МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
Ю.А. Романюк
ОСНОВЫ
ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
В 3-х частях
ЧАСТЬ 1
СВОЙСТВА И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
Рекомендовано Учебно-методическим советом
Московского физико-технического института
(государственного университета)
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
по направлению «Прикладные математика и физика»
г
L
МОСКВА 2005
ico
УДК 681.3.06
P69	Рецензенты:
Кафедра теории электрической связи Московского технического
университета связи и информатики (МТУСИ)
Доктор технических наук, профессор Московского института радиотехники, электро-
ники и автоматики (МИРЭА) А.А. Щука
Романюк Ю.А.
Р69 Основы цифровой обработки сигналов. В 3-х ч.
4.1. Свойства и преобразования дискретных сигналов:
Учебное пособие. - М.: МФТИ, 2005. - 332 с.
ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1)
Учебное пособие создано на основе многолетнего опыта чтения одноименного
курса лекций для студентов Московского физико-технического института по специ-
альности «Прикладные математика и физика». Методически ясно изложены фунда-
ментальные основы и наиболее важные законченные результаты по цифровой обра-
ботке сигналов.
В первой части всесторонне изучаются свойства и преобразования дискрет-
ных сигналов, методы исследования линейных систем во временной и частотной об-
ластях. Значительное внимание уделено вопросам дискретизации аналоговых сигна-
лов, применению различных ортогональных преобразований.
Книга содержит большое количество иллюстраций, практических примеров,
упражнений и задач.
Предназначено для студентов вузов, аспирантов и специалистов в области
цифровой обработки сигналов.
УДК 681.3.06
Учебное издание
РОМАНЮК Юрий Андреевич
ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ (в 3-х частях)
Часть 1. Свойства и преобразования дискретных сигналов
Редактор О.П. Котова. Корректор И.А. Волкова
Подписано в печать 16.12.2005. Формат 60 X 84 Vis. Бумага офсетная. Печать оф-
сетная. Усл. печ. л. 20,75. Уч. -изд. л. 20,0. Тираж 700 экз. Заказ № ф-458.
«
Московский физико-технический институт (государственный университет)
Отдел автоматизированных издательских систем “физтех-полиграф”
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
ISBN 5-7417-0144-2 (Ч. 1)	© Романюк Ю.А., 2005
ISBN 5-7417-0145-0	© Московский физико-технический институт
(государственный университет), 2005
Предисловие
Цифровая обработка сигналов (ЦОС) как научно-техническая
дисциплина включена в программы профессионального образования
крупнейших мировых технических университетов, а в последнее
время - и в общеобразовательные стандарты вузов России. Извест-
ные фундаментальные монографии по ЦОС изданы давно, рассчита-
ны на специалистов и не восполняют потребности в учебных пособи-
ях для студентов и аспирантов. Поэтому представляется важным
выпуск современных учебников и учебных пособий, в которых бы ме-
тодически ясно были изложены фундаментальные основы и наибо-
лее важные законченные результаты по ЦОС. Подобных изданий
должно быть много и разных. Это объясняется значимостью и об-
ширностью научно-технической дисциплины, которую практически
невозможно охватить в одной работе. Кроме того, необходимо учи-
тывать направленность выходящих учебников и учебных пособий на
определённые специальности. В каждом из них должен быть свой
подход к изложению материала, и в этом смысле все они призваны
дополнять друг друга.
Предлагаемое учебное пособие написано автором на основе мно-
голетнего опыта чтения курсов лекций «Импульсные процессы в ли-
нейных системах и цепях» (6-й семестр) и «Основы цифровой обра-
ботки сигналов» (9-й, 10-й семестры) в Московском физико-
техническом институте по специальности «Прикладные математика и
физика». Оно базируется на ранее изданных автором учебных посо-
биях [6]-[10].
Основной особенностью книги следует считать ориентацию на
студентов, аспирантов и молодых специалистов, работающих в раз-
личных областях науки и техники. Многолетний опыт общения с ними
убедил автора в необходимости соблюдения следующих принципов
при написании учебного пособия: системный подход; подробное и
ясное изложение основных положений и закономерностей; доказа-
тельность; наполнение формул физическим содержанием; тщатель-
3
ный подбор примеров и иллюстраций. Главный критерий качества
подготовки специалистов - их способность самостоятельно решать
научно-практические задачи.
Учебное пособие выпускается в трёх частях.
Часть 1. Свойства и преобразования дискретных сигналов.
Часть 2. Цифровые методы спектрального анализа и фильтра-
ции сигналов.
Часть 3. Применение ЦОС в системах связи и радиолокации.
Основные разделы первой части.
•	Математические основы обработки сигналов.
•	Дискретизация аналоговых сигналов.
•	Преобразования дискретных сигналов.
•	Дискретные линейные фильтры.
•	Дискретные случайные последовательности.
С прикладных позиций даётся изложение необходимого матема-
тического аппарата для описания сигналов и систем с дискретным
временем. Многочисленные примеры позволяют создать запас на-
глядных физических представлений, полезных при решении кон-
кретных практических задач. В каждом разделе содержится большое
количество иллюстраций, упражнений и задач.
Формулы и рисунки в пределах каждого параграфа имеют трой-
ную нумерацию. Например, нумерация (1.10.15) обозначает 15-ю
формулу в 10-м параграфе главы 1. Так что, раскрыв книгу в произ-
вольном месте, вы сразу ориентируетесь в расположении материала.
В книге даются ссылки на работы отечественных и зарубежных
авторов. Все они перечислены в сводном списке литературы по на-
правлениям. Исключение составляют малодоступные оригинальные
статьи.
Как на форму, так и на содержание учебного пособия огромное
влияние оказало общение автора в прошлом со своим учителем, вы-
дающимся учёным и педагогом, профессором Борисом Николаеви-
чем Митяшевым.
В заключение автору хотелось бы выразить благодарность своим
коллегам по кафедре прикладной радиофизики за поддержку и по-
мощь, а также за веру, что книга когда-нибудь будет завершена.
4
Г Л А В A 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
1.1.	Классификация сигналов
Под сигналом обычно понимают величину, отражающую состояние
физической системы. Поэтому естественно рассматривать сигналы
как функции, заданные в физических координатах. Примером могут
служить одномерные сигналы, заданные как функции времени х(/),
двумерные сигналы /(х, у), заданные на плоскости, и т. д.
В дальнейшем мы будем рассматривать в основном сигналы как
действительные функции времени х(Г).
Аналоговые или континуальные сигналы описываются непрерыв-
ными и кусочно-непрерывными функциями х(г), причем как сама
функция, так и ее аргумент могут принимать любые значения в пре-
делах некоторого интервала (рис. 1.1.1).
о	7 о	г
,1(г) = £77г(/-Ь\/) у(г) =
*	к
О Л/	к М	t О А/	к Л/	Г
*„(/)=	x/t) = bt'£x(k&r)S(.f-kbt)
О V к Л/ Г о V к V ?
О)	6)
Рис.
5
Дискретные сигналы хд(/) образуются путём умножения анало-
гового сигнала x(Z) на так называемую функцию дискретизации у(/),
представляющую собой периодическую последовательность корот-
ких импульсов, следующих с шагом дискретизации Az (рис. 1.1.1а).
В идеальном случае в качестве функции дискретизации используется
периодическая последовательность дельта-функций (рис. 1.1.16).
Цифровой сигнал хц(£) описывается квантованной решетчатой
функцией (рис. 1.1.2), т. е. решетчатой функцией, принимающей
лишь ряд дискретных уровней - уровней квантования mq, где q -
шаг квантования по уровню, а т - номер интервала квантования,
т = 0, 1, 2,..., Л/ -1, М = 2п, п - целое положительное число.
Рис. 1.1.2
Цифровой сигнал представляется последовательностями чисел,
имеющих ограниченное количество разрядов.
Финитный сигнал характеризуется тем, что отличен от нуля лишь
на конечном интервале Т
Очень важным является класс сигналов с финитным спектром. У
таких сигналов спектральная функция (преобразование Фурье) X(f)
обращается в нуль вне некоторого конечного интервала частот, на-
пример, /.]•
Определим случайный сигнал как выборочную функцию некото-
рого случайного процесса^ задаваемого ансамблем реализаций, т. е.
совокупностью реализаций, рассматриваемых совместно с вероятно-
стями их появления. Неслучайные сигналы называются детермини-
рованными и описываются известными функциями, заданными на
конечных или бесконечных интервалах.
Каузальный сигнал x(Z) характеризуется тем, что x(Z) = 0 при
/<0.
Будем рассматривать физические сигналы как действительные
функции времени. Вместе с тем иногда для аналитических удобств
вводится комплексное представление действительных колебаний.
6
1.2.	Пространства сигналов
Метрические пространства
Сигналы, обладающие некоторым общим свойством, можно объ-
единить в одно множество S. Примером является множество перио-
дических сигналов, множество сигналов с финитным спектром и т. д.
Определив множество, мы начинаем интересоваться отличительными
свойствами элементов этого множества. Общий подход заключается
в том, что каждой паре элементов х, у ставится в соответствие дей-
ствительное положительное число d(x, у), которое трактуется как
расстояние между элементами х и у.
Множество, в котором определено расстояние, представляет со-
бой пространство сигналов. При этом сигналы удобно рассматри-
вать как векторы в этом пространстве. Функционал d(x, у) отобра-
жает каждую пару элементов на действительную ось и называется
метрикой, обладающей следующими свойствами:
a)	d (х, у) > 0 и d (х, у) = 0, если только х = у;
б)	d (х, у)= d(y, х) (симметрия);
в)	d (х, z) < d (х, y) + d(y, z) (неравенство треугольника).
Множество 5 с метрикой d называется метрическим простран-
ством. Две разные метрики, определённые на одном и том же мно-
жестве, порождают разные метрические пространства. Приведём при-
меры часто используемых метрик.
Для аналоговых сигналов, заданных на интервале [О,Г],
o', (х, у) = JI *(') -	I dr,	(1.2.1)
О
б/,(х, у)= I J|x(/)-^0;	(1.2.2)
V о
<73(х, у) = sup | х(/) - y(t) |.	(1.2.3)
io. rj
Для дискретных сигналов, заданных на интервале N,
^(х,у) = ^ |х(А:)-у(^)|;	(1-2.4)
Л=0
d,(x, у)=	£ |х(А)-у(&)|2;	(1.2.5)
7
d, (x, у) = max | x(k) - y(k) |.	(1.2.6)
В пространстве и-разрядных двоичных сигналов расстояние меж-
ду любой парой таких сигналов
х = (х„_, Х,хо) и у =	...уоу,)
вполне будет определяться числом несовпадающих символов:
^(х,у) = Х ]>	О-2-7)
/ = 0
где ® означает сложение по модулю 2: 14-0 = 0 + 1 = 1, 0 + 0 = 1 +1 = 0
без переноса в старший разряд. Метрика (1.2.7) определяет расстояние
по Хеммингу для двоичных слов.
Линейные пространства
Метрическое пространство является линейным, если в нём опре-
делены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр,
в результате которых образуется новый вектор в том же пространст-
ве. Эти операции должны удовлетворять известным аксиомам [13].
Важным является понятие линейно независимых векторов фи.
Векторы (р], ф2, фд, называются линейно независимыми, если
равенство
Еа»фв=°
л = !
выполняется тогда и только тогда, когда все ал = 0. Путем линейных
комбинаций таких N линейно независимых векторов можно образо-
вать векторное пространство S, где каждый вектор х соответствует
единственной линейной комбинации векторов фл:
х = Е“„<Р„-	(1-2.8)
и=0
Пространство S называется N-мерным векторным линейным
пространством. Множество линейно независимых векторов {ф„}
называется базисом для S Говорят, что пространство S натянуто
на этом базисе. Совокупность N чисел {а„} называется координа-
тами или спектром вектора х в этом базисе. Координаты вектора в
общем случае могут быть комплексными.
8
Гильбертово пространство
Это пространство определяют следующим образом.
1.	Задано линейное пространство Н.
2.	Для каждой пары х и у сигналов из Н вводится линейная
операция (х, у), называемая скалярным произведением двух векторов,
в результате которой образуется скаляр, а не вектор. Эта операция
должна удовлетворять аксиомам:
(х, у) = (у, X)*;
(х, у + z) = (х, у)+(х, z);	(1.2.9)
(ах, у) = а(х, у), но (х, ау) - а’(х, у);
(х, х) > О,
причём (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0. Здесь и далее
звездочка означает комплексное сопряжение.
3.	В Я существует счётное число линейно независимых векторов.
Норма или длина вектора определяется как
||х|| = 7 (х, х)>0.	(1.2.10)
В гильбертовом пространстве вводится угол 0 между двумя век-
торами, косинус которого определяется через скалярное произведение:
cos 0 =	(х>у)	= У)
VcTx)(y,-y-j ||х|1 ЫГ
Это соотношение используется для определения понятия ортого-
нальных векторов. Векторы х и у называются ортогональными, если
(1.2.11)
их скалярное произведение равно нулю, т. е. если (х, у) = 0. По-
скольку | cos < 1, то
|(х,у)|<||х||.||у||	(1.2.12)
- неравенство Коши-Буняковского.
По определению гильбертова пространства в нем существует
счетная система линейно независимых векторов, которые можно ор-
тогонализировать, пользуясь известной процедурой Грама-Шмидта.
Поэтому в гильбертовом пространстве существует счётная ортого-
нальная система векторов {<р„}, образующих ортогональный базис.
В этом случае любой вектор х g Н может быть представлен в виде
х=£с„фв.	(1.2.13)
л = 0
9
где
сл	_ (х,Ф„)  к1Г ’	(1.2.14)
(фл,»фл)=- Для ортонормированного баз	||фл|Г 0,	т п. иса	(1.2.15)
1Ы1	=7(фЯ’Ф»):=1’	(1.2.16)
1МГ = (х, х) = £|С„|2	(1.2.17)
п = О
М = Ж7	(1-2.18)
У п=о
Квадрат нормы (1.2.17) называется энергией сигнала. Ряд (1.2.13)
называется рядом Фурье по базису {<₽„}, а коэффициенты сп - ко-
эффициентами Фурье сигнального вектора х в этом базисе.
Аналогично для любых двух векторов х и у, имеющих в орто-
нормированием базисе {<рл} спектры {ал} и {Ь„} соответственно,
справедливо равенство
(X, У) = (£«ЛФЛ, &тЧ>„) = ^аяЬ'п- (1.2.19)
п = 0	л = 0	л = 0
При переходе к другому ортонормированному базису координаты ап
и Ьп изменятся (станут ат и pw соответственно), однако скалярное
произведение останется без изменения:
=	(1-2-20)
п = 0	п = 0
Это соотношение называется равенством Парсеваля.
За расстояние между векторами х и у в гильбертовом простран-
стве принимается длина разностного вектора:
h-y|| = J £	(1-2-21)
у л = 0
Сигналы, принадлежащие гильбертову пространству, изобража-
ются точками и векторами, идущими из начала координат в данную
точку. Их можно складывать и умножать на числа. Можно рассмат-
ю
ривать длину вектора, представляющего сигнал, как его норму, изме-
рять расстояние между сигналами, вводить угол между векторами,
изображающими сигналы.
Пример 1.2.1. Рассмотрим совокупность N линейно независимых век-
торов х„, и = 1, 2,	Практически всегда можно преобразовать эту
совокупность в систему из N взаимно перпендикулярных единичных векто-
ров {ф„}, которая позволяет представить любой из векторов хп в виде
х„ = Е с„т<р„.
т = I
Чтобы найти такую координатную систему, воспользуемся известной проце-
дурой Грама-Шмидта.
а)	Пусть ф,= выбираем таким образом, чтобы ||<р (|| = 1.
б)	Допустим, что <р2= а2(6|ф1+х2), выбираем 6, таким образом, что-
бы	х2, ф() = 0. На основании этого вычисляем значение
^!=-(х2, ф|). Далее находится значение а2 из условия нормирования ф2.
в)	Аналогично допустим, что ф3= а3(с1ф1+с2ф2+ х3). Из условия ор-
тогональности этого вектора обоим векторам ф, и ф2 получаем значения
6?!= —(х3, ф,) и с 2= —(х3, ф2) Затем найдём значение а3 из условия нор-
мирования ф3.
г)	Продолжая эту процедуру, последовательно найдём ф4, ф5 и т. д.
Пример 1.2.2. Из равенств (1.2.9) и (1.2.19) следует
(х, у)=(Ё ап ф» ’ Ё ф-)=Ё а« ь’п = Ё <х’ ф» хф, • у)-
и = 0	л=0	и-0	и=0
1.3. Примеры пространств сигналов
Пространство L2
Элементами множества 5 являются в общем случае комплексные
функции х(/), заданные на интервале Г, конечном или бесконечном.
Будем считать, что функции x(t) являются функциями с интегри-
руемым квадратом
j|x(0|2 dt <00.
Т
Этот интеграл обычно трактуется как энергия сигнала, если принять,
что x(t) - это ток или напряжение на сопротивлении 1 Ом.
11
При этом L2 является пространством с ограниченной энергией. Все
физические сигналы имеют конечную энергию.
В L2 скалярное произведение, норма и расстояние определяются
соответственно
(х,у)= \x(t)y(t)dt,	(1.3.1)
т
IIX || =	= / /|х(О|2Л,	(1.3.2)
V т
^2 (х> У) = IIх - У || = / J | *(0 - y(f) \г dt-	(1-3.3)
V т
Метрика d2(x, у) называется среднеквадратичной метрикой и оп-
ределяет среднеквадратичное отклонение сигнала y(t) от x(j).
Условие ортогональности двух векторов <рш и <р„ в L2 записыва-
ется в виде

' о,
Цфя1Г = ЛфясоГ<*.
т
Обобщенный ряд Фурье (1.2.13) в L2 принимает вид
х(/) = ЕспФХО,
и = 0
где
c"=ii—ip /х(0ф’я(0Л
II <М f
есть коэффициенты Фурье по системе {<р„}.
гп^п,
171 = 71.
(1-3.4)
(1.3.5)
(1.3.6)
Пространство 12
Элементами множества S являются последовательности чисел (в
общем случае комплексные) х = [х(0), х(1), х(2),	х(к), ...^удов-
летворяющие условию
£[х(£)|2<со.	(1.3.7)
к = 0
Такие последовательности называют также счётномерными вектора-
ми. В данном классе последовательностей вводят операции сложения
векторов и умножения их на скаляр:
12
» + У = МО) + У(О). х(1) + Я1).	х(к) + у(к), ...],
ах = [ах(О), ах(1), ах(к), ...].
Скалярное произведение, норма и расстояние определяются соот-
ветственно
(х, у) = $>(*)/(*),	(1.3.8)
к = 0
II X|| = 7(х,х) = J £ I х(к)|2	(1.3.9)
V л = о
4><х-у)=|1х-у11 = J	(1.3.Ю)
V к =0
Эти соотношения определяют пространство 12, которое можно рас-
сматривать как координатную реализацию гильбертова пространства
ь2.
Обратимся к формулам обобщенного ряда Фурье (1.2.13) - (1.2.16).
Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие
(изоморфизм) между сигналом и совокупностью его коэффициентов
Фурье. Сигнал x(t) является элементом пространства L2, а совокуп-
ность коэффициентов Фурье (счетномерный вектор) элементом
пространства 12. Между пространствами L2 и 12 устанавливается
изометрия, при которой сохраняется норма элементов пространств
L2 и 12 (1.2.18).
Пространство 12
Ограничение размерности векторов до N координат
x = [x(0), х(1), х(2),	х(к),	x(N-l)] приводит к пространст-
ву 12, которое является подпространством комплексного гильбертова
пространства 12. Характерно, что в 12 существуют N линейно неза-
висимых векторов \|/л. Эти N векторов называют базисом N-
мерного пространства.
Обобщенный ряд Фурье в пространстве 12 с ортогональным ба-
зисом {\|/„} принимает вид
=	(1-3.11)
к =0
где
13
1 лм
c-=ii—ii
vJI “o
(1.3.12)
(v„ vm)=Ev„WKW = *
(1.3.13)
o,
mtn.
Пример 13.1. В качестве базисной системы в рассмотрим дискрет-
ные экспоненциальные функции (ДЭФ) (см. п. 1.7):
. j — nk
WNnk =е "
(1.3.14)
В этой формуле п и к принимают целочисленные значения,
и, к = 0,1, N -1, т. е. число функций в системе равно числу отсчетов
каждой функции. Вследствие этого, а также в силу линейной независимости,
система ДЭФ является полной в пространстве 1J1.
Функции (ДЭФ) ортогональны:
Поэтому ряд Фурье по этой системе
х(Л) = £ %(И)1г/,
(1.3.16)
где коэффициенты Фурье
1 N-I
*(») = - Z x{k)WN-"k
N » = о
(1.3.17)
Соотношения (1.3.16) и (1.3.17) определяют пару дискретного преобра-
зования Фурье (ДПФ), которое будет рассмотрено в главе 3. Отличительной
особенностью ДПФ является то, что сигнал и его спектр определяются на
конечных и равных интервалах N. Последовательности х(к) и Х(п) - пе-
риодические (с периодом N ) функции дискретного аргумента. Это объясня-
ется Апериодичностью базисных функций ДПФ по обоим аргументам. При
этом меняется привычное понятие сдвига, а именно: сдвиг сигнала и его
спектра на интервале N понимается как циклическая перестановка отсчетов
(часть сигнала или его спектра, выходящая за пределы интервала N с одно-
го конца, вставляется в этот интервал с другого конца). При циклическом
сдвиге значения индексов кип отсчитываются по модулю N.
14
1.4. Представление сигналов ортогональными рядами.
Общий метод дискретизации
Аналоговый сигнал х(/), определенный на интервале Г, конечном
или бесконечном, при соблюдении некоторых условий может быть
представлен в виде
x(0 = Zc«4>»(0,	(1.4.1)
где {<р„(/)} - ортогональный базис, в общем случае бесконечномер-
ный, а {сл} - ’’спектр" сигнала x(t) в базисе {ф„(/)}> т. е. набор чи-
сел, выбираемых по определенному правилу, причем сп могут быть
комплексными. Считаем, что x(t) является функцией с интегрируе-
мым квадратом:
J|x(r)|2^ <00.	(1.4.2)
т
Для реальных физических сигналов это означает конечность их
удельной энергии, выделяемой на единичном сопротивлении.
Базисные функции фл(г) ортогональны на интервале Г, т. е.
т * л,
•т = п. (1АЗ)
[ о,
/ф„(/)ф;(/)Л= ||q)Jp = j|<Pn(Op^
Практически всегда число членов в ряде (1.4.1) должно быть ог-
раничено. Как будет показано в следующем параграфе, коэффициен-
ты Фурье
= —^/х(0ф:(/)Л	(1.4.4)
обеспечивают наименьшую среднеквадратическую погрешность ап-
проксимации:
(1.4.5)
Вывод. Замена аналогового сигнала x(t) последовательностью
{*„}, представляющей коэффициенты разложения этого сигнала по
какому-либо ортогональному базису, - самый общий метод дискре-
тизации. Вместо того, чтобы рассматривать функциональную зави-
симость х(Г) в несчётном множестве точек, мы можем характеризо-
15
вать сигнал счётной системой коэффициентов хп. Базис выбирается
из удобства физической реализации, простоты вычисления коэффи-
циентов и точности аппроксимации (1.4.5).
Практический способ вычисления коэффициентов разложения хп
по действительному ортонормированному базису {фл(/)} показан на
рис. 1.4.1.
Рис. 1.4.1. Корреляционный способ обобщённого спектрального анализа
Это так называемый корреляционный способ обобщённого спек-
трального анализа. Для его реализации требуются генератор орто-
нормированных функций {фл(/)}, умножители и интеграторы.
Другой практический способ вычисления коэффициентов разло-
жения иллюстрируется на рис. 1.4.2.
Отсчет t t'T
Рис. 1.4.2. Способ фильтрации в обобщённом спектральном анализе
В этом способе анализируемый сигнал пропускается через
набор линейных фильтров с импульсными характеристиками
hn(f) = фл(Т-г). Спектральные коэффициенты определяются выход-
ными отсчётами фильтров в момент t = Т:
р(т)йя(Т-т)47т= |х(т)фл(т)(/т = хя, и = 1, 2, N.
О	о
16
1.5. Обобщённые ряды Фурье.
Полные ортонормированные системы
Важная особенность дискретных представлений вида (1.4.1) со-
стоит в том, что от них просто перейти к приближенным конечным
представлениям, необходимым для численных расчетов и при физи-
ческих измерениях сигналов. В связи с этим возникает ряд математи-
ческих и практических вопросов. К числу математических вопросов
относятся следующие.
1) Практически можно использовать только конечное число ко-
эффициентов сп. Как следует выбирать эти коэффициенты, чтобы
минимизировать среднеквадратическую ошибку
e2(W)= j х(0- £ с„Фя(О dtl
(1.5.1)
|’И
2) Желательно, чтобы lim е2 (7V) = 0. Когда это имеет место?
Для ответа на первый вопрос достаточно продифференцировать
(1.5.1) по некоторому конкретному сп. Если коэффициенты сп ком-
плексные, производная берется по действительной и мнимой частям.
Приравняв производную нулю и решая относительно получим,
что коэффициенты сп должны быть
(1.5.2)
Коэффициенты ся, выбираемые по алгоритму (1.5.2), называются
коэффициентами Фурье по системе {<р„(0} • Таким образом, из всех
полиномов TV-го порядка вида (1.4.5) наименьшее среднеквадратиче-
ское отклонение от данного сигнала x(t) имеет N-я частичная сумма
ряда Фурье по системе {ф„(0}- Это следует из того, что вторая
производная (1.5.1) является положительной постоянной величиной,
и коэффициенты, определяемые из (1.5.2), обеспечивают абсолютный
минимум ошибки g2(N).
Важно отметить, что при увеличении 7V величины ранее вычис-
ленных коэффициентов сп остаются неизменными. В результате зна-
чительно экономится объем вычислений, если после оценки ошибки
17
приходится принять решение об увеличении числа членов ряда.
Для ортонормированной системы функций
ф„(0=
Ф„(0
KII
(1.5.3)
коэффициенты Фурье будут вычисляться по формуле
а„ =/х(ОФ;(ОЛ.	(1-5.4)
т
Ответим теперь на второй вопрос. Из выражения (1.5.1) имеем
e2(7V)= J{[x(O- Y Ч,Ф„(')][х«- X ЧЖ(')]}<*.
т	[ л| <W	| л?| ^/V
Отсюда
e2(N)= $x2(t)dt- X |ал|2	(1.5.5)
Т
Поэтому при любом конечном N имеет место
Z |а„|2< [x2(t)dt	(1.5.6)
|л|<У	т
неравенство Бесселя. Из (1.5.6) вытекает, что limla 1 = 0. Если
lim = 0 для всех х(1) с конечной энергией, то {ф„ (/)} - полная
ортонормированная система в пространстве Ь2. Смысл полноты
системы заключается в том, что для такой системы ошибка £2(N)
при увеличении N может быть сделана как угодно малой. Для полных
ортонормированных систем имеет место равенство Парсеваля:
jx2(t)dt= £ |«„|2	(1.5.7)
Т	|"1=°
Поэтому
e2(N)= X И Г	(1-5-8)
|л|>У
т. е. ошибка определяется суммой квадратов модулей отброшенных
коэффициентов Фурье.
18
Пример 1.5.1. Дадим геометрическую трактовку представления сигналь-
ного вектора х ортогональным рядом. Пусть необходимо выбрать коэффи-
v
циенты сп в конечной сумме у = Ес„<р„ так, чтобы расстояние между
п~\
векторами х и у
2
N
было минимальным. Предположим, в частности, что необходимо найти ми-
нимальное расстояние между вектором у, лежащим в <p,<p2 -плоскости, и
трёхмерным вектором х, как показано на рис. 1.5.1.
Ясно, что минимум || х — у || достигается, если вектор х — у перпендикулярен
ф, <р2-плоскости. При этом составляющие вектора у равны составляющим
вектора X по координатам ф] и ф2. Это означает, что они должны равнять-
ся коэффициентам Фурье. Далее из рисунка следует соотношение, эквива-
лентное неравенству Бесселя:
Ml Му||-
1.6. Некоторые системы базисных функций из L?
Можно выделить два класса базисных функций: сдвиговые и муль-
типликативные.
Сдвиговые базисные функции строятся из одной функции путём
сдвига по её аргументу. Наиболее употребительными сдвиговыми
базисными функциями являются функции отсчётов и импульсные
функции.
19
Функции отсчётов
Функциями отсчетов называют функции, определяемые как
sin2n^(/-A:A/)	1
ф.(Г) =——-----------= —
2nf„(t-kAt)	2fu
(1.6.1)
Эти функции отличаются друг от друга только сдвигом на целое чис-
ло интервалов А/, они ортогональны на (~оо,оо):
к ф /,
f <р»О)ф/(ОЛ =
(1.6.2)
О,
1ф»1Г = А/ = 7р л = /-
Функции отсчетов используются для дискретного представления
аналоговых сигналов по теореме отсчетов Котельникова (см. п. 2.2).
Свое название эти функции получили потому, что для сигналов,
имеющих финитный спектр, коэффициенты Фурье ск по этим функ-
циям являются отсчётами сигнала при t = к At:
1 7 , sin2л/,(t-kAt) , „А 4
ck = — x(t)----------------- dt = x(kAt).
At I 2nfe(t-kAt)
(1.6.3)
Простота вычисления коэффициентов ск является большим преиму-
ществом ряда
x(r)= £ x(kAt)
к = -<ю
5т2л/я(/-£Д0
2л/Д/-М/) ’
(1.6.4)
который называется рядом Котельникова. Об этом будет идти речь в
следующей главе, а сейчас перечислим некоторые полезные свойства
функций отсчетов.
Фурье-образ функции отсчётов
00
J 4>k(t)e-j2'f'dt = П2Л (f)exp(-j2nfkAt) (1.6.5)
имеет фазовый множитель из-за сдвига по времени на kAt. Модуль
этого спектра П2 г (/) является прямоугольной функцией с единич-
ной площадью (рис. 1.6.1).
В момент времени t - kAt функция отсчетов достигает своего
наибольшего значения, равного 1.
20
В моменты / = (7г±7)А/, где / = 1, 2, функция отсчетов обра-
щается в нуль.
Рис. 1.6.1. Функция отсчётов и ее спектр
Ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне
равна 2А/ = 1 / /д. Отсюда следует, что минимальная длительность
импульса на выходе фильтра с полосой [-/в, /в] равна 1//в.
Непосредственно из формулы прямого преобразования Фурье
следует, что
J (/) dt = n2fe (0) = -у = А/.	(1.6.6)
-о?	^Je
В пространстве L2 (-оо, оо) система функций отсчетов ортого-
нальна, но не полна. Однако в подпространстве В с Ь2 функций с
финитным спектром она полна.
Импульсные базисные функции
Эти функции определяются как
1, £А/</<(£ + 1)А/,
0, при других /,
27Д/) =
(1.6.7)
где А/ - стандартный сдвиг, | к | = 0, 1, 2, Функции Пк (/) ортого-
нальны на всей оси /. Пространство, натянутое на этот базис, состав-
ляют ступенчатые функции
Рассмотрим теперь мультипликативные базисные функции, кото-
рые обладают тем свойством, что произведение двух функций даёт
базисную функцию из той же системы. Известными мультипликатив-
21
ными базисными функциями являются комплексные экспоненциаль-
ные функции и функции Уолша.
Комплексные экспоненциальные функции
Это функции вида
<Рж(О = ехр(/-улГ), пе (-оо,оо).
Функции <р„(/) периодичны по оси t с периодом Т. Система {<р„}
(1.6.8)
составляет счетное бесконечное множество и является мультиплика-
тивной, ортогональной и полной в L2[0, 7].
Нетрудно убедиться, что
f<p„(Oq>L(O^ =
Т
' о,
\ 1Ы12=г,
при п Ф т,
при п = т.
(1.6.9)
Поэтому для сигнала л(/) е Ь2 [О, Г] коэффициенты Фурье по этой
системе определяются следующим образом:
1 т ~~ t
cn=-\x(t)e^T" dt.	(1.6.10)
* о
Пространство, натянутое на базис {ф„}, составляют Т-периоди-
ческие сигналы. Разложение сигналов по этим функциям называется
разложением в ряд Фурье.
Для представления двумерных сигналов, заданных в прямоуголь-
нике [Я,, Я2], используется двумерный базис, определяемый в пря-
моугольных координатах через произведение одномерных базисных
функций:
чМ'ь 'i) = ехР
у2л
пп
—L +—±
Я, R2 }
г, е[0, Я,], г2е[0, Я2]. (1.6.11)
Функции Уолша
Система Уолша {wal(w, 0)}, где 0 = у - безразмерное время и
t е[0, Т\ была введена Уолшем (Walsh) в 1923 году как полная ор-
тонормированная система функций в L2[0, 1), каждая из которых
принимает значения ±1 и обладает тем свойством, что ряд Фурье
22
£c„wal(W,0),	(1.6.12)
n=0
где
i
c„ = J x(0)wal(«, 0)<70,	(1.6.13)
0
для непрерывной функции x(0) равномерно сходится по подпосле-
довательности частичных сумм с номерами N = 2V v - целое, по-
ложительное число [25]. Характерным для нумерации Уолша являет-
ся то, что число перемен знака у функции wal(w, 0) внутри интерва-
ла [0,1) равно п. Рассмотрим процедуру построения функции
wal(«, 0). По определению
wal(0, 0) = 1,
wal(fl, 0) = 1 для всех п .
Известно также, что функция wal(«, 0) или симметрична (если и -
чётное), или антисимметрична (если п - нечётное) относительно оси,
проходящей через точку 0 = 1/2. Таким образом, если п ~ четное, то
в точке 0 = 1/2 знак не меняется, а если п ~ нечетное, то знак меня-
ется. Смена знака у функций Уолша может происходить только в
двоично-рациональных точках. Поэтому представим номер функции
п в двоичном виде:
V —1
w =	w;. 2', где либо и = 0, либо ni =1, п = (nv_}... л, w0).
/ = 0
Если nt = 1, то должна происходить смена знака в точках
e=_L з 5 СдД
5	\	2#+’ 9 j
Если и,. = 0, то в этих точках знаки остаются неизменными.
Построим, например, функцию wal(5, 0). Т. к. п- нечётное, то
имеет место смена знака в точке 0 = 1/2. Номер п в двоичном виде
будет л = (101). Коэффициент п2 = 1, поэтому имеет место смена
знаков в точках 0 = 1/8, 3/8, 5/8, 7/8. Функция wal(5, 0) изобра-
жена на рис. 1.6.2.
23
О 1/8	1/4	3/8	1/2	5/8/	3/4	7/8	1
Рис. 1.6.2. Функция wal(5, 0) на интервале [0,1)
В 1932 году Пэли (Paley) рассмотрел систему Уолша в другой ну-
мерации. Обозначим её ра1(р, 0). Функции ра1(р, 0) определяются
через функции Радемахера:
Рис. 1.6.3
(0) = 1, Rj (0) = sgn (sin 2' л0),
z = l, 2, 3,	0 g [0,1).
(1.6.14)
Первые четыре функции системы Раде-
махера приведены на рис. 1.6.3. Функ-
ции Радемахера нечетные на интервале
[0,1); их называют еще меандровыми
функциями, т. к. по виду они соответст-
вуют меандровым сигналам в разрядах
двоичного счетчика.
Функции Уолша-Пэли определяются
через функции Радемахера следующим
образом:
ра1(р, 0) = П^;,(0).	(1.6.15)
I = о
Здесь pf - коэффициенты двоичного представления числар\
у-1
р -	pi 21, где либо р{ =0, либо р =1;
i = 0
P =	Л)‘
Отсюда следует, что для р = 2‘ имеет место
ра1(2', 0) = Я,+|(0),
т. е. система Радемахера входит в систему Уолша.
Расположение функций Уолша в нумерации Пэли связано с кодом
Грея. Пусть п ~ номер функции wal(«, 0) в нумерации Уолша. Дво-
ичное представление этого номера п - (иу_} ... и, и0). Тогда разрядные
24
коэффициенты номера p = (pv_i р, р0) могут быть рассчитаны по
формуле
р,. =И,.®И,.+1,
где Ф означает сложение по модулю 2. Системы Уолша и Уолша-
Пэли получаются одна из другой путем перестановки функций внут-
ри блоков с номерами [2V-1, 2V-1). Первые восемь функций этих
систем изображены на рис. 1.6.4. Для некоторых сигналов ряд Фурье
по системе Уолша-Пэли сходится быстрее, чем по системе Уолша.
Рис. 1.6.4. Первые восемь функций Уолша:
а - в нумерации Уолша; б - в нумерации Пэли
Функции Уолша ортонормалъны на интервале [0, 1). Система
Уолша является мультипликативной. Однако при перемножении
двух функций сдвиг по индексу не арифметический, а диадный, оп-
ределяемый через поразрядное сложение по модулю 2:
wal(w, 0)wal(m, 0) = wal(/7 ® /и, 0).	(1.6.16)
Ещё одна разновидность функций Уолша had( Л, 0) связана с ну-
мерацией по Адамару. Переход от нумерации Пэли к нумерации по
Адамару осуществляется путём разрядной инверсии в двоичном
представлении номера р (младшие разряды зеркально меняются
местами со старшими). Взаимосвязь различных нумераций показана
в таблице 1.6.1.
25
Таблица 1.6.1
л десятич.	п двоичн.	р двоичн.	р десятич.	h двоичн.	h десятич.
0	ООО	000	0	000	0
1	001	001	1	100	4
2	010	он	3	НО	6
3	он	010	2	010	2
4	100	но	6	ОН	3
5	101	111	7	111	7
6	но	101	5	101	5
7	111	100	4	001	1
Функции Уолша могут быть периодически продолжены по оси 9
с периодом 1.
Рассмотрим теперь частичную сумму ряда Уолша-Фурье:
М*>)= £cwal(H,e),	(1.6.17)
п О
где
сп = j x(0)wal(w, 0)J0.
о
При 7V = 2V, где v - целое положительное, частичная сумма ^(0)
является кусочно-ступенчатой функцией с интервалами постоянства
длиной 1/N, принимающей на этих интервалах значения, равные
средним значениям сигнала х(0):
SN(Q) = ^xknk(e\	(1.6.18)
*=0
где
хк = N J х(0) J0,
Ъ
fl, если НЛГ<0 <(£ + /)/#,
77t(0) = <
[ 0,	при других 0.
Кусочно-ступенчатая аппроксимация средними значениями при-
водит к среднеквадратичной ошибке:
26
e2(N)= J[x(0)-S„(0)]2J0.
0
В [7] приводится простая инженерная формула для оценки этой
ошибки при У = 2\
е2(ЛГ)=^Н [х'(е)]2<№+0(-^-)>	(1-6.19)
где х'(0) - первая производная.
Двумерные функции Уолша получают как произведение одно-
мерных:
wal„ w(0, т) = wal(«, 0)wal(/w, т).	(1.6.20)
Предполагается, что 0 и т заданы в прямоугольных координатах;
0 е [0,1), т е [0,1), как показано на рис. 1.6.5. Это делается для того,
чтобы упростить вычисление коэффициентов представления сигналов
по таким двумерным функциям. Вычисление двумерного интеграла
скалярного произведения сводится к вычислению двух одномерных.
I I гти гяип гтгд
-Л.1.'
I он
0	12	3
Рис. 1.6.5. Первые шестнадцать двумерных функций Уолша
27
1.7. Некоторые базисные системы из 1"
В системах с дискретным временем важное место занимают дис-
кретные сигналы, определенные на конечных интервалах N. Такие
сигналы являются TV-мерными векторами в пространстве lj. Рас-
смотрим некоторые базисные системы из этого пространства.
Система единичных импульсов
Простейшая система базисных векторов в TV-мерном пространстве
может быть задана единичной матрицей порядка N, т. е. диагональной
матрицей размера Vx N с единичными диагональными элементами.
Каждая строка этой матрицы соответствует единичному импуль-
су, смещенному на к позиций:
Л->	0 12	N-1
0 fi	10 0	о	*
11010 о
2 I	0 0 1	0
ЦМ)= 8
ооо 1
1(и, к) =
при п-к,
при п^к.
(1-7.1)
Любые две строки ортогональны, и норма базисной функции равна 1:
К	11 при и = т,
1(и, к)Л(т, *) = -!
“	[0 при п^т.
(1.7.2)
Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ)
Функции (ДЭФ) определяются следующим образом:
, j~nk
=eN	(1.7.3)
Здесь п и к - целые числа, п, £ = 0, 1, ..., 7V-1, т. е. число функций в
системе равно числу отсчетов каждой функции. Вследствие этого, а
28
также в силу линейной независимости, система ДЭФ является полной
в пространстве 1*. Можно формально перейти от (1.6.8) к (1.7.3),
если в первой из этих формул положить t ~ kAt, где А/ - шаг дискре-
тизации по времени.
Основные свойства ДЭФ.
1.	ДЭФ является комплексной функцией.
2.	Матрица ||и^*|| является симметрической.
3.	ДЭФ периодична с периодом N по обеим переменным.
4.	Система ДЭФ ортогональна:
. Г 2V, если п ~ /и,
[0, если п*т.
Ряд Фурье по этой системе
Х(к)= 2 x(n)w;k
п = 0
где коэффициенты Фурье
1	У-1
ВД = - Е *(W"‘
(1-7.4)
(1.7.5)
(1.7.6)
(1.7.8)
Соотношения (1.7.5) и (1.7.6) определяют пару дискретного пре-
образования Фурье (ДПФ), которое будет подробно рассмотрено в
главе 3.
5.	Система ДЭФ мультипликативная:
= W“,	(1.7.7)
где I = (и + w)mod?v, т. е. индексы суммируются по модулю Af.
6.	Среднее значение ДЭФ для п 0 равно нулю:
1 Л'~’	1 WnN — 1
— У w"k = —	—1 = 0-
n^0	n 07-1
7.	Комплексно-сопряженные функции W„k и W~nk расположены
симметрично на интервале У Действительно, используя свойство
периодичности, можно записать
м/ _ ту (Л'-")*
_ "к
Номера п и (N -п) являются противоположными по модулю N и
расположены симметрично на интервале У Следовательно, на ин-
тервале N фаза ДЭФ q>(w) = Innk/N является нечетной функцией.
Это свойство ДЭФ объясняется их периодичностью относительно
29
номера функции п и отсутствует у комплексных экспоненциальных
функций.
8.	Система ДЭФ может определяться на любом интервале N как
четном, так и нечетном. При четном N система ДЭФ состоит из двух
N
действительных функций (при л = 0 nn = N/2) и (~~1) паР ком"
плексно-сопряженных функций. При N нечетном система ДЭФ со-
держит только одну действительную функцию (прии = 0) и
(У -1) / 2 комплексно-сопряженных пар.
9. ДЭФ можно изобразить на плоскости в виде вращающегося
вектора единичной длины (рис.
1.7.1). Если у комплексных экспо-
ненциальных функций этот вектор
вращается непрерывно, то у ДЭФ
он вращается скачкообразно, про-
ходя при изменении к на единицу
угол 2т IN радиан. В результате
на интервале N вектор W”k про-
ходит угол 2т радиан, т. е. совер-
шает N оборотов. Вектор ком-
плексно-сопряженной функции
Ш ~пк — (N-n)k
” N ~ VyN
совершает N - п оборотов.
Рис. 1.7.1
Частота как скорость нарастания фазы равна n/N для WJk и
(N-ri)/N для комплексно-сопряженной функции №^~п)к Ком-
плексные экспоненциальные функции (1.6.8) подобным свойством не
обладают.
10. Двумерные ДЭФ в прямоугольной системе координат опреде-
ляются как произведение одномерных:
,2л, .
I—(пк+та)
defnm(k,q) = e "	(1.7.9)
Система Уолша-Адамара
Рассмотренные в п. 1.6 функции Уолша задавались целочислен-
ным номером п или р и аргументом Э, который непрерывно изме-
30
нялся в интервале [0,1). Так как функции Уолша кусочно-постоянные
на двоичных участках
к £ + П
У* N J
; к = 0, 1, 2,
..., N -1; N = 2V, то для
аргумента 0 достаточно указать принадлежность к определенному
участку, т. е. можно рассматривать функции Уолша как функции
дискретного аргумента wal(w, к) или ра!(р, к). При таком представ-
лении первым N = 2V функциям Уолша может быть сопоставлена
квадратная матрица Wv. Элементами z-й строки этой матрицы яв-
ляются значения i-й функции Уолша (в нумерации Уолша или Пэли)
на двоичных участках. Пример таких матриц в случае N = 8
приведён на рис. 1.7.2.
til»''_____I_1-L
О 1/4	1/2	3/4	1
a)
w»=
1 1111111	-.wal(0,£)
1 1 1 1-1-1-1-1	-wal(ltZr)
1	-1-1-1 1 1	-*wal(2, к}
1 1-1-111 -1-1	—wal'3. к)
1-1-1 1 1 -1-1 1	-*wal(4.Ar)
1 -1 -1 1 -1 1 1-1	•<wal(5>A)
1-1 1 -1-1 1-1 1	-*wal(6,£)
1-1 1-1 1-1 1-1	-*walC7,£)
Рис. 1.7.2. Функции Уолша, упорядоченные по Уолшу, при N = 8:
а - непрерывные; б - дискретные
Матрицы Wjy ортогональны, т. е.
W„W£ = yi,	(1.7.10)
где I - единичная матрица, а верхний индекс Т означает транспо-
нирование. Элементы строк равны ±1, кроме того, матрицы
симметричны.
Рассмотрим теперь ещё одну систему функций Уолша - систему
Уолша-Адамара. В этой системе функции Уолша расположены одна
31
под другой в таком порядке, что из них образуется матрица Адамара.
Для матриц Адамара порядка N = 2V существует метод итеративного
построения на базе элементарной матрицы порядка 2:
Н2 =
1
-1
(1.7.11)
Строки матрицы Адамара представляют значения функций Уолша,
расположенных в порядке Адамара (рис. 1.7.3).
Рис. 1.7.3. Функции Уолша, упорядоченные по Адамару, для N = 8:
а - непрерывные; б - дискретные
Функции Уолша-Адамара had(A, к) определяются следующим
образом:
had(/j, к) = (-1)х,
. V и t	(1-7Л2)
х к<-
i = О
Здесь h. и kt - коэффициенты двоичного представления чисел h и к.
Функции had(A, к) ортогональны:
X had (Л, A)had(g, =	8’	(1.7.13)
*То	(0, прий^я,
симметричны:
had(fc, fc) = had(£, h),
32
У-периодичны по обеим переменным:
had(ft, к) = had(Л ± TV Д) = had(ft, к ± TV).
Функции Хаара
Система функций Хаара {har(r, w, 0)}, где Q = t!T - безразмер-
ное время и t е [О, Т\ была введена Хааром в 1910 году как полная
ортонормированная система функций в L2[0, 1). На рис. 1.7Да изо-
бражены первые восемь функций Хаара.
	 1 1 45	1 1 45	1 1 -45	1 1 -45	1 -1 0	1 -1 0	I -I 0	1 -1 0
нл =	0	0	0	0	45	45	-45	-45
	2	-2	0	0	0	0	0	0
	0	0	2	-2	0	0	0	0
	0	0	0	0	2	-2	0	0
	0	0	0	0	0	0	2	-2
о)
Рис. 1.7.4. Функции Хаара при W = 8 :
а - непрерывные; б - дискретные
Функции Хаара можно получить, используя рекуррентное соот-
ношение [29]:
har(0,0, 0) = 1, 0 g[0, 1);
	rz	m-l <Q ; ffl-1/2
	2r	2r ’
har(r, w, 0) = <	_r/2	£L±2<0<™ t	r
	0, при остальных 0 е [0,1)
'(1.7.14)
где 0 < г < log2 TV и 1 < w < 2Г
Функции Хаара дискретного аргумента изображены на рис. 1.7.46.
Каждая строка матрицы Н3 является дискретной функцией Хаара.
33
Полученные таким образом матрицы используются для дискретного
преобразования Хаара и обозначаются Нл, где п = log2 N.
Функция Хаара har(0,1, 0) является примером материнского вейв-
лета. Путём целочисленных двоичных растяжений и двухпараметри-
ческих сдвигов одной вейвлет-функции образуется ортогональный
базис. Сигналы, как элементы гильбертова пространства, анализиру-
ются путём разложения по полученным базисным функциям. При
обработке сигналов с изменяющимися частотно-временными пара-
метрами (например, речевых сигналов) вейвлет-анализ может ока-
заться более предпочтительным, чем фурье-анализ. Введение в вейв-
лет-анализ сигналов рассматривается в п. 1.14.
Вопросы, задачи и упражнения к пп. 1.1-1.7
1.	Определить линейное метрическое, нормированное и гиль-
бертово пространства сигналов.
2.	Определить линейную зависимость и независимость, а также
ортогональность сигналов.
3.	Определить обобщенный ряд Фурье.
4.	Доказать формулы (1.14), (1.16).
5.	Доказать равенство Парсеваля (1.17).
6.	Пространство L2(T). Определение и примеры. Ряды Фурье в
L2(7). Среднеквадратичная метрика.
7	Множество М состоит из прямоугольных видеоимпульсов
длительностью г и амплитудой А. Образует ли множество М линей-
ное пространство?
8.	Пусть {<р„; п = 1, 2, ...,и}- система линейно независимых
функций в L2(T). Обозначим через Мп линейное подпространство,
натянутое на эти функции. Показать, что представление
%(/)=	хеМ,„ teT
н = I
единственно вследствие линейной независимости базисных функций.
9.	Используя неравенство Коши-Буняковского |(х, у)| < ||х||-||у||,
доказать, что среднее значение действительной периодической функ-
ции всегда меньше или равно её среднеквадратическому значению:
34
tjx(/)df<±[x2(f)dt.
* o	Vo
10.	Автокорреляционная функция действительного периодиче-
ского процесса определяется следующим выражением:
Лг(т) = ^ |х(/)х(/-т)<*.
' о
Используя неравенство Коши-Буняковского |(х, у)| < ||х||-||у||, до-
казать, что
|Лд.(т)| < ЯЛ (0).
11.	Сигнал x(t) представляет собой несимметричный треуголь-
ный импульс амплитудой А и длительностью т. Вычислить энергию
и норму такого сигнала.
12.	Вычислить энергию и норму радиоимпульса, содержащего п
периодов косинусоидальной функции
х(/) = Лсо$(2л/0/ + ф0).
Рассмотреть случай п >1
13.	Имеются два сигнала:
x(7) = sin^- и y(t) -	0<t<7\
где Пх(1) - прямоугольная функция длительностью т и единичной
амплитудой. Выбрать амплитуду А так, чтобы расстояние между
двумя сигналами было минимальным.
14.	Пусть Н - вещественное гильбертово пространство, содер-
жащее сигналы х и у. Доказать, что имеет место равенство паралле-
лограмма
||х+у||2+||х-у||2 =2||х||2+2||у||2
15.	Доказать минимальное свойство коэффициентов Фурье.
16.	Пространство сигналов Определение и примеры. Ряды
Фурье в lj Среднеквадратичная метрика.
17.	Практический смысл полноты ортогональной системы. Ра-
венство Парсеваля в нормированном и ненормированном базисе.
35
18.	Пусть {<pn; п-1,2,... } - полная ортонормированная сис-
тема в Ь2(Г). Для любых хиу из Ь2(Г) проверить равенство Пар-
севаля:
(X, У) = £(х, ФЛ)(ФЛ,У)-
п - 1
19.	Функции отсчетов. Определение и основные свойства. Дока-
зать ортогональность функций отсчетов на бесконечном интервале
(-00, со).
20.	Комплексные экспоненциальные функции и их основные
свойства.
21.	Функции Уолша. Основные свойства. Построить первые во-
семь функций системы Уолша.
22.	Построить первые восемь функций системы Уолша-Пэли.
23.	Матрицы Адамара. Построить первые восемь функций сис-
темы Уолша-Адам ара.
24.	Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ). Основные
свойства.
25.	Построить матрицу ДЭФ размером 8x8 с минимальными
фазами.
26.	Взаимосвязь номеров функций Уолша в нумерации Уолша,
Пэли и Адамара.
27.	Для линейно изменяющегося сигнала х(0) = 0, 0 е [0,1) най-
ти первые четыре коэффициента Фурье по системе Уолша. Найти
среднеквадратичную ошибку представления такого сигнала четырьмя
первыми членами ряда Уолша-Фурье.
28.	Сигнал х(/) представляет собой симметричный треугольный
импульс с амплитудой А и длительностью 2т. Сигнал y(t) прямо-
угольной формы вписан в треугольный. Найти амплитуду y(t), при
которой расстояние между двумя сигналами будет минимальным.
Рассмотреть три метрики (1.1), (1.2), (1.3).
29.	С использованием среднеквадратичной метрики определить
взаимные расстояния между любыми двумя функциями из совокуп-
ности первых четырех: а) функций Уолша; б) функций ДЭФ, в) функ-
ций Хаара.
30.	Построить первые 16 функций Хаара.
31.	Изобразить матрицу, соответствующую первым 16 функци-
ям Хаара дискретного аргумента.
36
1.8.	Спектральный метод анализа
линейных систем
1.8.1.	Преобразование Фурье. Основные свойства
Все реальные сигналы имеют конечную удельную энергию:
30
J|x(Z)|2</Z <00.	(1.8.1)
Действительно, если x(f) - напряжение (или ток), действующее на
единичном сопротивлении, то интеграл представляет энергию, выде-
ляемую на единичном сопротивлении, и эта энергия конечна. В этом
случае x(t) - функция с интегрируемым квадратом на всей оси.
Известно [16], что для существования преобразования Фурье дос-
таточно выполнения следующих условий Дирихле:
а)	х(/) ограничена при /е(оо,-оо);
б)	х(Г) абсолютно интегрируема на (оо,-оо);
в)	х(/) имеет конечное число максимумов и минимумов, а также
конечное число разрывов на каждом конечном интервале.
Имеет место теорема Планшереля\ еслих(/)- функция с интег-
рируемым квадратом на всей оси, то существует функция X(f) так-
же с интегрируемым квадратом на всей оси и связанная с х(/) соот-
ношением
Т
X(f) = \.i.m. \x(t)e}llif'dt,	(1.8.2)
Г->00
где l.i.m. понимается как предел в среднем (limit in the mean):
oo	T
lim J X(f)- jx(l)e~J2nftdt
-00	— T
df = O.
(1.8.3)
Аналогично, если X(f) - функция с интегрируемым квадратом
на всей оси, то существует функциях (Г) также с интегрируемым
квадратом на всей оси и связанная с X(f) соотношением
w
x(0 = l.i.m. fX(f)ew'df	(1.8.4)
В этом случае имеет место равенство Парсеваля:
37
]|х(/)|2Л= J|X(/)|2#	(1.8.5)
Если в дополнение к сказанному функция х(/) абсолютно интегри-
руема, то
X(f) = J X(r) e-^'dt.	(1.8.6)
Если и функция X(f) абсолютно интегрируема, то
x(Z) = “\x(J)ej2*J' dt.	(1.8.7)
Соотношения (1.8.6) и (1.8.7) определяют пару преобразований Фу-
рье (ПФ) соответственно прямое и обратное.
Для частоты со = 2л/ пара ПФ имеет вид
Х(ы) = ^x(t)e~Jm'dt,	(1.8.8)
x(z) = J *(<») ejMda.	(1.8.9)
Интеграл (1.8.8) называется спектральной плотностью, а инте-
грал (1.8.9) - интегралом Фурье.
Интеграл Фурье сходится к значению x(f) в каждой точке, не
имеющей разрыва, и к величине, равной среднему значению лево- и
правостороннего пределов в точке разрыва x(t).
Теорема Планшереля имеет важное практическое значение, так
как часто приходится использовать финитное преобразование Фурье,
т. е. преобразование Фурье с конечными пределами интегрирования.
Пара ПФ символически изображается в виде
x(z) <-> %(©),
х(/) <->%(/).
В дальнейшем мы будем использовать обе формы записи ПФ.
Свойства спектральной плотности
1)	В общем случае A'(co) - комплексная функция частоты
^(ю) = Re[y(co)]- j Im [%(©)] = Я((й)- JB(a) = |JT(co)| eJvM,
где
38
Л(со) = Re [%(©)]= jx(/)cosco/dt,
B(co) = Im [%(«)] = jx(z)sincoZcfr,
|jr(co)| = ^2(®) + 52(®)
- амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),
/ x	5((o)
<p(<o) =-arctg——
Л(со)
- фазочастотная характеристика (ФЧХ) спектральной плотности
сигнала.
2)	Свойства симметрии А"(со). Для действительного сигнала (фи-
зические сигналы всегда действительные функции) имеет место
%(со) = %*(-со).
Это означает, что для действительного сигнала Я(со) и |%(со)|-
чётные функции, а В(со) и ср(со) - нечётные функции частоты.
Если в дополнение к этому x(t) - чётная функция, то
Х(со) = Х(-а) = А(а) = |%(со)|,
т. е. спектральная плотность является действительной и чётной
функцией со.
3)	Полезные соотношения. Для действительного сигнала х(/)
имеет место
х(7) = у- JХ(со) e7“' d(a=Y J|АГ(со) | ei[1 da =
= — J |X(co)|cos[cor + ср(со)] Jco.
л о
оо
При со = 0 %(0) = |х(/)Л - площадь сигнала.
При t = 0 х(0) = j X(со) da.
4)	Понятие отрицательной частоты. Комплексный гармониче-
ский сигнал е;<0/ изображают обычно вектором, вращающимся про-
тив часовой стрелки.
39
Реальный гармонический сигнал - действительная функция вре-
мени:
х(/) = Re[je"“'] = Jcosco/ = у(еую' +eiM).
Рис. 1.8.1
Его можно представить в виде суммы
двух векторов, вращающихся в раз-
ные стороны с угловыми скоростями
со и -со (рис. 1.8.1). Проекции этих
векторов на действительную ось
складываются, а на мнимую - вычи-
таются, компенсируя друг друга. Та-
ким образом, для действительного
сигнала обязательно наличие как
прямого спектра Х+(со) для со>0,
тък и инверсного %_(со) для со<0,
причем, как было отмечено выше:
Х+(со) = Аг(со), со>0и Х_(со) = Х*(-со), со<0.
Основные спектральные теоремы
1)	Свойство линейности (спектр суммы равен сумме спектров)
j[х, (/) + х2 (/)] e-Jm' dt = X, (co)+Х2 (со).	(1.8.10)
2)	Теорема запаздывания
*т(со)= |х(/-т)е’7“'Л = е’уш\Г(со).	(1.8.11)
3)	Теорема Парсеваля-Релея
\xi(t)x‘2(t)dt=— [^(со^соИсо.	(1.8.12)
Если сигналы действительные и х} = х2 = х, то
J x2(t)dt = - ]|%(со)|2 с/со = 2 J|%(/)|2 df.	(1.8.13)
-<О	71 о	0
Пусть х(/)-напряжение (или ток), действующее на единичном
сопротивлении, тогда функция
УЛ/) = |*(/)|2 =*(/)•*’(/)	(1.8.14)
40
по физическому смыслу представляет спектральную плотность энер-
гии сигнала. Эту плотность иногда называют энергетическим спек-
тром сигнала. Спектральная плотность энергии описывает энергию
сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц.
4)	Теорема о спектре произведения
f X,(r)x2 (/)₽-'“'
dt= f х2 (0 — [ X. (v) ejvt dv e'jmt dt =
2л i
2л j; i
(1.8.15)
=	JЛ (v)Хг(co -v)dv = X, (co) ® %2 (co),
2л
т. e. спектр произведения двух сигналов равен свертке их спектров.
5)	Теорема о спектре свертки. Составим свертку двух функций:
оо
хо=^(0®х2(0=	(1.8.16)
и вычислим ее спектр:
У(со) = J Jх] (т) х2 (г - т) dт еЧш'dt =
J W
jx2 (f-т) e jait dt dx.
Делая замену 3 = Г-т, получаем
У(со)= jx.We’^’c/r J х2 (Э) е~]Ш 3d& = ЛГ, (со) Х2 (со), (1.8.17)
т. е. спектр свёртки двух сигналов равен произведению их спектров.
Эта теорема имеет большое значение в задачах фильтрации сигналов.
Пусть, например, х(/)- входной сигнал линейного фильтра, а
h(f)- импульсная характеристика фильтра (по определению отклик
ПФ	ПФ
на дельта-импульс) и пусть x(f)<-> %(со),	Тогда по тео-
реме о спектре свертки для выходного сигнала фильтра имеем:
“	ПФ
Я0= |х(т)Л(Г-т)Л = х(г)®Л(г)<->Х(со)Я(со).	(1.8.18)
41
Операцию фильтрации часто проще реализовать в частотной области,
чем во временной.
6)	Автокорреляционная функция и её спектр. Эта функция для
действительного сигнала x(t) определяется следующим образом:
Ях(т)= р(Ох(/ + т)Л.	(1.8.19)
Она показывает меру похожести сигнала с его копией, смещённой на
т единиц времени. Переменная т играет роль параметра сканирова-
ния или поиска. Ях(т)-это не функция времени, а функция смеще-
ния т между сигналом и его копией.
Используя (1.8.12), легко показать, что для действительного сиг-
нала x(t) его автокорреляционная функция Лх(т) и спектральная
плотность энергии \|/х (со) = |Х(со)|“ связаны парой ПФ:
Ях(т)оу|/х(о)).	(1.8.20)
1.8.2. Импульсные воздействия в линейных системах
Особое значение имеет анализ прохождения импульсных сигна-
лов через линейные инвариантные во времени системы (ЛИВС). В
	лив- система	
		хо
		
качестве примеров таких систем
могут быть линейные фильтры и
усилители, различные системы
передачи и др. Процессы, проте-
кающие в системах при импульс-
ных воздействиях, называются
переходными. Можно выделить три основных метода анализа пере-
ходных процессов, вызываемых импульсным воздействием.
1.	Спектральный метод (метод интеграла Фурье).
2.	Операторный метод, развиваемый на основе преобразова-
ния Лапласа.
3.	Суперпозиционный метод, основанный на представлении
импульсного воздействия как суперпозицию элементарных сигналов
некоторой «стандартной» формы. В качестве таких стандартных сиг-
налов выбираются функция включения й 5-импульс.
Процедура анализа спектральным методом включает:
определение спектральной функции А^о) входного импульсного
сигнала x(t) с помощью прямого преобразования Фурье;
42
определение комплексной передаточной характеристики Я(со)
линейной системы;
определение спектральной функции У(со)= Х(со)Я(со) на выходе
системы;
определение выходного сигнала y(t) по найденной спектральной
функции К(со) с помощью обратного преобразования Фурье.
Таким образом, анализ переходного процесса, вызываемого им-
пульсным воздействием, сводится к анализу (с последующим сумми-
рованием) стационарных решений, выражающих результат воздей-
ствия на систему простых гармонических составляющих, каждая из
которых действует от t = -оо до t = оо. Единственным условием, ко-
торое при этом следует соблюдать, является то, что система должна
быть линейной, т. е. допускающей применение к ней принципа нало-
жения (суперпозиции).
Заметим, что в ряде случаев могут возникнуть математические
трудности, особенно на последнем этапе (получающиеся сложные
интегралы не берутся). Однако при этом имеются две возможности:
-	качественная оценка выходного сигнала по его найденной спек-
тральной функции;
-	приближённое определение формы выходного сигнала методом
численного интегрирования.
Помимо задач, связанных с анализом переходных процессов в
ЛИВС, иногда ставится задача синтеза системы, обладающей тре-
буемой передаточной характеристикой и позволяющей получить на
выходе сигнал заданной формы при определённом воздействии на
систему.
Для метода интеграла Фурье анализ спектров импульсных сигна-
лов имеет особое значение.
1.8.3. Спектры импульсных сигналов
Спектр одиночного прямоугольного импульса
Рассмотрим симметричный одиночный прямоугольный импульс
амплитудой Е и длительностью т (рис. 1,8.2я). Спектральная функ-
ция такого импульса
t/2	F	gir< t,)T
Х(со) = f Е е1™ dt = -—в-'"' % = Ex----(1.8.21)
43
АЧХ есть непрерывная функция частоты (рис. 1.8.26).
Рис. 1.8.2. а - симметричный прямоуголь-
ный импульс, 6 - амплитудный спектр, в -
фазовый спектр
Ширина главного лепестка |%(со)| на нулевом уровне составля-
ет 4л/т . Максимум главного лепестка равен площади импульса Ех, а
максимумы боковых лепестков -
Рис. 1.8.3
2Ет
(2и + 1)л’
где и = 1, 2, 3, номер бокового
лепестка. ФЧХ (рис. 1.8.2в) учитывает
изменение знака синуса.
В качестве примера на рис. 1.8.3 изо-
бражены (для положительных частот)
амплитудный и фазовый спектры пря-
моугольного импульса длительностью
т = 1 мс и амплитудой Е = 1 В. АЧХ
показана на рис. 1.8.3а, ФЧХ симмет-
ричного импульса на рис. 1.8.36.
Здесь также учтено изменение знака
синуса.
44
Однако для импульса, задержанного на т / 2, спектральная функция
X(J) = £xSm7I/Te-7-/t
л/т
отличается наличием фазового множителя е‘уяЛ и ФЧХ имеет вид,
представленный рис. 1.8.3в. Действительно
ф(/) = -л/т, 0</<—;
т
1	2
<Р(/) = -лЛ-л, — </<—;
т	т
2	3
ф(/) = -я/т-2л, -</<-.
т	т
Спектр симметричного треугольного импульса
Параметры импульса приведены на рис. 1.8.4а. Спектральную
функцию проще всего найти, используя теорему о спектре производ-
ной. Для производной (рис. 1.8.46) спектральная функция равна
45
Из последнего равенства получаем окончательно для спектра сим-
метричного треугольного импульса
sin23fi

(1.8.22)
Эта спектральная функция является чётной и вещественной
(рис. 1.8.4в). Фазовый спектр чисто нулевой.
Спектр косинусоидального импульса
Косинусоидальный импульс (рис. 1.8.5а) записывается в виде
Рис. 1.8.5
После двукратного дифференцирования сигнала x(t) мы получим
исходный сигнал, умноженный на -(л/т)2, и две дельта функции
(Ел/т)8(/ + т/2) и (Ел/т)8(/-т/2). Дважды применяя теорему о
спектре производной, с учётом спектра двух смещённых дельта-
функций можем записать
-(п/х)2Х(<о)+(Еп/х)(е'~* +eJ^ ) = (»2 JT(co),
откуда
%((>) = [£— 1 cos(^T/2>	(1.8.23)
V т Дл/т) -СО
Таким образом, спектральная функция косинусоидального импульса
является вещественной. АЧХ показана на рис. 1.8.56.
46
Спектр одностороннего экспоненциального импульса
Такой импульс задаётся
J£exp(-ar), t>0,
x(0 = <
[ 0, t < 0
при положительном веществен?
чении параметра a.
Рис. 1.8.6
Это сигнал бесконечной длительности, однако условие a > 0 обеспе-
чивает быстрое уменьшение его значений с ростом времени
(рис. 1.8.6a). Спектральная плотность импульса
X(f) = Е [e-a'e-i2n/'dt =------5------е-<о+/2"/и
о	-(a+J2n/)
00
О
-----?---- (1.8.24)
a+jlnf
есть комплексная функция %(/) = |Аг(/)|ехр[уф(/)], имеющая мо-
дуль (амплитудный спектр)
И(/>|° f	(1-8.25)
д/a2 + (2л/)2
и аргумент (фазовый спектр)
<р(/) = -arctg(2n/ /а),	(1.8.26)
которые изображены на рис. 1.8.66.
47
Эквивалентным заданием спектральной функции X{f) является
пара функций Ке[А^(У')] и Im [%(/)], графики которых представле-
ны на рис. 1.8.6в. Эти графики иллюстрируют свойство симметрии
преобразования Фурье любой действительной функции. |%(/)| и
Re[X(/)] являются чётными функциями, тогда как ср(/) и
Im [%(/)] - нечётными.
Спектр двустороннего экспоненциального импульса
Рис. 1.8.7
Этот импульс задаётся функцией
х(г) = Ее‘аИ,
которая показана на рис. 1.8.7а. Его
можно выразить через выше рас-
смотренный односторонний им-
пульс х,(/) следующим образом:
С учётом этого
%(со) = %,(©)+ %f(co) =
Е Е 2Еа
=---------1--------— —,--—.
(а + усо) (а ~ усо) а“ + со
(1.8.27)
Спектр чисто вещественный и
изображён на рис. 1.8.76.
Спектр колокольного импульса
Следующий важный сигнал - колокольный или гауссов импульс:
х(О = е(₽,>!	(1.8.28)
который имеет бесконечную протяжённость (рис. 1.8.8а). Эффектив-
ную длительность импульса можно определить, например, из усло-
вия ехр[~р2(т/2)2] = 0,1. Тогда получаем
2J-lnO, 1 3,035
т = —------=------.
р р
Спектральная плотность импульса
48
Z(a)= p-<₽2'2+>'>rff.
Рис. 1.8.8. a - гауссов импульс, б - его спектр
Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы воспользо-
ваться табличным интегралом
со
J - Vn,
который получается из условия нормировки гауссова закона распре-
деления. Выделяя полный квадрат
2	2	-2
р2/2 + Jat = р2Г2 + Jat —^у + -^у = (р/ + —)2 +	,
4р2 4р2	2р' 4р2
можем записать
%(ш) = е-<"гм₽’> р-<₽,+>"/2|3)!б*.
Введём новую переменную Jj = р/+^, тогда dt = dtJQ и
-ш2/4р2 »	Г~
Х(а) = ------= —е’(о/2р)2	(1.8.29)
Р -go	Р
т. е. спектральная плотность гауссова импульса вещественна и явля-
ется гауссовой функцией частоты (рис. 1.8.86). Чем больше £ тем
короче сигнал и тем шире его спектр.
Спектр короткого одиночного импульса
Функция х(/), представляющая короткий импульс произвольной
формы, равна нулю вне некоторого малого интервала т около t = О,
поэтому
49
т/2	т/2
Х(со) = J x(r) dt = j х(/) dt = const = площадь импульса.
-т/2	-т/2
Здесь учтено, что при малых т можно считать е±7шт/2 = 1.
Таким образом, спектр короткого импульса есть непрерывная
функция частоты, имеющая постоянное значение, равное площади
импульса, форма импульса может быть произвольной.
Следует заметить, что e±J(axl2 мало отличается от единицы при
_ 2 л
сот/21 или т«Г = —.
(О
Отсюда следует важный практический вывод: короткий одиночный
импульс произвольной формы имеет сплошной спектр, который мо-
жет быть выражен постоянной величиной, пропорциональной пло-
щади импульса, в пределах того интервала частот, период колебаний
которых остается большим по сравнению с длительностью импульса.
Связь между длительностью импульса
и шириной его спектра
Как видно из предыдущих примеров, импульсы ограниченной дли-
тельности имеют бесконечно протяжённый спектр. Практически под
эффективной шириной спектра Дюэ принимают область частот, в
пределах которой сконцентрировано 904-99% энергии сигнала. Ана-
логично можно ввести понятие эффективной длительности тэ им-
пульсных сигналов бесконечной протяженности, таких, как коло-
кольный и экспоненциальный импульсы и др. В этом случае величи-
ны тэ и Асоэ находятся из выражений
2	оо
| х2 (t)dt = а | х2 (t)dt
До),
2-
—00
1
2п
J |У(со)|2б/со.
Д(оэ
и а
Для а = 0,9 в таблице 1.8.1 приведены значения произведений
тэ * АЛ У распространённых на практике импульсов [19]. Из таблицы
видно, что произведение тэ • оказывается наибольшим для раз-
рывных сигналов (прямоугольного и экспоненциального); меньшее
значение тэ • Af3 получается у импульсов с разрывом первой произ-
водной (треугольного и косинусоидального). Наконец, наименьшее
значение тэ • Д/э оказывается у колокольного импульса, для которого
50
выражающая его функция x(t) непрерывна со всеми своими произ-
водными. Из изложенного можно заключить, что невозможно одно-
временно сконцентрировать сигнал в узкой полосе частот и в корот-
ком интервале времени.
Таблица 1.8.1
Импульс	Рис.	Тэ	Да>3	д/,	
Прямоугольный	1.8.2	0,9 т	5,1 /т	0,81 /т	0,73
Треугольный	1.8.4	0,541 т	5,3/т	0,84/т	0,46
Косинусоидальный	1.8.5	0,596 т	4,57/т	0,73/т	0,43
Экспоненциальны й	1.8.6	1,15/а	6,16а	0,98 а	1,13
Колокольный	1.8.8	0,83/р	1,64 Р	0,26 Р	0.22
Это утверждение представляет собой одно из проявлений извест-
ного в физике принципа неопределённости'.
тэ-Д/э>Ц,	(1.8.30)
где ц- постоянная, зависящая от выбора определений т, и Д/э.
Рассмотрим определения для тэ и Д/э, основанные на понятии о
моментах функции. За меру длительности импульса можно принять
величину
----------
Jx2(O<*
где Го = jtx2(t)dtj ]х2(/)Л - нормированный первый момент (се-
редина импульса), т^ф - нормированный второй центральный момент.
Аналогично, мера ширины спектра
(Дфзф)2 = 2- ]‘(со-и0)2|^(со)|2й'«>/у-j|A'(w)|2dm.
соо = 2- Ги|А'((в)|2 dm.
2л J
51
Принцип неопределенности записывается в виде
>-,	(1.8.31)
т. е. длительность импульса и ширина его спектра не могут одновре-
менно иметь произвольно малое значение. Наименьшее значение
т^ДсОэф =1/2 соответствует колокольному импульсу.
Замечание. Метод моментов применим не ко всем сигналам. Сиг-
нал x(t) с увеличением t должен убывать быстрее, чем 1/Z, а спектр
%(ш) - быстрее, чем 1 / со, т. к. в противном случае соответствующие
интегралы расходятся. В частности, это относится к спектру прямо-
угольного импульса.
Итак, при заданной форме сигнала сжатие его во времени неиз-
бежно сопровождается расширением спектра и, наоборот, сжатие
спектра сопровождается растяжением сигнала во времени. Принцип
неопределенности - фундаментальный принцип, используемый при
синтезе и обработке импульсных сигналов.
1.8.4. Дельта-функция и её спектр
Введём в рассмотрение дельта-функции Дирака. Их корректное
определение даётся в теории обобщённых функций [5-7]. Здесь мы
воспользуемся некоторыми полезными свойствами этих функций.
Дельта-функция Дирака по определению равна бесконечности,
когда её аргумент равен нулю, и нулю - при остальных значениях,
причём площадь под её графиком равна единице. Таким образом,
[оо при /= L,
5(/-/„) = (
[ 0 при t /0
(1.8.32)
и
'о+е
J 8(Z - /0) dt = 1 при любом е > 0.
/0-е
(1.8.33)
Из последнего соотношения следует, что дельта-функция имеет раз-
мерность, обратную размерности её аргумента.
Часто желательно определять эту функцию так, чтобы она была
чётной функцией своего аргумента:
5(/-/0) = 5(/0-/),
(1.8.34)
в этом случае
52
Z0	f0+e	1
J 5(t-tn)dt = J 8(t-t0)dt = — , £>0.	(1.8.35)
/0-e
Предположим, что дельта-функция интегрируема по интервалу
(-оо, t). Тогда
/
j5(T-Z0)Jx = y(/-r0),	(1.8.36)
-со
где у (/ - /0) - функция единичного скачка или функция Хевисайда:
Г О
1/2

1
при t < t0,
при t = Го,
при t > t(] .
(1.8.37)
Таким образом, функция единичного скачка является интегралом от
дельта-функции. Следовательно:
=	(1.8.38)
а)		б) Площадь ровна	? единице	
0			‘	'о
Рис. 1.8.9. а - дельта-функция, б - функция единичного скачка
Рассмотрим три импульса (рис. 1.8.10), отличающиеся тем, что
площади их равны единице.
Рис. 1.8.10. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию,
при стремлении их длительности к нулю
Введём предельные соотношения:
lim Z7_ (/) = 8(/);
т—>0
53
1	t2
lim exp(---------7) = 8(0;
'-°л/2^т	2т2'
. лГ
sin —
lim---— = 8(0-
Каждая из приведённых аппроксимирующих функций (импульсов)
является простым и физически наглядным прототипом дельта-
функции. Однако следует отметить, что дельта-функция не
ни функцией в классическом смысле, ни импульсом, а
обобщенной функцией.
Известно так называемое фильтрующее свойство
является
является
дельта-
функции, заключающееся в том, что её свёртка с любой ограничен-
ной и непрерывной в точке tQ функцией х(0 равна
*('о)>
ь
J х(О8(/-,о)Л =](l/2)x(Z0),
о,
/0=а или tQ=b, (1.8.39)
t0 <а. tQ> b.
Если функция х(/) в точке t = tQ имеет разрыв (первого рода), то
ь
J x(r) 8(Z -10) dt = (1 / 2)[x(r0+) + x(/0.)], a < ta < b, (1.8.40)
a
где х(/0+) и х(/0_)-значения х(Г) справа и слева от точки разрыва.
Доказательство (1.8.39) получается, если под знак интеграла под-
ставить вместо 8(/-/0) любую аппроксимирующую её функцию
(рис. 1.8.10), а затем перейти к пределу.
Если а- действительная величина, то выполняются следующие
равенства:
5[а-/0)/«]=
J x(0 8(Z -a)dt = x(a),	(1.8.41)
x(0 ® 5(/ - a) = x(Z - a),	(1.8.42)
x(t) • 8(t -a) = x(a) • 8(/ - a),	(1.8.43)
|o|8G-r0) и 5(а/-/0)=^8(/Л).	(1.8.44)
54
На основании (1.8.41) находим, что
J 8(t)e-/2nf,dt = ea =1,	(1.8.45)
т. е. спектр дельта-функции постоянен на всех частотах. Отсюда еще
одно полезное соотношение (обратное ПФ):
5(0 = ^eJ2nf'df	(1.8.46)
Аналогично, из того, что 1 о 8(/), можем записать
§(/)= $ e-j2n f‘dt,	(1.8.47)
8(/-/0)= р'-'2я(/'Л),Л,	(1.8.48)
еу2лЛ'о5(/-/0).	(1.8.49)
Из последних соотношений видно, что спектр единичной кон-
станты есть дельта-функция, сосредоточенная в нуле, а спектр ком-
плексной экспоненты ej2nfo‘ - одиночная дельта-функция, сосредо-
точенная в точке /0. Для частоты = соответствие (1.8.49) за-
писывается в виде
<-> 2я8(со-со0).
(1.8.50)
Производные от дельта-функций
Производные от дельта-функции определяются как пределы соот-
ветствующих производных от аппроксимирующих функций.
Так, например, в случае гауссовой аппроксимации для н-й произ-
водной от дельта-функции получаем следующее определение:
8(л)(Г) = Нт
1 dn
т>/2л dtn
(1.8.51)
Так же как и сама дельта-функция, её производные равны нулю
при t Ф 0. Поведение производных при t = 0 несколько сложнее. Так,
например, первая производная
55
8'0) = —
л/2л ’-° т2
равна 4-оо при подходе к началу координат слева (t - 0_) и равна -оо
при подходе справа (Z - 0+). Таким образом, в окрестности t = 0 по-
ведение 8'(0 сравнимо с поведением функции -1/Л
Фильтрующее свойство дельта-функции распространяется также
и на её производные:
J хО)8(">0-/о)Л = (-1)ях("’0о).	(1.8.52)
Если производная х<п)(/) терпит разрыв (первого рода) в точке
t = t0, ТО
J	x(O5w(/-r0)A = ^[xw(/0+)+xwao_)].	(1.8.53),
Спектр производной дельта-функции получаем с использованием
(1.8.52)	|
(d"e~ia‘ А	I
J	dt = \“- - =(jaye-iM" (1.8.54)
\	Л*,
Отсюда видно, что если t0 = 0, то
5(”(0о(М	(1-8.55)
1.8.5. Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов
Спектр действительного гармонического сигнала |
Используя формулу Эйлера и соотношение (1.8.49), можем запи-1
сать
Л»52лЛ,4(е™.Че-/-')»^(/-Л) + 6(/ + Л)1.
(1.8.56)
ASin2nfot = £(eJ2nf°‘+ f0)].
2-J	2j
Таким образом, модуль спектра действительного гармонического
сигнала с частотой /0 и амплитудой А представляет собой пару
56
дельта-функций с весом J/2, расположенных на частотах ±/0. Для
частоты со = 2 л/ соответствие (1.8.56) записывается в виде
Jcosco0Z = —• (е7Ъ°/ + е~уа)о/) <-> Лл[8(со-со0) + 8(со + со0)],
(1.8.57)
A sin co0z = —	) <-> — [8(со - со0) - 8(со + со0)].
2j	j
Спектр функции включения
Функция c(Z) была определена соотношениями (1.8.36) - (1.8.38).
Возьмём функцию y(t) = e~at -c(z), где параметр а>0 выбирается
так, чтобы функция была абсолютно интегрируемой, т. е.
||е-а/ • n(Z)| dt < оо.
о
Тогда
У(ш)= fe'(a+'m),dt =—5—.
о	« + >
Следовательно:
/\ г f 1	1
cr(Z) <-> lim ---- = —.
+	/со
Переход к пределу справедлив при всех частотах, кроме со = 0.
С другой стороны, функция включения имеет постоянную состав-
ляющую (1 / 2) <-> л8(со), поэтому можем записать окончательно:
a(z) <-> тг8(со) + —= тгЗ(со)-j—.	(1.8.58)
57
Действительная и мнимая части спектра функции включения изо-
бражены на рис. 1.8.10.
Спектр функции знака
Эта функция определяется выражением
[+1, г > 0,
sgn/ = <
6	[-1, z<0.
Её связь с функцией включения поясняет рис. 1.8.11.
<	1/2	 + 	 4		- -	Lx2(/)=ysgn/	। i/г	 1 	 .	4			= гт(1!)
			
		-1/2		f
Рис. 1.8.11
Видно, что — sgn t = ct(z) -1 / 2 о — = -j—. Отсюда окончательно
2	jco со
sgn / <-> —2-= —7 —~ •	(1.8.59)
у® л/
Спектр чисто мнимый, как у всякой нечётной функции.
1.8.6. Примеры нахождения спектров
Спектр сигнала на выходе интегратора
Упражнение 1.8.1. Найдём спектр функции
у(') = /x(x)Jx.
Представим интеграл в виде свёртки:
jx(x)o(/-x)Jx.
По теореме о спектре свёртки с учётом (1.8.58) можем написать
y(®) = n8(co)Z(0) + ^-^.	(1.8.60)
58
Упражнение 1.8.2. Определить спектральную плотность сигнала на вы-
ходе реального интегратора
м(/) = J
* t-T
Здесь Т > 0 - фиксированный параметр. Этот определённый интеграл равен
разности двух значений первообразной: одно при аргументе /, а другое -
при аргументе t-T*.
“(О =	j x(y)dx = ^|>(/) - y(t - Г)].
* t-T	*
Используя спектр первообразной (1.8.60) и теорему запаздывания, получаем
и(Г) = - [ х(т)Лт <-> J7((o) =	(1 - eJmT) = %(©) ^п(а7У2) e-ioT! 2
Т t*T	j(i)T
(1.8.61)
Здесь e~j<3iT - оператор задержки на Т. Модуль знаменателя линейно растёт
с частотой, а величина (1 - e~J^T ) ограничена по модулю. Поэтому интегра-
тор подобно фильтру нижних частот ослабляет высокие частоты в спектре
входного сигнала Х(со).
Спектр отрезка синусоиды
Упражнение 1.83. Определим спектр отрезка синусоиды, состоящего из
целого числа периодов:
х(/) = <
sin co0Z, - т / 2 < t < т 12,
о, |г|>т/2,
где т = NT^ = N2n / со0, N - целое. Представим х(Г) в виде
х(/) = 5(Г)-у(Г).
Здесь $(/) = sin cooZ, -оо < t < оо, a y(t) - симметричный прямоугольный
импульс длительностью х и амплитудой 1. Мы уже знаем, что
х «х	х, .rz х sincox/2
S(®) = —[8(ш-и0)-8(а>+ш0)] и = т
j	сох /2
По теореме о спектре произведения можем записать
А» = 5(<в) ® Г(<й) = J 5(П)У(й> - QMQ. =
= ” J[8(0 -®0)- 8(Q + ш0 )]Г(ш-Q)dQ = -[У(®- <d0 ) - У(®+<в0)] =
59
n sin((D - ш0 )т / 2 sin(co + соо )т / 2
— т-----------------------т--------------------
j [_ (ш - соо )т / 2 (со + ш0 )т / 2
(1.8.62)
Для случая т = 4л/соо (два периода синуса) на рис. 1.8.12 изображены сме-
щённые ядра Дирихле У(со-соо) и -У(со + со0) и модуль результирующего
спектра |%(со)|.
Рис. 1.8.12. Спектр отрезка из двух периодов синусоиды
Как видно, боковые лепестки смещённых ядер, примыкающие к началу
координат, синфазно складываются, в результате спектр отрезка синусоиды
|*(<0)| при со > 0 является ассиметричным: левый лепесток больше право-
го. Для отрезка косинусоиды, наоборот, правый лепесток будет больше лево-
го.
Спектр пачки равноотстоящих импульсов
Упражнение 1.8.4. Найдём спектр пачки равноотстоящих импульсов. Для
определённости возьмём пачку из N прямоугольных импульсов (рис. 1.8.13).
Рис. 1.8.13
60
Обозначим через ^(со) спектральную плотность первого импульса. Тогда
для группы из N равноотстоящих импульсов в соответствии с теоремой за-
паздывания будем иметь
ад = X, (со)[1 + e~j(aT + e~Jm2T +... +	] = X. (со)£ е~^кт
к = 0
На частотах со = п2п / Т, где и - целое, каждое слагаемое в квадратных
скобках равно единице, следовательно:
%(со = п2п / Г) = МГ, (со = п2 п / Т).
Таким образом, на частотах со = и2я/Т модуль спектра пачки в 2V раз
больше модуля спектра одиночного импульса. Это объясняется тем, что на
частотах со = я2л/Г спектральные компоненты различных импульсов
складываются с фазовыми сдвигами, кратными 2п.
Суммируя N членов геометрической прогрессии, получаем
1 p-j<&NT	-jttiNT/2г /соЛАГ/2   -у<оЛТ/2 т
ад = X, (со)-^-г =	=
= X (со)е"уш(ЛГ-1>г/2) S*n /2
1	sin со 77 2
Видно, что на частотах со = w27t/N7\ где тп - целое, %(со) = 0. Подстав-
ляя сюда значение
%, (со) = £TSln(QT/2g-'™'
1	фт/2
где т-длительность отдельного импульса, получаем окончательно для спек-
тра пачки из N равноотстоящих прямоугольных импульсов:
ад = е-мс^ч>г/з«/2)£т	sinco^	(1 8 63)
сот/2 sincoT/2
Для иллюстрации на рис. 1.8.14а изображён модуль спектра пачки из
трёх прямоугольных импульсов, а на рис. 1.8.146 - из четырёх. При этом
интервал между соседними импульсами Т = Зт. Пунктиром изображён мо-
дуль спектра одиночного импульса. С увеличением числа импульсов в пачке
спектральная плотность %(со) при 7V—>°о принимает дискретную струк-
туру спектра периодической функции (рис. 1.9.2).
Нетрудно обобщить этот результат на произвольную форму одиночного
импульса.
61
Рис. 1.8.14. Модуль спектра пачки прямоугольных импульсов:
а - три импульса в пачке, б - четыре импульса в пачке
В заключении этого параграфа приведём сводку основных
свойств преобразования Фурье. Их можно рассматривать как задачи
и упражнения для самостоятельной работы.
Сводка основных свойств ПФ
Таблица 1.8. 2
Сигнал х(Г)	Спектр X(f)
х(аг)о—-Х\ — |
1	а V а)
теорема об изменении масштаба
х(г)-е±у2”Л' <-> X(f + f0)
2
теорема смещения
62
63
13	е	° 			г а2+(2п/)2
14	1	С Z — <-> -;Sgn/ тт/
15	t • e~at  c(t) <-> 	, а > 0 (а + ;2л/)2
16	г о М£> 2л
17	^[8(/+/0)-8(Г-Г0)] <-> jsin2n/z0
18	х(0 cos 2nf0t	%(/ + /о) + *(/ - /о)]
19	P{'-kr> « 7.МФН)
20	X x(kT)8(t-kT)^^ X Х(/-7)= Z ^kT)e-J2"fkT к = -оо	* к--ао \	* J к=-<х>
64
1.9. Спектры периодических сигналов
Спектр гармонического сигнала
Рассмотрим функцию
x(r) = e-/“°r -oo<z<qo,
представляющую в комплексной форме гармонический сигнал с час-
тотой ш0. Используя приведенные выше интегральные соотношения
для дельта-функции, можем записать:
е>о' о jdt = 2л5((О _ j	(i ,9.1)
Это важное соотношение мы используем для получения спектраль-
ной функции периодического сигнала.
Для действительных гармонических сигналов с учётом формул
Эйлера имеет место
cos(o0r <-> л[8(со-со0) + 8(со + со0)],	(1.9.2)
sin со0/ <-> —у [8(со - со0) - 8(со 4- со0)].	(1.9.3)
Спектр Т-периодического сигнала
Такой сигнал может быть представлен своим рядом Фурье:
х(0 = £ А„ е j?nl = £ A„eJn^, (1.9.4)
п = -°о	П =
где по определению
1 7V2
Л„=1 J
1 -Т/2
, -	»	. 2л
есть коэффициенты Фурье, а А со = —— расстояние между гармони-
ками в спектре Т-периодического сигнала. Предполагается, что функ-
ция x(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е. x(t) или непрерыв-
ная, или имеет конечное число разрывов на интервале [-Г /2, Т /2],
и число максимумов и минимумов на этом интервале конечно.
65
Чтобы получить спектральную функцию Г-периодического сиг-
нала, воспользуемся приведенным выше выражением для спектра
комплексного гармонического сигнала. Тогда
х(Г)= £	7лА“' <-> 2л £ Л„8(со-иДсо). (1.9.5)
п = -00	П = -СО
Таким образом, спектральная функция Т-периодического сигнала
имеет дискретную структуру в виде взвешенной последовательности
дельта-функций. Площади отдельных 8-функций равны соответст-
вующим коэффициентам Фурье, а период следования на частотной
оси А со = 2л/Т. Такое представление спектра периодического сигна-
ла является удобной математической идеализацией, как впрочем
идеализацией является и сам периодический сигнал.
Размерность дискретного амплитудного спектра Ап имеет раз-
мерность самого сигнала, в то время как спектральная функция
^(со) непериодического сигнала имеет размерность самого сигнала,
умноженную на размерность времени.
Средняя мощность периодического сигнала
1 Т/2	, Г/2
рх=- J И0|2<*=7 J =
1 -Т/2	1 -Т/2
Ё Ё	Ё w (19-6)
Й = -со rn = -oo	* -Т!2	п = -а>
определяется суммой мощностей всех его спектральных компонент.
Формула (1.9.6) есть равенство Парсеваля для периодического сигна-
ла. Выделим один период x(t):
-T/2<t<T/2,
*т(0 [ 0,	р|^Т/2.
Преобразование Фурье такого сигнала конечной длительности
Г/2
ЛГт(а>)= f xT(t)e~Jal dt
-Т/2
связано с коэффициентами Фурье Г-периодического сигнала очевид-
ным соотношением:
Jn=l%T(z7A<D).	(1.9.7)
66
Спектр периодической последовательности
дельта-функций
£>(0= £ 8(Г-*Г).	(1.9.8)
к = -да
Эту последовательность иногда называют гребенкой Дирака, Ряд
Фурье такой Г-периодической последовательности дельта-функций
D(0 = £ Спе	£ е Jn^',	(1.9.9)
П = -00	П = -ОС
где коэффициенты Фурье
1 772	- —nt 1
Сп = — j 8(Z - kT) е J т" dt = — для всех п.
Т -Т/2	?
По аналогии с Г-периодическим сигналом можем записать
во	1 ОО	П_ 00
DT(t)= £ 8(t-kT) = ^ £	£ 8(со-«Д<в) =
к = -00	* П = —00	* П = -ас
= Д©£ 8(ш-иДа)) = ОДю((0).
П--00
Соответствие DT(t) <-> Z)^(cd) или
£ 8(Г-АТ)<->Дсо £ 8(а>-«Да>)	(1.9.10)
к = -оо	п = -да
называется формулой Пуассона и иллюстрируется на рис. 1.9.1, где в
круглых скобках отмечены площади отдельных дельта-импульсов и
по-прежнему Дсэ = 2л/7’. Это соответствие удобно использовать,
например, для нахождения спектра сигнала, полученного периодиче-
ским повторением одиночного импульса.
Рис. 1.9.1
67
Так, Г-периодический сигнал х{1) может быть представлен в виде
свертки
х(О = хт(/)® £ 5(t-kT)
к = -®
сигнала на одном периоде хт(г) и Г-периодической последователь-
ности дельта-функций DT(t). В спектральной области свертке
соответствует произведение фурье-образов
Х((й)-А(й £ %т(со) 5(со-иДсо) =
в л = ’“	(1.9.11)
= Д со	Хт (пДсо) 5(со - иД со),
п = -со
где Дсо = 2л/Т, а %т(со) - спектральная функция, соответствующая
одному периоду сигнала.
Спектральная функция периодической
последовательности прямоугольных импульсов
Возьмем для примера одиночный прямоугольный импульс, рас-
смотренный выше, и повторим его с периодом Г. Спектральная
функция такой последовательности в соответствии с (1.9.11) равна
-
%(со) = £тДсо -яД(Д 8(со-»Дсо) (1.9.12)
и = -оо 2
и изображена по модулю на рис. 1.9.2 для случая Т = Зт.
|М
|л(0)|
1 ''х
\
\
\
к
г-
О Дсо 2До) 2я	4/г	ц)
г	г
Рис. 1.9.2
68
Задачи и упражнения к пп. 1.8-1.9
Д-20. Доказать свойства ПФ (1-20) в таблице 1.8.2.
Указания к доказательству некоторых из этих свойств:
1. Сделать замену t = at в прямом ПФ.
. Д Продифференцировать по t интеграл обратного ПФ и сделать
соответствующие выводы.
4.	Продифференцировать по f интеграл прямого ПФ и сделать со-
ответствующие выводы.
5.	Представить y(t) как свертку x(t) с функцией включения a(t)
и использовать теорему свертки ПФ.
6.	Представить а(/) = lim e~at t > 0, и выполнить предельный
переход при а -> 0 в спектральной функции экспоненциального
импульса. Рассмотреть особенности при f = 0.
7.	Представить sgn(z) = <j(z)-<y(-z).
& Представить треугольный импульс как результат свертки двух
одинаковых прямоугольных импульсов.
9-10. Воспользоваться формулой Эйлера, теоремой смещения и
линейностью ПФ.
11. В прямом ПФ преобразовать подынтегральное выражение так,
чтобы можно было воспользоваться табличным интегралом
00
j е~у dy = у/п.
12. Обозначив x(t) = e~atv(t), представить функцию в виде
=х(Г) + х(-/).
15-16. Применить свойства ПФ дифференцирования и умножения
наг.
21.	Получить выражения для спектра пачки из N прямоугольных
импульсов амплитудой Е, длительностью т и интервалом следования
в пачке Г, рассматривая пачку как результат стробирования беско-
нечной последовательности импульсов прямоугольным окном дли-
тельностью NT.
Указание. Использовать выражение для спектра периодической
последовательности и свойства ПФ для произведения.
22.	Изобразить на одном чертеже модули спектров двух последо-
вательностей
69
23.	Найти и изобразить спектр отрезка синусоиды
x(/) = sin2n/0r; -T<t<T\ Т =
J о
Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и
правого) в спектре.
24.	Найти и изобразить спектр отрезка косинусоиды
2
x(r) = cos27t/0f; -Т <t<T\ Т = —.
/о
Обратить внимание на разные уровни боковых лепестков (левого и
правого)в спектре.
25.	Определить значения мнимой и действительной частей коэф-
фициентов Фурье следующих последовательностей:
70
Г1 для п = 0,	1
в)ЯеСя=<	ImC = -—.
[О для других п\	пп
26.	Разложить в ряд Фурье периодическую последовательность
прямоугольных импульсов для случая Т - 2 т (меандровая последо-
вательность).
_т •' т Т	'
2	2
Построить спектральную диаграмму. Определить закон спада макси-
мумов боковых лепестков.
Ответ:
Hit
2
/77СТ
д,=-Ц
2/„
=
П	Ji пт
27.	Найти спектр функций отсчетов
2n/.(z-*4<)
используемых в теореме Котельникова.
28.	Доказать ортогональность функций отсчетов
sin2„/.(t-^) д/ = _1_
2я/,(<-*Л/)	2/.
на бесконечном интервале (-оо,оо).
Указание. С учетом теоремы запаздывания ПФ определить фурье-
образы функций (/) и (pz (z), а затем воспользоваться обобщённым
равенством Парсеваля.
29.	Найти и изобразить спектральную плотность группы из 2У + 1
дельта-импульсов, расположенных симметрично относительно нача-
ла координат. Отметить величины максимумов и их расположение по
частотам, а также частоты нулевых значений.
Указание. Воспользоваться формулой суммы (2N + 1) членов
геометрической прогрессии
S (2N +1) = —--------,
(1-7)
где п, - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.
71
Ответ:
8тл/(2Я + 1)7’
Л 2Я+1	“
л/Т
♦ V'’
III)	6(1) j (I) 6(1) 6(1)
JLLLJ—
-NT -TO T NT [N+\}T
^(П‘О, \t\> NT
a
30.	Действительный сигнал x(t) имеет финитный спектр X (/),
т. е. Х(/) = 0 вне конечного интервала частот, например, [~Л»Л]-
Сигнал, дискретизованный в соответствии с теоремой Котельникова
с шагом Дг = 1/2/в, представляется в виде
Хл (t) = x(f) -D(t) = x(t) • ДГ £ 8(Z - k\t) =
= М^х(кМ)5(1-кМ).
k=^
Получить выражение для спектра дискретизованного сигнала и выра-
зить его через %(/).
Указание. Воспользоваться выражением для спектра гребенки
Дирака и теоремой о спектре произведения.
31.	Показать, что
£ x(t)h(t-kbt)<x>— £ X\f-—1-Я| —
Указание. Разложить в ряд Фурье периодический множитель
к --оо
32.	Показать, что
72
33.	Используя соотношения из задач 31 и 32, проверить следую-
щие формулы Пуассона:
34.	Используя равенство Парсеваля, проверить утверждение
(х<">,х) = (У,*), где У(/) = (у2л/)я
35.	Вычислить интегралы:
ч 7 sin 9	,ч 7f sinOY	a ~f( sin 9)* JA
a) I -r-dQ; б) I —- dQ; в) I dQ.
_ v	A U J	к U J
36.	Пользуясь принципом дуальности ПФ, показать, что
1	-2*1/1
1 + г2
Проверить результат непосредственным вычислением обратного
^^образования.
37.	В спектральном анализе сигнал x(t) часто умножается на так
называемую оконную функцию w(f). При этом в спектральной об-
ласти произведению функций будет соответствовать свёртка их фурье-
образов:
Простейшее прямоугольное окно w(f) имеет фурье-образ
W(f) со значительным уровнем боковых лепестков, в которые про-
исходит «утечка» спектральной энергии сигнала. В этом смысле
относительно хорошим является окно Ханна:
l + COS7tf/T р| <т
о,	|/|>Т,
которое называется также «приподнятым косинусным окном». Найти
И изобразить соответствующее спектральное окно. Оценить уровень
боковых лепестков. Объяснить действие окна в частотной области.
Н0 =
73
1.10.	Преобразование Лапласа в линейных системах
Некоторые сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной
интегрируемости, не могут быть представлены в виде интеграла
Фурье:
Х(0 = — [X(a)eJ““ dt,
2л
т. к. для таких сигналов не определена и не существует спектральная
функция Х(со). Например, для скачка напряжения
[ Е, t > 0,
х(Г) = <
[0, t < 0
спектральная функция
Х(со) = J x(t) e~jB" dt = (E I jco) (1 - lim eia‘)
—00
не определена, поскольку exp (-jcoZ) при t —> оо не стремится ни к
какому пределу.
Умножим x(t) на ехр (-₽/), где р - положительная константа
выбирается так, чтобы колебание х(/) ехр (~р/) было абсолютно
интегрируемым. Тогда
Х((О,Р)= j[x(O	dt.
Для существования интеграла будем считать сигнал х(/) каузаль-
ным, т. е. x(t) = 0 при t < 0. В этом случае
Х(ш, р) = jx(O e~{P*jae> dt.
О
Обратное преобразование имеет вид
х(Г) е-₽' = — f Х(&, Р)	Jco.
2л
Умножим обе части этого выражения на ехр(Рг) и заменим пере-
менную интегрирования р = Р + усо. Тогда два последних выражений
приобретают вид
Х(р) = Jx(r) ер' dt,	(1.10.1)
О
74
x(t) = ^\ X(p)e'”dp.	(1.10.2)
2лр-;«
Это есть пара одностороннего преобразования Лапласа, которое сим-
волически будем обозначать следующим образом:
х(0 <=> Х(р).
Функция х(/) называется оригиналом, а функция Х(р) — изображе-
нием. Преобразование Фурье является частным случаем преобразо-
вания Лапласа, в котором достаточно положить р = 0. Обратное пре-
образование (1.10.2) осуществляется путём интегрирования в ком-
плексной плоскости р вдоль вертикальной прямой (р- joo, р + у со)
(рис. 1.10.1). Путь интегрирования должен проходить правее полю-
сов
Рис. 1.10.1
подынтегральной функции X(p)-ept Образуем замкнутый контур
ХШтегрирования добавлением к прямой (р, - j оо» Pj + j оо) дуги бес-
конечно большого радиуса так, чтобы этот контур охватывал все
Полюсы подынтегральной функции (рис. 1.10.2). Тогда интеграл
1,10.2) превращается в контурный и в соответствии с теоремой Ко-
Ййо вычетах может быть определен следующим образом:
х(/) = — d Х(р)ер' dp =	(1.10.3)
АВСА	* P~Pk
Правая часть этого выражения равна сумме вычетов в полюсах по-
дынтегральной функции. Важное свойство контурного интеграла: он
ве зависит от формы замкнутого контура интегрирования.
75
Пример 1.10.1. Пусть х(/) = ехр(р0/)сг(/), где р0 =Р0 +	~ Фм
сированное комплексное число. Наличие функции включения сг(7) обуслов
ливает равенство х(7) = 0 при t < 0. Согласно (1.10.1)
e~{p-po)t	t =00
Р-Ро	/ = 0
ОО
Х(р) = je’(p’/’o)' dt = -
о
При условии Re р = Р > 0О числитель обращается в нуль при t —> оо.
В результате получаем соответствие
еРо'ег(О<=>—-—.	(1.10.4
Р~Ро
Полюс в точке р = pQ.
Для действительного экспоненциального импульса
е-₽,'о(7)<»—.	(1.10J
Р+₽!
Полюс в точке р = ~Pj (Pj > 0).
Пример 1.10.2. Пусть x(t) - е ^2/cosco2/cr(Z) и р2 >0. Тогда
z Lo
+ e'J“2'
if i 1 )
~ -----+----7
?\Р-Рг Р-Рг)
где рг =-P2 +J<o2-
Функция X(p) имеет два полюса в точках
Рис. 1.10.3 Р = Рг =-₽2+7Ю2 И Р=А =-p2-J®2-
Положение полюсов показано на рис. 1.10.3.
1.10.1. Теорема разложения Хевисайда
Вычисление обратного преобразования значительно упрощаете
когда Х{р) является рациональной функцией, которую всегда моз
но разложить на элементарные дроби. Так если рациональная фун
ция является правильной (степень числителя меньше степени знам
нателя) и корни знаменателя (полюса Х{р)) являются простыми и]
различными, то всегда можно записать
76
Х(р) =
апР"+а„-\Р”~' +-+*<>
Рт+bm.\p’"~'+---+b0
а„Рп+а„-}Р'"'+---+ай
(p-Pi)(p-P2)"(P~Pm)
—^— + —^2—+ •••+—^,
P~Pi P-Pi Р~Рт
где Л,,^, —,к„ - вычеты Х(р), т. е.
A/=Res = [Jf(p) (P-A)U,
В этом случае с учётом (1.10.4) имеем
x{t) = k,ep',+ k1ep^ +...+ктер'', />0.
(1.10.6)
(1.10.7)
Пример 1.103. Пусть
ад=4^=-г^=^+-^-,
р +р р(р+1) р р+1
где
‘.=K(p)pU=7t| =з.
*	1 р=0
(8.0

Р+3
р р->
В соответствии с (1.10.7) получаем
x(t) = 3-2e“
jq d {	Кратные полюсы
Если полином знаменателя Х(р) содержит кратные корни, то
процедура разложения на простые дроби несколько усложняется.
(ф tHroM случае к результату разложения необходимо добавить допол-
нительные члены, соответствующие степеням повторяющегося члена
вплоть до порядка самого полюса.
Пример 1.10.4.
ч 1 к, к2 к* к&
iq-'	(р + 1)3(р + 2) р + 1 (р + 1)2 (р + 1)3 р + 2
кА и коэффициент к. находятся сразу:
fi
77
К = Щр)(р + 2)]„..2
к3 =[ад(р+1)3]р=.|
(р+1)3
Составляем равенство
к,________________1 к2 1_________________________1
р + 1 р + 2 + (р + 1)2 + (р + 1)3" (р + 1)3(р + 2)
fc,(p + l)2(p + 2)-(p + l)3+fc2(p + l)(p + 2) + (p + 2)
(р + 1)3(р + 2)
Сравнивая коэффициенты при максимальных степенях, имеем
к} р3 - р3 - 0 или кх = 1.
Сравнение коэффициентов при следующей степени даёт
кх(1р2 + 2р2)-3р2 + к2р2 - 0 или к2 = -1.
Искомое разложение имеет вид
ч 1 1 111
X (р) =-----------=--------------- +---------
(р + 1)3(р + 2) (р + 1)3 (р + 1)2 р + 1 р + 2
Чтобы получить оригинал по данному изображению, обратимся к теоре
ме умножения на Л Суть её в следующем. Пусть x(t) <=> Х(р). Тогда
1
tx(t) <=>	(1.10.8
dp
что следует непосредственно из дифференцирования прямого преобразова
ния Лапласа (1.10.1). Используя эту теорему, получаем
dp р + а (р + а)2 ’
в общем случае
+ а)л+| ’
Возвращаясь к нашему примеру, для оригинала будем иметь
х(Г) =	~ te~* + е~‘ ~ e~2t, * > 0.
Одностороннее преобразование Лапласа широко применяется пр
анализе переходных процессов в линейных системах, когда начал
отсчёта времени совмещают с началом воздействия. Возможное!!
учитывать начальное состояние сигнала при t ~ 0 дает возможност
78
до^евдть одностороннее преобразование Лапласа для решения ли-
||евных дифференциальных уравнений с известными начальными
условиями.
, 1Д0.2. Применение преобразования Лапласа
для анализа цепей
Рассмотрим простейшие двухполюсные элементы
Индуктивность
в
(г
8 ГГ
Н^ГОн
юда
эон.
ИАМЛЫ4ЫЙ
мевависммый
источник
напряжения
♦ НП
Идеальный
независимый
источник
тока
9
Рис. 1.10.4
* нп
д
«о, ^Основные соотношения для этих элементов:
v(0 =	*(0 - С— или v(0 - v(0) = ““
к.	dt	С °
v(t) = Lили iff)—1(0) = у|у(т)б/т;
П^(4) не зависит от i(t); f0(r) не зависит от v(t).
В области изображений резистор описывается соотношением
V(p) = RI(p),	(1.10.11)
где v(t)<=>V(p) и /(/)<=>/(р) - пары преобразования Лапласа.
Чтобы получить эквивалентные соотношения для ёмкости и ин-
дуктивности, нам потребуется теорема дифференцирования. Пусть
тогда
79
^l^pX(p)-x(Q).	(1.10.12)
at
Доказательство теоремы простое:
~P'dt = x(0e*p'|” + P °fx(t)e~p'cit = pX(p)-x(0).
0	0
Применяя эту теорему, находим эквивалентные соотношения для
ёмкости и индуктивности в области изображений: /(p) = CpK(p)-Cv(0)		(1.10.13)
ИЛИ	рС	Р	(1.10.14)
	V(p) = pLI(p)-Li^	(1.10.15)
или	Др) = 4К(7’)+—• PL	Р	(1.10.16)
Из (1.10.14) видно, что в частотной области ёмкость представляется в
виде импеданса Z(p) = }/рС, последовательно с которым включён
источник «напряжения» v(0) / р, отражающий её начальное состоя*
ние. Аналогично, из (1.10.16) заключаем, что в частотной облаете
индуктивность представляется импедансом Z(p) = pL с параллелык
включённым «источником тока» /(0)/ р, отражающим её начальное
состояние. Эти представления элементов в частотной области изо
бражены на рис. 1.10.5.
Сопротивление
У(р)-Я/(р)
Емкость
Индуктивность
Z(p)--Lv(p)+1£)
♦ —
Рис. 1.10.5
80
В результате таких представлений для линейных инвариантных во
’ 4епей (ЛИВ-цепей) получается система алгебраических
уравнений, которые в решении и интерпретации значительно проще
дифференциальных уравнений. Приведём несколько примеров.
{Пример 1.10.5. Рассмотрим цепь первого порядка, на которую действует
№<&Тока(рис. 1.10.6а). Требуется найти отклик v(t)
б)
Рис. 1.10.6.

ние этой цепи в частотной области (рис. 1.10.66) позволяет за-
писать следующее уравнение:
Р R I Р J
Здесь использован тот факт, что Iv(t) <=> —.
ГЛин-.	&
№щая относительно К(р), находим
р(р + (\/RC))
ЗЙ1 функция имеет два полюса: /?, = 0 и р2 = -1 /RC. Вычеты в этих точ-
ЮВК соответственно будут к} = IR и к2 = v(0)-/7?. Используя формулы
Хевисайда (1.10.6) и (1.10.7), получаем окончательно
s	v(/) = Z/? + (v(0)-Z/?)e'/,fiC, Г>0.	(1.10.17)
График этой функции представлен на рис. 1.1О.бв.
Фис. 1.1 О.бв. Переходная характеристика цепи, изображённой на рис. 1.10.6а
81
Пример 1.10.6.
Рассмотрим параллельный колебательный контур, подключённый к ио
точникутока /(/) (рис. 1.10.7а). Найти отклик v(Z).
Рис. 1.10.7. Параллельный колебательный контур (а) и его изображение (б
Пусть на контур действует перепад тока /(/) = /а(/), тогда I(p) = I / р.
Запишем уравнение Кирхгофа в области изображений:
-+—+ рс\
R pL )
- = Г(р)
р
Отсюда
IL
-p+\+p2lc\
R	J
р —+—
pL
I<a2L	2	1 R
= 1—.--------где , а“-----------------•
(р + 2ар + )	LC 2L
Функция V\p) имеет два полюса:
р] 2 = -а ± yfa2 -(Oq = -а ± усо, где со = -Jco^ - а2
Поэтому
, 1
1Л к7 — —-— =----.
-2 усо	2 усоС
v(P)=——
(p-p^p-pi)
Находим вычеты в полюсах: к. = —— =-
2 усо	2 усоС
По формулам Хевисайда (1.10.6) и (1.10.7) получаем
v(/) =	+ к,ем = —— () = —е а sin со/.
1	2 2jd)CK	7 <оС
82
к затухании а < (О » О)0 , и отклик контура на перепад тока будет

sino)0r = /ре ш sin(o0t
(1.10.18)
. Отклик параллельного колебательного контура на перепад тока
Основные теоремы одностороннего
преобразования Лапласа
___________________________Т аблица 1.10.1
ти	ах, (0 + Ъх2(t)<^>aXx (р) + ЬХ2(р)		
	x(t-T)u(t-T)^X(p)e~pT, Т>0		
«я на г	wo-*® dp		
<ена е‘ш	е~шх(/) <=> %(р + а)		
грования	х(а,)<=>-% а	1 1 а 1^ t	, а > 0
жирования	()<=>рХ(р) х(0) at		
звания	Jx(t)Jt<=>		
	jx, (т) х2 (/ - т) dx <=> X, (р) Х2 (р) 0		
83
Основные свойства одностороннего
преобразования Лапласа
Таблица 1.10.1
х(0	<=>	X(p)
5(0	<=>	1
п(0 = 1	<=>	J_ p
е'°'	<=>	1 p + a
sin со01		<»0 P2+®0
COS CD0 t	<=>	p 2	2 p +®0
e~atCQS co01	<=>	p + a (p + a)2 + co2
Упражнения и задачи к п. 1.10
1. Показать справедливость приведенных ниже преобразований
Всюду считать а и со0 положительными величинами.
	x(0, t > о	Х(р)	
a)	1 - e“a' <=> 	-	, Re [pl > 0, p(p + a)		
6)	e+a' sin a>0/ <=> 		5-, Re [pl > a, (p-a)2+a>2	L^J		
в)	e a' cos (co 01 + n / 4) <=> --= V2	p + a-co0 _(p + a)2 +<o2	=r, Re [p] > -a,
Г.)	te~al cosco0Z <=> j=	(p + a)2 -co2 (p + a)2+<o2_	2, Re [p] > a,
Д)	J 1,	l<r <2 [О, в остальных точках	p	--	—при любом p,	
84
M)lft * КМ |г«) HL	AL J		O<Z<1 z	>2 1 1 — e~p ] *2-^,	1	</<2<=> 	 , при любомp, 0, в остальных точках	\ Р )
BteRc:	ch at <=> —, Re [pl > a, Кш/f •	p —a	
uuihJi- .	+a) Г?? *’	e a,cr(r-l)<=>	, Re[pl>-a, nn	^ + a			
	l-(l + a/)e'°' с	a2 i>	, Re[p]>0.
j> -о		p(p + a)
ЖЬиагть справедливость обратных преобразований
ад
1
(р+1) (р + 2)
-It
x(0, t > о
-It
—
кг-
ВКЛК1 
>1!ь
ГЖУНТГГ
par**.!.
(р + 1)(р + 2)__________
1	1 U
—------ <=> — shar,
р -а	а
1
z-----7---у — е at sin со Л,
(р+а) + со0 соо___________
' 1,	0<л
1
р2+1
О, в остальных точках,
О < t < 2л
sin t9
О, в остальных точках,

1
Р
85
3.	Для линейной инвариантной во времени системы (ЛИ1
системы) с каузальной импульсной характеристикой h(t) системна
функция Н(р) по определению равна
СО
Щр) =
О
Областью сходимости системной функции является полуплю
кость
Re[p] > р,,
где pj - минимальное действительное число, при котором соблюл
ется условие сходимости преобразования Лапласа от h(t). В это
области системная функция является аналитической.
Для каждой из приведённых в задачах б, в, г, д импульсных »
рактеристик определить системную функцию и область сходимос!
так, как это сделано в примере а.
а)
Н(Р)
1
р+а
Область
сходимости
Re(P]>-a
р-ПЛОСКОСТЬ
-а
h(O
б)	h(t) = cos а>2/, а2 > 0, t > 0.
в)	h(t) = е"а2' sin со2/, а2 > 0, t > 0.
г)	h(t) = sin со3/, t > 0. d) h(t) = cos w3Z, t > 0.
4.	Сопротивление 7?, индуктивность L и ёмкость С, соединённа
последовательно, подключены при t = 0 к источнику постоянно!
напряжения Е. Найти ток в цепи при нулевых начальных условиях
использованием изображений по Лапласу.
5.	Получить аналитическое выражение для импульсной харакц
ристики дифференцирующей RL-цепи.
6.	Конденсатор С, заряженный до напряжения Е, разряжаете
через последовательно соединённые индуктивность L и резистор J
Пользуясь изображением по Лапласу, определить ток в цепи /(/).
86
оня7*:В последовательный RLC контур в момент t = 0 включается
ЭДС e(f) = sin®,/. Найти ток в контуре i(t) при
Д >ЖЯЮЛЬЗуя изображения по Лапласу.
iM8jM^WP®™®nbHO соединённым резистору R и индуктивности L
МДОЬ фрвстор в момент / = О подключается источник ЭДС
а>0. Начальный ток в индуктивности /£(0)^0. Полу-
Ьть изображение цепи в ^-плоскости. Найти ток в индуктивности
Ш'>о.
1с интегрирующей ЯС-цепочке в момент t = 0 подключается
а>0. Считая мс(0)^0, определить напряжение на ём-
В последовательный ЯАС-контур в момент t = 0 включается
МВГусовдальная ЭДС e(t) = cosco^. Найти ток в контуре z(Z) при
О 0, используя изображения по Лапласу.
141* Динамическое представление сигналов
Особое значение имеет анализ прохождения сигналов через ли-
инвариантные во времени системы (ЛИВС). В качестве при-
НЙрОВ Таких систем могут быть линейные фильтры и усилители, раз-
системы передачи и др. Процессы, протекающие в таких
Ш^гецах при импульсных воздействиях, называются переходными.
Г* В этом параграфе мы рассмотрим суперпозиционный метод ана-
|ВВД‘ Основанный на представлении импульсного воздействия как
^ОДрНбзиции элементарных сигналов некоторой «стандартной»
качестве таких стандартных сигналов выбираются функция
Я>'
f
(£.Н
; .яг
с
и дельта-импульс.
Рис. 1.11.1
87
Рассмотрим некоторый гладкий сигнал x(t). Такой сигнал можно
построить из задержанных с шагом А/ ступенчатых функций, причем
высота каждой ступеньки соответствует приращению функции x(t)
между соседними точками (рис. 1.11.1). Для определенности будем
считать сигнал каузальным, т. е. x(t) = 0 при t < 0. Обозначим
хк = x(£AZ). Тогда, как видно из построения,
x(t) « х(0)	+	-х0)-сг(/-Af) + (x2 -Xj) cr(Z-2Az) +
+... = X (0) o(t) + £ (x* - xt_,) CT (t - к A t).
Здесь ст(г)- функция включения (1.8.35). Если шаг AZ устремить к
нулю, то
AZ-»rfr, (хк-хЛ_,)-^б7х = ^-^-^б7г, к kt—> г,
и в пределе получаем формулу динамического представления произ-
вольного сигнала посредством функций включения:
х(г) = х
(0)ст(0+| ^-<s(t-x)dx.
о dx
(1.11.1)
Реакция системы с нулевыми начальными условиями на функцию
включения ct(Z) называется её переходной характеристикой. Эту
безразмерную функцию обозначим через g(Z). Для линейной инва-
риантной во времени системы (ЛИВС) с переходной характеристикой
g(t) входное воздействие q(Z - т) вызывает отклик g(t - т), поэтому
оо	до
х(О)ст(Г) + £(х, -xk_{)cs(t — k&t) =>x(Q)g(t) + ^(xk -xk^g(t-kM).
* = l	А = 1
Переходя к переделу при А/ -> 0, получим выражение
y(t) = x (0) g (t) + J x'(x)g (t - t) dx.	(1.11.2)
0
Этот суперпозиционный интеграл называется интегралом Дюамеля.
Метод интеграла Дюамеля целесообразно применять в тех случаях,
когда известна или легко находится переходная характеристика.
Иногда удобнее пользоваться тождественными формами интеграла
Дюамеля:
88
y(t) = g (0)x(0+ Jg'(T)x (t -x)dx,	(1.11.3)
0
XO = * (0) g (?) + jx'(Z - T)g (t) dt,	(1.11.4)
0
y(')=g(0)*(O+ jg'(^-T)x(T)<7T.	(1.11.5)
0
Уравнения (1.11.2) - (1.11.5) могут быть преобразованы одно в дру-
гое интегрированием по частям.
Рассмотрим теперь другое представление непрерывного сигнала
x(t) суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов
(рис. 1.11.2). Длительности импульсов одинаковы и равны Af, а ам-
плитуды равны отсчетам сигнала х(кЛГ).
Отдельный импульс представим в виде
х(к АГ) [о(/ - к Az) - c{t - к At - Аг)].
Тогда исходный сигнал представляется как сумма таких элементар-
ных слагаемых:
x(Z) = £ x(£Az)—[ct(Z-^Az)-o(Z-£AZ-Az)]Az.
AZ
При достаточно малом Аг можем записать
x(z)*Az£ x(£Az)8(z-£Az).	(1.11.6)
к=-<х>
Отдельное слагаемое в правой части равенства (1.11.6) представляет
собой 8-функцию с площадью x(£Az)Az, расположенную в точке
t = k/Sl (рис. 1.11.3). Смысл выражения (1.11.6) заключается в том,
89
что обе его части будут оказывать одинаковое воздействие на физи-
ческую систему.
Рис. 1.11.3
Перейдём к пределу при Af —> 0.
При этом k&t —>т,	суммиро-
вание необходимо заменить интегриро-
ванием по переменной т. Учитывая
(1.8.32), получаем формулу динамиче-
ского представления сигнала:
х(/) = jx(T)5(f--c)</T = x(0®8(0. (1.11.7)
Реакция системы с нулевыми начальными условиями на дельта-
функцию называется импульсной характеристикой. Обозначим её
через h(t). Соответствие (1.11.7) отражает фильтрующее свойство
дельта-функции: для получения отсчётного значения сигнала в точке
т = t необходимо сигнал х(т) пропустить через фильтр с импульс-
ной характеристикой h(t) = 5(0- Ясно, что такой фильтр физически
нереализуем. Измерение отсчётного значения сигнала будет тем точ-
нее, чем короче импульсная характеристика реального фильтра.
Для ЛИВС с импульсной характеристикой h(t) входное воздейст-
вие 5(/-т) вызывает отклик й(г-т), поэтому
А/	x(£A/)S(Z - k At) => А/	x(kAt)h(t - kAt) « y(t).
k=-<x>	к = -л>
Если выполнить предельный переход А/ 0, то формально получим
выражение
у(/) = ]х(т)й(/-тХт = х(/)®й(0,	(1.11.8)
которое называют общим представлением любой ЛИВС в виде инте-
грала наложения.
Импульсная характеристика и интеграл наложения являются ис-
ключительно эффективными средствами описания поведения ЛИВС
общего типа. Для физически реализуемых систем h(t) = 0 при t < 0,
т. е. импульсная характеристика должна быть каузальной.
90
Положим, что линейная цепь, имеющая операторное сопротивле-
ние Z(p), присоединена в момент t = 0 к источнику ЭДС
x(t) <=> Х(р). Изображение тока, возникающего в цепи,
I(p) = Х(р)/Z(p)
равно произведению двух функций: изображения Х(р) и оператор-
ной проводимости цепи 1/Z(p). Если х(/) = 8(/) <=> 1, то токовая
реакция цепи (импульсная характеристика)

(1.11.9)
т. е. изображение импульсной характеристики h /г) равно оператор-
ной проводимости цепи.
По теореме о спектре свёртки переходной ток в цепи находится
по формуле
i(t) = ]х(т)/г, (J -	(1.11.10)
о
Пример 1.11.1. К последовательно соединённым R и L в момент t = 0
подключается ЭДС x(t) = Ее~а' Найти ток в цепи при t > 0.
Операторной проводимости
1
i/zW = i/(«+pi) = L((s/t)+d
1
соответствует функция времени ht (/) = — е L
L
/	Л	Г»
i(t)~ £ [е-ат е dx =---------------
о	£[а-(£/Л)]
Если в этой формуле перейти к пределу а —> 0, то
-
L |, Г>0.
Согласно (1.11.10)
е L ~е~а1 , Г>0.
Е
Это токовая реакция последовательной Л£-цепи на функцию £о(/).
Пример 1.11.2. Применяя теоремы дифференцирования и интегрирова-
ния преобразования Лапласа, интегратор можно представить цо временной и
частотной областях так, как показано на рис. 1.11.4 слева.
91
Рис. 1.11.4
Передаточная характеристика интегратора имеет вид
Н(р) = -
р
и, следовательно, импульсная характеристика
как представлено на рис. 1.11.4 справа. Интеграл наложения (1.11.8) даёт
реакцию интегратора на входное воздействие х(/):
у (/) = Jx(r)/z(r - r)dx - Jx(r)o>(/ - т)Л = jх(т)г/т.
ООО
Выходной сигнал с учётом начальных условий равен
У(‘) = р(т)</т+у(0),
О
что полностью соответствует действию интегратора.
Пример 1.11.3. К параллельной ЛС-цепочке в момент t = 0 подключает-
ся генератор тока /(/) = Ae~at Определить закон изменения выходного
напряжения v(t) при нулевых начальных условиях на ёмкости.
Составляем уравнение в области изображений:
Отсюда находим передаточную функцию
Цр) Р-Ц.МЯС)
Следовательно, импульсная характеристика (см. п. 1.10)
92
а)	б)
Рис. 1.11.5. Цепь (а) и её импульсная характеристика (б)
Обратим внимание на размерность Л(/), которая, как очевидно, есть
Ф’1 =В/(А-с).
Исходя из (1.11.8), запишем для выходного напряжения
v(0 = jz(W -v)dx = jue’a,)[ — е^'-'}/кс Ът =
о	о vC* )
=-------------(е~"ке-е'"), />0.
С[а-(1/ЯС)Г	’
Этот результат иллюстрируется на рис. 1.11.6.
Рис. 1.11.6. Вход и выход цепи, изображённой на рис. 1.11.5
В случае, когда a —> 0, получается реакция на ступенчатую функцию
Лст(Г):
v(t) = ЛЯ(1-е"'/ж ), />0.
Эта реакция представляет собой масштабированную с множителем AR
переходную характеристику цепи.
93
Пример 1.11.4. Рассмотрим цепь на рис. 1.11.7а. Пусть в момент t = 0
включается напряжение х(/) с законом изменения во времени, показанным
на рис. 1.11.7в. Требуется найти закон изменения во времени тока i(t) в
цепи при t>tx.
б
Схема для изображений показана на рис. 1.11.76. Т. к. ст(?) 0 1/р, для
изображения переходной характеристики можем записать
{R/p} _ Р
pL + R р(р + Р)’
где р = R / L. Эта функция имеет два полюса рх = 0 и р2— —р. Вычеты
относительно этих полюсов равны соответственно кх-\ и Л2=-1. Пр
формуле Хевисайда (1.10.7) получаем переходную характеристику цепи
R
g(f) = l-e"₽' =1-е"1'	(1.11.11)
Для решения задачи используем интеграл Дюамеля в виде (1.11.5)
t
y(f) = g (0)х (0 + Jg'(' - т)х(?) dr.
о
Поскольку
R -—t	R	(r-т)
g(0) = 0, g\t) = ±e ‘ и g\t-z) = -e L
Lt	Lt
94
для тока в цепи /(/) = y(f)/ R можем записать
= е д(	е £( )Це"а(т"/,) dx.
о	Г,
Произведя интегрирование, получим при t >
U ( ->
1
-1 е L +
-^е
r-aL
Задачи и упражнения к п. 1Л
1. Ёмкость С и сопротивление R, соединённые последова-
тельно, подключаются при t = 0 к источнику ЭДС в виде линейно
изменяющегося напряжения х(Г) = kt. Найти и изобразить закон из-
менения выходного напряжения y(t). Поменять местами ёмкость и
сопротивление и проделать то же самое. Отметить влияние постоян-
ной времени 6 = RC и коэффициента наклона к на вид выходного
напряжения.
2.	Сопротивление R и
ёмкость С, соединённые по-
следовательно, подключаются
при t - 0 к источнику ЭДС
x(t) в виде симметричного
треугольного импульса. Опре-
делить ток в цепи при t > 2Т
3.	Сопротивление г и
индуктивность £, соединён-
ные последовательно, подклю-
чаются при t = 0 к источнику
ступенчатой ЭДС, показанной
на рисунке. Определить ток в цепи при t{ < t < t2 и t>t2.
95
4.	Сопротивление г и индуктивность L, соединённые после-
довательно, подключаются при / = 0 к источнику ЭДС Ee {1J Опре-
делить ток в цепи при а r/L и а = г IL.
Ответ:
——	; — te'L
r-alA	I L
5.	Решить предыдущую задачу, если ЭДС равна Е te
Ответ:
Е
------te
EL	.
------I е L -е
Е 2 -у
—Ге L
2L
6.	а) Найти с помощью свёртки переходную характеристику
g(t) системы, импульсная характеристика кото-
рой h(t) показана на рисунке.
б)	Проверить полученный результат, ис-
ходя из того, что й(0 = g\t).
в)	Построить блок-схему фильтра по его
импульсной характеристике.
7. Пусть у, (/) - реакция ЛИВС на воздействие х, (Z).
а)	Найти импульсную характеристику системы.
б)	Найти реакцию у2 (/) на воздействие х2 (Z).
8. Определить w2(f) при w,(/) = k(t + T)c(t)9 Т = RC.
9. Определить переходную характеристику идеального фильтра
нижних частот и с её помощью проиллюстрировать явление Гиббса.
96
1.12. Представление колебаний в комплексной форме
Комплексная огибающая
Рассмотрим узкополосное колебание, у которого спектр ограничен
полосой частот|/| е [/0 -/в, /0 + /J, причем /0 » 2/в (рис. 1.12.1).
Наиболее общая форма записи узкополосного колебания имеет
вид
x(r) = J(/)cos[2n/01 + Ф(0],	(1.12.1)
где A(t) и ф(/) - медленно меняющиеся по сравнению с цикличе-
ским множителем функции времени. Гармонический сигнал (косину-
соида с постоянной частотой /0 и начальной фазой ф0) подвергается
одновременно амплитудной и фазовой модуляции. Так, в случае
строгой амплитудной модуляции гармонического сигнала дисперси-
онность среды распространения производит частичное преобразова-
ние амплитудных изменений в фазовые. Узкополосные сигналы
можно считать квазигармоническими - их амплитуда и фаза медлен-
но изменяются во времени.
Комплексное представление полосовых сигналов является пря-
мым развитием известного символического метода, позволяющего
представлять гармоническое колебание как действительную или
мнимую часть комплексной функции:
97
Jcos[2n/} / + (р0] = Re(y4ej4),,ej2n/o'),
Лзт[2л /0 / + ф0] = 1т(ЯеУфоеу2я/о').
Число Ле7ф0 называют комплексной амплитудой гармонического
колебания.
В соответствии с (1.12.1) полосовой радиосигнал представляет
собой сложное колебание, получающееся из гармонического сигнала
с частотой /0 при одновременной его модуляции как по амплитуде,
так и по фазе. Мы попытаемся корректно распространить символиче-
ский метод на такие колебания. Для этого (1.12.1) представим в виде
ХО = хс (/) cos 2л/01 - х, (/) sin 2л/01.	(1.12.2)
Здесь
хс (Z) - A(t) cos ф(/) и xs (Z) = A(j) sin ф(/)	(1.12.3)
называются квадратурными составляющими узкополосного колеба-
ния x(z), соответственно xc(t) - синфазная, a xs(t) - квадратурная
компоненты. Квадратурные составляющие являются низкочастотны-
ми действительными функциями и несут всю информацию о модуля-
ции сигнала. Спектры этих функций сконцентрированы возле начала
координат в полосе 2 fe.
Квадратурные компоненты могут быть получены в следующей
схеме.
хо
cos2^fj
sinlr/y
*,(t)
Рис. 1.12.2. Получение квадратурных компонент узкополосного колебания
Действительно, после умножения на сигнал когерентного гетеродина
в верхнем канале имеем
x(t) cos 2 t - (1 / 2)[xc (Z) cos 2я2 fQt-xs (Z) sin 2я2 /0 Z] +1 / 2xc (Z).
98
Высокочастотные составляющие вблизи 2/0 подавляются фильтром
нижних частот (ФНЧ) и на выходе верхнего канала остается синфаз-
ная компонента xc(t). Аналогично в нижнем канале выделяется
квадратурная компонента xs(t).
В реальных формирователях квадратур предъявляются высокие
требования к идентичности, линейности и стабильности амплитуд-
ных характеристик каналов, а также к точному соблюдению 90°
сдвига фаз между гармоническими колебаниями когерентного гете-
родина.
Амплитудную и фазовую модуляции сигнала x(t) можно опреде-
лить с помощью квадратурных компонент. Из (1.12.3) имеем
Л{1} = 4 x2c(t) + x2(t),
ф(0 = arctg——.
(1.12.4)
Ветвь арктангенса выбирается таким образом, чтобы <p(z) была не-
прерывной функцией времени.
Введём комплексную огибающую
Y(') = xc(t) + jxs(t) =	(1.12.5)
Эта функция содержит всю обусловленную модуляцией информа-
цию. При этом физическая огибающая равна
Л(/) = |у(/)|.
Полная фаза узкополосного колебания
у(О = 2л/0/ + <р(/),
а мгновенная частота определяется как производная по времени от
полной фазы:
. z. 1 (Уф - Id х
/(О = Л +—— = /о +——arctg— =
2л at 2л at х.
, ,	‘	(1-12.6)
= f . 1 х'х'-х'х>
Jo 2п х2+х2
Комплексную огибающую можно представить на комплексной
плоскости вектором, который совершает некоторое сложное движе-
ние, изменяясь как по модулю, так и по направлению (рис. 1.12.3).
99
Исходный действительный сигнал x(t) связан с комплексной оги-
бающей у(/) соотношением
x(t) = Re[y(z) eJ2nfo' ].	(1.12.7)
/	-----J	Таким образом, понятие комплекс-
/	ной огибающей обобщает понятие
______________________комплексной амплитуды на случай
о	*с(0 хс узкополосных радиосигналов.
Рис. 1.12.3
Спектр комплексной огибающей
Полосовой сигнал x(f) вида (1.12.1) является действительной
функцией времени, поэтому для его спектральной функции имеет
место
X(f) = J x(t)e~j2nf'dt = | Х(/)| e7<Pjt(/),
причём
|*(/)| = |*(-/)|> Фх(-/) = -Фх(А
т. е. амплитудный спектр сигнала является чётной функцией частоты,
а фазовый - нечётной функцией (рис. 1.12.1).
•АЛ 0	। 2/. J f ФгС/> /\ Ц)	7 Рис. 1.12.4	Преобразование Фурье комплексной оги- бающей этого сигнала Л/) = J l^ei21lf,dt = |Г(/)| е7<М/) С учётом (1.12.7) и теоремой смещения для преобразования Фурье имеем Л/) = ^Г(/-/о)+1г[-(/+/о)]-	(1-12.8) Отсюда прямой и инверсный спектры сигнала будут 7	(1.12.9) ^-(Л = -Г[-(/+/о)].
юо
Амплитудный спектр r(f) и фазовый спектр фу(/) комплексной
огибающей у(/) полосового сигнала изображены на рис. 1.12.4.
Можно отметить несимметричность амплитудного спектра ком-
плексной огибающей на интервале [-fe, fe ].
Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта
Рассмотрим еще один распространенный способ комплексного
представления действительных колебаний. Построим аналитический
сигнал
xA(t) = Re[x^(/)] + jlm[x/z)],
у которого
Re[x^(/)] = x(/),
ПФ[хл(О] = ^(/) = ^%+(Л	(1-12.10)
т. е. вещественная часть равна исходному действительному сигналу,
а спектр содержит только положительные частоты. Нетрудно видеть,
что
*<(/) = *(/) + *(/) Sign/,	(1.12.11)
где
fl, f > 0,
Sign f = <
[-1, /<0-
Учитывая, что ПФ [Sign/] = j I nt, из (1.12.11) имеем
х/Г) = ПФ[^(/)] = ПФ[Х(/)]+ПФ[Х(/^/] =
= х(0+Д*(0®(1/"')]•
Свёртка
х(0®(1/л/) = 1 f^llrfT = xr(O (1.12.12)
лдЧ-т
по определению есть преобразование Гильберта функции х(/).
Таким образом, аналитический сигнал со спектром (1.12.10) будет
101
xA(t) = x(t) + jxr(t),
(1.12.13)
где xr(t) определяется из (1.12.12), т. е.
МО = х(/)®(1/nt) « Xr(f) = -;W)Sign/. (1.12.14)
Из этого выражения вытекает ещё одна связь между спектрами:
X(f) = jXr(f)Sigtif,
из которой следует обратное преобразование Гильберта'.
х(/) = хг(0®(-1/да) = --	(1.12.15)
Л t-T
Замечание. Выражение под интегралом (1.12.12) и (1.12.15) имеет особую
точку т = t9 поэтому интеграл понимается в смысле главного значения по
Коши, т. е.
х(т)б7т _	'7 х(т)б/т + °°г х(т)б/т
2 / —т Г-т +Je t-x
Некоторые свойства преобразования Гильберта
Отметим прежде всего свойство линейности этого интегрального
преобразования, в чём легко можно убедиться непосредственно из
(1.12.12) и (1.12.15).
Выражению (1.12.12) можно дать следующую интерпретацию:
преобразованный по Гильберту сигнал получается пропусканием
исходного действительного сигнала через фильтр с импульсной ха-
рактеристикой \/nt (с частотной характеристикой-j’Sign/)
(рис. 1.12.5). Такой фильтр осуществляет задержку по фазе всех гар-
монических компонент сигнала в сторону отставания на 90°.
хо
Ы1) = l/trt
а
W) = -J’Sign/
Рис. 1.12.5. Преобразователь Гильберта
102
Действительно, легко проверить, что для х(/) = cos 2n/7 имеем
хг(/) = sin 2л/7, а для x(/) = sin2n/7 имеем xr(t) = -cos2n/r. Сле-
довательно, если
х(0 = ^{ал cos2n/„z +bn sin2n/„0,
п
то
ХГ (0 = Z	sin 2ЯЛ1 ~ Ъп COS
п
Такие колебания называются сопряжёнными.
Для произвольных сигналов преобразователь Гильберта нереали-
зуем, т. к. его импульсная характеристика не является каузальной.
Однако его можно реализовать приближённо с некоторой задержкой
/0, если отбросить ветви h(j) левее точки / = -/0 и правее точки
t = tQ и сдвинуть h(t) вправо на /0. Погрешности преобразования,
связанные с таким усечением импульсной характеристики, могут
быть значительными. Кроме того, задержка сигнала на Го должна
быть учтена при работе преобразователя с другими устройствами.
Нереализуемость преобразователя Гильберта объяснить можно также
тем, что сдвиг фаз на -я / 2 для всех компонент сигнала практически
не может быть выполнен точно. Для узкополосных радиосигналов
такая операция выполняется тем точнее, чем уже полоса, т. е. чем
сильнее неравенство /0 > 2/в.
Из (1.12.2) и (1.12.7) имеем
x(r) = хс (Z) cos 2 л/0 Г - х5 (/) sin 2л/01 = Re[y (r)eJ2nfo‘ ].
Умножение y(r) на ej2nfo‘ означает перенос спектра у(/) вправо на
величину /0. При достаточной узкополосности сигнал y(t)ej2nfo1
будет иметь односторонний спектр с положительными частотами и
может рассматриваться как аналитический. Поэтому сопряжённый по
Гильберту сигнал
ХГ(О = 1т[у(/)е'2"л'] = xc(/)sin2n/01 + xs (Ocos2tt/0 t =
= xc(/)cos(2n /oZ-n/2)-x/Osin(2^
Сравнивая выражения для х(/) и хг(/), видим, что преобразование
Гильберта выполняется над cos 2л f^t и sin2n^r, а квадратурные
компоненты xc(f) и xs(t) остаются неизменными.
103
Ядро преобразования Гильберта является нечётной функцией ар-
гумента т относительно точки т = Л Следовательно, сигнал, сопря-
жённый к константе, тождественно равен нулю:
z ч 1 *г const _ Л
хг(г) = — -----rfx = 0.
Следствием этого является следующее важное свойство преобра-
зования Гильберта: если сигнал х(т) достигает экстремума при ка-
ком-то т = t, то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал xr(t)
проходит через нуль.
Возьмём спектр аналитического сигнала и сдвинем его так, чтобы
он оказался сконцентрированным около нулевой частоты:
ПЛ = ХА (/ + /»)•	(1.12.16)
Этому спектру соответствует колебание
у(О = ^(Оехр(-/2л/оО,
которое называется комплексной огибающей действительного сигна-
ла x(t). Следовательно:
х/Г) = У(/)еХр(у2л/0О	(1.12.17)
и
x(t) = Re[y(/)exp(j2n/0/)].	(1.12.18)
Во многих случаях частоту /0 выбрать нетрудно. Например, для
узкополосного сигнала (1.12.1) за /0 принимается частота смодули-
рованного несущего колебания. В этом случае
\xAt)\=\lx2(t) + x2r(t)
при достаточной узкополосности совпадает с
Л(0 = д/*с2(0+*2(')-
В других случаях /0 выбирается так, чтобы минимизировать ши-
рину полосы I\f). Один из способов состоит в выборе /0 “центра
тяжести” положительной функции |JV^(/)|2 Такое /0 минимизирует
104
величину J(/-/O)2|^(/)|2# Рис. 1-12.6 поясняет взаимосвязь
спектров действительного узкополосного колебания, аналитического
сигнала и комплексной огибающей.
а - узкополосного сигнала; б - аналитического сигнала;
в - комплексной огибающей
Пример 1.12.1. Рассмотрим действительный низкочастотный сигнал
х(/) со спектром X(f\ показанным на
рисунке. Соответствующий аналитический
сигнал имеет спектр
ХАЛ =
2%+(/), />о,
о, /<0,
поэтому
х/г) = 2Ха f ejlnf,dt = ^-(ej2*f°‘ -1).
I jnt
Отсюда
x(t) = Re[xA (Г)] = Xo 2fe sin 2 л// / 2л//,
xr(r) = Im[x/r)] = zV02/e sin2 (л//)/(л//).
На рис. 1.12.7 приведены графики этих сигналов, нормированных по ампли-
туде. Следует отметить, что сопряжённый сигнал обращается в нуль в точке,
где исходный сигнал достигает максимального значения.
105
Рис. 1.12.7. Исходный и
сопряжённый сигналы
Упражнения и задачи к п. 1.12
1.	Показать, что квадратурные компоненты хД/) и х,(/) со-
пряжены по Гильберту лишь при условии, что они соответствуют
аналитическому сигналу х(/), содержащему только положительные
частоты.
2.	Сигнал x(t) является суммой двух гармонических компо-
нент x(t) = cosoy+ ^2 cosco2/. Найти сопряжённый по Гильберту
сигнал, аналитический сигнал, физическую огибающую, полную фа-
зу, мгновенную частоту.
3.	Сигнал x(t) имеет фи-
нитный спектр Jr(co), показан-
ный на рисунке слева. Найти со-
ответствующий аналитический
сигнал. Изобразить его действи-
тельную и мнимую части.
4.	Найти комплексную огибающую импульса включения гар-
монической ЭДС x(t) = Л8ш2л/0/, t > 0.
РЗД|
11 X.
5. Найти аналитический
сигнал xA(t\ соответствующий
колебанию, спектр которого
отличен от нуля лишь на отрезке
О
106
6.	Показать, что квадратурные компоненты действительного
узкополосного радиосигнала x(t) связаны с компонентами аналити-
ческого сигнала xA(t) - *(/) + jxr(t) следующим образом:
хс (Г) = x(f) cos 2 тс/0/ + хг (t) sin 2 л/0/,
xs (0 = хг (О cos Infa ~ *(0 sin /0'-
7.	Изобразить спектральную плотность сигнала х*(/), где х^(Г)
- аналитический сигнал в задаче 5. Найти сигнал однополосной моду-
ляции с нижней (верхней) боковой полосой, расположенной слева
(справа) от точки = (/ + /2)/2.
8.	Пусть xr(t) - преобразованный по Гильберту сигнал x(t).
Показать, что xr(t) и x(t) ортогональны, т. е.
00
где звездочка означает комплексное сопряжение.
9.	Непосредственно используя прямое преобразование Гиль-
берта, найти сигнал, сопряженный с
z ч sin со 7
х(/) =----
Найти соответствующий аналитический сигнал.
10.	Для сигнала x(t) = A sin 2nfQt • Sign/, где
fl, t>0,
Sign/ = 4
[-1,/<0,
написать выражение для комплексной огибающей.
11.	Сигнал х(1) как при t < 0, так и при t > 0 представляет со-
бой гармоническое колебание. В момент времени t = 0 фаза сигнала
изменяется скачком на я. Написать выражение для комплексной
огибающей этого сигнала.
12.	Найти произведение аналитического сигнала xA(t) на со-
пряжённый с ним сигнал хА (/).
13.	Показать, что спектральная плотность комплексной
огибающей у(/) совпадает со смещённой на /0 влево спектральной
плотностью XA(f) аналитического сигнала хл(/), т. е.
107
14.	Показать, что корреляционная функция аналитического сиг-
нала, определяемая выражением
Ля(т) = “jxA(f)xA(/+x)dt,
является комплексной. Чему равна действительная и мнимая части
этого выражения?
15.	Найти связь корреляционных функций аналитического сиг-
нала и комплексной огибающей.
16.	Найти связь между корреляционными функциями исходного
действительного сигнала и соответствующего аналитического
сигнала.
17.	Изобразить блок-схему формирования аналитического
сигнала.
18.	Показать, что преобразование Гильберта от преобразования
Гильберта есть исходный действительный сигнал со знаком минус.
19.	Вычислить преобразование Гильберта от функций:
а)х(Г) = cos 2л/0/ ; -со < / < оо, б) x(t) = • * 2 ; -оо < t < оо,
ч ч sin2rc/er	х ft И-7’’
в) x(t) =-------; -оо < t < оо, г) x(t) = <	I1.
[0; |z|>T
20.	Комплексная огибающая аналитического сигнала xA(t)
имеет спектральную плотность Г(со) =------. Определить исход-
а + j со
ный действительный сигнал х(/), имея в виду, что соо » а.
21.	Пусть X](Z) и х2(г) - вещественные узкополосные сигналы с
комплексными огибающими у((/) и у2(г). Показать, что
(xi> xJ) = |Re(Y1, у2) и (х>> Х2г) = |bn(Yi.У2 )
Здесь х2Г - сопряжённый по Гильберту сигнал х2.
22.	Комплексная огибающая у(г) аналитического сигнала xA(f)
имеет спектральную плотность
108
„J*1*
Г(со) =-----e~J<*tQ
a-ую
Определить исходный действительный сигнал х(/), имея в виду, что
а>0 » а.
23.	Показать, что для действительного узкополосного сигнала
х(/) сопряжённый по Гильберту сигнал хг(/)есть сигнал х(/), сдви-
нутыи по фазе на и его комплексная огибающая есть
у(/)е 7 2
24.	Найти преобразование Гильберта следующих функций:
a)/W = -----г, б)/(х) =---------.
1 + х	X
25.	Показать, что для физически реализуемого линейного фильт-
ра действительная Р(со) и мнимая б(со) части комплексной частот-
ной характеристики
связаны парой преобразования Гильберта.
1.13. Преобразование Хартли
Непрерывный прогресс в области обработки информации обу-
словлен необходимостью решать задачи всевозрастающей сложности
в реальном времени. При этом быстродействие и экономичность дос-
тигаются как развитием технологии и организацией средств обработ-
ки, так и совершенствованием алгоритмов обработки сигналов. В
настоящее время при разработке двумерных и быстрых трехмерных
преобразований, быстрых алгоритмов интерполяции и спектрального
анализа и т. д. широко применяется преобразование Хартли [33].
В отличие от преобразования Фурье, отображающего веществен-
ные функции в комплексную область и несимметричного по J, пре-
образование Хартли осуществляет прямое и обратное преобразова-
ния только в вещественной области и обладает симметрией. Ядром
преобразований является функция cas (cosine-and-sine).
109
Определение. Пусть x(t) - вещественная функция, имеющая пре-
образование Фурье. Преобразование Хартли определяется следую-
щим образом:
К(/) = j x(/)cas27t/76fr,	(1.13.1)
где
cas2n/7 = cos2rc/7 + sin 2nft.	(1.13.2)
Функцию x(J) можно получить с помощью обратного преобразова-
ния Хартли:
Х(г) = J К(/)саз2л/М/,	(1.13.3)
-СО
Справедливость формул Хартли легко следует из связи N(/) с дей-
ствительной и мнимой составляющими преобразования Фурье %(/):
К(/) = Re X{f) - Im X(f).	(1.13.4)
Пусть
K(/) = £(/) + O(/),	(1.13.5)
где E(f) и O(f) - соответственно чётная и нечётная составляющие
функции К(/). Тогда
E(f) = jx(r)cos2n//67/,
-00
(1.13.6)
(?(/)= Jx(/)sin27t/fc7z,
%(/) = ад-7б?(/).	(1.13.7)
Соотношение (1.13.4) позволяет найти преобразование Хартли по
известному преобразованию Фурье, не прибегая к вычислениям по
формулам (1.13.6) и (1.13.7).
Примеры вычисления преобразования Хартли
Прямоугольный импульс. В качестве первого примера рассмотрим
сигнал х(г), изображённый на рис. 1.13.1а. Преобразование Фурье
этого сигнала
ПО
. sinn/т _Vt sinn/т . .sinn/т .	_
%(/) = Лт---eif = At------cosn/т- jAt-----sinn/T =
п/ т	п/ т	п/ т
t sin2n/T t sin2n/*T
= Лт------------jAt----—
2nfT	nfx
В соответствии с (1.13.4) преобразование Хартли сдвинутого прямо-
угольного импульса будет равно
К(/) = Ах Sm 2я^Т + Ах sin2	.	(1.13.8)
2п/т п/т
Чётная и нечётная компоненты функции К(/) изображены на рис.
1.13.1 б, в соответственно.
W)
Рис. 1.13.1
Отметим симметрию чётной компоненты £*(/) и симметрию от-
носительно начала координат нечётной составляющей Q(f).
[Jexp(-aZ), Z>0, a>0,
Экспоненциальный импульс x(t) = <
Преобразование Фурье этого импульса
. А Аа . Ао
А^(СО) —	.ч~2	2	~^2	2 *
(а + усо) а + со а +а>
111
На основании (1.13.4) преобразование Хартли экспоненциального
импульса есть
Рис. 1.13.2. Экспоненциальный импульс (а) и его преобразование Хартли (б)
Основные теоремы для преобразований Фурье и Хартли приведе-
ны в таблице 1.13.1.
_________________________________________________Т абл ица 1.13.1
х(/)	x{f)	K(/)
х(/ / а)	aX{af)	aK(a/)
x,(t) + x2(t)	Xy(f)+X2(f)	K,(/)+K2(/)
x(-t)	X(-f)	«(-/)
X(Z-T)	^(/)exp(-j2n/r)	K(/) cos 2nf т 4- K(-/) sin 2nf т
x(/)cos2n4)/	(l/2)X(/-/0)+ +(l/2)X(/+/0)	(l/2)K(/-/o) + +(l/2)K(/+/0)
Свёртка X, (Z)*X2(Z)	xsnx^f)	1/2[K,(/)K2(/)- -k,(-/)k2(-/)+ +K,(/)K2(-/)+ +n,(-/)n2(/)]
Корреляция	|*(/)|2	l/2{[K(/)]2+[K(-/)]2}
112
х((Г)х2(0	^,(/)*^(/)	1/2[К,(/)»К2(/)- -К|(-/)*К2(/) + +к,(/)*к2(-/)+ +К,(-/)*К2(-/)]
х'(0	j2nfX(f)	-2л/К(-/)
x\t)	-4л722Г(/)	-4л2/2 К(/)
Упражнения и задачи к п. 1.13
1.	Пусть x(t) - действительная Г-периодическая функция. Путём
соответствующих преобразований ряда Фурье
т	.2Л ,	1 772	.2Л .
/--nt	1 г	-J--nt
x(t)= Y Ane T , где A=- J x(t)e T dt,
n--&>	-772
показать, что x(t) можно представить в виде
х(/)= Уj №[w]cas—nt,
П--93
где
п 1 7 ( ч 2л
К|У1 = - J x(t)cas— ntdt.
* -Т/2	*
2п 2л . 2л ,
cas—nt = cos—wZ + sm—nt,
T T T
T'r 2л 2л ,
cas—и/cas—mtat
J	г	T
-T/2	1	1
T, m = n,
О, m Ф n.
Найти связь коэффициентов K[w] и An.
2.	Найти преобразование Хартли следующих функций:
а) соз2л/7, б) sin2nft, в) 5(/-Г0), г) о(/), д) 1//, е) /о(/),ж) t2,
з)	гехр[-лр2/2]п(О, и) sign/, к) 8(t-kT).
к = -оо
113
1.14. Введение в вейвлет-анализ сигналов
Преобразование Фурье и ряды Фурье являются важнейшим мате-
матическим аппаратом при анализе сигналов. Однако иногда они
оказываются недостаточно эффективными. Так, например, формула
W) = Jei2*f'dt	(1.14.1)
прямого преобразования Фурье в таком виде не удобна для практиче-
ских задач. Во-первых, чтобы получить спектральную информацию
на выбранной частоте, следует использовать бесконечные интервалы
времени: иметь информацию о прошлом и будущем сигнала. Во-
вторых, эта формула не учитывает, что частота может эволюциони-
ровать во времени. Кроме того, так как частота сигнала обратно про-
порциональна длительности его периода, то для получения спек-
тральной информации на высоких частотах временной интервал мо-
жет быть взят относительно малым для обеспечения нужной точно-
сти, а на низких частотах такой интервал должен быть взят относи-
тельно большим. Другими словами, важно иметь гибкое частотно-
временное окно, которое автоматически сжимается в окрестности
высоких частотных центров и расширяется у низких частотных цен-
тров. Часть отмеченных трудностей устраняется при использовании
оконного преобразования Фурье. Однако бесконечно осциллирую-
щая базисная функция (синусоидальная волна) не позволяет полу-
чить локализованную информацию.
Элементом базиса вейвлет-преобразования является хорошо ло-
кализованная функция, быстро стремящаяся к нулю вне небольшого
интервала, что позволяет провести локальный спектральный анализ.
От анализа Фурье к вейвлет-анализу
Любой сигнал x(t) из векторного пространства Д [О, Г] функций
с интегрируемым квадратом,
f |х(/)|2Л<со,
О
можно представить рядом Фурье
114
00	i—nt
x(t)= £ A„e ?	(1-14.2)
n = -00
где коэффициенты Фурье
i 772	_ h t
A„=- j x(t)e~J^ dt.	(1.14.3)
-T12
Имеются две особенности разложений в ряды Фурье (1.14.2).
Первая особенность состоит в том, что x(f) разлагается в бесконеч-
.2л t
j—nt
ную сумму взаимно ортогональных компонент Ап е т
Вторая особенность состоит в том, что ортогональный базис
{фл} порождается растяжением единственной функции
,2л,
<s?(t) = e т
так, что фл (/) = ф(и/) для всех целых п.
Подводя итог, можно сказать, что каждая Т-периодическая, ин-
тегрируемая с квадратом функция порождается суперпозицией це-
.2л,
j—t
лочисленных растяжений базисной функции ф(0 = е Т
Средняя мощность периодического сигнала
Г/2	< Г/2
P,=- ||х(г)|2Л = - J х(О-х*(Г)Л =
4 -Г/2	1 -Т/2
оо оо	1 Г/2	. 2л	2л	оо
* 1 г	jn—t -jm—t	J--, I н
Z Z А»АЛ \ e T -e T d*=	|л„|2	(1.14.4)
n = -00 m = -co	* -T/2	n =-at>
определяется суммой мощностей всех его спектральных компонент.
Формула (1.14.4) есть равенство Парсеваля для периодического сиг-
нала. Поэтому {сл} е /2, где 12 обозначает пространство всех сумми-
руемых с квадратом бесконечных последовательностей:
z Ы2
п = -00
115
Пространство сигналов L2 [О, Т] и пространство /2 последовательно-
стей коэффициентов Фурье изометричны друг другу.
Далее рассмотрим пространство L2 (R) измеримых функций, оп-
ределённых на вещественной оси R, удовлетворяющих неравенству
оо
j |х(/)|2Л<со.
Ясно, что пространства сигналов L2 [О, Г] и L2 (R) совершенно раз-
личны. Так каждая функция из L2(R) должна затухать до нуля при
t ±оо, но синусоидальные (волны) функции фл (/) не принадлежат
Z2(R). Поэтому, если мы хотим использовать «волны», порождаю-
щие L2 (R), то эти волны должны затухать до нуля при t -> ±оо, и
это затухание должно быть быстрым. Так мы приходим к рассмотре-
нию малых волн, или вейвлетов, для порождения L2 (R). Как и в слу-
_ гл __	,	/ х ( 2л А
чае ь2[0, Т], когда одна функция ф(Г) = ехр1 j—t I порождает целое
пространство, мы должны иметь одну функцию для порождения все-
го L2 (R) и будем обозначать её через у. Это так называемый мате-
ринский вейвлет. Так как материнский вейвлет у имеет очень бы-
строе затухание, то для того, чтобы покрыть всё множество R, рас-
смотрим всевозможные сдвиги ф по оси времени. Кроме того вейв-
леты необходимо масштабировать по длительности (т.е. сжимать и
растягивать). В результате приходим к вейвлетам, которые сконст-
руированы из одного материнского вейвлета ф(/) за счёт операций
сдвига во времени (Ь) и изменения временного масштаба (а):
=	1	(1.14.5)
Множитель 1 /у]\а\ обеспечивает независимость нормы этих сигна-
лов от выбора масштабирующего числа а. При дискретных значени-
ях параметров сжатия и сдвига получаем дискретные вейвлеты.
116
Признаки вейвлета
Нулевое среднее. График исходной функции должен осциллиро-
вать вокруг нуля по оси времени и иметь нулевую площадь
jv(/)^ = O.	(1.14.6)
Равенство нулю площади, т.е. нулевого момента, приводит к то-
му, что фурье-преобразование (/) этой функции равно нулю при
/ = 0 и имеет вид частотной характеристики полосового фильтра.
При различных значениях коэффициента а имеем набор полосовых
фильтров.
Для приложений часто оказывается необходимым, чтобы не толь-
ко нулевой, но и все первые т моментов были равны нулю:
J/>(/)<* = 0.	(1.14.7)
-00
Такой вейвлет называется вейвлетом ?и-го порядка и позволяет ана-
лизировать высокочастотную структуру сигнала, подавляя медленно
изменяющиеся его составляющие.
Локализация. Вейвлет должен быть локализован и во времени, и
по частоте. Для этого достаточно, чтобы выполнялись условия:
И)|<С/(1 + |/|)|+Е и |Sv(/)|<C/(l + |/|),+\ при е>0.
Ограниченность. Квадрат нормы функции должен быть конеч-
ным:
IM2= jlv(o|2 л<°°-
Автомодельность. Все вейвлеты конкретного семейства yub(t)
имеют то же число осцилляций, что и материнский вейвлет \|/(/),
поскольку получены из него посредством масштабных преобразова-
ний (а) и сдвига (Ь).
117
Примеры материнских вейвлетов
Наиболее распространённые вещественные базисы конструируются
на основе производных гауссовой функции х(0) = ехр(-02 /2), 0 -
безразмерное время, например 0 = рл Это объясняется тем, что
функция Гаусса имеет наилучшую локализацию как во временной,
так и в частотной областях (частота v = <о/р.). Здесь уместно вспом-
нить процедуру нахождения спектра колокольного импульса (1.8.29).
На рис. 1.14.1-1.14.6 приведены основные материнские вейвлеты
(слева) и модули их спектральных плотностей (справа).
4/(0) = -0 ехр(-02 /2)	<->	£(v) = (у v)V2n exp(-v2 / 2)
Рис. 1.14.1. WAVE-вейвлет или гауссов вейвлет первого порядка и модуль
его спектральной функции
\|/(0) = (1-02)ехр(-02 /2)	<->	£(v) = (jv)2\/2n exp(-v2 /2)
Рис. 1.14.2. МНАТ-вейвлет (мексиканская шляпа) или гауссов вейвлет второ-
го порядка и модуль его спектральной функции
118
У МНАТ-вейвлета нулевой и первый моменты равны нулю. Он
имеет лучшее разрешение, чем WAVE-вейвлет. Хорошо видно, что
данный вейвлет напоминает затухающее синусоидальное колебание с
некоторой «средней частотой». При этом нетрудно убедиться, что
если вейвлет сужается вдвое, то его средняя частота и ширина спек-
тра возрастают также вдвое.
Гауссов вейвлет я-го порядка:
V(0) =	-^г[ехР(-02 /2>] ** ^v> = НГСЛГл/^ exp(-v2 /2)
uu
Вейвлеты я-го порядка позволяют анализировать более тонкую
(высокочастотную) структуру сигнала подавляя медленно изменяю-
щиеся его компоненты.
1
0.S
у(0) = е'02'2-е‘02'8
Рис. 1.14.3. DOG-вейвлет (difference of gaussians) и модуль его спектра
1
0.8
0.6
-0.4
-0.6
-0.8	I I
”-10-6 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
(л0)-1 (sin 2л0 - sin л0)
2
1.8
[1, л < Iv| < 2л,
^(v)=d II’
[О, при других 0.
Рис. 1.14.4. LP-вейвлет (Littlewood & Paley) и его спектр
119
Если исследуемый сигнал существует на отрезке [О, Г] времен-
ной оси, то удобно перейти к безразмерному времени Q = t IT При
такой замене аргумент сигнала будет находиться в пределах отрезка
[О, 1].
Рассмотрим теперь вейвлет Хаара. Эта функция существует на
отрезке [0, 1] и принимает одно из трёх значений:
1,
V(0)= -1,
О < 0 < 1/2,
1/2 £ 0< 1,
(1.14.8)
О, при других 0.
Его спектральная функция аргумента v = аТ имеет вид:
^(v) = X/vZ2 S1—(^-4-) .	(1.14.9)
v/4
Обе функции показаны на рис. 1.14.5.
Рис. 1.14.5. HAAR-вейвлет и модуль его спектра
Рис. 1.14.6. FHAT-вейвлет (французская шляпа) и модуль его спектра
120
FHAT-вейвлет (рис. 1.14.6 слева) задаётся формулой
1,
у(0) = -1/2,
О,
|0|<1/3,
1/3 <|0| <1,
|0|>1.
(1.14.10)
и имеет спектральную плотность
3	v/3
(1.14.11)
Эта функция изображена по модулю на рис. 1.14.6 справа.
Вейвлет Хаара и WHAT-в ей в лет являются разрывными функция-
ми, вследствие чего возникает бесконечное чередование «лепестков»
в частотной области, хотя и убывающих как 1 / v.
LP-вейвлет, наоборот, имеет резкие границы в v-области.
Непрерывные вейвлеты позволяют построить на их основе пол-
ные аналоги преобразований Фурье и Лапласа.
Вейвлет-преобразование (ВП)
Сконструируем базис функционального пространства £2(R) с
помощью непрерывных масштабных преобразований (а) и сдвигов
(Ь) материнского вейвлета:
»*<') = 4=Ч'(—Т	(1.14.12)
Th < ° >
Запишем интегральное вейвлет преобразование сигнала x(f)
Wz (a, b) = J (t)dt = -А= J x(0v’ dt, (1.14.13)
которое по смыслу соответствует преобразованию Фурье с той раз-
ницей, что здесь ядром преобразования является вейвлет
\|/ * ((/ - Ь) / а) вместо функции ехр(-усог).
С учётом ограниченной области Л определения сигналов и
а * 0:
121
Wx (a, b) = ~^= fx(/)v* I — | dt, (1.14.14)
VH* V a )
Вейвлет-спектр Wx(a,b) (масштабно-временной спектр) в отли-
чие от фурье-спектра является функцией двух аргументов: первый
аргумент а (временной масштаб) обратен частоте, а второй b - ана-
логичен смещению сигнала во времени. При этом параметры а и b
могут принимать любые значения в пределах указанных выше облас-
тей их определения.
Следует отметить, что Wx(aQ,b) характеризует временную зави-
симость (при а = а0), тогда как Wx (a, bQ) - частотную зависимость
(при b = b0).
Если исследуемый сигнал x(t) представляет собой некоторый
одиночный импульс, сосредоточенный в окрестности точки /0 и
имеющий длительность т, то его вейвлет-преобразование будет при-
нимать наибольшее значение в окрестности точки с координатами
а - т, b = t0 на плоскости ab.
Обратное вейвлет-преобразование записывается с помощью того
же базиса (1.14.12), что и прямое [37]:
/ \	1 "f 7 ш z П / ч dadb
= — J J Wx (a, b)yab (/)	, где
C J J	a
Ц/ —ao —ao
q = J]^(<0)]2|©|’' rf©<oo	(1.14.15)
нормирующий коэффициент, аналогичный коэффициенту 2л в
обратном преобразовании Фурье, £(со) - фурье-преобразование мате-
ринского вейвлета \|/(г). Для ортонормированных вейвлетов Сс = 1.
Условие конечности константы ограничивает класс функций
\|/(r) 6 Л2 (R), которые могут быть использованы в качестве базисных
вейвлетов. В частности, очевидно, что фурье-образ £(со) должен
быть равен нулю при со = 0. Следовательно должен быть равен нулю
00
по крайней мере нулевой момент, т. е. | y(t)dt = 0.
122
Свойства вейвлет преобразования
Линейность. Это свойство следует из скалярного произведения
(1.14.13):
(1.14.16)
Теорема запаздывания. Сдвиг сигнала во времени на 60 приводит
к сдвигу вейвлет-образа также на fe0:
Wx^a,b) = Wx(a,b-b0).	(1.14.17)
Теорема об изменении масштаба. Растяжение (сжатие) сигнала
приводит к растяжению (сжатию) вейвлет образа:
(1.14.18)
а0 *0
Дифференцирование'.
00
Wd.x (а, Ь) = (-1)”' J x(t)d? [(О] dt,	(1.14.19)
где </,” = dm[..}/dtm, т>\.
Из этого свойства следует, что проанализировать особенности высо-
кого порядка или мелкомасштабные вариации сигнала х(/) можно
дифференцированием нужного числа раз либо вейвлета, либо самого
сигнала. Это свойство особенно полезно когда сигнал задан дис-
кретным рядом.
Частотно-временная локализация ВП
Это свойство обусловлено тем, что элементы базиса ВП хорошо
локализованы и обладают подвижным частотно-временным окном.
Есть прямая связь между временным и частотным представлением
вейвлетов. Так малые значения параметра а, характеризующие быст-
рые составляющие в сигналах, соответствуют высоким частотам, а
большие значения (соответствующие медленным изменениям сигна-
ла) - низким частотам. Таким образом, за счёт изменения масштаба
вейвлеты способны выявлять различия на разных частотах, а за счёт
сдвига (параметр Ь) проанализировать свойства сигнала в разных
123
точках на всём исследуемом временном интервале. Поэтому при ана-
лизе нестационарных сигналов (звуковых сигналов, сигналов изображе-
ния и т.д.) за счёт свойства локальности вейвлет-преобразование по-
лучает преимущество перед преобразованием Фурье, которое даёт
только глобальные сведения о частотах анализируемого сигнала. Это
объясняется тем, что ПФ использует базисную систему гармониче-
ских функций, которая определена на бесконечном интервале.
Каковы параметры частотно-временного окна ВП?
Для нетривиального вейвлета \|/(r) е £2(Я) его центр /.и радиус
Аф определяются формулами:
(1.14.20)
(1.14.21)
Тогда ВП (1.14.13) даёт локальную информацию об аналоговом сиг-
нале x(j) с временным окном
] = [/> + <«.-Av, /> + аГ,+Л„].	(1.14.22)
Это окно сужается при малых значениях а и расширяется при боль-
ших а.
Рассмотрим затем
U(®) = 4r ] vf—\~ia,dt=-^=e^a^, (1.14.23)
а' 7R
где £(со) - фурье-образ материнского вейвлета vg(r).
Предположим, что центр и радиус фурье-образа £(со) равны соот-
ветственно со. и А^. Тогда, положив
Т|(со) = £(со + со.),
(1.14.24)
мы имеем функцию-окно Т| с центром в нуле и радиусом, равным А^.
Воспользовавшись равенством Парсеваля (х, \|/) = (X, £) / 2л, мы
можем с учётом (1.14.23) и (1.14.24) записать вейвлет преобразова-
ние (1.14.13) в виде
124
Wx {a,b) = 4= f *(')V* (—}dt = -4= J *(co)e7"AC	=
yj\a\ -/	< “ J 2nj\a\ i
°	f %((0)ey“4‘ (аюИсо = —?-= f %((o)e'MV [a(co -—)]Jco.
2тф|_1	2л7Й 1	a
(1.14.25)
CO
Ясно, что функция-окно ц[л(со —-)] = т|(ясо - со.) = £(асо) имеет ра-
а
диус, равный Д, / а. Если отвлечься от множителя ------== и линеи-
ного сдвига по фазе eJM то очевидно, что ВП (1.14.25) даёт и о спек-
тре %(со) локализованную информацию с «частотным окном»
Рис. 1.14.7. Частотно-временные окна, ак <а2*
Частотная локализация происходит около центра окна со. / а с ши-
риной окна 2Д^ / а. Заметим, что отношение центральной частоты к
ширине окна,
125
co. <2Д=>| со,
a I a J	2ДС
х /	ъ
не зависит от местоположения центральной частоты, а частотно-
временное окно

= [& + <#.— &ч, b + at, + Д,]-
со. \ со. At
	9 — + —_
а	а а а
(1.14.27)
имеющее площадьсужается при высокой центральной часто-
те со. / а и расширяется при низкой.
Важно, что частотно-временное окно (1.14.27) сужается (по перемен-
ной t) при больших частотных центрах со. / а и расширяется при
малых частотных центрах со. 1а (см. рис. 14.7); в то же время пло-
щадь частотно-временного окна остаётся постоянной, равной 4Дф Д«.
Это как раз наиболее желательно при частотно-временном анализе.
Вейвлет-ряды
Непрерывное вейвлет-преобразование обладает большой избы-
точностью, что ведёт к неоправданно большим затратам времени на
его вычисление. Поэтому для практического его применения необхо-
дима дискретизация параметров а и b при сохранении возможности
восстановления сигнала из его преобразования. Наиболее распро-
странена так называемая диадная дискретизация, при которой
а = 2”, b = k2m, Vroi(/)=_LvpZri= 1	(1.14.28)
7|а| V а ) V2"
где т и к - целые числа. В результате плоскость ab превращается в
соответствующую сетку тк. Параметр т называется параметром
масштаба. Выбор b - к2т гарантирует, что растянутые вейвлеты на
уровне т «покрывают» ось времени также, как и исходные вейвлеты
на уровне т = 0.
Прямое и обратное диадное ВП записываются в виде
00
= (*(').	(0) = J	(1.14.29)
126
*(') = £сл(О-	(1-14.30)
т. к
По аналогии с преобразованием Фурье коэффициенты стк можно
выразить через непрерывное ВП Wx(a, b):
cntk = Wx(2m,k2m).	(1.14.31)
Из (1.14.30) следует, что сигнал x(t) может быть представлен
суммой «вейвлетных волн» с коэффициентами стк. Формально
обобщённый ряд Фурье (1.14.30) отличается тем, что суммирование
проводится не по одному, а по двум индексам. Рассмотрим простой,
но очень важный случай, когда порождающим элементом базиса
служит вейвлет Хаара \|/(0 = Voo (О (Рис- 1.14.8).
/4,07 (О
т----1Гг
¥зо(О
I I/
6	1	2 ’ 3	4	5	6	7	8	9
Рис. 1.14.8. Ортогональные вейвлеты Хаара
127
Нетрудно убедиться, что базисная система вейвлетов Хаара явля-
ется ортонормированной, т. е.
1, если одновременно т-р и к = q\
О, если иначе.

Вейвлет-спектр действительного сигнала можно представить себе
как «лес» из вертикальных отрезков, размещённых над тк-
плоскостью в точках с целочисленными координатами. При этом
координата т указывает на скорость изменения сигнала, а координа-
та к - на положение вдоль оси времени.
Дискретное вейвлет-преобразование
Такое преобразование характеризуется тем, что не только параметры
а и Ь, но и сигналы также дискретизуются во времени. Дискретизация
сигнала осуществляется в соответствии с теоремой Котельникова
(теоремой отсчётов), которая рассматривается в п. 2.3.
Если число отсчётов сигнала составляет N = 2V (v- целое), то
параметры т и к можно изменять в пределах:
/и = 0,1, 2,..., v; к = 0,1, 2,.	-1.
В частности, для т = 0 (т. е. а = 1) число сдвигов к базисного вейвле-
та составит 2v-l = 2V-l. С каждым последующим значением
ш(1, 2,3,...) вейвлет расширяется в два раза, а число сдвигов
к уменьшается в два раза. Для максимального значения wmax = v
имеем к = 0, т. е. один вейвлет \ут 0 (г) «накрывает» весь времен-
ной интервал сигнала (рис. 1.14.8; N=8).
Пример вейвлет преобразования
Рассмотрим сигнал в виде суммы двух синусоид с заметно отли-
чающимися амплитудами и частотами
х(0 = sin 2л —+ а sin 2л —; 7] =50; 71 =10; а = 0,4
7J	г2 ।	2
График этого сигнала приведён на рис. 1.14.9 вверху. В вычислениях
использовался МХАТ-вейвлет (рис. 1.14.2). Результатом вейвлет-
преобразования одномерного сигнала является двумерный массив
значений коэффициентов Wx (а, Ь). Распределение этих значений в
пространстве (а, Ь) даёт информацию об эволюции относительного
128
вклада компонент разного масштаба во времени и называется вейв-
лет-спектром. Спектр Wx(a,b) одномерного сигнала представляет
собой поверхность в трёхмерном пространстве (рис. 1.14.9 внизу).
Вместо изображения поверхности на рис. 1.14.10 приведены проек-
ции JVx(a,b) на плоскость (а, Ь) с изоуровнями; по оси абсцисс отло-
жено время, по оси ординат - временной масштаб (он линейно растёт
Рис. 1.14.9. Сигнал и результаты его вейвлет преобразования
129
20
10
о
0	10	20	30 40
Рис. 1.14.10. Линий локальных экстремумов
Тёмные области соответствуют положительным, а светлые - отрица-
тельным значениям Wx(a9b); оттенками серого цвета в каждой из
областей выделены диапазоны значений JVX (а, Ь). Многочисленные
периодически повторяющиеся детали в нижней части картины (при
малых значениях масштаба а) являются результатом резонанса высо-
кочастотной составляющей сигнала с мелкомасштабными вейвлета-
ми. Тёмные и светлые области на крупных масштабах ( положитель-
ные и отрицательные значения Wx (а, Ь) соответственно) являются
результатом сильной корреляции между крупномасштабными вейв-
летами и низкочастотной составляющей, представленной всего че-
тырьмя периодами.
130
Г Л А В A 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ
СИГНАЛОВ
Как уже отмечалось в первой главе, дискретизация - это переход
от континуального сигнала х(/) к последовательности чисел - коэф-
фициентам разложения сигнала по какому-либо ортогональному ба-
зису. С точки зрения организации обработки наиболее удобным спо-
собом дискретизации является представление сигналов в виде выбо-
рок их значений (отсчётов) в отдельных эквидистантно расположен-
ных точках. Поэтому в качестве базисов дискретизации чаще всего
используются сдвиговые базисные функции (функции отсчётов и
прямоугольные функции), рассмотренные в п. 1.7
2.1. Функция дискретизации.
Модель дискретизованного сигнала
В этой главе рассматриваются дискретные представления сигна-
лов, основанные на использовании периодических моментов дискре-
тизации. В таком случае процесс дискретизации эквивалентен ампли-
тудной модуляции последовательности импульсов с постоянной ам-
плитудой и иллюстрируется на рис. 2.1.1.
_____________t
Входной сигнал
последовательность
Дискреты
АИМ сигнала

Амплитудная
модуляция
Рис. 2.1.1. Дискретизация как амплитудно-импульсная модуляция
131
В пределе дискретизатор можно рассматривать как периодически
действующий прерыватель. При этом длительность импульсов т
практически должна быть исчезающе мала по сравнению с периодом
дискретизации Дг.
Периодическую функцию y(t) (рис. 2.1.1) можно представить в
виде ряда Фурье (см. п. 1.9):
,	„ Sinw----Г . 2/г,
, х Ат	\f jn-rrt
Я') = ~ Е ---------— е “
Д' „ri
п
п—т
&
Устремляя т к нулю и предполагая, что произведение Ат остаётся
постоянным, например, (Лг = Д/)г^0, получаем
lim[y(/)] = DzW(/) = £ ejn^‘
П = —ОО
О Л/	k\i	Т
О \/
Рис. 2.1.2
Это есть ряд Фурье для периодической
последовательности дельта-функций,
следующих с периодом Д/, т. е.
=	£ 8(t-kbf).	(2.1.1)
А-=-оо
Эту функцию мы будем называть функ-
цией идеальной дискретизации. Дискре-
тизованный сигнал можно рассматри-
вать как результат модуляции последо-
вательности импульсов D^(t) функци-
ей x(t):
xa(t) = x(t)D&l(t) =
(2.1.2)
= Д/ Е x(k&t)8(t - к&),
/г=-сю
что иллюстрируется на рис. 2.1.2.
При таком определении функции дискретизации размерности левой и
правой части (2.1.2) совпадают.
Рассмотрим ещё одну трактовку процесса дискретизации. Иде-
альный способ взятия отсчётов сигнала x(t) основывается на фильт-
рующем свойстве дельта-функции:
132
x(kAt) = jx(/)5(Z-kkt)dt = ^x{t)b{k\t(2.1.3)
Последний интеграл есть интеграл свёртки. Отсюда вытекает, что
устройством, осуществляющим измерение мгновенных значений
х(М/), является дискретизатор (фильтр) с бесконечно короткой им-
пульсной характеристикой. Ясно, что в реальных дискретизаторах
измерение величины x(kkt) будет тем точнее, чем короче их им-
пульсная характеристика.
Математическую модель (2.1.2) дискретного сигнал х,(/) можно
получить и другим способом. Возьмём формулу динамического пред-
ставления сигнала (п. 1.11):
х(/) = |х(г)-5(/- r)dr.	(2.1.4)
Поскольку дискретный сигнал определён лишь в точках /; = АЛ/
(£ = 0, ±1, ±2, ...), интегрирование в (2.1.4) следует заменить сум-
мированием по индексу к, a dr на А/, тогда
хп(/) = Д/^ x(kkt}-§(t - к&1)
к = -х
= х(/)-
Д/ £ 5(/ - к At)
= х(/)£>Л,(Г).
(2.1.5)
Таким образом, операция дискретизации, т. е. переход от аналогового
сигнала х(/) к дискретному хд(/) осуществляется умножением х(Г)
на функцию дискретизации:
D„(/) = A/ X
к = -ос
Эту периодическую последовательность дельта-функций, ‘дующих
с периодом ДГ, называют ещё гребёнкой Дирака. В соответствии с
(2.1.2) и (2.1.5) дискретизованный сигнал представляется бесконечно
узкими импульсами с площадями Дг-х(£Д/). Эти импульсы распо-
ложены в равноотстоящих точках fk = kAt, k = 0, ±1, ±2, ±3......
как показано на рис. 2.1.2.
133
Математическая модель дискретизованного сигнала x\(t) в виде
(2.1.2) является удобной идеализацией. По существу ело континуаль-
ная запись дискретного сигнала. Теперь мы можем интегрировать и
дифференцировать хд(/), подвергать его различным линейным пре-
образованиям, в том числе вычислять преобразование Фурье. Свой-
ства обобщённых дельта-функций позволяют это.
2.2. Спектр дискретизованного сигнала
Найдём сначала спектр функции дискретизации (2.1.1). Периоди-
ческую последовательность дельта-функций можно представить ря-
дом Фурье:
& £ 8(t-k&) = & £ cneJ &,п'
к - -оо	п - -ос
где коэффициенты Фурье
А/
1	2 оо	1
cn=~rt f L	“ dt = —
Д'4,	»	Д'
2
одинаковы для всех п. Поэтому
оо	со J2n^-t
X е Д'	(2.2.1)
к - -оо	п = -оо
Отсюда с учётом (1.9.10) получаем для спектра функции дискре-
тизации
^7//)= Е 5(/-"/«)>	(2.2.2)
п = -оо
где /д = Д/ = 1/Д/ - частота дискретизации. Таким образом, спектр
функции дискретизации представляется периодической последова-
тельностью дельта-функций, период следования которых на частот-
ной оси равен частоте дискретизации.
Рис. 2.2.1. Функция дискретизации и её спектр
134
Соответствие
(/) = А/ £ 5(t - кМ) « D/a (f)= £ 8 (f- nf*)	(2.2.3)
к = -оо	к = -оо
иллюстрируется на рис. 2.2.1.
Найдём теперь спектр дискретизованного сигнала хд(/). Пусть
X(f) - спектр сигнала х(Г). Произведению функций в правой части
(2.1.5) соответствует свертка их фурье-образов в спектральной об-
ласти, поэтому
Хл(П = Х(Л)® Y 8(/-»/д) = £ J X(f-v)8(v-nfjdv.
П = -00	п = -00 _оо
С учётом фильтрующего свойства дельта-функции получаем
Л(/)= Ё Х(/-«/д) = Х(/)+£х(/±И/д).	(2.2.4)
п = -00	п = I
Таким образом, дискретизация аналогового сигнала по времени с ша-
гом At приводит к периодическому повторению его спектра по оси
частот с периодом, равным частоте дискретизации fA - Af -М At.
На рис. 2.2.2 изображён случай, когда спектр аналогового сигнала
является финитной функцией и частота дискретизации выбрана так,
что частичные спектры не перекрываются.
Рис. 2.2.2. Спектр дискретизованного сигнала
135
При этом любой из частичных спектров является неискажённой ко-
пией исходного спектра, поэтому, выделив с помощью фильтра один
из них (например, при и = 0), можно по нему точно восстановить
сигнал. Возможность такого восстановления подтверждается теоре-
мой Котельникова.
2.3. Теорема Котельникова
В 1933 году В.А. Котельников доказал теорему, которая имеет
фундаментальное значение в физике и технике [18]. В соответствии с
этой теоремой аналоговый сигнал х(/) при определённых условиях
однозначно представляется последовательностью своих отсчётов,
взятых через равные промежутки времени. В зарубежной литературе
эта теорема называется теоремой отсчётов.
Сигналы с финитным спектром
Рассмотрим сначала сигналы, которые характеризуются тем, что
их ПФ существует на всём интервале частот
(-оо, оо), но отлично от нуля только на конечном
интервале /tf] (рис. 2.3.1). Для сигнала x(t)
с финитным спектром X(f) запишем представ-
ление по функциям отсчетов (1.6.1):

(23.1)
где
(х,Ф*) = 1 ”Г x(f)sin27r/.<r~^ dt
(Ф*>Ф*) А/_£ 2nf,(t-kbt)
(2.3.2)
есть коэффициенты Фурье и Д/ = \/2fe. Спектр функции отсчётов
00
J qk(f)e~j2*f,dt = Л2Л(/)ехр(-/2л/ЛД0
имеет фазовый множитель из-за сдвига по времени на ЛА/. Модуль
этого спектра П2^ (/) является прямоугольной функцией с единич-
ной площадью.
136
С учётом обобщённого равенства Парсе валя
оо	оо
J х(0У (0<* = J X(f)Y' (f)df	(2.3.3)
-оо	-оо
выражение для коэффициента ск можем записать в виде
JX(f)n2fe (f)ej2*'k“df.
Стоящее под интегралом произведение
X(f)n2fe (J) = Х(Л^~ = x{f)M,
в
поэтому
ск = x(kAt).	(2.3.4)
Отсюда вывод: если сигнал имеет спектр, ограниченный интерва-
лом [-/в, /в ] и шаг дискретизации At = 1 / 2/в, то коэффициенты
Фурье ск разложения сигнала по функциям отсчётов ф* (/) являют-
ся выборками сигнала x(kAt) и для x(t) имеет место представление
рядом Котельникова'.
/х v /j * ч sin 2 лfe(t-kAt)
*(') = £	М <	(2.3.5)
2nfe{t-kM)
Справедливость точного равенства (2.3.5) для сигналов с финитным
спектром по существу представляет собой формулировку теоремы
Котельникова и вытекает из следующих соотношений:
£ х(Мг)<р,(/) = £ х(М/)]<р(1(/-т)8(т-М/)(/т =
* = ’“	м	(2.3.6)
= -^Фо(О®[А'Z *(*А')8('-*А')]-
&	к^
Свертку (2.3.6) можно интерпретировать как отклик идеального
фильтра нижних частот с импульсной характеристикой
Л(0 = 4-<Ро(') = 2/в
sin 2 л fet
2nfel
137
на вход которого поступает взвешенная последовательность дельта-
импульсов с площадями Af x(fcAf). Свертке (2.3.6) во времени соот-
ветствует произведение соответствующих фурье-образов
2/Л2Л(/)^д(/) = 2/Л2/.(/)Ё	) = *(/)•
п = -оо
Отсюда, если взять обратное преобразование Фурье, следует (2.3.5).
Таким образом, приведённые выше соотношения иллюстрируют воз-
можность точного восстановления континуального сигнала x(f) по
его дискретным отсчётам.
Замечание. Важно отметить, что любой ряд Котельникова вида (2.3.5)
представляет функцию с финитным спектром.
Теорема Котельникова относится к числу фундаментальных ре-
зультатов и широко используется в теории и практике обработки
сигналов. Так, например, чтобы передать по каналу связи непрерыв-
ное сообщение x(t) с ограниченным спектром, можно поступить
следующим образом:
•	взять отсчеты х(£А/), к = 0, ±1, ±2, ±3,
•	передать величины этих отсчетов;
•	на приемном конце сформировать короткие импульсы с
площадями AZx(£A/);
•	восстановить сообщение с помощью фильтра нижних частот
с полосой [~fe, fe\ и постоянным в пределах этой полосы коэффи-
циентом передачи, подавая на вход фильтра сформированные корот-
кие импульсы.
Сигналы с нефинитным спектром
Реально любой сигнал наблюдается в течение конечного интерва-
ла времени Г Спектр такого сигнала строго не является финитной
функцией, т. е. будет неограничен по протяженности (рис. 2.3,2а).
В этом случае выбор верхней граничной частоты /в является услов-
ным. Дискретизованный с некоторым шагом AZ = l/2/e в соответст-
вии с (2.2.2) будет иметь спектр JfA(/), изображенный на рис. 2.3.26.
Таким образом, при дискретизации сигнала с неограниченным
спектром периодическое повторение спектра, вызванное дискретиза-
цией, будет сопровождаться эффектом наложения (“aliasing”) час-
тичных спектров своими ’’хвостами" В силу неограниченной протя-
138
женности исходного спектра этот эффект принципиально неустраним
при любом ДГ (он может быть только ослаблен выбором малого At).
Рис. 2.3.2
Рассмотрим один период спектра А”д(/) в полосе [~/с, /с], где
/с = fa /2 = 1 / 2Д^ - частота Найквиста. Он будет отличаться от ис-
ходного Аг(/), во-первых, тем, что не содержит спектральных со-
ставляющих выше частоты fc =	/2, а во-вторых, тем. что
содержит "лишние" составляющие за счёт наложения.
Пусть Т = Л'ДЛ Тогда восстановленный по отсчётам сигнал
77/2
*(о= Z
Аг = -77/2
sin27t fc(t-kkt)
2nfc(t-kM)
N/2
X х(^’до
sinitZ/r-fcAQ
k = -N!2
по указанным двум причинам будет отличаться от исходного x(Z).
Наилучшим способом дискретизации сигнала с нефинитным
спектром является представление с помощью коэффициентов Фурье:

(2.3.7)
139
которые уже не равны отсчётам x(kAt). Действительно, применяя к
(2.3.7) равенство Парсеваля (2.3.3), будем иметь
с* = -J- JХ(ПП2/с (/)е ™*“df =
—00
j X(f) eJ2nflc&,df = x^kAt),
-fc
т. e. коэффициенты Фурье ck равны выборкам сигнала х, (/), имею-
щего финитный спектр
%(/) при /е[-/с,ЛЬ
О при других /.
W)=
Восстановленный по этим коэффициентам сигнал
xi(0= £ ск
к =-оо
л/д(,-М/)
(2.3.8)
также будет отличаться от исходного x(t). Среднеквадратическая
ошибка определяется энергией отброшенных "хвостов" спектра с
частотами \f | > fc:
00	00
й f|x(0-x,(0|2J/= \\X{f)-X^df или
emi J k(/)|^/+ J	(2.3.9)
fc
Если вместо ck в (2.3.8) взять отсчёты х(£Д/), то к ошибке (2.3.9)
добавится ошибка за счет наложения частичных спектров:
Е — £ • Ч* Е
min доп »
где
о
Бдоп ~ J
-Л
t X(f + nfA} df
1"1 =1
зависит от интенсивности компонент спектра при |/|> /с. Поэтому
для ослабления эффекта наложения сигнал перед дискретизацией
пропускают через фильтр нижних частот с целью подавления высо-
140
кочастотных составляющих сигнала выше частоты
Л = Л / 2 = 1/2Д/, чтобы не допустить их свертывание в информа-
ционную часть спектра [-/с, fc ].
Можно перечислить основные
причины, по которым восстанов-
ленный в соответствии с (2.3.5)
сигнал будет отличаться от исход-
ного:
• спектры реальных сигналов
ограничены по частоте приближенно;
невозможно измерить отсчёты сигнала за бесконечно малый про-
межуток времени;
отличие реальных фильтров восстановления от идеального
фильтра нижних частот;
отличие импульсов отсчетов от 5-функций;
конечное число отсчетов.
Ниже остановимся на этих причинах подробнее.
2.4. Дискретизаторы с конечным временем выборки
При идеальной дискретизации формирование отсчета произво-
дится в соответствии с	А /до
00	00
х(кЫ) = fx(0-5a-W)<#= fx(/)-8(£A/-0<*,
т. е. в результате свертки сигнала х(/) с импульсной I
характеристикой идеального дискретизатора 8 (г)	I
На практике формирование отсчетов сигнала осущест- I
вляется устройством, импульсная реакция h(f) кото-	[ | 0 .
рого отличается от обобщенной функции Дирака и	0 у г
распределена на отрезке конечной длительности
0<Д/ (рис. 2.4.1).	Рис. 2.4.1
Результат измерения отсчета можно записать как
кА/	оо
*(кЫ) = J x(t)h(kbt-t)dt = J x(t)h(k\t-t)dt = [x(t)^h{t)]^kM,
к Al-ft	-оо
т. е. как результат свёртки в момент t = k\t.
141
По аналогии с (2.1.2) дискретизованный сигнал может быть представ-
лен в виде
хд (г) = At х(Мг) 6(t-kAt)=
(2.4.1)
= [х(/)®Л(/)]-ДГ J 5(t-kAt)
Л=-со
Из (2.4.1) следует, что функция хд (г) получена идеальной дискре-
тизацией сигнала
на выходе фильтра с импульсным откликом h(t).
Применяя к (2.4.1) преобразование Фурье, находим спектр реально
дискретизованного сигнала
Л (/) =	(/)]®D* (/)	(2.4.2)
оО
где Df (f) = £ 8(/-п/л) - гребенка Дирака в частотной области,
п - -СО
X(/) = ПФ [х(0] спектр сигнала, H(f) = ПФ[Л(/)] - частотная
характеристика дискретизатора. При выводе (2.4.2) использованы
известные свойства преобразования Фурье для свертки и произведе-
ния двух функций. Спектральные функции, входящие в(2.4.2)
изобрашены на рис. 2.4.2
Рис. 2.4.2. Спектры сигналов для дискретизатора с конечным
временем выборки
Таким образом, спектр сигнала на выходе реального дискретизатора
есть периодическое повторение искажённой копии исходного спектра
[Т(/) •//(/)]. Чем короче импульсная характеристика дискретизато-
ра Л(Г), тем лучше в полосе частот сигнала выполняется приближён-
142
ное равенство |77(/)|«const, тем меньше искажения. Если для
восстановления использовать идеальный ФНЧ с характеристиками
Ло (O = -J-<Po (0 = 2/
sin 2 л //
2л// ’
Но (/) =2/.Пгh (/) = 1 в полосе [-/,/.]>
то на выходе его будет сигнал
А, . Л А/, . sin2л/(t-k&t)
отличающийся от исходного х(/). Нетрудно
видеть, что для получения исходного сигна-
ла а характеристика восстанавливающего
фильтра должна быть
я,(/) =
Н(Л ’
Таким образом, характеристика восстанавливающего фильтра Н{ (/)
должна корректировать искажения, вызванные взвешивающим дейст-
вием импульсов отсчетов h(t) (рис. 2.4.3).
Замечание. Так как для физически реализуемых фильтров импульсная
характеристика й(0=0 для t <0, то мнимая часть фурье-образа H(f)
функции h(t) не равна тождественно нулю. Следовательно, умножение
X(f) на H(f) вызывает дополнительный сдвиг фаз.
Пример 2.4.1. Вариантом рассмотренного способа дискретизации с ко-
нечным временем выборки является дискретизация прямоугольными им-
пульсами - к At), которым соответствуют средние значения исходного
сигнала в течение длительности импульса (рис. 2.4.4а).
Рис. 2.4.4. Дискретизация с усреднением
Такая дискретизация встречается, например, в АЦП с устройством выборки и
хранения (УВХ). Введение операции интегрирования сигнала в пределах
143
прямоугольного стробирующего импульса приводит к уменьшению динами-
ческих погрешностей АЦП.
Импульсная реакция физически реализуемого дискретизатора с усредне-
нием представлена на рис. 2.4.46 и определяется соотношением
ла)=77ва-е/2)ож/)=е^^-^’т 8	(2.4.з>
7Г/6
Выходной сигнал такого дискретизатора
х(£Д^) = — [ x(t)dt = — j x(tyi(k&t-t}dt =
G W-6	G
Дискретизованный сигнал, как и ранее, может быть представлен в виде
хд (^) = Д/ х(&Дг)5(/-&Д/) =
*=-“	(2.4.4)
= |[х(г)®й(/)]-Д/J 8(/-*AZ).
У	4-=-®
Переходя к фурье-образам, имеем
= [*(/)  Я(/)]® Dfi (/) = £ X, (/-mfn),	(2.4.5)
где	m = -со
(2.4.6)
л/е
Итак, усреднение на интервале 0 изменяет модуль входного спектра в
sin п /0
п /0
раз и приводит к сдвигу фаз ср(/) = -л/0.
Пусть 0 = а А/; а < 1; &t = 1 / 2fg. Тогда для того, чтобы изменение
модуля спектра было меньше 1% на всех частотах вплоть до f9, необходимо
выполнить неравенство
sin ла
_____ч
f
ла-^—
2/.
> 0.99. Отсюда а < 0,15, т. е. ширина
импульса должна быть меньше 15% от ДА При этом сдвиг фазы для f = fa
составит ф = -13,5°.
144
Пример 2.4.2. Рассмотрим ещё два практических способа дискретизации
с помощью импульсов конечной длительности, которые иллюстрируются на
рис. 2.4.5.
В способе а дискретный сигнал получается путём фиксации на некоторое
время мгновенных значений исходного сигнала x(t). Длительность импуль-
сов дискретизации т соответствует времени фиксации; в пределе она может
быть равна шагу дискретизации At = l/2fe. На рис. 2.4.5в приведена ти-
пичная схема высокоскоростного устройства выборки-хранения (УВХ).
Рис. 2.4.5. Типичный сверхскоростной УВХ
В способе б каждые Л/ секунд стробируются сегменты сигнала x(t)
длительностью!. Обозначим отношение длительности импульса т к перио-
ду Л/ через а = т/Д/. Это отношение всегда удовлетворяет неравенству
а<1. Будем считать, что спектр X{f) ограничен полосой |/|< Опи-
шем детально спектры указанных импульсных последовательностей и пока-
жем, что в каждом случае с высокой точностью можно восстановить исход-
ный сигнал x(t).
145
Спектр последовательности а. Импульсная последовательность а может
рассматриваться как результат прохождения последовательности идеальных
импульсов Д/ У х(ЛД/)5(/ ~кЫ) через фильтр с импульсной характери-
к = -оо
стикой h{t), представляющей собой узкий прямоугольный импульс дли-
тельностью ф Последовательность а аналитически записывается в виде
y(t) = Д/ х(к&)Пх(t - kbf),	(2.4.7)
к =
где
77Д/) = Л(Г) = Р
при 0 < t < т,
при других t.
(2.4.8)
Спектр этой последовательности
Y(f) = Дг У х(ЛДг)е-у2лЛД' .Т51п^те-7д/т =
л/т
Ё *(/-*/?•
Tsinn/xc_M/T
л/т
(2.4.9)
На рис. 2.4.6 изображены спектр исходного сигнала и спектр Y(f).
;X(f)	. JV)
Рис. 2.4.6. Спектры исходного и дискретизованного по способу а сигнала
Видно, что спектр последовательности а получается из спектра идеально
дискретизованного сигнала У X{f -nfa) путём модуляции его спек-
п - -х>
к, а о	sin л/т
тральной функцией т----------- одиночного прямоугольного импульса,
л/т
Спектр У(/) изображён для случая а = (т/Д/) = 1/4. Характерно, что в
разных периодах повторения искажающее действие весовой функции
Tsin л/т/л/т проявляется по-разному.
146
Отметим, что энергия идеально дискретизованного сигнала
хд(/) = Д/ £ *(&Д/)5(/ - kAt)	(2.4.10)
к - -ос
бесконечно велика. Соответственно и энергия спектра
£
п = -<ю
также бесконечно велика. При использовании же реальных тактовых им-
пульсов а получаем дискретный сигнал (2.4.7) с конечной энергией.
Соответствующий спектр У(/)при f —>оо убывает.
Последовательность (2.4.7) формально получается пропусканием идеаль-
но дискретизованного сигнала (2.4.10) через фильтр с импульсной характе-
ристикой в виде прямоугольного импульса отсчёта (2.4.8), как показано на
рис. 2.4.7. Нетрудно видеть, что для получения исходного сигнала характери-
АХО
А л^(0
Рис. 2.4.7
стика восстанавливающего фильтра (f) должна корректировать искаже-
ния, вызванные взвешивающим действием функции
sin л /т ПФ , z ч
т-----2-Ой(0.
л / т
Спектр последовательности б. Импульсная последовательность б полу-
чается путём умножения x(t) на периодическую последовательность прямо-
00
угольных импульсов Д/	Ilx(t - к At) и аналитически записывается в
к = -«
виде
147
где

(2.4.11)
Г1 при - т / 2 < / < т / 2,
[О при других/.
(2.4.12)
Спектр Д/-периодической последовательности прямоугольных импульсов в
соответствии с (1.9.12) имеет вид
& (лит / Аг)
(2.4.13)
Произведению сигналов в (2.4.11) соответствует свёртка их спектров
S(/) = X(/)®P(/) =
т	sin(nnT/Af)
At (ппт/At)
т sin(n«T/Ar)
А/Л~о (лит/А/)
J%(/-/)5(/-H/Az)Jy;
(2.4.14)
X(f-nlM).
Итак, спектр 5(/) дискретизованного по способу б сигнала представля-
ет собой последовательность спектров X(f) исходного сигнала, сдвинутых
один от другого на f — 1 / А/ и убывающих по закону
sin(n«T/AZ)
(лит/А/)
(рис. 2.4.8). Каждый частичный спектр является неискажённой масштабиро-
ванной копией исходного спектра. На рис. 2.4.8 спектр S(/) изображён для
случая а = (т / А/) = 1/4.
Рис. 2.4.8. Спектр исходного и дискретизованного по способу б сигнала
148
2.5. Восстановление сигналов по их отсчётам
Идеальная интерполяция
Формула Котельникова (2.3.5) означает, что значения сигнала
x(t) с ограниченным спектром между отсчётными точками можно
определить по выборкам х(к At) путём интерполяции с использова-
„ sin 2nfj
нием функции---------, как показано на рис. 2.5.1.
2л/>
Рис. 2.5.1. Интерпретация формулы Котельникова
как интерполяционной формулы
Как уже отмечалось в п. 2.3, восстановление исходного аналого-
вого сигнала х(г) по его выборкам в принципе может быть осущест-
влено с помощью идеального фильтра нижних частот (ИФНЧ) с им-
пульсной реакцией
Ло(/) = -^Фо(/) = 2/в
sin2n/e t
имеющей бесконечную протяженность (рис. 2.5.2я). При этом на вход
ОО
такого фильтра подается последовательность А/ 22	8(7 - k&t)
к = -оо
равноотстоящих 5-импульсов с площадями Дгх(^Дг) (рис. 2.5.26).
Интерполяционная формула Котельникова (2.3.5) есть по существу
результат свертки
00	00
х(/') = Д7 J 22 *(£Д7)5(7-£Д7)Л0(/'-/)Л.
_<JO к =-00
Используя фильтрующее свойство дельта-функции, получаем
149
Рис. 2.5.2. а - импульсная характеристика ИФНЧ без задержки и с задерж-
кой; б - схема восстановления аналогового сигнала
х(/') = Д/£ x(kAt)\(t'-Ш) = х(кМ)	•
2nfe(t -Ш)
Поскольку Ло (/) 0 при t < 0, то ИФНЧ не является каузальным, а
потому физически нереализуем. Простым введением задержки эту
проблему решить нельзя. Не существует таких значений /0, для ко-
торых Ло (t -Го) была бы строго равна нулю при t < 0.
Нд(/)|	явю

Рис. 2.5.3. Действие ИФНЧ в спектральной области
В спектральной области действие ИФНЧ иллюстрирует рис. 2.5.3.
Частотная характеристика ИФНЧ |Яо(/)| = О за пределами полосы
[-/д,/в]. Норберт Винер сказал по этому поводу следующее: «Ни
150
один из фильтров, отвечающих условию причинности, не может
иметь бесконечного затухания в конечной (ненулевой) полосе частот.
Идеальный фильтр физически неосуществим из-за самой его сущно-
сти, а не по причине отсутствия необходимых технических средств».
Этот вывод вытекает из известной теоремы Винера-Пэли, которая
утверждает, что если импульсная характеристика h(t) интегрируема
в квадрате и отвечает условию причинности, то
(2.5.1)
Обратно, если АЧХ фильтра |7У(/)| интегрируема в квадрате, а инте-
грал (2.5.1) расходится, то условие Л(/) = 0 не может быть выполне-
но для всех t < 0 независимо от вида фазочастотной характеристики
arg/Z(/). Теорема Винера-Пэли утверждает также следующее:
пусть задана интегрируемая в квадрате функция |/7(/)|, для которой
выполняется (2.5.1), тогда существует функция axgH(f\ такая, что
Я(/) = |Я(/)|еуаг8Я,/) является преобразованием Фурье физически
осуществимой h(t).
Реальные фильтры
Требования к восстанавливающему фильтру можно существенно
ослабить, если выбором Аг обеспечить
Л=/д/2 = 1/2Д/>/,.
В этом случае спектр дискретизованного сигнала представляется в
виде (рис. 2.5.4).
-—Произвольный
уровень
Рис. 2.5.4
Наличие свободного интервала (fe, /д - f({) упрощает реализацию
фильтра, т. к. устраняется необходимость резкой отсечки в частотной
характеристике |Я(/)| (рис. 2.5.4). По этой причине на практике шаг
дискретизации А/ выбирается так, чтобы
151
Л =(2*5)/,.
При этом если выполняются условия
const
|W)| = -
произвольная
О
при |/Й/,
при /,<|/|</д-/„ (2.5.2)
при И>/д-Л,
то спектр X (/), а потому и сам сигнал х(/), восстанавливается точ-
но. Однако по теореме Винера-Пэли для любого реального фильтра
третье условие (2.5.2) точно не выполняется, т. е. |//(/)|^0при
|/|> Л Поэтому на выход такого фильтра пройдут спектраль-
ные компоненты выше частоты f* - /в от соседних частичных спек-
тров. Кроме того, реальный восстанавливающий фильтр практически
всегда отличается некоторой неравномерностью модуля |//(/)| и не-
линейностью фазовой характеристики arg#(/) в полосе /Д
(рис. 2.5.5). Всё это приводит к тому, что выделенный фильтром
спектр не совпадает с исходным, т. е. Хл (/) • H(f) # X(f), и восста-
новленный сигнал будет отличаться от x(Z). На рис. 2.5.5 идеальные
АЧХ и ФЧХ отмечены цифрой 1, а реальные — цифрой 2.
Каузальная аппроксимация ИФНЧ
Пример 2.5.1. В качестве первого примера рассмотрим симметрично
усечённую импульсную характеристику ИФНЧ (рис. 2.5.6а).
Рис. 2.5.6. Каузальная импульсная характеристика а
и соответствующая ей АЧХ б
152
Аналитическое выражение такой каузальной импульсной характеристики
имеет вид
sin 2л/, (Г-Т)
А(/) =
О < t < 2Т,
(2-5.3)
л(/-Г)
О, для всех других значений t.
Функция h(t) получается стробированием идеальной характеристики Ло(/)
прямоугольным окном длительностью ТГ и последующим сдвигом вправо
на Т Выбирая достаточно большое Т и пренебрегая «хвостами» в области
отрицательных значений t < 0, наверное, можно с любой наперёд заданной
точностью аппроксимировать ИФНЧ физически реализуемой системой с
импульсной характеристикой, показанной на рис. 2.5.6л. Однако нетрудно
показать, что для больших конечных значений Т преобразование Фурье
H(f) для h(t) приближается по форме к АЧХ ИФНЧ, за исключением
всплесков конечной амплитуды на границах полосы частот, как показано на
рис. 2.5.66. Площадь под указанными всплесками стремится к нулю при уве-
личении Т С увеличением Т выброс приближается к точке разрыва
f = ±fe и колебания затухают быстрее. Всплески являются следствием
явления Гиббса, которое иллюстрируется на рис. 2.5.7, где показан процесс
получения свёртки
00
W) = J но (/ УГ(/ - / )<7/	(2.5.4)
частотной характеристики
ИФНЧ //0(/) с частотной
характеристикой прямоугольно-
го вырезающего окна
(7(/) = 2rSln 2^,r. (2.5.5)
2л/ Т
Функция (2.5.5) называется
ядром Дирихле. Теоретически
всплески являются следствием
медленного спадания «хвостов»
импульсной характеристики
h(t), поэтому их можно искус-
ственно подавить, если исполь-
зовать оконные функции, от-
личные от прямоугольной.
Рис. 2.5.7. Явление Гиббса
153
Пример 2.5.2. Рассмотрим каузальную импульсную характеристику
0</<2Г,
(2.5.6)
О	для всех других значений t.
Здесь Ао (/) умножается на оконную функцию w(/) в виде симметричного
треугольного импульса. Функция w(/) и её спектр W(f) изображены
на рис. 2.5.8.
Рис. 2.5.8
Частотная характеристика треугольного окна
^(А) = 7’Р1П^Г>|	(2-5.7)
носит название ядра Фейера. Как видно из этого рисунка, ядро Фейера по
сравнению с ядром Дирихле (2.5.5) имеет значительно меньшие боковые
лепестки, причём они однополярные. В результате свёртки (2.5.4) частотная
характеристика H(f) каузального фильтра, соответствующая (2.5.6), будет
аппроксимировать частотную характеристику ИФНЧ без заметных всплесков
(рис. 2.5.9).
154
Фильтры Баттерворта и Чебышева
Рассмотрим некоторые физически реализуемые фильтры нижних
частот. Основное назначение таких фильтров с наименьшими поте-
рями передавать на выход колебания с частотами f < fc, где fc
так называемая частота среза фильтра. В то же время компоненты с
более высокими частотами должны существенно подавляться. Обыч-
но частота среза выбирается равной половине частоты дискретиза-
ции:
Л=/д/2.
Удобно рассматривать квадрат модуля частотной характеристики
фильтра - так называемый коэффициент передачи мощности.
| W) г = Я(Л-Я‘(/).
Эта характеристика всегда вещественна и потому удобна для задания
исходных данных к синтезу фильтров.
На практике широко используются аппроксимации идеальной ха-
рактеристики ФНЧ по Баттерворту и по Чебышеву.
Фильтр Баттерворта. Для этого фильтра выбирается рациональ-
ная аппроксимирующая функция
|^(/)Г = , 	<2’5’8)
1+(///.)
где п - целое число, определяющее порядок фильтра. Эта функция
изображена на рис. 2.5.10.
Рис. 2.5.10
155
Параметры фильтра fc и п рассчитываются следующим образом.
Сначала запишем два условия для границ переходной полосы
(рис. 2.5.11).
1
1 + я2
1
/. \2л
Отсюда
= а2;
\2n
1
А2
= Л2-1.
(2.5.9)
1______
х2л
Поделим первое равенство (2.5.9) на второе, тогда
( г \2л	2
< fi ) А — 1
Решая относительно п, получим
1 а
lg~F=
п =
(2.5.10)
Из первого равенства (2.5.9) находим частоту среза
Ц а
(2.5.11)
Таким образом, все параметры функции |7/(/)|2 определены по за-
данным ослаблениям
на границах переходной полосы [/, /2 ].
156
Основные свойства фильтра Баттерворта:
•	на частоте среза f = fc ослабление, вносимое фильтром, состав-
ляет 101g 0,5 = -ЗдБ и не зависит от порядка фильтра л;
функция \Н(/)|2 монотонно убывает с ростом f и имеет мак-
симальное значение, равное единице, при f = 0;
•	первые (2л-1) производных функции |//(/)|2 равны нулю при
f = 0; по этой причине фильтры Баттерворта называют фильт-
рами с максимально плоскими частотными характеристиками;
•	чем больше л, тем точнее аппроксимируется идеальная форма
частотной характеристики ФНЧ (рис. 2.5.10);
f
•	для нормированной частоты v = — » 1 имеем
fc
и ослабление, выраженное в децибелах, 10 lg(v“2w) = -20 л Ig v дБ.
Отсюда видно, что при увеличении частоты вдвое ослабление в
фильтре Баттерворта возрастает на -20л • 0,3 - -6п дБ; поэтому
можно сказать, что порядок фильтра л связан с крутизной характе-
ристики отношением
число дБ
--------= 6п.
октава
При л = 10 фильтр обеспечивает после fc затухание -60 дБ/октава.
Фильтр Чебышева. Практическое применение находит другой
способ аппроксимации частотной характеристики идеального фильт-
ра нижних частот, известный под названием чебышевской аппрокси-
мации. Коэффициент передачи мощности чебышевского ФНЧ для
f ..
нормированной частоты v = — дается выражением
fc
|Я(у)|2 =----Ц-----.	(2.5.12)
1	" l + e2T;2(v)
Здесь е < 1 - коэффициент, задающий неравномерность в полосе про-
пускания, а Тп (v) - полином Чебышева л-го порядка, определяемый
соотношениями
157
(2.5.13)
) f cos(w arccos v), |v| < 1,
[cosh(« arccos hv), |v| > 1.
Для полиномов Чебышева имеет место рекуррентное соотношение
Тп (v) = 2vTn_l (v) - Тп_2 (v), п > 2,	(2.5.14)
причём TQ (v) = 1 и 7] (v) = v.
На рис. 2.5.12 демонстрируется колебательный характер полино-
мов Чебышева в интервале -1 < v < 1. При v > 1 имеет быстрый рост
Тп(у). Асимптотически для v»l имеем Tn(v)» 2й"' v”
Рис. 2.5.12
Характерной особенностью этих полиномов является то, что среди
всех полиномов степени п с одинаковым коэффициентом при стар-
шем члене функция Тп (v) имеет наименьшее отклонение от нуля на
интервале -1<v<1. На границе полосы пропускания при v = l
Рис. 2.5.13
V = 1 (/ = Л) W = 1
для всех п. Типичный
график функции Тп (v)
показан на рис. 2.5.13 для
двух различных значений
п и при одном значении
коэффициента неравно-
мерности 8.
158
С ростом л крутизна спада частотной характеристики ФНЧ с чебы-
шевской аппроксимацией на частотах выше граничной увеличивается
значительно.
Пример 2.5.3. Фильтр с чебышевской характеристикой 3-го порядка на
частоте среза fc обеспечивает ослабление мощности в два раза. Определить
ослабление, вносимое этим фильтром на частоте 3fc.
На частоте среза v = 1 и Тп (1) = 1 при любом п. Поэтому из
|tf(v)|2 =---= 0,5
1	1	1+£2Гп2(1)
находим е = 1. Многочлен Чебышева 3-го порядка с учётом (2.5.14) будет
иметь вид
(v) = 2vT2 (v) - 7J (v) = 2v[2v7J (v) - Го (v)] - 7J (v) = 4v3 - 3v.
Ослабление, вносимое фильтром на частоте v = 1, составит
101g[l /(1+992)]» -40 дБ.
Аналоговые фильтры Баттерворта и Чебышева реализуются с по-
мощью каскадного соединения ЯЛС-звеньев, отделённых друг от дру-
га развязывающими повторителями.
Замечание. Задача определения степени близости реального ФНЧ
к идеальному возникает постоянно. Для этого может быть использо-
ван метод наименьших квадратов. Другой критерий близости —
критерий Чебышева, который в качестве меры расстояния между
двумя кривыми использует максимальное расстояние между ними.
При приближении по Чебышеву параметры подбираются таким обра-
зом, чтобы сделать максимальную ошибку как можно меньше, т. е.
минимизируется максимальная ошибка. Поэтому этот процесс часто
называют минимаксной стратегией приближения. Для фильтров
Чебышева минимаксный критерий является основным.
Реальные импульсы
Выше предполагалось, что входной сигнал восстанавливающего
фильтра представляет собой последовательность взвешенных дельта-
импульсов
хд(0 =	(2.5.15)
k--<n
Такую последовательность реализовать невозможно. Поэтому
практически формируется сигнал, определяемый выражением
159
хд (t) = Ar x(k\t)q(t - fcAr) =
k = -c*>
= Ar x(Mr) j б(т - k\t)q(t - t>Zt = <?(т)® хд(т).
к = -oo	-«j
(2.5.16)
где q(t) - произвольная функция. Выбор q(f) определяется тем, на-
сколько легко ее можно реализовать. Выражение (2.5.16) можно рас-
сматривать как выход некоторого фильтра с импульсной характери-
стикой <?(т), на вход которого подан сигнал (2.5.15). С учетом этого
на рис. 2.5.14 представлена блок-схема восстановления.
Рис. 2.5.14
Характеристика восстанавливающего фильтра H}(f) выбирается с
учетом реальных импульсов и должна удовлетворять соотношению
Я, (f)Q(f) = Я(/), где Q(f) = ПФ[<7(т)],
a - функция, выбранная так, чтобы имело место
Ж/) (/) = //(/)• Ё %(/-<) = W)-
т = -<х>
Например, H{f) может быть выбрана в соответствии с (2.5.2). Тогда
<№) =
Пример 2.5.4. Пусть
1 при 0 < Г < 0,
О при Г < 0.
Спектр этой функции
160
Чтобы удовлетворить первому условию (2.5.2), необходимо положить
Я,(/) = -•	-eJnfe
О sinn/0
В диапазоне частот, для которых л/0 « 1, с учётом того, что
а а , я2
-----«--------------» 1 + —
sin а а-а /31	6
при |а|«1,
будем иметь

Такую характеристику нетрудно реализовать (рис. 2.5.15).
Рис. 2.5.15
2.6.	Восстановление сигналов по дискретным отсчётам
путём интерполяции
Точное восстановление аналогового сигнала по его дискретным
отсчётам предполагает, что х(/) имеет финитный спектр, а фильтр
восстановления является идеальным. Практический способ восста-
новления основывается на аппроксимации функции x(t) некоторым
полиномом, который совпадает с x(t) при t - к At, к = 0, ± 1, ± 2, ...
161
Например, можно разложить x(t) в ряд между моментами k\t и
(£ + 1)Д/
x(t) - х{кЫ) + x\ktst}(t - к kt) + Х	~	+	(2.6.1)
где
_ & J t = кЫ	L	J i = кЫ
Поскольку единственная информация о х(/)- её значения в дискрет-
ные моменты времени, то производные должны оцениваться по этим
значениям:
x'(k\t) = — [х(ЛДг)-х((£-1)Д/)];
А/
х'\Ш) = — [£'(* ДО - х'((к -1) ДО] =
Аг
= А [х(кЫ) - 2х((к - 1)Д/) + х((к - 2) Д/)].
\г
Видно, что чем выше порядок производной, тем большее число
предшествующих выборок требуется. Можно легко убедиться, что
число предшествующих выборок, необходимых для оценки значения
х(п)(А:Аг), равно п. Таким образом, описанный метод аппроксимации
предполагает, что имеется набор временных задержек, число кото-
рых зависит от точности аппроксимации. Наличие временного запаз-
дывания всегда нужно учитывать. Так, например, хорошо известно
его влияние на устойчивость систем управления с обратной связью.
Кроме того, использование производных более высокого порядка
неизбежно влечёт за собой более сложные схемотехнические реше-
ния. По этой причине ограничиваются несколькими первыми члена-
ми ряда (2.6.1).
Ступенчатая интерполяция
В этом случае для аппроксимации сигнала между двумя последо-
вательными выборками используется только первый член (2.6.1).
Ступенчатая интерполяция заключается в сохранении величины вы-
борки в пределах шага дискретизации А/ (рис. 2.6.1).
162
Интерполятор нулевого порядка
Устройство, реализующее такую операцию, называется интерпо-
лятором нулевого порядка (рис. 2.4.5в). С интервалом Af происходит
кратковременное замыкание ключа, и в этот момент конденсатор
просто «запоминает» отсчётное значение сигнала (рис. 2.6.1).
Рис. 2.6.1. Ступенчатая интерполяция
В соответствии с (2.6.1):
хк (t) = x(kAt) , kAt <t <(k + 1)AL
Это выражение определяет импульсную реакцию h(t) интерполятора
нулевого порядка (фиксатора). Частотная характеристика, связанная
с импульсной реакцией преобразованием Фурье, будет равна
Н( f) =	= _1_. sin(n///„) е-у<//д
я/Д'	/д л///д
Обе характеристики интерполятора нулевого порядка приведены на
рис. 2.6.26, в. Из рисунка видно, что интерполятор нулевого порядка
обладает свойствами низкочастотного фильтра. Однако в отличие от
идеального восстанавливающего фильтра амплитудно-частотная ха-
рактеристика интерполятора обращается в нуль при f = /д вместо
того, чтобы резко спадать до нуля при f = /д /2. Непостоянство час-
тотной характеристики в информационной полосе и наличие боковых
лепестков в H(f) также ухудшают его фильтрующие свойства. По-
этому на выходе фиксатора часто включают дополнительный ФНЧ,
например, фильтр в виде интегрирующей ЯС-цепочки с постоянной
времени RC = At/я.
163
Точность интерполятора нулевого порядка существенно зависит от
частоты дискретизации.
о-------
Л источнику с нулевым
• импедансом
----------о
Я усилителю с бесконечным
входным импедансом
----------о
Запоминающий конденсатор
Рис. 2.6.2. Характеристики интерполятора нулевого порядка
Чтобы получить структурную схему интерполятора нулевого по-
164
Чтобы получить структурную схему интерполятора нулевого по-
рядка, перепишем H(f) в следующем виде:
ул/Д/ . ->/Д/	1 _ А*
Я(/) = М-------—--------е-7л/д' = —-------.
у2л/А/	jlnf
Здесь е-727^4'-частотная характеристика устройства задержки на
время ДГ, а (1/у 2 л /) - частотная характеристика интегратора. Таким
образом, интерполятор нулевого порядка может быть реализован
посредством устройства задержки на Д/, вычитающего устройства и
интегратора, как показано на рис. 2.6.3.
Рис. 2.6.3. Блок-схема интерполятора нулевого порядка
Линейная интерполяция
При линейной интерполяции вершины дискрет соединяются пря-
молинейными отрезками (рис. 2.6.4а). Соответствующий полином
содержит два первых члена в выражении (2.6.1):
xk(t) = х(кА1) + x'(AAf)(f - к At) =
= x(W) + —[х(*Д/) - x((£ -1) А/)](Г - JtA/).
At
Устройство, реализующее это выражение, называется интерполято-
ром первого порядка. В этом устройстве для каждой выборки x(kAt)
формируется отклик, имеющий вид равнобедренного треугольника.
Амплитуды этих треугольных импульсов равны (пропорциональны)
выборочным значениям, а длительности в основании должны быть
2Д/ (рис. 2.6.46). При этом выходной сигнал оказывается задержан-
ным относительно исходного на один шаг дискретизации АЛ Им-
пульсная реакция h(t) и частотная характеристика H(f) интерполя-
тора первого порядка приведены на рис. 2.6.46, в соответственно.
165
Рис. 2.6.4. Характеристики интерполятора первого порядка
Нетрудно убедиться, что интерполятор первого порядка может
быть реализован с помощью следующей схемы:
Рис. 2.6.5. Блок-схема интерполятора первого порядка
Точность восстановления сигнала намного выше, чем при ступенча-
той интерполяции. Это связано с тем, что крутизна скатов частотной
характеристики больше, а уровень боковых лепестков меньше, чем в
фиксаторе нулевого порядка.
Можно показать [4], что для восстановления синусоидального
сигнала x(t) = sin 2nf0t с использованием фиксатора первого порядка
частота дискретизации должна удовлетворять неравенству
/д >4(2,2/77),	(2.6.2)
|х(0-х(0|
где	е = -— ----——.
I*(')L
Так, например, если е = 0,01, то /д > 22/0, то есть частота дискрети-
зации должна быть приблизительно в 10 раз больше частоты, тре-
буемой по теореме отсчетов.
Пример 2.6.1. Как уже говорилось выше, для ослабления эффекта нало-
жения частичных спектров перед дискретизатором (АЦП) обычно ставится
аналоговый ФНЧ, частота среза которого fc согласована с частотой дискре-
166
тизации fA, т. е. fc — fA/2. Например, рассмотрим фильтр Баттерворта
первого порядка, коэффициент передачи мощности которого для
V = (/ / fc ) > 1 имеет вид (см. п. 2.5)
|Я(и)|2 « и’2
В таком фильтре ослабление по напряжению проводится по закону
или —20 дБ на декаду. Условие (2.6.2) должно выполняться для гармониче-
ской компоненты с частотой среза fc Тогда для частоты fe = 10/^, будем
иметь >0,\f(\2^2/у[е). Полагая £ = 0,01, получаем fA > 2,2/в, т. е.
в соответствии с теоремой отсчётов, если за fe принять частоту 10fc.
2.7.	Дискретизация в частотной области
Реально все сигналы наблюдаются в течение конечного интервала
времени, например, [-Г, Т]. Поэтому можно считать, что х(г) явля-
ется финитной функцией. Спектр такого сигнала имеет бесконечную
протяжённость и записывается в виде
т
X(f) = j x(t)e~j2p/'dt.
-т
Для периодического продолжения х(/) с периодом 2Т (без нало-
жения) справедливо представление рядом Фурье:
п
где Д/ = 1 / 2Т и коэффициенты Фурье
т
с„ = (1 / 21) J х(/>-J2n n&f‘dt = AfX(nAf).
-т
Для спектральной функции можем записать
т Г
%(/)= J ^&fX(nbf)ej2’rn*‘ e~J2pf'dt =
-rL "
= Д/^^(«Д/) jeJ2!t{n^~n,dt.
п	-т
167
Интеграл в этом выражении легко находится
f jin (nbf-f)t _____J_____e jln (n bf-Jjt I7 _ Sin 2лТ(п&/ - f)
J	jl^nbf-f)	l-r 2^A/-/)
Для X(/) окончательно получаем
W) = L -¥W)Si"2^y~^'n~; А/ = 1/2Г (2.7.1)
2nT(f-n\f)
Это интерполяционная формула Котельникова (теорема отсчётов) в
частотной области. Функция X(f) на любой частоте f однозначно
представляется последовательностью своих отсчётов, взятых через
равные интервалы А/ = 1/27"
Дискретизация спектральной функции с шагом А/ = 1/27 приво-
дит к периодическому повторению сигнала по оси времени с перио-
дом 27 При этом эффекта наложения отдельных периодов друг на
друга не будет, поскольку шаг дискретизации по частоте выбран в
соответствии с теоремой отсчётов в спектральной области. Выделив
один из периодов, например, при t е [-7, 7], можно точно восстано-
вить спектральную функцию X{f\ взявПФ[х(/)].
Дискретизация энергетического спектра
Все физические сигналы обладают конечной энергией, которая
может рассматриваться как во временной, так и в спектральной об-
ластях, при этом справедливо равенство Парсеваля:
00	00
Входящая в правый интеграл функция |Х(/)|2 имеет размерность
спектральной плотности энергии и называется часто энергетическим
спектром.
Пусть сигнал равен нулю вне интервала [-7,7]. В соответствии с
теоремой отсчётов определим шаг дискретизации функции |У(/)|2
По теореме о свёртке преобразования Фурье
И(/)|2 = X(J) • X' (f)	x(t) ® x(-t).
168
Поскольку сигнал x(f) имеет длительность 2Т, то свёртка
имеет длительность 4Т Поэтому шаг дискретизации
функции |JV(/)|‘ должен удовлетворять неравенству А/ <1/47
База сигнала
Будем считать, что сигнал х(/) длительностью Т дискретизован
по времени с шагом &t = T/N. Шаг дискретизации по частоте в соот-
ветствии (2.7.1) должен быть равным
Af = l/T = MN&t = fJN.
По теореме отсчетов /д = 2ft, где f - верхняя граница спектра. Яс-
но, что для сигналов конечной длительности значение f достаточно
условное, при этом часто предполагается, что "хвостами" спектра
выше /в можно пренебречь. Поэтому число точек дискретизации
спектра %(/) равно
2fJ^ = 2f,-Nlfa=N.
Таким образом, сигнал х(/), имеющий конечную длительность Т и
спектральную функцию X{f\ приближенно ограниченную интер-
валом [-f, /в], и по времени, и по частоте будет определяться
N = T/M = 2fJ	(2.7.2)
своими мгновенными значениями. Клод Шеннон предложил интер-
претировать сигнал с конечными длительностью и полосой как точку
в N-мерном евклидовом пространстве. Число N = 2 feT является раз-
мерностью пространства сигналов, ограниченных по длительности и
по частоте, и называется базой сигнала.
Для 7-периодического сигнала имеет место представление рядом
Фурье:
x(f) = X xO-ml")- Z cnej2,In f>
m = -от	n = -NI 2
где коэффициенты Фурье
1 TH
сп=- J x^e-j^Wdt^fXinbf),
/ -Г/2
a А/ = 1/7- расстояние между гармониками в спектре, равное шагу
дискретизации по частоте.
169
Эти соответствия можно выразить следующими словами: дискре-
тизация сигнала по времени приводит к периодическому повторению
спектра, и, наоборот, дискретизация спектра приводит к периоди-
ческому повторению сигнала.
Сигналы, дискретные по времени и по частоте, будут подробно
рассмотрены в разделе «Дискретное преобразование Фурье» (п. 3.3).
2.8.	Дискретизация полосовых радиосигналов
Рассмотрим узкополосный сигнал, у которого спектр ограничен по-
лосой частот |/| е [/0	/0 +/J, причем /0 » 2/в (рис. 2.8.1а).
Х(Л
2f«
—»
б)
х Д(Л
ПЖШ
о	f
Рис. 2.8.1
170
Примером является сигнал с амплитудной и фазовой модуляцией
%(/) = J(/)cos[2p/0 / + Ф(/)],	(2.8.1)
где A(t) и <р(/) - медленно меняющиеся по сравнению с циклическим
множителем функции времени. Это наиболее общая форма записи уз-
кополосного колебания. Гармонический сигнал (косинусоида с по-
стоянной частотой /0 и начальной фазой ф0) подвергается одновре-
менно амплитудной и фазовой модуляции. Так, в случае строгой ам-
плитудной модуляции гармонического сигнала дисперсионность сре-
ды распространения производит частичное преобразование ампли-
тудных изменений в фазовые. Узкополосные сигналы можно считать
квазигармоническими - их амплитуда и фаза медленно изменяются
во времени.
В соответствии с теоремой отсчетов для такого сигнала необхо-
димая частота дискретизации
Л= 2(/0+Л)
может оказаться очень высокой (за пределами быстродействия аналого-
цифрового преобразователя). Равномерная дискретизация с шагом
Ar = 1 / 2/б оказывается недостаточной, т. к. составляющие Х+ (/) и
Х_ (f) при периодическом продолжении с периодом fa - 2fe будут
налагаться друг на друга, в результате частичные спектры будут от-
личаться от исходного и точное восстановление сигнала по его дис-
кретным отсчетам становится невозможным. Тем не менее для поло-
совых сигналов существуют методы дискретизации с частотой 2fe,
которые позволяют сохранить информацию, необходимую для вос-
становления исходного сигнала. Дальнейшее изложение основывает-
ся на комплексном представлении сигналов, рассмотренном в п. 1.12.
Перейдем теперь к методам дискретизации полосовых радиосиг-
налов.
Дискретизация аналитического сигнала
Естественно применить метод исключения составляющих с отри-
цательными частотами Х_ (/). Это эквивалентно формированию
аналитического сигнала хА (/) =	+	(/), где хг (/)- сигнал,
получаемый пропусканием x^t) через преобразователь Гильберта
171
(линейный фильтр с передаточной функцией Н (/) = -jsign/). Как
отмечалось вп. 1.12, преобразование Гильберта может быть прибли-
женно выполнено с помощью фазовращателя, работающего в узкой
полосе [/0 - fe, Л + Л ] • Характерно, что спектр аналитического
сигнала ХА (/) = 2Х^ (/) содержит только составляющие с положи-
тельными частотами.
При дискретизации аналитического сигнала хА (7) с шагом
А/ = 1 / 2fe его спектр преобразуется в периодическое продолжение
2Х+ (/) с периодом /д = 2/в (рис. 2.8.1 в). Так как частичные спек-
тры 2Х+ (/ ± nf^) не перекрываются, возможно точное восстанов-
ление хА (/) по выборкамхА (кАг).
На рис. 2.8.2а приведена схема дискретизации аналитического
сигнала. Как видно из этого рисунка, исходный сигнал x(t) предва-
рительно фильтруется полосовым фильтром. Это необходимо для
ослабления эффекта наложения частичных спектров при дискретиза-
ции. В схеме действуют два синхронно работающих дискретизатора
(АЦП), обслуживающих соответственно действительный и мнимый
каналы обработки.
ХО VA x(kbt)
Полосовой
фильтр
Преобразование
Гильберта

-Л
Рис. 2.8.2а. Дискретизация аналитического сигнала
Для восстановления хА (/) по выборкам хА (ЛА/) необходим по-
лосовой фильтр с передаточной характеристикой
я(/)=Р’ при
О,	при других /.
(2.8.2)
172
Комплексная импульсная характеристика этого фильтра имеет вид
h(t\ = 51п2л^	(2.8.3)
nt
Действительная часть колебания, получающегося на выходе фильтра,
дает исходный действительный сигнал. Взятие действительной части
эквивалентно формированию части спектра в области отрицательных
частот.
Низкочастотная копия спектра Г(/) изображена на рис. 2.8.1г
сплошной линией. При этом предполагается, что /0 /2fe -т, где
т- целое число. Это условие можно выполнить либо выбором /0,
либо дополнительным смещением по частоте (гетеродинированием
сигнала). Низкочастотная копия спектра является спектром ком-
плексной огибающей у(/) = хс (/) + jxs (/) = A(t)ej9<n, которая содер-
жит всю обусловленную модуляцией информацию.
Аналогично, исключив составляющие Х+ (/), можно сформиро-
вать сопряжённый аналитический сигнал х* (/) = x(t)-Jxr (/). При
дискретизации аналитического сигнала х* (/) с шагом Дг = 1 / 2/д его
спектр преобразуется в периодическое продолжение 2Х_ (/) с пе-
риодом /д =2/в (рис. 2.8.1в). Для восстановления х* (/) по выбор-
кам х* (АА/) необходим полосовой фильтр с импульсной характери-
стикой
/f, '_Sin2Vg/ e-J2nfot
V 7 nt
Квадратурная дискретизация
Для полосового радиосигнала
x(Z) = j4(Z)cos[2n/01 + cp(r)] = хс(t)cos2л/01 - x5(z)sin 2л/01 (2.8.4)
квадратурные компоненты хс (/) = ?l(/)cos(p(/) и xs (/) = A(t) sin cp(z)
представляют собой низкочастотные сигналы со спектром, ограни-
ченным полосой 2/в, и полностью определяются последовательно-
173
стями отсчетов {хс (&Af)} и {xs(^A/)}, где &i = \/2fs (см. п. 1.12).
Таким образом, в этом ме-
тоде сначала осуществляется
двухканальное синхронное
детектирование, а затем дис-
кретизация квадратурных
компонент с шагом А/ = 1 / 2fe
(рис. 2.8.26).
Рис. 2.8.26. Квадратурная дискретизация
Метод предполагает перенос спектра сигнала x(f) с частоты /0
на нулевую частоту и традиционно реализуется аналоговым спосо-
бом, т. е. с применением аналоговых умножителей и ФНЧ. Принци-
пиальный недостаток аналоговых способов формирования хс (f) и
xs (/) - трудность реализации квадратурных каналов с идентичными
и стабильными характеристиками. Кроме того, небольшой динамиче-
ский диапазон аналоговых умножителей снижает эффективность ис-
пользования многоразрядных АЦП для оцифровки отсчетов квадра-
тур.
В рассмотренных методах дискретизация выполняется с частотой
f* = 2fe комплексных отсчетов в секунду ( 4/в действительных от-
счётов в секунду). Эта величина значительно меньше частоты
/д = 2(/0 + fe), необходимой по теореме отсчетов.
Для восстановления исходного полосового сигнала х(/) по от-
счетам {хс (М/)} и {xs(£Af)}, сначала с помощью ИФНЧ восста-
навливаются квадратуры хс (г) их5 (г), а затем и сам сигнал х(/),
используя соотношение
/ч	sin2n/_
*(')= Z х‘(*д')-^77Г7л7Г cos27t/°'_
л = -оо	2n/e(/-xAZ)
к = -ао
sm2nf. (t-k&t)
----~-------Ain2n/0r
2я/в(г-М>)
(2.8.5)
174
Формирование отсчетов квадратур
из отсчётов узкополосного радиосигнала
Появление быстродействующих АЦП, допускающих работу с
частотой дискретизации 100 МГц и выше, делает возможным полу-
чить цифровые отсчеты высокочастотных колебаний на выходах
УПЧ трактов многих радиоприемных устройств, в том числе радио-
локационных. Ниже мы рассмотрим способ формирования отсчетов
квадратурных компонент непосредственно из отсчетов колебания
x(z) на выходе УПЧ.
Выберем шаг дискретизации x(z) равным
.	2^ + 1	О
Az=——,	(2.8.6)
vo
где /0 промежуточная частота, п целое, для определенности
четное, т. е. и = 2, 4, 6,... (выбор п обсуждается далее). В соответ-
ствии с (2.8.6) шаг дискретизации x(z) выбирается нечетно-кратным
четверти периода колебания промежуточной частоты /0. Тогда с
учетом (2.8.4) имеем
x(£Az) = хс (AAz)cos2k/0AAz-xs (&Az)sin2n/0£Az =
= хс (£Az)cosTr£(w + l/2)-xs (£Az)sin7r£(w + l/2).
Отдельно для четных и нечетных отсчетов получим
x(2W)=ic(2*Ar).(-l)‘	x[(2A- + l)] = xs [(2£ + 1)Д/]-(-1)*+”
Отсюда
хс (2АгАг) = x(2£Az)-(-l)*
xs [(2* +1) А/] = х[(2* +1) Д/] • (-1)*+”	(2.8.7)
Таким образом, для формирования отсчетов квадратурных компо-
нент достаточно разделить отсчеты сигнала x(£Az) на чётные и не-
чётные и в полученных подпоследовательностях инвертировать знак
каждого второго отсчета (рис. 2.8.3). Заметим, что моменты взятия
отсчетов квадратурных составляющих сдвинуты на А/, что может
создать определенные трудности при дальнейшей обработке, т. к. в
каждый дискретный момент t = к At обычно требуется пара отсчетов
хс (£Az) и xs (А;А/).
175
j____h ,4 I-. 6 ..-I_______________I-. 8	1____
о аг \ Т . Зд/ \ | * вл/	9д/ 10д/	*Д/
*РЛ,1 ;-
|	I	в А/	8а/
и----о----«---о—*—-о«--------*----О----*----О---«—— ’
О Д' 2Д'	4д/	|к	|	*Л/
^р- + !)Д/|
Рис. 2.8.3
Недостающие отсчеты квадратур (в точках, помеченных на рис.
2.8.3 кружками) можно получить путем интерполяции с помощью
цифровых интерполирующих фильтров (ЦИФ).
Функциональная схема, реализующая рассмотренный метод фор-
мирования отсчетов квадратур, приведена на рис. 2.8.4.
I ум 1
АЦП
.'о
нечётные
Ра^елюпечь
| чётные
х[(2А+1;Лг]
|л(2АДО
I J
хД(2А-+1)Д/]
| ЦИФ I
I х,(АЛ/)
^(2АД/)
ЦИФ |
|хДЛО
Рис. 2.8.4. Схема формирования отсчётов квадратур из отсчётов полосового
колебания
176
- -	«	/ \	А	X/7 f 1
Узкополосный сигнал x(z) дискретизуется с шагом Л/ =---- уст-
ройством выборки-хранения (УВХ) (рис. 2.4.5в). Отсчёты x(£Az)
после квантования в аналого-цифровом преобразователе (АЦП) раз-
деляются на чётные и нечётные. Полученные подпоследовательности
после знаковой модуляции поступают на цифровые интерполирую-
щие фильтры (ЦИФ). Важно отметить, что один АЦП обслуживает
оба квадратурных канала.
В качестве интерполяторов могут быть использованы цифровые
интерполирующие фильтры нулевого и первого порядка. В первом из
них недостающий отсчет берётся равным предыдущему отсчёту, на-
пример, хс (ЗА/) = хс (2Az), а во втором - среднему арифметическо-
му предыдущего и последующего отсчётов, например,
xs(4Ar) = X^3A/^Xs^5A/\
В последнем случае каждый интерполированный отсчёт задержива-
ется на AZ. Это нужно учитывать при дальнейшей обработке.
Самый простой способ интерполяции заключается в том, что не-
достающие отсчеты квадратур заменяются нулями. Этому методу
можно дать наглядную интерпретацию в частотной области.
Рассмотрим такое преобразование действительного полосового
сигнала x(z), когда из последовательности его отсчетов с некоторым
шагом AZ формируются две подпоследовательности по правилу:
к	0 1	2	3	4	5	6	7	8	9
х(к)	*0 X,	х2	*3	Х4	Х5	Х6	Х7	хг	х9
У(к)	х0 0	—Х2	0	Х4	0	~Х6	0	xi	0
У1(к)	0 х.	0	~хз	0	Х5	0	~Х7	0	X,
Т. е. отсчеты сигнала x(AAz) разделяются на чётные и нечётные и в
полученных подпоследовательностях инвертируется знак каждого
второго отсчета.
Из подпоследовательностей (А:) и (А;) образуем новую по-
следовательность
у(*) = у, (*) + ./>,(*).	(2.8.8)
Нетрудно убедиться, что
177
y(k) = xc(2k)+jx, (2Л+1).
Сигналы ^(/) и x(r), из отсчётов которых образуются последова-
тельности у (к) и х(Л), связаны соотношением
y(t) = x(t)expj2n^-t, fa=V&.
Между спектрами этих сигналов имеется простая связь:
Г(/) = х(/-/д/4].
Спектры %(/) и У(/) изображены на рис. 2.8.5а и рис. 2.8.56.
«)
|Гд(Л1
П.П Г1П fftfl h rl.hri
12/J V/p4fu f0
Рис. 2.8.5
Спектр последовательности у (к) является периодическим повторе-
нием спектра Y (/) с периодом /д
Ш) = t Y(f+mfa)-
т - -оо
4
Этот спектр изображён на рис. 2.8.5в для случая Д = — fQ.
Определим частоты дискретизации, при которых один прямой
частичный спектр последовательности у (к} окажется с центром на
нулевой частоте:
/0+у=н/д, « = 1,2,3,...,
178
Аналогично, чтобы инверсный частичный спектр оказался на нуле-
вой частоте, необходимо выполнить условие
-/о+у = -«/д. « = 0,1,2,
4=-^, « = 0, 1, 2,...	(2.8.10)
4и + 1
Можно записать (2.8.9) и (2.8.10) одной формулой:
(2.8.11)
/д =-^-, « = 0, 1, 2,
д 2и + Г
причем при четном п на нулевую частоту переносится инверсный
4
спектр, при нечетном - прямой. Спектр у (к) при /д =у/0, п = 3
показан на рис. 2.8.5в.
Для того чтобы получить комплексную огибающую у (г) сигнала
х(/), нужно выделить один частичный спектр на нулевой частоте, а
чтобы получить ее отсчеты с частотой /д, нужно подавить частич-
.fл .3	5
ные инверсные спектры на частотах ± — , ±— /д, ±— /д, Таким
образом, интерполяция недостающих отсчетов комплексной оги-
бающей у(/) сводится к подавлению частичных спектров последова-
тельности у (к), сосредоточенных возле указанных частот.
Формула (2.8.11) допустимых для описанного метода частот дис-
кретизации дает всего одно значение, удовлетворяющее теореме Ко-
тельникова - это п = 0, /д = 4/0, остальные случаи относятся к
субдискретизации (см. далее) с частотами
4 4 4
”1з’ 5’ 7’ 9’
При этом наложения частичных спектров не происходит, если
(2.8.12)
где 2/в - полоса сигнала, что непосредственно видно из рис. 2.8.5.
179
Также нетрудно видеть, что выбор частоты дискретизации в соответ-
ствии с (2.8.11) обеспечивает одинаковое расстояние между сосед-
ними частичными спектрами. Это означает, что при симметричной
относительно /0 форме прямого исходного спектра уровень помех
наложения спектров имеет локальные минимумы при этих частотах
дискретизации. Таким образом, (2.8.11) также может рассматривать-
ся как формула для оптимальных в указанном смысле частот дискре-
тизации радиосигналов.
Требования к апертурной дрожи моментов выборок в рассматри-
ваемом методе остаются высокими и соответствуют требованиям при
дискретизации сигналов с верхней частотой спектра
Л=Л+^«/о-
Допустимая	величина
Л	.	апертурной дрожи рассчиты-
А ..Уs-—>{.....вается из условия,	что изме-
/	\! !	нения самой	высоко-
/	\	_____частотной компоненты вход-
0 L_________________Л* t ного сигнала за это время не
\------jr-- ! должно превышать единицы
\	•	/ младшего разряда АЦП:
-Л	у	x'tdp < 1 / N. В точке макси-
мальной крутизны (рис. 2.8.6)
Рис. 2.8.6	sin 2л/в t « 2л fe t, поэтому
(2.8.13)
tdp < Nnfe ’
где N - число уровней квантования в АЦП. Максимальная величина
шума, обусловленного дрожью моментов выборок, при этом не будет
превышать максимальной величины шума квантования.
В некоторых случаях применение описанного цифрового метода
получения отсчетов квадратур полосовых сигналов особенно удобно,
т. к. отпадает необходимость в интерполяции недостающих отсчетов.
Пример 2.8.1. Рассмотрим системы, осуществляющие согласованную
фильтрацию. Частотная характеристика цифрового согласованного фильтра
(СФ):
где (/) - спектр отсчетов комплексной огибающей у (7) сигнала x(t).
180
Пусть частота дискретизации выбрана в соответствии с (2.8.11) (п - нечет-
ное) и пусть выполняется условие (2.8.12), а на вход СФ подаются не выбор-
ки у(£), а последовательность у (к]. Т. к. //(/) сосредоточена возле
частот(0, ±1, ±2, ...)/д, то на выходе фильтра составляющие спектра
Л ]	3	5
У (к) на частотах I ± —, ± —, ± —,	1/д будут подавлены, а значит,
специального интерполятора сигнала у (к} истребуется.
(2.8.14)
Дискретизация второго порядка
Отсчёты квадратурных компонент можно получить с помощью
так называемой дискретизации второго порядка, когда образуются
два перемежающихся набора эквидистантных отсчётов х(кЛГ) и
х(£А/-т) полосового колебания. Если выбрать шаг дискретизации
А/ и временной сдвиг т из условия
, и 1	, ~
А/=----<----; п = 1, 2, 3,
2/0 2/в
т = —— + ХА/; X - целое число,
Vo
то по аналогии с (2.8.7) будем иметь
х(£А/) = (-1)*”  хс (£А/),
х(£А/~т) =	-xs (ААг-т).
Дискретизация второго порядка (рис. 2.8.7) является вариантом
рассмотренного выше метода и также избавляет от необходимости
квадратурной демодуляции.
Полосовой
фильтр
(-О^х^Д/)
кЫ
ХО
кЫ-т
-X----
АГ=^_, t=-L+XA/.X-целое число
2Л 4Л
Рис. 2.8.7. Дискретизация второго порядка
181
2.9.	Субдискретизация полосовых радиосигналов
По-прежнему рассматриваем узкополосный сигнал со спектром
вида рис. 2.9.1
Субдискретизация полосовых радиосигналов предполагает, что
частота дискретизации должна быть в два раза выше не абсолютно
наивысшей частоты (/0 + fe), а величины, характеризующей ин-
формационную полосу 2/в. Однако правильная субдискретизация
налагает некоторые ограничения. Рассмотрим их подробнее.
Если граничные частоты спектра /0 - fe и fQ + fe кратны его ши-
рине 2/в, т. е. если
Л-Л=^(2/в), w = 0, 1, 2,	(2.9.1)
то частоту дискретизации можно взять равной
/д=4/в-
Периодическое повторение прямого и инверсного спектров, вызван-
ное дискретизацией полосового сигнала, показано на рис. 2.9.2.
Такая плотная упаковка отображений спектров (/) и Х_ (/)
практически не может быть использована, т. к. условие (2.9.1) чаще
всего не выполняется. Кроме того, приходится считаться с эффектом
наложения из-за нефинитности спектров.
182
Выбор частоты дискретизации
Для нахождения частоты дискретизации /д необходимо исполь-
зовать условие, что т и т +1 переносов Х_ (/) не дают пересече-
ний с Х+ (/). Ясно, что при этом пересечения отсутствуют везде.
Пересечения отсутствуют, если выполнены неравенства (рис. 2.9.3):
-/о +Л +^/д < /о -Л.	9
-/о-Л+(/« + 1)/д>/о+Л.
Рис. 2.9.3
Из (2.9.2) получаем mfa < 2(/0 - fe), (/и +1) /д > 2 (/0 + )
2(/,+Л)	2(/о~Л)
т + 1 д т
Субдискретизация возможна, если
(/о + Л ) < fo ~ /в
ти +1 т
(2.9.3)
т. е.
(2.9.4)
Число т называется порядком субдискретизации.
Неравенства (2.9.3) перепишем в виде
4+1 г 4-1
т +1	2 fe	т
(2.9.5)
Введем нормированные частоты v0 = — и уд =------
fe ^-fe
183
Тогда неравенства (2.9.5) принимают вид
Ур+1 ;Уо-1
т + 1 д т
(2.9.6)
184
Таким образом, зная центральную нормированную частоту
vo = /о / Л» можно построить все зоны, внутри которых расположе-
ны значения уд = /д /2/в (рис. 2.9.4).
Поскольку общая протяженность спектра (/) и	равна
4/в, то при отсутствии перекрытий для всех зон должно быть вы-
полнено неравенство
/д>4/в или ид >2.	(2.9.7)
Строить зоны проще следующим образом. Отмечаются точки с
координатами (1, 2), (3, 2), (5' 2), (7, 2), Эти точки соединя-
ются прямыми с точками (0, -1) и (0, 1). Между этими прямыми и
будут находиться зоны для выбора уд при различных v0 и т.
Практический интерес представляет выбор минимально воз-
можной частоты дискретизации. Такой выбор соответствующей ми-
нимальной ординате выше значения уд = 2. Например, при v0 = 8
минимальная частота дискретизации получается при выборе порядка
субдискретизации т = 3. Из (2.9.6) при этих значениях v0 и т по-
лучаем
9	7
-<vn <- или 2,25<v <2,33.
4 д 3	д
Замечание. Выберем частоту дискретизации в соответствии с
4/*
(2.8.6) равной f =---—. Тогда
2m+ 1
/д /о 2	2
Уд 2/в /в 2m + l V°2m + 1
-биссектрисы зон. Если Х.(/) и X_(f) имеют симметричную
форму, то при этих частотах дискретизации эффект наложения час-
тичных спектров будет минимальным.
Пример 2.9.1. Рассмотрим полосовой радиосигнал, у которого
2fe =10“ Гц и /0 =106 Гц. Тогда v0 =^-
= 200. Частота дискретиза-
ции, выбираемая по теореме отсчетов, должна быть
/д = 2 (Л + Л) = 2/в (и0 +1) = 201 • 104 Гц.
185
Из (2.9.4) находим для порядка дискретизации: т < 99,5. Выберем т = 99,
тогда 2,208 < \>д < 2,211. Частота дискретизации может взята равной
/д = 22090 Гц.
Таким образом, за счет применения субдискретизации частота fa
может быть взята значительно ниже значения, требуемого по теореме
отсчетов. Ясно также, что для уменьшения Д, порядок субдискрети-
зации следует брать максимально возможным.
Для восстановления сигнала достаточно пропустить дискретизо-
ванный сигнал
хд (f) = Xx(fcA/)-5(r-fcA/)
к
через фильтр с частотной характеристикой, изображённой на рис.
2.9.5
Рис. 2.9.5
Импульсная характеристика этого фильтра
h (/) = 2/e	cos2n/0/.	(2.9.8)
Ясно, что фильтр с такими характеристиками реализовать невозмож-
но. Реализуемые фильтры обсуждались в п. 2.5.
186
Упражнения и задачи к главе 2
1.	Доказать, что идеально дискретизованный сигнал имеет спектр
(/) = Е	« А) = W)+Ё W ± п Л )>
л=-оо	И=1
представляющий собой периодическое повторение исходного спектра
JT(/) по оси частот с периодом, равным частоте дискретизации
fA = 1 / АЛ Представить периодическую функцию Хд (/) рядом Фурье.
2.	Доказать ортогональность функций отсчетов
sin 2л/, (/-^А/)
2л/,(/-*А/) ’
на бесконечном интервале (-оо, оо). Является ли система функций от-
счётов полной в гильбертовом пространстве L2 ?
3.	Найти преобразование Фурье функции
/ч 57* /г А X sin2nf (t-k&f) f
*(') = Е 0	, АЛ >гдеЛ =1/2Ал
2nfc(t-kbf)
4.	Сигнал х(/) с финитным спектром на отрезке [-/e, fe ] пред-
ставить обобщённым рядом Фурье по системе функций отсчётов. Чему
равны коэффициенты Фурье? Записать приближённое представление
такого сигнала на конечном интервале Т
5.	Из каких соображений шаг дискретизации непрерывного сиг-
нала х(/) с финитным спектром на отрезке [~fe, /в ] часто выбирают
меньше чем Д/ = 1 / 2/в ?
6.	Для восстановления континуального сигнала x(t) по его отсчё-
там, взятым с шагом AZ, используется специальный фильтр. Каковы
должны быть характеристики фильтра импульсная, АЧХ, ФЧХ? От-
вет обосновать. Что можно сказать о реализуемости такого фильтра?
7.	На вход ИФНЧ подаётся последовательность из десяти одина-
ковых отсчётов с шагом дискретизации Д/ = 10 мкс. Изобразить вре-
менную диаграмму сигнала на выходе фильтра.
8.	Вместо ИФНЧ для восстановления сигнала из задачи 7 исполь-
зуется однозвенный ЯС-фильтр с постоянной времени 10 мкс. Изобра-
зить сигнал на выходе восстанавливающего фильтра. Что можно сказать
о пригодности однозвенного ЯС-фильтра для восстановления сигналов?
187
9.	Пусть x(t) - периодический сигнал с периодом Т и пусть x(t)
не содержит частот выше fe =NIT. Получить выражение ряда Ко-
тельникова для этого сигнала.
10.	Показать, что функции
sin 2 л
2л/в0-т()
являются собственными функциями системы, имеющей частотную ха-
рактеристику
=	H<Z*’
[0, для других /,
для любых значений постоянной тг Рассмотреть взаимосвязь этого
факта с теоремой отсчётов.
Указание. Собственные функции определяются следующим свойством:
Яф,(')1=\<р,(0.
где X,. - постоянные величины, называемые собственными значениями,
а ^[ф, (0] ~ реакция линейной системы на входное воздействие в виде
Ф,(0-
11.	Пусть частотная характеристика H(f) ЛИВ-системы является
периодической по частоте:	= H(f + fQ) для некоторого значения
/0 и всех значений f Выразить импульсную характеристику h(t) че-
рез H(f).
12.	Известно, что для непрерывного сигнала x(t) имеет место
х(7) = |х(т)-5(Г-т)с7т.
-ОО
Это равенство отражает фильтрующее свойство 5-функции. Показать,
sinp1	X А.
что-----также обладает фильтрующим свойством
Р'
-i л(/-т)
если спектр x(t) надлежащим образом ограничен.
13.	Действительный сигнал x(t) имеет финитный спектр АД©),
ограниченный полосой [-(ов, сов ]. Показать, что если шаг дискретиза-
188
ции Д/ выбран так, что частота Найквиста <ог = л / Дг > ов, то х(Г)
может быть представлен в виде
/ч V" /г * ч sin со, (t - kДг)
x(f) = >. x(fcA/)-----———, где о < <0, <2^-со,.
<вс (/ - л AZ)
14.	Преобразование Фурье ограниченного по длительности сигнала
х(/) выражается в виде
т2
Х(а>)~ jx(t)e~J<0‘dt.
г,
Сформулировать и доказать теорему отсчетов в спектральной области.
Записать ряд Котельникова для этого случая.
15.	Определить шаг дискретизации единичного скачка
x(t) = 1, t > 0, при котором длительность фронта сигнала, восстанов-
ленного по теореме отсчетов, не превышает т.
16.	Имеется x(t) в виде прямоугольного импульса, t е [О, 2Г].
Найти и изобразить мнимую и действительную части спектра этого им-
пульса. В соответствии с теоремой отсчетов в частотной области опре-
делить шаг дискретизации:
	спектральной функции этого сигнала;
	вещественной части Re АХ/);
	мнимой части Im АХ/);
	модуля спектра | АХ/)|;
	энергетического спектра |АХ/)|2
17.	Сигнал x(Z) с финитным спектром точно представляется дву-
мя отличными от нуля отсчетами:
х(2 мкс) - ЗВ, х(6 мкс) = 6 В.
Определить верхнюю частоту в спектре этого сигнала. Найти мгновен-
ное значение сигнала в момент времени t = 17 мкс.
18.	Обобщить теорему Котельникова на случай полосовых радио-
сигналов, спектр которых отличен от нуля лишь в области
со, <со<со2, со>0.
19.	Гармонический сигнал
x(t) = cos(2nl О31 + (р0), - ао < t < ао,
189
дискретизован в соответствии с теоремой отсчётов. Для восстановления
такого сигнала используется интерполятор нулевого порядка. Опреде-
лить частоты, амплитуды и фазы гармонических компонент на выходе
интерполятора. Получить аналитическое выражение для выходного
сигнала интерполятора как суперпозицию этих компонент.
20.	Выбрать шаг дискретизации А/ симметричного треугольного
импульса длительностью 2т = 100 мкс. В качестве верхней частоты
спектра fe принять значение частоты, при котором спектральная плот-
ность обращается в нуль и при f > fg значения спектральной плотно-
сти не превышают 0,1 от максимального значения. Записать ряд Ко-
тельникова для этого случая.
21.	Определить диапазон допустимых частот субдискретизации
полосового колебания
х(Г) = Л(1 + 0,5 cos 2тт/^ /) cos 2nfot, -оо < t < <х>,
при /м = 5 кГц, /0 = 900 кГц. Определить порядок субдискретизации
для наименьшей из этих частот. Найти и изобразить АЧХ идеального
восстанавливающего фильтра.
22.	Гармонический сигнал x(f) = cos2nfQt, /0 = 500 кГц дискре-
тизован с частотой /д = 2 МГц. Изобразить как функцию нормирован-
ной частоты v = f / /д в диапазоне |v| < 2
•	модуль спектра исходного сигнала;
•	модуль спектра дискретизованного сигнала;
•	модуль спектра последовательности у (к) = х(к) • (-1)*;
•	модуль спектра последовательности z(k) = х(к) • 2 cos(£n / 2).
23.	Аналитический сигнал x(t) имеет финитный спектр, ограни-
ченный полосой со е [со,, со2 ], со > 0. В соответствии с теоремой от-
счетов выбрать шаг дискретизации функции |х(Г)|2
24.	Сигнал у(7) имеет спектр, ограниченный полосой [-/в, /в].
Доказать, что
j у1 (t)dt =	у2 (кА/), где АГ = 1 / 2fe.
—со	к — -®
190
25.	Сигнал x(t) имеет финитный спектр %(со) и дискретизуется

с шагом Д/ = —. Дискретизованный сигнал получается умножением
Ч
х(/) на функцию дискретизации y(t). На рисунке представлены два
способа дискретизации. В практи-
ческом способе а) в качестве y(t)
используется периодическая (с пе-
риодом Дг) последовательность
коротких прямоугольных импуль-
сов длительностью т < Д/ и ампли-
тудой Е. В идеальном способе б)
используется периодическая после-
довательность дельта-функций
=	Для обоих
к = -оо
11-ШШ 11111111
О Л/ W г О Д/ kAt т
4<ОВ x(t) y(t) л^(Г> A/J2-ZrAO
XU 1 I 1.1.1 fr,
0 At kAt t OAi kAtr
a)	6)
способов описать и изобразить спектры функции дискретизации и
дискретизованного сигнала.
26.	Фильтр нижних частот с чебышевской характеристикой
третьего порядка на частоте /с обеспечивает ослабление мощности в
два раза. Определить величину ослабления, вносимого этим фильт-
ром, на частоте f - 3fc.
27.	Два идеальных дис-
кретизатора работают с одина-
ковым шагом дискретизации
Дг, но со сдвигом Дг/2, как
показано на рисунке. При
/0 = 1 МГц и частоте дискре-
тизации fa = 1 / Д/ = 5 МГц изо-
бразить как функцию нормированной частоты v = f / f в диапазоне
|v|<2:
о модуль спектра исходного сигнала х(Г);
о модуль спектра дискретизованного сигнала хд (г);
• модуль спектра сигнала (Z) на выходе суммирующего уст-
ройства.
191
ПФ
28.	Пусть __________>#(/) пара преобразования Фурье. Пока-
зать, что
где Дг - шаг дискретизации функции h(t). Определить число отсчетов,
необходимое для представления прямоугольного импульса длительно-
стью т = 1 мкс при условии того, чтобы длительность фронта восста-
новленного импульса не превышала 3% от т.
29.	Основываясь на теореме отсчетов, рассчитать полосу частот,
необходимую для передачи черно-белого телевизионного сигнала, если
принять, что
•	разрешающая способность телевизионного изображения 500 строк;
•	число элементов в строке 650;
•	скорость передачи 25 кадров в секунду;
•	яркость каждой точки передается амплитудой видеосигнала.
30.	Два способа генерации радиоимпульсов изображены на рисун-
Произведение wt2irfa
и стробирующего сигнала
Стробирующий
сигнал
В способе А импульсы генерируются с одной и той же начальной
фазой для каждого импульса, причём период импульсов Т2 не обяза-
тельно кратен 1/ /0. В способе Б синусоидальный сигнал sin 2nf0t
стробируется прямоугольными импульсами, причём период несущей
1 / /0 не обязательно кратен периоду импульсов Т2. Рассмотреть разли-
чия между этими сигналами во временной и спектральной областях.
192
31.	Имеется сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний
различных частот: x(t) = cos со/ + cos со2Г. Найти соответствующий ана-
литический сигнал, сформулировать для него теорему отсчетов и запи-
сать ряд Котельникова. Как по отсчетам аналитического сигнала можно
восстановить исходный сигнал х(г) ?
32.	Аналитический сигнал х(/) имеет финитный спектр, ограни-
ченный полосой [0, сов]. В соответствии с теоремой отсчетов выбрать
шаг дискретизации функции |х(Г)|2
33.	Сигнал х(г) имеет финитный
спектр X{f) треугольного вида. Оп-
ределить коэффициенты ряда Котель-
никова для этого сигнала, полагая, что
А/ =	. Доказать, что
у х(кМ)-е'^^
к =-оо
Здесь х(Г) и X{f) - сигнал и его спектр соответственно, a Af - шаг
дискретизации.
34.	Доказать теорему Котельникова в частотной области: если
сигнал х(г) тождественно равен нулю вне промежутка
tx< t < t2, то спектральная плотность X(J) однозначно зада-
ется последовательностью своих значений в точках на оси частот,
отстоящих на —-— Гц друг от друга. Записать ряд Котельникова
*2 “
для X{f). Изобразить схему восстановления.
35.	Рассмотрим сигнал
у(/), полученный путём
фиксации на время, равное
шагу дискретизации Аг,
мгновенных значений исход-
ного сигнала х(/). Пусть
x(f) = cos(o)0/ + ф0), - оо < t < оо, и шаг дискретизации Аг выбран в де-
сять раз меньше значения, получаемого в соответствии с теоремой отсчё-
193
тов. Определить частоты, амплитуды и фазы гармонических компонент
на выходе фиксатора. Получить аналитическое выражение для выходно-
го сигнала фиксатора как суперпозицию этих компонент.
36.	Сигнал х(Г) имеет спектр, ограниченный полосой |/|< /ff.
Доказать, что
<Ю	да
j x(t)dt = Az 22 Х(^А/),
д?=—
2/.
37. В реальных системах отсчёты сигнала x(t) осуществляется
импульсами конечной длительности вместо идеальных 5-импульсов.
Два способа получения дискретизованного сигнала представлены на
рисунке. Изобразить функциональные схемы таких дискретизаторов.
Считая, что спектр	ограничен полосой |/| < /в, описать
спектры дискретизованных сигналов.
38.	Пусть спектр сигнала х(Г) равен нулю вне полосы 1 МГц, а
спектр сигнала y(t) равен нулю вне полосы 2 МГц. В соответствии с
теоремой отсчетов выбрать шаг дискретизации следующих сигналов:
а)х(г), б)у(О, в)Я5/)? г)х(/) + Х0> Д)*(ОЯО> е)х(0*И0’
39.	Импульсная характеристика идеального фильтра нижних час-
тот с верхней граничной частотой fe умножается на периодическую
последовательность прямоугольных импульсов, имеющих единичные
амплитуды, длительности 1 /10/„ и частоту следования 5fe. Найти и
изобразить спектр произведения.
40.	В стробоскопическом осциллографе отсчёт быстрого Г-перио-
дического сигнала производят один раз за период, но с прогрессивно
нарастающей задержкой в последующих периодах. Если полученную
таким образом импульсную последовательность пропустить через
фильтр нижних частот, то на выходе фильтра получим сиг-
нал y(t) = x(at\ а < 1.
194
Считая, что спектр X(f) равен нулю вне полосы |/| </х, а спектр
К(/) равен нулю вне полосы |/| < fy, определить наименьший период
Т и наибольший шаг задержки А, которые можно использовать в дан-
ной системе.
41.	Прямоугольный импульс х(Г), t е [-т/2, т/2] дискретизован с
шагом Аг так, что образуется 2Л; + 1 отсчётов, расположенных симмет-
рично относительно оси t = 0. Найти спектральную плотность дискрети-
зованного сигнала и изобразить её для случая 27V + 1 = 9, отметив все
особые точки. Описать процедуру восстановления импульса по его отсчё-
там. Оценить длительность фронта восстановленного импульса.
42.	Экспоненциальный импульс
х(0 = е~а' Г>0, а = 2Л04Гц,
дискретизован с шагом Аг = 10 мкс Найти и изобразить спектральную
плотность дискретизованного сигнала.
43.	Определить и изобразить спектр дискретизованного симметрич-
ного треугольного импульса высотой Е и длительностью т, заданного
пятью отсчётами с шагом дискретизации А/ = т/ 5.
44.	Рассмотреть вопрос о дискретизации колокольного (гауссова)
импульса х(Г) = е~^г Определить шаг дискретизации А/ и число от-
счётов, достаточное для описания импульса, если в качестве сов принять
значение, при котором спектральная плотность уменьшается в 10 раз.
195
45.	Выбрать шаг дискретизации А/ прямоугольного импульса
длительностью т = 100 мкс. В качестве верхней частоты спектра fe
принять значение частоты, при котором спектральная плотность об-
ращается в нуль и при f > fe значения спектральной плотности не
превышают 0,1 от максимального значения. Записать ряд Котельни-
кова для этого случая.
46.	Косинусоидальный импульс
x(t) = A cos-у-, 0 < t < Т = 20 мкс, А = 1 В,
подвергнут дискретизации путём умножения его на периодическую
последовательность прямоугольных импульсов:
=
где nT(t)- прямоугольная функция длительностью т = 0,5 мкс и ам-
плитудой 1, AZ = 2 мкс - шаг дискретизации. Описать и изобразить
спектр последовательности у(Г).
Указание. При нахождении спектра косинусоидального импульса дваж-
ды продифференцировать сигнал.
47.
предел
Доказать, что дельта-функцию можно рассматривать как
1 Tit
48.
Вычислить интеграл
4
49.
Найти и изобразить спектральную плотность группы из
(2N + 1) дельта-импульсов, расположенных симметрично относи-
тельно начала координат. Отметить величины максимумов и их рас-
положение по частотам, а также частоты нулевых значений.
Указание. Воспользоваться формулой суммы (2^ + l) членов геометри-
ческой прогрессии
S(2tf+1) = —L——L,
(1-9)
где - первый член прогрессии, a q - знаменатель прогрессии.
196
Ответ:
sin7t/(2W + l)T
nft
у
^2N+\
50.	Показать, что
к = — co	i n = -a> \	* .Z J J
51.	Проверить следующие формулы Пуассона:
a)	Z = Z 'Нт’Т
&„Г^, IazJ
оо	1 оо X \	. 2 л
б)	Z x(t-kM) = — Z *
в)	£ x(kbt)e™k“ =Z Z
Az V Az J
г)	z x(z) ft(z-*Az)«4- z *(/-т-Тя1т-
*f^co	I A/J I AZ
52.	Найти и изобразить частотную характеристику системы,
импульсная характеристика которой имеет вид
МО Площадь s —!—
«-1
11UL_
12 3 Л/-1 Л/
>• t
197
53.	Найти ряд Фурье для периодического сигнала, изображён-
ного на рисунке.
Площадь = 1
Период = N
t
54.	Сигнал х(/), имеющий спектр %(/), показанный на рисунке,
пропускается через физически нереализуемый фильтр с периодической
импульсной характеристикой Л(г). Найти и изобразить спектр выходно-
го сигнала фильтра.
55.	Показать, что система, изображённая на рисунке, ведёт себя
как узкополосный фильтр. Импульсная характеристика h(t) имеет вид
прямоугольника с единичной площадью. Оценить полосу пропускания
системы. Чем можно регулировать частоту настройки системы?
56.	Сигнал x(t) имеет спектр X(f), действительная и мнимая
части которого показаны на рисунке.
198
y(/)= *(/)$(/)
------>-------------
|'>Л »('-£)
-CD
Показать, что сигнал на выходе дискретизатора y(j) = 8 (/).
57.	На выходе дискретизатора стоит фильтр с частотной характе-
ристикой H(f). Предположим, что H(f) является периодической:
Я(/ + JV) = H(f) для некоторого зна-
чения W и всех значений /. Описать
импульсную характеристику Л(г)
фильтра и сигнал y(t) на его выходе
к-—Х:
58.	Имеется система дискретизации-восстановления. Дискретиза-
ция - идеальное взятие отсчетов с частотой Д, удовлетворяющей ус-
ловиям теоремы Котельникова.
Восстановление осуществляется интерполятором нулевого порядка.
Найти АЧХ входного фильтра, минимизирующего среднеквадратиче-
ское отклонение y(t) от х(/), в двух случаях: 1) выходного ИФНЧ нет;
2) фильтр ИФНЧ - идеальный ФНЧ с верхней частотой /с = /д / 2.
59.	Фильтр нижних частот с чебышевской характеристикой третье-
го порядка на частоте /с обеспечивает ослабление мощности в два раза.
Определить величину ослабления, вносимого этим фильтром, на частоте
/ = 3/с.
199
60.	Имеется сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний
различных частот: х(/) = cos со/ + cos со/ Найти соответствующий ана-
литический сигнал, сформулировать для него теорему отсчетов и записать
ряд Котельникова. Как по отсчетам аналитического сигнала можно вос-
становить исходный сигнал x(t) ?
61.	Найти порядок фильтра Баттерворта с частотой сре-
за /с = 100 кГц, который при /с = 200 кГц обеспечивает ослабление не
хуже 20 дБ по отношению к уровню при f = 0.
62.	Рассмотрим сигнал *д (0. полученный путём фиксации на неко-
торое время т мгновенных значений х(кД/) исходного сигнала х(/).
взятых с шагом Аг Отношение длительности импульса к периоду' дис-
кретизации а = т / Аг = 0,5. Пусть
x(t) = cos(co/ + ф0). -оо < t < оо.
а частота дискретизации в два
раза больше со() Определить час-
тоты. амплитуды и фазы гармони-
ческих компонент на выходе фик-
сатора. Получить аналитическое выражение для выходного сигнала фик-
сатора как суперпозицию этих компонент.
63.	Сигнал х(Г) дискретизован в соответствии с теоремой отсчетов.
Доказать, что для среднего значения сигнала имеет место
1 т 1 N12
= Jim — J = lim — £ x(kAt).
T1	>U k=-N/2
64.	Определить частоту' дискрепгшщш, необходимую для точного
восстановления сигнала
х(/) = (sin 6280г)/6280/.
65.	Определить частоту' дискретизации, необходимую для точного
восстановления сигнала
х(/) = 10 cost 1 000/- + п / 3) + 20 cos(2000/ + л / 6).
66.	Перед дискретизатором стоит фильтр Баттерворта шестого по-
рядка с частотой среза /с = 1000 Гц. Какая частота дискретизации необ-
ходима для снижения помехи наложения до уровня -50 дБ по мощно-
сти? Какой порядок фильтра нужно выбрать, чтобы обеспечить данный
уровень помехи при частоте дискретизации fa = 2/с?
200
Г Л А В A 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ
СИГНАЛОВ
Цель данной главы - показать важнейшие свойства преобразова-
ний Фурье с дискретным временем и особенно их отличия от преоб-
разования Фурье в непрерывном времени, обозначить проблемы, воз-
никающие при использовании этих преобразований в цифровой обра-
ботке сигналов.
3.1. Оценка спектра сигнала
по последовательности его отсчетов
Ответим на вопрос, как оценить спектр исходного сигнала по по-
следовательности его отсчетов x(fcAf), к = 0.1. 2.... Как уже отмеча-
лось, спектр последовательности отсчетов представляет собой перио-
дическое (с периодом =1/Д/) повторение исходного спектра
Х(/). Необходимая спектральная информация будет содержаться в
полосе [-/с, /с]> гДе Z =/д /2 (Рис- 311)
ivcn;
Рис. 3.1.1
Поэтому выделим из суммы
л(/)= £
(3.1.1)
ш = - ОО
201
один частичный спектр, соответствующий т - 0, действием фильт-
ра, подавляющего компоненты выше fc = fA 12. Тогда отфильтро-
ванный сигнал
х(0 = Ё х(кМ)
к - -<ю
sm27t/c
2nfc(t-kM) ’
т. е.	х(к &f) = x(k& t).
Преобразование Фурье этого сигнала будет
(3.1.2)
*(/) = Ё x(k&t)e-j2'fkh,\
sin2n/c(t-fcAQ e.j2Kf^k&l} dt
2nfc(t—kNt)
Ё ^tx{k\t)e-j2^nif^f),	(3 L3)
к = -oo
где
>?„.</)=?„ np”l/|s/-=i/2A:'
[О при других f
Входящий в (3.1.3) ряд
Nt £ x(kNt)e-j2n/k&'
к = -оо
есть ряд Фурье периодической функции Хд (/). Действительно,
*.(/)’ 1 е.ке “^'->г	± С.ке^',
к = -оо	к - -<ху
где коэффициенты Фурье с учётом (3.1.2) равны
А/2
с-*=(1//д) J xa{f)ei2nfkikt df =Ntx(kNt) = Ntx(kNt). (3.1.4)
-/л/2
Подставляя эти коэффициенты, получим
*д(/) = Ё ДГх(ЛД0е->2я/*д' (3.1.5)
к = -оо
Это есть прямое дискретное во времени преобразование Фурье
(ДВПФ) последовательности {х(£)}. Обратное ДВПФ представляет-
ся формулой (3.1.4).
Рис. 3.1.1 иллюстрирует связь полученной оценки спектраX(f)с
исходным спектром X(f), который в общем случае является нефи-
нитной функцией. Видно, что оценка спектра, полученная по дис-
202
кретным отсчетам, отличается от исходного спектра, во-первых, от-
сутствием компонент выше частоты / 2 = 1/2Д/, а во-вторых,
наличием “липших” составляющих вследствие эффекта наложения,
вызванного дискретизацией и нефинигностью исходного спектра.
Отбрасывание «хвостов» спектра для |/| > /с сопровождается
среднеквадратической ошибкой
= f к(/)Г^/+J \x(ft\2df
fc
Эффект наложения приводит к дополнительной ошибке (п. 2.3)
о
Бдоп “ J
-/с
|”| = 1	о
2
£ w+vj df
Поэтому для повышения точности оценки спектра в полосе
[”Л > fc ] пеРеД дискретизатором обычно включают фильтр, подав-
ляющий спектральные компоненты после /с = /л / 2 = 1/ 2Д t. Можно
рассматривать выделяющую функцию II2fc (f) как окно в частотной
области. Применение непрямоугольных оконных функций приводит к
еще большему отличию оценки спектра X(f) от исходного X(f).
Конечное число выборок. Явление Гиббса
Практически оценку спектра приходится проводить по конечному
числу выборок
XN(f)= Z А/х(Ы/)е->2^д‘, |/|</с.	(3.1.6)
k = -N!2
Это есть усечённая сумма членов разложения функции Хл (/) в
ряд Фурье. Ограничение числа членов эквивалентно умножению по-
следовательности {х (/г) } на прямоугольное окно
.	[1, |£|<ЛГ/2,
у(к) = \	(3.1.7)
Л [0,|£| > N/2.
ДВПФ этого временного окна
= Y e-j2nfk&t =AtSmn{N-+i)fM (3.1.8)
k = -N/2	sinit/AZ
203
при больших N ведёт себя как функция sin х / х, имеющая пульси-
рующий характер из-за наличия боковых лепестков.
Произведению двух временных последовательностей соответст-
вует свертка их фурье-образов, поэтому оценка спектра будет
/с
XN(f)= j X(y)Y(f-V)dv.	(3.1.9)
~Jc
Когда N -> oo Y (/) -> 8 (/) и XN (f) -> X(f). В точках, где кри-
визна X(f) мала, ошибка X (f)-X N (/) может быть сделана как
угодно малой при увеличении N. Однако, когда X(f) имеет разрыв,
например, в точке f - ошибка X (/) -X N (/) не устраняется при
увеличении N (явление Гиббса). Увеличение N путем увеличения
частоты выборок делает явление Гиббса более резко выраженным
(рис. 3.1.2). Если при f = / функция X(f) резко спадает к нулю, то
частота дискретизации должна быть равной fA = 2 / с тем, чтобы
устранить разрыв в крайней точке.
Л|Хд(/)1
Рис. 3.1.2. Явление Гиббса
Для заданного N функция X N (/) представляет собой наилуч-
шую аппроксимацию %(/) по критерию среднего квадрата. Ошибка
вблизи точек разрыва X(f) может быть снижена применением оконных
функций, отличных от прямоугольной. Рассмотрим, например, тре-
угольное окно
1*1 < у,
|*| > N,
(3.1.10)
которое получается свёрткой двух прямоугольных окон каждое дли-
тельностью в N +1 отсчётов:
204
у№) =
W/2
L
m = -/V/2
Я»О#-лО
1 1
По теореме о свёртке ДВПФ треугольного окна
N	Л/
Yy(J) = bt £	=-^-
k^ZN	W + 1
sinn/А/ )
имеет уже меньший уровень боковых лепестков, благодаря чему
оценка спектра
Л
ЛИ/) = J X(y)Yt(f-v)dv	(3.1.12)
-/с
в точках разрыва X(f) будет более сглаженной, и явление Гиббса
ослабляется. Как и в случае прямоугольного окна, когда N —> оо
i; (/) -> 5(/), a X2N (/) -> X(f) в точках с малой кривизной. Пове-
дение функций (3.1.9) и (3.1.12) для прямоугольной X{f) отражает
рис. 3.1.2.
3.2. Дискретное во времени преобразование Фурье
Вернемся к выражениям (3.1.4) и (3.1.5). Спектр дискретизован-
ного сигнала является периодической функцией частоты и представ-
ляется рядом Фурье в частотной области
205
*д(/) = Д'£ х(кЫ)е~'2к'к&'	(3.2.1)
к = - w
f л/2
где	x{k\t) = J XJJ)eW^df	(3.2.2)
-f / 2
Это есть пара дискретного во времени преобразования Фурье
(ДВПФ). Прямое ДВПФ А"д(/) - континуальная и периодическая
функция частоты (с периодом /д):
т = -да
В выражениях (3.2.1) и (3.2.2) удобно принять Ar = 1 и ввести нор-
мированную частоту v = fl fA. Тогда будем иметь соответственно
Х(у)= £ x(k)e~i2*vk,	(3.2.3)
к = -оо
х(к) = [ X (v) ej2nvi dv.	(3.2.4)
-1/2
Пару ДВПФ символически обозначим следующим образом:
х(£)о%(у).
Ещё раз подчеркнём, что прямое ДВПФ A'(v) представляет контину-
альную и периодическую функцию частоты (с периодом уд = 1), а
х(к) - функция дискретного времени.
Отметим ещё соотношения дуальности между этими выражения-
ми и формулами для обычного ряда Фурье. Для Г-периодического
сигнала имеет место представление рядом Фурье
x(t) = £ х(/ - тТ)	X(nbf) ej2nn*f',	(3.2.5)
/W = -W	Я = -00
где коэффициенты Фурье сп - &fX(n&f\
X(n&f) = J x(t)e-j2nniifldt,	(3.2.6)
=Г/2
a А/ - 1 / T - шаг дискретизации по частоте.
206
Эти соответствия можно выразить словами: дискретизация сигна-
ла по времени приводит к периодическому повторению спектра, и,
наоборот, дискретизация спектра приводит к периодическому по-
вторению сигнала.
Основные свойства и теоремы ДВПФ
Некоторые свойства ДВПФ приведены в таблице 3.2.1.
Т аб л ицаЗ.2.1
	Последовательность х(к)	ДВПФ X(v)
1	x(k-l) (теорема	%(v)-exp(-j2nv/) запаздывания)
2	х(Л) expC/2nv„£)	|	X(v-vo) (теорема смещения)	
3	Свертка J x(k)h(i-k) к = — со (теорема о свертке)	Произведение %(v)tf(v)
4 5	Произведение х(А) у(к) Ё И‘>1! к = -оо (равенст]	Свертка (круговая) 1/2 J X(v')r(v-v')</v' -1/ 1/2 = J |jf(v)|2 dv -1/2 во Парсеваля)
6	Единичный импульс fl, к = 0, 1(*) = S [0, k*Q.	1
207
7	Периодическая последова- тельность единичных им- пульсов £ Цк-т) т = —со Illi II,	Периодическая последователь- ность 8-функций (площади рав- ны 1) £ 8(v-w) И = - со t t, t t, t,,
	-2-10	1	2 'к	-2-1	0	1	2 ’ v
8	exp(j’2nvrj£), -ао<к<<х)	£ 8(v-v„-n) n = —tn
9	Последовательность еди- ничных импульсов с пери- одом L £. Цк-mL) т = -<»	Последовательность 8-функций с периодом ML (площади равны ML) (1/L) £ 8(v-w/L)
10	Изменение масштаба ^2	l(k-mL) к=-<х>	X(yL)
Все эти свойства легко доказываются непосредственным вычис-
лением. Докажем, например, свойство 9.
Вычисление ДВПФ дает (с учётом теоремы запаздывания)
*(*)=£	£ \{k-mL)e-^vk =
к=-ао т=-оо
£	£ l(k-mL)e~j2*vk = £ e-j2ltvLm
к-—<хз	т=-<х>
Это есть ряд Фурье (по оси у) периодической последовательности
8-функций с периодом 1/£, т. е.
X(v) = (l/£) £5(у-Л/£).
Для случая L = 3 это свойство иллюстрируется на рис. 3.2.3.
208
•*(*)
|%(и)
(I)	1HD
Рис. 3.2.3
Докажем теперь свойство 10. Пусть имеется х(Л)о X (v) пара
ДВПФ. Функция непрерывного аргумента A"(v) является периодиче-
ской на оси v с периодом, равным 1 (рис. 3.2.4)
I y(v) I
-1
—*“V
2
о	1
Рис. 3.2.4
Образуем новую последовательность у(к) путем добавления £-1
нулей между каждой парой отсчетов х(к):
У(*)= S
т*-со
Новая последовательность с измененным масштабом имеет ДВПФ
K(v)= £ y(k)e~i21lvk = J J x(m)l(k-mL)e~J2nvk =
к=-т	к = -<Х> m =
j? x(m) £ l(k-mL)e~J2nvk = J x(w) e~j2™mL = X(yL).
m = -ao	к = -oo	m = -oo
Функция Y(y) периодична с периодом 1 / L и сжата по оси v в L раз.
Случай L = 2 изображен на рис. 3.2.5.
Рис. 3.2.5
209
3.3. Дискретный во времени ряд Фурье
Для периодического с периодом Т сигнала х(/) ряд Фурье будет
*(/)= X С„е^,т>',
где коэффициенты Фурье
Г/2
С„=(1/Т) J x(t)e-jn(2nlT}'dt.
-TH
При дискретизации x(t) с шагом А/ -Т / N на одном периоде x(f)
будет N отсчетов. Примем для краткости записи Ar = 1. Тогда перио-
дическую дискретную функцию х(к) можно представить в виде
свертки
х(к) = х„(к)® Ё Цк-mN).
m = -оо
Здесь
х(к),	0<k<N-\,
О, при других к,
а £ l(k-mN)- последовательность единичных импульсов с пе-
m = - оо
риодом N.
(*) =

I Л\,(И I
О
и
Z 1U -m.V)
/м
1	I	1
1_______I_______Lx
/V	о	V
ШШШ1Ш
лощади - (I /АО
-------------
dAV О \/N
х(к >
О /V
пмлшмллы
LY(v)l
площади •%(//)
О IAV
и
Рис. 3.3.1
210
По теореме о свертке для ДВПФ
X(y) = XN(y) (1/JV)£ 8(г-и/ЛГ) .	(3.3.1)
П = -00
Для пояснения (3.3.1) на рис. 3.3.1 приведены последовательности и
их спектры.
Обозначим площадь отдельной 5-функции в (3.3.1) при v-n/N
через Х(п). Тогда из (3.2.3) и (3.3.1)
Х(л) = (1 / N)XN (v = п / X) = (1 / N)	х (к) e~J42 “'N) пк	(3.3.2)
Х(п) - Апериодическая функция дискретного аргумента.
В соответствии с (3.2.4) и (3.3.1) будем иметь
1/2
х(к) = J X(v)e'2mkdv =
-1/2
1/2	ао
J [A\(v)(1 /N) £ S(v-n/N)]eJ2mkdv.
-1/2	w = -®
Проведя суммирование по п на одном периоде от 0 до N -1, полу-
чаем
N-I
х(А) = £ А'(«)б>7(2л/Л')”*	(3-3.3)
п = О
Последовательность х(к) периодична с периодом N.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Соотношения (3.3.2) и (3.3.3) определяют прямое и обратное дис-
кретное преобразование Фурье (ДПФ) соответственно. Пара ДПФ
ДПФ
х(к) <-> Х(п)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между N отсчета-
ми во временной области и N отсчетами в спектральной.
Пара ДПФ часто записывается в виде
1 7V-1
W=-^x(k)W~nk,
У-1
х(£) =£%(«*
п = 0
3.3.4
211
j n k
Здесь W”k =e N - базисные функции ДПФ.
Пара ДПФ справедлива и для последовательности х(к) конечной
длины в N отсчётов. Однако при этом следует помнить, что обратное
ДПФ (3.3.3) дает Апериодическую функцию, совпадающую с исход-
ной последовательностью х(к) на интервале к=0, ..., N-1.
Таким образом, отличительной особенностью ДПФ является то,
что сигнал и его спектр определяются на конечных и равных интер-
валах N. При этом меняется привычное понятие сдвига, а именно:
сдвиг сигнала и его спектра на интервале N понимается как цикли-
ческая перестановка отсчетов (часть сигнала или его спектра, выхо-
дящая за пределы интервала N с одного конца, вставляется в этот
интервал с другого конца). При циклическом сдвиге значения индек-
сов к и и отсчитываются по модулю N:
х(к-т) = х\(к-т) mod TV] = x(k-m)N
и
Х(п-р) = Х[(п-р) mod2V] = Х(п-p)N
(целое число раз по N отбрасывается). Например, ?/ = 64. Тогда
х(69)64 = х(5).
Свойства и теоремы ДПФ
В таблице 3.2.2 приведены наиболее важные свойства ДПФ.
Т а б л ицаЗ.2.2
	Сигнал	ДПФ
1	х*(Л)	X*(N-ri)
2	x(N-k)	X(N-n)
3	х(к) = х*(к) действ, последовательность	X(n) = X*(N-n)
4	х(к) = -х*(к)	X(n) = —X*(N—n)
5	x(Jc) = x(N-k) чётная последовательность	X(n) = X(X-n)
6	x(k) = -x(N-k)	X(n) = -X(N-n)
7	х(к) = х* (к) = x(N-k) чётная действ, послед-сть	X(n) = X(N-n) = = X* (N - ri) = X*(n)
212
Продолжение таблицы 3.2.2
8	x(k) = x*(k) = -x(N- k)	Х(п) =-X(N - п) = = X*(N-п) = -Х*(п)
9	±-^х(к)у*(к)	£ВД-Г*(п) N * = о	„ = о равенство Парсеваля для ДПФ	
10	х [(£-/) modN] теорема	X(n)-W~nl запаздывания
11	i N-\ — ^x(k)h[(l-k) modA/] X * = o теорема о цикличес	Х(п)-НМ :кой свёртке для ДПФ
12	1 [(*-/) mod#] сдвинутый единичный им- пульс	w-”' N N
Пример 3.1. Свойства 1^-8 называют ещё свойствами симметрии, они
легко проверяются прямой подстановкой в формулы ДПФ. Остановимся на
свойстве 3 для действительных сигналов. Коэффициенты ДПФ с номерами,
симметрично расположенными на интервале N, являются комплексно-
сопряжёнными числами. Это означает, что достаточно вычислить Х(п) для
п = 0, 1,..., ТУ/2, а остальные Х(п) находятся без вычислений из равен-
ства Х(п) = X*(N -и). Таким образом, почти вдвое сокращается число
операций, требуемых для вычисления всех N коэффициентов ДПФ дейст-
вительной последовательности.
Пример 3.2. Пусть имеется две действительные последовательности
а(к) и Ь(к) длиной в N отсчётов, к = 0, 1, 2, ...,ЛГ-1. Образуем со-
вмещённую последовательность с(к) = а(к) + jb(k). Вычислить все коэф-
фициенты ДПФ А(п) и В(п) последовательностей а(к) и Ь(к) из резуль-
татов преобразования С(п) совмещённой последовательности с(к) По
свойству линейности ДПФ можем записать
С(и) = Я(и) + ;В(и),
C'(N-n) = A\N-n)-jB\N - и).
213
В силу симметрии Я(и) = Л*(2У —и) и В(п) = В* (N - п). Отсюда
Л(и) = [С(и) + СЧ#-и)]/2,
В(л)=[С(л)-Г(#-л)]/2у.
Вычисление коэффициентов Л(п) и В(п) по этим формулам достаточно
выполнить только для и = 0, 1,..., 2V / 2, а остальные коэффициенты мож-
но найти, используя свойство симметрии.
Теорема о циклической свёртке
Ввиду важности докажем теорему о циклической свертке (свойст-
во 11 в таблице 3.2.). Пусть
х(к)оХ(п) и h(k)<^H(n)
пары ДПФ; £ = 0, 1, 2,	N-1; т? = 0, 1, 2, N-L Операция
свёртки двух периодических последовательностей х(к) и h(k) опре-
деляется соотношением
у(*) = ^-^x(k)h[(l-k) tnodjV].	(3.3.5)
X л = о
Нужно показать, что
1	N-\
[ВДЯ(и)]<»— £х(А:)/г [(/-£) tnodtf]. (3.3.6)
Действительно,
V-I	У-1	1 У-1
X %(и)Я(Я)^й/ = Y -£ x{k)W-Nnk	=
я = 0	« = 0 ™ к =0
1 ЛМ	ЛМ	1 Л-1
= - £ *(*)£	± £ x(k)h [(J-k) mod ЛГ],
X к =0	« = 0	* =0
j'——n I
что и требовалось доказать. Здесь W ”1 = е N - базисные функ-
ции ДПФ. Таким образом, операции свёртки во временной области
соответствует произведение ДПФ-образов в частотной области.
Свойство 11 имеет большое значение при обработке сигналов в
ЛИВ-системах. Последовательности х(к) и у(к) рассматриваются
как входной и выходной сигналы системы, a h(k) - как её импульс-
ная характеристика. Таким образом, свёртку (3.3.5) можно произво-
дить либо непосредственно во временной области, либо в частотной
области. В последнем случае нужно сначала вычислить и перемно-
214
жить соответствующие ДПФ-преобразования Х(п) и Н(п\ а затем
с помощью обратного ДПФ найти выходной сигнал системы у(к).
На первый взгляд, косвенный метод кажется более длительным по
сравнению с прямым методом. В действительности же косвенный
метод требует значительно меньше вычислительных операций по
сравнению с прямым методом. Причина этого заключается в том, что
для вычисления ДПФ и ОДПФ может быть использован эффектив-
ный метод, известный под названием быстрого преобразования Фу-
рье (БПФ), рассматриваемый далее.
Разбиение 2ТУ-точечного ДПФ на два TV-точечных
Пусть х(к) - действительная последовательность длиной в 2N
отсчётов и пусть х(к) <=> %(и), п е 2N. Разобьём последователь-
ность х(к) на две N- точечные подпоследовательности х, (к) = х(2к)
и х2 (к) = х(2к +1) из чётных и нечётных отсчётов соответственно.
Пусть х, {к) <=> Х\ (n)N и х2 (к) <=> X2(n)N - два TV-точечных ДПФ
этих подпоследовательностей. Установим связь Х(п) с Xx(n)N и
Для первых N коэффициентов ДПФ (п = 0, 1, 2, N -1) мо-
жем записать
1	2Л/-1
* = 0
1 jV-1	1 ZV-I
~ ^(2k)W^nk +— Х^(2Л + 1)И'2;П( ) =
1 Г 1 jv-1	1 N~x
* = 0	^V*=0
Для n = У, N +1,	2TV -1 с учётом свойств симметрии будем
иметь Х(п) = ЛХ2У-и).Это разбиение позволит лучше понять граф
алгоритма БПФ с прореживанием по времени, который будет рас-
смотрен в п. 3.7.
215
Матричная форма ДПФ
Введем в рассмотрение квадратную матрицу [W] N порядка N с
2 л
элементами = ехр(у — п к), п, к е 0, 1, 2, N -1, так, что
номер строки совпадает с номером дискретной экспоненциальной
функции, а номер столбца совпадает с номером отсчета функций.
При этом произведение п • к обычно берется по модулю N, т. е.
тх/П к —уупк (mod АГ)
" N ~УУ N
Например, пк -17, тогда пк* =1. Эти свойства матрицы ДПФ сле-
дуют из N-периодичности функции	по обоим аргументам. Для
случая N = 8 матрица ДПФ имеет вид								
	0	1	2	3	4	5	6	7
nl 0	X	IV0»			iv0»	iv°	IV0»	IV0'
1	iv0»	IV',	^8	Wl	iv4,	iv5»	IV6»	IV7»
2		IV2»		IV6,	w8»	iv'»0	IV'2	IV'»4
М.= 3	и*				iv'-		IV',8	IV2»'
4			ff'i	IV',2	iv'»6	IV?	IV2»4	IV2»8
5		IV5»	w';	IV»	IV?	iv;5	IV3»0	IV3»5
6		IV6,	w'/	iv',8	IV2»4	iv?	IV?	iv;2
7	IV°	w\		iv;'	IV?	IV3»5	C	IV49
Эта же матрица с минимальными фазами будет
[Hs =
0	1	2	3	4	5	6	7
ni Q	>8	iv0»	IV0»	IV°	IV0»	IV0»	IV0»	IV0»'
1	iv0»	IV»	IV2»	IV3»	W4»	IV5»	IV6»	IV7»
2	IV0	IV2»	IV»	IV6»	IV0»	IV2»	IV»	IV6»
3	IV0»	IV3»	IV6»	IV'»	IV»	IV7»	IV2»	IV5»
4	iv0»	IV4»	IV0»	IV4»	IV0»	IV4»	IV0»	IV4»
5	iv0»	IV5»	IV2»	IV7»	IV4»	IV'»	IV6»	IV3»
6	iv°	IV6»	IV4»	IV2»	IV0»	IV6»	IV4»	IV2»
7	iv°	IV7»	IV6»	IV5»	IV4»	IV3»	IV2»	IV'»
216
Матрица ДПФ является симметрической и относится к классу так
называемых унитарных матриц, для которых обратная матрица по-
лучается транспонированием и заменой элементов на комплексно-
сопряженные так, что
(3.3.7)
где [/]N - единичная матрица размером NxTV,
нирования.
Пример 3.3.
a T — знак транспо-
рт
'w°4	w°4		w°4'		’1	1	1	1 
w*4		W24	W34		1	W\	if;	
	w2	w4	w*4		1	W24	1	w24 ’
W°4	W34	w4			1	W34	W\	
№’ =
1
1
1
1
1
w-;
w-2
w-3
1
1
w;2
1
w;3
w;2
В матричной форме пара ДПФ имеет вид
X	* - прямое ДПФ,
= [Ил]?/ X - обратное ДПФ.
Здесь X и х -N-мерные вектор-столбцы:
*(0)
*(1)
х(0)
х(1)
L*(7V-1)J
x(N-Y)_
217
3.4. Соответствие между ДПФ, рядом Фурье
и непрерывным преобразованием Фурье
Пусть х(0 - действительный сигнал длительностью Т, Ряд Фу-
рье его Г-периодического продолжения в общем случае может со-
держать бесконечное число членов
х(0 = Е cmeJ2*m,/T	(3.4.1)
m = -л
1 7
где Cm =—	dt - коэффициенты Фурье.
Т о
Сигнал x(t) дискретизуется так, что на интервале Т берется N от-
счетов х(£Д/) с шагом Д/ = Т / N,
Коэффициенты ДПФ для последовательности {х(£ДО}
X{n) = ^-^x(k\t)e-J2ltnklN
Здесь и = О, 1, 2, N -1.
В формуле (3.4.1) перейдем к дискретному времени t-k^t и
подставим в Х(п), тогда
1	03	ДМ
ад=— £
N m - -к	к =0
Так как дискретные экспоненциальные функции exp (JlnnkIN)
ортогональны на интервале N, то
J_y e-W-nWN = р.при m = n + lN, 1 = 0, ±1, ±2,
N * = о	[0,	при других значениях т.
Поэтому можем написать
ВД=ЕС„+/ЛГ.	(3.4.2)
/ = -оо
Предположим, что ряд Фурье (3.4.1) не содержит гармоник с но-
мерами выше N/2, т. е. т = -N/2,	-1, О, 1, N /2 (полага-
ем N четным). В этом случае имеем соотношение
Х(п) = С„, я = 0, 1, 2, ..., (Д72)-1,1
X{n) = C_<N_n}, n = N!2,...,N-\, J ( >)
218
которое отражено на рис. 3.4.1.
Рис. 3.4.1. Соотношение между коэффициентами Фурье и ДПФ:
а - последовательность коэффициентов Фурье |CV| длиной N + 1 отсче-
тов; б - последовательность коэффициентов ДПФ|Аг(и)|; * - начальная точ-
ка следующего периода
Таким образом, существует ограниченный класс сигналов, для ко-
торых соответствие между коэффициентами Фурье и ДПФ точное. Он
включает в себя периодические сигналы с ограниченным спектром,
дискретизованные в соответствии с теоремой отсчетов. В общем
случае последовательность коэффициентов Фурье T-периодичес-
кого продолжения сигнала может иметь бесконечную протяженность
Рис. 3.4.2
(рис. 3.4.2а). При дискретизации такого колебания с шагом А/
вследствие размножения спектра (повторения с периодом, равным
частоте дискретизации сод = 2 л/At-NlnIT) имеет место наложе-
ние частичных спектров своими ‘‘хвостами” (рис. 3.4.26).
Из-за эффекта наложения соотношение (3.4.3) между коэффици-
ентами Фурье и ДПФ будет теперь приближенным. Чем меньше А/ и
быстрее совпадают “хвосты” последовательности Сп, тем точнее это
соотношение.
219
Для апериодического сигнала конечной длительности Т отсчёты
его спектральной функции
^(<0)= J x(t)ej*'dt,
-TH
взятые с шагом Дсо = 2л/7\ также приближенно соответствуют ко-
эффициентам ДПФ Х(п), вычисленным по N отсчетам сигнала с
шагом Т / N:
(W/2)-l;
” Т	(3.4.4)
n = N!2,	7V-1.
Связь ДПФ и ДВПФ
Пусть х(к) - N-точечная последовательность. ДВПФ этой после-
довательности
V-I
^(v)=£x(*)e-^
к = 0
Используя формулу обратного ДПФ, получим
N-\ N-\	.♦ н L	W-l	N-I —
*(v) = £ IS адеJ» ]e = £ ВД £ e »’*
k=Q n=Q	n = 0	* = 0
Просуммируем N членов геометрической прогрессии:
V -^v-1)*	l_e-y2"(V-> e-jK(V-^N Sinn(v-^
/1 e 14 =---------------------------------------——
k=0	. z П
1-e	" e N	sinn(v-—)
smn(y---)N
_jn(y_ —)(2V-1) v дг7
= e N ----------------—---.
Л к
sm n(v--)
N
Поэтому для %(v) можем записать
п = О
Л к
sm 7uv-------)N п
ft'	(л^-i)
W ч
sm rc(v------)
N
(3.4.5)
220
Это интерполяционная формула восстановления континуальной
функции Х(у) по коэффициентам ДПФ Х(п). В точках v-n/N
имеет место %(v = n/N) = NX(n), что соответствует (3.3.2). Таким
образом, коэффициенты ДПФ Х(п) можно рассматривать как отсчё-
ты функции (1 / 2V)%(v), взятые с шагом Av = 1 / ^ в соответствии с
теоремой отсчётов в частотной области.
Интерполяция добавлением нулевых отсчётов
Практический способ увеличения числа отсчётов функции Х(у)
состоит в следующем. Определим новую последовательность у(к)
длиной в М отсчётов (М > N ) путём дополнения исходной после-
довательности х(к) нулевыми отсчётами. Число таких нулевых от-
счётов будет Л/ - N:
f х(£), 0<£<ДГ-1,
у(к) = <
z [О,	N<k<M-\.
Для этой последовательности отсчётные значения функции %(v) в
точках vm =т/М, т = 0, 1, М-1, взятые с новым шагом
Av = 1 / М, будут
X(vm) = Е y(k)e-J2nmk/M	(3.4.6)
к = 0
Это выражение с точностью до множителя 1 / М представляет собой
Л/-точечное ДПФ, которое может быть вычислено, например, с ис-
пользованием быстрых алгоритмов. Характерно, что если взять
Л/= 27V, то дополнительные отсчёты Х(ут) будут расположены
между N первоначальными. При этом улучшается качество визуали-
зации спектральной функции %(v), которая остаётся неизменной от
такого дополнения, так как она определяется первоначальной длиной
массива х(к). Рис. 3.4.3 иллюстрирует такую возможность.
На рис. 3.4.3а изображены относительные величины первых вось-
ми отсчётов ДВПФ на интервале 0 < v < 0,5:
X(v = —) = NX(n), п е [0.W-1], ^ = 16.
N
221
Эти отсчёты рассчитаны по первым восьми коэффициентам ДПФ
Х(п) 16-точечной действительной последовательности х(к).
») <’)
Рис. 3.4.3. Интерполяция за счёт дополнения нулями
На рис. 3.4.36 показаны отсчёты функции (3.4.6) при
М = 2N = 32, т. е. после двукратного увеличения числа её отсчётов
путём дополнения последовательности х(к) нулевыми отсчётами.
Шаг дискретизации функции Jf(v) равен при этом
Av = (1/Л/) = 1 /32-
Случай Л/ = 8^ = 128 (восьмикратное увеличение числа отсчё-
тов) представлен на рис. 3.4.3в. При М -> оо и Av -> 0 мы получаем
непрерывное изображение |^(v)| для 16-точечной последовательно-
сти (рис. 3.4.3г).
222
Интерполяция функций с ограниченной полосой
с помощью ДПФ
Задача состоит в нахождении значений точек между уже извест-
ными точками функции с ограниченной полосой. Аналоговая функ-
ция, дискретизованная с шагом Ar < 1 / 2/в, точно задаётся
интерполяционным рядом Котельникова:
z\ V1 /» * ч sin 2л/„(Z-ЛА/)
x(Z)= £ х(ЛАГ)-	/.
Предположим теперь, что известно только
N точек функции. Функция, которая равна
нулю вне интервала от 0 до NAz, не может
быть ограниченной по полосе. Следова-
тельно, строгая интерполяция рядом Ко-
тельникова в этом случае невозможна. По-
этому допустим, что известные N точек
представляют один период периодической,
ограниченной по полосе действительной
функции (рис. 3.4.4а). Коэффициенты
ДПФ Х(п) этой последовательности сим-
метрично расположены на интервале N в
соответствии со свойствами симметрии
ДПФ и изображены на рис. 3.4.46 для слу-
чая ^ = 8. Поместим (г-1)Л нулей в се-
редину последовательности Х(п). Моди-
фицированное ДПФ показано на рис.
3.4.4в для случая г = 2. Обратное преобра-
зование будет иметь rN точек на одном
периоде и изображено на рис. 3.4.4г. Пря-
мое и обратное ДПФ могут быть вычисле-
ны с помощью алгоритма быстрого преоб-
разования Фурье (БПФ). Этот алгоритм
будет рассмотрен в пп. 3.5-3.8.
ДПФ модифицированное
Рис. 3.4.4
О ? U
223
Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям
Рассмотрим теперь последовательные этапы получения коэффи-
циентов ДПФ для апериодического бесконечно протяжённого сигна-
ла х(Г), у которого спектральная функция Х(со) в общем случае
также может быть бесконечно протяжённой. Для корректной дискре-
тизации по времени ограничим спектр полосой [-сов, сов ] так, чтобы
Z(co) = 0 при | со | > сов. Такое ограничение эквивалентно действию
частотного окна РГ(со).
При дискретизации х(/) с шагом Д/ = л/сов в соответствии с
теоремой отсчетов спектр Х(со) переходит в периодически продол-
женный Хп (со) с периодом <од = 2л/Аг = 2сов. Ряд Фурье для
^п(С0)
%п(ш)= X Д/х(М/)^“м'	(3.4.7)
к = - оо
был рассмотрен в п. 3.1. Это есть формула прямого ДВПФ.
Для ДПФ последовательность данных должна иметь конечную
длительность N. Поэтому оценка спектра будет (полагаем N чётным)
N/2
^n(“)= Z btx(kbt)e~jml,e“	(3.4.8)
к =-N/2
Переход от (3.4.7) к (3.4.8) эквивалентен действию прямоугольного
временного окна w(z) длительностью Т - N&t.
Проведём дискретизацию спектра с шагом
Асо = 2л/Г = 2л / 2VAZ = сод IN,
тогда величины
1	1 N!2
-ХаП(п^) = - X x(kM)e-J2nnk/N (3.4.9)
1	N k = -N!-
определяют коэффициенты Фурье дискретного во времени ряда Фу-
рье (ДВРФ), причём n = -N/2, ..., -1, О, 1, 2, ..., ДГ/2.
Для ДПФ требуется, чтобы последовательность х(к) была Апе-
риодической, поэтому последнюю справа точку последовательности
х(к) нужно считать начальной точкой следующего периода продол-
жения последовательности.
224
Ряд (3.4.9) с опущенной правой точкой будет
1	1 (W/2)-l
Z x„(kM)e-^nk/N
*	N k = ~N/2
Желательно также, чтобы нумерация начиналась с нуля. Для этого
произведем циклический сдвиг периодических последовательностей
хп (к) и у^пб (иДсо) вправо mN/2 отсчетов. Получаем окончатель-
но для ДПФ
*(и) = 1 X" (пДсо) = 1 Е хп (kbt)eJ2™klN	(3.4.10)
Т	N
Здесь, как и в (3.4.4), и = 0, 1, 2,
Два возможных пути перехода от непрерывных к дискретным
преобразованиям Фурье показаны на рис. 3.4.5.
Рис. 3.4.5. Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям
225
3.5. Быстрое преобразование Фурье
Быстрое преобразование Фурье (БПФ) представляет собой эффек-
тивный метод вычисления ДПФ. Его эффективность заключается в
существенном уменьшении числа операций умножения и суммиро-
вания, затрачиваемых для получения всех TV коэффициентов ДПФ,
которые запишем в виде
!(«)=£«*	(3.5.1)
Л = 0
где W%k = t*p(~j—nk) - дискретные экспоненциальные функции,
У
л? = 0, 1, 2, TV-1. Здесь и далее масштабирующий множитель
1 / N в прямом преобразовании для простоты опущен.
Прямое вычисление всех N коэффициентов ДПФ по (3.5.1) тре-
бует TV2 операций типа «комплексное умножение плюс сложение».
Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную TV-
точечную последовательность на две более короткие последователь-
ности, из ДПФ которых можно получить ДПФ исходной TV-точечной
последовательности. Так, например, если N чётное, то исходная TV-
точечная последовательность разбивается на две (TV / 2)-точечные
последовательности. Для вычисления искомого TV-точечного ДПФ
потребуется (TV/2)2-2 операций типа «комплексное умножение
плюс сложение», т. е. вдвое меньше по сравнению с прямым вычис-
лением. Такое уменьшение размерности ДПФ вдвое называется ите-
рацией.
Эту операцию можно повторить, вычисляя вместо
(TV/ 2)-точечного ДПФ два (TV / 4)-точечных ДПФ, сокращая тем
самым объём вычислений ещё в два раза. Процесс уменьшения раз-
мера ДПФ продолжается до тех пор, пока не останутся только двух-
точечные ДПФ. Как будет показано далее, алгоритм БПФ с основа-
нием 2 затрачивает на вычисление искомого TV-точечного ДПФ
TV log2 N операций, так что выигрыш в числе операций составляет
TV/log2 N и при больших TV может достигать нескольких сотен.
Алгоритм БПФ основан на периодичности ядра преобразования
w”k
YY N '
226
3.6. Алгоритм БПФ с составным основанием
Прямой метод вычисления всех коэффициентов в соответствии с
(3.5.1) требует N2 операций комплексного умножения и суммирова-
ния. Это число может оказаться очень большим. Возможность со-
кращения числа операций основывается на представлении одномер-
ного ДПФ в виде многомерного. Для этого необходимо, чтобы длина
массива являлась составным числом
=	(3.6.1)
Разберем эту возможность на пример двух сомножителей:
N = N}N2.	(3.6.2)
При этом входной массив из У отсчетов разбивается на N2 блоков
по TVj элементов в каждом (рис. 3.6.1).
О	ЛМ
I—л,—	|
количество блоков равно
А=0Л,2,..„Уг1;
А\=ОД2,....Л2-1
Рис. 3.6.1. Образование двумерного массива из одномерного
Расположив блоки один под другим, получаем двумерный массив.
Нетрудно убедиться, что одномерный номер к может быть пред-
ставлен в виде
к = Nxk2 +£,.	(3.6.3)
Первое слагаемое соответствует целому числу (Л2) блоков, предше-
ствующих номеру к, а второе слагаемое определяет номер элемента
в блоке, содержащем номер к.
ДПФ этого двумерного массива также будет иметь вид двумерно-
го массива с переменными и п2 :
227
п, =0, 1, 2, N} -1; п2 =0, 1, 2, N2 -1.
Пусть двумерный массив имеет вид (рис. 3.6.2)
Р 1 2
0
1
2
и
Л‘(нр гц)
Л',-1
Рис. 3.6.2
Одномерный номер п может быть представлен в виде
п = N2nx + n2.	(3.6.4)
Для базисной функции ДПФ с учетом (3.6.3) и (3.6.4) можем
записать
Шкп — ту(^Г^2+^|)1у(^2'"1+"2) _	тт^^Гк2'п2 WTN2‘kVn\ ЫТкГп2
rr N “ ГУ N	ГГ N	~	ГГ N	ГУ N	rr N
Учитывая, что
—1. fflNi'k2‘n2 _UTk2n2. U7N2'k\‘n\ _ U7k\‘n\
~ Ь	~ ”N2	5	~ ”N}	>
получаем
wkn —ivkini ivkrn2 wk-'
УУ N ~ УГ N{	Vy N	VV N2
Подставим это выражение в (3.5.1), тогда
«2) = S'^''’1 ^‘"2 Ех(к2, kt) w£n'-	(3.6.5)
к,= 0 ।	к2=0
▲
—У2"точечные дпф—► |
вектор
поворота
TVj-точечные ДПФ -------------^>|
В соответствии с (3.6.5) можно выделить следующие этапы вычисле-
ния коэффициентов ДПФ:
228
1)	сначала вычисляются ^-точечные ДПФ с ядром по
столбцам матрицы [х(£2, к\)]:
У(Л„ и2)=£*(*2, *,)<2'
*2=0
число таких ДПФ соответствует числу столбцов матрицы
[х(£2, £,)] и равно Nx\
2)	умножение на поворачивающие множители W”2 , в резуль-
тате образуется новый массив
Z(kt, n2) = Y(k„n2)
число умножений равно N} • N2;
3)	вычисляются ДПФ с ядром	по столбцам матрицы
[Z(M2)]:
/V.-!
%(n„ »2)=iz(^„ „2) К”;*'
*)=0
Полное число операций в сумме по всем трем этапам будет
М = N, -(N2)2 + ЛГ, • М2 + N2 • (W, )2 = N,-N2 -(N, + N2 +1),
т. е. меньше, чем N2 = (N} )2 -(N, )2 при прямом методе вычислений.
Таким образом, исходное N-точечное ДПФ оказалось сведённым
к ДПФ, производимым над уменьшенными массивами N2 и
Пример. 3.6.1. Пусть N = 35 = 5-7. БПФ-алгоритм выполняется за
М = 5-7-(5 + 7 + 1) = 455 операций вместо N2 = 1225 при прямом вычис-
лении по (3.5.1).
Если N] и N2 сами являются составными, то каждое из ДПФУ| и
ДПФЛ2 может быть выполнено с применением рассмотренного ал-
горитма. Выигрыш в числе операций при этом еще более возрастает.
В общем случае, если выполняется (3.6.1), такая процедура позво-
ляет уменьшить общее число операций при вычислении ДПФ до ве-
личины
N £ N, вместо N2 = N П N,.
229
В заключение на рис. 3.6.3 приведен граф БПФ для У = 6 = 2-3
(^=2, У2=3).
х(О)=х(О,О)
х(2)»х(1,0)
х(4)-х(2,0)
х(1)»х(0,1)
х(3)-х(1,1)
х(5)=х(2,1)
трехточ.	повор.	двухточ.
ДПФ	множ.	ДПФ
Х(О,О)=Х(О)
Х(0Л)=Х(1)
Х(0,2)=Х(2)
Х(1,0>»Х(3)
Х(1,1)~Х(4)
Х(1,2)=Х(5)
Рис. 3.6.3. Граф БПФ для составного N = 6
Умножение на поворачивающие множители обозначено стрелками,
рядом с которыми записаны значения коэффициентов И^2’*1 Звёз-
дочкой обозначены ячейки памяти.
3.7. Алгоритмы БПФ с основанием 2
Рассмотрим случай, когда N является степенью двойки. Пусть в
(3.6.2) jV( = 2, N2= N/2, тогда на первой итерации У-точечное ДПФ
представляется через двухточечные и N / 2-точечные ДПФ:
W,)= £ W2n'k' g	A,).	(3.7.1)
£,= 0	к 2=0
Эта же схема вычислений может быть использована на следую-
щей итерации для получения каждого из N/2-точечных ДПФ. В
результате перейдем к N / 4-точечным ДПФ и т. д., пока не останут-
ся только двухточечные ДПФ. Соответствующий граф вычислений
для N = 8 приведен на рис. 3.7.1.
230
3-я итерация 2-я итерация 1-я итерация
х(0)			* Х(0)
х(4)		***\		\ Z/*X(1)
х(2) *^.					►к	\X/z* Х(2)
х(6)			хдхС Х(3)
х(1>			SrvV *Х(4)
х(5)			/ДУ* *<$)
х(3)			/ V*X(6)
х(7)			Х(7)
\		J\	Л_		/\	/V		/
ДПФ	повор.	ДПФ повор.	ДПФ
\ "°2	множ.	N=2 j множ.	N=2
	ДПФ N=4		
Рис. 3.7.1. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени для N = 8
В данном графе умножение на вектор поворота выполняется до двух-
точечного ДПФ. Такой алгоритм получил название алгоритма БПФ с
прореживанием по времени. Его базовая операция «бабочка» приве-
дена на рис. 3.7.2. Само двухточечное ДПФ не содержит умножений:
все умножения сводятся к умножениям на поворачивающие множи-
тели W” , расположенные у стрелочек.
Рис. 3.7.2. Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ
с прореживанием по времени
На каждой итерации имеется N/2 базовых операций алгоритма
БПФ, каждая из которых состоит из умножения на вектор поворота и
двухточечного ДПФ.
231
Еще одной особенностью графа на рис. 3.7.1 является то, что
входные отсчеты расположены в так называемом разрядно-
инверсном порядке, а выходные - в естественном.
Номер	Двоичное представление	Инверсия разрядов	Разрядно-инв. порядок
0	ООО	000	0
1	001	100	4
2	010	010	2
3	011	по	6
4	100	001	1
5	101	101	5
6	по	011	3
7	111	111	7
Пусть теперь в (3.6.2) ЛГ, = ЛГ/2, N2 = 2.
Тогда
*(">, "2) = "Z'К2'к' Ё W*’ (3.7.2)
Л,= 0	*2=°
повор.	двухточ. ДПФ
множит.
Af / 2-точечные ДПФ
Здесь вначале выполняются двухточечные ДПФ над входным масси-
вом, затем N / 2-точечные. На следующей итерации аналогично
представляются N/ 2-точечные ДПФ. Соответствующий данной
процедуре граф вычислений для N = 8 представлен на рис. 3.7.3.
Особенностью этого графа является естественный порядок данных на
входе и разрядно-инверсный порядок на выходе. В этом алгоритме в
отличие от предыдущего (рис. 3.7.1) самые сложные умножения на
поворачивающие множители производятся в начале графа.
В базовой операции алгоритма (рис. 3.7.4) сначала выполняется
двухточечное ДПФ, а затем умножение на вектор поворота. Такой
алгоритм носит название алгоритма БПФ с прореживанием по час-
тоте.
232
-ПО) *
х(6>»
х(7)*
1-я итерация
х(3)«
л'(4)*
л(5 .♦
х‘1)*
л(2)*
*-w^f
2-я итерация
*-------► *
t-H'Q»».
3-я итерация
♦ Х(0)
*Х(4)
* Х(2)
Х(6)
Х(1)
*
Х(5)
Х(3)
Х(7)

*
*
\__________/\_____/\__________л_____/\___________/
ДПФ	повор.	ДПФ повор.	ДПФ
Af«2	множ. \	множ.	у-2	/
ДПФ jV-4
Рис. 3.7.3. Граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте для N = 8
Рис. 3.7.4. Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ
с прореживанием по частоте
В алгоритме БПФ по основанию 2 на каждой итерации, по край-
ней мере, половина поворачивающих множителей - единицы, а число
итераций равно log2N, поэтому общее число комплексных умноже-
ний не превышает
M = (W/2)log2W.
На каждой итерации в алгоритме БПФ по основанию 2 выполня-
ется N / 2 двухточечных ДПФ или N сложений. Всего в алгоритме
БПФ по основанию 2 затрачивается
J = Wlog2W
комплексных сложений.
Можно считать, что при вычислении всех N коэффициентов ДПФ
233
требуется около Nlog2N вычислительных операций типа «ком-
плексное умножение плюс сложение» вместо N2 при прямом вычис-
лении по (3.5.1). При больших N выигрыш в числе операций может
быть значительным. Например, при ДГ = 2,о=1О24 этот выигрыш
составляет N/log2N «100.
Вычисление обратного ДПФ может быть проведено с использова-
нием любого из описанных выше алгоритмов БПФ:
= ^Г(л)
п = 0
*(*)=£*(«) w"k
п = 0
(3.7.3)
Выражение в квадратных скобках представляет собой ДПФ последо-
вательности Х*(и), комплексно-сопряженной с Х(и), и может
быть вычислено с использованием одного из описанных выше алго-
ритмов. Искомая последовательность х(к) получается, таким обра-
зом, комплексным сопряжением этого ДПФ. Если последователь-
ность х(к) действительная, то комплексного сопряжения ДПФ не
требуется. В (3.7.3) по-прежнему W„k = e~J27r"k/N
При вычислениях на каждой базовой операции БПФ по основа-
нию 2, включающей вычисление одного двухточечного ДПФ и ум-
ножение на поворачивающий множитель, выходные результаты
можно размещать в те же ячейки памяти, где находились исходные
данные. Такой алгоритм БПФ называется алгоритмом с замещением.
Графы, представленные на рис. 3.7.1 и рис. 3.7.2, соответствуют ал-
горитмам с замещением.
Существует большое разнообразие алгоритмов БПФ, отличаю-
щихся порядком следования входных, промежуточных и выходных
отсчетов, организацией вычислений, регулярностью структуры и т. д.
Известна другая, часто используемая модификация алгоритмов
БПФ, отличная от алгоритмов с замещением. Она получила название
алгоритмов с постоянной структурой. Граф этого алгоритма для
N = 8 с нормальным порядком входных и разрядно-инверсным вы-
ходных отсчетов приведен на рис. 3.7.5. Отличительной особенно-
стью этого графа является то, что все итерации имеют одинаковую
структуру, различаются лишь поворачивающие множители между
итерациями.
234
Рис. 3.7.5. Граф алгоритма БПФ с постоянной структурой
Этот алгоритм имеет и другую модификацию, при которой поря-
док входных отсчётов разряд но-инверсный, а выходных - нормаль-
ный (рис. 3.7.6).
Рис. 3.7.6. Граф алгоритма БПФ с постоянной структурой
Алгоритм БПФ по основанию 2 был предложен Кули и Тьюки в
1965 году и дал огромный импульс развитию цифровых методов об-
работки сигналов. Однако алгоритмы БПФ в наиболее общем виде
(3.6.5) были получены известным математиком Гауссом (1777-1855)
и опубликованы в 1865 году.
3.8. Алгоритм БПФ с основанием 4
Пусть N является степенью 4. Тогда можно записать
дг = ТУ'/4’4 (N = NrN2; jV,=A/4, А2=4).
В соответствии с процедурой п. 3.6 разобьем последовательность
х(к) на N2 =4 блока с номерами к2 =0, 1, 2, 3. Каждый из блоков
будет содержать по А, = N/4 элементов с номерами
к. =0, 1, 2,..., У/4-1.
Если расположить блоки один под другим, получится двумерный
массив входных данных рис. 3.8.1.
235
При этом получается N / 4 столбцов и 4 строки. Одномерный номер к
выражается через переменные двумерного массива следующим обра-
зом:
к = (У/4)-Л2+Лг
|0 1 2	Л-4-1	"г—►IO 1 2 3
Л | I	I
*5 о
л ki)
Рис. 3.8.1	Рис. 3.8.2
Можно найти ДПФ этого двумерного массива. Тогда результат
также будет иметь вид двумерного массива (рис. 3.8.2) с переменны-
ми пх и п2:	=0, 1, 2,...,2V74-1, п2 =0, 1, 2, 3. При этом
и = 4л,+ и2,
поэтому
пЛ = (4л1+п2)[^/4)-£2+AJ =
= Nn} -к2 +4flj *к{ + (N/4)-n2-k2+n2-k].
Подставив это в формулу (3.5.1) для ДПФ, получаем
Х(п) = Х(п,,п2) = "^'W4n'k' Wnrk' х(к2, k{)W(NI4}'"rkl
*1 = 0	£2=0
Можно выделить следующие этапы вычислений:
1)	вычисление 4-точечных ДПФ всех N /4 столбцов матрицы
[х(Л2, А,)] с ядром W»14 =-j:
Y(kt, п2) = X х(*2,
*2=0
2)	умножение на поворачивающие множители; в результате обра-
зуется новый массив
Z(*r и2) = Г(*„ n2)WnN^-
3)	вычисление N/ 4-точечных ДПФ всех строк матрицы
[Z(k^ и2)] с ядром W\.
В	свою очередь вычисление каждого из ЛГ / 4-точечных ДПФ
можно разбить на рассмотренные этапы, используя представление
236
W/4 = (tf/l6)-4
и т. д. Процесс уменьшения размерности ДПФ продолжается до тех
пор, пока не останутся 4-точечные ДПФ. В соответствии с этой про-
цедурой изобразим для примера граф 16-точечного БПФ (рис. 3.8.3).
.v(0)-.v(0,0)»
a-(D-.v(O,D*
x(2)-x(0,2) *
x(3)-x(0,3) ♦
x(4)-x(l,0) *
x(5H(l,D*
x(6)-x(l,2) *
x(7)-x(i,3)*
x(8Hx(2,0) ♦
x(9)-x(2,l) *
x(10)ex(2,2)
x(ll)=x(2,3)
x(12)-x(3,0)
x(13)-x(3,l)
x(14)-x(3,2)
x(15)=x(3,3)
N/4-точечные
дпф
4-точечные
ДПФ
if0
(F°
IF1
IF2
IF3
IF0
IF2
IF4
IF6
IF0
IF3
W6
IF9
X(0,0)=X(0)
X(1,0)-X(4)
X(2,0)-X(8>
X(3,0)-X(12)
X(O,1)-=X(1)
X(1,1)=X(5)
X(2,l)-X(9)
X(3,l)-X(13)
X(0,2)-X(2)
X(l,2)-X(6)
X(2,2)-X(10)
JV(3,2)=X(14)
X(0,3)-X(3)
X(l,3)-X(7)
X(2,3)-X(ll)
X(3,3)"XU5)
умножение
на вектора
поворота
Рис. 3.8.3. Граф 16-точечного БПФ по основанию 4
В этом графе входные данные расположены в естественном порядке,
а выходные - в разрядно-инверсном порядке четверичного представ-
ления номеров.
В алгоритме с основанием 4 четырёхточечные ДПФ выполняется
без умножений (рис. 3.8.4). При этом умножения на ±1 и на ±j яв-
ляются тривиальными и в расчет не принимаются.
Л=a+b+c+d
В=а + jb-c -jd
С-a-b+с-d
D-ci- jh -с + jd
Рис. 3.8.4. Четырёхточечное ДПФ
237
Таким образом, все умножения в графе рис. 3.8.3 состоят только из
умножений на поворачивающие множители на различных итерациях.
В алгоритме БПФ по основанию 4 на каждой итерации только
четверть поворачивающих множителей тривиальные (в БПФ по ос-
нованию 2 - половина), однако число итераций равно log4W (т. е.
вдвое меньше), поэтому общее число комплексных умножений будет
Л/= (3N/4)log4N,
что меньше, чем в БПФ по основанию 2. Количество комплексных
сложений в алгоритмах БПФ по основанию 2 и 4 одинаково.
Можно построить алгоритмы БПФ по основанию 8, 16 и т. д., ко-
торые обеспечивают еще больший выигрыш в числе умножений.
3.9.	Другие дискретные преобразования
ДПФ отображает действительную последовательность в комп-
лексную область, что не всегда удобно. При обработке больших мас-
сивов данных, например изображений, наличие мнимой части коэф-
фициентов ДПФ настолько усложняют вычисления, что исключается
возможность применения ДПФ для целей сжатия таких массивов.
Насколько это важная проблема поясним на примере.
Для образования одного кадра чёрно-белого изображения исполь-
зуют 625 строк, а на каждой строке 625 элементов (пикселов). Для
воспроизведения движения приемлемого качества требуется форми-
ровать примерно 50 кадров в секунду. Скорость передачи при этом
составляет
625 -625-50 = 19 031 250 пикселов/с,
что соответствует полосе пропускания 2fa =20 МГц. Практически
используется полоса 6 МГц. Для сжатия полосы используют черес-
строчную развёртку и сокращают число строк до 575. При этом час-
тота дискретизации составляет 12 МГц. С цветными изображениями
ситуация усложняется тем, что необходимы дополнительная инфор-
мация о цвете и применение помехозащищённого кодирования.
Необходимая скорость передачи по каналам цветного телевиде-
ния может достигать 200 Мбит/с, что практически совершенно недо-
пустимо. В связи с этим разработан ряд международных стандартов
сжатия изображений. Все они основаны на кодировании преобразо-
ванием. Суть его в следующем.
238
Изображение разделяется на блоки из 64 = 8 ♦ 8 пикселов. Двумер-
ный массив из 64 пикселов преобразуется в одномерный, далее при-
меняется то или иное дискретное преобразование. Коэффициенты
преобразования подвергаются обработке с целью сжатия и передают-
ся по каналу связи. На приёмном конце осуществляется восстановле-
ние изображения путём обратного преобразования. Наилучшими с
точки зрения объёма вычислений являются преобразования, отобра-
жающие вещественные данные в вещественную область. К ним отно-
сятся дискретное преобразование Хартли (ДПХ), дискретное коси-
нусное преобразование (ДКП), дискретное преобразование Уолша
(ДПУ), дискретное преобразование Хаара и др.
Дискретное преобразование Хартли (ДПХ)
Непрерывное преобразование Хартли было рассмотрено в п. 1.13.
Прямое и обратное ДПХ вещественной последовательности х(к) дли-
ны N определяются соотношениями:
=(«) = т; Е	“77“ ’	(3-9Л)
N* = o	х. N )
~гг >	(3.9.2)
„ - о	V N )
где, как и в п. 1.13, используется обозначение cas0 = cos0 + sin0,
введённое Хартли. Между ДПФ и ДПХ имеется простая связь:
Ке[%(п)]=д(и) + ^(ЛГ~И),	(3.9.3)
1ш[%(и)] =	,	(3.9.4)
S(n) = Re[JT(«)] - Im[ X(n)].	(3.9.5)
Эти выражения имеют сходство с соотношениями, полученными
в п. 1.13 для непрерывного преобразования. Так же, как и в ДПФ
имеет место ^-периодичность прямого и обратного ДПХ.
Симметричность прямого и обратного ДПХ, отсутствие ком-
плексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспе-
чивают высокую вычислительную эффективность при обработке ве-
щественных данных.
Сдвинутое дискретное преобразование Фурье
Базисные функции ДПФ таковы, что нулевые отсчёты сигналов и
239
спектров попадают в начало координат. Однако чаще всего отрезок
дискретизации определяется устройством дискретизации (АЦП) и не
зависит от сигнала. Поэтому в принципе возможен произвольный
сдвиг базисных функций относительно координат сигнала и спектра.
Пусть сдвиг нулевого отсчёта сигнала относительно начала его
координат равен mA/, а сдвиг нулевого отсчёта спектра относитель-
но его начала координат равен г А/ Числа т и г не обязательно
целые. Тогда пара ДПФ (3.3.2) и (3.3.3) примет вид [30].
хт г (и) = (1 /ЛГ)£ x(k)e~Jl(2n,N) <-п+г*к+т\
к =0
(*) = Z («)е
л = 0
В эти выражения входят постоянные множители ехр(±у 2 лшг / А),
зависящие только от параметров сдвига и не влияющие на свойства
преобразований. Исключив их, получим:
^г(п) =
(l/N)^x(k)e-Jl(2nfNUn+r)k]
к = 0
g-jlllnmlN
VrW= XX^rWeJ2nn(k+m}'N
п = 0
(3.9.6)
& jlnkr!N
(3.9.7)
Эта пара называется сдвинутыми дискретными преобразованиями
Фурье СДПФШ г и обладает рядом интересных свойств.
•	При целых т и г СДПФт г сводится к циклическому сдвигу
ДПФ циклически сдвинутых последовательностей. Поэтому свойства
СДПФт г при целых т и г совпадают со свойствами ДПФ.
•	Обобщённая цикличность. При целых I и р
xmr(k+lN) = x(k)ej2K,r Xm^n+pN) = Xmr{n)e-j2^m (3.9.8)
Здесь в отличие от простого периодического продолжения (циклич-
ности) происходит поворот комплексных чисел на угол, пропорцио-
нальный сдвигу.
•	Симметрия:
xm r(N-k)e 1 N > ^C^^Xmr(N-n)e N>
(3.9.9)
240
• Теорема сдвига:
,^(п+Г)кй
^г(^ + ^о)<-СДПФ->^г(и)е	“	"	(3.9.10)
ря(*+”0”о
*m,rWe ~	»	<—СДПФ —> %л+ль (ти, г).	(3.9.11)
•	СДПФт г соответствует более общая формула восстановле-
ния сигнала по его спектру, из которой вытекает возможность интер-
поляции сигнала с помощью пары преобразований СДПФ,, и
ОСДПФЦ ч с соответственно подобранными w, г, ц,
•	Для СДПФш г справедлива более общая теорема о свёртке,
которая гласит: перемножив сдвинутые спектры СДПФт1
СДПФ^	двух последовательностей и выполнив обратное
ОСДПФЦ	получим последовательность, являющуюся обобщённой
циклической свёрткой исходных последовательностей. Сворачивае-
мые последовательности комплексных чисел являются здесь обоб-
щённо-циклическими в соответствии с (3.9.8).
Благодаря этим особенностям некоторые разновидности СДПФ
оказываются более удобными при обработке сигналов, чем ДПФ.
Дискретное косинусное преобразование (ДКП)
Это преобразование занимает особое место среди разновидностей
СДПФ. ДКП определяется как [29]
__	/ х 1 V //X ли(£ + 1/2)	. _	.
^|/2.о(") = —ZX^)C0S-------’ И = 1’ 2’	N~1’
* = 0	(3.9.12)
1 N-]	V	7
*=0
Таким образом, ДКП сводится к СДПФ|/2 0 действительных чётных
последовательностей вида:
x(£) = x(2W-l-£);
х(£ + 2Лр) = х(Л); £ = 0,1,	2W-1.
В соответствии со свойствами СДПФ для таких последовательностей
выполняются соотношения
241
{*(*)} <- СДПФ -> {х^ 0 (л) = -%1/2. „ (2N -п) = -Хш 0 (2У+и)};
х(к)ехр
7.2яЛЧ*±1/2)1
2N
= У(-1)* х(к) <- СДПФ -> {Х|/2.0 (и + АГ)}.
(3.9.13)
Полученный дискретный спектр является нечётным относительно
точки п = N и чётным относительно точки п = 0.
Преобразованию (3.9.12) соответствует обратное преобразование
aV* tr к iwi(k +112) r Л	n i
x(k) = 2У 0(n)cos--------------; к = 0,1,..., N-l. (3.9.14)
S	N
В [30] показано, что ДКП даёт лучшие результаты при кодирова-
нии изображений по сравнению с другими дискретными преобразо-
ваниями.
Задачи и упражнения к главе 3
1.	Сигнал x(t) имеет спектр X(f) и дискретизуется с шагом Д/.
Доказать, что
>е	I A/J
2.	Найти и изобразить по модулю ДВПФ для сигнала
*(£) = 
Л sin
,0<£<N = 8,
0, при других к.
3.	Определить ДВПФ следующих последовательностей
а) х(к) =
0,
N ’	’б) х(к) = \
,	0, при других к.
при других к.
в)
х(£) = 
п1*1	-N<k<N,
0, при других к.
„ \cos(nk/2N) , -N<k<N,
г) х(к) =
[	0, при других к.
242
4.	Найти ДВПФ последовательности
*(*) =
-(1-cos—), 0<£<7V-l,
2 N
О при других к.
5.	Определить обратное ДВПФ для следующих спектральных
функций:
00	У
a)	X,(v)= % 8(v + £);	6)JT2(v) = l+2 cos 2nvk\
к = -<х>	к=0
6.	Пусть х(к) - финитная последовательность
х(к) = {2 1 -1 0 3 2 0 -3 4},
Т к = 0,
имеющая ДВПФ ^(v). Вычислить следующие функции от A^v), не
вычисляя самого ДВПФ:
1/2	1/2	2	1/2
а) %(0); б) Х(1/2); в) J X(v)dv; г) J |%(v)| dv; д) J
-1/2	-1/2	-1/2
dX(v)
dv
7.	Повторить задачу 6 для последовательности
х(£) = {1 5-2 1 3 4 2 0 5}
ТА = О.
8.	Определить ДВПФ каузальной последовательности (к > 0)
х(к) = Аак cos(2Ttv0£ + (р),
где А, a, v0, ср - действительные.
9.	Определить коэффициенты дискретного во времени ряда Фу-
рье следующих периодических последовательностей:
a) x1(Zr) = sin(nZr/4), б) jq (к) = 2sin(n£/4) + cos(n£/3).
243
10.	Пусть последовательность х, (к) имеет ДВПФ ^(v). Выра-
зить через X,(v) ДВПФ последовательностей х2(к), х3(к), х4(£),
показанных на рисунке
-0-00-0— *
11.	Показать, что периодическая последовательность единичных
импульсов
х(к) = £ 1(к-т№),
т--ао
может быть представлена в виде
1	® j—ik
N
12.	Определить коэффициенты ДВРФ следующих периодических
последовательностей:
a) x1(Zr) = sin(nZr/4), б) х2 (к) = 2 sin(nfc / 4) + cos(nk / 3).
13.	Пусть х(к) <-> Х(п) - пара ^точечного ДПФ, N - чётное.
а)	Если х(к) - симметричная на интервале N последовательность,
т. е. х(к) = x(N -1-&), показать, что X(N/2) = Q.
б)	Если х(к) - антисимметричная на интервале N последователь-
ность, т. е. х(к) = -x(N -1 - к), показать, что %(0) = 0.
в)	Если х(к) - последовательность, удовлетворяющая условию
х(к) =-х(к + R), R =
показать, что %(2г) = 0 для r = 0,1, 2,
244
14.	Пусть X(ri) и У(и) шеститочечные ДПФ двух
последовательностей х(к) и у(к) соответственно.
а)	Пусть
У(и) = {(1 + 7) (-2,1 + 73,2) (-1,2-j2,4) 0 (0,9 + 73,1) (-0,3 + 71,1)}
и у(к) = х[(Л-4)6]. Определить У(и) без вычисления ДПФ.
б)	Пусть х(Л) = {4,1 3,5 1,2 5 2 3,3} и Y(n) = ДО-3)6]. Опре-
делить у(к), не вычисляя ДПФ.
15.	Пусть
1 1	- — к
Х(п)=^х(к)е'^
к = 0
— 12-точечное ДПФ действительной последовательности х(к)
и пусть
%(0) = 10, %(1) = -5-74, %(2) = 3-72, %(3) = 1 + 73,
%(4) = 2 + 75, ^(5) = 6-72.
Определить
И	II ,2л*	II
а) х(0), б) х(6), в) ^х(к), г) £ е 3 х(к\ д) £|х(*)|
* = 0	* =0	* = 0
не вычисляя обратного ДПФ,
16.	Пусть у(к) означает циклическую свёртку двух после-
довательностей х(к)и h(k), 0<к <N-1. Проверить равенст-
во
W-l	f N-l	ЛМ
А=0	\1 = 0	ДьО	J
17.	Пусть У (и) обозначает Л/У-точечное ДПФ TV-точечной после-
довательности х(к), дополненной (М -Y)N нулями. Показать, что
TV-точечное ДПФ Х(п) может быть получено из У(и) следующим
образом:
Х(п) = Y(nM\ §<n<N-\.
18.	Пусть Х(п) означает TV-точечное ДПФ последовательности
х(к\ длиной в N отсчётов. Определить N-точечное ДПФ У (и) N-
точечной последовательности у(к) = х(к) cos(2n/Zr / N).
19.	Вычислить коэффициенты ДПФ Х(п) для
245
х(к) = -
cos(Qrk), 0<A<W-l,
О, при других к.
и фиксированного значения г из диапазона 0 < г < N -1.
20.	Записать и доказать равенство Парсеваля для ДПФ.
21.	Пусть х(к) <-> Х(п) - пара ДПФ, k,n^N. Образуем новую
последовательность у(1) = х(57) , 0 < I <-1. Выразить коэффици-
енты ДПФ Y(т) через Х(п).
22.	Пусть Х(п) - пара ДПФ, к, пе 2N. Образуем новые
последовательности
g(l) = x(2Z) о G(m) и
Zz(Z) = x(2Z + l)<->tf(w), 0<Z<7V-l, 0<m<N-Y
Выразить Х(п) через G(jri) и Н(т).
23.	Пусть имеется две действительные последовательности а(к) и
Ь(к) длиной в У отсчётов (к = 0, 1, 2, N -1). Образуем совме-
щённую последовательность с(к) = а(к) + jb(k). Вычислить все ко-
эффициенты ДПФ А(п) и В(п) последовательностей а(к) и Ь(к) из
результатов преобразования С(и) совмещённой последовательности
с(к).
24.	Пусть х(к) действительная последовательность длиной в 2N
отсчётов и пусть х(к)оХ(п), ne2N. Разобьём последователь-
ность х(к) на две TV-точечные подпоследовательности х, (к) - х(2к)
и x2(fc) = х(2& + 1) из чётных и нечётных отсчётов соответственно.
Пусть X] (к) О X' (n)N и х2 (к) <=> X2(ri)N - два //-точечных ДПФ
этих подпоследовательностей. Установить связь Х(п) с X}(n)N
nX2(n)N.
25.	Пусть известно ДВПФ Х(у) некоторой У-точечной последо-
вательности х(к). Определим Л/-точечное ДПФ как
Г(т) = — Х(у = т/М), /и = 0,1,2,
м
Обратное ДПФ от Y(m) обозначим через у(к). Эта М-точечная по-
246
следовательность как-то связана с х(к). Установить эту связь. Пока-
зать, что х(к) может быть полностью восстановлена из у(к), только
если М >N.
26.	Рассмотрим У-точечную последовательности х(к) и её N-
точечное ДПФ Х(п). Определим последовательность у(1) длиной
LN, 0 < к < LN -1 следующим образом:
N-I
к =0
где
[ 1, I = kL,
l(l-kL) = \
[ 0, при других /,
и L - положительное целое. Видно, что последовательность у(1)
получается из х(к) изменением её масштаба по оси времени (между
каждой парой отсчётов х(к) вставляется L -1 нулей). Выразить NL-
точечноеДПФ У(/и) последовательности у(Г) через Х(п).
27.	Построить граф БПФ для N = 3 • 5.
28.	Для заданной последовательности х(к), £ = 0,1,2, ...,15, по-
строить граф БПФ при N = 16.
29.	Показать, что для действительной последовательности х(£)
фазовый спектр является нечётной относительно точки к = N / 2
,	-	(N 7^1 (N 7^
функцией, т. е. (pl —+ /I= “ф| Г
30.	Пусть х(£) <=> Е(и) - пара У-точечного дискретного преобра-
зования Хартли (ДПХ), к, п е У.
а)	Записать и доказать равенство Парсеваля для дискретного пре-
образования Хартли (ДПХ).
б)	Показать, что ДПХ для х[(£ - к0) mod У] будет
_	( 2nnkQ A	f 2ли£0
±i(fl)cos ---- +£i(-n)sm ------- .
V N )	N )
в)	Определить N-точечное ДПХ для х[(-£) mod У].
31.	Найти соотношения между У-точечными ДПФ и ДПХ.
247
Г Л А В A 4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ
/-преобразование дискретных сигналов широко используют при
анализе и синтезе дискретно-аналоговых и цифровых устройств об-
работки сигналов. По отношению к дискретным сигналам оно играет
ту же роль, какую играют интегральные преобразования Фурье и Ла-
пласа по отношению к аналоговым сигналам.
4.1.	Переход от преобразования Лапласа
к ^-преобразованию
Как уже отмечалось в п. 1.10, преобразование Лапласа можно рас-
сматривать как обобщение преобразования Фурье на случай ком-
плексных частот р = Р + 7 со, где Р - положительная константа, вы-
бираемая так, чтобы сигнал	был абсолютно интегрируемым
при t > 0:
%(р) = Jx(/)e-'*rf/<oo,	(4.1.1)
о
P+JOO
х(0 = (1/>27г) J X^e-dp.	(4.1.2)
Р-Уоо
Это есть пара преобразования Лапласа. Обратное преобразование
(4.1.2) совершается путем интегрирования в комплексной плоскости
р вдоль вертикальной прямой Р = const. Преобразование Фурье яв-
ляется частным случаем преобразования Лапласа, в котором доста-
точно р заменить на у<о, т. е. положить р = 0.
Пусть теперь дискретизуется с шагом А/. Подставим в
(4.1.1) выражение для дискретизованного сигнала:
хд (/) = А/^ х (ЛА/) 8 (/-ЛА/),
к = 0
а в (4.1.2) перейдем от t к ЛА/. Учитывая, что вдоль линии, парал-
лельной оси /со, изображение %д(р) является периодической
248
функцией с периодом, равным частоте дискретизации сод = 2л / Д/,
получаем
(4-1.3)
к =0
Р+/П/Д /
х(ЛД^) = (1/у2л) J X^pje^'dp. (4.1.4)
P-jn/Д /
..Это есть пара дискретного преобразования Лапласа, которое иллю-
стрируется на рис. 4.1.1 для случая р = 0.
Рис. 4.1.1
Представление (4.1.3) и (4.1.4) широко используется при анализе
дискретных сигналов и цепей. Часто его применяют в несколько мо-
дифицированном виде, носящем название z-преобразования. Для это-
го перейдем к новой переменной z = ехр(рДг). Учитывая, что
249
dz-&texp(p&t)dp и dp-dzIzAt,
получаем
Ar(z) = Ar £x(jl)z'\	(4.1.5)
к =0
x (к) = (1/ jlnbt) (f X (z)zk-'dz,	(4.1.6)
c
где С - замкнутый контур в плоскости z, охватывающий все особые
точки функции X(z)zk~' Выражения (4.1.5) и (4.1.6) определяют
прямое и обратное z-преобразование соответственно. Здесь х(к)
дискретный сигнал, определенный на бесконечном интервале
[0, оо), a ^f(z) является комплексной функцией непрерывного ком-
плексного аргумента z.
Из теории функций комплексного переменного известно, что ряд
(4.1.5) будет сходиться, если коэффициенты ряда удовлетворяют
условию
|х(Л)|<М-Л*,
z-ллоскостъ где А/ > 0 и > 0 “ постоянные
/я	вещественные числа. Ряд (4.1.5)
©будет сходиться при всех z, та-
ких, что |z| > R (рис. 4.1.2). В этой
R	области X (z) представляет собой
аналитическую функцию z, не
Область сходимости
|-|> /?>0 имеющую ни полюсов, ни сущест-
венно особых точек. Поскольку
Рис. 4.1.2
z = ер* =
то |z| = epA/ и arg z = со Аг. Переход от переменной р к переменной z
соответствует отображению плоскости р на плоскость z, в резуль-
тате которого линии, параллельные оси /со, отображаются в концен-
трические окружности с центром в начале координат. Сама ось /со
отображается в единичную окружность, причем, когда со меняется от
-л/А/ до и!отображающая точка совершает один оборот на
единичной окружности (рис. 4.1.36). Полоса шириной сод = 2л/А/
250
левой полуплоскости р отображается внутрь круга единичного
радиуса в плоскости z (рис.
4.1.Зе). Правая полуплоскость
р преобразуется во всю z-
плоскость, исключая единич-
ный круг, рис. 4.1.3г; Все по-
люсы функции	кото-
рые расположены в плоскости
р на одной вертикали с интер-
валом сод = 2п / А/, отобража-
ются в единственный полюс
X (z) в плоскости z (рис.
4.1.3d). Функция ХА(р) (рис.
4.1.1) отображается в функцию
X (z) так, что одному периоду
Хл(р) соответствует один
оборот по окружности в плоско-
сти z (рис. 4.1.4). Отметим еще,
что e~pN соответствует задерж-
ке на один интервал дискретиза-
ции в плоскости р, в то время
как z"‘ означает такую же за-
держку в плоскости z.
в плоскость z
Рис. 4.1.3. Отображение плоскости р
251
4.2.	Свойства z-преобразования
Перечислим наиболее важные свойства z-преобразования, кото-
рые используются в дальнейшем. Пару z-преобразования будем обо-
значать х(к)<г+ X(z), где по-прежнему х(&)-каузальный сигнал,
т. е. х(£) = 0 приЛ<0.
Если в (4.1.5) и (4.1.6) положить Af = 1, то пара z-преобразования
записывается в виде
X(z)=£x(*)Z’\	(4.2.1)
* =0
x(k) = -^(jx(z)zk-'dz.	(4.2.2)
Этой формой записи мы будем пользоваться в дальнейшем.
1)	Линейность
Если х, (£)<—z (z) и х2 z »Х2 (z), то
ах{ (Л) + Лх2 (к)< z ->аХ} (z) + ZlY2 (z).	(4.2.3)
2)	Теорема запаздывания
Если х(£)< z >%(z), то х(к-w)<——>z~n'X(z}.	(4.2.4)
Доказательство
x[k-m}z~k = z~nt х(Л -m)z ~^к~п^ =
к = 0	к=0
= 2-	=z-mX{z\
1 = 0
В последнем равенстве проведена замена 1 = к-т и использовано
свойство каузальности сигнала x(Z), т. е. х(/) = 0 при I = к-т <{У
3)	Теорема о свертке
Если х(£)< z > X(z) и h(k}< z >H(z то последователь-
ность
к
у(к}- x(m)h(k-m)	(4.2.5)
т = 0
имеет z-преобразование
K(z) = %(z)H(z),	(4.2.6)
252
т. е. z-преобразование линейной свертки двух последовательностей
равно произведению их z-преобразований.
Доказательство
г(г)=2>(ф-
1=0
к =0 т = 0
Z
Сделаем замену к-т = 1. В результате получим
y(z)= J x[rn)z-m	= X(z)H(z),
т-0	/=0
что и требовалось доказать.
4)	Связь с ДПФ
Пусть х(к) - последовательность конечной длины в N отсчетов.
jv-i
Тогда X(z) =	x(£)z" Вычисляя эту сумму при z = eJ2nn/N, т. е.
к =0
в точке единичной окружности с полярным углом 2пп / У, получаем
W-I
X(z = eJ2nnlN)=Yx(k')e-J2nnklN	(4.2.7)
к = 0
что с точностью до масштабирующего множителя 1 / N совпадает с
коэффициентом ДПФ	последовательности х (А;). Поэтому
можно сделать вывод: значения z-преобразования последовательно-
сти конечной длины в N отсчетов, взятые в N равномерно распре-
деленных точках на единичной окружности, равны (с точностью до
множителя 1 / N) коэффициентам ДПФ этой последовательности.
5)	Умножение сигнала на к
Продифференцируем по z обе части (4.2.1):
dX (z) Jt, , ч / х
—7~=Ё(-Ф(Ф'
az * = o
Умножим обе части этого равенства на -z:
az * »о
Отсюда
, ч , dX(z}
кх(к) *-z- -> —z —
(4.2.8)
253
6)	Умножение на экспоненту
Умножим последовательность х(£) на экспоненту е±ак^{ (а в
общем случае комплексное):
£[е±а^х(Л)] z- £x(*)(e±o4,z)’‘ = x[ze+-a*'].
к=0	к=0
Таким образом,
х(У)е^к“ <-±->X[ze±a“'].	(4.2.9)
Это теорема смещения для z-преобразования.
7)	Теорема опережающего сдвига
Для сигнала х(£)
^(z)= £ x(k)z~k = x(0) + x(l)z-1 + x(2)z“2 + ...
* = о
Для упреждающего сигнала х(£ + 1)
х(£ + 1) z~k = х(1) + х(2)z-1 + x(3)z“2 + ... = z[%(z)-x(O)].
к = 0
Таким образом,
x(A + l)<-^->z[%(z)-x(0)].	(4.2.10)
4.3.	Примеры ^-преобразования
Рассмотрим некоторые тестовые последовательности.
1)	х(к) - единичный импульс, т. е.
Х(£)=1(А)=Р’ k=Q’
V 7 ' ’ [о, к*0.
Очевидно, %(z) = l на всей z-плоскости.
2)	х(£) - единичный скачок, т. е.
тогда
^(z) = £z-‘
*=0
254
Умножим обе части этого равенства на z 1 и вычтем новое из
первого:
Z(z)-JT(z) z"1 =1.
Отсюда
Функция X (z) имеет полюс в точке z = 1 и сходится при | z | > 1
(рис. 4.3.1).
3)	х(к) - действительная экспонента, т. е. х(к) =а^ к > 0.
к=0	к=0
Это сумма бесконечной геометрической прогрессии (знаменатель
прогрессии q = az-1). Ряд сходится к
если |az~'|<l или |z|>|a|. ФункцияАг(г) имеет нуль при z = 0 и
полюс при z = а на окружности, ограничивающей область сходимо-
сти (рис. 4.3.2).
|/г)=сА. и = 0.8
О 12 3 4 5 6
255
4)	х(к) = как, к>0.
С учетом предыдущего примера и теоремы умножения на к имеем
vi \ d (	1	az'2	а
л (z) = -z— ---— =-------- =-----7.
dz\\-az J (1-az'1)	(z~a)
Функция X (z) имеет двойной полюс при z = а.
5)	х(к) - комплексная экспонента, т. е.
x(fc) = exp(pofcAz), k>0, p0=^+ja>Q.
/-преобразование этой последовательности в форме (4.1.5)
%(г>Л,£е»“г-=Л,£(е*г-’)‘=—
k=Q	к = 0	\ в Z
Функция X (z) имеет полюс в точке z = ехр(р0Д/). Этот полюс бу-
дет внутри единичного круга, если |ехр(р0 Д/)| = ехр(р0 Дг) < 1, что
соответствует затухающей экспоненте (р0 < 0). Угол, набегающий за
один интервал дискретизации, равен со0Д/. Модуль полюса, равный
ехр (р0 Д/), показывает, как изменяется амплитуда экспоненты за шаг
дискретизации. Положение полюса зависит от выбора шага Д/. Связь
положения полюсов с соответствующими экспонентами
иллюстрируется на рис. 4.3.3.
6)	x(t) = cos со/, t > 0. Пусть имеется 4 отсчета на периоде,
т. е. соД/ = л / 2. Дискретизованный сигнал
х(к} = (1/2)[ехр(Дл/2) + ехр(--Дл/2)].
z-преобразование будет
256
x (z) = (1/2) X [ехР (Л л/2) + exp (-jkn/2)] z~k =
1=0
= (1/2)
l-e^z4 l-e‘jn,2z~l ] (z-j)(z + jy
Функция X (z) имеет двойной нуль при z = 0 и два полюса при
Z = ± Z
7)	х(/) = sincoz, t > 0. Пусть имеется 4 отсчета на периоде, т. е.
coAZ = 7t/2. Тогда х(к) = sinZ:AZ =-------- и
2у
Функция X (z) имеет простой нуль в точке z = 0 и два полюса при
Z = ±j.
8)	x(Z) = cos со Z + sin coz, t > 0. Пусть имеется 4 отсчета на перио-
де, т.е. coAz = n/2. Тогда
Последние три примера иллюстрируются на рис. 4.3.4.
Ъ от с чета/период
Рис. 4.3.4
Оригиналы и изображения, рассмотренные в примерах 1-8, сведе-
ны в таблицу 4.3.1.
257
Таблица 4.3.1
	Последовательность х(к)	Z-изображение
1	, . Р> * = <>. v ’ [о, к*Ъ	1
2	,	ч fl, к-т, \(к-т\-< v	7 [0, к * т	г"т
3	,(*> 41-к>-^ v ’ [0, к<0	*(*)=. ‘ ,.н>' 1 — Z
4	\ Р’ к~т’ v 7 [0, к<т	7~т
5	+ак, к> В	
6	ехр(раШ), к>0, р0 =₽o+jo0	1 |ехр(р0Дг)| = ехр(р0Дг)<1
7	/cos кВ к > 0, 0 = соД/	1-(Г 008 9)2-’	| ±7в ,1 г2 z-2 - (2r cos 0)z-1 4- 1 *	'
8	гк sin кВ к > 0, 0 = соД/	r2z 2 -(2r COS0)z +1 1	1
4.4.	Вычисление обратного z-преобразования
Метод разложения на простые дроби
Эффективный способ вычисления обратного ^-преобразования
аналогичен способу разложения на простейшие дроби в теореме Хе-
висайда (п. 1.10, формула 1.10.6). Форму разложения Jf(z) на про-
стейшие дроби выбираем так, чтобы были слагаемые вида
1/(1-az"1), которые можно поставить в соответствие последователь-
ности ак, к > 0. (См. пример 3 в предыдущем параграфе).
258
Пример 4.4.1
Y( А-, 30 ?	5
6z2—z —1	l-|z~'-|z-2
_______5________ 3	2
НИ (1+lz-')"l-lr'+l+lz-'-
Коэффициенты каждой дроби мы определили, как и при выводе
(1.10.6), т.е.
5 ни
(1-|г ') (1 + {г )
= 3 (вычет в точке z 1 = 2 ),
5 НИ
(14г-1) (1 + 4"')
(	= 2 (вычет в точке z 1 = -3 ).
Поскольку z-преобразование линейно, получаем
х(П = 3 |Т| +2 f-Л £>0.
7	Uj ( З)
Пример 4.4.2
Разложим на простые дроби функцию
Г(г)	1-е-»
которая имеет полюсы в точках z = 1 и z - е"аЛ/ Вычеты в этих точ-
ках будут 1 и -1 соответственно. Поэтому
*(z) = 1	1
z z -1 z - е"аД/
\ 7	~	1	„ -аД/ 1	1 -аД/ -I ’
z—i z—e 1—z 1—е z
Отсюда
259
Метод контурного интегрирования
Определим обратное z-преобразование для функции A^(z), за-
данной в предыдущем примере:
1 г (1-е"аД')г
х(£) =---- d-----;------г zk~]dz,
V ’ jlkbt 7(z-l)(z-e-“A')
где с - замкнутый контур интегрирования, включающий полюса
1— а А/
иг = 2р!=е
По теореме вычетов
x(fc) = ^ResA" (z)zk~x
Следовательно:
x(A)=ZRes

что совпадает с результатом, полученным методом разложения на
простые дроби.
Метод разложения в степенной ряд
Из выражения (4.2.1) получаем
X(z) = х(0) + x(l)z“‘ + x(2)z“2 +... x(k)z~k +...
Следовательно, коэффициенты ряда по степеням z"1 соответствуют
значениям х(к).
Пример 4.43. Определить обратное z-преобразование функции
(1-е’аЛ/ jz
JT(z) =	-----г»
z2 - (1 + е"аЛ/)z + е~аЛ/
которая совпадает с функцией X(z) уз примера 4.4.2. Последова-
тельное деление (столбиком) числителя на знаменатель даёт
Z(z) = (1 - е"аД/ )z"’ + (1 - е"2аЛ/ )z-2 +... (1 - е~каЫ )z~k + ...
260
Легко видеть, что
х(Л) = 1-е'а*л', к = 0,1,2,...
Пример 4.4.4, Пусть, например,
*(*)
Делением числителя на знаменатель получаем X(z) = 1 - z~2 4- z~* - z"6
Следовательно, x (£) = cos(£rc 12).
Эта последовательность получается
дискретизацией сигнала
x(/) = cosa>r, Г > 0,
так, что имеется 4 отсчета на перио-
де, т. е. шД/ = я / 2. Это иллюстриру-
ется на рис, 4.4.1.
Рис. 4.4.1
4.5. Применение z-преобразования
для анализа линейных дискретных фильтров
/-преобразование является одним из математических методов,
разработанных специально для анализа и проектирования дискрет-
ных и цифровых систем.
Линейные дискретные фильтры
Пусть имеется линейный фильтр с импульсной характеристикой
Л(/). При поступлении на вход фильтра сигнала х(/), t > 0, отклик
на его выходе определяется интегралом свертки
j(z)= р(/-т)Л(т)<7т.
о
Дискретному фильтру соответствует уравнение дискретной свёрт-
ки:
к
т = 0
Если фильтр имеет конечную импульсную характеристику (КИХ-
фильтр), то
261
AM
у(£Д/) = Д/^	Д/]й(/лД/).	(4.5.1)
m = О
Возможен и другой подход. Выходной отклик фильтра у (к) оп-
ределяется как функция присутствующего в данный момент на входе
отсчета х(к) и некоторого количества предшествующих входных и
выходных отсчетов:
AM	М
y(k)=^a»x(k~m)+iLb*y(k~mY (4-5-2)
ш = 0	/п = I
Такой фильтр называется рекурсивным. Если зависит только от
входных отсчетов (настоящего и предшествующих), то фильтр назы-
вается нерекурсивным.
Если выборочные значения сигналов х(£), и коэффициен-
ты фильтра ат и Ьт квантованы по величине, т. е. представлены
цифровым кодом с ограниченным количеством разрядов, то фильтр
называется цифровым.
Эффективным методом решения разностных уравнений (4.5.2)
является z-преобразование.
Передаточная функция дискретного фильтра
Возвратимся к разностному уравнению дискретного фильтра
(4.5.2). В терминах z-преобразования, с учетом его свойств, это урав-
нение будет иметь вид
N-\	М
т = 0	т = I
Здесь z"1 - оператор задержки на один такт дискретизации.
Комплексный коэффициент передачи, т. е. передаточная функция
фильтра:
Эта наиболее общая форма /7(z) является дробно-рациональной
262
функцией z~l и часто используется при анализе и синтезе дискрет-
ных и цифровых фильтров. Для физически реализуемых фильтров
число нулей не должно превышать числа полюсов, т. е. сте-
пень полинома в числителе не должна превышать степени полинома
в знаменателе.
Фильтр называется устойчивым^ если при любых конечных на-
чальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выход-
ной сигнал также остается ограниченным. Необходимым и доста-
точным условием устойчивости фильтра является требование, чтобы
модули полюсов его передаточной характеристики //(z) были
меньше 1. Например, при
Н (*) = 7------------7
v ’ (z + 0,5)(z-0,4)
фильтр будет устойчивым, т. к. он имеет два полюса, z = - 0,5 и
z = 0,4, по модулю меньшие единицы. Очевидно, что нерекурсив-
ный фильтр всегда устойчив.
Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда
входной сигнал действует неограниченно долго, т. к. в конце концов
выходной сигнал перестанет зависеть от входного. Однако он рабо-
тоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал дей-
ствует в течение ограниченного интервала времени. Примером тако-
го фильтра является цифровой интегратор, которому соответствует
разностное уравнение
_у(Л) = х(*) + у(*-1).
В терминах z-преобразования оно имеет вид
Y(z) = X(z) + z-'Y(z).
Передаточная функция цифрового интегратора
имеет полюс в точке z = 1, фильтр неустойчивый. Однако цифровой
интегратор работоспособен и используется в тех случаях, когда
входной сигнал действует в течение ограниченного интервала време-
ни, например, когда 0 < к < N -1, после чего следует сброс, т. е. вос-
станавливаются нулевые начальные условия.
263
Импульсная и частотная характеристики дискретного
фильтра
Дискретные и цифровые фильтры характеризуются также своей
импульсной характеристикой h(k)9 за которую по определению
принимается реакция фильтра (при нулевом начальном состоянии) на
входное воздействие в виде единичного импульса:
( 1, при * = 0,
[ 0, при других к.
Для линейного инвариантного во времени дискретного фильтра
(ЛИВДФ) импульсная характеристика й(£) связана с передаточной
функцией z-преобразованием:
Я(г) = £ед2-‘	(4.5.4)
к
Это непосредственно следует из линейности фильтра и из того, что
z-преобразование единичного импульса равно 1 на всей плоскости z.
При нулевом начальном состоянии отклик фильтра с каузальной
импульсной характеристикой h(k) на произвольный входной сигнал
х(к) находится с помощью линейной дискретной свёртки:
у(к)~ Е	(4.5.5)
т = О
В этом случае
X(z) = Ar(z)//(z).
Если же у (0) * 0, то в (4.5.5) нужно добавить второе слагаемое как
реакцию при нулевом входном воздействии.
Различают фильтры с конечной импульсной характеристикой, так
называемые КИХ-фильтры, и фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой, так называемые БИХ-филътры.
Пусть входной сигнал и импульсная характеристика являются
финитными функциями и содержат N и М отсчетов соответствен-
но. Тогда отклик фильтра будет представлять собой более протяжен-
ную функцию, состоящую из N + A/ + 1 отсчетов. Это приводит к
тому, что при обработке сигналов необходимо резервировать допол-
нительно М +1 ячеек памяти для хранения выходного сигнала.
Отметим еще одно обстоятельство. В теории z-преобразования
сдвиг сигнала во времени понимается как параллельный перенос его
264
отсчетов без нарушения порядка их следования, т. е. соседними все-
гда являются отсчеты, стоящие рядом. ЛИВДФ имеют характеристи-
ки, инвариантные относительно такого сдвига.
Условие устойчивости (необходимое и достаточное) заключается
в том, что импульсная характеристика h(k) является абсолютно
суммируемой, т. е.
^|й(Л)|<о°.	(4.5.6)
к = О
Если х(£) ограничено по величине, т. е. |х(£)|	< оо, то та-
кое входное воздействие порождает ограниченный выходной сигнал.
Действительно:
|И*)|=
х(/и)й(£-м)
т = О
< £|х(ет)||/г(£-/и)|<
т = О
*тах Ё |А(Л “"01 <С°-
А =0
По известной передаточной характеристике фильтра //(z) мож-
но определить его частотную характеристику:
Я (cd) = H^z = exp(jcoAz)],	(4.5.7)
для чего достаточно в выражение для H(z) подставить значение
z - ехр(усоД/).
Амплитудно-частотная характеристика:
Л(со) = |/7 [z = exp (j со ДГ )]|.	(4.5.8)
Фазочастотная характеристика:
ср(со) = arg//[z = ехр(усоДг)].	(4.5.9)
Результат прохождения синусоидального воздействия sincoM/,
к = 0, 1, 2, через дискретный (цифровой) фильтр сводится к из-
менению амплитуды в J(co) раз и к фазовому сдвигу ср(со). Для оп-
ределения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик
дискретного фильтра на плоскости z наносятся положения нулей и
полюсов передаточной функции. На рис. 4.5.1 для примера показаны
два полюса и один нуль. При cd = cd г амплитудно-частотная характе-
ристика равна \Н(со)| = LQ / Lp] - Lpl,
265
фазочастотная характеристика argH (со) = ср0 ~(ф/;1 + Ф/,г)-
Рис. 4.5.1. Влияние нулей и полюсов передаточной функции
на АЧХ и ФЧХ дискретного фильтра
Чтобы убедиться в этом, обратимся к общему выражению (4.5.3) для
передаточной функции. Разлагая полиномы в числителе и знаменате-
ле H(z) на множители, получаем
Д,(2-2<»)
где z0/J - нули, a zpn - полюса H(z).
Если в это выражение подставить z = ехр (у со А/) и обозначить
e^-zOn=LQn	то
Я(ш) = £(ш)еу’("), где
N-l	М
^(а>) = ЯОдП £Оя:П£;и, Ф(®)=Ефод-ЕфР-.-
п =0	и=1
Как видно из рис. 4.5.1, частотная характеристика Н (со) повторя-
ется с периодом сод = 2л/ Дл Геометрическая интерпретация на рис.
4.5.1 дает представление о влиянии нулей и полюсов передаточной
функции на характеристики фильтра
266
4.6. Примеры линейных дискретных фильтров
БИХ-филыпр
Система, показанная на рис. 4.6.1, включает сумматор, элемент
задержки z"1 и цепь обратной связи с коэффициентом р. Это пример
рекурсивного фильтра.
0 12 3 4
Разностные уравнения фильтра для двух выходов имеют вид
у, (£) = х(Л)+ру, (*-1),
у2(Л + 1) = х(Л) + Ру2(Л).
Пусть на вход подан единичный импульс х(£) = 1 (£), тогда
у,(0) = 1, у,(1) = р, у,(2) = р2,
л(°) = °. М1)31’ -У2 (2) = Р ИТ-Д-
Единичный импульс циркулирует в системе с временем задержки
А/, изменяясь при каждом обороте в р раз. На выходах устанавли-
ваются собственные колебания (импульсные характеристики) беско-
нечной длительности. Поэтому этот рекурсивный фильтр называется
фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-
филыпр).
Соответствующие передаточные характеристики получаются
применением z-преобразования к разностным уравнениям:
Отсюда
w 1 _ Z
Х(г) 1-рг1 z-P’
(4.6.1)
267
я М-	_ z'
Л) X(z) z-fi 1-К1*
(4.6.2)
Для обоих выходов передаточная функция имеет полюс в точке
7 = р. функции //j(z) и Н2 (z) сходятся при |z|>|p|. Этот полюс
внутри круга, если |р| <1, т. е. в цепи обратной связи имеется зату-
хание и система устойчива.
Замечание. Изменение знака в цепи обратной связи не приводит к неус-
тойчивости системы, а лишь сдвигает полюс в точку z = -p. При |р|<1
импульсная характеристика имеет вид затухающего знакопеременного коле-
бания, полюс расположен внутри единичного круга и система устойчива.
Дискретный накопитель
При р = 1 фильтр по выходу 1 представляет собой дискретный
накопитель, которому соответствуют разностное уравнение
у, (Л) = х(Л)+у, (Л-1)	(4.6.3)
и передаточная функция
Этот фильтр неустойчивый, так как имеет полюс на единичной ок-
ружности. Он неработоспособен в том случае, когда входной сигнал
действует неограниченно долго, т. к. в конце концов, выходной сиг-
нал перестанет зависеть от входного. Однако он работоспособен и
используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в тече-
ние ограниченного интервала времени, на-
пример, когда 0 < k < N -1, после чего сле-
дует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые
начальные условия.
При р = 1 фильтр по выходу 2 представ-
ляет собой накопитель (рис. 4.6.26), рабо-
тающий по алгоритму Эйлера «вперёд»,
которому соответствует разностное уравне-
ние у2 (к + 1) = х(£) + у2 (£), y(fi) = Q.

Д/ли)=1Й+|)-КА)
Рис. 4.6.2. Аналоговый интегратор (а) и дискретный накопитель (6)
Дискретный накопитель эквивалентен аналоговому интегратору
268
(рис. 4.6.2а), если принять At = 1 и = О-
Простой дискретный дифференциатор
Поскольку единственная информация об х(г) - его значения в
дискретные моменты времени, то производная должна оцениваться
по этим значениям:
x'(k At) = — [х(к А/) - хЦк -1) Д/)].
А/
Полагая AZ = 1, приходим к разно-
стному уравнению простого диф-
ференциатора:
у (к) = х(£)-х(£-1), (4.6.4)
которому соответствует блок-схема
на (рис. 4.6.3). Передаточная функ-
ция дифференциатора:
=	(4.6.5)
Фильтр нерекурсивный, не имеет
полюсов, всегда устойчив.
Рис. 4.6.3. Простой дифференциатор
Если х(&) = 1(£), то у(к) = h(k). Поэтому импульсная характе-
ристика простого дифференциатора имеет вид:
И(к) = 1(к)-Л(к-\),	(4.6.6)
Это пример КИХ-фильтра. Его АЧХ
|я(ш)| = |1-е'уиЛ/| = 2
. со А/
sin-----
2
изображена на рис. 4.6.4. Фазочастот-
ная характеристика
ср(со) = ~(соА/ / 2) + я / 2.
(4.6.7)
Рис. 4.6.4. АЧХ простого дифференциатора
Идеальный дискретный дифференциатор
В п. 1.8 было показано, что при дифференцировании сигнала х(/)
его спектральная функция У(со) умножается на усо . Таким образом,
частотная характеристика идеального дискретного дифференциатора
имеет вид
269
Я(со) =
у(со-исод),
О
о - п сод < СОД / 2,
со - и сод = сод / 2
(4.6.8)
для всех целочисленных значений п.
Графики АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора
показаны на рис. 4.6.5.
Рис. 4.6.5. АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора
Обратное преобразование Фурье от участка спектра для частот
|со| < сод / 2 дает континуальную импульсную характеристику
h(t) =
1 Г
—- ----cos-----sin--
лгЧ 2	2	2
Вводя дискретное время t = к At и умножая на А/, получаем им-
пульсную характеристику идеального дискретного дифференциатора:
[(—1)*
1 ? к * О,
h(k) = l к At 9
(4.6.9)
О, к = 0,
которая не является каузальной, следовательно, физически нереали-
зуема. График импульсной характеристики идеального дискретного
дифференциатора изображён на рис. 4.6.6, где по-прежнему принято
Д/ = 1.
270
-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20
Рис. 4.6.6. Импульсная характеристика
идеального дискретного дифференциатора
Кроме того, импульсная характеристика не является безразмерной,
так как при дифференцировании континуальной функции x(t) меня-
ется её размерность. Поскольку идеальный дифференциатор физиче-
ски нереализуем, выполнить дифференцирование дискретного сигна-
ла можно лишь приближённо. Простой дифференциатор, рассмот-
ренный выше, является тому примером.
Трансверсальный фильтр
Пусть в передаточной характеристике общего вида (4.5.3) знаме-
натель есть постоянная величина. Тогда
(4.6.10)
т = 0
Соответствующее разностное уравнение имеет вид
(4.6.11)
Л» Я 0
т. е. фильтр имеет отклик, зависящий только от входных отсчетов
(текущего и предыдущих) и является нерекурсивным. В соответствии
с (4.6.10) hm - отсчеты импульсной характеристики. Такой фильтр
называется трансверсальным. Цифровая реализация линейного
271
трансверсального фильтра показана на рис. 4.6.7. Входной сигнал
x(t) предварительно дискретизуется по времени и квантуется по
уровню. Последовательность отсчётов x(kAf) вырабатывается
40
г(АД/)= £ (Аг—
т~0
Рис. 4.6.7. Цифровой трансверсальный фильтр
аналого-цифровым преобразователем (АЦП) (обычно в двоичном
коде) и поступает на //-каскадную линию задержки (регистр сдвига),
где числа сдвигаются на один каскад каждые А/ секунд под воздей-
ствием тактового импульса. С отводов регистра Отсчёты
х(к - т\ поступающие с отводов регистра, умножаются на весовые
коэффициенты фильтра hm и в соответствии с (4.6.11) формируются
выходные отсчёты у(к).
Следует отметить, что фильтр может обрабатывать бесконечный
поток входных данных, при этом отклик у(к) в момент t = k&t будет
определяться содержимым его регистра в этот момент, т. е. отсчёта-
ми входного сигнала х(к - N +1), х(к - N + 2),..., х(к).
Замечание. При цифровой реализации погрешность квантования входных
отсчётов x(kAf) и коэффициентов фильтра hm, а также ошибки округления
при умножении приводят к специфическим погрешностям при формирова-
нии отклика фильтра у(к) и будут рассмотрены во второй части в разделе
«Цифровые фильтры».
272
Задачи и упражнения к главе 4
1. Для нижеследующих тестовых последовательностей найти
z-преобразование, определить его особые точки и области сходимо-
сти:
а) единичного импульса
х(А:) = 1(А:) = Р’ °’
V 7 V 7 [О,
б) единичного скачка
v 7	[0, £<0;
в)	действительной экспоненты
*(£) = (/, k>Q;
г)	последовательности
х(к) = каку £>0;
д)	комплексной экспоненты
х(Л) = ехр(р0М/), к>0, p0=Po+j®0;
е)	дискретизованной косинусоиды x(z) = cos <oZ, t > 0; име-
ется 4 отсчета на периоде;
з)	дискретизованной синусоиды x(z) = sin coz, t > 0; имеется
4 отсчета на периоде;
ж) последовательности, полученной дискретизацией сигнала
x(z) = cos<oZ+sino)Z, Z>0, при этом образуется 4 отсчета на пе-
риоде;
и)	последовательности г* cos Л0, к > 0, 0 = <оД/;
к)	последовательности гк sin &0, к > 0, 0 = <оД/.
2.	Найти z-преобразование для х(0) = е”0,20 cos 0 при интервале
дискретизации Д0. Изобразить полюсы и нули в z-плоскости при
Д0 = л / 4, л / 2. Показать, как будут располагаться нули и полюсы
при Д0 —> л и Д0 = л.
3.	Вычислить z-преобразование дискретного аналога сигнала
x(Z) = at (t > 0),
где а - постоянная величина.
273
4.	Вывести следующие пары z-преобразований:
а) 21(Л-1) <=> 2z-';
(z-1)3
4-z"’
г) (1/2/cos(An/3) « ——-------------
4-2z ’ + z 2
5.	Определить z-преобразование X(z) последовательности
х(к) = (cos кв + a sin А0)а(А:),
где а - произвольная постоянная, а <з(к) - дискретная функция
включения.
6.	Дискретная система задаётся соотношением
у(к) + у{к -1) + Ь2у(к - 2) = яох(Л) + а, х(к -1).
Полагая последовательности каузальными, найти передаточную
функцию системы H(z).
7.	Определить с помощью метода непрерывного деления обрат-
ное z-преобразование для
ад = 1/(1-аг-‘).
8.	Найти с помощью метода разложения в степенной ряд обрат-
ное z-преобразование для
%(z) = l/(l-az"1).
Указание. Разложить правую часть в ряд Тейлора в окрестности точки
z"‘ = 0.
9.	Пусть %(z) = 1 /(1 - az"’ )(1 - te"1).
а)	Найти обратное преобразование функции X(z) методом
разложения на простые дроби.
б)	Определить последовательность х(к)9 если
а = 0,5 + /0,5 и b = а
10.	Пусть z-преобразование дискретного сигнала с х(к) имеет вид
JT(z) = (z2+2z + 1)/z.
Найти отсчётные значения этого сигнала.
274
11.	Дискретная система описывается разностным уравнением
y(k)-ay(k-Y) = x(k).
Определить выходную последовательность при
x(£) = cos£0, 0 = оД/.
_	cos£0-tfcos[(£ + l)0]
Ответ:	у(к) =-------------—-—1.
1 - 2а cos 0 + а"
12.	Дискретная система описывается разностным уравнением
у(к) = 1,75х(£) - 0,55х(к -1) + О,25х(£ - 2).
Определить её передаточную функцию и частотную характеристику.
13.	Доказать, что передаточная H(z) и импульсная h(k) харак-
теристики линейного дискретного фильтра связаны соотношением
H(z)=Yh(k)z-k
* = 0
14.	Показать, что линейная фазочастотная характеристика дис-
кретного фильтра соответствует полюсу или нулю передаточной
функции H(z) при z = L
15.	Показать, что если передаточная характеристика фильтра
H(z) имеет полюс на единичной окружности, то при воздействии
единичным импульсом на выходе фильтра возникнут незатухающие
колебания.
16.	Передаточная функция фильтра H(z) имеет в точке z = a
нуль первого порядка. Составить соответствующее разностное урав-
нение. Можно ли реализовать такой фильтр? Изменится ли условие
реализуемости, если в передаточной функции добавить однократный
полюс в точке z = 0? Сопоставить результаты с утверждением: для
физически реализуемой линейной дискретной системы степень поли-
нома в числителе H(z) должна быть меньше степени полинома в
знаменателе H(z).
17.	Передаточная функция фильтра H(z) имеет в точке z = -\
нуль первого порядка и однократный полюс в точке z = 0. Построить
амплитудно-частотную Л(со / сод) и фазочастотную <р( (о / сод)
характеристики, где сод = 2л/Дг - частота дискретизации.
18.	Изменятся ли амплитудно-частотная и фазочастотная харак-
теристики фильтра, если в передаточной функции H(z), имеющей в
275
точке z = а полюс (нуль), добавить нуль (полюс) любой кратности
т при z = 0 ?
19.	Передаточная функция фильтра 7/(z) имеет комплексно-
сопряженную пару нулей в точках z = 1 ± j. Записать выражение для
H(z} и соответствующее разностное уравнение. Можно ли реализо-
вать такой фильтр? Изменится ли условие реализуемости, если в до-
полнение к нулям в H(z) добавить двукратный полюс в точке
z = 0? Изменится ли от такого добавления амплитудно-частотная
характеристика фильтра Л(со)?
20.	Импульсная характеристика фильтра h(k) является последо-
вательностью конечной длины, т. е. к = 0,1, 2,1. Выразить
передаточную функцию фильтра H(z) через коэффициенты ДПФ
Н(п) последовательности h(k). Изобразить нули и полюса H(z) и
блок-схему рекурсивного КИХ-фильтра.
21.	Импульсная характеристика фильтра h(k) является последо-
вательностью конечной длины, т. е. к = 0,1,2,..., N -1. Как связана
частотная характеристика фильтра с коэффициентами ДПФ Н(п)
последовательности h(ky?
22.	Для фильтра с импульсной характеристикой
1, £ = 0,1,2,...,7V-1,
0, при других к
найти передаточную функцию H(z) и расположение ее особых то-
чек. Написать соответствующее разностное уравнение для рекурсив-
ной и нерекурсивной реализации. Определить и изобразить ампли-
тудно-частотную и фазочастотную характеристики фильтра. Нарисо-
вать блок-схемы рекурсивной и нерекурсивной реализации фильтра.
23.	Дискретная система описывается уравнением
у{к + 2) -1 у(к +1) -1 у(к) = 2х(к).
О	о
Найти отклик на сигнал х(к) = 1, к > 0 при начальных условиях
Д0) = 0, ЯП = 1.
Подсказка. Дважды применить теорему опережающего сдвига.
Кк) =
276
R
--VW
2 Ом
НО
1Ф
24.	Импульсная характеристика дискретного фильтра задана тре-
мя ненулевыми отсчётами:
{Л(Аг)} = (1, 0,5, 0,25).
Найти передаточную функцию и частотную характеристику дан-
ного фильтра.
25.	Рассмотрим 7?С-фильтр нижних частот.
а)	Найти импульсную характеристику
Л(/).
б)	Определить последовательность
h(k) = h(kAf) для интервала дискретиза-
ции А/ = 0,1 с.
в)	Найти z-преобразование h(k\
г)	Найти частотную характеристику последовательности h(k).
д)	Изобразить АЧХ последовательности h(k). е) Определить дис-
кретный фильтр, имитирующий 7?С-фильтр нижних частот.
26.	Рекурсивный фильтр работает в соответствии с алгоритмом
у(к) = х(к) + 0,5у(к -1) - 0,15у(к - 2).
Определить передаточную, импульсную и частотную характеристики
фильтра. Исследовать устойчивость этого фильтра.
27.	Исследовать устойчивость рекурсивного дискретного фильтра
второго порядка с передаточной функцией
H(z) =------
\-b}z -b2z '
28.	Исследовать АЧХ и ФЧХ трансверсального фильтра, рабо-
тающего по алгоритму
у{к) = (1 / 3)[х(£) + х(к -1) + х(к - 2)].
29.	На вход трансверсального фильтра поступает сигнал
х(к\ совпадающий с импульсной характеристикой фильтра
f 1 при 0 < к < 4,
[О при &<0и£>4.
Найти сигнал на выходе фильтра.
30.	Определить реакцию на единичный импульс накопителя, рабо-
тающего по алгоритму Эйлера «вперёд» (рис. 4.6.2).
277
Г Л А В A 5. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ
5.1. Линейная дискретная свертка
Рассмотрим две непериодические последовательности х(к) и
Л (А). Линейной дискретной сверткой этих последовательностей на-
зывается последовательность у(к\ определяемая соотношением

О 3	к
Рис. 5.1.1. Линейная
дискретная свёртка

у(к) = ^x(m)h(k-m).	(5.1.1)
/На О
На рис. 5.1.1 приведены примеры
последовательностей х(£), h(k) и их
линейной свертки. Для вычисления
свертки необходимо выполнить опера-
ции сдвига, умножения и суммирова-
ния. Нетрудно видеть, что если после-
довательности x(w) и Л (/и) содержат
по и N2 отсчетов соответственно,
то последовательность является
также конечной и имеет длину
(2Vj + N2 -1) отсчетов, т. е.
Л = О, 1, 2, ..., N, +N2 -2.
С линейной сверткой тесно связано
понятие линейной фильтрации.
При этом х(£) - входной сигнал, у (к) - отклик фильтра, a h(k)
импульсная характеристика фильтра, которая по определению есть
реакция на единичный импульс
v 7 [о, к*0.
(5.1.2)
278
Для физически реализуемых фильтров должно выполняться усло-
вие каузальности импульсной характеристики, которое можно трак-
товать следующим образом: сигнал на выходе фильтра не может поя-
виться раньше момента его появления на входе. Часто это условие
называют условием причинности. Рассмотрим пример.
Пример 5.1.1. Найдем реакцию у(к) системы, показанной на рис.
5.1.26, на входную ступенчатую функцию х(£) = ъ(к).
«)	.<А)=<т(А)
1 <	1 --
-3 -2 *	12 3 4 5 к
Рис. 5.1.2
Нетрудно убедиться, что реакция этой системы на единичный им-
пульс (5.1.2) будет иметь вид (рис. 5.1 За), т. е. импульсная характе-
ристика системы имеет бесконечную протяжённость, и система пред-
ставляет собой БИХ-фильтр. Чтобы рассчитать отклик фильтра по
формуле (5.1.1), построим графики х(т) и h(k-m) в зависимости
от т для некоторого конкретного к. На рис. 5.1.36 иллюстрируется
Рис. 5.1.3. К понятию линеной дискретной свертки
279
Имеем
3	1 - я4
у(3) = ^х(м)Л(3-аи) = 1-я3 +1-а2 +1-Я + 1-1 =--.
т=0	1—67
Видно, что при условии каузальности импульсной характеристики
й(£) = 0 при £<0,	(5.1.3)
в отклик фильтра в момент к = 3 будут вносить вклад предшест-
вующие отсчеты входного сигнала, взятые вплоть до этого момента
включительно. В общем случае
1 — я*+|
у(к) = -----, к>0.	(5.1.4)
\-а
График у(к) приведён на рис. 5.1.Зе.
5.2. Циклическая свертка и корреляция
Пусть теперь х(к) и h(k} - две Апериодические последова-
тельности. Свертка таких последовательностей будет
у(к) = X x(m)h(k-m)	(5.2.1)
m = О
ИЛИ
= £ х(к-т)Ь(т).	(5.2.2)
т= О
С изменением к последовательность х(к-т) смещается отно-
сительно /?(ш) таким образом, что часть последовательности
х(к-т), выходящая за пределы интервала [О, N-1] слева, встав-
ляется в этот интервал справа, т. е. происходит круговая (цикличе-
ская) перестановка отсчетов последовательности х(т) на интервале
N (рис. 5.2.1).
При циклическом сдвиге значения аргумента отсчитываются по
модулю А
х(к -т) = х[(к - т) mod N] = х(к - m)N.	(5.2.3)
Например, пусть А = 32, тогда х(35) = х(3) - х(-29).
280
Последовательность у (к) является также периодической с пе-
риодом в N отсчетов, поэтому достаточно вычислять ее на одном
периоде, например, для £ = 0, 1, 2,	N-1.
Выражения (5.2.1) и (5.2.2), в которых сдвиг понимается как кру-
говая перестановка отсчетов на интервале определяют так назы-
ваемую круговую или циклическую свертку последовательностей
х(к) и h(k), заданных на интервале N:
лм
Я*)=!>[(* w) modN^h (т).	(5.2.4)
т = 0
г)
О N-1
Рис. 5.2.1. К пояснению циклической свёртки
281
Разъясним понятие циклической свёртки. На рис 5.2.1 а, б, в изо-
бражены периодические последовательности h(m), х(т) и х(-от), а
на рис. 5.2.1г показано, как вычисляется значение циклической
свёртки (5.2.4) при к = 2. В силу периодичности последовательно-
стей h(m) и х(к-т) достаточно рассматривать их на интервале
0<w<N-l. С изменением к происходит круговая перестановка
отсчётов последовательности х(к - т) так, что когда отсчёт х(к - т)
выходит за точку т = 0, точно такой же отсчёт появляется в точке
т = N -1. Циклическая свертка резко отличается от линейной пол-
ным нарушением предыстории. В результате оказывается, что на кра-
ях последовательности (при к, близких к 0 и 2V-1) в свертке (5.2.4)
участвуют не соседние отсчеты сигнала, близкие к отсчету с номером
к, а удаленные от него на всю длину последовательности N Для
борьбы с этими краевыми эффектами используется метод удлинения
последовательности с соответствующим доопределением значений
сигнала (см. далее).
Матричная форма циклической свёртки
В матричной форме циклическая свертка (5.2.4) имеет вид
у = [й]-х	(5.2.5)
или
282
	40)	41)	Л(2)	4W-1)'
	41)	Л(2)	Л(3)	Л(О)
	42)	43)	44)	4D
	h(N-2)		40)	h(N-3)
	_h(N-V)	Л(0)	4D	h(N-2)_
	40)	4D	42)	x(N-V)'
	41)	42)	43)	40)
и=	42)	43)	44)	4D
	х(ЛГ-2)	х(ЛГ-1)	40)	x(N-3)
	x(W-l)	40)	4!)	x(N-2)
Как видно, каждая строка матрицы получается из предыдущей цик-
лическим сдвигом вправо на один отсчёт.
Корреляция двух Апериодических последовательностей опреде-
ляется следующим образом:
У(к) =	+	(5.2.7)
т = 0
y(k)=^x(k + m)h(tn),
т = 0
(5.2.8)
т. е. отличается от свёртки направлением циклического сдвига (те-
перь это сдвиг влево). Матричные уравнения (5.2.5) и (5.2.6) справед-
ливы и для корреляции с той лишь разницей, что циклические матри-
цы строятся сдвигом влево.
5.3. Вычисление линейной свертки
с помощью циклической методом БПФ
Как было отмечено в предыдущем параграфе, циклическая сверт-
ка резко отличается от линейной из-за полного нарушения предысто-
рии. При фильтрации сигналов требуется линейная свертка, поэтому
важно рассмотреть вопрос о вычислении линейной свертки с помо-
щью циклической. Рассмотрим пример на рис. 5.3.1, где изображены
283
две конечные последовательности х(к) и h(Jc) по Nt и N2 отсчётов
и результат их линейной свёртки у(к) длиной N = 2V, + N2 -1.
В главе 3 было показано, что, перемножая ДПФ двух конечных
последовательностей и находя обратное ДПФ произведения, получа-
ем такой же результат, как и при циклической свёртке эквивалентных
периодических последовательностей. Свёртка уп(к) периодических
последовательностей периодична и имеет тот же период, что и сами
последовательности.
Если увеличить периоды этих последовательностей путем допол-
нения нулевыми отсчётами, то можно получить совпадение одного
периода периодической свертки с линейной сверткой. Поскольку пе-
риод свёртки уп(к) равен N =	+ N2 -1 отсчётам, то для получе-
ния такого же периода необходимо, чтобы сворачиваемые последова-
тельности х(к) и h(k) содержали по N = N{ + N2 -1 отсчётов, что
достигается дополнением каждой из двух последовательностей соот-
ветствующим числом нулевых отсчётов.
МН

Рис. 5.3.2. Вычисление линейной свёртки
с помощью циклической
284
Сначала находятся N = (Л^ + N2 -^-точечные ДПФ дополненных
последовательностей:
ха <") = 77 L W Н« <") = 77 Z <W"
™ * = 0	/V / = о
Затем надо перемножить результаты ДПФ:
Ya(n) = X„(n)H№(n)
и выполнить обратное ДПФ произведения, чтобы получить
Апериодическую свёртку:
К (к) = X [Л, («)//„ («)]	= 1 £ х„ (т)Лп (к -	.
п « О	™ т = О
Один период этой последовательности совпадает с линейной свёрт-
^Ппк
кой исходных последовательностей. В этих формулах	Л'
- базисные функции ДПФ.
Эффективность данного способа обеспечивается использованием
алгоритма БПФ для нахождения всех ДПФ. При больших N выиг-
рыш в объеме вычислений по сравнению с прямым способом вычис-
ления свертки во временной области может быть весьма значитель-
ным. Подсчитаем вычислительные затраты при использовании алго-
ритма БПФ с основанием 2 по схеме рис. 5.3.3.
Рис. 5.3.3. Вычисление свёртки методом ДПФ
285
1)	— log2A базовых операций при вычислении всех коэффи-
циентов ДПФ
дг
2)	— !og2A базовых операций при вычислении всех коэффи-
циентов ДПФ Н (и);
3)	N комплексных умножений для вычисления произведения
Н(п)Х(п)9 и = 0, 1, 2,	ЛГ-1.
N
4)	— log2A базовых операций при вычислении ОДПФ.
Если интересоваться только самыми трудоемкими операциями
комплексного умножения, то их число при использовании БПФ будет
Af + 3Nlog2-W вместо N2 при прямом вычислении.
Пример 5.3.1. Пусть ЛГ = 1024 = 210 Выигрыш быстрого способа вычис-
ления свертки по сравнению с прямым составляет
3N log2W
и растет с увеличением Если коэффициенты фильтра Н (и) найдены
заранее и занесены в память, то выигрыш ещё более возрастает
2Nlog2N + N
Алгоритмы БПФ, приведенные в главе 3 на рис. 3.7.1 и 3.7.3, до-
полняют друг друга при вычислении свертки. В графе на рис. 3.7.3
входные отсчеты расположены в нормальном порядке, а выходные -
в разрядно-инверсном. В графе на рис. 3.7.1 - наоборот. Если для
прямого ДПФ использовать граф, приведенный на рис. 3.7.3, а для
обратного - граф, приведенный на рис 3.7.1, то необходимости в пе-
реупорядочении входных и выходных данных, а также промежуточ-
ных результатов, нет. Рассмотренный метод является важным вычис-
лительным средством при обработке сигналов.
Методы быстрого вычисления циклической свертки основаны на
использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ), теоретико-
числовых преобразований (ТЧП), модульной арифметики в кольце
полиномов [ 9 ].
286
5.4. Секционированная свертка
При выполнении фильтрации часто бывает так, что фильтруемая
последовательность х(к) много длиннее импульсной характеристи-
ки фильтра Л(£). В принципе можно поступить так же, как и в пре-
дыдущем параграфе. Но такой подход по ряду причин неудобен. Во-
первых, перед вычислением свёртки нужно иметь всю более длинную
последовательность и результат вычисления получается с большой
задержкой. Во-вторых, при больших +N2 -1) вычисление ДПФ
значительно усложняется. В этом случае используется процедура
секционирования длинной последовательности и многократного вы-
числения частичных циклических сверток, из которых и формируется
искомая линейная свертка. Рассмотрим два метода вычисления
свёртки, основанные на этой процедуре [27].
Метод перекрытия с накоплением
Пусть импульсная h(k) имеет L отсчетов (рис. 5.4.1 а), а после-
довательность х(к) не ограничена (непрерывно идущий поток дан-
ных) (рис. 5.4.16). Выделим из х(£) первый TV-точечный «кадр» (рис.
5.4.1 в). По причине, которая станет понятной ниже, выберем N > L.
Поскольку используется ДПФ, кадр необходимо рассматривать как
один период периодической последовательности х, (&) (рис. 5.4.1г).
Далее дополним h(k) нулями до N отсчетов, и будем рассматри-
вать расширенную последовательность как один период периодиче-
ской последовательности h{ (£) (рис. 5.4.1г), которая свёртывается с
Х| (£) умножением в частотной области:
М = Х1(п)Н1 (и), и = 0, 1, 2,	7V-1,
где
1 V-1	1 ЛМ
X (") = 77 X	(«)=77 X h -
X * = о	/V р = 0
Применив обратное ДПФ, получим
Л'-1
yi(W)=^[^n(H)^n(H)]^'	/« = 0,1,..., ЛГ-1.
п = 0
287
х» (*)=|
Метод перекрытия с суммированием
Этот метод основан на разбиении длинной последовательности
х(к) на смежные секции по N отсчетов:
х(к)=
Л)-О
где
х(к}9 при mN < к <(w + l)N-l,
О, при других к.
Линейная свертка последовательностей х(&) и h}(k} равна
=	(^)-Xx»-(/_<t)=ihAk)®xAkY
к = 0	«7 = 0	т = 0
Длина каждой из частичных сверток в этой сумме равна (2N-1)
отсчетов, следовательно, имеется участок длиной в (N-1) отсчетов,
на котором т-я и (т + 1 )-я частичные свертки перекрываются, поэто-
му их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. Проделывая
указанные действия для всех /и, получаем искомую свёртку:
хо=$>„(/).
Л7 = 0
В этом методе, известном под названием метод перекрытия с сум-
мированием, в отличие от предыдущего метода перекрываются не
входные, а выходные секции.
Итак, используя метод перекрытия с накоплением или метод пе-
рекрытия с суммированием, можно легко найти свёртку короткой и
очень длинной последовательностей, причём, результат получается в
виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответ-
ствующим образом в одну последовательность.
290
Подставляя сюда выражения для Xt (и) и Н, (п), с учётом ортого-
нальности базисных функций ДПФ будем иметь
=	£й|(р)х|(т-р) + £ h^pyx^N + m-p) .
м _р = о
В этом месте учтём, что N > L. Рассмотрим случай, когда т = L -1:
У|(2--1) = -^- X hy{p)x^L-\-р)+ £ h^pyx^N + L-l-p) .
Здесь учтём, что hx (L) = (L +1) =... = ft, (TV -1) = 0, поэтому вторая
N-\
p = m+1
L-\
N-\
(5.4.1)
m
p = L
сумма равна нулю и мы имеем
yia-]) = ^^h,(p)xi(L-l-p).
Г'о
Это выражение совпадает с (£ - 1)-м отсчётом линейной свёртки на
выходе трансверсального фильтра с L отводами. Отсчёты
у,(£), У|(£ + 1),	^(TV-l) по той же причине корректны.
Остаётся рассмотреть первые (L -1) выходных отсчётов. Все они
содержат ложные члены, вызванные наложением и определяемые
второй суммой в формуле (5.4.1), поэтому не корректны и должны
быть отброшены. Этот случай иллюстрируется на рис. 5.4.1е.
Теперь ясно, как нужно выбирать второй TV-точечный кадр, пер-
вые (£-1) отсчётов которого должны быть идентичны последним
(£-1) отсчётам предыдущего кадра (рис. 5.4.1з). Это необходимо по
той причине, что в начале следующей TV-точечной свёртки снова будет
(£ -1) первых ложных отсчётов, которые должны быть отброшены.
TV “ £ +1 корректных отсчётов первой свёртки можно отправить в
память на место, занимаемое первым TV-точечным кадром. Такой
процесс фильтрации с «замещением» требует относительно неболь-
шого объёма «обязательной» памяти для проведения самой свёртки и
преобразований.
Стыковка корректных частей от первой и второй свёрток показана
на рис. 5.4.1к. Рассмотренный способ получения полной свёртки из
большого числа TV-точечных свёрток известен как метод перекрытия
с накоплением.
289
х» (*)=|
Метод перекрытия с суммированием
Этот метод основан на разбиении длинной последовательности
х(к) на смежные секции по N отсчетов:
х(к)=
Л)-О
где
х(£), при mN < к <(w + l)7V-l,
О, при других к.
Линейная свертка последовательностей х(&) и h}(k} равна
(k)-ixn,(i~k)=ihAk)®xAkY
к = 0	«7 = 0	т = 0
Длина каждой из частичных сверток в этой сумме равна (2N-1)
отсчетов, следовательно, имеется участок длиной в (//-1) отсчетов,
на котором т-я и (т + 1 )-я частичные свертки перекрываются, поэто-
му их отсчеты на участке перекрытия нужно сложить. Проделывая
указанные действия для всех /и, получаем искомую свёртку:
хо=$>„(/).
Л7 = 0
В этом методе, известном под названием метод перекрытия с сум-
мированием, в отличие от предыдущего метода перекрываются не
входные, а выходные секции.
Итак, используя метод перекрытия с накоплением или метод пе-
рекрытия с суммированием, можно легко найти свёртку короткой и
очень длинной последовательностей, причём, результат получается в
виде отдельных небольших секций, которые объединяются соответ-
ствующим образом в одну последовательность.
290
Г Л А В A 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ
ПРОЦЕССЫ
При обработке сигналов одним из важнейших является вероятно-
стный подход, в соответствии с которым сигналы рассматриваются
как случайные процессы, причём случайный характер обусловлен
либо помехами различного происхождения, либо случайными счита-
ются как сами полезные сигналы, так и помехи.
Вероятностный подход получил широкое распространение в фи-
зике и технике. Вместе с тем представление случайных сигналов в
системах с дискретным временем имеет свои особенности, и нужно
проявлять определённую аккуратность, перенося методы представ-
ления детерминированных сигналов на случайные сигналы.
В этой главе с прикладных позиций даётся изложение необходи-
мого аппарата для описания и задания случайных процессов с дис-
кретным временем. Многочисленные примеры позволяют создать
запас наглядных физических представлений, полезных при решении
конкретных практических задач.
6.1. Случайные величины и ожидания
Случайной величиной х называется некоторая величина, которая
случайным образом принимает значения из некоторого континуума
возможных значений. Примером может служить случайная величина,
образованная сечением случайного процесса х(/) (ансамбля реализа-
ций) в некоторый фиксированный момент t = /0:
х = {х(/), I =/0}.	(6.1.1)
Вероятности, с которыми случайная величина принимает различ-
ные значения, количественно описываются функцией распределения
вероятности’.
F(x) = P(x<x),	(6.1.2)
т. е. вероятностью того, что случайная величина х принимает значе-
ние, меньшее или равное х.
291
Плотность вероятности по определению равна
р(х)=^)_	(6.1.3)
ах
С учётом (6.1.2) можем записать
F(x) = P(x<x) = J р(^.	(6.1.4)
Математическое ожидание случайной величины х, обозначае-
мое Л/(х), определяется выражением
Л/(х) = jxp(x)rfx = x.	(6.1.5)
Его называют также средним значением случайной величины х или её
первым моментом.
Если х - случайная дискретная величина, принимающая значения
х = х(, х2,..., xN с соответствующими вероятностями Р(хк), такими
что Р(хк) = 1, то её среднее значение по определению будет
к = I
М(х)=^хкР(хк).	(6.1.6)
к = I
Плотность вероятности такой случайной величины имеет вид
К
p(x)=£P(xt)5(x-xJ.	(6.1.7)
к - I
Моменты, дисперсия, неравенство Чебышева
Моментом т-го порядка случайной величины х называется сред-
нее значение
N
М(х‘”)=^хткР(хк)
к = I
для дискретных величин и
М(х")= jx'"p(x)Jx
для непрерывно распределённых величин. В частном случае при
т = 2 получаем средний квадрат случайной величины х:
М(х2) = j х2 p(x)dx = х2.	(6.1.8)
292
Другой важный статистический параметр - средний квадрат цен-
трированной случайной величины (х-х) - называется дисперсией и
обозначается ст2:
ст2 = Л/[(х - х)2 ] = М(х2) - 2М(хх) + М[( х)2 ],
т. е.
а2 =х2-(х)2
(6.1.9)
Дисперсия - это разность между средним квадратом случайной вели-
чины и квадратом её математического ожидания. Величина стх - зна-
чение корня квадратного из дисперсии - называется стандартным
или средним квадратическим отклонением, которое служит для ко-
личественного описания меры разброса результатов отдельных слу-
чайных испытаний относи-
тельно математического
ожидания.
В качестве примера на рис.
6.1.1 приведены функция
распределения F(x) и плот-
ность вероятности р(х) слу-
чайной гауссовской величи-
ны с нулевым средним и
единичной дисперсией.	j
/л
0.8
С6
Рис. 6.1.1
Имеет место неравенство Чебышева:
. ,	Л/(|х|2)
Р(|х |>а)<—-V2.	(6.1.10>
а~
каково бы ни было а > 0. В самом деле, если положить
[О при |х|<л,
[я при |х| > а,
то, очевидно, |х| > £, и Л/(|х|2) > Л/(^2) = а2Р(|х| > а), что равносиль-
но (6.1.10).
В соответствии с неравенством Чебышева если Л/(|х|‘) = 0, то
х = 0 с вероятностью единица.
293
Для центрированной случайной величины (х-х) из неравенства
Чебышева следует
Р(|х-х|>а)<-^,	(6.1.11)
а
так что при относительно малой дисперсии сГ случайная величина х
с большой вероятностью принимает значение, близкое к х.
Характеристикой взаимосвязи двух случайных величин х и у слу-
жит корреляция, которая определяется как ожидание их произведения
□О 00
Л/(ху)= j \xyp(x,y)dxdy,	(6.1.12)
где р(х, у) - совместная плотность вероятности случайных величин
х иу.
Корреляция центрированных случайных величин (х-х) и (у-у)
называется ковариацией'.
Л/[(х - х)(у - у)] = Л/(ху) - х у.	(6.1.13)
Если ковариация равна нулю, то говорят, что величины некорре-
лированы или линейно независимы.
Более сильный тип независимости имеет место, когда независимы
события [х < а} ] и [у < а2 ] для всех а\ и а2. Говорят, что случайные
величины, обладающие этим свойством, статистически независи-
мы. Для их совместной плотности справедливо соотношение
= р(х)« р(у)
для всех х и у. Отсюда с учётом (6.1.12) следует, что для статистиче-
ски независимых величин имеет место
Л/(ху)= Л/(х) • Л/(у) = х • у.
Если величины статистически независимы, то они и линейно незави-
симы. Обратное, вообще говоря, неверно. Все эти соотношения легко
обобщаются на случай N независимых величин.
6.2. Случайные процессы
В физических системах источники сигналов способны вырабаты-
вать одну из большого множества возможных функций времени x(t).
Поэтому удобно ввести вероятностный закон, описывающий случай-
ные появления каждого элемента такого множества. Множество вме-
сте с законом вероятности задаёт ансамбль сигналов, вырабатывае-
мых источником.
294
Случайный процесс X(t) представляет собой ансамбль выбороч-
ных функций времени, подчиняющихся некоторой общей статисти-
ческой закономерности. Каждая из функций этого ансамбля называ-
ется реализацией случайного процесса (рис. 6.2.1).
Случайный сигнал можно рассматривать как функцию двух аргу-
ментов:
х(а, t), a g Q, t еТ
Первый аргумент а является элементарным событием и принад-
лежит пространству Q элементарных событий с заданной на нем
вероятностной мерой. Это так называемое выборочное пространст-
во. Второй аргумент t имеет обычно смысл времени и принадлежит
множеству Т Аргумент / может быть непрерывным или дискрет-
ным. В соответствии с этим х(а, t) - непрерывный или дискретный
сигнал. В обоих случаях Т может быть конечным или бесконечным.
Функция, происходящая из Q, обозначается как х(а, t), однако
проще обозначать её как х(/), имея всегда ввиду то, что конкретной
реализации х(/) соответствует точка в выборочном пространстве Q.
В пространстве функций времени (гильбертовом пространстве L2)
отдельная реализация х(/) есть вектор.
Когда мы наблюдаем значения случайного процесса на опреде-
лённом промежутке Т, мы имеем дело лишь с одной реализацией
случайного процесса. Случайность процесса X(t) проявляется в том,
что вид наблюдаемой функции случайным образом меняется от одно-
го наблюдения к другому. Однако каждая отдельная реализация х(г)
не случайна.
Чаще всего реализации случайного процесса представляются
функциями со сложным нерегулярным во времени поведением, как
показано на рис. 6.2.1, но это не общее правило. Иногда рассматри-
ваются случайные процессы, образованные, например, гармониче-
295
скими сигналами x(f) = A sin(©Z + ср), у которых один из трёх пара-
метров Я, со, ф - случайная величина, принимающая определённое
значение в каждой реализации (рис. 6.2.2).
Случайные процессы, реализации которых зависят от конечного
числа параметров, называются квазидетерминированными.
Рис. 6.2.2. Гармонический сигнал со случайной фазой,
а - реализации; б - плотность вероятности
Наблюдая ансамбль X(t) в любой момент времени приходим
к случайной величине х(^) = х,. Если рассматривать ряд моментов
времени , t2, t3,	tN на интервале наблюдения процесса, то им
соответствует N случайных величин x(/j), х(/2), ..., х(/у).
Другая точка зрения заключается в том, что случайный процесс
трактуется как совокупность (последовательность) случайных значе-
ний, каждое из которых относится к своему моменту времени:
х = {х(/); t е Г}.
Если Т - счётное множество (конечное или бесконечное), то X(t) -
процесс с дискретным временем, если Т - вещественный интервал,
то X(t) - процесс с непрерывным временем.
Полное задание процесса предполагает задание совместной плот-
ности вероятности p(xi> х2» •••» ху) Для любого конечного N. Этот
способ задания для произвольного процесса имеет практические
трудности.
Частичное задание процесса возможно различными способами.
Рассмотрим два наиболее распространённых.
1. Задание одномерной плотности.
2. Задание двумерной плотности.
В первом случае задаётся только р(х, tk) - одномерная плотность
вероятности случайной величины х(^), относящаяся к одному мо-
296
менту времени / = tk (одному сечению процесса). Задание одномер-
ной плотности позволяет произвести статистическое усреднение (ус-
реднение по ансамблю) как самой величины х, так и любой функции
/(х). Для практических приложений важными являются следующие
параметры случайного процесса X(t):
математическое ожидание
тх (t) = x(r) - Mfx(t)] = j х/?(х, t)d*\	(6.2.1)
дисперсия
o2v(/) = M{[x(r)-wv(/)]2}.	(6.2.2)
Среднее значение определяет «центр тяжести» распределения в
каждый момент времени t. Дисперсия является мерой расплывчатости
или разброса относительно центра тяжести также в каждый момент
времени t.
-rVW1
J____________________L--2
а)
• /ivsAv
6l
Рис. 6.2.3. Флуктуационный процесс:
а - с постоянной составляющей; б - со средним значением, равным нулю.
Более полной вероятностной характеристикой процесса является
двумерная плотность вероятности р(\, х2; t}, /2), определяющая
связь значений х, = х(^) и х2 = х(/2), принимаемых случайной
функцией X(t) в произвольно выбранные моменты времени и
(рис. 6.2.1). Имея дело с парами случайных значений процесса в раз-
несённые моменты и /2, удобно ввести так называемую корреля-
ционную функцию случайного процесса (или второй смешанный мо-
мент):
Лл.(Г|Л2) = Л/[х(/1)-х(/2)].	(6.2.3)
297
В соответствии с этим определением корреляционная функция слу-
чайного процесса %(/) представляет собой усреднённое по ансамб-
лю произведение значений случайной функции X(t) в моменты вре-
мени и /2. Для каждой реализации x(t) случайного процесса про-
изведение x(t})-x(t2) является некоторым числом. Ансамбль реали-
заций образует множество случайных чисел, распределение которых
характеризуется двумерной плотностью вероятности р(х(, х,; /|? л,).
При заданной функции p(xt, х2; tl 912) усреднение по ансамблю в
(6.2.3) можно выполнить по формуле
ОС Т1
^v(zi»^)= f jx1x2p(xl, х2;	t2)d\dx2.	(6.2.4)
При нулевом расстоянии между моментами /( и t2 корреляцион-
ная функция определяет величину среднего квадрата случайного
процесса при t = /(:
ЛЛ (А» Л)=	t,)d\ =И*2(0]-	(6-2.5)
Замечание. Для комплексного случайного процесса X(t) корреляцион-
ная функция определяется следующим образом:
^v(rl,r2) = M[x(/l)-x*(r2)].	(6.2.6)
В этом случае корреляция связана со скалярным произведением в комплекс-
ном линейном пространстве.
Корреляционная функция центрированного случайного процесса
называется ковариационной функцией*.
Кх(/., t2) = М{[х(/,)-х(л)][х(Г2)-х(Г2)]} =
(6.2.7)
= ЯЛ(Г|,/2)-х(/1)х(/2).
Отсюда видно, что Kx(t, /) есть дисперсия процесса. Как средний
квадрат, так и дисперсия в общем случае зависят от времени.
Ковариационная функция обладает следующими свойствами:
а)	она симметрична:
/2) =/СЛ (г,,/,),
б)	неотрицательно определена:
т г
j j(p(/)A'v(r, 0)ф(0)б7/4/0 > 0, где ср(/) - некоторая детерминирован-
0 о
ная функция, интегрируемая в квадрате на интервале [О, Г].
298
6.3.	Стационарность и эргодичность
В практических приложениях важное место занимают стацио-
нарные случайные процессы. Различают стационарность в узком
широком смысле.
Случайный процесс называется стационарном в узком
(строго стационарным), если его плотность вероятности
р (х,,х,,... х„;	г,.	г„)
произвольного порядка зависит только от интервалов
/2 -Г|,	, tn и не зависит от начала отсчета времени.
В приложениях обычно ограничиваются требованием независи-
мости от начала отсчета времени только одномерного и двумерного
законов распределения. В этом случае процесс называется стацио-
нарным в широком смысле. Выполнение этого условия позволяет
считать, что среднее значение и дисперсия случайного процесса не
зависят от времени, а корреляционная функция зависит только ог
интервала между отсчетами т = /2	.
Таким образом, для случайного процесса, стационарного в широ-
ком смысле, выражения (6.2.1) - (6.2.6) записываются без обозначе-
ния фиксированных моментов времени:
тх = х = М (х) = |х р (х) Jx;
a2 = М [х ~тх ]"
Rx (т) = Л/[х(/)-х(/ + т)] =
J |[х(/)-х(/ + т) р(х, xt, т)<7х<Ух,]
.-/*	- г
- четная функция;
7?v(0) = jx2p(x)dx = х2;
Кх (г) = Л/ [(х (/) - тх) • (х(/ + т) - тх )] = Rv (г) - т \	(6.3.5)
Корреляционная функция (г) является показателем гою. на-
сколько сохраняется форма случайного процесса X(t) в среднем по
ансамблю и не относится к отдельно взятой реализации x(t). Так если
(6.
(6.3.2)
(6.3.3)
(6.3.4)
299
Лх(т)>0, то о случайных величинах %(/,) и Л^+т) можно ска-
зать лишь то, что у них вероятно одинаковые знаки. Если Ях(т) < О,
то эти случайные величины, скорее всего, имеют противоположные
знаки.
Стационарностью в широком смысле обладает довольно большой
класс случайных процессов, встречающихся на практике. Поэтому
слова “в широком смысле” часто опускают и называют процессы
стационарными.
Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигает-
ся, если процессы обладают свойством эргодичности. Это свойство
означает, что почти каждый член ансамбля ведет себя в статистиче-
ском смысле так же, как и весь ансамбль. Таким образом, можно про-
анализировать статистиче-
ские характеристики процес-
са путем усреднения по вре-
мени вдоль одной реализа-
ции (рис. 6.3.1). Условие
эргодичности случайного
процесса включает в себя и
условие стационарности.
Рис. 6.3.1. Получение кривой распределения
р(и) эргодического процесса u(t)
't/Х г
F(U)^
Обозначая усреднение по времени условными скобками, запишем
характеристики (6.3.1) - (6.3.5).
Среднее значение процесса
={х(/)}= lim — j x(t) dt	(6.3.6)
Г->0П	-7/2
равно постоянной составляющей выбранной реализации.
Дисперсия
i 7/2
= ([* (О-]2) = lim — j [х(г) -тх ]2 dt (6.3.7)
* -7/2
имеет смысл мощности флуктуационной составляющей эргодиче-
ского процесса.
Корреляционная функция
I г/2
(г) = ([х(/)-х(/ + г)]}= lim— j x(t) х(Г + г) dt, (6.3.8)
7“*а°	-7/2
300
при этом
1 7/2
Rx (0) = lim- J х~ (0 dt	(6.3.9)
Т~*"Т _т/ 2
- средняя мощность реализации.
Ковариационная функция
^х (Т ) = ([* (0 - ™x ][* (( +Х - ™х ]) =
J г/2	(6.3.10)
= 1™ 7 J [х(0-/йх][х(/+т)-тх]Л.
1 -Т/2
Достаточным условием эргодичности центрированного стацио-
нарного в широком смысле случайного процесса является условие
[23]:
lim ЯДг) = 0.
Г—>00
Менее жесткое условие эргодичности
1 7/2
lim— [ R (г)г7т = 0
Г—>00 Т J
1 -Т/2
- условие Слуцкого.
(6.3.11)
(6.3.12)
Рис. 6.3.2. Типичные корреляционные функции центрированных процессов
Типичная корреляционная функция центрированного процесса
убывает при увеличении г (рис. 6.3.2л). Однако приближение Rx(t)
к нулю не всегда происходит монотонно. В ряде случаев Rx(r) ко-
леблется около нулевого значения, приближаясь к нему при увеличе-
нии т (рис. 6.3.26).
Если процесс имеет постоянную составляющую, то
Rx (°0) = {*(/)*(>+г)) =	= (х(0/	(6.3.13)
т. е. корреляционная функция при г —> оо стремится к квадрату по-
стоянной составляющей.
301
Интервал корреляции
Для многих процессов, встречающихся на практике, характерно
свойство: их корреляционная функция стремится к нулю с увеличе-
нием временного сдвига г между отсчетами. Числовой характери-
стикой, служащей для оценки скорости убывания корреляционной
функции, является интервал корреляции* определяемый выражением
=7^ fl МН Rr= J| рх(г) рг, (6.3.14)
где
р (Г)=МН	(6.3.15)
Я,(0)
- так называемый коэффициент корреляции (безразмерная величи-
на).
Физический смысл интервала корреляции заключается в следую-
щем. Если известна информация о поведении какой-либо реализации
“в прошлом”, то возможен вероятностный прогноз случайного про-
цесса на время порядка vk. Для г » vk мгновенные значения x(Z) и
x(t + г) будут практически некоррелированы и прогноз невозможен.
Следовательно, для любого е > 0 существует такое положительное
тк, что при условии | г | > тк выполняется неравенство
|р(г)|<£.	(6.3.16)
Замечание. Любая характеристика LT эргодического случайного
процесса, полученная усреднением за большой, но конечный интер-
вал Г, является случайной относительно ансамбля оценкой. Эта
оценка связана с истинной характеристикой Л, полученной усредне-
нием по всему ансамблю, соотношением
limP[Z7. =£] = !,	(6.3.17)
т. е. при Т —> оо вероятность совпадения оценки LT с истинной ха-
рактеристикой L сколь угодно близка к единице. Так применительно
к корреляционной функции это записывается в виде
ПтР[ЛДг) = Яд.(г)] = 1.	(6.3.18)
302
Фильтрация случайных процессов
Пример 6.3.1. Пусть стационарный процесс х(г) пропускается
через ЛИВ-фильтр с импульсной характеристикой h(t) (рис. 6.3.3).
Рис. 6.3.3
Процесс на выходе у(/) также стационарен. Кросс-корреляцион-
ная функция процессов на входе и выходе фильтра будет равна
(Т) = М[у(/ + т)• х- (/)] = M{[ Jh(t + т- 0)x(0)rf0] х (/)} =
J й(Г+т - 0) Ra (0 - t)dQ = j h(x - т])^ (n )с?г|.
-ОО	-00
T. е. кросс-корреляционная функция Rxy(x) процессов на входе и
выходе фильтра связана с автокорреляционной функцией /^(т)
входного процесса тем же линейным преобразованием (свёрткой),
которое преобразует сигнал на входе в сигнал на выходе фильтра.
Найдём теперь автокорреляционную функцию выходного про-
цесса:
^(т)-М[у(/ + т). у *(/)] =
= М j j h(t + т - 0)х(0) А* (/ - т|)х* (T|)d0dr| -
J h(t + т - 0)й‘ (I - п)Я„ (0 - т) )с/0е/т|.
Изменяя порядок интегрирования и обозначая
0-т| = 5 и Х(т)= J h(x + Сп)^
будем иметь
(Т) = J Х(Т - 5)Лхг (•’)'*>
(6.3.19)
303
т. е. автокорреляционные функции Ryy (т) и R^ (s) связаны интегра-
лом свёртки. В спектральной области (6.3.19) имеет простую форму:
^(/) = |Я(/)Г-Ся(Л	(6.3.20)
где
Gw(/) = ПФ [/?,,, (т)]	(6.3.21)
- спектральная плотность мощности процесса на выходе фильтра,
(?«(/) = ПФ К (5)]	(6.3.22)
- спектральная плотность мощности входного процесса,
|Я(/)Г =	(6.3.23)
Я(/) = ПФ[Л(Г)]	(6.3.24)
- частотная характеристика фильтра.
6.4.	Спектральная плотность мощности
Представим физическую интерпретацию этой важной спектраль-
ной характеристики случайного процесса.
Кажется естественным использовать преобразование Фурье для
определенной реализации х(/) случайного процесса
^(ш)= ]х(0-е'у,,>,Л
в качестве спектральной характеристики процесса. Однако такой
подход оказывается невозможным по двум причинам.
Во-первых, спектральная плотность У(со) для любой фиксиро-
ванной частоты со будет случайной величиной относительно ансамб-
ля реализаций. Усреднение функции %(со) по ансамблю приводит к
нулевому спектру (при Л/[х(/)] = 0) из-за случайности и независи-
мости фаз спектральных составляющих в отдельных реализациях.
304
Вторая, более важная, причина нерезультативности этого подхода
заключается в том, что для стационарного процесса А^со) почти ни-
когда не существует, т. к. абсолютная интегрируемость
J|x(/)|<// <оо
(6.4.1)
никогда не удовлетворяется для реализаций стационарного случайного
процесса. Ограничим длительность реализаций следующим образом:
хт(1) =
(6.4.2)
Такой усеченным процесс Хт (Г) удовлетворяет условию (6.4.1), если
исходный стационарный процесс X(t) имеет ограниченную диспер-
сию. В этом случае хт (/) будет удовлетворять строгому требованию
интегрируемости в квадрате:
J |хг(/)|2 <//<00.
(6.4.3)
Следовательно, для хт (/) будет существовать преобразование Фурье:
X (со, Т) = | хт (/) dt, Т «я.
(6.4.4)
Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно опреде-
лить, используя равенство Парсеваля:
12	1	00
J х2г (/)<// = —	Г)|2</(0.
г п	2 Л _
Разделив обе части на 7, получим
1 J х2г (t) dt = ^-]|Х (со, Т)|2 </<о	(6.4.5).
- выражение для средней мощности реализации х(г) на отрезке Т
Если процесс эргодический, то эта величина при Т —> оо приближа-
ется к значению среднего квадрата случайного процесса. Однако на
данном этапе еще нельзя переходить к пределу при Т —> оо. Необхо-
димо напомнить, что Т) является случайной относительно ан-
305
самбля реализации случайного процесса X(t). Выполнив сначала
усреднение обеих частей выражения (6.4.5), а потом, переходя к пре-
делу при Т -> оо, получим с учетом эргодичности
{I Г/2
7 J хт dt
1 -тп
2я2 Т
da>
hm — d t = — hm —--------------------------
г->оо т J 1 ?л J T
1 -тп	-«	1
d co,
x2(0 = — [g (©)</©,	(6.4.6)
2 л <
где
G (co) = lim | M [|JT(co, Г)|2 ] = Jim у M
TH
J x(t)e-ja,dt
-T/2
(6A.7)
называется спектральной плотностью мощности случайного про-
цесса X(t). В соответствии с (6.4.6) G(co) интерпретируется как
распределение среднего квадрата процесса по частотам. Если x(t) -
напряжение или ток, действующие на сопротивлении 1 Ом, то х2 (/)
- есть средняя мощность, рассеиваемая на этом резисторе. Спек-
тральную плотность мощности (7 (со) можно интерпретировать как
среднюю мощность, сосредоточенную в полосе частот шириной 1 Гц
z ю т-
при центральной частоте f =— Гц.
2 л
Для любой заданной реализации хТ (/) функция
ЬГ(со( Г)|2
G(co, Т) =	(6.4.8)
называется периодограммой и представляет собой флуктуирующую
по ансамблю реализаций оценку спектральной плотности мощности.
По своему определению G(co) есть вещественная неотрицатель-
ная функция частоты. Спектральная плотность мощности играет
фундаментальную роль в прикладной теории стационарных случай-
ных процессов.
306
6.5.	Теорема Винера-Хинчина
Эта теорема устанавливает связь между корреляционной функцией
7?(т) и спектральной плотностью мощности (7 (со) и утверждает, что
эти характеристики стационарного случайного процесса связаны па-
рой преобразования Фурье [22]:
(?(«>) = р(т)е-'ш’Лт,	(6.5.1)
1 00
Л(т) = — fG(a>)e7WtJ®.
2л <
(6.5.2)
Поскольку 7?(т) - чётная функция аргумента т, то соответствующий
спектр мощности G(co) представляет собой чётную функцию часто-
ты. Отсюда следует, что пара ПФ (6.5.1) и (6.5.2) может быть записа-
на в виде
(7(со) = 2р? (т) coscotc/t,	(6.5.3)
о
Я(т) = — f(7 (со) cos сот d со.	(6.5.4)
Ч
Пример 6.5.1. Рассмотрим стационарный процесс X(t) с равно-
мерной спектральной плотно-
стью в полосе частот [-со„, со в ]:
а)
С(ш) =
Go = const,
о,
к.
при |со|^шв,
при |со| > со„.
Рис. 6.5.1. Характеристики шума с ограниченным по полосе спектром:
а - спектральная плотность мощности, б ~ корреляционная функция
307
В соответствии с (6.5.4) корреляционная функция этого процесса
Gn °r	sin со т
/?(т) =— [cos mJ© =---------------.	(6.5.5)
л 0J	л (0нт
Из рис. 6.5.16 видно, что при значениях т, кратных л/шв, Я(т) = О,
т. е. сечения процесса, разделенные интервалом Х-(л/о\), где X
целое, некоррелированы между собой. При со, -> оо приходим к про-
цессу, который называется белым шумом. Корреляционная функция
белого шума
Л(т) = (С?0/2)-5(т).	(6.5.6)
Это следует из (6.5.5), если воспользоваться определением 8-функ-
ции на рис. 1.8.10. Таким образом, белый шум является дельта-
коррелированным. Некоррелированность мгновенных значений тако-
го случайного сигнала означает бесконечно большую скорость изме-
нения их во времени. Белый шум физически нереализуем, однако он
часто используется в качестве математической модели многих про-
цессов, например, когда полоса пропускания системы, на которую
воздействует широкополосный случайный сигнал, много меньше
ширины спектра шума.
Пример 6.5.2. Для узкополосного случайного процесса со спектром
шириной Дш, сосредоточенным возле частот ±соо (рис. 6.5.2а),
имеем с учётом предыдущего примера и теоремы смещения ПФ:
Рис. 6.5.2. Характеристики узкополосного случайного процесса:
а - спектральная плотность мощности, б - корреляционная функция
308
Дсо
Х-, А sin — т
Gn Дсо э
Я(т) = —------------- cos (Oqт.	(6.5.7)
2п	Д(о
— т
2
Эта функция изображена на рис. 6.5.26.
Пример 6.5.3. Пусть процесс X(t) имеет экспоненциальную
функцию корреляции
Л (т) = ст2 е‘а|т|,	а>0.	(6.5.8)
На основании (6.5.1) его спектральная плотность мощности будет
G(<o) = o2 Je“T Лт + ст2 eim dx =
0
1	t=	1	r=ao
= (j2	1	T	1	^-(а+у<о)т	_
a-jco	T=^ a + jco	T=o
,f 1	1 'I	2a o2
=	------— +----— = —5-----“•
^a-jco a + jcoJ a~+co“
По форме эта функция совпадает с резонансной кривой колебатель-
ного контура (рис. 6.5.36). Видно, что спектр мощности рассматри-
ваемого процесса имеет выраженный низкочастотный характер - его
максимум имеет место на нулевой частоте.
Рис. 6.5.3. Экспоненциальная функция корреляции - а и соответствую-
щая ей спектральная плотность мощности - б
309
6.6.	Представление случайных сигналов
ортогональными рядами
Как уже отмечалось, случайный сигнал можно рассматривать как
функцию двух аргументов х(я, Z), а е Q, t е Т. Первый аргумент а
является элементарным событием и принадлежит пространству Q
элементарных событий с заданной на нем вероятностной мерой. Это
так называемое выборочное пространство. Второй аргумент t имеет
обычно смысл времени и принадлежит множеству Т Аргумент t
может быть непрерывным или дискретным. В соответствии с этим
х(а, t) - непрерывный или дискретный сигнал. В обоих случаях Т
может быть конечным или бесконечным. Функция, происходящая из
п, обозначается как х(а, /), однако проще обозначать её как х(Г),
имея всегда в виду то, что конкретной реализации x(t) соответствует
точка в выборочном пространстве Q.
В качестве элементов пространства сигналов можно рассматри-
вать отдельные реализации некоторого случайного процесса. В гиль-
бертовом пространстве реализаций L2 (Т) скалярное произведение,
норма и расстояние определяются следующим образом:
(х, у) = jx(a, t)y' (a, t)dt,	(6.6.1)
т
||х||= М|х(<м)р,	(6.6.2)
V т
d(x, у) = 1м ftx(a, t)-y(a, Z)|2 dt. (6.6.3)
V т
В этих формулах оператор М - оператор усреднения по всему мно-
жеству реализаций.
В дискретном случае эти соотношения имеют вид
(*> у) = £*(я, к)-у (а, к), к	(6.6.4)
*)Г	(6.6.5)
у) =	k)~y(a, Л)|2	(6.6.6)
В предыдущих разделах мы познакомились с представлением де-
терминированных сигналов ортогональными рядами. Теперь распро-
310
страним эти идеи на выборочные функции х(г) случайного процесса
%(/). Выберем произвольную полную ортонормированную систему
функций {<рп (/)}, и = 1, 2,3,... Тогда
N
х(Г) = 1.1.т£с„ф„(Г), 0</<Г,	(6.6.7)
Д/ —ЬФ
где
С„ = р(О-ф’(/)Л
т
(6.6.8)
- коэффициенты Фурье, a l.i.m. (limit in the mean - предел в среднем)
соответствует пределу
lim = Л/
У—>оо
dt
(6.6.9)
п = I
Здесь возникают два вопроса.
1. Выбор ортогонального базиса, который при фиксированном N
обеспечивает минимум ошибки в L2 (Т).
2. Какие условия, налагаемые на процесс, обеспечивают сходи-
мость, оговоренную в (6.6.9)?
Ответим сначала на первый вопрос. Пусть процесс центрирован,
т. е. М[х(/)] = тх = 0, и имеет автокорреляционную функцию
/?г(/,5) = М[х(Г)х(5)].	(6.6.10)
Rx (t, s) - симметричная функция. Тогда
=	/)Л-]Г	s)<p„(t)(p'„(s)dsdt.	(6.6.11)
Т	п=] ТТ
Минимум (6.6.11) достигается, если (р„ (f) - собственные функции
интегрального уравнения
^лфп('у)=	$)ф„(0Л,	(6.6.12)
т
соответствующие первым наибольшим собственным значениям
X,, Х2, Х3,..., Хп > 0. В этом случае симметричное ядро Rx(t,s)
интегрального уравнения (6.6.12) по теореме Мерсера представляется
равномерно сходящимся на 0 < Z, s < Т рядом
311
R,(t’ =
I = 1
(6.6.13)
Подставляя (6.6.13) в (6.6.11), получаем после интегрирования
ГУ
f	Н - 1
(6.6.14)
(6.6.15)
Условие (6.6.13) гарантирует нам, что
lim е2 (АО = lim У к = 0.
Разложение выборочной функции x(t) случайного процесса по собст-
венным функциям интегрального уравнения (6.6.12) с ядром 7?г(/, 5)
называется разложением Карунена-Лоэва или каноническим разло-
жением. В этом случае коэффициенты Фурье некоррелированы, т. е.
[О, при п Ф т,
I Х„, прип -т.
(6.6.16)
Действительно:
М(С„ < ) = J J	Л') Ф„ (О Ф™ (J) dsdt-
т т
Подставляя сюда (6.6.13), получаем (6.6.16).
Отметим, что для стационарных в широком смысле процессов, когда
корреляционная функция зависит только от разности аргументов:
(t, s) = Rx (t-s) = Rx (т).
Если величина интервала T выбрана такой, что при | т | > Т значе-
ния корреляционной функции равны нулю или пренебрежимо малы,
то собственные функции <р„ (г) приближаются к комплексным экспо-
ненциальным функциям еу”д<0' До) - 2л ГГ
Разложение Карунена-Лоэва весьма полезно в теоретических ис-
следованиях. Практическое использование его затруднено, т. к. решение
уравнения (6.6,12) можно получить лишь в специальных случаях,
например, для стационарных случайных процессов с рациональной
спектральной плотностью. Однако даже если решение найдено, то
практическая реализация разложения не всегда возможна.
312
6.7. Теорема Котельникова для случайных сигналов
Введём понятие непрерывности случайного процесса [23]. Слу-
чайный процесс называется непрерывным в точке t в
среднеквадратическом, если
lim М {|х(/ + д) - х(/)|2} = 0.	(6.7.1)
Случайный процесс, непрерывный при всех значениях t на неко-
тором интервале, называется непрерывным на этом интервале.
Необходимым и достаточным условием непрерывности стацио-
нарного случайного процесса при любом t является непрерывность
его корреляционной функции при т = 0. Это означает, что
lim R (т) = R (0) = М[х2 (Г)] < оо.
т—>0
Иначе говоря, процессы с конечной средней мощностью непрерывны.
Из непрерывности в среднеквадратическом следует непрерыв-
ность по вероятности'.
limP{|x(r + (;)-x(r)| > а} = 0, £>0.
Пусть x(t) - реализация непрерывного стационарного процесса,
спектральная плотность мощности которого (7(со) есть непрерывная
функция частоты, тождественно равная нулю вне полосы частот
|со| < сод. Покажем, что для такого процесса выполняется равенство
(в среднеквадратическом смысле)
sin сод (t-kAt)
к = -т
М = —.
Ч
(6.7.2)
Для доказательства того, что это равенство справедливо в средне-
квадратическом смысле, следует установить равенство корреляцион-
ных функций процессов, представляющих левую и правую части.
Обозначив
Z4 sin со (г -Mr)
будем иметь
313
М £ х(М/)фА(/) £ х(отА/)(р„(/ + т) =
к = -оо	т = -оо
= Z Ё лЛ(*-да)^]<р*(о<рж('+т) =
к - -00 Щ = -00
, sin со (т - иДг) z ч
Y RX("W-------to
лТТ'оо	сод(т-иДГ)
Последнее равенство обусловлено тем, что спектральная плотность
G(co) ограничена полосой частот | со | < сод.
Равенство (6.7.2) означает, что непрерывный в среднеквадратич-
ном стационарный случайный процесс с ограниченным спектром
мощности может быть представлен счётным множеством случайных
величин (координат в базисе функций отсчётов) хк = х(кп/ сод),
к = 0, ± 1, ± 2, Это представление точно в том смысле, что средний
квадрат ошибки равен нулю. Координаты хк в общем случае явля-
ются коррелированными случайными величинами.
6.8. Восстановление случайного сигнала
по дискретным отсчётам
Будем считать, что восстановление сигнала осуществляется с по-
мощью интерполирующего фильтра определённого вида.
Среднеквадратичная погрешность интерполяции
для случайного сигнала
Пусть x(t) - реализация стационарного непрерывного в средне-
квадратичном случайного процесса с нулевым средним (Л/[х(/)] = 0)
и корреляционной функцией
Rx(x) = Лф(/)х(/-т)].	(6.8.1)
где М - оператор математического усреднения (усреднения по ан-
самблю).
Дискретизованный с шагом Д/ сигнал поступает на вход интер-
полирующего фильтра. Восстановленный сигнал
314
x(t')= £ x(kAf)h(tf-kAt),
к = -<r>
(6.8.2)
где tr = t-тf - текущее время с учётом запаздывания отклика фильт-
ра, h(t)- импульсная характеристика фильтра. Вид этой функции для
трёх видов интерполяции - ступенчатой, линейной и интерполяции
по Котельникову - представлен на рис. 6.8.1.
Рис. 6.8.1. Восстановление с помощью интерполирующих фильтров:
а - интерполятор нулевого порядка; б - интерполятор первого порядка;
в - интерполяция по Котельникову
Ошибку интерполяции будем рассматривать без учета запаздыва-
ния отклика фильтра:
^(/) = х(/) - 2 х(ААГ) • h(t - кЫ).	(6.8.3)
к=-оо
При принятых условиях ошибка интерполяции является реализацией
нестационарного случайного процесса. Характеристики такого про-
цесса, в том числе корреляционная функция
/?,(/, =	(6.8.4)
зависят от времени. Практически удобно пользоваться усредненной
по аргументу t корреляционной функцией. В данном случае ЯД/, т)
периодична по t с периодом, равным шагу дискретизации А/, по-
этому достаточно усреднить Я^(/, т) в интервале [О, А/]:
1 *
ЯДт) = — [яД/,т)Л.	(6.8.5)
4	а 5
315
Получим выражение, связывающее /^(т) с корреляционной
функцией Rx (т) исходного сигнала х(/), шагом дискретизации А/ и
импульсной характеристикой интерполирующего фильтра h(t). По-
ложив далее т = 0, сможем получить выражение для дисперсии
ошибки интерполяции = 7^(0).
Выражение (6.8.5) с учетом (6.8.1) - (6.8.4) будет
Д/ 0J
= ± J Л/{[х(/)- J х(*Дг)А(/-*Д/)]-
А/ о
{х(/-т)- £ х(/Д/) й(/-т-/Д/)]}Л =
/ =-оо
= Ях(т)+— У У ЯХ[(*-/)Д/] f h(t-kbtyi(t-x-lbt)dt-
i оо А/
----£ $Rx(t-kbt)h(t--c-kbf)dt-
к = -*> q
1 оо А/
----j 7?х (t - т - kAt)h(t - k&t)dt.
Сделаем замену переменной интегрирования t-k&i - s и перемен-
ной суммирования к-1-т. Тогда
^(т) = 7?х(т) + ~-	[7?x(wA/)^	j h(s)h(s-T-m&t}\ds--
Ы т=-<п	к=-т
X f Rx(s)h(s-r)ds-— £ J Rx(s-T)h(s)ds.
Используя очевидное тождество
оо (* + 1)А/	оо
J y(s)ds=
* =	^o
можем записать
316
1 ю	00
/^(т) = /?х(т) + — Яг(мДг) ^h(s)h(s-T-mkt)ds-
т=-<я
—— J Ях ($)/?($-т)^--—- jRx(s-x)h(s)ds.
Положив т = О, получаем выражение для средней за период ошибки
интерполяции:
Ст* = AJO) = ст2 + — £ ЯДетД/) J h(s)h(s - m\t)ds	f flx(s)/j($)<fc,
Ш = -00	-да	Д^
(6.8.6)
где ах = Rx (0) - дисперсия исходного случайного сигнала.
Для ступенчатой интерполяции (рис. 6.8.1а)
1
Ст* = 2[ст2--[ Ях($)й($)Л].	(6.8.7)
" Ы о
Для линейной интерполяции (рис. 6.8.16)
5	1	4 %	с
= 3 °" +3 дГ / ^М0-—)^-	(6.8.8)
Для интерполяции по Котельникову (рис. 6.8.1 в)
<чг -	2 n sin 2тг/1 5 t r 1
" = 2[сГ------| R (5)-----------<&], f ----------
к А/ oJ	2Д?
(6.8.9)
В (6.8.9) было учтено, что функции отсчетов ортогональны на
(-оо, оо). Полученные выражения позволяют по известной корреля-
ционной функции случайного процесса достаточно просто рассчи-
тать ошибку восстановления случайного сигнала по его выборочным
значениям для трех важных видов интерполяции.
Можно показать, что в общем случае не существует такого ин-
терполирующего фильтра, который обеспечивает безошибочное
восстановление стационарного случайного сигнала по дискретным
отсчётам. Лишь сигналы со строго ограниченным спектром могут
быть безошибочно восстановлены с помощью идеального фильтра
нижних частот в соответствии с теоремой Котельникова.
Реальные сигналы не могут иметь строго ограниченного спектра,
поэтому восстановление их по дискретным отсчётам всегда будет
сопровождаться некоторой ненулевой погрешностью.
317
6.9. Дискретный случайный процесс
Дискретный случайный процесс можно рассматривать как ан-
самбль действительных или комплексных временных последователь-
ностей. Обозначим такой ансамбль х[£;/], где i i-я последова-
тельность этого ансамбля, а к - индекс дискретного времени. При
заданном i будем использовать сокращенное обозначение х[Аг]. Для
фиксированного к значения наблюдаемого отсчета по всем последо-
вательностям ансамбля (сечение в момент к) будет представлять
некоторую случайную величину.
Вероятность того, чтох[£]<а, описывается функцией распреде-
ления
к) = Р(х[&]<а}.
Соответствующая плотность вероятности будет
dF(a, к)
р(а; к) = —
да
Среднее значение случайного процесса х[£]:
х [£] = М {х [&]}
в общем случае зависит от момента к.
Автокорреляция случайного процесса
'•«[*!> М = М
Автоковариация, т. е. автокорреляция центрированного случайно-
го процесса:
h.	] = М {(хft ]-X	])(х* [Л2 ]-х [Л2 ])} =
=	*2]-* [*i ] *’(AL
Если среднее значение случайного процесса равно нулю при всех
к, то автокорреляция и автоковариация такого процесса совпадают.
При рассмотрении двух различных случайных процессов х[&] и
у[£] вводятся понятия взаимной корреляции (кросскорреляции):
*2]=Л/{х[М-/[М}
и взаимной ковариации'.
Сгг [*1> *2] = ''ж, [*|Л]-*[М / К]-
318
Во всех выше приведенных определениях отражена явная зависи-
мость от индекса времени.
Стационарный в широком смысле случайный процесс характери-
зуется тем, что его среднее знамение постоянно при всех к, а авто-
корреляция зависит только от разности т = к2 -кр,
х [£] = х,
rxx [w] = Л/|х[А: + аи]х* [£]}	(6.9.1)
- автокорреляционная последовательность (АКП). Отметим следую-
щие полезные на практике свойства АКП:
<6-9-2)
'•„[-'«ХИ’	<6-9-3)
справедливые при всех целых т.
Спектральная плотность мощности (СПМ) определяется как
дискретное во времени преобразование Фурье (ДВПФ) автокорреля-
ционной последовательности
<М/) = Д'£	(6.9.4)
т = -<х>
где А/ - шаг дискретизации по времени. Ширина полосы СПМ огра-
ничена значениями ±1 / 2А/ Гц. Кроме того, СПМ периодична по
частоте с периодом /д=1/А7 Гц. Функция СПМ описывает распре-
деление мощности случайного процесса по частоте.
Обратное ДВПФ
'Ud= J	(6.9.5)
- 1/
/2Д /
при т = 0 дает
Ха '
<«[0]= f	(6.9.6)
- I/
/2Д f
- среднюю мощность случайного процесса.
Пара ДВПФ (6.9.4) и (6.9.5) представляет теорему Винера-
Хинчина для дискретного времени. Поскольку гхх [-/и] =	(w), то
СПМ должна быть действительной положительной функцией. Если
319
АКП - действительная функция, то [-от] = гхг [от] и СПМ - чётная
функция частоты, и мы можем записать
Gxr (/) = 2А/ X	[w]cos 2л/тД/. (6.9.7)
I» = о
Приведём примеры дискретных случайных процессов.
Пример 6.9.1. Особый интерес представляет дискретно-
временной белый шум v(£), для которого
v(A) = 0,
rvv[w] = o2 -l[w],
где
- единичный импульс и aj - дисперсия шума, равная rvv [о]. При
остальных от ф 0 белый шум не коррелирован сам с собой.
СПМ белого шума
Gvv(/) = A/q2
постоянна на всех частотах.
Пример 6.9.2. Рассмотрим дискретную линейную инвариантную
во времени систему с импульсной характеристикой Л[£].
4*1
я*>ад®ад
ад
Пусть на входе действует стационарный в широком смысле дис-
кретный случайный процесс х[&] с нулевым средним значением.
Выход _у[^] системы также будет процессом стационарным в широ-
ком смысле.
Имеют место следующие соотношения между автокорреляциями
и взаимными корреляциями входного и выходного процессов:
320
+ т-/]• h[/] х" [Л]
/ = -ОО
т. е.
^М=г«М®лМ’
где ® - символ свертки. Аналогично
^М = ГхгМ®А* [-"»],
f 00
г>,И = гхг® £ Л[Л + /и] й’[Л] .
\ к = -оо	1
(6.9.8)
(6.9.9)
(6.9.10)
Введем z-преобразование этих корреляционных функцией и им-
пульсной характеристики:
G» (z) r>y (w); G>x (z)	5. (w) и
H {z)<r-—
Тогда по теореме о свертке для z-преобразования будем иметь
^(г) = С„(г).Я(г),
G,, (z) = ^v(z)-^ (у),
Glv(z) = Gw(z)^(z)Н' РД
\z J
где мы использовали свойство
Л’ [-/и] < г > Я’ | Д |.
\ Z )
Если /?[zw] - действительная последовательность, то
Отсюда получаем связь спектральных плотностей мощности на вы-
ходе и входе дискретной ЛИВ-системы:
G,,, (/) = АГ  G„. (z) г =	(/)-|Я(/)|2,	(6.9.11)
321
т. е. СПМ стационарного дискретного случайного процесса на выхо-
де ЛИВ-истемы определяется произведением СПМ входного процес-
са на квадрат модуля частотной характеристики системы.
Пример 6.9.3. Рассмотрим теперь гауссов дискретный стацио-
нарный случайный процесс. При любом индексе времени к он будет
характеризоваться плотностью вероятности
р(х) = -у==—е	2<Тг -оо<х<оо.
л/2лот
Для действительного случайного процесса последовательные от-
счеты
\ ссо-
образуют вектор-столбец х = (х[£]	+
вместной плотностью вероятности вида
p(x) = [(2n)'vdetCA.J '/2 exp -|(x-x)rC;'(x-x) ,
где ковариационная (Nx N) матрица С имеет вид:
CN =Л/{(х-х)(х-х)г},
Лх	к~2]	[0]
Схг М = м {- х)(х[А] - х)}.
Здесь Т - знак транспонирования, а N-элементный вектор среднего
значения х даётся выражением х = Л/(х). Видно, что для стацио-
нарного процесса все ковариационные коэффициенты на любой диа-
гонали матрицы CN одинаковы. Такая матрица называется матрицей
Теплица.
Пример 6.9.4. Пусть имеется суперпозиция L действительных
синусоид
L
х[£] = X 4 sin(2rc/ k&t + ф.),
322
каждая из которых имеет фиксированные значения амплитуды и час-
тоты, а случайная фаза равномерно распределена на интервале
[-л, л] и не зависит от фаз других синусоид. Тогда среднее значение
и автокорреляционная последовательность этих L синусоид будут
х =	4 J sin(2n/ к At + ф.) — dqt = О,
L пг	1
гхг (ди) = A* J sin[2n/ (к + w)Ar + ф,. ] sin(2n/ к At + ф,.) —t/ф, =
= £-T-cos(2n/>A/).
/ = 1 2
6Л0. От средних по ансамблю к средним по времени
Свойство эргодичности позволяет оценивать статистические ха-
рактеристики процесса по одной выборочной реакции, заменяя ус-
реднение по ансамблю усреднением по времени. Говорят, что слу-
чайный процесс эргодичен, если все его статистические характери-
стики с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно пред-
сказать по одной реакции из ансамбля с помощью усреднения по
времени. Эргодичность требует стационарности процесса, вплоть до
момента четвертого порядка.
Замечание. Почти все наблюдаемые на практике стационарные
процессы являются также эргодическими процессами.
Допущение об эргодичности позволяет ввести следующее опреде-
ление СПМ:
(/)= lim М\
1
(2W + 1) А/
А/ £ х[А] е-/2хГ*д'
к = -N
(6.10.1)
Эта эквивалентная форма СПМ получается статистическим усредне-
нием квадрата модуля ДВПФ последовательности х [&], поделенного
на длину массива данных, когда число отсчетов увеличивается до
бесконечности. Соотношение (6.10.1) эквивалентно теореме Винера-
Хинчина (доказать самостоятельно). Если в выражении (6.10.1) опус-
тить операцию математического ожидания, то получим оценку СПМ:
G (/) = lim-----5-----
*-.~(2W + l)Ar
Ar Y х[А]-е-,2пГ*д
к =-N
(6.10.2)
323
которая называется выборочным спектром или периодограммной
оценкой. Т. о. при пользовании периодограммой необходимо некото-
рое усреднение или сглаживание.
Можно показать, что выборочный спектр не является состоятель-
ной оценкой истинной СПМ. Хотя среднее значение выборочного
спектра в пределе стремится к истинной СПМ, дисперсия при этом к
нулю не стремится и по своей величине сравнима со средним значе-
нием выборочного спектра. Во второй части будут рассмотрены ме-
тоды усреднения, которые обеспечивают получение гладких и стати-
стически устойчивых спектральных оценок по конечному числу от-
счетов х [Л].
Задачи к главе 6
6.1.	Пусть x(t) - выборочная функция центрированного стацио-
нарного случайного процесса с корреляционной функцией /?г(т).
Образуем новую функцию y(t) = х(/)-рх(/ + т). Определить величи-
ну р, которая минимизирует средний квадрат процесса у(/).
6.2.	Действительный случайный сигнал x(t) имеет автокорреля-
ционную функцию
2<т
а)	Найти постоянную составляющую для x(z).
б)	Найти среднюю мощность для х(7).
в)	х(/) пропускается через фильтр с частотной характеристикой

Щ/) =
Л
о,
0</<Д/4,
-Л/4</<0,
И > Л/4.
Найти полную среднюю мощность на выходе фильтра. Найти
спектральную плотность мощности на выходе фильтра.
6.3.	Пусть
х[&] = Л. ехр(2л£ k&t + (р,)
процесс, состоящий из L комплексных синусоид, каждая из которых
имеет фиксированные значения амплитуды и частоты, а случайная
фаза равномерно распределена на интервале [-л, л] и не зависит от
324
фаз других синусоид. Показать, что автокорреляционная последова-
тельность процесса
L
r„(m) = Y,A* ехр(2л/тДг).
Г=1
6.4.	К процессу, рассмотренному в предыдущем примере, добав-
ляется белый шум и [/г] с дисперсией а*. Показать, что суммарный
процесс >>[£] =	+ ЧЛ] будет иметь автокорреляционную последо-
вательность следующего вида:
<»=Lехр<2л/w,Ar)+сто Ч"»]-
/=1
6.5.	Трансверсальный фильтр (см. п. 4.6) представляет собой ли-
нию задержки с отводами, взятыми с шагом А/ Сигналы с различ-
ных отводов суммируются с определённым весом, как показано на
рисунке. Сигналы на отводах линии задержки представляется вектор-
столбцом Х(Г) = [X(t) X(t - Л?)... X(t - NДГ)]г. Аналогично вектор-
столбец весовых коэффициентов h = (й0 /г, ... hN )7
лХ/>
Xi к Д/ )= у h^x (к	j
а)	Написать выражение для вектора Y(z) на выходе фильтра.
б)	Пусть X(/) - стационарный случайный процесс с автокорреля-
ционной функцией Rx (т). Написать выражение для автокорреляци-
онной функции /?г(т) выходного процесса Y(t).
325
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
1.	Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Выс-
шая школа, 2000.
2.	Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.:
Радио и связь, 1986.
3.	Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. - М.: Радио и связь,
1990.
4.	Мшпяшев Б.Н. Лекции по импульсной технике. - М.: МФТИ,
1972.
5.	Голъденберг Л.М., Матюшкин БД., Поляк М. И. Цифровая об-
работка сигналов. - М.: Радио и связь, 1990.
6.	Романюк Ю.А. Спектры импульсных сигналов. - М.: МФТИ,
1992.
7.	Романюк Ю.А. Дискретные преобразования сигналов. М.:
МФТИ, 1981.
8.	Романюк Ю.А. Основы обработки сигналов. М.: МФТИ,
1989.
9.	Романюк Ю.А., Лилеин А.Л. Быстрое вычисление свёртки и
ДПФ. - М.: МФТИ, 1988.
10.	Романюк Ю.А., Лилеин А.Л. Задачи и упражнения по обра-
ботке сигналов. - М.: МФТИ, 1991.
11.	Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер,
2003.
12.	Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций / Авто-
ры Солонина А.И. и др. - СПб.: БХВ-Петербург, 2003.
Книги по математике
13.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. - М.: Наука, 1972.
14.	Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - 5-е
изд. - М.: Наука 1988.
15.	Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. - М.:
Наука, 1989.
16.	Тер-Крикоров А.М. Шабунин М.И. Курс математического
анализа. - М.: МФТИ, 1997
17.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по тео-
рии функций комплексного переменного. -М.: Наука, 1989.
326
Литература по отдельным разделам
18.	Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчиво-
сти. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956.
19.	Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: Гос. изд. ф.м. лит.,
1962.
20.	Френке Л. Теория сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Д.Е.
Бакмана. - М.: Советское радио, 1974.
21.	Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и
технике. -М.: Наука, 1971.
22.	Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику. - М.:
Наука, 1976.
23.	Левин Б.Р Теоретические основы статистической радиотех-
ники. Книга первая. - М.: Советское радио, 1974.
24.	Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сиг-
налов и шумов. Пер. с англ. / Под ред. Р.Л. Добрушина. - М.: ИЛ,
1960.
25.	Хармут ХФ. Передача информации ортогональными функ-
циями / Пер. с англ. - М.: Связь, 1975.
26.	Введение в цифровую обработку сигналов. Пер. с англ. / Под
ред. Р. Богнера и А. Константинидиса. - М.: Мир, 1976.
27.	Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обра-
ботки сигналов. Пер. с англ. - М.: Мир, 1978.
28.	Ахмед Н. Рао К.Р Ортогональные преобразования при об-
работке цифровых сигналов / Пер. с англ. - М.: Связь, 1980.
29.	Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и
голографии. - М.: Радио и связь, 1987.
30.	Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физиче-
ских измерениях. Пер. с фр. / Под ред. Н.Г Волкова. - М.: Мир, 1983.
31.	Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы / Пер. с англ. - М.:
Мир, 1988.
32.	Брейсуэлл Р Преобразование Хартли / Пер. с англ. М.:
Мир, 1990.
33.	Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его при-
ложения / Пер. с англ. - М.: Мир, 1990.
34.	Sanjit К. Mittra. Digital Signal Processing. McGraw-Hill, 1998.
35.	Чуи К. Введение в вейвлеты / Пер. с англ. - М.: Мир. 2001
36.	Бернард Скляр. Цифровая связь / Пер. с англ. - М.: Изд. дом
Вильямс, 2003.
327
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.................................................3
ГЛАВА!. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ..........................................5
1.1.	Классификация сигналов...............................5
1.2.	Пространства сигналов................................7
Метрические пространства................................7
Линейные пространства...................................8
Гильбертово пространство................................9
1.3.	Примеры пространств сигналов........................11
Пространство L2	11
Пространство 12	12
Пространство 1*	13
1.4.	Представление сигналов ортогональными рядами.
Общий метод дискретизации................................15
1.5.	Обобщённые ряды Фурье.
Полные ортонормированные системы.........................17
1.6.	Некоторые системы базисных функций из Ь2............19
Функции отсчётов.......................................20
Импульсные базисные функции............................21
Комплексные экспоненциальные функции...................22
Функции Уолша..........................................22
1.7.	Некоторые базисные системы из 12 ...................28
Система единичных импульсов............................28
Дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ)..............28
Система Уолша-А дам ара................................30
Функции Хаара..........................................33
Вопросы, задачи и упражнения к пп. 1.1-1.7...............34
1.8.	Спектральный метод анализа линейных систем..........37
1.8.1. Преобразование Фурье. Основные свойства.........37
Свойства спектральной плотности......................38
Основные спектральные теоремы........................40
1.8.2.	Импульсные воздействия в линейных системах......42
1.8.3.	Спектры импульсных сигналов.....................43
328
Спектр одиночного прямоугольного импульса.................43
Спектр симметричного треугольного импульса................45
Спектр косинусоидального импульса.........................46
Спектр одностороннего экспоненциального импульса..........47
Спектр двустороннего экспоненциального импульса...........48
Спектр колокольного импульса..............................48
Спектр короткого одиночного импульса......................49
Связь между длительностью импульса и шириной его спектра.50
1.8.4.	Дельта-функция и её спектр...........................52
Производные от дельта-функций.............................55
1.8.5.	Спектры некоторых неинтегрируемых сигналов...........56
Спектр действительного гармонического сигнала.............56
Спектр функции включения..................................57
Спектр функции знака......................................58
1.8.6.	Примеры нахождения спектров..........................58
Спектр сигнала на выходе интегратора......................58
Спектр отрезка синусоиды..................................59
Спектр пачки равноотстоящих импульсов.....................60
Сводка основных свойств ПФ................................62
1.9.	Спектры периодических сигналов...........................65
Спектр гармонического сигнала.............................65
Спектр Т-периодического сигнала...........................65
Спектр периодической последовательности дельта-функций....67
Спектральная функция периодической
последовательности прямоугольных импульсов................68
Задачи и упражнения к пп. 1.8-1.9.............................69
1.10.	Преобразование Лапласа в линейных системах..............74
1.10.1.	Теорема разложения Хевисайда........................76
Кратные полюсы..............................................77
1.10.2.	Применение преобразования Лапласа для анализа цепей.79
Основные теоремы одностороннего преобразования Лапласа......83
Основные свойства одностороннего преобразования Лапласа.....84
Упражнения и задачи к п. 1.10.................................84
1.11.	Динамическое представление сигналов.....................87
Упражнения и задачи к п. 1.11.................................95
1.12.	Представление колебаний в комплексной форме.............97
Комплексная огибающая	97
Спектр комплексной огибающей...............................100
Аналитический сигнал. Преобразование Гильберта.............101
Некоторые свойства преобразования Гильберта................102
Упражнения и задачи к п. 1.12................................106
1.13.	Преобразование Хартли..................................109
Примеры вычисления преобразования Хартли...................110
329
Упражнения и задачи к п. 1.13..............................113
1.14.	Введение в вейвлет-анализ сигналов...................114
От анализа Фурье к вейвлет-анализу	114
Признаки вейвлета.......................................117
Примеры материнских вейвлетов...........................118
Вейвлет-преобразование (ВП).............................121
Свойства вейвлет преобразования.........................123
Частотно-временная локализация ВП.......................123
Вейвлет-ряды............................................126
Дискретное вейвлет-преобразование.......................128
Пример вейвлет преобразования...........................128
ГЛАВА 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ 131
2.1.	Функция дискретизации.
Модель дискретизованного сигнала..........................131
2.2.	Спектр дискретизованного сигнала.....................134
2.3.	Теорема Котельникова.................................136
Сигналы с финитным спектром.............................136
Сигналы с нефинитным спектром...........................138
2.4.	Дискретизаторы с конечным временем выборки...........141
2.5.	Восстановление сигналов по их отсчётам...............149
Идеальная интерполяция..................................149
Реальные фильтры........................................151
Каузальная аппроксимация ИФНЧ...........................152
Фильтры Баттерворта и Чебышева..........................155
Реальные импульсы.......................................159
2.6.	Восстановление сигналов по дискретным отсчётам
путём интерполяции........................................161
Ступенчатая интерполяция................................162
Фиксатор нулевого порядка...............................163
Линейная интерполяция...................................165
2.7.	Дискретизация в частотной области....................167
Дискретизация энергетического спектра...................168
База сигнала............................................169
2.8.	Дискретизация полосовых радиосигналов................170
Дискретизация аналитического сигнала....................171
Квадратурная дискретизация..............................173
Формирование отсчетов квадратур
из отсчётов узкополосного радиосигнала..................175
Дискретизация второго порядка...........................181
2.9.	Субдискретизация полосовых радиосигналов.............182
Выбор частоты дискретизации.............................183
Упражнения и задачи к главе 2.............................187
330
212
214
215
216
ГЛАВА 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	201
3. L Оценка спектра сигнала последовател
Конечное число выборок» Явление Гиббса.-•••••	205
3.2.	Дискретное во времени преобразование УР
Основные свойства и теоремы ДВПФ........... 21 о
3.3.	Дискретный во времени ряд Фурье-............
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)......
Свойства и теоремы ДПФ...-.................
Теорема о циклической свёртке..............
Разбиение 2АГ-точечного ДПФ на два ^точечных
Матричная форма ДПФ....*..>.............
3.4.	Соответствие между ДПФ, рядом Фурье
и непрерывным преобразованием Фурье......................
Связь ДПФ и ДВПФ......................................221
Интерполяция добавлением нулевых отсчётов ......jin	л
Интерполяция функций с ограниченной полосой с помощью Д	.... -
Переход от непрерывных к дискретным преобразованиям...-
3.5.	Быстрое преобразование Фурье........................~
3.6.	Алгоритм БПФ с составным основанием.................
3.7.	Алгоритмы БПФ с основанием .........................
3.8.	Алгоритм БПФ с основанием 4..............
3.9.	Другие дискретные преобразования.........
Дискретное преобразование Хартли (ДПХ).....
Сдвинутое дискретное преобразование Фурье..
Дискретное косинусное преобразование (ДКП).
Задачи и упражнения к главе 3.................
ГЛАВА 4. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ДИСКРЕТНЫХ
238
.239
.239
.241
242
СИСТЕМАХ.............................. 248
4.1.	Переход от преобразования Лапласа к z-преобразованию.248
4.2.	Свойства z-преобразования............................252
4.3.	Примеры z-преобразования.............................254
4.4.	Вычисление обратного z-преобразования................258
Метод разложения на простые дроби.......................258
Метод контурного интегрирования.........................260
Метод разложения в степенной ряд........................260
4.5.	Применение z-преобразования для анализа линейных
дискретных фильтров.......................................261
Линейные дискретные фильтры.............................261
Передаточная функция дискретного фильтра................262
Импульсная и частотная характеристики дискретного фильтра.264
4.6.	Примеры линейных дискретных фильтров.................267
БИХ-фильтр..............................................267
331
Дискретный накопитель...............................268
Простой дискретный дифференциатор...................269
Идеальный дискретный дифференциатор.................269
Трансверсальный фильтр..............................271
Задачи и упражнения к главе 4.........................273
ГЛАВА 5. СВЕРТКА ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ....................278
5.1.	Линейная дискретная свертка......................278
5.2.	Циклическая свертка и корреляция.................280
Матричная форма циклической свёртки.................282
5.3.	Вычисление линейной свертки
с помощью циклической методом БПФ.....................283
5.4.	Секционированная свертка.........................287
Метод перекрытия с накоплением......................287
Метод перекрытия с суммированием....................290
ГЛАВА 6. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ..................291
6.1.	Случайные величины и ожидания....................291
Моменты, дисперсия, неравенство Чебышева............292
6.2.	Случайные процессы...............................294
6.3.	Стационарность и эргодичность....................299
Интервал корреляции.................................302
Фильтрация случайных процессов......................303
6.4.	Спектральная плотность мощности..................304
6.5.	Теорема Винера-Хинчина...........................307
6.6.	Представление случайных сигналов
ортогональными рядами.................................310
6.7.	Теорема Котельникова для случайных сигналов......313
6.8.	Восстановление случайного сигнала
по дискретным отсчётам................................314
Среднеквадратичная погрешность интерполяции
для случайного сигнала..............................314
6.9.	Дискретный случайный процесс.....................318
6.10.	От средних по ансамблю к средним по времени.....323
Задачи к главе 6......................................324
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.....................................326
332