Text
B.r: БопТЯНGКИЙ
3В ЕМ ЕНТАРНАЯ
rЕОМЕТРИЯ
книrА
ДЛЙ УЧИТЕЛЯ
м о с к 8 А с("РОСВЕЩЕНИЕ» t 9 8 5
)БК 22.151.0
Б7
р е Ц е JI з е JI т ы:
Академик С. П. н о в н к о n
Ст. методист Ученоrо меТОДlIчсскоrо совета МП СССР В. В. К р о х n
УЧlfтель матемаТIIКИ ШКО."Ы-ИlIтер"ата Nfl i8 Т. Н. Т Р У 111 а 11 If JI а
.Болтянский В. r.
;79 Э К
. лементарная rеометрия:. н. для учителя. М.: Про-
свещение, 1985. 320 с., ил.
в Klllffe дается уrлублеНllое матеМ<lтическое изложение ОСНОВIIЫХ фактов элемеll.
тарllОЙ rсометрии, построенное 113 оекторной ОСlIове с использованием аКСlIомаТIIКИ Вейля.
011<1 может быть использована для уr.'Iублеllноrо ознакомления с rеометрией именно в
том зспекте, в котором Оllа входит в совремеllНУЮ матемаТIIКУ 11 ее приложеwие.
4З06О1000Q 722 71 85
103 (03) .....85
ББК 22.151.0
513
@ Издательство «Просвещение», 1985 r.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книrа «Элементарная rеометрия», написанная выдающимся
французским математиком Адамаром, была опубликована в рус-
ском переводе в 1936 r., а в 1967 r. выпущена вторым изданием.
Великолепно написанная, она сыrрала важную роль в деле по-
вышения культуры целоrо поколения школьников, студентов, пре-
по'nавателей. Однако книrа эта стала библиоrрафической р-ед-
костью, а новое ее издание нецелесообразно: за прошедшие rоды
(особенно за последние 15 лет) существенно изменились наши
взrляды на понимание элементарной rеометрии, была усовер-
шенствована проrрамма школьноrо курса, что нашло свое отра-
жение в учебниках. Достаточно сказать, что в школу вошли
векторные методы, кустарные способы вычисления объемов
уступили место применению интеrрирования, из проrраммы были
изъяты некоторые устаревшие или ненужные разделы (скажем,
свойства общей меры двух соизмеримых отрезков) и т. д. Поэтому
издание современной книrи, предназначенной для учителей и
содержащей уrлубленное изложение rеометрии, весьма актуально.
Предлаrаемая вниманию читателя книrа построена на основе
вейлевской векторной аксиоматики rеометрии, что представляет
особый интерес: во-первых, потому, что векторные методы важ-
ны и актуальны сейчас как в математике, так и в ее приложениях
к физике, химии, экономике и друrим областям знаний; во-вторых,
потому, что веКТОQная аксиоматика дает наиболее простое, по-
нятное и современное изложение лементарной rеометрии;
в-третьих, потому, что это расширяет круrозор учителей и мето-
дистов, поскольку знакомит их с принципиально иным аксиома-
тическим построением rеометрии, отличным от всех прочих (яв-
ляющихся модификациями евклиДОВОЙ аксиоматики).
Особенность предлаrаемой книrи состоит еще и в том, что
она содержит систематическое изложение элементарной теории
движений. Это является проrрессивным началом в современном
понимании элементарной rеометрии, поскольку теория движений
(и, вообще, rрупп rеометрических преобразований) чрезвычайно
важна сеrодня не только для самой rеометрии и математики, но
и для ее приложений в теории относительности, ядерной физике,
кристаллоrрафии, химии и друrих науках.
Наконец, отметим, что книrа знакомит читателя с комплекс-
ными числами в rеометрической форме, понятием центра масс
3
и ero rеометрическими ПРИЛО)l{ениями, элементам'и линейноrо
проrраммирования, определителями 2..ro и 3..ro порядков и их
приложениями к теории площадей и объемов, некоторыми эле..
ментами аналитической rеометрии, включая отдельные llроектив..
ные свойства. Этот дополнительный материал тщательно отобран
автором. Он должен помочь преподавателю удовлетворять лю..
бознательность учащихся, повышать их интерес к математике.
Этот дополнительный материал составлен с учетом профессио..
нальной ориентации, т. е. так, чтобы помочь преподавателю дать
"
учащимся четкое представление о стиле и методах современнои
математики, о характере ее технических приложений, о том, что
их ждет, если они захотят выбрать в будущем специальность,
связанную с инженерной, технической или научной деятель..
ностыо. Наконец, материал отобран так, что он охватывает наи..
более содержательные и часто применяемые (в математике и ее
прило {ениях) rеометрические сведения.
Книrа будет' интересна и полезна учителям, методистам, ру..
ководителям математических кружков, преподавателям ледин..
ститутов и студентам"математикам, доступна школьникам стар..
ших 1aCCOB в качестве дополнительноrо чтения для уrлублен"
Horo ознакомления с rеометрией именно в том аспекте, в ко..
ropoM она входит в современную математику и ее приложения.
Dсобо стоит отметить, что книrа содержит большое количество
задач и контрольных вопросов (около полутора тысяч), которые
:оставлены таким образом, чтобы способствовать не только
усвоению излаrаемоrо материала, но и повышению математи..
"
lескои культуры.
В заключение отметим, что, несмотря на своеобразие век..
"opHoro стиля изложения и наличие дололнитеJtЬноrо материала,
сниrа содержит матери'ал, очень близкий к школьн му курсу
'еометрии, способствующий уrлублению математич ских знаний
I расширению математическоrо круrозора школьноrо учителя и
(иц, интересующихся математикой.
Пользуюсь случаем поблаrодарить академика с. п. Новикова,
1 также r. д. rлейзера, В. В. rороховика, и. К. Жука ирецен..
- u u
ентов книrи, которые своеи поддержкои, советами. замечаниями
пособствовали появлению этой книrи и улучшению ее содер"
<ания.
В. Т. Болтянский
ВВЕДЕНИЕ
1. ПОНЯТИЕ о rЕОМЕТРИЯХ ЕВКЛИДА и ЛОБАЧЕвскоrо
Первоначальные rеометрические сведения, дошедшие до нас,
содержатся в еrипетских папирусах и вави.1IОНСКИХ клинописных
таблицах, имеющих более чем четыре.хтысячелетнюю давность.
Вначале rеометрические факты получались опытным путем. По-
лучение новых rеометрических фактов при помощи раССУ)l{дений
(доказательств) относится к VI в. до н. э. И связано с именем
древнеrреческоrо математика Фалеса, который впервые применил
движения: переrибан-ие чертежа, поворот части фиrуры и т. д.
Постепенно rеометрия становится дедуктивной наукой, т. е.
наукой, в которой подавляющее большинство фактов уставав-
ли вается путем вывода, доказательства. Вершиной древнеrре-
ческой rеометрии была книrа «Начала», написанная Евклидом,
(111 в. до 1:1. э.), содержащая свойства параллелоrраммов и тра-
пеций, подобие мноrоуrольников, теорему Пифаrора и т. д. Точка
зрения Евклида была примерно следующей. Взяв какую..либо
теорему, можно проследить, какие ранее доказанные теоремы
были использованы при ее выводе. Для них в свою очередь можно
выделить те более простые факты, из которых она выводится,
и т. д. В конце концов получается некоторый список простых фак"
тов (аксиом), которые, во..первых, позволяют, идя обратным пу-
тем, доказать все теоремы rеометрии и которые, во-вторых, на-
столько просты, что не возникает вопроса о необходимости их
вывода. ,
Евклид не сумел последовательно провесtи аксиоматическую
точку зрения. Ero список аксиом был неполным,. Мноrие поколения
математиков стремились улучшить евклидову аксиоматику reo-
метрии. БОЛЬШУIО роль сыrрали работы современника Евклида,
древнеrреческоrо ученоrо Архимеда, который сформулировал ак.
сиомы, относящиеся к измерению rеометрических величин.
Наиболее сложной из аксиом Евклида была аксиома парад-
дельности. Мноrие теоремы (например, в равнобедренном тре-
уrОJ1ьнике уrлы при основании равны) выражают более простые
фактыI. Неудивительно, что мноrие математики пытались дока-
зать, что эта аксиома является лишней, т. е. может быть доказана
как теорема на основании остальных аксиом. То, что TaKoro до-
казательства н е с у Щ е с т в у е т, было установлено лишь через
Два тысячелетия после Евклида. Это открытие принадлежит на..
шему соотечественнику, профессору Казанскоrо университета Ни..
колаю Ивановичу Лобачевскому (1792 1856).
5
Лобачевский сделал допущение, что
через точку А.. не при надлежащую пря-
мой й .. можно провести в цлоскости б о-
л е е о Д н о й прямой, не пересекающейся
с а (рис. 1). Он начал выводить различ-
ные следствия из этоrо допущения, на-
деясь, что рано или поздно он пР д т
к противоречию, чем и завершится дока-
зательство. Однако он доказал MHoro
десятков теорем, не обнаружив лоrиче-
ских противоречий. И тоrда Лобачевско-
му пришла в rолову rениальная доrадка:
заменив аксиому параллельности ее от-
рицанием и сохранив все остальные аксио-
мы, мы получаем новую rеометрию (Ло-
бачевский назвал ее «воображаемой»).
Все теоремы, доказываемые в евкли"
довой rеометрии без использования аксио-
мы параллельности, сохраняются и в reo-
метрии Лобачевскоrо. Например, уrлы при основании равнобед..
peHHoro треуrольника равны*; из данной точки можно опустить на
данную прямую только один перпендикуляр. Теоремы же, при
доказательстве которых применяется аксиома параллельности,
в rеометрии Лобачевскоrо видоизменяются. Например, в reoMeT-
рин Лобачевскоrо сумма УZЛО8 любоzо треУ20льнuка Аtеньше
1800. В этой rеометрии н е с у Щ е с т в у е т подобных треуrоль-
ников (не равных между собой): если уrЛhJ двух треуrольников
соответственно равны, то в rеометрии Лобачевскоrо эти тре-
уrольники равны. Две прямые, имеющие. общий перпендику-
ляр, неоrраниченно отходят друr от друrа (как искривленные
линии на рис. 2). Имеется в rеометрии Лобаqевскоrо и MHoro
друrих удивительных теорем.
Математический мир не воспринял идей Лобачевскоrо. Ученые
не были подrотовлены к мысли о том, что может существовать
rеометрия, отличная от евклидовой. Мужественно отстаивая пра-
воту своих идей, Лобачевский опубликовал ряд книr и статей об
открытой им rеометрии. Он умер в 1856 r., так и не добившись
u _
признания своих идеи. ·
Были, однако, два человека, которые придерживались такой
же точки зрения, и более Toro, поделили с Лобачевским заслуrу
открытия неевклидовой rеометрии. Это были венrерский мате-
матик Я. Бойяи (1802 1860) и «король математики» К. Ф. raycc
(1777 1855). Работа я. Бойяи, в которой он излаrал идеи новой
rеометрии несколько иначе и не столь полно, вышла на несколько
а
Рис. 1
Рис. 2
* в этом пункте две фиrуры, одна из I<ОТОРЫХ переводится в друrуlO с по-
мощью движения, называются равНЫАСи (в соответствии с традициями Евкли-
да и Лобачевскоrо). В дальнейшем изложении принят термин конrруэнтные
фиrуры. (см., например, с. 120).
б
лет позже первой книrи Лобачевскоrо. Коrда Бойяи узнал о тру-
.дах Лобацевскоrо, он изучил русский язык, чтобы их прочитать.
Непризнание и мысль, что Лобачевский опередил ero в этом
открытии, сломили душевные силы Бойяи; жизнь ero была недолrой.
То, что raycc владел идеями неевклидовой rеометрии, было
обнаружено лишь после смерти ученоrо, при изучении ero архива.
rениальный raycc, к мнениям KOToporo прислушивались все,
не рискнул опубликовать свои работы или ВbIСТУПИТЬ в поддержку
Лобачевскоrо. Свое отношение к научному подвиrу pyccKoro
ученоrо он Вblразил тем, что добился избрания Лобачевскоrо
членом"корреспондентом rеттинrенскоrо королевскоrо научноrо
общества. Это единственная научная почесть, выпавшая на долю
Лобачевскоrо при жизни.
Признание открытия Лобачевскоrо пришло во второй полови..
не XIX в. после появления работ итальянскоrо математика Э. Бель..
трами (1835 1900), анrлийскоrо математика А. Кэли (1821
1895), немецкоrо математика Ф. Клейна (1849 1925), фран-
цузскоrо математика А. Пуанкаре (1854 1912). Каждый из них
сделал то, чеrо не добился Лобачевский: они доказали, что reo-
метрия Лобачевскоrо так же непротиворечива, как и евклидова.
Интересно, что взаимосвязь пространства и времени, откры-
тая Эйнштейном в ero специальной теории относительности, очень
точно ОПИСblвается rеометрией Лобачевскоrо. Например, в рас-
четах современных синхрофазотронов были использованы форму..
лы rеометрии Лобачевскоrо.
Работа по аксиоматизации е в к л и Д о в о й rеометрии была
завершена в самом конце XIX столетия извеСТНblМ немецким ма-
тематиком д. rильбертом (1862 194З). В своей книrе «Основа-
ния rеометрии» (1899) rильберт дает полный список евклидовой
rеометрии (21 аксиома), а также 'доказывает н е про т и в о р е-
чивость этой аксиоматики (см. п. 51).
Усовершенствование аксиоматики rеометрии продолжалось и
в ХХ столетии. Различные системы аксиом rеометрии были пред-
ложены В. Ф. KaraHoM, Бахманом, Биркrофом и друrими мате-
матиками. Наиболее интересная с современной точки зрения ак-
сиоматика была предложена выдающимся немецким матема-
тиком repMaHoM Вейлем (1885 1955) в ero книrе «Простран-
ство, время, материя», вышедшей в 1918 r. Эта аксиоматика
и положена в основу настоящей книrи.
Контрольные вопросы
а) Понятие «точка А лежит между В и С» у Евклида не опре-
деляется; нет у Hero и ни одной аксиомы, в которой что..либо ro-
ворилось бы об этом понятии. В связи С этим три ученика сделали
следующие высказывания:
Пер вый. Так как все выводится из аксиом, а ни в одной
7
из них понятие «между» не упоминается, то Евклид не Mor дока..
зать ни одной теоремы, в формулировке которой используется
это понятие.
В т о рой. А по моему, Евклид постоянно пользуется этим
понятием. Если в прямоуrольном треуrольнике А8С из вершины е
прямоrо уrла опустить высоту CD на rипотенузу, то D лежит
.между А и 8. Не Mor же Евклид не знать этоrо!
Т р е т и й. Это лишь означает, что список аксиом Евклида
неполный, а в своих доказательствах он исходил не только из
аксиом, но и из повседневноrо опыта (или из Toro, что «очевидно»
из чертежа).
С кем из них ВЫ склонны соrласиться?
б) Использовались ли при доказательстве следующих теорем
свойства параллельных прямых? Какие из теорем справедливы
в rеометрии Лобачевскоrо: 1) ра внобедренный треуrольник имеет
ось симметрии; 2) сумма уrлов четырехуrольника равна 360°;
1
3) площадь треуrольника равна ""2 ah, rде а и h длина CTOpOHЬ
и соответствующей высоты; 4) вертикальные уrлы равны?
Задачи
1. В rеометрии Лобачевскоrо сумма уrлов треуrольника мень..
ше 180°. Разность между 1800 и суммой уrлов треуrольника А8е
называется дефектом этоrо треуrольника. ДО'Кажите, что если D
внутренняя точка отрезка А8, то дефект треуrольника А8С
равен сумме дефектов -'треуrольников ACD и -BCD.
2. Дефект прямоуrольноrо треуrольника АВС (LA == 900) ра-
вен а. Через точку В проведена такая прямая 8М, что LA8M ==
== 900 а (рис. 3). Докажите, что прямые АС и ВМ Jje пересека-
ются.
3. Пусть прямая ВМ nocTp0t:Ha, как в задаче 2, а прямая
ВМ' симметрична ей относительJto прямой АВ. Докажите, что
любая прямая, проходящая внутри уrлов и ' показанных на
рисунке 3, не пересекается с (А С). Таким образом, в rеометрии
Лобачевскоrо через точку. В f/. (А С) проходит б е с к о н е ч н о
м н о r о прямых, не пересекающихся с (АС).
4. На стороне 08 .0cTporo уrла А08 отложены последова..
тельно равные отрезки: 108,1"==18,821==1828зl==18з841==... и
через точки В1, В2, 8 з ,... проведены прямые 11, 12, I з ,..., перпенди-
кулярные (08). Пусть прямые
11, 12, I з ,... пересекают сторону
[ О А) в то ч к а х А 1, А 2, Аз,... . д о..
кажите, что если дефект тре..
уrольника OA,8 t равен а, то де..
фект треуrольника ОА 2 8 2 боль..
ше 2а, дефект треуrольника
А С ОАзВ з больше За и т. д. Выве-
Рис. 3 дите отсюда, что при достаточно
8
о В, 82 8) 8if ... 8 п
Рис. 4
Ри с. 5
большом п прямая [п н е пер е с е к а е те я с (ОА) (рис. 4).
5. Используя результат задачи 4, докажите, что в reoMeT-
рии Лобачевскоrо существует треуrольник, не имеющий опи-
санной окружности.
6. Прямые а и Ь не перпендикулярны. Докажите, что в reo-
метрии Лобачевскоrо ортоrональная проекция прямой а на пря-
мую Ь представляет собой не который о т рез о к (без концов).
7. Докажите, что в rеометрии Лобачевскоrо две прямые, име-
ющие общий перпендикуляр, неоrраниченно отходят друr от дру-
ra (рис. 2).
8. Прямые а и Ь имеют общиЙ перпендикуляр. Проекцией
прямой а на прямую Ь является отрезок MN (без концов). Через
точку М проведена прямая т, перпендикулярная Ь. Докажите,
что прямые а и m неоrраниченно сближаются (рис. 5).
r л а в а I
ПРЯМАЯ В ПРОСТР АНСТВЕ
2. ВЕКТОРЫ И ТОЧКИ
Дальнейшее изложение содержит систематическое построение
е в к л и Д о в о й rеометрии. Предполаrается, что читатель знаком
с основными фактами, относящимися к планиметрии. Напротив,
все факты стереометрии будут здесь подробно рассмотрены. По
путно будут заново доказаны и теоремы планиметрии.
Изложение rеометрии будет проведено на основе aKcиOм'a
тичеСКО20 м'етода. Аксиоматическое построение какой либо Te
ории состоит в том, что перечисляются первоначальные (неопре
деляемые) понятия и формулируются аксиомы (т. е. первона
чальные факты); дальнейшие понятия вводятся с помощью опре..
делении, а дальнейшие факты (теоремы) доказываются с помощью
аксиом и уже доказанных теорем. В этой книrе изложение ведется
на основе системы аксиом, предложенной Вейлем.
Аксиоматическое изложение не требует использования чер
тежей. Однако применение чертежей делает изложение более
наrлядным, облеrчает запоминание обозначений, взаимноrо pac
положения векторов и т. д.
При вейлевском изложении rеометрии пер.воначальными по
нятиями являются точка, вектор и следующие шzерации над ними:
1) любой паре точек А, В однозначно сопоставляется некоторый
вектор АВ; 2) любым двум векторам а, Ь однозначно сопостав
ляется некоторый вектор а+ ь сумма векторов а и Ь; 3) любому
вектору а и любому действительному числу k однозначно сопо
ставляется некоторый вектор ka проuзведение вектора а на
число k; 4) любым векторам а, ь однозначно сопоставляется
некоторое число аЬ скалярное
произведение векторов а и Ь.
В пространстве эти понятия име
ют тот же смысл, что и на пло
скости. Например, вектор можно
наrлядно представить как направ
ленный отрезок или (что более пра
вильно) как бесконечное MHO)l(eCTBO
отрезков, имеющих одинаковое Ha
правление и одинаковую длину
(рис. 6); сумму непараллельных
Рис. 6 векторов как диаrональ парал
10
JIeJIorpa мма (рис. 7). Har JIядные представ-
.ления точек, векторов и операций над ни-
ми используются при применении reo-
метрии в физике, а также при п о и с к е
решения задачи. Однако коrда решение
уже н а й Д е н о, ero можно формально
изложить с ПОl\10ЩЬЮ только аксиом Рис. 7
и Teope . В
С в о й с т в а векторных операций в
стереометрии те же, что и в rеометрии
на плоскости: коммутативность (переме-
стительность) сложения векторов иска-
лярноrо умножения, ассоциативность (со-
четательность) сложения векторов и т. д. А
Однако в вейлевской аксиоматике эти Рис. 8
свойства принимаются за аксиомы. Даль-
нейшие понятия (например, прямая) будут
определяться, а дальнейшие факты (теоремы) бу.дут доказываться.
В этом пункте мы сформулируем три аксиомы и одно опр -
деление.
А к с и о м а 11. Для любоrо вектора а и любой точки А
сущ ствует точка М, дЛЯ которой АМ ==а.
---+ ---+
А к с и о м а 12. Если АМ ==AN, то точки М и N совпадают.
А к с и о м а l з (правило трех точек). Для любых точек А, В, С
---+
справедливо равенство АВ+ВС==АС.
· Аксиомы 11 И 12. вместе взятые, означают, что если заданы
а и А, то существует, и притом т о л ь.к О О Д Н а, точка М, дЛЯ
---+
которой АМ == а. Нахождение этой точки называется отклады-
ванием вектора а от точки А.
---+
О П Р е Д е л е н и е. Если АО == 08 (рис. 8), то В называют
точкой, симметричной точке А относительно центра О.
Отображение, которое каЖДУIО точку А переводит в точку,
симметричную ей относительно О, называется центральной сим-
метрией (относительно точки О) и обозначается через z (или Zo).
Запись А-=+В означает, что при этой симметрии точка А переходит
в точку В; пишут также z (А)==В (или Zo (А)==8).
Контрольные вопросы
... ... ---+
1) Даны два вектора а==МА и Ь ===МВ. Что можно ска-
зать об этих векторах, если точки А и В совпадают?
---+
2) Даны два равных вектора: АВ == CD. Что можно сказать
о расположении точек В и D, если точки А и С совпадают?
3) Откладыцая вектор а от точки А, получаем точку 8. Сфор-
11
D
81
мулируйте по рисунку 9* аналоrичные
утверждения. Запишите несколькими спо-
собами вектор ё с помощью указанных на
рисунке точек.
4) Даны два вектора а == MQ, Ь === QT.
Существует ли такой вектор х, что
МТ x? Чему равен этот вектор?
Рис. 9
Задачи
9. Докажите, что для любых точек А, В, С, D, Е справед-
----+
ливо равенство (АВ + ВС)+ (CD + DE)==AE.
10. Докажите, что для любых точек А, В, С, D справедливо
,
равенство AB+BC==AD+DC.
11. Какая точка получится при откладывании вектора АВ +
+ВС от точки А?
---+ ---+
12. Известно, что AM==PQ==a, MK==QT==b, МР==Qс==ё.
Какие точки получатся при откладывании вектора а + ь от точек
А и Р? при откладывании вектора а + ё от точек А и Р?
13. Точка В симметрична А относительно точки о. Точки
К и М получеН!>1 в результате откладывания вектора jj от точек
,
о и В. Докажите, что АК==ОМ.
14. Точки В и С получены в результате откладывания век-
тора а от точек А и о; точка D получена в результате откладь..
---+
вания вектора Б == ВО от точки с. Докажите (пользуясь :только
аксиомами и определением), что точка D симметрична А от-
носительно точки о.
15. Для Лlобоrо вектора а обозначим через Q (а) точку, полу-
чающуюся в результате откладывания вектора а от точки о.
Докажите, что отображение а Q(a) множества всех векторов
на множество всех точек взаимно О}J,нозначно.
з. СВойСТВА СУММЫ ВЕКТОРОВ
А к с и о м а 111. Для любых векторов а, ь справедливо ра-
венство а + ь == Б + а.
А к с и о м а 112. Для любых векторов й, Ь, с справедливо ра-
венство а +(6 + ё) (a+ Ь)+ ё.
А к с и о м а Il з . Существует такой вектор О (нулевой вектор),
что для любоrо вектора а справедливо равенство а + 0== а.
· Рисунок 9 (и мноrие дальнейшие рисунки) дает наrЛЯДIIОС Пr{\ДСТ В lС-
ние о «проволочном каркасе» в простра IIСIВ('.
12
А к с и о м а 114. Для любоrо вектора а сушествует противо
ttDложныЙ вектор а, обладающий следующим свойством:
а + ( ----- а) == О.
Вектор р +( q) обозначается... дл кратности через р q
и наз вается разностью векторов р и q.
С помощью перечисленных аксиом 10ЖНО доказать ряд теорем.
Сформулируем некоторые из них.
т е о р е м а 1. Нулевой век!ор определен однозначно, T е. cy
ществует только один вектор О, обладающий указанным в aKcиo
ме Il з С80ЙСТВОМ.
Т е о р е м а 2. Для люБО20 8ектора а проти80nОЛОЖНЫЙ век..
...... 'io.
тор а определен однозначно.
т е о р е м а. 3. Для любой точки А справедливо равен..
--+
СТ80 АА == о.
т е о р е м а 4. Для любых точек А, В справедливо равенство
БА == AB.
Т е о р е м а 5. В каком бы порядке ни складывать друс с дру..
сом векторы aJ, а2,..., ak, результат будет одним u тем же.
Иными словами, если мы расположим векторы QI, а2,..., a;
в произвольном порядке, а затем укажем порядок выполнения
сложения при помощи. скобок, то результат не будет зависеть ни
от порядка расположения слаrаемых, ни от способа расстановки
скобок. В связи с этим можно сумму цескольких векторов З(1-
писывать без скобок; например, вместо ((al + а2) + аз) + а4 мож-
но писать al + а2 + аз + а4
т е о р е м а 6. В векторном равенстве слаzаемое можно пе-
ренести из одной части равенства в друzую, изменив знак, стоя-
щий перед этим слаzаемым, на противоположный: а + ь === ё*
a === ё ........ Ь.
Докажем для примера третью и четвертую ИЗ этих теорем.
...........
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 3. Обозначим вектор АА
через а. Соrласно аксиоме 13 для трех совпадающих точек А ===
.........
==B C имеем: АА+АА==АА, т. е. а+а==а. Прибавляя к обеим
частям этоrо равенства вектор ----- а, получаем:
,
(а + а) + ( ----- а) == а + ( а),
Т. е. (аксиома 112)
а + (а + ( ----- а)) === а + ( а).
Следовательно (аксиома 114), а+ О ==О, и потому (аксиома Il з )
....... .......
а==О, т. е. АА ==0.
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 4. В силу аксиомы I з име-
-.....+
ем АВ + ВА ==АА, т. е. (соr.пасно уже доказанной теореме 3)
13
........ .....
АВ + B,t == о. Это означает (в силу аксиомы 114 и теоремы 2),
--+ ---+-
что ВА == ....... А В.
Контрольные вопросы
lL То,!ка М получена в результате откладывания вектора
(а + Ь) + с от точки о; точка N получена в результате отклады..
вания вектора Ь +(а+ ё) ОТ точки о. Как расположены точ-
ки М и N?
--+
2) Докажите, что если АВ == DC, то AD ==ВС.
--+ --+
3) Докажите, что если АВ == О, то точки А и В совпадают.
--+
4) Докажите, что (АВ +ВМ)+МА ===0.
--+ .....
5) Докажите, что (AB+CD)+(BC+DA)==O.
Задачи
16. Докажите равенство (а+(ь+ё))+d==(Ь+d)+(а+ё).
--+ ---+-
17. На рисунке 9 AD==BC и AAI===BBI===CCI===DDI. Дока-
--+
)l{ите, что АВ ==А ,В 1 == DI С 1 -:=:. DC и AD === ВС ===А IDI == В 1 C I .
--+ --+
18. На рисунке 10 АА l ==ВВl == CC 1 . Докажите, что АВ ===A I B I ,
--+ --+
BC===B1C I , AC===A 1 C I .
z z
19. Докажите, что если A Al, B BI, rде z===zo централь-
lIая симметрия, То AIBI ==ВА.
/
... 20. Точка В получилась в результате откладывания вектора
а от точки А, точка Q получилась в результате откладывания
этоrо же вектора а от точки Р. Докажите, что AP==BQ.
21. Докажите сформулированные в тексте теоремы 1, 2, 6.
22. Докажите, что вектор Ь === ----- ( а) удовлетворяет равен-
ству (....... а)+ ь == о. Выведите отсюда, что Ь == а, т. е. ( а) == а.
23. Докажите, что для любых трех точек А, В, С справед-
--+
ливы равенства AB AC==CB, АС-----АВ==ВС.
24. Докажите, что отображение, обратное центральной сим-
метрии, совпадает с этой )I(e симметрией: если А В, то 8 A.
25. Точки А, В, С, D удовлетворяют УСЛОВИIО BC==AD. Дока..
жите, что если точки А и С СИМl\IСТРИЧНЫ относительно О, то
точки В и D также симметричны относительно о.
26. Известно, что А 8, М К, rде z == zo------ центральная сим-
--+ --+
метрия. Докажите, что АК == МВ, АМ == 1(8.
14
27. Дано: АIВ) :=::АВ, A 1 C 1 ==АС (рис. 10).
Докажите, что AA1 BBI== Cl. ... ...
28. Докажите, что вектор х == (( ....... а) + Ь) +
+ ё является решением ура внения а + х ==
== ь + ё.
29. Упростите выражения АС +- CD +
--+ --+
+DM+MK; XY+ZY+YK+YA+AZ;
AK+BD+KB; DB+BK-----DA.
30. Докажите, что для любых трех
...
точек А, В, С справедливо равенство АВ+ВС+СА==О. Сфор
.мулируйте обобщение этоrо утверждения для любоrо числа
точек.
31. Докажите, что для любых точек Аl, А 2 , ..., Ak спра..
ведливо равенство А t А 2 +А 2 А з + ... +Ak---IАk==АtАk.
32. Докажите, что ----- (а ----- Ь) == ь ----- а.
33. Докажите, что а + (Р----- q + () == а....... (q р ().
34. Какими аl(сиомами и теоремами вы пользуетесь при упро-
щеНIIИ следующих выражениЙ:
а ь + а + ё + Ь ----- а ё ----- а;
(т ----- ,1) + (а ----- Ь) + (п ----- ;1) + (Ь а);
(( а + Ь) ё) + (ё ----- ( а ----- Ь)) ь + а Ь;
а ----- ( ----- а) + ( ----- а) ----- (а + ( ----- Ь)) ----- ь ?
BJ
Ау
[1
с
,..
с
А
с
Рис. 1 О
35. Докажите, что для любых векторов а, ь уравнение а +
+ х == ь имеет решение и притом единственное.
36. Можно ли аксиому 114 сформулировать так: сущест-
вует такой вектор Х, что для Лlобоrо а справедливо равенство
... ... ...
а+х==О?
в задачах 37 39 точки А, В, С, D, A I , В 1 , C J , D 1 выбраны
...
А В == а, в С == А D == Ь, АА 1 == В В, == С С 1 ==
таким образом, что
==.DQ1 == ё (рис. 9).
37. Найдите суммы: AD+AB; DC+DD J ; BC+D 1 A,; ВВ1+
-.....+ -.....+
+D,D; flB+AD+AA 1 ; CtC+DA+AB.
.
38. Упростите выражения: AB+D J C 1 +B,B+B 1 A,+BB 1 +
--+
. +DtAI; AtBt+AID,+C,B,+CID,+A,C; AID1+D1A+BC;
--+
D,C, + ВА.
-.....+ --+
39. Выразите вектор DBI через: а) А 1 С 1 , СВ 1 и AtD\; б) DAI,
--+
В 1 С 1 11 BIDI; в) BD 1 , C,D и А 1 В.
15
4. СВойСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Произведение вектора на число имеет
следующее наrлядное представление: век-
тор ka имеет то же направление, что и
вектор а, если k > О, и противоположно
направление при k < о; длина вектора kq
в I k I раз больше длины вектора а
(рис. 11). Однако в соответствии с идеями
вейлевской аксиоматики мы не даем определения вектора ka
(тем более, что «направление» И «длина» еще не определены),
а считаем операцию умножения вектора на число первоначаль
u
ным понятием, своиства KOToporo описываются слеДУIОЩИМИ
четырьмя аКСИ2МgМИ, справедливыми для любых чисел k, l и лю
бых векторов а, Ь.
А к с и о м а 1 1 1 1. (k + l)a == /l а + 1 а.
Аксиома 1112. k(a+b)==ka+/lb.
А к с и о м а 1 1 1 з. k (l а) == (/ll)a.
А к с и о м а 1114. 1 а == а.
Аксиомы 1111 и 1112 вырая(аIОТ дистрибутивные (распредели
тельные) свойства операции умножения вектора на число, aK
сиома III з ассоциативное (сочетательное) свойство.
С помощью перечисленных аксиом можно доказать ряд теорем.
формулируем некоторые из них (k произвольное число; а, ь,
с произвольные векторы).
т е о р е м а 1. oёi о.
т е о р е м а 2. ----- (k а) == ( ----- '<)а.
т с о р е 1\1 а 3. (----- I)a === ----- а.
r[ е о р е м а 4. /l (а + ь + ё) == /la I i<b r kё.
т е о р е м а 5. k (а ----- Ь) === ko' ----- kb.
д о к а з а т е л ь с Т В О е о р е м ы 1. Соrласно аксиомам
1114 И 1111 имеем:
ОО,+а===Оа+ la==(O+ 1) a lа==а.
Прибавим к обеим частям полученноrо равенства вектор ----- а:
(Оа + а) + ( ----- а) == а + ( ----- а).
Отсюда получаем (аксиома 112):
Оа + (а + ( ----- а)) === а + ( ----- а),
т. е. Оа+ О ==О, и потому 00,==0 (аКСlIома Il з ).
Д о I{ а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 2. По аксио е III1 имеем:
ka + ( ----- ka) == (k + ( ----- k)) 0,=== Оа.
Поэтому на основании доказанной теоремы 1
ko' + ( ----- k)o' == о.
16
a
2
Ри с. 11
Это означает, что вектор ( k) а является ПРОТИВОПОЛО}I{НЫМ
веКТОрУ ka, т. е. (....... k) а == ----- (ka). ___
о п р е Д е л е н и е. Будем rоворить, что вектор р выра"сается
через векторы аl, а2, ..., йN, если существуют такие числа kt, k 2 , ...
..., k п , что Р == k l а l + k 2 a 2 + ... + kna n .
О п.р е Д е л е н и е. Векторы а и ь называются nропорцио-
нальНЫМU, если хотя бы один из них выражается через друrой.
Контрольные вопросы
1
1) Пусть точка О такая точка, что АО==тАВ. Докажите,
что точки А и В симметричны относительно о.
... 2---
2) Взяты такие точки Q, О, А, В, что QG==a, QА==-за,
4'"
QB ===3 а. Докажите, что Zo (А)== В.
3) Докажите, что а + а + а == За.
4) Точки О, А, В, Аl, BI таковы, что ОА 1 == kOA, ОВ 1 == kOB.
Докажите, что А1ВI ==kAB.
5) Верно ли, что векторы О и а пропорциональны?
Задачи
I
40. Докажите, что для любых k, [, т, а справедливо равен-
ство ka+la+тa==(k+l+m)a.
1... ... 2'" ...
41. Решите ,уравнение зх+За 15Ь==О и укажите, какими
аксиомами или теоремами вы пользовались при решении.
42. Найдите вектор, противоположный вектору
(2а + ЗЬ ....... ё)....... (За ----- 2Ь + ё).
43. Пусть А, В, о, Q произвольные точки. Докажите, что
дл . симметричности точек А и в относительно О необходимо и
достаточно выполнение равенства
1
QO ==T(QA + QB).
44. Точки А и С симметричны относительно о. Докажите, чт(\
если AD === ВС, то точки В и D также симметричны относительно о.
45. Точка А симметрична точке С
относительно Р, а точка В симметрична
точке С относительно Q (рис. 12). До-
1
кажите, что PQ ===2 АВ.
46. Какая точка получится
с
в резуль-
1
тате откладывания вектора 2 ХУ-----
----+ 1
----- ОУ +т( УХ +20Z) от точки Х?
17
А
РИС. 12
.
47. Докажите, что для заданных точек А и В cYluecTByeT, и
притом только одна, точка О, относительно Korupoii ,} И В сим..
меrричны.
48. Упростите следующие выражения, если известно что
z z
А C, B D, rде z симметрия относительно точки о: а) СВ
--+ --+ 1--+ 1 --+ --+
DC+AO; б) OK+AD BC; в) TDA 2AB AO: r) 20C
--+ 1
AB DC+2DB.
в задачах 49 50 точки А, В, С, D, А., 81, С" DI выбраны
--+ --+
таким образом, что А8==а, 8C AD==b, A.A1===BB1===CC I ==
== DDI === ё (рис 9).
I 1
49. Найдите сумму векторов: а) """2A,B.+"""2CD+CC,;
1 --+ --+ . --+ 1 1--+
б) ""2CCI+AB+C.DI; в) BID+CC.+A.Bt; r) 2AC. 2BBl+
1 1 1--+ 1 1--+
+T BD ; д) тА.С. +2 8В1 +2 CD +2 DA .
50. Точка М получена в результате откладывания вектора
1 1'"
"""2 C 2 ь от точки С; точка N получена в результате отклады..
1'" 1
ва ния вектора ""2 а ""2 ь оТ точки D; точка Р получена в резуль..
1 1-+
тате откладывания вектора тс+та от точки N. Имеется ли
среди точек 1\1, N, Р совпадающие?
51. а) Имеются векторы р===а+2Ь, q==a b, (===2а+Ь.
Сколькими способами можно выразить вектор а через векторы
р, q, (? б) Докажите, что кажДЫЙ из векторов р, q, , может быть
выражен через два друrих.
52. Векторы а и Ь пропорциональны. Какие из слеДУIОЩИХ
высказываний истинны: а) каждый из векторов а, Ь ...выражается
через друrой; б) при некотором т сумма а+mЬ является ну..
левым вектором; в) если а*О, то при некотором р сумма ра+Ь
является нулевым вектором; r) если каждый из векторов а, ь
выражается через друrой, то оба вектора а, ь ненулевые; д) если
Ь * о и Ь выражается через а, то а выражается через Ь; е) сущест"
вуют такие числа k, 1, хотя бы одно из которых отлично от нуля,
что ka + lЬ == О?
s. ПРЯМАЯ
При изучении rеометрии на плоскости прямая не определя..
лась, т. е. была первоначальным понятием. Здесь же первона-
чальными понятиями являются точка, вектор и операции над
18
ними, а прямая определяемым по..
нятием. Однако прежде чем сформу"
лировать определение прямой, дадим
пояснение.
f!YCTb l некоторая прямая и
а =1= о ....... направленный вдоль нее век-
тор. Возьмем произвольные точки
...
AEl, ME/; оба вектора АМ, а на.. Рис. 13
правлены вдоль прямой 1 (рис. 13),
и потому существует такое число k,
...
что АМ === ka. Иначе rоворя, прямая 1 состоит из точек М, для
...
которых AM==ka, rде kER. Разумеется, это не «доказательство»,
а лишь наrлядное пояснение к С!lедующему определению....
О п р е Д е л е н и е. Пусть А произвольная точка и а не-
...
нулевой вектор. Множество всех точек М, дЛЯ которых АМ == ka,
k Е R, называется прямой, проходящей через точку А и имеющей
а своим базисным вектором; обозначается эта прямая через (А; а).
С помощью этоrо определения и сформулированных ранее ак-
сиом и теорем можно доказать ряд свойств прямой линии.
Т е о р е м а 1. Пусть В произвольная точка прямой (А; а)
и q отличное от нуля чиtло. ТОёда прямая (В; qa) совпадает
с (А; а).
Т е о р е м а 2. Через две различные точки А, В проходит пря-
мая и притом только одна; эту прямую обозначают через (АВ).
Т е о р е м а 3. Любые две прямые либо Не имеют общих то-
чек, либо имеют только одну общую точку, либо совпадают.
Теорема 1 показывает, что при задании прямой (А; а) мож"
но. вместо А взять любую ее точку, Т. е. все точки прямой рав-
ноправны; кроме Toro, если а базисный вектор прямой, то qa
(при q =1= О) также является базисным вектором этой прямой.
. . Докажем эту теорему. Обозначим прямую (А; а) через 1, а
прямую (В; qa) через 11. Нам нужно показать, что эти прямые
'совпадают, т. е. что любая точка прямой l принадлежит пря-
мой 11 И обратно: любая точка прямой 11 принадлежит 1.
.
Пусть М Е 1,\ т. е. АМ == ka. Точка В тоже принадлежит [, т. е.
... --+--+
АВ ==k l a. Следовательно, ВМ ==ВА +АМ == AB +АМ ==
== ........kla+ka==(k kl) a==k' (qa), rде через k' обозначено число
k kl ...
. Полученное равенство ВМ === k' (qa) означает, что М Е [1.
q .
Итак, если ME/, то MEll. --+
Обратно, пусть NE/ 1 , т. е. BN==k 2 (qa). Тоrда AN==AB+
+BN===kla+k2(qa)===kla+(k2Q)a===(kl+k2Q)a, и потому NEl.
Итак, если NEll, то NE/.
19
в
y
А
Ь
/ [
- D
Контрольные вопросы
1) Укажите какой либо базисный век-
тор прямой (АВ).
2) Сколько базисных векторов имеет
заданная прямая?
З) Укажите базисные векторы прямых
(АВ), (AD), (АС), (BD) (рис. 14).
Рве 14
Задачи
53. Докажите, что если точки Р, Q принадлежат прямой
... ...
(А; а), то существует такое число 1, что PQ === [а.
54. Докажите, что если а и Ь.......... базисные векторы одной и
той же прямой, то эти векторы пропорциональны.
55. Какие из следующих высказываний истинны: а) точка А
принадлежит прямой (А; а); б) если АМ === а, то точка М при-
надлежит прямой (А; а); в) прямые (В; ВС) и (С; ВС) совпадают;
r) прямые (В; ВС) и (С; СВ) совпадают?
56. Докажите сформулированные в тексте теоремы 2, 3.
57. От точки A отложили вектор АВ == а (rде а=#= б), от точки
В отложили вектор ВС === а, от точки С отложили вектор CD a
и т. д. Докажите, что точки А, В, С, D,... лежат на одной прямой.
58. Докажите, что если В и С две различные точки пря
мой-(А; а), то эта прямая совпадает с (В; ВС).
59. Точка О принадлежит прямой 1. Докажите, что при сим
метрии относительно О прямая 1 переходит в себя.
60. На рисунке 9 каждую из следующих прямых задайте дву-
мя точками: (А; а+Ь), (C I ; а+Ь), (A 1 ; a+b ё), (D; 2a 2b),
(В 1; 2а ----- 2Ь), (В 1; Ь ----- а ----- ё).
61. На рисунке 9 для каждой из следующих прямых укажите
ее базисный вектор: (А В), (А С), (А В 1), (А С 1), (D D I ), (С D I ),
(В D 1),
62. Какие из следующих прямых (рис. 9) совпадают: (АС),
(С; -----а-----Ь), (С; Ь-----а), (C1D), (C 1 ; ё-----а), (D; а+ё), (АВ),
(А; а). (В; Ба)?
... ...
63. Докажите, что если ОА === За, АВ == Ь а, ОС == 3Ь, то точки
А, В, С лежат на одной прямой.
64. Точки А, В, С, D, Р, N и М выбраны так, что АВ == DC,
---+ I l
СР==т CD, CN==T СВ, BM== AB. При каком точки М, N, Р
лежат на одной прямой?
20
А
в
[
А
РНС 15
Рис. 16
Рвс 17
65. Даны т кие четыре ТОЧКИ А, В, С, D, что АВ === DC ТОЧI(И
----+ 1 ----+ 1 ----+
М И N Dыбраны так, что AM=== AB, AN=== +1 АС (рис. 15).
n 11
--+ --+ ----+ ...
а) Выразите DA, АС, AN и DN через векторы a==DM и Ь==АВ.
б) Докажите, что точки D, М, N лежат на одной прямой.
----+ ----+
66. Известно, что АВ == DC, С Р == аС D, С N == C В, 8М ==
----+
==1'АВ. При каком соотношении между а, , l' точки М, N, Р ле
жат на одной прямой (рис. 16)?
--+ ----+ --+ ----+
67. Известно, что АМ==аАВ, CN==aCD, АР==ВАС, MQ==
----+
== M N, BR == BD (рис. 17). Докажите, что точки Р, Q и R ле
жат на одной прямой.
", --+ --+ ----+
68. Известно, что АМ==аМВ, BN== .NC, СР===1'РА (рис. 18).
Д.окажите, что если a 1' == ----- 1, то ТОЧКИ Л1, N, Р лежат на 0:1.11011
. прямой (теорема Мене лая) .
i 69. Докажите, что если справедливы равенства А 181 == 81 С 1 ==
----+ ----+ --+ ----+ --+
.===C 1 D 1 ; A4B4===B4C4==C4D4; АIА2==А2Аl==АзА1: В 1 В'2===8 2 8 з ==
. --+
==8 з В 4 ; СIС2===С'2СЗ==СЗС4: D1D2==D'2DJ==D.}D, (рис. 19), то ТОЧ
КН А2, 82, С 2 , D 2 лежат на одной прямой и точки Аз, 8 з , С з , D3
также лежат на одной прямой.
В/
M.
;/!
А с
РНС. 18
Рв с. 1
21
о п р е Д е л е н и е. Пусть А, В, С
три различные точки; точка С наЗblвает-
----+
ся лежащей между А и В, если АС==
.
==kAB, rде O<k< 1 (рис. 20).
О п Р е Д е л е н и е. Пусть А и В две различные точки; мно-
)I{eCTBO, состоящее из точек А, В, а также всех точек, лежащих
между А и В, называется отрезком. Этот отрезок обозначается
через [АВ]. Точки А и В называются концевыми точками (или кон-
цами) отрезка [АВ]; остальные точки отрезка [АВ] называются ero
BHYTpeHHUAfU ТОtlКЙМИ.
О п р е д е л е н и е. Пусть 'А, В ----- две различные точки. Точ-
. 1
ка О, дЛЯ которой А 0=="'2 А В, называется серединой отрезка АВ.
О п р е Д е л е н и е. Пусть А и В две различные точки; мно-
--+
жество всех точек М, дЛЯ которых АМ == kAB, rде k О, называ-
ется лучом с началом в точке А, проходящим через точку В. Этот
луч обозначается через [АВ).
3 а м е ч а н и е. В дальнейшем для упрощения записи мы не-
редко будем опускать скобки, если в предложении имеется слово,
делающее смысл записи понятным; например, будем писать «пря-
мая АВ», «луч АВ», «отрезок АВ». Точно так же после введения
понятия параллельности будем иноrда писать ABII CD (поскольку
здесь смысл записи ясен). Напротив, запись М Е АВ никоrда не
будет применяться, поскольку здесь неясно, что имеется в виду:
точка М принадлежит п р я м о й АВ, л у ч у АВ или о т рез к у
АВ. В подобных случаях будем писать либо «М принадлежит от-
резку АВ», либо М E[ABl (и аналоrично в случае прямой или
луча ).
в
6. ОТРЕЗОК И ЛУЧ
Рис 20
Контрольные вопросы
1) Докажите, что если точка С лежит между точками А и В,
то С лежит также между В и А.
2) Пусть А, В, С три различные точки. Какие из следую-
щих высказываний истинны: а) если С лежит между А и В, то
СЕ (АВ); б) если СЕ (АВ), то С лежит между А и В; в) если С
лежит между А и В, то CE[AB1; r) если CEfAB1, то С лежит
между А и В; д) если С лежит между А и В, то CEfAB); е) если
С Е [А В), то С лежит между А и В?
3) Пусть О, А, В три различные точки. Докажите, что
если О лежит между А и В, то ОА == рОВ, rде р < о.
4) Докажите, что из трех различных точек, лежащих на од-
ной прямой, одна и только одна лежит между' двумя друrими.
22
Задачи
70. А и B две различные точки. Ка..
кие из следующих Вblсказываний истинны: К
а) отрезКИ АВ и ВА совпадают; б) прямые А
АВ и БА совпадают; в) лучи [АВ) и [ВА) сов..
падают?
71. А.и В две различные точки. Дока.. D
жите. .что каждое из следующих утвержде.. Рис. 21
ний означает, что О является серединой от..
l ---+- l
резка АВ: а) АО ==тАВ; б) ВО ===тВА;
В ) точки А и В симметричны относительно точки о; r) для любой
-
1
точки Q справедливо равенство QO ===T(QA + QB).
72. Докажите. что если С и D две различные точки отрезка
АВ, то tCD]c[AB,.
73. Докажите. что если M отличная от А точка луча АВ,
то луч АМ совпадает с [АВ).
.. 74. Точка М лежит между А и В. Докажите. что:
а) [MA)U[MB) есть прямая АВ; б) [МА)П[МВ) состоит только
из одной точки М.
75. Даны четыре точки А. В. С, D. Середины отрезков АВ,
CD. AD. ВС, АС. BD обозначим через К, L, М. N. Р. Q. Докажите,
что [KL], [MN], [PQ] имеют общую середину (рис. 21).
76. На прямой [1 взяты такие точки AI. А 2 . Аз, А4...., что
--+
А IA2 === А 2 А з === А з А 4 == .... а на прямой [2 такие точки В 1, В2, В з ,
.".84,.... что В 1 В 2 === В 2 В З == ВЗВ4 == ... . Докажите, что середины от..
резков А lB 1. А2В2, АзВ з . А4В4.... расположены на одной пря..
мой (ри с. 22).
77. Точки М. N. Р, Q середины отрезков АВ. ВС, CD, DA
(рис. 23). Докажите. что MN == QP.
--+ .....
78. Известно, что АВ==а; BC===AD===b; AA1==BB1==CC 1 ==
---+-
DDI == ё; АМ == C1N (рис. 24). а) Докажите, что отрезки AC 1 .
BDI. CA 1 , DB, имеют общую середину о. б) Докажите, что точ"
ка О является серединой отрезка MN.
в
А, Az Аз А п .., А п
81
82
В]
В п"1
В п
А
о
L,
L 2
Рис. 22
с
Рис. 23
23
80. Дана ломаная А IА2Аз...А2п )А 2п . До-
кажите, что если середины отрезков А )А 2 ,
А 2 А з ,..., A2п I А 2п лежат на одной прямой,
ТО точки AI, Аз,..., A2п 1 лежат на одной
прямой и точки А2, А 4 ,..:, А 2n также лежат
на одной прямой. .
81. Докажите, что если М, N различ-
ные точки луча АВ, то [MN]c[AB).
82. Точки А, В, С, D удовлетворяют
УСЛОВИIО АВ === DC. Докажите, что отрезки
С АС и BD имеют общую середину.
83. Точки М, N, Р являются середина-
ми отрезков АВ, ВС, CD. Докажите, что
если точки М, N, Р лежат на одной прямой
(рис. 25), то векторы АС и BD пропорцио-
нальны.
84. М 1, М2, М з , M4 середины отрез-
ков АВ, ВС, CD, DA; точки Р, Q, R, S сим-
метричны точке К относительно точек М 1,
соответственно. Докажите, что PQ ===SR; сделайте
/ N
[;
о
[
[
и
Рис. 24
А
Ри с. 25
81
79. Даны. две различные точки А, В и
произвольная точка Q. Докажите, что точ-
ка С в том и только в том случае принад-
лежит отрезку АВ, если существует Tal{Oe
число k, O k 1, что
QC==kQA +(I-----k)QВ.
М2, М з , М4
чертеж.
85. Известно, что АМ === лАС, СN===лСВ, rде А, В, C дaH-
ные точки, л данное число. Точки Р, Q:........ середины отрезков
АС и ВС. Докажите, что середина отрезка MN принадлежит
отрезку PQ.
86. MI, М 2 , М З середины отрезков ВС, СА, АВ; точки Р,
Q, R симметричны данной точке К относительно точек М 1, М 2 , М З
соответственно. Докажите, что отрезки АР, BQ, CR имеют об-
щую точку.
7. ПДРДЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ
о п р е Д е л е н и е. Прямая (А; а) называется парадлельной
прямой (В; Ь), если существует такое число k, что a==kb (рис. 26).
Для обозначения параллельности используют знак 11.
т е о р е м а 1. Каждая прямая параллельна самой себе.
т е о р е м а 2 (с и м м е т р и ч н о с т ь п о н я т и я пар а л-
24
л е л ь Н О С Т и). Если прямая 11 параллель..
на прямоЙ 12, то и прямая 12 параллель..
на 1 t ·
Теорема 3 ранзити ность
n о н я т и я пар а л л е л ь н о с т и). Если
11, 12, Iз прямые u 111112, 12111з, то 11 1113.
Т е о р е м а 4. Через каждую точку В
пространства проходит одна и только одна Рис. 26
прямая, nараллельная заданной прямой 1. .....
Т е о р е м а 5. Если две параллельные прямые имеют хотя бы
одну общую точку, TQ они совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Пусть даны прямые
11 ==(А; а), 12 (B; Ь), и пусть 111112, т. е. а kБ. Так как a=FO
(поскольку а базисный вектор прямой 11), то k =F о. Из ра..
... ... 1'"
венства a===kb следует теперь, что b Ta, и потому 1211/1.
.
Д О К а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 4. Пусть заданы прямая
I===(А; а) и точка 13. Рассмотрим прямую 1'===(В; а). Тоrда 1'lIl
и В Е ['; этим доказано с у Щ е с т в о в а н и е прямой, проходящей
через В и параллельной 1. Докажем е Д и н с т в е н н о с т ь этой
прямой. Пусть I1 И 12 Be прямые, проходящие через точку В
и параллельные 1., а Ь ) и Ь 2 базисные векторы этих прямых. Так
.
.... . .... ... .... 1....
как 11111, то bl вla. Аналоrично b 2 ===k 2 a. Вектор a=== k ы пропор..
· 1
ционален вектору ы 1 , и потому не только Б 1 , но И а является базис..
иым вектором прямой 11. Следовательно, 11 (B; а). Точно так
же 12 (B; а), и пото у 11 12.
Контрольные вопросы
1) Докажите теоремы 3, 5.
...
2) Даны прямые 11 (A; а) и 12===(8; Ь). Какие из следую..
щих высказываний истинны: а) если 111\12, то a b; б) если а Б,
то 111112; в) если 1.1112, то существует такое число k, что а == kb;
r) если 1111/2, то существует такое число k, что Ь ka; д) если
a==kb, то 111112; е) если b ka, то 1 1 11l2?
Задачи
87. Точка С не принадлежит прямой АВ. Какие из прямых
(8; АВ), (А; ВА), (с; АВ), (А; ВС), (с; СВ) параллельны?
Какие из этих прямых совпадают? ...
8 . Прямая 1 параллельна пря ой 11 ==(В; Ь). Докажите,
что Ь является базисным вектором прямой 1.
25
89. Известно, что прямая l 'параллель-
на прямой 11 ==(А; За). Докажите, что пря-
мая 12 ==(В; 2а) параллельна '.
90. Известно, что А В == ----- За, А С ==
== 5а (а =1= О). Докажите, что прямые (В; а) и.
(С; 2а) параллельны. Совпадают ли эти пря
мые?
............,.. ...
91. На рисунке 27 AA 1 ==BB 1 ==CC 1 ==C.
Какие из прямых (АВ), (A 1 B l ), (АС), (A I C 1 ),
(А; а), (В; а), (А 1; а), (С 1; а) па раллельны?
Какие из них совпадают?
92. Докажите, что если 11111 и 12111, то 111112
(т. е. две прямые, параллельные третьей,
параллельны между собой).
93. Точки А и С симметричны относи
тельно точки О, точки В и D также сим-
метричны относительно о. Докажите, что
(AB)II(CD) и (AD)II(BC).
94. Докажите, что при центральной сим
метрии каждая прямая переходит в парал
лельную ей прямую.
...
95. На рисунке 28 АВ==а, BC==AD==b;
АА. ==ВВI ==СС 1 ==DDI ==ё. Какие. из пря
м ых (А D 1 ), ( С 1 D), (В 1 ; Б + ё), ( D 1 ; З Ь ----- зё), ( С 1 ; а + ё),
(С 1; ----- Ь ----- ё), (АВ 1), (ВС 1) параллельны? Какие из них совпадают?
96. Прямые 11 и 12 параллельны. Докажите, что если MI, N I ,
Р 1 точки прямой LI, а М2, N 2 , Р 2 точки прямой 12, то середины
отрезков MIM2, N 1 N 2 , P 1 P 2 лежат на одной прямой, параллель
ной прямым 1, и 12.
97. Докажите, что если две прямые не параллельны, то они
имеют не более одной общей точки.
98. Известно, что АЕ(С; р) и (с; p)II(B; q). Принадлежит
ли точка А прямой (с; q)?
99. Точки А, В, С не лежат на одной прямой; М и N"':" середины
отрезков АС и ВС. Докажите, что (MN)II(AB).
100. Точки К, М, N, Р, Q середины отрез ов CIAI, C 1 B I ,
AIBl, ВС, АВ (рис. 28). а) Докажите, что (A 1 M)II(AP). б) Пере
числите прямые, параллельные (NQ), каждая из которых
проходит через какие либо две из точек А, В, С, D, AI, BI,
C 1 , DI. в) Докажите, что (KM)II(AB), (MN)II(PQ).
101. Точки А, В, С, D не лежат на одной прямой, и (AB)II(CD),
(AD)II(BC). Докажите, что АВ ==DC и AD ==ВС.
102. Даны такие четыре точки А, В, С, D, что (AB)II(CD).
Через М и N обозначены середины отрезков AD и ВС. Докажите,
26
В,
А 1
[,
(
А
с.
Ри с. 27
А
в
(1
Ри с. 28
о
с
что: а) если точки М и N раз..
личнЫ, то (MN)H(AB)II(CD);
б) еСЛИ точки М и N совпадают,
то (А С) 11 (BD).
103. Даны пять точек, ни..
какие три из которых не лежат
на ОДНОЙ прямой. Проведены
всевозможные прямые, каждая
из которых проходит Через две
из этих точек. Можно ли из
проведенных прямых выбрать
три прямые, которые были бы
попарно параллельны? Тот же
вопрос для шести точек.
104. Известно, ч.то (А; a)lIll и (А; b)lIll. Какие из слеДУI0ЩИХ
высказываний истинны: а) а == Ь; б) прямые (А; а) и (А; Ь) совпа..
дают? .
105. На прямой l взяты точки А 1, А2, ..., Аn, а на прямой т,
не совпадающей с l, взяты точки Вl, В2, ..., В п , причем А tA2 ==
)
==А2Аз==...==Ап 1 А'l и (AIB1)II(A2B2)1I...II(AnBl1). Докажите, что
.. )
ВtВ2==В2вз==...еВn 1 Вn (рис. 29).
т
Ри с. 29
8. РАЗМЕРНОСТЬ (ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ)
Если Р и Q произвольные точки прямой [==(А; а), то
(рис. 30) вектор PQ выражается через о Д и н базисный вектор:
......
PQ ==ka; в связи с этим rоворят, что прямая имеет одно измерение.
При изучении rеометрии на плоскости было установлено, что
.
если Р, Q произвольные точки плоскости, то вектор PQ может
быть выражен через Д в а базисных вектора ё l , ё 2 (рис. 31):
...... ......
PQ ==хеl + уе2.
В связи с этим rоворят, что плоскость имеет два иЗJ:f.ерения.
Пространство является т р е х м е р н ы м, т. е. оно имеет три
измерения: для любых точек Р, Q
пространства вектор PQ может
быть выражен через т р и базис..
ных вектора. Конечно, эти сообра..
жения о «трехмерности» прост"
ранства являются не точным ма..
тематическим определением, а
лишь пояснением смысла форму..
лируемых ниже аксиом. Рис. 30
27
у
о
е 1
.х
Q
У
р
Рис. 31 Рис 32
А к с и о м а IV 1 . Существуют такие три вектора а, ь, ё, что
ни один из них не выражается через два друrих.
Тройка векторов а, ь, ё, удовлетворяющая аксиоме IV 1 , на..
зывается базисом пространства (или просто базисом). Рису
иоК 32 иллюстрирует эту аксиому. Заметим, что базис мы будем
рассматривать как у пор я Д о ч е н н у ю тройку векторов (т. е.
тройку векторов, расположенных в определенном порядке). Если
а, Ь, ё базис, то Ь, а, ё уще Д р у r о й базис.
"
А к r и о м а IV 2. Если а, ь, ё три вектора в ...пространстве,
образующие базис, то любой четвертый вектор f выражается
через вскторы этоrо базиса, т. е. существуют такие числа х, у, Z,
что 1 == ха + уЬ + zё (рис. 32).
СлеДУIощая аксиома связана с н е n у с т о т о й пространства.
До сих пор мы rОБОрИЛИ о точках, не зная, l<aK MHoro точек име
ется в пространстве (и даже, имеется ли хоть одна точка); ro
ворили о двух раз л и ч н ы х точках, не зная, найдутся ли Ta
ковые; rОВОРИJ1И о трех точках, не лежащих на одной прямой,
не зная, можно ли найти такие три точки. Аксиомы этоrо пункта
позволяют обосновать все это. Принято считать, что точка имеет
размерньсть О, а пустое множество имеет размерность ----- 1. По
этому аксиома о непус тоте простра нства (т. е. о том, что размер-
ность пространства больше 1) также может быть причислена
к аксиомам размерности.
А к с и о м а IV з . В пространстве существует хотя бы одна
точка.
т е о р е м а 1. Существует хотя бы один нулевой вектор.
т е о р е м а 2. Существуют хотя бы две различные точки.
т е о р е м а 3. Существует хотя бы одна прямая.
т е о р е м а 4. Если р н!нулевой вектор, то существует
вектор, не пропорцuональный р.
т е о р е м а 5. Какова бы ни была прямая в пространстве,
суи(ествует точка, не при надлежащая этой прямой.
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 1. Пусть а, ь, ё базис.
Если бы было а==О, то мы имели бы а==ОЬ +оё, т. е. вектор а
28
выражался бы через Ь, ё. Однако это противоречит определению
базиса. Полученное противоречие доказывает, что а =1= о.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 4. Пусть а, ь, ё базис.
Докажем, что хотя бы один И3 векторов а, ь не пропорционален
р. Допустим противное: a==k l P, b==k 2 p. Здесь числа k l , k 2 отлич"
· .......... ..... l"'
НЫ от нуля (так как а=#=О, Ь=#=О). Следовательно, р==т Ь, a==ktp==
I k ... 2
== kl.-Y;; ь == k Ь, т. е. векторы а и Ь пропорциональны. Но это
противоречит тому, что а, ь, ё базис.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что если а, ь, ё базис, то векторы а и Ь не
пропорциональны.
2) Точки М и N удовлетворяют условию АМ == k1a, AN == k 2 a.
Докажите, что если а * о и k. * k 2 , то точки М и N различны.
Выведите отсюда, что на любой прямой (а потому и в простран
стве) существует бесконечно MHoro точек.
3) Докажите, что если а, ь, ё, a четыре произвольных BeK
тора, то какой"нибудь из них выражается через три друrих.
Задачи
106. Докажите, чт() если а, ь, ё базис, то следующие тройки
векторов также являются базисами: а) а, ь, а+ ё; б) 2а,....... Ь,
зё; в) а+Ь, ёi......b, ё; r) а+ь+ё, a b, ё.
107. Докажите, ; TO если ненулевые векторы ёi и Б непропор
циональны, а тройка а, ь, р не явл'яется базисом, то р выража
ется через ёi и ь.
108. Докажите opeMЫ 3, 5.
109. Точки А', 8', С' симметричны точкам А, В, С относи
тельно центра о. Докажите, что ес-ли векторы ОА, ОВ, ОС со..
ставляют базис, то векторы ОА', ОВ', ОС' также составляют базис.
...
110. Векторы ОА == и, ОВ == Ь, ОС == ё образуют базис (рис. 33).
Докажите, что прямые АВ и ОС
не имеют общих точек и не парал
лельны.
111. Точки на
рисунке 34 удовле-
творяют условиям А В == а, А С == Ь,
>
АА1==вв1==ссl==ё, rде а, ь, ё ба
зис. ДОI\ажите, что прямые АВ и СС 1
не параллельны и не имеют общих'
точек.
[
[
Рис. ЗЗ
29
112. Векторы а, ь, с COCTaB
ляют базис. Докажите, что если
ха + уЬ + zc == О, то х == у == z == о.
113. Векторы а, Ьу, ё COCTaB
ляют базис. При каких k, 1, т
справедливо равенство
(2k+ 1----- З)а+(k + (+ 2 т)b +
+ (Зk + 21----- 5)с == О?
114. Какие из следующих BЫ
сказываний истинны: а) если
векторы а,' ь, ё не составляют
базис, то каждый из них Bыpa
... ... ... жается через остальные; б) если
векторы а, Ь, с не составляют базис, то найдется среди них Ta
кой, который выражается через два друrих; в) если никакой из
векторов а, Ь, ё не выражается через два друrих, то BeKTO
ры а, Ь, с составляют базис; r) если вектор а не выражается че
рез Ь и С, то векторы а, ь, ё составляют базис?
1 15. Выразите какой либо из векторов и, v, ш' через два дpy
rих, если: а) u==Оа+ОЬ, v==За Ь, w==2a+5b; б) u==7а-----Ь,
.... .... ...., 5 4....
и==28a 4b, w==2a+5b; в) и==3а+Ь, v ... a-----зЬ, w==за+6Ь.
1 16. Известно, что 2а + БЬ + ос ----- 8а == о. Выразите каждый из
векторов а, ь, d через остальные вектрры. Можно ли утверждать,
что вектор ё не выражается через а, ь, а?
117. Дан некоторый базис а, Ь, ё. Каждый ли из четыехx BeK
торов р, q, (, S выражается через три остальных, если: а) р == 2а +
+ зь ----- ё, q == Ба + ь + 2с, r == Зс, s == а + 2Ь ----- с; б) Р == а + 2Ь,
q == 2а ----- Ь, r == ь, S == а + ё?
1 18. Какие из следующих высказываний истинны: а) каковы
бы ни были векторы а, ь, ё, а, каждый из них выражается через
три друrих; б) каковы бы ни были векторы а, ь, ё, а, хотя бы
один из них выражается через три друrих; в) существуют такие
векторы а, ь, ё, а, что только один из них выражается через
три друrих?
119. Докажите, что существуют две параллельные прямые,
не имеющие общих точек.
120. Векторы а, ь, ё составляют базис. Параллельны ли пря
....
мые АВ и CD, если: а) ОА==а, ОВ==Ь, ос==ё, OD==a-----Ь+ё;
б) ОА==а+Ь, 08 , а+ё, ОС==за-----Ь+ё, OD==3a+b-----ё;
.... ... ... ... ... ....
в) АС==а+Ь+с, BC==3a+2b c, АD==11а 14Ь-----9с?
121. Точки А, В, С, D удовлетворяют соотношениям DA ==
30
Рис. 34
'\ ----+
:::= За ....... k, D В == а ----- 7 Ь, А С == ka ----- 11 Ь,
rAe а, Ь непропорциональные векторы.
Определите число k, зная, что (AB)II(CD).
122. От точки О отложены векторы
..-+ ..... ......
ОА ==а, ОВ==Ь, OC==ka, OD==lb, rдс
а, Ь н.епропорциональные векторы 11
k =1= О, l =1= о. Точки М, N середины отрез
ков АВ и CD. Докажите, что если точки
О, М, N расположены на одной прямой
(рис. 35), то (AB)II(CD).
123. Векторы а, ь, ё образуют базис. Расположены ли точки
.... ..... ... ... ...
А, В, С на одной прямой, если: а) OA==5a 6b+.c, OBt:::a+c,
........ ....... ..... .... .... ... ... ....
ВС == 3Ь ----- 2а; б) ОА === а + Ь, ОВ == а ----- Ь + с, ОС == а + 7Ь ----- 3с;
в) МВ==5а+2ь+ё, МС==11а+llЬ+2ё, АС==8а+12ь+ё?
А
I
I
/М
D
Рис. 35
9. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Две непараллельные прямые не MorYT иметь более одной об
щей точки (если бы они имели две общие точки, то они совпа
дали бl)I и, следовательно, были бы параЛJIельны). Таким образом,
двс непараллсльныс прямые MorYT либо иметь только одну общую
точку, либо совсем не иметь общих точек.
О п р е Д е л с н и е. Две непараллельные прямые, имеющие об
щую точку, называIОТСЯ пересекающuМ,uся; две непараллельные
прямые, не имеlощие общих точек, называются скрещuвающu.мuся.
На рисунке 36 дороrl1 (АВ) и (CD) не параллельны и про-
ходят одна над друrой, они дают наrлядное представление о
скрещивающихся прямых.
т е о р е м а (признак скрещивающихся прямых). ДАЯ ТО20
чтобы пРЯм'ые (А; а) и (В; Ь) были скрещuвающuм'ИСЯ, необхо..
. ...
дима и достаточно, чта6ы векторы а, Ь и АВ составляли базис.
8
D
,'
,-
"
'
.,\
", '...... -
"'
'-' А
'\
-
.:::::- ....
........ ....
..
........,....::===:---
Ри с. 36
31
д о к а з h т е л ь с Т В о. Докажем сначала, что если .векторы
а, ь и АВ составляют базис, то прямые (А; а) и (В; Ь) скрещи..
вающиеся. Так как а, ь, АВ базис, то векторы а и Б непропор
циональны, и потому прямые (А; а) и (В; Ь) не параллельны.
Остается доказать, что эти прямые не имеют общих точек.
Допустим противное: прямые (А; а) и (8; Ь) имеют общую
----+ ----+... ..........
точку М. Тоrда AM==kla, BM===k29, и потому АВ==АМ-----ВМ==
...... ..... ....
==k l a.......k 2 b, т. е. вектор АВ выражается через а и Ь. Но это про..
...
тиворечит тому, что а, ь, АВ базис. Полученное противоречие
доказывает, что прямые (А; а) и (В; Ь) не имеют общих точек и
потому являются скрещивающимися.
...
Теперь докажем, -что если векторы а, ь, АВ не образуют базис,
то прямые (А; а) и (В; Ь) не являются скрещивающимися. При
доказательстве MorYT представиться два случая.
1) Векторы а и ь пропорциональны. Тоrда (А; a)II(B; Ь), и
потому эти прямые не являются скрещивающимися.
2) Векторы а и ь не пропорциональны. В этом случае (посколь-
...
ку а, ь, АВ не составляют базис) вектор АВ выражается через
а и Ь:
...
AB==:pa+qb.
...
Соrласно аксиоме 12 существует такая точка М, что АМ ==ра. Ясно,
----+ ...
что МЕ(А; а). Далее, так как BM==AM AB==pa (pa+qb)==
=== ....... qb, то м Е (В; Ь). Таким образом, прямые (А; а) и (В; Ь) име..
ют общую точку М и потому не являются скрещивающимися.
Контрольные вопросы
1) Какие из следующих высказываний истинны: а) если пря
мые 1, и 12 не имеют общих точек, то они скрещивающиеся; б) если
прямые I1 и 12 скрещивающиеся, то они не имеют общих точек;
в) если прямые 11 и /2 скрещивающиеся и /з 11/2, то прямые I1 и I з
скрещивающиеся; r) если прямые 1, и 12 не являются скрещиваю
щимися, то они параллельны; д) если прямые 1, и /2 не являются
скрещиnающимися, то существует такая точка О, что фиrура
11 U 12 симметрична относительно О? ... ....
2) Базисными векторами прямых т и п служат векторы а и Ь.
Какие из следующих высказываний истинны: а) если прямые т и п
пересекаются, то векторы а и ь непропорциональны; б) если BeK
торы а и Б непропорциональны). то прямые т и п пересекаIОТСЯ;
в) еСЛIl прямые т и п скрещивающиеся, то векторы а и Б непропор-
32
.
циональны; r) если векторы а и ь непропорционаЛЬНЫ t ТО прямые
т и п скрещивающиеся; Д) если векторы а и Ь непропорционалыI,'
то прямые т и n пересекающиеся ИЛИ скрещивающиеся? .
3) Прямые а и Ь пересекающиеся, прямые а и с тоже пересе-
кающиеся. MorYT ли прямые Ь и с быть: а) параллельными; б) пе-
ресекающимися; в) скрещивающимися?
Задачи
124. Докажите, что если а, Б, ё базис то каждые две из пря-
мых АВ, А .DI, СС., B 1 D на рисунке 28 скрещивающиеся.
125. Векторы ОА, ОВ, ОС образуют базис AD==OB. Опре-
делите взаимное расположение прямых: а) (ОА) и (BD); б) (ОС)
и (BD); в) (АВ) и (OD).
126. Прямые 1 и т скрещивающиеся. На прямой 1 взяты две
различные точки А, В; на прямой т взяты две различные точки
М, N. Докажите, что: а) прямые АМ и BN скрещивающиеся;
б) прямые AN и ВМ скрещивающиеся.
127. Пользуясь обозначениями задачи 124, перечислите все
прямые, каждая из которых проходит через какие-либо две из
точек А, В, С, D, А., BI, С., D. и является: а) скрещивающейся
с прямой СС.; б) пересекающейся с прямой В8..
128. Докажите, что если а, ь, ё базис (рис. 27), то: а) пря-
мые АВ. и А IB пересекающиеся; б) прямые А IB. и ВС скрещи-
вающиеся; в) прямые АВ. и ВС. скрещивающиеся.
129. Точки м, Р, К, T середины отрезков A.Bt, АА., СС.,
В.С.. Определите взаимное расположение каждых двух из сле-
дующих прямых: а) (А; ё}, (В.; ё), (8; ё), (с; Ь); б) (АВ), (AIB.),
(СА); в) (МТ), (РК), (РМ), (К'1); r) (СВ.), (С.А), (C.A 1 ), (СМ);
д) (А; ё), (А.; а....... ё), (С; а ---- ё) (а, ь, ё базис, рис. 27).
130. ПJ5ямые АВ и CD скрещивающиеся, точки М, N,
Р, Q середины отрезков АС, AD, BC,.BD. Определите взаимное
расположение прямых: a).(MN) и (PQ); б) (МР) и (NQ); в) (MQ) и
(N Р).
131. При обозначениях задачи 128 (рис. 27) точки м, N, Р.........
середины отрезков сс., С.В l , C1A 1. Докажите, что:. а) прямые
(С; Ь) и (В; ё) скрещивающиеся; б) прямые (В; а) и (А 1; ё) пе-
ресекающиеся; в) прямые NN и ВВ. пересекающиеся; r) пря..
мые BN и АР пересекаI<?u[иеся; д) прямые МР и СВ скрещи-
вающиеся.
132. При обозна чении за ачи 124 (рис. 28) середины отрез-
ков AAI, AIDI' D,C 1 , СС. обозначены соответственно через К,
м, РиН. Определите взаимное расположение прямых: а) (AD)
и (В. С.); б) (BB 1 ) и (AD); в) (BD) и (AIC.); r) (АС) и (BD);
д) (КМ) и (DD I ); е) (КМ) и (РН).
133. а) При обозначениях предыдущей задачи определите
взаимное расположение каждых двух из следующих прямых:
2 Заказ 924
33
(В; Ь), (В 1; Ь), (А; Ь), (D; а). б) Перечислите прямые, которые
проходят через какие-либо две из точек А, В, D, В 1, С 1, D I И пе
ресекаются с прямой A1C. в) Взята такая точка Q, что CI се-
редина отрезка QB J . С какими из прямых AJB 1 , CD, BB 1 , C1D 1
пересекается прямая MQ? r) На прямой АВ взята такая точ-
ка Q, что прямые CQ и КМ лересек.аются. Определите k из с\>-
отношения А Q === ka. д) Взята точка Q, симметричная точке С
относительно точки В. Пересекаются ли прямые АР и ВI Q?
134. Векторы а, ь, ё образуют базис. Определите взаимное
располо}кение каждых двух ИЗ прямых АВ, CD, АР, если: а) ОА ==
---+ ---+
== a 2b 2ё, ОВ За+9ь+ёt OC==2a 9b 2ё. OD==2a
--+
7ь зё, ОР==. а зё; б) AB==4a 2b+ё, AC==a 2b, AD==
... ... ....
==а+с, АР==2Ь+с; в) QA===a......2b+2c, QВ==3а ЗЬ+2с,
QC==4a 3'6 + зё, QD ===а + 5Ь +.ё, QP== 5а 4b +2ё.
135. Прямые а и Ь скрещива,ющиеся. Прямая 1 пересекает
обе прямые а, Ь; прямая т также пересекает обе ПРЯ 1ые а, Ь.
При каком условии прямые 1 и т будут: а) параллельными; б) пе-
ресекающимися; в) скрещивающимися?
136. Прямые 1 и т скрещивающиеся, прямые 1 и п тоже скре-
щивающиеся. MorYT ли прямые т и п быть: а) пзраллельными;
б) пересекаЮIЦИМИСЯ; в) скрещпвающимися?
rлава 11
ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
10. ПЛОСКОСТЬ и ЕЕ БАЗИС
Прежде чем сформулировать определение плоскости, дадим
следующее пояснение. На рисунке 37 изображена плоскость а
и в. ней взяты такие точки О. А, 8, что векторы а == ОА, Ь == 08
непропорциональны. Такую пару векторов , Б будем называть
базисо),t плоскости сх. Для любой точки М Е (Х вектор ОМ можно
выразить через базисные векторы а и Ь:
...
ОМ ==ха+ уЬ.
Иначе rоворя, плоскость (Х состоит из точек М. дЛЯ которых
... ...
ОМ==ха+уЬ, rде xER, YER. Как и в случае прямой, это pac
суждение не служит «доказательством», а лишь является пояс
нением к следующему определению.
О п р е Д е л е н и е. Пусть О произвольная точка и а, ь
непропорциональные векторы. Множество всех. точек М, дЛЯ КО-
...
торых ОМ==ха+уЬ, xER, YER, называется плоско.стью, про-
ходящей через точку О и имеющей пару векторов а, Б своим
базисом; обозначается эта плоскость через (о; а; Ь).
о п р е Д е л е н и е. Вектор ё называется nараллельны},f, пло
скости (о; а; Ь), если он выражается через векторы базиса, т. е.
существуют такие числа х, у,__ что ё === ха + уЬ (рис. 38).
Контрольные вопросы
...
1) Векторы а==ОА, Ь==ОВ, ё==ос составляют базис. ДOKa
ЖИте, что точка С не принадлежит плоскости (О; а; Ь).
Рис. 37
Рис. 38
35
2) Докажите, что если векторы ё и а параллельны плоско-
сти (о; а; Ь), то вектор kё + ld так?Ке параллелен этой пло-
скости.
3) Докажите, что если Р, Q произвольные точки плоскости
(О; а; Ь), то вектор PQ параллелен этой плоскости.
4) Точки А', В' симметричны точкам А, В относительно точки
о. Докажите, что если АВ .параллелен плоскости а, то А' В' также
параллелен (Х.
Задачи
137. а, Ь, ё........ базис. Какие из точек А, В, С, D, AI, BI' C 1 , D.
(рис. 28) принадлежат плоскости (А; а, Ь)? плоскости (А; а, ё)?
плоскости (А; Ь, ё)? плоскости (А; а, ь + С)? плоскости
(А; а+Б, Б+ё)?
138. Векторы р, q, r образуют базис. Точки А, В, С, К, О
1'"
удовлетворяют соотношениям КА == 3р +2q, ВК == р +2 qt
OK==2p 3r, OC==q 3r. Какие из точек А, В, С, К, О принад-
лежат плоско ти (К; р, q)?
139. а, Б, ё базис. Какие из точек А, В, С, А 1, Вl, С l (рис. 27)
принадлежат: а) плоскости (А; а, Б); б) плоскости (А; а, ё);
в) плоскости (А; Б, ё); r) плоскости (В; а ь, ё); д) плоско
сти (А 1; а, Ь)? .
140. Точки А, В принадлежат плоскости (Х. Докажите, что
если Ам BN, то MN 11 а (рис. 39). Справедлива ли обратная
теорема?
141. При обозначениях задачи 137 через М, N, Р, Q, к, L
обозначены середины отреЗI(ОВ AIDt, BtC 1 , ве, AD, BBI, AAt.
а) Дока )ките, что точки М, N, Р, Q лежат в плоскости (Q; а, ё).
б) Укажите, какие из векторов AtK, C1DI, D1C, A.Dl параллель-
ны плоскости (В; ВС, BL).
...
142. Точка А принадлежит плоскости (о; а, Ь). Докажите,
что точка М в том и только в том
N случае принадлежит этой плоско-
сти, если вектор АМ параллелен
рассматриваемой плоскости.
143. Векторы а, Б, ё не образуют
базис пространства. Докажите, что
векторы а, Ь, ё параллельны oд
Рис. 39 ной плоскости.
36
11. ЗАМЕНА БАЗИСА ПЛОСКОСТИ
л е м м а. Пусть еекторы а, ь непроnорциональны и векторы
ё d также неnроnорциональны. Если каждый из векторов с, d вы..
,
ражае ся '!.,ерез а и Ь, то и каждый из векторов а, Ь выражается
через с и d. ... ...
д о к а з а т е л ь с т в о. Выразим векторы С и d через а, Ь:
c==ka+lb; (1)
ёi ==,ра + qb. (2)
Так как с =F б ( 1наче с и ёi были бы пропорциональны), то
хотя бы один из коэффициентов k, l отличен от нуля. Пусть k =1=0.
ИЗ равенства (1) находим:
... 1'" 1...
а == т с k Ь. (3)
Подставляя это значение в равенство (2), получаем:
... ( 1'" 1'" ) ... ( Pl ) '" Р'" Р'"
d==p TC Tb +qb== q k b+Tc==rb+Tc, rде через r
pl .. ..
обозначено число q т. Здесь , =1= О (иначе С и d были
бы пропорциональны), и потому
... 1'" Р'"
Ь == d с. (4 )
, k/
Наконец, подставляя это значение в равенство (3), имеем:
1'" 1 ( 1'" Р ... ) ( 1 рl ) 1'"
a== c ........... d с == + c....... d.
k k , kr k k 2 r kr
Из (4) и (5) видим, что а, ь выра}каются через ё и а.
(5)
т е о р е м а. Пусть Q nроизвольная ТОЧICl1 плоскости
а == (о; а, Ь) и с, d непропорциональные вelCTOpы каждый из
которых параллелен плоскости а. Tozaa плосlCOСТЬ (11 ==(Q; с; а)
Совпадает С сх.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Нужно доказать, что любая точка
ПЛоскости сх принадлежит плоскости сх. и обратно: любая точка
Плоскости (%. принадлежит а (это будет означать, что CXI == (%).
Так как КаЖДЫЙ из векторов ё, d параллелен плоскости а, то
ё==kа+ [Ь, d == та+ nЬ.
Соrласно лемме векторы а, ь выражаются через ё, а:
а==k'ё+ ['а, ь == т'с+ п'а.
Далее, так как QE(%, то
... ...
OQ==pa+ qb.
37
Докажем теперь, что если М Е а, то М Е a, Пусть М Е а, т. е.
.... ....
ОМ ==ха + уЬ. Тоrда
.... ....
QM == ОМ ----- OQ ===ха+ уЬ (pa+ qb)===(x р) a+(y q) Ь .
==(х р) (k'ё+ l' а)+ (y q) (т'ё + п' а).
...
Раскрывая скобки, убеждаемся, что QM выражается через с
и а, и потому М E(Q; ё, а), т. е. М Е а'.
Аналоrично доказывается, ЧТО если М Е а', то М Е а.
Доказанная теорема означает, что при задании плоскости
(О; а; Ь) можно вместо точки О взять любую друrую ее точку,
Т. е. все точки плоскости равноправны; кроме Toro, в качестве
базиса плоскости а можно взять любую пару ё, d непропорци..
ональных векторов, которые параллельны плоскости а.
С л е Д с т в и е 1. Если А, В, С три точки плоскости а, не
--+ --+
AeЖllщие на одной прямой, то а совпадает с nЛОСlWстью (А; АВ, АС).
С л е Д с т в и е 2. Если точки А, В, С не лежат на одной nРЯ"
"'ой, то через эти точки проходит плоскость и притом. только од..
на; эту плоскость обозначают через (АВС).
Контр..ольные вопросы
... ....
1) Используя обозначения рисунка 28 (векторы й, Ь, с обра-
зуют базис), установите, совпадают ли следующие плоскости:
--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+--+
а) (А; АВ, AD) и (D; АВ, AD); б) (А; АВ, AD) и (А; A,DJ, DC);
--+ --+ --+ --+ --+ --+--+
в) (А; АВ, AD) и (А; AA 1 , АВ); r) (А; АВ, AD) и (В; АС, BJD.).
2) При тех же обозначениях укажите, какие из следующих
... --+
пар векторов MorYT служить базисом плоскости (А; а, Ь): а) А IDI
--+ --+ --+ --+ --+ --+ --+ --+
И DC; б) A I D и DIC I ; в) АВ и CD; r) АВ и ВС; д) АВ и ВаСа;
--+ --+
е) АВ и АА..
3) Векторы а+Ь и 2a 3b параллельны плоскости а. Какие
из следующих высказьтваний истинны: а) векторы а, ь составляют
базис плоскости а; б) векторы а + ь и 2а 3Ь составляют базис
плоскости а; в) если векторы а и ь непропорциональны.. ТО они
составляют базис плоскости а; r) если векторы а + ь и 2а 3Ь
не составляют базис плоскости а, то а и ь пропорциональны?
4) Докажите, что если плоскости (А; й, Ь) и (М; р, q) совпа..
дают, то из векторов а, ь, р, q невозможно выбрать три вектора',
составляющие базис пространства.
Задачи
В задачах 144 151 приняты обозначения рисунка 28 (о, Ь,
с ......... базис).
38
144. Сколько существует различных плоскостей, проходящих
через точки А, А. и какую-либо из точек В, С, D, Вl, С l , D.?
145. Какие из векторов АВ, AD, AAI, АС, AC 1 параллельны
плоскости: а) (A1B1C I ); б) (CC1D 1 ); в) (BB1C 1 )?
146. Через N и Р обозначены середины отрезков BBI и СС..
Какие из следующих высказываний истинны: а) какова бы ни
была точка ME[AA 1 ], вектор MN параллелен плоскости (АВС);
б) существует точка М Е [АА 1], для которой вектор М N па раллелен
плоскости (АВ С); в) какова бы ни была точка М Е[АА 1], вектор
---+
АВ параллелен плоскости (MN Р); r) какова бы ни была точка
-
МЕ[АА.}, вектор ВС параллелен плоскости (MNP)?
147. Докажите, что следующие четыре точки расположены в
одной плоскости: а) А, В, С, D; б) A 1 , В 1 , C I , D l ; в) А, В, С 1 , D 1 ;
r) А, В, А 1, В 1; д) А, С, А 1, С 1 ; е) В, D, В 1, D 1.
148. Сколько существует различных плоскостей, каждая из
которых проходит через точку А и какие-либо две из точек В, С,
D, AI, BI, C 1 , DI? .
149. Перечислите все плоскости, каждая из которых проходит
только через три из точек А, В, С, D, Al, BI, С., DI.
150. Через М, N, Р, Q обозначены середины отрезков AID.,
B 1 C 1 , ВС, AD. Докажите, что М, N, Р, Q лежат в одной плоскости.
151. Обозначьте- тремя буквами следующие плоскости:
(81; Б ii. ё). (D I ; 5, ё).
152. Докажите следствия 1, 2.
153. Точки О, А, В не лежат на одной прямой. Точки А', В'
симметричны точкам А, В относительно центра о. Докажите, что
(ОАВ) совпадает с (ОА'В'). ....
154. Докажите, что если векторы а и Ь непропорциональны
и А заданная точка, то существует, и притом только одна,
плоскость а, содержащая А, дЛЯ которой аllа и blla (рис. 40).
155. MorYT ли плоскости (А; а, Ь) и (А; р, q) быть несовпа..
... ... ... 1'"
дающими, если: а) p==2a b, q=== a; б) Р==2а........Ь, а==тр+
+т Ь ; в) a==3p+2q, b==5p q?
156. Векторы а, ь непропорциональны.
векторы ё, а непропорциональны, при-
...... .."
чем из векторов АВ, а, Ь, с, d невозможно
выбрать три вектора, составляющие ба-
зис пространства. Докажите, что плоско-
сти (А; а, Ь) и (В; ё, а) совпадают.
157. Плоскости а и проходят
через точку А; векторы р !! q парал-
Jlельны плоскости а, векторы а и Ь парал..
Jlельны плоскости 13. Какие из следующих
39
....
а
Рис. 40
вЫсказываний истинны: а) если сх. и р совпадают, то р==а
и q === Ь; б) если р === 2а + ь, q === 2Ь а, то сх. и t3 совпадают;
в) если р == 2а + Ь, q == 2Ь а и векторы а, ь непропорциональны,
то сх. и совпадают; r) если р == 2а + ь, q === 2Ь а и векторы
й, р непропорциональны, то сх. и совпадают; д) если сх. и р
совпадают, то а+ ь выражается через р и q?
158. Точки А, В, С, D, не лежащие на одной прямой, принад..
лежат плоскости сх., точка S не принадлежит плоскости сх.. Дока..
жите, что векторы АВ и CD в том и только в том случае пропор..
циональны, если АВ 11 (S CD). .
159. Даны 100 точек, Каждые четыре из которых принадле-
жат одной плоскости. Докажите, что все 100 точек лежат в одной
плоскости.
160. Даны четыре точки. Сколько существует различных ппо..
скостей, каждая из которых содержит какие..либо три из данных
точек? (Рассмотрите различные возможности расположени я дан-
ных точек.)
161. Докажите, что если не существует плоскости, содержа-
---+
щей точки А, В, С, D, то векторы АВ, А(;, AD составляют базис
пространства. Верна ли обратная теорема? "-
162. Векторы а, ь, ё составляют базис. Определите, лежат ли
точки А, ВI С, D в одной плоскости, если: а) OA==3a b+ё,
.... .... .... .... .... .... .... .........
OB==5a 4b+6c, Ос===6а-----2Ь+с, OD==11a 6b+6c; б) АВ==
.... .... .... .... .... .... .... .... .... ....
==а ЗЬ + 5с, АС==2Ь 3с, AD == а+ 3Ь 4c; в) АВ ==4а+3Ь +
.... .... .... ........ ............ ....
+ 2с, ВС== a Ь, CD === 7Ь + 3с; r) ОА ===a 3b ----- с, ОВ ==2а+
.... .... .... .... ....... ....
+3Ь+2с, AC==5a b, BD=== a+b+ 12c.
12. ДОПОЛНЕНИЕ до БАЗИСА
т е о р е м а. Если векторы р и q неnроnорцuйнальны, то эти
векторы можно дополнить до базиса, Т. е. существует так:ой век...
тор (, что тройка р, q, r является базиСОАе пространства.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а, ь, ё какой..либо базис про..
странства. Мъ, докажем, что -хотя бы одна из троек
р, q, а; р, q, Ь; р, q, ё (1)
также является базисом.
Допустим, что первая из троек (1) не является базисом. Тоrда
(поскольку векторы .р, q непропорциональны) вектор ii выра..
.... ....
жается через векторы р и q:
а === kp + lq. (2)
40
..... , \J>"«I# .L. .....
Аналоrично если и остальные тройки (1) не являются бази-
сами, то
Б===тр+пq, ё==sр+tq.
(3)
Так как векторы Б и с непропорциональны, то (соrласно лемме
предыущеrоo пункта) из соотношений (3) можно выразить век-
торы р, q через Б и ё:
р == т'Б + п'ё, q ==5'Б +L'ё.
Теперь из равенства (2) получаем:
а== kp + /q == k (/п'Ь + п'ё)+ 1 (5' Ь + t'ё),
откуда видно, что вектор а выражается через Ь и ё. НО TO про-
тиворечит тому, что а, ь, ё базис. Полученное противоречие
и доказывает, что хотя бы одна из троек (1) является базисом
пространства. ...
С л е Д с т в и е 1. Е ели р ненулевой вектор, ТО е20 .можно
дополнить до базиса, Т. е. существуют такие векторы q, ;, что
тройка р, q, ; является базисом пространства.
В самом деле, соrласно теореме 4 п. 8 существует вектор q.
не пропорц.иональный р, и потому, взяв векторы р, q, ИХ можно
в силу доказанной теоремы дополнить до базиса р, q, -т.
с л е Д с т в и е 2. Какова бы ни была ПЛОСКОСТЬ <%, существу-
.,
ет точка, не лежащая в этои плоскости.
. ..
в самом деле, пусть а==(О; р, q). Дополним векторы р, q
(они непропорциональны, поскольку составляют базис плоско-
сти а) до базиса р, q, ,. Пусть М ........ такая точка, что ОМ == (.
......
. Если бы точка М лежала в плоскости <%, то вектор ОМ == r вы-
ражался бы через векторы р, q, составляющие базис плоскости а.
Но вектор' не может выражаться через р и q, поскольку р, q, ; ........
базис пространства. Следовательно, М а.
Контрольные вопросы
1) Векторы а, Б, ё составляют базис пространства. Каким из
векторов а, ь, ё можно дополнить векторы р==а+Ь и q==а Б
до базиса?
2) Прямые l==(A; р) и т===(В; q) таковы, что векторы р, q
невозможно дополнить до базиса. Как расположены прямые 1 и т?
3) Докажите, что существуют четыре точки, не лежащие в
одной плоскости.
4) Векторы а, Б, ё обладают тем свойством, что любой век-
тор р может быть выражен через а, Б, ё. Докажите, что а, Б, ё
базис пространства. .
41
Задачи
163. Векторы ОА, 08, ОС не составляют базис пространства.
Докажите, что существует плоскость, содержащая точки О, А, В, с.
164. Даны векторы а, ь, ё, р, q. Докажите, что если каждый
из векторов а, ь, ё выражается через векторы р и q, то векторы
а, ь, ё не составляют базис пространства.
165. Векторы а, ь, ё составляют базис пространства. Можно ли
подобрать такие числа х и у, что
а==х (5а+6ь зё)+у (a 2b+ё)?
166. Векторы а, ь, ё составляют базис пространства. Любой
ли из векторов а, ь, ё можно взять, чтобы дополнить векторы
p==a b ё и q==а ё до базиса?
167. Векторы а, ь, ё составляют базис пространства. Дока-
жите, что вектор р == а + ь + ё любыми двумя из векторов а, ь, ё
дополняется до базиса пространст а.
168. Точки А, 8, С таковы, что, какую бы точку Q мы ни взя-
ли, точки А, В, с, Q лежат в одной плоскости. Что можно сказать
о расположедии точек А, В, С?
169. Точки А', В', С' симметричны точкам А, В, С относи-
тельно центра о; векторы ОА, 08, ОС составляют базис. Сколь-
кими способами можно из точек А, В, С, А', В', С' выбрать че-
тыре точки, не лежащие в одной плоскости?
13. ПРЯМАЯ, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТИ.
Оп р е д е л е н и е. Прямая называется l'tар8ААе,А,ЬНОЙ плоско..
сти , если базисный вектор этой прямой параллелен плоскости а
(рис. 41).
Т е о р е м а 1. П ряМ,ая 1, параллелtJная плоскости (х, либо
не имеет с этой плоскостью ни одной общей точкu. либо целulCOАС
лежит в плоскости а.
т е о р е м а 2. Если две точки прямой принадлежат плоско..
сти а, то эта прямая целиком лежит 8 плоскости а.
т е о р е м а 3. Если прямая не параллельна плоскости, то она
Шtеет с этой плоскостью одну общую точку. ,.
Доказательство теоремы!.
L Пусть а, Б базис плоскости (Х ир.......... ба-
зисный вектор прямой 1. Так как 1Н (х, то по
определению р == та + пЬ. Нам нужно
доказать, что если l и а имеют хотя бы
одну общую точку, то l с а. Пусть А
общая точка прямой 1 и плоскости а.. Tor..
да l == (А; р), а. ==(А; а, Ь). ВОЗhмем: произ
...
вольную точку М прямой l. TorAa АМ ==kp,
Рис. 41 Т. е.
42
АМ === k (та + пb)==(km)a + (kn)b.
Следовательно, вектор АМ вы..
ра ается через базисные векторы
а, ь плоскости а, и потому М Е а.
Итак, любая точка М прямой 1
содержится в плоскости а, т. е.
[са.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о..
р е м Ы 2. Пусть Р, Q две раз..
личные точки прямой /, принад..
лежащие плоскости а. Так как
РЕ с/.., Q Е а, ТО вектор PQ парал.. Рис. 42
лелен плоскости а. Следователь..
но (поскольку PQ базисный вектор прямой l), прямая / парал..
лельна плоскости а. Так к'ак при этом l имеет с плоскостью а об-
щую точку Р, то соrласно предыдущей теореме l с а.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3. Пусть (рис. 42) пря-
мая /===(А; р) не параллельна плоскости а ==(0; а, Б). Тоrда век-
торы а, ь, р составляют базис пространства (иначе вектор рвы..
ражался бы через а и Ь, Т. е. прямая l была БыI параллельна пло-
скости сх.). Сл довательно, соrласно аксиоме IV 2
ОА ==ka+тb + пр.
....
Пусть М такая точка, что АМ == пр. Тоrда М Е l. Далее,
.... .... .... .... .... ....
ОМ === ОА + АМ === (ka + тЬ + пp) пр == ka + тЬ,
откуда следует, что М'Е а. Таl\ИМ образом, М общая точка
прямой 1 и плоскости а. Двух общих точек 1 и а не MorYT иметь
(иначе 1 была бы параллельна плоскости а).
Контрольные вопросы
1) Докажите, что для любой ПЛОСКОСТИ а существует прямая,
не имеющая с этой ПJЮ'скостью общих точек.
2) Докажите, что если пр-ямая не имеет общих точек с пло-
Скостью а, то эта прямая параллельна С1.
3) Докажите, что для любой плоскости а существует прямая,
имеющая с этой плоскостью одну общую точку.
4) Докажите, что если А, В две точки плоскости а, то
(АВ)са, [АВ]сС1, [АВ)са.
Задачи
170. Даны прямые /1, 12 И ПЛОСКОСТЬ а. Докажите, что если
1111/2 и 12 fI а, то I1 11 а.
171. л) Докажите, что если прямая 1 параллелъна какой..либо
43
прямой т, лежащей в плоскости сх., то /11 а. б) Докажите, что если
прямая l параллельна плоскости а, то существует прямая т, па..
раллельная / и содержащаяся в плоскости а.
172. Даны две параллельные прямые 1, т и точка А. Дока..
жите, что через точку А проходит единственная плоскость, па-
раллельная обеим прямым 1, т.
173. Две различные точки А, В содержатся в плоскости а.
Докажите, что если АМ ==BN, то (MN)lIa.
174. При обозначениях, указанных на рисунке 27 (векторы
а, ь, ё составляют базис), определите, как расположена отно-
сительно плоскости (АСВ 1 ): а) прямая AAt; б) прямая ABt. .
175. При обозначениях, указанных на рисунке 28 (векто-
ры а, ь, ё составляют базис), определите, как расположена отно"
сительно плоскости (АА 1 С): а) прямая ВВ 1; б) прямая СС 1;
в) прямая BD 1 ; r) прямая B,C 1 .
176. Точка А не принадлежит прямой 1. Докажите, что су-
ществует единственная плоскость, содержащая прямую / и точку А.
177. Про- обозначениях, указанных на рисунке 27, докажите,
что через середину отрезка А 18 1 проходит единственная плоскость,
параллельная обеим прямым АА 1 и ВС. Проходит ли эта пло..
скость через середины отрезков АВ, АС, А 1 С 1 ?
178. Прямая /1 симметрична прямой / относительно точки о.
Докажите, что если / параллельна плоскости сх, то и /1 парал..
лельна сх.
179. Точки А', В', С', М', N' симметричны точкам А, В, С,
М, N относительно центра О, причем А, В, С не лежат на одной
прямой. Докажите, что если прямая MN параллельна плоско..
сти АВС, то (М' N') 11 (А' В' С'). .
180. Докажите, что если прямая а параллельна плоскости а,
то прямая, проходящая через точку М.Е сх. и параллельная пря..
мой й, лежит в плоскости а.
181. Точки А, В, С, М, N, Q с'вязаны соотношениями ОА ==
== а........ ь, ОВ == а Б 5ё, QC == 2а 4Ь 4ё, QM == 2а 4Ь + ё,
QN == За, rде векторы а, ь, ё составляют базис. Как расположена
относительно плоскости АВС каждая из следующих прямых:
(М; ё), (N; а ЗЬ), (А; а........Ь), (В; зь+ё а), (С; ь+ё)?
182. l очки М, N. Р, Q, R, S середины последовательных
сторон замкнутой пространственной ломаной ABCDEF. Дока-
жите, что если точки М, N, Р не совпадают.с Q, R, 5, то прямые
MQ, NR, PS параллельны одной плоскости (или параллельны
Jtpyr друrу).
183. На скрещивающихся прямых Рl и Р2 взяты такие точ-
ки Аl, В., С 1 И А2, В 2 , С 2 , что AIBt ==kB t C 1 , A 2 B 2 ==:kB 2 C 2 . Дока..
жите, что прямые АIА2, 81В2, С.С 2 п'араллельны одной плоскости.
44
14. Д8Е ПРЯМЫЕ В ПЛОСКОСТИ
т е о р е м а 1. Если 11 и 12 nараллельные " НО не совnада..
ющuе прямые, то существует единственная плоскость, содержа..
tцая обе прямые 11, /2 (рис. 43).
Т е о р е м а 2. Если I1 и 12 nересекаЮLцuеся прямые, то
существует единственная плоскость, содерЖQщая обе прямые 11,
II (рис. 44).
Т с о р е м а 3. Если I1 и /2 скрещиваЮlцuеся прямые, то не
существует плоскости, содерЖQщей обе пРЯJ,Lые 1., [2. ...
До кажем третью теорему. Пусть 1 1 ==(А; а) и 12==
:=:(8; Ь) скрещивзющиеся прямые. Допустим, вопреки утверж..
дению теоремы, что суин:стсует плоскость а, содержащая, обе эти
прямые (рис. 45). Tor да 11 1I а, 1211 а, и потому каждый из векто..
ров а, ь паралле.пен П..l0СI<ОСТИ (Х. Так как при этом 11 lz, то век..
торы а, ь непропорциона.,11ЬНЫ. Следовательно, векторы а, ь MorYT
быть приняты за базис плоскости tX. Поскольку обе точки А, В
при надлежат плоскости (Х, вектор АВ параллелен этой плоскости,
.... .... ....
т. е. A ==pa+qb. Но это противоречит тому, что прямые (А; а)
и (В; Ь) скрещивающиеся (признак скрещивающихся прямых,
п. 9). Полученное противоречие доказыьает, что плоскости, со..
держащей обе прямые 1. и 12, не существует.
С л е Д с т в и е. Если две прямые, лежащие в одной плоскости,
не имеют Qбщих точек, то они nар'аллельны.
В самом деле, в силу теоремы 3 этоrо пункта рассматриваемые
прямые не MorYT быть скрещивающимися (поскольку лежат в од..
ной плоскости). Не MorYT они быть и пересекающимися (посколь..
ку не имеют общих точек). Следовательно, эти прямые должны
быть парал.пельными (см. п. 9).
Контрольные вопросы
1) ДО1{ажите, что если не существует плоскости, содержащей
обе прямыe 11, 12, то эти ПРЯl\1ые скрещивающиеся.
2) Дс!<ажите, что в каждой плоскости справедлива аксиома
пара.1леЛLНОСТИ: если в плоскости (Х .даны прямая 1 и не принад..
лежащая этой прямой точка А, то в плоскости а существует толь..
КО одна прямая, которая проходит через А и не имеет с 1 общих
точек (рис. 46).
3) Прямая 1 расположена в плоскости (Х; прямая т пересе-
Рис. 43
Рис: 44
45
Рис. 45
кает плоскость сх. в точке, не принадлежащей
прямой /. Как расположены прямые / и т?
Задачи
184. Докажите теоремы 1, 2.
185. Докажите, что если прямые /1 и 12
лежат в одной плоскости, то существует
точка О, относительно которой фиrура
/1 U /2 симметрична.
С 1 186. Даны четыре параллельные прямые,
u
из которых никакие три не лежат воднои
плоскости. Сколько существует плоскостей,
каждая из которых содержит две из этих
прямых?
В задачах 187 190 используются обо
значения рисунка 47 (а, Ь, ё базис).
187. Существует ли плоскость, содержащая прямые: а) (AD)
и (B'I С 1); б) (CD) и (B.D); в) (ВС) и (АА I)? ·
188. Рассматриваются всевозможные прямые, каждая из KO
торых проходит через какие либо две из точек А, В, С, й, А 1 , B I ,
С l , DI. Можно ли из этих прямых выбрать: а) три; б) четыре;
в) пять таким образом, чтобы никакие две из них не лежали в
одной плоскости?
189. Через середины отрезков АА 1 и ВВ 1 проведена прямая а,
через середины отрезков CC 1 и DDI прямая Ь. Докажите, что
прямые а и Ь лежат в одной плоскости.
190. Точка А соединена отрезками с каждой из точек В, С, D,
AI, BI, C 1 , DI. Какие из этих отрезков лежат в одной плоскости:
а) с отрезком СС 1; б) с отрезком А 1 С?
191. Докажите, что точки А, В, С, D в том и только в том слу-
чае лежат в одной плоскости, если либо прямые АС и BD имеlОТ
общую точку, либо прямые АВ и CD имеют общую точку.
192. ПР5Jмые 1 и т обладают тем свойством, что для любых
точек Р И Q прямая /', симметричная / относительно Р, и пря-
мая т', симметричная m относительно Q, расположены в одной
плоскости. Докажите, что /It т.
Рис. 46
А I
8,
D
(
ри с. 41
15. ПАР АЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
о п р е Д е л е н и е. Плоскость сх. называется параллельной ппо..
скости , если любой вектор, параллельный плоскости а, парал
лелен и плоскости . .
т е о р е м а 1. ДЛЯ TOZO чтобы плоскость а была параллельна
плоскости р" необходимо и достаточно, чтобы, эти плоскости имели
общий базис (рис. 48).
Т е о р е м а 2. Каждая плоскость параллельна са.м,ой себе.
46
Т е о р е м а 3 (с и. м м е т р и ч н о с т ь
n о н я т и я пар а л л е л ь н о с т и п л о..
с к о с т ей).
(1 11 <=> 11 а.
т е о р е' м а 4 (т р а н з и т и в н о с т ь
n о н я т и я пар а J1 л е л ь н о с т и п л o
с к о с т е й). Если al На2 и а2НаЗJ ТО аlllаз.
т е о р е м а 5. Через каждую ТОЧ/(У В Рис. 48
пространства проходит одна и ТОЛЬКО одна
ПЛОСКОСТЬ, nараАлельная заданной ПЛОСКО"
СТи а.
т е о р е м а 6. Если дле nараллельныle
nлоекостu имеют хотя бы одну общую
ТОЧк'У ТО они совпадают.
Доказательство теоремы 1.
Пусть а " . Выберем базис а, ь плоскости а.
Тоrда векторы а и Б непропорциональны Рис. -49
и каждый из них параллелен плоскости а. ....
Соrласно определению каждый Нз векторов а, Ь параллелен
плоскости р. Следовательно, векторы а, Б составляют базис
плоскости р. Таким образом, плоскости а и р имеют общий
базис а, ь.
... ..
Обратно, пусть плоскости а и р имеют общий базис й, Ь. ЛIО-
бой вектор р, параллельный плоскости (1, выражается через ба..
з-исные векторы: р == та + пЬ. Не так как векторы а, h составляют
также и базис плоскости fJ, то равенство р == та + пЬ означает,
что вектор р параллелен плоскости р. Итак, plla;=>ptt , Т. е. по
определению а 1I р.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 5. Пусть задана плоскость
(1==(0; а, Ь) и точка В. Рассмотрим' плоскость Р===(В; а, Ь). Она
проходит через точку В и (по теореме 1) .параллельна (1. Этим
доказано с у Щ е с т в о в а н и е. Е д и н с т в е н н о с т ь BЫTeK eT
из Toro, что искомая плоскость должна прохо:дить через точку В
и иметь векторы а, ь своим базисом, т. е. должна совпадать
с ПJ10СКОСТЬЮ (В; а, Ь).
КОНТрОЛЬНbtе вопросы
1) Плоскости (о; а, Ь) и (Q; ё, а) параллельны. Докажит
что каждЫЙ из векторов а, ь выражается через ве-кторы ё и d.
2) Дa ы две плоскости (о; а, Ь) и (Q; ё, а). Докажите, что если
каждый из векторов а, Б выражается через BeKTopbl ё и а, ТО эти
плоскости параллельны.
3) Докажите, что если две пересекающиеся прямые. лежащие
8 'nлоскости (1, параллельны двум прямым, лежащим в плоскости р, -
то плоскости (1 и параллельны (рис. 49).
47
4) Плоскости а, и р параллельны. Докажите, что если прямая
u u
параллельна одно и из этих плоскастеи, то она параллельна и вто-
рой плоскости.
Задачи
193. Докажите теоремы 4, 6.
194. Докажите, что при центральной симметрии каждая пло-
скость переходит в параллельную ей плоскость.
195. Известно, что (А; а, b)II(B; р, q), (С; ё, d)I1(D; " s),
ё==2р q, d==p 2q. Докажите, что (А; а, b)II(D; " s).
196. Докажите, что если (А; 'а, Ь)II(В; ё, а) и
(С; ё, d)II(D; р, q), то плоскости (М; а., Ь) и (М; р, q) совпадают.
197. Докажите, что если плоскости а, р, у, б удовлетворяют
условиям аllб, РlIу, Уllб, то alIP.
198. Верно ли, что если для плоскостей а" р, у, б какие либо
три из соотношений а II , а 11 у, а, 11 б, Р 11 у, 11 б, у 11 б справедливы,
то справедливы и остальные три?
В задачах 199 203 используются обозначения рисунка 47
(а, Ь, ё базис).
199. Какие И3 следующих плоскостей параллельны: (АВС),
(ACD), (A I B 1 C l ), (A.B I D.), (ABB 1 )?
200. Определите взаимное расположение плоскостей: а) (АВС)
и (B I C 1 D l ); б) (АА.В) и (ABB 1 ); в) (АВС) и (CC I D); r) (АВС.)
и (CC1D).
201. Точки М, N, Р......... середины оrрезков AIBI' B 1 C l , ВВ..
Докажите, что плоскости ABC 1 И MNP параллельны.
202. Докажите, что существует единственная плоскость, со-
держащая прямую AD. и параллельная прямой C1D.
203. Докажите, что: а) (ABC)II(A 1 B I C,);
б) (AA1B)II(CCID); в) (AA I D)B(BB I C);
r) (A 1 C I D)II(AB I C).
204. Даны две скрещивающиеся пря..
мые а и Ь. Докажите, что существует един-
ственная плоскость а, содержащая пря-
мую а и параллельная прямой Ь (рис. 50).
Рис. 50 205. Прямые [. и 12 не параллельны.
Докажите, что через произвольную
точку А проходит плоскость а, (и притом
только одна), уд6влетворяющая условиям
1111 а, 1 2 11а,.
206. Даны две непараллельные пря-
мые а и Ь. Докажите, что если плоскость
а параллельна каждой из прямых а, Ь
и плоскость параллельна каждой из
прямых й, Ь, то плоскости а и р парап-:-
Рис. 51 лельны.
48
207. Что представляет собой объединение всех прямых, про..
ходящих через данную точку М и параллельных данной пло-
скости (Х? .....
208. Прямые I==(А; а) и т===(В; Ь) скрещивающиеся. До-
кажите, что плоскости а,==(А; а, Ь) и ==(B; а, Ь) параллельны и
не совпадают (рис. 51).
16. НЕПДР АЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
т е о р е м а. Если две плоскости не параллельны, то их пере..
сечение nря.мая. ... ...
д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть плоскости (Х==(А; а, Ь) и ==
==(8; ё, а) не параллельны. Тоrда базис плоскости не является
базисом плоскости а, т. е. хотя бы один из векторов ё, d не выра..
жается через а и Ь. Пусть, например, ё не выражается через а и Ь;
тоrда а, ь, ё........ базис пространства.
... ... ...
Соrласно аксиоме IV 2 AB==тa+nb+kc. Обозначим через М
.....
точку, для которой АМ==та+nЬ. Тоrда МЕ(Х. Далее, ВМ==
==АМ.......АВ== kc, и потому ME . Итак, плоскости а, и р имеют
общую точку М. .........
Соrласно аксиоме IV 2 d==pa+ qb + 'с. Обозначим вектор
d rё через h. Этот вектор отличен от нулевоrо (ина'че было бы
........ .. ... ... ... ..
d==rc). Так как h==d........rc==pa+qb, то hll(X и hllf3.
Рассмотрим прямую 1 ==(М; Й). Она параллельна плоскости а
(так как hll(X) и имеет с ней общую точку М. Следовательно,
[С(Х (теорема 1 п. 13). Аналоrично [c . Таким образом, [C(Xn .
Если бы плоскости (Х и имели еще хотя бы одну общую точку
(не при надлежащую прямой 1), то они совпали бы, что невоз-
можно (так как a р). Следовательно, а n р == [.
С л е Д с т в и е. Если прямая параллельна каждой из двух
неnараллеЛЬНbtх плоскостей, ТО она параллельна их линии пере..
сечения (рис. 52).
В самом деле, пусть непараллельные плоскости а, и р пере-
секаются по прямой 1 ==(А; а), и пусть прямая т ==(В; Ь) па..
раллельна каждой из плоскостей (Х, . Нужно доказать, что 111т.
Допустим противное, т. е. допустим, что векторы а "' ь непропор-
..
циональны. Так как векторы а и Ь парап-
лельны кажд-ой из плоскостей <1, р, то они
составляют общий базис этих плоскостей,
и потому, вопреки условию, <l11 . Получен-
ное противоречие доказывает, что 111 т.
/
)
/
у
/
/
\.
Рис. 52
49
КОНТрОАьные вопросы
1) Докажите, что если плоскости сх. и f1
не имеют общих точек, то они парал-
лельны.
2) Известно, что две несовпадающие пло
скости имеют общую точку. Как расположе..
ны эти плоскости?
3) При обозначениях рисунка 4 (векторы
а, Б, ё составляют базис) укажите линию пе
Рис. 53 ресечения следующих непараллельных пло-
скостей: а) (АВС) и (CC1D); б) (ABC 1 ) и
(CC I D); в) (A1CD) и (ВВ.Сl).
4) Плоскость У пересекается с плоско-
стью сх. по прямой а и с плоскостью р по прямой Ь.
Докажите, что если (111 р, то a lb (рис. 53).
Задачи
2.09. Плоскости сх.' и р' симметричны плоскостям а, р отно-
сительно центра о. Докажите, что прямые а, пр, а n ', сх.' n р
и «'ПР' параллельны.
210. При обозначениях рисунка 47 докажите, что линия пе
рееечения плоскостей ABtC и AD.D параллельна прямой A1D.
211. Даны две параллелъные ПЛОСkОСТИ а и р. Две пря
мые а и Ь, имеющие общую точку О, пересекают плоскость сх.
соответственно в точках А и В, а плоскость р в точках С и D
(рис. 54). Докажите, что (AB)II(CD).
212. До-кажите, что если плоскость р содержит прямую а,
параллелЬ.ную плоскости (1, и пе.ресекает а, по прямой Ь (рис. 55),
то allb.
213. При обозначениях рисунка 56 (векторы а, ь, ё .образуют
базис) докажите, что линия пересечения плоскостей АВС. и
А,В.С пар.аллельна прямой АВ.
214. Три плоскости «, , у, никакие две из которых не па..
раллельны, обладают тем свойством, что пересечение an пy
О В
Рис. 54
(
Ри с. 55
50
[1
Рис. 56
пусто (рис. 57). Докажите, что прямые а П , а n у и р n у парал-
лельны. .
215. Прямая (К; р) параллельна каждой из плоскостей (х и 13,
причем плоскости а и р не параллельны и им ют общую точку с.
докажите, что прямая аП совпаftает с (с; р).
216. Какие И3 следующих высказываний истинны: а) если пло..
скости (Х, Р параллельны, то они не имеют общих точек; б) если
плоскости (х, Р не имеют общих точек, то они параллельны;
В) если плоскости а, р имеют общую точку, то они не парал-
лельны; r) если плоскости а, не параллельны, то они имеют
общую точку; д) существуют две плоскости, которые имеют
только одну общую точку? .
217. Даны три прямые, имеющие общую точку А, причем ни
одна из этих прямых не пересекается с плоскостью (Х. Докажите,
..
что все три прямые лежат в однои плоскости.
218. Докажите, что если плоскости а и р не параллельны, то
..
существует вектор, которыи параллелен плоскости С%, но не па-
раллелен плоскости р.
219. Векторы а, Ь, ё образуют базис. Определите взаимное
... .... ...
расположение каждых двух из плоскостей (К; а, Ь), (s; a b, Ь),
.... .... .... I .... ....
(с; а, с), если CS==a+b c, KS==-f(a+b).
220. Плоскости (Х и р не имеют общих точек. В плоскости а
взята прямая й, в плоскости р прямые Ь, с, d, попарно не па-
раллельные между собой. Можно ли из прямых а, Ь, с и d выбрать
пару скрещивающихся прямых? Можно ли выбрать две пары?
четыре пары?
22). Векторы а, ь, ё образуют базис. Точки А, В, С, М, N, Q
.... .... .... .... ....
связаны отношениями QA==3a+b c, QB==4a+2b, QC==3a+
.... ........ ....
+4Ь, QM== a+2b, QN==3b+c. Как расположены: а) (QMA)
и (BCN); б) (АВС) и (QMN); в) (QAB) и (MNC)?
(х
Рис. ,,57
Ри с. 58
51
.... ... ... ....
222. Векторы а, Ь, с образуют базис, AB==2a b+c. Что
представляет собой пересечение: а) плоскостей (А; а+ ь, a ё)
и (А; Ь + с, 2а + ь ё); б) плоскостей (А; Ь + ё, а + Ь) и
(А; a b, зь+ё); в) плоскостей (А; a 2b, зё+а) и
(В; 2ь+зё, За+зё 4Ь)?
223. Плоскости а и не параллельны. Какие из следующих.
высказываний истинны: а) существуют пересекающиеся прямые
ас сх., Ь с 13; б) существуют параллельные прямые а с (1" Ь C ;
в) сущеСТВУIОТ скрещивающиеся прямые ас (1" Ь C ?
224. Плоскости а и р пересекаются по прямой '. Докажите,
что если прямые т с а и п с параллельны, ТО эти прямые па..
ралле.льны '.
225. Плоскости а и р пересекаются по прямой 1. Взяты точ"
ки А Е а и В E , не лежа щне на прямой 1 (рис. 58). MorYT ли пря..
мые АВ и l иметь общую точку?
rлава 111
КООРДИНАТЫ
17. АКСИОМЫ СКАляРноrо ПРОИЗВЕДЕНИЯ
в rеометрии на плоскости скалярное произведение о n р е Д е-
. .п я л о с ь С использованием. длин отрезков (или векторов), их
координат, уrлов между векторами, после чеrо свойства скаляр
Horo' произведения Д о к азы в а л и с ь. В вейлевской аксиоматике
скалярное произведение является первоначальным, неопределя
емым понятием, а ero свойства принимаются за аксиомы. Понятия
ДЛИНЫ вектора и уrла между векторами впоследствии будут
о n р е Д е л е н ы с помощью скалярноrо умножения. Аксиомы
скалярноrо умножения составляют последнюю rруппу аксиом
вейлевской аксиоматики.
А к с и о м а У.. аЬ == Ьа для любых а, Ь.
Аксиом а V 2 . (kа)Ь==k(аЬ)'для любых а, ь и kER.
А к с и о м а Vз. а (ь+ё)==аЬ+аё для Лl0бых а, Ь, ё.
А к с и о м а У 4 . аа>О для любоrо а=#=О.
Скалярное произведение аа вектора а на тот же вектор на-
зывается скалярным квадратом вектора а. Таким образом, -ак-
сиома V 4 утверждает, что скалярный квадрат любоrо вектора
а =#= о есть число положительное. Скалярный квадрат вектора а
принято обозначать через а 2 .
О п р е Д е л е н и е. ДЛИНОЙ вектора а называется число .
Длина вектора а обозначается через I й t :
.... /.... 2
I а I == а .
Из этоrо определения непосредственно вытекает, что lal есть
число неотрицательное, причем 1 а1 / о в том и только в том слу- \
Чае, если а == о. Очевидно, что для любоrо вектора а справ дливо
равенство laI 2 ==a 2 .
о п р е д е л е н и е. Вектор, длина KOToporo равна единице,
называется единичным вектором. ....
т е о р е м а. ДЛЯ любых векторов а, ь справедливы СООТНО-
Шения:
I йЬ I I а I · I ь 1, (1)
I а + Б I I а I + I ь I . (2)
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Если а==О, СООТНQшение (1) очевид.
но. Поэтому в дальнейшем будем считать, что а =#= о.
53
т. е.
Рассмотрим вектор ха+ Б, rде х произвольное действитель...
ное число. Соrласно аксиоме У 4 имеем:
(ха + ь)2 о,
х 2 а 2 + 2х (аЬ) + Б2 о.
(3)
в левой части неравенства (3) crоит квадратный трехчлен, у ко-
Toporo коэффициент при х 2 положителен (так как a=F5). Это
неравенс3'ВО показывает, что кв,Здратный трехчлен принимает не-
отриnаrельные значения при л ю б о м действительном х, и по-
тому дискриминант трехчлепз 'не-П0ложителен: D==4 (аБ)2
.4l?t"2 O. Отсюда получаем:
(аБ)2 а2Б2, Т. :е. (Qb)2, lal 2 1 Б1 2 .
ИЗ13лекзя из обеих частей последнеrо неравенства
корень, получае соотношение (1).
Далее, I а + bl 2 ==(а+ ь)2 == Q2 + 2аЬ + ь 2
laI 2 +2Iall-hJI +,lbI 2 -==(lal + IБI)2.
Извлекая квадратный корень, получаем соотношение (2).
О п р е Д е л е н и е. Длиной отрезка АВ называется длwна BeK
тора АВ. Обо значается длина отрезка АВ символом IABI, т. е.
IABI == "jAB 2 .
u
квадратныи
Контрольные вопросы
1) Докажите, что u(kb)==k(ab) для любых а, ь и kER. Ka
кие аксиомы были использованы при д-оказательстве?
J2) Докажите, что для любых векторов а, Ь, ё, d справедливы
соотношения: а) а (Ь + ё + а) == йЬ + аё + йа; б) (а + Ь) (ё + а):=:
== аё + йа + Бё + Ба. Какие аксиомы были использованы?
3) Докажите соотношения: -
( ----- а)Ь == аЬ; а ( ----- Ь) . ...... йЬ; ( ----- а) ( Ь):=: ёib.
4) ,Д-()к жите, что (а.+ bJ2 == й 2 + 2аЬ + ь 2 , (a. .b)2::::= а 2
...... 2аЬ + ь 2 , (а+ Ь) (a Ь)== а 2 ь 2 .
5) Докажите, что ДJIЯ любых точек А, В, С .с-праведливо He
равенство IABI + IBCI IACI.
.6) Докажите, что если а-==О, то аЬ==О.
Задачи
226. Вектор а ненулевой. При каком k вектор ka является
единичным?
. 22';/.. Докажите, что равенство ,Isbl :=: lallbl имеет место в том
и только в том случае, если векторы а, Б пропорционаЛЪНВI.
54
228. Известно, что аЬ === 2, I а I === б, I ь I === 1. Вычислите сле..
дуЮlU ие скалярные произведе ия и ук!жите, какие а!си мы п и
эТОМ... исп<>з ь !уются: а) За (2Ь 5а); б) 0,7 Ь (2Ь О,9а);
В) (3Ь О,2а) а. .
229. Докажите, что для любых а, Ь справедливо равенство
la+bI 2 + la bI2===2IaI2+2IbI2.
230. Докажите, что для любых векторов а, ь, ё справедливо
равенство а (b ё)==ab ё.
231. Докажите, что Ikal == Ikl.lal для любых U и kER. В ка..
кОМ случае Ikal ==klal? в каком случае Ikal == klal?
232. Докажите, что для любых векторов а, ь: ё справедливо
неравенС1'ВО 1 а + ь + ё, I а I + I ь I + I ёl. Сформулируйте обобще..
ние на большее число слаrаемых.
233. Докажите, что для любых векторов а, Б справедливо
HepaBeHCTBO 'a b' lal Ibl.
234. Векторы а и Б непропорциональны. Укажите среди сле..
ДУЮЩИХ чисел р авные:
а) lи+bl', './ а2+Б 2 2 аЬ, './( а+6)2. lal+lbl, la bl;
б) I а I I Б 1, i аЬ 1, './ а 2 62, 1 аЬ I .
23.5. П,ри каких условиях справедливы равенства:
а) lа+ы= аl+IБI';; б) lа ы=lаl+IБJ;;
8) lа.......ы == lal......lbl; r) tи+b+cl == lal + 'ы + Jёl?
236. Докажите, что если МЕ[АВ], то IAMI+IMBI==IAB,I.
237. Докажите, что если IAMi+IMBI==IABI, то МЕ[АВ].
238. На OTp e АВ вз а такая точка М. что : ;: k. Вы-
разите вектор АМ через АВ.
239. Точки А, М и В удовлетворяют соотношению АМ ==
k
== k+t АВ. Докажите, что если k>O, то МЕ[АВ], и найдите
от IАЛ11
ношение I А1В , .
240. При обозначениях рисунка 47 (векторы а, ь, ё состав-
ЛЯют базис) определите отношение II I ' если точки А. N. Р рас-
положены на одной прямой и при этом: а) NE(BD 1 ), РЕ(СС 1 );
б) NE(DA L ), PE(CD 1 ); в) NE(D I C 1 ), PE(B1C).
241. Точки О, А, В удовлетворяют условиям OA.==XIU, QJj ==
===Х2а. Докажите, что IAB I == IX2 XII. lиl.
242. При обозначениях рисунка 59 (а, Ь, ё базис) найдите
от \MN\
Ношение IMP\ ' если:
...
3.) Ai'd === 2а, N Е (А С.), РЕ (81 С);
55
А 1 81
А
(
Рис. 59
At с/
Ри с. 60
--+ 1...
б) CM 2C' NE(AB), PE(B1C J );
--+ 1...
в) СМ==тс, NE(AB), PE(A1C);
-----+- 1......
r) СМ==тс, NE(AB), PE(A1C 1 ).
243. Векторы а и ь непропорциональ
ны. На прямой (о; а) взяты точки А и В,
а на прямой (о; ) точки С и D. Дока-
жите, что если (А С) 11 (BD), то II II == : II '
244. Плоскости а и t3 не имеют общих
точек. Взяты точки А Е а, С Е (Х, В ЕР,
DE р. Докажите, что если (AB)II(CD),
то I А В I == 1 с D 1 (рис. 60). Верно ли обрат-
ное?
245. Даны три различные параллель-
ные между собой плоскости CI, (3, у. Пря-
мая а пересекает эти плоскости соответст"
венно в точках А, В, С, прямая Ь в точ-
IABI IA.Bil
ках AI, Вl, С 1 . Докажите, что 'AC'.........'A.C.I ·
-----+- --+ --+ ---+ -+
246. Известно, что АIА2==А2Аз==АзА4 И ВIВ2==В2ВЗ==ВЗВ..
Докажите, что если IAIBII IA4B41, то IА 2 В 2 1==IА з В з l.
247. Докажите, что для любых трех точек О, А, В справедливо
--+ --+ I
равенство ОА. 08 == т( 1 ОА 12 + I ОВ 12....... I АВ 12).
248. Докажите, что для любых четырех точек А, В, С, D сора-
---+- --+ 1
ведливо равенство АВ. CD==T(IADI 2 + IBCI2.......IACI2........IBDI2).
249. Точки М, N, Р середины отрезков АВ, ВС'2 СА. Дока-
жите, что величина IAQI + IBQI. 2 + ICQI 2 .......IMQI INQI2
1 PQ 12 не зависит от выбора точки Q.
18. оРтоrОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ
о п р е Д е л е н и е. Векторы а и ь называются 0pTozoHaAbHbtMU
если их скалярное произведение равно нулю. Для обозначения
ортоrональности векторов а и Б пользуются записью а Ь.'
Если хотя бы один из векторов а, Б равен нулю, то аЬ ===0,
т. е. векторы а и ь ортоrональны. Если оба вектора а, Б ненулевые
и они ортоrональны, то rоворят также, что векторы а и Б пер"
пендuкулярны. .
т е о р е м а 1. Даны векторы а =F б u Ь. Tozaa существует
56
единственное число k, для KOTOpOZO век-
тор Ь + ko' ортоzонален вектору а (рис. 61).
Т е о р е м а 2. Даны векторы 0,*0,
ь =1= б и ё, причем а.1. Ь. ТОёда существуют
однозначно определенные числа 1, !11, для
которых вектор ё + 10, + тЬ ОРТО20нален
каждому из векторов а и Ь.
Доказательство теоремы!.
Надо найти число k, для KOToporo
а (b+ka)===O, т. е. ab+ka 2 ===.O. Так как
U=FO, то число а 2 отлично от нуJIЯ (аксио-
ма V 4 ). Разделив последнее равенство на
аЬ
это число, получим k === . Таким обра-
а
зом, искомое число k существует и опре-
делено однозначно.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2.
Надо найти числа 1, т, для которых
а(ё+lа+тЬ)==О и ь(ё+lй+т6)===о.
Раскрывая скобки и учитывая, что йЬ ===0,
перепишем эти ус."овия в виде
йё + [а 2 == О, ьё + ть 2 == о.
Отсюда (поскольку й 2 * О и 62 * О) полу-
чаем:
b+ka
ка
Рис. 61
(
D
В
А
Рис. 62
С,
с
А
в
Рис. 63
ас ьё
1== , т=== -=;-.
а Ь
Таким образом, искомые числа 1, т существуют и определены
однозна чно.
Контрольные вопросы
1) Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь,
чтобы векторы й +.Ь и а ь были ортоrональны (рис. б2)?
2) Векторы а * о и Ь * о ортоrональны. Докажите, что они
непропорциональны.
3) Векторы. й * О, ь * о и ё * о попарно ортоrональны. До..
кажите, что а, ь, ё базис пространства.
4) В каком случае вектор х ортоrонален самому себе?
5) На рисунке 63 векторы а, ь, ё составляют базис, причем
lаl==Iы=lёl==ll и аЬ==аё==ьё==о. Какие из следующих век-
.
перпеНДИI<УJ1ЯРНЫ: а) AD и
r) AD и AAI+A1B1+CID?
торов ортоrональны; какие из них
DD , ; .б) AD и D1C 1 ; в) AD и DC 1 ;
57
Задачи
250. Докажите, что если векторы а и Б op
тоrональны (рис. 64), то la+bI 2 :=:laI 2 +lbI 2 .
Справедлива ли обратная теорема?
251. Вектор Б отличен от о. При каком
значении k вектор а + kb (рис. 65) имеет наи-
меньшую длину? Как связаны между собой Be
кторы Ь и а + kb при этом значении k?
252. Векторы а, Ь, с единичные, причем аЬ ==
. 1 ... 1
==0, ас===т, ЬС==з-. Найдите вектор, opToro
нальный каждО"му из векторов а и Ь. Сколько
таких векторов cyrцecTByeT?
253. Векторы а и Б отличны от нуля и ортоrональны. При каком
условии вектор ka + [Ь ортоrонален каждому из векторов а, Ь?
254. Векторы а, ь, ё отличны от нуля и попарно ортоrональны.
При каком условии вектор ka + IЬ + тё ортоrонален каждому И3
векторов а, ь, ё?
255. Докажите, что если векторы а и Ь ортоrональны, то
la BI2:=: lal 2 + Ib1 2 . Спра'ведлива ли обратная теорема?
256. При каких условиях справедливо равенство la+bl ==
== la bl?
257. Докажите, что теорема 2' справедлива и без предполо-
жения а J... Ь.
258. Точки А l , Вl, С 1 симметричны соответственно точкам А, В,
---+ ---+
С относительно центра О, причем векторы ОА, ОБ, ОС по
парно ортоrональны. Докажите, что IАБI == IABII == IAIBI ==
==IAIBtl; IACI ==IAC 1 1==IA I CI===IA I C 1 1; IВСI==IВtСI===IБС11==
::=:IB 1 C l l.
259. Точки С и D симметричны точкам А и В относительно
центра о. Докажите, что если ACJ...BD, то IABI == IBCI ==
==ICDI===IDAI.
260. Точки А l , Вl, С l симметричны точкам А, В, С относи
тельно точки о. Докажите, что если АВ.ВС==О, то А 1 В 1 .Б 1 С 1 ==О.
261. На прямой (А; а) найдите точку М, находящуюся на Ha
именьшем расстоянии от точки Б Е (А; а). Докажите, что для этой
...
точки М справедливо соотношение ВМ.1. а.
262. Точки А и А' называются симметричными относительно
---+
прямой 1, если вектор АА' ортоrонален базисному вектору пря
мой 1 и середина отрезка АА' принадлежит прямой [. Докажите,
что если точки А, А' симметричны относительно прямой l и точ-
ки В, В' также симметричны относительно прямой [, то I АВ I === I А' В' 1.
58
..
а
Рис. 64
...
ь
Рис. 65
19. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
О п Р е Д е л е н и е. Пара векторов ё t , е2, параллельных пло-
скости а., называется ортонор.мированным базисом этой плоскости,
есЛИ эти векторы ортоrональны и являются единичными: ё.ё 2 ===о,
lё.1 == lё 2 1 === 1.
Т е о р е м а. Для любой плоскости а. .можно найти ортонор"
мuрованный базис.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а, ь какой-либо базис ПЛо-
скости а. Соrласно теореме 1 предыдущеrо пункта существует
такое число k, что вектор р == ь + ka ортоrонален вектору а. Ясно,
что р =1= б (так ка 1{ ина че было бы Б + ka == б, т. е. Ь === ----- ka, а это
невозмоЖНО, поскольку векторы а и Б непропорциональны). Итак,
мы нашли такие векторы а* о, р * о, параллельные плоскости а.,
... ..... ... ... .... 1'"
что ар .:........ о. Остается в качестве е. и е2 взять векторы е.' ==---:-- а,
... 1'" ' \аl
е2 == Ipl Р они ортоrональны и являются единичными.
О п р е Д е л е н и е. Тройка векторов ё., ё 2 , ё з называется ор-
тонормированным базисом пространства, если эти векторы по-
парно ортоrональны и являются единичными;
.... ... ... .... ..... 2....2
еl е2 === е. ез === е2ез === о, еl == е2 == ез == 1.
Докажем, что ортонормированный базис существует. Пусть ё.,
ё2 единичные ортоrональные векторы .(TaK B KTOpЫ .построены
в предь.!дущей теореме). Дополним векторы е., е2 некоторым век-
тором с до базиса пространства. Соrласно теореме 2 предыду-
щеrо пункта существуют такие числа 1 и т, что вектор q==ё+
+ [ё l + тё 2 ортоrонален каждому из векторов ё., ё 2 . Ясно, что q =1= О
(так как иначе было бы ё+ lё. + те2 ==0, т. е. вектор ё выражался
бы через ё., ё 2 , а это невозможно, поскольку ё., ё 2 , ё базис). Итак,
.......... .. ..
е.е2==0, elq==e2q==0, le.1 === le21 == 1, q=l=O.
О I
стается в качестве ез взять вектор ез ==-----=- q, и мы получим иско-
.. ... ... ... 1 q I
мыи ортонормированный базис el, е2, ез.
Контрольные вопросы
...
1) Докажите, что любой единичный вектор е, можно допол..
нить до ортонормированноrо базиса.
2) Векторы ё., ё 2 образуют ортонормированный базис пло-
Скости а. Можно ли, кроме ё 2 , найти еще один вектор, ДОПОЛИЯ"
Ющий вектор ё. до ортонормированноrо базиса плоскости а,?
Можно ли найти третий вектор, обладающий тем же свойством?
3) Векторы ё., ё 2 , ё з образуют ортонормированный базис про-
странства. Можно ли, кроме ё з , найти еще один вектор, допол-
59
няющий векторы ё l , ё 2 до ортонормированноrо базиса? Можно
ли найти третий вектор, обладающий тем же свойством?
Задачи
263. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. Найдите значения
CJIедующих выражений: ele2, (2ё 2 ) (зё з ), (2ё 2 )2, ё 2 (ё 2 ----- ё з ),
... ... 2
(2 e l -----ез) .
264. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. При каком k сле-
дующий вектор является единичным: а) k(?1 + ё 2 + ё з );
б) k (ё l ----- ё 2 ё з ); в) k (ё l + ё 2 ); r) k (ё 1 ----- ё з )?
265. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. При каком k век-
торы р === ё l + ё 2 + ё з и q == ё 1 + ё 2 + kё з ортоrональны?
266. Базис ё l , е2, ё з ортонормированный. Докажите, что век-
... 1 ... ... 1... ... .... ...
торы p=== M (el+e2), q=== (el e2), r==ез также образуют ор-
\' 2 -{2
тонормированный базис.
267. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормирова ный. Дополните век-
... 1 ... 1.... .... ...
торы р ..,fi. (е. е2). q ..,f3 (е. + е2 + ез) до ортонормирован-
Horo базиса.
268. B KTOpЫ ё l , ё 2 , а единичные, причем ele2 == о; ela == 0,3;
ё 2 а == о ,6. Найдите вектор, дополняющий векторы ё l , ё 2 до орто-
нормированноrо базиса. Сколько таких векторов существует?
20. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ
Т е о р е м а. Пусть а, ь, ё....... некоторый базис пространства.
Tozaa любой вектор р выражается, и притом однозначно, через
а, ь, ё.
Д о к а з а т е л ь с т в о. То, что вектор p выражается через
а, ь, ё, следует из аксиомы IV 2 . Докажем единс!венность. До-
пустим, что существуют два ВЬ1ражения вектора р:
р==ха+ уЬ +zё, р == х'а + у'Ь + z'2.
Вычитая одно выражение из друrоrо и производя упрощения,
получаем:
(х х')а + (у у')Ь + (z ----- z')ё == о.
Если бы было х х' =1=- О, то мы получили бы выражение вектора
а через Б и ё:
у..... у'''' z z' ...
а == ........ ь с
х ..... х' х х' ,
а это невозможно, поскольку а, Ь, ё базис. Следовательно,
60
х х' == о, т. е. х ---:-- х'. Аналоrично по;луч.аем, что у == у', Z == z'.
ЭТИМ доказана единственность.
О п р е Д е л е н и е. Пусть а, Ь, ё некоторый базис и
р==ха+УЬ'+zё (1)
выажениеe вектора р через а, ь, ё. Числа х, у, z называются ко..
ординатами вектора р в базисе а, Ь, ё, а равенство (1) называется
разло ением вектора р o векторам этоrо базиса.
Координаты B KTopa р будем записывать в ви е тройки чисел
(х; у; z). Запись р (х; у; z) означает, что вектор р имеет (в рас-
сматриваемом базисе) координаты (х; у; z).
т е о р е м а 1. Пусть даны векторы Р (XI; YI; Zt) И q (Х2; У2; Z2).
Tozaa вектор р + q имеет координаты (х, + Х2; УI + У2; ZI + Z2).
Все координаты расс.м.атриваются в одном и том же базисе а, Ь, ё.
т е о р е м а 2. Пусть дан вектор р (х; у; z) и число k. Tozaa
вектор kp имеет (8 том же базисе) координаты (kx; ky; kz).
Т е о р е м ,а 3. Пусть в ортонормированноАС базисе заданы
1W0paUHaTbt двух векторов: P(XI; YI; Zt), q(X2; У2; Z2). Tozaa ска..
Аярное произведение этих векторов вычисляется. по формуле
PQ==XIX2+Y1Y2+Z,Z2. (2)
Подчеркнем, что теорема 3 имеет место только для о р т о н о р-
м и р о в а н н о r о базиса. Докажем эту теорему. Имеем:
р == х1ё l + у,ё 2 + zlё з , q == х 2 ё, + у 2 ё 2 + z 2 ё з ,
и потому
pq ==(хlё, + у 1 ё 2 + z,ё з )(х 2 ё. + у 2 ё 2 + z 2 ё з ).
Раскрывая скобки и учитывая соотношения
... .. -:2 "'2
еl е2 == еl ез === е2ез === О, е. == е2 === ез === 1
(вытекающие из определения ортонормированноrо базиса), по-
лучаем равенство (2). ...
Из доказанной теорем'ы следует, что если вектор р имеет в
ортонормированном базисе ко ординаты ( х; У; z), то
'рl == r+y2+z2. (3)
Контрольные вопросы
1) Векторы а, ь, ё. образуют базис. Каковы в этом базисе
координаты следующих векторов: а) а; б) b; в) о; r) 2а+Ь;
д) а+Ь +ё?
2) в некотором базисе даны координаты двух векторов:
р (3; 1; 2), q (5; о; ....... 4). Найдите координаты векторов р + q,
2р....... q, 3р + 2q.
61
3) Вектор р имеет в БАзисе а, Ь, ё координаты (х; У; z). Дока-
...
жите, что вектор р в том и только в том случае выражается через
векторы а и Ь, если z==O.
4) Найдите координаты вектора, противоположноrо вектору
р (х; У; z).
Задачи
269. Докажите, что разность векторов Р (Х.; YI; ZI) и
q (Х2; У2; Z2) имеет крординаты (ХI Х2; YI У2; ZI Z2).
270. В некотором базисе даны векторы р (Ха; У.; ZI),
q (Х2; У2; Z2), r(хз; Уз; Zз). Найдит-е координаты вектора kp + lq + mr.
J71. Даны (в некотором базисе) векторы р(l; 1; 1),. q(O; 1; 2)
и '( 3; 2; ......1). Найдите координаты следующих векторов:
3р + 2;; р + q + '; q......;; р....... 2q ....... 3;.
272. При каких k, l, т векторы а (1; 3; 2), Б (о; 4; k). ё (1, т, 5)
попарно ортоrональны (базис ортонормированный)?
273. Даны векторы а( 1; 1; 1), Ь(2; о; 3), ё( 1; 1; 2). При ка-
ком k скалярное произведение векторов Ь + ka и Ь +kё будет на-
именьшим (базис ортонормированный)?
274. Даны BeKTOj'bI а( 1; o 2), b(l; 2; О), ё(з; 1; 2). При ка-
ком k векторы а + kb и ё ортоroнальньf. (базис ортонормированный)?
275. Векторы заданы своими координ-атами в некотором ба-
зисе ё l , ё 2 , ё з . Докажите, что если для любых векторов a(xl; Yt; ZI)
и Ь(Х2; У2; Z2) справедливо соотношение ab==XIX2+YIY2+ZIZ2, то
базис ё., ё 2 , ё з ортонормированный.
276. Векторы а, ь, ё заданы своими координатами в ортонор-
мированном базисе: а( +; ; ) , ь (о; ; ) I
ё ( 4 . 1 · 1 ) Образуют ли векторы а, ь, ё ерто-
...... 3 ' з.у2' з-{2 ·
нормированный базис?
277. Среди следующих векторов найдите пары ортоrональных
векторов (базис ортонормированный): а( 1; 1; 1), Ь(О; 1; 1),
ё(о; 1; 1), d ( 1; 1; 2), ё( 2; 1; 1).
278. Даны векторы a(l; 2; 3) и Ь (3 2; 1). Какой из векторов
а + ь, а ь имеет меньшую длину (базис ортонормированный)?
279. Вычислите длины векторов (базис ортонормированный):
а (2; 2; 1), Б (7; 4; ...... 4), ё (8; 4; 1), а (6; 6; 7), Р (2.; 6; 9),
(2 3 6) ;..... - L .
q ; ; .
280. Базис ё.. ё 2 , ё з ортонормированный. Найдите наименьшее
расстояние от точки В до точек прямой (А; 3ё l ...... ё 2 ). если- АВ ==
62
== 2ё. + ё 2 зё з . Это наименьшее расстояние называется расстоя-
нием от точки В до рассматриваемой прямой.
.... .... - ...
281. Базис el, е2, ез ортонормированный, AB==el e2. Найди-
те на прямой (А; е2 2ез) такую точку М, что вектор ВМ орто-
rонален базисному вектору ё 2 2ё з . Ву дет ли М ближайшей к
В точкоЙ рассматриваемой прямой?
282. Докажите, что расстояние от точки В до прямой (А; а)
равно
I AB 1 2 (а.А8)2
lal 2 ·
21. уrол МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
При рассмотрении скалярноrо произведения векторов на пло-
скости использовалась формула
аЬ == 1 а 11 ь 1 cos (1" (1 )
rде а, b ненулевые векторы, а (Х уrол t.,tежду ними. Эта фор-
мула сохраняется и в пространстве, однако смысл ее меняется.
В самом деле, левая часть формулы (l), Т. е. скалярное произ-
ведение векторов а и Ь, уже определена (поскольку скалярное
умножение было введено аксиоматическн). Далее, первые два
множителя в правой части, т. е. длины векторов а и Ь, также из-
вестны (длина вектора была определена в п. 17). Остается по-
следний множитель в правой част.и, который пока не определен,.
так как понятие уrла между векторами не было введено. В связи
с этим формула (1) используется при вейлевском аксиомати-
ческом изложении для о п р е Д е л е н и я уrла между векторами.
О п р е Д е п е н и е. Пусть а и Б ненулевые векторы. Число
а. определяемое соотношениями
COS а== a;; t ,OO a 180°,
'а I ь I
(2)
называется УZЛОМ между векторами ii и ь (в rрадусном и-змерении).
Заметим, что соrласно формуле (1) п. 17 число, стоящее в
правой части равенства (2), имеет модуль, не превосходящий
единицы, и потому уrол а, о котором идет речь в этом определе-
нии, существует. Он может быть найден с помощью микрокаль-
кулятора (или по таблице). Подробнее об измерении уrлов ска-
зано в п. 90.
Если уrол (1" определяемый формулой (2), удовлетворяет
условию 00<а<90 0 , то rоворят, что уrол между векторами
..
Q И Ь острый, если (1, == 900 прямой, еCJIИ 900 < (Х < 1800 тупой,
а при а. == 180" развернутый.
т е о р е м а. Пусть ё., ё 2 ........ ортонорм.uрованны.й базис n.ло..
БЗ
....
скости а и a произвольный вeKTOp nарал-
лельный плоскости сх.. Обозначим через <р УZQЛ'
между векто-рами а и ё.. ТОёда (рис. 66) в ба..
зисе ё., ё 2 вектор а имеет координаты
(Ialcos <р; ::1:: la sin ср); знак «плюс» COOTBeT
ствует случаю, КОёда йё 2 О, знак «минус» ........
случаю, Kozaa йё 2 < о.
Доказательство. Так как allcx., то
а == хё. + уё 2 ,
rде х, у некоторые числа. Умножив это равенство скалярно
на ё., получаем в левой части равенства 1. I а I cos ер, а в правой
x + уё.ё 2 == х; таким образом, х == I аl cos ер.
Далее, соrласно формуле (3) предыдущеrо параrрафа имеем
laI 2 ==x 2 +y2== lal 2 (cos <р)2+у2, откуда
у2== lal2 lal 2 (cos <p) == la)2(1 (cos ер)2)== lal 2 (sin <р)2,
и потому у== + lаlsiп <р. Итак, вектор а имеет координаты
(Ial cosq>; + Iаlsiп<р), т. е.
а == ( I й I cos <р )ё. + ( I а I sin q> )ё 2 0 (3)
Умножая это равенство скалярно на ё 2 , получаем йё 2 == + lalsin <р,
откуда видно, что случаю йё 2 О соответствует плюс, а случаю
йё 2 < o минус.
Рис. 66
Контрольные вопросы
.... ....
1) На рисунке 67 АВ==ае., BC==AD==ae2, AAI==BB.==CC.==
==DD. ==аё з , rде а>О, а векторы ё., ё 2 , ё з образуют ортонорми
рованный базис. Найдите длины векторов АС. и АВ.. Найдите
уrол между этими векторами.
2) На рисунке 47 векторы а, ь, ё попарно ортоrональны и име-
ют следующие Д;IИПЫ: lal ==3. Ibl ==5, lёl ==6. Вычислите уrол
-
между векторами AD. и АС. ....
З) Чему равен уrол между векторами р и q, если 'р' ==2,
Iql==l, pq== -Y2?
Задачи
283. При обозначениях рисунка 67 (см. контрольный воп"
рос 1) вычислите длины следующих векторов и уrол между ними:
а) А.В и ВА; б) А.В и АВ; в) В.С. й BD; r) С.В. и BD; д) CD и
АА.; е) B.D и АС.
64
284. Считая, что на рисунке 47 BeK
торЫ а, ь, ё попарно ортоrональны и I al ==2,
I Б 1=== 3, I ё, == 5, вычислите уrол между сле..
--+ --+ --+
дующими векторами: a)A 1 D и В 1 8; б)А 1 D
--+ --+---+
И DD,; в) DAI и Dt D ; r) АС и BD!. ... ...
285. На рисунке 47 векторы а, Ь, с
удовлетв яют усл ия 'аl ==2, Ibl ==2,
lёl ==7, ab 3,6, ac bc==O. Вычислите
уrо л между следующими векторами:
--+ --+ --+ --+
а) АВ, и BC 1 ; б) АВ, и B1C 1 ; в) АВ} и АС,.
286. На рисунке 68 векторы а, ь, ё
единичные, уrол между каждыми двумя
из этих векторов равен 600. Вычислите
уrол между векторами а ь и Ь ё.
287. Воспользовавшись соотношением
cos(1800 cx.)=== coscx., докажите с по
мощьЮ формулы (2), что если уrол между
векторами а и ь равен сх., то уrол между
векторами а и ь равен 1800 ----- сх..
288. Вычислите уrол между каждыми двумя из векторов
а(l; 1; 1), Ь(I; 3; 2), ё(о; 2; -----1) (базис ортонормированный).
289. Вычислите уrол между каждыми ДВУМЯ из векторов
р (2; 1; 3), q ( 1; 1; 1), , (о; 3; 2) (базис ортонормированный).
290. Изобразите на чертеже ортонормированный базис пло..
скости ё 1 , ё 2 И постройте вектор а длиной 2, для KOToporo: а) ер == 300
и в формуле (3) имеет место знак «плюс»; б) ер=== 300 и в (3)
и еет место знак «минус»; в) ер == 1200 и в (3) плюс; r) ер == 1200 и в (3)
минус; д) ер==90 0 и в (3) плюс; е) ep 900 и в (3) минус; ж) ер==оо;
з) ер== 1800.
291. Для вектора а в формуле (3) имеет место знак «плюс»,
а ДЛЯ вектора а' «минус» (рис. 66). Уrол между а и а' равен
<р + ер'. Докажите, что cos (ер + ер') cos <р cos <р' ....... sin <р sin <р'.
--+
292. Взяты единичные векторы ё 1 == ОА, а == ОВ и их сумма
...
ь==ё 1 +а==ОС; уrол между векторами ё l и а равен (Х; уrол меж
...... а.
ду векторами еl и Ь равен 2. а) Сделайте чертеж. б) До кажит е,
Что Ibl== -y'2(1+cosa.) . в) Докажите. что cos ; == I+ osa .
293. В плоскости задан ортонормированный базис ё., ё 2 . Ка..
Кой уrол с ё l составляет вектор a xёl +уё 2 , если: а) x==2, ==3;
б) х==2; У ... 3; в) х== 3, У ... 1; r) х=== з, y 1; д) 'аl ==3,
у == 2; е) I а 1== 3, У == 2; ж) I а I == 5, х 1 ?
294. В плоскостях задан ортонормированный базис ё}, ё 2 .
Заказ 9 4 65
8,
С 1
А 1
в
с
...
е 2
О"
Рис. 67
С" "
ь "
-- -- -- -- -- .. --
I
Рис. 68
Можно ли однозначно определить уrол между векторами е2 и
а==хё 1 +уё 2 , если известно, что lal ==3, х==2? Какие значения
может принимать этот уrол? OE-НОЗliачно ли по указанным дaH
ным определяется уrол между el и а?
22. СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТР АНСТВЕ
Пусть О некоторая точка, ё l , ё 2 , ё з ортонормированный
базис. Прямые 11 (O; ё l ), 12===(0; ё 2 ), 13===(0; ё з ) (рис. ...69)...наз...ы-
ваются осями координат прямоуrольной системы (о; el, е2, ез),
началом которой служит точка о, а базисом 1, ё 2 , ё з . Иноrда
рассматриваlОТ и н е п р я м о у r о л ь Н ы е системы координат
(т. е. такие, у которых базис еl, е2, ё з не является ортонормиро-
ванным), но мы в дальнейшем будем рассматривать только пря-
моуrольные системы. Оси координат прямоуrольной системы име..
ют специальные названия: ll ось абсцисс, 12 ось ординат,
1з ось аппликат. .
На рисунке 69 изображены три плоскости, каждая из которых
содержит две оси координат. Они называются Koopди aTHЫMи
плоскостями.
Пусть теперь М произвольная точка пространства. Обо-
зна чим через (х; у; z) координаты вектора ом в базисе е" е2, ез.
Эти же числа х, у, z считаются координатами (рис. 70) точки М
в рассматриваемой прямоуrольной системе координат (о; el, е2, ез).
Таким образом, если х, у, z координаты точки М в системе
(о;' ё l , ё 2 , ез), то справедливо равенство
ОМ == хё l + уе2 + zез.
Тот факт, что точка М имеет координаты х, у, z, выражают за-
писью М (х; у; z).
I
I М
1
1
е з ;i
/ I
#..,
, eZI
: l1 ...
е 1 :
I
I
J
/
lj / /
/
Рис. 69
Рис. 70
бб
Т е о р е м а 1. Еслu точКU М, N uм.еют в прям'ОУZОЛЬНОЙ систе..
.... .... ....
ме (О; el, е2, ез) координаты М (Xl; Yl; ZI), N(X2; У2; 22).. то вектор М N
имееТ в базисе ё l , ё 2 , ё з lCоординаты (Х2 XI; У2 Yl; Z2 ZI).
Т е о р е м а 2. Если точка М имеет в пРЯМОУ20ЛЬНОЙ системе
(О; !I. ё2. ё з ) коорди'!:.аты М (х; у; z), а вектор jj имеет в базисе
ёl' е2, ез координаты р (а; Ь; С), то точка N, получающаяся при от..
кладывании вектора р от точки М, имеет в системе (о; ё l , ё 2 , ё з )
координаты (х+ а; у + Ь; Z + С).
т е о р е м а 3. Если точки М, N имеют в пРЯМОУ20ЛЬНОЙ cи
стем,е (о; ё l , ё 2 , ё з ) координаты М (XI; YI; ZI), N (Х2; У2; Z2), то длина
отрезка MN вычисляе тся по формуле
I MN I == (X2 ----- XI)2 + (У2 YI)2 + (Z2 Z1)2 .
Контрольные вопросы
1) В системе координат (о; ё l , ё 2 , ё з ) заданы точки А (3; 1; О),
В (1; 2; 2), С ( 2; о; 3). Найдите координаты векторов АВ, ВС,
---+
АС и про верьте справедливость соотношения, указанноrо в aK
сиоме 1 з.
2) На рисунке 67 АВ==аё 1 , ВС==АD==аё 2 , AA 1 ==BB 1 ==CC 1 ==
== DD 1 == аё з , rде а> О, а векторы ё l , ё 2 , ё з образуют ортонорми
рованный базис. Найдите в системе координат (А 1; ё l , ё 2 , ё з ) ко..
ординаты точек А, В, С, B 1 , DI. Найдите координаты тех же точек
в систем е (С; ё 1 , ё 2 , ё з ).
3) Докажите, что если точка М (х; у; z) лежит на оси абсцисс,
то у==О и z==O. Сформулируйте аналоrичные утверждения для
друrих осей.
4) Докажите, что если точка М (х; У; z) лежит в плоскости
аху, то Z ==0. Сформулируйте аналоrичные утверждения для
друrих координатных плоскостей.
Задачи
295. Даны четыре точки А (2; 7; 3), В (1; о; 3), С ( 3; 4; 5),
D (-----2; 3; 1). Найдите среди векторов АВ, ВС, АС, AD, BD, CD
раВные.
296. Даны четыре точки А (О; 1; 1), В (1; ....... 1; 2), С (3; 1; О),
D (2; -----3; 1). Вычислите уrол между векторами АВ и CD.
. 297. Докажите, что точки А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2),
D (2; 8; 4) являются вершинами ромба.
298. Найдите координаты такой точки С на оси абсцисс, KO
Тарая равноудалена от двух точек А (1; 2; 1) и В ( ....... 2; 1; 3).
3* 67
299. Да ны точки А (1; о; 1), В ( ----- 1; 1; 2), С (о; 2; ----- 1). Известно,
что АВ === CD. Найдите координаты точки D.
300. Докажите, что точки А (XI; YI, ZI) и В (Х2, У2, Z2) в том и
только в том случае симметричны относительно точки Р (х', у', z')t
если ХI + Х2 === 2х', УI + У2 == 2у', ZI + Z2 == 2z' (все координаты бе..
рутся в одной и той же системе (о; ё l , ё 2 , ё з )).
301. Найдите расстояние между точками О и С, зная, что век..
торы ОА, АВ, ВС попарно ортоrональны и 10AI===a, IAB\===b,
I BCI === с. ычисления проведите в координатах.
302. Найдите координаты середины отрезка АВ, координаты
концов KOToporo заданы: А (XI; YI; ZI), В (Х2; У2; Z2).
--+
303. Векторы АК и ВК вьiражены через векторы ортонорми"
pOBaHHoro базиса ё" ё 2 , ё з :
АК === зё l + 4ё 2 + 5ё з ; В К === ё 1 -----7ё з .
Определите координаты точек А и В в системе (К; ё 1 , ё 2 , ё з ) и рас-
стояние IAB\.
304. При откладывании вектора р от точки А получилась точ"
ка В. Точка А имеет в системе (о; ё 1 t ё 2 , ё з ) координаты (XI; Yl; ZI),
а вектор р имеет в базисе ё 1 , ё 2 , ё з координаты (Х2; У2; Z2). Найдите
координаты точки В в системе (о; ё 1 , ё 2 , ё з ).
305. Точки А, В, С, D заданы в системе (о; ё l , ё 2 , ё з ) своими
координатами. Определите взаимное расположение прямых АВ
и CD в каждом из следующих случаев:
а) А (3; 7; ...... 1), В (2; 4; 2), С (о; 3; 2), D (2; 9; 8);
б) А (2; -----1; 4), В (4; 4; 1), С (3; 1; 4), D (6; 8; 1);
в) А (3; 1; 2), В (4; 4; 1), С (5; 1; 6), D (6; 4; ----- 3);
r) А (1; 1; 3), В (2; 3; 6), С (1; 2; 2), D (2; 6; 3). .
306. Определите взаимное расположение прямых (А; а) и
(В; Ь), если в системе (о; ё l , ё 2 , ё з ) заданы координаты точек А, В
и векторов а, Ь:
а) А (3; ----- 2; 2), В ( ----- 1; 2; 4), а (6; 2; 4), Б (9; 3; 6);
б) А (3; 2; 1), В (8; ----- 3; ----- 5), а (3; 1; ----- 2), Б ( ----- 1; 3; 2);
в) А(2; 1; 2), В (-----5; о; 1), а(l; 2; -----1)' Ь(2; -----1; 3);
r) А (о; 2; ----- 2), В (----- 2; ----- 3; О), а (3; ----- 1; 2), b(l; -----1; -----5).
307. В системе (о; ё l , ё 2 , ё з ) заданы координаты точек А, В,
е, D. Определите, лежат ли эти точки в одной плоскости, если:
а) А (...... 3; 1; 7), В( ----- 2; 2; 8), С( -----1; о; 10), D(2; 3; 13);
б) А (7; 1; ......3)' В(7; 4; -----3)' С(9; 2; 2), D(9; -----5; 2);
в) А (-----4; 2; 7), В (-----3; 3; 8), С (----- 2; 2; 4), D (1; 5; 7).
308. Параллелен ли вектор а плоскости (АВ С), если в систе-
ме (О; ё l , ё 2 , ё з ) заданы следующие координаты вектора а и то-
чек А, В, с:
68
а) А (1 2; 3), В (4; 2; 5), С (2; 1; 3), а (о; 3; 2);
б) А (1; 1; 1), В (4; о; 1), С(3; 1; ......2)' ( I; l; 6);
в) А (2; о; 3), В (3; 1; о), с (...... 2; ...... 1; 5), а (1; 2; 1)?
309. Определите, какие из точек В, С, D принадлежат пло-
скости (А; р, q), если заданы следующие координаты в системе
(О; ё 1 , ё 2 , ё з ): ..
а) А (о; 1; 2), В (о; 4; 5), е (......1; 1; 4), D (2; б; 3), р (1; 2; о),
q ( ....... 1; 1; 1); ..
б) А (2; 1; 3), В (2; 5; 1), е (5; 1; 10), D (1; 2; 3), р (1; ......1; 2),
q(l; 2; 3).
310. Точки А, В, С и векторы а, ь заданы в системе (О; ё 1 , ё 2 , ё з )
своими координатами:
А (о; 3; 1), В (2, ......1; 2), е (3; 1.;. 1), а (4; о; ......5)' b (l; ......1; З).
а) Докажите, что прямая (В; а) содержится в плоскости АВС.
б) Установите, как расположены прямые (А; а) и (А; Ь) относи-
тельно плоскости АВС. в) Определите взаимное расположение
прямых АВ и (С; Ь). r) Содержатся ли прямые (А; а) и (В; Ь) в
одной плоскости?
311. Точки А, В, С, М, N, Р заданы своими координатами
в системе (о; ё l , ё 2 , ё з ):
А (5; 4; 1), В (3; 4; 2), е (2; о; 5), М (2; 4; .......1)' N (1; о; 2), Р ( 1; о; 3).
Как расположены плоскости: а) (CN Р) и (АВМ); б) (АСР) и
(BMN); в) (веР) и (AMN); r) (APN) и (вем)?
r л а в а IV
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕй
23. НОРМАЛЬ К ПЛОСКОСТИ
о п р е д е л е н и е. Ненулевой вектор п называется нормалью
к плоскости а, если он ортоrонален ЛIобому вектору, параллель
ному плоскости а.
т е о р е м а 1. Пусть а, Ь базис плоскости а. Для ТОёО
чтобы вектор ii =1= О был нормалью к плоскости а, необходимо
и достаточно, чтобы он был ОРТО20нален каждому из векторов
а, ь (ри с. 71). .. .. ..
Т е о р е м а 2. Если а, Ь базис плоскости а, а п нормаль
к плоскости а, то векторы а, ь, п образуют базис пространства.
Т е о р е м а 3. Любые два вектора, являющиеся нормалями
к плоскости а, nропорциональны. ...
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 1. Пусть п нормаль
к плоскости а. Так как каждый из базисных векторов а, ь парал
лелен плоскости а, то ii..L а, п.1. Ь.
Обратно, пусть вектор п =1= о ортоrонален каждому из базис
ных векторов а, Ь. Если r произвольный вектор, параллельный
плоскости а, т. е. r==ka+lb, то nr==n(ka+lb)==k(iia)+l(пb)==O.
Таким образом, вектор ii ортоrонален каждому вектору, парал
лельному плоскости а, т. е. п нормаль к плоскости а.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Допустим, что векторы
а, ь, n не составляют базис, т. е. ii выражается через а и Ь:
n==ka+lb.
Умножая это равенство скалярно на N, получаем ;'2 == k(aп) +
+l(bii). Так как аn==О и Ьп==О (поскольку ;, нормаль к пло
скости а), то п 2 ==0. Но это невозможно, так как п =#=0. Получен-
ное противоречие доказывает, что векторы а, ь, ii образуют базис.
Доказательство теоремы 3. Пусть ё l , ё2 OPT.?"
нормированный базис плоскости а, а п 1,
п2 два вектора, каждый из которых
I а является нормалью к плоскости а. Так как
векторы ё., ё 2 , пl образуют базис (по пре-
дыдущей теореме), то
п2 == kё l + [ё 2 + тп 1.
Рис. 71 Умножая это равенство скалярно на еl и
70
.... .... ....
учитывая. что п2еl == О, el == 1, е2еl == о, п I еl === 0.1 получаем k == о.
Аналоrично, умножая написанное равенство на е2, получаем l == о.
ТаКИМ образом, это равенство принимает вид п2===тпl, т. е.
... ...
ВеКТОРЫ п 1 и п2 пропорциональны.
Контрольные вопросы
1) Базис ё l , е2, ё з ортонормирова нный. Докажите, что век-
тор ё з является нормалью к плоскости (о; ё l , ё 2 ).
2) Докажите, что для любой плоскости (Х существует век-
тор N, являющийся нормалью к этой плоскости.
3) Векторы а, ь, ё на рисунке 47 попарно ортоrональны. До-
кажите, что: а) а нормаль к плоскости АА lD; б) ё нормаль
к плоскости АВС.
4) Базис ё J , ё 2 , ё з ортонормированный. Докажите, что 2ё l
ё 2 + 6ё з нормаль к плоскости (А; ё l + 2ё 2 , зё l ё з ).
Задачи
312. Вектор п нормаль к плоскости а. Докажите, что если
n р, то вектор р па раллелен плоскости а.
313. Векторы а, ь, ё на рисунке 47 попа рно ортоrональны.
Докажите, что: а) если I ь I == I ёl, то ь + ё нормаль к плоскости
AtCD; б) если \аl===Iы=lёl,' то а+ь+ё нормаль к пло..
скости А 1 BD.
314. Базис ё t , ё 2 , ё з ортонормированный. Найдите нормаль
к плоскости (А; зё l ----- ё з , ё l + ё 2 + ё з ).
315. В прямоуrольной системе координат заданы точки
А (3; 1; О), В (2; о; З), С (1; 1; 1), D (о; 4; 3) и векторы
а (8; 4; 1), Ь (1; 1; о), ё(6; 3; 1). Какой из векторов а, ь, ё является
нормалью: а) к плоскости АВС; б) к плоскости ABD; в) к плоскос..
ти BCD?
316. Докажите, что если нормаль к плоскости (Х параллельна
ПЛОСI{ОСТИ , то нормаль к плоскости
параллельна плоскости (Х (рис. 72).
317. Точки А' и В' симметричны точ"
Кам А, В относительно центра о. Докажи..
Те, что еCJIИ вектор AB нормаль к пло..
Скости а, то вектор А' В' также нормаль
к этой плоскости.
318. Векторы а, ь являются нормалями
СОответственно к плоскостям (М; Ь, ё), Рис. 72
71
(N; а, ё). Докажите, что вектор ё нор-
маль к плоскости (Р; а, Ь).
319. Векторы а и ь являются HopMa
ЛЯ ми соответственно к плоскостям сх. и .
Докажите, что если векторы а и Ь пропор..
циональны, то а II . Верно ли обратное?
320. Даны вектор п =1= о и точка Мо.
Докажите, что множество всех точек М,
для которых МОМ. ii == О, представляет
собой плоскость и вектор п является нор-
малью к этой плоскости (рис. 73).
321. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. Докажите, что если
р == ё. + ё 2 ----- ё з , q == 2ё l ----- ё 2 + ё з , ; == ё 2 + ё з , то вектор р нормаль
к плоскости (А; q, (), вектор q нормаль к плоскости (В; р, () и
вектор r нормаль к плоскости (с; р, q).
322. Векторы р, q, -; заданы своими. координатами в OpTO
нормированном базисе: р (2; 1; 3), q (1; 1; 1), r (4; 5; ----- 1).
Докажите, что вектор р нормаль к плоскости (А; q, () и век-
тор q нормаль к плоскости (8; р, ;).
323. Докажите, что если плоскости сх. и параллельны и
вектор n нормаль к плоскости сх., то n нормаль к плоско-
сти р,
324. Векторы а и Ь являются нормалями соответственно
пл скостям сх. И р. Докажите, что: а) если а 11 р, то векторы а
и Ь пропорциональны; б) если. плоскости сх. и f} симметричны
относительно некоторой точки О, то векторы а и ь пропорци-
ональны.
325. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. Единичные векторы
а и Ь, параллельные плоскости (М; ё t , ё 2 ), составляют с ё l соот-
ветственно yr лы сх. и 900 а (rде 00 < сх. < 900). Является ли
Ь нормалью к плоскости (М; а, ё з ), если скалярные произведения
аё 2 и ьё 2 имеют: а) одинаковые знаки; б) разные знаки?
...
п
l
....
"СП
Ри с. 73
24. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
о п р е Д е л е. н и е. Две прямые называются nерnендикуляр-
ными (или ОрТО20нальны'м'U), если их базисные векторы opToro"
нальны.
О п р е Д е л е н и е. Прямая 1 и плоскость сх. называются пер..
пендикулярными (или ОрТО20наЛЬНЫ'м'и), если базисный вектор
прямой 1 является нормалью к плоскости сх..
т е о р е м а 1. Если прямая 1 nерnендикулярна плоскости сх.,
то она перпендuкулярна любой прямой, лежащей в плоскости а.
72
Т е о р е м а 2. Если прямая 1 пepпeHди
кулярна Ka дoй из двух неnараллельных
между собой прямых, лежащих в плоско..
СТU СХ, ТО 1..L сх..
Т е о р е м а з. Две nРЯм'ые, nepneHди
кулярные одной плоскости, nараЛ'/l,ельны
(рис. 74).
Т е о р е м а 4. Через каждую точку А
проходит единственная прямая, nерnенди.. Рис. 74
кулярная данной плоскости сх..
Докажем для примера последнюю из ЭТ!lХ теорем. Пусть n
нормаль к плоскости сх.. Тоrда прямая (А; п) проходит через точ
КУ А и перпендикулярна плоскости сх.. Этим доказано существо..
вание искомой прямой. Докажем единственность. Пусть 11, [2
две прямые, проходящие через точку А, каждая из которых пер..
пендикулярна плоскости сх., и пусть аl, a2 базисные векторы
этих прямых. Тоrда каждый из векторов al, а2 является нормалью
к плоскости сх., и потому эти векторы пропорциональны. Следо..
ватмьно, 111112. Поскольку параллельные прямые 11 и [2 имеют
общую точку А, то они совпадают, чем и доказана единственность.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что если 11 и 12 перпендикулярны, то для любых
точек А, В прямой 11 И любых точек С, D прямой [2 справедливо
соотношение AB.CD O.
2) Докажите теоремы 1, 2, з.
3) Докажите, что если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости сх., то и друrая перпендикулярна пло
скости а.
4) Прямые [ и т скрещивающиеся. Существует ли такая
плоскость сх., ч'то каждая из прямых [, т перпендикулярна сх.?
5) Какие из следующих высказываний истинны: а) если пря..
мые [ и т параллельны и прямая п перпендикулярна 1, то n т;
б) еCJIИ прямые [ и т перпендикулярны и одна из них параллельна
плоскости сх., то друrая перпендикулярна плоскости а; в) две
ПрЯМЫе, перпендикулярные третьей, параллельны между собой;
r) еCJ1И прямая а перпендикулярна плоскости а., а прямая Ь па..
раллельна этой плоскости, то a..L Ь?
Задачи
326. Плоскости сх. и параллельны. Докажите, что если пря
Мая 1 перпендикулярна сх., то она перпендикулярна и р.
327. Докажите, что две плоскости, перпендикулярные одной
прямой, параллельны.
73
328. Докажите, что через каждую точ
ку А проходит единственная плоскость,
перпендикулярная данной прямой [.
329. Базис ё., ё 2 , ё з ортонормирован"
ный. Какие из следующих прямых перпен"
дикулярны: (А; 2ё. ё2), (8; ё l -----2ё 2 +ё з ),
(А; ё.+ё 2 +ё з ), (С; ё.+2ё2 зёз)?
330. На рисунке 47 базис а, ь, ё OpTO
нормированный. Какие из следующих BЫ
сказываний истинны: а) (AA1).l(CD);
б) (АВ) .l (В I С); в) (АС 1 ) (BID);
r) (AD 1 ) J.. (В 1 С)?
331. Даны прямая 1 и точка А, coдep
жащиеся в плоскости (Х. Докажите, что в
этой плоскости существует единственная
прямая, проходящая через точку А и
перпендикулярная прямой 1.
332. Каждая из прямых АВ, ВС, CD
перпендикулярна прямой 1. Докажите, что
прямые АВ, ВС, CD расположены в одной плоскости.
333. Четыре ра;зличные точки удовлетворяют условию
A8.AD==AC.AD. Докажите, что (8C).l(AD).
334. Четыре различные точки удовлетворяют условиям
(AO)J..(BC), (BO)J..(AC). Докажите, что (CO)..L(AB) (рис. 75).
335. Да н ортонормирова нный базис ё l , ё 2 , ё з . Какая из пря...
мых (А; ё l 2ё2), (В; ё l +ё 2 -----ё з ), (С; 2ё l +ё 2 +зё з ) перпендику"
лярна плоскости (Р; ё l + ё з , ё 2 + ё з )? плоскости (Q; ё l + ё 2 ----- ё з ,
зё 2 ----- ё з )? .. .. ..
336. На рисунке 47 векторы а, Ь, с образуют ортонормирован"
ный базис. Какие из следующих высказываний истинны:
а) (AB) (AIDDI); б) (BD I ).l(A 1 C 1 D); в) (AIBI)J..(BCJD);
r) (BD).l(AA I C); д) (ACI).l(AJBD)?
337. Докажите, что если плоскости сх. и параллельны, пря..
мая l перпендикулярна сх., а прямая п перпендикулярна t3, то 111 n.
338. Плоскости сх. и пересекаются по прямой 1. Прямые
ре сх. и q с перпендикулярны l и имеют общую точку А. а) До..
кажите, что плоскость, содержащая прямые р и q, перпендику
лярна прямой [. б) Докажите, что для любых точек РЕр и QEq
прямая PQ перпендикулярна 1.
339. Плоскости сх. и пересекаются по прямой а. Плоскость
'V содержит прямую 1, перпендикулярную плоскости сх., и пря..
мую т, перпендикулярную плоскости . Докажите, что а J.. 'V
(рис. 76).
340. Докажите, что если прямая 1 перпендикулярна плоско-
сти сх., то для любых точек А Е [, В Е 1, М Е сх., N Е а справедливо ра..
--+-
венство АВ .MN ==0.
8
а)
[
о)
Рис. 75
[
74
Рис. 76 Рис. 77
341. Плоскости (х и не параЛJIельны. Существует ли пря..
мая, перпендикулярная каждой из плоскостей сх., ?
342. Прямая l перпендикулярна плоскости сх. и параллельна
плоскости t3. Какие из следующих вьrсказываний истинны: а) су-
ществует прямая т C , перпендикулярная плоскости сх. (рис. 77);
б) любая прямая m с t3 перпендикулярна плоскости сх.; в) любая
прямая т, перпендикулярная сх., будет параллельна ; r) любая
плоскость 'У, параллельная прямой 1, будет параллельна ; д) лю-
бая прямая т, параллельная плоскости (3, будет перпендикулярна
плоскости сх?
343. Существуют ли такие ДB плоскости сх., , что для любых
точек А Е сх., В Е (х, М E , N Е справедливо равенство АВ. MN == О?
344. На рисунке 47 базис а, ь, ё ортонормированный. Ука..
жите (в каждом из следующих случаев), будет ли прямая, пер"
пендикулярная первой плоскости, параллельна второй плоскости:
а) (AA1D) и (B1CD); б) (АА 1 С) и (BB1D); в) (AB1C) и (BC1D).
345. Векторы а, ь, ё, а заданы своими координатами в орто-
ормированном базисе: а(3; 1; 2); Ь(I; 1; 1), ё( l; 5; 4),
d (5; 1; О). Укажите, какие из прямых (А; а),
(8; Ь), (С; ё), (D; а) перпендикулярны друr друrу.
346. На рисунке 78 векторы а, ь, ё состав..
Ляют базис. Докажите, что если прямая, пер-
пендикулярная плоскости АВС, параллельна
каждой из плоскостей АА,в, AA1C, BB1C, то
каждая из прямых AAI, В81, CC 1 перпенди-
кулярна плоскости АВС.
347. Существуют ли три попарно перпенди-
кулярные прямые? четыре попарно перпен-
дикулярные прямые?
348. Вектор ii нормаль к плоскости а.
Докажите, что прямая (А; п) перпендикулярна
любой прямой m с сх..
75
[1
А,
8,
..
(
[
..
[
в
Рис. 78
349. Векторы а, ь, ё, а, ё заданы в ортонормированном ба-
зисе; а(3; 1; 1), Ь(22; о; 33), ё(......з; 7; .......2)' а(5; 9; 24),
ё (О; 8; 3). Какие. из следующих высказываний истинны:
а) (А; a) (P; ё, ё); б) (8; b) (M; Ь, а); в) (С; a)..L(Q; ё, d)?
350. Даны три различные точки А, 8, с. Каждая из прямых
.....
АВ, АС перпендикулярна плоскости а. Докажите, что BC нор..
маль к плоскости сх..
351. Прямые 1 и т скрещивающиеся. Что представляет собой
пересечение плоскостей а и , если известно, что I..L а, т ?
352. На рисунке 78 'аl == Ibl == 'a b' === 1, a ё, Ь..Lё. Опреде..
лите !ёl, зная, что (A1B)J..(AC 1 ).
25. оРтоrОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Выберем некоторую плоскость а, которую будем называть
плоскостью проекций. Через произвольную точку М простран..
ства мы можем проаести единственную прямую 1, перпендику"
лярную плоскости ct (теорема 4 предыдущеrо пункта). Пря..
мая l пересекает плоскость сх. в некоторой точке М', которая
называется ортоzональной nроекцией точки М на плоскость ct
(рис. 79). Заметим, что если М Е q." то проекция М' совпадает с М.
Пусть F некоторая фиrура в пространстве. Для каждой
точки М Е F можно найти ее ортоrональную проекцию М' на пло..
скость а. Множество F' всех полученных таким образом точек
М' называется ОРТОёональной nроекцией фиrуры F на плоскость
сх. (рис. 80).
Т е о р е м а 1. Пусть М' ОРТОёональная nроекция точки
М f/. сх. на плоскость а. Т ozaa М' ближайшая к М точка плоскости
а, т. е. 'ММ'! < !МА! для любой отличной ОТ М' точки А Есх.
(рис. 81).
Т е о р е м а 2. Если прямая 1 nерnендикулярна плоскости а,
то ее nроекция на плоскость а представляет собой точку (рис. 79).
Если же прямая 1 не nерnендикулярна а, то ее nроекция на nло..
скость ct представляет собой прямую (рис. 82).
D
fVI
Рис. 79
Рис. 80
76
Рис. 81
{3
т т'
/
/
/
,/
r ... -- -- -- --
, А
I
I
,
Рис. 82
Рис. 83
Т е.о р е м а 3. Пусть [ прямая,' не перпендикулярная пло-
скости а, и l' ее проекцuя на плоскость а. Прямая т, лежащая
8 плоскости а , 8 том и только в том случае перпендикулярна пря..
мой 1, если она перпендикулярна ее проекциu [' (рис. 83).
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Вектор ММ' является
нормалью к плоскости а, а вектор М' А параллелен плоскости а
(рис. 81). Следовательно, ММ'.М'А==О, и потому
МА 2 ==(мм' +М' А)2==мМ'2+М' А 2 >ММ'2
(так как точка А отлична от М', то М'А 2 >о). Из полученноrо
неравенства МА 2 >ММ'2 вытекает, что 'МАI >IMM'I.
О п р е Д е л е н и е. Пусть М' ортоrональная проекция точ-
ки М на плоскость а; число I ММ' I называется расстоянием от
точки М ДО плоскости а.
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 2. Пусть сначала 1 а.
Обозначим через М' точку пересечения прямой 1 с плоскостью а
(рис. 79). Для любой точки М Е 1 ее проекция на плоскость а
совпадает с М', Т. е. вся прямая 1 проектируется в точку М'.
Пусть теперь прямая 1 не перпендикулярна а. Возьмем про-
извольную точку А Е 1 и проведем через эту точку прямую т, пер-
пендикулярную а. Плоскость, содержащую пересекающиеrя пря-
мые 1 и т, обозначим через р. Пересечение плоскостей а и пред-
ставляет собой некоторую прямую ['. Докажем, что [' и есть про-
екция прямой [ на плоскость а (рис. 82).
Действительно, пусть М произвольная точка прямой 1. Пря-
мая т', параллельная т и проходящая через М, параллельна
плоскости и, следовательно, содержится в этой плоскости. Та-
ким образом, проекция М' точки М (т. е. точка, в которой пря-
Мая т' пересекает плоскость а) принадлежит плоскости , т. е.
M'El'. Итак, проекция любой точки МЕI принадлежит прямой ['.
При этом л ю б а я точка М' Е [' служит проекцией некоторой
точки М Е 1 (для отыскания этой точки М нужно провести через
М' прямую, перпендикулярную плоскости а, и взять точку, в ко-
77
торой проведенная прямая пересекает [, рис. 82). Таким образом,
проекция прямой l совпадает с 1'.
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 3. Если 111 (х, утверждение
теоремы очевидно.
Рассмотрим случай, коrда 1 сх., и обозначим через А точку пе-
ресечения прямой 1 с плоскостью сх.. Пусть М точка прямой 1,
отличная от А, и }1' ее ортоrональная проекция на плоскость сх.
(рис. 83). Через а обозначим базисный вектор прямой т. Тоrда
--+-
МА==ММ'+М'А. Умножая это равенство скалярно на а и за..
мечая, что ММ'.1.а (поскольку ММ' нормаль к плоско-
сти сх.), получаем МА. а === М' А · а. Из этоrо равенства видно, что
если МА. а == о (т. е. [.1. т), то М' А · а === о (т. е. 1'..L т). Обратно,
если М' А · а === о (т. е. 1'.1. т), то МА. а === о (т. е. 1.1. т).
3 а м е ч а н и е. На рисунке 83 имеются три перпендикуляра:
(MM') перпендикуляр к плоскости сх., а 1 и l' перпендикуляры
к прямой т. Поэтому доказанную теорему называют теоремой
о трех перnендuкулярах.
Контрольные вопросы
1) Пусть точка А не принадлежит плоскости сх.. Докажите, что
точка А' Е сх. в том и только в том случае является ортоrональной
проекцией точки А на плоскость сх., если АА'.......... нормаль к пло..
скости сх,.
2) Плоскости сх. и параллельны. Докажите, что любые две
точки А, В плоскости а. находятся на одинаковом расстоянии от
плоскости .
3) Докажите, что проекцией отрезка служит отрезок или
точка. Можно ли утверждать, что если проекцией фиrуры F явля-
ется отрезок, то F ----- отрезок? '
Задачи
.... --+ .....
353. Точки А, В, С, S удовлетворяют условиям АВ==р, AC==q,
AS===r, причем p2==q2==?==l, pq==pr==qr==..!... а) При каких
.... 2
k и l вектор , (kp + 1q) является нормалью к плоскости АВС?
б) Определите расстояние от точки S до плоскости АВС.
354. Известно, что IASI ==а, IBSI ===b , ICSI ===с, 'АВI ==р,
IACI == q, I ВСI == '. Определите расстояние от точки S до плоскос"
ти АВС.
355. Докажите, что если нормаль n к плоскости сх. парал..
лельна плоскости , то проекцией плоскости на плоскость сх.
является прямая сх. n (рис. 72).
356. Существуют ли такие плоскости сх., , У, что ортоrональ"
78
изя проекция любой из них на любую друrую из них представляет
собой прямую? ... ...
357. На рисунке 67 векторы еl, е2, ез образуют ортонормирован-
ный базис, АВ === аё l , ВС==АD==аё 2 , АА 1 ==8ВI == CC 1 === DDI ==аё з .
Определите расстояние от точки А до плоскости: а) (BB1C);
б) (BBID); в) (BAID). ...
358. Докажите, что если нормаль n к плоскости а не парал..
лельна плоскости , то проеI\ЦИЯ плоскости на плоскость
а совпадает с плоскостью а.
359. Докажите, что если прямые [ и т параллельны (и не
перпендикулярны а), то их проекции на плоскость а также
параллельны.
360. Докажите, что если [АВ] и [CD] параллельные отрезки
(не перпендикулярные а), а [AIBl] и [C 1 D 1 ] их проекции
\АВ\ IAtBI\
на плоскость а, то \ CD I ----- 1 CtDtl ·
361. Пусть l некоторая прямая и М произвольная точка.
Проведем через М плоскость (1" перпендикулярную прямой 1.
Точка М', в которой пересекаются прямая 1 и плоскость а,
называется ОрТО20nаАЬНОЙ nроекцuей точки М на прямую [.
Докажите, что если [MN] произвольный отрезок, а [М' N'] ........
ero проекция на прямую [, то IM'N'I IMNI. в каком случае
имеет место равенство?
362. Пусть l прямая, расположенная в плоскости . Обозна..
чим через МО ортоrональную проекцию точки М Е на плоскость р,
а через М' и Мб ортоrональные проекции точек М и Мо на
прямую [. Докажите, что точки м' и Мб совпадают.
363. Пусть М, N, Р проекции точки А на оси координат
прямоуrольной системы (O ё 1 , ё 2 , ё з ), а х, у, z такие числа, что
OM==Xel, ON==ye2, ОР==zез. Докажите, что х, у, z координаты
точки А в рассматриваемой системе.
364. М' ортоrональная проекция точки М (х; у; z) на
плоскость (о; ё l , ё 2 ). При м' =1= О найдите косинус и синус уrла:
а) между векторами а== ОМ' и ё 1 ; б) между векторами а и
ё 2 . Проверьте для вектора а справедливость формулы (3) п. 21.
365. Прямые [ и т симметричны относительно точки О. При
ортоrональном проектировании на плоскость а прямые 1, т и
точка О переходят соответственно в 1', т', О'. Докажи.те, что
[' и т' симметричны относительно О'.
26. уrол МЕЖДУ ПРЯМОй И ПЛОСКОСТЬЮ
о п р е Д е л е н и е. Пусть 11, [2 две прямые, al, а2 такие
базисные векторы этих прямых, что их скалярное произведе..
... ...
Иие ala2 неотрицательно, Т. е. уrол у между этими векторами
79
QlQ2
COS у == .. ( 1 )
IЙII \а2\
(здесь 00 y 900, поскольку ala2 0).
Пусть теперь а некоторая плос-
кость и 1 прямая, не перпендикуляр"
ная плоскости а. Уzлом м'ежду прямой [
u плоскостью а называется уrол между
прямой 1 и ее ортоrональной проекцией ['
на ПЛОСI<ОСТЬ а (рис. 86). Этот уrол может
быть вычислен по формуле (1), rде al, а2
базисные векторы прямых [ и [', выбран-
ные так, что их скалярное произведение
неотрицательно. Если прямая 1 перпенди"
кулярна плоскости а, уrол между прямой
и плоскостью а считается равным 900.
Контрольные вопросы
1) Докажите, ЧТО уrол между двумя
прям ыми может быть вычислен по формуле
cos '1== I al a I ' OO y 900,
IЙII\Й21
Рис. 86 rде al, а2 любые базисные векторы этих
прямых (не обязательно удовлетворяю-
щие условию ala2 О).
2) Докажите, что если 111[', т 11 т', то уrол между прямыми
1 и т равен уrлу между прямыми [' и т,..... ....
3) Уrол между ненулевыми векторами а и Ь равен t3. Дока-
жите, что если 900, то уrол между прямыми (А; а) и (В; Ь)
ра вен , а если t3 900, то уrол между этими прямыми равен
1800 .
4) Докажите, что если ii нормаль к плоскости (Х, а а
базисный вектор прямой 1 (рис. 86), то уrол у между прямой [
и плоскостью а может быть вычислен по формуле
Рис. 84
Рис. 85
...
п
(рис. 84) не превосходит 900 (если это
скалярное произведение отрицательно,
можно один из базисных векторов ai, а2
заменить противоположным, рис. 85). yz..
лом м'ежду прямымu I1 и 12 называется уrол
'у между векторами al и (12. Таким
образом,
sin '1== I a I . OO y 900.
lпl\al
5) Докажите, что если ii нормаль к плоскости а, а а
базисный вектор прямой 1, то уrол у между прямой l и
80
плоскостью а равен у == 1900 1, rде 8,
уrо Л между векторами ii и а (рис. 86).
Задачи
366. Найдите уrол между прямыми (А; а)
и (В; Ь), если уrол между векторами а и Ь D
равен: а) 00; б) 400; в) 900; r) 1300; д) 1800. Рис. 87
367. Найдите уrол между пе.ямыми (Р; а)
и (Q; Ь), если векторы а и ь единичные,
а их скалярное произведение равно: а) о; б) 1; в) 1; r) 0,3;
д) ...... 0,6.
368. Используя обозначения задачи 357 (рис. 67), найдите рас..
положение CJ1едующих прямых и уrол между ними: а) (АС) и (BD);
б) (АС) и (BIDI); в) (АС) и (AIBI); r) (АС) и (BDt); д) (AC 1 ) и (BD 1 ).
369. Используя обозначения задачи 357 (рис. 67), найдите
уrол между: а) (AC 1 ) и (BCD); б) (AC 1 ) и (BB)D); в) (BC 1 ) и
(ABtC); r) (АВ) и (ABIDI). ...
370. а) Найдите уrол между прямым и (А; а) и (8; Ь), если
векторы а и ь за]I.аны своими КQординатами в ОРТ.9нормирован"
ном базисе: а) а (1; -----3; 2), Ь (2; о; 1); б) а (-----3; 1; 2),
Ь (2; о; ----- 1); в) а ( ----- 3; 1; 2), Ь (о; 2; 1). б) Найдите уrол между
прямыми АВ и АС, если точки А, В, С заданы своими коорди"
натами: А (3; 2; ----- 1), В (1; ----- 2; 01 (--:: 1; о; 1).
371. На рисунке 87 векторы а, Ь, с попарно ортоrональны
и имеют следующие длины: 'аl ==3; Ibl ==4; lёl == 1. Найдите
уrол между: а) прямой АВ и плоскостью А tBD; б) прямой AC 1
И плоскостью ABIDI; в) прямой АС...и I!ЛО КОСТЬЮ AtBD.
372. На рисунке ...87 вект.9РЫ а,...Ь, с у...АРвлетвор....яю't... сле..
дующим условиям: lal==3, Ibl==5, Icl==6, аЬ==10, ас==Ьс==О.
Определите уrол между прямой и плоскостью: а) (ABI)
и (АВС); б) (BC t ) и (АВС); в) (АС) и (ABC 1 ); r) (АВ)) и (A1BC 1 ).
373. Найдите уrол между прямой 1 и плоскостью сх., если
базисный вектор прямой и нормаль к плоскост а заданы
своими координатами в ортонормированном базисе: а) а (3; ----- 1; о),
ii (2; 1; 3); б) а (3; 1; о), ii (1; 4; 5); в) (3; -----1; 1), п (1; 5; 2);
r) а (1; ----- 1; 3), ii ( ----- 2; 2; 6). '
27. ур АВНЕНИЕ плоскости
Как известно из курса алrебры, всякая прямая задается на
Плоскости уравнением первой степени относительно коорди"
Нат х, у. Следующие две теоремы содержат аналоrичный факт,
относящийся к rеометрии пространства.
т е о р е м а 1. В nРЯМОУ20ЛЬНОЙ системе координат всякая
плоскость задается уравнением первой степени
Ax+By+Cz+D==O, (1)
81
в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от
нуля.
т е о р е м а 2. Всякое уравнение (1), в котором хотя бы один из
коэффициентов А, В, С отличен от нуля, задает 8 прямоуzоль
ной системе координат некоторую плоскость; вектор п(А; В; С)
является нормалью к этой плоскости.
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 1. Пусть задана прямо
уrольная система координат (о; ё l , ё 2 , ё з ), и пусть (х некоторая
плоскость. Выберем нормаль п к плоскости (Х и обозначим через
А, В, С координаты вектора п. Так как п =1= О, то хотя бы
один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля. Далее выберем
произвольную точку МО (хо, Уо, zo) Е сх. и подберем такое число D,
чтобы координаты точки МО удовлетворяли уравнению (1), т. е.
положим:
D== Axo Byo CZ o . (2)
Покажем, что при таком выборе коэффициентов А, В, С, D ypaB
нение (1) задает рассматриваемую плоскость а. В самом
деле, для Toro чтобы точка М (х; у; z) принадлежала плоскости (Х,
необходи о и достаточно, чтобы вектор МоМ был ортоrонален
вектору п (рис. 73), т. е. чтобы выполнялось соотношение
....
п.МоМ==О. (3)
Так как рассматриваемые векторы имеют координаты ii (А; В; С),
М оМ (х ----- хо; у ----- уо; z ----- zo), то п. МоМ == А (х хо) + В (у ----- уо) +
+C(z-----zо)==Ах+Ву+Сz+D. Итак, для Toro чтобы точка
М (х; у; z) принадлежала плоскости а, необходимо и достаточно,
чтобы выполнилось соотношение (3), т. е. соотношение Ах+Ву+
+ Cz + D == о.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 2. Пусть задано ypaBHe
ние (1); обозначим через п вектор с координатами А, В, С.
Так как хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от
НУJlЯ, то п =1= о. Далее, обозначим через МО (хо; уо; zo) какую
либо точку, координаты которой удовлетворяют уравнению (1);
D
например, при А *0 можно взять хо== -----у' уо==О, zo==O. Так как
координаты точки МО удовлетворяют уравнению (1), то
D == Ахо ----- Вхо ----- Схо. Следовательно, уравнение (1) совпадает
с уравнением
А (х ----- хо) + в (у ----- уо) + с (z zo)== о. (4)
Для любой точки М (х; у; z) вектор МОМ имеет координаты
MoM(x-----хо; y yo; z zo), и потому левая часть уравнения (4)
...
равна п .МоМ. Таким образом, уравнение (4), а значит и ypaBHe
ние (1) совпадает с уравнением
...
п .МоМ ==0.
82
множество всех точек М (х; у; Z), удовлетворяющих этому уравне-
нию, ес.!ь плоскость, проходящая через точку Мо и имеющая
векТОР п (А; В; С) своей норм алью (рис. 73).
Контрольные вопросы
1) Является ли вектор а ( ----- 6; о; 12) нормалыо к плоско-
стИ x.......2z+7===0? ... ... ...
2) Какие из векторов а(5; 1; О), Ь(l; 2; 3), c( I; 1; 2),
а (16; 5; 3) параллельны плоскости x-----5у+3Z 7==0?
3) Повторяя доказательство теоремы 2, установите справедли-
вость следующеrо утвержд ния, относящеrося к плоскости: всякое
уравнение Ах + Ву + с ==0, в котором хотя бы один из коэффициен"
тов А, В отличен от нуля, задает в системе координат Х, у некото..
рую прямую; вектор т (А; В) ортоrонален этой прямой (рис. 88).
Этот вектор называется нормалью к рассматриваемой прямой.
Задачи
374. а) При каком k плоскость 5х ----- Зу + kz 7 == О имеет вектор
а ( 10; 6; 14) своей нормалью? б) Запишите уравнение плоскости,
проходя щей через точку А (3; 4; 6) и имеющей вектор
а (2; 1; .....:. 2) своей нормалью.
375. Плоскость (х проходит ч рез точки А (2; 1; о) и
В (----- 3; о; 2) и имеет вектор п ( 3; k. 1) свой нормалью.
Определите число k и напишите уравнение плоскости сх..
376. Даны точки А (о; ----- 3; 1), В (4; ----- 9; 3), С (3; 2; 5),
-....+
D ( ----- 3; 11; ----- 8). Ка кие из в е кто ро в А В, А С, А D, В С, В D, С D
являются нормалями к плос ости 2x 3y+z 8==0?
377. При каком k вектор а (2; ----- 3; 1) па раллелен плоскости
2х ----- ky + 5z ----- 7 == о?
378. Пусть плоскость сх. задана уравнением Ax+By+Cz+D==O;
М 1 (XI; YI; Zl) произвольная точка пространства, Мо (Хо, Уо, zo)
ее ортоrональная проекция на плоскость сх.. Вектор с координатами
... ... )
А, В, С обозначим через n. а) Докажите, что п. МоМ 1 ==АХl + ВУI +
... ) ...
+ CZ 1 + D. б) Докажите, что модуль числа п. МоМ I равен I п I d,
rде d расстояние от точки М I до плоско- У
сти сх.. в) Докажите, что
d== .IAxl+BY1+CZ1+D!.
1111
379. а) Используя результат задачи 378,
докажите, что точка М 1 (3; 1; ----- 2) равно-
удалена от плоскостей 2х + 2у + z ----- 12 == О
и 7 х ----- 4у + 4z ----- 27 == о. б) Какая из то..
83
о
х
Рис. 88
чек: А ( 3; о; 2) или В (3; 3; 7) ближе расположена к плоскости
х ---- 3у + 5z + 30 == О?
380. Определите расстояния от точек А (о; ---- 1; 1), В (2; 1; 3),
С ( ....... 1; 1; 2) и D (О; о; 7) ДО плоскости 5х ----- 3у + z ---- 7 == о.
381. Докажите, что плоскости 5x y+7z----3==0 и -----10х+
+ 2у ---- 14z + 23 === Опараллельны.
382. Найдите уrол между плоскостью 2х ---- 3у + 5z ---- 7 === О и
прямой 1, если базисный вектор а этой прямой имеет вид:
а) a(l; 3; 2); б) a(l; 3; 1); в) a( 4;. 6; -----10); r) а(2; 3; 1).
383. Определите k и 1, зная, что плоскость 5x----ky+lz----7==O
проходит через точку А ( 1; ----- 1; ---- 1) и находится на одинако-
вом расстоянии от !очек Р (о;' 1; 3) и Q (2; 2; 4).
384. Докаж ите, что любые две точки плоскости 5х ----- у + 3z ......
........ 7 == О находятся на одинаковом расстоянии от плоскости
5х ---- у + 3z == о.
385. Докажите, что точка (о; о; О) равноудалена от плоскостей
5x 12z+26==0, 4x-----7y 4z----18==0, ----x 2y+2z+6===0.
386. Определите расстояние от точек А ( ----- 1 ; 9; 3), В (3; о; ---- 2),
С (2; ----- 24; ---- 5) ДО плоскости 3х ----- у + 7z ----- 2 == о. Как расположеНbI
прямые АВ, АС, Ве относительно этой П ОСК9стиl
387. в прямоуrольной системе (о; el, е2, ез) дана точка
М (3; 1; 2); вектор п, параллельный плоскости (М; ё., ё 2 ),
составляет с el уrол (Х, причем скалярное произведение пе2
отрицательно. Напишите ура нение плоскости, проходящей через
точку М и имеющей вектор п своей нормалью.
rпaBaV
ВЫПУКЛЫЕ MHOrOrp АННИКИ
28. ПОЛУПЛОСКОСТЬ
Пусть (х некоторая плоскость и l содержащаяся в ней
прямая. Выберем в плоскости сх. такой ОРТQнормированный
базис ё 1 , ё 2 , что ё 1 базисный вектор прямой 1 (рис. 89), и пусть
О .......... некоторая точка прямой [. Для любой точки М плоскости
а мы имеем:
ОМ==хё l +уё 2 .
Множество Р всех точек М, дЛЯ которых у О, называется
'10луплоскостью, имеющей l своей rраничной прямой. Вектор
е2 называется внешней нормалью к прямой 1 относительно этой
....
полуплоскости; он обладает тем свойством, что е2. ОМ О для
любой точки М, принадлежащей полуплоскости Е;. Любой вектор
т kё 2 при k> О обладает тем же свойством: т. OM О при М ЕР;
такие векторы также считаются внешними нормалями прямой 1
относительно полуплоскости Р.
Множество Q всех точек М, дЛЯ которых у О, также является
полуплоскостью (рис. 90) с rраничной прямой 1; внешней нормалью
к прямой l относительно этой полуплоскости служит ё 2 (или
любой вектор т' kё 2 , rде k < О).
Т е о р е м а. Пусть сх......... некоrорая плоскость и Р, Q две
ее полуплоскости с zраничной прямой [. Если две точки А, В
плоскости (х, не принадлежащие прямой 1, расположены в одной
полуплоскости (Р или Q), то отрезок АВ не пересекает прямую [,
Рис. 89
Рис. 90
85
Рис. 91
а если в разных, то [АВ]
имеет с l одну общую TOtlKy.
Док азател ьство. Пусть,
например, обе точки А, В при..
надлежат полуплоскости Q, Т. е.
ОА==хё ) + уё 2 , ОВ==х'ё l + у'ё 2 ,
(1)
rде у> О, у' > О (здесь у и у'
отличны от нуля, так как точки
А, В не принадлежат прямой 1).
Если М произвольная точка
отрезка АВ, то ОМ == k ОА +
+(l k)OB, rде O k l. Следовательно,
ОМ k (хё l + уё 2 ) + (1 ...... k) (х'ё l + у'ё 2 ) === (kx + (1 ...... k)x') ё l +
+ (ky + (1 ...... k) у') ё 2 . (2)
Так как оба числа у, у' положительны, то и число ky+(1 k) у'
п о л о ж и т е л ь н О, т. е. точка М лежит в полуплоскости Q,
но не принадлежит прямой 1. Таким образом, отрезок АВ не
имеет общих точек с прямой 1 (рис. 90).
Пусть теперь А и В расположены в раз н ы х полуплос-
костях; скажем, АЕР, BEQ, т. е. выполнены равенства (1), rде
у < О, у' > о. Докажем, что на отрезке АВ имеется точка М,
принадлежащая прямой l (рис. 91). Искомая точка М удовлетво-
ряет соотношению (2), и надо подобрать k таким образом, чтобы
gыло ky + (1 k) у' o (т. е. чтобы вектор ОМ был пропорционален
el). Из этоrо равенства находим:
,
k == у
у' ---- у
Так как у' > О, У < О, то это число k положительно и меньше
единицы: 0< k < 1. Это k и дает единственную точку отрезка
АВ, принадлежащую прямой 1.
3 а м е ч а н и е. При определении полуплоскостей Р и Q мы
не только взяли плоскость сх. и прямую 1 в ней, но и выбрали
точку О Е [. Однако в действительности полуплоскости Р и Q
не зависят от выбора точки о. в самом деле, пусть О' друrая
точка прямой 1. Тоrда 0'0== рё 1 , поэтому
.... .... .... ....
О' М== 0'0 + О М== ре) + (xel + уе2) ==(р + х) el + у е 2.
Таким образом, коэффициент у при векторе ё 2 не зависит от
выбора точки О Е 1. Точки, для которых y О, составляют
полуплоскость Р, а точки, для которых у О, составляют полу-
плоскость Q.
86
Контрольные вопросы
1) Что предстаВЛflет собой пересечение
лолуллоскостей Р и Q? объединение этих
полуплоскостей?
2) В плоскости сх. заданы прямая 1 и
трИ точки А, В, С, не лежащие на этой
прямой. Докажите, что число отрезков
АВ, ВС, СА, пересекающихся с прямой
1, ч е т н о. Сформулируйте и докажите об-
обшение на любое число точек (рис. 92).
3) Докажите, что если две точки А, В принадлежат полу-
плоскости Р, то и весь отрезок АВ принадлежит ей.
4) Прямые 11 и 12, лежащие в плоскости сх, пересекаются в
единственной точке о. Прямая I1 определяет полуплоскости P 1 и Q.,
прямая' 12 определяет полуплоскости Р2 и Q2. Пересечение
Р 1 ПР2 представляет собой уzол (меньший развернутоrо). Докажи-
те, что если две точки А, В принадлежат уrлу Р. n Р 2 , то и
весь отрезок АВ принадлежит этому уrлу.
Задачи
А '1.
Рис. 92
388. Прямая 1 определяет в плоскости сх. две полуплоскости
р и Q. Прямая т, также лежащая в плоскости сх., пересекается
с 1 в единственной точке о. Докажите, что каждое из пересечений
т ПР, т n Q преJI.ставляет собой луч с началом о.
389. Пусть т внешняя нормаль к прямой 1 относительно
полуплоскости Р (рис. 89). а) Докажите, что для любых точек
..
о Е [, М Е р скалярное произведение т · ом неположительно.
б) Докажите, что если О Е 1, то Р есть множество всех точек М
....
плоскости сх., для которых т. ом о. .... ....
390. Прямая l задана в системе координат (О; el, е2) на
плоскости сх. (рис. 88) уравнением Ах+Ву+С==О. Через т обозна-
чен вектор т (А; В); кроме Toro, выбрана точка Мо (хо; уо),
принадлежащая прямой 1. Докажите, что для любой точки
....
М. (XI; у.) плоскости сх. справедливо равенство т.MoM1==AXI+
+BYI+C. .... ....
391. Прямая l задана в системе координат (о; е., е2)
На плоскости сх. уравнением Ах+Ву+С==О. Докажите, что мно-
жество р всех точек М (х; у) плоскости сх., удовлетворяющих
неравенству Ах + Ву + с О, представляет собой полуплоскость
с rраничной прямой l и вектором внешней нормали т (А; В).
Множество Q всех точек плоскости а, удовлетворяющих не-
равенству Ax+By+C O, также представляет собой полу-
Плоскость.
392. Начертите на плоскости систему координат и укажите
87
(штриховкой) следующую полуплоскость: а) 4х......зу+ 12 O;'
'б) 2х+у......б 0; в) x+3y+9 O. На отдельном чертеже ука.
жите (штриховкой) пересечение этих трех полуплоскостей.
393. Взята точка Мо (Ха; уо), принадлежащая прямой
Ах+Ву+С==О; точка М 1 (XI; у,) получена в результате отклады-
вания вектора т (А; В) от точки Мо. В какой из полуплоскостей
Ах+ Ву + С о, Ах+ Ву + С О расположена точка М I? Отно-
)
сительно какой из этих полуплоскостей вектор МоМ I является
внешней нормалью к прямой Ах + Ву + с == О?
В задачах 394 398 в плоскости сх. задана полуплоскость
Р с rраничной прямой 1 и выбрана такая система координат
(о; ё l , ё 2 ), что OEl, базис ё l , ё 2 ортонормированный и ё 2 внешняя
нормаль к прямой 1 относительно полуплоскости Р.
394. Какие из точек А (3; 1), 8 ( 1; 3), С (2; 2), D ( 3; 4),
Е ( 4; ........ 3) принадлежат полуплоскости Р? Какая из точек ближе
Bcero расположена к прямой [?
395. Докажите, что если М отличная от О точка полу-
....
плоскости Р и сх. уrол между векторами еl и ом, то точка М
имеет координаты (1 ОМ I cos а; ........1 ом 1 sin а).
396. Точка Ао (хо; Уо), лежащая в полуплоскости Р, ближе
расположена к [, eM точка А I Е Р; через сх. обозначен уrол
....
между векторами еl и AoAI. Найдите координаты точки AI.
Как изменится результат, если точка А. ближе к 1, чем Ао?
....
397. Найдите уrол между векторами ОМ и е2, зная, что
10MI == 1 и точка М (х; у) имеет координату х == 0,5.
398. а) В полуплоскости Р взяты такие точки А (х" У')'
В (Х2, У2), что I ОА I == 108 I == 3, хl == 2, Х2 == ....... 1. Найдите IAB 1.
б) Как изменится результат, если известно, что одна из точек
А, В принадлежит полуплоскости Р, а друrая ей не принадле-
жит?
29. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
о п р е Д е л е н и е. Множество Q называется выпуклым,
если вместе с каждыми двумя точками А, В оно содержит весь отре-
зо к А В.
Точка нульмерное выпуклu множество. Прямая, луч, отре-
зок одномерные выпуклые множества. Если выпуклое множе-
ство расположено в некоторой плоскости, но не содержится
ни в какой прямой, то оно называется двумерным. Пример дву-
MepHoro выпуклоrо множества полуплоскость. Выпуклое мно-
жество, не содержащееся ни в какой плоскоcrи, называется трехмерны,м.
О п р е Д е л е н и е. Шаром с центром О и радиусом r назы-
вается множество всех точек пространства, находящихся от О
на расстоянии, не превосходящем '.
88
Докажем, что шар явля'ется в ы п у к л ы м множеством. В
СаМОМ деле, пусть А и В две точки, принадлеЖ8щие этому
шару, т. е. I ОА I ', I ОВ I ,. Возьмем произвольную точку М
отрезка АВ. Тоrда ОМ ==k ОА+(1 k) ОВ, rде O k 1, и потому
IOMI 2 ==OM==k 2 0A 2 +2k (1 k)OA.OB+(1 k)20B2.
ТаК как OA2 ,2, OB2 ,2, OA.OB ,2, то
IOMI2 k2r2+2k (1 k),2+(1 k)2,2==r2.
Отсюда следует, что 10М I " т. е. точка М также принадлежит
рассматриваемому [иару. Итак, любая точка отрезка АВ принад-
лежит шару, т. е. этот шар является выпуклым множеством.
Шар пример т р е х м е р н о r о выпуклоrо множества.
Т е о р е м а. Пусть QI, Q2,.. .,Qtn выпуклые множества.
Tozaa их пересеченuе Q == Q I n Q2 П. . . n Qtn также является ВЫПУК-
лым множеством.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А Е Q, в Е Q. Тоrда точки А и
В принадлежат к а ж Д о м у из множеств QI, Q2,... ,Qm. Так
как AEQI, BEQ" то в силу выпуклости множества Q. отрезок
АВ содержится в QI. Точно так же [АВ]с Q2,. . . , [АВ]с Qrn.
Таким образом, весь отрезок АВ содержится в каждом из
множеств Q" Q2,...,Qtn, и потому [АВ]с Q. МЫ видим, что вместе
с каждыми двумя точками А, В множество Q содержит весь
отрезок АВ, т. е. Q выпуклое множество.
Контрольные вопросы
1) Может ли выпуклое множество состоять из конечноrо числа
точек?
2) Докажите, что Kpyr выпуклое множество.
3) Является ли выпуклым множеством уrол, больший развер-
HYToro?
Задачи
399. Докажите, что если Q выпуклое множество, то ero
проекция на плоскость а также является выпуклым множеством.
400. Плоскость а проходит через ТОЧКХ о; прямая 1 также
проходит через точку о; через U обозначен шар с центром
О и радиусом (. Что представляют собой следующие множества:
а) аП и; б) [П и?
401. Докажите, что ша р радиуса , с центром О (хо; уо; Zo)
определяется в прямоуrольной системе координат неравенством
(x xo)2 +(у уо)2 +(Z Zo)2 ,2.
402. Докажите, что множество всех точек, координаты кото-
рых удовлетворяют неравенству
89
х 2 + у2 + z2...... 2х + 6у...... 1 Oz + 26 О,
является шаром; найдите центр и радиус этоrо шара.
30. мноrоуrольники
Пусть а неКQторая плоскость и А, В, С три точки этой
плоскости, не лежащие на одной прямой. Обозначим через P 1 полу..
плоскость С rраничной прямой АВ, содержащую точку С; через
Р 2 полуплоскость с rраничной прямой АС, содержащую точку
В; через Р з полуплоскость С rраничной прямой ВС, содер"
жащую точку А (рис. 93). Пересечение Р 1 n Р2 n Р З представляет
собой треУ20льник АВС. Отрезки АВ, АС, ВС стороны этоrо
треуrольника, точки А, В, С ero вершины. Так как каждая
полуплоскость является выпуклым множеством, то и их пере..
сечение P 1 n Р 2 n Р з (т. е. треуrольник АВС) является выпуклым
множеством.
О п р е Д е л е н и е. Множество называется 02раниченным,
если оно содержится в некотором шаре.
Отрезок, Kpyr, треуrольник примеры оrраниченных выпук"
лых множеств; прямая, луч, полуплоскость примеры неоrрани"
ченных выпуклых множеств.
О п р е Д е л е н и е. Оrраниченное выпуклое двумерное мно"
жество, являющееся пересечением конечноrо числа полуплоско..
стей, называется выпуклым МНО20У20льникоМ, (рис. 94).
Пусть [АВ] сторона мноrоуrольника М, 1 прямая) на кото"
рой расположена эта сторона, Р полуплоскость С rраничной
прямой 1, содержащая М. Тоrда внешняя нормаль к прямой
1 относительно полуплоскости Р называется внешней нормалью
к стороне [АВ] мноrоуrольника М (рис. 94).
Теперь в каждой плоскости определены отрезки, окружности,
треуrольники, четырехуrольники (в частности, трапеции, парал..
лелоrраммы, ромбы), мноrоуrольники. При этом в каждой плоскос"
ти справедливы все теоремы (и aKCUOMbt)1 изучавшиеся в плани..
метрии. Выше мы это видели на отдельных примерах: аксиома
параллельности (с. 45), теорема о единственности перпендикуля"
с
о
Рис. 93
Рис. 94
90
Задачи
403. Используя вопрос 1) на с. 57, дo
кажите, что диаrонали ромба перпендику
лярны.
404. Каждые две противоположные стороны шестиуrольника
параллельны и имеют одинаковые длины. Докажите, что этот
шестиуrольник имеет центр симметрии.
405. Докажите, что если отрезки АВ и CD симметричны
относительно точки О, то AB 1== I CD 1.
406. Параллелоrрамм ABCD расположен в плоскости (х,
Точка S не лежит в плоскости сх,. Докажите, что плоскость,
содержащая прямую АС и параллельная прямой BS, делит отрезок
DS пополам.
407. В плоскости cl расположен четырехуrольник ABCD,
ТоЧка S не лежит в плоскости а. Докажите, что если
(AB)II(CDS), то ABCD трапеция. Верно ли обратное?
408. Точки А, В, С, S не лежат в одной плоскости. Докажите,
91
ра проведенноrо в плоскости через точку А
к рямой а (с. 74), и др.
В качестве еще одноrо примера дока-
жем т е о р е м у к о с и н у с о в. Пусть В
треуrольнике АВС заданы длины сторон:
IBCI==a, IACI==b, IABI==c. Введем
для удобства векторы а==ВС, Ь==АС,
---+
с===АВ (рис. 95). Уrол между векторами
Ь и ё обозначим через (Х. Теперь имеем
а == Б ё, откуда
а 2 == а2 ==(Ь 2 Ь 2 + ё 2 2ьё ==
==b2+c" 2 Ьс cos а,
что и доказывает теорему косинусов.
КОНТРОАьные вопросы
1) Может ли мноrоуrольник, изобра
женный на рисунке 96, быть получен как
пересечение нескольких полуплоскостей?
2) Полоса (неоrраниченная фиrура,
изображенная на рис. 97) может быть по
лучена пересечением двух полуплоско
стей. Что представляет собой пересече
нне двух полос с непараллельными края
ми?
3) Докажите, что диаrонали прямо
уrольника имеют одинаковую длину (рис.
98).
в
А
с
Рис. 95
Ри с. 96
Рис. 97
...
а
jj
Р ие. 98
что плоскость, проходящая через середину отрезка BS 11
параллельная обеим прямым АВ и es, делит пополам каж-
дый из отрезков ЕС, АС, AS. Определите вид четырехуrоль...
ника, вершинами KOToporo служат точки пересечения рассматри-
ваемой плоскости c отрезками АС, AS, ве, BS.
409. Для полуплоскости р с rраничной прямой 1 выбрана
система координат, указанная на с. 88 (см. текст перед задачей
394). В ПО..'Iуплоскости Р расположен квадрат ABCD со стороной а,
причем А (хо; уо) ближайшая к l вершина этоrо квадрата, а
..
вектор АВ составляет с еl уrол а. Найдите координаты вершин
В, С, D.
410. Решите задачу 409, если вместо квадрата ABCD'
рассматривается равносторонний треуrольник АВС.
411. В прямоуrольной системе координат на плоскости задан
выпуклый четырехуrольник, вершинами KOToporo являются
точки А (2; l), М( З; З), Q(4; 2), к(о; 5). Найдите
векторы внешних нормалей к сторонам четырехуrольника.
412. На плоскости введена прямоуrольная система коорди-
нат (о; ё 1 , ё 2 ). Докажите, что каждый выпуклый MHoro-
уrольник может быть зада}J как множество всех точек М (х; у),
координаты которых удовлетворяют системе неравенств первой
степени:
А,х+В 1 у+ С 1 O,
A2x+B2Y+C2 O,
. . . .
Al1x+BпY+Cп O.
413. Пусть А внутренняя точка выпуклоrо мноrоуrольника
Q (т. е. точка этоrо мноrоуrольника, не принадлежащая ни
одной из ero сторон), а В точка, не принадлежащая MHoro-
уrольнику Q. Докажите, что любая ломаная, соединяющая
точки А и В, пересекает хотя бы одну из сторон мноrоуrоль-
ника Q.
31. ПОЛУПРОСТРАНСТВО
Пусть а некоторая плоскость. Выберем в этой плоскости
прямоуrольную систему координат (о; ё 1 , ё 2 ) и обозначим
через ез вектор, дополняющий el, е2 до ортонормированноrо
базиса. Для любой точки М пространства мы имеем:
....
ом == хеl + уе2 + zез.
Множество V всех точек М, дЛЯ которых z О, называется
nOAyпpo TpaHCTBOAf" имеющим а своей rраничной плоскостью.
Вектор ез называется внешней нормалью к плоскости а относи.
тельно этоrо полупространства (рис. 99); он обладает тем свойст-
92
вом, что ё з . ом == z О для любой точки М,
принадлежащей рассматриваемому... полу"
пространству v. Любой вектор n == kез
прИ k> О обладает тем же свойством:
п. ом о при М Е V; такие векторы также
считаются внешними нормалями к плоско..
ст» а относительно полупространства V.
Множество W всех точек М, для которых
z O, также является полупространством
с rраничной плоскостью а; вектором внеш...
ней нормали к пло кости сх относительно
этоrо полупространства служит любой век..
тор п'==kё. з , rде k<O.
т е о р е м а. Пусть V и W два полу..
пространства с 2раничной плоскостью а.
Если две точки А, В пространства, н,е принадлежащие плоско..
СТи а, расположены 8 одном nолуnространстве (V или W), то
отрезок АВ не пересекает плоскость а, а если в разных, то АВ
имеет с а одну общую точку.
Доказательство этой теоремы аналоrично доказательству
теоремы п. 28.
3 а м е ч а н и е. При определении полупространств V и W
мы I-!.e т лько взяли плоскость а, но и выбрали систему координат
(о; el, е2) в этой плоскости. Однако в действительности полу..
пространства V и W не зависят от выбора этой системы координат
(так как координата z вектора ОМ не меняется при замене этой
системы).
Ри с. 99
Контрольные вопросы
1) Что представляет собой пересечение полупространств V
и W? объединение этих полупространств?
2) В пространстве заданы три точки А, В, С, не лежащие
в плоскости а. Докажите, что число отрезков АВ, ве, СА, пере..
секающихся с плоскостью а, четно. Сформулируйте и докажите
обобщение на ЛIобое число точек.
3) Докажите, что полупространство является выпуклым мно"
жеством.
Задачи
414. Плоскость а опред.еляет два полупространства V, W;
плоскость t3 пересекается с а по прямой [. Докажите, что каждое
из пересечений n v, n w представляет собой полуплоскость
с rраничной прямой l.
415. Задано полупространс!во V с rраничной плоскостью а
и вектором внешней нормали n. Докажите, что если О Е сх, то V
....
есть множество всех точек М, дЛЯ которых n. ОМ o.
93
416. Плоскость (Х задана в системе координат (о; ё l , ё 2 , ё з )
уравнением Ах + Ву + Cz + D == о. Через п обозначен вектор
п (А; В; С); кроме Toro, выбрана точка Мо (хо; уо; Zo), принадле-
жащая плоскости сх.. Докажите, что для любой точки М I (XI; YI; Zl)
.
справедливо равенство п.MoM1==Axl+BYI+Cz1+D. .... ....
417. Плоскость сх. задана в системе координат (о; el, е2, ез)
уравнением Ax+By+Cz+D==O. Докажите, что множество V
всех точек М (х; у; z), удовлетворяющих неравенству Ах + Ву +
+ Cz + D О, представляет собой полупрост анство с rраничной
плоскостью сх и вектором внешней нормали п (А; В; С):. .... ....
418. Плоскость сх. задана в системе координат (о; el; е2, ез)
уравнением Ax+By+Cz+D===O. Точки М 1 (XI; YI; Zl) и
М 2 (Х2: У2: Z2) не принадлежат плоскости сх.. Докажите, что отрезок
М 1М2 В том И только в том случае пересекается с плоскостью сх.,
если числа kl===Axl+BYI+Cz1+D и Il2==Ax2+BY2+Cz2+D
имеют разные знаки.
419. Плоскоsть сх. проходит через точку А ( 1; 2; 3) и
имеет вектор а ( 1; 2; 5) своей нормалью. Запишите нера-
венства, которые задают полупространства, определяемые
плоскостью сх.
420. Укажите, в каких случаях точки А и В лежат по одну
сторону плоскости х 2у z === о: а) А (1; 2; 3), В (3; 2; 1 );
б) А (2; 1; 1), В (о; з; 5); в) А (2; 5; 3), В (4; 3; 1).
421. Запишите неравенство, задающее полупространство, со-
держащее точку А (2; 1; 5) и определяемое: а) плоскостью
2x+y 5z-----4==O; б) плоскостью 3x+y+2z 5===O; в) пло-
скостью 4х ----- 2у + z + 3 === о. Для каждой из этих плоскостей ука-
жите вектор внешней нормали. ... ...
422. В ПЛОСI<ОСТИ сх. задан ортонормированный базис el, е2.
Через V обозначено ОДН9 из двух полупространств, определяемых
плоскостью сх., а через ез единичный вектор внешней нормали
к плоскости сх. относительно полупространства у. ,Цок жите, что
если О Е rx и точка М Е V имеет в системе (о; el, е2, ез) коорди-
наты (х; у; z), то расстояние от точки М ДО плоскости сх. равно .........z.
423. Для полупространства V с rраничной плоскостью (Х
выбрана система координат, указанная в задаче 422. Точка М Е V
находится на расстоянии d от плоскости сх., а ...ее .9ртоrональная
проекция на плоскость сх. имеет в системе (о: el, е2) координаты
(Хо; уо). 9пр дезите уrлы между вектором ом и базисными век-
торами el, е2, ез.
424. Заданы полупространство V с rраничной плоскостью
а и полуплоско ть... Р s= rx с rраничной п.Уямой 1. Ортонорми-
рованный базис el, е2, ез выбран так, что f!..2 внешняя нормаль
прямой 1 относительно полуплоскости Р, а ез внешняя нормаль
плоскости сх. относительно полупространства v. Точки .0 Е 1,
М (х 1: у 1 ; Z I ) ЕР, N (х 2; У 2; z 2) Е v вы б Р а н ы т а к, что I о м I === I о N I === 1 ;
Хl ===0,5; Х2 ===У2 ===0,4. Определите IMNI.
94
425. 'Какие из следующих
точек принадлежат полупро-
странству, которое определяет-
ся плоскостью 3х + 4у 5z +
+6==0 и содержит точку
р (2; о; ....... 1), А (1; 1 ; 1 ),
В (о; 1; 3), С ( 2; 3; 4),
D (1 ; ....... 1 ; 1 ), Е (2; о; ....... 2),
F ( 3; 3; 3)?
426. Укажите векторы внешних нормалей для следующих
полупространств: а) 3х 5у + z 7 о; б) ....... х у ----- 2z 6 о;
в) x+y 3z 0; r) z 11 o; д) 3x+y 2 O; е) 2x.......y 5z+
+IOO O.
427. Плоскость а описывается уравнением 3x 2y+z+3==0.
Пересекается ли с этой плоскостью отрезок PQ, если точки Р, Q
имеют следующие координаты: а) Р(I; 1; 1), Q(2; 3; О);
б) P( I; 2; 1), Q(I; 3; 2); в) Р(2; 1; 1), Q( З; .......2; 1)?
428. Докажите, что если полупространства V. и V 2 (опре-
деляемые двумя различными плоскостями) не пересекаются, то их
внешние нормали;11 и n2 связаны соотношением nl ==kn2, rде k<O
(рис. 1 00). ..
429. Докажите, что если внешние нормали nl, n2 двух
полупространств связаны соотношением nl == kii 2 , rде k > О, то
одно из этих полупространств содержится в друrом.
Рис. 100
32. двуrр АННЫй уrол
Двуrранный уrол можно наrлядно представить как часть
пространства, оrраниченную двумя полуплоскостями P 1 , Р 2 ,
имеющими общую rраничную прямую 1 (рис. 101). Прямая 1 назы-
вается ребром двуrранноrо уrла, а полуплоскости P J , Р 2 2ра-
нями этоrо двуrранноrо уrла. На рисунке 1 О 1 изображены лучи
МА 1, МА2, расположенные в rранях P I , Р 2 И перпендикулярные
ребру l. Уrол между этими лучами называется линейным У2АОм,
двуrранноrо уrла.
В дальнейшем мы будем рассматривать только в ы п у к л ы е
двуrранные уrлы, т. е. такие двуrранные уrлы, линейный уrол
которых меньше развернутоrо. Более аккуратно определение
выпуклоrо двуrранноrо уrла мож-
но изложить следующим обра-
зом. Пусть V 1 одно из полу-
пространств, оrраниченных пло-
скостью а 1, 'а V 2 одно из полу-
пространств, оrраниченных пло-
скостью а2 (рис. 102). Пересече-
ние Z == V 1 n V 2 является Heorpa-
ниченным выпуклым множеством,
которое называется выпуклым
95
А 2
..........,' ,........
. . . . . . . . .
.-:...:.:z..... :. '.'
. . . . . . . .'
. ... .. . .
. .. . . .
. ...... .
. .'
Рис. 101
двУ2ранн,ыМ, УZЛОМ (рис. 1 01). Пересечения Р 1 == а, n v 2. Р2 === а2 n V I
представляют собой две полуплоскости, называющиеся zранямu
двуrранноrо уrла z. Общая rраничная прямая 1 полуплоскостей ..
P 1 И Р 2 называется ребром двуrранноrо уrла z. Проведем через
точку М Е 1 плоскость . перпендикулярную прямой 1 (рис. 103).
Эта плоскость пересекает полуплоскости Р! И Р 2 по лучам MA 1 ,
МА 2 , которые перпендикулярны прямой 1. Пересечение rз-п z
представляет собой расположенный в плоскости 13 уrол с вер-
шиной М и сторонами [MA 1 ), [МА 2 ). Он называется линейным уzлоМ,
AByrpaHHoro уrла z; величина линейноrо уrла принимается за
величину caMoro двуrранноrо уrла. Наконец, внешние нормали к
плоскостям al, а2 относительно полупространств V 1 , V 2 назы..
ваются внешними нормалями к rраням двуrранноrо уrла z.
т е о р е м а. Величина выпУКЛО20 aByzpaHHo20 У2 ла] равна
1800 ----- у, zae 'v У20Л между внешними нормалями п 1, п2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Сохраним обозначения рисунка 103.
....
Векторы п, ==AIKt и п2==А 2 К2 параллельны плоскости (так как
11.. 13, а векторы п 1 и п2 перпендикулярны 1). Следовательно,
ТОЧки К" К2 принадлежат плоскости (рис. 103). Продолжив
отрезки AIK, и А 2 К 2 за точки At, А 2 , мы получим В плоскости
четырехуrольник MA 1 NA 2 , у KOToporo уrол A 1 NA 2 равен 'У, а
уrлы при вершинах А 1 И А 2 прямые. Следовательно, L А lМА 2 ==
== 3600 ----- (900 + 900 + 'У) == 1800 ----- у.
Из доказанной теоремы вытекает, в частности, что линейный
уrол двуrранноrо уrла Z имеет одну и ту
же величину (равную 1800 ----- 'У) независи"
мо от выбора точки М Е 1.
При пересечении двух плоскостей (1, f3
образуются четыре выпуклых двуrран"
ных уrла (рис. 104). Если один из них
имеет величину 900, то и каждый из
остальных двуrранных уrлов имеет вели..
чину 900. В этом случае плоскости на..
зываются перпендиКУЛЯРНbtмu (рис. 72).
Рис. 102
...,
. \::'-
..:.' ..1 '.,\.
''\... . '. .... . '1. . \
..' ......:.=*.: . .' .
..... '\-:...... J........ .
. ....; .
Рис. 104
.... .
к f3
z
. .'
Z.
Рис. 103
96
.
ИЗ доказаннои теоремы непосредственно
следует, что две плоскости перпендикуляр-
иЫ в том и только в том случае, если их
нормали ортоrональны.
3 а м е ч а н и е. Пусть P 1 , Р 2 rрани
выпуклоrо двуrранноrо уrла Z, а l ero
ребро. Обозначим через ё ед...иничный базис
ный вектор прямой 1, через тl единичную
внешнЮЮ нормаль прямой 1 относительно
полуплоскости P 1 , а через пl единичную
внешнюю нормаль к rрани P 1 двуrранноrо уrла Z. Векторы ё, ml, пl
образуют ортонормированный базис пространства. Далее, пусть
т2 .......... единичная внешняя нормаль прямой 1 относительно полу
плоскости Р 2 , а n2 единичная внешняя нормаль к rрани Р 2
двуrранноrо уrла z. Векторы т2, n2 ортоrональны ё, т. е.
выражаются через ;"1, пl. Эти разложения имеют вид:
т2==(COS q» тl +(sin q» пl, п2== (cos q» nl +(sin q» ml, '(1)
rде q> величина ДВуrранноrо уrла Z. В самом деле, уrол между
векторами т. и т2 равен q> (см. рис. 105, на котором изображено
сечение двуrранноrо уrла Z плоскостью , перпендикулярной
ребру 1), и поэтому соrласно теореме п. 21 справедливо первое
из разложений (1) (знак «плюс» перед синусом взят потому, что
m2пl > О). Аналоrично (с помощью доказанной в этом пункте
теоремы) получается и второе разложение (1). Построенный
базис ё, тl, nl и формулы (1) удобны при решении мноrих задач,
связанных с двуrранными уrлами.
Контрольные вопросы
1) При пересечении двух плоскостей образовались четыре
выпуклых двуrранных уrла (рис. 104). Величина одноrо из них
равна 47°. Каковы величины остальных двуrранных уrлов?
2) Докажите, что если плоскость (Х проходит через прямую,
перпендикулярную плоскости , то плоскости (Х и р перпендику-
лярны.
3) Докажите, что если плоскости (Х и
перпендикулярны, то в плоскости (Х име
ется прямая, перпендикулярная плоско
сти 13.
4) Три плоскости а 1, а2, аз па рал-
лельны одной и той же прямой 1 (рис. 106).
Докажите, что величины трех JiByrpaH
ных уrлов Z 1. Z2, Zз, показанных на
рисунке, составляют в сумме 180°.
4 Заказ 924 97
z
....
т l
...
П ,
...
т 2
Рис. 105
I
'" I 1
, I '"
, '"
".*'
,/ ,
". "
'" "
,/ "
Рис. 106
,, А'
/,..
/
/
I
I
А ........
,
\ 11 f
\
,
\
,
С
/v1
Рис. 107
в
Задачи
430. Докажите, что координаТНые
u
плоскости прямоуrольнои системы КООР"
динат попарно перпендикулярны.
431. Плоскости сх.. и (Х2, В которых
расположены rрани выпуклоrо двуrраи
Horo уrла Z, заданы уравнениями
2z + 1 == О и Зх 4у....... 1 == о. Чему равна
величина этоrо двуrранноrо уrла?
432. Какие из следующих плоскостей
перпендикулярны друr друrу: Зх....... 2у +
+z 5==0, 2x+5y+4z+7==O, х......2у+
+2z З==О?
величины выпуклых двуrранных уrлов,
пересечении плоскостей: 2х Зу z + 1 == О
433. Определите
образовавшихея при
и Зх 2.... У + 6z ....... 7 == о.
434. Равносторонний треуrольник АВ С переrнули по ВЫСОТе
[СМ] так, что образовался прямой двуrранный уrол (рис. 107).
Найдите величины уrлов А'МВ и А'СВ. Какой из них является
линейным уrлом двуrранноrо уrла?
435. На ребре выпуклоrо двуrранноrо уrла взяты точки А
и В, а в ero rранях точки М и N. Известно, что IAMI == IANI ==
== I ВМ I === I BN-I == 1М N 1. Определите величину двуtранноrо уrла.
. --+
436. Векторы ОА, 08, ОС попарно ортоrональны и имеют
следующие длины: I ОА I == 3, I ОВ I == 4, I ос I == 5. Вычислите вели
чину выпуклоrо двуrранноrо уrла с ребром (АВ), rрани KOToporo
проходят через точки О и с.
437. Выпуклый' двуrранный уrол Z с ребром 1 имеет величину
<р. В плоскости одной из ero rраней проведена прямая т, состав..
ляющая с ребром l уrол . Определите уrол а между прямой т
и плоскостью второй rрани: а) в общем случае; б) при q>==47°,
13==61°.
438. На ребре выпуклоrо двуrранноrо уrла Z взяты две
точки М, Q, а в ero rранях такие точки А, В, что L QMA ==
== L QЛ1 В == а. Дока)l{ите, что если (Х:;= 90°, то величина уrла
АМВ меньше величины двуrранноrо уrла Z.
439. Двуrранный yroJl Z с ребром 1 имеет величину ер
(0° < q>< 180°). в плоскости одной ero rрани дан отрезок АВ;
через А' В' обозначена проекция этоrо отрезка на плоскость
друrой rрани. Докажите, что: а) если (AB)...L/, то IA'B'I ==
== IABI.lcos q>1; б) если (AB)II/, то IA'B'I == IABI; в) еCJIИ прямая
(АВ) не параллельна и не перпендикулярна 1, то IABI> IA'B'I >
> IABI.lcos fPl.
440. Пусть z выпуклый двуrранный уrол с ребром 1. Дока..
жите. что множество всех точек М Е z. одинаково удаленных от
rраней yrJla Z, представляет собой некоторую по.пуплоскость
с rраНИЧ!lОЙ прямой 1. Она называется биссекторной полуплос-
костью (или просто бuссекторо.м.) двуrранноrо уrла Z.
98
441. Пусть Z выпуклый двуrранный уrол и Q ero бис-
сеКТОР. Докажите, что Q разбивает l на два двуrранных уrла,
каЖДЫЙ из которых имеет величину : ' rде <р величина
двуrранноrо уrла z.
442. Точка О принадлежит ребру 1 выпуклоrо двуrранноrо
yr ла Z, точка М ero биссекторной полуплоскости. Докажите,
что прямая ОМ образует равные уrлы с плоскостями rраней
двуrранноrо уrла l.
443. Две пересекающиеся плоскости определяют четыре вы-
пуклых двуrранных уrла; два из них называются См'еЖНbtМ,U
еСЛИ они имеют общую rpaHb. Докажите, что биссекторы двух
смежных двуrранных уrлов образуют прямой двуrранный уrол.
444. На ребре 1 выпуклоrо двуrранноrо уrла Z взята
точка О, а внутри Z точка М. Докажите, что точка М
в том и только в том случае принадлежит биссектору уrла Z,
если ортоrональные проекции отрезка ОМ на плоскости rраней
двуr;ранноrо уrла Z имеют равные длины.
445. Докажите, что если ортоrональные проекции отрез-
ка АВ на плоскости rраней выпуклоrо двуrранноrо уrла l имеют
равные длины, то отрезок АВ параллелен либо биссектору дву-
rpaHHoro уrла Z, либо биссектору смежноrо с ним двуrранноrо
yr л а .
446. Внутри выпуклоrо двуrранноrо уrла Z расположен тре-
уrольник АВС. Ортоrональные проекции этоrо треуrольника
на плоскости rраней обозначены через Т. и Т 2 . Какие из
следующих высказываний и€тинны: а) если Т. и Т 2 конrруэнт
ные треуrольники, то плоскость АВС параллельна биссектору
ДDуrранноrо уrла Z; б) если Т 1 и Т 2 конrруэнтные треуrольники,
то плоскость АВС параллельна биссектору двуrранноrо уrла Z
или биссектору смежноrо с ним двуrранноrо уrла; в) если Т.
и Т 2 равносторонние треуrольники, то они конrруэнтны; r) ec
ли Т. и Т 2 равносторонние треуrольники, то плоскость АВС
параллельна биссектору двуrранноrо уrла l или биссектору
смежноrо с ним двуrранноrо уrла?
447. Внутри выпуклоrо двуrранноrо уrла Z расположен вы-
пуклый четырехуrольник ABCD. Ортоrональными проекциями
v
этоrо четырехуrольника на плоскости rранеи являются четырех-
уrольники М. и М 2 . Какие из следующих высказываний истинны:
а) еCJIИ M 1 и М 2 параллелоrраммы, то ABCD паралле-
Лоrрамм; б) если один из четырехуrольников MI' М 2 паралле..
JIOrpaMM, то и друrой является параллелоrраммом; в) если
ABCD ромб, то М 1 И М 2 также ромбы; r) если М 1 И М 2 ром..
бы, то ABCD ромб; д) если M 1 и М 2 конrруэнтные ромбы, то
ABCD ромб; е) если М 1 и М 2 квадраТbl, то они конrруэнтны;
ж) е Т]и М 1 И М 2 квадраты, то плоскость четырехуrольни-
Ка ABCD паралле.пьна биссектору двуrранноrо уrла l или бис-
сектору смеЖноrо с ним двутранноrо уrла?
4* . Qg
448. В rранях двуrранноrо уrла Z с ребром (MN) взяты таКие
точки Р и Q, что LMNP a." LMNQ p. Определите уrол
между прямыми NP и NQ, если величина уrла Z равна q>.
449. Двуrранный уrол Z с ребром (MN) имеет величину q>.
В плоскости одной ero rрани взята такая точка Р, что LMNP==a.
и INPI a. Определите длину отрезка NP', являющеrося
ортоrональной проекцией отрезка N Р на плоскость друrой
rрани. Отдельно рассмотрите случай сх. == 900.
450. Выпуклый двуrранный уrол Z имеет величину <р; базис
...
е, т., п. построен так же, как в замечании к э,тому пункту.
Определите координаты (в этом базисе): а) единичноrо вектора
внешней нормали к прямой l относительно rрани Р 2 ; б) еди..
ничноrо вектора внешней нормали к rрани Р 2 двуrранноrо уrла Z.
451. Выпуклый двуrранный уrол Z имеет величину q>.
В каких пределах может изменяться уrол между прямой, лежащей
в плоскости одной rрани уrла l, и плоскостью друrой rрани?
зз. ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ ПРОЕКЦИИ
Т е о р е м а. Пусть М мноzоуzольнuк, расположенный в од..
НОй из zраней aeyzpaHHozo уzла l, uмеющеzо величину а,
и М' ортоzональная nрое/(цuя м.ноzоуzольни/(а М на nлос-
/(ость второй zрани. Tozaa площадь nрое/(цuu вычисляется по
формуле S (М')== S (М) I cos cx.1. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим вначале случай, коrда М
представляет собой треуrольник АВС, у KOToporo сторона [АВ]
параллельна ребру 1 двуrранноrо уrла Z (рис. 108). Обозначим
через а длину стороны [АВ], а через h длину высоты [CD],
проведенной к этой стороне из вершины С. Проекцией тре..
уrольника АВС на плоскость друrой rрани является треуrоль"
ник А'В'С', у KOToporo сторона [А' В'] имеет ту же длину а
(поскольку АВВ' А' прямоуrольник). Высота, проведенная из
вершины С' к стороне [А' В'],
является (по теореме о трех
перпендикулярах) проекци-
ей высоты [CDJ и потому
имеет длину h' == h I cos cx.1.
Следовательно, S (М')==
S (д А' В' С') ==...!.... ah' ==
2
==+ ah I cos а,1 ==
==s (дАВС) Icos сх.1 ===
== S (М) I cos cx.1, т. е. в рас..
сматриваемом С.ТIучае теоре..
ма справедлива.
Рассмотрим теперь об..
щий случай. Проnедя через
Рис. 108 все вершины 1ноrоуrольни-
100
Рис. 109
Рис. 110
ка М прямые, параллельные ребру 1, мы разобьем этот MHoro-
уrольник на треуrольники и трапеции, у которых основания
параллельны 1 (рис. 109). Каждая трапеция, в свою очередь,
разбивается диаrональю на два треуrольника, у каждоrо из
которых есть сторона, параллельная 1. Таким 'образом, м Horo-
уrольник М разбит на несколько треуrольников, у каждоrо из
которых есть сторона, параллельная 1. Пусть Та, Т2, ..., Tk........ эти
треуrольники, а Т., Т2, ..., TL их проекции на плоскость друrой
rрани двуrранноrо уrла z. Тоrда
S (M')==S (Tr)+8 (Т 2 )+ ...+8 (TI,)==
==S (Т.) Icos al +S (Т 2 ) Icos а' +...+8 (T k ) Icos а' ===
=== (S (Т.) + S (Т 2) + ... + S (Т k» 1 cos а, 1 == 8 (М) 1 cos а 1.
3 а м е ч а н и е. В действительности формула (1) справедлива
не только для мноrоуrольников, но и в том случае, если М
произвольная фиrура, для которой имеет смысл понятие площади
(см. rл. XIII). Пусть, например, М Kpyr радиуса а. Проведем
в нем два диаметра [АВ], [CD], один из которых параллелен,
а друrой перпендикулярен ребру 1 двуrранноrо уrла z. Проек-
цИЯ М' Kpyra А1 на плоскость друrой rрани двуrранноrо уrла
(рис. 11 О) представляет собой эллunс. (Подробнее о свойствах
эллипса см. п. 75.) Отрезки АВ и CD переходят при проект'ировании
в два перпендикулярных отрезка А'В' и
С' D', которые называются осямu эллип.. й'
са (рис. 111). Длина отрезка А'В' (он
называется большой ОСЬЮ эллипса) рав-
На длине отрезка АВ, т. е. равна 2а. А' В'
Длину отрезка С' D' (называемоrо малой
ОСЬЮ эллипса) обозначим через 2Ь. Тоrда
I О' с' I ь . С'
Icosal== == . Соrласно форму-
10CI а
ле (1) площадь эллипса ра вна Рис. 111
101
11, ,..
о
--- i
... iOOI
s (М') == S (М) 'cos (х I == nа 2 I cos (х I == nа 2 · J!.... == паЬ t
а
Т. е. площадь эллипса с noлуосямu а и Ь равна паЬ.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что формулу (1) можно записать так:
S (M')==S (М) Icos vl,
...
тде у уrол между внешними нормалями пl, п2 к rраням дву-
rpaHHoro уrла z.
2) При какой величине двуrранноrо уrла площадь м Horo-
уrольника М вдвое больше площади ero проекции?
3) Солнце расположено под уrлом (х к rоризонту. Плос-
кая пластинка площадью S расположена перпендикулярно сол-
нечным лучам. Какова площадь ее тени?
Задачи
452. В плоскости 2х у + 5z 7 == О расположен мноrоуrоль-
ник, площадь KOToporo равна 1. Вычислите площади ero opToro-
нальных проекций на координатные плоскости (система координат
прямоуrольная ).
453. Проекции мноrоуrольника М, лежащеrо в плоскости у,
на две перпендикулярные плоскости (х и р имеют соответст-
венно площади 5 и 12 см 2 . Найдите площадь мноrоуrольника М,
если известно, что плоскости а, р, у параллельны ОДНОЙ прямой.
454. В биссекторной полуплоскости прямоrо двуrранноrо
уrла расположен мноrоуrольник М площадью s. Какую площадь
имеют ero проекции на плоскости rраней?
455. Двуrранный уrол Z является острым (т. е. меньшим
900). В одной ero rрани задан мноrоуrольник М; ero OpTOro-
нальная проекция на вторую rpaHb обозначена через М 1, а ОРТО-
rональная проекция мноrоуrольника М 1 снова на первую rpaHb ........
через М 2 . Зная, что площадь мноrоуrольника 'И 2 вдвое меньше
площади мноrоуrольника М, определите: а) величину уrла z;
б) уrол между внешними нормалями к rраням двуrранноrо уrла z.
456. Проекции четырехуrольника ABCD на плоскости rраней
"
прямоrо AByrpaHHoro уrла являются квадратами со сторонои а.
Определите площадь четырехуrольника ABCD.
457. Проекции треуrольника АВС на плоскости rраней
прямоrо двуrранноrо уrла являются равносторонними треуrоль-
никами со стороной а. Определите площадь треуrольника АВС.
458. В одной rрани oCTporo двуrранноrо уrла Z располо-
жен равносторонний треуrольннк Т со стороной а; ero про-
екция на друrую rpaHb представляет собой треуrольник TI.
Докажите, 'что длина каждой из высот треуrольника ТI не мень-
ше +-VЗ а cos ер. rде ер величина двуrранноrо уrла Z.
102
34. ВЫПУКЛЫЕ MHOrOrp АННИКИ
Так как полупространство является выпуклым Iножеством.
то пересечение любоrо числа полупространств также является
выпуклым множеством.
О п р е Д е л е н и е. Оrраниченное трехмерное выпуклое мно"
жество, являющееся пересечением конечноrо числа полупрост..
ранств, называется выпуклым МНОёОёранником (рис. 112).
Рассмотрим в обзорном порядке (без доказательств) OCHOB
ные свойства выпуклых мноrоrранников. Точка М, принадлежа
шая выпуклому мноrоrраннику Q, называется ero zраничной
тоЧКОЙ, если любой lllap с центром М содержит точки, не принад..
лежащие l\iноrоrраннику Q. Множество всех rраничных точек
называется ёраницей или поверхностью этоrо мноrоrранника.
rраница любоrо выпуклоrо мноrоrранника представляет собой
объединение конечноrо числа выпуклых мноrоуrольников, которые
лежат в различных плоскостях. Эти мноrоуrольники называются
zранями мноrоrранника Q. На рисунке 112 rрани мноrоrранника
u U
выделены различнои штриховкои.
Пересечение любых двух rраней представляет собой либо OTpe
зок, либо точку, либо пустое множество. Две rрани F 1 , F 2 .
пересечением которых является отрезок (рис. 113), называют
U
ся смежными zраНЯJttи, а отрезок, служащии их пересечением,
называется ребром мноrоrранника. Точки, служащие концами ре..
бер, называются вершинами мноrоrранника. В любом выпуклом
мноrоrраннике к каждому ребру примыкают ровно две rрани.
Пусть Р. и Р 2 две смежные rрани выпуклоrо MHororpaH
ника Q и [АВ] их общее ребро. Обозначим через Р. полупло
скость с rраничной прямой АВ, содержа-
щую rpaHb F lt а через Р2 полупло
скость С rраничной прямой АВ, содержа-
щую rpaHb F 2 . ПОЛУПЛОС1<ости Рl и Р2
оrраничивают двуrранный уrол l, содер-
жащий мноrоrранник Q (рис. 113). Он
называется двуеранным У2ЛОМ м.НОёО"
zpaHHUKa Q при ребре [АВ]. Внешние
нормали к rраням этоrо двуrранноrо
yr ла называются внешними нормалями Рис. 112
к соответствующим rраням мноrоrранни-
Ка. Если двуrранный уrол при ребре [АВ]
равен сх., то rоворят также, что rрани P 1 ,
Р2, при мыкающие к этому ребру, накло-
нены друr к друrу под уrлом сх.
Наиболее известным примером MHoro-
rраНника является параллелепипед. Ero
Можно описать следующим образом.
Берется параллелоrрамм ABCD и из ero
вершин откладываются равные векто- Рис. 113
't03
с
С I
ры АА.==ВВ.==СС.==DDа==ё, rAe ё Не
параллелен плоскости параллелоrрам-
ма ABCD (рис. 114). Получающиеся
шесть параллелоrраммов ABCD. ABBiA..
ВСС 1 В.. CDD I C.. ADD.A.. A.B I C I D. яв-
ляются rранями параллелепипеда
(рис. 114). У параллелепипеда 12 ребер.
составляющих три четверки:
А ,
Рис. 114
1) [AAI]. [ВВ 1 ]. [СС 1 ]. [DD i ];
2) [АВ], [CD]. [A.BI]. [C.D.];
3) [ВС]. [AD]. [В 1 С 1]. [А iDl].
в каждой четверке ребра параллельны и имеют одинаковую длину.
Точки А. В, С, D, Аl.. Вl, С l , D i служат вершинами парал..
лелепипеда. Как и у всякоrо выпуклоrо мноrоrранника, к
каждому ребру параллелепипеда примыкают две rрани. К каждой
веDшине параллелепипеда примыкают по три rрани. Если векторы
АВ, AD, АА, попарно ортоrональны, то все rрани являются
"
прямоуrольниками; такои параллелепипед называется nРЯAf,о..
У20ЛЬНЫАС. Прямоуrольный параллелепипед, все ребра Koтoporo
имеют одинаковую длину, называется кубом.
Так как каждая rpaHb мноrоrранника является плоским
мноrоуrольником, то можно rоворить о п л о Щ а Д и rрани.
О п р е Д е л е н и е. Сумма площадей всех rраней MHoro..
rранника наЗbIВается площадью поверхности этоrо MHororpaH-
ника.
Контрольные вопросы
1) rрани параллелепипеда, не имеющие общих точек, назы-
ваются противоположными. Докажите, что каждые две противо..
положные rрани параллелепипеда параллельны.
2) Какое наименьшее число вершин может быть у выпуклоrо
мноrоrранника?
'
З) На рисунке 78 АА 1 ==вв 1 ==сс l ==ё; векторы а, Ь,
ё составляют базис пространства. Точки А. В, С, AI. Ва, с.
служат вершинами выпуклоrо мноrоrранника (треуzольной nрuз..
мы), который может быть представлен в виде пересечения пяти
полупространств. Одним из них является полупространство с rpa..
ничной плоскостью Аве, содержащее точку А l . Укажите осталь-
ные четыре полупространства.
4) Перечислите rрани и ребра треуrольной ПрИЗМЫ (рис. 78);
укажите параллельные rрани, параллельные ребра.
104
Задачи
459. а) Куб с вершинами А, В, С, D, А., В., С l , D l построен так,
... ... ... .........
что АВ==ае., AD===ae2, АА. ===аез, rде el, е2, ез ор-
тонормированный базис. ДОКС1жите, что т очка М в том и только в
том случае принадлежит рассматриваемому кубу, если ее коорди-
натЫ в системе (А; ё 1 , ё 2 , ё з ) удовлетворяют условиям: О х а;
o y a; O z a.
б) Дана прямоуrольная система координат. Что представляет
собой множество всех точек, координаты которых удовлетворяют
условиям: O x a; O y b; o z c, rде а, Ь, с заданные
положительные числа?
460. а) Перечислите все прямые, каждая из которых про-
ходит через две вершины куба (задача 459, а) и является скрещи-
вающейся с прямой АА 1.
б) Вычислите уrол между прямой АА. и каждой из перечислен-
ных прямых.
461. Рассматривается множество Q всех точек, координаты
которых удовлетворяют системе неравенств
А .х+в.у + C.z + D.;?: о;
А 2 х+В 2 у+ C 2 z+ D 2 ;?: о;
AkX+ Bky+ CkZ + Dk o.
Докажите, что если множество Q оrраничено и не располаrает-
u
ся в однои плоскости, то оно является выпуклым мноrоrранни-
ком. Любой ли выпуклый мноrоrранник может быть записан в
таком виде?
462. Сколько существует плоскостей, каждая из которых
содержит четыре вершины данноrо параллелепипеда? .
463. Вершины треуrольной призмы (рис. 78) имеют следующие
координаты: А (о; о; О), В (о; 2; О), С (1; 3; О), А. (о; о; 5).
а) Найдите координаты остальных вершин. б) Найдите векторы
внешних нормалей ко всем rраням призмы. в) Вычислите вели-
чины двуrранных уrлов при ребрах призмы.
464. Докажите, что в произвольном параллелепипеде
ABCDA I B.C.D. диаrонали [АС.], [BD.], [CA 1 ], [DB.] пересека-
u .
ются В однои точке и делятся в этои точке пополам.
465. В треуrольной призме (рис. 78) все ребра имеют
одинаковую длину, а двуrранные уrлы при ребрах [АВ] и [ВС]
прямые. Найдите остальные двуrранные уrлы.
466. Докажите, что параллелепипед является центрально-
симметричным мноrоrранником, т. е. переходит в себя при цент-
ральной симметрии относительно некоторой точки О, называемой
ero центро.м. симметрии.
467. Может ли пересечение конечноrо числа полупространств
представлять собой выпуклый мноrоуrольник? уrол? отрезок?
луч? прямую?
105
468. Что может представлять собой пересечение конечноrо
числа выпуклых мноrоrРЗННИКQВ?
469. Сформулируйте утверждения, содержащиеся в задачах
124, 144, 148, 149, 188, 283, 313, 330, 336, 344, 355, 357, 368,
используя термины, относящиеся к параллелепипеду или кубу
(rрани, ребра, вершины, диаrЬнали параллелепипеда, диаrонали
rраней).
470. В прямоуrольном параллелепипеде (рис. 114) известны
длины ребер: IABI==a, IADI==b, IAA1t==c. Определите вели-
чину: а) двуrранноrо уrла с ребром (АВ), rрани KOToporo прохо-
дят через точки D, D l ; б) двуrранноrо уrла с ребром (АС), rрани
KOToporo проходят через точки D, D l ; в) двуrранноrо уrла
с ребром (AC I ), rрани KOToporo проходят через точки D, Dl.
471. Диаrональ [AC l ] прямоуrольноrо параллелепипеда
(рис. 114) образует равные уrлы с плоскостями AAlD и АА IB.
Докажите, что ABCD квадрат.
472. Диаrональ [AC l ] прямоуrольноrо параллелепипеда
(рис. 114) имеет длину d и образует уrол (х с плоскостью AAlD
и уrол с плоскостью AAlB. Найдите длины ребер парал
лелепипеда.
473. В кубе с ребром а (рис. 114) точки М, N, Р середины
ребер [АВ], [DDl], [ClD l ]. а) Докажите, что треуrольник MN Р
прямоуrольный, и вычислите ero площадь. б) Вычислите площади
треуrольников ACD I , MCC 1 , MNC, BNP. в) Найдите расстояние от
точки А ДО плоскости М СА 1. ... --+... --+
474. В параллелепипеде (рис. 114) векторы а==АВ, b==AD,
--+
ё===АА l удовлетворяют условиям: 'аl ===4, Ibl ==5, ,ё, ==6,
аЬ == 1, йё == 2, ьё == 3. а) Найдите такие k и " чтобы векторы
b'==b+ka и ё'==ё+lа были ортоrональны вектору а. б) ДOKa
жите, что уrол между векторами Ь' и ё' равен величине ДByтpaH
Horo уrла параллелепипеда при ребре [АВ], и вычислите величину
этоrо двуrранноrо уrла.
475. В параллелепипеде (рис. 114) длины ребер [АВ], [AD],
[AAI] равны 1 и каждые два из них образуют уrол 600. Найдите
величины двуrранных уrлов параллелепипеда при этих ребрах.
476. В параЛ.[Iелепипеде (рис. 114) длины ребер [АВ], [AD],
[AAl] равны соответственно а, Ь, с; уrлы BAD, BAAl' DAAI
равны соответственно а, , у. Определите величины ДВуrран
ных уrлов параллелепипеда при этих ребрах.
477. Ребра [АВ], [AD], [AAI] параллелепипеда (рис. 114)
имеют длины 6, 8, 10; отрезки BD, А 18, AID имеют длины 7,9, 11.
Определите величины двуrранных уrлов параллелепипеда.
478. Докажите, что в параллелепипеде (рис. 114) величины
двуrранных уrлов при ребрах [АВ] и [CD] состаВЛЯIОТ в CYM
ме 1800.
479. Докажите, что если в параллелепипеде (рис. 114)
le6
двуrранные уrлы при ребрах АВ и AD прямые, то АА.
нормаль к плоскости rрани ABCD. Верна ли обратная теорема?
480. Докажите, что если в параллелепипеде (рис. 114)
rpaHb A8CD является ромбом, а уrлы DAA 1 и ВАА 1 равны,
то точка С принадлежит биссектору двуrранноrо уrла при реб-
ре АА 1.
зs. ПРИЗМА
о п р е Д е л е н и е. П рuзМ,оu (рис. 115) называется выпуклый
мноrоrранник, у KOToporo имеются две непересекающиеся rрани,
называемые основанuяМ,u# а все остальные rрани (называемые
60KOBЫм'и zраняAf,U) являются параллелоrраммами, причем каждый
из этих параллелоrраммов имеет одну общую сторону с одним
основанием и одну обrцую сторону с друrим основанием.
Мноrоrранник, изображенный на рисунке Ilб, имеет две
u
треуrольные rрани, а остальные восемь ero rранеи паралле-
лоrраммы. Так как этот мноrоrранник призмой не является, то
этот пример показывает, что в определении призмы заключитель-
ную часть (со слова «причем ) отбросить нельзя.
Поскольку боковые rрани призмы являются параллелоrрам-
мами, мы можем записать равенство векторов, идущих по боковым
ребрам. Так, на рисунке 115 имеем:
...
А 181 ==А282 == ... ===А7В7== а.
Поэтому произвольная призма может быть получена следующим
образом. Берется выпуклый п-уr льн.!!к А {А 2 ...А п , лежащий
в некоторой плоскости а, и вектор а* О, не параллельный этой
плоскости. Затем строят такие точки BI, 82,' ..., В п , что
...
А 1 В 1== А 2 8 2 == ... ==А п 8 п == а.
Точки AI, А2, ..., А1I' В 1 t 112, ..., 8 п и служат вершинами п-уrольной
призмы. Если вектор а ортоrонален плоскости сх. (Т. е. если
боковые ребра перпендикулярны основанию), то призму называют
84
Рис. 115
Рис. 116
107
прям'ОЙ; прямая призма, основанием которой служит правильный
мноrоуrольник, называется правильной призмой.
т е о р е м а. Объе'м V любой прuзм.ы .может быть вычислен по
формуле V == Sh, zae S площадь основания прuэм.ы, а h....... ее
высота, т. е. расстояние м'ежду nЛОСКОСТЯ'ми оснований.
Понятие объема (и в частности, доказательство этой теоремы)
обсуждается в п. 87.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что плоскости оснований призмы параллельны.
2) Пересечением KaKoro числа полупространств является
п"уrольная призма? Сколько она имеет rраней, ребер, вершин?
З) Докажите, что параллелепипед явл.яется частным случаем
призмы, причем любая rpaHb может быть принята за основание.
Задачи
481. Найдите объем куба, если ero диаrональ имеет длину d.
482. Сумма длин ребер прямоуrольноrо параллелепипеда
равна 48 см, площадь ero поверхности равна 94 см 2 , объем па-
раллеJIепипеда равен 60 см З . Определите длины ребер.
483. Плоскость сх. пересекает боковые ребра [АА 1], [ВВ.],
1
[СС 1 ], [DD 1 ] куба в таких точках М, N, Р, Q, что IAMI ==т а ,
1 1
IBNI===Ta, ICPI==Ta, rде а длина ребра куба. Определите
IDQI и площадь четырехуrольника MNPQ.
484. В каком случае призма является центрально-симмет-
ричным мноrоrранником?
485. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоуrольный треуrольник. Плоскость а, пересекает боковые
ребра так, что в сечении получается равносторонний треуrольник
со стороной й. Определите площадь основания и величину
двуrранноrо уrла между плоскостью а, и плоскостью основания.
86. В осноцании прямой призмы лежит равнобедренный тре.-
уrольник АВ С (IABI == IBCI). Плоскость (1 пересекает боковые
ребра призмы в точках А', В', С'. Докажите, что если all(AC),
то IA'B'I == IB'C'I. Верно ли обратное?
487. Основанием прямой призмы служит ромб с центром О,
[АС] диаrональ основания, [BID1] ------ не параллельная ей диаrо-
наль BToporo основания. Чер з Р. и Р 2 обозначены полу-
плоскости с rраничной прямой (АС), проходящие через -точки
81 И DI. а) Докажите, что l}IOD 1 линейный уrол AByrpaH-
Horo уrла между этими полуплоскостями. б) Определите величину
выпуклоrо AByrpaHHoro уrла между полуплоскостями Р. }L Р 2 ,
если сторона ромба ABCD равна а, ero уrол при вершине Ара..
вен (1, а боковое ребро равно Ь.
108
488. Основанием призмы служит ромб М со стороной а
и площадью s. Прямая, перпендикулярная плоскости ромба М
и проходящая через ero центр, проходит через вершину А. вто-
poro основания. Определите объем призмы, зная, что боковое
ребро [АА 1] образует с плоскостью основа ния уrол (Х.
489. Основанием прямой призмы служит ромб ABCD со
стороной а и уrлом BAD, равным а. Диаrональ [AC 1 ] на-
клонена к плоскости основания под уrлом . Определите объем
призмы.
36. ПИР АМИДА И УСЕЧЕННАЯ ПИР АМИДА
О п р е Д е л е н и е. Выпуклый мноrоrранник, называемый
n-уrольной пирамидой, строится следующим образом. Берется
выпуклый п-уrольник А lА 2 ...А п , лежащий в некоторой плоскости (х,
и точка S f/:. (Х. Точки А., А2, ..., А п , S и служат вершинами
пирамид,ы (рис. 117). Мноrоуrольник А IА2...Аn называется основа..
нuем, пирамиды, а остальные rрани называются боковыми.
Пирамида называется правильной, если ее основанием слу-
u
жит правильныи мноrоуrольник, а ортоrональная проекция вер-
шины S на плоскость основания служит центром окружности,
u
описаннои BOKpyr этоrо правильноrо мноrоуrольника.
т е о р е м а. Объе.м. любой nuра.м.uды может быть вычислен по
формуле V ==+ Sh zде S площадь основания пирам.иды, а
h ее высота, Т. е. расстояние ОТ вершины до плоскости основа..
ния. Доказатель<;тво приводится в п. 87.
Усеченная пuра.м.ида представляет собой пересечение некоторой
пирамиды и полупространства, rраничная плоскость KOToporo
параллельна основанию пирамиды (рис. 118). Боковые rрани
усеченной пирамиды трапеции; каждая боковая rpaHb имеет
, одну общую сторону с одним основанием усеченной пирамиды и
одну общую сторону с друrим основанием.
s
s
А.т
с
Рис. 117
Рис. 118
Контрольные вопросы
1) Пересечением скольких полупространств является п..уrоль-
ная пирамида? Сколько она имеет rраней, ребер, вершин?
2) Убедитесь, что для любой призмы, любой пирамиды, а
также для мноrоrранника, изображенноrо на рисунке 116:
справедливо соотношение
a,0 a,I+a2==2,
rде ао число вершин, a,1 число ребер, сх,2 число rраней
мноrоrранника. Крупнейший математик, член Петербурrской ака-
демии наук Леонард Эйлер (1707 1783) установил, что это соот-
ношение справедливо для л ю б о r о выпуклоrо мноrоrранника.
3) Докажите, что в правильной пирамиде все боковые rрани
являются равнобедренными треуrольниками.
Задачи
490. Пирамида АВС5 правильная, О ортоrональная про-
екция вершины 5 на плоскость основания, через F обозначена
точка пересечения прямых Ай и ВС. Докажите, что OF5.........
линейный уrол двуrранноrо уrла при ребре [ВС].
491. Пирамида ABCD5 правильная, О ортоrональная
проекция вершины 5 на плоскость основания, [5Р] высота
треуrольника 5АВ. Докажите, что ОР5 ........ линейный уrол двуrран-
Horo yr ла при ребре [АВ].
492. Сформулируйте и докажите обобщение результата за-
дачи 491 на случай произвольной правильной пирамиды.
493. В правильной п..уrольной пирамиде из вершины 5 про-
веДены апофемы, т. е. высоты треуrольников, являющихся боковы-
ми rранями. Докажите, что эти апофемы являются боковыми
ребрами еще одной правильной n уrолъной пирамиды.
494. В пирамиде с вершиной S проведена высота пирамиды
[50] и высота [5Q] боковой rрани 5АВ. Докажите, что SQO
линейный уrол двуrранноrо уrла при ребре [АВ].
495. Докажите, что если все три боковые rрани треуrольной
пирамиды 5АВС наклонены к плоскости основания под одним и тем
же уrлом, то ортоrональная проекция О вершины 5 на плоскость
основания является центром вписанной окружности основания.
496. Докажите, что если боковые rрани n"уrольной пира-
миды наклонены к плоскости основания под одним и .ем же уrлом
а" то в п уrольник, лежащий в основании, можно вписать ок-
ружность.
497. Докажите, что если все три боковых ребра треуrольной
пирамиды SABC наклонены к плоскости основани под одним и тем
же уrлом, то ортоrонаJIьная проекция О вершины 5 на плос..
кость основания является центром описанной окружности OCHO
вания.
'1-10
498. Докажите, что если все боковые ребра п уrольной
пирамиды наклонены к плоскости основания ПОД одним и тем же
уrлом а, то около, n уrольника, лежащеrо в основании, можно
описать окружность.
499. В правильной шестиуrольной пирамиде площадь основа-
ния равна площади боковой rрани. Найдите величину двуrранноrо
уrла при ребре основания.
500. В правильной п уrольной пирам иде боковая rрзнь
наклонена к плоскости основания под уrлом а. Через Pl, Р2
обозначены единичные векторы внешних нормалей к сторонам
[АВ], [ВС] основания, через тl, т2 едини ные векторы внешних
нормалей к rраням ABS, BCS, а через n единичный вектор
внешней нормали к основанию пирамиды. а) Выразите векто-
..... ....
ры т., т2 через pl, Р2, n и найдите скалярные произведения
Pl Р2, тl т2. б) Найдите величину двуrранноrо уrла при боковом
ребре пирамиды.
501. Основанием пирамиды является трапеция ABCD; плос-
кости rраней SAB и SCD перпендикулярны плоскости основания.
Докажите, что ортоrональная проекция точки S на плоскость
основания совпадает с точкой пересечения прямых АВ
и CD.
502. Основанием пирамиды служит равнобедренный треуrоль-
ник АВ С (IABI == IBCI), rpaHb SAC наклонена к основа-
нию под уrлом а. Найдите объем пирамиды, зная, что
IACI ==а.
503. На боковом ребре [CC l ] прямой треуrольной призмы
взяты точки Р, Q, расстояние между которыми равно а. Докажите,
1
что объем пирамиды ABPQ равен з Sa, rде S площадь
треуrольника А В С., лежащеrо в основании призмы.
504. Плоскость (Х пересекает боковые ребра (АА 1 ], [ВВ.], [СС.]
прямой треуrольной призмы в точках М, N, Р. Определите
объем мноrоrранника ABCMNP, зная, что IAMI ==а, IBNI ==Ь,
I CPI ==с, а площадь основания призмы равна S.
505. Через вершину правильной треуrольной пирамиды и се-
редины двух сторон основания проведена плоскость (Х. Опреде-
лите объем пирамиды, зная, что сторона основания равна
а, а плоскость (Х наклонена к плоскости основания под yr
лом у.
506. Основание пирамиды квадрат ABCD, боковые ребра
AS и BS имеют одинаковые длины. Докажите, что боковые rpa-
ни ADS и BCS одинаково наклонены к плоскости основания.
507. Основанием пирамиды служит квадрат ABCD со сто-
роной а. Боковое ребро [AS] перпендикулярно основанию и
имеет длину h. Определите величину двуrранноrо уrла при реб-
ре [SC].
508. В основании пирамиды лежит прямоуrольный треуrоль-
111
ник. Все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости осно-
вания. Докажите, что ортоrональная проекция вершины пирамиды
на плоскость основания совпадает с серединой rипотенузы осно-
вания.
509. В треуrольной пирамиде SABC точки М, N, Р
середины ребер [АС], [ВС], [SB]. Докажите, что мноrоуrольник,
по которому плоскость М N Р пересекает пирамиду, представляет
собой параллелоrрамм. Вычислите ero площадь, если: а) реб-
ра [АВ] и [SC] имеют длины с, d и образуют уrол а;
б) ребра [АВ], [ВС], [CS] попарно перпендикулярны и имеют дли-
ны т, n, р.
510. В правильной п"уrольной пирамиде боковая rpaHb
является равнобедренным треуrольником с уrлом а при
вершине. Найдите величину двуrранноrо уrла при боковом
ребре.
511. Найдите объем правильной усеченной треуrольной пи-
рамиды, если сторона ее большеrо основания равна й, двуrран"
ный уrол при этой стороне равен а, а высота (расстояние
между основаниями) равна h.
512. Основанием пирами.ды SABC служит равнобедренный
треуrольник АВС с основанием АВ == т и уrлом а при верши..
не с. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания
под уrлом р. Найдите площадь сечения, проходящеrо через
прямую SA и центр окружности, описанной около треуrольни-
ка АВ е.
513. В правильной четырехуrольной пирамиде двуrранный уrол
при ребре основания равен а, а двуrранный lrол при боковом
ребре равен р. Докажите, что cos == (cos а) .-
514. В правильной треуrольной пирамиде двуrранный уrол
при ребре основания равен а, а двуrранный уrол при боковом
ребре равен р. Найдите зависимость между а и р.
515. Докажите, что если основание пирамиды имеет площадь
S, а все боковые rрани наклонены к плоскости основания
под уrлом а. то площадь поверхности пирамиды равна
s( 1+ CO (J ·
516. В n-уrольной пирамиде все боковые ребра имеют оди-
наковую длину. Докажите, что около основания этой пирамиды
можно описать окружность.
517. Все ребра правильной четырехуrольной пирамиды име-
ют одну и ту же длину й. Определите величины ее двуrранных
yr лов.
518. Основанием пирамиды служит прямоуrольный треуrоль
иик Аве с катетами 'АС' ==Ь, 'ВС' ==й; ребро [AS] перпен
дикулярно плоскости основания и имеет длину h. Определите
AByrpaHHble уrлы при ребрах [АВ], [ВС], [АС].
519. ОСJlованием пирамиды служит прямоуrольник со сторо"
нами а и Ь. Все боковые ребра составляют с основанием один
112
и тот же уrол а. Определите величины двуrранных уrлов при
ребрах [CD] и [AD].
520. Основанием пирамиды SABC служит равносторонний
треуrольник АВС; вершина S равноудалена от вершин этоrо
треуrольника. Докажите, что эта пирамида правильная.
521. Сторона основания правильной треуrольной ирамиды
равна а, боковое ребро равно Ь. Опред лите уrол наклона
боковоrо ребра к плоскости основания.
522. Сторона основания правильной треуrольной пирамиды
равна а; боковое ребро равно Ь. Определите величину двуrран"
Horo уrла при ребре основания.
523. В треуrольной пирамиде ABCD точка Р середина
ребра [ВС]. Плоскости ACD и ABD наклонены к плоско-
сти ADP соответственно под уrлами а и р. Найдите объем пи-
рамиды, зная площадь S треуrольника ADP и длину а реб-
ра [AD].
524. rрани ABS, ACS треуrольной пирамиды одинаково
наклонены к плоскости основания. Докажите, что: а) вершина S
одинаково удалена от прямых АВ и АС; б) ортоrональная проекция
прямой AS на плоскость основания является биссектрисой yr..
ла ВАС.
525. В правильной четырехуrольной усеченной пирамиде
стороны оснований равны 15 и 9, а диаrональ пирамиды равна 13.
Определите: а) боковую поверхность усеченной пирамиды; б) ее
объем.
526. В правильной треуrольной пирамиде сторона основания
равна а, а уrол между двумя непересекающимися ребрами ра..
вен а. Определите" объем пирамиды.
527. В правильной четырехуrольной пирам иде боковая rpaHb
имеет ту же площадь, что и основание. Определите площадь по..
верхности пирамиды, зная, что ее высота равна h.
528. Пирамида имеет своим основанием мноrоуrольник с
площадью S и периметром р. Все боковые rрани наклонены к
основанию под одним и тем же уrлом (Х. Определите площадь
поверхности и объем пирамиды.
529. Докажите, что если ребра [АВ] и [CD] треуrольноА
пирамиды перпендикулярны, то существует плоскость, пересече..
Иие которой с данной пирамидой представляет квадрат. Вычис..
Лите площадь этоrо квадрата, если длины указанных ребер рав"
ны р И q.
530. В правильной треуrольной пирамиде сторона основания
равна а, а двуrранный уrол между боковыми rранями равен а.
Определите объем и боковую поверхность пирамиды.
531. В треуrольной пирамиде имеются пять ребер длиной а
и ребро длиной Ь. Определите объем пирамиды.
532. Докажите, что если в треуrольной пирамиде все rрани
Имеют равные периметры, то все rрани конrруэнтны.
113
533. В треуrольной пирамиде плоскости трех rраней попарно
перпендикулярны, а площади этих rраней равны 81, S2, Sз.
Найдите площадь четвертой rрани.
534. В треуrольной пирамиде боковые ребра попарно пер-
пендикулярны и имеют длины а, Ь, с. Высота, проведенная к
1 1 1 1
основанию, равна h. Докажите, что "2==--тr 2"'+ 2 .
h а Ь с
535. Стороны оснований правильной четырехуrольной усечен-
ной пирамиды равны а и Ь. Плоскость, проходящая через два
параллельных ребра, не принадлежащих одной .боковой rрани,
наклонена к плоскости основания под уrлом сх. Определите объем
усеченной пирамиды.
536. Пирамида с площадью основания S пересечена П..Тfос-
костью, параллельной основанию; площадь сечения равна s. Оп-
ределите отношение объемов исходной пирамиды и получающейся
усеченной пирамиды.
37. ИЗОБРАЖЕНИЕ мноrоrРАННИКОВ НА плоскости
При изучении стереометрии приходится выполнять чертежи
мноrоrранников и друrих пространственных фиrур, получающиеся
с помощью проектирования на плоскость. Укажем основные пра-
вила, по которым выполняются такие чертежи; эти правила
вытекают из ранее полученных фактов.
а) Любая прямая пространства изображается на чертеже
прямой линией; отрезо/(, изображается отрезк'ОМ (см. теорему 2
п. 25). Например, ребра мноrоrранников, которые представляют
собой отрезки в пространстве, на плоском чертеже также изобра-
жаются в виде отрезков (СМ., например, рис. 112). Конечно, прямая
может спроектироваться и в точку (см. теорему 2 п. 25), но изоб-
ражение прямой в виде одН6Й точки будет снижать наrлядность
чертежа; поэтому пространственную фиrуру перед проектирова-
нием так располаrают (поворачивают) в пространстве, чтобы все
интересующие нас прямые изображались на чертеже в виде
прямых. . .
б) Параллельные прямые (или отрезки) пространства изоб-
ражаются на плоскости параллельныАСU (см. задачу 359). На-
пример, параллельные боковые ребра призмы изображаются на'
чертеже также параллельными отрезками (см. также рис. 116).
в) Параллельные отрезки изображаются на чертеже отрезка-
.ми, имеющими то же отношение длин, что и воршинале
(см. задачу 360). Например, середина С отрезка АВ в простран-
стве ( : : == 1) будет на чертеже также изображаться серединой
отрезка, и потому если в пространстве дан треуrольник и ero
медиана, то и на чертеже мы получим треуrольнИК, в котором
проведена медиана.
114
r) «Невидимые» (скрытые от
rлаза наблюдателя) ребра при- в
ня то изображать штриховыми
.линиями; это усиливает «эф-
фект трехмерности» (см., на-
пример, рис. 115).
д) Существует еще один А
прием передачи трехмерности
на рисунке: если две прямые
скрещиваются в пространстве,
а на чертеже изображаются
пересекаlОЩИМИСЯ, то более удаленная (от наблюдателя) линия
изображается с разрывом. Например, на рисунке 9 изображен
каркас параллелепипеда отсутствие rраней делает все ребра
видимыми, а разрывы подчеркивают объемность изображения.
Кроме Toro, штриховка rраней мноrоrранника также может
усилить впечатление объемности (см., например, рис. 117).
Заметим, что уrлы и длины MorYT не сохраняться на изоб-
ражении. На рисунке 119 изображены два одинаковых кубика,
по..разному расположенные в пространстве. Конrруэнтные (в ори-
rинале) квадраты ABCD выrлядят на изображении не конrруэнт-
ными. Прямой (в ориrинале) уrол АВС передан на рисунке 119, б в
виде тупоrо уrла; отрезки АВ и 8С изображены на этом рисунке
не конrруэнтными.
Применение указанных правил позволяет проводить на про-
екционном чертеже различные построения. Рассмотрим при-
мер.
З а Д а ч а. Что. представляет собой пересечение куба
ABCDA1B1CID. с плоскостью а, проходящей через середины М, N,
р ребер [At .], [B1C 1 ], [CIC]?
Реш е н и е. На рисунке 120,а показаны точки М, N, Р (они и
На чертеже изображаются с е р е д и н а м и соответствующих
отрезков). Так как прямые MN, AIDI, C I D I лежат в одной плос-
кости (плоскости верхней rрани) и не пара.ллельны, то MN
и AIDI пересекаются (в ориrинале) в некоторой точке К, а MN и
CID 1 В некоторой точке L. Поскольку прямые изображаются
Прямым и, изображения точек К и L леrко найти на чертеже
(рис. 120,а). Прямая М N лежит в плоскости а, и потому К Е а,
L Е а. Прямая LP лежит в плоскости правой rрани и, следователь-
Но, пересекается с прямыми CD и DDI в некоторых точках Q, F
(Рис. 120,6). Так как LEa, РЕ а, то (LP)ca, и, значит, QEa,
F Е а. Прямая КР, лежащая в плоскости передней rрани, пере-
секает (AD) и (AA 1 ) в некоторых точках R, S (рис. 120,8).
При этом из включений КЕа, РЕа вытекает, что (КР)са, и
Потому R Е а, s Е а.
Замкнутая ломаная MN PQRS представляет собой пересе-
Чение плоскости а с r р а н и Ц е й куба (например, [MN] есть
пересечение верхней rрани с плоскостью а, [N Р] пересечение
в
с
А
а)
D
о)
Рис. 119
115
I
I
I
'8
............
/
/
А О)
В,
1-1 _'
А 1 ,
р
s
./ С
./ а
А R D
е)
Рис. 120
-
I
I
,
'8
J,.:....................
/
./
А
задней rрани с (х и т. д.). Пересечение же Bcero куба с плоскостью а
представляет собой шестиуrольник, оrраниченный этой замкнутой
ломаной. На рисунке 120,z этот шестиуrольник показан вмещен-
ным в каркас куба.
Контрольные вопросы
1) На рисунке 121 t а 2 дано изображение равносторон..
.
Hero треуrольника, лежащеrо в плоскости (Х, и однои из ero высот.
Какие из изображений являются неправильными?
2) В правильном шестиуrольнике ABCDEF, лежащем в плос-
кости (х, проведена диаrональ [AD], отсекающая от Hero че-
тырехуrольник ABCD. На рисунке 122, а z дано изображение
этоrо четырехуrольника. Какие из изображений неправильны?
а)
о)
Рис. 121
116
z)
а)
о)
Рис. 122
О)
z}
д)
Рис. 123
3) Какие из изображений куба (рис. 123, а........ д) выполнены
правильно?
4) Какие из следующих высказываний о кубе (рис. 124) ис-
тинны: а) на изображении все уrЛbl треуrольника A,CID острые;
б) в ориrинале все уrлы треуrольника A,CID острые; в) в ори-
rинале треуrольник А 1 С lD тупоуrольный?
5) На изображении куба (рис. 125t а) отрезки мр и КТ
КQнrруэнтны. Какие из следующих высказываний истинны: четы-
рехуrольник мткр является: а) параллелоrраммом; б) прямо..
уrольником; в) квадратом; r) ромбом?
Задачи
537. Отметьте в плоскости а, три точки At Bt С, не лежащие
На одной прямой. Постройте изображение правильноrо шести-
т х С,
81 А , А 1
DJ
В О С
А D А р D
А а) о)
Рис. 124 Рис. 125
117
уrольника, лежащеrо в плоскости а.,
у KOToporo точки А, В, С являются тремя
последовательными вершинаМJt.
538. Постройте изображение призмы,
в основании которой лежит правильный
шестиуrольник.
539. На рисунке' 126 точки М и Р'
лежат внутри rрани ASC пирамидЫ SABC,
а точка К в rрани АВС. а) Постройте
точки пересечения прямой МР с ребрами
пирамиды или с их продолжениями. б) Назовите плоскости rpa-
ней, в которых лежит каждая из построенных точек. в) Построй-
те пересечение плоскости МРК спирамидой.
540. Начертите изображение четырехуrольной пирамиды
SABCD, в основании которой лежит квадрат ABCD. Возьмите
в rрани BSC точки М и Р, а в rрани ABCD точку К и построй
те пересечение плоскост,и мр К спирамидой.
541. Возьмите в rрани АА lВ IB треуrольной призмы точки
М И Р, а в rрани АВС точку К. Постройте пересечение плоскости
МРК с призмой.
542. В передней rрани куба (рис. 125, б) изображен рав-
носторонний треуrольник AMD; точки Р, К и Т середины
ребер. Нужно построить изображение рзвностороннеrо треуrоль-
ника B 1 C I N, расположенноrо в верхней rрани куба. Укажите,
какие И3 следующих приемов построения правильны: точка N
строится так, что NE[KT] и а) IC1NI==IB1C11; б) ITNI===IPMI;
в) ITNI == IPMl · r) (MN)II(DC).
INKI IMKI' 1
543. Отметьте на чертеже точки А, В, С, Аl. никакие три
И3 которых не лежат на одной прямой, и постройте изображение
треуrольной призмы с основанием АВС и боковым ребром [AAI],
считая rpaHb АВС видимой.
544. Отметьте на чертеже четыре точки Al,Bl, D., А, никакие
три из которых не лежат на одной прямой, и постройте изображе-
ние параллелепипеда, у KOToporo отрезки А.Вl, A.DI, А.А
являются ребрами, считая rpaHb A I B 1 C.D l видимой.
545. Точки К и Т середины ребер АВ и ВС треуrоль
ной пирамиды SABC; точка М E[AS] выбрана так, что
IAMI ==+ IASI . Сделайте чертеж и постройте на нем пересече
ние пирамиды с плоскостью МКТ.
546. В основании четырехуrольно'й пирамиды с вершиной S
лежит параллелоrрамм ABCD; точки М иР........ середины ребер
[AS] и [BS]. Сделайте чертеж и постройте на нем пере сечение
пирамиды с плоскостью МРС.
547. Сделайте чертеж треуrольной призмы с основанием АВС
и боковыми ребрами [AAI], [ВВ 1 ], [сс.]. Точки Е, F, К, М, N
118
s
А
середины ребер [.41 С.], -[ВС], [АА 1], [ВВ.], [АВ]. Постройте пе..
ресечение призмы с плоскостью: а) KEF; б) КЕМ; в) EFN;
r) MNE; д) MKF.
548. Сделайте чертеж параллелепипеда ABCDA.B1C1D.. Точки
М, N, Р, Q, R середины ребер [АА 1 ], [AIBI], [ВС], [В. С.],
[DD,], Постройте пересечение параллелепипеда с плоскостью:
а) MNP; б) MPQ; в) MQR; r) MNR; д) NPR; е) NQR.
549. Сделайте чертеж четырехуrольной пирамиды с вершиной
S, в основании которой лежит параллелоrрамм ABCD. Точки
М, N, Р середины ребер [AS], [В С], [CD]. а) Докажите, что
точки М и N равноудалены от плоскости SBD. б) Постройте
точки пересечения отрезков MN и МР с плоскостью SBD.
в) Постройте пересечение пирамиды с плоскостью: MN Р; AMN;
!rfND; ВМР; CDM.
550. Сделайте чертеж прямоуrольноrо параллелепипеда и
возьмите произвольно точки М, N, Р, лежащие соответственно
в верхней, передней и правой rранях. а) Постройте пересечение
u u
параллелепипеда с плоскостью, перпендикулярнои нижнеи rрани
и содержащей прямую MN. б) Найдите точку пересеч ния прямой
MN с нижней rранью. в) Постройте пересечение параллелепипеда
с плоскостью MN Р.
r л а в а VI
ДВИЖЕНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТР АНСТВА
38. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
о о р е Д е л е н и е. Движением пространства называется та-
кое отображение пространства в себя, которое сохраняет рас-'
стояния.
Иначе rоворя, если движение f переводит точки А, В в точки
AI, BI (это записывают так: A Al. B BI), то IABI == IAIBtl.
о п р е Д е л е н и е. Фиrура Р называется КОНZРУЭНТНОЙ фиrуре
Q, если существует движение f, переводящее фиrуру Р в Q.
З а м е ч а н и е. Во мноrих учебных пособиях термин «кон-
rруэнтные фиrуры» не используется, а вместо Hero применяется
термин «равные фиrуры» и в связи с этим утверждение «фиrура Р
равна фиrуре Q» (или запись р== Q) используется в двух случаях:
1) фиrуры Р и Q с о в о а Д а ю т; 2) фиrура Р оереводится в Q
некоторым движением (т. е. Р и Q к о н r р у э н т н ы). Такая
двузначность термина «равны» приводит К неточностям. На-
пример, если f движение и l орямая, то запись f (l)==m
означает при таком понимании, что «прямая f (/) (т. е. образ
прямой l) конrруэнтна прямой т»; это делает запись f (l)==т
б е с с м ы с л е н н о й, поскольку ведь любые две прямые
конrруэнтны. Есть и ряд друrих ситуаций, в которых смешение
понятий «совпадающие фиrуры» и «конrруэнтные фиrуры»
с помощью 'неопределенноrо термина «равные» может привести к
неточностям и недоразумениям. Заметим в связи с этим, что в.
алrебре (и вообще, в математике) термин «равные» И знак «==»
используются для обозначения совпадающих объектов. Например,
в алrебре запись f (хо) == уо означает, что числа f (Хо) и уо С О В-
П а Д а ю т (а вовсе не то, что точка f (хо) числовой оси «кон-
rруэнтна» точке уо: ведь любые две точки числовой оси кои.
rруэнтны). Любое друrое использование знака «== » BcerAa
сопровождается словесным указанием о ero смысле; например.
пишут су р а в н е н и е f (х) == g (х)>> или «п О Л О Ж И М 20 == f (хо)>>
(т. е. через 20 по определению обозначается значение функции f
в точке хо) и т. д. Основное же применение знака -« ==»
соответствует слову «совпадают». Поэтому мы В дальнейшем
(в соответствии с традициями всей математики) используем знаК
«===» И термин «равны» как СИ нониft.1 слова «совпадают». Если
же р и Q две конrруэнтные (но не совпадающие) фиrуры.
то будем либо писать f (Р)== Q (т. е. образ фиrуры Р при движенИil
f с о в п а Д а е т с Q), либо писать «р И Q конrруэнтны». (Сое-
120
анальный знак для обозначения
конrруэнтности удобен, но в этой книrе
не прнменяется, поскольку он принят не
во всех школьных учебных пособиях.)
Определим теперь образ вектора
прИ движении. Пусть f движение и
а ......... вектор. Выберем произво-!!ьную точ-
кy А и отложим от нее вектор а, т. е. най-
...
деМ такую точку 8, что АВ ==а. Далее,
через А, и В, обозначим образы то-
чеК А и В и движении f (рис. 127).
Векто!!. о. ==А,В. называется образом век-
тора а !!ри движении f и обозначается
через ., (а).
Приведенное определение страдает
одним недостатком: для нахождения век-
тора f (о) нужно... не только задать движе-
ние f и вектор а, но еще выбрать произвольную точку А. Одна-
ко в действительности это определение корректно, т. е. вектор
f (а) н е з а в и с и т от выбора точки А, участвующей в ero по-
crроении.
Докажем это. Пусть, кроме точки А, взята друrая точка А',
...
от которой также отложен вектор а, т. е. А'В'===а. Образы точек
А' и В' при движении f обозначим через А. и Br....HaM нужно
доказать, что если проводить построение вектора f (а), исходя от
точки А', то получится тот же вектор: A{Bi==A.B..
Для доказательства обозначим через О середину отрезка
АВ' (т. е. ОА == В'О). Тоrда
... --+-
08 ==ОА +АВ=== В'О + а==В'О+А' В' ==А'О,
Т. е. О является также серединой отрезка А' В (рис. 128).
Заметим, что при движении середина отрезка сохраняется.
Поэтому точка 01, в которую переходит О при движении "
является серединой каждоrо. из отрезков А lBf, А 1 В 1, т. е.
AfOl ==ОI В , И 0181 ==А I О 1 .
в
A
А, . '( '6)
Рис. 127
8.
в
B'
A 8 ,
А'
А' 8 '
, ,
Рис. 128
Теперь находим:
A.Bf ==А.О } + 01Bf ==О'В l +А I О I ==АIВ.,
Что и требовалось доказать.
т е о р е м а. Любое движение f сохраняет векторные операции,
Т. е. для любых векторов а, ь и любоzо k ER справедливы со-
ОТношения
f (а+ Ь)== f (а)+! (Ь),
121
(1)
А
в
в
А
..
f( ы ... f( а)
с
С,
[1
Рис. 129
Рис. 130
f (а) f (Ь)==аЬ,
f (ka) kf (а).
(2)
(3)
д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произволь ю точку А и
..
обозначим через В, С такие точки, что АВ == а, ВС == Ь (рис. 129).
Образы точек В, С при движении f обозначим через А., BI, С..
Тоrда а+ ь ==АС, и потому
... ...
f (a+b) AICI ==AIBI +B1C. ==' (а)+' (Ь),
чем доказана справедливость соотношения (1).
...
Далее, пусть АВ == а, А С == Ь и А 1, В 1, С I ......... образы точек
А, В, С при движении f (рис. 130). Тоrда
...... ... ... ...
I BCI 2 == ВС 2 ==(АС AB)2 ==(Ь а)2 == Ь 2 + а 2 2аЬ ==
== IABI2+ IАСI2 2аБ,
откуда
...... IABI2+ IACI 2 .....\BCI 2
аЬ==
2
(4)
Аналоrично
f (о) f (Ь)==
IA.B.12+ IA 1 C.1 2 .....\B 1 C.1 2
2
(5)
Так как при движении сохраняются расстояния, то IAB 1== IA.B.I,
IАСI == IA.C11, IBCI == IB.C.I. ИЗ (4) и (5) теперь следует справед"
ли вость соотно шения (2). ...
Наконец, обозначим вектор ka через ё. To дa ё ka === О,
н потому
?...... 2kаё + k 2 li 2 == о. (6)
Так как (в силу уже доказзнноrо соотношения (2)) аё == f (а) f (ё),
а 2 ==! (а)2, ? ! (ё)2, то из (6) следует, что:
f (ё)2 2kf (а) f (ё) + k 2 f (а)2 == О,
122.
т. е. (! (ё)....... kf (а»)2==О. Следовательно, f (ё) kf (а)==О, т. е. f (ka)........
...... kf (а) == О, чем и доказа на спра ведливость соотношения (3).
Контрольные вопросы
1) Докажите, что при 4вижении отрезок переходит в отрезок,
прямая переходит в прямую.
2) Для доказательства корректности определения вектора
f (а) было использовано утверждение о том, что при движении
сохраняется середина отрезка, т. е. если О середина отрезка
[MN] и M..i.M J . N..i.N(. O O.. то о. середина отрезка
[М 1 N 1]. Докажите I это утвержден,:е. ...
3) Докажите, что если вектор Ь выражается через а" а2, ..., а п ,
Т. е. Ь == k 1 al + k 2 a2 + ... + kna n , то вектор f (Ь) выражается через
f (аl), f (а2), ..., f (Оп) с теми же коэффициентами:
f (Ь)=== k1f (аl)+ k 2 f (а2) + ... +knf (ап).
Задачи
551. Докажите, что центральная симметрия является дви-
жением.
552. Дан вектор а. Отображение t переводит произвольную
точку М В точку MI, получающуюся в результате откладывания
...
вектора а от точки М, т. е. ММ 1 == а. Докажите, что t движение
(это движение называется nараллельныМ, nереносом. на век-
ТО р а).
553. Докажите, что фиrура, конrруэнтная плоскости, пред-
ставляет собой плоскость.
554. Прямые а и Ь переходят при движении f в прямые а. и Ь..
Докажите, что: а) если allb, то аlI(Ь.; б) если aJ..b, то a..Lb l
(Т. е. движение сохраняет параллельность и перпендикуляр
ность прямых).
555. Докажите, что при движении скрещивающиеся прямые
переходят в скрещивающиеся.
556. Движение f переводит векторы а, ь в al, Ь.. Докажите,
Что векторы а и ь в том и только в том случае ортоrональны,
если аl и Ь 1 ортоrональны.
557. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. Движение f удовлет"
80ряет условиям f (ёl)==ё t , f (ё 2 )==ё 2 . Докажите, что справедливо
Одно из соотношений f (ё з ) == ё з , f (ё з ) == ё з .
558. Плоскости а и переходят при движении f в плоскости
а I и 1. Докажите, что: а) если (Х II , то (Х I 11 .; б) если a,.L р,
ТО cx.1...L I (т. е. движёние сохраняет параллельность и перпен"
дикулярность плоскостей).
123
.
559. Докажите, что при движении сохраняется: а) уrол между
двумя прямыми; б) уrол между прямой и плоскостью; в) велИчина
двуrранноrо уrла.
560. Прямая 1 перпендикулярна плоскости <Х. Докажите, ЧТО
если 14/1, а,4(%,., rде f движение, то lt..La..
39. ДВИЖЕНИЯ И КООРДИНАТЫ
Т е о р е м а. Пусть (о; еl, ё 2 , ё з ) и (О'; ё 1 , ё 2 , ё з )........ две nрямо-
У20льные систе.м.ы координат в пространстве. Тоеда существует,
и nритом' только одно, движение " переводящее первую систему
координат во вторую (Т. е. такое, что 040', f (е.)==ё., f (е2)==ё 2 ,
f (ез)==е5) (рис. 131).
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть М........ произвольная точка,
(х; у; z)........ ее координаты в первой системе, т. е.
... ...
ОМ==хе.+у е 2+ zе з. (1)
Если существует движение " переводящее первую систему
во вторую, то (поскольку движение сохраняет векторные опера-
ции) оно должно перевести точку М в такую точку М', что
О' М' == хё. + уе2 + zё з . (2)
Иначе rоворя, точка М' должна в системе (О'; ёr, ё 2 , e ) иметь
т е ж е координаты, которые имеет точка М в системе
(о; , el, е2, ё з ). Следовательно, образ точки М определяется
однозначно, Т. е. искомое движение, если оно существует, един-
ственно.
Докажем, что искомое движение действительно существует.
Иначе rоворя, обозначим через f отображение, которое точку М,
удовлетворяющую условию (1), переводит в точку М', удовлетво-
ряющую условию (2), и проверим, что, Bo nepBЫX, f есть движение
и, во"вторых, f переводит систему (о; е., е2, ё з ) в систему
... ... ...
(О '. , е , ' )
, е., 2, ез.
Рис. 131
Действительно, пусть М4М', N4N'
и пусть (х.; Уа; %.) И (Х2; У2; %2) ----= к ор и.
наты точек М и N в системе (о; el, е2, ез).
Тоrда по определению отображения f точ-
ки м' и N' имеют те же координаты в
(О '. ..., ..., "" )
системе ,е., е2, ез, т. е.
... ... ...
ОМ ==х.е. + у.е2 + z.ез,
ON == Х2е. + у 2 ё 2 + %2ез,
124
.... ... . ... ... ... ...
О' М' == xtei + Yle2 + Zlез, О' N' == X2e + У2е2 + Z2ез.
ИЗ этих равенств следуеТ t что
... ... ...
MN ==ON OM ===(X2 Xl) еl +(Y2 Yl) e2+(z2 ZI) ез,
... ... ...
М' N' == О' N' О' м' == (Х2 XI) еl + (У2....... YI) е2 +(Z2 ZI) ез,
и потому
1М N 12 == (х2....... Хl)2 + (У2....... Уl)2 + (Z2 ZI)2,
1М' N' 12 == (Х2 XI)2 + (У2 Уl)2 + (Z2 ZI)2.
Таким образом, \MNI==\M'N'\ (для любых М, N), т. е. '
движение.
Наконец, I!p0l!ePI!.M, что f переводит си тем'у (9; ё 1 , ё 2 , ё з ) в
систему (О'; ее е2, ез). Отложим векторы el, е2, ез от точки О,
а векторы ёl, ё 2 , ё з от точки О':
ё 1 ==ОА 1 , ё 2 ==ОА 2 , ё з == ОА з ;
--+
е ...., О ' А ' е ...., О ' А ' е ..., О ' А '
1 == 1, 2 == 2, З == з.
Тоrда координаты точки AI в системе (о; ё l , ё 2 , ё з ) равны (1; о; о)
и те же координаты имеет точка А 1 в системе (О'; ё" ё 2 , ё з ).
Следовательно, А I..iA 1. Это означает ( поскольку o..io' ) , что
.
вектор ё l == ОА 1 переходит в ё. == О' А It т. е. f (ё l )== ёl. Аналоrично
f (ё 2 ) == ё 2 , f (ё з ) == ё з , т. е. система (о; ё l , ё 2 , ё з ) переходит в
(О '. ...., ..., ... ' )
, е 1, .е2, ез.
С л е Д с т в и е. Всякое движение представляет собой взаимно
однозначное отображение пространства на себя.
В самом деле, пусть (о; ё l , ё 2 , ё з ) прямоуrольная система
координат и (О'; ef, ё , ё з ) систеМ8 t в которую она переходит в
результате движения f. Возьмем произвольную точку M't И пусть
(х; у; z) ее координаты в системе (О'; ёr, ё , ё з ). Из доказа..
теJIьства теоремы видно, что существует, и притом только одна,
точка М, которая переходит в М' при движении ft а именно та
точка М, которая в системе (о; ё 1 , ё 2 , ё з ) имеет т е ж е координаты
(х; у; z). Это и означает, что f взаимно однозначно отображает
Простра ство на себя.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что два шара в том и только в том случае
коиrруэнтны, если одинаковы их радиусы.
2) Докажите, что любые две прямые конrруэнтны.
3) Докажите, что любые ДJ3е плоскости конrруэнтны.
125
Задачи
561. Прямая 1 перпендикулярна плоскости а; прямая l'
перпендикулярна плоскости а'. Докажите, что существует
движение " при котором a, a', [ /'.
562. Прямые /1, 12, [3 проходят через точку О и попарно
перпендикулярны. Сколько существует движений, переводящих
фиrуру I1 U /2 U /з в себя?
563. Сколько существует движений, переводящих данный куб
в себя?
564. Прямоуrольный параллелепипед имеет три ребра разной
длины. Сколько существует движений, переводящих этот парал-
лелепипед в себя?
565. Сколько существует движений пространства, переводя-
щих данный квадрат в себя?
566. Докажите, что если f движение, то для любых фиrур
Р, О справедливо соотношение f (FП 0)==1 (F)nf (О).
40. ПОНЯТИЕ ОБ ОРИЕНТАЦИИ
Пусть е., ё 2 , ё з и ё l , ё 2 , ё з два базиса (не предполаrаемых
ортонормированными), у которых первые векторы одинаковы и
вторые одинаковы. Отложим векторы этих двух базисов от
точки о:
.... ... .... ...
el==OA 1 , е2==ОА 2 , ез==ОА з , ез==ОА з .
Если Аз и Аз находятся по одну сторону от плоскости ОА IA2t
то условимся считать, что эти базисы имеют одинаковую opиeH
тацию (рис. 132), а если по разные стороны, то противоположную
ориентацию.
Аналоrично обстоит дело, если в двух базисах совпадают
первые и третьи векторы (или вторые и третьи).
Пусть теперь ё l , ё 2 , ез и ei, ё 2 , ё произвольные базисы.
Можно доказать, что существует такая цепочка el, ё 2 , ё з ;
I), I), I); ё)2), e 2), ); ...; e)k), ё k), a k ); еl, ё 2 , ё з , начинающаяся
с еl, е2, ез и кончающаяся базисом ё 1 , ё 2 , ез, что, последовательно
переходя в этой цепочке от базиса к базису, мы каждый раз
меняем т о л ь К О О Д И Н вектор. Следовательно, о любых двух
соседних базисах можно выяснить, име-
ют они одинаковую или противополож-
ную ориентацию. Если, проходя эту це-
почку, мы четное число раз переходим
к базису противоположной ориент...аци и,
то условимся считать, что базисы е" е2,
ё з и ёf, ё 2 , ё з имеют одинаковую ориента-
Рис. 132 ЦUЮ 1 а если н е ч е т н о е, то проти80nО-
126
ложную ориентацию. Обоснование кор..
ректности этоrо определения (т. е. то, что,
по..разному выбирая цепочку перехода
от одноrо заданноrо базиса к друrому,
мЫ всеrда будем иметь одну и ту же
четность числа переходов) вытекает из
фактов, рассматриваемых в п. 66.
На практике в пространстве удобно
различать «левые» И «правые» базисы
в зависимости от Toro, можно ли к век-
торам ё l , ё 2 , ё з «приложить» большой,
указательный и средний пальцы левой Рис. lЗЗ
(рис. 133) или правой руки. Друrим спо-
собом задания ориентации в реальном пространстве являет-
ся «прави о буравчика», применяемое в физике.
Пусть теперь f произвольное движение пространства и
ё l , ё 2 , ё з ......... некоторый базис. Если базисы ё l , ё 2 , ё з И f (ё l ), f (ё 2 ),
f (ё з ) имеют одинаковую ориентацию, то 1 называют движением,
сохраняющим ориентацию. Если же эти базисы имеют противо-
положную ориентацию, то f движение, меняющее ориентацию.
Это определение в действительности не зависит от выбора
исходноrо базиса ё l , ё 2 , ё з , т'. е. можно доказать, что каждое
движение f либо л 10 б о й базис переводит в базис той же
ориентации (и тоrда f движение, сохраняющее ориентацию),
либо же f л ю б о й базис переводит в базис, ПРОТИВОПОЛОЖНf> с
ним ориентированный (, меняет ориентацию). ... ...
т е о р е м а «подвижности» пространства. Пусть еl, е2........
единичные ОРТО20нальные векторы и ёi, ё 2 друzая пара еди-
ничных ортоzонаЛЬНbtх векторов. Пусть, далее, О u О' произ-
вольные точки. Существуют только два движения, переводящие
точку О в О', а векторы ё l , ё 2 соответственно в ёr, ё 2 . Одно
из этих движений сохраняет, а apyzoe м.еняет ориентацию.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Дополним ё l , ё 2 до ортонормирован"
Horo базиса ё l , ё 2 , ё з , а ёi, ё 2 до ортонормированноrо базиса
... ... .... ..... ....
ef, е2, е5. Базис ef, е2, ....... e также ортонормированный.
Соrласно теореме п. 39 существует движение 11, которое
переводит систему координат (О; ё l , ё 2 , ё з ) В (О'; ёr, ё 2 , ё з ); точно
так же существует движение '2, переводящее (о; ё l , ё 2 , ё з ) В
.... .. ... .-. ....... .....
(О'; ef, e , ез). Так как базисы ef, е2, ез и ef, е2, .......е3 противо-
положно ориентированы, то один ИЗ этих базисов имеет ту же
ориентацию, что ё 1 , ё 2 , ё з , а друrой ......... противоположную. Следова-
тельно, одно из движений /1, 12 сохраняет ориентацию, а друrое
Меняет ориентацию.
Кроме 11, /2, не существует движений, переводящих
О, ё" ё 2 В О', ё., ё 2 . Действительно, если 1 ......... такое движение, то
127
оно пере водит sист му (О; е., е2, ез) в (О'; е:, е , ез), при ем ез
составляет с е(, е2 ортонормированный базис е., e , ез. Но
тоrда ез совпадает или с e , или с е5, и потому / совпадает с
одним из движений f 1, /2.
Контрольные вопросы
1) Пусть ё., е2, ё з произвольный базис. Докажите, что
базисы ё l , ё 2 , ё з и ё., ё 2 , ё з противоположно ориентированы.
2) Докажите, что центральная симметрия является движением
пространства, меняющим ориентацию.
3) По аналоrии с пространством опишите, в каком случае
базисы ё., ё 2 И ё., ё 2 плоскости а имеют одинаковую ориен-
тацию и в каком противоположную ориентацию.
4) Сохраняют или меняют ориентацию следующие движения
плоскости: параллельный перенос, поворот, центральная симмет-
рия, осевая симметрия?
5) Сформулируйте теорему подвижности для плоскости.
Задачи
567. Векторы ё l , ё 2 , ё з образуют ортонормированный базис.
Определите в каждом случае, имеют ли базисы а, ь, ё и al, Ь 1 , ё.
одинаковую или противоположную ориентацию:
а) а==а.==ё l ; Ь==Ь 1 . ё 2 ; ё==2ёl ё2+зёз; ёl==ёl 2ё2 зёз;
б) а==а.==ёl ё2; Ь==Ь 1 ==2ё l +2ё 2 +ё з ; ё==ёl ёз; ё l ==
== ё I + j 2 1: 2 ё з ;... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
в) a==al==el; Ь==е2; Ь1==е2+ез; с==ез; СI==е1+е2+ез.
568. В прямоуrольной системе координат заданы точки
О (О; о; о), А (1; о; 2), В (3; 1; 1), С (1; 1; 3), D (2; 3; 5). Напи-
шите уравнение плоскости ОА8 и определите, по одну или по раз-
ные стороны от нее расположе,НЫ точки С и D. Одинаково или
"'""""*
противоположно ориентированы базисы ОА, ОБ, ОС и ОА, 08,
OD?
569. Даны два базиса ё., ё 2 , ё з и ё., ё 2 , kё l +mё 2 +пё з .
Докажите, что они в том и только в том случае одинаково
ориентированы, если п > о. ..
570. Даны точка О, единичные ортоrональные векторы а, ь
и ортонормированный базис ё 1 , ё 2 , ё з . Сколько существует
движений, оставляющих точку О на месте и переводящих векторы
а, Ь в какие-либо два вектора базиса ё., ё 2 , ё з ?
571. Одинаково или противоположно ориентированы базисы
... ..... ... .... ......
е., е2, ез и el, ез, е2? базисы е., е2, ез и ез, е2, el?
128
572. Докажите, что если а, ь, ё, d единичные векторы,
причем аЬ == ёа, то существует движение, переводящее векторы
а, ь соответственно в ё, а.
573. Даны плоскости а, , прямые 1 с (1." m с fJ и точки
А Е [, В Е т. Сколько существует движений, переводящих а, 1, А
соответственно в р, т, В?
41. ПАР АЛЛЕЛЬНЫй ПЕРЕНОС
о п р е Д е л е н и е. Пусть а некоторый вектор. Параллель..
ным nереносом, пространства на вектор а называется отображе-
ние, которое произвольную точку М переводит в такую точку М 1,
...
что ММ 1 == а (рис. 134).
Т е о р е м а. Параллельный переное является движением,
сохраняющим ориентацию. При параллельном nереНйсе t каждый
вектор р переходит в себя: 1 (р)==р.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть М, N две точки, а М 1, N 1
точки, В которые они переходят при параллельном переносе t
... ...
на вектор а, т. е. MM 1 ==NN.==a. Тоrда (рис. 135)
MN ==ММl +M1N 1 +NIN ==а+М IN l a==M1NI,
и потому 1 MN 1 == 1 м lN 11. Таким образом, параллельный
сохраняет расстояние и потому является движением.
Далее, произвольный вектор р ==MN
переходит в BeK...Top...t (Р)== М lN.; соrлас..
но (1] имеем t(p)==p, т. е. каждый век-
тор р переходит в себя. Поэтому парал..
лельный перенос t переводит произволь
ный базис ё l , ё 2 , ё з в тот же самый базис
и пото {у сохраняет ориентацию.
О п р е Д е л е н и е. Результат после
довательноrо выполнения движений f и g
называется композицией этих движений
и обозначается через g о f (первым выпол"
няется " затем g).
Например, если A..iA I , AI..! А2, то g о f
сразу переводит А в А 2 .
Т е о р е м а. Если tl параллельный
переное на вектор аl, а /2 параллель..
НЫй перенос на вектор а2, то ком,nози..
ция t2 о t. представляет собой парал..
дельный перенос на вектор аl + а2.
5 Заказ 924
129
(1)
перенос
81
А
.С,
D
11
r
...
а
Рис. 134
м а м ,
N
а
Рис. I 135
A
д
01 в
Рис. 136
Д о к а 3 а т е л ь С Т В о. Возьмем про-
извольную точку At и пусть A Alt
12 ... ..
AI A2. Тоrда АА 1 ==аl, А 1 А 2 ==а2. Сле-
довательно, АА 2 ==АА 1 +А 1 А 2 ==аl +а2
(рис. 136), и потому nP!i па раллельном
переносе на вектор аl + а2 точка А пере-
ходит в А 2 . Но композиция t2 о /1 тоже
переводит точку А в А 2 . Таким обра-
зом,...и I!.араллельный переное на век-
тор al + а2, и композиция 12 о /1 перево-
дят точку А в одну и ту же точку А 2 .
Так как это справедливо для л ю б о й
точки А, то композиция /2 о /1 С О в-
п а Д а е т с параллельным переносом на
вектор аl + а2.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что композиция любых двух движений является
движением.
2) Докажите, что композиция любых параллельных пере носов
/1, /2 обладает свойством коммутативности: /2 о /1 ==/1 о /2.
3) Докажите следующие утверждения: а) если каждое из
движений " g сохраняет ориентацию, то их композиция g о f
также сохраняет ориентацию; б) если каждое из движенИй ft g
меняет ориентаЦИЮ t то их композиция g о f сохраняет ориента-
цию; в) если одно из движений " g сохраняет, а друrое меняет
ориентаЦИЮ t то их композиция меняет ориентацию.
... 4) Докажите, что при а =#= о параллельный перенос на вектор
а не имеет неподвижных точек (т. е. точек, которые переходят
в себя).: Что представляет собой. параллельный переное на
вектор О?
Задачи
574. Движение f переводит любой вектор р в тот же самый
вектор: f (р) == р. Докажите, что f параллельный перенос.
575. Докажите t что при параллельном переносе каждая
прямая переходит в параллельную ей прямую. В каком случае
прямая переходит в себя?
576. Докажите, что при параллельном переносе каждая плос-
кость переходит в параллельную ей плоскость. В каком случае
плоскость переходит в себя?
577. Докажите, что если движение f переводит каждую
прямую в параллельную ей ПРЯМУЮ t то f параллельный пере-
нос.
578. Докажите, что если [АА 1 ]......... боковое ребро призмы, то
130
параллельный перенос на вектор АА l переводит ОДНО из оснований
призмы в друrое. '
579. Докажите, что композиция двух центральных симметрий
представляет собой параллельный перенос.
580. Докажите, что композиция центральной симметрии и
параллельноrо переноса представляет собой, центральную
симметрию.
42. ПОВОРОТ ПЛОСКОСТИ
Пусть а некоторая плоскость и а параллельный ей вектор.
Тоrда параллелъный перенос на вектор а переводит плоскость а
в себя, т. е. представляет собой д в и ж е н и е плоскости а,
сохраняющее ориентацию. Друrим примером движения плоскости,
u
сохраняющеrо ориентацию, является nО80рОТ, изучавшиися
в курсе планиметрии. Поворот r плоскости BOKpyr точки О
оставляет точку О на месте. Иначе rоворя, О н е n о д-
в и ж н а я т о ч к а движения '. При аксиоматическом изложении
это свойство поворота можно принять за определение.
О n р е Д е л е н и е. Движение плоскости а, сохраняющее
ориентацию и'переводящее некоторую точку О Е а в себя, называет-
ся nО80РОТО.м, плоскости а BOKpyr точки о. .. ..
Пусть в плоскости а задан ортонормированный базис el, е2,
и пусть f поворот этой плоскости BOKpyr точки о. Через
ёr, ё обозначим векторы, получающиеся из ё l , ё 2 при этом
повороте. Уrол между векторами ё l и ё. обозначим через . На
рисунке 137 векторы ё 1 , ё 2 , ее ё 2 отложены от точки о:
---+ ---+
ёl==ОА, е2==ОВ, ёr==ОА', e ==OB'.
Если при этом точка А' находится по ту же сторону прямой
(о; еl), что и В (т. е. скалярное произведение ef, ё 2 неотрицательно,
рис. 137, а), то будем rоворить, что f есть поворот плоскости BOKpyr
точки О на уrол р. Если же точка А I находится по друrую
сторону указанной прямой (т. е. ёrё 2 <о, рис. 137,6), то будем
rоворить, что f есть поворот плоскости BOKpyr точки О на уrол ---- р.
Таким образом, мы можем рассматривать поворот BOKpyr точки О
I
в
в
А'
А
о
е,
А
а)
А'
5*
Рис. 137
131
на любой уrол 1', rде 1800 < l' 1800. Далее, условимся
считать, TO поворот на уrол 3600 (так же как и поворот на 00)
представляет собой т о ж Д е с т в е н н о е отображение плоскости,
Т. е. оставляет каждую точку на месте. Тоrда для л ю б о r о
(положительноrо или отрицательноrо и как уrодно большоrо по
величине) определен поворот на уrол у. Например, так как
600° == 2. 360° 120° t то поворотом на уrол 600° будем считать
поворот на уrол 120°. При таком соrлашении композиция
поворотов на У2Лbt )'1 и У2 BOKPYZ точки О представляет собой
поворот BOKPYZ О на У20Л 1'1 + У2.
Заметим, что о поворотах плоскости «по часовой стрелке» или
«против часовой стрелки» можно rоворить, если мы смотрим, на-
u u
пример, с в е р х у на лежащии перед нами плоскии чертеж;
u
В пространстве же понятия «по» или «против» часовои стрелки
меняются местами, если мы с разных сторон «смотрим» на
плоскость а.
т е о р е м а 1. Пусть 8 плоскости а задан OpTOHopMиp.OBaн.
ный базис ё l , ё 2 , U пусть вектор ёа получается из ё l поворотом
на У20Л у; Tozaa ё! имеет координаты (cos у; sin 1').
Доказательство. Пусть сначала 00 y 180°, т. е.
уrол между векторами ё 1 и ё 1 равен у и ска ярное произведение
ёiё 2 неотрицательно (рис. 137, а). Соrласно теореме п. 21 вектор
ё 1 имеет координаты (cos ; sin ), или, что то же самое, координаты
( с os у; s i n у).
Пусть теперь 1800 <у<ОО, т. е. уrол между векторами
ё l и ё 1 равен .........1' и скалярное произведение ё! ё 2 отрицательно.
Соrласно теореме п. 21 вектор ёi имеет координаты (cos р; sin ).
Но так как
cos ==cos (........1')==cos у, .......sin == sin ( y)==sin 1',
то и в этом случае вектор ёi имеет координаты (cos 1'; sin у).
Итак, при 180° < 'у 180° вектор ё 1 имеет координаты
(cos у; sin у), а потому это справедливо и для любоrо у.
т е о р е м а 2. Пусть f поворот плоскости на У20Л 1', zae
180° < 1800. ТО2да для люБО20 вектора а =1= 5, параллельноzо
этой плоскости, У20Л между векторами а u f (а) равен I у 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ё l , ё 2 заданный ортонормиро"
ванный базис плоскости, а ёr, ё 2 базис, в который он переходит
при повороте ,. Соrласно теореме 1
ё 1 ==(cos )') ё 1 +(sin у) ё 2 .
(1)
Далее, так как ё 2 получается из ё l поворотом на уrол 900, а
ё 2 получается из ё 2 поворотом " т. е поворотом на уrол у, то
ё 2 получается из ё l поворотом на уrол 900 + 1'. Следовательно,
132
по теореме 1 вектор ё имеет координаты (cos (900 + '\'); sin (900 + ,,).
Т. е. ( sin '\'; cos '\'). Иначе rоворя, -
ё 2 == ( sin ",) ё 1 + (cos ,\,) ё 2 . (2)
Пусть теперь а==хё 1 +уё 2 . Тоrда в силу (1) и (2)
f (а) == xf (ё i ) + у! (ё 2 ) == хё! + уё 2 ===
==х «(cos у) ё l +(sin ,\,) ё 2 )+ у ( sin у) ё 1 +(cos ,\,) ё 2 )==
== (х cos у у sin ,\,) ё 1 + (х sin '\' + у cos ,\,) ё 2 ,
и потому
.а! (а) == х (х со s у у s i n ,\,) + у (х s in '\' + у cos '\'):=:
== (х 2 + у2) cos '\' == 0,2 cos у. ·
Но так как I аl == I{ (а)1 (поскольку поворот является движе-
нием и, следовательно, сохраняет длины), то й 2 == 1 ul 2 == 1 и! 11 (a)l.
Таким образом, а! (а)== lal If (а)1 cos ,\" и потому уrол между
векторами а и f (а) равен ''\'I (напомним, что уrол между BeK
торами заключен в пределах от 00 до 180°).
Контрольные вопросы
1) Докажите, что поворот плоскости BOKpyr точки О на
уrол 1800 представляет собой симметрию ОТН0сительно точки О
Что представляет собой поворот на уrол ОО?
2) Докажите, что если f и g повороты плоскости BOKpyr
одной и той же точки о, то f О g==g О {.
3) Векторы а, ь, ё, а, параллельные плоскости а, имеют.
.....
ин ковую длину; уrол между а и с равен у, уrол между
Ь и d тоже равен '\'. Можно ли утверждать, что существует по-
ворот- плоскост и а, переводя1'р.ИЙ а, ь в ё, а?
4) Вектор а получен из еl поворотом на уrол 1'1, а вектор
Ь получен из ё l поворотом на уrол 1'2. Найдите иЬ.
5) На плоскости а введена прямоуrольная система коорди-
..... ..... а .....
нат (о; el, е2). Вектор --::"""" получается из el поворотом на уrол у.
lal
Найдите координаты вектора а.
Задачи
581. Мноrоуrольник А lA 2 ...A n называется правUЛЬНЫм'1 если у
Hero все стороны конrруэнтны между собой и все уrлы KOHrpy
Энтны между собой. Докажите существование такой точки О,
что при повороте BOKpyr О на некоторый уrол l' (0° < '\' < 3600)
правильный п уrольник переходит в себя. Какие значения мо-
жет принимать '\'?
582. Композиция f о f Q ... О f (п раз), rде '........ поворот BOKpyr
133
А l .А .А
1
eL
о
е,
.8
Рис. 138 Рис. 139 Рис. 140
точки О на уrол -у, представляет собой тождественное отображе..
ние плоскости. Какие значения может принимать у?
583. Докажите существование правильноrо n..уrольника и вы-
числите ero уrлы. .
584. На рисунке 138 IMAI==IMBI, уrлы 1 и 2 прямые. Верно
ли, что т получается из l поворотом BOKpyr точки М?
585. При повороте плоскости BOKpyr точки О на уrол -у
прямая 1 переходит в т. Каков уrол между прямыми l и т,
если: а) -у ==400; б) "1== 500; в) -у== 1400; r) у== lЗQО?
586. На плоскости введена прямоуrольная система координат
(о; ё l , ё 2 ). Точка М переходит в М': а) при параллельном пере..
носе плоскости на вектор а (р; q); б) при повороте плоскости а
на уrол у BOKpyr. точки о. Найдите координаты х', у' точки М',
зная координаты х, у точки М.
587. а) Из пункта А в пункт В надо провести дороrу, пере-
секающую реку (рис. 139). Мост должен быть перпендикуляреll
береrам реки. В каком месте следует построить мост, чтобы до..
pora была кратчайшей? б) Та же задача в случае двух рек
(рис. 140).
588. Конrруэнтные окружности с центрами Р, Q пересекают..
ся в точках А и В. Через TOtIKY А проведена прямая, параллель..
пая (PQ); ее точки пересечения с окружностями обозначены
через М и N. Докажите, что 'МАI == INAI.
589. в плоскости CL даны две окружности lJ т; дан вектор
аН а. Найдите такие точки L Е [, М Е т, что LM == а.
590. В плоскости даны точка А и парал.пельные прямые [, т.
Постройте равносторонний треуrольник АВС, удовлетворяющий
условиям BEl, СЕт.
591. В плоскости даны точка А и параллельные прямые
1, т. Постройте равнобедренный прямоуrольный треуrольник
АВС (А вершина прямоrо уrла), удовлетворяющий условиям
BEl, СЕт.
592. В плоскости даны две окружности 1, т и точка о.
Найдите такие точки L Е l и М Ё т, что отрезок LM IlРОХОДИТ
через точку О и делится в ней пополам. Решите ту же задачу,
если l и т прямые.
593. В. плоскости даны окружность 1 с центром О и две
134
точки Р, Q, не лежащие на ней. Найдите на окружности такие
тОЧКИ А, В, что LAOB ==400 и (AP)II(BQ).
594. в окружности проведена хорда [PQ], делящая окруж-
ность на две дуrи т и n. На дуrе т заданы точки А, В; на хорде
взята точка М. а) Найдите такую точку Х Е n, что уrол АХВ
высекает на хорде [PQ] отрезок данной длины. б) Найдите такую
точку Х Е п, что уrол АХВ высекает на хорде [PQ] отрезок,
имеющий М своей серединой.
595. На сторонах выпуклоrо четырехуrольника ABCD как на
основаниях построены равнобедренные треуrольники АВР, BCQ,
CDM, DAN с уrлом а при вершинах М, N, Р, Q. Докажите, что
-----+- ...
(AQ +АМ)+СВМ +BN)+(CN +CP)+(DP+DQ)==O.
43. ТЕОРЕМА ШАЛЯ
о п р е Д е л е н и е. Пусть О некоторая точка плоскости сх
и a=FO вектор, параллельный этой плоскости. Меняющее ориен-
тацию движение плоскости а, переводящее О, а снова в о, а
(рис. 141), называется осевой симметрией (относительно (о; а».
О n р е Д е л е н и е. Пусть О некоторая точка плоскости сх
и а =F о вектор, па раллельный этой плоскости Через s о боз..
начим симметрию плоскости а относительн прямой (О; а), а
через t параллельный перенос на вектор а. Композиция t о s
называется СКОАьзящей симметрией. .
Основой доказательства следующей теоремы, которую дока-
зал в прошлом столетии французский математик и механик
Шаль, служит т е о р е м а п о Д в и ж н о с т и плоскости: если
А, В две точки плоскости а, а А' Е а, В' Е а такие точки,
что I А' В' I == 'АВ 1, то сущеСТВУIОТ ровно два движения плоскости
сх., переводящие А, В в А', В'; одно ИЗ них сохраняет, а друrое
меняет ориентацию.
т е о р е м а. Всякое сохраняющее ориентацию движение
плос/(,ости представляет собой либо поворот (в частности, цент..
ральную симметрию), либо пр,раллельный перенос. Всяко.е .ме..
няющее ориентацию движение плоскости является осевой или
скользящей симметрией.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть в'
f сt>храняющее ориентацию дви
жение плоскости а. Можно счи-
тать, что f не совпадает с тоЖ
дественным отображением е (по-
скольку е....... частный случай па-
раллельноrо переноса), т. е. су-
ществует такая точка А Е а, кото-
рая переходит в отличную от нее
точку В. Пусть Bl.c. Возмож- Рис. 141
135
ны CJIедующие случаи, которые мы
рассмотрим отдельно: 1) С совпадает
с А; 2) точки А, В, е различны и лежат
А,С на ОДНОЙ ПРЯМОЙ; 3) точки А, В, С не
лежат на одной прямой.
Рис. 142 В первом СJ1учае (рис. 142) точ-
ки А, В переводятся движением' в точ-
ки В, А, и потому середина О отрезка
АВ переходит в себя. Обозначим че-
рез 5 симметрию относительно точ-
ки о. Каждое из движений f, 5 пере-
водит точки А, В в точки В, А, и каж-
Рис. 143 дое из них сохраняет ориентацию.
Но по теореме подвижности сущест-
вует т о л ь к о о Д н о сохраняющее
ориентацию движение плоскости а,
А переводящее А, В в В, А. Следо-
вательно, f == 5, т. е. f является цент-
ральной симметрией. Во втором слу-
чае (рис. 143) движение f пере водит
точки А, В в В, С и параллельный
перенос t на вектор АВ тоже перево-
дИТ А, В в В, с. Как и выше, из
теоремы подвижности вытекает, что
Рис. 144 f == t, т. е. в этом случае f является
параллельным переносом. Наконец, в третьем случае (рис. 1:14),
проведя перпендикуляры к отрезкам АВ, Ве через их середины,
мы найдем на их l1ересечении такую точку О, что I ОА I == I ОВ 1==
== I OCI, уrлы АОВ, ВОС конrруэнтны. Следовательно, поворот,
BOKpyr точки О, переводящий А в В, переводит точку В в с.
Таким образом, оба движения " r сохраняют ориентацию и пере-
водят А, В в В, С. По теореме подвижности f==r, т. е. f является
поворотом.
Рис. 145
А' В
А В' С
Рис. 146
Пусть теперь f движение, меня-
ющее ориентацию. Тоrда f=t=e, и по-
тому можно рассмотреть те же три слу-
чая. В первом случае , переводит А,
В в В, А и меняет ориентацию. Но
симметрия 5' относительно прямой,
перпендикулярной отрезку АВ и прохо-
дящей через ero середину (рис. 145),
тоже переводит А, В в В, А и меняет
ориентацию. Соrласно теореме подвиж-
ности f == 51, т. е. в этом случае f
является осевой симметрией. Во вто-
ром случае (рис. 143) обозначим че-
рез 51 симметрию относительно пря-
мой АВ, а через t l параллельный
lЗб
пере нос на вектор АВ. Каждое из движений f и t J о 51 переводит
А, В в В, е и меняет ориентацию. Следовательно, f == t l 051, т. е. в
этом случае f является скользящей симметрией. HaKOHeц в третьем
случае (рис. 146) проведем среднюю линию [MN] равнобедрен-
Horo треуrольника Аве и обозначим через 52 симметрию отно-
сительно прямой MN, а через /2 парал.лельный перенос на
вектор MN. Каждое из движений f и /2 о 52 переводит А, В в
В, е и меняет ориентацию. Следовательно, f == /2 о 52, т. е. и в
этом случае f является скользящей симметрией.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что при осевой симметрии неподвижными точка-
МИ являются точки, принадлежащие оси симметрии, и только они.
2) Докажите, что скользящая си tметрия, не являющаяся осе-
вой симметрией, не имеет неподвижных точек. .
3) Какие из следующих высказываний истинны: а) если со-
храняющее ориентацию движение плоскости не имеет неподвиж-
ных точек, то оно является параллельным переносом, а если
имееТ то поворотом; б) если меняющее ориентацию движение
плоскости не имеет неподвижных точек, то оно является сколь
зящей симметрией, а если имеет осевой симметрией; в) если
движение плоскости имеет более одной неподвижной точки, то
оно является осевой симметрией; r) если движение RЛОСКОСТИ
имеет только одну неподвижную точку, то оно является пово-
ротом?
Задачи
596. Какие из движений плоскости удовлетворяют условию
f о f == е?
597. Пуст 5 симметрия плоскости а, относительно прямой
[са и (О.;. eJ, е2) такая прямоуrольная система координат,
что О Е 1 и е! является базисн м eKTopOM JIрямо....й [. а) Докажите,
что 5 переводит систему (О; е1, е2) в (O eL, ........ е2). б) Зная коор-
динаты х, у точки М Е а, в системе (о; eJ, е2), найдите в этой же
системе координаты х', у' точки М', в которую переходит М.
598. При обозна ениS!.х задачи 597 пусть t параллельный
перенос на вектор а == keJ. Зная координаты х, у точки М Е а,
Найдите координаты х', у' точки М', в которую переходит М при
скользящей симметрии t о 5.
599. Пусть 5 симметрия плоскости а, относмтельно пря-
мой [с: а, а t параллельный перенос на вектор а, являющий-
ся базисным вектором прямой 1. Докажите: что t о 5 == 5 о t.
600. Отрезок АВ параллелен прямой 1. Какой из треуrоль"
Ников Аве при С Е [ имеет наименьший периметр?
601. В плоскости а по одну сторону прямой 1 даны точки
А и В. а) Найдите на прямой 1 такую точку С, чтобы ломаная
137
AG.B была «световой траекторией», идущей из А в В и отражаю..
щейся от 1 по закону «уrол падения равен уrлу отражения».
б) Найдите на прямой [ такую точку М, дЛЯ которой сумма
IMAI + IMBI была бы наименьшей.
602. На прямоуrольном биллиарде ABCD расположены два
шара М и N. В каком направлении надо толкнуть шар М, чтобы он
попал в шар N: а) отразившись от борта [АВ] (уrол падения равен
уrлу отражения); б) отразившись от двух бортов [AB и [ВС);
в) ПОCJ1едовательно отразившись от всех четырех бортов?
603. Докажите, что если зеркало в половину человеческоrо
роста висит отвесно, то в нем можно видеть себя во весь рост.
На какой высоте должно висеть зеркало?
604. Внутри oCTporo уrла дана точка М. Найдите на сторонах
уrла такие точки Р и Q, чтобы MRQ имел наименьший пе-
риметр.
605. Прямые [1 и 12 пересекаются в точке о. Докажите, что
композиция 52 о 51 симметрий относительно этих прямых пред-
ставляет собой поворот BOKpyr точки о. Каков уrол Этоrо по-
ворота? Справедливо ли соотношение 52 о 51 ==51 о 52? Что пред-
ставляет собой эта композиция при II.l.l2?
606. В плоскости а даны прямые й,Ь и точки А Е й, В Е Ь.
Сколько сущестяует движений плоскости а" переводящих пря-
мую а в Ь, а точку А в В?
607. Что представляет собой композиция двух осевых сим..
метрий относительно параллельных прямых i и т?
608. Докажите, что правильный n-уrольник имеет посей
симметрии.
609. Докажите, что любое движение плоскости можно пред-
ставить в виде композиции двух или трех осевых сим етрий.
610. П"ри симметрии относите ьно ...ПРЯМ<2Й [ ве..ктор g.. пере-
ходит в аl. В каком случае: а) йl==а; б) аl== Й; в) аЙl==О?
44. КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИй ПРОСТР АНСТ8А
.. О n р е Д е л е н и е. Пусть О некоторая точка пространства
и е. единичный вектор. Движени-е f пространства, сохр.аняющее
ориентацию и п.ереводящее О, ё 1 снова в О, ё l
(рис. 117), называется поворото.м. BOKpyr
оси (о; еl).
Дополним ё. н которыми векторами ё 2 , ёs
до ортонЬрмированноrо базиса. Ясно, что
каждая точка оси (о; ё l ) является неподвиж"
нои точкой поворота j. Далее, плоскость
(о; ё2 ё з ). перпендикулярная ОСИ, ПОБорота (,
(0;"ёJ) отобр.ажается в себя. Таким образом, пово-
рот " ра.с.сматрнв.аемый только на плоскости
Рис. 147 (о; ё 2 , ё а ), представля,ет собой движение
138
(а; е,)
t (О;е 1 )
Рис. 148 Рис. 149
этой плоскости. Это движение имеет неподвижную точку О и
сохраняет ориентацию.... и, следовательно, является п о в о р o
т о м плоскости (о; е2, e:l) BOKpyr О на некоторый уrол у (рис. 148).
Соrласно теореме 2 п. 42
ё 2 == (cos у) ё 2 + (s i n у) ё з ; ё з == ( s i n у) ё 2 + (cos у) ё з . ( 1 )
Таким образ.2М,....раsсМаТриВаеМый П ВОр'от ....BoKpyr оси переводит
систему (О; el, е2, ез) в систему (о; ei, е2, ез).
Т е о р е м а. Пусть f поворот пространства BOKpyz прямой
(О; ё ) на У20Л у ( 1800<V 1800). ТОёда для люБО20 вектора
а =1= О, ортоzонаЛЬНО20 вектору ё lJ У20Л между векторами а и
f (а) равен 1 у I (рис. 149).
Это вытекает из теоремы 2 п. 42.
О п р е Д е л е н и е. Пусть (х некоторая плоскость, О
ее точка и ё 1 , ё 2 ортонормированный базис. Меняющее ориен
тацию движение, переводящее о; ё l , ё 2 снова в о; ё l , ё 2 (рис. 150),'
называется зеркаЛЬFlОЙ симметрией (или симметрией относитель
но плоскости а).
О n р е Д е л е н и е. Пусть 1 прямая и а ее базисный BeK
тор. Обозначим через r поворот пространства BOKpyr оси "
не являющийся тождественным отображением (Т. е. 00 < 'уl 1800,
rде 'v уrол поворота ,), а через t параллельный пере нос
на вектор а. Композиция t о r называется вИНТО8blJ4 движением.
О п р е Д е л е н и е. ....Пусть (х HeKO В с'
торая плоскость, а а параллельный
ей вектор. Обозначим через s симмет
рню о_носитеЛЬНQ плоскости а, а че-
рез t параллельный перенос иа век-
тор а. Композиция t о s называется СКDЛЬ-
зящей симметрией пространства.
О n р е Д е л е н и е. Пусть а, веКО-
торая плоскость и l перпендикулярная
ей прямая. Обоз.начим через s сииметрию
относительно плоскости С%, а через '"7"""' Рис. 150
139
поворот пространства BOKpyr оси 1, не являющийся тождествен-
ным отображением. Композиция s о , называется зеркальныАС
поворотом.
т е о р е м а. Всякое сохраняющее ориентацию движение про-
странства представляет собой либо параллельный перенос, либо
поворот BoKpyz оси, либо винтовое движение. Всякое м-еняю-
щее ориентацию движение пространства представляет собой либо
зеркальную сим-метрию, либо скользящую симметрию, либо
зеркальный поворот.
Доказательство приведено в п. 69.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что при зеркальной симметрии неподвижными
точками являются точки плоскости симметрии и только они.
2) Докажите, что если А Е а, то "'при симметрии относитель-
но плоскости а точка А переходит в та кую точку А 1, что отре-
зоК АА 1 перпендикулярен плоскости а, а ero середина принад-
лежит а.
3) Докажите, что симметрия относительно прямой (см. зада-
чу 262) Совпадает с поворотом на 1800 BOKpyr этой прямой.
4) Пусть а плоскость, а 1 перпендикулярная ей пря-
мая; О точка пересечения а, и 1. Докажите, что композиция
симметрии относительно прямой 1 и симметрии относительно
плоскости cl представляет собой центральную симметрию (отно-
сительно точки О). Таким образом, центральная симметрия
является частным случаем зеркальноrо поворота.
Задачи
611. Докажите, что если f симметрия относительно плос-
кости а и вектор а ортоrонален а, то f (а) === а.
612. а) Докажите, что из движений, сохраняющих ориента-
цию, только поворот BOKpyr оси и тождественное отображение
имеют неподвижные точки. б) Докажите, что если f поворот
и вектор а является базисным вектором оси поворота, то f (а) == а.
613. Докажите, что зеркальный поворот имеет только одну
неподвижную точку.
614. Какие из сл едующих высказываний истинны: а) если
движение пространства имеет только одну неподвижную точку,
то оно является зеркальным поворотом; б) если f т.акое, дви-
жение пространства, что множество всех ero неподвижных точек
представляет собой прямую, то f поворот BOKpyr оси; в) если
f такое движение пространства, что все точки некоторой
плоскости а являются неподвижными, то f симметрия относи-
тельно плоскости а; r) если меняющее ориентацию движение
пространства не имеет неподвижных точек, то оно представляет
собой скользящую симметрию; д) если меняющее ориентацию
140
движение пространства имеет две неподвижные точки, то оно ЯВ-
ляется зеркальной симметрией?
615. Какие из движений пространства удовлетворяют усло-
вию f о {==е?
616. Пусть s симметрия относительно плоскости (Х и
(о; ё l , ё 2 , ё з ) такая прямоуrольная система координат, что
О Е а и ё з является нормалью к плоскости (Х. а) Докажите, что
s переводит систему (о; ё l , ё 2 , ё з ) в систему (о; ё l , ё 2 , ё з ).
б) Зная координаты (х; у; z) точки М в системе (о; ё l , ё 2 , ё з ),
найдите в той же системе координаты -(х'; у'; z') точки М', в
которую переходит М при симметрии s.
617. Пусть s симметрия относительно плоскости сх, а t
....
параллельный перенос на вектор й, параллельный (Х. Докажи..
те, что t о s == 5 о t.
618. Пусть , поворот BOKpyr оси [, а t параллельный
перенос на вектор а, rде а базисный вектор прямой l. Дока-
жите, что r о t == t о '.
619. Система (о; ё l , ё 2 , ё з ) прямоуrольная. Докажите. что
v
композиция 5з о 52 о S I зеркальных симметрии относительно КООР"
динатных плоскостей (о; ё l , ё2), (о; ё l , ё з ), (о; ё 2 , ё з ) представ-
ляет собой центральную симметрию (относительно о).
620. Докажите, что если движение' имеет четыре неподвиж"
ные точки, не лежащие в одной плоскости, то f тождествен..
ное отображение.
621. Докажите, что если f и g повороты, оси которых про..
ходят через одну точку о, тр g о f также есть поворот, ось которо"
ro проходит через о.
622. Докажите, что если " g симметрии относительно
параллельных плоскостей (Х и , то g о f параллельный пе..
ре н ос.
623. Докажите, что любой параллельный перенос мож-
но представить в виде композиции двух зеркальных симмет..
рий.
624. а) Докажите, что если ,. g симметр и относительно
двух плоскостей, пересекаю-щихся по прямой [, то g о , пово"
рот BOKpyr оси 1. б) Докажите, что любой поворот BOKpyr оси
можно представить в виде композиции двух зеркальных сим..
Метрий.
625. Докажите, что любое движение , пространства пред..
ставляется в виде композиции нескольких зеркальных симмет-
рий. Что можно сказать о числе этих симметрий, если движе..
иие f: а) сохраняет; б) меняет ориентацию?
626. Докажите, что любое движение пространства можно
представить в виде композиции не более четырех зеркальных
симметрий.
627. Дана прямоуrольная система координат (о; ё l , ё 2 , ё з ).
141
Что представляет собой сохраняющее ориентацию движение ,.
которое удовлетворяет условиям: o o, f (ё l )==ё 2 , f (ё 2 )==ё.?
· 628. Точки А и В симметричны относительно плоскости а.
Докажите, что если МЕа, то IAMI == IBMI. Верно ли обратное?
45. rруппА САМОСОВМЕЩЕНИЯ
П.усть F некоторая фиrура на плоскости. Множе"ство всех
движений плоскости, которые переводят фиrуру F в себя, назы
вается zpyппoa саМОСО8мещенuй фиrуры F. Аналоrично если
F некоторая фиrура в пространстве, то множество всех дви
жений пространства, которые переводят фиrуру F в себя, на-
зывается 2руnпой самосов.мещенuй этой фиrурыI Р. Заметим,
что если в пространстве задана плоскость (Х и фиrура F с:. (Х,
то можно рассматривать движения п л о с к о с т и (х, переводя
щие фиrуру F в себя (это дает плоскую rруппу самосовмеще-
ний фиrуры F), или движения про с т р а н с т в а, переводящие
F в себя (это дает пространственную rруппу самосовмещений
фиrуры F).
Возьмем. например, параллелоrрамм общеrо вида, т. е. не
являющийся ни прямоуrольником, ни ромбом (рис. 151 Сущест-
вуют только два движения плоскости, переводящие этот парал
лелоrрамм в себя: тождественное отображение е и симметрия r
относительно точки О, т. е. rруппа самосовмещеНИI1 (плоская)
этоrо параллелоrрамма состоит из двух элементов е, '. Из T0ro,
u
что rруппа самосовмещении параллелоrрамма содержит цeHT
ральную симметрию " вытекают основные ero свойства: paBeHCT
во длин и параллельность противоположных сторон, равенство
величин противоположных уrлов и т. д.
rруппа самосовмещений ромба содер-
жит, кроме е и " еще две осевые сим
метрии 51, 52 относительно прямых, на
которых расположены диаrонали ромба
(рис. 152). Из' существования в rруппе
самосовмещений дополнительных (по
сравнению с параллелоrраммом) движе
ний 51, 52 вытекает наличие у ромба до-
полнительных свойств (помимо свойств,
присущих параллелоrрамму): перпенди
ку ярность диаrоналей, совпадение диа
rоналей с биссектрисами уrлов и т. д.
l2 Вообще, знание rруппы самосовме-
щений фиrуры во MHoroM определяет ее
rеометрические свойства.
rруппа самосовмещений правильной
треуrольной призмы обладает тем свойст-
вом, что для каждых' двух вершин cy
142
Рис. 151
L.
Рис. 152
В,
л I
". В' I
" ". ' I
". ----"
,," -*.... -* .., ..-. у
с "".... -* .... .... "
А
Рис. 153
Рис. 154
u
ществует в это н rруппе движение, переводящее одну из этих Bep
шин в друrую. Например, вершину А в В 1 переводит компози
ция 52 о 51, rде 51 симмеtрия относительно плоскости, прохо
дящей через середины боковых ребер (рис. 153), а 52 симметрия
относительно плоскости, проходящей чер з точки С, с. и cepe
дину ребра АВ.
rруппа самосовмещений куба обладает более сильным свой-
ством: для любых двух векторов, идущих по двум ребрам куба
(рис. 154), существует в этой rруппе движение, переводящее
один из этих векторов в друrой. Мноrоrранники, обладающие
u
таким своиством, называются правUЛЬНblAf.U MHozozpaHHuKaMu.
Можно доказать, что существует только п я т ь (с точностью
до размеров и расположения в пространстве) правильных мно-
rоrранников (рис. 155).
Пра8ильный тетразор Пра8ильный zеКСQэDр (куб) Лра8ильныи октаэор
Лра8ильныи додекаэдр
Пра8ильныu икосаэар
Рис. 155
143
Контрольные вопросы
1) Сколько элементов содержат rруппы самосовмещений
предметов на рисунке 156 (МЫ отвлекаемся от несимметрии де-
талей BHYTpeHHer? устройства, например, в автомобиле руль
смещен влево; следует учесть, что верхняя и нижняя части тела
морской звезды несимметричны относительно плоскости, проходя-
щей через концы ее лучей; напротив, снежинка симметрична
относительно такой плоскости)?
2) Укажите все движения, принадлежащие rруппе самосов-
мещений окружности (отдельно рассмотрите плоскую и прост-
ранственную rруппы самосовмещений).
3) Укажите свойства прямоуrольника, вытекающие из нали-
чия в ero rруппе самосовмещений двух осевых симметрий.
Задачи
629. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений
(плоская, пространственная) равнобедренной трапеции?
630. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений
(плоская, пространственная) д(Jльтоuда (т. е. четырехуrольника,
имеющеrо ось симметрии, проходящую через две ero верр1ИНЫ)?
631. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений
(плоская, пространственная) правильноrо п-уrОЛЬНИl<а?
632. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений
прямоуrольноrо параллелепипеда, имеющеrо три ребра разной
длины?
633. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений:
5)
L
д)
Рис. 156
144
а) правильной n..уrольной пирамиды; б) правильной п"уrоль-
ной призмы?
634. Опишите rруппу самосовмещений (плоскую, пространст-
венную): а) отрезка; б) луча; в) прямой; r) полуплоскости. '
635. Сколько движений, сохраняющих ориентацию, имеется
в rруппе самосовмещений куба?
636. Сколько в rруппе самосовмещений куба имеется дви-
жениЙ, оставляющих неподвижной: а) данную вершину; б) две
данные вершины, являющиеся концами одноrо ребра?
637. Сколько в rруппе самосовмещений куба имеется дви-
жеНИЙ, переводящих заданную ero rpaHb в себя?
638. Треуrольная пирамида ABCD удовлетворяет условию
IABI == IACI, IBDI == ICDI. Сколько элементов содержит rруппа
самосовмещений этой пирамиды, если: а) все расстояния I АВ 1,
IBDI, IADI, IBCI различны; б) 'АВI == IBDI, но IADI =;6: IBCI;
в) IADI == IABI == IBDI =F IBCI?
639. Сколько элементов содержит rруппа самосовмещений
правильноrо тетраэдра? октаэдра? додекаэдра? икосаэдра?
640. В правильном мноrоrраннике взяты два ребра [АВ] и
[CD]. Сколько в rруппе самосовмещений этоrо мноrоrранника
имеется движений, переводящих первое из этих ребер во второе?
641. а) Докажите, что для любых точек A 1 , А2, ..., А п ще"
ствует, и притом только одна, точка О, дЛЯ которой OA 1 +
...
+ОА 2 +...+ОА п ==О. б) Пусть AI, А2, ..., А п вершины мно"
rоrранника М, обладающеrо тем свойством, что любая ero
вершина может быть переведена в любую друrую вершину не..
которым самосовмещением мноrоrранника М, и пусть О такая
---+....
точка, что ОА 1 + ОА 2 + ... + ОА п == о; докажите, что при любом
движении, переводящем М в себя, точка О неподвижна, и вы-
ведите отсюда, что I OA11 == I ОА 2 1 == ... === I ОА п 1, т. е. О центр
описанной сферы мноrоrранника М. в) Докажите, что для вся-
Koro правильноrо мноrоrранника существует описанная сфера.
642. Пусть О центр описанной сферы правильноrо тетра-
эдра ABCD. Вычислите уrол между каждыми двумя из векто"
ров ОА, ОВ, ОС, OD. .
643. Вычислите радиус сферы, описанной BOKpyr: а) правиль..
Horo тетраэдра с ребром а; б) куба с ребром а; в) прави.пьноrо
октаэдра с ребром а.
644. Вычислите величину двуrранноrо уrла при ребре: а) пра..
Вильноrо тетраэдра; б) правильноrо октаЭДRа.
645. Вычислите уrол наклона ребра правильноrо тетраэдра
к Плоскости rрани, не содержащей это ребро.
646. Точка О центр описанноrо шара правильноrо мно-
rоrранника, 01 центр описанной окружности одной из ero rpa..
Ней. Докажите, что прямая 001 перпендикулярна плоскости
этой rрани.
145
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
647. Докажите, что центры окружностей, описанных BOKpyr
rраней правильноrо тетраэдра, являются вершинами еще одно..
ro правильноrо тетраэдра.
648. Докажите, что центры rраней куба являются вершина..
ми правильноrо октаэдра (рис. 157).
649. Вычислите высоту правильноrо тетраэдра с ребром а и
объем этоrо тетраэдра.
650. Докажите, что кубо/(таэдр (вершинами KOToporo служат
середины ребер куба, рис. 158) обладает тем свойством, что
любая ero вершина может быть переведена в любую друrую
вершину некоторым самосовмещением кубоктаэдра. Докажите
аналоrичное свойство, заменив куб друrим правильным MHoro..
rpa нииком.
65 t. Пусть в правильном мноrоrраннике М в каждой вер"
шине сходятся k ребер, а каждая rpaHb является правильным
п уrольником. а) Докажите, что число вершин мноrоrранника М
2аl u 2а.
равио Т' а число rранеи равно 7' rде (%1 число ребер.
б) Применяя теорему Эйлера (см. в п. 36 контрольный ВО-
1
прос 2), докажите, что (%1 == 1 I 1 . в) Пользуясь этим соотно"
n+k 2
шением, докажите, что п < б и k < 6 и имеются только следу-
ющие пять возможностей: 1) k == 3, п == 3; 2) k == 3, п == 4; 3) k == 3,
п==5; 4) k==4, п==3; 5) k==5, n==3. (Это и служит основой для
доказательства Toro, что существуют только 5 правильных м но..
rоrранников.)
652. Вершины правильноrо 2n-уrольника М, лежащеrо в пло..
скости (%, .взятые через одну, обозначены через А., А 2 ,..., А п , осталь"
ные вершины через 81,82, ..., В". Точки А f, А2, ..', A получаются
из В., 82, ..., В,. параллельным переносом на вектор а=#=О, являю-
щийся нормалью К плоскости а. а) Докажите, что выпуклый
мноrоrранник, вершинами KOToporo служат точки AI' ..., А п , Af,
..., A (антuпрuзм,а, рис. 159), обладает тем свойством, что для
146
каждых двух вершин антипризмы сущеСТQует ее самосовмещение,
переводящее одну из этих вершин в друryю. б) Сколько элементов
содержит rpynna самосовмещений антипризмы?
653. Через середину ребра [AD] правильноrо тетраэдра ABCD
с ребром а проведена параллельно ребру [ВС] плоскость. пере..
секающая rpaHb Аве под уrлом 450. Определите площадь
сечения.
654. Ребро правильноrо тетраэдра равно а. Найдите расстоя-
ние м.ежду скрещивающимися высотами rраней тетраэдра (два
CJ1учая ).
46. ЦИЛИНДР И КОНУС
Пусть р......... полуплоскость С rраничной прямой 1. Будем рас-
сматривать повороты полуплоскости Р BOKpyr прямой 1. Полу-
плоскости, в которые переходит Р в результате всех таких пово-
ротов, заполняют все пространство. Пусть теперь F ер...... неко"
торая фиrура. Всевозможные положения, в которые переходит
F при рассмотренных поворотах, образуют фиrуру W, которая
называется фиzурой вращения
(рис. 160); r080рЯТ, что w........ ре..
зультат вращения фиrуры F
BOKpyr прямой 1. Каждая
точка М Е F описывает в ре-
зультате вращения окруж"
ность, лежащую в плоскости,
перпендикулярной 1 (если М Е [,
ЭТа окружность превращается
в точку rруппа самосовме-
щений фиrуры вращения бес-
конечна: любой поворот BOKpyr
прямой 1 переводит W в себя.
Примерами фиrур враще-
ния являются цилиндр (полу-
чающийся при вращении пря-
.
Моуrольника BOKpyr прямои,
содержащей ero сторону;
рис. 161, а) и конус (получаю..
щийся при вращении прямо-
уrольноrо треуrольника BOKpyr
прямой, содержащей ero катет;
рис. 161 t 6). Поверхности (rpa-
ницы) этих тел также являют-
ся фиrураМR вращения. На-
ПРИмер, боковая поверхность
цилиндра (рис. 161, а) получа -
ется в результате вращения
отрезка ве BOKpyr прямой AD,
147
: <:olo ': :: : :':' ::: \ :/\:
.. .. .. .. M. . е... .. ... .
. . : .. .:. :. . '-!.,' . .. .. .. ..
. .':"' M;:.:::.: :
'.'.' ....;.. О.'
о,. : . .:.. :
О
. О .
. o":fs:O:
I о. .:.o<: <//(;') :
1 : .:::\ . .(.\. ;} } :.; ji1: ; .:,) :;.. o :
Рис. 160
l
в
а)
о)
Рис. 161
а два Kpyra, являющиеся oc
нованuями цилиндра, получа-
ются в результате вращения
отрезков АВ, CD. Отрезки, по
лучающиеся из {ВС] при пово-
ротах BOKpyr прямой [, назы-
ваются образующими боковой
поверхности цилиндра. Далее,
боковая поверхность конуса
(рис. 161, б) получается в ре-
й) О) зультате вращения rипотену-
зы АВ BOKpyr прямой [; отрезки,
Рис. 162 получающиеся из [АВ] при
поворотах BOKpyr прямой [, на-
зываются образующи.ми боковой поверхности конуса. Длина об-
разующей (как в случае цилиндра, так и в случае конуса) для
краткости также называется образующей.
т е о р е м а 1. Объем цилиндра .может быть вычислен по
формуле V лr 2 h, zae '.......... радиус основания цилиндра, а h
ezo высота (т. е. расстояние между плоскостями оснований).
т е о р е м а 2. Объем конуса может быть вычислен по фор..
.муле V===+лr 2 h, ёде r радиус основания конуса, а h еёО
высота (т. е. расстояние от вершины до плоскости основания).
Полезно обратить внимание на то, что формула объема ци-
линдра может быть записана в виде V == Sh, rде S площадь
основания, т. е. формула объема цилиндра аналоrична формуле
объема призмы. Далее, формула объема конуса может быть
1
записана в виде V==--зSh, rде S.......... площадь основания, Т. е.
формула объема конуса аналоrична формуле объема пирамиды.
т е о р е м а 3. Площадь боковой поверхности цилиндра .мо-
жет быть вычислена по формуле S 2лrh, zae , paдиyc ос-
нования цилиндра, а h ezo высота.
Если цилиндр обернуть бумажной лентой, покрывающей ero
боковую поверхность (рис. 162, а), то, развернув эту ленту, МЫ
получим прямоуrольник, называемый разверткой боковой поверх-
ности цилиндра. Основание этоrо прямоуrольника имеет длину
2лr (Т. е. такую же длину, как окружность основания цилиндра),
а высота равна h. Площадь этоrо прямоуrольн ка равна 2лr.h,
т. е. равна площади боковой поверхности цилиндра. Разумеется,
это наrлядное описание нельзя считать доказательством теоре-
мы 3, оно лишь поясняет ее смысл и помоrает запомнить формулу.
t е о р е м а 4. Площадь боковой поверхности конуса равна
S == лrl, zae r радиус основания к'онуса, а [.......... образующая.
Эта теорема также допускает простое наrлядное пояснение.
Представим себе, что конус обернут бумажным сектором радиуса 1
(рис. 162, б), покрывающим ero боковую поверхность. Этот сек-
148
тор, называемый разверткой боковой поверхности конуса, имеет
длину дуrи 2лr (т. е. такую же длину, как окружность основания
1
конуса). Площадь сектора равна T1. 2лr, т. е. равна площади
боковой поверхности конуса.
По поводу доказательства приведенных теорем см. п. 88.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что осевое сечение цилиндра (т. е. сечение
плоскостью, Пl10ходящей через ось вращения) представляет собой
прямоуrольник. Чему равно отношение площади боковой поверх-
ности цилиндра к площади ero oceBoro сечения?
2) Докажите, что осевое сечение конуса представляет собой
равнобедренный треуrольник. Чему равно отношение площади
боковой поверхности конуса к площади ero oceBoro сечения?
3) Образующая конуса равна 1 и наклонена к плоскости ос-
нования под уrлом а. Найдите высоту и радиус основания конуса.
4) Докажите, что S == S 1 cos а, rде S площадь основания
конуса, S 1 площадь ero боковой поверхности, а, yroJl накло-
на образующей к плоскости основания. Аналоrичная формула
справедлива для правильной пирамиды; в этом случае а, ......... уrол
наклона апофемы (т. е. высоты боковой rрани) к плоскости
основания.
Задачи
655. Развертка боковой поверхности цилиндра представляет
собой прямоуrольник с уrлом ct между диаrоналями. Определите
отношение квадрата объема цилиндра к кубу ero боковой поверх-
ности.
656. На поверхности конуса проведены две образующие [SA],
[SB]. Определите объем конуса, зная, что уrол ASB равен а,
уrол между осью конуса и плоскостью ASB равен , а высота
конуса равна h.
657. Уrол между осью конуса и образующей равен а,
длина образующей равна 1. Найдите площадь треуrольника, по-
лученноrо при пересечении конуса плоскостью, проходя щей через
Вершину конуса и наклоненной к ero основанию под уrлом .
658. Найдите поверхность и объем тела, полученноrо при
Вращении paBHocTopoHHero треуrольника со стороной а BOKpyr
прямой, содержащей одну из ero сторон.
659. В конусе, имеющем высоту h и радиус основания "
Проведены две образующие [SA], [SB], составляющие уrол а.
а) Определите уrол между проекциями этих образующих на плос-
Кость основания. б) Определите уrол наклона плоскости SAB
к плоскости основания.
660. BOKpyr конуса с высотой h и радиусом основания r
ОПисана n-уrольная пирамида (плоскости оснований конуса и
149
пирамиды' сооп,а.да.ют, а каждая боковая rpaHb пирамиды касается
КФИус.а: по 06р'азую'щей.)... а) Д()'l(аж.ит . что двуrранные уrлы при
основании пирамиды равны между собой. б) Вычислите площадь
боковой поверхности пирамиды, если площадь ее основания
равна s.
661. Конус обладает тремя попарно перпендикулярными обра-
зующими. Определите уrол между осью и образующей конуса.
662. BOKpyr правильно й n' уrол'ьной пирамиды с высотой h
и стороной основания а описан конус. Найдите боковую по-
верхность этоrо конуса.
663. В плоскости ромба со стороной а и уrлом а при
вершине А проаедена прямая АМ, перпендикулярная диаrонали
[АС]. Найдите объем тела, полученноrо при вращении ромба
BOKpyr прямой АМ.
664. В правильную треуrольную пирамиду вписан конус. Най-
дите отношение боковой поверхности пирамиды к боковой поверх-
ности конуса. Тот же вопрос для правильной п..уrольной пира-
миды.
665. В прямоуrольном параллелепипеде rpaHb ABCD яв-
ляется квадратом со стороной а; центр этой rрани обозначен
через о. Боковые ребра [АА 1 ], [881], [CC 1 ], [DDI] имеют
длину Ь. Опр'еделите радиус цилиндра, у KOToporo отрезок 081
является одной из образующих, а точки А 1 И С 1 лежат на боковой
поверхности цилиндра.
666. у сеченный конус представляет собой пересечение некото"
poro конуса и полупространства, rраничная плоскость KOToporo
параллельна основаНИIО конуса. Найдите объем усеченноrо конуса,
имеющеrо высоту h и радиусы оснований '1 и '2.
667. В усеченном конусе радиусы оснований равны '1 и '2.
Определите боковую поверхность этоrо усеченноrо конуса и ero
объем, если: а) Диаrональ oceBoro сечения равна d;, б).. диа-
rональ oceBoro сечения наклонена к основанию П.QД уrлом (Х.
668. Конус с площадью основания S и объемом V пере...
сечен плоскостью, параллельной основанию; площадь сечения
равна s. Опред,елите объем получившеrося усеченноrо конуса.
669. Плоскости оснований цилиыдра совпадают с плоскостями
оснований усеч.енноrо конуса. Срединная плоскость (находящ.аяся
на одинаковом расстоянии от плоскостей оснований) пересекает
цилиндр и усеченный конус по одному и тому же Kpyry. Докажи'"
те, что боковые поверхности цилиндра и усечеRНоrо конуса
одинаковы.
47. ШАР И СФЕРА
Определение шара приведено в п. 29. Шар может БыI'Fьь ПО---
ЛУЧ-fН 8 рез.УЛЬ1'З'Ье вращ:енИ'я nолукр'уrа ОТНОСИ'Fель.но. ПРЯМ0'Й, со"
держащ.ей ero. д.изметр (рис... 163). Сфера, '1".. е. rраница шар"
150
l
Рис. 163
Рис. 164
получается в результате вращения полуокружности (оrраничиваю-
щей этот полукруr) BOKpyr той же прямой.
О п р е Д е л е н и е. Плоскость, имеющая со сферой единствен-
ную общую точку, называется касательной плоскостью этой
сферы.
т е о р е м а 1. Пусть S .......... сфера с центром О и радиусо'м '.
Если расстояние от точки О до плоскости а меньше " то
S n а есть окружность, nриче'м' прямая /, проходящая через О
и перпендикулярная плоскости а, пересекает а в центре этой
окружности (рис. 164).
Т е о р е м а 2. Пусть s....... сфера с центром О и А ......... произ-
вольная ее точка. Tozaa плоскость а, проходящая через TOv'-
ку А и nерnендикулярная радиусу ОА, является касат.ельной
nло.скостью сферы s.
т е о р е м а 3. Если а ....... касательная пласк'ОСТЬ сф'еры S и А ........
общая точка плоскости а и сферы S, то радиус [ОА] пер..
nендикулярен плоскости а.
Д о к а 3 а т е л ь с в о т е о р е м ы 1. Пусть 1 прямая, пер..
пендикулярная плоскости а и проходящая через точку О, а Q
точка пересечения этой примо.й с плоскостью а. ПРО8едем какую..
лиБQ плоскость, содержащую прямую /, и пусть р........ одна иэ
двух полуплоскостей этой плоскости, имеющих 1 своей rранич
Ной прямой. Луч а n р л ж.ит в плоскости а и перпендикулярен
ПрЯмой 1. Пересеченне S n Р е-сть полуокружность радиуса r с
центром о. Так как Q........ ближайшая к О точка плоскости а
(поскольку 11.. а), то соrласно условию I Q'Q 1< '. Следовател--
110 u (рис. 164), луч а n р пе'ресекает 'полуокружность S n р в од-
Нои точке М. При в-р.ащении ПФЛУПЛ0СКОСТИ Р 80КРУТ прямой t
nОJIУОКРУЖНО'СТЬ дает ВСЮ сферу S, луч сх пр дает всю плоскость а,
а ТОчка М дает -окружность, iкоторая н представляет собой
МНОжество всех общих точек сферы S и плоскости сх. Центром
151
этой окружности является Q, т. е. 1 пересекает (Х в центре
окружности.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы з. Допустим, что радиус
[ОА] не перпендикулярен плоскости а. Тоrда А не является б л и..
ж а й шей к О точкой плоскости а. Следовательно, расстояние
от О до плоскости а м е н ь ш е I ОА 1, т. е. меньше '. По тео..
реме 1 плоскость а пересекает сферу S по окружности, т. е. имеет
с S бесконечно MHoro общих точек. Но это противоречит тому,
что (Х касательная плоскость сферы. Полученное противоречие
доказывает, что (OA)l..a.
Контрольные вопросы
1) Докажите теорему 2.
2) Сфера имеет центр в вершине конуса, а радиус сферы
меньше, чем высота конуса. Докажите, что сфера пересекает
поверхность конуса по окружности.
3) Что представляет собой rруппа самосовмещений сферы?
Задачи
670. Докажите, что две несовпадающие сферы либо не имеют
общих точек, либо имеют одну общую точку, либо пересекаются
по окружности.
671. Докажите, что центр описанной сферы правильноrо
мноrоrранника находится на одинаковом расстоянии от плоскостей
всех ero rраней и потому является также центром вписанной
сферы.
672. Вычислите радиус шара, вписанноrо в правильный тетра..
эдр с ребром й.
673. Конус получен вращением прямоуrольноrо треуrольника
с катетами а и Ь BOKpyr прямой, содержащей катет длиной Ь.
Найдите радиус шара, вписанноrо в этот конус.
674. В шар вписана пирамида с квадратным основанием, при-
чем одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно плоскости
основания. Докажите, что центр шара находится на одном из
ребер пирамиды.
675. Сторона основания правильной четырехуrольной пирами-
ды равна й, двуrранный уrол при основании равен (Х. Вычислите
объем описанноrо шара.
676. Правильная треуrо.пьная призма АВСА' В' С' описана
около шара радиуса '. Точки М и N середины боковых ребер
[АА'] и [8В']. Определите радиус Kpyra, по которому шар пере-
секается с плоскостью MNC.
677. Шар радиуса r пересечен плоскостью (Х, находящейсЯ
на расстоянии h < r от ero центра. Определите объем цилинД:-
ра, вписанноrо в шар, если: а) одно из оснований цилиндра
находится в плоскости (Х; б) цилиндр касается плоскости а по
образующей. -
152
678. Конус вписан в шар. Докажите, что радиус шара равен
h2 +,2
2h ,rде h высота вписанноrо конуса, а '""7'" радиус ero
основания.
679. В треуrольной пирамиде длины двух непересекающихся
ребер равны а и Ь, а остальные ребра имеют длину с (числа
а, Ь, с различны). а), Докажите, что центр шара, вписанноrо
в эту пирамиду, находится на отрезке, соединяющем середины pe
бер длиной а и Ь. б) Определите радиус вписанноrо шарCJ.
680. Плоскость, проведенная через вершину правильной Tpe
u
уrольнои пирамиды и середины двух сторон основания, наклонена
к основанию под уrлом а; сторона основания пирамиды равна
а. Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды.
681. В основании пирамиды, имеющей объем V, лежит прямо-
уrольник с уrлом а. между диаrонал.ями. Боковые ребра пирами
ды наклонены к основанию под уrлом . Определите объем шара,
описанноrо около этой пирамиды.
682. Докажите, что произведение полной поверхности конуса
на радиус вписанноrо шара равно утроенному объему конуса.
683. Выпуклый мноrоrранник обладает вписанной сферой. До-
кажите, что произведение площади поверхности мноrоrранника на
радиус вписанной сферы равно утроенному объему мноrоrранника.
684. Найдите объем конуса, зная радиус R ero вписан
Horo шара и уrол а. между осью и образующей.
685. В основании треуrольной пирамиды SABC лежит равно-
сторонний треуrольник Аве, а все боковые rрани имеют одина
ковую площадь. Какие из следующих высказываний истинны:
а) все боковые rрани являются равнобедренными треуrольниками;
б) хотя бы одна из боковых rраней является равнобедренным
треуrольником; в) центр О сферы, описанной около пирамиды,
лежит на высоте [8Н]; r) радиус (80] перпендикулярен хотя бы
одному из ребер основания?
686. В выпуклый двуrранный уrол вписан шар. Докажите, что
плоскость, проходящая через центр шара и точки касания шара с
rранями двуrранноrо уrла, перпендикулярна ребру двуrранноrо
yr ла.
687. В выпуклый двуrранный уrол, имеющий величину а,
Вписаны два шара, имеющие радиусы '1, '2 И касающиеся друr
друrа. Определите уrол между ребром двуrранноrо уrла и пря-
Мой, проходящей через центры шаров.
688. Два шара касаются друr друrа. Докажите, что расстояние
Между центрами шаров равно сумме их радиусов.
689. Два шара, имеющие радиусы '1 и '2, касаются плоскос-
ти а и касаются друr друrа. Найдите расстояние между точками
Касания шаров с плоскостью а.
690. Три 'шара попарно касаются друr друrа и касаются плос-
kОСТИ а.. Длины сторон треуrольника, образованноrо точками
153
касания шаров с плоскостью (Х, равны а, Ь, с. Определите
радиусы шаров.
691. Прямая 1 находится на расстоянии h < r от цен'тра ша-
ра о. Определите длину отрезка, представляющеrо собой пересе..
чение данноrо шара с прямой 1, если радиус шара равен '.
692. В правильный тетраэдр ABCS с ребром а вписан
шар. Точка М середина ребра [AS], точка N Е[ВС] выбра-
на так, что I CNI ==+ а. Найдите длину отрезка, по которому
прямая MN пересекается с шаром-.
693. Около прямоуrольноrо параллелепипеда с ребрами й, Ь. с
описан шар. Точки М и N середины непересекающихся ребер,
имеющих длины а и Ь. Найдите длину отрезка, по которому
прямая MN пересекается с шаром.
694. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и
острым уrлом сх.. Боковые rрани пирамиды наклонены к плоское..
ти основания под уrлом . Найдите радиус вписанноrо. шара.
695. Вправильной четырехуrольной пирамиде, имеющей
объем V, боковое ребро наклонено к плоскости основания под yr-
лом а. Найдите объем шара, описанноrо около этой пирамиды.
696. В основании пирамиды лежит равнобедренный треуrоль-
ник АВС (iABI == IBCI), боковые rрани ABS и BCS перпендику-
лярны плоскости основания. а) Докажите, что пирамида
обладает плоскостью симметрии. б) Вычислите радиус шара, опи-
caHHoro около этой пирамиды, если IABI ===а, 'АСI ==Ь, IBSI ==с.
697. Найдите радиус шара, вписанноrо в конус, имеющий
площадь основания SI и площадь боковой поверхности S2.
698. Боковые ребра [SA], [SB], [SC] треуrольной пирамиды
попарно перпендикулярны и имеют длины а, Ь, с. а) Докажите,
что ортоrональная проекция О точки S на плоскость основания
совпадает с точкой пересечения высот треуrольника АВС. б) До..
кажите, что центр описанноrо шара находится на вдвое меньшем
расстоянии от плоско сти основа ния, чем вершина, а радиус
этоrо шара равен + -V a2+b2+c2.
699. Отношение радиуса основания конуса к радиусу вписан-
Horo шара равно а. Найдите объем вписанноrо шара, если объем
конуса равен v.
700. Тело, полученное вращением треуroльника BOKpyr одной
из ero сторон, имеет площадь поверхности S и объем v. Дока-
жите, что если в это тело можно вписать шар, то радиус этоro
зv
шара равен Т.
701. Радиус шара, вписанноrо в правильную четырехуrольную
пирамиду, равен R, а радиус шара, который касается вписанно-
ro шара и боковых rраней, равен '. Определите объем пирамиды.
702. BOKpyr шара радиуса , описан усеченный конус (плос-
кости оснований касаются шара; боковая поверхность усеченноro
154
конуса касается шара по окружности). Докажите, что объем этоrо
1
усечен,ноrо конуса равен......... Sr, rде S полная поверхность yce
3
ченноrо конуса.
703. Тело, полученное вращением прямоуrольноrо треуrоль
ника BOKpyr ero rипотенузы, имеет площадь поверхности S и
объем v. Вычислите радиус шара, описанноrо около этоrо тела.
48. rОМОТЕТИЯ и ПОДОБИЕ
О п Р е Д е л е н и е. Пусть О некоторая точка пространства
и k =1= О действительное число. ТО'м'отетией с центром О и коэф
фициентом k называется отображение, переводящее каждую
точку М в такую точку М', что OM'==kOM.
Образ в е к т о р а при rомотетии определяется так же, как и в
случае движения: если а некоторый вектор и А, В такие
---+
точки, что а ==АВ, то образом вектора а называется вектор
...
а' == А' В', rде А' и В' образы точек А и В при rомотетии g.
Это определение корректно, т. е. вектор а' не зависит от выбора
точки А, от которой откладывается вектор а.
Т е о р е м а 1. Если g 20мотетия с центром О и коэффициен-
том k, то для люБО20 вектора а справедливо равенство g (а) jl a.
Доказательство. Пусть А, В такие точки, что а===
==АВ, и А', В' их образы при rомотетии g. Тоrда
... ---+ ---+
g (а)==А' В' == ОВ' ОА' == kOB...... kOA ==
---+ .....
==k (OB OA)==kAB.==ka.
т е о р е м а 2. При 20мотетии с центром О и коэффициентом k
все расстояния умножаются на 1 k 1, т. е. если А, В произ-
вольные точки и А', В' их образы, то IA'B'I == Ikl.IABI.
т е о р е f а 3. При ёомотетии любая прямая переходит в
nараллельную ей прямую.
т е о р е м а 4. При ёомотетии любая плоскость переходит в nа-
раллельную ей плоскость.
Т е о р е м а 5. П ри 20мотетuи сохраняются У2лbt между векто-
рами (а также У2Лbl между nрямыAtи, между прямой и плоскостью,
двУ2ранные У2ЛЫ).
д о к а 3 а т е л ь с т в о. Если а, уrол между ненулевыми
векторами а и Б, а а' уrол между их образами а' == g (а)
и Ь' == g (Ь) при rомотетии g с центром О и коэффициентом k, то
cos а' == а' Ь' (k!, (kb) .3 ь... cos а,
r I а' I I Ь' I I k I I а I · I k I I ь I I а I I ь I
и потом У а' == а.
155
о п р е Д е л е н и е. Отображение h пространства на себя на-
зывается подобием с коэффициентом k > О, если при применении
этоrо отображения все расстояния умножаются на k, т. е. если
А 2;.А " в 2;. В', то I А ' В' I === k. I А В I .
т е о р е м а 6. rомотетия с центром О и коэффициентом k
является подобием с коэффициентом I k 1.
т е о р е м а 7. Всякое дви lCeHиe является подобием с коэффи-
циентом k == 1.
Т е о р е м а 8. Если h l и h 2 подобия с коэффициентами k.
и k 2 , то h 2 0h 1 подобие с коэффициентом k 1 k 2 .
Т е о р е м а 9. Любое подобие h можно представить в виде
композиции 20мотетии g и движения f, Т. е. h === fog.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Пусть h подобие с коэффициен
том k. Возьмем rомотетию g с каким-либо центром О и тем же
коэффициентом k, а через g' обозначим rомотетию с цент-
ром О и коэффициентом +. Тоrда hog' есть подобие с коэф
1
фициентом т. k == 1, т. е. hog' д в и ж е н и е. Обозначим это
движение через {. Тоrда fog == (/log')og == ho(g' og) == hoe == h, т. е.
h==fog.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что при любой rомотетии (а также при любом
подобии) сохраняется отношение длин отрезков.
2) Докажите теоремы 2, 3," 8. .
3) Докажите, что rомотетия с коэффициентом k == 1 НВ-
u u
ляется центральнои симметриеи.
Задач,"
704. При каком условии композиция двух rомотетий является
движением?
705. Докажите, что если gt rомотетия с центром 01 и
коэффициентом k l , а g2 rомотетия с центром 02 и коэффи-
циентом k 2 , то композиция g2 o g1 является: а) при k 1 k 2 -=1= 1
rомотетией; б) при k l k 2 == 1 параллельным переносом; в) при
k l k 2 === 1 центральной симметрией.
706. Докажите, что для любых отображений " g, h про-
странства в себя выполняется свойство ассоциативности:
(fog)oh == fo(goh) (это было использовано при доказательстве теоре-
мы 9).
707. Докажите, что если М мноrоуrольник площадью 5,
а h подобие с коэффициентом k, то h (М) есть мноrоуrоль-
ник площадью k 2 S.
708. Докажите, что при любом взаимно однозначном отоб-
ражении f пространства на себя (в частности, при любой ro.
15б
что если а, каса-
h
тельная плоскость сферы S и сх.---+-а,'.
h
s s', rде h подобие. то а,'........ ка-
сательная плоскость сферы S'. А
710. Докажите. что если MJ!..M'.
rде М мноrоrранник и h подобие
с коэффициентом k. и если S. S' площади поверхностей
мноrоrранников М и М', то S'==k 2 S.
711. Докажите. что отношение объемов подобных MHororpaH"
ников равно кубу коэффициента подобия.
712. Докажите, что любое подобие h можно представить в
виде h == gof. rде f движение и g rомотетия.
713. Какие из следующих высказываний истинны: а) любые
два куба конrруэнтны; б) любые два куба rомотетичны; в) любые.
два куба подобны; r) любые два шара конrруэнтны; д) любые два
шара rомотетичны; е) любые два шара подобны?
714. Каждая из сторон треуrольника АВС разбита на п
конrруэнтных частей. Через точки деления проведены отрезки.
параллельные сторонам tреуrольника (рис. 165). На сколько кон-
rруэнтных реуrольников разбивается этими отрезками треуrоль-
ник АВС?
t-iотетии и любом подобии) сохраняет-
ся пересечение фиrур: f (А nB)==
==f(A)nf(B).
709. Докажите.
Рис. 165
49. ЭРЛАнrЕНСКАЯ проrРАММА Ф. КЛЕйНА
Пусть f некоторое движение пространства. Выберем прямо-
уrольную систему координат (о; ё,. ё 2 , ё з ) и обозначим через
(О'; ёr, ё 2 , ё з ) систему. в которую она переходит npl:f движении ,.
Движение, переводящее систему (О'; ё;. ё . ё5) в (о; ё t , ё 2 . ёЗ)j
называется обратным движению f и обозначается через '---
(рис. 166). Оно обладает тем свойством. что композиция отобра-
жений f и '--- 1 (в любом порядке) совпа-
дает с тождественным отображением:
f....lof===e. fof....l==e. (1)
в самом деле. пусть М произ-
ВОльная точка и (х; у; z) ее коорди-
Наты в системе (о; ё l . ё 2 . ё з ). Движение f
Переводит М в такую точ....ку }1', Ко-
торая в системе (О'; ef. е2. ез) име-
ет те же координаты (х; у; z). Движение
157
е з
e, ,\
о
Рис. 166
' 1 (О ' ..., ..., --' ) (О . -- -- __ ) С
пере водит систему ; еl, е2, ез в , е., е2, ез. ледовательно,
точку М' оно переводит в такую точку, которая имеет в систе
ме (Q; , , ё з ) те же координаты, какие М' имеет в системе
(О'; еl, е2, ез). Это означает, что '--- переводит М' снова в точ-
ку М, т. е. MLM', М'4 1 М. Из этоrо вытекает, что движение
,---10{ переводит точку М в себя. Так как это справедливо для лю-
бой точки М, то ,---lof==e. Аналоrично проверяется и второе соот-
ношение (1). ,
о п р е Д е л е н и е. Пусть G некоторое непустое множество
движений. Оно называется 2РУnnОЙ двuжений если выполняются
CJIедующие два условия:
1) для любоrо движения f Е G обратное движение f---l также
принадлежит о;
2) для любых движений 'ЕО, gEG их композиция go{ также
принадлежит о.
Множество в с е х движений пространства представляет собой
rруппу движений. Друrим примером rруппы движений может
CJIужить множество всех параллельных пер носов. В самом деле,
если f параллельный перенос на вектор а, то обратное движе-
ние /---1 также является параллельным переносом (на вектор Щt
т. е. условие 1) выполнено. Условие 2) также выполнено, поскольку
композиция двух параллельных переносов также является па-
раллельным переносом (п. 41).
Для любой фиrуры F ее rруппа самосовмещений также
u u
является rруппои движении.
Важную роль rрупп движений в rеометрии впервые отметил
выдающийся немецкий математик Ф. Клейн. Ero точка зрения
заключалась в следующем. Как известно, две фиrуры F, F' на-
зываются конrруэнтными, если существует движение, переводя-
щее фиrуру F в F'. Конrруэнтные фиrуры «rеометрически
u
одинаковы», т. е. имеют одинаковые rеометрические своиства.
Иными словами, rеометрия изуча-ет те свойства фиrур, которые не
изменяются при всевозможных движениях, т. е. rеометрия
изучает инварианты rруппы движений (от слова invariant не-
изменный).
Но кроме rруппы в с е х движений, есть. и друrие rруппы
движений, а также rруппы иных отображений (например, rруппа
всех п о Д о б и й пространства). По мысли Клейна, каждая rруппа
отображений G задает «свою» rеометрию. В этой rеометрии
изучаются те свойства фиrур, которые инвариантны (т. е. не
изменяются) при любых отображениях из rруппы о. Эта r р у п п о-
в а я точка зрения позволяет рассмотреть MHoro различныХ
«rеометрий». Весь вопрос в том, что называть «движениямИ»
HeKoToporo множества (не обязательно TpexMepHoro пространства)
и какую rруппу движений (или более общих отображений) рас'"
сматривать.
Взrляд на rеометрию как на науку, изучающую инвариан'"
158
некоторой rруппы отображе..
ИИЙ, оказался очень плодотвор"
ныМ как для самой математи..
ки, так и для ее приложений.
На этом пути Клейну удалось
доказать, что 2еометрuя Лоба-
чевСКО20 (о ней упоминалось
в п. 1) является н е про т и..
в о р е ч и в о й. rрупповая точ"
ка зрения важна для мноrих
разделов физики. Например,
специальная теория относи-
тельности представляет собой
своеобразную «rеометрию», изучающую инварианты так назы-
ваемой rруппы Лоренца. rрупповая точка зрения находит раз..
личные приложения в ядерной физике, оптике, кристаллоrра-
фии, химии. Так, русский ученый Е. С. Федоров доказал в 1890 r.,
что существует ровно 230 rрупп движений пространства, которые
а
MOrYT служить rруппами самосовмещении атомных структур раз-
ЛИЧНbIХ кристаллов (рис. 167). Эта работа pyccKoro ученоrо
сейчас во всем мире считается основой науки о кристаллах, а
открытые им rруппы называются федоровскими rруппами. На-
а
при мер, кристаллы исландскоrо шпата, повареннои соли и ряда
друrих минералов при определенных условиях кристаллизации
приобретают форму кубоктаэдра (рис. 158); rруппа самосовмеще-
ний этоrо мноrоrранника является одной из федоровских rрупп.
При обычных условиях поваренная соль кристаллизуется, как
правило, в форме кубов; rруппа самосовмещений куба также яв"
ляется одной из федоровских rрупп.
Мысль о том, что каждая rруппа движений или иных отоб..
ражений, удовлетворяющих условиям 1) и 2), определяет свою
rеометрию, была Клейном высказана в 1872 r. в лекции, которую
он прочел при вступлении на должность профессора Эрланrен-
CKoro университета. В этой лекции Клейн призывал переосмыслить
все отдельные «rеометрии» на основе rрупповой точки зрения.
С тех пор эту точку зрения математики называют эрланrенской
проrраммой.
tIJ'
rOPHb/U ПоВаренная I/сландскии
XPIJC соль шпат
Топаз
ПолеВой шпат
Рис. 167
Контрольные вопросы
1) Рассмотрим следующую теорему: если стороны [AD] и [ВС]
четырехуrольника ABCD являются «конrруэнтными» В смысле
rруппы движений О, то ABCD параллелоrрамм. Справедлива
ЛИ ЭТа теорема, если G rруппа в с е х движений? Справедлива
Ли она, если G rруппа всех параллельных переносов?
2) Как определить обратное отобра ение ' 1, если f
ПОворот пространства BOKpyr оси (о; el) на уrол у? если
f ....... зеркальная симметрия? если f ......... скользящая симметрия, оп..
159
ределяемая плоскостью а, и вектором а, параллельным этой
плоскости?
3) Является ли rруппой движений множество всех централь-
ных симметрий? множество всех центральных симметрий и всех
параллельных переносов?
Задачи
715. Является ли rруппой движений множество всех движений,
сохраняющих ориентацию? меняющих ориентацию?
. 716. Является ли rруппой движений: а) множество всех дви-
жений, оставляющих неподвижной заданную точку о; б) множе-
ство всех движений, каждое из которых имеет хотя бы одну
неподвижную точку?
717. Что представляет собой rруппа самосовмещений шара?
718. Является ли rруппой движений плоско ти множество
всех осевых симметрий?
719. Докажите, что всякая rруппа движений содержит тож-
дественное отображение е. .....
720. Движение f пространства переводит О, еl, е2 в
...... ......
О', ef, е2 (rде еl, е2 единичные векторы, ортоrональные др.уr
др yry) , а движение g переводит О' , ef, ё 2 в О, еl, ё 2 . Какие
из следующих высказываний истинны: а) если оба движения
" g сохраняют ориентацию, то ==f l; б) если оба движения " g
меняют ориентацию, то g==f ; в) если gof есть тождественное
отображение, то оба движения " g сохраняют ориентацию?
721. Докажите, что если каждое из движений " g, h пере-
водит о, el, ё 2 в О', ёf, ё 2 (rде lell == le 2 1 ..:... 1, ё l ё2), то
сп аведливо хотя бы одно из соотношений g lof==e, g loh==e,
' oh e.
722. Некоторая rруппа движений пространства содержит все
зеркальные симметрии. Докажите, что она совпадает с rруппой
u
в с е х движении пространства.
r п а в а VII "-
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ ВЕйЛЕвекой АКСИОМАТИКИ
50. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ
Для первоrо знакомства со смыслом слов «противоречивость»
и «непротиворечивость» рассмотрим более простую «теорию», чем
rеометрия.
Ученики класса решили провести шахматный турнир по упро-
щенной системе: каждый должен сыrрзть ровно три партии с
кем-либо из остальных участников (а белыми или черНЫМ по
жребию). Составить расписание турнира им никак не удавалось,
и они обратились за помощью к учителю.
Учитель прежде Bcero поинтересовался, четно или нечетно
число участников предполаrаемоrо турнира. Оказалось, что число
иrроков нечетно. Тоrда учитель предложил сформулировать
требования к турниру в виде аксиом. лtля этоrо понадобились
три первоначальных (неопределяемых) ПОI:IЯТИЯ: «иrрок», «пар-
тия», «участие иrрока в партии:.. Аксиом получилось четыре:
А к с и о м а 1. Число иrроков нечетно.
А к с и о м а 2. Каждый иrрок участвует в трех партиях.
А к с и о м а 3. В каждой партии участвуют два иrрока.
А к с и о м а 4. Для каждых двух иrроков имеется не более
одной партии, в которой они оба участвуют.
Первую теорему вывел из этих аксиом учитель.
т е о р е м а 1. Число uzpoKOB не .меньше пяти.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как нуль четное число, то по
аксиоме 1 число иrроков не равно нулю, т. е. существует хотя бы
один иrрок А. Этот иrрок в силу аксиомы 2 участвует в трех
партиях, причем в каждой' из них, кроме А, участвует еще
один иrрок (аксиома 3). Пусть В, С, D иrроки, отличные
от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все
Иrроки В, С, D р а 3 л и Ч н ы (если бы, например, было В == С,
ТО имелось бы две партии, в которых участвуют иrрок А
и иrрок В == С). Итак, уже найдены четыре иrрока А, В, С, D.
Но тоrда по аксиоме 1 число иrроков не меньше пяти.
Следующую теорему доказал один из учеников. Для этоrо
он ввел следующее определение: если q некоторая партия
и А один И3 участвующих в ней иrроков, то пара (q, А)
Называется Вbtстуnлением, uzpoKa.
т е о р е м а 2. Число всех выступлений и2РОК,ОВ четно.
Д о к а 3 а т е л ь с Т В о. Если в партии q участвуют иrроки А
6 Заказ 924 161
и В, то мы получаем Д в а выступления иrроков: (q, А) и (q, В),
т. е. каждая партия дает ровно два выступления иrроков (ак-
СИОма 3). Значит, число всех выступлений иrроков четно
(так как оно вдвое больше числа всех партий).
Однако друrой ученик доказал теорему, противоречащую
этой:
т е о р е м а 3. Ч иСАй всех выступлений UZpOKOB нечетно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По аксиоме 2 иrрок А участвует ров-
но в трех партиях, скажем ql, q2, qз. Это дa T три выступления
иrрока: (ql, А), (q2, А), (qз, А). Отсюда следует, что число всех
ВЫступлений иrроков равно 3п, rде п число иrроков. Так как п
HeQeTHo (аксио м а 1), то и 3п нечетно.
Учитель подвел итоrи. Взятая аксиоматика позволяет дo
казать несколько теорем, но среди них имеются две, противореча-
Щliе друr друrу. Аксиоматика, из которой можно вывести две
Противоречащие друr друrу теоремы, называется противоречивой.
Таким образом, выполнить условия, выдвинутые орrанизаторами
ТУрнира, нельзя: требуемоrо расписания не существует.
Учитель предложил ученикам друrую систему орrаниззции
Турнира, при которой каждый из участников должен сытрать
не три, а четыре партии с кем..либо из остальных участников.
Иначе rоворя, он предложил рассмотреть «теорию», которая от-
Лliчается от предыдущей только тем, что зксиома 2 заменяется
CJ1едующей:
А к с и о м а 2'. Каждый иrроК участвует в четырех партиях.
Учитель убедил ребят, что, сколько бы теорем они ни вы-
Водили из этих аксиом, противоречий не будет. Вот как он это
Сделал. Рассмотрим правильный девятиуrольник (рис. 168), в
Котором проведем девять диаrоналей, соединяющих веРШИНJi че-
рез одну. Вершины девятиуrольника будем считать «иrроками»,
Проведенные отрезки (стороны и диаroнали) «партиями», а «иr-
Раками», участвующими в некоторой «партии», будем считать
Концы соответствующеrо отрезка. Мы получаем модель (или схе-
му) турнира. Леrко .проверяется, что все аксиомы 1, 2', 3, 4
ЭДесь выполняются. При этом модель построена из «материала»
rеометрии, т. е. науки, в непротиворе-
чивости которой мы не со)мневаемся.
Допустим теперь, что из аксиом 1,
2', 3, 4 мы вывели две теоремы, противо-
р чащие друr друrу. Тоrда доказательства
этих теорем можно было бы повторить
и в построенной модели (ведь в ней все
четыре аксиомы имеют место). В резуль-
тате этоrо для правильноrо девятиуrоль-
ника мы получили бы две противореча..
щие друr друrу теоремы. НО это означало
бы, что rеометрия наука противоречи-
вая, чеrо мы не 1I.0пускаем. Таким образом,
162
А,
А6
Рис.
двух противоречащих друr друry теорем из аксиом 1, 2', 3, 4
вывести невозможно.
Вообще, пусть рассматриваются две теории Р и Q, при
чеМ Р хорошо известная нам теория, в непротиворечивости
которой мы Ке сомневаемся, а теория Q задается аксиоматически.
Если из «материала» теории Р удастся построить 'м'одель, в
которой выполняются все аксиомы теории Q, то этим непротиворе-
чивость теории Q считается установленной.
Именно таким путем Клейн и друrие математики доказали
непротиворечивость rеометрии Лобачевскоrо: они построили MO
дели rееметрии Л'оба'чевскоrо из материала евКJIИДОВОЙ rеометрии.
Контрольные вопросы
С какими и сл.едующих высказываний вы соrласны:
1) есЛи из аксиоматики выведен ряд теорем и среди них
есть две, противоречащие друr друrу, то аксиоматика противоре-
чива;
2) если из аксиоматики выведено MHoro теорем и среди них
нет противореч.ащпх друr друrу, то аксиоматика непротиворе-
чива.;
3) есл.и аксиоматика непротиворечива, то, сколько бы теорем
мы ни выводили из этой аксиоматики, среди них не будет теорем,
противоречащих друr друrу?
Задачи
723. Имеются три первоначальных понятия: ученuк, одина..
ковая успеваемость двух учеников и лучшая успевае,М,ость. Оди-
наковую успеваемость учеников А и В обозначим записью
А B, а. если А имеет лучшую успеваемость, чем В, то будем
писать А> В..
О п р е д е л е и и е. Ученики А и В называются cpaBHuMbtMи
по успеваемости-, если имеет место хотя бы одно из соотно-
шений A B, А>В, В>А.
Докажите, Ч'r.О следующая аксиоматика непротиворечива.
А к с и о м а 1. Имеется 40 учеников.
А к с и о м а 2. Для любых двух учеников А и В имеет
место не более чем одно из соотношений A B, А>В, В>А.
А к с и о м а З. Любые два ученика сравнимы по успеваемости.
724. В задаче 723 заменим аксиому 3 ее отрицанием:
А к с и о м а 3'. Существуют два ученика, которые несравнимы
по успеваемости.
Докажи'те, что получающаяся аксиоматика 1, 2, 3' непро-
тиворечива. Для построения модели используйте только два
предмета (алrебра и rеометрия) и только четыре оценки
(2, 3, 4, 5).
6-
163
51 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕПРОТИВОРЕЧИ ОСТИ
Для доказательства непротиворечивости аксиоматики Вейля
построим модель, удовлетворяющую этой аксиоматике. «Матери-
алом» для построения модели будут служить действuте..льные
числа.
Идея построения модели состоит в следующем. Ka M I !и-
дели, если задана прямоуrольная система координат (о; el, е2, ез),
то каждый вектор задается тремя действительными числами (ero
координатами) и каждая точка тоже задается тремя действи-
тельными числами (ее координатами). При этом операции над
векторами и точками задаются несложными формулами (см. п. 20 и
22). Для построения модели естественно попытаться о п р е Д е-
л и т ь вектор как упорядоченную тройку действительных чисел,
точку также как упорядоченную тройку действительных чисел
(отличая точки и векторы с обками разной формы) и з а Д а т ь
операции над векторами и точками теми формулами, которые
имеются в п. 20 и 22.
Итак, условимся вектором называть каждую упорядоченную
тройку < х; У; z> действительных чисел, точкой также упо-
рядоченную тройку (х; У; z) действительных чисел. Каждой
паре точек А ==(XI, YI, ZI), В ==(Х2. У2, Z2) сопоставим вектор
AB==<X2 XI; Y2 YI; Z2 ZI>. (1)
Далее, сумму вeKTopOB произведение вектора на число u
скалярное произведенuе векторов определим формулами
<XI; Уl; ZI> + <Х2; У2; Z2> == <XI+X2; Уl+У2; ZI+Z2>,
k < х; У; Z > == < kx; ky; kz > ,
<Хl; Уl; ZI"> <Х2; У2; Z2> ==XI X 2+YIY2+ Z I Z 2.
(2)
(3)
(4)
Тем самым все первоначальные понятия заданы, причем «мате-
риалом» для них служат действительные числа. Для доказатель-
ства Toro, что мы получили модель вейлевской аксиоматики,
остается проверить, что выполняются все аксиомы.
Если задан вектор а == < х; У; z> и точка М == (а; Ь; с). то для
нахождения точки N ==(а'; Ь'; с'). удовлетворяющей условию
....
м N === а, мы должны подобрать числа а', Ь', с' так, чтобы выполня-
лись равенства (см. (1)) а' а == х, Ь' Ь == у. с' с == z. Из этих
равенств требуемые числа а'. Ь'. с' определяются однозначно:
а'==а+х. Ь'==Ь+у, c'==c+z.
и это означает, что существует, и притом только одна, точка N,
....
для которой М N == а. Иными словами, аксиома 11 выполняется.
Вез труда проверяется и выполнение аксиомы 12.
Далее, для любых векторов <XI; YI; zl> И <xz; У2; Z2>
{ Оf'.пасн() равенству (2) имеем:
164
<XI; YI; ZI>+<X2; У2; Z2>==<XI+X2; YI+Y2; ZI+Z2>'
<Х2; У2; Z2> + <XI; YI; ZI> == <X2+ X I; Y2+YI; Z2+ Z I >.
Так как XI + Х2 === Х2 + XI (поскольку для действительных чисел
сложение коммутативно) и аналоrично УI +Y2===Y2+YI, ZI +Z2==
=== Z2 + ZI, то в правых частях стоит один и тот же вектор, и потому
<XI; YI; ZI>+<X2; У2; Z2>==<X2; У2; Z2>+<XI; YI; ZI>'
ЭТО означает, что выполнена аксиома 111. Аналоrично проверяется
и выполнение аксиомы 112. Кроме Toro, соrласно (2) имеем:
<х; У; Z> + <о; о; О> == <х; У; z>,
< х; У; Z> + < х; У; Z> == < о; о; о>.
Первое из этих равенств означает, что суще твует вектор б,
удовлетворяющий для любоrо вектора а == < х; У; Z> равенству
а+О==а, а именно в качестве О следует взять вектор <о; о; о>.
Второе равенство означает, что для любоrо вектора 1"существует
вектор a, удовлетворяющий равенству а+( а)==б, а именне
в качестве а следует взять вектор < х; У; Z >. Таким
образом, аксиомы II з , 114 выполнены.
Дальнейшая проверка показывает, что выполняются и ос..
таJIьные аксиомы. Таким образом, в построенной модели выпол"
няются все аксиомы, соста вляющие аксиоматику Вейля, и потому
эта аксиоматика неПрОТИБоречива.
Контрольные вопросы
Проверьте, что в построенной модели выполняются аксиомы
12, 1з, 112, IIII III4.
Задачи
725. Докажите, что вектор Х < 1; о; о> + У < о; 1; О> имеет
своей третьей координатой число О (каковы бы ни были чис..
ла х, У). Выведите отсюда, что вектор < о; о; 1 > не выражается
через векторы < 1; о; о> и < о; 1; о>.
726. Докажите, что ни один из векторов < 1; о; о>,
< о; 1; О>, < о; о; 1 > не выражается через два 'друrих (этим
Осуществляется проверка аксиомы IV 1).
В задачах 727 731 намечен путь проверки аксиомы IV 2 .
.
727. Докажите, что если векторы а == < al; а2; о> и Ь ===
== < ь 1; Ь 2 ; О> непропорциональны, то: а) система уравнений
{ a1x+bIY==C,
а2Х+ b 2 y==d
Имеет решение при любых С и d; б) любой вектор < С; d; о>
8ыIажаетсяя через а и Ь.
165
728. Докажите, что если векторы
a <аl; а2; аз>, b <Ь 1 ; Ь 2 ; Ь з >,
с== <сl; С2; С3>
(5)
,
составляют базис (Т. е. ни один из них не выражается через два
друrих), то хотя бы одно из чисел аз, Ь з , сз отлично от нуля.
729. Докажите, что если векторы (5) составляют базис, то
векторы a тc, a пё непропорциональны (при любых т, п).
730. Докажите, что если векторы (5) составляют базис, причем
сз:;6 О, то для любоrо вектора т найдутся такие числа k, т, п,
что каждый из векторов r kc, а тс, Ь пс имеет третью
координату О, и потому r kc выражается через a тё и b пё.
731. Докажите, что в рассматриваемой модели выполняется
аксиома IV 2.
732. Проверьте, что в построенной модели выполняются
аксиомы У l , У 2 , Vз, V 4 .
rпaBa VIII
ЦЕНТР МАСС СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
52. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС
Понятие центра масс системы материальных точек относится
к м е х а н.и к е. Это понятие восходит к трудам rениальноro
древнеrреческоrо ученоrо Архимеда, который не только показал
ero важную роль в различных задачах механики, но и предвидел
возможность применения этоrо понятия к задачам rеометрии.
Именно применение понятия центра масс к задачам rеометрии и
u
составляет содержание этон rлавы.
Материальной точкой будем называть пару (А, т), rде А .......
некоторая точка пространства (положение материальной точки),
а т положительное число (.м.асса материальной точки).
Рисунок 169 иллюстрирует архимедово правило рычаzа. Две
материальные точки (А 1, т 1) и (А 2 , т2) соединены «невесомым:.
стержнем с точкой опоры Q, дЛЯ которой плечи рычаrа обратно
пропорциональны массам: : :: == :: . При таком положении
. .
точки опоры моменты силы тяжести, деиствующеи на рас-
сматриваемые материальные точки, численно равны, т. е.
т.IQA 1 1==т2IQA 2 1, (1)
но направлены эти моменты противоположно, и потому вся система
будет под воздействием силы тяжести оставаться в равновесии.
Точку Q называют центро.м. яасс системы материальных то-
чек (Аа, та) и (А2, т2).
Равенство (1), определяющее положение центра масс, можно
переписать в следующем векторном виде: тaQAa== т2QA2t
Т. е.
..........
т,QA 1 +m2QA 2 ==O. (2)
Теперь будет понятно определение центра
масс для произвольноrо конечноrо числа
материальных точек.
О п р е д е л е н и е. Центром масс си
стемы материальных точек (А а, та),
(А 2 , т2), ..., (Ak, т.) называется такаЯ
ТОЧКа Q, что
.... .
тIQA. +т2QA 2 +...+тkQAk==O. (3)
167
т,
Рис. 169
Т е о р е м а. Точка Q, о которой 20ворится в определении
центра масс, сущеСТfJует и определена однозначно.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную точку О и
перепишем равенство (3) в виде
..... .....
т. (ОА I OQ)+т2 (OA2 OQ)+...+тk (ОАk ОQ)==б. (4)
Нам надо доказать существование и единственность точки Q,
удовлетворяющей равенству (3), или, что то же самое, paBeH
ству (4). Но из (4) мы находим:
..........
таОА I + т 2 ОА 2 + ... + mkOA k ==(т. +т2+ ... + mk) OQ,
.....
и потому вектор OQ (а значит, и точка Q) определяется OДHO
значно:
1 .......... .....
OQ== (тlOAa+т20A2+...+тkOAk). (5)
т. +т2+ ... +т.
С л е Д с т в и е. Если Q центр масс сuстем.ы материалышх
точек (А 1, тl), (А 2 , т2), ..., (A k , тk)1 то для любой точки О справед..
Аиео равенство (5).
Контрольные вопросы
1) Точка Q делит отреЗ0К АВ в отношении р: q (т. е.
IAQI : I QBI ==р: q); в точку А помещена масса т. Какую массу
нужно поместить в точку В, чтобы точка Q была центром масс
двух получающихся материальных точек?
2) Докажите, что если точка Q является центром масс системы
(А а, т.), ..', (A k , тk), а также центром масс системы
(В а, та), ..., (BI, m/), то Q является центром масс объединенной
системы (А а, ml), ..., (A k , mk), (BI, ml), ..., (BI, тl).
Задачи
733. Точка Q расположена внутри треуrольника АВС.
Докажите существование таких положительных чисел т, п, что Q
является центром масс материальных точек (А, 1), (В, т), (С, п);
докажите, что числа т, п определяются точкой Q однозначно.
734. В вершинах правильноrо шестиуrольника ABCDEF
помещены массы а, Ь, с, d, е, f. Докажите, что если a==d, Ь==е,
c==f, то центром масс системы (А, а), (В, Ь), (С, с), (D, d), (Е, е),
(F, п является центр шестиуrольника. Верно ли обратное?
736. Точки Ar, A , ..., A ортоrональные проекции точек
А 1. А2, ..., Ak на плоскость а. Докажите, что если Q центр acc
системы (А 1, т.), (А 2 , т2), ..., (A k , mk), то центром масс системы
(Аа, т.), (A , т2), ..., (A , mk) является ортоrональная проекция
точки Q на плоскость а.
736. Докажите, что если точки А 1. ..... А. принадлежат пря
'68
мой 1, то центр масс системы (А 1, т 1), ..., (Ak, mk) также лежит на
прямой 1.
737. Докажите, что если точки At, ..., Ak принадлежат
плоскости а, то центр масс системы (А 1, т 1), ..., (A k , тk) также
лежит в плоскости а.
738. Докажите, что если при движении f точки А., А2, ..., Ak
переходят в точки BI, В2, ..., Bk, то центр масс системы (A t , тt),
(А2, т2), ..., (Ak, mk) переходит при движении f в центр масс
системы (В 1, т 1), (В 2 , m2), ..., (B k , mk).
739. Пусть М......... мноrоrранник с вершинами А t, А2, ..., Ak.
Докажите, что если для любых i, j имеется в rруппе самосовмеще-
ний мноrоrранника М такое движение, которое переводит вершину
А ; в Aj, то центр масс сист мы (A 1 , 1), (А 2 , 1), ..., (A k , 1) является
центром описанной сферы мноrоrранника М.
740. Центром каких масс, помещенных в точках А и В,
служит точка QEfAB1, если: а) AQ:QB тl:т2; б}'Q середина
..
отрезка АВ; в) AQ kQB; r} AQ==IAB?
53. ОСНОВНОЕ СВойСТВО ЦЕНТРА МАСС
т е о р е м а. Пусть дана система материальных точек
(A I , тl), ..., (A k , тk), (81' пl), .'., (В" nl), (1)
и пусть р.......... центр масс системы
(А 1 t т 1), ..., (A k , mk). (2)
За},f,еним систему ,М,атериал6нbtх. точек (2) СУМ},f,арной массой
т. + ... + тk, пом.ещенной в точку Р. Tozaa центр масс получаю-
щейся систе'м'Ы
(Р, т 1 + ... + тk), (В 1, п 1), ..., (81, nl)
совпадает с центром масс исходной системы (1).
Д о к а з а т е л ь с Т в о. Обозначим через Q центр масс исход-
ной системы (1), а через Q' центр масс системы (3). В силу следст-
вия, paccMoTpeHHoro в предыдущем пункте, мы имеем:
1
OQ т.+...+т,,-+п.+...+пl (тIOAI+...+тkOA k +
+ п 10B 1+ ... + пIOB 1 ),
1
OQ'== (т.+...+тk)+n.+...+пl ((mt+...+тk)OP+пIOB I +
+ ... + пIOB 1 ),
ор==
(т I ОА t +... + тkOA k ).
т1+..+т"
} ,: <..а
(3)
(4)
(5)
(6)
Подставляя выражение (6) в (5)'. полу..
чаем:
OQ' == 1 «mIOA 1+
(та + ... + т,,) + пl + ... +п,
---+
+ ... + mkOA k ) + nlOB 1 + ... + n,ОВ,),
-
в т. е. OQ' == OQ (см. (4)). и потому Q и Q'
совпадают.
в качестве примера применения дока..
..
заннои теоремы приведем принадлежащее
Архимеду рассуждение. показывающее. что
три медианы треУ20Аьника пересекаются в одной точке. Размес..
тим в каждой вершине треуrольника АВС массу 1. т. е. рас..
смотрим систему материальных точек (А, 1). (В, 1). (С, 1) и обозна-
чим через О центр масс этой системы. Центром масс системы
двух материальных точек (А, 1), (В, 1) является середина D
стороны [АВ]. Соrласно доказанной теореме центром масс двух
материальных точек (D, 2), (С. 1) является та же точка О. и потому
OE[CD]. причем CO:OD==2: 1 (рис. 170). Мы видим. что медиана
[CD] проходит через точку О и делится в ней в отношении 2: 1,
считая от вершины С. Но такое же рассуждение справедливо
и для двух друrих медиан, т. е. все три медианы проходят через
точку О и делятся в ней в отношении 2: 1. Точка О (точка пере-
сечения медиан) называется центроидо.м. треуrольника АВС.
с
А
D
Рис. 110
KOHTpOAbHbre вопросы
1) Докажите, что если Р........ центр масс системы (2). а R........
центр масс системы (B 1 , nl), ... (В 1 , nд, то центр масс системы (1)
совпадае} с центром масс двух материальных точек
(Р, тl + ... + mk), (R, nl + ... + nl).
2) Рассмотрим систему (А 1, т 1), ..., (А6, т6), и пусть Р ........ центр
масс первых двух из этих материальных точек, Q ----- центр масс
следующих двух, а R центр масс последних двух. Докажите.
u
что центр масс исходнои системы совпадает с центром масс
системы (Р, т I + т2), (Q, тз + т4), (R, тб + т6).
3) В треуrольной пирамиде проведены три отрезка, каждый из
которых соединяет середины двух противоположных ребер. До-
кажите, что эти три отрезка пересекаются в одной точке.
4) В треуrольной пирамиде проведены четыре отрезка, каждый
из которых соединяет одну вершину с центроидом противо-
положной rрани. Докажите. что эти отрезки пересекаются в одной
точке (а именно в той, которая рассмотрена в предыдущем
вопросе) и Аелятся в этой точке в отношении 3: 1, считая от
вершины.
3аАачи
741. На сторонах [АВ], [ВС], [СА] треуrольника АВС взяты
такие точки М. N. Р, что tAMI: IMBI ==а:Ь, IBNI: INCI ==Ь:с.
178
ICPI:IPAI==c:a. rде а. Ь, C HeKOTopыe положительные числа.
а) Докажите, что прямые AN, ВР, СМ пересекаются в ОДНОЙ
точке. б) Найдите, в каком отношении делится каждый из отрез-
ков AN, ВР, СМ их точкой пересечения.
742. Вписанная окружность касается сторон [АВ], [НС], [СА]
треуrольника АВС в точках М, N, Р. Докажите, что прямые
AN. ВР, СМ пересекаются в одной точке.
743. Через каждую вершину треуrольника проведена прямая,
делящая периметр треуrольника пополам. Докажите, что три про-
41
веденные прямые пересекаIОТСЯ в однои точке.
744. Длины сторон треуrольника АВС. противолежащих
вершинам А, В, С. обозначены через а, Ь. с. а) Докажите, что
центр масс системы материальных точек (А, а), (В. Ь), (С, с)
совпадает с центром окружности, вписанной в этот треуrольник.
б) Определите, в каком отношении делится каждая биссектриса
"
центром вписаннои окружности.
745. Стороны [АВ], [ВС], [L'D], [DA] описанноrо четырех..
уrольника касаются окружности в точках М, N, Р, Q; длины
отрезков касательных, проведенных к окружности из точек А, В,
С. D, равны а, Ь, с. d. Определите, в каком отношении р.елится
каждый из отрезков МР, NQ их точкой пересечения.
746. Докажите, что центр четырех равных масс, помещенных
u "
в вершинах трапеции, совпадает с серединои среднеи линии.
747. В треуrольнике взяты такие точки М Е[АС), N Е[ВС1,
что (MN)II(AB). Докажите, что точка пересечения отрезков
AN и ВМ принадлежит медиане [CF].
748. Середина каждой стороны пятиуrольника соединена с
центром масс треуrольника, образованноrо тремя вершинами,
не принадлежащими этой стороне. Докажите, что получающиеся
пять отрезков пересекаются в одной точке. В каком отношении
делятся они этой точкой?
749. Середины сторон шестиуrольника соединены через одну.
Докажите, что два получившихся треуrольника имеют общий
центроид.
750. Докажите, что если М .......... точка пересечения медиан тре-
уrольника АВС, то ДlIЯ любой точки О справедливо соотношение
1
ОМ==з(ОА+ОВ+ОС).
54. ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ МАССЫ
При рассмотрении материальной точки (А, т) число т (масса)
предполаrалось п о л о ж и т е л ь н ы М. Однако в рассуждениях
это ниrде явно не использовалось. Для rеометрических прило..
жений удобно рассматривать и о т р и Ц а т е л ь н ы е массы.
171
Систему материальных точек
(A I , т.), (А 2 , т2), ..., (A k , mk)
(1)
(rде ml, m2, .'., mk действительные числа) условимся называть
невырожденной, если сумма их масс отлична от нуля: тl + т2 +
+ ... + тk =1= о. Для невырожденной системы определение центра
масс и теорема существования и единственности (п. 52) остаются
без изменений. Формула (5) п. 52 поясняет смысл условия .невырож"
денности: так как сумма ml + т2 + ... + тk стоит в знаменателе
дроби, то она должна быть отличной от нуля. Сохраняется без из..
менений и теорема п. 53 при условии, что каждая из систем
(1), (2) невырождена и потому имеет центр масс.
3 а д а ч а 1. В противоположных вершинах А и С парал-
лелоrрамма ABCD расположены равные массы т, а в вершине
В масса т. Доказать, что центром масс получающейся
системы (А, т), (С, т), (В, т) является четвертая вершина D.
Реш е н и е. Имеем:
---+
mDA +mDC+( т) DB===т(DA +DС Dв)==б,
откуда и следует в силу определения центра масс справедливость
требуемоrо утверждения.
З а Д а ч а 2. Основанием пирамиды SABCD служи.т парал..
лелоrрамм ABCD. Точки М, N, Р взяты на ребрах [SA], [8В], [SC]
1 1
таким образом, что ISMI ==TI8AI, ISNI ===з ISВ1 , ISPI ==
1
==51 SC I (рис. 171). Определить, в каком отношении делит
плоскость MNP ребро [SD].
Реш е н и е. Поместим в точки А, С, В массы 1, 1, ----1 (так что
их центром будет D). Так как 18MI: IMA 1 == 1 : З, то, поместив
в точку 8 массу тl == 3, мы найдем, что центром масс системы
(S,3), (А, 1) является точка М. Точно так же центром масс си..
стемы (S, ---- 2), (В'....... 1) является точка N. Наконец, центром масс
системы (8, 4), (С, 1) является точка Р.
Поместим теперь в точку- S все три массы 3, ....... 2, 4, т. е. рас..
смотрим систему материальных точе
s
8
Рис. 171
(А, 1), (8, 1), (С, 1),
(S,3), (S, 2), (S,4),
(2)
и найдем их центр масс Q. Заменим
материальные точки (А, 1), (8, З) их сум-
марной массой 1 + 3 == 4, помещенной
в их центре масс М; далее, заменим ма-
териальные точки (В, 1), (S,....... 2) их
суммарной массой ....... 1 2 == 3, по-
мещенной в их центре масс N; нако-
нец, заменим материальные точки (С, 1),
(S,4) их суммарной массой 1+4 5,
помещенной в их центре Р. Тоrда мы
172
найдем, что центр масс Q системы (2) совпадает с центром масс
системы (М, 4), (N,....... 3), (Р, 5), и, следовательно, Q Е (М N Р).
С друrой стороны, если мы заменим материальные точки
(А, 1), (B, 1), (С, 1) их суммарной массой 1 +( ......1)+ 1 === 1, поме-
щенной в их центре масс D, а (S, 3), (S,......2), (S, 4) их суммарной
массой 3 2+4===5, помещенной в точке S, то найдем, что центр
масс Q системы (2) совпадает с центром масс системы (D, 1), (S, 5),
и, следовательно, Q Е (DS). Таким образом, Q........ точка пересече-
ния плоскости MN Р с прямой DS. Так как при этом Q центр масс
системы (D, 1), (5.5), то ISQI: IDQI == 1 :5, т. е. 15QI ==+ ISDI.
Контрольные вопросы
1) Какие массы надо поместить в точках А (О) и В (1) ко-
ординатной прямой, чтобы их центром масс была точка М ( ...... 1)?
точка N (З)? точка Q (XI)?
, 2) Точка Q центр масс материальных точек (А, т),(В, п).
При каком условии точка Q принадлежит отрезку АВ? лучу АВ?
дополнительному множеству отрезка АВ?
3) Докажите, что любая точка плоскости АВС является
центром некоторых масс, расположенных в точках А, В, с.
Задачи
751. Окружности с центрами Al, А 2
и радиусами '1, '2 не пересекаются. а) До-
Кажите, что их внутренний центр ZOMO-
тетuи (т. е. точка пересечения общих вну-
тренних касательных, рис. 172) являет-
ся центром масс системы (А 1, ,'1) '
( А 2 . *") . б) Центром каких масс явля
v
ется внешнии центр rомоrетии этих
окружностей (рис. 173)?
752. Пусть Р центр масс системы
материальных точек (А l ,тl) и (А 2 , т2);
далее, Q центр масс системы матери-
альных точек (А 2 , т2) и (Аз, тз); наконец,
R центр масс системы (Аз, тз) и
(A 1 , .......т.) (т.+т2=#=О, т2+тз=#=О,
тЗ тl :;=0). Докажите, что точки Р, Q,
R лежат на одной прямой.
753. Докажите, что на одной прямой
расположены: а) внешние центры rOMo-
Тетии трех окружностей, взятых попарно
(рис. 174); б) один внешний и два вну-
Тренних центра rомотетии.
173
Рис. 172
Ри<". 173
754. На прямых, содержащих сто-
роны треуrольника АВС, ВЗЯ1Ъ1 такие точ-
ки М, N, Р, что AM===kMB, BN === lNC,
СР===тРА. Докажите, что: а) если
klm=== 1, то (AN), (ВР), (СМ) пересекают-
ся в одной точке (теорема Чевы); б) если
klт=== l, то М, N, Р лежат tla одной
прямой (теорема Менелая).
755. Докажите, что если тl == ........ т2.
то центр масс системы (А l , т.), (А 2 , т2),
(Аз, тз) расположен на прямой, парал-
лельной (А lА 2 ) и проходящей через точ-
ку Аз.
756. Луч [СМ) биссектриса внеш-
Hero уrла треуrольника АВС, М Е(АВ).
Докажите, что М центр масс сис-
темы материальных точек (А, а) и
(B, Ь), rде а, Ь длины сторон, проти-
волежащих вершинам А и В.
757. На прямых АВ, ВС, СА взяты
такие точки М, N, Р, что два из лучей
AN, ВР, СМ являются биссектрисами
внутренних уrлов треуrольника АВС, а
Рис. 174 один биссектрисой внешнеrо уrла
(или все три являются биссектрисами
внешних уrлов). Докажите, что М, N, Р лежат на одной прямой.
758.,Треуrольник АВС не является прямоуrольным. Докажите,
что центр масс системы (А, tg А), (В, tg В), (С, tg С) совпадает с
точкой пересечения высот треуrольника АВС.
759. Длины оснований трапеции A'BCD равны: IABI ==а,
I CD I == Ь. Подберите такие массы т., т2, тз, чтобы центром масс
системы (А, тl), (8, т2), (С, тз) была точка D.
760. Основанием пирамиды SABCD служит параллелоrрамм
ABCD. Точки М, N, Р взяты на прямых SA, SB, SC таким образом,
что SM==kSA, SN==lSB, SP===mSC. а) При каком соотношении
между числами k, 1, т плоскость MN Р параллельна ребру [SD]?
б) Если это условие не выполнено, то в каком отношении делит эта
плоскость ребро [SD]?
761. Ответьте H вопросы предыдущей задачи, если AB'CD ........
трапеция с основаниями IAB-I:=: а, I CD I == Ь.
762 Пусть (А l , тl), ..., (А п , тп) невырожденная система мате..
риальных точек и Q ее центр масс. Докажите, что J(ЛЯ любой
точки Р справедливо тождество Лаzранжа:
п n
m j lPA j l 2 == тjIQA;1 2 +(m.+...+т n )IPQI 2 .
J:=al i==1
763. При тех же обозначениях докажите тождество Я1W6и:
174
11
2 1. 2
тjlQA j l == + + тiтklAiAkl .
i==1 т. ... т lll <k
764. Используя результаты зада ч 744, 762, 763, докажите
ФОРМУАУ Эйлера: d2==R2 2R" rде R, , радиусы описанной и
вписанной окружностей треуrольника, d расстояние между их
центрами.
55. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Теорема. Для любой точки Q плоскости А 1 А 2 А з сущест..
вуют однозначно определенные числа Аl, Л2, лз, удовлетворяющие
уСАовию
Л. + А2 + Аз === 1
(1
и обладающие тем свойством, что Q центр м,асс систем,ы
(А., Лl), (А 2 , Л2), (Аз, лз), т. е.
...
Лl QА1+Л2QА2+ЛзQАз==О. (2)
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. С помощью равенства (1) запишем со-
отношение (2) в виде
....
Аl QA 1 + Л2QА 2 + (1 ---- л'1 Л2) QА з ==0, (3)
т. е.
......
QАЗ==Л1А1АЗ+Л2А2Аз. (4)
Из соотношения (4), которое в силу (1) равносильно соотиоше-
пию (2), числа ЛI и Л2 определяются однозначно: они являются
...
координатами вектора QА з в базисе р == А (Аз, q == А 2 А з .
После этоrо из (1) однозначно определяется .и число Лз.
а п р е Д е л е н и е. Числа ЛI, Л2, Аз, существование и одно-
u
значная определенность которых установлены в этои теореме,
называются барuцентрuчески.м.u координатам.u точки Q относи-
тельно базисноrо треуrольника А 1 А 2 А з (это название связано с тем,
что термин ценrp масс иноrда заменяют синонимом барицентр).
В про с т р а н с т в е вместо треуrольника выбирается базис..
НЫЙ тетраэдр (треуrолъная пирамида) А 1 А 2 А з А 4 ; для любой
точки Q однозначно определяются ее барицентрические коорди..
наты, т. е. такие числа AI, Л2, Лз, А4, что
Л 1 + Л2 + Аз + Л4 == 1 ,
...
Лl QA 1 + Л2QА 2 + ЛзQА з + Л4QА 4 == о.
Контрольные вопросы,
1) KaKQ.Bbl барицентрические координаты центроида тре-
yrольника А 1 А 2 А з ?
2) Докажите, что точка Q в том и только в том случае
175
принадлежит множеству (А lA 2 )U(A IА з )U(А 2 А з ), если хотя бы одна
из координат AI, А2, Аз равна нулю.
3) Докажите, что Q в том и только в том случае явля-
ется внутренней точкой Д А IА 2 А з , если л'1, А2, л'з положитеЛЬНbI.
4) rде расположены точки, для которых только одна из бари.
центрических координат отрицательна? две отрицательны?
Задачи
765. Точки МЕ[А I А 2 ] и NЕ[А 2 А з ] выбраны так, что IA1M\ ==
==+ IAIA21. IA 2 NI ==+ IА 2 А з l. Найдите барицентрические коор-
динаты точки пересечения отрез'ков A1N и АзМ.
766. Через точку Q с ненулевыми барицентрическими коор-
динатами AI, А2, Аз проведена прямая A1Q. а) При каком условии
она параллельна (А 2 А з )? б) Е'сли это условие не выполнено,
то каковы барицентрические координаты. точки Р пересечения
прямых A1Q и А 2 А з ? в) Чему равно отношение : : II ?
767. Точка Q имеет ба рицентрические координаты AI =1= О,
A2=F0, Аз ==0. Найдите число k, удовлетворяющее соотношению
A.Q==kQA 2 .
768. Какие барицентрические координаты относительно
дА.А 2 А з имеет: а) четвертая вершина; б) центр параллелоrрамма
А 1 А 2 А з А 4 ? .
769. На прямых, содержащих стороны треуrольника Аве,
взяты такие точки M,N,P, что прямые AN,BP,CM пеоесекаются
--+
в одной точке Q. Докажите, что если AM==kMB, AP===lPC, то
AQ ==(k +l) QN.
770. Докажите, что если точка Р имеет барицентрические
координаты AI, А2, Аз, а точка Q барицентрические координаты
J.11, J.12, J.tз, то середина отрезка PQ имеет (относительно Toro же
баэисноrо треуrольника) барицентрические координаты 1 1 t l11
).,2 + f.L2 Аз + f.Lз
2 2
771. В точках Р (AI, А2, Аз) и Q (J!I, J.12, IJ.з) расположены массы
р и Ч. Найдите барицентрические координаты их центра масс.
Обобщите на случай произвольноrо числа масс.
772. На ПРЯМbIХ А 2 А з , АзА 1 , AIA2 взяты такие точки BI, В2, Вз.
что А 2 В 1 ==kВ 1 А з , А з В 2 ==lВ 2 АI, А 1 В з ==тВ з А 2 . Докажите, что
если k ==l==т, то треуrольники -А 1 А 2 А з и В 1 В 2 В З имеют
общий центроид. Верно ли обратное?
773. Докажите, что если Q внутренняя точка треуrольника
А А А 8. 82 8з
I 2 3 t то ее барицентрические координаты равны Т' S' s'
176
rде S., S2, Sз, S площади треуrольников QА 2 А з , QА.А з , QA.A 2 ,
А .А 2 А з .
774. Зная длины сторон базисноrо треуrольника, найдите бари-
центрические координаты центра окружности, вписанной в этот
треуrольник.
775. На сторонах треуrольника А ,А 2 А з взяты такие точки
....-+ 1""-+ ....-+ 1""-+ ....-+ 1""-+
М, N, Р, что А.М==т МА2 , А2N==тNАз, АзР==тРАI.
Найдите барицентрические координаты вершин треуrольника,
образованноrо прямыми A.N, А 2 Р, АзМ, и вычислите ero
площадь.
776. Три точки заданы их барицентрическими координатами
в некотором базисном треуrольнике: A(AI, А2, Аз), 8(1-11, J.t2, J.tз),
Р(х, у, z). Докажите, что эти точки. в том и только в том случае
лежат на одной прямой, если сущеСТВУIОТ такие числа а, и ,
удовлетворяющие условию а + р== 1, что Х==аАl + Pll',
у == аА2 + P1-12, z == аАз + J.tз.
777. Докажите, что любая прямая может быть задана в
барицентрических координатах ура внением ах + ь у + cz == О,
в котором не все коэффициенты а, Ь, с одинаковы.
778. До.кажите, что если точки Р и Q имеют относительно
базисноrо треуrольника А .А2Аз барицентрические координаты
ЛI, л'2, Аз и J.t., J.t2, I-1з, то IPQI 2 == (ЛI-----I-1I) (A2 1-12) IА.А212.......
(л,. 1-11) (лз....... J.tз) A .А з 12....... (Л2 -----1-12) (лз .......l-1з) I А 2 А з )2.
779. Зная длины сторон треуrольника А IА 2 А з , найдите расстоя-
ние между центроидом этоrо треуrольника и центром ero впи-
u
саннои окружности.
780. Докажите, что точка P(AI' л'2, Аз) В том и только в том
случае принадлежит описанной окружности базисноrо треуrоль-
ника А.А 2 А з , если выполнено какое-либо из следующих условий:
а) Л,.IРАI)2+А2IРА212+АэIРАз\2==о; б) а2А2Аз+Ь2А.Аз+с2А.Л2==О,
rде а== lА 2 А з l, Ь== IА.А з \, с== IA.A21 длины сторон базисноrо
треуrольника.
rJl8881X
ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙНОМ проrр АММИРОВАНИИ
56. ОПОРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
Рис. 175
Рис. 176
Рис. 177
Пусть Q........ выпуклый мноrоуrопьник
в плоскости а. Прямая 1 с. а называется
ero опарной прямой, если она содержит
хотя бы одну rраничную точку этоrо мно-
rоуrольника, но не содержит никакой
ero внутренней точки. Пересечение l n Q
представляет собой либо в ерш и н у
(рис. 175), либо с т о р о н у мноrоуrоль-
ника Q (рис. 176). В любом случае вы-
пуклый мноrоуrольник Q содержится в
u v
однои из двух полуплоскостеи, опреде-
ляемых прямой l (т. е. все ero точки, не
лежащие на прямой 1, расположены по
одну сторону от 1).
Аналоrичными свойствами обладают
выпуклые мноrоrранники. Плоскость (х,
называется опорной плоскостью выпук-
лоrо мноrоrранника Q, если она содержит
хотя бы одну rраничную точку этоrо МНО-
rоrранника, но не содержит никакой
внутренней точки. Пересечение (х, n Q мо-
жет представлять собой либо в ерш и-
н у мноrоrранника Q (рис. 177), либо ero
р е б р о (рис. 178), либо ero r р а н ь
(рис. 179). В любом случае выпуклый
мноrоrранник Q содержится в одном из
двух полупространств, определяемых пло-
скостью (Х,.
Т е о р е м а. [1усть Q ........ вЬtпук,лый
MHozozpaHHuK и п........ ненуле80Й вектор.
Tozaa существует и притом. только одна,
опорная плоскость а MHozozpaHHUKa Q,
обладающая тем свОЙСТ80м. ЧТО полупро-
странство с zранuчной плоскостью (х" со-
держащее Q, имеет п С80ей внешней
нормалью (рис. 177 179).
Аналоrичная теорема справеАлива
J.JJя мноrоуrольииков. При ведем ее Аока'"
178
Контрольные вопросы
Какие и следующих высказываний
истинны:
1) любой выпуклый мноrоуrольник
имеет бесконечно MHoro опорных прямых;
2) для любоrо выпуклоrо мноrоуrоль-
ника Q найдется опорная прямая, ИМею-
щая с Q только одну об.щую точку;
3) для любоrо выпуклоrо мноrоуrоль-
ника Q найдется опорная прямая, имею-
щая с Q более одной общей точки;
4) Через любую rраничную точку выпуклоrо мноrоуrольника
проходит только одна опорная прямая;
5) плоскость любой rрани' выпуклоrо мноrоrранника является
опорной плоскостью этоrо мноrоrранника;
б) через любую rраничную точку выпуклоrо мноrоrранника
проходит хотя бы одна ero опорная плоскость?
Задачи у
781. Начертите на координатной пло-
скости выпуклый мноrоуrольник Q с вер-
шинами А (о; о), в (3; о), С (о; 2), D (3; 1),
Е (2; 3) и проведите опорные прямые MHoro-
уrольника Q, ортоrональные вектору
n(З;I).
782. Прямые х==О, у==О, у==3, 2х+
+y 5==O, 2x 2y.......l ==0 определяют
u U
На КООр4 и натнои плоскости выпуклыи
ПЯтиуrол ниК Q. Определите координаты
ero вершин 11 постройте ero опорные пря-
МЫе /1 t 1'2, ортоrональные вектору ii. (1; 1).
ЧТО представляют собой пересечения Q n 11,
Q n 1 2 ?
зательство (для мноrоrранников доказа-
тельство аналоrично). Пусть т прямая,
имеющая п своим базисным вектором
(рис. 180). Ортоrональная проекция мно-
rоуrольника Q на прямую т представ-
ляет собой отрезок. Прямые 11 и 12, пер-
пендикулярные т и проходящие через
концЫ этоrо отрезка, являются опорны-
МИ прямыми м!!оrоуrольника Q, и каждая
из них имеет п своим вектором нормали.
Для одной И3 этих прямы2' полуплоскость,
содержащая Q, имеет п своей в н е ш-
н е й нормалью (рис. 180).
12-
179
Рис. 178
Рис. 179
Рис. 180
783. Выпуклый мноrоуrольник Q задан системой нера-
венств Alx+B1y+C. o, A2x+B2y+C2 O, ..., Апх+Впу+
+ Сп о. а) Докажите, ЧТ9 дЛЯ любой вершины М (Хо, Уо) MHoro-
уrольника Q найдутся среди уравнений
A1x+B1y+C1==O, А 2 х+В 2 у+С 2 ==О, ..., Апх+Впу+Сп==О (1)
Т'1кие два, для которых (хо, Уо) является решением. б) Из урав-
нений (1) выбрали два и, решив получившуюся систему, нашли
решение х', у'. Обязательно ли точка М (х'; у') является верши-
ной мноrоуrольника Q?
784. Сформулируйте факты, полученные при решении зада-
чи 783 для CJ1учая выпуклых мноrоrранников.
785. ноrоrранник Q задан системой неравенств
x o, y O, Z O, z+5 O, .......x y.......z+6 O, 2x+y 4 O.
Взяв левые части трех из этих неравенств, получили систему
{ Z == о.
х"':" у z + 6"== о;
2х + у....... 4 == о.
На йдите решение (х'; у'; z') этой системы. Является ли точка
М (х'; у'; z') вершиной мноrоrранника Q?
786. Найдите все вершины мноrоrранника в задаче 785.
57. ЛИНЕЙНЫЕ функции НА мноrоуrОЛЬНИКАХ
и MHOrOrp ДННИКАХ
3 а Д а ч а. Дан выпуклый мноrоrранник Q. Найти точку
М (х, у, z), в которой функция l (М) == Ах + Ву + Cz, рассматри-
ваемая на мноrоrраннике Q, достиrает cBoero наибольшеrо зна-
чения.
Реш е н и е. Рассмотрим вектор ii (А; В; С). Соrласно теоре-
ме предыдущеrо пункта существует опорная плоскость а MHoro-
rранника Q, дЛЯ которой полупространство V с rраничной
плоскостью <х, содержащее Q, имеет п своей внешней НОр lалью
(рис. 177 179). Пусть МО (хо; уя; zo) общая точка MHororpaH-
ника Q и плоскости <Х. Так как п внешняя нормаль полупрост-
ранства V, то для любой точки М (х; у; z)E V скалярное произ-
ведение п. МоМ неположительн6: ii .МоМ о. Так как век-
)
тор МОМ имеет координаты X Xo, Y Yo, Z-----Zo, то это скалярное
произведение равно А (x xo)+B (у......Уо) + С (z zo). Итак, для
.любой точки М (х; у; z) Е V выполнено неравенство
А (x xo)+B (y yo)+C (z zo) O,
H п
Т. е.
Ах+ Ву+ Cz Ахо+Вуо + CZ o .
Иначе rоворя, l (М) l (МО) для любой точки М Е v. в частности,
1 (M) l (МО) дЛЯ любой точки М Е Q (поскольку Q содержится
в полупространстве V). Таким образом, функция 1 (М), рассмат-
риваемая на мноrоrраннике Q, достиrает в точке МО наибольше-
ro значения, т. е. точка МО искомая.
Заметим, что если Q Па представляет собой не одну вершину
мноrоrранника Q, а ero ребро (рис. 178), то в качестве Мо можно
было взять л ю б у ю точку этоrо ребра; например, можно взять
конец этоrо ребра, т. е. некоторую вершину мноrоrранника Q.
ТОЧНU так же если Q n а rpaHb мноrоrранника Q (рис. 179),
то в качестве МО можно взять, например, вершину мноrоуrоль-
ника Q n а (которая является вершиной мноrоrранника Q).
Сказанное означает, что справедлива следующая
т е о р е м а. Линейная функция, рассматриваемая на вы-
пуклом MHozozpaHHUKe Q, aOCTu.zaeT свое20 наu60льшеёО значе-
ния либо в одной вершине MHozozpaHHUKa Q, ли60 на некотороАС
е20 ребре, либо на некоторой zpaHU.. В любом случае существу-
ет вершина (хотя бы одна), в которой дости2ается это наuбольшее
значение.
Аналоr.ичная теорема справедлива для н а и м е н ь ш е r о
значения линейной Функuии на выпуклом мноrоrраннике, а также
для линейной функции l (М) == Ах + Ву на выпуклом м н о r 0-
у r о л ь н и к е.
З а м е ч а н и е. Эта теорема указывает r е о м е т р и ч е-
е к и й способ нахождения вершины, в которой рассматриваемая
линейная функция достиrает наибольшеrо значения. Конечно,
в практических задачах выполнять эти rеометрические построе-
ния (находить опорные плоскости и их пересечение с MHororpaH-
ником) неудобно. Однако доказанная теорема позволяет подойти
к этой задаче а л r е б р а и ч е с к и: надо найти координаты всех
вершин мноrоrранника Q, вычислить значения линейной функ-
ции в вершинах и выбрать из этих значений наибольшее. Это
и будет наибольшее значение функции на всем мноrоrраннике Q.
Контрольные вопросы
1) Сформулируйте и докажите теорему этоrо пункта для ВЫ-
Пуклоrо мноrоуrольника на плоскости.
2) Сформулируйте и докажите теорему этоrо пункта для
н а и м е н ь ш е r о значения линейной функции на выпуклом
Мноrоrраннике.
З) Докажите, что если мноrоrранник Q не имеет ребер пер-
пендикулярных вектору n (А, В, С), то функция l (М)==Ах+
+ Ву + Cz, рассматриваемая на Q, достиrает наибольшеrо зна-
Чения лишь в о Д н о й точке. Верно ли обратное?
181
Задачи
787. В какой точке М (х; у) выпуклоrо мноrоуrольника, опи
caHHoro в задаче 781, функция 1 (М)==3х+у достиrает наиболь-
шеrо значения? наименьшеrо значения?
788. В какой точке М (х; у) ВЫПУКJJоrо мноrоуrольника,
описанноrо в задаче 782, достиrает наибольшеrо значения функ
ция 1 (М)==3х+5у+4? функция 1. (М)==4х+2у+З?
789. В какой точке М (х; у; z) выпуклоrо мноrоrранника, опи-
caHHoro в задачах 785, 786, достиrает наибольшеrо значения
функция I(M)==3x+y 5z? функция I1 (M)==x.......2y z+8?
790. Точка А и векторы АВ, AD, АА 1 заданы координата
м и: А (2; ....... 1; 3), А В (2; 1; О), А D (1; ....... 1; 2), А А 1 (3; о; 2). Вы ч и сл и
те координаты вершин параллелепипеда К, ребрами KOToporo
являются отрезки АВ, AD, АА 1. В какой точке М (х; y z) парал-
лелепипеда К достиrает наименьшеrо значения: а) функция
1 (M)==x+y+z.......8; б) функция 11 (M)==x 2y+z 11; в) функ-
ция 12 (М) == 2х....... 4у Зz + 7?
791. При каком D плоскость (Х является опорной плоскостью
параллелепипеда К (см. задачу 790) и что представляет собой
(хпк, если (Х задается уравнением:
а) x+y+z+D==O; б) x 2y+z+D==O;
в) 2х 4у Зz+D==О?
792. Точка А и векторы АВ, А С, АА 1 заданы координата-
ми: А (2; 1; 2), АВ (2; о; 1), АС (о; 1; 2), AAI (1; 1; 1). Вы-
числите координаты вершин треуrольной призмы, ребрами кото-
рой служат отрезки АВ, АС, AAI (ребро [AAI] боковое). В какой
точке М (х; у; z) этой призмы достиrает наибольшеrо значения:
а) функция 1 (M)==2x+y.......z; б) функция I1 (М)==2х+у Зz+2;
в) функция 12 (М)== Х + 4у....... 2z + 5?
58. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
к нахождению наибольшеrо значения линейной функции на
выпуклом мноrоуrольнике или мноrоrраннике приводят мноrие
практические задачи.
3 а д а ч а. На три завода 31, 32, З З нужно завезти сырье
одинаковоrо вида в количестве соответственно 10 т, 15 т, 20 Т.
Сырье хранится. на двух складах С 1 , С 2 В количестве соответ-
ственно 20 т и 25 Т. Расстояния от складов до заводов ука-
заНbI на рисунке 181. Найти наиболее выrодный вариант перево-
зок (для KOToporo общее количество тонна-километров будe'f
наименьш»м).
Реш е н и е. Обозначим через х и у количество сырья, кото-
рое нужно вывезти со склада С. иа звводы 31, 32. Тоrда со скла"
да С 2 нужно довезти на эти заводы 1 () х и 15 у тонн. Так KaJ(
'8
общее количество имеющеrося
на складах сырья совпадает с
потребностью заводов (Т. е.
должно быть вывезено все
сырье), то после обеспечения за-
водов 3 I И 32 оставшееся сырье
полностью вывозитс на завод
Зз, т. е. со склада C 1 на завод 3з
вывозится 20.......x y, а со скла-
да С 2 вывозится 25 (10 x).......
......( 15 у) === х + у тонн (табли-
ца 1 ).
С,
Рис. 181
Таблица 1
3. 32 З З
C 1 Х У 20 ---- х ---- у
С 2 10----x 15----у х+у
Теперь находим общее число тонна"километров:
5х + ,7 у + 1 О (20....... х....... у) + 3 (1 О х) + 4 (15....... у) + 6 (х + у) ==
== 290 ....... 2х ....... у. (1 )
Заметим, что все величины, указанные в таблице 1 (количе-
ство перевозимоrо по разным дороrам сырья), неотрицательны:
X O, y O, 20.......x y O, 10.......x O, 15.......y O, x+y O. (2)
Последнее из неравенств является следствием двух первых, и
поэтому ero можно отбросить.
Каждое из оставшихся нера-
венств (2) определяет в систе-
ме координат х, у полупло-
скость, а система всех нера-
венств определяет пересечение
u .
полуплоскостеи, т. е. выпуклыи
мноrоуrольник Q (рис. 182).
Таким образом, задача о
нахождении наиболее выrод-
Horo варианта перевозок сво-
дится математически к нахож-
дению точки М (х; у) Е Q, в ко-
торой функция (1) достиrает
наименьшеrо значения, т. е.
Точки, в которой функция
l (М)==2х+ у достиrает наи..
большеrо значения. Рис. 182
183
Соrласно теореме предыдущеrо параrрафа это наибольшее
значение достиrается в какой-либо вершине мноrоуrольника Q.
Непосредственный подсчет показывает, что в вершинах MHoro-
уrольника (рис. 182) функция 1 (М) принимает следующие значе-
ния: 1(0)==0, [(А)==15, 1(8)==25, 1 (С)==30, l(D)==20. Таким
образом. наибольшее значение функции 1 (М) (и наименьшее зна-
чение функции. (1)) достиrается в точке С, т. е. наиболее выrод-
ный вариант перевозок соответствует точке С (10; 10). Общее ко-
личество тонна-километров для значений х== 10, у== 10 соrлас-
но (1) равно 290 2.10 10==260. В таблице 2 показаны соот-
ветствующие объемы пере возок.
Таблица 2
3. З 2 з з
с. 10 10 О
.
С 2 О 5 20
Контрольные вопросы
1) Начертите опорные прямые мноrоуrольника Q, перпенди-
кулярные вектору n (2; 1), и покажите rеометрически, что наи-
большее значение функции 1 (М)==2х+у на Q достиrается в вер-
шине с. .
2) Точка Е (1 о; 15), являющаяся четвертой вершиной прямо-
уrолън'Ика DOAE, не принадлежит мноrоуrольнику Q. Объяс-
ните, почему координаты этой точки (Т. е. х == 1 О, У == 15) не дают
допустимоrо варианта перевозок.
Задачи
793. При сохранении данных о наличии сырья на складах
и потребности заводов в сырье решите задачу для случая, Kor-
да расстояния (в км) задаются: а) таблицей 3; б) таблицей 4.
Сколько в кС!ждом случае существует наиболее выrодных вари-
антов перевозок?
Таблица 3
Таблица 4
з. 32 33
с. 5 8 10
С 2 3 4 7
31 32 3 з
с. б 7 9
С 2 3 4 5
794. На :rpex складах хранится сырье одинаковоrо вида в
количествах соответственно 10 т, 20 т. 30 Т. На завод нужно
1R4
6
А 6 В 8
6 В 8 В 8
Б 8 В
Рис. 183
завезти 35 т сырья. Найдите наиболее выrодный вариант пере-
возок, если расстояния от складов до завода равны 7 км, 5 км,
8 км.
795. Решите ту же задачу при ДОП9лнительном требовании:
со BToporo склада вывозится сырья не больше, чем с TpeTbero.
796. Установка собирается из трех различных деталей А, Б,
В (не считая болтов). На одном станке можно за смену изrото-
вить либо 12 деталей типа А, 18 типа Б и 30 типа В (первый режим
работы), либо 20 деталей типа А, 15 типа Б и 9 типа В (второй
режим). Хватит ли 100 станков, чтобы изrотовить за смену детали
для 720 установок? Какое наименьшее число станков (и с какими
режимами работы) нужно для выполнения заказа?
797. Решите задачу 796 при условии, что на одном станке
можно 'за смену изrотовить либо 8 деталей типа А, 10 деталей
типа Б и 5 деталей типа В (первый режим работы), либо же 8 де-
талей типа А, 5 деталей типа Б и 20 деталей типа В (второй ре-
жим).
798. Для изrотовления полки НУЖЦО вырезать из фанеры
(рис. 183) одну заrотовку для задней стенки (деталь А), две
заrотовки для боковинок (детали Б) и три одинаковых заrотовки
для верхней, средней и нижней rориэонтальных панелей (дета-
ли В). Имеющиеся на мебельном комбинате листы фанеры та-
ковы, что при первом способе раскроя из одноrо листа можно
изrотовить одну деталь типа А, 4 типа Б и 8 типа В, а при втором
способе 3 детали типа А, 2 типа Б и 2 типа В. Можно ли, имея
180 листов фанеры, изrотовить 200 полок? Как осуществить
r
r r
А 6 А А
В
r r r Б 8
Б
В
Рис. 184
\85
раскрой материала, чтобы было использовано наименьшее число
листов фанеры?
799. Для перевозки rOToBbIx изделий четырех типов А, Б, В, r
завод использует стандартные ящики. Форма и rабариты изде..
лий таковы, что на заводском складе при меняются два способа
упаковки изделий в ящике (рис. 184). Маrазин запросил доставить
не менее: 400 изделий типа А, 500 изделий типа Б, 500 изделий
типа В и 1000 изделий типа r. Может ли склад осуществить
упаковку требуемых изделий, если имеется 300 ящиков? Каково
наименьшее количество ящиков, необходимых для упаковки из-
делий?
59. ЗАДАЧИ С мноrими ПЕРЕМЕННЫМИ
в задаче, рассмотренной в предыдущем пункте, удалось вы-
разить все объемы перевозок со складов на заводы через две
переменные х, у (таблица 1). Это позволило дать rеометрическую
интерпретацию в виде задачи о наименьшем значении линейной
функции на м н о r о у r о л ь н и к е.
Допустим теперь, что при тех же двух складах число заво-
дов равно четырем, а их потребность в сырье составляет соот-
ветственно 8, 10, 12 и 15 т. Тоrда нужны три переменные х, у, z,
обозначающие количество сырья, вывозимоrо со склада C t на
первые три завода. В результате вместо таблицы 1 мы получим
таблицу 5. Если задать расстояния от складов до заводов (табли-
ца б), то можно будет подсчитать общее число тонна-километ-
ров. Однако теперь неравенства, выражающие неотрицательность
выражений, содержащихся в таблице 5, будут содержать т р и
переменные х, у, z. Каждое неравенство задает п о л у про с т-
р а н с т в о, а система всех неравенств определяет пересечение
полупространств, т. е. выпуклый мноrоrранник. В этом случае
проблема перевозки сырья математически формулируется как за-
дача о наибольшем (или наименьшем) значении линейной функ-
ции на м н о r о r р а н н и к е.
Таблица 5
Таблица 6
3. 32 33 3.
с. % У z 20 ..... х..... у...... z
Gt 8 x 10 y 12 ..... z x+y+z.....5
3. 32 33 3.
С. 8' 7 11 10
4 5 2 9 4
в случае двух складов и пяти заводов потребуются уже
ч е т ы репеременные х, у, z, t, обозначающие количество сырья,
вывозимоrо со склада С. на первые четыре завода. Следователь-
но, мы будем иметь нерзвенства с ч е т ы р ь м я переменными
х, у, z, t, и для получения rеометрической интерпретации потре-
18&
буется четырехмерное пространство, в котором точки (и векторы)
задаются четырьмя координатами. А при большем числе скла
дов и заводов потребуются пространства еще большей раз
мерности.
Необходимость рассмотрения п MepHЫX ПрОСТр(,lнств при n> 3
диктуется не только транспортными задачами, но и мноrими
задачами физики, химии, биолоrии и друrих областей знания. Та-
ким образом, хотя пространственные свойства окружающеrо МИ
ра хорошо описываются rеометрическим т р е х м е р н ы м про
странством, потребности практической деятельности человека
приводят к необходимости рассмотрения пространств любой раз
мерности n.
Кроме транспортных задач, к задачам о наибольших значе-
ниях линейных функций на мноrоrранниках приводят также
различные вопросы математической экономики. связанные с на-
хождением наиболее выrодных способов раскроя материала,
оптимальных режимов работы предприятий, производственных
планов и Т. д. Тот факт. что эти задачи решаются с помощью Ha
хождения наибольших значений линейных функций на выпуклых
мноrоrранниках, был впервые подмечен академиком л. В. Канто-
ровичем. За эти работы советский ученый удостоен в 1975 r.
Нобелевской премии. В настоящее время в математике сущест-
вует научное направление (линейное пРО2Р(jМ,мированuе). рас-
сматривающее вычислительные методы отыскания наибольшеrо
(или наименьшеrо) значения линейной функции на выпуклом
мноrоrраннике произвольной размерности.
Контрольные вопросы
1) Как видоизменить условие задачи 799, чтобы решение
..
ее сводилось к нахождению наименьшеrо значения линеи
ной функции не на выпуклом мноrоуrольнике. а на MHororpaH
иике?
2) Используя фабулу задачи 796. опишите производствен
ную ситуацию. в которой решение rеометричееки интерпретиру
ется в трехмерном пространстве или пространстве большеrо чис
па измерений.
Задачи
800. В случае четырех заводов (таблицы 5 и 6) запишите
выражение для общеrо числа тонна киломеТРО8 и неравенства,
означающие неотрицательность выражений, содержзщихся в таб
Лице 5.
801. Проверhте, что следующие точки удовлетворяют систе
Ме выписанных в задаче 800 неравенс1'В: А t (о; о; 12). А 2 (о; о; 5),
Аз (о; 1 о; о), А4 (о; 5; О). АБ (8; о; о). А6 (5; о; о). А7 (о; 1 о; 1 о),
Ав(о; 8; 12). А9(8; о; 12). A 1o (8; 10; О), А.. (8; .10; 2).
187
802. Считая доказанным, что {А 1, А2, ..., А II} есть множество
всех вершин мноrоrранника Q, определяемоrо системой нера..
венств в задачах 800, 801, найдите наиболее выrодный план пе-
.
ре возок.
803. Выпуклый мноrоrранник задается системой линейных
неравенств, рассмотренной в задаче 800. Докажите, что в каж-
дой вершине по крайней мере в трех из этих неравенств левая
часть обращается в нуль.
804. Докажите, что {А 1, А2, ..., А II} есть мно)кество в с е х
вершин мноrоrранника Q, paccMOTpeHHoro в задаче 802.
805. Сколько переменных потребуется для решения тран-
с-портной задачи п. 58, если потребности заводов 31, 32, З З те же,
а количества сырья на складах С 1 и С 2 равны 20 т и З8 т? За-
пишите (используя таблицу З) выражение для общеrо числа
u
тонна километров и неравенства, задающие выпуклыи MHoro..
rранник.
806. Используя результат задачи 80З, найдите координаты
всех вершин выпуклоrо мноrоrранника в задаче 805. Найдите -
наиболее выrодный вариант перевозок.
60. ПОНЯТИЕ О MHOrOMEPHbIX ПРОСТР АНСТВАХ
Абстрактная математическая теория должна оцениваться
с двух точек зрения: аксиоматической и прикладной. Первая
из них требует, чтобы теория описывалась н е про т и в о р е..
ч и в о й системой аксиом и была достаточно боrата теоремами,
выводимыми из этих аксиом. Вторая, прикладная точка зрения
УЧИТЫDает, насколько полезна рассматриваемая теория для дру"
rих областей самой математики, для техники, физики, химии И
прочих естественных наук. О прикладной значимости теории
MHoroMcpHblX пространств шла речь в предыдущем пункте. Здесь
мы расскажем об аксиоматике и о некоторых теоремах MHoro..
мерной reометрии.
Система аксиом n...меРНО20 евклuдова пространства очень
похожа На систему аксиом TpexM.epHoro пространства. Аксио-
мы 11, 12, I з , описывающие связь между точками и векторами,
остаются без изменения. Не меняются также аксиомы 111, 112.
Il з , 114 (свойства суммы векторов), аксиомы 1111, 1112, III з , 111.
(свойства произведения вектора на число) и аксиомы У 1, V 2.
УЗ, У 4 (свойства скалярноrо произведения). Видоизменяются в
случае n"MepHoro евклидова пространства только аксиомы раз-
мерности.
А к с и о м а IV.. Существуют такие n векторов al, а2, ..., all.
что ни один из них не выражается через остальные.
Такие векторы UI, а2, ..., а п составляют по определению базиС
n-мериоrо пространства.
188
А к с и о м а IV 2. Если al, а2, ..., а п базис, то любой век..
....
тор ь выражается через векторы этоrо базиса, т. е. существуют
такие действительные числа XI, Х2, ..., Х п , что
ь == х,аl + Х2а2 + ... + Хпйп.
Наконец, аксиома IV з также остается без изменения.
Непротиворечивость этой аксиоматики доказывается так же,
как в п. 51. В самом деле, если на плоскости, т. е. в двумерном
пространстве, каждая точка (или вектор) задается Д в у м я
координатами, а в трехмерном пространстве т р е м я, то в
n..мерном пространстве каждая точка (или вектор) должна зада..
ваться n координатами. Это соображение подсказывает построе..
ние модели. Условимся вектором называть каждую упорядочен..
ную последовательность < XI; Х2; ...; Х п >, содержащую n дейст"
вительных чисел, точкой также упорядоченную последова-
тельносТь (XI; Х2; ...; Х п ). Каждым двум точкам А (XI; Х2; ...; Х п ),
......
в (Уl; У2; ...; Уп) поставим в соответствие вектор АВ == < Уl ....... Хl;
у2....... Х2; ...; Уп....... Хп >. Далее, сумму векторов, произведение век..
тора на число и скалярное произведение векторов определим
формулами
<XI; Х2; ...; Xп>+<YI; У2; ...; Уп>==
== <XI+YI; Х2+У2; ...; Хп+Уп>,
k<xl; Х2; ...; Х п > == <kXI; kX2; ...; kx n >,
<XI; Х2; ...; Х п > <YI; У2; ...; yп>==XIYI+X2Y2+...+ X пyп.
Тем самым все первоначальные понятия n-мерной евклидовой
reометрии построены, причем «материалом» служат действитель-
ные числа; можно проверить, что в этой модели все аксиомы
п"MepHoro евклидова пространства выполняются. Например, леr..
КО видеть, что векторы
ё l ==<1; о; о; ...; о>, ё 2 ==<0; 1; о; ...; О>, ...,
... ёп==<о; о; о; ...; 1> (1)
СОставляют базис (т. е. ни один из них не выражается через
остальные), чем осуществляется проверка аксиомы IV 1 . По-
СТроение этой модели показывает н е про т и в о р е ч и в о с т ь
rеометрии n-мерноrо евклидова пространства.
Заметим, что векторы (1) составляют О р т о н о р м и р о в а н-
н ы й базис, т. е. их попарные скалярные произведения равны
Нулю, а скалярный квадрат каждоrо из них равен единице. На-
Пример, в четырехмеРНGМ пространстве (п ==4) существуют ч е-
т ы р е попарно ортоrональных единичных вектора Кажущаяся
РПравильность:' этоrо VТЕеrждения 06ЪЯi" l С' ,'\.1 1'(:"'М. что,
4
впервые знакомясь с идеями мноrомерной rеометрии, мы хотели
бы наrлядно, зримо представить себе та... ие четыре вектора, а это
не удается. Дело в том, что свойства реальноrо пространства
хорошо описываются rеометрией т р е х м е р н о r о пространст-
ва. Поэтому никто, даже самый rениальный математик, не в со-
стоянии в буквальном смысле у в и Д е т ь четырехмерную карти-
ну. Однако, зная rеометрические свойства TpexMepHoro простран-
ства, можно п о а н а л о r и и формулировать свойства фиrур
в четырехмерном (или n",мерном) пространстве, а затем чисто ла-
rически (с помощью аксиоматики, которая, как мы знаем, непро-
тиворечива) Д о к азы в а т ь эти свойства.
Укажем для иллюстрации некоторые факты мноrомерной reo-
метрии. .
о п р е Д е л е н и е. Пусть О........ произвольная точка n-мер-
...... ...
Horo. еВКJlидова пространства и al, а2, ..., а п ---l........ векторы, ни
один из которых не выражается через остальные. Множество
всех точек М, дЛЯ которых OM==Xlal+X2a2+...+Xn lan",,1
(rде XI, Х2, ..., Xп I ........ какие...либо действительные числа), называ-
ется 2иперnлоскостью, проходящей через точку О и имеющей
систему векторов аl, а2, ..., aп 1 своим базисом.
П ряМ,ая и отрезок, координаты векторов и точек, полу про-
странство определяются в MHoroMepHoM пространстве так же, как
и выше (в случае TpexMepHoro пространства см. п. 5, 20, 22, 31).
Теперь, как и в п. 34, можно определить n",мерный выпуклый
ЯНОZО2раннuк, т. е. оrраниченное множество, представляющее
собой пересечение конечноrо числа полупространств и являюще-
еся n-м е р н ы м (т. е. не содержащееся ни в какой rипер-
плоскости). Приведем для примера формулировки некоторых
теорем п-мерной rеометрии.
т е о р е м а 1. Всякая 2unерnлоскость в n-М,ерном. еВlСЛидо-
вом пространстве задается в систем.е координат уравнением. пер-
вой степени
А IXI +А2Х2 + ... + АпХ п +В ==0,
в. IWТОроА& хотя бы один из коэффициентов AI' А2, ..., А п отли-
чен от нуля. Любое такое уравнение задает некоторую 2иnер"
n.д,OCICOCTb.
т е о р е м а 2. Если векторы al, ..., ak таковы, что ни один
из них не выражается через остальные, причем k < n, то эти ве""
торы МОЖНО дополнить до базиса, т. е. существуют такие векто"
ры ak+l, ..., а п , что al, ..., ak, Ok+l, ..., а п ........ базис.
Т е о р е м а 3. Л tl:ltейная функция, заданная на М,НО202ран-
нике в n-.м.ерном пространстве, дости2ает наи60льше20 значенUJI
либо в. однйй ezo. вершине, либо на 2ра/Ш (имеющей размерностЬ
1, 2, ..., n........ 1). В л'юБО-At случае существует вершина (ХОТ1I
бы одна), в к,оторой доtтuzается наибольшее значение ЭТОtJ
функции.
191
Т е о р е м а 4. Еслu 2unерnлоскость А .Х. + А2Х2 + ...
...+Апхп+В===О касается сферы (x. a.)2+(X2 a2)2+...
...+(xn aп)2==R2 (т. е. имеет с этой сферой только одну общую
точку), ТО расстояние от точки Q (al; а2; ...; а п ) до этой 2ипер-
плоскости равно R, т. е.
А .й. + А 2 а2 + ... + Апа п + в
-yA +A + ... +A
+ R.
Контрольные вопросы
1) Что представляет собой rиперплоскость: а) в трехмерном;
б) в двумерном; в) в одномерном евклидовом пространстве?
2) Докажите, что если векторы al, а2, ..., а п составляют
базис n-мерноrо пространства, то все эти векторы ненулевые.
3) Докажите, что в п-мерном пространстве из любых n + 1
векторов можно выбрать такой, который выражается через ос-
тальные. Можно ли утверждать, что любой из взятых векторов
выражается через остальные?
4) В rиперплоскости n- MepHoro пространства взят (n 1 )-мер.:
ный мноrоrранник М п ..... с вершинами А.. А2, ..., А т ; вектор а
не параллелен взятой rиперплоскости (т. е. не выражается через
векторы e базиса). Построены такие точки 81, 82, ..., Вт, что
AIBI==A282==...==Am8m==a. Мноrоrранник М п с вершинами А.,
..., А т , 81, ..., Вт называется n-мерной призмой (с основанием
М п.... t И боковыми ребрами [А.8 1], ..., [A m 8 m D. Если М п .... l В свою
очередь является (n l)-мерной призмой с некоторым основа-
нием М п .... 2 , которое также является призмой с основанием Мп Зt
и т. Д., то М п называется n...мерным, параллелепuпедо.м. Сколько
он имеет вершин?
Задачи
807. Докажите, что если две точки прямой принадлежат
u
rиперплоскости, то вся прямая содержится в этаи rиперплос-
Кости.
808. rиперплоскость а проходит через точку А и имеет систе-
му векторов UI, ..., а п ..... своим базисом. Прямая l проходит
Через точку В и имеет а п своим базисным вектором. Докажите,
Что если векторы а" ..., Qn---l, й п составляют базис, то а. и l имеют
единственную общую точку. .. ...
809. rиперплоскость а. имеет систему векторов а.. ..., а п ....l
СВоим базисом. Докажите, что если ii нормаль к rиперплрско-
Сти а (т. е. вектор ii ортоrонален каждому из векторов а.,
.. ...
-.., а 1l ___ t), то n М N == О для любых точек М Е а, N Е а..
191
810. Плоскость (А; а, Ь), проходящая через точку А и имеющая
пару непропорциональных векторов а, ь своим базисом, опреде-
ляется в n-мерном пространстве так же, как и в п. 10. Докажите,
что в четырехмерном евклидовом пространстве существуют две
плоскости, которые имеют только одну общую точку.
811. Базис ё l , ё 2 , ..., ё п ортонормированный. Напишите форму-
лу, выражающую расстояние между точками А и В, имеющими
в системе (о; ё l , ё 2 , ..., ё п ) координаты XI; Х2; ...; Хп И YI; У2; ...; Уп.
812. Докажите, что rиперплоскость выпуклое множество.
813. fиперплоскость а имеет в прямоуrольно системе коор-
динат (о; ё l , ё 2 , ..., ё п ) уравнение Alxl+A2X2+...+Anxn+B===O.
Докажите, что вектор п == < А 1; А 2 ; ...; А п > является нормалью
u
к этои rиперплоскости.
814. Докажите, что для любой rиперплоскости найдется не
u
принадлежащая еи точка.
rпasa Х
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ BTOPOrO И TPETbErO ПОРЯДКОВ
61. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ BTOPOrO ПОРЯДКА
Теорема. Векторы а(А,; А 2 ) и Ь(8,; 82) в том u только
8 том случае nропорцuональны, если
A,82 A2BI ==0. (1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а и ь пропорциональны. Если
Ь==О, Т. е. 8, ==82==0, то равенство (1) справедливо. Если же
b=l=O, то a==kb, т. .е. А, ==kB" A2==kB2, и потому равенство
(1) также справедливо.
Обратно, пусть координаты векторов а и Б удовлетворяют
равенству (1). Если 8, ==0 и 82==0, то Ь==О, и потому Ь==Оа,
т. е. Be TOpы а и Б пропорциональны. Если же хотя бы одно
из чисел 8,.82 отлично ОТ нуля, скажем 8 2 =t=O, то из (1) находим:
А А2 А А2
1== 82 8,; кроме Toro, 2 == 82 82.
Иначе rоворя, AI==l81, A 2 ===l8 2 , rде через 1 обозначено число
А 2
в;; CJIедовательно, а == [Ь, т. е. векторы пропорциональны.
Число A182 A28" участвующее в формулировке доказанной
теоремы, называется определителем, составленным из координат
векторов а и ь, и обозначается через
11 I ==AIB2 A2BI. (2)
Заметьте, что координаты векторов а, ь располаrаются по с т о л б-
ц а м таблицы (матрицы), стоящей в левой части равенства
(2); поэтому иноrда векторы а и Б называют векторами-столбцами.
Равенство (2) показывает, что определитель вычисляется как
разность двух произведений чисел, стоящих по диаrоналям мат-
рицы, причем «rлавной» диаrонали (идущей из левоrо BepXHero
уrла) соответствует знак «плюс», а второй диаrонали знак
«минус»:
, ./'
........ ./'
l 'A1' /8( 1
А /X'fj
/2 2
,/ ,
,
/ ,+
193
При м е р. Вычислим определитель
11==1; = I.
Произведение чисел на rлавной диаrонали равно 2.( 7)==-----14,
а на второй диаrонали 5. ( 3) 15. Вычитая, находим 1.
Контрольные вопросы
1) Верно ли, что если
! А 1 8 I ! === о и I в 1 С 1 I О, то I А 1 С 1 I == О?
А 2 В 2 82 С 2 А 2 С 2
2) Какое условие надо наложить на 81, В2, чтобы утвержде
ние 1) было справедливо? Дайте rеометрическую интерпрета-
цию этоrо условия.
3аАачи
815. Докажите, что
I А 1 В 1 + kA 1 I I А 1 В 1 I
А 2 B2+kA2 А 2 В 2 ,
т. е. если к одному вектору столбцу прибавнть второй вектор-
столбец, умноженный на k, то определитель не изменяется.
816. Вычислите определители
I I. I _ I, I = = I, I I . I I I.
817. Докажите, что
I MI М2 1 . 1 АI BI I I М,Аl +М2А2 M 1 Bl +М 2 В 2 !
N l N 2 А 2 В 2 == N 1 A,+N 2 A 2 N 1 B l +N 2 B 2 ,
u
т. е. если состави.ть матрицу из скалярных произведении BeKТO
pOB CTpOK одной матрицы и векторов-столбцов друrой', то опре-
делитель получившейся матрицы равен произведению определите-
лей взятых матриц.
818. Докажите, что
I АI Вl l == I ВI At l
А 2 В 2 82 А 2 ,
т. е. при перестановке столбцов определитель меняет знак.
819. Докажите, что при замене строк столбцами определи"
тель не изменяется:
I А I В 1 I I А 1 А2 1
А 2 В 2 В 1 В 2 .
194
820. Докажите, что если строки матрицы
(А 1 А 2 о.. Ak )
В l В 2 ... Bk
u u
пропорциональны, то каждыи из определителеи
I Ai А j I
В ; B j
равен нулю. Верно ли обратное?
62. СИСТЕМА ДВУХ ЛИНЕйНЫХ УРАВНЕНИй
в этом пункте мы рассмотрим удобный прием решения сис-
темы
{ A,x+BIY==P"
А 2 х + В 2 У == Р 2 .
(1)
Запишем определители
=== I А 1 В I I x == I Р 1 В 1 I == I А 1 Р 1 I
А 2 В 2 , Р 2 В 2 ,У А2. Р 2 .
Матрица первоrо из них (называемоrо определителем системы)
составлена из коэффициентов при неизвестных. Далее, если век-
ТОР СТQлбец коэффициентов при х заменить вектором столбцом
свободных членов, получается x (и аналоrично получается Y).
т е о р е м а 1. ЕсЛll определитель системы отличен от НУ-
ЛЯ J ТО система (1) имеет единственное решение:
&,", &у. (2)
х==&, у==т.
Д о к а з а т е л ь С Т В о. Выберем на плоскости некоторый ба-
зис ё l , ё 2 И рассмотрим векторы а (А 1; А 2 ), Ь (В 1; 132), Р (Р.; Р2).
Так как вектор ха + уЬ имеет координаты (хА 1 + уВ 1; хА2 + уВ 2 ),
то система (1) равносильна следующей векторной записи:
ха+уЬ==р. (3)
Иначе rоворя, решить систему (1) это значит найти числа х.
у, удовлетворяющие равенству (3), т. е. найти раз л о ж е н и е
вектора р по векторам а, Ь. Если *0, то по теореме преды-
дущеrо пункта векторы а и Б непропорциональны. Следователь-
но, числа х, у, удовлетворяющие равенству (3), существуют и
Определены однозначно. Этим доказана первая часть теоремы.
То, что решение задается формулами (2), можно проверить не-
Посредственно, подставив значения (2) в систему (1.).
При м е р. Решить систему
{ 2x 3у== 13,
4х+ у==5.
195
Реш е н и е. Имеем:
1 2 -----3 1
л=== 4 1 ==2.1-----4.(-----3) 14;
1 13 -----3 1
x == 5 1 == 13. 1 ----- 5 · ( ----- 3) 28,
l1y== I I I ==2.5 4.13== 42.
Следовательно,
x 28
х ----- ----- ----- 2
----- ----- ] 4 ----- ,
42
У == ; 14 ----- ----- 3.
т е о р е м а 2. Для 1020 чтобы система
{ AIX+BIY==O,
А2Х+ В 2 у== о
(4)
имела нетривиальное решение (Т. е. решение, отличное от x O,
у О), необходимо и достаточно выполнение равенства == о.
Д о к а з а т е л ь С Т В о. Пусть система (4) имеет нетривиалъное
решение Х==Хо, У===УО. Так как х==О, у==о тоже, очевидно, являет
ся решением, то мы имеем уже Д в а различных решения. Следо-
вательно, по теореме 1 имеем о.
Обратно, пусть ==o. Возъмем некоторый базис ё l , ё 2 и pac
смотрим векторы а (A 1 ; А 2 ), Ь (81; В 2 ). По теореме предыдущеrо
пункта а и ь пропорционалъны. Следовательно, существуют та-
кие k, " хотя бы одно из которых отлично от нуля, что kа+lБ о.
Но это означает, что x k, y==l есть решение системы (4), т. е.
она имеет нетривиальное решение.
Контрольные вопросы
1) Для системы
{ 3х ----- у == 8,
2х+ 4у== 10
вычислите определители , x,. Y. Найдите решение системы.
2) Докажите, что если *O, x==o, y==O, то в системе (1)
правые части обращаются в нуль. Верно ли обратное?
3) Приведите пример системы, у которой ==O, X*O, Ay=FO.
Задачи
821. Решите с помощью определителей следующие системЫ:
{ 2х+3у==8, { 7х-----5У== 19,
----- 3х + 2у == 1 ; 6х + 11 у == 1 ;
{ 3,1 х ----- 7 ,Зу ----- 0,8,
2,6х + 1 ,8у == 1,4.
822. Докажите, что если система (4) имеет нетривиальные
196
решения, то ОДНО из уравнений является следствием друrоrо
(т. е. при умножении коэффициентов одноrо уравнения на одно и
то же число получается друrое уравнение).
823. Известно, что каждая из систем
{ А IX + В I У ==0, { А2Х + В 2 У ===0, { Ап---IХ + Bп---1y ==0,
A2x+B2Y O; Азх+Взу==О; Апх+Впу==О
имеет нетривиальное решение. а) Приведите при мер. показываю-
u
щии, что при этом система
{ AIX+BIY===O,
Апх+Впу==О
(5)
может не иметь нетривиальных решений. б) При каком дополни-
тельном условии система (5) также имеет нетривиальное реше-
ние?
824. Векторы а, ь, р имеют в некотором базисе следующие
координаты: а (2; ....... 1), Ь ( 3; 2), Р (12; 7). Найдите числа Х, у,
удовлетворяющие соотношению (3).
825. Докажите, что если =1= О, то в каждой строке опреде-
лителя имеется хотя бы одно отличное ОТ нуля число и две
прямые, определяемые уравнениями (1), не па раллельны. Вы...
ведите отсюда друrое (rеометрическое) доказательство теоре-
мы 1.
826.. Докажите, что если ==0, а хотя бы один И3 опреде-
лителей x, y отличен от нуля, причем в каждой строке опреде-
лителя имеется хотя бы одно отличное от нуля число, то
две прямые, определяемые уравнениями (1), параллельны, но не
совпадают (и потому система (1) несовместна, т. е. не имеет
решений).
827. Докажите, что если ==o, x==o, y==o, причем в каж-
дой строке определителя имеется хотя бы одно отличное от нуля
число, то две прямые, определяемые уравнениями (1), совпадают
(и потому система (1) имеет нетривиальные решения).
828. Докажите, что если система (1) имеет не менее
двух решений, то одно из уравнений (1) является следствием
друrоrо.
63. ПЛОЩАДЬ ПАР АЛЛЕлоrр АММА и ТРЕуrОЛЬНИКА
т с о р е м а. Пусть векторы р, q заданы своими координа...
та.ми в ортонормированном базисе: Р (XI; YI), q (Х2; У2). Tozaa
синус уzла (х между этими векторами может быть вычислен
по формуле
sin сх. === ' I
.
Ipllql
197
(1)
...-.
е 2
А
zae определитель, состав-
ленный из координат векторов:
== I Х! Х2 1 (2)
. Уl У2 ·
Д О К а з а т е л ь с т в о.
Имеем:
I I == IXtY2 YIX 21 ==
== (X 'аУ2 YiX2)2 ==
Рис. 185 х == xiy +yix 2x lX2Y1Y2==
I 2 2 2 2 2 /"'2 2 ...... 2
== V(XI+YI)(X2 +Y2) (XIX2+YIY2) == 'JP q (pq) ==
== ,j lpI 2IqI2 (lpl lqlcos а)2==
== Ipllql -v' 1 (cos а)2==: \pllqlsin а,
[
у
о
е:
,
откуда и следует справедливость теоремы (заметим, что
OO a 180°, и потому sina O).
С л е Д с т в и е 1. Пусть ABCD......... проиЗ80ЛЬНЫЙ параллело-
...
ёрамм, и векторы р==АВ, q==АD(рис. 185) заданы своими коорди-
натами в ортонормирО8анном базисе на плоскости: Р (XI; YI),
q (Х2; У2). Tozaa площадь S параллелоzрамма ABCD равна 1 1,
rде определитель (2).
В самом деле,
S == I АВ 1 · I А D 1 · s in а == \ р I · I q 1. L\ I 1 1.
Ipllq\
... ...
с л е Д с т в и е 2. Пусть векторы р ==АВ, q ==АС заданы
своими координатами в не/(,отором, ортонормированном базисе на
плоскости: Р (XI; Уl), q (X ; У2). ТОёда площадь треуzольника
1
АВС равна т 1 1, ёде ---- определитель (2).
Контрольные вопросы
1) Дайте rеометрическую интерпретацию (с помощью пло-
щади параллелоrрамма) утверждения задачи 815.
2) Дайте rеометрическую интерпретацию (с помощью пло-
щади параллелоrрамма) теоремы п. 61.
3) Дайте друrое решение задачи 825 с помощью формулы
площади параллелоrрамма.
198
Задачи
829. Вычислите синус и косинус уrла между следующими
векторами (базис ортонормированный): а) а (3; ....... 2) и Ь ( ....... 4; 5);
б) а ( ....... 1; ....... 1) и Б (О; 3); в) а ( ....... 1; 4) и Ь ( ....... 3; ....... 2); r) а (1; 8) и
Ь ( ....... 3: 7).
830. Вычислите площадь параллелоrрамма A8CD, зная коор-
динаты трех ero вершин (в прямоуrольной системе):
а) А (О; l), 8(......3; О), C(l; 2);
б) А (1; ....... 1), 8 (2; О), D ( ....... 3; 4);
в) А (1; ---- 5), С (....... 3; 4), D (1; 2);
r) 8 ( ....... 1; ....... 1), С (1; 1), D ( 5; 7).
831. Вычислите площадь треуroльника АВС, зная координаты
трех ero вершин: а) А (о; 1), В ( ....... 2; О), С (1; 3); б) А (3; 4),
В (7; 1), С ( ....... 1; ....... 1 ).
832. Вычислите высоту [AD] треуrольника АВ С: а) А (о; 1),
В (.......1; 3), С (11; 3); б) А (1; 6), 8 (....... 3; 2), С (.......}; 5).
64. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ TPETbEro ПОРЯДКА
Определитель TpeTbero порядка содержит 9 чисел, располо-
женных в виде квадратной таблицы (матрицы), и задается фор-
мулой ·
А 181 C 1
А 2 82 С 2 ==АIВ2сз+А3Вlс2+А2Взсl.......А В2СI.......
Аз 8з С з ......А2ВIСз.......АIВзс2. (1)
Почему взято именно такое число, которое указано в правой
части равенства (1), выяснится в следующих двух пунктах.
Прежде Bcero укажем правило, помоrающее запомнить вы-
ражение, стоящее в правой части формулы (1): к матрице при-
писывают снизу первую и вторую строки и берут знаки, пока..
занные в следующей таБЛl'це:
, /
, ""
, Ar, В 1 ,/""С 1 ,/
'А ......В/ .,е/
, 2"')< / 2"""", ! /
'А/ '8/ '-;с""
/ J>"" 3....../" J......
... / А"'-' ...... д./ 'с ...... +
/ 1 ,..,u1, 1......
./ А....../ 8 'с ...... +
/ 2 2 2......
"" ......+
(2)
Взяв произведения чисел стоящих на каждой .штриховой ли-
нии, И сложив их с учетом указанных знаков, мы и получим оп-
ределитель (1).
Т е о р е м а 1. Е ели к какому-либо вектору-столбцу опре-
делителя (1) nрuбавить друzой ве1Стор стол6ец# у.мнйженны,й на
произвольное чиСАО k, то определитель не изменится.
199
Например,
Al+kBl BI С.
A2+kB2 В 2 С 2
Аз+kВ з В з С З
А. В. C 1
А 2 В 2 С 2
Аз 8 з С З
(3)
Здесь второй вектор столбец (В 1; В 2 ; 8з) умножен на k и
прибавлен к первому. Проверка равенства (3) производится
непосредственным вычислением (аналоrично и для друrих
столбцов).
Важно отметить. что если мы к первому столбцу прибавляем.
второй или третий. умноженный на k, то два друrих столбца
(второй и третий) остаются б е з и з м е н е н и я {см. (3)).
При м е р. Вычислить определитель
2 з 4
1 7 2
568
Если мы будем использовать определение (1) (или правило (2)),
то надо будет вычислить шесть произведений (по три сомножи..
теля в каждом). Друrой способ основан на приведенной тео-
реме:
2 3 4
1 7 2
568
2 3 4 282
I 7 2 2.( 1)
5 6 8 285
2 о
l 7 О
5 6 ----- 2
2 3+ .2 О
3
1 7 + Т 8 ( 1) О
5 6+ ; .5 2
2 О О
1 Т О ==2. т .( 2)== 22.
5 Е.. 2
2
Здесь сначала к третьему столбцу прибавлен первый, умножен
ный на ........ 2, а затем в полученном определителе ко второму
б б u u 3 В
стол цу при авлен первыи, умноженныи на т. получившемся
определителе все числа над rлавной диаrональю нули, а пото
му из всех шести произведений, указанных в (1), отлично от нуля
лишь произведение чисел, стоящих на rлавной диаrонали.
Такая же теорема. как и сформулированная выше, спра
веДJIива не только для столбцов, но также для строк опреде
лителя.
т е о р е м а 2. Векторы а (A 1 ; А 2 ; Аз), Б (в,; 82; 8з). ё(91; 2; (2з),
заданные в нек.отором ортонормированном. базисе (el, е2, ез),
в тОм, и только в том случае составляют базис пространства,
если
200
АI Б. .С I
А 2 82 С 2 =#=0. (4)
Аз 8 з С з
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть а, ь, ё базис. Обозначим
через n нормаль к плоскости (о; Ь; ё), а через' р, q такой базис
Н.... . .... ....
ЭТОЙ плоскости, что вектор р ортоrонален с. Координаты BeKTO
... .... ... - . ....
ров n, р, q. в базисе еl, е2, ез обозначим так: п (N 1; N 2; N з),
Р (PI; Р2; Рз), q (Q.; Q2; QJ). Применим теперь формулу,- задачи
834. Мы имеем N.Б,+JV 2 В 2 +N з Б З ==nЬ==Оt N.C.+N 2 C 2 +
+NзСз==пё==о, РIС.+Р2С2+РзСз==рё:=:0. Таким образом, в
определителе, стоящем в этой формуле справа, все числа, запи
санные в ы ш е rлавной дизrонали, равны нулю. Числа же, стоя
щие на rлавной диаrонали, равны аn, Ьр, ёq и в силу определения
векторов п, р, q отличны от нуля (например, вектор а н е пар а л
л е л е н плоскости (о; Б, ё), и потому ап =1= о). Следовательно,
u
определитель в правои части соотношения, содержащеrося в за
даче 834, отличен от нуля. Значит, произведение определителей,
.,
стоящих в левои части, отлично от нуля, и потому соотноше
иие (4) справедливо.
Пусть теперь векторы а, Б: ё не составляют базис, т. е. какой
нибудь из них выражается через два друrих; например, а == kb +
+lё, т. е. ,А.==kБ 1 +1С l , A 2 ==k8 2 +lC 2 , Аз==kБз+lС з . Тоrда
.,
рассматр.иваемыи определитель принимает вид:
k8 1 +lC, 81 С.
k8 2 +LC 2 82 С 2 .
kБз+lС з 8з С з
Прибавляя к первому столбцу сначала второй столбец, ум-
ноженный на k, а затем третий, умноженный на ...........1' мы при
ведем этот определитель к виду, в котором первый столбец COCTO
.,
ИТ ИЗ нулеи, и потому определитель равен нулю.
Контрольные вопросы
1) Обобщите результат задачи 818 на определители TpeTьe
ru порядка.
2) Докажите,. что если первый вектор-столбец определите
ля выражается через два друrих, то определитель равен
нулю.
3) Докажите, что если в определителе все числа, стоящие
выше rлавной диаrонали, равны нулю, то определитель равен про-
Изведению чисел, стоящих на rлавной диаrонали.
201
Задачи
8 3. Вычислите определители:
3 2.......1 1 1 О 12 3
1 О 1 2 3 7 4 5 6
О 2 5, 4 2 3 t 2 1 з ,
3 1 2
4 2 1
5 1 6
834. Докажите, что
N 1 N 2 N з
P 1 Р 2 Р З
QI Q2 Qз
А 1 81 С I
· А 2 Б 2 С 2
Аз В з С З
N1Аl+N2А2+NзАз NIВI+N2В2+NзВз NIС1+N2С2+NзСз
РIА1+Р2А2+РзАз РIБI+Р2В2+РЗ!3З РIС1+Р2С2+РЗСЗ
Q 1 A 1 + Q 2 A2+ QзА з Q.B 1 + Q2B2+ Q з В з Q1C 1 + Q 2 C 2 + QзС з
. U
т. е. если составить матрицу из скалярных проиэведении
векторов-строк одной матрицы и векторов-столбцов друrой, то
определитель получившейся матрицы равен про и з в е Д е н и ю
определителей взятых матриц.
835. Докажите, что пр замене строк столбцамц определи-
тель не меняется:
А l BI С 1 А 1 А 2 . Аз
А 2 Б 2 С 2 В 1 В 2 Б з
Аз Б з С 3 С 1 С 2 С З ·
836. Докажите формулу разложения определителя по эле-
ментам. верхней строки:
А 1 В 1 С 1
А 2 82 С 2 ==Atl : g: I 8tI1: g: I +Cl I 1:' : ·
Аз . В3 С З
837. В определителе имеются только три отличных от нулЯ
элемента й, Ь, с, причем в каждой строке содержится один из
этих элементов и то же справедливо для столбцов. Докажите, что
А == :f:: аЬс.
838. Решите уравнение
1 ....... х 4 О
О 1 ....... х 2 == о.
1 О 1 x
839. Составляют ли базис следующие векторы: а) а (3; ....... 1; 2),
Ь (1; ....... 1; 4), ё (о; 3 ; 5); б) а ( ....... 1; 1 ; 1), Ь (2; о; 2),
ё(з; 5; .......7); в) a(l; .....1; 2), b(l; 3; .......3), ё(5; 7; 5)?
202
840. Определитель
а;: Ь; с,
as ь; cs
а! Ь! ё!
... ...
отличен от нуля. Докажите, что векторы й, Ь, с составляют
базиС и (, s, t также составляют базис.
841. При каком k векторы а (3; 1; 2), ь (1; 1; О), ё (k; 3;....... 4)
не составляют базис?
842. Докажите, что площадь треуrольника с вершинами
I
А (XI; YI), В (Х2; У2), С (хз; Уз) равна 2"" I t, rде
1 1 1
== XI Х2 хз .
YI У2 Уз
65. СИСТЕМА ТРЕХ ЛИНЕйНЫХ ур АВНЕНИй
Рассмотрим систему
{ AIX+Bly+CIZ==PI,
А 2 х+Б 2 у+ C 2 Z==P 2 ,
Азх + ВзУ + СзZ == Р З
и составим из ее коэффициентов определители
(1)
AI BI C 1 Р l В 1 С 1
== А 2 В 2 С 2 , x == Р2 В 2 С 2 ,
Аз В з С З Рз Б з С З
AI PI С 1 А 1 В 1 P 1
y== А 2 Р2 С 2 , z == А 2 82 Р2 .
Аз Рз СЗ Аз В з Р З
Первый из них называется определителем системы. Осталь
ные получаются, если в столбец коэффициентов при COOT
ветствующем неизвестном заменить столбцом свободных
Членов.
т е о р е м а 1 Если =1= О, то система (1) имеет единственное
решение:
x y z
х ==т' У ---:--- т' Z ==т.
(2)
-.. д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем некоторый базис ё l , ё 2 ,
:3 и рассмотрим векторы а (A 1 ; А 2 ; Аз), Ь (BI; 82; В з ), ё (C 1 ; С 2 ; С з ),
р (Рl; Р 2 ; Р З ). Система (1) представляет собой координатную
203
запись равенства
ха+уЬ+zё==р. (3)
Иначе rоворя, решить систему (1) это значит найти числа Х,
у, z, удовлетворяющие равенству (3), т. е найти раз л о ж е н и е
вектора р по векторам и., ь, ё. Если *0, то по теореме 2 преllы
дущеrо пункта векторы а, Ь, ё составляют некоторый базис прост-
ранства. Следовательно, числа х, у, z, удовлетворяющие ра-
венству (3), существуют и определены однозначно. Этим до-
казана первая часть теоремы. То, что решение задается фор-
мулами (2),. можно пров рить, подставив значения (2) в си-
стему (1).
Т е о р е м а 2. ДЛЯ TOZO чтобы систеАtа
{ AIX+ в,у+ C1z==0,
А2Х+ В 2 у+ C 2 z === О,
Азх + 8 з у + Сзz ===0
(4)
имела неТРИ8иальное решение (Т. е. отличное от решения
Х === у === z == о), необходимо и достаточно выполнение равенства
=== о.
Доказ тельство. Если *O, то система (4) имеет
единственное решение (по теореме 1). Но х===О, у==О, z==O являет-
ся, очевидно, решением системы (4). Следовательно, кроме х==О,
у==о, z===O, друrих решений нет. . .
Пусть теперь == о. Возьмем некоторый базис ё l , ё 2 , ё з и рас-
смотрим векторы а (А {; А 2 ; Аз), Ь (В 1; 82; 8 з ), ё (с 1; С 2 ; С з ). По
теореме 2 предыдущеrо пункта а, Б, ё не образуют базис, т. е.
какой-нибудь из них выражается через два друrих. Пусть,
например, а == kb + [ё. Это означает, что числа х 1, у:== k,
z l удовлетворяют равенству ха+уЬ+zё==о, т. е. система (4)
имеет нетривиальное решение Х === 1, у == k, z === [.
Контрольные вопросы
1) Для системы
{ Х + у + z === 6,
2х ----- у + 2z == 6,
3x+3y z==6
вычислите определители , x, y, z И найдите решение сис-
темы.
2) Докажите, что если * О, x === y == z == О, то в системе
(1) правые части обращаются в нуль. Верно ли обратное?
) Докажите, что если система (4) имеет нетривиальное ре...
шение, то одно из уравнений является следствием двух друrих.
204
.J
Задачи
843. Решите системы уравнений
х+Зу==7, { 2x y+5z== 14,
2y 5z== 11, х Зу+4z==9,
3x+2z==9; Зх+у 7z== 20;
844. а) При каком k система
{ 2x y+5z==O,
х+Зу 2z==О,
Зх 2у+kz==0
имеет нетривиальные решения? б) Найдите (при этом k) KaKoe
либо нетривиальное решение. в) Докажите, что Лlобое решение
пропорционально найденному нетривиаль"ому решению.
845. Даны векторы а (3; 2; 1), Ь (1; 2; З), ё (2; ]; 1),
Р (7; 9; 10). Найдите числа х, у, z, удовлетворяющие COOTHO
шению (З).
846.. Докажите, что если == О, а хотя бы один из опреде
лителей x, y, z отличен от нуля, то система (1) HeCOB
местна.
847. Докажите, что если система (1) имеет не менее двух
решений, то одно из уравнений (1) является следствием двух
друrих. .
848. Докажите, что если == О, то система (1) либо HeCOBMeCT
на, либо имеет бесконечно MHoro решений.
{ 2x y"""'z== 2,
х + Зу + 5z == 1 ,
3х + 4у 2z == ....... 9.
66. ОРИЕНТАЦИЯ
Пусть ё l , ё 2 , ё з и а, Б, ё два базиса пространства. Разложим
векторы BToporo базиса по первому базису:
{ а==Аlёl +А 2 ё 2 +А з ё з ,
== BI!I + В 2 !2 + Вз!з,
с== C1el + С2е2+ Сзез,
и рассмотрим определитель перехода от первоrо базиса ко вто-
рому:
(\)
AI BI C 1
,== А 2 82 С 2 . (2)
Аз В з С з
О п р е Д е л е н и е. Базисы ё l , ё 2 , ё з и а, ь, ё одинаКО80 opueH
TиpOBaHЫ если 1 > О, u противоположно opиeHTиpoвaHЫ если
I<O.
Это определение эквивалентно тому описанию ориентации,
которое было приведено в п. 40. В самом деле, пусть базис
а, Ь, ё получается из ё l , ё 2 , ё з заменой только о Д н о r о вектора;
205
например, Ь === ё 2 , ё == ё з , а =F ё 1 . Тоrда разложения (1) записы..
В8ЮТСЯ следующим образом:
а==А lё l +А 2 ё 2 +Азё з ,
ь==оё l + lё 2 +0ё з ,
ё ==оё l + оё 2 + 1 ё з ,
и потому определитель (2) принимает вид:
AI О О
I А 2 1 О ==AI.
Аз О 1
Если рассматриваемые базисы о д и н а к о в о ориентированы в
смысле определения п. 40, т. е. векторы ё l и а, отложенные от не-
КОТОl?ОЙ то ки О, расположены по одну сторону плоскости
(О; е2, ез), то А 1> О, т. е. I > О, И потому базисы одинаково
ориентированы и в смысле приведенноrо здесь определения (и ана..
лоrично для противоположно ориентированных базисов).
т е о р е м а. Пусть ё l , ё 2 , ё з первый, а, ь, ё второй и
р, q, -; третий базис пространства. Пусть, далее, (1)........ раэло
жение векторов вТОрО20 базиса по первому базису, а
{ == PI + P2ё + Рзё ,
q == Qlel + Q2 e 2 + Qзез,
-; == R lё l + R 2 ё 2 + Rзё з ,
{ ==DI +D2 +Dзl.
q==Е 1 а+Е 2 Ь+Е з с,
'== Fla+ Р 2 Ь +Fзё
(3)
разложения векторов третье20 базиса по первым двум базисам.
Рассмотрим определитель перехода I (см. (2)) и определители
перехода от пеРВО20 и ВТОрО20 базисов к третьему:
==
P 1 Q I RI
Р 2 Q2 R2 , 2==
Рз Qз R з
DI EI F.
D 2 Е 2 F 2 .
D з Е з F з
ТО2да == I · 2.
д о к а з а т е л ь с т в о. Мы имеем:
p==Dla+ D 2 b + Dзё==D 1 (А1ё l +А2ё2+Азёз)+D2 (в 1 ё 1 +в 2 ё 2 +
+ взё з ) + D з (с1ё l + с 2 ё 2 + сзё з ) ==(DIA 1 + D2BI + DзС I ) ё. +
+(DIА2+D2В2+DЗС2) ё2+(DIАз+D2Вз+DзСз) ё з ,
и потому (СМ. (3))
P 1 ==D,AI +D2Bl +DзС 1 ,
Р2 == DIA2 + D 2 B 2 + D з С 2 ,
Рз == D IА з + D 2 В з + DзС з .
206
АнаJIОrично получаются выражения для коэффициентов QI, Q2,
Qз, RI, R2, Rз. Полученные равенства показывают, что
АI BI С I DI EI Р 1 P 1 QI RI
А 2 82 С 2 · D 2 Е 2 Р 2 Р2 Q2 R 2
Аз 8 з С З D3 Е з Р З Рз Qз Rз
т. е. 1 2 == .
Контрольные вопросы
1) Сформулируйте с помощью определителей условие, при
ВЫПОJIнении KOToporo два базиса плоскости одинаково ориенти
рованы. .... ....
2) Найдите определитель перехода от базиса el, е2, ез к тому
же базису ё l , ё 2 , ё з .
3) Найдите определитель перехода от базиса ё l , ё 2 , ё з к бази
су ё 2 , ё l , ез. Одинаково ли ориентированы эти базисы?
Задачи
849. Пусть определитель перехода от базиса ё l , ё 2 , ез к
базису а, Ь, с, а ' определитель перехода от базиса а, ь, ё
... .... .... 1
к базису el, е2, ез. Докажите, что ' ===т.
850. Базис ё l , ё 2 , ё з ортонормированный. Докажите, что опре-
делитеJItJ перехода от базиса ё l , ё 2 , ё з к базису а, Ь, ё равен
.... ....
ael bel сеl
.... ... .... .... ......
== ае2 Ье2 се2 .
.... ... .... .... .... ....
аез Ьез сез
851. Сформулируйте и докажите для базисов плоскости
теорему, аналоrичную доказанной здесь для базисов простран-
ства.
852. Ответьте на вопрос 1 п. 40 с помощью определителей.
853. Вычислите определители перехода для базисов, указан
ных: а) в задаче 567; б) в задаче 569; 8 задаче 571.
854. При повороте плоскости сх. на уrол ортонормирован
ный базис el, е2 переходит в ё 1 , е2. Вычислите определитель пе-
рехода от базиса ё l , ё 2 К ё 1 , ё 2 .
855. При повороте BOKpyr прямой (о; ё l ) на уrол ортонор-
ми рованный базис el, ё 2 , ё з переходит в er, е2, ё з . Вычислите опре-
.... ...., ....
делитель перехода от базиса el, е2, ез к базису el, е2, ез.
207
67. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ОБЪЕМЫ
т е о р е м а 1. Пусть ё l ,ё 2 , ё з и а, ь, ё два ортонор.миро-
ванных базиса в пространстве. Tozaa определитель перехода от
одНО20 из этих базисов к apyzoMY равен + 1.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Напишем разложение векторов вто"
poro базиса по первому базису и векторов первоrо базиса по
второму базису:
а ==А lё. +А 2 ё 2 +Азё з ,
ь==вlё l +в 2 ё 2 +в з ё з ,
ё == с а ё l + с 2 ё 2 + сзё з ,
ё l ==Аiа+Вiь+с.ё,
ё 2 ==А 2 а + В 2 Ь + с 2 ё,
ё з ==Аза+8 Ь + сзё.
(l)
УМНQжая левую тройку равенств на ё" получаем аё l ==AI,
ьё l ==Вl, ёё l == CI. Далее, умножая первое из правой тройки
равенств на а, ь, ё, получаем йё l == А., ьё l == В 1 , ёё а == Ci. Следо-
вательно, AI==Ai, BI Bl, CI==cr. Аналоrично А2==А2, 82==82.
С2==С 2 и Аз==А з , Вз==В з , Сз==С з . Таким образом, определители
перехода от первоrо базиса ко второму и от BToporo к первому
имеют вид:
I ==
AI BI C 1
А 2 В 2 С 2 , 2==
Аз 8з С З
AI А 2 Аз
В 1 В 2 В з .
С . С 2 С З
Так как второй определитель получается из первоrо заменой
столбцов строками, то I == 2. Соrласно теореме предыдущеrо
пункта произведение этих опреде.лителей.. т. е. ( 1)2, равно опре-
делителю перехода от базиса ё а , ё 2 , ё з снова к тому же базису,
т. е. равно
1 О О
== 010
О О 1
И та к, ( 1)2 == 1, т. е. 1 === + 1 . --+ --+ --+
Теорема 2. Пусть векторы р==АВ, q==AD, r==AA I , иду-
щие по ребрам параллелепиnеда, заданы своими координатами
внекотором ортонормированном базисе ё l , ё 2 , ё з пространства:
Р (XI; YI; ZI), q (Х2; У2; Z2). r (Хз; Уз; ZЗ). ТО2да объем ЭТО20 паралле-
лепипеда равен I I, zae
l
----- .
Хl Х2 ХЗ
== у 1 У2 уз ·
ZI Z2 ZЗ
( 1 )
д о к а з а т е л ь с Т В о. Обозначим через а, ь, ё такой орто-
нормированный базис, что вектор а пропорционален р, вектор Ь
208
... ....
выражается через р и q
и скалярные про изведения
ар, bq.. ё, положительны
(рис. 186). Таким образом,
р == ka + ОЬ + оё,
-1; ,., q==та+пь+оё,
r == иа + vb + wё;
(k>O, п>О, W>O)
определитель перехода от
базиса а, Ь, ё к бази
... ...
су р, q, , имеет вид:
8,
Рис. 186
k О О
2== т п О ==knw.
u v w
.... ...
Соrласно теореме 1 определитель перехода I от базиса el, е2,
ё з к а, ь, ё равен + 1, и потому определитель перехода от ё l ,
ё 2 , ё з К р, q, " т. е. определитель (1), равен
=== 1 2==( + 1). knw == + knw,
Заметим теперь, что 'АВ\ ==k (поскольку AB==p==ka и 'аl ===
== 1), высота [DF] параллелоrрамма ABCD имеет длину п (по-
... ---+ ---+
скол ку из равенства AD==q==тa+пb вытекает, что FD==AM==
== nЬ), а высота [А IН] параллелепипеда имеет длину w (поскольку
...
HAI == wc). Следовательно, площадь S параллелоrрамма ABCD
равна ап, а объем параллелепипеда равен V==Sw==anw, т. е.
V === 1 1 (см. (2)).
С л е Д с т в и е. Пусть ABCAI треУ20льная пирамида и век-
.... ....
торы р==АВ, q==AC, ,===АА 1 заданы своими координатами в
ортонор.мированном базисе:
Р (XI; YI; ZI), q (Х2; У2; Z2),
'(Хз; Уз; Zз). Объем этой пира-
I
миды равен 61 I, 2де
определитель (1).
В самом деле, достроим
треуrольник Аве до Паралле
лоrрамма АВМе и рассмотрим
параллелепипед с основанием
АВМ С и одним из боковых ре..
бер [АА 1] (рис. 187). Площадь S I
209
(2)
А,
с
А
Рис. 187
треуrольника АВС равна n о л о в и н е п.пощади S параллело-
rpaMMa АВМС, а высота IAIHI ==h пирамиды является также
высотой параллелепипедз. Следовательно, объем пирамиды ра-
вен + Slh==i-{ +S) h==+Sh. Т. е. ЭТОТ объем равен одной
1
шестой объема параллелепипеда и потому равен 61 1.
Контрольные вопросы
1) Дайте rеометрическую интерпретацию теорем 1 и 2 п. 64.
2) Докажите, что если =1= О, то три плоскости, определяемые
уравнениями (1) из п. 65, пересекаются в одной точке. Выведите
отсюда новое доказательство теоремы 1 п. 65. ..
3) Определитель переходз от ортонормированноrо базиса еl,
..
ё 2 , ё з к базису а, Ь, ё равен 1. Можно ли утверждать, что базис
а, Ь, ё ортонормированный?
Задачи
... .. ...
856. Векторы а==АВ, b==AD, c==AA I , идущие вдоль трех
ребер параллелепипедз, имеют в ортонормированном базисе ко-
ординаты а (2; ...... 1; О), ь (1; о; ...... 3), ё (1; 1; 2). Найдите объем па-
раллелепипеда.
857. Вычислите объем треуrольной пирамиды с вершинами
А (1; 1; 1), В (1; 1; 2), С ( 1; о; 3), D (1; ....... 1; 4).
858. Вычислите объем правильноrо октаэдра с вершинами в
точках ( + 1; о; О).!. (о; + 1; О), (O о; + 1) (рис. 188).
859. Векторы Р (XI; Уl; 21) н q (Х2; У2; Z2) составляют ортонор-
мированный базис плоскости а;
(0;0; 1) точка А (Хо; Уо; 20) лежит в пло-
скости сх. Докажите, что рас-
стояние от точки М (х; у; z)
ДО плоскости а равно 1 1, r де
X Xo y y() z zo
== Хl УI Z,
Х2 У2 Z2
860. Базисы а, ь, ё и р, q, r
ориентированы противополож-
но; объем параллелепипед ,
построенноrо на векторах. а,
Ь, ё, равен V I , а объем парал-
лелепипеда, построенноrо на
Рис. 188 векторах р, q, " равен V 2 . Вы-
210
числите определитель перехода от базиса а, ь, ё к базису р, q, (.
861. Даны три плоскости:
А Ix+BtY+ Gtz + DI ==0,
А 2 х+В 2 у + C 2 Z + D;==O,
Азх + ВзУ + СЗZ + D з == о.
Докажите, что прямая, параллельная всем трем плоскостям,
существует в том и только в том случае, если
АI 81 C 1
А 2 В 2 С 2 ==0.
Аз В з С з
Выведите отсюда доказательство теоремы 2 п': 65.
68. ПОНЯТИЕ СОБСТВЕнноrо ВЕКТОР А
Пусть f ....... неКОТОР2 е дви ени...е прос!раНЕтва и!" ё 2 , ё з ....... базис.
Разложим векторы е. == f (е.), е2 == f (е2), ез == f (ез) по векторам
базиса:
{ . all 1 + a'2 2 + аIЗ З,
е2 == a21el + а22е2 + а2з е з.
ё з == азlё l + а з2 ё 2 + аззё з .
(1)
Если теперь р ....... произвольный вектор и х, У, z ....... ero координаты
в базисе ё" ё 2 , ё з , то мы можем в ы ч и с л и т ь координаты Be -
тора {(р) в этом базисе. В самом деле, отложим вектор р от точки О,
I
т. е. ОМ==р, и пусть OJ..O', MJ..M'. Тоrда t(P)==O'M'. Точ-
ка М имеет в системе (о; ё., ё 2 , ё з ) координаты х, У, z, а потому
точка М' имеет в системе.(О'; ё., ё 2 , ё з ) те же координаты х, У, z.
Следовательно,
... ... ... ..
f (р)== О' М' ==xei + ye +zез.
Отсюда, используя формулы (1), получаем:
f (р) ==5 (at lё l у аl2ё 2 + аtзё з )+ У (а 2I ё! + а 22 ё 2 + а 2з ё з ) + z (аз . +
+аЗ2е2 + аззез)==(аl ,х+ а21У+ аЗIZ) el +(aI2 x + а22У+ аЗ2 Z ) е2 +
. +(аlз х + а 2зу+азз z )ё з .
Таким образом, обозначая координаты вектора f (р) в базисе
... ...
el, е2, ез через х', у', z', имеем:
{ х'==аllх+а2Iу+аЗIZ,
у' == al2X + й22У + аЗ2 Z ,
z' == аlЗХ + а2ЗУ + аззz.
211
(2)
Итак, координаты х', у', z' вектора f (Р) выражаются через ко-
ординаты х, у, z вектора р в том же базисе линейными форму-
лами (2).
О п Р е Д е л е н и е. Пусть каждому вектору р постаВJI Н в со-
ответствие некоторый вектор ,о' ==А(,о), причем координаты х', у',
z' вектора ,о' в базисе ё l , ё 2 , ё з выражаются через координаты
х, у, z вектора р в этом же базисе л и н е й н ы м и формула-
ми (см. (2)). Тоrда rоворят, что задано линейное преобразо-
вание А.
Каждое движение задает линейное преобразование векторов
(СМ. (2)). Существуют и такие линейные преобразования, кото-
рые не определяются движениями (СМ. контрольные вопро-
сы 2, 4).
О п Р е Д е л е н и е. Вектор р =1= () называется собственны", век.
тором линейноrо преобразования А, если вектор А (,о) пропор-
ционален ,о, т. е. А (р)==лр; число л называется собственны",
значение},f, соответствующим собственному вектору р.
т е о р е м а. Всякое линейное преобраэование А векторов трех.
MepHOZo пространства имеет собственный вектор.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А задается в базисе ё l , ё 2 ,
ез формулами (2), rде х, у, z координаты вектора ,о, а х', у',
z' координаты ero образа А (р). Для Toro чтобы р =1= б был соб-'
ственным вектором, т. е. при некотором А выполнялось соотно-
шение А (,0)== АР, должно быть х' == АХ, у' == Л-У, z' == AZ, или, более
подробно,
allx + а21У + аЗIZ ==Лх,
al2 X + а22У + аЗ2Z == АУ,
аlЗХ +а2ЗУ + аззz== Л-z.
(3)
Записав эти соотношения в виде
{ (all A)x+a2IY +аЗIZ ==0,
al2 X +(а22 А) У+ йЗ2Z ==0,
аJЗХ +а2ЗУ +(азз Л-)z==О,
(4)
получаем однородную систему уравнений. Поскольку МЫ хотим,
чтобы вектор ,о (х; y z) удовлетворял этой системе и был .отли-
чен от нуля, система (4) должна иметь н е т р и в и а л ь н о е
решение Х, у, z. Следовательно, определитель этой системы дол..
жен быть равен нулю:
QII А а21 аЗI
== al2 а22 А QЗ2 ==0. (5)
аJЗ а2З азз А
212
(не выписаны слаrаемые, содержащие л
n степенях, 1еньших. третьей).
Но любой мноrочлен третьей степени
имеет хотя бы один действительный ко..
рень (это вытекает из соображений не..
прерывности, рис. 189). Пусть ЛО корень
рассматриваемоrо уравнения. Тоrда ==0, т. е. система (4) (и си..
стема (3)) имеет при 111 == ло нетривиальное решение Хо, уо, zo. Это
означает, что вектор р (Хо; уо; zo) отличен от О и..удовлетворяет
условию А (р) == лор, т. е. является собственным вектором.
Ес..lа распишем определитель (5) по фор
муле (1) п. 64, то ПО"ТIучим мноrОЧ.тIен
т р е т ь е й степени от л:
L\ == (а 11 J..) (а22 ----- л) (азз л) + ... ==
"3 +
== -----}", ...
. \
\
о
л
Рис. 189
Контрольные вопросы
1) Пусть f движение и (2) запись линеиноrо преобразо..
вания векторов, определяемоrо этим движением. Докажите, что
all а21 аЗI
al2 а22 аЗ2
а13 а23 азз
== +1
.
2) Пусть f rомотетия с центром О и коэффициентом k. До..
кажите, что координаты Х', у', z' вектора f (р) выражаются через
координаты х, у, z вектора р линейными формулами
{ X;==kX,
у == ky,
z' == kz.
3) Каковы собственные значения линейноrо преобразования
(6)? Каковы ero собственные векторы?
4) Пусть ё l , ё 2 , ёз ортонормированный базис и f opToro..
нальное проектирование пространства на плоскость (о; ё l , ё 2 ).
Выразите координаты х', у', z' вектора f (р) через координаты
Х, у, z вектора р. Каковы собственные значения и собственные
векторы получающеrося линейноrо преобразования?
Задачи
(6)
862. Пусть f движение простра нства, g .......... rомотетия с цент..
ром О и коэффициентом k. Докажите, что собственные векторы
подобия gof совпадают с собственными векторами движения ,.
Каковы собственные значения подобия gof?
213
863. Пусть ё l , ё 2 , ёз ортонормированный базис и { сим
метрия пространства относительно плоскости (о; ё l , ё 2 ). Найдите
для движения f вид формул (2), собственные значения и соб
ственные векторы.
864. Каковы собственные значения и собственные векторы
движения {, представляющеrо собой центральную симметрию?
865. Докажите, что если 'движение f пространства имеет He
подвижную точку о, то существует прямая, переходящая при
движении f в себя.
866. Докажите, что если р, q собственные векторы дви-
жения f, соо!.вет твующие собственным значениям AI == 1, Л2== ----1'
то векторы р и q ортоrональны.
867. Докажите, что поворот пространства BOKpyr прямой име-
ет собственный вектор с собственным значением А== 1.
868. Вектор а является собственным вектором движения f с
собственным значением л. Докажите, что А== + 1.
69. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРОСТРАНСТВЕННОй ТЕОРЕМЫ ШАЛЯ
Здесь мы докажем теорему, сформулированную в п. 44. Вся-
кое движение f TpeXMepHoro пространства имеет собственный
вектор (см. п. 68), т. е. такой вектор p=FO, что f (Р)==АР. Так как
f сохраняет длины, то IApl == Ipl, т. е. А== + 1, и потому f (р)== + р.
1
Заменив р на el ==---=-р, мы находим, что для любоrо движения f
. Ipl
существует такой единичный вектор ё l , что либо f (ёl)==ё l , либо
f (ё l )== ---- ё l .
С Л У чай 1. Существует единичный вектор el, для KOToporo
f (ё l )== ё l . Пусть А произвольная точка, В == f (А) ее образ.
Через а, обозначим плоскость, проходящую через точку А и имею-
щую ё l своей нормалью, а через t параллельный перенос на
вектор 881, rде ВI ортоrональная проекция точки В на пло
скость а,. Таким образом, t (8) == В 1, И потому движение g == tof
. ...
переводит точку А Е а, в точку 81 Е а,. Кроме Toro, g (el) == el. Пусть
...
теперь М произвольная точка плоскости а (Т. е. еl .АМ ==0)
---+
И M' ee образ при движении g. Тоrда g(AM)===B1M'; так как
движение сохраняет скалярное произведение, то g (el).g (АМ)==О,
---+
т. е. ёl.вJм'==о; это означает, что М'Еа. Таким образом, дви-
жение g пере водит плоскость а, в себя. Это позволяет разбить
случай 1 на три подслучая.
а) g как движение плоскости а есть параллельный перенос.
Взяв в а, ортонормированный базис ё 2 , ё з , мы получим g (ё 2 ) == ё 2 ,
214
g (ёз)==ё з . Так как, кроме Toro, g (ёl)==ё l , то g (как движение
Bcero пространства) есть параллельный пере нос, а потому и
f === t--- 1 og параллельный пере нос.
б) g есть поворот плоскости а i30Kpyr некоторой точки о.
Так как, кроме Toro, g (ё,)== ё l , то g (как движение пространства)
есть поворот BOKpyr оси (о; ё 1 ). Следовательно, {== t...., og есть
либо винтовое движение (пр\и t =i= е), либо (при t == е) поворот во-
Kpyr оси (о; ё 1 ).
в) Пусть, наконец, g как движение плоскости а есть симмет-
рия или скользящая симметрия с осью 1. Возьмем в а ортонорми-
рованный базис ё 2 , ё з , rде ё2 базисный вектор прямой 1. Тоrда
произвольно взятая точка О Е 1 переводится движением g в точку
O'El, а движением f==t--- 1o g в точку 01=={(O)==t--- I (0'), причем
вектор 001 параллелен плоскости ==(o; еl, е2). Так как, кроме
Toro, f (ё 1 )== ё l , {(ё 2 )== ё 2 , {(ё з )== ёз, то { есть либо симметрия
относительно плоскости (при 00, == О), либо скользящая СИМ-
метрия (при 00, *0).
С л у чай 2. Существует единичный вектор el, для KOToporo
{(ё 1 )== ёl. Пусть А произвольная точка, В=={ (А) ее образ.
Через С обозначим середину отрезка АВ, а через у плоскость,
проходящую через С и имеющую ё 1 своей нормалью. Обозна-
чим через А 1 ортоrональную проекцию точки А на плоскость у.
Тоrда АА 1 == kel, и потому для точки В 1 == { (А ,) имеем ВВ, ==
== f (АА 1)== f (kё l ) == kё 1 == АА 1. Следовательно, СВ 1 == СВ +
t
+BBI==AC AAl===AIClty, и потому ВIЕ". Итак, f переводит
точку AI ЕУ в точку В 1 Еу; отсюда (как и в случае 1) вытекает,
что f переводит плоскость у в себя.
Если теперь f как движение плоскости " есть поворот, то
(в силу соотношения f (ё l )== .ёl) f как движение BCeI:0 простран-
ства есть зеркальны поворот.
Если же f как движение плоскости а есть параллельный пе-
ренос, симметрия или скользящая симметрия, то найдется век-
тор ё 2 11а, для KOToporo f (ё 2 )==ё 2 , и тоrда можно применить уже
разобранный случай 1.
Объединяя все сказанное, видим, что f есть одно из движений,
перечисленных в формулировке теоремы п. 44. Остается заме-
.
тить, что среди перечисленных движении сохраняющими ори-
. .
ентацию являются параллельныи перенос, поворот BOKpyr оси
и винтовое движение, а меняющими ор-иентацию зеркальная
симметрия, скользящая симметрия и зеркальный поворот.
215
Контрольные вопросы
1) Докажите, что если ёl собственный вектор движения f
....
и точка А переходит в такую точку В === f (А), что A"B..L е), то пло
скость, проходящая через точку А и имеющая ё. своей нормалью,
переводится движением f в себя.
2) Докажите, что если при обозначениях вопроса 1 движение f
сохраняет ориентацию и. f (ёl)==ё), то f как движение плоскости
(Х также сохраняет ориентацию. Верно ли обратное?
3адаqи
869. Докажите, что есo!lИ движение f не имеет собственных
векторов с собственным значением л === 1, то f представляет собой
u
зеркаJIЬНЫИ поворот.
870. Докажите, что всякое движение либо имеет три попарно
ортоrональных собственных вектора, либо все ero собственные
векторы пропорциональны между собой.
871. Докажите, что если движение f имеет три попарно op
тоrональных собственных вектора I с собственным значением
л === 1, то f параллельный пере нос.
872. Докажите, что если движение f имеет три попарно op
ToroHaaЦbHblx собственных вектора, два из которых соответствуют
собственному значению 1, а третий........ собственному значе
нию ----- 1, то f зеркальная или скользящая симметрия.
873. Докажите, что если движение f имеет три попарно op
тоrональных собственных вектора, один из которых COOTBeTCTBY
ет собственному значению 1, а два друrих собственному зна
чению ----- 1, то f симметрия относительно прямой, возможно,
u u
сопровождаемая параллельным переносом вдоль этои прямои.
874. Докажите, что если все собственные векторы движения f
пропорциональны между собой и соответствуют собственному
значению л== 1, то f поворот BOKpyr оси 'или винтовое движение.
875. С помощью результатов задач 869 87 4 дайте новое
доказательство теоремы, п. 44.
r л а в а XI
rЕОМЕТРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
70. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Пусть ё l , ё 2 ортонормированный
базис плоскости. Тоrда каждый векто'р Z
однозн чно записывается в виде z==
=== хё 1 + уё 2 , rде х, у действительные
числа. Условимся в этой rJIaBe записы
вать векторы без стрелочек, а для базис i
ных векторов ё l , ё 2 применять обозначе
ния 1, i (рис. 190). Таким образом, каж
ДЫЙ вектор z на плоскости однозначно О
записывается в виде z==x.l+y.i, или,
как мы будем писать,
м
1 х
Рис. 190
z == Х + iy. ( 1 )
Сумма двух векторов (рис. 191) задается формулой (см. теоре-
му 1 п. 20).
(XI + iYI) + (Х2 +iY2) == (Xl + Х2) + i (У) + У2). (2)
Условимся длину вектора z==x+iy называть ero модулем и
обозначать через I z 1:
121 == x2+y2.
Далее, если z -=1= О, то уrол, на который нужно повернуть вектор 1,
чтобы получить вектор Toro же направления, что и z, будем Ha
.у;
.
l
2,
У1 + У2
У2
о
Х2
Х 1 Х, +Х2
Рис. 191
Рис. 192
2]7
зывать ap2YMeHTOAf, вектора 2 и обозначать через arg 2. ЧИСЛО
arg z определено лишь с точностью до целочисленноrо KpaTHoro
числа 2л, т. е. если q> aprYMeHT вектора 2, то <Р+ 2kл также ero
aprYMeHT (при любом целом k).
Любой вектор 21 может быть получен следующим образом:
надо повернуть 1 на уrол <р. == arg 21, а затем увеличить длину
полученноrо вектора z' в 121 1 раз (рис. 192). Иначе rоворя.
21 ==(glo1.) (1), rде 11........ поворот BOKpyr начала координат О на
уrол epl, а gl rомотетия с центром О и коэффициентом '1==1211.
Условимся для любоrо вектора 22==X2+iY2 считать (gl o 11) (22)
произведение.м вектора 21 на 22, т. е. (рис. 192)
ZI 2 2==(glo11) (22). (3)
Равенство (gIO{I) (1) ==21 означает (в силу (3)), что 21.1 ==21.
О п Р е Д е л е н и е. Множество всех векторов плоскости СО
сложением и умножением, определяемыми равеНСТВ8МИ (2), (3),
называется множеством ко,М,плексных чисел и обозначается че.
рез с. Название «числа» объясняется тем, что свойства сло-
жения и умножения оказываются, как мы увидим, такими же.
u
как и для деиствительных чисел.
т е о р е м а 1. Пусть <р== arg 2 аРёумент, а ,== Izl мо-
дуль комплеКСНО20 числа 2. Tozaa z ,М,ожно записать в триz-йно-
'м'етрической форме:
2 ==, cos q> + i, sin ер === , (cos <р + i sin ер). (4)
Это вытекает из теоремы 1 п. 42 и теоремы 2 п. 20.
Т е о р е м а 2. Пусть epl, <P2 apZYMeHTbt комплексных чисел
21, 22, а '1, '2 их модули. ТОёда число epl + ер2 является арёу-
ментом числа 2122, а '1'2 еёО 'м'одулем. Иначе zоворя,
Z122==='1 (cos epl+i sin <P1).'2 (cos <P2+ i sin ер2)==
==='1'2 (cos (<pl +<p2)+i sin (ерl + <Р2)). (5)
Д о к а з а т е л ь с Т 8 о. Мы имеем 22===(g2 о {2) (1), rде {2 ПО..
ворот на уrол <р2, а g2 ........ rомотетия с коэффициентом '2. Далее,
ZI22==(gl 0/.) (Z2)==(gl о '1) о (g2 о {2) (1). Но композиция gl о 11 о g2 о /!
совпадает с (gl о g2) о (11 о /2)== g о {, rде / ==11 о 12 поворот на
уrол q>===<Pl +<1'2, g==gl о g2 rомотетия с коэффицентом '=='1'2.
Из равенства 21Z2==(g 01) (1) и вытекает в силу (4) справедли-
вость формулы (5) (рис. 192).
В математике принято называть полем такое множество Р.
в котором определены операции сложения и умножения, обла-
дающие (для любых й, Ь, сЕР) следующими свойствами (аксиома-
ми поля):
1 1. а + Ь == Ь + а.
12. (а+ Ь)+ с===а+(Ь +с).
13. Существует такой элемент О, что а+О===а.
14. Для любоrо а существует такой элемент ( a), чТО
a+( a)==O.
218
111. аЬ == Ьа.
112. (аЬ) с == а (Ьс).
Il з . Существует такой элемент 1 (отличный от О), что la==a.
114. Для любоrо а =1= О существует такой элемент а 1, что
аа --- 1 === 1 .
111. а(Ь+с)==аЬ+ас.
В качестве примеров поля можно указать множество R всех
действительных чисел, а также множество Q всех рациональных
чисел.
т е о р е м а з. Множество С является полем.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Справедливость аксиом 11, 12, I з , 14
очевидна (см. п. 3). Из теоремы 2 следует, что ZIZ2 === Z2Z1,И по..
тоМу справедлива аксиома 111. Из той же теоремы 2 вытекает,
что если '1, '2, 'З модули, а q>1. СР2, <рз aprYMeHTbl комплексных
чисел ZI, Z2, ZЗ, то число (ZI Z 2) Z3 имеет aprYMeHT (CPI + СР2)+
+<рз==q>1 +<Р2+<рЗ и модуль ('1'2) 'з=='I'2'З. То же справедливо
дЛЯ ZI (Z223), откуда вытекает справедливость аксиомы 112. При
определении УМllожения мы видели, что ZI · 1 == ZI, И ПОТОМУ ( В силу
уже доказанной аксиомы 111) 1 ZI == ZI; следовательно, аксиома Il з
выполняется. Далее, пусть , модуль, а <р aprYMeHT комп"
лексноrо числа z; обозначив через Z---1 число с модулем ...!... и
,
а prYMeHToM ----- ср. т. е. z--- 1 ==....!....( cos ( <р) + i sin ( ----- <р )), по теореме
,
2 получим:
.
2Z--- 1 ==, (cos <р + i sin <р).....!....( cos ( <р}+ i sin ( <р)) ==
,
==,....!...(cos (<p <p)+i sin (<p <p))==cos O+i sin 0== 1
,
(аксиома 114). Наконец, так как и при повороте. и при rомотетии
сумма bek-r:°РОВ снова переходит в СУММУ, то
(gl о 'а) (Z2+ zз)==(gl о '1) (Z2)+(gl о '1) (Zз)
для любых Z2, zз Е С, т. е. ZI (Z2 + Zз)== ZI22 +'ZIZЗ (аксиома 111).
Контрольные вопросы
1) Найдите модули и aprYMeHTbI комплексных чисел 1, i. ----- 1.
....... i) 1 + i, 1........ i, 1 + i -УЗ, 1 i -УЗ. 2.........5i, ----- 1 + Зi. Докажите,
что aprYMeHT <р комплексноrо числа z==x+iy=FO удовлетворяет
СООТношениям cos <р === Х , sin q> == у .
у х 2 +у 2 x2 +y 2
2) Число z == х ----- iy называется сопряженным числу z. Дока..
>КИте, чтоlzl == Izl, zz== Iz12; если <р aprYMeHT числа Z#=O. то
....... <р aprYMeHT числа z; если z:;6 О. то 2 1 == z.
I zl2
219
3) Докажите равенства:
i 2 == 1; (1 + i) (1 ........ i) == 2; (1 + i)2 ;::: 2i; ( ...!... + i...!... ) 4 == 1 ;
-у2 -у2
( 1 .,;з ) 3
........ т+ 1 2" == 1.
4) Проверьте, что для n == 2 и n == 3 справедливо равенство
(cos cp+i sin q»n ===cos n +i sin n<р. (6)
Справедливо ли это равенство для любоrо натуральноrо n?
для любоrо целоrо n?
Задачи
876. Докажите, что числа Z I == 2 + 3i, Z2 == 2 3i являются кор-
нями квадратноrо уравнения z2 4z+ 13==0.
877. Докажите, что если а=;60 и ==b2 4ac<0, то корнями
квадратноrо уравнения az 2 + bz + с == О являются числа
Ь.М b.
ZI == """"""+l , Z2== I .
2а 2а 2а 2а
878. Докажите, что корнями уравнения ZЗ == 1 являются числа
1. l..уз
Z I == 1 Z 2 === ............ + l Z З == .................1
, 2 2' 2 2.
879. С помощью соотношения (6) докажите следующие фор-
мулы:
cos 2fP==(cos q»2........(sin fP)2, sin 2 ==2 sin cos ;
COS З (соs fP)З 3 cos fP (sin q»2, sin 3q:>===3 (cos q»2 sin (sin <р)3;
cos 4 ==(cos q»4 +(sin )4 6 (cos q:»2 (sin fP)2,
sin 4 ==2 sin (cos ср)З 2 (sin q»З cos .
880. Докажите, что если Z =;6 О, то при любом целом n модуль
числа ZN равен Izlп, а aprYMe T числа zn равен n arg z+2kл.
881. а) Докажите, что числа
2k1t + . . 2kл k О 1 2 3 4
Zk == COS 5 t Sln 5 ' =="",
являются корнями уравнения Z5 == 1. б) Сделайте чертеж. в) До-
кажите, что, кроме zo, Zl, Z2, Zз, Z4, уравнение Z5== 1 не имеет
друrих комплексных корней. r) Обобщите на случай уравнения
ZN == 1 .
882. Докажите, что если o aprYMeHT, а 'о модуль КОМП-
лексноrо числа Zo =;6 О, то корнями уравнения Zn === Zo являются
числа
Zk== -Vlzоl (СОS(7+ 2:1t )+isiП(7+ 2 л )). k===O. 1. .... n l.
220
Сделайте чертеж для случая п == б, Zo === 64i.
883. Найдите z " если: а) z===i; б) z== 1 +i; в) 2== 12 5i;
r) z==3+4i; д) z== 2+3i.
2z 3i
884. Найдите значение выражения iz+5 при значениях 2,
u
указанных в предыдущеи задаче.
885. Найдите z, если: а) z==2; б) z== Зi; в) 2== З+5i;
) + ... ) 1 . ) 5 + 4;
r z с 05 Ч' t S lП q>, Д 2 3 ____ 2i ' е z i ____ 2 .
886. Докажите, что: а) если Z==ZI +Z2, то 2==ZI +Z2; б) если
-- I 1
Z == 2 I Z 2, то Z == 21 Z 2; в) есл и Z == (z 1 ) --- , то Z == (z 1 ) --- .
887. Докажите, что 'если Zlt Z2 произвольные комплексные
числа, то следующие числа являются действительными: а) Zl + ZI;
-- J
б) ZIZ2; в) 21Z2 + 21Z2; r) ZlZ2 + 21Z2; д) (Zl + 21) (Z2) (Z2)---I.
71. КОРНИ мноrОЧЛЕНОВ
Функция
f (z)== Coz n + CIZп 1 + C2Zп 2 + ... + Cп IZ + Сп(СО =FО) (1)
u u
называется м,ноzочленом. п и степени от переменнои z; здесь
со, CI, ..., Сп (коэффициенты мноrо..лена f (z)) MqrYT быть любыми
комплексными числами (в частности, действительными числами).
Для любоrо комплексноrо числа Zo можно вычислить значение
мноrочлена f (z) при z == 20, т. е. число f (20), получающееся,
если в равенство (1) подставить Z == Zo и выполнить указанные
u u
в правон части деиствия.
О n р е Д е л е н и е. Число Zo называется корнем мноrочлена
f (z) (или, иначе, корнем уравнения f (z) == О), если f (zo)==O.
т е о р е м а 1. Всякий М,НО20член n..й степени (п > О) и.м.еет
хотя бы один (действительный или . комплексный) корень.
Это основная теоре.м.а аЛ2ебры, впервые доказанная великим
математиком К. rayccoM. Доказательство ее неэлементарно, и
мы ero не приводим. Известны десятки различных доказательств
этой теоремы, но вее они н е а л r е б р а и ч е с к и е (используют
соображения, относящиеся к т о n о л о r и и, и связаны с pac
смотрением непрерывности).
В качестве примера заметим, что мноrочлен f (z)== Z2 + 1 имеет
комплексные корни: ZI ==i, Z2 == i.
Т е о р е м а 2. Если число Zo является корнем .м.НО20члена
п..й степени f (z), то этот Af,НО20член делится на Z Zo, т. е.
существует такой .м.ноzочлен g (2) степени п 1, что f (z)==
== (z zo) g (z).
Эта теорема была открыта французским математиком Везу.
221
д о к а з а т е л ь с Т В о. Применим леrко проверяемое тож-
дество
Zk Z ==(2 Zo) (Zk---t + ZoZk --- + Z5z k --- З + ... + z ---2Z + 2 1).
В силу этоrо тождества находим:
f (z) f (zo)==co (zп 'z3)+ct (zп....t Z3 1)+C2 (zп---2 z3---2)+...
... + Cп 2 (Z2 Z5) + Сп ___ 1 (z....... zo) == Со (z Zo) (zп ---1 + Zozп --- 2 + ...
+ п --- 2 + п --- 1 ) + ( ) ( п 2 + п --- З + + п 2 ) +
... Zo Z Zo CI Z Zo Z ZoZ ... Zo
+ С2 (Z....... zo) (zп з + ... + zз--- з )+ ... + Cn 2 (z Zo) (z + zo) +
+ Сп --- I (z Zo) == (z....... Zo) g (z),
rде через g (z) обозначен следующий мноrочлен (п...... 1 )-й степени:
g (z) == СО (zn--- 1 + ZОZп---2 + ... + zз 2z + z3 1) + Сl (Zп 2 + ZOZп з + ...
... + 2g 2) + С2 (Zn 3 + ... + Zo ....3) + ... + Cп 2 (z + ZO) + Cп 1.
Полученное равенство
f (2) f (Zo) ==(z Zo) g (z)
и докаЗbIвает теорему Везу: если 20......... корень мноrочлена f (2),
т. е. f (Zo) == О, то из этоrо равенства получаем f (z) == (2....... 20) g (z).
Заметим, что приведенное рассуждение не только доказы-
вает теорему Везу; из Hero, кроме Toro, вытекает практический
прием отыскания требуемоrо мноrочлена g (z). Если удалось (под-
бором) найти один корень Zo уравнения f (z)==o, то f (2) удастся
представить в виде f (z) == (Z....... zo) g (z) и для отыскания остальных
корней остается решить уравнение меньшей степени g (2) == о.
При м е р. Решить уравнение z3 4z2+9z 10==0.
Реш е н и е. Непосредственно проверяется, что ZI == 2 ........ ко-
рень этоrо уравнения. По теореме Везу мноrочлен f (z) == Z3 422 +
+ 9z 1 О делится на z 2. Деление осуществляем цо схеме,
указанной в доказательстве теоремы 2:
f (z) == f (z)....... f (2) ==(zЗ 23) 4 (Z2 ....... 22) + 9 (z....... 2) ===
== (z....... 2) (Z2 + 22 + 22) 4 (z 2) (2 + 2) + 9 (2....... 2) ==
== (z 2) (z2....... 2z + 5).
Остается решить квадратное уравнение z2....... 2z + 5 == О, что дает
еще два корня исходноrо уравнения: 22 == 1 + 2i, 23 1 ........ 2i.
Т е о р е м а 3. Всякий МНО20член (1) степени n>О М,ожет
быть разложен на Af,ножuтелu первой степеНИ J Т. е. существуют
такие числа ZI, Z2, ..., 2 п (действuтеЛЬНЬLe или к.о.мnлеIССНЬ-lе),
что
f (2) == СО (z ZI) (z....... Z2) ... (z...... zn). (2)
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть 21 какой-либо корень MHoro.
члена (1) (он существует по теореме 1). Соrласно теореме 2
f (2)===(Z ZI) g (z). Ясно, что старший коэффициент мноrочлена
g (2) равен СО (т. е. равен старшему коэффициенту м.ноrочлена
222
f (z)): g (z) == coz n --- 1 + cf Zn --- 2 + ... + c ___ 1. Далее t ' пусть 22 корень
мноrочлена g (z). Tor да g (z) == (z Z2) h (z), rде h (z) ......... мноrочлен
степени п....... 2 с тем же ста ршим коэффицентом со, т. е. f (z) ==
== (z....... zl) (z....... Z2) h (z). Теперь возьмем корень 23 мноrочлена h (z)
и т. д. Продолжая, мы и получим требуемое разложение.
3 а м е ч а н и е. Из записи (2) видно, что каждое из чисел Z),
Z2, ..., zn является корнем мноrочлена (2). Если же число z
отлично от ZI, 22, ..., Zn, то каждое из чисел Z.......ZI, Z Z2, ...
..., z....... Zn отличНо от нуля, и потому f (Z) =1= о. Иначе roворя,
числа Zl, Z2, ..., Zп, И только они, являются корнями мноrочлена
f (z). Если ZJ, Z , ..., Zn различны, то уравнение f (z) O имеет n
корней. Если же среди чисел Zl, Z2, ..., zп имеются совпадающие,
то число корней меньше n. Однако условились считать, что и в
этом случае уравнение f (z) == О имеет n корней, только некоторые
корни являются кратными (повторяющимися). Такое соrлашение
позволяет считать, что любое уравнение п-й степени имеет n кор-
неи, Например, соrласно равенству
f (z) == Z 7 Z6 + 3z5 + 19z4 40z 3 ....... зоz 2 + 88z ....... 40 ==
==(z 1)3 (Z+2)2 (z 1 3i) (z I +3i)
уравнение седьмой степени f (z)==o имеет семь корней:
Z1 === Z2 === zз == 1, 24 == Z5 == 2, Z6 == 1 + 3i, Z7 == 1 ........ 3i.
Корень z == 1 имеет кратность 3 (трижды повторяется), z == 2
корень кратности 2, а последние два корня простые (однократ-
ные ).
Контрольные вопросы
1) Пусть f (z) мноrочлен п..й степени (1), а f (z) MHoro..
член с сопряженными коэффициентами:
.. .... n n---l ... п---2 ..
f(z)==coZ +CIZ +C2 Z +...+Cn---IZ+С n ,
Докажите, что числа f (z) и f (z) сопряженные, т. е. f (z)== f (z).
2) Дока.жите, что если Zl, Z2, '.., Zk все корни мноrочлена
f (2), то 21, 22, ..., Zk все корни мноrочлена f (z).
3) Докажите, что если мноrочлен f (z) с действительны..
ми коэффициентами имеет корень z==i, то он делится на
Z2 + 1 .
4) Докажите, что мноrочлен (1), имеющий степень п, не может
Иметь более п корней.
Задачи
888. Проверьте, что f (z) === Z5 4Z4 + 3z3 ----- 5Z2 + 2z + 24 имеет
Корень z == 2, и представьте f (z) в виде (z ----- 2) g (z).
223
889. Докажите, что если мноrочлен с действительными коэф
фициентами имеет корень z== 3......... 2ё, то он делится на z 2 6z+ 13.
890. Докажите, что любой мноrочлен f (z) с действительными
коэффициентами' можно представить в виде g. (z) g2 (z) ... gk (z),
rде кажДЫЙ ИЗ мноrочленов g. (z), g2 (z), .'., .gk (z) имеет дей
ствительные коэффициенты и степень каждоrо из них не
больше 2.
891. Решите следующие кубические уравнения, находя один
корень подбором и применяя теорему Везу: z3....... зz 2 + 5z......... 3== о;
Z3 + Z2 2z 2 == о; zз Z2 + 5z ....... 14 == о; Z3 + 2z 2 3z':""" 6 '== о; Z3 +
+z2 z зз==о.
892. Разложите на множители первой степени мноrочлены:
zз 4z2 +2z 1; Z4 2z З + 2z 2 +2z 3; Z4 +2z3 12z 2 + 14z 5;
Z4+Z2+ 1; z4+4z2 5; Z4+ 1; zб 1.
893. Каждый из мноrочленов, указанных в предыдущей
задаче, разложите на множители, являющиеся мноrочленами
первой или второй степени с действительными коэффициен
тами.
894. Докажите, что если
(z al) (z a2) ... (z aп)==(z bl) (z........b 2 ) ... (z bп),
rде al, ..., а п , b l , ..., Ь п комплексные числа, то al, ..., а п с точ-
ностью до порядка совпадают с числами b 1 , ..., Ь п .
895. Выведите из результата предыдущей задачи, что каж
дый м ноrочлен п й степени разлаrается на множители первой
степени однозначно с точностью до порядка следования MHO
жителей.
896. Каждый из мноrочленов f (z) и g (z) имеет степень, не,
превосходящую п. Докажите, что е-сли существуют п + 1 различ..
ных комплексных чисел CI, С2, .", Cп+l, для которых f (Ck)==
== g (Ck), k === 1, 2, ..., п + 1, то все коэффициенты мноrочлена
f (х) соответственно совпадают c коэффициентами мноrочле
на g (х).
897. Докажите, что если все коэффициенты мноrочлена f (z)
действительны, то система точек на плоскости комплексных чи
сел, являющихся ero корня и, симметрична относительно оси х
(т. е. если С корень, то С тоже корень).
898. Докажите, что если
t (z) == Coz 2п + 1 + CtZ 2п + C2Z2п 1 + ... + С21l IZ2 +C2IlZ + С21l + I
мноrочлен нечетной степени, у KOToporo коэффициенты, одина-
ково удаленные от концов, равны (т. е. Ck == С(2п + I) k, k ===
== О, 1, '.., п), то: а) z == i и z == i являются ero корнями; б) f (z)
делится на Z2 + 1.
899. Докажите, что если мноrочлен f (z) степени п имеет
только один комплексный корень с, то он имеет вид f (z)==
==а (z c)п, rде а некоторое комплексное число.
224
72. КОМПЛЕКСНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОй И ОКРУЖНОСТИ
Пусть z==x+iy комплексное число; действительные числа
х, у имеют специальные названия: х действительная, у мни..
Jttая часть комплексноrо числа z. Действительную часть числа z
обозначают через Re z, мнимую через 1т z (от слов real дей..
ствительныI,t imaginaire мнимый). В соответствии с этим ось
ОХ в плоскости комплексных чисел называют действительной
осью, а Оу мнимой осью.
Если М произвольная точка на плоскости комплексных чи..
сел, то вектор ОМ изображает некоторое комплексное число
z:=: Х + iy (рис. 190), которое называется комплексной коорди...
натой точки М. Теперь для заданной линии Р можно пытаться.
найти ее комплексное уравнение, т. е. такое соотношение, что мно"
жество всех точек, у которых комплексная координата z удовлет-
воряет этому соотношению, совпадает с Р.
т е о р е м а 1. Пусть с == а + bi комплексное число; k, 1
действительные числа, удовлетворяющие условию
IcI 2 -----kl>0. (1)
Уравнение
kzz+(ёz+сz)+l==О (2)
определяет прямую при k == О, окружность при k =1= О. Любая nря...
мая и любая окружн.ость МО2УТ быть заданы такими уравнениями.
Д о 1{ а з а т е л ь с Т В о. Так как cz==(a-----ib) (x+iy)==
== (ах + Ьу) + i (ау ----- Ьх) и аналоrично cz ==(ах + Ьу) i (ау ----- Ьх),
то уравнение (2) принимает вид:
k (х 2 +у2)+2 (ax+by)+l==O. (3)
Если k===O, то в силу (1) C=FO; получающееся уравнение
2 (ax+by)+l==O определяет прямую, имеющую вектор c==a+bi
своей нормалью. Если же k =1= О, то уравнение (3) можно (раз..
делив ero на k) записать в виде
( ) 2 ( ) 2 _____(a2+b2)----kl
Х + k + у + k ----- k 2 '
т. е.
t z ----- Zo 12 == ,2,
а . Ь -, / I с 12 kl
rде Zo == Т........ t Т, ,:=: V k 2 (здесь под корнем стоит поло..
Жительное число, см. (1 )). Полученное уравнение определяет ок-
ружность радиуса , с центром в точке Zo.
О п р е Д е л е н и е. Степенью точки М относительно окруж-
Ности 1, имеющей центр Q и радиус " называется число I QM 12 ,2.
8 Заказ 924 225
Т е о р е м а 2. Множество всех точек, имеющих равные степени
относительно двух окружностей с различными центрами Ql, Q2,
представляет собой прямую, перnендuкулярную (Q 1 Q2).
Д О К а 3 а т е л ь с т в о. Пусть СI ==al +ib l , C2==a2+ib 2
комплексные координаты точек QI, Q2, а '1, '2 радиусы рас-
сматриваемых окружностей 11, [2. Сl'епень точки М, имеющей
комплексную координату z == х + iy, относительно окружности I1
равна
2 2 2 2 2
1 Q 1 М 1 , 1 == I z ...... С 1 I 'l == (z с 1) (z....... Сl) , 1 .
Аналоrично степень точки М относительно [2 равна
2 2 .. 2
I Q2 M I '2 == (z С2) (z...... С2) '2.
Следовательно, искомое множестве точек определяется уравне-
нием
.... 2 2
(Z.......Cl) (Z Cl) rl ==(Z C2) (Z-----C2) '2,
т. е.
2 2
z (С2 ---- CI)+ z (С2....... CI)+ ('2 '1)+ (CI C l С2С2) == о.
Так как C2 Cl *0, то по теореме 1 это уравнение определяет
)
прямую. Нормалью ее является вектор С2 CI == Q I Q2, И потому
эта прямая перпендикулярна (Q J Q2).
О П Р е Д е л е н и е. Прямая, о которой идет речь в теореме 2,
называется радикальной осью окружностей 11 и 12.
КОНТрОЛЬНЬtе вопросы
1) Докажите, что если точки М 1 И М 2 имеют комплексные
координаты ZI, Z2, то 1М lМ 2 1 == I Z2 ---- zll.
2) Докажите, что уравнение (2) можно записать в виде
klz.1 2 +2Re (cz)+l==O.
3) Докажите, что ур'!.внение любой окружности можно
записать в виде (z с) (z....... С)....... ,2 == о.
4) Докажите, что если точка М лежит во внешней облас-
ти окружности 1, то степень точки,М относительно 1 равна квадрату
длины отрезка касательной, проведенной из М к окруж-
ности 1.
5) rде расположены точки, степень которых относительно
окружности 1 положительна? отрицательна? равна НУЛIО?
Задачи
900. При каком условии прямая' или окружность, определяе-
мая уравнением (2), проходит через начало координат?
901. Точки MI' М 2 имеют комплексные координаты Zl, Z2.
, 226
Докажите, что...векторы ОМ. и ОМ 2 В том И только в том случае
Z.
ортоrональны, если Re..........== о.
Z2
902. ДокаЖl!те, чт о если 1 с I === " arg с == ер, то уrловой коэффи-
циент прямой (cz+cz)+l==O равен ctg j , а расстояние от этой
u I l
прямои до начала координат равно 2;: ·
903. а) Докажите, что любая прямая на плоскости может
быть задана уравнением вида х cos ч>+у sin ЧJ р==О, rде р>О
(оно называется норм.альным, уравнением прямой). б) Докажите,
ЧТО расстояние от точки Мо (Ха; Уа) до этой прямой равно
'хо cos q>+yo sin q> pl.
904. Докажите, что уравнение прямой, проходящей через
точки с комплексными координата и Zl и Z2, можно записать
в виде
z z 1
z 1 a 1
Z2 Z2 1
O
.
905. Докажите, что 'если окружности 1. и 12 пересекаются
';8 ДВУ'Х точках А и В, то их радикальная ось совпадает
с (АВ).
906. ДОК:ажите, что если окружности 1. и 12 касаются
друr друrа IB точке А, то' их радикальная ось совпадает
'С обrцей касательной этих окруя<ностей, проведенной в точке А.
907. Докажите, что если окружности с центрами Ql, Q2 распо..
u
,Jlожены одна ' He друrои, то их радикальная ось пересекает
[Q. Q2], а если одна из окру.жностей расположена внутри друrой,
то их радиКaJLьная 'ось не пересекает [QlQ2].
908. Докажите, что если. центры трех окружностей не лежат
u u u
I на однQИ .прямои, то радикальные оси этих окружностеи,
взятых Пt>па-рио, пересекаются в одной точке (радUlCальныа
центр'окру оС7еЙ).
909. Дока>lf.ите,. что ОGЩие 1Ю-МЫ каждых двух из трех пе-
ресекающихся ,ок,ружностей (центры которых не лежат на одной
прямой) neресекаются в"оnной
,-точке (рис. 193).
910. Две пересекающиеся
-ОКРУЖRОс-РИ ! называются . '{)pTO
20наЛЬНblАСU, ".если ' касательны-е
8 их общей ,точке перпенди"
кул.ярны. Дека жите, ,qTO если
'окружноет,Ь/с:r це IrrpO М МОРТО"
rональна обеим окружностям
ll, ./2, то "'м ')при"адлежит ра-
u
дикал.ЬНОН 'оси '.этих окруж"
.
t ноетеи.
911. Докажите, что 'ее.ли Рис. 193
8*
227
Рис. 194
точка М, принадлежащая
v
радикальнои оси окружно-
стей I1 и 12, лежит во
внешней области этих окруж-
ностей, то существует окруж-
ность с центром М, орто-
rональная обеим окружно-
стям 11, 12.
912. rоворят, что окруж-
ность т делится окруж-
ностью 1 пополам, если они
пересекаются в двух точках,
являющихся диаметрально
противоположными точками
окружности т. Докажите.
что если окружность m с
центром М делится каждой
М принадлежит общей хорде
из окружностей 11, 12 пополам. то
окружностей I1 и 12.
913. Докажите, что если М принадлежит общей хорде окруж-
ностей I1 и 12, то существует окружность с центром М, которая
делится каждой из окружностей 1), 12 пополам.
914. Всевозможные окружности, проходящие через две точки
А и В, образуют эллиптический пучок окружностей ((АВ) считается
одной из «окружностей» этоrо пучка окружностью «бесконечно
большоrо радиуса»). Докажите, что существует бесконечно MHoro
окружностей, ортоrональных всем окружностям рассматриваемоrо
пучка (штриховые линии на рис. 194).
915. Штриховые линии на рисунке 194 (ортоrональные окруж-
ности эллиптическоrо пучка) составляют 2иnерболuческuй nуц,ОК.
Докажите, что ось симметрии 1 точек А и В является общей
радикальной осью всех окружностей rиперболическоrо пучка.
916. Рассматриваются попарно не пересекающиеся окружно-
сти, имеющие общую радикальную ось 1, центры которых лежат
на одной прямой, перпендикулярной 1. Докажите. что эти окруж-
ности составляют rиперболический пучок, т. е. существуют такие
две точки А, В, что любая окружность, про ходящая через А и В,
ортоrональна рассматриваемым окружностям. __
917. Докажите. что линии, определяемые уравнением zz +
+ 2q Re z 002 === О, rде 00 заданное положительное число, а
v v u
q деиствительныи параметр, составляют эллиптическии пу-
чок окружностей (к этому пучку относится также прямая
Re z==O). Каковы те две точки, через которые проходят все эти
окружности? __
918. Докажите, что линии. определяемые уравнением zz +
+2р 1т Z+002==O, rде (t) заданное положительное число, а
р ........... действительный параметр, составляют rиперболический пучок
окружностей (к этому пучку относится таКЖе прямая 1т z===O).
228
919. Докажите, что любая окружность, проходящая через
точку с комплексной координатой Zo, может быть задана
ура внением вида ZZ + ё (z Zo) + С (z 20)....... 20Zo == О, rде С не-
которое комплексное число. В какой точке находится центр этой
окружности? __ __
920. Докажите, что окружности ZZ+Cl (Z 20)+Cl (Z Zo)
........ 20Z0 == О И ZZ + ё 2 (z Zo) + С2 (z zo)........ zoZo ==0, проходящие через
точку Zo, том и только в том случае ортоrональны, если
R е Zo + с t == о.
Zo + С2
73. ИНВЕРСИЯ
О п Р е Д е л е н и е. Пусть О некоторая точка плоскости и
R положительное число. Возьмем в плоскости произвольную
точку М, отличную от О, и обозначим через М' такую точку,
что М и М' лежат на одном луче с началом в точке О и удовлет"
воряют условию 10М I · 10М I == R 2 (рис. 195). Отображение g,
переводящее точку М в М', называется инверсией с центром О и
степеныо R.
Каждая точка, лежащая на окружности 1 радиуса R с центром
о, переходит при инверсии g в себя; l называется окружностью
инверсии. Точки внешней области окружности 1 переходят в
точки, лежащие внутри 1, и наоборот. При этом если М перехо-
дит в М', то М' переходит снова в М. Поэтому инверсию
называют иноrда «симметрией относительно окружности».
Точка О (центр инверсии) не имеет образа при инверсии
g. Однако можно условиться считать, что на плоскости имеется
о Д н а «бесконечно удаленная» точка 00 (причем через нее прохо-
дит любая прямая) и что при инверсии О переходит в 00, а
ОО........в о. При этом соrлашении инверсия будет в з а и 1\1 Н О
О Д Н О З н а ч н ы м отображением плоскости (пополненной точкой
00) на себя.
т е о р е м а 1. При инверсии с центром в начале координат и
степенью R точка М с комплексной координатой z =1= О переходит
в точку м' с КО.Аtnлексной координатой z' == 2 .
Z
т е о р е м а 2. При инверсии любая
прямая или окружность снова переходит в
прямую или окружность. Более подроб-
но: пря"чая, проходящая через центр иHBep
cUU I переходит в себя; прямая, не прохо-
дящая через цеnтр инверсии, переходит в
окружность, проходящую через цен.тр
инверсии (и наоборот); наконец, окруж"
ность, не проходящая через центр инвер..
сии, снова переходит в окружность, н-е
проходящую tlерез центр инверсии. Рис. 195
229
д о к а з а т е л ь с т в о. Мы можем считать при доказатель-
стве, что центр инверсии совпадает с началом координат. Пусть
z комплексная координата точки М. Тоrда М переходит в
точку М' с комплексной координатой z' == 2 , откуда z == 2 .
Z z'
Для точек, комплексные координаты z которых удовлетворяют
уравнению прямой или окружности
kzz+(cz + cz)+ 1== о
(1)
(см. теорему 1 предыдущеrо пункта), rде
IcI2 kl>0,
(2)
координаты z' их образов удовлетворяют уравнению, которое
получится, если в (1) подставить z== 2 :
z'
k 2 .в:+ ( С 2 +с R: ) +1==0.
z' z' z' z
"Это уравнение (если ero умножить на z'z') принимает вид:
k'z'z'+(c'z'+c'z')+l'==O, (3)
rде k' == 1, [' == kR 4 , с' == cR 2 . Так как с, k, 1 удовлетворяют
условию (2), то
I с' 12 k' [' == 1 с R212 l · k R 4 == R 4 ( c 12 k [).> о. ( 4 )
Итак, линия Р, определяемая соотношениями (1), (2) (т. е. прямая
или окружность), переходит при инверсии в линию р', определя-
емую соотношениями (3), (4), т. е.. снова в прямую или
окружность.
Нетрудно проследить более детально, какая линия в какую
переходит. Например, если Р прямая (k ==0), не проходящая
через О (l =1= О), то k' == 1 =1= О и [' == kR 4 == о. Условие k'"* О озна..
чает, что Р' есть окружность, а условие
[' ==0 показывает, что эта окружность про-
ходит через о.
Определение. Уrлом между дву"
мя пересекающимися окружностями P 1 , Р 2
называется уrол между касательными,
проведеННЫ 1И к ним в их общей точке
(рис. 196). Аналоrично определяется
yrO:7I между прямой Р 1 И окружностью
Р 2 , имеющ й с Р 1 оБЩУIО точку. Если P 1
И Р 2 касаются, то уrол между ними равен
Рис. 196 нулю.
230
Т е о р е м а. 3. Инверсия;
сохраняет уzлы. Более подроб-
но: пусть P I и Р 2 ........ две линии,
имеющие общую ТОЧICУ при.,.
чем каждая из них. является
nрям,ОЙ или окружностью, а Р! и
Р 2 их образы при инверсии.
ТО2да У20ll .между Р. и Р 2 равен
У2ЛУ между Ра и Р 2 .
Д о к а з а т е л ь с т в. о.
Пусть сначала Р 1 и Р2 две
пересекающиеся прямые, не
проходящие через центр инвер..
сии о. Тоrда Pf и Р 2 ........ окруж
ности, проходящие через О,
причем касательные к ним в
точке О параллельны прямым
Р. и Р2 (рис. 197). Следова-
тельно, уrол между Р, и Р 2 В. точке О (а потому и в дру-
rой их общей точке) р а в е н уrлу между прямыми Р. и Р2,
т. е. в этом случае уrол при инверсии сохраняется. Леrко
рассматриваются также случаи, коrда одна или обе из этих
прямых проходят через о. Итак.. если Р. и Р2 П Р я м ы е,
утверждение справедливо. ;
Пусть теперь Р. прямая, а Р2 окружность, и.меющие об-
щую точку М. проведем касательную Р. к окружности Р2 В
точке М. Torдa уrол между Р. и Р 2 равен (по определению)
уrлу между Р. и Р.. Так как Р 2 и Р. имеют только одну
общую точку, то при инверсии они перехоД&т в линии Р 2 и
р:, также имеющие только одну общую точку, т. е.
к а с а ю Щ и е с я друr друrа. Следовательно, уrол между Pi и
Р2 равен уrлу между Pf и P . Но по доказа.нному уrол между
Pf и Р: равен уrлу между Р. и Р. (так как Р. и Р. п Р я м ы е),
т. е. уrлу между Р 1 и P'l- Итак, уrол между Ра и Р2 равен уrлу
между Рl И'Р2-
Ана.поrично. рассматривается случай, коrда о б ,е л.инии Р I и Р2
являются окружностями.
/
Ри.с.. 197
KOHTpOAbНbte вопросы
1) Докажите- теорему. 1
2) ДОкажите; что' еелм g, инверсия-, а I s- оомметрия
u u
относительно ПрЯМQЩ проходящеи через центр инверсии,
то gos:==sog..
3) Докажите. что образ прямой. Р, не проходящей через
центр инвереИИ 1 О, можно построить слеJtуlOЩИМ о разом.
НадО провести перпендикуляр [ОМ] к прямой Р и найти образ
М' точки М. TorAa. окружность р' . построенная на отрез-
231
ке ОМ' как на диаметре, и будет образом прямой Р при ин-
версии.
4) Как найти образ р' окружности р, не проходящей через
центр инверсии? Переходит ли при этой инверсии центр
окружности Р в центр окружности р'?
Задачи
921. Докажите, что окружность, ортоrональная окружное..
ти инверсии, переходит при инверсии в себя. Верно ли об-
ратное?
922. Докажите, что если окружность Р переходит при инверсии
в окружность р', то Р и р' rомотетичны относительно
центра инверсии о.
923. Докажите, что если окружность Р и ее образ р' пере..
секаются, то точки пересечения лежат на окружности инверсии.
924. а) Дана окружность р, проходящая через центр О
инверсии, и точка М, лежащая во внешней области этой окруж"
ности; через точку М проведена касательная Q к окружности
Р. Постройте чертеж, показывающий образы точки М и линий
р, Q. б) Даны прямая р' и две точки о, М' по одну
сторону от нее. Постройте окружность Q', проходящую через
точки О, М' и касающуюся прямоЙ Р'. Сколько решений имеет
задача?
925. Точка М' является образом точки М при инверсии g.
Докажите, что любая окружность, проходящая через Nl и М',
переходит в себя и ортоrональна окружности и'нверсии.
926. Через точку о, лежащую во внешней области окруж-
ности Р, проведены две прямые, первая из которых пересекает
окружность в точках М и М', а вторая касается ее в точке
N. Докажите, что OM.OM'==ON 2 .
927. Даны окружность р' и две точки А', о. Постройте
OKPY>l{HOCTb, проходящую через точки А', О и касающуюся
окружности р'. Сколько решений и меет задача?
928. Постройте окружность, проходящую через данную точку
и касающуюся двух данных окружностей. Сколько решений может
иметь задача?
929. Постройте окружность, проходящую через данную точку и
касающуюся: а) двух данных прямых; б) данной прямой и
данной окружности. \
930. Окружность Р с центром О и радиусом , касается
трех окружностей, расположенных вне ее и имеющих центры
01, 02, Оз И радиусы '1, '2, 'з. Докажите, что окружность
с центром О и радиусом, + h касается трех окружностей, имеющих
центры 01, 02, Оз И радиусы '1...... h, '2...... h, 'з h (rде h не
превосходит каждоrо из чисел '1, '2, 'з). Используя этот факт,
постройте окружность, касающуюся: а) трех заданных окружно"
стей; б) двух данных прямых и данной окружности; в) данной
232
прямой и двух данных окружностей. В каждом случае укажите
наибольшее число решений. .-
931. Постройте окружность, проходящую через две данные
точки о, А' и пересекающую: а) данную окружность; б) данную
ПРЯ lУЮ под даННЫ1\1 уrлом сх..
932. Постройте окружность, проходящую через данную точку
О и пересекающую две данные окружности Р' и Q' под даННЫ tи
уrлами сх. и . Ре,шите ту же задачу, если р' и Q' прямые
(или одна из них является прямой, а друrая окружностью).
933. Прямая l является радикальной осью окружностей Рl и Р 2 .
Докажите, что при инверсии с центром О Е l окружности P 1 И
Р2 переходят в такие окружности Pi, Р 2, дЛЯ которых 1 также
явлqется радикальноfi осью.
934. Докажите, что композиция двух различных инверсий
с одним и Te ! )I{e центром О представляет собой rомотетию,
с центром о.
935. Рассматривается эллиптическиЙ пучок, состоящий из
окружностей, проходящих через точки О и А, и rиперБОJIический
u u
пучок, состоящии из окружностеи, ортоrональных ОКРУЖНОСТЯ f
первоrо пучка. Докажите, что при инверсии с центром О первый
пучок переходит в пучок прямых, проходящих через точку А'
(образ точки А), а второй в пучок концентрических окружностей
с центром А'.
936. Криволинейный треуrольник образован дуrами трех OK
ружностей, проходящих через одну точку О (рис. 198).
Докажите, что сумма уrлов этоrо треуrольника равна л.
937. На плоскости фиксирована точка о. Условимся называть
«прямой» всякую проходящую через О окружность, из которой
выколота точка о, или проходящую через О прямую, из
которой выколота точка О, но добавлена точка 00.
а) Докажите, что через любые две точки, отличные от О,
проходит единственная «прямая».
б) Докажите, что если а «прямая» И А не принадле
жащая ей точка, отличная от О, то через А проходит
е Д и н с т в е н н а я «прямая», не пересекающаяся с а.
Рис. 198
Рис. 199
233
в) Докажите с ПОМОЩЬЮ инверсии. что при указанном пони-
мании «прямых» плоскость, из которой выколота точка О, но
добавлена точка 00, дает модель евклидовой планиметрии. Таким
образом, из «материала» евклидовой rеометрии удается построить
v
новую модель тои же rеометрии.
938. Две окружности т 1, m2 (или окружность и прямая).
ортоrональные окружности инверсии, пересекаются в точках А и В.
Докажите, что при этой инверсии точка А переходит в В. Bы
ведите отсюда, что в н у т р и окружности инверсии имеется не
более чем о д н а общая точка линий m& и m2.
939. На плоскости фиксирована окружность 1. Будем на
каждой окружности (или прямой). ортоrональной 1, рассматривать
только ту дуrу. которая расположена во внутренней области
окружности 1, и каждую такую дуrу условимся называть
«прямой» (рис. 1'99). В качестве «точек» будем рассматривать
только точки, лежащие во внутренней Qбласти окружности 1.
а) Докажите, что через любые две «точки» проходит един-
ственная «прямая».
б) Докажите, что через «точку» А, не принадлежащую
«прямой» а, проходит б е с к о н е ч н о м н о r о «прямых». не
пересекающихся с а.
в) Докажите (в общем случае или на примере) . что в
«треуrольнике». образующемся при пересечении трех «прямых».
сумма уrлов м е н ь ш е п. Сказанное делает понятным, что
эти «точки» И «прямые» образуют модель zeOMeTpuu Ло6ачев-
CKOZO, построенную из «материала» евклидовой rеометрии. Эта
модель была предложена выдающимся французским математиком
Анри Пуанкаре.
rлава XII
линии BTOPOrO ПОРЯДКА
74. КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНИй BToporo ПОРЯДКА
Прямая линия описывается уравнением первой степени:
Ах+Ву+С===О.
Поэтому rоворят, что прямая линия пер в о r о порядка.
При рассмотрении различных вопросов астрономии, физики,
теории упруrости, Теории корабля встречаются линии" описы-
ваемые уравнениями в т о рой степени, т. е. линии 8ТОрО20
порядка. Так, из ньютоновскоrо закона всемирноrо тяrотения и
друrих законов механики можно вывести (средствами матема-
тическоrо анализа), что планеты, кометы, астероиды двиrаются
в поле тяrотения Солнца по траекториям, которые являются
линиями BToporo порядка (если пренебречь малыми релятивистски-
ми поправками и «возмущениями» со стороны друrих планет).
Конец высокой мачты, выведенной из состояния равновесия и
затем отпущенной, описывает л нию BToporo порядка (если не
учитывать сопротивление воздуха и друrие причины, которые
сказываются лишь на длительных промежутках времени). Можно
привести и ряд друrих задач, при решении которых естественно
возникают линии BToporo порядка.
В общем случае уравнение линии BToporo по,рядка имеет
вид:
AX2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F==0 (1)
(множитель 2 в некоторых коэффициентах поставлен для
удобства дальнейших вычислениЙ). Мы локажем, как можно
у про с т и т ь уравнение (1) за счет выбор.а системы коо.рдинат,
а в следуюLЦИХ пунктах изучим rеометрические свойства линий
BToporo порядка.
Л е м м а 1. Пусть (о; ё l , ё 2 ) пряМ,оуzольная система коорди-
нат и векторы ё! t ё 2 получаются из ё l , ё 2 nО80РОТОм. на У20Л а.
ТОсда координаты х, у точки М в системе (о; ё 1t ё 2 ) и координаты
х', у' этой же точки в системе (о; ё, t ё 2 ) связаны форм.улам.u
х == х' cos сх........ у' sin сх., у == х' sin а, + у' cos а. (2)
Д о к а з а т е л ь с т в о. 'Соrласно теореме п. 42 мы имеем
(рис. 200):
ёi == ё l cos сх. + ё 2 sin а, ё 2 == ё 1 sin сх. + ё 2 cos а.
Умножая эти равенства скалярно на ё 1t а затем на ё 2. находим:
235
ёiё l == cos а, е 2 ё!. ----- sin а, efe2 == sin а, (3)
,
е2е2 == cos а.
...
е/ Далее,
+ ' I + , ,
хеl у е 2==Х еl у е2.
Умножая это равенство на ё l и учитывая
ФОР 1УЛЫ (3), полу аем первое равенство
(2), а умножая на е2 второе.
Л е м м а 2. Пусть линия L описыва-
ется в nрямоуzольной системе координат
уравнением (1). Если 8*0, то поворо-
том системы координат можно добиться
ТО20, чтобы в новой системе линия L опи-
Сblвалась ypaBHeHиeM не содержащим
произведения координат.
Д о к а з а т е .п ь с т в о. Произведем
поворот системы координат на уrол сх.
Тоrда для получения уравнения линии L в
новых координатах х', у' нужно в (1)
B 1eCTO Х, у подставить их выражения (2).
В результате получается уравнение вида
А' х,2 -+ 28'х'у' + С'у,2 + 2D' х' + 2Е'у' + F ==0,
Рис. 200
е 2
м
е 2
Рис. 201
OM== xe l+y e 2,OM==x'ef+y'e2.
е,
т. е.
.....
е l
коэффициенты KOToporo вычисляются несложно. В частности.
2В' == ----- 2А cos а sin а + 28 (cos 2 a ----- sin 2 a) + 2С cos а sin а ==
==(C A) Sill 2сх+28 cos 2а.
Для выполнения равенства В' === О остается выбрать а так,
чтобы было (C A)sin2a+2Bcos2a==O, т. е. ctg2a== A C .
Л е м уУl а 3. Пусть 7'очка О' имеет в системе (о; ё 1 , ё 2 )
координаты а, Ь. ТО2да координаты х, у точки ..М в системе
(О; ё l , ё 2 ) и ее ,координаты х', у' в системе (О'; ё l , ё 2 ) связаны
соотношениями
х' == х ----- а, у' == у ----- Ь. ( 4 )
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы имеем (рис. 201):
ОМ==хё l +уё 2 , оа==аё 1 +ьё 2 , 0'Л1==х'ё i +у'ё 2 .
-.....+ '"'"'""*
Подставляя эти значения в равенство О'М==ОМ-----ОО', по..
лучаем:
х' ё l + у' ё 2 == (хё l + уё 2 ) ----- (аё l + ьё 2 ) == (х ----- а)ё 1 + (у ----- ь )ё 2 ,
откуда и вытекает справедливость равенств (4).
236
Т е о р е м а. Пусть L линия вТОрО20 поряд/(а l содержащая
не менее двух точек. ТО2да можно подобрать прямоуzольную
систему KoopaUHaT 1 8 которой L описывается уравнением одНО20
из следующих видов: '
х 2 ,/
2+ == 1 (а>О, Ь>О); (1)
а ь
') 2
X ==l (а>О, Ь>О); (11)
а ь
у2 == 2рх (р> О); (111)
2 )
y ==o (а>О, Ь>О); (IV)
а ь
y2==q (q O). (У)
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Соrласно лемме 2 можно выбрать
прямоуrольную систему координат, в которой L описывается
уравнением вида
Ax 2 +C y 2+2Dx+2Ey+F==O, (5)
rде хотя бы один из коэффициентов А, С отличен от нуля (l\-tbI
не будем писать штрихи у координат, как в лемме 2, т. е.,
переходя к новой системе, будем обозначать координаты снова
через Х, у).
Если оба коэффициента А, С отличны от нуля, то уравнение
(5) можно переписать в виде
А( Х+ ) 2 +с(у+ ) 2 ==Р*,
D 2 Е 2 D Е
rде F*==A+C....... P . Принимая Х+т, у+с за новые
координаты (т. е. перенося начало координат в друrую точку,
см. лемму 3), мы запишем уравнение линии L в виде
Ах2 + Су2 == F*. (6)
Если числа А, С имеют одинаковые знаки, то можно
считать (умножив, если нужно, обе части уравнения на .......... 1),
что А и С положительны. Число F* также должно быть
Положительным (при р* < О линия L совсем не содержала бы
точек, а при F* == О содержала бы только одну точку х == у == О).
Теперь остается разделить обе части уравнения на F*, и мы полу
чим уравнение вида (1).
Если же А и С имеют разные знаки, то при р* ==0 мы из (6)
получаем уравнение вида (IV). В случае р* =1= О можно считать
(поменяв, если нужно, ролями х и у, т. е. повернув систему
на уrол ;) , ЧТО А и F. имеют одинаковые знаки. Разделив
На F., получаем уравнение (11).
237
Пусть теп рь лишь одно из чисел At С отлично от нуля.
Мы можем считать (если нужно, поменяв ролями х и у), ЧТО
A==Ot С*О, т. е. уравнение (5) имеет вид:
Cy2+2Dx+2Ey+F==O,
Т. е.
с( у+ ) 2 +2Dx+F' ===0.
Произведя перенос начала, можем привести уравнение к виду
C y 2+2Dx+F'==O. (7)
При D == О это уравнение приводится к виду М, rде q == !:...
с
(при этом должно быть q О, так как иначе линия L не содержала
бы точек). Наконец, при D =t= О уравнение (7)t т. е.
cy2+2D( Х+ ;6) ===0,
приводится переносом начала коорди ат к уравнению
C y 2+2Dx==0,
т. е. к уравнению вида (111). Здесь можно считать, что отличный
от нуля коэффициент р в правой части уравнения (111) п о л о..
ж и т е л е н (в противном случае можно было. бы повернуть
систему координат на уrол 11, т. е. поменять знаки у х и у).
Контрольные вопросы
1) Напишите формулы, аfIалоrичные (1), которые выражают
координаты х', у' через х и у.
2) В какую точку О' нужно перенести начало координат,
чтобы от уравнения (5) (А =;6 Ot С =#= О) перейти к уравнению (6)?
3) Приведите уравнение (6), в котором Числа А, С, F* имеют
. одинаковые знаки, к уравнению (I)t т. е. найдите а и Ь.
Задачи
.. ..
940. Напишите фурмулы перехода от системы (о; eJ, е2)
к системе (О; ё., ё 2 ), получающейся поворотом на ;уrол а, если:
п ЭЛ ) ) n
(d ) , ,., . б) а == . в ,.., == .................. r а == ..........
а .6 ' (4 t \,N 4 ' 2 ·
941. На какой .уrол ЦУЖНО по.вернуть систему кoqрдинат, что-
бы в следующих ,уравнениях не соде.ржалось произведения ко-
ординат:
3) ху бх+4у==О;
б) эх 2 +.2ху + у2 + 2х....... 2у...... 6 == о;
в) зх 2 + 2ху + 5у2 ....... 4х .......6у == о;
,r) х2+2v1з Зу2+5===0;
д) х 2 ....... бху + 9у 6х + 2у == О?
.238
942. Приведите к каноническому виду (т. е. виду (I) (V))
уравнения следующих линий BToporo порядка:
а) xy 6x+4y==0;
б) 3x2 4xy+3 2+2x 2Y 16==0;
в) х 2 +4ху+4у 2x+4==O;
r) x2 4xy+4y2 2x+4y 8==O;
д) х 2 6xy+9y2 +2x 6y+ 1 ==0;
е) ....... зх 2 ....... 4ху у2 2х + 1 == о.
943. Докажите, что уравнение (IV) определяет объединение
двух пересекающихся прямых.
944. Докажите, что уравнение (У) определяет объединение
двух параллельных прямых (совпадающих при q == О).
75. ЭЛЛИПС
Линии BToporo порядка, уравнения которых приводятся к ви-
ду (IV) или (У) (см. теорему предыдущеrо пункта), называются
расnадающu'м'UСЯ; каждая из них представляет собой объеди-
нение двух прямых (различных или совпадающих). Линии (1),
(11), (111) нерасnадающuеся.
О п р е Д е л е н и е. Линия, уравнение которой приводится
к виду (1), называется эллиnсо'м'.
При а==Ь уравнение (1), т. е. х 2 +у2==а 2 , определяет окруж-
ность радиуса а с центром в начале координат. В дальнейшем
мы будем paCCl\-tатривать эллипсы, у которых а =1= Ь; можно считать
(если нужно, поменяв ролями х и у), что а> Ь.
И3 уравнения (1) видно, что эллипс симметричен относитель-
u __
но каждои И3 осе и координат, а начало координат является
ero центром симметрии. Ось абсцисс пересекает эллипс (1) в двух
точках А, В, расстояние между которыми равно 2а. Отрезок АВ
называется большой осью эллипса. Ось ординат пересекает эл-
липс (1) в двух точках С, D, расстояние между которыми рав-
но 2Ь. Отрезок CD малая ось эллипса. При рассмотрении
эллипса (1) вводят еще величину с, определяемую И3 равенства
а 2 == Ь 2 + с 2 . (1)
у
в
А
х
х
D
Рис. 202
Ри с. 203
239
На рисунке 202 проведены отрезки CF 1 , СР 2 , имеющие длину а
и являющиеся rипотенузами прямоуrольных треуrольников с ка-
тетами Ь и с. Точки Р 1 И Р 2 называются фокусами эллипса. С ни-
ми связаны основные rеометрические свойства этой линии. Чис-
с
ло Е ==......... называется эксцентриситетом эллипса.
а
т е о р е м а 1. Для произвольной точки М эллипса отрез-
ки MF 1 и MF 2 (называемые радиусами-векторами) имеют длины
IMF I I ==a EX, IMF 2 1 ==а+ех, (2)
zae х абсцисса точки М (рис. 203).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в уравнении (1) обе части умно-
жить на ь 2 , а затем заменить Ь 2 на a2 c2, то уравнение перепи-
шется в виде
х 2 + с 2 + у2 === а 2 + с: х 2 . (3)
а
Отсюда получаем два равенства
(x c?+y2===( a х)2, (х+с)2+ у 2==( а+ х)2,
т. е.
I мр 112 == (а Ех)2, 1 м Р21 2 == (а + ех)2.
Следовательно,
I м F 11 == I а ЕХ 1, I м F 21 == I а + ех 1.
(4)
Так как координаты точки М удовлетворяют уравнению (1), то
1, Т. е. 'хl a. Кроме Toro, 8== < 1, и потому каждое из
а а
чисел а ЕХ, а + ЕХ положительно. Следовательно, соотноше-
ния (4) переписываются в виде (2).
т е о р е м а 2. Эллипс есть .множество всех точек, для кото-
рых сумма расстояний до фокусов равна 2а:
'МР 1 1 + IMF 2 1 ==2а.
Д о к а з а'т е л ь с т в о. Если точка М принадлежит эллип-
су, ТО в силу (2) равенство (5) выполнено.
Обратно, пусть М точка, для которой выполнено равенст-
во (5); докажем, что М принадлежит эллипсу (1). Для этоrо за-
пишем соотношение (5) в виде IMF 2 1 ==2a IMF11 и возведем
;-
ero в квадрат:
(5)
IMF212 IMFI12 4a2== 4a 'МР 1 1.
Подставляя в полученное равенство значения
,МР 112 ==(x с)2 + у2, 'МР 2 1 2 ==(х+ с)2 +у2
--
и еще раз возводя в квадрат, после упрощения находим:
с 2 х 2 +а 4 == а 2 х2 + а 2 с 2 +а 2 у2.
Наконец, заменяя здесь с 2 на а 2 Ь 2 , получаем (1).
240
х
у
l
d 2
d ,
N
Рис. 204 Рис. 205
О п Р е Д е л е н и е. Прямая d l , заданная уравнением Х==7'
и прямая d 2 , заданная уравнением х== , называются директ-
8
рисамu эллипса (1). Директриса d t считается соответствующей
фокусу F I (с; О), а директриса d 2 фокусу F 2 ( с; О).
т е о р е м а 3. Точка М в том. и только в том случае при..
надлежuт эллипсу, если отношение ее расстояний до фокуса и
до соответствующей директрисы равно Е.
Д О К а з а т е л ь с Т в о. Пусть точка М принадлежит эллип..
су и [MN] перпендикуляр к директрисе d l (рис. 204). Тоrда
I ( а ) а IMF11
IMF 1 ==a eX==E -; x , IMNI ==7 X' т. е. IMNI е.
Обратно, пусть точка М (о которой неизвестно, принадлежит
IMF11
ли она эллипсу) удовлетворяет соотношению IMNI Е, т. е.
IMF.I ===е IMNI ===e(f x) ==a ex. Возводя в квадрат, полу-
чаем IMFI12==(a ex)2, т. е.
(x c)2+y2== (a х)2.
Это соотношение совпадает с (3), а потому и с (1). Следователь..
но, точка М принадлежит эллипсу.
Для фокуса Р 2 и директрисы d 2 рассуждения аналоrичны.
О п р е Д е л е н и е. Прямая, имеlощая с эллипсом только
одну общую точку, называется касательной к эллипсу.
т е о р е м а 4. Пусть М прОUЗ80льная точка эллипса. Бис..
сектриса У2Ла, смеЖНО20 с уzлоAt между радиусамu"вектора.Чll
[MF)] и [MF 2 ], является касательной к эллипсу.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 1 указанная биссектриса,
тоrда L 1 === L 2 == L 3 == L 4 (рис. 205). Следовательно, точка F',
симметричная фокусу F 1 относительно прямой 1, лежит на пря..
мой F 2 M и удовлетворяет условию IF 2 F'1 == IF 2 MI + IMF'I ==
== 1 F 2 M 1 + 1 MF 11 == 2а. Если теперь N произвольная отличная
от М точка прямой l, то IF1NI == IF'NI, и потому IF1NI + IF 2 NI ==-
== 1 F' NI + I F 2 NI > I F 2 F' 1. Следовательно, I F1NI + I F 2 NI > 2а,
241
т. е. точка N н е при н а Д л е-
ж и т эллипсу. Итак, прямая l имeer
с ЭЛJIИIIсом ТQЛько одну общую точку М
.-
и потому является касательнои.
Доказанную теорему можно
интерпретировать как «оптиче-
ское свойство» эллипса. Вообра-
зим, что в фокусе F 1 помещен
.-
точечныи источник света, а сам
Рис. 206 эллипс является «зеркальным»,
т. е. луч света может от Hero отражаться по закону «уrол паде-
ния равен уrлу отражения» (причем уrол падения и уrол отра-
жения понимаются как уrлы между направление луча и каса-
тельной, проведенной в точке падения). Теорема 4 показывает,
что луч света, идущий от источника Рl, отразившись от эллипса,
попадет во второй фокус F 2, т. е. все лучи «сфокусируются»
В точке F 2 (рис. 206). Это обстоятельство и послужило причиной
Toro, что точки F 1, F 2 назва ны «фокусами,>.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что для любоrо эллипса эксцентриситет е мень-
ше единицы. Чему равен эксцентриситет окружности?
2) Докажите, что длина любоrо радиуса вектора IMFII, IMF 2 1
не превосходит а+с, но не меньше a c.
3) Докажите, что директрисы проходят вне эллипса.
Задачи
945. Плоскости (х и не перпендикулярны между собой.
Докажите, что ортоrональная проекция окружности, лежащей
в плоскости (Х, на плоскость р представляет собой эллипс.
946. В эллипсе проведены параллельные между собой хор-
ды (рис. 207). а) Докажите, что середины этих хорд лежат на
одном отрезке PQ, проходящем через центр эллипса. б) ДOKa
жите, что касательные к эллипсу, проходящи,е через точки' Р
и Q, параллельны проведенным хордамt. в) Пусть [MN]........ та из
проведенных хорд, которая проходит через центр (диа.м-етр эллип-
Рис. 207
Ри с. 208
242
са). Докажите, что середина любой хорды, параллельной PQ,
принадлежит диаметру [MN] (рис. 208). Таким образом, диамет-
ры [MN] и [PQ] равнопра.вны. Их называют соnряженным,u
дuам,етрам,и эллипса.
947. Пусть [MN] и [PQ] сопряженные диаметры эллипса
(СМ. предыдущую задачу). Проведем через концы каждоrо диа-
метра касательные, параллельные друrому диаметру (рис. 208).
Докажите, что площадь параллелоrрамма, образованноro этими
касательными, равна 4аЬ,. rде а и Ь длины. полуосей эллипса.
948. В окружности проведены два перпендикулярных диа
метра. Докажите. что при ортоrональном проектировании (за..
дача 945) они переходят в два сопряженных диаметра эллипса.
949. Докажите, что большая ось эллипса наибольший ero
u
диаметр, а малая наименьшии.
950. а) Изrотовлены два равных шкива Е It Е2, rраница каж-
доrо из которых представляет собой эллипс. Шкивы шарнирно
укреплены в точках Р, Q, являющихся фокусами эллипсов, при..
чем расстояние I PQ t равно большой оси. Докажите, что эти
шкивы MorYT вращаться, все время соприкасаясь в одной точке
(эллиптическая передача, рис. 209).
б) Докажите, 'что если провести общую 'касательную эллип
сов, проходящую через -их точку соприкосновения, то эллипсы
будут симметричны относительно этой касательной.
951. Обозначим через С 2 окружность радиуса 2а с цент..
ром F 2 . Докажите. что если NE С 2 , то ось симметрии точек N
и Р. является касательной к эллипсу. Обратно, если 1---;--- каса..
тельная к эллипсу, то точка N, симметричная фокусу FI отно-
сительно 1, принадлежит окружности С 2 (рис. 210).
952. Даны фокусы эллипса и точка М, иринадлежащая эллип-
су. Постройте касательную ,1( эллипсу, проходящую через М.
,953. Даны фОКУСbl эллипс.а 'О :ero больш'ая ось. Точка М ле-
жит вне эллипса. Постройте касательные, ;'проходяЩ'ие через М.
954. Даны' фокусы 'Эллипса И ero бол.ышая ось. Постройте
касательные :х этому 'эмип.су, ..паIJаллеЛ1ьные данной I п,рямой.
[,
. Р,ILC. 209
Рис: 210
243
955. Через точку Мо (хо; Уо), принадлежащую эллипсу (1),
проведена биссектриса уrла F.MoF2 между радиусами вектора-
ми. Докажите, что она пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой
х==е 2 хо.
956. Докажите, что уrловой коэффициент касательной к
эллипсу (1), проходящей через точку Мо (хо; уо), принадлежащую
- Ь 2 хо
эллипсу, равен --Т---.
а УО
957. Точка М() (хо; Уо) принадлежит эллипсу (1). Докажите,
что касательная к эллипсу, проходящая через точку Мо, имеет
хх
уравнение а: + У;': === 1.
958. В эллипсе проведены сопряженные диаметры [MiV]
и [PQ] (см. задачу 946, в). Докажите, что если точка М имеет
координаты хо, Уо, то одна из точек Р, Q имеет координаты .
( . ........ ЬХО )
Ь' а.
959. Докажите, что сумма квадратов длин двух сопряженных
диаметров эллипса равна 4 (а 2 + ь 2 ). .
960. Найдите длины двух сопряженных диаметров эллипса,
если известно, что уrол между ними равен <р.
961. Две касательные, проведенные из точки М к эллипсу,
перпендикулярны. Докажите, что ОКРУЖН9СТЬ Q с центром М.
проходящая через точку Fl, пересекается с окружностью С 2 (см.
задачу 951) в двух диаметрально противоположных точках
окружности Q. Выведите отсюда, что IMFI12+ IMF212==4a 2 .
962. Докажите, что д иаrонал ь описанноrо BOKpyr эллипса
пря моуrольника равна 2 v a2 + Ь 2 .
963. Из внешней точки М проведены к эллипсу две каса..
тельные; А 1 и А 2 точки касания. Докажите, что уrлы Р.МА 1
и F 2 MA 2 конrруэнтны.
964. а) Докажите, что линия, подобная эллипсу, является
эллипсом. б) Докажите, что два эллипса в .том и только В TOlvf
случае подобны, если их эксцентриситеты равны.
76. rИПЕРБОЛА
О п р е Д е л е н и е. Линия, уравнение которой приводится К
виду (11), называется rиперболой (см. теорему п. 74).
Из уравнения (11) видно, что rипербола симметрична отно-
сительно каждой из осей координат, а начало координат являет-
ся ее центром симметрии. Ось абсцисс пересекает rиперболу
в двух точках А, В, расстояние между которыми равно 2а.
Отрезок АВ называется действительной ОСЬЮ rиперболы. Ось ор"
динат не пересекает rиперболу (11); эту ось называют .мни.мой
ОСЬЮ rиперболы. Таким образом, rипербола состоит из отдель-
ных кусков (<<ветвей»), расположенных справа и слева от мнимой
оси (рис. 211). Для rиперболы (11) вводят еще величину с:
244
На рисунке 211 изображен
прямоуrольник со сторонами
2а и 2Ь, вписанный в окруж"
насть радиуса с. Точки Р 1 И F 2 ,
В которых эта OKPY>I{HOCTb пере..
сеКает действительную ось, на..
зываются фокусами rиперболы.
Число Е ===..i!.... эксцентриситет
с
rиперболы. Заметим, что в слу-
чае эллипса было е < 1, а здесь
Е> 1. Изображенный на РИСУН"
ке 211 прямоуrольник называ-
ется асимптотическим nРЯМОУ20льнико,М, rиперболы, а прямые,
на которых лежат диаrонали этоrо прямоуrольника, называются
асимптотами rиперболы.
Следующие четыре теоремы выражают свойства rиперболы,
аналоrичные свойствам эллипса. Доказательства мы не приво-
дим.
Т е о р е м а 1. Для произвольной точки М, лежащей на пра-
вой ветви 2ипер60ЛЫ (рис. 212), радиусы-векторы [MF 1 ] и [МР 2 ]
имеют .длины
с 2 == а 2 + ь 2 .
х
Рис. 211
IMF 1 1 ===ЕХ..........а, IMF 2 1 ==ех+а;
для точки М', лежащей на левой ветви,
1М' F II === а ----- ЕХ, 1 М' F 21 == ----- а ----- ЕХ.
Т е о Р е t а 2. ruпербола есть множество всех точек, для Ко-
торых разность расстояний до фокусов равна + 2а:
I MF11 IMF 2 1 === + 2а
(знак «+» соответствует левой ветви, а знак «-----» правой).
ДиреI{ТРИСЫ rиперболы определяются теми же уравнеНИЯl\ЛИ
а а
X== , x==----- , что и в случае эллипса.
f. Е
у y I d l
..... ,.
о х
rиС'. 212
N
I
I
I
Рис. 213
245
у
Рис. 214
Рис. 215
т е о р е м а 3. Точка М в том и только в том случае принад..
лежит 2иперболе, если отношение ее расстояний до фокуса и
до соответствующей директрисы равно Е (рис. 213).
О п р е Д е л е н и е. Прямая, не параллельная ни ОДНОЙ из
асимптот и имеющая с rиперБOJIОЙ только одну общую точку,
называется касательной к rиперболе.
(Прямые, параллеJJьные асимптотам, также пересекают rипер-
болу в одной точке, но касательными не являются.)
т е о p м а 4. Пусть М nроизвольная точка 2иперБОАЫ.
Биссектрuса У2ла м,ежду радиусами-векторами (MF 1 ] и [MF 2 ]
является касательной к 2иnерболе (рис. 214).
Эта теорема выражает «оптическое свойство» rиперболы:
лучи, исхоДящие от точечноrо источника, расположенноrо в од-
ном фокусе, после отражения от rиперболы кажутся исходящими
из друrоrо фокуса (рис. 215).
Т е о р е м а 5. Пусть l касательная к 2иперболе, Мо..........
точка касания, а М 1 и М 2 точк;и пересечения прямой 1 с асимп..
тотами (рис. 216). ТОсда: а) Мо середина отрезка М 1 М 2 ;
б) площадь треУ20ль-ника ОМ 1М2 (llаэываеМО20 aCUMn7;oTU'le-
ским треУ20льником) не зависит от выбора касательной ирав"
на аЬ.
у
Доказательство этой
теоремы намечено в задачах
971 976.
Контрольные вопросы
. х 1) Докажите, что для rипер-
болы е> 1.
2) Докажите, что прямая,
параллельная асимптоте, но
не совпадаlощая с ней, пересе-
кает rиперболу только в одной
точке.
246
Рис. 216
2 у2 х 2 у2
3) rиперболы 2== 1 и -::r""""" b 2 1 называются сопря-
а Ь а
женныМ,u. Докажите, ЧТО1 у сопряженных rипербол одни и те же
асиМПТОТЫ.
4) Докажите, что длина любоrо радиуса вектора tMF11, IMF 2 1
не меньше с а.
Задачи
965. Докажите, что линия, определяемая уравнением ху == а
(rде а =1= О), является rиперболой. Найдите ее фокусы, асимптоты
и дЛину действительной оси.
966. Докажите, что rипербола целиком расположена в одной
паре вертикальных уrЛi)В между асимптотами.
967. Обозначим через С 2 окружность радиуса 2а с цент-
ром F 2, И пусть касательные, проведенные к этой окружности из F 1,
касаются ее в точках P 1 , Р 2 . Докажите, что если точка N Е С 2
отлична от P 1 , Р 2 , ТО ось симметрии точек N и F 1 является каса-
тельной к rиперболе. Обратно, если 1 касательная к rипербо-
ле, то точка N, симметричная фокусу Р. относительно 1, принад-
лежит окружности С 2 , но отлична от Р. и Р 2 . Что собой пред
ставляет ось симметрии точек F. и Р. (или FI И Р 2 )?
968. Даны фокусы rиперболы и точка М, при надлежащая rи-
перболе. Постройте касательную к rиперболе, проходящую че-
через М.
969. Даны фокусы rиперболы и ее действительная ось. Точ-
ка М лежит между ветвями rиперболы. Постройте касательные
к rиперболе, проходящие через точку М.
970. Даны фокусы rиперболы и длина действительной оси.
Постройте касательные к rиперболе, параллельные данной. пря-
u
мои.
971. Через ,точку Мо (хо; уо), принадлежащую rиперболе, про-
ведена биссектриса уrла F IMoF 2 (Т. е. касательная). Докажите,
а 2
что она пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой .
хо
972. Докажите, что уrЛОВ0Й коэффициент касательной к rи-
перболе, проходящей через точку Мо (Хо; Уо), принадлежащую
ь '2 ХО
rиперболе, равен .
973. Точка м:е;о; Уо) принадлежит rиIt рболе. Докажите,
что касательная к rипер.б.ОJlе, проходящая через точку Мо,
ХоХ УОУ
имеет уравнение -"2 -"2== 1.
а ь
974. Докажите, что. касательfl13 к- rиперболе, проведенная
через точку Мо (Хо; Уа), принадлежащую этой rиперболе, пере-
секает асимптоты в точках М. (х.; УI) и М 2 (Х2; У2), rде
а Ь а ----Ь
X I У · X 2 Y2
Х У , l x У ' У , ·
____ ____ ' X4 + Хо + УО
а Ь/ а' Ь, а. Ь а. Ь
2.47
у 975. Докажите утверждение
а) теоремы 5.
976. Используя следствие 2, .
приведенное в п. 63, докажи- .
те утверждение б) теоремы 5.
977. Прямая l пересекает
rиперболу в двух точках ;\1,
Х N, а ее асимптоты в точках Р
и Q. Докажите, что \МРI =:
INQI.
978. К rиперболе проведена
касательная [, а через центр О
прямая [', па раллельная l.
Докажите, что прямая [' про-
Рис. 217 ходит в той паре вертикальных
уrлов, образованных асимптотами, rде лежит мнимая ось. Выве-
дите отсюда, что при а Ь rипербола не имеет двух перпендику-
ЛЯрНblХ между собой касательных.
979. Обобщите на случай rиперболы результат задачи 961.
980. К rиперболе, удовлетворяющей условию а> Ь, проведе-
ны четыре касательные, две из которых параллеЛЬНbI между
собой, а две друrие перпендикулярны им. Дока жите, ч то диа-
rональ получающеrося прямоуrольника равна 2 ,) а 2 Ь 2 .
981. Обобщите на случай rиперБОЛbl результат задачи 963.
982. Докажите, что две rиперБОЛbl в том и только в том
случае подобны, если их эксцентриситеты равны.
983. Рассматривается система эллипсов и rипербол с общими
фокусами (софокусные ЭЛЛИПСbl и rиперболы, рис. 217). Дока-
жите, что эти линии образуют ортоzоналыil0o CUCTe.Aty, Т. е. для
любой точки М эллипс и rипербола, проходящие через М, имеют
u
в этои точке перпендикулярные касательные.
984. Докажите, что произведение расстояний от точки Л1,
взятой на rиперболе, до асимптот не зависит от положения
а 2 Ь 2
точки М на rиперболе и равно 2 2 .
а +Ь
985. Докажите, что если точка М, взятая на rиперболе, не..
оrраниченно удаляется (по rиперболе) от точки О, то расстояние'
от 'М дО одной из асимптот стремится к нулю, т. е. М «асимпто-
тически приближается» к одной из прямых -: + ==0, -: o
(этим и объясняется название асимптота).
986. Линия BToporo порядка L задаН,а уравнением
Ах2+2Вху+ Cy2+2Dx+2Ey+F==O.
а) Докажите, что если прямая х==хо (параллельная оси
ординат) пересекает L в двух точках, то отрезок с концами
248
в этих точках (хорда линии L) имеет своей серединой точ-
ку Мо (хо; уо), rде
Вхо+Е
уо == с ·
б) Докажите, что если существует хотя бы одна прямая, па..
раллельная оси ординат, которая пересекает L в двух точках,
то существует бесконечно MHoro таких прямых и середины всех
получающихся хорд (параллельных оси ординат) лежат на одной
прямой, имеющей уравнение Вх+ Су+Е==О.
987. Пусть L линия BToporo порядка и 1 прямая. До-
кажите, что если существует хотя бы одна прямая, параллель..
ная 1, которая пересекает L в двух точках, то середины всех
хорд линии L, параллельных 1, лежат на одной прямой 1*. Пря-
мая 1* называется осью линии L, сопряженной прямой 1.
988. Пусть L rипербола и l прямая, проходящая через
ее центр и не параллельная ни одной из асимптот; через 1*
обозначим ось, сопряженную прямой 1 (задача 987). Докажите,
что в свою очередь l является ОСЫ9, сопряженной прямой 1*.
В связи с этим 1 и [* наЗblвают соnряженным'И ОСЯм'и rиперболы.
989. Докажите, что в системе координат (непрямоуrольной),
осями которой служат две сопряженные оси rиперболы, уравне-
t2 у2
ние этой rиперболы имеет вид 2 Ь 2 == 1-1, rде 1-1 == + 1.
990. Докажите, что из двух сопряженных осей rиперболы
одна проходит в одной паре вертикальных уrлов, образованных
асимптотами, а друrая в друrой паре.
991. Докажите, что в системе координат, осями которой
служат асимптоты rиперболы, уравнение этой rиперболы имеет
вид ху==а (rде а*О).
77 . ПАРАБОЛА .
О п р е Д е л е н и е. Линия, уравнение которой приводится
к виду (111), называется параболой (см. теорему п. 74).
Парабола (111) симметрична относительно оси абсцисс, ко..
торую называют также осью параболы. Точка Р( ; о) назы-
вается фокусом параболы (111), а прямая х== ----- ее директ-
рисой.
т е о р е м а 1. Для, произвольнои точки М параболы отрезок
MF (радиус-вектор) имеет длину
IMFI ==х+ .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Имеем (рис. 218):
249
d у
N
.... Е О
2
Рис. 218
х
IMFj2 ' (x ) 2 +у2==
==(x ) 2 +2рх==(х+ ;) 2.
Следовательно (поскольку X O
дЛЯ любой точки параболы),
IMFI==I х+ I ==х+ ; .
т е о р е м а 2. Точка М 8
том и только в ТО-М случае при..
надлежит параболе, если рас..
стояние от М до фокуса рав..
но расстоянию от М до директ"
рисы.
д о к а з а т е л ь С Т В о. Пусть М принадлежит параболе и
[MN] перпендпкуляр к директрисе (рис. 218). Тоrда
MN'I ==-Х+Т=== IMFI.
Обратно, пусть точка М (х; у) (о которой неизвестно, при..
надлежит ли она параболе) равноудалена от фокуса и директрисы:
IMFI == IMNI, Тоrда lMFI2== 1MN1 2 , т. е.
(x ) 2 +у2== (х+ ) 2.
Упрощая, получаем. у2 == 2рх, т. е. М. принадлежит параболе.
3 а м е ч а н и е. Утверждение этой теоремы можно записать в
виде : II е, rде е == 1. Иначе rоворя, парабола обладает
свойством, которое для эллипса описывается теоремой 3 п. 75, а
для rиперболы теоремой 3 п. 76, но эксцентриситет е параболы
следует считать равиым. е- Д и н и Ц е. Объединяя указанные
теоремы, получаем- следующее утверждение.. Пусть d nря-мая
и. F ........... не nринадле3JOащая. eй точка.. Обозначи-м через L м,но-
жество всех точек, для которых отношение расстояния tMFI "
расстоянию IMNI от точки М до nря-мой d равно заданно-му поло-
жительному числу Е. Tozaa при е < 1 линия L представляет
собой эллипс, при Е> 1:......... zuперболу, а при е == 1 параболу
(рис. 219). Если (при неизменном положении прямой d и точки F)
увеличивать Е. приближая осо к,единице ТО эллипс, вы:rяrиваясь,
будет все более приближаться к параболе изнутри; если же умень-
шать Е, приближая ero к единице, то rипербола будет, охватывая
параболу, все более приближаться к ней (вторая ветвь rиперболы
«уходит в бесконечность»).
О п р е Д е л е н и е. ПрямаЯ t имеющая с параболой только oД-
250
ну об.щую точку и не параллельная ее оси, называется касательной
к параболе.
(Прямые, параллельные оси, также пересекают параболу в
одной точке, но касательными не являются.)
т е о р е м а з. Пусть М пРОUЗ80льная точка параболы u
[MN] перпендuкуляр к директрисе. Биссектриса 1 У2ла NMF
является касательной к параболе (рис. 220).
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Так как IMFI === IMNI (теорема 2) и 1
биссектриса уrла N МР, то точки F и 'N симметричны относительно
прямой 1. Если теперь М' Е 1 отличная от М точка, то \М' F\ ===
== \M'NI > IM'N'I (рис. 220), Т. е. IM'FI =1= IM'N'I, и потому М' не
принадлежит параболе. Таким обр-азом, l имеет с параболой
единственную общую точку М и потому является касательной.
Доказанная теорема выражает «оптическое свойство» пара..
балы: лучи, исходящие от точечноrо источника, расположенноrо
в фокусе, после отражения от параболы пойдут параллельно оси,
т. е. параЛJiIельным пучком (рис. 221). На этом свойстве основано
устройство параболичеСКО20
зеркала. Оно имеет .форму по-
верхности, получающейся при
вращении параболы BOKpyr ее
оси (параболоид вращенuя рис.
222), и OTpa aeT лучи от точеч..
Horo источника, помещенноrо в
фокусе, в виде параллельноrо
Пучка (прожектор, бытовой ре..
флектор). Наоборот, пучок лу..
u U
4еи, параллельныи оси пара..
балоида, соберется после отра..
Жения от параболическоrо зер
Кала в одной точке фокусе
(телескоп"рефлектор). .
251
Рис. 219
Рис. 220
Рис. 221
Рис. 222
о;
т е о р е м а 4. Любые две параболы
подобны между "Собой.
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Пусть LI И
L 2 две параболы, F 1 И F 2 их фокусы,
а d I И d 2 директрисы. Расстояние от фо..
куса F 1 до директрисы d I обозначим через
Р 1, а расстояние от F 2 до d 2 через Р2.
При rомотетии g с центром F 1 И коэффи..
циентом k ==!!!.. парабола Lt перейдет в
р, .
параболу L' с тем же фокусом FI и ди-
ректрисой d', которая является образом
прямой d 1 при rомотетии g (рис. 223). У па-
раболы L' расстояние от фокуса до дирек
/.' трисы равно kPl ==Р2, как и у параболы L 2 .
Следовательно, существует движение Т,
которое переВQДИТ d'и FI в d 2 И F 2 . При
этом движении парабола L' переходит в
L 2 . Таким образом, композиция fog rOMO-
тетии g и движения f (представляющая
собой п о д о б и е) переводит параболу
Ll в L2' т. е. L 1 и L 2 подобны.
Контрольные вопросы
Рис. 223
1) Докажите, что длина I MFI любоrо радиуса-вектора
параболы (111) не меньше .
2) Чему равна ДJIина хорды параболы, проходящей через
фокус и перпендикулярной оси? .
3) Докажите, что любая прямая, проходящая через фокус и
не совпадающая с осью, пересекает параболу в двух точках (ка-
кой бы маленький уrол с осью эта прямая ни составляла).
4) Что представляет собой множество точеl(, СИМl\1етричныХ
фокусу параболы относительно всевозможных ее касательных?
Задачи
. 992. а) В параболе проведены параJIлельные f\,1ежду собой
хорды. Докажите, что множество середин этих хорд представляет
собой JIУЧ 1, параллельный оси параболы.
б). Докажите, что касательная к параболе, проведенная через
начальную точку луча [, параллельна проведенным хордам.
993. Дан фокус параболы, одна ее точка Л1, а также .пуч,
исходящий из фокуса и не пrресекающийся с параболой.
а) Постройте директрису параболы. б) НаЙдите вершину парабо-
лы (т. е. точку пересечения параБОЛЬi с осью). в) Постройте каса-
тельную к параболе, проходящую через точку М.
252
994. Даны фокус и директриса па...
раболы. Постройте касательные к пара...
боле, проходящие через точку, задан
ную во внешней области параболы.
995. Даны фокус и директриса пара- ,
болы. Постройте касательную к napa
боле, параллельную данной прямой.
996. Через точку Мо (Хо; Уа), принад
лежащую параболе (iII), проведена ка-
сательная. Докажите, что она пересе-
кает ось абсцисс в точке с абсциссой
Х == Хо. а ОСЬ ОрДИНат в точке ( о; У;) . Рис. 224
997. Докажите, что уrловой коэффициент касательной к
параболе (111), проходящей через точку мо (хо; уо), принадле
жащую параболе, равен J!.....
уо
998. Точка Мо (Ха; Уо) принадлежит параболе (111). Докажите,
что касательная к параболе, проходящая через Мо, имеет ypaBHe
иие УоУ == рх + px
999. Докажите, что сли две касательные, проведенные из
точки . М к параболе (111), перпендикулярны между собой,
то М принадлежит директрисе. Справедлива ли обратная Teo
рема?
1000. Докажите, что линия У == ах 2 + Ьх + с (а =#= О) является па-
раболой. Найдите ее фокус, директрису и вершину.
1001. На рисунке 224 изображены две' системы парабол с
общим фокусом F и общей осью. Докажите, что эти линии
образуют ортоrональную систему (см. задачу 983).
1002. Через точку на параболе проведены касательная и пря
мая, параллельная оси параболы. Докажите, что в систе..
ме координат (непрямоуrольной), в которой осями служат эти пря
мые, уравнение параболы имеет вид у2 == 2qx (или х 2 :=: 2qy),
rде q=l=O.
78. СЕЧЕНИЯ КОНИЧЕСКОй ПОВЕРХНОСТИ
Пусть 1 ось вращения и а прямая, пересекающая 1 в
точке О и образующая с 1 острый уrол <р. Поверхность Q, получаю
щаяся при вращении прямой а BOKpyr оси 1, называется кониче
екой поверхностью с осью [, вершиной О и уrлом <р между осью и
образующей (рис. 225). Прямые, представляющие собой различные
положения вращающейся прямой а, называются образующими
коническо поверхности Q. Плоскость, перпендикулярная оси 1
и проходящая через точку О, разбивает поверхность Q на две час
ТИ, симметричные относительно О и имеющие одну общую точку О;
они называются двумя п6ламu конической поверхности.
253
Рис. 225
Рис. 226
т е о р е м 8. Пусть Q коническая поверхность с осью 1,
вершиной О u У2ЛОм. .ер между осью и образующей. Всякая
плоскость сх, не проходящая через О, пересекает Q по эллипсу,
параболе или 2иперболе........ смотря по тому, будет ли У20Л 'ф
между плоскостью а, и осью 1 больше, равен или меньше <р.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существует сфера S, касающаяся по-
верхности Q по окружности т ,н плоскости а в точке F (рис. 226).
Обозначим через плоскость .окружности т, а через d линию
пересечения плоскостей а и . П;rсть тепе.рь М ........ произвольная
точка линии пересечения Q n iI Н :rочка пересечения окруж-
ности т и образующей а, цроходящей через точку М. Црямые
MF и МН являются касаr.еЛЬJ:lы,М,и к сфере S (каждая из них
имеет с этой сферой только одну общую точку). Следовательно,
расстояния от точки М до точек касания равны между собой:
IMFI == IMBI.
НаконеЦ"проведем из тлчки,М перпендикуляр (МР] к плоскости
и перпендикуляр [MN] к прямой d (лежащий в плоскости (1).
Тоrда (МР) 11 1, и потому уrол нмр равен q>, откуда вытекает,
что 1МР' == 'МВ' cos <р. Далее, так как [МР] перпендикуляр к
плоскости р, то L РН М ........ линейный уrол двуrранноrо уrла,
обр-азованноrо при пересечении плоскостей а и 'f}, и потому этоТ
yrол _равен + ф, 8 .POO Р MN -равен 'Ф. Следовательно, MP I :::
== IM'NI COS '1'. 'Из полученных равенств
IM.FI'== .M.HI, I.MPI ==JMHI cos ер, IMPI == IMNI cos Ф
вытекает, что 'IMF\ cos ==IMNI соs'Ф, т. е. : 't ==е, rAe
254
е == cos 'Ф . Из этоrо следует, что Q n сх, представляет собой линию
cos q>
BToporo порядка с фокусом F и директрисой d. При е < 1 (т. е.
ф> ер) эта линия будет эллипсом, при е == 1 (т. е. 'Ф == <р) ........ пара-
болой, .{]ри е> 1 (т. е. 'Ф < ср) ........ rиперболой.
Контрольные вопросы
1) При вращении прямой й, параллельной [, BOKpyr оси 1
получается цилиндрическая поверхность. Докажите, что пере-
сечен.ие цилиндрической поверхности с плоскостью, не парал-
лельной 1, представляет собой эллипс.
2) Докажите, что сечение конической поверхности Q плос-
костью а в том и только в том случае представляет собой
окружность, если плоскость а перпендикулярна оси вращения 1.
3) Что может представлять собой пересечение Q n а, если
плоскость а, проходит через вершину О конической поверхности Q?
Задачи
1003. Докажите, что для любоrо з'аданноrо эллипса Е су-
ществует плоскость а, пересекающая заданную коническую по-
верхность Q по эллипсу, конrруэнтному Е.
1004. Докажите, что плоскость а, не проходящая через вер-
шину О конической поверхности Q, пересекает Q по rиперболе,
параболе или эллипсу в зависимости от Toro, существуют ли
2, 1 или О обр-азующих поверхности Q, параллельных а.
1005. Задана коническая поверхно(!ть Q с уrлом q> между осью
и образующей. Докажите, что для любой rиперболы а, у которой
уrол между асимптотами не превосходит 2q>, существует плос-
кость а, пересекающая Q по rиперболе, конrруэнтной а.
1006. Плоскость а, пересекает коническую поверхность Q по
rиперболе' а. Илоскость а', параJl-л-мьная а и' проходящая через
вершину поверхности Q, пересекает Q по паре образующих
й, Ь. Докажите, что асимптоты rиперболы G пар'аллельны прямым
а и Ь. Выведите ОТСI<9Д'З, что для любой rиперболы, получающейся
при пересечении поверхности Q с плоскостью, уrол между
асимптотами не преВQСХОДИТ 2q>.
1007. Заданы коническая поверхность Q и парабола Р.
Докажите, что существует' плоскость' а, пересекающая Q по
параболе, конrруэнтной Р.
1008. Докажите, что каждая пола конической поверхности
Является rраницей выпуклоrо тела являющеrося результатом
вращения BOKpyr 1 одноrо из острых уrлов, получающихся при
пересечении прямых а и [.
1009. Эллипс разбивает плоскость на- две области: внутреннюю
(оrраниченную) и внешнюю. Докажите, что внутренняя область
Эллипса является выпуклым множеством.
255
1010. Парабола разбивает плоскость на две области: внутрен-
нюю (содержащую фокус) и внешнюю. Докажите, что внутренняя
область параболы выпукла.
101 1. rипербола разбивает плоскость на три области; ДВе
из них (содержащие фокусы) называются внутренними областями,
оrраниченными одной и друrой ветвью rиперболы. Докажите, что
каждая из внутренних областей является выпуклым множеСТВО t.
1012. Эллипс п6лучен пересечением плоскости а с цилиндри
ческой поверхностью. Докажите, что эксцентриситет этоrо эллипса
равен cos 'Ф, rде 'Ф уrол между плоскостью а и осью цилиндриче
ской поверхности.
79. ПОНЯТИЕ О ПРОЕКТИВНЫХ СВойСТВАХ
Пусть ct некоторая плоскость, которую УС&i'10ВИМСЯ называть
плоскостью проекциЙ 1 а О не принадлежащая ей точка
центр nроекции. Если 1\1 некоторая точка пространства, а
М' точка пересечения прямой ОМ с плоскостью а, то М'
будем называть nроекцией точки М из центра О на пло кость а
(рис. 227). Получающееся отображение М---+М' называется цeHT
ральным nроектированием.
Можно рассматривать и образ некоторой фиrуры К при
центральном проектировании: образы всех точек М Е К состаВЛЯIОТ
фиrуру 1(' с а, которая и представляет собой образ фиrуры К.
Пусть, например, т окружность, а О точка, лежащая на
прямой, проходящей через центр окружности т и перпендикуляр
ной ее плоскости. Найдем образ окружности при центральном
проектировании ее из центра О на некоторую плоскость а.
Коrда точка М пробеrает окружность ln, проеКТИРУlощая прямая
ОМ описывает коническую поверхность Q с вершиной о. Следова-
тельно, чтобы найти образ окружности т при центральном проек"
тировании из точки О на плоскость а, нужно найти пересечение
Q n а. При различных положениях .fIлоскости а это пере сечение
может быть (по теореме предыдущеrо пункта) эллипсом, rнпербо-
лой или параболой. Таким образом, эллипс, 2uпербола и парабола
.At02yr быть получены как образы окружности при центральном.
nроектировании. Из этоrо следует, что если мы найдем некоторые
свойства фиrур, сохраняющиеся при цeHT
ральном проектировании, то из свойств ок-
ружности можно будет получить некото-
рые свойства эллипса, rиперболы, парабо
лы (и наоборот).
Рассмотрим сначала вопрос об образе
прямой при центральном проектировании.
Пусть р прямая, не проходящая через
точку о. Для любой точки М Ер проек
ТИРУЮlцая прямая ОМ расположена в пло-
скости р, проходящей через точку О и
256
Рис. 227
Рис. 228
'\
Рис. 229
прямую р, и потому образ точки М расположен на прямой р',
представляющей собой пересечение плоскости с плоскостью
проекций а (рис. 228).
Было бы, однако, неправильным утверждать, что образом
прямой Р при центральном проектировании из точки О на плос-
кость сх. является прямая р'. Если мы возьмем такую точку М 1 Ер,
что (OM 1 )llp', то обнаружим, что прямая ОМ. не пересекается с (х
(рис. 229), т. е. точка М 1 Н е и м е е т о б раз а при центральном
проектировании. Образ точки М 1 как бы «находится в бесконеч
насти», поскольку, чем ближе к М 1 находится точка М Е р, тем
более удаляется ее образ М' по прямой р'. Далее, пусть М*
такая точка прямой р', что (OM*)llp. Тоrда (ОМ*) не пересекается
с р, т. е. на прямой р не существует такой точки, которая проекти-
руется в М*. Можно сказать, что М* является образом точки,
лежащей на прямой р «в бесконечности», поскольку, чем дальше
расположена на прямой р точка М, тем ближе ее образ М' Ha
ходится к М*.
Условимся считать, что на каждой прямой имеется одна
несобственная (<<бесконечно удаленная») точка. Если прямые q
и q' параллельны, но не совпадают, то их несобственные точки
совпадают (q и q' как бы «пересекаются В бесконечности»).
Если же q и q' не параллельны, то их несобственные точки раз-
личны. Прямая, пополненная одной несобственной точкой, назы-
вается nроек,ТИ8НОй прямой. Ясно, что две различные проективные
прямые, расположенные в одной плоскости, всеrда пересекаются
в одной точке: обычной (собственной) или несобственной. При
сделанных соrлашениях мы с полным основанием можем сказать,
что образом прямой р при центральном проектировании из точки О
является прямая р' (рис. 228, 229): надо только считать р и р'
про е к т и в н ы м и прямыми. В самом деле, при этом проектиро-
9 Заказ 924
257
вании точка М 1 Ер переходит в несобственную точку прямой р';
дале'е, точка М* Ер' является при рассматриваемом проектиро-
вании образом несобственной точки, принадлежащей прямой р.
Таким образом, центральное проектирование является в 3 а и м-
н О О Д Н О З н а ч н ы м отображением проективной прямой р на
проективную прямую р'.
Присоединяя к плоскости несобственные точки всех содержа-
щихся в этой плоскости прямых, мы получаем nроеКТU8НУЮ
плоскость. Все несобственные точки, присоединяемые к плоскости,
соста вляют одну несобственную ( «беСI<онечно удаленную»)
прямую этой плоскости. Центральное проектирование плоскости р
на плоскость (Х (которые обе не проходят через центр О) является
в 3 а и м н о о Д н о з н а ч н ы м отображением при условии, что к
плоскостям (Х и р присоединяются несобственные точки (т. е. эти
плоскости рассматриваются как проективные). На рисунке 230
показаны плоскости (Х, р и плоскость ', параллельная и про-
ходящая через о. Точки, лежащие на прямой ' П(Х, не являются
образами собственных точек плоскости . Эта прямая образ
н е с о б с т в е н н о й прямой плоскости р.
О п р е д е л е н и е. Взаимно однозначное отображение f
. проективной плоскости на себя называется проективным преобра-
u
зованием, если каждая проективная прямая, лежащая в этои
плоскости, снова переходит в некоторую проективную прямую.
Свойства фиrур, которые сохраняются при любом проективном
преобразовании, называются проективными свойствами или проек-
TивHbL.Ми инвариантами (от слова invariant неизменный, не
меняющийся).
Из сказанноrо выше вытекает, что если (Х произвольная
плоскость в трехмерном пространст"е, g движение TpexMepHoro
пространства, а р центральное проектирование плоскости g ((Х)
на плоскость (Х (из точки О, не принадлежащей плоскостям
Рис. 230
258
<Х, g (а)), то КОМПОЗИЦИЯ f==pog представляет собой про е к т и в-
Н О е п р е о б раз о в а н и е ПJIОСКОСТИ а. В самом деле, и
движение g, и проектирование р переводит каждую прямую
(проективную) снова в прямую, а потому и их композиция обла-
дает тем же свойством. Можно доказать (мы это доказательство
здесь не приводим), что справедливо и обратное утверждение:
л ю б о е проективное преобразование f плоскости а можно пред..
ставить в виде композиции pog, rде g движение, а р цент-
ральное проектирование плоскости g (а) на плоскость а.
Простейшие проективные инварианты можно получить непос-
редственно из определения проективных преобразований. На..
прцмер, так как прямая переходит при проективном преобра-
зовании в прямую, то свойство нескольких точек располаzаться
на одной прямой сохраняется при любом npоективном преобра-
зованиu, т. е. является проективным инвариантом. Далее, если
точка А принадлежит прямой /, то точка f (А) принадлежит
прямой f (l), и потому принадлежность точки некоторой прям'ОЙ
сохраняется при любом проекти8НОМ преобразованuи, т. е.
является проеКТИ8НЫ.м. инвариантом.
КОНТрОЛЬНЬtе вопросы
1) Точка О расположена на ПрЯl\'10Й, проходящей через центр
окружности К и перпендикулярной ее плоскости. Плоскость
а не содержит точку О, а параллельная ей плоскость а', про-
ходящая через О, не имеет общих точек с окружностью К.
Что представляет собой проекция окружности К на плоскость а?
Ответьте на тот же вопрос, если плоскость а' имеет две общие
точки с окружностью К; одну общую точку.
2) На плоскости даны параллельные прямые 11, 12, 13.
Плоскость а не параллельна этим прямым. Докажите, что при
центральном проектировании на плоскость а (из точки О, не
принадлежащей ни одной из плоскостей а, ) прямые 11, 12, 13
перейдут в три прямые, пересекающиеся в одной точке (которая
называется точкой схода и является образом общей несобствен-
ной точки прямых /1, 12, /з).
3) Докажите, что: а) композиция двух проективных преоб-
разований плоскости а также является проективным преоб-
разованием; б) если f проективное преобразование плоскости а,
то ' 1. также проективное преобразование. Эти факты означают,
что множество всех проективных преобразований плоскости а
представляет собой zpynпy преобразованuй. Соrласно эрланrен-
ской проrрамме Клейна эта rруппа определяет свою rеометрию-;
она называется проекти8НОЙ 2еометрией. В ней изучаются свой-
ства фиrур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях
(т. е. проективные инварианты).
9*
259
Задачи
1013. При аэрофотосъемке
плоскоrо участка местности
плоскость пластинки была в
момент съемки не параллельна
местности. На местности имеют-
ся несколько не параллельных
между собой прямолинейных
автомобильных маrистралей. На
снимке края каждой автома-
rистрали оказались изображен-
ными в виде сходящихея линий.
Докажите, что все точки схода
u .
распо.пожены на однои прямои
(которая называется линией
перспективы).
1014. Во что может перейти отрезок при центральном про-
ектировании? Можно ли утверждать, что свойство фиrуры быть
отрезком является проективным инвариантом?
1015. В плоскости р задан произвольный выпуклый четырех-
уrольник Q. Докажите, что можно подобрать плоскость а,
и точку О таким образом, чтобы при проектировании из точки О
на плоскость а четырехуrольник Q перешел: а) внекоторый
параллелоrрамм; б) в прямоуrольник; в) в квадрат.
1016. В плоскости а заданы два произвольных выпуклых
четырехуrольника. Докажите, что существует проективное
преобраэование плоскости сх., при котором первый из этих
u
четырехуrольников переходит во второи.
1017. Докажите, что на рисунке 231 точки A I , А2, Аз, ...
u u
лежат на однои прямои.
1018. а) Треуrольники A I B 1 C I и А 2 В 2 С 2 расположены в не-
параллельных плоскостях сх. и р. Докажите, что если прямые
AIA2, 8,82 и C 1 C 2 пересекаются в одной точке S (рис. 232)
s
Рис. 231
/ 1// ///I////////h
z //'/////////////
//////1///
////////
,1/1/1"
//,
, I
Рис. 232
260
и прямые А.Вl и А 2 В 2 пе-
.
ресекаются в некоторои точ-
ке М, прямые A.C 1 и А 2 С 2
В точке N, прямые B1C. и
В 2 С 2 В точке Р, то М,
N, Р лежат на одной прямой.
б) Докажите, что это ут-
верждение остается справед-
ливым, если треуrольники
A 1 B 1 C 1 и А 2 В 2 С 2 располо-
жены в одной плоскости (тео-
рема Дезар2а, рис. 233).
в) Сформулируйте теоре-
му Дезарrа для случаев,
коrда одна, две или три из
точек S, М, N, Р являются
несобственными.
1019. Пусть а некоторая плоскость и 1* ее несобствен
ная прямая. Проективное преобразование плоскости а, переводя-
щее 1* снова в эту же прямую, называется аффинным nреобра..
зованием плоскости а. Дайте определение аффинных преобразова..
ний, не использующее понятий «несобственная прямая> и «проек
тивное преобразование».
1020. Докажите, что аффинные преобрззования плоскости
образуют rруппу преобразований. rеометрия, определяемая этой
rруппой (в соответствии с эрланrенской проrраммой), называется
аффинной 2ео.метрией.
1021. Докажите, что середина отрезка переходит при аффин-
ном преобразовании в середину отрезка.
1022. Докажите, что центрально-симметричный мноrоуrольник
переходит при аффинном преобразовании снова в центрально...
u
симметричныи мноrоуrольник.
1023. На плоскости введена система координат. Каждая точка
М (х; у) переходит при отображении f в такую трчку М' (х'; у'), что
N
Рис. 233
{ х' ==ах+Ьу+с,
y'==px+qy+z,
(1)
причем определитель
== ab l *o.
р q
Докажите, что f аффинное преобразование. (Можно доказать,
что л ю б о е аффинное преобразование плоскости записывается
в таком виде.)
1024. Используя факты, сформулированные в предыдущей
задаче, докажите, что: а) отношение длин двух параллельных
отрезков сохраняется при аФФИНI:IОМ преобразовании; б) если
261
А В С D АВ kCD а А , В ., С , D '........
, , , та кие точки, что === . , '"
.
их образы при аффинном преобразоваНИIl, то А' В' == kC' D';
в) если Q........ ПрОИЗlЮльный параллелоrрамм (или треуrольиик,
или произвольный миоrруrольник), а Q' ero образ при аф-
финном преобразовани.и (1), то S(Q')==I I.S(Q) (в' сан-зм с этим
I I назыв-ают коэФФици'ентом изменения площадей).
102-5.. Докажите, что если АВ С и А'В'С' два ItроизвQЛЬ"
ных треуrолъника плоскости а, то существует аффинное прео-
бразование, переводящее первый из этих треуrольников во
u
второи.
1026. Если А, В середины qснований трапеции., М точка
пересечения ее диаrоналей, а N точка пересечения продол-
жений боковых сторон, то А, В, М, N лежат на одной
прямой. Докажите это утверждение, сначала рассматривая
равнобедренную трапецию, а затем применяя аффинное преобра-
зование.
1027. Через точку М, лежащую на диаrонали [АС] парал-
лелоrрамм-а ABCD, проведены две прямые, параллельные ero
сторонам. Докажите, что два из четырех получившихся парал-
лелоrраммов, вершинами которых я'вляются точки В и D, имеют
равные площади. Для доказательства сначала рассмотрите квад-
рат, а затем примените аффинное отображение.
1028. Докажите теорему о пересечении медиан треуrольника,
рассматривая сначала равносторонний треуrольник, а затем
применяя аффинное отображение.
80. AHr АрмоничеСКОЕ ОТНОШЕНИЕ
Оп р е Д е л е н и е. Пусть А, В, М три различные точки, рас..
положенные на одной прямой. Число k, удовлетворяющее
условию АМ == kM В назы;вается. nfXJ.стьш отношение.м. этих' точек и
обозначается через (А, В; М). ДЛЯ четырех точек одной прямой
(А в. М)
число (А: в; N) называется аН2ар.моническu,М, отношением этих
точек и обозначается через (А, В; М, N).
ДЛЯ Toro чтобы можно было рассматрива.ть ан'rаРМ0ническое
'10 u U
отношение четырех точек на про е к т и в и о и прямои, примем
следующее соrлашение: если Р несобственная точка, то
(А, В; Р) == ........ 1 (это становится понятным, если учесть, что при.
неоrраниченном удалении точки Р ПО прямой АВ отношение
(А, В; Р) стремится к ........1). Это позволяет определить (А, В; М, N)
в случае, если одна из точек М, N несобственная. Далее, для
любых с о б с т в е н н ы х точек справедливо соотношение
(М, N; А, В)==-(А, В; М, N); условившись считать, что это соотноше-
ние сохраняется и в случае если одна из точек несобственная,
262
мы -сможем '0iмределить (А. В; М. N).
если А или В несобственная
точка.
т е о р е м а 1. Анzармонuчес..
кое отношенuе """четырех точек
сохрлняется при центральном про..
, eKтupoвaHии.
Д о к а з .а т е л ь С Т В o. По те..
ореме синусов JdM8eM (рис. 234):
IAM 1== 10М! siп lal
siп I I '
I ANI == I.ON! sin 1)'1
sin I I
IMBI == !O 1 siI1 I I
Sln l'фl '
Рис. 234
IBNI == IONI sin Iбl
sin 1$1
':Учитывая направление отсчета yrJloB (например, иа рис. '234
11:< -6 <-О), имеем:
(А, В . М) == S n ct : S П I .
, S ln Ч' Sln 'Ф '
и потому
(А в. N)== S 11 '"?l : s!п б
" Sln q> SIП 'Ф '
I
(А в. М N)== (A, В; M) SiD а . s.in у
, " (А, В; N) sin 13 · sin. .
(1 )
Пусть тепе,рь р' друr,ая прямая и А', В', М', N' точки ее
.пересечения с лу.чами ОА., OB't OM tt ON. Тоrда аналоrично
получаем:
(А ' В '. м , N ' ) == sin ct · sin V ==. (А В . М Ы)
, " . А. . s:. .,.,' .
, SJn t-' SJn u
Случаи, коrда какая либо из точек А, В, М, N (или
А', !3', М', N') несобственная, можно рассмотреть отдельно.
Ч sin а sin у
исло . : . называется анrармоническям отношением
. sln Sln u
четверки прямых, проходящих через пдну точку (рис. 234). В силу
(1) анrармоническое отношение четверки точек, лежащих на одной
прямой, равно анrармоническому отношению четверки прямых,
проходящих через эти точки.
О п р е Д е л е н и е. Четверку точек А, В, М, N, лежащих на
ОДНОЙ прямой, называют 2аРм'онuческ.ой если (А, В; М, N)== t.
Аналоrично определяется rармоническая четверка прямых.
Например, если А, В, М, N rармоническая четверка и
М середина отрезка АВ, то N несобственная точка прямой
263
АВ и обратно: если N........
несобственная точка, то
М середина [АВ].
т е о р е м а 2. Пусть
Рl, Р2, рз, р4....... nроектив..
ные nрЯAtые в плоскости,
А 12, А 13, А 14, А 2з , А24, А З4
их точки пересечения (рис.
235) и М, N, Р....... точки
ne ресече1ШЯ ПрЯМЫХ А 12А 34,
А lзА 24, А 14А 23. Т ozaa /Саж..
дая из четверок (A I4 , А 2з ;
М, N), (А 24 , А 13; М. Р),
Рис. 235 (А з4 , А 12 ; Р, N) 2apACo"
ничеекая.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, коrда
р.IlР2, Рзl1Р4 (рис. 236). В этом случае точки А 12 И А З4 несобственные,
и потому (А 12 А з4 ) несобственная прямая. Следовательно, точки
N и Р также несобственные. Так как М середина отрезка
А 1 .А2З, а N несобственная точка, то в рассматриваемом случае
четверка (А 14, А 2з ; М, N) rармоническая. Но если при централь-
ном проектировании несобственная прямая перейдет в (А 12АЗ4),
то вместо рисунка 236 получим рисунок 235. А так как в силу
теоремы 1 свойство четверки точек быть rармонической coxpa
няется при центральном проектировании, то и в любом случае
четверка (А 14, А 2з ; М, N) rармоническая. Это верно и для остальных
четверок, так как все три четверки равноправны (достаточно
поменять ролями Р 1, Р2, Р3, Р4).
Доказанную теорему 2 наз ывают т орем'ой о nолном. четырех..
стороннике. 'Точки A12, А lз , A 14 , А 2з , А24, А34 (точки пересечения
с т о р о н Рl, Р2, Р3, Р4) называются вершинами полноrо четырех
сторонника, прямые А 12 А з4 , АlзА24, А I4 А 2з диа20наляАси, а
М, N, Р диа20наЛЬНblМ,и точками. Таким образом, на каждой
диаrонали полноrо четырехуrольника две вершины и две диаrо
"
/
/
I
"
" \ .4з
несоост8енная прямая
А '2
Рис. 236
264
нальные точки образуют rармоническую четверку. Из теоремы
следует также, что с полным четырехсторонником связаны
rармонические четверки прямых: (А з4 А I4 ), (А з4 А 2з ), (А з4 М), (А з4 N)
и др.
Контрольные вопросы
1) Докажите справедливость соотношения (А, В; М, N)==
==(М, N; А, В) дЛЯ любых собственных точек А, В, М, N.
2) Какие изменения произойдут в доказательстве теоремы
1, если N несобственная точка?
3) К чему сводится утверждение теоремы 2 в случае, если
pl, Р2, Рз, р. являются сторонами трапеции?
Задачи
1029. Используя тот факт, что любое проективное преоб..
разование плоскости можно представить в виде композиции
движения пространства и центральноrо проектирования, докажи-
те, что анrармоническое отношение четырех точек, лежащих на
u u
однои прямои, является проективным инвариантом.
1030. Точка В образ точки А при некоторой инверсии;
прямая АВ пересекает окружность инверсии в точках
М, N. Докажите, что А, В, М, N rармоническая четверка
точек.
1031. То ки М, N взяты на прямой АВ таким образом, что
[СМ) биссектриса BHYTpeHHero, а [CN) внешнеrо уrла при
вершине С треуrольника АВС. Докажите, что А, В, М, N
rармоническая четверка точек.
1032. Прямые [1, [2 пересекаются в точке о; точка А, лежащая
в плоскости этих прямых, не принадлежит ни одной из них. На
прямой т, пересекающей [1 и 12 В точках LI, L2, взята такая точка
М, что (L 1 , L 2 ; А, М) равно заданному числу k. Докажи-
те, что множество всех получающихся таким обр.азом то-
чек М представляет собой (если к нему добавить О) некоторую
прямую.
" 1033. Через вершину А 12 полноrо четыреХСТОРОННИI<а и
диаrональную точку М (C M. обозначения теоремы 2) проведена
прямая, пересекающая рз, Р4 В точках С, D. Докажите, что
(А 12, М; С, D) rармоническая четверка.
1034. Дайте интерпретацию результата предыдущей задачи
для случая, коrда полный четырехсторонник образован: а) сто-
ронами пара.плелоrрамма; б) сторонами трапеции.
1035. В четырехуrольнике ABCD через О обозначена точка
пересечения прямых AD и ВС, а через М, N такие точки,
взятые на прямых ВС и AD, что (В, с; о, М) и (А, D; О, N)
rармонические четверки. Докажите, что прямая М1У проходит
265
через точку пересечения диаrоналей АС, BD и через точку
пересечения прямых АВ и CD.
1036. Точки М, N середины сторон '(AD] и [ВС] выпуклоrо
четырехуrольника ABCD. Докажите, что если прямая MN про-
ходит через точку пересечения прямых АВ и CD (или через
точку пересечения диаrоналей), то ABCD трапеция.
1037. а) Прямая l параллельна отрезку АВ; взяты точки
С Е 1 и О Е (ВС); через D обозначена точка пересечения прямых
1 и (ОА), через Р точка пересечения диаrон.алеЙ четырехуrольни-
ка ABCD. Докажите, что прямая .ОМ делит отрезок АВ П0полам.
б) Дан отрезок АВ и проведена прямая 1, параллельная (АВ);
с помощью одной линейки (без использования циркуля) раз-
делите [АВ] пополам. в) Дан отрезок АВ и указана ero середина К;
с помощью одной линейки постройте прямую, проходящую
через заданную точку С и параллельную (АВ).
1038. Даны три точки А, В, М, лежащие на одной прямой.
С помощью одной линейки постройте такую точку N, что
(А, В; М, N) rармоническая четверка.
1039. В плоскости начерчен пар.аллелоrр,ам.М. До ажите, что
с помощью одной линейки можно разделить ЛЮ.бой заданныIй
отрезок пополам.
1040. В плоскости начерчены пара.ллелоrрамм и прямая 1.
Докажите, .что с помощью одной линейки можно чер.ез заданную
точку М провести прямую, п.арЗЛJIельную 1.
1041. В плоскости начерчена прямая 1 и дана точка М.
Докажите, что, имея линейку с nараллельнымu краямu, можно
через М провести прямую" параллел.ЬНУЮ 1.
1042. Докажите, что, имея л.инейку с параллельным,и краями,
можно разделить заданный отрезок АВ на п конrруэнтных
частей (п заданное натуральное число)..
1043.. Даны три точки А, В, С, лежащие на DДИОЙ прямой.
Докажите, что, имея линейку с пар.аЛ.llель.ными краями, можно
найти точку DE(AB), дЛЯ КОТDРОЙ IABI==JCDJ..
1044. в плоскости даны прямая J и -r.-Qчка М. Докажите, что,
и.мея линейку с параллельными краями, МОЖНО через М провеtТИ
прямую, перпенднкупярную ,l.
1045. В плоскости начерчена окружность и указан ее центр.
Докажите, что, имея о д н () с т о р о 11 Н Ю Ю линейку, можно
.выnолнить все постр.оения., указанные ,8 задачах i 037
1 045.
Швейцарский reoMeTp Штейнер доказал в прошлом
столетии, что если в плоскости начерчена окружность и ука-
u u
зан ее центр, то с помощью QдносrОр.оннеи JJвнеики можно
выполнить любые построения, осуществимые ЦИРХУJIем и линей-
кой.
26.
81. ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ
т е о р е м а 1. В плоскости а заданы линия L 'nредставляю-
щая собой ЭАЛUnС 2uперболу или nараболу и не принадлежащая
ей точка Р. Через Р nроведена nроизвольная прямая ' nере-
се/(ающая L в двух точках А, В, u взята такая точка MEl, что
(А, В; Р, М) 2ар,М,оническая четверка. Множество всех таких
точек М (получающихея при различных положениях прямой 1)
расположено на одной прямой р (рис. 237).
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Достаточно доказать эту теорему для
о к р у ж н о с т и. В самом деле, мы можем так выбрать плос-
кость , окружность К с р и точку О, что при центральном про-
ектировании И3 точки О на плоскость (Х окружность К перейдет в
линию L. Так как СВОЙСТВО четверки точек быть rармонической
сохраняется при центральном проектировании, то из справедли-
вости теоремы 1 для окружности будет вытекать справедливость
ее для линии L.
Итак, о,усть данная линия окружность К, лежащая в
плоскости , и через точку Q К про водится К окружности К
секущая 1, пересекающая ее в точках А, В (рис. 238). Нужно до-
казать, что точка М, составляющая с А, В, Q rармоническую
четверку А, В, Q, М, располаrается (при различных положениях
секущей 1) на неКОТОРQЙ прямой q. Для доказательства вовь.мем
точку 01, лежащую на перпендикуляре к плоскости , ПрОXiодя-
щем через центр окружности К, и возьмем плоскость al, парал-
лельную (OlQ) и не проходящую через 01. При централън(}м
проек'1'ИрОВ3НИИ И3 точки 01 на плоскость СХl окружность 1(
перейдет в линию LI (эллипе, rиперболу или параБОJlУ), а точка
Q перейдет В некоторую несоБС'lвенную точку Q* плоскости (XI.
Как и прежде, достаточно д<Указать теорему для линии L 1 И
секущих к ней, проведенных из точки Q*.
Рис. 237
Рис. 238
267
Но секущие к L., проходя-
щие через Q*, пар а л л е л Ь-
н ы между собой (рис. 239), а
точка М, для которой четверка
А, В, Q*, М является rармони-
ческой, представляет собой с е-
р е Д и н у отрезка АВ. Таким
образом, дело свелось к доказа-
тельству Toro, что середины па-
раллельных между собой хорд
линии L. лежат на одной пря-
мой, а этот факт действительно
имеет место (задача 987).
О п Р е Д е л е н и е. Прямая
р, существование которой дока-
зано в теореме 1, называется
полярой точки Р относительно
линии L; в свою очередь Р называется полюсом прямой р от-
носительно линии L. Если точка Р при н а Д л е ж и т L, то ее
полярой условимся считать к а с а т е л ь н у ю к L, проходящую
. через точку Р.
Т е о р е м а 2. Пусть L нераспадающаяся линия 8TOPOZO
порядка (эллипс, zипербола или парабола), P t , Р2......... две точки
в ее плоскости, а Рl, Р2 поляры этих точек. Если Р2 проходит
через точку P t , то р. проходит через точку Р 2 .
Д О К а з а т е л Ь с Т В о. Пусть l секущая, проходящая
через Pt и пересекающая L._» точках А, В (рис. 240). Проведем
прямую Р 2 А, и пусть D BTopaftee .очка пересечения с линией L,
а С вторая точка пересечения прямой Р 2 В с линией L. Пусть,
далее, М, N .......... такие точки, что А, D, Р2, М И В, С, Р 2 , N rapMo-
нические четверки. Тоrда М, N принадлежат поляре Р2 точки Р2,
Q
----....... ...
" """ ./ --- 1\
/ /' I \
/ / ,
/ J
Рис.' 239
Рис. 240
268
и потому ПО условию (MN) (т. е. Р2) проходит через P I . Так как
все три прямые АВ, MN, CD пересекаются в одной точке (см.
задачу 1035), то точка P 1 , принадлежащая прямым АВ и MN,
принадлежит также прямой CD. Если теперь 5, Т такие
точки, что А, В, P 1 , S И D, С, P 1 , Т rармонические четверки,
то точки 5, Т принадлежат поляре PI точки P I . Прямые AD, ВС,
ST пересекаются в одной точке (по той же причине), т. е. Рl про-
ходит через точку Р 2 .
Т е о р е м а 3 (принцип двойственности). Пусть (л) некото"
рая теорема относительно точек и прямых nроектuвной плос-
кости. ТОёда справедлива также «двойственная» теорема (л.*),
получающаяся из (л) заменой в ее формулировке лова «точка»
словом «прямая» и. наоборот, а словосочетания «прямая про..
ходит через точку» словосочетанием «точка лежит на прямой».
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Возьмем нераспадающуюся линию
BToporo порядка L и заменим каждую точку Р ее полярой р, а
каждую прямую ее полюсом. Тоrда совокупность нескольких
точек и прямых, удовлетворяющих теореме (л), заменится сово-
купностью прямых и точек, удовлетворяющих теореме (л *); при
этом если Р 1 ЕР2, то Р 2 ЕРI (теорема 2), Т. е. принадлежность точек
и прямых сохраняется. Это и доказывает справедливость
u
принципа двоиственности.
3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что к а с а т е л ь-
н а я к линии L переходит при указанной замене в ее т о ч к у к а-
с а н и я и наоборот. Это поз'воляет несколько обоrатить содер-
u
жание принципа двоиственности, рассматривая не только точки и
прямые, но также одну какую-либо нераспадающуюся линию
.
BToporo порядка L и заменяя каждую точку линии L соответ"
ствующей касательной (и наоборот). Например, возьмем следую-
щую т е о р е м у Б Р и а н ш о н а: пусть al, а2, аз, а4, а5, а6
шесть прямых, касающихся нераспадающейся линии BToporo
порядка L; тоrда диаrонали т, n, р по.пучающеrося описанноrо
шестиуrольника, т. е. прямые
812845,82з856, 8 з4 В 61 , пересека-
ются в одной точке (рис. 241).
Применяя принцип двойствен..
ности, получаем т е о р е м у
П а с к а л я: если А lА 2 АзА.АsA6 ,
u
шестиуrольник, вписанныи в
нераспадающуюся линию вто-
poro порядка, то «диаrональные
точки» М, N, Р, получающие-
ся при пересечении прямых
AIA2 и А4А5, А 2 А з и АБА6,
А з А 4 И А6А 1, лежат на одной
прямой (рис. 242). Достаточно
доказать только о Д н у из этих
теорем (вторая будет справед-
269
й]
Рис. 241
Рис. 242
лива «по двойственности»); доказательство теоремы Паскаля
намечено в задачах 1060, 1061.
Контрольные вопросы
1) Поляра р точки Р относительно линии L пересекает
эту линию в точках R и s. Докажите, что PR и PS Kaca
тельные к L.
2) При инверсии относительно окружности L точка А переходит
в точку В. Докажите, ЧТt)' прямая ВС, перпендикулярная прямой
АВ, является полярой точки А относительно L.
3) Прямые а и Ь пересекаются в точке С. Докажите, что
если А и В......... полюсы прямых а и Ь относительно линии L,
то (АВ) поляра точки с.
Задачи
1046. В плоскости начерчена нерасп&д'ающаяся линия' BToporo
порядка L. Докажите, что с помощью линейки (односторонней)
можно построить: а) каеательные- к линии L, проходящие. через
точку М,, заданную во внешней области линии L; б) кзеатetrlь-
ную к линии L, проходящую через точку М, заданную на линии L.
1047. Докажите, что если а поляра точки А относительно
нераспадающейся линии BToporo порядка L, лежащей в плоскости
а . и '......... проективное преобразование плоскости а, то f (а) .........
поляра точки f (А.) относительно линии f (L).
1048. Докажите, что если точки А, В. С. D лежат на од-
ной прямой и- а, Ь, с, d поляры этих точек относительно
линии L, то анrармоническое отношение четверки точек А, В.
С. D равно анrармоническому отношению четверки прямых а,
270
Ь, с, d. Рассмотрите случаи,
коrда: а) L окружность; б) L
произвольная нераспадающая
ся линия BToporo порядка.
1049. А, В, С, D rармони
ческая четверка точек. Докажи
те, что и.х поляры (относительно
. u
некоторои нераспадающеися ли
нии BToporo порядка L) обра С
зуют r-армоническую четв рку А
прямых. Рис. 243
1050. Сформулируйте Teope
му, получающуюся с помощью
u
принципа двоиственности из теоремы о полном четырехсторон
нике (п. 80), и выведите из нее результат задачи 1035. .
1051. Сформулируйте теорему, ПО.[Iучающуюся из теоремы 1
u
этоrо пункта применением принципа двоиственности.
1052. Докажите, что, применяя принцип двойственности к
теореме Деэарrа (задача 1018,б), мы получаем теорему, обратную
теореме Дезарrа.
1053. Докажите, что, применяя принцип двойственности' к
теореме 2 этоrо пункта, мы снова получаем эту же теорему
1054. Пять точек AI, А2, Аз, А4, Аб принадлежат нераспадаю-
щейся линии BToporo порядка L, а точка А6 не принадлежит ей.
Докажите, что в этом случае заключение теоремы Паскаля места
не имеет (т. е. диаrональные точки М, N, Р не лежат на одной
прямой). Таким образом, зная пять точек линии L, мы можем с
помощью теоремы Паскаля однозначно определять, какие точки
принадлежат L, а какие не принадлежат. Это означает, что
ПЯТЬ точек линии 8TOPOZO порядка однозначно определяют эту
линию.
1055. Треуrольник АВС описан BOKpyr нераспадающейся ли-
нии BToporo порядка L. Докажите с помощью теоремы Паскаля,
что прямы,' соединяющие вершины этоrо треуrольника с точками
касания противоположной стороны с линией L, пересекаются в
одной точке (р,ис. 243).
1056. Сформулируйте теоремы, получающиеся из теоремы
Паскаля, если совпадают между собой: а) точки AI и А 2 ; б) точки
А 1 И А2, а также Аз и А 4'.
1057. Сформулируйте теоремы, двойств"енные результатам
зада ч 1055, 1056.
1058. Линия L (распадающаяся) ........ объединение пары прямых.
Сформулируйте и докажите для этой линии теорему Паскаля.
1059. а) В нераспадающуюся линию BToporo порядка L
вписан шестиуrольник А I А 2 АзА 4 А s А6. Через М обозначена точка
пересечения прямых А 2 А з и А6А 1, а через N точка пересечения
прямых А з А 4 и А5А6. Докажите, что (А,А5), (А 2 А 4 ), (MN) пере-
секаются в одной точке.
271
б) Сформулируйте двойственную теорему.
1060. Убедитесь, что для доказательства теоремы Паскаля
достаточно установить ее истинность для шестиуrольника,
вписанноrо в окружность.
1061. а) В окружность К вписан выпуклый шестиуrольник
А.А 2 А з А.А 5 А 6 . Докажите, что с помощью центральноrо проектиро-
вания можно получить эллипс К', в который вписа такой
шестиуrольник АfА АзА А5А6, что (ArA )II(A4A5) и (А Аз)II(А5А ). .
б) Докажите, что с помощью аффинноrо преобразования
можно эллипс К' и шестиуrольник А А2АзА4А5А6 превратить
в окружность К" и вписанный в нее шестиуrольник
A ' A A A A А6' t для KOToporo (A ' A2')II(A Ag) и (Aq АЗ')II-
II(AgAg).
в) Докажите, что в полученном шестиуrольнике (A1Af) 11
11 (Ag A ').
r) Убедитесь, что для шестиуrольника A ' Aq A А4' Ag Ag
справедливо заключение теоремы Паскаля, а потому оно
справедливо и для исходноrо шестиуrольиика А .А 2 А з А.АsA6.
rпaBaXll1
ИЗМЕРЕНИЕ rЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
82. ДЛИНА ОТРЕЗКА
При векторном изложении rеометрии длина отрезка опреде-
ляется с помощью скалярноrо произведения (СМ. п. 17). Можно
дать и друrое определение, эквивалентное этому. Если [АВ] HeKO
u ... . u v
торыи отрезок, а е единичныи вектор, направленныи вдоль пря
....
мой АВ (рис. 244), то существует такое число х, что АВ == хе;
TorAa Ixl и есть длина отрезка АВ. При таком определении видна
роль единицы изм,ерения: надо иметь вектор ё, имеющий длину 1.
Если вместо единичноrо вектора ё возьмем новый еди
иичный вектор ё' == kё (т. е. увеличим единицу длины в k раз), то
---+ 1.... Х"
дЛЯ любоrо вектора АВ получим AB==xe==x-те'== те', т. е.
длина отрезка АВ теперь будет равна 1;1 . Итак, при у в е л и ч е-
н и и единицы измерения в k раз длина каждоrо отрезка у м е н ь
ш а е т с я в k раз. Однако отношение длин отрезков не зависит
от выбора единицы измерения (если и числитель, и знаменатель
дроби : : уменьшатся в k раз, дробь не изменится).
Заметим, что скалярное произведение векторов з а в и с и т от
выбора единицы змерения. Это непосредственно видно из фор
мулы а 6 == 1 al 161 cos q>, которая показывает, что при увели..
чении единицы измерения в k раз скалярное произведен.ие умень"
шается в k 2 раз (поскольку длина каждоrо вектора уменьшается
в k раз). Тот факт, что при аксиоматическом (вейлевском) изло
жении rеометрии скалярное произведение считается з а Д a,H
н Ы м, означает, что при таком изложении единица измерения длин
предполаrается Ф и к с и р о в а н н о й. Всюду в дальнейшем
(не оrоваривая этоrо) мы также будем предполаrать, что единица
измерения фиксирована.
Следующие теоремы выражают основные свойства длины от-
резка. .....
(а). Длина любоrо отрезка АВ есть е :.
неотрицательное число.
. т (Р). Если отрезки АВ и CD конrруэнт
\ ны, то I А В I == I С D 1.
(у). Еми СЕ IABI, то IABI == 'АС' + IBCI.
273
.
А
...
в
Рис. 244
(6). Если [PQ] отрезок, принятый за единицу измерения,
то I PQ I == 1 . ,
.Свойство (а) называется н е о т р и Ц а т е л ь н О с т ь ю длины,
свойство ( ) и н в а р и а н т н о с т ь ю (оно показывает, что дли..
на отрезка не меняется при движениях, т. е. является инвариантом
rруппы движений), свойство (у) аддитивностью (addition
сложение).
Условимся длину отрезка АВ обозначать через 1 ([АВ]).
Функция 1 ([АВ]) задана на множестве всех отрезков, принимает
действительные значения и обладает свойствами (а), (р), (у),
(6). Можно доказать (см. задачи l062 l065), что 1 е Д и н
с т в е н н а я действительная функция, заданная на множестве
всех отрезков и обладающая этими свойствами.
'\.
Контрольные вопросы
1) Докажите эквивалентность двух определений длины отрез
ка, указанных в начале этоrо пункта.
2) Если [PQ] единица измерения длин, а [АВ] произволь
ный отрезок, то, последовательно откладывая на луче АВ от точки
А отрезки АА" A 1 A 2 , А 2 А з ,..., конrруэнтные fPQJ, мы после не-
скольких откладываний получим такую точку Ak, что В Е [AA k ].
Это утверждение в системе аксиом rильберта используется в
качестве одной из аксиом (аксиома Архимеда). Докажите, что на
основе вейлевской системы аксиом она может быть д о к а з а н а
как теорема.
3) Докажите, что длина отрезка обладает свойствами (а),
( ), (,,), (6).
Задачи
1062. Пусть [* ([АВ]) какая..либо функция, заданная на мно-
жестве всех отрезков и обладающая свойствами (а), ( ), (у),
(6). Докажите, что если [АВ] соизмерим с единицей изме
рения [PQ] (т. е. существует отрезок, укладывающийся целое
число раз в отрезке АВ и целое число раз в отрезке PQ
то 1* «ABD == 1 ([АВ]).
1063. Пусть [АВ] произвольный ззданный отрезок и е по
ложительное число. Докажите, что на прямой АВ существуют
точки М, N, обладающие следующими свойствами:
1) [AM]c[AB]c[AN]; 2) каждый из отрезков [АМ], [AN] соиз-
мерим с единицей измерения [PQ]; 3) 1([MN]) < Е.
1064. Докажите, что (при обозначениях задачи 1063)
1 ([AM]) 1 ([AB]) 1 ([AN]); 1 ([AM]) l.([AB]) 1 ([AN]);
" ([AB])-----l* ([A ])I <е.
1065. Используя результат задачи 1064, докажите, что для
любоrо отрезка АВ справедливо равенство 1* ({АВ])== l «АВ]),
274
Т. е. l е Д и н е т в е н н а я действительная функция, заданная на
множестве всех отрезков и обладающая свойствами (а), ( ),
(у), (6).
1066. Докажите, что функция 1* ([АВ))==(l ([АВ}))2 обладает
свойствами (а), ( ), (6), но не обладает свойством (1'). Этот
пример показывает, что без свойства (1') не будет справедлива
теорема единственности (см. задачу 1065).
1067. Фиксируем на плоскости прямоуroльную систему коорди"
нат, расположенную так, что отрезок PQ, принятый за еди..
ницу изме рения, параллелен оси абсцисс, и положим
[" QABD== \I x2+2y2, rде х, у координаты вектора АВ. Докажите,
что 'функция [* обладает свойствами (а), (у), (6) но не обла..
дает свойством (р), так что без свойства ( ) не будет справедлива
теорема единственности.
1068. Докажите. что если k положительное число, отличное
от 1, то функция Z*(rAB1)==k.Z(fAB1) обладает свойствами (а),
(р), (у), но не обладает свойством (6), так что и свойство (6)
нельзя вычеркнуть из списка основных свойств длины. (Свойство
(а) также нельзя вычеркнуть из списка основных свойств длины,
но доказательство этоrо факта очень непросто и использует
тонкие вопросы современной теории множеств.)
8З. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ мноrоуrОЛЬНИКА
Площадь фиrуры М будем обозначать через s(M). Функция s
обладает следующими свойствами, аналоrичными свойствам
длины.
(а.). ,Площадь s(M) любой фиrуры Мнеотрицательна.
(р). Если фиrуры М. и М 2 конrруэнтны, то s(M.) =='s(M 2 ).
(у). Если фиrура М разбита на две фиrуры М. и М 2 (т. е.
М. UM 2 ==M, причем М 1 И М 2 не имеют общих внутренних точек),
то s(M)==s(M.)+s(M 2 ).
(6). Если К квадрат, стороной KOToporo является единица
измерения длин, то s(K)== 1.
В этом и следующем пунктах.. речь будет и,nти о площади
м ноrоуrольнпков. Под мноrоуrольником будем ПОNимать фиrуру,
П.редставляющуюся в виде объединения конечноrо числа в ы п у к-
л ы х мноrоуrольников (см. п. ЗО); примеры мноrоуrольников
приведены на рисунке 245.
Рис. 245
275
Т е о р е м а с у Щ е с т в о в а н и я и е Д и н с т в е н н о с т и.
На м,ножестве всех .м.НО20У20льнuков существует, и притом ТОЛЬ1СО
одна, функция s, обладающая свойствам,и (ct), (р), (у), (6).
Доказательство будет проведено в этом и следующем пунктах.
Но прежде обсудим значение этой теоремы. В школьном курсе
rеометрии нет математическоrо определения площади; вместо Hero
дано лишь наrлядное пояснение. Теперь на основании сфор-
u
мулированнои теоремы такое определение можно дать.
О п р е Д е л е н и е. Площадью называется функция s, задан-
ная на множестве всех мноrоуrольников и обладающая свойствами
(а), (р), (у), (6); число s(M) называется площадью мноrоуrольника М.
(Вопрос о площадях более сложных фиrур рассмотрен в п. 85.)
Утверждения (а), ( ), (у), (6) называются аксиома.м.и площади.
Дальнейшие свойства площади (см. следующий пункт) MorYT
быть в ы в е Д е н ы из этих аксиом как теоремы. Заметим, что дока-
u "
заТeJ1ьства этих своиств, рассматривавшиеся в восьмилетнеи
школе, не были строrими и не только потому, что не было
точноrо определения площади. Ведь пока не доказано с у ..
щ е с т в о в а н и е функции s (площади), т. е. пока не установлена
н е про т и в о р е ч и в о с т ь аксиоматики (а), (р), (у), (6), мы
не уверены, что рассуждение, основанное на этих аксиомах,
вообще, что-либо «доказывает». Далее, если бы не было е д и н -
'С т в е н н о с т И, т. е. существовало более одной функции, об-
ладающей свойствами (а), ( ), (у), (6), то было бы неясно, какую
из них мы считаем «площадью». Теорема существования и единст-
венности устраняет неясности. Пусть, например, для вычисления
площади мноrоуrольника М мы разбили ero на треуrольники
и взяли сумму площадей получившихся треуrольников. Каждый
понимает, что при разных способах разбиения на треуrольники
мы получим о Д и н и т о т ж е результат. Но почему? В ШКQЛЬНОМ
курсе rеометрии ответа на этот вопрос не было. Теорема су-
ществования и единственности дает четкий ответ: при любом
разбиении мноrоуrольника М на треуrольники сумма их площадей
дает о Д н о 3 Н а ч н о определенное число s(M).
Д о к а з а т е л ь с т в о с у щ е с т в о в а н я. Фиксируем
прямоуrольную систему координат и для любоrо направленноrо
отрезка 1 с началом в точке А (XI; YI) и концом в точке В (Х2; У2)
положим:
Рис. 246
<1 (1) == .!.. I Х 1 У 1 1 . (1)
2 Х2 У2
Далее, пусть 11, 12,..., In стороны MHoroy-
rольника М, на которых выбраны такие
направления, что при движении в этом на-
правлении мы с л е в а видим точки, при-
надлежащие М, а справа не принадле-
жащие (рис. 246) (для мноrоуrольника с од-
ним rраничным контуром это дает об-
ход против часовой стрелки). Положим:
276
So (М)==о (11)+0 (12)+... +o(l п ). (2)
Мы докажем, что функция So (М) удовлетворяет аксиомам (а),
( ), (v), (6) (чем и будет установлено с у Щ е с т в о в а н и е).
Проверим, что выполнена аксиома ( ), т. е. если g ПРОИ3-
вольное движение, то So (g(M»==50 (М). Но любое движение плос-
кости можно представить в иде композиции следующих движе-
u u
нии: поворот BOKpyr начала координат, параллельныи перенос,
симметрия относительно оси абсцисс. Поэтому достаточно убе
диться, что при этих движениях 50 (М) не меняется.
При повороте , BOKpyr начала координат на уrол (Х точ-
ка (х; у) переходит в точку с координатами х COS (Х у sin сх.;
х sin (Х + у cos сх.. Следовательно, для направленноrо отрезка 1,
идущеrо от точки А (Хl; YI) к точке В (Х2; У2), имеем:
о (,(1» ==..!.. I XI COS сх. Уl s!n (Х Хl s!n а + У' cos q J .
2 Х2 cos (Х У2 SlП (Х Х2 SIП (Х + У2 COS (Х
Вычисляя этот определитель, убеждаемся, что о (, (1» == о (1),
и поэтому соrласно (2) So (,{M»==so (М).
Далее, пусть t параллельиый перенос на вектор р (а; Ь).
Точка (х;у) переходит в точку (х + а; у + Ь). Следовательно,
(1 (t (1))==+1 + Z +ZI ==(1 (I)+a (Y2 YI) b (X2 XI).
Учитывая, что для каждой вершины мноrоуrольника М число
входящих в нее отрезков контура равно числу исходящих
(рис. 246), мы находим 50 (t (M»==so (М).
Наконец, при симметрии f относительно оси абсцисс точка
(х; у)' переходит в точку (х; ...... у), и поэтому в силу (1)
(J (' (1)) == ...!... I хl У 1 I ' ..... J... I х 1 У 1 I == 0(1),
2 Х2 У2 2 Х2 У2
т. е. при этой симметрии о (1) меняет знак. Еще одно изменение
знака в формуле (2) происходит потому, что если на rpa-
ничном отрезке 1 мноrоуrольника л1 взято ну)Кное направление,
то при симметрии на отрезке f (1) получается направление
(рис. 247), противоположное тому,
которое он должен получить как у.
u
rраничныи отрезок мноrоуrольника
f (М). Поэтому 50 (! (М))== 50 (М).
ДЛЯ проверки аксиомы (,\,) заме
u
тим, что на линии, отделяющеи мно-
rоуrольники М I И М 2 (рис. 248), каж О х
дый отрезок 1 получает одно направ-
u
ление как rранич ыи отрезок MHoroy-
rольника М 1 И про т и в о п о л о ж-
н о е как rраничный отрезок мно-
rоуrольника М 2 . Следовательно, в
сумме 50 (М 1 )+50 (М 2 ) каждый отре-
З0К отделяющей линии можно не Рис. 247
277
учитывать. Остаются те стороны мно-
rоуroльников М 1 И М2, которые как раз
составляют rраницу мноrоуrольника
М, т. е. so(M 1 )+so(M 2 )==so(M).
Для проверки аксиомы (6) возь
мем квадрат с вершинами (о; О), (1; о),
(1; 1), (о; 1). По формулам (1), (2) Ha
ходим:
50 (К)==+I ? 81 ++ I I +
++Ib I ++Ig Ы ==1.
Наконец, проверим выполнение аксиомы (CL). Так как любой
мноrоуrольник М можно разбить на треуrольники, то в силу уже
проверенной аксиомы (у) величина 50 (М) равна сумме значений
функции So на составляющих треуrольниках. Поэтому достаточно
проверить, что SO (Т) > О для любоrо т р е у r о л ь Н И К а Т. Далее,
в силу уже проверенной аксиомы ( ) мы можем раСПОЛО}J{ИТЬ тре-
уrольник Т так, чтобы одной ero вершиной была точка А 1 (о; о),
друrой точка А 2 (Х2; О), лежащая на положительной части оси
абсцисс (т. е. Х2> о), а третьей точка Аз (Хз; уз), лежащая
в верхней полуплоскости (т. е. Уз>О). Вершины Аl. А2. Аз зану
мерованы в соответствии с обходом контура треуrолъника Т
против часовой стрелки (рис. 249), и соrласно (2)
(т) 1 I О о 1 1 I Х2 О I '1 . 1 ХЗ уз I 1
50 2 Х2 о +у ХЗ уз +2 о о 2Х2УЗ>О,
Итак, 50 (М) удовлетворяет всем аксиомам (а), ( ), (у), (б).
3 а м е ч а н и е. Может показаться, что функция (2) искус
ственно подобрана и не связана с площадью (и тот факт, что она
удовлетворяет аксиомам площади, М9жет вызвать удивление).
Однако нетрудно пояснить ее 'rеометрический смысл. Соrласно
следствию 2 п. 63 'а (1)1 (см. (1)) равно п л о щ а Д и S треуrоль-
ника ОАВ, причем а (1)== + s, если движение от А к В соответству-
Рис. 248
у
Аз
А 2
о
А 1 ( 01 О)
А 2 (Х2,О) Х
Рис. 249
х
Рис. 250
278
ет обходу треуrольника против часовой стрелки, и о' (1) == s
в противном случае. Поэтому величина (2) представляет собой
площадь мноrоуrольника М. Так, на рисунке 250 площади тре-
уrольников ОА lА 2 , ОА 2 А з , ОА з А 4 берутся со HaKOM «плюс»,
а площади треуrольников ОА 4 А 5 и ОАБАI со знаком «минус»,
так что 50 (М) есть раз н о с т ь площадей мноrоуrольников
ОА 1 А 2 АзА4 и OA4AsAI, т. е. площадь мноrоуrольника AIA2A3A4A5.
Однако эти наrлядные соображения н е л ь з я использовать при
..,
построении теории площадеи, так как мы хотим о п р е Д е л и т ь
понятие площади, и потому пользоваться этим понятием не можем.
Функция 50 (М) удобна тем, что она определена б е э использования
понятия площади и позволяет проверить выполнение аксиом
( а), ( ), ( у ), (б).
Контрольные вопросы
1) Чему равна величина о' (1), если отрезок 1 лежит на прямой,
которая проходит через начало координат?
2) Докажите, что при перемене направления отрезка 1
величина о' (1) меняет знак.
3) Докажите, что любое движение плоскости можно пред-
ставить в виде композиции движений тех трех типов, которые
рассматривались при проверке выполнения аксиомы ( ).
Задачи
1069. Пусть 5(М) функция, удовлетворяющая' условиям (а),
(f}), (у), (6). Докажите, что если N сМ, то 5(N) 5(М).
1070. Пусть 5 (М) функция, удовлетворяющая условиям
(а), ( ), (у), (6). Докажите, что если мноrоуrольник М разбит
на нескоJЖЬКО мноrоуrольников М.. М 2 , ..., M k (т. е, M==M 1 UM 2 U...
... UM k , причем М., М 2 , ..., M k попарно не имеют общих BHYTpeH
них точек), то 5 (М)===5 (M.)+s (M 2 )+...+s (Mk).
1071. Докажите, что если функция 5 (М), заданная на мно-
жестве всех мноrоуrольников, удовлетворяет аксиомам (а,), ( ),
(у), (6), то функция 5* (М)==(5 (М))2 удовлетворяет аксиомам (а),
( ), (6), но не удовлетворяет аксиоме (у). Это показывает, что
без аксиомы (v) не будет единственности.
1072. Постройте функцию 5* (М), удовлетворяющую ак-
сиомам (сх.), (f}), (у), но не удовлетворяющую аксиоме (6).
1073. Фиксируем на плоскости прямоуrольную систему коор-
динат"'и положим:
0'* (I) Icos 2al l Х, YI I '
2 Х2 У2
rде 1 направленный отрезок, идущий от точки А (Х.; YI)
к в (Х2; У2), а а уrол между прямой АВ и осью абсцисс.
279
Далее, пусть К квадрат с вершинами (о; о), (1; О), (1; 1), (о; 1).
Докажите, что функция 5* (М), определеннаSJ формулой (2), в ко-
торой вместо а берется а*, удовлетворяет аксиомам (а), (у),
(6), но не удовлетворяет аксиоме ( ), т. е. аксиому ( ) tfельзя
вычеркнуть из списка аксиом площади. (Аксиому (а) тоже нельзя
вычеркнуть из списка аксиом, но доказательство этоrо факта
непросто и использует тонкие вопросы современной теории МНо-
жеств.)
1074. Докажите, что всякий мноrоуrольник (даже невыпуклый)
может быть разбит на конечное число треуrольников (этот факт
был использован при проверке выполнения аксиомы (а»).
1075. Докажите, что для любых мноrоуrольников M 1 , М 2
справедливо неравенство 5 (М I U М 2 ) 5 (М 1) + 5 (М 2 ).
84. СВОЙСТВА ПЛОЩАДИ мноrоуrОЛЬНИКА
в предыдущем пункте мы доказали с у Щ е с т в о в а н и 'е
функции 5 (М), удовлетворяющей аксиомам (а), ( ), (V), (6).
Е д и н с т в е н н о с т ь вытекает из следующих соображений.
В этом пункте будет доказано, что из аксиоМ (а), ( ), (V), (6)
о д н о з н а ч н о выводятся формулы для вычисления площади
любоrо прямоуrольника, параллелоrрамма, треуrольника. Далее,
пусть 5 и 5* две функции, каждая из которых удовлетворяет
аксиомам (а), ( ), (V), (6). Возьмем произвольный мноrоуrоль-
ник М и разобьем ero на конечное число треуrольников TI, ..,
..., Tk. Тоrда (см. задачу 1070)
5 (М) ==5 (T I )+... +5 (T k ), s* (M)==s* (T 1 )+ ... +5* (T k ).
Но В силу доказываемой ниже теоремы 3 имеем 5* (Т;)==5 (T i )==
==+ ajh j (i == 1, ..., k), поскольку ЭТИ формулы в b В О Д Я Т С Я
из аксиом (а), ( ), (1'), (6), а обе функции 5, 5* этим аксиомам
удовлетворяют. С.педовательно, 5* (М)==5 (М) дЛЯ любоrо MHoro-
уrольника М, что и доказывает единственность.
т е о р е м а 1. Для' любоzо nрямоуzольника М с основанием
а и высотой Ь имеем s (М)== аЬ.
т е о р е м а 2. Для любоzо параллелоzрамма Р с основанием
а и высотой h имеем s (Р) == ah.
т е о р е м а з. Для любоzо треуzольника Т с основанием а
и высотой h имеем s {Т)==+аh.
д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1. Прежде Bcero заметим,
что если единичный квадрат К разбит на п конrруэнтных квад-
ратиков QI, Q2, ..., Qfl2 (рис. 251), то s (QI)==S (Q2)== ... ==5 (Qn 2 )
(аксиома ( )) и s(QI)+...+s(Qrl 2 )==s(К)==1 (аксиомы (1'), (6)).
Следовательно, п 2 s (Ql)== 1, т. е. S (QI) == .
n
280
Из этоrо следует, что для прямоуrоль- К
ника с р а Ц и о н а л ь н ы м и длинами
сторон а, Ь утверждение теоремы 1 спра-
ведливо: если а ==J!....., Ь ==д.... (здесь дроби
n п
приведены к общему знаменателю), то
s (М) == р q 5 (Q 1) == Р q · == .1!...... д.... == аЬ .
п 2 n п
Наконец, пусть М произвольный
прямоуrольник, а и Ь длины ero сторон.
Возьмем число Е> О (меньшее чисел а и Ь)
и подберем такие р а Ц и о н а л ь н ы е
числа аl, а2. Ь 1 . Ь 2 , что 0<al<a<a2, 0<b l <b<b 2 и
а2..... аl < 8, Ь 2 Ь 1 < 8. Далее, пусть прямоуrольник М I С длинами
сторон al, ы и прямоуrольник М 2 с длинами сторон а2, Ь 2 распо..
ложены как на рисунке 252. Тоrда в силу уже доказанно-
ro s (M1)==a1b l , s (М 2 )==а 2 Ь 2 . Далее, s (M1)<s (M)<s (М 2 )
(см. задачу 1069), и потому
18 (M) abl == 1(5 (M) s (M 1 ))+(5 (Ml) ab)1 'Is (M) 5 (М 1 )' +
+ I s (М 1) аЬ I s (М 2 ) 5 (М 1) + (аЬ....... а 1 Ь 1)== а 2 Ь 2 2aiЪ 1 +
+аЬ «а+ е) (Ь + e) 2 (a 8) (Ь 8)+ аЬ == 3 (а+ Ь) 8.......
....... 82 < 3 (а + Ь) 8,
Q7
Q2
Qз
...
Рис. 251
Итак, Is (M) abl <3 (а+Ь) 8. Так как здесь число 8>0 произ-
вольно, то 15 (M) abl ==0, т. е. s (М)==аЬ.
Доказательство теорем 2 и 3 проведем М,етодом разбиения.
О n р е Д е л е н и е. Мноrоуrольники М и N называются paв
носоставленны.мu, если М можно разбить на части М), М2, '..,
Mk, а N на такое же число частей N 1 , N 2 , ..., N k , что эти
части М ; и N i конrруэнтны, i === 1, ..., k (рис. 253).
Т е о р е м а 4. Если М,НОZОУZОЛЬНUКU М u N равносоставлены,
ТО 5 (М) === 5 (N).
Д о к а з а т е л ь с т в о. При обозначениях приведенноrо выше
определени,Я имеем s (M1)==s (N 1 ), ..., 5 (M k )==5 (Nk) (аксиома
( )) и s(M)==s(M1)+...+s(Mk), 5(N)==s(N 1 )+...+s(N k ) (ак-
сиома (у)). Следовательно, s (М)== s (N).
На этой теореме и основан метод разбиения: I для вычисле..
М 11
N
й1 а й2
Рис. 252
Рис. 253
281
1
1'у/
Рис. 254 Рис. 255
ния площади мноrоуrольника М ищут более простой мноrоуrоль
ник N, равносоставленный с М: тоrда, вычислив s (N), мы тем
.самым найдем и s (М). Например, параллелоrрамм равносостав-
лен с прямоуrольником, имеющим то же основание и ту же вы-
соту (рис. 254), что доказывает теорему 2. Треуroль'ник равно-
составлен с параллелоrраммом, имеющим то же основание и
вдвое меньшую высоту (рис. 255), что доказывает теорему з.
Как мы отмечали в начале пункта, доказательство теоремы
3 завершает и доказательство теоремы существования и единст-
венности, т. е. обоснование теории площадей мноrоуrольников.
Следующая теорема (обратная теореме 4) была установлена
в прошлом столетии математиками Ф. Бойяи и п. r,ер'вином.
Т е о р е м а 5. Если м.но20,у20лышк.u М И N UJ4еют одинако-
вую площадь, то они равносоставлеНbt.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть P I И P2 два параллелоrрамма
одинаковой площади, и пусть а наибольшая сторона паралле
лоrрамма P 1 , а с наибольшая сторона параллелоrрамма Р 2 .
Тоrда прямоуrольник со сторонами а, с имеет не меньшую пло
щадь, чем P 1 , и потому существует такой уrол (1" что ас sin (Х ==
==5 (P 1 ). Следовательно, параЛЛeJIоrрамм Р со сторонами а и с
и уrлом а между ними им.еет площадь 5 (Р)==аЬ==а ( sin (Х)==
==5 (P I )==5 (Р2). Так как Р и Рl имеют сторону одинаковой
u
длины а, то каждыи из них равносоставлен с прямоу.rОJ1ЬНИКОМ,
имеющим сторону а и ту же ПJIощаJ1Ь (СМ.
доказательство теоремы 2 и контрольный
вопрос 3). Следовательно, Р и PJ разносо-
ставлены. Аналоrично так как Р и Р 2
имеют сторону одинаковой длины С, то
Р и Р 2 равносоставлены. ИЗ 3T,of.O выте-
кает, что PJ и Р 2 р,авносоставлеиы. Итак,
любые два параллелоrрамма, имеющие
одинаковую площадь, равносос:rавлены.
Далее, любой треуrольник Т равно-
составлен с некоторым naралле.лоrрзммом
(рис. 255), и потому Т равносост,ав.лен с лю
бым параллелоrраммом той же площа)l.И.
Пусть теперь М произвольный .МИО
rоуrольник и Q квадрат той же ПJlо
щади. Разобьем М на треуrо.J1ЬНИКИ TI'
Т2, ..., Tk, а в квадрат.е Q арозедем такие
отрезки, параллельные стороне, что Q
Рис. 256 разобьется на прямоуrольники P 1 , ..., Pk
282
Р 6
Ps
Р",
Р з
Р2
Р,
таких же nл()щадей: s (TI)==5 (Pt), ..., s (Tk)==S (р,,) (рис. 256). Со-
rласно доказанному TI и P 1 равносоставлены, Т 2 и Р 2 также равно-
состзвле'ИЫ и т. д. Следовательно, М и Q равносоставлены.
Если теперь М I И М 2 два произвольных МН0fоуrольника
одинаковой площади., то мы можем построить квадрат Q, дЛЯ
KOToporo s (М 1.) == S (М 2 )== S (Q). Каждый из мноrоуrольников
М 1, М 2 равносоставлен с Q, а потому М 1 И М 2 равносоставлены.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что если каждый из мноrоуrолъников MI, М 2
равносоставлен с мноrоуrольником Q, то М 1 И М 2 равносостав..
лены.
2) Пусть g подобие с коэффициентом k. Докажите, что
1
функция s*(M)==J;2s(g(M)) удовлетворяет всем аксиомам (а,),
( ), (у), (6) и потому с о в п а Д а е т с s (М). Выведите из этоrо
доказательство теоремы об отношении площадей подобных мно-
rоуrольников.
3) Если параллелоrрамм N «сильно перекошен» (рис. 257),
то разбиением на две части (как на рисунке 254) ero не удаст"
ся превратить в прямоуrольник М с основанием а и высотой h.
Докажите, что и в этом случае М и N равносоставлены.
Задачи
1676. Пусть L замкнутая n..звенная
ло'маная длиной " не пересекающая с'е6я.
Построим n"звенные ломаные LI и L2,
стороны которых удалены от сторон
ломаной L на расстояние h (рис. 258). До..
кажите, что если ломаные LI, L 2 не пе..
ресекают себя, то площадь фиrуры, за..
ключенной между ними, равна 2lh.
1077. Фиксируем на плоскости прямо..
уrольную систему координат и обозначим
через W палетку, т. е. разбиение плоско..
сти на равные квадраты, образованные
всевозможными прямыми х == nq, у == тq
(здесь q заданное положительное чис..
ло, а т, n произвольные целые числа).
Докажите, что если отрезок АВ имеет дли..
ну 1, то сумма площадей квадратов палет..
ки, которые он пересекает, не превосходит
21q -v2 + 8 q 2.
1078. Докажите, что если замкнутая
л'оманая L имеет длину 1, то сумма
283
м
а
а
Рис. 257
Рис. 258
площадей квадратов палетки W, которые эта ломаная пересе-
кает, не превосходит 2lq .
1079. Пусть М мноrоуrольник периметра 1. Обозначим
через Р объединение всех квадратов палетки W, целиком содер-
жащихся в М, а через Q объединение всех квадратов палет-
ки W, имеющих общие точки с М. Докажите, что s (P) s (M)
s(Q) и s(Q).......s(P) 2Iq .
1080. Пусть М мноrоуrольник площадью s и периметра [.
Докажите, что число квадратов палетки W, с которыми М пересе-
s 2/.у2
кается, не превосходит 2+ .
q q
1081. В мноrоуrольнике площадью s и периметра 1 выбра
ны n точек. Докажите, что при n 9 найдутся две из них,
S .21
расстояние между которыми не превосходит 8 + .
n ..... п ..... 8
85. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ
О п р е Д е л е н и е. Фиrура М называется квадрируем.ой,
если для любоrо положительноrо числа е можно подобрать такие
мноrоуrольники Р и Q, что PcMcQ и s(Q).......s(P)<e.
т е о'р е м а Ж о р Д а н а. На .множестве всех квадрируе'м'ЫХ
фU2ур существует, и nритом. только одна, функция 5, обладающая
свойства.ми (CL), (р), (,,), (6).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем на плоскости систему
координат и обозначим ч рез Wk палетку, образованную прямыми
т п (
вида Х == k и У ==. rде k заданное натуральное число, а т,
10 10
п произвольные целые числа). Пусть теперь М некоторая
фиrура. Обозначим через P k объединение всех квадратов палет
ки W k , содержащихся в М (рис. 259), а через Qk объединение
квадратов, имеющих с М хотя бы одну общую точку. Мы полу-
чаем последовательность мноrоуrольников P 1 , Р2, ..., P k , ..., со..
держа щихся в М, и последовательность мноrоуrольников Q 1,
Q2, ..., Qk, ..., содержащих М. Заметим, что при j < k каждый
квадрат палетки Wk целиком содержится в некотором квадрате
палетки W j . Поэтому при j<k имеем PjCPk, Qj=>Qk. Иначе
rоворя, Р 1 сР 2 сР з с... и Ql=>Q2=>Q3=>.... Из Toro следует, что
s (Pl) S,(P2) S (Рз) ...; s (Ql) S (Q2) S (Qз) .... (1)
Обе монотонные последовательности (1) о r р а н и ч е н ы (напри..
мер, каждый из мноrоуrольников Рl, Р2, ... содержится в М и
потому содержится в Ql). Из этоrо вытекает, что существуют
пределы Нт s (Pk), liт s (Qk). Докажем, что
k oo k oo
Нт s(Pk)==lim S(Qk).
k oo k oc
284
(2)
.........
/" " '
/ U
/ /
РI< I
\. !:!
.........
\
\ ........ "- )
" ..oI V
.........
.......
Рис. 259
Рис. 260
Выберем произвольное е> О и найдем такие мноrоуrольники
L, N, что LcMcN и s (N) s (L)<+. Далее, внутри L возь-
мем ТЗI\ОЙ мноrоуrольник L', чтобы «полоска» между L и L' имела
площадь, меньшую ; . Точно так же возьмем та ой MHoro-
уrольник N':::> N, чтобы «полоска» между N' и N имела площадь,
меньшую +. Через h обозначим ширину полосок между L и L'
и 'между N и N' (эти полоски на рис. 260 заштрихованы.. Тоrда
L'cLcNcN', причем разность площадей каждых двух сосед-
u 8
них мноrоуrольников в этон цепочке меньше 3' и потому
s (N') s (L')< е. Теперь выберем такое k, что диаrональ квадра-
та палетки Wk меньше h (т. е. k <h). Через p обозначим
объединение всех квадратов палетки W k , имеющих общие точки
с L'. Тоrда Pk=:J L' и при этом P k содержится в L (поскольку
каждый квадрат палетки Wk, составляющий P k , имеет общую
точку с L', а диаrональ этоrо квадрата меньше ширины по-
лоски между L' и L). Из включения PkcM вытекает, что PkCP k ,
так K8J< Pk состои. из всех квадратов палетки Wk, содержащихся
в М. Таким образом, L' с Pk С М. Аналоrично, обозначая через
Qk объединение всех квадратов палетки Wk, имеющих общие
точки с N, получаем MCQkcN', и потому MCQkcN'. Из
включений L' с P k , Qk С N' вытекает, что
O s (Qk) S (Pk)<e. (3)
Переходя к пределу при k --+ 00 И учитывая, что е> О произволь-
. но, получаем lim s (Qk) lim s (Pk)==O, Т. е. справедливо равен-
! TBO (2).
Докажем теперь, что функция
285
s*(M)== lim s(P k )== lim S(Qk) (4)
k oo k oo
удовлетворяет аксиомам (CL), ( ), (у), (6). Подчеркнем, что система
координат Ф и к с и р о в а н а, т. е. расс'матриваемые палетки
W k (k == 1,2, ...) о д н и и т е ж е для всех квадрируемых фиrур М.
Заметим, что если М мноrоуrольник, то в проведенном выше
рассуждении можно считать, что L и N с о в п а Д а ю т с М,
и потому s (Pk) S (M) s (Qk), а это вместе с соотношением (3)
означает, что Нm s(Pk)==lims (Qk)==s(M), т. е. s* (M)==s (М).
Далее, если М'сМ, то s* (M') s* (М) (поскольку каждый мно-
rоуrольник P k , постро нный для фиrуры М", еодержится в
соответствующем мноrоуrольнике для фиrуры М).
Выполнение аксиомы (CL) очевидно, поскольку все числа s (P k )
неотрицательны. Выполняется и аксиома (6), так как квадрат К
является мноrоуrольником, и потому s* (К) === s (к) == 1.
Проверим выполнение аксиомы ( ). Пусть f движение пло
скости и М квадрируемая фиrура. Выберем такие MHoro-
уrольники L и N, что Lc.McN и s (N) s (L)<e. Тоrда s* (L)
s*(M) s*(N), т. е. s(L)<s*(M)<s(N). При меняя f, полу-
чаем f (L)cf (М)с! (N), причем s (f (L))==s 'L) s (1 (N))==s (N).
Следовательно, s (L) s* (f (M)) s (N).
Таким образом, оба числа s* (М), s* (f (М)) заключены между
s (L) и s (N), откуда вытекает. что 1,5* (M) s* (j (M))I<e. Так как
это справедливо для любоrо е>О, то Is*(M) s*(f(M))I==O,
т. е. s* (, (М)) ---:-- s* (М). Это означает, что s* удовлетворяет ак-
. сиоме ( ).
Наконец, проверим выполнение аксиомы (у). Пусть M L И M2
квадрируемые фиrуры без общих внутренних точек и М == М 1 U М 2 .
Мноrоуrольники, составленные из квадратов палетки Wk и OT
носящиеся к фиrурам М, Мl" M Zt обозначим соответственно
че:R ез Pk, 111), '/12} И Qk, Q I). Q 2). Мноrоуrольники I1 I )сМ , и
p )СМ 2 не имеют общих внутренних точек и содерж.атся в P k .
Следовательно, s (111)) + s (P 2 S (P k ),. Переходя к пределу t по
лучаем s* (M 1 )+s* (M2) S* (М) Далее, мноrоуrольник Q t)U,Q 2)
совпадает с Qk, И потому S (Q t))+s (Q s (Qk). (равенства здесь
может не быть, так как ср.е,n,и KBaдpaTOBt- сос.тавляющих Q I} и
Q 2). MorYT быть совпадающие).. Переходя к пределу. ПQлучаем
s* (MI)+s* (M2) S* (М). Таким образом, s* (M )+s* (М 2 )==
=== s* (М).
Итак, s* удовлетворяет всем аксиомам (CL), ( )t. (у). (6), чем дo
казано с у Щ е с т в о в а н и е требуемой функции.
Д о к а ж е м е Д и н с т в е н R а с т Ь. Пусть Sl (М) И S2 (М)
две функции, заданные на множестве всех квадрируемых фиrур
и удовлетворяющие аксиомам (CL), ( ), (у), (6). В частности, Sl и S2
определены для м н о r о у r о л ь и и к о в и облад.ают свойства..
ми (а), ( ), (,\,), (6); по теореме п. 8з на' множестве мноrоуrоJ.lЬНИКОВ
они совпадают с обычной площадью: если Р мноrоуrольник,
то s 1 (Р) == S2 (Р) == s (Р).
286
Пусть теперь М квадрируемая фиrура. Выберем произ-
вольное е > О, и пусть L, N такие мноrоуrольники, что L с М с N
и 5 (N).......5.(L)<e. Фиrypа М есть объединение мноrоуrольника L
и квадрируемой фиrуры М', причем L и М' не имеют общих внут"
рениих точек. Следовательно, SI (M) 51 (L)+sl (М') (аксиома (,,))
и 51 (M') O (аксиома (CL)), откуда вытекает, что 5( (L) 51 (М),
т. е. 5 (L) SI (М). Аналоrично 5 (L) 52 (М). Рассуждая так же
относительно фиrур М и N, получаем 51 (M) s (N), 52 (M) 5 (N).
Таким образом, оба числа 5, (М), 52 (М) заключены между 5 (L)
и s (N), и потому 15. (M) 52 (М)I < 8. Так как это справедливо
для любоrо 8>0, то 51 (М)==52 (М).
О П Р е Д е л е н и е. Функция 5, существование и единствен-
v v
ность которои устанавливаются в доказаннои теореме, назы"
вается площадью.
3 а м е ч а н и е. Теперь, коrда теорема доказана, мы можем
оrраничиться, например, только мноrоуrольниками P k (не рас-
сматривая Qk), поскольку 5 (M) Нт 5 (P k ) для любой квадриру-
k oo
емой фиrуры М (см. (4)). Мноrоуrольники P k , содержащиеся в
фиrуре М, пост пенно «исчерпывают» всю ее площадь. Можно
вместо Pk рассматривать и какие..либо друrие мноrоуrольники Pf.
образующие возрастающую последовательность и исчерпываю..
щие площадь фиrуры М; например, в случае выпуклой фиrу-
ры М можно взять вписанные ,М,Н,ОZОУ20ЛЬН,UКU, стороны которых
С возрастанием k делаются все меньше и меньше. И в этом слу..
чае 5 (М) lim 5 (P'l).
k 00
Метод вычисления площади фиrуры, основанный на рассмо"
трении мноrоуrольников, постепенно заполняющих всю фиrуру,
называется Me'FoaoM uсчерnыванuя.
Контрольные 8Опросы
1) Докажите, что мноrоуrольник квадрируемая фиrура.
2) Докажите, что Kpyr квадрируемая фиrура.
3) Палетки Wk построены при помощи одной систе мы коор"
динзт (и определяют функцию s* (М), см. (4)), а палетки W k "при
помощи друrой системы (например, получающейся из первой
по ВО"ротом). Построим в ЭТОЙ второй системе мноrоуrольники
P k , Qk, как и выше, и определим УНКIЩю s* (М) формулой (4), в ко-
торой Pk И Qk зам нены на P k и Qk. Можно ли утверждать,
что в этом случае 5* (M)==s* (М) дЛЯ любой квадрируемой фи..
rypbI М?
4) Пусть М I И M2 квадрируемые фиrуры, причем М 2 сМ.,
а М фнrура, получающаяся, если из М 1 удалить точки фиrу..
ры М 2. Докажите, что фиrура М квадрируема и. 5 (М 1) ==
===5 (М 2 )+5 (М).
287
Задачи
1082. Докажите, что объединение двух квадрируемых фи-
ryp М., М 2 также является квадрируемой фиrурой и
s (MI UM2) S (M,)+s (М 2 ).
1083. Докажите, что пересечение двух квадрируемых фи-
ryp М 1, М 2 также является квадрируемой фиrурой и
s (Мl U M 2 )==s (М I)+S (M2) s (М 1 n М 2 ).
1084. Пусть L ломаная (возможно, замкнутая), а М фи-
rypa, состоящая из всех точек, находящихся от L на расстоянии,
не превосходящем '. Докажите, что М квадрируема.
1085. Пусть h аффинное преобразование плоскости. До-
кажите, что если М квадрируемая фиrура, то h (М) квад-
рируемая фиrура и s (h (М))== I I s (М) (см. задачи 1019, 1023).
1086. Докажите, что теорема о площади проекции (п. 33)
справедлива для любой квадрируемой фиrуры М.
1087. Выпуклая фиrура М расположена в Kpyre радиуса '.
Палетка W, у которой сторона квадрата равна q, пересекает
контур фиrуры М в точках А 1, А 2 , ..., А п . а) Докажите, что
п 4( + 1). б) Докажите, что число квадратов палетки W, KO
торые пересекаются с контуром фиrуры М, не превосходит
4( 2; + 1) . в) Докажите, что М квадрируемая фиrура.
86. ПЛОЩАДЬ И ПЕРВООБР АЗНАЯ
Т е о р е м а Н ь ю т о н а. Пусть f (х) неотрuцательная не..
прерЫ8ная на [а, Ь] функция. Обозначuм. через М фuzуру, 02ра..
ниченную осью абсцисс, прямыми х == а,. х == Ь и 2рафиICОАС функ..
ции f (х) (рис. 261). ТО2да фи2ура М ICвадрируем.а и ее площадь
равна s (M)==F (b) F (а), zae F (х) какая-либо nер800бразная
для функции f (х).
Для доказательства
Рис. 261
потребуется одна лемма из математи-
ческоrо анализа. Напомним,
что если F (х) дифференци-
руемая на [а, Ь] функция и
f (х) ее производная (т. е.
f (х) == F' (х)), то для любых двух
точек XI, Х2 отрезка [а, Ь]
справедливо равенство F (X2)
p {xa)==f ( ) (X2 XI), rде
некоторая точка, лежащая
между Ха и Х2 (теорема Лаr-
ранжа). Следующее утверж-
дение является обратной тео-
u
ремои.
Л е м м а. Пусть F (х) и
у
Q
о
288
1 (х) две функции, заданные на [а, Ь], прuчем. 1 (х) непрерывна.
Если для любых двух точек XI, Х2 отрезка [а, Ь] справедливо ра..
венство F(X2) F(XI)===1( )(X2 Xl), zae некоторая точка, ле..
жащая м.ежду ХI и Х2, то 1 (х) есть nроизводная функции F (х).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ХоЕ[а, Ь]. Если h такое число,
что xo+hE[a, Ь], то по условию
F(xo+h F(xo) == f( )((xoth) Xo) ==f Ш.
rAe точка, лежащая между Хо и хо + h. Переходя к пределу
при h О (и учитывая, что S Хо, а функция f (х) непрерывна).
получаем:
Iim F (хо + h)..... F (Хо) lim 1 ( ) === 1 (хо),
h O h h O
т. е. производная F' (Хо) существует и равна f (Хо).
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы Н ь ю т о н а. Выберем
произвольное е > о. в силу непрерывности функции f (х) суще
ствует такое 6>0, что для любых точек х', х" отрезка [а, Ь] при
Ix' x"l б имеем 11 (x') ' (х") I <е. Разобьем отрезок [а, Ь]
а
точками xl, Х2, ..., Xп 1 на части. длина каждои из которых мень-
ше б (рис. 262). Пусть х', x" точки, в которых функция f (х),
. а
рассматриваемая на l-и части. достиrает наименьшеrо и наи-
большеrо значения. т. е. f (x') ' (x) ' (х") для всех точек i й
части. Тоrда rрафик функции f (х) на i й части отрезка [а, Ь] рас-
положен между прямоуrольниками К; и Hi' один из которых
имеет высоту f (х'), а друrой f (х"). Разность площадей этих пря
моуrольников равна (, (x,,) , (х')) Xi, rде Ах; основание пря..
моуrольника, т. е. длина i-й части отрезка [а, Ь]. Так как
I х' ....... х" I < б, то f (х") f (х') < е, и потому
s (Hi) S (К;)< е Ах;.
Обозначим через L объединение всех прямоуrольников К;
(рис. 263), а через N объединение всех прямоуrольников
у
у
х
о а Х1 X2... x i..l Х'...Х п ..1 Ь Х
о а
Рис. 262
Рис. 263
1 О Заказ 924
289
у
у
о а
х
ь х
о а Х 1
Х 2
ь х
Рис. 264
Рис. 265
Н ; (i == 1, ..., п). Тотда L и N мноrоуrольники, причем L с М с N,
и мы имеем:
п
5 (N) 5 (L)=== (5 {Hi) S (Ki)<
;==1 -
п п
< Е Xi== e X;== е (Ь а).
i 1 ;==1
Так как е произВOJlЪНО, то это неравенство показывает, что фи-
rypa М квадрируема.
Рассмотрим теперь часть фиrуры М, заключенную между
ординатами, проходящими через точки (а; О) н (х; О), rде хЕ[а, Ь]
(рис. 264), и обозначим через Ф (х) площадь этой ча ти (она квад-
рируеМ8 в силу уже докзэанноrо). Функция Ф (х) определена на
отрезке [а, Ь1 причем Ф (а) ==0, Ф (b)==s (М). При Хl <Х2 разность
Ф (Х2).......ф (.rl) предетаВJlяет собой площадь части фиrypы М, за-
ключенной между прямыми Х==Хl и Х==Х2 (рис. 265). Следова-
тельно,
f (х') (Х2 Хl) Ф (х2)....... Ф (XI) f (х") (х2....... Хl),
rде х', х" точки, в которых функция f (х), рассматриваемая
на [XI, Х2], достиrает наименьшеrо и наибольшеrо значения. Ина-
че rоворя
f (x/) Ф (: =: (XI) f (х").
и потому по теореме о промежуточном значении существует та-
кая точка E[XI, Х2] (лежащая между х' и х"), что .
ф (Х2) Ф (XI) == f (s),
X2 XI
т: е. ф(Х2).......ф(Хl)==f( )(х2 ХI). Равенство это справедливо не
только при Хl < Х2, но И при Хl > Х2. Следовательно, cor ласно
лемме ф' (х) == f (х).
290
Пусть теперь P(x) к а к а я л и ба
первообразная для функции f (х). Две перво-
образные F (х) и Ф (х) функции f (х) от- ."..----
личаются лишь на константу: F (х)== //
==ф (х)+С. Следовательно,
F (Ь)....... F (а) == (Ф (Ь) + С) ....... (Ф ( а) + С)
== ф (Ь)....... Ф (а) == s (М)....... О:=: S (М).
При м е р. Пусть а.....аооо Kpyr радиуса ,
с центром в начале координат. Ero rраницз
(окружность) определяется уравнением у
х 2 + у2 == ,2, а верхняя полуокружность яв
ляется rрафиком фу нкции
у ,2 ....... х2 .
Следовательно, криволинейная трапеция, за..
ключенная между осью абсцисс, прямыми
х == О . х == , и rрафиком функции f (х) == О
--v,2....... х 2 , представляет собой четверть кру-
ra (рис. 266). По теореме Ньютона площадь
ее равна F (,)........ F (О), rде F (х) первообраз...
ная для f (х). Леrко проверить, что фу нкция
F (x)==+(r 2 arcsin ; +x--Vr2 x2)
является первообрззной для f (х) на ра-ссмат"
риваемом отрезке. Следовательно, площадь l
четверти Kpyra равна
1 п,2
F (') F (0)==2,2 arcsin 1 ==4 '
и потому площадь Bcero Kpyra равна
nr 2 2
4 ............ == п, .
4
Контрольные вопросы
1) Непрерывные функции f (х) и g (х),
определенные на [а, Ь), удовлетворяют усло
виям f(a)==g(a), f(b) g(b) и f(x»g(x)
при а < х < Ь. Как определить площадь
фиrуры, оrраниченной rрафиками этих функ..
ций (рис. 267), если известны на [а, Ь] перво-
10* 291
х
Рис. 266
y=f(x)
y=g(x)
Q Ь Х
Рис. 267
81
Рис. 268
Рис. 269
образные F (х) и G (х) ФУНКЦИЙ
f (х) и g (х)?
2) Докажите, что если лю
бая прямая, параллельная 1,
высекает из квадрируемых фи-
ryp М 1 и М 2 отрезки одинако"
вой длины (рис. 268), то
s (М 1)== S (М 2 ) (прuнцип Ka
вальери) .
3) Выпуклый мноrоуrоль-
ник М имеет площадь s и пе-
риметр 1. Вычислите площадь фиrуры N, состоящей из всех TO
чек, удаленных от М на расстояние, не превосходящее r (рис. 269).
у
Рис. 270
Задачи
1088. Вычислите площадь одной полуволны синусоиды (рис.
270).
1089. а) Хорда [MN] параболы перпендикулярна ее оси;
сторона [PQ] прямоуrольника М N PQ касается па раболы (рис. 271).
Докажите, что площадь фиrуры, оrраниченной дуrой MN парабо..
2
лы и отрезком MN, составляет "3" площади прямоуrольника
М N PQ (Архимед). б) Применяя аффинное преобразование,
докажите аналоrичный результат для параллелоrрамма MN PQ,
У KOToporo стороны [MN] и [PQ] параллельны оси пара.болы
(рис. 272).
1090. Касательные к параболе, проведенные в точках М, N,
пересекаются в точке Р (рис. 273). Докажите, что площадь фиrуры,
оrраниченной дуrой MN параболы и отрезком MN t составляет
2
3 площади треуrольника М N Р.
1091. а) Пусть F (х) какая..либо первообразная для функции
f (х)==рх 2 + qx+,. Докажите, что (рис. 274)
Q
Рис. 271
р
Q
Рис. 272
292
Рис. 273
F (b) F (а)== у
b a
:=:: --б----- (Уо + 4у 1/2 + у.),
rде Уо ==1 (а), YI == f (bt,
Y'/2==f( a i .
б) Прямые [о, 11, параллельные
оси параболы, и прямая 11/2'
.являющаяся средней линией
полосы между 10 и 11, пересе..
кают параболу в точках Мо,
М 1, М 1/2. Прямая т, не пере..
секающая параболу, пересека-
ется с/о, 11/2, 11 В точках Ао,
А 1/2, А I (рис. 275). Докажите,
что площадь фиrуры, оrрани-
ченной дуrой MoMI параболы
и отрезками МоАо, АоАl, A1M 1 .
h
равна б-(уо+4Уl/2+УI), rде
h ......... расстояние между прямы-
ми 10 и /1, а уо. у 1/2, YI длины
отрезков fAoMol. [А 1/2 М I/ '
[А I М 1].
1092. Обозначим через Ф (хо)
площадь фиrуры, оrраниченной
rиперболой у ===..!... t осью абсцисс
Х
и прямыми х=== 1, х==хо. Дока-
жите, что для любых х', х",
больших единицы, справедливо
равенство Ф (х'х")==ф (х') +
+ Ф (х").
1093. Обозначим через
ОП (хо) площадь фиrуры, orpa-
ииченной rрафиком функции
1
У ===----;;, осью абсцисс и прямы"
МИ Х Х == 1 , х === хо. Докажите,
что при n > 1 существует пре
дел lim ОП (х) (ero можно счи-
х..... 00
тать площадью н е о r р а н и-
ч е н н о й фиrуры, заключен-
ной между rрафиком функции
1 б u
Y== , осью а сцисс и прямои
ха
х == 1; рис. 276).
293
о
У О
а Ь
х
Рис. 274
Рис. 275
у
о
х
Рис. 276
87 ОБЪЕМ
Понятие объема ВВОДИТСЯ аналоrично понятию площади.
Поэтому доказательства, которые не содержат чеrо-либо HOBoro,
бу дут опущены.
ТеЛОAt условимся называть множество в трехмерном прост-
ранстве, содержащее в н у т р е н н и е т о ч к И, т. е. содержащее
некоторый (ХОТЯ бы и «очень маленький») шар. Функция v
(объем) обладает следующими свойствами.
(ct). Объем v (М) любоrо тела М неотрицательное число.
( ). Если тела М 1 и М 2 ко нrруэн:rны , то v(M 1 )==v(M 2 ).
(,,). 'Если тело М раз'бито на два тела М. и М 2 (Т. е.
М == М 1 U М2, причем М а И М 2 не имеют обтих ВНУ1'ренних точек), то
v (M)==v (M1)+v (М 2 ).
(6). Если D куб, ребром KC)'IOporo является единица
измерения длин, то v (D)== 1.
MН02oepaHН'IJ,к,o.м. будем называ'l'Ь 'объединение конечноrо чис-
ла в ы п у к л ы х мноrоrранников (СМ. п. 34).
Т е о р е м а 1. На ,М,ножестве всех .м.НО202ранников существует,
и nритом. только 'Одна, функция v, об./1,адающая Iсвойствам.и (а,),
(р), (V), (6).
Оп р е Д е л е н }! е. Функция v, заданная на множестве всех
мноrоrp.анников и обладающая свойствами (а), (р), (у), (6), на-
зывается Dбъе,М,о.м..
О п р е Д е.л е н и е. Тело М называется кубируе.м.ы.м., если для
любоro положительноro числа в можно подобрать такие MHoro-
rранники Р и Q, что P..cMc:Q и v (Q) v (Р)<е.
т е о р е м а 2. На AUЮжестве всех кубируе'м'fJlХ тел существует,
и прито.м. только одна, функция v, обладающая свойствам.и
(а,), (р), (,,), (6).
о n р е Д е л е н и е. Функция v, заданная на множестве всех
кубируемых тел и обладающая свойствами (а), (р), (у), '(6), на-
зывается объем.о.м..
т е о р е м а 3. Для .люБО20 пря.м.ОУ20льноео параАлелеnипеда
М, изJtерения .КОТОрО20 равны а, Ь, с, и'м'еем v (М)==аЬс. Друеая
формула: . v (М)::=: sh. еде s == аЬ ........ ,площадь основания, h == с ........
высота.
О п р е Д е л е н и е. Мноrоrранники М JI N называются равно-
составлеННЬ1.м.и, если М и N можно разбить на одинаковое ЧИCJIО
частей Ма, М2, ..., Mk 11 Н а , N L ..., N k так, что эти части
соответственно конrруэнтны.
Т е о р е м а 4. Если м,НО202ранники М u N равносоставлены,
то .v (М)== v (N).
Т е о р е м а .5. Для любой nptlsAtbl Р UAf.ееж v (Р)-== sh, 2де
s ......... nлощадъ .ее «новlJНUЯ, .а, h ........ 8b1J&O''1a.
Д'о К а 3 а т е л ь с т в о. Пусть сначала Р црямой паралnе-
лепипед, т. е. призма, основанием которой служит параJlJ1еnо-
rpaMM, а боковые ребра перпендикулярны плоскостм .ОСRования.
294
Такая призма равносоставлена с прямоуrольным параллелепи-
педом М, имеющим ту же площадь основания s и ту же высоту
h (рис. 277). Следовательно" (Р) == v (М) == sk
Пусть теперь Q ПРОИЗВОJl'Ь.ный п.араллелепипед (боковые реб-
ра не перпендикулярны основанию). Он равносоетавлен е парал-
лелепипедом Ql, у КОТОРОЕО и.мее'IСИ' rpaНb; перпендикулярная
основанию (рис. 278), а QH, в свою очередь, раВН0СQCтавлен
с прямым параллелепипедом Q2L (рис. 279). Следовательно, t1 (Q) ==
==v (Ql)==V (Q2). в силу уже ДQказанноrо v (Q2)==sh, и потому
v (Q)==sh (заметим, что у всех трех ПClраллелепипедов Q, QI,
Q2 одинаковые основания и одинаковые высоты).
Далее, пусть R треуrольная' призмз, в основании которой ле-
жит треуrольник площадью s... Допол.llLИ& Э-ТG>Т треуrОJLЬИИК до
паралл.елоrрамма" мы ДОПОJl:Н'им тем caMымM призму R до' паралле-
лепипе-да Q с НJЮщ.адJbl(i} 0СНО8'а:ltИS: 2s и тай же ВЫ QТОЙ п.
Диаrональная IЫIOCKOCTЬ ACC1,A 11 (РИ-С. 280) раооИ'вает ero на, две
треуrольные пр.ИЗМЫ: исходную призму R И еще одну приЗlМУ R'.
Эти приз-мы К6>нrруэнтны (они CltиметР,ИЧНbl относятеЛhИ0 цeН1ipa
параллe.nеlfипеда Q): СлеДQвательно, (R),.== v (R'), и ПОТaQМУ
v (Q)==v (R)+v (R')==2v (R). Так как в силу уже доказа НQrо
1
v (Q) . 2s.h,. то v (R ==Tv (Q)==sh.
Наконец, пусть Р произвольная призма. Разобьем ее основа-
ние М на треуrольники Тl, Т2, ..., Tk. Тоrда, Р разобьется на
треуrольные призмы RI, R2, ..., Rk С той же высотой h (рис. 281).
Теперь 'имеем:
v (P)==v (Rl)+V (R2)+...+v (Rk)==S (T.).h+s (12).h+...+
+s (Tk).h==(s (T1)+s (Т 2 )+
+ ... + s(T k))h == s (М). h == sh,
rде s == s (М) площадь ос..
нования.
т е о р е м а 6. Для про-
иЗ80ДБНОЙ nира.миды Миме..
1
ем v(М)==з-sh, 2де s
площадь основания, а h
Bbt"-DТа.
Доказательство
достаточно провести для
u
т р е у r о л ь н о и пирамиды,
I
'.J/'
h
h
Рис. 277
Q Q,
Рис. 278
I
l'
ll,
Рис. 279
295
А D
8, С,
Рис. 280 Рис. 281
так как произвольная пирамида может быть разбита на Tpe
уrольные пирамиды с той же высотой h (рис. 282).
Пусть М треуrольная пирамида, s площадь ее основания,
h высота. Проведем москость (х, параллельную основанию, на
расстоянии х от вершины (O x h). Она пересекает пирамиду
по треуrольнику (рис. 283), который подобен основанию пирамиды
с коэффициентом подобия k == и, следовательно, имеет пло-
щадь s (x)==k 2 s==.!.....X 2 . Плоскость (Х отсекает от М треуrоль
h 2
ную пирамиду с высотой х; объем ее обозначим через Ф (х).
Для любых х', х", rде О х' < X'I h, разность Ф (х") Ф (х')
представляет собой объем той части пирамиды, которая заключена
м е ж Д у плоскостями, проходящими на расстояниях х' и х" от
вершины. Ta часть с о Д е р ж и т призму С площадью основания
s(x') и высотой х"......х' (рис. 284) и содержится в призме
с площадью основания s (х") и той же высотой х" x' (рис. 285).
Следовательно,
s (х') (х" ...... х') Ф (х") Ф (х') s (х") (х" ....... х'),
Т. е.
s ( х' ) Ф (х")---- Ф (х') S ( х" ) .
J/ /
h ---- Х
Из этоrо вытекает, что для HeKoToporo числа , заключенноrо меж..
ду х' и х", справедливо равенство
Ри с. 282
Рис. 283
296
/
,,
,
"
'"
/ \ '
/ \ '
/ \ "
"
,
.....
/
/
, \ //
, \ /
'
/ "
" ---- ---- ..... ..... 7-
" /
"" \ //
" \ /
" \ ,/
''V/
Рис. 284
Рис. 285
ф (х")...... Ф (х')
х" х'
s ( ),
т. е. Ф (х") ф (x')==s ( ) (х" x'). Соrласно лемме, paCCMOTpeH
ной в п. 86, Ф (х) есть первообразная для функции s (х). Но
так как s (x)== x2, то функция F (x)== х 3 также является
h Зh
первообразной для s (х). Следовательно, Ф (х)== F (х)+ с на отрез-
ке [О, h], rде С некоторая константа. Учитывая, наконец, что
Ф(О)==О, Ф(h)==v(М), находим:
v (М)== Ф (h) Ф (О)==(Р (h)+ C) (P (0)+ с)==р (h)==Tsh.
3 а м е ч а н и е. При рассмотрении п л о щ а Д е й м н о r o
у r о л ь н и к о в средства математическоrо анализа не исполь
зовались, а все формулы, после Toro как была вычислена
площадь прямоуrольника, были получены методом разбиения
(теоремы 2 и 3 в п. 84). Здесь же при вычислении Qбъема
пирамиды применяется первообразная. Нельзя ли без этоrо
обойтись, т. е. нельзя ли доказ'ать, что каждая пирамида
равносоставлена снекоторой при 3 М О Й (по аналоrии с рис. 255),
и тем самым проще доказать теорему об объеме пирамиды?
В этом состоит так называемая третья проблем.а rильберта.
Оказывается, что ответ на ЭТот вопрос о т р и Ц а т е л е н;
например, п р а в и л ь н ы й т е т р а э Д р не равносоставлен с
призмой Toro же объема. Поэтому сложность доказательства
теоремы 6 неизбежная.
т е о р е м а 7. Для люБО20 цилиндра Z имеем v (Z)==1tr 2 h,
2де , ......... радиус основания цилиндра, а h е20 высота.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Обозначим через М Kpyr, являющийся
основанием цилиндра. Выберем произвольное число е> О, и
пусть L, N такие мноrоуrольники, лежащие в плоскости
Kpyra М, что LcMcN и s(N) s(L)<E. Далее, через Р и Q
обозначим призмы с высотой h, основаниями которых служат
297
о
Рис. 286
Рис. 287
L и N (рис. 286). Тоrда PcZc.Q, причем
v (Q)....... v (Р) == s (N). h s (L). h == (s (N) s (L» h < e . ( 1 )
Из этоrо вытекает кубируемость тела z. При этом
v (P) v (Z) v (Q). (2)
Кроме Toro, так как s (L) s {M) s (N), Т. е. s (L) п s (М),
то, умножая на h получаем:
v (Р) nr 2 h v (Q). (3)
Таким образом, каждое из l:I сел v (Z), nr 2 h заключено между
v (Р) и v (Q), и потому
Iv (l) nr!hl v (Q) v (P)<eh
(см. (l)). Отсюда следует ввиду ПРОИЗВОJlЬROСТИ числа е>О, что
I v (Z) n,2h 1== О, Т. е. v (Z) == nr 2 h.
т е о р е м а 8. Пусть f (х) и'еотрuцательная непрерывная
функция, заданная на [а, Ь). Обознлчи.м, через М крuволиней..
ную трапецию, 02раниченную 2рафиком. функции у == f (х), осью
абсцисс u пРЯJИ,ЫAf,и х===а, х==Ь. Объеж теАа вращения W, полу..
чающееося при вращении фи2УРЫ М вОКРУ2 оси абсцисс, равен
v (W)== F (b) F (а),
еде F (х) ICйкая"нибудь первообразная для функции у==л (' (х)2.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Обозначим рез т наибольшее зна
чение функции f (х) на [а, Ь]. Далее, рассмотрим ступенчатые
фиrуры L и N (рис. 263) и обозначим через Р и Q тела
вращения, получающиеся при вращении этих фиryр Boкpyr оси
абсцисс. Каждое из них составляется из нескольких цилинд
ров (рис. 287) и потому кубируемо. При этом (СМ. доказатеJlЬ
ство теоремы Ньютона, п. 86), е.СJlИ Z; lI.ИЛИНАР, получающийся
при вращении прямоуrольника H i , а Y i цилиндр, получающийся
при вращении прямоуrольника Ki' ТО (по теореме 7)
298
v (Zi) V (Y i ) == n (, (х"»2. ЛХi n (, (х'»2 · Ах; ==
== 3t (f (х") + f (х'» (, (х") f (х'» Ах; < п. 2т · е · Ах; t
и потому
n п
V (Q) V (Р)== (v (Z.J) v (Y i ) < 2пте . AXi==2nтe (Ь a).
i l ' 1
Из этоrо вытекает кубируемость тела w.
Обозначим .теперь через Ф (Хо) объем тела, получающеrося
при вращении криволинейной трапеции, оrраниченной rрафиком
ФУНКЦИИ У==' (х), осью абсцисс и прямыми х==а и х==хо (рис. 288).
Для любых XI, Х2 из [а, Ь], rде х. <Х2, разность Ф (Х2) Ф (х.)
заключена между объемами двух цилиндров, имеющих высоту
Х2 XI И рздиусы f (х'), f (х"), rде f (х') наименьшее, а f (х")
наибольшее значение функции f (х) на отрезке [х., Х2] (меньший
Н3 них изоб.ражен на ри .. 289). Иначе rоворя,
n (f (х'))2 (Х2 ХI) Ф (Х2) Ф (xl) n (! (х")2 (X2 XI),
Т. е.
jt (1 (х),! Ф (Х2)----ф (.xl) n (f (х"»2.
Х2 ---- Ха
В силу непрерывности ФУ КЦИИ f (х) найд тся между
(т. е. на [XI, Х2]) число , для KOToporo
Ф (х2)..... ф (Xt) n (f ( ))2,
Х2..... Ха
х' и х"
Т. е.
ф (х2)...... Ф (XI) == n (1 )2 (Х2 ха).
Соrласно лемме п. 86 Ф (х) есть первообразная для функции
n (f (х»)2 на [а, Ь]. Если F (х) еще одна первообраэная для
этой функции, то Ф(х)==F(х)+С, и потому
v (W)===Ф (Ь)==Ф (Ь)......ф (а)==(Р (b)+C) (P (a}+C)==F (b) F (а).
Контрольные вопросы
1) Вbft1'Иe"лите объем шара, имеющеrо радиус '.
2) Вьrчи'Слите объем конуса с высотой }! и радиусом oc
НО8а ния '.
....... .",."'\
\
\
\
\
I
I
J
..... J
'--./
Рис. 288
Ри с. 289
299
3) Пусть W одно из следующих тел:
прuз,М,а (в частности, параллелепипед),
nuра'м'uда, усеченная nuра,М,uда, цилиндр,
конус, усеченный конус, шаровой слой
(т. е. часть шара, заключенная между
двумя параллельными плоскостями;
рис. 290), шар. Тело W имеет 4 два основа-
ния и некоторую высоту h (у пирамиды
и конуса одно основание вырождается
в точку, у шара оба «основания» вырож-
даются). Через s (х) обозначим площадь
сечения тела W плоскостью, параллель-
ной основаниям и проходящей на рас-
стоянии х от плоскости «нижнеrо» основания. В частности,
50==S(0), sl==s(h) и SI/2==S( ) площади нижнеrо основания,
BepXHero основания и среднеrо сечения. а) Докажите, что s (х)
является для рассматриваемоrо тела W мноrочленом не выше
второй степени. б) Используя результат задачи 1091,а, докажите, что
I
I
\
\
\
,
" /
........... -"
.......---
\
J
I
/
/
,/
Рис. 290
1
v (W)==б-(sо+4s 1 / 2 +s 1 ) h
(формула Симпсона). в) Докажите, что формула Симпсона остается
справедливой для тела, оrраниченноrо поверхностью вращения Р
и двумя плоскостями, перпендикулярными оси вращения, rде
р поверхность, получающаяся при вращении эллипса, парабо
лы или одной ветви rиперболы BOKpyr одной из осей.
Задачи
1094. Пусть М квадрируемая фиrура в плоскости а, и а
вектор, не параллельный а. Обозначим через Z объединение
всех отрезков АА', rде АЕМ, а А' такая точка, что
АА ' == а. Докажите, что тело Z кубируемо и ero объем paBeJl
s (M).h, rде h высота тела Z, т. е. расстояние между
а
плоскостью а и плоскостью, получающеися из а, параллельным
переносом на вектор а. Тело Z называется цилиндро.м. с основа-
нием. М и образующим векторо.м. а (частными случаями являются
обычный круrовой цилиндр, прямая призма, наклонная пр"зма).
1095. Пусть М квадрируемая фиrура в плоскости а и S
точка, не лежащая в этой плоскости. Обозначим через К объедине
ние всех отрезков AS, rде А Е М. Докажите, что тело К кубируемо
и ero объем равен +s (М) h. rде h высота тела К. т. е. pac
стояние от точки А ДО плоскости а. Тело К называется
конусом с основанием М u вершиной S (частными случаями
являются обычный круrовой конус и пирамида) .
300
1096. Конус К с квадрируемым осно-
ванием М пересечен плоскостью 13, кото-
рая паралпельна плоскости основания а,
И через К' обозначена часть тела К,
расположенная между а, и р. Докажите,
что объем тела К' (называемоrо усечен..
НЫАС ICOHYCOAt) может быть найден по фор
муле Симпсона.
1097. Докажите, что пересечение и
объединение кубируемых тел являются
кубируемыми телами.
1098. Докажите, что если М с N, то
v (M) v (N).
1099. Докажите, что если М
'==M 1 UM 2 U...UM k , причем М., М2, ..., M k
попарно не имеют оБLЦИХ внутренних TO
чек, то V(М) V(Мl)+V(М2)+...+v(л,fk).
1100. Докажите, что всякий мноrоrранник может быть раз-
бит на конечное число треуrольных пирамид, попарно не имею
щих общих внутренних точек.
1101. Пусть g подобие с коэффициентом k. Докажите, что
1
функция v* (М) ==--э v (g (М» удовлетворяет всем аксиомам (а),
k
( ), (,\,), (6) и потому с о в п а Д а е т с v (М). Используя это, до..
кажите теорему о том, что отношение объемов подобных тел
равно кубу коэффициента подобия.
1102. Докажите, что оrраниченное выпуклое тело кубируемо.
1103. При враLЦении BOKpyr прямой 1 (рис. 291) прямо-
уrольник ABCD дает цилиндр, четверть Kpyra полусферу, а
треуrольник АВС конус. а) Докажите, что сумма объемов
конуса и полусферы равна объему цилиндра и потому тело
М, остающееся от цилиндра, если из Hero удалить полусферу,
имеет тот же объем, что и конус. б) Дайте друrое доказатель-
ство этоrо же факта, использующее nринцип Кавальерu: если
любая плоскость, параллельная заданной плоскости а, высекает
из кубируемых тел М и К фиrуры одинаковой ПЛОLЦади, то
v (М)== v (К).
1104. Кубируемое тело М расположено в полосе W между
параллельными плоскостями а, и , причем любая плоскость,
параллельная а и проходящая в этой полосе, имеет с TeJJOM
М оБLЦие точки. Плоскость, параллельная а и наХОДЯLЦаяся на
расстоянии х от нее, высекает из М квадрируемую фиrуру
площадью s (х). Докажите, что v (M) F (h)....... F (О), rде h шири
на полосы W, а F (х) первообразная для s (х) на [о; h]. При
доказательстве рассмотрите случаи: а) М треуrольная пирамида
с основанием в плоскости ; б) М произвольная треуrольная
пирамида; в) М мноrоrранник; r) М произвольное кубируе
301
l
А
D
в
Рис. 291
мое тело. Выведите из установленноrо утверждения доказатель-
ство принципа Кавальери (задача 1103).
88. ДЛИНА СПРЯМЛЯЕМОй ЛИНИИ
Вначале дадим наrлядные пояснения. Линию L, которая соеди-
няет две точки А, В и не пересекает себя (рис. 292), назы-
вают простой дУ20Й с концами А и В. Идя вдоль L от А к
..
В, мы можем последовательно отметить на L несколько точек
А., А2, ..., А п (рис. 292). Если они расположены на L «доста-
точно rycтo», то вписанная ло.м,аная АА.А2 ... АпВ повторяет
извилины линии L, а длина этой ломаной примерно равна
длине 1 (L) линии L. При этом 1 (L) н е м е н ь ш е, чем длина
вписанной ломаной, поскольку каждый отрезок Ak I Ak имеет
не большую длину, чем кусок линии L между точками Ak . и
Ak. Итак, число 1 (L) не .м,еньше длины любой вписанной лома-
НОй, причем 1 (L) н а и м е н ь ш е е из чисел, обладающих
этим свойством. Эти соображения и позводяют дать о п р е Д е л е-
н и е длины линии. Надо только заметить, что (как показывает
приводимый ниже пример) существуют простые дуrи, у которых
имеются вписанные ломаные к а к у r о Д н о б о л ь ш о й длины;
такие дуrи надо исключить из рассмотрения. Теперь будет понят-
но следующее
О п р е Д е л е н и е. Простая дуrа L называется спрямляемой,
если существует такое число т, что длина любой вписанной в
L ломаной не превосходит т. Наименьшее из таких чисел т
наЗ Iвается длиной простой дуrи L и обозначается через 1 (L).
Разумеется, надо было бы еще привести определение прос-
той дуrи; мы оrраничимся частным случаем: если f (х) непре-
рывная функция, заданная на [а, Ь], то ее rрафик является прос-
той дуrой. Только такие простые дуrи и будут рассматривать-
ся далее. Приведем теперь пример неспрямляемой простой дуrи.
При м е р 1. Возьмем часть rрафика функции у ==
==+( sin з;х) 2 на отрезке [ +; 1] ; далее, часть rpафика функ-
ЦИИ у== /6 (sin 64;Х) 2 на от-
резке [+ ; +]; вообще,
возьмем часть rрафика функ-
ЦИИ у == n (sin зn;х) 2 на от-
Р езке [ .l..; ...J..... . ] . Дополнив
2 п 2п
взятые части rрафиков точ-
кой (о; О), мы получаем
Рис. 292 простую дуrу L (рис. 293),
302
у
о
1
1
"2
1 х
Ри с. 293
являющуюся rрафиком непрерывной функции f (х) на отрезке [о; 1].
На отрезке [ +; 1] rрафик совершает два колебания, и потому
штриховая ломаная на рисунке 293 имеет длину, большую
+.4== 1. Далее, на отрезке [+; ] взя-тый .rрафик COBep
шает 8 колебаний, и потому аналоrичная ломаная имеет длину,
большую 16' 16 == 1. Вообще, аналоrичная ломаная на отрез-
ке [ ; 2. '] имеет длину, большую 1. Поэтому, взяв. такие лома-
ные для отрезков [ . ; 2 ' ] · [ 2.1 1 ; 2.1 2] , "0 [ +; +]. C ;- 1]
и дополнив их отрезком [о; . ] оси абсцисс, мы получим :пи-
санную в L ломаную, длина которой больше k, т. е. простая
дуrа L неспрямляема.
т е о р е м а 1. Если функция f (х), рассматриваемая на [а, Ь],
и'м'еет непрерывную производную, то 2рафик этой функции яв..
Jlяется сnрямляем.ой простой ayzou; ее длина равна F (b) P (а) ,
2де F (х) ....... какая-либо nервообразная функции -V 1 + (f'(x))2.
Доказатель'СТВО. Пусть а<Х.<Х2<...<Х п <Ь и
АА .А 2 ...А п В соответствующая вписанная ломаная дуrи L
(рис . 294). Тоrд а k-e звено этой ломаной имеет длину l. ==
== -V ( Хk)2+( Уk)2. По теореме Лаrранжа Yk== Xkf' ( k), rде
;. некоторая точка k-ro отрезка, и потому I Y. I т Xk, rде
т......... такое число, что I{' (х)1 т на [а, Ь]. Следовательно,
lk -V ( xk)2+(тt,.xk)2== -V l +т 2 6.Xk,
и потому
ll+l2+...+ln i -V l+т 2 xk== -V l+т2(b a).
k 1
Итак, длина любой вписанной ломаной не превосходит числа
303
у
А
Ak...
у
м
А
о а х, Х2 ... Xk ' X k ... Хп.., Ь Х О а
х
ь х
Рис. 294
Рис. 295
-У l + 2(b a), т. е. дуrа L спрямляема.
Обозначим через Ф (х) длину дуrи линии L от точки А (а; /(а»
до точки М (х; / (х» (рис. 295). Тоrда Ф (х")....... Ф (х') есть длина
дуrи между точками М' (х'; / (х'» и М" (х"; f (х"». Разобьем отре-
зок [х'; х"] на n частей, имеющих длины L\XI,...' dx п . Соответствую-
щая вписанная ло маная Л име ет длину
1 (Л)== (dХk)2+(dУk)2=== f (dХk)2+(dХf' ( k»2== (1)
k 1 k l
== f -у 1 + (f' ( k»2 L\Xk.
k==1
Пусть х*, х** такие точки отрезка [х', х"], в которых функ..
ЦИЯ 1/' (x)l, рассматриваемая на этом отрезке; достиrает cBoero
наименьшеrо и наибольшеrо значения. TorAa 1/' (x*)1 If' ( k)1
1/' (х **) I , т. е. (f ' (x*)2 (f' ( k»2 (f ' (х**»)2, и п отому (см. (1»
-у 1 + (f' (х*»)2 (х" х') 1 (Л) -у 1 + (/' (х**»2 (х" х').
Так как это верно для л ю б о й ломаной, вписанной в дуrу
М' М", то
-У l +(f' (х*»2 (х" х') Ф (х").......ф (x') -yl l +(1' (х**»2 (х" x'),
и потому
-у 1 + (1' (х*))2 Ф (x': (х') -у 1 +(f' (х**))2 .
Х ....... Х
Из этоrо вытекает существование такой точки , расположенной
между х*, х** (и значит, на отрез ке [х', х"]) , что
Ф (х") ---- Ф (х') ... ' 1 + (/ ' ( » 2,
х" ....... х' V
т. е.
ф (х")....... Ф (х') === -У 1 + (f' (6»)2 (х" х').
На о сновании леммы п. 86 мы заключаем отсюда, что
ф' (х)== -У 1 +(f' (х»2, т. е. Ф (х) ........ первообразная для функции
304
-у 1 +(f' (х)2. Если F (х) еще одна
первообразная, то Ф(х)==F(х)+С, И;
потому
1 (L)==Ф (Ь) Ф (а)==
:--- (F ( Ь) + С) ...... ( F (а) + С) == F ( Ь ) F (а).
При м е р 2. Рассмотрим окруж-
ность радиуса , с центром в начале
координат. Верхняя полуо кружность
имеет уравнение у == -У ,2...... х 2 . Возь мем
rрафик L функции f (х)== -У ,2 х 2 на
отрезке [а, Ь], rде ......'<а<Ь<::.' (рис.
производная
у
I
I
\
\
\
М
Ь l' Х
" а О
Рис. 296
296). На этом отрезке
" (х) === (-У ,2...... х 2 )' == ...... х
-V r2 x2
непрерывна, т. е. применима теорема 1. Так как для функции
-Y l +(1' (X)?==,j 1 + ( х \ 2 == 1
-V r2 l I ( ;) 2
первообразной является F (х) == ......, arccos..:!...., то по теореме 1
r
1 (L)==F (b)......F (a)== ' arccos 4, arccos.!!:....
r r
При b " a ......, находим, что длина полуокружности равна
, arccos 1+, arccos (.......1)==31r, и потому длина всей окруж-
ности равна 2nr.
В заключение рассмотрим вопрос об аксиоматическом зада-
нии длины. Из определения длины с помощью вписанных ло-
маных вытекает, что длина обладает следующими четырьмя
u
своиствами:
(а). Длина любой спрямляемой простой дуrи неотрица-
тельна.
(Р). Если дуrи L. и L 2 конrруэнтны, то равны их длины:
1 (L.)==l (L 2 ).
(у). Если спрямляемая простая дуrа L разбита точкой М на
две простые дуrи L. и L 2 , то 1 (L)==l (L.)+I (L 2 ).
(6). Длина отрезка, принятоrо за единицу измерения длин,
равна единице.
Однако единственности уже не будет, т. е., кроме 1 (L),
имеются на множестве всех спрямляемых простых дуr и дру-
rие функции, удовлетворяющие аксиомам (а), (р), (у), (6). Для
обеспечения единственности приходится ввести eIЦe одну аксио-
МУ.'- Чтобы ее сформулировать, рассмотрим древний софизм.
305
А
При м е р 3. В равнобедренном
прямоуrольном треуrольнике paCCMOT
рим «пилообразную» ломаную Л N , при
мыкающую к rипотенузе (рис. 297).
Ясно, что ее длина равна сумме длин
катетов. В то же время при n OO ло-
маная Л п все более приближается к
rипотенузе и в пределе сливается
с ней. Отсюда «вытекает», что Нт l (Л II )
п oo
равен длине rипотенузы, т. е сумма
С 8 длин катетов равна длине rипотенузы.
Рис. 297 Существо этоrо софизма состоит
в том, что рассматривается последова
тельность линий Л п (п == 1, 2,...) с кон..
цами А и В, с х о Д я Щ а я с я к некоторой линии L (в данном
случае к отрезку) с теми же концами А и В, причем существует
предел lim 1 (Л п ). В этих условиях делается неправильный вывод
n ...... 00
О том, что 1 (L)== Нт 1 (Л п ). В действительности можно утверж..
n ...... 00
дать, что справедливо лишь формулируемое ниже утверждение (8).
О n р е Д е л е н и е. Последовательность Л N (п:=: 1, 2,...) прос..
тых дуr с концами А и В называется сходящейся к простой
дуrе L с теми же концами, если для любоrо 8> О можно найти
такое по, что при n>nо любая точка МЕЛ n удалена от L менее
чем на Е.
Следующее утверждение (доказательство KOToporo мы не
приводим) называется свойство.м. полунепрерывности длины.
(е). Пусть Л II (n == 1, 2, ...) последовательность спрямляемы
простых дуr с концами А, В, сходящаяся к простой дуrе L с
теми же концами; если существует предел lim l (Л п ), то дуrа L
сп рямляем а и l (L) liт 1 (Л п ). п......оо
"...... 00
т е о р е м а 2. На ,М,ножестве всех сnря,М,ляе.м.ых ПрОСТЫХ дУ2
существует, и прито'м' ТОЛЬКО одна, функция 1 (L) (qлuна), обла
дающая свойства'м'и (а), (р), (у), (6), (8).
Доказательство этой теоремы также не приводим.
Контрольные вопросы
1) Докажите, что функция f (х) в примере 1 дифференцируе-
ма в каждой точке отрезка [о; 1]. Может ли " (х) быть непре-
рывной?
2) Докажите, что если " (х) > g' (х) > О на 9трезке [а, Ь], то
rрафик функции f (х) на отрезке [а, Ь] имеет ббльшую длину, чем
rрафик функции g (х) на этом отрезке.
3) Пусть L некоторая ломаная и М, фиrура, состоящая
из всех точек, удаленных от L на расстояние, не превосходящее
306
(. Докажите, что 1 (L)== lim s (Л1,) . Можно доказать, что это УТ"
Т---+О 2r
верждение справедливо и для любой спрямляемой линии L.
ЭТО дает новое определение длины (через площадь); оно было
предложено выдзющимся математиком repMaHoM Минковским.
Задачи
1105. Докажите, что замкнутая линия, являющаяся rраницей
выпуклой фиrуры на плоскости,. спрямляема.
1106. Пусть L окружность радиуса r и Л N контур пр а-
вильноrо п"уrольника, вписанноrо в эту окружность. Докажите,
что Нт 1 (Л п )== 1 (L).
п ---+ 00
1107. Докажите, что длина дуrи па рабол ы у==тх2 от т очки
(0;0) ДО точки (х;тх2) равна: TX -V l+x 2 +1n(x+ -V l+x 2 ).
1108. Пусть М выпуклая фиrура на плоскости и L ее
rраНИQа. Обозначим через М* множество всех точек плоскости,
удаленных от М не более чем на " а через L * rраницу мно-
жества М. Докажите, что l(L*)==I(L)+2nr.
1109. Фиrура М оrраничена замкнутой линией, имеющей дли-
ну 1. Докажите, что расстояние между любыми двумя точками
1
фиrуры М меньше "2.
89. О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
При м е р 1. Пусть р....... боковая поверхность цилиндра с
радиусом основания r и высотой h. Проведем плоскости ао,
(1., ..., a q , из которых первая и послед .яя являются плоскостями
оснований, а остальные параллельны им, причем расстояние
h
между каждыми двумя соседними из них равно . Пусть МО
q
правильный n..уrольник, вписанный в основание цилиндра, tk
" k h
параллельныи перенос вдоль оси цилиндра на расстояние . ,
п q
а r поворот BOKpyr этой оси на уrол . Через M k обозначим
n .
при четном k мноrоуrольник tk (МО), а при нечетном k MHoro-
уrольник r (t. (МО) (рис. 298). Наконец, для каждой стороны [АВ]
мноroуrольника M k (k == 1, 2, ..., q ----- 1) рассмотрим два треуrоль-
вика АВС 1 и ABC2 rде С" С 2 блdжайшие к [АВ] вершины
мноrоуrольников M k --- I и Mk+1o Все получающиеся таким обра-
зом треуrольники составляют ноrоrранную поверхность Q, впи-
санную в Р и называемую «rармошкой Шварца» (рис. 299). Каж-
дый из треуrольников ABC i , АВС 2 paccMoTpeHHoro вида имеет
307
/
./
I
I
I
I
I
I
Рис. 299
Рис. 300
Рис. 298
u u
своеи проекциеи на плоскость основания
треуrольник А' В' С' (рис. 300), площадь
KOToporo равна
s ( OA'C')+s ( OB'C') s ( OA'B')===
1 2 . 11 + 1 2 . л 1 2 . 2л
== ........., s 1 n ......... ......... , s 1 n ......... ......... r s 1 n ......... ==
2 п 2 п 2 п
== ,2 ( 1 cos Э · sin : ·
Следовательно, по теореме п. 33 пло-
щадь каждоrо из треуrольников АВС.,
2 ( П ) n
АВС 2 б о л ь ш е, 1 cos n · sin n 8
Поверхность Q составлена из 2п (q 1)
таких треуrольников, и ее площадь боль..
ше 2n(q 1).r2(1 cos : ) · sin : . Итак,
существует вписанная в Р MHoro-
rранная поверхность, сост вленная из
как уrодно маленьких треуrольников, но
имеющая (при заданном п и достаточно
большом q, т. е. при большом «числе
складок rармошки») как уrодно большую
площадь.
Этот пример показывает, что BBecт1f
понятие площади поверхности по анало
rии с тем, как была определена длина
линии, не удастся. Пример показывает и
причину этоrо. Ведь если (при задан
ном. п) взять число q очень большим,
то каждый треуrольник АВС. (или АВС 2 )
308
расположен «торчком , т. е. в плоскости, которая наклонена
к касательной плоскости цилиндра в вершине с. (или С 2 ) под
уrлом, близким к 2!.... Если же мноrоуrоЛЬНИКИ, составляющие
мноrоrранную повеахность, расположены в плоскостях, которые
наклонены под малыми уrлами к касательным плоскостям по-
верхности Р в соответствующих точках, то площадь вписанной
мноrоrранной поверхности будет оrраниченной. Это и позволит
дать определение площади поверхности примерно так же, как
в п. 88 была определена длина линии. Однако это определение
будет использовать понятие касательной плоскости поверхности
и иметь ряд друrих сложностей (вписанная поверхность не долж-
на иметь складок) разветвлений и т. п.); МЫ это определение
рассматривать не будем (заметим, что даже в университетских
курсах, как правило, оно со всей аккуратностью не рассматри-
вается ).
Однако площадь поверхности вращения мы вкратце рассмот-
рим. Прежде Bcero заметим, что площадь боковой поверхности
цилиндр.а, I(,()Hyca или усечеННО20 конуса равна 2nrl, 2де , ра..
диус окружности средне20 сечения а 1 длина образующей
(рис. 301).
Это утверждение можно Д о к а з а т ь, если использовать об-
щее определение площади поверхности; так как, однако, мы ero не
рассматривали, то примем сформулированное утверждение без
доказательства, оrраничиваясь наrлядными представлениями
п. 46. Приняв это утверждение, можно дать определение пло-
щади поверхности вращения.
О п р е Д е л е н и е. Пусть Р поверхность, получаемая в ре-
зультате вращения простой дуrи L BOKpyr оси 1. Пусть, далее,
П поверхность, получающаяся в результате вращения лома-
ной Л, вписанной в L, BOKpyr оси 1. Поверхность П составлена
из нескольких частей, каждая из которых является боковой
поверхностью цилиндра, конуса или усеченноrо конуса, и потому
можно найти ее площадь s (П). Поверхность Р называется квад..
рируем.ой, если существует такое число р, что для любой лома-
l
Рис. за 1
309
ной Л, вписанноЙ в L, площадь поверх..
ности П не превосходит р. Площадью
поверхности р называется наименьшее
И3 таких чисел р, что любая вписанная
ломаная, имеющая достаточно маленькие
звенья, дает при вращении поверхность
П, площадь которой меньше р.
Т е о р е м а. Пусть L 2рафик неот"
рицательной функции заданной на [а, Ь]
Рис. 302 и имеющей на этом отрезке непрерыв..
ную nроизводную. Поверхность p nОАУ-
чающаяся в результате вращения ли..
нии L BOKPYZ оси абсцисс KвaдpиpyeMa и ее площадь рав..
на F (Ь) F (а), 2д е F (х) какая..ли60 первоо6разная функции
21({ (х) ..у 1 + (1' (х))2.
Д О К а 3 а т е Jl ь с т в о аналоrично доказательству теоре..
мы 1 п. 88.
11 Р и м е р 2. Рассмотрим окружность радиуса r с центром
в начале координат. Верхн яя полуокружность является rрафи..
ком функции f (х) ;: ..у , 2 х 2 . Мы рассмотрим дуrу L, являющуюся
rрафиком функции f(x) на отрезке [а,Ь] rде r<a<b<r
(рис. 296). На отрезке [а, о] производная {' (х) == х непре-
, 2 ____ х 2
рывна, и потому применима сформулированная теорема. Так
как для функции
2лf (х) ..у 1 + (f' (х)? == 2л ..у ,2 х'1. l + ( ,,;,2 x 2 == 2л'
первообразной является функция F (х)== 2лrх, то поверхность Р,
получающаяся при вращении дуrи L (рис. 302), имеет площадь
5 (Р)== F (Ь)...... F (а)== 2лrЬ 2nra == 21(rh,
rде h==b a. При a---+ " b , находим, что поверхность всей
сферы ра вна 2nr. 2, == 4лr 2 .
Контрольные вопросы
1 ) Лин ия L представляет собой rрафик функции y==+
-V l x 2 , 1 X 1. Ломаная Л, вписанная в L, представляет
собой объединение двух отрезков АВ, ВС, rд.e А ( 1; ,
В (о; ' с ( 1; . Вычислите площади поверхностей Р, П, по-
лучающихся в результате вращения дуrи L и ломаной Л BOKpyr
3.0
оси абсцисс, и убедитесь, что s (П»s (Р).
Этот пример поясняет слова «имеЮIЦая
достаточно маленькие звенья» в опре-
делении площади поверхности враще-
ния.
2) Линия L, имеющая длину 1, вра-
щается BOKpyr оси. Докажите, что если
каждая точка линии L находится от оси
вращения на расстоянии, не превосходя-
щем h, то площадь получающейся
поверхности вращения не превосхо"
дит lh.
Рис. 303
Задачи
1110. Окружность радиуса , вращается BOKpyr прямой [,
u u
расположеннои в плоскости этои окружности на расстоянии
d> , от ее центра. Определите, какую площадь имеет полу-
чающаяся поверхность вращения (тор, рис. 303).
t 111. Полуокружнос с диаметром [АВ] вращается BOKpyr
оси [, параллельной (АВ). При каком расстоянии между пря-
мыми 1 и (АВ) площадь поверхности, получающейся в результа-
те вращения полуокружности, равна площади поверхности, по-
лучающейся в результате вращения отрезка АВ BOKpyr той же
прямой [?
2 2
1112. rипербола !...... н-т== 1 вращается BOKpyr ее действитель-
а 2 Ь
ной оси. Определите площадь той части получающейся поверх-
ности вращения, которая расположена в полосе a x h.
2 2
1113. rипербола ........ н-т 1 вращается BOKpyr ее мнимой оси.
а Ь
Определите площадь той части получающейся поверхности вра-
щения, коrорая расположена в полосе h y h.
1114. Спрямляемая линия L вращается BOKpyr оси [. До-
кажите, что получающаяся поверхность вращения квадри-
руема.
90. ОБ ИЗМЕРЕНИИ yr ЛОВ
Два луча ОА, ОВ с общим началом О разбивают плоскость
на две области: две точки М, N принадлежат одной области,
если существует ломаная, соединяющая точки М и N и не пере-
секающаяся ни с одним из лучей ОА, 08 (рис. 304). Объеди-
нение одной из областей и лучей ОА, ОВ называется уzлом.;
точка О вершина уrла, лучи ОА, OB ero стороны, [OA)U[OB)
311
zранuца уrла. Таким образом,
лучи ОА, ОВ определяют на
плоскости два уrла (один из
них на рис. 304 заштрихован);
их объединение вся плос-
кость, их пересечение общая
rраница этих уrлов. Если лучи
ОА, 08 составляют одну пря-
.
мую, то каждыи из получаю-
щихся уrлов называется раз..
вернутым; развернутый уrол
представляет собой полуплос
.
кость, на rранице которои от-
мечена точка О (вершина).
Задача измерения У2лов состоит в том, чтобы каждому уrлу F
сопоставить некоторое число т (F), называемое м.ерой этоrо уrла,
причем так, чтобы выполнялись следующие свойства (а к с и о м ы
измерения уrлов).
(а). Для любоrо уrла F ero мера т (Р) положительна.
(б). Если уrлы F. и F 2 конrруэнтны, то т (Р 1 )==m (Р 2 ).
(в). Пусть F произвольиый уrол и I луч, исходящий из
вершины уrла F и проходящий внутри этоrо уrла. Тоrда т (Р)==
== т (F.)+ т (F 2 ), rде Р. и Р 2 уrлы, на которые F разбивает..
ся лучом [.
Т е о р е м а 1. На Af,ножестве всех У2лов СУ.ществует функ..
ция то (Р), удовлетворяющая аксиОАСам. (а), (б), (в) и обладаю..
щая тем свойством, что если F ........ развернутый У20Л, ТО то (F)== п.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем некоторый отрезок PQ,
который примем за единицу измерения длин. Тоrда каждой
спрямляемой Ayre L будет соответствовать однозначно опреде
ленное число 1 (L) ее длина (см. п. 88).
Пусть теперь F произвольный уrол и О ero вершина.
Пересечение L == q n F, rде q окружность радиуса 1 с центром О,
представляет собой дуrу окружности (рис. 305). Эта дуrа спрям
ляема, и потому определена ее длина l (L). Положим: то (Р)==
"
F 2
м'
..............
.........
................. н'
...............
Рис. 304
q1
Рис. 305
Ри с. ЗО6
312
Рис. 307
Рис. 308
== 1 (L). Теперь ДЛЯ любоrо уrла F задано число то (Р), т. е.
функция то (Р) определена на множестве всех уrлов.
Остается проверить выполнение аксиом (а), (б), (в) и равенства
то (Р')==п для развернутоrо уrла Р'. Справедливость утвержде-
ния, содержащеrося в аксиоме (а), непосредственно вытекает из
Toro, что длина 1 (L) дуrи L есть число неотрицательное (СМ.
аксиому (а) в п. 88). Выполнение аксиомы (6) также ясно:
если FI и Р 2 конrруэнтные уrлы, о. и 02 их вершины,
а q., q2 окружности радиуса 1 с центрами о., 02, то дуrи
L. ==ql ПР 1 и L 2 ===Q2nF 2 конrруэнтны (рис. 306), и потому 1 (L.)==
==1(L 2 ) (см. аксиому ( ) в п. 88), т. е. то (Р.)==mо(Р 2 ). Столь
же просто проверяется выполнение и аксиомы (в): если уrол
F с вершиной О разбит лучом ОС, проходящим внутри Hero,
на. ДВа' уrла Flt Р 2 (рис. 307), то дуrа L==QnF пересекается
с лучом ОС в точке М, которая разбивает L на две дуrи
L., L2, и потому 1 (L)==I (L,)+I (L 2 ) (см. аксиому (у) в п. 88),
т. е. то (Р)==то(Р.)+то (Р 2 ). Наконец, равенство то (Р')==п вы..
текает из Toro, что длина окружности радиуса 1 равна 2п. 1 ==
== 2л, и потому длина полуокружности равна 3t (рис. 308).
. О п р е Д е л е н и е. Функция то (Р), существование которой
доказано в теореме 1 (и которая соrлас.но доказываемой ниже
теореме 2 е д и н с т в е н н а), называется радианной мерой У2ла.
Уrол ро, для KOToporo то (РО)== 1, называется радианом. Если
то (Р) == а, то принято rоворить, что уrол F содержит а радианов.
Т е о р е м а 2. Пусть р заданное положительное число.,
На множестве всех У2лов существуеТ 1 и притом только oaHa l
функция т (Р), удовлетворяющая аксиом,ам, (а), (б), (в) и обла..
дающая тем свойством, что если Р' развернутый уzол, то
т (Р')== р.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Существование очевидно: функция
т (F)==L то (Р), rде то радианная мера, удовлетворяет всем
n
требованиям.
Докажем единственность. Пусть ml (F) и т2 (Р) две функ-
313
.... ... :
х
Рис. 309
Рис. 310
IUIИ, удовле.ТВОl)Яющие аксиомам (а), (6) (в) и услои.иЯ1М тl (F')==
===р, т2: (Р')===р. ПУСТЬ F произвольный уrол, 11 прямая,.
держащая одну сторону [ОА). э-тоrо yrJla, а /2 перпенди.куляр..
ная ей прямая. Разделим каждый из четы,ре.х прямых yrJloB
между прямыми /, и 12 пополам, каждЫЙ из образовавшихея
восьми уrлов снова ПОП<A'Iам и т. д. После ряда последователь-
ных делений ПЛОСКОСТЬ разобьется на 2 п + 1 конrруэнтиых уrлов
с общей вершиной О (рис. 309). Об03начим эти уrЛЬL через F 1,
F'J., ..., F 2 n+ 1. Так как все эти уrлы конrруэ.нтны,. ТО- 1Inъ (FI)==
=== т! (Р 2 )=== ... === тl (F 2п+ 1) (аксиома (6)). Далееt- так как разверну-
тый уrол F' содержит 2 п таких уrлов, то из аксиомы (8) ира..
венства. тl (F')==p вытекает, что m! (Ft)== :п . Аналоrично
т2 (F,)== ; . Пусть теперь уrол F содержит 5 указанных уrлов
и содержится внутри уrла, состоящеrо из s+ 1 таких же уrлов.
Так как (при обозначениях рисунка) тl (F)===s.L+ тl (LBOC s )
2"
(аксиома (в)) и Ta как тl (LB.OCs) O (аксиома (а)), то т. (F}
5'}. Аналоrично т, (F) (5+1) :п . Таким образом, 5. :п
т, (F) (5+ 1) :п и точно так же 5' т2 (F) (5+ 1) ; .
Следовательно, оба числа тl (Р), f!l2 (F) находятся на отрезке
между числами 5' ;4 Н (5+ 1) :п , откуда вытекает, что
т, (F) т2 (FH :п . Так как это справеддшю ДЛJl л ю б о r Q n,
то 1т. (P) т2 (F)I ===0, т. е. тl (Р)==т2 (Р), чем устаЫОВJiеиа
ед.инственность.
314
3 а м е ч а н и е. В п. 21 уrол между векторами был определен
с помощью СК8лярноrо произведения. Покажем, что введенное
там определение уrла эквивалентно рассмотренному здесь.
Пусть F уrол. не превосходящий развернутоrо. Рассмотрим
такую систему координат, что уrол F расположен в верхней
полуплоскости и одна из ero сторон совпадает с положительной
полуосью абсцисс (рис. 310). Через q обозначим окружность
радиуса 1 с центром в вершине О уrла Р, 8 через А, М точки ее
пересечения со сторонами уrла Р. По определению радианной
меры уrла мы имеем то (F)==l (L), rAe L==qnF. Но COrJl8<CHO
скаЗ81П1ОМУ в примере 2 в п. 88 1 (L)== arccos а, rде а аб цис-
--+-
са точки-М. С друrой стороны, ОА.ОМ==а (поскольку вектор ОА
---+
имеет координаты '(1; '0), а .вектор ОМ координаты (а; Ь)). Сле-
довательно,
---+
то (Р)== 1 (L)=== arccos а === arccos (ОА. ОМ).
.... ....
Наконец. если р, q ненулевые векторы. идущие по сторонам
... ... ---+ ... ..
уrла F (рис. 310), то ==ОА, ст.. ==ом, и потому pq ==
Ipl Iql 1';1 Iql
---+ .. ..
== ОА. ОМ, т. е. то (F)== arccos ..pq.. . Иначе rоворя,
.... Ipllql
cos(тo(F))== ,ltfti" причем О<то(Р) п;
таким образом, уrол между векторами Р. q, определенный в п. 21.
равен то (F). Заметим еще, что функции COS Х, arccos х, о которых
идет речь в этом замечании, имеют независимое определение,
не связанное с rеометрическими соображениями (например, cos х
есть решение дифференциальноrо уравнения rармонических ко-
лебаний у"+у===О с начальными условиями y(O)==l. у' (0)==0).
Таким образом, определение уrла между векторами, рассмотрен-
ное в п. 21, не содержит «порочноrо Kpyra» и соrласуется с те-
u
ориеи измерения длин и уrлов.
Контрольные вопросы
1) Пусть Р. и P2 два уrла. на которые плоскость разби-
вается двумя лучами, исходящими из точки о. Докажите, что
то (FJ)+mo (F 2 )== 2п.
2) Лучи 1.. 12, ..., lk разбивают развернутый уrол на k+ 1
уrлов РО, F., ..., Fk. Докажите, что то (РО) + то (F.)+...+тo(Fk)===n. '
3) Два уrла Р" Р 2 имеют общую вершину. Докажите. что
если Р. сР 2 , то то (P.) тo (Р 2 ).
315
Задачи
...
1115. Пусть F ПРОИЗВОJIЬНЫЙ уrол и р, q векторы, иду-
щие по ero сторон ам (р ис. 310). Положим:
{ arccos ..pq.. ,если уroл F не превосходит развернутоro;
т* (F)== Ip\ I ql ....
2п arccos pq в П р отивном сл у чае.
Ipl Iql
Докажите, что функция т* (F) совпадает с то (Р).
1116. ,Докажите, что если Р., Р2, ..., Fп внутренние уrлы
произвольноrо n-уrольника М (возможно, невыпуклоrо), то
тo(F.)+mo(F2)+...+mo(Fп)==(n 2)n. Как изменится форму-
лировка этоrо утверждения, если мноrоуrольник М оrраничен
несколькими контурами (одним внешним и k внутренними)?
1117. Дайте определение rрадусной меры уrла и напишите
формулу перехода от rрадусной меры крадианной,
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Понятие о rеометриях Евклида и Лобачевскоrо. . .
. . . .
3
5
5
.
. . . . .
r л а в а 1. Прямая в пространстве
2. Векторы и точки . . . . . . . . . . . . . 10
3. Свойства СУМ\1Ы векторов. . . . . . . . . 12
4. Свойства произведения вектора на число . 16
5. Прямая . . . . . . . 18
6. Отрезок и луч . . . . . . . . . 22
7. Параллельные прямые . . . . . . . . . 24
8. Размерность (число измерений). .... . . 27
9. Скрещивающиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
r л а в а /11. Плоскость в пространстве
10. Плоскость и ее базис. . . .
11. Замена базиса плоскости . . . . . . . .
12. Дополнение до базиса . . . .
13: Прямая, параллельная плоскости .
14. Две прямые в плоскости . .
15. Параллельные плоскости .
16. Непа раллельные плоскости .
. . .
35
37
40
42
45
46
49
r л а 8 а 111. Координаты
17. Аксиомы скалярноrо произведения .
18. Ортоrональные векторы . . -. . .
19. Ортонормированные базисы . . .
20. Координаты векторов в пространстве .
21. Уrол между векторами. . . . . .
22. Система .координат в пространстве . .
53
56
59
60
63
66
r л а в а IV. Перпендикулярность прямых и плоскостей
23. Нормаль к плоскости . . . . . . .
24. Перпендикулярные прямые и плоскости . . . .
25. Ортоrональное проектирование . . . . . . .
26. Уrол между прямой и плоскостью . . . . .
27. Уравнение плоскости . . . . . . . . . .
. . . .
70
72
76
79
81
317
r л а в а V. Выпуклые мноrоrранникн
28. Полуплоскость . . . .
29. Выпуклые множества
30. Мноrоуrольники .
31. Полупространство . . .
32. Двуrранный уrол .
33. Теорема о площади проекции . .
34. Выпуклые мноrоrранники. . .
35. Призма . . . . . . . . . . . .. . · ·
36. Пирамида и усеченная пирамида . . . .
37. Изображение мноrоrранников на плоскости.
. . . . .
85
88
90
92
95
100
103
107
109
114
r л а в а VI. Движения плоскости и пространства
38. Определение движений . . . . . 120
39. Движения и координаты . . . . . . . . . 124
40. Понятие об ориента ции . . . . . . . . . . 126
41. Па раллельный перенос . . . . 129
42. Поворот плоскости . . . . . 131
43. Теорема Шаля . . . . 135
44. Классификация движений пространства . . . . . 138
45. rруппа самосовмещений 142
46. Цилиндр и конус . . . . . . . 147
47. Шар и сфера . . . . . 150
48. rомотетия и подобие . . . . . 155
49. Эрланrен кая проrрамма Ф. Клейна . . . . . 157
r л а в а VII. Непротиворечивость вейлевекой аксиоматики
50. Непротиворечивость и понятие модели . . . .
51. Доказательство непротиворечивости ..........
161
164
r л а в а VI 1 1. Центр масс системы материальных точек
52. Определение центра масс . . . .
53. Основное свойство центра масс
54. Отрицательные массы . . . .
55. Барицентрические координаты . . . . . .
167
169
171
175
r л а в а IX. Понятие о линейном проrраммировании
56. Опорные прямые и плоскости . . . . . . . . . . . . . . .
57. Линейные функции на мноrоуrольниках и мноrоrранниках
58. Тра нспортная задача ...... . .
59. Задачи с мноrими переменными . . .
60. Понятие о MHoroMepHbIx простра нствах
178
180
182
186
188
r л а в а Х. Определители BToporo и TpeTbero поряд.ков
61. Определитель Broporo порядка .....
62. Система ДВУХ линейных уравнений . . . . . .
63. ПЛощадь параллелоrрамма и треуrольника
64. Определитель TpeTbero порядка .....
318
193
195
197
199
65. Система трех линейных уравнений 203
66. Ориентация ........ 205
67. Определители и объемы . . . . . . . . . . 208
68. Понятие собственноrо вектора . . . . . . . . . .. 211
69. Доказательство пространственной теоремы Шаля 214
r л а в а XI. rеометрия комплексных чисел
70. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . .
71. Корни мноrочленов ... . . . . . . . . . .
72. Комплексные уравнения прямой и окружности .
73. Инверсия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
221
225
229
r л а в а XII. ЛИНИИ BToporo порядка
74. Классификация линий BToporo порядка . . . .
75. Эллипс
76. rипербола
77. Парабола . . . .
78. Сечения конической поверхности . . . .
79. Понятие о проективных свойствах . . . .
80. Анrармоническое отношение
81. ПОЛlQ.сы и поляры . . . . . . . .
235
239
244
249
253
256
262
267
r п а в а XIII. Измерение rеометрических величии
82. Длина отрезка .....................
83. Определение площади мноrоуrольиика . . . . . .
84. Свойства площади мноrоуrольника . . . .
85. Общее понятие площади ....
86. Площадь и первообразная .
87. Объем ..........
88. Длина спрямляемой линии
89. О понятии площади поверхности
90. Об измерении yr лов ......
273
275
280
284
288
294
302
307
311
Владимир rриrорьевич 60ЛТЯНСКИЙ
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ rЕОМЕТРИЯ
Зав. редакцией Р. А. Ха6иб
Редактор л. М. Котова
Мл. редакторы л. и. За седа телева l Е. А. Сафронова
Художник Б. л. Николаев
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор С. с. Якушкина
Корректор Н. В. Бурдин.а
ИБ Ng 8780
Сдано в набор 1909.84. Подписано к печати
23.08.85. Формат 60X90 1 / IS . Бум. КНИЖIIО ЖУРН.
импорт. rарнитура литературная Печать высо-
кая. YCJI. печ. л. 20,0+0,25 форз. Ус., кр -отт.
20.69. УЧ.-изд л 18.9+0.34 форз Тираж
153 тыс. экз Заказ 924. Цена ) руб
Ордена Трудовоrо Kpaclloro Знамени изда-
тельство «Просвещение» rосударственноrо ко-
митета РСФСР по делам нздатеJIЬСТВ. полиrра-
фии и книжной торrовли. 129846, Москва.
3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудовоrо KpacHoro Знамени
полиrрафический комбинат Росrлавполиrрафпро-
ма rосударстпенноrо комитета РСФСР по делам
издательств. полнrрафни и книжной торrовли.
Саратов, УЛ. Чернышевскоrо, 59.