Text
                    А. И. Солонина
Д. А. Улахович
С. М. Арбузов
Е. Б. Соловьева
III t ) r ке
X(eJl{ }
Основы цифровой
обрдботки СИГНАЛОВ
2-е издание
Математический аппарат ЦОС
Синтез цифровых фильтров
Адаптивная фильтрация
Многоскоростные цифровые системы
Нелинейные цифровые системы
Моделирование обработки
сигналов в MATLAB
_ z ч| Q
max е(п)\ = =2
п	2
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


Авторы - преподаватели Санкт-Петербургского государствен- ного университета телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч- Бруевича с многолетним научно-методическим и педагоги- ческим стажем, кандидаты и доктора технических наук, авторы книг и многочисленных публикаций по цифровой обработке сигналов. Основы цифровой обрдботки СИГНАЛОВ 2-е издание Учебное пособие построено в виде курса лекций по дисциплине ЦОС с многочисленными примерами и иллюстрациями. В книге системно изложены математические основы и алгоритмы ци- фровой обработки сигналов, рассмотрены приемы математи- ческого моделирования в программной среде MATLAB. На основе данного материала могут формироваться различные учебные курсы и методики. Работа содержит ряд новых, а также малоизвестных сведений. Второе издание дополнено несколь- кими новыми разделами. Книга предназначена для студентов и преподавателей вузов и может представлять интерес для спе- циалистов. i(z) = Z h(n)\= h(n)z~n БХВ-Петербург 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, 5Б E-mail: mail btiv.ru Internet www.bhv.ru Телефакс: (812) 591-6243 ClOZON 4619050 www.ozon.ru
А. И. Солонина Д. А. Улахович С. М. Арбузов Е. Б. Соловьева Основы цифровой обрдботки СИГНАЛОВ 2-е издание Рекомендовано УМО по образованию в области телекоммуникаций в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки дипломированных специалистов 654400 — Телекоммуникации Санкт-Петербург <БХВ-Петербург» 2005
УДК 681.3.06(075.8) ББК 32.973я73 . 0-75 0-75 Основы цифровой обработки сш налов: Курс лекции / Авторы: А. И. Солонина. Д. А. Улнхович, С. М. Арбузов. Е. Б. Соловьева / Изл. 2-е испр. и перераб. — СПб.: БХВ-Петербург, 2005. — 768 с.: ил. ISBN 5-94157-604-8 В книге, написанной на базе курса лекций, читаемых студентам ГУТ нм. проф. М. А. Бонч-Бруевича, изложены теоретические основы цифровой обработки сигна- лов: способы описании дискретных и цифровых сигналов и систем во временной, Z- и частотной областях, включая дискретное и быецхте преобразования Фурье, л также систем в пространстве состояний; основные методы и особенное!!! синтеза цифровых линейных и адапшвных фильтров; понятия о многоскоростных системах ЦОС. Отдельные главы иосвяншны введению в проблемы передачи параметров ли- нейного предсказания и принципам нелинейной обработки сигналов. Книга содер- жит большое количество ил t кастраций и примеров*, рассмотрены основы математиче- ского моделирования дискретных сш патов и систем в программной среде MATLAB Второе издание дополнено рядом новых разделов и лекций: дискретизация относи- тельно узкополосных сигналов. фазовые звенья и др. Для студентов вузов и специалистов в области цифровой обработки сигналов УДК 681.3.06(075.8) ББК 32.973я73 Группа подготовки издания: Глинный редактор Зам. гл. редактора Зав. редакцией Редактор Компьютерная верстка Корректор Дизайн обложки Зап. производством Екатерина Кондукова Людмила Еремеевская Григорий Добин Нина Седых Натальи Караваевой Виктория Пиотровская Игоря Цырулъникова Николай Тверских Лицензия МД No 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 29.04.05. Формат 70хЮ0У|б. Печать офсетная. Усл. леч. л. 61.92. Тираж 5000 экэ. Заказ N» 165 "БХВ-Летербург", 194354, Санкт-Петербург, ул. Есенина, 5Б.' Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию № 77.99.02.953.Д.006421.11.04 от 11.11.2004 г. выдано Федеральной службой по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека. Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО ’Техническая книга" 190005, Санкт-Петербург. Измайловский пр.. 29. ISBN 5-94157-604-8 © "БХВ-Ппербург'’. 2005
Оглавление Принятые сокращения..................................................1 Предисловие ко второму изданию.......................................3 ЧАСТЬ I. ВВЕДЕНИЕ....................................................5 Лекция 1. Введение в ЦОС .......................................;....7 1.1. Обобщенная схема цифровой обработки сигналов...................7 1.2. Основные типы сигналов и их математическое описание. Нормирование времени...............................................12 1.3. Типовые дискретные сигналы....................................14 1.4. Основная полоса частот. Нормирование частоты..................17 Лекции 2. МатемЯ1ический аппарат описания сигналов и линейных систем...................................................20 2.1. Математическое описание аналоговых сигналов и линейных систем в р -области и в частотной области..................................21 2.1.1. Преобразование Лапласа......................................21 2.1.2. Преобразование Фурье........................................23 2.1.3. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа........23 2.1.4. Ряд Фурье...................................................24 2.2. Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в г -области и в частотной области..................................25 2.2.1. Дискретное преобразование Лапласа...........................25 2.2.2. /-преобразование............................................26 2.2.3. Связь Z-преобразования с дискретным преобразованием Лапласа... 27 2.2.4. Преобразование Фурье........................................27 2.2.5. Связь преобразования Фурье с /-преобразованием..............29
IV Оглавление Лекпия 3. /-преобразование........................................ 30 3.1. /-преобразование..............................................30 3.2. Соотношение между р- и г-плоскостями..........................33 3.3. Отображение /^-плоскости иа z-плоскость.......................34 3.4. Основные свойства /-преобразования............................39 3.5. /-преобразование типовых дискретных сигналов..................42 3.6. Обратное /-преобразование............,........................49 3.6.1. Использование таблицы соответствий...........................49 3.6.2. Прямое вычисление интеграла на основе теоремы Коши о вычетах...........................................................51 3.6.3. Разложение z-изображения па простые дроби....................54 ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ----------------------------------------- S7 Лекции 4. Описание линейных дискретных систем во временной области.................................................59 4.1. Импульсная характеристика.....................................61 4.2. Соотношение вход/выход........................................62 4.2.1. Формула свертки..............................................63 4.2.2. Разностное уравнение.........................................69 4.3. Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы.......71 4.4. Системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой...72 4.5. Свойства линейных дискретных систем...........................74 4.5.1. Свойство памяти линейных дискретных систем...................74 4.5.2. Устойчивость линейных дискретных систем......................75 4.5.3. Оценка устойчивости по импульсной характеристике: критерий устойчивости...............................................76 Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области.............. 78 5.1. Передаточная функция. Соотношение вход/выход..................78 5.2. Взаимосвязь между передаточной функцией и разностным уравнением............................................83 5.3. Разновидности передаточных функций............................84 5.4. Передаточные функции и импульсные характеристики звеньев 1-го и 2-го порядков.......................................88 5.5. Оценка устойчивости по передаточной функции: критерий устойчивости..............................................92 5.6. Карты пулей и полюсов звеньев 1-го и 2-го порядков............94
Оглавление V Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области................................................99 6.1. Частотная характеристика......................................99 6.1.1. Связь частотной характеристики с передаточной функцией.....102 6.1.2. Соотношение вход/выход.....................................103 6.2. Свойства частотных характеристик............................ 104 6.2.1. Основная полоса частот.................................... 106 6.3. Расчет АЧХ и ФЧХ............................................ 106 6.3.1. Расчет АЧХ и ФЧХ звена 1-го порядка....................... 107 6.3.2. Расчет АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка........................108 6.4. Экспресс-аиализ АЧХ и ФЧХ................................... 109 6.4.1. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 1-го порядка...............109 6.4.2. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка...............115 6.4.3. Местоположение нуля, максимума и минимума АЧХ..............121 6.5. Анализ АЧХ по карте нулей и полюсов..........................124 6.6. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые ЛДС................126 6.7. Фазовые звенья...............................................130 6.7.1. Определение и свойства фазовых звеньев.....................132 6.7.2. Фазовое звено 1-го порядка.................................135 6.7.3. Фазовое звено 2-го порядка.................................138 Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем—............144 7.1. Структуры рекурсивных ЛДС....................................145 7.1.1. Прямая струю ура...........................................146 7.1.2. Прямая каноническая структура 1............................147 7.1.3. Каноническая структура2....................................148 7.1.4. Каноническая структура 3...................................150 7.1.5. Каскадная структура........................................153 7.1.6. Параллельная структура.....................................154 7.2. Структуры нерекурсивных ЛДС..................................155 7.2.1. Прямая структура...........................................156 7.2.2. Каскадная структура........................................156 7.3. Выбор структуры..............................................157 Лекции 8. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний..........................................158 8.1. Понятие состояния............................................1 59 8.2. Описание ЛДС на основе структурных схем......................160 8.3. Определение уравнений состояния н выхода по передаточной функции...........................................163
и Оглавление 8.4. Структурное представление ЛДС по уравнениям состояния и выхода..........................................................167 Лекции 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний.................................................... 171 9.1. Временной анализ......................................................171 9.2. Анализ в z-области....................................................174 9.3. Линейные преобразования в пространстве состояний..................177 ЧАСТЬ 1П. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ 181 Лекцин 10. Описание дискретных снгналов.......мм..м..^..........................м 183 10.1. Описание дискретных сигналов в частотной области.....................184 10.2. Свойства спектров дискретных сигналов................................186 10.3. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов.............191 10.4. Дискретизация относительно узкополосных сигналов.....................195 10.5. Преобразование спектра...............................................200 10.5.1. Перенос спектра.................................................200 10.5.2. Инверсия спектра вещественного сигнала..........................203 10.5.3. Формирование сигнала с одной боковой полосой....................205 10.5.4. Перенос спектра узкополосного ВЧ-снгнала в область нижних частот..................................................208 Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье.......................................... 215 11.1. Дискретное преобразование Фурье периодической последовательности..........................................................216 11.2. Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности..........225 11.3. Свойства ДПФ.........................................................229 Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье................................................ 243 12.1. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени..............................244 12.2. Пример вычисления 8-точечного ДПФ с помощью алгоритма БПФ с прореживанием по времени..................................................255 12.3. Правило расстановки отсчетов исходной последовательности: операция бит-реверсии.......................................................258 12.4. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте..............................259
Оглавление УМ 12.5. Пример вычисления 8-точечного ДПФ с помощью алгоритма БПФ с прореживанием по частоте.....................................264 12.6. Оценка выигрыша в количестве операций при вычислении ДПФ с помошью алгоритма БПФ с основанием 2.....................266 12.7. Вычисление обратного ДПФ с помощью алгоритма БПФ.........267 ЧАСТЬ IV. ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ--------------------------269 Лекция 13. Лнпейнан дискретная система как генератор случайных сигналов............................................. 271 13.1. Основные понятия вероятностного анализа дискретных сигналов.271 13.2. Генерирование ЛДС случайных сигналов.....................273 13.3. Свойства линейных стохастических разностных уравнений....275 Лекция 14. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретн ые систем ы...........................................279 14.1. Анализ во временной области..............................279 14.2. Анализ в частотной области...............................281 14.3. Спектральная факторизация................................283 ЧАСТЬ V. КВАНТОВАНИЕ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ.......................287 Лекпня 15. Квантование сигналов в цифровых системах ...........289 15.1. Представление и кодирование чисел........................289 15.1.1. Формы представления чисел...........................290 15.1.2. Кодирование чисел...................................292 15.1.3. Арифметические операции над числами с фиксированной запятой......................................294 15.2. Квантование чисел и сигналов.............................296 15.2.1. Способы квантования чисел...........................297 15.2.2. Модели процесса квантования. Предположения о свойствах ошибок квантования...............................300 15.3. Шум аналого-цифрового преобразования.....................301 15.3.1. Линейная модель процесса квантования входного сигнала. Оценки шума АЦП..............................................301 15.3.2. Шум АЦП, приведенный к выходу цифровой системы......304
Оглавление УШ Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах-------........._307 16.1. Собственный шум цифровой системы..........................307 16.1.1. Линейная модель цифровой системы......................308 16.1.2. Определение составляющих собственного шума............310 16.1.3. Вычисление собственного шума...........................311 16.2. Полный выходной Шум системы...............................313 16.3. Эффекты переполнения в сумматорах.........................315 16.3.1. Динамический диапазон цифровой системы.............. 315 16.3.2. Масштабирующие коэффициенты...........................316 16.4. Эффекты квантования коэффициентов цифровой системы........318 16.5. Понятие о предельных циклах...............................320 ЧАСТЬ VI. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ......................................323 Лекции 17. Введение в цифровые фильтры......................... 325 17.1. Основные определения и классификация цифровых фильтров.....325 17.2. Синтез цифровых фильтров..................................328 17.2.1. Требования к цифровым фильтрам........................328 17.2.2. Типы избирательных фильтров н задание требований к ним.331 17.2.3. Характеристика задачи оптимального синтеза............336 17.2.4. Меры близости в задачах аппроксимации ЦОС.............337 17.2.5. Постановка задачи оптимального синтеза................340 17.2.6. Весовая функция.......................................342 17.3. Конструирование функциональной схемы цифрового фильтра.....344 Лекцнн 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ............................................... 345 18.1. Условия безыскаженной передачи сигналов..................345 18.2. Теорема о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ.....................348 18.3. Структурные схемы КИХ-фильтров с линейной ФЧХ.............358 18.4. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной ФЧХ.......361 18.4.1. КИХ-фильтрытипа 1 иЗ..................................363 18.4.2. КИХ-фильтры типа 2 и 4................................366 18.5. Свойства КИХ-фильтров с линейной ФЧХ......................369 18.5.1. Свойства КИХ-фнльтровтипа 1............................370 18.5.2. Свойства КИХ-фильтров типа 2...........................371 18.5.3. Свойства КИХ-фильтров типа 3..........................372 18.5.4. Свойства КИХ-фильтров типа 4..........................373
Оглавление IX Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон.....................376 19.1. Постановка задачи. Определение метода....................376 19.1.1. Общая характеристика задачи...........................376 19.1.2. Явление Гиббса........................................379 19.2. Окна и их основные параметры.............................383 19.2.1. Прямоугольное окно (окио Дирихле).....................384 19.2.2. Треугольноеокно(окио Бартлетта).......................385 19.2.3. Обобщенное косинусное окно............................386 19.2.4. Окно Кайзера..........................................390 19.2.5. Определение величины пульсаций Гиббса.................393 19.3. Методика синтеза КИХ-филыров на основе окон...............397 Лекции 20. Синтез оптимальных (но Чебышеву) КИХ-фильтров......... 404 20.1. Понятие об оптимальном (по Чебышеву) синтезе фильтров....404 20.1.1. Постановка задачи оптимального синтеза................405 20.1.2. Понятие о полиномах Чебышева..........................412 20.2. Теорема Чебышева.........................................415 20.3. Полиномиальный алгоритм Ремеза...........................424 20.3.1. Понятие об алгоритме Ремеза...........................424 20.3.2. Пример использования обменного алгоритма Ремеза.......426 Лекция 21. Цифровые преобразователи Гильберта и дифференциаторы................................................431 21.1.1 Цифровой преобразователь Гильберта.......................431 21.1,1. Понятие о преобразовании Гильберта...................431 21.1.2. Дискретное преобразование Гильберта..................434 21.1.3. Частотные характеристики цифровых преобразователей Гильберта....................................438 21.1.4. Импульсная характеристика ЦПГ.........................440 21.1.5. Задание требований к цифровым преобразователям Гильберта.... 444 21.2. Цифровые дифференциаторы..................................447 21.2.1. Понятие о дифференциаторе.............................447 21.2.2. Частотные характеристики цифровых дифференциаторов.....448 21.2.3. Задание требований к цифровым дифференциаторам........451 Лекция 22. Специальные КИХ-фильтры..............................456 22.1. Цифровые согласованные КИХ-фильтры.......................456 22.1.1. Связь между характеристиками сигнала и согласованного с ним фильтра.................................................457
X Оглавление 22.1.2. Свойства согласованного фильтра...........................463 22.1.3. Решающая схема обнаружителя сигналов......................467 22.2. Амплитудные корректоры.....................................469 Лекции 23. Синтез БИХ-фильтров....................................473 23.1. Обзор методов синтеза аналоговых фильтров-прототипов........474 23.1.1. Реактансные преобразования частоты........................475 23.1.2. Аппроксимация АЧХ рациональными функциями.................483 23.2. Синтез БИХ-фильтров методом инвариантности импульсной характеристики........................................492 23.2.1. Постановка задачи и ее решение............................492 23.2.2. Свойства БИХ-фильтров, синтезируемых методом инвариантности импульсной характеристики..........................496 23.2.3. Процедура синтеза БИХ-фильтров методом инвариантности ИХ.................................................498 Лекция 24. Синтез БИХ-фяльтров методом билинейного Z-прсобразовання..................................................499 24.1. Билинейное Z-преобразование................................499 24.1.1. Определение билинейного /-преобразования..................499 24.1.2. Свойства билинейного Z-цреобразоваиия.....................501 24.1.3. Сравнение методов инвариантности импульсной характеристики и билинейного /-преобразования.....................505 24.1.4. Процедура синтеза цифрового фильтра при билинейном Z-преобразовании..................................................507 24.2. Синтез БИХ-фильтров методом частотных преобразований БИХ-фильтров нижних частот.......................................517 ЧАСТЬ УП. АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ___________________________________525 Лекция 25. Введение в линейное предсказание.......................................... 527 25.1. Постановка задачи линейного предсказания...................528 25.2. Решение задачи линейного предсказания во временной области..532 25.3. Вычисление коэффициентов линейного предсказания............536 25.3.1. Алгоритм Левинсона—Дарбина................................539 25.3.2. Устойчивость фильтра-предсказателя........................542 25.4. Решение задачи линейного предсказания в частотной области..543 25.5. Линейное предсказание при возбуждении белым шумом..........546
Оглавление XI 25,5.1. Реакция линейной модели на случайный процесс.............546 25.5.2. Особенности линейного предсказания при возбуждении белым шумом......................................................549 Лекцнн 26. Линейные спектральные пары................................ 551 26.1. Метод Итакуры.............................................553 26.2. Второй метод формирования ЛСК............•.. 559 26.2.1. Теорема о г-образе полинома Гурвица.....................559 26.2.2. Вторая процедура вычисления ЛСК.........................560 26.3. Обобщение теории ЛСК......................................562 26.4. Поиск спектральных корней.................................564 Лекция 27. Основы адаптивной обработки сигналов..................565 27.1. Классификация адаптивных систем обработки сигналов........565 27.2. Постановка задачи адаптивной обработки сигналов...........567 27.3. Оптимальное нерекурсивное оценивание......................568 Лекция 28. Рекуррентные алгоритмы адаптапнн .....................575 28.1. Калмановское оценивание случайного сигнала................575 28.2. Характеристика итерационных алгоритмов адаптации..........580 28.3. Градиентные методы адаптации..............................582 ЧАСТЬ VIII. МНОГОСКОРОСТНЫЕ СИСТЕМЫ ЦОС..........................587 Лекция 29. Многоскоростные системы ЦОС............................... 589 29.1. Однократные системы интерполяции..........................592 29.2. Однократные системы децимации.............................600 29.3. Полифазная структура систем интерполяции..................608 29.4. Полифазная структура систем децимации.....................615 ЧАСТЬ IX. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗА В ЦОС.......................621 Лекция 30. Основы дискретного вейвлет -анализа»...................623 30.1. Усреднение и детализация..................................623 30.2. Матричные представления.................................. 625 30.3. Обратное вейвлет-преобразование...........................631 30.4. Фильтровая реализация вейвлет-преобразования..............633 30.5. Дискретные вейвлет-преобразования.........................636
XII Оглавление ЧАСТЬ X. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ------------------------------------641 Лекция 31. Математическое описание нелинейных дискретных систем на основе функциональных ридон и полиномов Вольтерры.........................................643 31.1. Операторное уравнение системы н его использование в задачах идентификации, моделирования и синтеза нелинейных систем.....644 31.2. Описание нелинейной системы во временной области..........648 31.3. Описание нелинейной системы в р- и г-областях.............650 31.3.1. Определение прямого многомерного преобразования Лапласа.650 31.3.2. Определение обратного многомерного преобразования Лапласа.... 651 31.3.3. Определение прямого многомерного Z-преобразовапня.......653 31.3.4. Определение обратного многомерного Z-преобразования.....654 31.4. Описание нелинейной системы в частотной области.............656 31.4.1. Частотное представление системы на основе преобразования Фурье........................................656 31.4.2. Частотное представление системы иа основе дискретного преобразования Фурье........................................664 31.5. Определение параметров нелинейного оператора дискретной системы по средпеквадратическому критерию....................666 31.5.1. Построение нелинейного оператора во временной области.666 31.5.2. Построение нелинейного оператора в частотной области..671 ПРИЛОЖЕНИЯ____________________________________________________ 677 Приложение 1. Математическое моделирование обработки сигналов линейной дискрет мой системой в программной среде MATLAB...................................679 П1.1. Моделирование работы ЛДС во временной области...............681 П1.1.1. Моделирование работы ЛДС иа основе разностного уравнения: функция filter.............................681 III.1.2. Расчет импульсной характеристики по разностному уравнению: функция filter.............................683 П1.1.3. Расчет импульсной характеристики по коэффицис! ггам разностного уравнения: функция htipz..................685 П1.1.4. Моделирование работы ЛДС на основе уравнения свертки: функция coiiv.........................................686
Оглавление X/// 1П. 1.5. Вычисление импульсной характеристики БИХ-фнльтра по известным реакции и воздействию: функция decanv....................689 111 .1.6. Формирование модели переменных состояний: функции tf2ss, zp2ss. ss2lf, ss2zp....................................690 П1.2. Моделирование работы ЛДС в z-обласги...............................691 П1.2.1. Передаточная функция в общем виде................................692 П 1.2.2. Передаточная функция в виде произведения простейших множителей: функции iflzp. zp2tf-.................................................... 693 П1.2.3. Карта нулей и полюсов: функция zplane......................................... 695 П1.2.4. Передаточная функция в виде произведения множителей второй степени: функции tf2sost zp2sos, sos2tf, sos2zp................696 111.2.5. Передаточная функция в виде суммы простых дробей: функция residwz..................................................698 П1.3. Моделирование работы ЛДС в частотной области.......................699 111.3.1. Расчет частотной характеристики по коэффициентам передаточной функции: функция freqz..............................700 П1.3.2. Расчет АЧХ н ФЧХ: функции/rayz, «М angle, dbode.................... 701 П1.3.3. Расчет группового времени задержки: функция gtpdelay.............704 П1.4. Анализ дискретных сигналов.........................................705 Ш.4.1. Анализ дискретного сигнала во временной области: функции mean, std.xcorr..........................................705 111.4.2. Анализ дискретного сигнала в частотной области: функции fft, ifft................................................707 Приложение 2. Моделирование цифровой фильтрации с помощью GVT SPTool в программной среде MATLAB-------------------------....................................712 П2.1. Последовательность действий при работе в SPTool-программе.................................................712 П2.1.1. Синтез цифрового фильтра.........................................713 П2.1.2. Анализ характеристик синтезированного фильтра....................717 П2.1.3. Создание входного сигнала........................................719 П2.1.4. Импортирование входного сигнала в SPTool.........................719 TI2.I.5. Визуализация входного и выходного сигналов......................721 П2.1.6. Моделирование процесса фильтрации................................722 П2.1.7. Расчет и визуализация спектров входного и выходного сигналов.............................................723 П2.2. Выход из программы SPTool..........................................724 112.3. Экспортироваинс результатов моделирования в MATLAB................725
Xiv Оглавление Приложение 3. Массивы записей в программной среде MATLAB..........................................728 Приложение 4. Необходимые сведения из теории матриц...........735 Список литературы...................................................741 Дополнительная литература...........................................745 Предметный указатель............................................ 747 I
Принятые сокращения АЦП — аналого-цифровой преобразователь: АЧХ —амплитудно-частотная характеристика; БИХ — бесконечная импульсная характеристика (тип фильтра); БПФ — быстрое преобразование Фурье; ГВЗ — групповое время задержки; ДПФ — дискретное преобразование Фурье; ИХ — импульсная характеристика; КИХ — конечная импульсная характеристика (тип фильтра); KHII — карта нулей и полюсов; КФНЧ — комплексный фильтр иижннх частот; КЧХ — комплексная частотная характеристика; ЛДС — линейная дискретная система; ЛП — линейное предсказание; ЛСК — линейные спектральные корни; ЛСП — линейные спектральные пары; МНК — метод наименьших квадратов; НУН — начальные условия нулевые; ОБП — одна боковая полоса (спектра сигнала); ОДПФ — обратное дискретное преобразование Фурье; ПСС — позиционная система счисления; ПФ — передаточная функция; ПФ — полосовой фильтр;
Принятые сокращения ру — разностное уравнение; рф— режскторный фильтр; СС — система счисления; СФНЧ —сглаживающий фильтр нижних частот; ФВЧ — фильтр верхних частот; ф[|Ч — фильтр нижних частот; ФЧХ — фазочастотная характеристика; ЦАП— цифро-аналоговый преобразователь; ЦОС — цифровая обработка сигналов: ЦПГ — цифровой преобразователь Гильберта; I [ПОС — цифровой процессор обработки сигналов: ЦСП —г цифровой сигнальный процессор; ЦФ — цифровой фильтр: ЧРК — частотное разделение каналов; ЧХ — частотная характеристика.
Предисловие ко второму изданию В последние годы дисциплина "Цифровая обработка сигналов" (ЦОС) и ее модификации включены в общеобразовательные стандарты российских вузов (к сожалению, с большим опозданием). Одиако данная тематика недостаточ- но поддерживается русскоязычной литературой, особенно учебниками и учебными пособиями. Вместе с тем, учитывая тенденции развития техники связи, отставание в области ЦОС для современного специалиста недопусти- мо, а потому и актуальность соответствующих книг бесспорна. Подобных книг, отечественных и переводных, должно быть много, т. к. обширность ге- мы практически не позволяет се охватить в одной работе. Учебное пособие может быть полезно для всех, желающих самостоятельно изучать ЦОС. однако, в первую очередь, оио ориентировано на студентов и преподавателей вузов и может быть рекомендовано, в частности, для сле- дующих стандартных дисциплин: □ "Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов" (специальность 201100); □ "Цифровая обработка сигналов и сигнальные процессоры в системах под- вижной связи" (специальность 201200); □ "Цифровая обработка аудио-видеосигналов" (специальность 201400). Содержание книги тематически разделено на 10 частей и включает 31 лекцию. По существу, это расширенный курс по теории ЦОС, причем название "лек- ция" условно и лишь отражает изучаемую тему. На основе данного курса в зависимости от объема часов и направленности дисциплины могут форми- роваться более сжатые курсы, которые желательно поддерживать лаборатор- ными и практическими занятиями. В этом смысле весьма перспективно мо- делирование цифровых сигналов и систем в программной среде MATLAB, основы которой изложены в данном пособии.
4 Предисловие ко второму изданию Второе издание пособия существенно переработано и дополнено: добавлена новая лекция но методам ЦОС в базисе вейвлет-функций (Лекция 30), а также ряд новых разделов, в частности, по дискретизации относительно узкополос- ных сигналов, фазовым звеньям и др. Исправлены досадные опечатки и ошибки, допущенные в первом издании. Предполагается, что читатели знакомы с основами теории аналоговых ли- нейных цепей и вычислительной техники. Над книгой работало четверо авторов лекций и приложений: П Алла Ивановна Солонина — Лекции!—7.10—12, 29, Приз. 1—3. П Дмитрий Андреевич Улахович— Лекции 17—26, пп. 6.6, 6.7, 10.3.1, 10.4.4. □ Сергей Михайлович Арбузов —Лекции 8. 9. 13. 14, 27, 28, 30, Приз. 4. П Елена Борисовна Соловьева — Лекции 15. 16. 31. Все авторы являются преподавателями кафедры "Цифровая обработка сигна- лов" Государственного университета телекоммуникаций им. нроф. М. А. Боич- Бруевича, возглавляемой профессором Артуром Абрамовичем Ланпэ, кото- рому авторы очень признательны за помощь в подготовке книги. При написании учебного пособия учтен опыт авторов в чтении лекций и про- ведении лабораторных и практических занятий. Широко использовались ра- боты наших коллег, к сожалению, уже ушедших из жизни: профессоров Гольдеиберга Льва Моисеевича и Матюшкина Бориса Дмитриевича. Все предложения и замечания, которые будут приняты с благодарностью, просим присылать по электронным адресам: Солониной А. И. — alla_solonina@e-mail.ru: П Улаховичу Д. А. — dau-spb@yandex.ru, П Соловьевой Е. Б. — selenab@hotbox.ru.
ЧАСТЬ 1 ВВЕДЕНИЕ Лекция 1. Введение в ЦОС Лекция 2. Математический аппарат описания сигналов и линейных систем Лекция 3. Z-преобразование

Лекция 1 Введение в ЦОС Цифровая обработка сигналов (ЦОС)— это область науки и техники, в ко- торой изучаются общие для различных технических приложений принципы, методы и алгоритмы обработки сигналов средствами цифровой вычисли- тельной техники, 1.1. Обобщенная схема цифровой обработки сигналов Обобщенная схема ЦОС (рис. L1) отображает последовательность процедур, необходимых для преобразования исходного аналогового сигнала _v(/) в дру- гой аналоговый сигнал у (О по заданному алгоритму средствами цифровой вычислительной техники. В цифровой обработке сигнала можно выделить три основных этапа: П формирование цифрового сигнала х^(пТ) из исходного аналогового сиг- нала х{1); □ лреобразованне цифрового сигнала хц(лГ) в цифровой сигнал у^пТ) по заданному алгоритму; П формирование результирующего аналогового сигнала у(/) из цифрового сигнала уц(нГ). В обобщенной схеме ЦОС этим этапам соответствуют три функциональных устройства: П кодер; П устройство ЦОС; П декодер.
8 Часть f. Введение Декодер I I Кодер Рис. 1.1. Обобщенная схема цифровой обработки сигнала
Лекция 1. Введение в ЦОС g Обобщенная схема и временные диаграммы поэтапного процесса ЦОС при- ведены на рис. 1.1. а—е. Рассмотрим каждый из этапов: 1. На первом этапе кодер из исходного аналогового сигнала х(1) (рис. 1.1. «) формирует цифровой сигнал хи(пТ) (рис. 1.1. б), без чего принципиально невозможна цифровая обработка. В состав кодера входят аналоговый фильтр ннжних частот (ФПЧ) н аналого-цифровой преобразователь (АЦП). Аналоговый фильтр нижних частот предназначен для ограничения спек- тра Х(у<0) исходного аналогового сигнала л(/). Необходимость ограничения спектра вытекает из теоремы Котельникова, в соответствии с которой частота дискретизации /л выбирается из усло- вия: /д > 2/в, где /в — верхняя частота спектра сигнала. Возможность ограничения спектра связана с особенностями частотного распределения энергии сигнала: основная часть его энергии сосредоточе- на в области /</в, т. е. амплитуды спектральных составляющих, начи- ная с некоторой частоты />/в, существенно снижаются (рис. 1.2, а). Выбор значения /н определяется конкретным типом сигнала и решаемой задачей. При обработке аудио-и вицсосигнвлов выбор /в зависит от осо- бенностей психофизического восприятия этих сигналов. Например, для стандартного телефонного сигнала верхняя частота Д равна 3.4 кГц, а минимальная стандартная частота дискретизации /д — 8 кГц. На выходе ФНЧ получают аналоговый сигнал .?(/) с финитным (ограни- ченным по частоте) спектром Х(усо) (рис. 1.2,6). Оценка погрешности при переходе от сигнала х(/) к сигналу л(0 дается в [501. Аналого-цифровой преобразователь формирует цифровой сигнал хп(нТ) посредством дискретизации и квантования сигнала л(г) (рис. 1.1, в). Дискретизация но времени (дискретизация) представляет собой процедуру взятия мгновенных значений — отсчетов— аналогового сигнала л(г) с ин- тервалом времени, равным периоду' дискретизации1 Г. Значения агсчегов х(пТ) совпадают со значениями сигнала i(/) в момсигы времени t = пТ : х(пТ) = A’(f)|, . 1 По умолчанию будем (ютразуменачь ранномерную (-жвилисч ан шую). (искре гизанию.
10 Часть I. Введение Рис. 1.2. Сигналы и их амплитудные спектры на входе (а) и выходе (б) Ф114 Совокупность отсчетов х(нТ), и = 0,1,... называю г дискретным сигналом. Квантование по уровню (квантование) производится с целью представле- ния точных значений отсчетов х(пТ) в виде двоичных чисел конечной разрядности— квантованных отсчетов хи(пТ). Для этого динамиче- ский диапазон дискретного сигнала х(п’Г) разбивается на конечное число дискретных уровней — уровней квантования — и каждому отсчету по определенному правилу присваивается значение одного из ближайших уровней, между которыми он оказывается. Уровни квантования кодиру- ются двоичными числами разрядности Ь, зависящей от числа уровней квантования R: К<2Ь. откуда b = int(log2 R). На временной диаграмме (рис. 1..1, в) ,щя примера выбрано 5 уровней квантования (без учета знака), поэтому b — 3 и отсче- ты хп(пТ) кодируются четырехразрядными двоичными числами: один разряд знаковый, три значащих. Совокупность квантованных отсчетов .гц(иГ). « = 0. I.... называют циф- ровым сигналом.
Лекция 1. Введение в ЦОС 11 Детерминированные и вероятностные оценки ошибки квантования екп(и) за счет АЦП будут изучаться в Лекции 15. 2. На втором этапе устройство ЦОС преобразует цифровой сигнал хп(п1‘) (рис. 1.1, <?) в цифровой сигнал уц(//7’) (рис. 1.1, г) по заданному алгоритм). Устройство ЦОС может быть реализовано аппаратно или программно. В первом случае — в виде специализированного цифрового устройства, во втором — в виде программы на компьютере или цифровом процессоре обработки сигналов (ЦПОС). Программная реализация преобладает. Устройства ЦОС могут работать в реальном или нереальном времени. В реальном времени обработка сигналов должна выполняться в темне по- ступления отсчетов входного сигнала хн(кГ), « = 0,1,... и отвечать сле- дующим требованиям: • время цикла Д/н при вычислении отсчета _уц(яГ) не должно превы- шать интервала между двумя соседними отсчетами хц(иГ). т. е. пе- риода дискретизации Т ми<т-, • тактовая частота /т процессора должна быть много выше частоты дне- кретизацни /д сигнала хц(иГ) А» А- Последнее вызвано гем, что в алгоритмах ЦОС количество операций в цикле, необходимое для вычисления одного отсчета уц(иГ), весьма ве- лико. Например, для стандартного телефонного сигнала с частотой дис- кретизации 8 кГц тактовая частота должна быть нс менее 6 мГц. В реальном времени выполняется обработка сигналов, связанная с их пе- редачей по каналам связи, в том числе, по сети Internet. К типовым зада- чам ЦОС в реальном времени относятся: обнаружение, фильтрация, сжа- тие, распознавание сигналов и др. В нереальном времени выполняется обработка сигналов, связанная, преж- де всего, с их исследованием. К типовым задачам ЦОС в нереальном вре- мени относятся: студийная обработка аудио- и видеосигналов; обработка данных различной физической природы, полученная отдатчиков, и др.
12 Часть I. Введение 3. На третьем этапе декодер формируег результирующий аналоговый сиг- нал Я О из цифрового сигнала уц(нГ). В состав декодера входят цифро- аналоговый преобразователь (ЦАП) и сглаживающий фильтр. Цифро-аналоговый преобразователь формирует из цифрового сигнала yu(irT) (рис. 1.1, г) ступенчатый аналоговый сигнал у(г) (рис. 1.1. д). Сглаживающий фильтр (низкочастотный) устраняет ступенчатый эффект (скачки) в выходном сигнале ЦАП у(О- На выходе сглаживающего фильтра получаем аналоговый сигнал у(г) (рис. 1.1, е)— результат пре- образования исходного сигнала х(/). Предметами изучения в настоящем курсе лекций являются (ла рис. 1.1 выде- лено полужирным шрифтом): О дискретные и цифровые сигналы; □ устройства ЦОС: линейные и нелинейные дискретные системы, методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов. 1.2. Основные типы сигналов и их математическое описание. Нормирование времени Сигналом называют физический процесс, несущий в себе информацию [17]. Математически сигналы описываются функциями времени, тип которых за- висит от типа сигнала. К основным типам сигналов относят: аналоговый, дискретный и цифровой. Аналоговым называют сигнал, непрерывный по времени и состоянию (рис. 1.3, а). Такой сигнал описывается непрерывной или кусочно-непрерывной функцией *(/), при этом и аргумент, и функция могут принимать любые зна- чения из некоторых интервалов tt </ </2 , х} <х<,х2 соответственно. Дискретным называют сигнал, дискретный по времени и непрерывный по состоянию (рис. 1.3, о). Такой сигнал описывается решетчатой функцией [последовательностью) х(пТ), п = 0,1, 2,..., которая определена только в дискретные* моменты времени пТ и может принимать любые значения из некоторого интервала л, < т £ х2 . Интервал Т называют периодом дискретизации, а обратную величину — частотой дискретизации Л=у- (io
Лекция 1. Введение в ЦОС 13 Значения последовательности в моменты времени пТ называют отсчетами. Дискретный сигнал может быть как вещественным, так и комплексным. В последнем случае его вещественная и мнимая части описываются вещест- венными последовательностями x{nT) = xl(nT) + jx2(nT). Цифровым называют сигнал, дискретный по времени и квантованный по со- стоянию (рис. 1.3, в). Такой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (квантованной последовательностью) х^пТ), отсчеты которой в каждый момент времени пТ принимают дискретные значения уровней квантования из некоторого интервала JCj <х £л*2 . в Рис. 13. Основные типы сигналов: аналоговый (л), дискретный (б) и цифровой (в)
14 Часть /. Введение При описании дискретных и цифровых сигналов удобно пользоваться норми- рованный временем i - t t =—, т которое при 1 = пТ имеет смысл номера отсчета и i=^==^-=« (1-2) т т и означает, что отсчет взят в момент пТ . Это позволяет описывать дискрет- ный сигнал функцией целочисленной переменной х(п) и считать тождест- венными обозначения дискретного сигнала х(и) и х(пТ): = х(и). 1.3. Типовые дискретные сигналы В ЦОС ряд дискретных сигналов используют в качестве испытательных воз- действий и называют типовыми. К ним относятся: 1. Цифровой единичный импульс, описываемый последовательностью fl. Л=(Х ио(л)=|о,и*а (13) т. е. этот сигнал равен единице прн и = 0 и нулю при всех остальных зна- чениях п (рис. 1.4, а). Задержанный цифровой единичный импульс описывается последователь- ностью (I, n = nv, л <1-4> 0, п * т, т. е. этот сигнал, в отличие от незадержанного, равен единице при и = т и нулю при всех остальных значениях п (рис. 1.4.6). Из определения задержанного цифрового единичного импульса (1.4) вы- текает важное соотношение х(н) = У х(т)и0(п-т). (1.5)
Лекция f. Введение в ЦОС «о(«) -I 0 1 2 3 " а -1 0 1 2 3 " б Рис. 1.4. Цифровой единичный (а) и задержанный цифровой единичный (б) импульсы По определению (1.4) последовательность и0(и-т) равна нулю во всех точ- ках и, кроме п = т (где она равна единице), поэтому слагаемые в (1.5) при всех значениях т, кроме т = п, равны нулю, а значит, сумма равна х(п): У л(ш)мо(и-т) = х(0)и00?) + л-(1)«о(я-1)+...+.г(л)и0(п-л) + w»=0 + л1и + 1)мо|и-(н + 1)]+... = О+О+...+л(и)мо(0) + 0+... = х(и). 11аиример. подставляя в (1.5) и = 2, имеем т(2) = л(0)ип(2)+ л'(1)л0(1) + л(2)ы0(0) + л(3)м0(-1)+ ...- = 0 + 0 + х( 2) «о (0)+0+... = х( 2). По аналогии со свойством дельта-функцин [17] соотношение (1.5) назы- вают фильтрующим свойствам или свойством селективности цифрового единичного импульса. 2. Цифровой единичный скачок, описываемый последовательностью f 1, и > 0: "1(п)4о’«<о, (L6) г. с. этот сигнал равен единице при всех неотрицательных значениях п (рис. 1.5, а). Задержанный цифровой е типичный скачок (рис. 1.5.6) описывается по- следовательностью (1» п2т; .. _ (1.7) О, п<т. г. е. этот сигнал, в отличие от незадержанного, равен единице при всех значениях п > т и нулю при остальных значениях п.
16 Часгъ I. Введение рис 1.5. Цифровой единичный (а) и задержанный цифровой единичный (о) скачки 3. Дискретная экспонента, описываемая последовательностью . [я"» н>(к о. л(и) = ^ (1.8) [О, н<0, где а — вещественная константа. В зависимости от величины и знака а дискретная экспонента будет: • |с/|<1 и а>0 —убывающей знакопостоянной (рис. 1.6, а)', • |я|<1 и а<0 —убывающей знакопеременной (рис. 1.6,6); • |а|>] —возрастающей; • ру| = 1 и а>0 —цифровым единичным скачком; • |л| = 1 и а>0 —знакопеременной последовательностью единиц. Рис. 1.6. Знакопостоянная (а) и знакопеременная (б) дискретные экспоненты 4. Дискретный гармонический сигнал, например, дискретная косинусоида, описываемая последовательностью х(мТ) = х(и) = Асо5(2л/лГ) = Acos(ton7’), (1.9)
Лекция 1. Введение в ЦОС__________________________________________ 17 где Т — период дискретизации; А — амплитуда; <о — круговая частота, связанная с частотой f коэффициентом пропорциональности 2л ы = 2л/. (1.10) Дискретная косинусоида получается из аналоговой x(t) = 4cos(27£ft) = Zcos(coz) в результате замены непрерывного времени дискретным (рис. 1.7) ДпТ) = х(н) = Xcos(wf)| =Mcos(co7n). Дискретная синусоида описывается аналогично. 5. Дискретный компчекспый гармонический сигнал, описываемый комплекс- ной последовательностью х(») - Ле7”7'" или двумя вещественными последовательностями: косинусоидой (вещест- венная часть) и синусоидой (мнимая часть) x(nr) = 4cos(co7>t) + /4sin(ci)7>z). 1.4. Основная полоса частот. Нормирование частоты Согласно теореме Котельникова, верхняя частота /в аналогового сигнала не должна превышать половины частоты дискретизации fa этого сигнала. Сле- довательно, дискретные сигналы пелесообразно рассматривать в области
18 Часть I. Введение Г Л1 0; ~ I, которая называется основной полосой частот или основным диапа- зоном частот. Это позволяет ввести понятие нормированных частот: □ / — отношение текущей частоты f к частоте дискретизации fA i=--=fT-. (i.ii) Лч П О) — отношение текущей частоты со к частоте дискретизации Д & = — =ш7\. (1.12) А Нормированные частоты f и со связаны соотношением, подобным (1.10): со 2яУ _ * со=— =—— = 2nf . Л h В зависимости от выбранной шкалы частот основная полоса соответствует областям: Обычно предпочтение отдастся абсолютной частоте f н нормированной частоте СО. Например, дискретная косинусоида (1.9) в области нормированных частот имеет вид: х(п) = Xcos(2n/5i) = Acos(wn). Введение нормированной частоты указывает на то, что в ЦОС важны не аб- солютные значения частот сигнала и дискретизации, а их отношение. Пока- жем это на простейшем примере двух дискретных косинусоид: Х] (w) = cos( 2nfiTt п) = cos 2л—н ври у = 2 Гц. /д| = 16 Гц ;
Лекция 1. Введение в ЦОС 19 x2(K) = cos(27t/27'2H) = cos 2л-&-п при /2 =5 кГц, //l2 =40 кГц. [ Zi2 J Подставив значения f и /д, получим в области нормированных частот оди- наковые дискретные сигналы / ч fn 2 ’l \ X’1(n) = cos 2л—и =cos —и ; I 16 J I4 J , ч (_ 5000 > (jt’l л2(»)=со$| 2л-----п =cos — и, 2 ( 40000 J 4 J т. к. они имеют равные значения нормированных частот . со. 2л/. 2л - 2 л /д| А. 16 4 . _ со3 _ 2itf2 _ 2л-5000 _ л “2-А7-7^ 40000 ~4’ 2 Зяк. 165
Лекция 2 Математический аппарат описания сигналов и линейных систем В этой лекции обсуждается математическое описание аналоговых и дискрет- ных сигналов и линейных систем в различных областях. Во временной области: П сигналы (аналоговые и дискретные) описываются функциями времени', О линейные системы (аналоговые и дискретные) описываются: • характеристиками. Характеристика линейной системы определяется как ее реакция на некоторый тестовый сигнал, т. с. характеристика — это сигнал, описываемый функцией времени', • соотношением вход/выход. Соотношение вход/выход линейной систе- мы описывается линейным уравнением, устанавливающим связь между входным и выходным сигналами— функциями времени. По умолча- нию будем считать, что системы имеют один вход и один выход. Тип функции времени определяется типом сигнала. а именно (см. Лекцию /): О непрерывная функция х(г) описывает аналоговый сигнал; О последовательность (решетчатая функция) х(пТ) описывает дискретный сигнал. Помимо временной, сигналы и линейные системы могут описываться и в других областях (в областях иных независимых переменных), при этом со- ответствующие функции времени преобразуются в функции другой пере- менной. Такое преобразование не следует путать с преобразованием функций одной переменной, например с преобразованием входного сигнала в выходной. Смысл термина '’преобразование" всегда ясен из контекста.
Лекция 2. Математический аппарат описания сигналов и линейных систем 21 Данная лекция содержит краткие сведения о математическом аппарате, тра- диционно используемом для преобразования функций времени при описании сигналов и линейных систем в следующих областях: О в области комплексной переменной (р-области— для непрерывных функций х(/). z-области— для последовательностей .г(иГ)); □ в частотной области. При чтении лекции рекомендуется обратить особое внимание на взаимосвязи: □ однотипных преобразований непрерывной функции л(/) и последова- тельности х(нТ); □ между различными преобразованиями каждой из этих функций. 2.1. Математическое описание аналоговых сигналов и линейных систем в p-области и в частотной области Математическое описание аналоговых сигналов и линейных систем в р- области (па комплексной p-плоскости) и в частотной области основано соот- ветственно на преобразованиях Лапласа и Фурье функции времени х(/)> для которой выполняется условие л(?)|/<0=0. (2.1) 2.1.1. Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа1 функции л(/) (2.1) называется следующая пара взаимно однозначных преобразований: □ прямое" преобразование Х(р) = = f x(r)e-^dr; (2.2) О О обратное преобразование х(О = Г,{Х(р)}=ут fx(p)e'"dp. (23) У <*0 ~J°° 1 Односторонним. ~ Обычно во всех преобразованиях, cc.ni речь идет о прямом преобразовании, при.огательнос "прямое" опускают.
22 Часть f. Введение где: Z.{r(/)}, Г'{Х(Р)} — символические обозначения прямого и обратного пре- образований Лапласа; х(/) — оригинал — вещественная или комплексная функция (2.1), непрерыв- ная или кусочно-непрерывная, однозначная на любом конечном интервале в области определения, имеющая экспоненциальный порядок3 О(е^) и огра- ниченную возможность возрастания |jr(/)|dS Ае*1 (ЛиХ не равны бесконечности); р — оператор Лапласа p = G+y(o; (2.4) Х(р) — ^изображение (L-образ) функции л(/), результат преобразования Лапласа; Go — абсцисса абсолютной сходимости интеграла (2.2). Преобразование Лапласа справедливо только в области абсолютной сходи- мости интеграла (2.2) ]|х(ОС-'“|л = ;|.г(Ое-,я+-"“>'|л = о о = J|x(O||>T'“' |е'п'А = J|.v(/)|e“rf( < ~, (2.5) О о определяемой абсциссой абсолютной сходимости с0. Па комплексной р- плоскости это область, где Rc(p)=o > о(). Как известно [37], в области сходимости интеграла (2.5) обеспечивается и сходимость интеграла (2.2), однако обратное не всегда справедливо. Может случиться, что интеграл (2.2) сходится за счет сбалансированности площадей с положительными и отрицательными знаками, а интеграл (2.5) расходится. 3 Для оценки поря цса обычно используется символика <?(•). Примером функции, имеющей 1кспонс1Щиа.!|Ы1ЫЙ характер, является х(/) = £ аке **
Лекция 2. Математический аппарат описания сигналов и линейных систем 23 2.1.2. Преобразование Фурье Преобразованием Фурье4 функции х(/) (2.1) называется следующая пара взаимно однозначных преобразований: □ прямое преобразование Х(» = |л(/)с'даЛ; (2.6) О □ обратное преобразование -Ф)=т- J (2.7) 2л Д где: х(/) — оригинал— вещественная или комплексная функция (2.1), удовле- творяющая условиям Дирихле: на любом конечном интервале в области за- дания определена, однозначна, непрерывна или кусочно-непрерывна, имеет конечное число экстремумов и разрывов первого рода; X (— фурье-изобралсепие (фурье-образ) функции х(/), результат преоб- разования Фурье. Преобразование Фурье справедливо только в области абсолютной сходимо- сти интеграла (2.6) ||л(0<Г*“р( = {|х(0|Л <~. (2.8) О о Условия сходимости преобразований Лапласа (2.5) и Фурье (2.8) позволяют утверждать, что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса сигналов, чем преобразование Лапласа [9]. 2.1.3. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа Сравнивая преобразования Лапласа (2.2) и Фурье (2.6), легко видеть их взаи- мосвязь: при условии абсолютной сходимости соответствующих инте) ралов фурье-изображение X(Jo>) функции х(/) совпадает с ее /--изображением Односторонним.
24 Часть t. Введение Х(р), если область значений переменной р на комплексной p-плоскости ог- раничена точками иа оси частот усо: XO<0) = X(p))p=J,Q. (2.9) 2.1.4. Ряд Фурье Непрерывная периодическая функция времени х(Г) с периодом Ts, удовле- творяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье л(г)= X (2.10) к 00 где: Д(0 — период дискретизации по частоте: Д<0 = — [т,=—1 (2.11) Т, ( Де)) Х(к) — коэффициенты Фурье (комплексные числа): L. Х(к) = — j ; (2.12) К -L. 2 Л —иомер коэффициента Фурье, соответствующего частоте АД со. Аналогично, непрерывная периодическая функция чистоты X ((d) с перио- дом соЛ, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье, симметричного (2.10), Х((0)= X х(л)е"^дпо, (2.13) где: А/ — период дискретизации по времени: 2тг ( 2п 2л1 1 <□, = — *— ; д' L J (2.14)
Лекция 2. Математический аппарат описаний сигналов и линейных систем 25 x(w) — коэффициенты Фурье (комплексные числа): (J), x(n)=— j Х«1))<-'',Л'шАо; (2.15) чА 2 п — номер коэффициента Фурье, соответствующего времени п& . На основании (2.11) и (2.14) можно записать соотношение для периодов функций и периодов дискретизации во временной и частотной областях Т;Дш = ш1.Д/. Сравнивая ряды (2.10) и (2.13). легко заметить взаимозаменяемость незави- симых переменных время-частота. 2.2. Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z-области и в частотной области Математическое описание дискретных сигналов и линейных систем в z- области (на комплексной z-плоскостн) и в частотной области основано соот- ветственно на Z-преобразовании и преобразовании Фурье последовательно- сти х(иТ), для которой выполняется условие <216) 2.2.1. Дискретное преобразование Лапласа Дискретное преобразование Лапласа (D-прсобразованис) последовательности х(пТ) (2.16) имеет прямую аналогию с преобразованием Лапласа (2.2) непрерывной функции. В результате перехода от непрерывного времени к дискретному 1 => пТ и замены непрерывной функции последовательностью х(/)=>Х»П интеграл в (2.2) заменяется суммой.
26 Часть I. Введение Соответственно, дискретным преобразованием Лапласа называется следую- щий ряд X ) = О{л(»Г)} = X Х(ИГ)С-',”Г . (2.17) л-0 где: £){х(иГ)} — символическое обозначение дискретного преобразования Лапласа; х(пТ) —оригинал— вещественная или комплексная последовательность (2.16); Х(ерТ) — D-изображемие (D-образ) последовательности х(пТ), результат дискретного преобразования Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа однозначно связывает последователь- ность х(/?Г) с ее D-изображенисм Х(ерТ) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.17) х |х(л/)| = X I х(пТ) ||с= £ | х(пТ) | е-тт < „ (2 |g) определяемой абсциссой сходимости о0. На комплексной p-плоскости это область, где Re(p)=o > с0. 2.2.2. Z-преобразование При исследовании дискретных сигналов и линейных систем, как правило, вместо дискретного преобразования Лапласа используют Z-преобразование, которое получается из дискретного преобразования Лапласа (2.17) в резуль- тате замены переменных г = ерТ. (2.19) Z-преобразоваиием5 последовательности х{пТ) (2.16) называется следующий ряд: Х(г) = /{л(«П}= X 4»Пг”, (2 20) л=0 где: Zfanr)} — символическое обозначение Z-преобразования; х(иГ) —оригинал— вещественная или комплексная последовательность (2.16); Прямым по умолчанию.
Лекция 2. Математический аппарат описания сигналов и линейных систем 27 X(z)— z-изображение (z-образ) последовательности х(пТ), результаз Z-преобразования. Z-преобразование однозначно связывает последовательность х(пТ) с ее z-изображением A’(z) и справедливо только в области абсолютной сходимо- сти ряда (2.20) Х|х(лГ)г""|<~. (2.21) л=0 Как известно (37], в области сходимости ряда (2.21) обеспечивается и сходи- мость ряда (2.20), однако обратное не всегда справедливо. Может случиться, что ряд (2.20) сходится за счет сбалансированности слагаемых с положи- тельными и отрицательными знаками, а ряд (2.21) расходится. 2.2.3. Связь Z-преобразования с дискретным преобразованием Лапласа Сравнивая дискретное преобразование Лапласа (2.17) и Z-преобразование (2.20), легко видеть их взаимосвязь ~Х(ерТ'). Может возникнуть вопрос, почему при исследовании дискретных сигналов и линейных систем используют Z-, а не D-преобразование. Дело в том, что по- добно преобразованию Лапласа непрерывных функций, Z-преобразование последовательности позволяет получить алгебраические соотношения (пока не будем вникать, какие именно), в то время как D-преобразование приводит к весьма неудобным для анализа трансцендентным соотношениям. Подробно Z-преобразование будет рассматриваться в Лекции 2.2.4. Преобразование Фурье Преобразованием Фурье6 последовательности х(нТ) (2.16) называется сле- дующий ряд: X(eJt*r} = ^Х(пТ)е~^Тя , (2-22) я=0 где: х(яГ) — оригинал— вещественная или комплексная последовательность (2.16); Прямым по уми.1чапиго.
28 Часть I. Введение Х(е^т) — фурье-изображение (фурье-образ) последовательности х(пТ), результат преобразования Фурье. Преобразование Фурье однозначно связывает последовательность х{пГ) с ее фурье-изображением Х{е^°т) н справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (2.22) Е|л(яТ)е-Л“Л|= Х1-Ф1П|<~. (2.23) л=0 1 п-о Условия сходимости /-преобразования (2.21) и преобразования Фурье (2.23) позволяют утверждать, что преобразование Фурье справедливо для более уз- кого класса дискретных сигналов. Из (2.22) видно, что фурье-изображение Х(е*'а1) последовательности х(пТ) является периодической функцией, поскольку аргумент данной функции е^°т (который, в свою очередь, тоже является функцией) периодичен с пе- 2л риодом по частоте О), равным частоте дискретизации (о, - —: е^г = X"** т = е'"'7 <?±>2ni = eimT. (2.24) Значит, непрерывная периодическая функция частоты X(eJuil) может быть представлена рядом Фурье (2.13) при сод =сол и Д? = Т Х(ю)=Х(е}шТ) = X x(n)e~j,l&™= £ x(n)e~Su"T, (2.25) Я = -<Ю H — -OQ где коэффициенты Фурье .v(m) вычисляются по формуле (2.15) л х(„) = — I X («>'“’ )eJM7,,da>. (2.26) 2 л 7’ Действительно, подставляя х(п) = х(пТ) в (2.25) и учитывая условие (2.16), получаем преобразование Фурье (2.22) Х(г>7’)= у .r(«R->"7’ = Ё х(ПТ)е-^т. Я=-со л-0 Поэтому формула (2.26) презставляет собой не что иное, как обратное пре- образование Фурье.
Лекция 2. Математический аппарат списания сигналов и линейных систем 29 Таким образом, преобразованием Фурье последовательности х(нТ') называ- ется пара взаимно однозначных преобразований (2.22)—(2.26): □ прямое преобразование Х(е’шГ ) = £ x(nT')e-JaT" ; (2.27) п=0 □ обратное преобразование л х(пГ) = — \ Х(е1"'т)е1,‘т"г1ы. (2.28) 2л л "7 2.2.5. Связь преобразования Фурье с Z-преобразованием Сравнивая преобразование Фурье (2.22) с /-преобразованием (2.20), легко видегь их взаимосвязь: прн условии абсолютной сходимости соответствую- щих рядов фурье-нзображенис Х(е^ ) последовательности х(пТ) совпада- ет с ее ^-изображением Л'(с), если область значений переменной z на ком- „ ~ j(uT плекснои s-плоскости ограничена точками на единичном окружности eJ : X(e*T) = X(z), (2.29)
Лекция 3 Z-преобразование Как известно, анализ и синтез линейных аналоговых систем существенно уп- рощается при переходе из временной области в /^-область [9]. В частности, преобразование Лапласа позволило ввести фундаментальное понятие переда- точной функции в удобном для анализа дробно-рациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраических, а не дифференциальных (интегрально-дифференциальных) уравнений. Аналогично, анализ и синтез линейных дискретных систем существенно упрощается при переходе из временной области в ^-область. В частности, Z-преобразование позволяет ввести понятие передаточной функции в дробно- рациональном виде и описать соотношение вход-выход в виде алгебраиче- ских, а нс разностных уравнений (см. Лекцию 5). 3.1. Z-преобразование Z-преобразованисм1 последовательности х(пТ) называется следующий ряд (си. Лекцию 2): X(z) = Z{x(„n}= Ё , (3.1) >1=0 где: Z{x(nT)} — символическое обозначение Z-прсобразования; х(пТ) — оригинал — последовательность (вещественная или комплексная), для которой выполняется условие (32) 111рямым по умолчанию.
Лекция 3. 7.-преобразование 31 X(z) — z-мзоброжение (z-образ) последовательности х(иТ’), результат /-преобразования. Напомним, что Z-преобразование получено на основе дискретного преобра- зования Лапласа (2.17) в результате замены переменных z = epT, (3.3) где р — оператор Лапласа (2.4) р = о+Jco. (3.4) Комплексная переменная z может быть представлена в двух формах: □ в алгебраической форме z=^+jn; (3.5) О в показагелыюй форме z~re^^ (3.6) где радиус г является модулем, а угол ср — аргументом переменной z (3-5): r=|z|=^2+n2; (3-7) Соответственно, положение произвольной точки на комплексной z-плоскосги может задаваться: □ координатами (£; п) —в декартовой системе координат; □ полярными координатами (г; ср) —в полярной системе координат. Z-преобразование однозначно связывает последовательность х(пТ) с се z- изображением A^z) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (3.1) У, 1х(л7')г“"| <°°, (3.9) л-0 которую называют областью сходимости z-изображемия. Напомним, что в области сходимости ряда (3.9) обеспечивается и сходимость ряда (3.1) (см. Лекцию 2).
32 Часть I. Введение Для того чтобы найти область сходимости z-нзображения, выполним сле- дующие преобразования: □ в (3.9) заменим модуль произведения произведением модулей Х|л-(НГ)г-"|=Х |л-(н7’)||г-“|; О вынесем нулевое слагаемое за знак суммы Х |x(»D||z""| = .r(0)+ ; О представим сумму в виде ||-v(»O||Z-"|= Ё(|х(НГ)|'/''|г-|)": П обозначим верхний предел последовательности |х(иГ)|^" /?=тах|л(н7')|1/й. н = 1, 2, ... Поскольку значение любого отсчета, в том числе и х(0), всегда конечно, ус- ловие (3.9) выполняется, если £к|г'|<~, л=) что возможно только при r|z*'|<1, откуда получаем область сходимости ^-изображения |z|>R. (З.Ю) определяемую радиусом сходимости Л. На комплексной z-плоскости это область вне круга радиуса R (рис. 3.1). Например, для дискретной экспоненты (см. Лекцию 1} область сходимости z-изображения X(z) определяется из условия абсолют- ной сходимости ряда f L(»r)Z-"|= (зло я=0 л-0 м=0
Лекция 3. Z-преобразование 33 которое выполняется при откуда получаем область сходимости |z| > |л| и радиус сходимости z На комплексной z-плоскости это область вне круга рачиуса 7?=jnj. Рис. 3.1. Область сходимости z-изображения 3.2. Соотношение между р- и z-плоскостями Связь между />- и с-плоскостями определяется соотношением (3.3). Подста- вим (3.4) в (3.3) z = ерТ = eia^jwYr - еаТе^)Т (3.12) откуда, раскрывая . имеем z = e”7 [cos(coT) + jsin((i)7 )j. Таким образом, получаем вещественную £ и мнимую Г] части комплексной переменной z (3.5) (рис. 3.2.6). связанную с вещественной о и мнимой со частями комплексной переменной р (рис. 3.2, а) = cos(coT); (3.13) I] = соГ51'л(0)Г). (3.14)
34 Часть /. Введение Рис. 3.2. Комплексные p-плоскость (а) и г-пяоскость (б) На основании (3.12) и (3.6) выразим значения радиуса г и угла ср через 0 и со соответственно: г = еат; (3.15) ф = (о Г = (Ь, (3.16) Отсюда видно, что угол ср, характеризующий (наряду с радиусом г) поло- жение точки на 4-плоскости, есть не что иное, как нормированная частота со (1.12) в радианах (си. Лекцию /). В силу периодичности экспоненты е& = е^ш = е№>±2пк) угол ср (3.16) ком- плексной переменной z указывается с точностью до слагаемого 2пк, где к — любое целое число: ф = 6±2лЛ, (3.17) но, как правило, представляет интерес главное значение аргумента в диапазоне -Ж ср (3.18) и именно его подразумевают по умолчанию. 3.3. Отображение р-плоскости на z-плоскость Используя взаимосвязь между переменными z и р (3.3), рассмотрим ото- бражение на z-плоскость: □ характерных точек р-плоскости; О отрезков мнимой оси усо и всей оси у<о р-плоскости; □ "коридоров" в левой и правой р-полуплос костях и самих р- полунлоскостей.
Лекция 3. Z-преобразование 35 Ниже приводятся соответствующие отображения. 1. Начало координат р-плоскости— точка с координатами (0=0; со=О) — отображается в точку z-плоскости с координатами (Е,=1;Т]-0) или с по- лярными координатами (г = 1;ф = 0) (рис. 3.3): 2. Точка р-плоскости с координатами (о=-оо;со=0) соответствует началу координат z-плоскости — точке с координатами (£=0; Т|=0) или с поляр- ными координатами (г = 0; ф = 0) 7 = РрТ ^c “cjnT = — = 0. 3. Точка р-плоскости на оси частот усо с координатами (0=0; (л=л/2Г) отображается в точку z-плоскости с координатами (£=0;Г| = 1) или с по- лярными координатами (г=1;ф=л/2) (рис. 3.3) 4. Точка р-плоскости на оси частот /со с координатами (0=0; со=-л/27’) отображается в точку z-плоскости с координатами (£=0; Т]=— 1) или с по- лярными координатами (г = 1; ф = —л/2) (рис. 3.3) Рис. 3.3. Отображение точек р-плсскости на z-плоскость
36 Часть I. Введение 5. Дее точки р-плоскости на оси частот у’со с координатами (о = 0; GJ = ±п/Г) отображаются в одну точку z-плоскости с координатами (£ =—1; Т] — 0) или с полярными координагами (г=1;ф=±л) (рис. 3.3) z = epT=e°'Te Jt =е~^ = cos(±n) + ysin(±n) = -l. 6. Отрезок оси частот Jw р-плоскости „л л ж 2л 0 = 0; —<(D<— => Дш =— = соп ’ у у у .1 отображается на z-плоскости в окружность единичного радиуса (единич- ную окружность) г = ерТ = eol'ej"‘r = е>шГ = ; г = 1; -л<со<л => Дб) = 2л. Радиус-вектор совершает один полный оборот против часовой стрелки, начиная с точки z = e~jr' =-1 (рис. 3.4), т. е. угол ф иа z-плоскости огра- ничен областью главных значений (3.18). Несложно показать, что при движении точки с начальными координатами (а=О;со=л/Г) вдоль оси у'со вверх частотный интервал , 2лЛ _ . „ . к<пд = ——, А = 1, 2,... отображается иа z-плоскости в к совпадающих еди- ничных окружностей z = ера (рис. 3.4): л<ш<(л + 2лА) => Д(Ь = 2лАг, Jt = l. 2,... Аналогично, прн движении точки с начальными координатами (а=О;со=-л/Г) вдоль оси /со вниз частотный интервал ^лЛ Л(0я =-у-, к = 1, 2,... отображается на z-плоскости в к совпадающих еди- ничных окружностей z = (рис. 3.4): -(л + 2лА)<сЬ<-л => Дш = 2лА, к = 1,2,... Таким образом, мнимая ось j(O отображается в бесчисленное множество совпадающих единичных окружностей, вследствие чего возникает неодно- значность отображения точек р-плоскосги на z-плоскость. Д|я их взаимно однозначного отображения ограниваются частотным диапазоном (рис. 3.4) л л . 2л — <со<— => До)= — = со.. Т т т J
Лекция 3. Z-пресбразование 37 в результате чего р-плоскостъ ограничивается "кориоором”между двумя линиями, параллельными оси абсцисс о и пересекающими ось ординат , •71 усо в точках ± j—. 5л/7 Зп/Т rJT -п/Т -Зп/7 -5ШТ Рис. 3.4. Соответствие между р- и ’-плоскостями при их взаимно однозначном отображении 7. "Коридор" в левой p-полуплоскости _ л л 2л О<0;------<(□<— => Дю = — = й). 7’ т т * отображается на z-плоскости в круг единичного радиуса (единичный круг) (рис. 3.5): z = epT^enTejA. г<1; -л<со<л => Дбэ=2п. С учетом отмеченной выше неоднозначности, вся левая рчюлуплоскость также отображается на z-плоскости в единичный круг. -п/Т — Рис. 3.5. Отображение "коридора" в левой р-полуплоскости на г-плоскость
38 Часть I. Введение 8. "Коридор" в правой р-полуплоскости отображается на z-плоскости в область вне единичного круга (рис. 3.6): z = <? = е е' ; г>1; -л<со<л => Д(Ь = 2д. С учетом отмеченной выше неоднозначности, вся правая р-молуплоскостъ также отображается на z-плоскости в область вне единичного круга. Рис. 3.6. Отображение "коридора" в правой р-пояуплоскости на z-плоскость Результаты рассмотренного отображения p-плоскости на z-плоскость приве- дены в табл. 3.1. Таблица 3.1. Отображение p-плоскости на z-плоскость № р-плоскость р = О + j(O z-плоскость z = C+J4 =геЯ а со с п г Ср = 6) 1 0 0 1 0 1 0 2 -оо 0 0 0 0 0 3 0 п 2Т 0 1 1 п 2 4 0 п 2Т 0 -1 1 п 2 5 0 1+ S 1* -I 0 1 ±л
Лекция 3 Z-преобразование 39 Таблица 3.1 (окончание) № р-плоскость р = о + jto + о г> i в< ° со 5 1 г | ф = & 6 Отрезок мнимой оси Единичная окружность (один оборот) 0 п я <(!)< — т т Г = 1 -л<ш<л 7 "Коридор” в левой р- полуплоскости Единичный круг п < 0 л л < О) < — т т Г<1 -Я < (!) < Л 8 'Коридор’' в правой р- полуплоскости Область вне единичного круш о > 0 п л <С0< — т т г > 1 -и < и 3.4. Основные свойства Z-преобразования Одним из важнейших свойств Z-преобразования является свойство его един- ственности, в соответствии с которым последовательность х(нТ) (3.2) одно- значно определяется z-изображением X(z) в области его сходимости и на- оборот, z-изображение X(z) однозначно определяет последовательность х(лГ). Приведем другие свойства Z-прсобразования: 1. Линейность. Если последовательность х(пТ) (3.2) равна линейной комбинации после- довательностей х(пТ)=а1х1(пТ)+а2Х2(кТ)+..., то ее z-изображепие равно линейной комбинации z-изображений данных последовательностей: Z {х(иТ)} = X (z) = X, (z) + а2 Х2 (z) +...
40 Часть I. Введение Доказательство. Подставив х(пТ) в (3.1), получим Х(г) = Ё " = Ё [a1xl(H7’) + o2A-2(H'/')+ .. Jz'" =О| Ё " + н»0 л=0 м=0 +«2 Ё л-2(пПг"'' + - = «1Х1(г) + «2^2(г)+ - п=0 2. Z-преобразование задержанном последовательности (теорема о задержке). Z-изображение последовательности х|(п-ш)Г], задержанной на т (ш>0) отсчетов, равно z-изображеиию незадержанной последовательно- сти х(пТ) (3.2), умноженному на z~m: Z{v(«7)}= A'(z): Z{x[(n-»or]}=X(c)z“"'. Доказательство. Подставим x[(n-m)T] в (3.1): Z{x[(«-m)T]}= £ v[(ji-m)r]z " я-0 и выполним замену переменных к = п-т (п — к + т): Z{x[(n-«)?]}= Ё Jr(A)z-(t+m)=z m Ё Л+ж-0 к=-т Разобьем сумму на две: Z{x[(n-m)7']}= z £ v(*)z * + £ a(A)z“* к=-т к=0 и с учетом (3.2) получим: 2{л[(й-т)Г]} = 0 + г-"' Ё = X(z)z"“ • А=0 Е2 Примечание Иногда требуется знать с-мзображение опережающей последовательности х((л + ш)7*] при »|>0 (см. Лекцию 8). В тгом случае оно будет равно X(z) = z"p(O-S
Лекция 3. 2-преобразование 41 Доказательство. Подставим х[(и + т)Т| в (3.1) Z{r|(n +л1)?|}= £ л [(я +га)/’]с“" п=0 и выполним замену переменных к-п+т (п=к-т) Z{.v|(n+„,)7 |}= £ t «к)г ‘ . к-гл -О к = т Разобьем сумму на две и с учетом (3.2) получим: z{x[(„ + m)r]}=<" Ё 4‘к’* ' X(z)-£x(«z’* L*=o t=o J L *=° 3. ^преобразование свертки последовательностей {теорема о свертке). Сверткой последовательностей хх{пТ) и х2{пТ) называется последова- тельность x{nT)t определяемая соотношением <>/?) = Ё ^(тПлгКп-нОП. wi=O Z-изображение свертки равно произведению ^-изображений свертываемых последовательностей Z{x(nT)}= *(г) = A', (z)X2(z) . Доказательство. Подставим х{пТ) в (3.1) Х(г)=Ё >1=0 Ё х,(шГ)х2[(п- т)Г] ш=0 Z и изменим порядок суммирования Х(г)= Ё-М«>П ш=0 /1=0 В квадратных скобках имеем z-изображенис задержанной последователь- ности х2|(п-?и)Г], поэтому на основании теоремы о задержке запишем Х(г)= Ё г1(тПХ2(г)г"" = Х2(г)Ё m = 0 «1-0 где сумма представляет собой z-изображение последовательности хДлГ). следовательно. A'(*) = A'|(z)A'2(z).
42 Часть I. Введение 3.5. Z-преобразование типовых дискретных сигналов Типовые дискретные сигналы и описывающие их последовательности рас- сматривались в Лекции 1. При определении z-нзображений данных последо- вательностей будем пользоваться нормированным временем и формулой Z-преобразования (3.1) в виде X(z) = Z{x(H)} = (3.19) и=0 Ниже приводятся z-изображения последовательностей, описывающих типо- вые дискретные сигналы. 1. Z-изображение цифрового единичного импульса ии(п) (1.3) [1, н = 0; И°(") = 1о.^о. Выполнив Z-преобразование (3.19) последовательности , получим Z{«b(«)} = l/0(z) = X »0(h)z"” = «о(О)г"° = 1. /1=0 2. Z-изображение задержанного цифрового единичного импульса и0(п- т) (1.4) {1, п = т: О, w * т. На основании теоремы о задержке имеем Z(w0(n-m)) = £/0(z)z""=z"'". 3. Z-изображение цифрового единичного скачка а, (и) (1.6) [1, „>0; “‘(п) = (о. Н<0. Подставив М|(и) в (3.19), получаем ряд Z{«l(a)) = (/,(z)= Ea,(n)z= Х1г'"= £ г"" . н-0 »=0 н=<У
Лекция 3. Z-преобразование 43 представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии f , (3.20) л=0 при q = z~l. В области абсолютной сходимости этого ряда" ЕИ"<~. я=0 соответс гвующей И<1. (3.21) сумма ряда (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии) имеет конечный предел, равный Ё?"=Г!- (3.22) л=0 1-9 Подставляя ? = 2-1 в (3.22), находим z-изображение ^(г) = ^ и область его сходимости (3.21) определяемую радиусом сходимости К = 1. 4. Z-изображение задержанного цифрового единичного скачка иДп-т) (1-7) [1, w>m; «)(«-»!) = ( [О, п<т. На основании теоремы о задержке имеем Z{B1(n-m)} = J/1(z)z m =- 1-z Где обеспечивается сводимость ряда (3.20>.
44 Часть I. Введение 5. Z-изображение убывающей дискретной экспоненты (1.8) х(п) = (±«)", » >0, |а| < 1; О, п<0. Подставив а(и) = (±а)” в (3.19), получаем ряд типа (3.20): Z{x(>.)) = X (z) = X (±o)"z " = X и = О п - 0 Подставляя ^ = ±лг-1 в (3.22), находим искомое 7-изображение Х(;) = —!— (3.23) 1 + ог и область его сходимости (3.21) laz''l<1=* ы<1=’|г|>|"1’ (3-24) |г| определяемую радиусом сходимости Я = . 6. Z-изображение последовательности xW = r."Sinl(,1 + 1)4 smep* Подставим х(п) в (3.19) X(z)=x-."sinff”+')tp-^ „=О «'ПФ. -Д- X r" sin[(n + l)q>.]z~" sinep. ,1=о и раскроем sin [(w 4- 1)фф ] по формуле Эйлера х (г) = -Д- х г." ---------------4-----------Z sintp. „=о 2Jsin ф( у г-« _ у л 2 j sin фц X -е-^ X (гХ^г1)' иМ» >1=0
Лекция 3. Z-преобразование 45 Каждая из сумм представляет собой ряд типа (3.20). Подставляя q = i^e^z~l и q = r^e~^z~l в (3.22), находим --изображение Х(г)= —------ 2 jsm(p4 .Ж и область его сходимости (3.21) определяемую радиусом сходимости R = г* . X(z) = 2y'sin<p. (1->•.<? 11риведем к общему знаменателю дроби в квадратных скобках I г g^-r.z-'-e-^+r.z-' ' ?Jw,z’l)(l-r.e e№_g-M 2 J sin ф. [ (1 - г.с^-Г1 )(1 - т.е"-'ф-z"‘) и, сворачивая экспоненты, получим z-изображеиис 1 sin ср» sinq>„[(l-r.g."*z ‘Xl-v’^z’1) (3.25) (l-r.e^z_1Xl-r.e '"г"') в виде дробно-рациональной функции 2-го порядка с разложением знаме- нателя на простейшие множители. Полюсами такой функции называют значения z, при которых се знамена- тель обращается в нуль. Умножив числитель и знаменатель (3.25) на z2: X(z) =----- (z-v^Xz-r.^) найдем два комтексно-сопряженных полюса — два корня знаменателя* 7. . . = Г (3.26) Для обозначения полюса принято использовать символ звездочка.
46 Часть I. Введение После умножения простейших множителей знаменателя: ' l-r.C-^z-'-r.e^Z-‘+r.2z-2 l-(r.c-* +е*кГ‘ к,2г-2 ’ свернув экспоненты: Л W . ~Zi2-Т 1 —z^coscp^z + ГФ Z и обозначив коэффициенты многочлена знаменателя: «I = _2г* cos (р*; получаем z-изображение в виде дробно-рациональной функции с вещест- венными коэффициентами , -1 -2 * 1 + atz + a2z Таблица 3.2, называемая таблицей соответствий, содержит рассмотренные ранее последовательности и их z-изображения. Z-преобразование двух по- следних последовательностей предлагается выполнить самостоятельно с по- мощью аналогичного приема. Таблица 3.2. Таблица соответствий № Последовательность z-нзображение 1 Мл> = , к = 0; ), п *0 Ц,Ы = 1 2 ы0(л-И1) = р ' . а а % II 3 9 х-В.М»:- 3 «1(л)« I, п > 0; 0. л<0 ци)=—Ц- 1 - Z 4 «,(Л-Л|) = 1. п > т; 0, л < т Ц(г)Гй,=^— 1-z 5 Л(И) = (±а)" |о|<1 1 X(z) = - 1 + az
Лекция 3. Z-преобразование 47 Таблица 3.2 (окончание) № Последовал елыюс гь Z-июбражеиие 6 ,, »sin|(n+l)g>.J х(м) = г„ sin<p„ 1 X(z> l + t^z +a2z~2 где a, = -2r, cos<p., a, ~ r,2 7 х(я) = г" sin(<p,n) b.z 1 X(z) = 4 27- 1 + z +a2z где = -2r. cos<p., a-, = r2, = r. sin cp. 8 х(«) = rj cos(<p.w) 1 +hz-1 l+fljZ +a2z гле at = -2r, coscp., a2 = r2 , b{ = r, costp. Покажем, как пользоваться таблицей соответствий на примерах. Пример 3.1 Найти г-изображение последовательности x(n) = fcl)(-‘'|)"+M-«l)"“'- (3.27) Решение. Согласно свойству линейности X (г) = fcoz{(-«,)" }ч- Ь, Z )"“] }• На основании теоремы о задержке х (г) = />„/{(-«,)" }+ fc, J-‘Z )" }. Используя результаты таблицы соответствий (см. табл. 3.2, строку 5): х(и) = (-а,)“ =» Х(г) =-- 1 + iTjZ имеем
48 Часть L Введение откуда после приведения к общему знаменателю получаем z-изображение Х(_-) = h° +blZ ' . (3.28) 1+П|Х ’ Пример 3.2 Найти z-изображенис последовательности , . L „ sin[(n + l)q>.] sinGxp.,) t „_,sin[(n-l)q>.] л'ОО'-Ц)**---------------•*A|* —:-------;------------------ Sint/),. Япф, S1DQV Решение. Согласно свойству линейности , A7J „51п[(л + 1)ч>.]1 „ [„-1 sin(H<p.)l f „_2 sin[(«-l)<p.] x(z) = d0Z^/i ---------------J + f + ---------- I sincp* j [ sincp* J [ sincp* На основании теоремы о задержке у. . /,.Л „5>П[(« + ')Ф.]1 i f „sin[Oi + l)q>.]l Л {z)-°o'-'\:-----------i',’hz ; i + [ sincp* j [ sincp„ j j> .-2J-Lx,sin[('! + 1)4>-]) +t?2< Z</; ----;------f- I Sin Ф* I Используя результаты таблицы соответствий (см. табл. 3.2, строку 6) Х(г)=-------->----- Sincp* 1+fljz +a2z имеем fro , ,, ly~2 14-fl|Z4+o>£-2 1+c/jZ ,+a2Z~2 1+ajZ 1+a2z~2 откуда после приведения к общему знаменателю получаем z-изображение A-(z) = fc«+<’12,1 —2\2 (3.30) 1+(7]Г 4-«2^ 2 где a, =-2rwcoscp»; а2 =г^‘
Лекция 3. Z-преобразование 4g 3.6. Обратное Z-преобразование Последовательноеib (оригинал) х(м) по известному z-изображению Л(г) находится с помощью обратного /-преобразования Z“1 {X(z)} = л(и) = -Цф X (z)z"-'zfe , (3.31) 2л/с где: Z4{X(.-)} — символическое обозначение обратного /-преобразования; С — любой замкнутый контур в области сходимости подынтегральной функции, охватывающий все ее особые точки (полюсы) и начало координат комплексной z-плоскости. Вычислить оригинал непосредственно по формуле (3.31) достаточно сложно и в большинстве случаев невозможно. Существуют более простые способы определения обратного /-преобразования на основе: □ таблицы соответствий; □ теоремы Коши о вычетах; П разложения z-изображения на простые дроби. 3.6.1. Использование таблицы соответствий Это наиболее простой и удобный способ в случае, когда z-изображение имеет вид дробно-рациональной функции. Но существу, таблица соответствий (табл. 3.2) уже применялась в примерах 3.1 и 3.2 для прямого /-преобразования. Покажем, как ею пользоваться прн обратном /-преобразовании. Пример 3.3 Найти последовательность (оригинал) x(w) по известному z-изображснию Х(:)=Ь°+Ь'г' . (3.32) Решение. Числитель Х(г) (3.32)— многочлен ненулевой степени, поэтому его следует представить в виде суммы дробей X(Z)=_^+^rL. I -ttj Г 1 -«I Z
50 Часть I. Введение В таблице соответствий (см. табл. 3.2) находится z-изображение с таким же знаменателем (для данного примера это строка 5) и записывается соответствие X(z)=---—г => л(») = о''- (3.33) Согласно свойству линейности х(п) = Z"‘ I—L Z"1г' = [1-цг J [ 1 - а,г 1 =baZ~' !rJ—rbfc|Z1 (т-5—=rl- |1-й;г l-rtjz J На основании теоремы о задержке и соответствия (3.33) получаем последова- тельность л(л) = +^ав 1 • Пример 3.4 Найти последовательность (оригинал) х(п) по известному z-изображению X(z) = Z’o+*1Z' (334) 1 +flj Z 1 +й22 Решение. Числитель X(z) (3.34)— многочлен не нулевой степени, поэтому его следует представить в виде суммы дробей ^)=— l + a{z +a2z l+njZ +л22 l + O|2 + «2z В таблице соответствий (см. табл. 3.2) находится z-изображение с таким же знаменателем (в данном примере это строка 6) и записывается соответствие 1 „ sinГ(л + 1)Ф*| X (г) =---_!------ х(и) = г/ —. (3.35) l+njZ 1 +д2г 2 sincp* Согласно свойству линейности X (z) = Z-' |----------Д + 7. ' I---------Д + [1+Ц1 +<y j [1 + а1< +агг ~
Лекция 3. Z-преобразование 51 +—Д+м-11—~—2 [1 + ^z +«2^"J [l + ^iZ +a2z На основании теоремы о задержке и соответствия (3.35) получаем последова- тельность , >_>. »sinl(" + 1)4,.l л-1 sin(K<p.) „_2 sin[(n-1)Ф.] Х\К)— Т Т /?2^к siB(p+ sin ф* sin ф4 3.6.2. Прямое вычисление интеграла на основе теоремы Коши о вычетах Этот способ основан на использовании теоремы Коши о вычетах, в соответ- ствии с которой вычисление интеграла (3.31) саодится к вычислению суммы Х(Л)=Е Rcsai[x(z)z" (3.36) где Resaj ^(zjz"-1 ] называется вычетам* подынтегральной функции в осо- бой точке — k-м полюсе aA = z#A. . Если дробно-рациональная функция A'(z) имеет простые (не кратные, т. е. не равные между собой) полюсы, то вычет в простом k-м полюсе равен Resaji [x(z)z""1 J= lim |\z-ak)X(z)zH-1 J. (3.37) Пример 3.5 Найти последовательность (оригинал) x(w) по известному ^-изображению 4 Res — начальные буквы фраш^скоп) слова icsidtt — остаток. 3 Зяк ]65
52 Часть L Введение Решение, /-изображение X(z) представляет собой дробно-рациональную функцию первого порядка, имеющую только один полюс ctj. Умножив чис- литель и знаменатель Л(з) на z : находим этот полюс (корень знаменателя): «1 = -ах. Следовательно, в сумме (3.36) имеем одно слагаемое— один вычет (3.37) и последовательность имеет вид jt(;i) = ResU| [х(г)г" ’] = lim (г+n,/jz"~‘ = lim fb(lz" +ft,z" +bl(-a,)“ *. Это совпадает с результатом, полученным другим способом в примере 3.3. Пример 3.6 Найти последовательность (оригинал) х(н) но известному z-изображению Решение. Z-изображение Л(2) представляет собой дробно-рациональную функцию второго порядка, имеющую два простых вещественных полюса Ct। = 0,2 и а2 = 0,3, которые легко находятся по теореме Виета. Следовательно, в сумме (3.36) имеем два слагаемых — два выче1а (3.37). Вычет в полюсе ОС] =0,2 равен Res Гхи)г,,-,'|= lim (z-0,2) 1L J г-»0.2 lim c-»o.2
Лекция 3. Z-преобразование 53 Вычет в полюсе а2 =0.3 равен Согласно (3.36) послецовательность равна сумме г(и) = -2-0,2" + 3-0,3". При наличии у дробно-рациональной функции X(z) кратных полюсов вычет в полюсе аЛ. кратности /А в (3.36) определяется по формуле Res L- lim Х(г)г" ']. (Jk -ir z-^kclz4 Пример 3.7 11айти последовательность (оригинал) по известному г-изображенню А^') l-z-1+0,25z"2 (1-0,5z-1)2 ’ Решение. Z-изображенне ,¥(г) представляет собой дробно-рациональную функцию второго порядка, имеющую вещественный полюс сц =-0,5 кратно- сти Zj=2 (т. е. два одинаковых полюса). Поэтому сумма (3.36) содержит один вычет и последовательность имеет вид: jrt«) = Re5nirX(zk"-|l=--l— lim <z,)' X(zR" '1 = L J ~ I). v-»ctj dz1 L J =----!— lim Г(г-0.5)2Х(с).’"-11 = (2-l)!z-»0.5rfr2-,L J = lim — (c-0.5)2-------, г"-1 = • >0.5rf;[ (I-0.5c-1)2 = lim — (z-0.5)2--------—T<"~' = (*—0.5r J = lim —1>1= lim Ггцп1 = л0,5я. = -*o.5 dzL -1 =->o.5L J
54 Часть / Введение 3.6.3. Разложение z-изображения на простые дроби Этот способ основан на представлении z-изображения в виде суммы простых дробей. Если X(z} —дробно-рациональная функция, числитель и знаменатель кото- рой являются многочленами относительно z 1, порядок многочлена числи- теля меньше порядка многочлена знаменателя, а полюсы — простые (не кратные), то ее можно представить в виде суммы простых дробей м-if а А Х(г)= £ -----г , (3.39) где: = •г** — простой Л-й полюс (вещественное или комплексное число); Ак — коэффициент разложения при к-м полюсе (константа Лк — всегда число того же типа, что и полюс ак): {М -1) — количество полюсов сс* (н констант Ак ). Найдем оригинал х(л) z-изображения (3.39). Согласно свойству линейноегн откуда, на основании (3.33), получаем оригинал Л(н)=£\а/. (3.40) Пример 3.8 Найти последовательность (оригинал) л(н) по известному z-изображению -------Г--------у. (3.41) l-0,5z" 4-0,06= ~ Решение. При известных простых полюсах иц =0.2 и а2 = 0,3 (см. при- мер 3.6) представление Х(г) в виде суммы простых дробей (3.39) имеет виц где А2 — коэффициенты разложения при полюсах (вещественные числа).
Лекция 3. Z-преобразование 55 Из условия равенства левых частей (3.41) и (3.42) следует равенство правых частей --------Р 2 = —~~г+— (3-43) 1—0,5^ +0,06-------------------------------------1-0,2z~ 1-0,3’"1 Разложив на простейшие множители знаменатель дроби в левой части равен- ства (3.43) и сложив дроби в правой часл и равенства, получим: 1 (^|+A)-(0,3J|+0,2^)z~' (l-O.K’xi-O.Jz-1) (l-0.2z-l)(l- 0,3="') Дробно-рациональные функции с одинаковыми знаменателями равны, если они имеют одинаковые числители, что обеспечивается равенством коэффи- циентов при одинаковых степенях z : f Л1 +Л2=1; [0,3x1, + 0,2Л2 =0. Решив данную систему уравнений, находим коэффициенты разложения: р«|=-2; Нг=3 и «-изображение в виде суммы простых дробей (3.39): -2 3 X (z) =----г +--------г. 1-0,2z 1-0,Зг"1 Согласно (3.40). последовательность равна сумме ,г(и) =-2-0,2"+3-0,3". Эго совпадает с результатом, полученным другим способом в примере 3.6. Если порядки многочленов числителя и знаменателя равны (/V-1) = (M-1), то дробно-рациональную функцию >V(z) с простыми полюсами можно пред- ставить в виде: м if д А XU)=A>+Z —• <3-44> J.ll 1-ttj.Z I где А{) — вещественная конста1ла.
56 Часть I. Введение Тогда, с учетом результатов таблицы соответствий (см. табл. 3.2, строку 1) и соотношения (3.40), получаем оригинал М -1 лХя) = Ло"о(">+ X Акак" (3.45) При кратных полюсах также применимо разложение дробно-рациональной функции X(z) на простые дроби, однако определение оригинала в данном случае существенно усложняется. Необходимые формулы можно найти, на- пример. в [9].
ЧАСТЬ II МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем Лекция 8. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний Лекция 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний

Лекция 4 Описание линейных дискретных систем во временной области Системой обработки сигналов (системой) называется объект, выполняющий требуемое преобразование входного сигнала в выходной. Входной сигнал системы называется воздействием. выходной —реакцией. В общем случае взаимосвязь между входными и выходными сигналами сис- темы с несколькими входами и выходами— соотношение вход/выход— описывается уравнением в операторной форме Y = F(X), (4.1) где: X, У — векторы, элементами которых являются воздействия и реакции (функции времени) соответственно; F — оператор, определяющий математическое преобразование1 (линейное или нелинейное алгебраическое, дифференциальное и т. д.). Для систем с одним входом и одним выходом, уравнение (4.1) принимает вид: _y = F(x), (4.2) где х, у —воздействие и реакция (функции времени) соответственно. По умолчанию будем рассматривать системы с одним входом и одним выходом. В соответствии с определением, системой можно назвать как физическое устройство, так и оператор F (математическое преобразование). По .ггой причине в математике оператор F иначе называли преобразование» F 123, 37].
60 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем Приведем необходимые определения: 1. Система называется линейной. если она отвечает двум условиям: • реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воз- действий {свойство аддитивности или принцип суперпозиции): Г(Л1 + .т2+ ...)= Г(х1) + Нл2)+ - ; (4.3) • умножению воздействия на весовой коэффициент соответствует реак- ция, умноженная па тот же коэффициет (свойство однородности): F(ax) = cfF(A) . (4.4) Соотношение вход/выход лш/доюй системы описывается уравнением (4.2) с линейным оператором F, т. с. линейным уравнением. 2. Система называется дискретной, если она преобразует входной дискрет- ный сч/гнал .т(/|Г) в выходной дискретный сигнал у(нТ) (рис. 4.1). Эти сигналы могут быть вещественными или комплексными (см. Лекцию I). г(п7) = л[л(пГ)]. Рис. 4.1. К определению линейной дискретной системы 3. Дискретная система называется стационарной, если ее реакция инвари- антна но отношению к начал) отсчета времени (свойство инвариантно- сти во времени), г. с. цдя реакций у(нТ) и у|(м7’) = у[(м-ш)7'] при лю- бом целом т справедливо равенство у(пТ) = у, [(» + т)Г]. Параметры стационарной системы неизменны во времени. По умолчанию будем рассматривать стационарные системы. В стационарной системе задержка воздействия па время тТ (m > 0 ) при- водит к задержке реакции на то же время Л [(и - ш)Т I => у [(л - 1И)Г] 4. Начальные условия в дискретной сис теме могу г быть нулевыми или нену- левыми. Признаком нулевых начальных условий является озсутствие реакции ДмГ) = 0 при отсутствии воздействия л(г/7) = 0.
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 61 Обозначив момент начала воздействия и = 0, нулевые начальные условия можно записать в следующем общем виде ... =0; (4.5) что означает: вес значения воздействия и реакции, которые может пом- нить дискретная система, в моменты времени, предшествующие началь- ному, равны нулю. Признаком ненулевых начальных условий является наличие ненулевых значений реакции (свободных колебаний) при отсутствии воздействия. 5. Дискретная система называется физически реализуемой, если для нее вы- полняются условия физической реализуемости: при пулевых начальных условиях реакция не может возникнуть раньше воздействия; значения реакции у(пТ) в каждый момент времени п зависят от текущего х(пТ) и предшествующих значений воздействия х[(л-ля)Г]. m >0, но нс зависят от его последующих значений л[(н + m)7'], m £ 1. Условия физической реализуемости отображают причинно-следственную связь реакции с воздействием (принцип причинности). Рассмотрим описание линейной дискретной системы (ЛДС) во временной области', основную характеристику и соотношение вход/выход. 4.1. Импульсная характеристика Во временной области основной характеристикой линейной дискрснюй сис- темы, так же как и линейной аналоговой системы, является импульсная ха- рактеристика (ИХ). Импульсной характеристикой h(nT) линейкой дискретной системы назы- вается ее реакция на цифровой единичный иипулъс Hq(hT) при нулевых на- чальных условиях (рис. 4.2). ЛДС Рис. 4.2. К определению импульсной характеристики Импульсную характеристику й(»Г) считают основной характеристикой ли- нейной системы, потому что, зная ее, можно определить реакцию на любое (произвольное) воздействие.
62 Часть /А Математическое описание линейных дискретных систем Во временной области ЛДС может также описываться переходной характе- ристикой. Переходной характеристикой g(nT) линейной дискретной сис- темы называется ее реакция на цифровой единичный скачок и{(пТ) при ну- левых начальных условиях (рис. 4.3). Рис. 4.3. К определению переходной характеристики Как известно [9], переходная характеристика линейной аналоговой системы связана с ее импульсной характеристикой соотношением g(z) = p?(/k/z. О Аналогично, переходная характеристика линейной дискретной системы свя- зана с ее импульсной характеристикой соотношением g(.nT) = X МтТ). tn-d Например, если импульсная характеристика имеет вид убывающей дискрет- ной экспоненты Л(н) = а", |а|<1, то переходная характеристика определяется как сумма конечной убывающей геометрической прогрессии и имеет следующий вид: Н И 1-п" «(«Г)= £й(»>Т)= т=0 т О 1 О. Зная переходную характеристику g(rt7"), также можно определить реакцию на произвольное воздействие. 4.2. Соотношение вход/выход Соотношение вход/выход отображает взаимосвязь между входным х(лГ) и выходным у(пТ) сигналами ЛДС. т. е. реакцию ЛДС па произвольное воз- действие.
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 63 Ви временной области соотношение вход/выход ЛДС описывается чиненны- ми уравнениями: □ формулой свертки (сверткой), если используется импульсная характеристика; □ разностным уравнением, если используются параметры ЛДС. 4.2.1. Формула свертки Получим уравнение взаимосвязи между входным х(пТ) и выходным у(пТ) сигналами для ЛДС» заданной своей импульсной характеристикой h(nT). Воспользуемся определением ИХ и свойствами ЛДС. Будем последовательно записывать соотвегствия, указываемые стрелкой, между воздействием и ре- акцией: О по определению, воздействию в виде цифрового единичного импульса со- ответствует реакция, называемая импульсной характеристикой, и0(пТ)=ь h(nT)', □ на основании свойства инвариантности во времени для стационарных чи- ненных систем воздействию, задержанному на время тТ, соответствует реакция, задержанная на то же время, «о [(п - ш)И =>А [(« - '"Уг ]; □ на основании свойства однородности (4.4) линейных систем, умножению воздействия на константу х(тТ) соответствует реакция, умноженная на ту же константу, w0 [(л => Л[(я-ш)Г].т(тГ); □ на основании свойства аддитивности (4.3) линейных систем реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое из воздействий х И|)[(л-И1)т]л(т7')=> X Л[(л-"')7’]л(»17’); ;Н = -м щ = ~оо □ для физически реализуемых систем х и0 [(л - ш)Т]х(ш7’) => X й [(п - in>T]х[тТ); wi=O hi=O □ слева имеем воздействие в виде (1.5) х(нТ) = £ и01(н-»1)7*].т(т'Г), т=0
64 Часть U. Математическое описание линейных дискретных систем справа — реакцию у(пТ) = £ Ь[(п-т)Т]х(тГ), (4.6) in=O где й[(я-/л)Т]— импульсная характеристика, задержанная на m перио- дов дискретизации. Линейное уравнение (4.6) называют формулой свертки (сверткой): реакция у(л7*) вычисляется как дискретная свертка воздействия х(пТ) и импульс- ной характеристики h(nT). Выполнив в (4.6) замену переменных, можно получить другой вариант запи- си формулы свертки у(пТ) = £ /|(л17).т[(п-т)Г]. (4.7) я1«0 Для нормированного времени (ель Лекцию I) формулы (4.6) и (4.7) принима- ют вид соответственно у(л) = У h(n-m)x(m). (4.8) ш=0 >’(«) = У. h(m)x(n~m). (4.9) »| = 0 При стандартном обозначении операции саертки, формулы (4.8) и (4.9) запи- сываются в компактном виде у(л) = г(») */,(;/). Линейная дискретная система, соотношение вход/аыход которой описывает- ся в виде формулы свертки, отвечает условиям физической реализуемости: при нулевых начальных условиях л(и-'»)|,1_„1<о=О; =•> реакция не может возникнуть раньше воздействия. Значения реакции у(пТ) в каждый момент времени и зависят от текущего и предшествующих значе- ний воздействия, но не зависят от его последующих значений. Линейные уравнения (4.8) и (4.9) решаются методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях. поэтому формула свертки непосредственно
Лекция 4. Описание Линейных дискретных систем во временной области 65 описывает алгоритм вычисления реакции по известному воздействию и им- пульсной характеристике ЛДС. Отметим, что для вычисления реакции линейной аналоговой системы по формуле свертки в виде интеграла необходимо выбрать метод (алгоритм) численного интегрирования, однако все подобные методы являются прибли- женными и принципиально вносят методическую погрешность. Покажем тождественность результатов прн вычислении по формуле свертки в двух вариантах ее записи (4.8) и (4.9) при нулевых начальных условиях. Определим реакцию в точке н = 3: □ по формуле свертки (4.8) имеем: у(3) = Л(3)л(0) + Л(2)а(1) + й(1)а-(2) + й(0)х(3) ; □ по формуле (4.9) получаем тот же результат: у(3) - /1(0) л(3) + й(1) д(2) + й(2) х(1) + Л(3) л(0). Выбор варианта формулы определяется удобством применения в конкретном случае. Пример 4.1 Вычислить реакцию ЛДС по формуле свертки при нулевых начальных ус- ловиях. Импульсная характеристика и воздействие заданы графически на рис. 4.4. Требуется определить 8 отсчетов реакции. Рис. 4.4. Импульсная характеристика (а) и воздействие (б) Решение. Вычисление реакции приведено в табл. 4.1, а график полученной реакции — на рис. 4.5.
66 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Таблица 4.1. Вычисление реакции но формуле свертки л Реакция 0 >(0) = Л СО) л(0) + Л(1) Jt(-l) + ЛС2) Л(2) +... = ВД .г(0) = 12 = 2 1 у(|) = Л(О)д(|) + й(|)х(О) + Л(2)х(-1) +... = й(О)х(|) + й(1)х(0) = 11+22=5 2 у(2) = Л(0) х(2) + Л (1) л(1) + й(2) л(0) + Л(3) х(-1) +... = - Л(0) л(2) + Л(1) х(1) + й(2) х(0) = 10 + 21 + 2- 2 = 6 3 у(3) = Л(0)л(3) + й(1)х(2) + Л(2)х(1) + й(3)х(0) + й(4)х(-1) + ... = = Л(0) г(3) + й(1) х(2) + й(2)л(1)+ й(3)х(0) = 10 + 2-0 + 21 +1-2 = 4 4 у(4) = Л(0) х(4) + Л(Пл(3) + Й(2)х(2) + й(3)х(1) + й(4)х(0) + й(5)х(-1) + ... = = Л(0)л(4) + й(1)х(3) + й(2)х(2) + Л(3)х(1)+й(4).с(0) = = 1-0 + 2 0 + 2 0 + 11+0-2 = 1 5 у(5) = Л(0) х(5) + Л(1) л(4) + Л<2) х(3) + Л(3) г(2) + й(4) х( 1) + Л(5)х(0) + + й(6)л(-1) + ... = Л(0)л(5) + й(1)х(4) + /Я2)х(3) + Л(3) л(2) + + Л(4) х(1) + й(5) х(0) = 1-0+20 + 2-0 + 10 + 0-1 + 0-1 = 0 6 У(6) = 0 7 у(7)=0 Механизм вычисления отсчсгоа реакции у(»)« н = 0.1, 2,... по формуле свертки можно представить как вычисление сумм локальных произведений двух последовательностей— импульсной характеристики и воздействия.
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 67 При этом одна из последовательностей фиксирована, а другая зеркально ото- бражается относительно оси ординат и затем скользит слева направо по оси времени. При использовании формулы свертки (4.9) фиксированной будет импульсная характеристика, а скользящим — воздействие. Механизм вычисления свертки (4.9) для примера 4.1 приведсн па рис. 4.6. Фиксированная импульсная характеристика показана на рис. 4.6, а, воздейст- вие — на рис. 4.6, б, зеркально отображенное воздействие— на рис. 4.6. с, а результат его последовательного скольжения — па рис. 4.6, г—з. Рис. 4.6. Вычисление реакции по формуле свертки
68 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Первый отсчет реакции у(0) вычисляется как сумма локальных произведе- ний последовательностей на рис. 4.6,айв, второй отсчет реакции у(1) — как сумма локальных произведений последовательностей на рис. 4.6, а н г, и т. д. Очевидно, что вычисление следует прекратить, как только все локальные произведения окажутся равными нулю. Это произойдет, когда последова- тельности "разойдутся”, т. е. у двух умножаемых последовательностей не бу- дет ни одного совпадения отсчетов ни в один из моментов времени п. В рас- сматриваемом примере последовательности "расходятся" при сдвиге скользящего воздействия по оси времени на m = 5 (рис. 4.6, з). Рассмотренный механизм вычисления реакции по формуле свертки позволя- ет сделать следующие выводы: □ если длительность воздействия и/или импульсной характеристики беско- нечна, то длительность реакции также бесконечна; □ если длительности воздействия л(л7*) и импульсной характеристики h(nT) конечны и равны NT и МТ соответственно, то длительность реак- ции у(пТ) также конечна и равна LT, где L=N + M-1. (4.10) При n>L последовательности (импульсная характеристика и зеркально отображенное скользящее воздействие) "расходятся" и =0 . Если воздействие и импульсная характеристика конечны, формулы (4.8) и (4.9) приобретают вид: Z.-1 у(п) = X (4.11) «1=0 L-I Я»)= X (4.12) «1=0 В примере 4.1 имеем длину воздействия N =2 и длину импульсной ха- рактеристики М = 4, поэтому длина L реакции равна (см. рис. 4.5) L=4+2-l=5. Операцию дискретной свертки в формулах (4.8) и (4.9) называют линейной (апериодической) сверткой, в отличие от другой ее разновидности — круговой (периодической) свертки (сн. Лекцию //).
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 69 4.2.2. Разностное уравнение Наряду с формулой сверчки взаимосвязь между воздействием г(лГ) и реак- цией у(нТ) — соотношение вход/выход— можег описываться линейным разностным уравнением (РУ) N-1 М-1 Я«Г)= s V[0j-/)T]- X «Лу[(л-А)Т], (4.13) i = 0 k = l где; bf, ak —коэффициенты (вещественные константы); х(пТ).у(мТ) — воздействие и реакция (вещественные или комплексные); i.k —значения задержек д.чя воздействия и реакции соответственно; Лг, Л/ — константы; х[(и- nr],A«-wJ — воздействие и реакция, задержанные на i и к пе- риодов дискретизации соответственно. Коэффициенты bf, ак называют внутренними параметрами (параметрами) ЛДС. Для нормированного времени разностное уравнение (4.13) принимает вид N-l М-1 у(п) = £ aky(n-k). (4.14) /-О Линейная дискретная система, соотношение вход/выход которой описывает- ся в виде разностного уравнения (4.14). отвечает условиям физической реали- зуемости: при нулевых начальных условиях (4.5) реакция не может возник- нуть раньше воздействия. Значения реакции у(пТ) в каждый момент времени п зависят от текущего и предшествующих значений воздействия, но нс зависят от его последующих значений. Разностное уравнение имеет прямую аналогию с линейным дифференциаль- ным уравнением, описывающим соотношение вход/выход аналоговой линей- ной системы [15], >(0= X(4-15> ,-о Л <=i dr
70 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем где: b;, ak — коэффициенты (вещественные константы), определяемые значе- ниями резисторов, емкостей и индуктивностей: х(0, У(.г) —аналоговые воздействие и реакция (токи или напряжения). Переход от дифференциальных уравнений к разностным обусловлен разли- чием функций, описывающих входной и выходной сигналы аналоговых и дискретных линейных систем. Аналоговые сигналы описываются непрерыв- ными, а дискретные—решетчатыми функциями времени, поэтому вычисле- ние производных в (4.15) заменяется вычислением разделенных разностей в (4.14) (см., например, [37]). Дифференциальное уравнение (4.15) решается с помощью одного из методов (алгоритмов) численного интегрирования. Выбор метода— достаточно сложная проблема, однако любой из этих методов яалястся приближенным, т. е. принципиально вносит методическую погрешность. При неудачно вы- бранном методе погрешность вычисления функции времени у(/) может ока- заться нарастающей, что приведет к непредсказуемому результату. Разностное уравнение (14.14) решается методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях, не вносящим методической погрешности, по- этому оно непосредственно описывает алгоритм вычисления реакции по из- вестному воздействию и параметрам ЛДС. Пример 4.2 Решить разностное уравнение: у(п) = х(п) - 0,5у(н -1) методом прямой подстановки при заданном воздействии: х(п) = О.Г и нулевых начальных условиях. Вычислить 5 отсчетов реакции. Решение. Вычисление реакции приведено в табл. 4.2. Таблица 4.2, Вычисление реакции методом прямой подстановки п Воздействие Реакция 0 х(0) = 1 у(0) =л(0) - 0.5 v(-1) = 1 - 0.5 0 = 1 1 х(1) = 0.1 у(1) =л(1) - 0.5.г(0) = 0.1 - 0.5 1 = -0.4
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 71 Таблица 4.2 (окончание^ л Воздействие Реакция 2 л(2) = 0.01 у(2)=л(2)-0.5у(1) = 0.01 -0.5 -(-0.4) = 0.21 3 х(3) = 0,001 у (3) = л(3) - 0.5у(2) = 0.001 - 0.5 • 0,21 = -0.104 4 л(4) = 0.0001 у(4) = х(4) - 0,5у(3) = 0,0001 - 0,5 (-0,104) = 0,0521 4.3. Рекурсивные и нерекурсивные линейные дискретные системы Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из ко* эффициентов ак , А=1, 2,..., М -1 разностного уравнения (4.14) неравен ну. но. Порядок рекурсивной ЛДС равен порядку РУ (4.14), т. е. max{(M-1), (N-1)}. (4.16) Согласно (4.14), реакция у(п) рекурсивной ЛДС в каждый момент времени и определяется: □ текущим отсчетом воздействия х(л); □ предысторией воздействия .v(n-i), i=l, 2,..., 7V-1; □ предысторией реакции у(п - к), к=1. 2,, М -1. Приведем примеры разностных уравнений простейших рекурсивных ЛДС: □ первого порядка г(и) = й[)Х(п) + &1л‘(л-1)-«1г(и-1); (4.17) □ второго порядка у(п) = 6пл(н) + -1) + Ь2х(п - 2)- fl,y(« -1)- а2у(н - 2). (4.18) Линейная дискретная система называется нерекурсивной, если все коэффици- енты ак разностного уравнения (4.14) равны нулю ак =0, 6 = 1, 2,...,М-1. (4.19) Для нерекурсивной ЛДС разностные уравнения (4,13) и (4.14) принимают вид: 7V-I у(«Т) = X b,JA(H-!)TJ; (4.20) 1=0
72 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем ,V‘l у(п) = X bix(п ~ 0 • (4.21) i=O Порядок нерекурсивной ЛДС равен порядку РУ (4.21), т. е. (W -1). Согласно (4.21 X реакция у(п) нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени п определяется: О текущим отсчетом воздействия х(п); □ предысторией воздействия х(п — I), /=1, 2,..., У-1. Приведем пример разностного уравнения простейшей нерекурсивной ЛДС второго порядка: У(w) = bQx(n) + b|х(п -1) + - 2). (4.22) 4.4. Системы с конечной и бесконечной импульсной характеристикой Оцепим особенности импульсных характеристик рекурсивных и нерекур- сивных ЛДС, описываемых разностными уравнениями (4.14) и (4.21) соот- ветственно. Рассмотрим процедуру расчета ИХ непосредственно по РУ и сравним ре- зультаты на примерах простейших рекурсивной и нерекурсивной систем. Пример 4.3 Вычислить импульсную характеристику нерекурсивной ЛДС второго поряд- ка, соотношение вход/выход которой описывается РУ (4.22) у(л) = ^)Х(п) + /?|Л(п -1) + h2x(n - 2). Решение. Согласно определению, ИХ — это реакция на цифровой единичный импульс (см. рис. 4.2), поэтому, выполнив замену (4 23) (X»)=» *(»). перепишем РУ а виде М») = ^wo(n) + £>]и0(н -1) + Ь2и0(» -2) и решим его методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях: Л(0) = IjqUq (0) + £>]М0(-1) + = bQ 1 + fa • 0 + /ъ - 0 = hQ;
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 73 Л(1) = 60u0(l) + fyw0(0) + 62w0(-1) = fyj О 1 + Ь2 О=й,; Л(2) = Zty'o(2) + Л]w0(l) +й2но(О) = ло ‘0+А1' о+л2 1 =Ь2; й(3) = +Z?]I/q(2) + /^^(l) = й(> 0 + Л, О + />? О = О; h(n) = О при п > 3. Распространяя напученные результаты па нерекурсивную ЛДС произвольною порядка, приходим к следующим выводам: □ импульсная характеристика нерекурсивной НДС имеет конечную длитель- ность; □ значения отсчетов ИХ равны коэффициентам разностного уравнения h{n) = b„ n=i=Q.\...Л/-1. (4.24) Поэтому нерекурсивные ЛДС называют системами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-системами)". Пример 4.4 Вычислить импульсную характеристику рекурсивной ЛДС первого порядка. соотношение вход/выход которой описывается РУ (4.17) при й, =0 у(н) = I) Решение Выполним замену (4.23), перепишем РУ в виде Л(и) = йог/о(н)- «[А(« -1) и решим его методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях: Л(0) = йомо (0) - axh(-1) = bf,; Л(П=Vo(0-"A0>; Л(2) = /Л)П0(2) = -о, (-«|/^) = «/Ad • Л(3) = Z)qMq(3) — «,й(2) = —«|(«[ й[)) = —°i Вычисление ИХ можно продолжать бесконечно по формуле h(n) = (-!)"«/%. п = 4, 5,... 2 Имеется ряд исключений. копа КИХ-снстеча может быть нрстсмиясиа как в нерекурсивной. так и н рекурсивной форме. Примером может служить о шпро ишй фильтр [|6|.
74 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Распространяя полученные результаты на рекурсивную ЛДС произвольного порядка, приходим к выводу, что импульсная характеристика рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность. Поэтому рекурсивные ЛДС называют системами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-систв-мами). 4.5. Свойства линейных дискретных систем Ранее было отмечено, что все стационарные линейные системы (аналоговые и дискретные) обладают общими свойствами: □ аддитивности; О однородности; П инвариантности во времени. Рассмотрим еще два важнейших свойства линейных дискретных систем: □ свойство памяти; □ устойчивость. 4.5.1. Свойство памяти линейных дискретных систем Свойство памяти системы подразумевает сс способность "помнить предыс- торию" (предшествующие отсчеты воздействия) при вычислении реакции в текущий момент времени. Длительность предыстории (количество предше- ствующих отсчетов воздействия) определяет длительность памяти. Рассмотрим свойство памяти нерекурсивных и рекурсивных ЛДС. Согласно разностному уравнению нерекурсивной ЛДС (4.21), при вычисле- нии реакции у(и) в текущий и-й момент времени система "помнит" (N-\) предшествующих отсчетов воздействия. Следовательно, нерекурсивная ЛДС обладает свойством памяти, ее длительность конечна и раана (N — 1). Согласно разностному уравнению рекурсивной ЛДС (4.14), каждый текущий огечет реакции у(л) можно выразить через предшествующие отсчеты воз- действия: j-(0) = M(°); У (1) = МО) + MW - fljXO) = V(I) + й,л(0) - а, [/>оа-(0>] ;
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 75 у(2) = b0x(2) + + /jj.y(O) - а, у(1) - £72у(О) = 60л-(2) + fyxfl) + 6,х(0) - - «| {*V(1) + М°) “ ai I V(0)J I “ a2 Таким образом: □ отсчет реакции у(0) зависит от текущего отсчета воздействия х(0) ; □ отсчет у(1) зааисит от текущего и предшествующего отсчетов воздейст- вия х(1 -/), i = 0,!; □ отсчет у(2) зависит от текущего и двух предшествующих отсчетов воз- действия x(2-i). / = 0.1.2. Аналогичным образом, несложно показать, что отсчет у(3) зависит от отсче- тов воздействия х(3 - У), i = 0.1. 2. 3 и т. д. Следовательно, при вычислении отсчета реакции в текущий н-й момент вре- мени система "помнит” всю предысторию воздействия, а значит, рекурсивная ЛДС обладает свойством памяти и се длительность в общем случае бесконеч- на. Это свойство памяти рекурсивных ЛДС объясняется наличием обратной связи (c.v. формулу (4.14)), благодаря чему любой ненулевой отсчет воздей- ствия циркулирует в системе бесконечно. С течением времени он затухает, но присутствует, по крайней мере, теоретически. 4.5.2. Устойчивость линейных дискретных систем ЛДС называется устойчивой, если при ограниченном воздействии тах|л(л)|</\, п где Rx — любое сколь угодно большое положительное число, не равное бес- конечности, и произвольных, но ограниченных начальных условиях реакция будет также ограниченной тах|у(л)|<Лу, где Ry — любое сколь угодно большое положительное число, не равное бес- конечности. Существуют два критерия устойчивости ЛДС. Один из них позволяет оце- нить устойчивость ЛДС по ее характеристике во временной области (ат/, п. 4.5.3), другой — по z-изображению этой характеристики в z-области (см. Лекцию 5).
76 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем 4.5.3. Оценка устойчивости по импульсной характеристике: критерий устойчивости В данной лекции, посвященной описанию ЛДС во временной области, рас- смотрим критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по ее импульс- ной характеристике. Если ни один из коэффициентов разложения импульсной характеристики в виде (3.45) JH-1 Л(п) = А)|<о(")+ X 4“*" А=1 не равен нулю: #0. Z =h 2...К, критерий устойчивости формулируется следующим образом: т)./я того чтобы линейная дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие абсолютной сходимости ряда у |*(»)| < 00 • (4.25) и=0 Доказательство. При известной импульсной характеристике Л(п) реакция может бьпъ вычислена по формуле свертки (4.9) у(л) = S h(m)v[л-т). wi=0 Для модуля реакции справедливы соотношения: |>(»)| = У. Л(»1)Дп-н1) м»=0 «-=0 Оценим максимальное значение |у(л)|. подставив вместо отсчетов воздейст- вия |лг(н-т)| их максимально допустимую величину ЯЛ: max |у(л)|<ЛЛ Х|Мж)|. " т=0 (4.26) Если реакция ограничена значением R : max|y(n)| < Rx £ Rr- ” т»0 необходимо, чтобы выполнялось условие (4.25).
Лекция 4. Описание линейных дискретных систем во временной области 77 С другой стороны, для того чтобы реакция в (4.26) была ограниченной, дос- таточно выполнения условия (4.25), что и требовалось доказать. Если хотя бы один из коэффициентов разложения Ак равен нулю, возможна ситуация, когда условие (4.25) выполняется, а ЛДС— неустойчива. Пример подобной ЛДС рассматривается в Лекции 5, где приводится критерий устой- чивости в z-области. Критерий (4.25) позволяет утверждать, что нерекурсивные ЛДС (КИХ- системы) принципиально устойчивы, поскольку их импульсная характери- стика конечна. Прежде чем делать выводы об устойчивости рекурсивных ЛДС, рассмотрим простой пример. Пример 4.5 Определить, устойчива ли рекурсивная ЛДС, импульсная характеристика ко- торой имеет вид дискретной экспоненты (си. Лекцию /) . (а", л>О, Л(и) = { [О, н<0. Решение. Подставив данную ИХ в (4.25), получим ряд типа (3.20) ii*(«)i= хи <4-27’ /|=о п=0 при д -и область его сходимости |а| < 1 - В этой области импульсная характеристика имеет вид затухающей экспонен- ты (см. рис. 1.6), а ЛДС, согласно критерию (4.25), является устойчивой. Вне области сходимости, при |о| > 1, ряд (4.27) оказывается расходящимся Х1«П~. п=0 а ЛДС, согласно критерию (4.25), неустойчивой. Обобщая данный результат, можно сделать следующие выводы: □ рекурсивные ЛДС (БИХ-системы) требуют проверки на устойчивость; □ импульсная характеристика устойчивой рекурсивной ЛДС имеет характер затухающей функции времени (примеры см. в Лекции 5).
Лекция 5 Описание линейных дискретных систем в z-области В Лекции 4 рассматривалось описание ЛДС во временной области: импульс- ная характеристика и соотношение вход/выход. В этой лекции изучается их отображение в z-об.части. Описание ЛДС в z-области позволяет: □ ввести фундаментальное для теории линейных систем понятно передаточ- ной функции; □ перейти от разностных уравнений к алгебраическим; □ упростить анализ устойчивости; П обеспечить автоматический переход к частотным характеристикам (ел/. Лекцию 6) и многое другое. 5.1. Передаточная функция. Соотношение вход/выход В z-области основной характеристикой ЛДС являегся z-изображение импульсной характеристики /?(»)> которое определяется с помощью /-преобразования (3.1) tf(z) = Z{ft(n)}= £Л(л)г " (5.1) /I- о и называется передаточной функцией (ПФ). Это математическое определе- ние ПФ. По известному z-изображению импульсная характеристика А(и) находится с помощью обратного /-преобразования (см. Лекцию 3) = (5.2)
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области 79 Соотношение вход1выход ЛДС во временной области описывается с помо- щью свертки либо разностного уравнения. Рассмотрим их отображение в г- области поочередно. Формуле свертки (4.8) и (4.9) (двум вариантам записи) X Л(п-нг)л(»0; , > ю=0 у(") = X х(п-т)Л(ш) ,и = 0 в z-области, согласно теореме о свертке (с.н. Лекцию 3), при нулевых началь- ных условиях соответствует уравнение r(z) = //(z)X(z). (5.3) где X(z) и E(z) —z-изображения воздействия и реакции соответственно. Это позволяет представить передаточную функцию как отношение Щ;) = — (5.4) X(z) н определить сс подобно передаточной функции линейных аналоговых систем. Передаточной функцией H(z) линейкой дискретной системы называется отношение z-изображения реакции к {.-изображению воздействия при нуле- вых начальных условиях. Данное определение не противоречит математическому: поскольку импульсная характеристика Л(п) представляет собой реакцию на воздействие в виде цифро- вого единичного импульса мо(н). то, подставив z-изображення данных сигналов в H(z) (5.4) и учитывая, что 2{»о(и)} = 1 (см. п. 3.5), получим H(z) (5.1): A(z) Z{w0(w)} Разностному уравнению (4.14) N~l M-i у(п) = X bi - о - X ak y<n ~ *) i=0 *=l в z-области при нулевых начальных условиях соответствует уравнение, которое легко можно получить, выполнив Z-преобразованне левой и правой час гей РУ. {N-I м-\ 1 X х ak У(»-*)р 1=0 *=i J
80 Часть It. Математическое описание линейных дискретных систем Воспользуемся свойством линейности Z-преобразовапия и теоремой о за- держке: .'V J Af-J r(z) = XU)S«-,z '-rU)S«»z'*, is-0 *=l приведем подобные члены и получим соотношение вход/выход а z-области в виде алгебраического уравнения: Л’-1 Hz)=—------------Х<‘>' <5-5’ 1+ X akz~k A-I Разделив обе части (5.5) на X(z), получим, согласно определению (5.4), пе- редаточную функцию, не зависанию ни от воздействия, пи от реакции и вы- раженную явно через внутренние параметры ЛДС (коэффициенты разностно- го уравнения), А'-1 ----- <5’6> 1+ Ё «*г ‘ 1=1 ПФ общего вида (5.6) представляет собой дробно-рещмона/ьную функцию, числитель и знаменатель которой являются многочленами относительно z 1 порядков (/V-1) и (Af — 1) с вещественными коэффициентами fy и а/. соот- ветственно. Порядок передаточной функции (5.6) равен max {(Л/ -1), (Д' -1)}. Здесь и далее будем полагать, что порядок многочлена чгюлигнеля не превос- ходит порядка многочлена знаменателя (N-|)<(M-1). Как любая дробно-рациональная функция, ПФ (5.6) характеризуется своими особы ми точками {полюсами) и нулями. Нулями называют значения z, при которых ПФ (5.6) равна нулю.
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области Особыми точками (полюсами) называют значения z, прн которых знамена- тель ПФ (5.6) равен нулю. Особые точки и нули ПФ линейных дискретных систем находятся аналогич- но тому, как это делается для ПФ линейных аналоговых цепей. Предвари- тельно необходимо записать H(z) (5.6) как дробно-рациональную функцию относительно положительных степеней z, для чего числитель и знаменатель H(z) следует умножить на zM~1' ,, ЛМ Лг~[ J =_______1=0__________ 1=0_____________ M-lfl.'v' М-! +/у' (М-П-t z 1 + /, z I + 2^ z ( л—i j *=i Далее целесообразно выделить два случая: 1. Передаточная функция H(z) представляет собой неправильную дробно- рациональную функцию: порядок многочлена числителя равен порядку многочлена знаменателя (W-1) = (M-1). Тогда в результате умножения числителя н знаменателя H(z) (5.6) на Af-l z имеем: М-1 H(z) =-------------------- _w-i v z + 2- akz (5.7) Нулями данной передаточной функции являются корни уравнения числи- теля (корни числителя): 'Уб./"'11--=о, (5.8) » = 0 а поносами— корни уравнения знаменателя (корни знаменателя): гЛ/“'+УоА/Л,“,’^=0. (5.9) *=1 • Если среди полюсов или нулей встречаются одинаковые, их называю! кратны ми.
62 Часть //. Математическое описание линейных дискретных систем 2. Передаточная функция H(z) представляет собой правильную дробно- рациональную функцию: порядок многочлена числителя (£-1) меньше порядка многочлена знаменателя (М -1) (Л-1)<(Л/-1), где (L — 1) может принимать значения (L-1)-0.1....(М-2). Полюсы передаточной функции H(z) определяются так же. как в первом случае. Что касается нулей, то помимо (£-1) корней числителя добавля- ются нули z = CK3, крвтность которых равна разности порядков многочле- нов знаменателя и числителя Как правило, эти нули не считаются информативными, поэтому часто их опускают. Например, имеем ПФ второго порядка ' • -I -2 ' I + <7]Z +cht; После умножения числителя и знаменателя иа zM 1 = г2 получим 11Ф z +a}z+a2 представляющую собой правильную дробь, у которой порядок числителя (£-1) = 1 на единицу меньше порядка знаменателя (Л/-1) = 2: Следовательно, такая ПФ имеет два нуля: один — корень числителя bjZ+l^ =0=>го1 = —f- Ц и второй — неинформативный z„2 = 00 • Нули и полюсы передаточной функции удобно изображать в виде точек на комплексной z-плоскости. Положение точек определяется их координатами, чаще всего полярными. Пули изображаются кружками (о), а полюсы — звез- точками (*). Совокупность нулей (о) и полюсов (*) на z-плоскости называ- ют картой нулей и полюсов. В дальнейшем станет ясно, что такая карта — одна из важнейших графических характеристик ЛДС.
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области ВЗ 5.2. Взаимосвязь между передаточной функцией и разностным уравнением Из сопоставления передаточной функции общего вида (5.6) и разностного уравнения (4.14) понятна их взаимосвязь при нулевых начальных условиях: □ числитель ПФ связан с отсчетами воздействия b,x(n-i) РУ: • задержка отсчета лг(и “ 0 отображается в 11Ф степенью z-'; • коэффициент Ь{ сохраняется. Символически это можно записать следующим образом: h-x(n-i) <=> bi=~': □ знаменатель ПФ связан с отсчетами реакт/ш/ у (я) и а^у(п-к) РУ: • свободный член знаменателя всегда равен I (я0 = 1), в РУ он соответ- ствует реакции у(и); • задержка отсчета у(н-к) отображается в ПФ степенью z *; • у коэффициента лд. изменяется знак. Символически это можно записать следующим образом: Простейшие ЛДС, описываемые передаточными функциями 1-ю н 2-го по- рядков. называют звеньями 1-го и 2-го порядков. Пример 5.1 Даны передаточные функции звеньев 1-го и 2-го порядков. Записать соответ- ствующие разностные уравнения. Решение. Запишем РУ, используя взаимосвязь между ПФ и РУ: □ ПФ звена 1-го порядка Н(г) = !*.±Ь\ (5.Ю) соответствует Ру у(п) = bQX(n) + -1) - «^(/7 -1); (5. И) 4 Зак 165
64 Часть П. Математическое описание линейных дискретных систем □ ПФ звена 2-го порядка 1 + a}z +a2z (5.12) соответствует РУ Хи) = Zfy*(w) + bpc(n -1)+/?2X(W - 2) - ц y(n -1) - в?Х« “ 2). (5.13) 5.3. Разновидности передаточных функций Разные виды передаточных функций обусловлены возможностью нх различ- ного математического представления, а также типом ЛДС — рекурсивная (БИХ) или нерекурсивная (КИХ). Рассмотрим разновидности передаточной функции общего вида (5.6) — дробно-рациональной функции K-i ... . 1=0 обусловленные ее различным математическим представлением: П в виде произведения простейших множителей ЬьПа-Р.г'1) ------------• (514> *=1 где Р, = zDi и ak = z*A — i-й нуль и k-и полюс ПФ (5.6). В общем случае, как нули, так и полюсы — попарно комплексно-сопряженные числа. Если N = М , то передаточная функция (5.14) принимает вид Н(г) = ^ П тг Ь <515> *=i *=i^l-a*z J □ в виде произведения множителей второго порядка с вещественными ко- эффициентами. Для перехода к передаточной функции с вещественными коэффициента- ми в (5.14) попарно умножают простейшие множители с комплексно-
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области В5 сопряженными нулями (в числителе) и комплексно-сопряженными полю- сами (в знаменателе). Покажем, как это делается на примере множителей знаменателя (l-atz_,Xl-«t+lz-1). где осА, осд-q — комплексно-сопряженные полюсы. Представим их в ал- гебраической форме «к = Ь +Л- и выполним умножение {i-(^ + 7n*)z',lli-fc-;mk’']=i+№)z“l+(5i2+n/)z’2 = = l + «uz"'+a2tz“2. Получаем множитель второго порядка с вещественными коэффициентами °IJt и a2k ~(^k2 +TU2) В результате попарного умножения простейших множителей числителя и знаменателя (5.14), имеем передаточную функцию в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами (с точ- ностью до постоянного вещественного множителя [9]): /У-1 П (Ль,.+*,,<'+*2,Z"2) //(Z) = ^f----------------, (5.16) П (1 + «цг‘‘ +«2tz"2) J--d где: » ^2/ » а2к — вещественные числа; {N -1), (Л/ -1) — четные числа1. Здесь и далее. сели (N-1) или [М -1) — нечетные числа. верхний индекс произведения будет ранен N/2 или Л7/2. а соответствующие коэффициент.)— И',|И а2.м/2~^' т. е. один из нулей или полюсов оказывается вещественным. а множитель— простейшим.
86 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Если N = М , передаточная функция (5.16) принимает вид //(:)= П +b|tZ,' I <5.17) *=l k =1( l + «iJtZ + a2kz ) где К = (Л/ - 0/2 — количество звеньев 2-го порядка; □ в виде суммы простых дробей. Если у ПФ общего вида (5.6) порядок многочлена числителя меньше по- рядка многочлена знаменателя и все полюсы простые (не кратные), она может быть представлена в виде суммы простых дробей (3.39) М-1 М-\( д А W(z)= S//t(z)=E --------Чг , (5.18) *=1 } где: ak - z*k — простой k-й полюс ПФ (5.6). В общем случае полюсы — по- парно комплексно-сопряженные числа; Ак — коэффициент разложения при k-м полюсе. Константа Ак — всегда число того же типа (вещественное или комплексное), чю и полюс Ckk , по- этому в общем случае константы, так же как и полюсы, попарно комплексно- сопряженные числа; (М -1) —количество полюсов осА (и констант Ак); □ в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами. Для перехода к передаточной функции с вещественными коэффициента- ми в (5.18) попарно складывают простые дроби с комплексно- сопряженными полюсами d.k (и комплексно-сопряженными константами Ак), в результате чего получают передаточную функцию в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами = Ьм^<г~' _Д (5.19) * = 1 * = +«2*г ) где: • ^ц- • fliA-» а2к — вещественные числа: К = (Л/ -1)/2 — количество заеньев 2-го порядка; (Л/ -1) — четное число.
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области 87 Рассмотрим разновидности передаточных функций. обусловленные типом ЛДС. 1. Рекурсивные ЛДС описываются ПФ общего вида (5.6) и могут иметь лю- бое математическое представление (см. ранее). Среди ПФ (5.6) выделяют ПФ полюсного вида, у которой числитель — многочлен нулевой степени н<г> = ~дГ7------• (5.20, А = 1 ПФ (5.20) имеет (М —1) полюсов и (А/ —1) кратных нулей, равных 0. Она может иметь математическое представление: • в виде произведения простейших множителей ’ <5-2]) Л=1 • в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами "(<’) = йч------------------• <5.221 П о + alkz 1 + a2kz 2) А=1 • в виде сумм простых дробей (5.18) и дробей второго порядка (5.19) с вещественными коэффициентами. Звено нвзывают базовым, если числитель его передаточной функции H(z) равен 1. Пример 5.2 Передаточные функции базовых звеньев 1-го н 2-го порядков имеют вид соответственно H(z) =----!—г; (5-23) 1 + 0,2
8в Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем 2. Нерекурсивные ЛДС описываются ПФ, которая может рассматриваться как частный случай H(z) общего вида (5.6) при ak =0, к =1, 2,..., М -1. При этом знаменатель H(z) оказывается равным единице, и ПФ имеет вид рациональной функции H(z) = (5-25) /=0 или, с учетом (4,24), W(z) = £й(и)Г". (5.26) л=0 Передаточная функция (5.25) может быть представлена: • в виде произведения простейших множителей "(г) = Ь„ П HtМ=П (1 - р,г-'); (5.27) 1=1 i=l • в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффи циента ми /У-l /У-1 H(z) = fl «;(г) = fl№o-+V '+А2,Г2), (5.28) 1=1 1=1 где (W — J) — четное число. 5.4. Передаточные функции и импульсные характеристики звеньев 1-го и 2-го порядков Математическое представление передаточных функций в виде произведений (5.14) н (5.16) или сумм (5.18) и (5.19) основано на звеньях 1-го и 2-го поряд- ков, поэтому анализу данных звеньев уделяют особое внимание. Определим импульсные характеристики звеньев 1-го и 2-го порядков по за- данной передаточной функции, полагая, что соответствие между ПФ и ИХ базовых звеньев известно: □ для базового звена 1-го порядка (см. табл. 3.2, строку 5) Я(2) = —Ь-г =, й(„) = (-О,)"; (5.29) 1 +а.г
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области 89 □ для базового звена 2-го порядка (см. табл. 3.2. строку 6) I , sin[(n + 1)0*1 =--------q-----7 => '»(«) = г." —А----— • (5-30) 1 +ti|Z 1 + a2z ~ stnqj* где г* и (р* — радиус и угол комплексно-сопряженных полюсов в показа- тельной форме: г.,,2 (5.31) Значения г*, ф* и cq. п2 связаны между собой соотношениями (см. табл. 3.2, строку 6) =-2r*cos((p*). (5.32) а2 = цг. (5.33) Для того чтобы определить ИХ не базового звена, достаточно воспользовать- ся свойством линейности Z-преобразования н теоремой о задержке, на осно- вании чего легко получается соответствие между ПФ и ИХ не базовых звеньев (см. Лекцию 3)\ □ для не базового звена 1-го порядка Н(г) = Ь"+Ь|7-1 => й(„) = bo (-о,)” + 6, (-«, f (5.34) 1 +G|Z или с учетом нулевых начальных условий /Л) (-<»])". и = 0; _ _ _ й(л) = Р' ' , (5.35) bot-rt,)"-'. п >1; П для не базового звена 2-го порядка H(z) = *°+fclZ''+^-~~2^ 1 +ajZ + a2z i + (5.36) sin0* sin0* + l (.-2) sin[(»-l)<p.] * sinep*
90 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем нли с умелом нулевых начальных условий Л(л) = sin[(„ + 1><pj п = 0; sin ср* „ sin[(H + l)<p.J („-I) sin(»<P.) » м — 1, sin ср*-----------------------sinip* „ sin [(л + 1)ф.] („ ,) sin(n<p.) („-2) sin[(»- 1)ф.] -------- +Л|Г* —; +1)2Г* :- sin ср*-------------------------------------------------------smcp,-sincp* (5.37) n>2. Пример 5,3 Задана передаточная функция H(z). Получи<ь импульсную характеристику h(n). Решение. При определении ИХ применялась рассмотренная методика. Примеры передаточных функций и полученных иа их основе импульсных характеристик звеньев 1-го порядка приведены в табл. 5.1, а звеньев 2-го порядка — в табл. 5.2. Построенные в программной среде MATLAB графики ИХ звеньев 1-го по- рядка представлены на рис. 6.4, а звеньев 2-го порядка — на рис. 6.5. Графики ИХ, а также карты нулей и полюсов (см. пример 5.4) приводятся совместно с графиками частотных характеристик, изучаемых в Лекции б, для того чтобы иметь в едином комплекте вес основные характеристики звена, описываемого соответствующей передаточной функцией. Таблица 5.1. Передаточные функции и импульсные характеристики звеньев 1-го порядка Рис. Передаточная функции H(z) Импульсная характеристика А(л) 6*4, а 1 1 + 0,5г”1 (-0,5)". н>0 6.4,6 1 1 -0,5х”' 0.5". н>0 6.4, в ) 1 + 0,8г“‘ (-0.8)", н>0
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области 91 Таблицы 5.1 (окончание) Рис. Передаточная функция //(*-) Импульсная характеристика h(n) 6.4,^ 1-0,5г~‘ 1+0,5г"‘ (-0,5)", »i = 0; (-0,5)" -O.5(-O,5)"-1, я>1 6.4, д l-0.9z-' 1 +0,5z-1 (-0,5)'. «=(к (-0,5)" -0,9(-0.5)вЧ. «>1 6.4, е 1 + С 1-0,5с-1 0,5", н = 0; О.5'+О.5"_|, я>1 Таблица 5.2. Передаточные функции и импульсные характеристики звеньев 2-го парника Рис. Передаточная функция //(;) Г., ф. Импульсная характеристика Л(л) 6.5. а 1 г. =0.7; л Ф. =- 3 Sin 0.7" 1-0.7.<‘ + 0.49с'2 6.5.6 1 i; =0.7; 2л Ф* ~ — 3 sin 0.7" — 2л 01 + 1)— 3 2х sin — 3 l + 0.7z-1 +0.49Г2 6.5, г 1 + г'1 i; =0,7; л Ф. =- 3 sir 0.7я — sir 0.7я — о> + |)л- 3 и мп — 3 Н’1 sin — 3 + © г '-J н г ° а J1 3 IV 1-0.7;-' + 0.49г“г
92 Часть fl Математическое описание линейных дискретных систем Табиица 5.2 (окончание) Рис. Передаточная функция //(г) ф. Импульсная характеристика h(n) 6.5, д I-;’2 г. =0.7; л Ф. =- 3 sin Gi +D- 3 о a '-j и ? .© S' Л i °V Iя, bJ „ — 1-0.7Г’ +0,49<<2 л sin — 3 sin (и + 1)- 0.7"—L 3j sin — 3 5.5. Оценка устойчивости по передаточной функции: критерий устойчивости В Лекции 4, посвященной описанию ЛДС во временной области» был получен критерий (4.25), позволяющий оценить устойчивость ЛДС по импульсной характеристике. Логично предположить, что в г-области. где основной ха- рактеристикой ЛДС является передаточная функция — z-изображение им- пульсной характеристики, должен существовать критерий, позволяющий оценить устойчивость ЛДС по передаточной функции. Получим его на осно- вании критерия (4.25) X |й(л)| < “ . п-0 Представим ПФ общего вида (5.6) прн /V = М в виде (3.44) н запишем ИХ в виде (3.45) Л(п) = Л0и0(и)+ X Atat"
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в 2-области 93 В соответствии с критерием (4.25), устойчивость определяется вторым сла- гаемым, обозначив который М-1 *(«)= X А“*" 4 = 1 и подставив h(n) в (4.25), имеем: (5.38) оо М-1 О» М—1. » । । М-1 °® М—! I °° М-1 Е k«) =х Е W Е W = X X МЫ • н=0 /1 = 0 4=1 и=04=! л=04=1 Изменим порядок суммирования: £|л(»)|< е'ЫЕНГ- (5.39) п=0 4=1 н=0 Отсюда следует, что для Л(п) критерий (4.25) будет справедлив в области абсолютной сходимости ряда Х|а*|" * = 1.2..М-1, л=0 которая соответствует следующему ограничению для полюсов а* |а(|<1, * = (5.40) Это позволяет сформулировать критерий устойчивости в z-области: для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы ее передаточной функции находились внутри круга единичного радиуса (еди- ничного круга) комплексной z-плоскости. Как правило, устойчивость ЛДС проверяют по критерию (5.40). Во-первых, он более удобен для практического использования, а во-вторых, критерий (4.25) имеет ограничение (см. п. 4.5.3)'. если хотя бы одни из коэффициентов разложения в (5.38) равен нулю, условие (4.25) может выполняться и для неустойчивой ЛДС. Например, передаточная функция (1-1,к’1) Н(г) =-------q--------q- (l-0.8z )(1-1,к ') (5.41) может быть представлена в виде суммы простых дробей (5.18) 4, А -0,8г-1 1-l.lz"1
94 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Коэффициенты разложения Л|, А, определяемые в результате решения сис- темы уравнений (см. пример 3.8) { Л1+А2 = 1: (1,1 А, + 0,8А2 =1,1, равны |А,=1; (Л2=0. Следовательно, импульсная характеристика, соответствующая (5.41), имеет вид: /1(л) = 0,8". Получается, что по критерию (4.25) ЛДС устойчива, а по критерию (5.40) — не устойчива. Вывод: критерий (4.25) справедлив, если ПФ (5.14) не содержит сокращаю- щихся множителей', в противном случае необходимо обратить внимание на сокращающиеся множители: если полюсы (и равные им нули) расположены внутри единичного круга, ЛДС будет устойчива, иначе — не устойчива [33 ]. 5.6. Карты нулей и полюсов звеньев 1-го и 2-го порядков В общем случае для вычисления нулей и полюсов ПФ (5.6) следует числи- тель и знаменатель H{z) умножить на zM~} {см. п. 5./), после чего необхо- димо найти нули и полюсы, исходя из их определения. Рассмотрим вычисление нулей и полюсов для звеньев 1-го и 2-го порядков, □ Звено /-го порядка в общем случае описывается передаточной функцией (5.10). Умножим числитель н знаменатель на z: ад^. г + о, после чего из уравнения Z + а, = О " Когда нуль равен полюсу. О, = ах. •
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в z-области 95 найдем корень знаменателя — вещественный полюс z*=-flP (5.42) а из уравнения b^z + by =0 получим корень числителя — вещественный нуль Z. =-?*-. (5.43) Ьо □ Звено 2-го порядка в общем случае описывается передаточной функцией (5.12). Умножим числитель н знаменатель на г2: //(z) = io£M£tk. z +utz+a2 Сначала определяют полюсы: • если дискриминант уравнения знаменателя отрицательный 2 А = — < 0 =Ф 4<72 > °|2 • находят комплексно-сопряженные полюсы в показательной форме = (5.44) {•де радиус г* и угол ф* определяются по известным коэффициентам А) н «2 с помощью (5.32) и (5.33): (5.45) ф* “ arccos] —— ]. (5.46) ] 2r* I Так как угол ф* полюса представляет собой нормированную чается у (см. п. 3.2), его часто обозначают как со* =ф* и называют "частотой полюса"’, • если дискриминант положительный 2 А =-^—а2 >0^ 4а2 <а£2 .
96 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем находят вещественные полюсы в алгебраической форме г.1.2 = -у±М-«2- (5-47) 2 V 4 Затем определяют нули: • если дискриминант уравнения числителя отрицательный = Ь] — < о, находят комплексно-сопряженные нули в алгебраической форме -fei±jjfei2-4fcllbz _ ^o|,2 -J. Л. “ J пт ^Э= — 7Л ’ 2*ь 2/т0 2Ьо в затем, для удобства, представляют их в показательной форме г.и = г.е±л. (5-48) где радиус г0 и угол ср вычисляются по известным формулам (3.7) и (3.8) г.=7С+п2; (5.49) Так как угол ф0 нуля представляет собой нормированную частоту (см. п 3.2\ его часто обозначают как со, = фо и называют "частотой нуля* • если дискриминант положительный D =b*-4ЬаЬг >0, находят вещественные нули в алгебраической форме _ "^1 ±V^12 ”4^2 _ “4V2 rssn Z I ? —----------------------I----------. I J. J1) 2Ь0 2Ь0 2f„, Пример 5.4 Заданы передаточные функции звеньев 1-го и 2-го порядков. Построить кар- ты нулей и полюсов. Решение. При расчете нулей и полюсов применялась рассмотренная ме- тодика.
Лекция 5. Описание линейных дискретных систем в 2-области 97 Нули и полюсы звеньев 1-го порядка приведены в табл. 5.3, а звеньев 2-го по- рядка — в табл. 5.4. Построенные на их основе а программной среде MATLAB карты нулей и полюсов звеньев 1-го порядка представлены на рис. 6.4, а звеньев 2-го по- рядка — на рис. 6.5. Отметим, что на рис. 6.4 и 6.5 изображены графики ИХ для всех ПФ из табл. 5.3 и 5.4. Расчетные же формулы ИХ приведены в табл. 5.1 и 5.2 лишь для некоторых ПФ (сравните), однако при необходимости они легко могут быть получены для остальных ПФ по известной методике {см. п. 5.4). Таблица 5.3. Передаточные функции звеньев 1-го порядка, нули и полюсы ПФ Рис. Передаточная функция //(г) Нули и полюсы 6.4, а 1 Z 1 + O.Sz"1 г + 0,5 г, =0: z. =-0.5 6А,б 1 z l-O.Sz ‘ 1-0.5 Z„ =0; Z. =0,5 6.4, в 1 z 1+0,8.-’' 1+0.8 z =0, z. =-0,8 6.4, г 1-0,5z‘ z-0.5 l + O.Sz"1 г + 0.5 <=0,5; z. = -0.5 6.4, д l-0.9z4 z-0,9 1 + O.Sz"1 г+ 0.5 z =0,9; 6.4, е 1 + z~‘ z + 1 1-O.Sz"1 г-0.5 z„ =-l; z,=0,5 В программной среде MATLAB полюсы изображаются символом умножения (X), а нули, как обычно, кружками (°).
98 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Таблица 5.4, Передаточные функции увеньев 2-го порядка, нули и полюсы ПФ Рис. Передаточная функция ll(z) Нули н полюсы 6.5, а 1 z2 1-0.7:"' + 0.49 г’2 г2-0.7г+0.49 •”>4=0; ;.,2 =0.7/J’ 6.5,6 । г 1 + 0.7.- '+0.49;’2 г2+0.7.-+0.49 " 1.2 = °- 2n ±1— z,u=0.7<? 3 6.5, а 1 г 1+0.9.-’’ +0.81.-"2 ;2+0.9;+0.81 ;,.,=0; lit z,u =0,9e" 1 6.5. г 1-0.7;”' + 0.49 г’2 г2-0.7; + 0.49 z j = 0; 2 = -1; =0.?Л 6.5, д I-;’2 г2-1 1-0,7,’.'' + 0.49z-2 г2 -0.7- +0.49 -1.2 =±h z,12 =0.7/^ 6.5, е 1 + z”2 -2 +1 1-0.7- '+0.49.-’2 г2-0.7;+0.49 г>.2=±Г- bu=0.7/J’ 6.5, ж l + l.2z~X + 0,8k'2 _ z2 +1.2,-+0,81 1+0,28z-1 + 0,64г”2 z2 + 0.28c+ 0.64 г1.,=0.9?яи"; ;.,г =0.8г1',ЛИ4 6.5,з l + z~2 z2 4-1 1 + 0.2;”' - 0.35;”2 ;2 + 0.2. - 0.35 г.1.г =±j- с., =0.5;
Лекция 6 Описание линейных дискретных систем в частотной области В Лекции 4 рассматривалось описание ЛДС во временной области: импульс- ная характеристика и соотношение вход/выход. В этой лекции приводится их отображение в частотной области. Описание ЛДС в частотной области позволяет: □ ввести фундаментальное для теории линейных систем понятие частотной характеристики. Прн проектировании большинства систем ЦОС именно к частотным характеристикам предъявляются и выдерживаются требова- ния (см. ч. VI); □ определять реакцию ЛДС в установившемся режиме ие только на гармо- ническое воздействие, но и на любое воздействие, которое можно прст- ставить как линейную комбинацию гармонических воздействий. 6.1. Частотная характеристика В частотной области основной характеристикой ЛДС является фурье- изображение импульсной характеристики Л(лГ), которое определяется с по- мощью преобразования Фурье (2.27) Н(е^Т)= £ hinTfe-^" (6.1) н=0 или для нормированных времени и частоты Н(^й,)= (6.2) п=0 и называется комплексной частотной характеристикой (КЧХ) или частотной характеристикой (ЧХ). Это математическое определение ЧХ.
100 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем По известному фурье-изображснию Н(е*°г) импульсная характеристика h(nT) находится с помощью обратного преобразования Фурье (2.28) л h(nT) = — ) H(e*“')e'wJ>'rf<0. (6.3) 2л л г Из теории линейных аналоговых систем известно [9], чго в установившемся режиме гармоническое воздействие вызывает гармоническую реакцию той же частоты, но (в общем случае) другой амплитуды и начальной фазы. Рассмотрим реакцию ЛДС иа дискретное комплексное гармоническое воз- действие х(п) = CxeJ&n = Схе^'<&), < н <~, (6.4) с амплитудой и фазой соответственно Сх = const; фд ((b) = ebn. Для вычисления реакции воспользуемся формулой свертки (4.9) >’(»)= X h(m)x(n-m) = X ^(mJQe^"-”’= " „ (6.5) = Схе^!я X й(/,,)е-'*еи1 ‘х(п) X, »w = 0 ni=O откуда, с учетом определения ЧХ (6.2), у(п) = х(н)Н(е&). (6.6) Комплексную функцию Н(е^а) можно выразить через ее модуль и аргумент: W(c>) = = А({Ь)е'*<!Л. (6.7) Модуль частотной характеристики Н(е*м) называют амплитудно- частотной характеристикой (АЧХ): А(&) = |н(е7,Ь)|. (6.8) а аргумент — фазочастотной характеристикой (ФЧХ) ЛДС: <р(й) = arg {//(<>-'“’)}. (6.9)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 101 Перепишем выражение для реакции (6.6). подставив в него воздействие (6.4) и ЧХ (6.7), у(и) = л(я) Н (е*“) = Сх еЛ>'<й‘ Л(й)е= = СЛ А(й»е7,ф'кф(6)| = С,, е»'(<М. (б'' °’ из чего следует, что реакция на комплексный гармонический сигнал есть комплексный гармонический сигнал той же частоты, что н возчействие, но с частотио-завнсимымн амплитудой Су = Сх Л(6) и фазой фу(ю) = фЛ((Ь) + (р(6)). На основании (6.6) частотную характеристику можно представить как oi но- шение гармонических сигналов — воздействия и реакции /у _ Я") _ /ф» («)-<₽, <&>] Я'0[ф1)=Г1Ггй" Сх и определить следующим образом. Частотной характеристикой линейной дискретной системы назы- вается частотная зависимость отношения реакции к дискретному гармо- ническому воздействию в установившемся режиме. Существенно, что для линейных систем (аналоговых и дискретных) отноше- ние двух функций времени— гармонических реакции н воздействия — дает функцию, не зависящую от времени. Поясним, почему введено ограничение "в установившемся режиме”. Теоре- тически, гармонические сигналы— воздействие и реакция— существуют в области нормированного времени -«><«<«>. Однако на практике имеют дело с условно гармоническим воздействием в области 0<п<*>, где время и = О соответствует началу воздействия. Как известно [9], в течение некото- рого времени О<н<по после возникновения воздействия ЛДС работает в режиме переходных колебаний., когда реакция не является периодическим сигналом. Спустя время процесс устанавливается и реакция становится периодическим сигналом: у(н)= у(л + А'), где N — число отсчетов на пе- риоде. Поэтому в данном случае имеет смысл говорить о реакции как о гар- моническом сигнале в установившемся режиме. При расчете реакции по формуле свертки (6.5) в диапазоне О<п<ио на выходе ЛДС будем имен» значения реакции в режиме переходных колебаний— непериодический сигнал.
102 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем а начиная с момента — значения реакции в установившемся режцме— гармонической сигнал. Пример расчета реакции на гармоническое воздейст- вие по формуле свертки в программной среде MATLAB рассматривается в П.П1.4, где приводятся графики воздействия и реакции (см. рис. П 1.6), из которых видно, что спустя некоторое время после возникновения воздействия реакцию можно считаз ь гармоническим сигналом в установившемся режиме. Сопоставив выражения для реакции (6.10) и воздействия (6.4), ладим опреде- ления АЧХ и ФЧХ, подобные тем, которые существуют для линейных анало- говых систем. Амплитудно-частотной характеристикой А(6з) линейной дискретной системы называется частотная зависимость отношения амплитуды реак- ции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установивше м- ся режиме: Фазочастотной характеристикой линейной дискретной системы называется частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме: Ч> (ш) - q>х (к>) = [фд. (Ш)+ч>(6>)] - q>, (ш) = . 6.1.1. Связь частотной характеристики с передаточной функцией Сравним передаточную функцию (3.1) с частотной характеристикой (6.1). Очевидна их взаимосвязь: ЧХ H(eJ<ti) совпадает с Г1Ф //(*). если область значений переменной z на комплексной z-нлоскости ограничена точками на единичной окружности eJ<ti: щЛ)=Щг)^. (6.11) Это позволяет при известной передаточной функции (5.6) путем подстановки г = еуш автоматически получить частотную характеристику в виде Л'-1 —ТП---------• <612) i+l к* *=1
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 103 6.1.2. Соотношение вход/выход Взаимосвязь (6.11) позволяет также от известных соотношений вход/выход (5.3) и (5.5) в г-области: K(z)-H(z)X(z), Л'-| -----Х(г) 1+ £ akz t=i автоматически перейти к соответствующим соотношениям в частотной области: Y(ej6>)= (6.13) /V-! ПеЪ=-^,----------- 1+ X wJb'° t=l где Х(е7й) = Х(е>Г), Г(в*Ъ) = Г(<?*'г) представляют собой фурьс-изображения воздействия и реакции соответст- венно. На основании (6.13) частотную характеристику ЛДС можно определить как отношение фуръе-изображений реакции и воздействия при нулевых на- чал ъных условиях Подчеркнем, что частотная характеристика (6.12), так же как и передаточная функция (5.6), зависит исключительно от внутренних параметров ЛДС и не зависит ни от воздействия, ии от реакции.
104 Часть V. Математическое описание линейных дискретных систем 6.2. Свойства частотных характеристик Перечислим основные свойства частотных характеристик: 1. Непрерывность. ЧХ, АЧХ и ФЧХ — непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению. 2. Периодичность. ЧХ, АЧХ и ФЧХ — периодические функции частоты с периодом, равным 2л частоте дискретизации <0, = —. Доказательство. Периодичность функций следует из периодичности ар- 2л гумента е^Т с периодом по частоте со, равным сод = —, = e1'",e'i^ =eiml , *=0,1, ... Соответственно, период ЧХ, АЧХ и ФЧХ в зависимости от используемой шкалы частот будет равен: (6.14) (6.15) <о=»о>д; (6.16) 0)=>2л. (6.17) 3 Четность A ЧХ и нечетность Ф ЧХ. Если коэффициенты ПФ— вещественные числа (а другие случаи мы не рассматриваем), то модуль частотной характеристики (АЧХ) является четной, а аргумент (ФЧХ) — нечетной функцией частоты: |w(eJ“7 )|=|н(е~7ШГ)|; arg (н (е>г )} = - arg {Н )}. Напомним, что четной называется функция, которая нс изменяется при изменении знака аргумента. Если же при изменении знака аргумента из- меняется знак функции, но ее абсолютное значение сохраняется неизмен- ным, функция называется нечетной.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной облает 105 Доказательство. Запишем частотную характеристику (6.1)в виде Н(е]юГ1= X = £ Л(лТ)соя«Ви/ )- j X h(nT) sin(WiTl л-0 л-0 п=0 или коротко //(t>o7) = Rt -jIm, где вещественная часть — четная Re = у, А(лТ)соь(о)п7'). л=0 а мнимая — нечетная функция частоты Im= У Л(лГ)&1п((0лТ), п = 0 т. к. в первом случае имеем сумму косинусов (четных функций), а во вто- ром— синусов (нечетных функций). Изменив знак аргумента со = —си. получим: H(e~J‘“T) = Re +;lm. Для модуля частотной характеристики справедливо равенство |н(е>г)| = |«(е ^"г)| = >/Ке2+1т2 , следовательно, АЧХ — четная функция частоты. Для аргумента частотной .характеристики, принимая во внимание, что арктангенс — нечетная функция, справедливы равенства: arg{H(ej“’r)} = arctg^-!^| aig{«(c->r)} = arctg^^^ = -arcig^j; arg{//(eJ“T)} = -arg{H(e-J“')}, следовательно, ФЧХ —нечетная функция частоты.
106 Часть fl. Математическое описание линейных дискретных систем 6.2.1. Основная полоса частот Наименование "основная полоса частот” возникло в результате того, чго при дискретизации аналогового сигнала его спектр по условию теоремы Котель- никова ограничивается верхней частотой (с.и. Лекцию /) вследствие чего спектры дискретных сигналов, а также частотные характе- ристики ЛДС имеет смысл рассматривать только в диапазоне ^0; кото- рый и назвали основным диапазоном или основной полосой частот. Напомним, что в зависимости от используемой шкалы частот основная поло- са соответствует областям: /=3^0;^; (6.18) /=»[0; 0,5]; (6.19) Н°:т]=Н]; (б-2о) d)=>[0; д]. (6.21) АЧХ и ФЧХ рассчитывают и изображают па графике в основной полосе час- тот; при необходимости их легко продолжить на любом интервале частот, учитывая свойства периодичности, а также чстности АЧХ и нечетности ФЧХ. 6.3. Расчет АЧХ и ФЧХ Расчет АЧХ и ФЧХ линейной дискретной системы выполняется по известной передаточной функции H(z) (5.6). Получим необходимые расчетные формулы для АЧХ и ФЧХ. выполнив сле- дующие преобразования: П в H(z) (5.6) заменим г = в результате чего автоматически перейдем к частотной характеристике = ; «5.221 i+ X А = 1
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 107 П □ разложим экспоненты: e'j*™ ~ cosfXtr)) - jsiii(&(u); = cos(/<0) —ysin(roj); (6.24) выделим вещественные и мнимые части в числителе (с индексом *ч‘) и знаменателе (с индексом *з’) ЧХ (6.22): N-l N-I Ь, cosfreo) - ) У bj sin(i&) (6.23) Rc, + 7lm, М-1 Л/-1 ... . 1 + У ak cosUcb) - j У a* sin(£co) (6.25) запишем АЧХ и ФЧХ, исходя из их определений (6.8) н (6.9) венно: соответст Re,,2 + Im42 Re?+ Im 2 (6.26) <р(Л) = arg{//(г>г )J = arclg M-I Л'-l У ak sin(£(b) £ b-t sin(/c6) = arctS-^q---------------arctg—---------------- 1 + У ak cos(A(b) bo + У bj cos(ho) (6.27) Применим тот же прием для звеньев l-го и 2-го порядков. 6.3.1. Расчет АЧХ и ФЧХ звена 1-го порядка Получим расчетные формулы для АЧХ и ФЧХ на основе передаточной функции //(z) (5. Ю) звена 1-го порядка /7(s)=*01V 1 +£J.Z
Часть fl. Математическое описание линейных дискретных систем 108 Выполним следующие преобразования (см. п. 6.3): □ в Z/(z) заменим z = eJl>' и перейдем к частотной характеристике Н ; (6.28) О разложим экспоненты и выделим вещественные и мнимые части в числи- теле и знаменателе: н= U\i+V°s(&)l~ ^У''П(Й). (6 29) ll+«jCos(djH- ja{sin(to) □ запишем АЧХ и ФЧХ, исходя из их определений: А(Л) = k,COSt^l2 ±jfc,s7^; (6 30) У U + «I COS(CO)r + [<7j sin(co)]“ „ Ь| sin(w) ф(со) = arctg—!---— - arctg—!------—. (631) 14- Л( cos(co) bft +1\ cos(w) 6.3.2. Расчет АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка Получим расчетные формулы для АЧХ и ФЧХ на основе передаточной функции H(z) (5.12) звена 2-го порядка ит~\- ho+b\z 1 2 Выполним следующие преобразования (см. п. 6.3): □ заменим z = e^ и перейдем к частотной характеристике □ разложим экспоненты: w [cos(fo) - j sin(fo)]+ b2[cos(2&) - j sin(2&)] l + rtj[cos((b)-ysin(6))]+n2[cos(2&)-jsin(2&)] ’ □ выделим вещественные и мнимые части в числителе и знаменателе: //(е7“)= [/)(, + b, cos(&) +1>2 cos(26))]- j[b, sin(oi) + fc2 sin(2&)] ^1 + at cos(&) + o2 cos(2tb)]- sin((b) + «, sin(2&)] (6.33)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 109 □ запишем АЧХ и ФЧХ, исходя из их определений: rtb + *icoS(w) + 62cos(2d})]3+[^sin(co)+A«2sin(26)J V [l + flj cos(6>) + а2 cos(2cb) J sin(w) + ct2 sin(2(b) J (6.34) (₽(&) = arctg °' sin(&) + »2sin(2&) fe, sin(&) + fr, sin(2cb) 1 + (j, cos(fi))+(i2 cos(2cb) + 6, cos(cb) + b2 cos(2(0) . (6.35) 6.4. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ На практике часто требуется оценить ЛЧХ и ФЧХ при минимуме расчетов. Для этого строят приближенные графики данных характеристик по их значе- ниям в нескольких точках, количество которых должно быть минимально достаточным. Такой быстрый способ оценки частотных характеристик назы- вается экспресс-амализом. Экспресс-анализ предполагает заранее известным характер функции: ее глад- кость, точки экстремумов и нулевых значений. К особенностям АЧХ общего вида (6.26) в основной полосе частот tb = [O; зт| относится следующее: □ на точки максимумов АЧХ доминирующее влияние оказывают полюсы ПФ: О на точки минимумов АЧХ доминирующее влияние оказывают нули ПФ, не лежащие на единичной окружности; □ точки нулей (нулевых значений) АЧХ определяются нулями ПФ, лежащи- ми на единичной окружности; нулю АЧХ соответствует скачок ФЧХ на п; АЧХ будет гладкой функцией при отсутствии нулей. Справедливость двух последних утверждений следует из анализа амплитуд- ной характеристики (слг. Лекцию 18). Нули и минимумы АЧХ необходимо различать: нуль АЧХ является ее наи- меньшим значением, но не минимумом. 6.4.1. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 1-го порядка Передаточная функция (5.10) звена 1-го порядка имеет один всшественш полюс и один вещественный нуль (см. п. 5.6). Следовательно. АЧХ является монотонной (возрастающей или убывающей) функцией, которая имеет экс-
110 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем тремум или нуль на границах основной полосы Л = 0 и <Ь= л: максимуму АЧХ на одной границе соответствует минимум либо нуль на противополож- ной границе. Поэтому для оценки АЧХ звена l-го порядка достаточно по- строить се график по трем точкам: двум на границах основной полосы и од- ной (уточняющей) посередине основной полосы. Выполним экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 1-го порядка по трем точкам 1. В точке й>=0 (рис. 6.1) г = ^0=1; '=] и значения АЧХ и ФЧХ равны: Л(О)=|Н(1)|=^!А 1 +а. (6.36) q>(0) = arg{/7(l)} = 0. (6.37) /1т Re Рис. 6.1. Соответствие между значениями со = 0 и г = 1 2. В точке о) = л (рис. 6.2) г = е.7" = _j. z-'=-J и значения АЧХ и ФЧХ равны: А(Я)=|Н(-1)|=^-^>- (6.38) ф(л) = arg{7/(-1)} = О. (6.39)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 111 Рис. 6.2. Соответствие между значениями и z=-l „ я 3. В точке <0 = у (рис. 6.3) г = еУ2 = ;; z-1 --} и значения АЧХ и ФЧХ равны: (6.40) q>f = arg {Н (у)} = arg j I = arctg(n, ) - arctg[ 1. (6.41) l2J U“A'i J l*o I Рис. 6.3. Соответствие между значениями Л = — и z~ j На рис. 6.4, a—е представлены графики нормированной ЛЧХ и ФЧХ звеньев 1-го порядка, построенные по результатам экспресс-анализа в трех ючках (соответствующие передаточные функции приведены в табл. 5.3).
112 Часть II Математическое описание линейных дискретных систем Оспенная полоса частот Kapia iiy.icM и полюсов Остижцая по юса чается Карта пулен и полюсов Рис. 6.4. а. б. Характеристики лгенъев 1-го порядка: нормированная АЧХ, ФЧХ, карга нулей и полюсов, импульсная характеристика (перспаточные функции приведены в табл. 5.3)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 113 ФЧХ Кар! и нулей н полюсов Основная полоса часто! ФЧХ Карта нулей и полюсон Основная полоса частот Рис. 6.4, в, г. Характеристики звеньев 1-го порядка: нормированная АЧХ, ФЧХ, карта нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в габл. 5.3)
114 Часть It. Математическое описание линейных дискретных систем Основная полоса частоi Основная полоса час I от Карта нулей п полюсов Импульсная харакгериешка Рис. 6.4, д, е. Характеристики звеньев 1-го порядка: нормированная АЧХ, ФЧХ, карга нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в табл. 5.3)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 115 6.4.2. Экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 2-го порядка Передаточная функция (5.12) звена 2-го порядка в общем случае имеет два комплексно-сопряженных полюса и два комплексно-сопряженных нуля (см. п. 5.6). следовательно, АЧХ в общем случае может иметь: □ максимум на частоте ш» комплексно-сопряженного полюса (приблизи- тельно или точно): □ минимум или нуль на частоте Ло комплексно-сопряженного нуля (мини- мум — приблизительно, а нуль — точно); □ экстремумы на границах основной полосы б)=0 и со=д. В частном случае передаточная функция может иметь два всшсственных по- люса или два вещественных нуля (сла п. 5.6). 1. Если вещественные полюсы расположены на частотах й, =0 и й, = л, то АЧХ имеет максимумы иа границах основной полосы. 2. Если вещественные нули расположены на частотах Лэ=0 и б)е = л, то АЧХ имеет минимумы или пули на границах основной полосы. В обоих случаях АЧХ будет гладкой функцией при отсутствии пулей. В общем случае для оценки АЧХ звена 2-го порядка достаточно построй гь се график по пяти точкам: двум на границах основной полосы; одной (уточ- няющей) посередине основной полосы и двум соответствующим максимуму и минимуму (или нулю) АЧХ. Выполним экспресс-анализ АЧХ и ФЧХ звена 2-го поряцка по пяти точкам Л L п . Л 1 <0= 40; л; —; щ»; юо к 1. В точке d) = 0 (см. рис. 6.1) z = ^0 = l; z' —I и значения АЧХ и ФЧХ равны: AO) = |H(l)| = |to + + *2|; (6.42) 11 + а, +а2 | q>(0) = arg{W(l)} = 0. (6.43) 5 Зак 165
116 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем 2. В точке Л = п (см. рис. 6.2) и значения АЧХ и ФЧХ равны: А(л) = 1/7 (-1)1 = Ь1"6' +/S.|. (6.44) |1-Я|+«2| <p(rc) = arg{//(~l)} = 0. (6.45) 3. В точке (см. рис. 6.3) .п п • -1 z = e 1 \ z =-j и значения АЧХ и ФЧХ равны: лМ=|//(>)| &)2+±j; (6.46) 1.2 ) I I \ (1-л2)ч-ст,- 4>pfl=arg{//(;)} = arg AI = aretgf]-arctgf . (6.47) l2J [ (1-«2>-7"l ] ^“«2 J (.^“*2 J 4. Точка (n = (b. соответствует максимуму АЧХ. который находится (прибли- зительно или точно) на частоте со* комплексно-сопряженного полюса (см. п. 6.4.3) zM.2 = ^±^; со* = <р*. (6.48) Значение АЧХ в этой точке вычисляется по общей формуле (6.34). 5. Точка 0) = 0)о соответствует.инлл/ину)’или wy.w АЧХ: • минимум ЛЧХ находится (приблизительно) на частоте о># комплексно- сопряженного нуля, не лежащего па единичной окружности (сн. п. 6.4.3) (Ъ. : г0 Ф1. (6.49) Значение ЛЧХ в этой точке вычисляется по общей формуле (6.34);
Лекция 6 Описание линейных дискретных систем в частотной области 117 Основная паюса частот Карга ну icit и 1т.ткк*он Оспопная полоса частот Импульсная хараюеристкка Импульсная хиракгеристнка 'о 5 10 Ось м б Рис. 6.5, я, б. Характеристики звеньев 2-го порядка: нормированная АЧХ, ФЧХ, карта нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в табл. 5.4)
11В Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем Основная полоса частот Основная полоса частот Карта нулей и полюсов -I -0.5 0 0.5 I Импульсная характеристика Рис. 6.5, в, г. Характеристики звеньев 2-го порядка: нормированная ЛЧХ, ФЧХ, карта нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в табл. 5.4)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 119 Основная полоса частот Основная полоса частот Карта нуяеп и полюсов Рис. 6.5, д, е. Характеристики звеньев 2-го порядка: нормированная АЧХ, ФЧХ, карта нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в табл. 5.4)
120 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Основная полоса часю! Карта нулем п полюсов Импульсная характерце!нка О 5 10 Ось п Основная полоса частот Карта нулей и полюсов Импульсная характеристика Ось п Рис. 6.5, ле, т. Характеристики звеньев 2-го порядка: нормированная АЧХ. ФЧХ, карта нулей и полюсов, импульсная характеристика (передаточные функции приведены в табл, 5.4)
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 121 • нуль АЧХ находится на частоте со., комплексно-сопряженного нуля, лежащего на единичной окружности (c.v. и. 6.4.3) ^2 = ^ = e±jts> ; 6j =(₽ ; ro = l. В точке (b ФЧХ имеет скачок на я. На рис. 6.5. а—з представлены графики нормированной АЧХ и ФЧХ звеньев 2-IO порядка, построенные по результатам экспрссс-анализа в пяти точках (соответствующие передаточные функции привечены в табл. 5.4). 6.4.3. Местоположение нуля, максимума и минимума АЧХ Нс проводя подробного математического анализа, оцепим точки нуля, мак- симума и минимума АЧХ на примере звена 2-го порядка. С этой целью пред- ставим передаточную функцию в визе произведения простейших множите- лей (5.15): н Ьа+Ь^'+b2z~2 = !+«!.<'+л2< 2 (1-г,ел,г’1)(1-г.<>'л,г ') Заменив z. = перейдем к частотной характеристике ,, = (6.50) Запишем се модуль А)11 г.е-Л^'И,г.е-^ФЧ |н(<>)| = откуда, согласно определению, имеем АЧХ в виде: . |. 1 l[l + r2 -2r cos(6)-(pj]|l + i;2 -2r0cos(6)+(p )1 , А(со) = йв .----=---------------------5-----------------» (6 - V11 + Г* - 2r+ cos(m “ )111 + г* - 2ги cost со + ср*) | где )|=|i-.reCOS(&_(p ) + yrosin(cb-(p„)| = = 7l1 - ГЕ cos(to- (рп )]2 +1?; sin(O)- (pQ)|2 = Jl + r2 - 2r„ cos(to - (p) и т. n.
122 Часть Н. Математическое описание линейных дискретных систем Проанализируем АЧХ (6.51), полагая, что как полюсы, так и нули ПФ H(z) —комплексно-сопряженные числа. Точка нуляЛЧХочевидна: А(й)) = О, если оба сомножителя в числителе (6.51) равны нулю (т. к. нули ПФ — комплексно-сопряженные числа) 1 + г2 - 2r„ cos(fo-фо) = 0; 1 + г2 -2глcos(co+ (pj = 0, что выполняется при [СО = ±(р0, следовательно, пуль АЧХ находится точно на частоте й)о =<ро комплексно- сопряженного ну:т, лежащего на единичной окружности г...2=е±Л’ . При оценке точек максимума и минимума АЧХ ограничимся двумя предель- ными случаями: 1. Рассмотрим ПФ H(z), содержащую только рекурсивную часть (полюсно- го айда), когда комплексно-сопряженные нули равны 0: Л<“)=1М. ЧХ (6.50) и АЧХ (6.51) принимают вид: (ej&) =’ 1 ~~ [1 +л2 -2r*cos(cb-(p*)]ll + г2 -2г* cos(co + (₽*)] В этом случае внутри основной полосы 0<©<я АЧХ имеет максимум и не имеет минимума. Точка максимума определяется только знаменателем А(со) (6.51). На границах основной полосы АЧХ имеет минимумы. Максимум АЧХ достигается при минимальном значении знаменателя А(ш) (6.51) 1 + г2 - 2г* cos(d>- <р*) = min * О; 1 + г*2 -2r*cos(cb+(p*) = min *0
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 123 в точке й) = +(р* (при фиксированном г*). Следовательно, максимум АЧХ находится точно на частоте = (р* комплексно-сопряженного полюса 2. Рассмотрим ПФ H(z), содержащую только нерекурсивную часть, когда комплексно-сопряженные полюсы равны 0: ^,.2=^=0. ЧХ (6.50) и АЧХ (6.51) принимают вид: W(e'“) = Ml - 1 )(1 - ; A(tb) ~ |fy)| х/ll + г.2 - 2r= cos(m-q>, )][1 + r/ - 2r„ cos(d> + q>J]. В этом случае внутри основной полосы 0<(Д<л АЧХ имеет минимум и нс имеет максимума. Точка минимума определяется только числителем А(со) (6.51). На границах основной полосы АЧХ имеет максимумы. Минимум АЧХ достигается при минимальном значении числителя А (Л) (6.51) 1 + г2 - 2r cos(tt) -(₽,.) = min #= О; 1 + /;2 - 2z; cos(tb + (Д,) = min #=0 в точке со = ±(р„ (при фиксированном ro 1 ). Следовательно, минимум АЧХнаходится точно на частоте 6)„ = (ро комплексно-сопряженного ну- ля, не лежащего на единичной окружности 41,2 “ В общем случае передаточная функция звена 2-го порядка содержит как рекурсивную, так и нерекурсивную часта. Поэтому точки максимума 6). и минимума Ле (при фиксированных г, и зависят как от частоты (0 = Ф* комплексно-сопряженного полюса (знаменателя (6.51)), так и от частоты й>= (р комплексно-сопряженного нуля (числителя (6.51)): 6* =5](Ф^ чО; Ч=^2(Ф*’Фо)- Методами математического анализа можно показать, что на точку максимума т* доминирующее влияние оказывает частота комплексно-сопряженного полюса (р# (или знаменатель (6.51)), а на точку минимума б)в — частота
124 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем комплексно-сопряженного нуля (pQ (или числитель (6.51)), что и отражается симаолом приблизительного равенства в (6.48) и (6.49). 6.5. Анализ АЧХ по карте нулей и полюсов Как уже говорилось (c,w. Лекцию 5), карта нулей и полюсов является одной из важнейших графических характеристик ЛДС. Помимо оценки устойчивости, она позволяет по расположению пулей и полюсов составить представление о характере АЧХ и сделать ряд заключений о ФЧХ (например, о линейности или о скачках па я ) Общие закономерности качественного анализа АЧХ по карте пулей и полю- сов сформулированы в н. 6.4, здесь они иллюстрируются на конкретных при- мерах для звеньев 1-го и 2-го порядков. Рассмотрим соответствие между каргой нулей и полюсов и характером АЧХ для звена l-го порядка. □ Максимум АЧХ находится на частоте 6)* вещественного полюса: • вещественному полюсу на частоте со*=О соответствует максимум АЧХ па левой границе основной полосы (см. рис. 6.4, о, е); • вещественному полюсу па частоте со* = п соответствует максимум АЧХ па правой границе основной полосы (см. рис. 6.4, а, в—с)). □ Минимум АЧХ находится па частоте (о, вещественного нуля, не лежаще- го на единичной окружности: ♦ вещественному нулю на частоте (Ь =0, не лежащему на единичной окружности, соответствует минимум АЧХ на левой границе основной полосы (см. рис. 6.4, ?); • вещественный пуль в начале координат z9 - 0 гак же. как и нуль zo = 03. не считается информативным. В подобных случаях АЧХ звеньев 1-го по- рядка имеет характср гладкой монотонной функции с экстремумами на границах основной полосы. Максимуму на одной границе соответствует минимум иа противоположной границе (см. рис. 6.4, а—в). □ Нуль АЧХ (и соответствующий ему скачок иа л ФЧХ) находится на час- тоте юв вещественного нуля, лежащего на единичной окружности: • вещественному нулю на частоте 6>в =п. лежащему на единичной ок- ружности, соответствует нуль АЧХ и скачок на п ФЧХ на правой гра- нице основной полосы (см. рис. 6.4, £»). Отметим, что нуль АЧХ — се наименьшее значение, но не минимум.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 125 О Соотношение полюсов и нулей определяет избирательность звена 1-го порядка: • низкочастотную (НЧ). если максимум ЛЧХ находится па частоте со* - 0, а .минимум или нуль АЧХ — на частите соо - п (см. рис. 6.4, б, е); • высокочастотную (ВЧ), если максимум АЧХ находится па частоте С0о=я, а минимум или нуль АЧХ— на частоте й* =0 (см. рис. 6.4, а, в—д). □ Абсолютная величина полюса определяет крутизну ЛЧХ: с увеличением абсолютной величины полюса крутизна АЧХ возрастает. Например, при £*=<?]= 0,5 АЧХ имеет меньшую крутизну (см. рис. 6.4. а), чем прн j* = aj = 0,8 (см. рис. 6.4. в). Рассмотрим соответствие между картой пулей и полюсов и характером ЛЧХ для звена 2-го порядка. □ Максимум АЧХ находится (приблизительно или точно) па частоте по- люса'. • комтексно-сопряженным полюсам соответствует максимум АЧХ внутри основной полосы частот (см. рис. 6.5, а—ле); • вещественным полюсам соответствует максимум ЛЧХ па границах ос- новной полосы частот (см. рис. 6.5, з). □ Минимум АЧХ находится (приблизительно) па частоте со нуля, не лежа- щего па единичной окружности: • комплексно-сопряженным нулям соответствует минимум ЛЧХ внутри основной полосы (см. рис. 6.5. ж); • вещественным нулям соответствует минимум ЛЧХ на границах основ- ной полосы частот, • вещественные нули в начале координат z17=0 так же, как и нули zo=©o, не считаются информативными. В подобных случаях ЛЧХ звеньев 2-го порядка имеет максимум внутри и минимумы иа границах основной полосы (см. рис. 6.5, а—в). □ Нуль АЧХ (и соответствующий ему скачок на я ФЧХ) находится на час- тоте <о„ нуля. лежащего на единичной окружност и: • комплексио-сопря.ясенным пулям соответствует нуль АЧХ и скачок на л ФЧХ внутри основной полосы (см. рис. 6.5. е—з)’.
126 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем • вещественным нулям соответствуют нули АЧХ и скачки на л ФЧХ па границах основной полосы частот (см. рис. 6.5. ?. t)). Отметим, что нуль АЧХ — ее наименьшее значение, но не минимум. О Соотношение полюсов и нулей определяет избирательность звена 2-го порядка: • полосовую (П) (см. рис. 6.5, в); • режекторную (Р) (см. рис. 6.5. е); • низкочастотную (НЧ) (с.м. рис. 6.5, а); • высокочастотную (ВЧ) (см. рис. 6.5, б). Тип избирательности не имеет ярко выраженного характера. □ Абсолютная величина полюса определяет крутизну АЧХ: с увеличением абсолютной величины полюса крутизна АЧХ возрастает. Например, при гф = 0,7 АЧХ имеет меньшую крутизну (см. рис. 6.5, б), чем при г* = 0.9 (см. рис. 6.5, &). 6.6. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые ЛДС В Лекции 5 было показано, что полюсы передаточной функции устойчи- вой ЛДС должны располагаться внутри единичного круга комплексной z- плоскости. при этом па положение нулей жестких ограничений не наклады- вается: они могут находиться как внутри, так и вне единичного круга. Сово- купность нулей и полюсов полностью определяет вид частотных характери- стик ЛДС. Вместе с тем, подобно линейным аналоговым системам [9]. целесообразно выделить два класса передаточных функций по признаку полного или час- тичного расположения нулей внутри единичного круга и рассмотреть осо- бенности частотных характеристик соответствующих ЛДС. . Определим эти два класса ПФ: О Передаточная функция и соответствующая ей линейная дискретная систе- ма называются минимально-фазовыми, если все нули этой передаточной функции расположены в пределах единичного крута z-плоскости. □ Передаточная функция и соответствующая ей линейная дискретная систе- ма называются неминимально-фазовыми, если хотя бы один нуль этой передаточной функции расположен вне единичного крут z-плоскости.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной облает 127 Поясним смысл данных определений на примере. Рассмотрим даа заена 1-го порядка: О минимально-фазовое звено с передаточной функцией Н](г) H|(z)=' при 0<iH <1, l + a,z имеющей один вещественный нуль внутри единичного круга Pi 1 = 1 ’ О неминииально-фазовое звено с передаточной функцией W2(z) W,(z) = ^—Ц- при 0<Ь,, <1, l + «,z имеющей один вещественный пуль вне единичного круга Р|2 = 1/^1 > 1 • Коэффициенты знаменателей передаточных функций H,(z) и а сле- довательно, и полюсы, одинаковые |я]|<1), коэффициенты числи- телей — зеркальные *02 “~*1Н *12 = -*01 =“! Найдем АЧХ и ФЧХ данных звеньев. Подставляя г = еуш и раскрывая экспо- ненты, запишем частотные характеристики: // (еjA) = *"*1^ = 1-^ic0S^ + J*nsin(‘Q. 1 + 1 +flj cosco-Jusino н feli-cosM+jsina) l + 1 + (ilcosco-/n1 sin co откуда получим одинаковые АЧХ минимально-фазоаого и неминимально- фазового звеньев: AI(a»=|Hl(e^)|= (-^1cosa>)4(^,sin&)2 у (l + tf|Cosd>) +(^$>1161)) l-2^|costo+fefi . У 1 + 2fl| costo+H]2
128 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Л2(Й) = |н2(<>)| = (Лц - costo)2 + (sin <?))“ _ Il - 2/jj [ costo+fc2] (1 +a, costo)2 +(fl|Sin6))2 у l + 2rtj costo + f/]2 и различные ФЧХ: A b. । sin 0) -л. sin 6) fen sin 6) «.sin to (Pi (to) = arctg —-------arctg----!-------- = arctg-------- + arcig---------; l-/?ucosto 1 + tfj cos to l-/?|jcosto l + n,costo A sino) -n.sinto sin co a,sinto (p2 (to) = arctg-------arctg---1------- ~ arcig ------- + arctg---------. £»n-costo l + fl|COsto 6} ।-cos co 1 + 4 costo Срааним полученные ФЧХ; они отличаются только первыми слагаемыми. Обозначим их: А bi. sin to V,(“) = arctg—I----- l~D||COSto a. sin to \g,(to) = arctg-----—. I — COS to Разделим числитель и знаменатель ^i(to) на 6ц . sin to Vi (to) = arctg—-------- Iib{j -costo и, подставив 0)2 = 1/йц, запишем V|(to) в виде sin to V i (“) = arctg-------------------------------. p12 -costo Сравним V](to) и Vz(to)- Поскольку при 0<Ли <1 Pl2 =V^IL > fyl* в основной полосе частот to = |0; л] справедливо соотношение Isin to sin to 0i2-costo| |i»|। -costo| а потому |vi(*)| <|vz(<0)| Это означает, что прирашение фазы — набег фазы — по абсолютной вели- чине для минимачьно-еразового звена оказывается меньшим.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 129 Следствие: из даух линейных дискретных систем — минимально-фазовой и неминимально-фазовой с одинаковыми АЧХ— набег фаз по абсолютной ве- личине, а следовательно, и групповое время задержки у минимально-фазовой будет меньшим. Рис. 6.6. Характеристики минимально-фазовой к немннлмалыю-фазовой систем: карта пулей и полюсов («), АЧХ (б) и ФЧХ (я)
130 Часть ft Математическое описание линейных дискретных систем и H2(z) = Пример 6.1 Определить, какая из двух передаточных функций является минимально-фазовой. Изобразить карты нулей и полюсоа, получить АЧХ и ФЧХ, построить их графики. Решение. Поскольку нуль ПФ //|(z) находится внутри единичного круга рп =-/>!,=(),8<1. а нуль ПФ H2(z) — вне единично!-© круга (рис. 6.6, д) 012 = 1/6п = 1/0,8 = 1,25>1, передаточная функция Н|(г) — минимально-фазовая, а //2(z) — немини- мально-фазовая. АЧХ рассматриваемых звеньев одинаковые (рис. 6.6, 6) „ „ /1 — 1,6coscb +0,64 АДсо) = А2(со) = —--———- , V l + cosco+0,25 а ФЧХ различные (рис. 6.6.«): Л sinco O,5sin(b (pi(co) = arctg-------4-arete-----------; 61,25-cosco 1 +0,5 cosco Л sintb 0,5sinw Ф2 (co) = arctg — ---7 + arctg —— -----, 0,8-cosco l + 0.5cosco при этом набег фазы у минимально-фазового звена— меньший. 6.7. Фазовые звенья Известно, что одним из условий безыскаженной передачи сигналов является линейность ФЧХ капала связи (с.м. п. 18.1). Известно также, что на практике фазочастотпые характеристики каналов связи принципиально нелинейны вследствие нелинейности ФЧХ болылинсгаа фильгров, ограничивающих частотную полосу капала, особенно на его краях. Искажения формы сигнала вследствие нелинейности ФЧХ канала называют фазовыми искажениями. Фазовые искажения, превышающие определенные нормы, приводят к су- щественным ошибкам на нрисме, особенно в случае сигналов с частотной модуляцией.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 131 Компенсация фазовых искажений осуществляется в том сечении канала связи, где ФЧХ канала <рка1В(ш) имеет недопустимые отклонения (рис. 6.7). В этом сечении "вразрез" и каскадно с каналом связи включается фазовыГ. корректор, снижающий фазовые искажения до установленных норм. Сечение Общая ФЧХ канала связи Фо6щ (а» = Ф10ш (ш) + Ф1> (а» Рис. 6.7. Включение фазового корректора в канал связи Каскадное включение фазового корректора с каналом связи означает, что общая передаточная функция равна произведению передаточной функции канала до выбранного сечения Яка||(г) и передаточной функции //фк(г) фа- зоаого корректора ^общ(г)=^кан(2)^фк(г), поэтому общая частотная характеристика имеет вид = |«ка„(е^)||нфк(е>й)|?[ф-(й,+ф*-,й)1.
132 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Конечно же, фазовый корректор не должен искажать АЧХ канала [f/KlUi (<?Jfil)| * значит, АЧХ корректора должна быть частотно независимой |Яфк<еУ'”)|=СОПЯ- Общая ФЧХ равна сумме ФЧХ канала и фазового корректора Фазовые корректоры, как правило, строят на основе рекурсивных фазовых звеньев. 6.7.1. Определение и свойства фазовых звеньев Фазовым называется звено, АЧХ которого в основной полосе частот &=[0;п] не зависит от частоты А(й>)= К = const. Поскольку фазоаые звенья, а потому и фазовые корректоры, не обладают частотной избирательностью, часто, особенно в иностранной литературе, их называют ecenponycKatottfituu. Следующее утверждение устанавливает условие существования фазоаого звена. Утверждение: заено является фазовым, если для всех пар нулей и полюсов его передаточной функции выдерживается соотношение рЛхаЛ=1. (6.52) Доказательство. Передаточная функция (5.6) рекурсивной ЛДС М-1 1+ s А=1 для фазового звена, согласно (6.52), должна иметь одинаковое количество нулей и полюсов, и, следовательно, равные порядки многочленов числителя и знаменателя. Обозначим порядок передаточной функции K = A/-1 = .V-1
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 133 и представим ее в виде произведения простсйл1их множителей (5.I5) Из условия существования фазового звена (6.52) получим соотношение меж- ду' нулями и полюсами 0* “ ' в результате чего передаточная функция примет вид: где R — множитель, не зависящий от z R - — = const. (6.54) п«* *=1 Рассмотрим произведение в (6.53) Вынесем z 1 за скобки каждого fc-ro простейшего множителя в числителе, азатем х-Л —за знак произведения: *=i^l-at.z Заменим z = eJ0' н запишем Н(е^) в виде: //(г'"1) = e~j№ П| И*е"’ |= (6.55) 1-a^e JU> ) k=l где _-1 +aA cos (О+ya* since _ k l-a^cosm + A s'nW (6 56) _ ~(1 - ик cos (b) + jtif. sin fo (l-a* cos6)) + jak sin d)
134 Часть //. Математическое описание линейных дискретных систем Модуль Hk(eJ(£>) равен I/7 ( 'й)|—l-^- cos^ + ^a* sbi d>| _ (I-a* cos to)2 +(aA. sin to)2 I * I I (1-atcostb)+ 7014 sin Л I \(l-at cosra)2+(at sinw)2 и не зависит от частоты и значений полюсов аА. поэтому и АЧХ всего звена с ПФ (6.53) является час/nomuo независимой A(d>) = |w(e;“)| = |fi| = const. (6.57) Аргумент Нк(е^) равен г.. , #йк1 a*since atsinto arg{ Hk (е л°)1=фд (to) = arctg—--— - arctg-—---— = 1 J -(l-aAcosco) (1-a* cosco) (658) Л a>. since = -2arctg---------. (l-afc costo) Теперь несложно определить ФЧХ всего звена с передаточной функцией (6.53), имея в виду следующее: □ аргументы комплексных функций (6.55) и (6.53), с учетом (6.54), оказы- ваются равными arg{w(t>)} = aig{w(£>’)}, □ аргумент произведения комплексных функций равен сумме аргументов функций-сомножителей arg|w (е7“)}= arg|e'A“n Ht(e'w)| = -ЛГй> + £ q>t (<o). Отсюда, после подстановки фЛ(со) (6.58), получаем ФЧХ звена arg{w(e;“)} = (p(to) = -Kto- 2 У arctg—aAs'n(^ (6.59) 1 J £=i ({-a* costo) с частотно независимой АЧХ (6.54), что и требовалось доказать. Следствия: 1. Соотношение (6.52) показывает, что фазовые звенья не являются мини- мально-фазовыми. Действительно, для устойчивости звена полюсы его передаточной функции должны лежать внутри единичного круга, при этом нули, согласно (6.52), всегда будут располага ться за его пределами.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 135 2. Фазочастотная характеристика фазоаого звена является гладкой монотон- ной функцией, принципиально не имеющей скачков, а том числе и на л (напомним, что скачки ФЧХ на ±2л/п не являются информативными). 3. Частотно независимая АЧХ, согласно (6.54), определяется только коэф- фициентом и полюсами ak. Поскольку фазовые корректоры обычно представляют собой каскадное со- единение фазовых звеньев 1-го и 2-го порядков, рассмотрим их передаточные функции, АЧХ, ФЧХ и групповое время задержки (ГВЗ). 6.7.2. Фазовое звено 1-го порядка Передаточная функция фазового звена 1-го порядка (ФЗ-1) имеет вид И-а.Г' где для удобства принято -1. Передаточная функция ФЗ-l имеет один нуль Pj и один полюс ctj, по опре- делению равные Pi = -*>1; “1 = -“1 • что отвечает условию (6.52) “1Р1 =1 и для ФЗ-1 равносильно условию я,*| =1, откуда имеем соотношения между нулем и полюсом Pl =1/C£[ и коэффициентами числителя и знаменателя передаточной функции Следоаательно, нуль передаточной функции ФЗ-1 оказывается больше едини- цы, т. е. лежит за пределами единичного круга (звено неминимально-фазовое). На основании полеченных соотношений имеем частотно независимую АЧХ (6.54): Афз-1(<0) = |я| = НЧ = —— = — =1^1 = const > 1. (6.60)
136 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем При К = I ФЧХ (6.59) имеет вид: . А „ tf.SinCD <Pd>3 i (w) = -co + 2arcig —5-~ 1 +tf| COSCO Найдем групповое время задержки тгиз.1(со), для чего перепишем ФЧХ (6.61), подставив сЬ=соГ, (6.61) ч ~ ~ a.sincoT Ффч-1 (Ь>) = -ГОГ + 2arctg—I------ 1 + с?! COSCOT (6.62) По определению т,та(а>) =------— = -<p(<o), Jco откуда, подставляя Ффз_|(со) (6.62), получаем .( „ a.ivad^T | J -соТ + 2arclg—1---------- I____________ {+ Д| coscoT ] J co Взяв производную, после несложных тождественных преобразований (пред- лагаем выполнить самостоятельно), получим 1_Л2 Tnn-i(w)” ТгВЗ-1(«) = 7—------- 1 + 2Д| COSCO? + rtj (6.63) или для нормированных времени и частоты тГВЗ-1 (И) - ——-------4-------г 1 + 2«| coscd + о. (6.64) Пример 6.2 Фазовое звено 1-го порядка имеет полюс а( =0,8. Записать передаточную функцию, изобразить карту нулей и полюсов, получить АЧХ, ФЧХ, ГВЗ и построить графики частотных характеристик. Решение. Передаточная функция ФЗ-1 имеет один полюс О], по определению равный И, откуда имеем коэффициент знаменателя передаточной функции =-ct| =-0,8.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 137 1.260 1,255 1,250 1,245 1,240 1,000 о б 100 200 300 400 500 Рис.6.8.ХарактеристикиФЗ-1 при а, =0.8 н /, =1000 Гц: карта нулей и полюсов (а), АЧХ (б>. ФЧХ (в) и ГВЗ
138 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем На осноае соотношения между нулем и полюсом находим нуль Р, =1/П1 =1/0,8 = 1.25, по определению равный ₽, =-ь. откуда имеем коэффициент числителя передаточной функции fc, =-Pj =-1.25. Запишем передаточную функцию H(-)=1“l>25z 1 1-0.8? ' и комплексную частотную характеристику 1 — t,25e~J1I> 1-0.8е 1-О.8сл“ 1-0,8<Г-'“ = -l,25e"J,'“ на основании которой получим: □ АЧХ (6.60) Аф3_|((0)=|//(е>шГ)| = |1/(-0,8)| = 1,25 = const: П ФЧХ (6.61) А ч -0.8 sin со ФфЗ-i (Ш) = -<!>+ 2arctg———----; l-().8cosco □ ГВЗ(б.бЗ) , 1-0,64 T™3-i(“) 1 - li6cos(il7'+ 0,64 Карта нулей и полюсов ФЗ-1, а также графики частотных характеристик представлены на рис. 6.8. a—г. 6.7.3. Фазовое звено 2-го порядка Передаточная функция фазового звена 2-го порядка (ФЗ-2) имеет вид ад=44^4- I +atz +a2z ~ где для удобства принято 60 = 1. Найдем соотношение между ее коэффи- циентами.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области у 3g В общем с«учае передаточная функция имеет два комплексно-сопряженных нуля и полюса, поэтому, согласно (6.52), условием существования фазового звена будет “|₽1=1: и2р2=1. Представив комплексно-сопряженные полюсы а( 2 в алгебраическом виде “i=5+m “2=5-Л. запишем соотношение между нулями и полюсами передаточной функ- ции ФЗ-2 В - ' - 1 Ч 1 “i 5+Л1 52+п2 52+ir’ в = 1 - 1 - 5 , . ч 2 «2 5-Л1 52+ч2 52 +п2 Выразим коэффициенты числителя и знаменателя передаточной функции через вещественную и мнимую части полюсов £ и т], для чего представим знаменатель в виде произведения простейших множителей (си. Лекцию 5): (1 - а, Г1 )(1 - а2Г') = 1 - 2^"' + (52 + Л2 К“2. о гкуда п,=-2^, n2=V + n2- (665) Подобным образом для числи геля имеем (1 - P1Z"1 XI -₽<*) = 1 -тДуг'1 +72^-2 Z"2. 5 +п 5 +л откуда 6|=А (606) 5 +Т12 5-+ТГ Сравнивая (6.65) и (6.66), получим коэффициенты числителя />1=—;б2 = — (6.67) “2 “2 и запишем передаточную функцию ФЗ-2 в виде: l+^Lz-'+J-z’2 H(z)= °2 , °2 з-. (6.68) I +OjZ 1 + n2z
/40 Часть iJ. Математическое описание линейных дискретных систем Если нули и полюсы представить в показательной форме, на основании вы- шеприведенных соотношений для пулей и полюсов получим пары a,=r.e^, -—е Г* (6.69) а, = г.е ₽2 = ^ф =-!-<>, причем радиус нулей, как и в случае ФЗ-I. оказывается больше единицы г =—>1. т. е. нули лежат за пределами единичного круга (звено неминимально- фазовое). Используя взаимосвязи: □ между коэффициентами знамена/пеля ПФ и комплексно-сопряженными полюсами (5.32) и (5.33): («I =-2/;cos(p*; □ между коэффициентами чис.тгине:1я ПФ и комплексно-сопряженными ну- лями (при b$ = 1 она такая же, как для полюсов): [Л, --2r cosep ; □ между коэффициентами числителя и знаменателя (6.67) и пулями и по- люсами (6.69), запишем коэффициенты числителя передаточной функции в виде: --2r cosip., = «>2 = >-.2=-!7 r* и передаточную функцию ФЗ-2 Н(’)- l~2r°cos<P* г"1 + г?е 2 1-2r,cosip,,г ‘+г2г“2 -2г costp* cos(p+; 1 -(2/r4,)cos<p« ". l+(l/r,2)z 1 - 2г„ cos<pH z'1 + rfz"2
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной области 141 Получим АЧХ, ФЧХ и ГВЗ фазоаого звена 2-го порядка, применив тот же прием, что и при доказательстве (6.52). В числителе передаточной функции (6.68) вынесем за скобки ~z~2 °2 rr. 1 a->z2 + a,z +1 77(z) =—z - 1---(6.71) a? 1 + atz + a2z " тогда комплексная частотная характеристика примет вид Н (eja) =—с-2я °2e2jM + aieJM + 1 = у (672 «2 1+ «,?“'“+«2<Г2'“ а2 Запишем fjj _ «2g2^n +fl1g^U „ 0 + fli coso + <?2 cos 2(b) + j(a1sincb + <72 sin2&) 1 + a}e~^ + a2e~2J& (1 + tfj costb+a2 cos 2(b) - j(a} sindo + a2 sin 2d)) и найдем ее .модуль и аргумент. Поскольку числитель и знаменатель — комплексно-сопряженные функции, ее модуль равен единице: |н(^й)| = 1, а аргумент — удвоенному аргументу числителя: Г А, лк! т . a, sin&+a-,sin2fi) arg I // (е^’Н = 2arctg-1-. 1 1 l + fl|COSCO+«2COS2tO На основании (6.72) имеем: □ АЧХ Лрз-2 (й) = | Н (0^)1 = Л = = const (6.73) □ ФЧХ z-ч friz /бк! « ft sin(b + Ojsin2(b Ффз-2(ш) = ar81 ) J=-2(0+ 2anctg—1--------=----------; (6.74) 1 J l + fl|COS(0 +tf2cos2(D О ГВЗ Т,та.2(ф) =-----------(1-п2)(1 + а,со5(йТ + а,)-------- (675) (1 + <7| COSCOT + а2 cosier)?)^ sintoT + л2 sin2coT)
142 Часть If. Математическое описание линейных дискретных систем Пример 6.3 Фазовое звено 2-го порядка имеет комплексно-сопряженные полюсы а12=0,8е . Записать передаточную функцию, изобразить карту нулей и полюсов, получить АЧХ, ФЧХ, ГВЗ и построить графики частотных характе- ристик. Решение. Из условия существования фазового звена (соотношения между нулями и полюсами) найдем нули PU =---------1,25с “1.2 Коэффициенты знаменателя передаточной функции равны = -2гф coscp* - —l,6cos(it/3) = -0,8: a2 = r2 = 0,82 =0,64, а коэффициенты числителя, согласно (6.67), равны fej =ai/a2=-l,25; 6, = l/c/2 = 1,5625. Это позволяет записать передаточную функцию ФЗ-2 (6.68) „ , , 1 - 1,25г1 + 1,5625г-2 #Ф1-гг =-----------i------ZJ— 1-0,8- + 0,64г 2 □ и получить: АЧХ (6.73) ЛИ2(Ы) = 1,5625; □ ФЧХ (6.74) /-ч -a -O,8sin<i)4- O,64sm2co Ф<1Я-2 (w) = ”2(0 +-----------------------7-: 1 - 0.8 cos co+0,64 cos 2co □ ГВЗ (6.75) тГВЗ-2(т)- ______________0,36(1,64-0,8cos 0)7)______________ (1 - 0.8 cos cor + 0,64cos ЗсоГМ-О.в sin соГ + 0,64sin 2соГ) Карта нулей и полюсов ФЗ-2, а также графики частотных характеристик представлены на рис. 6.9, a—г. Скачок фазы на 2л в точке f0 не является ин- формативным, он обусловлен удобством построения графика ФЧХ.
Лекция 6. Описание линейных дискретных систем в частотной облает 143 1,575 1.570 1,565 1,5625 1,560 1,555 1,550 О 300 100 200 400 500 Рис. 6.9. Характеристики ФЗ-2 при и, 2 = 0,8**^* и £ = 1000 J ц : карта пулей и полюсов (о), АЧХ (б). ФЧХ (в) и ГВЗ (?)
Лекция 7 Структурные схемы линейных дискретных систем Структурная схема (структура) ЛДС отображает алгоритм вычисления ре- акции. Напомним (с.и. Лекцию 4). чю во временной области соотношение вход/выход при известных параметрах ЛДС описывается разностным урав- нением (4.14), которое решается .методом прямой подстановки при нулевых начальных условиях. Таким образом, алгоритм вычисления реакции задастся непосредственно разностным уравнением, и в этом смысле структура ЛДС отображает разностное уравнение. Алгоритм вычисления реакции но РУ (4.14) основан на выполнении трех типов операций с отсчетами сигнала: □ задержки иа период дискретизации Т ; □ умножения на константу; □ алгебраического сложения. На структурной схеме им ставится в соответствие три вила элементов: □ элемент задержки (рис. 7.1, а)', □ умножитель (рис. 7.1, б); □ сумматор (рис. 7.1, в). Рис. 7.1. Элементы сфукгурноП схемы ЛДС: элемент затержки (о), умножитель (б), сумматор (в)
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 145 Условное изображение элемента задержки связано с тем, что задержка сиг- нала на период дискретизации Т отображается в г-области умножением z- изображения данного сигнала на z'1 (см. Лекцию 3)'. х(пТ)^> X(z)\ х(пТ-Т)=ь X(z)z~'. Физически элемент задержки представляет собой регистр, хранящий один предшествующий (задержанный) отсчет сигнала. Структура ЛДС может быть реализована аппаратно или программно. В первом случае— в виде специализированного цифрового устройства на интегральных логических элементах, во втором — в виде программы на компьютере или цифровом процессоре обработки сигналов (Ц11ОС). Развитие технологии ЦПОС сделало программную реализацию преобла- дающей [45]. Разностному уравнению (4.14) соответствует передаточная функция (5.6). Однако передаточная функция может иметь и другие, эквивалентные виды математического представления (см. Лекцию 5), и, следовательно, разност- ные уравнения могут иметь различные виды, отображаемые различными структурами ЛДС. Вот почему структура ЛДС определяется видом переда- точной функции. С этих позиций рассмотрим структуры рекурсивных и нерекурсивных ЛДС. 7.1. Структуры рекурсивных ЛДС Рекурсивным ЛДС соответствуют три основных вида математического пред- ставления 11Ф Pl(z): □ дробно-рациональный (5.6); □ произведение множителей второго порядка (5.17); □ сумма дробей второго порядка (5.19), которые определяют три основные структуры: □ прямую; □ каскадиуЕо; □ параллельную.
146 Часть IL Математическое описание линейных дискретных систем 7.1.1. Прямая структура Прямая структура определяется передаточной функцией //(c) (5.6), пред- ставленной в дробно-рациональном виде (в общем виде): Л'-1 ч 1=0 и отображает разностное уравнение (4.14) Л'-] Л/-1 >’(«)= y,bjX<.n-i)- J aty(ii-k). i=0 k=l На рис. 7.2 приведена прямая структура звена 2-го порядка, описываемого передаточной функцией (5.12) и разностным уравнением (5.13). Рис. 7.2. Прямая структура звена 2-го порячка В общем случае прямая структура содержит [(/V-1) + (A/-1)] элементов за- держки, из них: (Лг-1) — для предшествующих отсчетов воздействия и (Л/-1) — для предшествующих отсчетов реакции. Рассмотрим канониче- ские структуры, позволяющие свести число элементов задержки к минимуму. Структуру называют канонической, если число элементов задержки в пей ми- нимально и равно порядку передаточной функции— тах{(Л7-1), (/V-1)}. 1 (редставим три разновидности таких ст руктур.
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 147 7.1.2. Прямая каноническая структура 1 Прямая каноническая структура 1 определяется эквивалентным представле- нием передаточной функции H(z) (5.6) в виде произведения двух псредагоч- иых функций я(г) = Л£)=_J-------^\г-.=Уа).>Чг) = (7Л) X(Z> 14. V „ V(Z> I + 2- ak г одна из которых описывает рекурсивную часть ЛДС 1+ X акг а вторая — нерекурсивную Перечаточным функциям Hfa), согласно их определению, соответ- ствуют разностные уравнения Af-l v(«) = л(п) - X «*>’(" - *) ; (7.2) А = 1 У(Н)= Ш-П, (7.3) »=о отображаемые прямыми структурами. На рис. 7.3, а показана прямая структура звена 2-го порядка в виде последо- вательного соединения рекурсивной (7.2) и нерекурсивной (7.3) частей. В этом случае ПФ (7.1) и РУ (7.2) и (7.3) принимают вид W(3) = H,(z)ff2(z) =------J------(^+61z',+b2z V. (7.4) l+6f|Z -bt/jZ т(л) = x{n)~atv(n- 1)“А2Ия'*2) ; (7.5) У’(л) = bnv(ri)+bfv(n -1) + b2v(n - 2). (7.6) Объединение двух линий задержки в одну (на основании равенства входного и выхочного сигналов в точке Д) приводит к прямой канонической структуре / (рис. 7.3. 6). 6 ч.к 165
148 Часть //. Математическое описание линейных дискретных систем Рис. 73. Прямая каноническая структура 1 звена 2-го порядка: пос/гедовательное соединение рекурсивной и нерекурсивной частей (а); объединение авухлиний задержки водку (б) 7.1.3. Каноническая структура 2 Каноническая структура 2 определяется другим эквивалентным представ- лением передаточной функции H(z) (5-6). которое можно получить путем деления числителя иа знаменатель по правилу деления многочленов при N = M : H(z) = И» *(z) M 1 I=o M-l 1+ X atz' =/% + X V’t -IVi )Z ‘ 4=1____________ M-l , (7.7) = /7,lp(z) + //p(z) = Y Y *np , * up X(z) X(z)’
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 149 в результате чего H(z) представляется в виде суммы двух передаточных функций, описывающих нерекурсивную (с индексом ’нр’) *нр(") “ Оп Х(з) ° (7.8) и рекурсивную (с индексом 'р') w-i X (^ -M*)z K(z) "p(z>=^-~ 1+ X"<z (7.9) части ЛДС. Передаточной функции/7нр(г) (7.8) соответствует разностное уравнение J1.P(") = M(n)- (710) Для того чтобы получить РУ, соответствующее Z/p(z), представим ее, по- добно (7.1). в виде произведения двух передаточных функций К, (г) V(z) ^(z) = -—=—-— = Wpl(z)Wp2(z) = X(z) X(z) V(z) p p2 I M-l =—STi-------X № 1+ X и запишем разностные уравнения в виде (7.2) и (7.3): м-1 г(м) = л(к)- у akv(n~k)'. М-1 Ур(н)= X -l>oat)v(n-k). совокупность которых отображается прямой канонической структурой I. В итоге передаточной функции Z/(z) (7.7) 1 M 1 , «(z) = //llp(z) + A/p,(z)//p2(z) = ^ +—iTT----------2 -Wz'* (7-1 О I I V Л *=l |+ L akZ
150 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем соответствует система разностных уравнений М-1 у(п) = У,ф ('0 + .Гр («) = bi>x<.n'1 +'5Льк~ hi>ak>*'(" ~ v(n)=x(n)~ X a*v(n-i), *=l отображаемая канонической структурой 2. На рис. 7.4 приведена каноническая струкп'ра 2 звена 2-го порядка. В этом случае НФ (7.11) и система РУ (7.12) принимают вид: Н(г) = Ье ч------р-----Дл +(*2 -1ьЪ>г~2]; (7-13) 1 + «1Z +O2i fx») = /,b-r(«) + (*i ~*<А)’’(»-О+ (*2-b0a2jv{n-2); | v(n) = х(и) - at v(n -1) - а2т(л - 2). Рис. 7.4. Каноническая структура 2 звена 2-го порядка 7.1.4. Каноническая структура 3 Каноническая структура 3 определяется еще одним эквивалентным представ- лением передаточной функции H{z) (5.6). которое получается следующим образом: Г м_| -И □ полагая W = Л/, умножим. «свую и правую части (5.6) на I 1 + £ п* z I:
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 151 М-1 ( W-1 ,1 -п ( М-[ "(г) 1+ X к 1+ X I J l+X«fcz-4 *=' jt=i □ сократим общие множители в числителе и знаменателе справа: М-1 М-1 //(г)= 5>,г“'-//(г)Х^г *; i=0 Jt = l □ представим передаточную функцию в виде разложения (в лестничной форме 16]): W(z) = ^ + z“177,(z); //|(z)=|fe,-o,//(z)l + z“'//2(z); //2(z) = [fc2-o2W(z)| + r‘w3(z); (7.15) «и -i(z) = *m-i таким образом, что ]](:) опречслястся последовательной подстановкой снизу вверх. Получим систему разностных уравнении, соответствую111у1о данной 1 |Ф. для чсто: П умножим левую и правую части всех равенств (7.15) на А’(д): //(z)X(;) = fe„X(Z) + z '//|(z)X(z); W1(z)X(z) = fc1X(z)-fll//(z)X(z) + z’,W2(z)X(z); 772U)X(z) = fc2X(z)-a2W(z) + z-1 W3(z)X(z); (7.16) A/M_1(z)X(z) = fcM_,X(z)-«W-l7/(z)X(z); П обозначим: Hz)=//(z)X(z); Ц(г)=//|(г)ХСг); V2(z) = //2(z)X(z); Ум-М = Нм ,X(z);
152 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем □ подставим в (7.16): nz)=Mw+z’'im V, (z) = b|X(z) -«/(.7) + V2(z); V2(z) = b2X(z)-«2r(’) + V3(z); V„-i(z)=bw_, X(z)-a^y(z); П используя свойства Z-преобразования, запишем РУ в виде системы: y(n) = b0.v(/i) + v,(n-l); V, (и) = ^л(л) - a,yM + v2(n -1): i’2(.n) = b2.r(H)-"2.'('i) + v3(n-l); (7.17) v,w-i (») = ЬА,_;.г(н) - a w у(и). Она решается снизу вверх и отображается канонической структурой 3. Рис. 7.5. Каноническая структура 3 звсиа 2-го порядка На рис. 7.5 приведена каноническая структура 3 звени 2-го порядка. В этом случае ПФ (7.15) и система РУ (7.17) принимают вид: Я(г) = ьо+г H,(z) = [ftl-u,W(z)] + -’-1/72(z); (7.18) W2(z) = />2-a2//(z).
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 153 y(n) = btix(n) + vl (n-l); v, (и) = VO') - (и) + v2 (п -1); (7.19) >’2(») = Л2х(п) - a2><«). 7.1.5. Каскадная структура Каскадная структура определяется передаточной функцией 7/(з) (5.17), представленной в виде произведения множителей второго порядка: "(7) = П "л(г)=ПР’1№ +h2tZf X = l t = l^ 1 + «hZ + "2]fZ где V, bik, V , a^k , н22. — eeufecinaeiiHue коэффициенты, a К — количе- ство звеньев 2-го порядка. При пряной структуре всех звеньев (см. рис. 7.2) данному виду передаточной функции соотвс гствует система разностных уравнений vi («)=М”)+bi 1*(" -1)+*214" -2) - «11 vi (« - о - a2ivi (« -2); v2(n) = *B2V1(") + *12vl(" - 1) + *22vl(" - 2) - «12v2(n “ О “ «22v2<" “ 2)i И") = *O.K--1VK-1(") + *1.K -ivri (" - D + *2.K-1’’K-1 (" - 2) - <Ч.к-\У(п - 0 - -"2Х-1Я"-2), из которой следует, что реакция Л-го звена. к = \, 2,(К-1), служит воз- действием для (А + 1)-го звена, поэтому данная система отображается кас- кадным соединением рекурсивных звеньев 2-ко порядка— каскадной структурой. На рис. 7.6 изображена каскадная структура из трех звеньев 2-го порядка прямой или канонической структуры. Рис. 7.6. Каскадная структура из трех звеньев 2-го порядка
154 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем 7.1.6. Параллельная структура Параллельная структура определяется передаточной функцией H(z) (5.19), представленной в виде суммы дробей второго порядка: «u)= i Htu)=£f- (=i t=ip + «u.z +«21^") где Ьщ., Ьц., alk, «2* — вещественные коэффициенты, а К — количество звеньев 2-го порядка. Получим разностное уравнение, соответствующее данному виду ПФ. для чего: □ умножим левую и правую части (5.19) на X(z): к к ( к + ь у-1 А Г(г) = //(г)Х(г)=1ВДХ(:) = £ - ! ~_г *(:); fc=l IJ П обозначим: vk(-) = »,№(--)- 1 X(z), в результате чего имеем соотношение вход/выход в виде (5.5): □ представим реакцию F(z) в виде суммы реакций: X(z)=f V*(z); Jc = l О выполним обратное /-преобразование левой и правой частей и запишем искомое разностное уравнение уОО=5>>(л). (7.20) где гЛ(н) = ^Ал-(л)-|-Л1Лл-(п-1)-«цРА.(п-1)-п2АгЛ(л-2). (7.21) Из РУ (7.20) следует, что воздействие для всех звеньев одинаковое, а реакция равна сумме реакций отдельных звеньев, поэтому данное РУ отображается параяя&яъным соединением рекурсивных звеньев 2-го порядка — паралле./ь- ной структурой. Парис. 7.7 изображена параллельная структура из грех звеньев 2-го порядка прямой или канонической структуры.
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем Рис. 7.7. Параллельная структура из трех звеньев 2-го порядка Рис. 7.8. Прямая структура звена 2-го порядка при параллельной структуре На рис. 7.8 приведен пример прямой структуры звена 2-го порядка, описы- ваемого ПФ (5.12)иРУ (5.13)при 62 =0- 7.2. Структуры нерекурсивных ЛДС Напомним (си. Лекцию 5), что передаточная функция нерекурсивных ЛДС может рассматриваться как частный случай Щг) общего вида (5.6) при =0. Л=1, 2,..., М -1. В этом случае знаменатель //(з) оказывается рав- ным 1, а дробно-рациональная функция — рациональной. Нерекурсивным ЛДС соответствуют два основных вида математического представления Пф H(z): □ рациональный (5.25); □ произведение множителей второго порядка (5.28),
156 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем которые определяют det* основные структуры: П прямую; □ каскадную. 7.2.1. Прямая структура Прямая структура (рис. 7.9) определяется передаточной функцией f/(z) (5.25), представленной в вице рациональной функции v-t W(z) = £ V"', i=0 и отображает разностное уравнение (4.21) N-1 у(>|)= £М»-0- 1 = 0 Рис. 7.9. Прямая структура нерекурсивной ЛДС В Лекции 18 приводится разновидность прямой структуры— прямая приве- денная структура для нерекурсивных ЛДС с линейной фазочастотной харак- теристикой. 7.2.2. Каскадная структура Каскадная сгруктура определяется передаточной функцией Я(з) (5.28). представленной в вице произведения множителей второго порядка: Н(г) = П".(г) = П<^ + V' +Ь2,’2'), (7-22)
Лекция 7. Структурные схемы линейных дискретных систем 157 где Ьщ, Ьц, b2j — вещественные коэффициенты, а К — количество звеньев 2-го порядка. ПФ (7.22) соответствует система разностных уравнений нерекурсивных звеньев 2-го порядка (с.м. и. 7.1.3): V] (я) =/^)| >(//) 4- Ь, tx(ll - 1) 4- “ 2); 14(я) -fy2Vj(и) 4-/д2vi(« -1) + ZhjV,(и- 2); уОО = fy) к-р'к-i (я) 4- (« “ 1) 4- b^K-iVx .] (л - 2). отображаемая каскадной структурой (с.м. рис. 7.6), где каждое звено имеет прямую сгруюуру (рис. 7.10). у(«) Рис. 7.10. Прямая структура звена 2-го порячка нерекурсивной ЛДС 7.3. Выбор структуры Поскольку одна и та же передаточная функция может быть представлена в разных видах, возникает вопрос о неоднозначности структуры ЛДС и се выборе. Подробно это обсуждается в лекциях по синтезу цифровых фильт- ров, здесь же ограничимся двумя общими положениями: □ для цифровых фильтров вид передаточной функции определяется методом синтеза, тем самым структура по существу оказывается автоматически выбранной; для рекурсивных фильтров обычно она каскадная или парал- лельная (с.м. Лекции 23—24), а для нерекурсивных — прямая приведенная (с.=и. Лекцию /8): О при выборе структуры отдельных звеньев 2-го порядка и последователь- ности их расположения в каскадном соединении необходимо иметь в ви- ду, что от этого зависит погрешность вычислений— собственные шумы системы.
Лекция 8 Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний Как следует из предыдущих лекций, анализ ЛДС осуществляется во времен- ной области или нат. комплексной Z-плоскостыо. включая частотные методы. В настоящее время методы пространства состояний отождествляют с совре- менной теорией управления, частью которой можно считать цифровую обра- ботку сигналов. В широком смысле метод пространства состояний, по край- ней мере при изучении дискретных систем, имеет ряд положительных аспектов: □ описание в пространстве состояний является естественным и удобным для решения задач на компьютере с учетом развитости матричных алгоритмов; П унифицируется описание цифровых систем с различными типами кванто- вания; □ унифицируется описание одномерных и многомерных дискретных систем; □ возможно применение к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем. В пространстве состояний непрерывная во времени структура описывается системой дифференциальных уравнений первого порядка, называемых урав- нениями состояния. Для дискретных систем уравнения состояния — это раз- ностные уравнения первого порядка. Некоторые дискретные системы могут содержать аналоговые и цифровые элементы, и, следовательно, уравнения состояния в общем случае будут одновременно состоять из дифференциаль- ных и разностных уравнений первого порядка. Однако нс должно склады- ваться впечатление, что использование метода пространства состояний все- гда имеет очевидные преимущества. Достоинство хорошо разработанных частотных методов состоит в их компактности. Поэтому большое число задач анализа и синтеза систем ЦОС но-нрежнему решается с использованием пе- редаточных функций.
Лекция 8. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 159 8.1. Понятие состояния Понятие состояния является в значительной мере интуитивным и, следова- тельно, нс можея быть определено более полно, чем, например, термин ’'множество'’ в математике. Наибольшее, что можно предпринять в этом пла- не.— это сформулировать свойства, какими должна обладать система (в па- шем случае дискретная), поведение которой отвечает понятию состояния. Детерминированная (неслучайная) [цифровая сис'1'ема может быть определена следующим образом: 1. Существует класс функций времени {х(«Г)}, называемых допустимыми входными сигналами. 2. Для каждого момента времени пТ определено множество Q(hT\ эле- менты которого д(нТ) являются возможными состояниями. 3. Каждой паре х(нТ) и q(nT') отвечает, по крайней мере, одна функция времени у(пТ)к называемая выходным сигналом. Из этого определения следует, что состояние системы в каждый момент вре- мени можно описал ь с помощью конечного набора изменяющихся величин 4/i, </2.Чк» называемых переменными состояния. Совокупность этих вели- чин образует вектор состояния q дискретной системы, если с их помощью по известному входном) сигналу х(пТ) можно определить как выходной сигнал системы у(пТ). так и будущие значения вектора состояния. Таким образом, для того чтобы К-мерный вектор €/ = [t?f *7л] был вектором со- стояния, необходимо существование такой однозначной векторной функции F и такой однозначной скалярной функции векторного аргумента G. что имеют место равенства (для нормированного времени): ч(и + 1)= F[<7(n), .<«)]; (81) у(л) = G[</(«), л(и)]- (8-2) Совокупность всех возможных значении вектора состояний образует простран- ство состоянии данной системы. Разумеется, оно также будет /С-мерным. Пример 8.1 Пусть дискретная система описывается двумя переменными и <у2, каждая из которых принимает четыре целочисленных значения 0, 1, 2, 3. В этом слу- чае пространством состояний является множество узлов двумерной решетки размером 4x4, изображенной на рис. 8.1.
160 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Рис. 8.1. Пространство состояний двумерной дискретной системы Эволюцию системы во времени можно представить в виде ломаной линии, соединяющей узлы решетки. Переходы из одного состояния в другое проис- ходят в дискретные моменты времени. При описании систем в пространстве состояний вводятся понятия управляе- мости и наблюдаемости, позволяющие в ряде случаев охарактеризовать внутренние свойства системы. Динамическую систему называют управляемой^ если существует реализуемая последовательность входных сигналов х(нТ), позволяющая перевести объ- ект из произвольного начального состояния д(0) в любое конечное состоя- ние q(NT) за ограниченное время, равное N периодам дискретизации. Дискретную систему с выходным сигналом у(пТ) называют наблюдаемой, если произвольное состояние q(nT) можно определить, имея конечное число отсчетов выходного сигнала у(пТ), у [(и + 1)Т].у[(н + JV -1)7’]. 8.2. Описание ЛДС на основе структурных схем Из соотношения (4.13) следует, что во временной области ЛДС можно опи- сать линейным разностным уравнением порядка /V. Одной из целей введе- ния пространства состояиий является понижение порядка исходного разно- стного уравнения путем перехода к системе из N линейных разностных уравнений первого порядка.
Лекция 8. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 161 Рассмотрим прямую каноническую структуру 1 ЛДС второго порядка, изо- браженную на рис. 7.3, б. Считается целесообразным вводить переменные состояния как сигналы на выходах элементов задержки. Такое введение пе- ременных состояния является не единственным, но обладает хорошей на- глядностью, т. к. позволяет отождествить каждую переменную с содержи- мым регистра или ячейки памяти микропроцессора, входящих в состав линии задержки. Разумеется, число переменных состояния будет не меньше порядка цифровой цепи. На основании вышеизложенного будем считать, что на рис. 7.3, б сигнал v(«-2) совпадаете переменной ^(и), а сигнал v(« —2) — с переменной ^2(«)- После этого прямая каноническая структура 1 примет вид, изобра- женный на рис. 8.2. Рис. 8.2. Прямая каноническая структура I с переменными состояния Из рисунка видно, что переменная опережает на один период дискретизации Т. Аналогично промежуточная переменная v(n) опережает <7г(л). Математически в нормированном времени это можно записать сле- дующим образом: ^1(л + 1) = у2(л); (8-3) V2(w + 0 = l'(n)- (8-4) Структурная схема показывает, что промежуточная переменная v(n) есть алгебраическая сумма грех сигналов: v(n) = -л2<7| (и) - «!б/2 («) + а(л) . (8-5)
162 Часть И. Математическое описание линейных дискретных сметем Подставляя уравнение (8.5) в (8.4) и незначительно модифицируя запись уравнения (83), получим систему двух линейных разностных уравнений, описывающих временную динамик}' переменных состояния: [<7|(н+1)=Ог/1(п)+1‘72(',)+О-'('О; 1 (о.О) [q2(» + 0 = (”)“ "K/2(w) + 1 ‘ ФО- Переходя к матричным обозначениям, можно ввести вектор-столбец состоя- ния размером 2x1: (8.7) квадратную матрицу коэффициентов размером 2x2: Л=Г ° ' 1 (8.8) [“«I -"ij и матрицу-столбец размером 2x1: В=ЭД. (8.9) С учетом введенных обозначений (8.7) и (8.9) систему (8.6) запишем в сле- дующем виде: 9(л +1) = Ац (и) + Ял(л). (8.10) Уравнение (8.10) называется матричным уравнением состояния ЛДС второ- го порядка. Оно, естественно, тоже будет линейным. Получим для той же схемы уравнение выходного сигнала у(п). Прежде все- го заметим, что у(н) является алгебраической суммой трех переменных: у(п) = 1’(я) + Л, <72 («) + /лс/] (л). (8.11) С учетом (8.5) уравнение (8.11) примет вид: у(н) = [Ь2 - /^а2 ) сц (л) + (Z>, - btftj) q2 (») + ^Ь-Ф1) (8.12) Введем матрицу-строку размером 1x2: С = [(Л2-^)«2) (8.13) и для единообразия — матрицу D. состоящую из одного элемента b{i: D^. (8.14)
Лекция в. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 163 С учетом (8.13), (8.14) и (8.7) уравнение (8.12) может быть записано в сле- дующем виде: у(л) = С ^(и) + О-л(п). (8.15) Уравнение (8.15) называют уравнением выхода ЛДС. Несмотря на то. чго а уравнении фигурируют векторы и матрицы, оно позволяет найти скалярный выходной сигнал у(н). Нетрудно показать, что ЛДС с канонической структурой 1 произвольного порядка N описывается уравнениями (8.10) и (8.15). Матрицы Д, В, С и вектор q(n) будуг иметь размеры /Vx/V. ^x1. IxN и Nxl соответственно. При этом матрицы обладают следующими структурами: О 1 0 ... 0 0 0 1 ... о ...... Пэ ~Д1 о' fi=°, 1 (8.16) (8.17) С ~ [(^v — “ ^aaN-i) — (^]—^Ьд|)]* (8.18) Матрица D соответствует скаляру 6^. В случае нерекурсивных линейных цифровых систем в равенствах (8.16) и (8.18) следует положить все коэффициенты ......aN равными нулю. При этом описание ЛДС в пространстве состояний становится тривиальным. 8.3. Определение уравнений состояния и выхода по передаточной функции Уравнения состояния и выхода ЛДС с одним входом и одним выходом могут быть получены с помощью разложения передаточной функции системы на элементарные дроби. Предположим, что передаточную функцию Н(г)
164 Часть И. Математическое описание линейных дискретах систем можно представить в виде суммы простых дробей первой степени: H(Z)= f 4 = 1 Q z-z.t Л- с. 7-1 4,11-Z.j Z"' ’ (8.19) где — полюсы передаточной функции. На основании результатов, полученных в Лекции 7, можно утверждать, что разложение (8.19) соответствует представлению ЛДС в виде параллельного соединения К рекурсивных звеньев первого порядка. Структурная схема, соответствующая подобному представлению, изображена на рис. 8.3. Разложение (8.19) предполагает, что степень полинома числителя передаточ- ной функции меньше степени многочлена знаменателя и все полюсы Z»* различны. Из распараллеливания структуры ЛДС следует, что все перемен- ные состояния ?д(л), введенные ранее рассмотренным способом, становятся взаимонезависимыми. Следовательно, любое разностное уравнение типа (8.6) преобразуется к виду: 9jt (и +1) = Z*k (н) + х(л), к = 1,2.К. (8.20) Выражение (8.20) свидетельствует о том, что матрица Л становится диаго- нальной с числовыми значениями полюсов иа главной диагонали:
Лекция 8. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 165 (8.21) О О ... Z*k Необходимость подачи входного сигнала х(п) па все параллельные ветви схе- мы превращает матрицу В в столбец, состоящий из единичных элементов: (8-22) Матрица С состоит из коэффициентов Ск в разложении (8.19): С = [С, С2 ... Q], (8.23) В [20] показано, что каждый коэффициент Ск может быть найден из равенства Ск= lim //(Z)-(Z-Z^), к = I, 2.....К. (8.24) В случае равенства степеней полиномов числителя и знаменателя передаточ- ной функции в схеме на рис. 8.3 появляется прямое воздействие входного сигнала х(п) па выход у(п) через коэффициент (изображено пунктирной линией), где: Zty = _Hm H(Z). (8.25) Пример 8.2 Определим параметры схемы, изображенной на рис. 8.3, для передаточной функции Z4 7-1 W(Z) --------у------г --------------------j-. I-0.5Z'1 4-0.06Z-2 (I-O^Z^MI-OJZ"’) Решение. Очевидно, передаточная фуикция имеет два полюса: Z4I =0,2 и Z*2=o,3. В соответствии с формулой (8.25)
166 Часть П. Математическое описание линейных дискретных систем 4» = lim-------------------- z->“l-0,5Z_' + 0,062"“ = 0. Используя выражение (8.24). получаем: Z1 lim ----------------—(Z-O.2) = -2; z->o.2(i-O,2Z’lXl-O,3Z ’) 7~l C2= lim --------;---------r(Z -0,3) = 3. Z—*o.3 (1 - 0,2Z“ )(1 - 0.3Z” ) Окончательно матрицы уравнений состояния и выхода примут вид: o°J: в=[:]; с^2 з]; d=°- Следующий пример покажет, насколько вид структурных схем зависит от степеней полиномов числителей в разложении (8.19). Пример 8.3 Представить в пространстве состояний ЛДС второго порядка с передаточной функцией tf(Z)=----------г----~г l-0,5Z-1 4-0,06Z 2 Рис. 8.4. Параллельная структура рекурсивной цепи 2-го порядка
Лекция в. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 167 Решение. Легко можно получить разложение передаточной функции: 11(7) =------г-------2 = ~~~Т +-------”~Т; I-0.5Z-' +0.06Z"2 1-0,2Z 1-0.3Z 1 Z*| = 0,2; Z„2=0,3; < а "=[>=" '> Структурная схема, соответствующая полученному решению, представлена на рис. 8.4. (8.26) (8.27) 8.4. Структурное представление ЛДС по уравнениям состояния и выхода Нетрудно предположить, что в общем случае матрицы A, fi, С и D в урав- нениях (8.10) и (8.15) не содержат нулевых элементов. Это приводит к тому, что уравнения состояния и выхода, например для рекурсивного звена второго порядка, принимают вид: *71 (п 4-1) = «I]</[ (н) 4- П12*71(«) + Ла(п); *71<« + 1) = «21 Ч\ (Я) + «22^2('О + у(н) = зд (л) 4- C2q2 («) 4- ЬаХ(н), где , bj ис, — элементы матриц А. В и С соответственно. Из уравнений (8.26) следует, что каждая переменная состояния в последую- щий момент времени принимает значение, равное алгебраической сумме зна- чений всех переменных состояния и входного сигнала (с соответствующими коэффициентами) в предыдущий момент времени. Из уравнения (8.27) видно, что выходной сигнал формируется в виде алгебраической суммы значений всех переменных состояния и входного сигнала (опять же с соответствую- щими коэффициентами) в каждый момент времени. Эти соображения позво- ляют составить общую структурную схему рекурсивного звена второго по- рядка, изображенную на рис. 8.5. Полагая на схеме отдельные коэффициенты равными нулю, можно получить все структурные схемы, рассмотренные в Лекции 7.
168 Часть И. Математическое описание линвиных дискретных систем Рис. 8.5. Общая структура рекурсивного звена 2-го порядка Пример 8.4 Рассмотрим прямую каноническую структуру 3 для звена второго порядка из Лекции 7. Ее схема изображена на рис. 7.5. Проведя описание этой структуры в пространстве состояний аналогично п. 8.2, получим следующие матрицы: -[! .;] <828> ’-[S-К]- с''°<мм Следовательно, данная структура возникает из общей (рис. 8.5) в случае, когда <3| j = 0 и с-| = 0. При росте числа переменных состояния усложнение структурной схемы (рис. 8.5) будет связано с увеличением размеров матриц А. В и С, возрас- танием количества коэффициентов, их составляющих, и с появлением новых перекрестных связей между отдельными ветвями. Предыдущее изложение показало, что различные структуры матриц уравне- ний состояния и выхода соответствуют различным схемам ЛДС. При микро-
Лекция в. Описание линейных дискретных систем в пространстве состояний 169 процессорной реализации цифровых систем .могут существенным образом варьироваться вычислительная сложность алгоритма ЦОС, чувствительность к внутренним ошибкам, вероятность возникновения нелинейных процессов. Основная проблема схемной реализации ЛДС состоит в выборе структуры, обеспечивающей допустимый компромисс между данными критериями. В об- щем случае описание в пространстве состояний (вид матриц Д, В, С и D) не дает однозначного определения структуры ЛДС. Пример 8.5 Рассмотрим две структуры рекурсивных ЛДС второго порятка (рис. 8.6 и 8.7). Рис. 8.6. Прямая структура рекурсивного звена Рис. 8.7. Модифицированная прямая структура рекурсивного звена
170 Часть //. Математическое описание линейных дискретных систем Переменные состояния определим как выходы элементов задержки. Приме- няя способ, описанный в n. 8.2, можно установить, что матрицы уравнений состояния и выхода для обеих схем одинаковы и имеют вид: л = 0 10 0 ООО 0 ООО 1 ро ~ (,2 - °|. 0 1 0 А). ; C = [fc0 bt -a2 -a,]; D = ^> Однако приведенные схемы имеют разное число сумматоров и умножителей, что скажется на их алгоритмической реализации. Для отражения в пространстве состояний более "тонкой" структуры схемы приходится вводить дополнительные переменные. Считается рациональным (но не единственно возможным!) их введение через сигналы па выходах сумматоров и в точках ветвления схемы. К примеру, введение дополнитель- ной переменной q$(n) на выходе второго сумматора в схеме, изображенной на рис. 8.7, даст следующие уравнения состояния и выхода: q(n 4- I) = Aq(n) 4- Вх(п) 4- В'х(п 4-1); y(n) = Cg(n), где 0 1 0 0 o' 0 () 0 0 0 0 0 1 0 9z(") 0 0 0 1 0 ; в = 0 ; В' = 0 ; </(») = <7з(«) 0 *1 ~п2 -«1 ^0 0 0 <74<«) 0 1 0 0 0 0 1 с= [о -“2 -«1 *«]• Таким образом, особенности структурных схем ЛДС могут быть отражены в пространстве состояний путем введения дополнительных переменных, чго, несомненно, приводит к увеличению размерности матриц в уравнениях со- стояния и выхода. Это, в свою очередь, ведет к росту объема вычислений, проводимых в процессе анализа и синтеза ЛДС высокого порядка.
Лекция 9 Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний Описание систем методами просгранства состояний, проведенное в Лекции 8, предполагало независимость коэффициентов разностных уравнений и пере- даточных функций (а следовательно, и введенных матриц) от времени. По- добное предположение характеризует стационарные системы, что снижает общность полученных результатов. Однако это соответствует материалу, из- ложенному во всех предыдущих лекциях. Дискретные системы с параметра- ми, являющимися функциями времени, будут рассмотрены в дальнейшем при переходе к адаптивным методам обработки сигналов. В данной лекции будут получены основные характеристики ЛДС в предпо- ложении, что их описание проведено методами пространства состояний. При этом предполагается достаточно широкое привлечение результатов матрич- ной алгебры, необходимые сведения из которой приведены в Приложении 4. 9.1. Временной анализ Пусть ЛДС описывается уравнениями состояния и выхода в нормированном времени: tj(n 4-1) = Aq(n) + Вх(п) ; (9.1) у(/|)-Сд(л)+Ол(н). (9.2) Временной анализ основывается на построении рекуррентной процедуры решения разностного уравнения (9.1) для заданной последовательности
172 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем 1ходных сигналов х(и) при известном начальном состоянии ^(0). Эта про- цедура описывается соотношениями: п = 0: 9(1) = Л<у(О) + Сл(0); и = 1: (2) = 49(1) + Вл(1) = Л 2?/(0) + Л£>(0) + Вл(1); и = 2: 9(3) = Л39(О)+ Л2Вл(0) + ЛВл(1) + Вл(2). Полученная последовательность легко обобщается на произвольный момент времени п: q(.n) = Л"9(0) + £ ВлЦ), (9.3) *=0 где А° = I —единичная матрица, Ак = Л-А Л. К pal С помощью уравнения (9.3) можно вычислить компоненты вектора состоя- ния q(n) в любой момент времени л. зная начальное состояние </(0) и вход- ной сигнал х(л). С алгебраической точки зрения первое слагаемое в (9.3) есть решение однородного разностного уравнения (9.1) при В = 0. Вторая сумма в (9.3) есть частное решение (9.1), представляющее собой линейную дискретную свертку. В случае отсутствия входного сигнала (В = 0 или jt(/i) = O) матрица А пол- ностью описывает внутреннюю динамику линейной системы. Поэтому А называют переходной матрицей состояния. По аналогии назовем В матри- цей входа, а С — матрицей выхода. Подставим выражение (9.3) в уравнение выхода (9.2): л-1 у(н) = САп7(0) + сХ '~kBx(k) + Dx(n). (9.4) *=о Уравнение (9.4) служит основой для получения импульсной и переходной характеристик ЛДС. На основании определений, приведенных в п. 4.1, можно утверждать, что импульсной характеристике соответствует выходной сигнал при единичном цифровом импульсе на входе и нулевых начальных условиях. Аналогично, переходной харакзсристике соответствует выходной сигнал, получаемый под воздействием единичного цифрового скачка их{п) при нулевых начальных условиях. Аналитическое выражение для импульс-
Лекция 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний 173 ной характеристики получается из уравнения (9.4) при условиях ^(0) = 0 и х(и) = 1<о(п): П-1 Л(л) = С£ A,J*'1’*fi«0(A) + Dw0(n). (9.5) *==о При п = 0 й(0) = Duo(O) = , а при п > 0 сумма в правой части (9.5) вырож- дается в единственное слагаемое при к = 0: h(n) = CA"'B. (9.6) Объединяя (9.5) и (9.6), окончательно получаем: Пример 9.1 Вычислить три первых отсчета импульсной характеристики рекурсивной це- пи второго порядка, имеющей прямую каноническую структуру 1. Решение. На основании выражений (8.8), (8.9) и (8.13) имеем: А- о “й2 С = [(*2 В соответствии с (9.7) получим: и = 0: Л(О>=Л»о; л = 1: Л(1) = СЛ°В = С/Я = С-В = [(*2-6Ь«2) (*i “V1)] [^] = й1 л = 2: A(2) = C/tfi = [(fc2-fct)a2) (^6o«1)Jl ° 1 • К = l~«2 LlJ = Ь2-ПЛ + -<12fc(1. Полученный результат совпадает с решением разностного уравнения (5.13) при х(п) = и0(п). Переходная характеристика получается из выражения (9,4) при условиях <7(0) = б и х(л) = «1(и): g(n) = cy An~l~kBui(k) + Dul(n} = c''£ A"~l~k-B + D. (9.8) 4=0
174 Часть И. Математическое описание линейных дискретных систем Несложный анализ выражений (9.7) и (9.8) показывает, что для получения временных характеристик ЛДС необходимо вычисление больших степеней квадратной переходной матрицы состояния Д . Для этого существует эффек- тивная процедура, основанная на теореме Гамильтона—Кэли, которая будет рассмотрена в дальнейшем. 9.2. Анализ в z-области Свяжем уравнения состояния и выхода с передаточной функцией вве- денной в п. 5.1. Для этого применим z-преобразование к обеим частям ра- венств (9.1) и (9.2): г ]С(г) - 9(0)] = А • (?(.-) + ЙХ(г). (9.9) Г(г) = С(2(<) + ОХ(г), (9.10) где: X(z) —z-образ входного сигнала х(п)\ Y(?) —z-образ выходного сигнала у(п): Q(z) —z-образ последовательности векторов состояния <у(й). При нулевых начальных условиях (д(0) = 0) разрешим уравнение (9.9) отно- сительно Q(z)‘ Q(z)=[zI-AY1BX(z), (9.11) где: / —единичная матрица порядка, совпадающего с порядком матрицы Д; операция [ ] 1 означает обращение матрицы, находящейся в квадратных скобках. Подставляя (9.11) в (9.10) и учитывая, что передаточная функция нт х и U) =----, получаем: X(z) //(г) = С[г/-дГ1В + О. (9.12) Выражение (9 12) связывает передаточную функцию ЛДС с матрицами урав- нений состояния и выхода.
Лекция 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний/75 Существует несколько способов вычисления матрицы, обратной к заданной. Воспользуемся тем, который описан в Приложении 4. (9-В) где: [Ду]г —транспонированная матрица алгебраических дополнений у-х Э ш- ментов матрицы [:7-Д]. = 2,... ,7/. |z/ — А| —определитель матрицы [г/ -Д]. После подстановки (9.13) в (9.12) получим: Гд-.у H(z) = C-.L <Jj ,-B + D. (9.14) |z/-A| В знаменателе выражения (9.14) находится определитель. Следовательно, он должен совпадать с полиномом знаменателя передаточной функции рекур- сивной цифровой цепи. Покажем это на примере. Пример 9.2 Найти из матричного уравнения (9.14) знаменатель передаточной функции рекурсивного звена второго порядка, которая имеет вид: //(;) = (9.15) Z2 4-Л|2 + «2 Решение. Для канонической структуры 1 в соответствии с (8.8) имеем: г/_л=р °1_Г ° ‘W [о zj [-«, -oj [о2 (z + a,)J |г/ — Л| = z - (z + а,)+ «2 = z2 + «|Z + a2, ч го совпадает со знаменателем (9.15). Нахождение полюсов передаточной функции связано с решением уравнения |z/-Л|=0, (9.16) которое называют характеристическим уравнением системы. Корпи харак- теристического уравнения называются собственными значениями матрицы Л
176 Часть Н. Математическое описание линейных дискретных систем и обозначаются Лн Л2, ..., Л/у . Они обладают следующими важными свойст- вами.* □ если коэффициенты характеристического уравнения сеть скалярные ве- личины, то собственные значения либо действительны, либо образуют комплексно-сопряженные пары и совпадают с полюсами передаточной функции; □ след матрицы А опрецеляется как сумма элементов на главной диагонали, т. е. /г(Д) = Л] +12 + ... 4-Хд,; □ определитель матрицы Д связан с собственными значениями соотноше- нием |д| = А] -A2 ... -A_v; □ если А — действительная симметрическая матрица, то все ее собствен- ные значения действительны. В соответствии с этими свойствами можно переформулировать критерий ус- тойчивости (5.40): для того чтобы ЛДС была устойчива, необходимо и дос- таточно, чтобы все собственные значения переходной матрицы системы не превышали по модулю единицы. Введение понятия характеристического уравнения позволяет применить тео- рему Гамильтона—Кэли для вычисления больших степеней переходной матрицы Д. Теорема утверждает, что каждая квадратная матрица должна удовлетворять своему характеристическому уравнению. Для иллюстрации применения теоремы Гамильтона—Кэли рассмотрим пример. Пример 9.3 Получить простой способ вычисления любой степени переходной матрицы. Решение. 11усть матрица Д может быть записана в виде: Характеристическое уравнение для матрицы Д соответствует выражению (9.16): "Н” № мН’1-
Лекция 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний 177 Применяя теорему Гамильтона—Кэли, получаем матричное уравнение А2-2А-1 = 0, из которого имеем: А2 = 2А + /. Таким образом, матриц}2 А2 можно выразить через матрицу А . Суть теоремы состоит в том, что матрицу Ам можно выразить как алгебраическую сумму матриц Ам-1, AW2,..., А . В результате последовательного применения тео- ремы матрица Ам в конечном счете выражается через матрицу А . Поэтому А3 = АА2=А(2А+1) = 2А2 + А = 2(2А + 1) + А = 5А + 21-, А4 = АА3 = А(5А + 2Г) = 5А2 + 2А = 5(2А + П + 2А = 12А + 51. Продолжая подобный итерационный процесс, можно вычислить матрицу Ам для сколь угодно большого М . 9.3. Линейные преобразования в пространстве состояний Из матричной алгебры известно [20], что квадратная невырожденная матри- ца, порядок которой совпадает с размерностью вектора состояния, осуществ- ляет линейное преобразование последнего. При этом претерпевают измене- ния как переходная матрица, так и матрицы входа и выхода. В результате проведенного преобразования новые переменные состояния могут не иметь наглядной физической интерпретации. С практической точки зрения инте- ресны такие линейные преобразования, которые упрощают анализ ЛДС. В частности, как было показано в н. 8.5, диагонализация переходной матрицы Л приводит к разложению исходной системы на независимые параллельные ветви, состоящие из цифровых звеньев 1-го порядка. Преобразуем вектор состояния q(n) с помощью невырожденной квадратной матрицы W в новый вектор р(п), т. е. q (и) = W ~р(п). (9.17) Если ЛДС описывается уравнениями (9.1) и (9.2), то, подставляя в них равен- ство (9.17), получим W р(п +1) = АIV р(п) + Вх(п); у(л) = CW р(п) + £)х(п). (9.18) (9.19)
178 Часть II. Математическое описание линейных дискретных систем Умножая слева обе части равенства (9.17) на W 1, приходим к соотношению: p(n +1) = И'~‘Л IV p(n) + W~lBx(n). (9.20) При распараллеливании исходной ЛДС предполагаем, что существует такая невырожденная матрица W , что X, 0 0 ... О' 0 X, 0 ... 0 VV = л = ООО ... Хл. (9.21) где Аь..., Адг —собственные значения матрицы А . Введя обозначения: W'A1V=A; УГ'В = В„-, (9.22) CIV=C„. получим так называемую нормальную форму векторных уравнений состоя- ния и выхода: p(n +1) = А^(«) + В„х(п); (9.23) у(и) = С„р(л) + Da(m) . (9.24) Структурная схема ЛДС, соответствующая порученным уравнениям, была изображена на рис. 8.3 с учетом того, что полюсы совпадают с собствен- ными значениями Af, i = I, 2,..., N. Существует несколько методов определения матрицы VV при заданной wai- рице Д и известных ее собственных значениях. Самый простой заключается в том, что если матрица А записана в канонической форме для структуры I (8.16), то матрица И' есть матрица Вандермонда: 1 1 1 х2 Ад; V х,2 Адг (9.25) х," 1 х2л'-‘ •• Ал/
Лекция 9. Анализ линейных дискретных систем в пространстве состояний 17g Введение линейных преобразований в пространстве состояний позволяет сформулировать две важные теоремы, указывающие на независимость ос- новных характеристик ЛДС от выбора системы координат. Теорема 9.1 Импульсная характеристика (9.7) инвариантна относительно линейною не- вырожденного преобразования координат пространства состояний. Доказательство. Введя новые координаты в соответствии с (9.17), па осно- вании (9.7) с учетом (9.22) будем иметь: /?(«) = С„А"-1В„ = C'WfW'1 ЛIV)"‘ 1В = СИ'И'-1А"“1И'1У“| в = = СА"-'В = /Цп). Теорема 9.2 Передаточная функция ЛДС для модели в пространстве состояний нс зависит от выбора этого пространства. Доказательство. В соответствии с (9.12) с учетом (9.21) передаточная функ- ция в преобразованных координатах имеет вид /7(c) = C„[c/-A]“1B„ + D. (9.26) С учетом введенной матрицы преобразований VV выражение (9.26) преобра- зуется следующим способом: /7(z) = Clv[z/-ir‘Alv] ‘и/ 'B + D = CH’[z(V ‘aiv] 'iv1b + d = = Cw[w 1(.т/-А)И'] '|V_1B + D = CW'W'“,[:/-A]“,IWiB + D = = C[z/-A] ‘b + D = (/(z). Теоремы (9.1) и (9.2) позволяют утверждать, что независимо от способа опи- сания ЛДС, ее основные характеристики остаются неизменными, что чает возможность исследователю использовать весь набор предлагаемых методов для анализа и синтеза систем цифровой обработки сигналов. Следует отметить, что преобразование (матрица) IV нс изменяет размера мат- риц Л, В и С , т. к. является преобразованием подобия. Следовательно, раз- личные структурные схемы ЛДС можно получить с помощью преобразования IV только в рамках пространства состояний фиксированной размерности. Dior факт позволяет сделать вывод о неприменимости чанного преобразования для детализации и установления ’’топкой” структуры ЛДС. требующих увеличения размерности за счет роста числа переменных состояния. 7 Зак 165

ЧАСТЬ III МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ Лекция 10. Описание дискретных сигналов Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье
г
Лекция 10 Описание дискретных сигналов Подобно описанию линейных дискретных систем, дискретные сигналы опи- сываются в трех областях: временной, частотной иг-области. Во временной области дискретный сигнал описывается последовательно- стью (решетчатой функцией) х(пТ) — х(п) (см. Лекцию /). В z-области дискретный сигнал онисывае»ся своим z-изображепием X(z), которое определяется с помощью /-преобразования (3.1) X(z) = 2>(и)Г" (10.1) »=о По известному z-изображению сигнал х(п) находится с помощью обратного Z-преобразования (си. Лекцию 3) x(n) = Z ~'{Х(г)}. (10-2) Пример 10.1 Определить z-изображение сигнала Решение. Подставив х(нГ) в формулу /-преобразования (10.1), имеем ряд типа (3.20) X(z) = f X(n7-)z” = Ё (eaTz-')“ . (10.4) if=0 .1=0 где q = er,:t z~‘, откуда, на основании (3.22), получаем ^-изображение X(z) = - FTz~' (10.5)
184 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов и область его сходимости (3.21) (10.6) сг7 определяемую радиусом сходимости л = е 10.1. Описание дискретных сигналов в частотной области В частотной области дискретный сигнал х{пТ) описывается своим фурье- изображением Х(е-^’7). которое определяется с помощью преобразования Фурье (2.27) (ель Лекцию 2) Х(е*"г) = X xfnTye-i"'1" . (10.7) w=0 или для нормированных времени и частоты Х(с>) = X-v(«)e-jdw. (Ю.8) л-0 Фурье-изображение Х(е7‘оГ) дискретного сигнала называют его комплекс- ным спектром (спектром). Преобразование Фурье однозначно связывает дискретный сигнал х(пТ) с его спектром Х(е^т) и справедливо только в области абсолютной сходимости ряда (10.7) S МлТ)|<«, (10.9) л=0 и-0 которую называют областью сходимости фурье-изображения. По известному спектру сигнал х(пТ) находится с помощью обратного пре- образования Фурье (2.28) л л(пП = —\ X (eJ‘“T) е*“г"<1(й. 2л п (10.10)
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 185 Комплексную функцию Х(е^>т) можно выразить через ес модуль и ар- гумент (10.11) Х(е>г) = |Х(ем')|е>аГЕ^<''',”Г)\ Модуль |х(е^“т)| называют амплитудным спектром, а аргумент arg{%(е^"1 )| — фазовым спектром дискретного сигнала. Пример 10.2 Определить амплитудный и фазовый спектры дискретного сигнала х(пТ) (10.3). Решение, Подставив х(пТ) в формулу преобразования Фурье (10.7), имеем ряд типа (3.20) Х(е^,т) = £ e™Te jta,,/' = £ e(a-j(v),lT , (10.12) л=0 и=0 где g = e(ct , откуда, на основании (3.22), получаем фурье-изображение (спектр) X(eJ,oT) =----,' . (10.13) и область его сходимости (3.21) |е(а“7ш)г|<1 => enT|eJ‘“’ |< 1 => саГ <1 => а>0. (10.14) Из сравнения условий сходимости /-преобразования (10.6) и преобразования Фурье (10.14) ясно, что преобразование Фурье справедливо для более узкого класса дискретных сигналов, чем /-преобразование. Согласно определению, амплитудный и фазовый спектры равны: |х(е-'мГ)| = , 1 ..............; fv, Л>7,1 . еаТsin(0)D I 1 l-e“Tcos(wT) Сравнивая Z-преобразование (10.1) с преобразованием Фурье (10.7), легко видеть их взаимосвязь, из которой следует, что при условии абсолютной схо-
186 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов димости соответствующих рядов спек гр X (е^г) дискретного сигнала х(пТ) совпадает с его z-изображенисм Л(х), если область значений переменной z на комплексной z-плоскости ограничена точками па единичной окружно- сти е*°Г: X(eJ"'')=X(<)|;=fJwr. (10.15) Это позволяет при известном z-изображении сигнала путем подстановки z = автоматически получать его спектр. Пример 10.3 Известно z-изображение А"(") (10.5) дискретного сигнала х(пГ) (10.3). Оп- ределить его спектр. Решение. Выполнив подстановку z = e^1 в (10.5). автоматически получаем спектр сигнала (10.13). 10.2. Свойства спектров дискретных сигналов Перечислим основные свойства спектров дискретных сигналов: 1. Непрерывность. Спектр X(e^°r). а также его модуль и аргумент— непрерывные (или кусочно-непрерывные) функции частоты по определению. 2. Периодичность. Спектр Х(еуй>г), а также его модуль и аргумент — периодические функ- 2л Т ' ции частоты с периодом, равным частоте дискретизации юЛ = Доказательство. Периодичность указанных функций следует из перио- дичности их аргументов е^г с периодом по со, равным сод (см. п. 6.2). В зависимости от используемой шкалы частот период спектра ранен со => <оЛ: ш=>2л.
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 167 Часть спектра, расположенная в основной поносе частот, называется ос- новным спектром. 3. Спектр вещественного сигнала. Если х(пТ} — вещественный сигнал, то модуль его спекгра— четная функция частоты, а аргумент — нечетная’. |Х(НшГ)|=|х(е.^” )|; arg{x(eJ“r)} = -arg{X(e->r)}. Доказательство. Представим преобразование Фурье (10.7) в виде X (е;шГ) = £ х(п7")е~'тГ“ = X x(/i7’)cos(01n7’) - j £ r(n7-)sin(con7), (К). 16) л=0 н=0 л О или коротко X(t>') = Rc-;im, (10.17) где Re — четная функция частоты, a Im — нечетная, поскольку в нервом случае имеем сумму косинусов (четных функций), а во втором— сумму синусов (нечетных функций). Изменим знак переменной ш=-со в (10.16) X(e"*’r) = Rc + ./lm. (10.18) Запишем модули и аргументы спектров (10.17) и (10.18): IX(eJ‘"r )| =| X {е~‘шТ )| = jRc2+Im2 ; (10.19) arg {х (eJ“r)} = arctg^ j: arg{x(<?‘-'“>' )} = arctg^-j“~ j= -arclg^ ^; (10.20) arg {x (e'“'’)} = - arg { X^ )}. Отсюда видно, чго при изменении знака переменной люфпь спеюра не меняется, следовательно, он является четной функцией частоты, a tf/vr- мент. сохранившись неизменным по абсолютной величине. изменился по знаку, следовательно, он является нечеткой функцией частоты.
186 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов 4. Линейность. Если дискретный сигнал х{пТ) равен линейной комбинации сигналов л(иГ) = GjA’i (лТ) + д2л2(н'Г) + ..., то его спектр Х(еуиТ) на основании (Ю.7) равен линейной комбинации спектров данных сигналов х(е^г) = «, X, (<>' ) + Я,Х (?иГ) + ... 5. Сдвиг (перенос, смещение) спектра. Умножение дискретного сигнала х(пТ) на комплексную экспоненту eitao,lT приводит к сдвигу его спектра по оси частот со вправо на величи- ну C0q , чго символически удобно записать следующим образом: л(л7 )=> X(e'“,J'); х(пТУе1ш^Т => Х[еу,""“'>”']. (10.21) Доказательство. Подставив в правую часть преобразования Фурье (10.7) сигнал х(пТ)е^ш°пТ, имеем: X х(пТ)е^,те-^п = X х(пТ)е = Х[еЛш-щ")’’]. л=0 и=0 Аналогично, умножение дискретного сигнала х(пТ) на комплексную экс- поненту е~^,т приводит к сдвигу его спектра по оси частот со влево на величину со0, что символически можно записать следующим образом: х(пТ) => X(eJa'r); х(пТ)е~J"V'T => X [еЛ“*"*)’г |. (10.22) В обоих случаях и модуль, и аргумент спектра комплексного сигнала утра- тили свойства четности и нечетности соответственно. Действительно, выполним преобразование Фурье (10.7) комплексного сигнала .v(H7’)eyta°"7 : £ х{пТ)е~']ы,1Ге^Г = X л(л7)е'Л<,ь<ц,>"Г = »=0 н~0 = У v(«7')cos(co-cO())h7' - j У .v(H7’)sin(co-(flt))/i7' »i=0 м=0
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 189 и запишем модуль и аргумент снекгра: -|2 lx(₽j«o-4)'' ОО I2 l| = J J]-r(«7')cos(o>-fi\j>7’ + У л(«7’)51П(й>-ц1)л7’ 1 V 11=0 «=° “X т(н7’)5*1п(СО-Ц))нТ arg { X [ ел^,"“,т |}=arctg ------------------------ X Л’(«Т)СО5(0>-Ц1)л7’ 11=0 Изменив знак переменной со = -со. получим следующие выражения для модуля и аргумента: -12 £ л(?/Г)СО5(С0+(О0)пГ + у л(лГ)5Ш(0)+Шо)н/’ 11=0 X .t(«7’)sin((o+ а>())л7' arg{%|<? |} = arctg-!^2-----------------. X Х(//Г)СО8(0Л-С!^)лГ и=0 Поскольку и модуль, и аргумент спектра при изменении знака переменной со изменили свое значение, эти функции нс являются нн четными, ни не- четными (сравните с (10.19) и (10.20)). 6. Сдвиг сигнала х(пТ) на/и отсчетов вправо (задержка сигнала). Задержка сигнала ApiT) на /л отсчетов приводит к умножению его спек- тра Х(е^т) на комплексную экспоненту е-^117, что символически удобно записать следующим образом: л(лТ)=» X(eJ<“')-, 4(п-п,УП=> X(eJaT)e~JmT. (10.23) Доказательство. Это свойство вытекает из теоремы о задержке (си. Лекцию 3) и связи z-изображсния со спектром дискретного сигнала (10.15): Z { г[(л - >я)Г]} = X (z)z-,"| ,01Г = X (е*°Т )е->“"г =
190 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов Отметим, что задержка сигнала приводит к изменению только фазового спектра (аргумента). который получает линейное приращение aig|x(eJ“r)|~ci>m7’. 7. Равенство (теорема) Иарсеваля. Равенство Парссваля устанавливает связь между энергией дискретного сигнала. вычисленной во временной и частотной областях: л £ |х(»Г)|2 =^~ f |x(e'wr)|2do>, (10.24) н=0 2л-л Т где: °° 2 £ |а(нТ)| —энергия сигнала, вычисленная во временной области; и «О л — [ |х(е>г)| </со — та же энергия, вычисленная в частотной области. 2я-п । г Если обработка сигнала производится в частотной области, равенство I Тарсеваля позволяет вычислять энергию сигнала непосредственно по его амплитудному спектру, нс прибегая к обратному преобразованию Фурье. Доказательство. Умножим правую и левую части преобразования Фурье (10.7) на комплексно-сопряженные функции (обозначенные символом = | X .r(n7-)e~J“n,]| £ х'(пТ)е^Тя|. л-0 л=0 С учетом свойств комплексных функций lx(eJ“r)|2 = £|.v(n7')|2 + X Л(п7-)л'(и7')е“>7(,'""). 1 w=0 «=0 iitm Умножим обе части равенства на Т/2л и проиигег рируем в пределах периода: 71 77 у- У|х(е*’г)|2Ло= Ё|л(„П|2^- J + т т
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 191 + X х(.пГ>х"(тГ)— f e->Mr(“-">rfai л=о _я л т m Вычислив простейшие интегралы в правой части: п л — ’[</«= I И — Ь->Г(’-",,Ло=0. 2лД 2яД I г получаем равенство Парсеналя (10.24). 10.3. Связь между спектрами аналогового и дискретного сигналов Пусть имеются аналоговый сигнал хл(1) и сигнал х(пТ). полученный в ре- зультате его дискретизации. Определим связь между их спектрами. Аналоговый сигнал хй(1) и его спектр (фурье-изображение)1 Xa(jco) при ха (/)i =0 связаны преобразованием Фурье (2.6) и (2.7): |г<0 Ха(;<о) = /ла(/)<?“',“'Л: (10.25) о л,,(o = ^-f XJj^e^du. (10.26) 2л_оо Заменим в (10.26) непрерывное время дискретным / => пТ : а вычисление интеграла па интервале °°] —тождественным вычислени- ем бесконечной суммы У, интегралов па равных интервалах л 2п Дсо=со,1 = —• д т 1 Строго говоря, фурье-изображение в (10.11) представляет собой комплексную спектрапьпую плотность 19].
192 Часть ffl Математическое описание дискретных сигналов х(иГ) = — X J Ха(>)е;ш"Ао. —7С„1 = -оо,_ ТС (2м-1) где m — номер интервала (0д =— (рис. 10.1). (2и1-1)л (2m + 1)л Зп п л Зл (2т-1)л (2m+i)n т т т т т т т т Рис. 10.1. Бесконечная последовательность интервалов Интеграл | с переменными пределами, ио независимой от m подынте- тральной функцией Xa(J<n), можно заменить интегралом с фиксированными п пределами J , но зависимой от m подынтегральной функцией -л т + которая представляет собой спектр аналогового сигнала, сдвинутый по оси частот на = m^, где m=0. +1. + 2,... (см. рис. 10.1). При замене 2л со=^ (1) + m — Т последнее равенство примет вид
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 193 откуда, с учетом J 2л 1 ан-м— bi7 _ Д Т) получаем Х(,,Т)=^ £ *' Изменим порядок суммирования и интегрирования п А("7')=2^ ^a[>[“ + '"y]]eJ“Wrrf<0 ~т и сравним полученное выражение с обратным преобразованием Фурье (10.10). На основании равенства левых и, соответственно, правых частей на- ходим искомую связь между сисю рами аналогового и дискретного сигналов: Х(е>Г) = у £ (10.27) из которой следует, что спектр дискретного сигнала равен (с точностью до постоянного множителя 1/Г) сумме спектров аналогового сигнала, сдвину- тых по оси частот на все возможные частоты, кратные частоте дискретизации 2л оно. = m—, где w = 0, ± 1, ± 2, ... д т Другими словами, спектр дискретного сигнала есть бесконечная сумма ко- пий спектров аналогового сигнала, сдвинутых друг относительно друга пи частоту дискретизации ю1. Исследуем влияние частоты дискретизации соч на соотношение межцу спек- трами (10.27), полагая, что спектр Xa(jto) аналогового сигнала ограничен верхней частотой сов = 2т^в. На рис. 10.2, а—г приведены условные графики амплитудных спектров: □ аналогового сигнала с финитным спектром (рис. 10.2. а):
194 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов О дискретного сигнала при частотах чискретизации: (од=2со^ (рис. 10.2,6), O)i>2ioB (рис. 10.2. в) и сод<2(ов (рис. 10.2,г). Рнс. 10.2. Амплитудные спектры: аналогового сигнала (а); дискретного сигнала с о)д = 2о>в (6): с > 2<t)e (в); с < 2«в (?) Приведенные графики позволяют сделать следующие выводы: 1. Если частота цискретизации соЛ > 2шв, то в основной полосе частот Г GJ, 1 0; спектры аналогового и дискретного сигналов совпадают. 2. Если частота дискретизации оз1 <2<ов. происходит наложение спектров, называемое элайсингом (aliasing), поэтому в основной полосе частей' Г со "I 0;-у- спектр дискретного сигнала представляет собой искаженный
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 19S спектр аналогового сигнала. Во временной области эффект наложения оз- начает необратимую потерю возможности ночного восстановления анало- гового сигнала ио его отсчетам. Данные выводы согласуются с теоремой Котельникова": аналоговый сигнал с финитным спектром полностью определяется последовательностью своих отсчетов. взятых с интервалом Т<—— (с частотой / >2/вХ не /в —- 2 А верхняя частота спектра аналогового сигнала. Реальные сигналы конечной длительности теоретически обладают бесконеч- ным спектром (см. рис. 1.2,«). Следовательно, частота дискретизации /д => ®° и при любом конечном значении принципиально существует элайсинг. Практически, однако, всегда можно определить наивысшую часто- ту спектра /в так, чтобы энергией сигнала, соответствующей отсеченном} "хвосту" спектра, можно было пренебречь. Предварительное ограничение спектра обрабатываемого сигнала выполняется е помощью анмиэлаисингово- го аналогового фильтра. Например, при формировании стандартного теле- фонного сигнала исходный речевой сигнал пропускается через полосовой антиэлайсинговый фильтре полосой пропускания 0,3—3,4 кГц. Нижняя гра- ница обусловлена необходимостью устранения постоянной составляющей и подавлением гармоник промышленных частот, а верхняя— заданным каче- ством восприятия речевого сигнала (сохранением полной разборчивости, тембра голоса и т. п.). Минимально допустимой частотой дискретизации бу- дет Д = 6,8 кГц, а в качестве стандартной выбрана Д = 8 кГц. 10.4. Дискретизация относительно узкополосных сигналов Узкополосным (относительно узкополосным) называют сигнал, ширина спек- тра ДГ которого значительно меньше его средней час тоты fCf}: ---<К1, (10.28) /ср 2 Молодой аспирант Владимир Александрович Котельников с дипломом И1гжснсра-э.тск1рнк<1 но специальности "Радиотехника" выбрал своей темой актуальную в начале 30-х годов XX века проблему пропускной способности линий электросвязи и первым в мире математиче- ски точно сформулировал и доказал "теорему отсчетов", которая была названа ею именем. Эта великая теорема была опубликована в 1933 году в работе Котельникова “О пропускной спо- собности "эфира" и проволоки в электросвязи" и вошла в число основополагающих принципов теории и практики связи как один из краеугольных камней теории информации.
196 Часть IH. Математическое описание дискретных сигналов что практически всегда имеет место в радиоканалах и в многоканальных сис- темах с частотным разделением. Например, тот же стандартный телефонный сигнал можно трактовать как узкополосный при его передаче на несущей частоте I28 кГц с использовани- ем амплитудной модуляции, поскольку его спектр (допустим, верхняя боко- вая полоса) сосредоточен в области от /mjn =128 +0,3 = 128,3 кГц до =128 + 3,4 = 131,4 кГц и, соответственно, имеет ширину = - /ran = 3-1 k[U и среднюю частоту f = /max +_Z™ = 131,4 + 128.3 = п9 g5 JCP 9 9 Следовательно, 3 1 ——« 0,024 <к1, 129.85 и по определению (10.28) сигнал является узкополосным. Примечание Иногда сигнал называют узкополосным, если отношение максимальной часто- ты спектра к минимальной нс больше двух: £^-<2. Такое определение не противоречит (10.28). В подобных случаях частота дискретизации, выбираемая непосрсцственно из условия А^2А,ах, (10.29) будет избыточно высокой, особенно для радиосигналов, когда она может со- ставить сотни мегагерц, в результате чего обработка в реальном времени окажется сомнительной либо по причине сложности алгоритма, либо вслед- ствие ограниченности технических возможностей существующей элементной базы. Кроме того, очевидна и нецелесообразность такого подхода к дискре- тизации, поскольку информация о сигнале содержится не в частоте , а в огибающей или фазе <р(0 (при угловой модуляции), которые изменяются во времени медленно при относительно низких частотах модуляции [17].
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 197 Обобщенная теорема Котельникова приводит к другому условию выбора частоты дискретизации [50]: (10.30) где q имеет смысл камера диапазона частот и может принимать только целые значения Рис. 10.3. Амплитудные спектры; узкополосного вещественного аналогового сигнала (л): дискретного сигнала при <j, = I (б); при q2 > I (в); при >9, и ж 4/4
198 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов где |_.vj — ближайшее целое, не превосходящее л, т. с. <• Утах Чтях — f f. • /max ” J min Следовательно, значение fA может выбираться из оонустнмых диапа- зонов. В частности, при q -1 имеем условие (10.29). Интересно, что с ростом номера q частота /, уменьшается и спектр сигнала, оставаясь неизменным, пропорционально сдвигается влево в нивой основной полосе частот [0;/t/2] (рис. 10.3, и—г). Это обстоятельство позволяет вы- брать такую частоту /ч. при которой расстояние zy"cp между средними час- тотами соседних копий спекзра дискретного сигнала будет максимальным и составит /д/2 (рис. 10.3,г), последнее же возможно лишь в том случае, ко- гда средняя частота /ср спектра сигнала окажется в кочке /ер = /д/4. Этот практически важный результат будет использован в дальнейшем (см. пример 10.5). Рассмотрим выбор частоты Д из условия (J 0.30) на реальном примере. Переходные полосы аналогового ант1плайснн1-'ового фильтра Рис. 10.4. Ампли1узныГ| спектр узкополосного сигнала
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 199 Пример 10.4 Известен часготно-модулированный аналоговый радиосигнал х(0 на выходе приемного тракта промежуточной частоты ПЧ-2 (рис. 10.4). Частота 114-2 равна 70 МГц и является средней частотой спектра сигнала, расположенного в полосе 65—75 МГц (ширина спектра AF = 10 МГц). На выходе тракта ПЧ-2 установлен аналоговый полосовой аптиэлайсинговый фильтр с переходными полосами 63—65 МГц и 75—77 МГц. Найти ряд допустимых диапазонов для выбора частоты дискретизации этого сигнала. Решение. Ширина общего спектра Д^бш * в которую помимо спектра сигнала включены переходные полосы антиэлайсингового фильтра (рис. 10.4), со- ставляет Д/\16щ = 10+4 = 14МГц. Ясно, что рассматриваемый сигнал является относительно узкополосным по определению ЛГ-'и-- = -4- = 0.2« I и -^- = — =1.2....<2. /ср ТО /min 63 поэтому для решения поставленной задачи используем условие (10.30). Сна- чала вычислим qmiK (10.31): Из этого следует, что существует 5 допустимых диапазонов для выбора час- тоты дискретизации. Определим их (в МГц), подставив необходимые данные в (10.30): 9 = 1 154</л<оф ; 9 = 2 => 77</д<126; 9 = 3 => 51,333</л £63; 9 = 4 =э 38,5</?|<42; 9 = 5 => 30,8</., <31,5. Диапазоны с номерами 9 = 1 и 9 = 2 трудно реализуемы, если вообще моп г быть использованы на практике вследствие чрезвычайно высокой частоты дискретизации для существующей элементной базы. Остальные допустимые диапазоны, соответствующие 9 = 3, 4, 5, с точки зрения обобщенной теоремы Котельникова, равноценны — все они обеспечивают корректную дискрети-
200 Часть Ш. Математическое описание дискретных сигналов зашло заданного относительно узкополосного сигнала. Однако выбор /д за- висит также от конкретной задачи обработки сигнала, и с этой точки зрения диапазоны с номерами z/ = 3. 4, 5 дают различный эффект, что будет показа- но в дальнейшем на примере переноса спектра в область нижних частот и последующей фильтрации сигнала (см. пример 10.5). 10.5. Преобразование спектра При обработке сигналов возникает ряд задач, связанных с преобразованием спектра, в частности, с его смещением по оси частот. Такие задачи типичны для систем многоканальной связи как при формировании группового сигнала с частотным разделением каналов (ЧРК) из отдельных канальных сигналов, так и при выделении отдельных канальных сигналов из группового сигнала с ЧРК. Особенностью преобразования спектра к данном случае является то, что его модуль практически не изменяется, а лишь сдвигается по оси частот. Рассмотрим несколько типовых задач, связанных с преобразованием спектра и решаемых методами цифровой обработки. Будем иметь в виду, что терми- нология ’’преобразование спектра” принята для краткости, на самом деле, ес- тественно, преобразуется сигнал, вследствие чего изменяется его спектр. 10.5.1. Перенос спектра Рассмотрим, какие операции с вещественным или комплексным сигналом следует выполнить, для того чтобы спектры данных сигналов оказались сдвинутыми по оси частот. Допустим, имеется вещественный дискретный сигнал х(пГ) и известен его основной спектр Х(е7шГ), занимающий полосу |tOj; (д21 (рис. 10.5,а). Тре- буется посредством изменения сигнала сместить (перенести) его спектр на сод некоторую частоту + (Оц, выбираемую из условия 0 < (ojq + оэ2) — Признаком вещественного сигнала служит симметрия модуля его спектра )| относительно оси ординат (см. н. /0.2). На рис. 10.5,6 и в изобра- жены спектры 11 и |х|е-/(“к”й,г 11, смещенные по оси частот на 0)0 вправо и влево соответственно.
Лекция 10, Описание дискретных сигналов 201 Рис. 10.5. Перенос спектра вещественного сигнала; амплитудный спектр исходного сигнала (о)-, амплитудные спектры, смешенные на частоту сяп вправо (б) и влево (л) Согласно свойствам спектров, сдвиг спектра Х(е;(‘>г) по оси частот на (Qg вправо или влево реализуется умножением сигнала х(пТ) на дискретную экспоненту или е-7а)°м/ соогветственно, что символически удобно записать следующим образом: х(пТ)е^т => ; (10.32) xtnT')e~j°*‘r =i Х1еЛ“па',)' ]. (10.33) На рис. 10.6 представлены схемы, отображающие операции с вещественным сигналом х(н'Г), в результате чего его спектр Х(е7ш7 ) оказывается сдвину- тым вправо на частоту соц. Выходной ко.шпексный сигнал У(пТ) ~ х(пТ)е^°опТ содержит вещественную и мнимую составляющие: у(л7’) = У|(л7’) + jy2(nT) = х(нГ)со5(щ|)н7) + jx(«7’)sin(cunn7') (10.34) и имеет спектр Г((?>7‘) = j.
202 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов Признаком того, что сигнал y(n’i') комплексный, служит отсутствие симметрии модуля его спектра |X] | относительно оси ординат (рис. 10.5, б). Переносы спекгров вещественного и комплексного сигналов принципиально ничем нс отличаются, за исключением того, что при исходном комплексном сигнале л(нП = Л|(лТ)+ Zv2(h7’) (10.35) Рнс. 10.6. Формирование сигнала при переносе спектра (исходный сигнал вещественный): условная схема (а): фактическая схема (б) Рис. 10.7. Формирование сигнала при переносе спектра (исходный сигнал комплексный)
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 203 формирование результирующего сигнала у(л7*) (10.34) потребуй! выполне ния большего количества операций, а именно: у(пТ) = [_Г| (»Т) + jx2(nT)]e^ir = = [.V|(h7') + Д2(и7)] [cos(<Ht)H/')+ 7Sin(0\)«r)] = = [x,(nr)cos(<l>„n7')-.r2(»7’)sin(e>„H7')]+ 36) Re|y(«T)] +j [*1 (лТ')8т(Ц)иГ) + A2(n7’)cos(co0«7’)] = y, (nT) + yv,(n7). lm[ >•(«/)] Схема формирования сигнала у(лТ) (10.36) представлена на рис. 10.7. 10.5.2. Инверсия спектра вещественного сигнала Для ряда практических задач представляет интерес операция инверсии спек- тра. Ес суть заключается в гом, что в основной паюсе частот любая состав- ляющая исходного спектра на частоте tby должна оказаться на "противопо- ложной” частоте (п-ц>) — как бы "перевернуться", при этом у аргумента спектра дополнительно изменяется знак. Символически это можно записать следующим образом: ;iIg{x(Z“")}=>-arg{xkJ",';,,|). Покажем, как операция инверсии спектра может быть реализована посредст- вом его смещения вправо па частоту о)0 - я. Согласно (10.7), спектры Х[елбья)] и Х^” &)| равны: Х(е^(бьл,) = У - у -фтТЭсозСб-п)п - j У, .vOiDsinfoi- л)л = >1=0 «=0 «=0 ~ X x(nT)cos(n-Ci))n + j У xG?r)sin(7t-ti))n = Re+ /Im; '1=0 71=0
204 Часть Ш. Математическое описание дискретных сигналов £ Х[пТ)е~л,1№" = X л(п'Г)со5(п-й)н- ti=O п=0 - J £ x(nT)sin(n-&)« = Re- Jim. л=0 Следовательно, для модулей и аргументов этих спектров справедливы соот- ношения: arg(x[e>^’ ]} = -arg{x| ™>]}. Это означает, что смещение спектра вправо на частоту w^=7i приводит к инверсии спектра. На рис. 10.8 показаны .модули спектров: исходный и ин- версный соответственно. Рассмотрим, какие операции с сигналом необходимо выполнить, для того чтобы инвертировать его спекгр. Подставляя в (10.21) со = л, получим соот- ветствие х(пТ)е*' => xH(Sw,'T]. где х(пТ)е^т = х(пТ)сс$(т1п) = x(nT)(-Y)n. Таким образом, для инверсии спектра достаточно изменить знак каждого не- четного отсчета исходного сигнала х(пТ) (рис. 10.9). Схема формирования сигнала с инверсным спектром представлена на рис. 10.10. Рнс. 10.8. Исходный (п) и инверсный (6) модули спектров
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 205 Рнс. Ю.9. Сигналы: исходный (а) и с инверсным спектром (б) Рис. 10.10, Схема формирования сигнала с инверсным спектром 10.5.3. Формирование сигнала с одной боковой полосой Как известно, при обычной амплитудной модуляции получается спектр с двумя боковыми полосами относительно некоторой несущей частоты [ 17j. Для техники связи представляют большой интерес сигналы, спектр которых содержит только одну боковую полосу (ОБИ), — си! налы с ОБП. Такая зада- ча возникает, например, в многоканальной связи с ЧРК при формировании группового сигнала, когда в заданной полосе частот требуется передать мак- симальное число отдельных канальных сигналов. Напомним, что в аналоговой области простейший способ получения сигнала с ОБП состоит в смешении спектра посредством балансной модуляции несу- щей частоты с последующим выделением одной из требуемых полос (пнж ней или верхней) полосовым фильтром. Рассмотрим процедуру получения сигнала с ОБП методами цифровой обра- ботки.
Часть ill. Математическое описание дискретных сигналов 206 Допустим, модуль спекгра |х(>^о7)| исходного вещественного сигнала х(нГ) имеет две боковые полосы, симметричные относительно несущей час- тоты с\) (рис. 10.11, а). Требуется получить сигнал с ОЬП, что означает; пре- образовать сигнал .т(мГ) так, чтобы его спектр содержал только одну боко- вую полосу. Дчя примера будем выделять верхнюю боковую полосу (o)j; о2], отмеченную па графике штриховкой. Поставленная задача решается посредством выполнения следующих опера- ций со спектром Х(е^шГ) исходного сигнала х(пГ)-. I. Сдвиг спектра X(е^1) по оси частот влево на частоту ы. = таким образом, чго верхняя боковая полоса оказывается разделенной осью орди- нат пополам. После операции сдвига имеем спектр (рис. 10.11.6) комплексного сигнала (рис. 10.12, а) у|(п7) = л(я7-К>-''7- Формирование вещественной Re(yr) и мнимой Im(y|) частей комплекс- ного сигнала yi(nT) показано на рис. 10.12, б. 2. Выделение смещенной верхней боковой полосы спектра Е|(е*и,'г) ком- плексным фильтром нижних частот (КФНЧ) (рис. 10.12, а). Сдвиг спектра в область нижних частот позволяет вместо сложного поло- сового фильтра использовать более простой ФНЧ. Фактически фильтрация выполняется двумя ФНЧ: отдельно для вещест- венной Ке(у[) и мнимой 1т(У|) частей сигнала У|(иГ). Ширина полосы О?-0)1 ,. пропускания ФНЧ в основной полосе частот равна —-—. Идеальная АЧХ каждого из ФНЧ показана на рис. 10.11. в. На выходе КФНЧ имеем комплексный сигнал у2(пТ) (рис. 10.12, а, б) со спектром К2(е^г) (рис. 10.11. г).
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 207 3. Сдвиг спектра У^{е^г) по оси частот вправо па частоту со+, т. е. возврат верхней боковой полосы в исходное положение, в результате чего имеем спектр У(е^”7'^У2[е^а>'<а*>л7'| с ОБИ (рис. К). 11, д) комплексного сигна- ла у(ц7')= у^пТ)е^',пГ (рис. 10.12, а). Схема формирования сигнала у{пТ) (рис. 10.12,6) совпадает с представ- ленной па рис. 10-7.
208 Часть Ш. Математическое описание дискретных сигналов 10.5.4. Перенос спектра узкополосного ВЧ-сигнала в область нижних частот Перенос спектра узкополосного ВЧ-сигнала в область нижних частот (НЧ) рассмотрим на конкретном примере. Пример 10.5 Имеется относительно узкополосный высокочастотный сигнал (см. рис. 10.4) с шириной спектра 14 МГц и средней частотой /ср= 70 МГц. Средняя часто- та совпадает с промежу точной (см. пример 10.4).
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 209 Требуется перенести спектр сигнала в область НЧ с целью его последующей фильтрации цифровым КФНЧ (см. п. 10.5.3). При этом также необходимо: 1. Исключить операцию умножения на комплексную экспоненту (10.33) y(») = -v(»)e‘-'fi’0" = x(»)coswi)n-jA(n)sin6\j«, (10.37) где «1(1=2я/07- = 2я^-. (10.38) 2. Обеспечить условия, при которых может быть получен КФНЧ наимень- шей сложности. Решение. Дэя решения поставленной задачи необходимо: □ выбрать частоту дискретизации /л ; □ перенести спекгр дискретного сигнала в область 114 на некоторую частоту' /0, такую, чтобы это не сопровождалось умножением сигнала на ком- плексную экспоненту (10.37): □ сформулировать требования к цифровому КФНЧ; □ синтезировать КФНЧ. Формулировка требований к КФНЧ и его синтез рассматриваются в Лекци- ях 19 и 20, здесь же определим частоту дискретизации fA и частоту' переноса /о при заданных ограничениях. В примере 10.4 были найдены пять допустимых диапазонов для выбора из них практически важными оказались только три с номерами q = 3, 4. 5 . Выбор частоты дискретизации определяется, исходя из следующих соображений: □ чем выше частота дискретизации, тем более высокой вычислительной мощностью должно обладать устройство последующей обработки. С этой точки зрения, казалось бы, естественно выбрать минимально возможную частоту /л из диапазона 30,8 </,<31,5 МГц с номером 7 = 5 (см. н. 10.4), но этому препятствует дополнительное требование — исклю- чить умножение сигнала на комплексную экспоненту при переносе спек- тра в область НЧ; □ комплексный сигнал, получаемый в результате переноса спектра в область НЧ, необходимо отфильтровать КФНЧ (по существу— двумя ФНЧ, см. рис. 10.12, б), сложность которого зависит, в том числе, и от ширины переходной полосы: чем опа уже, тем сложнее КФНЧ.
210 Часть HI. Математическое описание дискретных сигналов Прежде чем вычислять частот} дискретизации, остановимся на процедуре сдвига спектра на /0 влево, которая, согласно (10.37). связана с умножением на комплексную экспоненту. Такое умножение занимает много времени, по- этому обычно строят таблицы значений cos од л и sin одп с учетом периодич- ности данных функций и организуют вычисления путем обращения к этим таб- лицам. Однако при высокой час готе дискретизации (мегагерцах, как в нашем примере) и большом объеме обрабатываемых данных этот способ зачастую оказывается неэффективным, вплоть до невозможности обработки сигнала в реальном времени. Поэтому необходимо найти такую частоту сдвига fa, ко- торая, с одной стороны, позволила бы исключить операцию умножения на комплексную экспоненту, а с другой — упростить вычисли тельную процедуру. Этим условиям отвечает значение нормированной частоты од или соответствующей ей ненормированной /о Тогда экспонента имеет вид -Jr'1 л . . я е 2 =cos—n —/sin— it 2 2 и па периоде Л'-4 в точках п =0,1, 2,3 принимает значения: 1, -у, -1, j соответственно. В результате получаем четыре значения у(п) (10.37), приве- денные в табл. 10.1, где л mod 4 — номер отсчета п, взятый по модулю 4, т. е. точки п = 0,1, 2. 3 па каждом периоде. 71 -J-» Таблица 10.1. Умножение на экспоненту е - п mod 4 0 1 2 3 Значение экспоиены 1 -J -1 J Значение chi нала у(п) jM Таким образом, выбираем часто!у сдвига спектра дискретного сигнала в об- f. лаегь 114, равную /O=-Lj-.
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 211 Теперь определим частот)- дискретизации. Рассмотрим варианты сдвига спектра в область НЧ на частоту Д/4 при раз- личном положении частоты /ср относительно Уд/4: □ НРИ /ср>-Л/^ (рис. 10.13» п) после переноси в область НЧ переходная полоса, обозначенная стрелкой (рис. 10.13,6), оказывается узкой, а зна- чит, порядок синтезируемого фильтра — большим; |х-(С'2"/г)| Переходная полоса фильзра Рис. 10.13. Варианты сдвига спскп ра относительно узкополосного сигнала е область НЧ: 7ф>д/4 (<») я переходная полоса (6). (<?) и переходная полоса (<•) 8 Злк 165
712 Часть HI. Математическое описание дискретных сигналов □ при /ср = Д/4 (рис. 10.13. в) после переноса в область 114 переходная полоса (рис, 10.13, г) оказываемся не просто широкой, а максимально воз- можной. а значит, порядок синтезируемого фильтра — наименьшим (при прочих равных условиях). Основной спектр и его копии в точках Вывод: для исключения операции умножения на комплексную экспоненту и достижения максимальной переходной полосы фильтра НЧ частота сдвига и средняя частота сдвигаемого спектра должны совпадать и равняться четверти частоты дискретизации': Л=Ар=Л/4- Это означает, что в нашем примере при использовании первого диапазона (<7 = 1) частота сдвига и средняя частота (назовем их исходными) должны быть одинаковыми и равными 70 МГц: ./оВс,=Ар„в=7ОМГц, а частота дискретизации (исходная) — 280 МГц: =4/о.,ех =4Аржх =4X 70 = 280 МГц. Ранее было показано (см. п. 10.4), что при выборе частоты дискретизации в других допустимых диапазонах с номерами с/= 2, 3, 4, 5 происходит про- порциональное смещение спектра по оси частот влево. При этом всякий раз необходимо выдерживать два условия: 1. Отношение S исходной частоты сдвига /0 |КХ (или равной ей исходной срочней частоты /ср |1СХ ) к частоте сдвига /0</ (или равной ей средней час- тоте fcv q ) должно быть целым числом: „ ft) 1ICX fen цех Л - . с S --------- —1---, /? = 2,3, 4,5. ftty ./ср (/ 2. Значение частоты сдвига /q(/ (и равной ей fcpt)) не должно выражаться иррациональным числом. Рассчитанные значения и f.-m приведены в табл. 10.2. 3 Данный ре (ульют получен cobmcciiki доцентом Д, Л. Улаховичсм и инженером Д С. Мальцевым.
Лекция 10. Описание дискретных сигналов 213 Таблица 10.2. Соотношения частот Отношение S /«А (МГц) Лч (МГц) Номер юпустимого диапазона q Связь метолу S н q J /о, = 70 4, = 280 1 (исходные данные) ! = 2 • 1 - 1 = 2q - 1 2 35 140 Вне допустимых диапазонов 3 23.33... 9333... 2 (иррациональное число не используется) 3 = 2-2 - 1 = 2с/- 1 4 17,5 70 Вне допустимых зиапаюнов 5 14 56 3 5 = 2-3 -1 = 2с/-1 7 10 40 4 7 = 2 4 - 1 = 2q - 1 10 7 28 Вне допустимых диапазонов Как следует из табл. 10.2, при произвольном целом значении S некоторые частоты дискретизации оказываются вне допустимых шапазопов (см. п. 10.4). Получена простая формула, связывающая S' и ц S' = 2^-l, которая позволяет для каждого номера q по известному значению /о1(сх рассчитать частоту сдвига _ fo iicx “2^7 и частоту' дискретизации — A f — НСХ /л«г “4/о<7 ~ 24/ — 1 Например, для q = 2 имеем иррациональные числа (см. табл. 10.2): /о2= —= 23,33... и /, = 4-23,33... = — = 93,33... 12 4-1 42 4-1 Заметим, что пятый допустимый диапазон 30,8 £ У’, ^31.5 МГц оказался во- обще исключенным из рассмотрения.
214 Часть ///. Математическое описание дискретных сигналов Таким образом, получены две допустимые частоты дискретизации: 56 и 40 МГц. Выбор межту ними определяется только удобством дальнейшей об- работки. в частности, в нашем примере частота fa =56 МГц кратна общей ширине спектра ДГодщ = 14 МГц, что позволяет упростить вычисления. На рис. 10.14 показан сдвиг спектра в область НЧ С/ов/\/4) ПРИ /. =56 МГц с учетом переходных полос антиэлайсипгового фильтра. Рис, 10.14. Амплитудные спектры; аналогового сигнала 1«), дискретного сигнала при /д = 56 МГц (б); -шскретного сигнала y(w) (я)
Лекция 11 Дискретное преобразование Фурье В Лекции 10 было введено понятие спектра дискретного сигнала х(»Г). вы- числяемого с помощью преобразования Фурье (10.7) X (</“'’) = X х(пТ)е ^г" . (11.1) л=0 где: х(пТ) —дискретный сигнал бесконечной длительности: — спектр дискретного сигнала — непрерывная нериооическая х 2л функция частоты « с периодом, равным частоте дискретизации = —. Для дискретных сигналов конечной длительности N7 (конечной длины N ) преобразование Фурье (11.1) принимает вид: Х(е>шГ) = Х^(пГ)е ial" (11.2) 11-0 При расчете спектра (И.2) средствами цифровой вычислительной техники (например, с помощью компьютера) он, как и любая непрерывная функция, может быть определен только в дискретных точках. Алгоритм вычисления непрерывного спектра X(e^i1) (II.2) конечной по- следовательности х(пТ) на периоде Н)л в дискретных точках называется дискретным преобразованием Фурье (Д11Ф). Поскольку речь пойдет о математическом аппарате, принято говорить не о дискретном сигнале, а о последовательности (см. Лекцию ]). Понятие ДПФ первоначально было введено для периодических последова- тельностей, поэтому с них и начнем.
Часть Hl, Математическое описание дискретных сигналов 11.1. Дискретное преобразование Фурье периодической последовательности Как известно, непрерывная периодическая функция времени (аналоговый пе- риодический сигнал) хр(1) с периодом ТЛ., удовлетворяющая в пределах пе- риода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье (2.10) (см. Лекцию 2): Лр(0= i X(t)e>‘“', (11.3) где: Дю — период дискретизации по частоте (2.11): Х(к) — коэффициенты Фурье (2.12): Zk Х{к) = — j л/г)е-^Л = Л/^(')е-^Л; Л г, L о 2 к —номер коэффициента Фурье, соответствующий частоте Л.'Дю,т. с. Х(Л) = Х(*Дю). (11.4) Множество коэффициентов Фурье Х(к) ряда (11.3) называют спектром не- прерывной периодической функции xp(f) (периодического аналогового сиг- нала), а сами коэффициенты— комплексными гармониками на частотах 2л к Дю = к —. - ею < к < «о. т; Как следует из (11.3), в общем случае спектр .¥(к) — это бесконечная непе- риодическая последовательность в частотной области. Периодическую последовательность х (пТ) с периодом NT хр(нГ) = хр(нТ + т№Г), п = 0,1.(N -1). m ~..., -1. 0.1,... можно представить в виде ряда, аналогичного (11.3), если заменить: □ непрерывное время — декретным 1=>пТ;
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 217 □ период по времени t—периодом по времени иТ Ts=* NT. В результате, период дискретизации по частоте Дсо (11.4) будет равен * 2л До,= ет <1L5> и представление х (пТ) в виде ряда примет вид: xp(nT) = Z Х(4)еЛйш"г, или в нормированном времени: 2л °° j— nk лр(и) = X Х(4)е * , (И.<>) где: %(£) = Х(ЛДсо) — коэффициенты Фурье, равные | ~1~як Ni «=Q или в нормированном времени I *V—1 - j~itk ; (11.7) к — номер коэффициента Фурье, соответствующий частоте ААо> , 2л к&ф - к-----. NT Выполним в (11.6) следующие математические преобразования. Представим: □ последовательность хр(п) в виде бесконечной суммы одного ее nepuoou. сдвинутого по оси и на wN, где л?=....-1,0.1,...; □ бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм из /V сла- гаемых, сдвинутых по оси к на mN, где ш = .... —1,0.1,... Используй свойство периодичности экспоненты по переменной » (при фик- сированном к) с периодом N: j—klin-iiiN) J^-kn f , j—нк e н =e н e^21din, = e N
218 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов и но переменной к (при фиксированном я) с тем же периодом N : ,2л .2л , .2п , j—n(kvinN) j—нк . j—nk e N =e N ej2*h,'=e N , запишем ряд (11.6) в следующем тождественном виде: » •*> Л/-1 j2^nk х лр(„ + я^) = У £X(* + wW)e N , л = 0.1,..., (/V-1), (11.8) /ц = -ое> lfl=-ooks() где периодической последовательности по переменной и c.ieea соответствует периодическая сумма по переменной к справа, причем их периоды одинако- вы и равны N. Периодичность суммы (справа) следует из периодичности се слагаемых, обу- словленной периодичностью экспоненты по переменной к и однозначно- стью пространственного представления вектора Х(к}: .2л .. .. ,2л j—n(k+mN) j—пк X(k + mN)e * = Х(к)е * . к = 0, 1.. (Д'-I), ///=..., -1, О, 1, ... Введем обозначение: Хр(к) = £ X(k + mNI, (J 1.9) /л=—со где Хр(к), -е»<к<°о — периодическая последовательность <у Частотной области с периодом N , которая может рассматриваться как результат огра- ничения (но протяженности) бесконечного спектра Х(к) функции xp(t) и сдвига ограниченного спектра Х(к), к = 0,1,..., (N -1). по оси к на mN, где т =... , -1,0,1,... Следовательно, £ Xp(k+mN) = £ X(k + mN'i, к =0. I,..., (N -1), fft = ~Oo /Н—~00 откуда имеем соотношение для периодов Х(к +mN)— X р(к +niN), fc=0,l.....(W —1), т = ..., —1, 0,1, ... Соответствующая замена в (11.8) позволит записать (11.6) в окончательном виде: У, xp(n + niN)= У J xp{k +м<Л/)е Л' , я = 0,1,.... (/V-1)- Л1 = -оо -0
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 219 Теперь понятен смысл представления .гр(я) в виде бесконечного ряда (11.6). а именно: бесконечная сумма 51 является периодической и каждые .V се * = -ео слагаемых формируют одни и-й отсчет последовательности х (п). Количест- во периодов суммы бесконечно, поэтому и количество одинаковых (периоди- чески повторяющихся) огечетов хр(л) также бесконечно. Очевидно, что та- кое представление последовательности хр(п) избыточно. Так как в последнем равенстве периоды последовательности по н (слева) и суммы но к (справа) одинаковы, для расчетов достаточно знать соотношение между периодами N 1 J^,,k х„(ч)='£Х1,(к')е N , л = 0,1,...,(ЛГ-|). (11.10) *=0 которое получило название дискретного ряда Фурье для последовательности во временной области. Коэффициенты Хр(к), во избежание путаницы с коэффициентами Фурье Х(к) ряда (11.3), называют диекретнылш коэффициентами Фуръе. Сово- купность этих коэффициентов представляет собой один период спектра пе- риодической последовательности хр(н) (дискретного периодического сигна- ла), а сами коэффициенты Хр(к) — комплексные гармоники на частотах 2л АД(О = А--, А -0.1....(N-I). NT Рассмотрим соотношение (11.9) сточки зрения теоремы Котельникова. Период спектра Хр(к) равен N отсчетам ограниченного спектра Х(к): Х/А) = Х(А), А'=0,1....(N-1). В шкале частот ш при Дсо (11.5) период N соответствует частоте ыд (час- тоте дискретизации последовательности хр(п)): ж,д 2л 2л = N------- — = to.. NT Т 4
220 Часть ill. Математическое описание дискретных сигналов Значит, последовательность *р(п) есть результат дискретизации функции Хр(/) с ограниченным спектром1, верхняя частота которого равна <од/2, а ширина — (0л: оу, со, ---~<(П<— => Д(П = СО„. 2 2 4 2п Заменив в (I J.9) к на АД(о и ТУ на /УД(О = — . получим взаимосвязь между спектрами периодических аналоговых и дискретных сигналов ( 2п Хр(£Д(О) = У X А'Дю+т— точно такую же (с точностью до постоянного множителя), как (10.27) для спектров непериодических сигналов. Отсюда следует, что дискретизация сиг- нала хр(1) (11.3), имеющего бесконечный спек гр, с частотой <Д( приведет ~ со. л к наложению спектров (элаисингу) в области частот о>= — № (см. н. 10.3). Согласно (11.9). это соответствует значениям , где ш = 1,0,1,... Выражение для дискретных коэффициентов Фурье Хр(к) в (II. 10) можно получить по-разному. Так как это периодическая последовательность в час- тотной области, логично ее представить в виде дискретного ряда Фурье для последовательности в частотной области (симметричного ряду (11.10)) и получить на основе ряда Фурье для непрерывной периодической функции частоты (симметричного ряду (11.3)). Как известно, непрерывная периодическая функция частоты Xp(ta) с пе- риодом (о5.. удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена в виде ряда Фурье (2.13) (см. Лекцию 2): Х/(О) = X х\п)е~№ы, _оо<Сй<оо, (11.11) 1 Функция л’рО) с ограниченным спсюром отлнчаегся от исходной функции хр(г) (11.3) с бесконечным сисюром Х(к) -
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 221 где: Д/ — период дискретизации но времени (2.! 4) 2л Дг =—; 0)д л(и) =x(hAz) — коэффициенты Фурье (2.15) I 2 I Ч л(н) =— Г ¥ (Ю)<>л""Л0= — f о>, " со, Jo ~ 2 п — номер коэффициента Фурье, соответствующий времени иД/. Периодическую последовательность в частотной области X/}(АД(|)) с перио- дом N&to Х/?(АДю) = X^kMo+mNbO)), £ = 0,1,..., - 1), /п = 1, 0.1.... можно представить в виде ряда, аналогичного (11.11), если заменить: □ непрерывную частоту' со—дискретной £Дсо (й=>£Дсо, а следовательно, О период но частоте о) — периодом по частоте £Дсо со¥ => Д'Дел. В результате период дискретизации по времени Д/ будет равным л 2л 2л <0j N&(j) и представление периодической последовательности Хр(£До») в виде ряда примет вид: 2п . . .2л , ” - ы--АА<1> ” - j—iik X1,(к^) = У х(н)е = У х(п)е N , -«><А-<о®, „=-ео Н=-оэ или с учетом обозначения (11.4): °° ‘2я ut Xp(.k)~ У x(w> 7 , — «><£<с>о, (11.12)
122 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов де: х(н) = х(яД/) — коэффициенты Фурье, при Дсо (11.5) равные Г<'’) = Т7 Ё х ckye N ; |» t-o п — номер коэффициента Фурье, соответствующий с учетом (11.5) времени иД/ = п7': . 2л 2л 2л Д/ -------- —:----= Т. АД(О /V ЛТ выполним магматические преобразования, симметричные привеченным занес для ряда (11.6). Представим: □ последовательность Хр(к) в вице бесконечной суммы оОиого ее периода, сдвинутого по оси к на ± mN, где ш = 1.0,1....; □ бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм из N сла- гаемых, сдвинутых по оси и на + mN, где m = ...,-1.0.1.... Используя свойство периодичности экспоненты но переменным п и к г одинаковым периодом N, перепишем ряд (11.12) в следующем тождест- венном виде: ее ~ /V I i^nk X Х/,(Л+мЛ,)= X ^x(n + mN)e N ,*=0,1...............(W — 1). (11.13) т ее itt=~оо л-0 Аналогично (11.9), обозначим *,,(") = Ё л(я + тН). щ = —ее где Хр(н). -со<н<со — периодическая последовательность во вре.иенной области, следовательно, X xp(n+mN) = J r(H + m/V), л = 0.1.......(N-1), № = -«*> Ш = — <*> откуда имеем соотношение между периодами xp(n + mN) = x(n + mN), л = 0.1...(A-l). т = ..., -1. 0.1,... Соответствующая замена в (11.13) позволит записать (11.12) в окончатель- ном виде: х XP(4+»|/V)= £ + £=().!.....(W-D, Ш = -ое in--v?n-0
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 223 откуда получаем соотношение между периодами последовательности (слева) и суммы (справа): W-! -j— Хр(к}^^хр(п)е " .*=0.1.........(W-D. (11.14) п=0 получившее название дискретного ряда Фурье для последовательности в частотной области. Дискретные коэффициенты Фурье хр(п) этого ряда равны отсчетам последовательности иа периоде. Сравнивая дискретные ряды (11.10) и (11.14), легко убедиться в их симмет- ричности. Как известно, ряды Фурье (113) и (11.11) непрерывных функций xp(t) и Xp(fx>) будут взаимно однозначныуш, если в один из них добавить коэффи- циент пропорциональности 1/Л’. Это справедливо и для дискретных рядов Ф\рье (11.10) и (11.14). Как правило, коэффициент 1/Л7 добавляют в (11.10): 1 )?Ппк -v„(n)=—X N , и = 0.1............(V-l. (11.15) Покажем, что при подстановке Xp(k) (11.14) в (11.15) равенство обращается в тождество. При подстановке, во избежание путаницы, в (11.14) заменим индекс и па /: I л/-1 лм 'Д«)=-Е " ” к О 1=0 Изменим порядок суммирования I Л--1 Л'-l N (“16) IV /=0 *=0 и вычислим внутреннюю сумму. Очевидно, что при I = п она равна /V : w-i Л £ej0 = /V. л=о а при I * п. согласно формуле для суммы конечной геометрической прогрессии
224 Часть HI. Математическое описание дискретных сигналов она равна нулю, поскольку числитель дроби равен нулю (при 1 = п^ раскрыв неопределенность 0/0, получим значение суммы, равное N ). Так как внешняя сумма в (11.16) содержит только одно отличное от пуля сла- гаемое при I = п> равенство (11.16) обращается в тождество: Аналогично можно показать, что при подстановке хр(п) (11.15) в (11.14) это равенство также обращается в тождество. Сравнивая дискретные коэффициенты Фурье Хр(к) (11.14) с коэффициен- тами Фурье Х(к) (11.7) бесконечного ряда (11.3). легко убедиться, что они совпадают с точностью до множителя" N при к =0,1...., (N-\) Xp(k) = NX(k\ к =0,1...(дг-1). Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) периодической последователь- ности хр(п) называется пара взаимно однозначных дискретных рядов Фурье для последовательностей во временной и частотной областях: □ прямое преобразование * I Хр(к)^хр(п)е » , А =0,1.....................(11.17) и=0 □ обратное преобразование (ОДПФ) I j—"k ,л = 0.1...(/V-l), (11.18) Wit=o где: жр(н). п = 0,1» — , (/V -1) — один период последовательности во временной области (вещественной или комплексной); Хр(к). £=0, I,... ,(/V —1) — дискретные коэффициенты Фурье (веществен- ные или комплексные) — один период последовательности в частотной об- ласти (один период спектра). " Они бы полностью совпала ih- если бы коэффициент 1/ V . обеспечивающим взаимную одно- значное! >• дискретных рядов Ф\рье. был добавлен в (11.14), однако п большинстве источников его уплывают в <11.10).
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 225 11.2. Дискретное преобразование Фурье конечной последовательности Перейдем к вычислению непрерывного спектра Х(е^{1) (11.2) конечной по- , 2л с.тедоватсльности x{ni) на периоде (01 = — в дискретных точках. Возникает вопрос о количестве данных точек, ибо их недостаточное число может привести к пропуску важной информации, а избыточное— к неоправ- данному возрастанию объема вычислений. Ответ на вопрос о минимально достаточном количестве дискретных точек непрерывного спектра на периоде даст теорема Котельникова в частотной области, симметричная теореме во временной области и сформулированная на основе взаимозаменяемости независимых переменных время-частота во всех преобразованиях Фурье [17]. Напомним суть теоремы Котельникова во временной области; аналоговый сигнал {непрерывная функция) с конечным (ограниченным по протяжспно- с । и) спектром полностью определяется послсдоватсльносзъто своих отсчетов. I взятых с интервалом Т <--, где /н — верхняя частота конечного спектра. По этим отсчетам гарантируется возможность точного восстановления ана- логового сигнала {непрерывной функции). Произведем симметричную замену переменных: □ время заменим на частоту П ширину конечного спектра 2сов па интервале [-o^coj — на длитель- ность конечного сигнала Те соответственно, с учетом соотношения между частотами о) и f . (11.19) In □ период дискретизации по времени Т — иа период дискретизации по час- тоте Д(о 2п -=> Дш = — 7с
26 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов епсрь сформулируем суть теоремы Котельникова в частотной ofaactmr. (.•прерывный спектр Х{е^1) конечного сигнала полностью определяется :ос.1едовательностыо своих отсчетов в частотной области, взятых с иитерва- ом Д<о, где Ды< —. (11.20) {а основании (11.20) для дискретного сигнала длительности Тс = ХТ полу- тем минимально достаточное количество равноотстоящих отсчетов спек- пра на периоде : <J\ _ 2п _ 2л _ 2п 2л _ ТС"Т'nt" Следовательно, па периоде <0, непрерывный спектр (11.2) конечной тоследователыюсти длины N полностью определяется последовательно- стью своих N равноотстоящих отсчетов к-0,1N-1. По этим отсчетам гарантируется возможность точного восстановления непре- рывного спектра. Это позволяет заменить в преобразовании Фурье (11-2) вычисление непре- рывного спектра Х(е^"Г) на интервале ©о<(0<оо его вычислением в N дискретных точках па периоде cot: Д'-! Л'-l fit 'V-1 -]~ик Х[е}к^! ) = X х(пТ)е~*к{лаТп = £ х{пТ)е *'г = X <(лГ)е *' , л=0 »1«0 /1-0 к = 0,1..jV-1. или в нормированном времени: Х(е1*атГ)= t=0.1......Л-1. (11.21) лтО Сравним формулы (11.21) и (11.17). Они совпадают при слечующих предпо- ложениях: □ последовательность х{п) длины N представляет собой один период пе- риодической последовательности хр(н) с периодом
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 227 □ отсчеты непрерывного спектра X(ejk£Mil) на периоде (О., равны шскрет- пым коэффициентам Фурье Хр(к) Х(е/кл*'}Г) = XpW, к =0, 1..... N -1. С учетом этих предположений ДПФ (11.17) и (11.18) может использоваться как для периодических последовательностей с периодом N , так и для после- довательностей конечной длины /V, поэтому индекс принято опускать. Дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) называется пара взаимно одно- значных преобразований: □ прямое преобразование Л'-1 , Х(*)=£.ф1)Иу , £=().!,...,А-1; (11.22; и=0 □ обратное преобразование (ОДПФ) .ф,) = — л=0.1...../V-1, (11.23; Н А=0 где: д-(л). л = 0.1.А'— 1 — последовательность во временной области (веще- ственная или комплексная): Х(А), k=(). I..N~ I —дискретные коэффициенты Фурье (вещественные или комплексные) — один период последовательности в частотной области; к — помер отсчета последовательности Х(к). соответствующий частоте А*Доз; Иу* — поворачивающий множитель W^=e " , (11-24) ,2я - J-ПК получивший свое название потому, что аргумент экспоненты е л ото- бражает угол поворота на единичной окружности комплексной г-плоскости. Последовательности х(п) и AZ(A) в (11.22) и (11.23) называют П-точечными. Отсчеты последовательности Х(к) называют отсчетами ДПФ 1381’. В рязс источников их называю г коэффиинсшамп ДПФ или лаже просто Д1 [Ф.
228 Часть Ш. Математическое описание дискретных сигналов ДГ1Ф (11.22) описывает дегорилш вычисления /V-точечиой последовательно- сти А’(Л) в частотной области, а ОДПФ (11.23)— алгоритм вычисления N-точсчпой последовательности х(и) во временной области. Д| |Ф (11.22) и (11.23) справедливо как для периодической, так и для конечной последовательности, причем результат вычислений в обоих случаях будет одинаковым, однако его трактовка — различной, а именно: □ в случае периодической последовательности: • /V-гочсчная последовательность х(п) — это один период данной по- следовательности; • /V-точсчная последовательность Л'(А-) — это jV комплексных гармо- ник периодического спектра на периоде: О в случае конечной последовательности: • /V-точсчпая последовательность т(и) — конечная последовательность длины N (формально это один период периодической последователь- ности): • N-точечная последовательность Х(к) — N равноотстоящих отсчетов непрерывного периодического спектра Х(е^0/) на периоде сод. Пример 11.1 Найти ДПФ /V-точсчпой последовательности v(n) = а". Решение. Подставив х(п) = «" в формулу ДПФ (11.23), получаем сумму ко- нечной геометрической прогрессии: W-I ,д- AM X(Л) = X *(")<? л‘ = X а"е ,v It=o равную z , \N -j—k 1 1 — ае N i -) -к J—L 1-ае N 1 — ае * и представляющую собой N-точечиое Д11Ф. 5 1 * 1 3# ^-г ,о^ О н II II
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 229 Необходимо иметь в виду, что точно такой же результат будем иметь для пе- риодической последовательности л<п) = дг| с периодом /V. 11.3. Свойства ДПФ Перечислим свойства ДПФ, которые являются прямым следствием свойств спектров дискретных сигналов (см. п. 10.2). Доказательства данных свойств аналогичны приводимым в н. 10.2 и мо1*ут быть выполнены самостоятельно. I. Периодичность: /V-точечное ДПФ является периодической последовательностью по опре- делению. 2. Линейность: • если /V-точечная последовательность равна линейной комбинации TV- точечных последовательностей х(п) - а,х}(п) + а2х2(л) +..., (И .25) то ее ^точечное ДПФ равно линейной комбинации /V-точсчных ДПФ данных последовательностей X (Л) = 4- «2Х(Л) + ...; (11.26) • если в линейной комбинации (11.25) у последовательностей разные длины /V|, N2, N3,..., то перед вычислением /V-точечного ДПФ исход- ные последовательности необходимо привести к одинаковой длине N. дополнив нулями, где N = max{/V|, ... }. 3. Сдвиг (смещение) N-точечного ДПФ: умножение /V-точечной последовательности на поворачивающий множи- .2л. }--ityl тель IVv N приводит к сдвигу /V-точечного ДПФ по оси к вправо на величину к§, что символически удобно записать следующим образом: х(п)=$Х(кУ, х(П)И^°"=>Х(к-к0). Аналогично, умножение /V-точечной последовательности на поворачи- вающий множитель =е N приводит к сдвигу /V-точсчного ДПФ
230 Часть til. Математическое описание дискретных сигналов по оси К влево на величину что символически можно записать еле* дующим образом: *(„)=> Х(к)-. x{nW^" =»X(k + k0). 4. Сдвиг (задержка) N-точечной последовательности: сдвиг /V-точечной последовательности вправо па т (т>0) отсчетов (за- держка последовательности) соответствует умножению /У-точечнот Д11Ф 2г. . на поворачивающий множитель WNm = е N , что символически удоб- но записать следующим образом: л(н) =>.¥(*); л(п-т)=» X(kW^ 5. Равенство (теорема) Парсевам: равенство Парсеваля (10.24) для периодических и конечных последова- тельностей принимает вид: W-1 , 1 W-I , 2=-^1М'. л--П /V А-=0 где: ЛМ 2 У |л(н)| — энергия сигнала, вычисленная во временной области; л «О 1 ЛГ-1 2 — та же энергия, вычисленная в частотной области. N л=о Если анализ сигнала производится в частотной области, равенство Персе- валя позволяет вычислять энергию сигнала непосредственно по отсчетам ДПФ. не прибегая к процедуре ОД ПФ. 6. Свойство симметрии: • если /V-точечная последовательность _v(n) — вещественная, модуль ес Л'-точсчного ДПФ будет четной функцией переменной к: |У(*)|=|У(-«:)|;
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 231 а аргумент— нечетной: arg{A' (k)}= -arg{A" (-*)}; arg{A'(i)}= -arg{A"(A' -i)}. Это означает, что для модуля и аргумента будут соблюдаться соответ- ственно условия симметрии и антисимметрии. Доказательство. Эти соотношения очевидно вытекают из сравнения ДПФ Х(к) и X(N-k): .V-l -j~nk W-l (1-к А Х(1) = У х(н)е N - у .фг)СО5 —пк - м=0 п=0 \ ^ ) AXn)sin| —лЛ | = Re-/hn; н=о I N ) ,V-J /V-l -j~h/V j—nk X(N-k)= У л(и)С N = У Л* е N »г=0 я=0 v 1 j~nk = У х(н)е N =Re + Jim; /1-0 • если ^точечная последовательность .r(n) вещественная и для нее вы- полняется условие симметрии x(h) = a(/V-«), (11.27) то ее /V-точсчцое ДПФ будет также вещественным. Докакнпе.1ьсп1во. Допустим, что N — четное. Найдем ДПФ с учетом симметрии (11.27): Л'-| _ _ -?Л-4 _ —Ik Х(Л) = 'у х&)е Jh” =хф) + х(\)е J n +.<(!)<’ +...+ и -о (7 x(0)-x(-y |+2^ x(«)cosI^hA
232 Часть HI. Математическое описание дискретных сигналов Аналогично, для N нечеткого у. । N-l -j^nk 1 X(k)=Y !(„)< " = .Г(())+ £ X(«) н=0 я=1 =x(0) + 2£ x(n)cos| — nk Л = 1 I N В обоих случаях /V-точечное ДПФ вещественное. Дополним эти свойства теми, которые присущи исключительно ДПФ. I. Круговая (периодическая, циклическая) свертка: вычисление с помощью дпф Понятие круговой свертки используется только для периодических после- довательностей. Круговой сверткой двух периодических /V-точсчпых по- следовательностей д-| (п), л-2(«) называется периодическая /V-точечная по- следовательность N-l N-I у(п) = У Л|(ш)л20,-1н)= У Х1(п-Н1)х2(т). (11.28) «1=0 т=0 Пример 11.2 Вычислить круговую свертку 4-точсчных периодических последователь- ностей Aj(h), х2(н): а1(л) = [3.2, 1.0]; л2(л) = [2.211.1]. Рисунок 11.1 иллюстрирует механизм вычисления круговой свертки 3 у(н)= У A|(»i)a2(h-wi), т=0 который подобен рассмотренному ранее механизму вычисления линейной (апериодической) свертки конечных последовательностей (aw. Лекцию 4). ’’Фиксированная” последовательность Л|(н) (три периода) показана на рис. 11.1. о. а "скользящая" последовательность л2(л) (три периода) — па рис. 11.1,6. Отсчеты последовательностей па периоде 10; /V-l] = [0; 31 выделены жирными линиями. Зеркально отображенная последователь- ность х2(») представлена на рис. 11.1. в, а результат ее последовательно- го скольжения— на рис. П.1.?—лс.
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 233 Рассмотрим вычисление круговой свертки на периоде: первый otchci у(0) вычисляется как сумма локальных произведений последовательно- стей на рис. И.1. а и в: второй отсчет у(1) — как сумма локальных произ- ведений последовательностей на рис. 11.1. а и г; а далее аналогично: у(2) — на рис. 11.1, а и д. у(3) — на рис. 11.1. а и е. Рис. 11.1. Вычисление круговой свертки
234 Часть Hi. Математическое описание дискретных сигналов Следующий отсчет у(4) должен вычисляться как локальное произведение послсцоватепьностей па рис. 11.1, а и ж, однако, в силу периодичности последовательности л2(4-/н) (рис. 11.1, ж) и лг2(О —ш) (рис. 11.1, в) на интервале ]0; 7V-1J®[(>. 3] оказываются одинаковыми, поэтому результаты вычислений будут повторяться с периодом N = 4. Они приведены в табл. 11.1 и па рис. 11.2 (три периода). Таб./ицн 11.1. Вычисление круговой свертки II л/л) л2(л) У(п> 0 3 2 у(0) = л, (0)л-2 (0) + л, (I >л2 (-1) + х, (2)л, (-2) + л, l3M ,(-3) = = 3-2 = 6 1 2 2 у(П = г1(0иг(П + л1(Пх210)+ г,(2)л2Ы)+ л,(3).ч(-2) = = 3-2 + 2-2 = 10 2 1 1 г(2) = с.(0)л2(2) + л|(1)ж/1)+ te(2)r3(0) +л.(3)лг(-1) = = 3-1 + 2-2 + 1 • 2 = 9 3 0 1 у(3) = л, (0)д2 (31 + х,(1)л2(2) + л, (2).г2 (1) + л,(3)лг(0) = = 3-1 + 2 • 1 + 1 • 2+0-2 = 7 11ай тем /V-точечиое ДПФ (11.23) круговой свертки (11.28) VI п О Л’ I У Л|(»1)Л2(и-»1) »г=0 Wn
Лекция 11 Дискретное преобразование Фурье 235 Изменим порядок суммирования: /V-l Л'-I К(А) = У. Х](ш) У x2(n-m)W^ »1=0 0=0 представим поворачивающий множитель W^' (11.24) в виде произведения: wtf =и#-"’*и^ и перепишем ДПФ в виде: N-Т Ш)= X х,(и) т=0 W"? . |г=0 (11.29) Выполним замену переменных: I = п - in (// = 1 + ш) и запишем внутреннюю сумму с учетом нулевых начальных условий: Х‘ a2(Z)W^= X a-2(/)W“ + X^2(')W/!,‘=O+ \х2(1^ = Х2(к). / + »г=0 l=-m /=() /—О Подставив это значение в (11.29), получим /V-точсчное ДПФ круговой свертки., которое равно произведению N-точечных ДПФ свертываемых последовательностей'. Л-1 Y(k} = X2(k) X л,(т)И<7 =X2(4)Xl(i). k=0, 1.....N-l. tn=Q Это соотношение стало основой следующего алгоритма вычисления кру- говой свертки: • определяются ^точечные ДПФ Xi(fc). Х2(^) и их произведение щ-) = х2(*)х,(*); • с помощью ОДПФ определяется /V-точечная последовательность у(н). ДПФ и ОДПФ (11.22) и (11.23) рассиживаются с помощью быстрых алгорит- мов (см. Лекцию 12у что существенно сокращает объем вычислений по сравне- нию с непосредственным определением свертки у(н) по формуле (11.28). 2. ДПФ произведения периодических последовательностей (теорема свертки в частотной области). ДПФ произведения периодических /V-точечпых последовательностей у(и) = Л|(н)л2(л)
236 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов равно круговой свертке /V-точечных ДПФ данных последовательностей YW = “ Е X, (»0Х2(* - л>) = — Х' X, (4 - m)X,(m). N ».=о N „г=0 Доказательство. Подставим Y(k) в ОДПФ (11.23): I N-1 I Л/-1 I Л/-1 >(«) = - Е YWW^ =- Е - Е Х,(л1)Х2(*-т) Nj=o Nj=o w »,<) и изменим порядок суммирования: Используя свойство о сдвиге /V-точсчного Д11Ф, получаем: I N-1 I Л-1 Я«)=- Е х,(»о — Е х2(.к) w »=о W л-=о = 4-Е Xl(m)WNm" ^Х21к)Г/ N «.-о Wt=0 = X|(n)x2(il). 3. Линейная (апериодическая) свертка: вычисление с помощью ДПФ. Линейной сверткой конечных последовательностей х((и) и л*2(л) с дли- нами N] и W2 соответственно называется L-точечная последовательность L-l L-1 >(»)= Е х2[т')хг{п-т') = X Л|(я-ш)л:2(»|), (11.30) гл=О ш=0 где L= Nx + N2 -1, причем последовательности Л|(л), л2(а?) и у(и) рав- ны нулю вне этого интервала. Пример вычисления линейной свертки был приведен я Лекции 4. Из определения ДПФ (11.22) следует, что конечные последовательности условно считаются периодическими, поэтому для линейной свертки мо- жет использоваться алгоритм расчета круговой свертки с помощью ДПФ, а именно: • последовательности Х|(п), д'2(л) дополняют нулями до олины L , пере- ходят к ^точечным последовательностям д-|(н), л2(и), тогда линейная
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 237 свертка последоввтсльностей Л1(н), л2(м) будет равна /.-точечной кру- говой свертке последовательностей Х\(п), л2(и): Z.-I Z--I У(п)= У А,(и|)л'2(«-"') = X Л|(п-т)л-2(»1); (11.31) ж=(1 ш=0 • определяются L-точечныс ДПФ ХД&), X2(fc) и их произведение т) = Х((А)Х2(А); (11.32) • с помощью ОДПФ определяется L-точечная последовательность у(п) Рассмотренный алгоритм применяют для расчеши реакции но формуле свертки /.-I /-1 у(п) = У Л(т)Х« — ш) = У h(n - ш)л(ш), ш=0 ш=0 где: /V], N2 — длины импульсной характеристики и воздействия; L — длина реакции, равная L ~ ZVj + /V2 — 1. Алгоритм расчета реакции по формуле свертки с помощью ДПФ заклю- чается в следующем: • импульсная характеристика Л(и) и воздействие х(н) дополняются ну- лями до длины L, переходят к L-точечным последовательностям Л(н). £(»). Тогда линейная свертка последовательностей Л(л). x(ii) будет равна L-точсчпой круговой свертке последовательностей h(n). л(л): /-1 . /-1 „ у(и)= У /|(и1).г(и-т)= У Zi("-'«).»('»); ш=0 гм = О • определяются L-точсчные ДПФ H(k). Х(к) и их произветение: • с помощью ОДПФ определяется L-точечная реакция у(п). ДПФ и ОДПФ рассчитываются с помощью быстрых алгорит- мов (см Лекцию 12), что существенно сокращает объем вычислений по сравнению с непосредственным определением реакции у(п) по фор- муле (1 1.30).
238 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов 4. Секционированные свертки. Линейная свертка (11.30) в случае, если длина одной из последовательно- стей существенно превышает длину другой, вычисляется путем разбиения длинной последовательности на короткие части — секции— и определе- ния частичных секционированных сверток, из которых формируется ис- комая линейная свертка. Именно этот случай особо важен для практических задач I(ОС при вычис- лении реакции по формуле свертки у(н)= X й(ш)х(п-ш) = £ Л(я-т).фн), т-0 т=0 когда отсчеты сигнала воздействия л(л) поступают в реальном времени. Количество отсчетов (длина последовательности) весьма велико и заранее неизвестно, поэтому условно можно говорить о "бесконечной" последова- тельности. Пусть длина импульсной характеристики h(n) ограничена Nj отсчетами, а длина последовательности х(п) не ограничена. Требуется вычислить их свертку. Существуют два метода вычисления свертки с секционированием: • перекрытие с суммированием: • перекрытие с накоплением. Метод перекрытия с суммированием состоит в последовательном вычис- лении линейных секционированных сверток с их последующим суммиро- ванием. Для этого последовательность х(п) (рис. 11.3.6) делится па смежные секции хк(п) длиной N2 (рис. 11.3, б, в. г). при этом рекомендуется вы- бирать длину N2> близкую по величине к /V] (рис. 11.3.с/). Исходная по- следовательность л(л) представляется в виде суммы секций: л(я) = X С1 L33) к =0 и формула свертки принимает вид: У(я) = X Л('"> X I" - т - 0 к = О
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 239 Изменим порядок суммирования у(п) = Ё X Л(<я)л4(И-»И) 4=0ш^0 и с учетом конечных длин .V, и /V2 носледовагсльпосзсн /км) и л\(н) заменим во вну греннсй сумме бесконечный предел конечным: L-I >'(«) = X х h(m)xk(n-m), Jc=0w=0 в результате чего получим /.-точечную секционированную шлейную свертку )7 00 типа (11.30): t-i УА(п) = У. Ь(ж)лк(п-ш), ш = 0 гае £ = /V| + Л'2 -1. Искомая свертка равна сумме секционированных линейных сверток у(л) = Ё уд„). (11.34) к-0 На рис. 11.3. <), е показаны смежные L-точечные секционированные сверт- ки. перекрывающиеся па участке длиной (/V, -1): (^ + /V2-1)-/V2 = ^-1. при этом, согласно (11.34), на участке перекрытия соответствующие от- счеты суммируются (рис. 11.3, эк). Метод перекрытия с накоплением состоит в последовательном вычислении круговых секционированных сверток с их последующим накапливанием. Для‘этого последовательность х(н) (рис. 11.4, б) делится па секции Лд.(л), л\г|(и), k~{>. 1..каждая длиной L = /Vj + /V2-I с участками перекрытий длиной (/Vi“l) отсчетов (рис. 11.4. в.г). Последовательность Л(н) ioiio.i- пяют (Лг2 “ 1) нулями до длины L, переходя, таким образом, к / -точечной последовательности h(n) (рис. 11.4. а). После этого вычис илотся секцио- нированные круговые свертки №(/»)' У*-п(«) (II.28)(рис. 11.4. Z.-1 . Ут-ОО = У (ft ~,п); 135) т~0
240 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов У*цО') = X /l(m)At+|("-w) . №0 (11.36) Рис. 11.3.1 1оследовательное вычисление свертки методом перекрытия с суммированием
Лекция 11. Дискретное преобразование Фурье 241 Рис. 11.4. Последовательное вычисление свертки методом перекрытия с накоплением
242 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов При формировании искомой свертки необходимо иметь в виду, что в дан- ном случае секции хк(н), .г*+|(н) перекрываются, поэтому условие (11.33) не выполняется: х(л)* £ хк(н), *=0 и соотношение (11.34) нс справедливо: Ил)* У У*(н). Л=(1 Представим последовательности хк{ц), в виде сумм: ^(п) = л{(и) + Пл(н): где Пл и Лл+i— последовательности длины (АГ( — 1) на участках пере- крытия. Тогда круговые свертки (11.35), (11.36) можно записать в виде: /-1 _ / । У*(и) = X Л(ш)л>(и-ш)+ У ук(п) + ^к(н); ш О ж = 11 Л-1 - /.-I Л.|(«)= £*(и)лЬ|(л-и) + х /i(«i)Tin.,('i-'«) = yiu('i) + 5t.l(H). m=0 m-0 где £j-_ и — "лишние” (/Vj — 1)-точечные свертки, обусловленные вкладом отсчетов гц и тц+i 1,а участках перекрытия, необходимых для вычисления круговой свертки. Поэтому при формировании искомой свертки (11.34) последние, "лишние" (/V|-l) отсчетов каждой секционированной свертки yk(n) на участке пе- рекрытия отбрасываются. Таким образом, отсчеты vA(/i) как бы "накап- ливаются" (рме. 11.4, ж). В обоих рассмотренных методах секционированные свертки могут рас- считываться с помощью ДПФ и ОДПФ с использованием быстрых алго- ритмов. Быстрые алгоритмы расчета ДПФ и ОДПФ будут предметом изучения в сле- дующей лекции.
Лекция 12 Быстрое преобразование Фурье Обработка сигналов, связанная с анализом их спектров, называется спек- тральным анализом. Спектральный анализ используется во многих алгорит- мах ЦОС. в частности, при распознавании, обнаружении и сжатии сигналов. Математической основой спектрального анализа является ДПФ (11.22) Х(4) = x'xGOlV*, 4=0,1.../V —I. (12.1; и~0 где: N — длина исходной последовательности и размерность ДПФ; для кратко- сти последовательность и Д11Ф называют N-пючечкыми (см. Лекцию I /); W/f — поворачивающий множитель (11.24): и,й,‘ =е '*” . (12.2) Оценим вычислительную сложность алгоритма ДПФ (12.1): при фиксиро- ванном значении к и п = 0,1...., (N-1) требуется выполнить N операций умножения и (/V-l)*=/V операций сложения, всего 2N операций; в целом же, при к = 0, 1,..., (N-1) необходимо выполнить A'x2A-=2/V2 арифмети- ческих операций с комплексными числами. Как правило, представляет интерес оценка порядка вычислительной сложно- сти алгоритма относительно длины N , для чего используют символику <?(•)• Порядок вычислительной сложности алгоритма ДПФ (12.1) оценивается как О(№), что при больших N весьма существенно. В реальном времени обработка исходных последовательностей выполняет- ся по частям (сегментам) длины N. Численное значение Л’ зависит от физической природы сигнала и решаемой задачи. Для снижения порядка 9 Зил. 165
244 Часть til. Математическое описание дискретных сигналов вычислительной сложности были разработаны алгоритмы быстрого вычис- ления ДПФ. Быстрым преобразованием Фурье (БПФ) называют не еще одну разновидность преобразования Фурье, а целый набор алгоритмов, предназначенных для быст- рого вычисления ДПФ. Поскольку подобных алгоритмов много, для их обо- значений после аббревиатуры БПФ ставят уточнение: алгоритм БПФ с основа- нием 2, алгоритм БПФ с основанием 4, алгоритм БПФ Винограда и т. п. Наибольшее распространение получил алгоритм БПФ с основанием 2, из- вестный как алгоритм БПФ Кули—Тьюки (по имени разработчиков) и впер- вые опубликованный в 1965 году в США. Существуют два эквивалентных по эффективности алгоритма БПФ с основанием 2: с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте. В любом из них длина N исходной после- довательности должна быть равной /V = 2v, (12.3) где v — целое положительное число. Если это условие не выполняется, исходную последовательность следует до- полнить необходимым количеством нулей. Сразу отметим, что это является недостатком данных алгоритмов, поскольку количество нулей может ока- заться значительным. 12.1. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени Основная идея алгоритма БПФ с прореживанием по времени закзючастся в поэтапном вычислении /V-точсчного ДПФ на v этапах, на каждом из кото- рых текущее ДПФ определяется как комбинация ДПФ вдвое меньшей раз- мерности. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени можно описать следующим об- разом (рис. 12. Ц снизу вверх): □ задание начальных условий: отсчеты /V-точечной последовательности расстааляются по определенному правилу, □ на первом этапе определяется 2-точечное ДПФ каждой нары огечетов по- следовател ьности; О на втором этапе определяются 4-точечныс ДПФ как комбинация 2-точечных ДПФ;
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 245 □ на i-ом этапе определяются 2'-точечные ДПФ как комбинация 2z~l-точечных ДПФ; □ на (v- l)-aw этане определяются /V/2-точечныс ДПФ как комбинация /V/4- точечных ДПФ; □ па v-rzif (последнем) этане определяется искомое /V-точечное ДПФ как комбинация Л72-точсчных ДПФ, отсчеты ДПФ следуют в естественном порядке к =0,1,..., (N -1). Размерность ДПФ Этап ДПФЛ, 2ДПФЛ, 4ДПФЛ. ДПФ5 л к ДПФ« ДПФ,, t \ t ч ДПФ* ДИФд. ДПФ* ДПФ* 2'ДПФ* ДПФ* t \ ДПФ * ДПФ N ДПФ* " t \ ДПФ * ДПФ * —дпф4 дпф4 дпф4 дпф4 дпф4 t \ t \ .................... t \ t \ —-дпф2 ММММ 2 Начальные Л' условия — 2-точечных последовательностей Рис. 12Л. Идея алгоритма БПФ с прореживанием по времени
246 Часть ML Математическое описание дискретных сигналов Для реализации данного алгоритма необходимо знать: I. Правило начальнойрасстановки отсчетов ^точечной последовательности. 2. Общую формулу расчета ДПФ для произвольного /-го этапа. Получим их, используя следующий прием; □ предположим, что алгоритм БПФ состоит из одного, v-ro этапа. Рассмот- рим начальную расстановку отсчетов последовательности и формулу /V-точечного ДПФ как комбинацию Л72-точечных: □ предположим, что алгоритм БПФ состоит из двух, v-ro и (у- 1)-го этапов. Рассмотрим начальную расстановку отсчетов последовательности и фор- мулы /V/2-точсчных ДПФ как комбинацию JV/4-точсчных; □ найдем закономерность в начальной расстановке огечегов последователь- ности и определении ДПФ как комбинации ДПФ вдвое меньшей размер- ности. Распространим ее па v-этаппый алгоритм. Итак, предположим, что алгоритм БПФ состоит из одного, v-ro этапа. Начальные условия одноэтанного алгоршма БПФ формируются в результате однократного разбиения исходной /V-точсчпой последовательности на две /V/2-точеч.ныс (рис. 12.2): четных [л(0), х(2),..., .<( N - 2) | о тсчетов; (12.4) нечетных [х(1), л(3).х(ЛГ —1)| отсчетов. (12.5) Начальная расстановка отсчетов производится но правилу: Л//2 четных отсчетов; N/2 нечетных отсчетов: х(0), л(2)..л(Л/ - 2); л(1), л(3)...r(N -1). Это позволяет разбить сумму в ДПФ (12.1) на две: Х(*) = X л(2„ + 1)И^2л+,)‘ = 11 = 0 и=() N f Л/_, = Y л(2,1)И'л'1 л(2» + 1)И’“, *=0.1......(/V-D. (12.6) н=0 л=0 где л(2п) и л(2п + 1) — .V/2-гочечные последовательности четных и нечет- ных отсчетов соответственно.
Лекция 12 Быстрое преобразование Фурье 247 Крат нос । ь разбиения Длины последовательностей .V —чет 2 Z X N N —чет —нем 4 4 N —иеч Z X N N — чет —нем 4 4 чет неч чет иеч чет иеч чет иеч Начальные условия — 2-точечных последовательностей 2 Рис. 12.2. Разбиение ^точечной последовательности Представим поворачивающий множитель И^и* в виде 7 ь -i-ink W™ — е N -е Л/2 = wff/2 112.7) и перепишем Д11Ф (12.6) * 1 Ш Х(*)= х(2и)И$2 + И^ 42» + I)1V$2, I =0,1.....Л’-1. (12.8) о=0 л=0 Каждая из сумм представляет собой /V/2-точсчнос ДПФ; первая сумма — ДПФ последовательности четных отсчетов, а вторая — нечетных. Причем каждое из /V/2-точечных ДПФ определяется при к =0.1...../V-1. Введем обозначения; XOV(A) = X(A); (12.9) ХГ(к)=^,л(2н))УЙ/2-. (12'0)
248 Часть Hi. Математическое описание дискретных сигналов Л* *г'(*)= $>(2« + W£,, л = 0 (12.11) где верхний индекс указывает номер этапа алгоритма БПФ, а нижний— но- мер ДПФ, четный и нечетный. Для краткости будем говорить "четное ДПФ" и "нечетное ДПФ". С учетом введенных обозначений перепишем ДПФ (12.8): N-точсчное ДПФ определяется как комбинация двух Л72-точечных ДПФ— четного Xq (£) и нечетного X|V~1(£); Xv(jt) = Xj",(Jt) + Wjix^-,(Jt), Л = 0.1......N-1. (12.12) Принимая во внимание, что /V/2-точечныс ДПФ Хо'ЧЛ) и Xi~l(k) — пе- риодические функции переменной к с периодом 7V/2 (см. Лекцию 77), нет необходимости определять их при к = 0.1....N - I, достаточно только опре- N делить их при к = 0.1,...,----------1, а затем повторить при Xov'lm = Xov-,^ + y^, * = 0.1.у-1: Xlv’,(t) = X1v-,ft+y| * = 0.1 у-1. (12.13) (12.14) Поворачивающий множитель при к = —, — + I,..., /у — 1 равен к-^- N WN 2 =Vff,W^2 =W^e N 2 =~w^, *=0.1.........——1,(12.15) следовательно, и его достаточно определить при £ = 0,1................. 1, а затем, изменив знак, повторить при к = N N . —, — + 1. 2 2 N -1.
Лекция 12 Быстрое преобразование Фурье 249 Свойства (12.13)—(12.15) позволяют представить ДПФ (12.12) в виде: (*) = *<Г‘ (*) + Н'^Г' (к); (12.16) Из сопостааления ДПФ (12.12) и (12.16) ясно, что в (12.16) расчет упрощает- N ся за счет распаратзеливания вычислений при к=0,1,...,-----------1 и 2 N N А = —, — +1....TV -1 по верхней и нижней формулам соответственно. Вывод: если алгоритм Ы1Ф состоит из одного, v-ro этапа: □ начальные условия формируются в результате однократного разбиения исходной /V-точечной последовательности: □ /V-точсчнос ДПФ определяется по формуле (12.16). Предположим, что алгоритм БПФ состоит из двух, v-ro и (v — 1 )-го этапов. Начальные условия алгоритма формируются в результате последовательного двукратного разбиения /V-точечной последовательности (рис. 12.2): О сначала /V-точсчная последовательность разбивается на две W/2-точечные (12.4) и (12.5); □ каждая из этих последовательностей вновь разбивается на две /V/4- гочечные— четных и нечетных отсчетов по порядку их следования, счи- тая от нуля, а именно: • /V/2-точечная последовательность четных отсчетов (12.4) разбивается на две /V/4-точечные: четных [л(0), л(4),..., д(Л—4)] отсчетов; нечетных [л(2), л(6),..., х(Н - 2)] отсче гов; • /V/2-точсчная последовательность нечетных отсчетов (12.5)— на две /V/4-точечные: четных [л(1), jt(5), ..., x(N -3)] отсчетов; нечетных [л(3), л-(7)....г(Л1-1)] отсчетов;
250 Часть Ш. Математическое описание дискретных сигналов □ начальная расстановка отсчетов производится по правилу: Л//4 четных отсчетов; /V/4 нечетных спсчеюв - результат разбиения (12.4): N/4 четных отсчетов; N/4 нечетных отсчетов—результат разбиения (12.5), а именно: л*(0), л(4).л(/У - 4); л(2), л(б).л(N - 2); л(1), а-(5).x(/V -3); л(3). л(7),.v( Л' - I). На (v- 1)-м этапе определяются два TV/2-гочечпых ДПФ. причем кажюе из них — как комбинация двух /V/4-точсчных ДПФ: □ N/2-точечное ДПФ Xq1 (к) — как комбинация Л74-точечных ДПФ: чет- ного Хъ~2(к) и нечетного X|V"^(<); □ /V/2-точечное ДПФ X^fk) — как комбинация /V/4-точсчных ДПФ: чет- ного Х2~2(к) и нечетного Хз"2(А). /V/2-точечные ДПФ Х%'1(к) и определяются но формуле (12.16), в которой индекс v уменьшается на единицу v=>v-l, а размерности ДПФ и поворачивающего множителя понижаются вдвое в результате чего имеем два /V/2-точечных ДПФ Xq 1(к) и X* ’(Л): ХГ‘ (*) = Х^2 «) + Htf/2 X ,v-2 (t); Xj-'k+^kX^W^xr2^); (12.17) k=0, I, 4 Xi~'W=xv,-\k)+w^2xy 2(ky, 2(k)-W^xr2(ky (12.18)
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 251 11а v-м этапе /V-точечное ДПФ Хц(к.) определяется как комбинация /V/2- точечных ДПФ по формуле (12.16). Вывод: если алгоритм Ы1Ф состоит из двух, v-го и (v - I )-го этапов, то: □ начальные условия формируются в результате двукратного разбиения ис- ходной /V-точечной последовательности; □ на (v-l)-M этапе каждое из двух /V/2-точечных ДПФ определяется по формуле (12.16). в которой индекс V уменьшается на единицу, а размер- ности Д11Ф и поворачивающего множителя понижаются вдвое: □ на v-м этапе №-точечное ДПФ определяется согласно рассмотренному ранее одиоэшапиому алгоритму. Если алгоритм Б ПФ состоит из трех, v-го, (v- 1)-го и (v-2)-ro этапов, го с помощью аналогичных рассуждений приходим к выводу, что: □ начальные условия формируются а результате трехкратного разбиения /V-точечной последовательности: □ на (v- 1)-м этапе каждое из четырех /V/4-точсчных ДПФ определяется но формуле (12.16). в которой индекс v уменьшается на два v=>v-2, а размерности ДПФ и поворачивающего множителя понижаются в 4 раза 4 О на (у - I >-м и v-м лапах два /V/2-точечпых и /V-точечное ДПФ определя- ются согласно рассмотренному выше двухнпапному алгоритму. Замеченную закономерность несложно распространить на v-этапный алго- ритм БПФ с прореживанием но времени. Начальные условия формируются в результате v-кратного разбиения N- точечиой последовательности (см. рис. 12.2). сформированная последова- тельность называется разреженной. Общая формула расчета ДПФ на произвольном i-м этапе, полученная на ос- нове (12.16), имеет вид:
252 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов , = 1.2..v; (|219’ m = О. I.М -1 ; к = 0,1, 2 где: i — номер этана (особенности первого (i = 1) этапа см. ниже); m — номер ДПФ: к — номер отсчета ДПФ: М —количество L-точечных ДПФ: N 2V t ; М =-т = — = 2Ч ; (12.20) 2' 2' L — размерность Д11Ф: £^2'; (12.21) Х}„(к) —L-точечное ДПФ: » Xim+iW — четное и нечетное L/2-точсчиое ДПФ соответственно. Согласно (12.19), L-точечное Д| 1Ф определяется параллельно: О первая половина отсче тов /^точечного Д11Ф — по верхней формуле; □ вторая половина отсчетов L-точечного ДПФ — по нижней формуле. Обратимся к особенностям первого этапа алгоритма (/ = 1). По формуле (12.21) определим размерность L ДПФ: Л = 2*=2, а по формуле (12.20) — количество 2-точечных ДПФ: A/=2V"'=2V"'=—. 2 С учетом этого перепишем общую формулу ДПФ (12.19) в виде: *1,(0) = *2°,,.(0)+W2“X?„tl(0); (1, ,2) ^0) = Л-2о,„(0)-»'"Л2п„„,(0),
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 253 где поворачивающий множитель W2° = I сохранен для единообразия с общей формулой (I2.19). В правой части (I2.22) формально, т. е. согласно принятым обозначениям. Л'^ДО) и Х?„г+1(0) — отсчеты ДПФ нулевого этапа (/ = 0), однако такого этапа ист, поэтому для вычисления 2-точечных ДПФ по общей формуле (12.19) перед выполнением первого этапа задаются начальные условия: каж- дой паре отсчетов ДПФ — четному Х^,ДО) и нечетному Х^,н1(0). ш = 0,1,..., (/V/2 — I) — присваивают значения пары отсчетов прореженной последовательности — четного и нечетного: 2т (1223) ^2,„+1(0)=а-2,п+„ где х2м| и *hn+i — условные обозначения четного и нечетного отсчетов 2-точечной последовательности, полученные в результате v-кратного разбие- ния исходной /V-точечной последовательности (см. рис. 12.1 и 12.2). Подставляя (12.23) в (12.22) при m = 0, l,...,(/V/2-l), получим /V/2 формул типа Х^(О) = ло + лр _Л’ X,1 (0) — х2 +л3; X' (1) == х2 — Таким образом, общая формула (12.19) описывает алгоритм быстрого вы- числения ДПФ (алгоритм БПФ с прореживанием по времени) — v-этапную процедуру типа "цикл в цикле", где: О внешний цикл организуется по переменной i: i = I. 2.v; □ первый внутренний цикл (при фиксированном i)— по переменной т: Н1=О. 1.....М-к □ второй внутренний цикл (при фиксированных i и т)— по переменной к : к = 0,1,..., (L/2 -1). В цикле вычисляется к-и отсчет L-точсчного ДПФ по формуле (12.19).
254 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов На выходе алгоритма (в результате вычислений при i = v и L=2v = /V) со- гласно (12.19) получаем /V-точечное ДПФ, отсчеты которого следуют в есте- ственном порядке: к = 0. 1,..., (/V - 1). Основной операцией алгоритма Ы1Ф, называемой базовой, является одно- временное (параллельное) вычисление двух отсчетов ДПФ — k-го и (к + Z72)-ro по двум верхним формулам (12.19). 11а рис. 12.3 приведен направленный граф базовой операции. получивший название "бабочка” по ассоциации с изображением графа. Кружок обозначает арифметическую операцию сло- женмя/вычитания, верхний выход соответствует сумме, а нижний— разно- сти; стрелка обозначает операцию умножения на поворачивающий множи- тель. стоящий над ней. Алгоритм Б11Ф (12.19) обычно представляют в виде направленного графа — совокупности "бабочек". Рис. 12.3. Направленный граф базовой операции алгоритма Ы1Ф с прореживанием ио времени (“бабочка") Важно отметить, что качичество "бабочек”, т. е. базовых операций алгорит- ма, на любом t-м этапе одинаково: согласно (12.19), на i-м этапе при фикси- рованном значении т и к = 0, 1...., L/2 требуется L/2 "бабочек", следова- тельно. при т = 0.1,..., (М — I) будем иметь ML/2 "бабочек". Подставляя значения М (12.20) и L (12.21), получим одинаковое количество "бабочек” иа любом r-м этапе £ = 2V'-' —= — 2 2 ’ (12.24^
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 255 12.2. Пример вычисления 8-точечного ДПФ с помощью алгоритма БПФ с прореживанием по времени Для лучшего понимания алгоритма БПФ с прореживанием по времени рас- смотрим его на примере вычисления 8-гочсчного ДПФ (12.I) Х(*)=£х(„)И'^. (12.25) и=0 где /V = 2v = 23=8, v = 3. Алгоритм НПФ (рис. 12.4) представляет собой трехэтапную процедуру оп- ределения ДПФ по общей формуле (12.19) при i = L 2, 3. □ Пачазьные условия алгоритма формируются в результате трехкратного разбиения исходной 8-точечной последовательности на четные и нечет- ные отсчеты, а именно: • первый раз 8-гочечиая последовательность разбивается на две 4-точечные: О четных [л(0), л(2), л(4), л(6)] отсчетов: О нечетных [л(1), л(3), л(5), х(7)] отсчетов; • второй раз каждая из 4-точечных последовательностей вновь разбива- ется на две 2-точечные: четных и нечетных отсчетов но порядку’ их сле- дования. считая от нуля: О 4-точечная последовательность [л(0). л(2). л‘(4). .г(6)] разбивается на две 2-точечные: Д четных [jrtO). л(4)] отсчетов; и нечетных [л(2). л(6)] отсчетов; О 4-точсчная последовательность [.г(1). .v(3), х(5), л(7)] разбивается па две 2-точсчные: и четных [v(D. -Г(5)] отсчетов; и нечетных Р(3), л-(7)] отсчетов;
256 Часть til. Математическое описание дискретных сигналов • третий раз каждая из 2-точсчных последовательностей вновь разбива- ется на два отсчета — четный и нечетный: О 2-точечная последовательность f.v(O). л(4)] — на два отсчета: четный х(0) и нечетный д(4); О 2-точечная последовательность [х(2), х(б)] — на два отсчета: четный л(2) и нечетный х(6); О 2-точечная последовательность [л(1), х(5)] —на два отсчета: четный х(1) и нечетный х(5); О 2-точсчная последовательность [л(3), л(7)] — на два отсчета: четный д(3) и нечетный х(7). Таким образом, получаем начальную расстановку огечетов — прорежен- ную последовательность: х(0), х(4); х(2), х(6); х(1), л(5); л(3), х(7). После этого, согласно (12.23). каждом паре отсчетов ДПФ— четному Х2»»(0) и нечетному при ш = 0,1. 2, 3 присваиваются значения четного и нечетного отсчетов прореженной 8-точечной последовательно- сти (рис. 12.4): Х0°(О) = х(О); Х1“(0) = х(4); Х°(0) = Л(1); Х5о(О) = х(5); (12.26) (12.28) |х2"(0)=х(2); Х?(0) = л-(6); Х°(0) = х(3); Х,°(0) = х(7). (12.27) (12.29) □ Первый этап'. г = 1. Определяются четыре 2-точечных ДПФ (12.19) при т = 0. 1. 2. 3 с учетом начальных условий (12.26)—(12.29): Х^(0) = л(0) + И/2°х(4); Xj(l) = X0)-W°x(4); X2(O) = x(l) + W2°x(5); Xi(l) = x(l)-W20X5); x;(0) = x(2) + lVfx(6); Х|'(|)=л(2)-И'20.г(6); %](O) = x(3) + JF2°x(7); Л’з(1) = .v(3) - H'2°x(7).
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 257 Выход Начальные условия х^о) Х„2(0) Х(О)=Х„'(О) Рис. 12.4. Направленный граф алгоритма БПФ с прореживанием по времени для 8-точечного ДПФ Поворачивающий множитель оставлен для единообразия с общей форму- лой (12.19). в действительности VV2° = 1. О Второй этап", i = 2. Определяются два 4-точечпых ДПФ (12.19) при м =0,1: X02(4) = Xi(4) + lV4*X,l(4); X2(4 + 2) = xi(4)-lV‘XIl(4); 4=0,1; Xl2(4) = xj(4) + W'‘x](4); Х,2(4 + 2) = X^(4)-1V4‘ Х](4); 4 = 0,1.
258 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов □ Третий зтип'. i - 3. Определяется искомое 8-точечное ДПФ (12.19) при т = 0: X03(t) = XQ2(A-)+W8‘x2(fc); Xg(k + 2) = Xjfaj-W's* X2(k); it =0.1, 2.3. Полученные отсчеты 8-точечного ДПФ следуют в естественном порядке: Х(к)=Х$(к>. fc=0,1..N-l. 12.3. Правило расстановки отсчетов исходной последовательности: операция бит-реверсии При больших значениях N процедура многоэтапного разбиения исходной последовательности на группы четных и нечетных отсчетов весьма трудоем- ка. однако ее легко формализовать. В табл. 12.1 показаны две 8-точечные последовательности: исходная и про- реженная. а также двоичные номера отсчетов данных последовательностей. Сравнивая последние между собой, можно сформулировать простое правило прореживания', отсчеты исходной N-точечмой последовательности должны быть расставлены в бит-реверсивном порядке своих двоичных номеров. В современных процессорах цифровой обработки сигналов предусмотрены удобные средства реализации операции бит-ревереии [46]. Тавлмца 12.1. Расстановка 8-точечной последовательности в бит-реверсивчо.м порядке Исходная последовательность Последовательность в бит-ревсрсивном порядке двоичных номеров Отсчет Двоичный номер Двоичный номер Отсчет -Ч<>> ООО 000 х(0) Ц1) 001 100 г<4) х(2) 010 010 т(2) г(3) 011 110 л(6)
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 259 Таблица J2./ (окончание) Исходная последовательное! ь Поспелова ельиость в бнт-рсверсивном порядке двоичных номеров Отсчет Двоичный помер Двоичный номер Отсчсл л(4) 100 001 .1(1) л(5) 101 101 «5> Л(6) ПО он х(3) М7) 111 111 а(7) 12.4. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте Основная идея алгоритма БПФ с прореживанием по частоте заключается в поэтапном вычислении /V-точечпого ДПФ (12.1) па V этапах, на каждом из которых ДПФ определяется через ДПФ вдвое большей размерности. Алгоритм БПФ с прореживанием по час готе (рис. I2.5) можно описать сле- дующим образом: □ задание начальных условий: Л’-точсчная последовательность нс прореживается, сохраняется естест- венный порядок следования отсчетов п - 0, к.... /V -1; □ на первом этапе определяются /V/2-точечные ДПФ Л72-точечных последо- вательностей (двух половин исходной последовательности): П па вторам этапе определяются N/4-точсчныс ДПФ как комбинация /V/2- точечных ДПФ; О на i-ом этапе определяются 2' ’-точечные ДПФ как комбинация 2*- точечных Д11Ф; □ на v-ом (последнем) этапе определяются 2-точечныс ДПФ как комбина- ция 4-точечных ДПФ. Последовательность из N/2 2-точсчпых ДПФ представляет собой искомое /V-точечное ДПФ, отсчеты ДПФ следуют в бит-реверсивном порядке двоичных номеров.
>60 Часть III. Математическое описание дискретных сигналов Размерность ДПФ Этап -ДПФ, 2 —ДПФ4 ДПФ„ ДПФ4 ДПФ4 Д11Ф4 2'-'ДПФ „ ДПФ^ ДПФ_* < t ДПФ„ ДПФ_^ дпф_* \ t ДПФ* 2‘ 4 ДПФ* 4 2 ДПФ* ДПФ,. ДПФ* 4 4 ДПФ л. ДПФ* ДПФ* 4 4 * / ДПФ* Л Начальные условия Две —точечных последовательности Рис. 12Л. Идея алгоритма БПФ с прореживанием по частоте Для реализации данного алгоритма необходимо знать общую формую расче- та ДПФ на произвольном z-м этапе. Она была получена путем замены входа и выхода, а также обращения стрелки направленного графа — “бабочки” — алгоритма БПФ с прореживанием по времени (см. рис. 12.3). Направленные графы — исходный и полученный в результате указанного преобразования называют дуальными. На рис. 12.6 показаны дуальные "бабочки", а на рис. 12.7—"бабочка", дуальная представленной на рис. 12.3. Таким образом, алгоритмы БПФ с прореживанием по времени и частоте яв- ляются дуальными". каждый из них получается из другого путем замены вхо- да и выхода и обращения всех стрелок направленного графа.
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 261 Рис. 12.6. Дуальные "бабочки”: исходная (</); полученная путем замены входа и выхода и обращения стрелки (б) Рис. 12.7. Направленный граф базовой операции алгоритма Ы1Ф с прореживанием по частоте ("бабочка”) Определив базовую операцию "бабочка” (рис. 12.7), несложно записать общую формулу расчета ДПФ для произвольного i-ro этапа *£(*>= =p:„w - •• < = v,v-l,..., I; (12.30) иг = 0,1.М-1; it = 0,1.--1, 2 где i — номер этапа. Согласно принципу дуальности, i =v. v-i,.... 1 (осо- бенности первого (/ = v) и v-ro (/ = 1) этапов см. далее): w — номер ДПФ;
262 Часть HI. Математическое списание дискретных сигналов к — номер отсчета ДПФ; Л/ —количество ДПФ, определяемое по формуле (12.20): М = 2V~‘; L — размерное гъ ДПФ, определяемая по формуле (12.21): L = 2'\ X'm(k) —L-точечное Д11Ф; Х^ОО * ^2«i+i(*) — четное и нечетное /72-точечнос ДПФ соответственно. Согласно (12.30), L-точсчное ДПФ определяется параллельно: □ отсчеты четного £/2-точечного ДПФ — но верхней формуле; □ отсчеты нечетного L/2-точсчпого ДПФ — по нижней формуле. Сравнивая (12.30) с (12.19), видим. чго в соответствии с принципом дуально- сти вход и выход поменялись местами. Рассмотрим особенности первого этапа (z = v) алгоритма. Определим раз- мерность L (12.21) L = 2V = N и количество Л/ (12.20) /V-точечных ДПФ М = 2V-V = 1. С учетом этого перепишем общую формулу ДПФ (12.30) в виде: ХоЛ*) = ХоЧ*)+хф+^|; xr'(*)=[x№-*o^+4]]w*: <|2-31) * = 0,1.—-1. 2 В правой части (12.31) формально, т. е. согласно принятым обозначениям, v ( ft Л Хо (fr) и Xq I к + — — отсчеты /V-почечного ДПФ в естественном порядке следования, однако они неизвестны и будут определены по завершении алго- ритма (на последнем этапе при г = 1), поэтому для расчета /V/2-точсчных ДПФ Х^Ч(Л) и Х/Л*) по общей формуле (12.31) перед выполнением пер-
Лекцию 12. быстрое преобразование Фурье 263 вого этана задают начальные условия: отсчетам ДПФ Xq(A) присваивают значения отсче гов /V-точечной послсдоаателъности; |а- = 0. 1.(N -1). Рассмотрим последний v-й этап (i = I) алгоритма. Определим размерность L (12.21) L = 2‘ = 2 и количество М (12.20) 2-гочечных ДПФ С учетом этого перепишем общую формулу (1230) в виде: 1 о Г I (12.33) При m = 0,1,..., (/V/2 -1) по формуле (12.33) вычисляются два отсчета ДПФ: четный Х^нДО) и нечетный X?w+i(0). Формально это отсчеты ДПФ (v+ 1)- го (/ = 0) этапа, однако такого этапа нет, поэтому полученные значения в действительности являются отсчетами искомого N-точечного ДПФ Х(к). которые, в соответствии с принципом дуальности, следуют в бигн- реверсивгюч порядке двоичных номеров: х2и = х£,(0); (|2 34) ^2л|+1 ~ ^2Hr+l(^)’ где Х2ш и X2wn — условные обозначения четного и нечетного отсчетов ДПФ (сравните с (12.23)). Подставляя (12,34) в (12.33) при m = 0,1,.... (W/2-I), получим N/2 "бабо- чек" типа; Хо = х'п([)) + х'о(1)-, х,=%;(()) -xja), x, = x;(o)+x;(i), Х3 = Х1,(0)-Х|,(1).
264 Часть (Н. Математическое описание дискретных сигналов Таким образом, общая формула (1230) описывает алгоритм быстрого вы- числения ДПФ (алгоритм БПФ с прореживанием по частоте) — v-этапную процедуру типа "цикл в цикле", где: □ внешний цикл организуется по переменной i: i = v. (v -1),...»1; □ первый внутренний цикл (при фиксированном i) — по переменной т: ш = 0, L 2,..., М -1; □ второй внутренний цикл (при фиксированных i и т)— по переменной Л: к = 0,1....(L/2-1). В цикле вычисляется Л-й отсчет L/2-точечного ДПФ по формуле (1230). На выходе алгоритма (в результате вычислений при / = 1 и L = 2l =2) со- гласно (1230) получаем /V-точечпое ДПФ, отсчеты которого следуют в бит- реверсивном порядке двоичных номеров. На практике алгоритм БПФ с прореживанием по частоте применяют реже, чем с прореживанием по времени, т. к. последний обеспечивает естественный порядок следования отсчетов ДПФ на выхо 'je. 12.5. Пример вычисления 8-точечного ДПФ с помощью алгоритма БПФ с прореживанием по частоте Для лучшего понимания алгоритма БПФ с прореживанием по частоте рас- смотрим его на примере вычисления 8-точсчного ДПФ (12.24). Алгоритм БПФ (рис. 12.8) представляет собой трехэтапную процедуру вы- числения ДПФ по общей формуле (1230) при i = 3, 2,1. □ Начальные условгтя алгоритма (12.32) задаются как: |х’(4) = х(4); (12.35) [4=0. I.... ,7. □ Первый этан: f = v = 3. Определяются два 4-точечных ДПФ (12.30) при т = 0 с учетом начальных условий (1235): Х£(*)==л(Л) + л(* + 4); Х|2(А) = [л(А)-л(4 +4)]IV8a; 4=0,1,....3.
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 265 11ачальные условия Выход Х3(О)=л(О) Хо(П=х(П Уо\2) = лЧ2) У3(3)=л(3) X’(4) = xt4) Л-„(5) -л<5) X’ (6)=А(6) Хо\7) = л(7) Х(5)= х"(0) Х(0) = xg(O> Х(4) = Х°(0) Х(2) = Х$(0) Х(6)=Х?(0) Х(3)-Х"(0) \Хт = Х?(0) Рис. 12.8. Направленный граф алгоритма БПФ с прореживанием по частоте для 8-точечного ДПФ □ Второй этап: i = v -1 = 2. Определяются четыре 2-точечных ДПФ (1230) при ш = 0. I: x'2,„(k) = X^,(k) + x;,(k + 2)-. |(*) =[*»(*) - + 2)]^*; Jt=O, 1. О Третий этап: / = v - 2 = 1. Определяется 8-точечное ДПФ (1230) при т = 0. I, 2, 3 : ^2°,„(О)=Х,,„(О) + Х',(1); ^2„„,(0) = [x',(0)-X'(I)]1V2u.
266 Часть HI. Математическое описание дискретных сигналов Значения Х^„(0) и xJ»n-i(O) пРи w/=0.1.2. 3 и есть искомое 8-точсчное ДПФ, отсчеты которого, согласно (12.34), следуют в бит-реверсшшом поряд- ке двоичных номеров: Х(0) = Хо°(0); |х(2) = Х?(0); Х(4) = ХГ(0), 1-¥(6) = Л?(0), Х(1) = А'"(0): |Х(3) = Х6"(0); A'(5) = X5°(0). |х(7) = А"(0). Сравнивая направленные графы алгоритмов БПФ с прореживанием по вре- мени (см. рис. 12.3) и частоте (см. рис. 12.7), нетрудно убедиться в их дуаль- ности. 12.6. Оценка выигрыша в количестве операций при вычислении ДПФ с помощью алгоритма БПФ с основанием 2 Оценим выигрыш в количестве арифметических операций при вычислении N-точечного ДПФ с помощью рассмотренных алгоритмов Ы !Ф с основанием 2. Любой из этих алгоритмов состоит из v этапов, где v. исходя из (12.3). равно v = Iog2 N Количество "бабочек" на любом ;-м этапе алгоритмов Б! !Ф с прореживанием но времени и по частоте одинаково и. согласно (12.25). равно N/2. Для <«)- нон "бабочки" при фиксированных т и А требуются два сложения (тля верхней и нижней формул) и одно умножение на поворачивающий множи- тель—- всего три арифметические операции. Следовательно, тля Л//2 "бабо- чек" на каждом этапе необходимо 3/V/2, а в целом, на всех v этапах.— 3/V/2log2 N арифметических операций с комплексными числами. Порядок вычислительной сложности алгоритма БПФ оценивается как O(/Vlog2 /V), вто время как при прямом вычислении ДПФ (12.1) он равен Наглядное представление о получаемом выигрыше в объеме вычислении в зависимое ги от длины /V исходной последовательности можно полупи ь из табл. 12.2.
Лекция 12. Быстрое преобразование Фурье 267 Тай.шца 12.2. Оценка выигрыша в кочичеснше операций N Оценка вычислительной сложности Оценка выи|рыша A^/lWlog, Л>) Прямое вычисление ДПФ Л'’ Вычисление с помощью БПФ /Vlog, W 8 64 24 2,7 16 256 64 4,0 32 1024 160 6,4 64 4096 384 10,7 128 16384 896 18.3 256 65536 1024 32,0 512 262144 4096 56.9 1024 1048576 10240 102,4 12.7. Вычисление обратного ДПФ с помощью алгоритма БПФ Покажем возможность использования алгоритма БПФ для вычисления ОДПФ (И.23) i * | з(и) = — у X(k)Wxnk, п = 0, N k=n Выполним операцию комплексного сопряжения правой и левой частей ра- венства (символ '*') и умножим обе части на N : Nx\n)=2 X'tkywtf . *=0 Правая часть равенства представляет собой /V-точечное ДПФ последователь- ное ги Л'’(£), которое вычисляют с помощью одного из алгоритмов БПФ. После этого, вновь выполнив операцию комплексного сопряжения и разде- лив обе части равенства на N, получаем искомую последовательность: J,",=V , » = 0,1, N-l.

ЧАСТЬ IV ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Лекция 13. Линейная дискретная система как генератор случайных сигналов Лекция 14. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы

Лекция 13 Линейная дискретная система как генератор случайных сигналов На практике часто встречаются за чачи, в которых воздействие на дискретную систему носит случайный (стохастический) характер, связанный как с веро- ятностной природой самого сигнала, так и с различного рода шумами, В этом случае к содержа гельным результатам привозят методы оценки усредненных параметров. учитывающие статистические характеристики воздействий. Изложение материала данной лекции предполагает у читателя наличие зна- ний но основам теории вероятностей и случайных процессов. Гем не менее, сначала будут определены тс понятия, которые лягут в основу этой и не- скольких последующих лекций. 13.1. Основные понятия вероятностного анализа дискретных сигналов Форма !ьно дискретный с.'П'чайный процесс в нормированном времени явля- ется индексированным семейством случайных величин {т(м)}. Такое семей- ство характеризуется совокупностью функций распределения вероятности, которые в общем случае могут зависеть от времени пТ. Дискретный случай- ный процесс является математической моделью сгохасшчсского сигнала. Если функции всевозможных совместных распределений зааисят от времени, случайный сигнал называют нестационарным. Если указанные функции ин- вариантны к сдвшу во времени, сигнал называют стационарным (в узком смысле). Стационарный случайный процесс является эргодическим, если ус- реднение но множеству для него может быть заменено усреднением по вре- мени. 9pi одический сигнал можно описать его математическим ожиданием (средним значением) ц, =t'{.r(n)} = lim —X 4'0 <I3 I)
72 Часть IV, Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы автокорреляционной функцией 1 N Rx(m) = Е{л(я)'л(л + /л)}= Jim -----л(л)л(л + лг), Д/ —fVO /V + 1 /|=.Q (13,2) де: имволом Е{ } обозначено усреднение и по ансамблю, и по времени; W + I) —количество отсчегов дискретного сигнала. Автокорреляционная функция является мерой взаимозависимости отдельных значений случайного сигнала. Из ее определения следует, что она зависит от датематического ожидания сигнала. Если же анализируются только отклоие- 1ия от среднего, функция (13.2) переходит в авпюковариационную функцию гх (т) = Е {[л(«) - Ц, J [л( п + т) - цл]} = RK(»i) - (X,2. (13.3) При т = 0 формула (13.3) дает дисперсию сигнала a2=r,(O) = lim -L £[Дл)-ц ] (13.4) «-»» N +1 „=0 Если амплитуда сигнала распределена по нормальному закону, он полностью эписывается математическим ожиданием и автоковариациопной функцией. Стохастический сигнал называют стационарным в широком смысле, если его характеристики и не зависят от времени. Степень линейной связности двух различных случайных сигналов определя- ется взаимной корреляционной функцией или взаимной ковариационной функцией r„(III) = Е|[л(и) - цt][у(и + ш) - ]}= R„ (HI) - (1,1s • (1 з.б) Два случайных сигнала называются некоррелированными, если г„(и1) = 0. Белый шум отличается от случайных сигналов других типов тем, что его те- кущее значение не зависит от всех предшествующих. Поскольку внутренняя взаимосвязь между значениями белого шума отсутствует, то последовагель- ность его отсчетов {р(л)} состоит из независимых, одинаково распределен- ных случайных величин. В случае распределения по нормальному закону бе-
Лекция 13. Линейная дискретная система как генератор случайных сигналов 27з лый шум полностью описывается математическим ожиданием и ковариа- ционной функцией = . (13.7) где 6(/н) —символ Кронексра, определяемый равенством (I при w = 0; о А 03.8) О при ш^О. Векторный случайный сигнал (процесс) порядка М представляет собой со- вокупность М скалярных сигналов. Взаимосвязь отдельных скалярных со- ставляющих описывается ковариационной мазрицей, состоящей из всевоз- можных функций вида (13.6). 13.2. Генерирование ЛДС случайных сигналов Белый шум играет важную роль в вероятностном анализе— большинство случайных процессов генерируются его фильтрацией. Пусть v(n) — дис- кретный белый шум в нормированном времени. Процесс, вырабатываемый системой, которая описывается разностным уравнением x(n)-b(iv(n) + blv(n-].)+ ... + bNv(n-N)t (13,9) называется скользящим средним. В соответствии с Лекцией 4, уравнение (13.9) отображает во временную область нерекурсивную ЛДС порядка /V. Выходной сигнал такой системы х(п) рассматривается как взвешенная сум- ма N отсчетов входного белого шума. Если сигнал, вырабатываемый системой, описывается разностным уравне- нием д(н) = A>ov(n)-«(A(n-1)-я2 г(л - 2) - ... - aNx(n -N), (13.10) то процесс называется авторегрессионным. Уравнение (13.10) соответствует выходу рекурсивной цепи порядка /V, возбуждаемой белым шумом v(h). Авторегрессионные процессы играют важную роль в линейном предсказании и будут подробнее рассмотрены в Лекции 25. Разностное уравнение (13.10) порядка N методами пространства состояний, описанными в Лекции 8, легко свести к системе /V линейных уравнений. В матричной записи уравнения состояния и выхода будут иметь вид: q(n+l)= Aq(n)+Bv(n) (13.11) х(л + 1) = С7?(п) + Лйз<л), (13.12)
774 Часть IV. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы -де матрицы А. Я и С в каноническом виде определены следующим образом: 0 0 1 0 0 I 0 ' 0 А = 0 0 0 1 ~aN 1 ~Он-2 • -r7l О А> Структурная схема, соответствующая ЛДС 2-го порядка, приведена на рис. 8.2. При этом надо учесть, что Л| = Ь2 ~ 0. Для случайных сигналов невозможно точно определить их будущее значе- ние. Поэтому ес тественным развитием понятия состояния для этих процессов является требование, чтобы распределение вероятностей следующего со- стояния однозначно определялось текущим, т. е. p[.t(w)|a(w -1),..., л(0)] = р[л(н)|.т(п -1)], (13.13) где р[ ] — условная плотность вероятности. Стохастические процессы, об- адающие таким свойством, получили название марковских. Данному выше определению марковского процесса соответствует сигнал, описываемый ска- лярным разностным уравнением первого порядка л(« + П = ОА(п} + v(n), (13.14) которое устанавливает связь между будущим значением х(п +1) и текущими значениями д(л) и v(h). Если v(h)—белый шум, то л(и) является .марков- ским процессом, генерируемым ЛДС первого порядка. Ес структурная схема изображена на рис. 13.1. Рис, 13.1. Модель генерирования марковскою процесса
Лекция 13. Линейная дискретная система как генератор случайных сигналов 275 При введении в Лекции 8 переменных состояния под ними подразумева- лись сигналы на выходах элементов задержки. Это позволяет предполо- жить, что марковские процессы есть не что иное, как стохастический экви- валент моделей линейных дискретных систем в пространстве состояний. Поэтому уравнение (13.14) называют линейным стохастическим разност- ным уравнением. 13.3. Свойства линейных стохастических разностных уравнений Исследуем характер случайного процесса (в общем случае векторного), за- данного линейным стохастическим разностным уравнением: л(и + !) = Av(h) + V(n), (13.5) где: х(я) и V(h)—век rop-с голбцы размером WX1; А — квадратная переходная матрица порядка N. Предполагается, что начальное состояние имеет математическое ожидание Цч.(0)и матрицу ковариации Ях(0). Векторный белый шум V(л) облачает нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей /?г, Вы- числим математическое ожидание и ковариационную мазрицу процесса х(н) в произвольный момент времени. Для получения математического ожидания применим оператор £"[ | к обеим частям уравнения (13.15) Цл(н +1) = Apv(n) (13.16) с начальным условием pv(0). Следовательно, математическое ожида- ние марковского процесса передается во времени гак же. как и в системе без шума. Чтобы вычислить ковариационную матрицу, введем матричную функцию /’(и) = . (13.17) где (7(л) = .Т(п)-Ц1(П). 10 Зак 1С5
276 Часть IV. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы Из уравнений (13.15) и (13.16) следует, что U(n) удовлетворяет уравнению (13.15) с нулевым начальным математическим ожиданием. Для вычисления ковариационной матрицы построим выражение 17(п+1)-17т(я+1)=[л17(л)+Г(п)][л17(я)+Йн)]' = (|3 |8 = AU(ii)Ur(ii') Ат + + Vtn'iU1' (п)Ат + V(>i)v‘(ii). Определяя математические ожидания правой и левой частей (13.18) и учиты- вая независимость |/(н) и U(n), получаем Р(п +1) = АР(п)Аг + Rv (13.19) с начальным условием Р(0) = Ял(0). Рекуррентное уравнение (13.19) опреде- ляет передачу во времени ковариации процесса х(п). Чтобы вычислить ковариационную матрицу состояния, заметим, что и (я +1) • иг (я) = [л U(n) + V (л)] U1' (и). Так как V(«) и U(n) независимы и математическое ожидание белого шума 1/(л) равно нулю, то ковариационная матрица процесса х(п) в момент вре- мени п + 1 равна Rx(n+ \) = АР(п). (13.20) Для прогнозирования эволюции ковариационной матрицы на nt временных интервалов повторяем приведенные рассуждения и получаем R'(n + nt) = AwP(H). (13.2J) Если случайный процесс является нормальным, то он однозначно определя- ется своими математическим ожиданием и ковариационной матрицей. Раз- личные члены в уравнении (13.19) имеют определенную физическую интер- претацию. Ковариационная матрица Р(п) есть неопределенность состояния в момент времени п. Произведение АР(п)Ат показывает, как передастся неопределенность в соответствии с динамикой системы. Матрица Rv описы- вает увеличение неопределенности вследствие наличия возмущения V(л). Проиллюстрируем проведенный анализ простейшим примером. Пример 13.1 Рассмотрим ЛДС первого порядка со скалярным состоянием х(и) и скаляр- ным белым шумом ?(л) с нулевым математическим ожиданием и коаариа-
Лекция 13. Линейная дискретная система как генератор случайных сигналов 277 ционной функцией rv(m). Пусть состояние в момент времени и = 0 имеет математическое ожидание цт(0) и ковариационную функцию rv(0). Дина- мика данной системы будет описываться разностным уравнением х(п +1) = йл(д) + v(n) . (13.22) Из (13.16) следует, что математическое ожидание процесса в соответствии с (13.22) изменяется следующим образом: цд(и + 1) = ацд(л) (13.23) при известном начальном условии ЦЛ (0). Решая (13.23) для произвольною момента времени, получим цх(л) = а"ц,г(О). (13.24) Уравнение (13.19) для ковариационной функции дает P(n + t) = a2P(n) + r„, (13.25) где Р(0) = ^(0). Итерационная процедура решения (13.25) приводит к следующему ре- зультату F(H) = n2"r.(0) + l~“, г„. (13.26) 1-а2 Если |ц|< 1, то из (13.24) и (13.26) следует при л —»«> щ(л)-»О, Р(п)->-Ц. |-<72 В этом случае процесс становится стационарным, т. к. математическое ожи- дание есть константа, а ковариационная функция не зависит от времени. Приводящее к стационарности условие |п| <1 соответствует тому, что полюс передаточной функции ЛДС Z+ = d лежит внутри единичного круга на Z-плоскости. Следовательно, устойчивая ЛДС 1-го порядка, описываемая уравнением (13.22), порождает на выходе стационарный случайный процесс при «—><».
278 Часть IV, Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы Наиболее общий вид линейные стохастические разностные уравнения при- нимают в случае объединения выражений (13.9) и (13.10) в единое целое: х(я) = Ь0\'(н) + 6,v(n -1) +... + bvv(>i -N)- щх(.п -1) - 113 27) -л2*( л ~ 2) - -aNx(n -N). Уравнение (13.27) описывает скалярный смешанный авторегрессионный процесс со скользящий средним. Выходная случайная последовательность л*(л) является функцией независимого возбуждающею шума у(и) и линей- ной комбинацией Л/ предыдущих своих отсчетов. В этом случае говорят, что линейная дискретная система порождает марковский случайный сигнал по- рядка N , т. к. каждый его отсчет зависит от /V предыдущих. С точки зрения общей теории НДС. изложенной в Лекции 5, сигнал х(п) можно рассматри- вать как выход цифровой цепи, имеющей передаточную функцию = (|32g) 1+«]Z +... + flwE и возбуждаемой белым шумом г(н) с нулевым средним и единичной зиспер- сией. Структурные схемы подобных рекурсивных цепей произвольного по- рядка подробно рассматривались в Лекции 7. С помощью методов пространства состояний можно получить эквивалент стохастического разностного уравнения (13.27), сведя его к системе N ли- нейных уравнений, имеющих, например, вид (13.11) и (13.12). С точки зрения теории случайных функций, происходит декомпозиция марковского процесса /V-го порядка, и он превращается в векторный (размерности /V) марковский процесс первого порядка. В случае рационального выбора переменных со- стояния каждый компонент векторного процесса может иметь физически на- глядную интерпретацию как выход своего элемента задержки в структурной схеме рекурсивной ЛДС. Таким образом, широкий класс случайных зискрегных сигналов может опи- сываться параметрическими моделями, представляющими собой марковские процессы, что в значительной мерс облегчает их теоретический анализ.
Лекция 14 Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы В данной лекции будут рассмотрены различные способы анализа процессов прохождения случайных последовательностей через ЛДС с постоянными па- раметрами. 14.1. Анализ во временной области Рассмотрим ЛДС с импульсной характеристикой h(n) (время нормирован- ное). Пусть на се вход воздействует скалярная случайная последовательность х(н) с математическим ожиданием и автоковариационной функцией rv(/z). На выходе системы возникает случайная последовательность у(и), обладающая своими вероятностными характеристиками. Определим их. Во временной области связь вход-выход в соответствии с (4.8) и (4.9) описы- вается формулой свертки у(л) = У, й(н-т)л(т) = £ Л(ш)х(п-»0- (14.1) »i-0 т=0 Определив математические ожидания левой и правой частей равенства (14.1), получим (14.2) Таким образом, математическое ожидание (как функция времени) выходного процесса получается при подаче на вход системы математического ожидания исходного сигнала х(п).
280 Часть IV Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы Определим и сразу вычислим среднюю мощность выходной последователь- ности Л = еГ/(»)! = lim -Ц X >’(") = L J W->oo /V + 1 /1=0 = lim —!—У У У h(k}h(m)x(n-k)x{n-m) - N~^BO N + 1 „_о[_Л=Ом=О = Ё Ё Л(*)Л(»О lim 77—7 E x(n—k) r(H-m) l'=Orf L'V-»« N + 1 ,,_0 Выражение в квадратных скобках есть по определению средняя мощность входной последовательности Рх и, следовательно. Py=Ps^h2(n). (14.3) я-=0 Если входной сигнал имеет нулевое среднее значение, то в соответствии с (13.4) и (14.3) Оу = °,Ёл2('<). (14.4) л=0 Прежде чем определить ковариационную функцию выходного процесса (иг), заметим, что вычитание (14.2) из (14.1) дает у(п)-Цу(п)= У Л(т)[.ф>-т)-Мл-"")]• 1л = 0 Следовательно, разность между входным сигналом и его математическим ожиданием передается через ЛДС так же, как и сам входной сигнал. Поэтому при вычислении ковариационных функций можно допустить, что математи- ческие ожидания равны нулю, а это существенно упрощает выклатки. Опре- деление автоковариационной функции приводит к следующему результату: гу (иг) = Е [у(п + /и) - у(и)] = Е У h(k)х(и + т - А) У /г(/)л(« “ 0 [ = [*=° /.о J (]45) = Е Ё Л(4)Л(0^[х(п + т-/:)л(п-0]= Е ^,li(k)h{l)rX'»+l-к). Л=0/ = 0 i = 0l-~0
Лекция 14. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы 281 Аналогично можно получить формулу для взаимной ковариационной функ- ции входной и выходной последовательностей, воспользовавшись выраже- нием (13.6); гта(лО = Е[у(п + ш)х(н)] = Е У, h(l)x(n + m-l)x(n) /=о = X /1(0 £[л(н + m - /)л(л)] = £ 11(1) rt(m -1). /=о /=о (14.6) Выражение (14.6) представляет собой свертку автоковариационной функции входного процесса с импульсной характеристикой ЛДС. Вычисления в фор- мулах (14.5) и (14.6) основывались на предположении о существовании бес- конечных сумм и на свободном изменении порядка суммирования и опера- ции взятия математического ожидания. Справедливость подобных действий можно доказать [40], если предположить, что четвертый момент входного сигнала конечен, а сходимость понимается в среднеквадратичном смысле. 14.2. Анализ в частотной области Связи, выражаемые уравнениями (14.5) и (14.6), можно описать в более про- стой форме, если ввести понятие спектральной плотности мощности слу- чайного процесса. Согласно теореме Хинчина—Винера, она является фурье- образом автоковариационной функции. Па основании соотношений, полу- ченных в п. 6. /, спектральную плотность мощности определяем как S, (й>) = 4- X rv(„)e’yd“'. (14.7) Подставляя в (14.7) выражение тля tv(h) из (14.5), получаем = X е’^'Х X/ia)A(/)rl(n + /-i) = 2л,=_ t=0(=0 = —X X ^е-^к)е-Лп+1-кЛгх(.П + 1-к-)е]й1Н(1)= (14.8) 2^а:=ол=-ро/=о 1 2л *₽0 w=-~ t=0
282 Часть IV. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы Вспоминая определение для частотной характеристики //(eJ<n), введенное в л. 6.Z, уравнение для спектральной плотности мощности (14.8) можно запи- сать в виде S} (й) = W(e;“)5,(0))H(e^). (14.9) На основании уравнения (14.6) для взаимной спектральной плотности мощ- ности имеем: 5уЛ(Й) = ^- f е ^га.(п) = ^- £ е-^^1,(к)г,(п-к) = 2пямв • *=0 (14,10) = — '£h(k')e-itS‘ £ е’^гДи) = //(<>). S,(w). 27Г4=о л=-~ Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: □ если входной сигнал ЛДС есть стационарный случайный процесс с мате- матическим ожиданием и спектральной плотностью мощности 5,(со), то для устойчивой системы выходной сигнал является также стационар- ным процессом с математическим ожиданием Иу=//(1)-цд.(со = О); (14.11) □ выходная и взаимная спектральные плотности мощности определяются соотношениями (14.9) и (14.10). Результат (14.9) имеет простую физиче- скую интерпретацию. Спектральная плотность мощности выходного сиг- нала есть произведение квадрата АЧХ системы на спешральную плот- ность мощности входа, т. к. = Д2(6)); (14.12) □ из уравнения (14.10) следует, что взаимная спектральная плотность мощ- ности равна частотной характеристике системы, если па входе действует белый шум с единичной спектральной плотностью мощности. Это свойст- во можно использовать для определения частотной характеристики W(e^) ЛДС. Пример 14.1 Рассмотрим процесс л(п). описанный в примере 13.1. С точки зрения соот- ношения вход-выход, можно считать, что он порождается системой с переда- точной функцией = — г = ——, (14.13) J-tiZ Z-a
Лекция 14 Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы 283 на вход которой поступает белый шум. Так как спектральная плотность мощности процесса v(/z) постоянна и равна 5Лй) = ^. то из уравнения (14.9) следует, что спектральная плотность мощности гене- рируемого процесса л(л) будет равна 5,(й) = И (с1'"}- W(^7“)— = —--------5-^-----= 1 2 л 2 л (е^-оХе'^-о) 2л(1+«2 -2tfcoscb) При выводе использовался известный из (6.11) факт, что W(ey‘") = W(z)|;=^. 14.3. Спектральная факторизация Рассмотрим задачу нахождения такой линейной дискретной системы (ее пе- редаточной функции), выходной случайный сигнал которой имеет заданную спектральную плотность мощности, если на ее вход поступаег белый шум. Решение згой задачи имеет важное значение, т. к. оно показывает, как, пре- образуя белый шум, можно генерировать случайный сигнал с требуемыми характеристиками. Кроме того, решение позволяет определить, насколько универсальна модель (13.I5). Из л. 14.2 следует, что случайный процесс, вы- рабатываемый ЛДС, на вход которой поступает белый шум, имеет спек- тральную плотность мощности, задаваемую соотношением (14.9). Если сис- тема конечномерная, то частотная характеристика и спектральная плотность мощности S(w) — рациональные функции от ejUl. С небольшим допущением закую спектральную плотность мощности называют просто ра- циональной. Учитывая, что при переходе на z-плоскость Z = ej'\ для правой части (14.9) можно ввести новую функцию = (14.14) Еслиг(| — корень функции //(z), то z~' — корень W(z“’)« Таким образом, нули функции F(-.) симметричны относительно действительной оси ком-
284 Часть IV. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы плексной z-плоскости и инверсны относительно единичной окружности в предположении, что коэффициенты рациональной функции F(z) — дейст- вительные числа. Это рассуждение имеет силу и для полюсов функции F(z). На рис. 14.1 показан один из возможных вариантов симметрии нулей и по- люсов. 2-ПЛОСКОСТЬ Рис. 14.1. Симметрия нулей и полюсов искомой системы Пусть для простоты на входе ЛДС действует белый шум с единичной спек- тральной плотностью мощности Sr(tb) = l. Из (14.9) следует, что требуемая спектральная плотность мощности выходного процесса Sv(w) будет опреде- ляться нулями и полюсами функции F(z) (а следовательно, и H(z)). Сначала определим полюсы z*j и нули z.f- функции F(z). Из установленной симметрии полюсов и нулей следует, что они всегда появляются парами при соблюдении условий 4ГЧ =1: Z*j Z« j ~ 1 В каждой парс выбираем полюс или нуль, модуль которого не превышает единицу, а затем строим из них требуемую передаточную функцию вида: (14.15)
Лекция 14. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы 285 Выбор полюсов внутри единичного круга на Z-плоскости обеспечит устойчи- вость ЛДС н асимптотическую стационарность генерируемого случайного процесса. Приведенные рассуждения позволяют сформулировать результат. Если зада- на спектральная плотность мощности 5(<Ь), являющаяся рациональной функцией оз* cos б), то существует такая линейная дискретная система с пе- редаточной функцией A(z) что выходной процесс после подачи па вход белого шума будет стационар- ным случайным процессом со спектральной плотностью мощности 5(б>). Многочлен Д(<) будет иметь корни внутри единичного круга на г-плоскости. a R(z) — внутри или на границе единичного круга. Из этого результата вытекают важные следствия: □ вес стационарные случайные последовательности можно представлять как выходы устойчивых линейных систем, на вход которых подастся белый шум. Схемная реализация таких систем ограничивается рекурсивными це- пями требуемого порядка. В этом случае достаточно понимать поведение системы при ее возбуждении белым шумом и иметь возможность модели- ровать его. Все другие стационарные процессы с рациональными спек- тральными плотностями мощности могут быть получены фильтрацией бе- лого шума; □ так как непрерывную функцию на небольшом интервале можно скань угодно близко аппроксимировать рациональной функцией (7], модели (13.15) и (14.1) могут описывать сигналы, спектры которых близки любой непрерывной функции; □ появляется возможность представления для скалярных систем совместно- го воздействия нескольких случайных сигналов одним эквивалентным воздействием, которое определяется посредством вычисления общей спектральной плотности мощности выходного сигнала и применения рас- смотренной выше процедуры. Пример 14,2 11усть спектральная плотность мощности случайного процесса имеет вид S(w) = l,04 + 0,4coso) 1,25 +cos со
286 Часть IV. Прохождение случайных сигналов через линейные дискретные системы Необходимо найги передаточную функцию ЛДС, генерирующей подобный процесс из белого шума. Решение. Рассмотрим разложение 5(6)): „ 1.04 + 0,4cos& <?'“+0,2 е'/й+0,2 5 (<о) =-------= -------------. l,25 + cos<o ejm +0,5 <г"-'<” + 0,5 Ему удовлетворяют следующие передаточные функции ",(;) = Z+0,2; 1 Z + 0,5 „ , , 1 + 0.2Z „„ Z + 5 "2(г)=Т7БУ=°'2^: „^,= 2+02^^ 1 + 0.5Z Z + 2 ,/jU) = 1±^ = 0.4I±5. 1 + 0,5Z Z + 2 Заметим, что только нс имеет нулей и полюсов вис единичного круга па z-плоскости. Это означает, что устойчивая система, генерирующая слу- чайную последовательность с рассматриваемой спектральной пютпостыо мощности, будет реализована схемой, показанной на рис. 14.2. Рнс. 14.2. Схема генератора случайной последовагечьности Спектральная факторизация даст мощный и конструктивный способ синтеза линейных дискретных систем, возбуждаемых белым шумом, для генерирова- ния случайных последовательностей с заданными характеристиками.
ЧАСТЬ V КВАНТОВАНИЕ В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах

Лекция 15 Квантование сигналов в цифровых системах Цифровая система обработки сигналов— это дискретная система, описы- ваемая разностным уравнением и реализованная программным путем на [(ПОС или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вы- числителя. Для представления коэффициентов системы (коэффициентов разностного уравнения или передаточной функции) и отсчетов обрабатываемого сигнала в цифровой системе используются элементы памяти (регистры, ячейки памяти), разрядность которых конечна. Операционные устройства (сумматоры, умно- жители) также имеют ограниченную разрядность. Следовательно, коэффици- енты системы (коэффициенты разностного уравнения или передаточной функции) и отсчеты обрабатываемого сигнала представляются с ограничен- ной точностью. Ограничение разрядности элементов памяти и операционных устройств системы приводит к операции квантования. Квантование — это нелинейная операция. Ее введение в алгоритм обработки сигнала, описываемый линейным дискретным уравнением, вызывает появле- ние ошибок в реализации алгоритма. Эти ошибки называются ошибками квантования. В данной лекции описываются формы представления и способы кодирования чисел, эффекты, связанные с выполнением арифметических операций нал числами, способы квантования чисел, источники ошибок квантования и предположения о свойствах ошибок квантования, а также приводятся оценки шума квантования входного сигнала и оценки соответствующего шума кван- тования на выходе системы [16, 321. 15.1. Представление и кодирование чисел Дискретный сигнал представляет собой последовательность отсчетов (чисел), принимающих произвольные значения в некотором диапазоне.
290 Часть УС Квантование в цифровых системах Цифровой сигнал — это квантованный по уровню дискретный сигнал, т. е. квантованная последовательность отсчетов (чисел), которые могут прини- мать лишь конечный ряд дискретных по величине значений — уровней кван- тования. Значения отсчетов цифрового сигнала представляются числами в выбранной системе счисления (СС). Как правило, в устройствах ЦОС числа представляются в двоичной СС. что обьясняется удобством запоминания и обработки двоичной информации. Далее рассмотрим формы представления и способы кодирования чисел, а также эффекты, связанные с выполнением арифметических операций над числами. 15Л .1. Формы представления чисел В системах ЦОС используются две формы представления чисел: с фиксиро- ванной и плавающей запятой (точкой). Представление чисел в форгме с фиксированной занятой (ФЗ) означает, что в рамках заданного формата для всех чисел логически фиксируется одинако- вое местоположение запятой, разделяющей целую и дробные части числа. Старший разряд числа используется как знаковый, остальные разряды счи- таются значащими. После старшего, знакового, разряда логически фиксиру- ется запятая. Символическое обозначение формата, в котором представляется двоичное число Д, имеет вид 2ft, где b— количество значащих разрядов числа Л. На рис. I5.I приведен пример представления двоичного числа в форме с ФЗ (его десятичный эквивалент 0.2890625). 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 Знак 2-1 2'2 2'3 г-4 2 5 2'6 2'7 Рис. 15.1. Пример представзения двоичного числа в форме с ФЗ Диапазон абсолютных значений чисел А в форме с ФЗ составляег 0<|Л|< I -2'ь. (15.1) При арифметических операциях (сложении и вычитании чисел) может про- исходить переполнение, г. е. результат операции может выйти за верхний
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 291 предел диапазона (15.1) (|Л|> 1) и, тем самым, исказиться. Для устранения переполнения в системах ЦОС с ФЗ вводится масштабирование обрабаты- ваемых данных, при этом все арифметические операции выполняются с чис- лами А, по абсолютному значению меньшими единицы: 0<|А|<1. (15.2) Представление числа А в форме с плавающей занятой (ПЗ) основано па записи д = (15.3) где: s — основание системы счисления; р. — мантисса, вещественное число со знаком, представленное в форме с ФЗ; Y — порядок, целое число со знаком. Для устранения неоднозначности и упрощения арифметики чисел с ПЗ из всех возможных вариантов представления числа А выбирают один, назы- ваемый нормализованной формой, Нормализованная форма соответствует такому представлению числа, когда целая часть мантиссы равна нулю, а пер- вая значащая цифра дробной части отлична от пуля. Пример 15.1 Представим двоичное число Д2) = +101.001 и соответствующее ему деся- тичное число Aiю) =+5.125 в нормализованной форме (15.3): Л(2| = 40.101001-2*", где 5 = 2, М(2) =0,101001. Yrzi=l1- Л(1О)=4О,512510ч,где 5 = 10, ц(]0) =0,5125 , Y(]0) = I. Отмерим, что в Ц11ОС описанный способ нормализации чисел в форме с 113 не является единственным [46]. Далее будем рассматривать системы ЦОС, использующие представление чи- сел в форме с фиксированной запятой. Вопросы, связанные с эффектами квантования в системах с ПЗ, изложены в [43].
292 Часть И Квантование в цифровых системах 15.1.2. Кодирование чисел Для кодирования чисел с ФЗ применяют два основных способа; прямой и до- полнительный. Рассмотрим особенности способов кодирования, выполняя операции с удов- летворяющими условию (15.2) положительными и отрицательными двоич- ными числами А. Д =±0,й] 02—ab » где Oj, j~ I, 2,... ,b — значащие разряды числа. Примечание Для наглядности записи условная запятая в представляемых числах отделяет знаковый разряд от значащих. Прямой код числа А формируется по следующему правилу. В знаковый раз- ряд записывается 0 (для положительных чисел) или 1 (для отрицательных чисел), значащие разряды соответствуют дробной части числа. После стар- шего. знакового, разряда логически фиксируется запятая, отделяющая целую часть (равную нулю) от дробной (см. рис. 15.1). Указанное правило обозна- чается следующим образом: (0,«| a7при Л>0; 1 2 6 F (15.4) l,at a2—(ib пРи Пример 15.2 Представим в прямом коде положительное число А и отрицательное число В, модуль которых равен 0,10111. В соответствии с (15.4) [4ф= 0.10111 и [В]11р = 1,101 II. Отметим, что нуль в прямом коде имеет две формы (представляется неодно- значно): 0.00...О (г.е. +0)и L00...0 (т. е. -0). До/ю.чшипелъпый код наиболее широко используется в системах ЦОС, по- скольку арифметические действия над числами со знаком, представленными в дополнительном коде, выполняются как над беззнаковыми (беззнаковыми называются числа, имеющие положительный знак по умолчанию). Дополнительный код числа А формируется по следующему правилу. Если число положительное, то дополнительный код совпадает с прямым кодом, т.е. . Для отрицательных чисел в знаковый разряд записывается 1,
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 29з значащие разряды исхочпого числа инвертируются (0 заменяется I и наобо- рот) и к младшему значащему разряду полученного числа прибавляется I с соблюдением правил сложения двоичных чисел, т. е. )0,П|«2 —аь ПРИ Л>0; l,ala2...al> + 2~b при Л<0. (Ь'5) При этом предполагается, что число А удовлетворяет условию (15.2). Пример 15.3 Представим отрицательное двоичное число А = -0,10111, соответствующее десятичному числу Дц» =-0,7188, в дополнительном коде. Согласно (15.5) запишем [лЦ = 1.10111-> 1.01000 +1 1,(11001 W =1.01001. yjpfl Для перевода дополнительного кода отрицательного числа в прямой код не- обходимо инвертировать значащие разряды дополнительного кода и доба- вить 1 к младшему разряду. Пример 154 Осуществим обратный перевод дополнительного кода числа Л = 1,01001 (из примера 15.3) в прямой код: М] = 1,01001-> 1,10110 1 -*ДОП + 1 1.10111 [V°l,L Код называется дополнительным, поскольку отрицательное число можно представить как разность между числом 2 и модулем рассматриваемого чис- ла, т. е. как дополнение к 2. Так как двоичное число с ФЗ по модулю всегда
294 Часть V. Квантование в цифровых системах меньше 1, его дополнение к 2 всегда больше I и меньше 2. Именно этот ре- зультат и является дополнительным кодом отрицательного числа, где едини- ца в целой части соответствует отрицательному знаку, а дробная часть — значащим разрядам отрицательного числа в дополнительном коде. Пример 15.5 Получим дополнение к 2 отрицательного числа =-0.71875. Модуль этого числа в двоичной системе счисления А = 0.10111. Вычтем указанный модуль из двоичного числа 10.00000. соответствующего числу =2 : в двоичной СС; 10,00000 в десятичной СС: 2,00000 -00,10111 -0.71875 01,01001 1,28125 Полученный результат совпадает с [dj =1.01001 из примера 15.3. В дополнительном коде исключается неоднозначность представления нуля (4(10) =0 соответствует [а] =0,00...0), а число А,10)=-1 представляется в виде Га| = 1,00.,,0. L Ьюн Диапазон чисел, представленных в дополни тельном коде, составляет -1<А<1-2Ь. Старший разряд числа в дополнительном коде всегда остается знаковым. Основными арифметическими операциями над числами в системах ЦОС яв- ляются сложение и умножение. Алгоритмы выполнения операций над чис- лами подробно описаны в (46, 51]. Нас же будут интересовать вопросы, свя- занные с рассмотрением эффектов квантования в системах ЦОС при выполнении указанных операций. Далее рассмотрим арифметические операции над числами с фиксированной запятой. представленными в дополнительном коде. 15.1.3. Арифметические операции над числами с фиксированной запятой При сложении двух чисел с одинаковыми знаками, удовлетворяющих усло- вию (15.2), результат может оказаться по модулю больше 1. Поскольку числа в дополнительном коде суммируются как беззнаковые, произойдет перепое из старшего значащего разряда в знаковый разряд, что соответствует пере-
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 295 полнснию. Переполнение приведет к неверному результату и к ошибкам в последующих вычислениях. Покажем это на примере. Пример 15.6 Выполним операцию У = А + В, где Д|0| = 0,625 , В(10) = 0,5, т. с. суммируем двоичные числа А<2) =0,101 и Л<2) =0,100 в дополнительном коде. При этом слагаемые и результат будем представлять с помощью четырех двоичных разрядов: [/И =0,101 L JJOII + [я| =0,100 *- Люи = 1,001. лои Итак, при сложении двух положительных чисел получен отрицательный ре- зультат (знаковый разряд содержит 1). Преобразуем результат в прямой код (см. пример 15.4); = LI 11. Таким образом, У = -0.825 вместо истинно- го значения =+1,125. Появление неверного результата естественно, 1. к. для представления целой части числа в разрядной сетке разрядов нс преду- смотрено. Переполнение легко обнаруживается. Действительно, в приведенном приме- ре суммируются положительные числа, а полученный результат воспринима- ется как отрицательный; и наоборот, при сложении отрицательных чисел в случае переполнения результат окажется положительным. Следовательно, чтобы обнаружить переполнение в дополнительном коде, достаточно прове- рить знаки слагаемых и сравнил» их со знаком суммы. На рис. 15.2, а показана нелинейная характеристика сумматора при сложении чисел в дополнительном коде. При переполнении происходит искажение резуль- тата. Для уменьшения ошибок при возможных переполнениях часто используют сумматор с насыщением, характеристика которого показана рис. 15.2. б. Для устранения переполнения разрядной сетки в системах ЦОС вводится масштабирование данных согласно неравенству (15.2). Вместе с тем, легко видеть, что в отсутствие переполнения операция сложе- ния чисел с ФЗ выполняется точно. Рассмотрим операцию умножения двух чисел в форме с ФЗ. Д1я представле- ния произведения требуется 2Ъ значащих разрядов плюс 1 знаковый.
296 Часть у Квантование в цифровых системах Рис. 15.2. Нелинейные характеристики: сумматора (а) и сумматора с насыщением (о) Пример 15.7 Выполним операцию Y = AB, где Д(|0)=0,625 и В(1(1} =0,375, т. с. пере- множим двоичные числа Лц) =0,101 и В(2) — 0,011. Результат произведения чисел Y= Л-В = 0,234375(|О) = 0,001111(2). Исходные сомножители содержали b = 3, а произведение — 2Ь = 6 значащих разрядов. В случае, если число разрядов в регистре умножителя меньше указанного, то результат операции умножения формируется с искажением. Отмстим, что операция умножения выполняется без переполнения, посколь- ку модуль произведения чисел, абсолютные значения которых меньше 1. также меньше 1. 15.2. Квантование чисел и сигналов Принципиальным отличием дискретной системы ог цифровой является вве- дение в алгоритм обработки цифровой системы операций квантования отсче- тов сигнала и коэффициентов системы. Рассмотрим способы квантования чисел, источники ошибок квантования и предположения о свойствах ошибок квантования.
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 297 15.2.1. Способы квантования чисел Квантование числа— это его представление с помощью конечного количе- ства (/>) значащих разрядов. Операция квантования является нелинейной и вносит в представление квантуемого числа А ошибку e=F{A)-A> (15.6) где: А — число до квантования; F(A) — число после квантования (после выполнения нелинейной операции F ). Шагом квантования Q называется расстояние между двумя соседними уровнями квантования. Будем рассматривать операцию квантования с посто- янным шагом, в этом случае Q = const. Шаг квантования определяется весом младшего значащего разряда: Q = 2'11. Наглядно процесс квантования нескольких чисел (отсчетов дискретной по- следовательности) показан на рис, 15.3. На рис. 15.3, а пунктирной линией указан аналоговый сигнал, из которого получены отсчеты дискретной после- довательности. Дискретные значения отсчетов отмечены точками на анало- говом сигнале. На рис. 15.3,6 изображен квантованный сигнал, значения ко- торого расположены на уровнях квантования. Квантование выполняется двумя способами: с помощью округления и усечения. При округлении числа до b значащих разрядов исходное Д-разрячиюе число (k>b) заменяется на ближайшее ^-разрядное (что соответствует выборх ближайшего уровня квантования). Детерминированная оценка (абсолютная |раница) ошибки квантования (15.6) при округлении равна шах|е(и)| = у = 2"ь"1. (15-7) Характеристика нелинейности, соответствующая операции квантования, по- казана на рис. 15.4, а. Числам А. модули которых меньше, чем Q/2. соот- ветствуют квантованные числа /4^=0. Числам, лежащим в интервале (Q/2; 3Q/2) , соответствуют квантованные числа = Q нт. л. Обычно прн анализе делается допущение, что все возможные значения ошибки в пределах диапазона (15.7) равновероятны, т. е. ошибка квантования представляет собой случайную величину с равномерной плотностью вероят- ности. График плотности вероятности ошибки квантования при округлении приведен на рис. 15.4, б.
298 Часть У. Квантование в цифровых системах ошибки квантования при округлении числа
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 299 Отменам, что при округлении до ближайшего значения все числа, попадаю- щие точно на границу между двумя ближайшими значениями всегда округ- ляются в сторону увеличения (с избытком). В алгоритмах ЦОС при обработке огромного количества данных это приводит к возникновению односторонне- го смещения. Для устранения подобной систематической ошибки в ЦПОС используется процедура округления до ближайшего четного (округленное число будет всегда четным). Данная процедура приводит к равновероятному округлению с избытком и с недостатком и, как следствие, к получению пра- вильного результата. Часто процедуру округления до ближайшего четного называют сходящейся или конвергентной [46, 47]. При усечении ^.-разрядного числа до b значащих разрядов (к >Ь ) младшие (А. -Ь) разрядов исходного числа отбрасываются. Ошибка квантования (15.6) при усечении удовлетворяет следующим неравенствам: □ для положительных чисел при любом способе кодирования и для отрица- тельных чисел в дополнительном коде -2~Ь<е<0'. (15.8) □ для отрицательных чисел в прямом коде 0<е<2~ь. (15.9) Характеристика нелинейности, соответствующая операции усечения для до- полнительного кода, показана на рис. 15.5, а. Соответствующая плотность вероятности ошибки квантования изображена на рис. 15.5, б. Рис. 15.5. Характеристика нелинейности (д) и плотность вероятностн (б) ошибки квантования при усечении числа
300 Часть V. Квантование в цифровых системах 15.2.2. Модели процесса квантования. Предположения о свойствах ошибок квантования Источниками ошибок квантования в цифровых системах являются: □ аналого-цифровое преобразование (ЛЦП), при котором квантуются дис- кретные сигналы; □ умножение цифровых сигналов. результат которого округляется или усе- кается; □ квантование коэффициентов цифровой системы (коэффициентов разност- ного уравнения или передаточной функции). Нелинейная модель процесса квантования показана на рис. 15.6, а, где d(n) — квантуемый сигнал (дискретный или ^-разрядный цифровой), р(п) — кван- тованный сигнал (/^разрядный цифровой. b<k ), характеристика нелинейно- сти квантователя F при округлении изображена на рис. 15.4, а, при усече- нии— на рис. 15.5, а. Линейная модель процесса квантования представлена на рис. 15.6,6, где е(п) — шум квантования (ошибка квантования)— аддитивный дискретный сигнал: е(п) = — . Рис. 15.6. Модели процесса квантования: нелинейная (а) и линейная (6) Для сигнала ошибки квантования е(п) вводятся следующие предположения: □ последовательность е(л) является стационарным и эргодическим дис- кретным случайным процессом (стационарный процесс обладает свойством
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 30/ эргодичности, если среднее по времени случайного процесса совпадает со средним по множеству реализаций случайного процесса); □ распределение вероятности ошибок является равномерным по диапазону ошибок квантования (см. рис. 15.4, б, рис. 15.5, б): □ любые два отсчета последовательности е(п) не коррелированы, т. е. по- следовательность е(п) является случайным процессом типа "белый шум”; □ последовательность е(п) не коррелировала с квантуемой последователь- ностью d’Qi). Введение указанных допущений позволяет упростить анализ эффектов кван- тования сигналов в цифровых системах. 15.3. Шум аналого-цифрового преобразования На практике входной сигнал цифровой системы формируется в аналого- цифровом преобразователе (АЦП). Данное устройство выполняет дискрети- зацию и квантование до ЬА значащих разрядов входного аналогового сигна- ла. Появившуюся при этом ошибку квантования (шум квантования) ел(п) входного сигнала называют шумом АЦП. Предположения о свойствах шума АЦП такие же, как и о свойствах шума квантования (см. п. I5.2.2). Получим оценки шума АЦП и выходною шума цифровой системы, обуслов- ленного квантованием входного сигнала (шума АЦП. приведенного к выходу системы). 15.3.1. Линейная модель процесса квантования входного сигнала. Оценки шума АЦП Для приближенного описания нелинейной операции квантования входного сигнала при анализе цифровых систем используется линейная модель процес- са квантования входного сигнала^ изображенная на рис. 15,7. Дискретизатор Д преобразует аналоговый сигнал x(t) в дискретную последовательность х(п) = —неограниченное число разрядов). К этой последовательности добавляется шум АЦП, учитывающий ошибку квантования ел(») при фор мировании значащих разрядов цифровой последовательности. Чем боль- ше разрядность АЦП, тем меньше шум АЦП, тем сложнее н дороже оказьг i стся это устройство. Современные АЦП имеют разрядность от 8 до 20. Выходной сигнал линейной модели — квантованный (цифровой) сигнал а(л) .
302 Часть У. Квантование в цифровых системах д Рис. 15.7. Линейная модель процесса квантования входного сигнала цифровой системы Получим вероятностные оценки (математическое ожидание, дисперсию) и детерминированную оценку (абсолютную границу) шума АЦП при опе- рациях округления и усечения чисел. Математическое ожидание цА и дисперсия Од ошибки квантования еА(л) определяются по следующим формулам [16]: М-л = £[«Ч('')]= f eA(n')pA(e)deA(n)-, аА =^[(еА(")-ЦА)2]= J «А(«)РА<е)'/еА(',) = £'[4('")]-ц1. где: РА(е) — плотность вероятности шума квантования; Сд(п), £,'[ ] —оператор математического ожидания. Далее будем считать, что квантованию подвергаются числа, представленные в форме с ФЗ в дополнительном коде. С учетом этого предположения по указанным формулам вычислим матема- тическое ожидание и дисперсию шума АЦП при округлении чисел (график плотности вероятности р&(е} шума квантования показан на рис. 15.4,6): - Сд/2 । На = J eA(n)pA(e)deA(n) = J еА(и)—-</ед(п) = - -Сд/2 Са <2л/2
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 303 в® 2д /2 I = f <'д(я)рА(е)с/еА(п)= J «аОО—deA(n) = -&Р La Сл/2 _ бл 12 ' -QJ2 (15.11) 1 еА з где: Qa - 2-*' — шаг квантования; Ьл — количество значащих разрядов АЦП. Выполняя аналогичные преобразования при операции усечения чисел (гра- фик плотности вероятности рА(е?) шума квантования показан на рис. 15.5. о), получим значения: На=-Сл/2. о! =01/12- Мощность ш)ма квантования при условии (15.10) равна дисперсии шума АЦП в логарифмическом масштабе Ра =10lg(^/12) = l0lg(2"2"'/12) = -[20fcA lg(2) + 10lg(12)] = р) = -(6.()22>Л +10,79) [дБ]. Детерминированная оценка (абсолютная граница) шума АЦП с учетом выра- жений (15.7)— (15.9) имеет вид ИА =max|eA(/i)|< п QfJ‘2 = 2bf' 1 при округлении: С?А = 2~Ьа при усечении. (15.13) Пример 15.8 Получим вероятностные оценки шума АЦП при ЬА =8 и Ьл =12. Квантова- ние входного сигнала выполняется с помощью округления. Тогда оценки шума сЛ(») согласно формулам (15.10), (15.12), (15.13) составляют |1А = 0, F\- -58,8 дБ. Еа = 2“7 при ЬА ~ 8, НА=0. Рд=-82^дБ, £д=2 11 приЬд=12.
304 Часть V. Квантование в цифровых системах 15.3.2. Шум АЦП, приведенный к выходу цифровой системы Рассмотрим цифровую систему с передаточной функцией H(z) и импульс- ной характеристикой /?(п), н = 1. 2.... Будем считать, что коэффициенты сис- темы и арифметические операции, выполняемые в ней. реализуются точно. Линейная модель оценки шума АЦП, приведенного к выходу цифровой сис- темы, показана на рис. 15.8. На рис. 15.8 блок ЦС— цифровая система, л(п) — отсчеты дискретного (представленного точно) входного сигнала, еА(л)— шум АЦП, л(п) — квантованный сигнал, у(п) — составляющая выходного сигнала (результат обработки дискретного сигнала л(я)), е?д выч(л) — выходной шум, обусловленный квантованием входного сигнала (шум АЦП, приведенный к выходу цифровой системы). Рис. 15.8. Модель оценки шума АЦП. приведенного к выходу цифровой системы Для цифровой системы, описываемой сверткой у(и)= £ A(«i).v(«-w), ш=0 согласно свойству линейности системы, шум АЦП на выходе системы равен еА.них(")= X Л(т)еЛ(я-»О. (15.14) »г=0 Примечание В последующих преобразованиях используются вероятностные и детермини- рованные оценки шума квантования еА(л) при округлении чисел в дополни- тельном коде. Эгм оценки содержатся в (15.10) —(15.13). Приведем вероятностные оценки (математическое ожидание, дисперсию) и детерминированную оценку (абсолютную границу) выходного шума, обу- словленного квантованием входного сигнала. Используя равенство (15.14),
Лекция 15. Квантование сигналов в цифровых системах 305 математическое ожидание ЦА=0 и дисперсию оА ~Q\/\2 входного шума квантования, получим математическое ожидание и дисперсию выходного шума еА.КЬ1Х(н): М-д.вых =£[ч«ь«] = Е S Л(т)ед(п->я) = Од вых = Е = Л(т)Е[еА(и-т)] =0; ’ (15.15) ^А.®ых(и) На, вых о ^А-вых (г V Ё й(т)ел(я-т) Н| = 0 I = £.' 2L Л2(и1)4(«-«')+ X Ё l>(”>)l'(k')eA(n-»i)eA(>i~k) = Hj = O m=(ik~i) m*k = Е х ft2(m)ej(n-m) +Х X Л(«ОЛ(А')£[еА(и-т)еА(н-Л)] = ш=0 ш =0* =0 --- J **,ю »p>trM»‘»Hvcni = Ё /г2(И.)ф2(П-т)1 = ^ J Л2(»,). hi=0 ^-=-------V-----1 12ш=0 0А (15.16) (15.17) Дисперсию 0А вих можно определить, не только используя значения ИХ сис- темы (формула (15.16)), но и по известным значениям АЧХ. Для этого ис- пользуем равенство Парсеваля со Т । I? X А2(и) = ^ J da, m=o где — амплитудно-частотная характеристика цифровой сисюмы. Подставляя (15.17) в (15.16), имеем
306 Часть У, Квантование в цифровых системах т । р о1..ь,ч =аА— I “*С -п/Г Мощность выходного шума при условии (15.15) определяется следующим образом: PA,Bux=>0lg(fA.BUx) = l0lg(fA) + l01g Ё h\m-) [дБ]. (15.18) М1=О ) Отметим, tio: О оценка дисперсии Од nwx , обусловленная квантованием входного сигнала, не зависит от формы реализации (прямая, каноническая и т. д.) цифровой системы, поскольку в формулах (15.16), (15.18) используется импульсная характеристика всей системы; О по допустимому значению о^вых и известной АЧХ (или импульсной ха- рактеристике) цифровой системы можно определить допустимое значение дисперсии Од входного сигнала, которая в свою очередь зависит от раз- рядности ЛЛ чисел, представляющих выборки входного сигнала. Детерминированная оценка (абсолютная граница) выходного шума <?А вых (л) с учетом (15.13) и (15.14) имеет вид р *'А, вых = max|eA_llux(n)| = max £ Л(<я)еЛ(»-»1) ш=0 < £ |Л(»,)|max|ел(п-,„)| = ^- Ё |*<«П| m 0 . " _______. 2 О (15.19) Таким образом, абсолютная граница ошибки квантования выхо того сигнала зависит от импульсной характеристики системы и не зависит от статистиче- ских характеристик входного сигнала.
Лекция 16 Эффекты квантования в цифровых системах Для упрощения анализа эффектов квантования в цифровых системах вводит- ся следующее допущение. Ошибки в выходном сигнале, вызванные кванто- ванием входного сигнала, и ошибки, обусловленные квантованием результа- тов арифметических операций в цифровой системе, ие зависят друг от друга. Приняв это допущение, можно рассматривать указанные составляющие вы- ходного шума независимо друг от друга. Раздельное рассмотрение оказыва- ется полезным также для того, чтобы оценивать, какой вклад в полный вы- ходной шум вносят отдельные составляющие. На основе такой оценки разработчик может обоснованно сформулировать требования к АЦП. архи- тектуре и реализационным параметрам цифрового устройства. В данной лекции рассматриваются: процесс формирования собственного и полного выходных шумов системы (о формировании шума АЦП см. Лек- цию 15), эффекты переполнения в сумматорах, квантование коэффициентов и возникновение предельных циклов в цифровой системе [16, 32]. 16.1. Собственный шум цифровой системы Собственный шум цифровой системы— это выходной шум квантования, обусловленный округлением (усечением) результатов операций умножения. Анализ собственных шумов в цифровых системах гораздо сложнее, чем ана- лиз эффектов квантования входного сигнала. Дело в том, что при анализе собственных шумов необходимо знать: О точки системы, в которых выполняется операция квантования; П оценки (математическое ожидание, дисперсию, абсолютную границу) шумовых сигналов, генерируемых соответствующими источниками; О структуру системы (путь, который проходит каждый шумовой сигнал от своего источника шума до выхода системы); □ архитектуру и параметры цифрового устройства. И Чах 165
ЗОв Часть У. Квантование в цифровых системах Собственный шум и его оценки определяются в три этапа; 1. Составляется линейная модель цифровой системы, учитывающая шумы квантования в тех точках системы, в которых выполняется операция кван- тования. 2. Вычисляются реакции системы на каждый шумовой сигнал (составляю- щие собственного шума). 3. На основе полученных составляющих формируется собственный шум цифровой системы, находятся его вероятностные и детерминированная оценки. Рассмотрим подробно каждый из указанных этапов. 16.1.1. Линейная модель цифровой системы Источниками шума квантования сигналов в цифровой системе являются ум- ножители. Действительно, умножение значений с by значащими разрядами (без учета знакового разряда) последовательности х(п) па коэффициент а дает произ- ведение ах(п), содержащее точные значения с 2Ьу значащими разрядами. Одиако вычисленное произведение должно быть представлено последова- тельностью значений с by значащими разрядами. При формировании результата появляется ошибка квантования, вызванная сокращением числа разрядов. Линейная модель умножителя (источника ошибки квантования) показана на рис. 16.1. Модель умножителя с конечным числом разрядов представляет- ся в виде последовательного соединения идеального умножителя (с неогра- ниченным числом разрядов) и сумматора, на вход которого наряду с точным значением произведения поступает ошибка квантования е?у(п). На выходе модели формируется последовательность квантованных значений произведе- ния с by значащими разрядами. еу(л)| Л(Г) дл(к) + е (л) Рис. I6.I. Линейная модель умножителя
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 309 Считается, что предположения о свойствах ошибок квантования, введенные в п. 15.2.2., действуют в случае шумового сигнала е?у (п). Тогда при использо- вании округления на основе (15.10), (15.11), (15.13) имеем следующие веро- ятностные оценки (математическое ожидание, дисперсию) и детерминиро- ванную оценку (абсолютную границу) шума квантования на выходе умножителя: □ математическое ожидание |1у — 0; (16.1) □ дисперсия aJ=C?J/12, (16.2) где Qy = 2 — шаг квантования; □ абсолютная граница £у = max I ev (п) I < Qy /2 = 2“^“'. (16.3) II Линейная цифровая система произвольной структуры .может быть описана с помощью линейной модели, представляющей собой дискретную систему с аддитивными воздействиями, учитывающими эффекты квантования сигна- лов и подаваемыми на соответствующие точки дискретной системы. Пример 16.1 Составим линейную модель цифровой системы с указанием источников шу- ма кван тования. В качестве цифровой системы рассмотрим рекурсивную сис- тему первого порядка, описываемую передаточной функцией 1 + «]Z и импульсной характеристикой й (н) = Ьо (-«,)" + fej (-6?!) "-|. (16.4) Система устойчива при условии | | < I. Решение. Структурная схема реализации рекурсивной системы в прямой форме показана иа рис. 16.2, и. Для анализа эффектов квантования в качестве входного сигнала используем шум АЦП Линейная модель системы с указанием шумовых сигналов £У1(л)» еУ2(«)» еуз00 на выходах умножителей показана на рис. 16.2,6.
310 Часть V Квантование в цифровых системах Рис. 16.2. Прямая форма схемы (а), линейная модель с шумами квантования (Л) и ее эквивалентное преобразование (в) для рекурсивной системы первого порядка 16.1.2. Определение составляющих собственного шума Составляющие собственного шума — это реакции цифровой системы на шу- мовые сигналы от каждого источника шума. Используем модель умножителя (см, рис. I6.1) для описания каждого источ- ника шума (узла умножения). На основе свойства линейности цифровой системы ошибка квантования на выходе системы (собственный шум) определяется как суперпозиция ошибок «у£эвых(и)’ i = L2.L, обусловленных всеми L источниками шума кван- тования, т. е. L ('•) = 2>у„их («) (16-5)
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 311 При этом i-я составляющая выходного сигнала ошибки (собственного шума) eVi вых(«), вызванная i-м источником шума, находится с помощью импульс- ной характеристики Л, (/л) части системы от точки приложения i-го источни- ка шума до выхода системы по формуле свертки eViBU«(n>= £ А ("О «у, («-'«) (16.6) »|=1 Выполняя преобразования, аналогичные (15.15), (15.16) и (15.19), с учетом (16.6) получим оценки j-й составляющей собственного шума: □ математическое ожидание (среднее значение) Цу(,вык = Ё ^(»и)Е[еу,(л-т)1 = Ё /%(т)цу( =0. (16.7) »н=0 wj=O где |лу ,• = 0 согласно (16.1); □ дисперсия °у,..ых = 4, Ё Ё Л,2('«). (16.8) т=0 *“ ж=0 где (Ту, =Су/12 согласно (16.2); □ абсолютная граница £У(.вь.х =max|fy<.BB.x(n)k£yi Ё Ё (16.9) л т=0 - ж=0 где Еу/ = Су/2 согласно (16.3). 16.1.3. Вычисление собственного шума В соответствии с выражением (16.5) собственный шум системы определяется суммой всех шумовых составляющих, полученных в результате анализа про- хождения шумов квантования от точек их появления (с выходов L умножи- телей) до выхода цифровой системы. Вероятностные (математическое ожидание, дисперсия) и детерминированная (абсолютная граница) оценки собственного шума системы находятся сле- дующим образом: □ математическое ожидание L Ну,вых = X Нужных i=l с учетом (16.7) для всех i = I. 2.L:
312 Часть У, Квантование в цифровых системах □ дисперсия °У.Вых = 2с1У1.вих =7^2 Ё i = I i=lni = O с учетом (16.8) для всех / = 1, 2,..., L; □ абсолютная граница Еу.вых = Е£У1. вых Ё |АДЯ‘)| 1 = 1 Z f = lwr=O с учетом (16.9) для всех i = 1, 2,..., L. Следует отметить: чем больше умножителей содержит цифровая система, тем больше ее собственный шум. Таким образом, собственный шум системы зависит от формы реализации (прямая, каноническая и т. д.) системы. На практике целесообразно использовать такую форму реализации, которая бы генерировала меньший собственный шум, т. е. содержала меньше умножите- лей. Например, для КИХ-фильтров с линейной ФЧХ целесообразно исполь- зовать прямую приведенную структуру (см. Лекцию 18). Пример 16.2 Получим вероятностные оценки собственного шума рекурсивной системы первого порядка. Линейная модель системы показана на рис. 16.2, б, где шу- мовые сигналы еУ1-(п), 1 = 1,2» 3 с математическим ожиданием цу,=0 и дисперсией Оуг = 0?/12. i = L2,3 описывают эффекты квантования на вы- ходах умножителей. Решение. Используя свойство линейности системы, заменим три источника шума одним, генерирующим эквивалентный сигнал *уэ(л)= *У|(и) + «’у2(«) +суз(п) • Его математическое ожидание равно цуэ=0, а дисперсия — °УЭ = Х°у| =3Qy/\2. Соответствующая эквивалентная линейная модель i=I показана на рис. 16.2, в. Из рис. 16.2, в видно, что сигнал е?уэ(п) обрабатывается только рекурсивной частью. Следовательно, эквивалентный шумовой сигнал воздействует на эк- вивалентную систему с передаточной функцией цэы=—Ц- l + «,z
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 313 и импульсной характеристикой Л3(я) = (-я1)". Реакцией системы на сигнал вуэ(л) является собственный шум <?уэвых(") с математическим ожиданием Ну Э. вых = 0 и дисперсией 2 _ V—2 _ Х?у . 2, х _ 3Qy у . 2л _ Збу_________1 ®УЭ,вых — Х®У(,вых .л Х^э(м)“ .л Zrf ( al) — io । / \2 ’ i = l 12 »| = о 12 «1=0 12 16.2. Полный выходной шум системы Напомним, что ошибки в выходном сигнале, вызванные квантованием вход- ного сигнала, и ошибки, обусловленные квантованием результатов арифме- тических операций в цифровой системе, не зависят друг от друга (с.м. Лек- цию 15 о введенном допущении). Па основе этого допущения полный выходной шум системы, обусловленный квантованием входного сигнала и квантованием результатов арифметических операций умножения, определя- ется суммой соответс гвующих ошибок, т. е. ‘’„их («) = + СУ.»..,х 00 . С16-10) где: * ВЬ|Х(л) —полный выходной шум системы; ^Авых(н) — шум квантования входного сигнала (шум АЦП), приведенный к выходу системы; е?у вых(и) — собственный шум системы. Шумовые сигналы, обусловленные квантованием в произвольной точке сис- темы, являются стационарными случайными процессами типа "белый шум", они не коррелированы с квантуемым сигналом, а любые два источника шума создают некоррелированные шумы (см. и. 15.2.2). Тогда с учетом линейности модели системы и равенства (16.10) получим оценки полного выходного шума системы: □ математическое ожидание цвых Нвых =МА.ВЫХ "* Ну.вых » (16.11)
314 Часть V. Квантование в цифровых системах где: На,вых — математическое ожидание шума АЦП; цу вых — математическое ожидание собственного шума системы; 2 □ дисперсия овЫх = °Л.вых + ^У.вых , (16-12) где: Од вых — дисперсия шума АЦП; Оу ВЬ|Х —дисперсия собственного шума системы; □ абсолютная граница ^вых — тах I ^ВЫХ (И) 1 — ^Л.вых ^У ВЫХ м Пример 163 Получим вероятностные оценки полного выходного шума рекурсивной сис- темы первого порядка с учетом результатов примера 16.2. Решение. На основе выражений (15.15), (15.16) и импульсной характеристики (16.4) системы запишем вероятностные оценки шума АЦП, приведенного к выходу системы: математическое ожидание На, вых ~ 0 > дисперсия =^- Ё Л2('«)=~*- Ё Гйь(-«!>" ]2• ш=0 12 т=О В результате имеем математическое ожидание полного выходного шума (16.11) Нвых = 0 и дисперсию полного выходного шума (16.12) 12 OT=0L J 12 !-(-«,)
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 315 16.3. Эффекты переполнения в сумматорах Ранее были рассмотрены эффекты квантования сигналов в цифровых систе- мах и получены оценки дисперсии (мощности) овых полного выходного шу- ма и ее составляющих: сГдр|}Ь|Х —дисперсии составляющей выходного шума, обусловленной квантованием входного сигнала (шума АЦП), и Оу вых — дисперсии собственного шума системы. Таким образом, полезный сигнал на выходе системы присутствует на фойе шумов. Опишем шумовые характеристики системы, а также методы масштабирова- ния сигналов, позволяющие улучшить указанные характеристики и предот- вратить появление эффекта переполнения в сумматорах системы. 16.3.1. Динамический диапазон цифровой системы Важной характеристикой цифровой системы является отношение сигнал/шум. Отношением сигшп/шум R называется отношение мощности Рс вых выход- ного сигнала системы к мощности ^вых шума на выходе системы К = 1016(.^й[дБ]. 1 *111. ВЫХ J Пороговым отношением сигнал/шум называется отношение минимальной мощности Рст,|1>вых выходного сигнала системы к мощности вых Шумана выходе системы (Р п । л i I С 11Ш1. ВЫХ Ip г*1 к» = 10 1g —---- [дБ]. 1 ии.вых I Минимальная мощность выходного сигнала имеет место при минимальном уровне e7min входного сигнала. Динамическим диапазоном D цифровой системы называется отношение максимальной амплитуды oD>max к минимальной амплитуде aD min входного сигнала, при которой обеспечивается определенное отношение R& сиг- нал/шум на выходе системы D = 20 lg ---- [дБ] D. min
316 Часть У. Квантование в цифровых системах при где Рс d min вых — мощность выходного сигнала на нижней границе динами- ческого диапазона (при амплитуде входного сигнала, равной «p>mjn). Динамический диапазон следует контролировать введением коэффициентов масштабирован ия. 16.3.2. Масштабирующие коэффициенты При суммировании чисел с фиксированной запятой ошибки квантования не возникает, если аккумулятор имеет разрядность не меньше разрядности сла- гаемых. Однако при суммировании чисел возможно переполнение, означающее, что результат арифметической операции выходит за границы допустимого диа- пазона представления чисел (c,w. п. 15.1.3). В этом случае результат суммиро- вания существенно искажается. Во избежание переполнения в сумматорах вводится масштабирование сигна- лов с использованием коэффициентов масштабирования. Масштабирование сигналов можно выполнить разными способами. 16.3.2.1. Масштабирование сигналов с использованием импульсной характеристики Если импульсная характеристика системы (или ее части) равна ЛДн), то вы- ходной сигнал системы (или ее части) можно определить по формуле свертки У,(л) = X /м=0 Для модуля выходного сигнала и его максимума можно записать, что |у,(п)| s X |л,(т)||А(и-ш)|, /11=0 max|yt(n)|<тах|х(«)| У |/7|-(т)|. (16.13) п 11 м=0
Лекция 16 Эффекты квантования в цифровых системах 317 Согласно (16.13) при max |х(л) | < 1 (что справедливо при ФЗ) необходимым условием отсутствия переполнения (тах|уДл)|< I) является н X I й,(ш)|< I. (16.14) »i=0 Условие (16.14) будет выполняться, если ввести коэффициент масштабиро- вания следующим образом: /z/m) = Y|h/(m). Тогда (16.14) примет вид Yi S I Л, (ш)| < 1 . ш=0 следовательно, коэффициент масштабирования должен выбираться из условия ¥,<^7—!------. (16.15) Ё | М"')| »1=о Масштабирующие умножители включают на входах системы. 16.3.2.2. Масштабирование сигналов по максимуму Данный способ применяется для системы (или ее частей) невысокого (не выше четвертого-пятого) порядка. Максимальное значение амплитудно-частотной характеристики системы (или ее части) должно удовлетворять условию тах| Н,(е^т)| > 1. Масштабированию подвергается входной сигнал системы (или ее части). При этом коэффициент масштабирования рассчитывается но формуле У, =—, 1 . т-г (1616) max Н1(ел“г) (О I ' Пример 16.4 Получим коэффициент масштабирования входного сигнала системы первого порядка с передаточной функцией l-0,5z '
Часть У. Квантование в цифровых системах 318 Решение. Система, описываемая указанной передаточной функцией, является простейшим фильтром нижних частот (вещественный полюс системы z„ =0,5, следовательно, max| находится на частоте со=0).Тогда maxi H(eJulT) I = H(e)ttT) = W(l) = — = 4. и ' ' 0,5 На основе (16.16) получаем коэффициент масштабирования у = 1/4. Сравним данное значение у с коэффициентом масштабирования, вычислен- ным по импульсной характеристике Л(л) = 0,5,|+0,5"’'. Определяем У. | й(и)|< 2 X 0,5" =—-— = 4, откуда имеем такой же коэф- п=о п=о 1-0.5 фициент масштабирования (16.15) у = 1/4. Расчет масштабирующих коэффициентов в цифровых системах сложной структуры выполняется по методике, основанной на использовании спек- трального анализа и аппарата нормированных пространств [43]. 16.4. Эффекты квантования коэффициентов цифровой системы При реализации цифровой системы значения ес коэффициентов (коэффици- енты разностного уравнения или передаточной функции) квантуются, по- скольку они представляются ограниченным количеством разрядов, опреде- ляемым разрядностью элементов памяти цифровой системы. Изменение коэффициентов приводит к большему или меньшему изменению значений нулей и полюсов передаточной функции и, следовательно, к изме- нению частотных характеристик системы. На примере покажем, что квантование коэффициентов системы может при- вести даже к потере ее устойчивости. Пример 16Л Передаточная функция рекурсивной системы имеет вид H(z) =-----Z7----ZT- l + <7|Z +а2г
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 319 где Я| = -1,603, л2 = 0,645. Полюсы системы комплексно-сопряженные z*! 2 == 0,8 ±0,05 j = 0.8016е±;3,6 . Они расположены внутри единичного круга ф„, Ь рис. 16.3, о), следовательно, система устойчива. Осуществим квантование коэффициентов q и а2, т. е. округлим их значения =-1,6, й2 = 0.6. Полюсы новой системы вещественные z«|=l, z«2=0’6, причем один из них не лежит внутри единичного круга (рис. 16.3, б), т. е. Рис. 16.3. Карты полюсов рекурсивной системы без квантования (а) и с квантованием (б) коэффициентов передаточной функции Важно подчеркнуть, что операция квантования коэффициентов, нелинейная по своей природе, не влияет иа линейность самой системы, а лишь изменяет ее частотные и временные характеристики. Иными словами, выполнив опе- рацию квантования коэффициентов, переходим от одной линейной системы к другой с характеристиками, несколько отличающимися от характеристик исходной системы. Так, в частности, квантование коэффициентов приводит к появлению ошибки АЧХ ДА(со) = А(со) - А(со), где: А(ш) =| //(е^т) | — АЧХ системы с некваитованными коэффициентами; А(со) — АЧХ системы с квантованными коэффициентами. Следует отметить, что при синтезе системы необходимо определять коэффи- циенты таким образом, чтобы не только идеальные частотные и временные характеристики исходной системы, но и ее характеристики с квантованными коэффициентами удовлетворяли заданным требованиям.
320 Часть V. Квантование в цифровых системах Для оценки влияния операций квантования коэффициентов на параметры системы используются функции чувствительности. Функция чувствительно- сти является коэффициентом пропорциональности в соотношении, связы- вающем относительное изменение величины к-го коэффициента с относи- тельным изменеинем определенного параметра системы (положения полюса или нуля наг-ппоскости, частотной характеристики и др.) [32]. Эффекты квантования коэффициентов существенным образом зависят от свойств передаточной функции, типа фильтра, структуры и т. д. 16.5. Понятие о предельных циклах Ранее, при рассмотрении эффектов квантования, были сделаны определен- ные допущения относительно ошибок, вносимых в обрабатываемый сигнал. Во-первых, было принято, что отсчеты шума квантования не коррелированны как друг с другом, так и с отсчетами входного сигнала. Во-вторых, считалось, что при обработке сигнала в цифровой системе не происходит переполнения аккумулятора. Вместе с тем. и те и другие предположения могут нарушаться. Это приводит в рекурсивных системах к возникновению специфических эф- фектов, которые получили название предельных циклов. Различают два вида предельных циклов: П предельные циклы низкого уровня, связанные с квантованием отсчетов об- рабатываемого сигнала (наличием в структуре цифровой системы нели- нейностей, характеристики которых приведены на рис. 15.4, л, рис. 15.5, а); □ предельные циклы высокого уровня, связанные с переполнениями регист- ров сумматоров (наличием в структуре цифровой системы нелинейностей с характеристиками, показанными на рис. 15.2, б). Существует несколько подходов к анализу предельных циклов. Первый под- ход основан на анализе положения полюсов системы при квантовании сигна- лов [43], второй подход — на анализе устойчивости цифровой системы [ 15]. Предельными циклами низкого уровня называют постоянные или периоди- ческие сигналы, которые могут возникать в рекурсивных системах при от- сутствии (или малом уровне) воздействия и ненулевых начальных условиях в системе. Появление этих сигналов обусловлено ошибками округления при квантовании сигналов на выходах умножителей. Рассмотрим простой пример, иллюстрирующий эффект предельного цикла.
Лекция 16. Эффекты квантования в цифровых системах 321 Пример 16.6 Исследуем появление предельного цикла в рекурсивной системе первого по- рядка, описываемой разностным уравнением у(п) = х(м) + 0,95у(п-1); х(п) = О; у(-1) = 13. Решение. В табл. 16.1 сопоставляются точные значения у(п), рассчитанные по указанному разностному уравнению, а также результат их округления до ближайшего целого. Таблица 16.1. Значения выходного сигнала системы первого порядка п -1 0 1 2 3 4 у(п} 13,0 12,35 11.7325 11,145875 10,58858125 10.05915219 у(«) с круглеиием 13 12 11 10 10 10 Из табл. 16.1 видно, что, начиная с и = 2, округленные значения у(м) сохра- няются на уровне 10 и далее не меняются. Отметим, что чем больше значащих разрядов в представлении чисел, тем меньше вероятность появления предельных циклов низкого уровня. Предельные циклы высокого уровня могут возникать в рекурсивных систе- мах, если при сложении отсчетов сигналов в аккумуляторе происходит пере- полнение (см. п. 16.3). В этом случае система становится существенно нели- нейной, в выходном сигнале появляются значительные ошибки, т. е. система фактически неработоспособна. В ряде случаев, после переполнения аккумулятора выходной сигнал системы принимает вид периодического колебания с предельным значением амплиту- ды, равным единице. Поэтому предельные циклы высокого уровня часто на- зывают "колебаниями переполнения". В связи с возможностью возникновения колебаний переполнения в рекур- сивных системах необходимо принимать меры для предотвращения перепол- нений регистров сумматоров, т. е. выполнять масштабирование сигналов (см. п. 16.3).

ЧАСТЬ VI ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Лекция 17. Введение в цифровые фильтры Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон Лекция 20. Синтез оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров Лекция 21. Цифровые преобразователи Гильберта и дифференциаторы Лекция 22. Специальные КИХ-фильтры Лекция 23. Синтез БИХ-фильтров Лекция 24. Синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования

Лекция 17 Введение в цифровые фильтры 17.1. Основные определения и классификация цифровых фильтров Под цифровым фильтром (ЦФ) в широком смысле понимают любую цифро- вую систему (цепь), которая согласно заданному оператору у(и) = Г{л(л)} (рис. 17.1) осуществляет преобразование действующей на се входе аддитив- ной смеси х(п) = х(п) + £(л) цифрового сигнала х(я) либо его параметров с помехой ^(л). Например, в указанном смысле к цифровым фильтрам отно- сятся: фильтры, согласованные с сигналами, адаптивные фильтры, амплитуд- ные и фазовые корректоры, дифференциаторы, преобразователи Гильберта и т. д. Разумеется, сигнал у(п) на выходе реального ЦФ будет соответство- вать переданному сигналу или его параметрам с некоторой точностью, опре- деляемой свойствами алгоритма. Иначе говоря, на выходе реального ЦФ всегда имеет место различной степени приближение у(и)»л(и). Тем не менее, в лекциях для последнего соотношения используется знак равенства, если пет необходимости в ином. Цифровой фильтр —►>•(«) Х(м) -Г(н)-----> [Л(п) =*(«) + £(«)! у(д) =/=*{*(«) I Рис. 17,1. К onpeqeneHHiO цифрового фильтра
326 Часть VI. Цифровые фильтры Цифровой фичътр в узком смысле — это частотно-избирательная цепь, кото- рая обеспечивает селекцию цифровых сигналов по частоте. К таким фильт- рам относятся: фильтры нижних частот (ФНЧ), фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ), режекторные фильтры (РФ). В данном разделе рассматривается синтез частотно-избирательных фильтров, амплитудных корректоров, дифференциаторов, преобразователей Гильберта и согласованных фильтров. Как и все цифровые системы, цифровые фильтры делятся на два обширных класса: нерекурсивные (КИХ) и рекурсивные (БИХ). В свою очередь, в каж- дом из этих классов выделяют линейные и нелинейные фильтры. Рассматри- ваемые здесь фильтры являются линейными, т. е. оператор Г{л(и)} отвечает свойству линейности (слл Лекцию 4): F {а,*, (л) + а2х2 (л)} = л, F {л, (л)} + a2F {х2 (л)}. Формой представления линейного оператора F, в частности, является разно- стное уравнение. Будем также полагать, что изучаемые фильтры: □ физически возможны. Это означает, что: • выполняется условие причинности (ом. Лекцию 4): при нулевых на- чальных условиях реакция у(и) не зависит от будущих значений воз- действия л(гг). Иначе говоря, реакция не может возникнуть раньше воздействия. Например, если начало воздействия приходится на мо- мент «о, то реакция у(л)|д<|^ =0; • фильтр реализуем на заданной элементной базе; □ стационарны. Это означает, что: • реакция у(и) не зависит от момеита подачи воздействия л(и), т. е. задер- жанному на По воздействию x(n — nG) соответствует реакция у(я-Но); • коэффициенты передаточной функции (разностного уравнения) явля- ются постоянными, не зависящими от времени, а потому н все характе- ристики фильтра также не зависят от времени. Таким образом, в курсе лекций изучаются стационарные, линейные, физиче- ски возможные избирательные цифровые фильтры. Примечание КИХ-фильтры могут быть построены на базе рекурсивных звеньев (например, при использовании метода частотной выборки (39, 43]). Такие варианты здесь
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 327 не рассматриваются, поэтому в дальнейшем термины "нерекурсивные фильт- ры" и "КИХ-фильтры" используются как синонимы. Цифровые фильтры, как и любая цифровая система, могут быть реализованы аппаратно, программно илн аппаратно-программно, что определяется целью, назначением и местом ЦФ в предполагаемой системе. Аппаратная реализация подразумевает использование разнообразных функ- циональных блоков (регистров, сумматоров, умножителей, устройств памяти, логических элементов и т. п.), объединяемых в единое устройство. Программная реализация означает, что фильтр представлен в виде програм- мы, написанной на языке программирования, соответствующем конкретному операционному блоку. Так. для персонального компьютера это будет любой из языков высокого уровня, а для микропроцессорного комплекта или циф- рового процессора — язык соответствующего ассемблера. Аппаратно-программная реализация говорит о том, что часть функций фильтра выполняется аппаратно (аналого-цифровое и цифро-аналоговое Пре- образования, умножение, синхронизация, прием/передача данных и т. д.), а другая часть функций выполняется программно. Под проектированием ЦФ понимают процесс, в результате которого предъявляется программа или цифровое устройство, отвечающее заданный требованиям и ограничениям. Процесс проектирования ЦФ включает в себя следующие этапы: I. Синтез, результатом которого является функциональная схема фильтра с коэффициентами. Собственно процедуры синтеза КИХ- и БИХ-фильтров существенно различаются, однако имеют одинаковую последовательность действий: • задание требований к фильтрам; • решение задачи аппроксимации характеристик фильтра, в результате которой рассчитываются коэффициенты передаточной функции (раз- ностного уравнения); • конструирование функциональной схемы ЦФ. 2. Выбор или разработка эффективных алгоритмов вычислений с учетом арифметики, используемой при заданном методе реализации: плавающая или фиксированная запятая. Алгоритм зависит от разрядности регистров процессора, количества аккумуляторов, возможности распараллеливания операций, наличия устройств, выполняющих операцию умножения с на- коплением и других особенностей процессора. Конечной целью этого эта- па является обеспечение функционирования фильтра в реальном времени при минимальных потерях качества обработки сигналов.
328 Часть VI. Цифровые фильтры 3. Проверка моделированием проектируемого фильтра в нереальном времени по стандартным сигналам с использованием программных средств отладки: • симуляторов системы команд (симуляторов), имитирующих работу конкретного процессора на уровне его команд; • отладчиков— буферных программ, которые предоставляют разработ- чику необходимый интерфейс и обеспечивают функциональные воз- можности симуляторов. Задача проверки моделированием состоит в обнаружении и устранении возможных логических и иных скрытых ошибок, испытании иа соответст- вие сконструированного фильтра заданным характеристикам, включая частотные, временные и шумовые. 4. Практическая реализация и отладка в реальном времени с помощью ап- паратных средств отладки: эмуляторов и проверочных модулей. Результаты проверки моделированием и отладки могут оказать влияние иа изменение ряда решений от выбора структурной схемы ЦФ вплоть до зада- ния новых требований. Для изучения этапов 2—4 можно обратиться к [46], где они изложены под- робно, здесь же рассматриваются действия только на этапе синтеза ЦФ, при- чем основное внимание уделяется частотно-избирательным КИХ- и БИХ- фильтрам. Особенностям синтеза других цифровых фильтров посвящены Лекции 21 и 22. 17.2. Синтез цифровых фильтров Каждый из классов ЦФ (БИХ и КИХ) имеет свои, принципиально отличные, методы синтеза, которые изучаются отдельно для каждого класса. При этом выделяются фильтры, в которых реализованы принципы оптимального син- теза, и фильтры, при синтезе которых принципы оптимальности не прини- маются во внимание. 17.2.1. Требования к цифровым фильтрам Требования к фильтрам могут формулироваться как во временной (рис. 17.2, а), так и в частотной областях (рис. 17.2, б), что определяется на- значением фильтра и областью его описания. Во временной области (рис. 17.2, а) требования могут задаваться к импульс- ной ft(n) или переходной g(n) характеристике при широких допусках к час- тотным свойствам фильтра. Так, согласованные с сигналами фильтры цели-
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 329 ком определяются импульсной характеристикой (си. и. 22. Z), в то время как фильтры, входящие в состав высокоскоростных систем, весьма критичны к длительности переходных процессов, поэтому такие фильтры удобнее опи- сывать переходными характеристиками. Рис. 17.2. Описание фильтра во временной (а) и в частотной (б) областях В частотной области (рис. 17.2,6) обычно синтезируются избирательные фильтры. При этом требования могут предъявляться: □ только к АЧХ или к характеристике ослабления (затухания) без каких- либо ограничений на ФЧХ; □ только к ФЧХ, когда важно сохранение фазовых, а потому и временных соотношений между гармоническими составляющими принимаемого сиг- нала. Это фазовые корректоры, у которых АЧХ нс зависит от частоты, т. е. A(d)) = const навеем интервале частот О<со<я; □ одновременно н к АЧХ, и к ФЧХ. Например, как будет показано в даль- нейшем. возможен синтез КИХ-фильтров с заданной АЧХ и линейной ФЧХ (си. Лекцию 18), которая в общем виде представляется формулой ф(со) = -СыТ + ф0, где: Т — период дискретизации; С — константа; 0J = 27if ; Фо — начальная фаза. При этом групповое время задержки1 (ГВЗ) оказывается постоянным б/ф(СО) Тгнч =-----— = С7 = const. Синонимом этого термина является "групповое время прохождения" (СНП).
330 Часть VI. Цифровые фильтры При задании требований в частотной области и в процессе сннгеза сами час- тоты могут задаваться как действительными (/ [Гц], со [рад/с]), так и нор- мированными со [рад], что определяется удобством и традициями. Посколь- ку связи между перечисленными представлениями частот известны, читателю будет не трудно переходить от одной частоты к другой. Рассмотрим требования к частотно-избирательиым ЦФ. На рис. 17.3—17.6, a представлены идеальные АЧХ фильтров: НЧ, ВЧ, полосового и режекторио- го соответственно, которые, вследствие их физической невозможности, не- обходимо аппроксимировать при заранее определяемых допусках, зависящих от ряда практических ограничений. Эти ограничения связаны, прежде всего, с назначением синтезируемого фильтра. Все ограничения и допуски состав- ляют требования, предъявляемые к фильтру. Требования к фильтрам включают в себя: □ задание частоты дискретизации /л [Гц] и типа избирательности (НЧ, ВЧ и т. д.); О задание требований к АЧХ А(/) или к характеристике ослабления (зату- хания) a(f), представляющей собой логарифмическую АЧХ. При этом необходимо помнить, что: • задание требований начинается с установки всех граничных частот фильтра только в основной полосе частот 0 < f < ; • требования в переходных полосах избирательных фильтров не зада- ются; • требования формулируются в виде допустимых отклонений от норми- рованной АЧХ А(/) [или от «(/)] в полосах пропускания и задержи- вания и отображаются на диаграмме допусков; • АЧХ А(/) является безразмерной величиной и выражается в абсолют- ных единицах; • характеристики ослабления и затухания обозначаются одинаково a(f)2, размерность п(/) выражается в децибелах, связь между А(/) и характеристикой ослабления a(f) определяется формулой «(/) = 2OlgA(/), (17.1) 2 Традиционно в радиосистемах используется характеристика ослабления, а в системах про- водной связи — характеристика затухания.
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 331 а при отображении требований в виде характеристики затухания a(/) = -201gX(/); (17.2) □ выбор метода аппроксимации АЧХ А(/) (или «(/))• 17.2.2. Типы избирательных фильтров и задание требований к ним В данном пункте изучаются требования, предъявляемые к АЧХ и характери- стикам ослабления (затухания) избирательных фильтров. Все требования отображаются на диаграммах. При постановке задач оптимального синтеза идеальную АЧХ обычно обозначают £(/). Наиболее подробно излагаются требования к ФПЧ. которые нетрудно перенести и на другие фильтры. 1. Фильтр нижних частот (ФНЧ) имеет три частотных полосы (рис. 17.3,6): полосу пропускания (ПП), полосу задерживания (ПЗ), или ослабления (рис. 17.3, в) и затухания (рис. 17.3, г), и переходную полосу. Полоса пропускания (ПП) ограничивается частотой среза3 ; ширина полосы пропускания A/jin = ; — максимально допустимое отклонение от 1 (рис. 17.3, 6); «niax — максимально допустимое ослабление (рис. 17.3, в) в полосе про- пускания =20 lg(l-6i). (17.3) Соответственно максимально допустимое затухание в полосе пропускания (рис. 17.3, г) имеет вид =-20 Ig(l-81). Важным является то обстоятельство, что в соответствии с методом синте- за КИХ-фильтров отклонение АЧХ от I (соответственно л(/) от 0) зада- ется симметрично 1-5j < А(/)£ 1 + 5], а для БИХ-фильтров отклонение задается только в одну сторону так, чтобы АЧХ не превышала единицы (1-5] < А(/)< 1) и характеристика ослабления, соответственно, не пре- вышала нуля («(/)< 0), что отображено на рис. 17.3, б, в вынесенными диаграммами. Это означает, что для БИХ-фильтра, синтезируемого с теми же Используемый в курсе лекций термин "частота среза1* и встречающийся в литературе термин 1раничная частота полосы пропускания" являются синонимами.
332 Часть VI. Цифровые фильтры 1(f) Рис. 17.3. Диаграммы требований к ФНЧ: идеальная АЧХ (а), требования к АЧХ (б), требования к характеристике ослабления (в), гребования к характеристике затухания (г)
Лекция 17. Введение в дисковые фильтры 333 допусками, что и КИХ-фильтр, необходимо задавать в полосе пропуска- ния допустимое отклонение АЧХ 8|бих = 28ц<их» допустимое отклонение характеристики ослабления яшахБИХ =2лтахКИХ [дБ]» допустимое отклонение характеристики затухания ^тахБИХ ~~~^^тахКИХ [дЩ* Причина, по которой нормированная АЧХ БИХ-фильтров в полосе про- пускания не превышает единицы, объясняется методикой синтеза БИХ- фильтров по аналоговым фильтрам-прототипам (см. Лекции 23 и 24). Полоса задерживания (ослабления) (ПЗ) лежит в пределах от граничной частоты fk до половины частоты дискретизации /д/2; ее ширина Д/пз = ; 52 — максимально допустимое отклонение АЧХ от 0; е?0 — максимально допустимое ослабление в полосе задерживания а0 =20 lgfi2 <0, (17.4) а в терминах характеристики затухания «q — минимально допустимое за- тухание в полосе задерживания «о =«mm =-201g82 >0. (17.5) Переходная полоса располагается между полосами пропускания и задер- живания, ее ширина Д/ = fk~ Поскольку в этой полосе требования не задаются, удовлетворительным окажется любое решение, если оно соот- ветствует требованиям в полосах пропускания и задерживания. 2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) имеет, как и ФНЧ, три частотных по- лосы, которые расположены в обратном, относительно ФНЧ, порядке (рис. 17.4): полоса задерживания в пределах от 0 до fk , Д/*пз = fk; переходная паюса в пределах от fk до /х, Д/ = Д - fk; полоса пропускания в пределах от /% до /д /2, Д/пп = /д /2 - /х. Остальные параметры определяются так же, как и для ФНЧ.
334 Часть VI. Цифровые фильтры $(/) Рис. 17.4. Диаграммы требований к ФВЧ: идеальная АЧХ (д), требования к АЧХ (б) 3. Полосовой фильтр (ПФ) характеризуется пятью частотными полосами (рис. 17.5), из которых центральная— полоса пропускания, две полосы задерживания и две переходных полосы. Отрицательный индекс частоты означает, что частота расположена слева от середины полосы пропуска- ния. На рис. 17.5» б обозначены: f-k — граничная частота первой полосы задерживания П31, ширина ко- торой д/п31 = f_t; — левая частота среза полосы пропускания: fx —- правая частота среза полосы пропускания, ширина полосы пропус- кания Д/'пп=Л~/-х; Л — граничная частота второй полосы задерживания П32, ширина кото- рой А/пз2 = /д/2 “ Л • Переходные полосы I и 2 имеют ширину Д/i - и = J\ соответ стве» мо.
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 335 Примечание При задании требований к ПФ следует иметь в виду» что в общем случае ДГ1Н, * Д/"ПЭ2, Д/j * Д/г и допустимые отклонения от нуля в полосах задержива- ния не обязаны быть одинаковыми. П32 Рис. 17.5. Диаграммы требований к ПФ; идеальная АЧХ (а), требования к АЧХ (б) 4. Режекпюрный физътр (РФ), иногда называемый полосно-заграждающим, подобно ПФ характеризуется пятью полосами (рис. 17.6), из которых две полосы пропускания, одна полоса задерживания и две переходных поло- сы. Отрицательный индекс частоты означает, что частота расположена слева отсереднны полосы задерживания. На рис. 17.6, б обозначены: /_у — частота среза первой полосы пропускания, ширина которой 4/11ГП = f х • f_k и fk — нижняя и верхняя граничные частоты полосы задерживания, д/пз = A ~f~k; /х — частота среза второй полосы пропускания, ширина которой Д/11П2 =/д/2-/х-
336 Часть VI. Цифровые фильтры £(/) Рис. 17.6. Диаграммы требований к РФ; идеальная АЧХ (а), требования к АЧХ (б) Переходные полосы 1 и 2 имеют ширину A/"t = f_k -и ДГ2 = fк соответстве hi ю. Примечание При задании требований к РФ следует иметь в виду, что в общем случае Afnni *4/пп” А/i * Аб и допустимые отклонения от единицы в полосах про- пускания не обязаны быть одинаковыми. 17.2.3. Характеристика задачи оптимального синтеза Цель оптимального синтеза в самом общем смысле состоит в том, чтобы при заданных условиях и ограничениях получить фильтр, который имел бы иаи- лучшис параметры: минимальный порядок, минимум максимального откло- нения реальной частотной или временной характерисгики от желаемой, ма- лый собственный шум, желаемые особенности структуры н т. д. Типовой, весьма распространенной задачей оптимального синтеза является получение цифрового фильтра минимального порядка при условии достиже- ния наилучшего воспроизведения (наичучшей аппроксимации) требуемой А ЧХ при заданных ограничениях.
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 337 Преследуемая цель формально может быть выражена как функция одною или нескольких аргументов (частоты f и вектора коэффициентов £» = {b0,fy.ЬЛ}), которую требуется минимизировать (или максимизиро- вать). Минимизируемая функция называется целевой: ею определяется каче- ство достижения поставленной цели; степень же приближения оценивается одним числом. К примеру, степень полученного воспроизведения АЧХ оце- нивается допустимым отклонением в полосе пропускания фильтра. Одиако достижение определенной цели может иметь разный смысл, опреде- ляемый мерой близости, или критерием оптимальности. Любое решение, удовлетворяющее заданным ограничениям, называется до- пустимым. Оптимальное решение является лучшим допустимым решением в смысле выбранного критерия, т. е. меры близости. Критерием оптимальности называют показатель, который характеризует об- щую ценность решений таким образом, что решение признается тем лучшим, чем меньше (или больше) значение показателя при заданных условиях и ог- раничениях задачи. Это означает, что любая оценка решения в виде некото- рого числа является оценкой по определенному критерию. Критерий опти- мальности включается в постановку задачи. Задача приближения реальной АЧХ А(/) к желаемой £(/') решается на со- вокупности F ограниченных областей частот Ft G (Оч- /л/2), которые назы- ваются интервалами аппроксимации. В эту область входят только полосы пропускания и задерживания фильтра. Так, фильтры иижних и верхних час- тот имеют по два интервала аппроксимации, а полосовые и режекторпые фильтры имеют по три интервала аппроксимации (см. рис. 17.3). Чаще всего при конструировании передаточной функции в качестве критерия оптимальности используется мера близости р реальной А ЧХ A(f) или амплитудной функции B(f) (см. Лекцию 18) к желаемой £(/). Выбран- ная мера близости р определяет характер задачи оптимизации, смысл кото- рой состоит в достижении минимума (или максимума) целевой функции. 17.2.4. Меры близости в задачах аппроксимации ЦОС В теории и практике ЦОС, как правило, используются две меры близости: О чебышевская мера р[(Сб близости (чебышевский критерий) Рчеб = max р( f )|^(/) - В(Ь, л| = пип , (17.6)
338 Часть VI. Цифровые фильтры смысл которой состоит в достижении минимума взвешенной (с весом р(/)) максимальной ошибки апп1юксимсп(ии на всем интервале аппроксимации F за счет специально организуемой процедуры подбора коэффициентов Ь . На практике для организации вычислений интервал аппроксимации F заменя- ется конечным множеством принадлежащих этому интервалу точек {/1* fl' —' ft' — » /l}g F»в св«и с чем (17.6) записывается в другом виде: рчгб=тах/)(//)|^)-Д(6,Л)| = тт, i = I, 2,..., L. (17.7) Если точки f достаточно близко расположены друг к другу, то решения (17.6) и (17.7) будут совпадать с наперед заданной точностью; □ среднеквадратичная мера ph15 близости (среднеквадратичный критерий) л1/2 Ркв = 1₽(/)|«Л-В(й./)|:! =min, (17.8) feF 1 J смысл которой состоит в достижении минимума среднего квадрата ошиб- ки аппроксимации на всем интервале аппроксимации F за счет подбора коэффициентов b . На практике, как и в предыдущем случае, интервал аппроксимации F заменяется конечным множеством точек {/1» fl' ••• > fi- — « У/ }е Г > при этом интеграл в (17.8) заменяется суммой Ркв ЕхЛ)|ад)--о(ь,/;)|2 = nun г = 1, 2, L. (17.9) В выражениях (17.6—17.8) приняты следующие обозначения: О p(f) — весовая функция, которая по своему смыслу не можег быть отри- цательной (см. п. 17.2.6); О %>(f) — аппроксимируемая функция; О B(btf) —аппроксимирующая функция; □ b — вектор коэффициентов, b - Ь)....bk,..., Ь^}. Разность между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями B(b,f) = 6(D (17.10) называется ошибкой аппроксимации. Она может принимать как положитель- ные, так и отрицательные значения. Рассмотрим геометрический смысл этих мер (рис. 17.7).
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 339 17.2.4.1 . Чебышевская мера рчсб На рис. 17,7, с/ показан вариант чебышевской аппроксимации некоторой функции £(/) на ингервале Г = [yj, /^1 ПРИ условии, что максимум модуля ошибки аппроксимации |5(/)| не должен превышал» допустимой величины 8. Из рисунка и формулы (17.6) следует: О ошибка аппроксимации может достигать максимума как в одной точке, так и в нескольких; □ ошибка контролируется в каждой точке интервала аппроксимации F ; □ ни в одной точке интервала аппроксимации ошибка не превышает рЧиб. Все это означает, что чебышевская аппроксимация важна в тех случаях, когда необходимо знание ошибки в каждой точке интервала аппроксимации. На практике при использовании чебышевского критерия применяются чис- ленные методы, обеспечивающие выравнивание ошибки на интервале ап- проксимации (см. п. 20.3). |4(/) - А(/)| Рис. 17.7. Чебышевская (а) и среднеквадратичная (б) меры близости 12 Зак 165
340 Часть VI. Цифровые фильтры 17-2.4.2. Среднеквадратичная мера ркв На рис. 17.7,6 показан вариант среднеквадратичной аппроксимации той же функции £(/), что и на рис. 17.4,«. Из рисунка и формулы (17.8) следует прин- ципиальное отличие среднеквадратичной аппроксимации от чебышевской. Ошибки рет не контролируется в каждой точке интервала аппроксимации, поэтому вполне возможно, что в отдельных местах интервата аппроксима- ции абсолютное значение ошибки окажется недопустимо большим, в связи с чем не исключено получение физически невозможной передаточной функ- ции (если, например, в результате указанной ошибки полюс расположится на единичной окружности, то в цифровой цепи появятся незатухающие свобод- ные колебания, характерные для генераторов). Последним объясняется широкое использование чебышевской меры близо- сти в разнообразных задачах аппроксимации. Более того, именно чебышев- ский Критерий наиболее соответствует задачам синтеза цифровых фильтров. Среднеквадратичная мера близости обычно применяется вместо более слож- ной равномерной чебышевской, а также в задачах линейного предсказания (см. Лекцию 25) и в тех случаях, когда аппроксимируемая функция задаегся в виде графика или таблицы. В связи со сказанным, интересен следующий установленный эксперимен- тальным путем факт [29]: решение задачи чебышевского приближения всегда дает примерно ту же среднеквадратичную погрешность, что и решение зада- чи наилучшего среднеквадратичного приближения. Обратное же утвержде- ние неверно: наилучшее среднеквадратичное приближение, как правило, дает максимальную абсолютную погрешность, значительно превышающую по- грешность чебышевского решения. 17.2.5. Постановка задачи оптимального синтеза После того как мера близости р ЛЧХ и аппроксимируемой функции E>(f) определена, сформулированная ранее задача оптимального синтеза КИХ- фильтра может быть поставлена следующим образом: при ограничениях, диктуемых условиями задачи. найти такие коэффициенты b = {/»/.}. чтобы мера близости была минимальной р => min. Формально это записывается так: ограничения; р => min; ь b={b[,....bk....Ьк}. (17.ll)
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 341 Если р = рчсб, задача (I7.l I) с учетом (17.6) при замене f на со и F на П принимает вид: ограничения; max В(/мо)| = min; *=0.1....к. Подобно этому при р = ркв имеем: ограничения: J />(й)|уй)-В(Ь,ш)|" S1 ь ={/>*}. * = о. 1.к. (17.12) (17.13) Таким образом, в задачах оптимального синтеза можно выделить четыре ос- новных этана; I. Определение цели задачи и оценка возможности ее решения. Например, задача синтеза частотно-избирательного фильтра минимального порядка с абсолютно линейной ФЧХ, как будет показано в дальнейшем, может быть решена только в классе КИХ-фильтров. 2. Выбор критерия близости и соответствующего метода решения задачи (метода оптимизации). 3. Математическое описание оптимизируемой функции, которую называю! целевой функцией. 4. Установление ограничений, определяющих условия решения задачи, и их математическое описание. Подобные задачи, за редкими исключениями, аналитически не решаются, поэтому прн оптимальном синтезе используются эффективные численные методы (см. п. 20.3). Попутно заметим, что неоптимальные методы синтеза, которые также рас- сматриваются в данном курсе, не предполагают минимизации какой-либо целевой функции или нормы. Тем не менее, возможны постановки задач ап- проксимации, когда такие методы дают необходимые решения. В подобных случаях выбранные методы синтеза могут рассматриваться как оптимальные в определенном смысле. Например, полиномиальные БИХ-фильтры Баттер- ворта могут рассматриваться как оптимальные в смысле максимально пло- ской аппроксимации ампличудно-частотных характеристик (с.п. п. 23.1.2).
342 Часть VI. Цифровые фильтры 17.2.6. Весовая функция Решение задач аппроксимации требует введения весовой функции р(ю), за- висящей от частоты. Такая функция позволяет перераспределять ошибки по интервалам аппроксимации. Покажем, как это можно выполнить. Если р(ц>) -1, модуль ошибки аппроксимации (17.10) имеет вид: |5(й)-В(Л,Л)| = |8(Л)|. Если р((Ь) * 1, имеем взвешенную ошибку аппроксимации: р((о)|^(о>)- В(Ь,й>)| = |8(й)|. Рассмотрим влияние весовой функции на решение задачи. Пусть задача ре- шена, т. е. получено некоторое отклонение 5ор1, являющееся минимальным из всех максимальных отклонений на интервале аппроксимации Q min max|8(cb)| = 80rt. b £2 1 Это означает, что на всем интервале аппроксимации модуль взвешенной ошибки не превосходит 8opt р(ш)|^(«>) - В(В.&)| S 8ор[, Vtoe Q. Поделив неравенство на р(со), получим абсолютную погрешность аппрок- симации |6(а>)| = И-в(М5^8ор1. P(w)>k |£(й)-В(Ь,о>)|>-у^->8 J 1 Р(0)) ’ р(Л) < I. Отсюда ясно, как влияет весовая функция на погрешность аппроксимации; па тех частотах, где p(ib) > 1, погрешность аппроксимации |8(й))| нс превышает 8ор| ’ а »’Де Р((Ь) < 1, погрешность аппроксимации может превышать б()р(. Пример 17.1 Рассмотрим Ф11Ч (рис. 17,8), имеющий полосу пропускания =10:0.25л!. полосу задерживания £22=[0,4л;л] и, следовательно, переходную полосу
Лекция 17. Введение в цифровые фильтры 343 в пределах (0»25тс; 0,4л). Поскольку в переходной полосе погрешность нс контролируется, полосы пропускания Q, и задерживания Q2 являются ин- тервалами аппроксимации. Пусть для этого фильтра известны: оптимальное решение 8opt =0,05 и весовая функция И. шей,; [0,25го, toe Q2. Поставим задачу: найти влияние весовой функции на погрешность аппрокси- мации. Решение. На интервале = [0; 0,25л], где p(cb) = 1, погрешность аппрокси- мации не превосходит 8^ 8| (“)=- В(Ь, ь>)| < 8ор1 = 0,05. На интервале аппроксимации Q2 = (0,4л; л], где р(ш) = 0,25(0, погрешность может превосходить 8ор1 62 (го) = |£<го) “ Жго-«)| * 1 р(ю) 0,25ш поскольку 0,25Л< 1, (be Q2 =10.4л; л]. Например, на частоте (b,N = 0,432л погрешность достигает максимальной величины 82(cjh1)=0.1471, после чего оиа убывает. л/4«*-^0,4т Переходная полоса Рис. 17.8. Зависимость погрешности от весовой функции
344 Часть VI. Цифровые фильтры 17.3. Конструирование функциональной схемы цифрового фильтра функциональная схема ЦФ определяется, вообще говоря, двумя обстоятель- ствами: принадлежностью фильтра к КИХ- или БИХ-системам и методом синтеза. Например, в зависимости от метода синтеза БИХ-фильтры могут иметь как параллельную, так и каскадную структуру из звеньев первого и второго порядка. С другой стороны, каждое звено может быть представлено в прямой, канони- ческой или иной форме для выполнения дополнительных ограничений: сни- жения собственного шума фильтра, экономии памяти, повышения скорости вычислений и т. п. КИХ-фильтры также обладают разнообразием структур, пусть и меньшим по сравнению с БИХ-фильтрами. При реализации КИХ-фильтров с линейной ФЧХ вследствие особых свойств их импульсных характеристик, как будет показано в м. /8.2, обычно используют структуру, содержащую минимальное число умножителей, что позволяет существенно уменьшить собственный шум фильтра, Таким образом, синтез цифровых фильтров представляет собой достаточно сложную многопараметрическую задачу, в которой учитываются не только частотные или временные характеристики фильтра, ио и его технические и реализационные возможности.
Лекция 18 КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 18.1. Условия безыскаженной передачи сигналов При пост роении систем связи всегда стремятся к тому, чтобы сигнал переда- вался без искажения его формы. Рассмотрим условия безыскаженной пере- дачи сигналов во временной и частотной областях. 1. Во временной области безыскажснная передача сигнала означает, что ре- акция системы у(пТ) представляет собой копию воздействия х(пТ). От- сюда очевидно требование: значения у{пТ) должны быть пропорцио- нальны значениям х(пТ) с точностью до вещественной постоянной к. чему соответствует свойство линейности системы. Однако выполнение одного этого требования еще не гарантирует отсутствие искажения. Дей- ствительно, реакция всегда появляется с задержкой на некоторое время тт относительно воздействия. При выполнении первого условия форма сигнала не будет нарушаться, если все его составляющие получат одина- ковую задержку, т. е. задержка является постоянной тгвз = н0Т . Из сказанного следуют два условия безыскаженной передачи сигнала во временной области: • значения реакции системы должны быть пропорциональны значениям воздействия у(пТ)-кх(нТ), • время задержки сигнала должно быть постоянным тГ1П = п$Т . Па этих основаниях формальное выражение условий безыскаженной пе- редачи сигнала х(пТ) во временной области определяется соотношением у(нТ)~ к л[(н— нп)Т], (18.1) где к —коэффициент пропорциональности.
346 Часть VI, Цифровые фильтры 2. Условия безыскаженной передачи в частотной области нетрудно полу- чить из (18.1), если воспользоваться свойствами задержки и линейности преобразования Фурье дискретного сигнала (слт. п. 10.2): Пе^Т)=ке-^Х(е^Т). Следовательно, комплексная частотная характеристика цепи, обладающей свойством безыскаженной передачи, должна выражаться формулой Ще'шТ) = ^Ц-- = ке~^т. (18.2) Х(еу,“г) Это означает, что АЧХ такой цепи должна быть частотно-независимой (т. е. оставаться постоянной) в пределах заданной области частот, зани- маемой спектром сигнала, A(o) = |w(e>'’)| = i=const. (18.3) ее ФЧХ в этой же области должна быть линейной функцией частоты, по- скольку <р(W) = arg И (г>7) - -ninQT, (18.4) а групповое время задержки Tr>i=_^=„„r (18.5) г/со оказывается постоянным, т. е. начальные фазы всех частотных состав- ляющих сигнала получают пропорциональный частоте сдвиг, поэтому не нарушаются их фазовые соотношения: это приводит лишь к смещению начала отсчета времени на тгвз. В общем случае условия безыскаженной передачи (18.3) и (18.4) могут быть выполнены лишь приближенно, поскольку передаточные функции фильтров являются рациональными. Тем не менее, в классе КИХ- фильтров можно синтезировать фильтры, обладающие заданной АЧХ и строго линейной ФЧХ (18.4), а потому и постоянным ГВЗ (18.5). Покажем существование таких фильтров на простом примере. Пример 18.1 Найти фазочастотную характеристику КИХ-фильтра, описываемого переда- точной функцией H(z) = 0,5 + z '+0,5z"2.
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 347 Решение. Получим из передаточной функции комплексную частотную харак- теристику, для чего подставим z = : I! ) = 0,5 + cos(wT) - j sin(CoT') + 0,5cos(2(t>T) - j0,5 sin(2o)T). Отсюда вещественная часть Re{tf(<>" )} = 0,5 + cos(co7’)+О, 5со5(2йГ) = 0,5[1 + 2cos(cor) + cos(2ft>r)J, а мнимая часть 11П {// (е1'"7 >} = Hsin(o>'f)+O.5sin(2<or)] = -O.5[2sin((i>D + sin(2<oD]. По определению ФЧХ, имеем Re{//(fy“/')} 2sin(co7’) + sin(2co7’) Ф(о>) = arctg—?----. -~г = -arctg-----------------------. )} 1 + 2cos(uT) + cos(2toT) Рассмотрим аргумент арктангенса. 2sin(co7') + sin(2<j)7') _ 2sin(toT) + 2sin(coT)cos(co7') _ 1 + 2cos(cnT) + 005(20)7') 2cos(oT) + (1 + cos(2cd7')) _ 2sin((i)T)|l+cos(co7’)] _ 2sin(co7')[l + cos(tt)7')[ _((07’) 2cos(it>7’) + 2cos2(o>7') 2cos(<o7’)[l + cos(<i>7’)] откуда следует <p(o) = -arctg[tg(o7‘)] = -coT, ф(Ш) Рис, 18.1. Пример АЧХ (а) и ФЧХ (б) КИХ-фильтра 2-го порядка с линейно!) ФЧХ
348 Часть VI. Цифровые фильтры т. е. ФЧХ рассмотренного фильтра строго линейна, а групповое время за- держки Т|ИЗ (со) = -<р'(о>) ~Т = const постоянно. АЧХ и ФЧХ рассмотренного КИХ-фияьтра второго порядка пока- заны на рис. 18.1, а и б соответственно. Заметим также, что рассмотренная в примере передаточная функция фильт- ра, имеющего строго линейную ФЧХ. обладает особой структурой: ее коэф- фициенты симметричны: Ьо =Ь2 =0,5. 18.2. Теорема о КИХ-фильтрах с линейной ФЧХ Рассмотренный ранее пример показывает, что □ существуют КИХ-фильтры. обла чающие строго линейной ФЧХ; □ коэффициенты передаточных функций (а потому и отсчеты импульсной характеристики) таких фильтров должны обладать определенной симмет- рией. Приводимая ниже теорема1 и следствия из псе устанавливают условия, при которых КИХ-фильтр обладает линейной ФЧХ. Теорема: Пусть имеются два многочлена D(z)= S 4Г' и 0(7"')= X d,^ , i=O i = 0 где: Ф— вещественные коэффициенты; D(z)— минимально-фазовый многочлен, т. с. его нули лежат в пределах единичного круга z-плоскости (см. п. б.б). Тогда цифровой фильтр с передаточной функцией //(?) = £6,<' = D(;)±z "D(z"‘) (18.6) i О при условии, что K>/VD-1. (18.7) 1 Теорема 'юкннша совместно ироф. Ланн*) Л. А. и доп. Улаховичсм Л. А.
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 349 имеет строго линейную ФЧХ вида ф(со) = - + (-[/'л + , А = 1,2... ш = {0,1} во всем диапазоне частот 0Sto^co;i/2 с точностью до скачков фазы на л радиан на тех частотах со*. где АЧХ принимает нулевое значение. Доказательство. Исследуем частотную характеристику (ЧХ), соответст- вующую (18.6): H(eJmr') = D(ejtor)±eJi”ntD(e->tor) = = |D(e-'“r)|£-'<₽'1<й» +е >“пг|р(е-7ш7 )|е-Л’о<«|> Функции Dfe7^) и О(е~7"‘Г) являются комплексно-сопряженными, вслед- ствие чего их модули равны |о(е7а1Г)| = |о(е-7Ш/)|, и тогда при обозначении фо = фр(со) ЧХ принимает вид г I ttiT I -j— /фо<ш)+^“П //(4?;шГ) = |о(4?Л0Г)|е 2 4?' 2 J±e? I 2 J . (18.8) Рассмотрим (18.8) отдельно при знаках (+) и (-), стоящих в квадратных скоб- ках перед правой экспонентой. 1. Если стоит злак (+)>т0 ЧХ имеет вид ( х _ _ .coTft Фо(<1>) + ^ |е 1 2 = В, (<?''"’ )<? ‘ 2 , (18.9) где В+ (е'иГ ) = 2| D(c>’r )| cos ( фо (<о) + (18.10) представляет собой амплитудную функцию,, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения, что зависит только от зна- ка косинуса. Амплитудно-частотная характеристика запишется как мотуль амплитуд- ной функции А(в») = |нДеуш7' )| = |й+ (е>Г )| • (18.11)
350 Часть VI. Цифровые фильтры Отсюда ясно, что АЧХ принимает нулевые значения на тех же частотах, на которых B+(ejwT) = 0. Это будет только в тех случаях, когда cos(vD(cot) + ^-^ = 0, 4 = 1.2...................... т. е. на частотах сох., удовлетворяющих равенству Фо(»л) + ^ = (2А-')^, 4 = 1,2,... На этих частотах происходит смена знака косинуса, вызываемая последо- вательным приращением сто аргумента на -л или на +тс радиан. Смена знака косинуса тождественна умножению )| ,,а = п, по- этому ФЧХ в исследуемом случае получает вид <М“) = -^~ + (-1)‘л, 4 = 1.2......... ,и = о. 2. Если стоит знак (-), го в этом случае ЧХ имеет вид WJ^“r) = 2j|D(t>,'’)|sin^<pD(Q) + ^yy 2 = = в+(^)Л 2 ч где приращение ФЧХ на п/2 следует из равенства j = е^2. Здесь знак амплитудной функции В_(е^г) = 2|D(eJ<"r)|sinf ф„(о) + -™'| (18.12) (18.13) (18.14) определяется знаком синуса. Амплитудно-частотная характеристика Л(с») = |//_ (е>г )| = |й_ (е'1,,г )| (18.15) принимает нулевые значения на тех же частотах, на которых ^JidT ) - 0, что возможно только в тех случаях, копа . ( , х «’Т'Н Л Sin cpD(to) + —— = 0, т. е. па частотах ц>., удовлетворяющих равенству ф„(п^) + ^^ = 24л, 4 = 1.2,...
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 351 На этих частотах происходит смена знака синуса, вызываемая последова- тельным приращением его аргумента па -л или на +л радиан. Смена знака синуса тождественна умножению |/? на -1 = е^ л, поэто- му, как и в предыдущем случае, ФЧХ можно записать в виде (р_ (to) = - + (-1/ л + . k = 1, 2. ш = 1. (18.16) Объединение (18.12) и (18.16) окончательно дасглинейную ФЧХ ф(€0) = -Мга +(-1)*я + от-^. к = 1,2. яг = {0.1}, (18.17) где m =0 для случая I и m -1 для случая 2, что и требовалось доказать. Покажем, что введенное в теореме ограничение R>ND-1 справедливо, для чего обратим внимание на второе слагаемое в (18.6). Многочлен £)('“*). будучи рациональной функцией от z, физически невозможен (не- реалнзуем) в силу невыполнения условия причинности. Для того чтобы передаточная функция //(г) была физически возможной, необходимо, чгобы физически возможной была и функция z RD(z ’), что достижимо лишь в том случае, когда z‘RD(z~f) станет функцией от г"’. Следова- тельно, если порядок D(z~l) равен ND-1, то значение R должно быть, во-первых, не менее ND-l и, во-взорых. целым, поскольку являет- ся рациональной функцией от г-1- Таким образом, показана справедли- вость введенного в теореме ограничения (18.7) R>Nd-\. Примечание Можно покачать, что рассмотренные условия являются не только необходи- мыми. но и достаточными, а теорема справедлива и для неминимально- фазового многочлена D(z). Доказанная теорема позволяет вывести ряд практически важных следствий. Следствие 1: Соотношение (18.17) порождает два типа качественно различных ФЧХ: 1. ф+(т7’) = -^^ + (-1)лл; 2. ф_(шГ) = -^у-Я + (->)*’1 + ^.
352 Часть VL Цифровые фильтр1 Первый тип фазочастотных характеристик, исходящих из начала координат, тс соответствует знаку (+) в (18.16): второй тип ФЧХ. исходящих из точки —, 2 соответствует знаку (—) в этом же выражении (рис. 18.2). Следствие 2: Скачки ФЧХ па л радиан возможны только в полосах задерживания и пере- ходных, где АЧХ может принимать нулевые значения. На рис. 18.2 показаны варианты линейной ФЧХ фильтра нижних частот при N = 11 для (+) (рис. 18.2, <г) и полосового фильтра при W = 16 для (-) (рис. 18.2, б) в (18.8). Точками обозначены частоты со*, на которых А(с\) = О, и потому имеется скачок фазы на ±л. Па рис, 18.2.б видно, что одна из таких частот (cb4) принадлежит переходной полосе, а на первой частоте ц -0 имеются два скачка; на -л (поскольку к = 1) и на л/2 (вариант ФЧХ тина (p_(o)T)). по- этому общий скачок на cbj составляет -л/2. Рис. 18.2. Варианты линейной ФЧХ
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 353 Следствие 3: Групповое время задержки фильтра с линейной ФЧХ постоянно и равно , N-~\ Т1 вз (°>) = -Ф (°) = —— Т = consl’ причем в зависимости от значения N (нечетное или четное) выделяются две группы фильтров: одна из них обладает задержкой на целое число периодов дискретизации Т (N нечетно), другая — на целое число периодов дискрети- зации Т плюс полпериода дискретизации ( N четно). Прежде чем формулировать следствие 4, рассмотрим несколько примеров конструирования передаточных функций КИХ-фильтров с линейной ФЧХ. Пример 18.2 В качестве исходного возьмем многочлен первого порядка D(z) = 0,5 + 0.5z"’. Соответствующий ему многочлен по положительным степеням г имеет вид £>(z“') = 0,5 + 0,5z. Запишем согласно теореме переда точную функцию фильтра с линейной ФЧХ H(z) = D(z) + z RD(z“1). (18.18) По поскольку R должно удовлетворять условию (18.7) где Nd - 2, выберем R = 2. Тогда получим tf(z) = O.5 + O.5z"'+z“2 (0.5 +0,5г), откуда H(z) = 0,5+z~'+0.5z~2, что совпадает с передаточной функцией из примера 18.1, в котором показано, что ФЧХ такого фильтра строго линейна. Если в (18.18) вместо знака (+) взять знак (-), то при /? = 2 получим (предла- гается проверить это самостоятельно): tf_(z) = O.5-O,5z2, гзе ФЧХ также линейна.
354 Часть VI. Цифровые фильтры Пример 18.3 Теперь в качестве исходного возьмем многочлен второго дорячка общего вида D(z) = dt, + dl2,+dlZ-2. у которого /? = /Vd-i = 2. Рассмотрим различные варианты передаточной функции, которые можно отсюда получить при /?>2 и противоположных знаках в (18.6). Решение. 1. К = 2.знак(+): Z ^0(2“') = Z 2(d0 +£/,£ +r/2-2) = 4)Z 2 1 + отсюда получаем возможную передаточную функцию H(z) = D(z)+z~2D(zl) = dlt + d1Z~l + d2z~2+d(lz~2+dlz~1 + d2 = ~(.dQ + (l2) + 2dlz 1 + (dG + d2)z 2 -fy) + Z>|Z 1 + ^z 2 c симметричными коэффициентами относительно £>| (как и в приме- ре 18.2). на который приходится центр симметрии. 2. R = 2, знак (-): в этом случае передаточная функция Н(г) = dm + г"2D(Z*1) = d0 + dtz 1 + d2z'2 - d0z~2 - d, г 1 - d2 = = (d0 -d2) + Oz“' -(rf0 -d2)z~2 = (d(t-d2)-(d0-d2)z~2=b0-b0z~2 имеет антисимметричные коэффициенты относительно bt. т, е, отли- чающиеся только знаком: причем средний коэффициент при N-] •> -1 z * =z по условию антисимметрии равен нулю. 3. /? = 4,знак(+): z RD(z~X) = + +d2z2) = d{)z~A+d}z * + d2z~2\ передаточная функция W(z) = О(г) + г’4О(г“!) = с70 +J|Z~’ + d2z‘2 + </0z-4 +d{z~* + d2z~2 = = +^z~2 +61z"3 + ^)z“4 обладает такой же симметрией коэффициентов, как и в первом случае, что легко проверить, если найти связи между коэффициентами dt и bk .
Лекция 1в. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 355 4. R = 7. знак (-): ; лО(г",) = Г7+rf,z' +rf2z2) = rf„z-7 + + rf2z"5; передаточная функция в этом случае имеет вид (проверьте саыостсм гелыю) H(z} = bn + blz~t +&2Z-2 -b2z"5 -l^z 6 -b^z'1, т, е. ее коэффициенты характеризуются тем же свойством ан гисиммс грин, как и в случае 2. Рассмотренные примеры подтверждают существование двух подклассов КИХ-фильтров с линейной ФЧХ, которые отличаю тся характером симметрии коэффициентов передаточной функции, Именно симметрия коэффициентов (или отсчетов импульсной характеристики, что одно и го же) КИХ-фильтра является признакомлинейности ФЧХ, вытекающим из доказательства теоремы. Следствие 4: Цифровой КИХ-фильтр облачает линейной ФЧХ, если коэффициенты его передаточной функции симметричны bk =>>»-,-к (18.19) или антисимметричны (18.20) Учитывая, чэо коэффициенты передаточной функции КИХ-фильгра пред- ставляют собой отсчеты его импульсной характеристики, записанное правило обычно формулируют иначе: цифровой КИХ-филынр обладс/ет линейной ФЧХ с точностью до скачков па к рад па частотах, где A Ч¥равна нулю, если его импульсная характеристика симметрична l,k=llN-i-k (18.211 u'iu антисимметрична hk=-l',V-tk- Покажем общую справедливость этого правила, для чего запишем выраже- ние (18.6) в развернутом виде. H(z) = d„ +£/,.<' +d2z-2 +... + </A,(i..,z4w“” + г"|</0 + d,z + d2z2 + +-+<у„-.г1Л'я'”1 = = </„ + rf]Z 1 + d2z~2 +... + rfv„.1z''A’D4> ± ±W,Z" +d2<(R-2’ +... + dND_,z.-,R-N'>^ I.
356 Часть Vi. Цифровые фильтры При выполнении неравенства R>ND -1 все показатели степени комплексной переменной г отрицательны; нетрудно также видеть, что общее количество слагаемых, включая и нулевые (!), равно R +1; другими словами, длина N импульсной характеристики (или число коэффициентов) фильтра равна R +1: N = R +1, как и должно быть. Для получения коэффициентов Ьк, или отсчетов импульсной характеристики hk -Ь/., приведем в //(г) подобные члены. Тогда при обозначениях i-R- Nd + V или R = 1 имеем: □ для t-го члена d,z" =d,z" ±rfWl,-|Z“' = (rf, ±dNn_l)z l □ для (i +1 )-го члена j -<<+l> Л..1 ~~(Я_Л^+2> _j -I + J -1 —(si +sl flj-Z ±«(ArD_|)_[Z -UjZ ±aNi}_}Z -(«/+[ Tf,ND-2fz ИТ. Д. Из полученных соотношений следует, что bt = hj- (ф ± dND_]); ^г+i =ht+} =(^i+i и для произвольного к-го члена =fyt = *=0,1....................(18.23) причем если k>ND-l и/или к-i<0 (т. е. k<i = R-ND +1), то dk =0 и/или поскольку все коэффициенты с такими индексами в передаточной функции N-\ , "(z) = к=0 равны нулю. Найдем значения коэффициентов (или отсчетов импульсной характеристи- ки), равноостоящих от центрального коэффициента, для чего рассмотрим вы- ражение (18.23) для суммы и разности при индексах к=0 и k = R, к = 1 и к = R-l, k = i и к = R-i:
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 357 1. При суммировании для соответствующих индексов получаем: fyj =Ло =rf0 +^лГд-|+| =^0 +(^R' ] . -ь -я 4-л J.h =>/1о=А« и bo=bR’ bR~llR~dR + о ,vD~i- ( r-о - Ов + Ц) J - /?1 - + ^;vD-i+/.-i -dt+ dR_t; bR-i ~bR-i =dg-i +df/D^l =^b-i + <A =>Л1=Ав-1 и *i=*b-i; i>=A,=rf(+rfWD-i: bR-i =bR-i =^R-i + d ND-l~iR-2i> =dN0-l +th 2. При вычитании, с учетом рассмотренного в первом пункте, получаем: dR; bR =bR = dR ~d0 => I’o ~ bR и *%=-*«; fc, =ft = d,-dR_,-. 1 Г=>А1=-Л1 bR-l = I'R-l = r‘R~l ~ J И b| 6/=ft. =rf. , . =Лк-1 и b,=-bR4. bR-^dNu-i+di J Все вышеизложенное подтверждает справедливость приведенного рапсе ут- верждения о двух типах симметрии импульсной характеристики в КИХ- цепях, обладающих линейной ФЧХ: Л1=±Лкч=±^и- При этих условиях передаточная функция может быть записана в виде R . R H(Z)= X [rft ±dN ,_(М|г^ = X Ллг-*, (18.24) k^O t=D где i = /?-JVp + l, dk — коэффициенты исходной передаточной функции. Если в правой части (18.24) перейти к принятым для передаточной функции обозначениям, окончательно получаем: N-1 Л-1 ад=Хй1г-' = У^-/ (18.25) 1=0 /=о при условиях Лп=±А^кн=±^-1-я. где знаки (+) и (-) соответствуют знакам в (18.6).
358 Часть VI. Цифровые фильтры Следствие 5: J5 зависимости от четности ши нечетности порядка R (соответственно нечетности и четности длины импульсной характеристики N), а также от симметричности ши антисимметричности коэффициентов передаточ- ной функции (отсчетов импульсной характеристики) существуют четыре типа КИХ-фильтров с линейными ФЧХ. что показано в табл. 18.1. Таблица 1S.1. Тины КИХ-фильтров с линейной ФЧХ Длина импульсной характеристики (число коэффициентов) Л' Порядок фильтра R-N-1 Импульсная характеристика Симметричная Антнсимме гричная Нечетная Четный Тип 1, т = 0 Тип 3. т = 1 Четная Нечетный П ни 2, HI = 0 Тип 4, т = 1 Частотные характеристики этих фильтров изучаются в п. 18.4. а их свойст- ва— в п. 18.5. 18.3. Структурные схемы КИХ-фильтров с линейной ФЧХ Свойства симметричности коэффициентов (импульсной характеристики) позволяют построить структурную схему КИХ-фильтра с линейной ФЧХ, имеющую практически в два раза меньше умножителей, чем структурная схема КИХ-фильтра с произвольной ФЧХ. Уменьшение числа умножителей приводит, во-первых, к увеличению быст- родействия и, во-вторых, к существенному уменьшению собственного шума фильтра, а потому и к увеличению его динамического диапазона. Покажем пос 1 роение таких схем на двух простых примерах. Пример 18.4 Построим структурную схему фильтра при N = 9 (/? = 8) с симметричной импульсной характеристикой (симметричными коэффициентами) h( = , или bg = .
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 359 Решение. Таким условиям соответствует фильтр типа 1 (см. табл. 18.1). пере- даточная функция которого имеет вид H(.z) = bB + l>lz~'-b2z~2+b4z~i-b4z 4 + fe3z"5-ft2z"6+*lz’7 + ibz'8. Объединим члены передаточной функции, имеющие одинаковые коэффициенты: Щг) = ^(1 + г 8) + ^(г '+z"7)-/>2(z"2 + z“6) + ft3(z“:' + z'5)-64z_4. Полученную передаточную функцию и соответствующую ей схему будем называть приведенными. Приведенная передаточная функция имеет 8 сложений, как и в исходной, и только 5 умножений, в то время как в исходной было 9, т, е. число умножи- телей в структурной схеме (рис. 18.3) сократилось практически в два раза. Для приведенных структур КИХ-фильтров типа I число умножителей окаты- вается равным (N +1)/2. Примечание Приведенная структура КИХ-фильтра типа 3. имеющего нечетное Л п атн- ciiMMeipH’Hiyio ИХ. будет иметь умножителей, поскольку централь- ный коэффициент ^(iV+|j/2
360 Часть VI. Цифровые фильтры Пример 18.5 Построим приведенную структурную схему фильтра при N =8 (Я = 7). с симметричной импульсной характеристикой (симметричными коэффициен- тами) = /? 7_. или Ь{ - Ь-]_(. Решение. Таким условиям соответствует фильтр типа 2 (см. табл. 18.1), пере- даточная функция которого имеет вид Н (z) = Ah + г-1 - b2z~2 + l%z~3 + Ajz-4 - + fyjZ-7 - Поступим так же, как в предыдущем примере; тогда получим приведенную передаточную функцию M(z) = fc0(l + z"7) + fc1(z’1 + z’<i)-62(z“2 + z“5) + ^(z"3 + z"'). у которой число умножений ровно в 2 раза меньше по сравнению с обычной прямой структурой; поэтому количество умножителей в приведенной струк- турной схеме (рис. 18.4) также сократилось вдвое. Рис. 18.4. Приведенная структурная схема КИХ-фильтра типа 2
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 361 Примечание Приведенные структуры КИХ-фильтров типов 2 и 4. имеющих четное N, всегда будут иметь N/2 умножителей, поскольку fc(Jvy2bl = ±^Л/2 (знак (т) со- ответствует типу 2; (-) — типу 4). 18.4. Частотные характеристики КИХ-фильтров с линейной ФЧХ Согласно теореме из п. 18.2, существует четыре типа КИХ-фильтров с линей- ной ФЧХ (с.м, габл. 18.1). Понятно, что различие в характере симметрии ИХ и четности/псчстности значения N должно приводить и к различию свойств соответствующих фильтроа. Например, одно из различий, указанное ранее, касается ФЧХ; фильтры с антисимметричными ИХ имеют начальную фаз) -л/2, что видно из (18.17). Действительно, АЧХ таких фильтров па частоте 6= 0 всегда равна нулю и, следоаатсльно, ФЧХ имеет первый скачок иа -л. к которому добавляется л/2 . Поставим задачу найти явные выражения для частотных КИХ-фильтров с линейной ФЧХ. С этой целью, исходя из (18.9) и (18.13), запишем ком- плексную частотную характеристику в общем виде (N-1. я) /А-1. л) -л----tii-wi— - Л--ы-т— Н(е^ = В(е^е ' 2 2J = Z?(w)e V 2 2\ (18.26) где. как и ранее, т = {0,1}. Заметим, что из (18.26) следует важное соотношение между АЧХ и ампли- тудной функцией: Л(6) = |//(<>)| =|В(&)|, которое говорит о следующем (рис. 18.5): □ на частотах, где/?(сЬ)>0, АЧХ в точности равна амплитудной функции, что возможно только в полосе пропускания: □ на частотах, где Z?(cb) < 0, АЧХ раана модулю амати |удной функции; зна- чения В((Ь) < 0 возможны только вне полосы пропускания (т. е. в полосах задерживания, в первую очередь, а также в переходных полосах, посколь- ку для последних, как известно, требования не задаются), где амплитудная функция может неоднократно менять знак, а каждая смена знака приводит к скачку ФЧХ на ±л (рис. 18.5).
362 Часть VI. Цифровые фильтры Рис. 18.5. Графики: амплитудной функции (л), АЧХ (о), ФЧХ (г*) Сказанное ранее можно компактно записать в виде соответствия „ I л- । ffl(cb). в полосе пропускания; Л(й)=/7(е"")= 1 ' (18.27) 1 1 (|В(<»)|. вне полосы пропускания, Для решения поставленной задачи представим передаточную функцию W(z) в развернутом виде //(;) = й() + й,г ,+...±A1z“l^l>±it<'i
Лекция 18. КИХ-филыры с линейной ФЧХ 363 и перейдем к комплексной частотной характеристике Н (е*) = l>u +bie~Ji‘ +... + ± (18.28' где знак (+) соответствует симметрии, а знак (-) — антисимметрии коэффи циентов {/?,}, Рассмотрим талое выражение (18.28) при четном и нечетном порядке R. С целью удобства анализа преобразуем (18.28) к более наглядной форме, для чего вынесем за скобки и после объединения слагаемых с одинаковыми коэффициентами fy имеем В дальнейших преобразованиях будем пользоваться известными формулами Эйлера: □ для случая симметрии + е~*к1Л = 2cos(A6)); □ для случая антисимметрии елй= 2ysin(Ao>). Проанализируем выражение (18,29) отдельно для симметричного и антисим- метричного соотношения коэффициентов. 18.4.1. КИХ-фильтры типа 1 и 3 Комплексные передаточные функции КИХ-фильтров типа 1 и 3 имеют не- четную длину Л1’ (чешый порядок /?), но разную симметрию импульсной характеристики (см. maai. 18.1): П фильтры типа 1 обладают симметричной ИХ (симметричными коэффици- ентами b, = bN_l4): П фильтры типа 3 обладают антисимметричной ИХ (антисимметричными коэффициентами fy
364 Часть VI, Цифровые фильтры 18.4.1-1- КИХ-фильтры типа 1 В этом случае (18.29) запишется в виде R. Г / ч ' ( R 2/^ cos! —со Н}(е&) = е или Н}(е^ = е~'^ (18.30) Обозначим 2Ьк = ,2.11к = ак и ащз =Ьк/2 =^r/2'-> тогда ЧХ фильтра типа 1 при- мет окончательный вит //i(eJ“) = e ‘г £ ax.cos|jK-^<a (18,31) откуда имеем: амплитудную функцию В (18.32) амплитудно-частотную характеристику (18.33) фазочастотную характеристику" ф1(и)) = — ytb (18.34) и группоаос время задержки TlrM=-rflP'(“- = -7~- (18-35) 1гю 6/0) 2 равное цело чу числу периодов дискретизации. 2 Здесь и далее формулы ФЧХ танисыяакггсм с точностью до скачка фазы па Л на тех часто- тах. где АЧХ равна нулю.
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 365 18.4.1.2. КИХ-фильтры типа 3 При антисимметричной ИХ (антисимметричных коэффициентах) выражение (18.28) примет вид: -J—ш Н^) = е г j 2Ь0 sin + 2bK sincb J”1 где коэффициент Ьк =0 (см, пункт 2 списка из примера 18.3). 2~* Учитывая равенство j = eJ1^2, имеем: частотную характеристику КИХ-фильтров типа 3 , „ \R 1 Й3(<?;“) = И • “* = 2bk • (18.36) амплитудную функцию B3(ct))= ak sin амплитудно-частотную характеристику А,(й» = | (18.37) (18.38) фазочастотную характеристику ф3(б)) = —+ у (18.39) и групповое время задержки 4()) Зпв do 2 равное целому числу периодов дискретизации. Пример 18.6 Получить формулу ЧХ фильтра типа 3 при N = 5. Выражение (18.28) при заданной длине ИХ (количестве коэффициентов) принимает вид: Н(е&) = + bie~J& - - Лье“-'4(Ь,
366 Часть VI. Цифровые фильтры поскольку порядок /? = 4 и коэффициент /72=0. Вынесем за скобки e-j{Rl2)»3 =e-J2(b = e--'2'a(b0ej2": + lv-~ & - bp* - Ь^е^} и приведем подобные члены И(е^) = e~i2io[\(£'-"’ -е~12Л) + *,(е1Си -Jfc)]. После применения формулы Эйлера получаем Н(е^) = je~j2& [2^ sin(2<b) + 27,, (sin Л)] = = je j2G1 2Z>osin^ — 0^6)4-2^ sin^-l'jd)^ = ie i2ta 2/^sin^-^-0^d) + 2ftjSm^-y-l^(j)J. Отсюда при обозначениях cif. =2bk и пределах изменения к от 0 до (/?/2) -1 = 1 имеем искомую формулу //3(eJ“) = <-l2 оЛ sin [(2 - А )6>]. Л=0 18.4.2. КИХ-фильтры типа 2 и 4 Комплексные передаточные функции КИХ-фильтров типа 2 и 4 имеют чет- ную длину N (четный порядок R), но разную симметрию импульсной ха- рактеристики (см. табл. 18.1): П филыры типа 2 обладают симметричной ИХ (симметричными коэффици- ентами =bA._t_f); □ фильтры типа 4 обладают антисимметричной ИХ (антисимметричными коэффициентами £>. =-бЛМЧ). Вновь обратимся к выражению (18.28) и запишем его с учетом соответст- вующей симметрии двух центральных слагаемых: К-I. .Я-t. //(?6)=^+&,е->й + ... + Ьк_/' 2 '‘±bK-le ' 2 ' ±-±lbe i{R "{'l±^~i,!t’- ~2 2~
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 367 Как и ранее, вынесем за скобки е 2 , но в данном случае величина R/2 не является целой: R N-1N 1 2 ~ 2 ~ 2 2* что приводит к существенном}- изменению свойств фильтров. Для единооб- разия записи частотных характеристик КИХ-фильтров воспользуемся тожде- ством R /?-1 1 Тогда выносимый за скобки множитель примет вид е v 2 2' , а комплекс- ная частотная характеристика преобразуется в форму: откута после объединения cnaiae\twx с одинаковыми коэффициентами получим Как и ранее, проанализируем последнее выра'кение отдельно для симметрич- ного и антисимметричного соотношения коэффициентов. 18.4.2.1. КИХ-фильтры типа 2 В этом случае из (18.39) при знаке (+) получаем: //2(cJ”) = e 2 2^г £ fetcos[p^+|-^o> 118.42)
368 Часть VI. Цифровые фильтры или Н2(е^) = е~}^12 ^cos^-^wj. (18.43) Вновь обозначив = 21%, приходим к выражению для ЧХ фильтра типа 2 Н2(е^") = е*2' £0|tcos|J-y-4p) подобное выражению (18.31), откуда имеем: амплитудную функцию R В2(со) = У cos | — -к |6) л-о Ц 2 ) (18.44) (18.45) амплитудно-частотную характеристику А2(6) = |в2(й)| = (18.46) фазочастотную характеристику ф2(Л) =-^-^-5-+^й = —(18.47) и групповое время задержки 2|"' Ло 2 2 2 2 равное целому числу периодов дискретизации плюс половина периода: на- пример, при N=6 т2пн = (3 - 0,5)Т = 2,5Т = 2Т + 0,5Г . 18.4.2.2. КИХ-фильтры типа 4 В этом случае из (18.41) при знаке (-), подобно примеру 18.Э, нетрудно получить W4(£>J&) = e 'I 2 2> /|2/A)sin^^-i + ^wj+ +2i) sinff + | - И* I+- + 2*кч sin(
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 369 или при ak =2bk и пределах изменения к от 0 до (/?-1)/2 (18.49) что после перестановки слагаемых в показателе степени и упрощения выра- жения в скобках даст (18.50) откуда имеем: амплитудную функцию К-1 (18.51) амплитудно-частотную характеристику (18.52) фазочастотную характеристику, подобную ФЧХ фильтра типаЗ вследствие антисимметричности ИХ, z л к /? А 71 Z 1 Г "1 V Ф4(со) = -—со+— (18.53) и группоаое время задержки, аналогично ГВЗ фильтра типа 2, гп Ао 2 2 2 2 18.5. Свойства КИХ-фильтров с линейной ФЧХ Рассмотренные выше четыре типа КИХ-фильтров с линейной ФЧХ обладают разными комплексными частотными характеристиками и потому неодинако- выми свойствами. Различие указанных фильтров состоит, прежде всего, в принципиальных возможностях аппроксимации конкретной АЧХ. Оказы- вается, что не любой из них годится для реализации произвольной избира-
370 Часть VI. Цифровые фильтры тельное ги. Аппроксимационные возможности, заключенные в конкретном типе фильтров, определяются теми значениями амплитудной функции (или АЧХ). какие опа приобретает на границах основного частотного диапазона, т. е. на час гагах С') = 0 (/ = 0)и со-л (/-), независимо от значений коэффициентов ак , а нагому и аг значений коэффшгпептов Ьк (отсчетов импульсной характеристики). 18.5.1. Свойства КИХ-фильтров типа 1 Запишем АЧХ (18.33) н Л,«о) = |в|(£>)| где а^/2 = Л^-2 ’ и при обозначении 0(Acb) = cos^ — -lc jroj проанализируем ее значения па частотах со-О и (Ь = л: П на частоте <Ь = 0 функция ф(Л<Ь)|й =1, поэтому значение А|(0) = полностью определяется коэффициентами ак, т. е. коэффициентами Ьк фильтра (ак = 2Ьк ); □ на частоте о> = л функция 9(Дй)|(.)=я =±1, а именно: если — чет- ное. го ф(Аб))^_п = 1; если -Jtj— нечетное, го 6(Л(Ь)||Ь_и =-1. Это означает, что при б)=п значение АЧХ также определятся только коэффи- циентами ак или Ьк , т. е. отсчетами импульсной характеристики фильтра. Проанализируем фазочастотную характеристику. Из формул ФЧХ (18.12) и (18.34)след\ет: □ начальная фаза ф|(0) = 0; □ пабег фазы (с учетом ее скачков на ±л) в основной полосе час гот состав- ляет целое число л и равно W-1 Ф1(Я)=----уя.
Лекция 18 КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 371 если количество скачков черное, и Z х ^-1 ф,(Л) =—~л-л, если количество скачков нечетное. Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа Г. 1. Возможна реализация фильтров произвольной избирательности (низко- частотной, высокочастотной, полосовой, режскторной, многочастотной), а также цифровых амплитудных корректоров. 2. Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе равна целому числу периодов дискретизации 18.5.2. Свойства КИХ-фильтров типа 2 Воспользуемся выражением (18.46) и запишем аргумент косинуса с учсгом равенства R = N -1 Вновь произведем анализ АЧХ на частотах (й=0 и б) = л. При <Ь = 0, как и для фильтров типа 1, значение А2(0) полностью определяется коэффициен- тами ак, т. е. отсчетами импульсной характеристики фильтра, поскольку cos(O) = 1. А вот на частоте со = л независимо от коэффициентов А(л) = 0. Действительно, аргумент косинуса содержит разность целого числа N , _ , —* и дроои 1/2, поэтому при со = л аргумент приобретает значение ( л') ( л А I l> а cos = 0, что говоРит ° невозможности конструиро- вания высокочастотных и режекторных фильтров на базе фильтров тина 2. 13 Заж. 165
372 Часть VI. Цифровые фильтры Из формул ФЧХ (18.12) и (18.47) следует: П начальная фаза ф2(0) = 0; □ набег фазы (с учетом ее скачкоа на ±л) в основной полосе частот состав- ляет целое число л плюс л/2 , ч W-l N 1 Фг(л) =--^~п"~^л+2Л‘ если количество скачкоа четное, и целое число л минус л/2 ч 7V-1 N 1 ф2(7Г) =-—7Г-Л = -—ТС—Л, если количество скачков нечетное. Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа 2: 1. Возможна реализация только низкочастотных и полосовых фильтров. 2. Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе (18.48) равна целому числу с половиной периодов дискретизации Т _N~lT_N_T Т Т2гв’ 2 2 2 ’ 18.5.3. Свойства КИХ-фильтров типа 3 Формула АЧХ (18.38) КИХ-фильтров типа 3 содержит функцию sin(a), аргумент которой а представляет собой произве- дение целого числа (— -к | на со. Это означает, что на частотах со=О и '2 > й) = тс sin(a) = 0. Следовательно, АЧХ КИХ-фильтров типа 3 на указанных частотах всегда равна нулю независимо от значений ак, т. е. независимо от значений отсчетов импульсной характеристики Aj(0)= А3 (тг) — О,
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 373 что говорит о невозможности конструирования низкочастотных, высо- кочастотных и режекторных фильтров на базе фильтров типа 3. Поэтому рассматриваемые фильтры могут быть только полосовыми. Из формулы ФЧХ (18.39) с учетом скачков фазы на ±л следует: □ начальная фаза Фз(О) = ~л/2; действительно, на частоте ci) = 0 А3(0)~0, поэтому имеет место скачок фазы на -л и .—ч /? Л Л ф3(0) = --0 + у-л = --; □ набег фазы (относительно начальной фазы) в основной полосе частот со- ставляет целое число л и равно W-1 Ф3(л) =--— л, если количество скачков (включая скачки на частотах со = О и со-л) нечетное, и ч W-l W + 1 ф3(л) = —-—л + л - —-—л, если количество скачков четное. Из вышесказанного вытекают свойства КИХ-фильтров типа 3: 1. Возможна реализация только полосовой избирательности. Однако по- скольку ФЧХ (18.39) на всех частотах сохраняет сдвиг на л/2, фильтры типа 3 обычно применяются для синтеза преобразователей Гильберта и дифференциаторов (aw. Лекцию 21). 2. Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его входе равна целому числу периодов дискретизации ^Згвз 2 ‘ ' 18.5.4. Свойства КИХ-фильтров типа 4 Запишем в выражении (18.52) аргумент синуса так, как это сделано в (18.49):
374 Часть И. Цифровые фильтры Видно, что sin! = 0 lfo=o sin I поэтому Л4 (0) = 0 независимо от значений коэффициентов а^, а следова- тельно, и от значений отсчетов ИХ. С другой стороны, Д4(л) полностью определяется коэффициентами ak (отсчетами ИХ), что говорите невозмож- ности конструирования низкочастотных и режекторных фильтров на базе фильтров типа 4. Из формулы ФЧХ (18.53) с учетом скачков фазы на ±л следуег: □ начальная фаза Ф4(0) = -л/2 (объяснение этого факта см. в п. 18.5.3)-, □ набег фазы (относительно начальной фазы) в основной полосе частот со- ставляет tf-1 N 1 <р4(л>=—— если количество скачков (включая скачок па частоте w=0) нечетное, и 7V-1 N-2 1 <M*) = —— * + *=— если количество скачков четное. Из сказанного вытекают свойства КИХ-филыпров типа 4: 1. Возможна реализация фильтров только высокочастотной и полосовой из- бирательности. Однако, поскольку ФЧХ на всех частотах сохраняет сдвиг на л/2, фильтры типа 4 обычно применяются для синтеза цифровых диф- ференциаторов и преобразователей Гильберта (ем. Лекцию 21). 2. Задержка сигнала на выходе фильтра относительно сигнала на его вхоце равна целому числу периодов дискретизации Т плюс Т/2 = Л/-1 N_T_7L 4,ю 2 2 2 ’ Основные свойства КИХ-филыров с линейной ФЧХ отражены в табл. 18.2.
Лекция 18. КИХ-фильтры с линейной ФЧХ 375 Таблица 18.2. Основные параметры КИХ-фильтров с линейной ФЧХ (hk = bk ) ИХ Тип Длина N Порядок R Амплитудная функция Я(Й) ФЧХ <р(ш) Приме- нение Симметричная I Нечетная Четный й II о * £ II ' S ' s О* *• N) | 55 £• * 1 S> | Ъ 5 Е> <3 ас | е-1 Без ограни- чений, кроме ЦП Г и цд 2 Четная Нечетный "v'/2 Л1 >. a. cos к со *=о 1Д 2 ) J = ^к </?-! 1А - +- со \ 2 2) ФНЧ, ПФ Антисимметричная 3 Нечетная Четный «3 / ' * И Й* t=f " Е <Г я* л R „ <|) 2 2 ЦПГ. цд 4 Четная Нечетный &м| £ Я? й' 11 1 = J S> " > я? N | >5 ' £> л f R-\ lY -- + - со 2^2 2) ЦД, ЦПГ
Лекция 19 Синтез КИХ-фильтров методом окон Среди достаточного разнообразия методов синтеза КИХ-фильтров с линей- ной ФЧХ наибольшее применение в различных приложениях получили два "классических”: метод окон и метод оптимального (по Чебышеву) синтеза. В данной лекции изучается первый метод, а оптимальному (по Чебышеву) синтезу посвящена Лекция 20. Обратим внимаиие на тот факт, что поскольку коэффициенты hf передаточ- ной функции (отсчеты hf- импульсной характеристики) КИХ-фильтров с ли- нейной ФЧХ обладают определенной симметрией, установленной в Лек- ции 18, достаточно знать лишь половину требуемых коэффициентов синтезируемого фильтра. Это свойство позволяет существенно упростить процедуру расчета коэффициентов и потому сократить время их вычисления. 19.1. Постановка задачи. Определение метода В основе обсуждаемого в лекции метода лежит простая идея: поскольку час- тотная характеристика цифровых фильтров является периодической функцией, естественно воспользоваться ее представлением в виде ряда Фурье с тем, чтобы вычислить отсчеты импульсной характеристики фильтра с по- мощью обратного преобразования Фурье. 19.1.1. Общая характеристика задачи Без потери общности зададимся целью рассчитать коэффициенты (импульсную характеристику) фильтра НЧ. Идеальная АЧХ такого фильтра (рис. 19.1) явля- ется кусочно-постоянной периодической функцией с разрывом на граничной
Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон 377 частоте (Ьс; при этих условиях в основной области частот идеальная АЧХ описывается функцией Л ft 0<Л<Лг; д,(И) = //„(<>>)= с’ . (О, при других со, а периодическая функция Ha(eJlii) может быть представлена рядом Фурье (с.и. Лекцию 2) «,(г>7')= £ Л1,(я)е“Л”''’. (19.1) Л = -ео в котором коэффициенты Фурье равны отсчетам идеальной импульсной ха- рактеристики: т л/г \,(л) = — f Н^е1ЮТ)е1шТ“<На. (19.2) 2п-^г Ясно, что идеальная передаточная функция (19.1) описывает физически не- возможный БИХ-фильтр, поскольку его импульсная характеристика начина- ется в (-со), т. е. реакция предшествует воздействию. Простейший путь кон- струирования физически возможной передаточной функции состоит в исклю- чении всех членов ряда (19.1), имеющих отрицательный индекс м<0, Одна- ко такая операция даст бесконечную импульсную характеристику, соответст- вующую БИХ-фильтру. Для получения импульсной характеристики КИХ- фильтра длины N необходимо ограничить ряд (19.1) еще и сверху до А/-1 членов, т. е. усечь его в пределах Процедура усечения ряда (19.1) по сути представляет собой операцию умножения идеальной ИХ (19.2) на последовательность wR(n) вида fl, 0<n<N-k [0. при других п. (19.3)
378 Часть VI Цифровые фильтры В результате умножения образуется реальная импульсная характеристика h(n) КИХ-фильтра h(n) = wR(n)h„(n), (19.4) частотная характеристика которого согласно (19.1) приобретает вид: Н(е1шТ) = X h(»)e~J,“T" . (19.5) л=0 2 Рис. 19.2. Процедура усечения ИХ: отрезок "идеальной" ИХ (а). последовательность (19.3) (б), реальная ИХ (результат умножения на и*^(и)) (в)
Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон 379 Производя в (19.5) замену е-^г = г, получаем передаточную функцию фильтра //(г)= £ft(n)z'n. (19-6) н=0 Пример формирования ИХ фильтра НЧ типа 1 при N = 39 (см. табл. 18.1, п. 18.4.!) с помошью (19.3) показан на рис. 19.2, где нулевой отсчет идеаль- ной ИХ, имеющий максимальное значение, равное единице, для удобства сдвинут вправо на 19 отсчетов (рис. 19.2, а); отсчеты реальной ИХ (рис. 19.2, (?), имеющие нулевые значения, не отмечены. Казалось бы, решение найдено. Действительно, подбирая значения N и кон- тролируя поведение АЧХ. за несколько итераций можно найти такое N , при котором требования к заданному фильтру будут выполнены. Однако усече- ние ряда Фурье приводит к существенным искажениям, которые обсуждают- ся далее. 19.1.2. Явление Гиббса Искажения обусловлены характером сходимости ряда Фурье в точке разрыва первого рода, каковой и является точка 6)с (см. рис. 19.1, 19.3, б): □ во-первых, а точке разрыва Лс первого рода ряд Фурье сходится к сред- нему предельных значений функции слева и справа; в нашем случае это оз- начает, что где Я(ц. -0) = 1 — предел слева, Z?(tbc +0) = 0 — предел справа; поэтому в точке О)с независимо от величины N всегда будет Я(Лс) = А(сЬс) = 0,5; □ во-вторых, в точке разрыва сходимость ряда Фурье не является равно- мерной и носит особый характер, который выражается в появлении пуль- саций вблизи точки разрыва, максимум которых слева и справа составляет ~ 9 % от АЧХ и остается таковым вне зависимости от N. Этот феномен, объяснение которому дается в п. !9.2.5> получил название явления Гиббса . 1 Гиббс Дж. Виллард (1КЭ9—1903) — один из крупнейших математиков; он первый сообши.ч об этом эффекгс.
380 Часть VI. Цифровые фильтры На рис. 19.3, б показана амплитудная функция ФНЧ, импульсная характери- стика которого (рис. 19.3. а) имеет длину Л/ =31. Видно, что в результате усечения формируются пульсации как в полосе задерживания, так и в полосе пропускания фильтра; кроме того, образуется переходная полоса (заштрихо- ванная область на рис. 19.3, б), ширина которой Дб)=соЛ -со* тем меньше, чем больше значение N , причем середина переходной полосы приходится на частоту wc. Рис. 19.3. Явление Гиббса: импульсная характеристика ФНЧ, N = 3L (л), амплитудная функция (б)
Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон 381 Изучим явление Гиббса более подробно, для чего обратимся к формуле (19.4). Здесь и далее будем рассматривать только фильтры типа 1, т. е. огра- ничимся N нечетными, поскольку именно такие фильтры наиболее часто используются на практике. Импульсная характеристика (19.4) представлена произведением двух функ- ций во временной области: идеальной ИХ (19.2) н некоторой весовой функ- цией (19.3), чему в частотной области соответствует свертка фурье- изображсний этих функций. Фурье-изображение h(ri) (19.2) представляет собой частотную характеристику фильтра, а фурье-изображение ве- совой функции wK(n) является ее спектром WR(eJ(i)), который принято назы- вать частотной характеристикой функции h»a(h). Найдем частотную характеристику функции (19.3), для чего выполним пре- образование Фурье N-I .. W-I ИМ^“)= I ".W = X е~1Ш" (19.7) и=0 я=0 Видно, что W^fe^) представляет собой сумму N членов убывающей гео- метрической прогрессии ~ i-У $n -«о-:----» 1-9 первый член которой flo=e~jOw = l, а знаменатель д = е~^. Поэтому (19.7) можно записать в виде: _______-______- R1 f j _ е~№ е~№2 (ejG^2 - е~^2) или . ((hN 'j sin --- I?, Л (19.8) . ( CD ] Sln[ 2 J Функция (19.8) известна под названием ядра Дирихле, причем M^eOi&eO ~ N • Если не учитывать множитель, характеризующий линейный фазовый сдвиг, то график нормированного вещественного сомножителя ядра Дирихле
382 Часть VI. Цифровые фильтры будет иметь форму, показанную на рис. 19.4. а при W = 31; модуль ее изо- бражен на рис. 19.4, б. Эта функция имеет характер быстро затухающих ко- лебаний с максимальным значением N на частоте cb=O (читателю пред- лагается этот факт доказать самостоятельно, раскрыв неопределенность в (19.9)). Заштрихованная область с максимальной амплитудой называется главным лепестком, а остальные области — боковыми лепестками. Рис. 19.4. График функции (19.9) при N - 31 (я) и ее модуль (б) Функция (19.9) равна нулю, если равен нулю ее числитель sin(ib/V/2) = 0 (d)*0), т. е. при &N/2 = knt к =1.2...N. Следовательно, функция ^(е-^0) (19.8) равна нулю на частотах Л = , Л=1,2.....N, N а ширина всех ее лепестков, включая главный, одинакова и составляет дЛ 2л причем с увеличением N ширина лепестков уменьшается и увеличивается число пульсаций. На рис. 19.4, а ширина каждого лепестка составляет 2л Дш =—, 31 а главный лепссгок занимает область 0<6)< 2я/31.
Лекция 19. Синтез КИХ-фильтров методом окон 383 Известно [39], что умножению функций во временной области соответствует комплексная свертка в частотной области на периоде [-л, л], поэтому (19.5) можно записать в виде: = —J «в(?’)»я(елам”)</ф- (19.10) Но поскольку fl, 0<cb<(bf; [0. при Других (0, то усечение ряда Фурье (19.1) до Лг членов (19.5) означает, что H(eJM) представляет собой круговую свертку частотной характеристики идеального фильтра НЧ H„(eJiti) (см. рис. 19.1) с ядром Дирихле. Следовательно, час- тотная характеристика идеального фильтра //H(eJ<D) окажется размытой. В результате получаем амплитудную характеристику (см. рис. 19.3, б, N = 39), у которой вблизи точки разрыва наблюдаются два эффекта: □ возникают ошибки аппроксимации в виде пульсаций, которые обусловле- ны боковыми лепестками функции WR(eJta); □ образуется сглаживающая разрыв переходная полоса, ширина которой зависит от ширины главиого лепестка функции ^(е7*0) и фактически равна ей: чем больше N, тем уже главный лепесток. 19.2. Окна и их основные параметры Явление Гнббса объясняется, как отмечалось ранее, неравномерной сходимо- стью ряда Фурье в точке разрыва. Управлять сходимостью ряда Фурье (19.1) можно с помощью весовой последовательности конечной длины w(n) (w — первая буква английского слова window— окно), называемой окном или ве- совой функцией. Метод состоит в том, что коэффициенты ряда Фурье (т. е. импульсная характеристика йДл) идеального фильтра) умножаются на и>(л). В результате, подобно (19.4), получается импульсная характеристика A(n) = /iH(n)w(/i) (19.И) и соответствующая ей передаточная функция реального фильтра //(;)= У. Л(п) г-" = У. h(n) w(n) z~" , (19.12) и=0 л=0 где /V —длина функции w(n).
384 Часть VI. Цифровые фильтры Определение: Ограниченная на интервале 0<н<Лг-1 и равная нулю вне этого интервала положительная симметричная весовая функция называется окном |w(/V-l-n). 0<л<ЛГ-1; [О, при других п. (19.13) Метод конструирования передаточной функции с помощью ограничения ря- да (19.1) окном (19.13) часто называется методом окон или взвешивания. Известно большое количество окон, применение которых определяется ха- рактером поставленной задачи синтеза фильтров. Ниже рассматриваются наиболее часто используемые окна: прямоугольное, треугольное, обобщен- ное косинусное (семейство окон Хэннинга, Хэмминга, Блэкмана) и Кайзера. 19.2.1. Прям