АКАДЕМИЯ НАУК СОЮЗА ССР
~~ КЛАССИКИ НАУКИ
АНРИ ПУАНКАРЕ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
В ТРЕХ ТОМАХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
академика Н. Н. БОГОЛЮБОВА
(главный редактор),
доктора физ.-матем. наук В. И. АРНОЛЬДА,
доктора физ.-матем. наук |И. Б. ПОГРЕБЫССКОГО|
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1971
АНРИ ПУАНКАРЕ
ИЗБРАННЫЕ ТРУДЫ
НОВЫЕ МЕТОДЫ
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
9S
Е—Д
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 197 1
УДК 521.1
СЕРИЯ «КЛАССИКИ НАУКИ»
Серия основана академиком С. И. Вавиловым
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ:
Академик И. Г. Петровский (председатель),
академик А. А. Имшенецкий, академик Б. А. Казанский,
академик Б. М. Кедров, член-корреспондент АН СССР В, Н, Делоне,
профессор Ф. Л. Петровский, профессор JI. С. Полак,
профессор Н. А. Фигуровский, профессор И. И. Шафраноеский
Анри Пуанкаре. Избранные труды в трех тэмах. Том I. Новые методы
небесной механики. Изд-во «Наука», 1971 г.
В настоящую книгу включены два первых тома «Новых методов пе-
бесной механики». Третий том войдет во вторую книгу настоящего изда-
ния. Этот капитальный труд замечательного французского математика и
физика публикуется на русском языке впервые.
В «Новых методах небесной механики» А. Пуанкаре разработал тео-
рию интегральных инвариантов, построил теорию асимптотических раз-
ложений, исследовал периодические орбиты, внес значительный вклад в
решение ряда других задач прикладной математики, механики, астроно-
мии. Это произведение, ставшее классическим, оказало большое влияние
на развитие точных паук и не потеряло своего значения и в наши дни.
Редактор первого, тома В. И. Арнольд
Составитель |Я. Б. Погребысский!
_______2-6-2_______
Подписное издание
ОТ РЕДАКЦИИ
Анри Пуанкаре (1854—1912) вошел в науку как математик и в течение
тридцати с небольшим лет своей творческой деятельности сумел обога-
тить почти все области математики результатами первостепенного зна-
чения. Вместе с тем, оставаясь математиком и применяя математику,
он в серии курсов и мемуаров охватил всю теоретическую и математиче-
скую физику своего времени, открыл своими работами новую эпоху
в истории небесной механики, участвовал в создании зародившихся при
нем теории относительности и квантовой теории, выступал по общим воп-
росам науки и был ее блестящим популяризатором. Его можно с полным
правом назвать не только выдающимся математиком, но и первоклассным
механиком, физиком, астрономом.
Очень многое в наследии Анри Пуанкаре остается живой составной
частью современной науки, и огромный объем этого наследия делал за-
дачу отбора работ для нашего собрания в достаточной мере затрудни-
тельной. Два решения представлялись все же бесспорными: свести к ми-
нимуму повторение в нашем издании работ Пуанкаре, имеющихся в рус-
ском переводе, и включить в него поразительные по богатству идеями
и результатами три тома знаменитых «Новых методов небесной механики».
Они занимают первый том и первую часть второго тома нашего издания.
В остальную часть второго тома входят классические работы Анри Пуан-
каре по топологии и некоторые другие мемуары, примыкающие к «Новым
методам небесной механики». В третий том входят как математические
работы, в частности, работы по теории функций, так и работы по физике
и некоторые статьи по общим проблемам науки.
Первый и второй том «Новых методов небесной механики» переве-
дены: первый — А. А. Бряндинской и И. В. Иословичем под редакцией
В. И. Арнольда, второй — Ю. А. Даниловым под редакцией В. М. Алек-
сеева. Редакторы переводов снабдили эти тома своими комментариями.
Общая редакция «Новых методов» проведена В. И. Арнольдом.
Следует указать, что при подготовке настоящего тома к печати выпол-
нена значительная работа текстологического характера, исправлены
многочисленные опечатки в формулах французского оригинала.
Числами в квадратных скобках обозначены примечания редакторов,
приведенные в конце книги.

НОВЫЕ МЕТОДЫ
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
I
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
LES METHODES NOUVELLES
DE LA MEGAN1QUE CELESTE
I
SOLUTIONS PEBIODIQUES.
NON EXISTENCE DES INTEGRATES UNIFORMES.
SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES

ВВЕДЕНИЕ
Задача трех тел настолько важна для астрономии и в то же время на-
столько трудна, что все усилия геометров уже давно устремлены
в этом направлении. Полное и точное интегрирование является, очевидно,
невозможным и потому пришлось прибегнуть к приближенным методам.
Сначала были использованы методы, состоящие в разложении в ряды
по степеням масс. В начале нашего века достижения Лагранжа и Лап-
ласа, а позднее вычисления Леверрье довели эти методы до такой степени
совершенства, что до настоящего времени они были достаточны для всех
практических нужд. Я мог бы добавить, что они будут достаточны, не-
смотря на некоторые расхождения в деталях, еще в течение долгого вре-
мени, однако не вечно, как это легко себе уяснить.
Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого
вопроса, может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все
астрономические явления; единственным способом разрешения этого воп-
роса является проведение насколько возможно точных наблюдений и
сравнение их с результатами вычислений. Эти вычисления могут быть лишь
приближенными и, кроме того, нет никакого смысла вычислять большее
количество десятичных знаков, чем могут дать наблюдения. Поэтому
бесполезно требовать от вычислений большей точности, чем от наблю-
дений, но нельзя от вычислений требовать и меньшей точности. Поэтому
приближение, которое мы можем считать удовлетворительным сегодня,
окажется недостаточным через несколько веков. Действительно, даже
если сделать весьма маловероятное предположение, что измерительные
приборы не будут более совершенствоваться, уже одно накопление на-
блюдений в течение нескольких веков позволит определить с большей точ-
ностью коэффициенты различных неравенств. Эта эпоха, когда придется
отказаться от старых методов, конечно, еще очень далека, но теоретик
должен ее предвидеть, так как труды теоретика должны опережать, и ча-
сто на много лет, труды вычислителей.
Не нужно думать, что для получения эфемерид с большой точностью
в течение длинного ряда лет достаточно вычислить большее число членов
в рядах, к которым приводят старые методы. Действительно, методы,
состоящие в разложении координат, небесных тел по степеням масс, но-
сят общие черты, которые мешают их применению для вычисления эфе-
10
Новые методы небесной механики. I
мерид на долгий срок. Полученные ряды содержат члены, называемые
вековыми, в которые время входит вне знака синуса или косинуса. От-
сюда следует, что сходимость этих рядов может стать сомнительной для
больших значений времени t.
Наличие этих вековых членов связано не с природой задачи, а только
с применяемым методом. Действительно, легко видеть, что если истинное
выражение координаты содержит член с sin amt, где а — константа, а
т — одна из масс, то при разложении по степеням т появятся вековые
члены
, a3m3t3
amt--------s—
о
и присутствие этих членов дает весьма ложное представление о настоящем
виде изучаемой функции.
Все астрономы уже давно ощущают это. Сами создатели небесной ме-
ханики во всех случаях, когда требовалось получить формулы, пригод-
ные на длительный срок, как, например, для вычисления вековых нера-
венств, должны были действовать иначе и отказаться от разложений
просто по степеням масс. Таким образом, изучение вековых неравенств
при помощи системы линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами можно считать относящимся скорее к новым, чем
к старым методам.
Точно так же все усилия геометров во второй половине века имеют
своей главной целью устранение вековых членов. Первый серьезный шаг
в этом направлении был сделан Делоне, чей метод, безусловно, принесет
еще много пользы.
Мы упомянем далее исследования Хилла по теории Луны («American
Journal of Mathematics», v. I, «Acta mathematica», t. VIII). В этой работе,
к сожалению неоконченной, можно увидеть зачатки большей части до-
стижений науки, сделанных с того времени.
Но ученым, который оказал этой ветви астрономии самые важные ус-
луги, является, несомненно, Гильден. Его работы касаются всех сторон
небесной механики, он умело использует все возможности современного
анализа. Гильден добился того, что из его разложений совершенно
исчезли все вековые члены, которые так затрудняли его предшествен-
ников.
С другой стороны, Линдштедт предложил иной метод, значительно
более простой, чем метод Гильдена, но менее общий, поскольку его не-
возможно применить при наличии членов, которые Гильден назвал кри-
тическими.
Благодаря усилиям этих ученых, трудности, происходящие от ве-
ковых членов, могут считаться полностью преодоленными, и новые ме-
тоды, вероятно, будут еще долго удовлетворять требованиям практики.
Однако не все еще сделано. Большая часть этих разложений не схо-
дится в том смысле, в котором геометры понимают это слово. Конечно,
Введение
11
в настоящее время это не имеет большого значения, поскольку мы уве-
рены, что вычисление первых членов дает весьма удовлетворительное
приближение. Но не менее верно и то, что эти разложения не могут давать
сколь угодно точное приближение. Поэтому наступит момент, когда они
станут неудовлетворительными. Кроме того, некоторые теоретические
выводы, которые можно было бы сделать на основании вида этих рядов,
не будут законными вследствие их расходимости. Так, например, они не
могут служить для разрешения вопроса об устойчивости солнечной си-
стемы. Исследование сходимости этих разложений должно привлечь
внимание геометров по причинам, которые я изложил и, кроме того, по
следующей причине: цель небесной механики не будет достигнута, если мы
вычислим эфемериды более или менее приближенно, не отдавая себе отчета
в степени полученной точности. Действительно, если мы обнаружим
расхождение между этими эфемеридами и наблюдениями, необходимо,
чтобы можно было установить, виноват ли в этом закон Ньютона или все
можно объяснить несовершенством теории. Поэтому важно определить
верхний предел допущенной ошибки, на что, может быть, недостаточно
обращали внимания до последнего времени.
Оказывается, методы, которые позволяют исследовать сходимость,
дают нам в то же время этот верхний предел, что повышает их значение
и практическую ценность.
Поэтому не следует удивляться, что я отвожу этим методам такое
большое место в этой книге, хотя, быть может, я извлек из них не все,
что они могут дать.
Я сам занимался этими вопросами и посвятил им мемуар, который по-
явился в XIII томе «Acta mathematica»; в особенности я старался освсить
те немногочисленные результаты, относящиеся к задаче трех тел, которые
могут быть установлены с абсолютной строгостью, требуемой матема-
тикой. Только эта строгость придает некоторую ценность моим теоремам
о периодических, асимптотических и двоякоасимптотических [решениях.
Действительно, здесь можно будет найти твердую основу, на которую
можно спокойно опереться, а это представляет ценность для всех иссле-
дований, даже для тех, где не требуется такой строгости.
С другой стороны, мне казалось, что мои результаты позволили мне
объединить в некий синтез большинство новых, недавно предложенных
методов, и это побудило меня предпринять настоящий труд.
В предлагаемом первом томе я должен был ограничиться изучением
периодических решений первого рода, доказательством несуществования
однозначных интегралов, а также изложением и обсуждением методов
Линдштедта.
Следующие тома я посвящу обсуждению методов Гильдена, теории
интегральных инвариантов, вопросам устойчивости, изучению периоди-
ческих решений второго рода, асимптотических и двоякоасимптотических
решений и, наконец, новым результатам, которые я смогу получить к мо-
менту опубликования этих томов.
12
Новые методы небесной механики. I
Кроме того, я буду принужден, без сомнения, вернуться в после-
дующих томах к вопросам, рассмотренным в I томе. Правда, логика при
этом немного пострадает, но нельзя поступать иначе в отрасли науки,
которая находится в стадии становления и в которой новые достижения
следуют непрерывно одно за другим. Поэтому я заранее прошу извинить
меня.
Последнее замечание: обычно результаты представляют в форме, наи-
более удобной для вычисления эфемерид, выражая координаты в виде
явных функций времени. Этот путь представляет, очевидно, значитель
ные преимущества и большею частью я по возможности ему следовал;
однако я так поступал не всегда и часто представлял результаты в форме
интегралов, т. е. в виде неявных соотношений между координатами или
между координатами и временем. Прежде всего, эти соотношения можно
использовать для проверки формул, дающих координаты в явном виде.
Но это не все; истинная цель небесной механики состоит не в вычислении
эфемерид, так как в этом случае можно было бы удовлетвориться пред-
видением на короткий срок, а в том, чтобы убедиться, достаточно ли за-
кона Ньютона для объяснения всех явлений. С этой точки зрения неявные
соотношения, о которых я говорил выше, могут оказаться столь же по-
лезными, как и явные формулы. Действительно, достаточно в них под-
ставить наблюденные значения координат и проверить, удовлетворяются
ли они.
Глава I
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕТОД ЯКОБИ
Общие положения
1. Прежде чем приступить к основной теме моего исследования, я дол-
жен изложить некоторые предварительные сведения и вкратце напомнить
основные принципы «Лекций по динамике» Якоби и теорию Кстпи, свя-
занную с интегрированием дифференциальных уравнений с помощью
рядов. Я намерен посвятить первую главу изложению метода Якоби,
ограничиваясь чаще всего формулировкой результатов, доказатель-
ства которых хорошо известны.
Сначала дадим несколько пояснений по поводу обозначений и назва-
ний, которые будут использоваться во всей этой работе.
Мы будем иметь дело с дифференциальными уравнениями следующего
вида:
(/#1	.. dx-2 V7-	у"	/ л \
где X;, Х2, ..., Хп — аналитические и однозначные функции п перемен-
ных xt, х2, ..., хп. Что касается независимой переменной t, которую мы
будем рассматривать как обозначающую время, то чаще всего будем
предполагать, что она не входит явно в функции X.
Можно рассматривать систему (1) как систему порядка п, так как она
эквивалентна одному дифференциальному уравнению порядка п. Однако,
если функции X не зависят от t, порядок системы может быть уменьшен
на единицу. Для этого достаточно исключить время и записать уравнения
(1) в виде
dxi dxi	dxn
XT = ~Хг
Чтобы избежать путаницы, мы определим следующим образом смысл
слов решение и интеграл.
Если уравнения (1) удовлетворяютс t при
^1 = Ф1(0>	= ф2(/),... , жп = фп(О,	(2)
то мы будем говорить, что уравнения (2) определяют частное решение урав-
нений (1).
14
Новые методы небесной механики. I
Если некоторая функция переменных xlt х2, ..., хп,
F (xj, х2, . . . , хп),
остается постоянной в силу уравнений (1), мы будем говорить, что эта
функция F является частным интегралом системы (1).
Ясно, что знание интеграла позволяет понизить на единицу порядок
системы.
В задачах динамики уравнения (1) встречаются в более частной форме,
известной под названием гамильтоновой, или канонической формы I1].
Переменные распадаются на два ряда; обычно мы обозначаем через
Ху, 3. 2, . . . , Хр
переменные первого ряда и через
yv У^---’УР
переменные второго ряда и записываем дифференциальные уравнения
в виде
dx.	лр	dy.	лр
=	(i = l,2, ... ,р),	(3)
dt	dy-	dt	dx.	'	'
аг	i
где F — однозначная функция 2р переменных х и у.
Эти уравнения допускают частный интеграл, которым является сама
функция F, известный под названием интеграла живых сил.
Говорят, что Ху, уу, х2, у2, ..., хр, ур образуют р пар сопряженных пе-
ременных.
По примеру англичан мы скажем, что система (3) допускает р степеней
свободы.
Эта система имеет порядок 2р, но знание интеграла живых сил позво-
ляет понизить этот порядок на единицу. Так как время не входит
явно в правые части уравнений (3), мы можем, как мы уже раньше ука-
зывали, посредством исключения времени понизить порядок еще на еди-
ницу, так что в конечном счете система, допускающая р степеней свободы,
всегда может быть сведена к системе порядка 2р — 2.
Известно, например, что если система имеет только одну степень сво-
боды, она может быть сведена к системе нулевого порядка, т. е. полностью
проинтегрирована.
Примеры канонических уравнений
2. Наиболее простой случай уравнений динамики — это тот, когда
изучается движение q свободных материальных точек в пространстве.
Пусть ту — масса первой из этих точек, Ху, х2, х3 — ее декартовы коорди-
Общие положения и метод Якоби
15
наты; т2 — масса второй из этих точек, х±, х5, хв — ее координаты и т. д.;
пусть, наконец, mq — масса g-й точки, х3д_2, ^37-1 и хзд —ее коорди-
наты .
Спроектируем количество движения точки т1 на три оси; пусть уг, у2,
у3 — три проекции. Пусть также у4, yf, ув — проекции количества дви-
жения точки т2 и т. д.; y-sq-2, Z/зд-ы Узд — проекции количества движе-
ния точки mq.
Пусть Ft, F2, F3 — составляющие силы, действующей на тх; Р±, Fs,
F6 — составляющие силы, действующей на т2, и т. д.; F3q-2, F3q^, F3q —
составляющие силы, действующей на mq.
Мы предположим, что составляющие F зависят лишь от 3q координат
х. Если энергия сохраняется, то существует функция V от координат х,
называемая силовой функцией, такая, что
Половина живой силы Т будет иметь вид
_ У1 + у^ + у| у* + у|+у| _____+ Узд-1 -t- у\д
2mi * 2тъ '	‘	’
и мы сможем записать уравнение живых сил в виде
Т — V = const.
Если положить
Т — V = F (хх, х2, ..., x3q, уг, у2, ..., у3д),
то уравнения движения
<4 __ dF
dt dyi ’
Таким образом, уравнения движения q свободных материальных точек
соответствуют 3q степеням свободы во всех случаях, когда силы зависят
только от положения этих точек в пространстве и энергия сохраняется.
В частности, задача трех тел соответствует девяти степеням свободы. Впо-
следствии мы увидим, что это число можно значительно уменьшить.
Если наши q материальных точек движутся все в одной плоскости, по-
ложение каждой из них будет определяться не тремя координатами, а
лишь двумя. Число степеней свободы будет, следовательно, сведено к 2q.
Таким образом, если орбиты трех тел плоские и расположены в одной
плоскости, задача трех тел (которую мы будем тогда называть плоской
задачей трех тел) имеет лишь шесть степеней свободы.
В случае одной степени свободы уравнения немедленно интегрируются;
поэтому мы будем заниматься в основном непосредственно следующим за
в виде
d4i _ dF
dt dx.
(г = 1,2, ... , 3q).
(1)
16
Новые методы небесной механики. I
ним случаем, т. е. случаем, когда имеются лишь две степени свободы.
Большая часть последующих результатов будет применяться лишь к
этому относительно простому случаю.
Действительно, во многих задачах механики число степеней свободы
может быть сведено к двум. Это, например, имеет место при изучении дви-
жения свободной материальной точки в плоскости или, более общим образом,
для движения материальной точки, вынужденной оставаться на некото-
рой поверхности, во всех случаях, когда сила зависит лишь от положе-
ния этой точки. Мы приведем в числе других задач знаменитую задачу
о движении тела, притягиваемого двумя неподвижными центрами, когда
его начальная скорость находится в плоскости этих трех тел [2].
Но есть случай несколько более сложный и более важный для даль-
нейшего.
Пусть на плоскости даны Ос, и От] — две ортогональные подвижные
оси, совершающие равномерное вращательное движение вокруг начала
координат О. Пусть п — угловая скорость этого вращательного дви-
жения, р — подвижная точка, движущаяся в той же плоскости, коор-
динаты которой по отношению к этим осям будут обозначаться через £и ц,
а масса б^дет принята за единицу.
Пусть I — силовая функция, зависящая только от £ и ц так, что
проекции силы, приложенной в точке Р, на оси (9 g и (9ц равны соответ-
ственно dVIdZ, и dV/dr\.
Уравнения движения точки Р по отношению к подвижным осям Ос,
и (9г| запишутся в виде
II _ 2п	-	— 4-	п2с
di2 z	dt	dt, +
d2t) „	d I'
-у-- -j-	,	—	5—	п ц.
dt2	dt dr) 1	1
Отсюда можно вывести следующий интеграл, называемый интегралом
Якоби,
который является не чем иным, как интегралом живых сил в относи-
тельном движении.
Я утверждаю, что эти уравнения можно привести к каноническому
виду, причем число степеней свободы будет равно двум.
Действительно, положим
| = ^i,	т] = ;г2,
d\	dr\
Р (Уч + пх2)2 + у (1/2 — гс-ч)2 — V — -у- (** + X2).
Общие положения и метод Якоби
17
Уравнения (2) примут вид
dxi _dF dxz ____ dF dyi ____ dF	dy% _ dF
dt	dy1	' dt	dyz	’ dt	dxi ’	dt	dx%	’
что и требовалось доказать.
Один из частных случаев задачи трех тел сводится к вопросу, который
мы только что рассмотрели.
Предположим, что одна из трех масс бесконечно мала, так что движе-
ние двух других масс не возмущено и остается кеплеровским. Таким б/-
дет, например, случай движения малой планеты под действием Юпитера
и Солнца [3]. Представим себе, что эксцентриситет орбит двух больших
масс равен пулю, так что эти две массы равномерно движутся по двум
концентрическим окружностям вокруг общего центра тяжести, пола-
гаемого неподвижным. Предположим, наконец, что наклонение орбит
равно нулю и малая масса движется постоянно в плоскости этих двух
окружностей.
Можно всегда предположить, что центр тяжести системы, являющийс i
общим центром обеих окружностей, неподвижен. Возьмем его за начало
координат, проведем через это начало две подвижные оси 0^ и От], причем
ось направим по прямой, соединяющей две большие массы, а ось
Оц — по перпендикуляру к 0%. Тогда:
1)	эти две оси совершают равномерное вращательное движение;
2)	две большие массы неподвижны относительно подвижных осей.
Таким образом, нам надо изучить относительное движение подвижной
точки по отношению к подвижным осям под действием притяжения к двум
центрам, неподвижным по отношению к этим осям, и мы снова вернулис>
к вопросу, который только что рассматривали.
Итак, в этом частном случае уравнения задачи трех тел можно при-
вести к каноническому виду лишь с двумя степенями свободы.
Перейдем теперь к уравнению, которое часто встречается в теории
возмущений и которым часто пользуется Гильден.
Пусть
=	(3)
Это уравнение также можно привести к каноническому виду.
Действительно, f (ж, t) можно всегда рассматривать как производную
по х от некоторой функции ср (z, /), так что
' dx '
Если теперь мы положим
dx
Х = ~dt=yi' t:= JJi'
F = -2~ —Уз) — ^2,
.Л.
2 А. Пуанкаре
18
Новые методы небесной механики. I
то уравнение (3) может быть заменено каноническими уравнениями (3)
из предыдущего пункта и лишь с двумя степенями свободы, что и требо-
валось доказать.
Я приведу еще последний пример.
Рассмотрим тяжелое твердое тело, подвешенное в неподвижной точке,
и изучим колебания этого тела. Чтобы полностью определить положение
этого тела, надо задать три условия. Действительно, надо знать три угла
Эйлера, которые дают положение системы осей, неизменно связанных с те-
лом, относительно системы неподвижных осей. Итак, задача допускает три
степени свободы, но мы увидим далее, что это число может быть умень-
шено до двух.
Сказанного мной достаточно, чтобы показать, сколько задач механики
сводится к интегрированию канонических систем с двумя степенями сво-
боды, и дать понять важность этих систем. Было бы бесполезно увели-
чивать число примеров.
Первая теорема Якоби
3.	Якоби показал, что интегрирование канонических уравнений
dxi __ dF	_ йт?
dt dy^ ’ dt dz.
(О
сводится к интегрированию уравнения в частных производных
F х2, ..., хе\ ух, у2, ..., рр) = Л!,	(2)
где hr — произвольная константа, а относительно yt, у2, ..., у,, предпо-
лагается, что они представляют собой частные производные неизвестно i
функции.
Пусть в самом деле
S (xlt х2, . . . , хр; hx, h2, . . . , /гр)
— решение уравнения (2), содержащее кроме константы hL еще р — 1
констант интегрирования
/ij, . . . ,
так что каковы бы ни были h,
v !	dF	dF	dF \	.
г । x,, z,,	.	. . , xx,	т—	,	-—	, . . .	, v—	= h,.
1	2	p	dxi	dx-i	dxpl	1
Общие положения и метод Якоби
19
Якоби доказал, что общий интеграл уравнений (1) можно записать
в виде	1 (г = 2,3,...,р),	(3) ds	4 11.' ~пг —	^1* dhi	* х
Таким образом,	2р констант интегрирования будут следующие: ^1» ^2’	* * • > ^3» • • • » fop*
Другая теорема, которой мы также будем пользоваться, это тео-
рема Пуассона.
Пусть U и V — некоторые функции от х и у. Условимся обозначать
	j-, у.   Vi IdU dV	dU dV \ * ’ J	^[dx.dy.	dy-dx]’ \ i a i	11
Пусть теперь F\ и F2 — два интеграла уравнений (1). То, что Ft —
интеграл уравнения (1), можно записать как
	[F, FJ = 0;
если F2 — тоже интеграл, то мы получим точно так же
[F, F2] = 0.
Пуассон показал, что выражение [/\, F2] также является интегралом
уравнений (1). Например, если в задаче п тел обозначить через и Р2
левые части первого и второго интегралов площадей, то [Fj, Р2] будет
левой частью третьего интеграла площадей.
Вторая теорема Якоби; замена переменных
4.	Обычно мы не будем использовать прямоугольные координаты и
составляющие количеств движений как независимые переменные. Мы
выберем переменные, лучше приспособленные для нашей цели, стараясь
все же сохранить каноническую форму уравнений.
Посмотрим, как можно заменить переменные, не нарушая канониче-
ской формы уравнений (1) п. 3.
2*
20
Новые методы небесной механики. I
Пусть
3(У1, У2,  • • , УР; hlt h.2, . . . , hp)
— некоторая функция р переменных у и новых р переменных h.
Положим теперь
Будем считать, что уравнения (4) определяют соотношения, связы-
вающие старые переменные
И»	• • • >
У1> У2....Ур
с новыми переменными
hlt h2, . . . , hp,
hi, h2, . . . , hp.
Якоби показал, что если сделать такую замену переменных, то урав-
нения останутся каноническими, и это верно при любой функции S.
Замечательные замены переменных
5.	За исключением одного особого случая, все замены переменных,
которые не нарушают канонической формы, могут быть выведены по ме-
тоду и. 4. Бывают, однако, случаи, когда проще действовать иным спосо-
бом. Мы дадим два таких примера.
Предположим, что имеются канонические уравнения
dx^_dF_	dVi	_	dF
dt dyi ’	dt	dxi	'	'
и сделана следующая замена переменных:
= «1, i < 4-«2, i	+	• - •	+	i
Vi = Pl, i Ух + Рг, i У2 +	• • •	+ Pn, i Уп-
Как нужно выбрать константы а и [3, чтобы уравнения оставались кано-
ническими, когда за новые переменные берутся х{ и у,?
Если мы обозначим через
6z1? Sz2, ....	ду2, . . . , буп
Общие положения и метод Якоби
21
виртуальные приращения переменных х и у, умножим уравнения (1)
соответственно на бг/; и —6х; и затем просуммируем, то получим
S/dx.	du.	\
\ dt	dt
Чтобы уравнения оставались каноническими после подстановки (2),
необходимо и достаточно, чтобы тождественно выполнялось равенство
S/dx.	dy.	\ [dx,	dy-,	_ \
-Гт 6г/.—дг 6#{ = 3 -дт ------&х- •	(3)
\dt	dt	г/	^-‘\dt	dt г)	v ’
Так как dx-t зависят лишь от dx, , 6г/( от 6г//, dy, от dy(, аб;?; от ба:/, то дол-
жны тождественно выполняться равенства
У daxd^ = У с?ж'6^', J dyfox = У dy’^x'..	(4)
Так как соотношения (2) линейные, то dx, связаны с da:/ и Ьх, с ба;/ теми
же соотношениями, которые связывают а?4 с а:/. То же самое справедливо
ДЛЯ di/;, 6г/;, I/;, di//, 6i//, i//.
Соотношения (4) сохранятся, следовательно, когда в них dx} и 6а:;
будут заменены на х,, a di/j и 6г/, на у„ dx,' и ба:/ на а:/ и т. д. Итак, получим
У = У х-у’г-	(5)
Обратное тоже верно: из соотношения (5) следуют соотношения (3) и (4).
Итак, необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнения
оставались каноническими, является тождество
У Х1У1 = У
Каково теперь условие того, чтобы эти уравнения оставались кано-
ническими и в то же время имело место соотношение
аМ =	
Я назову линейную замену переменных, такую, как (2), ортогональ-
ной, если справедливо тождество
У = У х?’
т. е. если
П	71
У «fc,i = 1.	У
г=1	г=1
Это название оправдано само по себе, так как в случае, когда число
переменных равно двум или трем и когда х или х' можно рассматривать как
22
Новые методы небесной механики. I
координаты точки в плоскости или в пространстве, подобная подстановка
является не чем иным, как прямоугольной заменой координат.
Итак, если мы применим к переменным х и у одну и ту же ортогональ-
ную подстановку, то получим
Т х* = У' х'* У г/2 = У у?,
Т К + у У = Г « + ^)а>
откуда
Уравнения останутся каноническими.
6. Уравнения также останутся каноническими, если произвести, на-
пример, только замену переменных хх и у2 и положить при этом
хх = Ф«. У'^ У1 = ^(х'1, у'^,
взяв за новые переменные xt и уг вместо х2 и уг. Я утверждаю, что урав-
нения останутся каноническими, если только функциональный определи-
тель, или якобиан, х2 и у2 по xt и у2 равен 1. Так, если положить
хг = ]/2pcos со,	у у = y2psino),
то каноническая форма уравнений не будет нарушена и переменные р и со
будут сопряженными, как и х2 и уг.
7. Выше мы определили замену переменных
dS	dS	,,
-т— = X.:, -л- = Л.,
“2/j	1	1
которая не нарушает канонической формы уравнений, когда 5 — какая
угодно функция от у, и Эта форма также не нарушается, если переставить
хг с у, и в то же время заменить F на —F.
Следовательно, если S — некоторая функция переменных
х2, х2, .... хр; hlt h2, . . . ,hv
и если положить
dS , ' dS
Vi dx. 1 dh. ’
г	г
то каноническая форма уравнений не будет нарушена, когда за новые пе-
ременные мы возьмем hi й hi и в то же время заменим F на —F.
Опа также не будет нарушена, если заменить
У1, У2,---,Уп и F
Общие положения и метод Якоби
23
на
^Уг,  .  ЛУп и KFt
где X — некоторая константа.
Итак, рассмотрим опять функцию S переменных Xi и /г{ и положим
, dS .• dS
Лг/. =	,	hi = -п— ,
dx. ’	1 dll. ’
г	г
каноническая форма уравнений сохранится, если за новые переменные
взять /ij и hi и заменить в то же время F на — KF.
Кеплеровское движение
8. Применим изложенные выше принципы к кеплеровскому движению.
В дальнейшем мы всегда будем предполагать единицы выбранными
так, что сила притяжения двух единиц массы, удаленных друг от друга
па единицу расстояния, равна единице силы, другими словами, что по-
стоянная Гаусса равна единице.
Итак, рассмотрим движение подвижной массы под действием неподвиж-
ной массы, расположенной в начале координат и равной М. Пусть х1У
х2, х3 — координаты подвижной массы, а уг, у2, у3 — составляющие ско-
рости; если мы положим
F = у*+ у* +	_______м
2 + ’
то уравнения движения запишутся в виде
dx^ _ dF_ dyi _ dF .
dt dy. ’ dt dxi ’
(1)
В силу п. 3, интегрирование этих уравнений сводится к интегрирова-
нию уравнения в частных производных
аде ih — произвольная постоянная. Положим
хх = г sin cocos ср, х2 = г sin cosin ср, х3 — г cos to.
Уравнение примет вид
- _L+ —1_(^\2^™ + 2h
\dr j г2 \ day ) ‘г2 sin2 со . rfcp )	г ‘
24
Новые методы небесной механики. 1
Можно удовлетворить этому уравнению, введя две произвольные по-
стоянные G и 0 и положив [4]
~ = 0 Ум, + -4?- = G2M,
dtp '	*	\d(o J ‘ siiAo	-
fdS^ , G2M 2M ,
-j—	4—5~ =------F
\dr J 1 r2 r 1
Функция S, определенная таким образом, будет зависеть от г, со, ср,
G, 0, h или, что то же самое, от хъ х2, х3, G, 0, h, а общее решение уравне-
ний (1) запишется в виде
dS ,, dS	dS „ dS
h + l = dh' ^ = -dG' 0 = 5© ’
где h’, g и 0 — три новые произвольные постоянные. Если мы положим
т 1/— М , М	М ,	,
L — у 2/1 ’	—	2L2 ’ П ~ L? ’ Z — И (/-]-// ),
то сможем записать’
dS dS dh	. М	,
dL - dh dL - M ~ П У + 0 =
Тогда будет шесть постоянных интегрирования, а именно:
L, G, 0, h', g, 0.
Легко установить значение этих постоянных и выразить их в виде функ-
ций тех постоянных, которые обычно используются. Если а, е и i обозна-
чают большую полуось, эксцентриситет и наклонение, то
L = У a,	G=ya(l—е2),	0 = Gcosi.
С другой стороны, 0 — долгота восходящего узла, g 4- 0 — долгота
перигелия, п — среднее движение, a Z — не что иное, как средняя ано-
малия.
Если на движущуюся массу действует не притяжение массы М, а ка-
кие-нибудь другие силы, мы можем построить функцию 5 и определить
шесть новых переменных
являющихся функциями Х} и yv с помощью следующих уравнений:
dS	dS , dS	dS „	_
yi = dZ'	dL-l'dG = S’	de = ^
Общие положения и метод Якоби
25
причем L, G, 0, g и 0 не будут больше постоянными. Мы можем восполь-
зоваться теперь шестью переменными (4) для определения положения и
скорости подвижной массы. Назовем эти переменные (4) кеплеровскими пе-
ременными. Важно заметить, что определение кеплеровских переменных
зависит от начала отсч та координат движущейся массы и от величины М.
Если движущаяся масса является планетой, на которую преимуще-
ственно действует масса М, а также различные возмущающие силы, то
можно видеть, что кеплеровские переменные являются тем, что астрономы
называют оскулирующими элементами данной планеты.
В частном случае, когда орбита тела гщ является плоской, можно при-
нять за новые переменные
Ь~у'а, G=ya(l — е2)
со средней аномалией I п долготой перигелия g. Число кеплеровских пе-
ременных равно тогда четырем.
По поводу использования кеплеровских переменных следует сделать-
несколько замечаний. Отметим сначала, что старые переменные
х2, xs; у1г у2, ys
и положение тела не изменяются, когда I, g или 0 возрастают на 2л,.
а остальные переменные не меняются. Таким образом, эти старые пере-
менные являются периодическими функциями переменных I, g и 0.
Затем, всегда должно выполняться соотношение
Z?>G2>02.
Наконец, если G = ± 0, то старые переменные и положение тела т,
не зависят больше от 0, а если L =-± G, то они не зависят больше от g.
Частный случай задачи трех тел
9. Возвратимся к тому частному случаю задачи трех тел, о котором
мы говорили выше.
Две массы, одна равная 1 — ц, а вторая ц, описывают две концентри-
ческие окружности вокруг их общего центра тяжести, предполагаемого
неподвижным. Постоянное расстояние между этими массами взято за еди-
ницу длины, так что радиусы двух окружностей соответственно равны ц и
1 — ц, а среднее движение равно единице.
Предположим теперь, что в плоскости этих двух окружностей движет-
ся третья масса, бесконечно малая и притягиваемая двумя первыми.
Мы возьмем за начало координат О общий центр окружностей и отне-
сем положение третьей массы к прямоугольной системе двух неподвижных
осей Ох± и Ох2 или же к системе двух подвижных осей О'^ и От], определен-
ной как в п. 2. Так как среднее движение двух первых масс равно 1, мы
26
Новые методы небесной механики. I
можем предположить, что угол между (Д и Охг (т. е. долгота массы р.)
равен t.
Так как мы предположили, что постоянная Гаусса равна 1, силовая
функция сводится к
у _ mi 1-1 . mi (1 — |х)
~' И ‘	Г-2	’
где тх — бесконечно малая масса третьего тела, гх — расстояние между
телами т1 и и и г2 — расстояние между телом тх и телом массы 1 — ц,
так что
ri2 = Л2 + (£ + И — I)2 = 1-^2 — (1 — И) sin + ki — (1 — И) cos *12»
г22 = Л2 + (| + р)2 = к2 + psin i]2 + [хх + pcosi]2.
Уравнение живых сил запишется тогда в виде
'А 1 2/2	TZ f
5-----Н г,-----V = Const
Условимся обозначать через — тх1? левую часть этого уравнения, где
R — функция от х±, х2, уг, у2 и тогда уравнения движения запишутся
в виде
dxy	d(miR)	dx2	d (mi R)
			
dt	dyi	dt	dyi
dyi	d (mi R)	dyz	d (miR)
dt	dxi ’	dt	dx2
Заменим переменные хх, ух, х2, у2 их значениями в виде функций от кеп-
леровских переменных L, G, I, g так, как это было описано в предыдущем
пункте. Тогда R станет функцией L, G, I, g и t и уравнения движения при-
мут вид
dL __dR	dl	dR
dt dl	'	dt	dL	’
<ZG _ d7?	dg	_	dR
dt — dg	*	dt	— ~ ~dG	•
Эти уравнения уже имели бы канонический вид, если бы R зависело
лишь от четырех кеплеровских переменных, но R также является функци-
ей i, следовательно, надо преобразовать эти уравнения таким образом,
чтобы время не входило в них в явном виде. Для этого посмотрим, как R
зависит от t.
Легко видеть, что R можно рассматривать как функцию L, G,lng — t.
Действительно, если увеличить g и t на одну и ту же величину, не изме-
няя остальных переменных, то ни ни ц, ни гх, ни г2, ни ух + yf, ни, сле-
довательно, R не изменятся.
Общие положения и метод Якоби
27
Из этого вытекает, что
dt ‘ dg ~ U‘
Тогда, если мы положим
х' = L, х'2 = G,
у[ = 1< y2 = g-t,
F' =R + G,
то F' будет зависеть лишь от х1г х2, у1 и у^ и уравнения движения, кото-
рые запишутся в виде
__ сгл'	dy'i _ dF'	.
dt dy- *	dt dxi
•будут каноническими.
Именно в такой форме мы обычно будем записывать уравнения этой
задачи.
Если предположить, что масса р равна нулю, то масса 1 — р станет
равной единице и переместится в начало координат; г2 сведется к |Лг2 -|- х%,
силовая функция V сведется к mjr2. Тогда мы найдем, что
р 11.1
2а 21? ~ 2х*
И
Когда масса р не равна нулю, сразу видно, что F' можно разложить в ряд
по возрастающим степеням р, что позволит нам написать
Р' — Fq + i + • •  •
Мы видим также, что
и не зависит от уг а у2.
Более того, Ft будет зависеть от всех четырех переменных, но эта функ-
ция будет периодической по уг и у2 и не изменится, когда любая из этих
переменных возрастет на 2л.
Заметим, наконец, что если х1 = + х2, эксцентриситет равен нулю,
движение прямое и Ft зависит только от хг, х2 и ук 4- у2.
Если же хг = — х2, то эксцентриситет равен нулю, но движение
тогда обратное и зависит теперь лишь от х1, х2 и уг — у2.
28
Новые методы небесной механики. I
Использование кеплеровских переменных
10.	Пусть xr, х2, xs — прямоугольные координаты точки; z/lt у2, у3 —
составляющие ее скорости; т — ее масса.
Пусть Vm — силовая функция, так что составляющие силы, прило-
женной к рассматриваемой точке, равны
Если мы положим
Г=у(^+^+Уз)-7>
то уравнения движения точки примут канонический вид
«Ц _ dF_	dVi _ dF
dt du. ’	dt dx.
г
В п. 8. мы определили некоторую функцию
S (Яр х2, х3, G, 0, L).
Мы видели, что если сделать замену переменных, определенную урав-
нениями
dS	dS	dS	„	dS	_ .
dx7 = yiJ	’dG=8,	d0~ =	U’	rfi	~
новые переменные являются не чем иным, как кеплеровскими переменны-
ми, которые мы только что определили.
В силу теоремы п. 7 уравнения сохранят канонический вид и запи-
шутся как
dL	dF	dG	dF	d&	dF
dt	dl ’	dt	dg ’	dt	dQ	’
dl	dF	dg _____dF	dQ ____dF
dt	dL	’ dt	dG	’ dt	dd
Может случиться, что сила постоянно остается в плоскости ххх2, и
подвижная точка тоже остается в этой плоскости.
В этом случае постоянно будет
G = @
и функция F будет зависеть только от G, L, I и от долготы перигелия
g + 9 = мы будем иметь
dF _ dF dF
dg dQ dH>
Общие положения и метод Якоби
29
Для сохранения симметрии мы положим
С = €» = П;
число кеплеровских переменных сократится от шести до четырех, а именно,
П, L, S и I и уравнения примут вид
dL	dF
dt	dl ’
dl dF
dt dL'
dn _	dF
~dt —	dSi ’
dob dF
dt dll
Общий случай задачи трех тел
11.	Перейдем к общему случаю задачи трех тел. Пусть АВС — тре-
угольник, образованный тремя телами; а, Ь, с — стороны этого треуголь-
ника; тх, т2, т3 — массы трех тел.
Силовая функция запишется в виде
т^тлз тзШ1 . питз
а ~Г~ Ъ с
Будем обозначать силовую функцию через Fu, где н — некоторая по
стоянная, которую мы более полно определим позднее.
Я буду предполагать, что центр тяжести системы трех тел неподвижен
и обозначу через D центр тяжести системы двух тел А и В.
Я буду рассматривать две системы подвижных осей.
Первая система, оси которой всегда параллельны неподвижным осям,
имеет своим началом точку А.
Вторая система, также с осями, параллельными неподвижным осям,
имеет своим началом точку D.
Я обозначу через х2, х3 координаты точки В относительно первых
подвижных осей и через жБ и хк — координаты точки С относительно
второй системы подвижных осей. Полная живая сила системы будет тогда
иметь вид
+ dt2 ~ dt2 dt2 / ‘ mx тг m3 \dt2 dt2 dt2 )
(см. T i s s e г a n d. Mecanique celeste, chap. IV) I5]; если мы положим
= _	= (пгх±т2)тз
‘ mi mi	' mi + m2 -f- m3
„ T TZ У1 + У2,Ау3 , ^ + y26 + ^ T/
p	23	~ 2V
30
Новые методы небесной механики. I
о dxi	п dxi	п dxs
q t d*c$,	л f dx^	q / dtCQ
J/4 = P^, ^ = 3rfF’ ^ = 3rfF’
то уравнения примут канонический вид
dxi _ dF	dVi _ dF
dt du. ’ dt dx-
° I	i
Снова рассмотрим функцию
S (xt z2, x3; L, G, 6),
определенную уравнениями (5) из и. 8.
Сначала построим ее, взяв
М = т1 + т2.
Положим затем
dS ,	dS	dS ..	..
dL = 1’ dG~&'	J6 = 0-	(V
Построим затем эту же функцию S, приняв
М = т3 + т2 + т3;
обозначим таким образом построенную функцию
S' (х4, х6, хв; L’, G', 0')
и положим
dS'	dS' ,	dS'	о
dU=1’	dG' = ^	d&'=Q-
Пусть затем
2 =	+ 0'S'.
Производными 2 no L, G, 0, Lr, G’, 0' будут соответственно (П7
0g, 00, P'Z', p'g', ₽'0'.
Если, кроме того, положим
то уравнения (1), (2) и (3) будут определять двенадцать старых перемен-
ных х и у как функции двенадцати новых переменных, которые я разде-
лю па два ряда следующим образом:
₽L,	?G,	00,	р'£',	P'G',	Р'0',
I,	g,	е, i',	g’,	o'.	(4)
Общие положения и метод Якоби

Тогда из теорем пунктов 4 и 7 следует, что канонический вид урав-
нений не изменится.
Легко дать себе отчет в значении этих новых переменных.
Все происходит так, как будто две массы, равные соответственно Рр
и |3'р, имеют по отношению к неподвижным осям координаты: первая —
Хл, а"2, жз, вторая — Хц, хь, ггв, и как будто эти фиктивные массы подвер-
жены действию сил, допускающих силовую функцию Ер.
Тогда если бы в некоторый момент силы, приложенные к первой фик-
тивной массе, исчезли и были заменены притяжением массы т2 4- т2,
помещенной в начале координат, эта масса двигалась бы по закону Кеп-
лера и элементами этого кеплеровского движения были L, G, 0, I, #и0.
Точно так же, если бы вторая фиктивная масса была подвержена
лишь притяжению неподвижной массы ttZj т2 + т3, расположенной
в начале координат, элементами кеплеровского движения были бы L',
G', 0', Z', g' и О'.
Заметим, что F зависит не только от переменных (4), но и от т1, т2..
т3 и р.
Вообще, т2 и т3 будут очень малы, так что можно положить
т2 = а2р, т3 = а8р,
где р мало и а2, а3, |3 и |3' — чаще всего конечные величины. Тогда функцию
F, которую можно рассматривать как функцию переменных (4) и т2,
а2, а3 и р, можно будет с пользой для дела разложить в ряд по возрастаю-
щим степеням р
F = F3 + Fip + ....
Если положить р = 0, получим
Tz asrni c(2»n	„	,	г,,
к = —+ —, р = а2, р = а3
И
0	2 (|ЗД)2	2 (р'Ц'Р 2 (|3£)2 "Г 2 (8'L')2 ’
причем F больше не зависит ни от одной переменной второго ряда I, g,
9, Г, g', 9'. Добавим еще, что каково бы ни было р, F является периодиче-
ской функцией периода 2л по отношению к этим переменным второго ряда.
Остановимся вкратце на некоторых частных случаях. Если три тела
остаются постоянно в плоскости х2, х2, то мы имеем G = 0, G' = О'
и F зависит лишь от g + 0 и g'. + 0', так что мы будем иметь только че-
тыре пары сопряженных переменных
р£, рс = р0 = рп, P'L', P'G' = Р'Э' = р'П',
Z, #4-9 = 3,	Z', g' 4- 0' = 8)',
как было сказано в п. 10.
32
Новые методы небесной механики. I
12.	Вернемся к обозначениям п. И и уравнениям этого пункта.
Я представляю эти уравнения в новой форме, которая будет нам полезна
в дальнейшем.
Рассмотрим сначала частный случай, когда наклонения равны нулю
.и три тела движутся в одной плоскости.
Полагаем
PZ = Л, рП = Л — Н, I 4-Э = Й = —h,
р'Ь' = л', ртг = л'-Я', z' + a' = v, а' = -я.
Получаем
rfX	dF	dF	dF dh dF	dF
dt ~	d (pL)	d (рП)	~ dh. dt	~ d (PH)	~ dH	’
dA	_ dF_ _	dF_	dff	_ dF	dF	_ dF
dt dl	dh ’	dt dl	d5> dh
Таким образом, мы видим, что новые переменные Л, Н, Л', Н', X,
./?, X', h' также сопряжены и, следовательно, замена переменных (1) не
изменяет канонического вида уравнений.
Перейдем теперь к общему случаю и вернемся снова к обозначениям
п. И.
Положим
pZ = Л,
WL' =Л',
X = Z
К = I' + g' + 0',
р£ = Л-Я. р0 = Л- Н - Z,
Р'б?'= Л/— Я', Р'0' = Л'-Я' -Z',
(2)
/г = — g — 0,	£ = — 0,
r=-g'-0', Г = -0'-
Можно убедиться, как это делалось выше, что эта замена переменных
(2) не нарушает канонической формы уравнений.
Эта каноническая форма не изменится также, в силу замечания п. 6,
-если мы произведем замену
]Л2Я cos h =
У2Н' cosh' =
У 2Z cos £ = р,
У 2Z' cos t,' = р',
У 2Н sinh = г],
У2Н' sin h' = rf
У2Z s’n £ — q,
У2Z' sin	= q
(3)
Уравнения остаются каноническими, а два ряда сопряженных пере-
менных будут следующие:
Л, Л', I, У, р, р',
(4)
К К, т]> Л'’	Q'-
Общие положения и метод Якоби
33
Вот какое преимущество может дать выбор переменных (4).
Функция F, выраженная через эти переменные, разложима как по
степеням переменных g, g', т], т/, р, р', q, q', так и по синусам и косину-
сам углов, кратных X и X', причем коэффициенты зависят некоторым об-
разом от Ли Л'.
Действительно, по определению предыдущих переменных имеем
Н =Л(1 - ]ЛП^72), Z =	(1 — cos г).
Отсюда вытекает:
1.	Н разложимо по степеням е2, причем первый член разложения со-
держит е2;
2.	е2 разложимо по степеням Н, причем первый член содержит Н-,
3.	el^H разложимо по степеням Н’,
4.	j2 разложимо по степеням ZlfiG =	— Н);
5.	i/УZ разложимо по степеням Z/(A — 11) и, следовательно, по
степеням Z и Н.
Но мы имеем
е _ е cos h }/~2 е sin 1г }/~2	* i cos £ |/2 __ i sin £ 1^2
VH ” I = H ’ \Z = p	q 
Значит e cos h, esinh, zcosg, г sing разложимы по степеням g, tj, p
и g; также e'cos/i', e'sin/i', z'cosg', z'sing' разложимы по степеням
g', rf, p' и q'.
Йо вид разложения возмущающей функции хорошо известен. Она
разложима по возрастающим степеням эксцентриситетов и наклонений
и по косинусам углов, кратных X, X', й, h', g, g'; при этом каждый член раз-
ложения имеет следующий вид (Т isserand. Mecanique celeste, t. 1,
p. 307) [«]:
Ne^e'v-H^i'^cos -|- m2V + msh mji’ -f- mb'Q + mA'),
где — целые положительные или равные нулю числа и тг — некото-
рые целые числа. Кроме того, имеем
р,. = | mi | + четное число
и, с другой стороны,
т1 + т2 = тз + mt + тъ + тв-
Из этого можно заключить, что возмущающая функция разложима по
степеням
ecosh, esinh,	zcosg,	г sing,
e'cosh',	e'sinh',	z'cosg',	z'sing',
3 А. Пуанкаре
34
Новые методы небесной механики. I
и, следовательно, по степеням
& %, л, л', р, р\ q, д'-	(5)
Кроме того, можно заметить, что разложения
е cos h е sin h i cos £ i'sin £
E, ’ T] ’ p ’	7
содержат лишь четные степени переменных (5); отсюда заключаем, что
разложение функции F будет иметь следующий вид:
2	(тхХт.2Х'),	(6)
где N — коэффициент, зависящий лишь от Ли Л'.
Числа |а{, V, — целые, положительные или нули, сумма которых
Из + v3 + Hi + v4 + Ps + v» + P-e + v6
равна | тг + m2 | + четное положительное число или нуль.
Я оставил в выражении (6) двойной символ cos или sin; косинус надо
брать, когда сумма
V3 + ^4 + V8 4- V6
четная и синус — в противном случае.
Отсюда следует, что функция F не изменяется, когда изменяют одно-
временно знак X, т] и q, она не изменяется также, когда заменяют X и X'
на X + л и X' + л и в то же время изменяют знак £, ц, р п q.
Функция F обладает другим свойством, на которое необходимо обра-
тить внимание: она не изменяется, когда меняют одновременно знак р, р',
q и q'-
Основная задача динамики
13.	Мы пришли к следующей задаче:
изучить канонические уравнения
dxi __ dF dy{ _ ~ dF
dt	dy^ ’ dt	dx-t	' '
в предположении, что функция F может быть разложена по степеням ма-
лого параметра ц следующим образом:
Р — F0 +	1 +	2 +  • ' •
Кроме того, предполагается, что Fo зависит лишь от х и не зависит от у
и что F1; F2, ... являются периодическими функциями периода 2л по у.
Общие положения и метод Якоби
35
Приведение канонических уравнений
14.	Мы видели, что интегрирование уравнений (1) предыдущего пунк-
та может быть сведено к интегрированию уравнения в частных произ-
водных
dS dS
X2, . . . , X p , -J , “5
' dxi dx-i
Представим себе, что известен интеграл
пункта и что этот интеграл записывается в
Л (х1гх2, . . . , хр; ух, у2, ... ,
это означает, что справедливо тождество
И-Л] = 0.
• •>	= const.	(2)
уравнений (1) предыдущего
виде
г/р) = const;
(3)
Я намерен показать, что знание этого интеграла позволяет понизить
на единицу число степеней свободы.
Действительно, уравнение (3) означает, что существует бесконечное
число функций S, удовлетворяющих одновременно уравнению (1) и урав-
нению
dS	dS	dS \
~хг~ ; —г- ,   •, -j— = const.
' dxi	dx,	dx^ у
Установив это, исключим из уравнений (1) и (4) dSIdxp, получим
dS dS	dS \ __ 0
dx-i ’ dx-з ’ ' ' ' ’ dx, I
Ф (х
Производная d Fdxr не входит в уравнение (5); ничто теперь не мешает
нам рассматривать х± не как переменную, а как произвольный параметр;
уравнение (5) тогда становится уравнением в частных производных всего
ср — 1 независимыми переменными.
Таким образом, задача сводится к интегрированию уравнений
dxt _ dcp
dt dyi ’
dl^
clt
</Ф	,  г, 'J
-у— (г = 2, 3, ... , p),
clx.	'	'
которые являются каноническими уравнениями всего с р — 1 степенями
свободы.
Таким образом, если знание интеграла системы дифференциальных
уравнений позволяет понизить порядок системы на единицу, то если эта
система каноническая, можно понизить ее порядок на две единицы.
Возьмем в качестве примера задачу о движении тяжелого тела, под-
вешенного в неподвижной точке. Мы видели, что эта задача обладает тре-
3*
36
Новые методы небесной механики. I
мя степенями свободы,но нам известен один интеграл (интеграл площадей),
следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до двух.
Что произойдет теперь, когда будет известен не один, a q интегралов
уравнений (1) предыдущего пункта? Пусть
Л, Л- Fq
— эти q интегралов, так что
[F, FJ = IF, F21 = ... = ГЛ Fq] = 0.
Можно ли при помощи этих интегралов понизить число степеней сво-
боды на q единиц? В общем случае это не так; для этого надо, чтобы q 4~ 1
уравнений в частных производных
F = const, Fx = const, Fz = const, ..., Fq = const	(6)
были совместными, что требует выполнения условий
= 0 (г, к = 1, 2, .... q).	(7
Если условия (7) выполнены, то можно исключить из уравнений (6)
производные
dS dS	dS
dxi ’ dxz ’ ' ' ’ ’
и мы придем к одному уравнению в частных производных
Ф = 0,
не содержащему этих q производных. В этом уравнении независимыми
можно будет считать только р — q переменных ж„+1, хд+2, ..., хр, рас-
сматривая q первых переменных xlt х2, ..., xq как произвольные пара-
метры.
Таким образом, мы получим приведенную систему канонических урав-
нений, обладающую не более чем р — q степенями свободы.
Например, возьмем опять задачу трех тел, сохраняя обозначения на-
чала п. 2. Мы видели, что число степеней свободы равно девяти.
Но мы имеем три первых интеграла движения центра тяжести, которые
можно записать в виде
Fi = l/х + yt + У? = const,
Fi = У2 + Уь + У» = const,	(8)
Fs = Уз + Уб + Уэ = const.
Легко проверяется, что
[Ft, FS1 = [F8, FJ = [Fx, F2] = 0.
Общие положения и метод Якоби
37
Следовательно, число степеней свободы может быть уменьшено до
шести.
Если ограничиться плоским случаем задачи трех тел, первоначальное
число степеней свободы равно лишь шести. Но имеется только два интег-
рала, подобных (8). Поэтому после приведения останутся только четыре
степени свободы.
Представим себе теперь, что кроме q интегралов Ft, F2, ..., Fq нам из-
вестен еще один интеграл Fд41. Можно ли вывести отсюда интеграл при-
веденной системы? Этот вопрос можно сформулировать иначе.
Известно уравнение в частных производных
Fq+1 = const,
совместное с уравнением
F = const.
Будет ли оно совместно с системой (6)?
Сразу видно, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
[F, Fg+1] = [F^ FqH} = ... = [Fq, FqH\ = 0.
Дернемся, например, к задаче трех тел и рассмотрим три интеграла
площадей
Fi =	—	хзУг	+ хъу6	— хеу6	+ х8у9 — х.,у-	const,
F» = хзУ1 ~ х 1Уз +	+ х9у7 — х7у9	=	const,
F6 = хгу2 — хгуг + х4уъ	— х6уь	+ х7у8 — х6у7	=	const.	(9)
Легко проверить, что
1Л, FJ = 0,	[F2,	FJ	=	+	F3, [F3, FJ = - F2,
(Л, F6] = — F3, [F2, F6] = 0,	[F3,	г6]=+л,
[Fx, F6] = + F2, [F2, F61 = - F1( [F3, Fe] = 0.
He нарушая общности, можно предположить, что центр тяжести не-
подвижен, т. е. что входящие в правые части уравнений (8) константы все
равны нулю. Тогда
Л = F2 = Fa = 0
и, следовательно,
[Fi; Fh ] = 0 (i = 1, 2, 3; к = 4, 5, 6),
откуда видно, что интегралы площадей являются также интегралами при-
веденной системы.
В заключение я попытаюсь понизить насколько возможно число сте-
пеней свободы в задаче трех тел, учитывая одновременно интегралы цент-
ра тяжести и интегралы площадей.
38
Новые методы небесной механики. I
В частном случае, когда три тела движутся в плоскости, мы видели,
что число степеней свободы может быть сведено к четырем, если учиты-
вать уравнения (8). Таким образом, приведенная задача допускает еще
один интеграл (интеграл площадей), что позволяет понизить число сте-
пеней свободы до трех.
В общем случае легко видеть, что
1Л, F6] = F6, [F6, F6] = Fiy IF6, FJ = F6.
Поскольку эти три скобки не равны нулю, знание трех интегралов пло-
щадей не позволяет понизить до трех число степеней свободы. Однако легко
видеть, что всякий раз, когда каноническая система будет допускать три
интеграла Fiy FA, F6, то всегда можно будет найти две комбинации этих
интегралов
<Р (Fiy F^ F6),
Ф {Fiy F 6, F6),
такие, что
[<p, ф1 = О,
а это позволит понизить число степеней свободы на две единицы.
В рассматриваемом нами случае эти комбинации можно найти немед-
ленно; достаточно взять Ft и
ср = Л2+^ + ^>.
Тогда будет тождественно выполняться условие
[<р, Е4] = 0.
Таким образом, после всех приведений останется лишь четыре степени
свободы.
Если вспомнить, что каноническая система с р степенями свободы может
быть приведена к системе порядка 2р — 2, то можно заключить, что за-
дача трех тел, которой в общем случае соответствуют четыре степени
свободы, может быть приведена к системе шестого порядка.
В случае плоского движения она имеет три степени свободы и может
быть приведена к системе четвертого порядка.
В частном случае п. 9 она имеет две степени свободы и может быть при-
ведена к системе второго порядка.
Приведение задачи трех тел
15.	Речь идет о том, как это приведение проделать эффективно.
Рассмотрим сначала случай, когда три тела движутся в одной пло-
скости. Мы видели, что число степеней свободы может быть тогда пониже-
но до трех. Попытаемся фактически выполнить это приведение.
Общие положения и метод Якоби
39
Мы видели,	что уравнения движения можно записать в виде:
dL __ dF r	dll _ dF	dL' _ dF	dll' _ dF
dt	fid I ’	dt	’	dt	fi'dl' '	dt	fi'dtiF ’
dl	dF	da	dF	dl'	dF	dS>'	dF
	1 	 		 	 ' ' • ... - 	.	 ... — -
dt	\idL Кроме того,	’	dl	3d 11 ’	dt	'i'dl.' ’	dt	3'diT dF	dF „ da da' ’
откуда получаем интеграл площадей
₽п+ Р'П' = С,
где С — постоянная. Положим
РП = Я, ₽'1Г = С — II, 3> — 8)' = h,
откуда (если заменить П и П' их значениями в виде функций от С и Н) получим						
	dF __ dF dll ~ 3dn	dF	dF _ dF dh	dS>	_ dF dS>'		(1)
		3'dll' ’				
и уравнения d dt dl	движения примут вид — dF d dl ’	dt dF	dl'		— OJL ~ dl' ’ dF	dH dt dh	dF dh 1 dF	
dt	d	’	dt	d(^'L') ’	dt	dH ’	
Осталось лишь три степени свободы.
16.	Перейдем к общему случаю, когда число степеней свободы должно
быть понижено до четырех. Уравнения тогда имеют вид
dL	dF	dG	dF	d©	dF
			 							
dt	$dl ’	dl	fidg ’	dt	3d0 ’
dL'	dF	dG'	dF	d©'	dF
dt	Vdl' ’	dt	fi'dg' '	dt	3'dt)' ’
dl	dF	dg	dF	dl)	dF
dt	fidL ’	dt	'idG '	dt	3d© ’
dl'	dF	dg'	dF	dlY	dF
dt	'i'dl' ’	dt	$'dG’ 1	dt	3'd©' •
Кроме того, имеются три интеграла площадей, которые, если взять
в качестве первой координатной плоскости плоскость максимума площа-
40
Новые методы небесной механики. I
(2)
(3)
(4)
дей, записываются в виде
30+3'©', = С, 0 = 9',
^(G2-62) = p'2(G'2-0'2).
Кроме того, имеем
dF . dF ________________________________ „
rfT + dO7 ~ u’
откуда видно, что F зависит не от 9 и 0', а лишь от их разности, но так
как эта разность равна нулю в силу интегралов площадей, F можно рас-
сматривать как функцию, не зависящую ни от 0, ни от 0'.
Так же находим
0 = 0',
откуда
а?0	d6'
dt dt
И
dF dF
fid© ~ 3'd9' ‘
Положим теперь
G = T, G' = V,
откуда
3© + 3'©' = с, 32г2 - 3'2Г2 = c (3© - 3'©')
и
RA -	C	P2P	₽'2Г'2 R'A'	C i 3'T'2	₽2P
P	2 +	2C 2C	’ P U ~	2 + 2C	2C	’
откуда
dF	dF	dG dF de	, dF dQ'
ЙГ	—	dG	dV	' de ~dV~	' dQ' dV
или
dF	__	dF	d/1 рГ __	dF В-Г
dr	”	dG	'	de C	dQ' 3'C ’
или, наконец, в силу уравнения (2)
dF _ dF_
dr — dG
и также
dF _ dF
dF' “ ~dG7 '
Общие положения и метод Якоби
41
Постоянную площадей С можно считать заданной. Следовательно, если
в F заменить G, G', 0 и 0' их значениями (3) и (4), F будет зависеть лишь
от L, L', I, Г, g, g', Г и Г', и уравнения движения можно будет записать
в виде UL	dF	dr	dF	dL'	dF	dr'	dF
dt	fid I ’	dt	fidg ’	dt	~~ fi'dl' ’	dt	fi'dg' '
dl	dF	dg	dF	dl'	dF	dg'	dF
dt	fidL ’	dt	3dr	’	dt	fi'dL' ’	dt	fi'dV
Так что	остается	лишь	четыре	степени	свободы.		
Вид возмущающей функции
17.	Важно установить, каков вид функции F, когда применяются пере-
менные двух предыдущих пунктов. Предположим сначала, что берутся
переменные п. 15 и что три тела движутся в одной и той же плоскости;
функцию, зависящую лишь от расстояний между тремя телами, можно
будет разложить по косинусам и синусам углов, кратных I — V h,
коэффициенты этого разложения сами будут разложимы по возрастающим
степеням
ecosZ, esinZ, e'cosZ', е sin Z',
где через е и е' обозначены эксцентриситеты. Наконец, коэффициенты этих
новых разложений сами будут однозначными функциями от L и L'.
Положим для краткости
[3L —Л, ₽'77 = Л';
отсюда вытекает в силу определения Н, что
е = -1. /Л2 - 772,	е' = А- /Л'2 — (Я'— С’)2.
Добавим, что F не изменяется, когда Z, V и h меняют знак. Следователь-
но, разложение F по косинусам и синусам углов, кратных этим трем пе-
ременным, может содержать только косинусы.
Следовательно, окончательно мы имеем
р	Л_
F = 2А (Л2 — Я2) 2 [А'2 — (77 — С)2] 2 cos (mxZ + m2Z' -ф m3h),
где р и q — положительные целые числа, т2, т3 — произвольные це-
лые числа и А — коэффициент, зависящий лишь от Л и Л'. Кроме того,
| т3 — тг | не превышает р и может от него отличаться лишь на четное
число; точно так же | т3 -|- ?и2 | не превышает q и может от него отличаться
лишь на четное число.
bz
Новые методы небесной механики. I
Такое разложение пригодно, когда Л — Н и Л' — (С — FT) достаточ-
но малы; мы видим, что для
Л = Н
все члены, кроме тех, для которых т3 — обращаются в нуль.
Подобным образом для
Л' = С - Н
все члены обращаются внуль, за исключением тех, для которых т3 = — т.2.
Следовательно, если имеем одновременно
\ = Н, Х' = С-Н,
то все члены обращаются в нуль, за исключением тех, для которых
т.3 = т2 = —т2, так что F становится функцией от I — V ф- h.
Если в одном из членов разложения F положить
Л = - Н, Л' = Н - с,
то этот член также обратится в нуль, кроме случая т3 = т2 = — т2.
Можно было бы подумать, что при
Л = - Н, Л' = Н - с
F все еще является функцией от Z — V ф- h, но это вовсе не так, потому
что паше разложение пригодно лишь для малых значений .А. — Я и Л' —
— С ф- Н. Рассуждение, аналогичное только что приведенному, доказыва-
ет, напротив, что для Л — Н, i\.’ = Н — С F является функцией от
I — V — Л, а не от Z — Z' ф- h.
В случае, когда величина Л — Н крайне мала, может быть выгодно
сделать специальную замену переменных.
Тождественно выполняется равенство
лг ф- Hh = л (Z ф- л) - h (Л - я),
поэтому в силу п. 5 канонический вид уравнений не нарушится, если за-
менить переменные
Л, Л', Я,
переменными	Z, Z', h
Л, Л', Л - Я,
Z ф- h, V,	— h.
Положим теперь
Z ф- h = X*, У 2 (Л — Я) ccs/г = £*,	— ]/2(Л — H)sinh = tf.
В силу п. 6 канонический вид уравнений продолжает сохраняться, если
за переменные взять
Л, Л', Г,
Г, Z'.n*.
Общие положения и метод Якоби
43
Эти переменные имеют то преимущество, что функция F, оставаясь перио-
дической по X* и I', разлагается в ряд по степеням и rf, когда эти пе-
ременные достаточно малы.
18.	Возьмем теперь переменные п. 16, т. е.
PZ = A, Р'Л' = Л', ₽Г = Я, 3'Г' = //',
I,	I', g,	g'-
Переменные Н и Н' подчинены некоторым неравенствам. Имеем
Н = Л
откуда
Л2>Я2,	(1)
Точно так же
А'2>Я'’.	(2)
С другой стороны, в силу интеграла площадей,
Н cos i 4- И' cos V = С, Н sin i + Н' sin I' = О,
где С — постоянная площадей, рассматриваемая как одна из данных за-
дачи. Отсюда выводятся неравенства
|яь;я'|<|С|.	(3)
Посмотрим теперь, как функция F зависит от наших переменных. Для
значений Н, близких к Л, функция F уже не голоморфна по Я; она разло-
жима не по целым степеням Л — Н, но по степеням У Л — Н.
В этих условиях полезны следующие переменные. Положим
Z-bg = X*,	|/2 (А — Н) cosg = £*,	У2 (Л — И) sing = ц*.
Уравнения сохраняют канонический вид, если за независимые пере-
менные принять
Л, А', £*,//'
l',y,g';
более того, функция F будет тогда разложима по целым степеням £ *ит] ’•
Если надо рассмотреть значения Н', очень близкие к Л', то можно дей-
ствовать аналогичным образом.
Посмотрим, что произойдет, если значения Н и Н' очень близки к пре-
делам, которые определены неравенствами (3), т. е. если наклонения малы
или равны нулю.
44
Новые методы небесной механики. I
Предположим, например, что Н 4- Н' = С.
В п. 12 мы видели, что F разложима в ряд по возрастающим степеням
переменных £,	т], q', р, р', q, q' этих пунктов, т. е. по возрастающим
степеням
/ЗА - Ур'С - 3'G', УРС- ₽(-),	/3'G' - 3'0'-
Если наклонения равны нулю, то
G = 0, G' = 0'
и два последних радикала обращаются в нуль, но не два первых; функция
F голоморфна тогда по G, G' и
Урс - 30,	/3'6' - 3'0'.
Но мы видели в п. 12, что F не изменяется, когда р, р', q, q' одновре-
менно меняют знак или, что то же самое, когда два радикала ypG — 30
и УP'G' — 3'0' одновременно меняют знак.
Следовательно, для очень малых или нулевых значений наклонений
функция F голоморфна по G и G', с одной стороны, и по
У(3G — 30) (3'G' — 3'0'), с другой.
Но мы имеем
С-Н С’ - н' А 1 (гл.	А, 1 1гл.н"1~нг\
откуда
У (3G-30)(3'G'-3'0') =	_ С)2 _ я'2] [(Н' - су - Я2]
или
]Л(3<?- 30)(3'G'- 3'0') = —/(Я-с-Я')(Я'-с-Я).
Эти равенства показывают, что величины
G, G', УУрС - 30) (3'G' - 3'0')
п, следовательно, F остаются голоморфными функциями Н и Н', когда
И + Н' = С.
Инвариантные соотношения
19.	Мы рассмотрели в п. 1, в связи с системой
dz.
___I
di
(О
Общие положения и метод Якоби
45
с одной стороны, ее решения, с другой — ее интегралы. Но нам остается
коснуться некоторых уравнений, которые связаны с этой системой и о ко-
торых можно сказать, что они занимают промежуточное положение меж-
ду решениями и интегралами. Я теперь определю эти уравнения и назову
их инвариантными соотношениями [’].
Пусть ф — произвольная функция хг, хг, ..., хп; тогда
^ф   ^ф у- । ^ф Y I । ^ф y
dt	dxi 1 ‘ dx-z " 2 • ’ ’ ~г
Рассмотрим теперь систему уравнений
Ф1 (Tlt х2, . . . , Хп) = О,
. ,хп) = 0,	(2)
ФР(гх, х2, . . . ,дгп)= 0
и предположим, что эти уравнения влекут как следствие соотношения
liv л . у о-
dxi 1 dx-i 2 ' ' ' ' ‘ dx п ’
отсюда вытекает, что
^Ф;
~dT
Следовательно, если уравнения (2) удовлетворяются для некоторого
значения t, они будут удовлетворяться для всех значений t; вот почему мы
назовем систему (2) системой инвариантных соотношений; и легко понять,
какое значение может иметь знание подобной системы.
Предположим теперь, что система каноническая и возвратимся к си-
стеме (1) п. 3 и к уравнению
„ /	dS dS	dS \
р \ х,, х„,	, хп;	—, . . . , — = const,
1	' ’ dxi dx-i,	dx j
которое с ней связано.
Знание одного частного решения этого уравнения (3) дает нам систему
инвариантных соотношений.
Действительно, пусть S — решение; рассмотрим систему
dS	dS	dS	...
h = ~diT’	=	(4)
Я утверждаю, что это система инвариантных соотношений для кано-
нических уразнени! (1).
46
Новые методы небесной механики. I
В самом деле, дифференцируя уравнение (3), находим
dF dF d'-S dF d*S	dF d'2S
dx. ~ di/, dx,dx. dy„ dx„dx. ‘	’ * dy dxdx.
г •/i ii ''2	2 г	'[>	7> г
Чтобы привести систему (4) к виду (2)
Ф1 = 'Р> = Фз = • • • = фр = О,
положим
Получим
“'4
откуда
_ у d<fj dllx,
dt ~ dy. dt
d^S
dx^x^. ’
rf<p.
^4
это показывает, что уравнения (5) приводятся к виду
-О (Z = l,2,...,p).
Но как мы только что видели, это как раз и означает, что система (4)
есть система инвариантных соотношений.
Я добавлю еще, что в случае, когда имеются лишь две степени свободы,
каждая система двух инвариантных соотношений может быть получена
этим способом.
Глава II
ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
Определения и леммы
20. Метод Коши доказательства существования интеграла дифференци-
альных уравнений применялся другими геометрами для доказательства
большого числа теорем. Так как этот метод и эти теоремы будут нам по-
лезны в дальнейшем, мне приходится посвятить им вводную главу. Для
этого изложения я воспользуюсь одним обозначением, уже введенным мною
в другом мемуаре; оно поможет мне избежать длиннот и повторений.
Пусть <р (х, у) и ф (х, у) — два ряда по возрастающим степеням х и
у; предположим, что каждый из коэффициентов ряда ф действителен и
положителен и превосходит по абсолютной величине соответствующий
коэффициент ряда ср. Мы будем тогда писать
ф (х, у) <ф (ж, у),
или, если необходимо указать переменные, относительно которых произ-
водится разложение,
Ф<<ф (arg ж, у).
Нетрудно видеть, что если ф (х, у) — ряд, сходящийся для некоторых
значений х и у (представляющий, следовательно, функцию от х и у, го-
ломорфную при х = у - 0), то можно всегда найти два действительных
положительных числа М и а таких, что
Ф (г> У) ц —	(1 — ау^ । я	•
В случае, когда функция ф обращается в нуль при х = у — 0, можно
написать
Мя (я + у) Ma (z ф- у) [1 + «(жф- у)]
1 — a (z + у)	1 — а (z + у)
Предположим, что ф кроме аргументов х и у, по которым она предпо-
лагалась разложенной в ряд, зависит еще от другой переменной t; тогда
числа М и а будут в общем случае непрерывными функциями t. Если
эти два числа не обращаются в нуль ни при одном из рассматриваемых зна-
48
Новые методы небесной механики. I
чений t, можно установить для них нижний предел; следовательно, можно
М и а придать постоянные значения, достаточно большие, для того что-
бы предыдущие неравенства выполнялись.
21. Действия с неравенствами, определенными в предыдущем пункте,
основаны на принципах, которые я приведу вследствие их очевидности
без доказательства.
1.	Если ряд ф сходится, то сходится и всякий ряд ф, для которого вы-
полнено неравенство	, ,
Ф<СФ-
2.	Можно складывать любое число неравенств одного знака
Ф1<СФ1, ф‘2<< Ф2, •    ф«<Ф>-
3.	Если имеется бесконечное число неравенств одного знака
Фо‘зСФо-Ф1 <:С Фи  • • . Фи А1Ф’• • • ДО бесконечности (arg ж, у),
то можно записать, введя новую переменную, что
Фо + Ьф1 + ^2фа + ••*< Фо + Mi + ^2фг + • • • (arg х, у, ?,).
4.	Можно перемножить два неравенства одного и того же знака.
5.	Если имеем
ф(-гх, х2, . . . , £п)<<ф (хх, х2, . . . , хп) (arg^i, х2, . . . , хп) (1)
и, с другой стороны,
fl М У) 91 (*, у).	f-2 М у) << 02 (-г, у),
/ЛмКМм) (arg х, у),
то мойшо в неравенстве (1) вместо xlt х2, ..., хп подставить в левую часть
/х, /2, ..., /п, а в правую часть 0Х, 02, ..., 0П. Итак, можно записать
Ф [/1 (^> У),/а (£, У) > • • • , Аг(ж, У)]<<ф[01 {х,у),В2(х,у), . . .0п(х, у)]
(arg я, у).
6.	Можно дифференцировать неравенство
ф(^, У)<СФ М У) (arg ж, у)	(2)
по одной из двух переменных х и у.
7.	Можно интегрировать неравенство, понимая интегрирование любым
из двух способов: во-первых, можно интегрировать неравенство (2) по
одной из двух переменных х или у, беря 0 за нижний предел интегриро-
вания.
Интегрирование с помощью рядов
49
Тогда получаем
X	X
j <р (х, у) dx J ф У) dx.
о	о
Само собой разумеется, что при вычислении этих интегралов у считается
постоянным.
8.	Но может также случиться, что функции (риф зависят не только от
двух аргументов х и у, но еще и от переменной t, причем мы не считаем,
что функции разложены в ряд по степеням этой переменной.
Предположим, что неравенство (2) верно для всех значений t, заклю-
ченных между tQ и ix; можно проинтегрировать это неравенство по t, рас-
сматривая х и у как константы, и записать
J ср (х, у, 2) dt У ф (х, у, t) dt (arg х, у),
если, конечно, пределы интегрирования заключены между £0 и tv
22.	Рассмотрим функцию ср (х, у), разложенную в ряд по степеням х
и у. Нам часто будет встречаться случай, когда х и у зависят от некоторо-
го параметра ц и их можно разложить в ряд по степеням этого параметра.
Таким образом, запишем
х = -з"о + № + р'% + ...,
У = Уа + УУ1 + У2У2 + — •
Предположим, что в функцию ср вместо х и у подставлены их разложения
(1), тогда ср станет функцией от р, z0, хх, ..., хр, ... до бесконечности и
у0, J/i, •••> J/p, Д° бесконечности; более того, она может быть разложена
в ряд по степеням pi, так что
ф = Фо + РФ1 + Р2ф2 + ••• •
Легко видеть, что ф0 зависит только от х0 и у0; срх от хй, у0, хг и уй ...;
и, вообще, фр зависит от х0, xlt ..., хр; у0, уи ..., ур.
Предпдложим теперь, что имеет место неравенство
Ф^-^-СФ^. у) (arg а:, у).
В ф подставляем вместо х и у их разложения (1), так что получаем
Ф = Фо + pPi + Н2,'1’2 + . • • •
Легко видеть, что получается
Фо*СФо	(argx0, у о),
Ф1<<Ф1	(argx0, р0; o:x, ух),
Фр*СФр (argxo,^, . . . , хр-, у0, уг, , ур).
4 А. Пуанкаре
50
Новые методы небесной механики. I
В этом можно убедиться, применяя пятый принцип предыдущего пунк-
та, что дает
Ф<^ф (агё zi>   • Д° бесконечности, у0, уг, ... до бесконечности).
Мы условимся записывать для краткости функцию (xit у=) вместо
Фр (^о> хи • ••> хр> Уо> У11	У?}-
Теорема Коши
23. Теорему Коши можно найти сегодня в любом классическом трак-
тате, и я ограничился бы ее формулировкой без доказательства, если бы
не хотел ее несколько дополнить.
Рассмотрим дифференциальные уравнения
= 0(а;- У'2” и)’
= ф(ж,	(1)
dz	.
-^- = ф(а:,г/,г,р.).
Я предполагаю, что функции ф и ф разложены в ряд по возрастающим
степеням независимой переменной х, двух неизвестных функций у и z
и произвольного параметра н.
Предполагая, что независимая переменная t не входит в правые части
уравнений (1), я не ограничиваю общности, так как система порядка п,
содержащая независимую переменную явно, может всегда быть заменена
системой порядка п 4~ 1, в которую эта независимая переменная не
входит.
Действительно, пусть, например,
dz ,	..
— = q(x,y,t),
Ясно, что эти два уравнения могут быть заменены следующими тремя:
dx ,	,
-^г = ф(а:, p,z),
dy , , р ,
= ф Z/, z),
dz __ л
dt ~ •
Интегрирование с помощью рядов
51
Я намерен показать, что существуют три сходящихся ряда по степеням t, р
^о, Уо, го, которые удовлетворяют уравнениям (1), когда их подставляют
вместо х, у и z, и которые сводятся к х0, у0 и z0 соответственно при 4 = 0.
Итак, вместо того чтобы разлагать, как это делал Коши, в ряд только
по степеням независимой переменной х, я разлагаю в ряд также по степе-
ням параметра р и по степеням начальных значений х0, у0, z0. Но прежде
надо доказать две новые леммы.
24. Пусть
= Ф (*. У. н)>
-^Г = 'Ф(Ж, У-г-Р)	(1)
— дифференциальные уравнения, где ф и ф — два ряда по степеням
неизвестных функций х и у, переменной t и произвольного параметра р.
Легко проверить, что существуют два ряда
/ (Д Р)> Л (Д Р)	(2)
по степеням t и р, обращающиеся в нуль вместе с 4, такие, что если подста-
вить их по обычным правилам в уравнения (1) вместо х и у, то эти уравне-
ния формально удовлетворяются.
Если мы попытаемся определить коэффициенты рядов / и методом не-
определенных коэффициентов, то найдем, что каждый коэффициент ряда
/ (или Д) является целым многочленом с положительными коэффициентами
от различных коэффициентов рядов ф и ф.
Итак, рассмотрим другие уравнения того же вида, что и (1),
-^Г = <Р (•г.рЛ’Р),
-^- = Ф'(^, Р-4,р),	(lb,s)
такие, что
Ф<<Ф', ф<СФ' (argz, у, 4, р).
Если
/'(^Р)> А(^-Р)	(2 bis)
— ряды по 4 и р, обращающиеся в нуль вместе с 4 и формально удовлетво-
ряющие уравнениям (1 bis) при подстановке их вместо х и у, то можно за-
ключить, что
(arg4,p).
25. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта. Предположим,
что ф и ф разлагаются в ряд по степеням х, у и р для всех значений 4, за-
ключенных между 0 и 4j (4Х Д> 0) (мы условимся рассматривать лишь зна-
4*
52
Новые методы небесной механики. 1
чения t, заключенные между этими пределами). Здесь я не предполагаю,
что <р и ф разлагаются по степеням t.
Тогда существуют ряды по степеням у
Л(^Н)-
которые обращаются в нуль вместе с t и удовлетворяют формально урав-
ниям (1) (коэффициент при любой степени у является функцией t, не обя-
зательно разложимой в ряд по степеням t).
Как определить коэффициенты рядов / и Д?
Пусть хт — коэффициент при ут в /, а ут — коэффициент при ут
в
Тогда для определения хт и ут находим следующие уравнения:
4г = Ф (•*<>, Уо, t, 0).	= Ф (*о> Уо. 0),
dxi _ d<f d<p x dyi _	, y
dt dxr, 1 ' dye. 1 '	11 dt dxa 1 dyn 1 r’
dxm _ d<p	d<f , у d:,m _	, _£Ф_ i V
dt ~ dx„ Xm * dy0 Утrn' dt ~ dx0 m ' dy0 !lrn‘ 1 m’
где Xm и Ym разложены в ряд по степеням
#1 Уi; *^2»	Ут-1
и, с другой стороны, зависят от х0 у0 и t.
Кроме того, в dy/dx0, dyldy0, dty/dx0, dty/dy0 переменные х, у и параметр
р должны быть заменены на х0, у0 и 0.
Пусть теперь уравнения (Ibis) предыдущего пункта
= Ф'(ж, у, i, р),
у’1’ и)
таковы, что
ф-^ф',	(argz, у и у, но не arg£).
Пусть
/'(t, р) = х0 4- цх[ + у,2х'2 + ... ,
fi у) = у'а + УУ1 + НаУ2 + • • •
— ряды по степеням у, обращающиеся в 0 вместе с t и удовлетворяющие
формально приведенным выше уравнениям (1 bis).
Интегрирование с помощью рядов
53
Получаем
dxn	,	,	dijn	,
= Ф' (*о. Уо, t, 0),	(*о, Уо, t, 0),
^Ут   dip'	' , dip'	•
fit , ' хгл , ~—r ’J'.
al	dxQ	dyQ
В начальный момент времени имеем
= -И) = 0, Уо = Уо = 0
и, кроме того,
откуда
|ф|<ф',	1Ф|<Ф'-
I dyn |	dy<) 
I dt I	dt ’
(2)
(3)
хв'и Уо' Для малых положительных значений t положительны и по абсолют-
ной величине больше, чем х0 и у0.
Итак, запишем, что
l^olOo, |Уо|<Уо-
(4)
Неравенства (4) не могут нарушиться до тех пор, пока не нарушены не-
равенства (3). Но это не может произойти, так как неравенства(4) вместе
с неравенствами (2) влекут за собой неравенства (3). Следовательно, не-
равенства (4) будут всегда справедливы при
0< tc tv
Я предполагаю доказанным, что
I Уг I < Уъ • •  ,
I У11 < Уь
(5)

и намерен доказать, что
У nt
Действительно, из
d<p
dxtt
неравенств (5)
I d<p I dq’
I с?3/о I " dy0
\хт\<х'т,
можно заключить, что
dip |	dip' I dip I dip1'
dyo I	di/g ’ I | "
о
54
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, мы должны заключить, что из неравенств
I хт I Хт’ I Ут | Ут
следуют неравенства
I dxm
dt
dxv
di
dy'm
dt
I
| dt
С помощью аналогичного рассуждения можно показать, что
I | <\ Я-m, | Ут | Ут При О	.
Эти же неравенства можно записать в виде
/•</',	/1^/1 (argp, но не arg О-
26. Вернемся к уравнениям (1) н. 23
= 0 (х, у, Z, р), 4г = Ф (*> У. z,р),	= ф (ж, у, z, р).	(1)
Эти уравнения формально удовлетворяются некоторыми рядами
^ = /i(C^o-J/o,Zo,p),
У = h(t,x0,y0,z0,^),	(3)
z — /з (^’ хо< Уо> zo, р)
по возрастающим степеням t, х0, y0, zg, р, приводящимися соответственно
к х0, у0, z0 при t = 0.
Чтобы доказать сходимость этих рядов, сравним их с рядами, полу-
ченными из других уравнений.
Можно всегда найти три положительных действительных числа Л/, аи|3
таких, что если положить
,	М	...
0 = Ф = Ф = ~Гл----о . ,л-;—тг ,	(1)
т т (1 — ЗР)[1 — a(s + i/ + z)]	v '
то получим
0 <0',
ф<<ф', (arg а;, у, z, р).
ф'.
Рассмотрим уравнения
dt 9 ’
-^- = Ф',	(2bis)
Интегрирование с помощью рядов
55
которые также можно записать в виде
dx __ dy __ dz _	М	.
dt dt dt	(1—pp) [ 1—a (x + У -f- z)] *	' 1S'
Этим уравнениям можно удовлетворить с помощью рядов, аналогич-
ных рядам (3), которые также являются рядами по степеням t, х0, у0,
za и р и сводятся к х0, у0 и z0 при t = 0.
Положения п. 24 показывают, что ряды (3) сходятся всякий раз, когда
сходятся упомянутые только что мажорантные ряды.
Уравнения (3bis) легко интегрируются и выражения, которые являются
их интегралами, могут быть записаны в виде
(£ — VS2 — ht),
У = Уо + -^(Я-
z — zo Н—— М) >
где мы положили для краткости
S = 1 — а(х0 + у0 + z0),	h = -j —gjj- •
Эти ряды, расположенные по степеням р, t, х0, уй, z0, сходятся, если
только
Ы> 14 l^ob К|, |z0|
достаточно малы.
Следовательно, то же самое справедливо и для рядов (3), что и требова-
лось доказать.
Обобщение теоремы Коши
27. Из п. 26 следует, что решения дифференциального уравнения мож-
но разложить в ряд по степеням произвольного параметра р, но только
для достаточно малых по модулю значений независимой переменной t. Мы
попытаемся теперь освободиться от этого ограничения.
Рассмотрим следующие уравнения:
= <р (ж, у, t, р),	= ф(т, у, Ср).	(1)
Здесь я снова предполагаю, что переменная t явно входит в уравнения.
Пусть
х — 0 (t, р), у = со (/, р)
56
Новые методы небесной механики. I
то из решений уравнения (1), для которого начальные значения хну при
t = 0 равны нулю.
Я предполагаю, что для всех значений t, заключенных между 0 и t0,
обе функции ср и ф можно разложить в ряд по степеням р, х — 0 (£, 0),
у — со (i, 0) (причем коэффициенты разложений являются функциями t).
Это условие можно выразить иначе: если для некоторой системы зна-
чений х, у, t и р одна из функций ср или ф перестает быть голоморфной, то
говорят, что эта система значений соответствует особой точке уравнений
(1). Следовательно, мы можем сформулировать предыдущее условие не-
сколько некорректным, но удобным способом, сказав, что частное решение
р, = 0, х = 0 (£, 0), у — со (t, 0)
не будет проходить ни через одну особую точку.
Я утверждаю, что если это условие выполнено, то для всех значений t,
заключенных между 0 и t01 0 (t, pi), со (i, п) можно разложить в ряд по сте-
пеням р (именно р, а не t и р), если только | р | достаточно мал.
Замечу прежде всего, что, не уменьшая общности, можно предполо-
жить, что функции ср и ф тождественно обращаются в нуль при
х = у = р — О,
или, что то же самое, предположить, что тождественно выполняется равен-
ство
0 (t, 0) = со (£, 0) = 0.
Действительно, если бы это было не так, можно было бы сделать за’
мену переменных
х' — х — 0 (t, 0), у' = у — со (t, 0)
И прийти к случаю, который мы только что указали, ибо преобразованные
уравнения допускали бы в качестве решений при п = 0
х' = 0, у' = 0.
Итак, примем это предположение. Функции ср иф будут разлагаться в ряд
по степеням х, у и р, но я не предполагаю, что они разлагаются в ряд по
степеням t.
Мы сможем найти ряды * (3), разложенные по степеням р и такие, что
если их подставить вместо х и у, они формально будут удовлетворять
уравнениям (1). Кроме того, эти ряды обращаются в нуль при t = 0.
Чтобы доказать сходимость этих рядов, образуем уравнения, аналогич-
ные уравнениям (2bis) из п. 26.
Функции ср и ф разлагаются в ряд по степеням х, у и р, если только
0<£<<о.
* Имеются в виду ряды, аналогичные рядам (3) предыдущего пункта. (Прим. ред.).
Интегрирование с помощью рядов
Когда t будет изменяться от 0 до /0, радиусы сходимости этих разложений
тоже будут изменяться, но можно указать для них нижнюю границу. Мож-
но, следовательно, согласно п. 20 найти два положительных числа М и а,
таких, что для всех значений t, заключенных между 0 и t0, будут выпол-
няться неравенства
ф<<ф',	(arg я, г/, р),
где
М (ж 4- у 4- р) [1 + а (х 4- у 4- И)]
1 — а (х + у 4- р)
Составим тогда уравнения
-^=*' (2bls)
Эти уравнения можно удовлетворить рядами (3 bis) того же вида, что и
ряды (3), удовлетворяющими формально этим уравнениям *.
Согласно п. 25 ряды (3) будут сходиться, когда ряды (3 bis) сходятся.
Итак, если мы положим
х + у + р = S,
то наши уравнения дадут
и
dS 2МУ(5 4-1)
dl ~	1—S
или
откуда, поскольку S = р при t — О,
2Mt = L +1)2 L ([х 1)2 .
Легко проверить, что 5 и, следовательно, хи у разлагаются в ряд по степеням
р и что разложения сходятся для всех значений t. если только | р | доста-
точно мал; из этого можно заключить, что ряды (3 bis) и ряды (3) сходятся,
что и требовалось доказать.
♦ Имеются в виду ряды, аналогичные рядам (3) и (3 bis) в п. 26. (Прим. рей.).
58
Новые методы небесной механики. I
Прптожения к задаче трех тел
28. Результаты предыдущего пункта, очевидно, остаются в силе,
когда вместо одного произвольного параметра р имеется несколько. Вот
как мы собираемся использовать этот результат. В п. 27 мы рассмотрели
лишь частное решение, для которого начальные значения х и у равны
нулю. Предположим, что мы рассматриваем частное решение, для кото-
рого эти начальные значения равны х0 и у0, и собираемся разложить
это решение в ряд по степеням х0, у0 и р.
Но мы можем идти еще дальше: вернемся к уравнению (1) предыдущего
пункта и рассмотрим частное решение, такое, что
х = х0, у = у0
при t = 0; попробуем затем разложить значения х и у при t = t0 + т
в ряд по степеням х0, у0, р и т.
Затем положим
X = X + хй, у — у + у0, t = t —;
z0
уравнения (1) примут вид
dx'	/ ,	, .	Л>4-Т
= +Хо,У + Уо’
W = Л. т " Ф [Х + Х0, У + Ро, t  , p l .
Мы можем здесь рассматривать х’, у' и t' как переменные, а р, т, z0, уй
как четыре произвольных параметра.
Рассматриваемое нами частное решение таково, что при t = 0
X = ж0, у = у0
и, следовательно,
х = у' = 0.
Кроме того, нам надо вычислить значения х' и у' при t = t0 + т, т. е.
при t' = t0.
Таким образом, мы снова возвращаемся к случаю, изученному в пре-
. дыдущем пункте, и видим, что х и у разлагаются в ряд по степеням х0, Уо
тир, если только модули этих величин достаточно малы. Все это верно при
единственном условии, что частное решение, для которого начальные
значения х и у равны нулю и в котором, кроме того, предполагается, что
р = 0, не проходит ни через одну особую точку.
Применим это к уравнениям п. 13
dxi _ dF dyi _ dF
dt dyt ’ dt	dxi ’
Интегрирование с помощью рядов
59
где
Р — Р о + V-P г +	+ • • •
и где Fo не зависит от г/.
F будет функцией х и у, голоморфной всюду, кроме некоторых особых
точек. Может получиться так, что если придать х значения
'У'		*7*	।	‘У4	——
«Л | “““ сЛ- у	<л-	2 т • • • ?	*^Р " *^2?>
то функция убудет голоморфной для всех значений у.
Представим себе, что поставлена следующая задача. Рассмотрим част-
ное решение, такое, что при t = О
О I	О	।	f>	О	I	$»
§1»	^2 —	'^2 Т S2» • • • »	%р — %р Ч~
=	г/2 + Лг-   • ,	У? = Ур +	Пг
У1 = */? + Л1,
и рассмотрим, в частности, значения переменных при
t = t0 + т;
необходимо разложить эти значения в ряд по степеням р, т, £ и г;.
Это разложение будет возможным; действительно, если положить
одновременно
р. = Г = Bi = Hi = °,
то частное решение сведется к
%г = 4,	У г =	4- у{
(где hi — значение dF(Jdxi при xh = ж°) и, как мы только что предполо-
жили, это решение не проходит ни через одну особую точку.
Посмотрим, что происходит в частном случае задачи трех тел. Функция
F может перестать быть голоморфной лишь в случае, когда два из трех тел
столкнутся. Частное решение, которое мы рассматриваем, представляет
собой при р = 0 совокупность двух кеплеровых эллипсов, описываемых
двумя малыми массами под действием притяжения массы, равной единице
и расположенной в начале координат. Для того чтобы могло произойти
столкновение, нужно, чтобы эти два эллипса пересекались, чего никогда
не бывает в астрономических приложениях.
Следовательно, мы приходим к такому заключению.
В задаче трех тел положение системы задается двенадцатью перемен-
ными, определенными в п. 11. Задаются значения ж,® + £{, у? + ц, этих
переменных при t = 0 и спрашивается, каковы будут значения этих пере-
менных в момент £0 + т. Мы только что видели, что эти значения разлага-
ются в ряды по степеням масс, ц и т.
60
Новые методы небесной механики. I
Есть только один исключительный случай. Предположим, что при t =
= 0 начальные значения переменных равны ж? и ус, при нулевых массах
движение продолжается по законам Кеплера; если при этих условиях столк-
новение происходит до момента t0, то сказанное выше не будет верным.
Таким образом, можно было бы оценить снизу время, в течение которого
пригодно разложение координат планет в ряды по степеням масс, но полу-
ченный предел будет слишком далек от точного предела, чтобы такое
вычисление представляло интерес.
Использование тригонометрических рядов
29.	Для интегрирования дифференциальных уравнений можно приме-
нять не только степенные ряды, пользуются также тригонометриче-
скими рядами. Я хочу здесь сказать о них несколько слов, прежде чем
приступить к уравнениям в частных производных.
Известно, что периодическая функция от х периода 2л разлагается в
ряд следующего вида:
F (ж) — Ао 4- Ar cos х + Аг cos 2ж -|- . . . Д- Ап cos пх -|- . . .
. . . 4- sin х -}- В.> sin 2х . 4“ sin пх 4- • •  •	(1)
Я показал в Астрономическом бюллетене (ноябрь 1886) Iе], что если
функция / (ж) конечна и непрерывна вместе со своими р — 2 производными
и если ее (р — 1)-я производная ограничена, но имеет конечное число точек
разрыва, то можно найти положительное число К, такое, что как бы вели-
ко ни было п,
\п”Ап\<:К,	|n”Z?n|<K.
Если / (ж) — аналитическая функция, она будет конечной и непрерыв-
ной со всеми своими производными. Следовательно, можно найти число Кг
такое, что
|n24rt|<A,	|n25n|<^.
Отсюда следует, что ряд
Мо I + I Д-i 14- \А 214*... 4- Мп 14-  •  4-1	| 4-1В214- •. • + | Вп 14- . • 
сходится и, следовательно, ряд (1) абсолютно и равномерно сходится.
Установив это, рассмотрим систему линейных дифференциальных урав>~
нений
Ли	,	,	,
— Ф1, 1Х1 + Ф1, 2Х2 + • • • + Ф1, п’Гп,
dXi	,
.j, — Фа, гт1 + Фг, 2Х2 + • • • + ф'2, пХп,
"'dt' --- фп, 1Х1 ~ Фп, 2Х2 +  • • 4“ Фп, пХп-
Интегрирование с помощью рядов
61
В этой системе п2 коэффициентов cpi>K являются периодическими функ-
циями с периодом 2л. Следовательно, уравнения (2) не изменяются, если
заменить t на t 4- 2л.
Пусть теперь
— Ф1,1 (О’ Х1 — Фг, 1 (О’	#2 — *Ф1, 2 (0 > • •  Xz == 'Фг, 2 (0> • • •	Я 3	3 II II -ё- -ё- №	М	(3)
Х1 = Фп,1 (О’	Х2 = Фп, 2(0’ •  •	»		 Фп, п (0	
— п линейно независимых решений уравнений (2). Уравнения не изме-
няются, если заменить t на t + 2л, а п решений принимают вид
xi = Ф1,1 + 2л), . . . ,	х„ = фь п (t 4- 2л),
= Фг, 1 (t 4- 2л), . . . ,	хп = ф2, n G 4- 2л),
зч = %, 1 (* 4- 2л), . . . , хп = фп, п (2 4- 2л).
Следовательно, они должны быть линейными комбинациями п решений
(3), так что
Ф1,i (* 4- 2л) = Aly ]ф1; х (О 4- Alt 2фз, 1 (О 4~ • • • 4- Alt пфп, 1 (0>
Ф-2,1 4~ 2л) = А2) 1ф1>! (t) 4- Л2) 2Фг, i (0 4~ • • • 4~ ^2, пфп, 1 (0>	0)
Фа, 1 4“ 2Л) — Ап, J (t) 4~ ^п, 2Ф2, 1 (0 4“ • • • 4" -4п, пФп, J (t),
где А — постоянные коэффициенты.
Кроме того, получим так же (с теми же коэффициентами)
Ф1, 2 + 2Л) =	1'ф1, 2 (/) 4-	2ф2, 2 (0 4“ • • • 4“ -41, лФп, 2 (О
Теперь образуем уравнение относительно S
►ь.  [ъ. ' 5	• ьэ	। 	Cq • W	• I	W . ?	. ЬЭ	к- |-33 Со ’	= 0
(5)
Пусть — один из корней этого уравнения. В силу теории линейных
подстановок всегда существуют п постоянных коэффициентов
BltB2.....Вп,
62
Новые методы небесной механики. I
таких, что если положить
1 (0 =	1 (0 4“	1 (0 4~ • • • 4* ДгФп, 1 (0>
а также
61, i W — -®1Ф1, i (0 4* -^гФг, i (0 4* • • • 4" ^n4n,i (0>
ТО
61,1 4* 2л) = £16!, 1 (£),
а также
61, i 4~ 2л) = £101, i (£).
Положим
£х =
Тогда
е-я, ((+2к)01( х 2л) =	1 («) =	1 (t).
Это уравнение показывает, что
^'61,1(0
является периодической функцией, которую мы можем разложить в триго>-
нометрический ряд
^1,1 (0-
Если периодические функции (2) аналитические, таковы же будут
решения дифференциальных уравнений (2) и функция Xj,i (£). Ряд Xj,i (t)
будет, следовательно, сходиться равномерно и абсолютно.
Также
е-Я1,91, i (0
— периодическая функция, которую можно представить тригонометри-
ческим рядом
W)-
Итак, имеется частное решение уравнений (2), которое записывается
в виде
«i = eai%i(0, ж2 = ес'А1,2(0, . . . , хп = «?“•%., n(Z).	(6)
Каждому корню уравнения (5) соответствует решение вида (6).
Если все корни уравнения (5) различны, имеются п линейно независи-
мых решений этого вида и общее решение будет
a?i = Cie“1(^i, 1 (i) 4- C2sa2i^i,»(0 4~ • • • 4~ ^пе п ^i,n (0>
ж2 = Cia»>%,i (i) 4- C2east^2, г(0 4~ • • • 4~ ^пе ” ^2,п (0,	(^)1
хп = Ciea‘%i, 1 (0 4~	2 (0 4~ • •. 4~ Спе п Kitn (0-
Интегрирование с помощью рядов
63
Здесь С — постоянные интегрирования, а — постоянные и % — абсолют-
но и равномерно сходящиеся тригонометрические ряды.
Теперь посмотрим, что происходит, когда уравнение (5) имеет двойной
корень, например, когда ссх = а2. Вернемся к формуле (7). Положим в ней
С3 = Ci = ... = Сп = О
и заставим а2 стремиться к ах. Получим
xi — [CjAi, i (0 4~ Сае(Яг fXa,1 (i)]
или, положив
G = G - c2, c2 =	,
1	1	2 J a2 — ai
получим
[сХ, 1 (0 + с'г	1 w
аг — ai
Ясно, что разность
^2, 1 (0 ' ^1, 1 (О
обратится в нуль при a2 = Следовательно, мы можем положить
1 (0 — ^i, 1 (0 4~ (a2 ai) (О-
Таким образом получим
жх = еЯ1( ! -f- C27.lt j —a2_	h С2\' (t)	‘
и в пределе (при a2 = ах)
xi — Cieait^i, 1 + С2<?“1( [iXXj х -f- limX' (i)].
Можно убедиться, что предел X' (I) при a2 = ах также является равно-
мерно и абсолютно сходящимся тригонометрическим рядом.
Итак, следствием наличия двойного корня уравнения (5) было появле-
ние в решении членов вида
еЯ1< Х(«),
где X (Z) — тригонометрический ряд.
Легко видеть, что тройной корень приведет к появлению членов вида
(О
И Т. д.
84
Новые методы небесной механики. I
Я не останавливаюсь на всех этих деталях. Эти результаты хорошо из-
вестны из работ Флоке, Калландро, Брунса, Стилтьеса, и если я и привел
здесь доказательство in extenso для общего случая, то только потому, что
его крайняя простота позволила это сделать в нескольких словах.
Неявные функции
30.	Если имеются п + р величин уи у2, ..., уп',х1, х21 ..., хр, между ко-
торыми имеется п соотношений
/1 (.71-1/2-  • • , Уп,	^2, . . • , Я!р) = 0,
/2 (у15 г/а, ... , уп;	х2, . . . , Жр) = 0,	(7)
fn (У1, Уз, • • • , Уп,	ж2, . . . , хр) = 0,
если / разлагаются в ряд по степеням х и у и обращаются в нуль вместе с
этими п + р переменными; если, наконец, функциональный определитель
/ по переменным у не равен нулю, когда все ж и у равны нулю одновре-
менно, то можно из уравнений (7) определить п неизвестных у в форме
рядов по степеням х±, х2, ..., хп.
Действительно, рассмотрим хг как единственную независимую пере-
менную, а х2, х3, ..., хп — как произвольные параметры. Мы сможем заме-
нить уравнения (7) п дифференциальными уравнениями
dyi dxi ay-z dxi 1	‘ dy dxi 1 dxi	'	z
Таким образом, мы пришли к случаю, которым только что занимались.
В частности, если / (у, xlt х2, ..., хп) — функция, разлагающаяся в
ряд по степеням у и х, если при
у = «1 = Х2 = ... = хп = 0
будет
/ = 0,	^=^0
Л/ '
и если у определяется из равенства
/ = 0,
о у можно разложить в ряд по степеням х.
31.	Этот результат можно выразить иначе. В самом деле, рассмотрим
.любое алгебраическое уравнение
/ (я) = 0.
Интегрирование с помощью рядов
65
Если для некоторого значения х0 переменной х функция / (х) обращается
в нуль, а ее производная не равна нулю, то говорят, что х0 — простой ко-
рень уравнения; х$ — кратный корень порядка п, если для значения х =
= ха / обращается в нуль вместе со своими п — 1 первыми производными.
Так же, если имеется произвольная система алгебраических уравнений,
например, состоящая из трех уравнений, а именно:
Л (х, у, z) = О,
/2 (х, у, z) = О,
/з (х, у, z) = О,
то говорят, что
х = Хо, у = уа , Z = z0
— простое решение этой системы, если при этих значениях /1? /2, /3 обра-
щаются в нуль, а их якобиан, или функциональный определитель, не ра-
вен нулю.
Можно сохранить те же наименования в случае, когда /1? /2 и /8 явля-
ются не целыми многочленами от х, у, z, а голоморфными функциями от
х, у, z.
Результат предыдущего пункта можно выразить тогда следующим об-
разом: если имеется р уравнений (относительно неизвестных ylt у2..., ур)
h (У1, Уг,- • • - УР; х1г х2, . . . , хп) = О,
?2(У1’У2....yP;xltx2......хп) = 0,
Уг, • • • . Ур,Х1, х2, . . . , хп) = 0,
левые части которых голоморфны, и если при
Xi = х2 = . . . = ж„ = 0
система значений
У1 = У 2 = • •  = У? = 0
является простым решением уравнений, то у разлагаются в ряд по возра-
стающим степеням х. Следовательно, если дать переменным х достаточно
малые значения, то наши уравнения будут допускать действительное ре-
шение.
Алгебраические особые точки
32.	Рассмотрим уравнение
/ (у, х) = о	;(1)
5 А. Пуанкаре
66
Новые методы небесной механики. I
и предположим, что при
х = у — О
/ обращается в нуль вместе со своими т — 1 первыми производными по
у. Тогда при х = 0 значение 0 переменной у является решением порядка т
этого уравнения.
Можно показать, что существует т сходящихся разложений у по дроб-
ным положительным степеням х, обращающихся в нуль вместе ежи удов-
летворяющих этому уравнению (см. классические работы Пюизе об алгеб-
раических уравнениях).
Эти т сходящихся разложений распределяются по группам следую-
щим образом.
Пусть
± Л	2L	(2)
у — aLx р + а2ж р . .. 4- а,пх ?	. ..
— одно из этих разложений и ?. — корень р-й степени из единицы.
Разложение
1	2	п
у = р а2А,2х ? + . . . -f- р . .
будет также удовлетворять уравнению (1). Можно, следовательно, полу-
чить из разложения (2) р — 1 других разложений, которые вместе с ним
образуют группу; я назову ее группой порядка р.
Сумма порядков всех групп, очевидно, равна т. Предположим, что име-
ются qp групп порядка р; сумма их порядков будет равна qpp, и мы по-
лучим
41 + 2^ -j- 3qs -(- ... + pqp = т.
Коэффициенты pqp разложений, принадлежащих к группам порядка
Pi будут заданы алгебраическими уравнениями порядка pqp.
Если pqp нечетно, эти уравнения будут иметь по меньшей мере один
действительный корень и по меньшей мере одно разложение будет иметь
действительные коэффициенты. Поскольку, кроме того, р нечетно, если
pqp нечетно, то соответствующее значение у также будет действитель-
ным.
Но если т нечетно, по крайней мере одна из величин pqp будет нечетна,
следовательно, тогда по меньшей мере одно из значений у будет действи-
тельным.
Итак, если т нечетно, уравнение (1) допускает по меньшей мере одно
действительное решение при малых значениях х.
Можно еще добавить, что числа действительных решений при малых
положительных и отрицательных значениях х будут оба той же четности,
что и т. Речь идет о тех действительных решениях, которые обращаются
в нуль вместе с х.
Интегрирование с помощью рядов
67
Исключение
33.	Рассмотрим теперь уравнение
/ {у, ^1, ^2, хп) = 0	(1)
и представим себе, что если у и х обращаются в нуль, то / обращается в
нуль вместе со своими т — 1 первыми производными по у, а т-я произ-
водная не обращается в нуль.
В начале моей диссертации о функциях, определяемых с помощью урав-
нений в частных производных (Paris, Gautier-Villars, 1879) [®] я доказал,
что подобное уравнение можно преобразовать в другое, имеющее следую-
щий вид:
Ф (у, ^1, ^2> •••, хп) = О,
где ф — многочлен степени т от у, коэффициент при у™ равен единице, а
остальные коэффициенты голоморфны по х.
Если предположить, что т = 1, то это уравнение сведется к виду:
у — (голоморфная функция от х) = О,
и мы снова вернемся к теореме п. 30.
В этой же диссертации я доказал (лемма IV, стр. 14), что если фх, ф2, ...
..., фу — р голоморфных функций от zlf z„ ..., zp; xt, x2, .... xp, если
эти функции обращаются в нуль, когда все z и х равны нулю, если
уравнения
Ф1 = Фг = Фз =	= Ф₽ = 0	(2)
остаются различными, когда все х равны нулю; если, наконец, z определя-
ются как функции от х уравнениями (2), то р таким образом определенных
функций являются алгеброидными. Это означает, в терминах цитирован-
ной диссертации, что уравнения (2) можно заменить р уравнениями
Ф1 = 0, ф2 = °, •••> Фр = °
того же вида, но левые части которых являются целыми многочленами
относительно z.
Пусть теперь имеем два совместных уравнения
ф (я, у, z) = 0,
(3)
ф (х, у, z) = 0,
определяющих у и z как функции от х. Я предполагаю, что левые части го-
ломорфны по х, у и z и обращаются в нуль одновременно с этими тремя
переменными.
Одно из двух: либо, когда х равно нулю, оба уравнения остаются раз-
личными, тогда, как мы только что показали, можно заменить эти два урав-
5*
68
Новые методы небесной механики. I
нения двумя другими, им эквивалентными
Ф1 (ж, У, z) = О,
Ф1 (х, у, z) - О,
левые части которых будут целыми многочленами от у и z; можно из этих
двух уравнений, ставших алгебраическими по неизвестным у и z, исклю-
чить, например, z и прийти к единственному уравнению
F (х, у) = 0.
Либо, когда х равно нулю, два уравнения (3) совпадают. Но тогда мог^т
представиться два случая.
Либо можно найти такое число а, что уравнения (3) остаются различны-
ми, если положить х = <ху. Тогда, если мы положим х' = х — ау, урав-
нения остаются различными при х' = 0, и мы приходим к предыдущему
случаю. Можно исключить z из обоих уравнений (3) и свести их к единст-
венному уравнению между х' и у' или, что то же самое, между хну.
Либо нельзя найти такого числа а; но это может случиться, лишь если
уравнения (3) не являются различными; таким образом исключение воз-
можно во всех случаях, кроме последнего.
Вообще, пусть
<Pi (zi, za, •••> z₽; %) = о,
Фа (zi’ z2i •••> zp> а') = 0,	(4)
фр (Zl, Z21 •••> zp, ж) — 0
— р уравнений, левые части которых голоморфны и которые определяют z
как функции от х; если эти уравнения различны, то можно всегда исключить
z2, z„ ..., zp из этих р уравнений и свести их к единственному уравнению
вида
F (х, Zj) =0.	(5)
Я предполагаю, что уравнения (4) все еще различны при х = 0 и, сле-
довательно, F не делится на х.
Я предполагаю, что <р15 ср2, ..., фр обращаются в нуль вместе с z и х,
так что
Z1 — z2 = zs ~	~ %р = 0	(6)
-%- решение системы (4) при х = 0 и Zj = 0 — решение уравнения (5).
Если Zj = 0 — решение порядка т уравнения (5), я буду называть ре-
шение (6) решением порядка т системы (4).
Если решение нечетного порядка, мы можем утверждать, что уравне-
ние (5) и, следовательно, система (4) допускают действительные решения и
при малых значениях х.
Интегрирование с помощью рядов
69
Теорема о максимумах
34. Пусть F (zx, z2, zp) — произвольная голоморфная функция отг.
Известно, что можно найти все максимумы этой функции, если решить сис-
тему
. n.	m
dzi ~ dz2    dzv ’	1 '
но известно также, что не все решения этой системы соответствуют мак-
симумам.
Я утверждаю, что, для того чтобы некоторое решение могло соответ-
ствовать максимуму F, необходимо, но разумеется не достаточно, чтобы
порядок решения был нечетным.
Это очевидно, когда имеются единственная переменная и единственное
уравнение
В самом деле, известно, что максимума не может быть, если первая про-
изводная F, не обращающаяся в нуль, не является производной четного
порядка.
Распространим подобный результат на общий случай и для определен-
ности рассмотрим случай лишь двух переменных zx и z2. Будем считать
zx и z2 координатами точки на плоскости; мы всегда можем предположить,
что за начало координат взята точка, соответствующая максимуму, так
что максимум имеет место при
Zj = z2 — 0.
Можно тогда описать вокруг начала координат замкнутую кривую С, очень
маленькую и такую, что во всех ее точках выполняется неравенство
F (zlf z2) < F (0, 0).
Более того: можно предположить, что эта кривая имеет уравнение
вида
F (zx, z2) = F (0, 0) - V,
где X — очень малая постоянная, и что внутри этой замкнутой кривой С
имеет место неравенство
F (zn z2) > F (0, 0) - V;
следовательно, при пересечении кривой С снаружи внутрь F растет. Мы
хотим установить, что
21 ~ z2 0
70
Новые методы небесной механики. I
— решение нечетного порядка системы
dF _ dF
dzi dz%
Это сводится к следующему: пусть F (z15 z2, р,) — функция от zx и
z2, обращающаяся в F (zx, z2) при ц = 0. Тогда система
dF _ dF _ n
dzi dz2
при |x = 0 имеет кратное решение
z~i = z2 = 0.
Можно всегда выбрать функцию F (zx, z2, ц) (которая нам задана лишь при
|х = 0 и остается произвольной при других значениях |х) таким образом,
что при отличных от нуля значениях ц эта же самая система имеет лишь
простые решения. Итак, необходимо установить следующий факт: если р.
достаточно мало, то внутри кривой С имеется нечетное число этих простых
решений.
В моем мемуаре «Sur les courbes definies par les equations differentielles»
Ipt. IV, chap. XVIII. (Journal de Liouville, serie 4, t. II, p. 177)] [10] я
имел случай изучать распределение особых точек системы дифференциаль-
ных уравнений и определить для этой цели индекс Кронекера замкнутой
кривой или замкнутой поверхности по отношению к этой системе дифферен-
циальных уравнений. Здесь нам надо рассмотреть следующую систему:
dzi ___ dz2
[ dF ,	{ dF \
\ dzi j \ dz2 /
и в более общем случае
dzi	dz2	dzn
/ dF^\ = / dF \ = •  • = f dp'~. •
( dzi J \ dz2 J	\dzn)
(2)
Особые точки системы (2) будут решениями системы (1).
Нам надо вычислить индекс Кронекера [и] замкнутой кривой С по от-
ношению к системе (2). Можно проверить, что он равен единице при ц =
— 0 и отсюда заключить, что он остается равным единице для малых зна-
чений р, так как может изменяться лишь в том случае, если одно из реше-
ний системы (1) пересекло кривую С.
Следовательно, число положительных особых точек системы (2), распо-
ложенных внутри С, равно числу отрицательных особых точек плюс еди-
ница.
Интегрирование с помощью рядов
71
Итак, общее число особых точек, т. е. общее число решений системы (1),
простых по предположению и расположенных внутри С, нечетно, что и тре-
бовалось доказать.
Эти рассуждения без изменений применимы в случае более чем двух
переменных.
Новые определения
35. Чтобы не слишком удлинять изложение этих предварительных све-
дений, я не буду говорить в данный момент о применении методов Коши к
уравнениям в частных производных, хотя и намерен позднее вернуться к
этому вопросу.
Я закончу эту главу новым обобщением обозначения из п. 20.
Пусть <р (х, у, t), 1)? (х, г/, t) — два ряда, расположенных по возрастаю-
щим степеням а: и у, так что коэффициенты являются периодическими функ-
циями от t, разложенными по синусам и косинусам кратных t или, что то
же самое, по положительным и отрицательным степеням elt.
Итак, рассмотрим разложение ф и ф по степеням х, у, и ei!. Если каж-
дый из коэффициентов ф веществен, положителен и больше по абсолютной
величине, чем соответствующий коэффициент ф, мы будем писать
<р<2ф (arg а:, у, et<«).
Если ряд ф сходящийся при
X = | Хо |, У = I Уо I. t = О,
ряд ф будет сходиться при
х = х0, у = у0, t — любая действительная величина.
Я добавлю, что достаточно, чтобы ряд ф сходился при t = 0 для того,
чтобы он сходился при любом t.
Если ряд ф (х, у, t) сходится и представляет собой аналитическую функ-
цию, то из рассмотрений предыдущего пункта следует, что сходимость аб-
солютная и равномерная.
Можно, следовательно, найти такую вещественную положительную по-
стоянную а и такую периодическую с периодом 2л функцию М от t,
что:
1) все коэффициенты разложения М по положительным и отрицатель-
ным степеням еи положительны и вещественны;
2) имеет место неравенство
м
Ф< 1_а(ж + у) (arga;,y.e±H).
72
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, мы имеем a fortiori, что для любого t
Ф	;—г	(arg У),
1 — a (z + у) v ° ’ у’
где Мо — значение М при t = 0.
Действительно, пусть
ф = YAxmyne?u,
тогда
=— 2Ар2хтупеРи.
Этот ряд должен сходиться, по предположению, для всех вещественных
значений t и всех значений х и у внутри круга сходимости. Предположим,
например, что сходимость имеет место при
1
X = Ц — ---
J а
Члены ряда должны быть ограничены по абсолютной величине, так что
можно записать, обозначив через К некоторую положительную постоянную,
Если положить
.« = 2^.
то получим
с ._________________________м . м
(1 — ах) (1 — ау) '' 1 — а (х у) *
Глава III
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
36.	Пусть
= (i = l,2, . . ,,n)	(1)
—	система дифференциальных уравнений, где X — данные однозначные
функции переменных xlt х2, хп.
Пусть теперь
^1 = Ф1(0-	«2 = <р2(0> • • •> ^п = Фп(0	(2)
—	частное решение этой системы. Представим себе, что в момент Т п пе-
ременных х, принимают свои начальные значения, так что
ф{(О) = <р{(Т).
Ясно, что в этот момент Т мы будем находиться в тех же условиях, что
и в момент 0 и, следовательно, для любого t
фДО = ф»(* + Т).
Другими словами, функции ф{ будут периодическими функциями t.
Тогда говорят, что решение (2) является периодическим решением урав-
нений (1).
Предположим теперь, что функции Xi зависят не только от xi, но и от
времени t. Более того, я предполагаю, что X, — периодические функции
и период равен Т. Тогда, если функции ср, таковы, что
фг(0) = ф4(Т),
то из этого по-прежнему можно заключить, что
и решение (2) по-прежнему будет периодическим.
Вот другой, немного более сложный случай. Предположим снова, что
функции Xi зависят только от х, но являются периодическими функциями
74
Новые методы небесной механики. I
первых р переменных х, а именно, хг, х2, хр, так что X, не изменяются,
когда хг заменяют на xt + 2л или же х2 на х2 4~ 2л, или же хр на хр +
-f- 2л.
Представим себе теперь, что
Фх (Л = Фт (0) + З^л, ср2(7’) = <р2(0) + 2к2п, .... <рр (Г) = <рр (0) + 2/г„л,
Фр+ИЛ = Фр+1(0).	Фр+2(7’) = Фр+2(0),...,	фп(^) ==Фп(0),
где ки к2, ..., кр — целые числа.
В момент Т первые р переменных х возрастут на некоторое кратное 2л,
ап — р оставшихся переменных не изменятся; следовательно, Хг не из-
менятся, и мы будем находиться в тех же условиях, что и в момент 0.
Следовательно, будем иметь
Ф»(* + Т) = q>i(t) + 2Л:{л (г = 1, 2, . . ., р),’’
Фг (i + Т) = <р4 (/)	((=р4-1,р+2,...,п).
Мы условимся по-прежнему говорить, что решение (2) — периодическое
решение.
Наконец, может случиться, что при подходящей замене переменных
появятся периодические решения, которых не было при старых перемен-
ных.
Вернемся, например, к уравнениям (2) из п. 2

„ей) dV
2п +
d2H
~dtX
Z dt dq
n-
Напомним, что речь идет о движении точки, отнесенном к двум подвиж-
ным осям Ос, и От] под действием силы, составляющие которой по этим осям
суть dV/d£ и dV/d'T|.
Во многих приложениях V зависит лишь от £ иц, и уравнения допуска-
ют такие частные решения, что и ц являются периодическими функциями
i, причем период равен Т.
Если бы точку отнесли к неподвижным осям Ох и Оу, имели бы место
равенства
х — £ cos nt — т] sin nt,
у ~ t sin nt + T| cos nt
и хи у не были бы периодическими функциями t, если только Т не соизме-
римо с 2л/п.
Таким образом, при переходе от неподвижных осей к подвижным по-
является периодическое решение.
Задача, о которой здесь будет идти речь, следующая.
Периодические решения
75
Предположим, что в уравнениях (1) функции Х; зависят от некоторого
параметра р, и что в случае ц = 0 удалось проинтегрировать уравнения и
установить таким образом существование некоторого числа периодиче-
ских решений. При каких условиях мы будем иметь право заключить, что
уравнения имеют периодические решения и для малых значений р,?
Возьмем, например, задачу трех тел. Выше мы условились (п. 11) обо-
значать через а2ц и а3р. массы двух самых малых тел, причем р. очень мало,
а сс2 и аз конечны. При р = 0 задача разрешима, причем каждое из двух
малых тел описывает вокруг третьего кеплеров эллипс; легко видеть тогда,
что существует бесконечное число периодических решений. Далее мы уви-
дим, что можно заключить отсюда, что задача трех тел имеет бесконечное
число периодических решений, если р. достаточно мало.
На первый взгляд кажется, что этот факт не может представлять ника-
кого интереса для практики. В самом деле, лишь с нулевой вероятностью
начальные условия движения будут в точности соответствовать начальным
условиям периодического решения. Но может случиться, что они отлича-
ются от этих условий лишь оченьмало, и это имеетместо как раз в случаях,
когда старые методы неприменимы. Тогда можно с успехом брать перио-
дическое решение за первое приближение, за промежуточную орбиту по
терминологии Гильдена.
Более того, вот факт, который я не смог строго доказать, но который
тем не менее кажется очень правдоподобным.
Если даны уравнения вида, указанного в п. 13, и некоторое частное
решение этих уравнений, то можно всегда найти такое периодическое ре-
шение (период которого, правда, может быть очень большим), что разность
между обоими решениями будет сколь угодно мала на протяжении любого
сколь угодно большого промежутка времени. Кроме того, особая ценность
этих периодических решений заключается в том, что они являются един-
ственной брешью, через которую мы могли бы попытаться проникнуть в
область, считавшуюся недоступной [121.
37.	Вернемся к уравнениям (1) п. 36
(г = 1, 2, . . . , п),
и предположим, что Хг — функции п неизвестных хг, х2, ..., хп, времени
t и произвольного параметра ц. Предположим, кроме того, что эти функции
периодические по t с периодом 2л.
Представим себе, что при ц — 0 уравнения имеют периодическое реше-
ние с периодом 2л
ъ = ф» (О,
так что
Фг (0) =	(2л).
76
Новые методы небесной механики. I
Выясним, будут ли уравнения (1) допускать периодическое решение с
периодом 2л, если р не равно нулю, но очень мало.
Рассмотрим сначала любое решение.
Пусть (0) + Pi — значение х{ при t = 0; <р{ (0) +	+ ф5 — зна-
чение xi при t = 2л. По теореме п. 27 ф, будут голоморфными функциями
ц и Pi и эти функции обратятся в нуль при
Ц == Рх = Р2 = ... = Рп = 0.
Чтобы решение было периодическим, должны выполняться уравнения
Фх = ф2 = ••• = % = 0-	(!)
Если функциональный определитель, или якобиан, ф по Р не равен нулю
при |т = Pi = 0, то, как мы знаем из теоремы п. 30, можно решить эти п
уравнений относительно р и найти
Pi = (и),
где 04 (р) разлагаются в ряды по степеням р и обращаются в 0 вместе с р.
Из этого следует, что для достаточно малых значений р дифференциаль-
ные уравнения допускают периодические решения. Все это верно, если яко-
биан ф не равен нулю или, другими словами, если при р = 0 уравнения (1)
допускают простое решение
Pi = Рг ~ ••• = Рп =
Что произойдет, если решение кратное?
Предположим, что оно кратное порядка т. Пусть тг — число решений
системы (1) при малых положительных значениях р и т2 — число решений
той же системы при малых отрицательных значениях р; речь идет о таких
решениях, что рх, р2, ..., рп стремятся к 0 вместе с р.
В силу того, что мы видели в п. 32 и 33, все три числа т, т2 и т2 одной
и той же четности. Следовательно, если т нечетно, то при малых значениях
р как положительных, так и отрицательных заведомо существуют перио-
дические решения.
Если не равно т2, разность может быть лишь четным числом; следо-
вательно, может случиться, что когда р непрерывно увеличивают, некото-
рое число решений исчезает в момент, когда р меняет знак (или в более
общем случаев момент, когда р проходит через некоторое значение р0, так
как значение р = 0 ничем не отличается от других значений р), но число
исчезающих решений всегда должно быть четным.
Итак, периодическое решение может исчезнуть лишь слившись с дру-
гим периодическим решением [13].
Другими словами, периодические решения исчезают парами подобно
действительным корням алгебраических уравнений.
Периодические решения
77
В силу и. 33 можно исключить из уравнений (1) п — 1 переменных
Р2, рз, рп-1 и получить единственное уравнение
Ф (Р„, И) = 0,	(2)
левая часть которого голоморфна по ₽п и р. и обращается в нуль вместе с
этими переменными.
Если рассматривать теперь рп и р, как координаты точки на плоскости,
то это уравнение будет представлять кривую, проходящую через начало
координат; каждой из точек этой кривой соответствует периодическое ре-
шение.
Таким образом можно составить представление обо всех возможных слу-
чаях, изучая форму этой кривой в окрестности начала координат.
Интересен частный случай, когда при ц = О дифференциальные урав-
нения допускают бесконечное число периодических решений.
Пусть
^1 = Ф1 (*,	^2 = ф2 (Л ^), •••,	= Фп (Л ty
— система периодических решений, содержащих произвольную постоян-
ную h. Какова бы ни была эта постоянная, функции срг — периодические
с периодом 2л по i и удовлетворяют дифференциальным уравнениям,
когда их подставляют вместо х, полагая р, = 0.
В этом случае при р = 0 уравнения (1) не будут независимыми и урав-
нение (2) должно сводиться к тождеству.
Тогда функция Ф должна содержать р в качестве множителя и сводить-
ся к рФт, так что кривая (2) распадается на прямую р = 0 и другую кри-
вую Ф2 = 0.
Каждой точке этой кривой Фх = 0 соответствует периодическое реше-
ние, так что изучение этой кривой позволит разобраться в различных слу-
чаях, которые могут представиться.
Но эта кривая Ф! = 0 не всегда проходит через начало координат.
Следовательно, мы должны прежде всего распорядиться произвольной по-
стоянной h так, чтобы эта кривая проходила через начало координат.
Вот еще один частный случай, который кажется мне достойным интере-
са. Предположим, что откуда-нибудь известно, что кривая Ф = 0 имеет
ветвь В, проходящую через начало координат. Каждой точке этой ветви
будет соответствовать периодическое решение. Представим себе, кроме
того, что почему-либо известно, что ветвь В не касается прямой ц = 0;
наконец, предположим, что функциональный определитель ф по Р равен
нулю. Отсюда можно заключить, что
и так как ветвь В по предположению не касается прямой ц = 0, то
4^ = о.
сф
78
Новые методы небесной механики. I
Это показывает, что кривая Ф = 0 в начале координат имеет кратную
точку, следовательно, одна или несколько ветвей кривой, отличных от В,
проходят через начало координат. За исключением особых случаев, к
которым мы вернемся позже, по крайней мере одна из этих ветвей дейст-
вительна.
Следовательно, кроме периодических решений, соответствующих вет-
ви В, будет существовать другая система периодических решений, и реше-
ния обеих систем сольются вместе при р = 0. Вот обстоятельства, при ко-
торых представляется этот случай.
Мы обозначали выше
Ф1 (0) + ₽г
— значение х, при t = 0 и
Фг (0) + ₽< + Фг
—	значение х, при t = 2л.
Обозначим также
фг (0) + ₽i + Фг'
—	значение при t = 2Лл, где к — целое число.
Я предполагаю, что при р = рх = р2 = ...= рп = 0 функциональный
определитель ф по Р, который я обозначу через А, не обращается в нуль,
тогда как функциональный определитель ф' по р, который я обозначу через
А', обращается в нуль.
Из того, что А не обращается в нуль, можно заключить, что существует
периодическое решение с периодом 2л, которое обращается в
^г = фг (0
при р = 0. Если мы построим кривую
Ф = о,
соответствующую так определенным периодическим решениям, то эта
кривая пройдет через начало координат, а прямая р = 0 не будет ее ка-
сательной, так как А не равен нулю.
Но решение с периодом 2л можно также рассматривать как периодиче-
ское решение с периодом 2Лл.
Попытаемся найти периодические решения с периодом 2/сл. Для этого
нам надо решить уравнения
Ф1 = Фг= ••• = фп = 0.
Исключая из этих уравнений PIt р2» •••> Pn-i, мы получим единственное
уравнение
Ф' (₽п, р) = 0,
Периодические решения
79-
которое в силу наших соглашений будет представлять кривую, проходящую
через начало координат. Среди решений с периодом 2кл имеются наши ре-
шения с периодом 2л; следовательно, кривая Ф = 0 будет одной из вет-
вей кривой Ф' = О (Ф' будет, следовательно, делиться на Ф) и эта ветвь
не касается кривой р = 0.
Более того, так как Д' равен нулю, то имеет место равенство
-^ = 0
Следовательно, начало координат — кратная точка кривой Ф' = 0.
Итак, существуют решения с периодом 2кл, отличные от решения с перио-
дом 2л и сливающиеся с ним при р = 0.
Имеется несколько исключительных случаев, к которым мы вернемся
в дальнейшем.
Я должен еще остановиться на случае, когда уравнения (1) п. 36 до-
пускают интеграл
F (хг, х2, ..., хп, t) = const,
левая часть которого (я буду для краткости обозначать ее через F [хг, <])
является периодической функцией от t с периодом 2л.
Я утверждаю, что в этом случае уравнения
Ф1 = Фг = ••• =Фп = 0
не будут, вообще говоря, независимыми.
Действительно, тождественно будет выполняться равенство
р [<Pi (0) + 3i; 0] = F [q>4(0) + + ф4; 2л] = F [<Pi (0) + Pi + ф4; 0]. (2)
Рассмотрим теперь уравнение
Р [<Pi (0) + Pi + ф1, 0] - F [cpi (0) + pi, 0] = 0.	(3)
Левую часть можно разложить в ряд по степеням ф{, Pi и р; более того,
она обращается в нуль, когда ф4 обращаются в нуль.
Предположим, что при хг =	(0), р = 0 нарушено равенство
dx
п
Производная по фп левой части (3) не будет обращаться в нуль при
Ф» = 0, Pi = 0, р = 0.
Следовательно, в силу теоремы п. 30 мы можем получить из уравне-
ния (3)
(1)
Фп = ОСФ1. Ч»а.   •> 4«-i; 31- За.Зп,- р>).
где 0 — ряд по степеням ф15 ф2, фп_х; рп р2, ••> Рп и Щ обращаю-
щийся
80
Новые методы небесной механики. I
в нуль, когда одновременно
Ф1 = Фа = ••• = Ф»-1 = 0.
Итак, п-е из уравнений (1) является следствием п — 1 первых.
Если бы мы имели
^£ = 0,	^=^0
ах	ахл ‘
п	1
при Xi — <Pi (0), то первое из уравнений (1) было бы следствием п — 1 по-
следних.
Во всех этих случаях уравнения (1) не независимы.
Исключением является лишь тот случай, когда одновременно
dF dF _	dF
dx^ ' dx% '' ’ dxn
при Xi = (fi (0), p = 0.
Итак, исключим одно из уравнений (1), например,
Фп = 0
(если dF/dxn 0) и разрешим относительно р систему
Ф1 = Фа = ••• =Фп-1 = 0,
к которой прибавим n-е уравнение, выбранное произвольно, например,
Pj=произвольная постоянная, или F = С {С — заданная постоянная).
Итак, при каждом значении р имеется бесконечное число периодиче-
ских решений с периодом 2л; если же зафиксировать постоянную С (ко-
торой равна F), то в общем случае имеется только одно периодическое ре-
шение.
Если бы вместо одного однозначного интеграла мы имели два
F (хг, х2, ..., хп, I) — const,
(xlt x2, ..., xn, t) — const,
то два последних уравнения (1) были бы следствиями п — 2 первых, если
только якобиан
dF dFi dF dFi
dxn dxn-i dxn-i dxn
не был бы равен нулю при хг =	(0), р = 0.
Тогда можно было бы отбросить эти два последних уравнения
Фп-1 = Фп = 0
и заменить их двумя другими, выбранными произвольно.
Периодические решения
81
Случай, когда время не входит
явно в уравнения
38. В предыдущих рассмотрениях мы предполагали, что функции
.Xg, Хп, входящие в дифференциальные уравнения (1) п. 36, зависят
от времени t.
Результаты изменились бы, если бы время t не входило в эти уравнения.
Прежде всего между этими двумя случаями имеется разница, которую
невозможно не заметить. Мы предполагали прежде, что X были периодиче-
скими функциями времени и период был равен 2л; из этого вытекало, что
если уравнения допускали периодические решения, то период этого ре-
шения должен был быть равным 2л или кратным 2л. Если, наоборот, X-t не
зависят от t, то период решения может быть произвольным.
Затем, если уравнения (1) п. 36 допускают периодическое решение (и
если X не зависят от /), то этих решений бесконечное число.
В самом деле, если
Х1 = Ф1 (О, х2 = ф2 (0, хп = фп (О
— периодическое решение уравнений (1), то при любой постоянной h то
же самое можно сказать и о
Х1 = Ф1 (* + h), х2 = ф2 4- h), ..., хп = <р„ (J 4- h).
Итак, случай, на котором мы остановились прежде всего и когда при
р. = 0 уравнения (1) допускают единственное периодическое решение, не
может представиться, если X не зависят от t.
Займемся теперь случаем, когда время t не входит явно в эти уравнения
и предположим, что при ц — 0 они допускают периодическое решение с
периодом Т
Xi = Ф1 (/), х2 = ф2 (t), ..., хп = ф„ (t).	(4)
Пусть ф{ (0) 4- Р; — значение яд при t = 0; если ф;(0) 4- р,- 4- ф{ — зна-
чение xt при t = Т 4- т, то ф4 будут голоморфными функциями [1, Pi,
р2, ..., рп и ти будут обращаться в нуль вместе с этими переменными.
Итак, нам надо решить п уравнений
Ф1 = Фа = •••= Ф„ = 0	(5)
относительно «4-1 неизвестной
Pii Рг, •••> Рп> т-
У нас имеется одна лишняя неизвестная, поэтому мы можем распо-
ряжаться ею произвольно, например, положить
Зп = о.
б А. Пуанкаре
82
Новые методы небесной механики. I
Из уравнений (5) мы затем найдем	0П и т в виде голоморфных
функций от |х, обращающихся в нуль вместе с ц. Это можно сделать, если
только определитель
dipl dip2	dipl d\d>	dipt ^Pn-l dip2 • ‘ •	<-i	dipi dx dip2 dx
			dVn
			
d^	^2	^Pn-l	dx
не равен нулю при р. =	= т = 0.
Если определитель равен нулю, то вместо того, чтобы произвольно по-
лагать рп = 0, можно положить, например, = 0. Наш метод не прохо-
дит, если все миноры матрицы
dipl	dipi
d|\	d₽2
dip2	dip2
	
	dp2
	
	
dipi
dx
dty
dx
равны нулю одновременно (следует заметить, что определитель, получен-
ный вычеркиванием последнего столбца этой матрицы, всегда равен нулю
при р = Pi = т = 0).
Так как в общем случае все эти миноры не равны нулю одновременно,
то дифференциальные уравнения (1) п. 36 допускают при малых значе-
ниях р периодическое решение с периодом Т х.
Обозначим через
Др Дг> • • • •> Дп> Дп+1
определители, содержащиеся в этой матрице; определитель получает-
ся, если в матрице вычеркнуть i-й столбец.
Исходное периодическое решение дифференциальных уравнений, кото-
рое они допускают при р = 0, записывалось, как мы помним, в виде
^ = <Pi(«).
Я обозначаю через ср/ (£) производную от функции <pi (t) и намерен до-
казать следующее! если производная <рп'(0) не равна нулю, то определи-
Периодические решения
83
тель Ап не может обратиться в нуль, если только все определители
Av А2, . . ., Ап, Дп-н
не обращаются одновременно в нуль.
В самом деле, предположим, что не все эти определители равны нулю
одновременно, а определитель Ап равен нулю. Я утверждаю, что <рп'(0)
будет равна нулю.
Так как дифференциальные уравнения не содержат время в явном виде,
то они допускают при ц = 0 периодическое решение,
= <Pi (t + ^)t
какова бы ни была константа h.
Следовательно, если положить
т = 0, р = 0,	= <pi (h) — epi (0),
то ф; обратятся в нуль при любом h.
Это будет иметь мест о и при бесконечно малом h, что приводит к соот-
ношениям
dib.	dib.	dib.
^;<0)+Хф‘<0)+--'+^ф”(0)“° <‘"1'2.....................п)- (6)
Эти соотношения показывают прежде всего, что определитель Ап+1 ра-
вен нулю.
Кроме того, величины
dijij
d$K * dr
не могут быть связаны с другими линейными соотношениями того же вида,
т. е. вида
dib.	dib,	dib.	dib.
+ +• • • +л"‘< +Ai+1<^ = 0 (2)
(i — 1, 2, . . ., n).
Действительно, в противном случае все определители обратились бы в
нуль одновременно.
Мы предположили, что Ап равен нулю. Между тем этот определитель
является не чем иным, как функциональным определителем ф1т ф2, ..., фп и
Рп по р2, ..., Рп и т. Сказать, что этот определитель равен нулю,— это
сказать, что между производными от ф имеются соотношения вида (2) и
что, кроме того,
dp	d$	dB
А п -Ц A n I	A n I А п — О
711 d₽i + г	+ ' • • + а'рп +	~ и*
б*
84
Новые методы небесной механики. I
Т. е.
А,=0.
Но других соотношений вида (2), кроме соотношений (6), не может быть.
Значит
Ап = Фп (0)
и, следовательно,
ф;(О) = о.
Итак, если <рп' (0), не равно пулю (а это можно всегда предположить,
так как, если бы было не так, то подходящей замены переменных было бы
достаточно, чтобы прийти к этому случаю), то бесполезно рассматривать
все определители Д>, достаточно рассмотреть Д„.
Если Дп не равен нулю, то разрешим относительно [3 уравнения
Фх =	= ••• = ’!’« = 0п = 0.	(3)
Сперва может показаться, что произвольное введение уравнения р„ =
— 0 уменьшит общность и что таким образом можно пайти лишь те перио-
дические решения, для которых |3П равно нулю при t = 0. Но другие ре-
шения получаются, если заменить t на t + h, где h — произвольная по-
стоянная.
Если, наоборот, Дп равен нулю, то, исключая р2, рз, ..., Рп и т из урав-
нений (3), получим единственное уравнение
Ф (₽!, И) = 0,
аналогичное уравнению того же вида из предыдущего пункта.
Это уравнение можно рассматривать как уравнение кривой, проходя-
щей через начало координат, и изучение этой кривой позволяет исследо-
вать все возможные случаи.
Впрочем, мы встретимся здесь в точности с теми же явлениями, что и в
предыдущем пункте.
Например, когда р непрерывно меняется, периодические решения могут
исчезать лишь парами, подобно корням алгебраических уравнений.
Может также случиться, что при р, = 0 и Рп = 0 существует беско-
нечное число периодических решений. Тогда Ф делится на р и можно за-
писать
ф = рФп
так что кривая Ф = 0 распадается на две — прямую р, = 0 и кривую Ф! =
= 0. В этом случае мы сможем заменить уравнение
Ф = 0
уравнением
Ф! = 0.
Периодические решения
85
Может даже случиться, что некоторые из функций ф; будут делиться на
р, так что, например,
Ф1 = рф1, ф2 = рф'8, ф8 = цфз,
где ф/, ф2', фз' — голоморфные функции Ц, ₽ и т.
Мы сможем тогда заменить уравнения (3) следующими:
Рп = 0, ф! = фг = фз = 0, ф4 = ф» = ... = фп = 0.
Примеры этого мы увидим в дальнейшем.
Если предположить, что существует интеграл
F (xlt xz, ,,,, хп) = const,
то уравнения (3) не все независимы и их можно заменить следующими:
Рп = 0, F = С + Хр, ф2 = фз = ...= фп =0,
где
С = F [<р3 (0), ф2 (0), ..., Фп (0)],
а л — произвольная постоянная.
Можно также заменить уравнения (3) следующими:
Рп = 0, т = 0, ф2 = фз, = ... = фп = 0,
откуда вытекает важное следствие: в общем случае при малых значениях
р нет периодического решения, имеющего тот же период Т, что и при
р = 0; наоборот, если существует интеграл F = const, то можно найти,
при достаточно малых р, периодическое решение, имеющее период, в точ-
ности равный Т.
Действительно, если при xi = <р{ (0) нарушается равенство
то из уравнений'
Фа = Фз =	= Фп = 0
вытекает, что фх = 0.
Вот другое обстоятельство, с которым мы уже встретились в предыдущем
пункте и к которому возвращаемся здесь.
Пусть Р; — значение ж, при t = 0, Pi + ф; — значение х{ при t — Т +
+ т и Pi + ф/ — значение xi при t = кТ -f- т, где к — целое число.
Представим себе, что функциональный определитель ф{ по р4, р2, ...,
рп_ 1, т не равен нулю, но функциональный определитель ф/ равен нулю.
86
Новые методы небесной механики. I
Исключив р2, Рз, •••» ₽п и т из уравнений
ipi = 0, ₽п = 0.
мы получим единственное уравнение
Ф (₽1; р) = 0;
мы будем рассматривать его как уравнение кривой, имеющей в начале ко-
ординат простую точку.
Исключим теперь р2, Рз, •••» Рп и т из уравнений
= 0, ₽п = 0,
ПОЛуЧГМ
Ф'(₽!, Н) = 0.
Мы видим, как и в предыдущем пункте, что Ф' делится на Ф. Кривую
Ф — 0 можно, следовательно, рассматривать как одну из ветвей кривой
Ф' = 0. Так как функциональный определитель Ф/ равен нулю, должно
выполняться равенство
^- = 0
dpi
Следовательно, или кривая Ф' = 0 имеет несколько ветвей, прохо-
дящих через начало координат, или же ее касательной должна быть прямая
р = 0.
Но одна из ветвей кривой Ф' = 0, а именно Ф = 0, нам уже известна,
и мы знаем, что касательная к этой ветви не является прямой р = 0. Сле-
довательно, кривая Ф' = 0 имеет другие ветви, проходящие через начало.
Это означает, что дифференциальные уравнения допускают периоди-
ческие решения, период которых мало отличается от кТ\ эти решения от-
личны от периодических решений с периодом Т при малых значениях р,
но совпадают с ними при р = 0.
Приложение к задаче трех тел
39. Допускает ли задача трех тел периодические решения? Будем сно-
ва пользоваться обозначениями и. Ии обозначим три массы через пг^,
а2р и а3р. Если положить р = 0, т. е. если две малые массы считать
равными пулю, то большая масса будет неподвижной и каждая из двух
малых масс будет описывать вокруг большой кеплеров эллипс.
Тогда ясно, что если средние движения этих двух малых масс соизме-
римы между собой, то вся система через некоторое время придет в началь-
ное положение и, следовательно, решение будет периодическим.
Но это еще не все: вместо того, чтобы отнести три массы к неподвижным
осям (или же подвижным, остающимся всегда параллельными неподвиж-
Периодические решения
87
ным осям, как в и. 11), можно их отнести к подвижным осям, находящим-
ся в равномерном вращательном движении.
Тогда может оказаться, что координаты трех масс относительно непо-
движных осей не будут периодическими функциями времени, в то время
как координаты относительно подвижных осей будут, напротив, периоди-
ческими функциями времени (ср. п. 36).
Предположим теперь, что р, = 0; две малые массы будут описывать кеп-
леровы эллипсы. Предположим также, что оба эти эллипса будут лежать в
одной плоскости, например, в плоскости хгх2, и что их эксцентриситеты рав-
ны нулю. Движение двух малых масс будет тогда круговым и равномерным.
Пусть пип' — средние движения этих двух масс (п' _> п).
Предположим, что за начальный момент времени было выбрано соеди-
нение, причем начальные долготы обеих масс равны нулю.
По прошествии времени 2л/(п' — п) эти долготы станут соответственно
2лтг/(га' — п) и 2лп7(га' — п) и их разность будет равна 2п.
Так как две массы находятся в соединении, взаимное расположение
всех трех тел будет то же, что и в начале. Но только вся система поверну-
лась на угол, равный 2лп/(га' — п).
Итак, если пользоваться системой координат, равномерно вращающейся
с угловой скоростью п, то координаты трех тел относительно этих подвиж-
ных осей будут периодическими функциями времени с периодом
2л/(п' — п).
С этой точки зрения и в силу того, что мы говорили в конце п. 36, это
решение можно рассматривать как периодическое.
Итак, в предельном случае, когда ц, = 0, задача трех тел допускает
периодические решения. Имеем ли мы право отсюда заключить, что пери-
одические решения существуют и при малых значениях ц? Именно к этому
заключению позволяют нам прийти принципы пунктов 37 и 38.
Первым периодическим решением, которое было обнаружено в случае
р, 7> 0, было решение, открытое Лагранжей; при этом три тела описывали
подобные кеплеровы эллипсы, в то время как их взаимные расстояния со-
храняли постоянное отношение (ср.: Laplace. Mecanique celeste,
livre X, Chap. VI). Этот случай слишком хорошо изучен, чтобы к нему
возвращаться.
Хилл в своих знаменитых исследованиях о теории Луны («American
Journal of Mathematics», t. I) [14] изучил другой случай, важность которо-
го с практической точки зрения значительно больше.
Я вернулся к этому вопросу в «Bulletin astronomique» (t.. I, p. 65) [15J и
пришел к заключению, что надо различать три сорта периодических реше-
ний: для решений первого сорта наклонения равны нулю, а эксцентрисите-
ты очень малы, для решений второго сорта наклонения равны нулю и экс-
центриситеты конечны. Наконец, для решений третьего сорта наклонения
не равны нулю.
Во всех этих случаях взаимные расстояния трех тел являются периоди-
ческими функциями времени; в конце каждого периода все три тела нахо-
88
Новые методы небесной механики. I
дятся всегда в одном и том же относительном положении, только вся систе-
ма поворачивается на некоторый угол. Для того чтобы координаты трех
тел были периодическими функциями времени, их надо относить к системе
подвижных осей, совершающей равномерное вращательное движение.
Скорость этого вращательного движения конечна для решений первого
сорта и очень мала для решений второго и третьего сорта.
Решения первого сорта
40. Я хочу воспроизвести здесь то, что уже излагал по поводу этих
трех сортов решений. Начну с решений первого сорта, которые содержат в
качестве частного случая решения Хилла.
Вновь воспользуемся обозначениями п. 11. Пусть А, В, С — три мас-
сы, которые я предполагаю остающимися все время в одной плоскости.
Пусть D — центр тяжести А и В; хг и х2 — координаты В относительно
осей, параллельных неподвижным осям, с началом в А; х3 и х± — координа-
ты С относительно осей, параллельных неподвижным, с началом в D.
Примем переменные п. 12, т. е. переменные
Л, Л', £, Г, Р-
К, А', 1], ц', q, q'.
В данном случае, так как движение происходит в плоскости,
Р = р' = q = q' = 0.
Взаимные расстояния между тремя телами и производные по времени
этих расстояний являются функциями переменных
Л, Л', £созА— psinA, £sinA-|-цсозА,
£'cosA'— rfsinA', sin A'4-4'cos A'
и разности A' — A.
Поэтому, чтобы решение было периодическим, надо, чтобы в конце
периода переменные (1) принимали свои первоначальные значения и чтобы
разность А' — А увеличивалась на величину, кратную 2л; например,
пусть А' — А увеличится на 2л.
Если положить р = 0, движение будет кеплеровым; предположим, кро-
ме того, что первоначальные значения А, А', £, ц, ц' равны нулю, тогда
движение будет круговым и равномерным.
Если начальные значения Ло и Ло' величин Л и Л' выбраны так, что
средние движения равны пип', решение будет периодическим с периодом
2л/(п' — п).
Не будем больше предполагать, что р равно нулю и рассмотрим произ-
вольное решение. Мы можем выбрать за начальный момент времени момент
Периодические решения
89
соединения и за начало отсчета долгот долготу этого соединения. На-
чальные значения X и X' будут тогда равны нулю.
Пусть Ло + Pi, Ло' + р2 — начальные значения Л и Л'; £0, т|0, |0',
т]0' — начальные значения £, т] и т/. Это будут также и начальные зна-
чения четырех последних переменных (1).
Пусть теперь 2 л + ф0 — значение X' — X в конце периода 2л/(п' — п).
Пусть в конце того же самого периода
Л-о + Pi + Ф1> Л.о 4~ Ра + Ф»
— значения Л и Л' и
5о + Фз, Ло + Фъ £о + Фб. Ло + "Фе
— значения четырех последних переменных (1).
Для того чтобы решение было периодическим, необходимо, чтобы
Фо = Ф1 = Фа = Фз = Ф4 = Фб = Фе = 0.
Эти уравнения не все независимы; действительно, дифференциальные
уравнения движения допускают два интеграла: интеграл живой силы и
интеграл площадей. Якобиан этих двух интегралов по Л и Л' не равен ну-
лю при
Р = 0, В = г) = % = т]' = 0.
Уравнения ф4 = ф2 = 0 являются поэтому следствием пяти остальных.
Следовательно, нам надо разрешить систему
Фо = Фз = ф4 = Фб = Фа = 0,	(2)
к которой мы присоединим уравнение живых сил F = С, где постоянную С
будем рассматривать как фиксированную.
Итак, нужно рассмотреть функциональный определитель левых частей
этих шести уравнений по шести переменным
Р1» Рг> £о> Ло> 5о> Ло
и показать, что этот определитель не обращается в нуль при
р =	= р2 = £0 — Ло — £о — Ло — 0.
Но при р = 0
F = Fa — т । —г'
(Ао+з/ (л;+₽2)2 ’
90
Новые методы небесной механики. I
где y и у' — постоянные, зависящие от масс,
Фз = 5o(cosX0 — 1) — T|osinXo,
ф6 = So (cos Хо — 1) — T|osinXo,
ф4 = g0sinX0 + т]0 (cosX0 — 1),
Фе = ^osinXg + no(cosXo — 1),
где
2пя /. JLV3
о -	+ ло J
Итак, Ао и Ао' обозначают значения двух долгот в конце периода, так что
2л ф0 — Ао — Хо,
Таким образом, при ц = О F и ф0 зависят только от р4 и (52; ф3 и ф4
от рх, g0 и т|0; ф6 и фв от ₽2, g0' и ц0'.
Следовательно, наш функциональный определитель является произве-
дением трех других:
1)	определителя Fn и ф0 по р, и Р2:
2)	определителя ф3 и ф4 по g0 и ц0;
3)	определителя фв и фв по g0' и т|0'.
Первый из этих трех определителей обращается в нуль лишь при Ло =
= — Ло', п = —п'; впрочем, это неважно, потому, что если он обращается
в нуль, то вместо того, чтобы присоединять к системе (2) уравнение живых
сил, к ней можно присоединить любое другое произвольно выбранное урав-
нение относительно р4 и р2. Как бы то ни было, поскольку случай п = —п
представляет трудности различного рода и ле интересен для приложений,
мы не будем его касаться.
Второй определитель сводится к
(1 — cos л0)2 + sin2A0.
Следовательно, он может обращаться в нуль, лишь если кратно 2л. При
Pi — Рз — So — Но — So — По — 0
имеет место равенство
2пл
Следовательно, наш определитель обращается в нуль, только если п кратно
разности п' — п.
Точно так же третий определитель обратится в нуль, лишь если п' и,
следовательно, п кратно п’ — п.
Периодические решения
91
Из этого следует, что для любых значений постоянной живых сил С,
равной
и для малых значений р задача трех тел допускает периодическое решение
первого рода с периодом 2л/(п' — п).
Исключением является лишь тот случай, когда п кратно п — п или
п = — п'.
Имеется четырехкратно бесконечное множество периодических решений
первого сорта; действительно, при достаточно малом р, мы можем произ-
вольно выбрать:
1.	Период 2я/(и0' — n0) = Т.
2.	Постоянную С.
3.	Момент соединения, который в предыдущих рассуждениях был нами
выбран за начальный момент времени.
4.	Долготу соединения, которую мы выбрали за начало отсчета долгот.
Таким образом, для каждого значения р мы имеем оо4 периодических
решений.
Эти решения можно найти следующим образом.
Предположим, что в начальный момент времени имеем
X = А' = т| == т|' = 0;
три тела будут в соединении, а их скорости будут перпендикулярны со-
единяющей их прямой; эта прямая будет, кроме того, осью Axv, которая в
этот момент совпадает с осью Dxs. Из этой симметрии положения трех тел в
момент 0 немедленно вытекают следующие следствия: значения радиусов-
векторов в моменты t и — t будут одинаковыми; значения долгот в моменты
t и —t будут равными, но с противоположными знаками.
Мы будем говорить тогда, что в момент 0 три тела находятся в симмет-
ричном соединении.
Мы предположили, что в момент 0 имеет место симметричное соедине-
ние и в этот момент общая долгота трех тел равна нулю; таким образом, мы
определим четыре из оскулирующих элементов: А, X', р и р'; остаются еще
четыре, которые являются произвольными, а именно, Л, Л', £ и Мы рас-
порядимся ими так, чтобы в момент Т/2 снова было симметричное соедине-
ние и чтобы общая долгота трех тел была
где v и v' — истинные долготы.
Здесь, собственно говоря, речь идет не о симметричном соединении, но
о симметричном противостоянии.
92
Новые методы небесной механики. I
Для того чтобы имело место симметричное соединение (или противо-
стояние), необходимы, как только что было показано, четыре условия.
Следовательно, мы получим четыре уравнения для определения четырех
элементов, оставшихся произвольными. Эти четыре уравнения могут быть
разрешены, если соответствующий функциональный определитель не
равен нулю; но в общем случае он не равен нулю, в чем можно убедиться
с помощью нетрудных вычислений, подобных тем, которые были проделаны
выше и приводить которые снова не имеет смысла.
Итак, радиусы-векторы имеют одинаковые значения в момент t и мо-
мент —t, а также в момент t и Т — t (поскольку в момент TI2 имеет место
симметричное соединение). Что касается разности долгот, ее значения в
моменты t и —t (или же в моменты t и Т — t) равны по величине и
имеют противоположные знаки.
Следовательно, взаимные расстояния между тремя телами меняются
периодически с периодом Т. Итак, эти решения, которые представляют
то симметричные соединения, то симметричные противостояния, являются
периодическими решениями.
Можно было бы подумать, что таким образом определенные периодиче-
ские решения являются менее общими, чем те, существование которых
мы доказали вначале. Ничуть не бывало; таких решений также четырех-
кратно бесконечное множество, так как мы можем выбрать произвольным
образом моменты соединения и противостояния и долготу трех тел в момент
соединения и противостояния; следовательно, остаются четыре произволь-
ные постоянные. Отсюда видно, что все решения первого сорта принадле-
жат одной этой категории. Если подходящим образом выбрать момент О,
то для всех решений первого сорта в начале каждого периода будет иметь
место симметричное соединение, а в середине каждого периода — симмет-
ричное противостояние.
В этом можно убедиться еще и следующим образом.
Всегда можно предполагать, что начальный момент времени был вы-
бран так, что начальные значения А и А' равны нулю. Для этого достаточно
за начальный момент времени принять момент соединения, а за начальное
значение долготы — долготу этого соединения.
С другой стороны, уравнения задачи трех тел представляют следующую
симметрию: они не изменяются, если заменить t на —t или же одновремен-
но заменить А на —А и А' на — А'.
Следовательно, если имеются периодические решения, с начальными
значениями переменных Л, Л', А, А', В, ц, В', ц', равными Ло + р17 Ло' 4*
+ р2, О, О, Во, ц0, Во', Цо', то периодическим будет и решение с начальными
значениями
Ло + Рх, Ло' + ₽2, О, О, Во, — Цо, 5о', — Цо'-
Следовательно, уравнения (3) не изменяются, когда ц0 и По' заменяют на
— По и —цо'-
Периодические решения
93
Но эти уравнения (3) имеют лишь одно решение; следовательно, долж-
но выполняться равенство
< = По = О,
означающее, что в начальный момент времени имеет место симметричное
соединение, что и требовалось доказать.
Все оо4 периодических решений первого сорта связаны между собой про-
стыми соотношениями. Можно перейти от одного решения к другому сле-
дующими способами: 1) изменяя начало отсчета времени; 2) изменяя нача-
ло отсчета долготы; 3) изменяя одновременно единицы длины и времени
таким образом, чтобы единица длины увеличивалась в кг/г раз, когда еди-
ница времени увеличивается в к раз. Все эти изменения не меняют формы
уравнений и, следовательно, могут только заменить одно периодическое
решение на другое. Итак, по существу имеется только однократная бес-
конечность периодических решений, действительно различных; каждое из
этих решений характеризуется отношением пй*/(nQ' — п0), или, что то же
самое, разностью между долготой симметричного соединения и долготой
следующего за ним противостояния.
Исследования Хилла по теории Луны
41.	Имеется частный случай, когда решения первого сорта упрощаются.
Это тот случай, когда одна из масс, например масса т2, бесконечно мала.
Поскольку движение С относительно Л остается тогда кеплеровым, сим-
метричное соединение может произойти, лишь когда С проходит периге-
лий или афелий, если только движение С не круговое. Но долгота симмет-
ричного соединения должна тогда отличаться от долготы симметричного
противостояния, которое за ним немедленно следует, на угол, кратный л.
Однако так может быть, только если nQ'/(п0' — п0) целое, а это как раз
тот случай, который мы исключили. Следовательно, мы должны заключить,
что движение С является круговым.
Положение еще больше упрощается, если предположить, что масса С
намного больше массы А и что расстояние АС очень велико (что как раз
имеет место в теории Луны). Если мы предположим А С бесконечно боль-
шим и массу С бесконечно большой, так, чтобы угловая скорость С на ее
орбите оставалась конечной; если в то же время отнести массу В к двум
подвижным осям, а именно к оси А £, совпадающей с АС, и оси Лц, перпен-
дикулярной первой, то уравнения движения, как было показано Хиллом,
примут вид
- 2п Q + (Л- - ЗчаН = О,
dt3	dt 1 \ rs	’
.£1	4--^н-0	(1)
где п — угловая скорость С.
94
Новые методы небесной механики. I
Периодические решения первого сорта все еще существуют в этом случае
и являются теми решениями, существование которых первым установил
Хилл, как я уже заметил выше.
Они допускают симметричные соединения и противостояния, которые
могут иметь место лишь на оси £. Но они также допускают другие весьма
важные конфигурации, которые можно было бы назвать симметричными
квадратурами; в этих конфигурациях угол БАС прямой и скорость точки В
относительно точки А перпендикулярна БА.
Действительно, уравнения столь симметричны, что они не изменяются
при замене £ на —Периодические решения, следовательно, пе долж-
ны изменяться при замене | на —£. Следовательно, если рассматривать
относительную траекторию точки В по отношению к системе подвижных
осей А £ и Лт|, то эта траектория является замкнутой кривой (поскольку ре-
шение периодическое), которая симметрична одновременно и относительно
Лд и относительно Л Г].
Если, наоборот, предполагая движение С круговым и беря за ось | пря-
мую Л С, не предполагать расстояние Л С бесконечным (если, другими слова-
ми, в теории Луны учитывать параллакс Солнца, продолжая пренебрегать
наклонением орбит и экцентриситетом Солнца), то эта относительная тра-
ектория была бы замкнутой кривой, симметричной относительно оси £,
но она не была бы симметричной относительно оси ц.
Уравнения (1) имеют интеграл, который записывается в виде
1 / dt, \2	1 / ей)\2 р 3	262	„
—+ Ы -—- -=с-
Хилл изучил, как изменяются решения первого сорта при увеличении
С; он установил, что относительная траектория является замкнутой сим-
метричной кривой, форма которой напоминает в грубом приближении фор-
му эллипса, большой осью которого является ось тр Когда С очень мало,
эллипс подобного рода очень мало отличается от окружности и его эксцен-
триситет быстро растет вместе с С. Для больших значений С кривая начи-
нает сильно отличаться от эллипса, но отношение большой оси к малой про-
должает расти вместе с С; наконец, для некоторого значения С, которое
я буду называть Со, кривая будет иметь две точки возврата, расположен-
ные на оси т|. Это то, что Хилл называет орбитой «Луны наиболь-
шей лунации» (Moon of maximum lunation). Его вычисления, основанные то
на использовании рядов, то на использовании механических квадратур,
слишком длинны, чтобы приводить их здесь; я замечу только, что Хилл
точно построил кривую для различных значений С, в частности для случая
С = Со. Не может быть ни малейшей тени сомнения по поводу точности
его результатов.
Нетрудно отдать себе отчет в значении этих точек возврата, Я предпо-
лагаю, что в некоторый момент скорость массы В по отношению к подвиж-
Периодические решения
95
ным осям станет равной нулю, так что одновременно
<	А.
dt dt ’
ясно, что относительная траектория будет иметь точку возврата. Именно
это происходит в случае «Луны наибольшей лупации» Хилла. Хилл гово-
рит далее следующее *:
«The moon of the last line (т. e. «Луна наибольшей лунации») is, of the
class of satellites considered in this Chapter, that which, having the longest
lunation, is still able to appear at all angles with the Sun and then undergo all
possible phases. Whether this class of satellites is properly to be prolonged
beyond this Moon, can only be decided by further employment of mecha-
nical quadratures. But it is at least certain that the orbits, if they do exist,
do not intersect the line of quadratures and that the Moons describing them
would make oscillations to and for, never departing as much as 90° from the
points of conjunction or of opposition».
Co стороны автора это всего лишь простая интуиция, не основанная
ни на каком рассуждении или вычислении. Простые рассмотрения анали-
тического продолжения позволяют мне утверждать, что эта интуиция его
обманула [1в].
Можно прежде всего задать вопрос, существуют ли периодические ре-
шения первого сорта при С Соили, другими словами, может ли класс
спутников, изученный Хиллом, быть продолжен за орбиту «Луны наиболь-
шей лунации»?
Предположим с этой целью, что в начальный момент времени масса В
(т. е. Луна) находится в квадратуре (на оси ц) и что ее скорость относи-
тельно подвижных осей перпендикулярна к оси т|.
Я обозначу через £0, £0', т|0, т|0' начальные значения переменных 5,
dtjdt =	, т| и dpldt = т|'. В случае хилловой «Луны наибольшей луна-
ции» имеем
So = So — По =
и я обозначу через т]“ соответствующее значение т|0.
По истечении времени Т, равного четверти периода, эта Луна будет
находиться в симметричном соединении и будут выполняться равенства
	П = 0, I' = 0.
* «Луна последней кривой (т. е. Луна наибольшей лунации) является таким спутником
из класса рассматриваемых в настоящей главе, который, имея наибольшую луна-
цию, может еще появляться под всеми углами относительно Солнца и затем прохо-
дить всевозможные фазы. Вопрос о том, правильно ли будет продолжить рассмат-
риваемый класс за эту Луну, может быть решен только с помощью дальнейшего
применения механических квадратур.
Но во всяком случае не подлежит сомнению, что эти орбиты, если они существу-
ют, не пересекают линии квадратур и что луны, описывающие эти орбиты, будут
совершать колебания, никогда не отклоняясь более чем на 90° от точек соединения и
противостояния».
96
Новые методы небесной механики. I
Рассмотрим теперь другое частное решение наших дифференциальных
уравнений и пусть
О» По? 0
— начальные значения
L 5', т], и',
так что в начальный момент времени имеет место симметричная квадратура.
Рассмотрим значения ц и В’ по истечении времени Т ф- т и пусть
П = /1(^ + т. Но- По)-
5 =ft(T 4* т- So- По)-
А и /2 будут разлагаться в ряд по степеням с, Вс/ и ц0 — ц0° и обратятся в
нуль при
т = Во = 0, Цо = п2-
Если
/1 = Л = 0,	(2)
то по истечении времени Т ф- т произойдет симметричное соединение и ре-
шение будет, периодическим с периодом 471 ф- 4т.
Из уравнений (2) можно выразить т и т]0 в виде функций от В</, и т и
По будут разлагаться в ряд по степеням Во-
В силу п. 30 исключением будет лишь тот случай, когда функцио-
нальный определитель /j и /2 по т и ц0 обращается в нуль в точности при
т = Во = 0, По = По-
Представляется крайне невероятным, чтобы дело обстояло так; однако
могли бы еще оставаться некоторые сомнения, если бы механические квад-
ратуры Хилла не доказывали обратное. В самом деле, вот как Хилл дей-
ствовал, чтобы определить ц®. Он вычислил для различных значений Т и
г, о функции
А (Т, 0, т|0),	/2 (Т, 0, т]о),
а затем определил с помощью интерполяции те значения Т и т|0, при кото-
рых эти функции обращаются в нуль. Если бы функциональный опреде-
литель /г и /2 обращался в нуль в точности для этих значений, обычная ин-
терполяция была бы невозможной. Следовательно, мы должны заключить,
что открытый Хиллом класс спутников может быть продолжен за пределы
«Луны наибольшей лунации».
Какой же становится за пределами этой Луны форма орбиты? Величи-
ны В и ц зависят от времени t и параметра Во'. так как другое начальное зна-
чение т|0 задано как функция от В/ в силу уравнений (2).
Периодические решения
97
Если |0' и t достаточно малы, | и ц могут быть разложены в ряд по сте-
пеням этих двух переменных. Более того, из соображений симметрии | бу-
дет содержать лишь нечетные степени t, а ц будет содержать лишь четные
степени t. Следовательно,
^w + ^3+-5^+-..,
где 5оП)— начальное значение n-й производной |0.
Если |0' и t достаточно малы, я могу без ощутимой погрешности огра-
ничить ряд £ его двумя первыми членами; кроме того, |0 разлагается в ряд
по возрастающим степеням |0'; но так как |0' очень мало, я могу ограничить-
ся значением , которое эта величина принимает при |0' = 0. Но при
|в' — 0 имеем
отсюда следует
(3)
е,"'	2цп
= ~ ;
Е _ i'f _рг
Для рассмотренных Хиллом Лун, у которых «лунации» меньше, чем
у «Луны наибольшей лунации», величина |0' отрицательна, оба члена пра-
вой части (3) одного и того же знака и | не может обращаться в нуль при
весьма малых значениях t, за исключением значения t = 0.
Напротив, для новых спутников, о которых идет речь и которые встре-
чаются за орбитой «Луны наибольшей лунации», |0' положительно, а | об-
ращается в нуль при	___
<=о. <=±ч:/
Следовательно, имеются три очень малых значения t, при которых | об-
ращается в нуль, т. е. три квадратуры в очень близкие моменты времени.
Итак, относительная траектория при С Со имеет форму, представ-
ленную на рис. 1.
7 А. Пуанкаре
9 8
Новые методы небесной механики. I
В течение одного периода масса В находится шесть раз в квадратуре,
так как ее относительная траектория пересекает ось р в двух двойных точ-
ках и двух простых.
Таким образом, Хилл ошибается, полагая, что этот род спутников ни-
когда не находится в квадратуре; имеются, напротив, три квадратуры
между двумя последовательными сизигиями.
Это не значит, что не существует периодических решений, при которых
масса В никогда не может быть в квадратуре: мы их изучим в дальнейшем,
вп. 52; но эти решения не являются аналитическим продолжением тех, ос-
новополагающее исследование которых проделал Хилл в «American Journal
of Mathematics».
Те же результаты остаются справедливыми, если не пренебрегать па-
раллаксом Солнца, за исключением того, что симметрия относительно оси
Г| исчезает.
Приложение к основной задаче динамики
42. Прежде чем приступить к изучению периодических решений вто-
рого и третьего сорта, мы изучим сейчас более общим образом периодиче-
ские решения уравнений динамики.
Вернемся к уравнениям п. 13
dF_	/н
dt dyi ’ dt	dx^ '	'
а также к предположениям этого пункта. Функция F разложена в ряд по
степеням очень малого параметра р, так что
F = Fo + р/-\ + |л2А2 + ...;
F — периодическая функция у, Fo — функция, зависящая только от х.
Я предположу для определенности, что имеются лишь три степени свободы.
Легко проинтегрировать эти уравнения при р, = 0 и F = Fo.
Действительно, так как Fo не зависит от у, эти уравнения сводятся к
dx-	dy.	dF„
--г- = 0.	—~ =	- = П-
dt	dt	dx-	г
г
Таким образом, х^ и, следовательно, щ постоянны.
Итак, уравнения (1) при р = 0 допускают решения
"—	^2 — ^2i	^3 — ^3’
У1 = "Д +	г/2 = и2^ + а2-	!/5 = 'VtS3’
где все а и й — постоянные интегрирования, а п — функции от а.
Периодические решения
99
Ясно, что если
пхТ, п2Т, п3Т
кратны 2п, то это решение периодическое с периодом Т.
Предположим теперь, что р, не равно нулю, и представим себе, что в не-
котором решении значения переменных х и у при t — 0 равны соответст-
венно
= ai + 31-	Х2 — Я2 + Зг-	жз == аз + Зз>
= Si + Зн	~F Зз-	Уз = + Зе-
Предположим, что в том же решении значения х и у при t = Т равны
— ai 4* 31 4* Фп
= я2 4* За 4" Фг-
хз = аз + Зз 4~ Фз-
г/i = Sj пхТ + 31 + Ф1-
Уз =	4~ п2.Т 4- Зз 4~ Фз-
Уз = ®з 4" пзТ 4* Зе + Фе-
Чтобы это решение было периодическим с периодом Т, должно выполнять-
ся равенство
Фх = ф2 = Фз = Ф1 = Фз == Фе = 0.	(12)
Шесть уравнений(12)не всенезависимы. Всамомделе, таккак уравнение
F = const является интегралом уравнений (1) и, кроме того, F — перио-
дическая функция относительно у, имеем
F (ai 4- 3i- ®i 4* 3<+з) = Р (аг 4- 31 4- Ф1» ®1 4* niP 4' 31+3 4~ Ф1+з) —
= F (at 4- 3i 4" Фи + 31+з 4- ф1+з)-
Поэтому достаточно будет удовлетворить пяти уравнениям (12). Кроме
того, я предположу, что
Э1 = 31 = о.
Для этого достаточно выбрать начальный момент времени так, чтобы ух
равнялся нулю при t = 0.
Легко видеть, что ф^ и ф^3 — голоморфные функции р, и р, обращаю-
щиеся в пуль, когда все эти переменные обращаются в нуль.
Следовательно, речь идет о том, чтобы доказать, что можно из пяти
последних уравнений (12) получить pj в виде функций от р,.
Заметим, что, если р равно нулю, тождественно выполняются равен-
ства
Ф1 = Фг = Фз = 0-
7*
100
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, и "Фз, будучи разложенными в ряд по степеням р
и р, содержат множитель р. Мы отбросим этот множитель р и запишем, сле-
довательно, пять уравнений (2), которые нам надо решить, в виде
=	=	=	=	(13)
г
При р = 0 известно общее решение уравнений (1); следовательно,
легко можно найти
Ф» = Т /'о	+	31, «2 + Рз, аз + Рз).
Фе = Т --щ-I'o (iij + Plt а2 + р2> аз + Рз)>
Фе = — Т Fo {а2 + pL, а2 + р2, аз + Рз)-
Функциональный определитель ф4, ф5 и фв по р15 р2 и рз равен с точностью
до множителя — Т3 гессиану Fo по х. Я намерен теперь выразить i^/p, ф2/р и
ф3/р в виде функций от р4, р5 и р6, положив р = 0 и в то же время
Pi = Рз = Рз = 0.
Итак, находим
d	,	2 dF^ |
dt \ р J dyt dy. dyi 1” • ' •
откуда
=С ^Ldt + Д ~dt + . . . (г = 1,2,3)
р J dy. 1 ‘ ,1 dy. 1	'	’	'
о	о
или при р = 0
± = (“л.	(3)
Р J dy.	' '
о
Поскольку мы предполагаем р = 0 и в то же время
Pi — Рз — Рз =
и помним, что Sj = р4 — 0, то мы должны в правой части уравнения (3)
заменить хг, х2, х3, ух, у2, у3 соответственно на
я2, аз> niF	+ Ре» n3t + З3 + Р3.
Тогда dFJdyi становится периодической функцией t.
Мы можем записать
F± = ZA sin + тгу2 + т3у3 + /г),
Периодические решения
101
где 7ПХ, т2, т3 — целые положительные числа, а А и h — функции х, не
зависящие от у.
Тогда получим
7^=24 sin о),	4~4- = cos и =	>
1	’ dy.	г	dH>i
где для краткости положено
со — t {тПтугг + т2п2 + пг3п3) -ф- h пг2 (32 + р3) -|- т3 (З3 4~ Ре)-
Таким образом становится периодической функцией t с периодом Т;
в то же время она является периодической функцией с периодом 2л отно-
сительно Э2 + и S3 + рв.
Я буду обозначать через [/’1] среднее значение периодической функ-
ции F1? так что
т
[Fi| = Fx dt = SA sin и,
о
где символ S означает, что суммируются все те члены, для которых
mxnx + тчпг 4“ тзпз = 0.
Тогда получаем, что
A = t£I£iL d
р	dH>i ’ rf3Jt+3 \ р J dQidSik
Отсюда заключаем, что:
1. Всегда можно выбрать 55, и З3 таким образом, что уравнения
Фг _ Ф» _ Q
р р
будут удовлетворяться при р5 = р6 = 0.
Действительно, конечная функция [.Fx] периодична по 32 и Д3; следо-
вательно, она имеет максимум и минимум; для них будем иметь
[^1] = d. [А] __ 0
и отсюда
Ф2 = о
р р
что и требовалось доказать.
2. Функциональный определитель фг/р- и ФзЛ1 по Ps и Ре равен Г2, ум-
ноженному на гессиан [Гх] по Э2 и З3.
102
Новые методы небесной механики. I
Отсюда следует, что можно выбрать постоянные 32 и S3 так, чтобы удов-
летворялись уравнения (13). Для того чтобы установить существование пе-
риодических решений, остается показать, что функциональный определи-
тель этих уравнений, т. е.
/ lli'2 Фз	\
ДГ’
Ра, Зз, Зз, Зе) ’
не равен нулю.
Но при [х = 0, ф4, и ф8 зависят только от р2, ₽з, 110 не от Ps и Ре-
Этот функциональный определитель, следовательно, является произве-
дением двух других
/фа Фз\
° \ н ’ P )	д "фз, фв)
д(35, Зв) И д(3ь Зг, Зз) ’
Но мы только что вычислили эти два функциональных определителя и
увидели, что они равны, с точностью до постоянного множителя, один —
гессиану [FJ по й2 и'Зз, другой — гессиану Fo по х.
Итак, если, ни один из этих гессианов не равен нулю, уравнения (1) имеют
периодические решения при малых значениях н.
Мы попытаемся теперь определить не только периодические решения с
периодом Т, но и решения с периодом, мало отличающимся от Т. За от-
правную точку мы взяли три числа пх, п2, п3; мы можем с таким же успехом
выбрать три других числа п/, п2', п3 , лишь бы они были соизмеримы между
собой, и мы придем к периодическому решению, период которого Т' бу-
дет наименьшим общим кратным величин 2n/ni, 2л/и2', 2л/п3'.
Если мы возьмем, в частности,
ni = nr (1 + е),	= «а (1 + е), п3 = п3(1 -|-е),
то три числа п/, п3 ,п3 будут соизмеримы между собой, поскольку они про-
порциональны числам Hj, м2 и п9.
Это приведет нас к периодическому решению с периодом
т
т + т =	,
1	1 + 8 ’
так что мы получим
Хг = ф; (/, Ц, е), У1 == Ф- (t, |Л, е),	(14)
где (р; и ср/ — функции, разложимые в ряд по степеням р, и е и периодиче-
ские по t, но таким образом, что период зависит от е.
Если в F мы заменим xi и yi их значениями (14), F должна стать незави-
симой от времени постоянной [поскольку F — const является одним из
Периодические решения
103
интегралов уравнений (1)1. Но эта постоянная, которая называется по-
стоянной живых сил, будет зависеть от р и 8 и может быть разложена в ряд
по возрастающим степеням этих переменных.
Если постоянная живых сил В задана, то уравнение
F (р, е) = В
можно рассматривать как соотношение, связывающее 8 с р. Следовательно,
если мы произвольно зададим В, то всегда будет существовать периодиче-
ское решение, каково бы ни было значение этой постоянной, но период бу-
дет зависеть от 8 и, следовательно, от р.
Более частным случаем, чем тот, который мы только что подробно рас-
смотрели, является случай, когда имеются лишь две степени свободы.
Тогда F зависит лишь от четырех переменных хъ уг, х2, у2 и функция [EJ за-
висит только от одной переменной 32. При этом соотношения (6) сводятся
к
= 0,	(15)
а гессиан функции [EJ сводится к [Z7’1]/cZS5a2, откуда можно заключить
следующее: каждому простому корню уравнения (7) соответствует перио-
дическое решение уравнений (1), которое существует при всех достаточ-
но малых значениях р.
Я мог бы даже добавить, что так же будет обстоять дело и для каждого
корня нечетного порядка.
После того как доказано существование периодических решений, ос-
тается показать, что эти решения можно разложить в ряды по степеням р
и записать в виде
= 0i, 0 (о + М-9д 1 (0 4“	2 (4 4“ • • • (i = 1, 2, . . ., п),
где бцо (0> ®i,i G),	— периодические функции t, разложимые в ряды
по синусам и косинусам углов, кратных 2xt/(T + т).
В силу теоремы п. 28 мы имеем
xi = Hilt — И, р, ж? — «Pi (0), х2 — <ра (0), .... 4 — ^(0)],
если х", ж®, ..., х® — начальные значения xt, х2, ..., хп при t = 0.
Hi разлагается в ряд по степеням
t — ti, Р И Xi —фг(О),
если р достаточно мало и если t достаточно близко к tx, а х^ — к <{\ (0),
Мы возьмем
t = 4 4-	•
104
Новые методы небесной механики. I
Кроме того, возьмем
4 — <Pi (0) = Pi-
Выберем Pi и т так, чтобы получить периодическое решение, т. е. так,
чтобы удовлетворялись уравнения вида (12). Мы только что видели, что если
т и Pj удовлетворяют этим уравнениям, то можно разложить т, р2, ...
..., рп в ряды по возрастающим степеням р, и что т и р4 обращаются в
нуль вместе с р.
Следовательно, будем иметь
Ъ = Hi (-£- , и, р.!, ра, - - р„) = Ki (р),
где Ki — функция, разложенная в ряд по степеням р. Ki зависит не толь-
ко от р, а еще и от поэтому мы запишем
Xi = Ki^, р),
имея в виду, однако, что Кг разложено в ряд по степеням р, но не по степе-
ням ZP
В этих предположениях, когда увеличивается до Т, I увеличивает-
ся до Т + т и, так как мы условились рассматривать периодическое реше-
ние с периодом Т + т, arj не должно изменяться; следовательно, мы имеем
Xi(Zi-|-7’,p) = Xi(i1, р).	(10)
Так как Ki разлагается по степеням р, можно записать
Кг (^1, р) = 0i,o 4- ©i.l И + 0i,2 И2 + • • •,
где 0i)O, 0{|1, 0ii2, ... зависят только от tr. Тождество (10) показывает тог-
да, что 0ijft не изменяется, когда заменяют Zj на Zx Т. Следовательно,
0ijJc — периодическая функция и может быть разложена в ряд по синусам
и косинусам углов, кратных
2лЦ 2nt
Т ~ Т + х ’
что и требовалось доказать.
Случай, когда гессиан равен нулю
43. Может возникнуть трудность в случае, когда гессиан функции Fo
равен нулю.
Вот как в довольно большом числе случаев можно избежать этой труд-
ности.
Предположим, что гесиан Fo по переменным х равен нулю, по можно
найти функцию от F0, которую будем называть <р (Fи гессиан которой не
равен нулю.
Периодические решения
105
Мы преобразуем уравнения (1) следующим образом.
Эти уравнения имеют интеграл живых сил, который записывается в
виде
F = С.
Пусть <р' — производная функции ф, тогда при F — С будем иметь
ф' (F) = ф' (С)
и ф' (С) будет постоянной, которую можно считать известной, если предпо-
ложить, что начальные условия движения известны и позволяют, следо-
вательно, вычислить постоянную С.
Уравнения (1) можно тогда записать как
dxi	= _
dt (f'(C)dyi * dt (^’(Cjdx^
Они сохраняют прежнюю форму, но функция Fo заменена функцией ф (Fo),
гессиан которой не равен нулю.
Возьмем, например, частный случай задачи трех тел, изученный в п. 9,
тот случай, когда одна из масс равна нулю, а две другие движутся по ок-
ружности.
В этом случае мы нашли
Р° = ~Ц+Хъ'
следовательно, имеем
d'-Fn _ d*F0 = 0
dx22 dx2 dx±
Наш гессиан, таким образом, тождественно равен нулю, но если мы
возьмем
Ф (Fо) = F% =	—- -|- ^2,
то гессиан ф равен
6
и отличен от нуля.
Таким образом, все предыдущие рассуждения применимы к этому част-
ному случаю задачи трех тел, в котором имеются периодические решения
при малых значениях р.
Рассмотрим, напротив, общий случай задачи трех тел, о котором шла
ПРЧТ. ЧП 11
106
Новые методы небесной механики. I
Мы нашли, что эта задача может быть приведена к канонической форме,
причем два ряда переменных будут следующими:
pL, pG, р©, р'£', P'G', Р'0',
Л g, 9,	I', g’, 9'.
Функция F может быть разложена в ряд по степеням р,
F = Fо 4-	+ V?Fг + • • • >
и мы имеем
р _ З3 ,	З'3
0 — 2 (PL)2 “г 2 (£'!/)» ‘
Если, возвращаясь к обозначениям, использованным в этой главе, мы
обозначим два ряда сопряженных переменных через
1 у 1	31 *^”41	51 в 1
У1, Уз, Уз, Ун Уз, Ус,
так что
xt = pZ, х± = Р' L',
то получим
и гессиан функции F0, очевидно, равен нулю.
Если мы рассмотрим некоторую функцию ср (Ео), то эта функция будет
зависеть только от и и ее гессиан будет снова равен нулю. Таким обра-
зом прием, который мы употребили выше, более не применим и рассужде-
ний настоящего пункта недостаточно, чтобы установить существование
периодических решений.
В этом источник трудностей, которые мы попытаемся преодолеть в
пп. 46—48.
Эти трудности происходят также, как мы только что видели, от того,
что Fo зависит лишь от х± и xit т. е. от того, что мы имеем
dF» __ dFn __ dF» __ dF»	 g
dx->	dxs	dx:>	dx»
или еще при u = 0
dy2	_ dy-з	_ dy» _ dy»	_ g
dt	dt	dt	dt
Эти уравнения означают, что в кеплеровском движении перигелии и узлы
неподвижны.
Периодические решения
107
Однако при любом другом законе притяжения, отличном от закона
Ньютона, перигелии и узлы не были бы неподвижными.
Следовательно, при законе, отличном от ньютоново,кого, мы не встрети-
ли бы при отыскании периодических решений задачи трех тел той трудности,
на которую я только что указал и которой в дальнейшем будут посвящены
пп. 46—48.
Прямое вычисление рядов
44. Мы только что показали, что уравнения (1) п. 43 допускают перио-
дические решения и что эти решения могут быть разложены в ряды по
степеням р,.
Попытаемся теперь на деле построить эти разложения, существование
и сходимость которых мы доказали заранее.
Для начала я замечу, что в вычислении этих разложений можно ввести
важное видоизменение. Выше мы ввели три числа
п1; п2, п3,
таких, что
пхТ, п2Т, п3Т
кратны 2л и, следовательно, соизмеримы между собой. Эти три числа ха-
рактеризуют рассматриваемое периодическое решение.
Я утверждаю, что всегда можно при изучении частного периодического
решения предполагать, что
п2 = ns = 0.
Действительно, предположим, что это не так. Мы заменим переменные,
положив
г/i = а1У1 -ф- а2у3 + азУз,
У г — Pi.7/1 + З2У2 + Зз?/з,
Уз = Х1У1 + Х2У2 + ТзУз>
— «1^1 + Р1^2 + Т1Ж3-.
Р2Х2 Тз^з,
4 = a3^i +	+ Гзгз-
Уравнения (с новыми переменными х' и у') сохранят каноническую
форму.
Если, кроме того, а, ₽ и у — целые числа и составленный из них опре-
делитель равен 1, то функция F, периодическая по у, будет также периоди-
ческой по у'.
Характеристические числа п1; п2, п3 после замены переменных пре-
вратятся в три числа, которые мы обозначим через , п2, п3 и которые оп-
ределяются из уравнений
пг = сщ + а2ге2 -ф- а3га3,
П2 = Р1га1 "Ь ?2П2 "Г
П3 = ~flnl + Y'2W2 + Хзп3-
108
Новые методы небесной механики. I
Так как п1; п2 и п3 соизмеримы между собой, то, очевидно, можно выбрать
целые числа а, р и у так, чтобы
П2' = Пз = 0.
Итак, всегда можно предполагать, что
«2 = п3 = 0,
что мы и будем делать впредь.
Мы попытаемся удовлетворить уравнениям (1) п. 43, положив
0 .	1 .	2 2 t
Xj — Х^ ”4“ Н “F • • »>
— ^2 “И “Ь Р'2^-2 4“  •  ।
жз = хз + Ргз + рМ + • • •,	(2)
У1 = у°1 + PJ/1 +	+	•	•	.
Уз — Уз + РУз + У?Уз + • • •,
Уз — Уз "Ь PJ/з + р2^з + • • • >
где rfny? — периодические функции времени с периодом Т\ яЛ — такие
постоянные, что
д РО {х1> х2> хз) =	^2 ~	= 0
и, с другой стороны,
у? = пг1 + аг,
откуда
Уз = Зг> Уз — ®з>
где Згий3 — постоянные, которые мы точнее определим в дальнейшем.
Поскольку начальный момент времени остается произвольным, мы смо-
жем выбрать его так, чтобы ух = 0 при любом р и t = 0. Отсюда следует,
что у£, у|, у2, ... будут равны нулю одновременно при t = 0 и что = 0.
Вместо х и у подставим в F их значения (2), затем разложим F по воз-
растающим степеням р, как это делалось в п. 22. Получим
= Фо 4- рЖЕ»! + ц2ф2 + ...
и
Фо = FQ (я®, х%, х3).
Далее получим (если вспомнить, что dF0!dx\ — —щ и п2 = п3 = 0)
Ф1 — Р1 (ж1, ^2, ^3> У1, У°21 Уз) — ПуХ^.	(3)
Периодические решения
109
Вообще
к	I к dFn . к dFo к dFo
Ф(с = ©.-пЛ = О/с4-;г1 —+ Z2—+ ^s —
dyo
-dT = n"
dyi
чг- = Пз’
d^_
dt ~
к
dx\ _ dFr
dt dy%
dyi
dt
d2F0
X1 dxi dxi
dxi
dФ^
dxi
dt

(4)
dvl =
dt
к
2 dx'l dxi

к
Хя
ЙФ1
dz®
(5)
d2F0
dxi dxi
(5')
и функция 0)t будет зависеть лишь от
-	г0 -г1	т?-1
<	Л,А . wt-j 5	» • ♦ , t4-2	«
V	i, Vi, . ...у?-1.
Относительно переменных у° она будет периодической с периодом 2л.
Теперь мы можем записать дифференциальные уравнения, приравни-
вая одинаковые степени р:
dx®	dx%	dx®
dt	dt	dt	’
Затем находим
dx\ _ dF-
dt dy®
И
dy{ _ УФ1
dt dx^
и вообще
dx* dФ1(
~dT~ dyi
И
dy^	dФ1(	dQ
dt	dx^	dx.
Проинтегрируем сначала уравнения (4). В мы заменим у®, у®, у®
их значениями
nj, а2, а3.
Тогда правые части уравнений (4) будут периодическими функциями
t с периодом Т; эти правые части, следовательно, можно разложить в ряды
по синусам и косинусам углов, кратных 2n,t/T. Для того чтобы значения
переменных я*, я* и х*, полученные из уравнений (4), были периодически-
ми функциями t, необходимо и достаточно, чтобы эти ряды не содержали
постоянных членов.
110
Новые методы небесной механики. I
Действительно, я могу записать
Fу = 2A sin	+ т2у°2 4- т3у3 4- Л),
где т1, т2, т3 — положительные или отрицательные целые числа и где
А и h — функции х®, х®, х’. Я буду писать для краткости
Fx = 24 sin®,
положив
со = тйу? + пг2у2 4- т3у3 4- h.
Тогда я найду
rffl v л	dFi v, .	dFi „ .
—- = 24m. cos®,	—— = 24m2cos®,	—-= 24m, cos®
dyi	dy*	dy*
и
® = trnyi^ + h m2S2 4“ m3S3.
Среди членов этого ряда я выделю те, для которых
т1 = О,
но которые не зависят от t.
Fr — периодическая функция t. Я буду обозначать через [FJ среднее
значение этой функции и получу
[jFx] = S4s:n®, (mx = 0, ® = h 4- m2<32 4- >п$>3),
где суммирование, обозначенное значком S, распространяется на все чле-
ны Fj, для которых коэффициент при t равен нулю. Мы получим тогда
d [fi] ал	d [fi] е ,
- k — S4m2 cos ®,	—j-2- = S4m, cos ®.
aSa	dS>3	J
Значит, если
c/Gh dQ3 ’
то поскольку mx равно нулю, мы получим
S4mjcos® = 0, S4m2cos® = 0,	S4'/z3 cos ® = 0.	(7)
Итак, если соотношения (6) удовлетворяются, то ряды 24m; cos ш
не будут содержать постоянных членов и уравнения (4) нам дадут
1___х, sin со .	sin <о .
х, —	----------1- с,, х2 — Zj --------- 4- с2,
«1	mini
1	„ Ат3 sin со . z,i
х, = 2 ---------Н С,,
а	mini	л
где С^, и — новые постоянные интегрирования.
Периодические решения
Ш
Мне остается показать, что можно выбрать постоянные 32 и З3 так, что-
бы удовлетворялись соотношения (6). Функция [FJ — периодическая функ-
ция 32 и Э3, не изменяющаяся, когда одна из этих переменных увеличива-
ется на 2л. Кроме того, она конечна, следовательно, она имеет по меньшей
мере один максимум и один минимум. Значит, имеются по меньшей
мере два способа выбрать Э2 и ®з так, чтобы удовлетворить соотноше-
ниям (6).
Я мог бы даже добавить, что имеются по меньшей мере четыре таких спо-
соба, хотя и не могу этого утверждать, когда число степеней свободы боль-
ше трех [17].
Я постараюсь теперь определить при помощи уравнений (5) три функции
yi и три постоянные С\.
Мы можем считать известными х^ и yj; х* также известны с точностью
до постоянных С\ Следовательно, я могу записать уравнения (5) в следую-
щем виде:
= н _ ri	_ .г	d-F0
dt	i 1 n ^0	2	^х0	3 tfx0 (ix0
_L I	4 k	3	1
(8).
где Hi представляют собой полностью известные функции, разложенные в
ряды по синусам и косинусам углов, кратных 2лt!T. Коэффициенты
при С*, Q и С* постоянны и их можно считать известными.
Для того чтобы значение у1, полученное из этого уравнения, было пе-
риодической функцией t, необходимо и достаточно, чтобы в правой части
постоянный член был равен нулю. Поэтому если Н® означает постоянный
член тригонометрического ряда Hi, то должны выполняться равенства
zni d?F$ ।	। rti d^Fn __ ..ц	/л\
1 dx^dx" + 2 ~Тх^ + 3 dx^dx? ~	U
Три линейных уравнения (9) определяют три постоянные С*, и С*
Исключением будет лишь тот случай, когда определитель этих трех
уравнений равен нулю, т. е. когда гессиан Fo по ж3, я» и равен пулю.
Мы исключим этот случай из рассмотрения.
Уравнения (8) дадут
dt+ к*’
или
У1 = Л1 Ч- ^1,	.7-2 = Лг + ^2, Уз = Лз к3,
где тр — периодические, полностью известные функции t, ак\ —триповые
постоянные интегрирования. Кроме того, из только что записанных урав-
нений следует, что Л* = Л2 = Л^ = 0 при 2 = 0.
112
Новые методы небесной механики. I
Перейдем теперь к уравнениям (4'), полагая в них к = 2 и i = 1, 2, 3,
и попытаемся определить при помощи трех таким образом полученных
уравнений три функции ж] и три постоянные kl.
Легко видеть, что
„	। 1 dFi J dFi	i dFj
©2 = Q2 + yi — + y2 —- + уз — ,
dy'	dy'[ dy'^
vjsfi Q2 зависит только от x?, у? и ж) и, как выше, мы имеем
cos <о.
Уравнения (4') запишутся тогда в виде
dxi _ rffia
dt аУ° ’
1 d2Ft
или
11	1
- IIг — A'1S?l?ra1misino) — k^Amimi sin и — к^Атп^пц sin ы, (10)
где H1. — периодическая функция t, которую можно считать полностью
известной. Для того чтобы можно было получить из этого уравнения х2 в
виде периодической функции, необходимо и достаточно, чтобы правые
части уравнений (10), разложенные в тригонометрические ряды, не содер-
жали постоянных членов. Мы должны, следовательно, так распорядиться
величинами к}, чтобы уничтожить эти постоянные члены. Таким образом,
мы придем к трем линейным уравнениям между тремя величинами к\,
но поскольку определитель этих трех уравнений равен нулю, возникает
небольшая трудность, и поэтому я вынужден остановиться на некоторых
деталях.
Мы раньше предполагали, что у1 = 0 при t = 0, поэтому имеем
•L в'
к\ = 0;
у нас остается всего две неизвестные величины ^и/с’и три уравнения;
но не независимые, как мы это сейчас увидим.
Действительно, обозначим через Ег постоянный член ряда Н*, тогда
эти три уравнения запишутся (если вспомнить, что знак суммирования
S относится к членам, для которых т1 = 0) в виде
#1 = 0,
Е2 = к%$Ат^ sin <о + k\SAmamt sin coi
Е3 = A2S4m2m3sino) -|-	sin со;	(11)
Периодические решения
ИЗ
два последних уравнения системы (11) можно записать в виде
Щ ^1]
2 2 1 3 ’
тг . 1Л	, ь1 [Л]
Лз“ Аг^мГ + *3^2~-
Из этих двух уравнений можно получить/с* и к*, если только гессиан [FJ
по S2 и З3 не равен нулю. Если придать к\ полученные таким образом зна-
чения, то два последних уравнения (9) нам дадут ж3 и ж3 в следующем виде:
*2 = Й + с22,	^ = & + с1
где £3 — вполне определенные периодические функции t, а С? — новые
постоянные интегрирования.
Чтобы найти ж3, мы можем, вместо того чтобы использовать первое из
уравнений (10), воспользоваться следующими соображениями: уравнения
(1) п. 43 допускают интеграл
F = В,
где В — постоянная интегрирования, и я предполагаю, что опа разложена
в ряд по степеням у,
В — 0 +	+ •••»
так что
Фо = Bfh Ф1 ~ Ди Фз = ^2> •••>
где Во, Вх, В2, ... — различные постоянные.
Левая часть уравнения
Ф2 = в2
зависит от переменных ж$, у"., ж), у}, переменных ж3 и ж3, которые явля-
ются известными функциями t, и от величины ж2, которую мы еще не вы-
числили. Поэтому мы можем получить ж3 из этого уравнения в следующем
виде:
/1 = Й + Ct
где gj2 — вполне определенная периодическая функция t, а С’3 — постоян-
ная, зависящая от В„, С3 и С3.
Мы можем заключить отсюда, что первое из уравнений (11) должно
удовлетворяться и, следовательно, эти три уравнения (11) пе незави-
симы.
Возьмем теперь уравнения (5') и положим в них к = 2. Мы получим
три уравнения, которые нам позволят определить постоянные С), С3 и
8 А. Пуанкаре
114
Новые методы небесной механики. I
Сй и из которых мы получим, кроме того, у* в виде
= +	г/2 = п2 + 4,	=
где у — вполне определенные периодические функции t, а к — три новые
постоянные интегрирования.
Вернемся затем снова к уравнениям (4'), положив в них к = 3. Если
мы положим к* = 0, то сможем найти из полученных уравнений сначала
две постоянные №. и а затем х? в виде
«а	I
4 = 4 + ct
где — определенные периодические функции t, а С® — три новые по-
стоянные интегрирования. И так далее.
Вот способ нахождения рядов по степеням ц, периодических с периодом
Т относительно времени и удовлетворяющих уравнениям (1) п. 43. Этот
способ будет несостоятельным лишь в том случае, когда гессиан Fo по пере-
менным х°. равен нулю или же когда гессиан [FJ по В2 и й3 равен нулю.
Прямое доказательство сходимости
45. Может быть полезным знание прямого доказательства сходимости
рядов, которые мы построили и существование и сходимость которых мы
предварительно доказали в п. 28. Я дам сначала это прямое доказательство
в частном случае. Пусть
-§- + вЖу) = ()	(1)
— дифференциальное уравнение. Мы видели в п. 2, что это уравнение
(изученное Гильденом и затем Линдштедтом в работах о небесной механике)
может рассматриваться как частный случай уравнений динамики всего
с двумя степенями свободы.
Я предположу, что / (х, у) можно разложить в ряд по степеням у:
/ = /о + НУ + /2У2 + •••»
где /0, /х,/2 — функции х, периодические с периодом 2л. Я предположу,
что среднее значение /0 равно нулю.
[/о) = О-
Попытаюсь теперь разложить у в ряд по степеням ц, так что
У =	+ W2 + • • • + .¥nHn + • • -
Подставляя это значение у в /, получаем
f = Фо + НФ1 + Р-2Фг +   • +	+ • •  -
Периодические решения
115
и дифференциальные уравнения принимают вид
dx* ’ dx* Р°’ dx- Pl > • • • i	ф„ i,. . . .
Мы хотим, чтобы ylf у2, ... были периодическими функциями х. Это воз-
можно, если средние значения правых частей равны нулю, т. е.
[<Ро1 = 0, LcPil = 0, . . . , [фп] = 0.
Первое условие выполняется само собой, так как
Фо = /о, [Фо] = 1/о1 = О-
С другой стороны, получаем
Ф/l = 6п Н- /1Уп>
причем 0„ зависит лишь от ylt у2, ..., уп-г.
Пусть [г/71| — среднее значение у„; положим
Уп = Пп + [//nl,
так что ц,г — периодическая функция х, среднее значение которой равно
нулю.
Представим себе теперь, что мы уже определили
П1, Т12- • •  > Лп.
' [J/11,	• • • , [j/n-il	'
и, следовательно, также у2, ..., y;l_t и что нам надо вычислить ц„+1
и [yj.
Соотношение [ф„] = 0 можно записать в виде
[6J—[АЧп] + [А] Ш = о.
В этом уравнении [0J и можно считать известными, поскольку вели-
чины (2) известны; постоянная [/J известна; можно, следовательно, найти
lyj-
Имеет место равенство
dx* dx* rn'
Если положить
оо	оо
Фп = 2 Amcasmx -ф- 2 Bmsinmx,
116
Новые методы небесной механики. I
то получим
Пп+i = — 2 cos тх — sin тх-
Следовательно, т), [г/] и у могут быть вычислены рекуррентно.
Отсюда следует, что если яр — периодическая функция х, такая, что
(в обозначениях п. 20, дополненных в п. 35) имеем
Фп'СФ	(arge±“),
то a fortiori
Пп+1<Ф	(arge±ist).
В дальнейшем мы будем писать
0 = f - /о - fiV = hy2 4- f3y3 4- • • •,
так что
0 (p-Vi + и2.Уг 4- Р-З^з + •••) = 0гР-2 4* ^зР*3 4* • • • 4* ОпП” 4* • • • •
Пусть теперь /' — функция х и у того же вида, что и /, т. е.
f = /о 4“ Av 4* fiy2 4- • • • >
где /0', //, /2', ... — периодические функции х и, кроме того, предположим,
что
/<</' (arg г/, e±ix).
Если затем положить
f (р-1/i 4- pAVa 4“ Н3Уз + ••) = Фо 4~ Р-Ф1 4- •   4- Нпфп + • • • ,
то получим
Фя^Сфи (argi/i, у2, . . . , уп, ei«).
Положим также
0' = /' — /о — hy,
0Z (Н.У1 + P-2J/2 4- П31/з + • • ) = 0гМ-2 4“ 0зН3 4- • • • 4- 9пР-п + . . .,
откуда 0„04
Запишем, наконец,
Пусть теперь у', ц' и z — три неизвестные функции, связанные соотно-
шением
у' = ц' +z
Периодические решения
117
и разложенные в ряд по степеням р, так что
У' = Щ/1 + Н2//г + •  • .
П' = Ph +	+ • • • .
z = pzx + p2z2 + . . ..
Определим эти функции следующими уравнениями:
т]' = ц/' (х, ц' +z),
Z = %/j.T]' 4- Х0' (ж, Г]' + z).
Сначала найдем
hi = Фо.
и так как, с другой стороны, мы имеем
сРт]1
dF = %-
(3)
то заключаем	hi-Ch'	(arg e±ix).
Затем находим	Z1	= У'141
и, с другой стороны,	[г/il -	- и'А%1.
откуда	[J/i]	«CZx,
	У1'	<УГ
Затем получим	Ъ	= Ф1 (x, Ух)
и, с другой стороны,	сг2П2 dx2 =	= <Pi(*. У1).
откуда
т]2-<т]а;
затем
z2 = ?v/iT]2	Х02 (х, ух)
и, с другой стороны,
[f/a] = ру [/гТ]2]	[0г].
118
Новые методы небесной механики. I
откуда
У г	У 2
и т. д. Закон очевиден, и мы получим
Уп <С Уп	(arg e±ix)
и
у<Су'	(argfi.
Следовательно, если ряд
у' = иг/i + н2,У2 + н3?/з + •  •	(4)
сходится, то ряд
У = P-J/1 + У- 2 У г + •  •
сходится a fortiori. Остается установить, что ряд у' сходится или, что то
же самое, что уравнения (3) могут быть разрешены относительно р' и z.
Но функциональный определитель, соответствующий уравнениям (3),
может быть записан в виде
и его значение при rf = z — р, = 0 равно 1. Следовательно, он не равен
нулю, и таким образом по теореме п. 30 уравнения (3) могут быть разре-
шены.
Итак, ряд (4) сходится, что и требовалось доказать.
Уравнения, рассмотренные в этом пункте, являются частным случаем
тех, которые были предметом обсуждения предыдущего пункта. В общем
случае может быть дано аналогичное непосредственное доказательство схо-
димости. Мы вернемся к этому в дальнейшем.
Изучение важного исключительного случая
46.	В силу только что доказанного, положения п. 42 оказываются не-
состоятельными в случае, когда гессиан Fo по хй равен нулю.
Изучим случай, когда этот гессиан равен нулю и в частности случай,
когда Fo не зависит от некоторых из переменных х.
Я буду предполагать для определенности, что число степеней свободы
равно четырем; две из переменных, xt и х2, входят в Fo; две другие, х3 и
xt, не входят в Fo и, наконец, гессиан Fn по хг и х2 не равен нулю (гессиан
по хг, х2, х3 и xt равен нулю, поскольку dF0!dx3 —dF^ldx^ = 0). При ц = 0
Периодические решения
119
общее решение дифференциальных уравнений записывается в виде
Хг = Х°, Х2 — Х2, Х3 = Х3, Х4 = X®, Z/j — n°t Sj,
= n2t + Зг, Уз = З3, yi =	(1)
где г? и — постоянные.
Если х® и х® выбраны так, что п^Т и п%Т являются кратными 2л, то
решение будет периодическим с периодом Т при любых начальных значе-
ния х®, х®, Эц о)2, З3 и S4.
Рассмотрим теперь любое решение при любом значении р, и пусть
X; = X, -ф- Р;, Уг =	+ Pi	(-)
— начальные значения х{ и уг при t = 0. Пусть
хг — xi + Pi + Ф'Л	Уi — ^гТ + Pi + 4* ®i
— значения х.; и у; при t = Т.
Для того чтобы решение было периодическим, необходимо и достаточ-
но, чтобы выполнялись условия
Ф1 = Ф'2 = Фз = Ф< = 0-
(3)
ф' = Фз = ф' = ф' = о,
Я замечу:
1.	Что можно всегда выбрать начальный момент времени таким обра-
зом, что начальное значение уг будет равно нулю как для периодического
решения (1), так и для решения, соответствующего начальным значениям
(2). Следовательно,
ах = р; = о.
2.	Что F = С — интеграл наших дифференциальных уравнений и про-
изводная dF'dx1 не равна нулю (dFldxx равна п®). Уравнения (3), следова-
тельно, не независимы и я могу отбросить первое из них
Фг = 0.
3.	Что при р = 0 тождественно выполняются равенства
Фз = Фз = Фа = Фз = Фа = 0
12(1
Новые методы небесной механики. I
и вследствие этого ф2, ф3, ф4, ф3', ф4' делятся на p. Итак, я могу заменить
систему (3) следующей:
А = Il = А = = = А = А = о.
р, р р	р р
(4)
р
Я намерен:
1. Определить
ж®, ж®, Э2, Э3 и й4
(предполагается, что ж® и Д) уже определены и S4 равно нулю) так,^чтобы
уравнения (4) удовлетворялись при
р = о, 3i = о, р; = 0.
2. Исследовать, равен ли функциональный определитель левых частей
системы (4) нулю или, другими словами, является ли при р = 0 решение
Pi = 0, р' = 0
простым решением этой системы или по крайней мере решением нечетного
порядка.
Для этого надо исследовать, во что превратятся уравнения (4) при р= 0.
Мы имеем
т	т
о	о
или, поскольку dF0!dy<i = 0,
т
или при р = 0
при р — 0 имеем
хг ~ xi + Pi, Ui — ni.t + + Pit
dF0 + 31, X® + 32)
П; = — ------------------ , И3 = П± = 0.
1	<H4+3i)
Подставим эти значения и в правую часть уравнения (5).
Периодические решения
121
Если, кроме того, приравнять [Д = 02 = 0, то и4 и и2 сведутся к п’и
п® и функция Fr станет периодической функцией t с периодом Т. Помимо
этого она является периодической функцией о)2 + 02', Э3 + 0/, Э4 + 0/ с
периодом 2л. Наконец, она зависит еще от ж® 4- 03 и ж® 4- 04- Мы мо-
жем записать
Fx = 2 A cos + m2z/2 + m3y3 + m4y4 4- /с),
где m2, m3 и m4 — целые числа; Л и A: — функции xL.
Действительно, функция Fx по предположению периодическая с перио-
дом 2л по z/j.
После подстановки получаем
— S A cos (at + Р),
где
а = т1п1 ш.2и2, 3 = к Ц- т3 (S2 4~ Ра) 4~ тз (®з т Рз) 4~ mi (°Д -f- р4).
Среди членов разложения 1<\ я выделю те, для которых а = 0, и обозна-
чу через R множество этих членов, так что
R = 2 A cos 0,
где суммирование распространяется на все члены, для которых
4- /и2П2 = О*
Функция — периодическая функция времени с периодом Т, a R
не что иное, как среднее значение этой функции, так что
т
TR = ^F^dt,
О
или, дифференцируя по 32, получаем
т i^-= \^-dt.
clu)2 J С1б5г
О
Но
dFi   dFi dy2  dFi
d&2	dy2 dOa	dy2
Таким образом, уравнение (5) принимает вид
2Ё1 __ dR т.
р dSJ2 7
так же можно найти
Jh _ dfl у	__ dR „
р — da31 ' р — dai 
122
Новые методы небесной механики. I
Аналогичными вычислениями находим
= _ f jLЛ
ц	u J ахз	•) dxz \ ц /
О	о ' г '
или при и — О
А = _ f"iA = _r"
[Г	J (lx-л	„’гО
О	“''3
и также
^4 _ т dR
Н	dz® '
С другой стороны, получаем
АТ + i|>i = — J dt
о
или при р = О
Ат + =---------Т, = (»! - А) Т.
Y	d(x" + 31)	7 1	17
Так же находим
Фг = («а — А) Т.
Прежде всего мы хотим, чтобы при
р = О, Pi = О, Р- = О
система (4) удовлетворялась. Но если рх = |32 = 0, то пг и м3 сводятся к
/г® и тг^, ip/ иф2' сводятся к 0, так что два из уравнений (4) удовлетворяют-
ся сами по себе. Система (4) сводится просто к
dR __ dR ___dR __dR __dR ___,g,
dz® ~ dz® ~	~~ da3 — da4 ”
Таким образом, положив p4 = P' = 0 в функции R, рассмотрим затем R
как функцию х^, ж®, Э2, Э3, <Я4; если эта функция имеет максимум или ми-
нимум и если придать гс® и сД значения, соответствующие этому максимуму
или минимуму, то уравнения (6) будут удовлетворены.
Приведет ли нас это решение системы (6) к периодическим решениям,
сохраняющимся при малых значениях р?
Для этого достаточно, чтобы функциональный определитель уравне-
ний (4) не обращался в нуль при
р = Pi = Pi = 0.
Периодические решения
123
Но ф4 и фа зависят (если положить ц = 0) лишь от (ц и |32, так как Fo и
две ее производные—пг и — и2 являются функциями лишь х^ + и х£ +
+ Рг-
Следовательно, этот функциональный определитель является произве-
дением двух других:
1. Определителя ф' и ф' по и |32 (но это не что иное, как гессиан Fo
по хг и х2, который мы предполагаем отличным от нуля).
2. Определителя величин
фг фз	ф> Фз Фд	.у.
р, ’ р. ’ р, ’ р, ’ р.	' '
ПО
?3>	?2> Рз, Рй-
Но величины (7) являются функциями
Х3 + Рз> Х4 + Рд >	®2 + р2>	+ Рз> ('Ф + Рг-
Производная любой из величин (7) по |Зг или равна ее производной
по хЧ или S,-.
г	г
Следовательно, искомый определитель является функциональным оп-
ределителем величин (7) по
4, ,г°, а2, а3, а4.	(8)
Мы должны вычислить значение этого определителя при
ц = & = р; = о.
Но когда ц, Pi и р{' обращаются в пуль, величины (7) сводятся к левым ча-
стям уравнений (6).
Следовательно, наш определитель является не чем иным, как гессианом
R по переменным (8).
Если этот гессиан не равен нулю, паши дифференциальные уравнения
будут иметь периодические решения при малых значениях ц.
Этот результат можно выразить иначе. Периодические решения сохраня-
ются при малых значениях ц, если только уравнения (6) имеют простое
решение. Более того, периодические решения сохранятся, если уравнения
(6) имеют решение нечетного порядка.
Но в силу п. 34 точка максимума функции R будет всегда соответст-
вовать решению уравнений (6) нечетного порядка.
Следовательно, если функция R имеет максимум или минимум, наши
дифференциальные уравнения будут иметь периодические решения при
малых значениях ц.
124
Новые методы небесной механики. I
Решения второго сорта
47. Применим предыдущие рассуждения к задаче трех тел, предполо-
жив сначала, что три тела движутся в одной плоскости, и займемся отыска-
нием периодических решений второго сорта.
Примем переменные п. 15, т. е. переменные
р£ = Л, ₽'Я = Л', Я,
I, V,	h'.
Решение будет периодическим, если в конце периода Л, Я и Л' примут
свои начальные значения и если I, V и /г увеличатся на величину, кратную
2л.
Функция F равна
Fo + Р-	+ •••
и Fo зависит только от Л и Л'.
Поэтому если предположить, что ц = 0, и обозначить через
Ло, Ло, Яо,
Zo> Zo, Zio
начальные значения наших шести переменных, то четыре из этих шести
переменных, Л, Л' , Я и h будут постоянными и
Л = Ло, Л' = Л', Я — Яо, h = h0.
Если, кроме того, положить
то получим
I ~ nt 4~ Zq, Z — n t 4~ Zq .
Следовательно, при p, = 0, если Ло и Ло' были выбраны так, что пТ
и п'Т кратны 2л, решение будет периодическим с периодом 2л, каковы бы
ни были постоянные Яй, Zo, Zo', 7z0.
Мы зададим себе следующий вопрос: можно ли выбрать постоянные Яо,
Zo, Zo' и h0 таким образом, чтобы для малых значений и уравнения движения
имели периодическое решение с периодом Т, такое чтобы начальные зна-
чения шести переменных были соответственно равны
-^•о + 31 >	Ло 4-	Яо + pg,
Zo 4~	Zo 4- р5,	Ло 4- р6,
где Р; — функции fi, обращающиеся в нуль вместе с fi.
Периодические решения
125
Чтобы разрешить этот вопрос, достаточно применить положения пре-
дыдущего пункта.
Поскольку — периодическая функция по I, I' и h то мы можем за-
писать
F^— S A cos (тг1 + m2l' + m3h + к),
где А и к — функции Л, Л' и Н.
Заменим в Рг шесть переменных
Л, Л', н,
I, и, h
величинами
Ло,	Но,
Iq -j- nt ,	Zq П	Zig,
получим
Fy = S A cos (aZ 4- 3),
где
a = тгп + m2nr,	3 — & +	+ нг3й0.
F± — периодическая функция t; пусть R — среднее значение этой
функции, так что
R = S A cos р,
где сумирование распространено на все такие члены, что
a = 0 или тхп + т2п' = 0.
В силу принципов предыдущего пункта найдем искомые значения
Но, Zo, Zo' и h0, решив систему
dR _ dR __ dR _ dR __
dll о din dl' dlin
Мы всегда можем предполагать, что начальный момент времени был выб-
ран так, что Zo = 0.
С другой стороны, в силу определения функции R имеем
dR ,	, dR n
П ----И П —г = 0.
dl
Следовательно, можно заменить предыдущую систему более простой
системой
dR __dR_	__ п
dffn dl' ~ dhn '	’
126
Новые методы небесной механики. I
Могло бы случиться, что все решения системы (1) не подходят; однако
имеются решения, которые безусловно подходят: это те, порядок крат-
ности которых нечетен, и в частности те, которые соответствуют настоя-
щему максимуму или минимуму функции R.
Итак, чтобы установить существование решений второго сорта, доста-
точно показать, что функция R имеет максимум.
Но эта функция R ограничена, более того, она периодическая по h,'
и 7i0; она зависит еще от Но; я добавлю, что она может быть разложена
в ряд по степеням
]/ Л2О-Н1 и |/'л;2-(Я0-С)2,	(2)
где С — постоянная площадей.
Функция R будет, следовательно, вещественной, только если будут
выполняться неравенства
Я2<Х (Я0-С)2<Л02;	(3)
Яо должно быть всегда заключено между этими двумя пределами. Я могу
выбрать переменную <р так, что Но и два радикала (2) будут двоякопериоди-
ческими функциями ф.
Таким образом, R — однозначная, периодическая и ограниченная
функция всего лишь трех переменных (поскольку Ло, Ло' и С считаются
фиксированными и 1а = 0), а именно, переменных Г, h0 и <р.
Эта функция имеет, следовательно, по меньшей мере один максимум
и один минимум, так что всегда имеются по меньшей мере два периоди-
ческих решения второго сорта.
Известно, что разложение возмущающей функции Fr содержит лишь
косинусы, так что величина, которую мы обозначили к, всегда равна
пулю.
Следовательно, если положить
А) = ~
то
dR dR g.
dZ' “ dh<> ~ ’
останется удовлетворить уравнению
-^- = 0
dH0 ’
или, что то же самое,
~ = 0.
Периодические решения
127
Это всегда возможно, поскольку R — периодическая функция и
должна иметь по меньшей мере один максимум и один минимум.
Следовательно, всегда существуют по меньшей мере два решения вто-
рого сорта, для которых
Л =	— О-
Если |г = 0, то начальные значения I, I' п h равны нулю, а это озна-
чает, что имеет место симметричное соединение.
Рассуждением, аналогичным приведенному в п. 40, можно заключить
отсюда, что для малых значений и также будет симметричное соединение
и что если в начале периода было симметричное соединение, то оно будет
и в середине периода.t
Итак, среди периодических решений второго сорта имеются всегда
такие, которые допускают симметричные соединения (или противостояния)
в начале и середине каждого периода.
Все же может представиться некоторая трудность, и я вынужден о
ней сказать несколько слов.
Функция R зависит от l0', h0, Нй, так как мы считаем Ло и Ло' фикси-
рованными и выбираем 10 равным нулю.
Функция R периодическая по 10' и h0', кроме того, третья переменная
Нй подчиняется некоторым неравенствам, например, следующему:
Ло > Яо.
Из этого мы заключили, что функция R всегда имеет максимум и ми-
нимум .
Однако можно задать себе вопрос, что произойдет, если функция до-
стигнет максимума именно тогда, когда Но достигнет одного из пределов,
определенных неравенствами (3).
Будут ли еще применимы выводы и. 46?
В этом можно усомниться, так как если R достигает максимума при
Нй = Ло, например, то производная dR!dH0 не равна пулю, а, напротив,
бесконечна.
Верно, что для задачи трех тел можно без труда убедиться, что макси-
мум R достигается не при этом значении Но, но поскольку этот случай
мог бы представиться при возмущаюших силах, отличных от тех, ко-
торые рассматриваются в задаче трех тел, то более подробное изучение
его представляет некоторый интерес.
Предположим, например, что мы рассматриваем значения Но, очень,
близкие к Ло; мы можем воспользоваться переменными из п. 17, т. е.
переменными
л, Л', Г,
Г V, ц*.
’128
Новые методы небесной механики. I
Обозначим тогда через
A-o + Pi, + ₽2> ёо + Рз-
^0 + 31, /о + ?5> Ло + Ре
начальные значения этих шести переменных и посмотрим, можно ли вы-
брать эти начальные значения так, что решение будет периодическим, а
,Рг будут функциями п, обращающимися в нуль вместе с р,.
Мы видели, что для этого достаточно выбрать
Во и Т)о
так, что R будет максимальной или минимальной; с другой стороны, мы
знаем, что Ло и Ло' нужно рассматривать как фиксированные и всегда
можно предположить, что 10' равно нулю. Если R достигает максимума
при Ло = Но, то в новых переменных этот максимум будет достигнут
при
Й = 1Ъ = О.
Но на этот раз нет никакой трудности, потому что R — голоморфная
функция и Цо, которая может быть разложена в ряд по степеням этих
переменных, тогда как при прежних переменных эта трудность возникала
из-за того, что R переставала быть голоморфной функцией Но при Ло = Но
и разлагалась в ряд не по целым степеням Ло — Но, но по степеням
/Ло-Яо.
Итак, результаты предыдущего пункта остаются справедливыми даже
тогда, когда функция R достигает своего максимума при Ло = Но или,
более общим образом, когда Но достигает одного из пределов, определен-
ных неравенствами (3).
Решения третьего сорта
48. Попытаемся теперь найти периодические решения третьего сорта,
т. е. те, для которых наклонения не равны нулю.
Возьмем переменные п. 16, т. е.
ВЛ = Л, р'Я=Л', рГ = Я, рТ'=Я',
I, I',	g, g’-
Предположим сначала, что р, = 0 и пусть
Ло, Ад, Яо, Яо,
/о, go* go
Периодические решения
129
— начальные значения этих восьми переменных. Если Ло и Ло' выбраны
так, что
кратны 2 л, то решение будет периодическим при любых значениях шести
постоянных
Яо, Но > /о,	> go, So 
Можно ли выбрать эти шесть постоянных так, чтобы для малых зна-
чений р, уравнения задачи трех тел допускали периодическое решеш е
с периодом Т, такое, чтобы начальные значения восьми переменных были
функциями ц, которые сводятся к
Л-q, Л-о, Н$, Но.
A), So, So
при р = О?
Мы будем действовать так же как и в предыдущем пункте. Прежде
всего предположим, что начальный момент времени был выбран так, что
10 — 0. Затем построим, как и в предыдущем пункте, функции Е,
и R.
В силу результатов двух предыдущих пунктов мы должны определить
пять постоянных Но Но', l0’, So и So' так, чтобы/? была максимальной или
минимальной. Каждому максимуму или минимуму функции 7? будет со-
ответствовать периодическое решение.
Функция 7?, рассматриваемая как функция от la, g9 и g0', является
периодической функцией с периодом 2л. С другой стороны, Но и Но'
подчинены некоторым неравенствам, которые я запишу, как и в
п. 18, в виде
|д01>|я0|, |л;|>|я0|,
(3)
|Я0|-|7/0|<С<|7/0| + |Яп|.
Следовательно, две переменные Но и770' могут изменяться лишь в огра-
ниченной области и функция 7? будет неизбежно иметь максимум и мини-
мум, которые должны соответствовать периодическим решениям.
Однако, как и в предыдущем пункте, может возникнуть трудность.
Не может ли случиться, что функция 7? достигнет максимума в момент,
когда переменные Но и Но' достигнут пределов, определенных неравен-
ствами (3) ? Что тогда произойдет?
Предположим сначала, что максимум достигается при
Но = Ло.
9 А. Пуанкаре
130
Новые методы небесной механики. I
Тогда мы используем переменные из п. 18, а именно:
Л, Д', Г, //',
V, V, я’, g'.
Положим, таким образом,
= to + go, £о=/2(Ло —#o)cosg0, Яо = К2(Д0 — Я0)8т^0.
Мы увидим тогда, что R достигает своего максимума при
Й = Яо = 0
и так как Я разлагается в ряд по степеням и я", трудность будет прео-
долена.
Итак, даже если максимум достигается при Но = Ло, этому максимуму
тем не менее соответствует периодическое решение; то же самое и
по той же причине будет и в случае, когда максимум достигается при
Но' = До'.
Остается рассмотреть случай, когда максимум достигается для зна-
чений Но' и Но, удовлетворяющих условию
С = ± Но ± Но’ }
но это именно тот случай, когда наклонения равны нулю. Итак, если
максимум достигается при подобных значениях Нй и Но', то мы возвра-
щаемся к случаю решения второго сорта, изученному в предыдущемпупкте.
Поэтому подобному максимуму также соответствует периодическое ре-
шение.
Итак, мы показали, что функция R всегда имеет по меньшей мере один
максимум и один минимум и что каждому из этих максимумов и минимумов
соответствует периодическое решение. Однако трудность еще не преодо-
лена.
Решения третьего сорта, которые мы здесь изучаем, включают в себя
как частный случай решения второго сорта, существование которых мы
доказали ранее.
Можно задать себе вопрос, существуют ли другие решения; более
глубокий анализ дает нам ответ на этот вопрос. Мы увидим, что функция
R имеет максимумы и минимумы, отличные от тех, которые соответствуют
нулевым наклонениям, и, следовательно, существуют решения третьего
сорта, отличные от решений второго сорта.
Для этой цели изучим более подробно форму функции R. Нам надо
удовлетворить, с одной стороны, соотношениям
dR dR dR А	...
—г = -7— = --7=0,	(4)
rf?(,	dg0
Периодические решения
131
а с другой стороны, соотношениям
Я утверждаю, что если положить
k' = ёо = ёо = О,
то уравнения (4) будут удовлетворены, так что останется только удовлет-
ворить уравнениям (5), т. е. отыскать максимумы и минимумы функции R
как функции, зависящей только от Но и Но’.
Действительно, я замечу, что R имеет следующую форму (если пред-
положить, как мы это делали, 10’ = 0, 0 = О'):
R = 2 A cos (г4 +	+ Тз4)>
где А зависит от Ло, Ло', Но, Но'.
Значит, если предположить, что
— ёо = ёо = О,
то одновременно будут выполняться соотношения
дВ_ _ дН_ _ az? _ 0
д1о Sg0 'У
Представим себе, что мы делаем замену переменных, беря за новые пере-
менные эксцентриситеты е и е' и наклонения i и г', т. е. полагая
= Go = Lo	Gq = 4	,
6>о = Go cos i,	6)0 = Gocos i-' ,
так что одно из уравнений площадей принимает вид
р£0 [/ 1 — е2 sin i -|- [3'4 У1 — е'2 sin i' = 0,	(в)
а другое принимает вид
Р4 |/1 -в' cos i [3'4 У1 — е'2 sin i' = с.	(7)
Теперь речь идет о том, чтобы найти максимумы функции R, рассмат-
риваемой как функция е, е', i и i', причем предполагается, что эти четыре
переменные связаны между собой уравнениями площадей (6) и (7). Теперь
мы можем записать уравнения, которые вместе с (7) должны определить
9*
132
Новые методы небесной механики. I
е, е', ini' в следующем виде (где к обозначает вспомогательную величину) j
dR , пт ecosi
тт - Тг=. •
= k$L0 sin i У1 — е2,
dR __	, - е' cosi'
rf? _	' °	’	(°)
dR in,T<-  '	----тт
j-t = ?> L 0 sin I у 1 — e 2.
Можно ли удовлетворить этим уравнениям? Чтобы ответить на этот
вопрос, посмотрим, каков вид функции R. Я замечу прежде всего, что
эта функция зависит не от i и г', а только от их разности г — г', так что
3R ЭД _
di ‘ di'
Далее, R представляется в виде ряда, расположенного по возрастающим
степеням е, е', i и i', так что общий член разложения будет иметь следую-
щий вид (с точностью до коэффициента, зависящего лишь от Lo и Lo')'
е°-е'*ч*ч«< cos (rxZ0 +	+ Гз£о + Г^о)-
Более того, должно выполняться, как я уже сказал выше, равенство
ПП +«'Гг = °
и, с другой стороны,
I Yi + Тг | ai + аг + аз + а4,
а1>|Г1+Гз|<	«2>|Г2 + Г4|-
Я утверждаю, что члены R, для которых Vi и Т2 не равны одновременно
нулю, будут иметь по меньшей мере третью степень относительно эксцен-
триситетов и наклонений, если только п не кратно (н — п')/2.
Действительно, пусть и т2 — Два целых числа, которые могут быть
положительными или отрицательными, но не равны нулю одновременно
и которые удовлетворяют равенствам
nXi + п'Чг = 0, |Ti + Y2| = 0> 1 или 2.
Если мы положим
Y1+Y2 = e, е = 0,	+1 или +2,
то получим
п'	п
Г1 = е
Y2 = 8
пг — п
п — п'
Периодические решения
133
Прежде всего видно, что е не может быть нулем, иначе Yi и уг были
бы равны нулю одновременно. А так как, с другой стороны, и должны
быть целыми и в равно + 1 или ± 2, то число 2п/(п — п') должно бы было
быть целым, а это означало бы, что п кратно (и — п')/2 вопреки нашему
предположению.
Итак, чтобы вычислить R до членов второго порядка, достаточно по-
ложить в = Х2 — 0, т. е. сохранить в Fj только так называемые
вековые члены.
Но вычисление этих членов давно уже было проведено основателями
небесной механики. Я ограничусь тем, что отошлю читателя, например,
к Тиссерану (Tisserand. Mecanique celeste, t. I, p. 406). Итак, нахо-
дим
11	1
li = 4 Я<0) + 4 ВЫ [e2 + e'2 _ (i _ i’)2] _ Л. БЫее' cos (g0 - g0) + Q.
Коэффициенты A<0), ВЫ и jB(2), зависящие лишь от Lo и Lo', опреде-
лены в цитированной работе Тиссерана, a Q означает множество членов
по меньшей мере третьей степени относительно е, е', i и i'.
Следовательно, вопрос заключается в том, чтобы сделать эту функцию R
максимальной или минимальной, предполагая, что е, е , i и д' связаны
соотношением (7)
В£о /1 — е2 cos i 4- P'Lq У1 — e'2 ccs д' = C.
Уравнения (8) могут тогда быть записаны (если предположить, как
и выше, l0' = g0 — go = 0) в виде
1	1
-L вые - ВЫе’ + D1 = к QLue + D2),
^ВЫ{1'_1) + В3 = к(№01+DJ,	(9)
BL0 ]/1 — е2 sin i -j- $'L0 У1 — e'2 sin i' = 0,
1	1
4 Вые' _ 4 Вые + Z), = к (P'Zoe' + Z>8),
где Di обозначают множества членов по меньшей мере второго порядка
относительно е, е', ди д'.
Что касается уравнения (7), оно запишется в виде
34 (е2 + *а) + 3'4 (е'2+ д'2) + D, = р2,	(10)
где р обозначает положительную постоянную, равную
234 4- 20'4 - 2С,
134
Новые методы небесной механики. I
a Z>9 обозначает множество членов по меньшей мере третьей степени от-
носительно е, е', i и г'.
Из уравнений (9) и (10) шестью различными способами можно получить
е, е', i и i' в виде рядов по возрастающим степеням р.
Положим, в самом деле,
е = ер, е' = е'р, i — ip, V = t'p;
подставим эти значения в уравнения (9), которые мы разделим на р, и в
уравнения (10), которые мы разделим на р2. Левые и правые части этих
уравнений будут тогда разложены в ряды по возрастающим степеням
к, е, е', I, i' и р.
Я добавлю даже, что левые и правые части этих уравнений можно
разложить в ряды по степеням р, е — е0, &' — е0', i — i0, i' — i0',
к — k0 (если эти переменные достаточно малы по абсолютной величине)
при любых постоянных 80, е0', 10, i0', к0.
При р — 0 эти уравнения сведутся к
В(1)е — -1- £(2)Ё' =
-^ВС)е'_-1_5<2>е = /<Лое',
— 5(1)(i' - I) =	(И)
P£oi P'Lqi' — 0,
pZz0(e2+i2)+p'4(e'2+i'2)= 1.
Уравнения (11) имеют шесть решений, а именно:
к = -±- 4	I' 1	,	1 \	, n	3 Lo -or—		 , e = e = 0,	i = —r- , \	/	/г ’
/	•— 3Z/0 1 — /г ’	к = + 33'5050 (3£0 + Р'Д))-
А:	' 1 ,	1 \	, n	3'£0 -угг H	~ 1,	8 = e = 0, i = —— , 3-U	;3'L0 )	11
,	— BLp 1 - h ’	к = —	(З-А'о +	(12)
к — кг,	i = i' = 0, e = elt	e' = e1?
к = — kY,	i = i' = 0, e = —e1, e' = — £x,
к = k2,	i = i' = 0, e — e2,	e' = Ej,
к = k2,	i = i' = 0, e = — e2, e' = — e2-
Периодические решения
135
Каждое из этих шести решений простое, откуда мы можем заключить
в силу того, что мы видели в п. 30, что можно шестью различными способами
разложить е, е', i и i' и, следовательно, е, е', i и i' в ряд по возрастаю-
щим степеням р.
Следовательно, мы можем записать
е = А,х(р)> е' = /2,х(р),	^ = /з,х(р), i'l= ft. х(р),	(13)
где индекс X может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6; положим К =1,
отправляясь от первого из решений (12); положим % = 2, отправляясь
от второго из решений (12) и т. д.
Из шести разложений (13) четыре последних должны быть отброшены,
так как они дают
г = I' = О,
и периодические решения, к которым они приводят, не отличаются от
решений второго сорта, изученных в предыдущем пункте. Но два первых
могут быть сохранены и приведут к новым периодическим решениям,
для которых наклонения не равны нулю и которые можно назвать реше-
ниями третьего сорта.
Впрочем, эти два разложения не ведут к двум действительно различ-
ным периодическим решениям.
Мы изучили более подробно решения, для которых
= ?о = i
эти уравнения выражают тот факт, что в случае р, = 0 в начале периода
имеет место симметричное соединение.
Рассуждение, полностью аналогичное рассуждению п. 40, показало
бы, что и для всех значений р, в начале и середине каждого периода про-
исходит симметричное соединение.
Это не означает, что не существует также периодических решений
третьего сорта, для которых симметричных соединений не бывает; действи-
тельно, может случиться, что функция будет иметь максимумы и минимумы,
отличные от тех, которые соответствуют случаю l0' = g0 = g0' — 0. Мы
еще вернемся к этому вопросу.
Приложения периодических решений
49.	Как мы уже говорили, маловероятно, чтобы в какой-либо при-
кладной задаче начальные условия движения в точности соответствовали
периодическому решению. Поэтому может показаться, что рассуждения,
изложенные в этой главе, практически бесплодны. Но это не так; они
уже принесли пользу астрономии, и я не сомневаюсь, что астрономы и
в дальнейшем будут часто к ним прибегать.
136
Новые методы небесной механики. I
Я покажу в следующей главе, как можно взять периодическое решение
за начало серии последовательных приближений и изучить таким обра-
зом решения, которые отличаются от них очень мало. Полезность перио-
дических решений станет тогда очевидной.
Но я хочу сейчас встать на несколько другую точку зрения. Предпо-
ложим, что в движении некоторого небесного светила имеется очень зна-
чительное неравенство. Может случиться, что истинное движение этого
светила отличается очень мало от движения идеального светила, орбита
которого соответствует периодическому решению.
Тогда довольно часто значительное неравенство, о котором мы только
что говорили, будет иметь почти тот же коэффициент для реального све-
тила и для нашего идеального; но этот коэффициент гораздо проще вы-
числяется для идеального светила, движение которого проще, а орбита
периодична.
Первым приложением этого принципа мы обязаны Хиллу. В своей
теории Луны он заменяет этот спутник в первом приближении идеальной
Луной, орбита которой периодична. Движение этой идеальной Луны опи-
сано в п. 41, где мы говорили об этом частном случае периодических ре-
шений первого сорта, которыми мы обязаны Хиллу.
Тогда движение этой идеальной Луны, так же как и реальной Луны,
подвержено значительному неравенству, хорошо известному под назва-
нием вариации-, коэффициент почти один и тот же для обеих Лун. Хилл
вычислил его значение для своей идеальной Луны с большим числом де-
сятичных знаков. Для того чтобы перейти к реальному случаю, надо
исправить полученный таким образом коэффициент, учитывая эксцентри-
ситеты, наклонение и параллакс. Без сомнения, Хилл сделал бы это,
если бы закончил публикацию своего замечательного мемуара.
Вот другой случай, который будет часто представляться и к которому
я хотел бы привлечь внимание. Выше мы видели, что периодические ре-
шения первого сорта перестают существовать, когда отношение средних
движений п и п равно
п __ I — 1
п' ~	/
где j — целое число, т. е. когда п'Цп,' — п) равно целому j.
Но если отношение п' 1(п'— п), не являясь целым, очень близко к
нему, то периодическое решение существует и имеет очень значительное
неравенство.
Если истинные начальные условия движения мало отличаются от тех,
которые соответствуют подобному периодическому решению, это значи-
тельное неравенство сохранится и его коэффициент будет почти тот же;
следовательно, можно с успехом вычислить его значение, рассматривая
периодические решения.
Это проделал Тиссеран («Bulletin astronomique», t. Ill, p. 425) при
изучении движения Гиперона (спутника Сатурна). Отношение среднего
Периодические решения
137
движения этого спутника к среднему движению Титана в действительности
очень близко к 3/4.
Те же рассуждения применимы к изучению малых планет, среднее
движение которых почти вдвое больше среднего движения Юпитера;
они были предметом замечательной работы Харцера; они также примени-
мы к планете Тильда, среднее движение которой примерно в 3/2 больше
среднего движения Юпитера.
Тиссеран отмечает, кроме того, в работе, которую мы цитируем, случай
Урана и Нептуна, отношение средних движений которых близко к х/2.
Во всех этих случаях существует значительное неравенство и изучение
этого неравенства может быть облегчено рассмотрением периодических
решений первого сорта.
Напротив, периодические решения второго и третьего сорта не полу-
чили еще практических применений; однако все указывает на то, что со
временем они найдут свое применение; это произошло бы, если бы под-
твердились предвиденья Гаусса по поводу Паллады.
Спутники Юпитера
50.	Но наиболее поразительный пример доставляет нам сам Лаплас
своей замечательной теорией спутников Юпитера.
Действительно, существуют истинные периодические решения первого
сорта, когда вместо трех тел рассматриваются четыре или более. Рас-
смотрим, в самом деле, центральное тело большой массы и три других
малых тела нулевой массы, вращающихся вокруг первого в соответствии
с законами Кеплера. Представим себе, что эксцентриситеты и наклонения
равны нулю, так что движение будет круговым. Предположим, что между
тремя средними движениями п, п' и п" существует линейное соотношение
с целыми коэффициентами
ап +	-J- уп" = 0,
где а, Р и у — три целых взаимно простых числа, таких, что
а + Р + у = 0;
тогда можно найти три целых числа X, X' и X", таких, что
ак + р%' + ук" = 0,
и будем иметь
п = кА + В, п' = к'А + В, п" = к"А + В,
где А и В — некоторые величины.
138
Новые методы небесной механики. 1
По прошествии времени Т долготы трех тел увеличатся на величины
%АТ + ВТ, КАТ + ВТ,	К'АТ + ВТ,
а разности между долготами второго и третьего спутников и долготой
первого увеличатся на
(Х-Х')ЛГ, (к —К') АТ.
Значит, если выбрать Т так, чтобы АТ было кратным 2л, то углы, обра-
зованные радиусами-векторами, идущими от центрального тела к трем
спутникам, примут свое первоначальное значение. Итак, рассмотренное
решение при р = 0 является периодическим с периодом Т.
Сохранит ли задача периодическое решение с периодом Т, если принять
во внимание взаимодействие трех малых тел, так что их движение не бу-
дет кеплеровским или, другими словами, если параметр п принимает
значение, не равное нулю, но очень малое?
Исследование, аналогичное тому, которое было проведено в и. 40,
показывает, что это действительно так: имеется периодическое решение
с периодом Т, аналогичное решениям первого сорта, при котором орбиты
почти круговые. Три малых тела находятся как в начале, так и в середине
каждого периода в симметричном соединении или симметричном проти-
востоянии.
Лаплас показал, что орбиты трех спутников Юпитера очень мало от-
личаются от тех, по которым они бы следовали в подобном периодическом
решении и что п сложения этих трех малых тел постоянно колеблются
около положени , которые они имели бы в этом периодическом решении.
Периодические решения вбтизи пшжшя равновесия
51.	Периодические решения, о которых шла речь до сих пор, не ис-
черпывают всех тех периодических решений, существование которых
можно доказать. Так, задача трех тел допускает периодические решения
следующей природы: два малых тела описывают вокруг большого орбиты,
очень мало отличащиеся от двух кеплеровских эллипсов Е и Е'\ в некото-
рый момент эти два малых тела проходят очень близко одно от другого
и оказывают друг на друга значительное возмущающее действие, затем
они снова удаляются друг от друга и описывают орбиты, которые очень
близки к двум новым кеплеровским эллипсам Ег и Е{, значительно отличаю-
щимся от Е и Е'. Два малых тела очень мало отклоняются от эллипсов Е±
и Е[ до тех пор, пока снова не оказываются очень близко одно от другого.
Таким образом движение почти кеплеровское за исключение некоторых
моментов, когда расстояние между двумя телами становится очень малым
и когда возникают очень значительные, но очень коротковременные воз-
мущения. Может случиться, что подобные столкновения повторяются
Периодические решения
139
периодически и так, что по прошествии некоторого времени тела снова
вернутся на эллипсы Е и Е'. Тогда решение будет периодическим. Позже
я вернусь к этому виду периодических решений, которые совершенно
отличны от изученных нами в этой главе.
Я оставлю до другого тома периодические решения, названные мною
решениями второго рода и определенные в моем мемуаре в XIII томе
«Acta mathematica» [18], но их изучение не может быть произведено раньше,
чем мы изучим теорию интегральных инвариантов.
Однако есть целая категория периодических решений, теория которых
тесно связана с теорией решений второго рода, но о которых я все же хочу
сказать здесь несколько слов, хотя и буду их рассматривать более под-
робно в другом месте.
Пусть
-^ = Х2)	....	=	(1)
— система дифференциальных уравнений. Я предполагаю, что раз-
лагаются в ряд по возрастающим степеням хх, х2,. . .,хп и параметра ц.
Кроме того, я предполагаю что при
xi =	= • • • = хп = О
одновременно (и при любом н) выполняются равенства
X, = Х2 = . . . = Хп = 0.
Тогда система (1) допускает в качестве частного решения
xt = 0, х2 = 0,	. . ., хп — 0,
и так как значения хи х2, . . хп постоянны, то это решение можно
рассматривать как периодическое решение с любым периодом.
Я намерен изучить периодические решения, которые от него отли-
чаются очень мало.
Пусть рх, |32,. . ., [>п— начальные значения х1г х2,. . ., хп, пусть
Фх + Pi, Фа + Ра,- • •, Фп +	— значения этих же величин при t = Т.
Можно разложить фх, ф2,. . ., фп в ряды по степеням рх, |32,. . .,
1 IT-
Рассмотрим следующее уравнение относительно S:
dXi _ s dXi	dXx
dx\	dxz ‘	’ dxn
dXi	dX^	dXi
dxi	dxt	dx	r,
n = 0.
dX dX	dX
__n	n	_n
dxi dxz ‘ ‘ ' dxn
140
Новые методы небесной механики. I
в котором предполагается, что
р, =	— Х<> — . . . = Хл = 0.
Если это уравнение не имеет кратных корней, я обозначу через
Slt 5а,. . ., Sn его п корней.
Можно тогда проверить, что функциональный определитель ф по
становится равным
д = (es,T _ 1) (е&\- 1). . . (Ат - 1)
при
И — Р1 = Рг — • • • = Зп — 0-
Для того чтобы рассмотренное решение было периодическим с периодом 71,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
Фх = ф2 = . . . = фп = 0.	(2)
Эта система обладает следующим очевидным решением:
₽1 = .₽2 = ...^Р„ = 0.	(3)
Это нам не дает ничего нового, поскольку мы знаем, что хт — х2 =
= . . . — хп = 0 можно рассматривать как периодическое решение урав-
нений (1). Имеют ли эти уравнения помимо этого очевидного периоди-
ческого решения другие, которые отличны от него, но отличны очень
мало? Другими словами, могут ли уравнения (2) удовлетворяться, когда
вместо р в них подставляют функции от р, которые, не будучи тождествен-
ным нулем, обращаются в нуль при р = 0?
Если определитель А не равен нулю, решение (3) при р = 0 является
простым решением системы (2); следовательно, помимо решения (3) сис-
тема (2) не может удовлетворяться функциями р, обращающимися в нуль
вместе с р.
Если, напротив, определитель А обращается в нуль, можно найти
одним или несколькими способами сходящиеся ряды, расположенные по
дробным степеням р, обращающиеся в нуль вместе с этой переменной
и которые при подстановке их вместо р4 удовлетворяют уравнениям (2).
Имеют ли таким образом определенные ряды действительные коэффици-
енты?
Только специальное обсуждение, к которому я вернусь при изучении
периодических решений второго рода, поможет это выяснить; если эти
ряды имеют действительные коэффициенты, они определяют новую ка-
тегорию периодических решений, которые существуют при малых зна-
чениях р и в которых хг, хг,. . .,хп принимают только очень малые зна-
чения.
Для того чтобы определитель А обращался в нуль, необходимо и
достаточно, чтобы один из множителей обращался в нуль, т. е. чтобы
Периодические решения
141
имело место равенство
esiT = 1,
где Si — один из корней уравнения относительно S. Для того чтобы это
было возможным, необходимо, чтобы было комплексным; тогда урав-
нение относительно S будет иметь сопряженный комплексный корень S,
и будет также выполняться равенство
SjT
в 1 = 1,
откуда видно, что два множителя А обращаются в нуль одновременно.
Луны без квадратуры
52.	В качестве приложения вернемся к уравнениям Хилла
g--2'-SL + (^~3»<)E = 0,
Эти уравнения удовлетворяются, если положить
з Г и
ц = 0, g =	(2)
Здесь £ и т) — постоянные; можно считать, что уравнения (2) определяют
периодическое решение уравнений (1).
Легко заметить астрономический смысл этого решения. Уравнение
т] = 0 означает, что Луна находится постоянно в соединении или про-
тивостоянии, а второе из уравнений (2) означает, что расстояние от Луны
до Земли постоянно. Таким образом, это периодическое решение есть
не что иное, как решение, определенное Лапласом в «Mecanique celeste»,
Livre VI, Chap. X.
Но мы намереваемся определить периодические решения, которые
очень мало от него отличаются, применяя принципы предыдущего пункта.
С этой целью предположим сначала, что единица длины выбрана так, что
3^ = 1’ И = 3тг2
и что единица времени выбрана так, что
и = 1 + а,
где а — очень малый параметр.
142
Новые методы небесной механики. I
Если мы положим g = 1 х, то система (1) может быть заменена
следующей, аналогичной системе (1) предыдущего пункта:
=	^ = 2(l + a)t|' + 3(l+a)s(^ + l)(|-lj ,
=	^г=~2(1+а)Ж' + 3(1+а)2^.
Если мы образуем теперь уравнение предыдущего пункта относительно
S, то получим
А4 _ 253 - 27 = 0.
Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых
//28- 1 ,
S.2 = - J/'77! //28- 1.
Если теперь мы положим
гр ________________________	2 л
(///Г7!
то получим
Определитель А предыдущего пункта, следовательно, равен нулю и можно
образовать ряды, которые расположены по дробным степеням ц (здесь
эти ряды будут расположены по целым степеням \ р.) и которые после
подстановки их вместо / удовлетворяют уравнениям (2) предыдущего
пункта. Можно проверить (и я вернусь к этому позже), что коэффициенты
этих рядов действительны.
Уравнения (1) Хилла допускают, следовательно, периодические ре-
шения, мало отличающиеся от решения (2). В этих решениях т] остается
очень малым и Луна всегда находится почти в противостоянии (или соеди-
нении). Хилл был прав, заявив, что можно представить себе класс спутни-
ков, которые никогда не смогут быть в квадратуре; однако способ, кото-
рым он намеревался получить этот, так сказать угаданный им результат,
никак не мог к нему привести; действительно, этот класс не является,
как думал Хилл, аналитическим продолжением того класса, который
он изучал вначале столь глубоко и блистательно.
Я добавлю, что в этой категории периодических решений Луна нахо-
дится в симметричном противостоянии в начале и середине каждого пе-
риода.
Глава IV
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
Уравнения в вариациях
53.	Маловероятно, чтобы в каком-либо приложении начальные условия
движения в точности соответствовали периодическому решению; но может
случиться, что они отличаются от него очень мало. Тогда, если рассматри-
вать координаты трех тел в их истинном движении и, с другой стороны,
координаты, которые эти же три тела имели бы в периодическом движении,
то разность остается очень малой по крайней мере в течение некоторого
времени, и в первом приближении можно пренебречь квадратом этой
разности.
Пусть
dx-
~dF~Xi (i = 1,2, . . . , n)	(1)
— система дифференциальных уравнений, где Xt — данные функции
Пусть
Z1 = Ф1 (I), х-2 = <₽2 (0> • • • , 2-п = Фп (0	(1 bis)
— некоторое решение этих уравнений, которое мы назовем порождаю-
щим решением.
Пусть
Xi = Ф1 {t) + Si, =- ф2 (г!) -j- g2, . . . , хп = ф„ (0 -j-	(1 ter)
— решение, мало отличающееся от первого.
Если пренебречь квадратами g, то можно записать
dt,. dX. dX.	dX.
+ + </ = 1’2..........................”>• <2>
Уравнения (2) мы назовем уравнениями в вариациях уравнений (1). По-
нятно, что можно в первом приближении пользоваться этими уравнениями
в вариациях для определения g.
Предыдущих рассуждений достаточно, чтобы понять важность этих
уравнений. Поэтому мы займемся их подробным изучением, делая упор
в основном на уравнения в вариациях для уравнений динамики.
144	Новые методы небесной механики. I
54.	Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта и уравнениям
(2), которые являются их уравнениями в вариациях.
Когда известно решение уравнений (1), содержащее некоторое число
произвольных постоянных, то можно, исходя из него, найти частные
решения уравнений (2).
Действительно, предположим, что уравнения (1) удовлетворяются
при
Х1 = ф! (£, йр h2, . . . , hp),
.т» = <р2(/,Л1,/г2, . . . , hp),	(3)
•т,г = Ф,г(Л hlth2, .... hp).
Я предполагаю, что порождающее решение получается, если положить
в уравнениях (3)
h± = h2 == ... — hp — О,
где hlf h2, h3, . . ., hp — p произвольных постоянных.
Ясно, что уравнения (2) допускают р частных решений
? —^21	Е _	t __ d4n
~ dhi'	ё2 — dhi'	• ’  ’	“ d/ц ’
е _ rf(Pi	g _	e _ d^n
£1 ~ dh2 ’	52 “ dh2 ’	' ’ ‘	— dfa ’
t _ d<P1 e _ rft₽2	t _ d4n
dh ’	~2 ~ dh ’	'	~ ~dh~ 
p	p	p
Конечно, в этих производных d^ldh^ после дифференцирования надо
положить
= h2 = . . . = hp = 0.
Предположим теперь, что известен один интеграл уравнений (1), и пусть
F (хх, х2,.. . , хп) = const
— этот интеграл.
Тогда для решения (1 bis) сэлутгм
Р [<₽1(0-• • • -Фп(*)] =с
и для решениг (1 ter)
^[ф1(0 + 51.	ф3(0 + Ь.......	<Рп(0 + £п1=!с'.
где с и с' — две числовые постоянные.
Характеристические показатели
145
Если мы предположим, что £ очень малы, то же самое можно будет
сказать о разности с’ — с, и если пренебречь квадратами этих величин,
то получим
dF р , dF *	, .dF г ,	.	.
+	= c -с = const,	(4)
В частных производных dFidup надо, конечно, после дифференциро-
вания положить
а’1 = Ф1(0- х2 = ф,(0,..., Хп = фп(/.).
Уравнение (4) даст тогда интеграл уравнений (2). Важно заметить, что
этот интеграл, вообще говоря, содержит время в явном виде.
Таким образом, если известен интеграл уравнений (1), можно из
него получить интеграл уравнений (2).
Приложение к теории Луны
55. Я уже говорил выше, в п. 53, о возможных приложениях уравнений
в вариациях и их полезности для астрономии. Поразительным примером
этого является замечательная теория Луны Хилла.
Я говорил в п. 41 о том, как этот ученый-астроном, составив уравнения
движения Луны, подробно изучил одно частное решение этих уравнений,
которое достаточно мало отличается от решения, соответствующего ис-
тинным начальным условиям движения. Это решение периодично и при-
надлежит к тем решениям, которые я назвал в предыдущей главе реше-
ниями первого сорта.
Ограничиваясь этим решением, мы тем самым пренебрегаем не только
параллаксом и эксцентриситетом Солнца, но также и наклонениями орбит
и эксцентриситетом Луны.
Тем не менее это первое приближение позволяет нам, как я отметил
в п. 49, достаточно точно найти коэффициент одного из самых важных
неравенств Луны, известного под названием вариации.
Пусть теперь
Ж1=Ф1(О>	^2=ф2(0> Х3 = ф3 (£) = О
— координаты Луны в этом частном периодическом решении.
Пусть
^ = <Pi(0 + £i
— истинные координаты Луны.
Во втором приближении Хилл пренебрегает квадратами £ и приходит
таким образом к системе линейных дифференциальных уравнений. Другими
1 О А. Пуанкаре
146
Новые методы небесной механики. I
словами, он образует уравнения в вариациях, беря за порождающее ре-
шение прежде изученное им периодическое решение. Тем не мепее это
второе приближение дает ему некоторые из наиболее важных элементов
движения Луны, а именно, движения перигея, узла и коэффициент
эвекции.
В действительности опубликованы лишь результаты, касающиеся
движения перигея («Cambridge U. S. А.», 1877, и «Acta mathematica»,
т. VIII), но полученное численное значение чрезвычайно удовлетвори-
тельно I1®].
Уравнения в вариациях в динамике
56. Пусть F — функция двойного ряда переменных
^>^а..............................хп,
Ум Ун -1 Уп
ъ. времени t.
Предположим, что имеются дифференциальные уравнения
dxi _ dF_	dVj_____dF_
dt dyl	dt	dxi '	' '
Рассмотрим два бесконечно близких решения этих уравнений: решение
xltx2, . .. ,хп, yt,y2, . . . ,уп,
которое послужит порождающим решением, и
+	^4-?2, •••, ^п + Вп> У1 + П1, .Уг+Па,	Уп + Пш
где £ и t] достаточно малы, чтобы можно было пренебречь их квадратами.
Тогда j и ц будут удовлетворять линейным дифференциальным урав-
нениям
3L-.\ d*F L I V n
dt	blc 2j dyfly* l!fl
__ у	1 у „
dt	«£-1 dx.dx.,	Zd dx.dyb
ai-	k г tl	k г
которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).
Пусть £/, ц/ — другое решение этих линейных уравнений, так что
d^i  у d2F t' , у d2F
dt	dy.dx' ‘ dx.dy,.
d^j _ у cFF	у d2F >	(2х)
dt ~ dx^x* *k & dy^yft
Характеристические показатели
147
Умножим уравнения (2) и (2') соответственно на ц/, —	— гц,
и просуммируем все эти уравнения; получим
/ , dt, dt]. dt,', dib \	«-, /1 ' d~F ।	' d2F ।
2 b > - ST - Ч-Т7 + -ЗГ = S2 Ж +	+
i	i fc
+ dx.dx + dXidy I - 22dy.dz + dy dy +
I A	t ‘ Л / ifc'	*	™	* li
! t t' d*F ft	d2F \
+ dx.dx,, +feiT1i£ dz.du,, I ’
г й	г & It /
или
= О,
или, наконец,
•Ъ £1 —	+ n^2 — ?2Пг +  • • + nX — ВЛ = const. (3)
Это соотношение связывает между собой два любых решения линейных
уравнений (2).
Легко найти другие аналогичные соотношения.
Рассмотрим четыре решения уравнений (2)
li, li,
> н ш
ТЦ, T]i, ТЦ, T]i.
Затем рассмотрим сумму определителей
И	li
y-n	1i	Tli	“Hi	пГ
i	К	&	h	Bfc ’
П/С	Пк	Пк	Пк
где индексы i и к изменяются от 1 до п. Легко проверить, что и эта сумма
постоянна.
Вообще, если образовать при помощи 2р решений уравнений (2) сумму
определителей
|	• • • ^ЯрЛар I >
Gl> 02» • • • » ар
(&1, ^2) • • • »	“ 1 f 2S . * . t
то эта сумма будет постоянной.
10*
148
Новые методы небесной механики. I
В частности, определитель, образованный значениями 2п величин £
и т| в 2в решениях уравнений (2), будет постоянным.
Эти рассуждения позволяют найти одно решение уравнения (2), когда
известен один его интеграл, и обратно.
Действительно, предположим, что
Si “	Лг - ‘ Pi
— частное решение уравнений (2) и обозначим через и гр произвольное
решение этих же уравнений. Должно выполняться равенство
2 (£i₽i — П»аг) = const>
которое является интегралом уравнений (2).
Обратно, пусть
2 A&i + 3	= const
— интеграл уравнений (2); тогда должно выполняться уравнение
i	г	г К 1 fl
хт о /хт	* ! хт d2^	\ л
—	dx.dx + 2 dx.du. ~ °’
i Ч г к к 1 ""	'
откуда получаем
dAi_____у d2F Ак 4- У 'FF В.
dt —	& ЛУкЛхг	‘	dxkdxi
_ У <BF	у d*F
dt	£ dy^di/i k+^dx.dyk	*
Это показывает, что
Si =	1], == — Ai
является частным решением уравнений (2).
Если теперь
Ф (я{, yit t) = const
— интеграл уравнений (1), то
ЙФ t . -Г-, ЙФ	.
2	+	= const
Характеристические показатели
149
будет интегралом уравнений (2) и, следовательно,
6 йФ	</Ф
~ dyt ’	“ dx.
будет частным решением этих уравнений.
Если Ф = const, Фх = const — два интеграла уравнений (1), то
SI о!Ф йФ1	ЛФ с?Ф1\
Н----7------—-5— = Const.
\clx^ dyi	:: j - ахi I
Это теорема Пуассона.
Рассмотрим частный случай, когда переменные х обозначают прямо-
угольные координаты п точек в пространстве, будем их обозначать при
помощи двойных индексов
*^3i»
где первый индекс относится к трем прямоугольным осям координат, а
второй — кп материальным точкам. Пусть гщ — масса i-й материальной
точки. Тогда
где V — силовая функция.
Тогда уравнение живых сил имеет вид
Положим далее
dX;,
откуда
=	7 = const	(3)
и	" 2т{	' 7
dt dyu ’ dt dx^ '	' >
П усть
— решение этих уравнений (!'), тогда другим решением будет
Ф;н(* + Л). Ум =	+ h),
где h — любая постоянная.
150
Новые методы небесной механики. I
Считая h бесконечно малой величиной, можно получить решение урав-
нений (2), которое соответствует (1) так же, как уравнения (2) соответ-
ствуют (1),
,	t/, .	..	dV
1м = hsfu (t) = h , т]и =	(£) = h ,
где h — постоянный очень малый множитель, который можно опустить,
когда рассматриваются лишь линейные уравнения (2).
Зная решение
„ у	dV
т ’	da
этих уравнений, можно вывести из них интеграл
= const
Z_1 т Z_1 dx “
Но этот же интеграл получается очень легко дифференцированием урав-
нения живых сил (3).
Если материальные точки избавлены от всяких внешних воздействий,
то из решения (4) можно получить другое решение
£ц = Фн (0 + h + kt,	уи = in^ii (/) -Ь тгк.
= Ф21 (0.	Ун = mi(P2i (*)-
^з» = Фз<(0»	Уз* = "М>з»(0-
где h и к — произвольные постоянные. Считая эти постоянные бесконечно
малыми, получим два решения уравнений (2')
^li ’	?2i ~ S;!i = *112 ~ *121 ~ Пзг ~ 0,
£ii = C	Sai = Sn = >Ъг = Ъ; = 0-
Таким образом получаются два интеграла уравнений (2')
2Л11 — const,
г
2 ~ S = const-
Эти интегралы можно получить с помощью дифференцирования урав-
нений движения центра тяжести
2	= t у, уц const,
2-Vi» = const.
Характеристические показатели
151
Если повернуть решение (4) на угол о вокруг оси к, то получится дру-
гое решение
Хц — фи COS СО — ф2{ S1H СО,	— фц COS СО — cpji sin со,
у2{	' •
X2i — фц8Ш СО + ф21 COS СО,	= ф^ Sin СО ф- ф21 COS СО,
Ущ
*3i = <₽3i.	— = <b<-
Считая о) бесконечно малым, находим решение уравнений (2')
Sli =	^21 > Л1г ~ Ун<
В 21 =	Лг» = У111
bi = 0, Пэг = °,
откуда получается интеграл уравнений (2')
S — J/iiS2i — адн + УаЬг) = const,
i
который можно было также получить, дифференцируя интеграл площа-
дей уравнений (Г)
S	—>2i г/ц) = const.
Предположим теперь, что функция V однородна и имеет степень — 1
относительно переменных х, как это и есть в природе.
Уравнения (!') не изменятся, если умножить t на Л3, х на V и у на V1,
где % — произвольная постоянная. Тогда из решения (4) мы получим сле-
дующее решение:
= ^2<Рм (-^г) .	,7;:i = Ь-1™»<Рл1	.
Если рассматривать значение %, очень близкое к единице, то в качест-
ве решения уравнений (2') получим
bt = 2ф,.г — З/фк, Tlfci = — «Wn — З^/фи
или
у, •	dv
— 3i, Th; = — y,:i — Зг ,	(5)
i	i*i
откуда получается следующий интеграл уравнений (2'), который в отли-
чие от рассматриваемых до сих пор нельзя получить дифференцированием
152
Новые методы небесной механики. I
известного интеграла уравнений (1'):
(2ад/:{	= 3t [2	^i)] + Const.
Применение теории линейных подстановок
57.	Прежде чем идти дальше, я должен напомнить некоторые свойства
линейных преобразований, которые нам будут полезны в дальнейшем.
Пусть
Т1 = Й1Р1 + а2?2 + ЯзРз,
Т2 = ^1Р1 + ^2^2 "Ь ^зРз>	(-1)
Тз — ciPi + С-гРг 4~ сзРз,
есть линейная подстановка, связывающая переменные |3 с переменными у.
Определитель этой подстановки есть*
а уравнение
	ах си	«3		
А =	Ь1 Ь2	Ьз	1	
	С1 С2	сз		
— S	^2	«3		
&1 Ь2	-5’	^3		= 0
а1	^2	С3	—	S	
— так называемое уравнение относительно S подстановки (1). Если при-
менить к р и у одну и ту же линейную подстановку, т. е. е' ли положить
Pi = ^<,1 31+ ^i,2 Р2 4* ^i,3 р8>
Yi = ^i,i Yi + Y2 + ^i,3Ys>
где X—постоянные, то у' и j3' будут связаны между собой линейными соот-
ношениями того же вида, что и (1), и мы получим
Y1 = а1Р1 + а2Л2 + азРз,
Тг = &1Р1 + ^гРз + ЬзРз,	(3)
Тз = ciPi + с$2 + азРз-
Линейная подстановка (3) будет называться тогда преобразованной подста-
новкой (1).
Характеристические показатели
153
Из теории линейных подстановок нам известно:
1)	что новое уравнение относительно S
ai — 5 а2
ь[ b'2-s
С2
не отличается от прежнего уравнения
(2) относительно 5;
2)	что если определитель А равен нулю вместе со своими минорами
р-го порядка включительно, то то же самое верно и для определителя
Д' =
<И.
b'i
b<i b3
С1 С 2 С3
(в самом деле, миноры порядка р определителя А' являются линейной
комбинацией миноров порядка р определителя А);
3)	что можно выбрать X таким образом, что подстановка (2) сведется
к самому простому, так называемому каноническому виду. Этот вид
характеризуется следующим.
Если все корни уравнения относительно 6 простые, то одновременно
можно обратить в нуль а2', а3', bt', Ъ3 , сх', с2'.
Если уравнение относительно 5 имеет двойной корень, то можно одно-
временно обратить в нуль а2 , а3', Ъ3 ,	, с/; тогда Ь2 = с3'.
Если уравнение относительно 6 имеет тройной корень, то можно одно
временно обратить в нуль а2 , а3 и Ь3; тогда а/ = Ь2 — с.(.
Во всех случаях можно предполагать, что X были выбраны так, что
а./ = а3' = Ъ3 = 0.
Если уравнение относительно S имеет нулевой корень, то и А равен нулю,
и обратно. Предположим теперь, что все миноры первого порядка*
определителя А равны нулю, тогда то же верно и для определителя А'.
Но поскольку
а2' = о,3 = Ь3’ = 0,
то среди миноров А' есть три, которые сводятся к
ях b2 , b2 с3 , <2Х с3 ;
они могут обращаться в нуль, лишь если две из трех величин «a , b2 и с3'
равны нулю. Но эти три величины суть три корня уравнения отно-
сительно 5. Следовательно, если миноры А все равны нулю, уравнение
относительно 5 имеет два нулевых корня.
* Т. е. полученные вычеркиванием одного столбца и одной строки. (Прим, ред.)
154
Новые методы небесной механики. I
Обратное неверно.
Действительно, уравнение относительно S
1 - 8	0	0	
0	— 5	0	= 0
0	1	-S	
имеет два нулевых корня, однако не все миноры равны нулю.
Мы предположили для определенности, что имеем дело с линейной
подстановкой относительно только трех переменных, однако те же рас-
суждения применяются и при любом числе переменных.
Если определитель линейной подстановки равен нулю вместе со всеми
минорами первого, второго и т. д., до (р — 1)-го порядка, то уравнение
относительно S будет иметь р нулевых корней.
58.	Пусть, как и в предыдущей главе,
dx.
=	(i = 1,2, . . .
— система дифференциальных уравнений. Пусть
= <р{ (i)
— периодическое решение этих уравнений, имеющее период Т.
Пусть в решении, близком в этому периодическому решению, срДО) -|-
+	— значение х< при t = 0 и <Рг (0) + р, + ф{ — значение Xi при
t — Т 4- т.
Рассмотрим функциональный определитель ф по р
Йф1 ^ф1	А|>1
ж ж ’ ‘ ’ "<г
ж..................
d^n
dfr.............d$n
Его можно рассматривать как таблицу коэффициентов линейной под-
становки Т.
Если совершить линейную замену переменных х, то р и ф подвергнутся
той же линейной замене переменных, и линейная подстановка Т превра-
тится в преобразованную подстановку в смысле предыдущего пункта.
Следовательно, мы можем выбрать линейную замену переменных
х, р и ф так, чтобы возможно сильнее упростить таблицу коэффициентов Tt
как это было указано выше.
Характеристические показатели
155
Итак, мы можем всегда предполагать, что совершена такая замена
переменных, что
при всех i < к.
В этом случае корни уравнения относительно 5, соответствующего
подстановке Т, равны
dxpi dips ^Фп
ф ’ ф ’ ’ ’ ’ ’ dpn
Более того, мы можем выбрать замену переменных х, [3 и тр так, что
эти корни уравнения относительно S будут располагаться в том порядке,
в каком нам угодно. Если, например, уравнение относительно S имеет
два нулевых корня, можно выбрать эту замену переменных так, что
dlL-i _	_ п
d3 , d3
• п-1	 п
Если уравнение относительно S имеет лишь один корень, равный
то можно выбрать замену переменных так, что
=	=	(2)
api api	api	'
Предположим теперь, что уравнение относительно 5 имеет один и толь-
ко один нулевой корень; мы можем в силу изложенного выше предпо-
ложить, что этот нулевой корень есть	так что
_ А
Ф ~~ ’
и выбрать в то же время замену переменных так, чтобы удовлетворялись
условия (1) и (2).
Итак, если уравнение относительно 5 имеет один и только один нуле-
вой корень, то можно всегда предположить, что
cZipi _ dipi _	_ dipt _
ф ~ фг _’
dipi _ dip-2	_	„
ф — ф “ ‘ ‘ ' ф ~ 1
Определение характеристических показателей
59. Пусть
(6 = 1,2.................................и)	(1)
— система дифференциальных уравнений, где Хг, Х2,. . .,Хп—данные
функции от xlt х2, . . ., хп. Мы можем предполагать либо, что время t не
156
Новые методы небесной механики. I
входит явно в эти функции Xi, либо, наоборот, что функции Xi зависят не
только от хг, х2, . .. ,хп, но еще и от времени Z; в последнем случае Х-, долж-
ны быть периодическими функциями t.
Предположим, что эти уравнения (1) допускают периодическое ре-
шение
Возьмем это решение за порождающее и образуем уравнения в ва-
риациях (см. п. 52) уравнений (1), положив
= фг (0 + &
и пренебрегая квадратами £.
Эти уравнения в вариациях запишутся в виде
d? dX. dX.	dX.
=	+	• • • + dTt^n-
Они линейны относительно g и их коэффициенты dXJdxi (где ж, заменены
на <pi (t)) являются периодическими функциями t. Итак, нам надо проин-
тегрировать линейные уравнения с периодическими коэффициентами.
В п. 29 мы видели, какова в общем случае форма интегралов этих урав-
нений; мы получаем п частных интегралов следующего вида:
Bi = e^lSn,	с2 = еЧ5’21, . . . ,	L = e:'lSnl.
= еа=г512,	t2 = e^‘S22, . . . ,	£„ = еаг(5„2,
^=^5.,,,,..., L = e“'‘‘5nn,
где а — постоянные a Sik — периодические функции от t того же периода,
что и ср, (/).
Постоянные а называются характеристическими показателями пе-
реодического решения.
Если а чисто мнимое, так что его квадрат отрицателен, то модуль ext
есть постоянная, равная единице. Если, напротив, а действительное или
если а такое комплексное число, что его квадрат не является действитель-
ным, то модуль е“' стремится к бесконечности при t = -f-oo или t = —оо.
Итак, если все а имеют действительные и отрицательные квадраты, ве-
личины £2,. . ., остаются конечными; я скажу тогда, что периоди-
ческое решение хг = tp, (t) устойчиво; в противном случае я скажу, что
это решение неустойчиво.
Интересным частным случаем является случай, когда два или несколь-
ко характеристических показателей равны между собой. В этом случае
интегралы уравнений (2) уже нельзя записать в виде (3). Если бы,
Характеристические показатели
157
например,
= а2,
то уравнения (2) допускали два частных интеграла вида
Si = х
И
где Si>2 и 54j1 — периодические функции t (см. п. 29).
Если бы три из характеристических показателей были равны между
собой, то вне знаков тригонометрических и экспоненциальных функций
могло бы появиться не только t, но и t2.
Уравнение, определяющее характеристические показатели
60. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта; рассмотрим
какое-нибудь решение
Xi =	(0 + Si-
Пусть Т — период порождающего периодического решения xt =
= ф; (/); пусть <р, (0) + |3j — значение хг при t = 0 и ф; (Г) + Pi + Ф; —
значение xt при t - Т.
Поскольку ф{ обращаются в нуль вместе с |Зг и разложимы в ряд по
возрастающим степеням р;, мы можем написать по формуле Тейлора
dlb, dSn:	dib.
= "ж + Ж" + уг" ₽« + ••••
Если рассмотренное решение достаточно мало отличается от периодиче-
ского и можно пренебречь квадр  ми Е, то можно будет также пренебречь
квадратами |3 и останется
dib, dib.	dtb.
= "фГ + Ж + ' •  +	(г = 1,2, . . . , н).
Рассмотрим одно из частных решений уравнений в вариациях (2);
при t = 0 мы имеем
Si = 3i,
а при t = Т
1г = Зг + Фг-
Мы видели в п. 59, что среди этих частных решений п имеют замеча-
тельный вид: это решения (3); пусть
S2 = ^i52,R,..., ln = e^Sn^
158
Новые методы небесной механики. I
— одно из этих решений (3), или, опуская индекс к для сокращения
записи,
Функции Si (t) — периодические функции t с периодом Т; следовательно,
при t = О
= 5,(0)
и при t = Т
Pi + Ф1 = (^Si (Т) = e^Si (0) = е»тр.
или при замене ф; его значением
^-^^i + ^fW.-.+^Pn (i = 1,2,. . . , п).
Исключая Pj, р„. . ., рп из этих п уравнений, получаем
dfo । и мт d4’i
+ ж • • •
gfrfe	cty2 , л аТ
d₽i	<2
^+1_е«т
<Ф1
откуда следует правило: чтобы получить характеристические показатели
а, составляем функциональный определитель ф по Р; образуем соответ-
ствующее уравнение относительно S; корни этого уравнения равныеяТ — 1.
Само собой разумеется, что в частных производных difo/dp* надо
после дифференцирования положить все р, равными 0.
Случай, когда время не входит' явно
61.	Когда время t не входит явно в уравнения (1) п. 59, по меньшей
мере один из характеристических показателей равен нулю. Пусть
= <р<(0
— порождающее решение; если положить
ж{ = <р{(«4-Л),
где h — произвольная постоянная, то получим еще одно решение урав-
нений (1); тогда в силу п. 54 получим одно решение уравнения в вариа-
циях, положив!
~ dh ~ dt •
Характеристические показатели
159
Но поскольку — периодическая функция t, то такою же будет и ее
частная производная dqjdt.
Решение (4) имеет, конечно, вид (3) (т. е. равно показательной функ-
ции, умноженной на периодическую функцию от t). Только в этом случае
показательная функция обращается в единицу и характеристический
показатель равен нулю. Это и требовалось доказать.
Впрочем, мы уже видели в предыдущей главе, что в этом случае функ-
циональный определитель ф по |3 равен нулю.
Новая формулировка теоремы пунктов 37 и 38
62.	В п. 37 мы вначале рассмотрели случай, когда уравнения (1)
зависят от времени t и параметра ц и при ц = 0 допускают единственное
периодическое решение. Мы видели, что если функциональный определи-
тель
Л д (Фьфа...Фп)
а(₽!. За.зп)
то и при малых значениях р уравнения допускают периодическое ре-
шение.
Этот определитель можно записать в виде
д =
С?1р2
a!pi dpa
di|>i
d3n
dBn
Йф1 С?ф1
dfti dfii,
dfr„ dK

Но характеристические показатели а даны уравнением
di|n , 1	Л|л	dipi
ж + ж • • • <
dih . , _ aT	djh
d₽i	dp2	• d3n
dipn	d%	T
air	• • • < + 1~e
Поэтому сказать, что Д равен нулю, значит сказать, что один из харак-
теристических показателей равен нулю, и мы можем следующим образом
выразить первую из теорем, доказанных в предыдущем пункте.
16’J
Новые методы небесной механики. I
Если уравнения (1), зависящие от параметра pi, допускают при pi = О
периодическое решение, ни один из характеристических показателей ко-
торого не равен нулю, то они будут допускать периодическое решение
и при малых значениях pi.
63.	Можно прийти к аналогичному результату, если предположить,
как и в п 38, что время не входит явно в дифференциальные уравнения.
В п. 38 мы видели, что для сохранения периодических решений при
малых значениях pi достаточно, чтобы при pi = 0 не все определители,
содержащиеся в матрице
а?ф1
dx
сЛ|.Ь
dx
dx
обращались в нуль одновременно.
Рассмотрим теперь уравнение относительно 5
С?ф1
d3i
йфг
dpi
dip
drii
dip
с/ф-2
= 0.

d'ii
dty.,
diz
d^n
Как мы уже видели в п. 60, его корни равны еаТ — 1, где Т— период,
а — характеристический показатель. Поскольку время не входит явно
в уравнения, один из этих показателей равен нулю в силу п. 61.
Следовательно, уравнение относительно 5 имеет по меньшей мере один
нулевой корень; я утверждаю, что если оно имеет только один нулевой
корень, то периодические решения сохраняются при малых значениях pi.
Действительно, в силу того, что мы показали в п. 58, всегда можно
предположить, что
<1ф1 _ dipi __ dpi __________	_ dpi
d[3i d'iz d3s ‘ ’ dpn
dipt _ dip2 _ cZ-фз _	__dtyn
dpi dpi dpi ’ ’ ’ d3i
Характеристические показатели
161
Левая часть уравнения относительно S записывается в виде
	С?1р2	-S	сфз		dty2 	
-S	С?₽2		сфз	-S . .	<?фз	
					d<Pn	-5
	<Z(32		<фз			
Итак, если уравнение относительно £ имеет лишь один нулевой корень,
то функциональный определитель 6 величин ф2, ф3, • • •, Фп поРз-Рз, •  Рп
не равен нулю.
Тогда определитель, полученный из матрицы вычеркиванием первого
столбца, сводится к
б#-.
dt
Я утверждаю, что он не равен нулю. В самом деле, dtyjdr не может
обращаться в нуль по следующей причине.
Равенства
Йф) с?тр2 _	_ dtyn _ Q
dr dr	dt
не могут выполняться одновременно.
Если бы эти равенства выполнялись, то это означало бы, что для перио-
дического решения
=	^2 = q>2(f),	•••, xn=qn(t),
которое соответствует ц — 0 и с которого мы начинали, мы имели бы при
t = Т (следовательно, также при всех значениях t)
dxi	di2	dx
------------ =	—	=	— = О
dt--------------------dt-dl
так что ф! (£), <p2 (/),. . ., <pn (t) были бы постоянными, а этот случай мы
исключим из рассмотрения.
С другой стороны, я утверждаю, что
di|)2 о!фз	йфя
dr dr ‘ dt
Действительно, мы имеем, как это было показано выше (см. п. 38),
dr rfpi ' dt	"l  • • ~Г	(.	,,•••/
11 А. Пуанкаре
1.52
Новые методы не весной механики. I
Но
d^i
dpi
следовательно, мы имеем ряд линейных уравнений
dips di^	dipn	dip.
dt	dfa	dr	dK
(1 = 2, 3,'. . . , n)
и, поскольку определитель этих уравнений (т. е. 6) не равен нулю, полу-
чаем
dip2 dips	dip
----- = -----= . . . =----— = 0.
dr dt ‘ dt
Исключая из рассмотрения случай, когда <рх (i), ф2 (t),..., срп (/) постоянны,
который будет изучен отдельно в п. 68, мы приходим к заключению, что
-#L±0,
dt ~
что и требовалось доказать.
Таким образом, если дифференциальные уравнения не содержат вре-
мени в явном виден допускают периодическое решение при ц=0, то один
из характеристических показателей этого решения будет всегда равен
нулю; если, кроме того, ни один из остальных показателей не равен нулю,
то периодическое решение существует и при малых значениях ц.
Случай, когда уравнения допускают
однозначные интегралы
64.	Предположим, что уравнения
dx.
(i = 1,2, . . . , re),	(1)
где Xi — однозначные функции хх, х2, . . хп п t, периодические по t
с периодом 2л, допускают периодическое решение с периодом 2л
*i = q>i(0>	^2 = Фа(0-	^п = Фп(0-
так что <Рг (2л) = <рг (0) и не зависящий от времени, однозначный по хх,
х2, . . хп интеграл
F (xlt х2, . . ., хп) = const.
Я утверждаю, что один из характеристических показателей равен
нулю всегда, кроме исключительного случая, о котором скажу позже.
Характеристические показатели
163
Действительно, определим величины ф и 0, как и в и. 37, и рассмотрим
функциональный определитель ф по 0. Я утверждаю, что этот опреде-
литель равен нулю.
В самом деле, тождественно имеем
F [ф; (0) + Pi + ф4] = 7ЧфДО) + 0;],
где для краткости вместо
F (ж1; х2, . . хп)
мы пишем F (х^).
Дифференцируя это тождество по 0Ъ находим
dF aftbi dF diba	dF dib
+ + + = <2>
D	dF dF	dF
n производных ------, -----, • •  , — надо заменить ж15 rc2, . . ., хп на
dxi dxi	<‘,хп
Ф1 (0), ф2 (0), ..., ф„ (0).
Мы можем положить в уравнениях (2) i = 1, 2, . . ., п; таким образом
получаем п линейных уравнений относительно величин
dF dF	dF
dxi dx% ' ’ dxn
Тогда будет верно одно из двух: либо определитель этих уравнений (2),
т. е. функциональный определитель ф по 0, будет равен нулю, и тогда,
как мы видели в п. 62, один из характеристических показателей будет
равен нулю.
Либо одновременно будут выполняться равенства
dF _ dF __ dF
dxi dxi ' ' ’ dxn '	' '
Эти уравнения должны удовлетворяться при
— Ф1 (2л), ж2 = ф2(2л),	хп = (р,,(2л),
или, что то же, при
Ъ. = Ф1 (0), х2 = <р2 (0), . . ., хп = ф„ (0).
Но начальный момент времени остается полностью произвольным;
следовательно, мы должны заключить, что уравнения (3) будут удовлетво-
рены для любого t при
*1 = Ф1(0>	^2 = ф2(«),	я:п = Ф„(«).
Впрочем, в этом можно убедиться следующим образом.
11 *
164
Новые методы небесной механики. I
Предположим, что уравнения (3) удовлетворяются для системы зна-
чений «j, х2, •  я утверждаю, что они также будут удовлетворяться
для бесконечно близкой системы ^4- dxx, х2 4~ dx2,. . .,хп + dxn, если
только в соответствии с дифференциальными уравнениями
dxi dxi	dx
= = • • • = 
Другими словами, я утверждаю, что из уравнений (3) следуют уравнения
&F х (PF	(PF	0	= . ?
dx.fixi 1 dxdxi * 2 “г  • • “Г d.xdx^ n	, -ч • • • , )•
Действительно, тождественно выполняется равенство
dF
dxi
dF
dxi
-^-Xn = 0
dx„ n
(поскольку F — интеграл дифференциальных уравнений).
Дифференцируя это тождество по xit получаем
V I "
-J dxdxk
dF dXk
dxk dxl
или в силу уравнений (3)
—1 dx.dx-. к
к » '=
что и требовалось доказать.
Таким образом, если дифференциальные уравнения допускают одно-
значный интеграл, то один из характеристических показателей любого
периодического решения будет равен нулю, если только все частные
производные интеграла не обращаются в нуль во всех точках этого перио-
дического решения. Последнее обстоятельство может представиться лишь
в исключительном случае.
65.	Предположим снова, что правые части дифференциальных урав-
нений (1) содержат время в явном виде и являются относительно этой
переменной периодическими функциями с периодом 2л.
Я утверждаю, что если дифференциальные уравнения имеют два одно-
значных интеграла F и F^ то два характеристических показателя равны
нулю.
Характеристические показатели
165
Действительно, как и в предыдущем пункте, найдем
dF dipi dF dips	dF с?фп
dxi dfit dxz “Ь • • ’ "Ь dxn d(3.	’
dFi	cZi|’i	dFi	dip2	dFi
dxi	d3j	dxz	d3;	"Ь • • • ”1“ dxn	’	(^)
(i = 1,2, . . . , n)
l^ = cpi(O), жа = ф2(0),	..., zn = <pn(0)].
Отсюда можно заключить, что не только функциональный определитель
ф по р равен нулю, но также равны нулю все его миноры первого порядка,
если только одновременно не выполяются уравнения
dF	dF	dF
dxi	dx-i	_	_	dxn
dFi — dFi	—    —	dF1 •
dxi	dxi	dxn
Но в силу п. 57 это может случиться, лишь если уравнение относительно
S, составленное при помощи функционального определителя величин ф,
имеет два нулевых корня, т. е. (поскольку эти корни равны ё*т — 1) если
два характеристических показателя равны нулю.
Итак, если имеются два однозначных интеграла, то найдутся два ну-
левых характеристических показателя, если только уравнения (3) не
удовлетворяются во всех точках периодического решения, что, очевидно,
может произойти лишь в исключительном случае.
Точно так же можно было бы доказать, что если имеются р однознач-
ных интегралов F±, Fz, . . .,FP, то р характеристических показателей бу-
дут равны нулю, если только все определители матрицы
I dF1	dFl	dF1
dxi	dxz	'	' '	dx^
dFi.	dFi	dFi
dxi	dxz	‘	‘	dxn
dF	dF	dF
I __P _____p	P I
\ dxi	dxz ' ' ' dxn I
не обращаются в нуль во всех точках периодического решения.
66.	Представим себе теперь, что врейя не входит явно в наши диф-
ференциальные уравнения и что, кроме того, эти уравнения имеют одно-
166
Новые методы небесной механики. I
злачный интеграл
F (^,^2,
х^ = const,
не зависящий от времени t.
Я утверждаю, что два характеристических показателя будут равны
яулю.
Прежде всего, мы видели, что один из этих показателей всегда равен
нулю, когда время не входит явно. Если, кроме того, имеется интеграл F,
то, как в п. 64,
Лф; (0) + Pi +	= F [ф, (0) +
и, дифференцируя это соотношение по р; и т, получим
dF dxi	dipi dfi. 1 г	 +	dF dx>	dtyz d3j	- + •	•  +	dF dr n		= 0	(i = 1,2,..	. , n
dF	ch|>i	+ 	dF		+ • •		dF		= 0.		
dxi	dr		dX2	dt			dx n	dr			
Отсюда следует, что или одновременно
dF dF	dF
dxi ~ dxz = •  • dxn
во всех точках периодического решения, или же все определители, содер-
жащиеся в матрице
			dipi
<31	dfiz		dr
		dips	
C?31	<32	' '		dr
			
dBi	d3-2	’		dt
одновременно равны нулю.
Но мы видели в и. 63, что это может случиться, лишь если два харак-
теристических показателя обращаются в нуль.
67.	Я намереваюсь теперь доказать следующее.
Предположим снова, что время не входит явно в наши дифференциаль-
ные уравнения; предположим, что эти уравнения имеют р аналитических
и однозначных интегралов, в которые время также не входит явно. Пусть
Fj, F2,    ,FP — эти р интегралов.
Характеристические показатели
167
Тогда либо р + 1 характеристических показателей равны нулю, либо
все определители, содержащиеся в матрице
f dF
\ dx
(г = 1,2,.. . , р; к = 1,2, . . . , п),
равны нулю во всех точках порождающего периодического решения.
Действительно, предположим для опредленности, что
п = 4, р = 2.
Мы будем тогда иметь следующие уравнения:
dFi	dipi ,	dFi	dip2	, dFi	dips	. dFi	dip!
dxi	d34 1	dxi		1 dx%	d\	dxi	
dFi	dipi d^i	dFi	dlp2	, dFi	dips	। dFi	dip4
dXi		dxi		1 dxi	d^i	1 dxi	d34
dFi	dipt ,	dFi		, dFi	dips	, dFij. ~ dxi	7ip4
dxi	dx	dxi	dx	1 dxz	dx		dx
dFz	dipl , dx	dFi	dip2	, dFi	dips	dFi dxi	dipt
dxi		dxi.	dX	1 dxs	dx		dx
= 0,
= 0,
=0,
= 0.
Из этих уравнений можно
жащиеся в матрице
/ dFi
I dxi
I dF-г
\ dxi
вывести, что либо все определители, содер-
dFi
dX2
dF2
dxz
dFt
dx^
dFi
dxa
dFi
dxt
dFz
равны нулю одновременно, либо все
рице
определители, содержащиеся в мат-
dipi	dipi	dipi	dtpi	dtpi
d^i	d32	d3s	d3i	dX
dip2	dip2	dip>	dip2	dip2
dPi	dp2	d'fis	d3i	dt
dips	dips	dips	dtps	dips
dBi*	d'i-z	d33	d3i	dx
dtp!	dtp)	dtp)	dipt	dip)
d3i	d3s	d3s	d34	dt
СП
своими минорами первого порядка.
равны нулю одновременно вместе со
Как мы видели в п. 58, можно всегда предполагать, что
-^- = 0
168
Новые методы небесной механики. I
при
i <Z к.
С другой стороны, поскольку все миноры определителя, полученного
вычеркиванием последующего столбца матрицы (1), должны быть равны
нулю, то соответствующее уравнение относительно £ будет иметь два ну-
левых корня; следовательно, я могу предположить, что
dips   dtyt , q
d8s	dpi
Я намерен показать, что уравнение относительно S имеет третий нулевой
корень и, следовательно,
dip! _ А
dpi ~
или
_ А
dfa
В самом деле, в силу самого определения ipj имеем = 0, если положить
= фк W — Фк (0).
где h — любая постоянная; отсюда, дифференцируя по h и полагая затем
h — 0, получаем
dib. ,
3-йз7<р*(°) = 0-
Но
следовательно,
dip{ dipi ( dip. dips ( dip* dips , dip. dip, Л	л 9 q
dPi dx + dfa dx + dx + dx ~ U (г —l,Z,d,4).
(2)
Полагая i — 1, получаем
dipt dipt ______________________________q
dPi dx ’
откуда
dipi _ л
dpi
или
dx
Характеристические показатели
169
В первом случае теорема доказана. Во втором случае запишем уравне-
ние (2), положив i = 2; получим
dip2 dip2 р
dx ~ U’
откуда или
dip2 n
dfy.
или
rflpa _ q
dx
В первом случае теорема доказана, во втором случае имеем
dipi _ dips _ q
dx dx '
откуда можно заключить (поскольку мы исключаем из рассмотрения слу-
чай, когда все dtyjdx равны нулю одновременно), что производные
dip 3/dr и dip4Zdr не обе равны нулю.
Образуем миноры, получаемые вычеркиванием в матрице (1) третьего
и четвертого столбцов и третьей строки (или третьего и четвертого столб-
цов и четвертой строки).
Эти два минора должны равняться нулю; это дает
dipi	cf"ip2	dips _ dipt	dlp2	dip4 _ п
dpi	dfta	dx	rfpi	d₽2	dx	’
откуда вытекает (поскольку dip3/dr и dty4/dx не обе равны нулю), что или
_ п
dpi ’
или
dip2 _ Q
d₽2 — ’
а это и требовалось доказать.
68.	В п. 67 мы исключили из рассмотрения случай, когда
Ф1(О,Фг(О- . • . ,Фя(0
постоянны, т. е. когда одновременно выполняются равенства
dipi dip2 _	dipn _
dx dx ’ dx
Если по-прежнему предполагать, что время не входит явно в исходные
дифференциальные уравнения, то остаются в силе уравнения
dipj dipi dip; dip2	dip. d!pn __
dPi dx ' dp2 dx "I • • • *1	dx
170
Новые методы небесной механики. I
Но из этих уравнений не вытекает более ни что функциональный опре-
делитель ф по р равен нулю, ни что один из характеристических показате-
телей всегда равен нулю.
Итак, если дифференциальные уравнения имеют р интегралов, то из
этого можно только заключить, что по меньшей мере р характеристиче-
ских показателей равны нулю (но не р ф- 1), как в случае, когда время
явно входит в уравнения.
Случай уравнений динамики
69.	Перейдем теперь к уравнениям динамики
dx.	dF	dy.	dF
(j = 1,2, . . . , 7l),	(1)
dt	dy^	dt	dx^	'	'	' ’
куда, я предполагаю, время не входит явно. Они имеют интеграл живых
сил
F = const.
Предположим, что уравнения (1) имеют периодическое решение с
периодом 2л
^ = <Pi(i). г/г = Ф1(^)
и составим уравнения в вариациях, положив
*г = Фг(О + £г, Уг = Фг (0 + ТЦ-
В п. 56 мы показали, что если	Л/— два произвольных част-
ных решения уравнений в вариациях, то
п
У (ёгЛ* — BiHi) = const.
i=l
Я утверждаю, что отсюда следует, что характеристические показатели
попарно равны по величине и противоположны по знаку.
В самом деле, пусть и г]’ — начальные значения и т]г при t = 0
в некотором решении уравнений в вариациях; пусть || и rtf — соответ-
ствующие значения и тр при t — 2л. Ясно, что и rtf будут линейны-
ми функциями и Г12, так что подстановка Т, переводящая и ф в
|| и rtf, будет линейной подстановкой.
Пусть
а11	а12	• • • а1,2п
®21	^22	• • - ^2,2ч
^2П,1 ^2п,2 - • • ^'2п,2п
— таблица коэффициентов этой линейной подстановки.
Характеристические показатели
171
Составим уравнение относительно %:
ац	&12	• • • а1,2п
#21	#22	• • • #2,2>1
#2n,l	#2п,2	• • •	®2п,2п	“
2п корней этого уравнения будут так называемыми мультиплика-
торами линейной подстановки Т. Но эта линейная подстановка Т не может
быть произвольной; необходимо, чтобы она не изменяла билинейной формы
2(^1 — Bi’li)-
г
Для этого уравнение относительно X должно быть возвратным. Дей-
ствительно, теория линейных подстановок нас учит, что если линейная
подстановка не изменяет билинейной формы, то ее уравнение относительно
S должно быть возвратным. Итак, если положить
X = е2ап,
то величины а должны быть попарно равными по абсолютной величине и
противоположными по знаку, что и требовалось доказать. Мы вернемся
к этому в п. 70.
70. Уравнения (1) предыдущего пункта всегда допускают интеграл,
называемый интегралом живых сил
F = const.
Я предполагаю, что они имеют, кроме того, р однозначных интегралов
7^ = const, Fs — const, . . .,	= const.
Я предполагаю также, что попарные скобки Пуассона этих интегралов
равны нулю, т. е.
[Л, ^1 = 0	(Z, к = 1, 2, . . ., р).
Впрочем, известно, что для произвольного интеграла Fi
[F, Л ] = 0.
Я собираюсь доказать, что в этом случае либо все функциональные
определители функций F, Ft, Fg, . . ,FP по любым р -|- 1 переменным
Xi и z/j одновременно равны нулю во всех точках периодического решения,
либо 2р + 2 характеристических показателей равны нулю.
172
Новые методы небесной механики. I
Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) п. 56, т. е. уравнения
в вариациях уравнений (1). Пусть тр — частное решение этих уравне-
ний; обозначим это решение через S; пусть £/, т];' —другое рзшение
этих же уравнений; обозначим его через S'.
Мы знаем, что
3(^1 —	= const.
Я обозначу (S, 5') левую часть этого соотношения.
Мы видели в и. 59, что среди решений предложенных уравнений неко-
торые имеют замечательный вид. Для одних каждая из величин и т]г
равна показательной функции е7/, умноженной на периодическую функ-
цию от t. Эти решения я буду называть решениями первого вида.
Для других каждая из величин и т]; равна показательной функции
е7-', умноженной на целый многочлен от Z, коэффициенты которого яв-
ляются периодическими функциями t. Я буду их называть решениями
второго вида.
Уравнения (2) могут допускать только 2п линейно независимых реше-
ний. Следовательно, произвольное решение может рассматриваться как
линейная комбинация 2п решений, называемых фундаментальными.
Если из 2п характеристических показателей р различны, можно вы-
брать в качестве фундаментальных решений р решений первого вида и
2п — р решений второго вида.
Пусть
S\, S2,    , Sq
— q частных линейно независимых решений уравнений (2); обозначим
через S' произвольное решение.
Линейно независимых решений, удовлетворяющих условиям
№, S') = (S2, S') = . .. = (Sq, S') = 0	(3)
не может быть больше 2п — q.
Действительно, пусть
	= Si , "Hi = Пг
— решение Sk; сохраним буквы и т], для обозначения решений S',
тогда условия (3) нам дадут q линейных соотношений между и тр; эти
соотношения различны, если частные решения S2,. . ., Sq линейно
независимы. Следовательно, они дадут возможность понизить на q еди-
ниц порядок линейных дифференциальных уравнений (2). После этого
понижения порядка уравнения будут иметь только 2п — q линейно не-
зависимых решений, что и требовалось доказать.
Теперь предположим, что S — решение первого или второго вида, соот-
ветствующее характеристическому показателю а, и что S' — решение
Характеристические показатели
173
первого или второго вида, соответствующее характеристическому пока-
зателю р. Составим выражение
(6, 6')-
Это выражение имеет следующий вид: показательная функция е<а+^е,
умноженная на целый многочлен от t, коэффициентами которого являются
периодические функции t.
Но это выражение должно сводиться к постоянной. Ясно, что это
может быть лишь в двух случаях: либо если эта постоянная равна нулю,
либо если а + 0 = 0.
Отсюда можно заключить, что если имеется q характеристи-
ческих показателей, равных -фа, найдется еще q, равных —а, что под-
тверждает результат, полученный в п. 69. Действительно, если q характери-
стических показателей равны -фа, то показателю а соответствуют q линейно
независимых решений первого или второго вида.
Пусть Slt S2, . . , 5ч — эти q решений. Независимых решений S',
удовлетворяющих соотношениям
(J>r, S') = №, 5') = . . . = (5,, S’) = 0,
не может быть больше 2п — q.
Следовательно, среди фундаментальных решений (которые все пер-
вого или второго вида) имеются q, для которых по меньшей мере одна из
постоянных (5,, S') не равна нулю, и, следовательно, для которых пока-
затель р равен —а.
71. Предположим теперь, что уравнения (1) допускают интеграл
X , Л = const.
Как мы видели в п. 54, уравнения (2) будут допускать в качестве част-
ного решения
£ _ dF>
6г — dy. ’ |г	dx. 
г
Обозначим через это решение; функции dFJdx^ и dF^dyt (где надо бу-
дет заменить х^ и !/, их значениями, соответствующими порождающе-
му периодическому решению) будут периодическими функциями t. Сле-
довательно, решение S± первого вида и его характеристический показатель
равен нулю.
Если F2 = const — другой интеграл и S2 — решение
dF%	dFz
* = ~dy7~ ’	= dx7 ’
ТО
(5n S2) = [Л, FJ.
174
Новые методы небесной механики. I
Предположим теперь, что наши уравнения (1) допускают р + 1 ин-
теграл
F = const, F\ = const, Р’2 = const, . .., Fp = const,
и пусть
s,st,s2, ...,sp
— P + 1 решений уравнений (2), соответствующих этим интегралам.
Справедливо одно из двух: либо эти р + 1 решений независимы;
либо все функциональные определители F, Flf F2,. . ., Fp по р + 1 пере-
менным, выбранным среди и yt, одновременно равны нулю во всех точ-
ках периодического решения.
Предположим, что это не так и что решения S, Slt S2, . . ., Sp неза-
висимы.
Во всех случаях мы будем иметь
[Л^]=0	(£ = 1,2,. . . , р),
откуда
(S, SJ = 0.
Я предполагаю, что, кроме того,
[7^,/\]=0	(г,* = 1,2,...,р).
Равным образом будем иметь
S*) = 0.
За 2п фундаментальных решений я возьму р +1 решений S, SY,
S2, ... ,Sp и 2« — р — 1 других решений первого или второго вида.
Среди фундаментальных решений заведомо найдется р + 1, которые
(я обозначу их S') не будут одновременно удовлетворять соотношениям
(5,Л = №,£') = ... = GW') = о
и которые, следовательно, будут иметь характеристический показатель,
равный нулю.
Но эти р + 1 решений не совпадут с р + 1 решениями
S,St,S2,...,Sp.
Я утверждаю, что, например, не может иметь место равенство
S'=8*,
так как по предположению
(5,^) = №,^) = ...=(5р,^) = 0,
a S' в силу самого своего определения этим свойством не обладает.
Характеристические показатели
175
72. Предположим теперь, что существуют р интегралов (кроме
F = const), а именно,
l’\ = const, F2 = const, . . . , F,, = const,
но что попарные скобки Пуассона этих р интегралов не равны нулю.
Все, что можем утверждать в этом случае, это что р ф- 2 характеристи-
ческих показателя равны нулю. Но мы знаем, что по меньшей мере р ф- 1
фундаментальных решений (тех, что мы обозначили 5, <S\, $2, . . ., Sr,)
будут первого вида с нулевым показателем.
Поэтому если было установлено, что уравнения (2) допускают лишь р
линейно независимых решений первого вида с нулевым показателем, то
можно быть уверенным, что уравнения (1) имеют не более чем р ф- 1
интегралов (включая F = const) или по крайней мере что если эти р ф- 1
интегралов существуют, то все их функциональные определители по
р ф- 1 из 2п переменных х и у одновременно равны нулю во всех точках
периодического решения.
Замена переменных
73. Посмотрим, что происходит с характеристическими показателями
при замене переменных.
Пусть
dx.
dt 1
— наши дифференциальные уравнения, куда, я предполагаю, время не
входит явно. Пусть
ж, = (о
— периодическое решение с периодом Т. Пусть
= Фг (0 + Si,
откуда получаем уравнения в вариациях
V dXi g
dt 2л dx. ®s*
К
Пусть
Bi = <^(0
— решение этих уравнений в вариациях, где периодичны по I.
176
Новые методы небесной механики. I
Сделаем замену переменных, заменяя время t новой переменной т,
определенной соотношением
где Ф — данная функция хх, х2,. . хп; получаем дифференциальные
уравнения
/7 т
(Ibis)
и уравнения в вариациях
Уравнения (Ibis) допускают периодическое решение
^ = ф- (*),
соответствующее
•Ч ~ фг (0 >
период которого равен
т
rpt   С di
1	J "Ф"’
о
В Ф до интегрирования следует хг заменить на <р{ (Z).
Чтобы решить уравнения (2bis), мы учтем величину dt/dx и запишем
dx.	6/0
~зг = 2	+ Xi 2	(2ter)
Положим затем
Bi = Л; 4- -УЛ;
получим
dn.	гг,	dX.
чг + х^ +2Х^^ =
_ v dXi „ , V % dXi X -L- A i V йф n 4- Y аФ X
К	ti	n/C
отсюда видно, что можно удовлетворить уравнениям (2ter), полагая
*ii = ^i(o и ф^ = ^2^^ + 2-^еа(^(0-
Характеристические показатели
177
Из этого можно получить
X = eJt 0 (t)
^ = е«‘О4(7),
где 0 (7) и Qj (t) — периодические по t. Затем следует заменить t его зна-
чением, полученным из уравнения
-^- = Ф[ГР1(7), ф2(7), <pn(i)l.
Таким образом, находим

где / (т) — периодическая функция т. Итак, получаем
откуда видно, что после замены переменных новые характеристические
показатели равны старым, умноженным на Т/Т'.
Разложение показателей.
Вычисление первых членов
74. Вернемся к уравнениям
dxi __ dF dVj _ __ dF	,.
dt dyi ’ dt	d:>\	'
из n. 13 и к предположениям этого пункта.
Положим
При ц = 0 Zj постоянны; с другой стороны, имеем
У г = П + 3i,
где — постоянные.
Пусть п°, п2,. .	п°, — такие значения пп что величины п^Т кратны
2л. Пусть х'[ — такие значения xt, что
1 2 Л. Пуанкаре
178
Новые методы небесной механики. I
В п. 42 и 44 мы видели, что уравнения (1) имеют периодическое реше-
ние с периодом Т, которое разлагается в ряд по степеням р и которое при
р = 0 сводится к
о	0. I
=	yi = mt +
где — некоторые частные значения постоянных 3$. Рассмотрим теперь
произвольное решение.
Пусть хЧ + Pi — начальные значения и 3; — начальные значения
yt при t = 0. Пусть — приращение и п\Т -|- Ду4 — приращение у,
когда t изменяется от 0 до Т.
Вот как составляется уравнение, дающее характеристические пока-
затели.
Построим определитель, элементы которого даются следующей табли-
цей. В этой таблице первый столбец указывает номер строки, второй ука-
зывает номер столбца, а третий дает соответствующий элемент определи-
теля *.
Номер	строки	Номер столбца	Выражение для элемента
г (г <	п)	К	(к 72 t /1’ •	dkx>
i (i i -|- п	п) ('•>°)	к = i к (к п)	dkx: 		 $ d$i dkxf, dS>i
1 (г		к п к 4> 0)	<^Ук d?i
г -|- п	(г > о)	к п	к Л- 1)	dk db>i
1	>:	р > 0)	к 4- п = i 4~ п	dkyt did:
Приравнивая нулю построенный таким образом определитель, полу-
чим уравнение относительно S, корнями которого являются выражения
е*т -1,
где а — характеристические показатели.
и Ду; разлагаются в ряды по степеням р, (Зг и — 3". То же са-
мое можно сказать о величинах
dAz(.	dkx., dt^y.	dkyf.
d'k ’ dQ. ' d[il	didl
(3)
* Так, например, первый элемент fc-го столбца будет равен d	если только
I п, к "С п, к 4-' I.
Характеристические показатели
179
Здесь следует заменить |3 и сф значениями, соответствующими периоди-
ческому решению и разложимыми в ряды по степеням р, так что после этой
подстановки величины (3) будут разложены в ряды по степеням р.
Поскольку, с другой стороны,
S = е«т _ 1,
мы видим, что наш определитель является целой функцией от а, разло-
жимой в ряд по степеням р.
Я обозначу эту функцию G (а, р) и для определения а как функции
от р буду иметь уравнение
G (а, р) = 0.	(4)
Теперь положим
а = е /р.
Разделим первые п строк определителя, а также его п последних столб-
цов, на |/р. Если записать элементы определителя в том же порядке, что
и в (2), то они примут вид
d\xk	<1Лх^ у d&xk dAy^.
Ср d[ii Уii dpj	Уp ’	’ /p
аУц	S
У a dS>i	Уц ’
и уравнение (4) превратится в уравнение
p-n G (е ]/р, р) — Gt (б, р ) = 0.
Посмотрим, во что превратится это уравнение при р = 0, или, дру-
гими словами, образуем определитель G± (е, 0).
При р = 0 равны нулю, а Ду^ зависят лишь от |Зг. Следовательно,
dAxydfii, d\x)JdS>i и dl^y^ldty делятся на р. Итак, получаем
йДх,.	dAu.
lim —— = lim ——-----------— 0 при p = 0.
]/ р dp.	Ур dS>i
С другой стороны,
lim —
/р
Затем получим (при р = 0)
ДУ|, = — \ — at. = — ±	.
0 dx*	dxk
lim еТ£ _ 1
= -------—----- = 8
]/р
’ dFn j, m dFn
12*
180
Новые методы небесной механики. I
В dFoldxh нужно заменить хг на х* ф- |34. Следовательно, получаем
т d*Fn
dS.	clx-dx..
г	id
В dPFjdxtdxh после дифференцирования надо положить fSt = 0, т. е.
— Х].
Мы имеем (по-прежнему при р, — 0)
т
1 Л С dF‘
---= \ — dt.
р к л dy*
В dF-Jdyh следует Xi заменить на х? ф- а уг — на пг t ф- <ф; это пока-
зывает прежде всего, что
dFi _ dFi_
dy^ ~ Й5ф
Поскольку мы намерены дифференцировать \xh по Э|, а не по (3iT
можем сразу же дать |3, их окончательные значения и положить [ф = 0,
откуда п = п®. Тогда 2^ становится периодической функцией с периодом
Т по t и с периодом 2л по Эр Пусть
[Л]=7?
— среднее значение функции Fx, рассматриваемой как периодическая
функция от £; полупим
— у1 dR
р	’
откуда
_ т d2R
г/<ф dS>-.
Таким образом, элементы определителя Gj (е, 0), если их записать в том же
порядке, что и в (2), примут вид
°- - еТ, т ’ - т ’ °- - rT-
dx^dx^
Таким образом, мы получаем алгебраическое уравнение относитель-
но е; вообще, это уравнение имеет два нулевых корня, а все остальные
различны и отличны от нуля.
Применив теорему и. 30, мы увидим, что из уравнения
gx(8, /(Г) = о
можно получить е (и, следовательно, а) в виде ряда по степеням Yр.
Характеристические показатели
181
Итак, мы должны исследовать уравнение
G± (е, 0) = 0.
Если мы заменим в на —б, то это уравнение не изменится.
Действительно, если мы умножим п первых строк и п последних столб-
цов на —1, то определитель не изменится и все элементы определителя
также не изменятся, за исключением элементов главной диагонали, ко-
торые были равны —еТ и станут равными +б7\
Я утверждаю, что уравнение имеет два пулевых корня. Действительно,
если мы приравняем е нулю, определитель станет равным произведению
двух других, а именно:
1) гессиана — TF0 по х£
2) гессиана TR по
Последний гессиан равен нулю, так как по определению R
о d*R о d^R	d4i n
П1 da.dSi + "2	+ ••• + Пп	“ °-
Следовательно, уравнение удовлетворяется при б = 0 и, поскольку
его корни попарно противоположны по знаку, оно должно иметь два ну-
левых корня.
Для того чтобы было больше двух нулевых корней, необходимо, что-
бы коэффициент при е2 в Gr бъш равен нулю. Но этот коэффициент можно
подсчитать следующим образом. Умножим первую строку Gx на п") и
прибавим к ней вторую, умноженную на п®, третью, умноженную на п®,...,
n-ю, умноженную на Все элементы Gx остаются неизменными, за ис-
ключением элементов первой строки, которая принимает вид
— п°еТ, — пРеТ, п°еТ, ..., — п°еТ, 0, 0, ..., 0.
г ’	2	3	’ п ’	’	’	’
Умножим теперь (п + 1)-й столбец на ri[ и прибавим к нему (п -ф- 2)-й,
умноженный на п.®, (га + 3)-й, умноженный на и®, . ., 2п-й, умноженный
на п„. Все элементы остаются неизменными, кроме элементов (п -ф- 1)-го
столбца, которые принимают вид
0, 0, ..., 0, —	— и^бТ’, ..., — ^бГ.
С помощью этой двойной операции мы умножили наш определитель
на (и®)2. Разделим его теперь на е2, разделив на е первую строку и
(п + 1)-й столбец.
Положим затем е = 0 и найдем искомый коэффициент.
Элементы полученного таким образом определителя представлены
следующей таблицей:
182
Новые методы небесной механики. I
Номер
столбца
i (i < п)
«4-1
i + п (i > 1)
г	(г < п)
i - п (i 4* 1)
i	(t < п)
п - 1
i + п (г > 1)
Номер строки
1
к	{к < п)
к	(/с>1,	к <п)
к	(/с >1,	к < п)
1
к + п	(/с	0)
к + п	(к > 0)
к -J- п (к > 0)
Значения
элемента
—п\Т
0
d2R
d<5idG>f!
О
О
d2F0
__Т------
dxjdxit
—п°Т
К
о
Мы видим, что этот
определитель с точностью до знака равен

где Нг тл Н2 — два следующих определителя:
	и'1	n2	Пп	0
	d'2/’,-,	d'2F0	d*Fn	A
	dx^	dxidx-z	dxidxn	
	d2Fa	d*Fn	d2F0	n°
	dxi dx-z		dxzdxn	
	d2F0		d2Fn	n°n
	dxi dxn		dxn	
а Н2 — гессиан R по
а2, а3,йп.
Замечая, что п\ равен с точностью до знака dFoldXi, я вижу, что Нг
не изменяется при замене в первой строке и последнем столбце П; на
dF^ldx^ Составленный так определитель будет называться окаймленным
гессианом F^ по xlt х2, . . ., хп.
Таким образом, уравнение Gr (е, 0) = 0 не может иметь больше двух
нулевых корней и, следовательно, не может быть более двух нулевых
характеристических показателей, если только Нг или Н2 не обращаются
в нуль.
В частном случае задачи трех тел, который мы рассматривали в п. 9,
имеются лишь две степени свободы и

Характеристические показатели
183
тогда получаем
	dFg dxi cPFg	dFg dxn d*Fg	0 dFg		— Ж13	1	0	= - 3z74;
	dx%	dxi dx-2	dxi	==	Зл\4	0		
	d-Fa	d~Fn	dFn		0	0	1	
	dxi dx-y	dx%	dx-i					
следовательно, определитель
не равен нулю; можно проверить, что
„ ____ cPR
2 ~
также не равен нулю.
Итак, в этом частном случае задачи трех тел два характеристических
показателя равны нулю, а два других отличны от нуля.
75.	Определитель G± можно немного упростить подходящим выбором
переменных. Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что
0	0	О А
п-1 = П3 = ... = пп = 0.
(1)
Действительно, если это не так, можно было бы заменить переменные,
взяв за новые переменные х( и у{, и положить
У, = а1гУ1 + $-21У 2 4* ••• 4* апг Уп<
Xi =	4- й2гж2 + ... 4-	,
где — постоянные коэффициенты. После этой линейной замены пере-
менных уравнения сохранят канонический вид, а величины, которые бу-
дут соответствовать п[, п^, . . ., nJ® и котороые мы обозначим n®, п20,. . .,
Пп, будут задаваться соотношениями
п'.° = ацп° 4- a2in® 4- • • • 4-	.
поскольку
и'о    пО    dF°	dFg   ул dFg dxk   у-, dFg
1 dXi ’	1 dxi ’ dxi dxn dXi " dx* lci
Так как числа nJ, n.®, . . ., nnn соизмеримы между собой, мы всегда
можем выбрать aik таким образом:
1)	чтобы aik были целыми числами;
2)	чтобы их определитель был равен 1.
Эти два условия необходимы, чтобы F оставалась периодической по у',
так же, как она была периодична по у,
184
Новые методы небесной механики. I
3) чтобы
п2	Пп = °-
Таким образом, мы можем всегда предполагать, что условия (1) выпол-
нены, и мы получим отсюда следующие уравнения:
rf2/?
& = ° G =	(2)
76.	Интересным частным случаем является случай, когда одна или
несколько переменных не входят в F. Предположим, например, что
Fo не зависит от хп. Тогда все элементы n-го столбца (и 2п-й строки) рав-
ны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат главной диа-
гонали и остаются равными еТ.
Я предположу, кроме того, что переменные были выбраны так, что
условия 1 и 2 предыдущего пункта выполнены.
Отсюда следует, что элементы первой строки (и (п + 1)-го столбца)
все равны нулю, за исключением тех из них, которые принадлежат глав-
ной диагонали и остаются равными — еТ.
Таким образом, все элементы 1-й ил-й строк и n-го и (п + 1)-го столб-
цов делятся на е (я добавлю, что все элементы, принадлежащие одновре-
менно одной из этих строк и одному из этих столбцов, равны нулю и,
следовательно, делятся на е2); отсюда видно, что определитель делится
на е4, и следовательно, что уравнение G1=0 имеет четыре нулевых корпя.
В каком случае оно может иметь больше четырех нулевых корней?
Чтобы отдать себе в этом отчет, разделим 1-ю и 2п-ю строки и п-й и
(п + 1)-й стобцы на е и положим затем е = 0. В каком случае таким обра-
ом полученный определитель, равный
,. Ci	„
11Ш -^-	при е = 0,
будет равен нулю?
Мы можем также разделить определитель Gt на б4?74, отбрасывая 1-ю,
n-ю, (п -j- 1)-к> и 2п-ю строки и столбцы с теми же номерами. Если затем
положить б = 0, мы увидим, что все элементы равны нулю, кроме тех,
которые принадлежат одному из п — 2 последних оставшихся столбцов
и одной из первых п — 2 строк или же, наоборот, одному из п — 2
первых столбцов и п — 2 последних строк.
Таким образом, определитель равен с точностью до степени Т произ-
ведению двух гессианов, а именно:
1) гессиана Fo по хг, х3, . .
2) гессиана R по й2, S3, . . .,
Если ни один из этих двух гессианов не равен нулю, то уравнение
Gt = 0 будет иметь не более четырех нулевых корней и поэтому число
нулевых характеристических показателей не превосходит четырех.
Характеристические показатели
185
Что станет с этим условием, если предположить, что переменные произ-
вольны и что условия 1 и 2 предыдущего пункта не выполняются?
В этом случае надо подвергнуть определитель тому же преобразованию,
что и в конце п. 74; тогда мы увидим, как и в конце этого пункта, что после
преобразования элементы первой строки будут равны
— пРгТ, — n'ifiT, ..., — пп еТ, 0, 0, ..., О,
J ’	2	’ п ’	’	’	’	’
а элементы (и + 1)-го столбца будут равны
О, 0, О, — п^&Т, — n^sT, ..., — пРвТ.
Важно только заметить здесь, что п°п равно нулю, так как
dFo _ Q
dxn
Затем мы сможем разделить этот определитель на отбрасывая п-ю
и 2п-ю строки и столбцы с теми же номерами и разделив на еТ элементы
первой строки и (и + 1)-го столбца. Если затем положить е = 0, то опре-
делитель сведется к произведению двух других, а именно:
1) окаймленного гессиана Fo по а?х, х2, • . .
2) гессиана R по 32, S3, . . ., Зп_х.
Для того чтобы нулевых характеристических показателей было больше
четырех, необходимо (но не достаточно), чтобы один из этих гессианов
был равен нулю.
Предположим теперь, что Fo не содержит ни хп, ни х^. Рассуждая
подобным образом, можно прийти к следующему результату.
Уравнение (е, 0) всегда имеет шесть нулевых корней; для того
чтобы оно имело больше нулевых корней, необходимой достаточно, чтобы
окаймленный гессиан Fo по хг, х2, . . ., хп-2 был равен нулю или же чтобы
гессиан R по Э2 сй3,. . ., Эп_2 был равен нулю. Это условие, следователь-
но, необходимо (но не достаточно) для того, чтобы имелось более шести
нулевых характеристических показателей.
77. Вернемся к предположениям, сделанным в начале п. 76, а именно,
что Fo не зависит от хп и что условия 1 и 2 п. 75 выполнены.
Мы видели, что уравнение
G^e, 0) = 0
Допускает тогда четыре и только четыре нулевых корня и из этого заклю-
чили, что число нулевых характеристических показателей не превосхо-
дит четырех. Напротив, отсюда нельзя заключить, что четыре нулевых
показателя равны нулю; это доказывает лишь, что в разложении этих
показателей по степеням Уц первый член разложения равен нулю для
четырех из них.
186
Новые методы небесной механики. I
Нам остается выяснить, равны ли нулю также и последующие члены
разложения.
Я знаю, что два показателя равны нулю, поскольку время пе входит
явно в дифференциальные уравнения, и что F = const является интегра-
лом. Я намерен исследовать, что произойдет с двумя другими, и для этого
найду коэффициент при ц в их разложении.
Положим
а = тщ, откуда е = р
разделим уравнение
G(a, ц) = С?(тщ, ц) == О
на подходящую степень ц и затем положим ц = 0; получим уравнение,
которое даст значения ц.
Из того, что Fo не зависит от хп, можно заключить, что величины,
обозначенные через щ и равные — dFJdXi, также не зависят от хп и,
следовательно, от (Зп.
Поэтому щ = п1- не только, как в п. 74, когда все (3 равны нулю,
но и когда рп не равно нулю, если только остальные (3 равны нулю.
Итак, если мы предположим
= 32 = ... = ₽„-! = о, pnlt=0,
будем по-прежнему иметь
= т dR
Р Лгц. •
Это позволяет дифференцировать тождество по |3П и записать
d^x!t __ т d?R
d$n ’
Вычислим теперь
Получим
т
л	с dF
^Уп ~ dx dt'
S п
где, поскольку dFoldxn = 0, имеем при ц = 0
=	iS-.
Характеристические показатели
187
Это тождество имеет место, если только
р1 = 32 =... =3n-t = o.
Следовательно, мы можем его дифференцировать по S)h или по рп,
что дает
Л^Уп =_Т	d^"n =_ d4i_
dpn rf©/t ’	•	v>
Что касается величин
d^n
d$k ’ dK
нам достаточно заметить, что они делятся на ц.
Надо еще исследовать элементы первой строки определителя, а также
элементы (п + 1)-го столбца.
Элементы первой строки равны
л . rfArri _ dAxi dAxi dAxi dAxi dAxi dAxi
dpi 6	’ d₽2 ’ d^s ’"'’dp^’ dpn ’ d©i ’ ‘ ’ db>n '
Они все делятся на jx, но я утверждаю, что п + 1 последних элементов,
т. е.
dAxy d&xi
	 и -
<----------dbk
делятся на ц2. Действительно, мы нашли при ц = О
dAxi ____________________ у d2R	dA.n у, d2R
pdB — dSi dB ’ ЩЙк ~ d©i d©k ’
Но в силу определения R имеем
о dR
1 d©i
o dR
'2
Пп
^L = 0
или в силу соотношений (1) п. 75
dR
dSh
откуда (дифференцируя это тождество) получаем
dfrxi _____________________________ dAxi __ q
pd|Bn ~ p,d©fc ~
при р, = 0, что и требовалось доказать.
188
Новые методы небесной механики. I
Элементы (и + 1)-го столбца записываются в виде
dAxi
doh
dkx-z dkxn d&yi . _________________________________ r rfA//2
</63i ’ "' ’ c/5i ’ dSn.	’	</63i ’ ' ‘ ’
d&yn
(iS>i
Все эти элементы делятся на ц; но я утверждаю, что п первых и последний
делятся на ц2, или, что то же самое,
dt±y
к _	_ q
при ц = 0.
Действительно, мы нашли
dAxK	cRR	dbyn ___	d2R
pdffli = dSndt^ ’ pdfti —	d5>id^n
И
^- = 0,
a <31
откуда дифференцированием получаем
d2R _ d-R _ „
</631 d$n	’
что и требовалось	доказать.			
Теперь я делю каждый элемент нашего			определителя G (ц, ц, ц) на Т,	
затем 1-ю строку	на	ц, строки 2, 3, 4,	. . ., п,2п на	V И’ (п + 1)*й
столбец на ц, столбцы ?		г, п + 2, п + 3, . .	., 2п па ]Лр. В	конечном счете
определитель разделен		на Т2”рп+2. Затем .	я полагаю ft =	0.
Я замечаю, что	следующие элементы		равны нулю:	
Строка, которой принадлежит элемент		Столбец, которому принадлежит элемент	Степень у,, на которую эле- мент делится	Степень р., на которую эле- мент был разделен
2 по п вкл. и 2 п		1 по п — 1 вкл.	и	/р_
1		п и п 2 по 2га, вкл.	и2	р/р^	(4>
2 по га вкл. и 2 га		га + 1	р3	р/р
га + 1 по 2га — 1 вкл.		пип-р2по2п вкл.	и	/Г
Заметим также,	ЧТО	следующие элементы конечны:		
га + 1 по 2 п — 1 вкл.		1 по п — 1 вкл.	степень 0	степень 0	
1		1 по га — 1 вкл.	И	и
2 по га вкл. и 2 га		гаига-]-2 по 2га вкл.	р		р (4bis)
1		я -|- 1	Р2	Рг
п+1по2в—1 вкл.		га + 1	И	Р
Характеристические показатели
189
Следовательно, конечные элементы принадлежат только 1-й строке
и строкам с (п + 1)-й по (2п — 1)-ю включительно и столбцам с 1-го
по (п — 1)-й включительно и (п + 1)-му столбцу или же к строкам с
2-й по п-ю включительно и 2п-й строке и n-му столбцу или столбцам с
(п + 2)-го по 2п-й включительно.
Наш определитель становится равным произведению двух других,
которые я обозначу через Dt и D2.
Определитель Dr получится вычеркиванием строк с номерами
1, п + 1, п + 2,. . 2п — 1
и столбцов с номерами
1, 2, 3,. .	— 1, п + 1.
Определитель D2 получится вычеркиванием строк с номерами
2, 3, 4, . . .,п, 2п
и столбцов с номерами
п, п -f- 2, п + 3,. . ., 2п.
Посмотрим, как эти определители зависят от ц. С этой целью я замечу
что величина
г] = lim	(при |х = 0)
входит лишь в члены главной диагонали, причем определитель Dr
содержит два из этих членов: один, принадлежащий столбцу и строке с
номером п, а другой — столбцу и строке с номером 2п.
Определитель D2 также содержит два из этих членов: один принадле-
жащий столбцу и строке с номером 1, другой— столбцу и строке с номе-
ром п + 1.
Отсюда следует, что Dr и D2 являются многочленами второй степени от
ц. Таким образом, наше уравнение относительно ц распадается на два
уравнения второй степени
D, = 0,	D2= 0.
Исследуем сначала уравнение Dx = 0.
Чтобы составить определитель Dr, можно применить следующее пра-
вило.
Записать гессиан R по
За. .....Sn, Зп,
изменить знаки в последней строке (той, которая содержит производ-
ные от dRld$n) и прибавить затем —ij к тем двум элементам, которые рав-
ны c?Rldft>nd$n и — cPR/d^ndfyn.
190
Новые методы небесной механики. I
То же самое уравнение можно получить проще (только изменив знак
левой части), беря гессиан функции R и прибавляя — ц к одному из
двух элементов, равных по абсолютной величине d2R/dMndfin и к
другому. Запишем уравнение Dx = 0, предполагая для определенности,
что п = 4,
	d2R	d2R	d2R	d2R	
	d2R	dS)> dS>3 d2R	d<t>2 dwi d2R	dS>2 (/[Ji d2R	
	doh аы>. d2R	dS>l dR	d-R	dS)3 d?R	= 0.
	ds>2 dfti d2R	d4{	d®* d2R	d'dn c/pi	
	t/ftz rifts	dSts dfti	dS'ji dfii		
При такой	записи	непосредственно		видно TO,	что, впрочем, можно
было предвидеть: это уравнение относительно ц имеет два корпя, противо-
положных по знаку.
Эти два корня будут конечными, если гессиан R по
®2>	’ •••, ®П-1
не равен нулю.
Они будут отличны от нуля, если гессиан R по
а2, а3, а4,...» ап_4, ап, рп
не равен нулю.
Что касается уравнения D2 = 0, то оно будет иметь два нулевых
корня. В самом деле, мы знаем, что всегда имеются два нулевых характе-
ристических показателя и, следовательно, два из значений ц равны нулю;
но мы только что видели, что корни = 0 в общем случае не равны нулю;
итак, приходится заключить, что это корни уравнения Z>2 = 0 всегда
равны нулю.
Как изменились бы результаты, если бы условия (1) п. 75 не были
выполнены?
В этом случае следовало умножить (как мы это делали вп. 74) первую
строку на м® и прибавить к ней 2-ю, З-ю,. . .,п-ю строки, умноженные
соответственно на п2, Пд,. . ., (я напомню, что п°п равно пулю); затем
надо было бы умножить (и 1)-й столбец на и прибавить к нему (п +
+ 2)-й, (п -J- 3)-й, . . ., 2п-й столбцы, умноженные соответственно на п®,
Пд, . . , п°„. После этого преобразования все элементы определителя
G (цц, ц) остаются прежними, кроме элементов первой строки и (и + 1)-го
столбца.
Кроме того, каждый элемент (как элементы первой строки и (п + 1)-го
столбца, так и все остальные) делится на степень р, указанную в 3-м
Характеристические показатели
191
столбце таблиц (4) и (4bis). Разделим затем каждый элемент на Т и на
степень р, указанную в 4-м столбце тех же таблиц.
Когда мы положим ц = О, некоторое число элементов обратится в
нуль, а остальные будут конечны в соответствии с таблицами (4) и (4bis).
Наш определитель останется равным произведению двух других, Dr и
D2, получающихся так, как описано выше.
Все элементы этих двух определителей будут иметь тот же вид, что и в
предыдущем случае, за исключением элементов первой строки и (п + 1)-го
столбца. Но не содержит ни одного элемента этой строки и этого столб-
ца. Следовательно, Dv выражается так же, как и в предыдущем случае,
и справедливы те же выводы.
Значения ц конечны, если гессиан R по Э2, Э3,. . . , не равен
нулю, и отличны от нуля, если гессиан R по Э2, Э3, . . . , Э„, не равен
нулю.
Итак, если Fo не зависит от хп, если окаймленный гессиан F0 по х1У
х2,. . не равен нулю, если гессианы R по Э2, Э3, . . . , и по
Э2, Э3, ... , Эп-1, Эп, |3П не равны нулю, то лишь два характеристиче-
ских показателя равны нулю.
Перейдем к случаю, когда Fo не зависит ни от хп^, пи от хп.
Рассуждая аналогичным образом, мы увидим, что если окаймлен-
ный гессиан Fo по агх, ж2, . . ., хп,2 не равен нулю, если гессианы от
R по Э2, Й3, . . ., Эп_2 и по Э2, Э3, . . ., Эп_2, Эп_х, Эп, и |Зп не равны
нулю, то лишь два показателя равны нулю.
Приложение к задаче трех тел
78. Применим предыдущие результаты к задаче трех тел. Мы видели
в пунктах 15 и 16, как можно понизить число степеней свободы до трех
в случае плоской задачи и до четырех в общем случае.
Запишем уравнения движения в виде, указанном в пунктах 15 и 16.
Два ряда сопряженных переменных тогда будут
рл, [17/, н,
I, I', h
в случае плоской задачи и
pL, [17/, рГ, З'Г',
I, I', g, g'
в общем случае. Кроме того,
Fo = AL2 + A'L'~2,
где и А и А' —- постоянные коэффициенты.
192
Новые методы небесной механики. I
Мы видели, что Fo не зависит от Н в случае плоской задачи и от Г
и Г' в общем случае.
В первом случае окаймленный гессиан F9 по $L и f>'L' равен
вь-*и-* + в'ь-ч:-\
где В и В' — постоянные коэффициенты. Следовательно, окаймленный
гессиан не равен нулю.
Гессианы функции В также, вообще говоря, не будут равны нулю,
в чем можно убедиться на примерах; впрочем, мы вернемся к подробному
изучению этого вопроса в следующей главе.
Следовательно, периодические решения задачи трех тел имеют два
и только два характеристических показателя, равных нулю.
Полное вычисление характеристических показателей
79. Рассмотрим снова уравнения (1) п. 74, полагая для определенности
п = 3,
dx.	,1г,	dy,
J2_ = —4^- (t = 1,2,3).	(1)
dt	dyi	dt	dxi v	7	' ’
Предположим, что найдено периодическое решение этих уравнений
^ = фг(О> =
и попытаемся определить характеристические показатели этого решения.
Для этого мы положим
Xi = фг (0 + li, Vi = Ф{ (0 + Pi,
затем составим уравнения в вариациях уравнения (1), которые запишем
в^виде
d't.j _ „ d2F t ! VI d''F
dt ^idyldx]. =,! ^Idy-dy^.
fc	fc	'	/.>X
<B\i _	d2F (l,k — 1,2,3)
dt	£ldx.dx, ’k dx. dy,.
ft ’	ft 1 k
и попробуем проинтегрировать эти уравнения, полагая
li = е*' Si, Т|{ = Ti,	(3)
где Si и Тг — периодические функции от t. Мы знаем, что в общем слу-
чае существует шесть частных решений этого вида (поскольку линейные
уравнения (2) шестого порядка). Однако важно заметить, что в рассмат-
Характеристические показатели
193
риваемом нами частном случае только четыре частных решения имеют
эту форму, потому что два из характеристических показателей равны
нулю и два частных решения имеют, следовательно, вырожденный вид.
Теперь предположим сначала, что р = О, тогда F сводится к Fa и
зависит только от х®, яг®, ж®.
Тогда уравнения (2) сводятся к следующим:
= о £4 = _ V dV0
dt ’ dt	dx^-dFl
it 1 K
Коэффициенты при во втором уравнении (2') постоянны. В качестве
решений уравнений (2') возьмем
51 = S2 = 5з = 0, Th = т]°,	Т)2 = Т]в, Т]3 = л»,
где г)®, г)®, т]® — три постоянные интегрирования.
Это решение не самое общее, так как оно содержит лишь три произ-
вольные постоянные, но оно самое общее среди тех, которые можно све-
сти к виду (3). Таким образом, мы видим, что при р = О шесть характери-
стических показателей равны нулю.
Не будем больше предполагать, что р равно нулю. Мы попытаемся
теперь разложить а, и не по возрастающим степеням р, а по степе-
ням Ур, записывая
а = ах Ур -}- а2Р + азР У Р +  • .
‘^1 = *5? Т У нН" 'S'iP' 4~ У И + • • • >
7’i = 7’? + nyy+ zip + zip У^4-....
Я намерен прежде всего установить, что разложение возможно.
Мы видели в п. 74, что характеристические показатели а разлагаются
в ряд по возрастающим степеням У р.
Покажем теперь, что и 7\ также разлагаются в ряд по степеням
Ур.
Действительно, S, и Z'i задаются уравнениями
,T (2")
___i । „71 __ d F „ Vi &2F т
dt '	1 ^Ad-j^dx*. KT^dx-dy^ K'
Пусть — начальное значение 5; и 0/— начальное значение 7\;
значения и Z'i для некоторого значения I разлагаются в силу п. 27
13 А. Пуанкаре
194
Новые методы небесной механики. I
в ряд по степеням ц, а, 0, и 0/. Кроме того, в силу линейности уравнений
эти значения будут линейными и однородными функциями 0; и 0/.
Пусть, если использовать обозначения, аналогичные обозначениям
п. 37, 01 +	— значение Sif а 0/ -f- ф/ — значение Тг при t = Т.
Условие периодичности решения таково:
Ф1 = ф; = о.
Функции ф{ и ф/ линейны по 04 и 0{'; следовательно, эти уравнения
линейны относительно этих величин. Вообще, эти уравнения не допус-
кают другого решения, кроме
Pi = з; = о,
так что уравнения (2) не имеют другого периодического решения, кроме
Si = Ti = 0.
Но нам известно, что если выбрать а так, чтобы удовлетворялось
уравнение G (а, ц) — 0, то уравнения (2") будут допускать другие перио-
дические решения, отличные от = Т\ = 0. Следовательно, определи-
тель линейных уравнений ф1 = ф/ равен нулю. Таким образом, мы мо-
жем найти из этих уравнений отношения
pi	з;
—г и ——
Зх	31
в виде рядов по степеням а и ц.
Поскольку 0/ остается произвольным, мы условимся брать 3/ = 1,
так что начальное значение Тх будет равно 1. Тогда 01 и 0/ разложимы
в ряды по степеням аи ц; но Г,, как мы это уже видели, разлагаются
в ряды по степеням а, ц, 04 и 0/ и, с другой стороны, а разлагается в
ряд по степеням ]/”ц.
Итак, Si и Ti разлагаются в ряды по степеням |/p,, что и требовалось
доказать.
В частности, мы имеем
Л = Т» + Т{ /ц + 71И + ...-
Поскольку в силу нашего предположения 0/, являющееся начальным
значением 7\, должно быть равным 1 при любом ц, мы имеем при t = 0
Г® = 1,	0 = 7’J = 7’12 = ... = Т™=....
Доказав таким образом существование наших рядов, мы постараемся
определить их коэффициенты.
Характеристические показатели
195
Имеем
5? = 0,	Т°1 = ц?
</Е. dS^	,—	..	—
dT = <;1‘	+ Vl1 ~аГaSi + aVl*-+ 
(4)
dl]. . ЛТ°г r—dT)	n	, I
~dT = e“ ~dT + /и -jr+ •• Ч-а'Л + a/tx ^ + ... | .
С другой стороны, разложим вторые производные F, входящие в ка-
честве коэффициентов в уравнения (2), в ряды
^=Л + нА + н8А+..,
Лу^ук = В<’>: + ^В^ + ^В^ + ' • • ’
-4^Г = с« + ^ + и2^ + ...,
— dr Ж/ =	+ Н2^Ое+ ••••
(•Г>)
Эти разложения содержат лишь целые степени ц и не имеют в отличие
от разложений (4) членов, зависящих от |/ц.
Мы заметим, что
А = < = D°k = 0,
/тт /пт	г)ГП лт	г^т
= Ьщ, /Лк = ZJjci, Л,к- =
Подставим в уравнения (2) значения (4) и (5) вместо ц, их производ-
ных и частных производных /<’. В выражении (4) я предполагаю, что а
разложено в ряд по степеням ]/ ц, кроме того случая, когда эта величина
входит в экспоненциальный множитель е7-1.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях |/ц и получим
ряд уравнений, который позволит определять последовательно
й1, а2, а3, .... 4,	..., 7’?, Т\, ....
Выпишем лишь первые из этих уравнений, полученных приравнива-
нием свободных членов, членов с ]/ц, членов с р. и т. д.
Сократим сначала па множитель который встречается всюду.
13*
196
Новые методы небесной механики. I
Приравняем члены с получим
+ а1Лу» = Л?,Л + 2ВМ,
к	к
dT1
~°=2 ад+s D^-
к	к
Приравняем члены с р, получим
—|- otjiSi + oc2*S’i = 2 (Л-гкЗ'д- 4~	4* BtkTt; 4- BixTx)	(i == 1, 2, 3)
к
(8)
и еще три аналогичные уравнения, дающие dT^ldt.
Если учесть теперь соотношения (6), уравнения (7) примут вид
dSj	d'T) n „ .
^Г=°- иг +	= 2 ад.
Первое из этих уравнений показывает, что 5}, 8}, 5' постоянны.
Что касается второго, то оно показывает, что dT\ldt — постоянная, но
поскольку Т\ должна быть периодической функцией, эта постоянная долж-
на быть нулем, так что
aiT)?7= Вц.8х 4- CfciSj 4~ C®3<Sj,	(9)
что дает три соотношения между тремя постоянными т)|, тремя постоян-
ными и неизвестной величиной а;.
Со своей стороны, уравнение (8) запишется в виде
л V2
к
Функции В2к — периодические функции t; разложим их по формуле
Фурье и пусть bik — постоянный член В2^. Получим
ajiSt —
к
или, учитывая уравнения (9),
к=з
ocpS’i = 2 ^гк (.Cki8i 4- Cfc2<S2 + C]t3S3).	(10)
»=i
Характеристические показатели
197
Полагая в уравнении (10) i = 1, 2 и 3, получаем три линейных и одно-
родных соотношения между тремя постоянными 5*. Исключая эти три
постоянные, получаем уравнение третьей степени, которое определит
а2г
Если для краткости положим
то уравнение, возн в виде		икающее eii ai б21	вследствие f?22 <ХХ		этого б13 е23	исключения, = 0.		запишется (И)
		е31	^32	е	53 а1			
Его МОЖНО £	:ще записать в		виде					
	<з- о- с- о о й W	N	£	h-	0 -<*1 0	- &12 &22 ^32	0 0 - ax ^13 ^23 ^33	v21 Ь31 -ai 0 0	^12 С-22 Ьз2 0 -Л1 0	’--13 С23 Г° '^33 0 0 — ах	= 0.	
Определение ах — это единственная часть вычислений, представляю-
щая некоторую трудность.
Уравнения, аналогичные уравнениям (7) и (8), образованные прирав-
ниванием в уравнениях (2) коэффициентов при одинаковых степенях
позволяют затем определить без труда aft, S™, Т™. Итак, мы можем
сформулировать следующий результат.
Характеристические показатели а разлагаются в ряд по возрастающим
степеням ]/"Ц.
Итак, сосредоточивая все наше внимание на определении alt особо
изучим уравнение (11). Мы должны постараться прежде всего определить
величины и bi;t.
Мы имеем, очевидно,
и
.-<0 __ ___ d2l'n
111 dx- dx1^

dy\dy"K
198
Новые методы небесной механики. I
или
В» = — Мт^ sin со, (со =	+ т2у2 + т3у°3 + Л)
и
bii: = — SAmim^ sin w.
Суммирование, представленное знаком S, распространяется на все члены,
каковы бы ни были целые значения т1, т2 и т3. Суммирование, представ-
ленное знаком S, распространяется только на такие члены, что
п1т1 + W2m2 + n3m3 = 0.
Следовательно, под S мы имеем
со = т2^2 -j- ms(S3 4- h.
Это нам позволяет записать
bik = rfn dn (ПРИ Z и к = 2 й'ли 3Ь
с-GJ.- ClCUj.
Если один или два индекса I и к равны единице, то определяется
соотношением
+ «2^12 + П3Ъ1з = 0.
Мы будем с помощью этого последнего соотношения преобразовывать
уравнение (11) так, чтобы выявить существование двух нулевых корней
и свести уравнение к уравнению четвертой степени.
Действительно, простым преобразованием определителя и делением
на аг2 я нахожу
«1	п2		0	0	0	
0	—ах	0	Ь-22	^23	0	
0	0	—cq	^3 2	^33	0	
<-'13	° 23	С° <-'33	— СХ1	0	«-з	= 0
с-12	с° С 22	С° С 32	0	—сх1	п2	
	С° '-'21	<-'31	0	0	ni	
В частном случае, когда степеней свободы всего две, это уравнение запи-
сывается в виде
«г	п2	0	0	
0	—	d^R	0	= 0
с° Ы12	С° С 22	—04	п2	
С° Gii	С° Ы 21	0		
Характеристические показатели
199
ИЛИ
=	- (^)Сз2 — 2и1п2С?2 + ЯаСц).
Выражение nlC2, — 2п1п2С?2 + п%С[г зависит лишь от Д’ и Д или,
если угодно, от п1 и п2. Когда будут даны два соизмеримых числа nL и
п2, мы сможем рассматривать п^С^ — 2п1п2С°12 + как известную
постоянную. Тогда знак аг2 зависит только от знака cPRIdSYT.
Когда заданы пу и тг2, образуем уравнение
Мы видели в п. 42, что каждому корню этого уравнения соответствует
периодическое решение.
Рассмотрим общий случай, когда уравнение (12) имеет только два
простых корня; каждый из этих корней соответствует тогда максимуму
или минимуму R. Но функция R, будучи периодической, в каждом пе-
риоде имеет по меньшей мере один максимум и один минимум и ровно
столько максимумов, сколько минимумов.
Для значений &)2, соответствующих минимуму, cPRIdei^ положитель-
на; для значений, соответствующих максимуму, эта производная отри-
цательна. Следовательно, уравнение (12) будет иметь ровно столько кор-
ней, для которых эта производная положительна, сколько корней, для
которых эта производная отрицательна, и, следовательно, столько кор-
ней, для которых положительно, сколько корней, для которых оц2
отрицательно.
Это равносильно тому, что будет ровно столько периодических ус-
тойчивых решений, сколько неустойчивых, если этим словам придавать
тот же смысл, что и в п. 59.
Таким образом, каждой системе значений и п2 соответствуют по
меньшей мере одно устойчивое и одно неустойчивое периодические реше-
ния, причем устойчивых решений ровно столько, сколько неустойчивых,
если только ц достаточно мало.
Я не буду рассматривать здесь, как обобщаются эти результаты на
тот случай, когда уравнение (12) будет иметь кратные корни.
Вот как следует продолжать вычисления.
Предположим, что мы полностью определили величины
» ^2» •  • » &"т
и функции
At Si,..., ST,
у’О rpl.
200
Новые методы небесной механики. I
и что функции и Г™ известны с точностью до постоянной. Предпо-
ложим, что надо вычислить ат+1, закончить определение функций S™+1
и Т™ и определить функции 5™+2 и 7'™+1 с точностью до постоянной.
Приравнивая одинаковые степени р, в уравнениях (4), получаем урав-
нения следующего вида, аналогичные уравнениям (7) и (8):
— dT™+1
---зг----И 2	— oLm+iTi = известная величина,
R	(13)
__
---лг----F 3	— avST+1 — am+iSi = известная величина
fc
(i = 1, 2, 3).
Обе части уравнений (13) являются периодическими функциями t. При-
равняем средние значения обеих частей. Если обозначим через [Z7J
среднее значение некоторой периодической функции U; если заметим,
что для периодической функции U
riff 1
dt J
0,
и если вспомним, что так как Т™ известна с точностью до постоянной,
Г™ — [71™] и (Т™ — [7?])] — известные величины, то получим сле-
дующие уравнения:
2 Си- [£™+1] — «х [7Т] — am+17’i = известная величина,
R m m	(14)
2^i/c [^T] — ai [^1+1] —	= известная величина
к
(i = 1, 2, 3).
Уравнения (14) помогут нам вычислить am+], IT’D и [ST+1] и, следова-
тельно, закончить определение функций и Л'™1, известных пока лишь
с точностью до постоянной.
Если просуммировать уравнения (14), предварительно умножив их
соответственно на
q1 crl crl /ттО /р0 грО
01, 02, ^3’ 1 15 1 2’ 1 35
то найдем
225{7,?ат+1 = известная величина,
что определяет am+1.
Если в уравнениях (14) заменить am+1 на найденное таким образом
значение, то для определения шести неизвестных [Т7™! и IS1"1’1] будем иметь
шесть линейных уравнений, из которых лишь пять независимы.
Характеристические показатели
201
Теперь можно определить из условия, что [7™] равно нулю
при t = 0 в соответствии со сделанным выше предположением, и пять
уравнений (14), остающихся независимыми, позволят вычислить пять
остальных неизвестных величин.
Уравнения (13) позволят нам затем вычислить dT^ldt и dS™~/dt и,
следовательно, определить функции Т™*2 и S™+1 с точностью до постоян-
ной и т. д.
Вырождающиеся решения
80. Вернемся к уравнениям (1) предыдущего пункта
_ dF dyi _ _ dF
dt dyi ’ dt dxi
Мы предположили, что существует периодическое решение с периодом Т
Положив затем
^г = ф{(0- *Л = Фг(О-
Xi = Ti + Si, Уг = Фг + ПЪ
мы составили уравнения в вариациях
- vi &F	d*F
dt	dy.dx ^K'2jdy.dyk |R’
(2)
_ _ v, d*F g _ V, d-F
dt	dx^dx^ 2L1 dx^dy^
Так как эти уравнения имеют в общем случае четыре отличных от
нуля характеристических показателя, то у них имеются четыре частных
решения вида
= eatSi, = eatTi,
где Si и Ti — периодичны. Мы научились составлять эти интегралы.
Но уравнения (2) будут иметь, кроме того, два нулевых характеристи-
ческих показателя; следовательно, у них будут два частных решения
вида
h = Si, .	y\i = T’i
?i — Si	tSi,	т]^ — Ti	tTi,	(3)
где Si, Ti, Si и Т\ — периодические функции того же периода, что и
Фн Фи Si и Тi.
202
Новые методы небесной механики. I
Как нам получить решения (3)?
В п. 42мы видели, что уравнения (1) допускают периодическое решение
= фг(Л Р, е)-	У-. = Ф, («> И- 8)	(4)
с периодом
Т
14-е’
сводящееся к
*i = <Pi(0- г/г = Фг(О
при е = 0.
Функции ф; и фг разлагаются в ряды по возрастающим степеням 8.
Положим теперь
откуда
U = t (1 + 8).
Если мы подставим это значение вместо t в уравнения (4), то получим
= 0; (и, |Л, 8),	I], = 0; (и, р, 8).
Функции 0j и будут также разлагаться в ряды по степеням р и 8;
но они будут периодическими по и и период будет постоянным и равным Z;
следовательно, они будут разлагаться в ряды по синусам и косинусам
углов, кратных 2ли/Т.
Если h — любая постоянная, то
= <Pi(* +/г, р, е), i/i = ^i(t + h, pi, 8)
— также решение уравнений (1), поскольку время не входит в явном
виде в эти уравнения. Это решение содержит две произвольные постоян-
ные, h и 8.
Пункт 54 дает нам способ вывести отсюда два решения уравнений (2)
в вариациях.
Эти решения запишутся в виде
е — d(fi _
" dh ’	111 ~ dh
И
«. - - d(9i —
de '	de '
После дифференцирования надо положить h = 8 = 0.
Но, как мы видели,
Фг (г, р, 8) = [Z (1 + 8), р, 8],
Фг (£, Р, 8) = 0{ [t (1 + 8), р, 8],
Характеристические показатели
203
откуда d^j dh	ЙФ,	й0. du | ; = 	L _ = 	L М 1 o') dt	du dt	du '	' ’’
Й1|Ь dh	_ йт|р __ dd. dll __ Й0{ ~ dt	du dt	du " S>
и при е = 0	d<pi	di).	йт|\	Й0. dh	du ’	dh	du
С другой стороны
<4 de de	Й0,	du	й0.	Й0,	Й0. du	de 1 de	du	1 de ’ Й0.	du	dQ.	й0.	Й0. du	de	de	du	de
или при е = 0
_ t <4
du clt de, ’ de dt ' de
Искомые решения уравнений (2), следовательно, будут
и
где
„ ЙФ.	«	Й111. = =
= tS i + iS i,	Пг = tTi + Л’,
»	Й0.	t Й0,
Si =	, de	rp		 I 1	de
Я утверждаю, что функции Si, Ti, Si ш периодические по t с пе-
риодом Т. Действительно, 0; и 0, периодические по и функции с перио-
дом Т\ поскольку этот период не зависит от е, производные
Й0-	й9.	ЙО.	Й0.
г	г	 г	 г
du	’	du	’	de	'	de
(5)
будут также периодическими по и. Но и = t при е = 0, поэтому если по-
ложить после дифференцирования е = 0; то эти четыре производные
(5), т. е. четыре функции Si, Si,	Тi, будут периодическими по t,
что и требовалось доказать.
Эти четыре функции будут, как и 04 и 0,, производными которых они
являются, разлагаться в ряд по возрастающим и положительным степе-
ням р (я напоминаю, что и Т, в предыдущем пункте разлагались в ряд
не по степеням ц, а по степеням |/р).
204
Новые методы небесной механики. I
При р = 0 <Pi сводится к постоянной ж?; следовательно, dqjdt = St
обращается в нуль. Следовательно, Si делится на р так же, как в преды-
дущем пункте Si делилась на ]/р.
Напротив, St не делится на р.
В мемуаре, который я опубликовал в «Acta mathematica» (т. XIII,
стр. 157) [201, я пришел к рассмотрению уравнений, аналогичных уравне-
ниям (2), и двух частных решений этих уравнений
It = S'i	= Ti
It = Si -J-afAj, Pi = T{ -\-cuTi.
Я обозначаю через a один из характеристических показателей, так что
а разлагается в ряд по нечетным степеням j^p, а р само разлагается в ряд
по степеням а2 и делится на а2.
Я предполагаю, что р заменено этим значением, так что все наши
функции оказываются разложенными в ряды по степеням а. Я утверждаю
затем, что S'i и Si" делятся на а. Действительно, как мы только что ви-
дели, Si делится на р, а р — на а2.
С другой стороны, очевидно, что
Si =aSi
поскольку следует умножить на а только что изученное решение
Bi = Si + tSi,
чтобы получить решение, рассмотренное в «Acta mathematica»,
g; = Si	atSi.
Я счел себя обязанным сделать это замечание, потому что невниматель-
ный читатель мог бы не обратить внимания на этот множитель а и усмот-
реть противоречие между результатом, сформулированным в «Acta», и
тем, что я только что доказал.
Глава V
НЕСУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
81. Рассмотрим вновь наши канонические уравнения
dxi _ dF dVj _ _ dF
dt dy^ ’ dt	dxi
F = F0 + pF1 + p2F2 + ....
(1)
Я предполагаю сначала, что функция Fo, не зависящая от уь зависит
«от п переменных Xi и что ее гессиан по этим п переменным не равен
нулю.
Я собираюсь доказать, что за исключением некоторых особых случаев,
которые будем изучать в дальнейшем, уравнения (1) не допускают ни-
каких других аналитических однозначных интегралов, кроме интеграла
F = const [г11.
Вот что я понимаю под этим.
Пусть Ф — аналитическая и однозначная функция х, у и ц, которая,
кроме того, должна быть периодической по у.
Не обязательно предполагать, что эта функция аналитична и одно-
значна при всех значениях переменных х, у и р.
Я предполагаю лишь, что эта функция аналитична и однозначна для
всех действительных значений переменных у, для достаточно малых р
и для систем значений х, принадлежащих некоторой области Z); впрочем,
область D может быть произвольной и сколь угодно малой. В этих усло-
виях функция Ф разлагается в ряд по степеням ц и можно записать
Ф — Фо рФ1 -ф- р2Ф2 -ф- • • •,
тде Фо, Ф15 Ф2, . . . однозначны относительно х и у и периодичны по у»
Я утверждаю, что функция Ф такого вида не может быть интегра-
лом уравнений (1).
Необходимое и достаточное условие того, чтобы функция была инте-
гралом, записывается в обозначениях п. 3 в виде-
[У, ф] = О
206
Новые методы небесной механики. I
или, если заменить F и Ф их разложениями,
0 = IFO, Фо] + И ([Л. Фо1 +	Фх 1) + ф (]Л, Фо] +
+	1, Ф11 + [ ^о, Фг1) + • . ••
Таким образом, мы имеем в отдельности следующие уравнения, которые
я использую в дальнейшем:
[Fo, Фо] = 0	(2)
и
1Л, Фо] + |Ф1- ^о] = 0.	(3)
Я утверждаю, что всегда можно предполагать, что Фо не является функ-
цией от Fo. Действительно, предположим, что
Фо = Ф(^о)-
Я утверждаю, что ф будет, вообще говоря, однозначной, когда пере-
менные х остаются в области D. В самом деле, мы имеем
Fo = Fo (хх, х2, . . ., х„).
Можно разрешить это уравнение относительно и записать
*i = e(F0, х2, . . ., хп)
и 0 будет однозначной функцией, если только dFoldx1 не обращается в
нуль внутри области D.
Заменяя его значением 0 в
(zy> /у>	гу» \
X- j , «Л-	“ • • X \
Уы Уг, • • •, y j
получаем
(х-,, х0, . . хп\	/Fо, л;2, . . хп\
) = Ф
У1, Уъ,  • •> Уп) \У1>	• • •> Уп/
Фо — однозначная функция х и у; если заменить в ней xt однозначной
функцией 0, то получим однозначную функцию от Fo, х2,	... , хп и у,
но по предположению эта функция ф зависит ли пь от Fn. Следовательно,
Ф =- ф — однозначная функция Fo.
Все это так в предположении, что dF0!dxv не обращается в нуль в
области D; равным образом достаточно, чтобы одна из производных
dFo/dxi не обращалась в нуль в области D.
Теперь, если Ф — однозначный интеграл, то такова же и разность
Ф —ф(Л’).
Несуществование однозначных интегралов
207
Ф — ф (F) разлагается в ряд по степеням р и, кроме того, делится на
р, поскольку Фо — ф (/’о) равно нулю. Итак, положим
Ф — ф(^) = рФ';
Ф' будет однозначным и аналитическим интегралом вида
Ф = Фо рФг 4~ Н Ф-2 4~ • • ••
Вообще говоря, Фо' не будет функцией Fo; если бы это было так, то
можно было проделать все сначала.
Я утверждаю, что, повторяя таким образом эту операцию, мы в конце
концов придем к интегралу, не сводящемуся к функции от Fo при р = 0,
если только Ф не будет функцией от F; в последнем случае интегралы F
и Ф не были бы различными.
Действительно, пусть J — якобиан, или функциональный опреде-
литель Ф и F по двум из переменных х и у. Я могу предположить, что
этот якобиан не равен тождественно нулю, поскольку если бы все яко-
бианы были равны нулю, то Ф была бы функцией от F, а этот случай мы
исключаем.
Очевидно, J разлагается в ряд по степеням р. Кроме того, J обращается
в нуль вместе с р, поскольку Фо есть функция от F. Следовательно, J
делится на некоторую степень р, например на рр.
Пусть теперь J' — функциональный определитель, или якобиан
функций Ф' и F; тогда
J = pj',
так что J' делится только на рр-1.
Таким образом, через самое большее р операций мы придем к якобиа-
ну, который уже не будет обращаться в нуль одновременно ери который,
следовательно, будет соответствовать интегралу, не сводящемуся при р =
= 0 к функции от Fq.
Следовательно, если существует аналитический и однозначный ин-
теграл Ф, отличный от F, но такой, что Фо является функцией от Рй,
то всегда можно найти другой интеграл того же вида, не сводящийся
к функции от Fo при р = 0.
Таким образом, мы всегда имеем право предполагать, что Фп не явля-
ется функцией от Fo.
82.	Я утверждаю теперь, что Ф. не может зависеть от переменных у.
Действительно, если Фо зависит от переменных у, она будет периоди-
ческой функцией этих переменных, так что мы сможем записать
Фо = 2Ле^(т,!Л+т2У2+'-+тп1'п) =
208
Новые методы небесной механики. I
где Wj — положительные или отрицательные целые числа, А — функции
от xi и $ есть краткое обозначение экспоненты от мнимого аргумента, на
которую множится А.
Теперь мы имеем
ii? । хл йФо
поскольку Fo не зависит от у и dFa!dyi равны нулю.
С другой стороны,
так что уравнение (2) имеет вид
-| / Т" 5Г1 А ( dFft ,	d FО .	d F о \ 5- zx
/ -1 2 A	+ m 2	. + mn J £ = 0
и, поскольку это равенство должно выполняться тождественно, мы будем
иметь для всех систем целых значений mt
= 0r
Zj г dx.
г
так что тождественно выполняется одно из равенств
А = 0	(4)
или же
= °- <5)
Из тождества (5) выводим с помощью дифференцирования
= °	(^ = 1, 2, . . ., п).
1 dx. dx^.	'	'
i=l i *
Но это может иметь место лишь в двух случаях: если
т1 — т, = . . . = тп = 0
или если гессиан функции Fo равен нулю. Однако мы предположили вна-
чале, что гессиан не равен нулю. Следовательно, А должно быть тождест-
венным нулю, за исключением того члена, где все пц равны нулю. Иными
словами, Фо сводится к одному члену, не зависящему от у, что и требо-
валось доказать.
Несуществование однозначных интегралов
209
Изучим теперь уравнение (3). Поскольку Fo и Фо не зависят от у,
это уравнение можно записать в виде
йФп dF 1	у-1 dFo t/Ф] q
dxi dyi 21 dxi dy. —
С другой стороны, и Фх периодические по у функции и, следовательно,
они разлагаются в ряды по экспонентам вида
где mt — положительные или отрицательные целые числа.
Для краткости я буду обозначать, как и выше, эту экспоненту через
t и буду писать
f, = ф1 = Ж’
где В и С — коэффициенты, зависящие только от х.
Тогда
так что уравнение (3), разделенное на ]/—1, запишется в виде
+ Зе: (2X4^ = о.
Поскольку это уравнение оказывается тождеством, мы должны иметь
при всех системах целых значений
= <6>
г	г
Соотношение (6) должно выполняться при всех значениях х. Дадим
теперь х такие значения, что
=	(7)
г
тогда правая часть соотношения (6) обращается в нуль. Следовательно,
каждый раз, когда х удовлетворяют уравнению (7), должно выполняться
равенство
5 = 0	(8)
или же равенство
= °- <9>
14 А. Пуанкаре
210
Новые методы небесной механики. I
Функция задана, следовательно, заданы и коэффициенты В. По-
этому легко распознать, следует ли из равенства (7) равенство (8). Вооб-
ще говоря, это окажется не так и придется заключить, что равенство (9)
с необходимостью вытекает из равенства (7).
Пусть	рп — некоторые целые числа. Представим себе, что
мы дали х такие значения, что
dFn ___ dFn ___	_ dFa
Лdx! ~ / 2 dxi ~	f’n dxn '
Можно найти бесконечное число систем целых чисел тпл, т2, . тп,
таких, что
+ т2р2 + • . . + тпрп = 0.
Для каждой из этих систем целых чисел должно выполняться равенство
dFn __ „
и, следовательно,
(*Фо _ п
’ dx.
Сравнение этих двух уравнений показывает, что
dFo	dFo	dFn
dx^	dx.,	dxn
d<i>n d<l>n ' ’ '	d<£>o ’
dx,	dx.	dx
12	n
t. e. что якобиан Fo и Фо по любым двум из величин а; должен быть ра-
вен нулю.
Так должно быть для всех значений х, которые удовлетворяют соот-
ношениям вида (10), т. е. для всех таких значений, что dFoldxi соизме-
римы между собой. В произвольной области, как бы мала она ни была,
имеется, следовательно, бесконечное число систем значений х, для кото-
рых этот якобиан обращается в нуль, и поскольку этот якобиан — не-
прерывная функция, то он должен быть тождественным нулем.
Равенство всех якобианов функций Fo и Фо нулю означает, что Фо
есть функция от F0. Однако это противоречит выводу, сделанному нами
в конце предыдущего пункта. Следовательно, мы должны заключить,
что уравнения (1) не допускают другого однозначного интеграла, кроме
F = С, что и требовалось доказать.
Несуществование однозначных интегралов
211
Случай, когда В обращается в нуль
83. В предыдущем доказательстве мы предполагали, что коэффициен-
ты В не были равны нулю. Случай, когда один или несколько из этих
коэффициентов равны нулю (и особенно, когда бесконечное число этих
коэффициентов обращается в нуль), следует изучить подробнее.
Чтобы сформулировать результаты, которые я сейчас получу, я дол-
жен ввести новую терминологию.
Каждой системе индексов т1, т2, . . . ,тп (где пц — целые числа) соот-
ветствует коэффициент В. Я назову этот коэффициент вековым, если х,
принимают такие значения, что
И)
Такое наименование может быть оправдано следующим образом.
Когда при вычислении возмущений предполагается, что средние дви-
жения соизмеримы между собой, некоторые из членов возмущающей
функции перестают быть периодическими, и тогда можно сказать, что они
становятся вековыми; совершенно аналогичным образом обстоит дело
и в нашем случае.
Я скажу, что две системы индексов (тгц, т2, ...,тп) и(т1', т2 , . . .,тп’)
принадлежат одному и тому же классу, если
mi ОТ2 =	; тп
mi т2 ’ ” т'п ’
и что два коэффициента В принадлежат одному и тому же классу, когда
они соответствуют двум системам индексов, принадлежащим одному и
тому же классу.
Чтобы доказать теорему предыдущего пункта, мы предположили,
что ни один из коэффициентов В не обращается в нуль, становясь веко-
вым.
Для справедливости этой теоремы достаточно, чтобы в каждом из
классов имелся по меньшей мере один коэффициент В, который не обра-
щается в нуль, становясь вековым.
Действительно, предположим, что коэффициент В, который соответ-
ствует системе (т1, т2, ...,тп), обращается в нуль, но что коэффициент
В', который соответствует системе (т^ , т2 , .. ., тп), не равен нулю.
Если давать х такие значения, что
mi -z— = О,
1 axi
то также будут выполняться соотношения
у 4^- = о
2J ах.
14*
212
Новые методы небесной механики. I
и, следовательно,
Первое из этих равенств не позволяет еще утверждать, что
= о.
потому что В равен нулю; но, поскольку В' не равен нулю, второе ра-
венство нам дает
Ут- = о
1 dx.
и, следовательно
йФ0 „
i -j-- = ".
dx.
Остальные рассуждения проводятся так же, как в предыдущем пункте.
Прежде чем идти дальше, рассмотрим сначала частный случай, когда
степеней свободы всего лишь две.
Мы будем иметь тогда лишь два индекса и т2 и класс будет пол-
ностью определен отношением этих индексов. Пусть % — некоторое ра-
циональное число; пусть С — класс индексов, для которых m1/m2 = X.
Я скажу для краткости, что этот класс С принадлежит к области D или
находится в этой области, если можно дать Xi такую систему значений,
принадлежащих этой области, что
dFg , dFg __ q
dxi 4 dxi
Я назову класс особым, если все коэффициенты этого класса обращают-
ся в нуль, становясь вековыми, и обыкновенным в противном случае.
Я утверждаю, что теорема останется верной, если предположить
лишь, что во всякой области S, составляющей часть D, можно найти бес-
конечное число обыкновенных классов.
Действительно, пусть имеется некоторая система значений и z2,
такая, что в этой точке
х 4^- + ~ = о.
ахг 1 ах2
Предположим, что % рационально и что класс, соответствующий этому
значению %, обыкновенный. Рассуждения предыдущего пункта можно тогда
применить к этой системе значений и мы найдем, что для этих значений
Xi и х2 якобиан Fo и Фо по хг и х2 обращается в нуль. Но по предположе-
нию в любой сколь угодно малой области S, составляющей часть D, су-
Несуществование однозначных интегралов
213
ществует бесконечное число подобных систем значений хх и х2. Следова-
тельно, наш якобиан должен обращаться в нуль во всех точках D, а это
показывает, что Фо есть функция от Fo.
Отсюда можно заключить, как и в предыдущем пункте, что не суще-
ствует однозначного интеграла, отличного от F.
Дело обстояло бы иначе, если бы нашлась область D, все классы кото-
рой особые. Тогда можно было бы спросить, не может ли существовать
интеграл, который остается однозначным не для всех значений х, а толь-
ко когда эти переменные не выходят из области D. Мы бы увидели, что
вообще это не так; чтобы убедиться в этом, достаточно было бы рассмот-
реть в уравнении
[F, Ф] = О
не только член, не зависящий от р, и член с ц, но также член с р2 и сле-
дующие члены.
Я не останавливаюсь на этом, так как это не представляет интереса,
поскольку я не думаю, чтобы в какой-либо естественно возникающей
задаче динамики все классы области D были бы особыми тогда, когда не
все коэффициенты В обращаются в нуль, становясь вековыми.
Перейдем теперь к случаю, когда число степеней свободы больше двух.
Результаты будут аналогичными, хотя их формулировка и сложнее.
Пусть
Pl, Pi,---, Рп
— п произвольных целых чисел. Рассмотрим все системы индексов
т2, ..., тп, которые удовлетворяют условию
miPi + тъР2 + ••• + тпРп = 0.
Я скажу, что все соответствующие коэффициенты принадлежат одному
и тому же семейству.
Рассмотрим q классов, определенных следующими системами ин-
дексов:
^1, 1> ^2, 1> • •	^п, 1,
тк 2, нг2>2, . . ., тП12,
^-i.q, - • -, ^n,q‘
Если нельзя найти q целых чисел
^1» ^2’ ’ • *’ Q>
таких, что
<7
2	= 0 (к = 1, 2, . . ., п),
i=l
то я скажу, что эти q классов независимы.
214
Новые методы небесной механики. J
Я назову семейство обыкновенным, если можно найти в нем п — 1
независимых обыкновенных классов, и особым в противном случае. Се-
мейство будет особым первого порядка, если можно найти в нем п — 2
независимых обыкновенных класса, особым q-ro порядка, если можно найти
в нем п — q — 1 независимых обыкновенных классов и нельзя найти
больше.
Я скажу, что семейство, определенное целыми числами (рц р2, . -,рп),
принадлежит области D, если в этой области существуют такие значе-
ний X, что
dFo _ <IF„ ___	_ dFt,
Pidxi “ P2dx2 ~	- pndXn 
Теперь я утверждаю, что если в любой области б, составляющей часть
D, можно найти бесконечное число обыкновенных семейств, то не может
существовать никакого однозначного интеграла, отличного от F.
Действительно, рассуждения предыдущего пункта применимы ко
всякой системе значений х, соответствующей обыкновенному семейству.
Якобианы Fo и Фо по любым двум из переменных х должны, следо-
вательно, обращаться в нуль бесконечное число раз в любой области б,
составляющей часть D, что может произойти, лишь если они тождествен-
но равны нулю.
Теперь я утверждаю, что если можно найти во всякой области 6,
составляющей часть D, бесконечное число особых классов q-ro порядка,
то число различных однозначных интегралов, которые может допускать
уравнение (1), не превосходит q + 1 (включая интеграл F).
Действительно, предположим, что имеются q + 2 различных интег-
рала; пусть
F, Ф1, Ф2, . . ., Ф441
— эти интегралы, и предположим, что при р = 0 они сводятся к
Fo, Фо1, Ф2, . . ., Ф’+1.	(И)
Пусть система значений х соответствует особому семейству q-ro порядка.
Положим
п — q — 1 = р.
В этом семействе будет существовать р обыкновенных классов. Пусть
/Щ.ь . ., mn>K (k = 1, 2, . . ., p)
есть системы индексов, соответствующих этим классам.
Для рассматриваемых значений х будем иметь
i=l	г г=1
^0
dx-
г
= о
(к = 1,2, . . р; h = 1, 2, . . ., q 1).
Несуществование однозначных интегралов
215
Отсюда заключаем, что якобианы от q+2 функций (И) по любым q + 2
переменным х должны обращаться в нуль при рассматриваемых значе-
ниях х. И поскольку это должно иметь место бесконечное число раз в
каждой области 6, то отсюда вытекает, что эти якобианы тождественно
равны нулю, и, следовательно, наши q + 2 интеграла не могут быть
различными.
Впрочем, эти рассмотрения не представляют практического интере-
са, и я их привожу здесь только для полноты и строгости. Очевидно,
можно искусственно построить задачи, в которых встречаются различные
подобные ситуации; однако в естественно возникающих задачах дина-
мики всегда оказывается, что либо все классы особые, либо они все
обыкновенные, за исключением конечного числа.
Случай, когда гессиан равен нулю
84. Перейдем теперь к случаю, когда Fo зависит не от всех перемен-
ных Жи жа, . ., хп.
Я предположу, что Fo зависит только от xY и ж2 и его гессиан по этим
двум переменным не равен нулю.
Чтобы лучше отметить разницу между этими переменными хг и
ж2 и их сопряженными переменными yY и у2, с одной стороны, и другими
переменными х и у, с другой, мы условимся обозначать
3
ХА,
У ъ
Чг-
Уп
через
Ч’ ~2’ • • •> Чг-2>
^1’ ^2’ • •	^п-2*
Заметихм прежде всего, что выводы п. 81 сохраняют силу, и если су-
ществует однозначный интеграл Ф, отличный от F, то всегда можно пред-
положить, что Фо не есть функция от Fo.
Теперь мы должны прежде всего показать, что
ГС 1 __ dFn йФо . dFn йФо п
Положим
£ _ ^'K-l (т,г/1+т21/2).
мы можем записать

216
Новые методы небесной механики. I
где А — коэффициенты, зависящие от xlt х2, z и и. Тогда получим
Это соотношение должно выполняться тождественно, и с другой сто-
роны, поскольку гессиан функции Fo не равен нулю, равенство
не может выполняться тождественно, если только и тг не равны оба
нулю. Из этого можно заключить, как и в п. 82, что Фо не зависит ни от
?/i, ™ от уъ.
Запишем затем уравнение (3) п. 81, получим
йФо dFi	<2Ф0 dFi dFn ЙФ>	dFn d<t>i
dx-i dy-i	dxi dy* ‘ dxi dyi	dx2 dy2
-г-. / dFi <7Ф|
dz.
du.
Положим по-прежнему
л = 2^- Фт = 2^-
dFi </Фо \
dir dzi j
Когда будет необходимо выявить индексы, я буду писать
Получим
-2М2^4г)+Ж(2'».4г) +
4- V Г V f	_ dB d®n '
' 21 ® 2d I dz. du.	du- dz. ,
\ г г	г i )
Это соотношение должно быть тождеством; следовательно, мы можем
приравнять нулю коэффициент при каждой экспоненте t,. Кроме того,
придадим х такие значения, что
rf/’o ।	dF о	А	. п
т1-^ + ^^г = 0’	<12)
чтобы члены, зависящие от С, исчезли.
П о15 чим
йФо , с/Фо \ , г, f dB d<bn dB d(t>n \
+	= 0.
(13)
Несуществование однозначных интегралов
217
Будем считать, что два коэффициента Вт„т2 и Вт’, т' принадлежат
одному классу, если	2
тт^ттг.а — т2тг = О,
и я скажу для краткости, что коэффициент Вти т. принадлежит классу
тг/т2. Из этого определения следует, что коэффициент BOjO принадле-
жит одновременно всем классам.
Как мы видели, если дать х значения, удовлетворяющие соотношению
(12), то соотношение (13) должно выполняться для всех коэффициентов
В класса mjm^.
Пусть теперь р и о — два взаимно простых целых числа, таких, что
Положим
и
т-1 _ _р_
тл <j
£ __ еКИ(Р’/г+9УЛ
ТА __ Г)	«- т~г ЙФо ।
D* = Въ,-	- ся = р-^- + 7—.
Если придать х такие значения, что
dF0	dF«	n
Р -J-—г	— =0,
dxi	da2
то соотношение
H dD* । X1 ( dDy- _ dD>- ^фо	, j
dt ‘	\ ^zj Лиг dir dzi J —
(12bis)
(13 bis)
должно выполняться при всех целых значениях А, положительных, от-
рицательных или нулевых.
Это может иметь место лишь в двух случаях.
1. Либо когда
Я = 0,	^-	= 0,	4^ = °	(*	= 1, 2,	. . .,	тг-2),
dz.	du.	'	’	’	’
откуда
dF(y t/Фо	dF$ c/Фо	q
dxi d%2	dxz dxi
Отсюда можно вывести с помощью рассуждений, аналогичных рассужде-
ниям п. 82, что Фо является функцией от Fo, что противоречит предполо-
жению, сделанному вначале.
2. Либо когда якобиан от любых 2п — 3 функций Dx по 2п — 3 пере-
менным £, Zj и iii равен нулю.
218
Новые методы небесной механики. I
Отсюда заключаем, что если придать х1 и х2 постоянные значения,
удовлетворяющие условию (12 bis), то это приведет к соотношению менаду
любыми 2п — 3 функциями Dx, так что все эти функции можно вы-
разить через 2п — 4 из них.
Можно сформулировать этот результат иначе.
Рассмотрим следующие выражения:
Вхр, Х'д-	(14)
Если предположить, что хх и ж2 принимают постоянные значения, удовле-
творяющие уравнению (12 bis), то эти выражения (14) зависят только от
2п—4 переменных, а именно от и П;.
Если существует однозначный интеграл, то все эти выражения явля-
ются функциями 2п — 5 из них, или, другими словами, можно найти со-
отношение между любыми 2п — 4 из них.
Каково условие существования трех различных однозначных инте-
гралов
F = const, Ф = const, ф = const?
Пусть Fo, Фо иф0 — значения этих трех интегралов при ц = 0. Можно
было бы доказать, как и выше, что всегда можно предполагать, что между
Fo, Фо и ф0 не существует никакого соотношения.
Затем, полагая
мы нашли бы.
ctD» ( dD, cM>n uD~. с№„ \
+ =°- (13ter)
1	\ du,. dui dzi )	7
Таким образом, уравнение(12bis) влечет с необходимостью не только
уравнение (13bis), но и уравнение (13ter). Рассуждением, подобным пре-
дыдущему, можно было бы убедиться, что это может произойти в двух
случаях: либо когда имеется соотношение между Fo, Фо и ф0, что проти-
воречит только что сделанному предположению; либо когда якобиан
от 2п — 3 любых из функций D\ равен нулю вместе со всеми своими мино-
рами первого порядка.
Отсюда следовало бы, что если xt и х2 удовлетворяют условию (12bis),
то между 2п — 3 функциями Dx имеется не одно, а два соотношения. Дру-
гими словами, величины (14) могут быть выражены с помощью 2п — 6
из них.
Выражения (14), которые зависят от коэффициентов разложения функ-
ции F1, заданы, и всегда можно проверить, имеется ли между 2п — 4
из пих одно или два соотношения.
В общем случае окажется, что таких соотношений нет, и из этого мож-
но заключить, что не существует аналитического и однозначного интегра-
ла, отличного от F.
Несуществование однозначных интегралов
219
А что произошло бы, если бы дело обстояло иначе? Чтобы иметь воз-
можность формулировать результат полно и строго, я воспользуюсь тер-
минологией, аналогичной терминологии предыдущего пункта. Я назову
класс обыкновенным, если между 2га — 4 из выражений (14), образованных
с помощью коэффициентов из этого класса, нет соотношений; особым
первого порядка, если существует одно такое соотношение; особым вто-
рого порядка, если существуют два таких соотношения и т. д. Вообще,
класс будет особым q-vo порядка, если существуют q соотношений между
любыми 2га — 3 из величин D,..
Пусть б — некоторая область, содержащая бесконечное число систем
значений хх, х2, z и и.
Если можно найти в области б значения х± и z2, удовлетворяющие усло-
вию (12bis), то я назову класс plq принадлежащим этой области. Я гово-
рил о значениях хх и х2, а не о значениях хг, х2, и и z, потому что левая
часть (12bis) зависит лишь от хг и х2.
Я могу теперь сформулировать следующий результат.
Обозначим через D область, содержащую бесконечное число систем
значений xlt х2, z и и.
Если в любой области б, составляющей часть D, можно найти беско-
нечное число обыкновенных классов, то можно быть уверенным, что, кро-
ме F, не существует другого интеграла, который был бы аналитическим
и однозначным по х, у, z и га, периодическим по и у2 и который оставался
бы таковым при всех действительных значениях у, и у2, при достаточно
малых р. и при значениях х2, z и и, принадлежащих области D.
Если в любой области б, составляющей часть D, можно найти беско-
нечное число особых классов g-го порядка, то не могут существовать более
J различных однозначных интегралов, включая F.
Приложение к задаче трех тел
85. Теперь я займусь приложениями предыдущих понятий к различ-
ным случаям задачи трех тел.
Начнем с частного случая, определенного в п. 9. В этом случае мы имеем
всего две степени свободы и четыре переменных
xt = L, х2 = G,
У1 = Л = g — t
(ср. п. 9,); кроме того,
F° = +
Гессиан функции Fo равен нулю, однако можно с помощью приемов п. 43
свести задачу к случаю, когда этот гессиан не равен нулю.
220
Новые методы небесной механики. I
Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то в разложении
FT (которая является возмущающей функцией в астрономии) по синусам
и косинусам углов, кратных у± и у2, все коэффициенты должны были бы
обращаться в нуль, становясь вековыми.
Изучение хорошо известного разложения возмущающей функции по-
казывает, что это не так.
Следовательно, мы должны заключить, что в этом частном случае за-
дачи трех тел нет отличных от F однозначных интегралов [23].
В моем мемуаре из «Acta mathematica» (т. XIII) [23] я воспользовался
для доказательства того же утверждения существованием периодических
решений и тем фактом, что характеристические показатели не равны нулю.
Доказательство, которое я даю здесь, отличается от доказательства в
«Acta» лишь по форме, но оно больше подходит для обобщения, которое
будет проведено в дальнейшем.
Рассмотрим теперь немного более общий случай задачи трех тел, а
именно случай, когда движение происходит в плоскости, и предположим,
что мы свели число степеней свободы к трем, как это было показано в п. 15.
Тогда мы имеем шесть сопряженных переменных, а именно
ЗА, З'А', ЗП = Н,
I,	Г, h = S — 3'.
Предположим, что мы разлагаем возмущающую функцию F} следу-
ющим образом:
р __ V п оУ-1(тг1^тг1')
•< 1—	j
причем коэффициенты Вт1,тг будут функциями от р£, 0'L', Н и h.
Пусть р и q — любые два взаимно простых целых числа; образуем вы-
ражения (14) п. 84
-k'q (X, // == О, +1, +2, . . . до беек.).
Дадим L и L’ значения, удовлетворяющие условию (12bis), т. е. такие,
что отношение средних движений будет равно — q/p.
Чтобы задача допускала однозначный интеграл, отличный от интегра-
ла живых сил, было бы нужно, чтобы любые два (п=3, 2п—4 = 2) из них
были связаны соотношением, т. е. чтобы все выражения (14) были функци-
ями от Во 0, т. е. от вековой части возмущающей функции. Однако изу-
чение хорошо известного разложения этой функции показывает, что это
не так.
Следовательно, мы должны заключить, что, кроме интеграла живых
сил, задача не допускает однозначного интеграла следующего вида:
Ф (A, L', Н, I, Г, h) = const,
периодического по I и V.
Несуществование однозначных интегралов
221
Но этого нам не достаточно, надо еще доказать, что задача не допус-
кает и интеграла следующего вида:
Ф(£, L', П, ГГ, I, и, а, а') = const,
где функция Ф зависит произвольным образом и от Эий', а не только
разности а — а'.
Для этого надо взять задачу с четырьмя степенями свободы, как мы это
делали в п. 16.
Тогда мы будем иметь восемь сопряженных переменных
PZ, 3'Z', ₽П, З'П',
I, г, а, а'.
Коэффициенты Bm„ т2 и выражения (14) п. 84 зависят тогда от L, L',
П, П, а и а'. Когда L и L' получат постоянные значения, при которых
отношение средних движений будет равно — q/p, выражения (14) преды-
дущего пункта будут зависеть только от четырех переменных П, П',
а и а'.
Для того чтобы имелся однозначный интеграл, отличный от интеграла
живых сил, необходимо, чтобы любые четыре (2п — 4 = 4, п = 4) выра-
жения из (14) предыдущего пункта были связаны между собой, что имеет
место на самом деле, поскольку все эти выражения являются функциями
лишь трех переменных: П, ГГ, а — й'.
Таким образом, ничто не препятствует существованию интеграла, от-
личного от интеграла живых сил, и он действительно существует, а именно
интеграл площадей.
Для наличия двух интегралов было бы нужно, чтобы между любыми
тремя из этих выражений имелось соотношение, т. е. чтобы все эти выра-
жения зависели лишь от двух из них. А это пе так.
Таким образом, кроме интегралов живых сил и площадей, задача не
допускает других однозначных интегралов.
Перейдем, наконец, к наиболее общему случаю задачи трех тел и по-
ставим задачу как в п. 11, т. е. с шестью степенями свободы и двенад-
цатью переменными
₽L, ₽G, 30, ₽'Z', ₽'(?', p'0',
I, g, 0, I', g', 0'.
Выражения (14) n. 84, когда Ln L' получают постоянные значения, вы-
бранные подходящим образом, как и выше, зависят снова от восьми пере-
менных G, G', 0, 0', g, g', 0, 0'.
Для существования q однозначных интегралов, отличных от F, было
бы нужно, чтобы между любыми 2п — 3 — q = 9 — q из указанных выра-
жений (14) существовало соотношение.
222
Новые методы небесной механики. I
Легко убедиться в том, что эти выражения зависят только от пяти
переменных, а именно от
G, G', g, g’
и от угла плоскостей двух оскулирующих орбит.
Следовательно, между любыми 6 = 9 — 3 из наших выражений (14)
имеется соотношение. Поэтому ничто не препятствует существованию трех
новых интегралов, и они на самом деле существуют: это интегралы пло-
щадей.
Но между произвольными 5=9 — 4 из выражений (14) не существует
соотношения. Следовательно, задача трех тел не допускает другого одно-
значного интеграла, кроме интегралов живых сил и площадей.
Чтобы не прерывать изложения, я ограничился простым утверждением,
что соотношений между выражениями (14) не существует; я вернусь
к этому вопросу позднее. Известно, что Брунс доказал («Acta mathema-
tica», т. II), что задача трех тел не допускает нового алгебраического
интеграла, кроме уже известных.
Предыдущая теорема в некотором смысле более общая, чем теорема
Брунса, так как я доказал не только то, что не существует алгебраическо-
го интеграла, но и что не существует даже однозначного трансцендент-
ного интеграла, и не только что интеграл не может быть однозначным при
всех значениях переменных, но что он не может даже оставаться одно-
значным в ограниченной области, определенной выше.
Но в другом смысле теорема Брунса более общая, чем моя; действи-
тельно, я установил лишь, что алгебраический интеграл не может сущест-
вовать при достаточно малых значениях масс; Брунс же доказал, что он
не существует ни для какой системы значений масс.
Задачи динамики,
в которых существует однозначный интеграл
86. Имеются задачи, о которых известно, что однозначный интеграл
существует, и можно попробовать проверить, что условия, сформулиро-
ванные в предыдущем пункте, действительно выполнены.
Возьмем в качестве примера задачу движения подвижной точки М,
притягиваемой двумя неподвижными центрами А и В.
Я предположу для простоты, что движение происходит в плоскости;
кроме того, я предположу, что масса А велика, тогда как масса В равна
очень малой величине р, так что притяжение точки В можно рассматривать
как возмущающую силу.
Мы определим теперь положение точки М с помощью оскулирующих
элементов ее орбиты относительно А и обозначим эти элементы буквами
L, П, I и 8, как в п. 10. Тогда получим
„	1	, и	,,	1 г, 1
F — 2Z7 *" ~МВ ’ 0ТКУДа — 2L2 ’	~ МЬ ’
Несуществование однозначных интегралов
223
Fr разлагается в ряд следующего вида:
77 _ 77	wl
Л = 2j Вте
Коэффициенты Вт зависят от L, П и Э; для того чтобы существовал
интеграл, необходимо, чтобы между двумя произвольн.ыми коэффициен-
тами одного класса имелось соотношение (га=2, 2га—2=2; я говорю, 2га — 2,
вместо 2га — 4, потому что Fa зависит не от двух переменных хг и х2,
как в пунктах 84 и 85, а от одной переменной), когда L принимает зна-
чение, удовлетворяющее соотношению (12bis) п. 84.
Но здесь все коэффициенты Вт (у которых теперь всего один индекс)
принадлежат одному классу, и соотношение (12 bis) записывается просто
так
пли L = оо. Следовательно, трудность могла бы возникнуть лишь при
бесконечных значениях L. Поэтому если мы вернемся к сокращенной тер-
минологии предыдущих пунктов и обозначим через D произвольную об-
ласть, образованную бесконечным числом систем значений L, П и S, но
такую, что для всех этих систем значение L конечно, то класс, к которому
принадлежат все эти коэффициенты В, не будет принадлежать области D.
Итак, ничто не будет препятствовать существованию интеграла, одно-
значного в этой области D.
Перейдем к другой задаче, а именно задаче движения тяжелого тела
вокруг неподвижной точки.
Эта задача была проинтегрирована в трех различных частных случаях
Эйлером, Лагранжем и Ковалевской (см. «Acta mathematica», т.ХП).
Как мне кажется, Ковалевская открыла еще новые случаи интегрируе-
мости [241.
Итак, можно спросить, препятствуют ли существованию однозначного
интеграла, отличного от интегралов живых сил и площадей, соображения,
изложенные в этой главе.
Я предположу, что произведение веса тела на расстояние от центра
тяжести до точки подвеса очень мало, так что можно записать уравнения
задачи в виде
dF dyi _ dF
dt dyi ’ dt dx^ ’
F = Fo -}- pFj.
Переменные xi и yi образуют три пары сопряженных переменных;
F обозначает полную энергию системы, Fo — половина живой силы, р —
очень малая величина, а р.7',1 представляет собой произведение веса тела
на расстояние от центра тяжести до горизонтальной плоскости, проходя-
щей через точку подвеса.
224
Новые методы небесной механики. I
В случае, когда ц равно нулю (т. е. когда центр тяжести совпадает
с точкой подвеса), движение твердого тела сводится к движению по Пуан-
со. Поскольку мы предполагали р, очень малым, то это движение Пуансо
будет служить нам первым приближением подобно кеплеровскому движе-
нию при изучении задачи трех тел с помощью последовательных прибли-
жений.
Прежде чем идти дальше, я должен определить величины га и га', ко-
торые я назову двумя средними движениями и которые будут играть важ-
ную роль в последующих рассмотрениях. В движении по Пуансо эллип-
соид инерции катится по неподвижной плоскости. Пусть Р — основание
перпендикуляра, опущенного из точки подвеса на эту неподвижную пло-
скость, и Q — точка касания. Эта точка касания принадлежит кривой, не-
подвижной относительно эллипсоида и называемой полодией. По истече-
нии некоторого времени Т та же точка полодии снова коснется неподвиж-
ной плоскости в точке Q'. Пусть а — угол QPQ'. Мы положим
га и п будут средними движениями.
Теперь уравнения движения по Пуансо можно записать следующим
образом.
Пусть х, у и z — координаты произвольной точки твердого тела, а за
начало координат взята точка подвеса, причем ось z вертикальна.
Положим
Z = nt —е, Z га t е ,
где е и е' — две постоянные интегрирования.
Тогда имеем
х = cos 0 (£ cos I' — т] sin Z') — sin 0 cos <p (£ sin I' -J- p cos Z')-j- ф sin 0 sin ф,
у = sin 0 cos I' — T| sin Z') + cns.0 cos ф(| sin I' pcos Z') — фсоз0 sin ф,
z = sin ф (g sin Z' -f- t] cos Z') + ф cos ф,
где g, t| и ф — три периодические no Z функции от га, га' и Z с периодом 2л
(эти функции, как известно, выражаются через эллиптические функции);
0 и ф — две новые постоянные интегрирования.
Если предположить, что точка (х, у, z) — центр тяжести твердого
тела, то Ft сводится с точностью до постоянного множителя к z, так что
мы сможем записать
л = 2 Bm,! Z=i <тМ"> + S Вт, ое^ <тг> + S Вт,
где коэффициенты В зависят только от га, га' и ф.
Как только мы дадим га и га' постоянные значения, удовлетворяющие
условию (12bis) п. 84, коэффициенты В будут зависеть лишь от ф, так что
Несуществование однозначных интегралов
225
любые два из них будут связаны соотношениями. будут зависеть только
от ср и если положить, как и в предыдущих пунктах,
Следовательно, любые 2га — 3 = 3 из связаны соотношением. Та-
ким образом, любой класс будет особым первого порядка.
Итак, ничто не препятствует существованию одного однозначного
интеграла, отличного от интеграла живых сил; и действительно, нам из-
вестно, что существует один такой интеграл, а именно интеграл площадей.
Но вопрос состоит в том, чтобы узнать, существует ли третий интеграл.
С этой целью посмотрим, какие классы будут особыми второго порядка.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы между любыми тремя из
было два соотношения и, следовательно, чтобы все были функциями
одной из них. Таким образом, мы должны различать несколько разновид-
ностей классов.
1.	Класс 1/0, содержащий все коэффициенты Вт<й. Он является особым
второго порядка. Действительно, имеем
Вт, 0 = Ст, о COS Ср,
где Ст,0 зависит лишь от га и га' и должна, следовательно, рассматриваться
как постоянная, потому что мы предположили, что значения га и га' посто-
янные. Тогда имеем
= Сх,о cos ср
Для ТОГО чтобы были функциями от одной из пих, необходимо,
чтобы все Съ'Ц, за исключением одной, обращались в нуль, т. е., чтобы
функция ф сводилась к экспоненте
ml.
Но чтобы удовлетворить условию (12bis) п. 84, необходимо дать га значение
0; каково же то движение Пуансо, для которого п = 0? Несколько более
внимательное рассмотрение показывает, что это то, которое соответст-
вует равномерному вращению вокруг одной из осей инерции. В подобном
движении функция ф является постоянной, не зависящей от I. Это доказы-
вает, что все Сх, о, за исключением Со, о» равны нулю для всех особых значе-
ний га и га'.
Следовательно, этот класс особый второго порядка.
2.	Классы вида тга/1, которые содержат лишь три коэффициента
Вт, 1« Во, Q, В-т, -1.
Эти классы могут быть особыми второго порядка лишь в случае, когда
Вт, 1 = В_т, -1 = 0,
15 Л. Пуанкаре
226
Новые методы небесной механики. I
или, что то же самое, когда в разложении £ + гц и £ — г г; по положитель-
ным и отрицательным степеням eil нет члена с е+тг1 (в предположении, что
£ и ц действительны).
Это не так, вообще говоря, когда эллипсоид инерции не является
эллипсоидом вращения, но если этот эллипсоид является эллипсоидом
вращения, мы получим
£ = A cos I -J- В sin I -J- С, ц = A' cos I В’ sin I + С',
где А, В, С, А', В’, С — постоянные. Отсюда следует, что
Вт, 1 ~ ' В_т, -! = О,
исключая случаи т = 1, 0 или —1.
Все классы mA будут тогда особыми второго порядка, за исключением
1	0	—1
классов -т- , —т— и -г- .
1’1 1
3.	Все другие классы, которые сводятся к единственному коэффициен-
ту Во,о, будут особыми второго порядка.
Итак, если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то все классы
,	10—1
особые второго порядка, за исключением классов —, у и —j— .
Поэтому ничто не препятствует существованию третьего однозначного
интеграла и даже тому, чтобы он был алгебраическим, если только яко-
биан трех интегралов обращается в нуль при п' = 0 или п' = +п. (Это
последнее условие не является необходимым в случае Лагранжа, т. е.
если точка подвеса находится на оси вращения, потому что тогда £ и ц
сводятся к постоянным).
Если, напротив, эллипсоид инерции не есть эллипсоид вращения, то
имеется бесконечное число классов, не являющихся особыми второго
порядка, а именно классы т/1; но рассмотрим область D, включающую
бесконечное число систем значений п, п', <р и 0, и предположим, что ни
для одной из этих систем п не кратно п, ни один из классов m/i тогда не
будет принадлежать этой области. Теперь ничто не препятствует сущест-
вованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех ин-
тегралов обращается в нуль, как только п' становится кратным п; отсюда
следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебра-
ическим.
Поскольку сформулированные в этой главе условия являются необ-
ходимыми, но не достаточными, ничто не доказывает, что этот третий ин-
теграл существует; прежде чем высказывать суждение по этому поводу,
следует дождаться полной публикации результатов исследований Кова-
левской *.
* После того как были написаны эти строки, ученый мир с прискорбием узнал о без-
временной кончине Ковалевской. Найденные у нее заметки оказались, к несчастью,
недостаточными для того, чтобы можно было восстановить ее доказательства и вы-
числения.
Несуществование однозначных интегралов
227
Интегралы, не голоморфные относительно р
87. До сих пор мы предполагали, что наш однозначный интеграл
разлагается в ряд по целым степеням р. Легко распространить результат
на случай, когда мы отказываемся от этого предположения.
Предположим, например, что Ф разлагается в ряд по целым степеням
Yр; мы сможем записать
Ф = Ф' + /рФ".
где Ф' и Ф" разлагаются в ряды по целым степеням р.
Если Ф — интеграл, то должно тождественно выполняться равенство
[F, Ф] = [F, Ф'] Д- /р [F, Ф"] = 0.
Поскольку [7^, Ф'] и [/’, Ф"] разлагаются в ряды по целым степеням
р, должны отдельно выполняться равенства
[F, Ф'] = [F, Ф"] = 0.
Следовательно, Ф' и Ф" оба должны быть интегралами. Итак, если до-
казано, что не может существовать однозначного интеграла, разложимого
в ряд по целым степеням р, то тем самым доказано, что не может сущест-
вовать и однозначный интеграл, разложимый в ряд по целым степеням |/ р.
Более общим образом пусть
ejp), е2(р),..., 9р(р)	(1)
— р любых функций ОТ р.
Предположим, что Ф имеет вид
Ф — ^о,191 (н) + ^i,i Ц01 (н) + -^г,г Н2 (н) + • • •
+ ^0,2 02 (Н) + И112 р 02 (р) -j- . . . +
+................................+	(2)
+ ^о,р0р (н) + ^i,p Н0р (н) + •••>
где А — функции от х и у, не зависящие от р.
Мы всегда можем предположить, что между р функциями (1) нет
соотношений вида
Ф102 + <р202 +---+фр0р=О,	(3)
где гр^ ф2, •••, сРр разлагаются в ряды по степеням^р.
Действительно, если бы имело место соотношение (3), то одна из функ-
ций гр!, <р2, ..., фр не содержала р в качестве множителя, поскольку если
бы все эти функции содержали множитель р, то мл разделили бы левую
часть (3) на р.
15*
228
Новые методы небесной механики. I
Предположим, например, что фх не обращается в нуль вместе с р;
тогда можно разрешить уравнение (3) относительно 0Х и мы получим
0Х = -	0-> -	03 - . . . -	0„,
1 ф1 ф1 3	ф1 v
где — ,	. разлагаются в ряды по степеням р. Если заменить в выраже-
нии (2) 0Х полученным значением, то мы сократим на единицу число функ-
ций (1).
Итак, предположим, что эти функции не связаны соотношением вида
(3).
Мы сможем записать
ф = ФХ0Х ф202 + . . . + ФР0Р,
где Фх, Ф2, ..., Фр разлагаются в ряды по степеням ц. Если Ф — интеграл,
то
[F, Ф] = 0Х [F, Фг] + 02 [F, Ф2] + . . . + 0О [F, Фр] = 0.	(4)
Я утверждаю, что по отдельности
{F, ФП = [F, Ф2] = ... = [F, Фр] = 0.	(5)
Действительно, в противном случае, поскольку величины [7^, Фх]
(i = 1,2, ..., р) разлагаются в ряды по степеням ц, соотношение (4) имело
бы вид (3), а это противоречит только что сделанному предположению.
Следовательно, соотношения (5) имеют место.
Итак, Фх, Ф2, ..., Фр — интегралы.
Таким образом, если бы мы показали, что не может быть однозначного
интеграла, разлагающегося в ряд по степеням ц, то мы бы доказали, что
нет также однозначного интеграла вида (2).
Я добавлю, что это рассуждение можно применить, когда имеется бес-
конечное число функций (1).
Исследование выражений (14) п. 84
88. Я возвращаюсь к вопросу, который выше был временно оставлен
без рассмотрения, а именно к доказательству того факта, что в случае
задачи трех тел не существует соотношения между произвольными 2га — 4
из выражений (14) п. 84.
Для определения упомянутых только что выражений мы предположи-
ли, что возмущающая функция Ех разложена в ряд следующего вида:
Л = 2^Г1(т,!+га,'')-	(1)
Несуществование однозначных интегралов
229
где коэффициенты Втьт, — функции остальных переменных
l, L', п, гг, а, а'
или
L, L’, G, G', g, g', 6, 0', 0, 0'.
Обычно в небесной механике возмущающую функцию разлагают ина-
че. За переменные берут большие оси, эксцентриситеты, наклонения, сред-
ние долготы и долготы перигелиев и узлов.
Однако легко видеть, что это сводится к тому же.
Если мы положим
Вт„ тг = Сти т,	(^g+^+mio+^O'),
то получим
— 2 Cmt,	[m* 0+£+0)+m»(1 '+3'+в')1 .	(2)
Экспоненциальный множитель зависит лишь от средних долгот
^ + £ + 0- ^'+£' + 0'
и множитель зависит лишь от остальных переменных: больших
осей, эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев и узлов. Таким
образом, мы снова придем к обычному разложению возмущающей
функции.
Выражения (3) п. 84 можно тогда записать в виде
Т?Х' р~х _____ /ЧХ' p-b
D^p, Xg nX'p, Х'д — '-'Хр, Xg ^Х'р, Х'д*
Следовательно, чтобы в этом случае существовал однозначный инте-
грал, необходимо, чтобы между произвольными 2га — 4 (п =4 в плоскости,
п = 6 в пространстве) из выражений
Схр, xg X'g (X, V = 0,+ 1,+2,.. . до беек.), (14bis)
образованных при помощи коэффициентов разложения (2), существовало
соотношение.
Таким образом, чтобы применить принципы настоящей главы, не обя-
зательно находить новое разложение возмущающей функции с помощью
новых переменных, а именно разложение (1). Можно воспользоваться раз-
ложением, уже употреблявшимся астрономами, т. е. разложением (2).
Коэффициенты Ст,,т3 разлагаются в ряды по возрастающим степеням
эксцентриситетов и наклонений. Рассмотрим теперь разложение одного
из этих коэффициентов в ряд по степеням эксцентриситетов и наклонений.
Известно (см. п. 12), что все члены этого разложения будут по меньшей
мерс степени | т1 + тга21 относительно этих величин, и если их степень
отличается от | т1 + гаг2|, то отличается на четное число.
230
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, мы сможем записать
Ст,, т2 — Cmi, 1Пг -j- Спц, т. -р • • • 4* Ст,, т2 ,
где Ст,,т. представляет собой множество членов разложения степени
| mt + т2 | + 2р
относительно эксцентриситетов и наклонений.
Мы скажем, что С°т,т2 — главный, член Cmims и что остальные его члены
вто ростепенные.
Исключение составляет коэффициент Со,о', в этом случае
Со,о = Со,о + Cj,0+ ••••
Со,о зависит лишь от больших осей, если эти большие оси временно счи-
тать постоянными, как мы это делали в предыдущих пунктах [действитель-
но, существование однозначного интеграла влечет за собой соотношение
между 2га — 4 выражениями (14) п. 84 в предположении, что большие оси
постоянны]. Итак, если большие оси постоянны, то Со,о будет также по-
стоянной, не играющей никакой роли в вычислениях.
Поэтому главным членом Со,о условимся называть член второй степени
относительно эксцентриситетов и наклонений Cj,0.
Тогда если заменим разложение (2) следующим:
Со°,о + С)	(3)
мы скажем, что записали разложение возмущающей функции JF\, при-
веденное к главным членам.
Найдем теперь условие, при котором между любыми 2га — 4 из выра-
жений
(%, Х' = 0, ±1, ±2, . . .)	(14)
имеется соотношение.
Образуем таблицу, составленную из бесконечного числа строк, следу-
ющего вида. Различные строки соответствуют различным целым значениям
индекса %, положительным, отрицательным или нулевым. Первый эле-
мент строки с индексом к будет
^Схр, Хд,
другие будут производными от СхР, х® по переменным
е, е', 3, S', i, V, 9, 9',
т. е. по эксцентриситетам, долготам перигелиев, наклонениям и долготам
узлов.
Несуществование однозначных интегралов
231
Необходимым и достаточным условием того, чтобы существовало соот-
ношение между 2п — 4 = 8 (п = 6 в пространственном случае) выраже-
ниями из (14), является равенство нулю определителей, составленных из
девяти произвольных строк описанной выше таблицы.
Само собой разумеется, что в более простых случаях, например, когда
три тела движутся в плоскости, число столбцов и строк в этих определи-
телях меньше девяти.
Мы видели, что все члены разложения Ститг имеют степепь по меньшей
мере |тИ] + ш2|. Следовательно, первый среди элементов строки с номером
% (которые предполагаются разложенными по степеням эксцентриситетов
и наклонений), xq, начинается членом степени
Гà + ЧГ
То же самое можно сказать о производных C^Pi по Э и О, тогда как
производные C^P, по е и i начинаются членами степени
|	-J- л,,; — 1.
Для строки с номером 0 первый тлен сводится к нулю; разложения
производных С’о.о по Эи по 0 начинаются членами второй степени, а раз-
ложения С0>0 по е и I начинаются членами первой степени.
Наши определители в свою очередь можно разложить в ряды по сте
пеням е и г. Если определитель А образован из строк с номерами
, ..., ,
то все члены его разложения будут по меньшей мере степени
I Р + Ч | (\ ^1 I | ^2 | + • • • + I ^8 I + I ^9 |) — 4.
Я буду обозначать эту величину через а.
Случай, когда — 0, представляет собою исключение: все члены тогда
имеют по меньшей мере степень
i Р + Ч I (I I + 'Ла 1 + • • • + I ^8 |) — 2.
И эту величину я буду обозначать через а.
Поскольку определитель А должен быть тождественно равен пулю,
совокупность членов степени а тоже должна быть тождественно равна
нулю. По мы получим эти члены степени а, заменив в определителе А
каждый из коэффициентов (\Pt его главным членом С',.,,. (или Сн-
если % = 0).
Полученный таким образом определитель Ао должен, следовательно,
быть тождественно равным нулю; но что же означает условие
Ао = 0?
232
Новые методы небесной механики. I
Образуем выражения
(С°Хр, х9)л'(С"'Р,	(^.	= ±1, ±2, .. .),	(14bis)
полученные заменой каждого коэффициента С в выражениях (14) его глав-
ным членом.
Если мы положим К = 0 в выражении (14), то это выражение сведется к
Со,о>
главный член которого есть Cji0.
Мы прибавим к таблице выражений (14bis) выражение Cj>0, являющееся
целым многочленом второй степени относительно е и I.
Итак, условие До = 0 означает, что любые восемь выражений из
(14 bis), содержащиеся в дополненной таким образом таблице, связаны
соотношением.
Итак, для того чтобы имелся однозначный интеграл, необходимо чтобы
любые восемь из выражений (14bis) были связаны соотношением.
Коэффициенты С были бесконечными рядами, а выражения (14) были
представлены в виде отношения двух таких рядов.
Напротив, выражения (14bis) рациональны относительно е и i, синусов
и косинусов 3 и 0.
Следовательно, проверка облегчается заменой коэффициентов их глав-
ными членами. Она становится даже легкой для малых значений целых
чисел р и q.
Убедившись таким образом, что определители, соответствующие малым
значениям целых р и д, не равны пулю, трудно надеяться, что определи-
тели, соответствующие большим значениям этих целых чисел, могут обра-
щаться в нуль и допускать таким образом существование однозначного
интеграла.
Тем не менее некоторое сомнение могло бы еще сохраниться.
Можно было бы предположить, как бы это ни показалось неправдо-
подобным, что среди классов (в терминологии п. 84) имеется конечное число
обыкновенных и что это именно те классы, которые мы проверяли; но что
имеется также бесконечное число особых классов.
Чтобы окончательно разрешить это сомнение, надо было бы иметь об-
щее выражение функций (14) и (14bis) для всех целых значений %, V, р
и q, и это выражение не могло не быть крайне сложным.
К счастью, Фламм в недавней диссертации* дал приближенное выраже-
ние членов высокого порядка в разложении возмущающей функции, и
этого приближенного выражения гораздо более простого чем полное,
достаточно для наших целей.
Однако вид, который Фламм дал этому разложению, не самый удоб-
ный для интересующей пас задачи; мы будем вынуждены дополнить его
результаты и значительно их преобразовать.
* Paris, Gautier-Villars, 1887.
Несуществование однозначных интегралов
233
Я вернусь к этому вопросу в следующей главе, после того, как будет
рассмотрено приближенное вычисление различных членов возмущающей
функции, потому что, хотя предыдущие рассмотрения и могли убедить
любого скептика, они все же не составляют строгого математического
доказательства.
89.	Проверку в некоторой степени может облегчить еще одно заме-
чание.
Рассмотрим вновь соотношение (13) из п. 84, имеющее вид
т, ( <£Фо | <2Фо \ j	т2<^Фо	тг Л \ ___ г-»
mit \ 1 dxi 2	dz. du. du. dt. /
Положив в этом соотношении mr = кр, т.г — i.q, я получу частное соот-
ношение, которое я обозначу (13bis); положив в немт^ = К'р, т2 = 'k’q,
я получу другое частное соотношение, которое я назову (13ter).
Пусть далее
Л?Х, Л' — Яхр, Xg-Sz'p, X’q,
где Мх,х' будет одним из выражений (14), которые играли столь большую
роль в предыдущем пункте.
Умножим (13bis) и (13ter) соответственно на
X' —X
Л®	Л'5
сложим и получим
Id logMx, V _ ^bgA/x,x- </Фо > _ 0
ZJ \ rfz. rfuj	du-t dzi /
или, принимая обозначения Якоби для скобок Пуассона,
[logMx, х', Фо] = О,
или же
[АГх, г, фо] = 0.
Итак, если М и М‘—два выражения из (14) предыдущего пункта, при-
надлежащие одному и тому же классу, то мы должны иметь
[М, Фо] = [М', Фо] = 0
или но теореме Пуассона
[[М, М’], Фо] = 0,
откуда можно заключить, что [М, М'] — функция 2п — 4 из выраже-
ний (14).
Не следует забывать, что скобки должны быть вычислены в предполо-
жении, что хх и х2 (т. е. в случае задачи трех тел рЛ и fJ'ZZ) являются
постоянными.
Глава VI
ПРИБЛИЖЕННОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
Формулировка задачи
90.	Как я уже говорил, Фламм дал замечательное приближенное выра-
жение членов высокого порядка возмущающей функции. Ему удалось
это сделать с помощью метода Дарбу, позволяющего найти коэффициенты
высокого порядка ряда Фурье или же ряда Тейлора, если известны ана-
литические свойства функции, представленной этими рядами.
Но метод Дарбу применим только к функциям одной переменной, в то
время как возмущающая функция должна быть разложена по синусам и
косинусам углов, кратных двум средним аномалиям. Вот к какой уловке
прибегнул Фламм: он получил сначала обычным способом первое разло-
жение возмущающей функции, члены которого имеют вид
Ара	р'а' ег (ti'v'+x'u')
где р — радиус-вектор первой планеты; и — истинная аномалия; и —
эксцентрическая аномалия; р', и’ и и' — аналогичные величины, соответ-
ствующие второй планете.
Тогда два множителя pV ('3®+7“) и р'“' е1	зависят только от одной
переменной, а именно: первый — от средней аномалии £ первой планеты,
второй — от другой средней аномалии Фламм применил к каждому
из этих двух сомножителей метод Дарбу.
Этот прием недостаточен для наших целей; нам необходимо, напротив,
применять метод Дарбу непосредственно к возмущающей функции и для
этого распространить этот метод на случай функций двух переменных!25].
91.	Функцию, которую надо разложить, мы обозначили через F±;
я напомню ее выражение, приняв снова обозначения п. 11. Мы имеем
„	+ у1 + Уз , У% + у1 + у в	m2ms msmi mi,n-
* =  2р I ~2В' и ВС ~ \i AC ~ у. АВ '
Определенная таким образом функция F зависит от переменных (4) из
п. 11, от Wj, т2, т... и от ц. Если мы предположим, что тпг, т2 и т3 — из-
вестные функции параметра ц и разлагаются в ряд по возрастающим сте-
пеням этого параметра, то F будет зависеть лишь от переменных (4) и от
[л и будет разлагаться в ряд по возрастающим степеням ц.
Разложение возмущающей функции
235
Здесь возможно бесконечное число вариантов; мы предположим, на-
пример, что тъ Р и Р' есть постоянные, не зависящие от н.
Переменные (4) являются кеплеровскими переменными, соответствую-
щими двум оскулирующим орбитам, определенным в в. 11. Радиус-вектор
первой оскулирующей орбиты есть АВ, радиус-вектор второй орбиты есть
CD. Угол между этими двумя радиусами-векторами (который является не
чем иным, как разностью двух истинных долгот двух оскулирующих
орбит, если эти орбиты находятся в одной плоскости) — это угол ВВС,
который я буду обозначать через D.
Величины (yj2 + у22 + у32)> (?№ + Уь* + у в2) и Л В зависят только от пере-
менных (4) и не зависят от р. Напротив, ах, а3, АС и ВС зависят не только
от переменных (4), но еще и от н. Следовательно, мы можем попытаться
разложить а2, а3, НАС и НВС по степеням ц. Таким образом, мы найдем
Q । ИЗ- )	-2
а2 = р 4-	—Н члены, делящиеся на р/,
цЗ'2
а3 = Р' 4-	4- члены делящиеся на р2,
1 1
ттт, =  _ —	4-члены, делящиеся нар..
У A IB--CD---2АВ-CD cos D '	! '
1	1 Bp ?1/.cosjD .	,
-т-r, = 7777 — — • —тут;-В члены, делящиеся на н-.
AC CD mi CD-	1	°	1
Тогда если положить
Р = Ро 4* г + • • • >
то получим
_ У1 + у22+у}	+ +	3'™1 \irni
~	2|3	+	2,8'	CD АВ ’
р ______3-____Р2_______________33'__________ 33' ЛИ cos 1)
1 ~ ЛВ CD у ЛВ1 + СД2 __ 2AB-CD cos D + СЛ2
Рассмотрим последовательно различные члены возмущающей функции
Fi-
Прежде всего первый член
______________________________№ _ _
АВ ~ г
зависит только от средней аномалии I и не зависит от средней аномалии Z';
следовательно, в разложении не будет членов с sin(mZ + nl') или
cos(mZ 4- nl'), где п 0.
Также второй член
З'2 _	З'2
CD г'
236
Новые методы небесной механики. I
не сможет дать в разложении членов с sin(z/iZ + nV) или cos(mZ + nV),
где т =/= 0.
Следовательно, вообще мы сможем отбросить эти два члена.
Последний член
33' АВ cos D
CD*
может быть представлен в другой форме.
Если я обозначу через i наклонение орбит, а через и и v' — истинные
долготы, отсчитанные от линии узлов, то получим
cos D = cos v cos у' cos i sin v sin v',
откуда
CDz  = (AB c°s y) -cd? + cos 1 (AB sin ~CD^~ *
Метод Фламма непосредственно применим к четырем множителям
л п	cos v' л г>  sin v'
АВ cos v,	ABsmv, -gpr •
Остается, таким образом, разложить третий член
рв _ ___________________________33'_________
1	VАВ* -j- CZ)2 — 2АВ  CD cos D ’
который известен под названием главной части возмущающей функции.
Разложением этой главной части мы сейчас и займемся.
Отступление об одном свойстве возмущающей функции
92. Можно было бы попытаться избежать разложения главной части
возмущающей функции, используя следующий искусственный прием.
Мы нашли
F± = — — —	+ ^'r.c°S(0
обозначив через г и г’ два радиуса-вектора и через со — угол между этими
радиусами-векторами.
Чтобы достигнуть этого результата, мы взяли, как и в п. 11, за оску-
лирующие орбиты орбиту В относительно А и орбиту С относительно D,
центра тяжести А и В. Но ясно, что было бы можно равным образом выбрать
за оскулирующие орбиты орбиту С относительно А и орбиту В относи-
тельно Е, центра тяжести А и С.
Разложение возмущающей функции
237
Это равносильно перестановке планет В и С; таким образом мы бы
получили в качестве новой возмущающей функции
X = - -у- -	F°i + №'r'2C0SM ,
откуда
cos <в г cos <в\
/'i —	— рр	- —  -,у j .
Если существует интеграл
ф = const,
то его можно записать, взяв в качестве переменных оскулирующие эле-
менты двух первых орбит [переменные (4) п. 11], и мы получим
Фо + рФ1 + •••== const.
Его можно записать также, выбирая в качестве переменных оскулирую-
щие элементы двух новых орбит (орбиты С относительно А и В относитель-
но Е); тогда получим
Фо —|- рФх	. • = ccnst,
где Фо' будет образовано из элементов двух новых орбит так же, как Фо
было образовано из соответствующих элементов двух старых орбит, но
Фх' не будет образовано подобно Фх.
Как мы видели в п. 81, мы должны получить
[Фо, Fx] [Фх, Fo] — О,
а также
[Фо, Х1 + [Фъ Fo] = 0;
поскольку Фо' образовано так же, как Фо, то я могу опустить штрих и
написать
[Фо, X] + [ф;, f0] = о,
откуда
[Фо, X - /?,] + [ф; - фх, f0] = о.	(1)
Мы видели, что если существует однозначный интеграл и если, после
того как мы разложили/4, образовать выражения (14) из п. 84, то между
этими выражениями должно существовать некоторое число соотношений.
Но, рассуждая относительно уравнения (1) аналогично тому, как мы
это делали относительно уравнения (3) из п. 81, мы пришли бы к аналогич-
ному результату.
238
Новые методы небесной механики. I
Разложим F±' — Fj и образуем с помощью этого разложения выраже-
ния (14) п. 84; если существует однозначный интеграл, то между этими
выражениями должно существовать некоторое число соотношений.
Итак, если можно было бы установить, что этих соотношений не суще-
ствует, то мы бы установили, что пе может существовать однозначный
интеграл. Поскольку разложение разности — FT несравненно проще,
чем разложение Fx, то, по-видимому, этот способ должен сильно облег-
чить нашу задачу.
Но он настолько искусствен, что можно a priori почувствовать сомне-
ние относительно эффективности этого метода и задать себе вопрос, не
является ли он иллюзорным. Это на самом деле так, поскольку выражения
(14), образованные с помощью F^— Flt равны нулю или же не определены.
Предположим, что мы разложили F^ — Fr в ряд вида
А -	= 2 Вти (-"МП.
Коэффициенты Втьтг будут функциями от (5L, p'Z/ и других оскулирующих
элементов (за исключением I и Z'). Дадим L и L' такие значения, что
тхп 4- т2п = О
(обозначая через п и п средние движения).
Я утверждаю, что для этих значенийЬъЬ коэффициент Вт^тг обра-
тится в нуль.
Для этого я воспользуюсь следующей леммой.
Пусть
хг, х2, .. . ,хп; ylt у2,...,уп	(2)
— система попарно сопряженных переменных, пусть
Яд» , "*-«’>	У11 Уз< • • • , Уп	(3)
— другая система сопряженных переменных. Предположим, что эти две
системы связаны такими соотношениями, что от одной к другой можно
перейти, не изменяя канонического вида уравнений. Тогда согласно п. 5,
должно иметь место соотношение
S (dx} 8yi — dyi 8xi) = 2 (dx^ 8yi — dyt 8xi).	(4)
Предположим, что х/ и у/ зависят от некоторого параметра ц и разла-
гаются в ряды по степеням ц; кроме того, при ц = 0 хг' и р/ совпадают
с Xi и уг.
Тогда будем иметь
Xi = Х^ -]- |X^j	,
Vi = Уг + Fli + • • • .	(5>
где h и T)i — функции от и у^
Разложение возмущающей функции
239
Тогда выражение
dHi —	= dS
будет полным дифференциалом. Это с необходимостью вытекает из тож-
дества (4), из которого, очевидно, вытекает следующее тождество:
2 {d^yi — dyt + dxi бтр — dqi6.r{) = 0.
Рассмотрим теперь канонические уравнения
_ dF_	_ dF
dt dyi ’ dt dx{ ’
где
F = F0 (xit yt) + yEx (xit yi) + . .
Сделаем замену переменных и за новые переменные возьмем (3); по-
лучим
F = Fo (X y'i) -J- рХ (х\, у-) + . . ..
Если мы заменим я/ и у/ их значениями (5), то получим
' '	'	'	Vi IdFa dFn \
Ео (^i, У;) = Fo (Xi, Уг) + ц 2j y-rfT-	яi J + члены’ делящиеся на у,2,
yi) = Fyix-,, у,) -|- члены, делящиеся на у,
откуда, приравнивая оба разложения, получим
Р0(хь yi) = F’0(xi, у^,
,	-г-, (dFn r dFn \
Fi (^i, Vt) = Fr (xit yi) -J- 2	/ 
Если заметить, что Fo (z{, y4) = Fo' (xi( у,) и что
r dS	dS
’ Пг = ~ dZ '
то можно записать
л-е; = [е0, £].	(6)
Предположим, что Ео зависит лишь от двух переменных хг и ж2 и что
Fi, F2 — периодические функции с периодом 2л по и у2. Так обстоит
дело во всех задачах, которые мы до сих пор рассматривали.
Предположим, кроме того, что S периодична по ух и у2 и пусть
S = ^Ae^
где А зависит от ж15 х2, ..., хп; уя, yt, ..., уп.
240
Новые методы небесной механики. I
Предположим, что мы желаем разложить Fi и F1 — FJ в ряды того же
вида и пусть
Fr — Fy = 2 Be -i (т>гл+тгУ2).
Уравнение (6) показывает, что
о 1 / 7 л !	dl* $	о! -Fo \
В = У - 1 А (т^	+ m2 j .
Итак, если мы даем и х2 такие значения, что
dFo । dFo r
т-и-----р т.г j— = 0,
1 dxi 1	4 dxi
то получаем также
5=0.
Применим этот результат к случаю, который нас интересует.
Пусть
05, ре, ₽0,	p'G', Р'0';	....
I, g, 9,	I', g', 9'	(/)
есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум старым оскулирую-
щим орбитам: В относительно А и С относительно D.
Пусть
Pi®i> Pi^i> Pi Gi, Pi®i;
1ц gj< 9ц	91
есть переменные (4) из п. 11, соответствующие двум новым орбитам (В
относительно Е, С относительно А).
Эти переменные (8) смогут заменить переменные (7) так, чтобы канони-
ческий вид уравнений не нарушился; они будут зависеть от переменных
(7) и от р; они будут разлагаться в ряды по степеням р и сведутся к пере-
менным (7) при р = 0.
Таким образом, мы окажемся в условиях, когда применим предыдущий
результат, и мы должны заключить, что если положить
Fi - 5Х = 2 Вти е	Г) ,
то 5т1>т, обращается в нуль при
Этот результат легко можно проверить непосредственно. Действитель-
но, обратимся к выражениям, данным Тиссераном в книге «Mecaniaue
celeste» (t. I, p. 312).
Разложение возмущающей функции
241
Результат, который нам надо проверить, в терминологии Тиссерана
может быть сформулирован следующим образом (я напоминаю, что Тис-
серан обозначает через о косинус угла между радиусами-векторами).
Если положить
°	- -Я = S Вп,п-
то вп,п. обращается в нуль при
— +	= О
а7г a'*h
Действительно, обращаясь к выражениям цитированной страницы,
находим
где С зависит только от эксцентриситетов, наклонений, долгот перигелиев
и узлов; следовательно, это выражение обратится в нуль при
п2 _ п'2
а3 а'3
и, следовательно, при
что и требовалось доказать.
Я счел себя обязанным тем не менее связать эту теорему с более общей
теорией, которая позволит, быть может, открыть новые аналогичные пред-
ложения.
Основы метода Дарбу
93. После этого отступления я возвращаюсь к своей основной теме.
Прежде всего следует напомнить результаты Дарбу, из которых мы будем
исходить.
1.	Пусть ряд
<р (х) = Ъапхп
имеет радиус сходимости г.
Если п бесконечно возрастает, то
limanp" = 0,	если	р<Дг?
limanpn = oo,	если	рД>г.
16 А. Пуанкаре
242
Новые методы небесной механики. I
2.	Представим себе теперь, что функция
Ф (ж) — S апхп
остается конечной на окружности радиуса г вместе с р первыми производ-
ными; тогда произведение пр+1 апгп не будет неограниченно расти с ростом п.
3.	Если имеет место равенство
ф(ж) = (1 — ax)k = Иапхп,
то приближенно выполняется
п-1-*ап
ап = Г (— к)~ ’
я хочу сказать, что отношение обеих частей равенства (1) стремится к 1
при неограниченном возрастании п.
4.	Предположим теперь, что функция <р (х) имеет на окружности ра-
диуса г две особые точки х = а и х = [4; что в окрестности точки х = а
мы имеем
<p(z) = A fl - -JF+ А2 (1 -	+ . + A Л (1 - ф (я),
а в окрестности точки р
/ х \81	/ х \62	.
(р(х) = А(1-у) + ^(1 -fj +	+tiM,
где ф (х) и фг (х) остаются конечными вместе со своими первыми производ-
ными. Тогда получаем при п = оо
-1-Y.J	.	-1- 8j	-|
L	р |
откуда выводится приближенное значение ап.
5. Если мы имеем
ср (а:) = Iog’(l — х),
то
если
ф(^) = log (1 — х) (1 —a-/.
то мы будем приближенно иметь
_____ — п1-1' log’n ,
а,г ~ Г (— к) '
Разложение возмущающей функции
243
Последняя формула применима лишь в случае, если к не есть целое
положительное число, в этом случае
_______(—l)te+1fe!
йп п (п — !)...(« — к)
6. Пусть
<р (ж) = '£апхп ф- Sa_n;zrn
— ряд, содержащий положительные и отрицательные степени и сходя-
щийся при
| х | R, | х | г.
Пусть аир — две особые точки функции ф (х), расположенные на окруж-
ности \х | = R; пусть у и 6 — две особые точки ф (х) на окружности |х| =
- г. Предположим, что ф (х) не имеет на этих окружностях других особых
точек.
Пусть
ф (х) = Ybnxn, фх (х) = ~сГ1хп
— два ряда, сходящиеся при
И <Н-
Пусть
ф2 (х) = Zb_nX~n, Фз (ж) = Zc_nx-n
— два ряда, сходящиеся при
И > г.
Если разности ф — ф, ф — ф1? ф — ф2, ф — ф3 и их первые р произ-
водные конечны, причем первая из них в окрестности точки х = а,
вторая — около точки х = р, третья — возле точки х = у, а четвер-
тая — когда х находится вблизи точки б, то мы будем иметь
lim «р+17?п (ап — Ъ.п — сп) = О,
lim (а_„ — 6_п — с_п) = 0, при и = °°-
Приближенные значения коэффициентов ап, следовательно, зависят
лишь от особенностей, которые имеет функция ф (х) на окружностях,
ограничивающих сходимость.
Обобщение на случай нескольких переменных
94.	Применим эти принципы к интересующему нас случаю.
Речь идет о разложении некоторой функции двух средних анома-
лий I и V в ряд следующего вида:
_ V Д рУ^Дт^+тгП
16*
244
Новые методы небесной механики. I
Мы имеем, следовательно
2л 2л
4лМТО1,т2= J ^F“
о о
Нам надо найти приближенное значение коэффициента Ат1<тг в случае,
когда отношение m1/m2 дано и конечно, а два числа т1 и т2 очень велики
или же, более общим образом, когда
т1 = ап + b, т2 = сп + d,
где а, Ь, с, d — конечные целые числа, ап — очень большое целое число,
а 11 с взаимно просты.
Если я утверждаю далее, что приближенно выполняется равенство
Ат1. т2 — ф (п), (тх = ап + b, m2 — cn-\-d),
то это будет означать, что отношение
д
tai, т2
<р(п)
стремится к единице, когда п неограниченно возрастает, а а, Ъ, с, d оста-
ются конечными.
Сформулировав таким образом задачу, я введу следующие обозна-
чения.
Положим
1
=4С, е^г'=Г“ zc;
тогда
тг
7?0 _______________________ у Л .гп&-тга с
Г х — ZuZlmij т2 I	Z .
Если мы затем положим для краткости
d
F(z, t) = Р^Ъс'-1Г~,
то найдем
m2—d
F (z, Z) = SJmi>m/az c ,
полагая для краткости
a = m^c — m2a -f- ad — be — 1.
Пусть теперь

Разложение возмущающей функции
245
интеграл берется по t вдоль окружности |Z| = 1. Мы будем иметь
m2—d
' $«“л.
Все интегралы равны нулю, кроме тех, для которых а = —1 и которые
равны 2гл.
Если а = — 1, мы будем иметь
т1 = ап + о, т2 = сп а,	—-— = п.
Теперь получаем
Ф (z) — m2Zn.
Поэтому если мы разлагаем Ф (z) в ряд вида
ф (z) = 2anz” + 2a_„z-n,
то коэффициент Лт,1ТПа есть не что иное, как ап при
= ап + Ь, т2 = сп d.
Итак, нам нужно искать приближенное выражение для ап при очень
больших п и, следовательно, изучать особенности функции Ф (z).
95.	Функция Ф (z) определена как интеграл по t вдоль окружности
|/j = 1. Можно заменить эту окружность произвольным контуром С, удов-
летворяющим все же некоторому условию.
Зафиксируем временно z и будем рассматривать F (z, t) как функцию
от t. Эта функция будет иметь некоторое число особых точек.
Необходимо, чтобы между окружностью |i| = 1 и контуром С не ока-
залось ни одной из этих особых точек.
Будем теперь изменять z непрерывным образом; эти особые точки будут
непрерывно перемещаться. Если в то же время непрерывно деформировать
контур С так, чтобы он никогда не проходил ни через одну особую точку,
то функция Ф (z) останется голоморфной.
Следовательно, функция Ф (z) сможет перестать быть непрерывной
только тогда, когда станет невозможным деформировать контур так, чтобы
он не проходил ни через одну особую точку. Вот как это может произойти:
представим себе, что при некотором значении z мы имеем две особые точки
аир, одну вне, а другую внутри контура С. Если при непрерывном изме-
нении z одна из них, например а, попадает на контур С, то мы можем
деформировать С, заставляя его, так сказать, убегать от этой подвижной
особой точки, так что эта точка а не сможет никогда достигнуть контура.
Таким образом, а останется всегда вне С, а р — внутри С. Но предположим
теперь, что а и Р неограниченно сближаются; контур С, так сказать, по-
246
Новые методы небесной механики. I
павший между двух огней, не сможет больше отступать перед этими двумя
подвижными точками, и функция Ф (z) не будет больше голоморфной.
Следовательно, чтобы получить все особые точки функции Ф (z), до-
статочно записать условие совпадения двух особых точек функции
F (z, Z), рассматриваемой как функция t.
Ряд
Ф (z) = Sanzn -ф Sa_nz“n
будет сходящимся в области, ограниченной двумя окружностями
|z| = R, |z| = г,
причем эти две окружности будут проходить через одну или несколько
особых точек, которые я только что определил.
Но если мы хотим знать, какие из этих особых точек находятся на этих
окружностях и определяют, следовательно, пределы сходимости нашего
ряда, то необходимо более углубленное исследование.
Действительно, нам подходят не все особые точки и тому есть несколь-
ко причин.
Во-первых, функция F (z, t) неоднозначна; если две особые точки а
и р функции F, рассматриваемой как функции t, сливаются при некотором
значении z, то для того, чтобы это значение было действительно особой
точкой Ф (z), необходимо, чтобы аир принадлежали одной и той же ветви
F и, кроме того, чтобы эта ветвь была той же, которая фигурирует в ин-
теграле вдоль С,
Fdt,
определяющем функцию Ф.
Кроме того, надо, чтобы эти две точки а и р, перед тем как слиться
в одну, не находились по одну сторону от контура С.
Пусть Н — путь, проведенный в плоскости z и идущий от точки z0
модуля 1 к особым точкам zx, определенным выше. Предположим, что мы
следуем по этому пути из z0 в zx и изучаем изменения Ф (z), беря за на-
чальное значение
Ф (z0) =	+ Sa_nz;«.
Хотя функция Ф (z) может не быть и, вообще говоря, не является одно-
значной, частная ветвь Ф (z), которую мы имеем в виду, полностью опре-
делена, так как мы задали начальное значение и пройденный путь.
Теперь требуется узнать, является ли точка zx в действительности осо-
бой точкой для этой частной ветви функции Ф (z).
Поскольку функция F (z, t) неоднозначна, надо изменять t не на пло-
скости, а на римановой поверхности S, имеющей столько же листов, сколь-
ко ветвей имеется у функции F (это число может быть бесконечным).
Разложение возмущающей функции
247
Когда z будет изменяться, следуя по пути Я, особые точки будут пере-
мещаться и риманова поверхность будет деформироваться. Контур С
следует считать проведенным на этой римановой поверхности.
Этот контур при z = z0 сведется к окружности |Z| = 1, проведенной на
одном из листов 5; когда поверхность S деформируется, то надо также де-
формировать контур С так, чтобы на него не попадало ни одной особой
точки. Тогда специальное, иногда весьма тонкое исследование позволит
увидеть, находятся ли для значения z, близкого к zx, две особые точки
функции F (z, t), сливающиеся в одну при z = zx, по разные стороны от
контура С, что является необходимым и достаточным условием того, что-
бы точка z = zx была особой для рассматриваемой нами частной ветви
функции Ф (z).
Как определить теперь, находится ли точка z} на одной из окружностей
|z| = Я, |z| = г,
которые ограничивают область сходимости ряда
Zanzn + 2a_nz-n,
и, таким образом, от нее ли зависит приближенное значение, которое мы
ищем?
Проведем путь Н, идущий из точки z0 модуля 1 в точку zx, так что мо-
дуль z изменяется монотонно. Если точка принадлежит одной из двух на-
ших окружностей, то она должна быть особой точкой для ветви Ф (z),
определенной путем Н, и это выясняется способом, который я только что
объяснил.
Если точка z1 удовлетворяет этому условию, то я скажу, что эта осо-
бая точка допустимая.
Теперь среди всех допустимых особых точек модуля, большего 1, те
будут находиться на окружности |z| = Я, у которых модуль будет самым
маленьким.
Точно так же среди всех допустимых особых точек модуля, меньшего
единицы, те будут находиться на окружности |z| = г, у которых модуль
самый большой.
Я добавлю в заключение, что функция Ф (z) имеет несколько ветвей,
которые переходят одна в другую, либо когда две ветви функции F (z, t)
переходят одна в другую, либо когда две из особых точек F (z, t) обходят
одна вокруг другой.
Я попытаюсь вначале определить особые точки Ф (г); я определю за-
тем с помощью специального исследования, какие из них подходят к на-
шему случаю.
Отыскание особых точек
96.	Ограничимся случаем движения в плоскости.
Пусть или — эксцентрические аномалии, sintp и sinq>' — эксцентри-
ситеты, Я2 и L'2 — большие оси, 3 и .3' — долготы перигелиев. Будем
248
Новые методы небесной механики. I
иметь
1 = и — sincpsinu, I'= и' — sincp'sinw'.
Координаты первой планеты по отношению к большой оси ее эллипса
и перпендикуляру, проведенному через фокус, будут
L2(cosu— sin ср) и L2 cos ср sin и.
Таким образом, это будут вещественная и мнимая части выражения ££2,
если положить
| = cos и — sin ср + У—1 cos ср sin и.
Если положить также
т) = cos и' — sin ср' + ]/ — 1 cos ср' sin и',
то координаты второй планеты, отнесенные к тем же осям, что и коорди-
наты первой, будут вещественной и мнимой частями выражения
Пусть
з = £,'2£-2еу=Ка'-а),
пусть
с0 = cos и — sin ср — У — 1 cos ср sin и,
Т]о = cos и' — sin ср' — У — 1'cos ср' sinu',
₽0 = L'2L-2e^(S)'-^;
получим
1________
1	(^о-роЛо) ’
Особые точки функции/1 (z, t) те же, что у функции Fy, поскольку F (z,t)
отличается от F^ лишь степенью t, и точка t = 0, которая, впрочем,
не войдет в рассмотрение, является уже особой точкой F^.
Особыми точками F[ будут те точки, для которых и и и' и, следователь-
но, т), |0, ц0 перестанут быть однозначными функциями от I и Г и, сле-
довательно, z и t; кроме того, те, для которых
В = Зц или |0 = 3ОК]О.
Я полагаю
х = eiu, у = eiu',
откуда
Разложение возмущающей функции
249
Из этого мы получаем
Затем получим
Н 1 Sin ф _____________________\
t = ес = х с е 2с я , z = eicl'tca = усхаеш,
полагая для краткости
a sin ф /1	\	« sin ф' /1	\
С другой стороны, будем иметь
е 1 (	, 1 \	, СОЗф I 1 \
£ = Я* + т;~81П(р+—-
n = T^+-)-slnq> +—
Особые точки F (z, t) даются уравнениями
dl .	г,
т- = 1 — S1H ф cos и = U,
du	т
dl' л .	,	, п
5—, = 1—sin <p cos и =0;
du'	т	1
Н = g - Рл = 0,
Но — — Зо'По — 0-
Мы можем переписать эти уравнения, используя переменные х и у,
тогда эти уравнения станут алгебраическими; в самом деле, два первых
запишутся в виде
2х— sin ф (х2	1) = 0,	(1)
2у — sin ф'(у2 4-1) = 0,	(2)
а два последних, после избавления от знаменателей, в виде
У [(ж2 + 1) — 2а: sin ср 4- созф(а:2 — 1)] = $х f (у2 4- 1) — 2у sin ф' 4-
4-созф'(у2 —1)],	(3)
У [(ж2 4-1) — 2а: sin ф — cos ф (а:2 — 1)] = $ох [(у2 4- 1) — 2ув1пф' —
— сояф'(у2 —1)].	(4)
250
Новые методы небесной механики. I
Чтобы найти особые точки Ф (z), достаточно записать условие совпа-
дения двух особых точек функции F (z, t).
Но это слияние может произойти двумя способами.
Либо особая точка, определенная одним из четырех уравнений = 0,
^7 = 0, Н = 0, /Го = 0, сливается с особой точкой, определенной дру-
гим из этих четырех уравнений: таким образом, мы получим особые точки
первого рода функции Ф (z).
Либо две из особых точек, определенных одним из этих четырех урав-
нений, сливаются в одну. Таким образом, мы получим особые точки вто-
рого рода функции Ф (z).
Чтобы получить точки первого рода, достаточно попарно скомбини-
ровать уравнения (1), (2), (3), (4). Мы видим, что эти точки никак не зави-
сят от целых чисел а и с.
Чтобы получить точки второго рода, надо действовать следующим
образом.
Пусть / (z, t) = 0 — одно из четырех уравнений (1), (2), (3), (4); чтобы
выразить совпадение двух особых точек, определенных этим уравнением,
достаточно написать
/-0,	g-0.
Если мы заменим переменные, выразив z и t, и, следовательно, / в виде
функций от I и Г, то получим
dt t \ dl dl') ’
так что уравнение dfldt = 0 можно будет заменить уравнением
или еще
с df	a df
1—sintpcosndn 1—sin tp'cos и' du
Левые части уравнений (1) и (2) зависят лишь от и или же от и'; мы их
можем не рассматривать; но мы имеем особые точки, которые лаются дву-
мя уравнениями
или двумя уравнениями
я, = о, "> = 0.
Разложение возмущающей функции
251
Мы имеем
Н = cos и — sin ф + i cos ср sin и — 8 (cos и' — sin ср' + i cos cp'sin и').
Уравнение dH/dt = 0 может быть, таким образом, заменено следую-
щим:
с (— sin и -|- i cos ср cos и)	аЗ (— sin и' 4- i cos ср' cos и')  
1 — sin <p cos u ‘	1 — sin ср'cos и'
или
с [cos ср (ж21) 4~ (ж2 — 1)] , аЗ [cos ср' (у2 4-1)4- (у2 — 1)] _ р
2х— sin ср (х2 + 1) -г 2у— sincp'(у2-[-1)	’	'
Аналогично уравнение dHJdt = 0 может быть заменено следу-
ющим:
с[—cos ср (ж2 4-1)4-(ж2 — !)] аЗо [— cos ф' (у2 4~ 1) 4- (у2— 1)] р ,fi.
2ж— sin ср (ж2 4-1)	* 2у—sin ср'(у2 4-1)	’	' '
Особые точки второго рода, таким образом, даются уравнениями (3)
и (5) или же уравнениями (4) и (6); следовательно, в противоположность
точкам первого рода они зависят от отношения целых чисел а и с.
Все особые точки Ф (z) находятся поэтому с помощью алге-
браических уравнений. Эти алгебраические уравнения упрощаются, если
предположить, что ср' = 0. Тогда можно предположить и что S' = 3 и,
следовательно, что ро = Р-
Уравнение (1) не изменяется, уравнение (2) сводится к у = 0 и его
можно больше не учитывать, уравнения (3) и (4) принимают вид
(а:2 4-1)— 2а: sin срcos ср (а;2— 1) = 2$ху,	(3)
у [ (а;2 4- 1) — 2х sin ср — cos ср (а:2 — 1) ] = 2$х.	(4)
Уравнения (5) и (6) становятся следующими:
с [cos ср (ж2 4- 1) 4-(ж2 — !)]	„
2ж — sin ср (ж2 4-1) I > »	’	V /
с [— cos ср (ж2 4-1)4- (ж2 — 1)] _ «3	„
2ж — sin ср (ж2	1)	у	' '
Комбинация уравнений (3) и (5) дает
2с [cosср (ж2	1) 4- (ж2 — 1)1 , о [(ж2 4-1) — 2жз1п ср cos <р (ж2 — 1)] _ ~
2ж— sin ср (ж2 4-1)	х	’	' '
а комбинация уравнений (4) и (6)
2с [— cos ср (ж2 4- 1) 4- (ж2 4~ 1)1	а[(ж24-1)— 2жз1пср — созср(ж2 —1)] _ „
2ж — sin <р (ж2 1)	х	~	'
252
Новые методы небесной механики. I
Уравнения (7) и (8) дают значения х, соответствующие точкам второго
рода; уравнение (1) дает значения х, соответствующие некоторым точкам
первого рода.
Нам остается рассмотреть точки первого рода, определяемые уравне-
ниями (3) и (4), поскольку уравнение (2) становится иллюзорным.
Уравнения (3) и (4) записываются в виде
5 — рт] = |0 — ЗоПо = 0.
Если они удовлетворяются одновременно, то мы имеем
= ₽ЗэЛЛо=Р2-
Но
Йо = (1 — sin ф cos и)2.
Таким образом получаем
1 — sin ф cosu = + 3,
так что значения х, соответствующие такому роду особых точек, даются
двумя уравнениями
2х — simp (х2 + 1) = 2$х,	(9)
2х — sin ф (х2 — 1) = — 2рх.	(10)
Значения х, соответствующие особым точкам, мы будем находить из
пяти уравнений (1), (7), (8), (9) и (10). Заметим, что уравнения (1), (9)
и (10) возвратны и что уравнения (7) и (8) переходят одно в другое при
замене х на Их. Итак, если х — особая точка, то и Их также будет особой
точкой. Это было нетрудно предвидеть.
Если положить ф — 0, то наши уравнения сведутся к х = 0, следо-
вательно, когда ф стремится к нулю, корни уравнений (1), (7) и (8) стре-
мятся к нулю или к бесконечности.
Если положить
tgj = Т,
то уравнения (3) — (8) соответственно принимают вид
(х — т)2
У = 3 (1 + Т2) а: ‘ ’
3 (1 + т2) х
J (1 — а:т)2 ’
С (X —I— Т) । г\ г\
= °-
с (1 + жт) , аЗ ____ п
С (ж + Т) а (ж — т)2 _ р
1—XX ' (1 -|- Т2) X ’
с (1 + Хх) . е(1 — та:)2___
х — х -Г (1 4- т2) х ~ ’
Разложение возмущающей функции
253
С другой стороны, уравнение (1) дает нам решение
1
X = т, X = — .
т
Когда <р и т очень малы, мы видели, что значения х очень малы или
очень велики, и поскольку уравнения не изменяются при замене х на 1/х,
мы должны прийти к выводу, что имеется ровно столько же очень малых
значений, сколько и очень больших.
Наши уравнения и соответствующие значения х немного упрощаются,
если, предполагая ф очень малым, пренебречь квадратом этой величины.
Уравнения (1), (9) и (10) тогда дают нам соответственно для х три
очень малых значения, приближенно равные
— 2 ,	21 — 3’	21 + 3’	>
и три очень больших значения — приближенно равные
ж =	(Hbis)
ф ’	ф	ф	х	'
Уравнение (7) дает два очень малых значения, определенные прибли-
женно уравнением
4ж2 (а + с) + 2гсф (с — 2а) + аф2 = 0,	(12)
и одно очень большое значение, равное приближенно
2 а + с
(13bis)
Из уравнения (8) находим два очень больших значения, определяемых
уравнением
4 (а + с) + 2гсф (с — 2а) + аа;2ф2 = 0,	(12bis)
и одно очень малое, которое записывается в виде

2 а + с
(13)
Легко проверить, что корни уравнений (12) и (12bis) вещественны
при с!а 0. Итак, если с и а имеют противоположные знаки, а ф доста-
точно мало, то корни уравнений (7) и (8) вещественны.
После того как мы определили таким образом значения х, соответст-
вующие различным особым точкам, остается определить значения риз.
Прежде всего я замечу, что если имеем особую точку, соответствующую
некоторым значениям х, у и z, то обратные величины 1/х, 1/у и 1/z будут
соответствовать другой особой точке, которую я назову обратной к пер-
вой. В самом деле, наша система уравнений не изменяется при замене х,
у, z на l'x, 1/у, 1/z, и это, впрочем, легко было предвидеть.
254
Новые методы небесной механики. I
Значения х и у будут определяться следующими парами уравнений:
(1), (3); (1), (4); (7), (3); (8), (4); (9), (3) или (4); (10), (3) или (4).
Из этих уравнений мы видим, что если <р очень мало и может рассмат-
риваться как бесконечно малая величина первого порядка, то у очень
мало, если х очень мало, и очень велико, если х очень велико.
С другой стороны, мы имеем
a sin ф _1_\
z = уехае 2 Л
Если <р — бесконечно малая величина первого порядка, то х бесконеч-
но малая (или бесконечно большая) того же порядка; то же верно и для
a sin <р / 1	\	s
у; тогда показатель —(-— х I конечен, следовательно, z — бесконечно
малая (или бесконечно большая) величина порядка а + с.
Среди особых точек я выделю ту, которая определяется равенством х=т
(решение уравнения (1)) и уравнением (3).
Действительно, для этой точки у и z равны нулю.
Точно так же для точки, обратной предыдущей п определяемой ра-
венством х=Их (другое решение уравнения (1)) и уравнением (4), значения
у и z бесконечны.
Поэтому в дальнейшем мы не будем заниматься исследованием этих
Двух особых точек.
Исследование
97. Остается разрешить следующий вопрос.
У меня всего четырнадцать особых точек, семь из которых соответст-
вуют очень малым значениям х и у, а семь — очень большим.
С другой стороны, семь из этих точек соответствуют очень малым
значениям z, а семь — очень большим. Требуется определить, для какой
из семи первых точек модуль z самый большой (это нам в то же время по-
зволит узнать, какой из семи других точек соответствует самый малый мо-
дуль z, поскольку значения z попарно обратны, так же как значения х
я у)-
Если соответствующие особые точки допустимы, то именно они опре-
деляют окружности
j z’| = R, | z | =-- г ^здесь R = yj .
Чтобы не удлинять исследование изучением слишком большого числа
различных частных случаев, я сделаю несколько частных предположений.
Я предположу, что
р >1.
Разложение возмущающей функции
255
Предположу также, что отношение а/с близко к отношению средних дви-
жений с противоположным знаком, т. е. что приближенно выполняется
равенство
ап + сп = О,
где п и п — средние движения. Действительно, наиболее интересны те
члены, которые соответствуют малым делителям.
Таким образом, приближенно имеем
это показывает, что с и а имеют противоположные знаки. Я предположу,
например, что с положительно, а а отрицательно; поскольку р больше 1,
с + а будет положительно.
Благодаря этим предположениям, все значения х вещественны.
Это позволит нам дать простую геометрическую картину, которая об-
легчит исследование. Мы представляем каждую особую точку точкой
плоскости с прямоугольными координатами ж и у.
Я сделал два рисунка (рис. 2 и 3); первый представляет квадрант пло-
скости, заключенный между положительной частью оси х и положитель-
ной частью оси у, а второй — квадрант, заключенный между отрицатель
ними частями оси х и оси у.
Рис. 2
Рис. 3
Прямые AS и A 'S' имеют соответственно уравнения
X — т,
Две ветви кривой C'B'DBP и QFAE'R' имеют уравнение
____________________________ (х — т)2
У 3 (1 + Т2) X
256
Новые методы небесной механики. I
т. е. уравнение (3) предыдущего пункта; две ветви кривой
B'D'BCOREL и R'F'Q'
имеют уравнение (4) предыдущего пункта
"	(1 —тх)2
Различные особые точки представлены на рисунках следующими точ-
ками:
А..........уравнения (1) и (3) (г = т)*
В............(9),	(3), и (4) [2-е уравнение (11)],
С...........(8) и	(4)	[(13)],
D...........(7) и	(3)	[(12), отрицательный	корень],
Е..........•(!) и	(4)	(ж = т),
F.............(7)	и (3) [(12), положительный корень],
R............(10)	(3) и (4) [3-е уравнение (11)]
и точками А',В',С,D', Е',F' mR', соответственно обратными предыдущим.
Легко проверить, что если <р достаточно мало, то действительно точки
расположены в порядке, указанном на рисунках, т. е. их абсциссы возра-
стают при обходе точек в порядке С, В', Dr, D, В, С, F, R, Е, Е', R', F'.
Сравним значения z, соответствующие этим различным точкам. Преж-
де всего видно, что для точек рис. 2 (где х 0, у 0) z вещественно и
положительно и что для точек рис. 3 (где х 0, у 0) аргумент z равен
(с + а) л, а аргумент Zc равен (1 + а/с) л. Остается посмотреть, как изме-
няется модуль г. Если идти вдоль кривой (3) или (4), то максимумы и ми-
нимумы |z | соответствуют точкам касания кривых (3) и (4) с кривыми
a sin <р ( 1 __
z = if-xae 2 х = const,
т. е. точкам С, D, F, А для кривой (3) и точкам D', С, F' для кривой (4).
Вот картина изменения |z|.
1. Когда мы следуем вдоль кривой (3)
ВО'............| z | = 0
Из О' в С' . . . возрастает
ВС'...........max
Из С в D . . . убывает
В D...........min
Из D в Р . . . возрастает
В Р...........|2| = сю
В О...........| z | = 0
Из Q в F . . . возрастает
ВЛ............max
Из F в А . . . убывает
ВЛ............| z | = 0
Из Л в О" . . . возрастает
В О''..........| z | = сю
Здесь и ниже в этом пункте все обозначения уравнений относятся к п. 96 (Прим. ред).
Разложение возмущающей функции
257
2. Когда мы следуем вдоль кривой (4)
В Р'...........| z | = О
Из Р' в D' . . . возрастает
В D'...........max
Из D’ в С . . . убывает
ВС............min
Из С в О , . . возрастает
ВО.............|z| = oo
ВО.............|z| =0
Из О в L или в А' ... воз-
растает
В А'............| z | = оо
Из А' в F' . . . убывает
В F'............min
Из F' в Q' . . . возрастает
В Q'...........| z | = оо
Отсюда заключаем, что z в точке В больше, чем в точке С, a z в точке
Е больше, чем в точке R.
Точно так же значение z в точке D меньше, чем в точке В, a z в точке
R меньше, чем в точке F.
Мы видели, что поскольку функция F (z, t) неоднозначна, то контуры
интегрирования надо проводить на соответствующей римановой поверх-
ности с бесконечным числом листов. Чтобы избежать рассмотрения этой
римановой поверхности, можно сделать замену переменных. Заметим,
в самом деле, что квадрат F^ — однозначная функция х и у и что, следова-
тельно, квадрат F (z, t) — однозначная функция ж1/с и z1/c.
Итак, если мы условимся придать определенное значение zL'c, которое
мы рассматриваем временно как постоянное, то одной точке плоскости
ж1/с будут соответствовать только два противоположных значения F (z, t).
Мы сможем тогда провести наши контуры интегрирования на плоскости х1/с.
Дадим сперва z1/c начальное значение £0, модуль которого равен 1.
Определяя Ф (z), мы условились, что контур интегрирования, вдоль
которого берется интеграл
Ф(z) = F (z, t) dt,
должен сводиться к окружности |f| = 1 для значений z с модулем 1.
Для z1/c = £0 мы должны, следовательно, за контур интегрирования
принять в плоскости t окружность |i| = 1 и в плоскости х1/с окружность
(аД'с| = 1.
Итак, вот правило, позволяющее узнать, допустима ли особая точ-
ка функции Ф (z). Пусть а, — значение х1!с и — значение z1/c, соответ-
ствующие этой особой точке. Предположим, например, что модуль
меньше 1; как мы знаем, половина особых точек Ф (z) имеет модуль мень-
ше 1. Мы будем изменять z1/c следующим образом: его аргумент должен
оставаться постоянным и равным аргументу а его модуль будет воз-
растать от |£i| до 1. Другими словами, точка zlft опишет отрезок прямой Д,
ограниченный точками и £{/|	|.
Для каждого из значений z1/c функция F (z, t), рассматриваемая как
функция от х11с, имеет некоторое число особых точек; при zlc = Zi две
из этих особых точек сливаются в одну точку сс{. Когда z1/c пробегает пря-
17 А. Пуанкаре
258
Новые методы небесной механики. I
мую А, эти две особые точки изменяются непрерывным и вполне опреде-
ленным образом. Когда z1/c достигает конечного значения £i/|£i|, то ко-
нечные положения этих двух особых точек могут оказаться либо оба внут-
ри, либо оба вне окружности |а;1/с| = 1, и тогда' рассматриваемая точка
недопустима; либо же конечное положение одной точки — внутри, а дру-
гой — вне этой окружности, и тогда рассматриваемая точка допустима.
Функция F (z, t) умножается на корень с-й степени из единицы, когда
х1,с умножается на корень с-й степени из единицы.
Предположим теперь, что для данного значения z1/c точка
з
хс = у
— особая точка функции F (z, t), рассматриваемой как функция от а?1'-.
Тогда особыми будут также точки
1	2ire	1	4ire	1	2 (с—1) ire
х с = с , хс — уе с ,	..., хс = уе с
Мы видели, что значения х, соответствующие особым точкам Ф (z),
все вещественны и, следовательно, их аргумент равен 0 или л. Соответ-
ствующие значения х1!с будут поэтому иметь аргумент Ыс, где к — целое
число. Итак, если а; — одно из этих^ значений, то я могу написать
2fcir,
= а^е с ,
где аргумент равен 0 или л/с, а. к — целое число.
Если а, соответствует особой точке функции Ф (z), т. е. двум слившим-
ся особым точкам функции F (z, t), то это же верно и для а/.
Я утверждаю, что для того, чтобы точка а, была допустимой, необхо-
димо и достаточно, чтобы точка а/ была допустимой.
Действительно, применим правило: когда точка z1/c будет пробегать
прямую А, две особые точки, первоначально слившиеся в аг, будут иметь
конечные положения в у и у'; точно так же две особые точки, первоначаль-
но слившиеся в а/, будут иметь конечные положения
уе с и у'е <: .
Очевидно, для доказательства сформулированной теоремы достаточно за-
метить, что
Итак, достаточно будет исследовать особые точки, соответствующие
вещественным положительным значениям х^с, т. е. точкам F, R и А ри-
Разложение возмущающей функции
259
сунка, и особые точки, соответствующие значению л/с аргумента
т. е. точкам В, D и С рисунка.
Точка Е недопустима', действительно, соответствующее значение а;
равно
1
= тс ;
когда точка z1/c будет пробегать прямую А, две особые точки, первоначаль-
но слившиеся в ai; останутся вещественными. Каждой из них будет соот-
ветствовать одно значение х и одно значение у и, следовательно, одна изо-
бражающая точка на нашем рисунке.
Одна из этих изображающих точек будет пробегать тогда прямую
ES, а другая — кривую EL.
Итак, одна из особых точек останется неподвижной и равной т1/,; и
будет, следовательно, всегда иметь модуль меньше 1.
Начальное значение Ci величины z1/,: вещественно и положительно;
следовательно, прямая А будет частью вещественной оси, а конечное зна-
чение Ci/|?i| будет равно 1.
Другая особая точка (соответствующая изображающей точке, которая
пробегает кривую EL) имеет положительное вещественное значение, ко-
торое я обозначу т; требуется определить, будет ли Т больше или мень-
ше 1.
Когда эта изображающая точка описывает кривую EL от Е до L,
модуль z возрастает от некоторого очень малого значения до бесконечно-
сти; следовательно, он пройдет в точности один раз через значение еди-
ница. Требуется показать, что соответствующее значение т2 величины х
меньше 1. Для этого достаточно показать, что когда абсцисса х этой изо-
бражающей точки достигает значения 1, то |z | будет больше 1.
Но мы находим, что при х = 1
a sin<p / 1	\
z = усхае 2 х — ус.
Следовательно, остается доказать, что у /> 1.
Но очевидно, что
Таким образом, у 1. Итак, точка Е недопустима, что и требовалось до-
казать.
Точка F недопустима', в этом случае прямая А также будет частью ве-
щественной оси, поскольку будет вещественна. Особые точки, первона-
чально слившиеся в а{, не останутся вещественными, но они останутся ком-
плексно-сопряженными, следовательно, они имеют один и тот же модуль,
таким образом, невозможно, чтобы, когда z1/c достигнет конечного значе-
17*
260
Новые методы небесной механики. I
ния = 1, одна из этих точек была больше 1, а другая — меньше 1
по абсолютной величине, что и требовалось доказать.
Однако нам полезно знать, будет ли общий модуль этих двух особых
точек больше или меньше 1, когда z1/e достигнет конечного значения 1.
Поскольку он первоначально был меньше 1, то он может перестать быть
меньше 1, лишь пройдя через значение 1. Следовательно, необходимо, что-
бы для комплексного значения х с модулем 1 величина z1/c имела вещест-
венное положительное значение.
Итак, проведем в плоскости х линии равного аргумента функции
a sin ф
(ж — т)2с	2
z = —i--------------хпе
[3(1 +ФГ
Эти линии представлены на рис. 4, по крайней мере в той части пло-
скости, которая только нас и интересует — в окрестности точки О.
Замечательными точками являются точка х = 0, соответствующая точ-
ке О рис. 2, точкам = т, соответствующая точке А, и две точки, соответ-
ствующие точкам D и F. Эти точки, впрочем, обозначены на рис. 4 теми же
буквами.
Рис. 4
Некоторые линии равного аргумента, а именно те, которые рассматри-
ваются как замечательные, обозначены сплошной чертой. Это, с одной
стороны, вещественная ось и, с другой стороны, линии, идущие из точки О
к точке F и из точки Л к точке D. Другие линии равного аргумента, ко-
торые оканчиваются либо в точке О, либо в точке А, либо в обеих, обозна-
чены пунктиром.
Когда точка z1/c будет пробегать прямую А, точка х будет описывать
кривую, обозначаемую сплошной линией FO нашего рис. 4.

262
Новые методы небесной механики. I
Вторая изображающая точка описываетDB'; я утверждаю, что конеч-
ное значение |ж| больше 1. Для этого надо показать, что при х 1 |z| = 1,
но при х = —1
(1+т)2
3(1 + т2) '-1
И =
Iz I = I у Г-
(если т достаточно мало).
Из наших трех конечных абсолютных величин две меньше 1, а одна
больше 1.
Следовательно, точка допустима, что и требовалось доказать. Таким
образом, из шести точек B,C,D ,E,F,R только точка D допустима.
Точно так же из шести обратных точек 2?',С',D',Е',Fr,R' лишь точка D'
допустима.
Итак, если один из эксцентриситетов достаточно мал, а другой равен
нулю, наклонение орбит равно нулю, большая ось круговой орбиты
больше, чем большая ось эллиптической орбиты; если отношение —da
мало отличается от отношения средних движений, то точки D и D' опре-
деляют радиусы сходимости г и R = 1/г.
Чтобы облегчить понимание этого исследования, я сделал пятый чер-
теж, где изобразил изменение особых точек, взяв за абсциссу ось х, если
х вещественно, и |ж|, если х комплексно, а за ординату — |z|. Я изобра-
зил, однако, лишь те особые точки, которые играют роль в нашем иссле-
довании. Прямые, проведенные штрих-пунктирной линией, — оси коор-
динат ж = 0и|г|=0и прямые х = +1, |z| =1.
Рис. 5
Кривые, проведенные сплошной линией, изображают изменение ве-
щественных особых точек, а кривые, проведенные пунктиром,— измене-
ние комплексных особых точек. В соответствии со сделанными выше до-
пущениями, каждая из точек этих пунктирных кривых изображает две
комплексно-сопряженные особые точки.
Различные замечательные точки обозначены теми же буквами, что и
соответствующие точки на предыдущих чертежах. Чтобы найти различные
конечные значения, к которым приходим, двигаясь из той или иной осо-
Разложение возмущающей функции
263
бой точки, надо следовать вдоль сплошных или пунктирных кривых,
двигаясь всегда вниз (поскольку на чертеже положительная ось |z ] направ-
лена вниз) до прямой |z| — 1. Таким образом, находим:
Для точки D конечные значения равны					Т1, Тг и	Тз
»	»	в	» »	»	Т 2 И Тз,	
»	»	с	» »	»	Та, Тз и	Та,
»	»	F	» »	»	Тз,	
»	»	В	» »	»	Тз, Те и	Тт,
»	»	Е	» »	»	То и Т7.	
Я напомню, что у5 изображает два комплексно-сопряженных конечных
значения. Мы видим, что все найденные конечные значения, кроме Тп
меньше 1 по абсолютной величине.
Исследование в общем случае
98. Недостаток места не позволяет мне провести исследование в самом
общем случае; однако я могу в нескольких словах наметить путь, которым
оно должно быть проведено.
Если мы будем изменять элементы орбит непрерывным образом, то
особые точки функции Ф (z) будут также изменяться непрерывным обра-
зом. Предположим, что мы изменяем эти элементы так, что орбиты оста-
ются вещественными и ни в какой момент не пересекаются в вещественной
точке, так что ни в один момент особые точки функции Ф (z) не сливаются.
Рассмотрим особую точку функции Ф (z); она будет непрерывно изменять-
ся, и поскольку мы предположили, что она никогда не сливается ни с од-
ной другой точкой, то можно проследить за ее изменениями, не опасаясь
неоднозначности.
Я утверждаю, что если эта точка допустима в некоторый момент, то
она всегда останется допустимой, и обратно, за исключением одного слу-
чая, к которому мы еще вернемся.
Действительно, допустимость особой точки равносильна тому, что сре-
ди конечных значений х, соответствующих этой точке, имеются такие, мо-
дуль которых больше 1, и другие, модуль которых меньше 1.
Здесь, однако, необходимо некоторое уточнение. Действительно, в ча-
стном случае, рассмотренном в предыдущем пункте, F (z, i) была одно-
значной функцией z1/,: и х1'с, что позволило нам изобразить особые точки
F (z, t) на плоскости а;1'.
В общем случае дело обстоит иначе, и такое простое представление
становится невозможным. Надо изображать особые точки функции F (z, it)
(рассматриваемой как функция от t) на специальной римановой поверх-
ности, обозначенной мною выше через S.
264
Новые методы небесной механики. Г
Эту поверхность можно определить следующим образом. Имеем
Если мы зафиксируем z, то это уравнение будет определять соотноше-
ние между х и у, которому удовлетворяет бесконечное число систем зна-
чений х и у, или же и г/1/с. Каждую из этих систем значений можно
назвать аналитической точкой. Каждой точке римановой поверхности
будет соответствовать одна и только одна из этих аналитических точек,
и обратно.
Когда мы станем изменять z, риманова поверхность S также будет из-
меняться, потому что особые точки функции F (z, t) перемещаются.
Пусть 50 — значение S, когда модуль z становится равным единице.
Мы сможем провести на поверхности 80 окружность, которую я обозначу
Со и уравнение которой
И = Ы = 1-
(В самом деле, если придать х произвольное значение с модулем 1,
то всегда можно выбрать значение у, также имеющее модуль 1, так что z
будет иметь любое наперед заданное значение с модулем 1.)
Окружность Со делит риманову поверхность 80 на две области. Ту из
двух областей, которая содержит соседние с Со точки с |ж|	1, я обо-
значу Ro, а другую — Ro'.
Итак, предположим, что точка zVc пробегает прямую А из предыдущего
пункта, и пусть мы изучаем изменения особых точек функции F (z, 2).
Когда z изменяется, эти точки перемещаются по поверхности S, в то вре-
мя как поверхность 5 сама изменяется. Две из этих точек, первоначально
слившиеся в одну (которая является особой точкой функции Ф (z)), раз-
деляются; когда модуль z достигает значения 1, a S сводится к 50, они
достигают на этой поверхности 50 конечных положений. (Исследование
предыдущего пункта нам показало, что существуют случаи, когда одна из
этих особых точек сама разделяется на две другие; тогда имеются два ко-
нечных положения, но то, что я скажу, все равно остается применимым.)
Если все конечные положения принадлежат одной и той же из двух огра-
ниченных окружностью Со областей на поверхности So, то соответствую-
щая особая точка функции Ф (z) недопустима; в противном случае она
допустима.
Отметим небольшое отличие этой формулировки от той, которая была
дана первоначально и соответствует частному случаю, указанному в пре-
дыдущем пункте. Аффиксы двух рассматриваемых особых точек могут
быть по абсолютной величине один — больше, а другой — меньше еди-
ницы, но эти две точки могут тем не менее принадлежать одной и той же
из двух указанных выше областей, если они не принадлежат одному и
тому же листу римановой поверхности.
Разложение возмущающей функции
265
Я утверждаю теперь, что при изменении элементов двух орбит особая
точка, которая сначала была допустимой, не может, вообще говоря, стать
недопустимой, и обратно. В самом деле, рассмотрим изменения поверх-
ности So и изменения значений, которые мы назвали конечными. Для
того чтобы особая точка действительно перестала быть допустимой или
стала ею, надо, чтобы соответствующее конечное значение пересекло ок-
ружность Со, чтобы перейти из одной области в другую. Но каков же смысл
уравнений этой окружности Со
и = |т/| = 1?	(2)
Они означают, что обе эксцентрические аномалии вещественны. Каж-
дой точке М римановой поверхности S, и в частности поверхности 80,
соответствует пара точек Р и Р', лежащих на орбитах и определенных зна-
чениями эксцентрических аномалий, или, что то же самое, значениями х
и у. Если точка М находится на окружности Со, то точки Р и Р' вещест-
венны. Точка М может быть особой лишь в том случае, когда расстояние
РР' равно нулю или же когда одна из точек находится на нулевом расстоя-
нии от Солнца. Второе обстоятельство не может представиться в случае,
когда точки Р и Р' вещественны; первое также не может представиться,
если, как мы предположили, орбиты не пересекаются ни в одной веще-
ственной точке.
Таким образом, невозможно, чтобы точка’окружности С'о была особой,
т. е. чтобы одно из конечных значений достигло окружности; другими сло-
вами, чтобы особая точка функции Ф (z) приобрела или потеряла свойство
допустимости.
Остается, однако, рассмотреть один случай, когда это рассуждение не
проходит. Я предполагаю, что точка z1/c пробегает прямую Д, и мы изу-
чаем соответствующие изменения особых точек функции F (z, t). Вначале
две из этих точек слились в одну и, следовательно, совпадают с особой
точкой А функции Ф (z); затем они разделяются; пусть а — одна из этих
точек; может случиться (и мы видели примеры этому в предыдущем пунк-
те), что для некоторого значения z точка а сливается с другой особой точ-
кой функции F (z, t) (вообще говоря, отличной от той, с которой она сов-
падала вначале) и, следовательно, с особой точкой В функции Ф (z).
Затем они разделяются, так что особая точка А имеет не два, а три конеч-
ных значения.
В этом случае для краткости я буду говорить, что точка В подчинена
точке А; для этого надо, чтобы значение z в точке В имело тот же аргумент,
что и значение z в точке А, а его модуль был ближе к единице, чем в
точке А,
Пусть теперь А л В — две особые точки функции) Ф (z) и предположим,
что их z первоначально имели различные аргументы. Будем непрерывно
изменять элементы двух орбит и, следовательно, точки А и В; если в не-
который момент точка В становится подчиненной точке А, то может слу-
'266
Новые методы небесной механики. I
читься, что в этот момент вопреки общему правилу, сформулированному
выше, точка А становится допустимой или перестает ею быть.
Посмотрим, как это может произойти. Заметим сначала, что значения х,
соответствующие особым точкам функции Ф (z), определяются из алге-
браических уравнений. Если точки А и В определены, таким образом,
одним и тем же неприводимым уравнением, я скажу, что они имеют одну
природу, а в противном случае — различную. Нетрудно видеть, что если
точки А и В различной природы, то точка В может стать подчиненной точ-
ке А; при этом последняя не потеряет и не приобретет свойства допусти-
мости.
Теперь я предположу, что точки А и В одной природы. Если точка В
недопустима, то она может стать подчиненной точке А, причем последняя
не станет допустимой и не перестанет ею быть. Если, напротив, точка В
допустима, то в общем случае может случиться, что в момент, когда В
станет подчиненной А, точка А перестанет быть допустимой, если до этого
она была таковой или же станет допустимой, если она не была допусти-
мой. При этом точка В всегда сохраняет свойство допустимости или недо-
пустимости.
Итак, предыдущие рассуждения позволяют нам определить, какие
из точек допустимы, непрерывно изменяя элементы орбит и следуя за
изменениями особых точек. При этом можно либо ограничиться таким
изменением элементов, при котором две особые точки ни в один момент
не имеют z с одним и тем же аргументом (чтобы избежать исследования,
необходимого для определения того, действительно ли они подчинены одна
другой), либо не ограничивать изменения элементов, но проводить иссле-
дование подчиненности особых точек.
Можно изменять не только элементы орбит, но и отношение c/d, отвле-
каясь при этом от того, что оно должно быть рациональным; последнее
мы предполагали лишь в очень частных целях, не имеющих никакого от-
ношения к изучению допустимости особых точек. Для того чтобы только
что сказанное нами было применимо, это отношение dd должно все же
оставаться вещественным и не проходить ни через 0, ни через бесконеч-
ность.
Итак, для того чтобы можно было применить предыдущие рассужде-
ния, достаточно знать, какие особые точки допустимы для некоторых зна-
чений элементов. Таким образом, того, что я говорил в предыдущем пунк-
те по поводу частного случая, нам, по-видимому, достаточно; однако в этом
частном случае некоторые особые точки оказывались либо 0, либо беско-
нечностью, и я на них не останавливался в нашем исследовании. Поэтому
мне необходимо добавить еще несколько слов.
Предположим вначале, что оба эксцентриситета конечны, а на-
клонение остается нулевым. Пусть
tg = Ъ tg = т .
Разложение возмущающей функции
267
Особые точки функции F (z, 7) будут тогда определены следующими урав-
нениями:
1 , 1
X = T, X = — ,	11 = X ,	11 ~	,
'	т J	т
У (ж — т)2 _ о (У — т')2
1+т2	~ № 141Т'2 ’	W
(1 — Ti)2 „	(1 —т',1/)2	,/х
= 1+?2--	(4)
Кривые (3) и (4) третьего порядка; для того чтобы они были вещественны-
ми, необходимо и достаточно, чтобы большие оси двух орбит совпадали,
т. е. чтобы разность 3 — 3' была равна 0 или л.
Предположим, что 3 = 3', тогда на кривой (3) будет двойная точка
X = т, у = т'.
Если х' очень мало, то кривая будет иметь три ветви: первая, которую я
обозначу будет мало отличаться от ветви B'DBP рис. 3; вторая, ко-
торую я обозначу у2, пройдет через начало и через двойную точку. Она
будет вначале асимптотически приближаться к отрицательной оси х
и будет очень близка к ней; затем, пройдя через двойную точку, она будет
мало отличаться от ветви АО" рис. 2. Третья ветвь, которую я обозначу
Уз, будет асимптотически приближаться к оси у, она очень мало отлича-
ется вначале от ветви QRA рис. 2, затем проходит через особую точку
и очень близка к оси х, к которой она асимптотически приближается.
Отныне я буду говорить, что две точки обратны, если они переходят
одна в другую при замене х на i/x, у на 1/у, z на 1/z и У—1 на —	— 1.
Две кривые (3) и (4) тогда обратны друг другу. Если 3 = 3' и, следова-
тельно, наши кривые вещественны, то это определение не отличается от
определения предыдущего пункта.
В качестве особых точек мы имеем.
1.	Пересечения кривых (3) и (4), очень мало отличающиеся от точек В,
В', В, R' рис. 2 и 3 и которые я по-прежнему могу обозначать теми же
буквами. Мы видели, что они недопустимы.
2.	Пересечения х = г и кривой (4); х = 1/т и кривой (3), мало отлича-
ющиеся от точек Е и Е' рис. 2; они также недопустимы.
3.	Три точки, расположенные на кривой (3) и очень мало отличаю-
щиеся от точек D, F, и С рис. 2 и 3; лишь одна первая допустима.
4.	Три точки, обратные предыдущим, расположенные на кривой (4);
лишь та, которая мало отличается от D', допустима.
5.	Точку, определенную уравнениями (3) и (5), расположенную па
ветви у2 и сводящуюся к у = 0, х — —г при х' = 0. Эта точка, которую
мы не рассматривали в предыдущем пункте, требует особого исследова-
ния. Исследование докажет, что эта точка, которую я обозначу Т, допу-
стима; две особые точки функции F (z, 7), совпадающие с ней, разделяются,
268
Новые методы небесной механики. I
когда z1/c пробегает прямую Д, и вначале комплексно сопряжены, потом
они снова соединяются в одну точку, соответствующую точке D, и за-
тем опять разделяются, становясь вещественными. Конечные значения Т
те же, что и D; таким образом, Т допустима, как и D.
6.	Точку Т', обратную Т и, следовательно, допустимую, как и она.
7.	Двойную точку х = т, у = г', которую я обозначу U; через эту
точку проходят две из ветвей кривой (3) и две прямые х = т, у = т'.
Этой точке соответствуют четыре конечных значения, поскольку, когда
z1/c пробегает прямую Д, четыре особые точки F (z, t), вначале сливаю-
щиеся в одну, разделяются таким образом, что четыре изображающие
точки описывают соответственно две ветви кривой (3) и прямые х — х,
у = т'; среди этих конечных значений три меньше 1 по абсолютной ве-
личине или, более точно, принадлежат области Ro римановой поверхности
80. Четвертое конечное значение — то, которое соответствует ветви
кривой,— принадлежит другой области. Таким образом, точка допустима.
8.	Точку U', обратную С/, т. е. двойную точку кривой (4); она по той
же причине допустима.
9.	Остаются еще точки пересечения прямой у = т' с кривой (4), кото-
рые я обозначу V и W, и точки пересечения прямой у = Их с кривой (3),
которые я обозначу V и W; к ним я добавлю две взаимно обратные точки
(х = х,у = ^) И ^=l,y = T^,
которые я обозначу X и X'. Точка X недопустима, и оба конечных значе-
ния, соответствующие двум прямым х = х и у = 1/т, принадлежат об-
ласти Rq.
Перейдем к точке V (очень близкой к началу координат точке пере-
сечения прямой у — х' с кривой (4)); когда точка zVc пробегает Д, две
изображающие точки, соответствующие двум разделяющимся особым точ-
кам, следуют: первая — кривой (4) до точки R, а вторая — прямой у =
= х' до точки U. Точки R и U подчинены, следовательно, V, и эта точка V
допускает в качестве конечных значений множество конечных значений
точек R и U. Все конечные значения R принадлежат области 7?0; конеч-
ные значения точки U, которая является допустимой, принадлежат обеим
областям. Итак, точка V допустима, но она перестает быть таковой, как
только разность 3 — Й', перестав быть равной нулю, становится очень
малой. Действительно, в этом случае R и U уже не подчинены V и у V
остаются лишь два конечных значения: одно, близкое к одному из конеч-
ных значений R, а другое — близкое к одному из конечных значений U
(соответствующему прямой у = т'); оба эти конечные значения U принад-
лежат области Ro.
Наконец, W — недопустимая особая точка [точка пересечения кри-
вой (3) с прямой у — 1/х, близкая к оси у]. Действительно, этой точке
подчинены F и X, конечные значения которых принадлежат Ro.
Разложение возмущающей функции
269
Таким образом, если наклонение равно нулю, разность Э — S' очень
мала, эксцентриситет <р мал, а эксцентриситет <р' очень мал по отноше-
нию к ср, то единственными допустимыми точками будут D, Т, U и об-
ратные им.
Предположим теперь, что наклонение не равно нулю, но очень мало.
Если мы запишем, что расстояние между двумя планетами равно нулю,
то получим не два разных уравнения (3) и (4), как в предыдущем случа е,
а единое уравнение
0 (х, у) = О,
которое, если рассматривать (как на рис. 2) х и у как координаты точки
в плоскости, будет определять кривую шестого порядка.
Эта кривая распадается на две кривые третьего порядка (3) и (4),
когда наклонение равно нулю; для того чтобы она была вещественной, не-
обходимо и достаточно, чтобы большие оси орбит были перпендикулярны
линии узлов.
Если наклонение очень мало, то особыми точками будут.
1.	Точки, очень мало отличающиеся от Е, D, F, С, Т, V, W, X и им
обратных; я обозначу их теми же буквами; ясно, что допустимы лишь D
и Т и обратные им.
2.	Две точки и В2, очень мало отличающиеся от 5; две точки Rt
и 7?2, очень мало отличающиеся от R, и обратные им. Все эти точки недо-
пустимы.
3.	Девять точек, мало отличающихся от U, а именно: х = т, у = т';
два пересечения прямой х = т и 0 = 0; два пересечения у = т' и 0 = 0,
четыре точки 0 = 0. Необходимо особое исследование.
Определив таким образом, какие точки допустимы, мы должны посмот-
реть, какая из них соответствует значению |z|, самому близкому к едини-
це, чтобы выяснить, какую из этих точек следует сохранить.
Если эксцентриситет, соответствующий большей из двух больших
осей, и наклонение малы по отношению к другому эксцентриситету, и
если разность 3 — S' мала, то подходящая нам точка есть D.
Я вынужден ограничиться этим и прекратить здесь исследование, ко-
торое только наметил в общих чертах. Однако мне кажется, что важность
темы может вдохновить не одного исследователя; кроме этого исследования,
он должен будет дать быстрый и практичный метод решения алгебраиче-
ских уравнений, к которым мы пришли, учитывая малость некоторых ве-
личин и тот факт, что можно ограничиться чаще всего посредственным при-
ближением. Впрочем, его задача будет в большой мере облегчена полным
аналитическим исследованием функции Ф (z) и ее различных ветвей.
Применение метода Дарбу
99. Предположим теперь, что мы с помощью предыдущих исследова-
ний установили, какая особая точка функции Ф (z) нам подходит, и, еле-
270
Новые методы небесной механики. I
довательно, мы знаем, каковы окружности
И = г, =
ограничивающие область, в которой функция Ф (z) разлагается в ряд Ло-
рана, и какие особые точки расположены на этой окружности. Вообще,
на каждой окружности имеется по одной особой точке.
Итак, пусть z0 — особая точка, расположенная на окружности | z ) = г.
Пусть х0, у0 и t — соответствующие значения х, у и t. Легко видеть, что
х0 и у а вполне определены алгебраическими уравнениями, которые мы ис-
следовали выше; напротив, значение
определено не однозначно, но имеет с значений, которые я обозначу
«о- До. 7%. • • •> ЛЧ.
где j — первообразный корень с-й степени из единицы.
Применим к разложению функции Ф (z) метод Дарбу. Для этого нам
необходимо знать, как эта функция ведет себя в окрестности особой точки
Z = z0.
Когда z очень близко к z0, функция F (z, t) имеет две особые точки
и t2, очень близкие к t0, она имеет также с — 1 пар других особых точек
jtx и jt2, и j%, . . ., и 7с-172,
очень близких соответственно к
jt0, j2t0, . . .,
Контур интегрирования С, вдоль которого берется интеграл
ф(2)= 2^5 F(Z’ t}dt'
должен проходить между точками и t2 и также между точками и
;72, .... Можно, кроме того, предположить, что этот контур имеет следующую
симметрию: он будет составлен из с дуг CQ, Clt ..., Cc_lt где дуга Со пере-
ходит в дугу Ch при замене t на поскольку
F (z, tjk) = j~KF (z, t),
интеграл, взятый вдоль каждой из с дуг Со, Сг, ..., С^, будет один
и тот же, и мы будем иметь
ф<г>=5Н W ')Л-
С'о
Разложение возмущающей функции
271
Дуга Со, которая является нашим новым путем интегрирования, прой-
дет тогда только между особыми точками t0 и кроме того, разобьем
дугу Со на три частичные дуги Со, С'о', Со", я назову аи^ концы Сё, Р иТ—
концы Со, X и ё— концы С'о’. Я буду предполагать, что именно Сё' прой-
дет между и t2 и что, когда z стремится к z0, ни одна из четырех точек
а, р, у, ё не будет стремиться к 70, так что все эти четыре точки будут на-
ходиться на конечном расстоянии от С и t2.
Наш интеграл, взятый вдоль Со, является суммой трех других, взятых
соответственно вдоль С'о, Со и С'о'. Первый и третий интегралы остаются
голоморфными функциями z в окрестности точки z = z0, поскольку точки
С и t2 находятся на конечном расстоянии от дуг Сё и Сё". Таким образом,
только второй интеграл, взятый вдоль Сё’, имеет z0 особой точкой; следова-
тельно, изучение именно второго интеграла позволяет установить поведе-
ние функции Ф (z) в окрестности z = z0.
Итак, посмотрим как ведет себя функция F (z, t) в окрестности точки
z = z0, t = t0. Конечно, это зависит от природы рассматриваемой особой
точки. Я предположу сначала, что это одна из точек, которые мы обозна-
чили буквами D, F, Т, С и теми же буквами со штрихами или же, когда
наклонение не равно нулю, одна из тех точек, которые мы обозначили бук-
вами Вг, В2, Вх, В2 или обратных к ним. Это наиболее важный случай,
поскольку мы видели, что если наклонение и один из эксцентриситетов
очень малы, то нам подходит точка D.
При сделанном предположении [F (z)]-2 разлагается в ряд по возраста-
ющим степеням z — z0 и t — t0.
Таким образом, мы имеем
F (z, t) ~   1-,
/ф(з, t)
где через ф (z, t) обозначен ряд по возрастающим степеням z и t.
Я предположу, что z достаточно близко к z0 и что точки, обозначенные
Р и y (концы С'о), достаточно близки к t0, хотя их расстояние от этой точки
по предположению конечно, чтобы ряд ф сходился при t = £ и t — у.
Каков будет теперь вид ряда ф? Во-первых, при
I — ^01 Z = Zg
мы должны иметь
ф = °, f = 0.
Итак, если в ф положить z = z0, то первый член разложения ф будет
членом (t — t0)2. Отсюда и из одной теоремы Вейерштрасса следует, что
тождественно выполняется равенство
Ф= [(* —Л)2 + &1Ф1.
272
Новые методы небесной механики. I
где ipj — ряд по степеням z — z0 и t — t0, обращающийся в нуль лишь при
z = z0, t — tg‘, где h и к — два ряда по степеням z — z0, которые приводят-
ся соответственно к t0 и 0 при z = z0 (W е i е г s t г а ; s. Abhandlungen
aus der Funktionenlehre. Berlin, Springer, 1886, стр. 107 и сл.; см. также:
Poincare. These inaugurale. Paris, Gautier-Villars, 1879),
Теперь мы можем положить l/y^i = 0, откуда
F (z, t) = - v ... e=, -,
где 0 разлагается по возрастающим степеням z — z0 и t — t0.
Сделаем другое предположение, а именно, пусть при наклонении, рав-
ном нулю, особая точка z0 совпадает с одной из точек В, В, В' или В'.
Мы увидим тогда, что F (z, t) имеет тот же вид, однако имеется некоторое
различие. При первом предположении к делится на z — z0, но не на
(z — z0)2, при втором к делится на (z — z0)2.
Последние предположения, которые нам остается рассмотреть, это те,
при которых х0 = т или 1/т, либо у0 = т' или 1/т'. В этом случае полезно
сделать замену переменных.
Предположим вначале, что
1 1
z0 = t или	j/0=/= т , УоЧ=^ 
Мы возьмем тогда за новые переменные не t и z, а х и z; в окрестности
рассматриваемой особой точки у разлагается в ряд по возрастающим сте-
пеням t — tg та. z — Zg и, следовательно, по степеням х — х0 и z — z0.
Функция 3 также разлагается в ряд по степеням z — z0 и х — х0.
Итак, если мы положим
Ф = [tF (z, 0Г2,	(1)
то ip будет разлагаться в ряд по степеням х — х0, z — z0 и мы будем иметь
2?лФ (z) = (	(*-т)(1-т*) =	(z, х) dr.
v	1 1-т2 J v ’ 7
Функция H (z, x) под знаком интеграла имеет особую точку лишь при
ip = 0.
Чтобы функция Ф (z) имела особую точку, надо, чтобы две из особых
точек Н (z, х) сливались в одну. Но это происходит, если одновременно
Уравнение ip=0 соответствует кривым (3) и (4) предыдущего пункта (или
кривой шестого порядка, которая их заменяет, когда наклонение не равно
Разложение возмущающей функции
273
нулю). Уравнения ф = dty/dx = 0 соответствуют особым точкам, иссле-
дованным при предыдущих двух предположениях.
Отсюда вытекает, что точка Е и обратная ей лишь кажущиеся особые
точки функции Ф (z) и их не надо исследовать.
Предположим теперь, что
, , 1 1
х0^= — , Уо = — или л.
Возьмем за новые переменные у и z; сохраняя за ф значение, определен
ное уравнением (1), мы найдем
2глФ (z) = С	.
J ау2 /ф 1 + Т
Отсюда мы заключим, что точки, определенные уравнениями
Уо = —7	или т', ф = О
(и для которых в то же время dty/dy = 0), т. е. точки V, W и обратные им,
являются для функции Ф (z) лишь кажущимися особыми точками.
В случае, когда одновременно выполняются
1 , 1
Хо = т или —, Уо = Т или -р-,
выбор замены переменных, который, впрочем, может быть произведен
бесконечным числом способов, более деликатен. Вот как можно сделать
этот выбор.
Мы имеем
osin<P / 1	ч csin<p',l	х
Z = Хае 2	\	X	) yCg 2	\V	)	(
a sin <р /1	Ч с sin ф'	/_1_\
z0 = х^е 2 'Хп	' угое 2	'	.
Положим
хае	2	\Х	) =	2	\Х'О	°) (1 -1- £2),
с sin ф' / 1 _ \ с sin ф' / 1 _ \
усе	2	' у	' =Уое	2	№	V'(l+Tl2)"
Тогда х будет разлагаться в ряд по степеням g, а у — по степеням ц; мы
будем иметь х = х0 при g = 0 и у = у0 при ц = 0.
С другой стороны, получим
- 1 = g2 + ц2 + gv,
18 А. Пуанкаре
274
Новые методы небесной механики. I
откуда	________
г] = л/ —	#
1 V Z0 (1 +
Вообще F (z, t) и t будут разлагаться в ряды по степеням | и ц, за исклю-
чением, однако, случая, когда наклонение будет равно нулю и когда
%о =	Уо —
или же
1 1
»	Уо — т' >
в самом деле, эта точка х == т, у = т', которую мы обозначили через U,—
двойная точка кривой (3); этот случай заслуживал бы специального ис-
следования»
Итак имеем, взяв за независимые переменные z и 5,
Ф(з) = ^<p(z,5)d^,
где ср (z, g) разлагается в ряд по степеням g, z — z0 и ~\Г z — z0 — £2. Это по-
зволяет нам записать
<)	.1 у z — го — С,-
где cpi и <р2 разлагаются в ряды по степеням £ и z — z0.
Первый интеграл — голоморфная функция z в окрестности точки z =
= z0; что касается второго, то он имеет тот же вид, что и интеграл
\ У (г -Д)2 + * ’
к которому мы пришли при первых двух предположениях. Мы должны,
следовательно, заключить, что точки
1 ! 1
х0 = т или —, у0 = т или -от-
будут для Ф (z) настоящими особыми точками, а не только кажущимися.
На первый взгляд может показаться удивительной разница между ка-
жущимися особыми точками, такими, как Е, V, W и т. д., и настоящим i
особыми точками, такими, какх = т, г/=т' или D и т. д.
Действительно, их происхождение, по-видимому, одно и то же; мы
получаем эти точки, записывая, что две особые точки tt, функции
F (z, I) сливаются в одну. Но исследуем эту ситуацию немного подробнее.
Дадим z значение, очень близкое к z0, так что точки tt и Л, будут очень
мало отличаться одна от другой, и изучим поведение функции F (z, t)
Разложение возмущающей функции
275
в окрестности этих двух точек. Разница между двумя случаями очень
велика.
Первый случай. Точка z0 — такая точка, как точка D или
х — т, у = т', т. е. настоящая особая точка функции Ф (z).
Тогда два значения F (z, 7) переходят одно в другое при обходе вокруг
точки t± и эти же значения также переходят одно в другое при обходе во-
круг точки t2. Если построить кривую, взяв t за абсциссу, a F (z, t) — за
ординату, то эта кривая будет изменяться при изменении z, а при z = z0
она будет иметь двойную точку.
Второй случай. Точка z0 — такая точка, как точка Е, т. е.
кажущаяся особая точка Ф (z).
Тогда четыре значения F (z, t) переставляются друг с другом при обхо-
де вокруг и t2, а именно первое — со вторым, третье — с четвертым, при
обходе вокруг 7Х и второе — с третьим, при обходе вокруг t2.
Теперь построим риманову поверхность, соответствующую функции
F (z, t), т. е. риманову поверхность, имеющую столько же листов, сколько
эта функция F (z, t) имеет ветвей.
В первом случае порядок связности этой поверхности понизится на две
единицы, когда z станет равным z0; во втором случае он останется преж-
ним. В этом истинная причина различия обоих случаев.
То обстоятельство, что некоторые особые точки лишь кажущиеся, спо-
собно при надлежащем употреблении значительно облегчить исследование
двух предыдущих пунктов.
100.	Теперь нет ничего легче, чем выяснить поведение функции Ф (z)
в окрестности точки z = z0.
Действительно, мы имеем
... / \	1 С Qdt
Ф (z) = Ф, (z) -4- 7Г7— \ г' = ,
где Фх (z) остается голоморфной при z = z0 и интеграл берется вдоль
дуги Со'.
Поскольку 0 разлагается в ряд по степеням t — 70 и z — z0, ah — по
степеням z — z0, мы можем записать
0 = 0О + 01 (t-h) + Q, (7 - hy + . . . + 0(l (7 - h)n + . . .,
так что, полагая
г С (* —Л)”dt
z,inj п = \ —А	,
J /(7 —/г)2 + А
получаем
Ф(г) = Фх (z) -J- X0nJn.
С другой стороны,
о. г С dt	1	Г --/г 4- |^(7 — kJ1 + к
2т Jo = \—- - - - - = log 4===== •
18*
276
Новые методы небесной механики. I
Отсюда мы заключим (заметив, что путь интегрирования проходит
между = h	У к и Л, = h -— фЛ/с), что
2;n/0 = Хо (z) + log (z — z0),
где л0 (z) голоморфна при z — z0.
В случае, когда к будет делиться на (z — z0)2, надо было бы писать
2 log (z — z0) (второе предположение предыдущего пункта), а не
log (z — z0). Затем получаем
2гл/, = \ —	_ голомор(1)Ная функция z,
J Кр-Л)»-+ к
nJn + к (п — 1) Зп-^— голоморфная функция г.
Следовательно, функция .! п остается голоморфной по z, если п нечетно.
Если теперь п четно и мы полагаем
__ (а — 1)(п — 3)... 1
п п(п—2)...2
то получаем
2jjtlu = кп (г) + (— /с)тап log (z — z0),
где лп (z) голоморфна no z.
Итак, окончательно имеем
Ф(г)= 2 б2'г ( 2^' ~ lpg <г ~ z«) +ф2<2)’
п=о
где Ф2 остается голоморфной по z при z = z0.
Я могу еще записать
Ф (г) = Ф2 (z) + Ф3 (z) log (z — z0),
где Ф2 и Ф3 остаются голоморфными при z = z0.
Мы имеем
Ф (z) — S .Аап+Ь' сп+d •
Итак, если
фз (z) = 60 + б, (z — z0) + б2 (z — z0)2 + . . .
и если
(z — 20)Л log (z — Z0) = S T„,hZn,
tq приближенно при очень больших п будем иметь
Aan+b, cn+d — S»Yn,o 4" SiYn.i + • •  + 6pYn,p-
Разложение возмущающей функции
277
Вообще можно ограничиться первым членом
_ %,О - 1
,0	2/п иго’1 ’
где 0О1О — значение 0О при z = z0 или значение 0 при z = z0, t = t0.
Но если я обозначу через А квадрат расстояния между двумя планета-
ми, то
<1
/(« - /г)2 + л- у д
Итак,
п ___ 1 .ad-Ьс ~ ~ d2A
«0,0-	z° <№'
при условии, конечно, что мы полагаем t = Zo, z = z0 в daA/tZi2 [26].
Сказанное применимо как в первом, так и во втором предположении
предыдущего пункта. Если положить
1 , 1
х0 = т или — , у = т или ,
то можно было бы применить аналогичный метод, поскольку в этом случае
мы свели Ф (z) к интегралу
С
J У Z — zo — Е.2
который имеет тот же вид, что и
С Qdt
J /(/ - Л)2 -J- к ‘
Коэффициент Атнт!, который мы вычислили, тот же, что и в разложе-
нии главной части F'l возмущающей функции. Действительно, мы поло-
жили
р1=2Ат1,тгеУ-^т^').
Теперь следовал» бы учесть дополнительную часть Fr — F'{ возмуща-
ющей функции. Итак, положим
J? 1 —	ту- ' 1	•
Затем
___rf_
F’(z,t) = FxFd~b^z
2iлФ’ (z) = J /7' (z, 7) dt.
278
Новые методы небесной механики. I
Если предположить, что = ап 4- Ъ, т2 = сп 4- d, то Вт.,т2 будет
коэффициентом при zn в Ф' (z) точно так же, как Ат1<тг было коэффициен-
том при zn в Ф (z).
Функция F' (z, t) — F (z, t) не имеет других особых точек, кроме тех,
что находятся на прямых
1 , 1
х = х, х = — , у =т , у = -р-.
Следовательно, функция Ф' (z) — Ф (z) будет иметь лишь четыре осо-
бые точки, а именно
1 , 1
X = Т ИЛИ ----- , II = Т ИЛИ —Т .
т	т
Из этого следует, что если подходящая в нашем случае особая точка
не является одной из этих четырех, т. е. в двух первых предположениях
п. 99 (а это наиболее обычный случай), разность — Ат, >т2 будет
пренебрежимо малой по отношению к Ат,:7П2, и приближенное значение
будет таким же, как приближенное значение Ат,<тг.
Если, напротив, особая точка z0, подходящая в нашем случае, будет
одной из этих четырех точек, то надо учитывать разность — Ат,:тг,
что, впрочем, не представляет трудности.
Применение к астрономии
101.	Чаще всего можно ограничиться довольно грубым приближением;
в самом деле, нам надо определить, пренебрежимы ли некоторые члены,
порядок которых очень высок, но которыэ вследствие почти соизмери-
мости средних движений подвержены действию очень малых делителей.
Чаще всего они будут пренебрежимыми, и достаточно лишь составить пред-
ставление о порядке их величины.
Я возьму в качестве примера знаменитое неравенство Паллады. Чтобы
исследовать его, надо проделать вычисления при
а — 2,	6 = 1, с = —1, d = 0, п = 8,
откуда
т1 = 17, т2 = —8.
Кажется, что этим способом можно было бы прийти к результату Леверрье
I27].
Применение к доказательству
несуществования однозначных интегралов
102.	Но не это главная цель, которую я себе поставил, принимаясь за
эту работу. Напомню, что цель состоит в заполнении пробела в доказа-
тельстве несуществования однозначных интегралов, о котором я упомянул
в конце предыдущей гаавы.
Разложение возмущающей функции
279
Действительно, в п. 85 я установил следующее. Пусть
Л = S Вт„ т,е^ ^i+m2v)i
где Вт,<т2 зависит одновременно от обеих больших осей, обоих эксцентри-
ситетов, наклонения орбит и от долгот обоих перигелиев (отсчитываемых
от узла), т. е. от семи переменных.
Пусть
т1 — ап, т2 = сп,
где а, с и п — целые числа, а и с взаимно просты и противоположных зт-
ков. Дадим двум большим осям определенные значения, выбранные такин
образом, что отношение средних движений равно — da. Коэффициенты
Вт,,т> будут теперь зависеть лишь от пяти переменных. Положим, как
в предыдущей главе,
Dn = Вап,С1£\
где Dn будет зависеть от шести переменных, а именно обоих эксцентриси-
тетов, долгот перигелиев, наклонения и £.
Итак, если бы существовал однозначный интеграл, то между любыми
шестью из величин Dn существовало соотношение и все величины
D_n,...,D_„D0,D1,Di,...,Dn
могли быть выражены как функции только пяти, а не шести переменных.
Но мы имеем
Ф' (z) = S Вап, ,:nzn
и, следовательно,
Ф' (z£) = S Dnzn.
Таким образом, если бы существовал однозначный интеграл, то коэффи-
циенты разложения в ряд функции Ф' (z£) зависели бы лишь от пяти па-
раметров.
Применяя правила предыдущего пункта, мы нашли бы, что для очень
большого п приближенно выполняется
Тогда легко можно было бы увидеть, что если Dn выражается с помощью
только пяти переменных, то же самое можно сказать и о
280
Новые методы небесной механики. I
и, следовательно, зависят лишь от четырех переменных. Затем мы убе-
дились бы в том, что это не так.
В этом заключался мой первоначальный замысел; однако проще дей-
ствовать иначе.
Особые точки функции Ф' (z£) зависят, очевидно, лишь от коэффициен-
тов Dn; следовательно, они должны быть функциями лишь пяти пере-
менных.
Пусть
Zl> Z2> •••> Z6
— шесть особых точек Ф' (z); соответствующими особыми точками Ф' (z£)
будут
? 1 $ ’ ’ ’ ’ ’ S
и они зависят от £ и от наших других пяти переменных: эксцентриситетов,
наклонения, долгот перигелиев, которые я временно обозначу
«1,
Если бы существовал однозначный интеграл, то особые точки должны были
бы зависеть лишь от пяти переменных и функциональный определитель
/ ZJ Z3	Z6 \
’ g...... d
с (£, Я1,а2, .... а6)
должен был бы быть равен нулю.
Но этот определитель равен
£' д (cti, а2,. . . , я5)
Однако z не равно нулю, а £ не бесконечно, следовательно, мы должны были
бы иметь
I Z2 Z3
Zl ’ Zj
d(ai,ci2 ,. .. ,a3)
Другими словами, попарные отношения особых точек функции Ф' (z)
должны были зависеть лишь от четырех переменных, которые я обозначу
Ры Рз, 1^4- Но эти особые точки бывают двух родов.
Разложение возмущающей функции
281
Рассмотрим сначала те, которые даются уравнениями
1 , 1
X = Т ИЛИ -----• , и = Т ИЛИ —Г ,
Т а	X'
a sin ф 1	\	с31пф'/_1_	\
z — хае \ - J 2 \ v /
Я назову их Zj, z2, z3 и z4.
Сразу видно, что z2, z2, zs иг4 зависят лишь от обоих эксцентриситетов,,
т. е. от т и т', и что
zTzs = z2z4 = 1.
Отношение гг/г8 зависело бы лишь от наших четырех переменных
₽i>	₽з, р4; но это отношение равно z4. Итак, z^a также и z2, z3, z4 зави-
сели бы лишь от четырех переменных р,.
То же самое можно было бы сказать иотит', которые явно выража-
ются через zx и z2.
Перейдем к особым точкам второго рода, которые даются уравнениями
Если в этих уравнениях взять за переменные х и у, то они станут алгебраи-
ческими. Уравнение А = О определяет тогда, как мы уже видели, кривую
шестого порядка, которая при нулевом наклонении распадается на две
кривые (3) и (4) третьего порядка; из уравнения d&ldt = 0 в сочетании
с А = О можно при нулевом наклонении получить два других, а именно
уравнения (5) и (6) из п. 96.
Если z0 — один из корней уравненшг
Д = ^ = °>	(D
то отношения z0/z4, z0/z3 и, следовательно, z0 зависели бы лишь от четырех
переменных Р;.
Итак, если z0, z0, z0 — три корня уравнений (1), то z0, z0, zg, т
и т' зависели бы только от этих четырех переменных, так что функцио-
нальный определитель
д (т, т', с0, z0, z")
d (со, 0(2, ^з, а4, а5)
был бы равен нулю. Предположим, например, что а4 и а2 — эксцен-
триситеты; т будет зависеть от а4, ат'-— от а2, так что этот функциональ-
ный определитель равен
dx dx’ <5 (го, 20)
d^i di.2	’
282
Новые методы небесной механики. I
поскольку три последние переменные есть наклонение i и долготы пери-
гелиев 3 и 3'.
Тогда мы должны были бы иметь
a(zo,z;,2;')
д (I, а, О')	’
это означает, что корни уравнения (1) (при фиксированных эксцентриси-
тетах и, следовательно, т и т') зависели бы лишь от двух переменных.
Мне остается доказать, что это не так.
103.	Начнем с того случая, когда наклонение равно нулю. В этом слу-
чае корни уравнения (1) п. 102 зависят лишь от больших осей, эксцентри-
ситетов и разности 3 — 3'. Если, как мы только что это сделали, мы зафик-
сируем большие оси и эксцентриситеты, то эти корни будут зависеть лишь
от разности 3 — 3'.
Припоминая сказанное в п. 85 и рассуждая так же, как в предыдущем
пункте, мы увидим, что для того, чтобы плоская задача трех тел допускала
однозначный интеграл (отличный от интегралов живых сил и площадей),
надо, чтобы эти корни не зависели от 3 — 3' и оставались постоянными,
когда большие оси и эксцентриситеты остаются сами постоянными, а на-
клонение равно нулю.
Однако ясно, что это не так, поскольку z0 вещественно, когда В — 3'
равно нулю и, вообще говоря, комплексно в противном случае.
Вернемся теперь к случаю, когда наклонение не равно нулю.
- Пронумеруем особые точки, получаемые из уравнений
д-о, ^-о.	(1)
Для этого предположим, что наклонение очень мало, и мы увидим, обра-
тившись к сказанному в и. 98, что существуют:
1.	Восемь особых точек, очень мало отличающихся от D, С, F, Т
и им обратных.
2.	Восемь особых точек, две из которых очень мало отличаются от В,
две другие — от R, еще по две очень мало отличаются от каждой из их
обратных.
3.	Четыре точки, очень мало отличающиеся от U (х = т, у = т); и
действительно, когда наклонение равно нулю, обе кривые А = 0,
.dk/dt = 0 имеют в U двойную точку.
4.	Четыре точки, очень мало отличающиеся от U' (а: = 1/т, у = 1/т').
Итого 24 особые точки.
Можно прийти к тому же результату другим способом.}
Мы видим, что
хгу2\ = р
Разложение возмущающей функции
283
— целый многочлен шестой степени по х и у, так что уравнение
Р = О
является уравнением кривой шестого порядка, которая распадается на две
другие, когда наклонение равно нулю.
С другой стороны, уравнение dAldt = 0 можно заменить следующим:
Q = сх2 (1 + т2) (г/ — г') (1 — х'у) — ay2 (1 + г'2) {х — т) (1 — та) ~ =
= 0.
Это уравнение Q = 0 является уравнением кривой девятого порядка,
и особые точки будут точками пересечения этих двух кривых, за исключе-
нием точек в нуле и бесконечности, которые надо отбросить.
Кривая Р = 0 имеет в начале координат двойную точку, а оси являются
ее двойными асимптотами; кривая Q — G имеет в начале координат трой-
ную точку, а оси являются для нее тройными асимптотами.
Более того, можно заметить, что Р является суммой трех квадратов,
так что я могу записать
р = и\ + Ul + и} = у/72,
тде
U = Ах2у + Вху2 -f- Сху + Dx + Еу.
С другой стороны, можно положить
Б =	— U — Ах2у — Еу,
откуда
а< = 227С7 + Л
Итак, получаем, учитывая, что Р = 0,
Q = 2сху (1 + т2) (у — т') (1 — х'у) 2 {Ах2 — Е) U —
—2аху (1	t'2)(z — т) (1 — та) У, {By2 — D) U,
так что после избавления от множителя 2х,у система
Р = Q = 0
может быть заменена следующей:
Р •= 0,
В = с (1 + т2) {у — т') (1 — х'у) У {Ах2 — Е) 17—
-а (1 + т'2) {х — х) (1 — хх) 2 {By2 - D)U = 0.
284
Новые методы небесной механики. I
Кривая R = 0 имеет всего седьмой порядок; в начале координат
она имеет простую точку. В качестве асимптот ей служат обе оси,,
две прямые, отличные от оси х и параллельные ей, две прямые, отличные
от оси у и параллельные этой оси, и одна прямая, не параллельная осям.
Две кривые R = О, Р = 0 имеют всего 42 пересечения. Среди этих
пересечений два приходятся на начало координат. Посмотрим, сколько
пересечений находится в бесконечности по направлению оси х.
Кривая R имеет три асимптоты, параллельные оси х, в том числе ось-
х; для кривой Р эта ось является двойной асимптотой; вообще говоря,
это дало бы семь точек пересечения. Действительно, вообще говоря, двойная
асимптота означает наличие «точки возврата на бесконечности». Для кри-
вой Р' это не так; у нее имеются две различные ветви, соприкасающиеся
на бесконечности, что дает не семь, а восемь точек пересечения.
Таким образом, мы имеем на бесконечности восемь точек в направле-
нии оси х и восемь в направлении оси у.
Следовательно, остается 42 — 2 — 8 — 8 = 24 особые точки.
Возможно ли теперь, чтобы значения z в этих 24 особых точках зави-
сели лишь от двух переменных?
Обозначим через и y2 эти две переменные.
Мы можем выбрать третью переменную у3 так, что г, 3 и 3' будут функ-
циями от у1; -f2, у3. Тогда, при изменении Тз, когда две другие переменные
Yi и ^2 остаются постоянными, величина z не должна была бы изменяться.
По предположению имеем
Д = 0, 4^ = 0.
at
Дифференцируя первое из этих уравнений, находим
с?Д , йД , dA J п
dt 4- dz 4- -=— dr3 = 0.
dt 1 dz 1 dys
Ho d&/dt = 0 и, с другой стороны, dz должно было бы равняться нулю,
поскольку z не должно изменяться. Следовательно,
= °.	(2)
Посмотрим, что означает это уравнение. Если изменять y3, то кривая
Д = 0 (или, что то же самое, кривая Р = 0) изменяется; рассмотрим кри-
вую
Д + ^/Гз = 0,
бесконечно близкую к Р = 0; ее я обозначу Р’.
Уравнение (2) означало бы, что эта кривая Р' должна проходить через
24 особые точки.
Разложение возмущающей функции
285
Но кривые Р и Р' шестого порядка, следовательно, они не могут, не
сливаясь, иметь больше 36 точек пересечения.
Они имеют 4 точки пересечения в начале координат, где у обеих по
двойной точке.
В качестве двойной асимптоты им служит ось х, что дает (если учиты-
вать замечание, сделанное выше относительно природы этой двойной асимп-
тоты) восемь точек пересечения в бесконечности в направлении оси х.
Столько же точек будет в направлении оси у.
Это даст всего 24+ 4+ 8 + 8 = 44 пересечения. Следовательно, кри-
вые должны были бы слиться в одну.
Таким образом, при изменении кривая Р = 0 не должна изме-
няться.
Истолкуем этот результат.
Рассмотрим эллипсы, описанные обеими планетами. Эти два эллипса
будут неизменны по форме и величине, поскольку мы зафиксировали боль-
шие оси и эксцентриситеты; но при изменении I, 3 и 3' эти два эллипса
будут перемещаться относительно друг друга. Я могу предположить, что
один из эллипсов, Е, неподвижен, а другой, Е', подвижен.
Неизменность кривой Р = 0 при фиксированных Xi и + означает, что
можно найти закон движения Е', такой, что если в некоторый момент
точка М', принадлежащая Е', находится на нулевом расстоянии от точки
М, принадлежащей Е, то расстояние между этими двумя точками постоян-
но останется равным нулю (само собой разумеется, поскольку эти две точ-
ки комплексные, они могут находиться на нулевом расстоянии, не сливаясь
в одну).
Пусть М()’ — положение точки М' в некоторый момент. На Е имеются
четыре точки М2, М3, Л'Ц, которые расположены на нулевом расстоя-
нии от Мо'; эти четыре точки не могут лежать на одной прямой. Следова-
тельно, точка М' должна бы оставаться на четырех сферах нулевого ра-
диуса с центрами вМ1;М2, Ma, но поскольку эти центры не лежат
на одной прямой, то четыре сферы могут иметь лишь две общие точки на
конечном расстоянии. Следовательно, невозможно, чтобы точка М' пе-
ремещалась, оставаясь на этих четырех сферах.
Несуществование однозначных интегралов, таким образом, строго
.доказано.
Глава VII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
104.	Пусть
= А; (г = 1,2.......п)	(1>
— система п дифференциальных уравнений, X — функции х и t. Они раз-
лагаются в степенные ряды по х и периодичны по t с периодом 2л.
Пусть
'у* ——— 'У'^)	у’ -  	'У -  •'У*^
~~~	1)	g — i^ 2	* * • т *^71 —
— частное периодическое решение этих уравнений; х° будут периоди-
ческими функциями t с периодом 2л. Положим
Xi = х" +
Получим
где Н будут функциями | и t, периодическими по t и разложимыми в ряд
по степеням но в разложении не будет содержаться члена, не зависящего,
от g.
Если очень малы и мы пренебрегаем их квадратами, то уравнения
(2) сводятся к уравнениям
dx.	dX.	dX.	dX.
+ —5-I2 + •  • + —(3)
aL	ax"	dx"	dx”
которые являются уравнениями в вариациях уравнений (1).
Они линейны и имеют периодические коэффициенты. Известен вид их
общего решения, а именно:
£1 = Аге 1 срХ1 -ф- А2е'" ср21 + • • . + ^neant<pnl,
£2 = Ахе 1(ср12 + Аге ‘^22 -г . . . + -4neant(pn2<
= А1е 1 Tin + ^2е 2 Ср2п +   - + ^пе П Тпп>
Асимптотические решения
287
где А — постоянные интегрирования, а — фиксированные константы,
называемые характеристическими показателями, ф — периодические
функции t.
Тогда, если положим
11 = Л1Ф11 + ЛгФзх + • •  + ФпФпы
?2 = П1Ф12 + П2Ф22 +  •  + ПпТп2.
£п — 'ЧхФш + Л-гФгп + •  • + ПпФпп’
то уравнения (2) примут вид
где Hi — функции от t и ц, того же вида, что и Е.
Мы можем далее записать
^ = Я*+Я? + -’ + ЯГ+---’ (2")
где Ш представляет множество членов Hi степени р по тр
Что касается уравнений (3), то они примут вид
W =	<3')
Попытаемся найти теперь вид общих решений уравнений (2) и (2').
Я утверждаю, что мы должны найти тр, функции, разложенные в ряд
по степеням A1ea,t, А2е*2‘, ...,	коэффициенты которых периоди-
ческие функции от t.
Мы можем тогда записать
П* = Пг + Л! + •   + П? +  • • ,	(4')
где ц? представляет множество членов гр степени р по А.
Заменим гр их значениями в Я? и найдем
Н? = Н?'р + нр,р+1 + . . . + H?’q +
где Нр,<1 обозначает множество членов степени q по А.
288
Новые методы небесной механики. I
Мы найдем тогда
W = а^’	=	’
2	гг2.2	3	гг2,3 . ггЗ.З
— -Л.^ = 1Ц , —-аЛ=Я^ +Hi ,
~ _ й.п4 =	+	+... + Ю'9 = Kq.
Эти уравнения позволят последовательно вычислить
Hi, Р® , • • •	• • ••
В самом деле, Kq зависит лишь от ц1, ц2,	ц9-1. Если мы предполо-
жим, что эти величины были заранее вычислены, то сможем записать Kq в
•следующем виде:
S„	„	3n t(«i3i+ai3,+...+a Р )
. . . Ап е	ф,
где р — положительные целые числа, сумма которых равна q, а ф — перио-
дическая функция.
Можно еще записать
тде С — вообще говоря, комплексный коэффициент, а у — положительное
или отрицательное целое число. Для краткости положим
. . . А'пп — А?, аД -ф- а2[Зг -)-•••+ ап?п = 2
тогда получим
<Ч?	9 VI	-
~dF - аЛ‘ = 2jCW(t r-i+2«3) .
Но этому уравнению можно удовлетворить, полагая
?== у
ni г +’
Исключение составляет случай, когда
Г У — 1 + 2 — ai = °-
Асимптотические решения
289
В этом случае в формулах возникнут члены с t. Рассмотрение этого част-
ного случая мы отложим.
Сходимость рядов
105. Мы должны теперь изучить вопрос о сходимости этих рядов. Един-
ственная трудность возникает, впрочем, как мы увидим, из-за дели-
телей
гУ— 1	— °Ч-	(5)
Заменим уравнения (2') следующими:
е1Ъ = е-^ге ’ 4“ Ri 4“ Ri + •  • + Ri~\~ ....	(2")
Определим Hf. Нетрудно видеть, что Щ имеет следующий вид:
где С — произвольная константа, р — положительные целые числа, сумма
которых равна р, X — положительное или отрицательное целое число.
Возьмем тогда
Hl = 2Klni1nt
Полученные таким образом ряды будут сходящимися, если только триго-
нометрические ряды, определяющие периодические функции, от которых
зависят Н, сходятся абсолютно и равномерно; но последнее всегда имеет
место, так как эти периодические функции аналитичны. Что касается е,
то это положительная константа.
Из уравнений (2") можно получить ц в следующем виде:
Пг = 2 Ме~&А^А^ . . .	(4")
Здесь многие члены могут соответствовать тем же показателям р, а 6 —
положительное целое число. Если сравнить их с рядами, полученными из
(2'), которые имеют вид
Пг = 2^ - "V.......П e'(W+Y /-1)’
то можно заметить следующее.
1. М — действительное положительное число, большее, чем | N |.
2. П означает произведение делителей (5), число которых меньше или
равно б.
19 А. Пуанкаре
290
Новые методы небесной механики. I
Итак, если ряд (4") сходится и если ни один из множителей (5) не меньше
е, то ряд (4') также сходится. Итак, вот каким образом можно сформули-
ровать условие сходимости.
Ряд сходится, если выражение
Г /— 1 + S ~ «г
не может стать меньше любой данной величины е для положительных целых
значений р и целых (положительных или отрицательных) значений Y;
другими словами, если ни один из двух выпуклых многоугольников, со-
держащих: первый а и + —1, второй а и ——1, не содержит начало
координат; или если все величины а имеют вещественные части одного и
того же знака и ни одна из них не имеет нулевой вещественной части.
Что мы будем делать, если это не так?
Предположим, например, что к из величин а имеют положительные
вещественные части, ап — к величин а имеют отрицательные или нуле-
вые вещественные части. Тогда ряд (4') останется сходящимся, если в нем
равны нулю константы Л, соответствующие тема, у которых вещественные
части отрицательны или равны нулю, так что эти ряды дадут нам не общее
решение рассматриваемых уравнений, а решение, содержащее только к
произвольных постоянных. Это решение представлено рядом (4') по сте-
пеням
л „«Л	л «L.t
ге , А2е , . . . , Аке А .
Поскольку по предположению вещественные части
OCj. , 0^2 j • • • ?
положительны, экспоненты
а Л a.4	a,,/
е , е ,. .. , е к
стремятся к 0, когда t стремится к — со. Следовательно, то же самое верно
и для величин это означает, что, когда t стремится к — оо, решение,
представленное рядом (4'), асимптотически приближается к рассматрива-
емому периодическому решению. По этой причине мы назовем его асимпто-
тическим решением.
Мы получим вторую систему асимптотических решений, приравнивая
пулю в ряду (4') все коэффициенты А, соответствующие показателям а,
вещественная часть которых положительна или равна нулю. Тогда этот
ряд будет рядом по степеням
4jeai(, А2е^ , ... , А^‘,
где показатели а/, а2', ..., аК' имеют отрицательную вещественную часть.
Если теперь устремить £к-Тоо, соответствующее решение будет асим-
Асимптотические решения
291
птотически приближаться к рассматриваемому периодическому ре-
шению.
Если мы предполагаем, что данные уравнения являются уравнени-
ями динамики, то, как мы видели, п четно и а попарно противопо-
ложны.
Тогда, если к из них имеют положительную вещественную часть, к
других будут иметь отрицательную вещественную часть им — 2к — нуле-
вую вещественную часть. Беря сначала те а, которые имеют положитель-
ную вещественную часть, мы получим частное решение, содержащее к
произвольных постоянных; второе решение мы получим, беря показатели а
с отрицательной вещественной частью.
Впрочем, в случае, когда ни один из а не имеет нулевой вещественной
части, и в частности, если все а вещественны, получим
106. Предположим, что в уравнениях (1) X зависят от параметра р
и функции X разлагаются в ряды по степеням этого параметра.
Представим себе, что при р= 0 характеристические показатели а все
различны, так что эти показатели, определяемые уравнением G (а, р) =0
(аналогичным уравнению п. 74, но таким, что все корни уравнения
G (а, 0) = 0 различны), сами разлагаются в ряды по степеням р в силу
пунктов 30 и 31.
Предположим, наконец, что, как мы только что говорили, мы обратили в
нуль все константы А, соответствующие таким а, вещественная часть ко-
торых отрицательная или нулевая.
Ряды (4'), определяющие величины гц, тогда будут зависеть от р.
Я намерен установить, что эти величины можно разложить в ряды не толь-
ко по степеням Aiea»ii н0 еще и п0 степеням р.
Рассмотрим выражение, обратное одному из делителей (5)
(г У — 1 +За₽ — «i)"1-
Я утверждаю, что это выражение можно разложить в ряд по степеням р.
Пусть а1; а2, ..., ак — к характеристических показателей, веществен-
ные части которых положительны при р = 0 и при малых значениях р и
которые мы договорились сохранить. Каждый из них может быть разло-
жен в ряд по степеням р. Пусть а°; — значение а, при р = 0; мы сможем
взять р0 достаточно малым для того, чтобы а отличалось как угодно мало
от а? при | р | <( р0. Пусть тогда h — положительная величина, меньшая,
чем самая малая из вещественных частей к величин а”, а2 , •••, мы смо-
жем взять р0 достаточно малым для того, чтобы при | р | < р0 вещественные
части к показателей а3, ..., а;с были больше h.
19*
292
Новые методы небесной механики. I
Вещественная часть "f У — 1	~ будет тогда больше, чем h
(если > 0), так что будем иметь
|r/^' + Sa₽ —	(6)
Таким образом, при | ц | < ц0 функция
(Г/37!а^-1
остается однозначной, непрерывной, ограниченной и меньшей по абсолют-
ной величине, чем 1/Л.
Отсюда в силу хорошо известной теоремы мы заключим, что эта функ-
ция разлагается в ряд по степеням р и что коэффициенты разложения
меньше по абсолютной величине, чем коэффициенты разложения
1
Следует заметить, что числа Ли |т0 не зависят от целых чисел р и у. Исклю-
чением был бы случай, когда Pi равно нулю. Вещественная часть делителя
(5) могла бы быть меньше h и даже отрицательной.
В самом деле, она равна вещественной части выражения Sap, которая
положительна, минус вещественная часть а^, которая также положитель-
на и которая может быть больше вещественной части Sap, если Pi равно
нулю.
Предположим, что вещественная часть а; остается меньше некоторого
числа hx при | ц | < Цо- Тогда если
то вещественная часть (5) заведомо больше, чем Л; итак, трудности могут
встретиться лишь для тех делителей (5), для которых неравенство (7) не
выполняется.
Предположим теперь, что мнимая часть величин аи а2, ..., ай остается
постоянно меньше по абсолютной величине, чем некоторое положительное
число Л2; если тогда мы имеем
1т1>^3з + й-	(8)
то мнимая часть (5) и, следовательно, его модуль будут все еще больше h,
так что трудности могут возникнуть для тех делителей (5), для которых ни
одно из неравенств (7) и (8) не выполняется. Но этих делителей, которые
не удовлетворяют ни одному из этих неравенств, конечное число.
Асимптотические решения
293
В силу сделанного выше предположения ни один из них не обращается
в нуль для рассматриваемых нами значений р; следовательно, мы можем
взять h и Цо достаточно малыми для того, чтобы абсолютное значение любо-
го из них оставалось больше, чем h, когда | ц | остается меньше ц0-
Тогда выражение, обратное произвольному делителю (5), разлагается в
ряд по степеням ц и коэффициенты разложения меньше по абсолютной
величине, чем коэффициенты разложения
1
Мы писали выше
В силу наших предположений С можно разложить в ряд по степеням р,
так что я могу положить
С = 2^г.	= S W4K-. Под-
вернемся теперь к уравнениям (2я), полагая в них
Я? = 2|-Е')н'1111т]22- • • П^-
Правые части уравнений (2") будут тогда сходящимися рядами по степеням
Ц, Пт, Ъ. •••> Пп<
Из них можно найти гц в виде сходящихся рядов (4 ) по степеням
и,
С другой стороны, из уравнений (2') мы получим гц в виде рядов (4')
по степеням ц, Ajeatt, А2еаг1, . . . , Ацв1**, е*	Ч
Каждый из членов (4')меньше по абсолютной величине соответствующего
члена (4"), а поскольку ряды (4я) сходятся, то будут сходиться и ряды (4').
Асимптотические решения
уравнений динамики
107. Вернемся к уравнениям (1) из п. 13
(г = 1,2.........................................п)	(1)
dt dy- dt dxi '	'	' '
и предположениям, сделанным на их счет в этом пункте.
294
Новые методы небесной механики. I
В п. 42 мы видели, что эти уравнения допускают периодические решения,
и мы можем из этого заключить, что если хотя бы один из соответствую-
щих характеристических показателей а веществен, то эти уравнения до-
пускают также асимптотические решения.
В конце предыдущего пункта мы рассмотрели случай, когда в урав-
нениях (1) и. 104 правые части Хг разлагаются в ряды по степеням ц, но
характеристические показатели остаются различными при ц = 0.
В случае уравнений, которыми мы сейчас займемся, т. е. уравнений
(1) п. 13, правые части также разлагаются в ряды по степеням ц, однако
все характеристические показатели равны нулю при ц = 0.
Отсюда следует большое число важных различий.
Прежде всего, характеристические показатели а разлагаются в ряд не
по степеням ц, а по степеням j/^i (см. п. 74). Точно так же функции, на-
званные мною срг,тс в начале п. 104 (которые в интересующем нас частном
случае уравнений динамики совпадают с функциями 5г и из п. 79), раз-
лагаются в ряд не по степеням р, а по степеням ]Лр.
Тогда в уравнениях (2') п. 104
правая часть Hi разлагается в ряд по степеням т], г, 1 и |/ ц
(а не (г).
Отсюда можно найти ту в виде рядов, полученных в п. 104
/101 /10г Л^П
гр = 22V  11 2П ' П et(Sap+v
a N и П разлагаются в ряды по степеням ]Лр.
Тогда естественным образом возникают несколько вопросов.
1.	Мы знаем, что N и П разлагаются в ряды по степеням Уц; разлага-
ется ли в такой ряд их отношение JV/П?
2.	Если это так, то существуют ряды по степеням j/p, АуА, е1^-1
e—t Ц-i которые формально удовлетворяют предложенным уравнениям;
сходятся ли эти ряды?
3.	Если они не сходятся, какую пользу можно извлечь из них для вы-
числения асимптотических решений?
Разложение решений в ряд по степеням /у?
_108. Я намерен доказать, что можно разложить TV/П в ряд по степеням
У[I и. что, следовательно, существуют ряды по степеням	, е1 ’/-i,
которые формально удовлетворяют уравнениям (1). Можно было
Асимптотические решения
295
бы в этом усомниться; действительно, П — произведение некоторого числа
делителей (5) из и. 104. Все эти делители разлагаются в ряды по степеням
У р; но некоторые из них, те, для которых у равно нулю, обращаются в
пуль вместе с ]Лр. Следовательно, может случиться, что П обращается в
нуль вместе с р и содержит в качестве множителя некоторую степень |/ р.
Тогда, если бы N не содержало той же степени в качестве множителя, то
хотя отношение N/П разлагалось бы в ряд по возрастающим степеням Ур,
это разложение начиналось бы с отрицательных степеней.
Я утверждаю, что это не так и что разложение ДТП содержит лишь по -
ложительные степени Ур.
Посмотрим, каким образом эти отрицательные степени Ур исчезают.
Положим
Ауч1 = Wi
и рассмотрим х и у как функции переменных t и w.
Прежде чем идти дальше, важно сделать следующее замечание: среди
2п характеристических показателей а два равны нулю, а остальные по-
парно противоположны. Мы сохраним лишь самое большее п — 1 этих
показателей, полагая равными нулю коэффициенты Аг и переменные w,,
соответствующие п + 1 отброшенным показателям. Мы сохраним лишь
те показатели, вещественная часть которых положительна.
Теперь уравнения (1) принимают вид
rfx.	dx.	,/ р
-у + У akwk	(2)
dt z-Jjj Л 1 dw^ dyi	' '
dyl , V! dyi dF
Л	Я	I
Попытаемся, исходя из этих уравнений, разложить x.L и у~ в ряды по воз-
растающим степеням У р и штак, чтобы коэффициенты были периодически-
ми функциями t.
Мы можем записать
«;г = 4- [/р + 4р + . • • = S4pp/2,
поскольку мы видели в п. 74, как можно разложить характеристические
показатели в ряды по степеням Ур.
Напишем, с другой стороны,
xi = Xi + 4 Ур. + ... = z4jp?,/2>
4 - ”У = у1 +у} /р + • • • = Жр"/3>
296
Новые методы небесной механики. I
где xf и yf — функции t и w, периодические по t и разлагающиеся в ряды по
степеням w.
Если в уравнениях (2) и (3) мы подставим эти значения вместо ак, х^ и у,,
то левые и правые части этих уравнений будут разложены в ряды по сте-
пеням у р.
Приравняем в обеих частях уравнений (2) коэффициенты при p.<”+1)/2,
а в обеих частях уравнений (3) коэффициенты при цр/2; получим следующие
уравнения
dX?+1	— 7Р4-У d'F1
+ 2i -	— А +	, ч,о У* >
К	dwk	к dy^dyk
ТР __ У d*F0 „р
1с dx^dxk
dt
it
dyf . V 1 dy* 1
-----1- 21 akwit
/с
(4)
du>k
где Zf и Tf зависят лишь от
Xi, х},..х? \
У%, Уг • • •’ У1~2-
Условимся, как мы уже это делали раньше, через [ £У] обозначать среднее
значение U, если U периодическая функция t.
Из уравнений (4) мы сможем тогда вывести следующие:
1 d[xf[	5-,
X &kWk - ,	= [Zf ] + X —0 0
R dwk	* [ dy\dy"k
1 d [yf 1 ]	р
A ^W1‘ ~d^y - [Ti 1 ~ А ^4	'
«-г
Ук
(5)
Предположим теперь, что из предварительных вычислений мы уже
нашли
xi, xl,. . . , xf-1, xf — [xf],
yty\,... ^yt^y^-lyt1].
Уравнения (5) позволят вычислить [xf] и [yf *] последовательно, xf
и г/i”1. Уравнения (4) позволят затем определить
д-Г1 — [дГ1] и yf — [yf],
так что этот способ даст по индукции все коэффициенты разложений х,
и
Единственная трудность заключается в определении [xf] и [yf-1] из
уравнений (5).
Асимптотические решения
297
Функции и [г/?-1] разложены в ряды по возрастающим степеням w,
и мы будем вычислять различные члены этих разложений, начиная с членов
наименьшей степени.
Для этого вернемся к обозначениям п. 79, т. е. положим
___ d2F0 _	г d2Fi -1 __ ,
dzfdz^ *	ll‘
(для нулевых значений ш).
Тогда если мы обозначим через и ц, коэффициенты при
7nt т9	л
*, ш2 , . . . , WnД-1
в Lzi] и {у!'~1], то для определения этих коэффициентов будем иметь следу-
ющие уравнения:
(6)
В уравнениях (6) и — известные величины, потому что они зависят
лишь от
-г0	-г?	V? Гт?1
2 }	2 , • • • J •'*'2	, «Л/ £	~ I UV- 1 I ?
у?, уЪ •  ’ ^Г2’ уГ1—
или же от членов разложений [ж?] и [yf-1], степень которых по w меньше,
чем
т1 + т2 + •  • + гпП-1-
Кроме того, для краткости мы полагали
S =	+ m2a2 + . •  + Wn^-i-
Итак, для вычисления коэффициентов и тц у нас есть система линей-
ных уравнений. Трудность может возникнуть лишь в том случае, если де-
терминант этой системы равен нулю. Но этот детерминант равен
52 [52 - (al)2] [52 - (a1,)2] . . . [S2 - (a^)2] •
Он может обращаться в нуль лишь при
5 = 0, 5 = +а|,
т. е. при
т1 + т2 + • • • + Fln-i = 0 ИЛИ 1.
•2)8
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, затруднение может встретиться лишь в вычислении чле-
нов нулевой и первой степени по w.
Но нам не надо возвращаться к вычислению этих членов; действитель-
но, мы научились вычислять члены, не зависящие от w, в п. 44 и коэффи-
циенты при
wt, w2, . . и>п_г
в п. 79. В самом деле, члены пе зависящие от ю, суть не что иное, как
ряды (2) из п. 44, а коэффициенты при
М>2, . . ., wn^
— пе что иное, как ряды S,и из п. 79.
Мне остается сказать несколько слов о первых приближениях.
Мы придадим х° постоянные значения, такие же, как в п. 44.
Тогда будем иметь следующие уравнения:
dx}
dx} V, 1 dxi
~dT +	а,; УЛ ~d^~ =
к	K
dv\ , V 1 dyi	V d'1Fn	'
-dT + 2d w ТЦ7 = - 2)
к	к	к ах^ах^
dFi	(7)
В Fo, зависящем лишь от эти величины должны быть заменены на
х;'. В Ft величины xt заменены на 4, a у, на п^. Тогда Fx становится пе-
риодической функцией t с периодом Т. Мы обозначим через ф среднее зна-
чение этой периодической функции F±; ф будет тогда периодической функ-
цией у} с периодом 2л.
Два первых уравнения (7) показывают, что у° и х} зависят лишь от w.
Приравнивая в двух последних уравнениях (7) средние значения обеих
частей, получаем
= 2^4,
;	(8)
Si dxi <7ф
Уравнения (8) должны служить для определения у% и х} как функций
от ш. Можно ли удовлетворить этим уравнениям, подставляя вместо у} и
х} ряды по степеням Чтобы разобраться в этом, рассмотрим следующие
дифференциальные уравнения:
«М’ _ у Г0 1
. 1 (9)
dxi _
dt dyO
Асимптотические решения
299
Эти дифференциальные уравнения относительно функций у® и х) до-
пускают периодическое решение
= (), у» =
где обозначение <3, было введено в и. 44.
Характеристические показатели, соответствующие этому периодиче-
скому решению, суть в точности величины а,1. Мы условились сохранять
лишь те из этих величин, вещественная часть которых положительна.
Уравнения (9) допускают систему асимптотических решений, и легко ви-
деть, что эти решения представляются в виде рядов по степеням w. Тогда
эти ряды будут удовлетворять уравнениям (8). Итак, эти уравнения раз-
решимы.
После того как мы определили таким образом xl и у®, остальные вы-
числения больше не представляют, как мы уже видели, никакой трудности.
Следовательно, существуют ряды по степеням y\i. w и
формально удовлетворяющие уравнениям (1).
Это доказывает, что разложение TV/П в ряд никогда не начинается с от-
рицательной степени ]/гц. Исследование пунктов 110 и 111 даст нам новое
доказательство этого.
Расходимость рядов п. 108
109. К несчастью, ряды, полученные таким образом, не сходятся. Рас-
смотрим в самом деле
______1_______
1^—4- Sa,3 —
Если т не равно нулю, то это выражение можно разложить в ряд по
степеням ц; однако радиус сходимости полученного таким образом ряда
стремится к нулю, когда Y/S(3 стремится к нулю.
Итак, если мы разлагаем в ряд различные величины 1/П по степеням
]Л|л, можно всегда найти среди этих величин бесконечное число таких,
у разложений которых радиус сходимости как угодно мал.
Можно было бы еще надеяться, сколь бы невероятным это ни показа-
лось, что дело обстоит иначе для разложений различных величин 7V/II;
но доказательство, которое я дал в т. XIII «Acta mathematica» (стр. 222)
[2Ч и к которому я возвращусь впоследствии, показывает, что в общем
случае это не так. Итак, следует отказаться от этой слабой надежды и
прийти к выводу, что ряды, которые мы только что построили, расхо-
дятся.
Но нельзя ли извлечь из них некоторую пользу, даже если они и рас-
300
Новые методы небесной механики. I
Рассмотрим сначала следующий ряд, более простой, чем наши ряды:
F («>, р) =	'
п
Этот ряд сходится равномерно, когда р остается положительным и w
остается меньше по абсолютной величине, чем положительное число wQ,
меньшее единицы, в остальном произвольное. Ряд
1 dpF (w,p) _ ! ст npwn
<Zp"	^(1 + np)!’+1
также сходится равномерно.
Если теперь мы попытаемся разложить F (ш, р) в ряд по степеням р,
то ряд, к которому мы приходим,
п)РрР,	(10)
не сходится . Если в этом ряду пренебречь всеми членами, в которых
степень р больше р, то получим некоторую функцию
Фр (г/;, р).
Легко видеть, что выражение
F (w, р) — Фр (w, р)
стремится к 0, когда р стремится к 0, оставаясь положительным, так что
ряд (10) асимптотически представляет функцию F (w, р) при малых зна-
чениях р, так же, как и ряд Стирлинга асимптотически представляет эй-
лерову функцию при больших значениях х.
Я намерен установить в следующем пункте, что расходящиеся ряды,
которые мы научились строить в п. 108, полностью аналогичны ряду
(Ю).
В самом деле, рассмотрим один из рядов
3-jy	= F(]/p, wt, w2.....w-,., t);	(10')
рассуждения n. 105 показали, что эти ряды равномерно сходятся, если w
меньше по абсолютной величине некоторых пределов и j/p веществен.
Если разложить N/П. в ряд по степеням р, то ряды (10'), как мы уже
говорили, будут расходиться. Предположим, что в разложении мы пренеб-
регаем членами с показателями при YИ» большими р; мы получим некото-
рую функцию
Фр(/р, wlt w21	t),
Асимптотические решения
301
которую можно разложить в ряд по степеням w, и которая будет
многочленом степени р по У р.
Далее мы увидим, что выражение
F~K
УнР
стремится к нулю, когда р стремится к нулю, оставаясь положительным,
как бы велико ни было р.
В самом деле, если обозначить через Нр множество членов разложения
TV/П, в которых показатели при Урне превышают р, то получим
и я покажу, что ряд в правой части равномерно сходится и что все члены
стремятся к 0, когда р стремится к 0.
Следовательно, можно сказать, что полученные нами в п. 108 ряды
представляют асимптотические решения при малых значениях р,, подобно
тому как ряд Стирлинга представляет эйлеровы функции.
Новое доказательство предложения п. 108
110. Чтобы доказать это, я подвергну уравнения преобразованию, ко-
торое мне в то же время даст новое доказательство теоремы, обсуждавшейся
в п. 108. Для определенности предположим, что имеются всего две степени
свободы; тогда мы сохраним лишь одну из величин w и сможем записать
наши уравнения в следующем виде:
dxi	,	dxi	dF	dyi	dy	dp
-t;—Haw —— = -7—, -yr-+ аш-r2-= —-7—	(s = l,2).
at	1	aw	dy.	dl	1 aw	dx.	4	'•
отбрасывая ставшие ненужными индексы при а и w.
Нам известно, что а разлагается в ряд по нечетным степеням У р, и,
следовательно, аа — по степеням ц; обратно, р разлагается в ряд по сте-
пеням а2; мы можем заменить р этим разложением, так что функция F бу-
дет разложена в ряд по степеням а2. При а= 0 F сведется к Fзависяще-
му лишь от хг и ж2.
Пусть
=	г/г = Фг(О
— исходное периодическое решение. Положим, как и в п. 79,
жг = Фг(0 + £ь Уг = Фг (0 + Лй
302
Новые методы небесной механики. I
наши уравнения примут вид
dt. dt-	dr). dn.
dt	dw 1 dt 1 dw ’
где Ej и Hi разлагаются в ряды по степеням тр и а2, а коэффициенты —
периодические функции t.
При a = 0, dFIdyi и, следовательно, Е{ обращаются в нуль; итак,.
Ej делятся на а2 и я могу положить
S4 = a2Xi 4-a2Xi,
где а2Х/ означает сумму членов первой степени по | и ц, а а2Х/ означает
сумму членов высших степеней.
Точно так же, когда а равно нулю, dFIdxi и, следовательно, Hi зависят
лишь от но не от тр.
Итак, я могут положить
Hi = Yi + Y'i + a?Qi + a2^',
где Yi + a2<2i означает сумму членов первой степени по | и тр в то время
как Y^ + a2Qi означает сумму членов степеней, больших первой. Кроме
того, я предполагаю, что У{ и У/ зависят лишь от и |2.
Положим
11 — 1а — ®Сг-
У» будут делиться на а, а У/ - на а2, так что я смогу положить
+ a2Qi = aZb Yi + a2Qi = а%,
и наши уравнения примут вид
dt. dt,.	,
4-	= aXi 4- a-Xi,
dt	dw 11
d^i , dth '/ ,	27'
—4- 4- aw—.— = aZi 4- a2Zi.
dt 1 dw	11
Рассмотрим уравнения
(12)
(13)
Эти уравнения линейны относительно неизвестных С;и тр. Они отличаются
от уравнений из п. 79 лишь тем, что и 12 заменены на и а£2.
Асимптотические решения
303.
Как мы видели в пунктах69и 74, уравнение, определяющее характери-
стические показатели, имеет четыре корня: один равен -j-a, другой равен
—а, а оставшиеся два равны нулю.
Первому корню, т. е. корпю а, будет соответствовать решение уравне-
ний (2) из п. 79, которое мы научились строить в этом пункте и которое мы
записали в виде
Bi = щ
Я напомню, что S{ равно нулю и, следовательно, делятся па а.
Второму корню, —а, будет соответствовать другое решение уравне-
ний (2), которое мы запишем в виде
U = e~atS'v = е~а,Т-.
Наконец, двум нулевым корням будут соответствовать (ср. п. 80) два ре-
шения уравнений (2), которые мы запишем в виде
= St,	hi = т';,
tn	Н	>п	п
Bi = Si atSi, hi = Ti + atTi,
Ti, Ti, Ti , Si, Si , Si — периодические функции t, так же как и Si и Т,,
Как мы видели в пунктах 79 и 80, 6/, и = aSf будут, как и
S,, делиться на а.
Положим теперь
aBi = «SjOi + Ч'1О2 Ч- ^10з +	,
=	+ Ч'202 Ч- Ч3О3 Ч* ЧЧО,,,	(13bis)
т]1 = 7' Л Ч~ 7’102 Ч~ 7’10з + 7’104,
Лз = Т20i Т Ч~ Т'203 4~ 7’204.
Определенные таким образом функции 0, будут играть роль, аналогичную
той, которую играют функции тц из и. 105. Уравнения (12) примут тогда вид
с/01 , d0i п	о!0г , dQz , п г,
—h aw -ц------а0, = а«1, -т-—k aw --------h а0» = а©.,,
dt 1 dw 1 х’ dt 1 dw 1	2 i
Й0з , с/0з Q ,	~ dQt , dQt „
—r— 4- aw—r— = a04 4- a©3,	— 4-au>-j— = аЭ4,
dt 1 dw 4 ‘	6 dt 1 dw *
0i, 02, 03и 04 — функции, разложенные в ряды по степеням 01? 02, 03, 014и
а, все члены которых по меньшей мере второй степени по переменным 0
и коэффициенты которых являются периодическими функциями t. Кроме
того, 0 должны быть периодическими функциями t и члены первой степени
ПО W В 01, 02, 03 и 0*4 должны сводиться к w, 0, 0, и 0.
Уравнения (14) аналогичны уравнениям (2') из и. 105.
304
Новые методы небесной механики. I
В самом деле, находим
OCXj =	1
az; =	+ 02r; + 037< + QJi,
что дает нам четыре уравнения, из которых можно получить четыре функции
0, поскольку S, Т, X' и Z' — известные функции. Я утверждаю, что мы
найдем
04 =	+ СЛЛ + ад + uit ,z2,
где U — периодические функции t, которые можно разложить в ряд по
возрастающим и положительным степеням а. В самом деле, для этого до-
статочно, чтобы детерминант
	— 51 —51 а 1 а х	— 51 а 1	— 5Г а 1
д =	— $2 — s2 а 2 а 45	1	с."	4
	Л		Т[
	т2 т2			W т2
не делился на а, т. е. не обращался в нуль при а = 0.
При а = 0 SJa сводится к величине, которую мы назвали 31 в п. 79,
а Т{ — к Т1, и эти величины удовлетворяют уравнениям (9) и (10) того же
п. 79.
Здесь мы разлагаем в ряд не по степеням а по степеням а, так что
величина, которую мы назвали в п. 79, равна 1. Уравнения (9) из п. 79
будут, следовательно, записываться в виде
ЛТ   ЬХ 1 >	IА Л
1	а "Т- а ’
“ = х Ъ12Т2
и должны будут удовлетворяться при а = 0.
Что касается второго решения, для него показатель равен —а и, сле-
довательно, ах равно —1, так что эти уравнения примут вид
Асимптотические решения
305
Это позволяет предположить, что
Ti = Тг, S'i = - Si.
Так как St делятся на а2, то iSY'/а обращаются в нуль при а = 0. В то же
время при а = 0 имеем
При а = 0 Ti' = аТ* обращаются в нуль, и мы имеем
А."
Находим
Щ = C\s\ +
Отсюда мы можем заключить, что определитель А при а = 0 сводится к
	Л	s'	
	  1 		m
А = 2	а	а	
	Sz	Со to 5	т 2 п2
			
	а	а	
Кроме того, находим	Ti пг		S1 а	а		Сц С12
	Т2 п2			с'" 62		z*»0 ziO с 21 Ь22
			а	а		
Определитель, образованный из Сп, , который есть не что иное, как гес-
сиан функции Fо, вообще говоря, не обращается в нуль, так что А может
обратиться в нуль только, если
Г1 = Та .
ni Пг ’
но если заметить, что
+ n2bi2 = 0,
то заключаем отсюда, что
У1 = А = о
а а ’
а этого не может быть.
20 А. Пуанкаре
306
Новые методы небесной механики. I
Следовательно, детерминант А не равен нулю. Можно еще установить
это следующим образом. Рассмотрим следующие уравнения:
dt,.
__ /'0 £	। /-<0 t
"Г bi2g2.
Это линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Они допускают
четыре линейно независимых решения, а именно:
=	тр =
S"
s"'	s“,
F t > Mi = г + tTi.
Разумеется, в Ti и SJa надо положить a = 0, так что эти величины све-
дутся к постоянным.
Поскольку эти четыре решения линейно независимы, их определитель
при t = 0 не должен обращаться в нуль; но этот определитель как раз и
есть А. Следовательно, А не равен нулю, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы видим, что функции 0; действительно обладают ука-
занными свойствами.
111.	Предыдущие исследования немедленно распространяются на слу-
чай, когда имеется больше двух степеней свободы. Если мы положим
Ъ = /ЙСй
то уравнения можно будет записать, как в предыдущем пункте,
с/t.	dt.	г-
-Sr + 3«^^?-= /pXi + pXi
Л].	с/р.	Г-	. (t 1, 2, . . я).
~dT + S a^-	= /рЛ 4-
к
Функции Xi, Xi' Zi и Zi обладают теми же свойствами, что и в предыду-
щем пункте, т. е. их можно разложить в ряды по степеням тр, и ]/"р
они являются периодическими по t. Кроме того, X, и Zj линейны по тр
£{, a Xi и Zi содержат лишь члены самое меньшее второй степени относи-
тельно этих переменных.
н н
Асимптотические решения
307
Рассмотрим затем уравнения
dg.
-1Г =
Щ].	,
~аГ = УрА;
они допускают 2п — 2 линейно независимых решений, соответствующих
2п — 2 характеристическим показателям, не равным нулю; эти решения
могут быть записаны в виде
У^ = ^ = А'Д,К, Ц1 = А*'Д,,; (Л = 1,2, . ,.,2п—2);
они допускают сверх того два вырожденных решения, определенных в п. 80,
которые я запишу в виде
У ~	2п-1,	Лг = Д,2п-1
И
У' Р?г — $i, 2»Т У 2)1-1, Hi = ^i, 2,1 4“ У |P^i, 2>i-V
Функции Si,;; и Tijlc (к = 1, 2, ..., 2п) периодические по t. Кроме того,
S.^-; делится наЦ^р].
Мы можем теперь положить
2?г
2 А А
fc=l
2п
ф = 2 Л, А,
К=1
тогда мы получим уравнения
б/О 	х-1	rf0.	/—
+	= УрО, (i = 1, 2, . . ., 2п — 2),
- /Л - V7*9»-,.
к	с
It
Функции &к определены 2п уравнениями первой степени

Определитель этих 2п уравнений, т. е. определитель А, образованный
из А-/|/ ри не обращается в нуль при р, = 0. Это можно было бы
20*
308
Новые методы небесной механики. I
доказать, как в предыдущем пункте; второе доказательство, в частности, мо-
жет быть применено без изменений в случае, которым мы занимаемся.
Мы заключаем отсюда, что функции ©& периодические по t и разлагаются
в ряды по возрастающим и положительным степеням 0Х и
Теперь легко доказать предложение п. 108.
Действительно, предположим, что р характеристических показателей
alt а2, ..., ар имеют положительную вещественную часть и попытаемся
удовлетворить уравнениям (14bis), заменяя 0; рядами по степеням w1,
wp. Итак, пусть
0i = Sl£> Pi- • • •> Рр- П	• -Wnv,
где рх, р2, рр — положительные целые числа, Y— положительное или
отрицательное целое число, а коэффициенты [г, рх, (За, ..., рр, yL которые
я для краткости буду также обозначать [г, р^, Y1,— константы, которые
надо определить.
Если мы подставим значения 0Х в то получим
Pi> Рг- • • •> Рр> Y^^'MM2- • • 4>р>
причем коэффициенты (г, р1( р2, ..., рр, у)или (г, pfc, y) будут константами,
зависящими по некоторому закону от неопределенных коэффициентов
[г, Рк, yK Я утверждаю, что [i, Р&, yL и, следовательно (г, р^, y), можно
разложить в ряд по возрастающим степеням р и что разложение не со-
держит отрицательных степеней.
Действительно, уравнения (14bis) нам дают
U, Р/с - Tl = (i. Р/с - Г) J? 7-----
при г = 1, 2, ..., 2п — 2 и
,2».	
[2n-i, pft, Y1 = {[2«, Рй, Y1 + (2тг—1, Pfc, Т)}	.
Эти формулы позволяют вычислить последовательно коэффициенты
[i, pfc, yK Действительно, если мы условимся говорить, что коэффициент
[i, Р/с, Y1, так же как и (i, рк, Y), имеет степень
Pi + Рг + •  • + Рр,
то легко видеть, что величина (i, pft, Y) зависит лишь от коэффициентов
If, Р/с, Yi меньших степеней, которые мы можем предположить извест-
ными из предыдущих вычислений.
Асимптотические решения
309
Можно также доказать по индукции сформулированное предложение.
Действительно, я утверждаю, что оно верно для [i, р(;, у], если оно верно
для коэффициентов меньшей степени; в самом деле, если это так, то оно
будет верно для (i, 0^, т)5 который зависит лишь от этих коэффициентов
меньшей степени.
Итак, остается доказать, что дробь
_______Уи_______
г V=i+SaA-ai
разлагается в ряд по положительным степеням ]/”р,. Но это очевидно, по-
тому, что если Y не равно нулю, то знаменатель не делится на Ур. Если
Y равно нулю, то знаменатель делится на ]/”р, но не на р., но то же самое
можно сказать о числителе.
Таким образом, предложение п. 108 снова доказано.
Преобразования уравнений
112. Вернемся к случаю, когда имеются лишь две степени свободы и
снова рассмотрим уравнения (14) из п. 110.
Пусть Ф — функция, которая, так же как и 0Х, ©2, ©3 и ©4, разлагает-
ся в ряд по степеням 0Х, 02, 03, 04, а, и причем каждый из ее
коэффициентов веществен, положителен и больше по абсолютной величине,
чем коэффициент при соответствующем члене в ©х, ©2, ©8 и ©4; все члены Ф,
кроме того, будут, как и члены 04, по меньшей мере второй степени по 0.
Заметим, что число
(где п — положительное, отрицательное или равное нулю целое число, а р —
положительное целое число, не меньшее единицы) всегда по абсолют-
ной величине больше единицы, каковы бы ни были п, р и а. Но числа,
играющие роль делителей (5) из и. 105, разделенные на а, имеют в точно-
сти такой вид.
Построим теперь уравнения
0Х = w + Ф, 02 = Ф, 03 = 04 + Ф, 04 = Ф, (15)
аналогичные уравнениям (2") из п. 105,
Из уравнения (14) можно получить 0 в виде рядов по степеням ши
аналогичных рядам (4') из п. 104. Из уравнений (15) можно получить 0
в виде рядов по степеням тех же переменных, что и ряды (4"') из п. 105.
Каждый из членов этих последних рядов положителен и больше по абсо-
310
Новые методы небесной механики. I
лютной величине, чем соответствующий член первых рядов *; итак, если
они сходятся, то сходятся и ряды, полученные из уравнений (14).
Но легко видеть, что можно найти число гг0, не зависящее от а, такое,
что если | w | <С то ряды, полученные из (15), сходятся.
Из этого следует, что ряды по степеням w, полученные из (14), сходятся
равномерно, как бы мало ни было ц, как я уже говорил ранее. Это рассуж-
дение _во всем подобно рассуждению п. 105, причем функция аФ играет
роль Й21 + Н3 + ..., а — роль 8, потому что делители (5) имеют вид
п —1 + ар и, следовательно, превосходят а по абсолютной величине.
Теперь мы имеем 9 в виде рядов по степеням w и	коэффициенты—
известные функции а. Если разложить каждый из этих коэффициентов
в ряд по степеням а, то мы получим 6 в виде рядов по степеням а. Получен-
ные таким образом ряды расходятся, как мы уже видели ранее; пусть,
однако,
0i = 0? 4- a9i + a2©2 + . . . + ар()р + . . .	(16)
— эти ряды.
Положим
7/1 = 91 + 0,, Я2 = 02 - 02, Я3 = 03 + 04, Я4 = 04.
Положим
0i = 0? + a0j + a2©2 + . . . + a"0f + apuit	(17)
приравнивая 04 р + 1 первым членам рядов (16) плюс дополнительный
член арщ.
Если в Hi заменить 0; их разложениями (17), то Я; разлагаются в ряд
по степеням а и можно записать
Н, = О- + а01 + а292 + . . . + а'ЧЭГ1 + apUi,
где не зависят от а, а Я4 разлагаются в ряды по степеням а.
Тогда мы будем иметь уравнения
-Ч = 0, dt		dO,1	rf09	. -4 + w = 0?, dt	dw	1		
	do? —j— + wtt~ = dt	dw	dQP 4’“l dt +U’ dw “	9Г1	(18)
и затем	du. + aw dt 1	du,	d0?' 	C aw—,— = aU dw	dw		(19)
* См. далее доказательство, подробно изложенное в аналогичном случае, относящееся
к уравнениям (21) и (21 bis).
Асимптотические решения
311
Вот каков вид функции U& величины 0j можно рассматривать как извест-
ные функции t и w, определенные уравнениями (18) и уравнением (20),
которое я напишу ниже, в то время как иг остаются неизвестными функ-
циями. Тогда функция Ui разложена в ряд по степеням w, е^-1, а и Uj.
Кроме того, любой член q-й степени по ut имеет по меньшей мере степень
р (q — 1) по а. Действительно, и, следовательно, apUi разлагаются по
степеням 0г и, следовательно, по степеням и Следовательно,
любой член q-й степени по и-ъ будет делиться на а"7 в apUi и на aP(a-i) в
и>.
Пусть U° — значение при а и равных нулю; будем иметь
d [О?]
W--------
(lw
Далее я могу, положив
U'i = Ui
d<№
— w —
dw
и затем
V1 = U1 — ul, V2 = U'2 + u2, V3^U'3-u„ V^U',,
представить уравнения (19) в виде
dii\ ,	du,
—г-—h aw --------an, = av,,
dt 1	dw	1 J
du, . du,	,r
-j-- aw -r1— au, = av3,
dt 1 dw 4	4
du-2 , dw> ,	TZ
—r— 4- aw — - au., = a/7,
dt 1 dw '	2	2’
du, , du, TZ
4- aw = аИ4.
dt 1 dw	4
Тогда можно видеть, что V{ содержат лишь члены по меньшей мере
второй степени по w и и;.
В самом деле, 0; делятся на w и сводятся к w или к 0 при отбрасывании
членов, степени выше первой по w. Из этого следует прежде всего, что Отде-
лится на и’2. С другой стороны, правая часть уравнения (17) будет содер-
жать лишь члены по меньшей мере первой степени по w и по щ. Итак, 0;
содержит лишь члены второй степени по w и по п{. Отсюда следует, что
единственные члены первой степени, которые могут уцелеть в U,, U2, U3
сводятся соответственно к Uj, — zz2, м4 и 0.
Кроме того, w -- dQi/dw делится на ш2. Итак, И4 содержат лишь члены
по меньшей мере второй степени, что и требовалось доказать.
Из уравнений (21) можно получить в виде рядов по степеням w и
е (К-1 Применяя к этим уравнениям то же рассуждение, что и к уравне-
ниям (14), я докажу, что эти ряды сходятся, когда | w | < ш0, и что схо-
димость остается равномерной, как бы мало ни было а.
То же самое будет иметь место для рядов, представляющих duj.dw,
d^uj dw2,....
312
Новые методы небесной механики. I
Отсюда будет следовать, что uit dujdw, cPui/dw2, ... можно приписать
верхнюю грань, не зависящую от а, если только |ш|<С ш0.
Затем я покажу ниже, в пунктах 116 и 117, что это верно и для всех по-
ложительных значений w.
В самом деле, пусть Ф — функция, разложенная в ряд по степеням
a, щ, w и	и такая, что мы имеем (при г — 1, 2, 3, 4)
7г<<’Ф (argux, u2, и3, uit a, w, <?±;|f-i).
Пусть Ф' — значение Ф, когда ult и2, и3, ut заменяются на щ1, и2, и3 ,
н4'.
Рассмотрим следующие уравнения:
иг = w Ф , и2 = Ф , и3 = Ф , zz4 = Ф ,	(2Ibis)
аналогичные уравнениям (15). Ясно, что эти уравнения имеют такое реше-
ние, что и/, и2 , и3 ,и^ разлагаются в ряды по степеням w, а и е^1^-1 и
обращаются в нуль вместе с w.
Эти ряды и/, и2 , и3', и4'будут сходящимися, если только |ш| не пре-
восходит некоторого предела, который я назову ю0. Сравним теперь урав-
нения (21) и функции Uj, и2, и3, ut, которые им удовлетворяют, с урав-
нениями (21bis) и функциями и/, и2, и3 , и4’, которые удовлетворяют
последним.
Я собираюсь установить, что
Uj Hi (arg w, e-t'^-r).
(Я обращаю внимание на то, что а не входит в число аргументов, от-
носительно которых берется это неравенство.)
В самом деле, пусть и," и u/n означают суммы членов и, и и/ степени са-
мое большее п по ш; предположим, что мы установили, что
Я покажу, что
и^<и™.
Тем самым я по индукции установлю неравенство, которое надо дока-
зать.
Если подставить в и в Ф' вместо Uj и и/ разложения этих величин в
ряды по степеням w и	то функции F{ и Ф' сами будут разлагаться
в ряды по степеням w и
Обозначим еще через У{п и Ф'п сумму членов степени не больше п по ш.
Асимптотические решения
313
Тогда если и- <<; и™, то будем иметь также
Пусть
— член Ф'п+1 и
vV1 < ф'”+1
Ашп+1ёР‘^
AlWn+1e>-1
— соответствующий член У”+1 ; будем иметь
Пусть теперь
I А|< А.

— соответствующие члены щ и щ'.
Уравнения (21) и (21bis) нам дают тогда
51 =
Ai
рУ-1
а
В,
+ п
Ву = Bt’ = В,' — А, В3 — Bi А.
Так как
^- + п >1,
а. 1
то имеем
откуда
и по индукции

U?+1<JZ?+1
что и требовалось доказать.
Поскольку это неравенство берется по переменным w и e±tyr~1, оно
может быть продифференцировано как по w, так и по t, так что мы имеем
du 
___г
dt
du^
dt
dui	dui
dw	dw ’
d2ul	diul
dw2	dw2 ’
314
Новые методы небесной механики. I
Пусть Ui — значение щ' при t = 0; если	то для положитель-
ных значений w будем иметь
| <щ°.
Но величина щ° разлагается в ряд по степеням а; следовательно, мож-
но приписать ей верхнюю грань, не зависящую от а при малых значениях
а, поскольку эта величина стремится к конечному пределу, когда а стре-
мится к нулю.
Тем же свойством в силу установленных неравенств обладает и | щ |.
Можно было бы также показать, что тем же свойством обладают произ-
водные
I dul I I dui I	d2ui
I dt ’ dw I ’	du-2 ’
что и требовалось доказать.
Приведение к каноническому виду
ИЗ. Заметим, что уравнения (14), а также уравнения (21) можно при-
вести к каноническому вид/
Действительно, если мы положим, как в начале п. 110,
= <Pi (0 + li,	У г = “Фг (0 + Иг,
то канонические уравнения движенит
_ dF_ dy.	dF
dt dy. ’ dt	dx^
принимают вид
dlt	dF*	—	dF*
dt		dt	d^
где F* определена следующим образом.
Если в функции F заменить хг и на tp, (Z) + и (t) + тр, то полу-
ченная функция F разлагается в ряд по степеням £ и гр причем коэффи-
циенты периодичны по t. Пусть теперь F' — сумма членов степени 0 и 1
по g и ц; положим
F* = F — F'.
Если обозначим через и бгр некоторые виртуальные приращения^ и
гр, а через 6Е*—соответствующее приращение F*, то эти уравнения можно
Асимптотические решения
315
будет записать в виде
^(d^i-d^i)=8F*dt.
Что станет с этим уравнением, если взять за новые переменные вели-
чины 0j?
Принимая обозначения, аналогичные обозначениям п. 70, мы положим
(и, с/')
и определим также (U, U"), (U', U"), ....
Из и. 70 мы знаем, что все эти величины равны нулю, за исключением
(U, U') и (U", U"'), которые постоянны. Эти постоянные должны делиться
на а, но они могут быть в остальном произвольными, поскольку 5{, Т,,
Si, Т i, ... определены лишь с точностью до постоянного множителя. Сле-
довательно, мы можем положить
(U, U') = (£/", G"") = а.
Если, с другой стороны, заметить, что
dli == 0Х dSi 4- 02 dS'i + 03 dS- + 0, dS- + Side, + S[ dG., 5- dG3 + S- c/04,
6^ ^60! + 5i602 + 5-603 + 5Г694, . . .,
то можно заключить, что
a (dGi 602 — <70,60! + c/036O4 - (/04603) = (6F* + 6Й) dt,
где через 6Q обозначено линейное как по 0{, так и по 604 однородное выра-
жение, причем коэффициенты этой билинейной функции периодичны по t.
Я утверждаю, что 6Й — точный дифференциал; в самом деле, уравне-
ния (14) нам дают
а ((/04602 — (/02604 -j- (Z03604 — (/04603) = а2 (6G + 6G') dt,
где 6G — точный дифференциал функции
G = 0i02 -j—
и где
6G' = 6x602 — 62б0х -j- 036Э4 — 04603.
Я утверждаю, что 6F* + 6Q = a2 (6G + 6G') — точный дифференци-
ал; чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что в этом выражении
члены первой степени по 0{, сводящиеся к 6G, являются полным диффе-
ренциалом и то же самое верно для членов степени выше первой, поскольку
i>F — точный дифференциал и 6Q содержит лишь члены первой степени.
316
Новые методы небесной механики. I
Итак, мы можем положить
6Г + 6Q = а2бФ,
где
Ф = С + ^-,
1 а2
причем F" обозначает множество членов F степени выше второй по
и Щ.
Следовательно, мы можем записать
<Z0i _ аФ </02	</Ф
~dt~ — а йёГ ' ~di~ = ~~ а ТбГ •
Вспоминая, что 0 зависят от t не только непосредственно, но и через
w, мы запишем эти уравнения в виде
</61 .	</91	</Ф	</02	</02	</Ф	.
—— + аш	= а ,	-т— + u.w -т- = — а ,	(14bis)
dt ' dw </02 dt 1 dw	<Z0i '	'
к которым надо добавить два аналогичных уравнения, получающиеся из
предыдущих при замене 0Х и 02 на 03 и 04.
Таким образом, мы привели уравнения (14) к каноническому виду.
Надо то же самое сделать и с уравнениями (21).
Если в Ф заменить 0{ их значениями (17), то полученная функция раз-
лагается в ряд по возрастающим степеням а и и,; если затем мы обозначим
через а2РФ' множество членов степени по меньшей мере 2р по а, то наши
уравнения превратятся в
^иг , dui d<&' du-i .	</и2	</Ф'	,
—тг + olw-j— •— а , —г—[-aw-— = — а——	(21 bis)
dt 1 dw dui dt	dw	dui '	'
и два аналогичных уравнения.
Таким образом, мы привели уравнения (21) к каноническому виду.
Вид функций Vt
114. Рассмотрим функцию
Е (ж1, х2, У1, у2)
и заменим в ней xL на
х^, 4- ах^ 4- а2х2 4- ... 4- ap+1xp+1 -j- <xp+1itt	(22)
и yi на
nJ + У? +	+ a2J/i + • • • + a” yi + <Лъ	(22bis)
Асимптотические решения
317
Обозначения
4, 4, 4, • • 4+1,	(23)
у?> 4- • • у?
имеют тот же смысл, что и в п. 108. Единственная разница заключается в
том, что у нас имеются здесь лишь две степени свободы и параметр, по кото-
рому мы разлагаем в ряд и который играет роль р, равен здесь а2;
величины (23), следовательно, являются известными функциями v и w.
Что касается аг+1кг и арр{', то это некоторые дополнительные члены. Я на-
мерен исследовать, при каком условии F разлагается в ряд по степеням
a, Vi и Vi'.
Положим для краткости
а4 + а24 + .. .	ар+14+1 + ар+1у4 = xi,
<*Уг + 44 + • • . + ару? + арщ = у\.
Для того чтобы функция
F (Xi + Хг, nJ + у? + у'г)
разлагалась в ряд по возрастающим степеням xj и у/ и, следовательно, по
степеням a, Vi и у/, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы точка
Xi = 4, Z/i = nJ -I- y°i
не была особой точкой для F.
Но xi и п, — константы, a у% — функции iv, определенные уравнения-
ми (8) из п. 108. Далее, в большинстве приложений функция F остается
голоморфной, каковы бы ни были вещественные значения z/f, если 4 и щ
имеют постоянные значения, соответствующие периодическому решению.
Возьмем, например, задачу из п. 9 и предположим, что xt = L, х2 = G
определяют форму эллипса, описанного бесконечно малой массой, а ух = I,
у2 = g — t определяют положение перигелия этого эллипса и положение
массы на орбите.
Для того чтобы F перестала быть голоморфной, эта бесконечно малая
масса должна была бы встретить одну из двух других масс; если эллипс не
пересекает окружности, описанной второй массой, как это и бывает почти
во всех приложениях, то эта встреча никогда не сможет произойти, како-
вы бы ни были вещественные значения I и g — t.
Так же обстоит дело в случае большего числа степеней свободы, когда
мы исследуем задачу трех тел во всей общности.
Тогда переменные х{ определяют форму эллипсов и взаимное наклоне-
ние их плоскостей, переменные у, определяют положение узлов, периге-
лиев и самих масс. Тогда в большинстве случаев значениям х° перемен-
ных х„ соответствующим периодическому решению и предельному значе-
318
Новые методы небесной механики. I
нию ц = 0, отвечают два эллипса, которые не могут пересекаться, как бы
они ни вращались в своих плоскостях. Функция F, следовательно, не мо-
жет перестать быть голоморфной ни при каких вещественных значениях у,.
Таким образом, мы должны предположить, что при xt = х^ /’голоморф-
на для всех вещественных значений у;. Случаи, когда это не так, не имеют
значения с точки зрения приложений.
Впрочем, мы всегда делали это предположение.
Если теперь заменить в F величины xt и у; выражениями (22), то F
разлагается в ряд по степеням а, щ и щ' и это разложение, коэффициенты
которого зависят от t и w, сходится при всех значениях tnw. Радиусы схо-
димости как по а, так и по Vi и р/ непрерывно зависят от t и w и не обраща-
ются в нуль ни при одном вещественном значении этих переменных.
Если заметить, что х„ 04, vi, ... связаны между собой соотноше-
ниями
Ъ = Ti (0 + а£>, Уг =	(0 + Ф
и соотношениями (13bis), (17) и (23), то можно заключить, что F и, следо-
вательно, Ф' разлагаются в ряды по степеням а и ul, что коэффициенты
разложений и радиусы сходимости непрерывно зависят от t и w и что эти
радиусы сходимости не обращаются в нуль ни при одном вещественном
значении t и w.
Из этого факта и из того, что мы уже знаем о функциях V^' (которые яв-
ляются не чем иным, как производными Ф'), мы можем заключить следую-
щее.
Можно найти два вещественных положительных числа М и р, не за-
висящих от t и w и достаточно больших, для того чтобы выполнялось (по-
лагая для краткости s = ur -|- u2 + u3 + ut)
+ Mws + -—--—S~v  (arga, u2, u3, щ)
1 — 3a — ₽azs
для всех вещественных значений t и всех значений w, заключенных между
О и произвольным верхним пределом W. Величина W может быть сколь
угодно велика, но числа М и р должны быть выбраны тем большими, чем
больше будет W.
Фундаментальная лемма
115. Установим теперь следующую лемму.
Пусть <р (х, t, ш), ф' (ж, t, w) — две функции от х, tn w, которые разла-
гаются в ряды по степеням х и такие, что для всех рассматриваемых зна-
чений t и w
ф<Гф' (arg а:).
Асимптотические решения
319
Рассмотрим два следующих уравнения:
и
dx' , dx' , , . .	,
-р aw-~— = ср (х , t, w).	(1 )
at 1 dw '	’	'
Рассмотрим частные решения каждого из этих двух уравнений, выбран-
ные так, что при и> = w0 (w0 — произвольное положительное значени: ?)
имеем
,| х | < х .
Я утверждаю, что при всех значениях w, больших w0, будет еще выпол-
няться
М< х'.	(2)
Заменим переменные, положив
t = — logw + т.
Мы будем иметь, обозначая через д частные производные, взятые по пере
менным т и w,
дх	dx 1 dx
dw	dw ‘ aw dt
Поэтому наши уравнения примут вид
aw -х— = Ф,	aw -ч— — <р'.
OW	OW т
Если для некоторой системы значений переменных
W = Wv, Т = Tj
неравенство (2) удовлетворяется, то
I <Р I < <₽',
дх I _ дх'
dw | dw ’
так что неравенство (2) будет еще удовлетворяться при
w = wr dw, т = т1;
320
Новые методы небесной механики. I
поскольку
и, следовательно,
Iх + -f— dw I <Z Ix I + I -4— dw I <( x' + 4~— dw.
|	1 dw I1 1 1 | Ou? I ' dw
Итак, для того чтобы неравенство (2) сохранялось при
w>wn, т = т1,
достаточно, чтобы оно было справедливо при
w = w0, т = Tj.
Но мы предположили, что оно справедливо при любом t и, следователь-
но, т при w = ш0; следовательно, оно сохранится при любом х и, следо-
вательно, t при w )> w0, что и требовалось доказать.
Можно было бы абсолютно таким же образом доказать немного более
общую лемму.
Пусть (р1; <р2, ..., <рп, (pi, q>2 , фп—функции хх, х2, хп, txtw
разлагающиеся в ряды по степеням х я такие, что при всех рассматривав
мых значениях t и w имеют место неравенства
Ф^Фг Фа<Фа> • • •1ФП<<Ф»	(arg*!,
Рассмотрим уравнения
dx.	dx.
^ + aw-^==<pi(x1, х2, .. .txn, t,w)	(3)
и
+ aw= Ф* х'а' - • -'х'п' 1’ (i = 1, 2,..., п).	(3')
Предположим, что для любого t при w = w0 мы имеем
I *il< xi,
тогда это неравенство справедливо при любом tQ, если w )> w0.
Сделаем теперь более частные предположения о функциях ф{ и <р/.
Предположим:
1)	что эти функции периодические по t с периодом 2л;
2)	что для малых значений w они разлагаются в ряды по возрастающим
степеням w (это может выполняться не для всех рассмотренных значе-
ний w; достаточно, чтобы это было справедливо для малых значений пе-
ременной);
Асимптотические решения
321
3)	что эти функции разлагаются в ряды по целым степеням параметра
а и делятся на а; кроме того, пусть
(Pi<^(Pi (arg^, а-а,. .жп, а);
4)	что, если обозначить через <р{° исрг° значения функций ср{ и cpj при
всех х, равных нулю, эти величины ср? и ср,0 делятся на ы1.
Если все эти предположения выполнены, то в силу теории, изложен-
ной в предыдущих пунктах, существуют частные решения уравнений (3)
и (3') следующего вида:
Х1 = Aj 2w2 + At, :iw?J + • • • ,	..
,	'	,	(4)
Xi = Ait 2w2 + Aif 3w3 + . . .,
где Altn и Ai,n — функции t и а, периодические no t и разлагающиеся в
ряды по возрастающим степеням а.
Уравнения (3) [или (3'), которые имеют тот же вид] можно привести к
виду уравнений (2) из и. 104.
Действительно, рассмотрим снова уравнения (2) из п. 104; они запи-
сываются в виде
dt ~
где Si разлагаются в ряды по степеням и очень малого параметра и,
кроме того, зависят от i; они обращаются в пуль вместе с
Величины зависят от t не только прямо, но и косвенно, через посред-
ство экспонент
Апеап*.
Здесь мы предполагаем, что все коэффициенты А2,..., Ап равны нулю,
за исключением одного; таким образом, мы будем рассматривать лишь
одну экспоненту w — Aeat. Итак, будут зависеть от t, во-первых, пря-
мо и, во-вторых, через w. Поэтому, если мы обозначим частные произ-
водные через d, а полные производные через д, то получим
dt
d$i
dt
,	d^i
4- aw -j—•,
1	dw
и наши уравнения примут вид
г,
'—у-—CCW
dt 1 dw 1
Единственное формальное отличие уравнений (3) от уравнений (5) за-
ключается в том, что правые части уравнений (3) зависят от гр и не обра-
21 А. Пуанкаре
322
Новые методы небесной механики. I
щаются в нуль при
xt = х2 = . . . = хп = 0.
Однако легко избавиться от этого формального отличия. Для этого до-
статочно присоединить к уравнениям (3) следующее уравнение:
dx ...	dxn^
—-------1- aw — = own+1,
dt	1 dw	n+1’
которое допускает решение xn+1 = w, и заменить w на xn+\ в
функциях <р£.
Тогда функции <р4 не будут больше содержать w и будут обращаться в
нуль при
= ж2 = ... = хм = 0.
Итак, мы можем применить к уравнениям (3) и (3') результаты п. 104 и
прийти к выводу, что эти уравнения допускают решения вида (4).
Вычисление коэффициентов Л^3, ... производится очень просто
по индукции способом п. 104.
Итак, предположим, что мы нашли таким образом
I ^i, 2 I 2
при любом t.
Отсюда мы заключаем, что
X.	X.
lim < lim (при w = 0)
и что, следовательно, можно найти значение ш0 переменной w, достаточно
малое для того, чтобы выполнялось
I Ъ I < х 
для всех вещественных значений t и всех значений ш, меньших и боль-
ших нуля.
Тогда мы будем иметь в силу доказанной выше леммы
Ы < <
для всех вещественных значений t и всех положительных значений w.
Аналогия между рядами п. 108 и рядами Стирлинга
116. Применим предыдущую лемму к уравнениям (21), которые мы за-
пишем в виде
dll; ,	dll;	тт-
4- aw —- = aUt.
dt 1	dw г
(21)
Асимптотические решения
323
Как мы видели в конце п. 114, мы можем найти два положительных числа
М и р, таких, что для всех вещественных значений t и всех значений w,
заключенных между 0 и И7 (и это остается справедливым, как бы велико ни
было W), мы будем иметь
-	Л/пЛ2
<<U* + Mw1 + Mws + ----------—— (arg a, ult и2, us, ut),
1 ~ ОСС ~~~ oct S
S	—j— 1^2 4” ^3 ~^4*
Что касается индекса к у и^, то он равен i при i — 1 или 2 и равен 4 при i =
= 3 или 4. Теперь положим
Mod's2
ик -f- Mw1 + Mws 4- —--------- v - = Ф (w, и1г иа, и3, izj
1 —	— £aps
и сравним уравнения
du:	du,
—rr 4- a.w -г— = аФ (w, и’, и, и, и\	(21bis)
dt 1 dw v ’ 1 2’ з’ V	'	'
с уравнениями (21).
Среди частных решений уравнений (21) и (21bis) мы выберем те, кото-
рые делятся на w;2 (это будут именно те решения, которые мы выше обоз-
начали через щ).
Ясно, что мы всегда можем взять М достаточно большим, чтобы
| lim т-1 <lim .
Отсюда мы заключим, что
I U; | и\
при
0< w< W.
Попытаемся теперь проинтегрировать уравнения (21bis). Я замечу преж-
де всего, что, так как Ф не зависит от t, щ' тоже не зависят от t и мы имеем
< = иг = u's = < = Т ’
1 ds' s' ц/г о । л r ’	। MaPs’2
-г w -г- = -г 4- Mw2 4- Ms w 4-----------— •
4 dw 4	1 — pa - [ВЛ'
Это последнее уравнение имеет интеграл
s' = ф(w, а),
21*
324
Новые методы небесной механики. I
разлагающийся в ряд по степеням гк и а и делящийся на гр2. Когда а стре-
мится к 0, s', очевидно, стремится к интегралу уравнения
А. гр^- = -f- Mw24- Ms'w.
ч dw 4 1	'
Это линейное уравнение интегрируется очень просто, и мы находим
lim s' = w (e*Mw — 1) (при a = 0).
Эта формула нужна мне только для того, чтобы заключить, что если
0< гр<
то s' и, следовательно, иъ и2, и3 и гг4 стремятся к конечному пределу,
когда а стремится к 0.
Отсюда следует, что ряд
О? + a0i + аа0? + ...
представляет функцию 0; асимптотически (т. е. подобно ряду Стирлинга)
или, другими словами, что выражение
0J — 6? - ae| - а®0? — ... — aP-ifj?-1
стремится к 0 вместе с а. Действительно, это выражение равно a (Of +
и мы только что видели, что 0(’ Д- Щ остается конечным, когда а стремится
к 0.
117. Но это не все; я утверждаю, чтоdujdw остается конечной, когда a
стремится к 0.
Действительно, мы имеем
dU'idu, , dU'i
К dux dw div ’
+ аЙ = «2
\aw j
dUi/du* и dUi'Idw — функции t, w, а и щ; но, как мы только что видели,
мы можем ограничить щ сверху; следовательно, мы можем ограничить
сверху также и dU^jdu^ и dUd/dw. Предположим, например, что
выполняются неравенства
dU[
duk
- < В (при
где А п В — положительные числа.
С другой стороны, мы знаем, что можно ограничить dujdw сверху при
w=w1, если меньше величины, обозначенной нами через w0 в конце п. 112.
Асимптотические решения
325
Например, предположим, что
I dui I . ,
|d^| <ио П₽И
где u0' — положительное число. Пусть затем и' — функция, определен-
ная следующим образом:
+ aw d^~ = аи' (4Л + W) ф- аВ,
dt dw	'	। z ।
u' = u'o при w = wv.
Очевидно, будет выполняться неравенство
I dut I ~ ,
H-2 <W'.
| dw |
Но легко видеть, что и' зависит лишь от w и удовлетворяет уравне-
нию
=	+W)4-5.
Следовательно, и конечно; значит, dujdw остается конечной, когда а
стремится к 0. Итак, мы имеем асимптотически (вкладывая в это слово тот
же смысл, что и выше)
м.	</0? de}	М?
— = — -С а — 4-аа—4-
dw dw ' dw	dw *
Можно было бы также доказать, что асимптотически
	de} de}	de}
~dt =	ЧГ + я	dt + •
d20j	d2e}	<ре}	d20?
dw2	-J—5	p Ct -T—j “h ot aw- 1 dwL	2 —1 4. dw2 '
Итак, вот конечный вывод, к которому мы приходим. Ряды
Xi -ф- |/ц х\ -ф- lix? tiji -ф- у° -ф-	цу? -ф- . . .,
определенные в этом пункте, расходятся, но они имеют то же свойство, что
и ряды Стирлинга, так что асимптотически выполняются равенства
Xi = Xi -ф- ф/"Ц Xi ф- ЦЗЦ -ф- . • .,
У1 = nit + Vi + У PJ/i + Щ/i + • • • •
326
Новые методы небесной механики. I
Более того, если если мы полагаем	D — произвольный символ дифференцирования, т. е. Df =	Ч	L	 dt^dw^'div^-. . .
то асимптотически
Dxi = Dx° + ]/”[iDxt	fiDxj + . . .,
= -О (M yf)	ptZJ?/; 4- |xDz/? + . . ..
Что касается изучения рядов, аналогичных рядам Стирлинга, я отсы-
лаю читателя к § 1 моего мемуара, опубликованного в «Acta mathemati-
са» (t. VIII, р. 295) [29]. Кроме того, ясно, что подобные же рассуждения
остались бы в силе, если бы имелось больше двух степеней свободы и, сле-
довательно, п — 1 переменных ш1, ш2, ..., w,^ вместо одной.
НОВЫЕ МЕТОДЫ
НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
II
МЕТОДЫ НЬЮКОМА, ГИЛЬДЕНА,
ЛИНДШТЕДТА И БОЛИНА
LES METHODES NOUVELLES
DE LA MECANIQUE CELESTE
II
METHODES DE MM. NEWCOMB, GYLDEN,
LINDSTEDT ET BOHLIN

ПРЕДИСЛОВИЕ
Методы, которые я хочу изложить во втором томе, возникли в резуль-
тате усилий многих современных астрономов. Однако большую часть этого
тома я посвящу методам Гильдена, которые наиболее совершенны.
Одна общая черта присуща всем этим методам. Ученые, разработавшие
их, стремились к тому, чтобы разлагать координаты небесных тел в ряды,
все члены которых представляют собой периодические функции, и таким
образом избавляться от встречавшихся в старых методах последователь-
ных приближений членов, называемых вековыми, в которые время не вхо-
дит под знаком синуса или косинуса. Но зато авторов новых методов не
интересовал вопрос о том, сходятся ли получаемые ими ряды в том смысле,
в каком понимают сходимость геометры.
Поэтому то, что я намереваюсь изложить, истинно лишь в некотором при-
ближении, точность которого, несомненно, очень велика (причем тем боль-
ше, чем меньше массы планет), в то время как результаты, полученные
в первом томе, были выведены со всей привычной для геометров строго-
стью. Оценить точно ошибку, совершаемую в каждом отдельном случае,
весьма трудно, но можно найти верхний предел ошибки, который, веро-
ятно, будет значительно завышен.
В самом деле, члены этих рядов сначала очень быстро убывают, а затем
начинают возрастать. Но поскольку астрономы обрывают разложение по-
сле нескольких первых членов и задолго до того, как эти члены переста-
ют убывать, то для практических целей получаемое приближение оказы-
вается достаточным.
Расходимость таких разложений будет представлять неудобство лишь
в том случае, если мы будем пытаться использовать их для строгого обо-
снования некоторых результатов, например для доказательства устойчи-
вости солнечной системы.
В главе VIII я стараюсь разъяснить, в чем состоит различие в понима-
нии слова «сходимость» между геометрами и астрономами, каким образом
астрономы могут пользоваться рядами, которые геометры называют рас-
ходящимися, и как можно к таким рядам применять обычные правила ана-
лиза. Методы, которые позволили мне получить эти последние результа-
ты, быть может, несколько громоздки, но обладают тем преимуществом,
что позволяют найти верхний предел ошибки. Впрочем, можно связать
главу VIII с теми рассуждениями, которые приведены в конце главы VII.
330
Новые методы небесной механики. II
В последующих главах я излагаю наиболее простые из новых методов,
а именно методы Ньюкома и Линдштедта. Я показываю, каким образом
можно преодолеть некоторые трудности, с которыми приходится сталки-
ваться при применении этих методов к наиболее общему случаю задачи
трех тел.
Имеются две такие трудности. Во-первых, чтобы метод Линдштедта (либо
в своей первоначальной форме, либо в том виде, который я придал ему
впоследствии) был применим, необходимо, чтобы средние движения в первом
приближении не были связаны никаким линейным соотношением с целы-
ми коэффициентами. Однако в задаче трех тел необходимо принимать во
внимание не только средние движения планет, но и средние движения
перигелиев и узлов. Между тем в первом приближении, т. е. в кеплеров-
ском движении, перигелии и узлы неподвижны, следовательно, их средние
движения равны нулю и то условие, о котором говорилось выше, т. е. от-
сутствие линейного соотношения с целыми коэффициентами, не выполня-
ется. Разъяснив, каким образом следует строить последовательные приб-
лижения для того, чтобы преодолеть эту трудность, я перехожу ко второй.
Она возникает в том случае, когда эксцентриситеты очень малы. Я пока-
зываю, что вторая трудность носит искусственный характер и что ее мож-
но обойти, если в качестве исходной принять следующую точку зрения.
Будем считать, что в том случае, когда эксцентриситеты равны нулю, кеп-
леровские эллипсы переходят пе в окружности, а в орбиты, описываемые
планетами в случае периодических решений первого сорта, рассмотрен-
ных в главе III.
В последующих главах я прежде всего излагаю первые методы Гиль-
дена. Эти методы основаны на принципах, аналогичных тем, о которых
только что говорилось, и позволяют преодолеть те же трудности. Много-
численные же частные затруднения, возникающие помимо двух указанных
выше трудностей, преодолеваются с помощью искусственных приемов,
столь же изящных, сколь и остроумных.
Несколько пунктов я посвящаю методам интегрирования некоторых
дифференциальных уравнений, которые Гильдену пришлось рассматри-
вать. Особенно подробно я останавливаюсь на одном из этих уравнений,
представляющем особый интерес. Это уравнение рассматривали также и
многие другие геометры.
При рассмотрении этих методов я часто отхожу от первоначального
изложения их авторами. Я отнюдь не хочу переделывать то, что было
сделано ранее и сделано хорошо. Поэтому при изложении этих методов я
не старался представить их в виде, наиболее удобном для численных вы-
числений. Моя цель состояла лишь в том, чтобы наиболее выпукло пока-
зать их существо и облегчить сравнение с другими методами.
Когда читатель дойдет до соответствующих разделов, ему станет ясно,
что всегда можно избавиться от членов, называемых вековыми, которые
возникали более или менее искусственно в старых методах вычислений.
Однако вычислители часто сталкиваются с более серьезным затруднением,
Предисловие
331
а именно с наличием малых знаменателей, когда средние движения почти
соизмеримы. В этом случае методы, изложенные в первой части этого
тома, становятся неприменимыми и необходимо обратиться либо к методу
Делоне, либо к тесно связанному с ним методу Болина. Последнему мето-
ду я посвящаю отдельную главу. Однако этот метод несовершенен, ибо он
приводит если не к малым знаменателям, то по крайней мере к большим
множителям, которые могут в некоторых случаях сделать приближение
неудовлетворительным. Следовательно, остается сделать еще один шаг.
Он состоит в применении второго метода Гильдена, которым и заканчива-
ется том. Даже если этот метод и не обладает совершенством с точки
зрения геометра, то по крайней мере он является наиболее совершенным
из известных нам методов.
Употребляемые обозначения
Чтобы избавить читателя от необходимости непрестанно обращаться
к первому тому, следует кратко напомнить введенные в нем некоторые
обозначения, которые будут использованы во втором томе.
Прежде всего напомним, что тело т2 рассматривается относительно
тела mx, а тело т3 — относительно центра тяжести тел и т2. Я ввел
обозначения (см. п. И)
g _	g, _ (mx 4- m2) та
‘ mi + тг ’	mi Ц- та Ц- тз ’
так что параметр ц будет очень малым, а |3 и р' конечными.
F означает полную энергию системы, деленную на ц. Эта функция до-
пускает разложение по степеням ц.
Определим теперь оскулирующие элементы первой планеты, т. е. тела
т2 в его движении относительно тела т1.
Через а я обозначил (п. 8) большую полуось, через е — эксцентриси-
тет, через i — наклонение и положил
L = У a,	= Л, G = /а(1 — е2), О = G cos i.
Через I я буду обозначать среднюю аномалию, через X — среднюю дол-
готу, 0 — долготу узла, g + 0 — долготу перигелия, которая обозначает-
ся также через Э.
В п. 12 были введены обозначения
g = у 23 (L — G) cos S, г| = — У 2Л(Ь — G) sin 3,
р = /20 (G — 0) cos 0, q = — /23 (G — 0) sin 0.
Таков смысл символов
3,	L, Л, G, 0, I, К, g, 0, a, g, ц. р, q,
относящихся к движению первой планеты. Те же символы, но со штрихами
имеют те же значения и относятся к движению второй планеты, т. е. к дви-
жению тела т3 относительно центра тяжести тел тх и т2.
Глава VIII
ИСЧИСЛЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РЯДОВ
Различный смысл слова сходимость
118.	Геометры и астрономы по-разному понимают слово сходимость.
Геометры, всецело озабоченные достижением безукоризненной строго-
сти и зачастую совершенно безразличные к продолжительности сложных
вычислений (выполнимость которых они предполагают, не задумываясь о
ее фактическом осуществлении), говорят, что некоторый ряд сходится,
если сумма его членов стремится к какому-то определенному пределу, даже
в том случае, когда первые члены ряда убывают чрезвычайно медлен-
но. В противоположность этому астрономы обычно говорят, что некоторый
ряд сходится, если, например, первые двадцать членов этого ряда убывают
очень быстро, несмотря на то, что последующие его члены неограниченно
возрастают.
В качестве простого примера рассмотрим два ряда, общий член которых
имеет вид
1000"	1-2.3. ..п
1-2-3. ..п	1000п
Геометры скажут, что первый ряд сходится и причем быстро, поскольку его
миллионный член много меньше 1/999999. Но второй ряд они будут
считать расходящимся, поскольку общий член этого ряда неограни-
ченно возрастает.
Астрономы же, наоборот, будут считать первый ряд расходящимся, по-
скольку первые 1000 членов этого ряда возрастают, а второй ряд сходя-
щимся, так как его первые 1000 членов убывают, причем сначала это убы-
вание происходит очень быстро.
Обе точки зрения законны: первая — в теоретических исследованиях, вто-
рая — в численных приложениях. Обе господствуют безраздельно, но в раз-
личных областях, и границы этих областей необходимо четко различать.
Астрономы не всегда точно знают границы применимости своих методов,
но ошибаются они редко. То приближение, которым они довольствуются,
обычно лежит в тех пределах, где их методы применимы. Кроме того, ин-
туиция позволяет им предвидеть правильный результат, а если бы они и
совершили ошибку, то сравнение с наблюдениями позволило бы исправить
ее надлежащим образом.
Исчисление асимптотических рядов
333
Все же я полагаю, что будет уместно внести в этот вопрос несколько
большую точность, и именно это я и собираюсь сделать, хотя по самой своей
природе рассматриваемый вопрос не слишком пригоден для этого. Во из-
бежание всяких недоразумений я с самого начала хочу предупредить, что,
если противное не оговорено, я всегда буду употреблять слово сходимость
в том смысле, в каком его понимают геометры.
Ряды, аналогичные рядам Стирлинга
119.	Первым примером, который ясно показал законность использова-
ния некоторых расходящихся разложений, явился классический пример
ряда Стирлинга. Коши доказал, что члены этого ряда сначала убывают,
а затем возрастают, так что ряд расходится. Однако если этот ряд оборвать
на самом малом члене, то он будет представлять функцию, рассмотренную
Эйлером, причем аппроксимация будет тем лучше, чем больше аргумент.
Впоследствии стали известны многочисленные аналогичные примеры и
я сам в т. VIII «Acta mathematica» исследовал важный класс рядов, обла-
дающих теми же свойствами, что и ряд Стирлинга [80].
Я позволю себе привести еще один пример, представляющий особый
интерес. Этот пример может понадобиться нам в дальнейшем.
Пусть wQ — положительное число, меньшее 1.
Ряд
= (1)
сходится при всех значениях w и ц таких, что
I и’ I <С wo> ц 0.
Кроме того, эта сходимость абсолютна и равномерна.
С другой стороны,
1 + nu,	v ' Г
р
Поэтому можно попытаться приравнять ср (ш, ц) двойному ряду
пр
Но этот ряд не сходится абсолютно. Расположим все же его члены по воз-
растающим степеням ц и получим
Л — AiP A2p2 — А3ц2 4~ . ..,	(2)
где
л0=2«л Aj = 2 ии;"> a = 2^". л3 = 2	..
334
Новые методы небесной механики. П
Ряд (2), расположенный по возрастающим степеням р, расходится. Пред-
положив для определенности, что w — вещественная положительная ве-
личина, получим
Ясно, что ряд
2(- А'М*
расходится и что a fortiori расходится ряд (2). Однако из рассмотрения ряда
(— p/fc!
(1 — w)k
видно, что если выражение р/ (1 — w) очень мало, то первые члены этого
ряда убывают весьма быстро, хотя последующие члены возрастают не-
ограниченно.
Представляет ли ряд (2) приближенно функцию ф (ip, р)? Чтобы отве-
тить на этот вопрос, положим
Фр (ip, р) = Ло — ЛХР + Яар2 — . . . + ЛррР.
Я утверждаю, что
В самом деле,
lim Т----Тр = 0.
р. ->о рр
Ф2ГТр _ (_1\Р+1м у	.
рр '	' И Zj 1 + пр
Нетрудно видеть, что ряд
у nP+1wn
1 + пр
сходится равномерно, следовательно, при р —> 0
lim2
w‘* 'Cl
——— = >. n'p^wn = конечная величина
1 + пр
и, следовательно,
lim IzlTp = 0,
цР
что и требовалось доказать.
Исчисление асимптотических рядов
335
Исчисление асимптотических рядов
120.	Итак, мы должны рассмотреть соотношение новой природы, кото-
рое может существовать между функцией аргументов х и ц, которую мы
будем обозначать символом ф (х, ц), и расходящимся рядом, расположен-
ным по степеням ц,
/о + Р71 + Н2/2 + • • • +	+ . . . .	(1)
Коэффициенты /0, Д, ... могут быть функциями, зависящими лишь от я
и не зависящими от ц (именно так обстояло дело в предыдущем примере)
или же зависящими одновременно и от х, и от pi.
Положим
Фр = fo + Р/i + Р2/г + • • • + И2’/ р-
Если
ИщТгЛр = о,
р.—5-0 р”
то я буду говорить, что ряд (1) является асимптотическим представлением
функции ф, и употреблять запись
ФИ) + Р/i +	+ • • • •	(2)
Соотношения вида (2) я буду называть асимптотическими равенствами.
Ясно, что если параметр и очень мал, то разность ф — фр также бу-
дет очень мала, и хотя ряд (2) и будет расходиться, сумма р + 1 его
первых членов будет служить очень хорошей аппроксимацией функ-
ции ф.
Астрономы сказали бы, что этот ряд сходится и что он представляет
функцию ф. Они постоянно имеют дело с рядами, которые формально удов-
летворяют дифференциальным уравнениям, и оставляют в стороне вопрос
о сходимости этих рядов. На первый взгляд такой подход кажется совер-
шенно незаконным и тем не менее именно такой подход часто приводит к
цели.
Чтобы объяснить, в чем здесь дело, необходимо более подробно остано-
виться на этом вопросе. Именно это я и собираюсь сделать.
Введем несколько новых определений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
= (i = 1,2, . . ., п).	(3)
Я предполагаю, что Хг — однозначная функция, зависящая от t, xlt
х2, ..., хп и параметра ц, которая разлагается в ряд по возрастающим сте-
пеням ц.
336
Новые методы небесной механики. II
Рассмотрим теперь п расходящихся рядов, которые я запишу в виде
= /о,1 + Р/1,1 + И "/1,2 + • • ч
‘^2 = /о,2 + Р/1,2 + ^^2,2 + • •  ,
— fo, п + Р-/1, п + Р2/2,п + • • ••
Я предполагаю, что — известные функции, зависящие от t и pt, и
что, кроме того, эти функции допускают разложение в сходящиеся ряды
по возрастающим степеням ц,
Пусть Фр,1с — сумма первых р + 1 членов ряда S;t. Я буду говорить,
что ряды 51; 52, ..., Sn формально удовлетворяют дифференциальным урав-
нениям (3), если после подстановки величин
Фр, 1 ’ Фр, 25 • • •, фр, п
вместо
хг, х», . . ., хп
разность dxildt — Xi будет делиться на цр+Ч
Введя это определение, я намереваюсь доказать следующее. Рассмот-
рим частное решение уравнений (3), а именно то, для которого
х± = х2 = . . . = хп = О
при t — 0.
Пусть
ж1=01(О, х2 = 02(/)......................  xn	= Qn(t).
Я предполагаю, что все функции /i(i£ при t = 0 обращаются в нуль.
Я утверждаю, что будут выполняться следующие асимптотические ра-
венства:
0, (/, ц) = 5,, 02 (/, ц) = 52, . . ., 0n (t, ц) = Sn.	(4)
В самом деле, положим
= Фр,1 + Рр+1^	^2 = Фр,г+ Рр+Ч.,  •	= фр,п+
Подставляя в (3) вместо х^ выражения <рр>1 + р2’+1 мы сможем записать
эти уравнения в виде
up+i^L = X.-^
dt 1 dt •
После такой подстановки Хг можно разложить в ряды по возрастающим
степеням ц и величин
причем коэффициенты разложения будут известными функциями времени.
Исчисление асимптотических рядов
337
Не представляет исключения и тот случай, когда частное решение
г1 = 01(^, 0), х2 — 02 (С 0), хп — 0n (t, 0), ц = 0
при каком-нибудь из рассмотренных значений t будет проходить через одну
из особых точек дифференциального уравнения [так же, как и в главе II
(п. 27), я буду называть особыми те совокупности значений xY, х2, ...,
хп, t и р, при которых функции Xi перестают быть голоморфными].
Точно так же, как в п. 27, можно найти два положительных числа М
и а, таких, что
v a(pp,i	м	/	/ е чч
dt <^== 1	/и 1_ P+ls ।	_1 Р+1с \ (агё> (Н’ Bfc))’
at 1 — а (р + рр+Ч1 +  • • + Г Ч»)
Однако по предположению ряды 5Х, S2, ..., Sn формально удовлетворяют
уравнениям (3). Это означает, что если положить
= Ь = ... = U = о,
откуда
•^г = Фр, i,
то разности Xi — dtpPji/dt будут делиться на цр+1. Следовательно, можно
записать неравенство
у._	Wp+1«(^ + !U + ^+... + Sn)	(5)
Если для краткости мы обозначим правую часть неравенства (5) символом
ЦР+1 Z и положим
то уравнения (3) запишутся в виде
Ж -	(в)
причем
Рассмотрим частное решение уравнений (6), такое, что при t = 0
= Ь = . . . = = 0.
Это решение можно записать в виде
_ 0i(f, ц)-<Рр, i
—	ILP+1
Г
22 А. Пуанкаре
338
Новые методы небесной механики. II
Для того чтобы доказать асимптотические равенства (4), достаточно уста-
новить, что величины ограничены. Для этого достаточно сравнить урав-
нения (6) с уравнениями
=	(6bis)
Поскольку решение уравнений (6 bis) ограничено, то ограниченным бу-
дет и решение уравнений (6). Однако уравнения (6bis) легко интегриро-
вать, ибо если положить
£1 + 6'2 + • • • + Вп =
то для рассматриваемого нами частного решения
=£2 =...=gn =4
и
de __ Мх (х;| + о)
Л	1 —Хр, — <5р.р+’
Последнее уравнение легко интегрируется, откуда мы получаем, что ве-
личина о ограничена и что о стремится к конечному пределу, когда р
стремится к нулю.
То же относится и к £{, что и требовалось доказать.
Эта теорема служит обоснованием метода, применяемого астрономами,
если только параметр р достаточно мал. Вероятно, этот результат можно
было бы установить и более просто, однако приведенное выше доказа-
тельство дает нам простой способ для нахождения верхнего предела со-
вершаемой ошибки.
121. Нам осталось рассмотреть вопрос о том, в какой мере обычные
правила математического анализа применимы к исчислению формальных
рядов.
Для этого рассмотрим систему двух уравнений
У,	(1)
где X и У — однозначные функции от х, у, t и р, допускающие разложение
по степеням р.
Произведем замену переменных
£ = Ф1 (В, ’1).
?/ = Фа(£, Л)>
где и ф2 зависят от g, ц, t и р. Рассматриваемые дифференциальные урав-
нения запишутся в виде
7,= Х'-	?,= >"•	<2>
Исчисление асимптотических рядов
339
где
X = ^Х' + ^Y',
dt, <й]
У = аЯх’ + d/Y’.
dt, 1 ей]
Функции X' и У' можно разложить по возрастающим степеням р, если
только определитель^|^ — 44 не будет делиться на р, что мы заранее
не предполагаем.
Установив это, введем в рассмотрение два расходящихся ряда
*5 = fo + Н/i + Р/г +  • •,
S' = /о 4~ Pi + Р/г + • • • >
где функции h и fi зависят от t и р и допускают разложение в ряд по воз-
растающим степеням р.
Я предполагаю, что ряды S и S' формально удовлетворяют уравне-
ниям (2), если подставить их вместо £ и т] и положить р = ц.
Произведем теперь в этих двух уравнениях замену переменных
я = Фх(£> П). У = Фг(В, П)>
а вместо s и т] подставим S и S'. Затем разложим функции
ф! (S, S'), фг (5, S')
по возрастающим степеням р. Несмотря на то, что ряды S и S’, по пред-
положению, расходятся, это разложение производится по обычным пра-
вилам. Под этим я понимаю следующее.
Пусть Sp и Sp — суммы р 1 первых членов рядов S и S'. Пред-
положим, что требуется вычислить р + 1 первых членов разложения
функций ф1 (S, S') и ф2 (S, S'). Чтобы получить р + 1 член этих раз-
ложений, необходимо взять р + 1 член разложения функций
Ф1 (Sp, Sp) и фг (Sp, Sp).
При этом мы получим два расходящихся ряда, которые можно записать
следующим образом:
фх (S, S') = Fo + рЛ + РУ2 + • -
Фг (S, S ) = У о + V-F! -ф- рУ 2
Эти ряды имеют тот же вид, что и ряды S и S'.
Я утверждаю, что эти ряды формально удовлетворяют уравнениям
(1), если подставить их вместо х и у, а затем положить ц' = ц.
22*
340
Новые методы небесной механики. II
Действительно, если
х = 41 (^р> Sp), y — tyz(Sp-> Sp),
то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться
на рр+1.
С другой стороны, если обозначить через и 2Р суммы первых р + 1
членов рядов (3), то разности
41 (*^р’ Sp),	4г (Sp, Sp)
будут делиться на р},+1.
Теперь нетрудно видеть, что если
х — S .	у = 1 ,
р’	& р>
то разность между правой и левой частью уравнений (1) будет делиться
на рр+1, что и требовалось доказать.
Пусть теперь имеется одно уравнение
где X зависит от х, t и р.
Положим
тогда
dy dX
dt dt
Пусть
S = fo + Н/i + PVa + • • •
— некоторый расходящийся ряд, который формально удовлетворяет
уравнению (4).
Составим ряд
S' = fo 4~ н/i Н2/2 + • • • ।
полученный почленным дифференцированием первого ряда по t.
Я утверждаю, что ряды S и S' формально удовлетворяют уравнениям
(4) и (5).
В самом деле, пусть Sp и Sv означают сумму р + 1 первых членов
рядов S и S', тогда
о' _dSр
Исчисление асимптотических рядов
341
Положим
Х = Х(х, 0,
dX dX v .	.
-л+^ = у<х> У'
Я утверждаю, что разность
dS’
Y(SP,SP,
делится на рЛ'+i.
В самом деле, по предположению разность
U = X (Sp, 0-^
делится на рр+1, следовательно, точно так же будет делиться на рр+1
и ее производная
что и требовалось доказать.
Таким образом, обычные правила анализа оказываются применимыми
и к исчислению формальных рядов.
Чрезвычайно интересный для последующего вопрос состоит в том,
чтобы выяснить, будут ли теоремы Якоби, изложенные в пунктах 3 и 4,
применимы в формальном исчислении.
Ответ на этот вопрос должен быть утвердительным. Мы покажем это
несколько дальше, в п. 125, на одном частном примере, однако доказатель-
ство можно без изменений перенести и на общий случай.
122.	На стр. 295 t.VIII журнала «Acta mathematica» я привел до-
казательства некоторых свойств асимптотических равенств.
Два асимптотических равенства можно складывать, точно так же два
асимптотических равенства можно умножать друг на друга.
Пусть теперь
S = /о + р./1 + р2/г + • • •
— расходящийся ряд, а функции Д зависят от t. Пусть
<р(0 ц) = 5
— некоторое асимптотическое равенство.
Предположим, что /0 = 0, чтобы при р, = 0 выполнялись равенства
5 = 0,	<р(0 0) = 0.
Пусть, кроме того, некоторая функция, зависящая от z, голоморфна в
окрестности точки z = 0.
342
Новые методы небесной механики. II
Подставим ряд 5 вместо аргумента z в F (z) и разложим F (5) по сте-
пеням р, следуя обычным правилам анализа так, как это сделано в пре-
дыдущем пункте. Мы получим асимптотическое равенство
F[q>(«, р)] =zF(S).
Вряд ли стоит воспроизводить здесь доказательства этих утверждений.
Читатель сможет найти их в указанном выше мемуаре, однако я не со-
ветую этого делать, поскольку доказательства настолько легки, что
можно очень быстро восстановить их самому.
Пусть теперь у нас имеется некоторое асимптотическое равенство
Ф (t, р) = /о + нА + Н2/г + • • • »
в котором функции / зависят от t и р. Я предполагаю, что эти равенства
выполняются равномерно. Этим я хочу сказать, что выражение
,,р
где фу означает сумму первых р + 1 членов ряда, стремится вместе с р
к нулю равномерно относительно t. Другими словами, можно найти не-
которое число е, не зависящее от t, а зависящее только от р и обращаю
щееся в нуль вместе с р, такое, что
Тогда
|Ф — Фр1Оре.
tl
|$(ф-фрИ
io
<pp8(Zx — £0),
что и доказывает справедливость асимптотического равенства
ф dt /0 dt р Д dt ра /2 dt + . . ..
Следовательно, асимптотическое равенство можно интегрировать
Напротив, дифференцировать же его, вообще говоря, нельзя. Однако
имеется один случай, когда изложенные выше принципы позволяют нам
выполнить дифференцирование.
Пусть ф (i, р) — решение некотор ого дифференциального уравнения,
а 5 — ряд, формально удовлетвори ющий этому уравнению.
Можно записать асимптотическо е равенство ф (t, р) = S.
Пусть S' — ряд, полученный почленным дифференцированием ряда S.
Из сказанного в предыдущем ну нкте следует, что этот ряд формально
удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, которому удов-
летворяет в обычном смысле производная dqtdt.
Исчисление асимптотических рядов	343
Следовательно, выполняется следующее асимптотическое равенство}
dt *
Я приношу свои извинения читателю за то, что так подробно останав-
ливался на столь простых вопросах. Однако мне хотелось отчетливо по-
казать сущность того различия в понимании слова сходимость, о котором
говорилось выше. Точно так же, прежде чем приступить к изучению ме-
тодов последовательных приближений, применяемых в небесной меха-
нике, я хотел объяснить, почему астрономы могут использовать эти
методы, хотя с точки зрения геометров они приводят к расходящимся
выражениям.
Глава IX
МЕТОДЫ НЬЮКОМА И ЛИНДШТЕДТА
Исторический очерк
123.	В 1882 г. в журнале «Memoires de 1'Academie de Saint-Peters-
burg» Ливдштедт изложил метод интегрирования с помощью последова-
тельных приближений следующего уравнения:
+ п2* = рф (*,	(1)
где ф (т, t) — функция, допускающая разложение в ряд по возрастаю-
щим степеням х с коэффициентами, периодически зависящими от вре-
мени t.
Линдштедт также показал, что тот же метод применим и к уравне-
ниям
d?X ,2	/
+	= У’ 0-
+ nly = |1ф(ж, у, t),
имеющим более общий характер, чем уравнение (1). Эти уравнения при
условии, что
с?ф __ йф
dy dx ’
являются одним из частных случаев уравнений динамики.
Уравнение (1) играет чрезвычайно важную роль в небесной механике,
так как Гильден неоднократно приходил к этому уравнению в ходе своих
прекрасных исследований.
Линдштедт не доказывал сходимость тех разложений, к которым при-
водит его метод, и в действительности эти ряды расходятся. Однако в пре-
дыдущей главе мы видели, что они тем не менее могут представлять ин-
терес и быть полезными.
Имеется и еще одна весьма серьезная трудность. Легко доказать, что
этот метод применим в первых приближениях, но можно усомниться,
будет ли он применим в последующих приближениях. Линдштедт не су-
Методы Ньюкома и Линдштедта
345
мел доказать это строго и оставил здесь кое-какие сомнения. Эти сомнения
оказываются безосновательными, и его прекрасный метод всегда законен.
Я доказал это сначала с помощью интегральных инвариантов в мемуаре,
помещенном в журнале «Bulletin astronomique» (т. Ill, стр. 57), а затем,
уже не прибегая к этим инвариантам, в «Comptes rendus» (т. CVIII, стр.
21) Is1]. Именно это второе доказательство я и воспроизведу в этой главе.
Я укажу также один способ изложения метода Линдштедта, который
позволяет применить его к наиболее общему случаю уравнений динамики.
Тем не менее имелось еще несколько частных случаев, не поддавав-
шихся этому методу, и среди них общий случай задачи трех тел.
Последний в силу своей важности привлек внимание Линд-
штедта. В «Comptes rendus» (т. XCVII, стр. 1276 и 1353) он показал, ка-
ким образом можно было бы применить его метод в этом случае.
К сожалению, те трудности, о которых шла речь выше, все еще оста-
вались, и разложения не только становились расходящимися, о чем по
причинам, изложенным в предыдущей главе, можно было бы не беспо-
коиться, но и сама возможность таких разложений и, следовательно, за-
конность самого метода оказывались под сомнением.
Я полагаю, что мне удалось устранить эти сомнения. Именно этому
я и посвящаю главу XI.
Чтобы показать, каким образом метод Линдштедта можно применить
к задаче трех тел, я буду придерживаться такого способа изложения,
который не совпадает со способом изложения самого автора этого ме-
тода и не приспособлен для вычисления различных членов разложения,
но зато наилучшим образом подходит для доказательства законности ме-
тода.
На том пути, по которому пошел Линдштедт, он имел предшествен-
ника — Ньюкома («Smithsonian contributions to Knowledge», декабрь
1874), который первый указал ряды, представляющие движение планет
и содержащие лишь синусы и косинусы. Его метод, к рассмотрению ко-
торого я еще вернусь, основан на вариации произвольных постоянных.
124.	Хотя среди методов, недавно появившихся в небесной механике,
методы Линдштедта пе являются первыми по времени, я все же считаю,
что изложение новых методов последовательных приближений удобно
начать именно с них. В самом деле, я не мог бы отделить их изложение
от изложения методов Ньюкома, которые хронологически были предло-
жены первыми. К тому же методы Линдштедта по существу являются
наименее сложными из всех методов и более других пригодны при рас-
смотрении наиболее простых случаев. Эти методы оказываются несостоя-
тельными лишь тогда, когда имеются весьма малые знаменатели. В этом
случае предпочтение приходится отдавать более совершенным методам
Гильдена. Мой способ изложения теории Линдштедта значительно от-
личается от изложения самого автора. Кроме того, я применяю
методы Линдштедта к большему числу случаев. Однако, как я покажу
346
Новые методы небесной механики. II
несколько дальше, ряды, которые я получу, оказываются тождествен-
ными с его рядами.
Кроме того, я во многом дополнил эти результаты и попытался при-
менить их к возможно большему числу задач.
Изложение метода
125.	Рассмотрим еще раз уравнения, указанные в и. 13 [за]э
dx. f du.	rip
=	(i = 1, 2, . . . , n),	(1)
dt	dy^	dt	dx^ '	7	'
P = Fq +	4~	+ • • • •
Задача состоит в том, чтобы формально удовлетворить уравнениям
(1) с помощью рядов, имеющих следующий вид:
= %г 4~	4~ • • • +	+ • • . ,
Уг = У°г + И .Vi + P2J/i + • • • + ^Уг 4* • • • I
где сами величины и yf имеют вид
х* = 2 A cos ht 4- 2 В sin ht 4- С,
г/i = S A' cos ht 4- 2 В’ sin ht 4- C't 4- D’.
Коэффициенты А, В, С, A', В', С и D' не зависят от параметра ц и вре-
мени t, но могут зависеть от некоторого числа постоянных интегрирова-
ния, величины h представляют собой коэффициенты, зависящие от ц и
допускающие разложение по степеням этого параметра.
Когда я говорю, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям
(1), я подразумеваю под этим следующее.
Подставим в уравнения (1) ряды (2), оборванные на р + 1 члене, т. е.
Xi = x°i 4- р,ж! 4-	4- ... 4-
Уг = У°г + M-Z/i 4- P2V? + •  • + ^РУг-
Я буду говорить, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям
(1), если в результате этой подстановки разность между правыми и левы-
ми частями этих уравнений будет делиться на цр+1.
Чтобы найти ряды (2), воспользуемся методом, полностью отличным
от того метода, которым пользовался Линдштедт.
Попытаемся построить ряд, имеющий вид
S = 50 4-	Р-2^ 4~ • • • 4~	4* • • •,	(3)
346
Новые методы небесной механики. П
несколько дальше, ряды, которые я получу, оказываются тождествен-
ными с его рядами.
Кроме того, я во многом дополнил эти результаты и попытался при-
менить их к возможно большему числу задач.
Изложение метода
125. Рассмотрим еще раз уравнения, указанные в п. 13 [32]з
=	(i = l,2.................  (1)
•7г	г
F = Fo + liF1 + ^Fi+....
Задача состоит в том, чтобы формально удовлетворить уравнениям
(1) с помощью рядов, имеющих следующий вид:
Хг = Xi +	4- H2Xi + . . . + p,nXi 4- • • •,
Уг = Уг + PZ/i 4" И2?/» + • • • + P"i/i 4* • • • «
k к
где сами величины Xi и уг имеют вид
х^ = 2 A cos ht -|- S В sin ht 4- С,
yi = S A' cos ht 4- 2 B' sin ht	Ct	D'.
Коэффициенты А, В, С, А', В', С и D' не зависят от параметра ц и вре-
мени t, но могут зависеть от некоторого числа постоянных интегрирова-
ния, величины h представляют собой коэффициенты, зависящие от р, и
допускающие разложение по степеням этого параметра.
Когда я говорю, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям
(1), я подразумеваю под этим следующее.
Подставим в уравнения (1) ряды (2), оборванные на р 4" 1 члене, т. е.
Xi = x°i 4-	4- p2z? 4- ... 4- [ipXi,
yi = y°i + P?/i + Р2У? + •  • +
Я буду говорить, что ряды (2) формально удовлетворяют уравнениям
(1), если в результате этой подстановки разность между правыми и левы-
ми частями этих уравнений будет делиться на рр+1.
Чтобы найти ряды (2), воспользуемся методом, полностью отличным
от того метода, которым пользовался Линдштедт.
Попытаемся построить ряд, имеющий вид
S = So 4~ pSx 4* P-2S2 4* • • • 4" P-^Sp 4* • • • ,	(3)
348
Новые методы небесной механики. II
Коэффициенты этого полинома являются периодическими функциями
от х°, х°, Хп и г/i, у2, уп (период по у равен 2л).
Я утверждаю, что функцию Sp можно найти из уравнения (6), причем
так, что производные dSpldyx, dSptdy2, dSpldyn будут периодически-
ми функциями по у с периодом 2л.
В самом деле, предположим, что это верно для производных от
*^2» •••» ^р-i по У'
Тогда Фр будет периодической функцией от у15 у2, ..., уп и я могу за-
писать, что
Фр = Л + 2^ cos + т2у2 + .. . +тпуп) ф-
2 С sin(m1y1 -|- т2у2 + . . . + тпуп).
Числа 7ПХ, т2, ..., тп — целые, в то время как коэффициенты А, В и С
постоянны и не зависят от у.
Функцию Sp можно представить в виде
*Sp — <*р,1 Ух + ар,2 У г + • • • + яр,п уп ф-
"Ц'Ч “Г 1'4'^ -г • • • Т "‘п"п
В sin (miyi + т2дг •+•. . . +тпуп)
,0 I ________о ,
C cos (miyi + mays + . . . -j- mny )
+ 2
т1поц-т2по_р . . . 4.
Величины ap,j являются константами, которые можно выбирать
произвольно, лишь бы они удовлетворяли^'условию
ар,1И1 + ар,2 + • • • + ар,п Пп — А 4- Ср
и слагаемое Ср было произвольным.
Этот метод оказывается несостоятельным, если найдутся целые числа
/Пх, т2, ..., тп, такие, что
2^и? = 0.
Мы предполагаем, что этот случай не имеет места.
Следует заметить,’ что определенные таким образом функции Sp со-
держат произвольные постоянные. Они зависят прежде всего от
Xj, . . . , Яр,
затем от
ai,i, ai,2> • •  ’ ai,n,
затем от
ОС 9 Д > а2, 2 j • • • , а2
затем от
Методы Ньюкома и Линдштедта
349
Мы хотим оставить произвольными лишь п констант. Этими произволь-
ными постоянными будем считать х{>, а величины aijj£ выберем каким-
нибудь произвольным образом и зафиксируем их. Например, ait к можно
выбрать так, чтобы
О = Сх = С2 = . . . = Ср = . . . ,
но я предпочитаю полагать все a{jlc равными нулю. В этом случае кон-
станты С1; С2, Ср, ... уже не равны нулю. Вообще говоря, они так же,
как и Ср, зависят от х®, х2, ..., х°п.
Условившись об этом, положим
Пусть
— 50 + 1**^1 + Р-2*^2 + • •  +
Если мы произведем замену переменных, выбрав в качестве новых пере-
менных х1 и Wi вместо Xi и у^ [новые переменные связаны со старыми со-
отношениями (7)], то теорема из п. 4 будет означать, что уравнения по-
прежнему будут иметь канонический вид, и мы получим [ss]
dA	dF dw	dF
"jT = щ—i -jr=---------r (i = 1, 2, . .. , n).
dt	dw. J dt	dxo	'	*	7
Посмотрим теперь, какой вид будет иметь функция F, если ее выра-
зить через новые переменные ж? и Ш;. По предположению ряд S формаль-
но удовлетворяет уравнению (4). Это означает, что
(хг-1 Ui) — Р f —j—- ,	= Со -]-	-f- |12С2	+ l^Cp Фр.
Функция Фр зависит от х°, и\ и ц и может быть разложена по степеням
(г. Что же касается величин С9, Сг, ..., Ср, то мы видели, что они зависят
от
Положим
_ dC<> dCi dC2	dC
III	I
Тогда при ц — 0 величина vf будет равна п°.
Отсюда
dx? </Ф dw,	d<I>
—- = цр+i —2	_1 — V? — iiP+i________2?
dt г dw, ' dt » Р- dxo •
350
Новые методы небесной механики. П
Если пренебречь величинами порядка цр+1, то из этих уравнений следует
Ж® = const, = Vi t + const.
На языке главы VIII этот результат означает, что теорема Якоби,
приведенная в п. 3, применима и в формальном исчислении.
Положим
dCn dCi л dCo	—
п, =------- — ц—-----и/ —-— ... и т. д. до бесконечности.
dx* dx^ r dx°i
Мы получим при этом ряд, расположенный по степеням ц, который мо-
жет расходиться. Однако это обстоятельство не имеет для нас особого
значения, поскольку мы стоим на точке зрения, изложенной в предыду-
щей главе, т.е. на формальной.
Положим затем
Wi = nJ + ©j.
Величины Qj можно считать постоянными интегрирования. Рассмотрим
уравнения
Величины хг и уг можно найти из уравнений (8) в виде ряда, расположен-
ного по степеням р, коэффициенты которого зависят от ж? и иг-. Несу-
щественно, между прочим, будут ли эти ряды сходящимися или расхо-
дящимися.
Если в эти ряды вместо их, подставить nJ + S3» п считать х' по-
стоянными, то они будут формально удовлетворять уравнениям (1).
Пусть этими рядами будут ряды
— -Г? + Р^г + р23ч + . . . ,	(2)
Уг = У°1 + P-J/i + МЛИ + • • • •
Посмотрим, какой вид имеют коэффициенты xf и yf. При р = 0 ряд
3 сводится к сумме
= -Г1 У1 + а’2?/2 +   • Ч хпУп.
и, следовательно, в этом случае
Xt = Ж®, yi = Wi.
Итак, первый член разложения ж, представляет собой константу, а пер
вый член разложения уг (т. е. yf) равен выражению
Wi = nJ 4- ©»•
Методы Ньюкома и Линдштедта
351
Если вместо того, чтобы выражать хг и у,, из уравнений (8), мы нашли
эти величины из уравнений (7), то первые р + 1 члены остались теми же,
поскольку разность S — имеет порядок p,r+i.
Чтобы найти величины
х*, J/i (i = 1,2, . .. ,п; к = 0,1,2, . . . , р),
рассмотрим уравнения (7), которые запишем в следующем виде:
„о ,
yi = ^i +
d (^-р	^о)
dxi
(7bis)
Мы можем найти х; и гц из уравнений (7bis) в виде рядов, расположен-
ных по степеням р и сходящихся, если параметр ц достаточно мал. Для
этого достаточно применить теорему, изложенную в п. 30, поскольку
разность 2р — Ло представляет собой вполне определенную функцию,
а не только формальное выражение.
Мы предположили, что величины ctfti4 равны нулю; отсюда вытекает,
что 8ц (к 0) и, следовательно, Ер — So являются периодическими
функциями с периодом 2л по у4. Значит, если в уравнениях (7bis) про-
извести замену у, на у4 + 2&{л и на w-L + 2/с;л (к±, к2, ..., кп -— целые),
то эти уравнения не изменятся. Следовательно, найденные из этих урав-
нений величины Xi и У} — будут периодическими с периодом 2л от-
носительно w.
Итак, величины х* и yt в рядах (2) представляют собой периодиче-
ские функции с периодом 2л относительно w,.
Различные виды рядов
126. Итак, существование рядов (8) доказано. Можно попытаться по-
лучить эти ряды, не обращаясь на промежуточных этапах к вспомога-
тельному выражению S.
Однако прежде я хочу доказать, что можно формально удовлетворить
уравнениям (1) предыдущего пункта с помощью бесконечного набора
других рядов, имеющих тот же вид, что и ряды (2).
1. Рассмотренная выше функция S определяется уравнением (4) лишь
с точностью до некоторой константы или, точнее, поскольку величины
0	0	о
хх, х2, ..., хп рассматриваются как постоянные, с точностью до произ-
вольной функции, зависящей от х°, х®, ..., х£.
Таким образом, если функция S удовлетворяет уравнению (4), то и
функция
S' = 6 + R
будет также удовлетворять уравнению (4). Здесь R означает некоторую
функцию, зависящую OTj х®, х®, ..., Хп и р., которую можно разлагать по
возрастающим степеням ц.
352
Новые методы небесной механики. II
Рассмотрим вместо уравнений (8) следующие уравнения*
dS' dS	dS'	dS , dR
Xi ~ dyi ~~ dy^ ’ Wi ~ dxo	dxo + dxo	•	(8bis)
Мы можем предположить, что R делится	на	р. Тогда	и	у,	можно най-
ти из уравнений (8bis) в виде рядов (2bis), аналогичных рядам (2).
Имеем
Xi = Xi р>яч Ч~ Р Xi	(2bis)
Уг = Wi + ЦУ? + Ц2у? + . . . .
Коэффициенты х? и у/ так же, как и х* и yf, представляют собой пе-
риодические функции от w.
Сравнение уравнений (8bis) и (8) показывает, что ряды (2bis) полу-
чаются из рядов (2), если в последних заменить и\ на in, + dRIdxl.
2.	Рассмотрим более общий случай.
Пусть
(Oj, юа, . . . , (0п
— п функции, зависящих от хг, х2, хп и |х, которые допускают раз-
ложение по степеням р.
Если в рядах (2) заменить wlt ..., wn на
Wx + WZ + Н®2’ • • • > Wn +
то вид этих рядов не изменится. В самом деле,
Xi =	+	^2)
yi = Wi + И»(^, H)>
где функции <р{ и ф, допускают разложение по степеням у, и периодишы
по w.
Если Wi заменить на + pcoj, то
Xi = Xi + (u>ft + p®fc, p),
Z/i = w’i + y-[^i + 1l’i(^ + P'“ic>P)b	(2ter)
Отсюда следует, что функции <p + pa»/,-, ц) и со, + ф; (wk +
+ (леек, р,) также допускают разложение по степеням р, и также периодич-
ны по w.
Кроме того, ряды (2ter) формально удовлетворяют уравнениям (1).
В самом деле, ряды (2) удовлетворяют этим уравнениям, если произве-
Методы Ньюкома и Линдштедта
353
сти замену переменных
Wi = пф -|-
при любых значениях 3,.
Величины являются функциями от х§, которые являются кон-
стантами. Следовательно, сами со, также константы. Таким образом, за-
мена u>i на Wi + рсо, приводит к тому, что константы интегрирования
Si заменяется другими константами + ро;, что в силу только что сде-
ланного нами замечания не мешает нашим рядам по-прежнему удов-
летворять дифференциальным уравнениям (1).
Итак, ряды (2 ter) формально удовлетворяют уравнениям (1).
Лишь при одном условии эти ряды нельзя найти из уравнений (8) и
(8bis), а именно при условии, что выражение
р.	ay^dx^ —. . . -|— нуndx,-^
не будет полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от
х[,	..., Хп. Эта функция представляет собой не что иное, как рас-
смотренную нами несколько выше функцию R.
3.	Подставим в ряды (2) вместо
О <1 о
xt, ..., хп
величины
Х1 4- Pvl> ХЪ + p-v2’ •  • ’ Хп + P-Vn,
где Vj, v2, ..., vn зависят от хп, х%, ..., Хп и р и допускают разложение по
степеням р.
Если величины ж- считать константами, то и v; будут константами.
Если изменить каким-либо образом значения постоянных интегриро-
вания, то вид рядов (2) не изменится и эти ряды будут по-прежнему фор-
мально удовлетворять уравнениям (1).
Итак, записав ряды (2) в виде
xi = Xi 4- Jicpi (Wn, x°n, p),
Vi = Wi +	(w., x°k, p),
мы видим, что Xi — и уi — Wi зависят не только от и |л, но и
от Х°к.
Пусть теперь
их, оы, . . . , ип; vx, v2, . . . . vn
— 2 п функций, зависящих от х? и р и допускающих разложение по
степеням р.
23 А. Пуанкаре
354
Новые методы небесной механики. П
Запишем ряды
xi = х° + р, [Vj + (w,: + jwoj, 4 + P-v/c,
Vi = Wi + p, [tOi + 4'i (w;. +	4 + P-Vr, P-)J •	(2quater)
Каковы бы ни были функции a>j и vit эти ряды будут формально удовлет-
ворять уравнениям (1).
Кроме того, если функции
<Pi(Wft,4, н) И Фг(^й,4, р)
периодичны по w, то и функции
Vi + Фг	4 + HVft, |1) и ю, + 4'i (W* 4-	4 + НП-, И)
также будут периодическими.
Еще одно замечание.
Положим
Vi + Фг (ш* + р.Юй, 4 + H'Vfc’ н) =	4, р),
«г + Фг (^i, + Ц«;., X* + pvfe, fl) =	(W,:, 4, Р).
Функции фг, фг, ф/ и ф/ являются периодическими функциями ОТ W.
Я намереваюсь рассмотреть средние значения этих периодических
функций и обозначу их соответственно символами
фг? (4, ц), ф° (4, ц), ф? (4, ц), ф? (4, ц).
После этого я намереваюсь доказать следующее.
Пусть 9; и тр (i = 1, 2, ..., п) — 2п совершенно произвольных функ-
„	ООО
ции, зависящих от х1( х2, ..., х,г и р, которые должны лишь разла-
гаться по степеням р.
Я утверждаю, что каковы бы ни были функции 0; и ф, всегда можно
выбрать функции v; и так, чтобы
ф? = 9г, ф? = ф.
В самом деле, для этого достаточно определить v4 и <ог из следующих урав-
нений:
Vi + ф? (4 + р. V,-, р.) = 9i (хЦ, р,),
+ ф® (4 + hvk, р.) = ф (4, ц).
Итак, функции v4 и всегда можно найти из этих уравнений в виде
рядов, расположенных по степеням р, коэффициенты которых зависят
ОТ 4’
Методы Ньюкома и Линдштедта
355
Если ряды (2 quater) представить в виде
Xi = X°t + [IXi + р2х? + . . .,
Уг = Wi + цу1 + p2y i + • • • ,
то у* и Xi будут периодическими функциями от w. В силу предыдущего
замечания эти периодические функции х* и y'i всегда можно подобрать так,
чтобы их средние значения были искомыми функциями от х±, х^,	ж®.
Прямое вычисление рядов
127.	Перейдем теперь к непосредственному вычислению рядов (2qu-
ater).
Для этого предположим, например, что в производную dFIdyi, которая
зависит от х^ yi и р, вместо этих переменных подставлены их разложения
х® + р2х? ,
Wi + pyt + p2J/i + . • • ,
после чего эта производная dFIdy, стала функцией переменных а%, х*
yi, Wi и р.
Эта функция периодична по разлагается по степеням р, х* и у*
(при к 1) и как-то зависит от
Запишем эту производную в виде
4^-=А“ + ^ + рг^ + ...+р'сХ1 + ...,	(9)
где коэффициенты X* представляют собой функции, зависящие от иц,
, yi', х°, и периодические по иц.
Аналогичным образом получим
-4т-=у? + ^ + ^2 +...+н’тГ+-...	(10)
г
Функции Yi имеют такой же вид, как и функции X*.
Если вспомнить, что производная dFJdy-X равна нулю, а производная
dFddxi не зависит от у;, то нетрудно понять, что коэффициенты Х*
зависят только от
0	1	К-1
Xi, Xi, . . . , Xi ,
1	К-1
Wi, Уг, • •  Уг 
23*
356
Новые методы небесной механики. И
Коэффициенты зависят от этих же величин и, кроме того, от х-, но не
зависят от у*. Коэффициент X'- равен нулю, а коэффициент У°
равен И,.
Предположим, что
тогда
Мы предполагаем, что щ можно разложить по степеням ц, и записы-
ваем
щ = п! + рл* 4- уп? Ц- . . . -	(Ч)
Тогда наши дифференциальные уравнения приобретают вид
Sdxi	dF v dyt	dF
n,t dw,	dy. ’ 21n'> dw	dx .	(12)
В самом деле,
dx.	dx^ diUft	dx.
dt	Y-1 dw.. dt n,i dw.
ft	Л
Заменим в уравнениях (12) величины dFIdy,, — dFIdx, и пц их разло-
жениями (9), (10) и (И) и приравняем затем коэффициенты при одина-
ковых степенях ц.
Обозначим для краткости
(если р 1),
Zi = о,
(если р^>1),	7’1 = 0.
34
Приравняв коэффициенты при р/'
dx?	т>
__‘	  уР
dw.	Л1
Уп° dy?
к
(р 1), получим
.-. dx®
+ zf — 2 4 -у
1 L	dw,
к
(13)
Г
Методы Ньюкома и Линдштедта
351
Приравняв члены, не зависящие от р,, получим
V о dx°i	n Vo dVi	о
Zi Пц -=- —0,	>1 П); -j- = пг
" dw,.	h dw.,	1
п.	п
— уравнения, которым, как мы уже видели, можно удовлетворить, по-
ложив
Ж? = const, у® = WL.
После этого уравнения (13) приводятся к виду
drP	dtiP
'^n°~dw^ =	=	~ п1'	(14)
h	It
Посмотрим, каким образом можно воспользоваться уравнениями (14),
чтобы последовательно найти функции
р	р
x'i и у‘г ,
периодические по w, средние значения которых являются искомыми функ-
циями от ж®.
В двух предыдущих пунктах мы видели, что найти такие функции
можно.
Предположим, что мы уже вычислили
ж},ж?,...,жГ,	у1...,уГ	(15)
и что требуется найти х% и уГ с помощью уравнений (14).
Так как Xf и Z? зависят лишь от переменных (15), правая часть пер-
вого из уравнений (14) представляет собой известную функцию от w,
периодическую по этим переменным.
Пусть
X? Zf = 2 A C0S (™1^1 + nhwi +    + ^nWn + ^)
— такая функция. Интегрируя уравнение (14), мы получаем
„ A sin (mnoi + mtw2 +   . +™nwn + h) ।
1	min® man® + . . . +mnn®
Отсюда видно, что величины жГ, вообще говоря, являются периоди-
ческими функциями от w. Исключение могло бы представиться лишь
в двух случаях: если бы величины н® удовлетворяли какому-то линейному
соотношению с целыми коэффициентами
= 0
358
Новые методы небесной механики. II
и если бы среднее значение периодической функции Xf -|- Zf было от-
лично от нуля. В силу сделанного ранее предположения первый случай
невозможен. Непосредственное доказательство того, что второй случай
также не имеет места, нелегко, но поскольку мы заранее знаем, что ве-
личина xf должна быть периодической функцией от w, мы уверены, что
среднее значение Xf + Zf равно нулю. Именно поэтому я и начал из-
ложение метода Линдштедта с общих соображений, содержащихся в пун-
ктах 125 и 126, вместо того, чтобы сразу же перейти к вычислениям.
Что касается константы Kf, то, как мы видели в предыдущем пункте,
ее можно произвольным образом приравнять какой-нибудь функции от а^.
Нам осталось еще вычислить yf с помощью второго из уравнений (14).
Ясно, что так же, как и xf, величины yf можно найти в виде периодиче-
ской функции от w при условии, что среднее значение функции
УГ+ Tf-nf
равно нулю. Однако константа nf остается произвольной и ясно, что ее
всегда можно подобрать так, чтобы обратить это среднее значение в нуль.
Таким образом, вычисление различных членов рядов (2 quatei) всегда
выполнимо.
Полученные формулы содержат достаточно много произвола, которым
вычислитель может искусно пользоваться для сокращения выкладок.
В самом деле, средние значения xf и yf можно выбирать произвольно.
Среди тех возможностей, на которых можно остановить свой выбор,
я укажу на следующую, отнюдь не желая рекомендовать ее как-то особо.
Константы Kf можно выбрать так, чтобы
nf = 0, щ — п°.
Этот метод применим всякий раз, когда величины nf можно выбрать
так, чтобы между ними не существовало никаких линейных соотношений
с целыми коэффицентами и, следовательно, всякий раз, когда соотноше-
ние между этими п величинами можно выбирать произвольно.
Именно так обстоит дело, например, в том частном случае задачи трех
тел, о котором шла речь в п. 9. В самом деле, в этом случае
Рп — туу + ^2 >
откуда
Методы Ньюкома и Линдштедта
359
Ясно, что хг можно выбрать так, чтобы отношение тг’/тг® имело необ-
ходимое нам значение.
Точно так же обстоит дело и при рассмотрении следующего урав-
нения, возникающего в приложениях методов Гильдена, которое было
подробно изучено Линдштедтом
^ +	== Цф' (z, у),	(16)
где ф' — функция, допускающая разложение по степеням у и периоди-
ческая по х.
Замечу прежде всего, что функцию ф' можно рассматривать как про-
изводную по у от некоторой функции ф того же вида. Поэтому, как мы
уже видели в и. 2, я могу вместо предыдущего уравнения рассматривать
следующие:
„ д2	п2у”-	.	.
Р — — Н 2-----РФ (2/> х) +
dx _ dF _____i dy _____ dF	dp dF
dt	dp ' dt	dq	dt dx ’
dq dF „	.	, .	.
^Г=^- = -^ + РФ (^)-
Положим затем
пр2
y = psmy1, 7 = ^008^!,	— = P = x = y2.
Тогда наши уравнения запишутся в виде
п	,	/ , / 2х> .	\
— F = пхг + х2 — р,ф I у — sin у1У у2 I ,
dxi __ dF dx> _ dF dyi _____________ dF dyi _________ dF
dt dy\ ’ dt ' dyi ’ dt	dx\ ’ dt	dx-i
В самом деле, из п. 6 следует, что каноническая форма уравнений не из-
менится.
Положив ц = 0, получим
Fo — ~~пх1 —х2,
откуда
Следовательно, если число п иррационально, то между н® и «2 не суще-
ствует никаких линейных соотношений с целыми коэффициентами и ме-
тод оказывается применимым.
Точно так же метод будет применим и в общем случае задачи трех тел,
если эти тела движутся в одной плоскости и закон притяжения отличен
360
Новые методы небесной механики. II
от ньютоновского. Для ньютоновского закона притяжения рассматри-
ваемый метод теряет силу, если только речь идет не о тех его важных мо-
дификациях, которые составят содержание последующих пунктов.
В самом деле, в этом случае (мы придерживаемся обозначений, ука-
занных в п. 125) Fo не будет содержать х3, следовательно, число п3 рав-
но нулю. Это означает, что между ni существует некое линейное соотно-
шение с целыми коэффициентами, а именно:
Ид = 0.
Излагаемый здесь прямой метод весьма схож с оригинальным мето-
дом Линдштедта. По сравнению с косвенными методами двух предыдущих
пунктов он обладает важным преимуществом, поскольку дает нам непо-
средственно значения хг и yt как функции от w, а следовательно, и от вре-
мени, и таким образом особенно удобен при вычислении эфемерид. Од-
нако эти косвенные методы необходимы нам, ибо без них я не мог бы до-
казать законность прямых методов (которые остаются в силе лишь при
условии, что среднее значение функции Xf + Zf равно нулю) или по
крайней мере не мог бы доказать, не используя интегральные инвари-
анты, о которых я буду говорить лишь в одной из следующих глав. Зна-
ние этих косвенных методов отнюдь не будет для вас бесполезным и с дру-
гой точки зрения. В самом деле, мы видели во введении, что иногда вме-
сто решения можно с успехом использовать какой-нибудь интеграл или
(если говорить на языке пунктов 1 и 19) какое-нибудь инвариантное со-
отношение. Кроме того, нахождение функции 5 можно использовать для
проверки прямых вычислений.
128.	Определенную выше константу Kf можно выбрать так, чтобы
[Уг? + Tf], т. е. среднее значение функции Yf + Tf, было равно нулю
и, следовательно,
nf = 0, щ — га®.
В самом деле,
\zp__ _ d2Fo р______ <PFq р_____	__ cPFp р , j-j-p
i dx- dx, 1 dx. dx 2	' ' ’ dx. dx n "r ’ ’
г!	12	г n
где Ff зависит только от xf и yf (i = 1, 2, ..., га; к = 0, 1, 2,..., p — 1).
Приравнивая средние значения, получим
[Yf + Zf] = -	+ [Uf + Tf].
d tZz • d X I.
p г к
Функции Uf и Tf полностью известны. Поэтому известна и функция
IFf + Tf], Следовательно, для того чтобы обратить в нуль kf, доста-
Методы Ньюкома и Линдштедта
361
точно так подобрать константы Kf, чтобы удовлетворялось п линейных
уравнений
£? +  + + (1)
dx. dx.	1 dx. dxQ	dx. dxn	1	г J	' '
Z 1	г a	tn
Для этого необходимо и достаточно (34], чтобы гессиан функции Fo не
обращался в нуль. Однако в случае уравнения (16), т. е. в том случае,
который особенно подробно рассматривал Линдштедт, гессиан оказывается
в точности равным нулю. Именно это и объясняет, почему Линдштедт
не заметил, что щ можно положить равным п°.
Этот гессиан равен нулю и в частном случае задачи трех тел, сформули-
рованном в пункте 9, но в п. 43 мы видели, каким образом можно с помощью
простого искусственного приема устранить эту трудность.
Сравнение с методом Ньюкома
129.	Чтобы привести ряды к тому же виду, который мы уже рассмат-
ривали в этой главе, Ньюком воспользовался методом вариации произ-
вольных постоянных. Для того чтобы доказать, что его результат не мо-
жет отличаться от результатов, полученных нами в предыдущих параг-
рафах, мы сейчас изложим этот метод в следующем виде.
Обратимся еще раз к уравнению с частными производными
г, [ dS \	.
F[d^’ yi) =const-	t1)
которое в п. 125 фигурировало как уравнение (4).
Пусть S’ — функция, зависящая от у2, ..., уп и п констант х^,
х2, ..., х°, которая приближенно удовлетворяет уравнению (1), так что
F 1	= ф ’ yi^ = фо + e'Pi
где ср0 зависит лишь от afi, а величина е очень мала. Приближенное ре-
шение канонических уравнений
dt dy- ’ dt	dx-t	' '
мы получим, полагая
dS’ ~ dS’ О . I о,	о?<р1(
	 = Ч> 	= Чг = nit 4- uh, Щ =	—	(3)
dVi----------------------------------------------------dx? У г -Г г. i-W
и рассматривая х ® и как произвольные постоянные.
362
Новые методы небесной механики. П
Предположим теперь, что требуется перейти к аппроксимации более
высокого порядка, пользуясь методом Лагранжа. В этом случае величины
х? и уже нельзя будет считать константами. Их следует рассматривать
как новые неизвестные функции. Эти новые уравнения, по теореме, сфор-
мулированной в п. 4, мы получим следующим образом. Подставим вместо
yi их выражения через х? и у?, полученные из уравнений (3). Тогда
ф(*?, У«) =Ф(4, У?),
и мы получим канонические уравнения
d^i _ dlfr	dVj _ _ dip
dt	dyO	dt
Вместо я выбрал в качестве переменных у° (что одно и то же) для того,
чтобы сделать по возможности более наглядной каноническую форму
этих уравнений.
Интегрирование уравнений (4) можно свести к интегрированию урав-
нения с частными производными
ф = const-
\ dyi J
Пусть S' — функция, зависящая от у” и п новых констант х1{ и
удовлетворяющая этому уравнению. Если положить
dS" о dS" х
	 = Xi, 	— = У,,
dy?-----------dxi
то уравнениям (4) мы удовлетворим, приравняв величины х1 этим кон-
стантам, а величины у\ — линейным функциям времени.
Если S" — приближенный интеграл уравнения (5), то мы тем самым
получаем и приближенные решения уравнений (4).
Таков метод вариации постоянных. Он совсем не совпадает с тем ме-
тодом, который мы применяли в п. 125. Оставляя все время уравнение (1)
в неизменном виде, мы, найдя некоторое приближенное решение, пытаемся
найти другое решение, дающее лучшую аппроксимацию. Пусть S'" —
такое решение, зависящее от уг и п констант ж{. Если мы затем положим
dS"’ _
dS’" х
dxi
(7)
то х\ будут константами, а у\ — линейными функциями времени, при-
чем либо точно, если S'" представляет собой точное решение уравнения
(1), либо приближенно, если S'" является всего лишь приближенным
решением. Можно ли выбрать S'" так, чтобы уравнения (7) были экви-
Методы Ньюкома и Линдштедта
363
валентны уравнениям (3) и (6)? Уравнения (3) и (6) можно записать
в виде
dS' = Szj dyi 4-	dxl,
dS" = ^x\dyl + Syldxl,
а уравнения (7) в виде
dS'" = S^dyi 4- Sz/i dxl.
Достаточно положить, следовательно,
S'" = S' 4- S" -
чтобы изложенный в и Л 25 метод уже не отличался сколько-нибудь су-
щественно от метода Ньюкома и по сравнению с последним обладал лишь
тем преимуществом, что позволил избежать большого числа замен пе-
ременных.
Я добавлю, что константы интегрирования мы специально подобрали
так, чтобы уравнения сохраняли каноническую форму. Ньюком, а впро-
чем, и другие астрономы не часто прибегали к методу Лагранжа, по-
скольку уравнения, в которых появляются скобки Лагранжа, на первый
взгляд представляются чрезвычайно сложными. Однако это различие
несущественно.
Глава X
ПРИМЕНЕНИЕ РАССМОТРЕННЫХ МЕТОДОВ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ВЕКОВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Постановка задачи
130.	Принципы, изложенные в предыдущей главе, находят важное
применение при изучении некоторых уравнений, часто рассматриваемых
астрономами.
Пусть
dlF_
dt dy^ ’ dt	dx^	' '
— наши канонические уравнения и пусть
Р == F0 + V-P1 + \РР 2 + • • • •
Предположим, что сопряженные переменные х1 и являются кепле-
ровскими переменными, введенными в п. 11, функция Fo зависит только
от рЛ и р'L', т. е. от двух больших осей, и что та часть разложения функ-
ции F, которая получится, если отбросить р/2/'2 и все другие члены, сле-
дующие за р/?1, представляет возмущающую функцию.
Тогда Fx разлагается по синусам и косинусам линейных комбинаций
двух средних аномалий I и V с целыми коэффициентами. Среднее значение
этой функции, периодической по I и Г, я обозначу символом R.
Часто при изучении вековых возмущений элементов двух планет
в разложении функции Fx пренебрегают периодическими членами и,
таким образом, заменяют эту функцию ее средним значением R. В резуль-
тате такой замены уравнения примут вид
dxi dFn , dR dVi dFa dR	.... .
+	=	(Ibis)
Можно ли быть уверенным в том, что, поступая таким образом, мы
получим именно коэффициенты при вековых членах в хг и yit иными сло-
вами, коэффициенты при членах, периоды которых неограниченно воз-
растают, когда массы планет стремятся к нулю? Очевидно, что нет, од-
нако степень приближения, вообще говоря, достаточно велика, и астро-
номы с полным основанием довольствуются ею. Именно с этим обстоятель-
ством и связано изучение уравнений (Ibis).
Применение к исследованию вековых возмущений
365
Поскольку Fo и R не зависят от I и Г, мы прежде всего получим
d($L) _ dft'L') =
dt	dt	’
вследствие чего L и L' можно считать константами. Следовательно, мы
можем ограничиться рассмотрением четырех пар сопряженных пере-
менных
30, 3'G', 3'0'-
g, е, g',	0'
(обозначения п. И), которые временно обозначим
У1, У г, У-л, У1-
Функция F„ не зависит ни от одной из этих восьми переменных, и
уравнения (Ibis) запишутся в виде
",	"	(- = 1,2,3, 4). (Iter)
р dt dy^ р dt dxi '	'	'	'
Функция R зависит лишь от восьми переменных и поскольку
она не зависит от I и V, a L и L’ впредь будут считаться постоянными. Та-
ким образом, уравнения (Iter) записаны в канонической форме.
После того как Xi и /л вычислены из уравнений (Iter), величины I
и V находят из уравнений
dl н dR dl' _ dR
~di=~V-$dL' ~dT = ~ JFdT/ ’
которые интегрируются в квадратурах, поскольку величины I и V не вхо-
дят в их правые части.
Основатели небесной механики рассматривали эти уравнения, огра-
ничиваясь лишь первыми членами в разложении функции R, т. е. членами
второго порядка относительно эксцентриситетов и наклонений. В этом
случае уравнения оказываются линейными и с постоянными коэффи-
циентами. Затем Леверрье и Селлерье рассмотрели члены четвертого
порядка и убедились, что эти члены не оказывают влияния на устойчи-
вость.
Однако как мы только что видели, принципы, изложенные в преды-
дущей главе, позволяют обобщить этот результат и доказать, что он
остается в силе несколько дольше, чем можно было бы ожидать, исходя
из рассматриваемого приближения (что понятно с точки зрения формаль-
ного анализа).
366
Новые методы небесной механики. II
Новая замена переменных
131. Если ввести переменные (4) п. 12, то функцию/? можно будет
разлагать по степеням ц, т]', р, р', quiq'. Как мы уже видели, членов
нечетной степени относительно
L Г- л'- р, р', q, q'	(2)
не будет [35].
В силу этого мы можем записать
R (L Г, Л- Л', Р, Р', q, q') = Ro + R2 + Rt + Rt + ..
где RK представляет собой совокупность членов к-й степени относительно
величин (2). Нам необходимо проинтегрировать канонические уравнения
____ dR di]   [dR
dt dr] ’ dt d^ ' ' ' '
Однако для того чтобы привести наши уравнения к наиболее удобному
виду, нам потребуется еще одна замена переменных.
Предположим прежде всего, что мы пренебрегли всеми членами по-
рядка выше второго относительно величин (2), т. е. что
R — Ro Ч- /?2-
Ro есть константа, R2 представляет собой однородный полином вто-
рой степени относительно переменных (2). Следовательно, если записать
канонические уравнения
dl	dRz	dl'	dRz	dp	dRz	dp'	dRz
dt	dr] ’	dt	dr]' ’	dt	dq ’	dt	dq' ' dRz	<3>
dr]	dRz	dr]’	dRz	dq	dRz	dq'	
dt	d^~ ’	dt	- ~~dC’	dt ~	dp ’	dt	dp' ’
то эти уравнения будут линейными относительно переменных (2).
Предположим, что вместо разложения R по степеням переменных (2),
мы разложим эту функцию по степеням эксцентриситетов и наклонений.
Пусть
R = /?0* + Rl +R{ + ...
— полученное разложение, где RI означает совокупность членов сте-
пени к относительно эксцентриситетов и наклонений.
Из результатов в п. 12 следует, что переменные (2) допускают разло-
жение по степеням эксцентриситетов и наклонений, так что если каждое
Применение к исследованию вековых возмущений
367
из этих разложений оборвать на его первом члене, то получим
g = УЛ ecos 8,
т] = — ]/Л e sin Э,
р = ]/Л i cosG,
q = — ]/ Л i sin’0,
£' = е' cos Э',
т]' = — УN! е' sin 8',
р' = ]/Л' i' cos 0',
q' = — |/Л' V sin 0'
(1)
(так же, как и в п. 12, я для краткости обозначаю Л = Л' = P'AZ).
Отсюда следует, что
Ro = Ri
и что для получения Н% достаточно заменить переменные (2) в R2 их
приближенными значениями (4).
Наоборот, функции Н2 мы получим, заменив в R2 переменные
ecos<3, e'cosSJ', esin®, e'sin©', icosG,
i'cosB', isinO, i'sin0'
на
E	V —Л —	P_ P' — 7	—
рл ’	V&'	’ Va	’ Va'	’ Va	’ Va'	’ Va	’ VK'
Но разложение функции R2 хорошо известно. В самом деле, R2
представляет собой не что иное, как совокупность вековых членов воз-
мущающей функции, имеющей вторую степень относительно эксцентри-
ситетов и наклонений.
Я могу сделать два вывода: во-первых, что линейные уравнения (3)
можно с помощью очень простой замены переменных свести к уравнениям
(А) и (С) «Небесной механики» Лапласа (кн. II, гл. VII, т. I, § 55 и 59,
стр. 321 и 334, Gauthier-Villars, 1878 г.), которые служат для вычисле-
ния вековых возмущений эксцентриситетов и перигелиев, наклонений
и узлов; во-вторых, что функция R2 имеет особый вид и может быть
записана следующим образом:
Т?2 = 7?; (g, |') + R[ (П, <) +	(р, Р) + Rz (q, q).
Иначе говоря, она является суммой четырех квадратичных форм: первой,
зависящей только от £ и второй, зависящей от ц и ц' точно таким же
образом, как первая форма от £ и третьей, зависящей только от р и
р', четвертой, зависящей от q и q' так же, как третья форма зависит от
р и р'.
Установив это, произведем линейную замену переменных, подобрав
ее так, чтобы не изменить канонической формы наших уравнений.
368
Новые методы небесной механики. И
Для этого положим
К = g (6t cos ф L sin <р) + g' (— 61 sin <p 4- зг cos гр) + p (s3 cos cp' 4- c4 sin cpz) 4“
+ P' (— <3j sin <p' + 64 cos <p'),
где <p и <p' — два угла, зависящие от Ли А'.
Положим затем
dV	,	, dV	.
Л =	= <51 COS <р + <32 sm ф, Ц = -7J7- = — бх sin ф + б2 COS ф,
ис,	ас,
dV	, ,	.	,	, dV	, ,
q =	= <з3 cos ф + 6i sm ф , q =	= — б3 sm ф + 64 cos q> .
Таким образом, я получаю соотношения, определяющие новые пере-
менные <тг как функции старых переменных.
Я введу еще четыре новых переменных т1; ?2, тз, т4, определяемых со-
отношениями
откуда
g = ?! cos ф ?2 sin ф, g' = — ?! sin ф + ?гcos ф,
р = ?3 cos ф' 4- ?,sin ф', р' = — ?3sin ф' 4~ ?t cos ф'.
По теореме п. 4 каноническая форма уравнений не изменится, если за
менить старые переменные
L Г, р, р',
Л, л'. 7- 7'
новыми переменными
Т4, Т2, Тз, ?4,
<51, <52, б3, б4.
Осталось показать, как следует выбирать углы ф и ф' в виде функций от
Л и Л'.
Угол ф выбирают так, чтобы квадратичная форма
Я2(£, t) = (Txcos Ф + ?2 sin ф, — ?i sin ф 4- ?2 cos ф)
свелась к сумме двух квадратов
Ai?i 4- Л2т2.
При этом получают
/?2 (Л, Л ) = ^?2 (<5i cos ф + <з2 sin ф, — Si sin ф 4~ <з2 cos <р) = Арз! + A2s2.
Применение к исследованию вековых возмущений
369
Аналогично угол ф' выбирают так, чтобы
-^2 (Р, Р) = ‘4зтз + А4Т4,
Ч) = ^з^ + А^.
В результате мы получаем
2?2 = Аг (<3i + т^) + А2 (о2 + т2) + А3 (о3 4- Тз) 4- А4 (о4 4- т4)-
Заметим, что Ау, А2, А3, А± зависят от Л и Л'.
Соотношение между переменными £, т], <т и т, которое можно записать
в виде
g = Ту cos ф 4- То sin ф, г] = Sy cos ф 4- 62 sin ф,
,	(5)
£ = —Ту Sin ф 4~ Т2 COS ф, Т] = —Sy Sin ф 4- ^2 cos ф>
представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объ-
яснили в п. 5, именно благодаря этому обстоятельству не изменяется ка-
ноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача
сводится к отысканию углов ф и ф', т. е. к выбору ортогональной под-
становки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится
к интегрированию упоминавшихся выше уравнений (А) и (С) Лапласа.
Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительны-
ми, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выпол-
нены.
Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо
трех тел рассматривают «4-1 тело.
Функция Т?2 была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных
форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь
от двух переменных, содержала бы п переменных.
Следовательно, мы бы получили п переменных, аналогичных пере-
менным п переменных, аналогичных т], п переменных, аналогичных р,
и п переменных, аналогичных q. Задача сводилась бы так же, как и рань-
ше, к отысканию линейной ортогональной подстановки, которая, будучи
примененной к переменным преобразовывала первую из этих четырех
квадратичных форм к сумме п квадратов.
Возвратимся, однако, к задаче трех тел.
Произведем последнюю замену переменных, положив
Ту = ]/2р{ cos coy,	Оу = у 2ру sin <0у.
Согласно п. 6 такая подстановка не изменяет канонической формы урав-
нений.
В результате окажется, что R2 разлагается по степеням ]/ру и пе-
риодична по (Оу. Кроме того,
Т?2 = ЗЛуру 4- 2Л2р2 4~ 2Л3р3 4- 2А3р4,
т. е. R2 не зависит от .(Оу.
24 А. Пуанкаре
Применение к исследованию вековых возмущений
369
Аналогично угол <р' выбирают так, чтобы
(Р, Р) = А 3х23 + Л4т4,
<]) = А3£ + А^.
В результате мы получаем
/?2 = Ах (ох 4- тх) 4- А2 (02 4- т2) 4~ А3 (s| 4- Т3) 4- А4 (о4 4- т4).
Заметим, что Аг, Аг, А3, А4 зависят от Л и Л'.
Соотношение между переменными £, т], <т и т, которое можно записать
в виде
| = тх cos <р 4- т2 sin ф,	р = ох cos Ф 4~ <з2 sin ф,
, _	,	,	(5)
ё = — Txsin ф 4- t^cos ф, р =—sx sin ф 4-<з2 cos ф,
представляет собой линейную ортогональную подстановку; как мы объ-
яснили в п. 5, именно благодаря этому обстоятельству не изменяется ка-
ноническая форма уравнений. Следовательно, рассматриваемая задача
сводится к отысканию углов ф и ф', т. е. к выбору ортогональной под-
становки (5). Но отыскание этой подстановки в свою очередь сводится
к интегрированию упоминавшихся выше уравнений (А) и (С) Лапласа.
Численные вычисления могут быть в силу этого весьма продолжительны-
ми, но те вычисления, которые относятся к солнечной системе, уже выпол-
нены.
Аналогичные результаты получаются и в том случае, когда вместо
трех тел рассматривают п + 1 тело.
Функция В2 была бы по-прежнему суммой четырех квадратичных
форм, но каждая из этих четырех форм вместо того, чтобы зависеть лишь
от двух переменных, содержала бы п переменных.
Следовательно, мы бы получили п переменных, аналогичных пере-
менным п переменных, аналогичных ц, п переменных, аналогичных р,
и п переменных, аналогичных q. Задача сводилась бы так же, как и рань-
ше, к отысканию линейной ортогональной подстановки, которая, будучи
примененной к переменным преобразовывала первую из этих четырех
квадратичных форм к сумме п квадратов.
Возвратимся, однако, к задаче трех тел.
Произведем последнюю замену переменных, положив
т4 = ]/2рх cos <ох, б; = ]/ 2pxsin coj.
Согласно n. 6 такая подстановка не изменяет канонической формы урав-
нений.
В результате окажется, что Л2 разлагается по степеням ]/р, и пе-
риодична по <£>,. Кроме того,
Р?2 = 2/1хрх 4- 2А2р2 4- 2А3р3 4- 2А3р4,
т. е. Л2 не зависит от .и,.
24 А. Пуанкаре
Применение к исследованию вековых возмущений
371
Эту функцию можно разложить по степеням е, она периодична отно-
сительно переменных второй серии «г, наконец, ее первый член И2' 116
зависит от этих переменных <щ. Следовательно, мы оказываемся в усло-
виях применимости результатов предыдущей главы.
Единственное предположение, которое мы сделаем, будет состоять
в том, что между четырьмя константами А1, Аг, А3 и не существует
линейного соотношения с целыми коэффициентами. Вероятность того,
что такое соотношение существует, равна пулю, однако можно потребо-
вать, чтобы не существовало и простого соотношения, достаточно близ-
кого к точному соотношению, ибо в противном случае ряды сходились
бы лишь чрезвычайно медленно. Известно, что этот вопрос рассматри-
вался Леверрье, однако для случая дальних планет его пришлось
оставить нерешенным, поскольку массы этих планет известны плохо,
а коэффициенты А зависят от этих масс.
Очевидно, что все сказанное без изменений переносится и на тот слу-
чай, когда число тел больше трех.
Итак, уравнениям, определяющим вековые возмущения, можно фор-
мально удовлетворить с помощью тригонометрических рядов того же ви-
да, что и ряды Ньюкома и Линдштедта. Тогда ecosgj, e sing), i cosQ, rsin0
выражаются в виде рядов, члены которых периодичны по t. Лаплас и
Лагранж считали, что этот результат полностью доказывает устойчивость
солнечной системы. На сегодняшний день мы относимся к этому резуль-
тату гораздо критичнее, поскольку сходимость соответствующих разло-
жений не доказана. Тем не менее этот результат остается очень важным.
В заключение заметим, что в том случае, когда имеется только три
тела и они движутся в одной плоскости, канонические уравнения (2) вы-
рождаются в уравнения, имеющие только одну степень свободы. В этом
случае их можно проинтегрировать в квадратурах.
Излишне напоминать, что интегрирование уравнений (2) эквивалентно
интегрированию уравнения с частными производными
т>( dT X
R | -7— , I = const
\ d&. } 11
где Т — неизвестная функция, (щ — независимые переменные, а левая
часть представляет собой функцию R, в которой переменные pj заменены
производными dT/d^i [36].
2<*
Глава XI
ПРИМЕНЕНИЕ К ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
Трудность задачи
133. В случае задачи трех тел имеется одна особая трудность, которая
делает чрезвычайно сложным применение к этой задаче методов гла-
вы IX.
В самом деле, функция Fo зависит не от шести переменных первой
серии
Р£, pG, [377, [39, ₽'9',
а лишь от двух из них
[3£ и [ЗТ'.
Следовательно, среди величин, которые мы обозначили через
о ____ dFo
Щ — dx. ’
г
четыре величины, а именно
dFo dFo dFn dFo
dti,G ’ ~~ dfi'G' ’ d$V 1 ~ <$'0'
равны нулю.
Следовательно, не выполняется условие, при котором остаются в силе
выводы, полученные в предыдущей главе, а именно выводы о том, что
между величинами п® нет никаких линейных соотношений с целыми коэф-
фициентами.
Эта трудность не возникает в том случае, если три тела движутся
в одной плоскости, при всех законах притяжения, отличных от закона
Ньютона. В самом деле, уравнения
dFn _ dF0 ___ dF0 __ dF0 __«
dG ~~ d& ~	“ W — U
имеют очевидный смысл. Они означают, что при кеплеровском движении
перигелии и узлы неподвижны; действительно, мы имеем уравнения
dg __ dF d0 __________ dF
~dt ~ ~ $dG ’ ~dt ~ ~ $'dG' '
Применение к задаче трех тел
373
При кемеровском движении функция F вырождается в Fo, a g и 0 яв-
ляются константами.
В случае задачи двух тел, когда закон притяжения отличен от нью-
тоновского, узлы по-прежнему неподвижны, но перигелии уже непод-
вижными не будут.
Таким образом, если движение происходит в плоскости и только узлы
остаются неподвижными, то метод, изложенный в главе IX, будет при-
меним без каких бы то ни было изменений.
Обобщение метода главы IX
на некоторые особые случаи
134. Рассмотрим теперь случай, когда Со содержит не все из перемен-
ных хг, х2, ..., хп.
Предположим для ясности, что имеется три степени свободы и что Fo
содержит две переменные первого ряда хг и х2 и не содержит третьей пе-
ременной х3. Отсюда следует, что
п°3 = 0.
Мы по-прежнему предполагаем, что
F = Fo 4-	-f- \F-F2 + ...,
где Fy — функция от хг, х2, х3, у±, у2, у3, периодическая по ух, у2 и у3.
Я буду пока считать Fy функцией только от уу и у2. Эта функция пе-
риодична по этим двум переменным, и я обозначу через R ее среднее зна-
чение, зависящее от Ху, х2,х3п у3.
Сначала я рассмотрю случай, когда R зависит от Ху, х2 и х3 и не за-
висит от у3.
Попытаемся найти функцию
S = So 4- pSi 4- |т3с>2 4- • • •,
имеющую тот же вид, что и функция S, рассмотренная в п. 125, и удовлет-
воряющую формально уравнению
„ { dS dS dS	\ п	i /\
F , -S— > -j— , У1, У2, Уз) — С,	(4)
dyi dy., • dy3 71	\ /
где C — константа, которую можно записать в виде
С = Со 4- рСх 4- р2С2 4~ • • • •
Здесь Со, Су, С2, ... — произвольные постоянные.
374
Новые методы небесной механики. II
Положим сначала
-з— = £,,	-j— =
dyi Л о?/2
Константы х® и х?2 будут связаны соотношением
Fo (х°и х°2) = Со.
Но поскольку константа Со произвольна, х'} и х° в свою очередь оказы-
ваются произвольными.
Затем я положу

Тогда
50 =	+ хгУ-2, + [б’о!,
где [£01 — произвольная функция, зависящая от ys, которую еще нужно
определить. Приравняв в уравнении (4) коэффициенты при ц, мы так же,
как и в п. 125, получим
= F1 ’ У1’ (5>
Какова бы ни была произвольная функция [50], правая часть уравнения
(5) будет периодической функцией от г/х и у2- а среднее значение этой
функции будет
^(х^х^ 4^, Уз} -Си
\ 11 dy3 ’	1
Мы хотим, чтобы функция 5Х имела следующий вид:
ап#1 + «Л + а13у3 + функция, периодическая по г/х, у2 и у3.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы среднее значение правой
части уравнения (5), как мы видели в п. 125, было равно некоторой кон-
станте, которую обозначим С/ — Тогда для нахождения произвольной
функции [50] получаем следующее уравнение:
х°2> ^L,y3^Ci	(6)
Я предположил выше, что R не зависит от у3. Поэтому для того, что
бы удовлетворить уравнению (6), достаточно взять
|Л01 =
Применение к задаче трех тел
375
О	«
х3 — константа, которую пока можно считать произвольной, по-
скольку произвольна константа С/. Следовательно,
So = Х1У1 + Х°У2 + хзУз-
Приравняв в уравнении (5) средние значения правой и левой частей,
получим
^2^12 = Cj Ci-
Поскольку константа произвольна, я положу Cj — С^, что позво-
лит мне так же, как и в п. 125, выбрать
= 0^12 Q*
Тогда функцию 5 с точностью до слагаемого, зависящего только от уд,
можно будет найти из уравнения (5).
Установив это, предположим, что функции
S}, S2, . . Sp^
определены полностью и что 5p_j вычислена с точностью до зависимости
от у3. Предположим, что требуется довести до конца отыскание функции
5р/1 и вычислить Sp с точностью до зависимости от у3.
Приравняв коэффициенты при в обеих частях уравнения (4), по-
лучим
^0 ^Р , dSP -  dF1
1 dyi'r 2 dyi dx»
dFP-l
Луз
~Ь
(7)
где Фр — функция, зависящая лишь от переменных у, производных от
функций 50, S1; S2, ..., Sp_2, а также от dSp^xldyx и dS^Jdy^
Функции So, Sx, S2, ..., Sp.2 известны. Функция Sp_x известна с точностью
до слагаемого, зависящего только от уд, следовательно, известны произ-
водные dSp_-Jdy, и dSp^1/dy2. Поэтому и Фр можно считать известной
функцией от у, причем эта функция периодическая.
Если задана некоторая периодическая функция U, зависящая от yt,
у2, Уз, то через [С7] мы будем обозначать' среднее значение этой функции,
вычисляемое в предположении, что U зависит лишь от у, и у2- Отсюда сле-
дует, что [С1 зависит от у3.
Очевидно, что так же, как и раньше, среднее значение правой части
уравнения (7) должно быть равно некоторой константе Ср — Ср, откуда
dFi
dSP-l
Луз
+ [Фр1 — Ср,
' dFi d 1 Г
. dx* Луз ] I" L Лхй3
^р-1-tW
Луз
+ [Фр] = с;.
376
Новые методы небесной механики. II
Так как LSp-J не зависит от г/х и у2, то
Г dFi	1 _ d [‘Vi! Г dFi 1 _ dR rl
L dx*	dys J ~ dyz L dx?3 J “ dx" <iys
откуда
dR d [^p-j.]	, I dFi d($p-i [‘’p-lD
~d% dy3 p 1 ₽i 1<Ц dys
Если Spl известна с точностью до функции, зависящей от у3, то мы зна-
ем функцию
Sp-i [ Sp_ i].
Следовательно, правая часть уравнения (8) полностью известна. С дру-
гой стороны, R — известная функция от х^, х2 и х3, в которой эти пере-
менные заменены известными константами х°ъ х°2, х3. Следовательно,
нам известна производная dRldx3 и мы можем найти из уравнения (8)
производную d{Sp-^ldyz, а проинтегрировав ее, и функцию l-Sp-J.
Так как [^р^] — периодическая функция от у3, среднее значение пра-
вой части уравнения (8) должно быть равно нулю; мы всегда можем до-
биться этого, подбирая произвольную постоянную Ср'.
Таким образом, отыскание функции Sp_2 полностью закончено. После
этого уравнение (7) позволяет нам найти функцию Sp с точностью до про-
извольной функции, зависящей от у3. Для того чтобы функция Sp, найден-
ная из уравнения (7), была периодической по у± и у2, необходимо, чтобы
среднее значение правой части этого уравнения было равно нулю. В са-
мом деле, это среднее значение равно С р' —С и поскольку постоянная
Ср остается произвольной, мы можем выбрать
Ср = Ср.
Итак, функции Sp всегда можно определить с помощью рекуррентных
соотношений. Следовательно, остаются в силе выводы п. 125. Единствен-
ное различие состоит в том, что разложение п3 по степеням ц вместо того,
чтобы начинаться со свободного члена, начинается с члена, зависящего
от р.
Предположим теперь, что имеется четыре степени свободы и восемь
переменных хх, х2, х3, Хц\ уг, у2, у3, у^ и что функция F3 зависит лишь от
X! и х2, a R — от хг, х2, х3 и Хц.
Те же самые выводы остаются в силе и в этом случае, если только:
1) между dFJdxi и dFJdxl (т. е. между п? и п2) не существует ни-
какого линейного соотношения с целыми коэффициентами;
2) не существует никакого линейного соотношения с целыми коэффи-
циентами и между dR!dx3 й dRIdx^.
Применение к задаче трех тел
377
В самом деле, уравнение, аналогичное уравнению (8), с помощью кото-
рого мы нашли	запишется в виде
</[£ ,] dR
—  p -^-g- — — = (известная периодическая функция ст уд
и у4, среднее значение которой можно считать равным нулю). (8bis)
Для того чтобы это уравнение можно было разрешить относительно функ-
ции (Sp-j], периодической по у3 и у4, необходимо и достаточно, чтобы
между dR!dxg и dRIdx^ не существовало никакого линейного соотноше-
ния с целыми коэффициентами.
135.	Мы предполагали, что R зависит лишь от переменных первой серии
ж1; х2, и xt (предполагая, как мы делали в конце предыдущего параграфа,
что имеется четыре степени свободы и что Fo зависит только от жг и х2).
Предположим теперь, что R зависит не только от х^ х2, хд и х4, но еще
и от у3 и у4.
Если вместо хг и х2 подставить константы и |2, вместо хд и xt подста-
вить dTldyg и dTIdy^, а затем приравнять R какой-нибудь константе С/,
то получится следующее уравнение:
которое определяет функцию Т двух переменных уд и у4.
Предположим, что можно найти функцию Т, удовлетворяющую это-
му уравнению и зависящую помимо прочего от двух констант и g2 и двух
новых постоянных интегрирования, которые я обозначу и g4.
Тогда функция
U = ?1У1 + ^Уг + Т
будет удовлетворять уравнению
п [dU dU	dU dU	)
ti. I » у	, y3, У& r —
( dyi dyi	dya dyi
Кроме того, соотношения
определят некоторую замену переменных; старыми переменными будут
Xi и г/j, а новыми — и гр.
Как мы видели в п. 4, эта замена переменных не изменит канонической
формы уравнений. Нетрудно видеть, что
Х1 = 51»	— 5а>
378
Новые методы небесной механики. II
и, следовательно, после этой замены функция Fo будет зависеть только от
£1 И g2.
Если функция U такова, что х3, xit уА — тр, у2— т]2, у3 — ц3 (или у3),
yt — "44 (или у4) являются функциями от £{ и Лг> периодическими
по тр (а именно это мы и предположим), то функция F после этой замены
переменных будет периодической по тр.
Обозначим через R среднее значение F±, рассматриваемой как перио-
дическая функция от уу и у2. Я утверждаю, что если мы после указанной
замены переменных будем рассматривать F± как периодическую функцию
от гр и т]2, то ее среднее значение по-прежнему будет равно R.
В самом деле, по определению
2* 2*
4л2Я = J J Fidy^y-i.
’о о
и мне остается лишь доказать, что
2~ 2тт
4л2/? = | F1rfr|1drj2.
о о
Действительно,
№ л
J<) \dyi dy2
<7i]i Лр ) ,	,
dyi dyi] У1 У2'
однако в соотношения
dU
(1Уг '
dU
(i = 3, 4)
Пг =
переменные ух и у2, а также тр и тр пе входят. Именно это и доказывает,
что если выразить новые переменные через старые переменные |2’
£3, т]з и Л4> то они не будут зависеть ни от уг, ни от у2.
Следовательно, если подставить в Т вместо £3 и их выражения через
Ж], х2, х3, у3 и г/4, то мы получим
dT _ dT _ р ddT _ d~T _ „
dyi ~~ dy2 ~ ' d^ dyx ~ d£. dy2 ~ ’
откуда
rfPi = 1 ! d2T = 1	= d2T = о
dyi	' d^idyi	’ dy2 d^2dyi
и точно так же
«'тр	п й?Т|2	.
dyi ’ di/г
Следовательно,
J J F± йтр = J J Fi dyt dy2,
что и требовалось доказать.
Применение к задаче трех тел
379
Кроме того, величина Clt которая должна быть константой, может зави-
сеть лишь от постоянных интегрирования, т. е. от £i; так что 7? [в силу
уравнения (1)] будет зависеть лишь от g4, g2, ё3 и |4.
Следовательно, мы приходим к случаю, рассмотренному в предыду-
щем пункте, и должны заключить, что каноническим уравнениям
_ dF
dt dt]i ’ dt	</?.
можно формально удовлетворить рядами следующего вида:
= +	^ + ... + |ЛГ + --м
тр = гщ 4- pit + р2ц? + • • • +	+  • •,
Wi = nit + S{,	= Hi + pn} 4- . . . + црnf 4- . . .,
где — константы, $ n ц* — периодические функции от w, завися-
9-0
щие также и от п постоянных интегрирования wi — п других постоян-
ных интегрирования и, наконец, величины п[ зависят также и от кон-
стант
Возвращаясь к исходным переменным, мы видим, что каноническим
уравнениям
_	dVj dF
dt dy. ’ dt	dx.
г
можно удовлетворить формально, рядами следующего вида:
Xi = х° 4- purl + • • • + рР^? 4~ • • •.
z/i = SiWt 4- у» 4- p,j/i 4- . . . 4- цРуР 4- . . .;
коэффициентами х* и у? служат периодические функции от ш.
Что же касается коэффициента 8, то он может быть равен 0 или 1.
Он всегда равен 1 при i = 1 или 2; он равен 1 либо 0 при i = 3 в зависи-
мости от того, что периодически зависит от гр: у3 — ц3 или у3; он равен
1 либо 0 при i = 4 в зависимости от того, будет ли у4 — ц4 либо у4 перио-
дичны по Щ.
Следовательно, все сводится к интегрированию уравнения с частными
производными (1) или, что то же, к интегрированию канонических урав-
нений
dVi	dR
dt dyi ’ dt	dxi
380
Новые методы небесной механики. II
Применение к задаче трех тел
136.	Применим полученные результаты к задаче трех тел. Уравнения
этой задачи мы привели к виду
dt di^ ’ dt	dx^ ’	' '
где
F = Fo + цЛ-
Здесь p, — малый параметр, pEj — возмущающая функция. В качестве
переменных выберем переменные п. 11
Л = ₽£, Л' = ₽'£',	₽(?,	р0,	p'G',	р'0',
I,	г g е g' е'
или же переменные п. 12
Л, Д', £, р, р
Л, Л , т|, т] , q, q .
Функция Fo зависит лишь от Л и Л'; зависит от всех двенадцати
переменных, но периодична только по I и V. Следовательно, если рассмат-
ривать F± как периодическую функцию от I и V и обозначить через R ее
среднее значение, то R будет представлять собой не что иное, как ту функ-
цию, которую мы обозначали точно так же в предыдущей главе. Она за-
висит от десяти переменных, а именно от двенадцати переменных (2),
за исключением I и Z', либо от двенадцати переменных (3), за исключени-
ем Л и А.'. Если в качестве переменных выбрать переменные (2), то она бу-
дет периодической по g, g', 6 и 0'.
Следовательно, к уравнениям (1) можно применить методы пунктов
134 и 135 и с их помощью выполнить формальное интегрирование, если
только известно, как проинтегрировать уравнения
dxi _ dR dVj _ _ dR
dt	dy^ * dt	dx* ’
где переменные хг и представляют собой четыре последние пары сопря-
женных переменных (2) либо же четыре последние пары сопряженных
переменных из (3), а Л и .Л' рассматриваются как постоянные.
Но эти уравнения (4) — это в точности такие уравнения, которые мы
научились формально интегрировать в предыдущей главе. Отсюда ясно,
что метод Линдштедта можно применять и в общем случае задачи трех тел.
Применение этого метода, на котором пока я мог остановиться лишь
вкратце, будет в последующем предметом подробного рассмотрения.
Применение к задаче трех тел
381
Замена переменных
137.	Совершим теперь замену переменных, аналогичную замене пере-
менных, произведенной в п. 131.
Для этого положим
(A = pL, A' = P'L'),
V = AA,j + Л'Хх + g (<5Х ccscp -|- 62sin<p) 4- (— о1з1пф 4- д2созф) +
+ р (о3 cos Ф' sin ф') + p' (— б3 sin ф' Д- <з4 cos ф'),
где ф и ф' — углы, определенные в п. 131.
Затем так же, как в п. 131, введем обозначения
. dV	dV , dV	dV , dV	dV
X =	- Л =	1	= 7^7 I Q = ~r~ > g = -r-,, П ------------
c/A 1 d\ 1	’ dp '	* dp 1 dsi
и установим, что каноническая форма уравнений не изменится, если
старые переменные
Л, Л', g, р, р'
Ь, ’ll П'. 7, q'
заменить новыми
А, А , Гц т2, т3, т4
Хх, ^т>	,<32>	34-
Переменные т4 и о, уже определены как функции от £, ц, р, q и А в пре-
дыдущей главе.
Осталось показать, какой вид имеет соотношение, связывающее новые
переменные Х4 и X/ с X и X'.
Имеем
X = Хх ф, X' = Хх 4- ф',
фиф' — квадратичные формы относительно пите коэффициентами, за-
висящими от А и А', которые записываются в виде
Ф =	(<*2Т1 ~ «1Т2) 4- (з4Гз - бз*4).
Ф' = "zF ~ °1Т2) + 'S7'	— <V4).
Ф и ф' имеют тот же смысл, что и углы, обозначенные этими символами в
п. 131.
Рассуждая так же, как в п. 135, можно показать, что всякая функция,
периодическая по X и X', будет после замены переменных периодической
по Хх и X/, а среднее значение ее в обоих случаях будет одинаковым.
382
Новые методы небесной механики. И
Некоторые выводы можно сделать и относительно вида функции F: F
каким-то образом зависит от Л и Л', но она периодична по %х и и,
кроме того, ее можно разложить по степеням ои т.
К этому добавлю, что она не должна изменяться при замене Хх и Хг'
на Xj + л и Х1' + л, если одновременно изменить знак сит. Чтобы по-
нять это, достаточно сослаться на то, о чем мы говорили в п. 12, и заме-
тить, что когда
переходят в
Хх -|- л, Х± 4~ л, —	— Т|,
то величины X и X' переходят в X 4- л и X' + л, а переменные 5 и т. д. из-
меняют знак.
Произведем, наконец, последнюю замену переменных, положив так
же, как и в п. 131,
т4 = V^pjcoscoj, о4 = ]/r2pisin со,.
В силу замечания в п. 6, эта замена переменных не изменяет канони-
ческой формы уравнений.
Тогда F будет разлагаться по степеням У pi и
— 2А1р1 4- 2Л2р2 -}- 2Л3р3 -}- 2Л4р4.
Случай плоских орбит
138- После этой замены переменных уравнения движения принимают
следующий вид.
Два ряда сопряженных переменных сводятся к
Л, Л', р4,
Х2, Хх, со4,
и, кроме того, имеем
Л = Fo 4- р/ х -}- р2#2 4-  • ,
где F,, зависит лишь от Л и Л', а функции Flt F2, ..., периодические по
Хх и Л2', допускают разложения по степеням [37]
У Pi, COS (Oi	У Pi sin .
Сверх того, эти функции не изменяются, когда Хх, 1/ и получают
одинаковое приращение; следовательно, они зависят лишь от разностей
Хх — и4, Xi — со^ — <о4.
Применение к задаче трех тел
383
Если в функции R заменить р; производной dTid<s\ и приравнять R
константе, рассматривая Л и Л' как заданные постоянные, то мы полу-
чим уравнение с частными производными
, Ю$
(1)
Как мы видели в пунктах 134 и 135, для того чтобы мы могли построить
ряды, расположенные по возрастающим степеням р, и формально удовлет-
воряющие уравнениям движения
ал __ dF ам __ aF dPj
at ’ at ’ at
dki _ dF	_ dF
dt ал ’ at ал' ’
dF
d<£>i '
dai __ dF
dt	rfp. ’
уравнение (1).
достаточно уметь интегрировать
Существует частный случай, в котором интегрирование уравнения (1)
выполняется сравнительно легко: это случай, когда три тела движутся в
одной плоскости.
В самом деле, в этом случае число величин понижается до двух, так
что если А и Л' считать константами, то R будет зависеть лишь от четы-
рех переменных рп р2, Ю1 и ®2. Однако имеется еще одно обстоятельство:
как мы видели выше, функция F зависит лишь от разностей — оц,
X/ — ю,,юк — Юг- Следовательно, R зависит лишь от трех переменных
Pi> Рг И Ю1 — юг, так что уравнение (1) запишется в виде
,, / ат ат }
R — , —— , ю, — ю2 = С.
I	a<oi	1
Если обозначить ю i — ю г — ф и принять в качестве новых перемен-
ных (01 и <р, то уравнение примет вид
„ ! дТ , дТ дТ \	„
R \ Рои 1 д<р ’ <?<р ’ Ч>/ ~~
Если теперь придать производной дТ1дц)1 какое-нибудь произвольное
постоянное значение, которое я буду обозначать символом 7г., то это урав-
нение будет содержать лишь дТ/ду и <р. Отсюда мы* найдем дТ!ду как
функцию ф, константы С и h и получим
с-
откуда
Т =	+ § / dtp.
Посмотрим, какой вид имеет эта функция Т.
384
Новые методы небесной механики. И
Замечу, что функцию R можно разложить по степеням dT/d^i и
dTIdwi, причем член разложения нулевого порядка равен константе,
которую я обозначу Н, а членами порядка 1 будут
2	д I 24
Затем полагаю (вводя две новые постоянные интегрирования Qj и
Q2 вместо С и Л), что
С = Н + 24^+242Q2,
h = Qr -ф- Q2-
Тогда для нахождения dTld^^ и dTId^ мы получим систему двух уравне-
ний
R — Н = 4А ф- 42Q2>
Функциональный определитель двух левых частей относительно dTIds^
и dT/d^z при dT/dba1 = dTld(d2 = 0 равен 2(4 j— 42). Следовательно, он
отличен от нуля.
Отсюда вытекает (по теореме п. 30), что производные dT/d^ и dTlds>2
можно найти из этих уравнений в виде рядов, расположенных по возра-
стающим степеням Q. Члены нулевой степени равны нулю, члены первой
степени сводятся соответственно к Q2, а коэффициентами при членах
старших степеней являются периодические функции от И1 — п>2-
В результате функцию U п. 135 можно записать в виде
U = AXj + A'%i + Т,
и мы получим
Т = VР 2012 4“ Т' 1
где V, — две константы, зависящие от и Q2, а Т' — периодическая
функция от и (О 2.
Произведем теперь замену переменных, определенную в п. 4, приняв
в качестве новых переменных первого ряда величины
A, A', Vr и С2,
связанные со старыми переменными Л, Л', Xj, X/, рг и соотношениями
. __ dU_	dU	dU _ <1Т
(3)
Применение к задаче трех тел
385
Тогда сопряженные переменные, которые я обозначу символами
Х2, Vj И v3,
будут определяться уравнениями
. _ dU _ . dT . ' dU ' dT
“ ~db ~ Л1 + ~dx ’	- Л1 + rfv ’	...
dU dT	<4>
Vi dV. d\\ ‘
Я предполагаю, что в функции Т, зависящей от Л, Л', Q, и Q2, вместо
этих констант подставлены их выражения через Л, Л', Vx и V2. Именно
в этом смысле и следует понимать производные dT!d\, dT/dK', dT/dV}.
Для того чтобы были применимы выводы п. 135, необходимо, чтобы
старые переменные
Л, А. , Л J, А/2, р^
так же, как и переменные
были однозначными функциями новых переменных
Л, Л', Х2, Х2, Vi, Vi
и чтобы эти функции были периодическими относительно v2 и v2.
Найдем сначала выражения сщ и ю2 через новые переменные. Для
этого мы располагаем двумя уравнениями
dT , dT'	dT	, dT’
V1 “ dV\ ~	+ dVi ’ Vz ~ dV2 - M2 +	
(5)
Прежде всего мы должны задать себе вопрос, будут ли величины и 2 и
ю2, найденные из этих уравнений, однозначными функциями новых пере-
менных. Однозначность может нарушаться только в том случае, если функ-
циональный определитель правых частей относительно и ©2 обратится
в нуль, т. е. если будет выполняться соотношение
/dT dT \
d\dVl ’ dV.J _ . d-T’ d2T' .
d (ci>i, wj)	' rfl'i Йан ' dVzd(i>2 '
d2T’	d2T'_________d2T’ d2T’
"J" dVydWi dV«dv>2	dViduti dVidwz
Для краткости я запишу это уравнение в следующем виде:
25 А. Пуанкаре
386
Новые методы небесной механики. П
Замечу с самого начала, что в приложениях величины рх и р2 очень ма-
лы и имеют порядок квадрата эксцентриситетов.
С Qj величины р4 связаны следующими соотношениями:
—
Но dT/dtdi можно разложить по возрастающим степеням в этом раз-
ложении свободный член отсутствует, а члены первого порядка сводятся
к величинам Q,.
Отсюда по теореме п. 30 находим
^х = Zi (Pii Рг), ^2 = /2 (Р1> Рг)>
где и /2 — ряды, расположенные по степеням pj и р2, коэффициенты ко-
торых зависят помимо прочего некоторым образом от
Л, Л', «j и Юг-
Члены нулевой степени равны нулю, члены первой степени равны соответ-
ственно ?! И pg.
Отсюда следует, что величины Qx и Q2, так же, как и рх и р2, имеют по-
рядок квадрата эксцентриситетов.
По определению величин V\ и V2 их можно разложить по степеням
Qx и Q2, причем коэффициенты разложения будут каким-то образом за-
висеть от Л и Л'. В этих разложениях нет членов нулевого порядка,
а члены первого порядка равны соответственно и Q2.
Отсюда вытекают следующие выводы.
1.	Величины Ух и У2 имеют порядок квадрата эксцентриситетов.
2.	Можно поступить наоборот: разлагать Qx и Q2 по степеням Ух и
У2, причем в этом случае
= Л + Ф1 (Ух, У2), о2 = У2 + ф2 (Ух, У2),
функции фх и ф2 содержат лишь члены второго порядка, по крайней ме-
ре относительно Ух и У2.
3.	Функция Т' разлагается по возрастающим степеням Ух и У2 и со-
держит лишь члены второго порядка, по крайней мере относительно
двух этих величин.
4.	Разложение производных dT'!dV} и dT'ldV2 по возрастающим сте-
пеням Ух и У2 начинается с членов первого порядка; обе эти производные
имеют тот же порядок величины, что и квадрат эксцентриситетов.
5.	То же относится и ко вторым производным	а следова-
тельно, и к J.
Величина J очень мала, разность 1 — / не может быть равной нулю.
Итак, мы должны прийти к выводу о том, что ®х и Ш2, а следователь-
но, ио, — т’х и (Dg — v2 являются однозначными функциями новых пере-
менных.
П рименение к задаче трех тел
387
Я добавлю еще, что vx — ©i, v2 — 0)2 являются периодическими функ-
циями от vx и v2. В самом деле, дадим величинам vx и мх приращение 2 кгя,
а величинам v2 и — приращение 2А:2пт (кг и к2 — целые числа). По-
скольку функция Т' периодична по ®х и ©2, уравнения (5) будут удовлет-
воряться по-прежнему и vx — мх, v2 — м2 не изменятся.
Подставив найденные значения ®х и ш2 в уравнения (3) и (4), мы уви-
дим, что старые переменные
Л, Л , Хх, Хх, р|
являются однозначными функциями новых переменных, периодическими
ПО V{.
Итак, мы оказались в условиях применимости результатов п. 135.
Выразим функцию F с помощью новых переменных. Замечу прежде
всего, что Fo по-прежнему будет выражаться только через Л и Л'. Кроме
того, F периодична относительно переменных второго ряда Х2, Х2', vx и
v2-
Среднее значение функции Ft, рассматриваемой как периодическая
функция Х2 и Х2', равно R. С другой стороны, в силу уравнения (1) R равно
константе С либо (что то же)
Н + 2A1Q1 + 2Яай2,
либо же
Н + 2A1V1 + 2A2V2 + 2Ам (Ух, Fa) + 2Я2<ра (Ух, Уа).
Итак, R зависит лишь от Л, Л', Vr и V2 и не зависит от переменных вто-
рого ряда.
Следовательно, мы вновь возвращаемся к случаю, рассмотренному в
п. 134.
Я утверждаю теперь, что функция F не изменится, если величинам
Х2, Х2', Vjl и v2 придать одинаковые приращения. В самом деле, мы уже зна-
ем, что функция F не изменяется, когда величины Хх, Л/, и х и ©2 получа-
ют одинаковые приращения, а Т' зависит лишь от разности сох — ©2.
Из уравнений (4) и (5) тогда следует, что если величины Хх, , ®х и
со2 получают одинаковое приращение е, то величины Х2, Х2', vx и v2 полу-
чают то же самое приращение е; следовательно, функция F не изменяется,
когда эти четыре новые переменные получают приращение е.
F зависит от V1 и V2 довольно сложным образом, поскольку до заме-
ны переменных функция F содержала радикалы ]/рх и ]/р2.
Пусть
F (X, Л', Х2Х 7Х, У2, vx, va)
— та функция, в которую переходит F после замены переменных. Нам
нужно проинтегрировать уравнение
25»
388
Новые методы небесной механики. II
Мы хотим формально удовлетворить этому уравнению, положив
+ Р-^1 + Н'2^*2 + • • •
И
$0 — Л.0К2 4~ Л(Д2 + ViVx ф- K2v2,
Ло, Ло', V? и V2 должны быть четырьмя нашими постоянными интег-
рирования. Как мы уже видели, для этого достаточно лишь воспользо-
ваться методом п. 134.
Исследование одного частного интеграла
139. Интересный частный интеграл получится, если предположить,
что две последние константы и К2 равны нулю.
Для этого достаточно в уравнении (6) положить
clS __ dS __q
dvi dvz
Отсюда следует, что левая часть этого уравнения не зависит ни от vlt ни
от v2.
В самом деле, до последней з амены пе ременных функция F допуска ла
разложение по степеням
У Pi COS СО, И jApi sin (£>i,
а сверх того, зависела лишь от
Л, А', и
Следовательно, если положить
Pi = Рг = О,
то F будет зависеть лишь от
А, А', и
С другой стороны, если положить
vt = v2 =0,
то функция Т', которая допускает разложение по возрастающим степе-
ням V и содержит лишь члены второго порядка, по крайней мере отно-
сительно этих величин, обратится в нуль вместе со своими производ-
ными первого порядка. Точно так же обращаются в нуль и Q2, и мы
Применение к задаче трех тел
389
получаем
dT	_ о	dT'
da>-	dw-
г	г
,а = х +	= а, +	= Х1.
2	1 1 </Л	1 1 </л	1
Точно так же
^2	*
Отсюда следует, с одной стороны, что pj и р2 обращаются в нуль, и, с дру-
гой стороны, что Л2 и Z2' равны и X/. Из этого вытекает, что функция F
зависит лишь от четырех переменных
Л, Л, , %2 И ^2 •
Следовательно, если
dS _ dS _ 0
dvi dv-i ’
то левая часть уравнения (6) не будет более содержать Х2, Л.2', dSId^,
dSldX2'.
В этом случае уравнение (6) очень легко интегрируется: для этого до-
статочно воспользоваться методами, изложенными в п. 125, однако в рас-
сматриваемом случае можно утверждать нечто большее.
Интеграл не является более чисто формальным, а ряд, расположен-
ный по степеням р, в который он разлагается, сходится.
Действительно, функция F зависит лишь от разности Х2 — по~
скольку, как мы видели, F не должна изменяться, когда Х2, 13Z, vi и v2
получают одинаковые приращения, и, кроме того, F не будет зависеть от
Vi и v2.
Отсюда следует, что два уравнения
dS dS
’ ~d^
dS dS ______ .
(где С тз. С — некоторые константы) совместны. Производные dS/df.2
и dS/d'kz, а следовательно, и функцию S находят в виде рядов, располо-
женных по степеням р.
Полученный таким способом интеграл зависит от двух произвольных
постоянных С и С', но эти две постоянные можно выразить через две из
четырех первоначально выбранных констант а именно Ло и Ло'. Две
другие константы У? и Уг по предположению равны нулю.
Обозначим этот частный интеграл уравнения (6) символом
i (^2> ^2, Л-0, Ло).	(7)
390
Новые методы небесной механики. II
Если константы С и С' выбраны надлежащим образом (ср. и. 125),
то S будет иметь следующий вид:
АпЛ, 4- АХ + периодическая функция от Х2 — !/•
U Z I J л
При дальнейшем рассмотрении этот частный интеграл S не приво-
дит, как это можно было бы ожидать, к простым частным решениям зада-
чи трех тел.
Вид разложений
140. Итак, существование функции S доказано. Пользуясь такими же
рассуждениями, как и в п. 125, отсюда можно вывести следующий резуль-
тат.
Существуют ряды
Л Ао + цЛ1 -|- цаЛ2 4- . . . ,
Л' 4- Ло 4- uAj 4- ц2Л2 4- . - . -
Х2 =	+	ц//}	+	ц2г/1 4- . . . ,	(1)
А-2 Ч- W2 4- 42/2 4-	4-	•		> >
vi = wa 4- !-Ч/з 4- р-2^з 4- • • • -
V2 = wi + мХ 4-	4-	•	•	•,
расположенные по степеням р, которые формально удовлетворяют урав-
нениям задачи трех тел. Ло, Л/ У{° — константы; кроме того,
Wi =s riit 4- SIj.
Величины Ла, A*' , у* являются периодическими функциями от
w, которые помимо прочего зависят и от констант Ао, Ло', И/*.
С другой стороны, величины которые также зависят от постоянных
Ло, Ло', Уг, можно разлагать по возрастающим степеням ti, так что
щ = и? 4- V-n\ 4- р2^2 + • • •
Я хочу обратить внимание на то, что
72? = 72° = 0,
72° =4= 0, 72? =£0.
Коэффициенты этих рядов можно было бы вычислять очень быстро, не ис-
пользуя все описанные выше замены переменных, но моей задачей было
Применение к задаче трех тел
391
главным образом строгое доказательство возможности самих разло-
жений.
Еще одно замечание: первоначальные переменные Л, Д', X — со1,
К' — и2, I, В', "П, л' можно разложить в ряды того же вида, т. е. в ряды,
члены которых являются периодическими функциями от wi, w2, w3 11 °’i-
Чтобы убедиться в этом, достаточно в формулах, выражающих исходные
переменные через новые, заменить эти новые переменные их разложения-
ми (1). Кроме того, мы получаем возможность вычислять коэффициенты
разложений исходных переменных непосредственно, не обращаясь к но-
вым переменным, которые служили лишь для доказательства возможно-
сти самого разложения.
Я не хочу останавливаться здесь на методах, позволяющих провести
непосредственное вычисление коэффициентов. Сказанного в п. 127 доста-
точно для того, чтобы понять существо дела. Я еще буду иметь случай
вернуться к этому вопросу в главе XIV.
Укажу лишь в общих чертах, каким образом можно обойти последнюю
замену переменных, с помощью которой совершается переход от р{ и
со* к Vi и Vj. Именно эта замена переменных, если бы ее нельзя было из-
бежать, представляла собой наиболее трудную часть вычислений.
Необходимость в ней отпадает, если достаточно удобно сгруппировать
члены, воспользовавшись малостью эксцентриситетов.
В функции F± можно различить две группы членов.
1. Члены степени 0, 1, 2 или 3 относительно эксцентриситетов и на-
клонений.
2. Члены, степень которых не меньше 4 относительно эксцентрисите-
тов и наклонений.
Члены второй группы много меньше членов первой группы. Пусть
теперь Fi — совокупность членов первой группы, а sF^ — совокуп-
ность членов второй группы. Мы можем предположить, что е — очень
малая константа, а Е/ — конечная величина, и записать
р = Р О + Н" + Р'а^2 + . . ..
Ничто не мешает объединить члены р-еД/' с членами ц2Е2, поскольку
величина це гораздо меньше, чем ц, или же попытаться разложить их
по степеням ц и е.
Сохраним переменные
Л, Д', Хх, pi, (Oi;
среднее значение Fr' равно
Н -J- 2Д1р1 -J- 2.42р, ф- 2Д3р3 -j- 2Д4р4
(ср. п. 131) и, следовательно, не зависит от переменных второго ряда. По-
следняя замена переменных была нужна лишь для того, чтобы сделать R
независимым от переменных второго ряда.
В данном случае она излишня.
392
Новые методы небесной механики. II
Общий случай задачи трех тел
141. Перейдем теперь к случаю пространственной задачи трех тел.
В этом случае число переменных	равно четырем и уравнение (1)
п. 135 записывается в виде
д (dT dT dT dT
у f/COl ’ й?<0-2 ’ t/СОз ’ 6/OJ4 ’
<ох, ю2, со3, и4 i = С.
(1)
Его нельзя проинтегрировать с помощью метода, примененного нами
в п. 138, точно так же не известен и какой-либо другой способ его точного
интегрирования. Однако можно найти простой метод формального интег-
рирования, удовлетворительный с нашей точки зрения.
Величины
dT
~Pi
имеют порядок квадрата эксцентриситетов, следовательно, если поло-
жить
Т = р"Г,
где р' — некоторая константа, порядок которой равен квадрату экс-
центриситетов, то производные dT'/d^i будут конечны.
Функцию R можно разлагать по возрастающим степеням dT/d^i
R = Ro + r2 + т?4 + ...,
где Rk означают совокупность членов степени к/2 относительно р, (7?0,
Т?2,	••• имеют здесь тот же смысл, что и величины, обозначенные этими
же символами в п. 131). Если я обозначу символом Rk{T} функцию, кото-
рая получается из Rk при подстановке dT/d^i вместо pi; то уравнение (1)
примет вид
R0(T) + R2(T) + R^T) + ... =С
либо же
Ro (Т") + ц'Л2 (7”) + ^R, СП +
Ro зависит лишь отЛиЛ', а поскольку в данный момент мы рассматри-
ваем эти величины как постоянные, Ro также является константой.
Если теперь положить
С = Ro 4- И'С',
то уравнение (1) запишется в виде
R2 (Г) + р'Я4 (П +	(Г) + . . . = С’.	(2)
Применение к задаче трех тел
393
Таким образом, мы приходим к интегрированию уравнения с частными
производными, левая часть которого зависит от производных dT'/d^ и,
кроме того, периодична по независимым переменным со{. Она зависит так-
же от некоторого параметра р' и становится равной
4
4=1	»
если этот параметр обращается в нуль. Следовательно, при р.' = О левая
часть этого уравнения не зависит от а зависит лишь от dT"ld^i.
Итак, мы находимся в условиях, в которых применимы рассуждения
п. 125. Отсюда можно заключить, что существует ряд
То 4* Р-'Т1! + Н,2^2 + • • • ,
расположенный по степеням р.', который будучи подставлен вместо Т',
формально удовлетворяет уравнению (2), при этом производные
dT"n
d(SS.
I
коэффициентов этого ряда периодичны по ю,.
Положим
То =	4~	4* ^®3 4- Q4co4,
где Q/, Qa', Q3', Q4' — четыре постоянных интегрирования; постоян-
ная С должна удовлетворять уравнению
С' = S 2ЛА.
Нетрудно проверить, что Т\ представляют собой полиномы степени
к 4- 1 относительно четырех величин Q/.
Отсюда следует, что
Т =ц'Т'
можно записать в виде ряда, расположенного по целым возрастающим сте-
пеням четырех величин
p/Qj, p.'Q2, Н&з, |4Q4,
которые я для краткости обозначу
fix, Q2,fi3,Q4.
Этот ряд, расположенный по степеням четырех констант Q;, порядок
которых равен квадрату эксцентриситетов, формально удовлетворяет урав-
нению (1).
Применение к задаче трех тел
393
Таким образом, мы приходим к интегрированию уравнения с частными
производными, левая часть которого зависит от производных	и,
кроме того, периодична по независимым переменным и ;• Она зависит так-
же от некоторого параметра р' и становится равной
4
1=1 г
если этот параметр обращается в нуль. Следовательно, при р' = О левая
часть этого уравнения не зависит от а,, а зависит лишь от dT"ldaa-
Итак, мы находимся в условиях, в которых применимы рассуждения
п. 125. Отсюда можно заключить, что существует ряд
+ Н + р/2^2 + • • • ,
расположенный по степеням р', который будучи подставлен вместо Т',
формально удовлетворяет уравнению (2), при этом производные
rfco.
коэффициентов этого ряда периодичны по и,.
Положим
То — И- О2(02 -|- £23(О3 -ф- £24И4,
где £2/, £2Я', £23', £2/ — четыре постоянных интегрирования; постоян-
ная С должна удовлетворять уравнению
С = S 2ЛД.
Нетрудно проверить, что Тц представляют собой полиномы степени
к + 1 относительно четырех величин £2/.
Отсюда следует, что
Т =р'Т'
можно записать в виде ряда, расположенного по целым возрастающим сте-
пеням четырех величин
р £2j, р £22, р £23, р £24,
которые я для краткости обозначу
£2Х, £22, £23, £24.
Этот ряд, расположенный по степеням четырех констант порядок
которых равен квадрату эксцентриситетов, формально удовлетворяет урав-
нению (1).
Глава XII
ПРИМЕНЕНИЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ОРБИТ
С МАЛЫМИ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТАМИ
Трудность задачи
142. Имеется ряд случаев, когда применение методов, изложенных в
предыдущей главе, может натолкнуться на определенные трудности:
это те случаи, когда эксцентриситеты очень малы. Понять, как здесь об-
стоит дело, можно следующим образом.
Я полагаю, что существо этих трудностей мы поймем лучше на про-
стом примере, гораздо более простом, чем задача трех тел.
Пусть
F — А u |/Q cos (w Ц- %) + it AQ,
где р, — малый параметр, А — некоторая константа, А, О, 1 и а — две
пары сопряженных переменных.
Рассмотрим канонические уравнения
с/А _ dF _ . da ___dF
dt dA ’ dt d.Q. *
(1)
dA	dF dQ.   dF
dt	dh * dt	da *
Как мы увидим несколько ниже, эти уравнения весьма просто проин-
тегрировать до конца. Однако прежде я хочу перегруппировать их ана-
логично уравнениям задачи трех тел.
В п. 137мы видели, что уравнения указанной задачи после нескольких
замен переменных можно было привести к канонической форме, причем
сопряженными переменными являются
А, Л', рй
, с0|.
Кроме того, функция F допускала разложение по степеням
р4 cos o>i, У pi sin (l), И U
396
Новые методы небесной механики. II
и была периодична по и А; наконец, функция Fo зависела от Л и Л'.
Функция F, определенная в начале этого пункта, обладает аналогичными
свойствами: переменная Л играет роль Л и Л', переменная Q — роль
Pi, А — роль переменных Аг и А и со — роль со4. Очевидно, что F можно раз-
лагать по степеням
У О cosco, j/Qsinco
и что при |х = 0 она равна Л.
Таким образом, аналогия очевидна. Предположим, что нам потребова-
лось бы применить к этому уравнению метод предыдущей главы, т. е.
попытаться проинтегрировать уравнение с частными производными
Ж +Н“’(» + Ч /1+М^=С,	(2>
С — постоянная интегрирования. Речь идет о том, чтобы найти такое
решение уравнения (2), которое можно было бы разлагать по степеням р,
и такое, чтобы производные dSIdh и dS!da> были периодичны по X и со.
Для этого положим
и + А = q>;
в новых переменных А и ср уравнение (2) запишется в виде
di?	, /~ dS ..	.. dS „
Л + pcoscp]/ —+ (1+рЛ)^ = С.
Пусть Л — постоянная интегрирования. Введем обозначения
1 + р4 = В, C-B = VB.
Нашему уравнению мы удовлетворим, выбрав
dS . dS 2р2 cos2 ф + 4В2У + 2р cos ф Ур2ф cos24-4B2K
dK ~ Л’ 5ф —	4В2
Определенная таким образом функция S удовлетворяет всем условиям за-
дачи, если только радикал
[Ах2 cos2 ср 42?27
азлагается по степеням р. Но такое разложение возможно, когда
ра<452|7|,
и сходится оно достаточно быстро, если параметр р2 мал по сравнению
с V.
Применение к исследованию орбит
397
Если мы захотим провести сравнение с задачей трех тел, то увидим,
что V представляет собой величину, аналогичную той, которую мы в
предыдущей главе обозначили Qj. Поэтому мы считаем, что ее порядок равен
квадрату эксцентриситетов. Если оба параметра ц и V малы, то можно бы-
ло бы попытаться разложить S по степеням р, и V. Подобное разложение
невозможно, ибо радикал
р/4В2 + *^0
разложим лишь по степеням ц (в силу того, что В зависит от ц) и -у-.
Если же параметр V настолько мал, что становится сравнимым с ц2,
то метод предыдущей главы становится непригодным.
143. Нетрудно видеть, что аналогичная трудность возникает и в зада-
че трех тел.
В самом деле, рассмотрим еще раз эту задачу в том виде,как она сформу-
лирована в предыдущей главе. Сопряженными переменными будут
А,Л',У{,
/. g, %g, Vj.
Функция S, формально удовлетворяющая уравнению с частными про-
изводными
F = const,
которая была определена в предыдущей главе, зависит от констант Ло,
Ло и У?; последние из этих констант, У?, вообще говоря, в приложениях
являются малыми величинами порядка квадрата эксцентриситетов. По-
этому мы можем положить
у» = ewl
где е — некоторая константа порядка эксцентриситетов, a W° — конеч-
ные константы. Если пока мы будем считать константы И ® заданными, то
S будет зависеть от трех произвольных постоянных
Ао, Ао и е.
Можно спросить, будет ли функция S разлагаться по степеням ц и е?
Если бы такое разложение существовало, то решение, построенное в
предыдущей главе, можно было бы использовать при сколь угодно малом
параметре е, т. е. при любых эксцентриситетах.
Однако, как мы сейчас увидим и как можно было бы предвидеть исходя
из приведенного выше (п. 142) примера, такое разложение невозможно.
Функция S допускает разложение только по степеням ц/е и е. Отсюда
следует, что метод,’ о котором шла речь, оказывается применимым, если
398
Новые методы небесной механики. II
только параметр р/е мал. В нашем случае этот параметр не будет малым
несмотря на то, что массы малы, если эксцентриситеты имеют тот же поря-
док, что и массы.
Вернемся к уравнению
dS dS dS . , '
2’ 2’Vi
(О
которое я для краткости запишу в виде
Р (-5) = С.	(2)
В п. 139 мы видели, что это уравнение допускает частное решение, ко-
торое мы обозначили S: следовательно,
F (2) = С,
где С' — некоторая константа.
Положим теперь
5 = e2s,
тогда
F (S + e2s) = С.	(3)
Левую часть уравнения (3) можно разложить по степеням е. Я говорю е,
а не е2. Действительно, F содержит члены нечетной степени относитель-
но У pi. Однако pi, связанные с
Т7 dS „ ds
V; =	= е2 —
dvi dvi
соотношениями
_ dT_	v _ dT
dM.’	l “ dV; ’
г	г
которые были найдены в пунктах 138 и 141, разлагаются по степеням Vi
и, следовательно, по степеням е2. Поэтому величины ]/р4и, следователь-
но, F будут разлагаться по степеням е. Кроме того, я замечу, что если па-
раметр е имеет порядок эксцентриситетов, то величина s будет конечной.
В самом деле, если е обращается в нуль, то S становится равной S.
Но как мы уже видели, это частное решение S соответствует тому случаю,
когда величины равны нулю. В приложениях не равны нулю, а яв-
ляются весьма малыми величинами порядка квадрата эксцентриситетов.
Ввиду этого разность S — 2 также будет порядка квадрата эксцентриси-
тетов, т. е. порядка е2.
Введем для краткости обозначение
F (S + e2s) — F (Т) = 8гу*
Применение к исследованию орбит
399
Тогда, вычитая из равенства (3) равенство (2), получим
Г (s) = К, 	(4)
где К — новая константа, равная (С — С')/гР.
F* будет разлагаться по возрастающим степеням ц, так что
F* =	4-	+ p2Fl + . . ..
Кроме того, F* периодична по и Х,2'. Среднее значение функции F{ я
обозначу R*.
Поскольку 2 разлагается по степеням гц
2 = 20 + ц2х 4- |л222 + ...,
функция Fo (2 + е2з) также будет разлагаться по степеням'^»
Fo (2 4- е2з) = Ф (е2з) + цФх (е2з) + ... ,
и очевидно, что
Ф0(еаз) = Fo (20 + е2з),
Ф 1(е‘2з) =	+
аЛа	аЛ1
Следовательно,
e2X = F0 (20 + e2s) — Fo (Хо),
е2Х = Fx (20+е2з) - Л (20) + Ф« (е V) - Ф, (0).
Функция Рй зависит лишь от dS/dK^ и dSIdK^'. Если в Fo вместо S под-
ставить 2 + е2з, то Fo будет разлагаться по степеням
откуда следует, что разности
Фо (е2з) — Фо (0), Фх (е2з) — Фх (0)
делятся на е2 и при этом не зависят от dsld^. Из этого вытекает прежде все-
го, что Fo разлагается по положительным возрастающим степеням е2.
Наоборот, поскольку разложение функции содержит члены первого
порядка по ]/р{, функция Fx (20 + e2s) будет разлагаться не по степеням
е2, а по степеням е. Разложение разности
F^+^-F^o)
будет начинаться с члена, содержащего е в первой степени.
400
Новые методы небесной механики. И
Следовательно, F± разлагается по возрастающим степеням е, но раз-
ложение этой функции начинается с члена 1/е.
Заметим теперь, что является функцией, периодической по Х2 и
Х2', и постараемся найти ее среднее значение R*.
Среднее значение функции Fr (S’) по определению равно R (S). Если
вместо S подставить 20 + e2s, то среднее значение не изменится и запи-
шется в виде R (20 ф- e2s). Неизменность среднего значения основана на
том, что производные
dSo cZSo c/So
равны соответственно
Л-о, Ло, 0
и не зависят от Х2 и . Наоборот, если бы эти производные зависели пе-
риодически от л2 и А,/, то рассматриваемое среднее значение можно было
изменить с помощью указанной подстановки.
С другой стороны, среднее значение разности
[Oj (e2s) — Фх (0)] = е2Я
не зависит ни от v{, ни от dsldvt, поскольку Фх (e2s) не зависит от этих ве-
личин. Кроме того, оно разлагается по положительным возрастающим
степеням е2.
Точно так же R (So4- e2s) разлагается по положительным возра-
стающим степеням е2, поскольку исходное разложение R по степеням
У Pi (в отличие от исходного разложения для Fr) не содержало членов
нечетного порядка и, в частности, членов первого порядка. Следова-
тельно,
е27Г = R (Го + e2s) - R (20) + е2Я,
так что R* разлагается по положительным возрастающим степеням е2.
Коэффициенты sp разложения s по возрастающим степеням р,
s = s0 + ps3 + p,2s2 + ...
определяются рекуррентными формулами, которые можно найти методами
предыдущей главы.
Поскольку sp (р 0) — периодическая функция по Х2 и Х2', я запишу
sp ~ sp SP’
где Sp — периодическая функция с нулевым средним значением, a sp не
зависит от Л2 и .
Применение к исследованию орбит
401
Обозначим для краткости
(5)
dF0 dsp _
° rfA0 Л2
Функция фр должна зависеть от
31, $2| • • • , Зр-1,
31, З2, • • • , Зр_2т
а функция 0Р — от
«0- Sl> S2i  • • , Sp-1
s'i, s'2, . . . , s'^i-
Буква S означает суммирование либо по различным парам сопряженных
переменных V{ и v4, либо по двум парам сопряженных переменных Л и
Ag, Л. и Ag .
Правые и левые части соотношений (5) разлагаются по возрастающим
степеням е, однако левые части этих соотношений содержат лишь поло-
жительные степени, в то время как их правые части содержат и отрица-
тельные. Еще до того как в фр и 9Р подставлены вычисленные с помощью
рекуррентных соотношений производные от s/ и s9" (q <С р), разложения
Фр и 9р Уже содержат члены с 1/е, поскольку, как мы видели выше, такие
члены содержит разложение функции F*. Отсюда следует, что разложение
sp по возрастающим степеням е должно начинаться с некоторой отрицатель-
ной степени е. Следовательно, если в фр и 9Р вместо производных sq и sq"
подставить их разложения по степеням е, то фр и 0Р будут разлагаться по
степеням е, однако их разложение вместо того, чтобы начинаться с члена
порядка 1/е, будет начинаться с члена порядка 1/еп, где п — целое
положительное число.
Показатель степени, с которым 1/е входит в первый член разложе-
ния Sp, будет возрастать вместе с р.
Отсюда следует, что если эксцентриситеты очень малы, то можно опа-
саться появления в sp очень больших членов. Как мы уже видели, эта
трудность проистекает из-за наличия членов с 1/е в разложении F*,
а эти члены обусловлены тем, что функция F содержала члены первого
порядка относительно либо £, т), £' ит]'.
Посмотрим теперь, не является ли эта трудность, существо которой
нам помог постичь пример, приведенный в предыдущем пункте, чисто
искусственной и нельзя ли обойти ее с помощью какого-нибудь остроумного
приема.
26 А. Пуанкаре
402
Новые методы небесной механики. П
Устранение трудности
144. Чтобы лучше понять, каким образом можно преодолеть ту труд-
ность, о которой я только что говорил, обратимся еще раз к весьма просто-
му примеру из п. 142.
Введем обозначения
2Q cos <£> — х, У2Q sin <о = у.
Канонические уравнения в этих обозначениях примут вид
dA- И1/ л • л . с?Л	.
= (t/cosA + zsmA), ^ = 1,
(1)
4/- = sin X — ^Ау, 4г = cos X + рАх.
dt у 2 r dt Y2
Очевидно, что эта система уравнений очень легко интегрируется, ибо два
последних ее уравнения линейны. Заметив, что dt = d/., сразу же получим
х = a cos А + р cos (р ЛА) — у sin (р А А),
у = — а sin A -j- р sin (р А А) + у cos (р А А),	(2)
где
__ р
“ “ /2 (1 + рЛ) ’
a Р и у — две произвольные постоянные.
Для отыскания Л нужно еще взять квадратуру, что выполняется без
труда. В самом деле, мы получаем
Л = б + pa cos (1 + р Л) А + уа sin (1 + р Л) А,
где б — новая константа интегрирования.
Замечательное частное решение отвечает случаю, когда р и у равны
нулю. В этом случае
х = a cos А, у = — a sin А,	(3)
откуда
Л = б.
Если проводить сравнение с задачей трех тел, то можно было бы ска-
зать, что частное решение (3) является аналогом периодических решений
первого сорта, определенных в главе III.
Из уравнений (2) получаем
(х — a cos A)2 -j- (у -f- а sin А)2 = р2 + у2.
Применение к исследованию орбит
403
Если рассматривать х та у как координаты некоторой точки на плоско-
сти, то это уравнение будет уравнением окружности с центром в точке
х = a cos %, у = — a sin X,
которая соответствует периодическому решению (3). Эта точка лежит вбли-
зи от начала координат, ибо параметр р, а следовательно, и а мал. Тем не
менее эта точка не совпадает с началом координат, и если Р и у достаточно
малы, то радиус этой окружности мал и поэтому начало координат может
оказаться расположенным даже вне ее.
Если мы перейдем к полярным координатам
]/ 2Q и со,
то уравнение этой окружности запишется в виде
2Й — 2а 2Р cos (<о + X) = З2 4- у2 — а2.
Сравним это уравнение с тем, которое можно легко получить из уравнения
(2) п. 142
pcoscpj/ |£ + (1 + иЛ)^. = С-А = 7(1+М)
и из которого мы в том же п. 142 находим dS/dq>. Напомним, что
. dS dS „
<р = <о 4- Л,	-— = -—=£2.
т 1	d(t>
Мы видим, что оба эти уравнения совпадают, если положить
2Е = р2 + г2 —а2.
Следовательно, константа (|32 + у2 — а2)/2 совпадает с той, которую мы
ранее обозначали символом V и считали имеющей порядок квадрата экс-
центриситетов. Итак, радиус окружности, равный j/^p2 + у'2, имеет поря-
док эксцентриситетов. Если его порядок совпадает с порядком а, т. е.
с порядком [л, то начало координат может оказаться вне указанной ок-
ружности.
Итак, можно сказать, что трудность, с которой мы столкнулись в п. 142
и на которую я особо обращал внимание, обусловлена тем, что мы вос-
пользовались полярными координатами и плохо выбрали их полюс.
Это начало следует выбирать в центре окружности, т. е. в точке, соответ-
ствующей периодическому решению.
Перенесем начало координат, положив
х' = х — acosX, у'— у - a sin л.
26*
404
Новые методы небесной механики. П
Чтобы сохранить канонический вид уравнений, мы должны теперь ввести
новую переменную Л', такую, что
Л' = Л — а (У cos к — у' sin X).
Тогда сопряженными переменными будут
Л', х ,
К У-
Функция F по предположению была равна
Л + р У £2 cos (со X) + [л AQ.
В новых переменных она имеет вид
V
Последние два слагаемых являются константами и не играют никакой ро-
ли, потому что их можно включить в константу С. Тогда наши дифферен-
циальные уравнения запишутся в виде
dX .	с?Л' л
-dF = 1’	1Г = 0-
dx'	. , dy' . ,
а соответствующее уравнение с частными производными — в виде
dS цА Г/ diS”\2
-уг- 4- I -J-7	+ у 7 = const.
dX * 2 |_'Ау /	* J
Если теперь перейти к полярным координатам, положив
У2Й' cosco' = х', У2£Т sin со' = у',
то
F = Л' + рЛ£2' -{-const
и уравнение с частными производными примет следующий вид:
dS ,	. dS
-ут- + nA -т—, = const.
dX 1 r dco
Ввиду простоты подобранного мною примера преобразованное таким об-
разом уравнение тотчас же интегрируется. Для меня особенно
важно, что члены, которые были аналогичны члену с j/dA/dco в уравнении
(2) п. 142 исчезли. А ведь именно в этих членах и коренилась вся труд-
ность.
Применение к исследованию орбит
405
145. Попытаемся теперь применить тот же метод к задаче трех тел и
прежде всего к плоскому случаю.
Сначала мы выберем в качестве переменных
л, Л', g, г,
	X, X', т), т/,	(1)
затем	Л, Л', Щ, Xj, Хх , Tj,	(2)
затем	Л, Л', pi, Xj, Xj , (Dj.	(3)
И наконец	Л, Л', Vi, Xj, ^2 I 'Vj-	(4)
Сравним эти переменные. Оставляя в стороне две первые пары сопря-
женных переменных, т.е. Л, Л' и сопряженные с ними, рассмотрим пока
лишь две последние пары.
Можно сказать, что переменные (1) и (2) аналогичны прямоугольным
координатам, а переменные (3) и (4) — полярным координатам.
Трудность, на которую мы обращали внимание в п. 143, была, как мы
видели, обусловлена наличием членов степени 1/2 относительно Vt.
В свою очередь эти члены получались из членов первого порядка относи-
тельно У Pi и членов первого порядка по £,	т], 7]'.
Если бы функция F не содержала подобных членов, то указанная выше
трудность нам бы не встретилась.
Но поскольку эта трудность вполне аналогична той, на которую мы
указали в п. 142 и которую нам удалось преодолеть в п. 144, можно по-
пытаться достичь желаемого результата с помощью тех же средств, т. е.
с помощью преобразования, аналогичного сдвигу начала координат. Не-
обходимо произвести замену переменных £,	т), т/ на другие перемен-
ные,которые обращаются в нуль для периодических решений первого сор-
та, рассмотренных в и. 40, поскольку эти решения аналогичны периоди-
ческим решениям (3) предыдущего пункта.
В силу сказанного рассмотрим периодические решения п. 40. Мы уже
видели, что в случае периодических решений первого сорта величины
Л, Л', g cos X — т] sin X, + £ sin X + т] cos X,
%' cos X' —т/ sin X', + %' sin X' -f- rf cos X* (5)
являются периодическими функциями времени и что то же относится и к
sin (X — X'), cos (X — X').
406
Новые методы небесной механики. II
Переменные (5) можно также рассматривать как периодические функ-
ции от X — X', зависящие, кроме того, от двух произвольных постоянных,
которые я буду обозначать Лх и Л/.
Итак, пусть
Л = А, А' = А',1=Б,	l’=B’, т| = С, т/ = С
—те уравнения, которым удовлетворяют эти периодические решения;
Л, А', В, В', С та С' — функции, зависящие от X, X', Лх и Л/, периодические
по Хи Г. Эти функции имеют следующий вид: А и А' зависят только от
X и X', а остальные функции представляются в виде
В = Т cos X Ц- U sin X,	В' = Т' cos X' + U' sin X',
С = — Т sin X + U cos X,	С = — Z'sin X' -ф V cos X',
где Т U, Т' и V зависят лишь от X — X'.
Отсюда нетрудно получить следующее тождество:
dB dC dB dC у, dT	,r dU	....
~dX~dK~ dATlX =	~~ 1	d(k — X')	U	SfX — X')
и из соображений симметрии
rfB' rfC' _ rfB' rfC' _ _ dT' __ dU'
d'/. d'/d d'/.' dk	d(k—k') d ().—
Установив это, возьмем вспомогательную функцию
У =	- LC + T]Z? -г- ц'5' +	+ £>]',
где So является функцией, зависящей от X, X', Лх, Л/, которую мы опре-
делим несколько дальше. Тогда S будет зависеть от
X, Х',Д], г]',
л^л;,^.
Если теперь мы введем обозначения
dS . dS . dS	dS
^=rk- < “’l"
(’)
dS . dS _____ dS _____ dS _
~dk ==. Л’ dV = Л ’ drf —	~ S
и примем в качестве новых переменных
Лх, Лх, Нх,
ЧЛ1>П1- Пг
Применение к исследованию орбит
407
вместо
Л, Л', L г,
X, X', т), ц',
то каноническая форма уравнений не изменится. Мы получим уравнения
.	dSo	dC dC'	. dB , dB'
Л = л ~^dx	+ т1 dx’
. ,	dS0	dC	f'dC' dB	, , dB'
A = dx'-^dv^dx' + ^dx5 dV’
П1 = П — С, Т)1 = Т]' — C,
B = Bi + #, l'=li + B.
Если положить
Bi = li = ni = iii = o,
to %, £', p, и т]' будут соответственно равны В, В', С и С. Я хочу, чтобы Л
и Л' в свою очередь были равны А и А'. Для этого введем условия
dSt, _ . _„ dB __ dB'
dK~~ ° d'K Ь dX ’
(8)
dSn _ ., s,dB dB'
dV = Л ~~CdK'~C dX' •
Эти два уравнения совместны и определяют So, поскольку задаваемые ими
значения производных функции Sg удовлетворяют условию интегрируе-
мости
Но это условие можно записать и в виде
dX dX dX dX ' dX jdX' dX' dX T dX dX'
Если учесть уравнения (6) и заметить, что А, Т и U зависят лишь от
X — X', то получим
dA dA’ t rpdT t TTdU t гр, dT' , TT,dU' n
dX dX + 1 dX 1 U dK ' 1 dX + U dX “ U’
Это означает, что для периодического решения
. .	Т2 + U2 + Т’2 + Ь"а
А А — —— -	-----= const,
2
408
Новые методы небесной механики. II
т. е.
Л + Л' -	= const.
Но это равенство является не чем иным, как интегралом площадей,
оно поэтому выполняется.
Итак, функция So, определяемая уравнениями (8), существует. Ее
производные dS0/dkn dS^'Id'k' периодичны по X и X'. Средние значения этих
двух периодических функций зависят только от двух констант Лх и Л/.
Поскольку мы не делали никаких предположений о выборе этих двух кон-
стант, можно считать, что средние значения в точности равны Лх
и Л/.
Тогда получим
= АД + А'Д' + функция, периодическая по X и X'.
Функция S разлагается по возрастающим степеням ц и при ц = 0
обращается в
АД + АД' + ^т] +
Чтобы выполнить то преобразование, о котором мы говорили, попы-
таемся старые переменные выразить как функции новых переменных с
помощью уравнений (7). Прежде всего получим
П = Л1 + С» П' = П1 + С".
(9)
g = +	1' = ^ + В',
затем два первых уравнения (7)
.	dS . -	dS
Л, = .. , Л,	—— 
с/Ai
В эти два уравнения я подставлю вместо р и р' их выражения (9), после
чего эти уравнения можно записать в виде
Хх = X рф, Хх = рф'.
Функции фиф' зависят от X, X', |х, £/, рх, р'х, Лх, Лх' следующим
образом:
1)	они разлагаются по степеням р;
2)	они периодичны по X и X';
3)	они линейно зависят от £х, £/, рх, рх'.
С помощью принципов, изложенных в главе II, к которым мы уже ча-
сто прибегали, из этих уравнений можно вывести, что
X = Хх рфх, X' = Хх рф1,
Применение к исследованию орбит
409
где и яр/ — функции, зависящие от Хц Лх, т]г и величин, обозначен-
ных теми же буквами, но со штрихами. Эти функции:
1) допускают разложение по степеням р, т]15 £/, т)/;
2) периодичны по Хх и Хх'.
Подставим в уравнения (9) выражения, полученные для X и X'. Мы по-
лучим ё и ц как функции новых переменных. Замечу, что полученные та-
ким образом выражения для £ и ц разлагаются по степеням р, и
и периодичны по Хх и Xj'; кроме того, при р = О значения и г] равны
И Т]!.
Если теперь в обоих уравнениях
вместо X, £ и Т] подставить их выражения в виде функций от новых пере-
менных, то Л и Л' запишутся в виде функций от Лх, Хх, и т]п периодиче-
ских по Xj и X/ и допускающих разложение по степеням р,£х и тц.При р = О
эти функции равны Лх и Лх'.
Что произойдет с функцией F после перехода к новым переменным?
Ясно, что F можно будет по-прежнему разлагать по степеням р, и т]г
и, как и прежде, она будет периодична по Хх и Хг'.
Пусть
F — Fo + pFj -|- p2F2 + .. •
— разложение функции F по степеням р, записанное в старых перемен-
ных, и пусть точно так же
F = Fo + pX + p2F; + ...
— разложение функции F, записанное в новых переменных.
Сразу же ясно, что для того, чтобы получить Fo, достаточно в Fo под-
ставить вместо Л и Л' величины Лх и Лх'.
Вычислим Fj'.
Пусть Fj" означает функцию, которая получится, если заменить в F*
каждую старую переменную соответствующей новой переменной, т. е.
Л заменить на X на Х17 £ на и т. д.
Пусть
’ Л— Лх + рЛ2 + ...,
Л' —- Лх + рЛ2' + ...
— разложения Л и Л' по степеням р. Очевидно, что
dF' dF~ ,
Fr = Fx + -A A2 + —A,.
1 1 с/л, 21 йд; -
410
Новые методы небесной механики. II
Вычислим Л2. Нетрудно найти
А л t- dC dC , dB ,	, dB'
~	+ 111 dA + П1 dT ’
Следовательно, для того чтобы получить Л2, необходимо в выражении
А — Л! t dC t' dCr dB , dB'
li 51 [l й p dK + 1,1 p dA + П1 p d't.
положить p = 0 и, следовательно, A = Aj, A' = А/. Таким образом, Л2
(и точно так же Л2) оказывается периодической функцией от Х1, линейной
по и т]1, а ее среднее значение (относительно Хх и А/) не зависит ни от
ни ОТ Т]х-
Итак, Fx периодична по Ах и А!. Пусть R' — ее среднее значение,
a R" — среднее значение функции F^. R" мы получим, заменив в R каждую
•старую переменную соответствующей новой переменной, a R' отличается
от R" лишь на некоторую величину, не зависящую от и т]г
В главе X мы видели, какую важную роль при изучении вековых воз-
мущений элементов орбиты играют уравнения
dg, _ d_R_  dt]	dR
dt dr) ’ dt	dg
После замены переменных, которую мы только что произвели, эти урав-
нения заменятся следующими:
dgx = dfi" dr)i __ dR"
dt dt)i ’ dt	dgi
Однако, как мы только что видели, эти две системы уравнений тожде-
ственны между собой и вторая отличается от первой лишь тем, что содер-
жит штрихованные переменные.
До сих пор нам казалось, что производимое преобразование хорошо
лишь тем, что не изменяет вида уравнений. Сейчас я достиг, наконец, та-
кого момента, когда могу наглядно показать и другие его достоинства.
Рассмотрим прежде всего, во что переходят уравнения, которым
удовлетворяют периодические решения первого сорта, если эти уравнения
записать в новых переменных. Благодаря выбору вспомогательной функ-
ции 5 их можно записать в виде
Bi = Л1 ~	Al = const, А' = const.
Наконец, Ах и Ах' будут функциями, определяемыми значением времени,
двумя константами Лх и Л/ и двумя новыми произвольными постоянны-
ми.
Рассмотрение того, каким образом Ах и Ах' зависят от этих двух кон-
стант, которые я обозначу символами аир, хотя и не является необходи-
мым для наших целей, может представить некоторый интерес. Имеем
Ах = а ф (I -f- Р, Ах), Ах = а + ср' (t + р, Ах, Ax),
Применение к исследованию орбит
411
где ср и ср' — две функции, зависящие от t -Т |3, Лх, Лх, которые возрас-
тают на некоторую константу ё (одну и ту же для ср и ср'), зависящую так-
же от Л] и Лх, при условии, если аргумент t + 0 получает приращение,
равное некоторой константе у зависящей от Лх и Л/. Вторая из этих двух
констант у является периодом рассмотренного нами периодического ре-
шения, а первая константа 6 представляет собой угол, на который повора-
чивается система трех тел в течение одного периода.
Из всего сказанного я хочу оставить в памяти лишь одно: если |х, цх,
и тр равны нулю в начальный момент времени, то периодическое реше-
ние первого сорта и его четыре переменные |х, тр, £х и тр будут равны
нулю всегда.
Однако у нас имеются дифференциальные уравнения
<%i _ dFi
dt	’
c?T)i  dF
~dt ~ ~d%\
dt rftp
__ dF_
dt ~~	’
Следовательно, необходимо, чтобы четыре производные
dF dF dF dF
’ rfT)'
одновременно обращались в нуль, если одновременно равны нулю четыре
переменные
£1, Пп ПЛ
т. е. функция F не должна содержать членов первого порядка относитель-
но этих четырех переменных.
Итак, функция F, будучи выражена через новые переменные, имеет
тот же вид, что и в старых переменных, с той лишь разницей, что она не
содержит членов первого порядка относительно £х, т)х, |х', т]х', в то время
как члены первого порядка относительно четырех соответствующих ста-
рых переменных £, ц, и ц' она содержала. Но именно эти члены и соз-
давали всю трудность задачи, эта трудность, следовательно, исчезла вме-
сте с ними.
То же останется в силе и в том случае, если вместо плоской задачи трех
тел рассматривать пространственную задачу.
В самом деле, если в качестве переменных выбрать
Лх, Лх, ?х, |j, р, р',
^1- ni- тГх, q',
то функция F не будет содержать члена первого порядка относительно
Bi, i'll, Р и q I58)
Глава XIII
РАСХОДИМОСТЬ РЯДОВ ЛИНДШТЕДТА
146.	В главе IX мы узнали, что каноническим уравнениям
dy%_^dF_
dt dy. ’ dt	di.	' '
можно формально удовлетворить с помощью рядов следующего вида:
xi = х1+ Н*1 + И2*? + • • • -
у. = Wf + [xyl + y2yf + . . .,	(2)
к к
где Xi и yi периодически зависят от величин
Wi = S, (i = 1, 2, . . . , п)
и представляются рядами, расположенными по синусам и косинусам ли-
нейных комбинаций w с целыми коэффициентами, так что
(или у*) = Ао + 2 A cos (tn1wl + m2u?.2 + . . . + mnwn + h).	(3)
Кроме того, среднее значение Ао этих периодических функций можно вы-
бирать произвольно.
Теперь речь пойдет о том, как узнать, сходятся ли эти ряды.
Этот вопрос можно разбить на ряд более мелких вопросов. В самом деле,
можно спросить:
1)	сходятся ли ряды частного вида (3) и будет ли эта сходимость абсо-
лютной и равномерной;
2)	в предположении, что они не сходятся абсолютно, можно ли
так перегруппировать их члены, чтобы получить полусходящиеся
ряды;
3)	в предположении, что ряды (3) сходятся, будут ли сходиться ряды (2)
и будет ли их сходимость равномерной.
Расходимость рядов Линдштедта
413
Исследование рядов (3)
147.	Напомним, каким образом мы получили ряды (3). Мы пришли к
уравнениям следующего вида:
2 п°р = 2 в cos (miwi + m2w2 + • • • + тЛ + h)
(уравнения (12) п. 127) и нашли из них
В sin (miwi + zn2w2 + . . . + mnwn -f- h)
m!ni + m2n® -H . . . + mnn°n
"b	(3 bis)
где — некоторая произвольная постоянная.
Сходится ли ряд (3) абсолютно и равномерно? Если это так, то сумма
этого ряда должна оставаться конечной при всех значениях времени. Од-
нако в своей статье, опубликованной в журнале «Bulletin Astronomique»
(т. I, стр. 324) [391 я доказал, что сумма членов ряда такого вида не может
все время оставаться меньше половины любого из его коэффициентов.
Следовательно, для того чтобы ряд (3) сходился равномерно, необхо-
димо, чтобы абсолютное значение коэффициента
__________В__________
т1п1 + тА +  • • + тппп
было ограничено [40].
Предположим для определенности,что имеется только две степени сво-
боды и что и? = п, n® = 1. Тогда ряд (3) запишется в виде
-^о+2
sin (mw + otuw+
т±п — т-2
и абсолютное значение коэффициентов
т^п — тъ	' '
должно быть ограничено.
Прежде всего ясно, что при рациональных п этого быть не может, если
только коэффициент Бт.ГПг не обращается в нуль всякий раз, когда
Поэтому нам придется заняться случаем, когда п иррационально, и
особо рассмотреть те знаменатели m1n — т2, которые отвечают подходя-
щим дробям разложения числа п в непрерывную дробь.
414
Новые методы небесной механики. П
Я утверждаю, что какова бы ни была последовательность чисел Вт,т2,
можно найти такое иррациональное число п (сколь угодно близкое к за-
данному), что абсолютные значения коэффициентов (4) не будут ограни-
ченными.
Действительно, пусть
«1	«2	%
31 ’	’ ' ’ ' ’	’
— последовательные подходящие дроби числа п.
Пусть
— некоторая последовательность неограниченно возрастающих положи-
тельных чисел. Я утверждаю, что всегда можно найти такое число п, что
лЗр-%
> Tip.
(5)
В самом деле, по определению подходящей дроби
«р+1 = а?-1 + а(Д/)+1> Ppii = Pp-i т ЗрЯр+ъ
где ар — целое положительное число, которое можно выбирать произ-
вольным образом, не изменяя р первых подходящих дробей. С другой сто-
роны,
Поэтому мы можем выбрать целое число ар+1 так, чтобы абсолютная ве-
личина п$р — ар была сколь угодно малой, а следовательно, и так, чтобы
выполнялось неравенство (5), каковы бы ни были числа В$рар и
Поскольку единственное условие, наложенное на %р, состоит в том, что
эти числа должны неограниченно возрастать, мы можем произвольным об-
разом выбрать q первых из них (каково бы ни было q) и, следовательно,
первые q подходящих дробей могут быть произвольны. Поэтому число п
может быть сколь угодно близко к произвольно заданному числу.
С другой стороны, для многих п ряд (3bis) будет сходиться. В самом
деле, предположим, что ряд
Т Bm.mi cos (mpz^ + m2w2 -ф h)
сходится и, как это бывает обычно, так, что при всех значениях и тг
(6)
Расходимость рядов Линдштедта
415
Здесь К — некоторое положительное число, а а и [3 — два положитель-
ных числа, меньших единицы.
Выберем п = р/д, где р и q — два целых взаимно простых числа,
причем pq не есть точный квадрат. Тогда
1
т-,п — т-2
т-,п -|- т-2
т^п2 —
(min ma) q
рт\ — qm%
<д([тл\п + \т21),
откуда
Bmim, sin (miwi + W2 + h)
т^п •— m-2
<Kq (| mJn+lznaDa1
что и доказывает сходимость ряда (3bis).
Но очевидно, что целые числа р и q можно выбрать так, чтобы Уp/q — п
было сколь угодно близко к любому заданному числу.
Итак, мы пришли к следующему результату,который я сейчас сформу-
лирую в наиболее общем случае.
Пусть К — произвольное положительное число; aj,a2,..., an — поло-
жительные числа, меньшие единицы.
Я предполагаю, что выполняется неравенство, аналогичное неравен-
ству (6), и записываю его в виде
| Z? | < 4тг 1 .. .а1""1;
такое условие обычно соблюдается.
В этом случае можно, с одной стороны, так подобрать числа
п°, пй, ... , п°,
1’	2’	’ п’
чтобы они сколь угодно мало отличались от п наперед заданных чисел и
в то же время чтобы ряд (3bis) не сходился равномерно. С другой стороны
ничто не мешает выбрать их и так, чтобы они сколь угодно мало отлича-
лись от тех же самых п наперед заданных чисел, а ряд (3bis) сходился рав-
номерно.
Нетрудно понять всю важность этого замечания. В самом деле, наблю-
дения, какова бы ни была их точность, могут определять средние движения
лишь приближенно. Поэтому, оставаясь в рамках этого приближения,
можно всегда распорядиться ими так, что ряды (3bis) будут сходиться.
Интересно выяснить, можно ли сделать ряды (3bis) сходящимися для
постоянных интегрирования я?, изменяющихся в некотором интервале
(напомним, что У зависят от х"). В силу только что изложенного это воз-
можно лишь при условии, ЧТО ряд
S В cos (тли\ + ... + mnwn + h)
416
Новые методы небесной механики. II
содержит конечное число членов, т. е. при условии, что в разложении
F — Fo -}- р -[- р2 + ...
каждая из функций Fx, Fv... в своем разложении по синусам и косинусам
величин, кратных у, будет содержать лишь конечное число членов.
В общем случае это условие не выполняется, и какая-нибудь из функ-
ций, например Fx, будет представлять собой ряд с бесконечным числом
членов. Однако на практике вычисления проводят, ограничиваясь лишь
конечным числом членов в разложении функций F{. В самом деле, посколь-
ку ряд Fx сходится, все его члены, за исключением конечного числа их,
очень малы. Следовательно, в первом приближении их можно не прини-
мать во внимание.
Вот как производят вычисления. В разложении F± все члены, за иск-
лючением конечного числа, можно считать величинами того же порядка,
что и р. Однако среди них есть такие, которые имеют тот же порядок вели-
чины, что и р2, и такие, намного меньшие, которые имеют тот же порядок
величины, что и р3, и т. д. В других разложениях F2, Fs,... также можно
найти члены различных порядков.
Поэтому мы можем записать в общем случае
Fi = Fit0 4- Fitl + Fi)2 + ... + Fiyk 4- ...,
где Fi,k означает те из членов Fiy которые можно рассматривать как вели-
чины того же порядка, что и pR. Число таких членов конечно. Ясно, что
такой способ разложения Ft оставляет много произвола.
Пусть теперь р' — некоторая величина того же порядка, что и р.
Введем обозначения
Fi, к = Р к-
Все члены конечны, и мы можем записать
F = У р{р,,ГФг,'к-
Благодаря этому искусственному приему функция F зависит от двух па-
раметров, а Фг,к содержит лишь конечное число членов. Так как оба па-
раметра р и р' представляют собой величины одного порядка, мы поло-
жим р = Хр' и получим
^ = Ур'^.,
где Фь содержит лишь конечное число членов.
Этот искусственный прием, на изложении которого я остановился, быть
может, несколько дольше, чем следовало, в приложениях проводится
чрезвычайно быстро и показывает, что на практике всегда можно общий
случай свести к такому, когда функции Fi содержат лишь конечное число
членов.
Расходимость рядов Линдштедта
417
Исследование рядов (2)
148.	Итак, вопрос о сходимости рядов (3) заменен вопросом о сходи-
мости рядов (2).
Но этот вопрос распадается на несколько более мелких. В самом деле,
ряды (2) зависят от р и постоянных интегрирования я?. Можно поставить
следующие вопросы:
1) сходятся ли ряды (2) равномерно при всех значениях р и констант
изменяющихся в некотором интервале;
2) сходятся ли ряды (2) равномерно при достаточно малых значениях р
и надлежащим образом выбранных значениях хг
На первый вопрос следует отвечать отрицательно.
В самом деле, предположим, что ряды (2) сходятся равномерно и что
их можно записать в виде
= 4 + и1\(м\..	р),
у. =w.+ рф.(гук, 4, р),
где <j>j и грг — функции, допускающие разложение по возрастающим сте-
пеням р, периодические по w и, кроме того, как-то зависящие от
Разрешим уравнения (7) относительно x‘i и Из этих уравнений х}
и и-i можно найти в виде рядов, расположенных по степеням р, коэффици-
енты которых зависят лишь от Xi и уг.
Нетрудно убедиться в этом. Действительно, для того чтобы усмотреть,
что теорема п. 30 применима, достаточно лишь заметить, что при р = 0
рассмотренные выше уравнения принимают вид
Хп = X., W. = У.
г г' г г
и якобиан их правых частей равен 1. Впрочем, можно было бы восполь-
зоваться обобщенной формулой Лагранжа.
Итак, мы нашли
4 = Xi + Wi(^- ХИ’ Н),	(8)
рф-(рк,р),	(9)
где <р; и ф; — функции, допускающие разложение по степеням р, однознач-
но зависящие от х и у и периодические по у. Таким образом, уравнения
(8) определяют п однозначных интегралов наших дифференциальных
уравнений.
С другой стороны,
Wi — ntf
и определенные таким образом коэффициенты зависят от р, и x°f
27 А. Пуанкаре
Расходимость рядов Линдштедта
417
Исследование рядов (2)
148. Итак, вопрос о сходимости рядов (3) заменен вопросом о сходи-
мости рядов (2).
Но этот вопрос распадается на несколько более мелких. В самом деле,
ряды (2) зависят от р и постоянных интегрирования я?. Можно поставить
следующие вопросы:
1) сходятся ли ряды (2) равномерно при всех значениях р и констант
изменяющихся в некотором интервале;
2) сходятся ли ряды (2) равномерно при достаточно малых значениях р
и надлежащим образом выбранных значениях х^
На первый вопрос следует отвечать отрицательно.
В самом деле, предположим, что ряды (2) сходятся равномерно и что
их можно записать в виде
ж. =Жо + рф.(ггк. ж», р),	(7)
г/. =w.+ рф.(гук, ж», р),
где cpi и — функции, допускающие разложение по возрастающим сте-
пеням р, периодические по w и, кроме того, как-то зависящие от
Разрешим уравнения (7) относительно х" и Из этих уравнений х°
и и5; можно найти в виде рядов, расположенных по степеням р, коэффици-
енты которых зависят лишь от хг и у,.
Нетрудно убедиться в этом. Действительно, для того чтобы усмотреть,
что теорема п. 30 применима, достаточно лишь заметить, что при р = 0
рассмотренные выше уравнения принимают вид
Х<? = X., W. = У.
г г' г г
и якобиан их правых частей равен 1. Впрочем, можно было бы восполь-
зоваться обобщенной формулой Лагранжа.
Итак, мы нашли
xt = +	и)’	(8)
</i +	и)’	(9)
где ф; и ф; — функции, допускающие разложение по степеням р, однознач-
но зависящие от х и у и периодические по у. Таким образом, уравнения
(8) определяют п однозначных интегралов наших дифференциальных
уравнений.
С другой стороны,
Wi — nJ -ф-
и определенные таким образом коэффициенты щ зависят от р и
27 А. Пуанкаре
Расходимость рядов Линдштедта
419
В функциях
rf(Pi <4	(11>
dwk ’ clz" ’ dWjj ’ dxo	f
постоянные х}У nw/. следует заменить теми их значениями, которые отве-
чают периодическому решению (10); таким образом, функции (11) будут
периодическими по t.
Отсюда следует, что 2п характеристических показателей равны нулю.
Однако мы знаем, что в общем случае это неверно41. Следовательно, вообще
говоря, ряды (2) не сходятся равномерно, если р и а:® изменяются в неко-
тором интервале [42].
149. Нам осталось еще рассмотреть второй вопрос. Действительно, мо-
жно спросить, не могут ли эти ряды сходиться при малых значениях р,
если xi придавать надлежащим образом подобранные значения.
Здесь следует различать два случая.
Вообще говоря, величины пг зависят не только от х°, но и от р и раз-
лагаются по степеням р.
Кроме того, мы видели, что средние значения функций дд и можно
выбирать произвольным образом. Мы видели также, что эти средние зна-
чения можно выбирать так, чтобы
п. = п®,
i г ’
nl = n? ==...= пР = ... = 0,
г г	г	’
т. е. чтобы щ не зависели от р.
В силу этого можно отдельно рассмотреть случаи, когда п{ зависят от
р и когда от р не зависят.
Предположим сначала, что щ зависят от р и имеется лишь две степени
свободы.
Пусть
ni = ni + p«i + paw? Д- • • •; wi = nvt 4-
Hg = 72 2 Д- p^2 Д- p2/^2 Д- . . . , W2	Д- ©2*
Кроме того, x±, x2, yr и y2 должны разлагаться по степеням р, причем так,
чтобы xlt х2, ух — wlt у2 — w2 были периодическими функциями по и\
и w2.
Это должно происходить при достаточно малых р. Однако среди зна-
чений р, меньших некоторого предела, всегда можно найти такие, что от-
ношение п1/п2 будет рациональным, поскольку это отношение представля-
ет собой непрерывную функцию от р.
Но если отношение njn2 рационально, то ряды (2) определяют некото-
рое периодическое решение уравнений (1) при любых постоянных интег-
рирования и &2 [431-
27*
Расходимость рядов Линдштедта
419
В функциях
rf(Pi <4	(11>
’ dw$ ’ dx^	>
постоянные xt.° ни-,. следует заменить теми их значениями, которые отве-
чают периодическому решению (10); таким образом, функции (11) будут
периодическими по t.
Отсюда следует, что 2п характеристических показателей равны нулю.
Однако мы знаем, что в общем случае это неверно41. Следовательно, вообще
говоря, ряды (2) не сходятся равномерно, если р и ж® изменяются в неко-
тором интервале [42].
149. Нам осталось еще рассмотреть второй вопрос. Действительно, мо-
жно спросить, не могут ли эти ряды сходиться при малых значениях р,
если х1^ придавать надлежащим образом подобранные значения.
Здесь следует различать два случая.
Вообще говоря, величины пг зависят не только от х°г, но и от р и раз-
лагаются по степеням р.
Кроме того, мы видели, что средние значения функций ср^ и можно
выбирать произвольным образом. Мы видели также, что эти средние зна-
чения можно выбирать так, чтобы
п. = и®,
i г ’
пУ = п? ==...= пР = ... = 0,
г г	г	’
т. е. чтобы щ не зависели от р.
В силу этого можно отдельно рассмотреть случаи, когда щ зависят от
[1 и когда К; от р не зависят.
Предположим сначала, что п^ зависят от р и имеется лишь две степени
свободы.
Пусть
ni = ni + Pni + pa«i + • • 3 wi ~
^2 — И2 Ч~ Р^2	р2И-2 Д-  • • ,	— ПЛ -|- ^2.
Кроме того, х±, х2, уг и уъ должны разлагаться по степеням р, причем так,
чтобы хг, х2, уг — у2 — ил, были периодическими функциями по
и ш2.
Это должно происходить при достаточно малых р. Однако среди зна-
чений р, меньших некоторого предела, всегда можно найти такие, что от-
ношение njn^ будет рациональным, поскольку это отношение представля-
ет собой непрерывную функцию от р.
Но если отношение njn^ рационально, то ряды (2) определяют некото-
рое периодическое решение уравнений (1) при любых постоянных интег-
рирования и а2 [431.
27*
Расходимость рядов Линдштедта
421
Не может ли случиться так, что ряды (2) будут сходиться при некото-
рых надлежащим образом выбранных значениях ж??
Предположим для простоты, что имеется две степени свободы. Не мо-
гут ли ряды (2) сходиться, например, при условии, что ж® и подобраны
таким образом, что отношение пх/п2 иррационально, а квадрат его, напро-
тив, рационален (либо же на отношение наложено какое-нибудь дру-
гое условие, аналогичное сказанному, которое я выбрал до некоторой сте-
пени случайно)?
Рассуждения, проведенные в этой главе, не дают мне оснований утвер-
ждать, что такого случая представиться не может. Я могу лишь сказать,
что такой случай весьма маловероятен [44].
Сравнение со старыми методами
150. К сказанному добавлю лишь одно: каким образом, не имея воз-
можности убедиться в сходимости рядов, лучше всего выбирать средние
значения xf и yf1 Я полагаю, что эти средние значения удобно выбирать
так, чтобы xf и yf (начинаясь! и у|) обращались в нуль при t = 0. При
этом начальными значениями величин будут служить ж?, а начальными
значениями у4 — величины 85{.
Далее, если рассмотреть получающиеся при этом ряды
Хг = X°i +	+ ••••
yi:=wi + Wf + н2У? + • • •<	(D
где xf, Wi и yf зависят от р, затем разложить эти величины по степеням ц
и расположить по возрастающим степеням р правые части уравнений (1),
то получим разложение по степеням р тех частных решений дифференциаль-
ных уравнений, у которых начальными значениями для Xi и у, служат
х^ и 85,.
Известно, что такое разложение сходится при достаточно малых t.
Пусть
X. = Х° 4- р£1 + ра£2 + . . . ,
Уг = n°il + ®i + W- + Н2П- + • •	(2)
Здесь Zf и т]’’ — функции, зависящие от времени непериодически, ноне за-
висящие более от р. Кроме того, эти функции, так же, как и xf и yf, об
ращаются в нуль при t = 0.
Точно таким же образом, как мы получили разложение (2) из разложе-
ния (1), мы можем вывести кое-какие заключения о виде разложения (2).
Так, чтобы получить £1, достаточно в выражении для х\ положить
р = 0. Напомним, каким образом х\ зависит от р : х] является периоди-
422
Новые методы небесной механики. П
ческой функцией величин, которые мы обозначали через
wn
и, кроме того,
Wi = MjZ -ф Эр
Здесь 3, — некоторая постоянная интегрирования, а щ зависит от ц.
Следовательно, если положить ц = 0, то щ будет равно и°, поскольку
= *° +	+ нЧ? + •  • •
В силу этого Wi будет равно n^t -ф <Ф, а т] останется по-прежнему периоди-
ческой функцией величин nft -ф
Следовательно, не содержит векового члена.
Для того чтобы найти достаточно в выражении
ap.
dx}
положить ц = 0. Рассуждая точно так же, как мы только что делали, убе-
димся в том, что значение ц = 0 не приводит к появлению в ж? векового
члена. С другой стороны,
dr} г-, dn dx}
1____ К 1
rf[i
или (при ц = 0)
Очевидно также, что выражение для dzj/dwh содержит вековые члены,
однако в этом случае необходимо проводить различие. Я буду называть
смешанными вековыми членами члены вида
£psinotf или tp cosai
и чисто вековыми членами члены вида tp.
Можно записать
2	4	= А° + 2 ^«SinaZ + 35aC0SaZ-
k
Действительно, левая часть этого уравнения периодически зависит от w,
а при ц = 0
Wi = n°it -ф
Расходимость рядов Линдштедта
423
Если Ао равно нулю, то выражение для не содержит чисто вековых чле-
нов, но может содержать смешанные вековые члены. Если же Ао отлично
от нуля, то выражение для £1 содержит чисто вековые члены.
Существует случай, когда Ао заведомо равно нулю: это именно тот
случай, когда ни одна из величин не равна нулю, и между п? не суще-
ствует никакого линейного соотношения с целыми коэффициентами (слу-
чай п. 125). Действительно,

ло=2гак
dw,.
ti
= 0.
а
Здесь с помощью символа [С7] мы обозначали среднее значение периодиче-
ской функции U, зависящей от wlt ш2,..., шп.
Однако существует еще один случай, когда Ад также равно нулю.
Предположим, что
п° = п° == . . . = п° = 0
3	4	п
и что, с другой стороны, несоизмеримо с п2. Положим
х} = S С sin {m1w1 + m2cn2 + ••• + mnwn +
где т2..., тп — целые числа, а С и h, — некоторые константы. Дейст-
вительно, разложение х} имеет такой вид, поскольку эта функция перио-
дически зависит от w.
Тогда
2 пк	= 2 С S C0S	+ • • • + mnWn 4- h),
к
где
s = 2wX-
При р, = 0 получим
dA
2пк dA~ = 2 еs cos (^ + 3).
Jc
где
ot =	—|- ш2п2,	3 —	m2oJ2 -j- . . .	-j- Л-.
В силу сделанного выше предположения а может быть равной нулю лишь
в том случае, если тп1 = ш2 = 0- Следовательно,
Ао = 2 с Scosp,
причем суммирование проводится по всем членам, таким, что = т2
= 0.
V2A
Новые методы небесной механики. II
Пусть теперь
Fi = 2 D cos ("Mi +	+ • • • + тпУп + Л),
где D и к зависят от х1У хгу...у хп. Такой вид должна иметь функция Fly
периодическая по у.
Пусть Do и ко — те значения, которые принимают D и к, если вместо
xt подставить х®. Пусть
F® = 2 c°s (т^ + m2w2 + .. . + mnwn + Ло)
— функция, в которую переходит функция Fly если в ней произвести
замену хг на z® и у,- на и\. Функция х} определяется уравнением
откуда
D
Xi = 2j —jpy------й COS + m2w2 + . . . + mnwn -ф- А-о),
mini + т2П2
из чего следует
Dm.
q__ 0 г
h — к0.
Если г = 1 или 2, то С обращается в нуль, когда тл = т2 = 0, и Ло
равно нулю. Следовательно, и ^2 в этом случае будут содержать сме-
шанные вековые члены, но не будут содержать чисто вековых членов.
Выражения же
& &... X,
напротив, могут содержать чисто вековые члены.
Применим сказанное к задаче трех тел. Обратимся вновь в рядам из
п. 140.
Величины п? равны нулю, за исключением и ° и п2.
Разложим Л и Vi по возрастающим степеням ц. Тогда
А = Ao + рАх -ф- ц2Л1 -ф- . . .,
А' = Ао *Т |гЛ2 -ф- р2Л2 -ф- .. . ,
У, = 7? + ^? + ^?+...,
где Л{ и являются функциями от t, не зависящими от ц, которые об-
ращаются в нуль вместе с t.
Расходимость рядов Линдштедта
425
В силу приведенных выше соображений функции А* не содержат ве-
кового члена. В этом и состоит теорема Лагранжа об инвариантности боль-
ших осей с точностью до квадратов масс.
Функции А2 будут содержать смешанные вековые члены, но не будут
содержать чистых вековых членов. В этом и заключается теорема Пуас-
сона об инвариантности больших осей с точностью до кубов масс.
Функции Vi1 вековых членов не содержат, но F, 2 содержат вековые чле-
ны как^чистые, так и смешанные.
Возвратимся к случаю, когда все п(‘ отличны от нуля и не связаны ни-
каким линейным соотношением с целыми коэффициентами. Тогда
з dxl 1 d2xl
^=^ + ^-+2^ п₽и Не-
очевидно, что так же, как и раньше, функцииz? не приведут к появле-
нию векового члена, а производная dx2/d\k не приведет к появлению чисто
векового члена. С другой стороны,
dx} d^w..	d'~x} divdm,
___} _ ___b k I	t	К It
dp.2 '-^d'uv. dp2 ^dw^dw^ dp dp
Правую часть можно переписать в виде
S„ dx} х-, d2z}
п2~г---Н t2S-;—д— nln}-
d w-r	1 dw^ dwh It h
Таким образом, мы получим еще и смешанные вековые члены, но не полу-
чим чисто вековых членов, ибо среднее значение производных dx^ldw^,
d2XiV/dwkdwh всегда равно нулю.
Очевидно, что в точности те же рассуждения можно применить и к
следующим членам разложения, т. е. к
Итак, в том частном случае задачи трех тел, о котором шла речь в п. 9,
большая ось остается инвариантной в смысле Пуассона несколько дольше,
чем это следует из соответствующего приближения.
Точно так же, если закон притяжения отличается от закона Ньютона,
то разложения величин, соответствующих большим осям, не будут со-
держать чисто вековых членов несколько дольше, чем это следует из соот-
ветствующего приближения. Поэтому эти величины будут инвариантными
в смысле Пуассона.
Таким образом, мы установили связь между методом Линдштедта и
знаменитыми теоремами Лагранжа и Пуассона. Идеей о возможности такой
связи мы обязаны Тиссерану.
Высказанные соображения наводят на еще одно (последнее) замечание.
Может показаться, что из найденных нами в предыдущих главах разложе-
ний нельзя сделать никаких выводов, поскольку все эти разложения рас-
ходятся.
426
Новые методы небесной механики. II
Действительно, рассмотрим разложение функции arcsin и
arcsin и = и + AjU3 + Л2и5 +
отсюда мы сможем вывести, что
P-t = sinp, t + А3 sin3p-I 4- Л2 sin5p, t + ... .
Степени sin3 sin5p,Z и т. д. можно без особого труда разложить по си-
нусам величин, кратных рЛ Не кажется ли поэтому, что отсюда можно
вывести, по крайней мере формально, разложение функции в тригоно-
метрический ряд?
Очевидно, что так же будет обстоять дело и с [A2, p,isinaf,... и все-
ми другими членами, которые могут входить в разложение (2).
Следовательно, может показаться, будто утверждение о том, что функ-
ции, представленные рядами (2), можно разложить в чисто тригонометри-
ческие ряды, коль скоро речь идет о формальном разложении, еще не поз-
воляет делать какие-либо выводы и поэтому не дает нам никаких сведений
о виде рядов (2).
Однако такое мнение ошибочно. Если угодно, то разложения (2) с
помощью весьма простого искусственного приема, которым я только что
воспользовался в случае функции pZ (я отнюдь не осмелюсь утверждать,
что этим приемом до меня никто не пользовался), можно привести к чисто
тригонометрическому виду, если ввести бесконечно много различных аргу-
ментов. Но теоремы предыдущих глав утверждают, что формальные
разложения возможны лишь с конечным числом аргументов. Это обстоя-
тельство заранее не очевидно, и именно оно и позволяет получить много-
численные выводы по поводу коэффициентов рядов (2) и аналогичных ря-
дов, встречающихся в задаче трех тел [4б1.
Глава XIV
ПРЯМОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ РЯДОВ
151. По-видимому, было бы небезынтересно еще раз обратиться к ре-
зультатам, полученным в трех предыдущих главах, с тем, чтобы лучше
уяснить их смысл. Прежде всего я хочу продемонстрировать способ пря-
мого вычисления коэффициентов разложений, полученных нами ранее
косвенным путем (существование разложений, о которых идет речь, нами
уже доказано). Действительно, коль скоро существование этих разложений
установлено, вычисление их коэффициентов можно производить гораздо
быстрее, не прибегая к многочисленным заменам переменных, которые бы-
ли необходимы ранее.
Я начну с рассмотрения частного случая уравнений из п. 134.
В этом пункте мы показали, что нашим каноническим уравнениям фор-
мально можно удовлетворить с помощью методов, аналогичных методам
п. 125, если последние незначительно модифицировать. Положим
Х. = Х^-\- Ц.Д +	+ • • •,
= У? + РУ-+	+ • • ••
Здесь и yi —периодические функции величин, которые я обозначу ш,
за исключением функций г/?, которые должны быть просто равны
x°t — произвольные постоянные, от которых зависят остальные функции
R К
X, и уI, а
Wi = riit + &i,
где — постоянная интегрирования, а — некоторая константа, за-
висящая от р и x°i и допускающая разложение по степеням р.
Пользуясь методами п. 126, эти ряды можно записать бесконечно мно-
гими способами, причем так, что средние значения периодических функ-
ций х* и yi будут наперед заданными произвольными функциями
ОТ Х°г.
Прежде чем приступать к преобразованию этих рядов с помощью ме-
тодов п. 126, заметим, что выражение ~£xidyi (рассматриваемое как функ-
ция от w^ в то время как x'[ по-прежнему считаются постоянными) должно
быть полным дифференциалом.
428
Новые методы небесной механики. II
Пусть, кроме того,
F — Fo 4 p./’j + [i2F2 4- ....
Предположим, что имеется 2п попарно сопряженных переменных. Пусть
имеется два рода переменных, относящихся к первому ряду. Переменные
первого рода мы будем обозначать Xi, а переменные второго рода ж/.
Переменные второго ряда, сопряженные с будем обозначать у{,
а сопряженные с xi будем обозначать у?. Наши канонические уравнения
запишутся в виде
fl)
dt dy^	dt dy^
djfi dF
dt dxi ’ dt ~~
Я предполагаю, что Fo зависит от хг, но не зависит от yt, yd и ж/; функция
F периодическая по у, и у/; если обозначить среднее значение Fr через R
(Р\ пока рассматривается как периодическая функция только от у;,
но не от yi), то R не зависит от у/, а только от хг и Xi. Это в точности те же
предположения, что и в п. 134.
Мы видели, что уравнениям (1) можно формально удовлетворить ря-
дами следующего вида:
х. = х° 4- рж* + р2х2 + . . .,
x't = хУ + рх'.1	\Fx'2
Уг = W. + цу! + р,2у2 + . . .,	(2)
у\ = w. + p,y;i + р2у'г + ....
Величины xF, х[\ у*, у'^ представляют собой периодические функции от иц и
wd, зависящие, кроме того, от постоянных ж? и x'i°, и такие, что их средние
значения могут быть произвольно заданными функциями этих констант,
что можно было бы усмотреть с помощью рассуждения, аналогичного при-
водимому в п. 126. Кроме того,
Wi =	4- ©j, iCi = nit 4- ©i,
где ©j и ©/ — постоянные интегрирования, ап;ип; разлагаются по степе-
ням ц, так что
Щ = S рЛп*, п. = У
причем
«9=4=0, п'У = 0.
Z ‘	'	I
Прямое вычисление рядов
429
Возможность аналогичных разложений была установлена в и. 134.
Теперь же я намереваюсь развить прямой метод вычисления коэффициен-
тов.
Для этого я предположу, что мы уже подставили в уравнения (1) раз-
ложения (2) и что, следовательно, наши переменные не зависят от времени
непосредственно, а лишь через и ш/. Уравнения (1) запишутся тогда в
виде
SdX-	d JI
Пк dui	п'к = XY '
k K aa,x k * dwk aVi
Кроме того, после подстановки разложений (2) получим уравнения
dF х1 11 v* dF X1 Jr т/It
аналогичные уравнениям (9) и (10) п. 127, а также
dyi	dxi
Величины	X’i*, Y'i* зависят oTU’f, x*, yf, x°, а также от величин
которые обозначены теми же буквами, но со штрихами. Они периодически
зависят от w и и/.
Рассмотрим так же, как и в п. 127, от каких переменных зависят все
эти величины. Поскольку
dFi, dFn dFn  q
dy^	dxi	dyi
ясно, что Х^Х?, зависят только от
**4 ’ г ’ * ’ * ’ г ’
y«, yi, . . . , yf"1
и от величин, обозначаемых теми же буквами, но со штрихами, в то время
как У;* зависят, кроме того, от xf, но не зависят от хД, yf> у'г*.
Рассмотрим выражение
V dxi
П* duX ‘
It
Подставим в него вместо разложения (2), а вместо пц — их разложения
по степеням ц. После этих подстановок получим разложение по степеням ц.
Чтобы воспользоваться обозначениями, аналогичными обозначениям
430
Новые методы небесной механики. II
п. 127, я запишу получившееся разложение в следующем виде:
2».^-2'(.ч^ + 2«^-2^г. w
Условимся считать, что знак 5 означает суммирование по всем значе-
ниям к и всем значениямр от 0 до бесконечности, а знак S' — суммирование
по всем к и р от 1 до бесконечности.
Следует помнить, что у® = ад, у? = гг/ и что к уравнениям (4) над-
лежит присоединить еще два других уравнения того же вида, в которых
вместо символов xit yi, хр, yf, х\, ур,%? и Tf фигурируют те же символы,
но со штрихами.
Точно так же мы запишем
2 Л. = s' н’»»	+ 2 я*?	- 2	(5)
R dwk	dwk	dwk
Условимся, что здесь суммирование, обозначаемое символом S, рас-
пространяется по всем значениям р от 1 до бесконечности, а суммирование,
обозначаемое символом S', производится по всем значениям р от 2 до бес-
конечности. К уравнению (5) присоединим еще три других уравнения, в
которых вместо
хг, хр~\ х\, Up
фигурируют соответственно
Ун уГ\ yt, v?,
либо
'	1 т'° п'.р
либо
Уг, У'Г\ Уг°, V?.
Мы получим цепочку уравнений, аналогичных уравнениям (14) п. 127,
которые, если учесть, что х\ и х? константы, а у[ и у® равны гг; и гщ, за
пишутся в виде
,7ГР	Л-р—1
Ж ~d~ + S nt = X'? + Zf + и?,
к	аи>!!	к	du>k
2»l ^+2"F^C-rr+n + vr-»r.
к	к	к	dwk
Прямое вычисление рядов
431
л .. dx? ,	,, dxр 1
— !-3	+Z. - Ь'.	(6)
к к к ии1-:
При р = 0 левая часть каждого из уравнений (6) должна обращаться
в нуль; кроме того, второе слагаемое в левой части должно обращаться
в нуль при р = 1. Чтобы понять, почему так происходит, достаточно
вспомнить смысл, который мы придали символам S и 2' в уравнениях (4)
и (5).
Пусть теперь U — произвольная периодическая функция от и\ и
Условимся обозначать символом [С7] среднее значение функции U, рас-
сматриваемой временно как периодическая функция только от и\. Из
этого определения следует
г rfy ~1 _ 0	Г_^_1 _ d [у1
L dwi J — dw'. J dw'.
Символом [[t/J] мы будем обозначать среднее значение U, рассматривае-
мой как периодическая функция от zz^n wd одновременно. Это среднее зна-
чение представляет собой константу, не зависящую от zn и zn', в то время
как [С7], не зависящее от w, все еще остается периодической функцией,
от w'. Переходя после этого в уравнениях (6) к средним значениям, по-
лучим
2 n’i d 1] = [ Xf + zf +	,
dwj^
2 4*	= [У? + тр + у? j _ п? ,
dwn
2^’	=[X? + Z? + C7?],	P)
dw-^
_ rf r7/P~11
2	-----..- = \Y? + T'? + 7?] - mp.
dwk
При p = 1 правые части этих уравнений должны обращаться в нуль.
Посмотрим, каким образом можно исходя из уравнений (6) и (7) вычис-
лить коэффициенты разложений (2).
Сначала в уравнениях (6) положим р = 0. Тогда (поскольку величины
432
Новые методы небесной механики. II
равны нулю, а левые части уравнений (6), как я уже говорил выше, должны
быть равны нулю)
0=0, у? =72?, У? =72?.
Из этих уравнений мы получим значения п?, которые, впрочем,
нам известны, и установим, что тц° равны нулю, поскольку Y? равны
нулю.
Рассмотрим теперь уравнения (7), в которых положим р = 1. Приняв
во внимание, что Z/, С7/,... равны нулю, получим
Я-»1 1X2) = »,.
Чтобы понять, что означают эти уравнения, следует рассмотреть вопрос
о том, что означают величины [X?],... . Чтобы найти X], X'i и У?, необхо-
димо в производных
dFi dF\ dF\
’ dy't ’ dxi
заменить хг, а:/, уг и у? на a:®, a?j®, wi: w?.
Пусть Fi	означает результат	указанной	подстановки в	Тогда
. dF.	dF*.	dF.
Х$	x} = —i- , У? =----------X ,
dwi	du,.l	dx?
[Fi] = R',
где R* означает результат той же подстановки в функцию R.
Поэтому
1Х*’ = < = 0’	=
В силу сделанных нами предположений функция R не зависит от у
и у', следовательно, R* не зависит от w и w'.
Итак, [Х|]и [X,1] райны нулю, а [У;] зависит лишь от а:® иа/чи, сле-
довательно, является константой.
Итак, из четырех уравнений (8) первые два удовлетворяются автомати-
чески. Четвертое же из этих уравнений позволяет найти тг'?> поскольку
его левая часть представляет собой константу.
Прямое вычисление рядов
433
Далее мы получаем
(папомним, что F% означает результат подстановки ж” вместо ад в Ео),
откуда
4 = -2 тЙ-[^]-т?
f. dx\ dxf.	dx?
Величины п} должны быть константами, то же относится и к производ-
ным dR*ldxOi. Следовательно, [41 также константы.
Действительно, чтобы получить xi, необходимо произвести в dS-Jdy^
(п. 134) замену у и у' на w и w'. Если же ппоизвести такую подстановку в
S± (что приведет к тому же результату), то
1 dSi
Х^ dw%
Но
‘S'i — 2 а1,хУк *$Т,
к
где функция S\ периодическая по у, у’, а аъК — константы. Поэтому
1	, dS-
Х* ~	+ dw
откуда
[41 = аь»,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим левые части уравнений (7) и положим в них р = 2. Если
[х{] — константы, то
[X? + Z?+f/?] = 0.
Из определений следует, что
Поэтому
[Zf] = 0, ul = 0.
[X?] = 0.
К этому выводу, который мы получили исходя из возможности разло-
жений, доказанной в предыдущих главах, можно прийти и непосредст-
венно.
28 А. Пуанкаре
434
Новые методы небесной механики. II
В самом деле,
(РЬ\
dwjdwfc
d-fi '1 , V
- -т-г у* +
aw.aw^
г к
1
auixlxj.
<PFl '!
div.dx,.
г /г
dl\
dux
(10)
Разумеется, я предполагаю, что в FA и F„ переменные yt, х.;,... заменены
па Wi, Xi,... .
Ясно, что среднее значение производной dFJdwi равно нулю. Следова-
тельно, мне осталось еще показать, что алгебраическая сумма средних
значений четырех первых слагаемых в правой части уравнения (10) равна
пулю.
Предположим, что выражения
yi
dwidwti	dwAw^ ' k’
разложены в тригонометрические ряды по синусам и косинусам дуг, крат
пых Тогда Х% окажется разложенным в некоторый ряд того же вида
и речь будет идти о вычислении тех членов этого ряда, которые не зависят
ОТ Wi.
Для этого достаточно вычислить члены, пе зависящие от Wi, в произве-
дении
d^Fi .
dwndw-fc k
и во всех других аналогичных произведениях.
Члены этого произведения, равные константе, получают, рассматривая
член производной
d2Fi
dwidwf- ’
зависящий от
cos (т^ + m2w2 + ... + m^Wg)
(если предположить, что число переменных w равно д) или от
sin (niiWi m2w<, + ... + mqwq),
и член разложения у\, зависящий от такого же косинуса или такого же
синуса.
Заметим прежде всего, что случай
т, — тг — ••• = mq = 0
не доставит нам особого беспокойства.
Прямое вычисление рядов
435
В самом деле,
d^Fi
dwjdwft
представляет собой производную по от некоторой периодической по w
функции и не может содержать членов, не зависящих от w. Это обстоятель-
ство отнюдь не маловажно. Действительно, из него следует, что нам не
нужно вычислять
IH1- (41- • • ••
(Уравнения (6) позволяют найти ylL, х^,... с точностью до произволь-
ной функции от iv, но не дают возможности найти средние значения этих
функций. К счастью, как мы только что видели, эти средние значения не
понадобятся.)
Итак, пусть
пг}, т2,..., mq
— некоторый набор целых чисел (положительных или отрицательных),
из которых не все равны нулю. Введем обозначение
+ m2w2 + •• + mqwq = h.
В двух сомножителях, из которых состоит каждое слагаемое правой
части уравнения (10), отыщем члены, содержащие cosh и sin Л. Именно они,
как мы видели, и дадут те члены в разложении Х%, которые не зависят
ОТ IV.
Итак, пусть
A cos h + В sin h
— члены в разложении Fr, зависящие от h. Очевидно, что А и В есть
функции ОТ х\, Xi° И IVI .
Соответствующими членами будут
в	d*Fi .	
	dwidwfc	
	d2Fi	I dA	, dB '
в		WJ	— s 		 c
	dw-.dw-,.	\	dwj.	dw^
	d2Fi	/ dA , dB '
в		771=	“ H	— C
	duvdx^	\	dx^.	dx1^ ,
	d2Fi	/ dA , dB '
в	duvdx-^	S +	,0 c \ dx^	dx-^ t
(символами s и с мы для краткости обозначили sin/г и cos/г).
7g*
436
Новые методы небесной механики. II
Положим теперь в уравнениях (6) р — 1. Тогда
V „о dxi , dFi
П*	dwk	~ ф	dwi	’
у „о	dVj	dFi
।	dv>k	dxi
Кроме того, у нас имеются еще и другие уравнения, в которых х\,у\,
Wi (но не Wk) и xnt заменены теми же символами, но со штрихами.
Следовательно, если обозначить
4-	+ • • • + mqn°q =	,
то члены, содержащие sin h и cos h, примут вид
В У К-		dA dxk tl	_ dB rfj®.
В	—	dA dxk	dB dxl
в х»:	+ Mmi	.(Ac + Bs),	
*1 в^:	+ м[-	dA	dB S — 	—
Если подставить их в правую часть уравнения (10), средние значения
этих членов обратятся в нуль. Следовательно, как мы уже видели ранее,
[Х|] =0.
Зная это и полагая в уравнениях (6) р — 1, можно без труда вычислить
yf xf у'1, xf
с точностью до произвольной функции от w'.
Итак, нам известны п], и/1 и
У\ —	ж}— [xf], yf — [yf], xf —[xf].
Кроме того, мы знаем, что х] — константа, т. е. представляет собой не-
которую функцию от x°t и Xi. В силу сделанного ранее замечания, анало-
гичного приведенному в конце п. 126, известно, что эту функцию можно
выбирать произвольным образом. Итак, х| можно считать полностью
известной.
Прямое вычисление рядов
437
Затем находим
[<Ч и [г/'/].
Для этого используем уравнения (7), положив в них р = 2.
Эти уравнения, если учесть, что
[Z'2] = [U'l[ = [Г?] = [F?] = 0,
можно записать в виде
(Н)
Выражение для X2 мы нашли раньше [уравнение (10)1. Для того чтобы
получить из него выражение для X2, достаточно заменить на ш/, а
для того чтобы получить Y^, достаточно заменить Wi на х®.
Таким образом, в [X/2] будут, например, члены следующего вида:
[Л-’1 уЯ Г ....	(12)
L du^du^ ’	[ dWidx^ ’
Мы найдем
Г d2Fi	j 1	Г d2Fi , ,	...1	d2R*
- Is/»]) +
L dw.div, J	L dw-dw.	J	dw-dw.
t-n,	l К	I A,
Г d2Fi 11 Г d2Fi , . r ,	d2/?* , „
. j о Я'М —	.-, о (^	i , о
L dw.-dr',', J L dui-wh^	J dw^dx^
Но по предположению R зависит лишь от ^их, . Следовательно, производ-
ные от R* по равны нулю. Отсюда приходим к следующему выводу.
Члены (12), входящие в правую часть первого из уравнений (11), за-
висят лишь от величин
у1~ №	.....
которые известны, и не зависят от величин [г/^], [zjt],..., которые неиз-
вестны. Таким образом, [IVj2] представляет собой некоторую известную
функцию от w'. Следовательно, зная эту функцию, мы можем получить
значение величины [а^1] при условии, однако, что
[[-Y?[] = 0.
438
Новые методы небесной механики. П
Это условие должно выполняться автоматически, поскольку мы за-
ранее знаем, что рассматриваемое разложение возможно.
По той же самой причине [ У{3] также представляет собой известную
функцию. В самом деле, теперь уже известны [ж£], [жц1], но еще не извест-
ны ни [у£], ни [z/fc1!. Но члены разложения [У^2], зависящие от [у]с1 и [у^1],
можно записать в виде
V, d2R* г	d2R*
~ S dx't> dw*	2 dx'Pdw* k ’
а поскольку R* не зависит ни от w, ни от w', эти члены равны нулю и вто-
рое из уравнений (11), присоединенное к уравнению
позволяет получить п? и [у*].
Найдя таким образом [яу1] и [у,1] из (7,3,2) и (7,4,2), что служит обозна-
чением третьего и четвертого из уравнений (7), в которых положено р = 2,
перейдем к отысканию [хЦ.
Проще всего воспользоваться тем, что выражение
+ 2^^
должно быть полным дифференциалом.
Если в это выражение подставить вместо жь У{,..., соответствующие
разложения (2), то коэффициент при любой степени р должен быть пол-
ным дифференциалом. Следовательно, выражения
2 Xidw-t,
2 (Xidwt + rtdyl),
2 (^idWi 4- xldyl 4- Xidyf),
2 (XidWi 4- xfdyl 4- X- dyf 4- xldyi),
должны быть полными дифференциалами. Знак S' следует понимать в том
смысле, что суммирование должно проводиться по всем индексам i и,
кроме того, по всем штрихованным переменным.
Например, если имеется q переменных у, без штрихов и к переменных
у/ со штрихами, то
2 xldWi = xldw1 4- x^dwz 4- • • • 4- XqdWq 4- x^dw± 4- x£dw2 4- • • • 4" x'\dw\.
Прямое вычисление рядов
439
Со	О 'О
другой стороны, так как и г, — константы, выражение
5 x°idyi
всегда представляет собой полный дифференциал, так что мы можем за-
писать
2 xidwi = tZcp1,
2 («i^i + г* dyt) = cZ<p2,
2 (xfdWi + xldy} + Xi dyi) = dq3,	(13)
Кроме того, <р1? ф2, <p3l... должны быть такими функциями от и: и и/,
чтобы их производные были периодическими.
Посмотрим, как можно получить [х^] из уравнения
2 xldWi + 2 xidyi = ^ф2-
Имеем
г2 У' т1 - rf<p2
Но поскольку производные от функции ф2 должны быть периодичны,
Г	~1 __ const
L	J
И
=const- (i4>
В уравнении (14) все члены, за исключением [ж^], известны. Действи-
тельно, мы знаем х}, ж/, у* и, точно так же, dy\ldwb, ибо нам известна
разность у\ — [г/J. Что же касается постоянной, стоящей в правой части
уравнения (14), то сделанное выше замечание показывает, что ее можно
выбирать произвольно.
Итак, мы в состоянии вычислить [ад].
Вычислим теперь [гД1 с помощью уравнения (7,2,2)*. Это уравнение
можно записать в виде
[Л]-4,	(15)
откуда, приравнивая средние значения относительно wf, найдем
[[Уг2] ] = nt	(16)
* См. соглашение, введенное на стр. 438. {Прим. ред.).
440
Новые методы небесной механики. II
Но У? зависит лишь от о.*, у\, ж?, у'^пх^. Величины х\, х'А и у'А полностью
известны. Что же касается у\ и x2it то мы знаем лишь у\ — [г/*] и [,rfj.
Рассмотрим, каким образом У? зависит от х\ и у\. Эта функция имеет
вид
v2 _ V <*2£о о V <PF\ 1	.
i	dx^dx^	" dx^dw.. Ук ’
где А полностью известно.
Отсюда
। v? 1 Vi d?Fo г 2r vi Г <AFi zi . 11\1 V, d2R* i. . .
1 ~	~	— J — 2^,^ 1^1 +
Поскольку R* не зависит от w, а производные d2R*ldx([dwk равны нулю,
[У?] полностью известно и мы получаем возможность найти п\ и [гД] из
уравнений (16) и (15).
Затем последовательно найдем .'4 — [.г?] из уравнений (6,1,2), х'А —
[х?1 — из уравнений (6,3,2), у'2 — [z/i2] — из уравнений (6,4,2), у* —
[у?! — из уравнений (6,2,2), [лД2] — из уравнений (7,3,3), [г//2] и и<3 — из
уравнений (7,4,3), [з:?] — из уравнения (14,3), т. е. из уравнения, которое
таким же образом выводится из третьего уравнения, входящего в сис-
тему (13), как уравнение (14) было выведено несколько раньше из второго
уравнения, входящего в систему (13), [у?] и n'i — из (7,2,3), затем х^ —
— Ml, Xi3 — [x'i3], у-3 — [z/-8], г/?—[г/?1, k-3], [|/?]ип;4, [х<], [z/fl и т. д.
Если придерживаться этого порядка в вычислениях, то их можно про-
должать неограниченно, ибо с каждым новым уравнением добавляется
лишь одно новое неизвестное.
Напомню, что средние значения
[[4п, ПЛ
можно выбирать в виде произвольных функций от x°t и зч°.
Для того чтобы интегрирование указанных уравнений было возможно,
щлжны выполняться определенные условия. Однако мы знаем, что эти
условия выполняются (хотя доказать это непосредственно, несомненно,
гелегко), ибо нам заранее[известно, что соответствующее разложение воз-
10ЖН0.
Применение к задаче трех тел
152. В главе XI мы видели, каким образом применяют к задаче трех
ел принципы, изложенные в п. 134. Очевидно, что и результаты преды-
ущего пункта, непосредственно вытекающие из этих принципов, равным
бразом оказываются применимыми к задаче трех тел. В главе XI мы
Прямое вычисление рядов
441
использовали последовательно следующие переменные:
Л, Л', Ах, Ах, т;,	(1)
Л, Л', рй А1; Ai, (Oj,	(2)
Л, Д', vit Ag, Аг, Vj.	(3)
В переменных (3) уравнения движения принимают тот же вид, что и урав-
нения и. 134 и предыдущего пункта.
Однако замена переменных, позволяющая перейти от переменных (2)
к переменным (3), достаточно утомительна. Чаще всего эксцентриситеты
достаточно малы и эту трудность удается обойти с помощью того искусст-
венного приема, который я указал в конце п. 140. Напомню, в чем состоит
этот прием. Члены р. Fr в разложении F, зависящие от тех степеней экс-
центриситетов и наклонений, показатель которых больше трех, весьма
малы. Если обозначить
\>?F'2,
где цЕ/ означает совокупность членов порядка не больше 3, а ц2Е2' — чле-
нов порядка 4 и выше, то ц2Е’2' будет очень мала, a F2 будет конечна. В
силу этого я могу записать
F = E\,+иХ + и2(А+^2) + и3^з+ •••
и, таким образом, функция F оказывается разложенной по степеням ц.
Если рассматривать Е/ как периодическую функцию от Аги А/, то ее среднее
значение не будет зависеть от coj, так что условия п. 134 будут выполнять-
ся и в переменных (2).
Правда, параметр р., возникающий при таком подходе, будет иметь
несколько иной смысл, чем обычно, но это обстоятельство не очень важно,
ибо цель введения этого параметра заключается лишь в том, чтобы выя-
вить порядок величины различных членов.
Коль скоро мы условились о таком понимании параметра ц, результаты
предыдущего пункта оказываются непосредственно применимыми к рас-
сматриваемой нами задаче. Однако для того чтобы избежать тех трудно-
стей, о которых говорилось в главе XII, я вместо переменных (2) буду
придерживаться переменных (1), что приведет к некоторым изменениям
в этих результатах. Я особо подчеркиваю необходимость этих изменений.
Для большей симметрии обозначений я буду на протяжении оставшейся
части этой главы писать Хи А/вместо А^иА/, Fx вместо Fx', F2 вместо F2 +
+ F2. Ясно, что это не может привести ни к каким недоразумениям.
442
Новые методы небесной механики. П
Мы знаем, что переменные (2) допускают формальные разложения по
возрастающим степеням р следующего вида:
А = 2 рЛА*.,	А' = 2 рЛЛк,
V =	(4)
Рг = 2 ®г = 2 pM-
Здесь Afe, Л/, kl;, kk, pk, сщ — периодические функции от w и w', за иск-
лючением случая к = 0; А„, Ло' и р? — константы; к0 и л0' равны и\ и w2,
а величина неравна .
Выбрав переменные (1), мы аналогичным образом получим
Ъ = УиМ, Ti = У рМ,	(4)
где иг* — периодические функции от w и и/. Если для краткости обоз-
начить константу ]Л2р? символом ж'0, то
б? = Y2р? cos	= ж'°соз ик ,
т? = ]/г2р? sin и? = ж'°зтм/ [4в].
Добавлю еще, что выражение
Adk + A'dk' + Spjdwj
должно быть полным дифференциалом. Отсюда следует, что полным диф-
ференциалом должно также быть и выражение
Adk Д- A'dk' -}- 2<Г;<7т|,
ибо
2 бДТ; = 2 Pid“i + у 2 d (3 Ai)-
Если мы придадим переменным гл;, w(,	тот же смысл, что и в
предыдущем пункте, то уравнения запишутся в виде
SdA , V ' dA dF	,r.
Эти уравнения аналогичные уравнениям (3) из предыдущего пункта точно
так же, как разложения (4) аналогичны разложениям (2) того же пункта.
Разумеется, к уравнениям (5) следует еще присоединить и другие
уравнения, в которых вместо Л и к фигурируют соответственно Л'и к ',
А, и —Л, к' и —Л', щ и ту и — щ. Добавлю, кроме того, что число пара-
метров w равно 2 в задаче трех тел и п — 1 в задаче п тел, тогда как число
Прямое вычисление рядов
443
параметров ш' в задаче трех тел равно 4, в пространственной задаче п
тел равно 2п — 2 и в плоской задаче п тел равно лишь п — 1.
Подстановка разложений (4) и разложений, полученных для щ и п(,
в уравнения (5) приводит к тому, что обе части этих уравнений разлагаются
по степеням р,, и мы можем записать
ТГ = 3 н’Ьр' ,7'- = 3 и’Т'р,
Эти уравнения аналогичны уравнениям (9) и (10) из п. 127 и другим урав-
нениям, встречавшимся в предыдущем пункте.
Будем производить вычисления в порядке, указанном в предыдущем
пункте, и положим
2 пк ~ = 2' ир4 4^- + 2 ир«£ 4^~ - 2
к dwk	г «	I	It	4-1 г" p
Знаки S и S' в этих уравнениях имеют тот же смысл, что и в уравнении
(4) предыдущего пункта. Кроме того, к этим уравнениям надлежит при-
соединить другие уравнения, в которых вместо символов
Л, Лр, Ло, Zp
фигурируют те же символы, но со штрихами, или же символы
или же эти символы, но со штрихами, или же
О?, Zf,
или же, наконец, символы
Ti, ТГ, т?, Tt
Разумеется, не следует смешивать Zp и Zp, Тр и Tf.
Аналогично, положим
3	= 2 и’»:	+3 и’»?	- 3 ^и,.
к к	dwK
В этих уравнениях знаки 2 и S' имеют такой же смысл, как и в уравнениях
(5) предыдущего пункта. К выписанным только что уравнениям следует
444
Новые методы небесной механики. П
присоединить другие уравнения того же вида, в которых буквы
А, Ар—j, Ад, Uр
заменены теми же буквами, но со штрихами либо буквами
А, Ар_1; X.Q, Vp,
либо только что выписанными буквами, но со штрихами, либо
Он оГ1, <$, и?,
либо
Тн ТГ1, т?, V?.
После этого мы можем выписать цепочку уравнений, аналогичных урав-
нениям (6) предыдущего пункта.
Если для краткости обозначить через и некоторую функцию, такую, что
Л
2»?^4 = д'и,
К (1ак
то эти уравнения запишутся в виде
ДЛР + A'Ap—j = Lp Ц- Uv,
ДАР + Д'Ар—1 = /р + Tp^-Vp — nf,
Дз£ 4- Д'оГ-1 = Si + Zp + Up -f- npXi°sin w’i,	(6)
ДтГ -J- A'rf-1 = Qf -j- Тр 4- V? — пр cos.w'i.
К двум первым уравнениям системы (6) необходимо присоединить еще
два других, которые отличаются от них тем, что все буквы заменены бук-
вами со штрихами, за исключением nf. Вместо пр в этих уравнениях фи-
гурирует Па- Так же, как и в предыдущем пункте, при р = 0 левая часть
этих уравнений обращается в нуль. При р = 1 обращается в нуль второе
слагаемое в левой части.
Приравнивая средние по w значения правых и левых частей, получим
уравнения, аналогичные уравнениям (7) предыдущего пункта. Они записы-
ваются в виде
Д' [Др—i] = [Lv 4- Zp 4- Up],
Д'[^р—J = Up +	Ер]—n'i,	(7)
Д' = [АГ + Zf 4- Up] 4- npXiSinWi,
Д' [тГ1] = [6>f 4- Tf 4- Vp] - n?x? cos w'i.
Прямое вычисление рядов
445
При р = 0 и р =1 левая часть должна обращаться в нуль.
Кроме того, мы присоединим к ним уравнения, аналогичные уравне-
ниям (13) и (14) предыдущего пункта.
В самом деле, мы видели, что выражение
AdA, + A'dX' 2 GjdTj
должно быть полным дифференциалом некоторой функции, все производ-
ные которой периодические. Следовательно, этими же свойствами будут
обладать и выражения
2 AodAo -|- 2 <5? dr®,
2 (AjdXo + AodAx) + 2 (а^т? + б?йт|),
2 (A.^dK0 -|- AxdAx + A0dX2) -}- 2 (а?йт® + s^dx} Ц- б?йт?), ....
В каждом из этих выражений первая сумма 2 беретсядля двух планет,
так что, например,
2 AgrfAg — A0dX0 -1— AqC^Aq.
Если мы будем временно рассматривать величины ш' как константы, а
w как единственные переменные, эти выражения тем более будут полными
дифференциалами; но dx" и будут нулями, так что и
afc/rt и G°idXi = d^dxf)
будут полными дифференциалами. Поскольку AodXp также будет полным
дифференциалом и Хо = и\, л0' = w2, выражения
Ахйщх + Axdu?2,
A2dwt —А23щ2 -|— 2 AxtZAx 2	,
A3dwx + A.zdw2 + 2 (А2йХх -f- AxdX2) -f- 2 (sidr} + <5i*drf), . . .
также будут полными дифференциалами функций, производные которых
периодичны и, следовательно, таких, что среднее значение их производных
по шх и w2 не зависит от w'.
Проводя те же рассуждения, к которым мы прибегали в предыдущем
пункте при выводе уравнений (14) из уравнений (13), найдем
[Ах] = const,
I Аг] + 2 |лх	2	= const,
/О\
. . , I V Г Л d'^' I л 1 , V Г 2 dXi ,	1 dxi 1
[А3[ +2[Л2	Л1^Г]+ 2j|	+3i-^J = COnSt’
446
Новые методы небесной механики. II
Сначала рассмотрим уравнения (6), положив в них р = 0. Нетрудно,
видеть, что эти уравнения выполняются автоматически, поскольку (в си-
лу сделанного нами предположения) Ло и Ло' представляют собой констан-
ты, величины А-о и Хо' равны шх и ш2, величины о® и т® равны х[° cos и
x'i° sin wx , rii равны нулю, a n® принимают надлежащие значения.
Перейдем теперь к уравнениям (7) и положим в них р = 1. Так же, как
в уравнениях (8) предыдущего пункта, получим
Ui] = ni>
[<Э£]=лг?о?.
Так же, как в предыдущем пункте, установим, что Щ], и [0|Г
являются производными от R по А, т4 и —О;. Разумеется, величины Л,
X, щ и ti в R следует заменить на Ло, Хо, <з® и т/. Выражение для R, име-
ющее вид
(8bis)
мы нашли в главе X. Здесь и В зависят от Л и Л'.
Точно так же ясно, что уравнения (8 bis), за исключением второго, удо-
влетворяются автоматически, поскольку
-2А°.
dBo
dXo ’
Это равенство имеет место, ибо
[А1] = 0, ]#] = 2Л?т°,	[01] = -2Л°3°
(Л° и Во представляют собой результат подстановки в Л; и В величины Л„
вместо Л).
С другой стороны,
,1г р	d-F •	_ dA°,
i^i = - 44-1- -тгтё
dXodXo	“Ao
как мы видели выше, [Л1] и [А-/] должны быть константами, поэтому [ZJ
также должно быть константой, которую мы можем приравнять тг^.
Для того чтобы вычисления можно было проводить в том же порядке,
что и в предыдущем пункте, необходимо рассмотреть теперь уравнения
(6,1,1), (6,3,1), (6,4,1)*.
Левые их части равны
AA1T До|, ДТ|,
* Т. е. 1-е, 3-е и 4-е уравнения (6) при р = 1 в соответствии с соглашением стр. 438.
Аналогичные обозначения используются ниже. (Прим. ред.).
Прямое вычисление рядов
447
а правые части представляют собой известные функции, периодические по
w и w', средние по w значения которых равны нулю вследствие того, что
выполняются уравнения (7) (р = 1).
Поэтому так же, как в предыдущем пункте и в п. 127, можно проинтег-
рировать указанные уравнения и найти
Ai— [Ai], ot—[si], T- —[t|J.
Поскольку мы знаем, что среднее значение [AJ равно некоторой произ-
вольно выбираемой константе, величину Лг можно считать полностью из-
вестной.
Рассмотрим уравнение (6,2,1), левая часть которого равна ЛХх. Так
как правая часть не содержит других неизвестных величин, кроме Л15
ее следует считать известной функцией и от w. С помощью метода, которым
мы только что пользовались, получим величину
%! - [AJ.
Теперь необходимо найти lof] и [т*] с помощью уравнений (7,3,2) и
(7,4,2). Правая часть этих уравнений известна не полностью. В самом деле,
она не зависит от 1Л,Х], но зависит от [Axl, [О/J и I'd-]. Члены, которые зави-
сят от этих величин, можно записать, например, в виде
dPR*
—J dr® t/До
tPH'
&R [ТЩ
Л? л» 1 н
[для уравнения (7,3,2)].
Первое слагаемое известно, поскольку известно [2ц]. Из приведенною
выше вида функции R* видно, что все вторые производные этой функции
равны нулю, за исключением производной d2R*/dxf. Следовательно, два
последних слагаемых равны
2А°[т*] = -п?[тф].
Кроме того, в правой части уравнения (7,3,2) имеется член, содержащий
n?^-°sin ш/, а в правой части уравнения (7,4,2) — член, содержащий п,1
^°cos . В эти члены входит неизвестная величина n'i2.
Таким образом, правая часть уравнения (7,3,2) равна — плюс
некоторая известная функция от w' (и от щ2). Точно так же правая часть
уравнения (7,4,2) представляет собой известную функцию от w' (и от п2).
В результате уравнения запишутся в виде
A' [<5i] +	= <рх + nix'isRiw'i,
, , , . (»)
Д' [Ti ] — Hj1 [б{ ] = ф2 — nfxi COS Wi ,
448
Новые методы небесной механики. II
где <р± и <р2 — известные периодические функции от ш'. Пусть для крат-
кости
h = rrtyWy 4- т2//;2 + • • • + mqwq,
где т’ — некоторые целые числа, и точно так же, пусть
Л' = туПу -|- т2п2 + • • • + mqnq.
Предположим, что
А у cos h + By sin h,
A2 cos h A~ B2 sin h
— те члены известных функций (р, и <р2, которые содержат /г, а
Су cos h + Dy sin h,
C2 cos h D2 sin h
— аналогичные члены неизвестных функций [ст’] и [т;]. Нам необходимо
выразить коэффициенты С и D через коэффициенты А и В.
Приравнивая коэффициенты при sin h и cos h. получим из уравнений
(9)
NDy +	= Ay,
-	NCy + n?P2 = By,
ND2 - n^Cy = A2,	(10)
-	NC2 — ni1Dy = B2.
Уравнения (10) позволяют вычислить неизвестные коэффициенты С и D,
если только определитель системы (10) не равен нулю. Но этот определитель
равен
[№ - (щ1)2]2.
Поэтому он может обращаться в нуль только при условии, что
У = ±п?,
т. е. (поскольку между величинами п’С не существует никакого линейного
соотношения с целыми коэффициентами) при условии что
h --= ± wi,
либо, что то же (поскольку мы не различаем члены, содержащие h и —h
h = wi.
Прямое вычисление рядов
449
Приравняем коэффициенты при одинаковых членах, содержащих wi,
в правых и левых частях уравнений (9). Для краткости я буду писать
7г вместо wi (и Nвместо п/1), поскольку предполагается, что h = ш/, и
буду по-прежнему обозначать через Ау, By,... коэффициенты при cos h и
sin h в функции q)j и т. д. Единственное отличие состоит в том, что урав-
нения (10) уже не будут иметь тот же вид, что и раньше, поскольку необ-
ходимо учитывать члены, содержащие П;2, которые входят в правые части
уравнений (9). В результате имеем
N{Dy+O) = Ay,
N (- Сх + D.i) = By 4- и'2ж-°,	(lObis)
z¥ (Z)2 — Ci) = A2 — ni'Xi,-
— N (C2 — Di) = B2.
Чтобы эти уравнения были совместны, необходимо, очевидно, чтобы
+ В2 = 0
и
А2 - By = 2п?х°.	(И)
Первое из этих условий должно выполняться автоматически, посколь-
ку мы знаем, что рассматриваемое нами разложение возможно. Из второго
условия получаем значение и,2.
Если эти условия выполняются, то уравнения (lObis) не являются
различными. Эти уравнения позволяют найти Су и Dy, если С2 и D2 из-
вестны. Я утверждаю, что коэффициенты С2 и D2 можно выбирать произ-
вольно и докажу это с помощью рассуждения, аналогичного тому, которое
проводилось в п. 126. В самом деле, вид рядов не изменится, если припи-
сать к Л0, Ло', ху°, Wi и w' произвольные функции от ц; А 0 и Ху , при условии
что эти функции делятся на ц. Число таких произвольных функций равно
числу переменных; в случае пространственной задачи трех тел оно равно 12.
Следовательно, этими функциями можно воспользоваться для того, чтобы
удовлетворить 12 условиям. Например, с их помощью можно сделать сред-
ние значения Л, А', X, А,', а также коэффициенты при cos wi и sin wi в че-
тырех функциях Tj, произвольными функциями от р, и констант Ло и Ху .
Эти функции должны разлагаться по степеням ц. Если члены такого раз-
ложения рассматривать по отдельности, то видно, что коэффициенты при
cosw;' и sin wi различных функций ТуР можно выбирать произвольно. В част-
ности, это относится и к коэффициентам С2 и D2.
Таким образом, уравнения (9) позволяют определить [<т£] и [т|].
Найдем теперь [Л2]. Для этого воспользуемся вторым уравнением (8),
где все члены, за исключением [Л2], известны. Аналогичным образом
найдем [Л2'1.
Вычислим теперь с помощью уравнения (7,2,2) величину [Х2]. Это урав-
нение (ср. с уравнением (7,2,2) предыдущего пункта и с теми рассуждения-
29 А. Пуанкаре
450
Новые методы небесной механики. II
ми, которые мы проводили, когда воспользовались этим уравнением для
нахождения [t/j1]) можно записать в виде
A' [XjJ = А — tf,
где А — полностью известная периодическая функция от и/. Это урав-
нение можно проинтегрировать, если приравнять tf среднему значению
периодической функции А так, чтобы среднее значение правой части было
равно нулю. Аналогично определяются ]А,/] и п1- Остается определить
последовательно при помощи тех же методов
Л2 - [Л2] из уравнения (6,1,2),
о? — [а?] из уравнения (6,3,2),
т? — [т2] из уравнения (6,4,2),
%2 — [Х2] из уравнения (6,2,2),
[су?], [г?] и из уравнений (7,3,3) и (7,4,3), [Л3]из третьего уравнения
системы (8), [AJ и п? из уравнения (7,2,3) и т. д.
Различные свойства
153. Шесть величин, Лр, Хр, of, xf, nf, п$, найденные в предыдущем
пункте, представляют собой функции от Ло, w, xf и wf, но поскольку
о<? = х’о cos w'., т® = ж'.° sin w'.,
г г г' г г г'
мы можем точно так же считать их функциями от Ло, и;, о® и т9. Я намере-
ваюсь доказать, что эти функции можно разложить по степеням cfiuxf.
Это утверждение допускает иную формулировку, эквивалентность ко-
торой с приведенной выше очевидна. Вернемся к переменным Ло, w, xf,
inf. Наши функции Лр>... будут периодическими по w и w' и, следователь-
но, будут разлагаться в тригонометрические ряды. Пусть
A cos h или A sin h
— какой-нибудь из членов такого ряда. Я предполагаю, что
h = S 4- 2
где и mf — целые числа, положительные или отрицательные. Коэф-
фициенты А зависят от Ло и xf.
Наше утверждение можно сформулировать следующим образом: А
разлагается по степеням xf. Это разложение делится на
Прямое вычисление рядов
451
и все его члены содержат х® в четной степени, если тг' четно, или в не-
четной степени, если т{ нечетно.
Для того чтобы доказать это утверждение, я воспользуюсь рассужде-
нием по индукции. В предыдущем пункте мы последовательно нашли
функции Ар,... из нескольких уравнений, нумерацию которых я сохра-
няю прежней.
Требуется доказать, что функции, определяемые из этих уравнений,
можно разлагать по степеням о0 и т°.
Замечу прежде всего, что функцию F можно разлагать по степеням щ и
Tj! функции, которые мы обозначили Lp, lp, S^, 0₽, разлагаются по сте-
пеням
Ai, Л2, . . . , Лр, . . .
(и по степеням тех же величин, (12)
х’ 2’ ’ ‘ ’ ₽’ ' ’ ‘	но со штрихами)
б®, 61, о?,. . . , о?,. . .
т?, т1, т?, . . . , т?
Если припомнить смысл величин Zp и т. д., то отсюда следует, что
правые части уравнений (6) будут разлагаться по степеням величин (12),
их производных по w, w' и, наконец, по п? и п?.
Я хочу доказать, что все эти величины так же, как и правые части урав-
нений (6) и (7), разлагаются по степеням п° и г®. Для этого я перейду к
рассмотрению последовательности операций, с помощью которых в пре-
дыдущем пункте мы выводили эти величины друг из друга, и покажу, что
ни одна из этих операций не нарушает этого свойства.
Операции, о которых говорилось, состоят в следующем.
1.	В правые части уравнений (6) вместо величин (12), их производных
и величин п|, п? подставляют их предварительно вычисленные значения.
Так как правые части уравнений (6) разлагаются по степеням подставлен-
ных величин, а последние в свою очередь (ибо мы рассуждаем по индукции
и предполагаем, что ранее вычисленные величины обладают требуемым
свойством) разлагаются по степеням <т° и т°, то очевидно, что результат под-
становки также будет разлагаться по степеням и т°.
2.	Вычисляется среднее значение какой-нибудь известной периодиче-
ской функции либо только по w, либо по w и по w'.
Именно к этой операции мы прибегаем при выводе правых частей урав-
нений (7) из правых частей уравнений (6), а также, когда, обращая в нуль
среднее значение правой части уравнения (7,2,2), приравниваем константы
п? среднему значению функции А (см. выше в конце предыдущего
пункта).
Поскольку эта операция состоит в вычеркивании членов в тригономет-
рическом разложении рассматриваемой функции, очевидно, что она не мо-
жет нарушить справедливость сформулированного утверждения.
29*
452
Новые методы небесной механики. П
3.	Дифференцирование величин (12) по w или по w'.
Пусть так же, как и раньше,
A cos h или A sin h
— некоторый член разложения той величины, которую мы дифферен-
цируем.
Производной этого члена по zp4 будет
— 4пг{зт h либо AnijCos h.
Его производная по будет иметь вид
— Ami'sin h или Am/cos h.
Ясно, что если А удовлетворяет сформулированному условию, то этому
же условию удовлетворяют также
± Ami и ± Ат\.
4.	Интегрирование уравнений (6) — (8).
Некоторые из этих уравнений позволяют нам сразу же получить не-
известные величины. Таковы уравнения (8) и уравнения, из которых мы
находим пР; последние следует выбирать так, чтобы среднее значение пра-
вой части уравнения (7,2, р) было равно нулю. Однако другие уравнения
подлежат интегрированию: таковы, например, уравнения (7), имеющие
вид
- dx	. -	dx	,. q ,
	Ьп~,— =	У,	(13)
1 dwy---------------------------------2 dw-t	x '
где x — неизвестная, а. у — известная периодическая функция. Пусть
тогда
A cos h или A sin h
— один из членов разложения у. Соответствующий член разложения
запишется в виде
А . ,	А	,
—--------— sin h или —-----------— cos h.
n"mi +	n"mi + ntym
Ясно, что если А удовлетворяет поставленному условию, то ему удов-
летворяют и
4- —---------.
+ п^т.2
Те же соображения применимы и к уравнению (7, 2, р), которое после
того, как п? выбраны так, чтобы среднее значение его правой части было
Прямое вычисление рядов
453
равно нулю, принимает вид
(14)
г
где у — известная, а х — неизвестная функция.
Такой же вид имеет и уравнение (13). Заметим, что щ1, а также п?
зависят от До, но не от Ж|°. Следует еще добавить, что уравнение (14) оп-
ределяет неизвестную функцию х с точностью до некоторой постоянной,
которую можно выбирать в виде произвольной функции от Ло и ж,'0. Разу-
меется, для того чтобы теорема была справедливой, следует так выбирать
эту произвольную функцию, чтобы она разлагалась по целым степеням
(.г?)2.
Аналогично уравнения (8) определяют [Лр] с точностью до некоторой
постоянной, которую можно выбирать произвольно. Этот выбор необхо-
димо производить так, чтобы
[[Лр]|
разлагалось по степеням (ж?)2.
5. Интегрирование уравнений (7, 3, р) и (7, 4, р) проводится почти та-
ким же образом.
Рассмотрим, например, уравнения (9) и вернемся к обозначениям, ко-
торыми мы пользовались при рассмотрении этих уравнений.
Прежде всего рассмотрим случай, когда величина h не равна ±
и когда определитель системы линейных уравнений (10) отличен от нуля.
Тогда ясно, что если коэффициенты	В17 А2, В2 удовлетворяют постав-
ленному условию, то коэффициенты	D±, С2, О2, получаемые из урав-
нений (10), также удовлетворяют ему.
Перейдем теперь к случаю, когда h — wt', и вместо уравнений (10)
надлежит рассматривать уравнения (lObis).
Имеем прежде всего уравнение
-2	— -®1
П? = ----77  •
2хг
Предположим, что А2 и Ви которые представляют собой коэффициенты
разложения заранее вычисленной функции, удовлетворяют наложенному
условию, т. е. что они разлагаются по степеням жр, что это разложение
можно разделить на х? и что полученное частное будет содержать лишь
четные степени ж^0. Отсюда следует, что п? содержит лишь четные степени
х^° и, следовательно, удовлетворяет нашему условию.
Обратимся снова к уравнениям (lObis). Очевидно, что коэффициенты
Сг и 2?! удовлетворяют наложенному условию, поскольку ему удовлетво-
ряют С2 и D2. Однако мы видели, что коэффициенты С2 и D2 можно вы-
бирать произвольно. Поэтому их всегда можно подобрать так, чтобы это
454
Новые методы небесной механики. II
условие выполнялось. Разумеется, теорема остается в силе лишь при выпол-
нении указанного условия.
Поскольку интересующее нас свойство не теряется ни при одной из
операций, оно остается в силе и при выполнении всей совокупности этих
операций.
154. Обратим теперь внимание на то, что уравнения движения не из-
меняются, если Л и Pi остаются без изменений, а К и получают одно и
то же приращение.
Рассмотрим разложения (4) (я по-прежнему сохраняю нумерацию
п. 152). Поскольку средние подай w' значения величин ЛР,ХР, Лр', Хр',рр,
можно выбирать произвольно, я задам их каким-нибудь образом.
Тогда ряды (4) будут единственными, удовлетворяющими формально
уравнениям движения и, кроме того, двум условиям, а именно, все их
средние значения должны быть известны и
SAA.cZ -|- SpicZaii	(15)
— полный дифференциал.
В самом деле, вычисления, произведенные в п. 152, позволяют одно-
значно определить коэффициенты этих рядов, удовлетворяющих указан-
ным различным условиям.
Прибавим теперь к X, А/ и одну и ту же константу. В силу замеча-
ния, сделанного в начале данного пункта, мы по-прежнему сможем удовлет-
ворить уравнениям движения, причем ряды (4) не изменятся, за исключе-
нием того, что Ао, Ао' и <»/ перейдут в wY + a, w2 + а и. + а.
Заменим далее и на zp4 — а и w( — а. Ряды будут иметь преж-
ний вид, т. е. Лр, А'р, рр, <вр (р )> 0) по-прежнему будут периодически-
ми функциями от w и w', среднее значение которых сохранится. Они так-
же будут формально удовлетворять уравнениям движения, поскольку я
лишь вычел из произвольных постоянных Si и некоторую постоян-
ную а.
Наконец, выражение (15) по-прежнему будет полным дифференциалом.
Следовательно, эти ряды не могут отличаться от рядов (4), которые яв-
ляются единственными рядами, удовлетворяющими всем этим условиям.
Это означает, что Лр, Ар, со;р (р )> 0) не изменяются, если w и w’ одно-
временно уменьшить на одну и ту же величину.
Другими словами, если
A cos h или A sin h
представляют собой некоторый член разложения Лр, Ар, рр, ®р и
h =
то алгебраическая сумма целых чисел ггц и т' должна быть рае на нулю.
Отсюда нетрудно заключить, что если
A cos h или A sin h
Прямое вычисление рядов
455
представляют собой некоторый член разложения of или rf, то та же самая
алгебраическая сумма должна быть равна ±1. Добавлю еще, что для
разложений величин
a? coswk r?sin wk,
тр cos wk — <зР sin wk
(а также для разложений этого же вида, в которых вместо wh фигурирует
wk) эта сумма равна нулю.
Другие свойства мы получаем из соображений симметрии и аналогич-
ных рассуждений.
Например, если все симметрично относительно плоскости xz, то урав-
нения движения не изменятся, если изменить знаки величин X, К' и
т;, не изменяя величин Л, Л' и о{.
Предположим далее, что в разложениях (4) средние значения величин
Хр и т?, которые можно выбирать произвольно, равны нулю. Произведем
замену переменных
X, X', тг
на
—X, —X,
и одновременно переменных и\ и на
— Wi и — Wi .
Ряды (4) сохранят свой вид и будут по-прежнему удовлетворять урав-
нениям движения. Средние значения величин Лр и of не изменятся, сред-
ние значения величин Хр и xf останутся равными нулю. Наконец, выра-
жение (15) будет по-прежнему полным дифференциалом.
Это возможно лишь в том случае, если ряды (4) не изменятся. Следова-
тельно, не изменятся Лр и of. Величины же Хр и xf изменят знак одновре-
менно с w и w’.
Это означает, что разложения величинЛи о, содержат лишь косинусы,
тогда как разложения X и т; содержат лишь синусы.
К аналогичным выводам можно1 прийти и в случае симметрии относи-
тельно плоскости ху.
Предположим, что мы имеем дело с пространственной задачей трех тел.
Пусть в качестве переменных выбраны
Л, Л', о1? оа, а3, о4,
X, X , Т-£, Т2, Тд, т4.
Третья и четвертая пары переменных определяют эксцентриситеты и
перигелии, две последние пары переменных определяют наклонения и уз-
лы.
456
Новые методы небесной механики. II
В силу только что указанной симметрии уравнения не изменятся, если
у переменных <т3, d4, т3 и т4 изменить знак, оставив остальные переменные
без изменений.
С помощью рассуждений, полностью аналогичных тем, которыми
мы пользовались выше, можно усмотреть, что ряды (4) не изменятся при
одновременной замене
(Т3, ^4? Т3, 1<4} ZP3
на
—а3, — о4, — т3, —т4, + ш3' + л, + n’t + л.
Отсюда должен следовать вывод о том, что в разложениях (4), которые
производятся по косинусам и синусам величины
h = SmtiPj +
сумма т3' + т/ должна быть четной для разложений величин
Л, Л',	о2,
Ai, X , т^, т2
и, наоборот, нечетной, для разложений
сг3, ст4,
т3, ^4*
155. В п. 152 для упрощения изложения и вычислений я воспользо-
вался искусственным приемом, о котором уже говорилось в конце п. 140
и упоминалось в начале п. 152. Он состоит в том, что некоторые члены счи-
таются членами второго порядка, хотя относительно масс они являются
членами лишь первого порядка.
Законность такого приема основывается на крайней малости этих чле-
нов. Однако применение его все же приводит к некоторым трудностям.
В самом деле, в результате применения такого приема изменяется смысл
параметра р. Положив р = 0, мы приходим к частному случаю задачи
трех тел, когда массы возмущающих тел равны нулю, а движение кепле-
ровское. Придав параметру ц некоторое очень малое, но вполне опреде-
ленное значение, мы приходим к другому частному случаю задачи трех
тел, соответствующему подлинным значениям масс тех тел, кото-
рые мы рассматриваем. Однако если придать р некоторый проме-
жуточный смысл, то уравнения превратятся в уравнения некоторой
динамической задачи, не имеющей никакого отношения к задаче трех тел.
Иначе обстояло бы дело, если бы за параметром р мы сохранили его
первоначальный смысл, определенный в п. И. В этом случае, каково бы
ни было значение, придаваемое р, наши уравнения были бы уравнениями
задачи трех тел, соответствующими некоторым значениям масс.
Прямое вычисление рядов
457
Поэтому было бы удобнее понимать параметр р. в его первоначальном
смысле и попытаться разлагать наши переменные не только по степеням
р, но еще и по степеням тех констант, которые мы обозначили х\(1 (имею-
щих порядок эксцентриситетов).
Тогда уравнения движения имели бы прежний вид и лишь среднее зна-
чение функции Flt которое я всегда обозначал символом R, имело более
сложное выражение. Функция R уже не выражалась бы в виде
Я = 5 +	+	(16)
как это было в п. 152, а разлагалась по возрастающим степеням ог и т{.
Правая же часть выражения (16) содержит лишь первые члены такого раз-
ложения, а именно члены порядка 0 и 2 (как известно, все члены разложе-
ния имеют четный порядок).
Итак, разложим наши переменные (1) по степеням р, и х1°. Разложения
(4) сохраним в прежнем виде. Пусть, кроме того,
Лр = Лр,0 -р Лр, х Лр, 2 + . . . ,
Лр = Ар, о + А,р,! Ар, 2 + . . • ,
а? = бР.о + а?>,1 + аР.2+. . . ,	(17)
Т? = Т?-° + Т?-1 + ТР-2 + . . . ,
г г 1 г 1 г 1
где
Лр, q, Ар, q, СР- ТР,<?
означают совокупность членов порядка q относительно
Я по-прежнему предполагаю, что
Ло = const, Ао = и\
и, следовательно,
Ло, q = Ао, q = 0 при 2>0,
однако я не предполагаю более, что
б? = х'.° cos w'., т° = £°sin w'..
г г	г1 г г	г
Вместо этого пусть
б». о = то, о = о
г	г	’
б?> 1 = х'.° cos w’.,	т°-1 = ж'.0 sin w'.,
i	г	г’ г	г	г’
но величины о?л, т®’5, вообще говоря, отличны от нуля.
Сделав эти предположения, обратимся вновь к вычислениям, произве-
денным в п. 152.
В этом пункте мы прежде всего рассмотрели уравнения (6), в которых
положили р — 0. Эти уравнения будут удовлетворяться, ибо щ0 равны
458
Новые методы небесной механики. II
нулю, о ° и не зависят от а зависят лишь от в силу сделанных нами
предположений.
Далее идут уравнения (7), в которых мы положили р= 1 [ср. с урав-
нениями (8 bis из п. 152)]. Однако необходимо заметить, что вид уравнений
(6) и (7) на этот раз несколько изменился.
В самом деле, рассмотрим в уравнениях (6, 3, р), (6, 4, р), (7, 3, р),(7, 4, р)
последний член в правой части. Этот член можно записать в виде
X?	X? d®?
для уравнения (6, 3, р). .. — 2j «£ XT ~ V ,
)с	к к г/а’к
X?	X'	dri
для уравнения (6, 4, р) . . . — 2j хд — 2j ’
к	'г	к	dwk
xi	ЙЗ,
для уравнения (7, 3, р) . . . —	,	(18)
хп
для уравнения (7, 4, р). . . —	.
л 11 ик
В п. 152 величины о ° и т® были равны
х'°cos w'. и xf*sin w'.,
г г г г’
поэтому выписанные четыре члена были бы равны
sin
4- пРх'9	w'.,
~~ 1 1 cos г
о о
однако теперь и rz не равны указанным выражениям и выписанные чле-
ны необходимо сохранять в виде (18).
Уравнения (7) при р = 1 запишутся в виде
dR  	d3i	dR _ у» ,х
dt'-1	,г dwj, ’ do?	* dw,
z	л.	г	к
Разумеется, следует помнить, что Л, X, о; и Г; в функции R заменены ве-
личинами Ло, %0, и т°.
Эти уравнения представляют собой те же уравнения, которые разби-
рались в главе X, но записанные по-другому. Первое уравнение выпол-
няется автоматически. Поэтому мы рассмотрим два последних уравнения,
о о
из которых следует находить ог- и т;-.
Прямое вычисление рядов
459
Разложим n'i1 по степеням х1°. Пусть
п;1 =	(20)
где п'^’Ч означает совокупность членов порядка q относительно х{°.
Подставим в два последних уравнения (19) вместо о®, т®, п'А разложения
(17) и (20) и приравняем члены одинакового порядка в правых и левых
частях. Для краткости введем обозначение
Д"и =	.
Если приравнять члены первого порядка относительно х{°, то
Д"а?д = 24®т®д; Д"т?д = — 24®о?д.
Эти уравнения удовлетворяются, поскольку
и?’0 = - 24?.
Предположим теперь, что мы уже нашли
б?’1, д0,2, . . . , б?>
ТМ, Т0,2,	, то, 9-1,
м'.1'0, п.1-1, . . . , п'.1’ В 9~2
и что требуется найти
о?- ®, Т°’	п'.1’ 9-1
г ’ г 1 г
В обеих частях двух последних уравнений (19) приравняем члены по-
рядка q. Эти члены имеют вид:
в третьем уравнении
левая часть:	2Л^0,« 4~ известные величины,
правая часть: Д"с^°> 9 4-п,'1, 9 1  1 . । известные величины,
awl 1	’
в четвертом уравнении
левая часть:	—2Л;з,°> ч -|- известные величины,
ЙТ0’1
правая часть: Д"т4 > ч _р ni, ч i , 4. 11гВестные величины.
Следовательно, мы можем записать
Д"б“- ч и'1-0!?- ч = <рх -j- n't, з-1д?'оsin w'v
Д"т»- ч 4- п.1^- ч = фа 4- п'1’Ч-1х-оcos w\,	(21)
где фх и <р2 — известные периодические функции от w'.
460
Новые методы небесной механики. П
Аналогия этих уравнений с уравнениями (9) очевидна. От одних урав-
нений к другим можно перейти с помощью замены [о|], [т|], п*-, п? на
П?Л, Т?-9, П»М, ^1,3-1.
Следовательно, с уравнениями (21) можно поступить так же, как с
уравнениями (9). Условие применимости метода, которым мы пользова-
лись, аналогичное равенству нулю суммы + В2 в уравнениях (10 bis),
должно выполняться автоматически, ибо мы заранее доказали возмож-
ность разложения.
Чтобы удовлетворить двум последним уравнениям (19), R должна быть
постоянной (ибо оба эти уравнения допускают в качестве интеграла, ана-
логичного интегралу живых сил, R — const). Поскольку это должно быть
верно, каковы бы ни были постоянные 10, и Ло', производная — dR/dA.n
точно так же должна быть постоянной, зависящей лишь от Ло и xj0.
Но
dAjJ	dAo dAQ	“
Производные функции Fo постоянны. Первое из уравнений (8) говорит нам,
что постоянными будут также [AjJ и [Л/]. Следовательно, величина
есть постоянная, которую можно приравнять nJ. Тем самым мы удовлет-
ворим второму из уравнений (19).
В п. 152 мы затем последовательно нашли Лх — [AJ (а следовательно,
и Av ибо [Лг] представляет собой константу, которую можно выбирать
произвольно), о! — [ojl, Tj — [TfJ, — [XJ из уравнений (6,1, 1),
(6, 3,1), (6, 4, 1) и (6, 2,1). Эта часть вычислений остается без изменений.
Теперь найдем [о|1 и [т*1.
Для этого рассмотрим уравнения (7, 3, 2) и (7, 4, 2). Эти уравнения имеют
вид
д |6*1 = <I’‘ + S5« |бЯ + 2^Г1т«1-
. , . ,,	Vi d2R . VI d2R
VI йт?
d.wk
(22)
где фх и <р2 известны.
Эти уравнения аналогичны уравнениям (9), только 7?, о?, т? имеют ме-
нее простое выражение. Например, три последних члена в правой части
Прямое вычисление рядов
461
лервого из этих уравнений не будут соответственно равны
О, 2Л?[т}], «М,
как это было в п. 152, где указанное обстоятельство вносило существенное
упрощение.
Итак, подставим в уравнения (22) вместо ст} и их разложения (17);
вместо п^1 — его разложение (20) и вместо п*2 — разложение
гека = Ч2,0 + «i2'1 + Ч212 + • • • -
аналогичное разложению (20). Кроме того, пусть ф« и ф« — совокупность
членов порядка q относительно х? функций фх и фа.
Затем приравняем члены одного и того же порядка, стоящие в правой
и левой частях уравнений (22).
Если сначала приравнять члены порядка 0, то получим
Д'[<зЬ0] = Ф? + 2Л?[тЬ0],
Д"(Т1.о] = ф»-2Л?[4’°],
где ф? и ф® — константы, зависящие лишь от Ло и Ло' (действительно, в
силу рассуждений, изложенных в п. 153, которые остаются применимыми
без всяких изменений, фг и фа допускают разложение по степеням cos w'i
и x'i° sin , члены же порядка 0 относительно х? не зависят ни от х?,
ни ОТ Wi).
Отсюда следует, что [т<’°] и [ст}’0] также представляют собой константы
и левые части уравнений (23) равны нулю. Поэтому мы можем найти из
этих уравнений [стР] и [тр].
Предположим теперь, что мы уже нашли
[ер]» [ер], [стр],... , [брЧ,
PPL [тр], [тр],.. . ,[тМ-Ч,
», П?.°, и'*-1, .... П.'2’9"2
’ I ’ г ’ ’г
и что требуется найти
[аМ], [тр ®],	(24)
Для этого приравняем в правой и левой частях уравнений (22) члены
порядка q.
Получим, учитывая члены, зависящие от неизвестных величин (24),
Д" [<5р ’] 4- и}1-0 [т|- 9] = пр 9-Opsin w'it
Д"[т}’9] — wp[o}1’] = 1p2 — n’i' 9-1^°COS w'v	(
где и фа — известные функции.
462
Новые методы небесной механики. П
Эти уравнения аналогичны уравнениям (9). В самом деле, от одних
уравнений к другим можно перейти, заменив
1^1-
на
[бМ], [тМ], „'1,0, n'2,g-i.
Следовательно, к уравнениям (25) применимы те же методы, что и к
уравнениям (9).
Затем так же, как в п. 152, находим
[Л2], nl [XJ, Л2,<зг?-[^],	Х2-[Х2].
Чтобы найти
[б?], [т?Т и ге;3,
воспользуемся уравнениями (7, 3 ,3) и (7, 4, 3). Эти уравнения имеют тот же
вид, что и уравнения (22), и решаются таким же способом.
Замечательные частные случаи
156. Как мы видели в п. 153, правые части разложений (4) и (17) мож-
но представить в виде ряда по степеням х\° cos и х[° sin ш/.
Если мы одновременно обратим в нуль все произвольные постоянные
x'i°, то переменные не будут зависеть от ш/, а будут зависеть лишь от Wj
и w2. Они будут разлагаться в тригонометрические ряды от
+ тп2ш2,
где nij и т2 — целые числа.
В силу сказанного в п. 154, сумма т1 -|- т2 в разложениях Л и л дол-
жна равняться нулю, так что эти переменные зависят лишь от и>1 — w2.
По тем же причинам сказанное будет справедливо и для
ог cos w1 + Tj sin w17
т, cos il\ — o, sin Wj.	(26)
Отсюда с очевидностью следует, что сделанное частное предположение
(ж{° — 0) соответствует какому-то периодическому решению. Нетрудно
видеть, что найденные таким способом решения не отличаются от тех, ко-
торые мы в главе III назвали периодическими решениями первого сорта.
Отсюда можно заключить, что разложения (4), которые обычно не схо-
дятся в математической! смысле этого слова, становятся сходящимися, если
постоянные х? обращаются в нуль.
Прямое вычисление рядов
464
Поскольку постоянные х[° вообще очень малы, ясно, что реально по-
лучаемое решение будет осциллировать вокруг периодического решения,
не слишком удаляясь от последнего.
Рассмотрим теперь в разложениях Л, X и в выражениях (26) члены
первого порядка относительно х',0. Учитывая результаты пунктов 153 и
154, нетрудно понять, что эти члены будут иметь вид
24° cos — wft) фй + 2 Чsin (Ч —	(27)
к	к
где Фп и — периодические функции, разлагающиеся по синусам и ко-
синусам аргументов, кратных — ш2.
Интерпретация этого результата очевидна. В главе IV мы рассмотрели
уравнения в вариациях относительно некоторого данного периодического
решения. Рассмотрим теперь уравнения движения и то периодическое ре-
шение первого сорта, которое получим, если обратим в нуль все xt°. Выра-
жения (27) будут не чем иным, как наиболее общими решениями соответ-
ствующих уравнений в вариациях.
Отсюда следует, что характеристические показатели относительно
такого решения первого сорта будут иметь вид
±У~ 1 («й — «1).
Важно заметить, что в этом выражении постоянные x’i° (от которых за-
висят П}с и пх) следует положить равными 0.
Может представиться случай, когда необходимо получить разложения
(4) и (17) для периодических решений второго и третьего сорта так же, как
мы это делали для решений первого сорта. Эта задача несколько более
трудная.
Чтобы лучше выявить существо дела, я хочу сначала рассмотреть более
простой пример. Обратимся вновь к рядам из п. 127 и попытаемся вывести
из них периодические решения п. 42. Мы видели, что средние значения
периодических функций xf и yf в рядах п. 127 можно выбирать произволь-
но, в частности, их можно выбрать так, что nf будут равны нулю, коль
скоро р 0. Это условие можно реализовать и с помощью надлежащего
выбора средних значений х?, в то время как средние значения yf оста-
нутся произвольными.
Итак, предположим, что мы выбрали эти средние значения указанны.м
образом и что, следовательно,
Щ = п°.
Кроме того, предположим, что х1 выбраны так, что п° имеют некоторые
наперед заданные соизмеримые между собой значения. В этом случае, как
можно было бы усмотреть из вычислений п. 127, некоторые коэффициенты
обращаются в бесконечность, если только константы не подобраны
надлежащим образом, а средние значения yf остаются произвольными.
464
Новые методы небесной механики. II
Если же выбор постоянных произведен так, как указано, то ряды п. 127
существуют, они сходятся и не отличаются от рядов п. 44.
Вернемся к задаче трех тел. Константы Ло, Ло' и xf так же, как и сред-
ние значения различных членов разложений (4) и (17), рассматриваемые
как периодические функции от w и w', выберем так, чтобы:
1)	/г” и По принимали наперед заданные соизмеримые между собой зна-
чения (замечу, что в обозначениях п. 155 п°’р равно нулю при р 0);
2)	пр и nf были равны нулю при р 1;
3)	nJ = п\ = n'f (г = 1, 2, 3, 4).
Выбор постоянных я могу произвести так, чтобы удовлетворить всем
этим условиям и чтобы одновременно половина средних значений остава-
лась произвольной.
Но тогда, если бы потребовалось произвести вычисления, проводимые
в пунктах 152 или 155, окажется, что некоторые коэффициенты обращают-
ся в бесконечность, если только не подобрать надлежащим образом по-
стоянные и Э{', а средние значения по-прежнему оставлять
произвольными.
Коль скоро это сделано, ряды (4) и (17) существуют, они сходятся и
не отличаются от рядов, представляющих решения второго и третьего сор-
та.
Предположим теперь, что мы обратили в нуль xf и x'f, не обращая в
нуль x'f и xf. Найдется некоторый ряд частных решений задачи трех тел.
зависящих лишь от четырех аргументов
w2, wf, wf.
Это именно те решения, которые соответствуют плоскому случаю зада-
чи трех тел. Число аргументов в этом случае равно 4, ибо таково число сте-
пеней свободы.
Можно, однако, заметить, что Л, А, и выражения (26) зависят лишь от
разностей
w2 — w\- wi — wf —
так же, как в п. 154.
Если в качестве переменных выбрать Л, % и указанные выражения
(26), то число аргументов понизится до трех. Это соответствует тому слу-
чаю задачи, который разобран в п. 15, где имелось три степени свободы.
Представим себе теперь, что масса первой планеты бесконечно мала
(случай малой планеты, возмущаемой Юпитером). Тогда величины
перейдут в
^2’ ^2» ^4i ^4
%, п',	?'•
Эти величины так же, как и Л', будут постоянными, а %' будет равна w2.
Прямое вычисление рядов
465
Отсюда следует, что
Число аргументов, которое было равно шести, понижается до четырех:
w2, w[, w’3.
Однако в этомслучаенель.зя заключить, что Л, А,,... зависят лишь от разностей
wi ~ w2i wi ~ w2i ws — W2-
В самом деле, рассуждения, приведенные в п. 154, позволяют нам лишь
заключить, что в общем случае Л зависит только от пяти разностей
w2 — w't — wL (г = 1, 2, 3, 4).
Поскольку две из величин представляют собой константы (именно так
происходит в рассматриваемом нами частном случае), два из этих пяти
аргументов отличаются друг от друга не более чем на константу, в силу
чего их остается не более четырех. Однако нет никаких причин, по которым
такое понижение числа независимых аргументов можно было бы провести
дальше.
В силу п. 153 переменные по-прежнему будут допускать разложение
по степеням
x’Pcosw’.., x'°siniPj.
Предположим, что х^ и х^ равны нулю. Это соответствует случаю, когда
три тела движутся в одной и той же плоскости (я по-прежнему считаю, что
массы бесконечно малы). Тогда переменные не будут зависеть от и у
нас останется только три аргумента, а именно:
И’1; ш2, w{.
Обратим еще в нуль постоянную х2. Это соответствует случаю, когда ор-
бита второй планеты круговая, т. е. задаче п. 9.
Поскольку наши переменные допускают разложение по степеням
х? cos u'i и х^ sin , и
~'O   „'0   ~'O   n
— ^3	•*'4	VI i
они не зависят ни от w2, ни от w3', ни от В силу и. 154 они зависят
лишь от
— Ю2> wl ~ wi
30 А. Пуанкаре
466
Новые методы небесной механики. II
Однако мы только что видели, что три из wi не должны входить в выраже-
ния для переменных, поэтому переменные зависят лишь от
— w2, I&l— Wi .
Число аргументов понизилось до двух. Однако мы видели, что в задаче
п, 9 имеется ровно две степени свободы. Если же, кроме того, положить
= 0, то мы приходим к периодическим решениям, изученным Хиллом
(см. п. 41, следует принять во внимание замечание, сделанное в трех пос-
ледних строках).
Если в теории Луны считать, что на этот спутник действуют лишь Зем-
ля и Солнце, а относительное движение этих двух небесных тел кеплеров-
ское, то указанная теория сведется к одному из рассмотренных выше част-
ных случаев.
Однако часто требуется учесть возмущения, вносимые в движение Зем-
ли частью остальных планет, по-прежнему полностью пренебрегая пря-
мым действием этих планет на Луну. Если стать на эту точку зрения, то
относительное движение Земли и Солнца уже не будет кеплеровским, но
все же будет известным., и Луна по-прежнему будет подвержена действию
лишь этих двух движущихся тел, причем закон их движения известен.
Итак, предположим, что координаты Солнца относительно Земли мож-
но представить рядами того же вида, как мы рассматривали в этой главе,
зависящими от п аргументов.
С помощью рассуждений, лишь незначительно отличающихся от тех,
которые мы проводили в этой главе, нетрудно усмотреть, что координаты
Луны также выражаются с помощью аналогичных рядов, зависящих от
п + 2 аргументов.
Чтобы то, что я под этим подразумеваю, было лучше понятно, я вновь
обращусь к задаче п. 9. Представим себе, что Земля и Солнце описывают
концентрические окружности. Координаты Солнца зависят в этом случае
от п — 1 аргументов, расстояния от Луны до Земли и до Солнца зависят
от двух аргументов (именно тех, которые я только что обозначил wx —
w2, wv — wi), однако координаты Луны относительно фиксированных осей
зависят от п + 2 = 3 аргументов.
Аналогичные соображения применимы и в случае, когда число тел
больше трех. Предположим теперь, что их, например, четыре. Тогда число
переменных равно трем, а число переменных wi равно шести.
Предположим, что все шесть постоянных x'i равны нулю одновременно.
Первое следствие из этого предположения состоит в том, что движение про-
исходит в плоскости. Кроме того, A, X выражения (26), а следовательно,
и взаимные расстояния между четырьмя телами, будут зависеть лишь от
двух аргументов
— ша, wx — w3.
Отсюда не следует (как это было в том случае, когда мы, рассматривая
только три тела, обратили в нуль все x'i), что ряды будут сходиться в ма-
Прямое вычисление рядов
467
тематическом смысле, однако можно попытаться вывести отсюда периоди-
ческие решения п. 50.
Вот как следует это делать. Выберем постоянные интегрирования и
средние значения различных членов разложений (4) и (17) так, чтобы:
1) величины
0	0	0	0
П1 —	«1 — ns
имели заданные соизмеримые между собой значения,
2) при р _> 0
р р р
Пх =	~ Пз.
Постоянные GJj и Э/ и половина средних значений остаются произвола
ными.
Если требуется произвести вычисления п. 152, то некоторые коэффи-
циенты становятся бесконечными, если только и Э/ не выбраны над-
лежащим образом, а средние значения по-прежнему остаются произ-
вольными.
Если выбор 6J, и ©/ произведен нужным образом, то ряды существуют,
сходятся и представляют периодические решения п. 50.
Выводы
157.	Таковы ряды, к которым приводят методы вычислений, изложен-
ные в предыдущих главах. Исходная идея принадлежит Ньюкому, он
же открыл и основные свойства этих рядов.
Эти ряды расходятся. Однако если разложения оборвать на каком-
нибудь члене, я имею в виду обрыв разложения до того, как встре-
тимся с малыми знаменателями, то ряды будут представлять координаты
с весьма большой точностью.
Эти ряды можно использовать и по-иному.
Предположим, что мы оборвали разложение на каком-то члене и вос-
пользовались затем методом вариации постоянных, приняв в качестве но-
вых переменных Ло, x'i°, а, и Э/. Эти новые переменные изменяются чрез-
вычайно медленно, и к дифференциальным уравнениям, определяющим
их вариации, можно с успехом применять старые методы. Например, но-
вые переменные можно разлагать по степеням времени.
30*
Глава XV
ДРУГИЕ МЕТОДЫ ПРЯМЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Задача из п. 125
158.	Рассмотрим снова уравнения
dt dx.	' '
г
И
dx, df
________________________________i = LL.	tyx
dt dy.'	k '
Предположим, что этим уравнениям можно удовлетворить с помощью
рядов, расположенных по синусам и косинусам линейных комбинаций
Wi, w2,..., wn
с целыми коэффициентами.
Существование этих рядов мы доказали в п. 125.
Напомню, что
wti — n^t + SJ,-;
и, следовательно
dx-t dxi
dw.. dt ’
(3)
v dy^dy^
k dw dt
It
В и. 127 мы воспользовались для нахождения этих рядов уравнениями (1)
и (2), но можно поступить иначе.
Прежде всего у нас имеется интеграл живых сил
F — const.	(4)
Кроме того, выражение

(5)
Другие методы прямых вычислений
469
должно быть полным дифференциалом, а поскольку величины — кон-
станты, полным дифференциалом должно быть и выражение
2(^i —= dS'
что дает нам уравнение
ОТ
Теперь я утверждаю, что уравнения (2) следуют из уравнений (1),
(3), (4) и (6). В самом деле, уравнения (6) означают, что выражение (5)
является полным дифференциалом. Условия интегрируемости этого вы-
ражения можно записать в следующем виде
SZ dxj dyj dxi dyi \
\dwq dw-fr dw-^dwq] '	' '
Умножим это уравнение на nq. Затем зафиксируем к и будем придавать
q последовательно значения q = 1, 2,..., п.
Наконец, сложим п полученных уравнений. Учитывая соотношения (3),
получим
Sfdxi dyi dxi dy{\ ___ ~
[ dt dWft dw^ dt J
или, если учесть уравнения (1),
SdXi dyi ,\idF dxi _ n
dt dw* & dxi dw~
Л	b tl
Продифференцируем теперь интеграл живых сил (4) по иц
dF dxi
dxi div-fc
dF dyi __ g
dyi dw* —
или, сопоставляя с уравнением (8),
=	(Л = 1,2,..„ п),
dl dwy. 1 dyi dwk '
откуда
dxi __dF
dt dyi '
что и требовалось доказать.
Итак, наши ряды мы можем найти с помощью уравнений (4), (6) и'урав-
нений
I* WZ Т»	14 J-- j
470
Новые методы небесной механики. II
Подставим в эти уравнения вместо уй пц и S разложения этих вели-
чин по степеням р
2иРл"р> 2иРге?> 2 И^-
Затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ц, стоящих в
правой и левой частях этих уравнений.
Получим при этом цепочку уравнений, которые позволят найти коэф-
фициенты выписанных выше рядов из рекуррентных соотношений.
В самом деле, предположим, что мы уже вычислили коэффициенты
Ж?, Xt, Ж?, . . ., xP"1,
г1 г1 г1 ' г ’
У?, yi, yf, . . ., yf-1,
ПО, „1, п*,. . ., nj^,
• • •’ *Sp-i-
Требуется найти коэффициенты
л-р, уР, пР,
I ’ аг ’ fc’ V
Приравняем коэффициенты при цр в правой и левой частях уравнения
(4). Получим
2	= Ф + const.	(9)
Символом Ф я обозначил так же, как я буду делать на протяжении
всей этой главы, некоторую полностью известную функцию, периодически
зависящую от ш. Излишне добавлять, что различные функции, которые я
буду обозначать этим символом Ф, не должны совпадать друг с другом.
Что же касается константы в правой части уравнения (9), то она произ-
вольна так же, как и константа, стоящая в правой части интеграла живых
сил (4).
Приравняв теперь коэффициенты при цр в правой и левой частях урав-
нения (6), получим
но имея в виду (9), получим
2 п° = Ф + const.	(И)
Все производные функции S р должны быть периодическими функциями
от w, т. е. функция Sp должна иметь вид
«г, pw-i + «г, Pw2 + .. . + а„, pwn + ср,
где aft,p — константы, а ср — периодическая функция.
Другие методы прямых вычислений
471
Функцию Sp можно найти из уравнения (11) с помощью вычислений,
вполне аналогичных интегрированию уравнения (6). Добавлю, что вид
зависимости и констант а/,1Р от константа:? можно выбирать произвольно,
поскольку правая часть уравнения (11) сама произвольна.
После того как функция Sp найдена, находим из уравнений (10) вели-
чины а:/,-, средние значения р которых, как мы только что видели, можно
выбирать произвольным образом.
Получив функции xf, приравняем коэффициенты при рЛ в правой
и левой частях уравнения (1). Имеем
Прежде всего определим константы nf так, чтобы среднее значение пра-
вой части уравнения (12) было равно нулю. С помощью вычислений, впол-
не аналогичных вычислениям п. 127, найдем из уравнения (12) функции
yf. Заметим, между прочим, что вид зависимости среднего значения yf
от х» можно выбирать произвольно.
Другой пример
159.	Пусть
51,
Лы Лз, • • •, Лп
- п пар сопряженных переменных.
Предположим, что функцию F можно разложить по возрастающим сте-
пеням и T]i и что в ее разложении нет членов ни пулевой, ни первой сте-
пени, а члены второй степени можно записать в виде
SA (Si)2+SA(9i)2-
Я записал квадрат величины в скобках (£г)2, чтобы не путать его с
обозначением £j2, которым мы воспользуемся несколько позднее. В этом
случае 2 будет являться уже не показателем степени, а индексом.
Пусть
d^i dF	_ dF	/11
dt	dl]j ’ dt	d^i	' '
— наши дифференциальные уравнения.
Предположим, что и тр можно разложить по степеням некоторых по-
стоянных интегрирования ai( и запишем
5; =5i + 5i + ..- + 5r + .-.,
Лг = Л^ + Л? + • • • + Л? + • . • •
Другие методы прямых вычислений
471
Функцию Sp можно найти из уравнения (11) с помощью вычислений,
вполне аналогичных интегрированию уравнения (6). Добавлю, что вид
зависимости и констант а?,-,Р от константа:? можно выбирать произвольно,
поскольку правая часть уравнения (11) сама произвольна.
После того как функция Sp найдена, находим из уравнений (10) вели-
чины хр, средние значения aj-, р которых, как мы только что видели, можно
выбирать произвольным образом.
Получив функции хр, приравняем коэффициенты при [ip в правой
и левой частях уравнения (1). Имеем
У Ио-Д- = Ф - nv.
к dw^	г
(12)
Прежде всего определим константы пр так, чтобы среднее значение пра-
вой части уравнения (12) было равно нулю. С помощью вычислений, впол-
не аналогичных вычислениям п. 127, найдем из уравнения (12) функции
ур. Заметим, между прочим, что вид зависимости среднего значения ур
от хр можно выбирать произвольно.
Другой пример
159. Пусть
g2, ...,U
Лы Ла. • • •. Лп
— п пар сопряженных переменных.
Предположим, что функцию F можно разложить по возрастающим сте-
пеням и т|г и что в ее разложении нет членов ни пулевой, ни первой сте-
пени, а члены второй степени можно записать в виде
SA fe)2+ 2Л(Лг)2-
Я записал квадрат величины в скобках (gj)2, чтобы не путать его с
обозначением g®, которым мы воспользуемся несколько позднее. В этом
случае 2 будет являться уже не показателем степени, а индексом.
Пусть
__clF di]i ___ dF	...
dt d\\:L ’ dt d^j	' '
— паши дифференциальные уравнения.
Предположим, что и тр можно разложить по степеням некоторых по-
стоянных интегрирования а;, и запишем
Si
Л4 = л| + л® + • • • + л? + • • •.
Другие методы прямых вычислений
473
Прежде всего нетрудно найти, что
ппк = — 2Ак.
Заметим затем, что из уравнений (2) следует, что
Ki	dxs k	awk	dF dru	г	dF . —	SinWi —	(3)
dvi An^k	dF . = -=— Sin Wi dru	, dF + d^COSWi ; tliXi.	(4>
Теперь мы вычислим ряды с помощью уравнения (4), уравнения			
F =	= const,		(5)
dS dwk	_ v t rfTli —	dwk К	vi d (E,j T|;) “ du>k	(6)
Решить уравнение (3), а следовательно, и вытекающие из него уравне-
ния (2) и (1), весьма несложно.
Предположим, что мы уже нашли величины
И, ВГ1;
дт, д?, • •., х;
7>1	7*2	Т’Р-1*
ъЛх • у bA-S •	•	9	• } vV
У\, У1,...,ур~\
пп nl,..., пР-2;
ПК	К
S17 S2, • • •, Sv
и что требуется найти
др, хР, у?, riP-\ SpVL.
Приравняем в уравнении (4) члены порядка р в правой и левой частях,
а в правых и левых частях уравнений (5) и (6) — члены (р + 1)-го порядка.
Так же, как и в предыдущей главе, я обозначу для краткости
S.U = 2 пк •
«-1 л dwk
Тогда
SyP = ф -|- 2Ai (£? cos Wi -f- T]?sinWj) +
2 2A-. (ЙЙ + ДМ) + Ф + const = 0,
_ KI gp riTli ______
dw	Si
dwk
Ф.

(?)
(8)
-474
Новые методы небесной механики. II
Заметив, что
== — v^du'i, йт]| = gjdzz^j,
мы сможем записать
dS
=	Ф-	(9)
ft
Комбинируя уравнения (8) и (9), получим
A6\)+1 = Ф Н const.	(10)
С другой стороны, уравнение (9) можно записать в виде
<‘<)
а уравнение (7) — в виде
Др? = Ф + пР-Ч.	(12)
Тогда из уравнения (10) найдем Sv+l. Уравнение (И) даст х?. Записы-
вая условие того, что среднее значение правой части уравнения (12) равно
нулю, получим «Г-1, а затем из уравнения (12) найдем рГ. Зная таким об-
В р	^р р
разом у г И Xi , получим и 1$.
Для того чтобы найти эти величины, можно было бы воспользоваться
следующими уравнениями, которые получаются, если приравнять в урав-
нении (2) члены порядка р в правой и левой частях и проделать то же самое
с уравнением (9) из п. 152
Д£? = 24р]? + пр1 ц’ +<!>,	(13)
Дт]г? = - 2/Ц? - н?-^1 К Ф.	(14)
С помощью рассуждений, вполне аналогичных рассуждениям п. 153,
можно было бы показать, что g? и ц? допускают разложение по степеня с
величин
a, cos wit щ sin Wi
и что то же относится и к (т. е. эти величины, не зависящие от мож-
но разлагать по четным степеням aj.
В силу уравнения (10) то же справедливо и для периодических членов
функций S р+1.
Известно, что
*?р+1 ~ Л?/’1 + 3-2W'2 + • • • + PnU’n + 5р+1,
Другие методы прямых вычислений
где — константы, a S'p+1— периодическая функция. Уравнение (10) и
рассуждения, аналогичные тем, которые проводились в п. 153, дают нам
возможность убедиться в том, что относительно Sp+1 условие выполнено.
Что же касается величин рь то их можно выбирать произвольно. Следова-
тельно, можно предположить, что р^. разлагаются по четным степеням
и делятся на (сц.)2.
Повторять здесь рассуждения, которыми мы воспользовались в п. 153,
было бы излишним.
Мы лить коротко остановимся на том, что происходит при рассмот-
рении уравнения (11). Это уравнение доставляет нам величину а:Хкр.
Разумеется, эта величина должна делиться на ак (действительно, я уже
говорил, что dS Vvildwk и Ф делятся на ай.)
Замечу, что если ср является функцией, допускающей разложение по
степеням cos пд и ср sin up, и мы разложим ее в тригонометрический ряд,
то коэффициент при косинусе или синусе аргумента
тщ + m2w2 + ... 4- mnwn
в этом разложении будет делиться на
alm,| арп,|. . . а|тп1.
В силу этого коэффициенты при членах, зависящих от wi;, будут делиться на
as. следовательно, производная d(p/dwk делится на ак.
Но
причем Рк выбрано так, чтобы оно делилось на ак, а производная dSp.rl!du:k,
как мы только что видели, также должна делиться на aft. Следовательно,
производная dS Pi.Jdw-K делится на а(|.
С другой стороны, Ф представляет собой сумму членов, каждый из
которых является произведением сомножителей вида
d^f
-J— или -------
и, следовательно, делится на а*.
Поэтому и функция Ф делится на а,],, что и требовалось доказать.
160.	Предположим, что F зависит от малого параметра р, и
F = Fo +	+ р2У2 + ... .
Я по-прежнему исхожу из предположения о том, что F разлагается по
степеням и тр и что разложение Fo начинается с членов второго порядка,
476
Новые методы небесной механики. II
которые можно записать в виде
SA(^)2+2Ahi)2-
Однако относительно разложений функций Fly F2,... я предполагаю, что
они начинаются с членов первого порядка.
Я намереваюсь разложить
J/i, пк, 5
не только по степеням констант ак, нои по степеням ц.
Символами
Si’’9, Ц?’9, ж?-9, ур<1, пР~ч, Sp,q
я обозначу члены р-го порядка относительно и q-ro порядка относите ль
но ц.
Тогда
S?’° = Л?-0 = о,
|i’° = а4 cos wit	= а$ sin
reo,o=_2^ft.
Поэтому
dS =2^г-2^(Й’°Ч),
откуда
^0,0 — ^,о = О,
^2,о = j S (ai)2wi (a02 sin 2wi-
Предположим, что мы уже вычислили
S?’b, л“-ь,	у“’ь, п^’Ъ Sa+ltb
(а<Р, а + Ъ <р + q),
а и Ъ могут принимать все значения, кроме а = р, b = q. Пусть требует-
ся вычислить
цр.«, ж?.«, уР.9, «Р-1,9, 5р+1>д.
Обратимся еще раз к уравнениям (1) — (6) предыдущего пункта. При-
равняем в правой и левой частях уравнения (4) члены порядка р относи-
тельно аг и порядка q относительно ц. В уравнениях (5) и (6) мы точно та-
ким же образом приравняем члены, имеющие порядок р + 1 относительно
Другие методы прямых вычислений
477
и порядок q относительно р. Пусть
Тогда мы снова получим уравнения (7) — (14) предыдущего пункта с
тем лишь различием, что вместо простых индексов (верхних или ниж-
них) р, р + 1 или р — 1 будут фигурировать двойные индексы р, д,
р 1, q или р — 1, q, а вместо простых индексов 1 или 0 появятся
двойные индексы 1,0 или 0,0.
Так же, как и в предыдущем пункте, воспользуемся этими уравне-
ниями для того, чтобы последовательно найти SP+ltq, xf’q, yp,q,
а следовательно, и , и т) i .
Ясно, что так же, как в п. 153, величины £р’9 и т|Р’9 можно будет раз-
лагать по степеням
ajc cos Wn и sin гщ.
Отсюда следует, что £?’9 и ц9,9 константы.
С другой стороны, необходимо обратить внимание на то, что заме-
чание, сделанное в п. 126, в силу которого средние значения жр и yf
можно выбирать произвольным образом, в рассматриваемом случае при-
менимо лишь при некоторых ограничениях.
В самом деле, обратимся еще раз к рассуждениям, изложенным в
п. 126. Рассмотрим разложения и т]£ по степеням р и а,.
Заменим at и wt на
а; (1 + фг), Wi + фг.
В этих выражениях ср; и фг — две функции, допускающие разложение
по степеням р, и (at)2, которые равны нулю всякий раз, когда эти вели-
чины обращаются в нуль. Величины §®’9 и ц?’9 при произведенной
замене не изменятся. Отсюда следует, что средние значения величин
*?’9, yf'q (р>°)
можно выбирать произвольно, чего нельзя сказать о средних значениях
величин
Нетрудно видеть, что средние значения последних должны быть рав-
ными нулю.
Предположим теперь, что мы снова возвратились к уравнениям (1) —
(6) п. 159 и рассматриваем в уравнениях (1) — (4) члены нулевого поряд-
ка относительно а;, а в уравнениях (5) и (6) члены нулевого или пер-
478
Новые методы небесной механики. II
вого порядка относительно аг. Получим уравнения, форма которых будет
несколько отличаться от уравнений (7) — (14). Следовательно, необ-
ходимо рассмотреть их особо.
Различие в форме уравнений проявляется прежде всего в том, что
равно нулю, если р = 0, а с другой стороны, в том, что и
р?’9 становятся константами,
Д|?’9 = Дт]М = 0.
Достаточно рассмотреть уравнения (1), (2), (5) и (6), из которых урав-
нения (3) и (4) следуют тотчас же. Введем для краткости обозначения
^ = 5"Д + Й’2+ ....
^ = Й’0 + ^Д + ^а+... •
Точно таким же образом определим р? и т)1. Пусть F* означает функцию,
которая получается в результате подстановки 5? и щ в F вместо 5г
и T]t-
Тогда в уравнениях (1) и (2) члены нулевого порядка дадут нам
dF* __ dF* _ 0
^0 — (й]. —
Эти два уравнения дают нам возможность последовательно найти
,?’9 И т]?’9.
Члены нулевого и первого порядка в уравнении (5) дают
F* — const,
dF* ti . iP .
--T Bi H---Г Л,! = const.
d$ dtfi г
Первое из этих уравнений позволяет определить константу, стоящую-
в его правой части [в этом случае ее уже нельзя выбирать произвольно,
как это можно было сделать с константой, входящей в уравнение (8),
когда предполагалось, что р Д~- 1].
Разумеется, второе уравнение удовлетворяется и константа, стоящая
в его правой части, равна нулю, поскольку обе производные от F’
равны нулю.
Остается уравнение (6). Рассматривая члены нулевого порядка, по-
лучим
(^0,0 + ^0.1 + *^0,2 + •••) — 0,
так как т]° — константы и = 0. Чтобы это уравнение выполнялось,
достаточно предположить, что 50,д — константы.
Другие методы прямых вычислений
470’'
Члены первого порядка приводят к соотношению
d (*^1,0 + ^l,! + ^1,S +•••) = S ' 3 Tl®'
Чтобы удовлетворить этому уравнению, достаточно предполо-
жить, что
^х, 7=S + й’Ч ?~2 + • • • + & 4°) - 3 (ех’Ч ’)•
Итак, члены нулевого и первого порядка не приводят ни к каким
затруднениям, как можно было опасаться.
Задача п. 134
161.	Очевидно, этот же метод можно применить и к задаче из п. 134.
Мы снова будем использовать обозначения, введенные в п. 151.
Обратимся еще раз к уравнениям (1) — (6) из п. 158, условившись,
что знаки S означают суммирование не только по всем xt (либо по всем
yt, либо же по всем w-L и т. д.), но одновременно по xt и xi (либо по у.
и yi, либо по и wt и т. д.).
Так же, как и в п. 158, заметим тогда, что уравнения (2) будут сле-
довать из уравнений (1), (3), (4) и (6). Поэтому рассмотрим уравнения (4),
(6) и (1), которые послужат для нахождения неизвестных.
Так же, как и в п. 158, заменим в этих уравнениях функции хг,
г/г, и 5 их разложениями по степеням р и приравняем коэффициенты
при одинаковых степенях р в правой и левой частях этих уравне-
ний.
Однако я пользовался не только теми уравнениями, которые полу-
чаются, если приравнять коэффициенты при одинаковых степенях р.
Точно так же я использовал и те уравнения, которые возникают, если
приравнять в правой и левой частях уравнений средние значения, но
усреднение производить только по wk (но не по w^).
Пусть U — произвольная функция, периодическая по w и w'. Через
[С7] я так же, как и в п. 151, обозначу ее среднее значение, вычислен-
ное только по w, а через [[И]] — ее среднее значение по w и w' одновре-
менно.
Тогда
£[£] _ о
dwy. ’
однако в общем случае
^^0.
dw*
480
Новые методы небесной механики. II
Что же касается функции S, то она будет не периодической функцией,
а всего лишь функцией, производные которой периодичны.
Поэтому мы получаем только соотношение
Г dS "I
-т— = const.
Ldw^
Предположим теперь, что мы уже полностью вычислили
X?, Х\, х?, ..	х?~2,
у?, у1, . . ., У?-2,
пГ2’
50, Slt. . ., Sp-2,
a xPi \ yVi1 и 5р_1 — с точностью до произвольной функции от w' и что
требуется завершить вычисление	у2?-1, и Sv_x и полностью
найти nf, а функции xf., yf и Sp — с точностью произвольной функ-
ции w'.
Уравнение (9) из п. 158, которое получается, если приравнять в
уравнении (4) члены, стоящие при цр, имеет несколько иной вид, по-
скольку его правая часть уже не будет полностью известна. Это урав-
нение запишется в виде
2 « = 2 — УГ + 2	+ Ф + const. (9 bis)
аУг
В случае р = 1 имеем
2X4 = ^ +const.	(9 ter)
Разумеется, мы предполагаем, что вместо xt и в F подставлены xf
и у° = wt.
Правую часть уравнения (9 bis) нельзя считать полностью известной,
«—1	-п— I
поскольку Xi и уц известны лишь с точностью до произвольных
функций от w'.
Рассмотрим теперь уравнение (10) п. 158. И в этом случае правую
часть нельзя считать полностью известной, ее вид несколько изменился
и мы запишем, что
= <+ 2^х	+ 2*1?— + Ф- (lObis)
Если учесть, что величины
ж?"1 — [ж?"1] и г/?-1 — [ уР~Ц
Другие методы прямых вычислений
481
известны, то уравнения (9bis) и (lObis) можно записать в виде
S « = S 1//Г1! + S + Ф + const, (9а)
= <+ S [*Г1 ]	+ S Ч d-^- + Ф. (Юа)
dw^ % 1 " L 1 dWft 1 " t dw* 1	'	'
Очевидна роль, которую играет производная dyiidwk. Поэтому следует
прежде всего найти эту величину путем подробного рассмотрения пер-
вого приближения. Для этого имеется записанное выпге уравнение (9ter)
и уравнение
-т-1- = xl,	(lOter)
dw% *	'	'
так что уравнение (9ter) можно переписать в виде
2 пк = ^’1+c°nsfc-
t-1 « awj. х 1
Замечу, что величины п* равны нулю, и, следовательно, я могу записать
S "ьтЕг const’	(9Ь)
/с
условившись обозначать символом S суммирование только по xt или
только по Z,, в то время как S означает, как мы условились выше, сум-
мирование, проводимое одновременно по xt и xi. Если вычислить сред-
ние значения правой и левой частей уравнения, то поскольку
— = const,
получим
[ЕД = const.
Но среднее значение [ЕД есть функция R, зависящая лишь от z® и xi.
Так как эти константы произвольны, константа в правой части урав-
нения (9Ь) также произвольна, и это уравнение интегрируется без труда.
Приравняем теперь члены первого порядка в правой и левой частях
уравнения (Ibis), тогда
Sdii'
n*~d^
и к
— dF1
dx®
R dzfdzk k
Правая часть этого уравнения полностью известна. В самом деле,
она зависит лишь от z® и у® = if;. Левая же часть этого уравнения по-
31 А. Пуанкаре
482
Новые методы небесной механики. II
мимо прочего зависит от (и не зависит от х^, поскольку по пред-
положению функция Fo не зависит от Хг); величины а> равны производ-
ным dSJdwi-, которые известны, ибо S± определена с точностью до про-
извольной функции от wh'.
Кроме того, среднее значение правой части, вычисленное только по
wt, является константой.
В самом деле, это среднее значение равно
dx?dx^ k dx? '
Но
= const,
<qFi]	dR
	= — = const,
dx®	dx?
ибо R зависит лишь от x° и х°, которые являются константами.
Итак, среднее значение правой части является константой, которую
мы можем приравнять Точно таким же образом вычислим гц1, только
в этом случае первый член обращается в нуль, и мы получим лишь
Это уравнение интегрируется без труда, и мы получаем у\ с точно-
стью до произвольной функции от w'.
То, что я говорил об у\, без всяких изменений переносится и на у*.
Что же касается величин х±, то они равны dS-Jdwi и, следовательно,
известны с точностью до произвольной функции от w'.
Возвратимся к уравнениям (9а) и (10а).
Вычислим средние значения правых и левых частей только по w,
причем сначала произведем выкладки для (10а), предположив, что про-
изводная dSp!dw* взята по одной из величин wk, а не по w]x'
d'lF
d [yf1] _ п
dy\
dwk
= 0,
откуда, наконец,
[а:£] = Ф произвольная константа.
(Юс)
Другие методы прямых вычислений
483
Такие же операции произведем и над уравнением (9а), тогда (с уче-
том п* — 0)
= S
Г dFi 1   dR   q
I ,1у" J	dy°
rdFil dR
—- = — = некоторая известная константа.
Ldz/’J dz?
Итак, мы имеем
S = 2^5 [а?-1] + Ф + const,	(9с)
откуда с учетом (10с)
У| [ХГ1] = Ф + const
или
S То Iх?"1! + S 44	= ф + const.
dx, 1	dx, 1
i	г
Но [af-1] известно с точностью до некоторой постоянной. В самом деле,
заменив р на р — 1, получаем уравнение, аналогичное уравнению
(Юс),
= Ф + const.
Учитывая равенство
можем записать
S п? [а?'р-1] = ф 4~ const.
Вернемся теперь к уравнению (10а), но заменим ivk на w* ир нар —2
Если учесть, что [af-2] и [у?-2] известны, то это уравнение можно
записать в виде
= x'f-1 + Ф.	(10d)
dWb к
Функция Sp-± представляет собой сумму членов, из которых одни пе-
риодичны по w и w', другие равны некоторой константе, умноженной на
w или w'.
Именно это и вытекает из высказанной выше гипотезы о том, что.
производные от функции Sp-X периодичны.
31*
484
Новые методы небесной механики. II
Если в этой сумме мы отбросим все члены, которые зависят от w,
то оставшиеся члены образуют функцию, зависящую от w', которую
мы можем обозначить символом	Поскольку мы предполагали,
что функция Sизвестна с точностью до произвольной функции от
w', можно сказать, что мы знаем разность Sp_r — но отнюдь не
[Sp-J.
Тогда
dwk
и, следовательно,
Sd [i?	. 1
п.1-------= Ф + const.
1 dWi
Это уравнение определяет [5p_J. Таким образом, функция полно-
стью известна.
Теперь величины
аналогичного уравнения
и х? 1 определяются из уравнения (10d) и
dS„ .
= ХР-l + Ф.
dw* к
правой и левой частях уравнения (Ibis)
(12bis)
Приравняем теперь в
п. 158 члены р-го порядка. Тогда
dwpl
3»!А + 2"!-Дг+»Г"ф + л + в-
Здесь А означает коэффициент при цр в производной — dF^ldx^ а В —
коэффициент при рЛ в —dF-Jdxt-
Функция Fo зависит только от величин xit которые полностью из-
вестны до хГ1 включительно. Поэтому можно записать, что
А = Ф - S хр.
dx9dx% К
Члены xf-1 точно так же полностью известны. Имеем
в = ф-у.-^-ур-г
.dy^dxl *
или (поскольку нам известна разность у?1 — [у? 11)
k dy^dx?
Другие методы прямых вычислений
485
С другой стороны, п£ равны нулю, а поскольку у? 1 известны с точно-
стью до произвольной функции от w', то
V о dyPi Q о d$
„	dy?"1	С dyf~l
S nl-^- = ф + S п? ,
dwk	k dw'*
откуда
S < + S + = ф - з - S I. аз»)
Вычислим теперь средние значения правой и левой части, заметив, что
Г d*Fi ~1 _ Г d2R 1 _ q
Получим
-"! <*2Ь>
Выше мы нашли (Юс)
[а;Р] = Ф ф- произвольная постоянная.
Это означает, что [а$] известно, поскольку константу в правой части
уравнения (10с) можно выбирать произвольно. Следовательно,
Ч1 = ф - Ч-	<12с)
к dwk
Величинами п? можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль
среднее значение правой части (12с), после чего это уравнение без труда
интегрируется, и мы получаем [г/?-1].
Таким же образом вычисляют п? и [г/гР~1], так что a:?-1, xf~\ уГ1,
уГх становятся теперь полностью известными функциями.
После этого уравнения (9bis) и (lObis) можно записать так:
S пкхк = S = Ф + const,	(9е)
Ё£р. = 2;р + ф	(10е)
^4 = х'р+Ф,	(10f)
*
486
Новые методы небесной механики. П
откуда следует уравнение
Sn	_
= ф -|- произвольная постоянная,
Тс
задающее Sp с точностью до некоторой неизвестной функции от w'
(ибо ранее мы выбрали так, чтобы среднее значение правой части
было равно некоторой постоянной). Иначе говоря, это уравнение опре-
деляет — ["Ур].
Затем из уравнений (10е) и (10f) мы находим х£ и xf с точностью
до функций от w'. Иначе говоря, эти уравнения определяют разности
х£ -= [а£ ], x'f — [х?].
Добавлю еще, что [х^] нам уже известно из уравнения (10с). Таким
образом, мы уже полностью знаем х^, но отнюдь не xf.
Уравнение (12а) принимает вид
С n
=	<12d)
Среднее значение правой части уравнения (12с) равно нулю в силу
уравнения (12Ь), отсюда находим
у?-[у1\-
Таким же образом вычисляем и
У?— [/Л.
Задача трех тел
162. Выберем в качестве независимых переменных
Л, Л', о{,
\l> Ti-
Так же, как в п. 152, будем отбрасывать лишние индексы и вместо
и писать % и X'.
Попытаемся теперь удовлетворить уравнениям задачи трех тел, под-
ставляя вместо каждой из этих переменных разложения (4) из п. 152
и (17) из п. 155 и располагая их по степеням р и некоторых констант,
обозначенных мной в пунктах 152 и J55 через х® и xf. По аналогии с
обозначениями п. 159 и во избежание недоразумений я буду здесь обоз-
начать эти постоянные через аг.
Другие методы прямых вычислении
487
Получим
Ло,о = const, Лд(о = COnSt, ^<о,О	^1’ \>,0 == ^2»
Ло)9 = Л019 = А0>(г = Х09 = 0	0)»
0?’° = т?’° = 0;
о?’1 = а4 cos wi’, т®’1 = a.i sin wt-
Прежде всего следует записать уравнение, которое должно быть анало-
гичным уравнению (6) из п. 158 и уравнению (6) из следующего пункт».
Таким уравнением будет
«Д?	. (ZX । , Л,	л', dM . -г-. dtj -г-. <И°?’1Ч)	.
J— = (Л — Ло,о)з-----И (Л — Лоо) -3----И У, б.-Н---У—д-------- (6bis)
dw,, ' u,u/ dw,, '	’ 7 dw,. 1 ZJ ’ dw, Zj dw^ '	'
вместе с аналогичным уравнением, которое получится, если и>к заменить
на Wj£.
К уравнению (6bis) и интегралу живых сил
F = const	(4bis)
добавим следующие уравнения. Во-первых, уравнение
di.	dk dF	... . \
-ДГ = 21га»Д--=—Дл~-	(IblS)
dt " 'dw-, dA.	'	'
к к
К нему присовокупим еще одно уравнение того же вида, в котором вме-
сто Л и X фигурируют Л' и А'.
Условимся раз и навсегда считать, что к каждому уравнению,
не симметричному относительно Л и Д', А и А' и т. д., необходимо
присоединить еще одно уравнение, в котором эти буквы переставлены.
Знаки S и S сохраняют тот же смысл, что и в предыдущем пункте.
Во-вторых, у нас еще имеются уравнения, аналогичные уравне-
ниям (4) из п. 159.
Чтобы их получить, положим так же, как и в п. 159,
Xi — Si cos Wi -|- ti sin Wi,
yi — Si sin Wi — Xi cos Wi,
x^л = Si'4 cos Wi 4- Xi,q sin Wi, . . . ,
откуда
= <*i, Vi'1 = 0.
488
Новые методы небесной механики. П
Тогда
Sdxi dF ' dF .
n^ = -d^COSWi~^sinWi-niy- <7>
It к
Sdyi dF .	' dF -	/o.
= ^7sinM;i + -^cos^+	<8)
7c
Ясно, что так же, как и раньше, уравнение
ДЛ _ dF
dt dk
и уравнения (7) являются следствиями уравнений (6bis), (4bis), (Ibis)
и (8). Следовательно, для решения задачи достаточно найти решение
лишь последних уравнений.
Поставленная таким образом задача, сводящаяся к решению этих
уравнений, содержит в себе все те трудности, которые мы по отдельно-
сти разрешали в предыдущих пунктах настоящей главы, и к ней при-
менимы те же методы.
Для сокращения некоторых выражений я буду применять следующие
обозначения:
ч
р
[ср. разложения (17) п. 155].
Аналогичные обозначения я буду применять не только для ог, но
и для других величин.
Условившись об этом, обратим прежде всего в нуль параметр р во
всех наших уравнениях. Уравнение (4bis) примет вид
Fo (Ло, Ло') = const.	(4а)
Поскольку постоянная в правой части произвольна, мы удовлетворим
этому уравнению, положив Ло и Ло равными некоторым произвольным
константам. Можно предположить так же, как мы делали ранее, что эти
константы не зависят от аг, т. е. что
Л0,д = 0 при q 0.
Затем из уравнения (6bis) получим
dS0 _ у 0	V (<3i’1'ri)
К	л	К
Другие методы прямых вычислений
489
Что же касается уравнения (Ibis), то оно сведется к уравнениям
о	dFo
1	dAo
и	(1а)
о	dF0
fit) - - " 1	,- .
Из уравнений (7) и (8) получим
SW^ = -»W.	Р«)
(«ж
К
Этим уравнениям можно удовлетворить, предположив, что величины и?
равны нулю, а ж®, у®, ог и тг зависят не от w, а только от w'.
Определим теперь величину So или, точнее,
So - [So'].
Поскольку о® ит® не зависят от w, из уравнения (6а) получаем
dS<> _____________________________ dSo _q
dwi dw?
Это означает, что So не зависит от w, а зависит лишь от w'.
Рассмотрим теперь в уравнениях члены первого порядка по
уравнения (4bis) получим
S^iAi = njAj 4- n®Ax =	4- const.
Из уравнения (6bis) следует, что
dU , v	v«!(6?’4)
dwk 1 dwk "i" dwk "T"	1 dwk	dwk
li	К	ti	Л	Л
Первое слагаемое в правой части, очевидно, Лх при k = 1 и Ах при к =
= 2, ибо мы знаем, что
X# = Wj,	Xg = W 2-
По этой же причине, если заменить на и^, получим
---- = >. о»---- 4- °i------------- •	(ЬЬ )
dwk ^-J dwk dwk dwk
p. Из
(4b)
(6b)
490
Новые методы небесном механики. II
Ранее мы видели, что т? не зависит ни от wlt ни от w2. То же от-
носится и к ст°. Следовательно,
d [^i]	.
—у—- = const,
dwk
±1 = 0	'
dw^ ’	dw^
Поэтому, переходя в уравнении (6b) к средним значениям в правой и
левой частях, получим последовательно при к — 1 или 2
= [S = const’
= const-
Если перейти к средним значениям в правой и левой частях уравнения
(4Ь), то левая часть должна стать произвольной постоянной, значение
которой может совпадать со значением константы, входящей в правую
часть этого уравнения. В результате получаем соотношение
[/\] = R = const.	(4с)
Предполагается, что в вместо Л, %, ст{ и подставлены Ло,
Хо, о? и т°. В функции R переменные и к0 исчезают, и R становится
функцией от Хо, ст? и т°. Эту функцию можно разлагать по степеням о?
и т?. Наименьшую степень в этом разложении будут иметь члены вто-
рого порядка, их можно записать в виде
Перейдем теперь к уравнению (ibis). Рассматривая члены первого по-
рядка по р, получим
So dki Q i dKo ________ dFi
П* ~dw7 4- o n*~dFT ~ ~ ~dAo
IS	К
diF0 . d2Fо A'
------Al--------------— Л-1
dh*	dAodho
(lb)
Переходя к средним значениям в правой и левой частях, найдем
1 dR (PF0 . .
dh>d\
(10)
Этим уравнением мы воспользуемся для нахождения п}.
Другие методы прямых вычислений
491
Перейдем теперь к уравнениям (7) и (8). Их можно записать в виде
VI 0 dxi , V 1	dFi  dFi •	'	'10	х
=^о-С08^~ —(/b)
v 0	, v 1 dyi dFi •	' i dFl ' । '‘0	/Q, .
2j^^- + 2j^^r = -j^sinn;i + —cos^ + n^i	(8b)
auK	awk dx\	de"
или же, если перейти к средним значениям и учесть, что х?, у® о® и т®
зависят лишь от w',
S'l	dR	' dR -''io	in \
nk —r = —r COS Wi---— Sin Wi — TliYi,	7c)
dwk dxi
S'l dy°i dR .	- dR ','10	IQ ,
dwK dr"	<fcj
Теперь мы уже в состоянии найти So, т® и п^. В самом деле,
аналогия с задачей, рассмотренной в п. 159, очевидна.
Переход от рассматриваемой нами сейчас задачи к задаче п. 159
можно совершить, заменив соответственно
о®, г®, х°, y°i, п'к, w'k, R, So
на
U Пг^йУиПк, wk,F,S,
после чего уравнения (4с) (7с), (8с) становятся соответственно эквива-
лентными уравнениям (5), (3) и (4) п. 159. Аналогично уравнение (6а'),
получающееся из уравнения (6а) при замене в последнем Wk на Wk, эк-
вивалентно уравнению (6) из п. 159.
Правда, R зависит не только от о®, и т®, но и от Ло и Ло. Однако, как
мы видели, эти величины должны быть постоянными.
Таким образом, в рассматриваемом случае оказываются примени-
мыми методы п. 159, и мы получаем
О?, Т?, Пк, Fo.
Из уравнения (4с) следует, что R равно некоторой константе и эта
константа должна зависеть от Ло и Ло, которые являются на-
шими постоянными интегрирования.
Отсюда следует, что dRJdK0 также представляет собой константу.
Поскольку [Л1], [Хо] и производные от Fo являются константами, пра-
вая часть уравнения (1с) также будет постоянной. Именно поэтому мы
можем приравнять ее и}.
492
Новые методы небесной механики. II
Таким же образом вычислим nJ.
Теперь уже полностью известны правые части уравнений (7Ь) и (8Ь),
в силу чего эти уравнения можно записать в виде
SO	Лч
П)£ --- — Ф.
dw,,
к
Среднее значение правых частей этих уравнений равно нулю ввиду урав-
нений (7с) и (8с). Поэтому мы можем вычислить исходя из уравнений
4—[4]* 4— [j/il
и, следовательно,
4-[4]? 4 -[4],
Лучше поступить иначе.
Приравняв в правой и левой частях уравнения
^Т< _ 	(Л\
dt	dSi
члены, стоящие при ц, получим
Sn dt}
Л
откуда найдем
При и>ц = и\ из уравнения (6b) получим
4* =лх +	2(4-о?*1)
dwy	1	' dwi	’
откуда
Л =	dS^	ф>	л-	= dS±	ф
х	dwi	dw%
Тогда, поскольку функция известна, а постоянная в правой части
уравнения (4Ь) была несколько выше выбрана нами произвольно, из урав-
нения (4Ь) следует
$п»4^ = ф.
ь-7 dw^
Другие методы прямых вычислений
493
Из этого уравнения находим
— [ *511 >
а следовательно, и
Aj— [Лх],	Aj—[Лх].
Поскольку [Ai] и [Л/], как я уже говорил ранее, представляют собой кон-
станты, которые можно выбирать произвольно, величины Лх и Л/ изве-
стны.
После этого из уравнения (6Ь') получаем
= + (С)
" dw^ dw^
либо, если перейти к средним значениям и принять во внимание, что произ-
водная	не зависит от ш/ ,
l3il	+ф,
либо же, вычитая и принимая во внимание, что разность — [51] из-
вестна,
dr^ ,
= (#)
‘-1 dw^
Таким образом, мы получаем цепочку линейных уравнений, из которых
находим
о! — [б-].
Заметим, что уравнение
5»-.4 = ф-	<£>
полученное из уравнения
dOj _______________________________dF	(р\
dt ~~ dxi	И '
путем приравнивания коэффициентов, стоящих при ц, является следствием
уравнений (А), (В), (D) и предшествующих им уравнений (4а), (4b), (1а),
(7а), (8а), (6а), (6Ь), которые уже удовлетворены.
Это почти очевидно, и я еще вернусь к этому в дальнейшем. Затем от-
сюда легко выводятся уравнения (7Ь) и (8Ь).
434
Новые методы небесной механики. II
С другой стороны, поскольку сумма
SrfXo 1
пк ~dw^ ~ П1
известна из (1с), уравнение (1b) можно записать в виде
S
В силу уравнения (1с) среднее значение Ф равно нулю. Из этого уравне-
ния мы получаем
- [A.J.
Таким же образом находим
— [^-11 -
Рассмотрим теперь в наших уравнениях члены второго порядка по и.
Прежде всего из уравнения (4 bis) найдем
S^! = 3^sU2^i + 2^ + ® + “"3t- <м>
Аналогично из уравнения (6bis) получим
d$2 _ Q д rfXp Q д dki ,
dwi:	2 dwft '	1 dw<.; "*~
, v Г .л	. л
" i dwk 1 dwk ’ dw
_	К	К	л
(6d)
*•»
Вычислим средние значения правой и левой частей этого уравнения.
Я утверждаю, что среднее значение правой части равно
[Л2] + Ф.
В самом деле, нам известны Лх, Aj —	] и, следовательно, dKJdw^. Из
рассмотрения уравнения (6Ь) ясно, что
о Л? '
61 dwk
k J
б?
о!т2
dwk
= о.
С другой стороны,
,1
_ 1 dwk
.	. dx}
' 1	1 dwk 1
(4]
dx}
dwk
Другие методы прямых вычислений
495
Первое слагаемое в правой части известно, ибо а} и т| известны с точ-
ностью до функции от w'. Второе слагаемое равно нулю, так как
, dx} 1	, г dx}
к J
dw-
=0.
’k J
Поэтому окончательно имеем
[Л2] =	+ Ф = Ф + произвольная постоянная.
Вычислим теперь средние значения правой и левой частей уравнения
(4d). Мы только что нашли среднее значение [Л2]. Рассмотрим какое-ни-
будь слагаемое в правой части, например,
d£i J.
d^1'
Тогда
[dF\ 11 Г dFi. z i г 11Ч1 I Г dF\ т-1	, Г ^^*11 г ii гТх । dH . i
ТГСЧ = ~тт (°i- °i] +	= ф + -To- Oil = ф + -тт 6Н-
dsV J L ds}	J L	J	L J	ds}
Производя те же операции над остальными слагаемыми в уравнении (4d),
получим только известные функции Ф и произвольные постоянные и
найдем
2	[о1] +	[т1]) = Ф + const.	(4е)
В самом деле, известно, что
= о
dXo
Перейдем теперь к уравнению (7) и посмотрим, что можно из него извлечь*
Во-первых, из левой части получим
V 0 I V 1	। V 2 dxi
+ 2j”k^ + An*-d^ •
Если при вычислении среднего значения мы учтем, что п° равно нулю как
среднее значение производной, взятой по и\ или по ш2, то получим

dwk
+ S
<4 -
В правой части мы прежде всего рассмотрим член с dFtdxi, откуда найдем
dfj	।	ст /	d2Fi	.	.	d2F±	»	.	d2Fi	i	.	d2Fi i \
dx}	dxfdAo 1	dx}dKo 1	dTjdT?.	K	dx}dai J
i	»	г	к	*л'
496
Новые методы небесной механики. И
или
ф+з(
d*Fi
[^11 +
-[41 + -^
[Ofc] )
и среднее значение будет иметь вид
_ ,	( d2R 1 cPR . i,\
Ф +2( j Oj о lTkl Н-----,о,о f6k^ ) ‘
Аналогичные вычисления произведем и для dFJdo^. Это позволит нам
записать те соотношения, которые следуют из уравнений (7) и (8), если
в правой и левой их части выделить члены второго порядка по р. Имеем
S,. d [хМ	,	'	'1	1	'2 о
---— = A COSWi — В sin Wi — Пг [yd — Щ IR.	(/в)
$ п* d  = A sin Wi + В cos w\ + ni [х\] + n?x°i,	(8e)
d^k
где А и — В — правые части уравнений (22) из п. 155, из которых нетруд-
но получить уравнения (7е) и (8е). К уравнениям (7е) и (8е) добавим еще
следующее уравнение, получающееся при взятии среднего значения в
уравнении (6Ь'):
2^ =sf +	-^Д1» V (6с-)
dw^ “ \ rfwjj	dw^ J
Теперь мы с помощью уравнений (4е), (7е), (8е), (6с') найдем величины
[Oil, [til- п\2, [Ail.
He все из взятых нами уравнений различны — в главе XIV мы видели, что
эти же величины можно найти, используя одни лишь уравнения (22) из
п. 155, эквивалентные уравнениям (7е) и (8е).
Однако я хотел бы указать другой метод, использующий лишь уравне-
ния (4е), (6с') и (8е), который более тесно связан с методом, применяемым
в настоящей главе.
В связи с этим представляло бы интерес доказательство того, что урав-
нение (7е) можно вывести из уравнений (4е), (6с) и (8е), а для этого необ-
ходимо рассмотреть более подробно, каким образом можно получить
уравнения (7) из уравнений (4bis), (6bis) и (8bis). Рассмотрению этого
вопроса, несколько уводящего нас в сторону от основной темы, и будут
посвящены следующие пункты.
163. Вернемся к задаче и обозначениям п. 158. Наши ссылки
будут относиться только к нему.
Другие методы прямых вычислений
497
Всякое же обращение к другим пунктам будет оговариваться особо.
В начале п. 158 мы доказали, что уравнение (2) является следствием урав-
нений (1), (3), (4) и (6). Однако можно поставить следующий вопрос.
Предположим, что уравнения, полученные из уравнений (1), (3), (4)
и (6) приравниванием членов, не зависящих от р, затем членов первого,
второго и т. д. порядка относительно р до р-го порядка включительно,
стоящих в их левых и правых частях, удовлетворены. Не следует ли отсю-
да, что при этом будут удовлетворены и уравнения, полученные из урав-
нения (2) приравниванием членов нулевого, первого, второго,..., р-то
порядка относительно р в его правой и левой части? Иначе говоря, я пред-
полагаю, что уравнения (1), (3), (4) и (6) удовлетворяются с точностью до
pp+l, т. е. так, что после подстановки в них нашего приближенного реше-
ния разность между их правой и левой частью будет делиться на рр+1.
Не следует ли отсюда, что и уравнения (2) удовлетворяются с точностью
до членов (р + 1)-го порядка? Если уравнения (1), (3), (4) и (6) удовлет-
воряются с точностью до членов (р + 1)-го порядка, то точно так же будут
выполняться и уравнения, получающиеся из них с помощью дифференци-
рования, сложения или умножения, такие, как, например, уравнения (7)
и (8). Поэтому уравнения (7) и (8) будут выполняться с той лишь разни-
цей, что в их правой части вместо 0 будет стоять функция, допускающая
разложение по степеням р, которая делится на рр+1.
Таким образом,
Sdyj ! dF _ dyi \ _ JJ
dwfg \ dxi dt j ’
где H делится на рр+1. Отсюда можно заключить, что разность
dF _ dyj
dxi dt
равна некоторой функции, также допускающей разложение по степеням
р и делящейся на рр+1 при условии, что определитель, составленный
из производных dyi!dwh, на р делиться не будет. Но именно так и проис-
ходит, ибо этот определитель равен 1 при р — 0.
Итак, уравнения (2) удовлетворяются с точностью до членов (р -|- 1 )-го
порядка относительно р, что и требовалось доказать.
Обратимся теперь к задаче п. 161. Предыдущие рассуждения приме-
нимы в этом случае без всяких изменений, но нам следует поставить еще
один вопрос.
Помимо уравнений, получаемых из уравнений (Ibis), (2), (4), (6) пу-
тем приравнивания в их правой и левой частях коэффициентов при рр,
мы можем рассмотреть еще и такие уравнения, которые можно получить,
приравнивая средние значет ля правой и левой частей.
Я предполагаю, что уравнения (Ibis), (4) и (6) выполняются с точно-
стью до членов р-го порядка относительно р. Отсюда следует, как мы
32 А. Пуанкаре
498
Новые методы небесной механики. И
только что видели, что и уравнения (2) также выполняются с точностью до
членов р-го порядка относительно р,.
Более того, я предполагаю, что удовлетворяются уравнения, получен-
ные следующим образом: в уравнениях (Ibis), (4) и (6) мы приравняли
коэффициенты при р/’, а затем заменили правую и левую части уравнения
их средними значениями. Следует ли отсюда, что уравнение, получаемое
таким же способом из уравнения (2), будет также удовлетворяться?
Наше предположение можно сформулировать следующим образом.
Уравнения (Ibis), (4) и (6) удовлетворяются не точно, а так, что разность
между их правой и левой частью является периодической функцией от w,
и и/, допускающей разложение по степеням ц, делящейся на цс и такой,
что ее среднее значение по w делится на р,г+1.
Всякую функцию, удовлетворяющую этим условиям, я буду обозна-
чать символом Н. Отсюда следует, что сумма двух функций Н есть функ-
ция Н и производная от Н по wk или wk' есть снова функция Н.
Наконец, если мы умножим Н на некоторую функцию К, периодическую
по w и w' и разлагающуюся по степеням ц, то их произведение также будет
функцией Н при условии, что при р, = 0 функция К зависит не от w, а
только от ы'. В этом случае
2/ dx; _______ dx^ dy^ )  уу
\ dt dw-ft dv'l: dt /
И
cl У С _ _ (!F I рр
dt	dxi ~	’
dx.j / dyt . dF \  yy dxY  ц
dw}: \ dt	dxi J dw^ ’
потому что dxjdwh или dxjdw^ при it = 0 равны нулю и, следовательно,
не зависят от w.
Отсюда следует, что правая часть уравнения (8) также будет функцией
Н. Поскольку при дифференцировании уравнения (4) мы получим
/ dF dxi . dF dy^ \ _____yy
Za ( dxn dw:-	dw^)	’
будет выполняться соотношение
Sdyj / ‘‘Ixn __ dF ) __ ту
dwfr ( dt dyi ;
где Hh — функция H.
Отсюда следует
dx* dF	tj-
~dt—^г = 2я^-д-’
где A — определитель, составленный из dynldwh. Разумеется, в него вхо-
дят dyn!dwh, dyildw,.Tidy'i/dwk • Что же касается то это — миноры
определителя А.
Другие методы прямых вычислений
499
При р. = О определитель А = 1, минор Aiift равен 1 либо 0, следова-
тельно, Ai)ft/A не зависит от w. Но тогда
d-Xj _ dF _
dt dyi ’
что и требовалось доказать.
164. Обратимся теперь еще раз к гипотезам п. 159. Мы будем придер-
живаться тех же обозначений и условимся, что рассмотрение будет затра-
гивать только уравнения этого пункта. Речь идет о том, чтобы установить:
1) что уравнения (3) можно вывести из уравнений (4), (5) и (6) (не-
сколько выше мы привели это утверждение без доказательства, но теперь
я приведу доказательство, поскольку оно понадобится в дальнейшем);
2) что если уравнения (5) и (6) удовлетворяются с точностью до членов
(р + 2)-го порядка относительно а4, а уравнения (4) — с точностью до
членов (р 1)-го порядка, то уравнения (3) будут выполняться с точ-
ностью до членов (р + 1)-го порядка или, иначе говоря, уравнения (13)
и (14) будут следствиями уравнений (7), (8) и (9).
Уравнения (6) означают, что dS является точным дифференциалом, и
позволяют записать, что
=	(а)
" dify dwq dwq dw^ )	4 '
откуда так же, как в п. 158, следует, что
у ! db dx\i dh df]t \	„
1 du>l: dt dt dwt- J '	W
С другой стороны, уравнение (5), продифференцированное по и>к, дает
уравнение
ZJ \_ d^i dwk ~ dt\i divk /	'*/
Введем теперь следующие обозначения:
cos wi + sin Wi = Xi,
dt	1 1 dt г г’
d^i 	dv\i	v
——sm Wi------тр- cos Wt = Yi,
dt	1 dt	i
dt-,	, Ар .
-r^-cosWi 4- v^sm®; = Xi,
dwk	1 dwk 1
d^i .	dr\i
sm Wi —-j-dt- COS Wi = Yi,
dwj-	dw^
dF	dF	.
cos wi - sin Wi = Ai,
dF	.	dF
dm	Sln Wi + d^i	C0S
32*
500
Новые методы небесной механики. II
В новых обозначениях уравнения (3) и (4) запишутся соответственно в виде
Х{ = Д,	(б)
Л = Д-	(8)
Уравнение (р) перейдет в уравнение
2(.¥*д-У?Д) = 0,	(₽')
а уравнение (у) — в уравнение
2(Х^-Уг4) = о.	(г')
Я утверждаю, что из уравнений (е), (|У) и (у') можно вывести уравнение
(б). Действительно, из уравнений (р') и (е) получим
2(Х?Д-У^) = о	(С)
и, наконец,
ЗУ?(Д-Д) = 0	(£ = 1,2,... ,п).	(•&)
г
Поскольку определитель, составленный из У^, отличен от нуля, получаем
Xi = Аг,
что и требовалось доказать.
Предположим теперь, что уравнения (4) выполняются с точностью до
членов (р -|- 1)-го порядка относительно ai7 а уравнения (5) и (6) — с точ-
ностью до членов (р + 2)-го порядка.
Тогда уравнения (а), (р), (у), (Р') и (у') будут выполняться с точностью
до членов (р + 2)-го порядка, а уравнение (е) — с точностью до членов
(р + 1)-го порядка. Поскольку разложение X* начинается с членов пер-
вого порядка, то, умножив уравнение (е) на X*, получим уравнение, ко-
торое будет выполняться с точностью до членов (р + 2)-го порядка.
Отсюда следует, что уравнения (£) и (О') будут удовлетворяться с точ-
ностью до членов (р -f- 2)-го порядка. Я утверждаю, что в силу этого
уравнение (б) будет выполняться с точностью до членов (р + 1)-го по-
рядка.
В самом деле, положим пока
a,i — ЛаД
так что члены порядка р относительно аг будут делиться на Ар.
Другие методы прямых вычислений
501
Затем я установлю, что
Xi — Ai =
Y- = IZ, •
Остается показать, что при /- = 0 величина остается конечной.
Уравнение (0) выполняется с точностью до членов (р + 2)-го порядка.
Имеем
2 У? (Xi- Д) =
При X = 0 функции Н* остаются конечными, откуда
Отсюда следует, что Ci остается конечным при X = 0 при условии, если
определитель, составленный из Zj', не обращается в пуль при X = 0.
Но этот определитель при X = 0 равен
Следовательно, он отличен от нуля, что и требовалось доказать.
165. Теперь я возвращаюсь к задаче п. 162. Мне осталось показать,
что уравнение (7е) следует из уравнений (4е), (6с') и (8е), разумеется, если
предположить, как мы делали раньше, что предварительно мы уже удов-
летворили уравнениям (4а), (4Ь), (6а), (6b), (8а), (8b), (la), (1Ь).
Эти предположения можно выразить следующим образом. Утвержде-
ние о том, что выполняются уравнения (4а), (4Ь) и (4е), означает, что
F — const + р2Я,.
Я обозначаю символом Н любую функцию, допускающую разложение
по возрастающим степеням р и периодическую по w и w', и символом На
любую функцию Н, среднее значение которой обращается в нуль при р = 0.
Отсюда следует
v (dF dK dF dK dF dXj , dF dr4
( dK dui]; *1 t/Л dwf; dti dwj- </6, rfzcj. J H 0-	(«)
Утверждение о том, что уравнения (la) и (1b) выполняются, равносильно
утверждению о том, что
dK dF ,,	(О\
-dt--dA=^H,	(₽)
откуда в силу того, что производная dXldw* обращается в нуль при р. = 0
) _ ii2W	-	/ДМ
Перейдем к уравнениям, выводимым из уравнений (6bis).
502
Новые методы небесной механики. II
Мы предполагаем, что уравнения (6а), (6b), (6Ь') удовлетворяются, но
этого недостаточно. В самом деле, при выводе уравнения (4е) мы исполь-
зовали уравнение (6d) или, вернее, уравнение (бе)*, которое получается,
если приравнять средние значения правой и левой частей уравнения (6d).
Итак, мы исходим из предположения о том, что уравнение (бе) удовлет-
воряется. Однако с уравнением (бе')*, которое получилось бы из него,
если бы мы заменили и>к па дело обстоит иначе. Как выразить все, что
было сказано, на языке новых обозначений?
Поскольку уравнения (ба), (6Ь) и (бе) удовлетворяются, имеем
+ р2Я0,.
причем Ск пока что означает правую часть уравнения (6bis). Если мы про-
изведем замену переменных на u>q' и обозначим то, что при этом получит-
ся из С* символом Cq', то обнаружим, что
4^ = с« +
dwq
Среднее значение функции Н не равно нулю при и, = 0, поскольку не пред-
полагается, что уравнение (7е') * выполнено.
Если продифференцировать первое из этих уравнений по wq , а второе —
по и вычесть одно из другого, то
Аналогично
но в соотношении
dwq	dC'q dwk	= Р2Я0.
dCfc dwq	dCq du>;:	= Н2Яо,
dCi	dC'	
		Q	= ц2Я
dwq	dwk	
среднее значение функции Н не обращается в нуль при ц = 0. Однако если
это соотношение умножить на величину nq , которая обращается в нуль
при р, = 0, то
. / d(\	dc'< X
V	dwK /
* Уравнение (бе), а также уравнения (бе') и (7е'), получаемые из (бе) и (7е) заменой
шх на ы1;', автором не выписаны. {Прим. ред.).
Другие методы прямых вычислений
503
Следовательно, мы получаем уравнение
dCa \ .	• ( dCb
1 + Па i------А
dwlL /'	<*\ dll!(i
2ЫД
Q L у
] = Ц2Яо
dwk >
вместе с аналогичным уравнением, которое получается из него при замене
wk па wk .
Это позволяет нам записать уравнение
/dA d/,	d'/, dA . rfs, dti dXi dSi'\	.
2ii\dt dw}; dt dwk "T” dt dwk dt dwk ]	0
вместе с уравнением, которое можно из него получить заменой wk на w*.
Так же, как и в предыдущем пункте, введем обозначения
//5;	' , -^р-СО.ЧШг +	d%i •	'	xr —57-sinzPi = -X-i, dt	1
rf';	d% л	'	x:t —^coswi = Yi,
COS Wi 4-	d'Xi i	'	у?- Jc dtvK
dSi	dX;	'	-< A;
-у-2-Sin Wi —	-j—^-coswi == Yij dv)^
dF	dF .
-d^C0SWi~	—;	SIH Wi = Ai, d^i	г’
dF .	dF
dXi SmWi +	—— cos Wi = Bi d<5i	’
вместе с аналогичными уравнениями, в которых вместо wk, Xf и Yf фигури-
руют те же самые буквы, но со штрихами.
Тогда уравнения (а) и (у) запишутся в виде
v/ dF dA . dF dA , уЛ. /»	л )	2 и	1 f\
{~db~-d^ + ~dA -d^T XiBi ~ Yi Ail = И Я°’	(“ >
У (~~7Г -T----Yi -	= H2#o	(H
Z_l ( dt dwk dt dwk 11	r u	'1 '
(к ним следует еще присоединить аналогичные уравнения, в которых Хк
и Yf заменены штрихованными величинами).
С другой стороны, предположив, что уравнения (8а), (8Ь) и (8с) выпол-
няются, получим
Yt - В, = р2Я0.
Комбинируя все выписанные уравнения, найдем
2 44(44 ~ 4г) + у-*
504
Новые методы небесной механики. II
(плюс еще одно уравнение, в котором wk и У? заменены соответствующими
величинами со штрихами).
При этом получим некоторую систему линейных уравнений, из ко-
торой можно найти
<7Л dF v .
~dl--------dV H ~ Ai-
Во что обратятся коэффициенты этих уравнений и определитель всей
системы при р = 0?
Производные d7Jdwk обратятся в нуль, за исключением производных
dYdwx и d\'ldw2, которые станут равными 1. Величины Y* обратятся в
нуль. Что же касается величин
. dr?
Yi —----— sin Wi-----— cos w^
dwk	dw^
то они не зависят от wx и w2.
Следовательно, определитель системы и его миноры при р = 0 не за-
висят от w, кроме того, этот определитель не обращается в нуль.
Итак, мы получаем
Xj — Ai = р2Я0.
Это означает, что уравнения (7а), (7Ь), (7е) удовлетворяются, что и требо-
валось доказать.
Мне остается еще показать, что, уравнение (Е) из п. 162 является следст-
вием уравнений (И), (В), (D), (4а), (4Ь), (1а), (7а), (8а), (6а) и (6Ь), как я
и утверждал выше.
Из уравнений (4а) и (4Ь) следует
А = р2Я,
где А — левая часть уравнения (а).
Из уравнения (1а) вытекает
dk dF тт
и
dA / dk	dF \
dwk ( dt	dA j
(«’)
(3")
Перейдем к уравнениям, выводимым из уравнения (6bis). Поскольку
уравнения (6а) и (6Ь) выполняются, имеем

Другие методы прямых вычислений
505
Аналогично уравнение (6а') * выполняется, но уравнение (6Ь') удовлет-
воряется лишь с точностью до некоторой функции от w'. В самом деле,
уравнение (Z)) мы вывели из уравнения (С), эквивалентного уравнению,
(6Ь'), вычтя из него другое уравнение, обе части которого были неизвест-
ными функциями от w'. Следовательно, я могу записать
= Cq р3// -j- цК.
Здесь К не зависит от w.
Отсюда следует
или, поскольку nq
d<h dw'q	dCg dw%	==р2я,
dwq	dCq dw%	= Р2/Л
dC’K	dCq	
dwq	dw}.	
И.
dCg
dw'k
делится на
dwq
«9
или же, наконец,
С = ц2Я,
(П
где С — левая часть уравнения (у), точнее, левая часть этого уравнения, в
котором заменено на Wj.'.
Из уравнений (7а), (8а) и (D) найдем
_L — „2//
dt dSi	•
Затем, комбинируя наши
•ст Л / rdA
Z_! dwit i dt
уравнения, получим
+ --------------=
dh [ dw’: ( dl dti /	“
— линейные уравнения, откуда так же, как и раньше, найдем
что и требовалось доказать.
* Штрих означает замену в соответствующем уравнении на w’k. (Прим. ред.).
506
Новые методы небесной механики. II
166.	После столь долгого отступления я вновь возвращаюсь к задаче
п. 162 и продолжу ее рассмотрение с того самого места, па котором оста-
новился. Речь шла о том, чтобы найти 1а’] и [т|] с помощью уравнений (4е),
(8е) и (6с').
Для этого мы предположим, что обе части наших уравнений разложе-
ны по степеням а4, и приравняем в правой и левой частях члены одинако-
вого порядка.
Уравнение (4е) начинается с членов первого порядка; приравнивая чле-
ны первого порядка, получим
2 2Д (б?д [б?’1] +	[т?д]) = Ф + const.	(4f)
Разложение правой части уравнения (6с') начинается также с членов пер-
вого порядка, и мы найдем
[^,„1 = const.
Отсюда получим, приравняв члены первого порядка,
d [6-щ] у Г .1,0 ^°’г , _o,i	~
dw'k	1 dwf. 1 dwk	du'k
или же
d I.S', ,1	_ /г I л I Л?’1	, л	\ л n	1 л с?3к1
и1°Ъи хп / -1,0 г r^i-,0-1 г \ r-l»0i к	к
—т~'—	2. I К j -----------= 1^- 1 ~т~’-----------------tTfe 1 "Г"7”
dw^	у	dw^	dw^ j	dw^	div^
-0,1 Г 1,01 I —0,1 Г 1,01 0,1 Глл^чОт
= 31: [<3j£ ] +	[Tft ] = [Хц ]•	(OI)
Таким образом, получаем из уравнения (4f) соотношение
У 2Ai -[1М. = ф + const,
" dWi
позволяющее найти [5lfl] и, следовательно, [xj’°].
Нам остается найти [ук°] и удовлетворить тому уравнению (8f), ко-
торое получается путем приравнивания в уравнении (8е) членов нулевого
порядка относительно а{. Собственно, для этого достаточно уравнения
(4f), если мы вспомним, что [о^0] и [т^’0] должны быть константами, ибо
ак и Т/с разлагаются по степеням щ cos и a, sin ш/, причем члены этих
разложений нулевого порядка относительно а4 должны быть независи-
мыми от wd.
Что теперь представляет собой функция Ф в правой части уравнения
(4f)? Очевидно, что для получения этой функции необходимо следующее:
взять функцию — F2, заменить в ней переменные Л, X, переменными
Лв, w, о?, т°, вычислить среднее значение получившейся при этом функции,
Другие методы прямых вычислений
507
в этом среднем значении рассмотреть члены первого порядка относитель-
но о? и т°, произвести замену о? и т® на о®1 и т?’1. После этого функ-
ция Ф будет иметь вид
З^ + З^т?-1,
где Bi и Ci — константы. Уравнение (4f) запишется тогда в виде
22A(6M[al’°J +Т?’1 [4-°]) =2^>1 + 2CiT«'1 + conSt.
Так как и ]rj’°] должны быть константами, то этому уравнению можно
удовлетворить, лишь положив константу в правой части равной нулю и
выбрав
Кроме того, я утверждаю, что таким же образом можно удовлетворить и
уравнению (8f) *, ибо этим способом можно удовлетворить уравнениям
(23) из п. 155. Уравнение же (8f) есть не что иное, как простая комбинация
этих уравнений, получающаяся при сложении этих уравнений, после
предварительного умножения их на +sin ш/ и —cos ш/.
Приравняв теперь в уравнении (4е) члены второго порядка, получим
%2Ai [о*’®] + т?’1 [<’°]) = Ф + const.	(4g),
Приравнивая точно так же члены второго порядка в уравнении (6с')
получим
Ф +	= + (3м [4.1] + то.1[ т’.1]) = + 4Ч4-1].	(6g)
Но тогда уравнение (4g) можно переписать в виде
у2Л4^1^1 = Ф + сопзЬ.,
откуда найдем К$'152] и, следовательно, [ж*1].
Рассмотрим теперь уравнение (8g), получающееся путем приравнива-
ния в уравнении (8е) членов первого порядка. Но его точно так же можно
было бы получить, положив в уравнениях (25) п. 155 q = 1, умножив
первое из них на sin ш/, а второе на cos ш,' и сложив.
* Которое в явном виде не выписано. (Прим. ред.).
508
Новые методы небесной механики. II
Проделав эти операции и принимая во внимание, что константой, ко-
торую мы в п. 155 обозначали x'i°, теперь является а{, получим
3	= д" [УН] = ф _ „М [ж1,1 j +,(8g)
dwk
Теперь нам известны [ж*’1], следовательно, уравнение (8g) запишется в
виде
А" 1И’1! = Ф +
Величины «ial определяются так, чтобы среднее значение правой части
было равно нулю, после чего нетрудно найти из этого уравнения [р}’1], а
следовательно, и [of’1] и [т*’1!.
Продолжая в том же духе, находим п)2-’-1, М’’],
Итак, величины п?, [а/]и[т/] известны. Остальные величины вычислим
по методу п. 162. Каждую величину следует находить точно так же, как
находили величины га?, [а/]и [г/]. Единственное отличие состоит в том, что
ее порядок (относительно р) будет на единицу меньше.
Разумеется, следует позаботиться о том, чтобы порядок действий был
таким же, как и в п. 162.
Итак, методы, изложенные в главе XV, позволяют достичь тех же ре-
зультатов, что и методы главы XIV. Некоторые вычисления оказываются
более простыми. Кроме того, новые методы обладают одним преимущест-
вом, на которое следует обратить внимание и которым методы, изложенные
в предыдущей главе, не обладают. Речь идет о том, что, излагая эти методы,
мы одновременно доказываем и возможность их применения. Именно по-
этому их можно было излагать, не проходя через промежуточные этапы в
главах XI—XIII и не прибегая к многочисленным заменам переменных, ко-
торые мы вынуждены были производить в этих главах. Эти замены пере-
менных были целесообразны при проведении доказательств, но отнюдь не
для вычислений.
Глава XVI
МЕТОДЫ ГИЛЬДЕНА
167.	Методы, о которых я хочу рассказать в этой главе, в высокой сте-
пени оригинальны. На первый взгляд может показаться, что они не имеют
ничего общего с теми, о которых говорилось раньше. Однако вопреки это-
му впечатлению методы, о которых пойдет речь, тесно связаны с изложен-
ными в предыдущих главах, но кое в чем превосходят их и позволяют рас-
сматривать задачи, к которым нельзя было применять методы глав IX и
XV. Таким образом, они более тесно связаны с теми методами, о которых
речь будет идти дальше. Разумеется, мое изложение значительно отли-
чается от изложения Гильдена.
В самом деле, методы Гильдена представляют собой совокупность ис-
кусственных приемов, между которыми нет никаких необходимых связей
и которые удобнее изучать по отдельности. Читатель без труда сможет
свести их затем воедино.
Первый из этих искусственных приемов состоит в использовании спе-
циально выбранных независимых переменных.
Предположим сначала, что движение трех тел происходит в одной пло-
скости. В этой плоскости рассмотрим движение одной из планет, на кото-
рую действует центральное тело, положение которого мы примем за
начало координат, и на которую оказывает возмущающее воздействие
другая планета.
Пусть г и v — полярные координаты рассматриваемой планеты, р, —
масса центрального тела, Q — возмущающая функция. Уравнения дви-
жения запишутся в виде
dl	dv ’	.d? Г { dt J + r2 dr *	' '
В случае, когда Q = 0, движение становится кеплеровским, первое из
уравнений (1) тотчас же интегрируется
г2 ~	(2)
(с — некоторая постоянная).
510
Новые методы небесной механики. П
Если затем принять v за независимую переменную и положить г —
= — 1/м, то второе из уравнений (1) запишется в виде
-+« + — =0,	(3)
<zv2	с	v ’
откуда непосредственно усматривается эллиптический вид траектории.
Вернемся к общему случаю, когда Q =/= 0. В этом случае Гильден пред-
ложил так выбирать независимую переменную, чтобы уравнения движения
имели вид, аналогичный уравнениям (2) и (3).
Для этого положим
dvo   /со
dt	г3
где с0 — новая постоянная.
Если v0 принять за независимую переменную, то первое из уравнений
(1) запишется в виде
сру __ г2 dQ	г
Со dv ‘	'°'
Если же, кроме того, положить г = — l/и, то второе из уравнений (1) при-
мет вид
г2 rfQ
со dr
Аналогия с уравнением (3) станет еще более очевидной, если заметить,
что в последующих вычислениях v будет мало отличаться от v0. Поэтому,
если перенести в правую часть член, имеющий тот же же порядок ма-
лости, что и Q, то
d2u
+ U+^- =
1	' Со
Со
dQ
dr
(6)
Выбор переменной v0, имеющий явные преимущества, не лишен и не-
достатков.
В самом деле, существуют два сильно отличающихся варианта задачи
трех тел. В одном из них мы имеем дело с двумя планетами, массы которых
сравнимы, в другом же, наоборот, масса одной из планет много меньше
массы другой.
В первом случае с одной из планет необходимо связать независимую
переменную v0, а с другой планетой — другую независимую переменную
v0', аналогичную первой, но отличную от нее и определяемую уравнением
dvo	К со
[dt	г'2 ’
где г' — радиус-вектор второй планеты.
Методы Гильдена
511
В этом состоит один источник трудностей. Поэтому метод Гильдена в
его первоначальном виде особенно пригоден для второго случая, например
для изучения возмущений малых планет Юпитером.
Однако имеются еще и другие трудности.
Движение Юпитера известно, но как функция от t, а не от v0. Чтобы вы-
разить функцию, зависящую от t, через v0, необходимо подставить вместо
t его выражение через v0, полученное из уравнения (4). Но зависимость
t от v0 в каждом приближении имеет свой вид. Следовательно, в коорди-
наты Юпитера необходимо постоянно вносить поправки. Эти неудобства
отчасти компенсируются важными преимуществами. Еще один недостаток
заключается в том, что наши уравнения не будут иметь вид уравнений
Лагранжа, но к этому мы еще в скором времени вернемся.
168.	Посмотрим теперь, какой вид имеют уравнения движения.
Координаты и и v первой планеты выражаются в виде функций от v0 с
помощью уравнений (5) и (6), левые части которых имеют простой вид
а правые части зависят не только otzzhv, но и от координат и' и v' возму-
щающей планеты.
Переменная v0 связана с t уравнением (4).
Координаты и' и v' второй планеты также выражаются в виде функ-
ций новой переменной v0' с помощью уравнений (5') и (6') *, аналогичных
уравнениям (5) и (6).
Переменная v0, в свою очередь, определяется в виде функции от t
с помощью уравнения (4'), аналогичного уравнению (4).
Предположим теперь, что к этим уравнениям требуется применить
методы, аналогичные старым методам небесной механики. Вот что получи-
лось бы при этом. Предположим, что мы знаем приближенные значения
и и V, и' и v' в виде функций, зависящих как от v0, так и от v0'.
В правую часть уравнения (5) или (6) вместо и, у, и и v' подставим
их приближенные значения, записанные в виде функций от v0. Эти пра-
вые части станут известными функциями от v0, и наши уравнения без тру-
да будут интегрироваться в квадратурах. При этом получим следующее
приближение для и и v в виде функций от v0.
Производя аналогичные действия с уравнениями (5') и (6'), получим
следующие приближения для и' и v' в виде функций от v0'.
После этого из уравнений (4) с помощью квадратур получим t как функ-
цию от v0, а из уравнения (4') выразим t через v0. Объединяя оба эти ре-
зультата, получим v0 в виде функции от v0 и наоборот.
* Уравнения, обозначенные здесь числами со штрихами, явно не выписаны. (Прим,
ред.).
512
Новые методы небесной механики. II
Таким образом, можно получить следующее приближение для и и v в
виде функций от v0' либо для и' и v' в виде функций от v0. Имея теперь
второе приближение для и, v, и' и v' как в виде функций от v0, так и в
виде функций от v0', мы можем произвести с этим приближением те же опе-
рации, что и с первым, и т. д.
Остается выбрать первое приближение. Чтобы лучше понять те усо-
вершенствования, которые пришлось ввести Гильдену, временно предпо-
ложим, что первое приближение мы выбираем так, как это сделали бы вы-
числители, действующие в духе старых ^методов. Очевидно, что выбор в
качестве первого приближения кеплеровского движения лучше всего от-
вечал бы духу старых методов.
В этом случае
v — v0, и =------— -ф- a cosv0 + 3sin v0,
Со
v' — v0, и' =----+ а'’cos v0 4- р' sin v0,
fo
где а, р, а' и р' — постоянные интегрирования.
Что касается соотношения между v0 и v0',to оно будет более сложным.
Его мы получим из уравнения
dvo ___
u2 Vсо м'2	’
которое интегрируется в квадратурах. Это дает нам v0' в виде функции от
v0. Если v0' разложить по возрастающим степеням постоянных а, р, а' и
р', вообще говоря, весьма малых, то первый член разложения, не завися-
щий от четырех указанных постоянных, оказывается линейной функцией
от v0.
Таким образом, соотношение между £v0' и v0 в первом приближении
усложнилось. Эта трудность носит несколько искусственный характер и со-
вершенно нового рода. Она связана с выбором независимых переменных и
не устраняется, если вместо старых методов воспользоваться методами
Гильдена.
Ничего подобного не возникает при рассмотрении методов Ньюкома.
Не следует, однако, переоценивать это’ обстоятельство. Разложение воз-
мущающей функции всегда требует продолжительных вычислений. Однако
получить ее в виде функции от истинных аномалий можно быстрее, чем в
виде функции от средних аномалий. В методе Ньюкома мы предполагаем,
что возмущающая функция записана через оскулирующие элементы двух
планет и их средние аномалии. Следовательно, чтобы найти ее, необходи-
мы продолжительные вычисления, но методы, имеющиеся в нашем распо-
ряжении, позволяют устранить все трудности. Здесь же, наоборот, мы
выражаем Q в виде функции от и, v, и’, v', что несравненно легче. Однако
устраненная в методе Ньюкома трудность должна появиться вновь. Слож-
Методы Гильдена
513
ное соотношение, связывающее v0 и v0',— это первое ее проявление, с ко-
торым мы сталкиваемся. Она будет возникать вновь и вновь в каждом
приближении, и мы будем с ней встречаться еще неоднократно.
Посмотрим теперь, где же находится тот подводный камень, на кото-
рый наталкивается применение методов, имитирующих старые методы, и
с помощью каких остроумных приемов Гильден обходит возникающие
при этом трудности.
Уравнения (5) и (6) после замены в правых частях и, v, и', v' на их вы-
ражения через v0 становятся неоднородными линейными уравнениями,
которые легко интегрируются.
В первом приближении правые части записываются в виде тригономет-
рических рядов, расположенных по синусам и косинусам, зависящих от
(п + тк) v0,
где п и т — целые числа, к — отношение средних движений. Если бы
правая часть уравнения (5) не содержала свободного члена или если бы
правая часть уравнения (6) не содержала членов sin ve и cos v0, то выраже-
ния для и и v, найденные из уравнений (5) и (6), имели бы тот же вид.
Но правые части уравнений (5) и (6) содержат свободные члены и члены
sin v0 и cos v0. В силу этого в выражении для v появляется член v02, а в
выражении для и — члены
v0 cos v0 и v0 sin ve.
Следовательно, независимая переменная v0 входит не только под знаком
тригонометрических функций.
Очевидно, что в последующих приближениях вне знаков тригономет-
рических функций будут встречаться еще более высокие степени v0. Та-
ким образом, как нетрудно было бы видеть заранее, использование пере-
менной v0 не меняет существенно характера старых методов и если тре-
буется, чтобы переменная входила только под знаком тригонометрических
функций, то необходимо прибегать к какому-то искусственному приему.
Единственное преимущество, даваемое выбором v0, если оставить в
стороне те недостатки, о которых говорилось, заключается в том, что урав-
нения становятся линейными.
169.	Итак, чтобы избежать вековых членов, т. е. членов, в которых v0
не входит под знаком синуса или косинуса, Гильдену было необходимо
придумать новый прием.
Рассмотрим какое-нибудь одно из уравнений (5) или (6). Перенесем в
левую часть главные члены правой части. Заменим и, v, и’ и v' в правой
части их приближенными значениями так, чтобы и неизвестные и, v, и' и
v' остались только в левой части. При этом мы получим новые уравнения,
которые можно будет проинтегрировать с помощью новых ухищрений.
33 А. Пуанкаре
514
Новые методы небесной механики. II
Сказанное допускает, очевидно, достаточно большую степень произво-
аа. В самом деле, в зависимости от обстоятельств мы можем считать глав-
ным и переносить в левую часть уравнения то один, то другой член. В этом
и состоит гибкость метода.
Из всего бесконечного разнообразия получающихся при этом уравнений
я намереваюсь перечислить здесь лишь те из них, которые были рассмот-
рены Гильденом особенно подробно.
Пусть ult vx, и/, v/ — приближенные значения и, v, и', v'. Положим
и — ui + Р> v=v1 + X,	v'=Vx4-X'.
Величина р означает то, что Гильден назвал эвекцией, а величина % назы-
вается вариацией. Обычно полагают
v^vo, v = v0 + X.
В новых неизвестных уравнения (5) и (6) п. 167 записываются в сле-
дующем виде:
<14 л	/ГК- \
—V = А’	(5М
+ Р = В.	(6bis>
Функции А и В допускают разложение по возрастающим степеням р, р',
% и %'и, кроме того, (по крайней мере В) по степеням'^х/^о- Коэффициенты
разложений являются известными функциями от ve. Затем мы переносим в
левую часть некоторые члены разложений А и В и, оставляя р и % в левой
части неизвестными, заменяем их в правой. В первом приближении будем
считать эти величины равными нулю.
Функция В помимо других замечательных членов содержит члены вида
Ср", Ср sin (Xv0 + А'),
где С, % и к — постоянные.
1,	Если перенести в левую часть уравнения (6bis) второй из этих чле-
нов, то
—у + р[1 — сSin (Xv0 4- А)] = В',	(6а)
dvo
где В' означает функцию, в которую переходит В после вычеркивания чле-
на, перенесенного в левую часть.
В функции В' положим
Р = X = р' = х' <0-
Методы Гильдена
515
Уравнение (6а) будет линейным с правой частью, но его коэффициенты уже
не будут постоянными.
Теперь ясно, что точно так же можно было бы записать
_^_ + р[(1+а)_С(1 +3)зш(^0+ *)]=£",	(6Ъ)
dv0
где аир — произвольные малые величины,
В” = В' + ар + СРр sin (Xv0 Д- к)
и, кроме того, в первом приближении
В" = В' = В,
ибо в этом случае параметры р, р', х и %' в правой части равны нулю.
Далее можно воспользоваться тем, что а и р не определены и их можно
выбирать по-разному.
2.	Аналогично можно перенести в левую часть член с р3 и записать
-^-Д-р-Ср3 = 5-Ср3
dvi
о
или
Jyv + p(l +«) — Ср3 = ВД-ар — Ср3,	(6с)
dvo
а затем в правой части положить
р = X = 0.
3.	Ясно, что А разлагается в ряд по синусам и косинусам линейных
комбинаций v и v'. Пусть
С sin (mv Д- rev' Д- к)
— некоторый член разложения А; т и п — целые числа, к — некоторая
постоянная. Заменяя v суммой Vj Д- х и v'— его приближенным значе-
нием vj, выраженным через v0, мы, очевидно, получаем
V1 = VO + ср,
= JiVo + <p',
где ср и ср' — ряды, расположенные по синусами косинусам линейных ком-
бинаций va и рл>о, где и — отношение средних движений. По сравнению®
главными членами v0 и piv0 дополнительные члены ср и ср' очень малы.
Следовательно, выражение
С sin (mv1 Д- nvj Д- к)
33»
516
Новые методы небесной механики. П
можно также разложить в ряд, расположенный по синусам и косинусам
линейных комбинаций v0 и pv0, причем главным членом разложения
будет
С sin (mvQ + rqxv0 + к).
Аналогично, если в выражении
С sin (mv + nvj + к)
заменить v и v' на
vo + х + ф И ЦЛ>0 4- ф',
то это выражение можно будет разложить в тригонометрический ряд по
V,, v, + х и p.v0)
причем главный член этого разложения будет иметь вид
С sin (rnva + np.v0 + w-x + к).
Именно этот член мы и перенесем в левую часть уравнений (5), которое в
этом случае запишется в виде
------С sin (mvn + np,v0 +	+ к) = A',	(5a)
rfvo
где
A’ — A — C sin (mv0 np/v0 + wr/. + k).
Затем в А' положим
Р = X = р' = х' = о,
так что функцию А' можно будет рассматривать как известную функцию от
По-
чаще всего выбирают
Vi = v0, vx = p.v0.
В этом случае все предыдущее изложение несколько упрощается.
Именно уравнениями (6Ь), (6с) и (5а) Гильден пользовался чаще всего.
Заметим, что все они имеют вид
—/(P>v0)	(а)
dvo
или
4^ = H%.Vo).	(3)
Методы Гильдена
517
Следовательно, их можно привести к каноническому виду (это вытекает из
сказанного в т. I, уравнение (3), п. 2).
Мы предположили, что в правых частях уравнений
Р = X = р' = х' = о.
Так на самом деле и обстоит дело в первом приближении. Однако во вто-
ром приближении необходимо вместо величин р, %, р' и %' подставить в
правые части их приближенные значения, найденные в первом прибли-
жении, и т. д.
Следовательно, правые части всегда будут известными функциями от
v0 и уравнения всегда будут иметь один и тот же вид.
Сведение рассматриваемых уравнений
к уравнениям второго порядка
170. Уравнения (5а), (6Ь), (6с) п. 169 — уравнения второго порядка.
Это связано с тем, что в левую часть уравнения (5) мы перенесли лишь те
члены, которые зависят только от а в левую часть уравнения (6) — лишь
те члены, которые зависят только от р.
Если затем в правых частях положить
Р = X = р' = X' = °.
то уравнение (5) будет содержать лишь одну неизвестную %, а уравнение
(6) — лишь одну неизвестную р.
Однако такой прием не всегда законен. Например, может представить-
ся случай, когда в правой части уравнения (5) некоторые члены, зависящие
от р, имеют тот же порядок, что и главные члены, зависящие от %, однако
их в левую часть не переносят.
Аналогичные соображения применимы и к уравнению (6). Если затем
положить р и х в правых частях равными нулю, то оба уравнения (5) и (6)
будут содержать неизвестные р и %. После исключения одной из них по-
лучим уравнение не второго, а четвертого порядка.
Если в левую часть перенести члены, зависящие от р'и/, то резуль-
тирующее уравнение будет такого же или даже более высокого порядка.
Чтобы свести уравнения к уравнениям второго порядка, Гильден ис-
пользует в этом случае один метод, сущность которого я хотел бы пояснить.
Сначала рассмотрим уравнение четвертого порядка, например урав-
нение
4^- + P = a U В, + вз Йг + Bi -й- + Bi + 50р) , (1)
dv2 1 г \	dv1 а йч3	dv2 1 dv 1	! v ’
где А и В — известные конечные функции от v, а а — весьма малый коэф-
фициент. Относительно этого уравнения докажем прежде всего, что если
518
Новые методы небесной механики. II
начальные значения р и dpldv имеют порядок а, то р все время будет иметь
порядок а.
Пренебрегая членами порядка а2, можно записать
d2p .	л
, <* Я- р — сс А,
dv2 1 г
и наше уравнение сведется к уравнению второго порядка.
Учтем члены порядка а2, пренебрегая членами порядка а3. В этом приб-
лижении получим
d4p	d2p » d2A
а = — а —+ а . а " >
dv4	dv	dv2 ’
а —,1 = — ар 4- а2 А.
dv2	г
К этому результату можно прийти, умножая уравнение (1) на а и пренеб-
регая после умножения членами порядка а3.
Уравнение (1) перейдет в уравнение
-g- + p = aC + aZ)^+aZ?p,	(3)
где
С = А +а В, [4^- - 4) + ^В5	+ а52А,
В = Вг Bs,
Е = />4 — В 2 + Bq.
Полученное уравнение снова является уравнением второго порядка.
Уравнение (3) выполняется с точностью до величин третьего порядка,
т. е. с точностью до а3. Следовательно, с точностью до величин четвертого
порядка
d2+1p	d’p ,	, dl	„ dp „ \	//ч
= ~а + а -dA [С + D^~ + Е?] •
Если в правую часть уравнения (1) вместо производных
d4p d3o d-p
a tv > a—rv , a —rr
dv4 dv3 dv2
подставить их выражения (4), то получится уравнение, выполняющееся с
точностью до величин четвертого порядка. Порядок самого уравнения ра-
вен двум.
Аналогичным образом можно поступать и дальше.
Методы Гильдена
519
Ясно, что тот же метод применим ко всем уравнениям вида
-jjr + А = а/2>	(5)
где а — малый коэффициент, Д разлагается по степеням р и dpldv, а /2 —
по степеням
rfp	rfn-1p сРр
Р’ dv ’ ‘ ‘ • dvn~1 ’ dvn
Уравнение (5) не будет линейным. Единственное отличие будет состо-
ять лишь в том, что появятся члены высоких порядков относительно р
и производных от р по v. Эти члены следует учитывать начиная со второго
и третьего приближений.
171. Рассмотрим теперь уравнение
+Р =	,	(6)
где а — по-прежнему очень мало, а А, В и С — известные функции от v.
После дифференцирования (проводимого для того, чтобы уничтожить знак
интеграла) это уравнение станет уравнением третьего порядка. Однако
Гильден, воспользовавшись малостью коэффициента а и применив метод,
аналогичный по существу тому методу, который мы только что применяли
к более простым примерам, свел это уравнение к уравнению второго по-
рядка.
В самом деле, р и а — величины первого порядка, так что
аВ pCdv
можно считать величиной второго порядка. Пренебрегая величинами
третьего порядка, получаем
а d, а -I- ар = а2/1,
dv2 1 г
•откуда
аВ pCdv = а2 В J ACdv — аВ J Cdv.	(7)
Интегрируя по частям и обозначая через С и С" производные С по v, на-
ходим
С -Й- Cdv = С - Ср + ? pC'dv
J dv2	dv r 1
520
Новые методы небесной механики. II
Квадратура \^ACdv, вообще говоря, берется легко, так что
В § ACdv = D
можно считать известной функцией от v, а интеграл ^pCdv [сведется к
t’
интегралу pC"dv того же вида.
В общем случае в примерах, рассмотренных Гильденом, С имело вид
С = р sin (Av + р),
где р, А. и р, — постоянные. Отсюда следует, что
С" = - А2С*.
Поэтому
а.В pCv = a2Z) — а.ВС	—р аВС'р + №аВ pCdv,
откуда
,, f лл a2D	&ВС do , аВС
аВ \ pCdv =	--------ту-	Н——гтг- р.	(8)
Jr	1 — А2 1 — A2 dv 1	1 — А2 1	' '
Если в уравнение (6) вместо
pCdv
подставить правую часть выражения (8) (что можно сделать, если пренебречь
величинами третьего порядка малости), то уравнение (6) сведется к урав-
нению второго порядка.
Если С — сумма членов вида
Р sin (Av + р,),
то выражение
аВ \ pCdv
будет представлять собой сумму членов вида
оАВ р sin (Av + р.) dv,
причем каждое слагаемое можно преобразовать по формуле, аналогичной
формуле (8). Уравнение (6) будет таким образом сведено к уравнению
второго порядка.
Методы Гильдена
521
Уравнение (7) верно лишь с точностью до величин третьего порядка.
Если требуется учесть и эти величины, то необходимо записать уравнение
аВ \ pCdv = a2D — аВ Cdv + а2о,
<Г	с' «V2
где для краткости введено обозначение
о = В dv (СВ pCrfv .
Если снова предположить, что сумма С состоит из одного слагаемого'
С = р sin (Av + р),
то
,.С /и aW *ВС do , чВС , a2s
=-т_^-_т-1Г — +г—р+ч—
так что из уравнения (6) мы получим, перенеся некоторые из членов в ле-
вую часть
d2p , л	аВС ! dp v.BC _ ~ л ! <зВО , а2з
~dFF~ + Р 1 —А,2 ] + ~dv 1 —X2 — аЛ + j _х,з + 1 _ %2 •
В общем случае в левой части можно сохранять не все перенесенные нами
члены, а только главные из них. Если остальные члены вновь перенести в
правую часть, получим уравнение вида
-^- + £-^ + Fp = G+ Hp + K-^- + Lo,	(9)
dv2 1 dv 1 k	i ь 1 dv'	' 7
где E, F, G, H, K, L — известные функции от v.
Это обстоятельство позволяет действовать следующим образом. Прежде
всего положим в правой части р = а = 0. Мы получим линейное уравне-
ние с правой частью, которое можно проинтегрировать и получить первое
приближение для р, а следовательно, и для о. Подставив эти приближения
в правую часть уравнения, получим новое линейное уравнение с правой
частью, из которого найдем второе приближение для р и а и т. д.
Ясно, что точно таким же образом можно было поступать и в том слу-
чае, если бы уравнение (6) не было линейным, а содержало, например, бо-
лее высокие степени р. Единственное отличие состояло бы в том, что пра-
вая часть уравнения (9) содержала члены вида
Врп и B^Cpndv,
где В и С — известные функции от v (n О 1). В этих членах, имеющих
порядок, по крайней мере, п + 1 относительно а, нетрудно так же, как и
в остальных членах правой части, сначала положить р = 0, затем вместо
р подставить первое приближение, затем второе и т. д.
522
Новые методы небесной механики. II
Этот метод имеет смысл применять, когда % мало отличается от 1.
В этом случае выражение
а
1 —X3 ’
несомненно малое, будет во много раз больше а. Поэтому ясно, что различ-
ные члены в правой части уравнения (8) станут достаточно большими для
того, чтобы их нельзя было отбросить в первом приближении.
В противном случае проще было бы оставить член
pCdv
в правой части и полагать р равным сначала нулю, а затем различным
приближенным значениям.
Таким образом, чаще всего в левую часть уравнения приходится пере-
носить лишь небольшое число (обычно лишь один) членов вида
аВ рр sin (A.v -f- u) dv.
Метод приведения уравнений к уравнениям второго порядка, о котором
только что шла речь, обладает преимуществами лишь при условии, если А
не содержит членов с sin или cos %v. В противном случае интеграл
ACdv
содержал бы член с v и переменная v входила бы в выражение D не только
под знаком тригонометрических функций.
Это обстоятельство не возникает в тех приложениях, для которых Гиль-
ден использовал свой метод. Однако и в тех случаях, когда оно имеет
место, всегда можно избежать его.
В самом деле, запишем уравнение (6) в виде
4- р — pCdv = аА.	(6bis)
До сих пор мы считали А известной функцией от v. Но я могу предположить,
что А зависит не только от v, но и от р (линейно или нелинейно, непосред-
ственно или через производные или же через интегралы вида \pDdv).
Требуется лишь, чтобы члены А, зависящие от р, были малы по сравнению с
членом
aB\pCdvt
перенесенным в левую часть.
Методы Гильдена
523
После этого в А вместо р подставляем сначала нуль, затем последова-
тельные приближения для р. Таким образом, А можно в каждом приб-
лижении считать известной функцией от v.
При этих условиях уравнение (6bis) представляет собой линейное урав-
нение с правой частью. В самом деле, если положить
pCdv = т,
то р и cPp/dv2 будут линейно выражаться через производные от т.
Чтобы проинтегрировать неоднородное уравнение, достаточно уметь
интегрировать уравнение без правой части
4-	р - аВ J pCdv = 0.
Это уравнение имеет тот же вид,что и уравнение (6),и к нему можно приме-
нить тот же метод. Единственное отличие состоит в том, что А теперь рав-
но нулю, и та трудность, о которой только что говорилось, не возникает.
172.	То, что мы делаем, сводится к следующему. Предположим, что член,
содержащий однократный интеграл
pCdv
достаточно велик для того, чтобы его необходимо было перенести в левую
часть. С помощью преобразования, которое было рассмотрено выше, этот
член можно заменить суммой членов, зависящих лишь от р и dpldv (причем
в этой сумме можно не учитывать те члены, которые достаточно малы для
того, чтобы их можно было вновь перенести в правую часть).
Предположим теперь, что в левую часть необходимо перенести член,
содержащий повторный интеграл, т. е. член вида
М = аА dvB pCdv\ = А dv (a.B^pCdv'j ,
где А, В и С — известные функции от v. Пренебрегая членами, которые
можно оставить в правой части, получим
а.В^ pCdv = Dp + E^~ ,
где D и Е — известные функции от v, откуда
М = A J pDdv + А\-~- Edv = АЕр -J- А р (Ъ - j dv.
Таким образом, М содержит лишь члены, зависящие от однократного ин-
теграла. Следовательно, М можно преобразовать так же, как мы делали в
предыдущем пункте.
524
Новые методы небесной механики. II
Остается показать, каким образом члены, содержащие однократные
или повторные интегралы, могут появиться в наших уравнениях.
Эти уравнения можно записать в виде
л + 5Х + Ср + А
dvo
+ р = Е + Fp + G-^- +	+ К,
dv£	ахп
где А, В, С, Е, F, G и Н — известные функции от v0, D и К зависят от р'
и %' или от более высоких степеней р', %' и dyjdvQ.
Отсюда найдем
	4~р = Я'4~Ср-|-(?^ B"fdvQ -|- G Cpdvo -|- Н B^dv^dvo +
+ Н Cpdvodvo + К',
где Е' — новая известная функция от v0, которую нетрудно выписать, а
К’ = К + G Ddv0 + И ZMvodvo
зависит от р', %' и более высоких степеней р, х» ••• •
Очевидно, что, выделив члены
G^Cpdv0, H<\^Cpdvndva,
можно перенести их в левую часть уравнения и преобразовать так, как го-
ворилось выше.
173.	Наше уравнение привелось к виду
-Д- + -j-Bp~C,
dv’l dvo
где А и В — известные функции от v0, а величина С содержит неизвест-
ные функции, в частности функции р. Однако эти неизвестные величины
необходимо сначала заменить нулем, затем их последовательными приб-
лижениями, так что С можно считать известной функцией от v0.
Выписанное уравнение является линейным с правой частью, однако
его можно упростить еще больше, если уничтожить членсф/<К>0. Как из-
вестно, для этого достаточно положить
Методы Гильдена
525
Уравнение запишется в виде
+= С,
dv}
где В' и С — новые известные функции от v0-
В общем случае в В' достаточно удержать только один член, а остальные
перенести в правую часть, так что рассматриваемое уравнение будет иметь
вид уравнения (6а) из п. 169.
174.	До сих пор предполагалось, что движение трех тел происходит в
одной плоскости. Мало что изменилось бы и в том случае, если бы потре-
бовалось учесть наклонения орбит.
Пусть г, v и 0 означают радиус-вектор, долготу и широту первой пла-
неты. В обозначениях п. 167 уравнения движения запишутся так
а! ! ч ч п dv \ <ZQ
-7- Г2 COS2 0 -7-	7= ——
dt \	dt ) dt
d2r	„ d2v d2Q p dQ
dt2	dt2 dt2 1 r2 dr
d I ,	\ .	9 • n a d2v dQ
-tn~ r + Г- sin 0 cos 0 —vrr = —7— .
at \ dt j 1	dt2 dv
Положим
U =-----—x- , s = tg 0
r cos 0	b
и введем, кроме того, так же, как и в п. 167, вспомогательную переменную
•v0, определяемую уравнением
4?- - »
Получим уравнение
d2v  	1	dQ
dv}	cQu2 dv
(1)
(2)
(3)
аналогичное уравнению (5) из и. 167. Аналогично найдем
d2u .	.	IT	9 А
--— + U = А	—	COS2 0,
dv}--------------------Со
VT + S = 5’
•где А и В — комбинации производных возмущающей функции. В А и В
можно подставить вместо координат планет их приближенные значения.
Тогда правые части уравнений (1) и (3) будут известны и можно будет вы-
526
Новые методы небесной механики. II
числить v и s. Если известно з, а следовательно, и 9, то правая часть урав-
нения (2) в свою очередь будет известна, что позволит вычислить и.
Действуя так, мы поступали бы в духе старых методов. Гильден же,,
напротив, переносил бы в левые части уравнений (1), (2), (3) некоторые чле-
ны (наиболее важные) из правых частей и, воспользовавшись для приве-
дения получившихся уравнений к уравнениям второго порядка методами
пунктов 170—173, получал бы уравнения того же вида, что и уравнения
п. 169.
Промежуточная орбита
175.	Выше мы полагали
и = и± + р, v = Vi + х,
где их и vx — приближенные значения и и v.
Очевидно, выбор этих приближенных значений, в какой-то мере про-
извольный, имеет черезвычайно важное значение. Если действовать в ду-
хе старых методов, то в качестве иг и vx необходимо было бы выбирать ве-
личины, отвечающие кеплеровскому движению.
Гильден предпочитал получать в первом приближении орбиту, болео
близкую к истинной. В самом деле, очевидно, что последовательные при-
ближения будут сходиться очень быстро. Кроме того, в п. 133 мы видели,
что случай, когда движение в первом приближении является кеплеровским,
приводит к особой трудности, которую можно попытаться преодолеть.
Вот как поступал Гильден.
Сначала он предполагал, что vx = v0, а величина нх задана в виде
функции от v0 следующим образом. Возьмем уравнение
d2u	/ du \s , U	r2 dQ
+ ul \	-----
rfv2	( dvn j c0	co dr
Заменим прежде всего производную dQJdr функцией сои2Ф (и), зависящей
только от аи мало отличающейся от среднего значения dQldr, вычислен-
ного при условии, что и постоянно, v изменяется от 0 до 2л и, кроме того,
и' и v' изменяются так, что вторая планета (координатами которой служат
и' и v') занимает все возможные положения на своей кеплеровской орбите.
Заменим и и v на их и vx так, чтобы производная dv!dv0 была равна
dvi __ dvo _
dvo dvo
Тогда уравнение запишется в виде
+	+ — = ф(их).
(1>
Методы Гильдена
527
Это уравнение легко интегрируется в квадратурах. Нетрудно дать
интерпретацию такого приближенного решения.
Присоединим к уравнению (1) уравнение
= V с«-	<2)
Ясно, что если рассматривать некоторое фиктивное небесное тело, ко-
торое в момент т имеет радиус-вектор 1/иг и долготу v0, то это тело двига-
лось бы так же, как если бы его притягивала некоторая неподвижная мас-
са, расположенная в начале координат, причем закон притяжения был бы
отличен от закона Ньютона.
Тем не менее это притяжение зависело бы лишь от расстояния, ибо
сила притяжения, очевидно, равна
HU? — C(,U?<₽ (Uj),
а 1/ггх есть не что иное, как расстояние от фиктивного небесного тела до
начала координат, т. е. до фиктивной притягивающей массы.
Переменные t и т, соответствующие одному и тому же значению v0,
связаны соотношением.
dt	г<®
dr	и*
Переменная т, фигурирующая лишь в этой интерпретации, носит наз-
вание приведенного времени.
Что же касается орбиты, описываемой фиктивным телом, то она назы-
вается промежуточной орбитой, ибо расположена между истинной и кеп-
леровской орбитами.
При
<р (и) = hu~3 или hu3,
где h — некоторая постоянная, интегрирование уравнения (1) можно про-
вести в эллиптических функциях.
Абсолютная орбита
176.	Если разобраться в существе теории Гильдена, то станет ясно,
что выбор переменной v0 не играет никакой существенной роли и что ре-
зультатов, вполне аналогичных полученным, можно достичь и с помощью
иного выбора независимой переменной.
Наиболее простым и в большинстве случаев наиболее удобным явля-
ется выбор в качестве независимой переменной времени t. Именно так и по-
ступал сам Гильден в своем мемуаре помещенном в т. IX журнала «Acta
mathematica».
'528
Новые методы небесной механики. И
Однако имеется и много других возможностей выбора. В некоторых сво-
их исследованиях Гильден среди прочих пользовался одной переменной,
определение которой более сложно. Эту переменную он также обозначал v0.
Именно о ней я и хочу сказать несколько слов.
Знаменитый астроном предложил пользоваться орбитой, расположен-
ной вблизи от истинной и названной им абсолютной орбитой. Эта абсолют-
ная орбита проходит в некотором смысле посредине менаду промежуточной
и истинной орбитами.
Обратимся к уравнениям (1) п. 167. Расссмотрим в правых частях этих
уравнений главные члены. Пусть Q означает совокупность главных членов
выражения г2 d£ildv, а Р — совокупность главных членов в г2 dQddr,
так что разностями
П t/Й	у-.	п dQ.	п
г2 —=---О,	г- —-----Р
dv х	dr
в первом приближении можно пренебречь.
Пусть Qo означает результат подстановки в Q вместо и, и и v' их приб-
лижений, записанных в виде функций от v после чего v, заменено на v0.
Введем вспомогательную функцию с1( полагая
2 d	/-)
d~
и, наконец, пусть
Г2 <Zv° _ 1ЛГ
r di - У Cv
(2)
(3)
Определенная таким образом функция v0 будет нашей новой независи-
мой переменной. Она мало отличается от V, поскольку удовлетворяет урав-
нению
d(p^-}
V dt ) Qo
dt	г2 ’
в то время как v удовлетворяет уравнению
/ „ dv \
d'P ~dT j  dQ
dt	dv
Эти уравнения отличаются лишь некоторыми членами, которые по пред-
положению малы. Следовательно, можно положить
V = Vq + X-
Из уравнений (2) и (3) получим
Ci d /С1 = -у- = Q0dv0.
(4)
Методы Гильдена
529
Но чтобы найти Qo, мы производили в Q замену координат и, и' и v' их при-
ближенными значениями, записанными в виде функций от v, после чего
заменяли v на v0.
Отсюда следует, что Qo зависит только от Vq и уравнение (4) легко ин-
тегрируется в квадратурах.
Второе уравнение (1) из п. 167 запишется в виде
d2u	, 1	d In ci I du	{ dv \2	. U	r2	dQ
---------b» — + —=--------------— •
czVq	2	avo avo	\ dvo J Ci	ci	dr
dvo dvo
Ясно, что когда % мало, производная dvldv0 мало отличается от еди-
ницы. Следовательно, в первом приближении коэффициент (dv/dv0) можно
заменить единицей. Итак, если иг — приближенное значение и и
и = и± + р,
то для нахождения и± можно воспользоваться уравнением
d2ui
dv2
d In ci dui
dvo dvo
+ W1 H—-—
Cl
Po
ci
£
2
где Pn означает функцию, в которую переходит Р при замене v на v0, и —
на Wj, и' и v' — на их приближенные значения, выраженные через v0.
Функция Ро зависит лишь от иг и v0, а сх — функция от v0, получаемая
из уравнения (4). В результате мы получаем дифференциальное уравнение
второго порядка, связывающее иг и v0.
Преобразуя его с помощью методов п. 173, т. е. полагая
___i_
W1 = <3 (С1)	4 ,
найдем
d2<s „ .	.
= F (v0,s).
dv20
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнения (а) и (|3) п.169.
Определив таким образом координаты 1/мх и т>0 фиктивного тела, опи-
сывающего абсолютную орбиту, вычислим поправки р и % с помощью ана-
логичных методов и получим координаты истинной планеты.
34 А. Пуанкаре
Глава XVII
СЛУЧАЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
177.	Нам осталось еще следующее.
1. Проинтегрировать уравнения (6а), (6Ь), (6с), (5а), (а') и (|3) и. 169.
2. Посмотреть, каким образом в этих уравнениях можно отличать чле-
ны, которые надлежит перенести в левую часть, от тех, которые следует
оставить в правой части.
Сначала я займусь интегрированием уравнений (6а) и (6Ь). Этой задаче
посвящается настоящая глава.
Уравнение (6Ь), имеющее более общий вид, можно записать так
+ р [(1 + а) - С (1 + ₽) sin (Ьо + Л)] = В".
Здесь В" считается известной функцией от v0. Это линейное неоднородное
уравнение, интегрирование которого сводится к интегрированию одно-
родного уравнения.
+ р [(1 + а) - С (1 + Р) sin (Xv0 + *)] = 0.
Если преобразовать это уравнение, изменяя обозначения и полагая
р = х, Xv0 -J- к = 2t + ~ ,
4	4
— (1+а) = ^,	-A C(l+3) = gi,
то оно примет вид
=а:(—g2 + QjCOsZO.
Исследование уравнения Гильдена
178. Итак, рассмотрим уравнение [47]
=a;(_g2_|_91COS2Z).	(1)
Случай линейных уравнений
531
Мы видели, что Гильдену в его исследованиях приходилось рассматри-
вать следующее уравнение (ср. уравнения (а) и (Р) п. 169):
=	(2)
гдё / (х, t) — функция, допускающая разложение по степеням х и периоди-
ческая по t.
В тех приложениях, в которых Гильдену приходилось иметь дело с
этим уравнением, главные члены / (ж, t) имели вид
ф (£) + х (— ф -|- q1 cos 2t),
где ср (t) — периодическая функция, зависящая только от t. Остальными
членами в первом приближении можно было пренебречь.
Уравнение (2) можно заменить уравнением
-£±- = Ф(0+^(-^ + 91со8 2/).	(3)
Это линейное неоднородное уравнение. Его интегрирование, как известно,
легко сводится к интегрированию соответствующего однородного уравне-
ния, т. е. уравнения (1).
Итак, рассмотрим уравнение (1). Что можно сказать о нем, исходя из
общих результатов о линейных уравнениях, полученных в первом томе
(гл. II, п. 29 и различные пункты гл. IV)?
Прежде всего известно, что уравнение (1) имеет два частных решения
вида
х =	(t), х ~ erzht(f2(t),
где ф! и ф2 — периодические по t функции с периодом л, а два характе-
ристических показателя hy — 1 и — h \! — 1 равны по величине и име-
ют противоположные знаки.
Чтобы сделать следующий шаг, нам потребуется одна общая теорема,
доказанная мною в мемуаре о системах линейных уравнений («Acta mathe-
matica», г. IV, стр. 212) [48].
Пусть имеется линейное уравнение следующего вида:
dy
~р- = фр-1 к) —7РГ + Фр-2 (*) -, р-2 +  • • + Ф1 -Г" + Фо (*) У- (4)
dx*	dx*	dx	ах
Коэффициенты ф; (ж) являются функциями не только от х, но и от некоторо-
го числа параметров, от которых они зависят линейно.
Предположим, например, что имеется три таких параметра, и обоз-
начим их А, В и С. Функция <fi (ж) будет иметь вид
Фг (^) = A(pi &) + -Вф! (*) + СфГ (я).
34*
532
Новые методы небесной механики. П
Функции cpi'(ic), и <р)"(ж) также, как и все их производные, не-
прерывны внутри некоторой области ж, за пределы которой мы не выходим.
Условившись об этом, зададим в точке х — 0 начальные значения функ-
ции у пр — 1 ее первых производных и будем изменять ж от 0 до некоторого
значения х± по определенному пути. Пусть уг то значение функции у, ко-
торое она принимает при х = хг. Ясно, что уг зависит:
1) от начальных значений у и ее производных (причем зависит ли-
нейно);
2) от параметров А, В, С.
Теорема, о которой идет речь, заключается в том, что ух можно разло-
жить в ряд по возрастающим степеням А, В и С; этот ряд будет сходиться
при любых значениях А, В и С. Иначе говоря, есть целая функция от
этих трех параметров.
Применим эту теорему к уравнению (1).
Пусть F (£) — частное решение этого уравнения, такое, что
F (0) = 1, F’ (0) = 0]
[для краткости я обозначил dFIdt через
Пусть / (<) — второе частное решение, такое, что
/ (0) = 0, /'(0) = 1.
Тогда, если хй и х± — начальные значения х и dx/dt при t = 0 , то
х = x0F (i) + x'of(t).
Из нашей теоремы следует, что F (Z) и / (/) являются целыми функциями
от q2 и qY. То же относится и к F'(t) и f(t).
В частности, предположим, что
х = е1*1^ (£),
тогда
Ф1 (0) = ^о. Ф1 (0) + ^'Р1 (°) = го
и
е’Л7Хф1 (я) = xoF (л) + жо/ (л),
ei,,n [cpl (я) + (Ъф! (я)] = хйР' (л) + xof (л).
Но функция (рх периодическая, так что
Ф1 (0) = Фг («),	Ф1' (0) = Ф1 (Я),
откуда
егГ,пх0 = x0F (л) + xof (л),
eihnx'o = x0F' (л) + xof (л),
Случай линейных уравнений
533
и мы получаем
(Я) _	[/'(„) __	_ j {я) р'(л) = 0.
Таким образом. eifL~ есть один из корней следующего уравнения отно-
сительно S:
[F (л) - 5] [/' (л) - е<Л"] - f (л) F' (л) = 0.-
Аналогично находим, что другой корень равен е“‘Л". Следовательно,
сумма корней равна 2 cos /гл, так что
2 cos /гл = ВД + /'(л)
Отсюда следует, что cos/гл является целой функцией от д2 и glt т. е.
cos /гл можно разложить по целым степеням q2 и и разложение всегда
будет сходиться.
Теперь я утверждаю, что это разложение содержит лишь четные сте-
пени дх.
В самом деле, если произвести замену t на t + л/2, то решения
ж = егй/<р1 (г), х — е-гЛ/ф2 (0
примут вид]
х = е*л/,ф1'(0, х — е-1Мф2 (0>‘
где
;%(0 = ^Ф1(^ + 4)-’
Фг (г) = ф2 (F+ 4-j
— периодические функции от t. Следовательно, характеристические по-
казатели не меняются.
Вместе с тем, так как
cos)2 (t -f-	= — cos 2г,
уравнение (1) записывается в виде
/ F О I	Г)л\
=^(-У+ 91 cos 2г),
откуда видно, что характеристические показатели и, следовательно, cos h
не изменяются, если вместо дх подставить —дх. Однако это возможно
лишь при условии, если разложение cos /гл содержит лишь четные сте-
пени дх.
Заметим теперь, что уравнение (1) не изменится, если произвести заме-
ну t на —г. Отсюда следует, что F (г) есть четная, а / (г) — нечетная функ-
534
Новые методы небесной механики. П
ция от t, т. е.
F(t) = F(- t), f(t) = -f(-t).
Но решения уравнения (1) разлагаются но синусам и косинусам аргу-
мента (h + 2?и) t, где т — целое (положительное или отрицательное)
число.
Отсюда следует, что F содержит лишь косинусы, в то время как /
содержит лишь синусы. Имеем
F (i) = 2 Ат cos (h 4- 2т) t,
f (t) = 2 5msin (h 4- 2m) t,
где m изменяется от —оо до 4"°°- Тогда
F(0) = 2 Ат = 1,
F (л) = 2 Ат cos (ha 4- 2mn) = 2 Ат cos ha = cos ha,
f (t) — 2 Bm (h 4- 2m) cos (h 4- 2m) t,
f (W)=ZBm (h + 2m) = i,
f (a) = ^Bm(h 4- 2m) cos ha = cos ha.
Следовательно,
F (a) = /' (n) = cos ha.
179. Посмотрим теперь, каким образом можно получить разложение
F (а) по возрастающим степеням qt.
Предположим, что рассматривается более общая задача о разложении
(0:
F (t) = Fo (t) + qtFt (t) +	(t) + ....
Для нахождения F нений:	0, Fj, F2, ... мы располагаем серией следующих урав- = 0, ^ + q^F1 = F0 cos 2t,	(5) dt, 4-72F2 = F1cos2Z,
Кроме того, функции Ft должны быть четными. При t = 0 функция Fo
должна обращаться в 1, а остальные функции в 0.
Случай линейных уравнений
535
Отсюда следует, что
Fo (0 = cos qt,
d2F I ,.2E’ cos (g + 2) t , cos(g — 2)1
dt* + Q C* i -	2	+	2
и
,, cos (g +2)1— cos qt cos (q — 2)t— cos qt
1 (O —	8(7 + 1)	'	8(g —1)	‘
Далее
~r № = «о cos (g + 4) t + аг cos (q + 2) t +
+ a2 cos qt + aa cos (q — 2) t + a4 cos (q — 4) t,
где коэффициенты a0, av a2, a3, a4 найти нетрудно. Отсюда находим
Р cto cos (g + 4) t ai cos (g + 2) t аз cos (g — 2)1 , a4 cos (g — 4) t (
2 ~	8(7 + 2)	4(g + l)	4(g —1) b 8 (g - 2) H
, ao cos qt , a4 cos qt аз cos qt at cos qt ( аз1 sin qt
+ 8(g + 2) + 4(g + l) “ 4(g-l) ~ 8 (g - 2) ‘ ~~2q	'
Кроме того, очевидно, что а2 = 1/8 (g2 — 1). Ясен общий закон написания
Ft-
Fi (t) = 2 3® п [cos (g + 2n) t — cos gZ] +
+ t 2 8-, „ sin (g + 2n) t + t2 2 U2 n cos (g + 2n) t + ... + t* 2 n (g + 2n)t.
Поскольку функция Fi(t) должна быть четной, коэффициент при F,
равный
2₽b+os^ + 2«)f’
содержит лишь одни синусы, если к нечетно, и лишь одни косинусы, если
к четно.
Какие значения может принимать целое число п? В первом члене, а
именно в
2 [cos (g + 2п) t — cos qt],
n изменяется от —2i до +2z; в коэффициенте при t п может изменяться от
— 2(г — 2) до +2 (i — 2); в коэффициенте при t2 п может изменяться от
—2 (г — 4) до +2 (i — 4) и т. д., так что к не может превзойти i/2.
С помощью уравнений (5) можно было бы найти рекуррентные соотно-
шения между коэффициентами [3* „, однако пока я не буду останавливаться
на этом.
536
Новые методы небесной механики. II
Если положить t — л, то
cos (7 + 2п) л — cos дл = О,
и первый член (t) обратится в нуль, так что
Fi (л) = л Е ₽i, п sin дл + л2 2 Pi, n cos дл ф ....
Кроме того, известно, что Е,(л) равно нулю, если i нечетно, ибо мы зара-
нее знаем, что разложение Е(л) не должно содержать четных степеней qy.
Именно таким способом Тиссеран вычислил Е(л) и, следовательно,
cos кл. Он нашел
cos/гл = cos дл Г1 —	Qi ••• I + sin 9Л Г~ Ге Q? +
7 L 512 д2 (1 — д2)2	‘ J '	* [	16 ? (1—д2) ’I 1
,	(15^-35^ +8) я ,	”1
"т" 1024 д3 (1 — д2)3 (22 — q1)	‘' J ‘
Я запишу этот результат в виде
cos кл = <р (д, <?,) cos q л -j- <рх (д, q^) sin дл,
где ср (д, дг) и (q, q3) — ряды по возрастающим степеням д*, коэффици-
енты которых рациональны относительно д.
Первый вопрос, который следует решить, состоит в том, вещественно к
или мнимо. Если
| cos кл | = | F (л) | < 1,
то к вещественно и решение дифференциального уравнения устойчиво.
Функция F (I), так же, как и / (t), остается все время заключенной в ко-
нечных пределах. Если же, наоборот,
I F (л) | > 1,
то к мнимо и функции F (/) и / (/) имеют вид
F (/) = eat ф (/) + e~at ф (— t),
f (/) = Aeat ф (t) — А erat ф (— t),
где Лиа вещественные постоянные, а ф (1) — периодическая функция от
t с периодом л. Отсюда следует, что F (/) и / (I) могут неограниченно воз-
растать и что решение нашего дифференциального уравнения неустой-
чиво.
Если временно рассматривать д и д{ как координаты некоторой точки
на плоскости, то эта плоскость окажется разделенной на две области: одна
область отвечает случаю, когда |Е (л)| меньше 1 и к вещественно, а вто-
рая — случаю, когда (л)| больше 1, а к мнимо. Эти области отделены
Случай линейных уравнений
537
друг от друга различными ветвями двух кривых
cos ha = + 1, cos ha = —1.
Поэтому представляет известный интерес построение обеих кривых по
крайней мере в той части плоскости, которая соответствует малым значе-
ниям qY.
При gi = 0 имеем
cos ha = cos qa.
Следовательно, кривая cos /гл = -)- 1 (я буду называть ее кривой С)
пересекает ось q в точках, абциссы которых являются целыми четными
числами, а кривая cos ha — —1 (я буду называть ее кривой С') пересекает
ось q в точках, абсциссы которых являются нечетными целыми числами.
Все остальные точки оси q принадлежат первой области, в которой h
вещественно.
Итак, рассмотрим уравнение
cos ha — cos qa — q^F\ (л) — q^FЛ (л) — ... = 0,
связывающее h с q и q±. Левая часть его обращается в нуль при h = q,
q-i = 0. Она разлагается в ряд по возрастающим степеням h — q тз на-
конец, ее производная по h равна —л sin qa при h = q, q^ = 0 и, следова-
тельно, не обращается в нуль, если только q не целое число. Таким образом,
если предположить, что q не целое число, то теорема п. 30 позволяет ут-
верждать, что h разлагается по возрастающим степеням q* и, если q± до-
статочно мало, этот ряд сходится.
Посмотрим теперь, что происходит, если число q целое. Тиссеран,
применяя свою формулу, нашел
при |д|	3
cos/гл = (-!)»[! -	-а)з g* + ...] ,
при |д| = 2
cos ha = 1 +	+ ...,
при |g| = 1
cos ha = — 1 — -тр---...
и, наконец, при [</] = 0.
cos ha — 1 — —nA —....
lb
В самом деле, если q целое, то cos qa равен ч- 1, a sin qa обращается в
нуль. Однако (q, qx) одновременно обращается в бесконечность, так что
538
Новые методы небесной механики. П
произведение
singnq^g, qj
стремится к конечному значению, когда q стремится к целому числу.
Рассмотрим предел
L = lini singjt q^g, qi),
когда q стремится к целому значению.
Этот предел будет разлагаться по степеням q^, однако в разложении
q?i (g, q±) коэффициент при q* обращается в бесконечность при|д| = 0 или
1, коэффициент при q3‘ обращается в бесконечность при |q\ = 0,1 или 2,
коэффициент при д® обращается в бесконечность при |д| =- 0, 1, 2 или 3.
Отсюда следует, что если q стремится к некоторому целому п, то разложе-
ние L начнется с члена д^п. Кроме того, разложение q (g, q}) — 1 начнется
с члена д*. Именно по этой причине в разложениях
cos ha — (—1)’,
найденных Тиссерапом, первый член содержит при ]д| = 0 или 1 и
при |д| > 1.
Итак, рассмотрим уравнение кривой С, которое можно записать в виде
1 — cos qa — q^F2 (а) — q^Ft (л) — ... = 0.
Так как кривая проходит через точку
g = 2п, gi = 0 (п — целое),
левая часть этого уравнения обращается в нуль при g = 2п, д, = 0 и,
кроме того, она разлагается в ряд по возрастающим степеням g — 2п и
gv Нетрудно видеть, что это разложение не содержит членов нулевой и
первой степени, а начинается с членов второго порядка
-g-(g-2n)2 + ^,
где коэффициент А равен
-jXr при п = 0
16
л нулю при h 0.
Отсюда следует, что точка g = 2п, qr = 0 является двойной точкой для
кривой С. Следует различать два случая.
1. Если п = 0, то члены второго порядка представляют собой сумму
двух квадратов, обе ветви кривой, проходящие через двойную точку, ста-
новятся мнимыми, следовательно, начало координат для кривой является
изолированной точкой.
Случай линейных уравнений
539
2. Если п =/= 0, то А равно нулю; обе ветви кривой, проходящие через
двойную точку, касаются друг друга и пересекают ось г/под прямым углом;
чтобы узнать, являются ли обе ветви вещественными или мнимыми, необ-
ходимо учесть члены с (q — 2n)q* и q*.
Коэффициент при д*, как мы видели, равен
+ п2	„	— 5л2
512 g2 (1 —д2)2	ИЛИ	73728
в зависимости от того, |n|	1 или |и| = 1.
Коэффициент при (д — 2n)q* получают, дифференцируя
л sin qn
16g (1 — q2)
no q и полагая q = 2п. При этом находят
л2
16g (1 — q2)
Ветви кривой вещественны (в предположении, что |n| )> 1) тогда и толь-
ко тогда, когда квадратичная форма
7-2 ____%У_____,______У2
2	16g (1 — д2) ‘ 512 g2 (1 — д'1)2
индефинитна. Сомнения возникают лишь в том случае, когда эта форма
приводится к точному квадрату. Именно так и обстоит дело; мы увидим,
что из-за этого две ветви нашей кривой имеют друг с другом касание не
только первого, но и более высокого порядка. Чтобы узнать, веществен-
ны ли они, нам необходимо было бы учесть члены более высокого порядка,
если бы, к счастью, не существовало косвенного метода решения этого
вопроса. Позднее я остановлюсь на этом методе подробнее.
В случае, когда | = 1, |д| = 2 квадратичная форма принимает
вид
х2	ху 5<?2
~2	W — 73728
и является индефинитной. Следовательно, в этом случае ветви кривой,
безусловно, вещественны.
Построим теперь кривую С, уравнение которой имеет вид
—1 — cos qa — qiF2 (л) — ... =0.
Правая часть обращается в нуль при q = п, qr = 0 (п — целое нечетное
число). Разложение ее по степеням q — п и q1 начинается с членов второго
порядка
4 (<? - и.) 2 + Bq*.
540
Новые методы небесной механики. II
Если | п | = 1, то А и В имеют различные знаки, и обе ветви кривой,
проходящие через двойную точку, вещественны.
Если |n| > 1, 5 = 0, и обе ветви кривой имеют касание (и, может
быть, порядка выше первого). Чтобы узнать вещественны ли они, необ-
ходимо воспользоваться тем косвенным методом, о котором упомина-
лось выше. Вот в чем он состоит.
Можно задать вопрос: что происходит, когда
F (л) = cos ha = ± 1?
В соответствии с тем, что изложено в п. 29, наиболее общее решение
уравнения (1) п. 78 имеет вид
Ф (i) + *фх (0,
где ф (I) и фх (t) — периодические функции от t с периодом а, если Е(л) =
— + 1, и с периодом 2л, если F (л) = —1 (при этом они меняют знак
при замене t на t + л). Следовательно,
F (t) = Ф (0 + *Ф1 (0-
Пусть ф^г) =/= 0; эта функция — решение уравнения (1). Но F (2) —
функция четная, следовательно, функция ф (£) — четна, а фх (t) — не-
четна. Поэтому фх (t) с точностью до постоянного множителя равна / (t), в
силу чего функция / (I) периодическая [49].
Если фх (t) тождественно равна нулю, то функция F (/) периодическая.
Итак, могут представиться три случая:
1)	либо F (£) периодическая, и тогда
F'(a) = 0;
2)	либо / (I) периодическая, и тогда
/ (л) = 0;
3)	либо обе эти функции периодические, и тогда
Г(л) = / (л) = 0.
Тот же результат можно получить и по-другому. Равенство
F (t)f (i) - F' (t)f (0 = 1
выполняется тождественно.
Если
F (л) = /'(л) = ± 1
то
F' (л) / (л) = 0.
Случай линейных уравнений
541
Следовательно, по крайней мере одна и? двух величин F' (л) и / (л) равна
нулю.
Аналогично,если
F' (л) = 0 или / (л) = О,
то
F (л)/'(л) = 1,
и поскольку
F (л) = f(n) = cos
cos hn = ± 1.
Следовательно, простые точки кривых С и С" принадлежат двум
кривым
Е'(л) = 0,	/ (л) = О,
и наоборот.
Заметим прежде всего, что F'(n.) и / (л) являются целыми функциями
от q и <7,. При = 0 эти функции имеют вид
F' (л) — — q sin qn, f (л) = 81П^?л: .
Следовательно, если q проходит через какое-то целое, отличное от нуля
значение, то F' (л) и / (л) обращаются в нуль, изменяя знак на противо-
положный. Целые значения q для обеих функций являются простыми ну-
лями. Отсюда следует, что точки q = п, q} — 0 (п — целое число, отлич-
ное от нуля), являющиеся двойными точками либо для С, либо для С',
служат простыми точками для каждой из двух кривых
Е'(л) = 0, / (л) = 0.
Если q проходит через нуль, то F' (л) обращается в нуль, не меняя
знака (двойной нуль), а / (л) в нуль не обращается. Следовательно, на-
чало координат является двойной точкой для Е'(л) =0, но / (л) в начале
координат в нуль не обращается.
Имеются четыре аналитически различные кривые:
F (л) = 1,	Г (л)	= 0;	F (t + л) = F («);	(а)
F (л) = 1,	/ (л)	= 0;	/ (г + л) = / (/);	(₽)
F (л) = - 1,	Г (л)	= 0;	F {t + л) = - F (Ц;	(?)
F (л) = - 1,	/ (л)	= 0;	/ Ц + л) = — / (t).	(6)
Таким образом, кривая С представляет собой совокупность двух кри-
вых (а) и (Р). При
q — 2п, ?i = 0
542
Новые методы небесной механики. II
каждая из них имеет простую точку. Поэтому эта точка для кривой С яв-
ляется двойной, но две ветви С, проходящие через эту точку, принадлежат,
таким образом , двум аналитически различным кривым и могут быть лишь-
вещественными.
Единственным исключением является начало координат
q = о, & = о,
которое служит двойной точкой для кривой а, но не принадлежит кривой
р. В силу только что сказанного предыдущее рассуждение в этом случае
неприменимо. Кроме того, мы видели, что обе ветви кривой а становятся
мнимыми.
Аналогично кривая С представляет собой совокупность двух кривых
(у) и (6). Каждая из них при
q = 2п + 1,	<71 = О
имеет простую точку.
Две ветви С, проходящие через эту точку, принадлежат двум анали-
тически различным кривым и, следовательно, вещественны.
Выше мы видели, что замена qx на —q1 приводит к тем же результатам,
что и замена t на t + л/2.
Рассмотрим сначала кривую (а)
F (t + л) = F (I).
Имеем
F (t) = F (- t),
откуда
Следовательно, функция F (7 + л/2) четная и периодическая с периодом
л. Поэтому, если произвести замену qx на —qt, то F (t) перейдет в функцию
F (t + л/2), которая также четна и периодична. Следовательно, если кри-
вой (а) принадлежит точка (q, q±), то ей также принадлежит и точка
(д, —gj. Отсюда следует, что кривая (а) симметрична относительно оси q.
Кривая С в целом симметрична и состоит из ветвей (а) и (р). Отсюда
мы заключаем (кроме того, что это нетрудно проверить), что кривая (р)
также симметрична относительно оси q.
Из этого следует вывод, что кривые (а) и (Р) могут иметь в точке
q = 2п, <2! = О
касание только нечетного порядка.
Рассмотрим теперь кривую (у)
F (t + я) = _ р (t).
Случай линейных уравнений
543
Имеем
F (г+4) = F (-1-() = ~F 
Следовательно, функция F(t + л/2) нечетная и периодическая. Поэтому,
если точка (qlt q) принадлежит (у), то точка (q, —qA принадлежит (6).
Отсюда вытекает, что кривые (у) и (6) расположены симметрично относи-
тельно оси q.
Следовательно, в точке
q = 2п + 1,	91 = О
эти кривые могут иметь касание только четного порядка. В соответствии с
этим две ветви кривых имеют при q = п, qx =0 касание нулевого порядка
при п = 1, касание первого порядка при п = 2, касание второго порядка
(по крайней мере) при п = 3, касание третьего порядка (по крайней мере)
при п = 4. При п 4порядок касания попеременно то четен, то нечетен
и всегда не меньше двух.
Это наводит на мысль о том, что касание всегда имеет порядок п — 1,
однако я это утверждение не проверял.
Итог всех предшествующих рассуждений можно представить графиче-
ски (рис. 6). В прямоугольнике
q = 0,	9, = 0, 9i = е, q = 4 + е
заштрихованная область отвечает мнимым значениям h.
Рис. 6
С помощью уравнения, задающего cos hn в виде функции от 9 и qlr
можно найти различные более или менее быстро сходящиеся разложения,
выражающие h в виде ряда по степеням 9Х. Однако я считаю, что удобнее
вычислить cos fat с помощью приведенных выше формул и находить h
по тригонометрическим таблицам.
180. Коль скоро величина h найдена, можно найти коэффициенты Ап
разложения
F (/) = 2 Ап cos (h + 2n) t.
544
Новые методы небесной механики. II
По определению самой функции F (t), должно выполняться равенство
у А =1.
Кроме того,
i(fl+2n)t	-i(h+2n)fi
F (0 = 3 Л + 3 Л. .
Но согласно тому, что изложено в п. 29, уравнение (1) п. 178 должно иметь
два решения вида
ei(h-2n)'t
2
-i(h+2n)(
I с
n 2
и, следовательно, /’должна быть некоторой их линейной комбинацией. Это
имеет место лишь при
^4n Fn = 0п.
Отсюда следует, что сумма
2 Ап sin (h + 2п) t = 2	—2
также удовлетворяет уравнению (1) и что, следовательно, ему удовлетво-
ряет
У, A sin (h -j- 2zi) t
f & =	2\(/i + 2n) ’
Ясно, что коэффициент A n является функцией от q и однако эта
функция не является уже целой, как это было в случае cos hit. Точно
так же эта функция не является однозначной. Очевидно, что особыми точ-
ками этой функции являются лишь те точки кривых
cos hit = Ч- 1,
в которых функции F (I) и f (t) нельзя записать в том виде, в котором их
только что записали.
Как ведет себя функция Ап в окрестности одной из таких особых точек?
Предположим, что точка (q, qr) неограниченно приближается к неко-
торой точке М кривой
F'\it) = О,
a h стремится к некоторому целому значению р. В этом случае функция F (<)
в пределе все еще будет периодической. Положим для краткости
5 = 2Лп(А + 2н),
Случай линейных уравнений
545
тогда, объединяя в F (t) и / (I) члены с (h -ф- 2n)t и (Л — 2п — 2p)t, по-
лучим
F (t) = 2 [An cos (h + 2п) t -ф- Л_п_р cos (h — 2п — 2р) 7],
Bf (t) = 2 [Яп sin (Л + 2ri) t -ф- A_n_P sin (h — 2n — 2p) 7].
Если затем ввести обозначения
Ап -|- А-п-р = С, Ап — А-п-р = D,
TO
F (7) = 2 [C cos (h — p)t cos (2n -ф- p) t — D sin (h — p) t sin (2n ф- p) 7],
Bf (t) = 2 [C sin (h — p) t cos (2n ф- p) 7 ф- Z) cos (h — p)t sin (2n ф- p) 7].
Если/г стремится к р, cos (h — р) t стремится к единице, a sin (h — p)t
стремится к нулю. Однако если/) обращается в бесконечность, причем так,
что D (h — р) стремится к некоторому конечному пределу, то произведение
D sin (7г — р) t будет стремиться к Dot, где Do — постоянная.
Если точка М принадлежит кривой F'(n) = 0, то разложение F (7)
должно содержать только члены с
cos (2n ф- р) t,
а разложение / (7) — члены с sin (2п ф- р) t и t cos (2n ф- р) t.
Итак, необходимо, чтобы С стремилось к конечному пределу, a D и В —
к нулю. Следовательно, Ап и А_п-р стремятся к конечным и равным между
собой пределам. Еслир четно, то Ар стремится к нулю. Нетрудно прове-
рить, что если
lim Ап - lim H_n_p,
то, как и должно быть,
lim В — lim 2 Ап (h ф- 2п) = 0.
Наоборот, если точка М принадлежит кривой / (л) = 0, то разложение
F (7) должно содержать члены с
cos (2п ф- р) t и 7 sin (2п ф- р) 7,
а разложение f (7) — члены с sin (2п ф- р) 7.
Необходимо, следовательно, чтобы С стремилось к конечному
пределу, a D и В — к бесконечности.
Следовательно, Ап и Н_п_р стремятся к бесконечности, но их алгеб-
раическая сумма остается конечной.
Если же точка М не принадлежит ни кривой F' (л) = 0, ни кривой
/ (л) = 0, то эта точка не будет особой для функции Ап. В самом деле,
если точка (q, q^) описывает замкнутую кривую вокруг М, то функции
35 А. Пуанкаре
546
Новые методы небесной механики. II
Ап и А-п-р переходят друг в друга, поскольку они являются двумя
ветвями одной и той же алгебраической функции.
Отсюда следует, что если q не целое, то Ап можно разложить по
возрастающим степеням qx и радиус сходимости этого разложения будет
равен модулю ближайшей особой точки, а особыми точками будут те точки
кривых С и С, которые отвечают рассматриваемому значению q.
Необходимо еще найти коэффициенты разложения. Предположим, что
эта задача решена, и
F (!) = 2 Ап cos (h + 2п) t = 2 Ап cos (q 4- 2n 4* h — q)t.
Разлагая по степеням h — q, получаем
F (t) = 2 An cos (q 4- 2n) t — t%An(h — q) sin (q 4- 2/2) t —
— S Лп (A — g)acos (£ 4-2n) £ + ... .
Это разложение, содержащее тригонометрические функции от (q 4- 2п) t,
умноженные на степени t, должно совпадать с найденным ранее разложе-
нием
F(£) = 2gjFi (0.
F{ (t) = 2 р®, n [cos (q 4- 2n) t — cos qt] 4- £ 2 P’, n sin {q 4- 2ri) £ 4- ....
В самом деле, заметим, что Ап, А„ (Л — q), Ап (h — q)2 разлагаются
по возрастающим степеням qr.
Приравнивая оба разложения, получаем
Ап = 2 ?<р? п
<>1* г, п
И
i п
Итак, мы получаем способ вычисления коэффициентов разложения.
Скорость сходимости, вообще говоря, достаточна, если только q не слиш-
ком мало отличается от целого. Если же q мало отличается от некоторого
целого р, то сходимость изменится следующим образом.
Поскольку Ап и Л_п_р переходят друг в друга при обходе вокруг
ближайшей особой точки, обе функции
(•^n Ч" Ч—п—р) И (Лп А_п_р)2
остаются однозначными в окрестности этой особой точки, но первая из
этих функций конечна, а вторая обращается в бесконечность первого по-
рядка, если эта особая точка принадлежит / (л) = 0. Но в этом случае
произведение
(Л„ — А_п_р)2 / (л)
Случай линейных уравнений
547
остается конечным. Разложения
Иа -|- -*4—п—р и (-4—71—р)2 / (г0
сходятся быстрее разложений Ап и Л_п_р. Следовательно, удобно восполь-
зоваться ими и найти затем Ап и Л_п_р, решив квадратное уравнение.
Заметим, наконец, что рассмотрение вида кривых С и С' в окрестности
точек
q = п, <71 = О
особенно упростится, если вместо разложения F (л) воспользоваться раз-
ложениями Р'(л) и / (л).
Все сказанное составляет полную теорию уравнения (1). Тем не менее
я должен еще рассказать о различных методах, предложенных для инте-
грирования этого уравнения, а именно, методе, основанном на теоремах
Якоби, и методах Гильдена, Брунса, Хилла и Линдштедта.
Метод Якоби
181.	К уравнению (1) можно применить метод, подробно изложенный
в главе IX (единственное различие состоит в том, что на этот раз ряды,
безусловно, будут сходиться). В самом деле, уравнение (1) является част-
ным случаем уравнения (3) п. 2. Однако мы видели, что уравнение (3) п. 2
можно привести к каноническому виду уравнений Якоби.
Итак, положим
sin	/2^!cos г/i, у2 = t, q =
и
F — — qxt — х2 4- sin2 у1 cos2 2у2.
Тогда уравнение
4^- + Ч2х = <hx cos 2t	t1)
можно будет заменить каноническими уравнениями
dy2	dF . dxz dF dxi dF	. <, n
dt	dxi	dt dy-> dt <J\j\	“	,/L
A/i	dF	. „	„
-ЦГ = -	= ч ~ ^Sln cos 2^-
Таким образом, задача интегрирования сведется к интегрированию
уравнения с частными производными
dS dS dS . о „
q~r~ 4--;—= U-^—snr w, cos 2w2,	(2)
* dyi 1 dy-г r dyi	J2	' ’
35*-
548
Новые методы небесной механики. II
к которому непосредственно применим метод последовательных прибли-
жений п. 125.
Однако использование этого метода не дает особых преимуществ, если
только уравнение (1) не является приближенным уравнением поставлен-
ной задачи и если после интегрирования этого уравнения не требуется
получать дальнейшие приближения с помощью метода вариации произ-
вольных постоянных или этим методом не пользуются для проверки.
Заметим, между прочим, что интегрирование уравнения (2) сводится
к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка
= q + И sin2 г/1 cos2y2.
Как бы то ни было, попытаемся найти, какое соотношение может суще-
ствовать между функцией S, определяемой уравнением (2), и функциями
F (I) и f (/), определенными в предыдущих пунктах.
Общее решение канонических уравнений, соответствующих уравне-
нию (1), мы найдем с помощью замены переменных, которая производится
следующим образом. Напомню, что мы обозначили
F (/) = cos (h 4- 2ri) t.
Обозначая через х{, ж2, У1, У% постоянные интегрирования, получаем
jZsin г/1 = х{ 2 Л cos (ht + hy\ + 2nt + 2/гу®),
2qx± cos г/i = — Xi%An (h -j- 2ri) sin (ht -f- hy( + 2ni 2ny2).
У 2 = t	Z/2,	^2 = 'Г2 + dt.
t)
Если из этих уравнений исключить две постоянные у® и у®, а сами уравне-
ния разрешить относительно а\и хг, то хг и х2 запишутся в вще функций
°т У1> Уг-> xi и ^2- Кроме того, выражение
ху!у1 х2^Уг — dS
будет полным дифференциалом (ср. конец п. 19).
Итак, положив для краткости
ht + hy[ = <р>
получим
jZ sin yr = х[£Ап cos (<р + 2пуг),
cos yi = — XiSAn (h 4- 2n) sin (<p + 2ny2).
Требуется исключить ф из этих двух уравнений.
Случай линейных уравнений
549
Для этого заметим, что уравнения можно записать в виде
]/ ~	= °i (^г) cos <Р + 02 (Уь) sin <Р.
у 2qxl	= 03 (у2) cos Ф + 04 (г/2) sin ф,
0 — функции, периодические по у2, с периодом л. Эти функции нетруд
но выразить через функции F (<) и / (£). Разрешая уравнения отно-
сительно cos ф и sin ф, получаем
cos ф = Th (у2) cos у± + т]2 (у2) sin уг,
V
sin ф = Пз {у2) cos ух + Т)4 (у2) sin
У ^1
Четыре функции т] (у2) — периодические с периодом л; они легко выража-
ются через 0 и, следовательно, через F (t) и f (t). Возводя в квадрат, полу-
чаем, если заметить, что а: должен быть четной функцией относительно ylt
(z«)2
~— = to (//2) + Si (Уя) cos 2^1 + . . .,
Х1
где две функции t, также периодические с периодом л и легко
выражаются через F (Z) и / (/).
Но
dS/
Х1 = — •
dyi
Отсюда вытекает следующее. Производная dSJdyy является периоди-
ческой функцией с периодом л как относительно у17 так и относительно у2,
и разложение ее так же, как и разложение, полученное с помощью метода
п. 125, содержит члены с cos (2тух + 2лу2), гДе т тл п могут принимать
всевозможные целые значения. Обратная функция
1
t dS \ ’
\ dyi /
также периодическая и по и по у2, может содержать лишь члены с
cos 2пу2 или cos (2yr + 2пу2).
Ясно, что dS/dy1 — функция четная как относительно г/1; так и относитель-
но у2.
550
Новые методы небесной механики. II
Если положить
1
и ~ (ds ) ’
\ dy-i /
то из уравнения (2) получим
q = И	Sil'2 У1 С°а 2yi ~ 2u Sin У1 C0S У1008 2у^'
Методы п. 125 применимы к этому уравнению, хотя оно содержит не
только производные от и, но и саму функцию и.
Имеем
и = и0 +	+ цги2 + .. ..
Коэффициент и0 — постоянная. Нетрудно проверить, что ux, u2f ... имеют
одинаковый вид, а именно:
W; = S4* cos 2пу2 4- S-Bncos (2^ 4- 2геу2).
Легко выписать рекуррентные соотношения, пользуясь которыми
можно определять постоянные
л 1+1 тх R,+1
Ап И оп ,
если постоянные Агп и Вгп известны.
Метод Гильдена
182. Э. Пикар доказал следующую теорему.
Если коэффициентами линейного уравнения служат двоякопериодиче-
ские функции, а его общее решение не имеет иных особых точек, кроме
полюсов, то это решение выражается через «двоякопериодические функции
второго рода», т. е. функции, которые умножаются на некоторый постоян-
ный множитель, если переменная получает приращение, равное периоду.
Важность этой теоремы обусловлена двумя следующими обстоятель-
ствами:
1) по самому виду уравнения всегда нетрудно узнать, имеет ли его
общее решение другие особенности, кроме полюсов;
2) все двоякопериодические функции второго рода просто выражаются
через функции 0 Якоби или функции а Вейерштрасса.
Гильдену принадлежит остроумная идея применения этой теоремы
к уравнению (1). Однако было бы несправедливым не упомянуть в этой
связи имя Эрмита. То, чем на самом деле воспользовался Гильден, пред-
ставляет собой теорему Эрмита об уравнении Ляме, которая хотя и яв-
ляется всего лишь частным случаем теоремы Пикара, была доказана зна-
чительно раньше.
Случай линейных уравнений
551
Уравнение (1) можно записать в виде
§- = (« + * cos2 О*,	(2)
если ввести обозначения
а = -9*+^-, Ь = ^-.
Рассмотрим функцию
cos ami = on t (mod к).
По самому определению функции cn t ясно, что cn t стремится к cos
если к стремится к нулю. Следовательно, если к мало, уравнение (2) можно
заменить следующим уравнением:
^- = .т(о + &спЧ),	(3)
причем приближение будет тем точнее, чем меньше к.
Установив это, посмотрим, каковы условия, при которых общее реше-
ние уравнения (3) не имеет иных особых точек, кроме полюсов. Единст-
венной особой точкой уравнения (3) является точка
co'i
если через со и со'г обозначить периоды cn2 t. В самом деле, при
. _ <a'i
1 ~ 2
функция cn t обращается в бесконечность. Известно, что вычет cn t равен
— У—1/к, так что, разлагая cn2 t по степеням
получаем ряд следующего вида:
~^- + «о + <М2 +•••,
содержащий лишь четные степени и.
Нетрудно найти условие, при котором разложение х по возрастающим
степеням и начинается с irn: для этого достаточно в обеих частях урав-
нения (3) приравнять члены с и~п'г, которые будут в этом случае членами
наименьшей степени. Получим
п(п + 1) = 4- — ,
552
Новые методы небесной механики. II
откуда
Л2 = + .у-/1,	.	(4)
(п + 1)	' '
Если это условие выполняется и если число п целое, то уравнение (3)
имеет частное решение, обладающее полюсом при t = ®'г/2.
Как ведет себя другое решение? Теория линейных уравнений утвер-
ждает, что это решение при t = co'i/2 может иметь только либо полюс,
либо логарифмическую особенность. Рассматривая разложение х по степе-
ням и, нетрудно показать, что из четности функции а + b cn2 t относитель-
но и следует, что разложение решений не содержит логарифм. Подробно-
сти можно найти в известных работах Фукса по линейным уравнениям
в т. 66 «Journal de Crelle» и в диссертации Таннери (Paris, Gauthier-Vil-
lars, 1873), где приводятся основные результаты этих работ. Итак, если
условие (4) выполнено, то уравнение (3) имеет два частных решения вида
0 (i — Я1) 0 (I — аг). .. О (I — а )
х~ оГ ’
где через 0 обозначена та из четырех функций 0, которая обращается
в нуль при t = и'г/2.
Нетрудно найти п величин а±, а2, ..., ап, так как исследования Эрмита
по теории уравнения Ляме содержат полное решение вопроса.
Целое число п можно теперь выбрать достаточно большим для того,
чтобы значение к, удовлетворяющее условию (4), было сколь угодно мало
и, следовательно, чтобы уравнения (2) сколь угодно мало отличались от
уравнений (3).
Однако поскольку qt, вообще говоря, очень мало, Гильден считает, что
в приложениях можно ограничиваться первым приближением, и полагает
п = 1.
Метод Брунса
183. Обратимся снова к уравнению
-р q^x = qtx cos 2t	(1)
и положим
f zdl
x = eJ
Уравнение запишется в виде
-^- + z2 + g2 = </1cos2i.	(2)
Случай линейных уравнений
553
Предположим теперь, что z разложено по возрастающим степеням
z = z0 + q±z± + q[z2 ф- ... .
Коэффициенты
Z0, Z1J Z2> •••
мы найдем последовательно из уравнений
z» = + ig,
ф- 2zoz1 — cos 2t,
। г»	2
уГ + 2z°Z2 = ~ 211
г 2z0z3 = — 2z1z2,	(3)
+ 2z0z4 = — 2zxzs — z2,
2z0z5 =  2zxz4 2z2z3,
Уравнения (3) позволяют последовательно вычислить zft. В самом деле,
если к первых из этих уравнений проинтегрированы и, следовательно
если известны
^0» ^1»	2Л-1»
то (к + 1)-е уравнение запишется в виде (беря, например, z0 = + tq)
dzk
~t |- 2iqz* = U\,
где U,. — известная функция от t.
Если z0, Zj, z2, ..., zft_T — периодические функции от t с периодом л,
то и Uк также периодическая, и можно записать
= 2апе2"«,
откуда
Следовательно, при условии, что q не есть целое число, zk можно считать
некоторой периодической функцией от t.
Тогда z — периодическая функция от t, которую можно записать в виде
7 , <1и
554
Новые методы небесной механики. II
где ih — среднее значение z, а и — другая периодическая функция.
Отсюда получаем частное решение уравнения (1)
Функция, которую в п. 178 обозначали F (£), является вещественной
частью от
eiMeu.
Этот метод особенно прост, если требуется найти разложение h по сте-
пеням qr.
Метод Линдштедта
184. Рассмотрим уравнение
—— да COS 2< = О	(1)
и его частное решение
х = F (I) = cos (h 4- 2ri) t.
Ясно, что
Anlq*-(h + 2n)*\ =^-{Ап^ + АпЛ}.	(2)
4а
Требуется так подобрать h и Ап, чтобы выполнялись уравнения (2),
а ряд F (t) сходился. Точно так же можно рассматривать неоднородное
уравнение
— ДО cos 2t = 3 cos Kt.	(3)
Это уравнение имеет частное решение вида
х = SBn cos (К 4~ 2п) t.
Коэффициенты Вп было бы нетрудно вычислить (с помощью обычного ме-
тода интегрирования линейных уравнений с правой частью), коль скоро h
и Ап известны. Однако если требуется произвести прямые вычисления, то
необходимо рассмотреть уравнения
Bn[q*-(K + 2гс)2] = (Вп^ + 5п+1),	(4)
аналогичные уравнениям (2). При п = 0 это уравнение следует заменить
уравнением
50	(В_, 4- BJ + 3,	(4 bis)
Случай линейных уравнений
555
которое совпадает с одним из уравнений (2), если положить Х=/г, р=0.
Пусть
______11_______= 7И
2[д2—(Л-Ь2а)2]
Мп зависит от X. Положим при п > О
ап
а при п < 0, наоборот,
так что
Вг	Вг	В_±	В^
Л1~ Во ' а2 — В1 ’ • • •’ а-1 “ Во ’ а~2 ~ В_х ’ • • • •
В предположении, что п 0, уравнения (4) запишутся в виде
1 — । 1
М ~ а”+1 + а ’
п	п
откуда
М	М
п	п
п	1 __ д/ /у	д/ д/	. • . .
1	1ИЛ+1	1 т niV1 п+1
1	"^п+1ап+2
Следовательно, мы нашли ах в виде непрерывной дроби
________Mi_______
MiMi
1 — М2М3
МзМ&
Сходится ли эта непрерывная дробь? Пусть PJQn — ее п-я подходящая
дробь, тогда
РП = Рп-1 Р^пМ^,	Qп~ Qn-1	Qn-i^n^n-l [(5)
и, кроме ТОГО,
PnQn-i - Pn-iQn =
Замечу прежде всего, что если п неограниченно возрастает, то Мп
стремится к нулю, и ряд
+ мгм2 + м2м3 + м3м4 + ...	(6)
556
Новые методы небесной механики. И
сходится абсолютно (за исключением того случая, когда одна из величин
Мп обращается в бесконечность, т. е. того случая, когда X равно + q
с точностью до целого числа. В последующих рассмотрениях этот случай
следует исключить). Кроме того, начиная с некоторого места все члены
этого ряда будут положительными.
Теперь я утверждаю, что Рп стремится к некоторому конечному пределу.
Аналогично обстоит дело и с Qn.
Действительно, Рп и Qn определяются из рекуррентных уравнений (5)
Найдем из этих же уравнений две величины Rn и Rn', такие, что
Rn — Rn-i Rn-ъМ пМ п_у,
Rn ~ Rn-i	Rn-2,MnMn-±.
Любые две из величин Rn, а также любые две из величин Rn можно задать
произвольно.
Рассмотрим р первых членов ряда (6), следующих за n-м членом:
М„Мп+1 + М а+1Мп+2 + ... + М^р^Мп+р.
Пусть Sn,p — сумма этих р членов. Число п всегда можно выбрать до-
статочно большим, чтобы Sn,p была положительна и меньше 1.
Запишем рекуррентное уравнение
Rn+p — Rn+p-1 Rn+p-Z^n+p—l-^n+p'
Из этого уравнения видно, что если
1	Rn+p-l	(1	Sn, р_1) ,
1	Rni-p-z	(1	Sn, p-a) О,
то
1>Лп+Р>(1 -Sn,p).	(7)
Следовательно, достаточно выбрать Rn+r и Rn+i так, чтобы удовлетво-
рялось неравенство (7), как этому неравенству будут удовлетворять все
Rn+P. Таким образом, Rn+P всегда больше 1 — Sn%p и, следовательно,
положительны. Кроме того, рекуррентное соотношение показывает, что
Rnvp монотонно убывает при возрастании индекса п + р. Отсюда следует,
что Rn±p стремится к некоторому конечному пределу. Выберем 7?„+1,
Rn+2, Rn+i и R'n+2 так, чтобы выполнялось неравенство (7) и чтобы опре-
делитель
Rn+iRn+2 Rn+zRn+i
был отличен от нуля.
Тогда Rn+P и Rn+p будут стремиться к двум конечным вполне опреде-
ленным и отличным от нуля пределам R и R'. Поскольку Рп и Qn удовле-
творяют таким же рекуррентным соотношениям, как и Rn и Rn', и эти соот-
Случай линейных уравнений
557
ношения линейны, имеем
Вп “	"4" Ц Яц,
Qn — Pl-^n ~Ь
где р, р', pi, pl — постоянные коэффициенты. Предел нашей непрерывной
дроби будет иметь вид
рД + ц'Д'
р^Д + рхД
Может случиться, что при некоторых значениях qlt q и к и, следователь-
но, при некоторых значения коэффициентов ц эта дробь обратится в нуль
или в бесконечность. Однако она никогда не будет неопределенностью
типа 0/0.
Почти ничего не изменяется по сравнению с предыдущим и в том слу-
чае, когда <7 = + (X + 2п) и, следовательно, Мп = оо. Например, если
бы ТИ2 = оо, то наша непрерывная дробь имела бы вид
Mi
л/зл/4
Пределом этой непрерывной дроби является некоторая функция от к,
которую можно обозначить через ф (к) и записать
«1 = ф(%).
Аналогично находим
<х_1 = ф ( к'),	= ф (к 2),	<х3 = ф (X 4), <хп = ф (к ф- 2п — 2),
а-а = Ф (2 — к),	а_п = ф (2п — 2 — к),
из чего следует характеристическое свойство функции ф (к), а именно,
ф(Х)+____________________________!___= 2ф£-^)_
) Т ц,{ь_2)	?1
Если ф (к) и ф (—к) вычислены, то все отношения ап и а_п вычисляются
легко. Следовательно, если коэффициент Во вычислен, то коэффициенты
Вп находятся сразу же. Но Во, очевидно, удовлетворяет уравнению
Яо (<72 - %2) = [ф (к) + ф (- к)] +г₽,
которое и определяет Во.
558
Новые методы небесной механики. II
При X = h коэффициент Вп должен быть равен Ап, а р должно быть
равно 0. Отсюда получаем следующее уравнение, позволяющее опреде-
лить h:
q2- — № =	[ ф (h) — ф (— h) ].
Коль скоро h найдено (в общем случае найти h легче с помощью изло-
женных выше методов), коэффициенты ап и Ап = Вп вычисляют так,
как мы только что объяснили.
Метод Хилла
185. Вернемся к уравнениям (1), (2), (3), (4) и (4bis) предыдущего
пункта. Эти уравнения линейны, и, хотя число их бесконечно, Хилл от-
важился применить к ним обычные методы решения конечного числа ли-
нейных уравнений, а именно, метод определителей.
Насколько обоснован такой подход? Именно этот вопрос был подробно
рассмотрен в мемуаре, опубликованном мной в т. XIV «Bulletin de la
Societe Mathematique de France» [50]. Я приведу здесь основные резуль-
таты этого мемуара.
Рассмотрим бесконечную таблицу с двойным входом
1	Пах	а31	042	.	.	.	аП1.	.	.,
®12	1	®32	®42	•	•	•	®П2 •	•	• >
й13	®23	1	at3				ЯпЗ 	•	• ’
(5)
вщ &2П ..............1,п	1 оп+1 ,П ?
Элементы, стоящие на главной диагонали этой таблицы, равны 1.
Пусть Дп — определитель, составленный из п первых строк и п первых
столбцов таблицы (5). Я буду говорить, что таблица (5) есть определитель
бесконечного порядка и что этот определитель сходится, если Д,г стремится
к конечному вполне определенному пределу Д при неограниченно возра-
стающем п.
Чтобы выяснить условия сходимости определителя, воспользуемся
следующим методом вычисления определителя, известным под назва-
нием алгебраического подбора.
Пусть требуется вычислить определитель
аи ап
&21	^22
^П2
Д2П
Япп
Случай линейных уравнений
559
Разложим произведение
П (2 арп) >
р п
затем каждому слагаемому в разложении будем приписывать коэффициен-
ты + 1, —1 или 0 в зависимости от того, что требуется. В результате по-
лучим определитель D.
Отсюда нетрудно вывести следующее неравенство. Запишем произве-
дение
п = П(Жп|)>
р п
тогда
\D |<П.	(6)
Предположим теперь, что некоторые элементы в определителе D за-
менены нулями, при этом определитель D перейдет в D', а произведение П
в произведение П'. В разложении П некоторые члены обратятся в нуль,
обратятся в нуль и соответствующие члены в разложении определителя/).
Имеем
( D — D’ К П - П'.	(7)
Таковы два весьма простых неравенства, которые послужат для нас
отправным пунктом.
Для сходимости определителя Л бесконечного порядка достаточно,
чтобы сходилось соответствующее произведение П, которое имеет вид
(1	| Д21 I + I Я31 | +  • • + | «П1 | + • • •) (1 + [ «12 | + I «32 !+•••+! ап21 + ••)
(1 4- | а131 + | а23 | 4- ...).. .	(8)
или в силу известной теоремы, чтобы сходился ряд
| «21 | + | «31 I + I «41 | 4- • • • + I «П1 | 4“ • • • + | «12 | 4- | «32 | + • • • + | «13 | + • • • •
Действительно, пусть Ап и Ап+Р — определители, составленные из п
пп + р первых строк и столбцов таблицы (5). Пусть П„ и Пп+р — значе-
ния соответствующих произведений П, определенных выше.
Поскольку в таблице (5) члены, стоящие на главной диагонали, равны 1,
переход от Ап+Р к А„ происходит за счет обращения в нуль некоторых
элементов определителя Д„+р. Следовательно,
| Дп+Р Дп I Пп+р Пп.
Но если произведение (8) сходится, то правая часть этого неравенства
стремится к нулю, когда пи р неограниченно возрастают. Следовательно,
стремится к нулю и левая часть этого неравенства, что и доказывает тот
560
Новые методы небесной механики. II
факт, что Ап стремится к некоторому конечному вполне определенному
пределу.
Итак, для сходимости определителя Л достаточно, чтобы ряд, состав-
ленный из всех элементов этого определителя, не стоящих на главной
диагонали, сходился абсолютно.
Теперь я хочу убедиться в том, что определитель сходится абсолютно,
т. е. что его строки и столбцы можно переставлять, не изменяя предель-
ного значения этого определителя.
Действительно, пусть имеются две таблицы, аналогичные таблице (5)
и различающиеся только порядком строк и столбцов. Кроме того, я все же
предполагаю, что как в одной, так и в другойтаблице на главной диагонали
стоят элементы, равные 1. Пусть Ап — определитель, составленный из
первых п строк и столбцов первой таблицы, а Ар — определитель, состав-
ленный из р первых строк и столбцов второй таблицы. Число р выбрано
достаточно большим, чтобы все элементы Ап входили в Ар. Пусть П„ и
Пр' — произведения П, соответствующие определителям Ап и Ар. От оп-
ределителя Ар' к А„ можно перейти, обратив некоторые элементы Ар'
в нуль. Следовательно, можно записать
| Др — Д„ | < Пр — Пп.
Однако в силу того, что произведение (8) сходится абсолютно,
КтПр = ИшПп (п, р—>оо).
Следовательно,
lim Др = lim Дп,
что и требовалось доказать.
Представим себе теперь, что таблица (5) не ограничена в двух направ-
лениях, так что номера ее строк и столбцов изменяются от —оо до + оо.
Элемент, принадлежащий одновременно строке с номером п и столбцу
с номером р, обозначим апр. Числа пир могут принимать любые целые,
положительные или отрицательные значения, а также быть равными нулю.
Обозначим через А„ определитель, составленный из 2п + 1 строк с но-
мерами —п, —п + 1, —п + 2, ..., —1, 0, 1, 2, ..., п — 1, п и 2п + 1
столбцов с теми же номерами. Определитель бесконечного порядка схо-
дится, если Ап стремится к конечному вполне определенному пределу.
Предполагается, что элементы, стоящие на главной диагонали, всегда
равны 1, т. е. апп = 1.
Рассуждая так же, как и выше, находим, что определитель сходится
абсолютно, если сходится ряд
S | апр | (п=Гр; п, р изменяются от—оо до -|- оо).
Предположим теперь, что в нашей таблице с двойным входом, т. е.
в определителе бесконечного порядка (таково было его определение), все
Случай линейных уравнений
561
элементы некоторой строки заменены величинами
. . . х_п,. . . , x_lt х0, xlt х2, . . . ,хп, . . . ,
каждая из которых по абсолютной величине меньше некоторого положи-
тельного числа к. Я утверждаю, что определитель будет по-прежнему схо-
диться, если сходится ряд
2|«пР|	(»¥=/»)•
Действительно, выберем, как и раньше, в таблице с двойным входом
2п + 1 строк и 2п + 1 столбцов и образуем определитель Дп. Предполо-
жим, что мы уже просуммировали абсолютные значения элементов каждой
строки, за исключением той, элементы которой заменены величинами х.
Образуем произведение Пп полученных таким образом 2п сумм. Любой
член разложения определителя Дп будет каким-то членом произведения
Пп, умноженным на одну из величин х с точностью до знака. Следователь-
но, в силу предположения
I I < к
должно выполняться неравенство
|ДП|<ШП.
Если какие-то элементы Ап заменить нулями, Ап перейдет в АА,
а произведение Пп перейдет в Пй. Какие-то члены произведения Пп обра-
тятся в нуль, обратятся в нуль и некоторые члены Дп. Итак,
|д;-д„1<л(пп-п;).
Заметим теперь, что для перехода от Ап+Р к определителю Ап доста-
точно в первом определителе некоторые элементы положить равными ну-
лю. Мы обнаружим, что
I Дп+р Дц | к (Пп+Р П„).
Так же, как и ранее, найдем, что Ап стремится к вполне определенному
конечному пределу, если к конечному пределу стремится Пп. В свою оче-
редь сходимость Пп обусловлена сходимостью ряда
2 I апр |	(П^Р)-
186. Применим эти принципы к одному частному случаю, рассмотрен-
ному Хиллом в его мемуаре о движении перигея Луны («Acta mathema-
tica», t. VIII) [Б1].
Обратимся вновь к уравнениям (2) п. 184
Ап [q2 - (h + 2n)2] = -£- (An_x + Лп+1).	(2)
36 А. Пуанкаре
652
Новые методы небесной механики. II
постоянные
о о „ п
Xi, Xj и О.
Ясно, таким образом, что Ху, уг, и х2 зависят от Ху, х2, у/, у'2 и р,
допускают разложение по степеням р и периодичны относительно у2 .
При р = О они будут
Ж1 = ^1 + Ху, х2 = х2 + х2, У1 = У1 
Итак, функция F не изменит своего вида, если ее выразить через но-
вые переменные. Под этим я подразумеваю, что F можно разлагать по сте-
пеням р и что она периодична относительно у2 , однако относительно у у
функция F не периодична.
Очевидно, что новые канонические уравнения
dxi _ dF	dy'i _ dF
dt
допускают в качестве решения
Ху = 0, х2 = 0, уу = 0,
ибо старые уравнения допускали в качестве решения
Ху — 0J, Х2 = 02, Уу = 9g.
Отсюда мы выводим заключение о том, что три производные
dF dF dF
dy'y ' dy2 ’ dy$
одновременно обращаются в нуль, если
Ху ~ хъ — У1 = 0-
С другой стороны, если Ху = х2 = уу = 0, то F вырождается в
некую постоянную, которую я буду обозначать А. Эта постоянная допу-
скает разложение по степеням р.
Положим
F’ = F - А;
функцию F' можно разлагать по степеням Ху , х2 и уу при малых значе-
ниях этих переменных; ее разложение не будет содержать члена нулевого
порядка и члена первого порядка, отличного от члена, содержащего х2 .
Коэффициенты этого разложения будут зависеть от р и у2 .
Случай линейных уравнений
563
Очевидно, что величину Ар можно получить, положив хр равным 1,
а остальные неизвестные х равными 0.
Я утверждаю, что определенные таким образом величины Ап удовле-
творяют уравнениям (2). Действительно, если положить хр равным anpt
т. е. равным
О, ttv——олтг или
’ 2 [</ — (Л +-
в зависимости от того, будет ли
|п — р|Д>1, |п — р | = 1 или п = р,
то определитель будет равен
Ап— 2 [гр — (А + 2п)21 (Л’2'1 + Ап+1)-
Это выражение должно быть равно нулю, ибо две строки нашего опре-
делителя совпадают. Следовательно, уравнение (2bis) удовлетво-
ряется.
При п = 0 имеется исключение, ибо в этом случае определитель не
содержит двух одинаковых строк. Однако он по-прежнему равен нулю,
ибо в этом случае он равен Q (^)- Это выражение равно нулю в силу урав-
нения (3).
Наконец, ряд
2 Лре(2Р+'‘>«
сходится. Этот ряд получится, если в Д положить
хр =	i!.
Абсолютная величина хр в этом случае ограничена, что, как мы видели
выше, достаточно для сходимости Д.
Применение теоремы Адамара
187. Нам осталось изучить уравнение
□ W = o.	(3)
Для этого введем прежде всего детерминант, который Хилл обозначал
символом у/ (Л). Возьмем определитель | | (К) и умножим его нулевую
строку на
q2 — h2,
Зб*
564
Новые методы небесной механики. II
а строку с номером п (п =}= 0) на
д2 — (А + 2га)2
4га2
Я утверждаю, что полученный при этом определитель V (*) также бу-
дет сходиться. В самом деле, если обратиться к данному выше определе-
нию предела бесконечного (в обе стороны) определителя, то видно, что
где П — предел, к которому стремится произведение 2т сомножителей
У2 — (h-\-2n)2	. I л I о	,	,
------	(«=±1. ±2............±т),
когда т неограниченно возрастает. Следовательно, П есть предел беско-
нечного произведения
П Гл , А2—?2 _ fe2 (fe2-?2)2!
I 2га2 га2 “г 16га« J ’
п=1
которое, очевидно, сходится. Следовательно, сходится и \7(h).
Обозначим через ЬП)Р тот элемент определителя V (*)» который при-
надлежит строке с номером п и столбцу с номером р. Тогда
Ьо,о = q2~h\ bn,n =	(и0),
*о,1 = *о, -1 =	~2~ ’	n+1 = ^п’71-1 = 8га2 0)’
Ьп,Р=0 (|п-р|>1).
Заменим в V (*) величину h на х и изучим свойства полученной таким
образом функции V (х).
Прежде всего, я утверждаю, что эта функция целая.
Действительно, заменив h на х, мы, очевидно, получим
I ,	1^2,	2 lb । I2 + (^ + 2га)2
I *0,0 | <	+ Z2, |*п,п|< ---------
В силу неравенства (6) п. 185 отсюда следует, что
V (*) < (?2 + ^2 +1 1) П	2?)2~
(4)
Введя для краткости обозначение q2 + | qA | == Л и объединяя те множи-
тели в произведении, которые соответствуют равным по величине, но про-
тивоположным по знаку значениям п, мы сможем записать бесконечное
Случай линейных уравнений
565
произведение в виде
П Г-1 4- д2~Х2 _ д2 i (*2-*2)21
111/"г 2га2 в2 “Г ЮтИ ]
Ясно, что оно сходится и всегда конечно. Следовательно, определитель
V(z) также сходится.
В процессе доказательства предполагалось, что переменные х вещест-
венны. Однако если переменные х мнимые, то это не влечет за собой ни-
каких существенных изменений. Чтобы усмотреть это, достаточно вместо
\ д* 4- I qi I 4- {х + 2п)2
записать
I?2 I + I Qi I + (* + 2п)2.
Итак, определитель \7(х) конечен и при любом мнимом х. Следовательно,
VW есть целая функция.
Если бы потребовалось подробно доказать, что определитель \7(г)
обладает и остальными свойствами целой функции, а именно, непрерывен
и имеет производную, то для доказательства достаточно было бы заметить,
что определитель, пределом которого является \/(х), сходится равномерно.
В самом деле, обозначим через Vn определитель, образованный
из 2п + 1 строк и 2п + 1 столбцов определителя V с номерами от —п до
4- п. Имеем
V(*) = limVn (*)•
Пусть С — некоторый замкнутый контур в плоскости х, z — некоторая
точка этого контура и х — какая-то точка внутри иsio. Поскольку
Vn (ж) — полином, то, очевидно,
Г V (':</:;
2mVnW = i —h-
где интеграл, разумеется, берется по коп-" < v Ясно, что функция
2г л <р (ж) —
является голоморфной функцией от i. Я утверждаю, что ср (а:) равна V (х).
Действительно, как следует из приведенного выше доказательства,
сходимость V (х) равномерна. Поэтому п можно выбрать достаточно боль-
шим для того, чтобы в точке хина всем конутуре С
|V(*)-Vn(*)|<8- IV(2)-Vn(z)|<e
и, следовательно,
2гл | <р (х) — Vn (z) К eZ,
где I — длина контура С, деленная на минимум | z — х |.
566
Новые методы небесной механики. II
Итак, разности |<р (х) — VnC^I И1 V (#) — VnOOl можно сделать сколь
угодно малыми. Это и означает, что V (ж) ~ Ф (ж)- Следовательно, функция
V (х) голоморфна, что и требовалось доказать.
Я утверждаю, теперь, что У/ (х) — периодическая функция.
В самом деле, обозначим через Еп (х) конечный определитель, состав-
ленный из 2п + 1 строк и 2п + 1 столбцов определителя (х) с номерами
от —п + 1 до п + 1, а через Е'п (х) — определитель, составленный из
соответствующих строк и столбцов Q (х).
Доказательство сходимости бесконечного в обе стороны определителя
дано в п. 185 для случая, когда все элементы, стоящие на главной диаго-
нали, равны 1. При этом отнюдь не предполагается, что строк с отрица-
тельными номерами столько же, столько и с положительными. Следова-
тельно,
lim Еп (х) = Q (х) ПРИ п —> ос.
Кроме того, ясно, что
Еп (х) = Еп (х) (q2 — х2) И',
где П' означает произведение сомножителей
2  (х + 2m)2
(т принимает значения +1, 4-2, + (п — 1), п и п 4- 1).
Из сравнения определителей сразу же видно, что
Vn (* + 2) =	Еп (X).
Устремим п к бесконечности. Тогда левая часть устремится к VK^ + 2),
а правая к
Q (х) (q2 — х2) lim IT.
Ранее мы] нашли
V (^) = П (#) (<72 — ^2) lim п,
где П означает произведение сомножителей (5), а т пробегает значения
—1, + 2, ..., 4~ и.
Следовательно,
(х + 2п + 2/
ГГ _ q 4 (п 4-I)2
П —	2	2fi)2
9 ~	4 га2
откуда
lim -5- = 1.
Случай линейных уравнений
567
Это в свою очередь влечет за собой равенство
V(^ + 2) = v(4
что и требовалось^доказать.
Кроме того,
Vп ( ' х) ~ Vп (х)
и, следовательно,
V(*) = V(-4
Продолжая исследование целой функции V С’О > я хочу доказать, что
это функция рода нуль, если рассматривать ее как функцию от х. Извест-
но, что целую функцию называют функцией рода нуль, если ее можно раз-
ложить в бесконечное произведение вида
ft X \ f. X \	. X \
Более общим образом целую функцию называют функцией рода р,
если ее можно разложить в произведение бесконечного числа первичных
множителей вида
где Р — некоторый полином степени р относительно х.
Для доказательства этого существенного момента воспользуемся не-
которыми установленными выше неравенствами.
Найдем верхний предел выражения
lV(v + ^)1-
Поскольку функция периодическая с периодом 2, я всегда могу пред-
положить, что у заключено между —1 и +1. Тогда
I 72 + 41 + (У +	— 2н)21 < 42 + | 411 + х2 + (У — W
и, следовательно, если ввести, как это делалось выше, обозначение
= q2 +14i I
и воспользоваться нашим основным неравенством, получим
| V (у + | < (Ь + у2 + х3) П [X + '2lJy~2ra)2] •	(«)
Правая часть этого неравенства является функцией от ж2, которую я обо-
значу через F (ж2).
Положим временно ж2 = t3 и рассмотрим функцию F (I3). Нетрудно
видеть, что F (t3) — функция рода 1.
568
Новые методы небесной механики. II
В самом деле, функция F (ж) есть функция рода 0 и ее можно предста-
вить в виде
Символом б’ я обозначил корни уравнения F (х) = 0. Тогда
F (?) = А П I1 -	1 -	1 - тУ
' '	I о I \ b \ Ь1
\	п/\ п / \ п/
ИЛИ
/	at	аа/
-Ягтп(1 -ЯеЬп •
Нетрудно проверить, что три произведения, фигурирующие в правой ча-
сти, сходятся абсолютно.
В «Bulletin de la Societe Mathematique de France» l62] я доказал, что
если ср (х) — функция рода 1, то
Ит<р (х) е"ах* = 0,
если х стремится к бесконечности вдоль некоторого луча причем так, что
е-ах2 стремится вдоль этого луча к нулю.
Следовательно, если а и t вещественны и положительны, то
lim F (I3) е-а(‘ = 0.
Если у изменять от —1 до 4-1, то левая часть будет стремиться к своему
пределу равномерно, откуда следует, что можно найти два положительных
числа а и К, таких, что
I - I
I V('/ + ^)X^ea|x3
Вводя обозначение у ix — z и. замечая, что
I * I < I « I,
получаем
| V (z) | < Хе “ Ь 3 । .
Рассмотрим теперь разложение \7 (z):
V(z) = SCnzn.
Имеем
Случай линейных уравнений
569
интеграл берется по окружности некоторого радиуса с центром в начале
координат.
Отсюда заключаем, что
причем это неравенство выполняется при любом | z |. Но минимум
4
е 3 z~n
равен
откуда
ъп
Ке 4
зп
'Лп
4а /
Заметим, что функция \7 (г) четная, следовательно, коэффициенты
С2п+1 равны нулю.
Я намереваюсь доказать, что функция V, если рассматривать ее
как функцию otz2, является функцией рода пуль. В силу теоремы Адамара
(см. «Gomptes rendus», t. CXV, p. 1121) [53] для этого достаточно показать,
что
| С2п I <КТ (п + 1)-н,
где ц больше 1.
Тогда
Зп
1С2П|1>+1Г9<Л> a (gj Г(га+1)^.
Если Г (га + 1) заменить приближенным значением, то правая часть нера-
венства будет иметь вид
ЗП
Зп	„ .—	Зп	у,
Ke^-nV-^ nnv-^ (2лгар .
Требуется доказать, что при ц 1 это выражение остается ограниченным..
Но если
. з
н<~г-
то это выражение при га, стремящемся к бесконечности, стремится к нулю..
570
Новые методы небесной механики. II
Следовательно, достаточно выбирать ц удовлетворяющим неравенству
1<Н<-2--
Отсюда следует, что функцию \7 (z) можно разложить в произведение вида
V(2) = AlI(l-pL	(5)
\	п /
Итак, необходимо еще знать нули функции V (х)- В силу определения
(а?) эти нули имеют вид
х = Ч- (/г + 2/г),
где п — целое число. Действительно, при этих и только этих значениях
можно удовлетворить уравнениям (2) и (2bis) п. 186 и, следовательно,
уравнению (3) п. 186.
Таким образом, нули V (ж) те же, что и нули функции
cos ла: — созлЛ.
Поскольку обе эти функции допускают разложение в бесконечные произ-
ведения вида (5'), причем сомножители, входящие в эти произведения,
совпадают с точностью до постоянной Л, эти две функции могут отличаться
лишь постоянным множителем
(х) — A (cos ла: — cos л/i).	(6)
Но V (х) зависит не только от х, X/ (а:) является целой функцией от q2 и qr.
Точно так же доказывается, что \7 (а:) есть функция рода 0 как относитель-
но г/2, так и относительно qx.
Пусть, например,
7(а:) = 2М-
A cos лЛ = 2 Dn q™.
Тогда
Вп = cos ла: — Dn.
Так же, как и ранее, можно доказать, что при ц, заключенном между 1 и
3/2, выполняется неравенство
| Dn | < АТ (п)-Щ
Поскольку это неравенство должно выполняться при любом х, Dn должно
удовлетворять неравенству того же вида, так что А будет функцией рода 0
относительно qx. Аналогичным образом можно было бы проверить, что А
есть функция рода 0 относительно д2.
Случай линейных уравнений
571
Но А не может обращаться в нуль, ибо \7(х) не обращается в нуль
'тождественно по х. Функция рода 0, не имеющая нулей, равна некоторой
постоянной.
Следовательно, А не зависит ни от q2, ни от
Чтобы сделать более наглядной зависимость от qu запишем равенство
(6) в виде
i V (х- 91) = (cos пх — cos л/г).
При qr == О
h — q.
Следовательно,
0) = A (cos лх — cos nq).
Поделив первое равенство па второе и положив х = 0, получим
1 — cos nh   V (0, 9i) 0 (0, 9i)
1 — cos «9	\7 (0, 0)	□ (0, 0) ’
откуда следует, наконец, что
1 — cos nh = Q (0, qr) (1 — cosnq),	(7)
так как
□(0, 0) = 1.
Значение h Хилл находил именно из равенства (7).
В силу приведенных выше соображений законность его метода впредь
следует считать строго установленной.
Различные замечания
188. Некоторые результаты в рассматриваемом нами частном случае
можно было бы получить, не обращаясь к теореме Адамара.
Действительно, прежде всего заметим, что основное неравенство (а)
выполняется даже в том случае, если q2 + q± мнимые, если только
= I 921 + I 911-
Если воспользоваться известным разложением
sin лх = лх П /1-----—),
\ п j
ТО
Л2 . „	». ту у (у — 2п)2 — х-
cos лх — cos лу =	(у2 — х/ И --------------
откуда
р (х2) ~ [cos л У— х2 — X — cos лу].
572
Новые методы небесной механики. И
Неравенство (а) выполняется при любых q2 и qlt если х и у вещест-
венны.
Мы знаем, что отношение
cos lx
стремится к если х, оставаясь вещественным, неограниченно возра-
стает. Из этого следует, что можно найти такое постоянное число В, что
F (A2) < Be п Гхг+Х.
Из этого неравенства вытекает
\V(y + ™)\<Be”
откуда
| V (2) 1 < Be” < Bgn Vxen | z |_
Рассмотрим теперь отношение
V(z)
cos nz — cos nh.
Числитель обращается в нуль всякий раз, когда в нуль обращается зна-
менатель. Отсюда следует, что это отношение является целой функцией
как относительно z, так и относительно q2 и qt.
Поскольку это отношение есть периодическая функция от z, всегда
можно предположить, что вещественная часть z заключена между —1
и +1. Устремим мнимую часть к бесконечности и посмотрим, как ведет
себя наше отношение
V (z)	_ \7 (z) . cos nz — cos
bCOS ла — COS 3th ~~ e- I * I	I z I
Первый сомножитель в правой части ограничен сверху абсолютным
значением Ве”^\ второй сомножитель стремится к г/2. Следовательно,
отношение остается конечным. Итак, мы имеем целую функцию от г, огра-
ниченную некоторой константой. В силу известной теоремы эта функция
должна быть постоянной, не зависящей от z.
Чтобы доказать, что эта функция, кроме того, не зависит от q2 и qlf
необходимо обратиться к теорема Адамара.
Обобщение предыдущих результатов
189. Все рассмотренные методы, за исключением метода Гильдена
применимы ко всякому уравнению вида
-Jr + хф (0 = О,
(О
Случай линейных уравнений
573
где <р (7) — периодическая функция от t и, следовательно, допускающая
разложение в тригонометрический ряд.
Чтобы применить эти методы к уравнению (1), потребовалось бы из-
менить лишь кое-какие детали, что не составило бы никакого труда для
читателя. Большая часть результатов осталась бы по-прежнему верной.
Некоторые из них будут верными, если функция ф четная.
Гильден, желая распространить свой метод на уравнение (1), предло-
жил остроумный метод проб, на котором я не буду останавливаться, ибо
пользоваться им пришлось бы лишь в редких случаях.
Предположим теперь, что функция ф (Z) не периодическая, а имеет вид
ф (7) = 1 + рф (7),
где р — малый численный коэффициент, а ф (/) — сумма п членов вида
sin (ар +
т. о.
п
ф (0 = S ^4jSin(ap + Р0.
i=i
Величины и Pi постоянные, но величины несоизмеримы между
собой, ибо в противном случае функция ф была бы периодической.
В этом случае изложенные методы также будут применимы, но возни-
кающие при этом ряды, которые можно расположить по степеням р,
не будут более сходиться. Поэтому методы имеют лишь тот смысл, кото-
рый в силу главы VIII имеет всякий метод формального анализа.
Итак, положив
^ = S5mCOS(^ + rm)i + 3CmSin(^ + Tm) t,	(2)
мы можем формально удовлетворить уравнению (1), Величины h, Вт
и Ст означают ряды, расположенные по степеням р, коэффициенты кото-
рых постоянны. Величины ут представляют собой линейные комбинации
величин cq с целыми коэффициентами, так что
Хт — NpXi -|- V2а2 + • •  + N пО.п,
а суммирование в (2) следует произвести по всем наборам целых чисел
N„ ..., Nn.
Расходимость ряда (2) может вызвать некоторое удивление. В самом
деле, предположим, что а4 имеет вид
= mfi -J- mi,
где и m.i — целые числа, а постоянная % — одна и та же для всех а;.
Будем изменять Z, оставляя без изменений р, 4{, 2?{, Pi, и т^.
574
Новые методы небесной механики. II
При рациональных А величины будут соизмеримыми, и функция ф
будет периодической. Из и. 29 известно, что уравнение (1) имеет решение
вида (2). Более того, это решение не является чисто формальным и ряды
сходятся.
Поскольку во всяком интервале имеется бесконечно много рациональ-
ных чисел, вызывает удивление то обстоятельство, что среди рядов, полу-
чающихся, когда А пробегает сколь угодно малый интервал, имеется бес-
конечно много сходящихся и бесконечно много расходящихся.
Этот парадоксальный факт становится более понятным, если рассмо-
треть следующий простой пример.
Пусть имеется уравнение первого порядка
dx
ЦТ =	(3>
Я буду предполагать, что ср представляет собой ряд вида
ф = 2 Ат< пЦ1 т 1 + 1 П 1 COS (mA — П) t.
Здесь тип принимают все возможные целые значения, А — некоторая
постоянная, Ат,п — постоянные коэффициенты, ар — малый параметр,
по степеням которого производится разложение.
Интегрируя, получаем
V-, A U.I т I + 1 п 1
In X = AOt ot -Ь 2 -~ sin	(4)
Если A — рациональное число, то это решение следует несколько видо-
изменить. В самом деле, пусть А = p/q, где pv.q — взаимно простые числа.
Тогда mA — п будет равно нулю, если
т = hq, п = hp,
где h — целое число.
В результате
д	ц, Iт I +1п I
In х — Bt -J- 2 —------------sin — /г)
где суммирование не распространяется на те т и /г, при которых разность
mA — п обращается в нуль, и где
+»
5=2 Лы.м1|Л9|+|Лг”-
/1=—оо
Если в формулах (4) и (5) от логарифмов перейти к числам, то получим
и в том и в другом случае
х — есгф (£),
Случай линейных уравнений
575
где ф (if) — ряд, расположенный по степеням р,, коэффициенты которого
состоят из конечного числа членов с
sin (тК — ri)t
или
cos (mA — n)t.
Между указанными двумя случаями имеется двоякое различие.
1.	Если число А рациональное, то ряд ф (Z) сходится. Наоборот, если А
иррационально, то ряд ф (7) может расходиться и решение может стать
чисто формальным.
2.	Значение показателя С не одинаково в рассматриваемых двух слу-
чаях. Если А иррационально, то С равно А0>0. Если же А рационально,
то С равно В. Следовательно, С не является непрерывной функцией от
Аналогично обстоит дело и с Ав случае уравнения (1). Это объясняет,
почему в вопросах такого рода нельзя проводить рассуждения по непре-
рывности.
Глава XVIII
СЛУЧАЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Уравнения с правой частью
190.	В и. 177 мы видели, что уравнение (6Ь) и. 169 можно было с по-
мощью надлежащей замены переменных привести к виду
— 7icos2<) = ф(<).	(1)
Функция ср (Z) в этом выражении известна. Она представляет собой сумму
членов вида
Р cos Kt или р sin Kt.
В предыдущей главе мы сумели проинтегрировать соответствующее
однородное уравнение, т. е. уравнение (1), в котором ф (t) = 0. Кроме
того, известно, что интегрирование линейного уравнения с правой частью
всегда можно свести к интегрированию однородного уравнения.
Итак, интересующий нас вопрос решен. В п. 184 мы рассматривали
уравнение (1), у которого правая часть
Ф (t) = р cos Kt.
Мы видели, что такому уравнению можно удовлетворить, полагая
х = S7?„cos (К 2п) t,	(2)
тде коэффициенты Вп определены соотношениями (4) и (4bis) п. 184.
Аналогично, если
Ф (Z) = р sin Kt,
то уравнению (1) можно удовлетворить, полагая
х ~ sin + 2n) t,	(2bis)
где Вп определены теми же соотношениями (4) и (4bis) п. 184.
Отсюда ясно, что если ф (/) представляет собой сумму членов вида
Р cos Kt и р sin Kt, то существует частное решение уравнения (1), которое
Случай нелинейных уравнений
577
можно записать в виде суммы членов
cos (X + 2n) Z или Вп sin (А 4- 2п) t.
Общее решение получим, если к найденному частному решению прибавим
общее решение однородного уравнения.
Особый случай возникает, если один из коэффициентов Сп, определяе-
мых соотношениями (4) и (4bis) п. 184, обращается в бесконечность. Не-
трудно видеть, что так происходит, если А, равно h 4~ 2п, где п — некото-
рое целое число.
В этом случае уравнение (1) всегда можно проинтегрировать, но
время t не будет входить в решение под знаком синуса или косинуса, вслед-
ствие чего решение не будет иметь чисто тригонометрический вид.
Например, если предположить, что
Ф (t) = р cos ht,
то общее решение будет иметь вид
х= 12 Ап sin (h 4- 2п) t + 3 (Вп + СуАп) cos (h 4- 2n) f 4-
4-	С2 2 Ап sin (h + 2n) t.
Итак, решение будет иметь тригонометрический вид в том и толь-
ко в том случае, если ни одно из чисел к, входящих в <р (0, не равно
h + 2п.
Если А не равно h 4- 2п точно, но мало отличается от h 4- 2п, то коэффи-
циенты Вп не обращаются в бесконечность, но становятся очень боль-
шими.
Это обстоятельство не приводило бы ни к каким трудностям, если бы
уравнение (1), т. е. уравнение (6Ь) п. 169, было точным. Но это не так. В главе
XVI мы видели, что это уравнение приближенное. Чтобы точность, да-
ваемая таким приближением, была достаточно высокой, величина р,
которую в этой главе мы обозначили через х, должна оставаться очень
малой.
Если же один из коэффициентов Вп становится большим, то х пере-
стает быть малым. Члены, которыми пренебрегают, становятся достаточно
большими, и приближенный метод теряет силу.
Поэтому надлежит следить за тем, чтобы в процессе последовательных
приближений в правой части уравнения (1) не появлялись члены, аргу-
мент h t которых мало отличается от (h 4~ 2n)t.
Обобщим сказанное. Рассмотрим уравнение
-^ + ^/(0 = ф(0,	(5)
где / (0 и ф (0 разлагаются в тригонометрические ряды.
37 А. Пуанкаре
578
Новые методы небесной механики. II
Пусть р cos Kt или р sin Kt — члены разложения <р (i), a cos pi или
а sin pi — члены разложения / (i).
Рассмотрим однородное уравнение
-^ + x/(i) = 0.
Пусть хг и х.2 — два независимых решения этого уравнения, ж/ и х2' —
их производные по t. Тогда
х2х2 — х2х( ~ С,
где С — некоторая постоянная, которую всегда можно считать равной 1.
Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид
х — — а;Д аур (0 dt	хЛ .zyp (i) dt.	(6)
v	t)
Из п. 188 следует, что хг и xz представляют собой сумму членов вида
Hsin (h + г) t,
где постоянная h одна и та же для всех членов, а у — линейная комбина-
ция величин р с целыми коэффициентами.
Каково же теперь условие, при котором выражение (6) будет иметь
тригонометрический вид? Для этого достаточно, чтобы хх ср (i) и х2 ср (t)
разлагались в тригонометрические ряды без свободного члена или же чтобы
при разложении хг или х2 в тригонометрические ряды не встречались члены
с теми же аргументами, что и члены разложения <р (i); или же, наконец
(если Kt — один из аргументов членов разложения ср (i)), чтобы К — h
не было линейной комбинацией р с целыми коэффициентами.
В частности, если функция / (i) периодическая, так что
р — па,
где п — целое число, то отношение (К — h)/a не должно принимать целые
значения.
Если / (t) — периодическая функция двух аргументов at и Pi, так что
р = та. + «р,
где тип — целые числа, то не должно существовать соотношения вида
К — h = та + пр.
Эти условия достаточны, но не необходимы. В самом деле, если какой-то
член х± и какой-то член <р (i) имеют одинаковые аргументы, то их про-
изведение приведет к появлению в разложении .zpp (i) свободного члена.
Таким образом, мы получим столько свободных членов в произведении
Случай нелинейных уравнении
576
жгф(7), сколько в двух его сомножителях имеется пар членов с одинаковым
аргументом. Может, однако, [представиться случай, когда эти члены
взаимно уничтожатся.
Следовательно, необходимое и достаточное условие состоит в том, чтобы
свободные члены произведений .грр (7) и а?2ф (0 были равны нулю.
Уравнение эвекции
191.	Применим изложенные выше соображения к интегрированию
уравнения
-£г+а;(92 — 91 cos 27) = аф(я, t)	(1)
методом последовательных приближений. Коэффициент а очень мал,
Ф (х, 7) — известная функция от х и 7, все члены которой имеют вид
Ах? cos%7 4- ц,
где р — целое число, А, X и ц — некоторые постоянные.
Уравнение (1) можно записать так:
/72 г
+ X [92 + 3 + (— 91 + г) cos 27] - Зх-^-'х cos 2t 4- аф. (2)
Постоянные Риф очень малы. Их значение, изменяющееся в зависимости
от рассматриваемого приближения, будет найдено ниже.
В качестве первого приближения я возьму
Р = у = 0, ф = ф (0, 7)
и получу при этом уравнение того же вида, что и уравнение (1) предыду-
щего пункта, с помощью которого найду первое приближенное значение х.
Я буду обозначать его через соответствующее значение h я буду обо-
значать через hx.
Функция gj сохраняет тригонометрический вид и не содержит векового
члена, поскольку, вообще говоря, разности (Z — Aj)/2 не будут целыми
числами.
В качестве второго приближения следует взять
ф = ф (?!, 7).
Если бы р и ф были по-прежнему равны нулю, то разложения зфф и
а:2ф содержали бы свободные члены, и время, как мы видели выше, входило
не только под знаком тригонометрических функций.
Следовательно, Риф должны иметь какие-то другие значения р2 и ф2,
которые мы выберем так, чтобы общее решение уравнения
^-4- х [у2 4- (— 9Х4- Ф) cos27] =	4-ф2?1СО8 27 4-аф(В1,7) = фх
37*
580
Новые методы небесной механики. II
не содержало вековых членов. Необходимые и достаточные условия этого
нам известны. Пусть и х(2 — два независимых решения уравнения
+ х (q2 — qY cos 2t) = 0.
Необходимо, чтобы разложения и х^' ф2 не содержали свободных
членов. Ясно, что [32 и у2 всегда можно подобрать так, чтобы это условие
выполнялось.
Рассмотрим далее уравнение
+ х I?2 + '32 + (— h + b) cos 2t] = 0.
Пусть и ж22) — два решения этого уравнения, h2 — соответствую-
щее значение числа h. Решения x(f* и х2' будут разлагаться по косинусам
и синусам аргумента (Л2 + 2п)1, где п — целое число.
Заметим теперь, что содержит члены двух родов. Члены первого рода
зависят от синуса и косинуса аргумента
(hL + 2n)t;
члены второго рода зависят от синуса и косинуса аргумента
(Л -|- 2ri)t
(Xi — один из аргументов, от которых зависит <р).
Пусть gf означает функцию, в которую переходит £х,если /^заменить
на h2 в членах первого рода; ф/ означает функцию, в которую переходит
ipj, если £х заменить на
Может показаться, что естественно рассматривать уравнение
_|_ х	ф. Т2) cos 2t] = фх,
которое получается, если в уравнении (2) положить 0 = 02, у = у2,
а в правой его части, кроме того, положить
я = h-
Вместо этого мы рассмотрим следующее уравнение
+ х I?2 + Рг + ( 11 4~ Тг) cos 2i] = фг’	(3)
Действительно, h2 очень мало отличается от Ах, так что разность фх — фх
по порядку малости совпадает с отбрасываемыми членами. Рассмотрим
какое-нибудь решение уравнения (3). Поскольку х(® и х22) мало отличаются
Случай нелинейных уравнений
581
от Xj1’ и а гр/ мало отличается от тр!, свободные члены произведений
«i24i и 441
мало отличаются от свободных членов произведений
^1X41 И а?21)'ф1,
которые равны нулю, следовательно, свободные члены первых двух про-
изведений очень малы. Поэтому в рассматриваемом решении уравнения
(3) вековые члены малы и ими можно пренебречь. В силу сказанного я
обозначу через с2 не само решение уравнения (3), а это решение с вычерк-
нутыми вековыми членами. Тогда
ф2 = Рз£г + Уз^а cos 2t + аср (g2, t).
Величины fig и *Гз зададим так, чтобы свободные члены произведений
гр2 и х22)ф2
были равны нулю.
После этого запишем уравнение
^2 + х I//2 + Рз + (— Si + Уз)ccs 2i] = 0.
Пусть и z23) — два решения этого уравнения, a k3 — соответствующее
значение h.
Пусть g2' означает g2, в котором/г2 заменено на h3, иначе говоря, по-
лучается из так же, как £/ из Пусть ф2' означает функцию, в которую
перейдет ф2, если с2 заменить на |/.
Рассмотрим уравнение
+ х 1<72 + Рз + (- 91 + Гз) cos 2t] =if8.	(4)
Пусть означает решение этого уравнения с вычеркнутыми вековыми
членами (иными словами, д3 получается из решения уравнения (4) так же,
как ^2 — из решения уравнения (3)).
Действительно, нетрудно видеть, что вековые члены имеют тот же поря-
док малости, что и члены, отбрасываемые в третьем приближении.
Определив таким образом £3, дальнейшие приближения строят по
тем же правилам.
Необходимо сделать еще несколько замечаний.
Чтобы написать уравнение (3), мы произвели в и замену /гх на h2,
т. е. и заменили на £/ и 'Ч11'. Аналогичным образом мы будем поступать
и в последующих приближениях.
582
Новые методы небесной механики. II
Если не производить указанных замен, это привело бы к излишне
большому числу аргументов и, следовательно, к значительным трудно-
стям.
На первый взгляд кажется, что мы могли бы полностью избавиться от
вековых членов и не производя этой замены. Действительно, функция
содержала бы члены с аргументом (/г4 + 2n)t, функции и — члены
с аргументом (Д2 + 2п) t, так что произведения ^2)фх, х(2г)ф.г вообще не со-
держали бы свободных членов, а только члены
cos (/гх — h.2) t, sin (&! — fe2) f-
Такое мнение ошибочно, ибо когда разность hx — h2 становится очень
малой, период таких членов становится очень большим. При интегрирова-
нии появляются малые делители, и сходимость приближений становится
сомнительной.
Кроме того, может показаться, что успех метода связан со следующим
обстоятельством. В каждом приближении должны выполняться два усло-
вия, поскольку мы должны обратить в нуль свободные члены
и в нашем распоряжении имеется ровно две произвольные постоянные
₽i+i и Ti+1.
Можно было бы подумать, что Гильден именно для того и ввел в левую
часть уравнения член
QjZ cos 2t,
несмотря на малость коэффициента q2, что ему просто хотелось получить
в левой части два члена и иметь два произвольных коэффициента.
Такое мнение ошибочно.
В самом деле, принципы, изложенные в главе IX, показывают, что если
бы 71 и у были равны нулю, то последовательные приближения можно было
вычислять так, чтобы не появлялись никакие вековые члены. Правда,
мы должны были удовлетворить двум условиям. Но если бы единственный
произвольный коэффициент мы выбрали так, чтобы удовлетворить первому
условию, второе условие, как мы видели в п. 127, выполнялось бы авто-
матически.
Сказанное станет понятней, если изложенному здесь методу последо-
вательных приближений придать следующий вид.
192. Пусть £{ — значение х, получение з в i-м приближении с помощью
метода п. 191, представляет собой сумму членов, зависящих от синуса
или косинуса углов
ф =	+ 2т2 4- т3К3 +	+ ... + mnKn)t,
где 7П15 т2, ..., тп — целые числа; hi — i-e приближенное значение h;
K3t,	Xnt — аргументы различных членов ф (х, t).
582
Новые методы небесной механики. П
Если не производить указанных замен, это привело бы к излишне
большому числу аргументов и, следовательно, к значительным трудно-
стям.
На первый взгляд кажется, что мы могли бы полностью избавиться от
вековых членов и не производя этой замены. Действительно, функция i|>x
содержала бы члены с аргументом (Лх + 2n)t, функции х^ и х2‘ — члены
с аргументом (Д2 + 2/г) t, так что произведения Н2)Ф1, ^Фг вообще не со-
держали бы свободных членов, а только члены
cos (Лх — h2) t, sin (hi — h2) t.
Такое мнение ошибочно, ибо когда разность /гх — h2 становится очень
малой, период таких членов становится очень большим. При интегрирова-
нии появляются малые делители, и сходимость приближений становится
сомнительной.
Кроме того, может показаться, что успех метода связан со следующим
обстоятельством. В каждом приближении должны выполняться два усло-
вия, поскольку мы должны обратить в нуль свободные члены
4i+%, 4i+14i
и в нашем распоряжении имеется ровно две произвольные постоянные
₽i+i и Ti+1.
Можно было бы подумать, что Гильден именно для того и ввел в левую
часть уравнения член
q{x cos 2t,
несмотря на малость коэффициента qlt что ему просто хотелось получить
в левой части два члена и иметь два произвольных коэффициента.
Такое мнение ошибочно.
В самом деле, принципы, изложенные в главе IX, показывают, что если
бы qt и у были равны нулю, то последовательные приближения можно было
вычислять так, чтобы не появлялись никакие вековые члены. Правда,
мы должны были удовлетворить двум условиям. Но если бы единственный
произвольный коэффициент мы выбрали так, чтобы удовлетворить первому
условию, второе условие, как мы видели в п. 127, выполнялось бы авто-
матически.
Сказанное станет понятней, если изложенному здесь методу последо-
вательных приближений придать следующий вид.
192. Пусть £{ — значение х, получение з в i-м приближении с помощью
метода п. 191, представляет собой сумму членов, зависящих от синуса
или косинуса углов
ф = (rriihi + 2т2 + m3h3 + m4X4 + ... +
где mx, т2, ..., тп — целые числа; hi — i-e приближенное значение h;
h3t, X4if, ..., knt — аргументы различных членов ф (х, t).
584
Новые методы небесной механики. И
Точно так же уравнение Ег запишется в виде
2^14^ + 2ЛХ	+ hl^- + 2hQ	+ хг (q* -	91	cos 2t)	= Ф
и х aw£ ‘ х dw at	1 и dw2, ' u	dw dt ' dt2 1 x '1	71	7
(напомним, что h0 и x0 были найдены ранее с помощью уравнения Ео),
Вообще уравнение запишется в виде
2hohi + 2hi + hl + 2h0	+	+	- qi cos 20; = Ф.
Уравнение Ео легко интегрируется. В самом деле, его можно свести
к уравнению (1) п. 190, подробно рассмотренному в предыдущей главе.
Одно решение можно взять в виде
х0 — 2ЛП cos (и- + 2nt),
коэффициенты Ап те же, что и в п. 178, h0 — величина, которую в главе
XVII мы обозначали через h.
Другое решение получим, положив
х0 = sin (w + 2nt).
Следовательно, если положить
t, = cos (w + 2пГ), т] = sin (w + 2ni)
и если p и у — произвольные постоянные, то общее решение получим
в виде
= PS + ТФ
Только это решение и будет периодическим по w и t.
Перейдем к уравнению Ег. Если известно, то
+	+ $ +	-71^20 = Ф.	(8)
Как интегрировать уравнение (8)? Положим
= /г°^ + ^=	+ 2n) sin (w + 2nt),
V = S + 5	+ 2 лп (й0 + 2n) cos (w + 2nt).
Определитель £т/ — будет равен некоторой постоянной, которую
всегда можно считать равной 1, поскольку определены лишь отношения
коэффициентов Ап, а коэффициент Ао можно выбирать произвольно.
Применим теперь метод вариации постоянных, Если через р и т обо-
значить не две постоянные, а две функции от w и t, то эти функции можно
Случай нелинейных уравнений
585
найти из уравнений
Ъ = $;4-ГП,
«о -г- + ттг = ps + m •
u dw 1 dt rs i i i
Если для краткости обозначить
,	7 dy , dy
Г - k° ^7 + ~dt ’
то уравнение (S) можно заменить двумя следующими:
3'£ + г'т] = О,
₽'§'+ г'п'= ф,
откуда
' = — Фп*
l' = Ф£-
Уравнения (9) легко интегрируются.
Возьмем, например, второе из этих уравнений. Ф£ можно разложить
в ряд вида
Ф£ = Во + 2Bcos (mw 4- pi + к),	(10)
здесь В и к — постоянные, т — целое число, р — линейная комбинация
с целыми коэффициентами величин 2 и Y Свободный член Во для нагляд-
ности выписан отдельно.
Из уравнения
и dw dt ъ
найдем
Г =	---- + ф (W - М).
где ф — произвольная функция от гр — hot.
Если мы хотим, чтобы величина т разлагалась в тригонометрический
ряд вида (10), то необходимо:
1) чтобы функция ф была равна нулю (так как я не предполагал, что
существует соотношение вида mhQ + р = 0). Итак, мы считаем, что
ф = 0;
2) чтобы Во было равно нулю.
Следовательно, чтобы решить нашу задачу, необходимо удовлетво-
рить двум условиям: свободный член Ф£, так же как и свободный член
Фц, должен быть равен нулю.
586
Новые методы небесной механики. И
Выберем так, чтобы удовлетворить одному из этих условий, тогда
второе условие выполняется автоматически, если только задача имеет
решение.
Чтобы найти hi и хг, воспользуемся уравнением Ег. Чтобы х^ имел
тригонометрический вид, необходимы два условия. Первое удовлетворя-
ется с помощью специального выбора Л{, а о втором можно специально не
заботиться.
Итак, либо задача не имеет решения, либо наши условия должны вы-
полняться автоматически.
193. Чтобы доказать, что эти условия на самом деле выполняются
автоматически, мне следует показать, что решение задачи всегда возмож-
но. Мы уже встречались с подобной ситуацией: метод п. 127 нельзя было
бы считать обоснованным, если бы в п. 125 заранее не была доказана
возможность соответствующего разложения.
Рассмотрим систему канонических уравнений
dx.	dy.	,1 р
(i = l,2,... ,п).	(1
dt	dy. dt	dx-	'	7	'
Я предполагаю, что F разлагается по степеням параметра ц:
F = Fo +	+ y2F2 + ...,
но я не предполагаю более, как в п. 125, что Fo не зависит от у^
Функция F по предположению периодическая (период равен 2л) по
Наконец, я предполагаю, что способ интегрирования уравнений
= rf£o	= _ dFn	2>
dt dy^ ’ dt dx^	' '
известен, а решения удовлетворяют следующим условиям.
1.	Переменные х{ и у, зависят от п постоянных интегрирования
х'2, . . . , х’п
и п аргументов
y’v у2,...,у'п.
2.	В свою очередь эти п аргументов зависят от времени, так что
— постоянные, зависящие от п первых постоянных интегрирования
х-; 8; означают п новых постоянных интегрирования.
3.	Величины хг и у^ — yi являются периодическими функциями от yd
с периодом 2л.1
Случай нелинейных уравнений
587
4.	Выражение
2^^-2<^
представляет собой полный дифференциал.
Очевидно, что
pj = const,	(3)
т. е. функция Fo зависит только от постоянных интегрирования ж/. Напом-
ним теорему п. 4, которую можно было бы сформулировать так.
Произведем замену переменных и перейдем от одной системы сопря-
женных переменных (хъ гц) к другой системе сопряженных переменных
(х/, Уг')- Чтобы система уравнений сохраняла канонический вид, необхо-
димо и достаточно, чтобы выражение
2'4 dVi — 2 Х'г dy'i	(4)
было полным дифференциалом.
Отсюда следует, что если в рассматриваемом случае в качестве новых
переменных принять ж/и р/, то уравнения (1) сохранят канонический вид
и перейдут в уравнения
__ (lF	dyi _	dF	/г\
dt ~ dy[ *	dt ~	dx'/	'
Очевидно, что:
1) функция F периодична по р/;
2) в силу соотношения (3) функция Fo зависит только от х/. Следова-
тельно, для уравнений (5) выполняются условия пунктов 125 и 127. От-
сюда следует, что этим уравнениям формально можно удовлетворить сле-
дующим образов.
Величины ху и yd разлагаются по степеням ц:
ж' = х'° -ф- цх'1 -ф- р2аФ2 -ф-. . . ,
У\ = У? + И//? + Р2*/? + • • • .
Коэффициенты х? и ур зависят от п постоянных интегрирования и
п аргументов
Wi =	-ф- а{,
где щ — постоянные, разлагающиеся по степеням ii, а (ф — произвольные
постоянные.
Коэффициенты х? и ур периодические по wt, за" исключением коэффи-
циента y'ia, равного Wi. Кроме того, коэффициент xi° равен постоянной.
Эти разложения х{ и у[ подставим в уравнения, с помощью которых
.старые переменные можно выразить в виде функций от новых переменных
588
Новые методы небесной механики. II
х{ и yj . Мы видим, что уравнениям (5) формально можно удовлетворить
следующим образом.
Переменные хг и можно разложить по степеням р,, а именно:
Хг = X°i +	+ • • • ->
Vi = y°i +	+ • • • •
Здесь коэффициенты х* и у* периодичны по wit за исключением но раз-
ность у'1 — wi будет периодической, х1} при этом не сводится к постоянной^
а у? =h Wi.
194.	Применим эти принципы к уравнению (1) п. 191, которое запишем
под новым номером
^г + ^(92 — 91 cos 2i) = acp(z, t).	(6)
Попытаемся привести это уравнение к каноническому виду.
Пусть ф — функция от г и г, такая, что
Ф (х, 0 =	;
(1.С J
так же, как и ф, функция <р будет разлагаться по степеням х и синусам и
косинусам линейных комбинаций
2t, k3t, V. KJ
с целыми коэффициентами.
Для симметрии обозначений положим
2 = %2.
Кроме того, пусть
y'i = Kt J = 2,3,..., n)
(мы предполагаем, что в q± cos 2t, ср и ф выражения kJ заменены на yi7
в результате чего обе части уравнения (6) будут функциями от х, d2x/dt?
и уг, периодическими по у^ с периодом 2л).
Введем п — 1 вспомогательных переменных
и положим
Р =	— аф + -у- (92 — 9i cos у2) —
Случай нелинейных уравнений
589
Уравнение (6) можно заменить системой канонических уравнений
dx	dF	dy =	dF
	— 			
dt	dy ’	dt	dx ’
dx^	__ dF	dyi	dF	,.	„ о	,
-			—		(l = 2,3	n}.
dt	~~ С,Уг ’	dt	dx.	’ >
Далее, если положить (ср. п. 181)
4.	г---	г,----
— У 2^008 1/!, у = q |/ 2.^310 У!,
то выражение
xdy — x1dy1
-будет полным дифференциалом. Следовательно, если в качестве перемен-
ных выбрать уг (г = 1, 2, ..., п), то канонический вид уравнений не
изменится.
Кроме того, функция F будет периодической по уъ у2, ..., уп и
У*х* + у2 = 2qxr.
Малый параметр а играет здесь роль параметра р,. Очевидно, что F разла
гается по степеням а.
Если положить а = 0, то
Ео = qxx — x-l cos2 yt cos у2 — 2Mi-
Можно найти функцию S, зависящую от п произвольных постоянных
хх', х2', ..., хп, которая удовлетворяет уравнению
^[9 cos2 У! cos у2j - 2	= const.	(8)
С точностью до некоторых различий в обозначениях это уравнение
совпадает с уравнением п. 181. В п. 181 мы видели, что если q, считать
малым коэффициентом, аналогичным параметру у, п. 125, то к этому урав-
нению можно будет применить методы п. 125. Функция S — х^уг —
—ХУУ2. — ••• — хпУп зависит от я/, уг и у2,но периодична только по yi и у2
(ср. с п. 181). В этом можно убедиться, применив к уравнению (8) метод
п. 125 (роль параметра у играет yj.
Отсюда следует, что уравнениям
= d_Fo_ dVj rfA	„
dt dy^ ’ dt	dx^	' '
590
Новые методы небесной механики. II
можно удовлетворить, полагая так же, как в п. 3,
dS	,	dS
г dy.	г	dxi
и, кроме того,
у. = Х,£ + 8i;
где Х{ и — две постоянные, причем вторая из них произвольна.
При i 2 получим
% = и у. = у'..
Аналогично
г/2 = yi
Что же касается переменной у£, то
= — ht-\-
так что коэффициент X представляет собой не что иное, как взятое с обрат-
ным знаком число h.
Функцию S, а также зависимость xi и у{ от xi, yi найти нетрудно.
Мы легко найдем их, если число h и коэффициенты Ап, определенные
в предыдущей главе, известны.
Замечу только, что в силу самого определения новых переменных
х( и yi выражение
dS = 2 хг + 2 у\ Лх'г
и, следовательно, выражение
2(^4 ЛУг~ x'i dy'i)
будут полными дифференциалами.
Кроме того, xf и у, — yi будут периодическими функциями от yi.
Наконец,
Fo = + hx\ — Х2х'2 — Х2ж' — ... — hnx'n.
Следовательно, если в качестве новых переменных принять xi и yi,
то канонический вид уравнений (7) не изменится и их можно будет запи-
сать в виде
ио)
dt dyi * dt dA
Случай нелинейных уравнений
591
Кроме того, функция F будет периодической по у/. При а = О
F = F0
зависит лишь от х{.
Итак, мы находимся в условиях пунктов 125 и 127 и можем заключить,
что х{ и yi и, следовательно, и у4 можно формально представить в виде
функций от а, п произвольных постоянных и п переменных ик, так что
функции Xi, yi — w,, х,, yi — Wi будут допускать разложение по степе-
ням а и будут периодическими по wk. Переменные г/ц. будут иметь вид
w,t =
где — новые постоянные интегрирования, а постоянные пА разлагаются
по степеням а.
Кроме того, нетрудно видеть, что в рассматриваемом нами частном
случае при к > 1
V, = У', = п, =
к’ к К
Чтобы удовлетворить не только уравнениям (7), но и уравнениям (6)^
из которых они получены, необходимо положить
= 0,'м wk =
Из всего сказанного следует, что задача, сформулированная в предыду-
щем пункте, всегда имеет решение и, следовательно, те условия, о которых
там говорилось в самом конце, выполняются автоматически.
195.	Наши выводы остаются в силе при любых значениях q±, в част-
ности при qv = 0. Этот факт не мог не заметить Гильден. Причина, ио ко-
торой он ввел член q±x cos 2t в левую часть уравнения, несмотря на то,
что коэффициент очень мал, состояла отнюдь не в том, чтобы избежать
вековых членов. Причина введения им этого члена совсем иная. На ней
я и хочу остановиться подробней.
Если обратиться к предыдущей главе, то видно, что коэффициенты
Ап обращаются в бесконечность, если h — целое число. Следовательно,
эти коэффициенты очень велики, если h мало отличается от какого-нибудь
целого числа или от q, которое в свою очередь мало отличается от какого-
нибудь целого числа.
Итак, записав уравнение предыдущей главы в виде
__ (fx = + 71a;cos2c
мы могли бы применить к нему методы п. 127, считая, что роль парамет-
ра ц играет qr. Сходимость при этом была бы чрезвычайно медленной,
если бы q мало отличалось от целого числа.
592
Новые методы небесной механики. II
Рассмотрим теперь уравнение
— +	=а(р(х, t).	(1)
Пусть произвольный член разложения <р (х, t) имеет вид
Ахт cos Kt или 4a:msinXz,
где т — положительное целое число или нуль. Если т = 0, то эти члены
не зависят от а; и их можно оставить в правой части. Если же т 1, то
выписанные члены содержат множитель х2, который в общем случае очень
мал и не может оказывать сильного влияния.
Остается случай т — 1.
В силу только что сказанного к уравнению
~|_ q^x = аЛ\ой Kt	(2)
можно применить методы п. 127. Если роль параметра р, играет а, то
сходимость будет медленной или быстрой в зависимости от того, будет или
не будет 2q/K достаточно близко к целому числу. Сходимость будет осо-
бенно медленной, если 2q/K мало отличается от 1. В самом деле, из п. 179
следует, что выражение Ft (£) содержит в знаменателе q2 — 1.
Из этого вытекает, что, разложив F (t) так же, как в п. 179, по степе-
ням qlt получим члены
д^ — 1 •
Следовательно, функция F (?), удовлетворяющая уравнению
—	= qxx cos 2t,	(3)
будет принимать очень большие значения, если q мало отличается от 1.
Но уравнение (2) перейдет в уравнение (3), если произвести замену t на
2i/X, q на Kq/2, аА на Х27х/4.
Поэтому, как только что указывалось, решение уравнения (2) будет
большим, а сходимость его медленной, если 2q/K мало отличается от 1.
Следовательно, если в правой части уравнения (1) имеется член, со-
держащий х в первой степени, и если его аргумент Kt таков, что 2q/K мало
отличается от 1, то сходимость можно значительно ускорить, перенеся
этот член в левую часть.
Посмотрим, встречается ли этот случай в приложении метода Гильдена
к задаче трех тел.
Рассмотрим снова уравнение (6bis) п. 168
Случай нелинейных уравнений
593
Члены функции В имеют тот же порядок величины, что и возмущающие
силы. Они зависят от v0 + %, v0' + %', р и р'. Мы имеем право допустить,
что переменные %, %' и р' можно исключить с помощью методов пунктов
170—172 или аналогичных им, a v0' — представить в виде функции otv0.
Тогда функция В будет зависеть лишь от р и v0, и члены ее будут иметь
вид
cos
Лр™ . Xv0.
sin
Что же касается X, то эта величина будет равна
т + цп,
где т и п — целые числа, а ц — отношение средних движений двух пла
нет.
Выделим в В два следующих члена:
ар и [3pcos 2vn
II положим
В = ар + ₽Р cos 2v0 + В'.
Член ар можно перенести в левую часть и записать
£1 р (1 _ а) = В' + Рр cos 2v0.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1). Чтобы понять, следует
ли переносить в левую часть член ppcos 2v0, необходимо выяснить, будет
ли величина, соответствующая 2<?/Х, мало отличаться от 1. Но эта величина
равна
а параметр а имеет тот же порядок, что и возмущающая функция. Следо-
вательно, перенеся Ppcos 2v0 в левую часть, мы значительно ускорим
сходимость. Переносить же для этого другие члены В' не следует.
Рассмотрим теперь наш вопрос несколько подробнее. Трудность со-
стоит в том, что коэффициент при р мало отличается от 1 или, если возму-
щающие массы равны нулю, равен 1.
Действительно, если возмущающие массы равны нулю, то движение
становится кеплеровским, и уравнения принимают вид
Если бы возмущающие массы были все время равны нулю, а обе пла-
неты притягивались бы центральным телом, по закону притяжения
33 А. Пуанкаре
594
Новые методы небесной механики. П
отличному от аакона Ньютона, то выписанные выше уравнения приняли
бы вид
v = vo, ^ + <Р(и) = 0,
где ф (и) — некоторая функция от и, вид которой зависит от закона при-
тяжения.
Далее так же, как в п. 169, положим
и = Uy + р,
где Uy — известная функция от v0, мало отличающаяся от и, и пренебре-
жем более высокими степенями р. Получим
-Д + <Р (их) р = А.
Здесь ф' — производная функции ф, А — известная функция от v0 (так же,
как и ф' (ыу)).
Например, если бы Uy было некоторой постоянной, а ф (w) — линейной
функцией, то ф' (иу) была постоянной, вообще говоря, отличной от 1, и
той трудности, с которой мы только что столкнулись, не возникло.
Итак, если закон притяжения отличен от закона Ньютона, то трудность,
из-за которой член с д± нужно было перенести в левую часть, не
возникает.
Это связано со следующим обстоятельством. Если закон притяжения
ньютоновский и предполагается, что возмущающие массы всегда равны
нулю, то перигелии будут неподвижны, что неверно, если закон притя-
жения отличается от закона Ньютона.
Именно на это я уже указывал в начале главы XI.
Итак, трудность, побудившая Гильдена перенести член, содержащий
qr, в левую часть уравнения, в точности та же, что и трудность, преодо-
ленная нами выше с помощью методов главы XI.
Уравнение вариации
196.	Уравнение (5а) п. 169, т. е. уравнение вариации, записывается
в виде
—-т — С sin (mv0 + /zpvo Д- т% + k) = А,	(1)
Л’о
где С — постоянная, А — совокупность малых членов, зависящих по
предположению только от /.
Пусть
mv0 + nyv0 +	+ к = V,
Случай нелинейных уравнений
595
тогда
cPV	С . „ А
---			 Sin V =	 ,
^2-----------------т-т
где функция А зависит от V и v0, причем значения ее малы. В силу малости
значений А, ее можно представить в виде
А = ат<р (V, v0),
где а — малый коэффициент, и попытаться разложить по возрастающим
степеням а.
Итак,
d2V С . Т7 ,Т7	.
7Т ~ Sln V = асР У ’ vo)-
ЦТу т
Отсюда видно, что уравнение (1) является частным случаем уравнения
+ /СО = a<p(z, t),	(2)
где j и <р — некоторые функции, a a — малый коэффициент.
То же относится и к уравнению (6с) п. 169, которое можно записать
в виде
Д + р (1 + а) - Ср3 = В,
dvo
где В означает сумму малых членов. Можно считать, что В с помощью
методов пунктов 170—172 преобразовано так, что содержит лишь р и v0.
Следовательно, это уравнение также имеет вид уравнения (2), к изу-
чению которого мы только что приступили.
Прежде чем идти дальше, следует сделать одно замечание.
Рассмотрим уравнение (1) п. 191.
Решение этого уравнения мы пытались разложить по степеням а.
В главе XVI мы ставили задачу совершенно иначе. Тогда мы говорили, что
в правую часть этого уравнения вместо х следует сначала подставить 0,
затем первое приближенное значение и т. д.
Но нетрудно видеть, что оба эти метода последовательных приближений
сводятся к одному и тому же. Действительно, если в этом уравнении поло-
жить a = 0, то
+ х (72 — 41 cos 20 = 0.
Новое уравнение допускает в качестве решения х = 0, т. е. именно то зна-
чение х, которое было выбрано в качестве первого приближения. Также
ЗЕ*
596
Новые методы небесной механики. И
^обстоит дело и с уравнением (6с) п. 169, которое можно записать в виде
+ Ар — Ср3 = а/ (Р, v0).
Если а = 0, то частным решением этого уравнения может быть р = 0.
Именно это значение р = 0 и было взято в качестве первого приближения
в главе XVI.
Итак, оба метода последовательных приближений эквивалентны.
Совершенно иначе обстоит дело с уравнением (1), которое мы привели
к виду
—-£-sinV = a<p(V, v0).
При a = 0 это уравнение переходит в уравнение
—--------sin 7 = 0.	(3)
rfV2 т
0
Очевидно, что уравнение (3) имеет частное решение 7 = 0.
Но в главе XVI в качестве первого приближения мы приняли не
7 = 0,
а
X = °>
откуда
V — mv0 + npv0 + к,
что, очевидно, не является решением уравнения (3).
Описанные выше методы последовательных приближений не являются
абсолютно эквивалентными. В виду малости коэффициента С в качестве
первого приближения можно взять вместо % = 0 какое-нибудь решение
уравнения (3), причем это не приведет к значительному замедлению ско-
рости сходимости. Именно так и поступал Гильден.
Итак, рассмотрим уравнение (2)
= a:p(x, t).
Так же, как и в п. 191, я буду предполагать, что <р (х, t) — периодиче-
ская функция относительно
Х3/, . . .,
с периодом 2л, и введу обозначения
dx	. ±	d'b
у> = ^,
Случай нелинейных уравнений
597
Аналогично
dfi
> = 1Г ’
Если положить
F = -----6 4 аф — 2
то уравнение (2) можно заменить каноническими уравнениями
dx	dF	dy	dF
dt	dy	’	dt	dx	’
(/i 1
dxi. _	dF	dyi	,]F
dt	dyi	’	dt	dx^
Эти уравнения формально можно проинтегрировать следующим обра-
зом. Наши переменные допускают разложение по степеням а, причем
коэффициенты разложения оказываются периодическими функциями с пе-
риодом 2л от п параметров
tv, w2, w3, wn,
где
w = hi -f- St, Wi =	4- 5>i-
Ясно, что так же, как в п. 194, необходимо положить
hi = hi, Sj = 0, Уг= wt-
Что же касается величины h, то ее можно разложить по степеням а.
Результаты п. 193 можно сформулировать следующим образом. Если
аналогичная задача имеет решение при а = 0, то она также имеет решение
и при а 0.
Если а = 0, то наше уравнение записывается в виде
-^ + /W = 0.	(5)
Оно очень легко интегрируется в квадратурах
х — ® (гг;), у = ha>' (w), w = ht 4-	,
Di = Wi = hit.
Величины ® и o>' являются функциями от w и постоянной интегрирова-
ния р, они периодические с периодом 2 л по w, h зависит от р, a — новая
постоянная интегрирования.
Если сформулированная нами задача имеет решение при а = 0, то она
также будет иметь решение при а =4 0.
598
Новые методы небесной механики. II
Остается найти его эффективно.
Для этого я перепишу уравнение (2) с учетом того, что х зависит от t,
во-первых, непосредственно и, во-вторых, через w. Таким образом, я буду
следовать методу, аналогичному методу п. 192.
Я найду
/г24Тт + 2h^~ + ~ +/(х) = а<р(а:, t).	(6)
Вместо x и h подставлю их разложения по степеням а
х = xQ 4-	+ а2^2 +  • •,
h — = Hq —|— ckhy —|- ос^^2 4" * ’ '
i
и приравняю коэффициенты при одинаковых степенях а. При этом полу-
чатся следующие уравнения:
h20 — + 2h0	+ f ) = о,	(7)
dw- 1 udwdt dP K	'
q > т d2x$ г, 7	.	,2 d2xi . .-j, d2Xi । c?-.xi	•	у /о\
+ «о —Г2- + 2h0	+ -TS- + / (x0) x, — Ф; (8)
“ 1 dw2 1 dw dt ' u dw2 u dw dt	dP ' ’ ' u/ 1	’	' '
07 I. cPxq q, CpXft .	, 2 d2X% .	.	d2'.C^ i i! i \	7T7	/O\
2«Ji,—7-7- + 2Л, —г- + п0 -—г + 2hn ——;—------------ f (л:п)x, = Ф,	(9)
2 dw2 1	2 dw dt 1 u dw2 1	0 dw dt 1 d.P 1 ’ ' 07 2	’	' 7
Через Ф я обозначил известную функцию от t и w. Правая часть урав-
нения (8) известна, поскольку h0 и х0 найдены из уравнения (7); правая
часть уравнения (9) известна, поскольку h0, hlf х0, хг определены с помощью
уравнений (7) и (8), и т. д.
Уравнение (7) приводится к уравнению (5), следовательно,
х0 = ® (w, Р),
где и — функция от w и постоянной р, периодическая по w.
Рассмотрим теперь уравнение (8). Если hY известно, то его можно за-
писать в виде
Л5 ^4 + 2/?0-^l- + ^ + f (^0)^ = Ф.	(8bis)
u dw2- 1 и dw dt 1 dt2 ‘ J 4 и/ 1	'	'
Это линейное неоднородное уравнение. Следовательно, необходимо. рас-
смотреть соответствующее ему однородное уравнение
^0 —T"7»-F 2Ло	--y----t-q-p- f (Xq) 2 =	0.
u dw2	1	°	dw dt	1 dt2,	1 3 4 v/
Это уравнение имеет частное решение
Случай нелинейных уравнений
599
Так же, как в п. 192, положим
У - h fZzi л_ 'Zfl
- П° dw 1 di ’
dii
~dT •
'	1 dzz ,
Z2 — Лр —j---- -|-
' dw 1
Определитель —z2z/ будет равен некоторой постоянной, которую я
обозначу к. Заметим, между прочим, что эти уравнения записаны так,
как если бы z0, z1; z2, z1', z2' зависели одновременно и от w, и от /, тогда как
в действительности они зависят лишь от и>. Следовательно, многие члены
в этих уравнениях равны нулю.
Пусть у и 6 — две величины, определяемые уравнениями
= Г21 + 8z,,
, dxy , rZ./j	' , с '
Л(1 ------7— = YZ, 4- 0Z2.
° dw 1 al	111 z
Положим для краткости
Уравнение (8bis) можно заменить двумя уравнениями:
r'zj 4- 6'z2 = О,
Y'z/ 4- 6'z2' = Ф,
откуда
Т' = — Фз2,
6' = фгг.
Эти уравнения можно интегрировать с помощью того же метода, что
и аналогичные уравнения п. 192, причем никаких трудностей не возникает,
если только средние значения Фг! и Фг2 равны нулю.
Таким образом, hx и Л2 выбирают так, чтобы одно из этих средних
значений обратилось в нуль, а второе обращается в нуль автоматически,
поскольку заранее известно, что задача разрешима.
Уравнение (9) и последующие уравнения решаются аналогично.
В некоторых частных случаях интегрирование уравнения (5) приводит
к эллиптическим функциям. Так происходит, например, если / (х) — поли-
ном третьей степени относительно х или если / (х) — некоторая постоян-
ная, умноженная на sin х, т. е. в случае уравнений (6с) и (5а) п. 169.
Выводы
197. В предыдущих пунктах я больше стремился разъяснить сущность
методов Гильдена, чем скрупулезно воспроизводить его изложение. Мне
остается изложить собственную точку зрения на то, как следует оценивать
эти методы.
600
Новые методы небесной механики. II
Всякий раз, когда отношение средних движений не слишком близко
к рациональному, методы Ньюкома, изложенные в главах IX—XV,
становятся более простыми и по существу более удовлетворительными
(в особенности, если иметь в виду внесенные мной в эти методы усовер-
шенствования), чем методы Гильдена.
Поэтому дальнейшее изучение методов Гильдена становится излиш-
ним. В самом деле, даже в тех случаях, когда отношение средних движений
мало отличается от рационального, методы, изложенные в главах IX—XV,
остаются в силе. Для рассмотрения этих случаев Гильден разработал ме-
тоды, аналогичные тем, которые позволяют получить результаты в более
простых условиях, и достиг успеха.
Необходимо тем не менее постичь основную идею методов Гильдена
как для того, чтобы иметь возможность их непосредственного использо-
вания, так и для того, чтобы использовать их как удобное средство откры-
тия новых теорий, по той или иной причине более удовлетворительных,
чем ныне существующие.
Эту идею можно выразить одним словом. Если какой-нибудь член ста-
новится очень большим и замедляет сходимость, то его следует учесть
в первом приближении.
Обобщение периодических решений
198. К теории уравнений, изучением которых мы занимались в настоя-
щей главе, имеет отношение одно утверждение, которым Гильден, не фор-
мулируя его в явном виде, неоднократно пользовался. Я не могу не упо-
мянуть это утверждение.
Рассмотрим следующее уравнение:
— ах = р/ (х, t, р),	(1)
где а — некоторая постоянная, р. — малый параметр, / — функция от
х, t и р, допускающая разложение по степеням х и р и синусам и коси-
нусам линейных комбинаций п величин
Xj/, %2г, ..., Хп£
с целыми коэффициентами.
Если имеется лишь один аргумент Xji, то функция / будет периодиче-
ской по t с периодом 2л/Хг. В этом случае уравнение (1) имеет периодиче-
ское решение, обладающее таким же периодом. В самом деле, очевидно,
что каково бы ни было а, это уравнение имеет периодическое решение
х = 0.
Отсюда в силу принципов, изложенных в главе III, следует, что это урав-
нение имеет периодическое решение и при малых значениях р.
Случай нелинейных уравнений
601
Можно ли обобщить этот результат на случай, когда / содержит п
различных аргументов
Xjl, X2i, /„/?
Имеет ли в этом случае уравнение (1) решение вида
х = хги + х2ц2 + ФзЦ3 + •••,	(2)
где х1, х2, х3, ... разлагаются в ряд по синусам и косинусам линейных
комбинаций
Чтобы разобраться в этом, воспользуемся методом, напоминающим
метод п. 45.
Этот метод хотя и носит более общий характер, оказывается
более простым, ибо в п. 45 я намеренно ввел одну трудность (при
а = 0), которая не возникает в общем случае.
Предположим, что задача решена, и подставим в / вместо х разложение
(2). После такой подстановки функция / будет допускать разложение по
степеням ц, во-первых, потому, что эта функция еще до подстановки раз-
лагалась по степеням этой переменной, и во-вторых, потому, что выраже-
ние для х, задаваемое формулой (2), само разлагается по степеням р. Итак,
f = Фо + н<Р1 + н2ф2 4- •
где ср0 зависит лишь от £; срх зависит от t и хх; <р2 — от t, х± и хг и т. д.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ц, получаем
-Jr —	= Фо,
</2ж2	..
---0С;Г2 = фп	(3)
— ах3 - ф2,
Эти уравнения позволяют последовательно найти хх, х2, х3, ... .
Уравнения (3) имеют вид
(Рх;
= Ф1-1-
Если разложить по синусам и косинусам линейных комбинаций
и записать
фг—1 — S A COS [	TTljjXj “Ь ' ’ " “Ь	“Ь ,
602
Новые методы небесной механики. II
где т{ — целые числа, а к и А — некоторые постоянные, то
_ _________________ уч Л cos [(тДт + т-Аг -[-•• + rnnXn}t -ф ft]
1	а } (mi/ч + тгЪа4- • • • -г тогЛп)2 ’	'
и Xi будет иметь желаемый вид.
Остается лишь убедиться в том, что разложение (2) сходится. Это дей-
ствительно так, если параметр а положителен.
В самом деле, пусть а — положительный параметр. Тогда
а	а + (m Al + т2кг + • • • д- mnXn)2
Воспользуемся вновь обозначениями главы II и введем новую функ-
цию от t того же вида, что и tp^. Эту функцию обозначим (p'i_v Предполо-
жим, что новая функция такова, что
фг—i << <pi—1	(arg e~ , e , . . ., e~ n )•
Далее определим хг' с помощью уравнения
ах. = <р/ ,
г	тг—1
и с помощью уравнения (4). Очевидно, что
Пусть f (х, t, ц) — функция того же вида, что и f (х, t, р), и такая, что
(argz, р, е 1 ,	п ).
Рассмотрим уравнение, задающее новую функцию х',
ах' = ц/' (х', t, ц).	(5)
Из этого уравнения можно найти х' в виде сходящегося ряда,
расположенного по степеням ц:
х' = ^ip. + х2р2 + хъ 1Г! Ч-,
коэффициенты которого разлагаются в ряд по синусам и косинусам ли
нейных комбинаций
Если в /' вместо х' подставить это разложение, то
Г = Фо +	Н----’
где <р0' зависит только от t, <р/ зависит от t и ж/, ср2' от xi и хг •
Кроме того,
фк(^1, х2,   •, хъ, 0<<ф1с(Я1, х21 . . хК, 0 (argZi, х2, . .	хк,е1^').
Случай нелинейных уравнений
603
Здесь для краткости вместо e±iXif, e±iX’', записано е±’х;.
Из уравнения (5) находим
= Фо, а*' = ф', • • •
Отсюда последовательно получим
ф«<ф;
Ф1 (*1, t) < ([{(Xt, t)
Ф1(Л, i) < <р;(т', i)
^2 <<
z \	2
ф2 (*i, ^2. 0*Сф^ь 0
ф3(ж1, z2, t) <	х'2, t)
(arg e±ixi),
(arg e±iU),
(arg xx, e±i'KI),
(arg e±ix;),
(arg e±iXi),
(argxt, x2, e±iw),
(arg e±iXf),
(arg e±iXf),
и, наконец,
X <^х'
(arg|i, e±iX/),
что и доказывает сходимость разложения (2).
Итак, разложение (2) сходится в двух случаях:
1) при любом а, если имеется только один аргумент
2) при любом числе аргументов, если а ~^> 0.
Глава XIX
МЕТОДЫ БОЛИНА
Метод Делоне [м]
199. Обратимся еще раз к предположениям и обозначениям п. 125.
Мы уже видели, что применение метода п. 125 приводит к появлению
делителей вида
п’тщ +	+ •  • + ПпШп,
где гщ — целые числа.
Это вызывает сомнения в пригодности метода, когда указанные дели-
тели становятся малыми.
Среди методов, предложенных для преодоления этой трудности, метод
Делоне является первым по времени, и его изложение облегчает понима-
ние всех остальных методов.
Прежде всего рассмотрим систему канонических уравнений
_ (IF
dt ~~ dyi ’
dy,
dt
d.F
dx.
(1)
и предположим, что функция F зависит только от хг, х2. ..., хп и
«Mi + т2у2 + ... + тпуп
и является периодической с периодом 2л по последней переменной. Я пред-
полагаю, что m-i — целые числа.
Тогда интегрирование системы (1) сводится к интегрированию урав-
нения с частными производными
„ I dS dS	dS	X
г	—	, • . •, л—	, "11У1 4-	т2у2 4-	• • • 4- тпУ-. =	С,
\dyt ’ dy2	dy	1	* 1	1 nJ 1j ’
где С — произвольная постоянная. Но это интегрирование выполняется
без труда.
Методы Болина
605
В самом деле, положим
5 = 4;/t -L ^у2 ^ ... ^ х^уп + ф (ТО1г/1 _ т.1Уг -4 . .. тпуп).
Наше уравнение запишется в виде
F (4 4- игр/, х2 + шрр', . . ., 4 + тщрр', 4- ... 4- тпуп) = С.
Разрешим это уравнение относительно <р', тогда
ф/ = функция от 4, 4  • ->г’ и С.
Это выражение проинтегрируем по SnijZ/i, считая С и 4 константами.
Л1ы получим <р, а следовательно, и S в виде функции от .г.." и С.
На некоторых тонкостях этого метода необходимо остановиться более
подробно. Для этого я хочу разобрать один особенно простой частный
случай, взяв
т1 = 1, т2 = т3 = • • • = тп ~ 0,
F = 4 + P-cosz/j,
где параметр ц очень мал.
Наше уравнение запишется в виде
/ (1S '2 .	„
--- -LICOSW, — G,
откуда
Ж- = ¥с-цС08У1.
Могут представиться несколько возможностей.
1.	Случай
С /> | И | •
В этом случае радикал Y С— р. cos ух всегда вещественный и никогда
не обращается в нуль. Он принимает два значения: одно положительное
при всех значениях у15 другое отрицательное при всех значениях ух.
Будем считать, что взято, например, первое значение. Оно допускает раз-
ложение по косинусам аргументов, кратных ух, так что
dS о .	,,
+ 2j5«cos «У1-
Для наглядности я выделил свободный член в правой части, обозначенный
4- Ясно, что 4 зависит от С и, следовательно, С зависит от 4- С другой
стороны, коэффициенты Вп зависят от С, а следовательно, и от х^1.
606
Новые методы небесной механики. П
Итак, выражение
5	х^у-, + 2^ sin пУ1
задает S как функцию ух и произвольной постоянной х^.
2.	Случай
— I И I < С < | ц |.
В этом случае величина, стоящая под радикалом,
С — li cos уг
не будет все время положительной и, следовательно, уг можно придавать
не всевозможные значения, но только такие, при которых радикал будет
вещественным.
Можно ввести вспомогательную переменную е, положив, например,
откуда
или
li cos у, —- С cos е,
-ДУ ../у .
-— = I/ С sm е
dyi г
dS л /~ Н" — С2 cos2 е
"лГ ~ г с
Поскольку С2 меньше ц2, радикал в правой части всегда вещественный ц
допускает разложение в тригонометрический ряд вида
4г =	2 5nC0S не-
откуда
Л’ = 7?ор, -U 2 4" sin ?ге-
Мы получаем S в виде функции от вспомогательной переменной е и по-
стоянной С.
3.	Случай
С = I Н |.
Пусть, например,
li> 0, С = ц.
Тогда
dS
U • У1
-&-81П ~
— COS
Методы Болина
607
или
5 = — у 2ii cos .
5 выражена как функция от ул и является функцией, периодической
по г/i, однако на этот раз период равен не 2л, а 4л.
Добавлю еще, что если С < — | ц |, то радикал будет мнимым при
всех значениях у±; если же С = — | ц |, то он не будет мнимым лишь при
Ух = о.
То, что при этом происходит, можно пояснить двумя способами.
1. Во-первых, путем рассмотрения эллиптических функций.
В самом деле, мы видим, что
S = у|/ С — ц cos Ух dyY
представляет собой эллиптический интеграл, и если положить
-------------------------------------------
V С — р cos yi
то выражения
sin ух, cos ух, УС — u cos уг
будут двоякопериодическими функциями от и.
Таким образом, изученные нами ранее различные случаи отвечают
различным предположениям, которые можно сделать по поводу дискрими-
нанта эллиптических функций.
2. Во-вторых, с помощью наглядных геометрических представлений.
В самом деле, мы можем построить кривые, перейдя к полярным коор-
динатам и выбрав в качестве радиуса-вектора А + dSldyY (А — некото-
рая константа), а в качестве полярного угла ух. При этом мы получим фи-
гуру, изображенную на рис. 7.
608
Новые методы небесной механики. II
Кривые, начерченные сплошной линией, соответствуют предположе-
нию о том, что С | р |. Кривая, проведенная пунктиром, отвечает пред-
положению о том, что
— |р|<с<1н1-
Штрих-пунктирная кривая, имеющая двойную точку В, относится к слу-
чаю С = |р|. Наконец, кривая, отвечающая случаю С = — | р |, вы-
рождается в одну-единственную точку А.
Если к рассматриваемой нами сейчас задаче требуется применить
методы п. 125, то S необходимо разложить по степеням р. В самом деле,
|/С — р cos у х
допускает разложение по степеням р и, следовательно, то же справедливо
и для 5. Единственное отличие состоит в том, что последнее разложение
сходится лишь при
с> I р |.
Если это условие не выполняется, то методы п. 125 теряют свою силу
и необходимо обращаться к методу Делоне, т. е. к тому методу, изложе-
нием которого мы сейчас и заняты. Обращение к этому методу имеет осо-
бое преимущество, если С будет того же порядка, что и р, ибо в этом слу-
чае разложения п. 125 сходятся весьма медленно.
Заметим, что разложение радикала имеет вид
и если С мало, то сходиться это разложение будет очень медленно, а мо-
жет и вообще не сходиться.
Если положить С = Cjp, то разложение примет вид
2 У(\ У ЙФп (У1)
Gi
и все его члены относительно р будут одного и того же порядка. Кроме
того, очевидно,
У С — Р COS Ул = Уц У С\ — cos yt.
200. Перейдем теперь к несколько более общему случаю и предполо-
жим, что функция F зависит лишь от хх = dSIdijy и причем по у± она
периодическая.
Наше уравнение с частными производными примет вид
"«-.«.'“С;	(•>
из него мы должны найти S.
Методы Болина
609
Предположим, что
F = F6 + Fxp + S2pa + ...
и что /’о зависит лишь от dSldy± — х±.
Могут представиться несколько случаев.
Предположим, что функция F, уже разложенная по степеням р, ока-
зывается еще и голоморфной по xt. Именно так обстоит дело во всех при-
ложениях.
Тогда, пользуясь методами п. 30 и последующих, уравнение
F(xlf У1) = С	(2)
можно разрешить относительно хг. При р = 0 это уравнение запишется
в виде
Fo (xj = С.	(3)
Пусть х( — некоторая величина, удовлетворяющая уравнению (3). Тогда
хг можно найти из уравнения (2) в виде ряда, расположенного по степе-
ням р с коэффициентами, зависящими от У1, если только
У (xi) 0,
где Fo' означает производную от F
Наоборот, если
Fa (xi) = 0, FJ (xi) ф 0,
то мы по-прежнему получим хх в виде некоторого ряда, но на этот раэ
расположенного не по степеням р, а по степеням Ур.
Рассмотрим оба эти случая в отдельности.
Пусть вначале For (xi) =f= 0. Поскольку xL, а следовательно, и S допу-
скают разложение по степеням р, положим
S = So Ч- pSx + p2S2 + ••• •
Предположим, кроме того, что производная dSa!dy.r равна постоянной хх.
Затем последовательно вычислим остальные функции SX) S2, ..., причем
вычисления будем производить в точности так же, как в п. 125.
Переходим ко второму предположению, согласно которому F^ (хг0) — 0.
В этом случае 5 допускает разложение по степеням р, и я могу записать
5 = So + У psx — pS2 + • • • .
Предполагая, по-прежнему, что
dSa _ ~о	е _ го„
~d^	Ь0-х1Уа,
39 Л. Пуанкаре
610
Новые методы небесной механики. П
я получу
Я предполагаю, что в правой частив функциях F0, Fo", Fo", ... переменная
хг заменена константой х2.
Аналогично ПОЛОЖИМ’;
=	+ C2p -(-•••!
чтобы наглядно показать, что постоянная в правой части уравнения может
зависеть от ц.
Тогда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в правой
и левой частях уравнения
F = С,
получим
0 = Сх,
s.) + c>-
В третьем уравнении системы (4) я предполагаю, что функция 50
известна, в четвертом я считаю, что известна 5Х, в пятом я предпола-
гаю известными So, S2 ... и т. д. Ф, как и ранее, означает известную
функцию.
Третье уравнение системы (4) позволяет нам вычислить dSJdy^ по-
скольку функция FJ — константа. Имеем
9,)1.
Здесь может представиться ряд возможностей, отвечающих различным
случаям, разобранным выше при рассмотрении более простого примера.
Может случиться так, что С2 остается больше Ft, каковы бы ни были
значения, придаваемые переменной уг. В этом случае dS-Jdy-^ будет перио-
дической функцией от уг с периодом 2л.
Методы Болина
611
Но может случиться и так, что условие
с2>Л
будет выполняться, лишь при некоторых значениях переменной уг. В этом
случае будет вещественной лишь при тех значениях у15 при которых
это неравенство выполнено.
Коль скоро функция Sk определена, четвертое уравнение системы (4)
позволяет найти S2, пятое уравнение — функцию S3 и т. д.
Полученное решение является вполне удовлетворительным в первом
случае, когда функция имеет вещественные значения при всех уг.
Однако в противном случае необходимо обратить внимание на одно об-
стоятельство.
Значения ух, при которых различные функции 5Х, S2, S3, ... перестают
быть вещественными и становятся мнимыми, задаются уравнением
У1).
Можно считать, что и 5 при тех же значениях у, перестает быть веще-
ственной и становится мнимой. Однако это не совсем точно: значения ylt
при которых функция S превращается из вещественной в мнимую, зада-
ются уравнениями.
F = Со 4* С2ц + С3ц К И + ' • ’ >	= О-
Эти значения и в самом деле мало отличаются от первых, если параметр п
очень мал, но все же не совпадают с ними.
Существует много способов обойти эту трудность. Можно, например,
пользуясь произвольностью величин С2, С3, ..., положить С3 = 0 (и то же
проделать со всеми другими С с нечетным индексом).
Далее мы последовательно вычислим
S2, S3,
и получим
dS	dSQ . dS-, ЛГ- t dS2 , dS3
dyi	dy, dy, r r dy, r ay, ‘	‘
Поскольку ничто не отличает ]/”р, от — У р, получим еще одно решение,
поменяв знаки у радикалов
dS	(/Уо	dS,	г—	dS2	dSs	,
•—	"л	г Р	4~	р —	— ц	V р	4*	• • • *
dy,	ay,	dy,	’ r	dy,	r	dy, “	' “	1
Эти два решения либо оба вещественные, либо комплексно-сопря-
женные.
39*
612
Новые методы небесной механики. II
Отсюда следует, что величины
S

S2, St,
всегда вещественны.
Кроме того, выражение
d$i dSs ,	2 dSj
z---h И -----F Ц -r-2- + • • •
dyi r di/i r dyi '
(5)
всегда вещественное или чисто мнимое. И поэтому для того чтобы по-
лучить уравнение, задающее те значения ylt при которых S перестает быть
вещественной и становится мнимой, достаточно приравнять нулю выра-
жение (5).
Как же перейти от случая, когда функция S принимает только веще-
ственные значения, к случаю, когда S то вещественна, то мнима?
Этот переход станет более понятным, если построить следующую фигу-
ру, аналогичную изображенной на рис. 7 (рис. 8). Выберем в качестве
радиуса-вектора dSJdyt, а в качестве полярного угла переменную yt и
построим кривые
или по крайней мере те из них, у которых производная dS!dyv мало отли-
чается от х°.
Последние мало отличаются от кривых, у которых радиус-вектор равен
+ /jT .
11 r ' dyi ’
Методы Болина
613
а производная dSl/dy1 задается формулой
Для построения кривых необходимо сделать предположение о том, как
меняется функция F± при изменении у1 от 0 до 2л. Предположим, напри-
мер, что Д проходит через максимум, затем через минимум, затем снова
через максимум, больший, чем первый, затем снова через минимум, мень-
ший, чем первый. Мы получим при этом фигуру, изображенную на рис. 8.
Ясно, что при убывании С2 мы получим последовательно:
Если С2 больше наибольшего из максимумов,— две концентрические
кривые, изображенные на рисунке линией, состоящей из штрихов.
Если С2 равна наибольшему максимуму,— кривую с двойной точкой,
изображенную сплошной линией.
Если С2 заключена между двумя максимумами,— кривую, аналогич-
ную изображенной штрих-пунктиром.
Если С2 равна меньшему максимуму,— кривую с двойной точкой,
изображенную пунктиром.
Если С2 становится меньше, чем меныпий из максимумов, эта кривая
распадается на две другие, изображенные жирным пунктиром. Одна
из этих кривых вырождается в точку, а затем исчезает, когда С2 становится
равной большему из минимумов, другая вырождается в точку и в свою
очередь исчезает, когда С2 становится равной меньшему из минимумов.
Очевидно, что переход от одного случая к другому осуществляется
через кривую с двойной точкой. Именно это обстоятельство и делает необ-
ходимым изучение этих кривых, в особенности первой, изображенной
сплошной линией.
Представим себе некоторое тело, описывающее данную кривую в не-
прерывном движении. Исходной его точкой служит, например, какая-то
двойная точка. Тело совершает оборот по одному витку кривой, возвра-
щается в двойную точку, описывает второй виток и, наконец, возвраща-
ется в исходную точку. Ясно, что такое движение периодично, но период
его вдвое больше, чем период, отсчитываемый по уг. Таким образом
dSJdy^ представляет собой периодическую функцию от но с периодом
не 2л, а 4л.
Вернемся к уравнениям (4). Итак, мы нашли, что если придать С2
значение, соответствующее максимуму Рг, то радикал
|/Л (С,-Л).
>	0
равный dSJdy^, будет периодической функцией от у± с периодом 4л и, следо-
вательно, его можно будет разложить по синусам и косинусам аргумен-
тов, кратных yJ2.
614
Новые методы небесной механики. II
Если у± возрастает на 2л, то радикал меняет знак, в силу чего разло-
жение должно содержать лишь нечетные кратные ух/2. Радикал дважды
обращается в нуль.
В самом деле, если у? — значение переменной уг, которое соответствует
максимуму функции Fv, то функция dSJdyy обратится в нуль при yY — у?
и при ух = yj + 2л.
Тогда из уравнений (4) следует, что при любых постоянных С3, Ct, ...
производные
с.’Л'2 dSs
dyi ’ dyi '
будут периодическими функциями от ух с периодом 2л. Лишь при
Ух = yj или ух = у® + 2л
эти функции могут обращаться в бесконечность.
Однако мы зпаем, что постоянные С3, ... можно подобрать так, чтобы это
обстоятельство не имело места. Сказанное в достаточной мере подтвер-
ждается существованием кривой, изображенной сплошной линией на
рис. 8. Посмотрим теперь, как следует выбирать постоянные Са, ....
Если предположить, что постоянные с нечетным индексом
С3, С6, ...
равны нулю, то уравнения (4) не изменятся при замене |;’ii па —Ун-
Отсюда следует, что если функция
dS0 ।	./ dSi .	</.?2	. / dSs
-----  у ц —		 ц —-Н и, |/ U, -=-- • • •
dyi  “ dyi------------------------------1 dyi “ ' г dyi
удовлетворяет нашему уравнению, то тоже будет справедливо и для
функции
dS0	dSi dS^,	dSa
—т----V И	—?--H Н —?-----ц |/ ц —-— -I-	• • .
dyi	' ~	dyi “ dyi	г г г	।
Эти функции являются двумя решениями уравнения (4) и ясно, что
перейти от одного решения к другому можно с помощью замены У и на
— У и.. Однако уравнения (4) не изменяются и при замене ух на ух -ф- 2л.
Следовательно, мы перейдем от одного решения к другому, заменив ух
на ух + 2л.
Отсюда вытекает следствие.
Если ух заменить на ух -ф- 2л, то функции dS2Jdy1 с четным индексом
не изменятся, а функции с нечетным индексом ^52п+х/^ух изменят знак.
Однако поскольку производная dSJdy1 обращается в нуль при ух = yj
и при ух = ух + 2л и входит в левую часть уравнений (4) в виде множи-
Методы Болина
615
теля, производные
dS2	dS3
dy! ’	dyi ’
могут обращаться в бесконечность.
В самом деле это и происходит, если только постоянные С’«, ... не вы-
браны подходящим образом.
Однако указанный выбор постоянных можно произвести и так, что
функции dSp/dy! будут конечными при всех у±.
Чтобы доказать это, рассмотрим уравнение
Ч^’^=с’
которое я перепишу в виде
г/i) = с.
Это уравнение, если xY и уг рассматривать как координаты некоторой
точки, задает какую-то кривую. Необходимым условием существования
у этой кривой двойной точки является одновременное обращение в нуль
производных:
dF _ dF _
dX) dy!
Это условие можно также записать и в виде
dFn . dl\ । dF<i	r
—----k ц лл- + ц	—h • • • = (J,
dm	d^i	r
dFt	dF-> „ dFs ,	n	'
------------- U—-h ---k • • • = 0,
dyi--------------------<iyi r dy! '
ибо Fo не зависит от y1.
Разрешим уравнения (5') относительно xL и у±. При р = 0 находим
т,— л ;/ _ „о
Щ— 2-1, У1 — У1-
Функциональный определитель уравнений (5') при ц = 0, хг = х®,
У1 = Hi записывается в виде
d2F0 _ d2Fi
dy[
и, вообще говоря, отличен от нуля. Следовательно, уравнения (5') можно
разрешить относительно xY та упричем хк и уLбудут рядами, располо-
женными по степеням ц. Пусть
2:1 — ct, Ух = |3
— полученные разложения. Очевидно, что функцию
^(а, Р)
616
Новые методы небесной механики. П
можно разлагать по степеням р. Пусть
F(a, р) = Сй + С2р + С4р2 + ...	(6)
— такое разложение. Я утверждаю, что если в уравнениях (4) постоян-
ным С2р придать значения, получающиеся из разложения (6), то функции
dSp/dy^ останутся конечными.
Чтобы убедиться в этом, положим
•Ч = а + х , г/i = Р + у',
Г(Х1,У1) = ^(а, ₽) + F'
и рассмотрим уравнение
F'(Z,y') = 0.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (2). Следовательно, его
можно рассматривать таким же образом, т. е. положить
dS' г_ dS\
/ р -^4- + • • •
dy ' 1 dy' 1
и найти функции dSp /dy' из уравнений (4bis), аналогичных уравнениям
(4) и отличающихся от последних лишь штрихованными символами *.
Единственное отличие состоит в том, что на этот раз все константы Ср
будут равны нулю и при х = у’ = 0 будем иметь
р' =-	= dF'~ = 0
dx' dy'
Итак, если считать, что функция F' разложена по степеням х' и у', то
это разложение начинается с членов второго порядка относительно х' и
у', причем при любом р. Разложения функций Fo', F\,... также начи-
наются с членов второго порядка. Следовательно, если считать, что
функции Ф, фигурирующие в правых частях уравнений (4bis), разложе-
ны в окрестности у' = 0 по степеням у' и dSp /dy', то разложения всег-
да начинаются с членов второго порядка.
Прежде всего видно, что dS^'Idy' обращается в нуль при у' = 0.
Следовательно, можно не опасаться, что dSp /dy’ обращается в бесконеч-
ность при у' = 0. Более того, я утверждаю, что при этом значении у'
производная dSp'/dy' равна нулю.
В самом деле, предположим, что это верно для
dSr dS^
dy' ’ dy’ ’
[dy‘
Уравнения (4bis) явно не выписаны. (Прим. ped.).
Методы Болина
617
Я утверждаю, что это в равной степени верно и для dSp:dy'.
Рассмотрим уравнение
М'п
dy'
= Ф,
/г	,
где Fo" означает вторую производную от Fo. Ф допускает разложение по
степеням у', dSr /dy', ..., dSv^Jdy'. Поскольку у' = 0 является простым
нулем для всех этих величин, а разложение функции Ф начинается с чле-
нов второго порядка, для функции Ф значение у' = 0 является двукрат-
ным нулем.
Для dSy/dy' это значение является простым нулем.
Следовательно, оно является простым нулем для dSp /dy', что и требо-
валось доказать.
Итак,
, dS'
х = —гт- .
dy
S' = So -р VpSx -p p.S2 -p . . . , So = 0.
Отсюда получаем, что
X1 = a+-dS'^-^ .	(7).
1 'dyi	7
S’(yi — 0) означает функцию S', в которой аргумент у’ заменен на уг— 0.
Пусть
а = а0 -р рах -р ц2а2 + . . . ,
3 = ₽о + PPi + Р2р2 + • • - ,
=	у- dSi_ . . .
1 dyi 1 ' “ dyi 1
— разложения а, 0 и х±. Приравнивая члены одинаковых порядков в пра-
вой и левой частях (7), получим
dSo _а dSi dS’y(yi — ^	_ dS2
dyi ~ °’ [Л/i ~ dyi ’ dyi ~ 1 ' dyi ’
(8)
dS&	p d-S^ dSi	dS^
dyi FVi 1 dy[ ’ dyi ~~ a’2 "• dSn ™ dy^ ’ ’ "
В производных от Sp' величину у' следует заменить на уг — 0.
Очевидно, что dSp/dyi остаются конечными.
Коль скоро мы доказали, что константы Ср можно выбрать так, чтобы
производные dSp/dyi не обращались в бесконечность, выбор этих постоян-
ных можно произвести, не обращаясь для этого к разложениям а и 0.
818
Новые методы небесной механики. II
Для этого достаточно воспользоваться уравнениями (4).
Рассмотрим одно из этих уравнений:
,, d»*S у dS ,
Ео^- —^ = Ф + СР.
и dyi dyi	'	1
Если р четно, возьмем
СР=-Ф(А
а поскольку функция Ф периодическая с периодом 2л, получим
Ср = Ф (уу -ф- 2л),
так что производная dS г,_л /dy± не обращается в бесконечность ни при уг =
= у°, ни при у2 = у°! + 2л.
Если р нечетно, то необходимо выбрать Ср = 0 и условие
Ф (уЧ) = О,
[которое влечет за собой условие
Ф (у* + 2л) = О,
ибо функция Ф меняет только знак, если у± возрастает на 2л] будет такжэ
выполнено.
Кроме того, отсюда следует, что производная dSp-l!dy1 никогда не
обращается в бесконечность.
Отсюда же, наконец, следует, что dSpldyr можно разлагать по синусам
и косинусам аргументов, кратных уг, если р четно, и по синусам и косину-
сам нечетных кратных ух/2, если р нечетно.
Я потому столь подробно останавливаюсь на почти очевидных вещах,
что впоследствии мне придется рассматривать аналогичную, но более
сложную задачу. Именно поэтому мне и хотелось бы особенно подчерк-
нуть эту аналогию.
201. Посмотрим теперь, как происходит переход от первого случая,
когда
Ео'(^)	0
и когда методы п. 125 оказываются применимыми, j:o второму случаю,
когда
Ео (ж?) = 0.
Именно этот второй случай мы и намереваемся изучить подробно.
Прежде всего заметим, что величина F0'(x^) представляет собой то,
что в п. 125 и в остальных частях настоящего труда мы обозначали —
Методы Болина
619
Поэтому, обозначив
dS	dS0 , dS, r , dS-> ,
——j— — —------h p — -f- p- —----r-
dyi	ayi r dyi r dy\
мы получим ряд уравнений вида
= Ф + Ср.
dyi	1
(1)
Как я указывал в п. 125, величины Ср можно задавать произвольно.
Я буду предполагать, что эти величины выбраны так, что среднее значе-
ние Ф + Ср равно нулю, и, следовательно, Sp есть периодическая функ-
ция от у1.
Ясно, что в разложении производной dSpldyY в знаменатель могут
входить различные степени nJ, так что если nJ мало, то некоторые члены
разложения dSp/dyr могут становиться значительными. Поэтому важно
прежде всего выявить ту максимальную степень, в которой nJ может
входить в знаменатели различных членов dSTJdyY.
Я утверждаю, что показатель этой наибольшей степени равен 2р — 1.
В самом деле, функция S, с одной стороны, зависит от а с другой —
от параметра р и постоянной интегрирования х,. Я не говорю уже о по-
стоянных Ср, которые полностью определяются условием
F0 (4) =
и тем, что среднее значение [Ф ф Ср] = 0.
Выберем в качестве постоянной интегрирования вместо xY величину
nJ. Тогда S будет функцией, зависящей от ylt р и nJ. Разложимее по сте-
пеням р и nJ. Разложение будет содержать отрицательные степени nJ.
У равнение
nj 4^- = ф + сх
dyi	1
показывает нам, что разложение производной dS1ldy1 по возрастающим
степеням констант nJ начинается с члена, содержащего 1/nJ.
Перейдем к уравнению
о d$z ,	,
72 j. —   —	С2.
1 dyi	;	2
Здесь Ф зависит от dSJdy^, но поскольку Ф получается при замене в F
переменной xY — dS!dy1 разложением
dS® d&i .
620
Новые методы небесной механики. II
и удержании в этом разложении членов, содержащих р,2, ясно, что Ф
может содержать dSJdy^ в степени не выше второй, так как куб величины
d$pdyY должен был бы иметь коэффициент р3 и, следовательно, не мог
дать члена с р2.
Итак, разложение функции Ф, а следовательно, и разложение С2,
будет начинаться с члена
! 1 У
И/ 
Разложение же dSpdy{ начинается с члена
/ 1 \з
•
Закон, которому следуют первые члены разложений, очевиден: разложе-
ние производной dS pldy^ начинается с члена
/ 1 \2P-1
м / 
В самом деле, предположим, что это верно для
dSi dSi	<Z6,p_1
dyi ’ dyi ’ ’ ’ ’ ’ dyi
Я утверждаю, что это верно и для
4L.
Рассмотрим уравнение
о	ГГ, | Г
dyi	р
Ф является полиномом относительно
dSi dS%	c^p-i
dyi ’ dyi ’ ' ’ ’ ’ dyi
Рассмотрим какой-нибудь член и этого полинома и постараемся вы-
числить сумму индексов q различных множителей вида dSgldy^ входя-
щих в и. Этот член и получается из члена, содержащего коэффициент рр
в разложении
н.4Д. + ц 4^- +	,
\ dyi 1 r ayi	)
и поэтому эта сумма равна самое большее р. Кроме того, если эта сумма
равна в точности р, то поскольку ни один из индексов q не равен р, рас-
сматриваемый член и содержит по крайне мере два множителя.
Методы Болина
621
Разложение и по	степеням п° начинается с члена 7 1 \ 2(29-1) \ /
Но	S? <Ср.
Если	2? < р»
то	S(2g-l)<2p-2;
«ели	2? = Р,
то по-прежнему	Z(2q - 1) < 2р - 2,
ибо член и состоит п Итак, разложени члена	о крайней мере из двух сомножителей. е Ф, а следовательно, и разложение Cf начинается с / 1 \2p-2
а разложение dSvldy	i начинается с члена / 1 \2P-1
что и требовалось д< Однако	— произ разложением:	сказать. вольная постоянная. Заменим ее каким-нибудь Н- Р&1 Ф р2®2 ~Ь • • • 
Тогда S можно р; ным и отрицательн]	юложить по положительным степеням ц и положитель- ьш степеням “о + РФ + р2а2 + ••••
Если коэффициеь ные степени величи	it а0 отличен от нуля, то положительные и отрицатель- ны а» + РФ + р2ф + •••
можно в свою очере в результате окаже!	дь разложить по положительным степеням р, так что ?ся, что функцию S можно разлагать по положитель-
ным степеням ц.
622
Новые методы небесной механики. П
В силу сказанного в п. 125 эти разложения будут такими же, как те,
что мы получали исходя из уравнений (1), однако постоянные С1} будут
иметь иные значения, чем те, которые мы придавали им выше.
Предположим теперь, что постоянная п[ очень мала и заменим п®
разложением вида
п? = <»!	+ а2Н + азН +  • • •	(2)
На этот раз отрицательные степени величины
ai Иц + а2Ц + • • •
нельзя разлагать по положительным степеням ]/ц, но
(4)
будет разлагаться по положительным степеням р, причем разложение
будет начинаться с члена /ц.
Если заметить теперь, что S, как мы только что видели, можно разло-
жить по степеням
И И2
то мы придем к выводу, что S можно разложить по положительным сте-
пеням ц.
Полученные таким способом разложения не будут отличаться от тех,
к которым мы пришли в предыдущем пункте с помощью уравнений (4),
придавая постоянным Ср различные значения.
Во избежание недоразумений я буду обозначать через
£ = SQ +	+ •••	(3)
то разложение, к которому приходим исходя из уравнений (1), причем
как я уже говорил ранее, Ср в этом случае выбираем так, чтобы среднее
значение Ф + Ср было равно нулю.
Временно я буду обозначать через
61 = То +	цТ	(4)
разложение, получающееся при замене в (3) разложением (2), с упо-
рядочением результата такой подстановки по степеням ]/р,.
Что в этом случае представляют собой коэффициенты TQ, 7\, ... ит. д.?
Коэффициент То получится, если в So вместо постоянной п® подста-
вить 0.
Методы Болина
623
Коэффициент Т1 получают следующим образом. Укажем явно зависи-
мость S от п°, записав 5(nJ). Мы нашли, что
= £ У1,
5о(О) = То.
Имеем
^0 («?) = А0 («1 /й +	+ • • •) = То + 4^- /в'*1 + • • •
ап^
ИЛИ
.	</х°	, _	ой Уц,
^’о (ni) — Л + ai 0 У1 VR + • • • = Л>----р;— У1 + • •  >
dnt	fo
где Fo" имеет тот же смысл, что и в уравнениях (4) п. 200.
С другой стороны, коэффициент содержит члены, получающиеся
из Slt S2, .... Эти члены находят следующим образом.
Выберем в разложении (3) все члены вида
(n°)2p-x •
Пусть
— совокупность таких членов.
Тогда
Л
ац/1
Отсюда следует, что если в разложении (3) сгруппировать все члены, со-
держащие цр/(п?)2р-1, т. е. все члены, входящие в разложение (5), и воз-
вести в квадрат производную
(ITi	ai 1 dS^ 1 dS’
— = —н-------------------1—у ——Ь • • • >
dyi	(Xi dyi а“ dyi
то квадрат ее будет состоять из двух членов
dTt \2
dyi /
~2
а1
р "2
0
2 dS[
F“o dyi
Этот результат замечателен еще и тем, что, как мы вскоре увидим, он
переносится на все уравнения динамики.
624
Новые методы небесной механики. П
Чтобы найти Т2, необходимо принять во внимание не только So и члены,
содержащие
Ир
но и члены, содержащие
Ир
(П»)2Р~2 ’ ' ' -
Итак, переход от случая, когда методы п. 125 применимы, к случаю,
когда эти методы отказываются служить, происходит следующим образом.
Если постоянная] очень мала, то порядок величины члена разложения
зависит не только от показателя степени ц, но и от показателя п°. Если
предположить, что постоянная п° того же порядка, что и то совокуп-
ность членов, имеющих одинаковый порядок, выделяют, а затем их сум-
мируют.
202. Все эти результаты допускают непосредственное перенесение на
более общий случай, рассмотренный в начале п. 199.
Предположим прежде всего, что F зависит от хг, ж2, ..., хп и у±. В этом
случае мы должны рассмотреть уравнение
Чтобы проинтегрировать его, мы придадим
dS	dS
</.V2 ' ‘
некоторые постоянные значения
и таким образом получим уравнение
( dd\ о	о	,,
\ ~dyF ’ 2’ ‘ ‘ ’ Хп' УЧ ~ '
того же вида, что и уравнения, которыми мы занимались в двух предыду-
щих пунктах.
Однако на этот раз решение 5 содержит не одну произвольную постоян-
ную Х^, а п произвольных ПОСТОЯННЫХ X®, х\, ..., Хп.
Если основное уравнение записать в виде
/ dS dS	dS	.	, i	\	/о,
ЦщЛ"’ фГ----------+	+	=	(2)
Методы Болина
625
то его нетрудно привести к виду (1). В самом деле, положим
+ т2у2 + . . . + тпуп = у{,
т\уг + т\у2 + • • • 4- т2пуп = у2,	(3)
т?У1 + т2у2 + . . . -4 mlyn = уп,
где ттц — целые числа, выбранные так, чтобы определитель, составлен-
ный из коэффициентов уравнений (3), был равен 1. Это всегда возможно,
если целые числа mlt т2, ..., тп взаимно просты, что всегда можно пред-
положить.
Тогда уравнение с частными производными (2) запишется в виде
„ I dS	dS	dS	А	„
\ dvx	dv2	flVn	I
и, таким образом, приведется к виду (1). Следовательно, все, что было
сказано относительно уравнений вида (1), относится и к уравнениям ви-
да (2).
Мы можем находить решения уравнения (2), которые подобно реше-
ниям уравнения (1) будут допускать разложения то по степеням ц, то по
степеням it.
При р, = О функция S будет иметь вид
5 = 2.1РХ 4“ х2у2 4- ... 4- х1уп.
Полный интеграл уравнения с частными производными (2) должен со-
держать п произвольных постоянных. В качестве произвольных постоян-
ных МОЖНО ВЗЯТЬ Хх, Х2 ..., Хп либо п”, п2, ..., Пп°, положив
О dF0
dx\
Однако более удобно ввести бесконечно много произвольных постоян-
ных, среди которых лишь п независимых. Этими константами будут
если правую часть уравнения (2) приравнять
С — Со С^р 4- С2р2 + ....
Если
т^ + т.2п2 4- ... 4- mnnl =(= О,
40 А. Пуанкаре
626
Новые методы небесной механики. П
то S можно разложить по степеням ц, и наоборот, если
+ т2//2 -J- . . . 4- тпп°п = О,
то S можно разложить но степеням ]Лр.
В частности, придав постоянным п°, п2, п„ некоторые значения,
предположим, что постоянные Ср выбраны так, что
S — п1У1 — п°У2 —  •  — п„уп
периодически зависит от у. Мы получим разложение, соответствующее
тому, из которого в начале п. 20 были выведены уравнения (1).
В этом разложении в знаменатель входят различные степени
+ т2п2 + . . . + тпп°п.
Затем постоянные интегрирования заменим различными разложе-
ниями по степеням
Пусть, например,
Щ ~ (Xj -j- |Л Ctj 4" P&i 4- • • • •
Я предполагаю, что
4- нг2а£ 4-  • • + ^пап = 0.
Отсюда следует, что разложение величины
4- т2п2 4- • • • +
начинается с члена, содержащего ]Лр.
Если затем мы расположим члены S по положительным возрастающим
степеням р, то получим различные разложения, аналогичные разложе-
ниям, подробно изученным нами в п. 201.
203. После этого нетрудно понять существо метода Делоне.
Обратимся к общему случаю уравнений динамики и предположим,
следовательно, что наша функция
Р = F о + ^Р1 + У? Р2 + • • •
зависит не от суммы 4- пцУг + ••• + тпУт а от каждого из п аргу-
ментов ylt уа, ..., уп и, кроме того, периодична по этим аргументам.
Если все линейные комбинации с целыми коэффициентами
4- т2п2 4-... 4- тпп0„
Методы Болина
627
достаточно велики, то методы и. 125 можно применять без особого труда.
Но если хоть одна из этих линейных комбинаций очень мала, то в F осо-
бую роль будут играть члены, зависящие от аргумента
+ т2у2 + ... + т„уп.
Предполагается, что F разложена в тригонометрический ряд, т. е. в после-
довательность членов, каждый из которых равен произведению
cosQ^i/i + р2у2 + ...+ рпУп)
пли
sin(pi^ + р2у2 + ...+ Рпуп)
(р —целые числа) на некоторый коэффициент, зависящий от хъ х2,..., хп.
Рассмотрим совокупность указанных членов, таких, что
— = — = _
mi тз	тп
Пусть
F' = Fo + Ц-f i + • • •
— совокупность этих членов.
В частности, эта совокупность включает в себя все члены F, не завися-
щие от уи у2, ..., г/n, например, все члены Fo, так что
Fo' = Fo.
Рассмотрим теперь уравнение
/ dS dS	dS	,	\
Р [~d^' ^’’^'т1У1 + т^ + ---+тпУп) = С.
Его нетрудно проинтегрировать с помощью методов, изложенных в пер-
вых пунктах настоящей главы.
Пусть
*5" = Х1У1 +	4~ • • • 4~ хпУп "i S'
— одно из решений этого уравнения. Коэффициенты ж/, х2 , хп',...,хп'
являются постоянными интегрирования, которые я обозначал ранее
через х?, но теперь обозначу символом гг/, поскольку вскоре мне понадо-
бится выбрать их в качестве новых независимых переменных.
Что же касается S', то эта величина представляет собой периодиче-
скую функцию от
4-	4- ••• 4- тпуп,
40*
628
Новые методы небесной механики. П
зависящую, кроме того, от хх', х% , хп', так что среднее значение
dSIdyi является не чем иным, как ж/, а выписанное выше выражение для
S не отличается от выражения для S, вытекающего из уравнений (1) п. 202.
Положим теперь
dS
х^ =---------,
d-Vi
у\ =
dS
dxi
Возьмем в качестве новых переменных х{ и у(. Канонический вид урав-
нений не изменится; прежний вид сохранит и функция F, выраженная
через xd и г//. Лишь коэффициенты членов, содержащих
^171 4 пЧУг + . . . 4- тпуп,
будут гораздо меньше коэффициентов соответствующих членов, завися-
щих от
"КУг 4 т2у2 4   • 4 тпуп.
Долгопериодические неравенства исчезнут, так как в конечном счете они
будут учтены начиная с первого приближения.
Метод Болина
204. Недостаток метода Делоне состоит в том, что он требует большо-
го числа замен переменных. Однако это неудобство можно обойти с по-
мощью метода, открытого Болином. Я со своей стороны также предложил
этот метод, но несколькими днями позже.
Возвратимся к нашим общим уравнениям
dx.	dF	dy.	dF
__г_ =	 (1)
dt	dy^	dt	dx^-'
и предположим, что выражение
тп^п* 4 m2r?° 4 • •  4 m-A
очень мало.
Задача состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнение
Г { dS dS	dS	\ п
\ dyi dyz	dyn	'
Положим
S = 4 4	4 4н 4 4н Ур- 4 • • • >
C = Co 4	+ 4ц2 4 • • ••
Методы Болина
629
Подставим эти выражения в уравнение (2), расположим получившееся
разложение по степеням /(1 и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях Тогда
р / dSп d-S'i,	diS'n \
° dyi ’ dyz ’ ' ‘ ’ dyn J ~~ °’
SdF0 dS । _ g
rfv dyt ’
vi	df'o	dS2	1	vi	d'2F	dSi	dSi
dxi	dyi	‘'	2	dx-dx-^	dyx	dy..
vi	dF0	dS3	1	VI	d‘2Fn	dS1	dS2
1	dx^	dyi '	2	'—J	dx^x^	dyi	dyj;
VI	dFn	dSi	1	VI	d"-Fp	dSi	dS3
dxt	dyt	'	2	dx^dx^	dyi	dyK
(3)
Эти уравнения имеют следующий смысл.
Символом Ф я по-прежнему обозначаю всякую известную функцию.
Я предполагаю, что в третьем уравнении (3) известна 50, в четвертом —
50 и iSj, в пятом — So, SY и <S2. Правые части этих уравнений содержат
то Ф, то Ф + С2р, поскольку я предположил, что константы С нечетного
индекса, т. е. коэффициенты при нечетных степенях в разложении
С, равны нулю.
Кроме того, необходимо еще уточнить смысл знака S во втором члене
левой части уравнений (3). Этот знак означает суммирование по двум
индексам: i и к. Следует условиться о том, что в третьем уравнении
(3) каждая пара (i, к) входит дважды, если i =f= к, и только один раз,
если 1=к, и что в остальных уравнениях (3) такая пара встречается дваж-
ды при любых значениях i и к.
Как и прежде, я предполагаю, что
dS3 о
—J  = Хц
dVi
где х? — постоянные. Я предполагаю, что в тех производных от Fo,
которые фигурируют в уравнениях (3), величины х2 заменены величинами
яД так что
dFo	о
а.т.
Кроме того, я предполагаю, что х° выбраны так, что
= 0	(4)
630
Новые методы небесной механики. II
и что между и® не существует никаких других линейных комбинаций с це-
лыми коэффициентами.
Поставим перед собой задачу найти S так, чтобы производная
dS
____________________________________v_
dVi
была периодической функций от уг.
Первое уравнение (3) попросту определяет Со. Второе уравнение за-
писывается в виде
2ге“_^- = о.	(5)
dyi	' '
Оно может выполняться, лишь если производные dSJdiji зависят только
от т^уг -ф ш2у2 ф- ... ф- тпуп, ибо если бы содержала, например, член
Лсоз^^-ф ... 4- рпуп),
то левая часть уравнения (5) содержала бы член
— А (Р1т£ 4- . . . 4- Рпп°п) sin (PiJ/x 4- • • • 4- РпУп),
который мог исчезнуть лишь при условии
Р1 _ Р‘2	рп
т>	mt	тп
Следовательно,
aii/i 4~ a2l/2 + •   + апУп + f (т1У1 ч- т2Уг 4- • • • + тпУпР
причем производная от f периодическая.
Перейдем к третьему уравнению (3) и приравняем в левой и правой
частях этого уравнения члены, зависящие от синуса и косинуса дуг,
кратных
т1У1 + т-гУг 4-  • • + тпУп-
Первый член в левой части, который можно записать в виде
VI 0 dSt
не содержит членов нужного вида, ибо если бы функция S содержала
член
Л cos(p1y1 4- . . . +Рпуп),
где
ли., т*	тп
Методы Болина
631
то соответствующий член выражения
можно было записать в виде
2 А (P1n% + • • • + РпПп) sin (р^ + . . . + рпуп).
В силу соотношения (5) этот член обратился бы в нуль.
Наоборот, второй член левой части зависит лишь от и является
функцией лишь от т1у1 + ... -ф тпуп. Следовательно, все эти члены со-
держат лишь синусы и косинусы дуг, кратных
+ т2у2 + ... + тпуп.
Введем новое обозначение.
Пусть U—произвольная функция, производные которой dU/dy^ перио-
дичны по yi. Тогда ее можно представить в виде ряда, все члены которого
имеют следующий вид:
ЩУ1, ctcos (р^ + р2у2 + ••• + РпУп),
asin(piyi + р2у2 + ... + рпуп).
В этом ряду вычеркнем все тригонометрические члены, за исключением тех,
для которых
— = — = Рп
mi т2	тп
Совокупность оставшихся членов можно обозначить [ U] и назвать средним
значением функции U.
Тогда
2re?4£L = const
[ Луг J dyi '	Л/.
и если V — некоторая периодическая функция, то
Г= [F] Г-^-1 •
<4 J L dyi J
Следовательно, мы получаем
— Г 2	1 — const,
L dyi J
Г (/.S’l dSi ~1 __ dSi dSi	fi
I -h J ~ dyi d‘h ’	'
1Ф] = - [Л1-
632
Новые методы небесной механики. II
Я предполагаю, что в функции F переменные хг заменены на ж? и что
функция Ф, входящая в третье уравнение (6), та же, что и в третьем урав-
нении (3).
Постоянную в правой части первого уравнения (6) можно обозначить
Cz - С2'.
Тогда, приравнивая средние значения правой и левой части третьего
уравнения (3), получим
1	^0 (F Fо dS\ dS i	(Fl
2	dx.dx dy. dy,. 2 L 11»	' ’
г к аг ак
Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнения, изучением кото-
рых мы занимались в пунктах 199—202 и, в частности, такой же вид, как
второе уравнение (4) из п. 200. Поэтому так же, как и при рассмотрении
второго уравнения (4), мы приходим к трем различным случаям.
Напомним, что функция S} имеет вид
£1 = ^1У1 +	+  •  + <*пУп + / (т1у1 + т2у2 + . • • + тауп),
откуда
rfiSi	,,
—— = a.i + mJ .
dyi
Подставим это значение dSJdyi в (7). Уравнение (7) превратится в квад-
ратное уравнение относительно и мы сможем записать его в виде
А/'’ + 25/' + £> =	(8)
где А, В и D — постоянные, зависящие от констант аг. Последние можно
выбирать произвольно.
Чтобы /' и, следовательно, dSJdyi была периодической функцией от-
носительно т1у1 + т2у.2 + ... + тпуп, необходимо и достаточно, чтобы
корни уравнения (8) всегда были вещественными, т. е. чтобы неравенство
В2 + AD + АС2г -	> 0
выполнялось при всех значениях
ПИ.У1 + тгУъ + ••• + тпуп.
Поскольку! постоянные аг произвольны, выберем их так:
«1 = «2 = ••• = ап = 0.	(9)
Как мы сейчас убедимся, при этом мы ничуть не уменьшаем общности.
Того же результата можно достичь, предположив, что
си	аг	ап
mi	mi	пгп
Методы Болина
633
ибо если это условие выполнено, то выражение
<ЧУ1 +	+ ••• + апуп
становится функцией только от т1у1	тпУп, которая может входить
под знак функции /.
Как бы там ни было, если предположить, что условия (9) выполнены,
уравнение (8) упрощается и его можно записать в виде
И/'2 = С2' - LFJ.	(8bis)
Предположим теперь, что при различных значениях постоянной С2
мы построим кривые, выбрав в качестве радиуса-вектора /' + некоторая
постоянная, а в качестве полярного угла
+ т2у2 + . . . +тпу^.
Мы получим при этом фигуру, полностью аналогичную изображенной на
рис. 8.
Предположим для ясности, что коэффициент А положителен. Тогда
для того чтобы функция /' была периодической, необходимо, чтобы коэф-
фициент А всегда был вещественным, т. е. чтобы постоянная С2 была
больше, чем максимум [FJ.
В этом случае /' и, следовательно, dS-Jdyt будет периодической функци-
ей от т1у1 + т2у2 + ... + тпуп, которая никогда не обращается в нуль.
После того как найдена, речь пойдет об отыскании S2. Эта функция
должна иметь вид
а?У1 + а%у2 + . . . + а$уп + ср,
где ф — периодическая функция. В общем случае Sv также должна иметь
вид
«11/1 + «г//г +  • • + “пУр + ф,
где ф периодическая. Для простоты я буду предполагать, что
m-i тг
Как мы только что видели, это не ограничивает общности.
Имеем
%
(10)
Это уравнение аналогично первому из уравнений (6). Если условия (10)
выполнены, то Ср' = Ср и, в частности, С2 = С2.
Новые методы небесной механики. П
Установив это, вернемся вновь к третьему уравнению (3), которое те-
перь, когда постоянная С2 нам задана, а функция полностью определе-
на, можно записать в виде
Ч ;-- = Ф.
(Н)
Известная функция Ф периодична по уи у2, ..., уп. Пусть
Ф = 2 А cos (р^ + р2у2 + . . . + рпуп + 3).
Из уравнения (11) получим
A sin + piyi. +    + РпУп + 3)
+ • ' • + РпПп
ф (nzjPj + т2у2 + . . . + тлуп),
где ф — произвольная функция от	т2у2 -ф ... ф- тпуп.
Это решение теряет смысл, если для какого-нибудь члена разложения
т. е. если
+ р2п* + ... + рпп»п = О,
Р1 _ Pi _	_ Рп
mi т2	m
Однако это не может произойти, ибо
[Ф] = 0.
В самом деле, мы только что полностью определили Slt причем сделали
это так, что средние значения обеих частей третьего уравнения (3) равны.
Следовательно, это должно быть справедливо и для обеих частей урав-
нения (И), отличающегося от уравнения (3) лишь тем, что некоторые его
члены перенесены из одной части в другую.
Но
= 0,
поскольку
Следовательно,
С2 = С2.
[Ф1 = 0,
что и требовалось доказать.
Чтобы функция S2 была полностью известна, нам осталось еще найти
произвольную функцию
ф = [5г].
Методы Болина
635
Для этого приравняем средние значения обеих частей четвертого урав-
нения (3). В силу соотношений (10) получим
и, кроме того,
Г <PF0 dSr dsg __ d^Fo dS\ d [5г]
[гЦа^. dyi dyk J ~ dzidxk dyi dyk ’
поскольку <S\ зависит лишь от -ф m2p2 -ф ... -ф mnyn. Следовательно,
1	у d-Fo dSi d [5г] _ j
2	^1dxidxk dyi dyk
Если обозначить через ЬУ/] производную от [£2] по
"Ы/1+ тгУг + ••• + тпуп,
то
dSi	d [6*2]	г а' 1
—— = та ,	—у—- = т> [л2]
dyi г1 ’	dyk “ 1 2J
и мы можем записать
1 VI й2Фо	г о'т [ф]
— /I т—j— man,, Л21 = Нт- •
2 ^-1dxidxli 1 к 1	/'
Поскольку функция /' не обращается в нуль, [52'] — периодическая функ-
ция от т1у1 -ф ... + тпУп> не обращающаяся в бесконечность, и [52] име-
ет вид
a(^i + •••+ тпуп) -ф ф,
где а — некоторый постоянный коэффициент, а ф — ряд, расположенный
по синусам и косинусам дуг, кратных т1у1 -ф т2у2 + ... + тпУп-
Таким образом, S2 полностью определена. Четвертое уравнение (3)
записывается в виде
~ = Ф.
1 dy-t
Оно имеет вид, полностью аналогичный виду уравнения (И), и решается
таким же способом. Так же рассматриваются и остальные уравнения.
Я утверждал несколько выше, что предположения (9) и (10) не умень-
шают общности.
В самом деле, рассмотрим какое-нибудь решение нашего фундамен-
тального уравнения, согласующееся с предположениями (9) и (10). Пусть
5 — такое решение и пусть
*5 = 5о + Йр	р52+•...
636
Новые методы небесной механики. II
С другой стороны, пусть
S'o = ^У1 +	+ ••• + х°пУп
и
5р = а?г/1 + <*%Уг + •  • + а%Ур + периодическая функция.
Коэффициенты а в силу предположений (9) и (10) удовлетворяют условию
ар	ар	<хр
__ а2 _	_
mi	m2	* ’ * тп
и, кроме того, зависят от постоянных интегрирования Х{ и Ср.
Поскольку постоянные x’t произвольны, я могу заменить их какими-
нибудь разложениями
= + Й + + ....
где 0-’ — новые произвольные постоянные.
Если в функции 5 мы заменим постоянные х® такими разложениями,
а затем расположим результат по степеням pi, то
5 = So + у р, 51 + р52 + ...,
где
= aiPJ/i + «2РР2 + ••• + о-пУп + периодическая функция.
Постоянные же 0Р мы можем выбрать так, чтобы постоянные имели
какое угодно значение.
Следовательно, наши предположения не приводят ни к каким сущест-
венным ограничениям общности, что и требовалось доказать.
Случай либрации
205. Что произойдет, если постоянная С2 не будет превышать макси-
мум (Fil, и, следовательно, если функция <S\ не будет всегда вещест-
венной? В этом случае, о котором говорят, что происходит либрация,
возникают некоторые трудности. Их можно преодолеть с помощью искус-
ственного приема, аналогичного тому, применяя который в п. 199, мы
воспользовались эллиптическими функциями. Чтобы немного упростить
изложение, я буду предполагать, что
т1 = 1, m2 = т3 ... тп = 0.
Я имею право поступать таким образом, ибо если бы величины имели
иные значения, я мог бы произвести замену переменных, аналогичную за-
мене (3) из п. 202.
Методы Болина
637
Мы не можем более делать так, чтобы производные dSpfdyi были перио-
дическими функциями от уцуг, Уз, •••> Ут но мыможемпо крайней мере по-
пытаться найти такую функцию 5, чтобы производные dSp/dyi были перио-
дическими функциями у2, уп-
Тогда то, что мы в п. 204 обозначали символом [U], представляет со-
бой не что иное, как среднее значение функции U, рассматриваемой как
периодическая функция у2, Уз, ..., уп-
Следовательно,
г n dS л
[S 14 ~d^\ = const-	(12)
В самом деле,
Г 1 Г dSp 1 Г ~1
I Луг J ’ I dy3 J’ ’ ‘’ L dyn J
равны каким-то постоянным, а с другой стороны, соотношение
S игрг? = 0
в данном случае сводится просто к
п? = 0,
так что левая часть уравнения (12) не содержит члена [dSp/dy^.
Я мог бы предположить, что не только производные dSpIdy^, но и
функции Sp (по крайней мере, при р > 0) являются периодическими функ-
циями от у2, уз, ..., уп. Это предположение совпадает с предположениями
(9) и (10) предыдущего пункта, которые, как мы видели, не уменьшают
общности. Если принять такое предположение, то постоянная в правой
части уравнения (12) будет равна нулю.
Установив это, обратимся к уравнениям (3) предыдущего пункта.
Из второго уравнения мы узнаем, что зависит лишь от а третье урав-
нение после того, как мы приравняем средние значения обеих его частей,
дает
1 d2fo / dSi \2   PIP]	(1
-С2-[ТМ,	(13)
откуда и находим Sx.
Учитывая уравнение (13), третье уравнение (3) можно записать в виде
-з«С=[Л]-^
(14)
Поскольку правая часть зависит от уг, у3, ..., уп, причем среднее значе-
ние ее равно нулю, применение метода интегрирования, которым мы
638
Новые методы небесной механики. II
уже неоднократно пользовались, позволяет нам получить S2 с точно-
стью до произвольной функции от т. е. уравнение (14) позволяет
найти
^2 —
Чтобы найти [52], рассмотрим четвертое уравнение (3) и приравняем
средние значения его правой и левой части. Получим
cPFo d [>yg] dSj
dx* «'Vi */i
= (Ф].
(15)
Отсюда находим значение [52].
Зная S2 и учитывая (15), можем записать четвертое уравнение (3) в
виде
-У,'г°ц^= Ф-
Среднее значение Ф равно нулю. Поэтому это уравнение, имеющее тот
же вид, что и уравнение (14), решается так же, и мы получим
И Т. д.
Ясно, что найденные таким образом функции dSp/dyt однозначно за-
висят от уг и
206. Для более подробного исследования наших функций необходимо
произвести замену переменных. Для этого введем вспомогательную функ-
цию Т, определяемую следующим образом:
Т’о = 4'Л +	+ •• + х°уп,
где ,т° — постоянные, удовлетворяющие условиям
Fo - Со, И1° = 0.
Иначе говоря, Тй есть не что иное, как величина, которую мы обозна-
чали iS Q.
Чтобы найти Тг, мы исходим из того же уравнения, которым пользова-
лись для определения 5^, т. е. уравнения (7) п. 204. Заменим в этом урав-
нении <S\ на 1\, С2 на С2 и получим
dT\dTj_
dx{! dx% ^Vi
= С2-[^1.
(7bis)
Методы Болина
639
К этому уравнению еще добавим
4—^ = х'.	(I = 2, 3, п)
dyt г	'	7
(х^ — постоянные). Важно заметить, что делая последнее предположение,
я определяю Т\ так же, как ранее определял 5^, но при этом отбрасываю
предположения (9), в силу которых постоянные х/ должны были равнять-
ся нулю.
Поскольку коэффициенты d2F0ldx^dxi: зависят лишь от xQt, они яв-
ляются постоянными. Следовательно, если заменить dT1jdyi постоян-
ными xi , то уравнение (7bis) примет вид
A^'!+2B^+D = C‘->F^ (8te>
где А — некоторая постоянная, В и D — два однородных полинома от-
носительно х{, первый — первой степени, второй — второй. Отсюда на-
ходим
АТХ = _ _8_ ,	D . [7ТГ
dyi А — V А2 Л ' А А '
Я введу обозначения
А2 А + А ~
и для сокращения записи
1Л1 = Лф,
откуда
Л = V2 + ^г/з + ••• + х'пУп —	УХ — ф .
Затем из уравнения
аналогичного уравнению (11) п. 204, находим Т2.
Это уравнение, как мы уже видели, определяет Т2 с точностью до про-
извольной функции от ух. Поэтому мы можем выбрать эту функцию как
угодно, например так, чтобы
[Та] =0.
Я положу
S п°.х'. = — Сг.
It	1
Отсюда следует:
640
Новые методы небесной механики. II
1. Т2 является периодической функцией не зависящей от х^, ибо
этими свойствами обладают Fx и [FJ, в которых по предположению ж{ заме-
нены на константы х}.
2. Если в левой части уравнения (2) из п. 204 заменить S на Т, то ле-
вая часть запишется в виде
+ Ci "Кн + C2JA
с точностью до членов, содержащих множитель Ц /ц, ибо функции То,
Тг и Т2 удовлетворяют трем первым уравнениям (3), если только нуль в
правой части второго из этих уравнений заменить на Сг.
Положим теперь
(16)
у' = dT = Ки С dyi
1 dx[ 2 J Yx^— ф ’
Xi = =	1V+ н ’
y:	= yi YY~ yi Vй G = 2, з,.... n)
1 dx], Г Г A dx\ v	7
Если в качестве новых переменных вместо xi и ух принять х( и у(,
то канонический вид уравнений не изменится.
Рассмотрим прежде всего второе уравнение (16), в которое входят
г/i', Ух и Хх  Я утверждаю, что если Хх считать постоянной и изменять
только Ух , то ух будет периодической функцией от ух .
Именно в этом месте проявляется аналогия с применением эллипти-
ческих функций в п. 199. В том частном случае, который был там рас-
смотрен,
А = 1, [EJ = cos Ух,
так что второе уравнение (16) записалось бы в виде
,/ = ^9 С dyi
1	о YСч — cosj/i
Интеграл в правой части является эллиптическим интегралом и, следова-
тельно, cos Ух и sin ух представляют собой двоякопериодические функции
от Ух’. Следует различать два случая, в зависимости от того,
С2 > 1 или же С2 < 1.
Методы Болина
641
Если С2 1, то вещественный период равен
2-
У И £
2	V Cz — COS 2/1
а если
У2 = cos а	1,
то вещественный период равен
-а ' Сг ~~ С°® Vl
Кроме того, в этом частном случае ух представляет собой однозначную
функцию от y'i как при мнимых, так и при вещественных значениях у[.
Однако в общем случае yt является однозначной функцией от у[ только
при вещественных значениях у!, а с другой стороны, cos уг и sin у± обла-
дают вещественным периодом, равным
_|2п
Кн С (/У1
2 JУч-'Ч’
если xi больше, чем максимум [ф], и
если xi меньше этого максимума и если разность xi — ф обращается
в нуль при уг = а и у± = |3 и остается положительной при а < yY < |3.
Добавлю, что в первом случае у± получает приращение, равное 2л, если
у, увеличивается на один период, в то время как во втором случае, т. е.
в случае либрации, уг принимает свое исходное значение, если yL полу-
чает приращение, равное периоду.
В частном случае, рассмотренном в п. 199, двоякопериодическими
функциями//!' являются не только cos ух и sin ух, но и С2 — cos ух-
Что же касается
51 = J /С2 — cos ух dyt,
то эта функция возрастает на одну и ту же постоянную величину, когда
yi получает приращение, равное периоду.
Точно так же, в общем случае ]/" я'—'Ф (следовательно, и dT-Jdyi)
оказывается периодической функцией от yi. Эта функция так же, как и
4 1 А. Пуанкаре
642
Новые методы небесной механики. II
уг, зависит помимо прочих аргументов от xi, играющего роль, аналогич-
ную модулю в случае эллиптических функций.
Заметим, прежде чем переходить к дальнейшему, что период этих раз-
личных периодических функций от yi пропорционален Уц.
Отсюда следует, что в случае либрации xt, xi, уг тл. yj — yi У № оказы-
ваются периодическими функциями ух'. Кроме того, хг и зависят от
yi, от этих п — 1 переменной они являются периодическими функция-
ми с периодом 2л.
Следовательно, если старые переменные х, и yi выразить через новые
переменные ж/ и у/, то станет ясно, что Xi, cos yi и sin yi будут периоди-
ческими функциями от yi. Поэтому периодической функцией от у^ бу-
дет и F, которая периодична с периодом 2л относительно у,.
Период будет равен
по у\ и 2л Уц — по yi. Для краткости период относительно yi я буду
обозначать через Р У ц- Ясно, что Р зависит от xi аналогично тому, как пе-
риод эллиптических функций зависит от модуля, и является функцией
модуля.
Если ввести обозначение
У- = Ур,
откуда
- _ 1 С с1уг _ _ „ _ <ib
’’ У Хх —	Л «Ч
то F будет периодической функцией от z,; период ее относительно
zx равен Р, а относительно остальных zx равен 2л. Кроме того, F будет за-
висеть от xi. F, выраженную как функцию от xi, можно разлагать по
степеням У ц. Первые три члена разложения
Cq -}- Cj j/fl С2ц
не зависят от z{, а являются функциями одних лишь xi. Первое слагае-
мое Со представляет собой абсолютную постоянную; С± по определению
есть линейная функция от xi, не зависящая от xi. Наконец,
С2 = Аху ф- D---— j
откуда следует, что С2 представляет собой полином первого порядка от-
носительно остальных xi.
Методы Болина
643
Положим теперь
Тогда уравнения запишутся в виде
=	_ rfZ	(17)
dt dzi ’ dt	'
Функция F* так же, как и функция F в п. 125, периодически зависит от
переменных второго ряда, которыми в нашем случае являются z{.
Тем не менее существуют два обстоятельства, препятствующие непо-
средственному применению методов п. 125 к уравнениям (17).
1. Хотя функция F* периодична относительно Zj, однако относитель-
но Zj ее период равен не 2л, а Р.
Чтобы обойти эту трудность, достаточно произвести замену перемен-
ных. Если положить
то уравнения по-прежнему будут каноническими и запишутся в виде
dU1 _ dF* dx-1 __ dF*
dt	dvi ’ dt	dui ’
(19)
dx,	dF* dz.	jp*
=	= ~ ~~T~ (i = 2, 3, ..., л)
Щ	dzi * dt	dz.	' '
и теперь уже функция F* периодическая с периодом 2л относительно
Vi, z2, z3, ..., zn.
2.	Если положить р, = 0, то F* будет равна С±, а Сг зависит не от всех
переменных первого ряда, а только от
ибо постоянная nJ равна нулю. Таким образом, мы оказываемся не в ус-
ловиях п. 125, а в условиях и. 134. Мы сейчас увидим, что выводы, полу-
ченные в этом пункте, применимы и в рассматриваемом нами сейчас
случае.
В самом деле, в рассматриваемом нами случае функцией, соответст-
вующей функции, обозначенной в и. 134 символом R, является С2. Не-
трудно видеть, что С2 зависит от xF и, следовательно, от и± и зависит лишь
от переменных первого ряда.
41*
644
Новые методы небесной механики. II
Итак, условия, при которых верна теорема п. 134, выполнены и мы
заключаем, что существует п функций
“i>
зависящих от п переменных
Vl, z2, 23, . . -, Zn
и п произвольных постоянных и удовлетворяющих следующим усло-
виям.
1.	При подстановке этих функций в F последняя становится констан-
той.
2.	Выражение
Uydvy + x'^dz2 4- x'3dz3 4- ... + x'ndzn = dV
является полным дифференциалом.
3.	Эти п функций периодичны с периодом 2л относительно
VH Z2, Z3> •••> Zn*
Итак, будем рассматривать и± и х/ как функции от и Zj. Это позво-
лит нам получить п соотношений между этими 2п переменными, затем с
помощью уравнений (16), (16bis) и (18) вернемся к старым переменным
Xi и При этом мы получим п соотношений между гс{ и у{. Разрешая эти
соотношения относительно^, получим^ в виде функций от у{. Ясно, что:
1.	Если в F вместо хг подставить их выражения через уг, то F обратит-
ся в постоянную.
2.	Выражение
S хг dyi = dS	(20)
представляет собой полный дифференциал, ибо из уравнений (16), (16bis)
и (18) видно, что разность
dS — dV
всегда является полным дифференциалом.
3.	Если Xi выразить через vr и zj, то хг будут периодическими функция-
ми этих переменных; точно так же, если Xi выразить через у{, то получен-
ные при этом функции будут периодическими с периодом 2л относитель-
но у2, Уз, •••, Уп-
Отсюда следует, что функции S, определяемые уравнением (20), не
отличаются от тех функций, изучением которых мы занимались в п. 205,
поскольку для отыскания их мы воспользовались уравнением (2) п. 204
и условием, состоящим в том, что производные dSfdyi должны быть перио-
дическими относительно у2, у3, ...» уп.
Методы Болина
645
Таким образом, две системы уравнений
	dV	dV	(• P dx.		2 Ttz ]		
	U, = -т—•, 1	dvi	X. = "Л— > г	dz.	U, = \ —3	 1 j 2л	>	Vi =	= T~ ’		
	dT ОС 1с — ~1	 , <4	dT*. z\- = —~ dXf.	(i = 2, 3, ...	, n), (k	= 1,2,.	..,n)	(21)
и			dS X. = —				(22)
оказываются тождественными при условии, если V удовлетворяет уравне-
нию с частными производными
IdV dV
Г	,	3—
\aVi dz.
\	i
Zi] = const
(23)
и условию, состоящему в том, что производные от V должны быть перио-
дичны относительно vx и гх, и функция S определяется так же, как и в
п. 205.	_
Функцию V можно разложить по степеням и записать в виде
К = Т'о + Н 2 + • • • •
Каждую из функций можно записать в виде
Ki= ^v1^?z2 + ..- + Ka1+ Vi
где Vi — периодическая функция, а п постоянных аналогичных
постоянным aj>!E п. 125, можно так же, как и последние, выбирать
произвольно. Аналогично	_
5 = <50 + угц514-...,
и мы видели, что Sp зависят еще и от произвольных постоянных, обозна-
ченных нами выше af.
Разумеется, для того чтобы обе системы уравнений (21) и (22) были
тождественными, если постоянным р* приданы вполне определенные зна-
чения, необходимо, чтобы постоянным а? были приданы соответствую-
щие значения, и наоборот.
Таким образом, каждой функции V соответствует некоторая функция
S, и наоборот.
Однако в предыдущих пунктах на постоянные af и, следовательно,
на функцию S, мы наложили некоторые условия — предположения (9)
и (10). Если эти предположения требуется сохранить, то постоянные р*
в свою очередь должны удовлетворять определенным условиям, которые
нетрудно сформулировать. Скажу только, что ж/ должны обращаться в
нуль вместе с YИ-
646
Новые методы небесной механики. II
Уравнения (21) и (22) позволяют выразить все переменные в виде
функций п из них. Предположим, что yL и ад- представлены в виде функ-
ций от
Vi, у2, Уз, уп-
Пусть
У1 = 6(Vi, Уз, Уз, Уп)-
= Са (Vn у2, Уз, Уп)-
Нетрудно видеть, что функции 8 и периодические с периодом 2л от-
носительно каждой из п переменных, от которых они зависят.
Если временно считать у2, уъ, ...,уп постоянными, а xt и уг — коорди-
натами точки на плоскости, то можно рассмотреть уравнения
J/x = 6(Vx),	= ?i(Vi).
Когда мы изменяем vx, точка хг, уг описывает некоторую замкнутую кри-
вую, ибо функции 0и принимают свои первоначальные значения, ког-
да получает приращение, равное 2л.
Итак, если у2, у3, ..., уп рассматривать как постоянные, то уравнение
dS
dyi
будет уравнением некоторой замкнутой кривой.
Именно к этому результату я и стремился. Однако важно уточнить его
смысл. В самом деле, не следует забывать, что сформулированные выше
теоремы верны, но только с точки зрения формального анализа.
Функции 0 и допускают разложение по степеням Ур, так что мы
можем записать
У<= 0о (v,) + УЙх (Vi) + [Х02 (vj + . . .,
*х = С°х (Vx) + Ун Cl (Vx) + HC?(Vx) + . . .,	(
причем все функции 0p(vx) и (vx) периодические с периодом 2л.
Правые части уравнений (24) представляют собой ряды, расположен-
ные по степеням Уц, однако, вообще говоря, эти ряды не сходятся. Следо-
вательно, уравнения (24) верны лишь с точки зрения формального анали-
за. Поэтому перепишем эти уравнения заново, обрывая разложения на чле-
р
не, содержащем р,2 . Тогда
Ух = 0o(Vx) + р2 61 (vx) + ... + И2 0p(Vx),
(24b is)
Х1 = С? (Vx) + Й £ (Vi) + •  • + yh? (Vx) •
Методы Болина
647
Очевидно, что уравнения (24bis) определяют некоторую замкнутую кри-
вую. Предположим, что исключив из этих уравнений V!, мы разрешили
их относительно xrx. Тогда
1	я
J'l = ^« Т I1 2	+  • • + И 2 Рд -Г >	(25)
где Ро, Ру, ..., Pq, ... зависят от уг. Правая часть равенства (25) представля-
ет собой бесконечный ряд, однако этот ряд сходится, а уравнение (25)
является уравнением замкнутой кривой.
В силу принципов формального анализа полученное таким способом
значение Ху может отличаться от dSfdyy лишь на величину порядка
p(p+D/2 Следовательно, мы получаем
р __ dSn р ______ (ISy	р ___ dSp
° ~ dyi '	1 — dyi ’	Р ~ dyi ’
но мы не получаем
_ ^p+i
P+1 " dyi 
Будет ли теперь кривая
Ху = ----Ни2 -Г---Н---гН т2-	(26)
1 dyi " dyi 1	1 " dyi	'	'
замкнутой?
Обратимся к уравнению (15). Поскольку в случае либрации dSyfdyy
обращается в нуль при двух различных значениях уг, можно поста-
вить вопрос, не будет ли d[iSa]/dyx и, следовательно, dS^dyy обращаться
в бесконечность. Это оказывается невозможным, ибо [Ф] обращается в
нуль одновременно с dSyjdyy. Найдем следующие члены нашего прибли-
женного решения.
Чтобы найти d[Sz\!dyy, выпишем уравнение,
нию (15)
аналогичное уравне-
//-70 с? [Уз] dSi
дх* dyi dyi
= [Ф] +Су.
Будет ли в этом случае производная d[S3\/dyy обращаться в бесконеч-
ность?
Правда, в пашем распоряжении имеется постоянная С4, которую мож-
но выбрать так, чтобы производная dS3{dyy не обращалась в бесконечность
при одном из тех значений у1г при которых обращается в нуль dSJdyy.
Однако [Ф] + Су не обращается в нуль при другом значении у±, обра-
щающем в нуль dSyldyy. Итак, dS-Jdyy обращается в бесконечность при
любом выборе постоянной Су.
Таким образом, уравнение (26) не задает никакую замкнутую кривую,
ибо его правая часть обращается в бесконечность.
648
Новые методы небесной механики. П
Следовательно, когда я говорил выше, что кривая
(IS
ж, = —
1 dyi
замкнута, это утверждение само по себе не могло иметь никакого смысла,
поскольку ряд S расходится.
Смысл этого утверждения таков.
Оно означает, что всегда можно выбрать функцию Ф, зависящую
от уу и ц и допускающую разложение по степеням такую, что урав-
нение
d S о	. q
dS\ . dS-i .
-------р U, ---------(-
dyi r dy!
JL dS
(| 2 ___<2
' И dy,
р+1
Ф
представляет собой уравнение замкнутой кривой.
Простой пример поможет лучше уяснить сказанное. Пусть уравнение
кривой имеет вид
х = Ki — У1 + фА
Это эллипс. Разложим правую часть по степеням р и оборвем разложение,
например, на члене р2. Получим
х = А +	___У-___
'	'^	2 У’1 -- ?/2	8 (1 — 172)3/2
Это уравнение уже не определяет никакой замкнутой кривой, ибо его пра-
вая часть при у = ± 1 обращается в бесконечность.
Все эти трудности, носящие чисто искусственный характер, можно
обойти с помощью замены переменных (16).
Предельный случай
207. Перейдем, наконец, к случаю, когда постоянная С2 равна макси-
муму [Ех]. Этот случай занимает промежуточное положение между обыч-
ным случаем и случаем либрации.
Рассмотрим вновь уравнения (3) п. 204 и уравнения (13), (14) и (15)
п. 205. Я всегда буду предполагать, что = 1,	= 0 (при I )> 1) и,
следовательно, что п” = 0. В этом случае, как мы видели в п. 200, ра-
дикал
(а следовательно, и dS^dy^ является периодической функцией от уг,
но период ее равен уже не 2л, а 4л. Если уг заменить на ух + 2л, то эта
функция меняет знак на противоположный. Она обращается в нуль лишь
Методы Болина
649
при одном значении у1, заключенном между 0 и 2л. Это в точности то
значение уг, при котором функция [FJ достигает своего максимума. Не
уменьшая общности, можно предполагать, что это значение равно нулю.
Тогда
aWi п
dyi
при
у = 2кп,
каково бы ни было целое число к.
Все это я подробно изложил в п. 200.
Рассмотрим теперь уравнения (3), а также уравнения, аналогичные
уравнениям (13) и (15), полученным приравниванием средних значений
правых и левых частей уравнений (3)*. Как мы видели, эти уравнения по-
зволяют нам последовательно найти функции Sp. Кроме того, они пока-
зывают, что производные dSpfdyi являются периодическими функциями
относительно у^. причем период равен 2л относительно у2, ys, ..., уп и
4л относительно у1.
Если постоянные Ср равны нулю при нечетном индексе (как я пред-
полагал при написании уравнений (3)], то эти уравнения не изменятся
ни в том случае, если yt заменить на уг + 2л, ни в том случае, если р.
заменить на — ц.
Отсюда с помощью рассуждений, аналогичных тем, которыми мы поль-
зовались в п. 200, нетрудно заключить, что при замене ух на yY + 2л
производная dS,Jdy-L перейдет в
1	> dVi '
Следовательно, производная dSpldyt является периодической функци-
ей с периодом 2л относительно ух, если р четно. Если же р нечетно, то
эта функция меняет знак при замене на ух + 2л.
Возникает вопрос: конечны ли функции dSpldy£
Для отыскания [S2] у нас имеется уравнение (15)
d-Fn d[6-2] dSi =
dt* dVi dyy	’
в общем же случае [<5'р] находят из уравнения
+ СР^	W
ах* иУ1 аУ1
где постоянная Ср+1 равна нулю, если р + 1 нечетно.
* См. выше п. 205. {Прим, ред.)
650
Новые методы небесной механики. II
Функцию [Ф] в правой части уравнения (27), зависящую только от
г/1? я полагаю равной <рр+1 (гд).
Нетрудно видеть (по индукции), что
Фр+i (У1 + 2л) = (— 1)р+1ФР+1(у1).
Может случиться так, что производная d[Sp]/dy1 обращается в беско-
нечность, ибо dS1ldy1 может обращаться в нуль при ук = 2Ал, а правая
часть уравнения (27) при этих значениях yt в нуль может не обратиться.
Следовательно, если требуется, чтобы производные dlSpVdy! остава-
лись конечными, то необходимо, чтобы
Фр+i (0) ~Ь ^r+i = Фр+i (2л) -|- £*р+1 — О'	(28)
Если условия (28) выполняются при всех значениях р, то производ-
ные dlSpY/dy-L, а следовательно, и dSpldy\, остаются конечными.
Если р + 1 четно, то уравнениям (28) удовлетворить легко: в самом
деле, постоянная Ср+1 произвольна, достаточно выбрать ее равной
— Фр+i (0) = — Фр+i (2л).
Но если р + 1 нечетно, то постоянная Ср+1 равна нулю, и мы должны
удовлетворить условию
ФР+1 (0) = 0,	(29)
из которого следует также условие
Фр+i (2л) = 0.
Поскольку нет никакого иного произвола в выборе решения, условие
(29) должно выполняться автоматически. На самом деле так и происходит,
однако это необходимо еще доказать. Это доказательство я проведу ниже.
208. Предположим сначала, что имеется лишь две степени свободы и,
следовательно, только четыре переменные х2, yi и у2.
Обратимся к пунктам 42, 43 и 44. Мы видели, что каждой системе
средних движений
п®, м®, . . . , «»°и
соизмеримых между собой, соответствует функция [Ej], а каждому мак-
симуму или каждому минимуму этой функции соответствует периодиче-
ское решение.
Но в рассматриваемом нами случае число средних движений равно
двум,
и®, и®,
и одно из них, а именно и?, равно нулю. Поэтому эти два средние движе-
ния соизмеримы между собой. Кроме того, функция [EJ обладает абсо-
Методы Болина
651
лютным максимумом, который достигается при у1 = 0 и равен С2. Следо-
вательно, этому максимуму должно отвечать какое-то периодическое ре-
шение. Пусть
£1==ф1(0> х2 = ф2(/),	=	ц2 = ф2 (t)	(30)
— такое решение. Поскольку величина ni равна нулю, если величина t
увеличивается на один период, то ipj, ф2 и ф/ принимают свои исходные
значения, а у2 получает приращение 2л.
Если исключить t из уравнений (30), то
х-l = 01 (у2)» ^2 = е2 (Уг)» У\ = Оз(Уг),	(31)
где 9 — периодические функции с периодом 2л.
Число характеристических показателей равно двум. В силу главы
IV они должны быть равны по величине и противоположны по знаку. Кро-
ме того, поскольку периодическое решение соответствует максимуму,
а не минимуму функции [FJ, эти показатели должны быть вещественны-
ми. В силу и. 79 периодическое решение должно быть неустойчивым.
Установив это, произведем замену переменных, аналогичную замене
переменных п. 145.
Пусть
5 = Х2у2 + 0 4- Х-хУх + y-fii — 3^03,
где 0 — некоторая функция от у2, определяемая из условия
d&	а а Mi
I --- ^2 ~~	»
dy2	dy3
Каноническая форма уравнений не изменится, если я в качестве новых
переменных возьму и у/, положив
v dS*  dS*
Xi = —--- , Уг = ---—
^2/j	dx^
Итак, имеем
' . n	' , dQ	dOi - с?0з
^i-^i + 6i,	x*~ x*+~dyT+ У'~^ ~ X1~M~ ’	(32)
У1 — У14- ез> У2= У21
откуда
Q ,	' df)i ' rfOs
^-^2+62+	— Х1~мГ-
Как функция F выражается в новых переменных?
Прежде всего заметим, что в силу пунктов 42—44 91, 02и03можно раз-
лагать по возрастающим степеням ц и что при ц = 0 они обращаются в
652
Новые методы небесной механики. II
постоянные
о о п
Xi, и U.
Ясно, таким образом, что Ху, уг, и х2 зависят от Ху, х2 , уу , у'2 и ц,
допускают разложение по степеням р. и периодичны относительно у2.
При р = 0 они будут
Ху = Ху + Ху, Х2 = Х2 4- х2, уу = уу .
Итак, функция F не изменит своего вида, если ее выразить через но-
вые переменные. Под этим я подразумеваю, что F можно разлагать по сте-
пеням р и что она периодична относительно у2 , однако относительно у у
функция F не периодична.
Очевидно, что новые канонические уравнения
dxi __ dF	dy'i _ _ dF
dt dy^	dt	dx^
допускают в качестве решения
Ху = 0, х2 = 0, уу = 0,
ибо старые уравнения допускали в качестве решения
Ху — х2 = 02, Уу = 92.
Отсюда мы выводим заключение о том, что три производные
dF dF dF
dy'y ' dy2 ’ dy’%
одновременно обращаются в нуль, если
ж/ = х2 = уу = 0.
С другой стороны, если Ху = х2 = уу = 0, то F вырождается в
некую постоянную, которую я буду обозначать А. Эта постоянная допу-
скает разложение по степеням р.
Положим
F' = F - А;
функцию F' можно разлагать по степеням х/, х2' и уу при малых значе-
ниях этих переменных; ее разложение не будет содержать члена нулевого
порядка и члена первого порядка, отличного от члена, содержащего х2 .
Коэффициенты этого разложения будут зависеть от ц и у2 .
Методы Болина
653
Рассмотрим далее уравнение
[ d.Sr d.S'
г -----—	-----
\ «X ’ dy2
Уъ y'z I = 0.
Попытаемся удовлетворить ему, положив
S’ =	4- Ур <$"1 -j- p5'2	.	(33)
Функции Sp мы найдем последовательно с помощью уравнений, ана-
логичных уравнениям (3) п. 204 и отличающихся от последних лишь тем,
что входящие в них буквы имеют штрихи и все постоянные Ср равны
нулю.
Подставим в F’ вместо S' его выражение (33), а затем разложим F' по
возрастающим степеням YР-
Пусть этим разложением будет
F' = Фо + У р Фх 4- рфг + • • • .
Тогда 4j> ПРИ малых значениях у/, xt' и х2 будет допускать разложение
по степеням ух', dSq Idy-^, dS^'Idy^.
Коэффициенты разложения будут периодическими функциями от у2'.
Однако я хотел бы обратить особое внимание на то, что это разложение
не содержит члена нулевого порядка и что единственными членами пер-
вого порядка будут те, которые содержат
dSq
dy'i
Итак, мы должны найти
Sq - [5g]
из уравнений
о dS'„
п°2—= Ф,	(34)
аналогичных уравнениям (14), и найти [S7'l из уравнений
</2/\ d Гб1'] dS\
—jl_1 ч;-----= [ф']?
аналогичных уравнениям (15), причем все константы, аналогичные Ср,
равны нулю.
Функции Ф и Ф', входящие в правые части уравнений (34) и (35),
можно разлагать по степеням ут', dS^/dy^', dSd/dy^'. Единственными
членами первого порядка будут члены, содержащие dS^ ldy2 .
654
Новые методы небесной механики. II
Я утверждаю, что производные dS;'/dy2' и dS//dy/ при у/ = 0 не только
не обращаются в бесконечность, но и равны нулю, а именно, значение
у/ = 0 является простым нулем для dS/ldy/ и двукратным для dS//dy/.
Докажем эту теорему по индукции. Предположим, что она справед-
лива для уже известных нам функций. Тогда функция Ф из уравнения
(34) имеет в у/ = 0 двукратный нуль. В самом деле, у/ = 0 является
простым нулем для каждого из множителей, из которых состоит каждый
член порядка больше 1 разложения Ф по степеням у/, dS//dy/ wdS//dy/.
G другой стороны, члены первого порядка этого разложения зависят
от производных dS//dy/, для которых у/ = 0 является двукратным нулем.
Отсюда и из уравнения (34) следует, что у/ = 0 есть двукратный
нуль для
dS'q
dy2
и, следовательно, для
Sq - [5g]
и простой нуль для
dS'q d [^]
dyt dy[
Аналогичные выводы о свойствах функции Ф' можно получить из урав-
нения (35) так же, как мы только что сделали для функции Ф. Нетрудно
видеть, что у/ — 0 является двукратным нулем для Ф' и, следовательно,
для [Ф'1.
Поскольку, с другой стороны, это значение у} есть простой нуль для
dS//dy/, то оно точно так же является простым нулем и для
dy[
что и требовалось доказать.
Итак, функции, определяемые уравнениями (34) и (35), конечны.
Какое соотношение существует между функцией S, определенной
в предыдущем пункте, и функцией S', которую мы только что нашли?
Имеем
dS = xjdy! + x2dy2,
dS' = х/dy/ /-х/dy/,
откуда, принимая во внимание уравнения (32), получаем
dS' - dS = dQ - d (yA).
Отсюда следует, что
S' - 5 = О - у^.	(36)
Методы Болина
655
Поскольку функции S', 0 и 0Х так же, как и их производные, всегда
конечны, то такими же будут и функция 5 и ее производные.
Приравнивая в (36) коэффициенты при одинаковых степенях ц,
нетрудно вычислить функции Sp.
В самом деле, выше мы записали
S’ — Sо -1- фр, 5г ф- р,52 +  •  •	(33)
Но это разложение получено в предположении, что функции Sp выражены
в новых переменных ж/ и уг’. Если же вернуться к старым переменным,
то вид разложения изменится и его можно будет записать так:
5' = 50 У р, 51 + р,52
1ср. с уравнением (8) п. 200].
Пусть
р	р
б = 2ц2©р,	01 =	.
Тогда
5Р = 5; - 0Р + г/1бУ	(37)
Из этого уравнения видно, что постоянные СР+1 можно выбрать так,
чтобы производные dSp!dyi постоянно оставались конечными.
Отсюда с необходимостью следует, что условия (29) выполняются
автоматически.
В п. 207 мы видели, что производные dSp/dyt представляют собой
периодические функции с периодом 4л относительно уг. Однако ни
dSpIdyi, ни dSpldyt периодическими не являются, поскольку функция Е,
о чем я уже говорил выше, не является более периодической относитель-
но г/i'.
Но уравнение (37) показывает нам, что:
1) производная dSpldy± периодическая;
2) производная dSpldy2 получает приращение — 4л61Р, если уг воз-
растает на 4л.
Рассмотрим уравнения
dS	dS
Xl =	, Ж2 =	,
dy^L
(37')
которые задают и х2 в виде функций от уг и у2. Эти уравнения инте-
ресны.
В самом деле, рассмотрим уравнения (30). Они определяют периоди-
ческое решение, послужившее отправным пунктом в наших рассуждениях.
Мы видели, что это решение неустойчиво.
Следовательно, в силу принципов, изложенных в главе VII, оно при-
водит к возникновению двух рядов асимптотических решений, общие
656
Новые методы небесной механики. II
уравнения которых можно привести к виду
^1 = ®l(i, 4), x2 = co2(Z, А), ух =	(t, A), у2 = со2 (£, 4) (38)
— для первого ряда и к виду
= i'll (£, 2?), х., = т]2(/, В), yj_= гр (г, В), уг = 11г(1,В)
— для второго ряда. Здесь 4 и В — произвольные постоянные.
Если из уравнений (38) исключить t и 4, а затем разрешить их отно-
сительно ху и х2, то получатся уравнения (37'). Мы придем к тому же
результату (изменится лишь знак радикала У С2 — [ЕД), если исключим
t и В из уравнений (39). Может быть, некоторый интерес представит
сравнение изложенного выше доказательства с тем, которое приведено
мною в т. XIII журнала «Acta mathematica» (стр. 211—216, одна часть,
и стр. 217—219, другая часть) [56].
209. Попытаемся обобщить приведенное доказательство на случай,
когда число степеней свободы больше двух. Для этого попытаемся прежде
всего обобщить понятие, послужившее нам отправной точкой, т. е. поня-
тие периодического решения (30).
Итак, мы ищем п + 1 функцию, зависящую от п — 1 переменной
Уг, Ун- - •, Уп-
Я буду обозначать эти функции
П, ^2, £з>- • > In-
Они таковы, что соотношения
£1 = Л, У1 = Ъ = li (i > 1)
являются инвариантными соотношениями в том смысле, какой был при-
дан этому слову в п. 19.
Отсюда вытекают следующие условия:
Sdr[ dF _____ dF
к dy.. dx? dyi ’
у dt,. dF = _ _dF__
* dy* dx.. dVi ’	(±0)
{iik = 2, 3,. . . , n\
~ dy^ dxk dxi
Излишне добавлять, что xu и хг в производных от F по предполо-
жению заменены величинами т], £ и
Методы Болина
657
Кроме того, функции т], S и должны быть периодическими отно-
сительно у2, у3,. . ., уп’, при р, = О они должны обращаться в постоян-
ные ц0, g0 и &
Наконец, я наложу еще одно условие: я хочу, чтобы выражение
х^у! + x2dy2 + . . . + xndyn = de + T]od£
было полным дифференциалом некоторой функции 0 + ц0^, зависящей
от у2, Уз,. . ., уп.
Находим
t М ,	. dt,
l'=	(41)
Отсюда заключаем, что производные от 0 являются периодическими
функциями. Кроме того,
F (п, Si, S, Уг) = const,	(42)
т. е. если в функции F заменить переменные хх, хг и ух функциями
ц, и то F выродится в постоянную.
Нетрудно проверить с помощью вычислений, несколько напоминаю-
щих вычисления из главы XV, что второе уравнение (40) с необходимо-
стью следует из двух остальных уравнений и уравнений (41) и (42).
В самом деле, если уравнение (42) продифференцировать по yk, за-
тем преобразовать, принимая во внимание первое и третье уравнения а
(40), а также соотношение
dxi [ dyi dxi   dx^, Уу, yxi
dy,. dy* dyi — dyt “г dt/j dy& ’
получающееся из соотношений (41) при дифференцировании, то придем
ко второму из уравнений (40).
Итак, для отыскания функций ц, £, и 0 мы оставим первое и третье
уравнение (40), а также уравнения (41) и (42).
Попытаемся теперь разложить функции г], £ и 0 по степеням р следую-
щим образом:
т] = По + НП1 + Н2П2 + • • • ,
S = So + nSl + Р-2?2 + • • • ,	(43)
0 = 00 + Н01 +н202 + • • •,	Si=2>pS?.
Прежде всего, положив р = 0 в первом уравнении (40), найдем
V) о _ л
42 А. Пуанкаре
658
Новые методы небесной механики. II
Этот результат доказывает, что т]0 не зависит от у2, у3,. . уп. То же
можно записать в виде
По = Но],
поскольку hoi означает среднее значение ц0, рассматриваемой как пери-
одическая функция от у2, у3,. . . , уп.
Отсюда, положив в третьем уравнении (40) р. = 0, получим
V„0_ dF0
“ dyk dxi •
В правой части хг и	следует заменить соответственно на ц0 и Послед-
ние должны быть такими постоянными, что
dF0 о л dFt> 0
-j-- = — Пх = 0,	--- = — Щ,
dxi	dxi
Величины nl мы рассматриваем как данные задачи, так что эти урав-
^0
нения определяют & и
По = ho]-
Наши уравнения принимают вид
Y4 = о,
A dyk
откуда
?о = [£о1-
Поскольку р0 — абсолютная постоянная, а производная dt,Qldyh должна
быть равна нулю, получаем из уравнений (41), что
~~dyT'
С другой стороны, если постоянную в правой части уравнения (42) раз-
ложить по возрастающим степеням р и записать ее в виде
С о + Cjp. + С2ц2 + . . . ,
то из уравнения (42), положив в нем р, = О, получим
F. (п..	- С..
Это уравнение и определяет постоянную Со. Кроме того, мы видим, что
во = G2Z/2 + ?з!/з + • • • + £nZ/n-
Методы Болина
659
Теперь нам известны ц0 и 0О. Что же касается £0, то мы знаем лишь,
что £0 является некоторой постоянной и, следовательно, что
U = IU-
но не знаем, чему равно [£0].
Приравняв коэффициенты при ц в первом уравнении (40), получим
(напомним, что ц0 — постоянная)
So ________ dFi
Пк dyk ~ dyi
Предполагается, что в правой части у1; и заменены на £0, Пг и
Правая часть представляет собой периодическую функцию от
у2, г/g,. . уп, среднее значение которой в силу того, что £0, ц0 и
постоянны, будет обладать свойством
Г dFi 1 =
L dyi J dyi
Это среднее значение должно быть равным нулю, что дает нам урав-
нение
о!?/1	’
определяющее постоянную £0.
Остается уравнение
у 0 dr\i _ _
- Ф’
где Ф — некоторая известная периодическая функция, среднее значение
которой равно нулю. Из этого уравнения легко найти
Пг — [nJ-
Приравняем теперь коэффициенты при ц в уравнении (42) и примем
во внимание уравнения (41), из которых следует, что
__ </01	dtfl   с?01
~ dyi	dy. ~ dyi •
Мы найдем, что
Здесь Ф — некоторая известная периодическая функция, среднее зна-
чение которой не обязательно должно быть равным нулю, поскольку
требуется, чтобы периодическими были не функция 01, а ее производные.
Из этого уравнения мы получим 0Х, зависящую от п — 1 постоянной,
которые можно выбирать произвольно.
42*
660
Новые методы небесной механики. II
Приравняв коэффициенты при р, в третьем уравнении (40), получим
Среднее значение нулю, откуда	"4’Ь	(44) ‘правой части этого уравнения должно быть равно (Л11 = [Ф1- ах^
Отсюда получаем	(Л11, а из уравнения (44) находим затем - ICJ.
Будем продолжать аналогичным образом. Предположим, что уже
нашли	Л01 Л1> • • • > Лр-li 6о< ^1’ • • • ’ 0р-1’ Св’ С1> • • • ’ Ср-21 Ср~1	[£р—11 
Требуется найти	Лр’ 9Р, и Ср-i» Sp (Ср]-
Прежде всего приравняем коэффициенты при рЛ в третьем уравнении
(40). Получим
2"!^ = ®+^^-	(45)
Среднее значение правой части этого уравнения должно быть равным
нулю, откуда
L dy* J
или
= [Ф] - Р^ЧСр-i -
dy*	L dy*	J
Из этого уравнения находим	поскольку разность — ICp-tl
известна. Итак, полностью известна. Уравнение (45) позволяет
найти
Лр	IЛр!•
Если теперь приравняем коэффициенты при в уравнении (42) и
учтем уравнение (41), то получим
откуда найдем 0Р.
Методы Болина
661
Приравняем, наконец, коэффициенты при цр в третьем уравнении
(40). Мы получим уравнение, аналогичное уравнению (44),
2<-5г = ф-^’ь-	т
Правая часть его должна иметь нулевое среднее значение, и соответст-
вующее уравнение
определяет [цД и, следовательно,
Затем из уравнения (46) находим
ip - [£Д
И Т. д.
Итак, мы сумели найти функции, удовлетворяющие наложенным
условиям, и тем самым реализовали подлинное обобщение периодических
решений. Единственное различие состоит в том, что в то время как ряды,
определяющие периодические решения, сходятся, ряды, существование
которых мы только что доказали, сходиться не будут. Поэтому указан-
ное обобщение периодических решений обладает ценностью только с
точки зрения формального анализа.
210. Попытаемся теперь воспользоваться результатами п. 209, чтобы
показать, что соотношения (29) и в общем случае выполняются автома-
тически.
Для этого обозначим
61* =	-I- х'яу3 + .  • + х'пУп + о — (п — По) S + %1У1 + ?/1П —
и произведем замену переменных, положив,
При этом канонический вид уравнений пе изменится, и мы получим
а?1=Х1 + 11, у\ = У1 — £, у'г = Уг (г>1)
и, наконец,
' ,	dd	,	\	dt	..do	dt\	' dt
Xi — Xi-\---------(H —	Ho)	—2---L —4- Ц,	—Д- X, -r2-
г	<1уг	v	l0/	dyt	ъ dt/.	dy{	1 di/{	’
или, учитывая (41),
'.pi '	' dt
x^xi + ^+y^-x,-^-.
662
Новые методы небесной механики. II
В новых переменных функция F имеет тот же вид, что и в старых, за
исключением того, что она не является периодической относительно ух'.
В качестве инвариантных соотношений новые канонические уравне-
ния допускают соотношения
= xi = уг = 0.
Это означает, что при хх' =	= 0
dF	dF	dF	q
dy'i	dy\	dx[
и, кроме того, F вырождается в постоянную Л. Я введу новое обозначение:
F' = F - А.
Ясно, что если F' разложить по степеням х/, х£ и уг', то членов нулевого
порядка не будет, а единственными членами первого порядка будут
члены, содержащие х2', х3',. . ., хп'.
Рассмотрим уравнение
F —У г =0
\ /
и попытаемся удовлетворить ему, положив
(функции Sp будем находить последовательно).
Вычисления протекают в точности так же, как в п. 208.
Кроме того, в рассматриваемом случае функции Sq' и их производные
зависят от у^. Ясно, что при у± = 0 эти функции не обращаются в беско-
нечность, наоборот, для
точка yi = 0 является двукратным нулем, для
dSq
dy't
эта точка является простым нулем. Так же, как и в п. 208, рассуждения
проводятся по индукции (наши уравнения имеют тот же вид, что и урав-
нения п. 208). Поэтому я не буду останавливаться на деталях. Замечу
только, что уравнение, аналогичное уравнению (34), записывается в
Методы Болина
663
виде
n ds'
п° --Д- = Ф,
где
Ф = 2Л cos (т2у2 + . . . + тпуп ф и)
— периодическая функция относительно у2, Уз,-  -, Уп, среднее значение
которой равно нулю. Коэффициенты Ли® зависят от уи но, разумеется,
для разных членов по-разному.
Мы найдем, что
-г- =	---;----—ccs + • • • + т-пУп + «)•
аУк n"/na+...+ra“mn
Утверждение о том, что у/ = 0 является двукратным нулем для функ-
ции Ф, очевидно, эквивалентно утверждению о том, что у/ = 0 является
двукратным нулем для каждого из коэффициентов А и, следовательно,
для dSJIdyk’.
Остальная часть доказательства протекает в точности так же, как
в п. 208.
Итак, функции Sq' конечны. Отсюда так же, как и в п. 208, заклю-
чаем, что конечными будут и функции Sq и, следовательно, соотношения
(29) выполняются автоматически.
Связь с рядами п. 125
211. В п. 125 мы определили некоторые ряды S, первые члены которых
сходятся достаточно быстро, если ни одна из линейных комбинаций
myrf + т2п2 + . . . + тпПп
не слишком мала. В п. 204 и последующих мы определили другие ряды S,
первые члены которых сходятся достаточно быстро и в тех случаях, когда
эти линейные комбинации малы.
Каким образом можно перейти от одних рядов к другим? Ответ на
этот вопрос можно предвидеть, исходя из того, что было сказано в п.201.
Функция S, определенная в п. 125, зависит (см. там же) от бесконечно-
го числа наборов, состоящих из п произвольных постоянных, а именно:
,го	„о
а1, 1> а1, 2> • • • , а1, п ,
®2, 1> а2, 2’ • • • , ап, ni
664
Новые методы небесной механики. II
Мы не уменьшим общности, если предположим, что все ait д. равны
нулю.
Пусть, в самом деле,
5* = So + Ц15\ + р-2^2 + • • •	(1)
— те функции, которые получаются из функций S, если положить все
aiiIf равными нулю. Функции S* будут содержать лишь п произвольных
постоянных
vvi* > • • • ч ^Т1‘
Поскольку Xi — произвольные постоянные, мы можем заменить их
любыми разложениями по степеням ц.
Итак, х° мы заменяем разложением
Zi + ЦР1, г + Р-2?2, I 4" • • • ,
где р — некоторые постоянные. Функция S, к которой приводит такая
подстановка, как и S*, удовлетворяет уравнению (4) п. 125, однако на
сей раз не все ai)/t равны пулю. Ясно, что произвольные постоянные р
можно выбрать так, чтобы а имели какие угодно значения. Следователь-
но, полученная при указанной выше подстановке функция является
функцией S наиболее общего вида.
Вернемся к функции S*. Эта функция зависит от п постоянных xf,
О	V Л	Л
но, с другой стороны, п средних движении п, также зависят от x-t и, на-
оборот, х\ зависят от п?, так что S* можно рассматривать как функцию,
зависящую от произвольных постоянных
п[, П%, . . . , Пп.
Каков вид зависимости функций Sp от этих постоянных? Каждый
член Sp содержит в качестве множителя синус или косинус дуги
Р1У1 + Р2У2 + • • • + РпУп	(Р~ целые),
а коэффициент при синусе или косинусе представляет собой некоторую
голоморфную функцию от п0,, деленную на произведение множителей
вида
+ У +•••• + <1пПп	(д—целые).
Именно эти множители мы и называем малыми делителями.
Из рассуждений, аналогичных проводимым в п. 201, видно, что ни
один из членов Sp не может содержать более чем 2р — 1 малого делителя.
Если эти делители, например
+ пг2п2 4- . . . + тпПп,
Методы Болина
665
становятся очень малыми, то сходимость ряда S* становится сомнитель-
ной. Так же, как в п. 202, заменим постоянные интегрирования раз-
личными разложениями, проводимыми не по степеням р, а по степеням
Ур. Пусть, например,
щ —	Уp><Xj -j- ра, .	(2)
Я предполагаю, что
-|- m2a2 + . . . + тпЛп = 0.
Отсюда следует, что разложение величины
трг^ 4- т2п2 + . . . + тпп°п
начинается с члена, содержащего Ур.
Далее, пусть
N cos	п ,
-р sin (Р1У1 + РгУг + • • • + РпУп)
какой-то член Sp, где Р означает произведение малых делителей. Тогда
N и Р будут допускать разложение по возрастающим степеням |/ р и
показатель р в первом члене разложения Р не больше р — х/2.
Отсюда следует, что функцию S* после подстановки в нее вместо
п‘ их разложений (2) можно будет разлагать по положительным степеням
/р.
Пусть
S* = So + УpSi -|- pS2 + • • •	(4)
— такое разложение. Ясно, что различные разложения (4), которые
можно получить при этом, не отличаются от разложений, уже служив-
ших объектом рассмотрений в этой главе. Эти разложения мы научились
строить в пунктах 204—207. Рассмотрим, в частности, первые члены
So' и S^.
Имеем
So = So = %1У1 + Х2У2 + . .. + Ууп.
Величины xl постоянные. Эти постоянные в свою очередь являются из-
вестными функциями от п®. В So величины п® необходимо заменить по-
стоянными а®, поскольку при р = 0 разложение (2) величины п® вырож-
дается в первый член, т. е. в а®.
С другой стороны, находим
Si =	+ . . . +	+ U,
666
Новые методы небесной механики. П
где
(5)
Величины х\ представляют собой известные функции от п®, поэтому их
производные dx°Jdn'k также известны и в них вместо п® надлежит под-
ставить а®.
Что же касается U, то эту функцию находят следующим образом.
Возьмем все члены S*p в виде (3), где знаменатель Р содержит малый
делитель
mxnj + т2п2 + . . . + тпп°п
в степени 2р — 1.
Подставим в числитель А вместо и” постоянные а®, а в знамена-
тель вместо
трг” 4- т2п°2	4- тпПп	(6)
подставим
Wlx<Xi ТП2С12 + • • • 4" тпЛп — Т-	(7)
Тогда выделенный член примет вид
(Р1У1 + Р2У2 + •  • + РпУп),	(8)
где No означает то, во что переходит N при замене п® на а®.
Аналогичным образом мы поступим со всеми членами Sp, которые
содержат малый делитель (6) в степени 2р — 1. Пусть
U
У^р-1
— сумма всех полученных при этом членов вида (8).
Проделав аналогичные операции со всеми функциями S2,. .
мы получим последовательно
U1 U1
Тогда
Если теперь мы будем считать, что выполняется предположение (9)
п. 204, то
Il = Ла =	_
mi mj ’ ' ‘ m„
Методы Болина
667
Комбинируя эти соотношения с (5) и (7), можно записать
= тщАу,
где А — коэффициент, вычисление которого не представляет никаких
трудностей, зависящий от целых чисел пг.; и производных dx-Jdn'a.
Отсюда находим
1	л .	1 d-Ul .	1 cl и 2 .
—— =	-------z--—о~  ------. . . .
dyi 1 1 ‘ у dyi 1 у3 dyi ‘
(9)
Из этого следует, что квадрат правой части уравнения (9), допускаю-
щий, как и сама правая часть, разложение по убывающим степеням
у, если ограничиться первыми двумя его членами, равен

В свою очередь отсюда вытекает ряд тождеств
которые, даже независимо от своих приложений (им посвящена эта гла-
ва), представляют собой любопытные и неожиданные свойства разложе-
ния (1).
Расходимость рядов
212. Ряды, полученные нами в этой главе, расходятся так же, как
и ряды Ньюкома и Линдштедта.
В самом деле, рассмотрим один из рядов S, определенных в п. 204.
Этот ряд зависит от некоторого числа произвольных постоянных.
Прежде всего мы имеем постоянные
Между этими постоянными имеется соотношение
+ m2«2 + . . . + тпПп = 0.
Так же, как в п. 205 и последующих, предположим, что
т1 = 1, т2 = т3 = . . . = тп ~ 0.
66S
Новые методы небесной механики. П
Мы видели, что так всегда можно сделать. Тогда наше соотношение за-
пишется в виде
Это уравнение можно разрешить относительно 4:
4= ф(4.4. • • • >4).	(1)
Кроме того, п выписанных постоянных связаны с Со соотношением
f0 (4, 4,..., 4) = с0.
Кроме Сй, у нас имеются
С2, 41 Св,- • • •
Наконец, у нас есть
йц а2, . . . , ап,
4,4,... ,4,
Однако, не уменьшая общности, можно предположить, что между этими
величинами имеются соотношения (9) и (10) п. 204, или, еще лучше, мож-
но, также не уменьшая общности, предположить, что все величины щ
и а? равны нулю.
Постоянные С4, С6,. . . связаны с произвольными постоянными щ
и 4 определенными соотношениями. Следовательно, если предположить,
что сц и af равны нулю, то С4, Се,. . . станут полностью известными
функциями 4 и С2.
Итак, остается всего п произвольных постоянных
х2, х3, . . . , хп и С2,
ибо 4 связана с остальными х° некоторым соотношением.
Рассмотрим теперь соотношения
— dS — dS — dS
X1 ~ di/i * X- ~ dy2 ’	’ ’ ’ ’ xn — dyn 
Правые их части зависят от
У1,Уг,    , г/п,4. 4....................4,	с2.
Разрешив уравнения (2) относительно
^2» ^3, • • • т
Методы Болина
669
получим
4 = (Pi (arx, х2, . . . , хп, ylt у2, . . . , уп)	(3)
(i = 2, 3, . . . , п),
с2 = 0 (^!, х2, . . . , хп, У1, у2, . . . , уп).
Если бы ряды S сходились, то функции fi и 0 были интегралами диф-
ференциальных уравнений.
Посмотрим, какой вид имели бы эти интегралы.
Прежде всего обратимся к случаю п. 204. Тем самым мы предпола-
гаем, что С2 больше максимума [EJ. Отсюда следует, что
Ус2-[Р1},	-
Са — р 1J
являются голоморфными функциями от С2, уг, у2,. . ., уп при всех
вещественных значениях у{ и при значениях С2, достаточно близких к
рассматриваемым.
Мы предполагали ранее, что F голоморфна относительно Xi и у, при
всех вещественных значениях уг и при значениях хг, достаточно близких
к 4- Кроме того, вторая производная Fo по 4 в общем случае будет
отлична от нуля, так что х° будет голоморфной функцией от осталь-
ных 4.
Из всего сказанного следует, что производные dSp!dyx будут голо-
морфными функциями при всех вещественных значениях ух и при зна-
чениях
,/>	г
Л-2* ^3» • • • j
достаточно близких к рассматриваемым.
Итак, пусть
^-2? ^3,	4) Y
— значения этих постоянных, достаточно близкие к рассматриваемым.
Положим
^-1 ~ ф (^2, ^3> •••> hn).
Обе части уравнения (2) будут разлагаться по степеням
Ц, Х2--^1? *^2 - ^2’ • . • , &П -	- ^*1» *^2	>
~ ^п> С2 у
и по синусам и косинусам линейных комбинаций у,.
Однако прежде чем применять теорему п. 30 к уравнениям (2), мы дол-
жны преобразовать одно из этих уравнений. В самом деле, положим
Х± = ф (х2, Х3, . . . , Хп) 4- ТЛиЖх.
670
Новые методы небесной механики. II
Тогда первое из уравнений (2) запишется в виде
ср (х2, хп) + /jx^i = Ф	, х°п) 4- /рх + [X + • • •
или, если учесть остальные уравнения (2),
/— '	/ dS dS	dS \	/ 0 0	0\ , ,/~dSi dS^ .
1/	— (р I —— ,	— ,	. . . , — j — (p (X2, X»,	. . . , Xn)	—р-	v |х — -4- |х— 4-....
’ г	1 т \ dy-i ’	dy 3 ’	’ dyrJ т i з> п,	I	( г dyi i г dyi i
Однако мы знаем, что dS-Jdy2, dSJdy^, ..., dSr!dyn равны нулю. Это озна-
чает, что разности
~-х1	(i>l)
dyi	\	!
и, следовательно, разности
/ d<S \	/ о \
делятся на pi. Поэтому я могу записать
/ dS dS	dS \	/ 0 0	0\ тт
Ф I "з— , ' ">	, . . . ,	‘ ф (х%, х3, . . . , хп) =	,
r \ dy-i ’ dyi ’ dyn] т '	' n
откуда
= 4^ + Н + Ж + Ж + • • • •
К этому уравнению (4) присоединим п — 1 остальных уравнений (2).
Таким образом, мы снова получим систему, состоящую из п уравнений,
обе части которых допускают разложение по степеням
"|/ pi, Xi, Х% ^2, . . . , хп ,
Х2 — ^2, • • • ’^п '	^П’	^2 Т
и по синусам и косинусам линейных комбинаций уг.
При pi = 0 эта система имеет вид
Следовательно, необходимо доказать, что при
= 0, хг —
функциональный определитель х\ — х^ и dSJdyy — х± по х° и С2 не обра-
щается в нуль. Но этот определитель равен производной dSJdyx по С2
или, если
^1 = Л/С2-1Л\|,
Методы Болина
671
ТО
А
2 /С2-[^1]
Следовательно, он отличен от нуля, и теорема п. 30 применима. Если бы
рассматриваемые нами ряды сходились, то наши дифференциальные урав-
нения имели п интегралов и 9, однозначных относительно х и у и перио-
дических относительно у. Однако это невозможно. Следовательно, эти
ряды расходятся, что и требовалось доказать.
Тот же результат получается и в случае либрации. Чтобы убедиться
в этом, достаточно лишь вспомнить, что в п. 206 мы с помощью замены пе-
ременных привели уравнения к тому же виду, что и уравнения п. 134.
Следовательно, рассуждая так же, как в главе XIII, мы бы показали,
что сходимость рядов влечет за собой существование однозначных инте-
гралов, что противоречит теореме главы V.
В предельном случае ряды также расходятся, однако доказать это
строго я смогу лишь несколько дальше.
Можно спросить, каков механизм того, что члены этих рядов начинают
возрастать настолько, что препятствуют сходимости самих рядов.
В том частном случае, когда имеются лишь две степени свободы, малые
делители не возникают.
В самом деле, уравнения, подлежащие интегрированию, имеют один
из двух видов:
либо
либо
£Щ = ф
dyi dyi
и делители, входящие в nnim1 и dS^ldyy, не очень малы.
Однако на сходимость может повлиять операция дифференцирования:
дифференцирование члена, содержащего косинус и синус аргумента
Р1У1 + Р1У‘2 + • • • + РпУп1
приводит к появлению в качестве множителя одного из р^, которые могут
быть очень большими.
Поэтому сходимости препятствует не наличие малых делителей, воз-
никающих при интегрировании, а большие множители, возникающие
при дифференцировании.
Тот же результат можно изложить и по-другому. В случае, рассмо-
тренном в п. 125, при условии, что имеются лишь две степени свободы,
существуют малые делители вида
трг® т2п%.
672
Новые методы небесной механики. П
Подставим в них вместо п? и п% разложения, аналогичные разложениям
(2) предыдущего пункта.
Пусть, например,
п2 = а2, м® — У[I.
Наши малые делители запишутся в виде
пг2а2 + т1а1 У р.
Выражение
__________________________________1______
тгаг + miai У р
можно разложить по степеням Ур и получить
+ (5)
rnaCta ' “ (тгИ-г)2 “ (тгЯг)3	'
Ни один из членов этого разложения не содержит в знаменателе малого
делителя, ибо m2a2 никогда не бывает малым.
Отсюда ясно, что каков бы ни был параметр р, можно найти целые числа
т1 и т2, такие, что
y-j^>i.
' m2Ct2
Следовательно, при таком выборе т1 и т2 разложение (5) не будет сходить-
ся. Это объясняет, почему при подстановке (как я делал в предыдущем
пункте) вместо средних движений их разложений (2) и последующем
упорядочении результата подстановки по степеням Ур, мы получаем
расходящиеся ряды.
Сказанное только что следует сопоставить с тем, что говорилось в
п. 109 и следующих.
Глава XX
РЯДЫ БОЛИНА
213. В предыдущей главе мы показали, каким образом можно постро-
ить функцию S. Чтобы найти из нее координаты как функции време-
ни, достаточно применить к S метод Якоби.
Для простоты предположим, что целое число, обозначенное нами nzlf
равно 1, а остальные нг4 равны нулю. Именно так мы выбрали те, в пунк-
тах 205 и 206. Известно, что общий случай можно свести к указанному
частному случаю заменой переменных (3), приведенной в п. 202.
Функция S, определяемая в п. 204 и последующих, зависит от п пере-
менных г/j. Кроме того, она содержит п произвольных постоянных
ж®, ж®,..., х°п и С2. В наших вычислениях могут встретиться и другие
постоянные, а именно х®. Ср, af. Однако мы предположим, что»
1)	величина х? связана с остальными ж® соотношением (4), указанным
в п. 204;
2)	ар удовлетворяют условию (10), приведенному в том же п. 204;
3)	постоянные Ср как-то выражены через остальные постоянные.
Итак, S будет функцией, зависящей от
Ух> * • • > Уп- ^2>	^з, • • • , %п-
Положим
dS	dS
dVi	dCi. * dxo
(1)
(j = 1,2, . . . , n; к = 2, 3, . . . , ri).
Отсюда мы получим ж* и гц как функции от w, х^ и С2. Если в получен-
ных таким образом выражениях ж® и С2 считать произвольными постоян-
ными, a w — линейными функциями времени, то координаты хг и г/4 ока-
жутся функциями времени. Мы знаем это из теоремы п. 3.
Однако более удобно изменить уравнения (1) и записать их в виде
dS a	dS	_	dS
=	^wi = -dc-2'	^+0^1 = ^4’	<2>
где 6 — произвольные функции от С2 и х\.
43 А. Пуанкаре
674
Новые методы небесной механики. П
Ясно, что если вместо уравнений (1) рассматривать уравнения (2), то
величины w по-прежнему будут линейными функциями времени, ибо 6
зависят лишь от С2 и х$, и будут постоянными.
Я воспользуюсь произволом в выборе функций 0 следующим образом.
Я выберу их так, чтобы хь cos уг и sin у{ были периодическими функциями
от w с периодом 2л.
Обратимся прежде всего к первому случаю, когда производная dSJdyx
принимает только вещественные значения и никогда не обращается в нуль,
и посмотрим, какой вид имеют получаемые при этом ряды.
В этом случае производные dSqldy^ периодичны по у, период равен 2л.
Что же касается S, то эта функция имеет вид
£ = £' + P1J/1 4* ?2&2 + • • • + $пУп>
где S' — периодическая функция от у, а 0 зависят от С2 и х%.
Кроме того, S’ и р разлагаются по степеням Ур.
Поскольку в силу предположений, сделанных относительно целых
чисел условие (10), приведенное в п. 204, запишется в виде
af = 0 (i = 2,3,. . . , п),
мы получаем просто
Рз = Х2> Рз = Х»г • • > Рп Хп-
Если рх разложить по степеням У р., то первый член этого разложения
также будет равен х%.
Я хочу, чтобы при замене
wlt w2, ..., wn
на
+ 2krn, w2 4- 2k2n, ..., wn 4- 2кпл,
где ki — целые числа, величины хг и у, переходили соответственно в
Xi и yi 4- 2/qn.
Чтобы получить этот результат, положим
61 - dC2 ’	•
Отсюда следует, что функции 0Х и допускают разложение по степе-
ням р,. При р = 0 величина рх равна xi, но постоянная xi связана с ос-
тальными х$ соотношением (4), указанным в п. 204. В нашем случае это
соотношение имеет вид
»;:= о.
Ряды Болина
675
Следовательно, при р. — 0 функции 9Х и 0j будут
dCT = °’
0! =
dx"
9k==^
Из уравнений (2) мы найдем гц, а затем х-г в виде функций, зависящих
от w, х°к, С2 и р, и допускающих разложение по степеням ]/ р. При р = О
первое и третье из уравнений (2) принимают вид
„	dx"	dt"
= -Ti,	+ —-T- W-’k = Z/i + —г Ук-
dz[.	dx^
Второе уравнение приводит к тождеству 0 = 0, но если его поделить на
У у, а затем положить р = 0, то оно примет вид
л'	dSi
в^ = 1с^-
Здесь SjiPj — первый член разложения 0Х.
Если придерживаться обозначений предыдущей главы, то это уравне-
ние можно переписать:
9^г =	= -Ц z •
<И?2«И А 1,1	2Уа1УС2—[Р1]
Его правую часть можно представить в виде
Wi + Ф (У1),
где -у — постоянная, зависящая от С2ижк, аф — периодическая функция.
Функцию 0/ находим в соответствии с принятым выше соглашением,
полагая
91 = Т,
откуда
Г (™i — >г) = Ф-
С другой стороны,
dwi _________________	11	1
~ 2т /а Усг- [7Г] ~ 2 . dS' ’
1 dyi
Поскольку производная dSJdyl всегда имеет один и тот же знак, произ-
водная dw1!dy1 всегда положительна, так что w1 будет возрастающей
функцией от у±. Если уг возрастает на 2л, то эта функция возрастает также
на 2л.
Отсюда следует, что верно и обратное: ух является возрастающей
функцией от wr. Эта функция возрастает на 2л, если возрастает на 2л.
43*
676
Новые методы небесной механики. II
Следовательно, можно записать, что
Уг = ^i+ т),
где т] — функция от с периодом 2л.
Если не предполагать больше, что ц = 0, то первыми членами разло-
жений
Ун Ул
будут соответственно
Xi, wt 4- Т], W*- —Т].
Следующие члены будут периодическими по w, в результате чего
тз. у i— и\ будут периодическими функциями от w^.
Мы уже видели, что w должны быть линейными функциями времени,
так что
wi = пу, Sj,
где — произвольные постоянные интегрирования.
Нам остается найти величины nt.
Для этого рассмотрим уравнение (2) в и. 204. Для его правой части С
имеем
С = Со 4- СгЦ 4- С4р24- • • •,
С 0 зависит от а:”; С4, С8, ... зависят от С2и^й. Постоянные мы выбирали
произвольно, но одинаковым образом для всех С.
Отсюда следует, что С является функцией постоянных С2 и
С помощью метода Якоби мы получим
. Л	«и
4- 0/c^i —--—р- 
dxf.
Поскольку 0 и С заданы как функции С2 и х^, эти уравнения позволяют
найти в виде функций тех же переменных.
Замечу, что в силу того, что Сив разлагаются по степеням Y Р» Функ-
ции щ также должны обладать тем же свойством.
Первый член разложения 04 равен у j/p,, первый член разложения
dC/dCi равен р,, первый член разложения п4 равен
/Й
Ряды Болина
677
в силу чего щ будет обращаться в нуль при р, = 0, как и следовало ожи-
дать. Наоборот, из второго уравнения (3) мы получаем при р, = О
Следовательно, первый член разложения пк равен
Случай либрации
214. Переходим ко второму случаю, когда производная dSJdy1 может
обращаться в нуль и принимает не только вещественные значения.
Прежде всего обратим внимание на то, что было особенно полезно нам
в предыдущем пункте — на вид функции S. Я утверждаю, что произ-
водные
^р
dyi ’ dyi ’ ‘ ‘ ’ dyn
будут иметь вид
V, A cos
2sin (^2^2 + РзУз + • • • + РпУпЬ	(а)
где q, р2, р3, рп — целые числа, А — периодическая функция от ylt
не обращающаяся в бесконечность.
Сразу же ясно, что:
1) сумма или произведение двух функций вида (а) также будет иметь
вид (а);
2) производная функции вида (а) либо по г/х, либо по г/2, ..., либо по
уп также будет иметь вид (а).
Поэтому мы предположим, что все производные
d$i dSi	dSfJ-l
dyi ' dy. ’ ’ ’ ' ’ dyt
имеют вид (а) и попытаемся установить, что производные dSv!dyi также
будут иметь вид (а).
В самом деле, эти производные получаются из уравнения вида
VI n dS
2 4 = ф-	(₽)
Л=2 УИ
где Ф, представляющая собой линейную комбинацию функций вида (а),
678
Новые методы небесной механики. II
также будет иметь вид (а). Из уравнения (0) получим
dS dS
___Р	р
dy?. ’	dys ’ ’ ’ ‘ ’
dS
ST’ *P-^pl-
v п
Ясно, что все эти функции будут иметь вид (а).
Из этого следует, что
Г ] dS
clJ_T^_P,= Гф]
<tyi dyi 1
где [Ф] имеет вид (а). Следовательно, тот же вид имеет и dtSpVdy^ а сле-
довательно, и dSjJdy^ что и требовалось доказать.
Несмотря на то, что функция S имеет теперь более сложный вид, мы
могли бы записать уравнения (2) предыдущего пункта и найти из них х
и у как функции w. Однако можно поступить проще.
В самом деле, в п. 206 мы видели, что, произведя замену переменных
и перейдя от переменных ж{и^к переменным ur, v1; хк и zh, мы получим
уравнения, вполне аналогичные уравнениям п. 134. Следовательно,
к нашим уравнениям можно будет применить те выводы, к которым мы
пришли в этом пункте, а также все, что говорилось по поводу задачи
п. 134 в главах XIV и XV.
Отсюда следует, что эти уравнения можно решить, взяв в качестве
vlt Xi и Zj функции от п постоянных интегрирования и п линейных
функций времени
ш2, ..., wn,
причем таких, что
Uj, у1 —Хк и zk — wk
будут периодическими функциями от w, допускающими разложение по
степеням ц.
Затем мы вернемся к исходным переменным и увидим, что
ж;, ух и yk — wk
являются периодическими функциями от w.
Кроме того,
Wi =	+ ©j,
где — постоянные интегрирования, а п, разлагаются по степеням р.
Первый член разложения щ равен п\, а поскольку постоянная п\ равна
нулю, разложение щ начинается с члена, содержащего Yу.
Все эти ряды получают из функции V, определенной в п. 206.
Ряды Болина
679
Сама функция V зависит от переменных второго ряда
Vi, Z2, z3,..., zn
и, кроме того, от п постоянных интегрирования
причем так, что
V — AjVj ^2^2	•••
представляет собой периодическую функцию от vx и
Затем с помощью уравнений
dV
dVi ’
dV
dV
dk
(4)
X*=d^'
находим переменные uA, vn ж/ и как функции от X и w.
Способ получения уравнений (4) из уравнений (2) предыдущего пункта
достаточно сложен, поэтому я коротко остановлюсь на нем.
Имеем
dV = u^dvi 4- 2 x^dz* + 2 WidKi.
Удобно считать, что индексы к пробегают значения от 2 до га, а индек-
сы г от 1 до га.
С другой стороны,
dT — 2 xidyi -|- j/p, 2 Zfdx’i
и
’Vjdwj ““ z^dx^ у
откуда
dT = 2 xidyi 4"	p 2 z^dxh 4“ ^pv^duj.
Если положить
лУ = И p 4~ — l/^p (2 ~Ь wivi)>	(^)
то путем несложных вычислений получим
dS = 2 xidyi 4- /р S Wid^i,
так что (представив S в виде функции от и X,) будем иметь
dS	,/—	dS	/а.
ж‘ = <’	=	(6)
680
Новые методы небесной механики. II
Эти постоянные замены переменных могут привести к недоразумениям,
поэтому я остановлюсь на них несколько подробнее:
функция V зависит от vx,
функция Т зависит от uv хк, у,,
функция 61 зависит от и у^
Таким образом, у нас имеется 6п переменных, а именно:
Xj, уг, uv Vx, Хк, Zu, Wi.
Однако эти переменные связаны между собой 4п соотношениями
dT dVi	dT У p,zk = —7 ,	V pvx = r 1 du, 1
dV	dV	dV
ui =	— > 1 dv\	IT’ azlc	Wi ~ d\.
поэтому в действительности имеется только 2п независимых переменных.
Это позволяет нам каждую из функций S, V, Т выразить через 2и надле-
жаще выбранных переменных.
Функция V обладает следующим характеристическим свойством: если
одному из переменных zk придать приращение 2л, оставляя остальные
переменные v, z и X без изменений, то функция V получит приращение
2лХк.
В самом деле, мы знаем, что производные V по vx и zk периодичны по
этим переменным.
В то же время zk переходит в zk + 2л; остальные переменные z, v, и X
не изменяются. Что же при этом происходит?
Переменные мх тз.хк остаются без изменений, поскольку, как я только
что сказал, производные V периодичны.
Чтобы понять, во что переходит у;, воспользуемся уравнениями
* r dxk r Г
Эти уравнения, представляющие собой не что иное, как уравнения (16)
п. 206, показывают, что если zk возрастает на 2л, то ук также возрастает
на 2л, в то время как остальные остаются без изменений.
При тех же условиях Т возрастает на 2л (хк + Урл^), zkxk возрастает
на 2ЛО:/ и, следовательно, S возрастает на
2л (4 + УйМ-
Отсюда видно, что производные 5 по у периодичны относительно
Z/з? J/sv» Уп*
Ряды Болина
681
Таким образом, функция S, определяемая уравнением (5), обладает
характеристическим свойством функций, изученных в пунктах 204, 205
и 207.
Однако она имеет и одно важное отличие.
Функция S предыдущего пункта зависит не только от переменных
но и от п постоянных
3-2’ *3’ • *  ’	^*2*
Подробный анализ, проведенный в пунктах 204 и 205, показывает, что
все функции S, производные которых периодичны, можно получать из
названной выше функции, заменяя п произвольных постоянных на про-
извольные функции других п постоянных.
Функция же S, определяемая уравнением (5), зависит от переменных yit
п постоянных А.{, но она, кроме того, зависит и от постоянных х<[, ибо а4-
фигурируют в функции Т и, следовательно, участвуют в замене перемен-
ных, о которой говорилось в п. 206. Отличие состоит лишь в том, что
в п. 206, так же, как и в предыдущих вычислениях, мы рассматривали х^
как абсолютные постоянные, именно по этой причине в выражении dV
входят дифференциалы dK^ а дифференциалы dx^ не входят.
Кроме того, замечу, что при замене ук на + 2л функция 5 предыду-
щего пункта возрастает на2ла^, в то время как функция S, определяемая
уравнением (5), возрастает на 2л (а^-f-
Отсюда я заключаю, что функцию S, определяемую из уравнения (5),
можно получить из функции S предыдущего пункта заменой постоянных
Хк на а$-j- а постоянной С2 — некоторой функцией
фС^з, . . .ЛДг^31 . . ,ДП).
Сравним теперь уравнения (2) с уравнениями (6). Мы получим
dS dS Ар
dK\ dCz 1
dS dS Ap
dCi dKv
Il	К
dxn
откуда, учитывая уравнения (2) и (6),
w' У И =	>
Wk (/ц. =	YН (wk + e^’i)•
Отсюда следует
fi =	fi - _
1 (dq/dki) ’	11 (Ap/cAi)
682
Новые методы небесной механики. 11
Следовательно, от уравнений (2) к (6) можно перейти, взяв вместо
х^ и С2 соответственно х» -}- и ср, а вместо 0 — их выражения (7).
Предельный случай
215.	Перейдем, наконец, к предельному случаю, когда С2 равна мак-
симуму [FJ.
Замечу прежде всего, что мы всегда можем предполагать выполнение
равенства
г, dF	dF	dF
p =----=-----=-----— 0
dyi	dyi	dxi
при Xr = Xi = yt — 0.
Следовательно, разложения функций Рг, Р2, ... по степеням хг, xt и yt
не содержат члена нулевого порядка, а единственными членами первого
порядка будут те, которые содержат х2, х3, ..., хп.
В самом деле, если бы это было неверно, то, совершив замену перемен-
ных пунктов 208 и 210, мы могли бы свести рассматриваемый случай к та-
кому случаю, когда это предположение выполняется.
Отсюда следует, что если произвольным постоянным приданы следую-
щие значения:
#2 = х3 = • •  = Хп = 0 (откуда х° = Со = 0),
С2 =	.. = Св = о,
то мы приходим именно к предельному случаю, а функция S такова, что
при Ух = 0 производные dSp/dy^ имеют простой, а производные dSp/dyi
(г 1) двукратный нуль. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить,
что при вычислениях в пунктах 208 и 210 мы получили после замены пере-
менных уравнения, полностью аналогичные уравнениям (3) п. 204, кото-
рые отличались от последних лишь тем, что входящие в них буквы имели
штрихи, а все постоянные Ср были равны нулю (ср. с изложенным в п. 208).
Придадим теперь постоянным х2, х3, ..., х° другие значения, близкие
к нулю. Кроме того, постоянные С2, С4, Св, ... можно выбрать так, чтобы
С2 была равна максимуму [FJ и выполнялись условия (28) п. 207, при
этом функции Slt S2, ..., Sp по-прежнему будут конечными.
Значения С2, Cit СЙ, ..., удовлетворяющие этим условиям, представля-
ют собой голоморфные функции от х2, х3, ..., такие, что
Cv = Фр (4,4т • • • Хп).
Как мы только что видели, при
х2 = Х°3 =...,= Хп — 0
эти функции должны обращаться в нуль.
Ряды Болина
683
Итак, мы нашли функцию S, зависящую от п — 1 произвольной по-
стоянной
П
#2> *3, • • • >
Эта функция имеет вид
+ ^2^2 + ^зУз + • • • + ХпУп + 8',	(8)
где — постоянная, a S' можно разложить по синусам и косинусам ли-
нейных комбинаций
-f-. УъУ& • • -,Уп-
Кроме того, эта функция голоморфна по х*, и если положить
а?2 = xl = . . . = х°п = О,
то производная dSldy1 имеет при уг — 0 простой, а остальные производные
•dS/dyi двойной нуль.
Чтобы найти функцию S, зависящую от п произвольных постоянных,
я положу
Со — Фо • • • > хп)>
Сг — 4* фг (^-2> • • •, ^п),
С4 = Ф4 (Х2, • • •, Я-п)>
Cq = Фе (#2’ • • •» Xn)t
Таким образом, я получу функцию S, зависящую от п постоянных
^2» • • • ’
В силу сказанного в начале предыдущего пункта производные такой
функции S будут иметь вид (а).
Можно высказать и некоторые другие утверждения. Пусть
{dS\y cos (A?/a + РзУа +  • • + РпУп)
k dyi /
— один из членов производных такой функции, приведенных к виду (а).
Я утверждаю, что числитель А не зависит от %.
Это вытекает из того, что постоянные С4, С6, ... не зависят от %.
684
Новые методы небесной механики. II
Чтобы доказать рассматриваемое утверждение, условимся для кратко-
сти говорить, что выражение имеет вид (а'), если оно имеет вид (а) и если,
кроме того, числитель А не зависит от X.
Предположим, что производные
dSx dS.
' dyi ’ ' ‘ ’ dyi
приведены к виду (а'). Тогда dSvldyi также имеет вид (а').
В самом деле, правая часть уравнения (0) в предыдущем пункте имеет
вид (а7), отсюда следует, что этим же свойством будут обладать и
dS dS	dS
__Р	__Р	__V О   I С 1
dy-i ' dy3 " ’ " dyn ' к v	I pl’
Я утверждаю, что вид (а') будет иметь и
dSP
dy-i ’
т. е. производная по уг от выражения, имеющего вид (а'), также будет
иметь вид (а'). В самом деле, пусть
cos («)
' dy-i) sm ’
— такое выражение, где через <в я кратко обозначил
Р2.У2 + ••• + РпУп-
Производная имеет вид
SdA :'dSi \-9 cos , . v q . d fdS-i ' 2 fdSi\-q-2 cos . .	zov
Если А не зависит от X, то dA!dyr также не зависит от %. С другой стороны,
(dSJdy^2 равен с точностью до постоянного множителя
А, + ср — [FJ.
Следовательно, производная этого квадрата
d fdSi \2
dyi \ dyi )
не зависит от X и выражение (9) имеет вид (а7), что и требовалось доказать.
Итак, правая часть уравнения (у) предыдущего пункта имеет вид (а ).
Следовательно, вид (а7) имеют также
d (М и
dyi	dyi
Ряды Болина
6S5
•Следовательно, функция 5 записывается в виде
о Vi	л fdSi \-д cos	, , . f v,	л	fdSi \-ч	,	,	о	.	о	,	, о
)		(<») + \ i	( -ЛГ-)	^У1	+	Х2У'>	+	гз'/з	+	• • •	+ хпУп-
' ciyi j о 111	•)	\ с/ у I /
(10)
Если постоянные
в этом выражении положить равными нулю, то yt ~ 0 будет нулем крат-
ности q + 2 для А и кратности q + 1 для Это необходимо для того,
чтобы производные dS/dy,. имели двукратный, а производная dS/dy Y про-
стой нуль.
Установив это, рассмотрим следующие уравнения, аналогичные урав-
нениям (2) в п. 213
dS
«,И1 = -g-,	(2bis)
। a
!г‘ + ел = 54 •
В этих выражениях после дифференцирования надлежит положить
% = 4 = о.
Но ничто не мешает до дифференцирования положить
1 = 4 = 0
в первом уравнении (2bis),
4 = о
— во втором и
1 = 0
— в третьем уравнении.
Важно лишь не обращать в нуль до дифференцирования ту переменную,
по которой проводится дифференцирование.
Из первого уравнения (2bis) мы видим, что разлагаются по синусам
и косинусам линейных комбинаций
2 ‘У2’ 7з'  • •» Уп
с целыми коэффициентами.
686
Новые методы небесной механики. II
Рассмотрим теперь третье уравнение (2bis). Ясно, что если поло-
жить X = 0, то 5 примет вид (8), и после дифференцирования мы получим
dS __	dS'
dx* V* dx^ V* dx^. *
откуда
= z/ijv + j/it + —v" •	(H)
dXj^	ClXft
Последнее слагаемое в правой части можно разложить по синусам и коси-
нусам линейных комбинаций
-у-, 1/2, J/з. •• •, Уп
с целыми коэффициентами.
Перейдем ко второму уравнению (2bis). Чтобы найти dS/dk, я продифферен-
цирую уравнение (10), предварительно положив х® = 0.
Тогда
(D — постоянная), ибо <р2 равно нулю.
Следовательно,
= _	COS С 2^	dy,. (12>
dk ^-'2 \dyi ) sm ' '	2	\	'
После дифференцирования положим X = 0. Тогда при у, = 0 производная
dSJdy, имеет простой нуль, А — нуль кратности q + 2, а А, — нуль
кратности q + 1. Отсюда следует, что правая часть уравнения (12) оста-
ется конечной, но величина, стоящая в правой части под знаком интеграла,
при У1 = 2кп обращается в бесконечность, так что ее можно представить
в виде
—
2 sin-g-
где / (У1) — конечная периодическая функция.
Сам интеграл при У1 = 0, у, = 2л, ... имеет логарифмическую расхо-
димость. Под этим я понимаю, что его можно представить в виде
a In tg у- + Ф,
где ф — некоторая функция, зависящая от У1 и не обращающаяся в бесконеч-
ность при всех значениях У1, а а — постоянная. Итак,
=alntg^-4--rj/i + ©,
Ряды Болина
687’
где "у — новая постоянная, 0 — функция, допускающая разложение по
синусам и косинусам линейных комбинаций
~2~ ’	^з» • • •’ Уп>
откуда
= a Intg + ХУ1 + 0.	(13)
Теперь речь пойдет о том, чтобы воспользоваться уравнениями (11)
и (13) и выразить у через w.
Разложив правые части уравнений (11) и (13) по степеням ]Лр, найдем
первые члены разложения.
В правой части уравнения (13) член, не зависящий от Ур, будет равен
нулю; в правой же части уравнения (11) такой член будет равен
<Zx?
Что же касается членов, содержащих ]^р, то в правых частях уравне-
ний (11) и (13) они равны соответственно
Относительно первой из этих величин я замечу лишь, что она зависит
только от ух и не зависит от у2, у3, ..., уп.
Что же касается второй величины, то, положив после дифференциро-
вания X = х£ = 0, получим
dSi   DC dyi
d'K	2 j у '
Установив это, рассмотрим правые части уравнений (11) и (13).
Они представляют собой п функций, зависящих от ух, у2, ..., уп; функ-
циональный определитель А этих функций по ух, у2, ..., уп делится
на р. Однако если поделить его на '|/гц, затем (после деления) положить,
р = 0, то этот функциональный определитель будет равен
D
2 V^Fi'
В силу того, что Fx никогда не обращается в бесконечность, это выра-
жение не обращается в нуль ни при каком наборе значений у.
Следовательно, А не обращается в нуль и при достаточно малом р.
688
Новые методы небесной механики. II
Однако А может обращаться в бесконечность. В самом деле, при
уг — 2кл правые части уравнений (11) и (13) обращаются в бесконечность.
Отсюда следует, что если придавать у2, ys,..., уп всевозможные значе-
ния, a yt изменять от 0 до 2л, то А не изменит знака.
Возьмем для простоты
0Х = 1, eh = О
так, что уравнения (11) и (13) запишутся в виде
rfBi ।	। dS'	,.,,
wh — У1~Тм~ + Ун + TV’	(И)
dx-^	dx-^
wv = alntg-^- + ^у1 + 0.	(13)
Ввиду наличия логарифмического члена изменяются от — эо до
+ оо, если ух изменяется от 0 до 2л.
Итак, придавая переменным yf! всевозможные значения, а ух — зна-
чения от 0 до 2л, мы получим всевозможные значения w. Кроме того,
мы видели, что при этих условиях определитель А не меняет знака.
Следовательно, у являются однозначными функциями от w при всех
вещественных значениях w. В самом деле, исходя из уравнений (11) и (13)
и применяя теорему п. 30, можно разложить у по степеням
И;1 — w2 — h2, ..., wn — hn,
где hx, h2, ..., hn — некоторые постоянные, поскольку функциональный
определитель в нуль никогда не обращается.
Добавлю, что
Ух, Z/2 — Уз —	•••> Уп —
являются периодическими функциями от
ZP2, w3, ..., wn.
В самом деле, если заменить yi; на у* + 2л, то перейдет в wi: + 2л.
Далее, из первого уравнения (2bis) мы видим, что также представляют
собой однозначные функции от w, периодические относительно
U'3, wu.
Если стремится к ук стремится к 0 или к 2л. Необходимо рас-
смотреть, во что переходят уравнения (И) и (13), если, например, поло-
жить
w t = ос, yt --= 0.
Ряды Болина
689
Уравнение (13) теряет смысл. Уравнение (И) запишется в виде
Отсюда мы получим у2, у3, ..., уп в виде функций от п — 1 аргумента
ш2, w3, ..., Wn.
Нетрудно видеть, ьчто разность ук — w* периодична относительно
w2, w3, ...,wn. Итак, пусть
Ун = Wк + П/c (“’г, ™з, •••. wn).
Если в первом уравнении (2bis) положить уг — 0, то оно примет вид
Xi = 0.
Следовательно, полагая
•*4 = х; = ух = 0, ук =	4- т)К;	(14)
мы находим частное решение уравнений (2bis).
Смысл уравнений (14) очевиден. В п. 209 мы обобщили понятие периоди-
ческого решения. В самом деле, мы выписали инвариантные соотношения
И 9, У1 = Ь xi = £i-
В рассматриваемом случае эти инвариантные соотношения в силу пред-
положения, сделанного в начале данного пункта, примут вид
Х1 = У1 ~ xi ~ 0-
В этих соотношениях мы узнаем три первых уравнения (14).
Таким образом, четыре уравнения (14) доставляют нам в новом виде
обобщение периодических решений. Очевидно, что яд, у1, и ук —ш к пред-
ставлены в виде периодических функций от п — 1 аргумента
wk = nkt +
В том частном случае, когда имеется только две степени свободы,
остается только один аргумент w2.
Тогда хг, х2, у1 и у2 — ю2 оказываются периодическими функциями от
w2 и, следовательно, от времени. В этом случае мы приходим просто к пе-
риодическим решениям, определенным в главе III.
Замечательным следствием этого обстоятельства является то, что
в случае двух степеней свободы разложения (14) сходятся, в то время
как при числе степеней свободы, большем двух, они имеют смысл лишь
с точки зрения формального анализа.
^4 А. Пуанкаре
630
Новые методы небесной механики. И
216. Рассмотрим, в частности, что происходит, если отрицательно
и очень велико. Соответствующие значения уг будут очень малыми, следо-
вательно, правую часть уравнения (11) можно будет разложить по возра-
стающим степеням yv
Что же касается уравнения (13), то мы преобразуем его следующим
образом:
W1	УУ1 _0_
еа = tg-^-e 2еа.	(13bis)
Если а положительна (для большей ясности я так и буду предполагать)
и если w1 имеет очень большое отрицательное значение, то экспонента
будет очень мала. Что же касается правой части уравнения (13bis), то ее
можно будет разложить по степеням уг.
Итак, запишем наши уравнения в виде
и>к = Ук + Ук>	(llbis)
е“ = i|\.	(13bis)
Если 1]: разложить по степеням уг и Ур, то каждый из членов разло-
жения будет периодическим относительно
J/2’ У31 • • •’ Уп-
Итак, можно считать, что обе части уравнений (llbis) и (13bis) разло-
жены по степеням	У р и ewi/a.
Заметим, что величину а можно разложить по степеням Уп. Пусть
«х/н
— первый член этого разложения. С другой стороны, первый член разло-
жения у и 0 будет содержать У р, так что разложения у/а и 0/а начина-
ются с члена, не зависящего от Ур.
Если в уравнениях (llbis) и (13bis) положить р = 0, то они запишутся
в виде
Ух?
™к = Ук + —г1У'
dxk
Wi	dSi
g — £ cijt/X
Ряды Болина
691
Функциональный определитель правых частей этих уравнений по у1У
y2t..., уп при 1/1 = 0 будет равен 1. Это позволяет нам применить теоремы
и. 30.
Отсюда следует, что при всех значениях
U72,U73, . . . , wa
переменные у можно будет разлагать по степеням / р. и его,/“. Коэффициенты
этих разложений будут функциями от
ш2, w3, . . . , wn.
Чтобы найти вид этих функций, заметим, что если у^ переходит в
ук 4- 2л, то перейдет также в wk + 2л.
Мы заключаем, что
г/i и у* — wi;
допускают разложение в ряд по степеням
У ц, и eWi/a,
коэффициенты которого будут периодическими функциями от
и>2, ws, . . . , wn.
Далее из первого уравнения (2bis) непосредственно видно, что х
можно разлагать в ряды того же вида.
Мы предполагали, что и\ — большое отрицательное число, а у, мало
отличается от нуля. Если теперь вместо этого предположить, что и\ по-
ложительно и очень велико, а уг мало отличается от 2л, то мы придем
к тому же результату. Единственное отличие будет заключаться в том,
что ряды будут расположены не по
/р. и eWi/a,
а по
|/ р. и
Обратимся снова к тому случаю, когда w1 отрицательно и очень велико,
а у{ мало отличается от нуля, и предположим, что имеются лишь две сте-
пени свободы.
В этом случае мы имеем только два аргумента
и ш2
и наши ряды располагаются по степеням У р. и ew>'aH по синусам и косину-
сам дуг, кратных w2. Поскольку аргументы и w2 линейно зависят от
44*.
692
Новые методы небесной механики. II
времени, наши ряды будут расположены по степеням У н и экспоненты,
показатель которой пропорционален времени, причем коэффициенты раз-
личных членов являются периодическими функциями времени. Следо-
вательно, наши ряды ничем не отличаются от рядов, рассмотренных
в главе VII, которые определяют асимптотические решения.
Отсюда ясно, что результаты главы VII применимы и в нашем случае.
Если рассматриваемые ряды будут по-прежнему располагаться по сте-
пеням У[I и экспоненты, то они не будут сходиться. Поэтому эти ряды
будут иметь смысл только с точки зрения формального анализа. Если же
их расположить по возрастающим степеням одной лишь экспоненты (объе-
диняя, следовательно, в один член все те, которые содержат одну и ту же
степень экспоненты, но разные степени ]Лц), то ряды станут сходящимися.
Если ту же операцию произвести в том случае, когда число степеней сво-
боды больше двух, то ряды сходящимися не станут.
217. В начале и. 215 я высказал несколько предположений по поводу
функции F. Я предположил, что
р ___ dF___dF ____ dF ___ у
dyi dyi dxi
при
xt = Xi =	= 0.
Кроме того, я заметил, что если функция F не удовлетворяет этим услови-
ям, то достаточно произвести замену переменных пунктов 208 и 210, чтобы
эти условия оказались выполненными.
Итак, предположим, что функция F не удовлетворяет этим условиям.
Произведем указанную в п. 210 замену старых переменных Xi и у,
на новые переменные х{ и у/. Имеем
X! = У 4- Т), У1 = Уг — у\ = Уг,
(1)
' , <.	’	dq	' d'
Xt = Xt 4- Ei — y,	---x, -~
1	1	i	Ы 01	dyi	I dyi
(ср. с началом n. 210).
Заключения двух последних пунктов остаются в силе и в новых пере-
менных, следовательно,
У, У, ух, z/fc — wk
можно представить в виде рядов, расположенных по степеням Ун и коси-
нусам и синусам линейных комбинаций
ш2, ш3, ..., wn,
Ряды Болина
693
коэффициенты которых по wx определяются однозначно. Эти однозначные
функции разлагаются, когда ivx достаточно велико, по степеням если и\
отрицательно, и по степеням если и\ положительно.
Следовательно, соотношения (1), связывающие переменные Xi и у,
с переменными х/ и у/ позволяют заключить, что и
Ук —
разлагаются в ряды того же вида.
Единственное отличие этих рядов состоит в том, что при iz\ = — оо
я/, хк' и уг' равны 0, в то время как х^, хк и у± в нуль не обращаются.
Если положить и\ — — оо, то етУ'у- = 0, откуда
^1 = Ф1,	^=Ф/с. У1 = Фо Уь=иь + Ч^	(2)
где <Pi и <р/ означают ряды, расположенные по степеням У ц, и тригономе-
трические по линейным комбинациям
ш2, ws, ..., wn.
Исключая w2, ш3, ..., и>п из соотношений (2), мы должны получить
«1 = 11. У1 = Ь =
т. е. соотношения п. 209. Если имеются лишь две степени свободы, то соот-
ношения (2) представляют собой не что иное, как периодическое решение
(ср. с п. 208).
Аналогично, если положить
_ W1
и>1 = оо, откуда е а = 0,
то мы получим
*1 = Ф1.	^ = ф*. Ух = Ф1 + 2л,	у,. = wl; + <Pfc.
Ряды, изучением которых мы занимались в этой главе, можно было бы
получить непосредственно с помощью методов, аналогичных методам глав
XIV и XV. Несмотря на интерес, который представляет такой подход,
я не могу останавливаться на нем, ибо это завело бы нас слишком далеко.
Упомяну лишь, что нашу задачу заменой переменных, указанной в п. 206,
можно свести к задаче п. 134, к которой методы глав XIV и XV приме-
няются непосредственно.
Сравнение с рядами и. 127
218. В п. 211 мы видели, как можно ряды п. 204 и последующих
вывести из рядов п. 125. Я намереваюсь рассмотреть вопрос о том, каким
образом ряды настоящей главы можно вывести из рядов п. 127.
694
Новые методы небесной механики. П
Для начала разберем более простой случай, а именно случай п. 199.
Уравнения можно тогда записать (опуская ненужный нам индекс 1) в виде
х = У С — р. cos у,
9ш =
dy
У'б' — р. cos у
Здесь 2л9 означает вещественный период интеграла, стоящего в правой
части. Эти уравнения позволяют вычислить у в виде функции аргумен-
тов Iff, постоянной С и |i.
Если предположить, что ц много меньше С, то разложение можно про-
изводить по возрастающим степеням р и мы получим ряды п. 127. Наобо-
рот, если С сравнима с р, то мы положим С = и при этом снова полу-
чим ряды, подробно рассмотренные в настоящей главе.
Разберем полученный результат более детально. Из уравнений (1)
видно, что х, cos у и sin у являются двоякопериодическими функциями
от 9и> или, что то же, от iff. Пусть и со2 — два периода (Ош мы считаем
независимой переменной). Например, период сщ равен интегралу в правой
части, взятому в пределах от 0 до 2л, а со2 равен тому же интегралу, взя-
тому в пределах + arccos С/ц и умноженному на 2. Кроме того, перемен-
ная у не изменяется при замене 9ш на Qu> + <»2, а при замене на
&W + переменная у переходит в у -f- 2л.
Если С>| р. |, то период сщ веществен и следует взять 9 = со1/2л.
В этом случае х и у — iff представляют собой периодические функции от w
периода 2л. Если параметр ц очень мал по сравнению с С, то разложение
можно проводить по степеням ц (что приводит к рядам п. 127), причем
каждый член такого разложения будет периодическим с периодом 2л
относительно iff.
Однако если постоянная С имеет тот же порядок величины, что и п,
и мы положили С = пС,, то при том же значении Сх период и коэффи-
циент 9 будут пропорциональны 1/Уц. Следовательно, если обозначить
то уравнения (1) запишутся в виде
X = Уц Усг — cos у,
0oif =
dy
VС’1 — cos у
(Ibis)
Второе из этих уравнений не зависит более от ц. Из этих уравнений мы
найдем у — w и х/Уп в виде рядов, расположенных по синусам и косину-
сам дуг, кратных W. Эти ряды зависят от Сг, но не зависят от п. Именно
эти ряды и рассматривались в настоящей главе.
Ряды Болина
695
В самом деле, полученные ранее ряды были расположены по степеням
р. Они аналогичны рядам п. 127 и, как нетрудно видеть, имеют следую-
щий вид:
_	__1_	з	__5
х =	+ рС 2 Ф1 + р2С 2 <р2 +	2 Фз +  • • ,
(2)
у = w + фх + ф2 + • •• ,
где ср и ф не зависят ни от р, ни от Си периодичны (период 2л) относитель-
но w.
Если затем положить С = Схр, то у и х/Ур, как я уже говорил, буду
зависеть только от Ct, а не от р.
Итак, чтобы перейти от рядов п. 127 к рядам, рассмотренным в настоя-
щей главе, необходимо положить С = Схр, а результат этой подстановки
расположить по возрастающим степеням р. В рассматриваемом нами част-
ном случае полученное таким образом новое разложение будет состоять
из одного члена, ибо х содержит лишь члены первого порядка относительно
]Лр, а у не содержит членов, зависящих от р.
Если Сх 1, то величина ®х вещественна, а х и у — w являются пе-
риодическими функциями от ш с периодом 2л. Однако если Сх < 1, то
величина ®х становится мнимой, а вещественной будет <в2, вследствие чего
необходимо положить 0 = со2/2л. В этом случае периодическими функция-
ми от ш с периодом 2л будут х и у (но не у — w).
Если в качестве независимой переменной мы примем ш, то определение
величины 0 будет меняться, если Сх будет переходить от значений больших
единицы к значениям меньшим единицы. Это неудобство можно обойти,
если считать независимой переменной 0ш]Лр.
В самом деле, если представить х и у в виде функций, зависящих от
0ш]Лр и Сх, то выражения, получающиеся при Сх < 1, будут аналитиче-
скими продолжениями выражений, получающихся при Сх )> 1.
Итак, взяв ряды (2), т. е. ряды п. 127, и положив С = Схр, получим
с\ * Ф1+с; m2+ ... -
г Р
(2bis)
У = и> 4 -^-Ф1 + -^-ф2 +• • ••
Эти ряды сходятся, если Сх достаточно велико. В этом случае можно
найти их сумму. Если же эти ряды расходятся, то функции xlYр и у
можно все же продолжить аналитически. При этом мы придем к значени-
ям С1 меньшим 1, а вид самих функций полностью изменится, ибо веще-
ственный период станет мнимым, и наоборот.
696
Новые методы небесной механики. Н
Таким образом, именно двоякая периодичность объясняет столь раз-
личное поведение функций, с которыми мы столкнулись при рассмотрении
задачи: период, вещественный в обычном случае, становится мнимым
в случае либрации, и наоборот. В предельном случае один из периодов
обращается в бесконечность.
Можно поставить вопрос о том, каким образом эти результаты можно
обобщить на случай, когда F = х2 + pFj, где Fr — произвольная функ-
ция, зависящая только от у и притом периодически. Уравнения (1) запи-
шутся тогда в виде
х = УС — р/’Д,	(Iter)
J /С - рА
Пусть максимальное значение F равно А. Если
С> Ар,
то мы получаем обычный случай, если же
С < Лр,
то случай либрации.
При сделанных предположениях относительно функции F ни х, ни
cos у, ни sin у не будут эллиптическими функциями от w. Следовательно,
они не будут однозначными и двоякопериодическими функциями при всех
вещественных и мнимых значениях w (хотя, разумеется, будут по-преж-
нему однозначными функциями при всех вещественных значениях ш).
Тем не менее предыдущие результаты остаются в силе.
Для наших целей будет достаточно, если мы ограничимся рассмотре-
нием области D, такой, что мнимая часть Qw будет достаточно малой,
а с другой стороны, постоянная С будет достаточно мало отличаться от Ар.
Если теперь х, cos у и sin у рассматривать как функции от Gw и от С
(или от 0и?]/ р и от С, = С/р), то эти функции будут однозначными и двоя-
копериодическими, лишь бы мы не выходили за пределы области D. Один
из периодов равен интегралу, стоящему в правой части второго соотно-
шения (Iter), взятому в пределах от 0 до 2л, а второй — удвоенному этому
же интегралу, взятому в пределах от одного значения у15 при котором
pFt становится равным С, до другого значения ух, при котором снова
рЛ = с.
Этого достаточно для того, чтобы переход от обычного случая к случаю
либрации происходил так же, как и в частном случае, рассмотренном
нами вначале.
Чтобы облегчить перенесение этих результатов на общий случай,
удобно ввести среднее движение пг, которое я буду обозначать здесь про-
сто п, поскольку индекс 1 не играет роли и будет всюду опускаться.
Ряды Болина
697
В силу принципов, изложенных в п. 3, имеем
С другой стороны, если разложить п по степеням р., как мы уже делали
раньше, так что
п = п° + рл1 + . . . ,
то при р = О
(* dy	2л
И, = \---7=~ = --Т=- >
1 <5 /с	Ус
откуда
п°ф = ус.
Следовательно, мы можем принять в качестве независимых переменных
п° и р. вместо Сир..
В этих переменных ряды (2) будут разлагаться по степеням р. и Пп0,
что делает их похожими на ряды,
жали члены вида
рассмотренные в п. zui, которые содер-
(<7<2р— 1).
случаю.
р₽
Перейдем, наконец, к общему
Рассмотрим ряды п. 127. Они представляют собой выражения 2п пере-
менных Xi и ух в виде функций п аргументов
wx, w2, ... ,wn
и п постоянных интегрирования. Выберем в качестве этих п постоянных
интегрирования, например, величины, которые мы обозначили симво-
лами
В рядах, расположенных по целым степеням р., в знаменателях фигури-
руют малые делители
тхп\ + тп2п° + • • . + ^„Пп-
Предположим теперь, что один из этих делителей становится очень
малым. Пусть таким делителем будет п° (ибо если бы это был другой
делитель, то достаточно было произвести только замену переменных,
указанную в п. 202). Рассмотрим прежде всего, каков максимальный по-
казатель nJ, встречающийся в знаменателях членов нашего ряда.
698
Новые методы небесной механики. П
В силу сказанного в пунктах 201 и 211, разложение функции S не со-
держит членов
где q «С 2р — 1.
Если записать затем уравнения
dS
d-Hi
Wi
dS
d.v°t ’
то в производную dSIdiji будут входить лишь члены	но в произ
водную dSIdxt среди прочих будут входить и члены
т. е. члены
Из уравнений
мы найдем у,- в виде функций от ну и х? или, если угодно, в виде функций
от Wi и п постоянных интегрирования
П1, «2, . . . , Пп-
Отсюда видно, что разложение у содержит лишь члены
Подставим затем полученные выражения для переменных у в урав-
нения
(3)
dS
Xi = —j— ,
dyi
В результате подстановки правая часть уравнений (3) будет содержать
лишь члены
(Я?)4
Пусть
/	0	0
Ыг/v z/2. • • • -	• •
Ряды Болина
699
— один из таких членов, причем функция при = 0 пе обращается
в бесконечность. После указанной подстановки
Фа = 2 Ль Ф (“У n°i) (h^2K),
где функции ф при = 0 в бесконечность не обращаются.
Итак, общий член в правой части уравнений (3) после такой подста-
новки будет иметь вид
U.P+X
-------Ф,
и очевидно, что
q + h < 2 (р + X) - 1.
Общий вывод из всего сказанного состоит в том, что разложения п. 127,
определяющие хг, содержат лишь члены
(/ф9 ’
а разложения для у^ — члены вида
(„OjQ + l ’
где
q < 2р — 1.
Установив это, предположим, что величина n'L очень мала и имеет тот же
порядок, что и УПусть
п" =	У у.	а2р.ф- азН 2 + • • • ,
где а — новые постоянные. Именно так мы поступали в п. 211. Напри-
мер, можно положить
п"1 =	У р,.
В результате такой подстановки член
Ир
не будет более иметь относительно ц порядок р, а будет иметь порядок
р — q/2.
700
Новые методы небесной механики. II
Сгруппируем затем члены наших рядов, имеющие одинаковые порядки
относительно и. Каждая из таких групп членов образует некоторый ча-
стичный ряд, а весь ряд в целом есть сумма всех таких частичных рядов.
Чтобы получить ряды настоящей главы, достаточно просуммировать
каждый из этих частичных рядов. Если постоянная ах достаточно велика,
то частичные ряды сходятся (разумеется, весь ряд будет по-прежнему рас-
ходящимся и имеет смысл лишь с точки зрения формального анализа).
Однако если ах слишком мала для того, чтобы частичные ряды сходились,
то, как нетрудно понять, можно найти их сумму с помощью аналитического
продолжения.
Дело обстоит так же, как и в случае функции
1
1 + х ’
задаваемой с помощью ряда
1 — X + X2 + ...,
которая будет иметь смысл и после того, как ряд станет расходящимся.
Итак, рассмотрим сумму одного из таких частичных рядов. Во-первых,
эта сумма будет периодической с периодом 2л относительно ш2,	..., wn.
Во-вторых, эта сумма будет зависеть еще от одного аргумента 9^, причем
при вещественных значениях этого аргумента и при тех его значениях,
мнимая часть которых достаточно мала, или, иначе говоря, если аргумент
01ip1 остается внутри некоторой области, охватывающей всю вещественную
ось, эта зависимость будет однозначной. Если ах меняется в определенных
пределах, то функция, описывающая указанную зависимость, внутри
этой области будет однозначной и двоякопериодической. Один из перио-
дов будет вещественным, другой — мнимым. При некотором значении ссг
один из периодов обращается в бесконечность, затем вещественный период
становится мнимым, и наоборот.
Именно это и обусловливает переход от обычного случая к случаю
либрации.
Глава XXI
ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА. БОЛИНА.
Обобщение задачи к. 134
219. В начале главы XI я разъяснил, какие специфические трудности
возникают в задаче трех тел. Эти трудности обусловлены тем, что не все
переменные первого ряда, т. е. переменные хг, входят в функцию F0.
В главах XI и XIII мы видели, каким образом можно обойти эту труд-
ность и, несмотря на нее, построить функцию S, допускающую разложе-
ние по степеням ц, удовлетворяющую уравнению Якоби
F = С,
и такую, что ее производные по г/, будут периодическими функциями от уг.
Кроме того, эта функция S зависит от п постоянных интегрирования,
например, от п величин
П°, Hj, . . . , Пп-
Если одна из линейных комбинаций
+ т2и2 + • • • + тпПп
мала и имеет порядок ]/ ц, то так же, как и в п. 211, мы можем положить
Щ = а? + а* У р. + а? ц + ... ,
где а’; — новые постоянные, и предположить, что
+ т.^ + .. • Н- тпа.п = 0.
Расположим затем каждый член разложения S по возрастающим сте-
пеням У ц и сгруппируем те члены, которые содержат в качестве сомно-
жителя одинаковую степень ]/ ц. Каждая из таких совокупностей членов
будет обладать тем же свойством, что и сама функция S, а именно: ее про-
изводные будут периодическими функциями от у.
Поэтому заранее ясно, что метод Болина будет применим и в том слу-
чае, когда функция Fe зависит не от всех переменных первого ряда, и
в частности в задаче трех тел. Однако при применении этого метода воз-
702
Новые методы небесной механики. П
никает несколько тонких вопросов, на которых я не могу не остановиться
подробно.
220. Итак, предположим, что Fo зависит не от всех переменных перво-
го ряда. Для большей ясности я буду обозначать переменные первого ряда
через
^1, '^2 ’ • • • ,	^1» ^2» • • • ,
а соответствующие переменные второго ряда — через
У1, У2, • • • > yP,ultu2, ... , uq
и буду предполагать, что Fo зависит от всех х^ но не зависит от z;.
Требуется найти такую функцию S переменных у и и, которая бы удо-
влетворяла уравнению Якоби
= (1)
\ diJi ' du^ и с 1 /	v 7
Я предполагаю здесь, что переменные первого ряда Ж; и в левой части
заменены соответствующими переменными dSidyi и dS!dui.
Кроме того, необходимо, чтобы функция S допускала разложение по
степеням ]/ ц> а ее производные были периодическими по у и и.
Полагая р = 0, получим из уравнения (1)
у-, */ dSo dS'o	dS0 \	/ ty\
откуда видно, что So имеет вид
Л\) = Xfifa х2у2 + • . . + хрур Т0,
где То зависит лишь от переменных и. Положим
о	d Fo
П; =--------.
1
Если между величинами я” не существует никакого линейного соотношения
с целыми коэффициентами, то никаких трудностей не возникает. С по-
мощью методов главы XI можно построить функцию S, содержащую лишь
целые степени р, ибо члены, содержащие нечетные степени У ц, пропадут.
Предположим, однако, что между величинами /г? существует линейное
соотношение и пусть это соотношение имеет вид
щ° = 0.
Такое предположение вполне допустимо, ибо в противном случае я мог
бы воспользоваться заменой переменных п. 202.
Обобщение метода Болина
703
Прежде чем переходить дальше, введем одно новое обозначение. Пусть
U — некоторая периодическая по у функция, зависящая, кроме того, и
от и. Через
[£7]
я обозначу среднее значение U, если рассматривать ее только как функцию
от у2, у3, ..., уп, а через
[[С7]]
— среднее значение U, если рассматривать ее как функцию от у,,
Уп-
Из этого определения следует, что [ U] есть функция от yY и и, в то время
как [[Z7]] есть функция одних лишь переменных и.
Если предположить, что функция U вместо того, чтобы быть периоди-
ческой по у, такова, что периодическими являются ее производные, то
U = х1у1 х2у2 + • • • 4~	+ U',
где U' — периодическая функция, а хЧ — постоянные. Положим
IU] = ^iZ/i + хп2уз 4~ . .. 4- х^ур 4- [U’ |
и
[[£/]] —	4- х2уг 4- •  • + ЛрУр + [ [ U'] ].
Установив это, рассмотрим еще раз уравнения (3) из п. 204. Первое
из этих уравнений есть не что иное, как уравнение (2), которое мы только
что рассмотрели. Из второго уравнения видно, что производные
dSi dSi	dSi
dyi ’ dys ’	’ dyn
равны некоторым постоянным. He ограничивая общности, можно пред-
положить, что эти постоянные равны нулю. На самом деле это означает,
что мы вновь вернулись к предположениям (9), указанным в п. 204.
Но тогда функция S± будет зависеть только от г/х и и, так что
5Х = [SJ.
Рассмотрим теперь третье из уравнений (3) п. 204. Функция Ф, фигури-
рующая в его правой части, есть не что иное, как —F±. Второй член в ле-
вой части будет равен
1	dzFo / dSi
2	dx'® \ dyi I ’
поскольку остальные производные dS1!dy1 равны нулю.
704
Повые'методы небесной механики. II
Положим
1	(PFn
2	dx™ ~	’
тогда наше уравнение запишется в виде
О)
Следует особо подчеркнуть, что функция FY здесь неизвестна. В самом
деле, она зависит от переменных х, z, у и и. Переменные следует заме-
нить величинами х1-, которые известны, а переменные z, — величинами
dSg	dTn
du*	dut •
которые неизвестны.
Вычислим теперь средние значения правой и левой частей относитель-
но Уг» Уз, •••, Уп- Прежде всего ясно, что среднее значение [й52/йг/|]представ-
ляет собой постоянную. Не ограничивая общности, можно считать, что
эти постоянные равны нулю. Это отвечает предположениям (10) в п. 204.
Кроме того,
Г	dSi р _ 7 dSi \2
L J ~ ( dyi ) ’
поскольку функция S не зависит от у2, ys, ..., уп.
Наконец, важно заметить, что при вычислении среднего значения
функции F± можно действовать так, как если бы функции dTJdu.(кото-
рые следует подставить вместо z{) были постоянными, поскольку эти функ-
ции не зависят от у2, у3, ..., уп.
Следовательно,
л(-^г = с2-1Л],	(4bis)
откуда
dSi __j /" С'г — [/ 1]
~dy7 V А ’
Вычислив средние значения правой и левой частей по ylt получим
Если 51 — функция, производные которой периодичны, то левая
часть выписанного равенства обратится в константу, которую я обозначу
через h. Тогда
^ЫГ]] = Л
Обобщение метода Болина
705
ИЛИ
2~
— [-^т] dy1 = 2л Ah.	(5)
о
Левая часть зависит от щ и, кроме того, от производных dTjdu^ входя-
щих в Р\. Таким образом, это уравнение с частными производными, по-
зволяющее найти функцию То. Определим функцию То так, чтобы ее про-
изводные были периодическими. Уравнение (5) можно записать в виде
0	— 2лЛЛ.	(5Ыя)
Задача сводится к интегрированию уравнения (5bis), и я вернусь к ней
ниже. Предположим, что интегрирование этого уравнения возможно и
что
0 = zlul + Z2W2 + • • • + zquq То
— полный интеграл этого уравнения, содержащий q постоянных инте-
грирования Z;. Разумеется, я предполагаю, что То зависит от щ и постоян-
ных z[ и периодична по щ.
Найдя таким образом функцию То, мы можем вычислить производную
dSJdy, и, следовательно,
Можно записать
5 = 5/ +
где 51' — известная функция от ух и и, а Тх — еще неизвестная функ-
ция от и.
Далее из уравнения (4) мы получаем
откуда находим
dS% dS%	dS% q г о i
dy-z ’ dy3 ’	’ dyn ’	2	2‘‘
Рассмотрим теперь четвертое из уравнений (3). Все производные dSJdyi
во втором члене левой части известны, за исключением производной
dS^/dy^ поэтому этот член можно записать в виде
2Л + ф
\dyi dy!
С другой стороны, в п. 204 я обозначал правую часть этого уравнения
через Ф, поскольку она была полностью известна. На этот раз дело
обстоит иначе, поскольку правая часть зависит от dSJdut, а следователь-
45 А. Пуанкаре
706
Новые методы небесной механики. П
но, от производных dT-Jdiit, которые неизвестны. Нетрудно видеть, что
эта правая часть будет иметь вид
__у, dFi dTi , ф
1 dx, dui ’
причем Ф будет известной функцией. В силу этого наше уравнение можно
записать в виде
+	+	= ф.	(6)
" 1 dyi 1 dyi dyi " dzi du-t	' '
Разумеется, в производные dFjdZi вместо переменных и~г4 следует под-
ставить соответственно х\ и dT Jdu..
Возьмем средние значения от правой и левой части по у2, Уз> • ••> Уп-
Можно считать, как мы делали раньше, что средние значения производ-
ных dSJdyi (i 1) равны нулю. Тогда
2Л-фЬ-^- + 24^4^ = Ф.	(7)
“2/1	“2/1	v '
Отсюда мы получим
[^l
d [62] _	1 dzi
dyi ~	dSi
dyi
Обе части этого уравнения зависят от г/2 и и. Среднее значение левой части
должно быть постоянной, которой я, не ограничивая общности, могу при-
давать произвольное значение, например значение, равное нулю. Следо-
вательно,
ZJ «Zj au;	«
что можно записать и в виде
или
Яя V	dT1
(* * dz}	d.Uj
j 2 у c2—[JiT
dy = Ф
yi dQ dTi
1 dzi duj
(*)
(8bis)
Функция О зависит от z{ и щ и периодична по щ. Если вместо z,; подста-
вить в нее dTnldui, то' получим левую часть уравнения (5bis).
Обобщение метода Болина
707
Аналогично я предполагаю, что в уравнении (8bis) переменные z;
в производных dQldzi заменены производными dTjdu^.
Функцию 1\ можно найти из уравнения (8bis). Я сейчас докажу,
что интегрирование этого уравнения проводится без труда, если проин-
тегрировано уравнение (5bis).
Действительно, если известно, как интегрировать уравнение (5bis),
то мы знаем функцию То, зависящую от щ и q постоянных zi5 такую, что
если в функцию 0 вместо zl подставить производные от То, то 0 обратится
в некоторую постоянную (относительно щ), т. е. в некоторую функцию
от z®, которую я обозначу
е (z®, z®,..., z®).
С другой стороны, положим
При этом мы получим 2q соотношений между 4q величинами z{, щ, Zj, и0,,
так что в качестве независимых переменных мы можем взять либо z4 и щ,
Либо Z® И Щ, либо Zf и н®.
Во избежание недоразумений будем обозначать символом d производ-
ные по переменным гг и щ или же по z® и н® и символом д — производные
по переменным г? и щ.
Функцию 0 в уравнении (8bis) следует считать записанной в перемен-
ных Z; и щ, (ибо замена z{ на dT Jdui производится только после дифферен-
цирования). Напротив, функция зависит от щ и, кроме того, от постоян-
ных интегрирования z®.
В новых обозначениях уравнение (8bis) записывается в виде
= ф.
dzi [дщ
С другой стороны, соотношение
0 = е
выполняется тождественно, и, поскольку 0 зависит лишь от г®,
Последнее уравнение можно также записать в виде
дв . v) dQ dz%   р
дщ	dz-fr дщ
Кроме того,
дТт, _ dTi у dTi dzk _ g
дщ dui ' " dz^ дщ
45*
708
Новые методы небесной механики. II
Преобразуя последовательно уравнение (8 bis), получим
у dQ	dTi	;	vi	dQ	dTi	dz*	  ф
“ dzi	dui	1	dzi	dz%	дщ
или, переставляя индексы,
SdQ	dTi	,	yi	dQ	dTi	dzk	__ ф
dzi	dui	‘	dz*	dz,	du;	’
поскольку
dzK _ dZj _ d2To
дщ du% дщди^
Отсюда
yi 7 dQ	dTi___dd	dTi	\ _ ф
J dzj	йщ	dui	dzi	J
или в переменных ui и z?
ст / 70	dTi	de	dTi	1 _ ф
\~d$	du? ~ ~d^	dz?	У ~
Наконец, поскольку функция 0 равна 9, не зависящей от и?, имеем
2^--т^ = ф>	(81ег)
dz" du"
где функцию Ф следует выразить в переменных ui и постоянных интегри-
рования Zj. Производные функции 9 зависят лишь от постоянных z° и
в силу этого являются константами. Отсюда следует, что уравнение
(8ter) является уравнением с постоянными коэффициентами и немедленно
интегрируется.
Функция Ф периодична по щ. Часто бывает так, что функция Т0 и
уравнения (9) таковы, что переменные щ оказываются однозначными функ-
циями величин iii, и наоборот. Поэтому разности щ — и° оказываются
периодическими функциями либо от щ, либо от и”.
Следовательно, функция Ф, периодическая по щ, будет также перио-
дической и по w®. Это означает, что уравнение (8ter) можно проинтегриро-
ать так, что либо производные dTJdift будут периодическими относитель-
но и®, либо, что то же, производные дТ^ди^ будут периодическими от-
носительно щ, либо функция будет возрастать на некоторую постоян-
ную всякий раз, когда щ получают приращение, равное 2л.
Итак, проинтегрировав уравнение (8), мы получаем из уравнения (7)
производную d [52] / dyY. Поэтому функцию S2 можно записать в виде
s2= S2' + т2,
где функция S2 полностью известна и зависит от у и и, а функция Т2 неиз-
вестна и зависит лишь от и.
Обобщение метода Болина
709
После этого можно записать уравнение (6) в виде
SO dS3
Щ -j— = Ф.
dVi
Отсюда найдем
d$3	(IS3	d$i rr	I с 1
dyi ' dy3 ’ dyn >	3	I sJ
и т. д.
Обобщение на случай задачи трех тел
221.	Итак, вся задача сводится к интегрированию уравнения (5).
Посмотрим, какой вид имеет это уравнение в случае задачи трех тел. Его
можно записать так:
J VC2 —[F1]dy1 = 2nAh.
о
Но какой вид имеет LFJ?
В качестве переменных выберем величины
аь д;, ё1(
^1,	П1.
определенные в п. 145. Если три тела движутся не в одной плоскости,
то к этим переменным следует добавить еще переменные
Р. р',
q, q',
определения которых были даны в п. 12.
Разложим функцию F по положительным степеням ц,	rfo, г]/,
р, </, р', q' и по синусам и косинусам линейных комбинаций Aq и А./ с целыми
коэффициентами. Член с
X (т^ + т'А.;)
должен содержать сомножитель, представляющий собой одночлен, степень
которого относительно переменных т^, р, q, ... самое меньшее равна
| т + т’ | и может отличаться от | т + т' | только на четное число.
Наконец, Fo зависит лишь от Лх и Л/.
710
Новые методы небесной механики. II
Установив это, предположим, что
dFB dF®
где т и т' — два целых числа, Л? и Лх° — две константы. Будем считать,
что производные dSo/d^n dSB/d/4' равны этим константам, тогда последние
будут аналогичны тем, которые мы в предыдущем пункте обозначили
через x°i>
Положим
тКу +	= у у.
Чтобы найти [7?1], мы должны вычеркнуть в Fr все члены, зависящие от
Zi и и оставить лишь члены, зависящие только от уг.
Чтобы выявить порядок каждого члена относительно эксцентрисите-
тов и наклонений, заменим всюду
11» П1- 51, Пь Р, <1, р’< Ч'
на
eJji, erp, eg{, ет]{, ер, е?, ер', е/
и будем учитывать порядок каждого члена Fv относительно е. [7?1] можно
записать в виде
[Fx] = R + R',
где R — совокупность членов, не зависящих ни от 1Х, ни от Zx', так что
R = [LFJ],
a R' — совокупность членов, зависящих от уг и только от у±.
Функция R разлагается по степеням е2, и мы получаем
R = Ro + е27?2 + е47?4 + . . ..
Что же касается функции R', то она делится на e|m+m'l.
В общем случае
| т + тп |	2,
так что мы можем положить
R' = е37?".
Функцию 7?0, зависящую только от Л? и Лх°, можно считать постоянной.
Следовательно, можно положить
С2 — 7?о + + e2Ai
Обобщение метода Болина
711
и в то же время
Ah = кп -f- е2Лх,
так что уравнение (5) перейдет в уравнение
2 тс _________________________________,
f Vkl + &kt - б2/?2 - e3R" - е4/?4 - . . . dyi = 2л (к0 + е2^),
о
которое, если разложить радикал по степеням е, произвести необходимые
сокращения и поделить на 2ле2, будет эквивалентно уравнению
—2кГ~ + eZ =
причем функция Z будет разлагаться по положительным степеням е, £, г],
Р и ?.
Наконец, положив
кл — 2кокх = К,
получим
Т?2 - 2eA0Z = К.
Функция Т?2 та же, что и функция, обозначенная тем же символом
в п. 131 (единственное отличие состоит в том, что буквы £ и ц в рассма-
триваемом случае имеют индекс 1). Поэтому так же, как в п. 131, можно
определить переменные р;ищ; (всякий раз, когда нам будут встречаться
переменные £ и ц, мы будем заменять их переменными £х и цх) и принять
в качестве новых переменных
Лх, Ai, р{,
, Zx, СО;.
Функция Т?2 будет иметь вид
24хрх -J- 2А2р3 4- 243р3 + 24хрд
(ср. с выражением в конце п. 131).
Заменив рх на dT0/d<s>i, мы, наконец, получим уравнение
01'^.,	= /?а _ 2e£0Z = К,	(5ter)
\ * /
которое и будем интегрировать.
712
Новые методы небесной механики. II
Левая часть 0 этого уравнения периодична относительно coi и допуска-
ет разложение по степеням е и, если положить е = 0, равна /?2. 0 не за-
висит больше от со{, а только от dTJd&i. Следовательно, методы п. 125
оказываются в этом случае применимыми.
Итак, интегрирование уравнения (5), к которому мы свели задачу,
возможно.
Аналогично рассматривается случай, когда
т + т — +1 или 2.
Особые трудности возникают в случае
т + т' = О,
когда
А? = Ах®,
т. е. в том случае, когда обе большие оси отличаются лишь незначительно.
Исследование рядов
222.	Вернемся к обозначениям п. 220 и предположим, что функция S
найдена с помощью предложенных там методов. Однако задача решена
еще не полностью. Необходимо еще взять уравнения
(*>1),
— =	+	0Л,
dS	'	.	д'
= Wi + QiWlt
г!
dS
dVi ’
dS
dui 5
(10)
где 0 и 0' — надлежащим образом выбранные функции от х" и z®, решить
их и получить Xi, угн в виде функций от ж®, z°i, Wi, и, наконец, заме-
нить величины Wi и w{ линейными функциями времени с соответствующим
образом подобранными коэффициентами. Мы получим выражения для ко-
ординат х, у, z, и в виде функций от времени.
Прежде всего посмотрим, какой вид будут иметь уравнения (10).
Функцию S, имеющую периодические производные, можно записать
в виде
S = йу -4- х°и + х°и -4- . . . 4г х9 у + z’’u + • . . + z°u + S',
i 2*^2 1	3^3 1	Р^Р 'll	' q q '	’
где p — постоянная, не зависящая от у и и, а функция S' — периодиче-
ская по у и и. Коэффициенты при г/х и и* можно, не ограничивая общности,
считать равными х°к zz°- Это предположение соответствует предположе-
нию (10) в п. 204.
Обобщение метода Болина
713
Что касается постоянной р, то она допускает разложение по степеням
К F
Р = Ро + Y НР1+ НР2 + • • • •
Здесь ро равно x°t, а рх —постоянной Л в уравнении (5) п. 220.
Функция S' точно так же допускает разложение по степеням Уц:
5' = 5о4-5;]4Й+...,
где
S'o = f0,
£ = J	_ h ) dy, + Л.
Уравнения (10) в результате можно записать в виде
. „	.	. dS'
wk + Skwi — Ук + -jv У1 + “ПГ ’
dx*	dcj.
0i^i = У1 + -g1,	(11)
UV2	dt/2
 , д'	.	. dS'
Таким образом, мы получаем
о _	р _ d$
к dx° '	1 dCz ’ г dz'l
Однако имеется одна трудность, проистекающая из следующего обстоя-
тельства. Поскольку ро = х, не зависит ни от Са, ни от z°, величины 0г
и 9; при ц = 0 обращаются в нуль. Следовательно, они делятся на У ц.
Производная же dS'ldC2, наоборот, при ц = 0 становится равной
dT0idC2
и в нуль не обращается.
Далее необходимо положить
W, = n,t +	Wi = nd + ©i,
где п — некоторые определенные, а & — произвольные постоянные.
Чтобы найти п, поступают следующим образом.
Если в функции F произвести замену переменных х, и z{ на производ-
ные dSIdy, и dS/diii, то по определению функция F перейдет в функцию
S, которая должна быть некоторой постоянной или, точнее, некоторой
714
Новые методы небесной механики. II
функцией от постоянных интегрирования я®, С2 и z". Итак, пусть
f = <p(4, с2, Z?).
Имеем
^ + М1 = —	’ (А>!)
0л = --^.	О
п[ + бХ = —	.
Очевидно, что величины п допускают разложение по степеням
Чтобы представить себе вид этого разложения, запишем функцию ср
в виде ряда, расположенного по степеням pi:
Ф == Со + piC2 + pi2Cx + ••• •
Здесь
Со = Fo (я®, х2, . . ., Хр),
откуда
dCp __ dFg dFg dxy ___ о о ___________ о
dx}. dx} dx} dx}.	1 dx}
поскольку и® равно нулю.
Кроме того, ясно, что
и что разложение производной dy/dz} начинается с члена порядка ц2.
Второе из уравнений (12), в котором коэффициент 9Х делится на ,
а правая часть — на р, показывает, что разложение величины начина-
ется с члена порядка pi. Поскольку коэффициенты 0t также делятся
на |/ pi, произведение 9/пх делится на pi, а правая часть делится на pi2.
Из третьего уравнения (12) видно, что щ' делится на pt. С другой стороны,
заметим, что уравнения (11) допускают упрощение. До сих пор мы пред-
полагали, что функции S и S' выражены через переменные у и и и постоян-
ные х}, С2 и z®. Пусть теперь
₽ = + г /й-
Предположим (что равносильно сделанному ранее предположению), что
S и S' записаны в виде функций от переменных у и и и п постоянных я®,
Обобщение метода Болина
715
у и zf. Уравнения (11) запишутся тогда в виде
Лг?	r]S'
(Wr —
dx*	dx*
=	(llbis)
Отсюда видно, что несмотря на то, что уравнения (И) и (llbis) задают
неявным образом наши координаты в виде функций от w, мы не можем
решать их с помощью методов п. 30. Следовательно, соотношения между
этими координатами и w гораздо сложнее, чем соотношения, выведенные
в п. 127 и в главах XI и XX.
Ограничимся следующим замечанием.
Что произойдет с нашими уравнениями при р = 0? Не станут ли они
противоречивыми? Поскольку nT и пх' при ц — 0 обращаются в нуль, wt
и равны постоянным Э, и так что
Поскольку То' содержит только переменные щ, мы видим из этих урав-
нений, что щ — постоянные. Перейдем ко второму уравнению (llbis).
Поскольку Sx — произвольная постоянная, приравняем ее а^Уц, где
ах — некоторая заданная отличная от нуля постоянная. Второе уравнение
в результате запишется в виде
dfa
а, = —5— или — = const,
1 dy	dy	’
и, поскольку То' зависит лишь от щ, которые постоянны, оно удовлетво-
ряется автоматически.
Посмотрим теперь, как изменилось первое уравнение. Положим
~ “к
+ «ft,
где <z(. и а/ — постоянные, отличные от нуля. Вместо wx — У1 возьмем
значение этой разности, полученное из второго уравнения, и выпишем
члены с 1/Уц и члены, не зависящие от У рс:
сы •	! 1 dTn dS. \ dSQ dTa
716
Новые методы небесной механики. П
откуда
ak-I-------—- = О, или = const,
* Т dy	dy
dx^ dS^ dTQ
Первое уравнение удовлетворяется тождественно. Из второго находим уА.
Второй метод
223.	Вычисления можно проводить и в ином порядке и вместо того,
чтобы использовать уравнение (5) п. 220, рассматривать непосредственно
уравнение (4bis), которое запишем здесь снова:
(4bis)
Мы будем пользоваться обозначениями п. 221 и в качестве переменных
выберем величины
Ax, Ах, pj,
определенные там же. Посмотрим, какой вид примет тогда уравнение
(4bis).
1. Обе части этого уравнения не зависят от и 1/ в отдельности, а за-
висят лишь от
тК1 + т Xi = уъ
где тит' — целые числа, определенные в п. 221. Действительно, при вы-
числении мы оставляли в F1 члены, зависящие от + т'Х/, и вычер-
кивали члены, зависящие от и X/ каким-либо иным способом.
2.	Обе части этого уравнения зависят от и Л/, однако эти величины
следует заменить постоянными Л ° и Ах0, аналогичными я®. При этом ко-
эффициент А становится постоянным.
3.	Они периодичны по уг и
4.	Их можно разложить по целым степеням е и дробным степеням р$.
Последнюю величину следует заменить производной dT0/dan.
Таким образом, уравнение (4bis) можно записать в виде
(4а)
Обобщение метода Болина
717
Рассмотрим разложение функции Н по степеням е. Член, не завися-
щий от е, будет иметь вид
А ^У + ^о-
\dyi j '
Слагаемое 7?0, определенное так же, как в п. 221, является постоянной,
зависящей лишь от Лх° и Лх°.
Член с е равен нулю (если только сумма т + т' не равна +1, но этот
случай мы не рассматриваем).
Член с е2 имеет вид
/?2 + 2Лхрх -|- 2Л2ра + 2Л3р3	2 44р4.
Первый член, зависящий от г/х, есть член с
g|?n+m'|
Уравнение (4а) можно решить следующим образом. Разложим функ-
цию Sx в ряд по степеням е:
Sx = Uo + eUx + 82П3 + ....
Точно таким же образом разложим С2 и То:
G = То + е?! + е2у2 + ..., То = Уо + еУх + ... .
Подставляя разложение То в R и разлагая R, получим
R = Ro И- R* + е37?3 + •  • •
Прежде всего мы найдем, что
Л + л' = г
( аут / 1 u lu’
откуда следует, что производная dUJdy-^ равна некоторой постоянной.
Пусть
U о = az/x,
где a — некоторая постоянная, зависящая от постоянной интегрирова-
ния у0. Далее имеем
г, л d U1
2аП-г-- = гх,
dyi 111
откуда следует, что производная dUx/dy1 также равна некоторой постоян-
ной. Не ограничивая общности, можно предположить, что Ux и ух равны
нулю. В результате получим
2аЛ-4^ + 2 3л44К!2 = г2.
dyi '	*•*
718
Новые методы небесной механики. II
Из этого уравнения следует, что производная dU„Jdy1 также равна неко-
торой постоянной, которую, не ограничивая общности, также можно
считать равной пулю. Остается уравнение
г
Из него следует, что производные dV0/da>i представляют собой постоян-
ные, которые можно выбирать произвольно, поскольку у2 произвольна.
Далее имеем
+	Тз.
1 dxth 1	dy^ 13
В этом случае мы, не ограничивая общности, можем предположить, что
U3 и уз равны нулю. Затем получим уравнение
2аЛ= Т4-
dyi ' а * *
И в этом случае предполагаем, что t/4 равно нулю и приходим к уравнению
Ri = Yi!
из которого без труда можно найти Т2, ибо в уравнение не входит.
Так продолжается до тех пор, пока не дойдем до члена с slm+m>l.
Пусть | m + m' 1=9, тогда
2аА ~d^~ + R<l + Mq C0S У1 4- Ng Sin 91 = Tq-
Коэффициенты Mq и Nq зависят от и Vo, ..., Vq_3. Их можно счи-
тать известными.
Что же касается члена Rq, то
7?; = 22	+ Rq,
q	<—* г cfo). । У’
г
где Lq — известная функция от о^.
Следовательно, мы можем разбить написанное выше уравнение на два
и записать
dU
2аА = —Mq cos ух + Nq sin ух,
=YQ-Д,.
“	1 с?(0.	14	*
I
Правые части этих уравнений известны, в результате чего без труда на-
ходим Uq и Vq_2. Очевидно, производные функции Vq_2 будут периодиче-
Обобщение метода Болина
719
сними по а>4. Не ограничивая общности, можно подобрать yq так, чтобы
среднее значение yq — Lq было равно нулю, тогда и сама функция Vq_2
будет периодической. Что же касается U q, то ясно, что это периодическая
по уг и «j функция.
Дальше продолжим следующим образом. Приравнивая коэффициенты
при ер (р ^> д), находим
2аЛ"*7г + 22^-^—=	+ ф,	(13)
где Ф — известная функция, периодическая по уА и Юр Предположим,
что функция Ф разложена в тригонометрический ряд, а ур выбрана так,
что среднее значение правой части равно нулю.
Положим далее
ур + Ф = Ф' + Ф",
где Ф' означает совокупность членов, зависящих от ylt а Ф' — совокуп-
ность членов, от у± не зависящих, так что
Ф" = Пъ + Ф]).
Разобьем уравнение (13) на два:
Эти уравнения позволяют получить Vp_2 и Up. Обе найденные функции
будут периодическими.
Проинтегрировав таким образом уравнение (4bis) из и. 220, мы найдем
из уравнения (4) разность S2 — [5г], после чего перейдем к уравнениям
(6) и (7).
Уравнение (7) будем решать так же, как уравнение (4bis). Обе части
уравнения (7) разложим по степеням е. Кроме того, разложим [52] и Тр
[52] = Uo + etZ] e2t72+ . . .,
Т\ = vo + eVx 4- eV2 + . . . .
Затем в правой и левой части уравнения (7) приравняем коэффициенты
при одинаковых степенях 8 и получим цепочку уравнений, с помощью
которых последовательно найдем U{ и V/.
Приравнивая коэффициенты при ер, получаем уравнение, из которого
находим Uр и Vp-2- Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (13).
720
Новые методы небесной механики. II
Единственное отличие состоит в том, что вместо Up и Vp_2 в него входят
Up' и Vp-2. Поэтому его решают так же, как уравнение (13).
После того как уравнение (7) решено, мы продолжаем точно таким же
образом.
Случай либрации
224. Каким образом возникает случай либрации? Рассмотрим урав-
нение п. 223 и предположим, что
а = Uo = 0.
До тех пор, пока мы не дойдем до уравнения, получаемого приравниванием
коэффициентов при 8?, вычисления происходят так же, как раньше.
Мы получаем
Ui = 0 (i = 1, 2, 3, . . ., f .
Если q четно, то уравнение, соответствующее s'7, запишется в виде
[ dU\2	„ dVn .
+ 2SA~^------1- Uq + Mg cos 1^ + ЛГ g sin г/i = Te. (14)
Если положить для краткости
2 3^5^-= х
d(i>i
и временно отбросить индекс д/2 у функции U и индекс q у L, М, N и у, то
dU  т — L — X — М cosyi — М sinyi  ..г-?
dyi ~ V	А	— Г >
где через Z обозначено для краткости выражение, стоящее под знаком ра-
дикала.
Интеграл
W.ZdVl
эллиптический, второго рода. Один из его периодов равен
2 it
f /Z dyi.
о
Если у и X выбраны так, что Z всегда положительно, то этот период всегда
веществен; мы хотим, чтобы он был постоянной, не зависящей от coit
Обобщение метода Болина
721
Приравняем этот период некоторой постоянной, обозначенной через ht
и получим уравнение
2л
^Yzdyi = h.	(15)
о
Решая это уравнение относительно X, получим
X = Y + ф (со4),
где ф — функция от <в4, которую можно считать известной некоторая
периодична.
Отсюда получаем
м dV„ ,
2	г+ «».)•
Из этого уравнения находим VQ_2, после чего из уравнения (14) без труда
находим Uq!2.
Так мы приходим к обычному случаю.
Однако у и X можно подобрать так, что Z может принимать и нулевые
значения. В этом случае вещественным будет второй период нашего эл-
липтического интеграла. Приравняв этот период некоторой постоянной,
обозначенной через Л, получим уравнение (15bis), аналогичное уравнению
(15). Если решить это уравнение относительно X, получим
X = Г + ф' («О,
или
2 2 A = Т + Ф (юг)"
шг
Отсюда находим V q_2, поскольку ф' — известная периодическая функция.
Так мы приходим к случаю либрации.
Предельный случай получим, если один из периодов соответствующего
эллиптического интеграла первого рода обращается в бесконечность,
в результате чего Vq_2 находят из следующего уравнения:
2 S	4- Vm* + nI
Недостаток рассмотренного выше метода заключается в том, что выра-
жение, получающееся в обычном случае, не является аналитическим
продолжением выражения, получающегося в случае либрации, и на-
оборот.
46 А. Пуанкаре
722
Новые методы небесной механики. II
Приравняем теперь коэффициенты при е®+1:
dUl. dUl. х
2А-г^----+ 2УД^1- = Г<г+1 + Ф,	(16)
dyt	dyi '	*- * dw. i ч-гл ।	>	\ /
где Ф — известная периодическая функция.
Если, например, рассматривается обычный случай, то интеграл
i dyi dyi
О
можно приравнять некоторой не зависящей от <о < постоянной h. Полагая
для краткости dU^ldy^ — W, найдем
2п
С
,v	} 2AW
2S4-^—Т+^Е---------------	(17)
1	f dyi
\ 2AW
Из этого уравнения находим Ve_lt а затем из уравнения (16) находим
Уравнения, полученные приравниванием коэффициентов при других
степенях е, будут иметь тот же вид, что и уравнение (16). Тот же вид будут
иметь и те уравнения, которые получатся, если приравнять коэффи-
циенты при различных степенях е в правой и левой частях уравне-
ния (17).
Следовательно, все эти уравнения решаются таким же способом.
Если бы q было нечетно, то результаты остались без изменений. Не-
сколько другим был бы лишь вид разложения функции Slt а именно:
-2-	^-+1	-2-4-2
+б2 + £/	+... .
2	2 +	2 +2
Таким образом, 5! допускала бы разложение по нечетным степеням
Все результаты, полученные в этой главе, неполны и требуют допол-
нительных рассмотрений. Они носят лишь предварительный характер.
Обобщение метода Болина
723
Расходимость рядов
225.	В п. 212 мы видели, что ряды, к которым приводит метод Болина,
вообще говоря, расходятся. Я пытался выяснить механизм этой расходи-
мости. Сейчас я считаю необходимым вернуться к этому вопросу еще раз
и рассмотреть несколько подробней простой пример, который позволит
лучше понять этот механизм расходимости. Пусть
— F = р 4- 72 — 2ц sin2 у — ц8Ф (у) cos х,
где (р, ж; q, у) — две пары сопряженных переменных, <р (у) — периоди-
ческая функция от у (период равен 2л), а ей ц — две постоянные, отно-
сительно которых я предполагаю, что они очень малы.
Выпишем канонические уравнения
dx dF , dy dF ,,	...
^r = -^7 = 1; ^- = -w = 27’	(1)
dp dF	, . . dq dF .	.	, . .
57T = -5r = -He(P(!/)smz; — = — = jxsiny + peep (y)cos^,
откуда
= 2ц sin у + 2це<р' (y) cos x.
Если 8 = 0, то интегрирование этого уравнения проводится почти
сразу же. Запишем уравнение с частными производными Якоби. Пусть
dS , / dS	„ у	. .	_	f
+ (лг; = 2н sin т + Не(р (г/) cos X + С,	(2)
где С — некоторая постоянная. Разложим S и С по степеням б:
S = S 0	iS\e S282
С = Со + С±е + С2е2
При 8 = 0 уравнение (2) будет иметь вид
+	+	(3)
Как я уже говорил выше, оно почти тотчас же интегрируется. В самом
деле, чтобы найти полный интеграл уравнения (3), достаточно положить
(А 0 — некоторая постоянная)
-~ = А0; С0 = Л0 + 2Лц;	+ sin2 f ,
(Z..Zz	(-Ly	Г	£1
So = Aox + 2ц h + sin2 dy.
46»
724
Новые методы небесной механики. П
В результате мы приходим (с точностью до обозначений) к примеру,
рассмотренному в п. 199. Неравенство h 4> 0 отвечает обычному случаю,
неравенство h < 0 — случаю либрации, равенство h = 0 — предельному
случаю.
Выпишем в явном виде важные частные решения.
Прежде всего упомянем простое решение
х = t, р = 0, у = 0, q = 0;
это периодическое решение. Посмотрим, какой вид имеют соответствующие
асимптотические решения.
Если в So положить Ag = h = 0, то получим
50 =	2/2pcos^-,
откуда
р -О, q =-4/2ц sin -/ ; tg	= Ce+i1<ги, х = t.
Мы видим, что в этом случае характеристические показатели равны
Ч~ V2ц.
Вычислим теперь 1$\, 52,... .
Приравняв в уравнении (2) коэффициенты при е, найдем
-j---F 2	= ПФ (у) COS a: 4- C15
dx 1 dy dy	i p
где постоянную C1( не ограничивая общности, можно считать равной нулю,
так что
-^-4-2/2^]/ /г 4-sin2= щр (у) cos ж.	(4)
Таким образом, функция 5г представляет собой вещественную часть функ-
ции X, определяемой уравнением
4|- + 2/2р-/л + 8т2^-2- = Иф(у)е«.	(4bis)
\ЬЛ'	Г	£л У
Полагая
S = фе’ж,
получим
йр + 2 /2ц ]/ /г + sin2 X	= цФ.	(4ter)
Чтобы проинтегрировать это линейное уравнение, проинтегрируем
сначала уравнение без правой части
аф + |/ h 4- sin2 -j-	= О,
F	а иу
Обобщение метода Болина
725
где
I
а = —,
2 )^2р.
и получим
_а i‘ dy
ty = Ke г 2
(К — некоторая постоянная.) Обозначим эллиптический интеграл через
I /~г .	• У
у h -j- sin' 2
тогда
ф = Ке~аи.
Такой вид имеет общее решение однородного уравнения. Чтобы проинте-
грировать уравнение с правой частью, я буду считать, что К — некоторая
функция от у. Тогда
2 2(Х4г е^и V^h +sin2 т = нф.
откуда
и, наконец,
•ф = е~аи	ели ф du.	(5)
Если положить а = pi (р — вещественное число), то
[cos (Pu — х) ф cos pu du -j- sin фи — х) qisinpuduj. (6)
Выражения (5) и (6) мы рассмотрим несколько подробней. Прежде всего
покажем, как проводятся последовательные приближения.
Имеем
^ + 2/2^]/Л + sinS-f ^2 = Ф-	(7)
14*0	Г	64 (л у
Здесь Ф — известная функция от х и у, периодическая по х. Следователь-
но, ее можно записать в виде
Ф = 2фпе’11ж,
726
Новые методы небесной механики. И
где п — целое (положительное или отрицательное) число, <рп — известная
функция от у. Сумма в правой части содержит конечное число слагаемых.
Следовательно, если положить
$2 = 2фпеп“,
причем 1|п будет зависеть только от у, то функция фп должна удовлетворять
дифференциальному уравнению
тфп + 2У2р + sin2-|-	= <р„.
Это уравнение имеет в точности тот же вид, что и уравнение (4ter), и реша-
ется таким же способом.
Этот метод был использован Гильделом, хотя и в довольно отличном
по форме виде в его мемуаре, помещенном в т. IX [журнала «Acta
mathematica».
Рассмотрим теперь выражения (5) и (6).
Прежде всего остановимся на обычном случае, когда h 0. Функция
<р(р), периодическая по у, будет периодической и по и, причем период
(по и) равен вещественному периоду эллиптического интеграла и. Следо-
вательно, можно записать
<р = 2
где X — некоторая вещественная постоянная, зависящая от периода ин-
теграла и, а т — целое число.
Отсюда следует, что
eim lu
т а. + imk
или
I 1 +	’
и, наконец, если рт и означают соответственно модуль и аргумент
коэффициента Ат, то
„	sin (т Хи 4- хы)
Sx = У цр™ —---------
Очевидно, что каждое слагаемое функции Sr разлагается по степеням У ц.
Разложение всей функции ST можно попытаться получить, объединяя те
члены в разложениях слагаемых, в которые множитель входит в оди-
наковой степени. При этом формально мы получаем разложение функции
Sr по степеням Уц. Пусть
р
(9)
Обобщение метода Болина
727
Имеем
Тр^ = (— X ]/”8)р 2 mp рт sin (тки + ж + ита).
Этот результат можно было бы получить и с помощью метода Болина.
Пользуясь этим методом, мы разложили бы S по степеням Уц:
, -Р.
*5 = So Ун ^2 И ~Ь • • • + И2 + • • • •
Функции Sp' в свою очередь можно было бы разложить по возрастающим
степеням е, а коэффициент при в был бы не чем иным, как Тр.
Ряды Тр были бы сходящимися. В самом деле, если, как я предпола-
гаю, функция <р (у) голоморфна при всех вещественных значениях у, то
Pm<
где ksih0 — две положительные постоянные (7г 0 «< 1). Отсюда следует, что
ряд
рт
сходится абсолютно. Это тем более верно для ряда Тр+а.
С другой стороны, разложение (8) сходится, но разложение (9) может
расходиться.
Чтобы уяснить себе это, достаточно рассмотреть весьма простой пример.
Положим
х =	, и = 0,	= 0, р„ = Л1т1,	0 <4 А < 1, к = -Дг ,
2	™	1	у 8
тогда
Тр+а = 2 (—тп)рЛ1т1 (тп изменяется от — ос до + <х>).
Отсюда следует, что Тр+а равно нулю, если р нечетно, и равно
2SmpAm (m изменяется от 1 до + оо)
в противном случае.
Очевидно, что
SmpAmy>Sm(rn-l). . . (m-p-j-l) Л™ = pl ,
откуда, например, при А = 1/2
7р+2>2 (р!).
Таким образом, каждый второй член разложения (9) обращается в нуль,
а оставшиеся члены превосходят соответствующие члены разложения
22 д! [Л+1,
что и доказывает расходимость этого разложения.
728
Новые~методы небесной механики. II
Сказанное только что о разложении равным образом относится и
к разложению S2 и других аналогичных функций.
В случае h <; 0, т. е. в случае либрации, почти все остается без изме-
нений. Единственное отличие состоит в том, что вещественный период
интеграла и теперь равен не
а
dy
VR’
где V R означает V h + sin2 и = 2arcsin У —h. Следовательно,
величина X в этом случае должна быть равна не 2л/и0, a 2n/ux.
226. Большой интерес представляет предельный случай, когда h = О,
В этом случае	и =	——— = 2 In tg -у- . <) . у	6 4 sin-y
Полагая	tg = C
получим	,	2Л du — —.
Например, пусть	Ф (У) = sin у.
Тогда	. .	4г(1 — гз) ф (у) ~	1
откуда	V 8 J (1-Н2)2
Интегрируя по частям, находим
С t2a (1 — l^dt
'	(1 + t2)2
t2a + 1	t^dt
1 + I2	1 + J3 ’
откуда
(10)
Обобщение метода Болина
729'
Функцию ф можно попытаться разложить, по крайней мере формально,
по степеням у,. Однако для этого, может быть, лучше обратиться вновь
к общему случаю.
Если у изменяется от 0 до 2л, то и изменяется от — оо до + оо; <р (у)
зависит от и. Предположим, что эту зависимость можно представить в виде:
интеграла Фурье
4-оо
ф = J е^и 6 (у) dq.
—оо
Я утверждаю, что поскольку ср (у) при всех вещественных значениях у
аналитична и периодическая, то для этого достаточно, чтобы
Ф(О) = О.
Если эти условия соблюдены, то
——	л 4-°°
ф =	е~аи du е<а+{з>и0 (у) dq.
—оо
На самом деле эта формула содержит одну произвольную, постоянную ибо
пределы интегрирования по и неопределены. Этой постоянной я распоря-
жусь следующим образом.
Изменив порядок интегрирования и проинтегрировав сначала по и,
получим
Ф = ]Z е~т jj р( ------------------F П (9) 0 (9) ] dq,
где т| (у) — произвольная функция от у, возникающая при интегрировании.
Для начала в некоторых случаях мы будем считать эту функцию равной
нулю. Тогда
... _ i/JL е~аи Г ^+ig) ue(7)
— Г 8	3 a + iq
или
. = _Р_+ о (?) dq
Т ‘ Jo 1 + ? ^81* ’
(11>
или же, если ри w модуль и аргумент функции 0 (у),
— И
р sin (qu + х + <о) dq
1 Н - 7
где р и м зависят от у.
(12)
730
Новые методы небесной механики. II
Но для того чтобы выражение (11) имело смысл, необходимо, чтобы
интеграл был конечен, а для этого подынтегральное выражение не должно
обращаться в бесконечность при q = — 1/]/8ц, т. е. должно выполняться
условие 6(—1/]/"8ц) =0.
Поскольку в общем случае это условие не выполняется, формулу (11)
можно было бы заменить следующей (эта новая формула соответствует
другому выбору произвольной функции т] (q):
4-00
,, р „<<?”-__ _tguo+a(uo-u)
— "Г" \	j 	---- 0(?)^	(Hbis)
1	<)	1 + q V 8р
(и0 — некоторая произвольная постоянная), откуда
= ц \ —р	Г sin (qu -f- х+ со) — sin (gu0 + х + со)+ Я •
-Д, 1 + q У 8р L	у 8р. J
(12bis)
Можно рассуждать иначе. В общем случае 6 (q) представляет собой
функцию от q, которая голоморфна, если q вещественно или если мнимая
часть q не очень велика. Пусть, например,
В соответствии с формулой Фурье
-Н°
6 (о) = \ e~iui du.
1 У/ТГ
Подставляя сюда вместо ср и и их выражения через £, получим
Ч-°°
„	. С 4Г2г<7(1 — t^dt
2ir0^ = \ -.......
о
Преобразовав этот интеграл так же, как формулу (10), найдем
2n0(g) = 8gi \
—е 2 -Ц е 2
откуда, наконец, получим
0 (о) =-^2-.
qit	qn
Обобщение метода Болина
731
Ясно, что функция 6(q) будет по-прежнему голоморфной, если q не будет
равно У—1, умноженному на нечетное целое число.
Из сказанного следует, что формула
-|-оо
<р = J 9 (q) dq
—со
останется верной, если интеграл брать не вдоль вещественной оси, а вдоль
некоторой кривой С, целиком расположенной над этой осью, лишь бы рас-
стояние между кривой и осью было достаточно мало, чтобы область, за-
ключенная между вещественной осью и кривой С, не содержала ни одной
особой точки функции 0(у).
Формулы (11) и (12) также будут верными, если фигурирующие в них
интегралы брать вдоль указанной кривой С, причем существование этих
интегралов не связано с какими-либо ограничениями на 0 (q), ибо, какой бы
она ни была, величина, стоящая под знаком интеграла, не будет обра-
щаться в бесконечность вдоль пути интегрирования.
Одно важное свойство функции ф, определенной соотношением (11),
видно непосредственно. Под знаком интеграла стоит экспонента eiqu.
Поскольку мнимая часть q положительна, если интеграл и веществен, поло-
жителен и значение его достаточно велико, модуль этой экспоненты очень
мал. Следовательно, при и = + °°, т. е. при у = 2л, функции ф и
обращаются в нуль. Путь интегрирования С можно изменить и вместо него
брать другой путь С', расположенный под вещественной осью. Расстоя-
ние между С и вещественной осью должно быть достаточно малым, чтобы
заключенная между ними область не содержала особых точек функции 0.
Интегралы (11) и (12), взятые вдоль С, приведут к другим значениям
ф и S, по сравнению с интегралами, взятыми вдоль С. Эти интегралы я обо-
значу через ф' и S/, чтобы отличать их от предыдущих.
Поскольку мнимая часть q отрицательна, если интеграл и веществен,
отрицателен и значение его достаточно велико, то модуль экспоненты eiqu
достаточно мал. Следовательно, при и — — оо, т.е. при у = 0, функции
ф' и Si обращаются в нуль.
Можно задать вопрос: совпадают ли функции ф и ф'? Ясно, что в обла-
сти, заключенной между двумя путями интегрирования Си С', величина,
стоящая под знаком интеграла, обладает одной особой точкой, а именно:
1
q =-----.
/8р.
Эта особая точка представляет собой полюс. Следовательно, разность
между указанными двумя интегралами равна числу 2in, умноженному
на вычет. Итак,
________________ ги
ф'-ф=л}/Г4-е ^о(--рУ .
732
Новые методы небесной механики. II
Обозначив через р0 и и0 модуль и аргумент числа 0 (—1/У8р), получим
51 —	= л J/ ро cos (я—	+ <оо j .
Ясно, что ф' не совпадает с тр, за исключением того случая, когда
0f-----=6(ia) = #-ea«du = 0.
—оо
Попытаемся теперь разложить ф и ф' по степеням У р. При этом получим
следующий результат. Пусть
Ф = 2 Фр-	Ф' = 2 НТФр
тогда
Sfiiqu	г—
— 0(?)(— qV8)p~2dq
(интеграл берется вдоль кривой С для фр и вдоль С' для фр).
На этот раз подынтегральное выражение не содержит особых точек
в области, заключенной между С и С', из чего следует
Фр = Фр-
Итак, несмотря на то, что функции ф и ф' не совпадают, их формальные
разложения по степеням Ур оказываются тождественными. Отсюда следу-
ет, что эти разложения не сходятся.
Это доказывает, что если считать параметр р бесконечно малой первого
порядка, то разность ф — ф' будет бесконечно малой бесконечного порядка
такой, как, например,
В самом деле, в частном случае <р (у) = sin у имеем
6
71	Л
е l/Sp. е 4 12Й
откуда следует, что разности ф — ф' и Sx — St' являются величинами того-
же порядка, что и
-4=е	.
/и
Обобщение метода Болина
733
227.	Ниже мы получим эти же результаты еще раз с помощью более
простых средств. Пока же я хочу еще раз обратиться к ним, чтобы переход
от обычного случая к предельному стал более понятным.
В самом деле, сравним формулы (8) и (12). Ряд в формуле (8) содержит
величину поскольку т — целое число, величина тк может принимать
лишь те значения, которые отстоят друг от друга па X. Если h стремится
к нулю, то период интеграла и обращается в бесконечность, и X стремится
к нулю. Значения тК отличаются между собой все меньше и] меньше,
и в пределе ряд переходит в интеграл (12).
Монотонно убывая, X проходит через некоторые значения, при которых
возникает одно обстоятельство, заслуживающее внимания.
Если число — 1/Х /8ц становится целым, то в формуле (8) знаменатель
1 -f- тпХ /8р,
обращается в нуль, и формула теряет смысл, так как один из ее членов
обращается в бесконечность. Нетрудно видеть, что в этом случае член,
обращающийся в бесконечность, следует заменить выражением
Атие~аи	AmueimXu.	(13)
Действительно, имеем
ф = |/ е~аи Ат е<гтХ+а> Udu.
Если выражение imk -f- а не равно нулю, то интеграл в правой части равен
е(1тпХ+а) и
imk 4“ а
плюс некоторая постоянная, которую можно считать равной нулю. Если
же выражение imk + а равно нулю, то интеграл равен и плюс некоторая
постоянная, которую также можно считать равной нулю.
Таким образом, если в ф вместо члена, обращающегося в бесконечность,
подставить выражение (13), то функция ф не будет обращаться в бесконеч-
ность, но перестанет быть периодичной по и.
228.	Обратимся вновь к предельному случаю, когда h = 0, и предпо-
ложим сначала, что
Ф(у) = sin у.
Формула (10) будет иметь вид
*=4 /4	+ “-* •
о
734
Новые методы небесной механики. II
где С — постоянная интегрирования. Первый член разлагается по воз-
растающим степеням t при условии, что t меньше 1. Второй член также
разлагается по t, ибо
/2а
Интегрируя, получим
_	,2П+1 /	1 чП
ф = /2ц 2 № (_ 1)» _ г- 2 2.. + L+1- + Сг2а-
Нетрудно видеть, что при t = 0 функция ф — Ct-2a обращается в нуль.
С другой стороны, поскольку вещественная часть а равна нулю, выраже-
ние Z'27- при t = 0 в нуль не обращается.
Итак, чтобы функция ф обращалась в нуль при t = 0, т. е. при
и = — оо, необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была равна нулю.
Следовательно, функция, которую мы в п. 226 обозначали через ф', равна
ф' = /2ц	* г — it~2a Лгут •
О
Поэтому формулу (10) я могу записать в виде
-f-оо
t
где С ' — новая постоянная.
Если предположить, что t больше 1, и разложить ф по убывающим сте-
пеням t, то
ф = /2ц 21- (2п+1> (- 1 )п + ‘ S 2п + ^2 + с'^-
При t = оо первый и второй члены обращаются в нуль. Третий же член
в нуль не обращается.
Итак, чтобы функция ф обращалась в нуль при t = оо, т. е. при
и — оо, необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была равна нулю.
Следовательно, функция, которую в п. 226 мы обозначали через фсо, равна
оо
ф = /2ц j-qyjr + ii“2a j <2’ •
t
Поэтому фиф' будут совпадать, если
-l-оо
Г t2adt _ п
} 14-Z2 - и>
о
что, как мы видели выше, не имеет места.
Обобщение метода Болина
735
Рассмотрим более общий случай. Предположим, что функция <р (у)
обращается в нуль при у = 0. Тогда
ф = t~ia -g- (pi2a-1cZi.
Функция q> обращается в нуль при у = 0, т. е. при I — 0, и при у = 2л,
т. е. при t = оо. Пусть сначала t мало. Разложим ср по степеням t:
ф = 2 4„*п,
откуда
ф = j/-|- t~* ф^-idf + ct-^ =	2 Лп + Cr2a-
о
где С — постоянная интегрирования. Чтобы это выражение при t = 0
обращалось в нуль, необходимо и достаточно, чтобы постоянная С была
равна нулю. Итак, функция ф' из п. 226 равна
__ t	___
* = /т'”“		(14>
о
Пусть теперь t велико. Разложим ср по убывающим степеням t*.
ф =2-впгп-
тогда
ч> =	J fi'-'di + C'l-v _ /а 2 ill +
t
где С' — постоянная интегрирования. Это выражение обращается в нуль
при t = оо в том и только том случае, если постоянная С равна нулю.
Следовательно, функция ф из п. 226 равна
ZTF +р	Z4T в гп
Ф=-/4-^	= /42^Г-	(15>
t
Чтобы совпадала с необходимо, чтобы выполнялось условие
оо	—|—оо
J = -|- J q>eaudu = 0,
О	—оо
736
Новые методы небесной механики. II
т. е.
9 (йс) = О,
которое, вообще говоря, не выполняется.
Разложим теперь выражения (14) и (15) по степеням ]Лр,. Тогда
, И V-1 л	г”
— ~2Г S п i—in ’
откуда получаем формальное разложение
, Л±2	,	4	г___
ф'=27> 2 , Tp = ^r^Ant^{V-2y.	(16)
Точно так же из формулы (15) получим
откуда
ф = 2ТрИ 2 , Тр = ±.^вп^(- у-2)Р. (IGbis)
В этом виде разложений их тождественность не столь очевидна, как
в том виде, который мы получили раньше.
229. Однако перейти от разложений одного вида к разложениям дру-
гого вида нетрудно. Действительно,
+°°
6(7) = j ^e~iqudu-
— 30
Я утверждаю, что функция 6 (д) мероморфна по q. Ее особые точки
являются полюсами, расположенными в точках комплексной плоскости
42ik, где к — целое (положительное или отрицательное) число. Действи-
тельно, запишем
оо	О
2л0 (д) = <pe~iqudu 4- q>e~iqudu.
О	— оо
Если мнимая часть g положительна, то второй интеграл является голо-
морфной функцией относительно д, не обладающей никакими особыми
точками, ибо при и = — оо функции <р и e~iqu обращаются в нуль. В слу-
чае первого интеграла дело может обстоять иначе.
Если же мнимая часть q отрицательна, то первый интеграл будет голо-
морфной функцией от д, а второй интеграл может и не быть ей.
Обобщение метода Болина	737
Итак, рассмотрим особые точки, которые могут быть у второго инте-
грала, если мнимая часть q отрицательна. Предположим, что эта мнимая
часть больше —п/2. Выпишем разложение
пи
<р = 2ЛП«" = 2 Апе
Его можно переписать в виде
Ф = Ate+^ + Л2е+« + .. . + Апе~ + Rn.
пи
Если и стремится к — оо, то произведение Rne 2 будет стремиться к нулю.
В этом случае второй интеграл можно записать в виде
Л + ^2 + • • ’ +
где
о . 1г • .	о
= Ак J Д 2 Udu, Sn — J Rne-l<>'‘du.
—oo	— co
Только при условии, что мнимая часть q меньше — к/2, интеграл Д имеет
смысл непосредственно, и лишь с помощью аналитического продолжения
можно доопределить его, если указанное условие нарушается. Таким
образом получаем, что
г __
*	к/2 — iq
Что же касается интеграла 5П, то эта функция не имеет особых точек,
если мнимая часть q больше —п/2, ибо подынтегральное выражение при
и — оо обращается в нуль.
Ясно, что второй интеграл является мероморфной функцией от д' и
имеет полюсы в
k
q= — i-?- (к — целое положительное число).
Ее вычеты в этих точках равны iA^.
Точно так же можно было бы усмотреть, что первый интеграл представ-
ляет собой мероморфную функцию от q с полюсами в
к
q = i	(& — целое положительное число)
и вычетами 1Вк.
Следовательно, полюсами функции 0 (д) служат точки
।  /с
1/447 А, Пуанкаре
738
Новые методы небесной механики. И
с вычетами, равными соответственно
А
2ni *
если берется верхний знак и
_________________________________
2ni ’
если берется нижний знак.
Вернемся к формуле (11). Будем предполагать, что интеграл берется
вдоль кривой С.
Построим окружность К с центром в начале координат и радиусом
(2т + 1)/4, где число т очень велико. Пусть Кг — та часть этой окруж-
ности, которая расположена над кривой С, а Сг — та часть кривой С,
которая расположена внутри окружности К.
Две дуги Сг и Кг образуют замкнутый контур, и интеграл (И), взятый
по этому контуру, будет равен 2гл, умноженному на сумму вычетов, рас-
положенных внутри контура, т. е. сумме т первых членов ряда (15).
Можно было бы доказать, что интеграл (11), взятый по Кг, стремится
к нулю, если т стремится к бесконечности. Вычисления можно было бы
провести без особого труда, но это излишне, ибо мы заранее знаем, что
ряд (15) сходится.
Интеграл, взятый по С1г стремится к ф; следовательно, ф равна сумме
ряда (15).
Итак, мы вновь получаем как разложение (14), так и разложения (16)
и (16bis).
Сказанного достаточно, чтобы понять, каким образом от разложения
п. 226 можно перейти к разложениям п. 228.
230. Теперь можно попытаться установить связь между разложениями
п. 228 и разложениями главы VII.
В п. 225 мы видели, что при в = 0 уравнения допускают простое пе-
риодическое решение
х = t, р = у = q = 0
с характеристическими показателями + }^2р,, причем им соответствуют
асимптотические решения
р = 0, q = 2b V*2p sin ~ , tg = Ce±' x = t.
Третье из этих соотношений можно записать либо в виде
ctg
либо в виде
tg = Се1
в зависимости от того, берется нижний знак или верхний.
Обобщение метода Болина
739
Поскольку характеристические показатели отличны от нуля, из прин-
ципов, изложенных в главах III и IV, следует, что при малых значениях е
периодическое решение все еще существует. Кроме того, х — t, в то время
как р, у и q являются функциями от t и е, допускающими разложение по
возрастающим степеням е, обращающимися в нуль при е = 0 и периоди-
ческими с периодом 2л по t.
Те характеристические показатели, которые равны по абсолютной
величине и имеют противоположные знаки (я буду обозначать их + Р),
также допускают разложение по возрастающим степеням е (ср. главу IV).
При е = 0 характеристический показатель р = + У 2ц.
Аналогично при малых значениях е существует два набора асимпто-
тических решений, которые имеют следующий вид. Для первого набора
х = t, p = t]i, д = ть ctg-|- = T]3,	(17)
где т]1; ц2 и т]з — ряды, расположенные по степеням Се~&*, коэффициенты
которых периодичны по t.
Для второго набора
х = t, р = ц',	<7 = 1Ъ>	(17bis)
где ц/, ц2' и т]3' — ряды, расположенные по степеням Се+$1, коэффициенты
которых периодичны по t.
Если эти величины рассматривать теперь как функции от е, то из
п. 106 следует, что шесть функций ц можно разлагать по возрастающим
степеням е.
Если же эти величины рассматривать как функции от р, то из п. 104
следует, что каждый член разложений шести функций ц будет иметь ко-
эффициент вида
N
П ’
где N — некоторый многочлен, разложенный по возрастающим степеням
|/р и р, а П — произведение сомножителей вида
т У — 1 -j- п$,
где тип — целые (положительные или отрицательные) числа.
Отношение Л7П, как мы видели в п. 108, можно разложить по степе
ням Ур, но такое разложение, вообще говоря, носит чисто формальный
характер, ибо при р = 0 характеристические показатели обращаются
в нуль.
Преобразуем выражения (17) и (17bis). Начнем с того, что всюду про-
изведем замену t на х. Из соотношения
ctg -f- = Пз
48д. Пуанкаре
740
Новые методы небесной механики. П
найдем С:
Се^=£.
Если заметить, что при е = 0 функция т]3 будет равна Се3х, то функ-
цию £ можно разложить по степеням е и ctg у/к, причем коэффициенты
разложения будут периодическими по х.
Подставим в pj и г]2 вместо Се$х функцию £. Тогда ц1 и г]3 станут функ-
циями от х и у и выражение
г]р1х + т]2 dy
будет полным дифференциалом dS. Взяв интеграл от этого дифференциа-
ла, получим некоторую функцию 5, обладающую следующими свойствами.
1.	Ее производные периодичны по х.
2.	Сама функция допускает разложение по степеням е и ctg у/4.
3.	Каждый член разложения
dS	dS
—— = П, ИЛИ —Г- = г12
dx 11	dy	12
имеет вид косинуса или синуса от аргумента, кратного х, умноженного
на некоторую степень ctg г//4, некоторую степень е и на коэффициент вида
N
П ’
где N разлагается по степеням е, и р, а П — произведение множителей
вида
т |/ — 1 -j- ир.
4.	Выражение TV/П разлагается по степеням е и ]Лр,; следовательно,
функция S также разлагается по степеням е и /[1, причем в то время как
разложение S по степеням е сходится, ее разложение по степеням {Лц
имеет смысл лишь с формальной точки зрения.
Аналогичным образом можно поступить и с выражением (17bis). При
этом мы получим функцию S', вполне аналогичную S. Единственное от-
личие состоит в том, что вместо переменных е и ctgy/4, функция S' будет
разлагаться по степеням е и tgy/4.
Я утверждаю, что функцию S можно разложить по степеням е:
A = 6’04-e6'1-j- e2S2 + • • • •
Коэффициент 5Х представляет собой не что иное, как вещественную часть
фегх, где ф имеет вид разложения по степеням ctgy/4, т. е. по убывающим
степеням переменной, которую в п. 228 я обозначил через t.
Это разложение и есть разложение (15).
Обобщение метода Болина
741
Посмотрим, что произойдет, если выражение TV/П подвергнуть такому
преобразованию.
Числитель N разлагается по степеням е. С другой стороны, поскольку
Р разлагается по степеням е, то
__________________________________1
т — 1 +
также будет разлагаться по степеням е, причем первый член разложения
будет равен
1
т — 1 п ]42ц
Предположим, что в выражении TV/П первый член разложения N по
степеням е равен (ер,/2)7?п, а произведение П сводится к единственному
множителю	___
У — 1 — пр.
В этом случае первый член разложения TV/П равен
ер ____________________вп______.Л V
2	—V 8 2ct-n '
Отсюда видно, что в разложении (15) имеется коэффициент
2а — п
Функция S' также разлагается по степеням е:
6 = Л’о SjE .
Здесь коэффициент 5/ равен вещественной части функции ф'е'Л', где ф'
означает некоторое разложение по степеням t. Это разложение совпадает
с разложением (14).
231. Функции S и S' имеют вид некоторых разложений. S разлагается
по степеням ctg у/4. Это разложение сходится лишь при условии, что у
достаточно близко к 2л. S' разлагается по степеням tg у/4. Это разложение
сходится лишь при условии, если у достаточно мало. Однако с помощью
аналитического продолжения функции S и S' можно определить при про-
извольных значениях у. Эти функции можно «продолжить» так, чтобы они
обе были определены при значениях у, заключенных между у0 и у, (вели-
чины у0 и Уг сами заключены между 0 и 2л).
Можно задать вопрос: совпадают ли функции S и S' в области совмест-
ного определения? Ответ должен быть отрицательным. Действительно,
если бы выполнялось тождество
S = S',
48*
742
Новые методы небесной механики. П
то члены сходящихся разложений для S и 5' по степеням е должны были
совпадать. В частности, должно было бы выполняться равенство
5'1 = 5/
и, следовательно,
ф = Ф'.
Но ранее мы видели, что ф =/=ф'.
Поэтому функция £ не совпадает с S'. Отсюда можно вывести важное
заключение. Мы знаем, что 5 и S' формально разлагаются по степеням У п:
6, = То+^1]/Гр- + Т& + • • • ,
, г- .	(18)
= Г04- Y'j/I'p -j-T’ap. -j- . . . .
Эти разложения можно получить либо с помощью методов пунктов
207—210, либо если взять за исходные решения (17) и (17bis), разложить
их по степеням У у. (ср. п. 108) и преобразовать затем так же, как в п. 230.
При у, мало отличающемся от 2л, функция разлагается по степеням
е и ctgy/4. При у, мало отличающемся от нуля, функция разлагается
по степеням е и tgy/4. Это свойство характерно. В самом деле, функция S
является единственной функцией, допускающей разложение по степеням
е и ctg у/4 и удовлетворяющей уравнению (2). Точно так же функция S’
является единственной функцией, допускающей разложение по степеням
е и tg у/4 и удовлетворяющей уравнению (2).
С другой стороны, из пунктов 207—210 вытекает, что Тг можно предста-
вить в виде рядов, расположенных по синусам и косинусам аргументов,
кратных у/2. Следовательно, эти функции разлагаются при у, мало отли-
чающемся от 2л, по степеням е и ctgy/4, а при у, достаточно мало отличаю-
щемся от нуля, по степеням е и tgy/4.
Следовательно,
TL = У.
Поэтому если бы разложения (18) сходились, то выполнялось бы равенство
S = S'.
Итак, разложения {18) расходятся. Отсюда следует, что разложения
п. 108, откуда они получаются, расходятся тем более (ср. п. 109,
стр. 299, п. 212, стр. 671).
232. Ранее я предполагал, что ср (у) при у — 0 обращается в нуль. Это
ограничение несущественно. Если бы ср (0) было отлично от нуля и равня-
лось, например, Ло, то к разложениям (14) и (15) достаточно было бы до-
бавить член
Ао
V а 2а
Обобщение метода Болина	743
и ту же константу следовало бы прибавить к интегралам (11), определяю-
щим i|> и ip'.
Я достаточно подробно остановился на этом примере, который не
только позволил мне доказать расходимость рядов пунктов 108 и 207,
но и обладал некоторыми другими преимуществами.
Во-первых, с помощью этого примера мы смогли уяснить суть перехода
от разложений, аналогичных разложениям п. 225, к разложениям, анало-
гичным разложениям п. 104, перехода, при котором используются ряды
пунктов 226 и 228.
Во-вторых, особенности, на наличие которых я указывал выше, слу-
жат первым указанием на существование периодических решений второго
рода и двоякоасимптотических, к которым я намереваюсь вернуться
несколько позже.

КОММЕНТАРИИ

I
Почти весь материал первого тома «Methodes Nouvelles» стал классическим. Пер-
вая глава содержит сжатое изложение основных теорем аналитической динамики,
сопровождаемое примерами приложений к выбору подходящих координат в различ-
ных небесно-механических задачах. Пуанкаре вводит и систематически использует ка-
нонические переменные действие — угол (переменные Делоне) сперва в ограниченной,
а потом и в неограниченной задаче трех тел. Он вводит затем новые канонические пере-
менные (переменные Пуанкаре), удобные для исследования орбит, близких к круговым.
Вторая глава содержит аналитический подготовительный материал для дальней-
ших исследований. Здесь подробно излагается метод мажорант Коши. Далее рассмат-
ривается теорема о неявной функции, алгеброидные особые точки, ряды Пюизе. Нако-
нец, доказывается сохранение четности числа вещественных особых точек при дефор-
мации функции.
Третья глава посвящена периодическим решениям. Здесь исследуется поведение
периодических решений при возмущениях (теория бифуркаций) и «метод Пуанкаре»
нахождения периодических решений разложением в ряд по степеням малого пара-
метра. Результаты применяются к задаче трех тел, для которой Пуанкаре нашел много
интересных периодических решений. Далее Пуанкаре находит периодические решения
общей канонической системы дифференциальных уравнений, близких к интегрируе-
мым; идеи этого раздела послужили основой теорем Биркгофа о существовании беско-
нечного числа периодических решений в окрестности данного периодического ре-
шения.
Четвертая глава — характеристические показатели — состоит из двух частей.
В первой излагается общая теория линейных уравнений с периодическими коэффи-
циентами, с учетом наличия первых интегралов и интегральных инвариантов. Во вто-
рой части исследуются характеристические показатели периодических решений задачи
трех тел и находятся их разложения в ряд по степеням малого параметра (вообще
дробным).
Пятая глава посвящена доказательству неинтегрируемости задачи трех тел. Здесь
доказывается несуществование аналитического (и аналитически зависящего от пара-
метров) первого интеграла, независимого от классических и однозначного в перемен-
ных действие — угол. Сущность идеи Пуанкаре состоит в том, что сложное поведении
решений возмущенной системы (в частности рождение многочисленных невырожден-
ных периодических решений) несовместимо с интегрируемостью: существование каж-
дого добавочного первого интеграла накладывает на поведение решений довольно
748
Новые методы небесной механики. I
жесткие ограничения. Возможности, предоставляемые этой идеей, далеко не исчер-
паны и сейчас.
В шестой главе изучаются аналитические свойства пертурбационной функции,
т. е. энергии взаимодействия, и асимптотика ее коэффициентов Фурье высокого по-
рядка. С математической точки зрения речь идет об исследовании особых точек инте-
грала от аналитической функции нескольких переменных, рассматриваемого как
функция параметров («точек пинча»). Это исследование проводится затем подробно для
специального случая пертурбационной функции задачи трех тел. Результат применяет-
ся к проверке невырожденности задачи трех тел, нужной для проведенного в предыду-
щей главе доказательства несуществования первых интегралов. Однако значение этих
исследований Пуанкаре выходит далеко за рамки небесной механики, так как аналогич-
ные задачи об асимптотиках и об интегралах, зависящих от параметра, встречаются
в самых разных областях.
Седьмая глава — асимптотические решения — посвящена инвариантным много-
образиям, связанным с периодическими решениями, устойчивым и неустойчивым
«усам». Намеченная Пуанкаре теория была позже развита п обобщена многими автора-
ми. в особенности Адамаром и Перроном. Глава закапчивается построением асимптоти-
ческих разложений для инвариантных многообразий гамильтоновых систем,близких
к интегрируемым.
1	(стр.14). Современное изложение гамильтоновой механики можно найти в кв.:
К. Abraham and J. Marsden. Foundations of Mechanics. Benjamin, 1967.
2	(стр.16). Задача о притяжении двумя неподвижными центрами подробно разоб-
рана в книге Шарлье «Небесная механика» (М., изд-во «Наука», 1966, гл. III). Неточ-
ности в качественном исследовании Шарлье позднее исправлялись в работах Таль-
квиста (Acta Societatis Scientiarum Fennicae, 1927, 1, № 3, 5) и Бадаляна (Астр, ж.,
1934, II, вып. 4; Comment. Phys.- Math. Soc. Scient. Fennicae, 1935, 8, № 2).
В последнее время вновь усилилось внимание к задаче двух неподвижных цент-
ров. Потенциал двух центров хорошо аппроксимирует потенциал слегка вытянутою
эллипсоида. Если же поместить центры в мнимые точки, то получится хорошая аппрок-
симация потенциала сплюснутого эллипсоида. Поэтому решением задачи о двух непод-
вижных центрах можно воспользоваться в качестве некоторого приближения при ис-
следовании движения спутников сжатых планет.
См. по этому поводу, например, статью Аксенова, Гребенникова и Демина. Астр, ж.,
1963, 40, 2, а также: W. Т. К у п е г. Qualitative Properties of Orbits about an oblate
Planet.— Comment, on Pure and Applied Mathematics, 1964, XVIII, № 2, 227—236;
С. С. С о u 1 e y. A disc mapping associated with satellite problems, ibid.,
237—243.
3	. (стр. 17). Рассматриваемый здесь предельный случай задачи трех тел называют
теперь «ограниченной задачей трех тел». В случае, когда наклонение равно нулю, го-
ворят о «плоской ограниченной задаче трех тел», а если еще эксцентриситет орбиты
возмущающей массы равен нулю — о «плоской ограниченной круговой задаче
трех тел».
Ограниченной задаче трех тел, после Пуанкаре, посвящены многочисленные ис-
следования. Обзор современного состояния вопроса и список литературы можно найти
в статьях М. Хенона (М. Н е п о n. Exploration numerique du probleme restreint.
Комментарии
7W
I —IV.— Annales d’Astronomic, 1965, 28, № 3 и 6; Bulletin Astronomique, ser. 3, 1966,
I, fasc. 1, 2).
4	(стр. 24). Формулы (3) и следующие за ними не согласуются с уравнением Кеп-
лера п-ал — М. Должно быть
dS	/ dS \2	0-	/ dS \2 G2 2М
+	= g*'	[17)	= ~Г + 2h>
L = VMa, G = V Ma(i - <?), h = - п = Mt.
5	(стр. 29). Ссылка дана здесь па: F.Tisserand. Traite de Mecanique Celeste,
t. I (Perturbations des planetes d’apres la methode de la variation des constantes arbit-
raires). Paris, 1889, ch. IV, p. 77; см. также: Г. Н.Дубошн н. Небесная механика.
М., 1968. стр. 736 и далее.
6	(стр. 33). Пуанкаре ссылается здесь на некоторые результаты, изложенные
в т. I труда Тиссерапа в гл. XVIII (Developpement de la fonction perturbatrice dans le
cas ou les cxcentricites et les inclinaisons mutuelles des orbites sent considerables),
в частности на формулы (32), (38) и (39) этой главы.
7	(стр. 45). В старой русской литературе принят термин «частные интегралы».
Современные термины — «инвариантное многообразие» или «инвариантный идеал».
8	(стр. 60). Пуанкаре ссылается здесь на свою работу: «Sur un moyen d’augmenter
la convergence des series trigonometriques» (Об одном способе ускорить сходимость три-
гонометрических рядов.)— Bulletin Astronomique, 1886, 3. Эта работа вошла в собра-
ние сочинений Пуанкаре: Н. Poincare. Oeuvres, t. 41.
9	(стр. 67). Диссертация Пуанкаре (These inaugurale, т. е, вступительная — для
получения права преподавания в высших учебных заведениях) опубликована под
названием: «Sur les proprietes des fonctions definies par des equations aux differences
partielles» (О свойствах функций, определяемых уравнениями в частных производ-
ных). Paris, 1879; перепечатана в «Oeuvres», t. 1, 1923.
10	. (стр. 70). См.: А. П у а н к а р о. О кривых, определяемых дифференциальны-
ми уравнениями. М.— Л., 1947, гл, XVIII (стр. 210 и далее).
И (стр. 70). Об индексе Кронекера см. книгу, указанную в предыдущем прим.,
стр. 220.
12	(стр. 75). Понимаемое буквально, высказанное утверждение опровергается
примером Fa = х1 + 1^22-2, /Д — F2 = ... = 0.
Утверждение Пуанкаре, что в любой окрестности любой точки есть замкнутая
траектория, естественно относить лишь к системам «общего положения». В такой фор-
ме оно правдоподобно, но до сих пор не доказано. Важные результаты в этом направле-
нии недавно получил Пыо (Р u g h. The Hamiltonian closing lemma. Международный
математический конгресс. Москва, 1966). Пью показал, что малым (с первыми произ-
водными) изменением гамильтонова векторного поля можно добиться того, чтобы про-
ходящая через данную точку траектория стала замкнутой. Неизвестно, можно ли до-
биться этого более гладкой деформацией, тем более аналитической, как того требовал
Пуанкаре.
1 Дальше цитируется «Oeuvres» с указанием тома.
/50
Новые методы небесной механики. 1
13	(стр. 76). Намеченная здесь теория бифуркации периодических решений послу-
жила основой работы Пуанкаре о геодезических на выпуклых поверхностях (см. на-
стоящее собрание сочинений, т. 2).
14	(стр. 87). G. W. Hill. Researches in the Lunar Theory.— Amer. Journal of
Mathematics, 1878, 1, p. 5—26, 129—147, 245—260; см. также: G. W. H i 1 1. The Col-
lected Mathematical Works, v. I, 1905, p. 284—335.
15	(стр. 87). Здесь Пуанкаре ссылается на свою работу: «Sur certaines solutions
particulieres du probleme des trois corps» (О некоторых частных решениях задачи
трех тел). Bull. Astr., 1884, 1. Она воспроизведена в «Oeuvres», t. 7. Paris, 1952.
16	(стр. 95). При перепечатке своего мемуара в «Collect. Math. Works» (см. прим
[14]) Хилл дал следующую сноску: «The attribution of the maximum lunation to
this moon is erroneus as was first pointed out to me by J. C. Adams and afterwards by
M. Poincare». (Ошибочно приписывать максимум лунации этой луне, как было
мне указано сначала Дж. Адамсом, а затем г. Пуанкаре.) См. указ, выше соч., стр.
326.
17	(стр. 111). В этих словах Пуанкаре можно усмотреть зародыш того, что теперь
называется «теорией Морса».
Речь идет по существу о числе критических точек гладкой функции на торе.
Аргументация Пуанкаре была, вероятно, следующей.
В мемуарах «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (ОГИЗ,
1947, гл. XVIII) Пуанкаре фактически доказал, что для любой гладкой функции на
многообразии число
% = Л/о — Mi Мг . . . ,
где Мо — число минимумов, Мг — число седел с одним отрицательным квадратом,
М2 — с двумя, ... одно и то жА и совпадает с «характеристикой Эйлера — Пуанкаре»
этого многообразия, / = Ъо — Ь, + . . ., где 6, — i-e число Бетти. В частности, эйле-
рова характеристика тора равна нулю, поэтому
Мо - Mi+ Mt = 0.
Но так как число минимумов Мо и число максимумов М2 не меньше 1, то Мх не меньше
2. Отсюда Пуанкаре и приходит к выводу, что общее число критических точек функции
на торе не меньше 4. Для трехмерного тора характеристика Эйлера — Пуанкаре равна
0, поэтому
ма — мг + М2 — М3 = 0.
Хотя Ми и М2 не меньше 1, Пуанкаре не смог извлечь отсюда информации о существо-
вании других критических точек, чем и объясняется заключительная часть фразы на
стр. 111.
В действительности критические точки, отличные от максимума и минимума, су-
ществуют у любой гладкой функции на многообразии, не гомеоморфном сфере
(J. Milno г. Sommes de varietes differentiables et structures differentiables des
spheres.— Bull. Soc. Math, de France, 1959, 87, 439—447).
Связь между числом критических точек функции на многообразии и топологией
многообразия после Пуанкаре была детально исследована М. Морсом (см., например,
Комментарии
751
кн.: Дж. Милнор. Теория Морса. Изд-во «Мир», 1965, гл. I). Из неравенств Морса
следует, что общее число критических точек не меньше суммы чисел Бетти
Ма + Мг М2	Ъп + bt + Ь2 + . . . .
Для «-мерного тора сумма чисел Бетти равна 2П. Поэтому функция на двумерном
торе имеет не менее четырех критических точек, на трехмерном —не менее восьми и т. д.
В соответствии с этим при возмущении заполненного периодическими траектори-
ями трехмерного тора возникает по крайней мере четыре периодических решения, че-
тырехмерного — восемь и т. д. (ср.: V. А г п о 1 d. С. В. Acad. Sci. Paris, 1965, 261, 3719—
3722).
Заметим, что выше все время имелись в виду невырожденные критические точки,
т. е. такие, в которых второй дифференциал функции невырожден; если же имеются
и вырожденные критические точки, то их надо учитывать с кратностями.
Число геометрически различных критических точек па многообразии также можно
оценить через топологические инварианты многообразия, такие, как категория Лю-
стерника — Шнирельмана (см., например: Л ю с т с р н и к и III н и р е л ь м а п,
Топологические методы в вариационных задачах. Изд-во МГУ, 1930).
Категория двумерного тора равна 3, «-мерного — п + 1. Отсюда следует, что функ-
ция на двумерном торе имеет по меньшей мере три геометрически различные критиче-
ские точки, на и-мерном — по меньшей мере п + 1.
Эти оценки достигаются — существуют функции, имеющие ровно п + 1 критиче-
скую точку.
В соответствии со сказанным при возмущении заполненного периодическими траек-
ториями «-мерного тора возникает не менее п геометрически различных периодиче-
ских решений.
18	(стр. 139). Имеется ввиду знаменитый мемуар Пуанкаре, получивший премию:
Н. Poincare. Sur le Probleme des Trois Corps et les Equations de la Dynamique
(О проблеме трех тел и об уравнениях динамики.— Acta mathematica, t. 13, 1889):
также в собрании сочинений Пуанкаре: Н. Р о i п с а г ё. Oeuvres, t. 7. «Новые методы
небесной механики» в значительной своей части представляют собой либо дальнейшее
развитие, либо новую редакцию методов и результатов, изложенных в этом мемуаре.
Интересны письма Пуанкаре по поводу этого мемуара, адресованные известному швед-
скому математику, редактору«АсДа mathematica», Г. Миттаг-Леффлеру. Они опубли-
кованы в «Acta mathematica», 1921, t. 38, 161—173. Частично мемуар Пуанкаре вклю-
чен в том 2 настоящего издания.
19	(стр. 146). Это работа: «On the Part of the Motion of the Lunar Perigee which is
a Function of the Mean Motions of the Sun and Moon». Cambridge, Mass., John Wilson
and Son, 1877, p. 28, перепечатанная и в «Acta mathematica», 1886, VIII, 1—36 и в
«Collected Math. Works of G.W. Hill», v. I, Washington, 1905, стр. 243—270.
20	(стр. 204) См. прим. [18].
21	(стр. 205). Несуществование однозначного аналитического интеграла в задаче
трех тел до сих пор не доказано с полной строгостью. Пуанкаре фактически рассмат-
ривает лишь интегралы, аналитические не только относительно переменных Делоне,
но также и относительно параметра ц или Vц. Первое аккуратное доказательство неин-
тегрируемости гамильтоновой системы достаточно общего вида принадлежит К. Л. Зи-
75г
Новые методы небесной механики. I
1елю (русск. псрев.: Математика, 5, вып. 2, 1961, 129—155); см. также работу:
10. Мозер. On the integrability of area preserving Cremona mapping near an elliptic
fixed point.— Buletin de la Sociedad Matematica Mexicana, 1961 и цитированную
в ней литературу.
Интересно отметить, что неаналитические интегралы в рассматриваемых задачах
возможны; их существование в задачах с двумя степенями свободы вытекает из одной
теоремы А. Н. Колмогорова (см.: А. Н. Колмогоров. Докл. АН СССР, 1954,
48, № 4, 527—530; В. И. А р н о л ь д, УМН, 1963, 18, № 5 и 6). Напротив, в случае,
когда число степеней свободы более двух, для системы общего вида, вероятнее всего,
невозможен даже и непрерывный интеграл (см.: В. И. А р н о л ь д. Докл. АН СССР,
1964, 156, № 1, 9-12).
22	(стр. 220). Напомним, что речь идет об аналитических интегралах. Непрерывный
интеграл в рассматриваемой системе с двумя степенями свободы существует, если отно-
шение масс больших тел достаточно мало (см. прим. [311).
23	(стр. 220). См. прим. [18].
24	(стр. 223). Работу С. В. Ковалевской в русском переводе см.: С. В. К о ва-
ле в с к а я. Научные работы. М, Изд-во АН СССР, 1948.
25	(стр. 234). Развитый в этой главе метод и аналогичные методы в теории распро-
странения электромагнитных волн (Ватсон, Зоммерфельд, Фок) нашли в последнее
время новые применения при исследовании асимптотических свойств квантово-меха-
нической амплитуды рассеяния (Редже и др.; см. сборник переводов «Теория сильных
взаимодействий при больших энергиях». ИЛ, 1963).
26	(стр. 277). Должно быть
а - у - -L
д   п/й fad-be-l , Т ! I 2
ео, о - V210 zo с dt2 I
27	(стр. 278). Отношение средних движений Юпитера и Паллады равно 7/18, а не
8/17. Вероятно, должно быть
а — 2, t — 2, с = — 1, с/ = 1, п = 8,
откуда
mL — 18, т2 — — 7.
28	(стр. 299). См. прим. [18].
29	(стр. 326). Пуанкаре ссылается на свой мемуар «Sur les integrates irregulieres
des equations lineaires» (Об иррегулярных интегралах линейных уравнений).— Acta
Matbeniat ica, t. VIII, 1886; также в «Oeuvres», t. 1.
Считаю сеоим долгом поблагодарить Г. А. Мермана, М. С. Петровскую, М. С. Вол-
кова. Л. Ю. Ппус, Г. А. Красппского, А. А. Бряндпнскую и И. В. Иословича, указав-
ших многочисленные опечатки в I томе французского оригинала.
В. И. Арнольд
II
За последние годы издан и переиздан целый ряд монографий и учебников по раз-
личным разделам небесной механики. Не претендуя на полноту, укажем лишь па не-
которые из них, в которых можно найти сведения о круге вопросов, затрагиваемых
во втором томе сочинения А. Пуанкаре.
Комментарии
753
Л. Пуанкаре. Лекции по небесной механике (1905—1909). М., изд-во «Нау-
ка», 1965.
К. Шарлье. Небесная механика (1927). М., изд-во «Наука», 1966.
А. У и н т н е р. Аналитические основы небесной механики. М., изд-во «Наука».
1967 (в англ, оригинале книга издана в 1941 г.).
К. Л. Зигель. Лекции по небесной механике (1956). М., ИЛ, 1959.
Д. Брауэр и Дж. Клеме н с. Методы небесной механики. М., изд-во
«Мир», 1964.
Г. А. Чеботарев. Аналитические и численные методы небесной механики.
М.— Л., изд-во «Наука», 1965.
В последних двух монографиях приведены обширные исторические и литератур-
ные ссылки по практическим методам расчета планетных движений, применяемых в не-
бесной механике.
Наконец, нельзя не упомянуть о давно ставшей библиографической редкостью
кише: Дж. (Г.) Д. Б и р к г о ф. Динамические системы (1927). М.— Л., ГИТТЛ,
1941, послужившей отправной точкой для многих упоминаемых в наших коммента-
риях исследований.
Во втором томе «Новых методов небесной механики» А. Пуанкаре излагает методы,
позволяющие представить решение задач небесной механики в виде бесконечных три-
гонометрических рядов.
Сама идея разложения в бесконечный ряд была к тому времени"далеко не новой,
ею широко пользовались еще Ньютон и Эйлер, решая дифференциальные уравнения
с помощью рядов Тейлора. Очевидно, однако, что ряды по степеням времени бесполез-
ны для практических нужд астрономов. В самом деле, движения планет носят периоди-
ческий характер, а предсказывать их нужно на протяжении многих периодов (напри-
мер, на протяжении десятков лет — оборотов Земли вокруг Солнца). Для этой цели
мало пригодна аппроксимация функции отрезком ее ряда Тейлора. Чтобы иметь воз-
можность вычислить два верных знака синуса из разложения
I3 t3
sinf
на отрезке 0«С t О Ю0 (немногим больше 15 периодов), не пользуясь при этом периодич-
ностью, понадобится по самой грубой оценке не менее сотни членов.
Поэтому усилия многих поколений ученых были направлены на отыскание методов,
с помощью которых можно было бы получить последовательно сколь угодно точные
приближения к решению в виде суммы периодических функций. Эти методы получили
название теории возмущений. В основе их лежит идея вариации произвольных посто-
янных, восходящая к Эйлеру и подробно развитая Лагранжем.
Теория возмущений планетных орбит позволила астрономам не только предска-
зывать с большой точностью движение известных планет солнечной системы. Ее под-
линным торжеством явилось открытие Нептуна, который был вычислен Адамсом
Леверрье по возмущениям в движении Урана, которые нельзя было объяснить влия-
нием других планет.
Параллельно с решением прикладных задач — вычислением эфемерид — мате-
матики и астрономы всегда старались получить ответ и на вопросы теоретического ха-
754
Новые методы небесной механики. II
рактера. В первую очередь здесь следует назвать вопрос об устойчивости солнечной
системы. В 1773—1784 гг. Лагранж и Лаплас показали, что большие полуоси планет-
ных орбит, равно как и эксцентриситеты и наклонения, испытывают лишь периоди-
ческие изменения, если пренебречь возмущениями второго порядка, т. е. порядка
квадрата отношения масс планет к массе Солнца (даже для самой большой планеты,
Юпитера, это отношение имеет порядок Viooo). Таким образом, размеры солнечной
системы должны оставаться ограниченными вечно. Движения, траектории которых
остаются в конечной области фазового пространства, получили впоследствии название
устойчивых по Лагранжу.
В 1809 г. Пуассон продолжил эти исследования и показал, что и во втором прибли-
жении большие полуоси не содержат вековых членов (видаС7та), но включают смешан-
ные члены (At-cos (nt + со)). Ясно, что решение, содержащее смешанный член, не будет
устойчивым по Лагранжу, так как амплитуда такого члена неограниченно возрастает.
Все же и здесь имеет место устойчивость в некотором ослабленном смысле, так как ре-
шение возвращается к своему начальному значению бесконечно много раз. Такое явле-
ние было названо Пуанкаре устойчивостью по Пуассону и в третьем томе данного сочи-
нения продемонстрировано его значение для задач динамики.
Наконец, в 1878 г. Аретю показал, что в третьем приближении теории возмущений
изменение больших полуосей должно содержать вековой член. Подробные вычисления
третьего приближения провел недавно Ж. Мефруа, который и нашел явный вид этого
векового члена (J. М е f f г о у. Contribution a 1’etude de la stability du systeme solai-
re.— Bull. Astr., 1955, 19, № 1-3, p. 1—104, 105—195, 197—224).
Появление вековых и смешанных членов не всегда вызвано существом дела. Иногда
причина коренится в неудачном выборе метода. В самом деле, в разложении по сте-
пеням е
sin (п е) t — sin nt 4- si-cos nt .
смешанный член sb cos nt возник из-за того, что мы пытаемся колебание с частотой
п — п + е разложить по колебаниям с частотой п. Достаточно изменить частоту и
трудность мгновенно исчезает.
Идея вариации частот и легла в основу методов, появившихся во второй половине
XIX в. на смену классическим методам теории возмущений Лагранжа и Лапласа и
связанных с именами Ганзена, Делоне, Линдштедта, Гильдена, Ньюкома, Болина
и др. Эти методы дали возможность избежать появления вековых и смешанных членов
и представить тем самым решение в чисто тригонометрическом виде. Именно это обстоя-
тельство особенно подчеркивает Пуанкаре, включая их в число «новых методов» в про-
тивовес «старой» теории возмущений.
Другая трудность теории возмущений связана с появлением в ее разложениях
так называемых малых делителей или малых знаменателей. Дело в том, что в каждом
приближении нам приходится интегрировать тригонометрические ряды, в которых ар-
гументы под знаками синуса или косинуса имеют вид (п1т1 +  •  + иь-Мк) t у.
При интегрировании члена такого ряда в знаменателе появляется сумма + . . .
. . •+ п^т^. Если частоты почти соизмеримы, то некоторые из этих сумм оказываются
малыми, а соответствующие члены большими. Со времен Лапласа известно «большое
неравенство» в планетных движениях, связанное с тем, что отношение частот обраще-
Комментарии
755
ния Сатурна и Юпитера nt : п2 ~ 2 : 5 (соответственно малы знаменатели, кратные
5п1 — 2тг2).
Открытие пояса астероидов и построение теории их движения особенно подняло
интерес к проблеме малых делителей, так как, с одной стороны, среди астероидов встре-
чаются такие, частоты обращения которых «остро соизмеримы» с частотой обращения
Юпитера (Юпитер — троянцы, 1:1; Юпитер — Гекуба, 1 : 2; Юпитер — Гильда,
2:3 ит. п.), а с другой — в распределении частот обращения всей массы
астероидов обнаружились «люки»: частот, остро соизмеримых с частотой
обращения Юпитера, много меньше, чем остальных. Явление «люков» было
одним из первых указаний, что проблема малых делителей лежит в существе
дела, а не является трудностью, порожденной неудачным методом.
Излагая новые методы теории возмущений, А. Пуанкаре отнюдь не стремился следо-
вать изложению их авторов. Обобщив эти методы на широкий класс задач динамики,
он показал прежде всего возможность провести их во всех приближениях. Затем он
выяснил сферу применимости новых методов и проследил их взаимосвязи. На протя-
жении многих страниц он возвращается к одной и той же задаче, показывая пред-
мет то с одной, то с другой стороны, стараясь не пропустить ни одного интересного яв-
ления.
Анализируя полученные разложения, Пуанкаре приходит к выводу о расходимо-
сти рядов теории возмущений «с точки зрения геометра», хотя первые их члены вполне
удовлетворительны «с точки зрения астрономов». Попутно вводится понятие, известное
теперь под названием «асимптотических рядов в смысле Пуанкаре».
Под влиянием этого открытия энтузиазм (особенно среди математиков) по отно-
шению ко всей теории возмущений в целом в значительной степени ослаб. Оживился
интерес к поискам решений в виде степенных рядов, и, наконец, в 1912 г. Зундман
доказал, что решения задачи трех тел небесной механики (за исключением решений,
заполняющих в фазовом пространстве многообразие меньшего числа измерений) пред-
ставляются на всей временной оси в виде аналитических функций вспомогательного
переменного. К сожалению, теорема Зундмана бесполезна с точки зрения практических
вычислений ввиду крайне медленной! сходимости рядов. В 1931 г. французский астро-
ном Д. Белорицкий показал, что нужно взять Ю8000000 членов в рядах Зундмана, чтобы
добиться точности, необходимой для астрономов. Поэтому астрономы продолжали поль-
зоваться для своих расчетов теорией возмущений, первые члены которой позволяют
вполне удовлетворительно описать движение небесных тел.
С появлением быстродействующих электронных вычислительных машин классиче-
ские аналитические методы небесной механики получили серьезного конкурента.
Еще в 1950 г. в США было проведено численное интегрирование системы дифференци-
альных уравнений 30-го порядка, описывающей движение Юпитера, Сатурна, Урана,
Нептуна и Плутона вокруг Солнца на протяжении с 1650 по 2060 г. н. э. Вычисления
велись с 14 знаками и их результаты показали прекрасное согласие с наблюдениями.
Особенно велико преимущество электронных машин при расчете траекторий искусст-
венных небесных тел, где обстановка меняется очень быстро и нет времени для по-
строения аналитической теории. С этой же точки зрения по-новому ставится вопрос и об
использовании степенных рядов, так как эти ряды и ряды полиномов, дающие сходи-
мость на всей временной оси, оказываются здесь полезными.
756
Новые методы небесной механики. II
Однако теория возмущений еще не сказала своего последнего слова. Прогнозиро-
вание движения искусственных спутников Земли (а теперь и спутников Луны) на про-
межутках времени порядка нескольких тысяч оборотов и качественный анализ эво-
люции их орбит поставили новые задачи, для решения которых успешно используются
асимптотические методы, начало которым положил Пуанкаре. С другой стороны, чрез-
вычайно заманчивой представляется идея синтеза численных и аналитических мето-
дов. Построение аналитической теории движения планет связано со столь большим
количеством выкладок, что выполнить их вручную — практически задача нереальная.
Так как отдельные операции при этом более или менее стандартны (разложение в ряд,
перемножение рядов, подстановка ряда в ряд и т. п.), то для их проведения можно ис-
пользовать вычислительные машины. Эта идея уже реализована в ряде работ
(В. А. Б р у м б е р г. Обобщенная планетная теория.— Труды ИТА АН СССР;
D. В а г t о n. Lunar disturbing function.— Astron. J., 1966, 71, № 6, 438—442).
Наконец, для качественного анализа систем небесной механики численный экспе-
римент является прекрасным союзником теории. Достаточно вспомнить о проблеме
захвата в задаче трех тел. После работ Ж. Шази долгое время эта проблема считалась
решенной в отрицательном смысле, пока эксперимент — численный эксперимент —.
вновь не поставил ее на повестку дня. Пример захвата, построенный численным инте-
грированием О. Ю. Шмидтом и Г. Ф. Хильми, вызвал к жизни теоретические работы
Г. А. Мермана, К. А. Ситникова, В. М. Алексеева и др.
В настоящее время после работ А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда и Ю. Мо-
зера (см. прим. [44]) на очередь встал вспрос об описании строения всего мно-
гообразия решений в системах небесной механики и эволюции этих систем. Ответ на
этот вопрос вряд ли можно получить, не изучив предварительно его в рамках теории
возмущений и не проанализировав большое количество численных экспериментов.
Можно надеяться, что издание перевода труда А. Пуанкаре будет в значительной
мере этому содействовать.
30	(стр. 333). Введенное А. Пуанкаре понятие асимптотически сходящегося ряда
и развитое им исчисление таких рядов, основы которого излагаются в настоящем раз-
деле, выросло в современной математике в большую область асимптотического анализа.
См., например: Н. д е Брейн. Асимптотические методы в анализе. М., ИЛ, 1961;
Эрдеи. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962 и др.
31	(стр. 345). Пуанкаре ссылается здесь на свои работы: «Sur une methode de
M. Lindstedt» (Об одном методе г. Линдштедта). — Bull. Astr., 1886, III, fevrier;
«Sur les series de M. Lindstedt» (О работах г. Линдштедта).— CB, CVIII, 1889; см.:
«Oeuvres», t. 8.
32	(стр. 346). Уравнения, которые рассматривал Линдштедт и которые анализиру-
ет далее Пуанкаре, составляют основу современной теории колебаний. Потребности
радиотехники и других практических областей стимулировали развитие асимптоти-
ческих методов, правда в отличие от задач небесной механики главным образом в некон-
сервативном случае. Интересно проследить аналогию между классическими методами
небесной механики и методами теории нелинейных колебаний. Метод усреднения,
приписываемый Ван-дер-Полю, задолго до Ван-дер-Поля применялся Лагранжей и
Гауссом при изучении вековых возмущений планетных орбит. Методы Крылова —
Боголюбова, с помощью которых решения представляются в виде асимптотического
Комментарии
757
ряда, представляют обобщение методов Линдштедта и т. д. Следует заметить, что в не-
консервативных системах детально исследован лишь случай одночастотных колебаний,
что совершенно нехарактерно для задач небесной механики. По этому поводу см.:
Н. Н. Боголюбов и Ю, А. Митропольский. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958; В. М. Волосов. Усредне-
ние в системах обыкновенных дифференциальных уравнений.— УМН, 1962, 17,
вып. 6(108); М. Крускал. Адиабатические инварианты. М., ИЛ, 1962.
33	(стр. 349). Это рассуждение не совсем точно. В самом деле, построение функций
Sp методом, изложенным выше, возможно лишь при отсутствии соизмеримости между
частотами тг® = — dFa/dx^. Так как х®, для которых частоты соизмеримы, расположены
всюду плотно, то использование производных dSp/дх^ в замене переменных (7) некор-
ректно. Эту трудность можно обойти следующим образом.
Пусть фиксированы так, что соответствующие частоты ni = щ (хД несоизмери-
мы. Положим xi = х* -|- gj и вместо (4) рассмотрим уравнение
/ . dS* „ dS"	\
F I х 4- ---, . . . , х + -г.— ; yi, у ) = С* .
। 1 i уу1 >	’ п ' дуп ’ а	’ апj
Функции А* и С* будем искать в виде
ОО
а* =^1+...+^я + и^+	5;,
р=2
оо
Г=/о(хГ)+ 2 с;,
г>=1
(4*)
(3*)
где А** периодична по у;, а А*, Ср — формы р-й степени относительно ц, с периодиче-
скими по yi коэффициентами. Для их определения получаем уравнения
dSr
dyi
, dsx
п~ду,
-- fi (**, ?/j) — Ср
(6*)
ds*
___p
dyi
которые решаются так же, как и уравнения (6). Делители	... + тппп, появляю-
щиеся в коэффициентах рядов Фурье, по предположению отличны от нуля. Таким
образом, члены рядов (3*) определены корректно (при надлежащем выборе яг ряды
Фурье сходятся, см. гл. XIII), но сами ряды носят по-прежнему формальный характер.
Так как формальные ряды можно дифференцировать по то замена переменных
dS
дУг ’

ds*
dQ
(8*)
49 а. Пуанкаре
758
Новые методы небесной механики. II
с точки зрения формального анализа имеет смысл и дает нам ряды
оо
^=**+^+ 3 ^(рМХ-,н),
Р=1	(2*)
оо
Уг= Wi + 3
Р=1
где х?р\ у'^ — формы р-й степени относительно р., ^°\ с периодическими отно-
сительно р коэффициентами. Ряды (2*) определяют решение системы уравнений (1),
но это решение носит формальный характер не только в смысле главы VIII, т. е. по от-
ношению к малому параметру р, но и по отношению к %®.
34	(стр. 361). Имеется в виду: при любых правых частях. С другой стороны, вывод
Пуанкаре о разрешимости этой системы основан на замечании, сделанном в п. 126,
и не требует проверки алгебраических условий совместности. Подобная'проверкабыла
бы довольно громоздкой, что и составляет трудность в непосредственном доказатель-
стве применимости метода Линдштедта, о которой говорил выше Пуанкаре.
35	(стр. 366). Напомним, что согласно формулам п. 8 G и 0 — четные функции эк-
сцентриситетов и наклонений.
36	(стр. 371). Можно показать, что в пространственной задаче трех тел постоянная
Л4 тождественно равна нулю, что обусловлено наличием интеграла площадей. Таким
образом, все построения п. 132 (как и все построения последующих глав, опирающиеся
на методы этого пункта) можно применять только для плоской задачи.
37	(стр. 382). Здесь и далее следует иметь в виду, что функция/’ разлагается по
степеням р;. Поэтому в уравнение Гамильтона — Якоби войдут не только целые
степени производных dF/da^, но и полуцелые (хотя, как это несколько раз подчерки-
вает Пуанкаре, младшие члены относительно этих производных линейны). То же самое
имеет место для разложений по степеням О иУ. Это обстоятельство делает излагаемый
метод непригодным при малых р, т. е. при малых эксцентриситетах. Разбор этого слу-
чая Пуанкаре приводит в главе XII.
Указанная трудность не возникает, если для решения исходной системы п. 131
воспользоваться методом Дж. Биркгофа («Динамические системы»). Этот метод сводит-
ся к построению формальной канонической замены, приводящей функцию Гамильтона
R к виду R (52 + (£')2, . . .,	+ (д')2). Система с такой функцией Гамильтона легко
интегрируется.
38	(стр. 411). Метод, предложенный Пуанкаре в главе XII, пе переносится непосред-
ственно на задачу п тел (га > 3). Между тем преодолеваемую им трудность можно обой-
ти в задачах весьма общего типа следующим приемом.
Пусть L = (Llt . . ., Ln), 2, == (51; . . ., £m), ц == (т)х, . . ., т]п), ср = (<рг, . . ., <рт) —
канонические переменные и функция Гамильтона имеет вид
F = F0 (L) + р/ (L, ц) +	(Б, I-, г], Ч>),
т
f = 21 ™ Ф+/(3)	ч),
Комментарии
755
где — 2тг-периодична по <р с нулевым средним. Именно к такому виду может быть
приведена, например, плоская задача п тел.
Совершим каноническую замену
по формулам
т], <р) (Г, S', т)'. ф')
г г, ds ,	dS
L = L+^1^’	*₽ ' = Ф + НаГ’
dS	dS
^ = V + P-^, ri' = n + -ap
где д? удовлетворяет уравнению
п
3 ^^-+^О-Л,П,Ф) = 0,
1=1
dFo
П. = - ---
г 0L. *
г
Как нетрудно заметить, в новых переменных функция Гамильтона принимает вид
F (L, 5, р, ф) = F' (I/, if, <р') = jF (L') + р./' (/?, S', т)') + И2^' (£', S', *1', Ф')-
Здесь f содержит, вообще говоря, члены первой степени относительно S', Л - Аналогич-
но за I шагов мы придем к функции Гамильтона, в которой член, зависящий от
имеет порядокрг+1 • Пренебрегая членами этого порядка, получаем «осредненную» си-
стему, которая отличается от системы п. 131 лишь наличием членов первой степени
относительно S^\ Эти члены легко устраняются линейной относительно S^\
заменой переменных. После этого осредненную систему можно решать методом Бирк-
гофа. Модифицируя, как и в [3S], метод последовательных приближений, можно избе-
жать и здесь появления всюду разрывных функций.
39	(стр. 413). Тут ссылка на работу: «Sur la convergence des series trigonomctriques»
(О сходимости тригонометрических рядов).— Bull. Astr., 1884, I, juillet; см. также
«Oeuvres», t. 4.
40 (стр. 413). Ряды с малыми знаменателями типа рядов (3), которые рассматривает
Пуанкаре, возникают во многих задачах математики. В качестве примера назовем за-
дачу о приведении к нормальной форме системы обыкновенных дифференциальных
уравнений в окрестности особой точки. Трудности, связанные здесь с наличием малых
знаменателей, преодолел впервые К. Л. Зигель в 1952 г. (О нормальной форме ана-
литических дифференциальных уравнений в окрестности положений равновесия. —
«Математика», 1962, 5, № 2). Другой пример доставляет изучение поведения решений
дифференциальных уравнений на торе (А. Н. Колмогоров. О динамических си-
стемах с интегральным инвариантом на торе.— Докл. АН СССР, 1953, 93, № 5;
В. И. А р н о л ь д. Об отображениях окружности на себя.— Изв. АН СССР, матем.,
1961, 25, № 1; см. также доклад А. Н. Колмогорова на Математическом конгрессе в
Амстердаме).
49*
761
Новые методы небесной механики. II
Общим во всех этих исследованиях является применение арифметических сообра-
жений. Грубо говоря, основная масса иррациональных чисел плохо приближается ра-
циональными и потому малые знаменатели «не слишком малы». С другой стороны,
иррациональные числа, ненормально хорошо приближающиеся рациональными, по-
зволяют построить примеры расходящихся рядов типа (3) даже при аналитических
возмущениях.
41	(стр. 419). См. п. 74 и далее первого тома «Новых методов».
42	(стр. 419). Если бы ряды Линдштедта (2) или (7) сходились равномерно для х®,
изменяющихся в некотором интервале, то формулы (7) определяли бы расслоение
фазового пространства на n-мерные торы, а равенства wi =	— равномерное
вращение угловых координат на этих торах. При независимых частотах щ соот-
ветствующее движение было бы условно периодическим. Именно так и обстоит дело
при ц = 0. «Резонансные торы», на которых ^т;пг = 0 для некоторых целых mL.
распадаются при этом йа торы меньшего числа измерений. Оказывается, что при
ц =£= 0 резонансные торы перестают существовать, причем большая часть составляю-
щих их торов меньшего числа измерений разрушается полностью и лишь конечное
число таких торов продолжает существовать и в возмущенной системе, являясь ин-
вариантным многообразием размерности < п, которое может быть как устойчивым, так
и неустойчивым. В случае двух степеней свободы эти многообразия суть периодичес-
кие решения. Г. А. Мерман (Г. А. М е р м а н. Почти периодические решения и расходи-
мость рядов Линдштедта в ограниченной плоской круговой задаче трех тел.— Труды
Ин-та теоретической астрономии, 1961, вып. 8) провел соответствующие рассужде-
ния для случая рядов Линдштедта в ограниченной задаче трех тел.
Доказательство существования «зон неустойчивости» и анализ их структуры в об-
щем случае рассматривается в статьях 10. Мозера (J. М о s е г. On theory of quasi-perio-
dic motion. SIAM Review, 1966; Ю. M о з e p. О разложении условно периодических
движений в сходящиеся степенные ряды (1967).— УМН, 1969, 24, № 2 (146), 165—211)
и независимо В. К. Мельниковым (О некоторых случаях сохранения условно перио-
дических движений при малом изменении функции Гамильтона.— Докл. АН СССР,
1965, 165, № 6, 1245—1248; Об одном семействе условно периодических решений си-
стемы Гамильтона. — Там же, 181, № 3, 546—549). В одной модельной задаче
В. И. Арнольд (О неустойчивости динамических систем со многими степенями свобо-
ды.— Докл. АН СССР, 1964, 156, № 1, 9—12) показал, что при числе степеней свободы
> 2 зоны неустойчивости не только существуют, но вдоль них траектории могут уйти
сколь угодно далеко.
43	(стр. 419). В этом месте рассуждения Пуанкаре содержат пробел, на который
обратил внимание Г. А. Мерман (цит. выше соч.). Пусть со (ц) = пг1п2 и со (0) иррацио-
нально. Согласно рассуждению Пуанкаре мы должны взять достаточно малое irfl, так
чтобы со (ц„) = p!q было рациональным. Функция со (ц) аналитична и, не ограничивая
общности, можно считать, что со' (0) =^= 0. Но тогда
|р01	| со (И - со(0) | г-_ С |	- со (0) | >-|г
для почти всех иррациональных со (0). В то же время период Т дважды бесконечного
семейства периодических решений, полученного из рядов Линдштедта, будет’равен
Комментарии
761
2nq. Таким образом, для применимости результатов п. 42 мы должны знать, что реше-
ние
xi (t; Эр |х), yi (/; ж®, <3^, р)
разлагается в ряд по степеням р, причем для t, изменяющихся на интервале длины по-
рядка q, радиус сходимости этих рядов должен быть не меньше I/72. Для оценки радиу-
са сходимости в распоряжении Пуанкаре имеется только мажорантная оценка р0 —
~ е п = е что заведомо недостаточно.
44	(стр. 421). Таким образом, доказательство расходимости рядов Линдштедта
при фиксированных х® у Пуанкаре фактически отсутствует. При желании восполнить
этот пробел следует иметь в виду два существенно различных случая. При анализе ря-
дов Линдштедта Пуанкаре особое внимание уделяет возможности произвольного выбо-
ра коэффициентов разложения частот щ (р) по степеням р (начиная со второго члена).
Если ряды Линдштедта сходятся и для простоты предположено, что число степеней
свободы равно 2, то отношение частот а пг (р)/п2 (р) является аналитической функ-
цией ц, вообще говоря, непостоянной.
Таким образом, мы получаем следующую картину. Двумерный тор с циклическими
координатами wlt w2 с помощью уравнений (7) вкладывается в фазовое пространство и
является там двумерным инвариантным многообразием. Основная система дифферен-
циальных уравнений индуцирует на нашем торе систему, аналитически зависящую от
параметра р. Соответствующее число вращения а (равное отношению частот) также
является аналитической функцией и. Такая ситуация является весьма исключительной,
так как из работы В. И. Арнольда, цитированной выше, следует, что зависимость от
коэффициентов, вообще говоря, аналитической не является. Поэтому и в этом случае
ряды Линдштедта, по-видимому, не сходятся.
Существенно отличным является случай постоянных частот, и значительный
прогресс в рассматриваемых проблемах был достигнут в работах А. Н. Колмогорова,
В. И. Арнольда и 10. Мозера. Чтобы понять существо применяемых ими методов, вер-
немся к началу п. 148 и зададим вопрос: существуют ли функции вида (7), нс обязатель-
но аналитические по ц и определяющие решение уравнений Гамильтона после подста-
новки wi =	+ а,, если не при всех, то по крайней мере при достаточно большом
наборе z®?
Для решения поставленной задачи А. Н. Колмогоров предложил использовать ме-
тод типа метода Ньютона (касательных). При этом мы отказываемся от использования
разложений по степеням и, характерных для метода малого параметра, и строим функ-
ции (7) с помощью метода последовательных приближений. Заметим, что подобная
же идея отличает метод Ньюкома от метода Линдштедта (ср. стр. 361 настоящего изда-
ния). Однако сходимость разложений, как говорит Пуанкаре, «с точки зрения геометра»
Ньюкома интересовала мало, а сам Пуанкаре расценил метод Ньюкома как эквива-
лент методу Линдштедта, в расходимости рядов которого он был уверен.
Пусть функция Гамильтона имеет вид
А = Fn (х.) 4- Fi (х., yt),
п	57* о л
где возмущение 7^ имеет порядок ц, и пусть частоты	(aq) несоизмеримы
762
Новые методы небесной механики. II
в достаточно сильном смысле. Более точно, пусть при всех целых пц, не равных нулю
одновременно, выполняется неравенство
I+... + ™х।> (|„1| + ..Д|тп1Г, 
Полезно заметить, что точки (nJ, . .	п°) в n-мерном пространстве, для которых подоб-
ное неравенство имеет место хотя бы при одном К, образуют множество, дополнение
к которому имеет меру нуль в смысле Лебега.
Надлежащим каноническим преобразованием, определенным в окрестности п-мер-
ного тора Xi = z®, функция Гамильтона преобразуется к виду
F=F>i> +
в котором возмущение Fy имеет уже порядок р2. После п шагов это возмущение будет
иметь порядок р2 . Возникающая «сверхсходимость», характерная для методов последо-
вательных приближений ньютоновского типа, позволяет преодолеть влияние малых
делителей, возникающих на каждом шагу при выборе нужного канонического преоб-
разования.
Применяя этот метод, А. Н. Колмогоров доказал (А. II. Колмогоров.
О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Га-
мильтона.— Докл. АН СССР, 1954, 98, № 4; В. И. А р н о л ь д. Доказательство
теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно периодических движений при малом
изменении функции Гамильтона.— УМН, 1963, 18, вып. 5), что при отсутствии собст-
венного вырождения (т. е. если гессиан функции Гамильтона отличен от нуля) ответ
на сформулированный выше вопрос положителен. Функции вида (7) при фиксирован-
ных z® и [1 определяют в фазовом пространстве инвариантный тор, если только частоты
«сильно несоизмеримы», и движение на этом инвариантном торе является условно пе-
риодическим.
Инвариантные торы не заполняют всего фазового пространства, но мера дополни-
тельного к ним множества стремится к нулю вместе с ц. Это дополнительное множество
заполнено остатками разрушившихся «резонансных торов», на которых при ц = О
частоты удовлетворяли соотношению вида = 0.
Процедура метода последовательных приближений ньютоновского типа не связана
с зависимостью функции Гамильтона от малого параметра ц. Если же F зависит от ц
аналитически, то эта зависимость сохраняется и при предельном переходе. Поэтому
функции вида (7), с помощью которых определяются инвариантные торы с условно
периодическим движением, также должны зависеть от ц аналитически. Это означает,
что при надлежащем выборе г®, при котором частоты «сильно несоизмеримы», т. е.
удовлетворяют написанному выше неравенству, ряды Линдштедта должны сходиться,
если мы выбираем коэффициенты в разложениях щ (р) равными нулю, начиная со вто-
рого. В задаче об отображении окружности сходимость рядов, аналогичных рядам
Линдштедта, была доказана В. И. Арнольдом (цит. выше соч., Изв. АН СССР, 1961).
Позднее Ю. Мозер доказал то же самое и для самих рядов Линдштедта (цит. соч., пе-
ревод в УМН, 1969). Эти результаты получены сравнением рядов теории возмущений
Комментарии
763
с тем, что дает метод Ньютона. Прямое доказательство сходимости рядов Линдштедта,
основанное на оценке коэффициентов, пока не найдено.
В применениях теоремы Колмогорова существенно различаются случаи, когда чис-
ло степеней свободы равно двум или больше двух. В первом случае изоэнергетическое
многообразие имеет размерность три и двумерные инвариантные торы его разделяют.
Поэтому траектория, начинающаяся в «щели» между двумя инвариантными торами,
остается вечно в ограниченной области фазового пространства, т. е. соответствующее
движение будет устойчивым по Лагранжу. Для периодических решений, принадле-
жащих к устойчивому (эллиптическому в смысле Биркгофа) типу, те же рассуждения
позволяют установить устойчивость в смысле Ляпунова. См., например:А. М. Л е он-
то в и ч. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи
трех тел.— Докл. АН СССР, 1962, 143, Я» 3.
Подобные рассуждения отказываются служить, если число степеней свободы боль-
ше двух, так как в этом случае n-мерные торы не разделяют (2п — 1)-мерного изоэнер-
гетического многообразия. Зоны неустойчивости, возникающие в местах, где частоты
щ = dFJdxi связаны линейными соотношениями с целыми коэффициентами, сообщают-
ся друг с другом, и появляется возможность уйти по ним сколь угодно далеко. Это
было показано В. И. Арнольдом в одном модельном примере (см. прим. [42]) и меха-
низм, примененный им для доказательства, носит общий характер. Вероятно, наличие
условно периодических движений на инвариантных торах дополняется неустойчивыми
движениями в щелях между ними. Не исключена возможность, например, существова-
ния траекторий, всюду плотных в некоторой области фазового пространства, и т. п.
Теорема Колмогорова отказывалась служить в применении ко многим задачам
небесной механики. Дело в том, что обычно при ii = 0 здесь имеет место вырождение:
функция Гамильтона Fo (zj) зависит лишь отчасти переменных х^ и потому между час-
тотами всегда имеется резонансное соотношение. Подобная трудность встречается и
при построении рядов Линдштедта (см. п. 134), и Пуанкаре преодолевает ее, добав-
ляя к Fn результат усреднения f'\ по «быстрым» переменным.
Аналогичным приемом воспользовался и В. И. Арнольд. В своей работе «Малые
знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механи-
ке» (УМН, 1963,18, вып. 6) он доказал, что результаты, аналогичные теореме Колмо’
горова, можно получить и при наличии вырождения. В частности, В. И. Арнольд
доказал, что для задач трех тел и многих тел мера множества начальных условий,
порождающих условно периодические движения, положительна. Этот результат, хотя
п не означает устойчивости солнечной системы (из сказанного выше следует, что в
смысле Ляпунова такой устойчивости, по-видимому, и не может быть), но делает
ее «достаточно вероятной».
Как А. Н. Колмогоров, так и В. И. Арнольд имели дело с аналитическими га-
мильтоновыми системами. В цикле работ Ю. Мозер (Новый метод построения решений
нелинейных дифференциальных уравнений (1961). — «Математика», 1962, 6, вып. 4,
3—10; О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.—
Там же, 1962, 6, вып. 5; 51—67; Быстро сходящийся метод итераций и нелинейные диф-
ференциальные уравнения.— УМН, 1966,23, К» 4 (142); 179—238) показал, что анало-
гичных результатов можно добиться и для достаточно гладких систем и возмущений.
Многочисленные применения методов Колмогорова — Арнольда — Мозера можно
764
Новые методы небесной механики. II
найти в уже упоминавшихся работах, а также в докладе В. И. Арнольда (в сб. «Проб-
лемы движения искусственных небесных тел». М., Изд-во АН СССР, 1963).
Упомянем еще о некоторых результатах, относящихся к исследованию окрестно-
сти положения равновесия. К. Л. Зигель доказал (О существовании нормальной
формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности поло-
жения равновесия (1954).— «Математика», 1962, 5, вып. 2), что для сходимости рядов
Биркгофа, родственных рядам Линдштедта, необходимо, чтобы функция Гамильтона
удовлетворяла счетному числу условий на ее коэффициенты. См. также: S. М i у а-
h а г a. On the existence of the normal form in the neighbourhood of an equilibrium point
of analytical Hamiltonian differential equations.— Publ. Astr. Soc. Japan, 1960, 14,
№ 3; H. R ii s s m a n n. Uber die Normalform analytischer Hamiltonscher Differential-
Gleichungen in der Nahe einer Gleicbgewichtslosung.— Math. Ann., 1967, 169, 55—72.
Вопрос о сходимости и расходимости формальных рядов, приводящих аналити-
ческую систему дифференциальных уравнений к (не обязательно гамильтоновой) нор-
мальной форме, рассмотрел А. Д. Брюно (Нормальная форма дифференциальных урав-
нений.— Докл. АН СССР, 1964, 157, № 6; О сходимости преобразований дифферен-
циальных уравнений к нормальной форме.— Докл. АН СССР, 1965, 165. № 5; О рас-
ходимости преобразований дифференциальных уравнений к нормальной форме,—
Докл. АН СССР, 1967, 174, № 5; О формальной устойчивости систем Гамильтона.—
Матем. заметки, 1967, 1, № 3).
Дж. Литлвуд рассмотрел асимптотические ряды, с помощью которых представляет-
ся решение задачи трех тел в окрестности лагранжева равностороннего треугольника, и
получил для их А-го члена оценку порядка A2 Iog’/s (А + l)NeN при А порядка
1/| In | е 113/4. Это позволило ему заключить, что, возмущая начальные условия на
величину порядка е, мы получим возмущения решений, имеющие порядок е на интер-
вале времени порядка е 'г
Для рассматриваемой задачи число степеней свободы равно двум и подобный ре-
зультат на бесконечном интервале можно получить из топологических соображений.
Однако метод Литлвуда, по-видимому, применим и в высших размерностях, что может
оказаться полезным.
45	(стр. 426). Неясно, что имеет в виду Пуанкаре, говоря о бесконечно большом
числе аргументов. В написанном выше разложении для pt все аргументы будут кратны
одному, тогда как в рядах Линдштедта аргументы являются целочисленными комби-
напиями по крайней мере п основных.
46	(стр. 442). Обратим внимание на то, что в этих формулах по сравнению с форму-
лами в пунктах 131 и 137 синус и косинус поменялись местами.
47	(стр. 530). Это уравнение в настоящее время обычно называется уравнением
Матье. Его решения хорошо изучены (см., например: М. Д. О. С т р е т т. Функции
Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, 1935). Неустойчивость решений диф-
ференциальных уравнений, вызванная периодическим изменением их параметров, носит
название «параметрического резонанса». См. цитируемую выше монографию Н. Н. Бо-
голюбова и Ю. А. Митропольского, а также: Дж. Стокер. Нелинейные колебания
в механических и электрических системах. М., ИЛ, 1953. Глубокое исследование яв-
лений параметрического резонанса провел М. Г. Крейн (Основные положения теории
Комментарии
765
Х-зон неустойчивости канонической системы линейных дифференциальных уравнений
с периодическими коэффициентами. Сборник памяти А. А. Андронова. М., 1955,
113—498).
48	(стр. 531). Пуанкаре ссылается на работу: «Sur les groupes des equations lineai-
res» (О группах линейных уравнений). Она перепечатана в «Oeuvres», t. 2.
49	(стр. 540). В самом деле, воспользовавшись периодичностью ф и фр получаем
ф, (0=X^(t + 2n)-F(«)]
И
фх(О= (/)-А(1-2л)].
Коэффициенты уравнения (1) периодичны, поэтому вместе с F(l) решением будет
и F(t + 2л), а следовательно, и ipi(i). Заменив во втором тождестве t на —t и вос-
пользовавшись четностью F, находим, что фх нечетна.
50	(стр. 558). Речь идет о работе: «Sur les determinants d’ordre infini» (Об опреде-
лителях бесконечного порядка).— Bull. Soc. Math. France, 1886, XIV, 77—90: см.
также: «Oeuvres», t. 5.
51	(стр. 561). G. W. H i 1 1. On the part of the motion of the lunar perigel which
is function of the mean motions of the sun and moon.— Acta Math., 1886, t. 8.
52	(стр. 568). Пуанкаре ссылается здесь на работу: «Sur les fonctions entieres» (О це-
лых функциях).— Bull. Soc. Math. France, 1883, XI, p. 136—144; см. также: «Oeuvres»,
t. 4.
53	(стр. 569). Пуанкаре дает здесь, видимо, неточную ссылку, так как он имеет
в виду работу Адамара «Sur les fonctions entieres de la forme (О целых функциях
вида e®(I 2 * * * б\), напечатанную в CR, 1892, CXIV, p. 1053. Там доказана теорема: чтобы целая
функция была рода нуль, коэффициенты сп ее тейлорова разложения должны удовлет-
ворять условию
I сп I ^-Г 2 'I"	’
где к — постоянная, р > 1.
54 (стр. 604). Методы Делоне, Болина и являющиеся их обобщением методы Цсй-
пеля (Н. V. Z е i р е 1. Recherches sur le mouvement des petites planetes, I—Arkiv mat.
astr., och fysik. Stockholm, 1916, 11, № 1) получили значительное развитие после
Пуанкаре в связи с исследованием движения астероидов с острыми соизмеримостями.
Обзор задач небесной механики, в которых применяются различные варианты этих
методов, см.: Ferraz MelloSylvio. Sur la methode de von Zeipel.— Mem.
Soc. astr. ital., 1966, 37, Ks 2.
55 (стр. 656). Изучение систем дифференциальных уравнений в окрестности инва-
риантного многообразия более сложной природы, чем стационарная точка или перио-
дическое решение, только начинается. Отметим здесь работы: Э. Г. Б е л а г а. О приво-
димости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности условно
периодического движения.— Докл. АН СССР, 1962, 143, № 2; Н. Н. Б о г о л ю-
б о в, Ю. А. М и т р о п о л ь с к и й. Метод интегральных многообразий в нелпней-
766	Новые методы небесной механики. II
вой механике.— Труды Международного симпозиума по нелинейным колебаниям. Киев.
Изд-во АН УССР, 1963; Ю. М о з е р (соч., цит. на стр. 763); А. М.Самойленко.
О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности
гладкого тороидального многообразия.— Изв. АН СССР, серия матем., 1966, 30,
1047—1072. О приводимости системы обыкновенных дифференциальных уравнений
ь окрестности гладкого интегрального многообразия.— Укр.’ матем. жури., 1966,
18, № 6, 41-65.
Считаю своим долгом выразить признательность В. И. Арнольду, В. А. Брумбергу,
I. А. Красинскому, Г. А. Мерману, М. С. Петровской и переводчику тома 2 «Новых
методов» Ю. А. Данилову, указавшим многочисленные опечатки во французском ори»
гинале.
Г. А. Красинскому я обязан также принадлежащими ему примечаниями [33]? [зв],
Г’1. [S81-
В. М. Алексеев
СОДЕРЖАНИЕ
Ют редакции.......................................................... 5
НОВЫЕ МЕТОДЬрНЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
I
Введение............................................................. 9
Глава I.	Общие положения	и метод Якоби ......................... 1°
Общие положения.......................................... 13
Примеры канонических уравнений.........................
Первая теорема Якоби..................................... 13
Вторая теорема Якоби; замена не ременных................. 1®
Замечательные замены переменных.......................... 20
Кеплеровское движение.................................... 23
Частный случай задачи трех тел........................... 25
Использование кеплеровских переменных.................... 28
Общий случай задачи трех тел............................. 29
Основная задача динамики................................. 34
Приведение канонических уравнений........................ 33
Приведение задачи трех тел............................... 38
Вид возмущающей функции.................................. 41
Инвариантные соотношения................................. 44
Глава II. Интегрирование с помощью рядов............................ 47
Определения и леммы...................................... 47
Теорема Коши............................................. 30
Обобщение теоремы Коши................................... 55
Приложения к задаче трех тел............................. 58
Использование тригонометрических рядов .................. 60
Неявные функции.......................................... 64
Алгебраические особые точки.............................. 65
Исключение............................................... 67
Теорема о максимумах..................................... 69
Новые определения.......................................  71
Глава III. Периодические решения.................................... 73
Случай, когда время не входит явно в уравнения........... 81
Приложение к задаче трех тел............................. 86
768
Содержание
Решения первого сорта..................................... 88
Исследования Хилла по теории Луны......................... 93
Приложение к основной задаче динамики..................... 98
Случай, когда гессиан равен нулю......................... 104
Прямое вычисление рядов.................................. 107
Прямое доказательство сходимости......................... 114
Изучение важного исключительного случая.................. 118
Решения второго сорта.................................... 124
Решения третьего сорта................................... 128
Приложения периодических решений......................... 135
Спутники Юпитера......................................... 137
Периодические решения вблизи положения равновесия....... 138-
Луны без квадратуры...................................... 141
Глава IV. Характеристические показатели........................... 143
Уравнения в вариациях.................................... 143
Приложение к теории Луны................................. 145
Уравнения в вариациях в динамике......................... 146
Применение теории линейных подстановок................... 152
Определение характеристических показателей............... 155
Уравнение, определяющее характеристические показатели . . .	157
Случай, когда время не входит явно....................... 158
Новая формулировка теоремы пунктов 37 и 38............... 159
Случай, когда уравнения допускают однозначные интегралы . .	162
Случай уравнений динамики................................ 170
Замена переменных........................................ 175
Разложение показателей. Вычисление первых членов......... 177
Приложение к задаче трех тел............................. 191
Полное вычисление характеристических показателей........ 192.
Вырождающиеся решения.................................... 201
Глава V. Несуществование однозначных интегралов................... 205
Случай, когда В обращается в нуль........................ 211
Случай, когда гессиан равен нулю......................... 215
Приложение к задаче трех тел............................. 219
Задачи динамики, в которых существует однозначный интеграл 222
Интегралы, не голоморфные относительно р,................ 227
Исследование выражений (14) п. 84 ....................... 228
Глава VI. Приближенное разложение возмущающей функции............. 234
Формулировка задачи...................................... 234
Отступление об одном свойстве возмущающей функции........ 236
Основы метода Дарбу...................................... 241
Обобщение на случай нескольких переменных................ 243
Отыскание особых точек................................... 247
Исследование............................................. 254
Исследование в общем случае.............................. 263
Применение метода Дарбу.................................. 269
Содержание
769
Применение к астрономии................................... 278
Применение к доказательству несуществования однозначных
интегралов................................................ 278
Глава VII. Асимптотические решения................................... 286
Сходимость рядов.......................................... 289
Асимптотические решения уравнений динамики................ 293
Разложение решений в ряд по степеням К В.................. 294
Расходимость рядов п. 108	  299
Новое доказательство предложения и.	108 .................. 301
Преобразования уравнений.................................. 309
Приведение к каноническому виду........................... 314
Вид функций Vi............................................ 316
Фундаментальная лемма..................................... 318
Аналогия между рядами п. 108 и рядами	Стирлинга .......... 322
НОВЫЕ МЕТОДЫ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ
II
Предисловие ........................................................ 329
Употребляемые обозначения .........................................  331
Глава VIII. Исчисление асимптотических рядов........................ 332
Различный смысл слова сходимость........................ 332
Ряды, аналогичные рядам Стирлинга....................... 333
Исчисление асимптотических рядов........................ 335
Глава IX. Методы Ньюкома и	Линдштедта........................... 344
Исторический очерк....................................... 344
Изложение метода......................................... 346
Различные виды рядов..................................... 351
Прямое вычисление рядов.................................. 355
Сравнение с методом Ньюкома.............................. 361
Глава X. Применение рассмотренных методов к исследованию вековых
возмущений................................................... 364
Постановка задачи........................................ 364
Новая замена переменных.................................. 366
Применение метода главы IX............................... 370
Глава XI. Применение к задаче трех тел . •........................ 372
Трудность задачи......................................... 372
Обобщение метода главы IX на некоторые особые случаи ....	373
Применение к задаче трех тел............................. 380
Замена переменных........................................ 381
Случай плоских орбит .................................... 382
Исследование одного частного интеграла................... 388
Вид разложений........................................... 390
Общий случай задачи трех тел............................. 392
770
Содержание
Глава XII.	Применение к исследованию орбит с малыми эксцентриситетами 395
Трудность задачи ........................................ 395
Устранение трудности .................................... 402
Глава XIII.	Расходимость рядов Линдштедта........................... 412
Исследование рядов (3)...............................  .	413
Исследование рядов (2)................................... 417
Сравнение со старыми методами............................ 421
Глава XIV.	Прямое вычисление рядов ................................ 427
Применение к задаче трех тел............................ 440’
Различные свойства....................................... 450
Замечательные частные случаи............................. 462
Выводы................................................... 467
Глава XV.	Другие методы прямых вычислений......... ............... 468
Задача из п. 125 ....................................... 468>
Другой пример............................................ 471
Задача п. 134 .......................................... 479;
Задача трех тел.......................................... 486
Глава XVI. Методы Гильдена.......................................... 509
Сведение рассматриваемых уравнений к уравнениям второго
порядка.................................................. 517
Промежуточная орбита.................................... 52(>
Абсолютная орбита........................................ 527
Глава XVII. Случай линейных уравнений ............................... 530‘
Исследование уравнения Гильдена.......................... 530
Метод Якоби.............................................. 547
Метод Гильдена........................................... 550
Метод Брунса............................................. 552
Метод Линдштедта......................................... 554
Метод Хилла.............................................. 558
Применение теоремы Адамара............................... 563
Различные замечания...................................... 571
Обобщение предыдущих результатов......................... 572
Глава XVIII. Случай нелинейных уравнений.............................. 576
Уравнения с правой частью................................ 576
Уравнение эвекции.......................................  579
Уравнение вариации....................................... 594
Выводы............................................•	. .	599
Обобщение периодических решений.......................... 600
Глава XIX. Методы Болина............................................ 604
Метод Делоне............................................. 604
Метод Болина............................................. 628
Случай либрации.......................................... 636
Предельный случай........................................ 648
Связь с рядами п. 125 ................................... 663
Расходимость рядов...................................... 667'
Содержание	77 i
Глава XX.	Ряды Болина............................................ 673
Случай либрации......................................... 677
Предельный случай....................................... 682
Сравнение с рядами п. 127............................... 693
Глава	XXI.	Обобщение метода Болина .............................. 701
Обобщение задачи п. 134 ................................ 701
Обобщение на случай задачи трех тел..................... 709
Исследование рядов...................................... 712
Второй метод............................................ 716
Случай либрации ........................................ 720
Расходимость рядов...................................... 723
Комментарии ......................................................... 745
Анри Пуанкаре
Избранные труды, том I
Утверждено к печати
Редакционной коллегией серии «Классики науки»
Редактор В. А. Никифоровский
Художественный редактор Н. Н. Власик
Технический редактор П. С. Кашина
Сдано в набор 16'Ш 1971 г.
Подписано к печати 2/IX 1971 г.
Формат 70X907,5. Бумага № 1.
Усл. печ. л. 56,59. Уч.-изд. л. 40,1
Тираж И 500 экз. Тип. зак. 1934.
Цепа 3 р. 22 к.
Издательство «Наука»
Москва К-62, Подсосенский пер., д. 21
2-я типография издательства «Наука»
Москва Г-99, Шубинский пер., д. 10