Text
@
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ.
ВЫПУСК 61
М. Б. БАЛ К
В. r. БОЛТЯНСКИЙ
rЕОМЕТРИЯ
МАСС
МОСКВА «НАУКА»
rЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987
ББК 22.151.0
Б20
УДК 514(023)
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕrия.
Академик ю. А. Осипьян (председатель), академик А. Н. Колмо
ropoB (заместитель председателя), кандидат физ. мат. наук А. и. Буздин
(ученый секретарь), член корреспондент АН СССР А. А. Абрикосов,
академик А. С. Боровик Романов, академик Б. К. Вайнштейн,
заслуженный учитель РСФСР Б. В. Воздвиженский, академик В. л. rинз
бурr, академик ю. В. rуляев, академик А. п. Ершов, профессор
с. п. Капица, академик А. Б. Миr дал, академик с. п. Новиков,
академик АПН СССР В. r. Разумовский, академик Р. з. Саrдеев,
профессор я. А. Смородинекий, академик С. л. Соболев, член
корреспондент АН СССР д. К. Фаддеев
Ответственный редактор выпуска Ф. х. Цельман
Балк М. Б., Болтянский В. r.
Б20 rеометрия масс. М.: Наука. rл. ред. физ. мат.
ЛИТ., 1987. 160 с. (Б"чка «Квант». Выл. 61.)
30 к., 145 000 экз.
Великий древнеrреческий мыслитель Архимед открыл ориrинальный способ
доказательства rеометрических теорем, основанный на рассмотрении центра масс
системы материальных точек. Именно таким способом им впервые была ДOKa
зана теорема о пересечении медиан треуrольника. Метод Архимеда был развит
выдающимися математиками прошлоrо столетия (Лаrранж, Якоби, Мебиус и др)
и превратился в эффективное и cTporo обоснованное средство rеометрическоrо
исследования На примере трех сотен задач в книrе показаны возможности приме
нения метода «rеометрии масс»
Для школьников и преподавателей
Б 1702040000 093 161 87
053( О 1 ) 87
ББК 22.151.0
со Издательство «Наука»
rлавная редакция
физико математической
литературы, 1987
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
r л а в а 1. "ОНИТие центра масс и первые ero npимененни
к rеомerричесJalМ задачам 7
1. Наrлядное введение 7
2. Математическое определение центра масс 10
3. Решение rеометрических задач барицентрическим мето..
дом 17
4. Сокращенная запись барицентрическоrо решения 23
r л а в а 11. Идея отрицатеJtЬных и комплексных масс 31
5. Отрицательные массы 31
6. Теоремы чевы и Менелая 39
7. Координаты центра масс. Теоремы rюльдена и He
равенство Чебышева 44
8. Комплексные массы 55
r л а в а 111. Момент ....ерции 65
9. Формулы Лаrранжа и Якоби. Применения к rеометрии 65
10. Применение понятия момента инерции к доказател
СТВУ неравенств 73
r л а в а IV. Барицентрические координаты 76
11. Барицентрические координаты на плоскости 76
12. Барицентрические координаты как площади 84
13. Уравнения линий в барицентрических координатах 100
14. Барицентрические координаты в пространстве 110
15. Барицентрические координаты в MHoroMepHbIx про
стране тв ах 116
r л а в а V. Барнцентрические модели в различных областях
знания 129
16. Применения к химии и металлурrии 129
17. Колориметрия 132
18. Подразделения полиэдров 140
19. Барицентрические координаты в теории интерполяции 148
20. Интерпретация закона Харди Вайнберrа 152
ПРЕДИСЛОВИЕ
Родоначальником метода, о котором пойдет речь
в этой книrе, был великий древнеrреческий мыслитель Ap
химед. Еще в 111 в. до н. э. он обнаружил возможность дo
казьmать новые математические факты с помощью свойств
центра масс. В частности, этим способом им была YCTaHOB
лена теорема о том, что три медианы треуrольника пере
секаются в одной точке. Соображения Архимеда были позд
нее использованы и развиты мноrими rеометрами (Папп,
Чева, rюльден, Люилье и др.).
Несколько простых свойств центра масс позволяют pe
шать различные задачи rеометрии и алrебры. В частности,
таким путем удается ответить на вопросы о том, пере
секаются ли несколько прямых в одной точке, принад
лежат ли несколько точек одной прямой (или одной плоскос
ти) И т. п. Эффективны барицентрические 1) соображения
при доказательстве неравенств и решении разнообразных
задач.
Нередко приходится слышать, что рассуждения с исполь
зованием свойства центров масс не MorYT дать MaTeMa
тически строrих решений rеометрических задач (хотя, MO
жет быть, и полезны для уrадывания правдоподобных OT
ветов к этим задачам). Однако такое мнение rлубоко
ошибочно. Понятия механики не только служат ценным эв
ристическим средством; облеченные в строrую математичес
кую форму, они позволяют получать математически безу
пречные решения задач rеометрии и алrебры.
Идея барицентрическоrо подхода раскрывается в rл. 1
предлаrаемой книrи. Сущность ero состоит в том, что
наше внимание концентрируется на определенных точках
центрах масс каких то систем материальных точек, связанных
с рассматриваемой rеометрической задачей. Из механических
соображений эти точки появляются совершенно естественно.
1) Приставка «бари» означает тяжелый (от rреческоrо pcxpicr); поэтому
«барицентр» означает центр тяжести (центр масс).
4
rеометрически же целесообразность рассмотрения именно
этих точек заранее неясна; и вдруr чудесным образом
оказывается, что их использование позволяет быстро найти
(и CTporo обосновать) решение трудной rеометрической задачи.
В механических задачах рассматриваются материальные
точки с положительными массами. Тел с отрицательными
массами, которые под воздействием притяжения Земли «па
дали» бы не вниз, а вверх, никто не наблюдал. Однако
для решения rеометрических задач целесообразно распро
странить понятие центра масс на случай материальных
точек и с отрицательными массами. Это сделано в rл. 11.
Здесь же (по видимому, впервые в научной и популярной
литературе) иллюстрируется возможность применения в reoMeT
рии таких «монстров», как материальные точки с комплекс
ными массами.
Через два тысячелетия после Toro времени, коrда жил и
работал rениальный Архимед, друrой rениальный MaTe
матик Леонард Эйлер (швейцарец по происх ждению, прожив
ший почти полжизни в России и считавший ее своей BTO
рой родиной) В связи с изучением вращательноrо движе
ния тел ввел понятие 'мO'мeHт инерции. И снова, как и в
случае центра масс, нашлись удивительные пути доказа
тельства трудных и интересных rеометрических фактов с
помощью этоrо понятия. И поскольку свойства момента
инерции (в частности, формулы Лаrранжа и Якоби) тесно
связаны со свойствами центра масс, мы также рассматри
ваем ИХ: (вместе с rеометрическими приложениями) в этой
книrе в r л. 111.
Идеи Архимеда живут, развиваются, обоrащаются новым
содержанием. В прошлом столетии замечательный немецкий
математик AвrycT Фердинанд Мёбиус (1790 1868), известный
своими работами в области теории чисел, тополоrии,
rеометрии, подметил, что барицентрические решения rеометри
ческих задач приводят к введению очень интересной
системы координат, не похожей ни на декартову, ни на
полярную систему, но очень боrатую rеометрическими
приложениями 1). С рассмотрением барицентрических коорди
нат связана rл. IV предлаrаемой книrи, rде демонстрируют
ся возможности их применения.
Наконец, последняя r л. V книrи посвящена разнообраз
ным приложенuя'м барицентричеСКО20 'метода. Здесь вы найдете
применение изложенных в книrе идей к вопросам химии,
1) в своей моноrрафии «Барицентрическое исчисление» (1827) Мёбиус сумел
с помощью введенных им координат изложить проективную rеометрию.
5
проблемам цветовоrо зрения, задачам популяционной reHe
тики, тополоrии, вычислительной математики.
В книrе теоретический материал занимает HeMHoro Mec
та: небольшое число несложно доказываемых основных теорем
и поясняющих соображений вот и все, к чему сводится
математическое изложение теоретических основ барицентри-
ческоrо метода. Основной же объем книrи занимают примеры
и задачи. Примеры (приведенные с подробным решением)
предназначены для Toro, чтобы проиллюстрировать, как pa
ботает метод; их в книrе более пятидесяти. Кроме Toro,
в книrе содержится свыше 250 задач; некоторые из них имеют
характер несложных упражнений, предназначенных для YCBoe
ния формулировок теорем, друrие содержат больше TPYДHOC
тей, но и rораздо интереснее rеометрически, а некоторые
являются «крепкими орешками», «раскусив» которые вы полу
чите удовольствие от познания rеометрическоrо содержания.
Книrа доступна учащимся старших классов, интересую
щимся математикой. Правда, в некоторых местах исполь
зуются комплексные числа, MHoroMepHble пространства и
друrие сведения, несколько выходящие за рамки школьной
проrpаммы, однако эти вопросы рассматриваются в тематике
факультативных и круЖковых занятий.
Авторы будут признательныI читателям за замечания по
содержанию книrи, характеру изложения и подбору задач.
М. Б. Бйлк
В. r. Болтянскии
r ЛАВА 1
ПОНЯТИЕ ЦЕНТРА МАСС
И ПЕРВЫЕ ErO ПРИМЕНЕНИЯ
к rЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЗАДА ЧАМ
«...я счел нужным написать тебе и... изложить особ ый
метод, при помощи Koтoporo ты получишь возможноcrь
находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что
этот метод будет тебе ничуть не менее палезен и для
доказательства самих теорем».
Архимед. Послание к Эратосфену
«О механических теоремах»
в этой rлаве приводится чиcrо математическое
определение понятия центра масс и устанавливаются (с помощью
векторов) основные ero свойства. Это позволяет п новому
изложить решения мноrих rеометрических задач, причем эти
решения проводятся на языке механИICИ и являются Maтe
матически строrими.
о 1. Наrлидное введение
в физике под материальной точкой понимают
тело, размерами KOToporo можно пренебречь при сравнении
их с расстояниями до дрyrих тел, рассматриваемых в задаче.
Для упрощения рассуждений такое <<малое» тело paCCMaTp
вают как rеометрическую точку (т. е. считают, что вся масса
тела сосредоточена в одной ТОЧlCе). Если в точке А cocpeДOTO
чена масса m, то будем эту материальную ТОЧICУ обозначать
через тА, т. е. будем записывать материальную ТОЧICу в
виде «произведения».
Рассмотрим два небольших шарmcа, имеющих массы тl и
т2, соединенных жестким «невесомым» стержнем. на этом
стержне имеется такая замечательная ТОЧICа Z, что если
подвесить всю систему в этой точке, то она будет в paBHO
весии ни один из шарmcов не «перетянет». Эта ТОЧlCа Z и
есть центр масс двух рассматриваемых материальных точек
с массами тl и т2.
Такая же картина наблюдается и для большеrо числа
материальных точек. Представим себе, ЧТО в некоторой об
пасти проСтранства (например, внутри HeKoToporo куба) Ha
ходятся n массивных шариIcОВ с массами тl, т2,. . ., m".
Размеры шарпов предполаrаем малыми (по сравнению с наи
меньшим из расстояний между ними). Иначе rоворя, речь идет
7
об п материальных точках
тl А l, т2 А 2,..', тnА n .
Будем полarать, что вся рассматриваемая область заполнена
веществом пренебрежимо малой массы по сравнению с Mac
сой каждоrо шарика (пенопласт); мы полаrаем, что этот
пенопласт не rнется, не сжимается, не растяrивается. MaTe
риальные точки (1) «сидят» в нем неподвижно, как изюминки
в застьmшем тесте. Можно представлять себе картину и
иначе: рассматриваемые шарики соединены «невесомыми»
стержнями в одну жесткую систему. Если выбрать произволь
ную точку одноrо из соединяю
щих стержней и подвесить всю
систему на ниточке, закреплен
ной в этой точке, то paCCMaT
риваемая система, вообще rоворя,
не окажется в состоянии paBHO
весия, одна часть «перетянет». Но
есть такая замечательная точка Z,
что если мы подвесим BCIQ си
стему на вертикальной ниточке,
прикрепленной в точке Z (считая,
что один из стержней проходит
через эту точку, рис. 1), а затем
как уrодно повернем систему BO
Kpyr точки Z, успокоим и отпустим, то она останется в paBHO
весии. Такую точку Z называют центром масс, или барuцент
ром системы материальных точек (1).
При применении этоrо понятия к решению rеометрических
задач используются следующие инrуитивно ясные и имеющие
простой механический смысл свойства цeнrpa масс.
1. Всякая система, состоящая из конечноrо числа MaTe
риальных точек, имеет центр масс и притом единственный.
2. Цeнrp масс двух материальных точек расположен на
отрезке, соединяющем эти точки; ero положеЮlе (рис. 2)
определяется архимедовым пра
вилом рычаrа (или, как ero еще
называют, «зо.hотым пр ав ил ом
механики»): произведение массы
материальной точки на расстоя
ние от нее до центра масс о д и
н а к о в о ДJ1Я обеих точек, т. е.
mldl == m2d2, rде тl, т2 массы ма риальных точек, а d 1 , d 2
соответствующие плечи, т. е. расстояния от материальных точек
до центра масс.
тп
Рис. 1.
l..c d 1
I
d 1
т1
>1<.
Iz
l
d 2
Рис. 2.
8
(1)
,>1
I
AZ6
mz
3. Если в системе, состоящей из конечноrо числа MaTe
риальных точек, отметить несколько материальных точек и
массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от
этоrо положение .центра масс в с е й системы не изменится.
Вот и вся теория. Как видите, речь идет об очень простых
фактах из области механики. Разумеется, сформулированные
свойства 1, 2, 3 должны быть обоснованы (и это будет
аккуратно сделано в 2). Но сейчас мы хотим проил
люстрировать то, что, несмотря на простоту этих фактов, они,
тем не менее, представляют собой мощное cpe'nCТBo ДOKa
зательства теорем и решения rеометрических задач.
"ример 1. Докажем т е о р е м у А р х и м е Д а: три медианы
треУ20льника имеют общую точку, и каждая из медиан
делится этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины.
Р,е ш е н и е (предложенное Архимедом). Пусть АВС (рис. 3)
данный треуrольник; АА 1 , ВВ 1 , СС 1 ero медианы. Зarрузим
Рис. 3.
вершины А, В, С равными массами, скажем, по 1 rpaмMY.
Получающаяся система трех материальных точек 1А, 1В, 1С
имеет однозначно определенный центр мас,С Z (свойство 1).
В силу свойства 3 положение центра масс не изменится,
если массы материальны.х точек 1В и 1С мы перенесем в
их центр масс, т. е. (соrласно свойcrву 2) в точку А 1 . Но
тоrда Z окажется центром масс ЛШIIЬ двух материальных
точек 2А 1 и 1А. Значит, Ze[AA 1 ]. Аналоrично убедимся, что
Ze[BB 1 ] и Ze[CC 1 ]. Таким образом, все три медианыI и еют
общую точку Z. Кроме Toro, по правилу рычarа (свойcrво 2)
имеем 21 ZA 1 1 == 11 ZA 1, или I ZA 1: I ZA 1 1 == 2: 1.
Задачи
1. Каждая вершина тетраэдра ABCD (не обязательно
правильноrо) соединена отрезком с точкой пересечения медиан противо -
лежащей ей rрани (Bcero получается четыре отрезка); далее, каЖД:JЯ
9
cepe,LUfHa ребра соединена отрезком с серединой противоположноrо
ребра (три отрезка). Имеют ли эти семь отрезков общую точку?
2. Через середину медианы АА 1 и через вершину В треyrольника
АВС проведена прямая. В каком отношеШfИ делит она сторону АС?
2. Математическое определение
центра масс
Для Toro чтобы с помощью понятия центра масс
получать математически корректные решения rеометрических
задач, неприrодно определение цeнrpa масс с помощью
«подвешивания на ниточке». И хотя эту физическую картину
мы можем постоянно иметь в нашем воображении, следует
разъяснить точный математический смысл понятия центра масс
с помощью rеометрических терминов. Иначе rоворя, следует
произвеcrи математизацию изложенной в предыдущем парarра-
фе Har лядной картины.
Выражение «материальная точка тА» будет означать:
«Точка А вместе с числом т, которое ей сопоставлено».
Число т будем назьmать массой материальной точки тА;
в этой rлаве Bcerдa будет предполarаться, что т > о. Ради
краткости BMecro слов «материальная точка» бу дем часто,
писать м. т.
Проведем теперь предварительное эвриcrическое paCCMOTpe
ние для Toro чтобы на основе тех свойств, которые были
сформулированы в предыдущем парarрафе, выяснить, как может
выrлядеть математическое определение центра масс. Рассмотрим
сначала две м. т. т1А1 и т2А2, и пусть Z их центр масс
(свойство 1). Равенство тld1 == m2d2 (свойcrво 2) можно записать
........................ ........................
в виде тl I ZA 1 1 == т21 ZA 2 1 (рис. 2), т. е. Imt ZA 1 I == 1 т2 ZA 2 1.
............ ............
Учитывая, что векторы ZA 1 и ZA 2 имеют противоположные
............ ............
направления, получаем отсюда тtZA1 == m2ZA2' т. е.
............ ............
m1ZA1 + m2ZA2 == о.
(2)
Итак, если мы хотим, чтобы выполнялись свойства 1 и 2, то
центром масс двух м. т. т1А! и т2А2 должна быть такая
точка Z, дЛЯ которой справедливо равенство (2).
Пусть теперь даны три м. т. mtAt, т2А2, тзАз, и пусть
Z центр масс этой системы м. т. (свойство 1). Обозначим через
С центр масс системы двух м. т. mtA1 и т2А2. Тоrда, соrлас
но (2),
............ ............
т1 СА 1 + т2 СА 2 == о.
(3)
Далее, соrласно свойству 3, цeнrp масс всей системы тlАl,
т2А2, тзАз совпадает (рис. 4) с цeнrpoM acc совокупности
10
двух м. т. (тl + т2) С и тзАз, т. е. (соrласно (2»
............ ............
(тl + т2) ZC + тзZАз- == о.
(4)
Но мы имеем
............
(тl + m2)ZC ==
............ ............ ........................ ........................
== ml ZC + m2 ZC == тl (ZA 1 СА 1 ) + т2 (ZA 2 СА 2 ) ==
............ ............ ............
== ml ZA l + m2 ZA 2 (тl СА 1 + т2 СА 2) == ml ZA l + m2ZA2
(см. равенство (3», и потому равенство (4) принимает вид
............
тlZAl + m2 ZA 2 + т1 А 1
+ тзUз == о. (5)
Итак, если мы хотим, чтобы
выполнялось также свойство
3, то центром масс трех м. т.
тl А l, т2 А 2, тзАз должна
быть такая точка z; что
справедливо равенство (5).
Можно было бы анало
rично рассмотреть случаЙ
четырех и более м. Т., но
равенства (2) и (5) делают закономерность уже совершенно по
нятной. Итак, в соответствии с приведенным эвристическим
разбором мы принимаем следующее основное
Оп р е Д е л е н и е. Центром масс (или барицентром) систе
мы материальных точек
т2A
Рис. 4.
тl А 1 , т2 А 2,.", т,.А I. (6)
называется точка Z, дЛЯ которой имеет место равенство
........................ ............
тl ZA 1 + m2 ZA 2 + ... + m"ZAII == о. (7)
Разумеется, предыдущие рассуждения нельзя рассматривать
как доказательство равенства (7) эти рассуждения имели ЛШIIЬ
наводящий характер, а равенство (7) является о п р е Д е л e
н и е м, и потому «доказывать» ero справедливость 6ессмыслен
но. Напротив, исходя из определения (7), мы теперь cтporo
Д о к а ж е м, что центр масс системы м. т. действительно
обладает свойствами 1 3, указанными в предыдущем парarра
фе. Этим и будет осуществлено чисто математическое (не
связанное' с физическими представлениями) введение понятия
цeнrpa масс и обоснование ero свойств.
Вместо слов «цeнrp масс системы м. т.» (6) rоворяr также
«цeнrp масс тl, т2,..., т ll , п о м е Щ е н н ы х соответственно в
точках А 1, А 2 ,..., А II ».
11
Центр равных масс, помещенных в вершинах мноrоyrоль
ника (или мноrоrранника), принято называть центроидом этоrо
мноrоуrольника (или мноrоrранника). В частности, по теореме
Архимеда точка пересечения медиан треyrольника является ero
цеlПрОИДОМ.
т е о р е м а 1. А) Если точка Z служит центром масс
системы материальных точек (6), то при любом выборе в
пространстве точки О справедливо равенство
oz == тl 0А l + т2 0А 2 +... +.тпОА п (8)
тl + т2 + ... + т п
Б) Обратно: если хотя бы при одном выборе в пространстве
точки О верно равенство (8), то точка Z центр масс
систем ы . (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Оrраничимся случаем п == 2 (при п > 2
доказательство аналоrично).
А) Выберем произвольно точку о. Равенство
ml ZA l + m2ZA2 ::::: О
можно переписать так:
тl (ОА 1 OZ) + т2 (ОА 2 OZ) == О,
откуда и вытекает требуемое равенство
,
oz == тl 0А l + т2 0А 2 .
тl + т2
Проводя рассуждения в обратном порядке, получаем утвержде
ние Б).
С л е д с т в и е 1. Всякая система, СОС'Fоящая из конечноrо
числа материальных точек, имеет однозначно определенный
центр масс (т. е. справедливо свойство 1, указанное в 1).
В самом деле, выберем произвольную точку о. Тоrда
положение точки Z однозначно определяется формулой (8).
Докажем теперь, что из определения цеlПра масс (см. (7))
вытекает также справедливость свойства 2, paccMoTpeHHoro в
предыдущем парarрафе.
т е о р е м а 2. Центр масс двух м. т. расположен на отрезке,
соединяющем эти точки; ezo положение (рис. 2) определяется
архимедов"ым правилом рычаzа: mldl == m2d2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Z цеlПр масс системы двух
м. т. тlАl и т2А2. Тоrда (см. (7))
mlZAl + m2ZA2 == О,
т. е. mlZAl == m2ZA2. Из этоrо видно, что векторы ZA 1 и ZA 2
противоположно направлены, так что точка Z лежиr в н у т р и
12
............... ...............
отрезка А 1 А 2 , причем т1 I ZA 1 I == т21 ZA 2 1, т. е. m1 d 1 == m2l12
Это и ecrb «архимедово правило рычаrа»; из Hero видно.
что центр масс двух м. т. ближе к «более массивной» из
них, т. е. к той, у которой масса
больше (рис. 2).
Наконец, докажем спра едливость
paCCMoTpeHHoro в предыдущем па
раrрафе свойcrва 3.
Теорема 3. Пусть в системе
(6), состоящей из п м. т., отмечены
k м. т. т 1 А 1 , ..., mkAk (рис. 5) и
пусть С центр масс отмеченных
м. т. Если всю массу отмеченных
М. т. сосредоточить в их центре
масс С, то от этО20 положение
центра масс всей системы не изменится. Иначе 20воря, cи
стема (6) имеет тот же центр масс, что и система м. т.
(тl + ... + mk)C, mk+l A k+l,...,m n A n .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пуcrь Z центр масс системы (6), т. е.
(см. (7))
m1 ZA l + ... + mkZAk + mk+1 ZA k+l + ... + mnZA n == о.
r---------..,
I
1
т п r:: ..... ..... ..... ..... , I
О I Qтf б I I
z 1 ос 1 1
о I I 1
О 1- ат к 1 1
I т L.......... ...J " 1
I к+1
I I
L ..... ..... ..... ..... ..... ..J
Рис. s.
Так как С центр масс системы м. т. тlАl,..., mkAk, то
по теореме 1
zё == ml ZA l +... + mkZAk
т1 + ... + mk
(это paвeHcrBo получается из (8), если О, Z, п заменить на
. Z, С, k). Из написанных двух paBeHcrB следует, что
(тl +... + mk)ZC + mk+l ZA k+l + ... + mnZA n == о,
а это и значит, что центром масс системы м. т. (тl + . ..
... + mk) С, mk+ 1Ak+ 1, ..., тnА n является та же точка Z.
Доказанная теорема позволяет в ряде случаев видоизменить
сиcrему м. Т., сохраняя положение центра масс всей системы.
Например, если в исходную сиcrему (6) входят две м. т. равной
массы, расположенные в точках А и В, ТО от замены этих
двух м. т. одной м. т. удвоенной массы, помещенной в cepe
дине отрезка АВ, положение центра масс всей системы (6) не
изменится. Именно таким путем была в 1. доказана
теорема Архимеда о пересечении медиан треyrольника.
С теоремой 3 связаны следующие простые замечания,
которые часто позволяют сделать более краткими решения
зада ч.
13
3 а м е ч а н и е 1. Пусть Z (рис. 6) центр трех масс, поме
щенных в вершинах треyrольника АВС. Тоrда прямая AZ
пересекает сторону ВС в точке А', являющейся центром тех
двух масс, которые помещены в концах этой стороны ВС.
т1 А
т2 8
тзО
т2 8
Рис. 7.
Рис. 6.
3 а м е ч а н и е 2. Пусть в вершинах А, В, С HeKoToporo
треyrольника (рис. 7) помещены массы тl, т2, тз; пусть
В' центр масс м. т. тlА и mзС, а С' центр масс м. т.
mlА и т2В. Torдa точка Z пересечения прямых ВВ' и СС'
есть центр всех трех масс, помещенных в вершинах треуrоль
ника.
Доказанными теоремами 1 3 завершается математическое
'введение понятия центра масс и доказательство о с н о в н ы х
. ero свойств. В дальнейшем из этих основных свойств будет
выведен ряд друrих теорем о центрах масс.
Задачи
3. В вершинах А, В, С, D параллелоrрамма ABCD
помещены cooTBeTcrBeHHo массы р, q, р, q. Докажите, что центром
этих масс служит центр параллелоrрамма.
4. В вершинах параллелоrрамма ABCD расположены такие массы
тА, тв,. те, mD, что центр масс получающихся четырех м. т. совпа
дает с центром параллелоrрамма. Докажите, что тА == те и тв == mD'
5. Докажите, что положение центра масс сиcrемы м. т. не изме
ни тся, если все массы этих м. т. увеличить в одно и то же число
раз.
6. Докажите, что если суммарная масса тl + т2 + ... + m" сиcrемы
(6) равна 1 (в этом случае rоворят о распределении единичной м ассы
в точках А 1 , А 2 ,..., A n ), а Z центр масс этой сиcrемы, то при
любом выборе точки О имеем
............ ........................ ............
OZ :::: тl0Аl + т20А2 + ... + m,.OAn.
............ ............
7. Известно" что ВМ == О,7ВА. Какими массами можно зarрузИfЬ
точки А и В, чтобы центром масс двух получившихся м. т. оказа
лась точка М? Однозначно ли определены эти массы?
14
8. Пуcrь А 1 ,..., АА: точки, в ,которые переходит А 1 ,..., At в pe
зультате движения f. Тоrда rоворят, что сиcrема м. т.
тl А l,.", тtAt переходит в результате движения f в систему м. т.
т 1 А 1, . . . ,mkAk' Докажите следующие yrверждения:
а) если Z центр масс системы м.т. тlAl,...,mtAt и Z'
центр масс системы м. т. тlАl, ..., т"Ai, то Z' == f(Z) (т. е. еCJIИ
система м. т. подверrается движению f, то и ее центр масс под
верrается тому же движению);
............
б) тt A I A l + ... + т"AtA k :: (тl + ... + тt) Zz'.
9. Пуcrь (6) система м. т. (на ПЛОСКОСТИ или в пр остр ан CfBe) и
f такое движение (москости или пространства), при котором
система (6) переходит в себя, т. е. система м. т. тlf(A 1 ),
т2! (А 2 ),..., m,J (А..) совпадает, с точноО"тью до порядка, с исходной
системой (6). Докажите, что цeнrp масс Z сиcrемы (6) является He
подвижной точкой движения f, т. е. f (Z) == Z.
10. Пусть Z и Z' точки пересечения медиан cooTBeTCfBeHHo
треyrольников АВС и А' В'С'. Докажите, что
1.......... ............ ............
ZZ' == (АА' + ВВ' + СС).
11. Докажите, что центроид правильноrо пятиуrольника совпадает
с центром окружности, описанной около этоrо пятиуrольника. Докажи
те аналоrичное yrверждение для произвольноrо правильноrо MHoro
yrольника. Докажите также, что ес.uи мноrоyrольник А 1 А 2 ... А.. пере..
ход ит) в c при пов те oKpyr точки О H уrол 6, rде О < в < 2п,
ТО ОА 1 + ОА 2 +... + ОА" == u.
12. Докажите, что центроид правильноrо тетраэдра совпадает с
цeнrpoM сферы, описанной около этоrо тетраэдра. Докажите аналоrич..
ное yrверждение для произвольноrо правильноrо м ноrоrранНИlCа.
13. Докажите, что если все м. т. сиcrемы лежат внекоторой'
плоскости, то их цeнrp масс лежит в той же плоскости.
14. Докажите, что если все м. т. системы лежат на некоторой
прямой, то центр масс этой системы лежиr на той же прямой.
15. Докажите, что если система м. т. переходиr в себя при
симметрии относительно плоскости сх, то центр масс этой системы
лежит в плоскости сх.
16. Докажите, что если конечная система м. т. переходит в себя
при повороте вокрУ!' прямой 1 на yrол <1>, [де О < <р < 2п, то
цешр масс этой системы лежит на прямой 1.
17. Докажите, что если конечная система м. т. переходит в себя
при повороте BOKpyr каждой из двух различных прямых 11 и 12 на
какие...то yrлы «>1 и <R2, rде О < <1>1 < 2п, О < «>2 < 2п, то прямые 11
и 12 пересекаются, и их общая точка служит центром масс данной
системыI м. т.
18. МfiоrоrранниlC М называется транзитивным, если для любых
двух ero вершин А, В существует движение, пер ево дящее этOf
мноrоrраННИJ( в себя, а вершину А в В. Докажите, что если М Tpa}l
зитивный мноrоrранник, то существует сфера, описанная BOKpyr MHoro..
rранника М (Т. е. сфера, проходящая через все ero вершины), и центр
О этой сферы совпадает сцентроидом мноrоrранника М.
15
19. Докажите, что если мноrоrранник с вершинами А 1 , А 2 ,..., А"
1 ранзитивен (см. задачу 18) и О центр ero описанной сферы, то
......-...+ -+
ОА 1 + ОА 2 + ... + ОА" == о.
20. Три вектора ОА, ОВ, ОС связаны зависимостью ОС ==
1
== 2(ОА + ОВ). Центром каких масс, помещенных в точках А и В,
служит С?
21. Сформулируйте теорему 1 для случая двух м. т.
1......-...+
22. Докажите, что если AZ == (5AB + 8АС), то при любом BЫ
13
боре в пространстве точки О верно
l
== 13 (50В + 80С).
23. Точка С лежит на отрезке АВ и делит ero в отношении
2: 7, считая от точки А, т. е. I АС I : I СВ I == 2: 7. Выразите этот
факт с помощью понятия центра масс. Запишите несколько векторных
равенств, имеющих тот же смысл.
24. Дано: BQ == О,4ВА. Каким образом следует распределить
между точками 'А и В единичную массу, чтобы центром масс
возникающих при этом двух м. т. оказалась точка Q?
25. Точка L служит центром масс двух м. т. ClA и B. Вычислите
отношение BL: ВА.
26. Пусть ABCD квадрат со стороной а. Точка Р удовлетворяет
.............. -+
условию РА + 3РВ + 3РС + PD == О. На каком расстоянии находится
точка Р от центра квадрата?
27. 'Средней линией четырехуrольника называется отрезок, соеди
няющий середШlЫ двух ero противоположных сторон. Докажите, что
точка пересечения двух средних линий четырехуrольника ABCD
'является центром масс четырех м. т. lА, lВ, 1С, 1D (т. е. является
центроидом этоrо четырехуrольника).
28. Докажите, что центр масс трех м. т., расположенных в Bep
ШШlах треуrольника, Bcer да находится cтporo внутри этоrо Tpe
уrольника.
29. Докажите, что если длины отрезков BD, CD, AZ, DZ на
рис. 8 равны соответственно Ь, с, а, d, то Z является цeнrpoM
масс системы м. т. (bd + cd) А, асВ,
аЬС. Выведите отсюда, что любая
внутренняя точка треyrольника АВС
является центром некоторых трех
масс, помещенных в вершинах этоrо
треyrольника.
30. Докажите, что при любом BЫ
боре точки Р внутри заданноrо Tpe
уrольника АВС возможно (и притом
единственным образом) так распреде
лить по ero вершинам единичную Mac
су, чтобы центром масс трех получив
шихся м. т. оказалась точка Р.
в
А
Рис. 8.
16
равенство
OZ ==
с
31. Сформулируйте и докажите для случая тетраэдра утверждения,
аналоrичные тем утверждениям относительно треуrольника, которые
содержатся в задачах 28, 29 и 30.
32. Дано: СМ == 0,1 СА + 0,3СВ (точки А, В, С не лежат на одной
прямой). Центром каких трех масс, расположенных в вершинах
треуrольника АВС, служит точка М?
1
33. Точки Р, М, А, В расположены так, что РМ == ( PA + РВ).
, 3
Цетром масс каких м. т. служит точка М?
34. Пусть Z цeнrp масс тl, т2, тз, помещенных соответственно
в вершинах А, В, С треуrольника, причем тl + т2 + тз == 1. Выразите
CZ через СА и СВ; OZ через ОА, ОВ, ОС (О произвольная
точка).
35. Точка Р лежит внутри треуrольника АВС. Докажите сущест
вование таких положительных чисел сх, р, удовлетворяющих условию
а. + р < 1, что СР == а.СА + рСВ.
36. В пространстве дан тетраэдр А 1 А 2 А з А 4 . Точка Р выбрана в
пространстве так, что А 2 Р == 0,2А 2 А 1 + 0,3А 2 А з + 0,1А 2 А 4 . Какими Mac
сами следует заrрузить вершины тетраэдра, чтобы центром этих масс
оказалась точка Р?
37. С помощью определения центра масс (см. (7» напишите
необходимое и достаточное условие Toro, что М точка пересечения
медиан треуrольника АВС.
38. Используя (8), запишите друrое условие, необходимое и
достаточное для Toro, чтобы М бьmа точкой пересечения медиан
треуrольника АВС.
39. Пусть С центр масс м. т. тlАl,.", mkAk, а D центр масс
м. т. mk+ lAk+ 1"", m,.An. Докажите, что центр масс всей системы (6)
принадлежит отрезку CD.
40. Рассматривается система м. т.
al A l,...,ak A k, Ь 1 Вl"..'Ь'В" СI С 1"."С т С т '
Докажите, что центр масс этой системы принадлежит треYrОЛЬНИКУ
АВС, rде А центр масс м. т. аlАl"'" akAk; В центр масс м. т.
Ь 1 В 1,. .., Ь,В,; С центр масс м. т. Сl С 1,' .., стС т .
41. Через точку М проведены три прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1
(точки А 1, В 1, С 1 лежат на сторонах д АВС). Пусть
I АС 1 I == р, I АВ 1 1 == q. Докажите формулу Ван Обеля:
IC 1 BI IB 1 CI
IAMI +
I МА 1 1 р q.
3. Решение rеометрических задач
барицентрическим метОДОМ
При решении rеометрической задачи барицентри
ческим методом мы заrружаем отдельные точки массами
(Т. е. сопоставляем, приписываем этим точкам определенныIe
17
положительные числа). Затем привлекаем свойства центров масс
всех полученных м. т. или части этих м. т. Искусство
применения барицеlПрическоrо метода состоиr в том, чтобы
по условию задачи осуществить такой выбор точек и помещае
мых в эти точки масс, при котором задача леrко и красиво
решается. Три основных свойства центров масс особенно важны
при решении задач: 1) наличие и единственность центра
масс у любой системы материальных точек (см. следствие из
теоремы 1); 2) принадлежность цеlПра масс двух м. т. отрезку,
соединяющему эти точки (см. теорему 2); 3) возможность
переrруппировки материальных точек системы без изменения
положения центра масс всей
системы (см. теорему 3). В этом
параrрафе мы рассмотрим при...
менение барицентрическоrо ме-
тода при решении ряда задач
планиметрии; проcrранствен-
НbIe задачи будут рассмотрены
в следующем параrрафе.
"ример 2. На стороне' АС
треуrольника АВС (рис. 9) взята
такая точка М, что / АМ / ==
1
== 3" 1 АС /, а на продолжении
стороны сВ.... такая точка N, что / BN 1 == I св 1. Прямая М N
пересекает crороиу АВ в точке Р. В каком отношении делит
эта точка сторону АВ и отрезок NM?
Реш е н и е. Идея решения состоит в размещении в точках
А, С, N таких масс, чтобы центром этих трех масс оказалась
точка Р. Ясно, что в N и С надо поместить равные
массы, так как тоrда центром масс этих двух м. т. будет
точка В, и потому, поместив надлежащую массу в точку А,
можно будет добиться, чтобы центром масс всех трех м. т.
ыла нужная нам точка отрезка АВ (а именно, точка Р).
Итак, поместим в каждую из точек N, С массу 1, т. е.
возьмем м. т. lN, 1С. Так как, далее, I СМ / == 2/ АМ /, то в
силу правила рычarа М ....... центр масс двух м. т. lС и 2А. Сле-
довательно, центр масс Z всех трех м. т. 1N, 1С, 2А (лежа...
щий, соrласно сказанному выше, на отрезке АВ) будет в то же
время по теореме 3 центром масс двух м. Т. lN и 3М, т. е.
Z е [М N]. Значит, Z точка пересечения отрезков М N и АВ,
т. е. Z == Р. Так как z....... центр масс двух м. Т. 1N и 3М,
а также центр масс двух м. т. 2В и 2А, то по правилу
рычarа получаем
I NP 1: I РМ 1 == 3 : 1, I АР / : / РВ / ==-1 : 1.
Рис. 9.
18
3 а м е ч а н и е. При желании это барицентрическое решение
можно было бы «перевести» на векторный язык, т. е. оформиrь
решение как чисто векторное, в котором уже нет упоминания
ни о материальных точках, ни о центрах масс. В данном
случае такое решение выrлядит следующим образом. Зафикси
...........
руем какую нибудь точку о. Из условия видно что 2МА + ме ==
== О, , ос + iiN == О, что равносильно таким векторным pa
венствам :
-;:::-::t .....................
ом == 20А + 0 (; , ОБ == ОС + ON ... .
3 2
Рассмотрим точку Z, задаваемую условием
........... ........... .........
OZ:= 20А + C + ОН .
(9)
и Meel\f
............
............ 3 О М + О N . ............ ............ -+
OZ == 4 =>3ZM + ZN == О =>Ze [MN];
............ ........................ ............ ............
oz == 20А +( C +ОН) 20A 20B ZA+ZВ==O Ze[AB].
Следовательно, Z есть точка пересечения отрезков АВ и М N,
т.е. Z==P, и потому IPNI:IPMI==3, IPAI==IPBI.
Читатель, видимо, отметил для себя, что хотя в результате
TaKoro «перевода» с «барицентрическоrо языка» на «векторный
язык» получается безупречно cтporoe решение, имеющее чисто
векторный характер, но, однако, это решение BbIr лядит He
сколько искусственным. Например, если учащийся будer pac
сказывать это «векторное» решение в классе у доски и KTO
либо из слушателей спросит, почему в формуле (9) были взяты
именно такие числа в числителе и знаменателе (а в более
сложных задачах коэффициенты бу дут еще причу дливее), то
учащемуся будет просто нечеrо ответить на этот вопрос. И в
самом деле, появление этих коэффициеlПОВ бьто совершенно
естеcrвенным, Korдa мы при решении использовали понятие
цeнrpa масс, но эти коэффициенты трудно как-либо пояснить
после Toro, как мы за счет «перевода на векторный язык»
изъяли механический смысл.
"ример 3. В треyrольнике АВС (рис. 10) точка F делит
основание .Ве в отношении 3: 1, считая от вершины В. Точки
М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной
шеcrой, считая соответственно от вершины А и от вершины
С. В каком отношении делится каждый из отрезков МР и
AF точкой их пересечения?
19
Реш е н и е. Заrрузим точки В и С
такими массами, чтобы их центром
оказалась точка F; очевидно, дo
статочно (в силу правила рычаrа)
поместить в В массу 1 (т. е. pac
смотреть материальную точку 18),
а в С массу 3. Далее, имея уже
м. т. 18, подберем ДТIЯ точки А
такую массу х, чтобы точка М
оказалась центром масс двух М. т.
1В и хА. По правилу рычаrа
имеем 1 . 1 ВМ 1 == х 1 М А 1, откуда
х == 1 ВМ 1 : 1 М А 1 == 5. Наконец, имея м. т. 3С, подберем для точки
А еще друrую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром
масс двух м. т. 3С и уА. По правилу рычаrа имеем
31 СР 1 == ylPA 1, откуда у == 31 СР 1: 1 РА 1 == 0,6. У нас возникла
новая сиrуация: кроме м. т. lВ и 3С, мы имеем в точке А
д в е различные массы 5 и 0,6. Рассмотрим систему из всех
четырех м. т. 1В, 5А, 3С и 0,6А. Ее центр масс обозначим
через Z. Перенесем массы м. т. 1В и 5А в их центр масс
М, а массы м. т. 3С и 0,6А в их центр масс Р. Тоrда Z
окажется центром масс лишь двух м. т. 6М и 3,6Р. Значиr,
Z е [М Р]. Мы моrли бы и иначе сrруппировать те же четыре
м. т.: перенести массы м. т. 1В и 3С в их центр масс F,
а вместо 5А и 0,6А рассмотреть одну м. т. 5,6А. Тоrда Z
окажется центром масс двух м. т. 4F и 5,6А. Поэтому
Ze[AF]. Следовательно, Z точка пересечения отрезков МР
и AF. Так как Z центр масс м. т. 5,6А и 4F, то
5,61 AZ I == 41 FZ 1, так что 1 AZ 1 : 1 ZF 1 == 5 : 7. Аналоrично убе
димся, что 6IMZI==3,6IPZI, откуда IMZI:IZPI==3:5.
"ример 4. Через точку Р, расположенную внутри парал
лелоrрамма ABCD, проведены прямые, параллельные сторонам
параллелоrрамма. Они пересекают стороны АВ, ВС, С D, DA
соответственно в точках К, L, М,
с N (рис. 11). Пусть Q точка пере
сечения средних линий четырехyrоль
ника KLM N, а S центр параллело
rpaMMa. Докажем, что точка Q ле
жит на отрезке PS, и определим,
в каком отношении делиr она этот
отрезок.
Реш е н и е. Снач а зarрузим Bep
шины четырехуrольника KLМ N Mac
сами так, чтобы центром получен
ных четырех масс оказалась точка Q.
А
в
Рис. 10.
А
Рис. 11.
20
Для этоrо достаточно поместить в каждую из точек К, L, М,
N массу 1. Заметим теперь, что KBLP параллелоrрамм; поэто
му можно заменить М. т. lК и lLHa м. т. lВ и lР, т. е. Q являет
ся центром масс м. т. lВ, lР, 1М, lN. Аналоrично м. т. 1М и
1N можно заменить на м. т. lD и 1Р. Точка Q окажется
центром масс четырех м. т. 1В, lР, 1D, 1Р, а значит,
центром масс двух м. т. 28 и 2Р (поскольку 8 середина
отрезка BD). Но тоrда по правилу рычarа точка Q располо
жена на отрезке 8Р и делит ero пополам.
"ример s. Около окружности описан четырехyrольник ABCD
(рис. 12), касающийся окружности в точках М, N, Р, Q.
Известно, что длины отрезков
касательных, проведенных из
точек А, В, С, D к окружности,
равны соответственно а, Ь, с, d.
В каком отношении делится
каждый из отрезков М Р и NQ
точкой их пересечения?
Реш е н и е. Подберем Mac
сы mt, т2 в вершинах А, В
так, чтобы центром масс MaTe
риальных точек mtA и т2В
оказалась точка М. По пра
вилу рычarа должно бьпь mta ==
== т2Ь. Поэтому достаточно положить т! == 1ja, т2 == 1jb.
Из аналоrичных соображений понятно теперь, что если в
вершинах А, В, С, D поместить массы 1ja, 1jb, ljc, 1jd, то
1 1
М центр масс. м. т. А и Ь В, точка N центр масс м. т.
1 1 1 1
ь В и сС, точка Р центр масс м. т. с С И dD, а точка
1 1
Q центр масс м. т. ([D и A. Обозначим через Z цешр
масс полученной системы из четырех м. т. А, В,
c 1
с и d D. Положение центра масс не изменится, если
заменить м. т. А и В материальной точкой
( 1 1 ) 1 1
+ Ь М, а материальные точки С и d D MaTe
риальной точкой ( + )Р. Значит, точка Z лежит на отрезке
МР. Аналоrично убедимся, что Z лежит на отрезке NQ. Сле
21
в
с
IJ
Рис. 12.
довательно, Z точка пересечения отрезков мр и NQ. ПО
правилу рыча.rа получаем
( + } MZ 1 == ( + } ZP 1,
отку да находим
I MZ I ( 1 1 ) ( 1 1 ) (с + d)ab
IZPI == +d : +b == (a+b)cd.
Аналоrично,
I NZ I == ( ) . ( ) == (а + d) Ьс
I ZQ I а + d . Ь + с (Ь + с) ad .
Задачи
42. Пусть L точка пересечения средних линий четы-
реХYrольника ABCD, Е и F середины ero диarоналей. Докажите,
что точки L, Е, F лежат на одной прямой.
43. Прямая проходит через вершину А треYrольника АВС и се-
редину Lмедианы ВВ 1 . В каком отношении делит эта прямая медиану
СС 1 ?
44. Площадь параллелоrрамма ABCD равна 1 м 2 . Точка М
делит сторону ВС в отношении 3: 5 (считая от вершины В). Прямые
АМ и DB пересекаются в точке Р. Вычислите площадь четырех-
уrольника CMPD.
45. На сторонах LK и LM треуrольника KLM взяты такие точки
А и В, что 1 LA 1 == 31 АК 1, 1 LB 1 == 41 ВМ 1. Пусть С точка пере-
сечения прямых АМ и КВ, S и s площади треYrОЛЬНmcов KLM
и КМС. Вычислите S :s.
46. Через вершину D параллелоrрамма ABCD проведена прямая,
отсекающая l/п часть от стороны АВ, считая от вершины А. Какую
часть от диarонали АС отсекает та же прямая?
47. Стороны треYrольника АВС, противолежащие вершинам А, В,
С, соответственно имеют длины а, Ь, с. Докажите, что центром масс
системы м. т. аА, ЬВ, сС служит центр вписанной окружности эrоrо
треYrольника. В каком отношении биссектриса АА 1 делится точкой
пересечения биссектрис?
48. На стороне ВС треуrольнmcа АВС взята TaKa точка' D, что
1 BD 1: 1 DC 1 == 5: 1. В каком отношении медиана СЕ делит отрезок AD?
49. На сторонах треуrольника АВС взяты такие точки А 1 , В 1 , С 1 ,
............ 1............ ........---+ 1........................ 1
ЧТО АС 1 == -зАВ, НА 1 == ВС , СВ 1 == СА. При пересечении отрезков
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 образовался треуrольник А 2 В 2 С 2 . Найдите отношение
I1Лощадей треуrольников А 2 В 2 С 2 и АВС.
У к а з а н и е. Найдите, в каком отношении делятся отрезки АА 1 ,
ВВ 1 , СС 1 точками А 2 , В 2 , С 2 .
50. Из четырех точек А, В, С, D никакие три Не лежат на одной
прямой; М и N середины отрезков АВ и CD; К середина отрезка
22
м N; Р точка пересечения медиан треуrольник:а BCD. Докажите, чrо
ТОЧКИ А, К, р лежат на одной прямой.
51. Даны шесть точек, никакие три из которых не лежат на oд
ной прямой. Точка пересечения медиан треуrольник:а с вершинами в
трех каких ли60 из этих шести точек соединена отрезком с точкой
пересечения медиан треуrольника с вершинами в трех дрyrих точках.
Докажите, что получающиеся таким образом десять отрезков пересе
каются в одной точке.
52. Противоположные стороны АВ и DC четырехуrольника ABCD
разделены точками М и N в одном и том xre отношении k (т. е.
.
АМ kMB, DN == kNC); Р и Q середины сторон AD и ВС. В каком
отношеЮlИ делится каждый из отрезков М N и PQ точкой их
пересечения?
53. В окружность вписан четырехyrольник ABCD; М точка
пересечения ero диаrоналей, Q середина стороны CD. Вычислите, в
каком отношении делит прямая MQ сторону АВ, если швеcrно, что
I AD I а, I ВС I == Ь.
54. На стороне АС треуrольника АВС взята такая точка В 1 , ЧТО
прямая ВВ 1 отсекает от стороны АС одну треть, считая от вершины
С. Через вершину А проведены две прямые АА 1 и АА 2 , которые
делят crOpOHY ВС на три части равной длины. Зная площадь S
треуrольника АВС, вычислите площадь четырехуrольника, оrрани..
ченноrо прямыми АА 1 , АА 2 , ВВ 1 , ВС.
4. Сокращенная запись
барицeиrрическоrо реweнии
В основной формуле (8) 2 точку О можно выбрать
в пространстве произвольно. Поэтому можно условиться вовсе
не писать точку О, а заодно и стрелок над векторами.
Torдa формула (8) приобретает вид
Z == тt A l + т2 А 2 + ... + т"А" , (10)
тl + т2 + ... + m"
или иначе
(тl + т2 + ... + т") Z == тl А l + т2А2 + ... + m"A". (11)
Каждая из этих двух сокращенных записей формулы (8)
равносильна утверждению о том, что точка Z..... центр масс
системы м. т. тlАl, т2А2, ..., т"А".
Например, запись
р == 2А + 38 + 8С
13
означает, что точка р..... центр масс трех м. т. 2А, ЗВ и 8С.
Аналоrично, запись 2А + 38 == 5D указывает, что центром масс
двух м. т. 2А и 3В служит точка D.
23
Сокращенные записи позволяют показьmать производимую
] ереrруппировку масс. Например, запись
Р == (2А + 3В) + 8С == 5D + 8С =>Р [ CD ]
13 13 Е
rоворит о следующем: «пусть Р центр масс трех м. т. 2А,
3В, 8С; если сосредоточить массы двух м. т. 2А и 3В в их
центре масс D, то точка Р окажется центром масс ЛIШIЬ двух
м. т. 5D и 8С; следовательно, точка Р расположена на
отрезке CD».
В формуле (11) справа стоит формальная запись «суммы»
материальных точек, а слева «материальный центр» этой систе
мы м. т., т. е. материальная точка, получающаяся, если CYMMap
ную массу всей системы поместить в ее центре масс. Иначе
rоворя, сумма тlАl + т2А2 + ... + тпА п означает то же самое,
что и материальная точка, возникающая, если суммарную
массу тl + т2 + . .. + т п поместить в точку Z (центр масс).
При такой трактовке теорема 3 может быть выражена в виде
т 1 А 1 + ... + mkAk + 1J1k + 1 Ak + 1 + ... + тпА п ==
== (тl А l + ... + mkAk) + mk+ lAk+ 1 + ... + тпА п .
Здесь запись в левой части означает материальный центр
всей системы, т. е. (тl + т2 + ... + т п ) Z (rде Z центр масс
системы м. т. тlАl,.", тпА п ); правая же часть означает, что
вместо части м. т. берется их материальный центр, т. е.
(тl + .... + mk) С (это выражается в том, что м. т. тl А l + ... +mkAk
. заключены в скобки). Написанное р а в е н с т в о означает, что
системы м. т., записанные слева и справа, имеют один и тот же
материальный центр, т. е. имеют общий центр масс. Таким обра
зом, переrруппировка материальных точек, рассмотренная в
2 (теорема 3), означает при использовании сокращенной
записи, что в сумме материальных точек можно произволь
ным образом расставлять скобки. (Очевидно, что перестановка
слаrаемых также допустима, поскольку при определении центра
масс порядок м. т. не иrрает роли, см. (7).)
Сокращенные записи позволяют излarать барицентрические
решения rеометрических задач более компактно. Например,
решение примера 3 из 3 можно записать следующим об
разом. Из условия следует, что
4F == 1В + 3С; 6М == 1В + 5А; 3,6Р == 3С + О,6А.
Пусть
z == 1В + 5А + 3С + О,6А
96 .
,
24
т or да
Z (1В + 5А) + (3С + 0,6А) 6М + 3,6Р => [ ] .
96 96 Ze МР ,
, ,
Z == (lВ + 3(') ; 5A + О,БА) == 4F ; ,6A ZE[FA].
, ,
Мы видим, что Z есть точка пересечения отрезков М Р и
F А. По правилу рычarа 61 MZ 1 == 3,61 ZP 1, 41 FZ 1 == 5,61 ZA 1,
откуда 1 MZ 1: 1 ZP 1 == 3 : 5, 1 AZ 1: 1 ZF 1 == 5 : 7.
"ример 6. На сторонах АС и ВС треуrольника АВС
взяты такие точки М и Р, что 1 АМ 1: 1 МС 1 == 3: 1 и
1 ВР 1 : 1 РС 1 == 1 : 2 (рис. 13). Отрезки АР и ВМ пересекаются в
точке Q. Известно, что площадь
треуrольника BPQ равна 1 м 2 .
Требуется вычислить площадь
треуrольника АВС.
Реш е н и е. Леrко убедить
ся, что SBAC == 3S BAP == 3S BPQ Х
IAPI
х 1 QP 1 . Поэтому нужно BЫ
IAPI
числить 1 QP 1 . Для этоrо по
местим такие массы в верши
нах А, С, В, чтобы точка М бьта центром масс, помещен
ных в А и С, а Р центром масс, помещенных в С и В. В силу
условия задачи и правила рычarа достаточно в вершине А
поместить массу 1, в С массу 3, а в В массу 6. Пусть Z
цеlПр полученных трех масс; тоrда
Z == 1А + 3С + 6В == (1А + 3С) + 6В == 4М + 6В =>Z [ МВ ] .
10 10 10 е ,
== 1А+(3С+6В) == 1А+9Р =>Z [ РА ]
Z 10 10 е.
с
А
в
Рис. 13.
Теперь видно, что Z точка пересечения отрезков МВ и
Р А, т. е. Z == Q. ИЗ последнеrо равенства ясно, что Z
центр масс двух м. т. 9Р и 1А; по правилу рычаrа
1 AQ 1 == 91 QP 1, 1 АР 1 == 1 AQ 1 + 1 QP 1 == 101 QP 1. Значит,
IAPI 2
1 QP 1 == 10, и потому SABC == 30 м .
"ример.7. От боковых ребер РА, РВ, РС прав ильной
треyrольной пирамиды Р АВС плоскость r:J.. отсекает COOTBeT
234
ственно 5' 5' 5' считая от вершины Р (рис. 14). Какую
часть отсекает 'плоскость r:J.. от высоты РМ пирамиды?
2S
Реш е н и е. Пусть А 1, В 1, С 1 точки пересечения ребер
Р А, Р В, РС с плоскоcrью а... Поместим в каждую из
точек А, В, С массу, равную единице. Так как 1 АР 1 ==
5 ' 3
== 2"1 А 1 Р 1, т. е. 1 АА 1 1 == 2"1 А 1 Р 1,
т. е. А 1 центр масс м. т. lА и
3
2" Р. Аналоrично
5 2
B l ==lB + P
33'
5 1
Рис. 14. 4 С1 ==lС+ 4 Р.
Далее, так как пирамида праВШIьная, то 3М == lА + lВ + lС.
Пусть Q центр масс всех шести рассмотренных м. Т., т. е.
р
А
8
то
5 3
A l ==lA + P
22'
3 2 1 65
1А + 2"Р + 1В + з Р + lС + 4 Р == 12 Q.
Произведем rруппировку масс:
Q == (lА + .; р ) + (lВ + р ) + ( 1 С + р ) ==
555
== 2А1 + зВ1 + 4С1 =>Qea...
Произведем дрyrую rруппировку масс:
65 ( 3 2 1 )
12 Q ==(1A+1B+IC)+ 2 Р +з Р +"4 Р ==
29
== 3М + 12 P=>Qe[PM].
Значит, Q точка пересечения плоскости а.. и отрезка РМ.
29
Из последнеrо равенства видно, ЧТО Q ...... цeнrp масс м. т. 12 Р
29
и 3М, и ПО прав ШI У рычarа 12 1 PQ 1 :::: 31 QM 1, откуда
36
1 PQ 1 == 65 I Р м 1.
При мер 8. В yrол р AQ (рис. 15) вписана окружность,
касающаяся crOpOH yrла в точках Р и Q. Прямая ВС (rде
26
Ве(АР), Ce(AQ» касается окружности в точке Т. Прямые BQ
и СР пересекаются в точке М. Докажем, что точки А, Т, М
лежат на ОДНОЙ прЯмОЙ.
Реш е н и е. Пусть 1 АР 1 == 1 AQ 1 == а, 1 ВР i === 1 вт 1 == m,
1 CQ 1 == 1 СТ 1 == n. Torдa I АВ 1 == а m, IAC 1 == а n. Поместим в
А массу 1 и подберем для Р такую массу х, чтобы цепrром
с'
Рис. 15.
масс м. т. 1А и хР служила точка В. По правилу рычаrа
a т
1.1 АВ 1 == х 1 ВР 1, откуда х == . Аналоrично убедимся, что
т
a n
С цепrр масс м. Т. 1А и yQ, rде у == . в сокращенных
. n
обозначениях имеем
(1 + х)В == 1А + хР, (1 + у)С == 1A + yQ.
Центром масс трех м. Т. 1А, хР, yQ служиr точка пересе
чения отрезКОВ BQ и СР, т. е. точка М (СМ. замечание 2
в 2). Иначе rоворя,
1А + хР + yQ == (1 + х + у)М.
Обозначим теперь через Z цешр масс ч е т ы ре х м. Т 1А,
хР, lА, yQ:
z == lА + хР + lА + yQ
2+х+у
и произведем rруппировICУ масс:
1 1
B+ C
Z == (1".4 +хР) + (lА + yQ)..... ( 1 +х)В+(l + у)С == т п
2 + х + у (1 + х) + (1 + у) 1 1
-----т+
m п
1 1
Теперь видно, что Z центр масс м. т. B и c. Но
т п
цeкrpoM масс этих М. т. служит, очевидно, точка Т. Значит,
27
Z == Т. Произведем теперь дрyrую rруппировку:
Z == (1А + хР + yQ) + 1А == (1 + х + у) М + 1А =>
2+х+у 2+х+у
=>Ze[AM] Те [АМ].
Пример 9. Основанием пирамиды F ABCD служит паралле
лоrрамм ABCD (рис. 16). Плоскость r:J. пересекает боковые
r ребра АР, ВР, СР, DF COOT
ветственно в точках А 1 , В 1 , С 1 ,
IAA 1 1 IBB 1 1
D 1 , причем IA1FI ==2, IB1FI ==
ICC 1 1
== 5, 1 С 1 Р 1 == 10. Вычислим OT
- I DD 1
с ношение х == 1
1 D 1 F 1.
Решение. Пусть М
центр параллелоrрамма ABCD
и Р точка пересечения OT
резка РМ с плоскостью r:J.. Pac
смотрим треуrольник АРС.
Рассуждая так же, как в примере 3, мы найдем, что точка Р
является центром масс четырех м. т. 1А, 2Р, 1С, 10Р. Теперь
имеем
А
Рис. 16.
Р == 1А + 2Р + 1С + 10Р
14
(1А + 1С) + (2Р + 10Р)
14
2М + 12Р
14
т. е. Р центр масс м. т. 2М и 12Р.
Рассмотрим, далее, треуrольник BFD. Рассуждая, как в при
мере 3, найдем, что Р центр масс четырех м. т. 1В, 5Р, 1D,
хР. Поэтому
Р == (1В + 1D) + (5Р + хР) == 2М + (5 + х) F
7+х . 7+х'
т. е. Р центр масс м. т. 2М и (5 + х) Р. Но выше мы видели,
что Р центр масс м. т. 2М и 12Р. Следовательно, 5 + х == 12,
IDD 1 1
х == 7, т. е. 1 D 1 F 1 == 7.
Пример 10. На сторонах треуrольника АВС (рис. 17) взяты
такие точки L иМ, что
CL == r:J.CA, СМ == CB (О < r:J. < 1, О < < 1).
28
Пусть Р точка пересечения прямых АМ и BL Вычислим
IAPI
отношение I АМ I .
.......................... .............
Реш е н и е. Имеем CL== схСА + (1 сх) СС (здесь слева
коэффициент равен 1, и потому справа берутся коэффициенты,
сумма которых равна 1). Теперь ясно (утверждение Б теоремы 1),
что L центр масс двух м. т.: С
схА и (1 сх) С, а следователь
но, и двух м. т. рА и 1С, rде
сх
р == 1 .
cx
Анал оrично убедимся, что М
центр масс двух м. т. qB и 1С,
rде
А
р
q== l p.
Пусть теперь Z центр масс всех трех м. т. рА, qB, 1С.
Тоrда
z == рА + qB + 1С
p+q+1
Рис. 17.
рА + (qB + 1С)
p+q+1
== рА + (q + l)М ZE[AM]. (12)
p+q+1
Аналоrично убедимся, что Z Е [BL]. Значит, Z == Р.
Так как (см. (12» Р центр масс м. т. (q + 1) м и рА, то,
применяя при п == 2 формулу (8) (в которой точка О заменена
на А), получаем
A P (q + 1) АМ + рАА I АР I q + 1 1 сх
1 , и потому .
р + q + I АМ I р + q + 1 1 схр
Задачи
55. Изложите в сокращенных обозначениях решение
задачи из примера 5 ( 3).
56. Изложите в сокращенных обозначениях решение примера 1.
57. На сторонах шестиуrольника последовательно отмечены их
середины В 1 , В 2 , В з , В 4 , Bs, В6' Будет ли точка пересечения медиан
треуrольника В 1 В зВ 5 совпадать с точкой пересечения медиан Tpe
уrольника В2В4В6?
58. В основании пирамиды Р АВС лежит правильный треуrольник
АВС с центром К. На боковых ребрах РА и РВ выбраны точки А 1
и В 1 так , что I Р А 1 I == 5 I РВ 1 I == о 5. Че р ез точки А В и се р еди
IAIAI ' IBIBI ' 1, 1
29
ну отрезка Р К проведена плоскость сх. В каком отношении делит она
третье боковое ребро?
59. На боковых cтopoflax АВ и АС равнобедренноrо треуrольника
ВАС выбраны такие точки Р и Q, что 1 ВР 1 == п 1 Р А 1, 1 AQ 1 == п 1 QC 1.
В каком отношении делит прямая PQ высоту АМ?
60. Чере3 вершину В треyrольника АВС проведены две прямые
ВВ 1 и ВВ 2 , отсекающие от стороны АС по одной пятой (соответствен-
но считая от вершин А и С). Через вершину С тоже проведены
две прямые СС 1 и СС 2 ; они отсекают от стороны АВ по одной
четверти, считая от вершин А и В соответственно. Площадь Tpe
уrольника АВС равна 1 дм 2 . Определите, чему равна площадь четы
рехуrольника, оrраниченноrо прямыми ВВ 1 , ВВ 2 , СС 1 , СС 2 .
61. На сторонах АС и ВС треуrольника АВС взяты такие точки
...........
L и М, что CL== схСА, СМ == J3CB; Р точка пересечения прямых АМ
и BL. Вычислите отношения 1 АР 1 : 1 АМ 1 и 1 ВР 1 : 1 BL 1 (см. npимер 10).
62. ПЛощадь параллелоrрамма ABCD равна 1. Точка М делит
сторону ВС в отношении 3: 5. Вычислите площадь четырехуrольника
CMPD, [де Р точка пересечения прямых АМ и BD.
63. На ребрах АВ, АС, BD треуrольной пирамиды взяты точки
1 1 1
М, N, Р так, что 1 АМ 1 == 2 1 АВ 1, 1 AN 1 == 1 АС 1, 1 ВР 1 == 1 BD (.
3 5
Через точки М, N, Р проведена плоскость. В каком отношении
делит она ребро DC?
64. Из четырех точек А, В, С, D никакие три не лежат на одной
прямой. Точки пересечения медиан треyrольников BCD, ACD, ABD,
АВС обозначены соответственно через А', В', С', D'. Докажите, что
отрезки АА', ВВ', СС', DD' пересекаются в одной точке М.
65. Даны четыре точки А, В, С, D. Через К, L, М, Н, Р, Q
обозначены середины отрезКОВ АВ, CD, АС, BD, AD, ВС. Докажите,
что отрезки KL, MN, PQ имеют общую середину. Докажите также,
что эта общая середина совпадает с точкой М, рассмотренной в пре-
дыдущей задаче.
66. Противоположные звенья АВ и DC пространcrвенной замк-
нутой ломаной ABCD разделены точками М, N в ОДНОМ и том же
отношении k; отрезки ВС, MN, AD разделены точками Р, Q, R
в одном и том же отношении 1. Докажите, что точки Р, Q, R
лежат на одной прямой.
67. Внутри HeKoтoporo треуrольника АВС взята точка D, и в
треyrольниках BDC, CDA, ADB отмечены ТОЧlCИ пересечения медиан
(точки R, S, Т). в полученном таким образом треyrольнике RST
также отмечена точка М пересечения медиан. Пуcrь' Р точка пере
сечения медиан исходноrо треyrольника АВС. Лежат ли три точки
D, М, Р на одной прямой? Вычислите отношение 1 DM 1 : 1М Р 1.
r ЛАВА II
ИДЕЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
И КОМПЛЕКСНЫХ МАСС
«rеометрия масс исходит из тех соображений, что точки
пространства рассматриваются не сами по себе, а им ПРШ1и..
сываются выбранные по произволу положительные или отри..
цательные числа в качестве их масс, так чт<? точки появля..
ются лишь снабженными определенными коэффициентами».
r. ЮН2 «rеометрия масс»
До сих пор мы считали, что в наших рассужде
ниях все массы выражаются п о л о ж и т е л ь н ы м и числами.
Однако, как.мы увидим ниже, формальныIe определения поня
тий «материальная точка» и «центр масс» приrодны и тоrда,
коrда «массы» берутся из друrих числовых множеств. Оказы
вается, что если стать на такую более общую точку зрения,
то возникают новые содержательные rеометрические приложе
ния понятия центра масс. И хотя формально определенным
«материальным точкам с отрицательными (или тем более
мнимыми) массами» мы Не можем сопоставить физические
образы столь же привычныI,, как в случае положительных
масс, однако и в таких более общих случаях использование
терминолоrии, заимствованной из механики, позволяет прив
лечь физическую интуицию к поиску решений задач. MaTeMa
тически же решения получаются безупречно строrими, посколь
ку ниже приводятся корректные определения центров масс для
случая дейcrвительных или комплексных масс и доказатель
ства их свойств.
о 5. Orрицательны массы
Данные выше (в 2) математические определения
понятий «материальная точка» и «центр масс системы MaTe
риальных точек» применимы и в том случае, коrда <<массы»
(все или некоторые из них) являются отрицательными числами.
Например, «материальная точка» ( З) А это точка А вместе
с сопоставленным ей числом 3, а «цеlПр масс двух м. т.
( 3) А и 5В» это такая точка Z, дЛЯ которой выполняется
векторное равенство
............. ............. -+
( 3) ZA + 5ZB == О
31
(т. е. число т! + т2 + ... + т n ) была
отлична от нуля (что мы и будем
предполarать всюду в дальнейшем),
Рис. 18. то остаются в силе: а) определение
центра масс (см. (7)); б) теорема 1
(и, в частности, формула (8), выражающая радиус вектор OZ
центра масс через радиусы векторы и массы всех м. т. системы);
в) следствие из теоремы 1 о существовании и единственности
центра масс у любой системы материальных точек.
Некоторое изменение претерпевает теорема 3 о возмож
ности переrруппировки материальных точек: для справедли
воети этой теоремы приходится предполarать, что не только
суммарная масса т! + ... + m,. всей систеМ I отлична от нуля,
но и сумма масс отмеченных материальных точек (т. е.
т! + .... + mk) отлична от нуля. Причина этих оrраничений
понятна: суммарная масса т! + ... + т п стоит в знаменателе
дроби в формуле (8), а в доказательстве теоремы 3 исполь
зуется формула, в знаменателе которой стоит сумма масс
отмеченных материальных точек. Доказательства же теорем
1 и 3 остаются без изменения.
Далее, теорема 2 для случая действительных (не обязательно
положительных) масс заменяется следующим утверждением:
Центр Z двух масс т! и т2 с ненулевой суммой, помещен
ных в концах отрезка AtA2' лежит на прямой, содержащей
этот отрезок, и удовлетворяет условию 1 т! 1 d t == 1 т2 1 d 2 , zде
d t == 1 ZAt 1, d 2 == 1 ZA 2 1 соответствующие «плечи»,. при этом
точка Z лежит на отрезке AtA2' если знаки чисел т! и т2
одинаковы, и вне ezo, если они противоположны.
Так видоизменяется архимедово правило рычarа для случая
произвольных действительных масс. Доказательство проводит
ся так же, как и доказательcrво теоремы 2 (с очевидными
изменениями). Заметим, что центр масс двух м. т. (с ненулевой
суммарной массой) расположен ближе к «более массивной»
из них,. т. е. к той, масса которой больше по модулю; это
сразу следует из равенства
1 т! 1 d t == 1 т2 1 d 2 .
Пример 11. Пусть ABCD параллелоrрамм; докажем, что
центром масс трех м. т. тА, ( т) В, тС (рис. 19) является
четвертая вершина D, т. е. (в сокращенных обозначениях)
тА + ( т)B + тС == mD.
32
(рис. 18). Если потребовать, чтобы
суммарная масса системы
mtAt, т2 А 2, ..., тпА п
.D
тА
Рис. 19.
( т)8
Реш е н и е. Пусть О центр параллелоrрамма,. а Z иско
мый центр масс. Тоrда по формуле (8)
oz == тОА тО В + тое тОА + mOD тОА == OD
т т+т т '
т. е. Z == D.
Приведем теперь примеры использования отрицательных
масс при решении rеометрических задач.
Пример 12. Пусть А 1 , А 2 , Аз вершины треуrольника
(рис. 20); В 1 , В 2 , В з середины противолежащих им сторон;
М произвольная точка: М 1,
М 2, М З точки, симметrичные
М относительно точек В 1 , В 2 ,
В з . Докажем, что прямые А 1 М 1,
А 2 М 2 и АзМ з пересекаются в
одной точке. .
Решение. Так как А 1 , М,
А 2 , М З вершины параллело
[рамма, то в силу результата .
примера 11 имеем
1М з == 1А 1 + 1А 2 + ( 1) М. ;' M J
Любая точка Z прямой М зАз
(кроме Аз) является центром масс двух м. т. 1М з и хАз, [де
х число (положительное или отрицательное}, зависящее от
выбора точки Z. Иначе rоворя,
Рис. 20.
(1 + x)Z == 1М з + хАз == 1А 1 + lА 2 + хАз + ( 1)M.
Теперь видно, что при х == 1 точки А 1 , А 2 , Аз входЯf В правую
часть с о Д и н а к о в ы м и коэффициентами. Иначе rоворя,
точка Z, пределяемая равенством 2Z == 1М з + lА з (т. е. cepe
дина отрезка АзМ з), удовлетворяет условию
2Z == 1А 1 + lА 2 + 1А з + ( 1) М.
Ввиду одинаковости коэффициентов точки А 1 , А 2 , Аз paBHO
2 м. Б. Балк, В. r. Болтянский
33
правны в этой записи, и потому рассматриваемая точка Z
принадлежит не только прямой М зАз, но и двум дрyrим
прямым М 1 А 1 , М 2 А 2 . Кроме Toro, эта точка Z является cepe
диной не только отрезка АзМ з, но и отрезков А 1 М 1, А 2 М 2.
Таким образом, три отрезка А 1 М 1 , А 2 М 2 , АзМ з имеют общую
точку Z и каждый из них делится в этой точке пополам.
Заметим, что решение можно было бы изложи ь короче,
если сразу использовать найденную точку Z, т. е. центр масс
четырех м. т. 1А 1 , 1А 2 , 1А з , ( 1) М з; однако, тоrда было бы
трудно мотивировать, почему взяты именно эти м. т.
Пример 13. Точка М (рис. 21) середина стороны АВ Tpe
):"rольника АВС. Прямая 1, не проходящая через точку С, пере
Рис. 21.
секает прямые СА, СВ и СМ в таких точках А 1 , Б 1 , М 1, что
СА == рСА 1 , СВ == qCB 1 , СМ == rCM 1. Выразим 'r через р и q.
Реш е н и е. Идея состоит в том, чтобы зarрузить точки А,
_Б, С такими массами, для которых центром масс будет точка
М 1. Ясно, что В А и Б надо поместить р а в н ы е массы, так
как тоrда центром масс этих двух м. т. будет точка М, после
чеrо, подобрав надлежащую массу для точки С, можно будет
добиться, чтобы центром масс всех трех м. т. была нужная
нам точка прямой СМ (а именно, точка М 1).
Итак, поместим в каждую из точек А, В массу 1, т. е. возь
мем м. т. 1А, 1В. Остается подобрать для С такую массу х,
чтобы цeнrpoM масс м. т. 1А, 1В, хС была точка М 1 (а не
иная точка прямой СМ). Для этоrо сначала поместим в С
такую массу тl, чтобы центром масс м. т. 1А и тl С была
точка А 1 , а затем дОбавим в точку С еще такую массу т2,
чтобы центром масс м. т. 1В и т2С была точка В 1 . Torдa
центр масс Z всех четырех м. т. 1А, 1В, тl С, т2С будет в то
же время цeнrpoM масс м. т. (1 + тl) А 1 и (1 + т2) В 1 , .т. е.
ZE(A 1 B 1 ). Так как, кроме Toro, ZE(CM), то и получится, что
Z совпадает с М l'
Чтобы центром масс м. т. 1А и тlС была точка А 1 ,
должно быть (1+тt)A1==lA+тlC' откуда (1+1n 1 )СА 1 ==
34
...................... ........... ...........
== 1 . СА + тl . СС, и потому (1 + тl) СА 1 == СА == рСА 1 , т. е.
1 + тl == р. Таким образом, тl == Р ...... 1. Аналоrично т2 == q 1.
Мы видим, что Z ==- М 1 есть центр масс четырех м. т.
1А, 1В, (р...... 1) С, (q 1) С, т. е. центр масс двух м. т. 2М
и (р + q 2) С. Иначе rоворя, (р + q) М 1 == 2М + (р + q 2) С,
...................... ........... (р + q) ...........
откуда (р + q) СМ 1 == 2СМ + (р + q 2) СС, т. е. 2 СМ 1 ==
........... Р + q
== СМ. Следовательно, r == 2 .
Мы подробно изложили это решение, чтобы мотивировать
выбор требуемых масс. А теперь, при желании, можно излЬ
жить это решение короче. Именно, пусть z..... центр масс
четырех м. т. 1А, 1В, (р 1) С, (q 1) с. Тоrда, учитывая YKa
........... ...................... ...........
занное в условии равенство рСА 1 == СА == 1СА + (р 1) СС,
т. е. рА 1 == 1А + (р ...... 1) С, и аналоrичное равенство qB 1 ==
== 1В + (q ...... 1) С, находим
(р + q) Z == 1А + 1В + (р + q ...... 2) С ==
== 2М + (р + q ...... 2) С Z е (МС),
(р + q) Z == (1А + (р ...... 1) С) + (1В + (q ...... 1) С) ==
== рА 1 + qB 1 Z е(А 1 В 1 ).
Это означает, что Z == М 1. Теперь имеем (взяв первую из
двух написанных строк) (р +
+ q) м 1 == 2М + (р + q ...... 2) С, OT
куда и получаем (как и в конце
приведенноrо выше решения)
r == (р + q)/2.
Пример 14. Основанием
пирамиды SABCD служит па
раллелоrрамм ABCD (рис. 22).
Плоскость iJ., отсекает от трех
боковых ребер SA, SB, SC COOT
ветственно треть, пятую часть
и четверть, считая от верши
ны S. Определим, какую часть
отсекает эта плоскость от чет
BepToro боковоrо ребра.
Реш е н и е. Пусть плоскость iJ., пересекает ребра SA, SB, SC,
SD в точках А 1 , В 1 , С 1 , D 1 . Мы знаем (см. пример 11), что
D цеlПр масс м. т. 1А, (...... 1) В, 1 С. Подберем теперь ДТIЯ
точки S три такие массы т', т", т''', чтобы центром масс
м. т. 1А и m'S служила точка А 1 , центром масс м. т. ( 1) В
и m"S бьша В 1 , а центром масс м. т. 1С и m"'S оказалась
'1*
s
с
.о
Рис. 22.
35
точка С 1. Так как точка А 1 принаДТIежит отрезку 8А, то
массы 1 и т', помещаемые в точки А и 8, должны иметь
одинаковые знаки, т. е. т' > о. При этом по правилу рычarа
1.1 А 1 А 1 == 1 т' 1.1 А 1 8 1, откуда (в силу условия 1 А 1 8 1: I А 1 А 1 ==
== 1 : 2) находим т' == 2. Аналоrично найдем т" == 4, т'" == 3.
Рассмотрим систему из всех шести м. т. 1А, 28, ( 1) В, ( 4) 8,
1С, 38, и пусть Z их центр масс. Произведем две различные
rруппировки этих м. т.:
Z == (lА + 28) + (( 1) В + ( 4) 8) + (lС + 38) ==
1 + 2 + ( 1) + ( 4) '+ 1 + 3
3А 1 + ( 5)B1 + 4С 1
=> Z Е (1;
2
Z == (lА + ( l)B + 1С) + (28 + ( 4)8 + 38) ==
2
== 1D; lS =>ZE[SD].
1
Следовательно, Z == D 1 , причем из равенства Z == 2" (lD + 18)
следует, что D 1 середина ребра 8D, т. е. плоскость r:J. отсекает
половину этоrо ребра. ·
Заметим, что чисто rеометрически решить эту задачу не
TaK TO просто!
Пример 15. Дан четырехyrольник AF М Е (рис. 23). Прямые
.
AF и М Е пересекаются в точке С, а прямые АЕ и М F
в точке В. Диаrональ АМ пересекает диarональ EF и прямую
Ве соответственно в точ
ках Р и Q. Вычислим
AQ АР
отношение : .
QM РМ
Реш е н и е. Пусть Ь,
с такие числа, что Q
центр масс м. т. ЬВ и сС,
т. е. (Ь + с) Q == ЬВ + сС.
Поместим в точке А Ta
кую массу а, чтобы цeHT
ром масс м. т. аА и (Ь +
+ с) Q оказалась точка М.
Обозначим через Z'
центр масс м. т. аА и ЬВ. Ясно, что Z' Е (АВ). Кроме Toro,
так как М центр масс м. т. аА и (Ь + с) Q, т. е. центр
масс м. т. . аА, ЬВ, сС, то М является также центром масс
м. т. (а + Ь) Z' и сС, откуда следует, что точки М, Z', е
А
/
/
/
/
/
/
/
/
/
Рис. 23.
36
лежат на одной прямой, т. е. Z' Е (М С). Итак, Z' есть точка
пересечения прямых АВ и МС, т. е. Z' == Е. Мы видим, что
центром масс м. т. аА и ЬВ является точка Е. Аналоrично
. ,
F цeнrp масс м. т. аА и сС. Пусть теперь Z центр масс
четырех м. т. аА, ЬВ, аА, сС. Тоrда
Z (аА + ЬВ) +(аА +сС) (a+b)E+(a+c)F
== 2а+Ь+с == 2а+Ь+с ZE(EF);
Z аА + (аА + ЬВ + сС) аА + (а + Ь + с) М
== == ZE(AM)
2а+Ь+с 2а+Ь+с .
Следовательно, Z == Р. Из последнеrо равенства видно, что
Р центр масс м. т. аА и (а + Ь + с) м, и поэтому
(а + Ь + с) РМ + аРА == u. С друrой стороны, М центр масс
м. т. (Ь + с) Q и аА, и поэтому (а + Ь + с) QM == (Ь + с) QQ +
АР а + Ь + с AQ
+ aQA == aQA. Мы видим, чrо == == , OT
РМ а QM
куда вытекает, чrо искомое отношение равно 1.
В различных вопросах rеометрии встречаются. ситуации,
Kor да приходится рассматривать «сложное отношение» (или,
иначе, аН2армонuческое отношение) четырех различных точек
А, В, С, D, лежащих на одной прямой. Оно обозначается
через (А, В; С, D) и определяется как частное двух «простых
отношений» :
АС AD
(А, В; С, D) == ; .
СВ DB
Особенно важную роль понятие сложноrо отношения иrрает
--проективной rеометрии. В частности, если (А, В; С, D) ==
== 1, то четверка точек А, В, С, D называется 2армонuческой.
В примере 15 бьшо доказано, что четверка А, М, Р, Q
rармоническая, т. е. если дан полный четырехсторонник (четыре
прямые, никакие три из которых не пересекаются в одной
точке), А и М две противоположные ero вершины, то прямая
АМ (диаrональ) пересекает две дрyrие диаrонали EF и Ве
в таких точках Р, Q, что четверка А, М, Р, Q rармоническая.
Эта теорема иrрает важну роль в проективной rеометрии.
Задачи
68. Точка М принадлежит прямой А 1 А 2 (ТОЧКИ А 1 И А 2
различны). Докажите существование таких чисел тl, т2, что М центр
масс м. т. тlАl и т2А2' Докажите, что при дополнительном условии
тl + т2 == 1 массы тl и т2 определяются точкой М однозначно.
37
69. Отрезок АоА5 разделен на пять конrРУЭНТJiЫХ отрезков точ"
ками А 1 , А 2 , А з , А4' В точке А 1 помещена масса тl:= 1. Какую
массу тk следует поместить в точке A k , чтобы при каждом k == 2, 3, 4, 5
центром масс двух м. т. 1А 1 и mkAk была точка Ао?
70. Пусть М цeнrp параллелоrрамма ABCD. Какие массы сле
дует поместить в точке М и вершинах А и В, чтобы центром
этих трех масс оказалась вершина С?
71. Пусть Н точка пересечения высот треyrолъника АВС, а 5
центр описанной около Hero окружности. Можно доказать, что имеют
место векторные равенства
........... -:::t ........... 1.......... .......... ..........
5Н == 5А + SH + SC, HS == 2 (НА + НВ + НС).
ЦeнrpoM масс каких м. т. с лу жит. точка Н? Точка 5?
72. Известно, что АМ == а.ВС. Какие массы нужно разместить
в точках А, В, С, чтобы их центром масс была точка М?
В задачах 73 74 содержится несколько простых фактов, которые
аналоrичны замечаниям, 1, 2 2 и которые MorYT быть использо
ваны при решении задач.
73. Докажите, что центр Z трех масс тl, т2, тз с ненул ев ой
суммой, помещенных в вершинах HeKoToporo треyrольника А 1 А 2 А з ,
тоrда и только тоrда лежит на прямой, проходящей через вершину А 1
и параллелъной стороне А 2 А з , коrда т2 + тз == о.
74. а) Три массы тl, т2, тз с ненулевой суммой помещены
в вершинах треуrольника А1А2Аз. Прямая, проходящая через центр
этих масс и вершину А 1 , пересекает сторону А2Аз или ее продол
жение в некоторой точке А l' Докажите, что эта точка служит центром
масс м. т. т2А2 и тзАз.
б) В трех вершинах треуrольника А1А2Аз помещеныI ненулевые
массы тl, т2, тз с ненулевой суммой. Докажите, что если м. т. тlАl
и т2А2 имеют цeнrp масс Аз, а м. т. тlАl и тзАз имеют центр
масс А 2 , то прямые А 2 А 2 и А з А з пересекаются, и точка их пересе
чения служит центром всех трех масс, помещенных в вершинах
треуrол ьника.
75. Какие массы следует поместить в вершинах треyrольника
АВС, имеющеrо длины сторон а, Ь, с, чтобы центром масс этих
трех м. т. бьш центр вневписанной окружности, касающейся стороны
АВ и продолжений двух друrих сторон?
76. Сформулируйте и докажите для случая четырех м. т. В про
странстве аналоr утверждения, содержащеrося в задаче 73.
77. Сформулируйте и докажите для случая четырех м. т. В про
странстве аналоr утверждения, содержащеrося в задаче 74а).
78. Сформулируйте и докажите для случая четырех м. т. В про
странстве аналоr утверждения, содержащеrося в задаче 74б).
79. В точках А 1 и А 2 расположены массы т 1 и т2, одна из
которых положительная, а друrая отрицательная, так что центр Macc'Z
м. т. тlАl и т2А2 расположен на прямой А 1 А 2 вне отрезка А 1 А 2 .
При каком соотношении между массами тl и т2 точка Z располо
жена на луче А 1 А 2 ? На луче А 2 А 1 ?
38
80. В вершинах А, В, С параллелоrрамма ABCD помещены массы
тl, т2, тз. Докажите, что центр масс этих трех м. т. совпадает
с центром масс трех друrих м. Т.: (тl + т2) А, (т2 + тз) С, m2 D .
81. Докажите, что если справедливы соотношения тоОА о +
+ тl 0А l + ... + тnОА n == u, rде то + тl + ... + т n == О, то #- О, то
Ао центр масс системы м. т. т 1 А 1, ..., тnА n .
82. Точка Z центр масс системы м. т. тlАl, ..., тnА n . Докажите,
что если т n #- О, то А" центр масс системы м. т. т 1 А 1 , ..., тn lАn,l,
( т 1 т 2 ... т n ) Z.
83. Основанием пирамиды SABCD служит параллелоrрамм.АВСD.
Плоскость (1. отсекает от трех боковых ребер SA, SB, SC COOTBeT
ственно половину, две трети, три чerверти, считая от вершины S.
КакуJO часть она отсекает от чerвертоrо боковоrо ребра?
84. В окружность r вписан четырехyrольник ABCD. Через cepe
дину каждой стороны четырехуrольника проведена прямая, перпенди
кулярная противоположной стороне. Докажите, что возникаJOщие
таким образом четыре прямые имеJOТ оБЩУJO точку.
У к а з а н и е. Докажите, что все четыре прямые ПРОХОДЯТ через
центр масс м. т. lА, 1В, lС, lD, ( 2) S, rде S центр окружности.
85. Докажите т е о р е м у Н ь JO Т О Н а: Если вОКРУ2 окружности
описан четыреХУ20льник ABCD, то центр М окружносmu лежит на
отрезке, соединяющем середины диazоналей этО20 четыреХУ20льника.
у к а з а н и е. Пусть F точка пересечения прямых AD и ВС.
Тоrда М центр масс трех м. т. тl А , т2 В ' тзF, [де тl == 1 вр 1,
т2 == ,АР 1, тз == 1 АВ 1. Точно так же М центр масс трех м. т. т4С'
msD, т6 Р ' rде щ.. == 1 DF 1, ms == 1 СР 1, т6 == 1 CD 1. Следовательно,
М центр масс всех шести рассмотренных м. т. Далее докажите, что
F центр масс м. т. тl С и msB и в то же время центр масс м. т.
т4А и m2D, и произведите rруппировку, учитывая соотношения
тз + т6 == тl + т2 + т4 + ms.
86. На ребрах РВ, РС и АВ пирамиды РАВС выбраны такие
точки Р, Q, R, что ,. F Р 1 == 41 Р в 1, 1 FQ 1 == 5 1 QC 1, 1 AR 1 == 6 1 RB 1.
В какОМ отношении делится ребро F А ПЛОСКОСТЬJO (1., проходящей
через точки Р, Q, R? '
87. На одной из сторон уrла с вершиной О даны три такие
точки А 1 , А 2 , Аз, что IОАll:IАlА21:IА2Азl == 1:2:3; на дрyrой CTO
роне три такие точки A , А 2 , Аз, что 1 OA 1: 1 A A21 : , А 2 А з , ==
== 3 : 3 : 2. Докажите, что прямая АзА з проходит через точку пересе
чения прямых AIA и А 2 А 2 .
88. Около окружности описан четырехуrольник. В каждой точке,
в которой сторона четырехуrольника касается окружности, помещена
масса, численно равная длине этой стороны. Докажите, что центром
этих масс служит центр окружности.
6. Теоремы Чевы иМенелая
Итальянский инженер rидравлик Джованни Чева
(XVII век) заинтересовался следующим вопросом. Представим
себе, что на cropoHax ВС, СА, АВ треyrольника АВС выбраны
39
соответственно точки А 1 , В 1 , С 1 . Можно ли, не производя
никаких построений и измерений внутри треyrольника (считая,
например, что внутри треуrольника АВС лес или болото),
а лишь по результатам измерений на контуре треуrольника
решить, проходят ли три прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 через одну
точку? Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Чевой
в 1678 rоду с помощью свойств центров масс.
т е о р е м а 4. Пусть точки А 1 , В 1 , С 1 (рис. 24, 25) выбра
ны на сторонах ВС, СА, АВ треуzольника АВС 'или на их
в
А
с
с
Рис. 25.
Рис. 24.
продолжениях так, что выполняется «условие Чевы»:
............. ............. .............
B . . == 1.
А 1 С В 1 А С 1 В
Тоzда либо все три прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 имеют общую
точ ку, либо все они параллельны.
Д о к а 3 а т ел ь ст в о. Пусть СХ, , у такие числа, что
............. .......................... .......................... .............
АС 1 == а.С 1 В, ВА 1 == AIC' СВ 1 == уВ 1 А. (13)
Леrко видеть, что а. i= 1, i= 1, у i= 1. Кроме Toro, a. y == 1
(в силу условия Чевы). Первое равенство (13), т. е. соотношение
............. .............
С 1 А + а.С 1 В == о, показывает, что С 1 центр масс м. т. 1А и а.В.
Второе равенство (13) показывает, что А 1 центр масс м. т.
а.В и a. C. Третье равенство означает, что В 1 центр масс
м. т. a. C и a. yA; иначе rоворя, В 1 центр масс м. т. a. C
и' 1А.
Рассмотрим три м. т. 1А, а.В, a. C, и пусть сначала
их суммарная масса отлична от нуля, т. е. 1 + а. + a. i= о;
40
обозна им через Z центр масс всех трех м. т. Тоrда
Z == 1А + а.В + a. C (lА + а.В) + a. C
1 + а. + a. 1 + а. + a.
== (1 + а.) е 1 + a. C => Z Е (СС ).
1 + а. + a. 1
Аналоrичным рассуждением (rруппируя м. т. иначе) можно
убедиться, что Z Е (ВВ 1) и z Е (АА 1). Таким образом, прямые
АА 1 , ВВ 1 , СС 1 имеют общую точку z.
Рассмотрим теперь случай, коrда 1 + а. + a. . о. Так как
В 1 центр масс м. т. 1А и a. C, то
............... ............... ...............
(1 + a. ) ВВ 1 == 1ВА + a. BC;
Аналоrично,
............... .............................. ..............................
(1 + а.) СС 1 == ,1 . СА + а.СВ == 1 (СВ + ВА) + а.СВ ==
...............
== 1.ВА (1 + а.)ВС.
Так как, далее, 1 + а. + a. == о, то правые части этих равенств
/
совпадают, т. е. (1 + a. ) ВВ 1 == (1 + а.) СС 1, и потому ВВ 1 11 СС l'
Аналоrично можно убедиться, что СС 1 11 АА 1 . Итак, либо три
прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 имеют общую точку, либо они попарно
параллельны.
Следующая теорема, сходная с теоремой Чевы и принад
лежащая древнеrреческому reoMeтpy Менелаю, rарантирует
принаДJIежность трех точек одной прямой:
Теорема 5. Если точки А 1 , В 1 , С 1 (рис. 26) выбраны
на сторонах ВС, СА и АВ треУ20льника Аве или на их
8
А
Рис. 26.
продолжениях так, что выполняется «условие Менелая»:
............... ............... ...............
B . . A == 1,
А 1 С В 1 А С 1 В
то точки А 1 , В 1 , С 1 лежат на одной пря.«ой.
Обратите внимание на то, что условие Менелая лишь зна
ком отличается от условия Чевы.
41
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и при доказательстве теоремы
Чевы, введем числа rJ., , 'у (см. (13». Тоrда в силу условия
Менелая (x 'Y == 1. Следовательно, каждое из чисел ':1., . .,'
отлично от О (и от 1). Равенства (13) означают, как и прежде.
что С 1 центр масс м. т. 1А и а.в; далее, А 1 центр Mac
м. т. (хв и (X C; наконец, В 1 центр масс м. т. (X C И a. 'YA.
т. е. (в силу условия Менелая) В 1 центр масс м. т. a. C и
( l)A. Следовательно, при любом выборе точки Q
............. ..........................
(1 + (х) QC 1 == 1. QA + (XQB,
............. ............. .............
(ct + (x ) QA 1 == ctQB + ct QC,
............. ............. .............
(ct 1) QB 1 == (X QC + ( 1) QA.
Вычитая второе равенство из суммы двух друrих, получаем
............. ............. .............
(1 + (х) (QC 1 QAt) + (ct 1) (QB 1 QA 1 ) == О,
............. .............
т. е. (1 + (Х) А 1 С 1 == (1 (x ) А 1 В 1 , а это и означает, что точки
А 1 , в 1 , С 1 лежат на одной прямой.
Пример 16. В уrол В' АС' вписана окружность, касающаяся
сторон уrла в точках Р и Q (рис. 15). Прямая, проходю.цая
через точки В и С, леЖaIЦие соответственно на лучах ОВ' и ОС',
касается окружности в точке т, причем вершина yrла А и центр
окружности лежат по разные стороны прямой ВС. Пуcrь М
точка пересечения прямых СР и BQ. Докажем, что три точки
А, Т, М лежат на одной прямой.
Реш е н и е. Выше (см. пример 8 в 4) мы уже рассмотрели
решение этой задачи. Более простое решение получается с по
мощью теоремы Чевы, соrласно которой нам в данном случае
следует вычислить выражение
............. ............. .............
вт CQ АР
и == ====J""""'.
ТС QA РВ
Введем обозначения: х == 1 АР 1 == 1 AQ 1, у == 1 ВР 1 == 1 BTI, z ==
== 1 CTI == 1 CQ 1. Тоrда
и == ( ) ( ; ) ( ) == 1.
По теореме Чевы три прямые A BQ и СР имеют общую
точку, т. е. точка М принадлежит прямой А 1:
Задачи
89. Дан треуrольник АВС. На продолжениях сторон АВ
и ВС выбраны соответственно такие точки С 1 и А 1 , ЧТО ,ВС 1 , == 'АВ I
и 'СА 1 , == I ВС 1. На стороне СА взята такая точка В 1 , что I АВ 1 I ==
==4IB 1 CI. Имеют ли три прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 общую точку?
42
90. Через точку М, расположенную внутри треуrольника АВС,
проведены три прямые: АА 1 , НВ 1 , СС 1 (точки А 1 , В 1 , С 1 лежат на
контуре треуrольника). Известно, что 1 СВ 1 1 == 1/3 I СА 1, I СА 1 I .
== J /4 1 СВ 1. В каком отношении делится отрезок АВ точкой С 1 ?
91. Окружность, вписанная в треyrольник PQR, касается сторон
QR, RP, PQ соответственно в точках L, М, N. Докажите, что три
отрезка PL; QM, RN имеют общую точку.
92. Окружность касается стороны PQ треуrольника PQR в точке
N и продолжений сторон QR, RP в точках L, М (вневписанная
окружность). Докажите, что три прямые PL, QM, RN Шvfеют общую
точку.
93. Через вершины А, В, С треyrольника АВС проведены прямые
АА 1 , ВВ 1 , СС 1, каждая из которых делит перШvfетр треуrольника
пополам. а) Докажите, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 имеют общую
точку N (она называется точкой Наrеля); б) докажите, что N является
центром масс м. т. (р а) А, (р Ь) В, (р с) С; в) докажите, что
центроид (точка пересечения медиан) треуrольника АВС принадлежит
отрезку О N, r де О центр вписанной окружности, и делит этот oтpe
зок В отношении 1: 2.
94. Дан тетраэдр ABCD, объем KOToporo равен 1. Плоскость (1.
встречает ребра DA, DB, СА, СВ соответственно в таких точках К,
L, Р, М, что IDKI==2IKAI, IDLI==
== 1 LB 1, 1 см 1 == 31 МВ 1. Вычислите
2
объем
LABM Р.
95. Из произвольной точки М
окружности опущены перпендикуляры
на все стороны (или продолжения cтo
рон) треуrольника АВС, вписанноrо в
эту окружность. Докажите, чrо OCHOBa
ния А 1, В 1, С 1 этих перпендикуля
ров лежат на одной прямой (пря
мая Симпсона, рис. 27).
96. Докажите теорему, обратную
теореме Чевы: если точки А 1, В 1, С 1
выбраны на сторонах ВС, СА, АВ Tpe
уrольника АВС или на их продолжениях так, что три прямые АА 1 , ВВ 1 ,
СС 1 пересекаются в одной точке (или параллельны), то выполнено
уел овие Чевы.
97. Докажите leopeMY, обратную теореме Менелая: .если точки
А 1 , В 1 , С 1, выбранные на сторонах треyrольника АВС или на их
продолже:циях, лежат на одной прямой (рис. 26), то вьmолнено
условие М.енелая.
98. При выполнении условий теоремы Менелая вычислите OTHO
.......... ..........
шение А 1 В 1 : А 1 С 1 (используя числа (1., , у, введенные при доказатель
стве).
99. Пусть при условиях теоремы Чевы прямые АА., ВВ 1 , CC l
А
четырехуrольной
пирамиды
Рис. 27.
43
............... ............... ...............
АР ВР СР
пересекаются в точке Р. Вычислите отношения , , ,
А 1 Р В 1 Р С 1 Р
используя введенные при доказательстве числа сх, , у.
100. Звенья АВ, ВС, CD, DA пространственной замкнутой ломаной
ABCD разделены точками М, N, Р, Q соответственно в отношениях
............... ...............
т, n, р, q (т. е. АМ == тМ В и т. д.). Докажите, что если mnpq == 1,
то точки М, N, Р, Q лежат в одной плоскости. В каком отноше
нии точка пересечения отрезков МР и NQ дел ит каждый из этих
отрезков, если все числа т, n, р, q положительны?
101. Каждое звено замкнутой пространственной ломаной А 1 А 2 ...
. . . А 2n пересекает плоскость ':J. в одной точке, причем звено AiA i + 1
делится точкой пересечения с плоскостью сх в отношении k i (; == 1,
2, ... , 2n 1). Найдите отношение k 2n , В котором звено А 2n А 1 делится
плоскостью r1. Чему равно произведение k 1 k 2 ... k2n lk2n?
7. Координаты цеиrра масс. Теоремы
rюльдена и неравенство Чебышева
XVII век был боrат бурными событиями в Ma
тематике. В этом веке возникли новые математические поня
тия интеrрал, производная, которые коренным образом
изменили облик этой науки. А еще раньше в работах BЫ
дающеrося математика и философа Рене Декарта был развит
координатный метод, который ознаменовал открытие r лубоких
связей между алrеброй и rеометрией. Отныне rеометрические
факты стаJIИ описываться (в координатах) мrебраическими
соотношениями, а алrебраические формулы f!п:IУLIИЛИ наrляд
ную rеометрическую интерпретацию. По C-,lовам Энrельса,
декартова переменная величина стала поворотным пунктом в
развитии математики, внесла в эту науку движение и диалек
тику и создала условия для развития дифференциальноrо и
интеrральноrо исчислений. И, подытожив исследования своих
предшественников (Декарта, Ферма, Барроу, Кеплера, Ka
вальери, rюйrенса и друrих), великие математики XVII столе
тия Ньютон и Лейбниц заложили основы математическоrо
анализа.
Координатный метод не только послужил основой, на KO
торой были развиты дифференциальное и интеrральное исчис
ления; сейчас он используется во всех разделах математики и
ее приложений. Достаточно сказать о векторных пространст
вах, которые широко используют координаты и служат тем
базисом, на котором сеrодня покоятся математика, физика,
химия, математическая экономика, теория управления и мноrие
дрyrие области современной науки.
Факты, связанные с центрами масс, которые выше paCCMaT
риваwlИСЬ чисто rеометрически, также Moryт быть описаны
44
с помощью координат алrебраическими соотношениями. И это
сразу же открывает большие возможности и новые приемы,
используемые при решении задач rеометрии и 'алrебры. Такой
переход от rеометрическоrо описания центров масс к алrебраи
ческому (координатному) и осуществляется в этом параrрафе.
Пусть в пространстве выбрана прямоyrольная декартова
система координат с началом О, и пусть в точках А 1 , А 2 , ...
..., А т имеющих соответственно координаты (хl, Уl, Zl)'
(Х2, У2, Z2)' ..., (Х т Ут Zn), помещены .массы тl, т2, ..., m,.
(т == тl + т2 + ... + т п =1= О). О означим через Р центр масс
этих п м. т. И найдем декартовы координаты (Х, )7., z) точки Р.
Из определения центра масс следует
............... .............................. ...............
тОР == тl0Аl + т20А2 +... + тпОА п .
(14)
Если j, k единичные BeK TO Ы, направленные по осям KOOp
............... "-
динат, то ОР == xi + yj + zk, OA v == xvi + yvj + zvk (v == 1, 2, ..., п)
и из (14) леrко получается, что
1 1
х == (тl Х l + ... + тпх п ), у == (тlУl + ... + тпУп),
т т
1
z == (тl z 1 + ... + mnz n ).
т
(15)
Те . же формулы справедливы и в случае, если декартова
система координат является произвольной (непрямоyrольной).
"ример 17. Пусть имеется
треyrольная призма с OCHOBa
нием А 1 А 2 А з (рис. 28). Пло
скость сх встречает ее боковые
ребра в точках А 1 , А 2 , Аз. Ту
часть призмы, которая заклю
чена между плоскостью ее OCHO
вания А 1 А 2 А з и плоскостью сх,
называют косоусеченной тpe
уzольной прuзмой; rрани А 1 А 2 А з
и А 1 А 2 А з ее основания, OT
резки А 1 А 1 , А 2 А 2 , АзА з ее
боковые ребра. Аналоrично
может быть введено понятие
косоусеченной п уrольной приз
мы.
Представим себе теперь, что
точка Р центр каких то масс
тl, т2, тз (тl + т2 + тз =1= О), Рис. 28.
45
помещенных в вершинах треyrольника А 1 А 2 А з . Проведем через
точку Р прямую, параллельную боковым ребрам косоусечен
ной призмы, и отметим точку р' ее встречи с плоскоcrью Tpe
уrольника А А2Аз. Оказывается, что точка р' будet центром
таких же трех масс mt, т2, тз, помещенных в вершинах Tpe
уrольника А 1 А 2 А з . Это утверждение можно доказать с помощью
формул (15) (см. ниже задачи 103 и 104).
С л е Д с т в и е. Пусть в плоскости по одну cropoнy от
прямой 1 расположены несколько м. т. одинаковой массы. Тоrда
центр масс этой системы удален от прямой 1 на расстояние,
равное среднему арифметиче
скому расстояний этих точек
от прямой 1.
В самом деле, примем
прямую 1 за ось абсцисс, а за ось
ординат какую либо перпен
дикулярную ей прямую (считая,
что рассматриваемые м. т. ле
жат в верхней пол упл оскости).
Тоrда ординаты Yt, У2, ..., Уn
рассматриваемых точек paвНbI
расстояниям их от прямой 1
(рис. 29). По формуле (15) орди
ната у центра масс этоц системы м. т. (т. е. расстояние
центра масс от прямой n равна
!I' ,
А 1
с)
А:
с
с)
с
А п
(
111
и п
z
1°
:.с
Рис. 29.
1 ) У! + У2 + ... + Уn
(тYl + тУ2 + ... + туп ==
nт n
(rде т масса каждой м. т.), что И требовалось доказать.
В качестве еще одноrо применения формул (15) приведем
доказательство теорем rЮАьдена о площади поверхности Bpa
щения и объема тела вращения.
Чтобы сформулировать теоремы rюльдена, нам понадо
бится понятие центра масс некоторой линии инекоторой
плоской фиrуры. Интуитивно эти понятия ясны: вдоль HeKO
торой линии L равномерно (т. е. с одинаковой плотностью)
распределена масса, и речь идет о центре масс этой «Henpe
рывно размазанной» по линии L системы материальных точек;
аналоrично, если F плоская фиrура, по которой равномерно
(т. е. с одинаковой плотностью) распределена масса, то можно
rоворить о ее центре масс. Математически точное определение
получается следующим образом. Мы делим линию L на n дУ!'
одинаковой ДJIины и в середине каждоrо TaKoro кусочка поме
щаем массу Mjn (rде м масса всей линии L). Получается n
материальных точек (рис. 30), и мы можем найти центр масс
46
2,. этой системы. Точка Z,. лишь приближенно может быть
принята за центр масс, распределенных вдоль линии L, но чем
больше п, тем неточность меньше. Иначе rоворя, предел Z
получающихся точек Z,., коrда п неоrраниченно увеличивается,-
и есть центр масс, распределенных вдоль
линии L, т. е. (по определению) искомый
центр масс определяется равенством
Z == lim Z,..
п --+ 00
Аналоrично обстоит дело с центром Н/п
масс, равномерно распределенных по пло..
ской области.
Теперь можно сформулировать теоремы
rюльдена.
Первая теорема rюльдена.
Площадь поверхности, образованной враще..
нием плоской линии L вОКРУ2 оси 1, лежа
щей в плоскости этой линии и не пересекаю
щей ее, равна произведению длины линии L
на длину окружности, радиус которой равен расстоянию
центра масс, равномерно распределенных вдоль линии L, от оси
вращения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero докажем, что эта
'теорема справедлива, если L является п"звенной ломаной,
у которой все звенья имеют одну и ТУ же ДЛИНУ т. Середины
звеньев ломаной обозначим через А 1 , А 2 , ..., А,., а расстояния
этих точек от прямой 1 через Уl, У2, ..., У,. (рис. 31, а).
Рис. 31.
а
п 1
Рис. 30.
8
47
При вращении ломаной L BOKpyr прямой 1 получается по
верхность (рис. 31,6), состоящая из п частей, каждая из которых
представляет собой боковую поверхность усеченноrо конуса
или цилиндра (рис. 31, в). Так как боковая поверхность yce
ченноrо конуса (или цилиндра) равна произведению длины
образующей на длину окружности среднеrо сечения, то пло
щадь получившейся поверхности вращения равна
.'
S == т.2пУl + т.2пУ2 +... + т.2пуn == p.21J,r,
rде р:;::: тп длина линии L, а r == (Уl + ... + 'уn)/п. Так как r
есть (в силу приведенноrо выше следствия) расстояние от
центра масс, равномерно распределенных вдоль ломаной L, до
оси 1, то полученная формула S == р . 21tr как раз и означает
справедливость теоремы rюльдена в рассматривае
мом случае.
Обратимся теперь к общему случаю. Пусть П
поверхность, получающаяся при вращении линии L
BOKpyr прямой 1. Разведем ножки циркуля на
некоторое расстояние т и будем, начиная от oд
Horo конца линии L, откладывать вдоль этой линии
засечки (столько раз, сколько сможем это сделать).
Соединяя последовательно точки, ПОЛУ':lенные при
выполнении,- этих засечек, мы получим ломаную
Е, вписанную в линию L (рис. 32), причем все
звенья ломаной I.: имеют одну и ту же длину т.
При вращении ломаной I.: BOKpyr прямой 1 полу
Рис. 32. чится поверхность П', вписанная в поверх
ность п.
Как мы уже знаем, площадь S' поверхности П' вычисляется
по формуле S' == р'. 21tr', rде р' длина ломаной L, а r' pac
стояние центра масс, равномерно распределенных вдоль линии
L, от прямой 1. Будем теперь в этом построении считать, что
т о. Тоrда длина р' ломаной L будет стремиться к длине р
линии L, площадь S' поверхнqсти П' будет стремиться к
площади S поверхности П, а центр масс ломаной L будет
приближаться к центру масс линии L, т. е. r' будет стремиться
к r. Следовательно, из равенства S' == р'. 21tr' мы в пределе
получим соотношение S == р . 21tr.
Пример 18. Контур правильноrо треуrольника со стороной а
вращается BOKpyr прямой, проходящей вне ero через конец ero
стороны под острым уrлом r:x к этой стороне (рис. 33). Опре
делим площадь поверхности вращения.
Реш е н и е. Длина р линии L (т. е. контура треyrольника)
равна 3а, а расстояние r от центра масс линии L (т. е. от центра
описанной окружности треyrольника) до оси вращения равно
48
аVЗ . ( 1t )
3 Sln 6" + r::x (ри . 33). Сле
довательно,
S == р.2х, == 21tа 2VЗ Sin( + сх).
Заметим, что решение этоrо
примера можно получить «обыч
ными» школьными средствами
(т. е. вычислить боковые поверхности трех конусов, из которых
один усеченный, и сложить их), но такое решение будет
rораздо более rромоздким.
В т о р а я т е о р е м а r юль Д е н а. Обьем тела, образован
Н020 вращением плоской ФИ2УРЫ F вОКРУ2 оси 1, лежащей в
плоскости этой ФИ2УРЫ и не пересекающей ее, равен произве
дению площади ФИ2УРЫ F на длину окружности, радиус которой
равен расстоянию центра масс, равномерно распределенных
по фИ2уре F, от оси вращения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде Bcero рассмотрим «шайбу»,
т. е. тело, получающееся при вращении прямоуrольника BOKpyr
прямой, которая не пересекает прямоyrольник и параллельна
двум ero сторонам (рис. 34). Объем шайбы V леrко вычислить
как разность объемов двух цилиндров. Леrко проверить, что
для шайбы справедлива вторая теорема rюльдена, ,т. е. V ==
== s. 21tr, rде S площадь вращающеrося прямоyrольника, а
r расстояние ero центра от оси вращения 1.
l
Рис. 33.
z
/,
Рис. 34.
Рис. 35.
Пусть теперь F плоская фиrура площади S, а 1 лежа
щая в ее длоскости прямая, не пересекающая фиrуру F. Про
ведем прямые, перпендикулярные 1 и разбивающие фиrуру F
на п «долек», каждая из которых имеет одну и ту же площадь
1
S (рис. 35). Каждая «долька» оrраничена двумя отрезками,
п
перпендикулярными 1, и двумя дyrами, соединяющими концы
49
этих отрезков. (Правда, если фиrура F невыпуклая, то MorYT
быть и более сложные дольки; как, например, на рис. 36,
однако проводимые рассуждения применимы и к этому случаю.)
Заменим эти дyrи отрезками, параллельными 1, так, чтобы
площадь «дольки» при этом не измен.ялась (т. е. чтобы
«доль:r<а» превратилась в прямоуrольник той же площади
S ). Проделав это с каждой «долькой», мы превратим F в
в «ступенчатую» фиrуру Р', «мало отличающуюся» от фиrуры
[,
l
Рис. 36.
Рис. 37.
F. Фиrура Р' составлена из п прямоуrолъников, каждый из
1
которых имеет площадь s. Центры этих прямоyrольников
n
обозначим через А 1 , А 2 , ..., А.. (рис. 37), а их расстояния
от прямой 1 через у 1, У2, ..., УII.
При вращении фиrуры F BOKpyr прямой 1 получается тело т,
объем KOToporo надо найти, а при вращении фиrуры Р' BOKpyr
прямой 1 получается тело Т', мало отличающееся от тела Т.
Так как фиrура F' составлена из n прямоyrольников, то тело
Т' составлено из п шайб. Поэтому объем тела Т' равен
У' == s. 2пУl + J... s . 2пУ2 + ... + J... s . 2пу.. =: s. 21tr',
ппп
rде r' == (Уl + У2 + ... + у,,)/п, т. е. r' есть (в силу paCCMoTpeHHoro
выше следствия) расстояние от центра масс, равномерно рас..
пределенных по ступенчатой фиrуре F', дО оси 1.
Будем теперь в этом построении неоrраниченно увеличивать
число n. Тоrда объем У' тела Т' будет стремиться к объему У
тела т, а центр масс фиrуры F' будет приближаться к центру
масс фиrуры F. Следовательно, из равенства V' == S. 21tr' мы
в пределе получим соотношение V == S · 21tr, r де r расстояние
центра масс фиrуры F от оси 1 (заметим, что площади фШ'ур
SO
F и F' одинаковы). Этим и завершается доказательство второй
теоремы rюльдена.
3 а м е ч а н и е. В приведенных доказательствах теорем
rюльдена не обсуждается, что такое длина произвольной
линии, что такое площадь поверхности, объем тела и т. д. 1).
Оrраничимся здесь лишь замечанием
о том, что приведенные доказатель
ства являются корректными, если ли
ния L(или rраница фиrуры F) являет
ся КУСОЧНО 2ладкой, т. е. состоит из KO
нечноrо числа дyr, имеющих непре
рывно вращающуюся касательную.
"ример 19. Kpyr радиуса а Bpa
щается BOKpyr прямой, проходящей Рис. 38.
в плоскости этоrо Kpyra на расстоянии
r > а от ero центра (рис. 38). Определить, какой объем имеет
полученное тело вращения (тор).
Реш е н и е. ПЛощадь Kpyra S == ха 2 . Цешр масс, paBHO
мерно распределенных по Kpyry, совпадает с цешром Kpyra
и находится на расстоянии r от оси вращения. Следовательно,
по второй теореме rюльдена объем тора равен S . 21tr ==
== ха 2 .21tr == 21t 2 a 2 r.
Полученные выше формулы для координат цешра масс
MorYT также быть полезны для решения чисто а л r е б р а и
ч е с к и х задач. Пусть заданы произвольные положительные
числа Рl, Р2, ..., р,.. Число
Pt X l + Р2Х2 + ... + Р,.Х,.
ХС ==
Рl + Р2 + ... + Р,.
назьmают взвешенным средним чисел Хl, Х2, ..., х,. относитель
но весов Рl, Р2, ..., Р,.. Формулы,- (15) показывают, что Хс
можно толковать как коорд.инату центра масс п м. т. РIА1,
Р2А2, ..., р,.А,., расположенных на числовой оси в точках
с координатами Хl, Х2, ..., Х,. и имеющих положительные
массы Рl, Р2, ..., р,.. Леrко проверить, что этот центр масс
обязательно лежит на отрезке, содержащем А 1 , А 2 , ..., А,..
Следовательно, независимо от выбора весов Pt, Р2, ..., Рп
взвешенное среднее чисел Хl, Х2, ..., Х п лежит между наи
меньшим и наибольшим из этих чисел.
1) Эти вопросы рассматриваются, н;апример, в первых двух статьях 5 ro
тома «Энциклопедии элементарной математики» (М.: Наука, 1966), а также
в заlCЛючительной r лаве книrи: Б о л т я н с к и й в. r. Элементарная rеометрия.
М.: Просвещение, 1985.
51
Некоторые упрощения в записях получаются, если сумма
весов Рl + Р2 + ... + Р" равна 1: в этом случае
c == РI Х l + Р2 Х 2 + ... + Рn Х ",
причем по прежнему число хс заключено между наибольшим
и наименьшим из чисел хl, Х2, ..., х n .
Интуитивно ясно, что если массу одной из м. т. (или часть
этой массы) перенести по оси вправо, то в результате этоrо
центр масс тоже сместится вправо. Это леrко усмотреть и He
посредственно из (15): если тl == тl + т!, т! > о и хl < х*, то
((т + т!)Хl + т2 Х 2 +... + тnх n ) <
т
1 ( 11 ** )
< тl Х l + mt X + т2 Х 2 +... + m,.X n .
т
Это yrверждение останется в силе, если операцию переноса
массы вправо проделать не один, а несколько раз. Применим
это простое соображение к доказательству следующеrо Hepa
венства п. л. Чебышева:
т е о р е м а 6. Пусть at, а2, ..., а n возрастающая после
довательность действительных чисел, а Ь 1 , Ь 2 , . . . , Ь,..
убывающая последовательность положительных чисел. Пусть,
далее, J.11, J.l2, . . . , J.ln положительные числа, причем J.ll + J.l2 + ...
. .. + J.ln == 1. ТОсда
(J.ll аl + J.l2 a 2 + ... + J.lnan) (J.ll Ь 1 + J.l2 b 2 + ... + J.lnbn)
1 аl Ь 1 + J.l2 a 2 b 2 + . .. + J.lnan b ", (16)
или короче:
ппп
(I J.lkak) (I J.lkbk) I J.lkakbk.
k l k l k l
д о к а з а т е л ь с т в о. РаССМ<1rрим число
(J.ll b l)al + (J.l2 b 2)a2 +... + (J.lnbn)a n
х==
J.ll Ь 1 + J.l2 b 2 + ... + J.lnbn '
т. е. координату центра масс системы м. т.
(J.ll Ь 1 ) А 1, (J.l2 b 2) А 2, ..., (J.lnbn) А",
rде А 1 , А 2 ,..., А п точки оси Ох, имеющие координаты аl, а2, ...
..., а n . Обозначим знаменатель этой дроби через Ь, т. е. Ь
взвешенное среднее чисел Ь 1 , Ь 2 , ..., Ь" с весами J.ll, J.l2, ..., J.1n.
Рассмотрим теперь друrую систему м. т., а именно
(J.ll b ) А 1 , (J.l2 b ) А 2 , ..., (J.ln b ) Аn,
52
и пусть х' координата ее центра масс. Заметим, что суммар..
ная масса этой системы равна суммарной массе предыдущей
системы (напомним, что Jll + Jl2 + ... + Jln == 1). Леrко видеть,
что х' > х. В самом деле, так как по условию Ь 1 > Ь 2 > ... > Ь",
то Ь 1 > Ь > Ь n . Следовательно, найдется такой номер k, что
b k > Ь и Ь b k + 1. В точке А 1 , [де помещена масса Jllbl, надо
оставить массу Jllb, а остальную часть массы, т. е. Jll (Ь 1 Ь),
перенести «вправо», распределив ее по точкам Ak+ 1, ..., Аn; так
же надо поступить с массами, помещенными в точках
А 2 ,... , Ak. Так как суммарная масса системы равна Ь, то ее как раз
хватит для Toro, чтобы во всех точках A i (i . 1, 2, ..., п)
поместить по Jlib единиц массы. Из Toro, что новая система
м. т. получается из прежней перемещением масс вправо, и
вытекает справедливость неравенства х' > х.
Соrласно (15) имеем
, (Jll Ь) аl + (Jl2 b ) а2 + .. . + (Jln b ) а n
х == . Ь Ь Ь == Jll а 1 + Jl2 а 2 + ... + Jln a ",
Jll + Jl2 +... + Jln
и потому из соотношения х' > х вытекает неравенство Чебы
.. шева (16).
Задачи
102. В точках А 1 (о; о)? А 2 (о; 1), Аз (1; о) на декартовой
плоскости помещены массы 1, 2, ( 1). Каковы координаты их центра
масс?
103. Назовем nроекцией материальной точки тА на плоскость П
материальную точку тА', rде А' проекция точки А на плоскость П.
Докажите, что проекция центра масс системы м. т. на какую либо
плоскость П совпадает с центром масс проекций этих м. т. на
плоскость П (проекция может бьпь ортоrональной или осуществляться
параллельно заданной прямой).
104. Пользуясь решеНl1ем задачи 103, докажите приведенное
в примере 17 свойство косоусеченной треyrольной призмы.
105. Сформулируйте и докажите утверждение, аналоrичное при
веденному в задаче 103, в предположении, что проектирование
производится не на плоскость, а на прямую.
106. Пусть М косоусеченная прямая призма (т. е. боковые ребра
перпендикулярны плоскости А 1 ,..., А,,); р' и р центры масс, paB
номерно распределенных по площадям оснований А 1 А 2 ... A и
А 1 А 2 ... А". Докажите, что объем призмы равен S А 1 А 2 .. А" 1 р' р 1.
107. Найдите поверхность тора, paccMoTpeHHoro в примере 19.
108. Вычислите объем тела, полученноrо при вращении треуrоль
ника в примере 18.
109. Параллелоrрамм F расположен внутри окружности С и
имеет с ней общий центр. К окружности С проведены две Kaca
тельные 11 и 12' Тело Т 1 получено вращени.ем параллелоrрамма F
BOKpyr прямой 11, а тело Т 2 получено вращением этоrо параллелоrрамма
53
BOKpyr 12' Одинаковы ли объемы тел Т 1 и Т 2 ? Одинаковы ли
площади их поверхностей?
110. Однородная пластинка имеет форму правильноrо шести
уrольни:ка ABCDEF, О ее центр. Из пластинки вырезан квадрат с
диarональю OD. Вычислите расстояние от точки О до центра масс ocтaB
шейся пластинки. Вычислите объем тела, получающerося при вращении
этой пластинки BOKpyr прямой АВ.
111. Квадрат со стороной а вращается BOKpyr оси, имеющей с
квадратом лишь одну общую точку (вершину квадрата) и cocтaB
ляющей со стороной квадрата yrол <р (О < <р 450). Вычислите объем и
площадь поверхности образовавшеrося тела вращения.
112. Прямоyrольный треyrольник вращается BOKpyr :катета, имею
щеrо длину а; длина дрyrоrо катета равна Ь. Вычислите объем полу
чающеrося тела вращения (конуса) и выведите отсюда, 'По центр масс
рассматриваемой треyrольной пластинки находится на расстоянии bj3
от оси вращения.
113. Выведите. из результата задачи 112, что цешр масс OДHO
рОДНОЙ треуrольной пластинки находится в точке пересечения медиан
треyrольника.
114. Сфера радиуса r пересечена двумя параллельными плоско
стями, проходящими на расстоянии а от ее центра (а ,). Зная, что
поверхность сферы, заключенная между этими плоскостями, имеет
площадь 41tra, найдите положение центра масс, равномерно распреде
ленных вдоль дуrи окружности, вращением которой получена pac
сматриваемая часть сферы.
115. Известный астроном Иоrанн Кеплер в своей «Новой cтepeo
метрии винных бочек» (1615 [.) вычислил поверхности и объемы
некоторых тел вращения. Пусть хорда АВ делит Kpyr на две неравные
части. При вращении меньшей из этих частей BOкpyr прямой АВ
образуется тело, которое Кеплер назвал «лимоном», а при вращении
большей части тело, названное им «яблоком». Зная, что высота
<<лимона» (т. е. длина отрезка АВ) равна 2а, а ero толщина в наиболее
широком месте равна 2Ь, вычислите площадь поверхности <<лимона».
Решите аналоrичную задачу для «яблока».
116. Объем части шара, заЮIюченной между двумя плоскостями,
рассмотренными в задаче 114, paв H 2п ((U2 ;3 ). Зная это, найди
те положение цешра масс, равномерно распределенных по той
части Kpyra, вращением которой получается рассматриваемая часть
шара.
117. Однородная пластинка, имеющая форму KpyroBoro cerMeHTa,
меньшеrо полукруrа, стяrивается хордой длины h; площадь пластинки
равна S. r де находится цешр масс пластинки?
118. Вычислите объем «лимона» и «яблокз», о которых шла речь
в задаче 115.
119. Уrол KpyroBoro сектора радиуса r имеет величину 2сх (радиан).
Найдите положение цешра масс этоrо сектора.
120. CropoHa АВ прямоyrольника ABCD служит диаметром
полукруrа (расположенноrо вне прямоyrольника). При вращении
пластинки, составленной из прямоуrольника и полукрyrа, BOкpyr
54
прямой CD образуется некоторое тело (<<бочонок»). Вычислите ero
объем и площадь поверхности, если I AD I == й, I АВ I == 4а.
121. Вычислите объем и площадь поверхности «бочонка», полу
чающеrося, если в задаче 120 вместо полукруrа взять cerMeHT с хордой
длины 4а и площадью s.
1t
122. Пусть О < СХ1 < СХ2 < ... < й п < . Проверьте неравенства
2
sin СХ1 + sin СХ2 + ... + тп СХ п
tg СХ1 < < tg (Х п .
cos СХ1 + cos СХ2 + ... + cos СХ п
123. Пусть й1, й2,..., й п И Ь 1 , Ь 2 , ..., Ь п две возрастающие конечные
последовательности положительных чисел, и пусть все числа J.11, J.12, ...
. . ., J.1n положительны и J.11 + J.12 + . .. + J.1n == 1. Докажите справедли-
вость следующerо неравенства П. Л. Чебышева:
(J.11 a 1 + ... + J.1n a n) (J.11 b 1 + ... + J.1n b n) J.11 a 1 b l + ... + J.1n a n b n,
причем равенство имеет место лишь в том случае, Korдa йl == . .. == й",
Ь 1 == ... == Ь п .
124. Имеются четыре положительных числа х, у, z, t, сумма которых
равна 1. Выясните, какое наименьшее значение может иметь функция
х З + уЗ + zз + t З
х 2 + у2 + r + t 2 .
125. Докажите, что если й, Ь, с длины сторон HeKoToporo
треyrольни:ка АВС, а сх, , у противолежащие им yrлы, то
а tg + Ь tg + с tg:L. 1 (а + Ь + с).
2 2 2 V З
о 8. KOМllJleКCHыe массы
В этом парarрафе пр едп ол araeт ся, что читатель
знаком с комплексными числами. Мы совершим здесь еще одно
обобщение, предполаrая, что массы рассматриваемых MaTe
риальных точек MorYT принимать не только о т р и Ц а т е л ь-
н ы е значения, но и, более Toro, не бьпь действительными, т. е.
MorYT принимать произвольные к о м п л е к с н ы е значения.
Выше мы уже видели, что отрицательные массы Moryт OKa
заться весьма полезными при решении r е о м е т р и ч е с к и х
задач. Нerрудно привести соображения, показывающие, что
отрицательные массы MorYT иметь и прямое м е х а н и ч е с к о е
истолкование. Вообразим себе однородную жидкую или rазо
образную среду (например, сосуд, наполненный водой), в KOTO
рой находятся небольшие шарИlCИ «<материальные точки»),
соединенныIe дрyr с друrом жесткими невесомыми стержнями.
П-усть шарик, расположенныIй в точке А 1 , имеет объем Vl и
массу тt. Тоrда на Hero деifl' 1 вует направленная вниз сила
55
тяжести, имеющая величину mlg, и архимедов а выталкивающая
сила, которая имеет величину (PVl)g (rде р плотность жид
кости) и направлена вверх противоположно силе тяжести
(рис. 39). Иначе rоворя, сила тяжести
равна (mlg)e, а выталкивающая сила
равна (pvlg)e, [де е единичный BeK
тор, направленный вниз. В результате
'оказывается, что на шарик А 1 действует
сила (mlg) е (pVlg) е == (тl PVl) ge. Это
можно условно истолковать так (отбро
сив среду), как будто шарик находится
в вакууме и имеет «приведенную» массу
тl PVl; тоrда как раз на Hero будет
действовать сила тяжести, равная
(тl pVl)ge. Если при этом PVl < тl
(шарик имеет большую плотность, чем
жидкая среда), то «приведенная» масса
тl PVl положительна; если же
PVl > тl (шарик рыхлый, т. е. ero плотность меньше плотности
среды), то «приведенная» масса тl PVl о Т Р И ц а т е л ь н а.
Таким образом, при нахождении центра «приведенных» масс
надо учитывать, что они MorYT быть как положительными,_
так и отрицательными.
Например, если в воду помещены деревянный и стальной
шарики, насаженные на невесомый стержень, то «приведенная»
масса первоrо из них отрицательна, а BToporo ...... положительна.
Поэтому центр Z этих масс (<<приведеf.IНЫХ») находится в н е
отрезка, концами KOToporo являются шарики. Если укрепить
стержень шарнирно в этой точке Z, то вся система останется
в равновесии (рис. 40). Это и понятно: результирующая сила,
т19
Рис. 39.
Рис. 40.
действующая на деревянный шарик, направлена в в е р х (ша
рик всплывает), а действующая на стальной шарик в н и з
(он тонет), и поскольку по 'правилу рычarа моменты (т. е.
произведения плеч на соответствующие «приведенные» массы)
56
равны по величине и противоположно направлены, сиcrема
останется в равновесии.
Аналоrичную интерпретацию «отрицательных масс» можно
дать с помощью понятий эл ектро c:rатики. Пусть в OДHOpOД
ном электростатическом поле (скажем, между двумя парал
лельно расположенными и противоположно заряженными
металлическими пластинами) расположены k заряженных шари
ков. Будем считать, что вектор напряженности электрическоrо
поля Е направлен в рассматриваемой области вертикально вниз
и имеет поcrоянную величину Е, а взятые k шаров имеют COOT
BeTcrBeHHo заряды еl, е2, ... , ek (положительные или отрицатель
ные) и расположены в точках А 1 , А 2 , ..., Ak. Тоrда на шар с
зарядом ei действует сила ei E (приложенная в точке A i и направ
ленная вниз при ei > О и вверх в противном случае). Считая, чrо
«суммарный заряд» еl + е2 + ... + ek отличен от нуля, мы най
дем, что р а в н о Д е й с т в у ю Щ а я рассмотренных сил имеer
своей точкой приложения центр масс Z материальных точек
(еlЕ) А 1 , ..., (ekE) Ak (или, что то же самое, центр масс м. т.
еlАl, ..., ekAk). Если эту систему зарядов, жеcrко соединен
ных между собой crержнями изоляторами, закрепить шарнирно
в точке Z, успокоить и затем отпустить, то вся система останerся
в покое (шары и crержни считаются невесомыми). Например, в
случае двух зарядов еl, е2, помещенных в точках А 1 , А 2 , их
центр масс (или лучше в данном случае сказать «центр зарядов»)
лежит .на отрезке А 1 А 2 , если заряды имеют одинаковые знаки,
и вне этоrо отрезка (но на прямой А 1 А 2 ), если один из зарядов
положительный, а друrой отрицательный.
Эти примеры показьmают, что отрицательные массы не
только являются идеализацией, удобной для решения rеомerри
ческих зада ч, но и MorYT иметь прямой механический смысл. А как
же быть с м н и м ы м и массами? Можно ли дать им KaKoe
нибудь физическое оправдание? Реальную модель на сеrодняш
ний день указать трудно, но можно описать rипотетическую
ситуацию, которая сейчас воспринимаerся лшuь как довольно
фантастическая модель, но можer быть (кто знает?) будer
недалека от завтрашних физических воззрений.
В специальной теории относительности имеerся формула
то
т== .
V 1 v2/c2
Она означает, что частица, имеющая массу покоя то, обладает
в инерциальной системе отсчета, относительно которой частица
движется со скоростью v (рис. 41), массой т, о т л и ч н о й от
то и вычисляемой по этой формуле. Соrласно теории относи
тельности, частица, имеющая отличную от нуля массу покоя то,
57
в любой системе отсчета наблюдается как движущаяся со
скоростью, м е н ь шей скорости света с. Поэтому число V 2 /C 2
меньше единицы, разность 1 V 2 /C 2 положительна, и поэтому
масса т выражается положительным числом, которое б о л ь ш е
о
7J
=-
Рис. 41.
то (и является тем б6ЛЬШИ\I ЧС\1 ближе скорость движения V
к скорости света с).
Если бы некоторая частица двшалась со скоростью, боль
шей с, то частное v/c было бы больше единицы, и потому
число 1 V 2 /C 2 , стоящее в знаменателе под знаком корня,
бьто бы о т р и Ц а т е л ь н ы М, т. е. в знаменателе стояло бы
м н и м о е число. Это можно рассматривать как косвенное .
подтверждение Toro, что движение со скоростью, большей CKO
рости света, невозможно. Такой вывод, несомненно, можно
признать справеДJIИВЫМ, если (как это обычно делается) предпо
лarать, что масса покоя то положительна. Однако если предпо
л ожить, что масса покоя некоторой частицы является ч и с т о
м н и м о й (такие rипотетические частицы называют тахиона.ми),
то все будет наоборот: при движении с досветовой CKOpO
стью (v < с) в числителе будет стоять мнимое, а в знаменателе
действительное число, так что вся дробь будет м н и м ой,
а при движении со с в е р х с в е т о в о й скоростью и числитель,
и знаменатель будут мнимыми, так что вся дробь будет д е й с T
В И Т е л ь н о й. Иначе rоворя, тахион не может наблюдаться в
покое (или при движении с досветовой скоростью), а -может
иметь реальный смысл при движении лmпь со сверхсветовой
скоростью. И хотя сеrодня о существовании тахионов никто еще
всерьез не rоворит, но, возможно, коrда нибудь эти частицы
(обладающие м н и м о й массой покоя) обретут право на
существование.
Разумеется, эти соображения приведены здесь не как ДOKa
зательство целесообразности рассмотрения материальных
точек с комплексными массами. Для нас здесь такие «матери
58
альные точки» будут служить ЛШIIЬ средством решеШlЯ reoMeT
рических задач.
Напомним, что каждой точке (х; у) координатной плоскости
соответствует некоторое комплексное число ее комплекс
ная координата х + iy. Нам будет удобно придерживаться сле
ДУЮЩИХ соrлашений: точку и ее комплексную координату будем
обозначать ОДНОЙ и той же буквой, но точКу прописной, а
ее координату строчной: комплексныIe координаты. точек Z,
А, Аз, С 2 будем (не делая дополнительных oroBopoK) обозначать
соответственно через z, а, аз, С2. Например, если точка А имеет
координаты (2; 3), то а == 2 3i.
Каждый вектор C 2 на координатной плоскости может
быть задан 'некоторым комплексным числом с == а + bi, rде а
............
и Ь проекции вектора С 1 С 2 соответственно на ось абсцисс и
ось ординат; число с .. а + Ь; бу дем называть комплексной
координатой вектора С 1 С 2 . Комплексная координата с вектора
............
С 1 С 2 выражается через комплексные координаты толек С 1 и С 2
по формуле с == С2 сl.
Напомним, что каждое комплексное число z можно записать
в триzонометрической форме: z == p(cos е + i sin е), rде р MO
дуль комплексноrо числа z (т. е. длина соответствующеrо BeK
тора), а е apZYMeHm этоrо комплексноrо числа (т. е. yrол между
положительныIM направлением оси абсцисс и вектором, изобра
жающим комплексное число z, см. рис. 42). В математике сущест
вует замечательная формула Эйлера cos е + i sin е == e i8 , пока
зьmающая r лубокую связь показательной и триrонометрических
функций. В силу этой формулы комплексное число z, имеющее
модуль р и apryмeHT е, можно также
записать в показательной форме: !I
z == pe i8 .
Из формулы Эйлера леrко BЫ
вести, что если z == pe i8 , z' == р' e i8 ',
то число рр' является модулем KOM
плексноrо числа zz', а число е + е'
ero арrументом, т. е. pe i8 . р' e i8 ' ==
== pp'e i (8+8'). Иными словами, вектор,
изображающий комплексное число
z ', имеет длину :Q р раз большую, чем
вектор, изображающий z', а yrол между вектором z' и вектором
zz' равен е (рис. 43).
Это означает, что при умножении комплексноrо числа z' на
число z (имеющее модуль р и арrумент е) вектор, изображающий
=', растяrивается с коэффициентом р и поворачивается на yrол
е это и дает вектор, изображающий zz'. Иначе rоворя, вектор,
о
:с
Рис. 42.
S9
изображающий zz', получается из вектора, изображающеrо z',
при помощи преобразования R 8 0 r р' r де r р rомотетия с
коэффициентом Р, а R8 поворот на уrол е (т. е. поворот на
уrол I е 1, совершаемый против часовой стрелки при е > О и
по часовой стрелке при е < О).
. п .
,
Например, запись С2 Z == Зе 3 (сl z) означает, что вектор
..............
ZC 2 можно получить из вектора ZC 1 композицией двух пре
и
z
о 1 :с О х
Рис. 43. Рис. 44.
образований: rрмотетии с коэффициентом 3 и поворота (BOKpyr
точки Z) на уrол 60° против часовой стрелки (рис. 44).
Пусть теперь А 1 , ..., А,. некоторые точки координатной
плоскости и аl, ..., а,. их комплексные координаты. Пусть,
далее, тl, ..., т,. некоторые комплексные числа с ненулевой
суммой (<<комплексные массы»). Рассмотрим систему «комплекс
ных» материальных точек тlАl, т2А2, ..., т,. А,. и центром
масс этой системы будем назьmать точку Z, комплексная KOOp
дината которой удовлетворяет условию тl (аl z) + ...
... + т,. (а,. z) == О (ср. (7)), т. е.
тl а l + т2а2 + ... + т,.а,.
z==
тl + т2 + ... + т,.
(17)
(сравните эту формулу с соотношениями (15) или (8))
Леrко доказать, что для центра масс системы комплексных
материальных точек сохраняются (с соответствующими видоиз
менениями) рассмотренные в 1 3 основные свойства центров
масс. Сформулируем их:
1. Каждая система комплексных м. т. С ненулевой суммарной
массой имеет однозначно определенный центр масс.
11. Центр масс Z двух комплексных м. т. тlАl и т2А2 с HeHY
левой суммарной массой удовлетворяет «архимедову правилу
60
рычаrа» в следующей форме: 1 тl 11 аl z 1 == 1 т2 11 а2 z 1,
Т. е. I тl 1 d 1 == 1 т21 d 2 , rде d 1 == I аl z 1 и d 2 == 1 а2 z 1 pac
стояния центра масс Z от точек А 1 и А 2 .
111. Положение центра масс всей системы тlАl, ..., тпА п
не изменится, если суммарную массу комплексных м. т.
тlАl,'.. , т"А" перенести в их центр масс (k < п; тl + ... + 'т" =F о;
тl + ... + т п =F о).
Доказательства остаются прежними. Например, в случае двух
комплексных м. т. тlАl и т2А2 мы имеем тl (аl .:... z) + т2 (а2
z) == о, т. е. тl (аl z) == т2 (а2 z), откуда ои вытекает
равенство I тl 11 аl z 1 == 1 т211 а2 z 1. Заметим, однако, что
центр масс двух комплексных м. т., вообще rоворя, не лежит на
прямой, соединяющей эти точки (см. ниже задачи 127 129).
Orметим еще, что умножение BC X масс системы комплексных
м. т. на одно и то же комплексное число, отличное от нуля, не
влияет на положение центра масс системы (это непосредственно
вытекает из формулы (17».
Пример 20. На сторонах АIА2Аз, как на основаниях, пост
роены равнобедренные треyrольники А 1 В з А 2 , А 2 В 1 А з , А з В 2 А 1
с одним И тем же yrлом <р при вершинах В 1 , В 2 , В з , не имеющие
с А 1 А 2 А з общих внутренних точек'. Докажем, что точка пере
сечения медиан В 1 В 2 В з совпа..
дает с точкой пересечения медиан
ь. А 1 А 2 А з (рис. 45).
Реш е н и е. Вектор В з А 1 MO
жет быть получен из вектора
В з А 2 поворотом на yrол <р. По
этому аl Ь з == e i ., (а2 Ь з ), т. е.
1 (аl Ь з ) + ( eЦp) (а2 Ь з ) == о.
Значит, В з центр масс двух м. т.:
1А 1 и ( ei.,) А 2 .
Аналоrично, В 1 центр масс
М. т. 1А 2 И ( ei.,) Аз, а В 2 центр
масс м. т. 1А з и ( ei.,) А 1 . PaCCMOT
рим систему всех шести м. т. И
обозначим через Z ее центр масс
(суммарная масса этой системы
равна 3 (1 e i .,) =F о). Применяя
форму (17) и производя двумя
способами rруппировку, находим
z == ( 1а l + ( ei") а2) + ( 1а 2 + ( e ") аз) + (1аз + ( ei") аl)
3 (1 e l .,)
1Ь 1 + 1Ь 2 + 1Ь з .
3 '
81
Рис. 45.
61
(1 e iCP ) аl + (1 e iCP ) а2 + (1 e iCP ) аз 1аl + 1а2 + 1аз
z == 3 (1 e iCP ) == 3 .
Отсюда ясно, что центроидыI (т. е. точки пересечения медиан)
, обоих треуrольников В 1 В 2 В З и
81 А 1 А 2 А з совпадают с точкой z.
Заметим, что доказанное YT
верждение остается в силе, если на ·
сторонах треyrОЛЬНИ1Са А 1 А 2 А з
строятся не равнобедренные, а по
добные и одинаково ориентирован
ные треyrольники.
"ример 21. На сторонах произ
вольноrо треуrольника А 1 А 2 А з ,
как на основаниях, построены paB
носторонние треyrольники А 1 В з А 2 ,
А 2 В 1 А з , А з В 2 А 1 , не имеющие с
треуrольником А 1 А 2 А з общих
внyrренних точек. В этих треуrоль
никах отмечены их центры Рз, Рl,
Р2' Докажем, что д РI Р 2 Р З TaK
же равносторонний.
Реш е н и е. Вектор Р зА2 можно получить из Р зА 1 поворотом
на yrол 27tj3 (рис. 46). Поэтому, полаrая с == e(i 2;) , имеем
1 (а2 Рз) + ( с) (аl Рз) == О,
значит, Рз центр масс м.т. 1А 2 и ( c)Al. Аналоrично, Рl
центр масс м. т. Аз и ( c) А 2 ; далее, Р2 центр масс м. т.
1А 1 И ( с)Аз, а значит, Р2 центр масс м. т. ( l)Аз и (1/с)А 1 .
Рассмотрим теперь четыре м. т. 1А з , ( c) А 2 , ( 1) Аз, (l/с) А 1 ,
и пусть Z их центр масс (суммарная масса этой системы
равна с + (l/с) =1= О). Про из ведем rруппировку масс:
( c + l/с) z == ((l/с) аl + ( c) а2) + (lаз + ( 1) аз) ==
== (l/с) аl + ( с) а2.
Из этоrо видно, что Z центр масс м. т. (l/с) А 1 и ( c) А 2 ,
а следовательно, и двух м. т. 1А 2 И ( c) А 1 (поскольку с з == 1).
Следовательно, Z == Рз. С дрyrой стороны,
( c + l/с) z == (lаз + ( c) а2) + (( 1) аз + (l/с) а 1 ) ==
== (1 С)Рl + ( 1 + 1/С)Р2.
с
Умножая для упрощения на и учитывая, что Z == Рз,
l c
62
перепmnем это равенство в виде (1 + е) Рз == еРl + Р2,. т. е.
. 1t ...............
( e) (Рl Рз) == Р2 Рз. Так как е == е , 3, то вектор Р З Р 2
...............
можно получить из вектора Р зР 1 поворотом на тс/3. Следо
вательно, 6. Р З Р 1 Р 2 пра. N
вильный.
"ример 22. На сторонах
треyrольника АВС построены
вне ero квадраты АВМ К и
BCLN. Докажем, что медиа
на BD треyrольника АВС
перпендикулярнаотрезку MN
и имеет вдвое меньшую дли
ну, чем этот отрезок (рис. 47).
Реш е н и е. Так как BeK
.............. ..............
торы ВА, ВМ имеют одинаковую длину и перпендикулярны,
то В центр масс м. т. 1А и iM (см. задачу 127):
1 (а Ь) i (т Ь) == о.
А
с
.D
Рис. 47.
(18)
Аналоrично, В центр масс м. т. 1С и iN:
1 (с Ь) + i (п Ь) == о.
(19)
Складывая равенства (18) и (19) и деля результат пополам,
находим (а Ь) + (с Ь) i ( )
2 == 2 т п . (20)
1.............. ............... ...............
Это означает, что вектор 2 (ВА + ВС), т. е. вектор BD,
..............
получается из вектора NM уменьшением ero длины вдвое и
поворотом на yrол тс/2, что и требовалось доказать.
"ример 23. Докажем, что в условиях примера 22 центры
квадратов АВМ К и BCLN, середина отрезка М N и точка D
являются четырьмя вершинами квадрата.
Реш е н и е. Обозначим через Р середину отрезка М N.
Torдa равенство (20) перепишется в виде d Ь == i (т р).
Прибавляя к этому равенству соотношение 1 (Ь z) + i (т z) == О
(означающее, что центр Z квадрата АВМ К является центром
.............. ...............
масс м. т. 1В и iM, т. е. ZB получается из ZM поворотом на
900), получаем 1 (d z) + i (р z) == о. Это означает, что Z
центр масс м. т. 1D и iP, и потому отрезки ZD и ZP имеют одина
ковую длину И перпендикулярны, т. е. DPZ равнобедренный
прямоуrольныЙ треyrольник с вершиной Z. Аналоrично, обозна
чая через Z' центр квадрата BCLN, мы найдем, что DPZ'
равнобедренный прямоуrольный треуrольник с вершиной Z'.
Следовательно, DZPZ' квадрат.
63
Задачи
126. Пусть тlАl и т2А2 комплексные м. т. И Z ИХ
центр масс (тl =1= о, т2 =1= о; тl + т2 =1= о). Докажите, что aprYMeHT
комплексноrо числа тl/т2 представляет собой уrол, на который надо
повернуть вектор ZA 1 , чтобы он стал одинаково направленным с
вектором ZA 2 .
127. Пусть Z центр масс м. т. lА 1 И e i . А 2 . Докажите, что при
повороте BOKpyr точки Z на yrол 1t <р точка А 1 переходит в точку А 2 .
128. Пусть Z цeнrp масс м. т. 1А 1 и pe i . А 2 . Докажите, что точка А 1
переходит в А 2 при преобразовании r l/poRrc ., [де r l/р rомотетия с
центром Z и коэффициенrом 1/ р, а Rrc . поворот BOKpyr точки Z на
yrол 1t <р.
129. Докажите, что если А l , А 2 и Z три различные точки KOO
динатной плоскоcrи, то существует такая комплексная масса т =1= 1,
что Z будет центром масс м. т. lА l И тА 2 .
130. Докажите, что если А 1 И А 2 две различные точки коорди
натной плоскости, то для любой точки Z этой плоскоcrи существуют
одн.означно определенные комплексные массы тl и т2, для которых
тl + т2 == 1 и Z центр масс м. т. тl А l и т2А2'
131. Пусть Zk центр масс м. т. 1А l И mkA2, k == 1, ..., n.
Докажите, что если все комплексные числа тl, т2, ..., mk имеют один
и тот же aprYMeHT <р, то точки А 1 , А 2 , Z 1, Z2, ..., Zk лежат на одной
окружности.
132. Пусть т =1= о, <Рl, <Р2, ..., <р,. дейcrвительные числа и Zk
центр масс м. т. тА l и e i q>kA 2 , k == 1, 2, ..., n. Докажите, что все точки
Z 1, Z 2, ..., Z,. лежат на одной окружности или на одной прямой. При
каком т все эти точки лежат на оси симметрии точек А l и А 2 ?
133. Докажите, что если Z цeнrp масс комплексных м. т. тl А 1
И т2А2 и == h > о, то точка Z лежит на окружности, диаметром
_ I т21
которой служит отрезок М 1М2, rде М 1 цeнrp масс м. т. hA l И 1А 2 ,
а М 2 центр масс м. т. hA l И ( 1) А 2 .
134. При условиях примера 22 докажите, что если Q четвертая
вершина параллелоrрамма MBNQ, то Z центр масс м. т. 1С и iQ,
а Z' центр масс м. т. 1Q и iA (rде Z, Z' цeнrpы квадратов АВМ К
и BCLN).
135. На сторонах параллелоrрамма построены вне ero четыре
квадрата. Докажите, что центры этих квадратов служат вершинами
еще одноrо квадрата.
136. В вершинах треуrольника А I А 2 А з помещены ненулевые
комплексные массы тl, т2, тз с ненулевой суммой, причем тl + т2 == О.
Докажите, что если Z центр м асс этих трех м т., то уrол между
,
векторами А I А 2 и АзZ равен arg ( тз/тl)'
r ЛАВА 111
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ
«... Рассматриваются две замечательные теоремы, которые
со времен Лаrранжа были установлены раз.f!ичными reoMeT..
рамп».
r. Д арбу
9. Формулы Лаrpанжа и Якоби.
Применения к rеомerрии
Понятие момента инерции было введено в XVIII в.
в связи С изучением вращательноrо движения тел. И удиви
тельным образом оказалось, что это понятие и ero свойства
важны не только для механики, но и для математики: привле
чение этоrо понятия в ряде случаев позволяет найти подход к
решению задач rеометрии, алrебры и математическоrо анализа.
В механике обычно рассматривают момент инерции тела
(или системы материальных точек) относительно о с и. В r е o
м е т р и ч е с к и х приложениях используется rлавным образом
полярный момент инерции, т. е. момент инерции относительно
некоторой точки. При этом для rеометрических задач удобнее
не оrраничиваться лишь случаем положительных масс, а сразу
вести рассуждения для случая произвольных действительных
масс (с ненулевой 1 суммой).
Пусть имеется "система материальных точек
Al' т2А2, о о о, m"Ano (21)
Моментом инерции системы (21) относительно точки S Эйлер
назвал следующую величину:
J s ==mlISA l I 2 +
+ т21 SA 2 1 2 +... + т п 1 SA n 12. (22)
в
Пример 24. Пусть ABCD .KBaдpaT
(рис. 48) со стороной 2а, в каждой верши
не KOToporo помещена масса 1; через S
обозначим середину стороны АВ, а через
Z центр квадрата. Вычислим MOMeH
ты инерции J s и J z.
s
с
а
А
Рис. 48.
3 м. Б. Балк, В. r. Болтянский
65
Решение.
J s == 1 . 1 SA 12 + 1 . 1 SB 12 + 1 . 1 SC 12 + 11 SD 12 ==
== 2а 2 + 2 (а t/5)2 == 12а 2 ;
Jz == 1 .1 ZA 12 + 1.1 ZB 12 + 1.1 ZC 12 + 1.1 ZD 12 == 4(a}l2)2 == 8а 2 .
Следующая формула, установленная выдающимся фран
цузским математиком Лarранжем, выражает связь между MO
меlПОМ инерции J s системы материальных точек относительно
произвольной точки S И моментом инерции J z той же системы
относительно ее цеlПра масс Z.
Т е о р е м а 7. Пусть Z центр масс системы (21). Тоzда
для nроизвольной точки S справедлива формула
J s ==J z +mISZI 2 , (23)
zде т == тl + т2 + ... + т n .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем
n ............ n ........................
J s == I mk SAf == I mk (SZ + ZA k )2 ==
k=l k=l
n ............. n ............. ............ n ............
== I mkZAf + (I mk)SZ2 + 2SZ. I mkZAk.
k=l k=l k=l
n ............ ...
Так как Z цеlПр масс системы (21), то I mkZAk == о. Это и
k=l
дает формулу (23).
Друrая формула, установленная немецким математиком
К. r. Якоби 1), выражает момент инерции J z системы MaTe
риальных точек (с ненулевой суммой масс) относительно ее
центра масс Z черт массы этих материсщьных точек и взаимные
расстояния между ними.
Т е о р е м а 8. Пусть Z центр масс системы (21) с llенулевой
суммарной массой т == тl + т2 + ... + т n . Тоzда
Jz L тjтjr;],
1 i<j n
zде r.. == I A.A. I
I} I} .
(24)
д о к а з а т е л ь с т в о проведем при п == 3 (в общем случае
вычисления аналоrичны). Для момента инерции системы (21)
относительно точки А 1 имеем, соrласно теореме Лаrранжа,
J A1 ==J z +mIA 1 ZI 2 ,
1) Эта формула бьта установлена независимо различными математи
ками (Лаrранж, Пуансо, Якоби и др.). Наиболее ШlТересные приложения ее
(в космоrонии) нашел Якоби.
66
откуда после умножения на т1 получаем
ml m 2 r I2 + т1 т з r Iз == m1 J Z + тт1 1 A 1 Z 12.
Аналоrично получим (рассматривая моменты инерции OTHO
сительно точек А 2 , Аз)
m2m1r 1 + т2тзr з == т2 } z + тт2 1 A 2 Z 12,
тзт1r 1 + тзт2r 2 == тзJz + ттз 1 АзZ 12.
Складывая почленно эти равенства, получим слева сумму
всевозможных произведений вида mimjr5, r де i =/; j. При этом
каждое такое произведение встретится нам Д в а ж Д ы; напри
мер, в предпоследнем равенстве имеется слаrаемое т2тзr з, а в
последнем слаrаемое тзт2r 2 (совпадающее с т2тзr з).
Если мы условимся записывать лишь слаrаемые, ДJIя которых
i < j, то из каждых двух совпадающих слаrаемых останется
лишь одно (с коэффициентом 2), и мы получим
2
т.т .r. 2 . == ml Z + ml Z
f...J 1) 1) ,
1 i<j З
что равносильно формуле Якоби (24) (при п == 3).
"ример 25. Дан четырехуrольник ABCD, стороны и диarонали
KOToporo имеют ДJIины а, Ь, с, d, e,f. В каждой вершине четырех
уrольника помещена масса 1. Вычислим момент инерции этой
системы м. т. относительно середины Z отрезка PQ, соединяю
щеrо середины диarоналей.
Реш е н и е. Точка Z является центром масс рассматривае
мой системы м. т. По формуле Якоби имеем
1
J z == (а 2 + Ь 2 + с 2 + d 2 + е 2 + f2).
4
Выше было рассмотрено понятие момента инерции OTHO
сительно т о ч к и. При желании читатель может аналоrичным
образом исследовать момент инерции системы м. т. относи
Тельно о с и 1:
J l == тll S1 A 11 2 + т21 S2 A 21 2 +... + т п 1 SnAn 12,
[де S1, S2, ..., Sn проекции точек А 1 , А 2 , ..., А п на ось 1.
Например, можно преДJIОЖИТЬ читателю доказать формулы
Лаrранжа и Якоби ДJIЯ случая момента инерции относительно
оси име но эти формулы для момента инерции J l исполь
зуются В механике при изучении вращательноrо движения
тел.
Мы же рассмотрим применения момента инерции (относи
тельно точки) к задачам rеометрии. Как мы увидим, мноrие
3*
67
rеометрические задачи получают простые и красивые решения
при использовании формул Лаrранжа и Якоби. Рассмотрим
некоторые примеры.
Пример 26. Известны радиусы R, r описанной и вписан
ной окружностей треуrольника АВС. Вычислим расстояние d
между центрами этих окружностей.
Реш е н и е. Пусть Z центр вписанной окружности, О
центр описанной окружности, а, Ь, с ДJIины сторон треуrоль
ника. Точка Z центр масс трех м. т. аА, ЬВ, сС (см. задачу 47).
По формуле Лarранжа имеем
(а + Ь + с) I OZ 12 == 1 о 1 z.
Далее, по определению момента инерции находим
10 == а 1 ОА 12 + Ь 1 ОВ 12 + с 1 ОС 12 == (а + Ь + с) R 2 .
Н'аконец, 1z вычислим по формуле Якоби:
1z ==
1
Ь (аЬ 1 АВ 12 + Ьс 1 ВС 12 + са 1 СА 12) ==
а+ +с
аЬс 2 + Ьса 2 + саЬ 2
а+Ь+с
== аЬс.
аЬс
Поэтому d2'==IOZI2==R2 а+Ь+с'
Этот ответ еще не окончательный, поскольку требуется Bыpa
зитьd только через радиусы R и r (без использования длин сторон
а, Ь, с). Для получения окончательноrо ответа вспомним фор
мулы, выражающие площадь S треуrольника АВС через ДJIины
сторон и радиусы R, r:
S == : , s == (а + Ь + с) r.
Из этих формул находим аЬс == 2Rr
а+Ь+с '
d 2 == R (R 2r).
и потому
Эта формула впервые была получена Эйлером. Из нее видно
(поскольку d 2 О), что в любом треуrольнике д и а м е т р
вписанной окружности 'не превосходит р а Д и у с а описанной
окружности (можно показать, что равенство имеет место лишь
для paBHocTopoHHero треуrольника).
Пример 27. В плоскости даны две точки А и В; А i= 1 за
данное положительное число. Найдем множество всех точек
IMAI
м плоскости, для которых 1 м В 1 == А.
68
'МАI
Реш е н и е. У CJIовие 1 М В 1 == л равносильно соотношению
л 2 , МВ 12 ,М А ,2 == о.
Левая часть этоrо равенства представляет собой момент
инерции системы двух м. т. л 2 В и ( 1) А относительно точки М.
Значит, нужно найти множество всех таких точек М плоскости,
для которых
J м == о.
Обозначив через Z центр масс м. т. л 2 В и ( 1) А, имеем,
соrласно формулам Лarранжа и Якоби,
л 2
J М == J z + (л 2 1) , ZM ,2 == л 2 1 'АВ ,2 + (л 2 1) , ZM ,2.
Поэтому условие J м == О выполняется Tor да и только Tor да, Kor да
л
1 ZM , == ,л 2 l' 'АВ ,.
Отсюда ясно, что искомая фиrура представляет собой окруж
ность (рис. 49) с центром Z
л
и радиусом ,л 2 1" АВ ,.
Ситуация, рассмотренная
в примере 27, может быть
обобщена следующим обра
зом. Обозначим через о' си
стему м. т. (21); при этом
равенство ну лю некоторых
масс тl,..., т п не исключа
ется. Момент инерции этой
системы относительно точки М обозначим через J м (0'). Выяс
ним вид множества Ф всех точек М плоскости, для которых
)t==2
Рис. 49.
J м (о') == h,
rде h заданная константа.
Рассмотрим различные возможные случаи. Если CYМMap
ная масса т == тl + т2 + ... + т п #= о, то, обозначив через Z
центр масс системы 0', имеем, соrласно формуле Лarранжа,
1
,ZMI 2 == (h Jz(O')).
m
Отсюда видно, что Ф может оказаться окружностью (при
J z (О') < h), одной точкой (при J z (О') == h) или пустым множеством
(при J z (О') > h).
69
Пусть теперь т1 + т2 + . . . + m,. == О, но хотя бы одна из масс
т1, ..., m,. отлична от нуля; скажем, т п i= О. Обозначив через С
центр масс системы а', состоящей из м. т. т1 А 1, ..., тп 1Aп 1,
имеем при любом выборе точки М
J м (а') == J с (а') + ( т п ) 1 м с 12,
J м ( а) == J м (а') + m,. 1 м А п 12.
Поэтому условие J м (а) == h приобретает вид
m,. 1 м А п 12 + ( т п ) I м с 12 == h J с (а') == const.
При С i= А п множество Ф представляет собой (см. задачу 144)
некоторую прямую, перпендикулярную прямой САп. Если же
С == А т то множество точек, удовлетворяющих последнему
равенству, представляет собой либо всю плоскость, либо пустое
множеcrво.
Наконец, если все массы т1, .. ., т п равны нулю, то искомая
фиrура Ф представляет собой либо всю плоскость (при h == О),
либо пустое множество.
Объединяя все случаи, приходим к следующему выводу:
т е о р е м а 9. Множество всех точек М плоскости, отно"
сительно которых заданная в этой плоскости система мате..
риальных точек (21) имеет заданный момент' инерции h, пред..
ставляет собой окружн сть, прямую, плоскость, точку или
пустое множество.
"ример 28. Каждая из трех окружностей "11, "12, "13 касается
одной стороны треуrольника А1А2Аз и продолжений двух
дрyrих crOpOH. Пусть "11 касается стороны А2Аз в точке В 1;
"12 стороны Аз А 1 В точке В 2 , а "13 crороны А 1 А 2 В точке В3.
Через точки В 1 , В 2 , В3 проведены прямые Ф1, Ф2, Ф3, перпен
дикулярные соответственно cropoHaм А 2 А з , А з А 1 , А 1 А 2 .
Докажем, что эти прямые проходят через одну точку.
Реш е н и е. Рассмотрим три различные зarрузки вершин
треуrольника:
0'1: ОА 1 ,
0'2: ( 1) А 1,
0'3: 1А 1 ,
1А 2 , ( 1) А з ,
ОА 2 , 1А з ,
( 1) А 2 , ОА з .
Прямая Ф 1 характеризуется условием (см. доказательство теоре..
мы 9)
J м (а 1) == J в 1 (а 1) == 1 в 1 А 2 12 1 в 1 А 3 12 ( == h 1).
Чтобы вычислить h 1 , обозначим через Т 2 и Т3 точки касания
окружности "11 с прямыми А 1 А 2 И А1 А з И положим: 1 А 2 А з 1 == а,
IАзА11 == ь, A1A21 == с, 'В 1 А 2 1 == х, IВ 1 А з 1 ==у, IA 1 T 2 1 == z
70
(рис. 50). Тоrда
х + у а, z х == с, z у == Ь.
Отсюда х у == Ь с, и потому
h 1 == Х 2 у2 == (х + у) (х --:-- у) == а (Ь с).
Таким образом, условие JM(crl) == h 1 , характеризующее прямую
Фl, можно переписать в виде
1 .1 МА 2 1 2 + ( 1). f МАз 12 == а (Ь с). (25)
Аналоrично, прямые Ф 2 и Ф З характеризуются условиями
1 . J м Аз 12 + ( 1) . 1 м А 1 12 == Ь (с а), (26)
1 . 1 м А 1 12 + ( 1) . 1 м А 2 12 == С (а Ь). (27)
Пусть теперь М точка пересечения прямых Ф 1 и Ф2.
Тоrда точка М удовлerворяет соотношениям (25) и (26). Скла
дывая эти соотношения и умножая результат на ( 1), получаем
, I /
, I /
't
/ l'
Ф/ ,! 'Фз
Рис. 50.
f
/
(27); это означает, что в точке М удовлerворяerся и соотношение
(27), т. е. М принадлежит и третьей прямой Ф з .
В заключение докажем следующую теорему, позволяющую
в ряде случаев находить расстояние между двумя точками.
т е о р е м а 10. Если при одном распределении (Рl, Р2, ..., Рn)
единичной массы между заданными точками А 1 , А 2 , ..., Аn
центром Mac возникающих п м. т. служит точка Р, а при дРУ20М
таком распределении (ql, Q2, ..., Qn) центром масс возникающих п
м. т. окажется точка Q, то
1 PQ 12 == L (Pi Qд (pj Qj) I AiAj 12.
l i<j n
71
д о к а з а т е л ь с т в о проведем для п == 3 (в общем случае
рассуждения аналоrичны). По условию
1Р == PIAl + Р2 А 2 + рзАз, 1Q == q1A 1 + q2 A 2 + qзАз,
Pl + Р2 + Рз == ql + q2 + qз == 1.
Рассмотрим три системы материальных точек
<J' 1: (Pl ql) A 1 , (Р2 q2) А 2 , (рз qз) Аз, 1Q,
а2: q1A 1 , q2 A 2, qзАз,
<J'з: P1A 1 , Р2 А 2, рзАз, 1Q.
Моменты инерции этих систем относительно точки Робозначим
через J ), J€j), J<;), а относительно точки Q через Jb 1 ), Jb 2 ),
Jь з ). Ценrрами масс систем <J'l, а2, <J'з служат соответственно
точки Р, Q и середина Z отрезка PQ.
Поэтому имеем
J<;) == J з) + 21 PZ 12, Jь з ) == J з) + 21 QZ 12,
и, следовательно,
J<;) == Jь з ) == Pl 1 QA 1 12 + Р21 QA 2 1 2 + Рз 1 QА з 12.
Кроме Toro, по теореме Лarранжа
J€j) == Jb 2 ) + 1 . 1 Р Q 12 ==
== ql 1 QA 1 12 + q21 QA 2 1 2 + qз 1 QА з l 2 + 1 PQ 12.
Наконец, по формуле Якоби, примененной к системе <J'l, имеем
з
J l) == L (Pi qд (Pj qj) 1 AiAj 12 + L (Pi qд 1 AiQ t 2 .
l i<j З i=l
Из последних трех формул (с учетом очевидноrо соотношения
J<;) == J ) + J€j») и вытекает доказываемое равен CfBO.
Задачи
137. Рассматривается система м. т. С Н У л е в о й CYM
марной массой. Докажите т е о р е м у Д а р б у: если перенести массы
HeKoтopouzpyпnbl м. т. в центр масс этой zpynnbl точек (или проделать
то же самое для нескольких zpynn м. т.), то при этом сумма
L mi m j I AiA j 12 не изменится.
138. Пользуясь результатом задачи 137, докажите т е о р е м у
Эй л е р а: в любо.м четырехуzольнике сумма квадратов сторон больше
суммы квадратов дuаZОШlлей на учетверенный квадрат расстояния
между серединами диazоналей.
139. Ребро правильноrо тетраэдра равно а. Вычислиrе радиус
описанноrо около Hero шара.
140. Зная длины а, Ь, с сторон треYrольника АВС, вычислите длину
б иссектрисы С С l'
72
141. Пуcrь О центр окружности, вписанной в треуrольник АВС.
Зная длины а, Ь, с crOpOH треYrольника, вычислите сумму
cr == а i ОА 12 + ь 1 ОВ 12 + с 1 ОС 12.
142. Внекотором треуrольнике расcrояние между точкой пересе
чения медиан и центром описанной окружноcrи в три раза меньше
радиуса этой окружноcrи. Докажите, что этот треYrОЛЬНИК прямо
yrольныI..
143. Найдите множество всех точек плоскости, для которых сумма
квадратов расстояний от вершин заданноrо в этой плоскоcrи параллело
[рамма ABCD равна заданной величине h.
144. На плоскости заданы две различные точки А и В.
Докажите, что при т =1= О множество всех точек М rтоскоcrи, для которых
момент инерции относительно сиcrемы м. т. тА и ( т) В равен заданной
константе h, пр дставляет собой некоторую прямую, перпендикулярную
прямой АВ. ,
145. Докажите, что в проcrранcrве множеcrво, рассмотренное в
задаче 144, предcrавляет собой плоскоcrь, перпендикулярную (АВ).
146. Сформулируйте и докажите проcrранcrвенный аналоr Teo
ремы 9.
147. Стороны треYrольника имеют длины а, Ь, с. Найдите рао-
crояние между точкой пересечения медиан этоrо треYrольника и
центром вписанной в Hero окружности.
148. Докажите, что расcrояние между центром описанной окруж
ности треYrольника и центром вневписанной окружности (касающейся
одной crOpOHbI и продолжений двух ДРYrих crOpOH) равно R (R + 2r'),
[де R радиус описанной окружноcrи, а r' радиус рассматривае
мой вневписанной окружноcrи.
10. "рименение ПOlllПия момeиrа инерции
к доказательству неравенств
Отметим два простых и полтных алrебраических
следствия, непосредственно вытекающих из формулы Лarранжа.
С л е Д с т в и е 1. Если масса каждой материальной точки
системы (21) положительна, то при любом выборе точки S спра
ведливо неравенство
J s т 1 SZ 12,
rде т == тl + т2 + ... + m" суммарная масса системы, а Z
ее цeнrp масс. Равенство здесь имеет место в том и только в
том случае, коrда все точки А 1 , А 2 , ..., А п совпадают.
С л е Д с т в и е 2. Если материальные точки (21) имеют поло
жительную . суммарную массу т, то для произвольной точки S
справедливо неравенство
J s J z,
rде Z центр масс системы. Равенство здесь имеет место в том
и только в том случае, коrда S == Z.
73
Для случая т < О знак неравенства заменяется на противо
положный.
Иначе rоворя, центр масс системы м. т. (с положительной
суммарной массой) есть точка, относительно которой эта
система имеет наименьший момент инерции.
Проиллюстрируем возможность применения этих предло
жений для доказательства неравенств.
Пример 29. Докажем, что для любых действительных чисел
аl, ..., а" и Ь 1 , ..., Ь" справедливо соотношение
(аl Ь 1 + ... + а"Ь,,)2 (af + ... + а;) (bf + ... + Ь;)
(оно называется неравенством Коши БуняковСКО20).
Реш е н и е. Пусть тl, ..., m" какие либо положительныIe
числа. Выберем нц числовой ОСИ точки А 1 , ..., А" с КООРДlШатами
Хl, ..., Х" и поместим в них массы тl, ..., m". Координата цешра
тl Х l + ... + m"X"
масс м. т. тlАl, ..., m"A" равна Х == , и, co
тl + ... + m"
rласно следствию 1, имеем (взяв момент системы относительно
нулевой точки числовой оси)
2 2 1 ( ) 2
тl Х l + ... + m"X" тl Х l + ... + m"X" ,
тl + ... + m"
причем равенство имеет место тоrда и только Torдa, коrда
Х 1 == . .. == Х".
Положим теперь (считая, что все числа Ь 1 , ..., Ь" отличныI от
нуля): тk '"' bf, Xk '"' :: ' k '"' 1, ..., n. Torдa из доказанноrо нера-
венства непосредственно следует неравенство Коши Буня
KOBCKoro (для отличных от нуля Ь 1 , ..., Ь,,). Лerко видеть, что
если некоторые из чисел Ь 1 , ... , Ь" обращаются в нуль, это Hepa
венство остается справедливым.
Првмер 30. Докажем, что если аl, а2, ..., а" произвольныIe
положительныIe числа и s == аl + а2 + ... + а", то справедливо
неравенство
аl
s аl
+
а2
s aj,
а"
+...+
s а"
п
п 1 .
Реш е н и е. Выберем на числовой оси с началом О MaTe
аl а"
риальные точки с массами т 1 == , ..., m" ==
s аl s а"
ординатами Хl == S аl, ..., Х" == S а n . Через Z обозна
аl ,а "
+...+
s аl
и KO
чим
их
центр
масс.
Тоrда
т==
,
s а"
74
I oz I аl + о.. + а п 8 Д
. алее
т т '
J о == а 1 (8 а 1) + ... + а" (8 а,,) ==
== (аl + ... + а,,) 8 (ат + .. + а;) == 82 (ат + ... + а;).
Так как J o т 1 OZ 12 (см. следствие 1), то
2 ( 2 2 ) 82 ( 2 ( 2 2 2
8 а 1 + о о. + а" т о , т 8 а 1 + . .. + а,,)) 8 ,
т
(т 1) 82 т (ат + .. о + а;).
Но в силу неравенства между средним квадратическим и
средним арифметическим (задача 149) имеем
2
2 2 8
аl + . .. + а" .
п
82
Поэтому (т 1) 82 т. , откуда ""и получается требуемое
п
п
неравенство т о
п l
Задачи
149. Выведите из неравенства Коши Буняковскоrо,
что для любых положительных чисел аl, а2,' .., а ,. их cpeДHe
квадратическое не ме ньше их сред неrо арифмerическоrо, т. е.
V a + ... + а; а 1 + ... + а ,.
.
п п
150. С помощью следствия 2 докажите, что ФУНКЦИЯ
f(x) == (х аl)2 + (х а2)2 +... + (х а n )2
а 1 + а2 + о.. + а ,.
доs;rиrает наименьшеrо значения в точке х == .
п
151. Докажите, что если неравенство Коши Буняковскоrо об
ращается в равенство, причем хотя бы одно из чисел Ь 1 ,...,Ь ,. OT
лично от нуля, то существует такое k, что аl == kb 1 ,..., а ,. == kb n .
r ЛАВА IV
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООР динАты
«То, что трем точкам плоскости возможно сопоставить
такие rрузы, чтобы заданная четвертая точка оказалась их
центром,... привело меня к новому методу задания точек на
плоскости».
А. Ф. Мё6uус.
«БаРlЩентрическое исчисление».
11. БарицeиrричесК1lе координаты
на DJIОСКОСТИ
Соrласно теореме 1 (см. 2) для любых трех
масс тl, т2, тз, сопоставляемых вершинам треуrольника А 1 А 2 А з ,
о д н о з н а ч н о определена точка М, являющаяся центром
масс получающихся трех м. т. тlАl, т2А2, тзАз. Справедливо
и обратное (мы это видели при решении задачи 29): для
любой внутренней. точки М треyrольника А 1 А 2 А з можно
подобрать такие массы тl, т2, тз, что М будет центром масс
трех м. т. тlАl, т2А2, тзАз. По мысли немецкоrо MaTeMa
тика А. Ф. Мёбиуса, это позволяет ввести новую, очень
своеобразную и инrересную систему координат, сопоставляю
щую каждой точке М соответствующие массы тl, т2, тз.
..
Правда, в обычных (прямоyrольных) координатах каждая точка
описывается Д в у м я действительными числами х, у, а здесь
«координат» имеется три. Однако эти координаты определены
лишь с точностью до числовоrо множителя. Это позволяет
считать, что в действительности мы имеем дело только с двумя
координатами (например, можно рассматривать отношения
тl : т2 : тз). Более детально эти координаты и рассматри
ваются в этом парarрафе. Мы увидим, что барицентри
ческие координаты обладают рядом интересных свойств и
дают возможность решать немало rеометрических задач.
Итак (см. задачу 29), если М произвольная внутренняя
точка треyrольника А 1 А 2 А з , то можно подобрать такие поло
жительные числа тl, т2, тз, для которых М будет центром
масс получающихся м. т. тlАl, т2А2, тзАз. Ясно, что массы
тl, т2, тз, ,обладающие этим свойством, не определены
однозначно: если k произвольное положительное число, то
массы kml, km2, kтз обладают тем же свойством: центром
76
масс м. т. (km1)A1, (km2)A2, (kтз)Аз будет та же точка М.
Этим обстоятельством можно воспользоваться, чrобы сделать
сумму масс равной е д и н и Ц е; в самом деле, при
1
k == мы получим такие массы
т1 + т2 + тз
J.11 == km1, J.12 == km2, J.1з == kтз,
что их сумма равна 1 и при этом по прежнему М будет
центром масс м. т. J.11A1, J.12A2, J.1зАз. Иначе rоворя, для
любой внутренней точки М треУ20льника А 1 А 2 А з ' существуют
такие положительные числа J.11, J.12, J.1з, что
J.11 + J.12 + J.1з == 1
(28)
и при этом М является центром масс м. т. J.11 A 1, J.12A2,
J.1з А з, т. е. (см. (10) или (11»
м == J.11 A 1 + J.12 A 2 + J.1зАз.
(29)
Эти числа J.11, J.12, J.1з (удовлerворяющие условиям (28), (29»
и называются барицентрическими координатами (или, как мы
будем rоворить, Б координатами) точки М относительно базис
Horo треyrольника А 1 А 2 А з ; ниже мы увидим, что бари
центрические координаты определяются точкой М о д н o
з н а ч н о.
Например,
ника А 1 А 2 А з
так как точка пересечения медиан Z треyrоль
является центром масс трех м. т. 1А 1 , 1А 2 ,
1 1
м. т. зА1, зА2,
1А з , а значит, и центром масс трех
1 111
3 Аз, то числа J.11 == 3' J.12 == 3' J.1з == 3 являются Б коорди
натами точки Z.
Оказьmается, что если не оrраничиваться только поло
жительными массами J.11, J.12, J.1з, а допускать для них произ
вольные действительные значения, то можно определить ба
рицентрические координаты не только ДJIЯ внyrренних точек
треуrольника А 1 А 2 А з , но и ДJIЯ любых точек в плоскости этоrо
треуrольника. Именно, справеДJIива следующая
т е о р е м а 11. Пусть А 1 А 2 А з заданный треУ20льник и
М прouзвольная точка в е20 плоскости. ТО2да существуют
однозначно определенные действительные числа J.11, J.12, J.1з,
удовлетворяющие условиям (28) и (29).
Д о к а j а т е л ь с т в о. Равенство (29), означающее, что
М центр масс системы м. т. J.11 A 1, J.12A2, J.1зАз, равносильно
тому, что ДJIЯ произвольной точки О справедливо соотношение
.............. .............. ........... ...........
ОМ == J.11 0A 1 + J.12 0A 2 + J.1зОАз.
77
Как мы знаем, это равенство будет справедливо для л ю б ой
точки О, если оно выполняется для какой либо одной точки.
НаПlШIем это равенство для случая О == Аз:
АзМ == Jl1 8 1 + Jl282, (30)
[де 81 == А з А 1 , 82 == А з А 2 (рис. 51). Равенство (29) равносильно
соотношению (30). Поэтому нужно доказать, что для любой
Рис. 51.
точки М существуют однозначно определенные числа Jl1, Jl2,
Jlз, удовлетворяющие соотношениям (28), (30). Но соотношением
(30) однозначно определяются числа Jl1, Jl2 (это соотношение
означает раз л о ж е н и е вектора АзМ по векторам 81, 82, см.
рис. 51), а после этоrо число Jlз однозначно определяется
соотношением (28).
Оп р е Д ел е н и е. Пусть А 1 А 2 А з заданный треуrольник и
М произвольная точка ero плоскости. Числа Jl1, Jl2, Jlз,
удовлетворяющие условиям (28) и (29) (их существование и
однозначная определенность установлены в теореме 11), Ha
зываются барицентрическими координатами (или Б координата
ми) точки М.
3 а м е ч а н и е. Равенство (30) и относящийся к нему рис. 51
дают фактически способ н а х о ж Д е н и я барицентрических
координат произвольной точки М. Иначе rоворя, нужно через
М провести прямые 11, 12, параллельные (А 2 А з ), (А 1 А з ), и тоrда
А З Р 1 А З Р 2
Jl1 == , Jl2 == - .
А з А 1 А з А 2
Пример 31. Однородная проволока изоrнута в виде контура
треyrольника АВС с длинами сторон а, Ь, с (рис. 52). Центром
78
масс Koнrypa треУJ:' льника АВС называют центр масс Q
этой проволоки. Определим, каковы Б"координаты точки Q
относительно 6 АВС.
Реш е н и е. Пусть р линейная плотность проволоки (т. е.
масса куска проволоки длиной 1). Положение цeнrpa масс
всей проволоки не изменится, если
мы сосредоточим всю массу cтo
роны ВС (т. е. ра) в ее середине А 1
и аналоrично поступим со cтopOHa
ми СА и АВ. Значит, Q центр
масс трех м. т. (ра) А 1 , (рЬ) В 1 ,
(рс) С 1. Рассредоточим каждую из
трех масс ра, рЬ, рс в веРШШIах А
А, В, С треуrольника так, чтобы
это не повлияло на положение
центра масс Q. МЫ этоrо
достиrнем, если заменим м. т. (ра) А 1 двумя м. т.:
( ра) в и ( ра ) с и аналоrично поступим с материаль
ными точками (РС)С 1 и (рЬ)В 1 . Тоrда Q окажется центром
масс трех м. т.
1 1 1
тр(Ь+с)А, 2 р (с+а)В и тр(а+Ь)С.
в
с
Рис. 52.
Так как сумма масс этих м. т. равна р(а + Ь + с) == 2рр, то
Ь+с с+а а+Ь
точка Q имеет Б координаты 4р ' 4р ' 4р .
При мер 32. Вычислим Б координаты точки Н пересечения
высот остроyrольноrо треуrольника АВС (рис. 53), принимая
этот треyrольник в качестве ба
зисноrо, если величШIЫ yrлов
А, В, С равны соответственно
(Х, р, 'у .
Реш е н и е. Подберем для
вершШI В и С такие массы т2 и
тз, чтобы точка А 1 оказалась
центром масс двух м. т. т2 В и 8
тзС. По правилу рычаrа имеем
т2IВА 1 1==тзI А I С I,
. т. е. т2С cos Р == тзЬ cos 'У.
Аналоrично, чтобы точка В 1 оказалась центром масс м. т.
тзС и тlА, должно выполняться равенство
тза cos 'у == тl с cos (Х.
Из полученных равенств следует (если учесть теорему синусов),
А
А 1
Рис. 53.
с
79
что
т!
sin r::t. cos cos у
т2
COS r::t. sin cos у
тз
cos r::t.COS sin у'
т. е.
т2 тз
.
tg r::t. tg tg У
Отсюда вытекает, что точка Н имеет Б координаты k tg r::t.,
1
k tg , k tg у, r де k == .
tg r::t. + tg + tg у
"ример 33. Точки Р и Q имеют соответственно Б
координаты (Pt, Р2, Р3) и (qt, q2, qз). Вычислим Б коорди
наты середины М отрезка PQ.
Решение. Точка M цeнтp масс двух м.т. 1.Р и 1.Q.
Рассредоточим их массы по вершинам базисноrо треуrоль
ника, т. е. заменим м. т. 1. Р и 1. Q соответственно на м. т.
PtAt, Р2 А 2, рз А з и qtAt, q2A2, qзАз; ясно, что при этом
положение центра масс сисТемы не изменится (т. е. эти
шесть м. т. также имеют своим центром масс точку М).
Но точка М цeнrp масс трех м. т. (Р! + qt)A t , (Р2 + q2)A 2 ,
(Р3 + qз) Аз. Так как сумма масс этих м. т. равна 2, то
Б координаты точки М равны
111
2(Pt+qt), 2(P2+Q2), 2(Рз+Qз).
"ример 34. На сторонах треyrольника AtA2A3 взяты Ta
............... ............... ............... ...............
кие точки М, N, что А 2 М == kА 2 А з , AtN == lAtA3. Вычислим
Б координаты точки Z пересече
ния прямых AtM и A 2 N (рис. 54).
Реш е н и е. Пусть Jlt, Jl2, Jlз
баРlЩентрические координаты
точки Z, т. е. Z центр масс м. т.
JltAt, J.12 A 2, Jlз А з. Прямая AtZ
пересекает сторону А2Аз В точке,
А , А 2 являющейся центром масс м. т.
Рис. 54. Jl2 A 2. и Jlз А з. Иначе rоворя,
............... ...............-+
Jl2 MA 2 + JlзМАз == о, т. е.
............... ............... ...............-+
Jl2 A 2 M + Jlз (А2 А з А2М) == о. Переписав это равенство в
............... Jlз ............... Jlз
виде А 2 М == А 2 А з , мы найдем, что k. AHa
Jl2 + Jlз Jl2 + Jlз
лоrично, Jlз == 1. Находя из этих соотношений Jlt и Jl2 И
Jlt + Jlз
подставляя эти значения в соотношение Jlt + Jl2 + Jlз == 1,
80
получаем
1 1
1 11з +
1 k'
k 11з + 11з == 1,
откуда находим 11з, а затем 111 и 112:
kl k (1 1) 1 (1 k)
11з == k + 1 kl' 111 == k + 1 kl' 112 == k + 1 kl .
Заметим в заключение, что полученная ранее с помощью
теоремы Лarранжа формула для нахождения расстояния между
двумя точками (см. теорему 10) как раз приспособлена для
случая, коrда точки заданы своими Б координатами. Из этой
теоремы следует, что если две точки Р и Q имеют относи
тельно 6. А1А2Аз барицентрические координаты (Р1; Р2; Р3) и
(q1; q2; qз), то расстояние между ними можно вычислить по
формуле
1 PQ 12 == L (Pi qд (Pj qj) 1 AiAj 12. (31)
1 i<j 3
"ример 35. Известны длины сторон треуrольника. Вычислим
расстояние между точкой М пересечения ero медиан и
центром О вписанной окружности.
Реш е н и е. Т очки М и О имеют такие Б координаты:
М ( ; ; ) и О ( 2 ; ; ;р ). Поэтому
2 ( 1 Ь\ ( 1 С ) 2 ( 1 а )( 1 С ) 2
I м о I == 3 2р} 3 2р а + 3 2р 3 2р Ь +
+ ( ;р ) ( :р ) с 2 .
"ример 36. Вычислим (зная длины сторон) расстояние между
вершиной А треyrольника АВС и цeнrpOM вневписанной окруж
ности, касающейся стороны ВС.
Реш е н и е. Примем 6. АВС в качестве базисноrо. Пусть
Р центр вневписанной окружности; Б координаты точки Р
равны ( 2(р а) ; 2(р а) ; 2(р а» ).r д е2 Р == а + Ь + с. Так
как Б координаты точки А равны (1; о; о), то по формуле (31)
находим после несложных вычислений
1 Р А 12 == Ьср .
p a
"ример 37. Известны радиус R окружности, описанной около
6. АВС, радиус r вписанной окружности и радиус ra вневпи
81
санной окружности, касающейся стороны ВС и продолжений
двух друrих сторон. Вычислим расстояние между центрами О
и О а последних двух окружностей.
Реш е н и е. Пусть а, Ь, с длины сторон 6. АВС, р ero
полупериметр, s площадь. Точки О и Оа имеют Б"координаты
относительно 6. АВС
(;р ; ; ;р) и ( 2(p а) ; 2(р b а) ; 2(/ а) ).
Применяя формулу (31) и ПрОИЗDОДЯ упрощения, имеем
100012== а 2 Ьс 4Rsa ==4RS ( ) ==4R(ra r).
р (р а) р (р а) р а р
Задачи
152. Точка М имеет относительно базисноrо треуrоль
ника А1А2Аз барицентрические координаты J.11, J.12, J.13' Докажите
следующие yrверждения:
а) точка М в том и только в том случае принадлежиr, прямой
А 1 А 2 , если J.13 == о;
б) точка М в том и только в том случае принадлежиr отрезку
[А 1 А 2 ], если J.11 > О, J.12 > О, J.13 == о;
в) точка М в том и только в том случае принадлежиr контуру
д А 1 А 2 А з , если J.11 О, J.12 О, J.13 О, J.11J.12J.1з == о;
r) точка М в том и только в том случае принадлежит лучу,
который противоположен лучу А 1 А 2 , если J.12 < О, J.13 == о;
д) ТОЧJ(а М в том и только в том случае принадлежит OT
крытой полуплоскости, которая оrраничена прямой А 1 А 2 и не содержит
д А 1 А 2 А з , если J.13 < о;
е) точка М в том и только в том случае принадлежит yr лу
А 1 А 2 А з , если J.11 o, J.13 о; .
ж) точка М в том и только в том случае лежит внутри
треуrольника А 1 А 2 А з , если J.11 > О, J.12 > О, J.13 > о;
з) точка М в том и только в том случае принадлежит yrлу,
который симметричен yrлу А1А2Аз относительно точки А 2 , если
J.11 О, J.13 О.
153. Изобразите на рисунке точки, имеющие следующие Б коорди
наты: С(l; о; О), D(O; 1; о;), Р ( 1.; 1.; 1. ) .
2 4 4
154. Какие Б координаты имеют следующие точки: вершина Аз
базисноrо треуrОЛЬНlJка А 1 А 2 А з ; середина Аз ero стороныI А 1 А 2 ?
155. На сторонах базисноrо треyrольника А1А2Аз выбраны точки:
А 1 на стороне А 2 А з , причем 1 А 2 А 1 1 == 1.1 А2Аз 1, и Аз на стороне
3
А 1 А 2 , причем 1 А 1 А з l == 1.1 А 1 А з l. Найдите Б координаты точки пере
3
сечения отрезков А 1 А 1 и А з А з .
82
156. Точка Р расположена на стороне А 1 А 2 базисноrо Tpe
yrольника, а точка Q на продолжении этой стороны, причем
1 А 1 Р 1 == 2 I А 1 Q 1 == 2. Найдите Б координаты точек Р и Q.
1 Р А 2 1 ' 1 QA 2 1
157. В базисном треуrольнике А 1 А 2 А з проведены медианы
А 1 А 1 и А 2 А 2 . На стороне А 1 А 2 выбрана такая точка Р, что
1 А 1 Р I == л., и через точку Р проведены прямые, параллельные Me
'РА 2 1 .
дианам А 1 А 1 и А 2 А 2 и встречаЮ.j-{ие стороны треуrольника COOT
ветственно в точках В 1 И В 2 . Каковы Б координаты этих точек?
158. На стороне АС треyrольника АВС выбрана такая точка М,
1
что 1 АМ 1 == 1 АС 1, а на продолжении стороны ВС такая точка
3
N, что 1 BN I == 1 СВ 1. Пусть Р точка пересечения отрезков MN и
АВ. Какие Б координаты имеет точка Р относительно 6 АВС и
относительно 6 ANC?
159. В равнобедренном треyrольнике АВС (1 АВ 1 == 1 ВС 1) биссектри
. IFBI
са АЕ пересекает высоту BD в точке F, причем == 3. Какие ба
IFDI
рицентрические координаты Qтносительно 6 АВС имеет точка Н
пересечения высот 6 АВС?
160. Какие барицентрические координаты относительно 6 АВС
имеет вершина D параллелоrрамма ABCD? .
161. На сторонах АВ и АС базисноrо 6 АВС выбраны точки
С 1 И В l' Зная Б координаты (Р; 1 р; О) и (q; о; 1 q) этих точек,
найдите Б координаты точки М пересечения прямых ВВ 1 и СС 1 .
162. В трапеции ABCD ДJIины оснований АВ и CD равны COOТBeT
ственно а и Ь (а > Ь). Пусть М и N середины оснований АВ
и CD, Р точка пересечения продолжений б-оковых сторон, Q
точка пересечения диаrоналей.
а) Каковы Б координаты точек С, D, М, N, Q относительно 6 АВР?
б) Докажите с помощью барицентрических координат, что четыре
точки М, N, Р, Q лежат на одной прямой.
163. В прямоyrольном треyrольнике АВС известны ДЛЮlЫ а, Ь
катетов. Вычислите Б координаты (относительно 6 АВС) OCHOBa
ния высоты, опущенной из вершины прямоrо yrла С на rипотенузу
АВ.
164. Точки Р, Q, R имеют Б координаты (Р1; Р2; Рз), (q1; q2; qз),
('1; '2; 'з). Докажите, что Б координаты центроида (точки пересечения
медиан) треуrольника PQR равны
1 1 1
з(Рl + q1 + '1), з(Р2 + q'j, + '2), з(рз + qз + 'з).
165. Материальные точки (ХР и Q имеют своим центром масс
точку М. 'Т очки Р и Q имеют Б координаты (р 1; Р2; Рз) и
(ql; q2; qз). Докажите, что точка М имеет Б координаты
(ХР1 + q1
(X+
(ХР2 + q2
(X+
tJ.Рз + qз
(X+
83
166. Материальные точки ctP, Q, yR (сх + + у # О) имеют точку
М своим центром масс. Относительно ь. А 1 А 2 А з точки Р, Q и
R имеют Б координаты (Р1; Р2; Рз), (ql; q2; qз) и ('1; '2; 'з). Докажи
те, что Б координаты точки М равны
СХР1 + q1 + У'1 . СХР2 + J3q2 + У'2 СХРз + J3qз + У'з
cx+ +y' cx+ +y cx+ +y
167. Точки Р, Q и R, лежащие на одной прямой, имеют Б
координаты (Р1; Р2; Рз), (q 1; q2; ti/з), ('1; '2; 'з). Какие массы сл.е
дует поместить в точках Р и Q, чтобы их центром масс оказалась
точка R?
168. Точка Р относительно ь. А 1 А 2 А з имеет Б координаты
(т1; т2; тз), причем т1 # 1; прямая А 1 Р Iвстречает прямую А 2 А з
в точке А'1' Докажите, что: а). точка А'1 имеет Б координаты
( о; >т2 ; тз ) ; б) каждая точка Q прямой А 1 А 1 имеет Б
т2 + тз т2 + тз
координаты (1 k (т2 + тз); km2; kтз), rде k некоторое число,
зависящее от выбора точки Q.
169. В плоскости треyrольника А 1 А 2 А з взята такая точка М, что
.
АзМ == хАзА 1 + уА з А 2 . Докажите, что барицентрические координаты
точки М равнр! х; у; 1 х у.
170. Пусть точки Р, Q, R имеют относительно базисноrо
треyrольника А 1 А 2 А з барицентрические координаты (Р1; Р2; рз),
(q1; q2; qз), ('1; '2; 'з). Докажите, что если Рз == qз == 'з, ТО точки
Р, Q, R лежат на одной прямой, параллельной (А 1 А 2 ).
171. Точки А 1 , А 2 , Аз выбраны на сторонах А 2 А з , А з А 1 , А 1 А 2
треуrольника А 1 А 2 А з так, что 1 А 2 А з 1 == 1 А 2 А з 1, 1 А з А 2 1 == 1 А з А 1 1,
4 4
1 А 1 А з 1 == 1 А 1 А 2 1. Три прямые А 1 А 1 , А 2 А 2 , АзА з оrраничивают
4
некоторый треуrольник PQR. Докажите, что точка пересечения медиан
ь. PQR совпадает с точкой пересечения медиан ь. А 1 А 2 А з .
172. На сторонах ВС, СА, АВ треyrольника АВС взяты точки
А 1, В 1, С l' Докажите, что точка пересечения медиан ь. А 1 В 1 С 1
совпадает с точкой пересечения медиан ь. АВС в том и только в том
случае, если существует такое k, что АВ 1 == kAC, СА 1 == kCB, ВС 1 ==
== kBA.
173. В правильном треyrольнике АВС со стороной а проведены
прямые АА 1 , ВВ 1 , ВВ 2 , СС 2 , причем СА 1 == 2А 1 В, СВ 1 == В 1 В 2 ==
== В 2 А, АС 2 == 3С 2 В. Пусть АА 1 и ВВ 1 пересекаются в точке Р,
а ВВ 2 и СС 2 В точке Q. Вычислите расстояние 1 PQ 1.
12. Барицентрические координаты
как WlOIЦади
В 11 барицентрические координаты были BBeдe
ны, исходя из соображений, связанных с центрами масс. Заме
чательно, что имеется и дрyrой, чиcrо rеометрический под
84
ход к барицентрическим координатам, позволяющий выразить
эти координаты через площади некоторых треуrольников. Это,
во первых, дает интересную rеометрическую интерпретацию
caMoro понятия центра масс А 1
(ДЛЯ случая трех м. т. на плос
кости) и, BO BTOpЫX, OTKpЫBa
'ет новые возможности примене
ния барицентрических коорди
нат к решению rеометрических
зада ч.
Сначала рассмотрим слу
чай, Kor да М лежит внутри ба
зисноrо треyrольника.
Теорема 12. Пусть точ
ка Р (рис. 55) лежит внутри
базисноzо треуzольника А 1 А 2 А з и пусть 8, 81' 82' 8 з
площади треуzольников А 1 А 2 А з , Р А 2 А з , А 1 Р Аз, А 1 А 2 Р. Тоzда
Б координаты точки Р равны
81 82 8 з
J.11 == S' J.12 == Т' J.1з == S.
Рис. 55.
(32)
Иными словами, если поместить в вершинах А 1 , А 2 , Аз
базисноrо треуrольника массы, численно равные (или про
порциональные) площадям 81,'82, 8 з , то их центром масс OKa
жется точка Р.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть точка Р имеет Б координаты
(J.11; J.12; J.1з). Обозначим через В 1 центр масс двух м. т. J.12A2 И
J.1зАз. Тоrда точки В 1 , Р, А 1 лежат на одной прямой. По
правилу рычаrа имеем
I А з В 1 1
'В 1 А 2 1
и потому
82 IА 1 Рlh з h з IВ 1 Рlh з
8 з I А 1 Р I h 2 == h; == I В 1 Р I h 2
8 РВ 1 А з
8 РВ 1 А 2
J.12
J.1з
I АзВ 1 I h 1
I А 2 В 1 I h 1
I А з В 1 1
'А 2 В 1 1
J.12
J.1з
J.12 J.1з А J.11 J.12
Следовательно, 82 == 8 з . налоrично, 81 == 82 ' И потому
1
8 '
J.11 == J.12 == J.1з == J.11 + J.12 + J.1з
81 82 8 з 8 1 +8 2 +8 з
81 82 8 з
J.11 == Т' J.12 == Т' J.1з == т.
откуда
85
Пример 38. Найдем Б координаты центра О окружности,
вписанной в базисный треyrольник АВС со сторонами а, Ь
и с.
Реш е н и е. Обозначим через r ра.J.ИУС вписанной окруж
1 111
ности. Тоrда 81 == 2: ar , 82 == 2: br, 8з == 2: cr, 8 == 2: (а + + c)r.
Поэтому центр О имеет Б координаты
а Ь с
а+Ь+с' а+Ь+с' а+Ь+с.
Пример 39. На сторонах треуrольника АIА2Аз выбраны
1
такие точки В 1 , В 2 , В з , что I А 2 В 1 1 == 41 А2 А з 1, 1 А3 В 21 ==
1 1
== 41 Аз А l 1, 1 АI В 3 1 == 41 А 1 А 2 1 (рис. 56). Зная площадь 8
треуrольника А 1 А 2 А з , вычислим площадь cr треуrольника
PQR, оrраниченноrо прямыми А 1 В 1 , А 2 В 2 , АзВз.
А 2
А 1
82
А;,
Рис. 56.
им:: : .H :p:::;R 3 4) S : РД :; ::I ( ;P A ; S : ): . ;:::м:
s 3 S 3 S
( 12) AIA2R А РА2Аз AIQ A 3
по теореме S 13. налоrично, 8 13' s
3 3 4
13. Следовательно, cr == 8 3. 13 S == 13 8.
Вычисление барицентрических координат точки МОжно свести
к вычислению площадей некоторых треуrольников и в том
случае, Kor да точка лежит вне базисноrо треyrольника или на
ero rранице.
Предварительно заметим, 1ffO, расположив в определенном
порядке вершины какоrо либо треуrольника PQR, мы тем
самым задаем направление обхода на ero контуре: от Р к Q,
от Q к R, от R к Р (рис. 57). Это направление обхода
86
может осyrцествляться либо «против часовой стрелки», либо
«по часовой стрелке». В первом случае (рис. 57) будем считать,
что треyrольник ориенnшрован положительно, а во втором
случае (рис. 58) отрицательно.
«Ориентированной площадью» треyrольника с заданным на
ero контуре направлением обхода условимся назы ать: а) пло
щадь S этоrо треyrольника, если он ориеlПирован поло
жительно, б) S, если треyrоль
ник ориеlПирован отрицательно.
Если точки Р, Q, R расположены на одной прямой,
условимся считать ориеlПированную площадь «треуrольника»
PQR равной нулю.
Например, на рис. 59 ориентированные площади Tpe
yrольников А 1 А 2 А з и А 1 А 2 Р положительны, ориеlПированная
площадь треyrольника Р А 2 А з OT
рицательна, а ориеlПированная
площадь треуrольника А 1 Р Аз paB
на нулю.
Будем считать, что базисный
треyrольник А 1 А 2 А з ориентиро
ван положительно, т. е. обход
А 1 ---+ А 2 ---+ Аз ---+ А 1 осущеcrвляет
ся против движения часовой стрел
ки. Пуcrь р произвольная точка
плоскоcrи. Соединив ее с точками
А 1 , А 2 , Аз, получим три треyrоль
ника: РА 2 А з , А 1 РА з , А 1 А 2 Р.
Заметим, что порядок вершин в обозначении каждоrо из
этих треуrольников выбран так, чтобы общая сторона этоrо
треуrольника и базисноrо треуrольника А 1 А 2 А з была в обоих
треуrольниках ориеlПирована одинаково. Например, при обходе
А 1 ---+ А 2 ---+ Аз ...... А 1 треуrольника А 1 А 2 А з и при обходе
р ---+ А 2 ---+ Аз ---+ Р треyrольника Р А 2 А з их общая сторона А 2 А з
проходится одинаково (от А 2 к Аз).
fl
р
fl
Рис. 57.
р
II
R
Рис. 58.
А 2
Рис. 59.
87
Оказывается, что при любом выборе точки Р на
плоскости утверждение теоремы 12 остается справедливым,
если только под 81, 82, 8 з , 8 понимать площади ориенти
рованных треУ20льников Р А 2 А з , А 1 Р Аз, А 1 А 2 Р, А 1 А 2 А з .
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 12 в общем случае можно
провести так же, как это было сделано выше для случая,
коrда точка Р расположена внутри базисноrо треyrольника.
Для этоrо следует заметить, что три прямые, на которых
расположены CT OpOHЫ треуrольника, разбивают плоскость на
с е м ь областей (одной из которых является сам базисный
треуrольник). Точка Р может быть расположена либо внутри
любой из этих областей, либо на одной из трех прямых,
на которых расположены стороны треyrольника. Иначе rоворя,
представляются несколько различных возможных случаев распо
ложения точки Р. В каждом случае нужно подтвердить спра
ведливость формулы (32). И хотя это каждый раз делается
при помощи рассуждения, аналоrичноrо тому, которое было
проведено в случае, Kor да точка Р лежит внутри базисноrо
треуrольника, тем не менее наличие ряда отдельных слу
чаев делает доказательство скучным и утомительным.
Вместо этоrо мы дадим дрyrое доказательство, основой
KOToporo служит понятие определителя BToporo порядка. ЦeH
ность этоrо доказательства состоит в том, что о Д н и м pac
суждением охватываются все возможные случаи. Понятие
определителя важно и само по себе оно применяется при
реwении систем линейных уравнений и в ряде друrих вопросов.
Рассмотрим основные свойства определителей BToporo порядка.
Пусть а (Х1; У1) и Ь(Х2; У2) два вектора, заданные своими
координатами в прямоyrольной системе координат. Число
Х1У2 Х2У1 назыlаетсяя внеш ним (или косым) произведением
векторов а и Ь и обозначается через а л Ь. Чтобы леrче было
запомнить, как получается разность Х1У2 Х2У1' рассмотрим
таблицу (матрицу), составленную из координат векторов а и Ь:
( Х 1 Х2 ) ;
Уl У2
здесь координаты вектора а расположены в первом столбце
этой матрицы, а координаты вектора Ь во втором столбце.
Следующая запись показывает, как образуется разность
Х1У2 Х2У2:
(33)
" ;1'
"'Х х'
J / 2
" ,
>,
./ .
/у, и!
;1 "
" ,+
88
т. е. произведение чисел, стоящих на 2лавной ди020нали MaT
рицы (идущей из BepxHero левоrо уrла JJ нижний правый),
берется с п л ю с о м, а произведение чисел, стоящих на
второй диа20нали с м и н у с о м. Для удобства число
ХIУ2 Х2Уl обозначают также через
Хl Х2
Уl У2
И назьmают определителем (или детерминантом) матрицы (33).
Таким образом,
(34)
а Л Ь Хl Х2
== ХIУ2 Х2Уl.
Уl У2
Дадим теперь rеометрическую инrерпретацию определителя
(или внешнеrо произведения векторов).
Рассмотрим параллелоrрамм, построенный на векторах а и Ь,
и обозначим через S ориенrrшрованную площадь этоrо парал
лелоrрамма, т. е. площадь ero, взятую со знаком плюс, если
поворот вектора а к вектору Ь (на yrол, не превосходящий
по величине 1800) осуществляется в п о л о ж и т е л ь н о м
направлении, т. е. против часовой стрелки (рис. 60), и площадь,
Рис. 60.
Рис. 61.
взятую со знаком минус, если этот поворот осуществляется
в о т р и Ц а т е л ь н о м направлении, т. е. по часовой стрелке
(рис. 61). Оказьmается, что справедливо равенство
s == а л Ь == Хl Х2
,
Уl У2
т. е. внешнее произведение а л Ь (или, ЧТО то же самое, опре
делитель (34» равно ориентированной площади параллелоrрам
ма, построенноrо на векторах а, Ь. Это и есть нужная нам
rеометрическая инrерпретация внешнеrо произведения векторов
(или определителя).
В самом деле, пусть направление вектора а получается из
единичноrо вектора е 1 , задающеrо направление оси абсцисс,
(35)
89
поворотом на yrол сх, а направление вектора Ь получается из е 1
поворотом на yrол р (рис. 62). Тоrда
а == (1 а 1 cos сх; 1 а 1 sin сх), т. е. хl == 1 а 1 cos сх, Уl == 1 а 1 sin сх;
Ь == (1 Ь 1 cos сх; 1 Ь 1 sina), т. е. Х2 == 1 Ь 1 cos р, У2 == 1 Ь 1 sin р.
Следов а тельно,
а л Ь == ХIУ2 Х2Уl == 1 а 11 Ь 1 cos сх sin р 1 а 11 Ь 1 cos Р sin сх ==
== 1 а 11 Ь 1 sin ( сх),
и потому 1 а л Ь 1 == 1 s 1; при этом ясно, что если
О < Р сх < п, т. е. поворот от а к Ь (на yrол, меньший п)
осуществляется в положительном направлении, то оба числа
а л Ь и S положительны, а если этот
поворот осуществляется в отрица'tель
ном направлении, т. е. п < р сх < о,
то оба числа а л Ь и S отрицательны.
Этим и завершается доказательство
формулы (35).
Наконец, при доказательстве Teope
мы 12 мы воспользуемся тем, что внеш
нее произведение обладает следующими
:с свойствами:
1) Ь л а == a л Ь;
2) (ka) л Ь == k(a лЬ);
3) а л (Ь + с) == (а л Ь) + (а л с);
4) е 1 л е2 == 1, [де е 1 , е2 единичные векторы, имеющие
направление осей абсцисс и ординат.
Доказательство этих формул несложно. Например, для
доказательства третьей из них обозначим через (хl; Уl),
(Х2; У2) и (хз; уз) координаты векторов а, Ь и с. Тоrда
!I
е2
о
В 1
Рис. 62.
а л (Ь + с) == Хl Х2 + хз == хl (У2 + уз) Уl (Х2 + хз);
Уl У2 + Уз
(а л Ь) + (а л с) == Хl Х2 + Хl ХЗ
Уl У2
Уl Уз
== (Х 1 У2 Х2Уl) + (ХIУЗ ХЗУl),
откуда и вытекает справедливость свойства 3).
"ример 40. Докажем, что для любоrо вектора а справедли
во соотношение а л а == о.
Реш е н и е. Пусть (х; у) координаты вектора а. Тоrда
ала==
х х
== ху ху == о.
у у
90
Можно предложить и друтое доказательство, основанное на
свойстве 1) (<<антикоммутативности») внешнеrо про из ведения :
8 л 8 == (8 Л 8), И потому 8 Л 8 == о.
Пример 41. Вычислим ориентированную площадь треyrоль
ника АВС с вершинами А (Хl; Уl)' в (Х2; У2)' С (хз; Уз).
Реш е н и е. Ориентированная площадь треyrольника АВС
.
вдвое меньше ориентированной площади параллелоrрамма,
построенноrо на векторах АВ и АС (рис. 63). Следовательно,
1 1 ,
SABC == 2(АВ л АС) == 2(ОВ ОА) л (ОС ОА) =
1 1 1 1
== OB л ОС OB л ОА OA л ОС + OA л ОА ==
222 2
== ( Х2 ХЗ Х2 Хl Хl ХЗ ) .
2 У2 Уз У2 Уl Уl Уз
Иначе rоворя,
1
SABC == 2 (Х2УЗ ХЗУ2 Х2Уl + ХIУ2 ХIУЗ + ХЗУl).
Перейдем теперь к доказательству' теоремы 12. Пусть
А 1 А 2 А з базисный треyrольник и Р произвольная точка в
плоскости этоrо треyrольника.
Обозначим векторы РА 1 , РА 2 , Р
!I
1/2
!I,
о Z2 %,.zз:С
Рис. 63.
Аз
Рис. 64.
РАз через 8, Ь, с (рис. 64). Тоrда имеем
SРА 2 А з + SА 1 1'А з + SA 1 A 2 P == SРА 2 А з + SРА з А 1 + SPA 1 A 2 ==
11111
== b л с + c л 8 + 8 л Ь == b л с 8 Л С
22222
111
2 ь л 8 + 28 л 8 == 2(Ь 8) Л (с 8) == SА 1 А 2 А з ,
91
чем установлена справедливость формулы
81 + 82 + 8з == 8.
(36)
Далее, так как 8, Ь, с три вектора, лежащие в одной
плоскости, то какой либо из них выражается через два дрyrих.
Пусть, например, 8 == kb + lс. Тоrда
.
(Ь л с) 8 + (с л 8) Ь + (8 Л Ь) с ==
== (Ь л с) (kb + lс) + (с л (kb + lс)) Ь + ((kb + lс) л Ь) с ==
== k (Ь л с) Ь + 1 (Ь л с) с + k (с л Ь) Ь + 1 (с л с) Ь + k (Ь л Ь) с +
+ 1 (с л Ь) с == k (Ь л с) Ь + 1 (Ь л с) с k (Ь л с) Ь + О + О
1 (Ь л с) с == о.
Доказанное соотношение
(Ь л с) 8 + (с л 8) Ь + (8 л Ь) с == О
можно (умножив ero на 1/2) переписать в виде
8РА2Аз8 + 8РАзАlЬ + 8РАIА2С == О,
откуда
8 8 S'
РА 2 А з А 1 РА з Ь А 1 А 2 Р
8 8 + 8 + S с == о.
АIА2 А з А1А2 А з АIА2 А з
Иначе rоворя, числа (32) удовлетворяют соотношению
Jl1 8 + Jl2 b + JlзС == О
и, кроме Toro (в силу (36)), соотношению
Jl1 + Jl2 + Jlз == 1.
Но это и означает, что числа (32) являются барицентри
ческими координатами точки Р, чем
и завершается доказательство Teope
мы 12.
Пример 42. Дан параллелоrрамм
ABCD; треyrольник АВС принят в
качестве базисноrо. Определим, какие
Б координаты имеет вершина D.
Реш, е н и е. Обозначим через 8
площадь базисноrо треуrольника
АВС (рис. 65), а через 8 А, 8 в,
8с площади (ориентированные) треуrольников DBC, ADC,
ABD. Все эти треyrольники имеют численно равные площади, т. е.
181 == I 8 А 1 == 1 8 в 1== I 8с 1. При этом треуrольники DBC и ABD
ориентированы так же, как и базисный треyrольник АВС, а
треyrольник ADC ориентирован противоположно, т. е. SA ==
А
с
I
I
I
I
" ......
.".Е
",-
",""
",-
",-
",-
Рис. 65.
92
== Sc == S, SB == S. Следовательно, барицентрические координа
ты точки D равны
SA SB Sc
Jl А == S == 1, JlB == S == 1, Jlc == S == 1.
Иначе rоворя, D есть центр масс м. т. 1А, ( 1) В, 1 С; эти
результаты мы уже имели в примере 11.
Пример 43. На сторонах треуrольника АВС, как на OCHOBa
ниях, построены правильные треуrольники АВС', ВСА', САВ',
не имеющие с треyrольником Аве общих внутренних точек.
Докажем, что прямые АА', ВВ', ('(" имеют общую точку.
Реш е н и е. Пусть А 1 точка пересечения прямых АА' и
ВС (рис. 66) и аналоrичный смысл имеют обозначения В 1
8'
Рис. 66.
и С 1 . Мы найдем Б координаты точек А', В', С' (относительно
базисноrо треуrольника АВ С), а затем Б координаты точек
А 1 , В 1 , С 1; если теперь удастся зarрузить вершины Tpe
уrольника такими массами, чтобы центрами масс этих трех
м. т., взятых попарно, бьmи точки А 1 , В 1 , С 1 , то это будет
означать, что прямые АА 1 , ВВ 1 , СС 1 (т. е. прямые АА',
ВВ', СС') имеют общую точку. Для реализации этоrо плана
обозначим через а, Ь, с длины сторон треуrольника, а
через сх, , 'у ero yrлы. Тоrда Б координатами точки А'
служат числа SA/S, SB/S, Sc/S, rде SA, SB, Sc, S ориентиро
ванные площади треуrольников А'ВС, АА'С, АВА', АВС. Иначе
93
rоворя, эти Б координаты равны
а 2 113 1 аЬ . ( 60 0 ) 1 . ( А 60 0 )
48 ' 28 Sln у + , 28 ас Sln t-' + .
Следовательно (см. замечание 1, рис. 6), точка А 1 является
центром масс м. т.
2 аЬ sin (у + 60°) В, 2 ас sin ( + 60°) с.
Разделив массы "Этих м. т. на одно и то же число
.:s sin( + 60°) sin (у + 60°), мы найдем, что точка А 1 является
центром масс двух м. т.
Ь с
sin( + 600) в и sin(y + 600) с.
Аналоrично, С 1 является центром масс первых двух из м. т.
А 1
а Ь с
sin(cx + 600) А, sin( + 600) В, sin(y + 600) с,
является цетром масс первой и третьей из них. Отсюда
следует, что центр масс Z всех этих
трех м. т. принадлежит каждой из
прямых АА" ВВ 1 , сс 1 .
Пример 44. Дан плоский пя
,тиyrольник А1А2АзА4Аs (рис. 67) и
известны ориентированные площади
а1, а2, аз, а4, as треуrольников
А 2
а В 1
AsA1A2' А 1 А 2 А з , А 2 А з А 4 ,
А з А 4 А s , 'A4 A s A 1.
Вычислим площадь х Bcero пяти
уrольника.
Рис. 67. Реш е н и е. Примем /:). А1А2А4
за базисный, и пусть точка Аз имеет
относительно Hero Б координаты J.11, J.12, J.14:
Аз == J.11 A 1 + J.12 A 2 + J.14 A 4.
Аналоrично, приняв /:). A1A2As за базисный, имеем
Аз == V1 A 1 + V2 A 2 + vsAs.
Вычитая, получаем (после деления на J.14) .
А V1 J.11 А V2 J.12 А Vs А
4 1 + 2 + s,
J.14 J.14 J.14
94
откуда видно, что коэффициенты в этом соотношении яв
ляются Б координатами точки А4 относительно 6 AtA2As.
В силу определения Б координат с помощью площадей,
находим из этих соотношений
8
АI А з А 4
).12 ==
8
АIА2 А 4
8 AI A 3 A S
V2 == 8 '
AIA2As
8 АIА2 А з
Jl4 == 8 '
АIА2 А 4
V2 ).12
J.14
8 AI A 4 A S
8 '
AIA2As
и потому
8
AI A 3 A S
8
AIA2As
8
АI А з А 4
8
АIА2 А 4
8 8
AI A 4 A S АIА2 А з
8 8
AIA2As АIА2 А 4
у читывая, что
8AIA3As == Х а2 а4, 8AIA2 A S == at, 8АIАзА4 == х а2 as,
8 АIА2 А 4 == Х аз as, 8 AI A 4 A S == as, 8 АIА2 А з == а2,
(рис. 67), получаем отсюда уравнение
х а2 а4
аl
х а2 as
х аз as
as а2
== ................
аl х аз as
из KOToporo и можно найти искомую площадь х.
Заметим, что рассуждение приrодно и в случае, Kor да
мноrоyrольник АIА2АзА4Аs невыпуклый (и даже если ero
контур имеет самопересечение), но при этом необходимо
учитывать знаки площадей треyrольников (в зависимости от
их ориентации).
"ример 45. Через точку М, лежащую внутри треуrольника
АВ С, и через вершины треyrольника проведены прямые, пере
секающие противоположные стороны в точках А', В', С'.
Пусть площади треyrольников, отсекаемых прямыми В'С', С'А',
А'В' от треyrОЛБника АВС, равны соответственно р, q, r. Докажем
теорему Мёбuуса: площадь х треуrольника А'В'С' удовлетво
ряет кубическому уравнению
х з + (р + q + r) х 2 4pqr == о.
Реш е н и е. Пусть (Рl; Р2; рз} бар ентрические координа
ты точки М; 81, 82, 8 з , 8 площади треуrольников МВС,
АМС, АВ М, АВС; 81, 82, 8 з площади треyrольников
МВ' С', А'МС', А'В'М (рис. 68). Тоrда
8' + 8' + 8'. 81 1 МВ' 1.1 МС' I Р2 рз .
х== 1 2 З, 81 == IMBI.IMCI Рl+РЗ.Рl+Р2'
81 == 81 . 81 .8 == Р lР2РЗ 8
81 8 (Рl + Р2)(Рl + рз) .
95
Записав аналоrичные формулы для 82 и 8з, получим затем
из соотношения х == 81 + 82 + 8з
х == 2Р1Р2РЗ 8
(Р1 + Р2) (Р2 + Рз) (рз + Р1) .
(37)
с друrой стороны,
р 1 АС' 1.1 АВ' 1 Р2 Рз
Р == 8 . 8 == 1 АВ 1. 1 А С 1 . 8, откуда р == . . 8.
Р1 + Рз Р1 + Р2
Записав аналоrичные выражения для q и r, получаем в
силу (37)
1
pqr==4x28,8==p+q+r+x.
Из этих двух соотношений и следует, что х удовлетворяет
указанному кубическому уравнению.
в
А
с
Рис. 68.
т е о р е м а 13. Пусть точки Р, Q, R имеют относи
тельно баЗИСНО20 треУ20льника А 1 А 2 А з барицентрические KOOp
динаты (Р1; Р2; Рз), (q1; q2; qз), (r 1 ; '2; rз). ТО2да для
ориентированных площадей справедлива формула
8 PQR == ((P1q2 Р2Ч1) rз + (q1 r 2 q2 r 1) Рз +
+ (r 1 P2 r2P1) qз) 8 А t А 2 А з . (38)
Д о к а з а т ел ь с т в о. Имеем (мя любой точки О)
ОР == Р1 ОА 1 + Р2 0А 2 + рзОАз, OQ == q10A1 + q2 0A 2 + qзОАз,
откуда
fQ == (q1 Р1) ОА 1 + (q2 Р2) ОА 2 + (qз Рз) ОА з .
Полаrая здесь О == Аз, находим
PQ == (q1 Р1) А з А 1 + (q2 Р2) А з А 2 .
96
А налоrично,
PR == ('! Рt)АзА t + ('2 Р2)А з А 2 .
Поэтому для ориентированной IUIощади треуrольника PQR
получаем (учитьmая соотношение а л а == О)
1 1
SPQR == l PQ л PR == l(qt Pt)('2 Р2)А з А t Л А з А 2 +
1
+ l(q2 Р2)('! Рt)А з А 2 Л АзА t .
1 1
Так как SА.А 2 А з == АзАt л А з А 2 == -тАзА2 л АзА t , то OT
сюда находим
SPQR == ((qt Pt) ('2 Р2) (q2 Р2) ('! Pt» S А.А2Аз ==
== ((Ptq2 P2qt) + (qt'2 q2't) + ('tP2 '2Pt)) SА.А 2 А з .
Наконец, умножив первое слarаемое в скобках на число
'! + '2 +'з (равное единице), второе на Р! + Р2 + Рз, а третье
на qt + q2 + qз, получим окончательную формулу (38).
Доказанной теореме можно придать и дрyrую форму.
Множитель в правой части равенства (38) называется
определителем (или детерминантом), составленным из элемен
тов матрицы
( \,
Рз qз /)
и обозначается следующим образом:
Рl ql '1
Р2 q2 '2
Рз qз 'з
== (Ptq2 Р2qt)'з + (qt'2 . q2't) Рз + ('tP2 '2Pt) qз. (39)
Таким образом, теорема принимает следующую форму:
Т е о р е м а 13'. Пусть точки Р, Q, R имеют относительно
базисноzо треуzольника А t А 2 А з барицентрические координаты
(Pt; Р2; рз), (qt; q2; qз), ('1; '2; 'з). Тоzда
Рl ql '1
S PQR == Р2 q2 '2 S А.А2 А з.
Рз qз 'з
4 м. Б. Балк, В. r. Болтянский 97
Задачи ,
174. Трuсектрuсой yrла А треуrольника АВС назы..
вается луч, исходящий из вершины треyrольника и отсекающий от
этоrо yrла одну треть ero. Пусть Р точка пересечения тех двух
трисектрис yrлов В и С, которые прилеrают к стороне ВС. Зная
Yfлы 3сх, 3 , зу треуrольника АВС, вычислиrе Б координаты точ
ки Р.
175. Уrлы базисноrо треyrольника АВС равныI СХ, , 'У. Найдиrе
Б координаты относительно д АВС центра О описанной около Hero
окружн ости.
176. На сторонах треУI;ольника А 1 А 2 А з выбраныI такие точки
А 1 , А 2 , Аз, чrо
I А 2 А 1 1 == 1 А 2 А з l, I А з А 2 1 == I А з А 1 1, I А 1 А з l == 1 А 1 А 2 1.
234
Прямые А 1 А 1 , А 2 А 2 , АзА з оrраничивают некоторый треуrольник
PQR. Какую часть площади Bcero треyrольника АВС составляет
площадь треyrольника PQR?
177. На сторонах АВ, ВС, СА треyrольника АВС, как на OCHO
ваниях, построены подобные равнобедренные треyrольники ВА'С,
СВ'А, АС'В, не имеющие с д АВС общих внутренних точек. Имеют
ли три прямые АА', ВВ', СС' общую точку?
178. В плоскости треyrольника АВС взята точка D. Прямые
AD, BD, CD встречают противоположные стороны треyrольника
(или их продолжения) в точках А', В', С'. Известны ориентиро
ванные площади: SDBC == й, SADC == Ь, SABD == с. Докажите, что
ориентированные площади треyrольников B'C'D, А'В'С', С'В'А равны
соответственно
аЬс 2аЬс(а +Ь + с) Ьс(а + Ь + с)
(Ь + а) (с + а) , (Ь + с) (с + а) (а + Ь) , (с + а) (а' + Ь) .
179. В плоскости четырехyrольника BCDE взята точка А. ДOKa
жите, что ориентированные площади треyrольников удовлетворяют
соотношению
SABE.SACD + SACE,SADB + SADE,SABC == О.
180. Пусть а, Ь два нену левых вектора в плоскости, которые
не параллельны между собой. Докажите, чrо любой третий вектор с
в этой плоскости может быть выражен через а и Ь:
с == ха + уЬ,
причем коэффициенты х, у имеют следующие значения:
елЬ алс
x y
алЬ' алЬ'
181. Докажите, что решение системыI
{ аlХ + Ь 1 у == сl,
. а2 Х + Ь 2 у == С2
(40)
98
равносильно нахождению чисел х, у, удовлетворяющих равенству
ха + уЬ == с,
r де а, Ь, с векторы, имеющие координаты (а1; а2), (b ; Ь 2 ),
(с 1; С 2)'
182. Докажите (используя результаты двух предыдущих задач), что
если ввести обозначения
А == а1 Ь 1
а2 Ь 2
С1 'Ь 1 а1 С1
Ах == , Ау ==
С2 Ь 2 а2 С2
то при А #= О система (40) имеет единственное решение, определяемое
по формулам
Ах
х==
А'
А
у == ....2.....
А
183. Докажите, что если а, Ь, с длины сторон базисноrо Tpe
yrольника АВС, а О и R центр и радиус ero описанной окруж
ности, то Б координаты точки О имеют значения
Jl1 == ka V 4R2 а 2 , Jl2 == kb V 4R 2 Ь 2 , Jlз == kc V 4R 2 с 2
(r де число k подобрано так, что Jl1 + Jl2 + Jlз == 1). Используя формулы
4R == аЬс, 82 == р (р а) (р Ь) (р с), rде р полупериметр, выведите
отсюда, что
а 2 ( a2 + Ь 2 + с 2 )
Jl1 == 2(а2Ь2 + Ь2с2 + с2а2) а4 Ь4 с 4 '
Ь 2 (а 2 Ь 2 + с 2 )
Jl2
2 (а 2 Ь 2 + Ь 2 с 2 + с 2 а 2 ) а 4 Ь 4 с 4 '
с 2 (а 2 + Ь 2 с 2 )
Jlз == .
2(а 2 Ь 2 + Ь 2 с 2 + с 2 а 2 ) а 4 Ь 4 с 4
184. Вершины А, В, С треуrольника АВС и точка Р, лежащая в
ero плоскости, имеют декартовы координаты (а; а), (Ь; Ь), (с; с'),
(х; у). Докажите, что барицентрические координаты Jl1, Jl2, Jlз точки Р
относительно базисноrо треyrольника АВС удовлетворяют COOT
ношениям
x b y b'
x c
у с'
у а'
x a y a'
x b y b'
Jl1 : Jl2 : Jlз ==
x c
,
y c
x a
185. Докажите, что при условиях теоремы 13 площадь Tpe
yrольника PQR можно также вычислить по формуле
Р1 Р2 1
8 PQR == q1 q2 1 8
AIA2 A 3.
'1 '2 1
4* 99
13. Уравнения линий в барицентрических
координатах
в этом парarрафе мы рассмотрим вопрос о
задании прямых и окружностей в виде уравнений в барицентри
ческих координатах. Однако прежде обсудим возможность
замены базисноrо треyrольника.
Пусть известны Б координаты (х; у; z) некоторой точки М
(рис. 69) относительно данноrо базисноrо треуrольника PQR
который назовем «crарым». Пусть, далее, АВС друrой,
«новый» базисный треyrольник, и нам извеcrны Б координаты
11
..............
1"\,,
I ,\ \'
I , \ ,
I , \ \ ,
I \ \ ,
1 \'
l' ' <v1 C "
I А \ ,
I , "
в "
'"
я
Рис. 69.
«crарых» вершин Р, Q, R относительно HOBoro базисноrо
треуrольника (Рl; Р2; Рз), (ql; q2; qз), (rl; r2; rз). Как найти
Б координаты (х'; у'; z') точки М относительно HOBoro базисноrо
треуrольника?
Решение этой задачи леrко записать в сокращенных обозна
чениях:
м == хР + yQ + zR == х(РI А + Р2 В + РзС) + y(ql A + q2B +
+ qз С ) + z (rlA + r2 B + rзС) == (РI Х + qlY + rlz) А +
+ (Р2 Х + q2Y + r2 z ) В + (рз х + qзу + rз z ) С.
Таким образом,
х' == РI Х + Q1Y + rl Z ' у' == Р2 Х + Q2Y + r2 z ,
z' == рзх + qзу + rз z . (41)
Обратим внимание на общий вид этих формул: «новые»
барицентрические координаты (х'; у'; z') точки М выражаются
через ее «старые» координаты посредcrвом линейных oдHopoд
ных МНО20членов (т. е. мноrочленов первой crепени без свобод
ных членов).
100
Пример 46. В треyrольнике АВС отмечены середины сторон
Р, Q, R. Относительно треyrольника PQR \ точка М имеет
Б координаты ( ; ; ). Определим, какие Б координаты
имеет точка М относительно АВС.
Реш е н и е. «Новые» Б координаты (т. е. координаты
относительно 6. АВС) вершин Р, Q, R, очевидно, таковы:
р (о; ; ). Q ( ; о; ). R ( ; ; о ). «Старые» Б координаты
точки М известны: М ( ; ; ). По формулам (41) получим:
, 1 11 11 1 11 1 11
х ==0.2+2'3+2'6==4; У'==2.2+ 0 .3+2.6==
== . z' == . + . + о. == Итак «новые» Б коо р
3 ' 2 2 2 3 6 12 . ,
динаты точки М таковы: ( ; ; 1 ).
При мер 47. Докажем, что если к окружности, вписанной в
6. АВС, проведена касатёльная, пересекающая стороны СА
и СВ треуrольника в точках А 1 и В 1 , то длины V и u отрезков
СА 1 И СВ 1 связаны с длинами а, Ь, с сторон треуrольника
зависимостью
(а + Ь + с) uv 2аЬ (и + v) + аЬ (а + Ь с) == о.
Реш е н и е. Пусть Р и Q точки касания сторон СА и СВ с
вписанной окружностью; (Х, , у, б длины отрезков касатель
ных, проведенных к окружности из точек А, В, B , А 1 (рис. 70).
с
А
а
ft
в
Рис. 70.
Примем 6. А 1 В 1 С за базисный. Тоrда (см. пример 35) центр М
окружности имеет Б координаты (ku; kv; k(y + б», rде k ==
101
1
s;: . Леrко указать Б координаты точек А 1 , В 1 , С
u+v y u
относительно АВС:
А 1 ( ; о; (х ). Вl (о; : ; 13: У ). с (о; о; 1).
Поэтому (см. формулы (41)) точка М имеет относительно
АВС такие Б координаты:
kuv kuv
Х == Ь' у == а' z == 1 Х у.
С дрyrой стороны, точка М центр Kpyra, вписанноrо в
ABC, имеer относительно АВС такие Б координаты:
1
М (la; lb; lc), rде 1 == Ь . Сравнивая первые Б координаты,
а+ +с
kuv
получаем Ь == la, т. е.
(а + Ь + с) uv == (и + v у 3) аЬ.
Замerив, что
у + 3 == (Ь v Cl) + (а и ) == а + Ь (и + v) с ==
== (а + Ь с) (и + v),
приходим К требуемому равенству.
Теорема 14. Пусть задан базисный треУ20льник А 1 А 2 А з .
Любая прямая, лежащая в плоскости этО20 треУ20льника,
задается в барицентрических координатах однородным ypaвHe
нием первой степени
aJ.11 + bJ.12 + сJ.1з == о,
(42)
в котором не все коэффициенты а, Ь, с равны между собой. Об
ратно, любое уравнение (42), в котором не все коэффициенты равны
между собой, определяет некоторую прямую.
Прежде чем доказывать эту теорему, поясним, почему все
коэффициенты а, Ь, с не Moryт быть равны между собой. В самом
деле, допустим, что а == Ь == с, т. е. мы имеем уравнение
aJ.11 + aJ.12 + аJ.1з == о.
(43)
При а =1= О это означает, что J.11 + J.12 + J.1з == о, и ни одна точка
этому уравнению не удовлетворяет _ (так как должно быть
J.11 + J.12 + J.1з == 1). Если же а == о, то любая точка плоскости
удовлerворяет уравнению (43). Таким образом, уравнение (43)
(т. е. уравнение (42) при а == Ь == с) определяет либо пустое MHO
жество, либо всю плоскость.
102
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть 1 HeKO
торая прямая в плоскости треyrольника А 1 А 2 А з . Возьмем две
точки А, В, лежащие на этой прямой, и точку С, не лежащую на
ней. Относительно базисноrо треyrольника АВС можно pac
смотреть «новые» барицентрические координаты Jll, Jl2, Jlз, и в
этих координатах прямая 1 (содержащая сторону АВ «HOBoro»
базисноrо треyrольника АВС) описьmается уравнениеМJlз == О
(см. задачу 152, а). Но в силу формул (41) уравнение Jlз == О записы
вается в «старых» барицентрических координатах в виде
РзJll + qзJl2 + 'зJlз == о,
т. е. уравнением вида (42). При этом коэффициенты Рз, qз, 'з
не все равны между собой (см. задачу 170).
Обратно, пусть задано уравнение (42), в котором не все
коэффициентьi а, Ь, с равны между собой; пусть, скажем, а i= Ь.
Нам нужно найти множество всех точек, барицентрические
координаты которых удовлетворяют уравнению (42). Как мы
знаем, барицентрические координаты любой точки у довлет
воряют соотношению
Jll + Jl2 + Jlз == 1.
(44)
Вычитая из этоrо соотношения, умноженноrо на а, равенство
(42), получаем
(а Ь) Jl2 + (а с) Jlз == а.
Теперь нетрудно отыскать точки, барицентрические коорди
наты которых удовлетворяют обоим соотношениям (42), (44).
а
Например, при Jlз == О получаем Jl2 == Ь и находим точку
a
( b а ) с
А Ь ; Ь ; О , а при Jlз == 1 получаем Jl2 == Ь и Haxo
a a a
ДИМ точку В ( а Cb ; а Ь ; 1). В силу ранее доказанноrо cy
ществуют такие числа а', Ь', с', не все равные между собой, что
прямая АВ ОJIисывается уравнением
a'Jll + b'Jl2 + С'Jlз == о. (45)
В частности, этому уравнению удовлетворяют точки А и В,
откуда получаем
a'b + Ь'а == о, a'c +сЬ'с + с' (а Ь) == о. (46)
Так как а i= Ь, то хотя бы одно из чисел а, Ь отлично от нуля;
пусть, скажем, а i= о. Тоrда существует такое число k, что а' == ka,
и из первоrо уравнения (46) получаем kab + Ь'а == о, отку.ца
103
(учитьmая, что а ;f= О) Ь' == kb. Наконец, подставив эти значения
а' и Ь' во второе уравнение (46), получаем kac + kbc + с' (а
Ь) == О, откуда (учитывая, что а Ь ;f= О) с' == kc. Итак, а' ==
== ka, Ь' == kb, с' == kc; при этом k ;f= О (иначе числа а', Ь', с' были
бы равны между собой). Но тоrда ясно, что уравнение (45) (т. е.
уравнение прямой АВ) получается из (42) домножением на отлич
ный от нуля множитель, и потому (42) также является ypaвHe
нием прямой АВ.
3 а м е ч а н и е. Коэффициентам а, Ь, с в уравнении прямой
(42) можно придать нarлядный rеомerрический смысл. Опустим
из вершин координатноrо треyrольника А 1 А 2 А з (рис. 71) пер
пендикуляры на прямую 1, заданную уравнением (42), и пусть
А"
Рис. 71.
А 1 , А 2 , Аз основания этих перпендикуляров. Допустим, что
прямая 1 не проходит через вершины треуrольника А 1 А 2 А з и не
параллельна А 1 А 2 , т. е. пересекает прямую А lА2 внекоторой
точке Р, пусть (Хо; Уо; О) ее Б координаты. Тоrда Р центр
масс м. т. хоАl И у о А 2 , И поэтому
........... у о Р А 1
хоР А 1 + уоР А 2 == U, т. е. == ........... .
Хо РА 2
Далее, в силу rомотетичности треуrольников РА 1 А 1 и РА 2 А 2
имеем
...........
РА 1
...........
РА 2
...........
А 1 А 1
........... .
А 2 А 2
Наконец, так как точка Р (Хо; Уо; О) лежит на прямой 1, то
а Уо
ахо + ЬУо == О, т. е. b == .
хо
И · v
З написанных соотношении следует
А 1 А 1
Ь A 2.
104
Леrко проверить, что это соотношение верно и тоrда, коrда
прямая 1 параллельна (А 1 А 2 ) или проходит через какую либо
вершину А 1 А 2 А з . Аналоrичным рассуждением убедимся,
что
ь
А 2 А 2
,
АзА)
с
и, следовательно,
............... ............... ...............
а: Ь: с == А 1 А 1 : А 2 А 2 : АзА).
Мы пришли к этому соотношению в предположении, что
прямые А 1 А 1 , А 2 А 2 , АзА) пер п е н Д и к у л я р н ы прямой 1,
но леrко убедиться, что оно верно и тоrда, Korдa параллельные
прямые А 1 А 1 , А 2 А 2 , АзА) пересекают прямую 1 под произволь
ным yrлом <р.
Пример 48. Докажем т е о р е м у r а у с с а: если пpoтивo
положные стороны четыреХУ20льника при продолжении попарно
пересекаются, то середина отрезка, соединяюще20 точки пepe
сечения продолженных противоположных сторон, лежит на
одной прямой с серединами диа20налeU четыреХУ20льника.
Реш е н и е. Пусть S и Т середины диаrоналей PQ и СМ
четырехyrольника CPMQ и F середина отрезка АВ (см.
обозначения на рис. 72). Обозначим через (тl; т2; тз) барицентри
с
Рис. 72.
ческие координаты точки М относительно базисноrо треyrоль
ника AlJC. Тоrда (используя результат примера 33) имеем сле
дующие .Б координаты точек:
А (1; о; о), в (о; 1; о), с (о; о; 1), F ( ; ; о ).
( тl т2 тз + 1 )
М(тl;т2;тз), Т 2; ; 2 '
Р (О . т2 . тз ) Q ( тl . О. тз )
, , , , , ,
т2 + тз т2 + тз тl + тз тl + тз
105
S ( тl . т2 . тз (1 + тз) )
2(тl + тз)' 2(т2 + тз)' 2(тl + тз)(т2 + тз) .
Пусть уравнение прямой FT имеет вид а)..11 + Ь)..12 + С)..1з == о.
Так как точки F и Т лежат на этой прямой, то имеем
а + Ь == О тl + т2 Ь + тз + 1 О
2 2 ' 2 а 2 2 c ,
откуда Ь ::::: а, (тз + 1) с == (т2 тl) а. Мы можем считать, что
а == тз + 1, Ь == (тз + 1), с == т2 тl (так как коэффициеlПЫ
уравнения прямой определены лИlIIЬ с точностью до общеrо MHO
жителя), т. е. уравнение прямой FT имеет вид
(тз + 1) ()..11 )..12) + (т2 тl))..1з == о.
Непосредственно проверяется, что при подстановке BMecro
)..11, )..12, )..1з координат точки S это соотношение выполняется, т. е.
Se(FT).
Пример 49. Дадим новое доказательcrво теоремы Менелая
(см. 8), использующее барицеlПрические координаты.
Реш е н и е. Введем обозначения (см. рис. 26) АС 1 : С lВ == (Х,
ВА 1 : А 1 С == , СВ 1 : В 1 А == 1; лerко видеть, что каждое из чисел
(х, , 1 отлично от 1 и точки А 1 , В 1 , С 1 имеют Б координаты
(о; f3 1 ; f3 1 ). ( у 11 ; о; у 1 ). ( rt 1 ; rt: 1 ; О). Выяс-
ним, существует ли уравнение а)..11 + Ь)..12 + С)..1з == о, которому
удовлетворяют указанные три тройки чиreл. Иначе rоворя, будем
искать числа а, Ь, с, из условий
1
а . О + Ь. + 1 + с. + 1 == о,
а . 1 + Ь . О + с . 1 == о,
1 + 1 у + 1,
1 ct
а . + Ь . + с . О == о.
(Х+1 (Х+1
Полarая с == 1, находим из первоrо уравнения Ь == , а из
TpeTbero а == (X . Второе уравнение также выполняется в силу
условия Менелая: (X 1 == 1. Итак, все три точки А 1 , В 1 , С 1
лежат на одной прямой, имеющей уравнение (X )..11 J.12 +
+ )..1з == О (здесь не все коэффициеlПЫ равны между собой, так как
т!= 1).
С помощью барицентрических координат можно записы
вать уравнение не только прямых, но и дрyrих линий. Следую
щая теорема описывает уравнение окружности.
106
Т е о р е м а 15. Пусть аl, а2, аз длины сторон базиСНО20
треУ20льника А 1 А 2 А з , и пусть Q точка С барицентрическими
координатами (ql; q2; qз), а , положительное число. Окруж
ность r, имеющая центр Q и радиус " описывается в барuцентри
ческих координатах уравнением
a (J.12 q2) (J.1з qз) + a (J.11 ql) (J.1з qз) +
+ a (J.11 ql) (J.12 q2) + ,2 == о, (47)
т. е. точка С барицентрическими координатами J.11, J.12, J.1з в том
и ТnOЛЬКО в том случае принадлежит окружности r, если cnpa
........
ведливо равенство (47).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Точка Р (J.11; J.12; J.1з) в том и только в
том случае принадлежит окружноcrи r, если справедливо
paвeHcrBo 1 PQ 1 ==', т. е. 1 PQ 12 + r == о. Учитьmая COOTHO
шение (31), мы и получаем написанное выше ураВнение
окружности.
"ример 50. Напишем барицентрическое уравнение окруж
ноcrи, описанной около базисноrо треyrольника А 1 А 2 А з .
Реш е н и е. Мы должны коэффициенты ql, q2, qз, , В ypaв
нении (47) подобрать таким образом, чтобы окружность про
ходила через вершиныI треyrольника, т. е. точки А 1 (1; о; о),
А 2 (о; 1; о), Аз (о; о; 1). Подcrавив вместо J.tl, J.12, J.1з координатыI
точек А 1 , А 2 , Аз, получаем
а qз + a q2 == D, а qз + a ql == D, a q2 + a ql == D,
rде D == а q2qз + а qlqз + a qlq2 + ,2.
Уравнение (47) после раскрытия скобок переписывается в
виде
2 2 2 D ( 2 2 )
аlJ.12J.1з + а2J.11J.1з + азJ.11J.12 + J.11 а2qз + азq2
J.12 (а qз + a ql) J.1з (a q2 + a ql) == о,
т. е. в виде
а J.12J.1з + а J.11J.1з + a J.11J.12 + D J.11 D J.12 D J.1з D == о.
Учитьmая, что J.11 + J.12 + J.1:1 == 1, получаем уравнение описанной
окружности в окончательном вцде:
2 2 2 О
аlJ.12J.1з + а2J.11J.1з + азJ.11J.12 == .
(48)
Можно предложить и друrое решение этоrо примера, ис
пользующее понятие момента инерции. Пусть взята точка Р (J.11 ;
J.12; J.1з). По формуле Лarранжа имеем (поскольку Р центр масс
м. т. J.11 A l, J.12 A 2, зАз)
J Q == J р + (J.11 + J.12 + J.1з) 1 PQ 12 == J р + 1 PQ 12.
107
Так как, по определению,
J Q == Jll 1 QA 1 12 + Jl2 IQA 2 1 2 + Jlз 1 QА з 12 ==
== JlI R2 + Jl2 R2 + Jlз R2 == R 2 ,
то J p == J Q 1 PQ 12 == R 2 1 PQ 12. Ясно, что точка Р в том и
только в том случае принадлежит окружности r, если 1 PQ 1 ==
== R, т. е. J р == о. По формуле Якоби имеем
222
J Jl2Jlз а l + JlIJlз а 2 + JlIJl2 а з 2 2 2
Р == Jl2Jlз а l + JlIJlз а 2 + JlIJl2 а з.
Jll + Jl2 + Jlз
Поэтому соотношение J р == о принимает вид (48).
Задачи
186. Точки Х О, У О , Zo имеют относительно координат
Horo треуrольника PQR такие Б координаты:
(1,3; 0,4;0,1), ( 1,7;2,8; 0,1), ( 0,7;0,1; 1,6).
Вычислите Б координаты центроида треyrольника PQR относительно
t::. Х о YoZo.
187. Т очка М имеет относительно t::. АВС барицентрические коорди
наты J..11, J..12, J..1з. Каковы ее Б координаты относительно треyrольника,
вершинами KOToporo служат середины сторон треyrольника АВС?
188. Точка Q имеет относительно t::. АВС барицентрические KOOp
динаты а.l, а.2, а.з. Прямые AQ, BQ, CQ встречают противоположные
стороны (или их продолжения) в точках А 1 , В 1 , С 1 . Зная Б коорди
наты J..11 J..12, J..1з точки М относительно t::. АВС, найдите ее Б коорди
наты относительно t::. А 1 В 1 С 1.
189. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные
точки Р и Q, имеющие Б..координаты (Xl;Yl;ZI) и (X2;Y2;Z2)'
190. При каком условии три ТОЧКИ с Б кооi>динатами (хl; Уl; ZI)'
(Х2; У2; Z2)' (хз; Уз; Zз) лежат на одной прямой?
191. Имеется уравнение прямой ах + Ьу + cz О в Б координа
тах относительно t::. АВС. Каково будет уравнение той же прямой
в системе координат с осями СА и СВ (если за единицы длины по ЭТИМ
осям принимаются отрезки СА и СВ)?
192. При каком условии две прямые, заданные в барицентрических
координатах уравнениями ах + Ьу + cz О и а'х + Ь'у + c'z О, парал
лельны?
193. Прямая [ проходит через точки с Б координатами (х 1; Уl; z 1)
и (Х2; У2; Z2)' а прямая [' через точки (хl; Уl; Zl) и (Х2; У2; z'2)' Сфор
мулируйте условие параллельности этих прямых.
194. Прямая [ имеет относительно координатноrо треуrольника
АВС уравнение
2x + 5у 3z О.
Какая из вершин А, В, С ближе, чем остальные, к прямой [? Ле
жат ли вершины В и С по одну и ту же сторону или по разные стороны от
прямой 1?
108
195. Известны Б координаты вершин А, В, С «HOBoro» базисноrо
треуrольника относительно «cтaporo» базисноrо треуrольника PQR:
А ( СХ 1; СХ2; схз); В (Рl; Р2; Рз), С ('У 1 ; 'У2; 'Уз).
Докажите, чrо если точка М относительно «craporo» базисноrо
треуrольника PQR имеет Б координаты (хс; Ус; zc), то Б координаты
точки М относительно «HoBoro» базисноrо треуrольника АВС опре
деляются по формулам
L\1
Х ==
н L\'
L\2
Ун == ,
L\
L\з
z
н L\ '
rде
L\1==
хС УС ZC
Рl Р2 Рз ,
'Уl 'У2 'Уз
СХl СХ2 СХЗ
Рl Р2 Рз ,
L\2 ==
СХl СХ2 СХЗ
ХС УС ZC
'Уl 'У2 'Уз
СХl СХ2 СХЗ
Рl Р2 Рз
L\з ==
L\==
хС УС ZC 'Уl 'У2 'Уз
196. В треуrольнике АВС через вершину В проведена прямая ВВ 1
(В 1 Е [АС]), которая отсекает от стороны АС одну треть, считая от
вершины С. Через вершину А проведены две прямыIe АА 1 и АА 2 , KOTO
рые делят crOpOHY ВС на три равные части. Зная площадь треyrоль
ника АВС, вычислите площадь четырехyrольника, оrраниченноrо
прямыми АА 1 , АА 2 , ВВ 1 , ВС.
197. Через вершину В треyrольника АВС проведены две прямые
ВВ 1 и ВВ 2 , отсекающие от crOpOHbI АС по одной пятой (COOТBeTCТ
венно считая от вершин А и С). Через вершину С тоже проведены две пря
мые СС 1 и СС 2 ; они отсекают от стороны АВ по одной четверти, считая
от вершин А и В соответственно. Зная площадь треyrольника АВС,
вычислите площадь четырехуrольника, оrраниченноrо прямыми ВВ 1 ,
ВВ 2 , СС 1 , СС 2 .
198. Внyrри треyrольника АВС, имеющеrо площадь 1, взята He
которая точка D. Через М 1, М 2, М зобозначены центроидыI Tpe
уrольников DBC, DCA, DAB. Вычислите площадь треуrольника
М 1 М 2 М З .
199. Докажите, что точка Р (J..I.I; J..I.2; J..I.з) в том и только в том слу
чае принадлежит окружности r, описанной около базисноrо треyrоль
ника А 1 А 2 А з , если выполнено соотношение
J..I.l 1 Р А 1 12 + J..I.21 Р А 2 1 2 + J..I.зl Р А з l 2 == о.
200. Дан выпуклый четырехyrольник ABCD с ДJIинами сторон
1 АВ 1 == а, IlJC 1 == ь, 1 CD 1 == с, 1 DA 1 == d. Докажите, что около четырех
Yfольника ABCD в том и только в том случае можно описать OK
ружноcrь, если выполняется следующее равенство (условие Пто
лемея) :
1 А С 1 . 1 В D 1 == ас + bd.
109
201. Докажите, что окружность, вписанная в базисный треyrоль
ник АВС, описывается уравнением
а 2 (P 2 ) (P 3 ) + Ь 2 (P l ; ) (P 3 ) +
+ с 2 (P l ) (P 2 ) + S2 О,
rде р полупериметр треyrольника АВС, а S ero площадь.
14. Барицентрические координаты
в пространстве
Выберем в пространстве некоторый тетраэдр
А 1 А 2 А з А 4 , который в дальнейшем будем называть базисным
(или координатным). При любой зarрузке четырех вершин \
тетраэдра действительными массами тl, т2, тз, т4 с ненуле
вой суммой однозначно определена в пространстве точка, являю
щаяся центром масс этих м. т., И наоборот, ДJIЯ любой точки М
возможно подобрать ДJIЯ вершин тетраэдра такие действитель
ные (не обязательно положительные) массы J.11, J.12, J.1з, J.14 С
суммой 1, чтобы центром этих масс оказалась точка М. Это
доказывается так же, как и на плоскости (теорема 11). Такие
числа J.11, J.12, J.1з, J.14 И будем называть барицентрическими oop
динатами (короче: Б координатами) точки М.
Подобно тому как барицентрические координаты OTHO
сительно треуrольника Moryт быть выражены чер ориенти
рованные площади некоторых треyrольников, так и в прост
ранстве барицентрические координаты точки М относительно
тетраэдра А 1 А 2 А з А 4 Moryт быть выражены через некоторые
объемы. Пусть сначала точка М лежит внутри базисноrо
тетраэдра А 1 А 2 А з А 4 . Обозначим через v объем этоrо тетраэдра,
а через Vl, V2, Vз, V4 объемы тетраэдров МА 2 А з А 4 , А 1 МА з А 4 ,
А 1 А 2 МА 4 , А 1 А 2 А з М. Тоrда, как будет доказано ниже, Б коорди
натами точки Р будут числа
Vl
J.11 == ,
V
V2
J.12 == ,
V
Vз
J.1з == ,
V
V4
J.14 == .
V
(49)
Если же М про и з в о л ь н а я точка пространства (не
обязательно лежащая внутри базисноrо тетраэдра А 1 А 2 А з А 4 ), то
формулы (49) останутся справеДJIИВЫМИ, если под V, Vl, V2, Vз, V4
понимать ориентированные объемы соответствующих тетраэд
ров, т. е. их объемы, взятые с некоторыми знаками. Это в.
данном случае можно пояснить так. Ориентированный объем V
базисноrо тетраэдра условимся считать положительным; ориен
тированный объем Vl тетраэдра МА 2 А з А 4 будем считать по
110
ложительным, если тетраэдр М А 2 А з А 4 расположен по ту же
сторону от плоскости А 2 А з А 4 , что И базисный тетраэдр А 1 А 2 А з А 4 ,
и отрицательным, если тетраэдр М А 2 А з А 4 и базисный тетраэдр
расположены по разные стороны от плоскости А 2 А з А 4 . AHa
- лоrично определяются ориентированные объемы V2, Vз, V4 TeT
раэдров А 1 МА з А 4 , А 1 А 2 МА 4 , А 1 А 2 А з М.
Доказательство формул (49) удобно провести с помощью
понятия внешнеrо (или смешанноrо) произведения трех векторов
в пространстве. Пусть 8, Ь, с три вектора в пространстве,
заданные своими координатами в некоторой прямоyrольной
системе:
8 (а1; а2; аз), Ь'(Ь 1 ; Ь 2 ; Ь з ), с (С1; С2; сз).
Определитель, составленный из координат этих векторов, Ha
зовем внешним произведением рассматриваемых векторов и
обозначим ero через 8 л Ь л с:
аl Ь 1 Сl
а л Ь л с == а2 Ь 2 С2 .
аз Ь з сз
Из свойств определителей непосредственно вытекает, что
справеДJIИВЫ следующие равенства (которые можно назвать
а к с и о м а м и внешнеrо произведения трех векторов):
1) (81 + 82) л Ь л с == 81 Л Ь л с + 82 л Ь л с;
2) (k8) Л Ь л с == k (8 Л Ь л с);
8ЛЬЛС==ЬЛСЛ8==СЛ8ЛЬ== 8ЛСЛЬ==
== c л Ь л 8 == ь л 8 Л С
(в частности, при перестановке любых двух векторов внешнее
произведение меняет знак);
4) е 1 л е 2 л е з == 1, r де е 1 , e2 е з единичные векторы,
имеющие направление осей рассматриваемой прямоyrольной
системы.
Из первых трех свойств вытекает, что свойства, аналоrичные
1) и 2), справедливы по отношению не только к первому сомножи
телю, но и к остальным; например,
8 л (Ь 1 + Ь 2 ) л с == 8 Л Ь 1 Л С + 8 л Ь 2 Л с.
Далее, если два сомножителя совпадают, то внешнее произве
дение равно нулю; например, 8 л Ь л Ь == о.
Оказывается, что в пространстве справедлива формула,
аналоrичная (35). Именно, будем rоворить, что тройка Beктo
ров 8, Ь, с ориеlПирована положительно (или т а к ж е, как
тройка е 1 , е 2 , е з ), если 8 л Ь л с > о, и отрицательно (т. е. про
тивоположно тройке е 1 , е 2 , е з ), если 8 л Ь л с < о. (В практических
применениях, например, в физике одинаковую или противо..
111
положную ориентацию двух троек векторов определяют с
помощью правила правой руки или с помощью правила бурав
чика.) Если теперь Р параллелепипед, поcrроенный на тройке
векторов 8, Ь, с (рис. 73), то мы условимся
брать ero объем со знаком плюс, если
тройка 8, Ь, с ориентирована положительно,
и со знаком минус, если эта тройка ориен
тирована отрицательно; это и дает opиeFl
тированный объем рассматриваемоrо па
раллелепипеда. Теперь формула, анало
rичная (35), может быть записана в виде
v == 8 Л Ь л с, (50)
Рис. 73. r де v ориентированный объем паралле
лепипеда, поcrроенноrо на тройке векторов
8, Ь, с. Доказательcrво этой формулы намечено в задачах
209 212.
Пуcrь теперь ABCD произвольный тетраэдр, вершины
KOToporo заданы именно в этом порядке: А, В, С, D. Объем
этоrо тетраэдра равен 1/6 1 V 1, r де v объем параллелепипеда,
построенноrо на векторах АВ, АС, AD (рис. 74). Действительно,
объем этоrо тетраэдра равен 1/ з8h, rде 8 площадь треуrольника
АВС и h соответствующая высота, а объем параллелепипеда
.D
А
1
,
,
I ,
I 1
I 1
1111
,(
//', "
/ ,
/ ,
/ ,
8 А
8
Рис. 74.
равен (28) h, поскольку У этоrо параллелепипеда та же высота, а
основание имеет вдвое большую площадь. Таким образом, объем
1 .............. .............. ..............
тетраэдра равен 61 АВ л АС л AD 1. Будем назьmать число
1.............. ..............
6 АВ л АС л AD
ориентированным объемом тетраэдра AВCD и условимся обозна
чать ero через V ABCD.
112
Заметим, что при перестановке любых двух верllJИН ориен
тированный объем тетраэдра меняет знак; например, V ABCD ==
== VBACD. В самом деле,
............. .......................... ............. ............. ............. ............. .............
V ACD == ВА л ВС л BD == АВ л (АС АВ) л (AD АВ);
раскрывая скобки и учитывая, что внешнее произведение с двумя
одинаковыми сомножителями равно нулю, получаем
............. ............. .............
VBACD == АВ л АС л AD == VABCD.
Теперь доказательство формул (49) завершается примерно
так Же, как и в плоском случае. Пусть ABCD базисный тетраэдр
и М произвольная точка пространства. Обозначим векторы
............. ............. ............. ............. .
МА, МВ, МС, MD через а, Ь, С, d. Тоrда для ориеlПированных
объемов справедливы соотношения
VMBCD + VAMCD + VABMD + VABCM ==
== VMBCD VMACD + VMABD VMABC ==
111 1
== Ь л С л d а л С л d + а л Ь л d a л Ь л С.
6 6 6 6 '
1 1
VABCD == б-АВ л АС л AD == (Ь а) л (С Jl) л (d а).
Раскрывая скобки в последнем выражении, убеждаемся, что
правые части в обоих равенствах совпадают, т. е.
VABCD == VMBCD + VAMCD + VABMD + VABCM. (51)
Это равенство аналоrично соотношению (36) для ориеlПирован
ных -площадей.
Далее, так как а, Ь, С, d четыре вектора пространства, то
какой либо из них выражается через три дрyrих. Пусть, например,
а == kb + [С + md. Тоrда
(Ь л С л d) а (а л С л d) Ь + (а л Ь л d) С (а л Ь л С) d ==
== (Ь л С л d) (kb + [С + md) ((kb + [С + md) л С л d) Ь +
+ ((kb + lc + md) Л.Ь л d) С ((kb + [С + md) л Ь л С) d.
Раскрывая скобки в правой части, получаем о. Доказанное таким
образом соотношение
(Ь л С л d) а (а л С л d) Ь + (а л Ь л d) С (а л Ь л С) d == О
можно ( ножив ero на 6 1 ) переписать в виде
VABCD
VMBCD а + VAMC D Ь + VABMD С + VABCM d == о.
VABCD VABCD VABCD VABCD
113
Иначе rоворя, числа (49) удовлетворяют соотношению
Jl1 8 + Jl2 b + Jlз С + Jl4d == О
и, кроме Toro (в силу доказанноrо равенства (51)), соотношению
Jll + Jl2 + Jlз + Jl4 == 1.
Но это и означает, что числа (49) являются барицентри
ческими координатами точки М.
"ример 51. Найдем барицентрические координаты центра О
шара, вписанноrо в базисный тетраэдр АIА2АзА4.
Реш е н и е. Пусть r радиус вписанноrо шара; 51, 52, 5з,
54 площади rраней, противолежащих вершинам А l , А 2 ,
А з , А4' Точка О лежит, очевидно, внутри базисноrо тетраэдра.
Объемы Vl, V2, V3, V4, V тетраэдров ОА I А з А 4 , А I ОА з А 4 , А I А 2 ОА 4 ,
А I А 2 А з О, АIА2АзА4 имеют следующие значения:
Vl == l/ з51r , V2 == l/ з52r , V3 == 1/353r, V4 == 1/354r, V == l/ зsr
(5 полная поверхность тетраэдра). Теперь барицентрические
координаты точки О находим по формулам (49)
О ( . . . 54_ )
, , , .
5 5 5 5
В заключение этоrо парarрафа заметим, что, пользуясь фор
мулой Лarранжа, можно, рассуждая аналоrично тому, как это
бьто сделано 'в плоском случае (см. (31)), получить формулы для
расстояния между двумя точками Р и Q в пространстве, если
известны их Б координаты (Рl; Р2; Р3; Р4) и (ql; q2; qз; q4):
1 PQ 12 == L (Pi qд (Pj qj) 1 AiAj 12. (52)
1 i<j 4
"ример 52. Известны длины всех ребер тетраэдра АIА2АзА4;
вычислим длину отрезка, соединяющerо вершину А4 с
ценrроидом треyrольника АIА2 А з.
Реш е н и е. Примем АIА2АзА4 за базисный тетраэдр. В дaH
( 1 1 1 )
ном случае Р == А4 (о; о; о; 1), Q == А4 3; 3; 3; о . По формуле
(52) находим (после очевидных упрощений)
I А4 А 412 == (3 (1 А4 А l 12 + I А4 А 212 + 1 А4 А з12)
(1 А I А 2 1 2 + 1 АI А з 12 + 1 А 2 А з I 2 )).
Эту формулу можно было бы также получить, разместив в ТОЧ
ках А l , А 2 , Аз массы 1, 1, 1 и применяя формулы Лarранжа и
Якоби:
J A == J A ' + 31 А4 А 412, J А' == 1/3 (1 А I А 2 1 2 + 1 А I А з 1 2 + 1 А 2 А з I 2 ).
444
114
Задачи
202. Какие барицентрические координаты имеет центр
шара, касающеrося rрани А 2 А з А 4 базисноrо тетраэдра А 1 А 2 А з А 4 и
продолжений трех остальных ero rраней?
203. В треуrольной пирамиде DABC три ребра DA, DB, DC взаимно
перпендикулярны и имеют длины а, Ь, с; точка Н основание перпен
дикуляра, опущенноrо из вершины D на rpaHb АВС, S центр шара,
описанноrо около пирамиды. Вычислите Б координаты точек Н и S.
204. В тетраэдре DABC три ребра, сходящиеся в вершине D, взаимно
перпендикулярны. Лежит ли центр шара, описанноrо BOKpyr тетраэдра,
в плоскости rрани АВС?
205. Докажите, что если в тетраэдре DABC три ребра, сходящиеся
в вершине D, взаимно перпендикулярны, то вершина D, точка пере
сечения медиан rрани АВС и центр шара, описанноrо около тетраэдра,
лежат на одной прямой.
206. Пусть а, Ь, с три ненулевых вектора, не параллельных одной
плоскости. Докажите, что любой четвертый вектор d пространства
может быть выражен через а, Ь и с:
d == ха + уЬ + zc,
причем коэффициенты х, у, z имеют следующие значения:
dлЬлс алЬлс алЬлd
х== , у== , z==
алЬлс алЬлс алЬлс
207. Докажите, что решение сиcrемы
{ аlХ + Ь;у + CI Z == d 1 ,
а2 Х + Ь 2 у + C2 Z == d 2 ,
аз х + Ьзу + сз z ==d з
(53)
равносильно нахождению чисел х, у, Z, удовлетворяющих равенству
ха + уЬ + zc == d,
rде а, Ь, с, d векторы, имеющие координаты (аl; а2; аз), (Ь 1 ; Ь 2 ; Ь з ),
(Сl; С2; Сз), (d 1 ; d 2 ; d з ).
208. Докажите (используя результаты двух предыдущих задач),
что если ввеcrи обозначения
аl Ь 1 Сl d 1 Ь 1 Сl аl d 1 Сl
А== а2 Ь 2 С2 , Ах == d 2 Ь 2 С2 , Ау == а2 d 2 С2
аз Ь з Сз d з Ь з Сз аз d з Сз
аl Ь 1 d 1
Az == а2 Ь 2 d 2 ,
аз Ь з d з
то при А :F О C CTeMa (53) имеет единственное решение, определяемое по
формулам
Ах
х==
А'
А
у== ;,
Az
z
А .
115
209. Докажите, что если векторы а, Ь, с направлены по осям KOOp
динат, то формула (50) справедлива.
210. Докажите, что ориентированный объем параллелепипеда,
построенноrо на векторах а, Ь, с + ka + lb, равен ориентированному
объему параллелепипеда, построенноrо на векторах а, Ь, с.
211. Докажите, что если формула (50) справеДJIива для векторов
а, Ь, с, то она справедлива и для векторов а, Ь, с + ka + lЬ.
212. Используя результаты задач 209 и 211, докажите, что фор
мула (50) справедлива для любых векторов а, Ь, с.
213. Сформулируйте и докажите проcrранственное обобщение
утверждения, содержащеrося в задаче 169.
15. Барицентрические координаты
в мнorомерных проcrранcrвах
При решении системы двух уравнений первой
степени с двумя неизвестными выше было использовано внешнее
произведение двух векторов на п л о с к о с т и (задачи 180 182).
В случае трех уравнений с тремя неизвестными уже приходит
ся рассматривать векторы в т р е х м е р н о м пространстве
(задачи 206 208). При решении системы п линейных уравнений с п
неизвестными нужно будет для получения rеометрической
интерпретации использовать п M е р н о е пространство. Так
потребности алrебры диктуют необходимость расширения
наших rеометрических представлений, необходимость paCCMOT
рения пространств, имеющих более трех измерений. Мноrие дpy
rие задачи из различных разделов математики и ее приложений
(к физике, химии, биолоrии--, экономике и т. д.) также eCTecT
венно приводят к необходимости рассматривать MHoroMepHbIe
пространства.
В этом парarрафе мы расскажем о простейших фактах
rеометрии п MepHoro пространства и заключим этот рассказ
рассмотрением барицентрических координат в п MepHOM
пространстве и некоторых их приложений.
Если на плоскости задана прямоyrольная система координат,
то каждый вектор задается Д в у м я координатами: а == (х; у).
В трехмерном пространстве (в котором фиксирована прямо
уrольная система координат) каждый вектор задается т р е м я
координатами: а == (х; у; z). По аналоrии с этим будем rоворить,
что в п MepHOM пространстве вектор задается в виде к о р т е ж а
(конечной последовательности) (х 1; Х2; ... ; х n ), состоящеrо из п
действительных чисел, которые называются координатами этоrо
вектора. Запись а == (х 1; Х2;". ; -х n ) означает, что через а обозна
чен вектор с координатами хl; Х2;...; х n . Множество всех BeKTO
ров (хl; Х2;."; Х n ) (получаемых, коrда хl; Х2;."; х" принимают
произвольные значения) обозначается через R n и называется
116
п MepHЫM пространством (а иноrда п MepHЫM арифметически.м
пространством).
При изучении rеометрии на плоскости и в трехмерном прост
ранстве сумма векторов определялась rеометрически, а затем
доказывалось, что при сл жении векторов их соответствующие
координаты складываются. Так, на плоскости, если а == (х; у),
Ь == (х'; у'), то а + Ь == (х + х'; у + у'). в пространстве, если а ==
== (х; у; z), Ь == (х'; у'; z'), то а + Ь == (х + х'; у + у'; z + z'). в п
мерном пространстве R" (при п > 3) у нас нет непосредствен
ных «rеометрических» представлений, т. е. «видет'ь» фиrуры в
таком пространстве (в буквальном, физическом смысле этоrо
слова) не может никто, даже самый rениальный математик. Но
п о а н а л о r и и с плоскостью и трехмерным пространством
мы можем о п р е Д е л и т ь сумму векторов в R" при помощи
сложения одноименных координат. Иначе rоворя, суммой
векторов
а == (х 1; х 2; ... ; х п ) и ь == (хl; Х2; ...; x )
пространства R" н азы в а е т с я вектор, имеющий координаты
(х 1 + хl; Х2 + Х2; ... ; х п + x );
этот вектор обозначается через а + Ь.
Далее, на плоскости и в пространстве вектор ka определяется
rеометрически: длина вектора ka равна Ikllal, причем
вектор ka параллелен вектору а, а направление ero одина
ково с направлением вектора а при k > О и противоположно ему
при k < о. Алrебраически же (в координатах) умножение вектора
а на число k сводится к умножению всех координат вектора а на k.
Иначе rоворя, на плоскости: если а == (х; у), то ka == (kx; ky) (и
аналоrично в пространстве: если а == (х; у; z), то ka == (kx; ky; kz)).
В R" пока мы не знаем, что такое «длина» вектора и ero «направ
ление», нельзя r е о м е т р и ч е с к и определить вектор ka. Oд
нако по аналоrии с плоскостью и трехмерным проcrранством
мы можем ввести следующее оп р е Д е л е н и е: если а == (хl;
Х2; ...; х п ) произвольный вектор пространства R" и k
действительное число, то ka есть вектор с координатами (kXl;
kX2; ...; kx n ).
Вспомним теперь, что на плоскости мы часто рассматриваем
единичные векторы, направленные по осям координат. Если эти
векторы обозначить через е 1 и е 2 , то для любоrо вектора а == (х; у)
справедливо соотношение а == хе 1 + уе2. Иначе rоворя, любой
вектор а можно разложить по векторам е 1 , е 2 и коэффициенты
х, у этоrо разложения как раз совпадают с координатами BeK
тора а. Аналоrично дело обстоит и в пространстве: если е 1 ,
е 2 , е з единичные векторы, имеющие направление осей KOOp
117
динат, то для любоrо вектора а == (х; у; z) справеДJ1ИВО COOTHO
шение а == хе 1 + уе2 + zе з . Нетрудно теперь доказать, что в Rп
справеДJ1ИВО аналоrичное соотношение. С этой целью заметим,
что на плоскости мы имеем е 1 == (1;' О), е 2 == (о; 1) и, аналоrично,
в трехмерном пространстве е 1 == (1; о; О), е 2 == (о; 1; О), е з == (о;
о; 1). Мы можем ввести в Rп аналоrичные векторы:
е 1 ==(1; о; ...; О), е 2 ==(0,1; ...; О), ..., е п ==(0; о; ...; 1)
(т. е. у вектора ei на i M месте стоит 1, а остальные координаты
равны нулю); они называются единичными базисными векторами
в Rп. Теперь нетрудно проверить, что для любоrо вектора
а == (х 1; Х2; ... ; Х п ) в Rп справеДJ1ИВО соотношение
а == Хl е 1 + Х2 е 2 + ... + хпе т
т. е. любой вектор а Е Rп выражается (и притом, как леrко видеть,
однозначно) через базисные векторы е 1 , е 2 , ..., е п .
Напомним теперь, что на плоскости (или в трехмерном
пространстве) каждым двум точкам А, В сопоставляется вектор
АВ. По аналоrии с этим и в п мерной rеометрии рассматри
вают т о ч к и и считают, что каждым двум точкам А, В сопо
ставляется некоторый вектор АВ, причем выполняются следую
щие условия (которые поясняют свойства точек и позволяют
рассуждать о них):
1) АВ + ВС == АС ДJ1я любых точек А, В, С;
2) для любой точки А и любоrо вектора а существует (и
притом только одна) точка В, ДJ1я которой АВ == а.
Фиксируем теперь некоторую точку О (н а ч а л о к о о р Д и
н а т). Для любой точки А мы можем рассмотреть вектор
ОА; ero координаты принимаются за координаты точки А,
т. е. если ОА == (Хl; Х2; ... ; х п ), то пишут также А (Хl; Х2; ... ; х п ).
Если теперь А и В две точки с координатами (х 1; Х2; ... ; Х п )
и (Уl; У2;".; Уп), т. е. ОА == (Хl; Х2;"'; х п ), ОВ == (Уl; У2; ...; Уп),
то из равенства ОА + АВ == ОВ леrко следует, что вектор АВ
имеет координаты (Уl Хl; У2 Х2; ... ; Уп х п ).
Чтобы «заселить» пространство Rп дальнейшими, образами,
привычными для нас из элементарной rеометрии (прямая, OT
резок, выпуклая фиrура, мноrоrранник, вершины и ребра MHoro
rранника и т. п.), удобно воспользоваться понятиями «материаль
ная точк3» и «центр масс системы материальных точек».
Определения этих понятий можно дословно перенести из
обычноrо двумерноrо или TpexMepHoro пространства: Maтe
риальная точка тА в пространстве Rп это пара, составлен
ная из точки А и действительноrо числа т (м а с с ы этой м. т.).
118
Центром масс системы материальных точек
тl А l, т2А2, ..., трА р
(54)
..,
с ненулевои суммарнои массои тl + т2 + . .. + т р называется
точка Z (Zl; Z2; ... ; =п) IIpOCTpaHCТBa R", которая удовлетворяет
условию
-+
mlZAl + m2ZA2 + ... + mpZA p == О,
или (что равносильно этому)
oz == тl 0А l + т2 0А 2 + ... + трОА р - .
тl + т2 + ... + т р
Это равенство можно записать в сокращенных обозначениях:
Z == тl А l + т2 А 2 + ... + трА р .
тl + т2 + . .. + т р
Отсюда видно, что каждая система материальных точек в R"
с ненулевой суммарной массой имеет и притом единственный
цeнrp масс.
е помощью понятия центра масс можно определить в R"
понятие отрезка [АВ]: это множество таких точек прост
ранства R", которые Moryт служить центрами неотрицатель
ных масс с ненулевой суммой, помещенных в точках А и В. Это
можно записать короче так:
[ ] { " тl А + т2 В }
АВ == Z Е R : Z == ; тl О, т2 О, тl + т2 > О .
тl + т2
Аналоrичным определением можно ввести понятие прямой
(АВ) :
) { " тl А + т2 В }
(АВ == Z Е R : Z == ; тl + т2 # О .
тl + т2
Заметим, что если Z центр масс системы м. т. (54), то при
k # О Z будет центром масс и системы м. т. (kтl) А 1 , (kт2) А 2 , ...
..., (kт p ) Ар. Поэтому мы всеrда можем считать сумму масс
равной единице, т. е. в определении отрезка и прямой
можно считать, что тl + т2 == 1. Например,
[АВ] == {Z ER": Z == тlА + т2В; тl О, т2 О, тl + т2 == 1}.
Пусть в пространстве R" выбраны несколько точек А(1),
А(2), ..., A(k). Множество всех точек, которые Moryr оказаться
центрами неотрицательных масс с ненулевой суммой, помещен
ных в этих точках, будем называть 060ЛОЧКОЙ этих точек.
Например, оболочка одной точки совпадает с этой точкой;
оболочка двух точек это соединяющий их отрезок.
119
Всякое множество точек в Rn условимся называть фиzурой.
Фиrура М с Rn называется в lпуклой, если для любых двух точек
АЕМ и ВЕМ весь отрезок [АВ] содержится в фиrуре М.
Т е о р е м а 16. Обалочка нескольких точек в Rn является
выпуклой фиzурой.
Доказательство. Пусть М оболочка точек Р 1 , ...
..., P k . Пусть А и В две точки фиrуры М, и пусть С Ka
кая либо точка отрезка [АВ]. Тоrда можно точки А и В зarрузить
такими неотрицательными массами т1 и т2, т1 + т2 == 1, что
С будет их цeнrpOM: С == т1А + т2В. Так как АЕМ, а М обо
лочка точек Р 1, ..., P k , то А центр неотрицательных масс
СХ1, ...,- CXk (СХ1 + ... + CXk == 1), помещенных соответственно в
точках Р 1, ... , P k , т. е. А == СХ1Р 1 + ... + CXkPk. Аналоrично можно
зarрузИfЬ точки Р 1, ..., P k такими массами 1' ..., k ( 1 + ...
. .. + k == 1), что их центром окажется точка Q, т. е. Q == 1 Р 1 + ...
... + kPk. Но тоrда
С == т1 ( СХ 1 Р 1'+ ... + CXkPk) + т2 ( 1Pl + ... + kPk) ==
/-
== (т1 СХ1 + т2 1) Р 1 + (т1 СХ2 + т2 2) Р 2 + ... + (т1 CXk + m2 k) P k ,
причем (т1СХ1 + т2 1) + ... + (m1 CX k + m2 k) == т1 ( СХ 1 + . ...+ CXk) +
+ т2 ( 1 + ... + k) == т1 + т2 == 1. Таким образом, С центр
некоторых неотрицательных масс с ненулевой суммой, помещен
ных в точках Р 1, . .. , Р k. Поэтому, С ЕМ. И так, из С Е [АВ] следует
СЕМ; значИf, М выпуклая фиrура.
Заметим, что в силу этой теоремы вместо термина «оболочка»
часто употребляют термин «выпуклая оболочкю).
Бу дем rоворить, что п векторов 81, 82, ..., 8" В пространстве
Rn линейно независимы, если ни один из них' не выражается
через остальные п 1 векторов; например, линейно независи
мыми являются базисные векторы е 1 , е 2 , ..., е n . Далее, п + 1
точек Ао, А 1 , ..., А" в пространстве Rn будем называть независи
мыми, если линейно независимы векторы АоА1' АоА2' ..., АоАn.
Например, если А 1 , А 2 , ..., А" такие точки, что ОА 1 == е 1 ,
ОА 2 == е 2 , ..., ОА n == е n , то точки О, А 1 , А 2 , ..., А" независимы.
Если точки Ао, А 1, ..., А" в Rn независи.I\1Ы, то их выпуклая
оболочка называется п MepHЫM симплексом, а саl\1И точl\И
Ао, А1,...' А" называются вершинами этоrо симплекса. Например,
при п == 2 (т. е. на плоскости) симплекс является выпуклой обо
лочкой трех точек, не лежащих на одной прямой, т. е. представ
ляет собой т р е у r о л ь н и К. В трехмерном ПРQстранстве (п == 3)
симплекс представляет собой выпуклую оболочку четырех
точек, не лежащих в одной плоскости, т. е. т е т р а э Д р. Таким
образом, симплекс представляет собой MHoroMepHoe обобщение
треyrольника и тетраэдра.
120
Обозначим через S симплекс с вершинами Ао, А 1 , ..., А п в
llpocTpaHCТBe Rn. Так как S выпуклая оболочка точек Ао, А 1 , ...
. . ., А т то каждая точка Р этоrо симплекса является центром
каких то неотрицательных масс (с ненулевой суммой), поме
щенных в вершинах Ао, А 1 , ..., А п . Мы можем при этом считать
(умножив, если нужно, все массы на некоторое число k > О),
что сумма масс равна 1. Обозначив эти неотрицательные массы
через Jlo, Jl1, ..., Jln, мы получаем
Р == JloA o 7- Jl1 A 1 + ... + JlnAn; Jlo + Jl1 + ... + Jln == 1. (55)
Эти числа Jlo, Jl1, ..., Jln называются барицентрическими KOOp
динатами точки Р относительно базисноrо симплекса s. Оказы
вается, что и любая точка Ре Rn записывается однозначно в
виде (55) (но только если Р Ф s, то некоторые из чисел Jlo, Jl1, ...
..., Jln будут отрицательными); доказьmается это аналоrично
тому, как это было сделано для плоскости (см. теорему 11)
или для TpeXMepHoro пространства. Итак, любая точка Ре Rn
однозначно задается своими Б координатами Jlo, Jl1, ..., Jln
(см. (55)) относительно заданноrо базисноrо симплекса S ==
== [АоА1 . .. А п ].
Так же, как в случае плоскости и TpeXMepHoro пространства,
барицентрические координаты точки выражаются через внешнее
произведение векторов. Укажем, как это делается.
Т е о р е м а 17. В пространстве Rn каждым п векторам
81,82, ..., 8 п (заданны.м в определенном порядке) можно coпocтa
вить некоторое число 81 л 82 Л ... л 8 п (называемое внешним
произведением этих векторов), удовлетворяющее следующим
четырем аксиомам:
1) (а 1 + 8 ) л 82 Л ... л 8 п == 81 Л 82 Л ... л 8 п + 8 Л 82 Л ...
. .. л 8 п ;
2) (k8 1 ) Л 82 Л ... л 8 п == k (81 Л 82 Л ... л 8,,);
3) при перестановке любых двух сомножителей внешнее
произведение меняет знак;
4) е 1 л е 2 л ... л е п == 1.
Указанными четырьмя аксиомами внешнее произведение п вeK
торов в Rn определяется однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала единственность,
т. е. предположим, что описываемая операция существует, и по
кажем, что она определена однозначно. В самом деле, запи
шем разложение векторов 81, 82, ..., 8 п по векторам базиса:
81 == а 11 е 1 + а21 е 2 + ... + а п 1 е т
82 == а12 е 1 + а22 е 2 + ... + а п 2 е т
8 п == а1п е 1 + а2п е 2 + ... + аппе п .
121
Здесь в т о рой индекс у числа aij соответствует номеру BeK
тора. 8j, а первый индекс номер координаты этоrо вектора.
Таким образом,
81 л 82 Л ... л 8,. == (аll e l + а21 е 2 + ... + а,. 1 е,.) л
л (аl2еl + а22е2 + ... + а,.2е2) л . .. л (аl,.е 1 + а2,.е 2 + ... + а,.,.е,.).
Если в правой части раскрыть скобки, то получится сумма
всевозможных произведений \
(a i11 e i ) л (ai22ei2) л . .. л (ai"пei),
rде каждый из индексов i 1 , i 2 , ..., i,. можer принимать любые
значения 1, 2, ..., n (т. е. из каждой скобки можно взять любое
из стоящих в ней n слarаемых). Иначе rоворя,
81 л 82 Л ... л 8,. == I (aillai22 . . . . . ai"J e i1 л e i2 л ... л e i ". (56)
Но внешнее произведение с двумя одинаковыми сомножителями
равно нулю. (Это следует из аксиом.) Поэтому в сумме (56)
надо взять лишь такие слаrаемые, в которых все числа i 1 ,
i 2 , ..., i,. раз л и ч н ы. Но если числа i 1 , i 2 , ..., i,. различны,
то внешнее произведение e i1 л e i2 л ... л e i " равно + 1 (в силу
аксиом 3 и 4), причем оно должно быть равно + 1, если
кортеж индексов i 1 , i 2 , ... , i,. может быть приведен к основному
кортежу 1, 2, ..., n при помощи ч е т н о r о числа тpallCnO
зuцuй (транспозицией назьmается перемена местами двух каких
либо индексов), и должно быть равно 1 в случае нечerноrо
числа транспозиций 1). Таким образом,
81 л 82 Л ... л 8,. == I + aillai22. . . . . ai"п' (57)
r де суммирование распространено на всевозможные кортежи
i 1 , i 2 , ..., i,., составленные из чисеЛ 1, 2, ..., n, и знак плюс
соответствует ч е т н ы м кортежам (получающимся из OCHOB
Horo кортежа 1, 2, ..., n четным числом транспозиций), а
знак минус н е ч е т н ы м. Так как число, стоящее в правой
части соотношения (57), о д н о з н а ч н о определено, то отсюда
и вытекает единственность внешнеrо произведения векторов.
1) При этом следует доказать, что любые два способа приведения данноrо
кортежа i 1 , i 2 , ..., i n к основному кортежу 1, 2, ..., п требуют таких количеств
транспозиций, которые имеют одинаковую четность. Это вытекает из следую..
щих соображений. Рассмотрим все разности i k i" для которых k > 1. Если
среди этих разностей имеется р о т р и Ц а т е л ь н ы х чисел, то условимся
rоворить, что в кортеже i 1 , i 2 , ..., i n имеется р беспорядков. Леrко проверяется,
что если в кортеже i 1 , i 2 , ..., i n проmвести одну транспозицию, то число
беспорядков и з м е н и т свою четность. В основном кортеже 1, 2, ..., п число
беспорядков равно нулю (т. е. ч е т н о). Из этоrо нетрудно вывести, что кортеж,
имеющий четное число беспорядков, может быть приведен к основному
кортежу 1, 2, ..., п лишь с помощью ч е т н о r о числа транспозиций (и
аналоrично при н е ч е т н о м числе беспорядков).
122
Формула (57) подсказывает и путь доказательства существо
вания: надо о п р е Д е л и т ь внешнее произведение 81 л 82 Л ...
. .. л 8 п формулой (57) и про в е р и т ь, что при таком опреде
лении оно удовлетворяет аксиомам 1) 4). Такая проверка не
представляет труда. Например, для проверки аксиомы 2) заме
тим, что в каждом слarаемом, стоящем в сумме (57), имеется
ровно о Д и н сомножитель вида ан (т. е. сомножитель со
вторым индексом 1). Но сомножитель ан представляет собой
i ю координату вектора 81. При умножении вектора 81 на число
k все ero координаты умножаются на k, т. е. в каждом CJIата
eMqM суммы (57) ровно один сомножитель умножается на k,
а потому и вся сумма умножается на k.
Равенству (57), участвующему в доказанной теореме, можно
придать и дрyrую форму. Условимся число, стоящее в правой
части равенства (57), обозначать через
аll а12 а1n
а21 а22 а2n
. . .
а n l ll,,2 а nn
и называть определителем п ro порядка, у KOToporo в i M
столбце стоят координаты вектора 8i (в связи С чем 81, 82,...
. . . ,8 п называют «векторами столбцами» этоrо определителя).
Тоrда равенство (57) перепишется в виде
аll а12 аln
81 Л 82 Л ... л 8" ==
а21
а22
а2n
== L + ai.l a i 2 2.. .. . ai"n.
а n l ll,,2 а м
Таким образом, определитель (57) представляет собой «коорди
натную» запись внешнеrо произведения 81 л 82 Л ... л 8,..
Аксиомы 1) 4) внешнеrо произведения Moryт быть перепи
саны с помощью определителей и выражают основные их
свойства. Так, аксиомы 1) и 2) принимают вид
, аln аll а12 аln
аll + аll а12
а21 + а21 а22 а2n а21 а22 а2n +
. . . . . . . . . .
, а n 2 а nn а n l а n 2 а nn
а n 1 + 1
аl1 а12 аln
+ а21 а22 а2n
. . .
а;.1 а n 2 а nn
123
ka21 а22 а2n ==k а21 а22 а2n
. . . . . . . . .
ka n l ll,,2 а nn I а n l ll,,2 а nn
а аксиома 3) означает, что при перестановке каких либо двух
столбцов определитель меняет знак. Добавим к этим свойствам
еще два леrко доказываемых свойства: \ а) при замене строк
столбцами (т. е. при «симметричном отражении определителя
относительно rлавной диаrонали») определитель не изменяется;
б) если все элементы, стоящие н и ж е rлавной диarонали,
равны нулю, то определитель равен произведению чисел,
стоящих на rлавной диarонали (и то же справедливо, если все
ero элементы вы ш е rлавной диarонали равны нулю).
Т е о р е м а 18. Пусть (АоА1". А п ] базисный симплекс и
М прouзвольная точка пространства Rп. Обозначим векторы
МАо, МА 1 , ..., МА п через 80, 81, ..., 8 п . Тоzда Б координаты
точки М имеют следующие значения:
Vo V 1 V2 Vз
J.Lo == , J.L1 == , J.L2 == , J.Lз == ,
V V V V
. . . ,
J.Lп :::::: ( l)п v п ,
V
(58)
[де Vi == 80 Л ... Л 8i 1 Л 8i+1 Л ... Л 8 п (пропущен вектор 8д и
V == (81 80) л (82 80) л . .. л (8 п 80)'
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как число векторов 80, 81,...
. . ., 8 п равно п + 1, то какой либо из них выражается через
остальные. Пусть, скажем,
80 == k 1 8 1 + k 2 8 2 + ... + k п 8 п .
Тоrда
V == (81 80) л (82 80) л ... л (8 п 80) == 81 Л 82 Л ... л 8 п
80 Л 82 Л ... л 8 п 81 Л 80 Л 8 з Л ... л 8 п ... 81 Л 82 Л ...
... л 8п 1 Л 80 == 81 Л 82 Л ... л 8 п 80 Л 82 Л ... л 8 п +
+ 80 л 81 Л 8 З Л ... л 8 п . .. + ( l)п 80 Л 81 Л ... л 8 п 1 ==
== Vo V 1 + V2 . .. + ( l)п V п .
Далее, леrко проверить, что
(81 Л 82 Л ... л 8 п ) 80 (80 Л 82 Л ... л 8 п ) 81 + ...
... + ( l)п (80 Л а 1 л ... л 8 п 1) 8" == О
(для этоrо нужно вместо 80 подставить k181 + k282 + ... + kn8n
124
-+
V 0 8 0 V 1 8 1 + V 2 8 2 ... + ( l)п V n 8 n == о.
Следовательно, числа (58) удовлетворяют соотношению
-+
J.108o + Jl1 8 1 + Jl2 8 2 + ... + Jln 8 n == о.
Кроме Toro (в силу доказанноrо выше соотношения V ==
== V o V 1 + V 2 + ... + ( l)п v n ), они удовлетворяют соотноше
нию
Jlo + Jll + ... + Jln == 1.
Но это и означает, что числа (58) являются барицентрическими
координатами точки М.
Доказанная теорема позволяет записать барицентрические
координаты в виде отношения определителей (поскольку каж
дое из чисел v, V o , V 1, ..., V n задается в виде внешнеrо
произведения векторов, т. е. может бьпь записано в виде
определителя). Можно также придать этой теореме и дрyrой
вид с помощью понятия «n MepHoro объема». Укажем вкратце,
как. это делается.
Пусть 81, 82, ..., 8 п линейно независимые векторы в Rn и
А некоторая точка. Множество Р всех точек М, дЛЯ которых
...............
АМ == Х181 + Х282 + ... + Х п 8 п ;
О Х 1 1, О Х 2 1, ..., о Х п 1,
называется п MepHЫM параллелепипедом, построенным на BeK
торах 81' 82, ..., 8 п ; число 81 Л 82 Л ... л 8 п назьmается п Mep
ным ориентированным объемом этоrо параллелепипеда. (Это
определение соrласуется с формулами для вычисления площа
дей и объемов на плоскости и в трехмерном пространстве.)
Далее, пусть S симплекс с вершинами Ао, А 1 , А 2 , ..., А п
в пространстве Rn. Считается 1), что п мерный ориентированный
б 1 v
о ъем этоrо симплекса равен ,Vp, rде Vp ориентированныи
п.
............... .
объем параллелепипеда, построенноrо на векторах АоАl'
............... ...............
АоА2' ..., АоА т т. е.
1.............................. ...............
V A А А == AoAl Л АоА2 Л ... Л АоА п .
о 1'" 11 п!
1) Это утверждение можно д о к а 3 а т ь, если построить в R" rеометриче..
скую теорию п MepHЫX объемов. В этой теории п"мерный объем пирамиды
1
равен Sh, rде S есть (п l)"мерный объем основания, а h высота. В свою
п
1 S ' h '
очередь, если S есть (п l)"мерная пирамида, то S == n 1 ' и т. д., откуда
и вытекает написанная формула. Мы оставляем все эти вопросы в стороне.
125
Из этой формулы несложно выводится, что при перестановке
(транспозиции) двух вершин симплекса ero п мерный ориенти
рованный объем меняет знак; например, v АI А оА2...А" == v АоАIА2...А".
Леrко видеть, что (при сохранении обозначений теоремы 18)
v == (81 80) л (82 80) л ... л (8,. 80) == n!v АоАl...А,,;
V о == 81 Л 82 Л ... л 8,. == п! v м А 1 А 2 . .. А,,;
v 1 == 8 0 Л 8 2 Л Л g == п' V M == п 'v М А А
. . . ..,. . АоА2' .. А" . Ао А 1 2' .. ,,'
и, вообще,
v. == ( l ) i . п' v
I . AoAl...AI IM A А .
1+1'" ,.
Из этих формул следует, что (в полном соответствии с фор
мулами, ранее полученными для плоскости и TpexмepHoro
пространства)
v
МА I А 2 ... А"
v АоМА2...А"
Jlo ==
v
АоАl'" А"
, Jll ==
V
АоА 1 . . . А"
V АоАIА2'" A,, 1М
v А о А I МА з ... А"
Jl2 ==
v АоАl...А"
, ...,
Jl,. ==
v
АоА 1 . . . А,.
в заключение рассмотрим вопрос о нахождении расстояний
и У2лов в пространстве R" с помощью скалярноrо произведе
ния и с помощью барицентрических координат. На плоскости
и в трехмерном пространстве скалярное произведение опреде
ляется формулой
8Ь == 1 8 11 Ь 1 cos сх,
(59)
rде rJ. yrол между векторами 8 и Ь. Скалярное произведение
удобно тем, что оно обладает удачными алrебраическими
свойствами:
r
8Ь == Ьа, (8 + Ь) с == 8С + ьс, (k8) Ь == k (8Ь), (60)
кроме Toro (поскольку cos О == 1),
82 == 88 == 1812. (61)
Из этих формул вытекает, что для любых векторов 81 ==
== (Хl; Уl)' 82 == (Х2; У2) на плоскости мы имеем
8182 == (Хl е l + Уl е 2)(Х2 е l + У2 е 2) ==
== (ХI Х 2) еI + (ХIУ2) е 1 е 2 + (УI Х 2) е 2 е 1 + (УIУ2) e == Xt X 2 + УIУ2
(поскольку еI == e == 1 и е 1 е 2 == е 2 е 1 == О). Аналоrично в прост
ранстве для векторов 81 == (Хl; Уl; ZI)' 82 == (Х2; У2; Z2) мы
имеем
8182 == ХI Х 2 + УIУ2 + ZI Z 2.
126
в пространстве Rn у нас пока не определены длины и уrлы,
и потому определить скалярное произведение формулой (59)
не представляется возможным. Поэтому по аналоrии с коорди
натными формулами, имевшими место на плоскости и в Tpex
мерном пространстве, скалярное произведение векторов 81 ==
== (хl, Х2, ..., xj.) и 82 == (х1', Х2, ..., х;) в пространстве Rn
о п р е Д е л я е т с я формулой
, " + ' " + + '"
8182 == ХI Х l Х2 Х 2 ... ХnХ n .
Леrко проверяется, что алrебраические свойства (60) скалярцоrо
произведения при этом сохраняются.
Формула (61) теперь уже не Д о к азы в а е т с я, исходя из
формулы (59) и что cosO== 1, а служит определением
длин ы вектора, т. е. для любоrо вектора 8 == Х 1; Х2; ... ; х n ) мы
имеем по определению 1 8 I == == ХI + X + . .. + х;. HaKO
нец, формула (59), в которой теперь определены все величи
ны, кроме сх, служит в R n о пр е Д е л е н и е м уrла между
векторами. Иначе rоворя, если 81 == (Хl; Х2; ...; Х n ) и 82 ==
== (Уl; У2; ... ;Уn) два ненулевых вектора в Rn, то yrол сх между
ними определяется формулой 1)
8182 . ХIУl + Х2У2 + ... + ХnУn (62)
cos сх == == .
181 11 821 11 ХI + ... + х ; 11 У I + ... + у ;
Задачи
214. Напишите формулу для расстояния между двумя
точками, которые заданы своими барицеlПрическими коdрдинатами
относительно базисноrо симплекса с вершинами Ао, А 1 , ..., А"
в пространстве Rn.
215. ЦeHтpoUдOM симплекса называется точка, являющаяся цeнт
ром равных Mac , помещенных в вершинах этоrо симплекса. ДOKa
жите, что п + 1 отрезков, каждый m которых соединяет вершину
симплекса с центроидом противолежащей rрани, пересекаются в одной
точке, которая делит каждый m этих отрезков в отношении п: 1,
считая от вершины.
216. Точки Мо, М 1 , ..., М" имеют относительно базисноrо
(;) (i) (')
симплекса АоА 1 . . . А" барицентрические координаты Jlo, Jli, ..., Jln'
(i . О, 1, ..., п). Докажите, что объемы симплексов М оМ 1 . . . М n И
АоАl". А" связаны соотношением
Jlb O ) Jl \0) Jl O)
Jlb 1 ) Jl\l) Jl l)
v
MoMl" М"
VAoAl...AII.
Jlgr> Jl \n) Jl n)
1) При этом Д о к азы в а е т с я (см. пример 29), что для любых
векторов а и Ь модуль числа аЬ не превосходит 1 а 1.1 Ь 1, и потому правая
часть в (62) по модулю не превосходит 1, т. е. из этой формулы yrал сж,
подчиненный условию О cl п, Bcer да определяется (однозначно).
127
217. Напишите уравнение сферы, описанной BOKpyr симплекса
с вершинами Ао, А 1 , ..., А,..
218. Зная длины ребер симплексов АоАl'.' А,., вычислите расстоя
ние от вершины Ао до центроида противолежащей rрани.
219. Пусть а 1 , а 2 , . . . , а,. линейно независимые векторы простран
ства R". Докажите, что любой вектор Ь этоrо пространcrва может
быть выражен через а 1 , а 2 , ..., а,.:
Ь == Хlаl +' Х2а2 + ... + х,.а,.,
причем коэффициенты х 1, Х2, ..., х,. имеют следующие значения:
Ь л а2 л ... л а,. аl л Ь л аз л ... л а,.
хl == , Х2 ==
аl л 82 Л ... л а,. аl л а2 л ... л а,.
аl л ... л a,. 1 л Ь
. . . , х,. ==
аl л а2 л ... л а,.
220. Докажите, что решение системы '
аll Х l + а12 Х 2 + . .. + аl,.Х,. == Ь 1 ,
а21 Х l + а22 Х 2 + ... + а2,.Х,. == Ь 2 ,
а,.IХl + а,.2Х2 + ... + а,.,.х,. == Ь,..
равносильно нахождению чисел хl, ..., х,., удовлетворяющих pa
венству
Хlаl + Х2а2 +... + х,.а,. == Ь,
rде а 1 , а 2 , ... , а,., Ь векторы, имеющие координаты (аll; а21; ... ; а,.I),
(аI2; а22; ...; а,.2), ..., (аl,.; а2,.; ...; а,.,.), (Ь 1 ; Ь 2 ; ...; Ь,.).
221. Сформулируйте обобщение результата задачи 208 на случай
системы п линейных уравнен,ИЙ с п неизвестными. Используя резуль
таты задач 219, 220, докажите сформулированное утверждение.
rЛАВА v
БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
В РАЗЛИЧНЫХ ОБЛАcrях ЗНАНИЯ
«Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех,
кои желанны философу. Я надеюсь на этом примере показать,
что значит математика в натуральной философии, и побудить
reoMeтpoB ближе подойти к исследованию природы, а жадных
до естественной науки сначала выучиться rеометрии».
И. Ньютон. Оптика
в этой rлаве мы рассмотрим различные вопросы,
в которых применяются барицентрические координаты. Они
относятся к различным областям знания: проблемам цветовоrо
зрения, металлурrии, химии, rенетики, тополоrии, интерполя..
ЦИИ, статистики, электростатики. Все парarрафы незав исимыI
дрyr от друrа, и их можно читать в любом порядке в
соответствии со вкусами читателя.
16. Првменения к химии в металлурrив
Химические системы растворы, сплавы, хими
чески е соединения, а также смеси, состоящие из нескольких
химических веществ, в некоторых отношениях аналоrичны Ma
териальным точкам.
Для конкретности будем рассматривать трехкомпонентные
смеси ШIИ соединения (составленные из трех веществ, эле
ментов ШIИ иных компонентов). Пусть, скажем, из трех веществ
А, В, С составлена смесь с общей массой т, причем на каждую
единицу массы этой смеси приходится J.11 единиц вещества А,
J.12 единиц вещества В и J.1з единиц вещества С (так что
J.11 + J.12 + J.1з == 1). Числа J.11, J.12, J.1з называются концентрациями
компонентов А, В, С. Выберем на плоскости произвольный
треyrольник АВС (базисный треуrольник) и сопоставим pac
сматриваемой смеси материальную точку тК следующим
образом: в точку К с Б координатами (J.11; J.12; J.1з) помещается
Mac a т всей рассматриваемой смеси. Таким способом каждой
трехкомпонентной смеси сопоставляется материальная точка
в L:::.ABC, I:Iричем смесям с различными составами (т. е. отли
чающимися концентрациями компонентов) сопоставляются м. т.,
по разному расположенные в L:::. АВС. При этом каждая MaTe
риальная точка тК, rде К Е L:::. АВС, характеризует вполне
определенную смесь.
5 м. Б. Балк, В. r. Болтянский
129
Пусть теперь имеются две смеси тlКl и т2К2' Если их
перемешать, то возникает новая смесь; масса этой новой смеси,
очевидно, равна т == тl + т2, а конценrрациям веществ в
получившейся смеси соответствует некоторая новая точка К
в АВС. Естественно ВОЗНИJ\ает вопрос, r де же будет распо
ложена эта новая точка К, т. е. какой материальной точкой
тК будет характеризоваться эта новая смесь (называемая
объединением смесей тlКl и т2К2)? Оказывается, что имеет
место следующее леrко проверяемое yrверждение:
Если две смеси характеризуются материальными точками
тlКl и т2К2, то объединение этих смесей характеризуется
материальной точкой тК, которая является СУММой этих
двух м. т., т. е. т == тl + т2 и К центр масс pacCMaтpивa
емых двух м. т.:
тК == тl К l + т2К2.
Аналоrичное утверждение верно и применительно к смеси,
возникающей при перемешивании любоrо числа смесей, COCTaB
ленных из трех заданных компонентов. Иначе rоворя, если
смесь возникла при смешении n смесей, составленных из одних
и тех же трех компонентов А, В, С и характеризуемых
материальными точками тlКl, т2К2, ..., m"Kn, то полученная
смесь характеризуется материальной точкой
тК == тl К l + т2 К 2 + ... + m"K т
r де т == т 1 + т2 + ... + m".
Это предложение позволяет сводить разнообразные задачи,
в которых речь идет о смесях, к задачам о нахождении
центров масс для систем материальных точек.
В качестве базисноrо треyrольника, используемоrо для
изображения трехкомпонентных смесей в виде материальных
точек, часто берут п р а в и л ь н ы й треуrольник. В этом случае
ero принято называть треуzольником rиббса Розебома. He
редко в качестве базисноrо используют равнобедренный пря
моyrольный треyrольник; ero называют треуzольником Розе
бома. Понятно, что для этой же цели приrоден треyrольник
произвольной формы. TaKoro рода треуrольные диarраммы
находят важные и разнообразные приложения в физико хими
ческом анализе.
А.налоrичным образом можно для изображения четырех
компонентных смесей использовать материальные ТQЧКИ в за
данном тетраэдре, а для изображения мноrокомпоненrных
смесей аналоrичную роль выполняют симплексы в MHoroMep
ных пространствах. Для двухкомпонентных смесей эту роль
иrрает отрезок.
130
Пример 53. Имеются два вида серебряноrо припоя. Первый
содержит 20 % Ag, 50 % Си, 30 % Zn, а второй 45 % Ag,
30 % Си, 25 % Zn. Из 15 Kr припоя первоrо вида и 10 кr
припоя BToporo вида получен сплав. Определим процентный
состав этоrо сплава.
Реш е н и е. Рассмотрим на плоскости треуrольник АВС.
Вершины А, В, С сопоставим соответственно: чистому серебру
(Ag), чистой меди (Си), чистому цинку
(Zn). Тоrда первый сплав изобразится
в виде точки Р с Б"координатами
(0,2; 0,5; 0,3), а второй в виде точки Q
(0,45; 0,3; 0,25). Задача сводится к Ha
хождению цеlПра масс Z системы двух
м. т. 15Р и 10Q. ПО правилу рычarа
имеем 15 I ZP I == 10 1 ZQ 1, и потому
I ZP I == I PQ 1. Найдя теперь точку Z А
на чертеже, леrко rрафически найти
состав соответствующеrо ей сплава
(рис. 75). К тому же результату можно прийти, вычислив Б"коор"
динаты точки Z (см. задачу 165):
15.0,2 + 10. 0,45 О 3 . 15.0,5 + 10.0,3 == 0,42, .
Zl == 15 + 10 " Z2 25
, == 15.0,3 + 10.0,25 == 0 2 8
Z3 25 ' .
с
в
Рис. 75.
Итак, в сплаве содержится 30 % Ag, 42 % Си, 28 %Zn.
Пример 54. Имеется 600 r раствора иода в спирте, причем
концеlПрация иода составляет 18 %. Требуется получить
10 % ныIй раствор иода в спирте. Определим, сколько следует
долить чистоrо спирта.
Реш е н и е. Рассмотрим отрезок АВ длины 1 и сопоставим
чистому спирту точку А, чистому иоду точку В. Тоrда данный
раствор изобразится в
виде материальной точки
6ООР (рис. 76), rде Р имеет DzH 5 0H
относительно [АВ] бари
центрические координаты
J.11 == 0,82; J.12 == 0,18, т. е. 1 АР I == 0,18. Требуемый раствор
изобразится в виде м. т. (600 + х) Q, rде х искомое количе
ство спирта в rpaмMax, а Q центр масс двух м. т. хА
и 6ООР. По условию точка Q должна иметь Б координаты
J.11 == 0,9; J.12 == 0,1, т. е. 1 AQ 1 == 0,1. По правилу рычаrа имеем:
х 1 AQ 1 == 600 1 QP 1, т. е. х. 0,1 == 600.0,08, откуда х == 480 (r).
5* 131
8
о
1
Рис. 76.
Задачи
222. Имеются три раствора спирта в воде: раствор Р
содержит 70 % спирта и 30 % воды; раствор Q содержит 50 % спирта
и 50 % воды; раствор R содержит 20 % спирта и 80 % воды. Сколько
Kr раствора R следует долить к смеси из 5 Kr раствора Р и 2 кr
раствора Q, чтобы получить раствор, содержащий 40 % спирта?
223. Имеются железные руды трех видов: руда вида Р содержит
53 % железа (Fe) и 13 % кремнезема (Si0 2 ); руда вида Q содержит
59 % Fe и 7 % Si0 2 ; руда вида R содержит 58 % Fe и 11 % Si0 2 .
Из этих руд требуется составить arломерационную шихту, содержа
щую 55 % Fe и 11 % Si0 2 . В каких отношениях следует смешать
ДJIя этой цели руды Р, Q, R?
224. В химической промышленности применяются так называемые
«нитрующие смеси», т. е. смеси серной и азотной кислот и воды.
Имеются две смеси: первая содержит 30% H 2 S0 4 , 20% НNО з ,
50 % Н 2 О, а вторая 74 % НNО з , 26 % Н 2 О. В каком соотношении
следует слить эти смеси, чтобы получить смесь с 20 % HЫM. содержа
нием серной кислоты? Каким будет процентный состав такой смеси?
225. блеум, широко используемый в химической промышлен
ности, представляет собой смесь серной кислоты H 2 S0 4 , cepHoro
анrидрида SОз и пиросерной кислоты H 2 S 2 0 7 . Имеются четыре
состава олеума: 1) 85 % H 2 S0 4 , 5 % SОз, 10% H 2 S 2 0 7 ; 2) 55 % H 2 S0 4 ;
5% SОз, 40% H2S 07; 3) 30% H 2 S0 4 , 20% SОз, 50% H 2 S 2 0 7 ;
4) 60 % H 2 S0 4 , 35 % SОз, 5 % H 2 S 2 0 7 .
Каким будer процентное содержание олеума, образованноrо от
смешения 24 Kr первой смеси, 120 Kr второй, 32 кr третьей и 16 кr
четвертой?
226. На металлурrическом заводе имеются железные руды типов
Р, Q, R. В каждую из них входят три компонента: А (Fe); В
(смесь Si0 2 и Al 2 О з ) и с (смесь СаО и MgO). В руду Р входят
62 % компонента А, 14 % компонента В, 4 % компонента с; в руду Q
входят 56 % А, 5 % в, 3 % С;. в руду R входит 52 % А, 19 % В
и 2 % С. Смешением этих руд составлена шихта, содержащая 40% Р,
35 % -Q, 25 % R. В каких отношениях войдут в эту шихту компо
ненты А, В, с?
227. Из руд трех видов Р, Q, R, указанных в задаче 226, же
лательно составить шихту, содержащую 58 % А, 12 % В и 3 % С.
Отклонение допустимо с точностью до 2 % для компонента А, дО
1 % для компонента В и до 0,2 % для компонента С. Возможно ли
такую шихту составить?
о 17. Колориметрия
Еще в конце XVII века Ньютон обнаружил, что
белый цвет можно рассматривать как смешение семи различных
цветов. В середине XVIII века М. В. Ломоносов высказал
мысль, что путем смешения лишь т р е х определенных цветов
можно получить все возможные цвета и оттенки. Эта rипотеза
бьша уточнена и развита в XIX веке Юнrом и rельмrольцем.
132
Они разработали теорию (основанную на rипотезе, также впер.-
вые высказанной Ломоносовым) трехцветноrо зрительноrо
аппарата человека. Соrласно этой теории в человеческом rлазу
имеются колбочки только трех различных типов: одни воспри
нимают (днем) только красный цвет, дрyrие только зеленый,
третьи только синий. Любой друrой цвет воспринимается
как «смешение» этих трех цветов.
В оптике различают ахроматические (<<неокрашенные») цвета
(черные, серые, белые) и хроматические (зеленые, синие и т. д.).
Среди последних выделяют монохроматические цвета, т. е.
такие, которые представляют собой электромаrнитное излуче
ние одной определенной длины волны А. Человеческий rлаз
воспринимает цвета, которые соответствуют длинам волн от
А == 380 нм (1 нанометр == 10 9 м) до А == 780 им. Монохромати
ческое излучение воспринимается rлазом по разному в зависи
мости от длины волны; например, излучение с длиной волны
между 380 нм и 430 нм воспринимается как фиолетовый
цвет, а между 620 нм и 780 нм как красный цвет.
Воспринимаемое rлазом ощущение цвета может возникать
в результате образования «смеси» нескольких монохроматиче
ских излучений. Существуют различные способы «смешениЯ»
цветов. Например, при одновременном освещении одной и той
же площадки (экрана) лучами различных цветов возникает
новый цвет; при рассмотрении диска, разделенноrо на разно
цветные секторы и вращающеrося с частотой 30 и более обо
ротов в секунду, также возникает ощущение единой (<<смешан
ной») цветовой окраски диска. Например, смешивая таким
образом красный и синий цвета, можно получить различные
пурпурные цвета и оттенки (малиновый, розовый и т. п.).
Оказывается, что при смешении различных цветов иноr да
можно получить цвет, который воспринимается человеческим
rлазом так же, как некоторый монохроматический цвет.
Будем rоворить, что три цвета линейно зависимы, если один
из них может быть получен от смешения двух дрyrих (при
надлежащем подборе интенсивностей, т. е. потоков, характери
зующих освещенность экрана). Если же ни при каком смешении
двух цветов нельзя получить третий цвет, то эти три цвета
называются линейно независимыми. Таковы, например, красный,
зеленый и синий.
Рассмотрим теперь случай четырех цветов. Может случить
ся, что путем смешения трех из них (с надлежащими интен
сивностями) получится четвертый. Может также оказаться, что
при надлежащем смешении двух из этих цветов и при Haд
лежащем смешении двух дрyrих цветов получается один и тот
же цвет. В любом из этих двух случаев rоворят, что pac
133
смотре5ные четыре цвета линейно зависимы. Важным ДЛЯ
колориметрии является следующий закон, сформулированный
в 1861 roдy немецким математиком repMaHoM rpaccMaHoM 1)
(на основании большоrо эксперименталъноrо материала,
собранноrо различными исследователями): любые четыре цвета
линейно ЗQ8ucимы. Существует бесконечно МНО20 линейно He
зависимых троек цветов.
В 1931 roдy Международная осветительная комиссия (МОК)
приняла в качестве основных три монохроматических цвета:
красный R, зеленый G и СШlий В с длинами волн COOTBeтcт
венно А. == 700 нм, А. == 546,1 нм, А. == 435,8 нм.
Распространенное выражение вида «при смещении цветов
R, G, В с такими то интенсивностями получается цвет, COOTвeT
ствующий длине волны А. (скажем, А. == 500 им)>> не следует по
нимать буквально; оно означает не то, что получено MOHO
хроматическое излучение с длиной волны А., а ЛШIIЬ то, что
полученное излучение про изводит такое же воздействие на
rлаз, как монохроматическое излучение с длиной волны А..
Теперь будет понятен дрyrой важный закон, сформули
рованный rpaccMaHoM: цвет смеси нескольких цветов зависит
то-лько от цветов смешиваемых компонентов, но не зависит от
спектраЛЬНО20 состава этих компонентов.
При смешении цветов R, G, В можно, в частности, полу
чить и белый цвет. Приняты различныIe стандарты «белИЗНЬD).
Если смешать с 'равными интенсивностями (т. е. освещеннос
тями, скажем, по 1 люмену) красНЫЙ цвет R, зеленый G
и синий В, то получится не белый цвет,
а цвет синеrо оттенка. В качестве стан...
дартноrо белоrо цвета (обозначается
буквой Е) принят цвет, возникающий от
смешения цвerа R с освещенностью в
1 люмен с 4,5907 люмена цвета G и с
0,0601 люмена цвета В (рис. 77).
Мы можем теперь нarлядно изо
&- бразить цвета, получаемые от смеше
ния трех основных цветов R, G, В. Bы
берем на плоскости какой либо треуrоль
ник и вершины ero обозначим буквами R, G, В (в соответствии
с основными цветами). Если некоторый цвет возник при смеще
нии r «еДШIIЩ» цвета R, g «единиц» цвета G и Ь «еДШIIЩ» цвета В,
R
Рис. 77.
1) rpaccMaнy, КOfорый в большей степени был философом, чем MaTeмa
тиком, принадлежит наравне с rамильтоном заслуra введения векторных
пространcrв и векторных операций (в частносm, скалярноrо и векторноrо
произведений).
134
причем r + g + Ь == 1, то можно этому цвету сопоcrавить
точку F, имеющую Б координаты (r; g; Ь). При этом надо усло
виться, что считать «единицей» Toro или иноrо цвета. В COOTBeT
ствии со сказанным выше за «единицу» принимают такие интен
сивности цветов R, G и В, которые соответcrвуют освещенноcrи
соответственно в 1 люмен, 4,6 люмена и 0,06 люмена. Цвет,
возникающий при смешении r, g, Ь выбранных «единиц» цветов
R, G, В, rде r + g + Ь == 1, изобразиrся в виде точки F треyrоль
ника RGB, которая имеет Б координаты (r; g; Ь). Эти координаты
называют в колориметрии координатами цветности (или Tpex
цветными коордИнатами). В частности, стандартный белый цвет
· ( 1 1 1 )
Е имеет Б координаты (координаты цветности) 3; 3; 3 .
3 а м е ч а н и е. Прием, который здесь был применен, исполь
зуется и в дрyrих аналоrичных ситуациях и, в частности,
в проективной rеометрии. Пусть заданная точка Е имеет
относительно базисноrо треyrольника А 1 А 2 А з барицентриче
ские координаты ).11, ).12, ).1з. Если ).1з значительно меньше
чисел ).11, ).12, то точка Е расположена вблизи crороны А 1 А 2 ,
и потому yrол А 1 ЕА 2 близок к развернутому, а изучение
взаимноrо расположения точки Е и дрyrих лежащих вблизи нее
точек затруднительно. Сущеcrвенно лerче бьто бы произвести
такое изучение, если бы точка Е находилась в «центральной
части» треуrольника А 1 А 2 А з . Чтобы осуществить «перевод»
точки Е в «центральную часть» треyrольника, сопоставим
числа ).11, ).12, ).1з cooTBeTcrBeHHo вершинам А 1 , А 2 , Аз базисноrо
треуrольника и будем их считать «единичными массами» для
этих вершин. Если теперь Р произвольная точка и (Ь 1 ; Ь 2 ; Ь з )
ее Б координаты относительно д А 1 А 2 А з , то
............... ............... ............... Ь 1 ............... Ь 2 ...............
ОР == Ь 1 ОА 1 + Ь 2 ОА 2 + Ь з ОА з == ().110Al) + ().120A2) +
).11 ).12
Ь з ...............
+ ().1зОАз).
).13
Таким образом, чтобы получить точку Р, надо «единичные
маССЬD> ).11, ).12, ).13 умножить соответственно на числа
Ь 1 Ь 2 Ь з
, , Эти числа примем за координаты точки Р
).12 ).12 ).13
относительно базисноrо д А 1 А 2 А з , в котором задана «еди
ничная точка» Е. Эти координаты обычно рассматриваются
с точностью до общеrо множителя, т. е. берyrся их отношения
: Ь 2 : Ь з которые называются однородными (или проек
).11 ).12 ).1з
135
тивными) координатами точки Р относительно А 1 А 2 А з
:::::Ч::: р ::: а :: E 1 :cr(::и , a : т ):а т e e: :::o
этим координатам как бы «переводит» точку Е в «ценrральную
часть» треуrольника А 1 А 2 А з .
Вернемся к проблемам колориметрии. В виде точек на
плоскости можно изображать и такие цвета, которые не полу
чаются от смешения цветов R, G, В. Пусть F такой цвет,
что при смешении цвета F с одним из цветов R, G, В (скажем,
ДJIя определенности, с R) можно получить такой же цвет,
как от смешения двух друrих цветов (G и В). Это означает,
что найдутся положительные числа 11, r1, g1, Ь 1 , дЛЯ которых
I1 F + r1 R == g1 G + Ь 1 В.
Увеличив интенсивности всех четырех цветов в h раз, заПШlIем
это соотношение в виде
IF == rR + gG + ЬВ,
rде 1 == 11 h , r == ( r1) h, g == g1h, Ь == b 1 h; при этом число h под
берем так, чтоБыI было r + g + Ь == 1.
nBeTalF и F отличаются своей интенсивностью (яркостью),
но не цветностью. Их цветность можно изобразить в виде
точки F 1, расположенной в плоскости треyrольника RGB и
имеющей Б координаты (<<цветовые коэффициенты») r, g, Ь.
Так как одна из этих координат отрицательна, то точка F 1
раСПQ.ложена в н е RGB.
Множество всех точек, изображающих цветности спект
ральных (т. е. монохроматических) цветов (430 нм Л 700 нм),
1J
r
G
Рис. 78.
представляет собой некоторую кривую r, снятую эксперимен
тально (рис. 78). Понятно, что ора проходит через вершины
базисноrо (<<цветноrо») треyrольника RGB, так как цвета R,
136
G, В монохроматические. Кривая r оrраничивает вы п у к л у ю
область D (область «реальных цветов»); поэтому любая ЦBeT
ность, возникающая при смешении монохроматических цветов,
изобразится в виде точки, принадлежащей этой области. То,
что область D содержит весь базисный треуrольник RGB,
означает, что каждая точка этоrо треуrольника изображает
некоторый реальный цвет. В то же время имеются такие
реальные цвета, которые не MorYT быть получены из цветов
R, G, В только с помощью ()Iн:rации их смешивания; таковыми
будут цвета, изображаемые 1 очками области D, лежащими вне
tJ. RGB. Выпуклость и «окруrлость» области D указьmает еще
и на то, что н и при к а к о м выборе базисноrо треyrоль
ника с вершинами в точках, изображающих реальные цвета,
не может оказаться, что все реальные цвета имеют лишь
п о л о ж и т е л ь н ы е Б координаты, т. е. что любой реальный
цвет может быть получен из трех «базисных» цветов (соответ-
ствующих вершинам базисноrо треyrольника) с помощью
смешения.
Сказанное имеет непосредственное отношение к вопросу
о цветопередаче в цветном телевидении, фотоrрафии и кинема
тоrрафии. . В каждом случае цветное изображение реальноrо
объекта, «нарисованное» объективом на' поверхности светочув
ствительноrо слоя, как бы разлаrается на компоненты, COOT
ветствующие трем базисным цветам. В кинопленке, например,
это достиrается тем, что светочувствительный слой состоит
из трех отдельных слоев, в которые вводятся специальные
красители (сенсибилизаторы), блаrодаря которым кристаллы
бромистоrо серебра, окрашенные тем или иным сенсибили
затором, оказываются чувствительными в основном лишь к
определенной компоненте (красной, зеленой или синей). В ре-
зультате процесса проявления и фиксирования в желатиновом
слое (который ранее был светочувствительным) возникают три
изображения снятоrо объекта красное, зеленое и синее. Каждое
из этих изображений образовано мелкими кристалликами
соответствующеrо цвета «зеРНЬШIками», которые хорошо
видны при рассмотрении кинопленки (или фотоснимка) через
микроскоп и даже просматриваются через сильную лупу.
Однако при непосредственном рассмотрении rлазом (без сильно
увеличивающих оптических приборов) эти три цветных изобра
жения смешиваются, что и создает эффект цветноrо снимка.
В телевизоре тот же эффект достиrается тем, что на по
верхность кинескопа наноскrся при ero изrотовлении три
системы элементов, которые под воздействием электронноrо
луча (десятки раз в секунду прочерчивающеrо строка за
crрокой всю поверхность кинескопа) светятся одни красным,
137
друrие зеленым, третьи синим светом. Так как эти люмине
сцирующие элементы нанесены в виде очень мелких сеток,
покрывающих поверхность кинескопа узкими перемежающи
мися строками, то возникающие на поверхности экрана цвета
(красный, зеленый, синий) смешиваются, и в зависимости от
яркостей этих компонентов зритель воспринимает на экране
цветное изображение.
Из сказанноrо выше ясно, что (даже при идеальных ceH
сибилизаторах и безукоризненно проведенном процессе про
явления, точно воспроизводящем на изображении базисныIe
цвета R, G, В) полученное фотоrрафическое, кинематоrрафи
ческое или телевизионное изображение можer воспроизвести
лишь такие цвета, которые получаются смешением трех ба
зисных цветов (с теми или иными интенсивноcrями). Иначе
rоворя, на изображении получаются лишь те цвета, которые
соответствуют точкам базисноrо треyrольника RGB (а не всей
области D реальных цветов). Это означает, что цветопередача,
получаемая на изображении, непременно будет несколько иска
женной и более бедной, чем цветовая raмMa, имевшаяся у
реальноrо снимавшеrося объекта. Даже с учетом эффекта CMe
шения цветов на изображении воспроизводятся не все реалъ
ные цвета, а лишь цвета, изображаемые точками базиснorо
(<<цветовоrо») треyrольника RGB. Почему же мы не замечаем
этоrо и часто (при точной работе оператора и работн'иков
проявочноrо цеха) видим на киноэкране прекрасную ecreCТBeH
ную цветопередачу? Объясняется это тем, что ведь и наш
rлаз тоже работает на основе трехкомпонентноrо цветовоrо
зрения (блarодаря наличию колбочек трех видов в сетчатой
оболочке rлаза), и потому при хорошем подборе сенсибилиза
торов изображение на экране с о о т в е т с т в у е т тому BOC
приятию реальноrо объекта, которое осуществляется нашим
rлазом.
Заметим еще, что дальтонизм (врожденный недоcrаток зре
ния, при котором не различаются синий и зеленый цвета)
сводится к наличию только двух базисных цветов KpacHoro
и еще одноrо (<<сине зеленоrо»). В Ре3ультате вместо треyrоль
ника RGB мы получаем для характеризации зрения дальтоника
о т рез о к RB; точки этоrо отрезка, изображающие цвета, раз
личаемые дальтоником, характеризуются уже не тремя, а
Д в у м я барицентрическими координатами r, Ь.
Вернемся к математическому рассмотрению проблемы цвe
топередачи. Как мы видели, точки плоскости RGB, лежащие
вне области D, не соответствуют реальным цветам. Тем не
менее ради удобства вычислений бывает целесообразно pac
сматривать и эти точки. В чаcrности, предcrавляет определен
138
ное удобство выбор TaкOrO базисноrо треyrольника, относи
тельно KOToporo все реальные цвета имеют неотрицательные
координаты. Однако, как следует из сказанноrо выше, выбрать
этот треyrольник так, чтобы ero вершинами оказались точки,
изображающие реальные цвета, невозможно.
В 1931 rоду МОК приняла стандартную систему цветовых
(барицентрических) координат, в которой в качестве основных
цветов (изображаемых вершинами базисноrо треyrольника)
приняты три цвета, не воспроизводим:ых реально, и получивших
стандартные обозначения Х, 1': z.
Выбор точек Х о' У О , Zo в плоскости треyrольника RGB,
соответствующих этим цветам, диктуется следующими сообра
жениями. Пусть F по прежнему обозначает какой-либо «еди..
НИЧНЫЙ цвет», и пусть (r; g; Ь) ero Б координаты относительно
д RGB, а (х; у; z) ero Б координаты относительно треyrоль
ника Х о YoZo (пока еще нами не ПQдобранноrо). Тоrда интен
сивность L F единичноrо цвета F выражается через интенсив-
ности L R , L G , L B единичных цветов R, G, В по формуле
L F == rL R + gLG + bL B , (63)
а через интенсивности Lx, Ly, Lz единичных цветов Х, 1': Z
по аналоrичной формуле
L F == xLx + yL y + zLz.
Последняя формула упростится, если. два единичных цвета
(скажем, Х и Z) будут иметь нулевую интенсивность. Поль
зуясь формулой (63), нетрудно написать уравнение линии 'У,
точки F которой соответствуют цветам, которые имеют (OTHO
сительно А RGB) нулевую интенсивность:
rL R + gL G + bL B == о,
или подробнее
1r + 4,5907 g + 0,0601 Ь == о.
(64)
Линия 'у прямая (рис. 78); она получила название «алихнз»
(по rречески «бесцветная»). Две вершины Хо и Zo (а значит,
и сторону Х oZo) выберем лежащими на прямой 'У. Вторую
сторону треyrольника Х о YoZo выбирают на прямой, проходя
щей через те точки (<линии спектральных цветов» r, которые
изображают монохроматические цвета с длинами волн л ==
== 700 нм И Л. == 640 нм. акой выбор диктуется тем, что на
этом участке линия r практически прямолинейна, и в новой
системе отсчета Х о YoZo для монохроматических цветов из диа
пазона от 640 нм до 700 нм одна Б координата будет равна
нулю. Так как известно, что указанные две точки относительно
139
6 RGB имеют Б координаты (1; о; о) и (0,9797; 0,0203; 0,002),
а любая прямая выражается уравнением первой степени OTHO
сительно Б координат, то леrко найти уравнение искомой пря
мой (рис. 78):
O,lg + Ь == о.
(65)
Прямую, содержащую третью сторону треуrольника Х о YoZo,
выбирают так, чтобы она касалась «области реальных цветов»;
в качестве нее берут прямую, описываемую уравнением
2,45r + 1,55g + Ь == о.
(66)
Задачи
228. Учитьmая, что сумма бариценrрических коорди
нат равна единице, вычислите Б координаты (относительно RGB)
точек попарноrо пересечения трех прямых (64), (65), (66).
229. Вычислите Б координаты е,,, е у , e z точки Е (<<белый цвет»)
относительно базисноrо треуrольника Х о YoZo, образованноrо пря
мыми (64), (65), (66).
230. Докажите, что для базисных цветов Х == (3е х ) Х о, У == (3e g ) Уо,
1 1 1
Z == (3e z ) Zo справедливо соотношение Е == х + У + Z. Эти ба
3 3 3
зисные цвета иrрают важную роль в теории цветопередачи.
о 18. Подразделения полиэдров
В этом парarрафе мы расскажем о применении
центров масс и барицентрических координат в т о п о л о r и и
новом разделе rеометрии, который оформился в самостоятель
ное научное направление лишь в ХХ столетии. Впрочем, о
самой тополоrии здесь речи не будет 1), а разrовор пойдет
лишь о барицентрических подразделениях, рассматриваемых в
различных вопросах тополоrии.
В отличие от друrих парarрафов, здесь задачи не собраны
в конце парarрафа, а рассредоточены по всему тексту, так
как они составляют существенную часть изложения. Читатель
сам решит, будет ли он эти задачи решать подряд (воз
можно, оrраничиваясь трехмерным пространством, т. е. считая
п == 3), или же часть из них пропустит, ознакомившись с
содержащимися в них утверждениями.
Прежде Bcero отметим следующий факт (см. замечание 1
в 2). Пусть Т== [АоАIА2] некоторый треуrольник и
то, тl, т2 положительные числа (массы, помещаемые в Bep
шинах этоrо треyrольника). Обозначим через А О12 центр
1) Читателю, который захочет получить представление о тополоrии, можно
рекомендовать книry: Б о л т я н с к и й в. r., Е фре м о в и ч В. А. Нarлядная
, тополоrия. М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», вЬПI. 21.)
140
масс всех трех м. т. тоА о ,
1пlАl, т2 А 2, а через А 12
центр масс двух м. т. тlАl
и т2А2 (рис. 79). Тоrда точки
Ао, А 12 И А О12 лежат на
одной прямой. Этот факт
можно осмыслить следую
щим образом. Точка Ао
нульмерная rpaнь треуrоль
ника (АоАlА2]' а сторона o
(А 1 А 2 ] (которая содержит
все остальные вершины, кроме Ао) одномерная 2рань этоrо
треyrольника, nроrrшвоnоложная нульмерной rрани Ао. Теперь
отмеченный факт может быть сформулирован следующим
образом. Пусть в вершинах треyrольника Т помещены Ka
кие то положительные массы, и пусть Т' и Т" две про
тивоположные rрани этоrо треyrольника (т. е. Т" содержит все
вершины треyrольника, кроме вершин, принадлежaIЦИХ rрани
Т'). Обозначим через А' центр масс, помещенныIx в вершинах
rрани Т', через А" центр масс, помещенных в вершинах
rрани Т", а через А центр всех масс, помещенных в верши
нах треуrольника Т. Тоrда точки А', А", А лежат на одной
прямой.
Ая
Рис. 79.
Задачи
231. Сформулируйте и докажите аналоrичное утвержде
ние для тетраэдра. Сколько в результате получается отрезков,
пересекающихся в одной точке (см. задачу 1)?
232. Сформулируйте и докажите аналоrичное утверждение для
п MepHoro симплекса.
233. Сформулируйте и докажите аналоrичное утверждение для
произвольных м. т. тlАl, ..., тkAk
(не предполаrая, что А 1 , ..., Ak A.j
вершины треyrольника, тетраэдра,
симплекса).
Следующий факт мы полу
чим, рассматривая тетраэдр
(треуrольник для этоrо слиш
ком беден rеометрической ин
формацией). Пусть в вершинах
тетраэдра Т== (А о А 1 А 2 А з J по
мещены какие то положитель
ные массы то, тl, т2, тз, и
пусть Т' некоторая одномерная rрань (ребро) тетраэдра Т,
скажем, Т' == (АоАl]. К этому ребру примыкают две двумерные
2
Ао
А О1
Рис. 80.
А 1
141
rрани [АоА1А2] и [А о А 1 А з ] (рис. 80), а 1:акже одна (<тpex
мерНая rрань» сам тетраэдр [А о А 1 А 2 А з ]. Кроме Toro, к
ребру Т' примыкает одна одномерная rрань (само ребро Т').
Для каждой из этих четырех rраней (примыкающих к Т1
можно взять центр масс, лежащих в этой rрани, т. е. точки
А о12 , А о1з , А о12з , А О1 . Оказывается, что эти четыре точки
лежат в одной плоскости (см. задачу 234).
Задачи
234. Пусть Т' == [АоА 1] одномерная [рань тетраэдра
[А о А 1 А 2 А з ], в вершинах KOToporo помещены массы то, т1, т2, тз.
Докажите, чrо для каждой из четырех rраней, примыкающих к Т',
центр содержащихся в ней масс лежит в плоскости, определяемой
(в барицеиrрических координатах Jlo, Jll, Jl2, Jlз относительно базисноrо
тетраэдра [А о А 1 А 2 А з ]) уравнением Jlo == .
. то т1
235. Пуcrь Т == [АоА 1 . . . An] некоторый п мерный симплекс, в Bep
шинах KOToporo помещеl:lЫ положительные массы то, т1,. . ., т,.. Пуcrь,
далее, Т' некоторая k мерная [рань этоrо симплекса, скажем,
Т' == [АоА1 ... A k ] (k < п). Докажите, чrо для любой rрани Т", при
мыкающей к Т' (т. е. содержащей все вершины Ао, А 1 ,..., A k ), цeнrp масс,
содержащихся в rрани Т", лежит в (п k) мерной плоскости,
определяемой уравнениями
Jlo == Jlk
..... ..... . . .
то
т1
mk
Вернемся снова к треyrольнику Т == [АоАIА2], В вершинах
KOToporo расположены массы то, тl, т2, и возьмем какую
либо вершину этоrо треyrольника, скажем, вершину Т' == Ао.
Рассмотрим все те точки треyrольника, у которых отношение
J.1o н е м е н ь ш е, чем аналоrичные отношения для дрyrих
то
вершин, т. е. выполнены два неравенства J.1o , J.1o J.12 .
то тl то т2
На рис. 81 это множество 3(Ао) отмечено штриховкой; оно
называется барицентрической звездой 1) вершины Ао в треyrоль
нике (АоАIА2]. На рисунке видно, что барицентрическая
звезда является в ы п у к л ы м множеством (четырехyrольником).
Видно также, что барицентрическая звезда составлена из двух
1) Точнее, з а м к н у т о й барицентрической звездой (кроме них, рассматри
ваются о т к рыт ы е барицентрические звезды, определяемые crроrими He
. J,1o J,11 J,1o J,12 ) ...
равенствами. > , > . Мы в дальнеишем будем рассматривать
то тl то т2
толысo замкнyrые барицентрические звезды, опуская слово «замкнутые».
142
треyrольников (АоАОlАО12] и (АоАО2АО12]' которые назьmаются
зв(?зднымu треуzольнuкамu.
Теперь возьмем не вершину треyrольника Т == (АоАlА2]'
а ero одномерную rpaHb Т', скажем, Т' == (АоАl]. БарицеlПРИ
А 1
Рис. 81.
ческа я звезда 3 (Т') этой rрани определяется системой соотно-
шений
Jlo Jl2
:;::;
то тl т2
и представляет собой отрезок (AOIAot2].
Наконец, барицентрическая звезда 3 (1) caMoro треyrольника
Т== (АоАlА2] определяется равенствами
Jlo == Jll == Jl2
то тl т2
и состоит только из одной точки А о12 .
Заметим, что барицентрическая звезда нульмерной rрани
имеет размерность 2, для одномерной rрани барицеlПРИ
ческая звезда имеет размерность 1, для двумерной раз
мерность О, т. е. в треyrольнике [АоАlА2] барицеlПрlfческая
звезда k",мерной rрани (k == О, 1, 2) имеет «дополнительную»
размерность 2 k. Кроме Toro, по сравнению с rранями
барицентрические звезды примыкают дрyr к дрyrу «наоборот»:
если rpaHb Т' треyrольника примыкает к rраНИ Т" (т. е.
Т' :::> Т"), то, наоборот, звезда 3 (Т") примыкает к 3 (Т')
(Т. е. 3 (Т") ::> 3 (Т')). Это леrко проследить на рис. 81, например,
для rраней Т' == (AoAt], Т" == Ао.
Для тетраэдра Т == (А о А t А 2 А з ] положение вещей аналоrично
(см. задачу 239).
Задачи
236. Пусть Т' некоторая k мерная rpaНb симплекса
Т == [АоА 1 .. . А,,], скажем, Т' == [АоА 1 .. . A k ]. Барuцентрuч еской звездой
3 (Т') rрани Т' в этом симплексе назьmается множество всех точеIC.
143
барицентрические координаты J.1o, J.11,"', J.1n которых (относительно
базисноrо симплекса [АоАl'" Аn]) удовлетворяют условиям
J.1o J.1k J.10 . J.1k + 1 J.1o J.1n J.1o
,..., , -..;:: ,..., -..;:: .
тl то mk то mk+l то т n то
Докажите, что 3 (Т') есть ВЫПУКЛЫЙ мноrоrранник размерности п k.
237. Докажите, что если rpaHb Т' симплекса [АоАl'" Аn] примыкаer
к rрани Т" (т. е. Т':::> Т"), . то звезда 3 (Т") примыкает к 3 (Т')
(т. е. 3 (Т") :::> 3 (Т'».
238. Пусть Т 1 какая либо k мерная rpaHb симплекса Т ==
== [АоАl'.. Аn] (в вершинах KOToporo расположены массы то, тl,".
..., т n ) и Т 1 С Т 2 С ... с Tn k с Т такая последовательность rраней,
что каждая следующая rpaНb имеет на единицу большую раз
мерность, чем предыдущая. Центры масс, содержащихся в этих rpa
нях, обозначим через В 1 , B2,...,Bn k, В. Докажите, что (п k)
мерный симплекс с вершинами В 1, В 2, . . . , В" k, В (<<звездный
симплекс», сопряженный rрани Т 1) содержится в звезде 3 (Т 1).
Докажите также, что число таких звездных симплексов (сопряжен
ных rрани Т 1 ) равно (п k)!, а объединение всех этих симплексов
равно 3 (Т 1)'
239. Проверьте свойства барицентрических звезд и звездных
симплексов (задачи 236 238) в случае, Kor да рассматривается тетраэдр
(п == 3) с равными массами в ero вершинах (то == тl == т2 == тз == 1).
Сделайте чертежи.
Заметим, что все звездные симплексы, соцряженные различ
ным rраням симплекса Т, и все rрани этих звездных симплек
сов образуют систему симплексов, обладающих следующим
свойством расположения дрyr относительно друrа: каждые два
из этих симплексов либо не имеют общих точек, либо же
их пересечение является rранью каждоrо из них. Короче, эти
симплексы примыкают дрyr к друrу целыми rранями. Это
леrко прослеживается на рис. 82, rде изображено разбиение
А:
А 1
Рис. 82.
треуrольника Т == [АоАlА2] на звездные симплексы. Например,
одномерный симплекс [АоАОl] и двумерный симплекс
144
[А2А12АО12] не имеют общих
точек, а симплексы [АоАОl А О12]
и [АоАО2АО12] пересекаются по
отрезку [АоАО12], являющемуся
их общей «rранью».
В различных вопросах топо
лоrии рассматриваются cuмпли
циальные комплексы, т. е. такие
системы симплексов, чrо эти
симплексы и их rрани обладают
отмеченным выше свойством:
пересечение любых двух либо
пуcrо, либо является rранью
каждоrо из них. Таким образом,
разбиение произвольноrо сим
плекса на звездные симплексы
представляет собой симплициальный комплекс. Пример
симплициальноrо комплекса изображен на рис. 83; этот KOM
плекс является двумерным, т. е. н а и б о л ь ш а я из размер
ностей входящих в Hero симплексов равна 2.
Множество всех точек, принадлежащих симплексам, COCTaB
ляющим комплекс, назьmается полиэдром. Но чтобы задать
симплициальный комплекс, недостаточно только указать COOT
ветствующий полиэдр; надо еще перечислить симплексы, co
ставляющие этот комплекс. Например, симплекс АоА 1 . . . А п со
всеми своими rранями составляет симплициальный комплекс.
Ero барицентрическое подразделение (соcrоящее из всех звезд
ных симплексов и их rраней) это уже друrой симплициаль
ный комплекс (хотя он определяет тот же полиэдр).
Пусть К некоторый симплициальный комплекс, 1 к 1
соответствующий полиэдр. Если М какая либо точка этоrо
полиэдра, то в комплексе К существует единственный
симплекс, для KOToporo М является в н у т р е н н е й точкой
(он называется носителем точки М). Например, для точки М 1
на рис. 83 носителем является треyrольник AIA4As, а для
точки М 2 отрезок А 1 А 2 .
Пусть К некоторый симплициальный комплекс, А 1 , А 2 ,...
. . . , Ар все ero вершины. Возьмем произвольную точку
М Е 1 к 1, и пусть ее носителем является, скажем, симплекс
[АIА2... A k ]. Тоrда определены барицентрические координаты
J.11, J.12'...., J.1k этой точки относительно базисноrо симплекса
[A 1 A 2 ...A k ], причем все эти координаты положительны
(поскольку М внутренняя точка симплекса [А 1 А 2 ... A k ], являю
щеrося ее носителем). y словимся считать, что для всех
остальных вершин комплекса К (не принадлежащих симплексу
J4 8
А 2
Рис. 83.
145
[АIА2... А,]) соответствующие им барицентрич кие координа
ты точки М тоже определены, но все равны нулю. Таким
образом, справедливо равенство
..........
ОМ == 1..110Al + ... + I..1"OA" + 1..1"+10A"+1 +... + I..1 p OA p ,
причем сумма всех барицеlПРИЧеских координат точки М
по..прежнему равна 1.
Теперь можно обобщить понятие барицеlПРИЧеской звезды
на любой симплициальный комплекс. Пусть К симплициаль
ный комплекс, А 1 , А2,...,Ар все ero вершины и
тl, т2,..., т р заданные положительные числа (распределение
масс). Возьмем некоторый симплекс Т КОМIШекса К; пусть,
скажем, ero вершинами являются точки А 1 , А 2 ,..., А". Бари
цеlПРИЧеской звездой симплекса Т в комплексе К называется
множество всех точек М Е 1 к 1, барицеlПрические координаты
которых удовлетворяют условиям
1..12 ...... 1..1" 1..1" + 1 1..1 р 1..11
... , ""= ,..., ""=
тl т2 т" т"+1 тl т р тl
(см. задачу 236). Например, барицентрическая звезда вершины
А6 в комплексе, изображенном на рис. 84, представляет собой
Az
мноrоуrольник, но только не плоский, а изломанный (если
точки А 1 , А 2 , Аз, А 4 , As, А 7 , Ав не лежат в одной плос
кости). Барицентрическая звезда отрезка А4А6 на рис. 84
представляет собой двузвенную ломаную.
Задачи
240. Пусть Т некоторый симплекс комплекса К и
т 1,'.., Ту все симплексы комплекса К, примыкающи:е к Т (Т. е.
содержащие Т). Докажите, что бар ентрическаJl звезда 3 (Т) симплекса
146
Т в комплексе К представляет собой объединение барицентрических
звезд rрани Т, взятых в симплексах Т 1 ,;.., Tr.
241. ДОkажите, что объединение всех барицентрических звезд
вершин комплекса К есть 1 к 1.
242. Комплекс К состоит из q треyrОЛЬНИkОВ, имеющих общую
сторону Т (и из всех rраней этих треyrольнИICОВ). Что представляет
собой барицентрическая звезда симплекса Т в этом комплексе?
(Этот пример вместе с рис. 84, на котором заштрихована барицентри
ческая звезда вершины А 6 , поясняет происхождение термина «6ари
центрическая з в е з Д а».)
243. Докажите, что если барицентрические звезды вершин
А 1 , А 2 ,..., АА; в комплексе К имеют непустое пересечение,' то в
комплексе К имеется симплекс с вершинами А 1 , А 2 ,..., АА; (и обратно).
в заключение рассмотрим вопрос о размерах симплексов
HeKoToporo комплекса. Диаметром симплекса называется наи
большая из длин ero ребер. Далее, степенью мелкости
симплициальноrо комплекса К называется наибольший из
диаметров входящих в Hero симплексов.
Зада.
244. Докажите, что если диаметр симплекса равен d,
то для любых двух точек А, В этоrо симплекса справедливо He
равенство 1 АВ 1 d, причем равенство достиrается лишь в том случае,
если А и В концы наибольшеrо ребра (или одноrо из наиболь
ших).
245. Докажите, что если комплекс К представляет собой бари
центрическое подразделение симплекса Т == [АоА 1 . . . An], построенное
при помощи распределения масс то == тl == ... == т" == 1 (такое ба
рицентрическое подразделение называется собственным), то степень
мелкости d' симплициальноrо комплекса К удовлетворяет условиям
1 n
d < d' < . d, [де d диаметр симплекса Т. Докажите более
2 n + 1
V 2 (n + 1) .
точную оценку d' n d (которая достиrается только для пра
вильноrо симплекса Т).
246. Пусть К симплициальный комплекс, на вершинах
А 1 , А 2 ,..., Ар KOToporo задано некоторое распределение масс
тl, т2,"', т р . Докажите, что все звездные симплексы, построенные
(с помощью этоrо распределения масс) во всех симплексах комплекса
К, образуют новый симплициальный комплекс К' (он называется
барицентрическим nодразделенuем комплекса К (рис. 84».
247. Докажите, что если степень мелкости комплекса К равна
d то ero с о б с т в е н н о е барицентрическое подразделение (по
, .
строенное с помощью распределения масс тl == т2 == . .. == т р == 1) имеет
степень мелкости 1 d, rде r наибольшая размерность содержа
r+
щихся в комплексе К симплексов. Выведите отсюда, что s кpaTHoe
147
собственное барицентрическое подразделение K(s) комплекса К имеет
при достаточно большом s как yrодно малую степень мелкости.
248. Пусть I к I произвольный полиэдр, имеющий размерность r
(т. е. наибольшая из размерностей симплексов, содержащихся в комплек
се К, равна ') и Е заданное положительное число. Докажите, что
существуют полиэдры 31, 32,' .., 3q, покрьmающие I К I (т. е.
31 U 32 U . . . u 3q == I к 1) и обладающие следующими двумя свойствами:
1) каждые r + 2 из полиэдров 31, 32'"'' 3q имеют пустое пересечение;
2) любой полиэдр 3 i имеет диаметр Е (т. е. ДJIя любых точек
А, В Е 3 i справедливо неравенство I АВ I Е). (Сформулированное YT
верждение имеет фундаментальное значение ДJIЯ тополоrической
т е о р и и раз м е р н о с т и.).
19. БарнцеlПричесК1lе координаты
в теории инт ерполяции
В этом параrрафе мы рассмотрим задачу
интерполяции, т. е. приближенноrо представления сложных
функций с помощью более простых. В этих вопросах (Ha
ходящих приложения в математическом анализе при прибли
женном решений уравнений математической физики и т. д.)
за последние rоды все более широко пр еняются бари
центрические координаты.
Задачи
249. ПЛоскость r:J.' ортоrонально проектируется на
плоскость r:J. (рис. 85). Точки А 1 , А 2 , Аз, М' плоскости r:J.' имеют
своими проекциями точки А 1 , А 2 ,
Аз, М. Докажите, что барицентри
ческие координаты точки М' OTHO
сителъно базисноrо треyrольника
А 1 А 2 А з совпадают с барицентри
ческими координатами J.11, J.12, J.1з
точки М относительно базисноrо
треуrольника А 1 А 2 А з .
250. Докажите, что при усло
виях задачи 249 справедливо pa
венство
............
ММ' == J.11 A I A l + J.12 A 2 A 2 + J.1зАзАз.
/ J ъКJA27
251. Условимся расстояние точ
ки М' ОТ плоскости r:J. считать поло
жительным, если М находится по
одну сторону плоскости r:J. (<<сверху»),
и отрицательным, если М' лежит
по друrую сторону от r:J. (<<снизу»).
Пусть при условиях задачи 249 расстояния точек А 1 , А 2 , Аз от
плоскости r:J. равны аl, а2, аз. Докажите, ч:rо если точка Х прост
ранства проектируется в точку М (J.11; J.12; J.1з) и находится на pac
Рис. 8S.
148
стоянии z от плоскости сх, то точка Х в том и только в том случае
лежит в плоскости сх', если
z == J.11 a l + J.12a2 + J.1заз.
Это соотношение можно назвать барицентрическим уравнением
плоскости сх' относительно базисноrо треyrольника А 1 А 2 А з .
252. Обобщите результат задачи 250 на случай k MepHoro симплек
са [АоА 1 . .. А,,].
Утверждение, содержащееся в задаче 251, позволяет pac
смотреть одну типичную интерполяционную ситуацию. Пусть
в плоскости (J. задана некоторая область G (которую ради просто
ты будем считать мноrоyrольником) и в этой области задана
положительная функция <р, т. е. каждой точке М Е G сопостав
лено некоторое' положительное число <р (М). Рассмотрим в
пространстве точку М', проектирующуюся в точку М и Ha
ходящуюся на расстоянии <р (М) от плоскости сх. Всевозмож
ные такие точки М' образуют некоторую поверхность G',
проектирующуюся на область G, а объедИнение всевозможных
отрезков [М М'] представляет собой тело Т, оrраниченное об
ластью G, поверхностью G' и боковой (цилиндрической)
поверхностью с образующими, перпендикулярными плоскости
сх (рис. 86). Во мноrих прикладных вопросах нужно (хотя
Рис. 86.
бы приближенно) вычислить площадь поверхности G' или
объем тела Т. Ввиду сложности функции <р решение этих
задач может оказаться нелеrким. Мы можем существенно
упростить их решение, воспользовавшись следующим приемом.
Разобьем область G на мелкие треуrольники. Если
А t А 2 А з . один из этих треyrольников и A , А 2 , Аз
точки поверхности G', лежащие над точками А 1 , А 2 , Аз
(т. е. проектирующиеся в эти точки), то мы заменим участок
поверхности G', лежащий над 6 А t А 2 А з , треуrольником
149
(<<треyrольной черепицей») А t А 2 А з . Поступив таким образом и
с дрyrими участками поверхности G' (расположенными над
дрyrими треyrольниlCами, на которые разбита область G), мы
заменим всю поверхноСть G' «черепичной крышей», составлен
ной из треуrольников и расположенной над областью G.
Вычислить объем тела Т* , оrраниченноrо этой крышей,
областью G и боковой поверхностью, может оказаться более
леrкой задачей, чем вычисление объема первоначальноrо тела
Т. Интуитивно ясно (это можно cтporo обосновать при
весьма общих предположениях относительно функции <р), что
при мелком дроблении области G на треyrольники объем
тела Т* мало отличается от объема тела Т. И друrие задачи,
связанные с поверхностью G' или' телом т, может оказаться
более удобным решать, заменяя поверхность G' указанной
выше «крышей». А возможность записать с помощью бари-
центрических координат уравнение плоскости, содержащей
(<треyrольную череп у» (задача 251), облеrчает решение задач,
связанных с «крышей».
Зада.
lS3. Докажите, чrо объем ,прямой косоусеченной
1
призмы, изображенной на рис. 85, равен з-S(h1 + h 2 + h з ), rде S
площадь основания А 1 А 2 А з , а h 1 , h 2 , h3 длины ребер А 1 А 1 ,
А 2 А 2 , А з А з .
254. Докажите, что если все треуrольнИlCИ, на которые разбита
область G, имеют одинаковую площадь, то объем тела т. равен
1
s (klhl + k 2 h 2 + ... + kl'h p ),
3п
[де S площадь всей области G, h 1 , h 2 ,..., hl' значения функции
ер в точках А 1 , А 2 ,..., А" являющихся вершинами треYrОЛЬНИКОВ, на
которые разбита область G, n число этих треYrОЛЬНИКОВ, а k i
число треуrольников, примьпсающих к вершине A i .
Иноrда бывает нужно заменить поверхность G' «крышей»,
составленной не из плоских треyrольников, а из искривлен
ных частей, «более плотно» прилеrающих к поверхности G'.
В следующих задачах намечается, каким образом с помощью
барицентрических координат может быть осуществлена квад-
ратичная интерполяция функции <р, т. е. замена поверхности G'
прилеrающей к ней поверхностью, составленной из «искривлен
ных черепиц», описываемых уравнениями второй степени.
255. Мноrочлен второй степени принимает в точках Ао, А 1
числовой оси значения ао, аl, а в середине отрезка АоАl
значение ао 1 (рис. 87). Докажите, что в точке М, имеющей OTHO
150
g
а,
I
а о ,40,
,
О А 1 :с
Рис. 87.
сительно отрезка АоА1 барицентрические координаты J.1o, J.11, этот
мноrочлен принимает значение
у == aoJ.15 + a1J.1t + (4а О1 ао а1) J.10J.11.
256. Пусть А 12 , А 1з , А 2з середины сторон треуrольника
[А 1 А 2 А э ], лежащerо в области G; пусть, далее, а1, а2, аэ, а12, а13, а23
значения функции <р в точках А 1 , А 2 , А з , А 12 , А 1з , А 2з , а А 1 ,
А 2 , Аз, А 12 , А 1з , А 2з соответствующие точки поверхности G'.
Докажите, что поверхность, определяемая относительно базисноrо
треyrольника [А 1 А 2 А з ] барицентрическим уравнением
z == a1J.1t + a2J.1 + аэJ.1 + (4а 12 а1 а2) J.11J.12 +
+ (4а 1э аl аз)J.11J.1з (4а 2з а2 аз)J.12J.1з
(rде z высота точки над ПЛОСКОСТЬЮ д А 1 А 2 А э , а J.11, J.12, J.13
барицентрические координаты ее проекции относительно базисноrо
треyrольника А 1 А 2 А з ), проходит через все шесть точек А 1 , А 2 , Аз,
А , А , А ,
12, 13, 23.
257. Докажите единственность поверхности, рассмотренной в зада-
че 256. Иначе rоворя, если поверхность
z == AJ.1t + BJ.1 + CJ.1 + DJ.11J.12 + ЕJ.11J.1э + FJ.12J.1з
проходит через все шесть точек А 1 , А 2 , Аз, А 12 , А 1з , А 2з , то она
совпадает с поверхностью, рассмотренной в задаче 256.
258. Обобщите результаты задач 256, 257 на случай k-мерноrо
симплекса [АоА 1 . . . A k ].
259. Пусть G' поверхность, заданная над мноrоyrольником G,
и пусть этот мноrоуrольник разбит на треуrольники, каждые два
l:f3 которых имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо
не имею1' общих точек. Построим над каждым из этих тре-
уrольников «искривленную черепицу», описанную в задаче 256. Дoкa
жите, что, взяв такие «черепицы» для всех треуrольников, на
которые разбит мноrоyrольник G, мы получим над G <<непро
текающую крьпriу», т. е. каждые две соседние «черепицы» плотно бе3
просветов ПРИМЫl(ают друr к дрyrу.
1Sl
о 20. Интерпретация закона
Харди Вайнберra
Здесь мы рассмотрим вопрос оприменении
барицентрических координат в популяционной rенетике.
В каждой популяции (состоящей из мноrих особей одноrо
вида) от родителей к детям передаются наследственные
признаки. НаследCI'В ен н ост ь определяется rенами, причем
каждый отдельный reH управляет одним элементарным призна
ком (цвет волос, цвет rлаз, резус фактор крови и т. д.). reH
может иметь либо сильную (доминантную) форму А, либо
слабую (рецессивную) форму а. При этом каждая осрбь
имеет (во всех клетках cBoero орrанизма, кроме raMeT
половых клеток) одинаковый набор из д в у х reHoB, управ
ляющих рассматриваемым признаком. Если в клетках имеется
набор АА, то особь обладает рассматриваемым признаком в
сильной форме (скажем, положительный резус). То же будет
(фенотипически, т. е. внешне), если в клетках имеется набор
Аа, поскольку reH А доминирует над более слабым reHoM а.
И лишь если в клетках содержится набор аа, то особь
обладает рассматриваемым признаком в слабой форме (отри
цательный резус).
Пусть в популяции имеется Х особей с rенотипом АА,
у особей с rенотипом Аа и Z особей с rенотипом аа.
Тоrда вероятноCI'И J.1o, J.11, J.12 Toro, что случайно взятая
особь имеет COOTBeтCI'BeHHO 'rенотип АА, Аа, аа, пропорцио
нальны числам Х, У, Z, т. е. J.10: J.11 : J.12 == Х: У: Z, и потому
Х У Z
J.1o == Х + У + Z' J.11 == Х + У + Z' J.12 == Х + У + Z .
Так как J.1o + J.11 + J.12 == 1, то в условном треyrольнике с BeJr
шинами АА, Аа, аа можно рассмотреть точку М с бари
центрическими координатами J.1o, J.11, J.12; эта точка (рис. 88)
и характеризует состояние популяции в отношении распреде
ления reHoB, управляющих paCCMaT
риваемым элементарным признаком.
Например, «дикой» популяции, в
которой все особи имеют rенотип АА
(скажем, все кареrлазые), COOTBeTCТBY
ет точка J.1o == 1, J.11 == J.12 == О (левая
нижняя вершина на рис. 88); дрyrой
дикой популяции, в которой все особи
имеют rенотип аа (все rолубоrла
зые), cOOTBeTCI'ByeT правая нижняя
вершина J.1o == О, J.11 == О, J.12 == 1.
C>---
м /..1" 1. ()
O( '2 '4/
ОI'1(РО;Р1;Р2)
АА
аа
Рис. 88.
152
Смешанной популяции, в которой все три rенотипа АА,
Аа, аа встречаются одинаково часто (J.10 J.11 J.12 ).
соответствует точка пересечения медиан треуrольника.
А менделеевской популяции (о которой пойдет речь ни
же), r де четверть особей имеет rенотип АА, четверть аа,
а остальные Аа, соответствует точка М о с координатами
111
J.1o == 4' J.11 == 2' J.12 == 4.
Исследуем теперь вопрос о том, как вuдоизменяется
точка, характеризующая состояние популяции, при переходе к
следующему поколению. Мы будем считать, что в популяции
действует IШнмиксия, т. е. случайное скрещивание, при котором
мужская и женская особи (родители) соединяются независимо
от их наследственных или иных признаков. Кроме Toro, будем
считать, что среди мужских и женских особей rенотип АА
встречается одинаково часто (и то же относится к rенотипам
Аа, аа). Пусть родительская популяция характеризуется точ
кой М (J.10; J.11; J.12). Если отец имеет rенотип АА (вероятность
этоrо равна J.1o), то он непременно передает каждому из
детей один [ен А. Далее, если отец имеет rенотип Аа
(вероятность этоrо равна J.11), то каждый из детей получает от
отца [ен А с вероятностью 1/2. Наконец, если отец имеет rенотип
аа (вероятность этоrо равна J.12), т. е. у Hero нет [енов А, то
дети получают от Hero [ен А с вероятностью о. Таким обра
зом, вероятность получить [ен А от случайно выбранноrо отца
1 1
равна и == J.10. 1 + J.11 ."2 + J.12 . О == J.1o + "2 J.11. То же справедливо и
для случайно выбранной материнской особи. Следовательно,
произвольно взятая особь следующеrо (<<дочернеrо») поколения
получает rенотип АА (т. е. получает [ен А от каждоrо из роди
телей) с вероятностью J.1o u 2 , rде и J.1o + J.11-
Аналоrичное рассуждение показывает, что rенотип аа Bcтpe
чается в дочернем поколении с вероятностью J.12 == v 2 , [де
1
v == "2 J.11 + J.12.
А так как, очевидно, и + v == 1, то rенотип Аа встречается в
дочернем поколении с вероятностью
J.1 == 1 и 2 v 2 == (и + V)2 и 2 v 2 == 2uv.
Итак, если родительское поколение характеризуется точкой
с барицентричеСКU.Аfи координатами J.1o, J.11, J.12, то дочернее
153
поколение характеризуется точкой Jlo, Jll, J.12, вычисляемой по
формулам
, 2 , 2 ' 2
Jlo == и, Jll == и v, Jl2 == V ,
(67)
zде
1
и == Jlo + 2 Jll,
1
v == 1 и == 2 Jll + Jl2.
Например, если родительское поколение характеризовалось
точкой пересечения медиан базисноrо треyrольника (J.1o ==
== Jll ==, Jl2 == 1/з), то для дочернеrо поколения получаем по этим
формулам
, 1 / ' 1 / ' 1 /
Jlo == 4, Jll == 2, Jl2 == 4,
(68)
т. е. дочернее поколение является менделеевским и от л и
ч а е т с я (по распределению rенотипов) от родительскоrо.
В теоретических и практических вопросах биолоrии, селек
ции, медицины (и, в частности, в rенerико статистическом
анализе реальных популяций) важную роль иrрают равновесные
состояния популяций, т. е. такие, при которых дочернее поко
ление имеет то же распределение rенотипов, чrо и роди
тельское поколение. Следующая теорема (закон Харди
Вайнберzа) содержит необходимое и достаточное условие для
Toro, чтобы состояние популяции бьшо равновесным.
т е о р е м а 18. Состояние М (Jlo; Jll; Jl2) в том и только в
том случае является равновесным, если существуют такие
неотрицательные числа р, q, удовлетворяющие условию р + q == 1,
что выполнены соотношения
Jlo ==р2, Jll ==2pq, Jl2 ==q2. (69)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость этоrо условия He
посредственно вытекает из формул (67). В самом деле, если
состояние м (Jlo; Jll; Jl2) равновесное, т. е. дочернее поколение
имеет то же распределение rенотипов, что и родительское:
Jlo == Jlo, 1 == Jll, Jl2 == Jl2, то из этих равенств и (67) He
посредственно вытекают соотношения (69), rде р == и, q == v.
Достаточность также вытекает из формул (67): если выпол
нены равенства (69), то на основании формул (67) имеем
, 2 ( 1 ) 2 ( 2 1 ' ) 2 2 2 2
Jlo == и == Jlo + 2" Jll == Р + 2". 2pq == р (р + q) == р == Jlo
, ,
и аналоrично Jll == Jll, Jl2 == Jl2, т. е. популяция равновесна.
Дадим теперь барицентрическую интерпретацию закона
Харди Вайнберrа. Для простоты вычислений будем считать,
что базисный треyrольник является равнобедренным и прямо
154
уrолъным, причем вершина Аа находится в начале коорди
нат, а вершины АА, аа cooTBeтcrBeHHo в точках ( 1; 1),
(1; 1). Тоrда векторы, направленныIe по боковым cropoHaм,
имеют вид 80( 1; 1), 82(1; 1), и потому для точки
М (J.10; J.11; J.12) мы имеем
ОМ == J.1 0 8 0 + J.12 8 2 == J.10 ( 1; 1) + J.12 (1; 1) ==
== ( J.10 + J.12; J.10 J.12),
т. е. точка М имеет декартовы координаты . х == J.12 J.10,
У == Jlo J.12. Теперь для paBHoBecHoro состояния находим в
силу формул (69) и соотношения р + q == 1 :
х 2 == (J.12 J.10)2 == (q2 р2)2 == (q р)2 (q + р)2 == (q р)2 ==
== 2 р 2 + 2 q 2 (р + q)2 == 2J.10 + 2J.12 1 == 2у 1,
т. е. все равновесные состояния находятся на дуzе параболы,
1 1
имеющей уравнение у == "2x2 "2 (рис. 89). Эта парабола
проходит через вершины АА и аа треyrольника, COOTBeT
ствующие диким популяциям, а вершина параболы находится
Аа
и
1 о Аа 1
I ,оХ
I I
I I
I
, аа
I АА
/АА /
/ /
I
Рис. 89. Рис. 90.
в точке М о, имеющей КООрДlШаты х == О, У == 1/2, т. е. в точке,
соответcrвующей менделеевской популяции (68). Если в качеcrве
базисноrо взять дрyrой треyrольник, картина аффинно иска
жается (рис. 90).
"ример 55. Известно, что примерно 16 % людей имеют
отрицательный резус (рецессивный наследственный признак).
Считая, что человеческая популяция подчиняется законам
панмиксии и равновесна в отношении этоrо наследственноrо
признака, определить соответствующее распределение rеноти
пов.
Реш е н и е. Отрицательный резус cooTBeтcrBYeт rенотипу аа.
По условию. частота этоrо rенотипа составляет J.12 == 0,16.
lSS
Соrласно закону Харди Вайнберrа (см. (69)) имеем q2 == 0,16,
т. е. q == 0,4, и потому р == 1 q == 0,6. Таким образом, J.1o ==
== р2 == 0,62 == 0,36; J.11 == 2pq == 2.0,6.0,4 == 0,48. Итак, из тех 84 %
людей, которые имеют положительный резус, 36 % имеют
rенотип АА и 48 % имеют смешанный (<<rетероз rотный»)
rенотип Аа в отношении рассматриваемоrо наследственноrо
признака (точка М' на рис. 89). Этот расчет имеет существен
ное практическое значение. Если мать имеет отрицательный
резус, а ребенок положительный, то во время родов (особен
но если эти роды не первые) ребенку yrрожает 2емолuтu
ческая болезнь, представляющая опасность для ero жизни и
здоровья и требующая принятия заблarовременных медицинских
мер. Таким образом, если у женщины с отрицательным
резусом муж rетерозиrотен (Аа), то с вероятностью 1/2 ребенок
будет заведомо здоров (и будет иметь отрицательный резус)
и с вероятностью 1/2 подвержен опасности заболевания.
Если же муж имеет положительный резус и rомозиrотен (АА),
то каждый ребенок (кроме, возможно, первоrо) подвержен
опасности заболевания. И если жеюцина с отрицательным резу
сом не знает rенотипа cBoero будущеrо мужа, то для каждоrо
ее ребенка (кроме первоrо) вероятность заболевания равна
. 1
0,36.1 + 0,48.2 + 0,16.0 == 0,6.
Пример 56. В Бразилии встречается редкое наследственное
заболевание, называемой ахейроподией. Оно контролируется
одним [еном и состоит в том, что человек, получающий
от родителей два рецессивных [ена (аа), рождается без кистей
рук и окончаний Hor. Частота этоrо заболевания составляет
примерно 0,01 %. Некоторый бразилец, происходящий из
аристократической семьи с далеко прослеженной родословной
по мужской и женской линии, не имеет среди своих предков
ни одноrо ахейроподика. Из двух ero дочерей первая имеет
больноrо ребенка. Какова вероятность, что вторая дочь, выйдя
замуж за внешне здоровоrо человека, будет иметь больноrо
ребенка?
Реш е н и е. Отсутствие заболеваний в родословной бра
зильца аристократа позволяет заключить, что в ero семье не
было болезнетворноrо [ена а, так что он имеет (как и все
ero предки) rенотип АА. Внук ero (от первой дочери) болен, т. е.
имеет rенотип аа. Значит, он получил [ен а от каждоrо из
своих родителей и, в частности, от матери, т. е. первой дочери
аристократа. Из этоrо вытекает, что эта дочь имеет [ен а и,
поскольку она сама здорова, обладает rенотипом Аа (рис. 91).
Так как дочь получила от cBoero отца аристократа непремен
156
но [ен А, то болезнетворный [ен а
она получила от матери. Значит, ее
мать (жена аристократа), поскольку
она здорова, имеет rенотип Аа.
Вторая дочь получила от отца [ен
А, а от матери моrла (с вероятно
стью 1/2) получить [ен а. Значит,
вероятность Toro, что ее ребенок по
лучит [ен а от нее, равна 1/4. Муж
второй дочери (внешне здоровый) MO
жет передать ребен!<у [ен а только
в том случае, если сам он имеет rенотип Аа. Посколь
ку он внешне здоров, вероятность TaKoro rенотипа
Р авна Jll 2pq 2q
Jlo + Jll == р2 + 2pq == р + 2q' а вероятность передачи
АА d' Aa
/
Aa ? if?
I \/
if
аа
?
Рис. 91.
q
[ена а ребенку вдвое меньше, т. е. она равна Таким
p+2q.
образом, вероятность появления больноrо ребенка равна
q 1
2 . 4 . По условию Jl2 == q2 == 0,0001, т. е. q == 0,01; р == 0,99
р + q
(мы считаем, что популяция бразильцев равновесна по pac
сматриваемому признаку, т. е. имеет Mecro закон Харди
Вайнберrа). Следовательно, искомая вероятность равна
q 1 0,01
р + 2q .4 == 1,01 .0,25 == 0,002475...
Мы видим, что вероятноcrь появления больноrо ребенка
(равная по всей популяции 0,00(1) возрастает почти в 25 раз
при наличии больноrо ребенка у сестры. Подобноrо рода
zенетuческая консультация (т. е. определение вероятности
появления больноrо ребенка) весьма существенна при наличии
в семьях наследственных заболеваний.
Рассмотренные вопросы относятся к к а ч е с т в е н н ы м
наследственным признакам (которые MorYT у каждой особи
проявляться либо в доминантной, либо в рецессивной форме).
Сущеcrвуют и к о л и ч е с т в е н н ы е признаки (контролируемые
обычно не одним, а мноrими rенами): рост, масса тела,
друrие показатели физическоrо развития взрослой особи. При
рассмотрении количеcrвенных признаков барицентрические
соображения также Moryт быть полезныI. Рассмотрим один
пример.
Пример 57. При обследовании 120 выловленных особей
атлантической сельди средняя масса особи оказалась равной
371,2 [, а ее средняя длина 24,6 см. Обследование 80 особей,
157
взятых из BToporo отлова (из той же популяции) дало среднюю
массу особи 381,8 r и ее длину 24,9 см. Обследование
100 особей из Tpeтbero отлова дало среднюю массу особи
373,7 r и ее длину 24,2 см. Как определить среднюю массу
и длину по всем 300 обследованным особям?
Реш е н и е. Рассмотрим вопрос в общем виде. Сначала
были обследованы т особей; пусть их индивидуальные пока за..
тели (масса и длина) бьти соответственно равны
Х ( 1 ) У ( 1 ) · Х (1 ) У О ) . · Х ( 1) ,,( 1 )
1, 1, 2, 2, . . ., т, JffI ·
Далее, следующие п обследованных особей дали показатели
х\2), у\2); x 2), y 2);... ;'x 2), y 2).
Наконец, р особей третьей выборки имели показатели
Х (З) У (З). Х (З) У (З): . Х (З) У (З)
1, 1, 2, 2 ,..., Р' Р.
Тоrда средние показатели по первой, второй и третьей
выборкам имеют следующие значения:
(1) + О) + + (1) (1) + (1) + + (1)
х( 1) == Х 1 Х 2 · . . х;,; Y ( 1) == у 1 У 2 · . · Ут .
, ,
т т
х(2) == х\2) + x 2) + ... + x 2) , 92) == у\2) + y 2) + ... + 1..2) ;
п п
Х (З) х\з) + х з) + ... + х з) (З) У\З) + У З) + ... + У З)
, у ,
р р
а общее среднее (по первому показателю массе) имеет
(х\1) + ... + » + (х\2) + ... + x 2» + (х\з) + ... + х з»
х== ==
т+п+р
тх(1) + пх(2) + рх(З)
== J.11 х(1) + J.12X(2) + J.1зХ(З),
т+п+р
вид
(70)
rде
т п р
J.11 == т + п + р' J.12 == т + п + р' J.1з == т + п + р
(так что J.11 + J.12 + J.1з == 1). Аналоrично, для BToporo показателя
общее среднее равно
у == J.11y(1) + J.12y(2) + J.1зУ(З). (71)
Если сравнить эти формулы с соотношениями (15), то мы
придем к следующему выводу. Обозначим через А 1 , А 2 , Аз
точки с координатами (х(1); у(1», (х(2}; у(2», (х(З); у(З», а через М
точку, координатами которой являются общие средние
(х; У). Тоrда формулы (70), (71) означают, чrо М есть точка,
158
имеющая относительно базисноrо треyrольника А 1 А 2 А з бари
центрические координаТ I Jll, Jl2, Jlз. Это дает возможноcrь
rрафически находить средние значения х, у.
Зада..
260. Селекцией, направленной пРО11JUв рецесcuвов, назы
вается способ скрещивания, при котором особям с rенотипом аа не
дают возможности иметь потомство, т. е. в образовании дочернеrо
поколения участвуют лишь особи с rенотипами АА, Аа (при
случайном скрещивании). Докажите, что если родительское поколение
характеризуется точкой М (Jlo; Jll; Jl2), то дочернее поколение (при такой
селекции) характеризуется точкой м' (Jlo; Jll; Jl2), [де
O : 1 : 2 == ( O + 1 У : 1 ( O + 1): ( J.
Выведите отсюда, что точка М' лежит на параболе Харди
Вайнберrа (рис. 89).
261. Докажите, что если последовательность поколений получает
ся друr из дрyrа с помощью селекции, направленной против peцec
сивов (задача 260), то точки, характеризующие эти поколения, пе
ремещаются по параболе Харди Вайнберrа и приближаются к Bep
шине АА. Т аким образом, в пределе (а практически п осле дo
статочно большоrо числа скрещиваний с такой селекцией) получится
чистая популяция из одних только особей АА.
262. В стаде имеется несколько производителей (мужских особей)
с rенотипом АА и женские особи с распределением rенотипов,
характеризуемым точкой М (Jlo; Jll; Jl2). Из каждоrо вновь появляющеrо
ся поколения мужские особи удаляются (мясопоcrав ки), а в скреIЦИ
вании участвуют лишь производители (<<вытесняющее скрещивание»).
Докажите, что последовательность получающихся поколений xapaктe
ризуется точками, лежащими на стороне базисноrо треуrольника и
приближающимися к вершине (АА), причем процент rетерозиrот Аа
среди женских особей уменьшается в rеометрической проrрессии.
263. Обследуется k выборок из некоторой популяции, в которых
взято соответственно пl, п2,"', п" особей. Средние значения двух
показателей (масса, длина) по этим выборкам равны соответственно
(хl; Уl)' (Х2; У2)'''''(Х''; У,,),
а средние значения этих показателей по всем пl + п2 + ... + п"
обследованным особям равны х, у. Докажите, что точка М (х, .у)
является центром масс м. т. пlАl (Хl; 'уl), п2 А 2 (Х2; У2)' ..., п"А" (х,,; 'у,,).
Марк Беневuч Балк
Владимир rри20рьевич Болтянский
rЕОМЕТРИЯ МАСС
Серия «Библиотечка «Квант», выпуск 61
Редактор И. М. Бокова
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректоры О. А. Сиzал, И. Я. Кришталь
ИБ Nl 32492
Сдано в набор 16.10.86. Подписано к печати 28.04.87 T 12218. Формат 84 Х 108/32. Бумаrа
тип. Nt 2. fарнитура таймс. Печать офсетная. Усл. печ. л. 8,4. Усл. Kp. OTT. 8,82.
Уч. изд. л. 9,29. Тираж 145000 экз. Заказ .м 584. ЦенаЗОкоп.
Ордена Трудовоrо KpacHoro Знамени издательство «Наука:..
fлавная редакция физико математической литературы.
117071 Москва 8-71, Ленинский проспект, 15
Диапозитивы изrотовлены в Ордена Октябрьской революции, Ордена Трудовоrо KpacHoro
Знамени Ленинrрадском производственно-техническом объединении «Печатный Двор:.
имени А. М. fopbKoro Союзполиrрафпрома при fосударственном комитете СССР по делам
издательств, полиrрафии и книжной торrовли. 197136 Ленинrрад П-136, Чкаловский пр., 15.
Отпечатано с диапозитивов в типоrрафии им. Котлякова издательства «Финансы и статис-
тика:. fосударственноrо комитета СССР по делам издательств, полиrрафии и книжной
торrовли. 195273, Ленинrрад, Руставели, 13.