеют все узлы элементов, примыкающих к данному
узлу.
При рациональной нумерации узлов матрицы т, г часто могут быть
сделаны ленточными, т. е. такими, в которых ненулевые элементы
содержатся лишь в нескольких диагоналях, примыкающих к главной.
Из приведенного выше описания видно, что метод конечных элемен-
элементов применительно к расчету свободных колебаний представляет со-
собой разновидность метода Рэлея—Ритца. В самом деле, в этом методе
как и в методе Рэлея — Ритца, фор-
форма колебания задается в виде,
включающем ряд параметров — та-
такими параметрами являются здесь
перемещения узлов. Разница состо-
состоит лишь втом, что в методе Рэлея —
Ритца координатные функции за-
задаются едиными для всей системы
выражениями, а в МКЭ—внутри
каждого элемента принимаются
свои аппроксимирующие функции.
В качестве примера, поясняю-
поясняющего суть метода, рассмотрим рас-
расчет с помощью МКЭ поперечных
колебаний балки. За конечный
элемент примем участок балки
длиной / (рис. 26.3, а), причем бу-
будем считать его нерастяжимым.
Предположим, что перемещения
элемента полностью определяются
поперечными перемещениями и углами поворота его концевых сече-
сечений. Тогда элемент будет иметь четыре степени свободы.
Как видно из рис. 26.3, смещения здесь считаются положитель-
положительными, если они направлены вверх, а углы поворота — если они на-
направлены против часовой стрелки.
Зададимся видами деформации элемента, соответствующими еди^
ничным значениям узловых смещений (рис. 26.3, б) : /1B), /2B), /з(г),
/4(z). При произвольных значениях Xi,...,x4 поперечное перемещение
точки элемента составит
203
Рис. 26.3
1 = *i/i (г) + xj2 (г) + x3f3 B) + xjk (г);
потенциальная энергия деформации элемента
2 J U^i
где
B6.6)
B6.7)
B6.8)
Нетрудно видеть, что Гц являются элементами матрицы жесткости,
так как выражение B6.7) можно представить в виде
1=1 1=1
где
л: =
?/ = — хтгх,
г =
Г33
Кинетическая энергия элемента составляет
где
B6.9)
B6.10)
B6.11)
B6.12)
m0 — масса единицы длины элемента. Сопоставляя формулы B6.11)
и B6.3), видим, что величины т.ц представляют собой элементы мат-
матрицы масс.
Если в качестве аппроксимирующих функций f-t(z) принять формы проги-
прогибов балки постоянного сечения при соответствующих концевых нагрузках, по-
получим:
/3(z) =3 (г/0*-2 (г/0», /4 (г) = / [(г/0> - (г//J]-
Для элемента постоянного сечения по формулам B5.8) и B6.12) получаем следу-
следующие значения матриц жесткости и массы:
от =
B6.13)
204
После того как матрицы жесткости и массы для отдельных конеч-
конечных элементов составлены, формируются матрицы для всей системы.
В соответствии с формулами B6.4) общие матрицы получаются сумми-
суммированием матриц для конечных элементов. При этом суммируются ко-
коэффициенты жесткости, соответствующие одной и той же паре пере-
перемещений. Та же процедура используется и при составлении
общей матрицы массы.
Поясним это на примере соединения балочных элементов (рис. 26.4).
Пусть в узле, номер которого /, соединяются два элемента: s-й и (s 4-
Y
Т I
Рис. 26.4
-f- 1)-й. Узел имеет две степени свободы. Перемещения узла обозна-
обозначим Xji, Xj2 (смещение и поворот). Тогда коэффициенты жесткости, со-
соответствующие строкам ]1, ]2 матрицы г, будут:
ГП, (/-О
,(s)
г
П. /2
- r(s) 4- г
~ 34 I M
'3"Г
(s+1)
12 ;
_ r(S) r r(s)
Г/1.(/-1>2 — V' Г/1.Л~ 33
ГП. G+1)
_ r(s+!>
Г,„ ,, ,», = Г17, ''м /,-_ио — Г42' Г/2,/1
'/2, (/-1I
'41' '/2, (/-1J
(/+1) 2
r
34
1 П ' •
_(s+D
'14
s+1)
Г/2. /2
— '44 i^ ':
(S+D
22 '
г
'23
г = r(s+1)
/2, (/+1J 24
Здесь в правых частях равенств верхний индекс показывает номер ко-
конечного элемента, для которого вычислен коэффициент жесткости,
а нижние индексы соответствуют
формулам B6.10). Элементы общей
матрицы масс вычисляются по
таким же формулам.
Рассмотрим простейший пример
определения частот и форм собственных
колебаний ступенчатой балки (рис.
26.5,а). Каждый из участков постоян-
постоянного сечения будем считать конечным
элементом. Так как концы балки заде-
заделаны, в схематизированной системе со-
сохраняются лишь четыре степени свобо-
свободы, соответствующие поступательным
перемещениям и поворотам сечений А и
В. Нумерация и положительные на-
направления узловых перемещений пока-
показаны на рис. 26.5,6. Матрицы жесткос-
жесткости и масс каждого из участков /, //, /// определяются формулами B6.13), при-
причем для участка //-/ должно быть заменено на 4/, а то — на 2то. Элементы
объединенной матрицы жесткости определяются следующим образом:
205
5)
4-4
4*2 V".
Рис. 26.5
/3
2 • 4EJ
4?/-
3/,
'34 = '34 + ','2I =
D • 6 + 6),
/з
[4 (_ 3/) + 3/], г44 = ,IJ + г™ = -^L D.2/2 + 2/2) .
I3
Здесь нижние индексы в обозначениях коэффициентов жесткости для отдельных
участков соответствуют нумерации перемещений на рис. 26.3,а. Остальные ко-
коэффициенты жесткости определяются условиями симметрии матрицы г. Полная
матрица жесткости получает вид
/
2EJ |
/з
\
' 30
9/
— 24
, 12/
9/
10/2
— 12/
4/2
— 24
— 12/
30
— 9/
12/
4/2
-9/
10/2
г =
Точно так же вычисляется и суммарная матрица массы:
234 11/ 54 — 13/\
то1 | 11/ б/2 13/ — З/2
210 I 54 13/ 234 — 11/
— 13/ — З/2 —11/ б/2
т =
Здесь, например, первый элемент вычисляется так:
тп = /я^з + т]\ =
тЛ
1^-056+2-155).
Отыскивая решение в форме
Для свободных колебаний уравнение B6.5) принимает вид
тх + гх = 0.
х = ucospt,
где и — вектор амплитудных перемещений, придем к уравнению
(г — р2т) и = 0,
которое может быть выполнено в случае det(r—/>2/и)=0. Таким образом, полу-
получим следующее частотное уравнение:
C0 —234s) (9—11s)/ —B4 +54s) A2+13s)/
(9—11s)/ A0 —6s)/2 —A2+13s)/ D +3s)/2 .
I —B4+54s) —A2+13s)/ C0 —234s) —(9—lls)/'~ '
A2+ 13s)/ D +3s)/a —(9—11s)/ A0 —6s)/2
где s = pi
206
Это уравнение имеет следующие корни:
Si = 0,014231; s2 = 0,116514; s3 = 0,941126; s4 = 5,0439.
Соответствующие частоты колебаний pji =
EJ/(molA) составляют:
Pi = -
= 46,027
v-
Ё7~
rnol*
Первая и третья частоты соответствуют симметричным, а вторая и четвертая —
кососимметричным формам колебаний балки (рис. 26.6).
Рассмотренный пример име-
имеет чисто иллюстративный ха-
характер, так как при реальных
расчетах с помощью МКЭ коли-
количество конечных элементов зна-
значительно, а все вычисления,
включая формирование матриц
гит, предусматриваются про-
программой машинного счета. При
1,5 то1
1,5 mn
0,0361
Рис. 26.6
у Ч-ЕО
Рис. 26.7
EJ
большом числе сравнительно малых конечных элементов можно прене-
пренебречь различием скоростей в пределах одного элемента при подсчете
кинетической энергии системы. В этом случае распределенную массу
элемента заменяют сосредоточенными массами в узлах, подобно тому,
как это сделано для балочного элемента на рис. 26.1. В результате
получают матрицу масс диагональной структуры, причем ненулевые
элементы стоят только в строках, соответствующих поступательным
перемешен и ям.
Таким образом, для рассмотренной выше балки переменного сече-
сечения придем к схеме распределения массы, показанной на рис. 26.7.
Система теперь имеет лишь две динамические степени свободы, свя-
связанные с изменением координат xit x3, координаты же хг, х4 (углы по-
поворота узлов) являются безмассовыми. Для того чтобы уравнения
движения были записаны в обычной форме, следует исключить ко-
координаты х2, х± и из выражения потенциальной энергии, преобразовав
соответствующим образом матрицу жесткости. Рассмотрим это преоб-
преобразование в общей форме.
Разделим вектор х на два вектора: Xi и х9 , в первый включены
линейные перемещения масс, а во второй — безмассовые координаты
(углы поворота). Соответствующим образом перестроим и разобьем
на блоки матрицу жесткости:
207
X =
¦рл
Тогда уравнение, связывающее упругие усилия, действующие на узлы
и перемещения, будет иметь вид
rx = q, или
где qi—вектор узловых сил, qf —вектор узловых моментов. При
наличии лишь сосредоточенных в узлах масс вектор q,f равен нулю
и потому
отсюда
"
и для вектора узловых сил получаем выражение
Матрица г* = гп ¦— r^r^ rv; позволяет связать упругие силы только
с линейными перемещениями. Уравнения движения, включающие
только линейные перемещения, получат вид
m*xl + r*xt = Qlt
где Qt — вектор внешних узловых сил.
Произведем перестроение матрицы жесткости для рассмотренного выше
примера. Здесь
-(::)• *.-
После соответствующей перенумерации строк и столбцов матрицы г получим
Гц
г =
<р v .
2EJ
I3
30 —24
—24 30
Обратим матрицу:
91 —12/
12/ —9/
9/ 12/
— 12/ —9/
10/2
4/2
ft /з
и вычислим матрицу г*:
2EJ /10/2 4/2
4/2 10/2
г-1 =
84?/
1—
2EJ
30—24\
-24 3oJ
J_/ 9 I2W 5 — Т-.
42 (—12 —9/ (—2 5
9EJ I 3 —2
/з 1— 2 3
5 -2
9
12
208
Соответствующая диагональная матрица масс
3 , 1
Из условия det (г* — р-т*) — 0 получаем уравнение частот
3-й —2
— 2
3 —
= 0
6?7
Корни этого уравнения «i = 1, а2 = 5 и соответствующие частоты
EJ
«1
1
6?7
то1*
=2,449
/ EJ
-1/
= 5,477
, / EJ
1/
Сопоставляя эти результаты с полученными выше, видим, что при диагональной
матрице масс первая частота определяется с высокой точностью. Существенное
преуменьшение второй частоты связано с тем, что при двухмассовой схеме пере-
переоценивается инерционность среднего участка балки (см. рис. 26.6).
§ 27. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
Метод последовательных приближений позволяет определять фор-
формы и частоты собственных колебаний с любой степенью точности.
Особенно эффективен этот метод при определении низшей частоты
колебаний.
Рассмотрим порядок расчета на примере системы с диагональной
матрицей масс.
1. Задают приближенно форму колебания «|0) (нулевое приближе-
приближение).
2. Определяют силы инерции при амплитудных отклонениях си-
системы:
Ft = [ р<0)? тгиТ
(значение частоты р@) может быть произвольным).
3. Методами строительной механики определяют перемещения ЫгA\
вызванные силами Ft. Значения и*1' представляют собой первое приб-
приближение к форме собственных колебаний.
4. Находят первое приближение для частоты собственных колеба-
колебаний, например, по формуле Рэлея:
2mZ =/)Уг5>«1«10)и}1)/2>П|(и11)J. B7.1)
Далее за исходную принимают форму первого приближения и про-
проводят повторный расчет, в результате которого определяют второе
приближение, и т. д. Частоты при последующих приближениях опре-
определяют по формуле
J
B7.2)
Свидетельством того, что процесс последовательных приближений
209
сошелся, является пропорциональность смещений при г-и и (г + 1)-м
приближениях, т. е. независимость отношения Ui<-r)/ui<-r+l\ от номера
массы г.
Заметим, что если это условие соблюдается, то формула B7.2) для
расчета частоты может быть упрощена:
/+" = р(г) У и?Чи\г+1), B7.3)
причем отношение u(r)/u(r+l) берется в одной из точек системы.
Формулой B7.2) следует пользоваться при расчете частоты, когда
форма и<г+1) существенно отличается от формы и'г) (например, при
первом приближении), формулой B7.3)—при последующих этапах
приближений.
Докажем, что метод последовательных приближений сходится к
первой форме собственных колебаний. В матричной форме процесс
последовательных приближений записывается в виде*
B7.4)
и" ' ' =
„(г)
Н-0
где йи\ й^*'—столбцы перемещений r-го и (г -f- 1)-го приближе-
приближений; S—-матрица податливостей; т—¦ матрица масс.
Заметим, что если й'г) = ий — собственная форма колебаний, то
[см. уравнение A2.34)]
йь = p\bmuh. B7.5)
Разложим форму нулевого приближения по собственным формам:
и10) = ^щ + с,иа -\ B7.6)
Подставим это разложение в уравнение B7.4) для формы первого
приближения:
[ p (ciUi + с%щ +•••)• B7.7)
Воспользовавшись тождествами B7.5), приведем уравнение B7.7)
к виду
с2 (Pi/p2f u2
щ
B7.8)
Сравнивая формулы B7.6) и B7.8), можно установить, что так как
Pi </?2</?з< •••. то форма иП> ближе к первой собственной форме,
чем й@>.
При каждом следующем приближении доля высших форм колеба-
колебания продолжает уменьшаться в отношениях (pjph)% и таким образом
последовательность столбцов й(г* быстро сходится к первой форме
собственных колебаний й4.
* Запись уравнения B7.4) отнюдь не означает, что последовательные приб- |
лижения в самом деле вычисляются по этому уравнению. Результат расчета, !
конечно, не зависит от того, каким образом фактически подсчитываются переме- '
щения «('•+!), вызванные силами р2ти(г).
210
Соответственно и частота, подсчитываемая по формуле B7.2),
быстро приближается к первой собственной частоте.
Очевидно, что если при выборе формы нулевого приближения и<0)
обеспечить ее ортогональность к первой форме собственных колеба-
колебаний, то коэффициент с4 в разложении B7.6) будет равен нулю и расчет
будет сходиться ко второй собственной форме.
При определении второй формы и частоты собственных колебаний
методом последовательных- приближений поступают следующим обра-
образом (предполагается, что матрица масс —диагональная):
1. Путем последовательных приближений определяют с достаточ-
достаточной точностью первую форму колебаний нь
2. Задают нулевое приближение для второй (J ормы в виде
„<°> __ „@) I пи
и — а. -+¦ аии
где й^0) — подходящая форма, а коэффициент а определяется из ус-
условия ортогональности
2>«а'О)«и = о.
откуда
Дальнейшие вычисления не отличаются от вычислений при опре-
определении первой формы колебаний. В результате этих вычислений
находят форму первого приближения йф и соответствующую частоту
колебаний. Следует отметить, что вследствие неточности расчета форма
й<!) может оказаться не ортогональной к первой собственной форме
йь Поэтому, прежде чем переходить к расчету второго приближения,
необходимо ортогонализировать »ф и в качестве исходной для вто-
второго приближения принять форму
и'
где
1=1 / - -
Метод последовательных приближений пригоден для вычисления
третьей и высших форм и частот собственных колебаний. Нужно лишь
каждый раз задаваться формой колебаний, ортогональной ко всем
предыдущим собственным формам. Однако для частот выше второй
этот метод в таком виде применяется редко вследствие сложности
вычислений и медленной сходимости.
С помощью метода последовательных приближений можно вычис-
вычислить любую собственную частоту и собственную форму системы, вос-
воспользовавшись приемом сдвига спектра частот, изложенным в § 13
(см. с. 107). В самом деле, из формулы B7.8) следует, что метод схо-
211
8- = r~l =(r — (sPtnT1 = (8~» — со2
\-i
B7.9)
дится к той форме колебаний, которой соответствует минимальная
по модулю частота. Поэтому если с помощью сдвига спектра сделать
квадрат частоты, соответствующей искомой собственной форме, мини-
минимальным, то расчет будет сходиться именно к этой форме.
Пусть нас интересует форма колебаний, квадрат частоты которых
близок к со2. Тогда следует вместо заданной рассмотреть модифициро-
модифицированную систему, матрица жрхткости которой
/•* = /• — со2/я,
где гит — матрицы жесткости и массы заданной системы. (В данном
случае в отличие от § 13 к системе присоединяются отрицательные
жесткости.)
Как показано в § 13, собственные формы модифицированной и за-
заданной систем одинаковы, а квадраты частот отличаются на со2:
Следовательно, наименьшая по модулю частота модифицированной
системы отвечает той форме колебаний, квадрат частоты которых (в за-
заданной системе) ближе всего к со2. К этой форме и будет сходиться ра-
расчет модифицированной системы методом последовательных прибли- ]
жений. j
Сам расчет модифицированной системы выполняется обычным спо- '
собом в соответствии с формулой B7.4) й<г+1) -—[р^гЦгЪ ти(г), причем |
матрица податливости модифицированной системы
где S —матрица податливости заданной системы.
Последовательные приближения для квадрата частоты можно опре-
определять по формуле Рэлея:
или проще:
где Ut — перемещение в характерной точке.
Заметим, что модифицированная система неустойчива. Поэтому
р2.,. может быть как положительным, так и отрицательным. Соответ-
Соответствующая найденной форме колебаний частота заданной системы
составляет
р = |Ло2+Р*. B7.10)
Большей частью для определения перемещений на каждом этапе
последовательных приближений используют численные методы инте- ,
грирования уравнений деформации, реализуемые на ЭВМ или с по- |
мощью ручного счета. Ниже рассмотрен пример расчета частоты соб- \
ственных колебаний консольной балки переменного сечения j
(рис. 27.1). '
212
Последовательность вычислений при ручном счете такова:
1. Задают исходную форму колебаний.
2. Вычисляют интенсивность сил инерции в каждом сечении:
где р'-0'1 — произвольно заданная частота; то —масса единицы длины
балки.
Рис. 27.1
3. Подсчитывают поперечную силу в каждом сечении:
B7.11)
Пределы интегрирования выбраны так, чтобы обеспечить выпол-
выполнение граничного условия Q(l) = 0.
4. Интегрированием находят изгибающий момент в сечении:
M(z) = — fQdz.
6. Определяют угол поворота касательной:
B7.12)
Пределы интегрирования здесь также обеспечивают выполнение
условия М{1) = 0.
5. Определяют кривизну упругой линии балки в каждой точке:
B7.13)
[тельной:
0=[xdz. B7.14)
о
Эго выражение также удовлетворяет граничному условию 0@) = 0.
7. Вычисляют прогиб первого приближения:
u(I)=J0ck.
о
8. По формуле B7.1) вычисляют частоту собственных колебаний.
На этом заканчивается расчет первого приближения. Второе и по-
последующие приближения рассчитывают в той же последовательности.
Подробности вычислений видны из числового примера.
213
8 sUi) J
о
о
о
с
LO
о
о
о
eg
с
о
о
о.
о
о
LO
СО
о
СО
ю
eg
с
о
со
СО
о
СО
СО
о
LO
eg
4
\o
— en
о о
о о
ю
85
о
eg
о
eg
о
(I) @)
.-OWZO'1-w
*Р ?
'гР = ,«
eg oo со
со
t
СП ~
eg о
eg —
GO 00
— СО
eg
eg
eg
со
oo
CM
СП
о
LO
со
СП
СО
гз
=
i-OI-iZO'I'i-" '
i-01-iZO'I
;
0
. f_
J
га
w
¦и-н
о
eg
00 СО
eg
784
СО
eg
со
•о-
_^
eg
532
СО
о
СО
LO
сл-
след
eg
394
СП
СО
со
СО
со
eg
eg
со
eg
eg
СП
со
eg
eg
eg
425
CO
LO
CO
CO
eg
СП
СП
343
_^
о
CO
CO
eg
со
СО
821
eg
со
СП
eg
ю
eg
387
CD
CO
CO
CD
587
LO
00
eg
CO
LO
eg
956
^^
о
CO
CO
о
о
Пример. Требуется определить низшую частоту колебаний бруса представ-
представленного на рис. 27.1 (лопатки газовой турбины).
Решение. Разделив брус на 10 участков равной длины по Л = //10 =
t, = 2,04 см., для каждой точки деления определим момент инерции J и площадь
] f поперечного сечения. Соответствующие значения жесткости HJ и массы едини-
! I цы длины то выписаны в графах 2 и 3 табл. 27. 1, причем принято
р = 7,8-103 кг/м3, Е = 2. Юн Па.
В качестве нулевого приближения формы колебаний, удовлетворяющего
геометрическим граничным условиям, принята парабола
@)
1С ' (г) = (z//J.
Значения и@) приведены в графе 4 табл. 27.1.
Исходя из произвольно заданной частоты р@) = 400 с, в гра-
графе 5 табл. 27.1 подсчитана интенсивность нагрузки
oi-zo'i-H
СО СО CN О
со —i eg сп
со со lo eg
oo eg
о
со
oo oo oo
t~~ со t^-
eg t^ lo
—¦ со сп
ю со — о
-t It I 11
«01
(o)nj z @) ]
г-01-и
i-И-Н
@)
'@)"
о
г-, eg
о
о
о о"
о
о
о
о
831
о
СП
о
о*
,265
о
СО
о
,387
о
LO
eg
о"
,521
о
СО
со
о
639
о
СП
о
795
о
со
о*
,921
о
СО
о"
,036
о
о
—*
г-01•i
01
ги-н '
«-0ГИ
гч
'2
о
со
eg
со
со
LO
-
О
eg
eg
со
о
о
со
СП
СО
СО
О0
о
•ч-
со
СП
о
f~
о
со
eg
СО
eg
со
о
3
eg
СО
00
О0
СО
о
о
eg
о
eg
10
о
СП
со
СО
—
eg
12
о
со
со
О0
eg
S
о
о
—
eg
со
со
<м
о
СО
со
00
СО
со
fe
о
о
о
см
214
Графа 6 таблицы служит для вычисления поперечной силы:
Интегрирование выполняем по формуле трапеций, так что значение —0 для
сечения г; определяется как
- Ql = — Dk
2qk_2 +¦¦¦+ 2qi+1
где k — последняя точка деления, соответствующая свободному концу бруса
Вынося Л/2 = 1,02. 10 2м в общий множитель графы 6, можно определять
цифры этой графы простым суммированием по схеме кольца. Так например что-
чтобы получить число 3,673, стоящее в девятой строке графы 6, нужно к ниже стоя-
стоящему числу 1,957 добавить числа 0,921 и 0,795, как это схематически показано
стрелками в табл. 27.1.
Далее, точно таким же образом по формуле B7.12) подсчитываем изгибаю-
изгибающий момент, значения которого приведены в графе 7 таблицы. Изгибающий
момент в каждом сечении делим на жесткость (графа 8) и полученную вели-
величину интегрируем для определения угла поворота касательной к упругой линии
(см. формулу B7.14)].
Вычисление 0 = du/dz (графа 9) снова производим суммированием по схе-
схеме кольца, но теперь уже сверху вниз. Интегрируя таким же образом еще раз,
находим первое приближение ыA) (графа 10). В графах Пи 12 вычислены произ-
произведения то«@)ы<1) и mo[u(D]-2. По правилу трапеций определены интегралы
Г @) A)
J тйи- ' ик dz = 14,9 . 10"' кг • м2,
кг-м2.
Первое приближение для угловой частоты собственных колебаний вычисля-
вычисляется по формуле B7.1):
= 40°
215
Для следующего приближения следует повторить вычисления, использовав
в качестве исходной полученную форму к(').
Второе приближение приводит к значению угловой частоты рB)= 575 с
Если для расчета пользоваться не формулой B7.2) , а формулой B7.3), то
для первого приближения получим р = ?94 с (вместо 597 с), а для второго
приближения/? = 576 с (вместо 575 с). В формулу B7.3) внесены прогибы
при z = /. Таким образом, если ограничиваться одним приближением, целесо-
целесообразно пользоваться фор мул ой B7. 1),апри нескольких приближениях можно поль-
пользоваться более простой формулой B7.3) , так как при этом отпадает необходи-
необходимость в вычислении граф 11 и 12 расчетной таблицы.
В рассмотренном примере при определении прогибов удалось
благодаря соответствующему Еыбору пределов интегрирования сде-
сделать равными нулю все пос-
постоянные интегрирования. При
других граничных условиях
этого сделать не удается.
Рассмотрим, например, поря-
порядок ручного расчета балки
I
Рис. 27.2
переменного сечения на двух
шарнирных опорах (рис.
27.2).
В этом случае после определения интенсивности нагрузки (графа
5 расчетной таблицы) вычисляют поперечную силу с точностью до
неизвестной постоянной, равной опорной реакции:
z
Q(z)-Cl=\qdz.
Интегрирование выполняют численно сверху вниз. Затем пов-
повторным интегрированием вычисляют величину
Л (г) = j [ Q (г) - С,] dz = М (г) - С,г.
о
Доведя интегрирование до крайнего правого сечения и учитывая,
что момент в этом сечении равен нулю, находят величину
С, = -Л (Q/Л
после чего в соответствующую графу таблицы заносят значение момен-
момента
Затем определяют кривизну: х = MKEJ).
Вычисление прогибов ведут таким же образом: сначала интегри-
интегрированием находят
6и
dz
— С, = xdz,
216
затем после повторного интегрирования определяют
/2 (г) = f Г— — С21 dz = и (г) — С2г.
6 L dz J
Константу С2 находят из условия закрепления правого конца
стержня:
С2 = -1,AI1,
после чего вычисляют прогибы в любом сечении:
В остальном расчет не отличается от расчета консольного стержня.
Приведем расчет собственной частоты рассмотренной выше кон-
консольной балки с применением ЦВМ. В этом случае вместо последова-
последовательного вычисления интегралов целесообразно определять прогибы
интегрированием системы дифференциальных уравнений первого по-
порядка:
11 ^L JL M *
dz
dz
EJ
dz
dz Ч
Для расчета прогибов при заданной нагрузке нужно выполнить
всего четыре интегрирования системы B7.15). Сначала дважды инте-
интегрируется однородная (т. е. при q = 0) система уравнений при сле-
следующих начальных условиях в заделке:
1) M0) = 0; 0,@) = 0; Af.^l; Q,@) = 0;
2) и2@) = 0; 62@) = 0; М2@) = 0; Q2@)=l.
В результате этих расчетов вычисляются и запоминаются значения
М и Q в сечении г = /: Mi(l), Qi(/), M2(/), Q2(/), где индекс означает
номер интегрирования.
Далее интегрируется уже неоднородная (т. е. с учетом 17) система
B7.15) при нулзвых начальных условиях ы3@) =0; 63@) =
= 0; Мз@) = 0; Q3@) = 0 и вычисляются значения М3@ и <Эз(О-
Так как общее решение системы B7.15), удовлетворяющее гранич-
граничным условиям при z=0, можно представить в виде
u = Ciui(z) + C2u.2{z) + u3(z),
где Ci и С2 — постоянные, то условия равенства нулю момента и по-
поперечной силы на свободном конце стержня имеют такой вид:
Отсюда находят значения Сь С2, равные соответственно изгибающему
моменту и поперечной силе при г — 0:
C1=[M2(/)Q3(/)-Qi(/)M3(/)]/A;
217
Теперь значения всех переменных при 2=0 определены, и окон-
окончательное их значение в любом сечении находят с помощью еще одного
интегрирования системы B7.15) при начальных условиях
ы@) = 0; В@) = 0; М @) = С,; Q@) = C2.
Обратим внимание на то, что интегрирование однородных уравне-
уравнений надо выполнить только при расчете первого приближения. Най-
Найденные значения Mi(t), Qi@> МгA), Фг(О> А используются затем при
расчете всех последующих приближений. Поэтому при каждом при-
приближении, кроме первого, выполняются всего два интегрирования.
Ниже приведена простейшая программа решения рассматривае-
рассматриваемой задачи на ЦВМ типа «МИР-1». Интегрирование выполнено мето-
методом Эйлера с постоянным шагом, равным ^ пролета. Значения про-
прогиба при окончательном интегрировании запоминаются в тех же узло-
узловых точках, в которых проводились вычисления в табл. 27.1. По этим
значениям, приведенным к прогибу на конце, равному единице,
рассчитываются интенсивности нагрузки для следующего прибли-
приближения.
В промежуточных точках нагрузка и жесткость EJ определяются
линейной интерполяцией. Для организации вычислений использова-
использованы три символа: Щ, J, К,. Щ —номер интегрирования. При Щ = 1
и Щ = 2 интегрируются однородные уравнения, при больших Щ —¦
неоднородные. При этом нечетным значениям Щ [f(—~—) = 0,
где F ¦—целая часть числа] соответствуют частные интегралы неодно-
неоднородного уравнения, а четным — интегралы, удовлетворяющие гра-
граничным условиям. При Щ —4, 6, 8,... машина выдает значения ча-
частоты, подсчитанные по формуле B7.3), и значения прогибов в узло-
узловых точках. Счет прекращается после выполнения N3 интегрирова-
интегрирований. J — номер узловой точки и следующего за ней участка (J =
= 1, 2,...,Nl), К —номер шага интегрирования в пределах участка
между узлами (К = 1, 2,..., N2).
Массив U[I](I = 1,...,4) используется для записи компонентов
вектора состояния (и, 6, М, Q)- Массивы EJIJ], P[J], Q\J], V[J]
служат для записи значений жесткости, погонной массы р/7, интен-
интенсивности инерционной нагрузки и прогиба в узловых точках.
Значения числа узловых точек N\, числа шагов на каждом участке
N2, абсциссы начальной ТО и конечной 77( точек интервала интегри-
интегрирования, значения жесткости и интенсивности массы в узловых точ-
точках указываются в описательной части программы.
В текст программы длина балки внесена увеличенной в 100 раз
{ТК, =20.4). Поэтому частота колебаний выдается уменьшенной в
104 раз. Частота обозначена идентификатором Я =р-10.
В программе предусмотрены четыре последовательных прибли-
приближения. Они дают следующие значения частоты: рО) =594,1 с,
р<2> = 578,6 (Г1, р<3> = 578,2 с, р<4> = 578,2с. Как видно, расхож-
расхождение между результатами ручного и машинного счета невелико.
218
Программа расчета частоты собственных колебаний
консольной балки на машине «МИР-1»
«РАЗР» 6.
н = (ТК—TO)((N1 — 1) X N2); Щ = 0; U[3] = 1; U[4] = 0;
«ДЛЯ» J = 1 «Ш»1«ДО» Ш«ВЫП» V[J] = ((J —1)/(N1 —I))t2;
1 «ДЛЯ» J = 1«Ш»1«Д0»Ш «ВЫП» Q[J] = P[J] X V[J] X П X П;
2. Щ = Щ 4- 1; Т = ТО; 1Д1] = 0; U[2] =0; К = 0; J = 1;
3. С = K/N2; EJ = EJ[J] X A—С) + EJ [J + 1] X С;
Q = («Е»Щ < 3«ТО»@)«ИНА» (Q[J] X A—С) 4- QU + Ч X Q);
R[l] =.U[2]; R[2] = U[3]/EJ; R[3] = U[4]; R[4] = 0;
«ДЛЯ»1 = 1«Ш»1«ДО»4«ВЫП» U[I] = U[I] + H X R[I]; К = К + U
«E»K< N2«TO»(«HA»3); J =J 4- 1;
«Е»Щ > 3«TO»(«E»F(LU,/2) = 0«TO» (V[J] = U[l]));
«E» J<N1«TO» (K = 0; «HA»3);
«Е»Щ = 1«TO» (Al = U[3]; Bl = U[4]; U[3] = 0; U[4] = 1; «HA»2);
«Е»Щ = 2«TO»(A2 = U[3]; B2 = U[4]; ОПР = Al X B2 — A2 X Bl;
U[3] = 0; U[4] = 0; «HA»2);
«E»f ((Щ 4- l)/2) = 0«TO» (A3 = U[3];
U[3] = (A2 X U[4] —B2 X 1ЛЗ]).'ОПР;
U[4] = (Bl X A3 — Al X Ь'[4])/ОПР; «HA»2);
«Е»5(Щ/2) = 0«ТО»(П = П/>ЛAД1]);
«ДЛЯ» J = 1«Ш»1«ДО»Ы1«ВЫП» V[J] = V[J]/V[N1];
«ВЫВ»Щ, «ПР»2,П; «BbIB»«MACC»V;
«Е»Щ = ЫЗ«ТО»(«СТОП»); «НА»1)
«ГДЕ» N1 = 11; N2 =¦ 10; N3 = 10; TO = 0; TK = 20.4; П = 5Ю—2;
EJ[ 11] = 53.3, 44.3, 36.9, 30.7, 25.4, 20.7, 16.6, 13. 1, 10.0, 7.8, 5.7;
P[ll] = 1.28, 1.224, 1.160, 1.096, 1.032, 0.968, 0.904, 0.840, 0.776, 0.712, 0.648;
V[ll]; Q[ 11]; U[4]; F[4] «КО»
§ 28. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ
БЕЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМ ЕЕ КОЛЕБАНИЙ
В настоящем параграфе дан вывод формул, позволяющих вычис-
вычислять собственные частоты системы, не составляя и не решая векового
уравнения. В основу расчета положим матричное уравнение A2.28)
для столбцов амплитудных перемещений
(Zm — p~2E)a = 0. B8.1)
Собственные частоты определяются из векового уравнения
А A/р2) = det Eт — р~2Е) = 0.
В развернутом виде это уравнение можно записать так:
Д A //?*) = A//за)" — S4 A //г*)" -| [-В0 = 0. B8.2)
Как нетрудно видеть, коэффициент В4 представляет собой сумму эле-
элементов главной диагонали матрицы:
А = Ьт. B8.3)
Эта сумма 'назызаетсл следом (Sp) матрицы А:
B8.4)
219
В случае диагональной матрицы масс
Л = Ът =
О т„
В,= l/p\ + 1/plH г 1//J».
Приравнивая различные выражения Ви найдем
B8.6)
Правая часть равенства представляет собой убывающую последова-
последовательность существенно положительных чисел. Поэтому, пренебрегая
всеми слагаемыми, кроме первого, получим оценку низшей собствен-
собственной частоты:
В случае диагональной матрицы масс эта оценка
совпадает с оценкой по формуле Донкерлея.
Для получения более точных оценок найдем предварительно вы-
выражение матрицы Л = Ът через собственные ее векторы и собствен-
собственные числа.
Для каждого собственного вектора й. справедливо тождество
Ътаг — ujp2r.
B8.7)
Составим матрицу U, столбцами которой яел^ются собственные век-
векторы:
220
B1 = SpA = mlbil + mAi+---+mnbnn. B8.5) yi
На основании теоремы Безу характеристический полином B8.2)
может быть выражен через свои корни (т. е. обратные квадраты соб-
собственных частот):
ДA//з2) = A/р*— \/р\)A/р*— \1р\)...(\1р* — \1р%).
Отсюда видно, что коэффициент при A/р2)"-1
.. Uin
2n
= (и11и21...
\uni Unf"Unn
Так как для каждого столбца матрицы U справедливо уравнение
B8.7), то для матрицы в целом справедливо аналогичное уравнение,
которое можно записать в следующей форме:
Ъти=ип, B8.8)
где
О
\1р\.
о
\lpl/
¦— диагональная матрица, составленная из обратных квадратов соб-
собственных частот.
Умножив обе части равенства B8.8) на обратную матрицу (Г1,
выразим матрицу Ът = А через ее собственные числа и собственные
векторы:
А = Ът = UDU1. B8.9)
(Матрица U — не особенная в связи с тем, что ее столбцы удовлетво-
удовлетворяют условиям ортогональности.)
Возведем матрицу А в квадрат:
Л2 = UDUWDU1 = UD2UK
B8.10)
Заметим, что
'Мр\ О
\1р\
О
Сопоставляя формулы B8.9) и B8.10), видим, что собственные век-
векторы матрицы Л2 совпадают с собственными векторами матрицы Л,
а собственными ее числами являются величины 1/рД
Точно так же, возведя матрицу Л в любую степень v, установим,
что собственными числами матрицы Лv являются величины 1/рг2*
(г = 1, 2,..., л).
Для матрицы Л4 также справедливо уравнение типа B8.6), связы-
связывающее ее след с собственными числами:
B8.11)
г=1
Ряд в правой части раиенстЕа B8.11) сходится тем быстрее, чем
больше v, и при v-^oo
SpA"-+l/pT. B8.12)
221
Вычисление следа матрицы Л7 не представляет значительных
трудностей. Обозначая Sp^v=Bv, будем иметь, например, при
диагональной матрице масс:
иЬ,
B8.13)
В3 = Sp Л3 = У У V
m,m;mft8fAAi
и т. д. При числовом расчете проще не пользоваться готовыми форму-
формулами для следов Bv, а фактически возводить матрицу А в степень v,
после чего вычислять сумму элементов главной диагонали.
Соотношение B8.12) позволяет получить следующую прибли-
приближенную формулу для низшей собственной частоты:
, B8.14)
причем эта формула определяет нижнюю границу частоты, так что
в действительности pi>y 1/Б, .
Формула B8.14) тем точнее, чем больше v: при v = 1 она совпа-
совпадает с формулой Донкерлея.
Для двусторонней оценки частоты рассмотрим следы матриц
А* и А (вторая из матриц получается возведением в квадрат пер-
первой) — В, и В2ч'-
B2, = l/pt + l/pt" + l/pf + •¦¦
Возведя Bv в квадрат и вычитая ?2v, получим
2/1,1, \ , 2
B8.15)
Bl — В2, =
отсюда
¦+
В,,—-
9м
Р2
где е — положительная величина порядка 2/(p%'pl'').
Решим полученное квадратное уравнение относительно 1/р2^
l/pf = V2 [В, + V 2В2,-В1+2г ] .
222
Отбрасывая здесь е, получаем верхнюю оценку для низшей собствен-
собственной частоты:
Pl<V 2/(B, + /2B2v-B;).
Таким образом, вычислив Bv, ?av, можно определить следующие
границы первой частоты:
У 1/В2(</г1<У 2/(B, +
B8.16)
При этом нижняя граница определена с неточностью порядка
(p1//o2LVDv), а верхняя — с неточностью порядка [рУ(р2р2)]2''/Bч) по
сравнению с единицей.
После того как первая частота собственных колебаний определена
с достаточно высокой точностью, можно перейти к вычислению вто-
второй частоты.
Путем анализа зависимостей B8.15) можно убедиться, что для оцен-
оценки второй частоты (р2) в формулы B8.16) следует вместо В-, и 52v
внести величины 5* = В.,—1/pf, В*2-> = В2-,—l/p>i4v. Если
pi определено абсолютно точно, то после такой замены формула B8.16)
даст границы второй частоты. Если имеются лишь приближенные
значения pi,TO в левую часть неравенств B8.16) следует подставлять
верхнюю оценку pit а в правую — нижнюю.
Аналогичным образом можно далее определить и границы после-
последующих частот. Для получения границ частоты ри следует в формулы
B8.16) вместо Вч и ?г-< вносить
л—1
D D
1
г=1
k—l
Г) "^ _J
r=l Pr
Однако границы для высших частот получаются широкими, а вы-
вычисления затруднительны в связи с необходимостью подсчета малых
разностей. Для получения надежных оценок высших частот предыду-
предыдущие частоты должны быть вычислены с существенно большей точ-
точностью (за счет больших значений ч).
Если ограничиться только вычислением следов Bi и Б2. то по
формуле B8.16) получим следующие границы первой частоты:
B8.17)
Для второй собственной частоты, зная В\ и В2, можно установить
только нижнюю границу:
V vfa-
)¦ B8.18)
Рассмотрим пример для балки с тремя грузами, рассчитанной выше
(см. с. 103):
г> » , ... * , ... » 131 ml3
ОООО C.J
223
Вг = т\ 5и
т\
т\
з + 2 (
14473
т2/"
C888J (?/J "
Подставляя эти значения в неравенства B8.17), находим
5,685 VEJI{ml3) < Pi < 5,698 УЕЛ{т13).
Точное значение частоты, вычисленное выше, составляет
Pi = у C888/120) [ЕЛ{т1*>] = 5,692 У ЕЛ {ml3).
По формуле B8.18) определяем нижнюю границу второй частоты:
р2> 19,07 УЕЛ{тР).
Точное значение:
р2 = 22,045 У ЕЛ {ml3).
Приведенные формулы для частот собственных колебаний могут
быть использованы и для систем с распределенной массой. В этом
случае системы алгебраических уравнений типа B8.1) переходят в
интегральные уравнения. Формулы B8.16)...B8.18) можно полностью
применить и в этом случае, если при подсчете следов В., в формулах
B8.13) заменить суммирование интегрированием. Так, например,
для балки переменного сечения
/ I 2
Вг = f f m0 (zO m0 (z2) 8
о о
I I I
m, (?i) m0 (z2) m0 (z3) 8Z ^B^^Bj^dZidz.dzg
обо
и т. д., где mo(z)—интенсивность массы балки в соответствующем
сечении; 8Zizj —перемещение в сечении zt от единичной силы, при-
приложенной в сечении zj.
В качестве примера рассмотрим определение частоты собственных колебаний
консольной балки постоянного сечения с присоединенной к ее концу массой т,
учитывая распределенную массу балки интенсивностью то. Так как здесь имеют-
имеются как распределенная, так и сосредоточенная массы, Bi и б2 определяются фор-
формулами
п т. 1° , ,,
Bl = ffliu + J m/l2zuz ,
о
/ / /
2 '• 2 '» i 2 2
В-2 = ffl2o -f- 2/71 \ tri^b dz -f- I \ tftJ3? z d^-d^i*
ob
224
Подынтегральная функция в последнем интеграле является симметричной,
поэтому интегрирование по квадрату 0<z<:/; 0<гх</ можно заменить интег-
интегрированием по треугольнику 0 <: z <: zx; 0 <: zx <: /:
2 2
B
/г,
r> n 2 2
0 0 0 0
Коэффициенты влияния имеют значения:
S2iZ =[l/F?J)]z2CZl-z)
После интегрирования получаем:
I
m0
3?/
о
2т т$
9(?/J + 36 (?/J
12?/
i
г2 C/- г),
4т
z4C/— zJdz
-f
2ml
36
о о
5040
%f[
33 + 264
m
+ 560
mol
Теперь можно по формуле B8.17) определить границы первой частоты при
любом отношении m/(mol). В частности, если груза на конце балки нет (т = 0),
получим:
Вх = m0l*!(l2EJ), Вг = C3/5040) [^
откуда, согласно неравенствам B8.17),
3,5154 УЕЛ(шо1*) < Рх < 3,5162 УElJ(mJ*) .
Для второй частоты по формуле B8.18) получаем
Точное значение:
р2 = 22,0 УЁТ/(щЩ
§ 29. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОДАТЛИВОСТЕЙ
И ДИНАМИЧЕСКИХ ЖЕСТКОСТЕЙ
При исследовании гармонических (свободных или вынужденных
колебаний сложных систем их часто удобно разделять на более про-
простые подсистемы. Отделение (изоляция) подсистем друг от друга мо-
может быть достигнуто либо устранением связей между ними (метод
динамических податливостей), либо, наоборот, введением дополни-
дополнительных связей, запрещающих перемещения общих точек (узлов)
подсистем (метод динамических жесткостей).
8—318 225
ф
Xcosvt
В первом случае по направлению отброшенных связей приклады-
прикладывают их реакции, которые затем определяют из условий совместности
деформаций подсистем. Эти искомые реакции также меняются по гар-
гармоническому закону. Во втором случае закрепленным узлам сообща-
сообщают гармонические перемещения, величины которых определяют за-
затем из условия равенства нулю суммарных воздействии на узлы.
Таким образом, имеется полная аналогия между методом динами-
динамических податливостей (жест-
костей) и методом сил (пере-
¦м мещений) в строительной меха-
Ц zi:gi нике. Разница состоит в том,
что в строительной механике
рассматриваются статические,
а здесь гармонические воздей-
воздействия на систему. Поэтому рас-
рассматриваемые в настоящем па-
параграфе методы часто называют
методами гармониче-
гармонических коэффициентов
влияния.
Наиболее просто удается
использовать эти методы, если
система разделяется на две под-
подсистемы путем устранения од-
одной связи или внесения одной
Рис. 29.1 дополнительной связи. Рассмот-
Рассмотрим несложный пример. Требу-
Требуется определить собственные частоты и формы колебаний си-
системы, состоящей из консольной балки с равномерно распределенной
массой и груза т, связанного с балкой и основанием пружинами,
массой которых можно пренебречь (рис. 29.1, а). Для определенности
обозначим: масса единицы длины балки т0, жесткость сечения EJ,
масса груза т = то1, жесткость каждой из пружин с = 3EJ/13.
Расчленим систему на две подсистемы: А — балку и Б — груз
с пружинами (рис. 29.1, б). Взаимодействие между подсистемами
осуществляется вертикальной силой, изменяющейся при собственных
колебаниях системы по гармоническому закону Xcosco^.
Условие совместности деформаций в связи с линейностью системы
имеет вид
XDA)(co)-t-XDB)((D) = O,
где D(')(u)) иО<2)(и) —динамические податливости балки и подсистемы,
состоящей из груза и пружин, т. е. амплитудные перемещения точек
приложения силы X при действии единичной гармонической силы.
Таким образом, частотное уравнение системы можно записать в j
виде
D(I)(co) +
226
Следовательно, частоты собственных колебаний заданной системы
можно найти, если известны динамические податливости подсистем.
Рассматривая нагружение балки силой 1-cosco^ (рис. 29.2, а)
и представляя перемещения ее в виде
x(z, t) = u(z)cos at,
получаем для амплитуд-
амплитудной функции и(г) выра-
выражение
B9.1)
,EJ
(а = Ym
Рис. 29.2
Постоянные определяем из граничных условий:
2=0: и = 0; du/dz = 0,
z = /: dVdz2 = 0; d3u/d23 = — 1 /(EJ).
Отсюда Ct = 0; C2 = 0;
a3?M)]7t2(X); C4 = -[l/^EJA)]^^
=K2i (>.) —Кг (X)Kk (>-) = 1/2 A + ch/. cosX)
C3 =
Таким образом, амплитудные перемещения определяются выраже-
выражением
и = [ 1/(а3?/Д)] [К2 (/.) К3 (otz) - К, (>-) Кл («)].
Перемещение при z = 1 равно динамической податливости DA)(co):
DA) (со) = [ 1/(а3?/Д)] [Кг (>.) /С3 (>0 - Ki Q) К, (Щ.
После упрощений получаем
.у1), , I3 I chAsinA — bhAcosA
EJ Аз 1 +chAcosA '
B9.2)
где зависимость податливости от частоты входит только через безраз-
безразмерный параметр X. Теперь рассмотрим груз с пружинами
{рис. 29.2, б). Для этой системы с одной степенью свободы находим
амплитудное перемещение конца верхней пружины (податливость):
B9.3)
227
с 1 — т<л21с
г
При этом амплитудное перемещение груза составляет
— — 1
с 1 — т«>21с
Учитывая выражения жесткости пружин и массы груза через ,
жесткость и массу балки, указанные в условии задачи, можем выра- 1!
зить D2(co) также через параметр X:
3 EJ 1 — Х4/3
Рис. 29.3
Для определения собственных частот системы из уравнения
Г>A)(&>) + DB)(co) = 0
используем графический метод.
В координатах у, Црис. 29.3) строятся кривые у = DA)(X) и г/=
= —DB)(X). Точки пересечения этих кривых соответствуют собст-
собственным частотам системы:
= 2,05
р2 = 5,07 /?У/(т0/4), Лз = 22,4
Последующие корни с достаточной точностью определяются зна-
значениями
Рк = (Ы/2JУШ7ЩЛ (? = 4,5,6,...).
228
Из графика рис. 29.3 видно, что движение груза т существенно
только при первой и второй формах собственных колебаний. Все по-
последующие корни частотного уравнения соответствуют значению
?И2) я^ с1, т. е. неподвижному грузу т.
Построение на рис. 29.3 позволяет установить границы низшей
частоты колебаний системы, а именно эта частота всегда заключена
между собственными частотами подсистем.
Для подсчета динамических податливостей можно использовать
формулу A5.16), выражающую динамическую податливость через
статическую, резонансные р и антирезонансные Q частоты системы:
В(со) = 8 п0- °») .
Для груза с пружинами это выражение сразу приводит к точной
формуле B9.3), так как здесь б = 21с, имеется одна резонансная ча-
частота р = Ydm и одна антирезонансная, соответствующая частоте
собственных колебаний системы' с закрепленным верхним концом
пружины Q = У2с/т.
Для балки, статическая податливость которой б = /3/C?7), име-
имеется бесчисленное множество собственных частот и частот антирезо-
антирезонанса. Резонансные частоты —это собственные частоты консольной
балки, антирезонансные •— балки, заделанной на одном и опертой
на другом конце. Таким образом, пользуясь результатами, получен-
полученными в § 18, находим резонансные частоты:
рк = А*Р УЕЛ(то1*); Х1р = 1,875; Х2р = 4,695 и т. д.;
антирезонансные частоты:
Qk = l2ka VEJIimJ*); \a = 3,927; Х2а = 7,069 и т. д.
Так как значения p2k и Q2h быстро возрастают с номером, то для
представления динамической податливости DW>(a) в области не слиш-
слишком больших частот ш достаточно удержать в бесконечных произве-
произведениях лишь несколько первых сомножителей. Так, сохраняя в чис-
числителе один, а в знаменателе ¦—два сомножителя, получаем приб-
приближенно
_(Х/3,927L
3EJ [1 — (А/1,875L] [1 — (Xy4,6S5L]
В пределах изменения X на рис. 29.3 приближенные значения ди-
динамической податливости практически не отличаются от точных и
приводят к тем же значениям трех первых собственных частот системы.
Поэтому, если целью расчета является определение только низшей
или нескольких низших частот собственных колебаний системы, вполне
допустимо использовать приближенные выражения динамической
податливости подсистем.
В качестве второго примера рассмотрим определение частот соб-
229
ственных колебаний Г-образной рамы с распределенной массой
(рис. 29.4, а). Расчленим систему, врезав шарнир в угловой точке*
(рис. 29.4, б), и приложим гармонический момент 1-cosco/. Частотное
уравнение снова имеет вид
D(I) (со) + DB)(co) = O,
где D'1' (со) и D<2)(co) —динамические податливости, соответствую-
соответствующие действию каждого из единичных гармонических моментов.
COSQt
Рис. 29.5
D<[) (со) найдем, рассмотрев рис. 29.5, а. В этом случае стержень
А В движется как жесткий по горизонтали. Поэтому его можно за-
заменить сосредоточенной массой то1 (рис. 29.5, б). Располагая начало
координат на заделанном конце стержня, имеем следующие граничные
условия для амплитудной функции «(г):
2 = 0: и = 0; du/dz = 0;
z = l: d2u/d22= 1/(EJ);
EJd3u/dz3 = —тсо2ы (in = mQl).
Из этих условий определяют постоянные, входящие в общее выра-
выражение B9.1) для амплитудной функции u(z). Затем определяют вели-
величину динамической податливости:
После несложных преобразований находим
^ ~ EJ X
где в выражениях функций Крылова опущен для сокращения аргу-
аргумент
X = а/ =
* Такая изменяемая система является недопустимой в статике, однако коле-
колебания изменяемых систем мы имеем полное право рассматривать (см. § 15).
230
Используя соотношения A8.6), можно выражение DA) (со) привести
к виду
пО) , . _ / 1 chXsinX + shXcosX + X (ch X cos X — 1)
^co _ —
ch X cos X + 1 — X (ch X sin X — sh X cos X)
casat
Для второго единичного момента схема нагружения показана
на рис. 29.6, а. В этом случае вертикальный стержень не деформи-
деформируется и схема нагружения равно-
равноправна с изображенной на рис. 29.6, б.
Располагая начало координат на ле-
левом конце, имеем граничные усло-
условия:
при 2 = 0 и = 0; d2«/dz2 = \I(EJ);
при • 2 = I d2«/d22 = 0; d3H/d23 = 0.
После определения из этих урав-
уравнений постоянных Ci,...,C4 находим
динамическую податливость:
Рис. 29.6
__/ 1_ «Г
EJ X K\K.i — -^2^3
где аргументом функций Крылова является
y
Используя снова зависимости A8.6), находим
ch X cos X -f- 1
?/ X ch X sin X — sh X cos X
Графическое определение
двух первых корней уравнения
DA> (co)-i-DB) (со) = 0 показа-
показано на рис. 29.7.
-А
Рис. 29.7
Рис. 29.8
231
В рассмотренных выше примерах для расчленения системы доста-
достаточно было устранить одну связь. Несколько более сложно приме-
применение метода податливостей в случае, если расчленение системы до-
достигается устранением нескольких связей.
На рис. 29.8 схематически изображена конструкция, состоящая
из ротора А, подшипники которого закреплены на упругом корпусе
Б. Корпус в свою очередь связан
с основанием пружинами. Рассмат-
Рассматривать колебания вала,считая его
неподвижно закрепленным в под-
подшипниках, можно только в том
случае, если корпус очень массив-
массивный и жесткий. В противном слу-
случае необходимо учесть совместные
колебания обеих деталей.
Расчленим систему и прило-
приложим гармонические силы взаимо-
взаимодействия (рис. 29.9). Условия ра-
равенства перемещений в точках 1,
2 могут быть записаны в таком
виде:
Рис. 29.9
Собственные частоты системы определяем из уравнения
... Dh(co) Dl2(co)
D2l(co) D22(co)
= 0.
Коэффициенты динамической податливости D определяем сум-
суммированием коэффициентов, относящихся к подсистемам А и Б:
B9.4)
Таким образом, для того чтобы определить частоты собственных
колебаний, следует рассмотреть нагружение подсистем А и Б единич-
единичными гармоническими силами, приложенными в точках 1 и2. Значения
динамических податливостей Dtj вычисляем при ряде значений часто-
частоты со и строим график зависимости А(со). Корни уравнения B9.4) яв-
являются собственными частотами системы.
Метод динамических податливостей чрезвычайно эффективен,
если требуется подобрать те или иные элементы системы так, чтобы
собственная частота последней имела заданное значение.
Пусть, например, в схеме рис. 29.8 требуется подобрать жесткости
подшипников, так, чтобы частота собственных колебаний равнялась
р0. Используя значения динамических податливостей вала А и основа-
основания Б, имеем для системы с податливыми опорами:
D21 (со) = Dl2 (со) = D& (со) + Df2 H,
D22 (со) = Г& (со) + Dl2 (со) + 1/с2,
где й и с2 •—жесткости левого и правого подшипников. Подставляя
эти значения в уравнение частот B9.4) и полагая со = р0, получаем
простое уравнение, позволяющее подобрать С\ и с2.
Примеры такого рода расчетов приведены в [20].
Метод динамической податливости может быть использован также
и для расчета вынуженных колебаний системы поддеиствием гармони-
гармонических сил. Пусть, например, на вал системы, изображенной на
рис. 29.8, действует нагрузка, пропорциональная cos co^. Тогда кроме
определения динамических податливостей Dn(co), D12(cu), D22{a>) не-
необходимо определить амплитудные смещения Dip, D2p по направ-
направлениям Xi, X2 при воздействии возмущающих сил на изолированный
вал. Система уравнений, определяющая амплитудные значения реак-
реакций Xi, X2, получит вид
Xfiu (со) + X2Dl2 (со) + Dip = 0,
XJJi (со) + X2D22 (со) + D2P = 0.
Определив отсюда Xi и Х2, нетрудно затем получить полную кар-
картину движения подсистем А и Б. Рассматривая в качестве нагрузки
единичную гармоническую силу
1 -costo^, можно определить динами-
динамическую податливость сложной си-
системы.
Последовательное применение
этого приема позволяет изучить ди-
динамические свойства системы, со-
состоящей из большого числа подсис-
подсистем. Если разделение системы на
подсистемы достигается устранени-
устранением одной связи, то методы динамических жесткостей и податливостей
совпадают. Рассмотрим, например, двухпролетную балку (рис. 29.10).
Дав сечению балки на средней опоре угловое перемещение <р =
= Xcosco^, найдем амплитудные моменты в сечениях левой и правой
балок над этой опорой:
Рис. 29.10
где Rn (со) и #п (со) —динамические жесткости балок.
Суммарный момент фиктивной оперы
МА +МБ=Х [Rfi (со) + Яп (со)] = 0.
Частотное уравнение имеет вид
Du (со) = Dti (со) +
n И
1/Cl,
Так как
Яп (со) + Яп (со) = 0.
(со) = 1 /Dfi (со), #f, (со) = 1 /Dfi (со),
232
233
то вычисления не отличаются от вычислений при решении этой задачи
по методу динамических податливостей.
При расчете вынужденных колебаний той же системы, вызываемых
нагрузкой, пропорциональной cosco^, придется кроме определения
динамических жесткостей Я^, R^ рассмотреть вынужденные
колебания левой и правой балок с заделанным сечением } и опре-
определить амплитудные реактивные моменты R?P, R\p в эт°м се-
сечении (положительное их направление совпадает с направлением
отсчета ф).
Уравнение, определяющее амплитуды X угла поворота в сечении
/, имеет вид
X (Яп + Ru) + Rfp + Rip = О-
Вслед за определением X находим перемещения и внутренние си-
силовые факторы в системах А и Б. При этом поворот сечения / рассмат-
рассматриваем как кинематическое возмущение. (Заметим, что соответствую-
соответствующая задача уже была решена при определении жесткостей R?, и
а)
Яи)
Метод динамических жесткостей можно успешно использовать для
расчета разветвленных систем. В качестве примера рассмотрим раму,
представленную на рис. 29.11. Основ-
Основная система отличается от заданной
введением дополнительной угловой
связи в узле. Уравнение, определяю-
определяющее амплитудный угол поворота X в
узле, имеет вид
RJpC0SH)t
I Po cos cot
Ро cos cot
У*
Рис. 29.11
X (Яй + Яп + Ян) + Я,р = 0. B9.5)
Чтобы найти Rip, следует рассмотреть балку Б (рис. 29.12, а).
Решение этой задачи дает
n, ch(X/2)-cc
2 X [ch (k/2) sin (X/2) + sh (X/2) cos (A/2)]
Для стержня А задача определения Rn сводится к нахождению
234
гармонического момента, необходимого для получения единичного
угла поворота (рис. 29.12,6). Выше (см. с. 231) решалась обратная
задача. Используя полученное там решение, находим
EJ
I
I
ch X sin \ — sh X cos
ch X cos X + 1
Для определения жесткости Rft следует рассмотреть задачу
(рис. 29. 12, е), что приводит к выражению
Н =
Rft=
й
4EJ X chXsinX — shXcosX
4 1 — ch X cos X
Очевидно, что ft ^
При известной частоте изменения силы со, Ru и RiP — известные
величины и определение амплитудного угла поворота X из уравнения
B9.5) не вызывает затруднений.
Для определения собственных частот системы нужно положить
Р = 0 и найти частоты, при которых удовлетворяется уравнение
Ru
Ru
Ru = 0.
B9.6)
Заметим, что если уравнение B9.6) решать в виде
то оказываются утраченными кор-
корни уравнения B9.6), соответствую-
соответствующие Rn =±oo; Ru =+oo.
При этих значениях стержень А
не участвует в движении, а стерж-
стержни ? и Б колеблются в противофа-
зах (рис. 29.13). Частоты этих ви-
видов собственных колебаний системы
совпадают с собственными частота-
частотами балки с заделанными концами.
Рис. 29.13
§ 30. МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
Общие положения. Метод начальных параметров представляет со-
собой алгоритм, позволяющий при данной частоте колебаний по извест-
известным значениям перемещений и внутренних сил в начале участка опре-
определять значения тех же переменных в конце участка. Переходя таким
образом от участка к участку, можно дойти до границы рассматри-
рассматриваемой системы, где перемещения или силы связаны условиями за-
закрепления.
Метод этот для линейных систем яЕляется универсальным; он при-
применяется для расчета колебаний стержней, состоящих из ряда участ-
участков с различными жесткостью, массой, сосредоточенными грузами,
и т. п. Метод может быть использован также для расчета колебаний
235
пластин и оболочек, если соответствующие задачи удается описать
обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Для того чтобы применение метода начальных параметров давало
существенную выгоду, расчет следует проводить полностью в число-
числовой форме. Проведение вычислений существенно упрощается при при-
применении матричной симво-
а) лики (матрицы перехода).
В настоящем параграфе
сущность метода излагается
сначала на примере простей-
простейшей задачи о крутильных
колебаниях вала с дисками
(метод Толле). Затем дается
матричная формулировка ме-
метода начальных параметров и
рассматривается его приме-
применение к расчету колебаний
изгиба прямолинейных стерж-
стержней. Дальнейшие подробнос-
подробности содержатся в [3, 23, 25].
Расчет крутильных и про-
Рис- 30.1 дольных колебаний цепных
С12
С34
1*1
Рассмотрим свободные
дисков (рис. ЗОЛ, а),
вала учитывать не будем*. Движение (-го диска, момент инерции ко-
которого /;, определяется уравнением
систем с сосредоточенными
крутильные колебания ва-
причем собственную массу
параметрами.
ла с рядом
где р —частота собственных колебаний.
Момент сил инерции этого диска
направлен в сторону положительных углов х.
Амплитудное значение этого момента равно р2/;«г. Поэтому
(рис. 30.1, б) амплитудные крутящие моменты в сечениях до и после
j-ro диска связаны соотношением
ЛТ,.Ж=Л[,_1,4—/Mi"*. (ЗОЛ)
С другой стороны, амплитудные углы поворота двух соседних ди-
дисков различаются на величину угла закручивания участка между ними
««•+i = "г + Mi, i 4-i/q, {+i, C0.2)
где clii+i — крутильная жесткость участка вала Q,f+i = (GJp/l)i,4+i-
* В виде валов с рядом дисков обычно схематизируются коленчатые валы
двигателей. В применении к таким валам метод начальных параметров называют
методом Толле.
236
Задаваясь углом поворота первого диска, например «i = 1, и
учитывая, что левее первого диска крутящий момент отсутствует
(Мол = 0), можно, последовательно применяя формулы (ЗОЛ) и C0.2)
к каждому диску, дойти до крайнего правого л-го диска и вычислить
крутящий момент за ним Mn,n+i B функции частоты р. Так как этот
момент в действительности равен нулю, то таким образом мы
получим уравнение частот.
Однако такой путь является довольно сложным и приводит к
уравнению л-й степени относительно р2, решение которого также за-
затруднительно. Значительно удобнее решать подбором непосредствен-
непосредственно систему уравнений (ЗОЛ), C0.2). Задаваясь числовым значением
рг и «! = 1 и переходя по формулам (ЗОЛ) и C0.2) от диска к диску,
вычисляют Mnm+i- Повторяя такой расчет при нескольких значениях
р3, строят график зависимости момента Afn,n+i от р2. Точки пересече-
пересечения этого графика с осью абсцисс определяют собственные частоты
системы. Для такого расчета разработаны удобные таблицы (таблицы
Толле).
Заметим, что после определения собственной частоты легко опре-
определяется и соответствующая форма собственных колебаний, т. е. ве-
величины щ, Mi,i+i во всех характерных сечениях системы.
; Метод начальных параметров можно использовать и для расчета
вынужденных колебаний системы под действием гармонических момен-
моментов. Пусть на диски действуют синфазные возмущающие моменты
HiCosat. Тогда, представив перемещения в виде
xt = ut cos at,
получим связь между амплитудными крутящими моментами до и
после i-ro диска:
C0.3)
Miti+i = Mi-\, i —со2/гиг — ц^
1 Уравнение C0.2) справедливо, конечно, и в этом случае.
"ч В отличие от задачи расчета собственных колебаний при расчете
вынужденных колебаний частота ю известна и искомой является фор-
форма колебаний. Таким образом, если левый конец вала свободен, сле-
следует выбрать такое значение «ь чтобы удовлетворялось граничное
условие, на правом конце. Так как уравнения линейны относительно
амплитуд, здесь нет необходимости пользоваться методом подбора.
Чаще всего применяют так называемый метод двух расче-
расчетов. Метод состоит в том, что сначала задают произвольно амплитуду
колебаний первого диска (например, можно принять u*i =0), после
чего осуществляют переход от сечения к сечению по формулам C0.2)
и C0.3) и находят значения и* и М* на правом конце вала. Таким
образом получают частное решение неоднородной системы уравне-
уравнений, соответствующее действию возмущающих моментов уц. Это ре-
решение не удовлетворяет граничному условию на правом конце вала.
Затем конструируют решение однородной системы уравнений.
Для этого задают отличное от нуля значение амплитуды первого
диска (например, «4 = 1) и осуществляют переход от сечения к сече-
сечению по формулам (ЗОЛ) и C0.2), полагая в них р =ю . В результате
237
расчета получают значения и** и М** на правом конце вала. Общее
решение состоит из частного решения неоднородной задачи и общего
решения однородной:
иг = ut + Cue ,
Mi. t+\ = Mt, j+i + CMi, t+i.
Постоянную С определяют так, чтобы решение удовлетворяло гра-
граничному условию на правом конце системы. Так, если этот конец
свободен, то
= — М*1М**.
В случае заделки
С = —и*/и
**
Если возмущающие моменты, воздействующие на диски, имеют
разные фазы, то их всегда можно представить в виде
\it cos (at + с? j) = [a? cos at + \af sin at,
с s
где ц,- =HjCoscf,-, Hi =—|i?Sincp,.
Затем по приведенной выше схеме отдельно решается задача о дей-
действии моментов цс и о действии моментов jxs . Таким образом, в этом
Рис. 30.2
случае придется выполнить всего три расчета: расчеты неоднородной
задачи при возмущающих моментах цс и jxs и один расчет однород-
однородной задачи.
Ввиду полного тождества уравнений крутильных и продольных
колебаний метод начальных параметров в рассмотренной форме может
быть применен и к цепным системам типа показанной на рис. 30.2.
При этом угловые смещения заменяются линейными, моменты — си-
силами и моменты инерции —массами.
Матрицы перехода. Формулы перехода от сечения к сечению,
характерные для метода начальных параметров, можно представить
в матричной форме. Амплитудные значения перемещений и внутрен-
внутренних сил в каком-либо сечении (г) системы можно характеризовать
матрицей-столбцом (или вектором ) Хг. В рассмотренном выше слу-
случае крутильных колебаний вектор Л", (вектор состояния) — дву-
двумерный:
у
Л; =
238
Значение этого вектора _ для сечения, + расположенного левее г-го
диска, будем называть X], правее —Х{.
Тогда формулы C0.1) и C0.2) можно трактовать как формулы
матричного умножения:
где
fi=MiX-;
1 О
-P'lt 1
; Mi, t+i =
0
1 j
— квадратные матрицы.
Следовательно, переход от сечения к сечению осуществляется пу-
путем умножения вектора состояния X на матрицу перехода М. Весь
переход от крайнего левого к крайнему правому сечению вала можно
представить в виде
Xn = M(p2)X~i, C0.4)
где М (р") = МпМп-1, а Мп_!... MizMi — матрица перехода, являю-
являющаяся произведением всех промежуточных матриц.
Заметим, что при заданном значении частоты р все матрицы яв-
являются числовыми и их вычисление не представляет труда.
Если левый конец вала свободен, то вектор Xf известен с точностью
до множителя. Можно принять, что
MS)-
(Это значит, что мы принимаем u4 = I, Mi --0.)
Если и правый конец свободен, то вектор Х+п должен иметь вид
о
C0.5)
Следовательно, определение собственной частоты сводится к поды-
подыскиванию величины р2, при которой матрица М(р2) осуществляет
преобразование заданного вектора Х\ C0.4) к вектору Х„ [см. формулу
C0.5)], один из компонентов которого известен. Практически эта за-
задача решается подбором.
Конечно, для рассмотренной простой задачи матричная запись
алгоритма метода начальных параметров ничуть не проще, чем запись
в форме уравнений C0.1) и C0.2). Однако матричная форма имеет
более общий характер, а ее вид сохраняется для различных по своей
структуре систем.
Рассмотрим, например, крутильные колебания стержня ступенча-
ступенчатого переменного сечения с распределенной массой. Для одного участ-
участка постоянного сечения длиной / амплитудная функция выражается
формулой (см. с. 144)
u = Cl cos az + С2 sin az (a = ]/"piQ0/(GJp) ).
239
Амплитудный крутящий момент в сечении
М — GJp (du/dz) = GJpa (— Cj sin az + C2 cos az).
Если известны значения и\ и М\ в сечении 1 (z = 0), то можно най-
найти Ci = ui, C2 = Mil(aGJp), а затем и и М в сечении 2 (г = /):
и2 =
ЛГ2 = —
GJn
•sinX,
G/,
XsinX-)- A^cosX,
Таким образом, и в этом случае вектор Х2 = \м\ Для сечения 2
\2/
получается линейным преобразованием такого же вектора для сече-
сечения 1:
GJp X
sin/,
C0.6)
-.— XsinX cosX
При переходе через сечение, в котором закреплен диск с момен-
моментом инерции Iь изменяется лишь величина крутящего момента на
что учитывается умножением вектора состояния на мат-
1
Метод, изложенный Еыше на при-
примере крутильных колебаний, пол-
полностью применим и для продольных
колебаний. В качестве простого при-
примера рассмотрим расчет частот и
форм собственных продольных коле-
колебаний ступенчатого стержня (рис.
30.3, а) с грузом на конце, причем
масса груза равна массе прилегаю-
прилегающего участка стержня:
т = pFl.
Введем характерные [сечения
стержня 1, 2, 3, 4, в которых будем
вычислять вектор состояния
Рис. 30.3
Х=
240
где и — амплитудное смещение; N ¦— амплитудная нормальная сила.
В сечении / и = 0, а для Л^ можно принять любое значение. При-
Примем Nt = EFII (тогда перемещения будут безразмерными).
Итак,
/ 0 \
C0.7)
, = МЬХ3, C0.8)
\ EFJl I '
В сечениях 2, 3 и 4 будем иметь:
Х2 = vW12Ar1; Х3 =
где [см. формулу C0.6)]
/ 1
2EF ,
/
cosX
sin
sin
X
X
2EF
1
~EF
X
cosX
Ts
cosX
sin /.
sin/.
Так как сечение 4 взято за массой, нормальная сила в нем должна
быть равна нулю:
C0.9)
Следовательно, собственная частота р должна быть определена
так, чтобы вектор Х4, вычисляемый по формулам C0.8), имел вид
C0.9).
Ведем расчет подбором.
При р = 0 Х = 0;
М12 @) =
Получаем:
l/(EF)\
1/2
EF/t
3/2
[ef/i J'
Таким образом, Ni@)—EF/l.
Задаем />2 = EF/(ml) =2/3 ?/(р/J (это значение соответствует частоте колебаний
массы т на невесомом стержне); р= 0,816 а/1, 1 = 0,816, cos A = 0,685, sinX=
= 0,728;
0,685 0,445
I
EF
0,685
I
EF
0,890'
EF
-1,19 0,685
EF
— 0,595 — 0,685
241
Ж3 =
Тогда
х3
Итак,
0,685 0,445//(?F)
\—l,\9EF/l 0,685j
0,915
0,445 \ _
,685EFIl) '
0,915
— 0,405?F//
@,816)= — 0,405?F//.
Так как между р = 0 и р = 0,816 а/1 усилив Ni меняет знак, то собственная
частота лежит между этими значениями.
Для следующего расчета принимаем: р=0,6а//, Х = 0,6, cosA = 0,825,
sinX = 0,565, mp2 = 036?F//
0,825 0,470//EF\
-0,677EF/l 0,825 )'
0,825 0,940//(?F)\
\— 0,339EF/l 0,825 )'
1 0\
V— 0,36?F//
Действуя так же, как и выше, получаем
Отсюда следует, что собственная частота лежит между
р=0,6 — (#4 = 0,1 —) и р = 0,816 -у- (#4 = —0,405 Щ-) .
I \ I I I \ I I
Для ориентировочного подсчета можно использовать формулу линейной интер-
интерполяции
Р =
' (р2) -p2JV (pi) 0,816-0,100-0,6 (-0,405) _а
Nipd-NipJ 0,100-(-0,405)
Повторяя расчет при этом значэнии р, находчм:
О \ / 0,466 \ / 1,398
'i = l eLJ> ^=(o,8O^f); Хз=[0,460 Ц-
1,398
JL =0,643^-.
Xi I _0,003—
Ошибка достаточно мала (/V4 близко к нулю), и первая частота собственных
колебаний системы равна 0,643 all. При этом найденные значения векторов X
позволяют построить форму колебаний и соответствующую ей эпюру нормальных
сил (см. рис. 30.3,6).
Чтобы найти более высокие собственные частоты, следует продолжить счет
при больших значениях р. Давая значения р = 1,57 all и р = 2а//, находим
соответствующие значения усилия в сечении 4:
A,57) = —0.50EF/Z, Nx B) = 0.90EF//.
242
Следовательно, собственная частота лежит между этими значениями. По
формуле линейной интерполяции находим
Р =
1,57 -0,90 —2 (—0,50) а
0,90 —(—0,50) "Т
При этом значении р вычисляем Л'4A,72) = —0,С96 EF/1. Снова, применяя
линейную интерполяцию, находим
1,57 (— 0,096) — 1,72 (—0,50) _о_ _а_
Р= —0,096—(-0,50) / = >7 /
Векторы X при этом значении р составляют:
0 \ / 0,282
— 0,179
_?_F
/
' —0,152
-0,454 —
— 0,152 \
0,005 —
EF
Т
Так как остаточная сила за грузом равна нулю (в пределах точности вычис-
вычисления), можно считать, что р2 = 1,75 all= 1,75}/?/(р/2) представляет собой
вторую частоту собственных колебаний
системы. На рис. 30.4 представлен об-
общий характер зависимости остаточной
силы от частоты, который показывает,
что система не имеет собственных частот
между р\ = 0,643 all и р2 = 1,75 all.
Форма колебаний, соответствующая вто-
второй собственной частоте, показана на
рис. ЗО.З.в.
Таким же способом выполняется
расчет высших частот и форм соб- Рис. 30.4
ственных колебаний. Разумеется,
для рассмотренного простого при-
примера (два участка) метод начальных параметров не обладает за-
заметными преимуществами по сравнению с методом непосредственного
решения задачи путем составления уравнений движения по участкам
и их стыковки. Однако при большем числе участков выгода весьма
велика.
При изгибных колебаниях, так же как и при продольных или кру-
крутильных колебаниях, параметры, характеризующие состояние сече-
сечения стержня в конце участка, выражаются по линейным формулам
через параметры сечения в начале участка. Поэтому и здесь можно
использовать метод начальных параметров. Дело, однако, усложняет-
усложняется тем, что при поперечных колебаниях прямых стержней положение
поперечного сечения и внутренние силовые факторы в нем характе-
характеризуются не двумя, а четырьмя величинами ¦— прогибом, углом по-
поворота, изгибающим моментом и поперечной силой. Поэтому в данном
случае амплитудные значения этих величин составляют четырехмер-
четырехмерный вектор
243
л" =
Формула перехода от вектора Хх в левом сечении участка к векто-
вектору Х2 в правом сечении имеет вид
Хг = МаХ1г C0.10)
а) где Mi2 —матрица перехода 4x4.
Ь ?1 Для участка стержня длиной / по-
J --I—z стоянного сечения с распределенной мас-
массой (рис. 30.5, а) матрицу перехода легко
сконструировать, используя функции Кры-
Крылова. Общее выражение для амплитудно-
амплитудного прогиба в любом сечении дается фор-
формулой A8.5), причем постоянные Ci,...,C4
выражаются через значения и, ср, М, Q при
z =0 по формулам A8.8). Таким образом,
Рис. 30.5
и (z) = и @) /Ct (ад) + — ? @)
а
Приняв здесь z — l, получим выражение и на правом конце
стержня через начальные параметры. Вычисляя © (/) = (du/dz)z=i,
М(/) = ?/(d2u/dz2)z=i, Q(l)=EJ(d3u/dz3)z=i, можно найти и выражения
этих величин через начальные параметры. [При дифференцировании
следует воспользоваться соотношениями A8.7).]
Таким образом, определяются все элементы матрицы перехода
М12:
/2
C0.12)
Если на участке /—2 длиной / распределенной массой та стержня
можно пренебречь, то для этого участка матрицу перехода можно
получить либо из матрицыC0.12) предельным переходом при Х->-0,
либо непосредственно, рассматривая уравнение упругой линии без-
безмассового стержня. В этом случае.
244
м.,=
/ P/BEJ) /3/F?/)^
0 1 l/(EJ) IVBEJ)
0 0 1 I
v0 0 0 1
C0.13)
Наконец, если участок представляет собой жесткий груз массой
т с центром тяжести С на оси стержня и моментом инерции / относи-
относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости чертежа
(рис. 30.5, б), то
«2 = «1 + 9 lh
М2 = Mi + Q,/ + тр2 («j + <р,//2) 1/2 — Ip2'fit
C0.14)
Следовательно, в этом случае
1 / 0 0\
0 1 0 0
трЧ/2 — р2(/—/ш'2/4) I I )'
тр2 трЧ!2 0 1
Если груз точечный (/ = 0, / = 0), то
1 0 0 0\
0 10 01
0 0 1 0 ) '
ктр2 0 0 1/
Таким образом, имеются формулы перехода для типовых участков
вала. Остается рассмотреть вопрос о граничных условиях.
Рассмотрим сначала свободные колебания. Как бы ни был закреп-
закреплен левый конец стержня, на нем имеются два однородных граничных
условия. Так, например, если конец заделан, то «@) =0, ср(О) =0
и вектор состояния задан с точностью до двух констант:
C0.15)
Чтобы исключить из числового расчета неизвестные М@), Q@),
вектор Xi представляют в форме
x^cXi+'c.xT, (зо.1б)
где X* и X** —произвольные линейно независимые векторы, удов-
удовлетворяющие граничным условиям. Например, при заделанном конце
2—0 можно принять:
245
Тогда d = М@); С2 = Q@).
Далее проводим два расчета, умножая векторы Х\* и Х±** на все
матрицы перехода. Таким образом, получаем два вектора для край-
крайнего правого (я-го) сечения стержня:
I
где М)_п — произведение матриц перехода для всех промежуточных |
участков. я
(Заметим, что фактически выполнять перемножение матриц не .;«?
следует. Значительно гкономичнее по количеству арифметических *
операций вычислять иекторы Х*п и Хп путем последовательного
умножения векторов Х\, X" на матрицы Мi2, M23 и т. д.)
В силу линейности преобразований вектору Xi [см. уравнение '
C0.16)] соответствует вектор состояния в я-м сечении
Хп — CiXn -J-
C0.17) ;
Этот вектор должен удовлетворять граничным условиям на правом !
конце стержня. Например, если конец свободен, должны равняться •
нулю компоненты Мп, Qn-
Это приводит к двум однородным уравнениям:
" = 0,
C0.18)
где Мп, Мп , Qn, Qn — соответствующие компоненты векторов
Частотное уравнение получается из условия наличия ненулевых
решений уравнений C0.18)
А (р2) = M*nQ*n — M*n'Qn = 0. C0.19)
Расчет проводят для ряда значений р2 и находят корни уравнения
C0.19).
При расчете вынужденных гармонических изгибных колебаний
оказывается необходимым проводить три расчета: деэ расчета одно
родной задачи, соответствующих двум линейно независимым векторам
Xi* и Xi** для первого сечения*, и один расчет неоднородной задачи.
В неоднородном решении вектор X" принимают произвольным, но
* Эти расчеты не отличаются от рассмотренных вьше для случая свободных
колебаний при р =со.
246
удовлетворяющим граничным условиям. В частности, можно принять
Лл нулевым. Переход от сечения к сечению осуществляют по формуле
XI = Mi2Xf + Xq,
где Хд — частное решение, соответствующее действующей на участ-
участке /—2 нагрузке и удовлетворяющее нулевым граничным условиям
в сечении 1.
Если на участке действует нагрузка интенсивностью g(z)cosa>/,
то перемещения в любом сечении можно представить в виде
f Я (С) К, [а (г -
Выполняя дифференцирование с учетом свойств функций Крылова,
нетрудно проверить, что это выражение тождественно удовлетворяет
дифференциальному уравнению
IV
ulv (г) — х*и (z) = q (z)/(EJ)
mo(*>V(EJ)].
Следовательно,
[a (г -
MJz) = EJ-
= J- j q (С) К, [а (г -С)]
Подставляя в эти формулы / вместо г, получаем компоненты век-
вектора XQ. В частных случаях распределения нагрузки формулы су-
существенно упрощаются. Так, если нагрузка q(z) постоянна на участ-
участке / —2, то
Если на участке /—2 приложена сосредоточенная сила Pcosat
в точке z — I —а, т. е. на расстоянии а от правого конца, то
у _Р
4
I, Х4 = аа.
247
Особенно прост переход, если сила приложена в конце участка.
В этом случае
После вычисления векторов Хп, Хп , X" вектор состояния п-то
сечения представляют в виде
Хп =
Хп
и определяют С4 и С2 из двух граничных условий, имеющих место в
этом сечении. Затем можно найти вектор состояния в любом k-ш сече-
сечении:
Xk = CiXk + C%Xk + Xk
Вектор Хк характеризует перемещения и внутренние силы в сече-
сечении k.
При применении матричного метода начальных параметров имеется
определенный произвол в выборе размеров участков для каждого
перехода. При ручном счете выгодно брать эти участки возможно
более длинными, но такими, чтобы матрицы перехода выражались
стандартными формулами. При машинном счете важно упростить вы-
вычисление самих матриц, перемножение же их выполняется по стандарт-
стандартной программе. Поэтому для расчета с помощью ЭВМ систему обычно
дискретизируют, беря участки между расчетными сечениями доста-
достаточно малыми.
В ряде случаев (например, при расчете стержней переменного се-
сечения) применяют метод начальных параметров^ дифференциальной
форме. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических
колебаний стержня переменного сечения можно представить в
матричной форме:
где
— Х=АХ+ В,
dz
V
C0.20)
столбец 2п искомых параметров:
А =
, 2п
248
— квадратная Bл X 2я) матрица переменных коэффициентов; В —
столбец заданных нагрузок.
Рассмотрим два примера представления дифференциальных уравнений в
форме C0.20).
При вынужденных продольных колебаниях стержня переменного сечения
вектор состояния сечения состоит из амплитудного смещения и амплитудной нор-
нормальной силы:
X =
C0.21)
Справедливо равенство
N = EF (du/dz)
и уравнение движения элемента
т0ш2и +djV/d2 + .7B) = 0, C0.22)
где q{z) — амплитудная интенсивность внешней распределенной нагрузки, из-
изменяющейся с частотой со.
Уравнения C0.21), C0.22), в сущности, совпадают с матричным уравнением
C0.20), причем
А =
0 M(EF)\
mX 0 )•
о
-9B)
C0.23)
В качестве второго примера рассмотрим колебания балки, лежащей на упру-
упругом основании, под действием распределенной по длине поперечной нагрузки,
изменяющейся по гармоническому закону. Дифференциальные уравнения в
обычной форме:
du/dz = <f, df/dz = M/(EJ), dM/d2 = Q, C0.24)
dQ/d2 = — k (г) U -f- mou>"u + q(z).
Здесь k(z) — коэффициент постели; mo(z) — масса единицы длины; q(z) —
амплитудная интенсивность нагрузки, меняющейся с частотой со.
В матричной форме система уравнений C0.24) имеет вид C0.20), причем
V
А =
0
0
0
1
0
0
2~k0
0
1
ЁТ
0
0
0
0
1
0
в =
К форме C0.20) могут быть приведены дифференциальные уравнения и других
задач.
Если рассматриваются свободные колебания, то В = 0 и матрич-
матричное уравнение C0.20) является однородным.
Дифференциальное уравнение C0.20) можно численно проинте-
проинтегрировать «вперед» вручную или на ЦВМ, если известны все началь-
начальные условия в сечении z = 0, т. е. в случае продольных колебаний и
и N, в случае поперечных колебаний и, ср, М, Q. Так как эти условия
неизвестны, применяется тот же прием, что и при использовании мат-
матриц перехода. Полное решение задачи разбивается на решение не-
неоднородного уравнения и линейно независимые решения однородного
уравнения, причем каждое из этих решений удовлетворяет гранич-
граничным условиям в сечении 2=0.
249
Так, например, дли вынужденных продольных колебаний стержня,
левый конец которого заделан (рис. 30.6), можно принять:
(напомним, что первый компонент вектора X представляет собой ам-
амплитудное перемещение, а второй — продольную силу). Далее, ин-
интегрируя численно уравне-
q(z)cosat ния
L^q4
C2
X" =
Рис. 30.6
dz
¦Х* = АХ*
при указанных начальных условиях, находят Х"A) и Х*A). Так как
суммарный вектор
х @ = X" (/) + сх* (I)
должен удовлетворять граничным условиям в сечении z = I [для
стержня рис. 30.6 NA) = 0], то находят постоянную С. При свобод-
свободном конце г = I стержня
С = — N* (t)/[N* ([)].
Вслед за этим находят Еектср состояния в любом сечении го фор-
формуле
Указанный метод называют обычно методом двух расчтк.
При расчете изгибных колебаний в сечении г = 0 неизвестны два
компонента вектора состояния. В этом случае необходимо еьп слнить
всего три расчета — одно интегрирование неоднородного ур* гнения
и два интегрирования однородного.
При решении задачи о собственных колебаниях интегрируют одно-
однородные уравнения. Интегрирование проводят при различных значе-
значениях со и выбирают те значения частоты, при которых определитель
уравнений, выражающих граничные условия при г = /, обращается
в нуль. В случае продольных колебаний при каждом значении частоты
проводится одно интегрирование, а в случае поперечных — два в со-
соответствии с числом линейно независимых векторов, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям закрепления конца 2=0.
Заметим, что при расчете высших частот и форм собственных коле-
колебаний изгиба методом начальных параметров возникают вычис-
вычислительные трудности. Дело в том, что элементы матриц перехода,
в Еыраженце которых входят функции Крылова, быстро возрастают с
ростом аргумента К. Поэтому определитель А(р2) представляется ма-
малой разностью больших чисел.
Трудности такого рода возникают не только в расчетах колебаний,
2Б0
но и во многих других краевых задачах строительной механики (ра-
(расчет балок на упругом основании, оболочек вращения и др.) (см. [3]).
Причиной затруднений является наличие как быстро возрастающих, так
и быстро убывающих решений соответствующей однородной задачи,
вследствие чего система уравнений, выражающих граничные условия,
оказывается плохо обусловленной.
Разработан ряд приемов получения хорошо обусловленных
уравнений для такого рода задач. В частности, метод на-
начальных параметров может быть видоизменен так, чтобы исключить
плохую обусловленность. С этой целью векторы частных решений X*,
А'**, Хк в отдельных сечениях следует подвергать линейному преоб-
преобразованию, чтобы сделать их ортогональными. Применительно к ре-
решению краевых задач для дифференциальных уравнений указанный
прием ортогонализации (см. [3]) предложен С. К- Годуновым.
Другим приемом является разбиение системы на достаточно ма-
малые участки, вычисление матриц динамической жесткости для каждого
участка и формирование матрицы динамической жесткости для систе-
системы в целом, подобно тому, как это делается в методе конечных эле-
элементов.
Значительную популярность при расчете колебаний механических
систем получил изложенный в следующем параграфе метод прогонки.
§ 31. МЕТОД ПРОГОНКИ
Сущность метода. Метод прогонки, как и метод начальных па-
параметров, применяют для расчета систем, представляющих собой по-
последовательное соединение .элементов. Зная динамические характе-
характеристики каждого элемента, можно рассчитать характеристики задан-
заданной системы. Этой цели служат рекуррентные формулы, позволяю-
позволяющие рассчитывать динамические характеристики системы, состоящей
из I + 1 элементов, если характеристики системы, состоящей из i
элементов, известны. Могут рассчитываться динамические податли-
податливости, жесткости или другие, более сложные характеристики системы*.
В качестве простейшего примера применения метода прогонки рас-
рассмотрим крутильные колебания безмассового вала с дисками, вызы-
вызываемые гармоническими моментами j^cosco*'. В предыдущем параграфе
эта задача рассматривалась методом начальных параметров. Угол
поворота каждого сечения вала и крутящий момент в нем меняются
по закону
Xi = «jCosco/, Мкр = Mtcosat.
Рассматривая часть вала, лежащую левее г'-го сечения (рис. 31.1),
* Впервые, по-видимому, вариант метода прогонки применительно к расче-
расчету крутильных колебаний валов (метод цепных дробей) был предложен еще в
1930 г. В. П. Терских. Для многосвязных систем этот метод в варианте динами-
динамических жесткостей и податливостей изложен в работе [23].
251
можно считать, что поворот сечения вызван моментом Mi и возмущаю^
щими моментами ц, приложенными к выделенной части вала. Учи-
Учитывая линейность системы, можно написать
щ = DtMt + щ.о. C1.1)
Здесь D i — динамическая податливость выделенной части вала;ыA0—
амплитуда колебаний сечения при Mi = 0.
В дальнейшем будем рассматривать сечения вала в непосредствен-
непосредственной близости от диска. При этом величины, относящиеся к сечению
левее j-го диска, пометим верхним
индексом", а величины, относящие-
относящиеся к сечению правее диска, — верх-
верхним индексом+. Выясним, как ме-
меняются величины D t и «,->0 при по-
постепенном наращивании выделенной
части вала. Очевидно, это наращи-
наращивание может производиться двумя
способами —либо присоединением
диска, либо присоединением участка вала.
Равенства C1.1) для сечений левее и правее диска имеют такой вид:
рис
+ щ, о.'
Z)+ =
+
ТО
= D+Mi, t+i + U
\ „
получаем
Отсюда
\—D+i)Mi,i+i =«t,o —
= D++l/c ,
UC+l, 0 ~ Ui,0 '
щ = DiMi-i, }• + щ, о, щ = DiMi,,
Учитывая, что и* = и~. = аи Mt,t+i = jW,--i,i—ю2иг/г —р,г, и ис-
исключив Mi—i, i и Mi,i+i, получив
ut[l—D+{( \ID~. — со2/,)] = щ, о — D\ (щ, jD'i + [ij)
Так как это равенство должно выполняться при любых значениях
возмущающих моментов, в частности при ц =0и, следовательно при
«о = 0, то справедливы следующие равенства:
—Х——, C1.2)
«J.o'A + H'*)- C1-3)
Если присоединяется участок иала между t-м и (/ + 1)-м дисками,
= ut + Mi, t+i/Ci, t+i; M~i+l = M+ = Mi, i+i.
Исключая с помощью этих соотношений uit ui+l из равенств
C1.4) !
C1.5) ]i
Итак, преобразование динамической жесткости при присоедине-
присоединении к системе новых элементов осуществляется по рекуррентным фор-
формулам C1.2) и C1.4). Как и следовало ожидать, эти формулы не за-
зависят от внешних нагрузок ц, воздействующих на вал. Так, например,
для показанного на рис. 31.2
вала с дисками, применяя после- т / 13 1п
довательно формулы C1.2) и C1.4),
находим:
сп-1,п
Рис. 31.2
D+ =
п
C1.6)
-/„«.•
11+1 •" -
1
С23
С12
Таким образом, для данной системы величина динамической по-
податливости представляется в виде непрерывной дроби C1.6).
Собственные частоты системы соответствуют D+n-+oo и, следова-
следовательно, определяются уравнением
_ /0J -\
= 0.
+
—/,
Для расчета вынужденных колебаний следует при известной ча-
частоте со вычислитьЛ+„ и и+п0 по рекуррентным формулам типа C1.3)...
C1.5). Если правый конец свободен, то Мп, n+i = 0 и 4 представ-
представляет собой действительную амплитуду колебаний я-го диска [см. фор-
формулу C1.1)].
252
253
После того как амплитуда я-го диска определена, амплитуды ос-
остальных дисков и величины крутящих моментов могут быть вычислены
различными способами.
Одним из способов является применение метода начальных пара-
параметров. С помощью этого метода теперь придется двигаться справа
налево, поскольку на правом конце и и и М известны.
Другой прием состоит в расчете динамических податливостей D
и величин «о справа налево по тем же рекуррентным формулам C1.2)...
C1.5). После выполнения этого расчета для каждого сечения будут
получены два соотношения вида C1.1):
и = DM + и0,
« = — D/W + и0.
C1.7)
(Знак минус во второй формуле связан с тем, что для правой части
вала положительные направления крутящего момента и углов пово-
поворота противоположны.) Из двух уравнений C1.7) определяются и и М
в отдельности.
При расчете крутильных колебаний применение метода прогонки
имеет, пожалуй, единственное преимущество — удобство анализа
влияния параметров системы (жесткостей, моментов инерции) на ди-
динамические свойства системы. Сам же расчет может быть успешно
выполнен и методом начальных параметров.
В более сложных системах (рамы, балки, оболочки) метод началь-
начальных параметров часто оказывается несостоятельным в связи с нали-
наличием быстро возрастающих решений и метод прогонки оказывается
одним из немногих способов преодоления вычислительных трудно-
трудностей.
Рассмотрим метод прогонки в общей форме. Пусть задана система,
состоящая из последовательно соединенных элементов (рис. 31.3).
Система совершает вынужденные гар-
гармонические колебания под действием
синфазных возмущающих сил. Места
соединения элементов будем называть
сечениями. Для определения положе-
положения сечения в процессе движения
нужно задать п перемещений.
Например, для плоской рамы, по-
показанной на рис. 31.3, при плоских ее
колебаниях я = 3 (вертикальное и го-
горизонтальное перемещения и угол пово-
поворота), для рассмотренной выше задачи
о крутильных колебаниях я = 1. Чис-
Число внутренних сил в сечении также равно я. Следовательно, состоя-
состояние сечения, т. е. амплитудные значения его перемещений и сил в
нем, характеризуется 2я величинами, которые могут быть представ-
представлены в виде 2я-мерного вектора состояния
254
Рис. 31.3
V
Этот вектор можно разбить на два я-мерных:
х\
Так как порядок нумерации параметров произволен, то и физиче-
физический смысл векторов Хи Хг может быть различным. Наиболее употре-
употребительны два варианта: 1) Х\ —Еектор, составленный из переме-
перемещений; Х2 ¦—вектор, составленный из внутренних сил; 2) Xi —Еек-
—Еектор сил; Хч —вектор перемещений. Кроме этих вариантов еозможны
и любые другие комбинации параметров, входящих в Xi и Х2.
Часть системы, лежешая по одну сторону от сечения (например,
левая), движется под действием приложенных к ней Еозмущакщих
сил и внутренних сил в сечении.
Поэтому можно написать
S.
C1.8)
При первом варианте нумерации параметров матрица L представ-
представляет собой матрицу динамической подэтлиеости выделенной части
системы, S — перемещения сечения под действием Еозмушающих
сил, приложенных к Еыделенной части системы*. При втором вариан-
варианте L — матрица динамической жесткости, 5 — внутренние силы в се-
сечении при условии его полной заделки.
При других вариантах нумерации параметров разные элементы
матрицы L имеют различный физический смысл. Нашей задачей явля-
является выяснение того, как меняются матрица L и вектор S при пере-
переходе от сечения к сечению. При решении этого вопроса будем считать,
что динамические характеристики участка между г-м и (г + 1)-м се-
сечениями известны, т. е. известна зависимость между силами и пере-
перемещениями в г-м сечении, нагрузкой, приложенной к участку, силами
и перемещениями в (i -f- 1)-м сечении. Эта связь выражается формулой
v(s'-H) м у@ I \т /о| ni
Л = хПЛ -j-1у, (о!.У/
где М —матрица Bя X 2п) перехода для рассматриваемого участка;.
N — решение неоднородного уравнения его колебаний, отвечающее
нулевым условиям в сечении г.
* Именно этот вариант был использсван выше при рассмотрении крутиль-
крутильных колебаний [см. уравнение C1.1)].
255
Перепишем уравнение C1.9), разбив векторы X, N и матрицу
на блоки:
Y1
+ - .
где Мц — квадратные (я X я) матрицы.
Разворачивая выражение C1.10), получаем:
v('+i) _ м Yw л. /и \(i) _l
C1.10)
C1.11)
N2.
Напишем также выражение C1.8) для сечений (' и i I 1:
Xil) = LtXil) + St; C1.12)
Xll+l> = LMXli+l) + SM. C1.13)
Исключим с помощью равенства C1.12) X1? из уравнений C1.11):
= (MUL, + Mi2)Xf + MnSi + Nil C1.14)
= (M2iLt + M22) Xp + M2iSt + N2.
Исключим из этих равенств Х^:
- (Af 21?f + M 22)-i (X?+l) — M 2iSt — N2) = 0.
Решим это уравнение относительно A"i('+1):
Х?+1) = (MuLt + Mn){M2lLt + M2^XBi+l) +
L'+ Afц5, + M - (Л41L, + M12) (Ж21^г + Ж,,) (M2iSt + N2). C1.15)
Сопоставляя равенства C1.15) и C1.13) и учитывая, что они долж-
должны выполняться при произвольных значениях вектора Л"B+1) и при
произвольных нагрузках на выделенную часть системы, находим:
+ Ми) (Ж22
Li+iM2l)
,- Lt+iN2.
C1.16)
Формулы C1.16) являются рекуррентными. Они позволяют полу-
получить значения прогоночнои матрицы L и вектора S в (i + 1)-м сечении,
если в i-м сечении эти значения известны. Переходя по формулам
C1.16) от сечения к сечению, получают значения Lk и 5^ для крайнего
правого &-го сечения*, и, следовательно, зависимость
V(ft) f V*(ft) t О /О 1 1 7\
Л{ = 1^Л2 + O/j . (Ol. 1 /j
* Эгим завершается процесс так называемой прямой прогонки, переводящий
граничные условия, заданные на левом конце системы, к ее правому концу.
256
Матричное уравнение C1.17)эквивалентно п линейным уравнениям
относительно 2/г параметров, определяющих состояние /г-ro сечения.
Другие п уравнений доставляются граничными условиями в этом
сечении. Таким образом, получается полная система 2/г уравнений
для 2п неизвестных. Определив эти неизвестные, получим вектор
состояния для /г-ro сечения.
Далее задача заключается в определении вектора состояния для
остальных сечений. Этот процесс называется обратной про-
прогонкой.
Можно было бы определить X в каждом сечении, применяя соот-
соотношения метода начальных параметров, но двигаясь теперь справа
палево. Однако если однородная система имеет быстро возрастающие
решения (а именно в этом случае эффективен метод прогонки), при
этом процессе снова произойдет потеря точности и граничные условия
на лево.м конце не будут выполнены.
Разработаны различные методы обратной прогонки, лишенные
этого недостатка.
Наиболее эффективен метод, который можно назвать методом
встречной прогонки. Суть метода такова: сначала опре-
определяются путем прямой прогонки (слева направо) матрица L и вектор
S. Значения L и S запоминаются только для тех сечений, где нужно
вычислять X. Затем проводится такой же точно расчет, но справа
налево. При движении справа налево следует в формулах прогонки
C1.16) использовать блоки матрицы перехода М от правого сечения
к левому:
Ж = Mr1,
а под столбцом N понимать N = — M~lN [см. уравнение C1.9)].
При этом определяются L и S.
Так как значения Х(^ и Х{2) в крайнем правом сечении уже извест-
известны, при обратной прогонке могут быть приняты любые начальные
значения матрицы Lk и вектора Sh, лишь бы они удовлетворяли урав-
уравнению
X[k) = ZhXf) -+- Sh.
В результате встречной прогонки в каждом подлежащем расчету
сечении получаются два матричных уравнения:
[ 2 \- S\ Л[ = LХ2 -\- о •
Из этих уравнений находят векторы Xi и Х2'-
X, = L{L —Z)-1 (S — S) + S;
X2 = {L-T)-X (S-S).
C1.18)
C1.19)
Применение метода прогонки к определению частот и форм собствен-
собственных колебаний. Если рассматриваются собственные колебания, то
возмущающие силы отсутствуют и, следовательно, 5—0. Поэтому
и процессе прямой прогонки при заданной частоте ш определяется
ч—318
257
только матрица Lk в крайнем правом сечении и соотношение C1.17)
получает вид
(d/dz) X = АХ + В.
C1.23)
Это матричное уравнение содержит л линейных алгебраических
уравнений относительно компонентов векторов Х^ и Х^¦ С другой
стороны, имеется л линейных однородных граничных условий, свя-
связывающих компоненты тех же векторов.
Полученная система может иметь нетривиальные решения, только
если ее определитель
А (со) = 0.
C1.20)
Практически (как и в методе начальных параметров) расчет про-
проводится при различных значениях со и собственные частоты определя-
определяются как значения оз, удовлетворяющие уравнению C1.20). Посколь-
Поскольку при собственной частоте определитель системы уравнений равен
нулю, вектор Л"<*> определяется с точностью до постоянного множите-
множителя, которому, как и всегда при расчете свободных колебаний, можно
дать произвольное значение. Таким образом, вектор Л"(/г) в крайнем
правом сечении системы можно считать известным.
Для определения формы колебаний, т. е. значений X в остальных
сечениях, можно пользоваться следующим приемом: один из век-
векторов (например, Х2) в предыдущем сечении I определять через век-
векторы Х^ и Хг в (i + 1)-м сечении по формулам метода начальных па-
параметров:
(M2i, М22 — блоки обратной матрицы перехода М = М'1), а для
определения второго вектора использовать соотношение X[l)— LiX^ .
Если требуется определить только один какой-либо вектор, Xi или
Х2, то можно воспользоваться формулами C1.8) и C1.14). Из этих
формул получаем в случае свободных колебаний:
= (M2lLt + М^У1 Af+1) . C1.22)
Применение метода прогонки для решения дифференциальных
уравнений с краевыми условиями. Изложенный выше алгоритм метода
прогонки полностью применим и в том случае, когда элементы, при-
присоединяемые к системе на каждом шаге, являются бесконечно малы-
малыми, т. е. когда рассматривается решение системы дифференциальных
уравнений с краевыми условиями. В этом случае вычисления оказы-
оказываются даже более простыми, так как отпадает операция обращения
матриц.
Дифференциальное уравнение, определяющее перемещения и внут-
внутренние силы в сечении, может быть представлено в матричной форме
[см. уравнение C0.20)]:
Здесь X —• вектор состояния сечения, включающий 2/г искомых пара-
параметров; А —квадратная Bп X 2п) матрица переменных коэффици-
коэффициентов; В — вектор нагрузок.
Если взять два сечения: г и z + dz, то векторы для этих сечений
связаны формулой
Х(г + dz) = Х(г) + (dX/dz) dz,
или, учитывая уравнение C1.23),
X(z+ dz) = (? + A dz)X(z) + Bdz, C1.24)
где Е — единичная матрица.
Сопоставляя это выражение с общей формулой C1.9) перехода от
одного сечения к другому, видим, что в данном случае матрица пере-
перехода М и вектор N определяются формулами
= Bdz.
C1.25)
С учетом этих соотношений можно далее использовать все формулы,
выведенные выше для конечных участков. Так, деля все неизвестные
параметры на две группы:
i2 —
устанавливаем, что в любом сечении z векторы Xi и Х2 связаны за-
зависимостью
Формула C1.16) для прогоночной матрицы L(z + dz) получит вид
L (г + dz) = [(Е + Andz) L (г) + Л4^г] {Е + [Л22 + A2lL (г)] dz}-1.
C1.26)
Здесь учтены зависимости
Мп = Е + Audz; Mi2 = Andz;
M2i= A2idz; Ж22 = ?¦+i422dz,
являющиеся следствием первого из равенств C1.25). При этом A{j
обозначены квадратные (л X п) блоки в матрице А уравнения C1.23).
Справедливо соотношение
В самом деле, умножая:
(Е + «dz) {Е — «dz) = Е +
258
259
получаем единичную матрицу с точностью до малых второго порядка.
Поэтому формулу C1.26) можно переписать в виде
Или, выполняя умножение и отбрасывая малые второго порядка,
L(z + dz) = L(z)+{AuL(z) + А1г - L(z)[A,2 + AuL(z)]}dz.
Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение
для матрицы Цг)
(d/dz) L(z) = — L(z)[A2lL(z) + Л22] + AuL(z) + A12, C1.27)
эквивалентное системе п2 уравнений для элементов матрицы.
Аналогично, второе уравнение C1.16) превращается в дифферен-
дифференциальное уравнение для столбца S:
(d/dz) S (г) = [Ли- L(z) An]S(z)
В2.
C1.28)
Уравнения C1.27) и C1.28) интегрируются численно «вперед» с
учетом граничных условий на левом конце системы*. Если этим гра-
граничным условиям придать форму
Xi @) = L0X2 @) + So,
где Lo и So известны, то при интегрировании уравнений C1.27) и C1.28)
следует полагать:
L0, S@) = So.
Полученные в процессе интегрирования значения матрицы L(z)
и вектора S(z) запоминаются для тех сечений, в которых требуется
рассчитать векторы состояния. После того как вычислены значения
Щ) и ?(/), уравнение
совместно с граничными условиями на правом конце системы позво-
позволяет определить Xt(l) и ХгA).
Если требуется посчитать векторы Х\ и Х2 в промежуточных се-
сечениях, то по формулам C1.27) и C1.28) проводится интегрирование
справа налево при начальных значениях L{1) и S(l), соответствующих
граничным условиям на правом конце. Следует иметь в виду, что при
этом интегрировании dz отрицателен. После этого в каждом сечении,
подлежащем расчету,-^ и Х2 определяются по формулам C1.19).
Другие методы численного решения краевых задач для систем ли-
линейных дифференциальных уравнений рассмотрены в гл. 11 работы
[3].
* Уравнения C1.27) и C1.28) другим методом получены в работе В. Л. Би-
дермана «Применение метода прогонки для численного решения задач строитель-
строительной механики». — Инженерный журнал МТТ, АН СССР, 1967, № 5.
260
§ 32. РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕГУЛЯРНЫХ СИСТЕМ
Сущность расчетного метода. Регулярными называются системы,
полученные последовательным соединением многих одинаковых эле-
элементов. Классическим примером регулярной системы яв.тчется натя-
натянутая нить с расположенными на ней на равных расстояниях одина-
a)
77Р^7
—О—
~~Qrr>
Рис. 32.1
Рис. 32.2
ковыми бусинками (рис. 32.1, а) или вал с одинаковым дисками
(рис. 32.1, б). Можно указать и более важные практические приме-
примеры — многоопорные балки с одинаковыми пролетами на жестких или
упругих (рис. 32.1, в, г) опорах, рамы и фермы регулярной конст-
конструкции (рис. 32.2, а, б).
Особое место занимают циклические регулярные системы —зам-
—замкнутые рамы (см. [46]) (рис. 32.3), винт вертолета (рис. 32.4), лопа-
лопаточный венец турбомашины и т. д.
Рис. 32.3
При расчете регулярных систем используется то обстоятельство,
что типовые элементы, составляющие систему, одинаковы и поэтому
достаточно составить уравнения движения только для одного такого
элемента.
Выделим из системы двумя сечениями типовой структурный эле-
элемент. Для системы, изображенной на рис. 32.2, а, этот элемент пока-
показан на рис. 32.5. Перемещения и внутренние силы в каждом из сече-
ий составляют матрицу-столбец X, состоящую из 2л элементов. Для
261
системы, изображенной на рис. 32.2, а, в общем случае плоских коле-
колебаний 2л = 12 (горизонтальное, вертикальное и угловое смещения
для каждого из стержней и соответствующие внутренние силовые фак-
факторы). Если ограничиться случаем кососимметричных (изгибных)
колебаний, то 2п = 6.
1+1 ' ТГ ТТ
Рис. 32.4
Рассматривая движение выделенного элемента, можно установить
связь между векторами состояния для сечений i и I + 1
где М —квадратная Bл X 2я) матрица перехода, элементы которой
зависят от частоты со. Рассмотрим матричное уравнение
My = ky,
где k — параметр. Это уравнение можно представить в виде
Подобно уравнению A2.28) колебаний системы с л степенями сво-
свободы, это уравнение может быть выполнено только при равном нулю
определителе
det(M — kE) = 0, C2.1)
откуда определяются 2л собственных чисел kj (/ = 1, 2,...,2/г) матри-
матрицы М.
Каждому собственному числу соответствует собственный вектор
У] (за который может быть принят один из столбцов матрицы, присо-
присоединенной к матрице М—kjE; см. § 12). Каждый из собственных век-
векторов удовлетворяет уравнению
Му}- = kjyj.
Вектор состояния Xt можно представить в виде разложения по соб-
собственным векторам матрицы М:
где Y—-матрица, столбцами которой являются
вектор, составленный из постоянных.
262
векторы
с —
Тогда вектор состояния в (I
In
Xi+i = MX i = ^
1)-м сечении
YKc,
где
(K
1=1
К
k,
vO К
диагональная матрица собственных чисел.
Так как, с другой стороны, Xi+i = MXt = MYc,
то М Yc = YKc.
Это равенство должно выполняться при любых значениях вектора
состояния в i-u сечении, т. е. при любом векторе постоянных с.
Отсюда следует равенство матриц М Y = YK и выражение матрицы
перехода через ее собственные векторы и собственные числа [ср. с фор-
формулой B8.9)'
М = YKY1.
C2.2)
Представление матрицы перехода в виде C2.2) позволяет теперь
связать вектор состояния в любом r-м характерном сечении с векто-
вектором состояния в сечении, принятом за нулевое:
Хг = ММ . . ._МХ0 = Мг Хв.
г сомножителей
Непосредственно легко убедиться, что
Ж2 = ММ = YKY1 YKY1 = YK2Y\ Мг = YKr Y1,
но r-я степень диагональной матрицы
Кг =
/'
о
k'zn
Если вектор состояния представить в виде разложения по собст-
собственным векторам:
2я
X0=yiCjyj=Yc,
то
г= Мг Хо =
= YIP с =
C2.-3)
C2.4)
263
Таким образом, при переходе от нулевого к г-чу сечению вектор
постоянных умножается на диагональную матрицу Кг, или, иначе
говоря, каждая из постоянных умножается на соответствующее ха-
характеристическое число в степени г.
Собственные числа матрицы М могут быть либо сопряженными
комплексными, либо (некоторые) действительными. В первом случае
соответствующие двум сопряженным числам собственные векторы
также являются сопряженными комплексными. В случае, если ха-
характерные участки системы не меняют своих свойств при перемене
нумерации сечений / 5=s(t + 1) или составлены из элементов, обладаю-
обладающих этим свойством, то характеристическое уравнение является воз-
возвратным, т. е. каждому корнюkj соответствует другой кореньk_j—l/kj.
При расчете свободных колебаний участка конструкции, состоя-
состоящего из г однородных элементов, векторы состояния в начальном (ну-
(нулевом) и конечном (r-м) сечениях выражаются в соответствии с форму-
формулами C2.3), C2.4) через 2п постоянных cj.
Вместе с тем на каждый из этих векторов наложено по п линейных
зависимостей —это либо граничные условия, если сечения / =0
и i = г являются границами системы, либо условия сопряжения с не-
нерегулярными частями системы. Таким образом, всегда получается
система 2/г линейных однородных уравнений относительно постоян-
постоянных Cj.
Собственные частоты находят из условия равенства нулю опреде-
определителя указанной системы. После определения частот вычисляют от-
отношения между константами Cj и по формуле C2.3) рассчитывают
форму колебаний.
Вычисления могут выполняться в общем виде (для простейших
задач) или в числовой форме.
Рассмотрим некоторые простые примеры. Определим частоты и
формы собственных крутильных колебаний вала, несущего т распо-
расположенных на равных
а) т дцскоВ _ дп расстояниях дисков с
моментом инерции /
каждый (рис. 32.6, а).
Крутильные жесткости
участков вала между
дисками — с. Левый
диск свободен, правый
соединен валом жест-
жесткости с0 с маховиком,
момент инерции которо-
которого /0. Схему такого
рода часто используют
при расчете крутиль-
крутильных колебаний колен-
коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания.
На рис. 32.6, б показан типовой элемент системы, состоящий из
участка вала и диска. Состояние каждого сечения характеризуется
вектором
264
Рис. 32.6
М)'
где и—амплитудный угол поворота; М—амплитудный момент.
Составим выражения для и и М в (i + 1)-м сечении:
Таким образом,
1 1/с
— со2/ 1 — аЧ/cl '
Характеристическое уравнение C2.1) «получает вид
l — k 1/с
det (M — kE) =
— аЧ 1 — a>V/c — k
= 0,
или
A2 — 2{\—2)?)k +1=0, X2 = co2//Dc).
Отсюда получаем два значения:
ki = 1 — 2Х2 + 2Х }Л2 — 1 , ?2 = 1/fej.
Практиче! ксе значение для определения собственных частот
имеет случай X2 < 1, когда корни комплексные:
i=/^T; cosср = 1 — 2Х2; sin? = 2Х У\ — X2. C2.5)
Каждому значению k соответствует собственный вектор, для ко-
которого
Мо = — сA — k)u0.
Принимая ио=1, находим, что^характеристическому множителю
e'f соответствует собственный вектор
а второму множителю k2 = ё~19 — собственный вектор
Таким образом, в соответствии с формулой C2.4) в любом г-и. се-
сечении амплитудные перемещения и момент определяются формулами
Мг = - с [С, A - е'*) erl* + Са A
e'tf) e~
) e~ri*).
265
Так как иг и Мт —действительные, то очевидно, что величины
i и С2 — сопряженные комплексные. Положим
= V2
С2 =
где С и ф —-действительные.
Тогда получим следующие значения амплитудного поворота и кру-
крутящего момента в r-м характерном сечении:
C2.6)
r=cC{cos[il>-f-(r+ 1)<р]-—cos(i|) + rep)} =
= - С ¦ 2с sin (cp/2) sin [ф + (г + V2) ?].
sin \ур + — о) =
Для определения постоянных <]> и С рассмотрим граничные усло-
условия.
Добавив левее первого диска участок вала (штриховые линии на
рис. 32.6, а), что не меняет условий работы конструкции, разместим
там нулевое сечение. В этом сечении крутящий момент равен нулю.
Полагая в формуле C2.6) г = 0, находим
_1_
2
откуда
Ф
2
Следовательно, для любого сечения
иг ~ С cos [(г — V2) <р];
Мг = — 2Ccsin(cp/2)sinr<p. C2.7)
Рассматривая участок вала правее /л-го сечения, получаем:
Исключив отсюда «то+1, получим граничное условие для т-го
сечения:
Мт A — оJ/0/с0) = со2/о«т. C2.8)
Примем в формулах C2.7) г = т. и подставим в уравнение C2.8).
Тогда после некоторых преобразований получим следующее транс-
трансцендентное уравнение:
ctg то = Bс/с0 — 1) tg (<p/2) — 7/(/0 sin <?).
C2.9)
m значений <р, являющихся корнями этого уравнения*, легко опре-
определить, после чего определяются соответствующие значения X2 =
= У2 A — coscp) и собственные частоты р = 2Х Ус/J .
* Соответственно точкам пересечения т ветвей графика левой части уравне*
ния C2.9) на интервале 0 < q> < я с графиком правой части.
266
Расчет циклических систем. Весьма любопытно применение изло-
изложенного метода к расчету циклических (замкнутых) систем, состав-
составленных из т одинаковых элементов. В этом случае, определив матри-
матрицу перехода М для типового элемента и назвав одно из характерных
сечений нулевым, представим вектор состояния этого сечения в виде
Для любого г-то сечения вектор состояния
2п
Но последнее, т-е, сечение в замкнутой системе совпадает с нулевым.
Поэтому должно выполняться равенство
Хт = Хо, Yc = YKmc.
Так как матрица Кт —
— диагональная, то указан-
ное равенство может быть выполнено только в том случае, если она
единичная. Таким образом, устанавливаем, что в данном случае
kf=ln все собственные числа представляют собой корни т-й сте-
степени из единицы:
kj = "УТ = е {2T~'m)' = cos Br./т)} + I sin Br./m) j (/=1,2,..., т).
C2.10)
Эти числа являются сопряженными комплексными, за исключением
km = 1 и (при четном т) km/2 = —1.
Собственные векторы и собственные частоты, соответствующие
числу kj, определяются из уравнений
(Ж —
= 0, det (M — kjE) = 0.
Каждому значению kj соответствует столько частот, сколько степеней
свободы имеет типовой элемент системы при закрепленных крайних
его сечениях. При этом спектры частот, соответствующие сопряжен-
сопряженным комплексным kj, km-j, совпадают, а собственные векторы явля-
являются комплексными сопряженными.
Отделим действительную и мнимую части в собственном векторе,
соответствующем kj и одной из частот со/ уу- = у^ + iyj ¦
Тогда собственный вектор, соответствующий &т_/и той же частоте,
Ут-j = yf —
267
Заметим, что yf и у'} определены не единственным образом. Так
как собственные векторы можно умножить на произвольный мно-
множитель, то вектор
Ъ>; = (yf cosi> — yjsin i|)) + i(yf sin i|5 + y-jcosi|)) ,
где г|5 произвольно, также является собственным вектором. Поэтому
за У?' yj могут быть приняты также величины
, C2.11)
f =
yf. = y?cosi|) —
|), yJjm =yf
где у?, yj — действительная и мнимая части первоначально найден-
найденного собственного вектора.
При колебаниях с частотой со;- вектор состояния в начальном се-
сечении составляет
Так как вектор Xoj — действительный, то постоянные c-r cm_j —
комплексные сопряженные. Обозначим
Тогда
XOJ = V2 (Cl - tc
OJ
= V2 (ci — ic2), cm_j = V2 (ct + ic2).
+ ty/) + V2 (q + tc2) (yf
C2.12)
В произвольном сечении (s-м) вектор состояния
X*j = cjkbj + стЧк*т-.,-утЧ = V2 fa - ica) ec i2r'/m) is(yf + iyi
= сх [yf cosBrt/s//ra) — у/ sin Br.js/m) ] +
+ c2 [yf sin B«/s/m) + y/cos Br.js/m)].
C2.13)
Если характерные сечения совпадают с осями симметрии конструк-
конструкции, то формы колебания разделяются на симметричные и кососиммет-
ричные относительно нулевого сечения. В этом случае удобно выбрать
с помощью преобразования C2.11) векторы у^- и yj так, чтобы в
один из них (например, yf) входили только компоненты, обладаю-
обладающие свойством симметрии, а в другой (у)) —косой симметрии. Тогда
для симметричных относительно нулевого сечения форм колебаний
в формулах C2.12), C2.13) следует принять с2 = 0, а для кососиммет-
рИЧНЫХ — Ci =0.
С помощью приведенных зависимостей иногда удается определить
формы и частоты колебаний циклических систем, не прибегая к фак-
фактическому построению матриц перехода. Пусть, например, имеется
кольцо или правильная многоугольная рама, несущая т сосредото-
сосредоточенных масс. Требуется определить формы колебаний рамы в своей
268
плоскости. В качестве примера на рис. 32.7 показана рама с тремя
массами.
Совместим характерные сечения с центрами масс и ограничимся
рассмотрением лишь тех компонентов вектора состояния, которые
соответствуют радиальному и и окружному v перемещениям. Тогда
вектор состояния будет двухкомпонентным:
X =
Примем у} = I jj
где постоянные a, b пока не определены.
Тогда при симметричных относительно ну-
нулевого сечения колебаниях fa =1, с2 = 0)
амплитуды колебаний s-й массы составят
puc. 32,7
usj = а cos[Btc//3) s], vsJ = b sin [Bтс//3) s]
(/ = 0, 1; s = 0,1,2). C2.14)
При кососимметричных колебаниях (с4 = 0, c2 = 1)
i*j; = asin[Bic//3)s], vsj = boos[Bitj/3)s] (/=0,1; s= 0,1,2). C2.15)
При j = 0 симметричная форма соответствует
== МЮ = Ы20 =
= W10 = У20 = 0.
Соответствующая форма чисто радиальных колебаний изображена
на рис. 32.8, а. При / = 1 и симметричной форме имеем:
иО1 = а; ми = acosBir/3) = —a/2; w2l = acos(<W3) = —a/2;
t'oi = O; yn = 6sinBTC/3) = 6/3~/2; vn = b sin Dтс/3) = — b V~3/2.
Имеются два соотношения b/а, которые отвечают этим формулам:
приняв b =—а, получим: voi=O, Vn =—aY~bl 2, t!2i = a|/~3/2.
Эта форма соответствует вертикальному перемещению кольца как
жесткого (рис. 32.8, в). Другая, ортогональная к этой, форма движе-
движения соответствует b = а. В этом случае vOi = 0, Vu = a\f 3/2, u2i =
^ —аУ~3/2 (рис. 32.8, б).
Кососимметричная форма при } = 0 приводит к ь'оо = vOi = ti02 =
— b, «oo = «io = «го = 0, что соответствует повороту кольца как
жесткого.
При / =1 м01 = 0, ип = a sin Bu/3) = a /3~/2,
м21 = a sin D*73) = — a /3"/2;
"oi ^ &. "ii --- b cos Bk/3) = — b/2, v2i = b cos (W3) = — 6/2.
При b — а получаем горизонтальное смещение кольца как жест-
жесткого и при 6 = —a —форму колебания, показанную на рис. 32.8, г.
269
w
Таким образом, рассмотренная рама имеет три формы собственных
колебаний и три формы движения как жесткая. Зная формы колеба-
колебания, нетрудно подсчитать и их частоты. Для этого надо, например,
подсчитать потенциальную энергию при амплитудных силах инерции
и приравнять ее работе этих сил (во всех случаях 3/2 тр-аг).
Для рамы с четырьмя гру-
грузами (см. рис. 32.3) при сим-
симметричных формах колебания
usj — a cos (j-izs/2);
vsJ = b sin (jris/2)
(/ = 0,1,2;
s = 0,1,2,3). C2.16)
При кососимметричных формах
usj = asln(jr.s/2);
vsj = 6cos(;W2). C2.17)
Три возможных перемещения
рамы как жесткой характери-
характеризуются величинами:
«о = — «2 = — Щ = v3 ф 0
v0 = v2 = «i = «з = 0
v0 = ui = — v2 = — «з Ф 0
«0 = vt = ы2 = v3 = 0
и0 = U! = и2 = и3 Ф 0
«0 = Hj = И2 = Ы3 = 0
вертикальное перемещение,
горизонтальное перемещение,
Формы собственных колебаний ортогональны к формам движения
рамы как жесткой, что позволяет определить соотношения между
а и b в формулах C2.16) и C2.17).
Формы движения рамы, соответствующие различным значениям
/, показаны на рис. 32.9. В этом случае в соответствии с числом сте-
степеней свободы системы имеется восемь форм движения. Три из них
(б, г, д) отвечают движению системы как жесткой, пять (а, в, е, ж, з) —•
ее колебаниям. Количество разных собственных частот равно четырем,
так как формам вне соответствует одна и та же частота.
поворот.
Рис. 32.9
270
ГЛАВА V
КОЛЕБАНИЯ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК
Задача об определении частот и форм собственных колебаний пластин
и оболочек приводит к необходимости интегрирования дифференци-
дифференциальных уравнений в частных производных.
Наиболее хорошо изучены те случаи, когда оказывается возмож-
возможным разделение переменных. К ним относятся, в частности, колебания
прямоугольной пластины, шарнирно опертой по противолежащим
сторонам, зонтичные и веерные колебания круглых осесимметричных
пластин, колебания цилиндрических оболочек, замкнутых или шар-
шарнирно закрепленных вдоль образующих.
Если разделение переменных оказывается невозможным, большей
частью для расчета используют приближенные и численные методы.
В настоящей главе рассмотрены лишь простейшие задачи. Даль-
Дальнейшие подробности, относящиеся к колебаниям пластин и оболочек,
а также подробная библиография приведены в [18, 39].
§ 33. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПЛАСТИНЫ ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Расположим оси х,уъ срединной плоскости пластины, ось z направим
по нормали к этой плоскости. Дифференциальное уравнение статиче-
статического изгиба пластины постоянной толщины h при малых перемеще-
перемещениях имеет вид
Здесь у2у2 — бигармонический оператор:
2 ¦>¦-
v
С — прогиб; D = Eh3/[ 12A — ц2)] — цилиндрическая жесткость;
q(x, у)— интенсивность нормальной нагрузки.
Добавляя к внешней нагрузке интенсивность сил инерции
а ,
v v
C3.1)
где р —плотность материала, получаем уравнение движения
12РA -1х2) дК_ = J_ ,
Eh2 dt* D Ч( > У> )¦
При свободных колебаниях нагрузка q(x, у, t) = О и решение урав-
уравнения C3.1) отыскивается в форме
= w{x, у) cos р/.
C3.2)
Подставив выражение C3.2) в однородное уравнение, соответствую-
соответствующее уравнению C3.1), получим для амплитудной функции w(x, у)
уравнение в частных производных:
C3.3)
Уравнение C3.3) может быть представлено в виде
(V2 — а2) (уа + а3) да = О,
откуда ясно, что решениями его являются, в частности, решения более
простых уравнений:
(V2 — а2)оу = 0; (у2 + а2)ау = 0, C3.4)
или в развернутой записи:
дх1
d2w
ду*
d2w
ду*
— а2ау = 0;
+ а2ау = 0.
C3.5)
C3.6)
Из бесчисленного множества решений уравнения C3.3) должны
быть отобраны те, которые соответствуют условиям закрепления краев
пластины. Эти условия такие же, как и при статическом изгибе,
а именно:
на защемленном краю г^ = 0; dwldn = 0;
на опертом краю w = 0; Мп — 0;
на свободном краю Мп = 0, Vn = 0.
Здесь Мп и Vn — амплитудный изгибающий момент и приведен-
приведенная поперечная сила на контуре.
Если пластина отнесена к декартовой системе координат х, у, то
Мп и Vn определяются формулами
sin2 9 -4
дхду
дх"ду
— 3A— fi) cos2 6] sine
д3 w
дхду2
[2 — ц — 3(l-n)sin29]cos6
dsw
Ро
A —|i.)cosa6]sinG-f
^.^05 29-2-^-sin29|},
дх2 J дхду
272
где 8 — угол, образуемый внешней нормалью к контуру с осью х;
Ро — радиус кривизны контура.
273
§ 34. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Пластина, шарнирно опертая по противолежащим сторонам. Точ-
Точное решение задачи об определении собственных частот и форм коле-
колебаний прямоугольной пластины может быть получено, если две проти-
противолежащие стороны пластины шар-
шарнирно оперты. Закрепление двух
других сторон — произвольное.
Пусть (рис. 34.1) шарнирно опер-
оперты края у = 0 и у = b. Тогда вы-
— х ражение для амплитудных проги-
прогибов, удовлетворяющее условиям шар-
шарнирного опирания на этих краях,
Рис 34.1 можно представить в виде
w (х, у) = f (x) sin (my/b) {n = 1, 2,3,...).
Подставляя это выражение в уравнения C3.5), C3.6), устанавли-
устанавливаем, что функция f(x) должна удовлетворять одному из двух уравне-
уравнений:
Г(Х)-**ЛХ) = О (а2 = а2+п2
ИЛИ
Г{х)+а*!{х) = 0 (а2 = а2_„2
Решениями этих уравнений являются выражения сЬсцх, shape,
cosa2x, sina2x. Следовательно, общее выражение для w(x, у) при-
принимает вид
w {х, у) = (Ct ch GtjX + С\ sh л1х + С3 cos а.гх + С4 sin a2x) sin rvaylb.
Это выражение должно удовлетворять граничным условиям при
х = 0, х = а. Если эти края пластины также шарнирно оперты,
то должно быть:
wx=o = 0;
Wx=a = 0;
дх*
дхг
ду* Jx=o
= 0;
[X
= 0.
ду2 )х=и
Из условий при х = 0 находим С4 = С3 = 0, а условия при х=а
приводят к уравнениям
С2 sh a4a + Q sin a2a = 0;
C2ai sh ata — C4a? sin a2a = 0.
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получаем урав-
уравнение частот
sha1asina2a = 0,
которое выполняется при им = тк (т = 1, 2, 3,...). ;
274
Так как а\ = а2 — л2тс2/62, находим
a2 =
и собственные частоты пластинки, опертой по контуру,
Р = а2 ~1 /
"/71, П I/
Eh'1
Т2 1Т± I _^1
7 2 /,2
12р A-н-2) \а<
(ш= 1,2,3,...; п= 1,2,3,...). C4.1)
Наименьшая частота pt соответствует т= 1; п— 1, т. е. коле-
колебаниям пластинки без узловых линий:
V
Eh2
аЧ2 I/ 12p(l—(
Форма колебания определяется выражением
w — sin (кх/а) sin (ъу/b).
C4.2)
Рис.
Подобным же образом приводится расчет и при других условиях
закрепления границ: х = 0, х = а.
Асимптотический метод расчета пластин. Для прямоугольной плас-
пластины с закреплением, отличным от опирания по противолежащим сто-
сторонам, применяют различные приближен-
приближенные методы. Примеры расчетов рассмотре- у
ны в § 36. Здесь мы рассмотрим лишь ¦/,,.>/¦'•' /
асимптотический метод, предложенный в
работах [12, 13].
В пластинках, так же как и в балках,
имеет место динамический краевой эффект,
который заключается в том, что закрепле-
закрепление влияет на форму колебания только
вблизи границы, а вдали от нее форма
колебания определяется произведением
синусов типа уравнения C4.2). Благо-
Благодаря этому форму колебания можно представить как сумму
функции типа C4.2) и быстро затухающих с удалением от
границ функций, которые позволяют выполнить граничные условия.
Рассмотрим применение этого метода на примере заделанной по
контуру прямоугольной пластины (рис. 34.2). Ограничимся расче-
расчетом симметричных относительно осей х, у форм колебаний. В средней
части пластины примем
w = w0 = Со cos ytx cos у2у.
Вблизи границ х = + а/2
w = c
где f (x) — быстро изменяющаяся функция, позволяющая выполнить
условия закрепления.
275
Аналогично, вблизи границы у = +6/2
w = cos Yi* [С 0 cos Y2y + <?(*/)].
Таким образом, общее выражение для w (х, у) составляет
w = C0cosYi* cosY2y + / (х) cosY2y + <? (у) cosYi*. C4.3)
В средней части пластинки функции f(x) и ср(у) пренебрежимо малы
м потому первый член выражения C4.3) должен удовлетворять урав-
уравнению C3.3). Отсюда находим
„2 _ V2 I «2
г, -г г2-
Вблизи границ х = ±а/2 существенны первый и второй члены вы-
выражения C4.3). Учитывая, что первый член удовлетворяет уравнению
C3.3), потребуем, чтобы и второй удовлетворял ему:
VV if (х) cos У2У] — aY (x) cos y2y = 0.
Выполняя дифференцирование, приходим к уравнению
Которое распадается на два:
Так как a2>Y2, затухающие решения имеет только первое из
'•этих уравнений. Решение, затухающее с удалением от стороны
А; = — а/2, имеет вид
/ (X) = С1в- (Х+а/2) ( «? = а* + у» =у>
По симметрии, вблизи стороны х = а/2
Диалогично, вблизи стороны у — —6/2
= 2т
вблизи стороны у = 6/2
е"а2 {Ь/2-у)
? (у) =
Рассмотрим граничные условия при х = —а/2: w = 0;
При вычислении ay и dwldx учтем, что практически вдоль всей сто-
стороны х = —а/2, за исключением окрестностей угловых точек, функ-
функция ф(</) равна нулю и потому w определяется первыми двумя слагае-
слагаемыми выражения C4.3):
wx=-a,2 «[С0 cos (Yia/2) + Ct] cos Y2t/ = 0;
Bpl = [C,v1 sin (Y4 a/2) - a^] cos Y2y = 0.
dx Jx=-a/2
Для одновременного выполнения этих уравнений необходимо, что-
чтобы их определитель равнялся нулю:
cti cos (Y4a/2) +.Yi sin (Yt a/2) = 0. C4.4)
Аналогично, условия при у=± 6/2 приводят к уравнению
a2 cos (Y26/2) + Y2 sin (Y26/2) = 0. C4.5)
Так как au a2 связаны с 7, и Y3 (a? = Yi + 2Y2! ai=2Y?+Y2),
трансцендентные уравнения C4.4) и C4.5) позволяют определить
значения Yi и Y2, а затем вычислить a2 = Yi 4- Y2 и частоты р =
--¦= а2 ]/" ?/г2/[р12A—(л2)] .
Рассмотрим, например, колебания квадратной пластинки с оди-
одинаковым числом узловых линий в направлениях х, у. В этом слу-
случае Yi = Y2 = У, a4 = a2 = V КЗ и уравнения C4.4) и C4.5) приво-
приводят к зависимости
tg(va/2) = —/3\
откуда
Ya/2 = 27r/3 + (й— 1)и (*= 1,2,...).
Частоты определяются формулой
Хороший результат получается уже для низшей частоты:
pt = 35,6 ]/ ?/га/[12рA —ji2)a4]
(точное значение р4 = 35,98 /?/г2/[12рA — ji2)a4j) .
Как видно из вышеизложенного, при использовании асимптотиче-
асимптотического метода погрешность возникает вследствие приближенного
выполнения граничных условий вблизи угловых точек.
§ 35. КРУГЛАЯ ПЛАСТИНА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ
Определение форм и частот колебаний. Для круглой пластины
следует в уравнениях C3.4) для амплитудной функции w перейти к
полярным координатам г, ср. В этих координатах оператор Лапласа
имеет вид
дх2 ~Г ду2 дг2 г дг r2df2
Таким образом, уравнения C3.4) в полярных координатах мож-
можно записать следующим образом:
d2w
дг2
d2w
дг2
+ —
г
dw
дг
dw
г2ду2
1 dw .
— [
г дг
a?w = 0;
- o.*w = 0..
C5.1)
211
Решения этих уравнений, соответствующие колебаниям пластины
с п узловыми диаметрами, можно представить в форме ,
w(r, «) = W (r) cosny.
После подстановки этого выражения приходим к уравнениям
di2
dr
= 0; C5.2)
a"w i ' aw n" IF/ 1 „Ш/ — П /oc o\
1 W -\- ОС W — U. (GO.Of
dr2 r dr r2
Решениями уравнения C5.3) являются бесселевы функции порядка
п первого Jn(ar) и второго Yn(ar) рода, решениями уравнения C5.2) —
модифицированные бесселевы функции 1п(аг), /С„(аг). Таким образом,
общее выражение амплитудной функции с п узловыми диаметрами
таково:
w = [CiJn (ar) + C2Yn (ar) + C3In (ar) + С4/С„ (ar)] cos no. C5.4)
Для кольцевой пластинки имеются четыре граничных условия (пй
два на каждом краю), которые образуют однородную систему относи-
относительно констант Ci,...,C4. Для сплошной пластинки в выражении C5.4)
равны нулю коэффициенты С2 и С4 при функциях, стремящихся к бе-
бесконечности при г-»-0. Граничные условия на внешнем контуре пла-
пластины образуют в этом случае однородную систему относительно С»
и С3. Уравнение частот получается путем приравнивания нулю опре-
определителя системы.
В качестве примера рассмотрим колебания свободной сплошной круглой
пластины. В этом случае на контуре должны выполняться условия:
дМ
Г<р
гду
= 0.
Изгибающий момент определяется формулой*
Гд2зд /_1_ dw_ J_ d2w \1
4r = — D
Поперечная сила
Крутящий момент
г дг
дг
Mr=-(l-v)D —
1
dw
г дгду
Таким образом, граничные условия имеют такой вид:
V ^ \ Г7 I -,_ Т" о -, о I I
дг
г'
1 dw
Т ~дТ
C5.5)
Используемые здесь формулы можно найти, например, в книге [3].
278
Учитывая, что Jncosny является решением уравнения
/„coswp — уравнения y2w — а2ш = 0, находим
При подстановке в уравнения C5.5) вместо w его выражения
w = [Ci/« (ar) + С3/„ (аг)] cos л?
учтем также правила дифференцирования функций Бесселя:
d a
— Jn (ar) = — [Ул_г (ял) — /й+1 (ar)];
= 0, a
Таким образом, приходим к уравнениям
A-сО
+
A - ^ -^ + l] /я -
Г n
[d - Ц) —
(Vi - /n+i)} =0,
A - rt "^ - l] - 2 A - ,1) -^ /„} = 0.
Здесь аргументом всех бесселевых функций является величина X = aR
¦¦{R — радиус пластинки).
Значениях, обращающие в нуль определитель полученной системы, связаны
с собственными частотами равенством
Если ограничиться формами колебаний без узловых окружностей, то значе-
значениям и = 0 ил = 1 соответствуют смещения пластины как жесткой и нулевые
частоты. При п = 2 (два узловых диаметра) частотное уравнение можно привес-
привести к виду
12A-|
12A —
При (л. = 0,3 наименьший корень этого уравнения X. = 2,275 и соответствую-
соответствующая частота собственных колебаний
Для заделанной по контуру пластинки граничные условия wr=rt — 0
{dwjdr)r_j^ = 0 приводят к частотному уравнению
n-i W - /„+1 (X) /„.! (X) + /я+1 (X)
= 0.
279
Корни этого уравнения приведены в табл. 35.1, а некоторые формы собст-
собственных колебаний представлены на рис. 35. 1. Узловые окружности и диаметры
показаны на чертеже стрелками.
/7=0. т=0
Рис. 35.1
Т а б л иц аТ35.1
Число узловых
окружностей
т = 0
т = 1
от = 2
А в
я = 0
3,19
6,30
9,43
зависимости от числа узловых ди
л= 1
4,61
7,81
10,98
шетров
/1 = 2
5,90
9,40
12,60
Бегущие волны в круглых пластинах. Рассмотренные выше соб-
собственные колебания круглых пластин описываются уравнением
С, =
/•) cos л? cos/rf.
C5.6)
Они соответствуют стоячим волнам на поверхности пластины, при
которых узловые диаметры неподвижны.
Однако наряду с выражением C5.6) решением уравнения движения
является выражение
= W (r) sin ncp sin pt.
C5.7)
Но, поскольку уравнение движения линейно, сумма и разность
выражений C5.6) и C5.7) также являются его решениями.
Выражения
С = Cj — ?2 = W (г) cos п [<р + (pin) t]
представляют собой уравнения бегущих волн. Первое выражение со-
соответствует вращению всей картины деформаций вокруг оси симмет-
280
рии пластины в направлении возрастания угла ф с угловой скоростью
со -= pin.
Второе выражение соответствует движению волны с той же ско-
скоростью в противоположном направлении.
Если имеются внешние нагрузки, вращающиеся по периферии пла-
пластины со скоростью, близкой к скорости to распространения собст-
собственных колебаний, то такие нагрузки вызовут большие резонансные
колебания пластины, так же как это имеет место при движении нагруз-
нагрузки по бесконечной балке (см. § 21).
Практически, движущаяся по круглой пластине нагрузка осущест-
осуществляется в дисках турбомашин благодаря вращению диска при не-
неподвижной в пространстве нагрузке, обусловленной неравномер-
неравномерностью давления рабочего тела по окружности.
Критические скорости вращения диска ю кр могут быть найдены,
если известны частоты его собственных колебаний рп, по формуле
юкр = Pjn> C5-8)
где п — число узловых диаметров при свободном колебании с часто-
частотой рп.
Методы расчета частот собственных колебаний и критических ско-
скоростей дисков рассмотрены в § 49.
§ 36. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РЭЛЕЯ—РИТЦА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН
Метод Рэлея—Ритца (см. § 25) позволяет расчетным путем приб-
приближенно определять частоты собственных колебаний пластин пере-
переменной толщины и, в частности, дисков турбомашин. Преимуществом
этого метода является также возможность легко учесть влияние на
частоту различных побочных факторов, например, начальных напря-
напряжений в срединной поверхности пластины.
Потенциальная энергия деформации пластины при изгибе ее по
форме, определяемой функцией w(x, у), выражается интегралом
".--г
D
d"w
ду*
¦+2A—
— [ ахау,
d2w
дхду
C6.1)
где D -- Eh3l[ 12A — [x2)], а интеграл берется по всей поверхности
пластины*.
Обобщенная масса пластины выражается интегралом
C6.2)
= phwMxdy.
* Для пластины постоянной толщины, заделанной по контуру, интеграл
второго слагаемого выражения C6.1) обращается в нуль.
281
В соответствии с методом Рэлея—Ритца форма колебаний задается
в виде ряда
w = c^i (х, у) + c.iw2 (x, у) -!••••, C6.3)
где каждая из координатных функций wk(x, у) удовлетворяет геомет-
геометрическим граничным условиям.
Равенство нулю определителя системы уравнений
да,
' *
2
cch
= 0 (/г=1,2,...)
C6.4)
позволяет определить частоты собственных колебаний.
Если в выражении C6.3) ограничиваются одним слагаемым, то
частота определяется по формуле Рэлея:
р2 = ZU0/M. C6.5)
Можно задаваться выражением для формы колебаний, в которое
параметры сьс2,..., сп входят нелинейно:
w = w(cu c2,..., сп, х, у).
В этом случае уравнения метода Рэлея—Ритца C6.4) оказываются
нелинейными и проще исходить не из них, а из условий экстремума
выражения C6.5), причем значения параметров, при которых дости-
достигается этот экстремум, находятся численными методами.
Рассмотрим в качестве примера заделанную по контуру прямоугольную
пластину постоянной толщины (см. рис. 34.2). Ограничиваясь одним слагаемым
выражения C6.3), примем
w = с [1 + cos Bкх/а)] [1 + cos B-y/b)].
Проводя вычисления по формулам C6.1) и C6.2), находим:
Uo = сЮ2^аЬ [3/а* + 2/(о2Ь2) + 3/Ь4]; Щ = 9/4
Для частоты колебаний получаем
В случае b =a
/? = 37,2
что на 3,3% выше точного значения.
При расчете колебаний круглых пластин целесообразно исполь-
использовать выражения энергии деформации и обобщенной массы в поляр-
полярных координатах г, ср:
D
2
dzw , J_ dw_ 1_ d2w \2
дг* г дг ~ E-f2 j
d2w
dw
= j J
где интегрирование выполняется по всей срединной поверхности
пластины.
При изучении колебаний осесимметричных пластин полагают
w(r, ср) = W (r) cos n'f.
В этом случае интегрирование по ср можно выполнить в общем
виде и выражения для [/,и1 представляются в форме
— 2A— ti)W" — W— — W rdr;
Ж = г. j phW2rdr.
C6.6)
C6.7)
Для сплошной свободной пластины вычисления упрощаются,
если принять функцию W(r) в форме, предложенной А. Стодолой:
W = rs,
где s — параметр, определяемый из условий минимума дроби Рэлея
2UQIWl.
Тогда
24A—ij
[(s2 — n2f +2A —ji.)(s— 1) Bn2s — n2 — s2)] h3r3s-4r;
Ш = я
C6.8)
Чтобы оценить погрешность метода, применим его к расчету ча-
частоты колебаний диска постоянной толщины при двух узловых диа-
диаметрах. В этом случае
0
24A— (x2)
Отсюда
1)].
Eh2
s + 1
Ж
+ 2 A — |^) (s — 1) (8s — 4 — s3)].
Изменение этой величины в за-
зависимости от параметра s показано
ка рис. 36.1. При s= 1,742 дости-
достигается минимум р2 = 29,4Ш/(р/г/?4).
Следовательно, частота составляет
Р = 5,43 V DI(phRk) .
Точное значение частоты, найден-
найденное выше, составляет 5,17У
1,0 Щ 2Р
Рис. 36.1
3,0
282
283
Таким образом, метод Рэлея—Ритца в данном варианте дает ошиб-
ошибку порядка 5%.
§ 37. КОЛЕБАНИЯ ОБОЛОЧЕК
Колебания изгиба пластин можно рассматривать независимо от их
колебаний в своей плоскости. В отличие от этого при колебаниях
оболочек изгиб стенки связан, как правило, с растяжением срединной
поверхности. Потенциальная энергия деформации оболочки выра-
выражается формулой
где
"¦-т
2 (l-
Eh?
[(х, +
2 A - ц) ( х?2 -
Q, C7.1)
dQ.
Величина U1 представляет собой энергию растяжения оболочки,!1
U» — энергию ее изгиба, еи е2) у12 — компоненты деформации ере-.*
динной поверхности, кг, х2, х12 — параметры изменения ее кривизны.-
Интегрирование в формулах C7.1) выполняется по всей срединной
поверхности Q оболочки. Величины гъ s2, 712. *i> *2> xi2 по известным
формулам (см. [3]) выражаются через компоненты амплитудного
перемещения и, v, w точек оболочки.
Амплитудное значение кинетической энергии движения оболочки,
совершающей гармонические колебания с частотой ©, составляет
Частота колебаний определяется формулой Рэлея
со2 =
U2)/Wl;
C7.2)
и числитель и знаменатель дроби C7.2) зависят от выбора функции
перемещений и, v, w. При этом истинные формы собственных колебаний
сообщают выражению C7.2) стационарные значения, а первая собст-
собственная форма ¦— минимум.
Обозначим характерный размер оболочки R, характерную тол-
толщину h0. Тогда формула C7.2) получает структуру
С02 =
где
A— ^
Я (А/*„) [(Ч +
,
C7.3)
)" + 2 A - (х) ( 7«s /4 - ехв2) j dQ
Jj (й/й0)
+ у2 + о-2) dQ
R* ,l'j (А/А0)з [(х2 + v.2J + 2 A - (х) ( 7.12 - Xlx2) ] dQ
ИJ) dQ
— безразмерные величины, зависящие от вида амплитудных функ-
функций и, v, w. Заметим, что второе слагаемое в формуле C7.3), соответст-
соответствующее энергии изгиба оболочки, имеет малый множитель h2J(\2R2).
Поэтому при минимизации «2 наиболее существенно уменьшение XJt
т. е. слагаемого, соответствующего энер-
энергии растяжения срединной поверхности.
Если геометрия оболочки и условия
ее закрепления это допускают, то наи-
наименьшие значения частот отвечают та-
такому выбору функций и, v, w, при ко-
котором А,! ;« 0.
Но требование Хг = 0 может быть
выполнено только при ех = 0, е, = 0,
712 = 0, т. е. при отсутствии растяже-
растяжения срединной поверхности. Такой вид
деформации оболочек называется чис-
чистым изгибанием.
Теория колебаний оболочек без рас-
растяжения срединной поверхности. Рас-
Рассмотрим на основе этой разработанной Рэлеем (см. [42]) теории
колебания цилиндрической оболочки (рис. 37.1). Определим поло-
положение произвольной точки М на срединной поверхности оболочки
координатами а = x/R, C. Компоненты перемещения точки в продоль-
продольном, окружном и нормальном к поверхности направлениях обозначим
соответственно и, v, w. Компоненты деформации срединной поверх-
поверхности определяются формулами
Рис. 37.1
ди
Rda
е„ =
dt1 L ш
Rd? ' ~R
ди
Rdi
dv
Rda
C7.4)
284
Приравняв Sx, e2 и 7x2 нулю и проинтегрировав полученные урав-
уравнения, выразим и, v, w через две произвольные функции угловой коор-
координаты |3:
и = Ш, f = —a/i(P) + MP). ^ = «/i(P)-/2(P), C7.5)
где штрихи означают дифференцирование.
Из полученных формул видно, что при деформации цилиндрической
оболочки без растяжения срединной поверхности образующие оста-
остаются прямыми, а осевые перемещения не зависят от продольной ко-
координаты.
Формулы показывают, что чистые изгибания замкнутой цилинд-
цилиндрической оболочки возможны: а) если ее торцы свободны (в этом слу-
случае отличны от нуля и /х и /г); б) если на одном из торцов запрещены
перемещения v, w, но разрешено перемещение и; в) если на одном из
285
торцов запрещено перемещение и. Если оболочка оперта на обоих
торцах, чистое изгибание ее невозможно.
Составим выражения потенциальной и кинетической энергий обо-
оболочки, совершающей гармонические колебания с частотой о. В об-
общем выражении потенциальной энергии деформации сохраняется
только слагаемое ?/2 C7.1). Входящие в него параметры изменения
кривизны определяются формулами
da2
= 0
д
d'-i
v —
dw ''
1 д
x,2 = | v -
1 *• no -\ '
После подстановки этих значений в выражение U2 C7.1) и интегри-
интегрирования по а с учетом того, что d2 = i?2dad|3, найдем
U = V9 =
12A—fi2) J
C7.6)
= РЯ2 j [А, [( /,')Ч ( fif] - 2В, ( f[h + h ft) +
+ СЛП +%+(№)<$,
A = J h3a4a, В = f A3ada, С = f h4a,
a a a
/j = [ /ia2da, ?j = j Aada, Cj = [ Ada.
где
Интегралы в выражениях Л, S, С, Alt Въ Сг вычисляются по всей
длине оболочки.
Из основного уравнения B5.2) метода Рэлея—Ритца следует, что
выражение V2p Ш —U, где р — частота собственных колебаний,
должно иметь стационарное значение
Отсюда следует система обыкновенных дифференциальных уравнений
для функций Д(|3), /2(Р)- В этом случае, если форма всех меридиональ-
меридиональных сечений одинакова (толщина оболочки не зависит от C), коэф-
коэффициенты А, В, С, Alt Въ Сх постоянны и уравнения получают такой
вид:
286
?!_U-^i B^-2(l-
dp
-P3
12A-1
d2
d/2
C7.7)
d2
d3
12A — |j.2)
Решение этих дифференциальных уравнений для открытой оболочки
должно быть подчинено граничным условиям на продольных кромках.
На этих кромках могут быть заданы перемещения и (постоянные
вдоль каждой кромки), а также перемещения v, w и угол поворота
О-2 —_-(и — ^ЕЛ в двух различных сечениях по длине оболочки. Итого
имеется семь кинематических граничных условий на каждой про-
продольной кромке, что соответствует 14-му порядку уравнений C7.7).
Если закрепления отсутствуют, то кинематические граничные усло-
условия заменяются естественными граничными условиями.
Если оболочка симметрична относительно поперечного сечения
a = 0 (см., например, рис. 37.2), то 5 = Вх = 0 и функции /г(Р)
и /2([i) определяются независимыми дифференциальными уравнениями
1
177.
1
см
Рис. 37.2
d32
«1 A
¦p
dp2 ^
d2/2
С l4 dP2
Рис. 37-3
= о,
C7.8)
Функция /х описывает в этом случае кососимметричные относи-
относительно сечения a = 0 формы колебаний, а функция /2 — симметрич-
симметричные. Уравнение, определяющее функцию/2(Р), не отличается от урав-
уравнения колебаний кольца в своей плоскости.
287
Для замкнутой оболочки граничные условия заменяются условиями
периодичности, которым удовлетворяют функции Д = Mcoskfi,
/2 = Ncoskft. В случае симметричной оболочки подстановка этих
выражений в уравнения C7.8) приводит к следующим значениям ча-
частот:
1
?
—у.) С]
R' 12A —jx) PR* i
для кососимметричных колебаний и
2 1 Е
2 — IJ
й- 12A —p.2) p^1 Cj &2-f 1
для симметричных колебаний.
Для оболочки постоянной толщины h и длины 21 (рис. 37.3)
А = 2/г3
4R
з 1я
\з
о
В этом случае
2
12A-|
Pk2Z
k2(k2— IJ
/г2+
12A — (х2) р/?4
Как видно из полученных формул, при колебаниях оболочек без
растяжения срединной поверхности частоты определяются зависи-
зависимостями такого же типа, как и для пластин:
р = i
где D — цилиндрическая жесткость, X — числовой коэффициент.
При стремлении толщины оболочки к нулю частота ее колебаний без
растяжения срединной поверхности также стремится к нулю.
Применим изложенную теорию к расчету низших частот собствен-
собственных колебаний конструкции, состоящей из круглой пластины и ци-
цилиндрической оболочки (гибкое колесо волновой передачи, рис. 37.4).
Считая пластину нерастяжимой, будем иметь в сечении А—А
оболочки граничные условия v = 0, w = 0. Располагая здесь начало
отсчета координаты а, установим [см. формулы C7.4)], что в этом
случае функция /2(C) s 0 и перемещения оболочки определяются
формулами
деформации и обобщенную массу оболочки [с учетом того, что
/г(Р) = 0]:
и°" - "Г ,9,i * чр» [А4^- 1)М + 2A -,!)#(**- 1)»С],
2 1/A — ;л-) д'
Здесь при й <^ I
А =-- (' h3a2da=
о
Л-
о
ЗЯЙ
Л/
Но
—
В месте стыка цилиндрической оболочки и пластины осевое перемеще-
перемещение Д(Р) = cos^C, а угол поворота образующей в своей плоскости
ее
см
Л 1
4
-с
п
i Т
Pwc. 37.4
Рис. 37.5
Пластина деформируется также по k волн, причем на ее внешнем
контуре задано (рис. 37.5):
ffiVi = "об = cos ^E, дгюал!дг = &, =
cos
Этим условиям можно удовлетворить, если принять упругую по-
поверхность пластины в виде
Потенциальную энергию и обобщенную массу пластины находим по
формулам C6.6), C6.7):
+ 2 A - li)].
Задавая fi (fl) = cos/e|3, вычислим по формулам C7.6) энергию
1).
288
10—318
289
Суммируя U = UoQ Jr иил, Ш =
колебаний по формуле Рэлея:
loQ-\- Шпа, далее находят частоты
Г
р\ = 2U/M.
Конкретные вычисления не представляют затруднений.
Рэлеем (см. [42]) рассмотрены также колебания без растяжения
срединной поверхности открытых сферических оболочек.
При закреплении оболочки, исключающем возможность чистого
изгибания, расчет колебаний следует основывать на уравнениях,
учитывающих растяжение срединной поверхности.
Уравнения движения оболочек. Если отнести оболочку к систе-
системе гауссовых координат а, |3, совпадающих с линиями кривизны сре-
срединной поверхности (см. [3]), то уравнения движения могут быть
записаны в таком виде:
Nnu + NHv + Ni3w = ph
д"и
dt2
C7.9)
N3lu-\-
!23w == ph — ,
dt2
,, , d2w
Nnw — ph ,
где и, v, w — компоненты перемещения точки срединной поверхности
в направлениях а и C-линий и по нормали, ph — масса оболочки на
единицу срединной поверхности, Nц — дифференциальные опера-
операторы. Структура операторов Ntj для оболочек произвольной конфи-
конфигурации весьма сложна. Поэтому уравнения движения в виде C7.9),1
т. е. в перемещениях, имеет смысл записывать только для простейше-
простейшего случая цилиндрической оболочки постоянной толщины, для кото-
которой коэффициенты уравнений постоянны. В этом случае
#11 =
Eh
#12 = #21 =
/ d2 1—(x д2 \
A—[X2)tfa [-da* 2 drd2
Eh 1 + fx d2
A - [х2) R*
#13 = -#31 =
д
Eh
#23 = — #32 =
A-
2 da2 """ d'A2
Eh
a» m 1 — i
да2
C7.10)
^V QQ " -
Eh
A - fx2) R2
,/ d2 . d2 \ai
[da2 ap)\
290
Здесь a = x/R, |3 = s/R ¦— безразмерные координаты точки на сре-
срединной поверхности (см. рис. 37.1), о2 = №/(\2R2).
Система уравнений C7.9) имеет восьмой порядок по координатам
а, |3 и второй — по времени. Даже тогда, когда уравнения имеют
постоянные коэффициенты (т. е. для цилиндрической оболочки) и при
д2и
рассмотрении гармонических колебаний с частотой со, т. е. при -р- =
о d2v „ d2w „
= —со'И, -^ — —со-и, — — —со2ау> аналитическое решение этих
уравнений может быть выполнено лишь при некоторых специально
подобранных граничных условиях. В остальных случаях используют
приближенные или численные методы расчета.
Особенностью уравнений движения оболочек является то, что,
как это видно, в частности, из формул C7.10), в эти уравнения входит
малый, пропорциональный квадрату толщины оболочки, параметр
а2, на который умножаются старшие производные перемещений по
координатам. Поэтому, если рассматриваются такие формы колеба-
колебаний, при которых перемещения медленно меняются по координатам
а, C, соответствующими (моментными) членами в уравнениях C7.9)
можно пренебречь. На основе безмоментной теории рассматривают
низшие формы колебаний оболочек, закрепленных так, что обеспе-
обеспечивается возможность безмоментного состояния.
При высших формах собственных колебаний оболочка разбивается
узловыми линиями на ряд достаточно пологих сегментов, на каждом
из которых напряженное состояние быстро изменяется по координа-
координатам. В этом случае для расчета может быть использована так назы-
называемая теория пологих оболочек. Применительно к цилиндрической
оболочке уравнения теории пологих оболочек получаются из урав-
уравнений C7.9), если в операторах А^2, N23, N32 C7.10) опустить сла-
слагаемые с множителем а2.
Аналитическое решение задачи о собственных колебаниях для
замкнутой цилиндрической оболочки может быть получено при так
называемых граничных условиях Навье. Согласно этим условиям
на торцах оболочки отсутствуют нормальные w и окружные v пере-
перемещения, а также нормальная сила Тх в срединной поверхности и из-
изгибающий момент Мх. Условиям Навье удовлетворяют следующие
выражения компонентов перемещения:
и = A cos (mr.Ry./l) sin n|3 cos pt,
v = В sin (mr.Ra.ll) cos nfl cos pt,
w — С sin (m-Ra/l) sin n|3 cos pt.
Подставив эти выражения в уравнения движения C7.9) с учетом вы-
выражений C7.10), придем к системе трех линейных алгебраических
Уравнений относительно А, В, С.
Равенство нулю определителя этих уравнений приводит к кубиче-
кубическому уравнению относительно р2. Три корня этого уравнения соот-
соответствуют трем различным формам колебаний с одинаковыми числами
Ю*
291
узловых окружностей и образующих, но с различными соотноше-
соотношениями между А, В, С.
Вычисления частот и форм колебаний приведены в работах
[18, 39]*.
Следует отметить, что в отличие от пластин, где наименьшие соб-
собственные частоты соответствуют формам колебаний без узловых линий,
в оболочках, закрепленных так, что деформация их без растяжения
срединной поверхности невозможна, наименьшие частоты имеют
колебания с узловыми линиями. Это объясняется тем, что формы коле-
колебаний без узловых линий связаны со значительными деформациями
в срединной поверхности оболочки.
Собственные колебания оболочек вращения. Для расчета коле-
колебаний оболочек вращения с произвольной формой меридиана целе-
целесообразно использовать численные методы.
Перемещения и внутренние силы в оболочке вращения при коле-
колебаниях с 2к узловыми меридианами представляют в форме
ft(s,
C7.11)
где s — координата, отсчитываемая по дуге меридиана оболочки, 0 —
центральный угол (рис. 37.6). Множитель cos&|3 принимают для сим-
Рис. 37.6
Рис. 37.7
метричных, а множитель sin&|3 — для кососимметричных относительно
начального меридиана величин.
В качестве основных неизвестных удобно ввести компоненты пере-
перемещений и внутренних сил, отнесенные к системе координат, пока-
показанной на рис. 37.6. Здесь ось / направлена по нормали к оси сим-
симметрии оболочки, ось 2 — по касательной к параллельному кругу,
а ось 3 параллельна оси симметрии.
Компоненты перемещений точки срединной поверхности по осям
1, 2 и 3 обозначим соответственно их, м2, и3. Кроме того, введем в рас-
* См. также: В а г о п L., В 1 е i с h H. Tables for frequences and modes
of free vibration of infinitely long thin cylindrical shells. Trans. ASME, Journ.
Appl. Mech. vol. 21, № 2, 1954.
292
смотрение угол поворота нормали к оболочке вокруг^оси'2 (ft). Внут-
Внутренние силы, действующие в сечении оболочки, нормальном к мериди-
меридиану, и отнесенные к единице длины сечения, также разложим по
направлениям /, 2, 3. Здесь учитываются составляющие сил R, S, Z
и изгибающий момент М (рис. 37.7).
При колебаниях, симметричных относительно нулевого меридиана
при 2k узловых меридианов, перемещения и усилия изменяются в
соответствии с равенствами C7.11):
Mj = ы* cos ^P cos со/, R = Rk cos k$ cos со/,
u2 = u* sin Щ cos со/, S = Sk sin k& cos со/,
t/3 = U3cos^|3cosco/, Z = Zk cos &fl cos со/,
«¦ = ft* cos/г|3 cos со/, M = MA cos/г|3 cos со/.
Величины ыь u*. u*. ®k и соответствующие амплитуды усилий
являются функциями дуги s.
Уравнения теории оболочек в переменных их, «2, u3,ft, R, S, Z,
М Еыведены в работе [3]. Внося в эти уравнения вместо ищенсивно-
стей нагрузки интенсивности сил инерции по направлениям /, 2, 3,
придем к системе обыкновенных дифференциальных уравнений от-
относительно амплитуд перемещений и сил. В матричной форье эти
уравнения можно записать так:
ds
Х= АХ,
C7.12)
где X — вектор состояния с ксльхнентаг, и xt = uk, xz = u*, xs = u^,
х4 — flfe, x5 = Rh, x6 = S\ x7 = Zk, xa = Мк, А — матрица перемен -
ных коэффициентов. Элементы матрицы А см. в табл. 37.1.
Особенностями уравнений в форме C7.12), отличающими их от
других аналогичных уравнений, приведенных в литературе, является
непрерывность их решений при произвольной форме меридиана, в
том числе и с угловыми точками, а также то, что в уравнения не входят
кривизна меридиана и производная от толщины h оболочки.
Решения уравнений C7.12) должны быть подчинены граничным
условиям в двух окружных сечениях, ограничивающих оболочку
(по четыре условия на каждом краю). Граничные условия наклады-
накладываются непосредственно на основные неизвестные — перемещения
или соответствующие им усилия.
В случае оболочки, замкнутой в полюсе, можно (при k ~> 2) счи-
считать, что она заделана на окружности малого радиуса г0, и полагать
там иг = и2 = и3 =ft =0.
Решить краевую задачу для уравнений C7.12) простейшим спо-
способом начальных параметров удается только для весьма пологих обо-
оболочек и при небольших k. В противном случае численное решение
затруднено благодаря наличию быстро возрастающих и быстро убы-
убывающих решений. Поэтому следует использовать либо метод диффе-
293
т
dx,
Ax 2
~d7~
dx.
d*<
ds
17
ds
cos (I
cos 8
л
sin 0
sin 6
— k v- —»—
r2
cos 0
cosO
X
pftio2
12r2
sin2 8
dx7
"ds"
ds
— sin Ocos 6
r* 12
r3 12
sin 8 cos 6
*"?-,
Eh3
X cos 8
— — smflcose
cos 6
r2
fe4 Eh3
~~ T4" "Ti"
X sin 0 cos 6
k3 Eh3
— sin fl cos 6
r4 12
, ?Уг3
COS2 6 I—
12л3 U +
+ cos2 8
ренциальной матричной прогонки, изложенный в гл. IV, либо метод
ортогонализации С. К. Годунова (см. [3, 49]). При прогонке целе-
целесообразно применять метод жесткости. Согласно этому методу при
свободных колебаниях векторы Хг и Х2 перемещений и сил в сечении
связывают зависимостью
294
C7.13)
Таблица 37.1
х, =&*
— sin 8
О
cos 8
cos 6
«5 = Rk
Eh
¦ cos2 8
Eh
X cos 6
sin 8 x
2 A +
Eh
0
Eh
•sin 8x
cos 8
r3 12
X sin 8 cos 8
X cos 8
COS 6
0
cos 8
2 cos 8
X cos 8
1—1x2
„. sin2O 0
Eh
xs — i
X
X (—- + cos2
— ft-
12л2
+ cos2
sin 1
0
sin 6
sin 8
cos 8
sin 8
— k-ix
cos 8
— cos 8
cos8
—О—!*)
причем матрица жесткости LDx4) определяется Дифференциальным
уравнением
d
— L = {A22 —LAi2)L—LAn+A2U C7.14)
где Atj — квадратные D x 4) блоки матрицы А (см. табл. 37.1):
A =
21 ; 4./
Следует обратить внимание на отличие формулы C7.14) от C1.27),
что связано с другой нумерацией векторов Х±, Х2.
295
Если в начальном сечении оболочка связана со шпангоутом, то
начальное значение матрицы динамической жесткости оболочки L
принимается равным матрице динамической жесткости шпангоута.
Для наиболее простого случая, когда центр тяжести сечения шпан-
шпангоута лежит в срединной поверхности оболочки, а одна из главных
осей сечения параллельна оси симметрии, матрица жесткости шпан-
шпангоута имеет вид
где
k — a2R2/a2j
— kiEJi + GJJ/R*}
0 Г
Здесь F — площадь поперечного сечения шпангоута Ju J3 — момен-
моменты инерции сечения относительно осей /, 3; i2 = J3/F, a2 = Е-'р, GJк —
жесткость сечения шпангоута при кручении, р — плотность мате-
материала.
Инерция, связанная с поворотами сечения шпангоута, не учиты-
учитывается.
В случае оболочки, подкрепленной шпангоутами, переход через
шпангоут выполняется чрезвычайно просто. Для этого следует только
к матрице жесткости отсеченной части оболочки прибавить матрицу
жесткости шпангоута, после чего продолжать интегрирование.
После того как интегрирование уравнения C7.14) доведено до края
оболочки s — I, выясняется, удовлетворяются ли одновременно
уравнения прогонки
Xi{I) = L([)Xl(t)
(четыре скалярных уравнения) и уравнения, выражающие граничные
условия при s = /.
Равенство нулю определителя соответствующей системы свидетель-
свидетельствует о том, что частота <*> , при которой проводился расчет, является
собственной частотой оболочки. В противном случае расчет повторя-
повторяется при измененном значении со.
При расчете оболочек, замкнутых в полюсе, при s-»-0 жесткости
стремятся к бесконечности. В этом случае следует выделить малый
участок радиуса г0 вблизи полюса и считать, что его жесткость не от-
отличается от жесткости круглой пластины того же радиуса. Соответ-
Соответствующую матрицу жесткости нетрудно вычислить методами, рас-
рассмотренными в § 35. Она имеет вид (при k > 2)
О
Г
где
Eh
D
k*Bk+l +
-ruk[k(l + n)
— k(l — ]i) 2k — A—
2]
Следует отметить, что при расчете высших частот, соответствую-
соответствующих данному числу узловых меридианов, могут возникнуть затруд-
затруднения, связанные с неограниченным увеличением элементов матрицы
жесткости, если расчетная частота является антирезонансной для
выделенной части оболочки. В этом случае следует обратить матрицу
L, продолжить расчет методом податливостей и затем вновь вернуться
к методу жесткостей.
Другой возможностью является применение метода ортогонали-
зации С. К. Годунова (см. [49]).
296
"?
ГЛАВА VI
АВТОКОЛЕБАНИЯ
тх + сх — R (и) = 0.
C8.1)
В отличие от вынужденных или параметрических колебаний автоко-
автоколебания возникают в системах при отсутствии внешнего периодиче-
периодического воздействия. Для возникновения автоколебаний в системе не-
необходимо наличие источника энергии и механизма, благодаря кото-
которому энергия этого источника превращается в колебательную энер-
энергию. Наконец, для того чтобы могли существовать стационарные ко-
колебания, система должна обладать нелинейностью.
Автоколебательные системы широко распространены в технике.
Так, в частности, автоколебательными являются часовые механизмы.
Здесь источником энергии служит заведенная пружина, а механизм
хода (например, анкерный) регулирует поступление энергии таким об-
образом, что поддерживает незатухающие колебания маятника. Авто-
Автоколебательными являются также процессы работы паровой машины,
отбойного молотка или электронного генератора.
Большое число автоколебательных систем рассмотрено с физиче-
физической точки зрения в книге [53]. В пределах настоящей главы мы огра-
ограничимся кратким рассмотрением лишь двух примеров автоколеба-
автоколебаний — фрикционных автоколебаний и флаттера крыла в дозвуковом
потоке. Автоколебания вращающихся валов рассмотрены в § 47.
§ 38. ФРИКЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ
Фрикционные колебания представляют собой простейший пример
автоколебаний, возникающих в системе с одной степенью свободы.
Рассмотрим тело массой т, находя-
находящееся на движущейся с постоянной
скоростью v ленте и удерживаемое
пружиной жесткостью с (рис. 38.1).
На тело действует сила трения
R(u), зависящая от относительной
скорости и движения тела по лен-
ленте. Если положение тела опреде-
определить координатой х, то относи-
относительная скорость
и = v — х.
Отсчитывая х от положения, в котором пружина не напряжена,
можно записать уравнение движения в виде
298
Рис. 38.1
Очевидно, что уравнение равновесия будет выполнено при непод-
неподвижном грузе, если он получит статическое смещение
ха =¦-¦= R (о)/с.
C8.2)
Характер равновесия в этом положении зависит от вида зависимо-
зависимости R(u). Для большинства материалов зависимость силы трения
от скорости скольжения имеет вид, показанный на рис. 38.2. В неко-
некотором диапазоне изменения скорости и < щ сила трения уменьшает-
уменьшается, а затем начинает возрастать.
Рассмотрим устойчивость положения равновесия груза, определя-
определяемого координатой х0. С этой целью допустим, что имеется бесконечно
малое возмущение \(t), так что
При этом сила трения будет выражаться формулой
# (и) = R (v — х) = R (v) — (d/?/du)u=yi
C8.3)
Подставляя значения х и R в уравнение движения C8.1) и учиты-
учитывая равенство C8.2), приходим к уравнению
т\ + (dR/du)u=v I + с% = 0.
C8.4)
Если {&Rldu)u=v > 0, т. е. характеристика трения при данной
скорости возрастающая, то решения уравнения C8.4) затухают со
временем и положение статического рав-
равновесия является устойчивым по отноше-
отношению к малым возмущениям. В противном
случае -| возрастает и положение равно-
равновесия неустойчиво.
Таким образом, при характеристике
трения, показанной на рис. 38.2, поло-
положение статического равновесия устойчиво,
если скорость движения ленты больше и0,
и неустойчиво, если v < и0.
Примененный прием линеаризации ха-
характеристики трения в соответствии е
равенством C8.3) позволил определить
устойчивость положения равновесия, но не дал никаких сведений
об амплитудах развивающихся автоколебаний.
Для решения этого вопроса целесообразно использовать метод
осреднения (см. § 9). Аналитический результат можно получить, ап-
аппроксимируя тем или иным способом зависимость R(u). Представим
R(u) в виде полинома третьей степени:
C8.5)
299
Рис. 38.2
— x)= bo
Если рассматривать этот полином, как усеченный ряд Тейлора раз-
разложения функции R(u) около точки и — v, то
du /u=
1 /d2i?
d«2 /u=o
ЗП V d«3 /«=
При аппроксимации силы трения выражением C8.5) дифферен-
дифференциальное уравнение движения относительно координаты |@ =
= x(t) — х0, где х0 = Ь0/с, получит вид
+ cl = 0.
Разделив это уравнение почленно на т и прибавив к левой и правой
его частям co2g, где Lco — искомая частота колебаний, приведем его к
виду
где
т.
C8.6)
C8.7)
Ф [I, | J = (со2 - с/т) | 4- [b, I f 6.« -
В соответствии с методом осреднения (см. § 9) представим решение
уравнения C8.6) в виде
| = a sin (со/ 4- ср),
где а и ф — медленно меняющиеся функции времени. Скорости из-
изменения амплитуды и фазы определяются формулами (9.12)
Ы = — В(а), »= -С (а),
где
2*
1 С
В(а) = — \<D(asin&, aco cos 9) cos 9d9,
2я .)
о
Ч.Т.
С (a) = — Г Ф (a sin 9, aco cos ») sin W&,
2ir ,!
0
а Ф (a sin 9-, acocosS-) — выражение C8.7), s котором | заменено на
a sin 9- и | на aco cos 9. Произведя такую подстановку, вычислим:
Ф (a sin 9, aco cos 9) = (со2 — c/m) a sin 9 4-
4- (fciCoa cos 9 -f- 62co2a2 cos2 9 4- 63co3a3 cos
В (a) =1 Ь,аа 4- 3/4 Ьз«3а3]/Bт),
С (a) = a (co2 — c/m)/2.
300
Дифференциальные уравнения (9.12) получают вид
a = a(bl + 3U &3co2
C8.8)
® = — (w2 — c/m)/Bco).
При стационарном режиме движения должно быть а = 0, ф = 0.
Отсюда находим, что частота стационарных колебаний ю = Кс/т
совпадает с частотой колебаний консервативной системы, а стацио-
стационарная амплитуда а* определяется равенством
откуда
1
C8.9)
Из полученного выражения видно, что стационарные колебания воз-
возможны только в том случае, если Ь\ и Ь3 в выражении C8.5), аппрок-
аппроксимирующем зависимость силы трения от скорости, имеют разные
знаки.
Рассмотрим нестационарные колебания. Заметим, что первое из
дифференциальных уравнений C8.8) — уравнение с разделяющимися
переменными. Обозначив Ь1/2т = а, 3/ь<й2Ь3/Ь1 = |3, приведем его к
виду
da/[a(l + |3a2)] = actf
и после интегрирования
In (а/
1 4- pa2 | ) = a*+ Ct.
Определим постоянную Сг из условия а|^о = а0 и разрешим полу-
полученное выражение относительно а2:
C8.10)
Нетрудно видеть, что при a > 0, E < 0 (т. е. при Ъг > 0, Ь3 < 0) с
увеличением времени амплитуда а стремится к величине
lim= --¦¦ = a^,
f-*oo |А_р
каково бы ни было начальное значение амплитуды а0. Характер из-
изменения амплитуды при а0 < а% и а0 > а^ показан на рис. 38.3, а.
Пусть теперь а>0, р>0 (т. е. 64>0, Ь3>0). Тогда при
t = i* = — In [(l 4- PaJi)/(Paj;)] знаменатель выражения C8.10) обра-
обращается в нуль и амплитуды колебаний неограниченно возрастают
(рис. 38.3, б). При a < 0, Р > 0 (т. е. bt < 0, b3 < 0) знаменатель
301
5)
формулы C8.10) растет со временем и а->0. В этом случае поло-
положение статического равновесия устойчиво при любых возмущениях.
Остается рассмотреть только случай а-<0, Р<0 (?1<6, Ь3>0).
При этом характер движения существенно зависит от
от начальных условий. Если ао<^а#, то знаменатель формулы
C8.10), оставаясь положительным, неогра-
а) ниченно увеличивается со временем и а -»- 0.
Если ao>a.j,, то при 1^-^*= In
2 I a ' I ?' 1 «о
a-s-сю. Характер изменения амплитуд в ука-
указанном случае представлен на рис. 38.3, в.
На рис. 38.4, а...г показаны фазовые
портреты движения во всех рассмотренных
случаях. При Ьх > 0, Ь3 < 0 независимо от
начальных условий фазовые траектории не-
неограниченно приближаются к устойчивому
предельному циклу, характеризуемому амп-
амплитудой а^. Положение статического равно-
равновесия является в этом случае так же, как
и на рис. 38.4, б, неустойчивым фокусом.
При Ьх > 0, Ь3 > 0 траектории уходят в бес-
бесконечность. При Ь\ < 0, Ь3 < 0 все траектории
неограниченно приближаются к началу коорди-
координат— устойчивому фокусу. Наконец, при Ьх<0,
63 > 0 все траектории, начинающиеся внутри
замкнутой траектории а = а* неустойчивого
предельного цикла, стягиваются к положе-
положению статического равновесия, а все траек-
траектории, начинающиеся вне этого цикла, ухо-
уходят в бесконечность. Таким образом, в данном
случае положение статического равновесия
устойчиво в малом, но неустойчиво в большом.
Если сила трения сохраняет при скольжении постоянную величи-
величину, но меньшую, чем сила трения покоя, также возникают автоколе-
автоколебания. В этом случае легко получить точное решение задачи. Рассмот-
Рис. 38.3
Рис. 38.4
302
рим снова систему, изображенную на рис. 38.1. Обозначим силу тре-
трения покоя Rx, силу трения движения R2, причем Rx > R2.
Положение статического равновесия соответствует смещению гру-
груза на величину х0 = RJc.
Нетрудно убедиться, что это положение равновесия является
устойчивым по отношению к малым возмущениям. В самом деле, если
грузу в равновесном положении сообщить скорость, по абсолютной
величине меньшую скорости ленты v, то при его последующем дви-
движении сила трения о ленту сохранит величину и направление и никак
не повлияет на свободные колебания груза.
Однако, если сообщить грузу скорость v, груз окажется движу-
движущимся вместе с лентой, пока сила натяжения пружины не достигнет
значения силы трения покоя Rx. В этот момент (при смещении х =
= Rile) произойдет срыв и начнется относительное движение груза.
Уравнение движения
^т- сх — R, = 0
C8.11)
проинтегрируем, совместив начало отсчета времени с моментом срыва.
В этом случае будем иметь начальные условия: t — 0; х — Rjc; x =
— у и соответствующее этим условиям решение уравнения C8.11)
x=Ri/c+[{Rl — RJIc)CDspt + {vlp)s\npU C8.12)
Выражение C8.12) справедливо до тех пор, пока скорость движе-
движения груза х остается меньше скорости ленты v, т. е. до момента вре-
времени tu определяемого равенством
— [(/?! — Rz)/c] p sin ptt -l v cos pti = v.
Это уравнение нетрудно преобразовать к виду
2 sin
Рк
sin ¦!-+¦ -J-
L 2
2|2 c-j
Наименьшее отличное от нуля значение
уравнению, составляет
P(Ri
t =
= — L _
р L
arctg
= 0.
, удовлетворяющее этому
CV
В момент ^ смещение
Начиная с момента /4 груз движется совместно с лентой со ско-
скоростью v до тех пор, пока не произойдет новый срыв при х = Rile,
после чего процесс повторяется. Время движения груза совместно
с лентой
Таким образом, полный период автоколебаний
303
= t, + t
9 I Ri-
2 = ^
4- — — arctg
P p
cv p p cv
В зависимости от скорости движения период колебаний меняется
от периода собственных колебаний груза на пружине 2л/р при и->-оо
до
pj{l
при 1>->0.
Весьма наглядным является представление автоколебаний рас-
рассмотренной системы на фазовой плоскости (рис. 38.5). Здесь часть
окружности 123 и прямая
31 изображают исследован-
исследованное выше автоколебатель-
автоколебательное движение. Если на-
начальные условия системы
изображаются точкой, ле-
лежащей внутри окружности
А, система совершает сво-
свободные колебания, а авто-
автоколебания не возникают;
в противном случае уста-
устанавливаются автоколеба-
автоколебания, соответствующие цик-
циклу 1231.
Один из возможных
путей установления авто-
автоколебаний показан тонкой
линией абвЗ.
Рис. 38.5
§ 39. ФЛАТТЕР КРЫЛА В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ
Флаттером называются автоколебания тел в потоке газа или
жидкости.
При появлении скоростных самолетов в 30-х годах флаттер служил
причиной многочисленных катастроф (см. [37]). Явление флаттера
тесно связано с теми воздействиями, которые поток воздуха оказы-
оказывает на колеблющееся крыло.
Поскольку здесь нет возможности рассматривать детально эти воз-
воздействия, ограничимся лишь принципиальной картиной явления;
подробности и способы расчета реальных конструкций содержатся
в специальной литературе (см., например, [61).
При флаттере крыло самолета совершает изгибно-крутильные
колебания. Поэтому для анализа этого явления необходимо учесть
по крайней мере две степени свободы крыла. При практических ра-
расчетах достаточно учесть движения крыла по первым формам собст-
собственных изгибных и крутильных колебаний. Для еще большего упро-
упрощения рассмотрим жесткое крыло, имеющее две степени свободы,
соответствующие его вертикальному перемещению и повороту
(рис. 39.1).
Существенное значение имеет положение центра жесткости крыла,
т. е. той точки его хорды, приложение вертикальной силы в которой
вызывает только вертикальное перемещение крыла, но не его поворот.
К этой точке (О на рис. 39.1) мы и будем приводить действующие
на крыло силы.
Если обозначить вертикальное перемещение центра жесткости крыла
w, а изменение угла атаки крыла в процессе движения а, то упругие
сила и момент, приложенные
в точке О, будут равны со- А Р
ответственно cww и са а, где
с^ис, — коэффициенты жест-
жесткости.
Сила инерции и момент
сил инерции относительно
точки О составляют:
— —tn[w — <xb\;
.i
a
b
I
Рис. 39.1
Mj = Pjb 4- mr*a = — mbw 4- m (r2 + 6>. C9.1)
Здесь b —расстояние от центра жесткости до центра массы крыла;
т—масса; г—радиус инерции массы крыла относительно цент-
центральной оси.
Наибольшие трудности представляет определение изменений аэро-
аэродинамических сил, возникающих в связи с движением крыла. Про-
Простейшая гипотеза относительно этих сил состоит в том, что их можно
вычислить так же, как и при неподвижном крыле, подставив лишь
в соответствующие формулы значения мгновенного угла атаки.
В этом предположении получаем увеличение подъемной силы и мо-
момента:
Р = r.pFv2 (а—w/v); М = -Ра.
C9.2)
Здесь р—плотность воздуха; v—скорость потока; F—площадь
крыла; w/v — уменьшение эффективного угла атаки в связи с верти-
вертикальным движением крыла; а —расстояние от центра жесткости до
центра давления (который расположен на одной четверти хорды
крыла).
Формулы C9.2) представляют собой грубое приближение, так как
в них полностью игнорируется влияние движения крыла на обтека-
обтекание. Более точное решение задачи (см. 16]) показывает, что если крыло
совершает, например, гармонические колебания с частотой со, то
следует учитывать еще инерцию присоединенной массы воздуха и то
обстоятельство, что изменение подъемной силы оказывается смещен-
смещенным по фазе относительно изменения угла атаки.
Как величина присоединенной массы, так и фазовый сдвиг зависят
от безразмерного параметра оз//ц, характеризующего частоту коле-
колебаний.
304
305
Однако ради упрощения не будем учитывать всех этих обстоятельств
и дополнительно в первой из формул C9.2) пренебрежем слагае-
слагаемым il'/v, которое характеризует аэродинамическое демпфирование
вертикальных колебаний крыла. Итак, получаем уравнения:
C9.3)
т [zv — b a J -(- cww.= P;
— mbw + tn (г2 + b2) a + с„ а = Ра,
где Р = -xpFv^a.
Отыщем решение системы уравнений C9.3) в виде, соответствую-
соответствующем гармоническим колебаниям:
ш = иугы; я-о/"'. C9.4)
Подстановка этих выражений в уравнения C9.3) приводит к одно-
однородным алгебраическим уравнениям относительно к'о и а0:
ю0 (cw — та?) 4- а0 (mw2b ~- r.pFv2) = 0;
C9.5)
шотсо26 + а0 [с — тсо2 (г2 -|- Ь2) — r.pFv2a] = 0.
Приравняв нулю определитель системы C9.5), получим частот-
частотное уравнение. Для того чтобы привести это уравнение к более
простому виду, введем следующие обозначения: а>и. = Vcjm; сод =
= ! Сс /[т(г2п- Ь2)\— собственные частоты поступательных (изгибных)
и крутильных колебаний крыла; ц, = 4m/(p~Fl)—относительная
плотность крыла.
Тогда частотное уравнение можно представить в виде
2 EL I = 0. C9.6)
При нулевой скорости потока v = 0 это уравнение дает два поло-
положительных значения с/2, соответствующих двум собственным часто-
частотам системы.
С увеличением скорости потока возможно появление двух типов
неустойчивости. Так, один из корней уравнения C9.6) может обра-
обратиться в нуль, что соответствует обращению в нуль свободного члена
уравнения C9.6):
C9.7)
Обращение в нуль частоты собственных колебаний системы сви-
свидетельствует о статической ее неустойчивости. В самом деле, воз-
возвращаясь в формуле C9.7) к первоначальным обозначениям, приве-
приведем ее к виду
I- 2
рТСГУдЯ -- С а ¦
Если это соотношение выполняется, то при повороте крыла на
угол а момент дополнительной подъемной силы
Ра = [j-Fv\aa
уравновешивается упругим моментом с„. а.
Явление статической потери устойчивости крыла при достижении
скоростью потока значения vK называется дивергенцией.
Для крыльев самолетов, как правило, скорость дивергенции су-
существенно превышает скорость полета и дивергенция не представляет
реальной опасности.
Другой вид потери устойчивости — изгибно-крутильный флат-
флаттер — связан с тем, что частоты, определяемые из уравнения C9.6),
становятся комплексными. В самом деле, если имеются сопряженные
комплексные частоты ±|3+yi> то соответствующие решения уравне-
уравнений движения имеют множители
Экспоненциальные множители с действительными положитель-
положительными показателями неограниченно возрастают. Таким образом, в
этом случае движение представляет собой колебания с нарастающими
амплитудами (колебательный характер движения определяется мно-
множителями e±i?t).
Итак, условием наступления флаттера является появление комплек-
комплексных корней уравнения C9.6), что происходит при обращении в нуль
его дискриминанта:
C9.8)
Из уравнения C9.8) нетрудно подсчитать скорость флаттера.
Не останавливаясь на дальнейшем анализе этого уравнения, про-
проследим на числовом примере, как изменяются частоты свободных ко-
колебаний крыла по уравнению C9.6) при увеличении скорости потока.
Допустим, что (й)„/й),J = 1/Ю; а = 10; а =0,1/; b =0,05/; г2//3 =
= 6,06.
Этим данным соответствуют скорость дивергенции [найденная по
уравнению C9.7)] уя = 1,25ма / и скорость флаттера* иф = 0,836«а /
[по уравнению C9.8)].
График изменения частот колебаний системы в зависимости от ско-
скорости потока, построенный в соответствии с уравнением C9.6), пока-
показан на рис. 39.2.
* Отметим, что результат нашего грубого расчета не слишком далек от дейст-
действительности. В книге [6] приведены графики (рис. 9.5, в), из которых можно уста-
установить, что при точном учете аэродинамических воздействий скорость флаттера
для данного крыла составляет Иф = 1,0 со а /.
306
307
При о=0 система имеет две частоты собственных колебаний, мало
отличающиеся от частот чисто крутильных и чисто изгибных коле-
колебаний. С увеличением скорости потока частоты сближаются и при
скорости флаттера оказываются равными друг другу.
Как указывалось в § 13, наличие кратных собственных частот для
консервативной системы не связано с какими-либо особенностями
ее поведения. Для неконсерватив-
неконсервативной системы, которую представля-
представляет собой крыло, находящееся в
потоке воздуха, слияние двух
частот ведет к потере устойчивости
движения. В процессе колебаний
система начинает интенсивно по-
ГЛАВА VII
СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
0,5
Рис. 39.2
треблять энергию потока и ампли-
амплитуды колебания неограниченно
нарастают. Механизм этого явле-
явления легко понять, если предста-
представить себе, что происходящие с оди-
i наковой частотой крутильные и
~Q836 1,0 шы изгибные колебания крыла сдви-
сдвинуты по фазе на л/2, так что, ког-
когда крыло движется вверх, его угол
атаки (а значит, и подъемная сила)
больше, чем когда оно движется вниз. При этом за полный
цикл подъемная сила будет совершать положительную работу и
энергия колебания будет непрерывно нарастать.
Сделанный вывод о неограниченном росте амплитуд связан с тем,
что рассматривалась линейная система уравнений.
Для определения установившихся амплитуд флаттера следует
учесть нелинейности как механического, так и аэродинамического
характера. Однако этот вопрос не имеет большого практического
значения, так как в реальных самолетных конструкциях разрушение
при флаттере происходит раньше, чем установится стационарный
режим движения.
Рассматривая вынужденные колебания, мы считали возмущающие
силы детерминированными функциями времени, т. е. изменяющимися
в зависимости от времени по известному закону. В большом числе
технических задач колебания возбуждаются случайными воздействи-
воздействиями. Примером случайных колебаний являются колебания, вызывае-
вызываемые ветровой нагрузкой. Проектируя то или иное сооружение, мы рас-
располагаем лишь статистическими сведениями о ветрах в данной местно-
местности (силе и длительности порывов ветра и т. п.), но, конечно, не можем
предсказать в точности закон изменения ветрового давления на со-
сооружение во время его эксплуатации. Важными примерами случай-
случайных колебаний являются также колебания транспортных машин,
вызываемые неровностями дороги, колебания конструкций, вызывае-
вызываемые давлением струи реактивного двигателя, и т. п.
Вопросы теории случайных процессов получили широкое развитие
за последние 20 лет, главным образом применительно к задачам авто-
автоматического регулирования и связи. С основами теории можно озна-
ознакомиться по книгам [15, 44, 45, 47]. Книга [14] специально посвящена
применению статистических методов в строительной механике, а кни-
книга [46] — расчету случайных колебаний транспортных машин. Не-
Некоторые методы расчета случайных колебаний нелинейных систем
изложены в работе [29].
В ластоящей главе рассмотрены лишь простейшие расчеты. Пред-
Предполагается, что читатель знаком с теорией вероятностей в объеме
общего курса математики для втузов*.
Необходимые понятия из теории случайных функций приводятся
с соответствующими пояснениями.
§ 40. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Основные определения. Случайная функция — это функ-
функция, значение которой при данном значении независимой переменной
является случайной величиной.
В качестве примера случайной функции рассмотрим продоль-
продольный профиль дороги. Если речь идет об определенном продольном
сечении участка дороги длиной /, то профиль дороги может быть из-
* См.: например: А. Д. М ы ш к и с. Лекции по высшей математике
Наука, 1969.
М.,
ЗОР
мерен и значения высоты неровностей в каждой точке над некоторым
условным уровнем могут быть изображены графически.
Конечно, вид этой конкретной функции зависит и от выбора участ-
участка измерения, и от того, вдоль какой линии проводились замеры. Если
повторить замеры вдоль другой линии, мы получим другой график
Рис. 40.1
Каждый из конкретных графиков зависимости высоты неровностей
от пути можно рассматривать как одну из возможных реализаций
случайной функции х{г). Сама случайная функция задается множест-
множеством своих реализаций. Количество возможных различных реализа-
реализаций, вообще говоря, бесконечно.
Случайная функция x(t), независимой переменной в которой яв-
является время, называется также случайным процессом.
Значение случайной функции при фиксированном значении аргумен-
аргумента t = ti является случайной величиной, различной для различных
реализаций (рис. 40.1). Эта случайная величина характеризуется
определенным законом распределения f{x, ti), представляющим собой
отношение к dx вероятности того, что x(ti) заключена в пределах х,
х + dx.
Одной из вероятностных характеристик случайной функции яв-
является математическое ожидание
тх @ = Пт -1 У Хг @ = М[х (t)]. D0.1)
г=1
Здесь символ математического ожидания Ml ] означает осредне-
осреднение значения х в данный момент t по всем возможным реализациям
хг{г = 1, 2,...,оо). Если известен закон распределения f(x, t), то мате-
математическое ожидание можно также вычислить по формуле
со
M[x(t)}= j* */(*, t)dx.
D0.2)
Величина mx(t), представляющая собой среднее вероятное значе-
значение х в момент t, является неслучайной функцией времени. Разность
случайной функции и ее математического ожидания
°x(t) = x(t)-mx(t) D0.3)
310
называется центрированной случайной ф у н к ц и-
е й. Естественно, что
М
В дальнейшем будем рассматривать колебания линейных систем.
Для таких систем справедлив принцип суперпозиции и движение,
вызванное случайной нагрузкой:
x(t) = mx(t)-rx(t),
складывается из движения, вызываемого детерминированной нагруз-
нагрузкой mx{t), и действительно случайных колебаний, обусловленных на-
о
грузкой x(t). Для расчета первого из этих движений используются
обычные методы расчета вынужденных колебаний. Поэтому в дальней-
дальнейшем рассматриваются в основном центрированные случайные функ-
о
ции x{t).
Разброс случайной функции около своего среднего значения ха-
характеризуется дисперсией, т. е. средним (по возможным реализациям)
квадратом отклонения:
г п п
D0.4)
Наряду с дисперсией рассмат-
рассматривают и среднеквадратическое
отклонение («стандарт»):
ax(t) = VDjt)- D0.5)
Как дисперсия, так и средне-
среднеквадратическое отклонение явля-
являются неслучайными функциями.
Величина дисперсии, характе-
характеризуя разброс значений функции
x{t) в данном сечении, никак не
определяет характера изменения
случайной функции в зависимости
от аргумента t. Так, например,
функции, некоторые реализации
которых представлены на рис. 40.2,
соответствуют примерно одинако-
одинаковым значениям дисперсии, однако
характер их изменения совершен-
совершенно различен.
На рис. 40.2, а представлен
график случайной постоянной, на
рис. 40.2, б —медленно, а на рис.
40.2, в —быстро изменяющейся
функции.
В значительной степени пове-
поведение случайного процесса во вре-
Ь)
Рис. 40.2
311
мени характеризуется его корреляционной функцией
Kx(tit h) = Hm ~ yxr(tt)Xr(t2) = мГхЩхУг)]; D0.6)'*
r=l
здесь осреднение выполняется по всем реализациям функции x(t).
Корреляционная функция отражает связь между значениями слу-
случайной функции при двух разных значениях независимой перемен-
переменной. Kjclh, h) является симметричной функцией своих аргументов:
Kx(tit t2) = Kx{t2,h).
При ti = t2 формула D0.6) совпадает с формулой D0.4) и корре-
корреляционная функция оказывается равной дисперсии:
Kx(t,t) = Dx(f). D0.7)
Важным классом случайных функций являются стационарные
случайные функции, т. е. такие функции, вероятностные характе-
характеристики которых одинаковы при всех значениях t. В частности, для
стационарной случайной функции постоянны дисперсия и средне-
квадратическое отклонение. Нетрудно показать, что для стационарной
случайной функции x(t) корреляционная функция Kx(tu t2) не зави-
зависит от tt и t2 в отдельности, а зависит только от разности t2—tx =
=т. В самом деле,
Kx(d, t2)^Kx(ti,ti+x).
Но по определению стационарной случайной функции эта вели-
величина не зависит от tt. В этом случае будем пользоваться обозначе-
обозначением
Kx(t,t+t) = kx(T).
Из формулы D0.7) следует, что дисперсия стационарной случай-
случайной функции
Dx = kx @). D0.7а)
Наряду с корреляционной функцией характеристикой стационар-
стационарной случайной функции является ее спектральная функция 5(ш).
Как увидим далее, спектральная и корреляционная функции тесно
связаны между собой.
Спектральное разложение случайной функции. Пусть центри-
о
рованная случайная функция x(t) наблюдается в интервале 0 < t < Т.
Тогда, если каждая реализация xr(t) функции удовлетворяет услови-
условиям Дирихле, ее можно представить в виде ряда Фурье
cos (Bft
sin
fr=0
где cofe = k2n/T.
Очевидно, что для случайной функции справедливо то же разло-
разложение:
2 С) = 2 (ak cos <oht + bh sin a>hf), D0.8)
312
где ai,, bh — случайные величины, значения которых различны для
каждой реализации.
Будем считать, что случайные величины ah, bk, aj, bt имеют нуле-
нулевое математическое ожидание и независимы (корреляция между ними
отсутствует). В этом случае, как известно, равны нулю корреляцион-
корреляционные моменты этих величин*:
М [ahbj] = 0
и при кф\
M[ahaj} = 0; M[bhbj] = 0. D0.9)
При выполнении условий D0.9) разложение D0.8) случайной функ-
о
ции x(t) называется каноническим.
Вычислим корреляционную функцию для случайной функции,
заданной каноническим разложением D0.8):
j cos co/n ^- bj sin co/2) .
J
= М\ 2 (аи cos ahh + bh sin co^
Изменяя порядок суммирования и вычисления математического
ожидания и выполняя перемножение, находим
ft, i
haj] costohh cosа/
[bkbj\ sin(ahtlsin
Jr M [akbj] cos (?>htl sin ы/.2 + M [bha,j] sin ш^ cos co^2}.
Учитывая равенства D0.9), устанавливаем, что в выражении в фи-
фигурных скобках сохраняются только слагаемые с множителями
М [akuj\ и М [bkbj] при k = /. Следовательно,
Кх (tu t2) =
cos akt2 + Dkb sin (ahtt sin ©ftfa],
где Dka = M[al], Dkb = M[bt]—дисперсии коэффициентов ak, bhr
В случае стационарного случайного процесса корреляционная
функция зависит только от разности t% —/4 =%. Для этого необхо-
необходимо, чтобы дисперсии Dka и Dkb были одинаковыми:
Dka = Dkb = AkD.
Тогда
Кх (tit t2) = kx (т) = ^ \D cos со,т. D0.10)
k
Как видим, корреляционная функция представляет собой четную
функцию т, один период которой размещается в интервале —Т/2 <
<т < 772 (рис. 40.3).
* Корреляционным моментом случайных величин называется математичес-
математическое ожидание их произведения.
313
Формула D0.10) устанавливает связь между корреляционной функ-
о
цией kx(x) стационарной случайной функции x{t), заданной разложе-
разложением D0.8) и дисперсиями коэффициентов этого разложения. Пола-
Полагая в формуле D0.10) т — 0, находим дисперсию случайной функции:
hD. D0.11)
k
Она равна сумме дисперсий коэффициентов при гармониках всех
частот в выражении D0.8).
Распределение дисперсии этих коэффициентов по частотам назы-
называется спектром (энергетическим) случайного
процесса.
Для процесса, заданного в интервале Т, спектр является линей-
линейчатым (рис. 40.4), причем расстояние по оси со между соседними гар-
О а, а2
II
®5
Рис. 40.3
Рис. 40.4
мониками составляет 2л IT. С увеличением времени Т расстояние
между гармониками уменьшается, уменьшаются и величины AkD (так
как их сумма остается равной дисперсии случайной функции Dx).
В пределе мы приходим к непрерывному спектру, в котором ди-
дисперсия гармоник с частотами, заключенными между м и со -j- dco,
составляет
AD (со) = S (со) dco.
Функция S(w) называется спектральной функцией*
случайного процесса. Она представляет собой плотность
распределения дисперсии по частоте.
Формула D0.10), связывающая корреляционную функцию с ди-
дисперсией, при непрерывном спектре переходит в формулу
— \ S (ю) cos cuTdu
D0.12)
Формула D0.12) представляет собой частный вид преобразования
Фурье (косинус-преобразование). Выполняя обратное преобразова-
* В некоторых работах за спектральную функцию принимают функцию,
отличающуюся от S{co) постоянным множителем. Так, например, в книге [46]
введена спектральная функция Ф (м) = ;tS(m).
314
ние, можно теперь выразить спектральную функцию через корреля-
корреляционную:
S (со) = — (' k (т) cos cotdx .
D0.13)
Формулы D0.12) и D0.13), связывающие между собой корреля-
корреляционную и спектральную функции стационарного случайного про-
процесса, называются соотношениями Хин чина — Ви-
Винера. Дисперсия процесса выражается формулой
= l'S(a.)de).
D0.14)
Заметим, что спектральное разложение D0.8) на конечном интер-
интервале для стационарной случайной функции можно также записать
в виде
х @ =
где ск, wk — случайные величины.
Так как с\ = а2к + ^гЛ то D!lc =~~2AkD. Отсюда следует, что ве-
вероятностные свойства такой стационарной случайной функции цели-
целиком определяются распределением дисперсии амплитуд ch. Фаза <pk
здесь несущественна (так как в связи с независимостью а^ и bh cph рав-
равномерно распределено в интервале 0...2л). В частности, при непрерыв-
непрерывном спектре спектральная функция S(co) равна половине плотности
дисперсии амплитуды с(со).
Экспериментальное определение корреляционной и спектральной
функций. Эргодическая гипотеза. Вероятностные характеристики
стационарной случайной функции никогда не бывают известны с пол-
полной точностью. О них можно судить лишь на основе статистического
анализа некоторых доступных для наблюдения реализаций функции.
При этом точность результата зависит от числа и длительности под-
подвергнутых статистической обработке реализаций. Так, для того чтобы
вычисление корреляционной функции по формуле с конечным числом
слагаемых
вместо формулы
N
у:
г=1
0
D0.15)
было надежным, необходимо располагать достаточно большим чис-
числом реализаций N. Вместе с тем при недостаточном числе реализа-
1 ?• •
ций .V величина — у хт it,) xr (^ + т) окажется зависящей от вы-
Л' *шЬ
315
бора момента /1; даже для заведомо стационарной случайней функ-'
ции. Очевидно, в этом случае целесообразно осреднить получаемые
значения по времени.
Таким образом, при продолжительности наблюдений Т придем
к формуле
Т—- N
k w=tzt )' ir 2 *т {t) °Xr {t + T) dt>
o" r=l
ИЛИ
дг x t
Т
Возникает вопрос о количестве N реализаций, необходимых для
вычисления k(x). Очевидно, что ответ на этот вопрос зависит от того,
насколько типичны реализации, принимаемые в расчет, и в какой
мере они определяют поведение случайной функции в целом. В благо-
благоприятном случае достаточно одной длительной реализации. Такие
стационарные процессы, при которых одна достаточно длительная
реализация обладает статистическими свойствами, характеризую-
характеризующими процесс в целом, называются эргодическими.
Следует отметить, что при разумной классификации случайного
процесса и разумном выборе расчетной его реализации гипотезу об
эргодичности процесса удается использовать в большинстве расчетов
стационарных случайных процессов.
Рассмотрим, например, уже упомянутый случай дорожных неров-
неровностей. Можно считать, что высота дорожных неровностей представ-
представляет собой случайную функцию, реализациями которой являются,
например, профили дороги, проходимой автомобилем в течение ра-
рабочего дня. В этом случае реализации будут различными по своим
статистическим свойствам в зависимости от того, проходит ли мар-
маршрут автомобиля по асфальтобетонной дороге, булыжнику и т. п.
Очевидно, что целесообразно считать случайной функцией профиль
дороги данного типа (например, асфальтобетонной). В этом случае
различные реализации (например, профили мерных участков) будут
статистически меньше различаться друг от друга. Однако и здесь
возможно значительное различие, например за счет состояния доро-
дороги (новая, выбитая и т. п.).
Есть два пути использования эргодической гипотезы в этом случае.
Один состоит в дальнейшем уточнении понятия случайной функции
[например, профиль новой (выбитой) асфальтобетонной дороги]. Дру-
Другой путь состоит в том, что расчетная реализация случайной функции
(профиль асфальтобетонной дороги) составляется из профилей несколь-
нескольких участков дорог, находящихся в различном техническом состоя-
состоянии, причем они включаются в соотношениях, соответствующих рас-
распределению состояния дорог такого типа*.
* При использовании таких «составных» случайных функций нужна осто-
осторожность. Так, если окажется, что при движении автомобиля по расчетной до-
дороге его комфортабельность достаточно высока, то это отнюдь не гаранты ру ет его
комфортабельности в других условиях.
316
Если стационарный случайный процесс является эргодическим,
то при вычислении его статистических характеристик осреднение по
реализациям может быть заменено осреднением по времени:
. т
х (t) x(t + т) At \x (t) =
т
Длительность реализации Т выбирается достаточной для полу-
получения стабильных значений. Расчет может выполняться вручную
(что весьма трудоемко) или с помощью специальных приборов.
По корреляционной функции в соответствии с формулой D0.13)
рассчитывается спектральная функция. Для вычисления по формуле
D0.13) корреляционную функцию аппроксимируют обычно каким-
либо подходящим аналитическим выражением. Часто для аппрокси-
аппроксимации опытной корреляционной функции используют выражение
/2(x) = De~T|T|cospT. D0.16)
Это выражение содержит два параметра у и C, которые можно
подобрать из условия наилучшего приближения опытной кривой
(например, методом наименьших квадратов).
Корреляционной функции D0.16) соответствует спектральная
функция
S (со) = — Г k (г) cos штAг
тс |_г
<->)*
72+(J<-
D0.17)
Характер изменения к(с)
функций k(%) и S(co) по- ц\,
казан на рис. 40.5.
Полезной абстракцией
является представление
случайного процесса как
«белого шума». Для белого
шума характерно равномер-
равномерное распределение дис-
дисперсии по частотам. Со-
Соответствующая корреля-
корреляционная функция равна нулю везде, кроме т
ниченно возрастает. В этом случае
S (со) = So = const; k (г) = -
где б —импульсная дельта-функция.
Рис. 40.5
-0; здесь она неогра-
317
Белый шум не может реально существовать, так как этот процесс
имеет бесконечную дисперсию (и, следовательно, мощность).
Часто также рассматривают случайные функции, имеющие по-
постоянную плотность распределения дисперсии в ограниченном диапа-
диапазоне частот (ограниченный белый шум) (рис. 40.6, а). В этом случае,
при 0 < о < :оо 5(со) ----- D/щ, при со > соо S(to) --= 0. [Заметим, что
в соответствии с формулой D0.14) площадь графика спектральной
Ф
s(co)
So
Рис. 40.6
функции равна дисперсии.] Вычисляя соответствующую корреляци-
корреляционную функцию по формуле D0.12), находим
?(т)= f S(co)coscoT.dw=-^- Г cos соте!© == D—
- sin ovt.
График этой функции изображен на рис. 40.6, б.
В качестве еще одного примера рассмотрим случайную функцию
заданной частоты ы0, но со случайными амплитудой и фазой. В этом
случае вся дисперсия функции сосредоточена на одной частоте соо и,
следовательно, спектральная функция имеет форму
5 (со) = D5 (ев — со0),
где 6 — импульсная дельта-функция (рис. 40.7, а). Соответственно
корреляционная функция (рис. 40.7, б)
оо
/г (т) =¦-= I 5 (со) cos coxdeo = D cos со0т.
о
Отсюда следует, что если полученная опытным путем корреляци-
корреляционная функция с увеличением т стремится к незатухающей синусоиде,
то случайная функция содержит гармоническую составляющую фик-
фиксированной частоты со0.
Выше был рассмотрен
способ определения по экс-
экспериментальным данным сна-
сначала корреляционной, а за-
затем спектральной функций.
Часто используют и другой
прием, позволяющий по запи-
Рис. 40.7 сям реализации случайной
318
функции, обладающей эргодическим свойством, непосредственно
определить спектральную функцию. С этой целью элект-
электрический сигнал, соответствующий анализируемой функции, подается
на серию узкополосных фильтров, каждый из которых выделяет со-
составляющие сигнала, близкие к основной частоте настройки фильтра.
Затем с помощью нелинейных блоков сигналы, прошедшие через
фильтры, возводятся в квадрат и усредняются по времени. Ьыход
с каждого из усредняющих устройств пропорционален значению
спектральной функции анализируемого процесса на частоте настройки
соответствующего фильтра (см. [47]). ^
Оценка частоты выбросов стационарной случайной функции.
Для практических целей не всегда достаточны такие оценки случай-
случайной стационарной функции, как ее дисперсия и вид спектральной
функции Пусть, например, речь идет о колебаниях кузова автомо-
автомобиля Для оценки комфортабельности величина дисперсии его уско-
ускорений является, пожалуй, достаточной. Но если речь идет о прочности
элементов конструкции, то надо знать не только дисперсию напряже-
напряжения в том или ином элементе конструкции, но и вероятность превы-
превышения этим напряжением предела выносливости. Точно так же, про-
проектируя подвеску автомобиля, надо предвидеть, насколько сущест-
существенна вероятность «пробоя» подвески, т. е. превышения ее ходом
допустимой величины.
Таким образом, возникает задача определения среднего количест-
количества превышений в единицу времени случайным процессом xit) задан-
заданного уровня ха. Для эргодического стационарного случайного процесса
с нормальным распределением эта задача решается с помощью формулы
Раиса.
Наряду с процессом x(t) рассмотрим производную x(t), причем
учтем, что для стационарной случайной функции значения x(t) и x(t)
независимы. Предположим, что распределение случайных величин
х и х определяется плотностями вероятности f(x) и f(x). Тогда вероят-
вероятность того, что функция x(t) лежит в пределах
х, < х @ < х, + Ах0 D0-18)
и одновременно x(t) заключено в пределах
x<x(t)<zx + die, D0.19)
составит (вследствие независимости х и х)
f(xo)f{ic)dxodx.
Учитывая эргодичность процесса, эту вероятность можно тракто-
трактовать как отношение времени At, в течение которого соблюдаются
неравенства D0.18), D0.19), ко всему времени процесса Т:
At/T = f (x0) f (ic) dx
319
С другой стороны, одно прохождение функции x{t) через полосу
cIa'o занимает время d^=dxo/|x[. Таким образом, вероятное количество
прохождений функцией x{t) со скоростями в диапазоне D0.19) уровня
х0 за время Т составит
dn = At/dt = Tf (x0) f(x)\'x\dx.
Полное число пересечений уровня х0 при всевозможных положи-
положительных скоростях (число превышений) получим интегрированием:
Дальнейшее развитие полученной формулы требует принятия
определенных законов распределения* f(x), f(x). Обычно исходят
из нормального закона распределения. Для центрированной функции
он определяется формулами
У 2т.
Здесь ах, ах —среднеквадратическое отклонения x(t) и x(t).
Вычислим интеграл:
f(x)xdx=
'xdx =
* о
Теперь число пересечений в единицу времени можно найти по фор-
формуле
n _ 1
т гТ
D0.20)
Формула Раиса D0.20) определяет число превышений функцией
x(t) уровня х0 в единицу времени.
§ 41. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ НАГРУЗКИ
НА ЛИНЕЙНУЮ КОЛЕБАТЕЛЬНУЮ СИСТЕМУ
Как показано выше, с помощью спектрального разложения стацио-
стационарная случайная функция может быть представлена как совокуп-
совокупность гармонических случайных функций заданных частот <ah. Поэтому
* Все использованные ранее формулы справедливы при любом законе
пределения.
320
рас-
рассмотрим сначала воздействие на линейную систему возмущающей
силы, заданной выражением
ph @ = % cos coft* + bk sin cofe*, D1.1)
где аи v. Ьь. — некоррелированные случайные величины с равным
нулю математическим ожиданием и одинаковой дисперсией AfcDp.
Для линейной системы с п степенями свободы можно составить
п дифференциальных уравнений второго порядка, в правые части
которых входит возмущающая сила Ph(t). Чтобы получить стацио-
стационарное решение этих уравнений, используем метод комплексных
амплитуд. (Этот метод применялся уже в § 16.) Силу Ph{t) запишем
в виде
Ph(t) = cke{^, D1.2)
где ch —случайная комплексная величина, модуль которой равен
случайной амплитуде:
ск\ =
а аргумент — случайной фазе:
ch\).
Впрочем, как мы видели выше, для описания стационарной слу-
случайной функции фаза не является существенной. /
Перемещения колеблющихся масс также представим в виде
*mft = «mfte Mft • D1-3)
Подстановка выражений D1.2) и D1.3) в уравнения движения
приводит к системе алгебраических уравнений относительно случай-
случайных комплексных амплитуд umh типа уравнений A6.11). Коэффициенты
этих уравнений являются комплексными, так как
xmk =
xmh =
2xmh-
Решив систему алгебраических уравнений относительно интере-
интересующего нас перемещения (индекс т, определяющий номер этого
перемещения, опускаем), найдем
xh = F A
D1.4)
Здесь F(t(Oh) —дробь, в знаменателе которой стоит определитель
системы уравнений, а в числителе —тот же определитель, в котором
столбец, соответствующий хт, заменен коэффициентами при ck в пра-
правых частях уравнений. Комплексная функция F(fto) называется комп-
комплексной частотной характеристикой или комплексной передаточной
функцией системы.
Формула D1.4) показывает, что при случайном гармоническом
возбуждении с частотой a>ft искомая величина (перемещение) совер-
12—318
321
шает случайное колебание, с той же частотой и со случайной компл.
ГГйЛГелХ„5Те.То)п"Га"аЯ ШШтУШ РаВМ "
Таким образом, случайная амплитуда колебания равна случай»
ристикиДе ВОЗМущения' Умноженной на модуль частотной харак
Соответственно дисперсия перемещения A ltDx равна дисперс
возмущения Л kDP, умноженной на квадрат модуля частотной *
рактеристики:
V>*= I F(toA)|»AkDP. D1.*
Вследствие линейности системы при воздействии на нее возил
щающеи силы, имеющей непрерывный спектр, характеризуемый спе*
ральнои функцией Sp(co), элементарная дисперсия
dDp = SP (со) dm
преобразуется также в соответствии с формулой D1.5) и вызовет эл^
ментарную дисперсию перемещения Щ
dDx= | F(/co)|2Sp(o))dco.
Следовательно, спектральная функция Sx(<a) для перемещения
Sx (со) =
F (/со) |2 SP (со)
D1-61
может быть найдена путем умножения спектральной функции Sp (coj
возмущения на \F(m)\2.
§ 42. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Расчет виброзащитной системы. Рассмотрим виброизоляционную!
систему с одной степенью свободы при случайном возмущении!
(рис. 42.1). \
Объект массой т закреплен с помощью пружины жесткостью с к
и связан с демпфером вязкого трения (коэффициент |
• вязкого трения а). Предположив, что случайная на-:
\p(V грузка P(t) соответствует ограниченному белому шу-
шуму в диапазоне частот 0 -^ со -^ со0, определим спект- ,
ральные функции и дисперсии перемещения х и ско-1
рости х = v объекта, а также дисперсию DR динами-1
ческого воздействия R на основание. Определим"'
также (в случае соо -*¦ °°) наивыгоднейшее значение |
рис. 42.1 демпфирования, при котором среднеквадратическое |
воздействие на основание минимально.
Итак, спектральная функция случайного воздей-
воздействия задана следующими выражениями:
О < <о <: соо, SP (со) — So,
т
/////л
щ > со0) SP (со) = 0.
32?
Составим уравнение движения объекта:
тх -)- ах + сх — РA).
Приняв
Р - Рие
ы х
получим соотношение
(— та2 -}- 1ош -I- с) хоеш - Роеы .
Отсюда находим частотную характеристику перемещения:
Fx (ice) --=~хГр = 1 /(с — тсо3 -\- гаю). D2.1)
Обозначив собственную частоту консервативной системы и коэф-
коэффициент затухания р = Yclm, In = а'т, приведем выражение D2.1)
к виду
D2.2)
с --«>2/рг+гBя/р)(о>/р)
Спектральная функция перемещения определяется по формуле
При 0 <: со < со„
J. (СО) =
D2.3)
при со > соо
Sx (со) - 0."
Так как скорость v — dx/dt, то v = dxldt — /сох .
Поэтому частотная характеристика скорости
D2.4)
Fc (/со) = iaFx (/со).
Для спектральной функции скорости получаем
Sv (со) = | ioFx (/со) |2 SP (со) = a*Sx (а>). D2.5)
Аналогично, для спектральной функции ускорения можно получить
Так как передаваемая основанию сила R — сх 4 а^, то
^ = (с 4 гасо) х ; F«(to) -=- (с + ia&) Fx (ш).
Следовательно,
SR (©) = | FR (/со) |2 SP (со) = c*Sx (со) 4- аа5„ (со). D2.6)
Графики спектральных функций Sx, Sv, SR в предположении
со0>р построены для значения коэффициента затухания nip = 0,2
на рис. 42.2, а, б.
V2 12* 323
Как видно из этих графиков, при постоянной плотности возде
ствия спектр колебаний неравномерен. Система усиливает колебанн
с частотами, близкими к собственной ее частоте, и ослабляет высок*
частотные колебания. ..*
Определение дисперсии х, v, R сводится к вычислению интеграл
лов типа
СО
= JS, (со) dco=
6
= j |fje(tCD)|»Sp((B)d(O =
0
0)
= А. Г
С3 .) l\
(l-22K +
и
Интеграл можно вычислить,
разлагая подынтегральное выра-
выражение на простейшие дроби:
Далее интегралы — табличные* и окончательно получаем
1 jn A + 22t УГ^ + 1
4(х [
arctg
arctg
(zt = co0//?).
На рис. 42.3 показана зависимость дисперсии перемещения ?)ж
от отношения 2j = coo/p частоты среза спектра возмущения к собст-
собственной частоте системы при nip = 0,2.
Как видно из графика, Dx возрастает главным образом за счет
колебаний с частотами, близкими к собственной частоте системы.
* См. :Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм,
рядов и произведений. 4-е изд. М., 1962, с. 82—83.
324
Интересно отметить, что в том случае, когда спектр нагрузки не-
неограничен (со0—>-оо), дисперсия перемещения остается конечной.
При со0 ->¦ оо
Snp
Как и следовало ожидать,
дисперсия (а значит, и сред-
неквадратическое перемеще-
перемещение ах = YDX) оказывается
тем меньше, чем больше жест-
жесткость пружины с, демпфиро-
демпфирование п и масса объекта, от
которой зависит частота р.
Для дисперсии скорости
после вычисления соответст-
соответствующих интегралов находим
Рис. 42.3
?>„ =
^ arctg-
-Р-2
• arctg
1
In
А +
При со0-
личине
¦ оо Dv также остается ограниченной и стремится к ве-
г, г. So р*
Определим дисперсию силы R воздействия на основание. Согласно
формуле D2.6),
DR = сЮх + аЮ„.
Подставив сюда значения Dx и Dv при со0-^-оо, получим для этого
случая
DR = (-/4)SBp(p/n+4nlp).
Из полученного выражения видно, что дисперсия Dr возрастает
неограниченно как при п -> 0 (при этом возрастает амплитуда коле-
колебаний вблизи резонансной частоты), так и при n-^-оо (т. е. при не-
непосредственной передаче возмущающей силы на основание). Минимум
DR имеет место при п = р/2 [б = B/у~3)к = 3,64], причем
Таким образом, при случайном возбуждении типа белого шума
наивыгоднейшим является весьма большое демпфирование системы
(б = 3,64). Так же как и при расчете системы виброизоляции на си-
синусоидальное возбуждение, выясняется, что система тем более эффек-
эффективна, чем ниже частота ее настройки р.
11—318 325
У,
Случайные колебания автомобиля. Рассмотрим случайные коле- ?
бания автомобиля в продольной плоскости при движении по дороге*
характеризующейся заданной спектральной функцией неровностей'
Упрощенная расчетная схема автомобиля показана на рис. 42.4*
Колебания в продольной плоскости возникают при одинаковом про!
филе дороги под левыми и правыми колесами.
Различие в этом профиле вызывает колебания в поперечной пло-
плоскости. Вследствие линейности системы и симметрии конструкции
автомобиля эти виды ко-
колебаний можно рассмат-
рассматривать независимо.
Составим уравнения
движения автомобиля, вы-
выбрав в качестве коорди-
координат вертикальные переме-
перемещения переднего (хх) и
заднего (х2) мостов и рас-
расположенных над ними то-
точек кузова. Высоты неров-
неровностей под передними и
задними колесами обозна-
обозначим соответственно Д и /,.
Рис 42 4 Т",- ' л. I a
1акои выбор координат
позволяет получить урав-
уравнения движения для пе-
передней и задней осей в одинаковой форме. Обозначим также
тъ т2 — неподрессоренные массы переднего и заднего мостов- т
I — масса и момент инерции кузова относительно центральной оси'
перпендикулярной плоскости чертежа; сш, с, а— жесткости шин под-
подвесок и коэффициенты вязкого трения в амортизаторах (под с и а по-
понимаются суммарные величины для левых и правых элементов под-
рессоривания). А
Обозначив силы взаимодействия подвесок с кузовом Р-, Р полу-
получим следующие уравнения для подвесок: ''
Т
Ci (Ui —хд + а (t/t —x.) = p. (i^i, 2)
и уравнения движения кузова:
mK {уф/L + y2a/L) = P, + P2;
D2.7)
Решим последние два уравнения относительно Pt и Р :
Л = #i (mKb2 + /) /L2 + у\ (mKab —1I1?;
1I U
(тка2 ¦
I)/L\
D2.8)
326
Для современных легковых и некоторых компоновок грузовых
автомобилей отношение
s = П(ткаЬ) « 1.
D2.9)
В этом случае выражения D2.8) существенно упрощаются и при-
принимают такой вид:
Pi = Mjji, P2 = М2у2 D2.10)
(М, = mKb/L, Л12 = mKa/L).
Таким образом, при условии D2.9) колебания передней и задней
частей автомобиля независимы. Именно этот простейший случай мы
здесь и рассмотрим.
Для каждой из частей автомобиля, подставив значения Р из урав-
уравнения D2.10) в D2.7), получим независимые уравнения (индексы 1, 2
опускаем):
М ty + тх + сшх = cj;
су -\- сну
сх — ах = 0.
еш ; у
Подставляя сюда / =/ое'ш'; х = хоеш ; у ~ yuelmt и исключая
х, находим комплексную частотную характеристику для вертикаль-
вертикального перемещения кузова:
С,,, (с + гам)
— [Mt (сш + с) + тс] ш
т) — о,с,„]
можно
Далее, зная спектральную функцию неровностей Sy()
вычислить и спектральную функцию перемещений:
Sy(co)= |F(HI2S/H-
Разумеется, спектральная функция неровностей дороги, полу-
полученная по экспериментальной корреляционной функции kj(z), за-
задается не в зависимости от со, а в функции пространственной частоты
Q [1/м]:
k (z) cos Qzdz.
Как нетрудно установить, при движении со скоростью и(м/с) Q =
= ю/и. Поэтому
Таким образом, переход от пространственной спектральной функ-
функции к временной сводится к изменению масштабов по координатным
11* 327
осям. С увеличением скорости движения график SJw) растягивается
по горизонтали и сокращается по вертикали (при этом площадь под
кривой Sf, равная дисперсии Df, остается постоянной).
Статистические характеристики смещения кузова у не представляют
существенного интереса. Комфортабельность автомобиля в значи-
значительной^ степени зависит от ускорений / = 6.2y/dt2. Легко видеть, что
для этой величины комплексная передаточная функция определяется
выражением
Рассмотрим пример колебания передней части легкового автомобиля при
движении по асфальтобетонной дороге. Подвеска характеризуется следующими
дан™; М = 800 кг; т = 100 кг; с = 51- 10» Н/м; сш = 336- 103 Н/м; а =
= 3,/b- 10J Н-с/м.
' П4рЛмем> что коРРеляЦионная функция дороги выражается формулой
где Df = 2,0cu2; 7 = 0,133 1/ м.
Этой функции соответствует пространственная спектральная функция
So (Q) = B/it) Dft/(f + Q2).
Соответственно при движении со скоростью v временная спектральная Функ-
Функсоставит
ция составит
¦S/H = A/о) So ((о/о) = B/«) D/Tl/( 7f-f о,*) ,
где 71 = ?&•
Проведем расчет при скорости v = 15 м/с E4 км/ч). В этом случае т,
= 7» = 2 с. а
Находим спектральную функцию ускорения кузова:
Sj (<о) = Sy (а)) | ^- (Ш) | 2 =
Подстановка значений приводит к формуле
Sj (<•>) = — Df —
где
Ф (о,) = оЛ -
(С2 + а2ю2) «4
Ф (<„
т
с '\ . стс
М
тМ
М
L V т ) т \
При принятых значениях спектральная функция ускорения имеет вид, пред-
представленный на рис. 42.5.
Дисперсия ускорения Dj определяется интегралом
Dj=
ведет к цели численное интегрирование. Таким образом, в данной задаче получе-
получено значение
Dj= 1,05 (м/с2J.
Следовательно, средиеквадратическое ускорение составляет
J= 1,02 м/с2.
0,09
0,08
ПП7
0,06
0,05
ПНИ
ЛЛ7
0,02
0,01
м
г^
у
/
|
\
s_
I
\
ч
ч
>
2 3 U 5 678910 15 20 30 10 50 60 70 СО, С
Рис. 42.5
-I
Для оценки этой величины отметим, что максимальное ускорение туловища чело-
человека при нормальной ходьбе составляет * rt2,5 м/с3.
* См.: РотенбергР. В. , Б у р л а ч е н к о Н. И. О физиологичес-
физиологических критериях плавности хода автомобиля. — Автомобильная промышленность,
I960, Да 2.
Интеграл такого типа может быть вычислен аналитически* , но более быстро
* См.: Г р а д ш т е й н И. С, Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов сумм
рядов и произведений, с. 232—233.
328
ГЛАВА VIII
УДАРНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ
СИСТЕМ
При соударении механических объектов возникают их колебания.
В предыдущих разделах книги возмущающие силы считались задан-
заданными. При ударе возмущающие силы возникают в результате взаимо-
взаимодействия соударяющихся объектов и могут быть найдены только в
связи с изучением динамической деформации последних.
Существенной является возможность разделения деформаций при
ударе на деформации, локализованные вблизи от места соударения,
и общие, захватывающие весь объем соударяющихся объектов. При
соударении массивных тел (в частности, шаров) их общей деформацией
можно пренебречь по сравнению с местной. Основанная на этой гипо-
гипотезе теория упругого удара была разработана Герцем.
С другой стороны, можно построить теорию удара, в которой игно-
игнорируются местные деформации и учитываются лишь общие. Приме-
Применительно к продольному соударению стержней такая теория была
построена Навье, а затем, в более удобной форме, Сен-Венаном и Бус-
синеском (см. § 22); аналогичная теория для изгибающего удара была
также предложена Сен-Венаном.
Проведенные эксперименты показали, что пренебрежение местными
деформациями, как правило, недопустимо.
Теория упругого продольного удара стержней, учитывающая как
местные, так и общие их деформации, была предложена Сирсом, а тео-
теория изгибающего удара — С. П. Тимошенко. Следует отметить, что
идея, лежащая в основе теории С. П. Тимошенко, — определение
контактной силы из интегрального уравнения — является универ-
универсальной и может быть использована при решении всех задач ударного
взаимодействия.
В настоящей главе рассмотрены классическая теория удара Герца
и теория, основанная на идеях С. П. Тимошенко. Также излагаются
приближенные приемы расчета на удар, позволяющие получить гру-
грубую оценку динамических перемещений и напряжений.
Более полное изложение вопросов расчета на удар содержится
в гл. X книги [40], а также в работе [17]. Специально вопросам рас-
распространения ударных волн посвящены книги [30] и [41].
§ 43. ТЕОРИЯ ГЕРЦА
Теория удара Герца основана на двух основных гипотезах. Во-
первых, предполагается, что общие деформации соударяющихся тел
малы по сравнению с их деформациями в окрестностях площадки
330
г
контакта. Во-вторых, предполагается, что контактная сила и кон-
контактные деформации связаны при ударе такой же зависимостью, как
и при статическом сжатии тел, т. е. не учитываются силы инерции
элементов тел, прилежащих к площадке контакта в их относительном
движении.
В такой постановке задача удара сводится к исследованию отно-
относительного движения двух жестких тел, соединенных нелинейной пру-
пружиной.
В соответствии с теорией контактных деформаций Герца, если
начальное касание тела осуществляется в одной точке, а расстояние
между телами вблизи этой точки может быть аппроксимировано урав-
уравнением второго порядка, контактная сила Р в зависимости от сбли-
сближения тел а определяется формулой
= kaz/2.
D3.1)
Коэффициент k зависит от кривизны поверхностей тел в точке
контакта и от свойств материала. В частности, если поверхности яв-
являются сферическими с радиусами кривизны ki и R2, то
где и. — коэффициент Пуассона для
материала обоих тел; Е — модуль
упругости.
Рассматривая два тела тх и т2,
движущиеся до соударения со ско-
скоростями v1 и v% по одной прямой (рис.
43.1), получаем следующие уравне-
уравнения движения их центров инерции
при ударе:
Рис. 43.1
= — Р (а); пг2х.2 = Р (а),
D3.2)
где Xi, х-2 — координаты центров инерции тел; Р — контактная сила;
а —• сближение тел вследствие местного сжатия.
Отсчитывая хх и х2 от положения начального контакта тел, уста-
устанавливаем, что
a. = xi — x.2. D3.3)
Исключив из уравнений D3.2) хг и х2 с помощью соотношения
D3.3), придем к уравнению
а = —Р{а)/т,
где т = т^тг1{тц + т2).
Первый интеграл уравнения D3.4) легко вычислить:
D3.4)
(аJ/2 = —— [P(a
da
331
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что при t = О
а = 0 и а равно начальной относительной скорости соударяющихся
тел t'o. Отсюда С = vo2/2 и
W2-< = -fP(a)da.
D3.5)
Уравнение D3.5) позволяет определить максимальное сближение
тел, обусловленное местной деформацией. Так как при максимальном
сближении a = 0, то атах определяется из равенства
2 Г* °
т ) о-
о
Если справедливо уравнение D3.1),то
? 2 52
J P (a) da = — ?а
о
и максимальное сжатие
2/5
D3.6)
D3.7)
D3.8)
D3.9)
D.3.10)
Разделяя переменные и интегрируя, находим продолжительность
удара т:
2 ? "I-1/2
Vo — — ( Р (a) da da.
m 6 J
Подставляя сюда значение D3.7) и переходя к переменной интегри-
интегрирования ? = a/amax, находим
т. = 2 amax f d:
Си J l/" i *5/2
4 A
Соответствующая контактная сила
/ шах — «amax — й I ~mU<;
Определим время удара из уравнения D3.5):
da
Определенный интеграл равен 1,4716 и, таким образом,
т = 2,9432 -^L = 2,9432
D3.il)
332
Следовательно, время соударения изменяется обратно пропорцио-
пропорционально скорости соударения в степени 0,2.
Теория удара Герца неоднократно проверялась экспериментально,
причем неизменно получалось близкое соответствие между расчетными
и экспериментальными значениями контактных сил и времени соуда-
соударения, если только при экспериментах выполнялись предпосылки
теории (главным образом отсутствие пластических деформаций).
Теорию Герца нетрудно модифицировать, принимая вместо D3.1)
другие зависимости между контактной силой и сближением тел. Так,
в работе [28] получено решение задачи для произвольной степенной
зависимости
Р = ka". D3.12)
Такая зависимость получается при упругом сжатии тел, контакт
между которыми является более плотным, чем в теории Герца (в этом
случае, как показано И. Я. Штаерманом, 1 < п ^ 3/2). В форме
43.12) удается также представить экспериментальные зависимости
(а) при наличии развитых пластических деформаций (см. [26]). Мож-
Можно также учесть различные законы изменения контактной силы в за-
зависимости от а при нагрузке и разгрузке (за счет пластических дефор-
деформаций). Во всех случаях расчет выполняется по той же схеме, меня-
меняется лишь зависимость Р(а) в формулах D3.5), D3.6), D3.10).
Следует отметить, что результаты расчета не очень чувствительны
к деталям формы зависимости Р(а). Поэтому возникает возможность
линеаризации этой зависимости. Так, в частности, нелинейную зави-
зависимость D3.1) можно заменить ломаной линией (рис. 43.2), выбрав
ее так, чтобы значениям атаХ, Ртах по приближенной и точной зави-
зависимости соответствовала одинаковая энергия деформации. Из этих ус-
условий нетрудно вычислить а0 и жесткость на линейном участке с:
* шах ^^ "-^тах ==z С (^тах ^0м
р (a) da = -1 feanl = с ±^_
Отсюда
1 . __ 5 /,2/3 р1/3
5 4
Расчет линейной системы с этими значениями а0 и с приведет, ко-
конечно, к тем же значениям а,пах н PmdX, что и расчет нелинейной си-
системы. Однако этого нельзя утверждать относительно продолжитель-
продолжительности соударения.
. При ударе по линейной системе продолжительность удара склады-
складывается из полупериода собственных колебаний системы л ]^т/с и вре-
времени прохождения грузами отрезка а0 при сближении и расхождении:
2ао/уо.
Подставив сюда значения а0 и с, найдем
г' = 2,91атах/у0,
333
что всего на 1% отличается от точного значения. Графики измене-
изменения контактной силы согласно точному A) и приближенному B) ре-
решениям сопоставлены на рис. 43.3. Графики изменения перемещения
практически совпадают.
Разумеется, в данной простой задаче линеаризация зависимости
Р(а) никакого смысла не имеет. Однако в более сложных случаях
(см. § 44) этот прием позволяет существенно упростить расчет. За-
Р\
2
max
Рис. 43.2
Рис. 43.3
метим при этом, что учитывать величину а0 не обязательно, так как
ее учет приводит лишь к смещению времени начала и конца удара, но
не влияет на изменение контактной силы во времени. Поэтому можно
считать, что контактная податливость по Герцу может быть заменена
линейной податливостью, величина которой
-2/3 -1/3
K ^max
зависит от величины максимальной контактной силы.
D3.13)
§ 44. ТЕОРИЯ СОУДАРЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ,
УЧИТЫВАЮЩАЯ МЕСТНЫЕ И ОБЩИЕ ИХ ДЕФОРМАЦИИ
Так же как и теория Герца, теория, излагаемая в настоящем па-
параграфе, основана на гипотезе о том, что местные деформации, раз-
развивающиеся вблизи контакта со-
соударяющихся тел, связаны с кон-
v тактной силой статическими зави-
° симостями. Однако в отличие от
теории Герца наряду с местными
j деформациями принимают во вни-
Д " —{- ——^ мание и общие деформации, кото-
s&ss w^ рые рассчитывают методами тео-
Рис- 44.1 рИИ колебаний. В этом случае за-
задача существенно усложняется, и
лишь в редких случаях удается получить решение в замкну-
замкнутой форме. Нетрудно, однако, указать общий алгоритм, позволяю-
позволяющий провести числовой расчет соударения тел в том случае, если
решение задачи о вынужденных их колебаниях известно.
Рассмотрим соударение двух упругих тел, например стержня и
балки (рис. 44.1). Пусть начальная скорость соударения равна v0 и
действием постоянных сил (например, веса) за время удара можно
пренебречь.
Условием контакта тел является совпадение координат точек их
контакта:
*! — 23 = 0.
Если за начало отсчета времени принять момент соприкосновения
тел, то
zi — z2 = vot — a~yi — у.2.
Здесь а — сближение тел за счет контактных деформаций; у1 и у2 —
перемещения точек контакта обоих тел, вызванные контактной си-
силой P(t), но подсчитанные без учета местных деформаций. Итак, при
наличии контакта между телами
При отсутствии контакта
= vJ; P(t)>0.
ci = 0; P(t) =
D4.1)
D4.2)
Если в уравнении D4.1) перемещения уг, у2 и а выразить через
силу P(t) взаимодействия тел, получим условие для определения этой
силы.
В соответствии с принятыми гипотезами сближение тел в связи с
контактной деформацией связано с силой Р статической зависимостью
P = F(a), се = а(Р) D4.3)
[при начальном касании в точке эта зависимость имеет вид D3.1)].
Перемещения у1 и у2 удобнее всего связать с контактной силой,
используя реакцию каждого из соударяющихся тел на единичный
импульс (см. § 3):
у,=
—6)d0;
(t — 0)d0.
D4.4)
Здесь УП) и УB)—реакции на единичный импульс для двух соударяю-
соударяющихся тел.
Подставляя выражения D4.4) в условие контакта D4.1), получаем
следующее интегральное уравнение, определяющее контактную силу:
j р (9) у (t - 0) dO + « [Р (t)l = vot. D4.5)
о
Здесь
334
335
и уравнение D4.5) справедливо только при P(t) > 0.
Уравнение D4.5) является основным уравнением, определяющим
закон изменения контактной силы; это уравнение впервые было по-
получено в 1913 г. С. П. Тимошенко (см. [50]) для частного случая из-
изгибающего удара жесткого груза по балке.
Структура уравнения D4.5) подсказывает способ его решения. Так
как интегральный член зависит от значений контактной силы во все
предшествующие рассматриваемому моменты времени, то при доста-
достаточно малом шаге интегрирования по времени A t можно пренебречь
в интегральной сумме изменением силы за интервал t — A t <9 <. t.
Тогда сила будет определяться по формуле
t~At
At
У(9)<Ю . D4.6)
В случае, если Р (а) -= ka?>2,
P(t) =
t-At At
vot — f Р(9)У(/ — G)dG — P(t — At) J F(G)dG
6 о
3'2
D4.7)
Рис. 44.2
По формуле D4.6) можно шаг за шагом вычислить зависимость кон-
контактной силы от времени. Практические вычисления по этой формуле
затрудняются, в связи с тем что
для получения необходимой точ-
точности следует выбирать весьма
малый шаг A t и на каждом шаге
заново вычислять интеграл, входя-
входящий в выражение D4.6).
Существенно более удобный
расчетный алгоритм предложен в
книге [40].
Закон изменения контактной
силы аппроксимируется ломаной
линией с изломами, расположен-
расположенными через равные промежутки
времени A t (рис. 44.2). При этом требуется, чтобы условие контакта
D4.1) выполнялось в моменты / = 0, t — Af, 2A t, ЗА/,...
В произвольный момент t — t'A t график изменения контактной
силы характеризуется величинами
>' _ р' = Pi+l - 2Р! + Pi-1
1+1 ' At
Теперь перемещения уг и г/2 можно определить, используя реакцию
каждого из соударяющихся тел У2 на линейно возрастающую на-
нагрузку:
336
p.- p'.=Ll
k=0
Подставляя эти выражения в условие контакта D4.1) для момента
t = iAt, находим
l(t — k) At\ + a (Pt) = voiAt.
D4.8)
Здесь
k—0
k=0
Уравнение D4.8) позволяет в явной форме определить^ t_lt если
все предыдущие значения Ф известны.
С этой целью нелинейную зависимость а(Р) следует разложить в
ряд и ограничиться двумя членами разложения:
Здесь
а(Р,) = а (Р*
D4.9)
Р* = Pi-t + P't_x Ы = 2 К (i - k) At, a' = (±.
J
Тогда из формулы D4.8) получим
1-2
W - k) At] - a (Pt)
bi~l = YAAt) + a'At • <44Л0>
При окончании контакта в момент t = rkt оказывается Рг = 0.
Следует учитывать, что в этот момент уклон графика P(t) становится
равным нулю и поэтому
Л-1
# =-2»*-
Формула D4.10) непригодна в точках, где а' ->¦ со и, в частности,
если справедлива формула Герца
a -= (P/kJ/3
для первого момента соударения. Для этого момента следует отказать-
отказаться от разложения D4.9) и определять {} 0 из нелинейного уравнения
KYZ (At) +
= v0At.
D4.11)
Расчеты существенно упрощаются, если линеаризовать, как это
указывалось в предыдущем параграфе, зависимость местной дефор-
деформации от контактной силы и принять
а = ЬР, D4.12)
337
де б — постоянный коэффициент податливости, зависящий в соответ-
соответствии с формулой D3.13) от максимальной контактной силы,
0= — k Р„ах -
Э
Расчет податливости по этой формуле проводится методом после-
последовательных приближений. Задавшись Ртах, определяют б, а затем,
решая задачу, удара, находят Ртах и уточняют значение б. Так как
зависимость б от Ртах слабая, расчет сходится быстро.
При использовании линеаризованной зависимости D4. 12) а(Р)
формула D4.10) для определения изменения уклона кривой контакт-
контактного давления упрощается и принимает вид
1-2
vuiAt - 2 afey2 w - k) м] - ьр,
btl= — , D4.13)
причем знаменатель ее является постоянным. Для первого момента
удара соответственно получаем
0= ^ . D4.14)
В качестве примера приложения изложенного метода рассмотрим
удар стального груза массой 1 кг, движущегося со скоростью v0 =
= 1,5 м/с по стальному стержню, раз-
размеры которого указаны на рис. 44.3.
Конец стержня, по которому произво-
производится удар, — сферический, другой ко-
конец жестко заделан. Рассмотрим сна-
сначала нагружение стержня линейно воз-
возрастающей силой P(t) = Ы (рис. 44.4, а).
Используя методы, изложенные в § 22,
можно установить, что скорость конца
1=333
Рис. 44.3
0 2 4 6
Рис. 44.4
стержня изменяется так, как показано на рис. 44.4, б. При
0 < t < 2l/a (a = У Е/р — скорость распространения волны) скорость
растет пропорционально времени (и нагрузке):
v = (a/EF)bt.
В момент t = 111 а, когда скорость достигает значения B1/EF) Ь,
приходит волна, отраженная от заделки, и скорость начинает умень-
уменьшаться по линейному закону, обращаясь в нуль при t — All a.
График смещений (рис. 44.4, в) может быть получен интегрирова-
338
нием скорости. Он состоит из отрезков квадратных парабол: при
О < t < 21/а х = W/B EFa) (at/If; при 21/a < t < Mia x =
= bP/BEFa) [8 — D - at I If \ ; при Alia < t < Ы/а х = №BEFa) [8+
-i- (at 11 — 4J] и т. д.
Соответственно реакция стержня на линейно возрастающую еди-
единичную нагрузку выражается следующими формулами:
при 0 < t < 21/a Y21} (t) = х/Ь = l2/BEFa) (at I If;
при 2//a</<4//a У^>(<) = p/BEFa) [8 — D — at/If}; D4.15)
при 4//a<^<6//a K^1' (t) = P/BEFa) [8+ (at/I — 4JJ и т. д.
Теперь найдем реакцию на линейно возрастающую силу P(t) =
= {}t жесткого груза массой т. Сила P(t) вызывает ускорение груза
х =$tlm. Интегрированием (при нулевых начальных условиях) на-
находим х = (¦&/m)(ts/6).
Реакция на единичное воздействие определяется формулой
Итак,
Y{22) (t) = xlb = t'/Fm).
D4.16)
где YBl) (t) и Y22) (t) вычисляются по формулам D4.15) и D4.16).
Для рассматриваемого случая коэффициент k в формуле Герца
2 • 1011 У А ¦ Ю'2 =
3A — Р-2) ' "" 3A—О,З2)
= 2,92-1010 Н-м~3/2.
Оценивая максимальную контактную силу величиной РП1ах =
= 15 000 Н, находим величину эквивалентной линейной податливости:
Подсчитываем время пробега волны по стержню:
66,6 • 10-е с
т = — - °'333
а 5-Ю-з
где а = / Е/р = У2- 10и/(8-103) = 5-103 м/с.
В качестве интервала At при численном решении задачи прини-
принимаем
1
= 33,3-
Подсчитываем:
I2
аМ \а (АО3
с.
0,3332-0,52
2EFa \ I ) 6т 2-2-10»-4,44-10-5-103
C3'3-10K=37,З.Ю-^м.с/Н.
339
Знаменатель формулы D4.13) получает значение
У„ (At) + 8 • At = 37,3 • 1(Г15+ 3,4 • КГ9 • 33,3 • 10 =
= 151 • Ю-15 м-с/Н.
Вычислим также значения функции F2(/A t) для i = 1, 2,... Эти
значения приведены в табл. 44.1.
Таблица 44.1
Уг @. м-сДН-КГ")
37,3
173,6
445,0
888,0
1476,1
6
7
8
9
10
2188,2
3045,4
4099,2
5443,3
7176,8
Расчет изменения контактной силы во времени приведен в табл.
44.2 и 44.3. В первой из этих таблиц вычислены значения &г;
1 i
Pi=
Pk . Необходимая для этих вычислений величина
k=0
к=0
k=0
(i — k)At] подсчитывается одновременно в табл. 44.3.
0
Полученный в результате расчета график изменения контактной
силы представлен на рис. 44.5 сплошной линией. Штриховой линией
Таблица 44.2
.!
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
i
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
! i
0
0
5,75
10,95
17,04
21,32
25,06
30,87
36,87
48,01
к
0
5
—3,29
—2,29
— 1,20
1,78
1,71
— 1,65
— 1,43
—5,49
О
k
33,1
—21,8
— 15,2
— 8,0
11,8
11,3
— 10,9
- 9,5
—36,4
—
X
Ч'~
0
33,1
11,3
— 3,9
— 11,9
— 0,1
11,2
0,3
— 9,2
—45,6
СО
О
х
оГ
0
33,1
44,4
40,5
28,6
28,5
39,7
40,0
30,8
—14,8
• 333
X
V*
0
0
66,2
55,7
36,6
16,7
28,4
50,9
40,3
21,6
к
3
V
0
0
7,54
6,34
4,16
1,90
3,23
5,78
4,58
2,48
о
к
оГ
0
1100
1480
1350
950
950
1320
1330
1020
—490
340
5
се
s
о
II
-н — CDCDOOt*-CO
CDCOCOCCDDM
РН-/0"
I I
оо o-i ет> см -^ ¦ч** о^
CD СО — ОО ¦**- О 00
j§ss?=mi°-
+ I
О Г-CM h-lO-
о ^ см
-[11 +
СО 00 О CD^
(N-ЮЮО
СО СО СО СГ) "ОЗ
00 ГО t^-ГО ГО
оо"сп со— —'
ГО t-- СО
го оо
со
II
II ' -
.! ! «п
1
>о
ю
ю
о
J
1
О
еЯ
а
— оосчооососпю
Ml М
О — СЧСО^ЮсоЫ
Рис. 44.5
на том же рисунке показано изме-
изменение контактных сил, вычисленное
без учета местных деформаций (см.
§ 22), а штрихпунктирной лини-
линией — изменение контактных сил с
учетом нелинейной зависимости
Р(а) (см. [40]).
Сопоставление кривых показы-
показывает, что линеаризация контакт-
контактных деформаций вполне допусти-
допустима. Вместе с тем расчет без уче-
учета контактных деформаций при-
приводит к более чем трехкратному
преувеличению контактной силы.
Заметим, что в результате рас-
расчета мы получили значение макси-
максимальной контактной силы 15500 Н,
достаточно близкое к тому, кото-
которым задавались при линеариза-
линеаризации контактной силы A5 000 Н).
Если бы разница в значениях
Ртах превышала 30% (что отве-
отвечает 10%-ной разнице в величи-
величине б), пришлось бы провести расчет
с новым значением б.
В рассмотренном примере в
связи с большой простотой фун-
функции Y2 все вычисления легко
выполнить вручную. Более слож-
сложные задачи решают на ЭВМ, при-
причем программа может быть состав-
составлена в соответствии с тем же ал-
алгоритмом.
341
Изменение типа упругой системы приводит лишь к изменению ее
реакции Y2(t) на линейно возрастающую нагрузку. Алгоритм же
расчета сохраняется прежним.
Так, например, рассматривая воздействие линейно возрастающей
силы на среднюю точку балки постоянного сечения на двух опорах,
найдем реакцию балки на эту нагрузку:
m0/
я=1, 3, 5...
где тп1 — масса балки; ри — п2л2 у ?7/(mo/J) — частота /i-й формы
собственных колебаний.
• Следовательно, при ударе грузом массой /п но балке функция
Y2(i) имеет вид
т»1 „.А... Р»
j — sin PJ) -
6 «I
При малых значениях pyt ряд в выражении для Y2(t) плохо схо-
сходится. Здесь может быть использована приближенная формула
V
1, 3. 5,.,.
sin
(Pit)
5/2
которая получена из рассмотрения реакции на линейно возрастаю-
возрастающую нагрузку бесконечной балки*.
О да Ш »6' tc W"
I-\C-!--,- I- .-U^J-M-l- ^ -! JU-l-'-L-L f-J—J-t—¦/
1A 1.5 1.6 t.C-1O
0 0,1 0,2 0,3 0,ii
* См.: Л у р ь е А. И. Операционное исчисление. М., ГТТИ, 1948.
342
Эта формула справедлива, конечно, только при малых значени-
значениях pit, когда влияние опор еще не сказывается существенно на движе-
движении средней части балки (при pxt =я/4 ошибка составляет 3%).
На рис. 44.6, а приведены результаты расчета для случая удара
стального шарика диаметром 2 см по балке квадратного сечения
1 X 1 см, длиной 15,35 см. Скорость удара 0,01 м/с. Штриховая
кривая получена для этого же случая С. П. Тимошенко при нелиней-
нелинейной зависимости местных деформаций от контактной силы.
На рис. 44.6, б приведены аналогичные кривые для удара шари-
шариком, имеющим диаметр 4 см, по балке сечением 1 X 1 см, дли-
длиной 30,7 см. В этом случае в процессе удара имеют место три от-
отдельных периода контакта между балкой и шариком.
Сопоставление кривых показывает, что и при изгибающем ударе
линеаризация контактных деформаций вполне допустима.
После того как изменение контактной силы определено, нетрудно
подсчитать и внутренние силовые факторы в каждой из соударяющих-
соударяющихся систем, считая возмущающую силу P(t) заданной.
§ 45. УПРОЩЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
УДАРНЫХ НАГРУЗОК
Точный расчет упругих систем и в особенности систем с распре-
распределенной массой на ударную нагрузку весьма сложен. Кроме того,
часто сами соударяющиеся детали имеют настолько сложную конфи-
конфигурацию, что схематизация их в виде бруса является чрезвычайно
грубой. Поэтому в практике применяют упрощенные методы расчета
на ударную нагрузку.
При точном расчете по заданным начальным условиям определя-
определяют движение упругой системы в процессе удара. В отличие от этого
при упрощенном расчете закон движения системы задают на основе
тех или иных соображений и вычисляют лишь примерную величину
максимальных перемещений и напряжений.
Расчет выполняют либо путем рассмотрения движения упрощенной
системы с одной степенью свободы, к которой приводится реальная
упругая система, либо путем приравнивания энергии деформации
системы кинетической энергии ударяющего груза. Собственную массу
упругой системы или не учитывают вовсе, или учитывают как некото-
некоторую эквивалентную сосредоточенную массу, приведенную к точке
удара.
Если игнорируют массу упругой системы и деформируемость гру-
груза, ударяющего по ней, то задача удара сводится к изучению совмест-
совместных колебаний груза (который в данном случае характеризуется толь-
только своей массой тп) и упругой системы, которая характеризуется толь-
только своей податливостью б.
Во время совместного движения груз и упругая система представ-
представляют собой колебательную систему с одной степенью свободы, расчет
которой не вызывает затруднений. Так, если имеет место горизон-
343
тальный удар (рис. 45.1), то, отсчитывая время от момента перво-
первоначального контакта, находим закон движения груза:
х = (vo/p) sin pt.
D5.1)
где щ — скорость удара; р = Yllimb) — собственная частота системы
Продолжительность контакта равна полупериоду собственных
колебаний системы:
t" = ф = т: ]/"^8, D5.2)
Рис. 45.1
а максимальное смещение хшах достигается
(рис. 45.2):
в момент /' = \/2t"
= Vjp = Vo
-у.
D5.3)
Здесь T0 = mv20/2 — кинетическая энергия ударяющего груза.
Максимальная сила удара
Ртах = *тах/8 = ^27^3 • D5.4)
Как видим, в данной простой системе динамические перемещения
и усилия полностью определяются энергией удара. Формулы D5.3)
и D5.4) могут быть получены и на основе рассмотрения энергии систе-
системы. Для этого нужно приравнять кинетическую энергию груза То —
= mvo2/2 энергии деформации ?/шах системы при максимальных пере-
перемещениях:
В случае вертикального удара (рис. 45.3) закон изменения пере-
перемещений за время контакта (с учетом влияния силы тяжести) полу-
получим, отсчитывая смещения х от положения статического равновесия.
Тогда начальными условиями движения будут условия
где fCT = mgb — прогиб системы под действием веса груза.
Соответственно перемещения определяются выражением
= — f ст cos pt + (vo/p) sin pt.
График изменения х показан на рис. 45.4.
Максимальное перемещение
Хтах -= V /ст4~ (V0/pf .
Полная деформация /дин, отсчитанная от недеформированного
положения, больше ятах на величину статического прогиба:
/д,ш = /ст+]/~/ст+К//?J-
D5.5)
Рис. 45.3
Максимальная сила удара
г
= Q-
где Q = mg — вес груза.
Продолжительность удара в данном случае
Формулы D5.5), D5.6) для /ди„ и
D5.6)
D5.7)
МОЖНО, КЭК И При ГОрИ-
зонтальном ударе, получить из рассмотрения энергии. Для этого нуж-
нужно максимальную потенциаль-
потенциальную энергию деформации си- m
стемы /2дин/B6) приравнять сум-
сумме кинетической энергии mi>02/2
и работы силы тяжести Q/HHH.
При приближенном учете
собственной массы системы пу-
путем приведения ее к точке уда-
удара принимают, что соотношения
между перемещениями точек
системы при ударе такие же,
как при ее собственных колебаниях основного тона или при дефор-
деформации системы статической нагрузкой, приложенной в точке удара.
Рис. 45.5
344
13-318
345
В этом случае рассматривается задача об ударе груза по упругой
системе с сосредоточенной в точке удара приведенной массой tnt
(рис. 45.5). Величину приведенной массы определяют так, чтобы она
обладала той же кинетической энергией, что и действительная система
при заданной форме движения*:
D5.8)
= ) (u/u^dm,
где u/ui — отношение перемещения элементарной массы dm к пере-
перемещению точки приведения.
Соударение груза т с приведенной массой mi считают неупругим,
так что после соударения они двигаются с общей скоростью
v — —:— v0, где Vo —скорость соударения. Далее рассматривают
колебания системы, имеющей одну степень свободы (с массой tn + nil).
Для максимального динамического перемещения вместо формулы
D5.3) получают формулу
х = V2Tobm/(m +
D5.9)
Таким образом, приближенный учет собственной массы упругой
системы приводит к некоторому уменьшению расчетных динамических
перемещений, что соответствует и результатам более точных расчетов.
Расчет динамических напряжений с приближенным учетом собст-
собственной массы системы проводить нецелесообразно, так как получае-
получаемые при этом результаты оказываются менее точными, чем в том
случае, когда эта масса не учитывается вовсе.
* Рекомендуемый в некоторых книгах метод приведения массы, основанный
на условии сохранения количества движения, ошибочен, так как, задавая форму
движения, мы накладываем дополнительные связи, что приводит к изменению
количества движения.
ГЛАВА IX
НЕКОТОРЫЕ ТЕХНИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЙ
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 46. ОСНОВЫ РАСЧЕТА ВИБРОИЗОЛЯЦИИ
Вводные замечания. Колебания, возникающие при работе различ-
различного рода машин, передаются прилегающим конструкциям и нару-
нарушают нормальную работу других устройств, вредно влияют на здо-
здоровье людей. Поэтому возникает задача изоляции колеблющегося объ-
объекта от прилегающих конструкций. С другой стороны, часто приходится
устанавливать различного рода приборы и другие объекты на колеб-
колеблющемся основании. В этом случае требуется изолировать объект от
основания так, чтобы ему не передавались колебания последнего.
В обоих случаях задача виброизоляции решается одинаковыми сред-
средствами — между объектом и основанием устанавливают упругие
элементы, а иногда и демпферы сухого или вязкого трения.
В настоящем параграфе рассматриваются линейная система вибро-
виброизоляции при гармоническом возмущении, влияние нелинейностей,
возникающих при установке ограничителей хода
(упоров), а также поведение системы изоляции при
кратковременных воздействиях. Вопросы расчета
виброизоляции при случайных воздействиях осве-
освещены в гл. VII.
Поведение системы изоляции при гармониче-
гармонических воздействиях. Рассмотрим простейшую си-
систему виброзащиты, представленную на рис. 46.1.
Здесь объект массой tn, на который действует
гармоническая возмущающая сила Pit) = P0cosw/,
соединен с основанием упругой связью жесткости
с и элементом вязкого трения с коэффициентом трения а.
Рассматривая колебания такой системы в § 5, мы установили, что
перемещения груза меняются по закону
I я coscot
m
±
Рис. 46.1
x = A cos (со/ — cp),
А =
Y A — «2
= arctg
2/г«
p*-
Здесь n ^ a/Bm)—коэффициент затухания; р =]/elm—частота
собственных колебаний консервативной системы.
В задаче виброизоляции существенны не столько перемещения
объекта х, сколько динамическое усилие R, передаваемое основанию.
13*
347
Это усилие складывается из силы в упругой связи сх и силы вязкого
трения ах:
R = сх-\- ах = А\с cos (at — с?) — оссо sin (at — <?)].
Эту формулу представим в виде
R = Rocos(at — о,);
Ro = А V с3 + (асоJ =Р0
У 1
cpj = о — arctg Bпсо/р2).
Отношение амплитуды /?0 силы, передаваемой основанию, к амп-
амплитуде Ро возмущающей силы называется коэффициентом
виброизоляции у.
D6.1)
Рис.
На рис. 46.2 показаны графики зависимости коэффициента вибро-
виброизоляции у от отношения частоты возмущающей силы к собственной
частоте системы.
В случае, если система виброизоляции служит для защиты объек-
объекта т от передачи ему колебаний основания (рис. 46.3), коэффициен-
коэффициентом виброизоляции называется отношение ускорения объекта к уско-
348
рению основания. Этот коэффициент у также выражается формуло
D6.1).
В самом деле, уравнение движения объекта (рис. 46.3) имеет ви
тх-\-а(х —
— g) = О,
D6.5
где х—смещение объекта; \ —смещение основания.
При гармоническом возбуждении смещение основания определяет
ся формулой
\ — a cos со/,
а смещение объекта —
х — A cos (at — ср).
Подстановка этих значений в уравнение
D6.2) приводит к равенству
А = а V (с2 + ос2со2)/[(с — mco2J + a2co2j .
Коэффициент виброизоляции находится
как
т
f'ft
Рис. 46.3
F
Это выражение в точности совпадает с формулой D6.1), и, следователь
но, график на рис. 46.2 относится в равной мере к обоим случая
виброизоляции.
Легко видеть, что система виброизоляции эффективна только в то
случае, если ш/р Еелико, т. е. если собственная частота системы мал
по сравнению с частотой возмущения. При р>со/]/2 упругая по;
веска приносит не пользу, а вред, так как коэффициент виброизол5
ции оказывается большим единицы. Демпфирование ухудшает зффе>
тивность виброизоляции в области высоких частот, но снижает резе
нансные пики. Некоторое демпфирование полезно, так как позволяе
сократить продолжи
а) '///////, v с , тельность переходны
процессов и ограничит
амплитуды при пуске .
остановке системы.
х Для обеспечени
низкой собственной час
тоты колебаний изоли
руемого объекта необ
ходимо сделать систем
виброизоляции доста
точно податливой. Однг
ко при этом возможна излишняя подвижность объекта при деь
ствии медленно изменяющихся нагрузок. Так, например, при
боры самолетного оборудования, система изоляции которы
рассчитана на гашение вибраций, передаваемых от двигателя
-а'
777777777777777/,
Рис. 46.4
34<
могут получать недопустимо большие перемещения при перегрузках,
связанных с маневрами самолета. Для ограничения возможных пере-
перемещений в этом случае устанавливают упоры (рис. 46.4, а).
Следует иметь в виду, что при наличии упоров система амортиза-
амортизации становится нелинейной. Характеристика ее приобретает вид,
показанный на рис. 46.4, б.
В такой нелинейной системе возможны режимы движения с удара-
ударами об ограничители. Такие режимы конечно, недопустимы. Для их
исключения система виброизоляции
должна быть рассчитана на основе
нелинейной теории, изложенной в § 8.
Выведем формулу для опреде-
определения наименьшего допустимого рас-
расстояния до упоров в случае, если
упоры являются весьма жесткими,
расположены симметрично и удар о
Рис 465 них определяется коэффициентом
восстановления скорости k. Другие
виды демпфирования не учитываются.
Рассмотрим режим движения, при котором за один период возму-
возмущения имеют место удары о верхнюю и нижнюю опору. Соответствую-
Соответствующий график относительного движения объекта показан на рис. 46.5.
Уравнение движения при кинематическом возмущении получает вид
j = — та2а cos (at -f ?)•
D6.3)
Здесь Xi — x — I —смещение объекта относительно вибрирующего
основания; х, | = a cos(a>/ -\- ср) —абсолютные смещения объекта
и основания.
Общее решение уравнения D6.3) для периода движения объекта
между упорами имеет вид
Xi = Cj cos pt 4- C2 sin pt
; COS (CO/
D6.4)
Совмещая начало отсчета времени с моментом отскока объекта
от нижнего упора (что всегда можно сделать, выбрав надлежащим
образом фазовый угол ср), будем иметь: при t = 0 xt = —d; при t =
= jt/a> Xi = d. Кроме того, следует учесть условие, связывающее ско-
скорость удара об ограничитель со скоростью отскока от него: (xi)<=0 =
(i)t K[m
Три записанных условия достаточны для опредления трех посто-
постоянных (Ci, C2l ф), входящих в выражение D6.4). Эти условия приво-
приводят к следующим равенствам:
COScp;
d = Ct cos X -f- С, sin X —
1 - p2/
¦COS
350
Сгр~-
со sin cp = & (— CiP sin X 4- C2p cos X -
(X = Tzp/a).
Из первых двух уравнений находим:
1 — р2/»
Sin ср
4 = — d — ¦
¦cos?;
-ClCtg(X/2).
Подстановка этих значений в третье уравнение дает соотношение
d = ^ —tg — smcp —coscp . D6.5)
Очевидно, что стационарный режим движения с ударами об упо-
упоры возможен, если можно подобрать такое значение фазового угла ср,
чтобы выполнялось равенство D6.5). Наоборот, удары об упоры не-
невозможны, если зазор d больше, чем максимальное значение правой
части равенства D6.5).
Таким образом, получаем следующее достаточное условие отсут-
отсутствия ударов об упоры: d>do\
U — ~ 2,2 1 1/
I 1—р2/«2 | |/
1+
1 + k у
l—k
_o^ , a up ^
D6.6)
Из формулы D6.6) видно, что для предупреждения ударов зазор
должен быть существенно больше, чем стационарная амплитуда коле-
колебания А = г, 77-^т, рассчитанная по линейной теории.
11 Р /О) |
На рис. 46.6 показана зави-
зависимость величины dja от со/р ^
при различных k. a
Величина коэффициента ^
восстановления k очень силь-
сильно влияет на размеры необ- ь
ходимого зазора. Поэтому в
конструкциях упоров исполь- ц
зуют обычно материалы с
большим поглощением энер- 2
гии.
В выполненном выше рас- о
чете учтено только поглоще-
поглощение энергии при ударах.
Если учесть также трение,
связанное с движением объ-
объекта между упорами, то значение d0 будет меньшим. Приемы такого
рода расчетов рассмотрены в книге [29].
Одним из методов снижения частоты собственных колебаний сис-
системы виброизоляции без уменьшения ее жесткости является искус-
искусственное увеличение массы объекта.
Разумеется, этот метод применим далеко не всегда, но в некоторых
случаях вполне может быть использован. В качестве примера на
351
1
"""-<-.
1
й 5-
Рис. 46.6
рис. 46.7 показана схема виброизоляции силового агрегата. Здесь
масса агрегата увеличена добавлением дополнительной железобетон-
железобетонной плиты. Агрегат вместе с плитой изолирован от фундамента с по-
помощью упругих амортизаторов.
Выше была рассмотрена виброизоляция для системы с одной сте-
степенью свободы. Однако полученные общие соотношения справедливы
- о^_ f—71 Г 1 Ш ' V;¦ \»~. ' L I 1
Рис. 46.7
и для более сложных систем. Так, для линейно-упругой системы мож-
можно ввести главные координаты, и тогда движение по каждой из коор-
координат будет определяться самостоятельным уравнением.
Наряду с рассмотренными выше системами, в которых защита от
вибраций достигается с помощью пассивных элементов (упругостей,
демпферов), в ответственных конструкциях используют также системы
активной виброзащиты. В этих системах вибрации подавляются за
счет энергии постороннего источника, управляемого системой авто-
автоматического регулирования.
Поведение системы изоляции при ударных воздействиях. В дан-
данном разделе под ударным будем понимать кратковременное воздей-
воздействие на объект.
В качестве примера рассмотрим систему виброизоляции
(рис. 46.8, а), в которой «основа-
, г\ ние» получает ускорение в соот-
а' " ветствии с рис. 46.8, б. В резуль-
результате этого воздействия основание
начинает двигаться со скоростью
v — /оО. Объект массой т связан с
основанием защитной системой,
. которая должна снизить макси-
q мальное ускорение объекта до ве-
Рис. 46.8 личины }i<j0. Отношение у —jjjo
352
будем называть коэффициентом изоляции. В простейшем
случае система изоляции представляет ссбой линейную пружину
жесткостью с. Трение не оказывает существенного влияния на дви-
движение объекта в наиболее интересные первые моменты, и его можно
не учитывать.
Уравнение движения объекта следующее:
тх+сх = с?, D6.7)
где ? — смещение основания.
При 0</<8 ? = ;У2/2,
при t > 6 l = j0 [t2/2 — (t — 0O2].
Соответствующие этому значению ? решения уравнения D6.7),
отвечающие нулевым начальным условиям и условиям непрерывности
при t = 0, таковы:
при 0 < t < G х = /0 {Р/2 — A — cos pt)lp2\;
при t > G х = /0 {t*/2 — (/ -- 6O2 — [cos p (t — 6) — cos pt\/p2}.
Ускорения объекта равны:
при 0 < / <: 8 х = /0A—cospt);
при t > 0 х = /о [cosp (t — 9) — cospt] = 2/0 sin (pQ/2) sin p (t — 0/2).
Так как максимальное значение х должно быть меньше /0, то оче-
очевидно, что р8 должно быть, во всяком случае, меньше л/2 и максимум
х имеет место при t> 0:
/i = |'л: Imax = 2/0 sin (р9/2).
Таким образом, коэффициент изоляции определяется формулой
Y = /i//o = 2sin(/70/2). D6.8)
Подсчитаем еще максимальное смещение объекта относительно
основания:
(I — Х)тах = /о —• [COS p (t
Р2
¦ 0) — cos pt]max = /о — sin •
Эту величину можно связать с коэффициентом изоляции у:
Полагая arcsin (i'/2) «v/2, находим
D6.9)
Таким образом, чем меньше у, т. е. чем лучше изоляция, тем боль-
больше ход амортизатора. Во всяком случае, даже при у = 1 этот ход не
может быть сделан меньше /002, т. е. меньше удвоенного перемещения
основания за время 0.
353
Большой ход является основным недостатком линейной системы
изоляции. Причины этого недостатка очевидны: в течение времени 8
основание движется с постоянным ускорением, а затем с постоянной
скоростью; между тем ускорение объекта в начальный момент равно
нулю и лишь постепенно возрастает до допустимой величины ]\ —
= Y У о - Можно существенно уменьшить ход защитной системы, если
с самого начала дать объекту допустимое
F\ по величине ускорение. Для этого к нему
I надо приложить постоянную по величине
силу F = tnji- Эта сила может быть реа-
— ... лизована за счет упругого элемента с не-
х-? линейной характеристикой (рис. 46.9),
элемента сухого трения или гидравличе-
гидравлического демпфера с клапанами, открывающи-
открывающимися при заданном давлении.
Рис. 46.9 Рассчитаем движение объекта при рас-
рассмотренной оптимальной системе защиты.
Пока скорости объекта и основания не
выравняются, объект движется с постоянным ускорением
х = /V72.
Относительное перемещение (при /> 8) определяется равенством
В момент t = 0/y эта величина достигает максимума:
Сравнивая эту формулу с формулой D6.9) для линейной системы
защиты, устанавливаем, что отношение ходов составляет A —у)/2.
Таким образом, ход сокращается по крайней мере вдвое, и выгода
тем больше, чем ближе к единице необходимое значение коэффициен-
коэффициента у.
§ 47. КОЛЕБАНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ВАЛОВ
Вводные замечания. Расчет колебаний вращающихся валов явля-
является весьма важной частью расчета турбомашин. Прежде всего расчет
необходим для определения частот собственных колебаний вала в це-
целях исключения явления резонанса.
Однако этого недостаточно. Вал, вращение которого поддерживает-
поддерживается двигателем, обладает большим запасом кинетической энергии. При
некоторых условиях эта энергия может переходить в энергию попереч-
поперечных колебаний. Тогда движение прямолинейного вала становится не-
неустойчивым. Таким образом, необходимо также выяснение условий
устойчивости движения вала. В данном параграфе рассмотрены расчет
частот собственных колебаний и совпадающих с ними критических
скоростей вала, устойчивость движения вала, а также изложены осо-
особенности поведения анизотропно упругих валов.
354
Более подробное изложение вопроса содержится в монографии [22].
Колебания безмассового вала с эксцентренно закрепленным диском.
Критическая скорость вращения. Рассмотрим вал, вращающийся
в двух подшипниках (рис. 47.1), в среднем сечении которого закреп-
закреплен диск. Предположим, что центр массы т диска смешен относитель-
У\
Ось I
бала
чтения
Рис. 47.1
но центра вала на Еелкчину е. Собственной массой Еала можно прене-
пренебречь. Обозначая проекции прогиба вала на оси х, у буквами ?, т|,
выразим координаты центра массы диска в таком виде:
x = %-\-ecosa>t; у = Ц + е sin со/. D7.1)
Составим уравнение движения диска:
m'x-rcl = 0; ту+сц = 0. D7.2)
Здесь (— cl), (—су]) — проекции силы упругости вала на оси х,у.
Подставив в уравнения D7.2) значения х, у, получим:
ml + с\ = me©2 cos со/; тц -\- сц = те©2 sin со/. D7.3)
Стационарное решение уравнений D7.3) имеет такой вид:
- cos со/; 11 —
-sin со/,
D7.4)
здесь р = У dm — собственная частота колебаний вала с диском.
Как видно из формул D7.4), при скорости вращения, приближаю-
приближающейся к частоте собственных колебаний, амплитуды колебаний стре-
стремятся к бесконечности. Эта скорость вращения называется критиче-
критической. Формулы D7.4) показывают, что при стационарном режиме
центр вала движется с угловой скоростью со по окружности радиусом
г = —4—. D7.5)
При этом центр вращения О, центр вала Ot и центр массы диска 02
находятся на одной прямой.
В зависимости от соотношения со/р взаимное расположение этих
точек различно. При со < р точки О и О\ лежат по одну сторону от
центра массы О2 (рис. 47.2, а), а при со > р — по разные (рис. 47.2, б).
Зависимость г от отношения alp показана на рис. 47.3.
При стремлении скорости вращения к бесконечности г -*¦ —е и
центр массы диска О2 неограниченно приближается к центру враще-
355
ния О. Это явление называется самоцентрированием.
Оно используется в конструкциях машин с так называемыми гибкими
валами, т. е. с валами, собственная частота которых меньше угловой
скорости вращения.
Преимуществом гибких валов является ограничение сил инерции
и соответствующих им реакций в опорах величиной
се = тр2е
D7.6)
при увеличении скорости вращения. По этой причине гибкие валы
обычно применяют в машинах, где не может быть обеспечена точная
г
е
3
2
/
0
-1
-2
-3,
-4|
/
/
у
У
Рис
/
47.3
СО
р
Рис. 47.2
балансировка ротора (центрифуги, стиральные машины и т. п.). В этих
случаях используются также весьма податливые опоры подшипников,
что позволяет снизить собственную частоту системы и, следовательно,
величину динамических нагрузок [см. формулу D7.6)J. Гибкие валы
используются также в конструкциях высокоскоростных турбомашин
(газовые турбины, турбонасосные агрегаты и т. п.).
Недостатком турбомашин с гибким валом является возможность
развития вибраций с большими амплитудами при проходе через резо-
резонанс в процессе разгона или торможения (см. § 5), а также возмож-
возможность неустойчивости движения (см. ниже).
Влияние гироскопических моментов на частоты собственных коле-
колебаний вала. Если скорость вращения вала и моменты инерции наса-
насаженных на него дисков относительно невелики, частоту собственных
колебаний вала можно определить по тем же формулам, что и частоту
колебаний балки с грузами. В противном случае существенное влия-
влияние на характер колебания оказывают моменты сил инерции, возни-
возникающие вследствие угловых перемещений осей вращающихся масс.
Рассмотрим движение диска, насаженного на невесомый вал, вра-
вращающийся с угловой скоростью со. Предположим, что в результате
упругих деформаций вала ось вращения диска z4 составляет с непод-
неподвижными координатными плоскостями zy и zx малые углы ¦&х и ¦О-у
(рис. 47.4). Моменты инерции диска относительно связанных с ним
осей хи уи Zi обозначим: IZl = /0; IXl — IVl — h.
Для определения моментов, воздействующих на диск со стороны
вала, применим теорему, согласно которой производная по времени
356
от момента количества движения равна моменту внешних сил. Угловая
скорость вращения диска относительно оси Zi равна со, следовательно,
момент количества движения относительно этой оси LZl = /Осо.
Скорость вращения относительно связанной с диском оси xY
равна Ьх, и момент количества движения относительно оси х^
Скорость вращения от-
относительно оси yi равна
i>v и соответственно LVl =
Моменты количества
движения относительно
неподвижных осей х и у
найдем, спроектировав на
эти оси моменты Lx
LUl и
Lx = LXl 4-
Моменты приложенных
к диску сил относительно
осей х и у найдем по таким формулам:
MX=~LX = Л
dt
Рис. 47.4
¦ /0<»V,
D7.7)
Очевидно, что точно такие же, но противоположно направленные
моменты передаются с диска на вал. Кроме того, на вал воздействуют
силы инерции диска тх и ту, где х и у — проекции полного смещения
диска на оси х и у (рис. 47.5).
Обозначим: 8ц — смещение диска при действии единичной силы;
Si2 — поворот от действия той же силы; б22 — поворот от действия
единичного момента (рис. 47.6).
Используя эти обозначения, можно выразить смещения диска х и у
через действующие силы:
х =
— (/j Ьу — /осо»ж ) 812;
357
f
/ocoi>y ) 8,.,
D7.8)
'12 i
— &ж = — mybi2 + (/, Ъх+1ь<аЪу) 822.
Таким образом, при наличии гироскопических моментов колеба-
колебания в плоскостях xz и yz связаны и плоские колебания вала
невозможны.
Рис. 47.5
Рис. 47.6
или
Решения системы D7.8) можно представить в таком виде:
х =¦ Acos.pt; у = Asinpt;
, = & cos pt; ftx = — d sin pt
x = Acospt; у = —Asinpt;
bx = $sinpt.
D7.9)
D7.10)
Оба эти типа решения соответствуют вращательному движению
изогнутой оси вала с угловой скоростью р, причем в первом случае
изогнутая ось вращается в том же направлении, что и сам вал (прямое
вращение изогнутой оси), а во втором случае — в сторону, противо-
противоположную вращению вала (обратное вращение изогнутой оси).
А и ¦& представляют собой прогиб и угол наклона касательной к
изогнутой оси вала в точке закрепления диска.
Выясним значения моментов Мх и Му, воздействующих на вал
при прямом и обратном вращениях его изогнутой оси.
При прямом вращении, подставляя выражения D7.9) в формулы
D7.7), получаем:
Мх = (/осо/р - h) Р2К; Му = (Iow/p - /J рЧу.
Сопоставляя полученные знаки моментов с принятыми их направ-
направлениями (см. рис. 47.5), видим, что в данном случае гироскопический
момент
D7.11)
направлен в сторону уменьшения угла поворота касательной
(рис. 47.7, а).
Точно так же можно установить, что при обратном вращении изо-
изогнутой оси вала гироскопический момент
D7.12)
направлен в сторону увеличения угла ¦& (рис. 47.7, б)
Подставляя в уравнения D7.8)
значения х, у,-Ьх и -fl y из формул
D7.9) и D7.10), видим, что в обоих
случаях два последних уравнения
оказываются тождественными с дву-
двумя первыми.
Для прямого вращения изогнутой
оси имеем:
= 0.
D7.14)
A A — p2 тЬ1{) — ft (p2/, — pco/o) 812 = 0;
-Лр2 m812 + ft [ 1 - (p2/,- pw/0) 8,2] =
Puc. 47.7
= 0.
Приравняв нулю определитель этой системы уравнений, получим
уравнение частот при прямом вращении
— p2m8u —(р2/,—рсо/п)812
— p2mo12 1 — (/72/1 — рсо/о) о22
Точно так же для частот колебаний при обратном вращении изо-
изогнутой оси получаем уравнение
1 — р2тЬн — (p2/f + рсо/о) 8i2
— р2т812 1 — (р2/4 4- рсо/о) 822
Заметим, что уравнения D7.13) и D7.14) отличаются только знаком
произведения рсо. Поэтому можно ограничиться решениями только
уравнения D7.13), имея в виду, что при одинаковых знаках р и со мы
имеем прямое, а при разных — обратное вращение изогнутой оси вала.
Так как уравнение D7.13) является полным уравнением четвертого
порядка, оно имеет четыре корня. Следовательно, вращающийся вал
с диском в отличие от покоящегося имеет не две, а четыре различные
частоты собственных колебаний. Две из них соответствуют прямому
и две —обратному вращению изогнутой оси вала.
Обозначив р/р0 = z; р0 = ]/ 1/(т8и) — частота колебаний, вычис-
вычисленная без учета инерционных моментов, приведем уравнение
D7.13) к виду
D7.15)
ZB»-4)
где г, и г., — корни уравнения
А)+ 1=0.
358
359
определяющего собственные частоты невращающегося вала с диском.
Решение уравнения D7.15) может быть представлено в виде номо-
номограммы (рис. 47.8). Здесь по горизонтали отложена величина z --
= р/ро, а по вертикали — ~ . Так как принято р;> О, то ПОЛОЖИтеЛЬ-
ные значения со соответствуют прямому вращению изогнутой оси вала,
а отрицательные—обратному. Построение на рис. 47.8 выполнено
при ¦ Vfm/2) ^V4.
Как видно из графика, частоты колебаний, соответствующие пря-
прямому вращению изогнутой оси вала, выше, а частоты, соответствую-
соответствуюе. 47.8
щие обратному ее вращению, ниже, чем частоты невращающегося
вала.
При заданной угловой скорости движения вал имеет четыре раз-
разных частоты собственных колебаний. Так, например, при (со/'ро)A0/7\) =
= 2 частоты колебаний вала составляют: р4 =0,48 р0; р2 — 1,2 р0;
mi
e
1
cot
УМУ/.
случае следует рассматривать проекции эксцентриситетов на две
взаимно перпендикулярные плоскости).
Тогда для колебаний, например, в вертикальной плоскости полу-
получим уравнения
5,-ysin at],
D7.16)
где л,- — вертикальная проекция прогиба вала в точке закрепления
груза тп е, —его эксцентриситет.
Уравнения D7.16) представляют собой уравнения вынужденных
колебаний системы с п степенями свободы, причем возмущающими
силами являются проекции сил инерции несбалансированных грузов
Pj — nijejdJ sin со/.
Используя метод главных координат (см. гл. II), стационарное
решение системы D7.16) можно записать в виде
ra = sin i
Здесь иц, и 12, ...—формы собственных колебаний; ри р.,, ... ,
, Шп,... — их частоты и обобщенные массы.
Аналогично, для колебаний в горизонтальной плоскости
С; = COS СО/
J ei ui*
Рис. 47.9
Таким образом, как и при одном грузе, изогнутая ось вала, сохра-
сохраняя свою форму, вращается в пространстве с угловой скоростью со.
Полная сила инерции, с которой груз тг воздействует на вал,
Fi = mlwt{ei+ri), D7.17)
где
р3 =2,55 р0; р4 =3,25 р0. Первая и третья частоты соответствуют
обратному, вторая и четвертая — прямому вращению оси вала.
При наличии периодических возмущающих сил, изменяющихся
с одной из собственных частот, имеет место резонанс.
Колебания многомассового ротора, вызываемые дисбалансом. Ба-
Балансировка гибких роторов. Рассмотрим вал с несколькими эксцентрен-
но закрепленными грузами (рис. 47.9).
Не уменьшая общности рассуждений, можно предположить, что
центры масс всех грузов расположены в одной плоскости (в противном
360
т>
mi eJ
D7.18)
Если угловая скорость вращения вала со значительно меньше, чем
низшая частота его собственных колебаний pi («жесткий» вал), то ве-
величины rt малы (так как pr2/w2^> 1).
В этом случае, для того чтобы вал не воздействовал на опоры,
достаточно, чтобы система сил Fi0 = m^ei была самоуравновешен-
самоуравновешенной. Для этого необходимо уравновесить ротор как жесткий, т. е.
361
совместить центр его массы с осью вращения (статическая баланси-
балансировка) и добиться, чтобы ось вращения была главной осью инерции
вала (динамическая балансировка).
Балансировка роторов как жестких производится путем установки
дополнительных грузов или снятия части материала ротора в двух
плоскостях.
Методы балансировки и устройство балансировочных станков рас-
рассматриваются в курсе теории машин и механизмов.
Как видно из формулы D7.17), балансировка ротора как жесткого
не обеспечивает отсутствия воздействия его на опоры при больших
скоростях вращения. Полная уравновешенность ротора при любых
скоростях вращения может быть достигнута только в том случае,
если ротор не только уравновешен как жесткий, но и выполнены ус-
условия
= 0 (k=l, 2,
л),
D7.19)
т. е. если распределение дисбалансов е,- ортогонально ко всем формам
собственных колебаний.
Условия D7.19) выполняются только в том случае, если все экс-
эксцентриситеты равны нулю, т. е. ротор уравновешен в каждом сечении.
Конечно, выполнить это требование невозможно, да и не необходимо.
Так как слагаемые в выражении D7.18) быстро убывают, достаточно
добиться обращения в нуль нескольких первых членов суммы. Так,
если рабочая скорость вращения гибкого вала лежит между первой
и второй собственными частотами, то достаточно достигнуть ортогональ-
ортогональности эксцентриситетов к первой и второй собственным формам:
= 0.)
D7.20)
D7.21)
Выполнение этих условий позволяет устранить вибрации не толь-
только на рабочей скорости, но и при проходе через резонанс при разгоне
и остановке (в связи с ортогональностью возмущающих сил к резони-
резонирующей форме колебаний).
Если для балансировки ротора как жесткого достаточно распола-
располагать балансирующие грузы в двух плоскостях уравновешивания, то
для балансировки на первой критической скорости [т. е. при выпол-
выполнении условия D7.20)] необходимо использовать уже три плоскости
уравновешивания. Это нужно для того, чтобы при установке баланси-
балансировочных грузов не испортить балансировки ротора как жесткого.
Часто вместо балансировки гибких роторов на резонансных обо-
оборотах выполняют балансировку их на рабочей скорости вращения.
В этом случае обеспечивается устранение вибраций на рабочей ско-
скорости, но не ограничиваются амплитуды при проходе через резонанс.
362
Расчет критической скорости вала с учетом гироскопических момен-
моментов. Так как критические скорости вала совпадают с частотами его
собственных колебаний, то для их расчета используются те же общие
методы, что и для расчета изгибных колебаний балок. Единственную
особенность составляет учет гироскопических моментов.
Как было установлено выше, центробежные силы неуравновешен-
неуравновешенных масс вызывают круговые колебания вала, причем изогнутая его
ось вращается со скоростью со в ту же сторону, в которую вращается
сам вал. Таким образом, имеет место прямая синхронная прецессия
(ю — Р)- В этом случае [см. формулу D7.11)] гироскопический мо-
момент, с которым диск воздействует на вал,
и направлен против угла поворота ¦&.
Сравнив эту величину момента с величиной инерционного момента
Мй при отсутствии вращения вала (со = 0), когда
видим, что для определения критической скорости вала с учетом гиро-
гироскопических моментов при прямом вращении можно применять те же
формулы, что и для подсчета собственных частот балок, если подста-
подставлять в них вместо 1\ величины — (/0 — /4).
Некоторые трудности могут возникнуть только при использовании
метода Рэлея или метода последовательных приближений. Так, с уче-
учетом гироскопических моментов в формуле Рэлея обобщенная масса
Ш выражается в виде
ЯТ7 — У m i? _ У (I М й-2 /47 99\
i i
Знак минус перед вторым слагаемым в этой формуле связан с тем,
что гироскопические моменты направлены против углов поворота.
Пользоваться формулой Рэлея можно только в том случае, если вто-
второе слагаемое в формуле D7.22) мало по сравнению с первым (т. е.
влияние гироскопических моментов невелико). Большой удельный вес
второго слагаемого в формуле D7.22) или даже отрицательный знак
Ш свидетельствует о том, что форма колебаний задана неправильно,
и в действительности благодаря влиянию гироскопических моментов
углы поворота Ьь под дисками меньше, чем это принято.
При проведении расчета методом последовательных приближений
в некоторых случаях может быть получено отрицательное значение
р2 (прогибы при нулевом и первом приближениях имеют разные
знаки). Мнимое значение частоты, разумеется, не имеет физического
смысла. В этом случае следует довести процесс приближения до кон-
конца, найти собственную форму, соответствующую мнимому значению
частоты, и затем, используя ортогонализацию, определять форму коле-
колебаний и действительную критическую скорость так, как обычно опре-
определяются высшие формы собственных колебаний (см. § 27).
В некоторых случаях (см. [21]) наблюдались колебания вала при
363
Рис. 47.10
обратном синхронном вращении его изогнутой оси (р --- —со). В этом
случае гироскопический момент
М = G0 + /,) р2»
направлен в сторону увеличения угла {), увеличивает деформации
вала и, следовательно, снижает собственную частоту.
Относительно колебаний, происходящих при обратном вращении
изогнутой оси вала, следует отметить два обстоятельства, снижаю-
снижающие их опасность: во-первых, эти колебания не могут возбуждаться
инерционными силами, вызванными не-
несбалансированностью вала (так как век-
векторы этих сил вращаются в сторону вра-
вращения вала); таким образом, для возбуж-
возбуждения этих колебаний необходимо наличие
внешних возмущающих сил; во-вторых,
колебания при обратном вращении изог-
изогнутой оси вала связаны с весьма большими
потерями на гистерезис. Действительно,
при колебаниях такого рода каждая точка
поперечного сечения вала дважды в течение
одного оборота переходит из растянутой
зоны в сжатую и обратно, что видно из
рис. 47.10, где схематически показаны четыре последовательных
положения поперечного сечения вала (через четверть оборота).
Поэтому в реальных конструкциях обратная прецессия наблюдается
крайне редко. Однако она может возникнуть в случае, если имеется
большая разница жесткости опор вала в двух направлениях (см. [22]).
Устойчивость движения вала. Влияние трения. Необходимость
исследования устойчивости движения вала вызвана тем, что вращаю-
вращающийся вал, соединенный с двигателем, не является консервативной
системой. При определенных условиях энергия двигателя может
переходить в энергию колебаний.
Как показывает опыт эксплуатации турбомашин, явления неустой-
неустойчивости движения в самом деле наблюдаются в практике, особенно
для гибких (т. е. работающих при скоростях больших критической)
роторов. Среди причин, вызывающих неустойчивость движения ро-
ротора, следует отметить внутреннее трение в материале вала, трение
об окружающую среду, движение масляного слоя в подшипниках.
Рассмотрим влияние внутреннего трения в материале вала.
Как известно, влияние внутреннего трения проявляется в том, что
зависимость напряжений и деформаций не является однозначной.
При циклической деформации в координатах е, а описывается замкну-
замкнутая петля гистерезиса, площадь которой соответствует энергии, рас-
рассеиваемой за цикл в единице объема материала.
Проще всего учесть в расчете вязкое трение, т. е. трение, пропор-
пропорциональное скорости деформации. В этом случае связь между напря-
напряжением и деформацией (при одноосном напряженном состоянии) мо-
может быть записана в форме
о =
При циклической деформации (е = е# cos 12 /) рассеянная в едини-
единице объема за цикл энергия
2тг
W = f' о е dt =
о
а коэффициент поглощения
ф = W/U = r.kE Qe] /{Eel/2) = 2nkii.
Если имеется невращающийся невесомый круглый стержень и ка-
какая-либо точка его приводится в движение по заданному закону (на-
Рис. 47.11
Рис. 47.12
пример, точка А на рис. 47.11), то усилия, которые для этого нужно
приложить, легко найти, установив, что форма изогнутой оси при
¦отсутствии и при наличии трения одинакова.
Отсюда следует, что
Pk=c(\+ki); Р7]=~-с{т1 + кг1), D7.23)
где с —жесткость стержня на изгиб.
Формулы D7.23) показывают, что для невращающегося стержня
внутреннее вязкое трение играет такую же роль, как и внешнее тре-
трение; силы трения {ck ? и ckr\) пропорциональны скорости перемещения
нагруженной точки стержня.
Теперь рассмотрим стержень, вращающийся с постоянной скоро-
скоростью со (рис. 47.12). Наряду с неподвижными координатными осями
х, у введем оси ?, г\, вращающиеся вместе со стержнем. В этих осях
стержень можно рассматривать как неподвижный, поэтому для проек-
проекций сил на эти оси справедливы формулы D7.23).
Перейдем от вращающихся координат |, т) к неподвижным х, у:
\ = х cos at -f- у sin otf; tj = — x sin at + у cos at;
X = xcosccrf -f- у sin (d — со (x sin со/ — t/cosco/);
7] = — x sin со/ -4- у coswt — со (x cos со/ -f- у sin at).
364
365
Далее, учитывая, что
Рх = Р^ cosat — Pr sinш^; Р =
получаем окончательно:
sinwt -{- Р coscoZ,
Рх = ex -f- kcx 4- kaay; Ру = су + &с«/ — /гссох. " D7.24)
Рассмотрим некоторые частные случаи формул D7.24).
Статическое нагружение вращающегося вала вертикальной силой
Р (рис. 47.13). В этом случае х ^ 0, у = О, Рх = О, РУ = —Р. Имеем:
У = Г
Р
—
с
D7.25)
Рис. 47.13
Существенно отметить, что
под влиянием внутреннего
трения плоскость изгиба вала
отклоняется от плоскости дей-
действия силы на угол ср [tgcp =
= ka -.= ф/Bя)].
Круговые колебания вала.
Пусть точка А вала движется
по окружности радиусом г с
угловой скоростью р: х =
= rcospt; у — rsmpt. Полу-
Получаем:
Px — cr [cos pt — k (p — со) sin pt];
Py — cr [sin// 4 kip — a>) ccspt].
Проектируя эти силы на направление радиус-вектора г и перпен-
перпендикулярное ему (рис. 47.14), устанавливаем, что для поддержания
такого движения надо приложить радиальную
силу Pi = cr и окружную Р2 = crk(p — со).
Сила Pi — упругая, она в процессе движения
не совершает работы; работа силы Р2 затрачи-
затрачивается на преодоление внутреннего трения. Эта
работа за цикл составляет
W = 2it/-P3=2itcr2% —со).
Заметим, что знак работы W зависит от зна-
знака разности (р — со). Если скорость вращения
со меньше, чем частота круговых колебаний
р, то W>0 и для преодоления сил внутреннего трения требуется
Рис. 47.14
р ру
расходовать работу. Если скорость вращения со больше, чем частота
колебаний, то W < 0 и не только не требуется расходовать работу на
преодоление сил внутреннего трения, но, наоборот, эти силы создают
работу. Разумеется, речь идет лишь о том, что силы внутреннего тре-
трения присо>р превращают энергию вращения вала в энергию его ко-
колебаний.
366
Таким образом, при со < р внутреннее трение способствует устой-
устойчивости движения, а при со>р—неустойчивости.
Заметим, что если скорость вращения со и частота круговых коле-
колебаний р совпадают (как это имеет место при колебаниях, вызывае-
вызываемых неуравновешенностью), то W —0 и внутреннее трение не ока-
оказывает влияния на движение. Причина этого очевидна: если со = р,
то при вращении вала напряжения в его
волокнах не меняются и внутреннее тре-
трение отсутствует (см. рис. 47.15, на ко-
котором схематически показаны четыре
последовательных положения вала через
четверть оборота).
i Г
Рис. 47.15
Рис. 47.16
Если имеется внешнее вязкое трение, то для приведения точки А
вала в движение к ней надо приложить силу, равную произведению
коэффициента вязкого трения а на скорость точки А и направленную
по этой скорости. При круговом колебании (рис. 47.16) эта сила состав-
составляет Р2' = агр.
При наличии как внутреннего, так и внешнего вязкого трения для
поддержания движения нужно приложить окружную силу Р, равную
¦сумме:
Р = Р2+Р'2 = г [ар +Ck(p— со)].
Очевидно, что условием устойчивости движения является неравен-
неравенство Р > 0 или
а. > ck (со —• рIр.
D7.26)
В этом неравенстве под р следует понимать частоту собственных
колебаний системы без трения, так как при граничном значении а пол-
полная сила сопротивления Р равна нулю и трение не влияет на движе-
движение системы.
Формула D7.26) показывает, что движение жесткого вала (т. е.
вала, вращающегося со скоростью, меньшей критической) всегда
устойчиво. Для гибкого вала (со>р) устойчивость движения зави-
зависит от соотношения между внешним и внутренним трением.
Случай невязкого внутреннего трения рассмотрен в книге [11],
там же приведена обширная библиография по этому вопросу.
Неустойчивость ротора в связи с трением в зазорах рассмотрена
367
впервые П. Л. Капицей*. Сущность явления такова. При движении
быстро вращающегося ротора в корпусе турбомашины среда (жидкость
или газ), заполняющая зазоры, увлекается во вращение. При этом
если сместить ротор из центрального положения (рис. 47.17), то в уз-
узкой части зазора скорость vi движения среды будет больше, чем в ши-
Рис. 47.17
Рис. 47.18
рокой части (v2). В связи с этим и силы трения ротора о среду в этих
частях окажутся различными, что приведет к возникновению состав-
составляющей силы трения R, перпендикулярной смещению г.
Как видим, здесь имеет место такое же явление, как и при внутрен-
внутреннем трении. Если сила R больше, чем сила внешнего вязкого трения
при круговом колебании ротора, при котором его центр перемещается
с угловой скоростью р по окружности радиусом г, движение ротора
будет неустойчивым.
Неустойчивое движение такого рода действительно наблюдалось
П. Л. Капицей на специальном приборе, который показан на
рис. 47.18.
Полый алюминиевый диск 2 диаметром 120 мм и высотой 20 мм,
расположенный в кольце/, приводился во вращение двигателем 3. За-
Зазор между диском и кольцом 9 мм, частота вращения диска
7000 об/мин. Диск с моторчиком подвешивался на стержне 6 к диа-
диафрагме 7. Частота собственных колебаний системы относительно
точки подвеса р = 8 с.
Запись колебаний системы производилась фотографически с по-
помощью светового пучка, отражающегося от зеркала 8, прикреплен-
прикрепленного к стержню 6. Демпфирование в системе создавалось с помощью
диска 5, который был прикреплен к стержню 6 и погружен в сосуд
4, наполненный маслом. Сосуд 4 мог опускаться вниз, и таким об-
образом демпфер выключался. Полученные экспериментально траек-
* См.: Капица П. Л. Устойчивость и переход через критические обо-
обороты быстровращающихся роторов при наличии трения.— Техническая физика,
1939, т. IX, вып. 2.
368
тории движения диска при выключенном демпфере и при включении
его представлены на рис. 47.19, а, б.
Из рис. 47.19, а видно, что при выключенном демпфере имело ме-
место спиральное движение, амплитуда которого увеличивалась до тех
пор, пока ротор не начинал ударяться о кожух. При включении дем-
Рис 47.19
пфера центр диска двигался по сходящейся спирали (рис. 47.19, б)
и вскоре колебания прекращались.
Природа неустойчивости, связанной с трением масла в подшипни-
подшипниках скольжения, аналогична.
Критические скорости анизотропно упругих роторов. Рассмот-
Рассмотрим колебания вала, жесткость которого различна в направлении
главных осей поперечного сечения
(вал со снятыми лысками, со шпо-
шпоночной канавкой и т. п., рис. 47.20).
Предположим, что на валу имеет-
имеется одна масса т (рис. 47.21, а).
В этом случае податливость системы
в некотором фиксированном в про-
пространстве направлении является пе-
переменной, так как при вращении
вала с этим направлением совпадает
то ось наибольшей жесткости вала,
то ось наименьшей его жесткости. Очевидно, что за один оборот вала
податливость проходит полный цикл изменения дважды.
Для решения поставленной задачи удобнее всего рассматривать
движение массы т в подвижной системе координат хи yi, вращаю-
Рис. 47.20
a)
А
W//,
Рис. 47.21
369
щейся вместе с валом (рис. 47.21, б). Вращение вала будем считать
равномерным.
Во вращающихся координатах полное ускорение массы т состоит
из центростремительного ускорения, ускорения Кориолиса и ускоре-
ускорения в относительном движении. Проекции ускорения на оси Хи у%
составляют:
/* = *i — ю2*! у
Здесь xit yi — перемещения центра массы в направлениях Х\, у^.
Учитывая, что приложенные к массе силы упругости вала сос-
составляют — CiXt и —с2(/!, где с1 и с2 — жесткости вала в направ-
направлениях xit r/i, можно записать уравнения движения в таком виде:
Щх + CjXj = 0; т\у + c.,^ = 0.
После подстановки значений / приведем' уравнения к такому виду:
= 0;
р\—
;
D7.27)
где Pi — V^Ct/m, р2 = |^c2/m — собственные частоты при колебании
невращающегося вала в направлениях наименьшей и наибольшей
его жесткости.
Решение уравнений D7.27) ищем в форме
xt = aes>, yt = best. D7.28)
Подставим выражения D7.28) в дифференциальные уравнения
D7.27) и сократим на esi. Тогда получим следующую систему урав-
уравнений относительно а и Ь:
(s2+p, — со2) a — 2cos6 = 0,
2cosa -f (s2 + p\ — со2) b = 0.
Эти уравнения могут удовлетворяться при а и ft, не равных нулю
только в том случае, если их определитель равен нулю. Таким образом,
получим следующее уравнение, определяющее характеристический
показатель s:
sH s*(^ + p2 + 2co2) + (р?_со2)Ы-со2) = О.
Отсюда находим значения
pi
Как видно из полученной формулы, оба значения s2 являются
действительными. Положительные значения s2, а значит и s, соответ-
соответствующие неустойчивости движения вала, имеются, если
Pi)
> р\ +
+2со2.
370
Упрощая это неравенство, получаем условие неустойчивости дви-
движения в форме
Это условие выполняется, и движение вала неустойчиво, если ско-
скорость вращения вала со находится между двумя частотами собствен-
собственных колебаний неподвижного вала:
Pi < со < р2. D7.29)
Таким образом, для анизотропно-упругого вала имеется область
скоростей, соответствующих неустойчивому движению.
Если вал расположен горизонтально, то в уравнениях движения
D7.27) кроме сил инерции необходимо учесть силу тяжести mg. Про-
Проекции этой силы на подвижные оси хь yt составляют —mgsinat и
—mgcosat. Уравнения D7.27) с учетом этих сил принимают такой вид:
р\ —
У i +
г/i
= — g sin otf ;
= — g cos at.
D7.30)
Если со не лежит в области неустойчивости D7.29), то движение
устойчиво и стационарное решение неоднородных уравнений D7.30)
можно представить в форме
Xi = A sin со/, уi = В cos со/.
Подставив эти значения в уравнения D7.30), найдем из них:
Л = — g р2~~ ; B = —g Pl~ . D7.31)
Очевидно, что амплитуды колебаний возрастают, если знаменатель
приближается к нулю, т.е. если (о-^-со*, где
со
=v
pi
i)} ,
D7.32)
а р\ и р2 —собственные частоты вала при колебаниях в направлении
наименьшей и наибольшей жесткости. Если жесткости вала в двух
направлениях различаются не очень сильно, то pi л^ р2 и со.,. « р/2.
Таким образом, критическая скорость второго порядка, возни-
возникающая при вращении горизонтальных валов с различной жесткостью
в главных направлениях, примерно вдвое меньше, чем собственная
частота колебаний вала.
Критическая скорость второго порядка, примерно вдвое меньшая,
чем обычная критическая скорость, неоднократно наблюдалась на
практике при вращении горизонтальных валов с различными жест-
костями, в частности при вращении роторов двухполюсных электри-
электрических машин, различная жесткость которых обусловливается нали-
наличием вырезов для обмотки.
371
Из формул D7.31) видно, что для вала с равными жесткостями
критическая скорость второго порядка отсутствует, так как в этом
случае при ю = р/2 одновременно со знаменателем обращается в нуль
и числитель.
§ 48. КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТОК ТУРБОМАШИН
Колебания лопаток турбомашин возникают вследствие неравно-
неравномерного по окружности потока рабочей среды, а также в связи с воз-
возмущениями, вносимыми в поток лопатками направляющего аппарата.
Задачей проектировщика является расчет собственной частоты коле-
колебаний лопатки и выбор такой ее конструкции, чтобы исключить воз-
возможность резонанса.
Лопатка газовой турбины или компрессора представляет собой
стержень переменного сечения, заделанный одним концом. Ось ло-
лопатки обычно является слабо изогнутой пространственной кривой,
но при расчете частоты колебаний можно с достаточной точностью
считать, что ось лопатки прямолинейна и перпендикулярна оси вра-
вращения ротора.
Трудности расчета частоты собственных колебаний лопаток свя-
связаны с необходимостью учитывать влияние центробежных сил и с тем,
что лопатка представляет собой естественно
закрученный стержень, главные оси различ-
различных поперечных сечений которого не парал-
параллельны друг другу.
Закрученная лопатка в процессе колеба-
колебаний испытывает косой изгиб. Установим со-
соотношение между изгибающими моментами и
кривизнами для этого случая. Поперечное
сечение лопатки, расположенное на расстоя-
расстоянии г от оси вращения, отнесем к осям х, у,
направленным соответственно параллельно
оси вращения и по касательной к окружно-
окружности (рис. 48.1).
Главные оси сечения \ и г\ составляют
некоторый угол ср с осями х и у. Площадь
сечения, моменты инерции его, а также угол
Ф являются функциями радиуса г или рас-
расстояния г данного сечения от корневого
сечения лопатки. Положительные направления изгибающих мо-
моментов, приложенных к внутренней части лопатки, свяжем с на-
направлениями х, у, §, 1] правилом правого винта. Изгибающие момен-
моменты относительно осей х, у, ?, ц связаны следующими соотношениями*:
D8.1)
Рис. 48.1
М'\ = — /W*sin cp -f My cos ср.
* Звездочками помечены текущие значения переменных, теми же буквами
без звездочек обозначены их амплитудные значения.
372
Кривизны, отнесенные к главным осям сечения I, т], выражаются
через изгибающие моменты относительно этих осей:
,) • D8.2)
Кривизны, отнесенные к осям х, у, получим проектированием:
xv = xrcos«—х sin со, х„ = хс sin? 4- х cos cp. D8.3)
После подстановки значений х., х^ и выражений моментов М?,
Л1Г, через Мж, Му найдем:
COS2 ср , Sin2 ср \ , »,* / 1 1
EJ.
1
EJ
EJ,
+ М,
sin cp cos cp -f- My
Sin cp COScp;
EJ.
EJ,
В этих равенствах кривизны могут быть заменены их приближен-
приближенными выражениями:
хх = <3V7<3z2; *y-— д2и*/дг\ D8.5)
где и*, v* —смещения центра тяжести лопатки в осевом и окруж-
окружном направлениях.
Перейдем к составлению уравнений движения. На основе принци-
принципа Даламбера рассмотрим динамическое равновесие элемента dz ло-
лопатки в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
На концах элемента возникают внутренние силы — продольная
N, поперечная Qy* и изгибающий момент Мх* (рис. 48.2, а). Кроме
того, к элементу приложена центробежная сила, имеющая вертикаль-
вертикальную pFwVdz и горизонтальную pFiu2u*dz проекции (рис. 48.2, б), а
также сила инерции в относительном движении, равная
Проектируя силы на вертикаль, имеем
diV/dz = — rw2PF.
D8.6)
pFo2vdz
pFa2rdz
Рис. 48.2
373
Сумма проекций на горизонталь
N
4- orpr v* - oF = 0.
dz V dz j s dz ^ dt*
Сумма моментов
dM'Jdz = O'u.
D8.7)
D8.8)
нии:
Уравнение D8.6) позволяет вычислить нормальную силу в сече-
N = со2 Г pFrdz,
D8.9)
которую можно, таким образом, считать заданной. В формуле D8.9)
/ —длина лопатки, а интеграл вычисляется
pFra>2dz от рассматриваемого сечения до свободного
конца лопатки.
Уравнения движения элемента в плос-
плоскости xz (рис. 48.3) имеют такой вид:
dz
dz
dz
dz "v*"
Выражения для смещений и силовых фак-
факторов, соответствующие свободным колеба-
колебаниям лопатки, представим в следующем виде:
и* = и cos pt; v* = v cos pt;
Мх = Mxcos pt; Qx=Qxcospt;
M*,, = My cos pt; Q*y = Qy cos pt.
Тогда получим систему обыкновенных дифференциальных уравне"
ний, состоящую из уравнений динамического равновесия:
Рис. 48.3
dz
= со2 + р2 pFv + iV
dz2
rco2pF
dz
D8.10)
-^- = — p2pF« — iV -— + rco2pF -—
dz dz- dz
dMJdz = Qy; dMy/dz = Qx
и уравнений упругости:
d2a/dz2 = — аМя — ЬМу;
.374
Здесь
= сМх + аМу.
а = [\/(EJ(_) — \/(EJn)] sines cos cp;
с = cos2 <p/( EJi) + sin2 cp/( EJr>).
Полученные уравнения можно записать в матричной форме:
— Х=АХ.
dz
Здесь X—матрица-столбец из восьми элементов:
xi = и; хг — v; х3 = du/dz; xk = dvldz;
хь = Мх; х6 = Му; х7 = Qx; x& = Qy;
А —матрица (8х 8) переменных коэффициентов.
Ненулевые элементы этой матрицы равны:
а13=1; a24=1; а-35 = —а; а36 = —Ь;
«45 = с; а46 = a; a5S = 1; a67 г= 1;
a72 = rco2pF; а7Ъ = Na; а1Ь = Nb;
D8.11)
«82 = (ю2 + P
«84 = —
a86 =
Остальные элементы — нулевые.
Для определения частот собственных колебаний по уравнению
D8.11) может быть использован метод начальных параметров. С этой
целью конструируются четыре линейно независимых решения урав-
уравнения D8.11), удовлетворяющие граничным условиям в сечении 2=0.
Например, для заделанного сечения такие решения могут при 2=0
иметь значения
Xi @) = {0 0 0 0 1 0 0 0};
Х2 @) = {0 0 0 0 0 1 0 0};
Л"з@) = {0 0 0 0 0 0 1 0};
*4@) = {0 0 0 0 0 0 0 1}.
Интегрируя численно уравнение D8.11) при этих начальных ус-
условиях и при фиксированном значении частоты р, находят значения
Хи Х2, Х3, Xi при г = I.
Общее решение X в сечении z = / представляет собой линейную
комбинацию частных решений:
= ВД @ +
(I) + С3Х3 (I)
Граничные условия при z = / (Мх = Му = 0; Qx = Qy = 0)
приводят к системе однородных уравнений относительно Ci,...,C4.
Если при расчете принято истинное значение собственной частоты р,
375
определитель этой системы равен нулю. Это условие позволяет, повто-
повторяя расчет при различных значениях р, определить собственные ча-
частоты. Расчет реализуется на ЭВМ. Можно также использовать для
отыскания собственных частот метод прогонки, изложенный в § 31.
Для применяемых в практике профилей лопаток момент инерции
поперечных сечений относительно одной из главных осей (ось г\) много
больше, чем момент инерции относительно другой оси (ось !•). В этом
наиболее важном практически случае расчет можно существенно
упростить путем пренебрежения изгибом относительно оси т).
Упрощение достигается благодаря тому, что существенным стано-
становится только один изгибающий момент
Mi = Мх cos ср + Му sin cp
и соответствующая кривизна х; — Mi l{EJt ).
Для решения упрощенных уравнений эффективным является метод
последовательных приближений (см. § 27). Применение этого метода
к данной задаче подробно рассмотрено в книге [40].
Успешно может быть использован и метод Рэлея в варианте Грам-
меля. Зададимся изменением кривизны щ по длине лопатки. Тогда
интегрированием уравнений
d2v А-и
хх = = xf cos ср; — х = = — xr sin cp
dz2 ' dz2
можно найти соответствующие смещения:
Z Z,
v=
0 0
2 Z,
и =-- — Г Г х.
6 6
D8.12)
Потенциальная энергия деформации определяется по формуле
1
1 а
Uo = у- j EJ. хг dz,
а обобщенная масса — по формуле
Ш = Г pF (и2 + и2) dz.
D8.13)
D8.14)
Чтобы учесть центробежные силы, нужно дополнительно вычис-
вычислить их потенциал. Предположим, что в процессе колебаний точки оси
лопатки движутся по нормали к недеформированной оси*. Тогда до-,
полнительная деформация удлинения лопатки в связи с изгибом со-
составит
Аи \а , / do \2
dz
е' =
dz
* Как было показано в § 25, выбор той или иной зависимости для продол.
пых перемещений, сопровождающих поперечные колебания, не является сущее'/-1
венным. Мы получили бы те же результаты, допустив, что лопатка нерастяжима.
370
Работа начального усилия N растяжения лопатки на этой дефор-
деформации равна
1
j Nz'dz.
о
Следует также учесть, что при перемещении в плоскости вращения
точки лопатки удаляются от оси вращения
на расстояние v2/Br) (рис. 48.4), что при-
приводит к уменьшению потенциала массы ло-
лопатки и поле центробежных сил на величину
i
о/тсо2 — dz.
6 2г
Таким образом, общее увеличение энер-
энергии
Рис. 48.4
Так как продольная сила в лопатке пропорциональна со2 [см.
формулу D8.9)], то получим окончательно
U,
- i l
— ^1 \\
Ni
dz
I \
—) dz— fpFoMz»
dz / I ,'
' J о J
Nt = Г pFrdz
D8Л5)
D8.16)
— усилие в сечении лопатки при со = 1.
После определения Uo, Ж и иш частота собственных колебаний
лопатки вычисляется по формуле Рэлея:
р2 = 2 (Uo + иш )/Ж. D8.17)
В качестве примера в табл. 48.1 приведено вычисление частоты
собственных колебаний лопатки газовой турбины изложенным мето-
методом. В графах 1...5 приведены исходные данные для расчета, причем
лопатка разбита на 10 участков одинаковой длины по 2,04 см. В гра-
графах 6 и 7 вычисляется продольная сила iV4. Интегрирование здесь и в
остальных случаях выполнено по кольцевой схеме формулы трапеций,
которая пояснена в § 27. В графе 8 приведены ннятые значения кри-
кривизны. Изменение кривизны было задано . формуле
х?= 1—z2//2.
D8.18)
Графы 9... 14 отведены для вычисления углов поворота dv/dz,
uu/dz и перемещений v, и, а графы 15 ... 19 служат для вычисления
интегралов, входящих в выражения Ж, 1/ш, Uo.
14—318
377
iIX
Й,
гы
но
в
ки
уг-
в-
ги.
см.
диа-
379
i б л и ца 48.1
н
1-ОГН
8-01-его'
'гк/Э
I-гЭ-Н
п) 'Л/
t-OI-tZ0'I-«3-H
'z«J d
•-0WZ0'I-w-Jm
:. »-0I-»Z0'I-w
0
'гр jV 1 '= и
г
г-01
SO'I-I
?
г
!-И 'О UIS X
t-OI-fZO'1-и
'zpta \ = а
z
j-01-ZO'I-I
0
'гр 4 sod х J = , n
2
,_w ' А еоэ х
»-о1-гочз-н
г
•zp.yd J = »jv
7
c-OI-JM 'J^d
4 soo
OI-sW-H '/Я
г-01-и '-<
СО
—
1С
со
=
о
о
со
ю
¦ч-
-
53,3
О
о
о
1 О
о
о
0,213
о
о
976
о
—
5,09
221
213
о
976
о
о
00
CS
33
LO
СО
CS
43,4
о
1^
о
о
LO
о
481
о
0,268
ел
1,928
952
о
СП
СП
о
4,63
236
271
о
963
о
24
CS
43
^р
о
со
СП
34,0
г~-
гр
сг>
ю
о
(^
о"
о
CS
063
0,314
со
3,785
905
о
СО
СП
о
4,15
247
327
о
944
о
о
СО
-~
ел
СО
со
^р
со
CS
25,5
10,8
со
о
СО
00
722
—
LO
СО
о
СП
со
5,532
842
о
55
о
3,65
256
379
о
925
о
СО
о
1^
о
со
00
со
со
CS
17,9
18,5
158
оо
о
о
о
00
431
CS
0,364
LO
СП
CS
7,129
755
о
^р
00
о
3,13
263
434
о
900
о
32
о
^р
LO
CS
CS
LO
cs
СО
25,9
189
о
CS
19,6
ю
157
со
0,362
„
45
8,540
656
о
ю
|-~
о
2,60
266
484
о
875
о
00
о
СП
о
CS
со
тр
г^
CS
оо
со
30,8
196
см
-*•
СО
СО
СО
CS
858
СО
0,339
со
со
со
9,738
542
о
3
о
2,07
266
530
о
848
о
^р
о
а>
о
со
—
о
LO
сг>
CS
^р
со
о
со
176
LO
1^
СП
LO
о
30
491
-*¦
0,294
83
10,695
415
о
LO
О
1 ,54
265
576
о
оо
о
о
^р
00
со
—'
со
со
25,2
131
^_
CS
[^
со
LO
39
009
LO
0,224
00
105
11,393
283
о
СО
со
о
1,01
260
621
о
785
о
СО
[^
1^
о
о
00
ю
со
СО
со
о
14,4
о
1^
со
ZI
119
49,
359
ю
0,126
о
129
11,818
CS
о
СП
о
0,50
254
663
о
749
о
CS
г^
00
о
со
о
о
о
о
тр
CS
151
00
60,
485
LO
о
00
152
11,960
о
о
о
244
704
о
710
о
00
ТГ
СО
ю
о
со
со
37
378
В результате расчета получены следующие значения этих инте-
интегралов:
i
= 409 • 1,024 • 2,04 • 10~8 кг-ы2;
= 56 • 1,023 • 2,04 • 10"8 кг-м2;
/ dv
dz
dz = 1108 ¦ 1,023 • 2,04 • Ю"8 H-c2-.v;
j—Ydz = 162- l,023- 2,04- 10-8H-c2-m;
V dz J
:= 171 • 2,04- Ю-2 Н-м.
По формуле D8.17) получаем
1 +(w/434J с.
Полученный результат в точности совпадает с вычисленным для
этой же лопатки методом последовательных приближений (см. [40]),
что объясняется удачным выбором формулы D8.18) для кривизны.
В других случаях ошибка расчета частоты по формуле Рэлея может
достигать 5...7%.
Заметим, что в § 27 был проведен расчет частоты собственных
колебаний незакрученного стержня с такими же размерами сечений,
как в рассмотренном выше примере, и получено значение частоты
р = 578 с. Из сравнения видно, что закрутка лишь несущественно
увеличивает основную частоту собственных колебаний. Поэтому в
первом приближении низшую частоту собственных колебаний лопатки
можно вычислять без учета закрутки.
§ 49. ОСЕВЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ ТУРБОМАШИН
Диски турбомашин представляют собой быстро вращающиеся круг-
круглые пластины переменной толщины. Как указывалось в § 35, интен-
интенсивные колебания диска возникают, когда скорость его вращения сов-
совпадает со скоростью распространения бегущей волны по окружности.
Эти критические скорости вращения определяются по формуле (см.
§35)
ГДе рп
метрах.
14*
• частота собственных колебаний диска при я узловых диа-
379
Таким образом, задача сводится к определению частот собствен-
собственных осевых колебаний диска. При этом практическое значение имеют
колебания, происходящие без узловых окружностей при двух, трех
и четырех узловых диаметрах. Расчет проводится либо с помощью ин-
интегрирования дифференциальных уравнений изогнутой срединной по-
поверхности диска, либо по методу Рэлея—Ритца.
Составим уравнения движения элемента диска переменной толщи-
толщины с учетом начальных напряжений в нем аг, of, обусловленных влия-
влиянием центробежных сил.
Изгибающие и крутящие моменты в сечении диска связаны с его
прогибом w* уравнениями упругости:
¦м-
1 dw*
d-w*
дг
Mf =
D Г d"-w* , J_ dw* д-w* "I .
1_ dr2 ' r E/" r2d^2 J
M%=-D (\-
Рис. 49.1
L rdrdy r2do J
Здесь D = ?A»/[12A — ц*)]—
цилиндрическая жесткость, за-
зависящая от радиуса г.
Положительные направления
моментов показаны на рис. 49.1.
Рассматривая динамическое
равновесие элемента rdrdcp, по-
получаем два уравнения момен-
моментов:
d
и уравнение проекций
* К)
дг
¦ph.
2w*
d2w
dt2
orhr
дМг9
d2w
дг2
¦Qrr =
Лг
.i-*iL|=0.
г дг
Здесь третье слагаемое соответствует силе инерции, а четвертое
и пятое —проекциям начальных напряжений на нормаль к дефор-
деформированному элементу.
Приведенная поперечная сила в кольцевом сечении определяется
равенством
380
Рассматривая колебания диска с п узловыми диаметрами, пред-
представляем переменные в следующей форме:
w* = W cos щ cos pt; Mrf = Mr? sin nw cos pi;
M*r = Mr cos /if cos pt; Qr = Qrcosncp cos pi;
M*f = M,f cos ncp cos pi; Q*f = Q? sin no cos p^;
D9.1)
Тогда получим следующую систему обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений упругости:
MT = —t
-у W — -^
и уравнений динамического равновесия
(гМг*)' + Мг, — пМ, — rQ9 = 0;
(гМтУ —M.f + nMrf — rQr = 0;
(rQT)' + nQ,
orhrW"
Исключим из уравнений D9.3) Qv и введем вместо Qr
D9.2)
D9.3)
Тогда получим:
(гМтУ =
r — 2nMr9;
D9.4)
(rVr)' = ~2—МГ9 + — М9— p2phrW — arhrW" —
Полная система, состоящая из уравнений D9.2) и D9.4), имеет,
так же как и в случае пластинки постоянной толщины, четвертый
порядок. Поэтому для полного определения ее решения достаточно
знать четыре независимые неизвестные при каждом значении радиуса.
В качестве тгких основных неизвестных выберем: xt = W; x2=W;
x3 = rMr; хк = гУг. Остальные неизвестные, входящие с уравнения
D9.2) и D9.4), выражаются через основные по формулам:
Mrf=nD(l-n) (±-W'-±
381
Получаемую в результате исключения из уравнений D9.2) и D9.4)
величин М?, Мг? систему удобно записать в матричной форме:
X' = АХ.
Здесь X—матрица-столбец из четырех элементов:
D9.5)
А — матрица D х 4) переменных коэффициентов. Ненулевые эле-
элементы этой матрицы равны:
а12 = 1; а21 —\хп2/г2; а22 = —ц/r; а23 = — V(rD);
a3i = C -г Ц) A - Ц) пЮ/r2; а32 = - A - ц) A + ц + 2/г2) D/r;
«3J = н^; «34 = i.
а41 = — p^hr + A — i*) B -f /г2 + ц/г") /22D/r3 + /г2 @? — \xar) h/r;
a« = —(i—ia)C + |a) n2?>//-2—a @? — и*г);
а43 = рл2//-2 + haTID.
Решение матричного дифференциального уравнения D9.5) должно
удовлетворять следующим граничным условиям: на внутреннем кон-
контуре, считая посадку на вал или ступицу
жесткими, следует принять равными нулю
прогиб IF и угол поворота W; на наружном
контуре, если он свободен, должны рав-
равняться нулю изгибающий момент Мг и
приведенная поперечная сила Vr.
Для того чтобы учесть взаимодействие
диска с лопаточным венцом, следует ис-
использовать метод динамических податли-
востей. Если не учитывать кручение, то на
лопатку в ее корневом сечении (рис. 49.2)
действуют сила с амплитудой tVr и момент
с амплитудой tMr (t — шаг лопаток).
Под действием этих сил сечение получает амплитудное осевое сме-
смещение W и угол поворота W'. Используя коэффициенты динамиче-
динамической податливости лопатки, можно записать:
W
Рис. 49,2
W = tM,.Dn -I- /l/rD12; - W = tMrD2l + tVrD2i,
D9.6)
где Djj — (i, j — I, 2) — динамические податливости лопатки при
частоте р, причем первое направление соответствует моменту tMr, a
второе — силе tVr (рис. 49.2).
При определении податливостей следует полагать, что корневое
сечение лопатки закреплено от окружных перемещений, и учитывать
растяжение лопатки инерционными силами.
382
Равенства D9.6) представляют собой граничные условия для урав-
уравнения D9.5) на внешнем контуре диска. Решение может проводиться
методом начальных параметров, подобным изложенному в § 48 приме-
применительно к расчету частот собственных колебаний лопаток. В этом
случае расчет выполняется при ряде значений частоты р, причем
устанавливается частота, при которой обращается в нуль определитель
системы, гыражающей граничные условия на внешнем контуре диска.
Весы\:а эффективным является применение метода последователь-
последовательных приближений (см. § 27). Для его использования уравнение D9.5)
записывается в виде
Л — /\\Л. = р /\2Л.. y±j. / f
Здесь Ах — матрица, отличающаяся от матрицы А только отсутст-
отсутствием первого слагаемого в элементе а4); А2 — матрица с единствен-
единственным ненулевым элементом а<2>41 = — phr.
Смысл уравнения D9.7) состоит в том, что прогибы и другие неиз-
неизвестные определяются как результат действия сил инерции интен-
интенсивностью p?phw.
При решении уравнения D9.7) по методу последовательных приб-
приближений каждое следующее приближение определяется как резуль-
результат действия сил инерции, соответствующих предыдущему прибли-
приближению:
X'k
AtXk
D9.8)
На каждом этапе правая часть уравнения D9.8) задана. Также за-
заданы и значения нагрузок на внешнем контуре диска:
(Mr)k+1 =-±-p\ \9FWhzdz-
D9.9)
Здесь Wk ¦— осеЕые перемещения лопатки при k-м приближении,
a z — расстояние текущего сечения лопатки от корневого.
Процесс последовательных приближений начинается с того, что
задаются какая-либо единая для диска и лопатки зависимость W(r)
и произвольная частота р0. Эти значения подставляют в правую часть
уравнения D9.8) и численно (например, методом начальных парамет-
параметров) находят его решение, удовлетворяющее условиям закрепления
на ободе и условиям D9.9) на внешнем контуре. Затем расчет повто-
повторяют. Собственные частоты, соответствующие каждому этапу прибли-
приближений, проще всего определить по формуле
где W(R) — значение амплитудного прогиба на внешнем контуре
диска.
383
Для приближенного (с точностью 5... 10%) определения частоты
собственных колебаний диска используется метод Рэлея—Ритца (см.
§ 26). Применение этого метода к расчету колебаний круглых пластин
переменной толщины подробно рассмотрено в § 36. Здесь мы допол-
дополнительно рассмотрим учет влияния лопаток и поля центробежных сил.
По Рэлею, частота определяется формулой
— 2 A - {i)W" (-у- W- •?- W]| h*rdr.
D9.10)
При вычислении энергии деформации диска Uo можно в большин-
большинстве случаев пренебрегать энергией деформации лопаток и определять
энергию по формуле C6.6):
т.Е
+ 2 A - ц) n2 r/i-
В этой формуле h — толщина диска на радиусе г, а интегрирова-
интегрирование ведется от внутреннего до наружного контура диска. При заданном
профиле диска и заданной зависимости W (г) величина ?/0 определяется
численным интегрированием.
В выражении для обобщенной массы Ж C6.7) должны быть учтены
все части диска. Для удобства вычислений целесообразно массу ло-
лопаток равномерно распределить по окружности, производя расчет для
эквивалентного диска (рис. 49.3), толщина которого в зоне располо-
расположения лопаток определяется равенством
D9.11)
ра-
рагде v — количество лопаток; F — площадь сечения лопатки на
диусе г; рл и р — плотности материала лопаток и диска.
Тогда
= up Г
W2hrdr,
D9.12)
где интегрирование проводится от внутреннего до наружного ради-
радиуса эквивалентного диска.
Величина ?/ш в формуле D9.10) учитывает изменение потенциаль-
потенциальной энергии массы диска в поле центробежных сил, а также работу,
совершаемую при изгибе диска начальными напряжениями аг, а9>
имеющими место в его срединной плоскости.
При изгибе диска точки его срединной поверхности получают
осевые смещения w, а также дополнительные перемещения и, v в ра-
радиальном и окружном направлениях. Перемещения и, v имеют второй
порядок малости по сравнению с w. Дополнительные деформации
срединной поверхности с учетом членов второго порядка составят:
ди
ЬТ
dw 2
дТ
1 ди
ч
384
Увеличение потенциальной энергии деформации диска при изгибе
зависит от начальных напряжений
4?/= jj(arer+a?s?)ftrdrd<p,
ср Г
а увеличение потенциала массы диска в поле центробежных сил
A2U = — f f Zwrdrd?,
где Z = p/irco2 — интенсивность центробежных сил.
Таким образом, суммарное увеличение энергии при изгибе диска
составит
f г
? г
D9.13)
Отметим, что, пока диск не изогнут, напряжения аг и о9 уравно-
уравновешивают нагрузку Z. Поэтому работа системы сил от, а9 , Z на любых
возможных перемещениях в плоскости диска и, в частности, на пере-
перемещениях и, v равна нулю.
Таким образом, первое слагаемое в формуле D9.13) отпадает и
Учитывая зависимость w = W(r)cosn<?, находим
Ua = % j ar(Wfhrdr+ n2-
В выражение 1/ш должны быть также включе-
включены слагаемые, соответствующие изменению потен-
потенциала массы лопаток в поле центробежных сил.
Формально их можно учесть, распространяя инте-
интегрирование в формуле D9.14) на весь эквивалент-
эквивалентный диск (рис. 49.3), если считать, что в части
его, соответствующей лопаткам, av = 0, а
о, = v./V/B*r/z3KB).
Здесь v — число лопаток; N — продольная
сила в лопатке, определяемая по формуле D8.9).
Так как напряжения ог и а,,, вызываемые цент-
центробежными силами, пропорциональны квадрату
угловой скорости вращения, то можно предста-
представить Uш в форме
?/„ = @*1/0,1, D9.15)
где ?/<oi подсчитывается по формуле D9.14), в кото-
рис. 49.3
385
рую подставляются значения напряжений ar, af> соответствующие
скорости со == 1.
Сложность вычислений Uo, Ш и [/м в значительной мере зависит
от того, в какой форме задается координатная функция W(r). Если от-
отношение наружного диаметра диска к диаметру вала велико (Did > 3),
то целесообразно использовать зависимость, предложенную Стодолой,
W =
D9.16)
где s —неопределенный параметр.
Функция D9.16) не удовлетворяет условию отсутствия смещений
на радиусе сопряжения диска с валом, но при больших отношениях
Did это не приводит к заметным ошибкам.
Подставляя выражение D9.16) в соответствующие формулы, полу-
получаем:
¦кЕ
24A
¦ [(s2 — /22J+ 2 A — \i) (s— \)Bn2s—n2—s2)] f/i3r2s-3,
/jr2S+1 dr;
J
D9.17)
«2 (
Здесь ari, av\ — напряжения в диске, вызываемые центробежными
силами при со=1.
Для диска произвольного профиля интегралы, входящие в выра-
выражения D9.17), определяют численно. Вычисления производят при
разных значениях s, и полученные величины подставляют в формулу
Рэлея D9.10). Строят график зависимости p(s). Минимум этого графика
соответствует значению р, наиболее близкому к точному.
Укажем, что значения s, соответствующие минимуму частоты,
растут с увеличением числа узловых диаметров и приблизительно
п — 1 < s < п -\- 1.
Для дисков с отношением Did < 3 можно воспользоваться зави-
зависимостью* W = rs
¦ros, где г0 —внутренний радиус диска.
После того как определена частота р, находят критическую ско-
скорость диска (окр = pin или после подстановки значения р в формулу
D9.10):
i/M
получаем
где
Yi/(na-fi),
в =
* См.: Л ев и н А. В. Рабочие лопатки и диски паровых турбин. М., Гос-
энергоиздат, 1953.
386
Для ориентировки приводим значения коэффициента В для ди,ска
постоянной толщины без центрального отверстия:
п ... 2 3 4
В ... 2,36 4,13 6,IS
ыкрп1ро ¦•¦ 1.56 1,37 1,21
Здесь коэффициент акрп1р0 отражает влияние поля центробежных
сил на критическую скорость диска. Как видно из приведенных дан-
данных, это влияние является значительным.
§ 50. КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
Вводные замечания. Цилиндрическая пружина представляет собой
пространственный (винтовой) кривой брус, и точный расчет ее коле-
колебаний сопряжен с большими трудностями, связанными главным об-
образом с формулировкой граничных условий для системы дифферен-
дифференциальных уравнений движения. Эта система имеет 12-й порядок соот-
соответственно шести степеням свободы, которыми обладает каждое по-
поперечное сечение проволоки. Закрепление же концов пружины обыч-
обычно настолько неопределенно, что записать на каждом конце шесть
граничных условий просто невозможно. Поэтому большей частью
колебания пружины рассматриваются на основе приближенных тео-
теорий, в которых пружина уподобляется прямому брусу, обладающему
теми или иными подходящими свойствами.
Как показывают эксперименты (см. [51]), теории, основанные на
концепции эквивалентного бруса, удовлетворительно описывают те
формы колебаний, при которых в пределах одной волны оказывается
достаточно большое число витков пружины. Погрешности теории
оказываются значительными при расчете коротковолновых колебаний.
Ниже на основе концепции эквивалентного стержня рассматри-
рассматриваются продольные и поперечные колебания пружин. . ц- ^ Pi
Продольные колебания. Предполагается, что при продольных
колебаниях напряженное состояние витков пружины такое же, как и
при статической нагрузке, т. е. что внутренние силовые факторы в се-
сечении проволоки сводятся к одной силе, действующей по оси пружины
и пропорциональной осадке данного ее витка. При этом предположе-
предположении пружину можно рассматривать как эквивалентный прямой брус,
имеющий массу и податливость, равные массе и податливости пру-
пружины.
Масса рабочих витков пружккы с малым углом подъема
т = pF-rDi,
где р —плотность материала пружины; F —площадь поперечного
сечения проволоки; D —средний диаметр пружины; i —число ее
рабочих витков.
Податливость пружины (т. е. осадка ее от единичной силы) опре-
определяется по формуле Рело:
8 = r.D3i/DC),
где С =GJh —жесткость сечения проволоки при кручении.
387
Масса эквивалентного
а его податливость
прямого бруса
т' = то1,
b' = t/{EF)w
(рис. 50.1) составляет
Здесь / — длина бруса; т0 — масса единицы длины; (EFK
б П
жесткость сечения бруса при
)KB
растяжении — сжатии. Приравняв
т = т' и § = 8', придем к соот-
ношениям
'экб
mal =
l/(EFKKB = k
Таким образом, три характе-
характеристики эквивалентного бруса (т0,
I, EF ЭКв) связаны всего двумя со-
соотношениями. Поэтому одну из
них можно задать произвольно.
Примем длину эквивалентного
бруса / равной свободной длине
пружины Я. Тогда
mn = p/
Рис. 50.1
E0.1)
После того как характеристики эквивалентного бруса определены,
для расчета продольных колебаний пружины можно непосредственно
воспользоваться формулами § 17. Так, например, если концы пру-
пружины закреплены (рис. 50.1), то частоты собственных колебаний
определяются формулой
ph = fe
P) = kB/i)VC/(PFD%
E0.2)
где k=\, 2, ...
Легко видеть, что длина Я = / эквивалентного бруса в оконча-
окончательную формулу не входит и ее выбор в самом деле произволен.
Для пружины из круглой проволоки
С = GJ = G«dV32; F = icdV4
E0.3)
Для стали, полагая G =7,85-1010 Па и р = 7,85-103 кг/м3, на-
находим низшую угловую частоту колебаний (k =1):
где d и D следует брать в метрах.
Нетрудно, пользуясь данными § 17, определить частоты собствен-
собственных колебаний пружины и при других граничных условиях, в част-
частности если пружина колеблется вместе с прикрепленным к ее концу
грузом.
388
Вынужденные колебания пружины чаще всего возбуждаются кине-
кинематически, так, например, как показано на рис. 50.2. Здесь нижний
конец пружины закреплен неподвижно, а верхний связан с кулачком
и совершает заданное периодическое движение с периодом т. Переме-
Перемещение хп этого конца пружины можно представить в виде ряда Фурье:
^H=c0+c1sinK+ ?1) + c2sinBu)* + cp2) + ..., E0.4)
где со = 2я/т, а коэффициенты с известны.
Решение дифференциального уравнения (см.§ 17)
продольных колебаний эквивалентного пружине бруса
дх LEjH — о \пг —
<Эга a2 dt* l —
ищем в форме
оо
х (г, t) = щ (г) + У и3 (г) sin (у
Jmn
?/)•
E0.5)
E0.6)
Подставляя это выражение в уравнение E0.5),
получаем для каждой из функций ыДг) обыкновен-
обыкновенное дифференциальное уравнение
и) + O'W/a8) uj = 0,
откуда и0 = boz + е0; щ = b3 sin {jaz/a) + е3 cos (Jaz/a).
Так как конец пружины 2 = 0 закреплен, то е3 = 0 (/ = 0, 1,2...)
и перемещение любой точки пружины имеет вид
х (г, t) = boz + ^ bj sin (/сог/а) sin (jat + cpy.).
В частности, для нагруженного конца пружины z = H получаем
оо
х(Н, t) = ЬМ + 2 bj sin (jaH/a) sin(/cof + ?;).
Сравнивая это выражение с формулой E0.4), находим:
sin ЦшН/a)
Таким образом, перемещение любой точки пружины при задан-
заданном законе E0.4) движения ее конца определяется выражением
sin — sin l
а
f —
sin [2 — ) sin Bd)t -J- <p2) •
E0.7)
sin BюЯ/а)
Если sin (/ш///а) обращается в нуль, то соответствующий член в
389
формуле E0.7) неограниченно возрастает. Резонанс имеет место,
если частота гармонической составляющей перемещения конца пру-
пружины
/со = kr.a/H = k~ V (EF),KB/(m0H2) ,
где k — целое число, т. е. если эта частота совпадает с одной из
собственных частот пружины с закрепленными концами [см. фор-
формулу E0.2)].
При непериодических продольных воздействиях на пружину (на-
(например, ударных) можно успешно использовать волновые методы
расчета типа описанных в § 22 (см. также [40], гл. X).
Поперечные колебания. При рассмотрении поперечных колеба-
колебаний цилиндрической пружины пружина также заменяется эквивалент-
эквивалентным брусом. При конструировании модели эквивалентного бруса не-
необходимо учесть, что в деформациях пружины существенную роль
играют перпендикулярные ее оси (поперечные) силы, вызывающие
изгиб витка в своей плоскости. Следует также иметь в виду, что про-
продольная сила в пружине при повороте ее витков в процессе колебаний
также получает составляющую, лежащую в плоскости витка. Кроме
того, необходимо учитывать моменты инерционных сил при повороте
витка.
Итак, схема эквивалентного бруса для расчета поперечных коле-
колебаний пружины должна учитывать деформацию бруса поперечными
силами, инерцию поворота сечений и влияние продольной силы.
В § 18 были получены уравнения
поперечных колебаний прямого бруса
с учетом деформаций сдвига и инер-
инерции поворота.
Теперь дополнительно следует
учесть продольную силу.
Как и в § 18, положение каждого
поперечного сечения эквивалентного
бруса (соответствующего витку пру-
пружины) будем характеризовать сме-
смещением х и углом поворота •&. В се-
сечении действуют сила N, направлен-
направленная по нормали к плоскости сечения, поперечная сила Q, лежащая
в плоскости сечения, и изгибающий момент М. Рассматривая ди-
динамическое равновесие элемента dz бруса (рис. 50.3), получаем
уравнения:
Рис. 50.3
SOL ¦ о — = o- dQ
dz ^ dz ' dz
dz
-21-«^=0; E0.8)
dz
dl*
Здесь m0 — интенсивность массы эквивалентного бруса, а (pJKKB —
интенсивность ее момента инерции.
Следует пояснить происхождение слагаемого N(dxldz —¦&) в по-
последней формуле. Так как силы N приложены перпендикулярно пло-
390
скости сечения, они составляют с касательной к оси бруса углы
(dxldz — Ь), поэтому сила N, приложенная к левому сечению, имеет
(с точностью до малых второго порядка) плечо dz(dx/dz —О) относи-
относительно центра правого сечения элемента.
Изгибающий момент и поперечная сила связаны с перемещениями
уравнениями [см. уравнение A8.21)]
М = АдЬ/дг; Q = A1(b — dx/dz). E0.9)
Здесь А и Ai —жесткость эквивалентного бруса соответственно при
изгибе и при сдвиге. Подставляя значение Q из уравнения E0.9) в пер-
первое из уравнений E0.8), находим
dz
dz
dz
При малых перемещениях правая часть этого равенства представ-
представляет собой малую второго порядка и можно полагать N = const = Р,
где Р —¦ начальное натяжение пружины.
Система уравненийE0.8) и E0.9) после исключения М и Q приво-
приводится к виду
д*х щ_ ?х_ = Л Р_\ _?»_ .
dz* Ал dt* \ Ал, j dz '
E0.10)
__^(i м w — дХ
dt* ~
р
dz
В эти уравнения входят четыре характеристики эквивалентного
бруса: то, (р^)экв' ^> ^i-
Массу единицы длины эквивалентного бруса т0 найдем, разделив
массу одного витка пружины на ее шаг НИ (при расчете поперечных
колебаний под Н понимается длина пружины деформированной си-
силой Р):
mo = ?r.DFi/H. E0.11)
Здесь F — площадь поперечного сечения проволоки.
Точно так же определяем интенсивность момента инерции массы
эквивалентного бруса:
E0.12)
в Я/г ' 8Я
Жесткость эквивалентного бруса при изгибе А найдем, рассмотрев
чистый изгиб пружины моментом М (рис. 50.4). Под действием мо-
момента М в сечении любого витка, составляющем угол ср с плоскостью
момента, возникают крутящий момент yVbip = M cos? и изгибающий
момент Мп = Msincp. (Угол подъема пружины считается малым.)
Прикладывая теперь единичный момент по направлению М, опре-
определим вызываемые им единичные силовые факторы:
МкР = cos ср; Мп = sin ср.
391
Угол поворота нагруженного моментом торца пружины найдем
с помощью интеграла Мора:
Wkp<p , Мпм'п
С ' Вп
Здесь С = GJf,, Ва = EJn — крутильная жесткость сечения прово-
проволоки и жесткость его при изгибе относительно нормали к винтовой
линии (рис. 50.5).
Приравнивая полученную величину угла
поворота углу поворота торца эквивалент-
эквивалентного бруса длиной Н с жесткостью Л:
находим
E0.13)
При нагружении витка пружины в СЕоей плоскости поперечной
силой Q (рис. 50.6) в сечениях витка возникает изгибающий момент
Мь = (QD/2) sin ф
и прогиб пружины в связи с таким нагр ужением одного витка составит
X =
Bb
2[: QD . D . D , „
——sin ср — sin ф — dcp = Q
.' 2 Y 2 T 2
где Бь = ?У4 ^.жесткость сечения проволоки при изгибе относи-
относительно бинормали b к винтовой линии (см. рис. 50.5).
В аналогичных условиях вызванная сдвигом деформация участка
эквивалентного бруса, соответствующего одному витку, составит
Приравнивая дна значения Я, находим
Ai = 8HBb/(TzD4). E0.14)
Формулы E0.11)...E0.14) дают возможность вычислить характе-
характеристики эквивалентного бруса, которые затем должны быть подстав-
подставлены в уравнения E0.10).
392
Для нахождения частот и форм собственных колебаний пружины,
как обычно, полагаем:
х (z, t) = ux (z) cos pt; Ь (г, f) = щ (г) cos pt.
Подставляя эти зависимости в уравнения E0.10), получаем систе-
систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно и\ и ы2:
«I + (molt/Ad «1 — A — Р/Лд и2 = 0;
{AJA) A - Р/Ад и[ + и2+ [(рЧА) (?JKKB - (AJA) A - Р/Л,)] «г = 0.
E0.15)
Этой системе соответствует характеристическое уравнение
= 0,
(AJA) A - Р/Ад s s2 + (рУА) (pJKKB - {AJA) A - Р/А{)
или в развернутом виде
E0.16)
где
- (Р/Л) A - Р/А,)\;
E0.17)
Четыре корня характеристического уравнения равны:
s1>2 = ±а К—1 ; s3A = ± Р,
где
4 + /г4 + т2; ? = ]/]/ mi - /г4 — т2 . E0.18)
Соответственно полученным значениям корней характеристиче-
характеристического уравнения общие выражения для функций uj, ы2 имеют такой
вид: i
щ — Cj cos o.z + С2 sin аг + С3 ch ^г + С4 sh Зг;
«2 =
?2 ) (С3 sh аг -f C4 ch Зг)] , E0.19)
где Ci,...,C4—постоянные, определяемые из граничных условий.
На шарнирно опертом конце пружины (например, крепление при-
прицепа пружины растяжения) условие отсутствия прогиба и момента
приводит к равенствам
и{ = 0; d«2/dz = 0.
E0.20)
393
На заделанном конце пружины (например, торец пружины сжатия)
равны нулю прогиб и угол поворота: ы4 =0, и2 = 0.
Наконец, на свободном конце пружины условия отсутствия из-
изгибающего момента и поперечной силы приводят к требованиям
dujdz = 0; dujdz — ы2 = 0.
Таким образом, при любом закреплении концов пружины гра-
граничные условия могут быть записаны в виде четырех однородных ли-
линейных уравнений относительно Ci,...,C4.
Равенство нулю определителя этой системы позволяет найти
собственные частоты.
Для пружины, шарнирно закрепленной по концам, граничные
условия E0.20) могут быть выполнены, если в общем решении E0.19)
удержать единственную постоянную С2 и принять
Тогда
аН = Ы (k = 1,2, ...).
E0.21)
и, = —
1
*(l-P/A1)
Для определения частот подставим значение а из уравнения E0.18)
в равенство E0.21). Тогда при k = 1 получим
и далее с учетом значений шил из уравнения E0.17) имеем
Уравнение частот E0.22) можно, подставив в него значения
А, Аи т0, (р^)экв' записать в виде
Ро
5)+'+*¦??('-?)-»•
где р0 = и2 |Л4/(то#4)—частота колебаний, вычисленная без учета
продольной силы, сдвигов и инерции поворота витков;
впс
,; *2 = тг i +
2 Bb(Bn+C)' 8 |/ ' Дй(Д„+С)
4 BftE»+C)
¦]¦¦
г Определение частот из биквадратного уравнения E0.23) не пред-
представляет затруднений.
В случае пружины из круглой проволоки
Вп = Bb = EJ- С = GJp; В/С = EJ/(GJp) = 1 + |*.
394
Приняв р, = 0,3, найдем
Bb{Bn + C) 2+у. 2,3 •
В этом случае fet = 1,32; k2 = 2,31; k3 --= 0,932.
На рис. 50.7 представлены полученные по уравнению E0.23) за-
зависимости отношения р/р0 от величины продольной нагрузки. Эти
зависимости соответствуют низшей частоте колебаний для пружин
с отношением HID =1; 2; 3 (Н —
высота пружины, деформирован-
деформированной силой Р).
Из графика видно, что при от-
отсутствии продольной силы (Р = 0)
частота собственных колебаний
пружины значительно ниже, чем
частота р0, вычисляемая без учета
сдвигов и инерции поворота витков.
При растяжении пружины
(Р > 0) частота собственных ко-
колебаний увеличивается, а при сжа-
сжатии (Р < 0)—уменьшается. Обра- '-^—^г. J±—lj—t—[ -r- 'P
щение частоты в нуль свидетельст-
свидетельствует о неустойчивости пружины.
Очевидно,что нулевая частота по- Рис- 50.7
лучается при значении Р = —Ркр,
обращающем в нуль свободный член уравнения E0.22):
тМ А, {
Определение частот собственных поперечных колебаний пружин
при закреплении концов, отличном от шарнирного, приводит к не-
необходимости решать трансцендентные уравнения [2].
1
1 1
1
j
р\
Ро\
и
/X
|!
0 0,2
Растяжение '
§ 51. ПРИНЦИПЫ ВИБРАЦИОННОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Вводные замечания. Рабочий орган вибротранспортной машины со-
совершает циклическое движение, причем в конце цикла он оказывает-
оказывается в том же положении, что и в начале, транспортируемый же груз
при каждом цикле продвигается вперед. Такой эффект возможен толь-
только в существенно нелинейной системе. Источником нелинейности в
вибротранспортных системах является сухое трение.
Вопросы теории вибрационного перемещения детально рассмотре-
рассмотрены в монографии [8]. Там же приведена подробная библиография.
В настоящем параграфе излагаются лишь принципы работы вибро-
вибротранспортных устройств при горизонтальной транспортировке. При
этом совершенно не затрагиваются вопросы устойчивости стационар-
стационарных режимов движения.
395
Вибротранспортировка при постоянном давлении. Имеются два
основных типа вибротранспортировки — с постоянным нормальным
давлением груза на рабочий орган и с переменным давлением (с под-
подбрасыванием). Рассмотрим сначала первый тип транспортировки.
Груз (рис. 51.1) лежит на плоскости рабочего органа машины,
который совершает горизонтальные колебания. Груз прижат к пло-
плоскости силой тяжести mg, а горизонтальное движение груза вызывает-
вызывается силой трения, которую будем считать подчиняющейся закону Ку-
Кулона. В соответствии с этим законом сила трения по абсолютной ве-
величине не может превзойти \itng, где ц — коэффициент трения (для
простоты не будем различать трение покоя и трение движения).
Поэтому горизонтальное ус-
ускорение груза не может прев- i 1
зойти по абсолютной величи- ! |
не iig. I I'
Если рабочий орган движет-
движется с большим ускорением, обя-
обязательно имеет место про-
проскальзывание. Так как требуется передвигать груз вперед (на
рис. 51.1 слева направо), то, очевидно, целесообразно, чтобы
при отрицательных ускорениях рабочего органа имело место
проскальзывание. Поэтому отрицательные ускорения рабочего органа
(т. е. его замедление) должны по абсолютной величине превышать
Hg. Наоборот, при положительных ускорениях проскальзывание не-
нежелательно, поэтому здесь ускорение должно быть меньше pg.
Простейший закон изменения скорости рабочего органа, удовлет-
удовлетворяющий этим условиям, показан на рис. 51.2, а сплошными ли-
линиями. Здесь рабочий орган движется с постоянным замедлением
ji>U-S B течение времени /(ис ускорением /г<(х§' в течение времени
t2. Из условия периодичности движения следует:
Puc. 51.1
a) v\
/А == ]
== '2
1
J
--
--
¦—
чие. 51.2
Соответствующий закон изме-
изменения ускорения рабочего орга-
органа показан на рис. 51.2, б.
Таккак/!>ц?, в течение вре-
времени ti имеет место проскальзы-
проскальзывание и груз движется с замед-
замедлением ng, что показано штри-
штриховой линией АВ на рис. 51.2, а.
В точке В скорость груза ока-
оказывается больше, чем скорость
рабочего органа, скольжение
продолжается и груз движется
с тем же замедлением, пока в
точке С скорости груза и рабо-
рабочего органа не выравняются.
Далее (линия CD) груз движет-
396
ся вместе с рабочим органом с ускорением /2. В точке D снова начи-
начинается скольжение, и процесс повторяется.
График изменения ускорений груза показан на рис. 51.2, б штри-
штриховой линией; вне этого участка он совпадает с графиком ускорений
рабочего органа.
Перемещение груза за цикл определяется интегрированием ско-
скорости. Так как перемещение рабочего органа за цикл равно нулю,
¦то существенно лишь относительное перемещение, которое выражает-
выражается площадью S треугольника АСЕ. Определяя абсциссу точки С,
находим
к)-
Площадь треугольника АСЕ
ЕВ
н
Учитывая, что ^ = '/2/(/i + /¦>). где т = ^-М2— период колеба-
колебаний рабочего органа, находим
/i —W
/i + h
Чтобы установить предельно возможное перемещение груза за
цикл, заметим, что предельное значение /2 составляет \xg (иначе будет
проскальзывание). Поэтому
(при j2 = ]ig и /У/г-хэо).
Среднюю скорость перемещения ..груза v найдем, поделив 5 на
v = V2 /2т/2/(/2 + <xg); umax = i
(/2 = № /i-»-oo). E1.1)
Из полученных зависимостей видно, что скорость перемещения
груза возрастает с .увеличением периода качаний рабочего органа
(т. е. со снижением их частоты). При этом, конечно, ход рабочего
органа
s = }/х 18 + j/2 /8 я*[х?т2/8
быстро возрастает.
Поэтому качающиеся конвейеры, в которых используется рассмот-
рассмотренный способ перемещения груза, —машины с большим ходом и
малым числом ходов в единицу времени. Они приводятся в движение
с помощью кулисных или кулачковых механизмов, осуществляющих
закон движения, близкий к рассмотренному выше.
Заметим, что условие /2 < \ig, использованное нами выше, не
является обязательным. При наличии несимметричного закона дви-
движения (/i Ф /2) транспортировка будет осуществляться и в случае
J2>\ig> однако в этом случае расход энергии на транспортировку уве-
397
дичится, так как груз будет проскальзывать по рабочему органу не
только вперед, но и назад.
Для этого случая графики изменения скоростей и ускорений ра-
рабочего органа (сплошные линии) и груза (штриховые) показаны на
рис. 51.3. Нетрудно установить, что время, определяющее момент
изменения знака относительной скорости груза,
д _ * h — V-g
а средняя скорость транспортировки груза
скорость максимальна при /V/i-*-0:
E1.2)
Сравнение формул E1.2) и E1.1) показывает, что использование
ускорений /2, превышающих
=4
нецелесообразно, так как скорость
транспортировки не увеличивается,
а расход энергии повышается.
Вибротранспортировка с подбра-
подбрасыванием. Если в качающихся виб-
вибротранспортерах асимметрия движе-
движения, которая и дает эффект транс-
транспортирования, достигается за счет
различия ускорений /4 и /2, то в ма-
машинах с подбрасыванием асимметрия
связана с тем, что направление виб-
вибраций рабочего органа составляет
п
Рис. 51.3
Рис. 51.4
некоторый угол с горизонталью.
Рассмотрим основные зависимости, характерные для этого вида
транспортировки.
Ограничимся наиболее важным практическим случаем, когда рабо-
рабочий орган движется по гармоническому закону. В этом случае верти-
вертикальная и горизонтальная составляющие его движения определяются
формулами
г/^ajsinco/; х = a2sm(i>t, E1.3)
где Gj — asina; a2 = acosa, a — амплитуда колебаний рабочего ор-
органа (рис. 51.4).
Закон вертикального движения транспортируемого груза можно
398
рассматривать независимо от закона его горизонтального движения.
Предположим, что удар груза о рабочий орган является неупругим,
будем также считать, что в течение некоторого времени груз лежит
на рабочем органе.
Тогда отрыв груза от рабочего органа будет иметь место в момент,
когда вертикальное ускорение последнего по абсолютной величине
станет равным ускорению силы тяжести:
E1.4)
E1.5)
Далее рабочий орган продолжает двигаться по закону E1.3), а
груз совершает свободный полет в соответствии с уравнением
— y^a^sinat^g.
Из этого условия находим момент отрыва груза:
to ti = arc s
Здесь
уд =
1=g/(o2; г/0= aia>cosait1
— смещение и скорость груза в момент отрыва.
Момент t2 обратного падения груза на рабочий орган можно найти
из уравнения у = уг или
= gla? -f- (t.z — ^) a, to cos ш/j — g(t2 —
E1.6)
Уравнение E1.6) можно упростить, введя безразмерный коэффи-
коэффициент режима вибрации
k = alti>Vg
и обозначая
at 2 — u>tl = Ъю.
Тогда уравнение E1.6) получает вид
sin (u>ti 4- 2w) = sin ati 4- 2w cos ati — 2ш2 sin atv
Отсюда находим
E1.7)
— sln2
Уравнение E1.8) позволяет, задаваясь значениями w, вычислять
соответствующие пары значений со^4 и (i>tz.
На рис. 51.5 показаны полученные таким образом зависимости
tiiti и <в/2 от коэффициента k — afi> 2/g = l/(sinco^t).
Очевидно, что принятая гипотеза о том, что груз в течение некото-
некоторого времени находится в контакте с рабочим органом, может вы-
выполняться только в том случае, если t2<ti + 2л/а. По формуле
E1.8) вычисляем соответствующее значение tgco^* = 1/л. Отсюда
следует, что режимы рассматриваемого типа возможны только при
значениях коэффициента режима вибрации k, лежащих в пределах
399
В осуществляемых конструкциях виброконвейеров обычно при-
принимают 2<&<2,8, так что сделанное предположение выполняется.
Заметим, что при /г>3,3 реализуется режим движения груза с
непрерывным подбрасыванием, детально рассмотренный в книге [8].
Графики вертикального движения рабочего органа (сплошная ли-
линия) и груза (штриховая) при сделанных предположениях имеют вид,
показанный на рис. 51.6.
Рассмотрим теперь горизонтальное движение груза, пренебрегая
сопротивлением среды. Прежде всего установим те интервалы време-
времени, в течение которых возможно совместное горизональное движение
груза и рабочего органа.
Если груз находится в контакте с рабочим органом, то величина
нормального давления (отнесенного к единице массы) составляет
g -(- у = g — ai (u2 sin at
(} — вертикальное ускорение рабочего органа).
2,0
1,5
1,0
0,5
с
к.
/Г
ft,
<^
u)t2
1
/ 1,5 Z 2,5 3 к
Рис. 51.5
/л \ /л
/ \ у \
Рис. 51.6
Горизонтальное ускорение рабочего органа составляет —a2orsinat.
Совместное горизонтальное движение груза и рабочего органа воз-
возможно только при условии
со2
< l* (g — at
т. е. если sinatf лежит в пределах
— „ 7,..„\ , < sin at < -
E1.9)
Соответствующие границы можно нанести на график движения
рабочего органа. На рис. 51.7, а, на котором изображен график гори-
горизонтального движения рабочего органа, область значений смещения,
удовлетворяющих неравенствам E1.9), заштрихована.
ЕНтечение времени полета ti<^t<^t2 груз имеет постоянную го-
горизонтальную скорость v0. В момент t2 он ударяется о рабочий орган
и находится в контакте с ним до нового отрыва при t — t\ -f- 2л/со.
400
Так как при периодическом движении горизонтальная скорость
груза в момент отрыва снова равна v0, очевидно, что суммарный го-
горизонтальный импулЪс, получаемый грузом за время контакта, равен
нулю. Это условие вместе с гипотезами о характере горизонтальных
сил взаимодействия между грузом и рабочим органом конвейера при
ударе позволяет определить скорость v0.
Предположим, что при ударе для сил трения справедлив закон
Кулона, и тогда получаемый грузом горизонтальный импульс не пре-
превышает величины вертикального импульса, умноженного на коэффи-
коэффициент трения. Поэтому изменение горизонтальной скорости груза
при ударе ограничено величиной
\v0 — a2co cos со^а| < г*;
cosat2 -\- g(t2 — tt) — aiu>cos(otl].
E1.10)
Если у* больше, чем разность горизонтальных скоростей груза
и рабочего органа в момент соударения, то происходит выравнивание
i"
^
t2 t3 '4,
Рис. 51.7
+ 2Ж
CO
скоростей. Если при этом точка удара Кг попадает в область, где воз-
возможно совместное движение, то груз и далее движется совместно с
рабочим органом до начала относительного скольжения в точке /Сз-
Начиная от этой точки груз замедляется силами трения, пока при
t = tx -f 2я/со не начнется снова полет с горизонтальной скоростью
v0. Эту скорость нетрудно подсчитать, исходя из следующих сообра-
соображений.
В точке /Сз
401
Горизонтальная скорость груза в этот момент (равная скорости
рабочего органа) составляет
vK = йй2 cosat3.
Далее от точки /С3 до точки Ki(t = ti + 2я/м) груз замедляется
силой трения, пропорциональной нормальному давлению.
Поэтому
(g — ajto2 sin at) dt;
E1.11)
v0 =
— cos to/,)].
Определив по этой формуле v0, нетрудно проверить, выполняется
ли неравенство E1.10).
Итак, на интервале ti<^t<^t2 истинная скорость равна v0, на
интервале t2<t<it3 скорость груза совпадает со скоростью рабочего
органа, а на интервале t3<^t<cti + 2я/со скорость груза определяет-
определяется выражением E1.11), но с переменным верхним пределом интегри-
интегрирования.
Примерный график изменения скорости груза показан на
рис. 51.7, б.
На основе этой зависимости можно рассчитать среднюю скорость
груза (очевидно, она мало отличается от скорости его в момент tt).
Подсчет средней скорости по указанной схеме является несложным,
но довольно громоздким. Вместе с тем результаты его вряд ли могут
претендовать на большую точность в связи с неопределенностью фи-
физических предпосылок (отсутствие сопротивления, справедливость
закона Кулона при ударе, одинаковость коэффициентов трения покоя
и движения).
Вместе с тем расчет позволяет установить основные параметры,
от которых зависит средняя скорость перемещения, —это прежде
всего горизонтальная скорость рабочего органа, величина k =-- a^lg,
определяющая моменты /4 и t2, коэффициент трения ц, от которого
зависит момент t3; кроме того, сопротивление перемещению груза
зависит от его природы (дисперсность, плотность и т. п.).
Поэтому в практике используется следующая приближенная фор-
формула для скорости транспортирования:
Легко видеть, что величина а2со 11 — 1§/(а4«2)]2 представляет
собой горизонтальную скорость рабочего органа в момент t{. Поп-
Поправочный коэффициент kt, определяемый экспериментально, зависит
от вида транспортируемого груза.
Для зернистых и кусковых материалов &4 = 0,7—1, для порошко-
порошкообразных и пылевидных материалов ki — 0,2—0,5.
Ли т ер а т ур а
1. Бабаков И. М. Теория колебаний. 2-е изд. М., 1965.
2. Выдержан В. Л. Поперечные колебания пружин. — В кн.: Расчеты на
прочность, вып. 8. М., 1962.
3. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М., 1977.
4. Бидерман В. Л., Милюкова Р. П. Усилия и деформации при продоль-
продольном ударе. — В кн.: Расчеты на прочность. 1959. Вып. 10.
5. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных
задач. М., 1956.
6. Бисплингхофф Р., Эшли X., Халфман Р. Аэроупругость/Пер, с англ. М.,
1958.
7. Бицено К-, Граммель Р. Техническая динамика/Пер. с нем. Т. 2. —¦ М.:
ГТТИ, 1952.
8. Блехман И. И., Джанелидзе Г. Ю. Вибрационное перемещение. М., 1964.
9. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
теории нелинейных колебаний. М., 1960.
10. Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем. М., 1956.
11. Болотин В. В. Неконсервативные задачи упругой устойчивости. М.,
1961.
12. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при колебаниях упругих
оболочек. — Изв. АН СССР. ПММ, 1960, т. 24, № 5.
13. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях
пластинок: Инженерный сборник, т. 31. М., 1961.
14. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике. М.,
1965.
15. Венпщель Е. С. Теория вероятностей. М., 1964.
16. Голоскоков Е. Г., Филиппов А. П. Нестационарные колебания механи-
механических систем. М., 1966.
17. Гольдсмит В. Удар /Пер. с англ. М., 1965.
18. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластинок и оболочек. М., 1964.
19. Гродко Л. Н. О малых колебаниях механических систем, обладающих
круговой симметрией. — Инженерный журнал. МТТ, 1967, № 1.
20. Гуров А. Ф. Расчеты на прочность и колебания в ракетных двигателях.
М., 1966.
21.- Ден-Гартог Дж. Механические колебания /Пер. с англ. М., 1960.
22. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., 1959.
23. Дондошанский В. К- Расчет колебаний упругих систем на электронных
вычислительных машинах. М.-Л., 1965.
24. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике/Пер. с англ. М., 1975.
25. ИвовичВ. А. Переходныематрицыв динамике упругих систем. М., 1969.
26. Инженерные методы исследования ударных процессов. IБатуев Г. С,
Голубков Ю. В., Ефремов А. К., Федосов А. А. 2-е изд. М., 1977.
27. Иориш Ю. И. Виброметрия. М., 1964.
28. Кильчевский Н. А. Динамическое контактное сжатие твердых тел. Удар.
Киев, 1976.
29. Коловский М. 3. Нелинейная теория виброзащитных систем. М., 1967.
30. Кольский Г. Волны напряжений в твердых телах/Пер. с англ. М., 1953.
31. Кононенко В. О. Колебания систем с ограниченным возбуждением. М.,
1964.
403
32. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики, т. 2. М.,
1955.
33. Мандельштам Л. И. Лекции по колебаниям. М., 1972.
34. Пановко Я- Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.,
1960.
35. Пановко Я- Г. Основы прикладной теории упругих колебании и удара.
3-е изд. М., 1976.
36. Пановко Я- Г. Введение в теорию механического удара. М., 1977.
37. Пановко Я- Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих
систем. 2-е изд. М., 1967.
38. Постное В. А., Хархурим И. Я- Метод конечных элементов в расчетах
судовых конструкций. Л., 1974.
39. Прочность, устойчивость, колебания: Справочное руководство: В 3-х т.
Т. 3. М., 1968.
40. Расчеты на прочность в машиностроении IПономарев С. Д., Бидерман
В. Л., Лихарев К. К- и др.: В 3-х т. Т. 3. М., 1959.
41. Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А. Прочность при интенсивных кратко-
кратковременных нагрузках. М., 1961.
42. Рэлей. Теория звука. В 2-х т. Т. 1. М., 1955.
43. Светлицкий В. А., Стасенко И. В. Сборник задач по теории колебаний.
М., 1979.
44. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем. М., 1976.
45. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функции.М.,
1968.
46. Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных ма-
машин. М., 1963.
47. Случайные колебания /Под ред. С. Кренделл; Пер. с англ. М., 1967.
48. Смольников Б. А. Расчет свободных колебаний замкнутой рамной систе-
системы с циклической симметрией. — В кн.: Динамика и прочность машин. — Тру-
Труды ЛПИ, № 210. М. — Л., 1960.
49. Статика и динамика сбслочечных конструкций ,'Кармишин А. В., Ляс-
ковец В. Н., Мяченков В. Н-, Фролов А. Н- М., 1975.
50. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1967.
51. Товстик П. Е. Поперечные колебания цилиндрической пружины с уче-
учетом продольного сжатия.— В кн.: Исследования по теории упругости и плас-
пластичности, вып. 1. Л., 1961.
52. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М., 1970.
53. Харкевич А. А. Автоколебания. М., 1954.
54. ХаясиТ. Нелинейные колебания в физических системах/Пер. с англ. М.г
1968.
55. Хвингия М. В. Вибрации пружин. М., 1969.
56. Цзе Ф., Морзе И., Хинкл Р. Механические колебания. /Пер. с англ.
М., 1966.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
автоколебания 298
— фрикционные 298
Айнса —¦ Стретта диаграмма 54
амплитуда 11
¦— комплексная 40
антнрезопанс 121
В
вал анизотропно-упругий 369
— гибкий 356
вектор перемещений 99
— собственный 101
— состояния 238
виброизоляция 347
вибротрапспортировка 395
возбуждение колебаний гармониче-
гармоническое 20
— — кинематическое 126
— — параметрическое 50
• периодическое 21
волны упругие в стержнях 179
— бегущие в круглых пластинах 280
Гамильтона принцип 7
гаситель колебаний динамический 123
— с затуханием 137
Герца теория 330
гипотеза эргодическая 315
гистерезис 34
— конструкционный 35
Граммеля метод 194
д
декремент колебания 25
демприфирование пропорциональное
132
деформации контактные при ударе
330
дискретизация 200
дисперсия 311
добротность 42
Донкерлеи формула 197
Ж
жесткость динамическая 225
затухание колебаний 24
зона застоя 28
К
колебания автомобиля 326
колебания вынужденные 13
— главные 89
— дисков турбомашин 379
¦— круговых колец 185
— лопаток турбомашин 372
— нелинейных систем 55
•— оболочек 284
без растяжения срединной по-
поверхности 285
— — вращения 292
¦ цилиндрических 292
колебания пластин 272
колебания пружин вынужденные 389
• продольные 387
— — поперечные 390
колебания регулярных систем 261
колебания свободные 11
— случайные 309
колебания стержней 141
— — вынужденные 163
— —• изгибные 149
• крутильные 142
—¦ — продольные 141
колебания струн 143
—¦ циклических систем 261
координаты главные 93
коэффициент динамичности 40
— поглощения 31
кривая скелетная 61
м
масса обобщенная 93
масса приведения 193
матрица жесткости 82
— масс 82
— —• диагональная 83
матрица перехода 238
—• податливости 82
—¦ прогоночная 256
Матье уравнение 63
405
метод асимптотический расчета пла-
пластин 275
— гармонического баланса 64
— динамической жесткости 225
• податливости 225
метод комплексных амплитуд 39, 135
— конечных элементов 200
— математического моделирования 50
—• начальных параметров 235
— осреднения 75
— последовательных приближений 209
— припасовывания 59
—¦ прогонки 251
—• Рэлея — Ритца 198
момент гироскопический 356
н
неустойчивость динамическая 50
п
петля гистерезиса 33
податливость динамическая 121
принцип Гамильтона 7
Раиса формула 320
реакция системы на единичный им-
импульс 14
на единичную нагрузку 16
• на линейно возрастающую на-
нагрузку 17
резонанс 20
— параметрический 50
•— субгармонический 74
Рэлея формула 191
сдвиг спектра частот 108, 211
скорость критическая вала 355
—• —• движения нагрузки 171
— — диска 379
Оглавление
трение внутреннее 34
— вязкое 24
— сухое 26
—¦ пропорциональное смещению 29
У
угол фазовый 40
уравнение вековое 88
— волновое 144
— Лагранжа II рода 8
— Матье 53
— Хилла 52
Ф
форма собственная 89
флаттер 304
функция амплитудная 144
— диссипативная 131
— координатная 199
— корреляционная 312
—• Крылова 150
— передаточная комплексная 137
— случайная 309
—¦ спектральная 314
X
Хилла уравнение 52
ц
цикл предельный 302
частота техническая 12
¦— угловая 11
частотная характеристика комплекс-
комплексная 137
энергия кинетическая 7, 12, 82
— потенциальная 7, 12, 82
1! /
Предисловие 3
Глава I. Колебания систем с одной степенью свободы 5
§ 1. Расчетные схемы и уравнения движения 5
§ 2. Свободные колебания линейной консервативной систе-
системы 11
§ 3. Вынужденные колебания линейной системы без трения 13
§ 4. Затухание свободных колебаний 24
§ 5. Вынужденные колебания систем при вязком трении 38
§ 6. Вынужденные колебания систем с трением, отличным от
вязкого 44
§ 7. Параметрическое возбуждение колебаний 50
§ 8. Колебания нелинейных систем 55
§ 9. Метод осреднения 75
Глава II. Колебания систем с конечным числом степеней свободы 81
§ 10. Уравнения движения 81
§ 11. Определение частот и форм свободных колебаний 87
§ 12. Главные координаты. Матричная форма уравнений 91
§ 13. Некоторые особые случаи расчета собственных коле-
колебаний 103
§ 14. Примеры расчета частот и форм собственных колеба-
колебаний ПО
§ 15. Вынужденные колебания системы без трения . . 115
§ 16. Влияниетрения на колебания систем с конечным чис-
числом степеней свободы 131
Глава III. Колебания стержней с распределенной массой . . . 141
§ 17. Продольные и крутильные колебания стержней,
поперечные колебания струн 141
§ 18. Изгибные колебания прямых стержней . . . 149
§ 19. Вынужденные колебания стержней 163
§ 20. Колебания стержней при наличии вязкого трения 167
§ 21. Колебания, вызываемые подвижной нагрузкой . 169
§ 22. Распространение упругих волн в стержнях . . 173
§ 23. Колебания круговых колец 185
Глава IV. Приближенные и численные методы расчета колебаний 190
§ 24. Простейшие приближенные формулы для оценки низ-
низшей собственной частоты 191
§ 25. Метод Рэлея — Ритца 198
§ 26. Прямая дискретизация систем с распределенной мас-
массой. Метод конечных элементов 200
§ 27. Метод последовательных приближении .... 209
§ 28. Расчет собственных частот системы без определения
форм ее колебаний 219
§ 29. Методы динамических податливостей и динамичес-
динамических жесткостей 225
407
§ 30. Метод начальных параметров 23;, '
§ 31. Метод прогонки 251
§ 32. Расчет собственных колебаний регулярных систем 261
Глава V. Колебания пластин и оболочек 272
§ 33. Уравнение движения пластины постоянной толщины . 272
§ 34. Прямоугольная пластина постоянной толщины . . 274
§ 35. Круглая пластина постоянной толщины .... 277
§ 36. Применение метода Рэлея — Ритца к определению
частот собственных колебаний пластин .... 281
§ 37. Колебания оболочек 284
Глава VI. Автоколебания 298
§ 38. Фрикционные автоколебания 298
§ 39. Флаттер крыла в дозвуковом потоке .... 304
Глава VII. Случайные колебания ЗЬ .
§ 40. Случайные функции 30
§ 41. Воздействие случайной стационарной нагрузки на
линейную колебательную систему .... 3%
§ 42. Примеры расчета случайных колебаний . . . 322
Глава VIII. Ударное взаимодействие механических систем . . ЗЯ'
§ 43. Теория Герца 3Z'1
§ 44. Теория соударения упругих систем, учитываю-
учитывающая местные и общие их деформации .... 334
§ 45. Упрощенные методы расчета ударных нагрузок 34J
Глава IX. Некоторые технические приложения теории колебаний 347
§ 46. Основы расчета виброизоляции 347
§ 47. Колебания вращающихся валов 351
§ 48. Колебания лопаток турбомашин 37!
§ 49. Осевые колебания дисков турбомашин .... 37>
§ 50. Колебания цилиндрических винтовых пружин . . 387
§ 51. Принципы вибрационного перемещения .... 395
Литература 403
Предметный указатель 405